ΚΔΦΑΛΑΗΟ ΟΡΗΜΟΗ-ΘΔΧΡΖΜΑΣΑ «ΜΔ ΟΝΟΜΑΣΔΠΧΝΤΜΟ»

Transcript

1 ΚΔΦΑΛΑΗΟ --3 ΟΡΗΜΟΗ-ΘΔΧΡΖΜΑΣΑ «ΜΔ ΟΝΟΜΑΣΔΠΧΝΤΜΟ» ΟΡΗΜΟ ΤΝΑΡΣΖΖ Δ8 Έζησ Α έλα ππνζχλνιν ηνπ R Ολνκάδνπκε πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α κηα δηαδηθαζία (θαλφλα) f, κε ηελ νπνία θάζε ζηνηρείν A αληηζηνηρίδεηαη ζε έλα κφλν πξαγκαηηθφ αξηζκφ Σν νλνκάδεηαη ηηκή ηεο f ζην θαη ζπκβνιίδεηαη κε ( ) ΟΡΗΜΟ ΤΝΟΛΟΤ ΣΗΜΧΝ ΤΝΑΡΣΖΖ Σν ζχλνιν πνπ έρεη γηα ζηνηρεία ηνπ ηηο ηηκέο ηεο f ζε φια ηα A, ιέγεηαη ζύλνιν ηηκώλ ηεο f θαη ζπκβνιίδεηαη κε f (A) Δίλαη δειαδή: f ( A) { f ( ) γηα θάπνην A} 3ΟΡΗΜΟ ΓΡΑΦΗΚΖ ΠΑΡΑΣΑΖ ΤΝΑΡΣΖΖ Έζησ f κηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνχ Α θαη έλα ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ζην επίπεδν Σν ζχλνιν ησλ ζεκείσλ M (, ) γηα ηα νπνία ηζρχεη f ( ), δειαδή ην ζχλνιν ησλ ζεκείσλ M (, f ( )), A, ιέγεηαη γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f θαη ζπκβνιίδεηαη ζπλήζσο κε 4ΡΗΜΟ ΗΧΝ ΤΝΑΡΣΖΔΧΝ Δ-7-6 Γχν ζπλαξηήζεηο f θαη g ιέγνληαη ίζεο φηαλ: έρνπλ ην ίδην πεδίν νξηζκνχ Α θαη γηα θάζε A ηζρχεη f ( ) g( )

2 5 ΡΗΜΟ ΠΡΑΞΔΧΝ ΤΝΑΡΣΖΔΧΝ Οξίδνπκε άζξνηζκα, δηαθνξά, γηλόκελν θαη πειίθν δχν ζπλαξηήζεσλ f, g ηηο ζπλαξηήζεηο κε ηχπνπο ( f g)( ) f ( ) g( ) ( f g)( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( fg)( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) Σν πεδίν νξηζκνχ ησλ f g, f g θαη fg είλαη ε ηνκή A B ησλ πεδίσλ νξηζκνχ Α θαη Β ησλ ζπλαξηήζεσλ f θαη g αληηζηνίρσο, ελψ ην πεδίν νξηζκνχ ηεο f είλαη ην A B, εμαηξνπκέλσλ ησλ ηηκψλ ηνπ πνπ κεδελίδνπλ ηνλ g παξνλνκαζηή g, ( ) δειαδή ην ζχλνιν { A θαη B, κε g ( ) } 6 ΟΡΗΜΟ ΤΝΘΔΖ ΤΝΑΡΣΖΔΧΝ Αλ f, g είλαη δχν ζπλαξηήζεηο κε πεδίν νξηζκνχ Α, Β αληηζηνίρσο, ηφηε νλνκάδνπκε ζύλζεζε ηεο f κε ηελ g, θαη ηε ζπκβνιίδνπκε κε, ηε ζπλάξηεζε κε ηχπν ( gof )( ) g( f ( )) ΠΡΟΟΥΗ!!! Η gof είναι η σύνθεση της f με τη g 7ΟΡΗΜΟ ΓΝΖΗΧ ΑΤΞΟΤΑ ΤΝΑΡΣΖΖ Δ7-Λ Μηα ζπλάξηεζε f ιέγεηαη () : γλεζίσο αύμνπζα ζ έλα δ η ά ζ η ε κ α Γ ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο, φηαλ γηα νπνηαδήπνηε, Γ κε ηζρχεη: f ( ) f ( ) () Μηα ζπλάξηεζε f ιέγεηαη, απιψο,: αύμνπζα ζ έλα δηάζηεκα Γ, φηαλ γηα νπνηαδήπνηε θζίλνπζα ζ έλα δηάζηεκα Γ, φηαλ γηα νπνηαδήπνηε, Γ κε ηζρχεη f ) f ( ) (, Γ κε ηζρχεη f ) f ( ) (

3 7ΟΡΗΜΟ ΓΝΖΗΧ ΦΘΗΝΟΤΑ ΤΝΑΡΣΖΖ Μηα ζπλάξηεζε f ιέγεηαη γλεζίσο θζίλνπζα ζ έλα δ η ά ζ η ε κ α Γ ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο, φηαλ γηα νπνηαδήπνηε, Γ κε ηζρχεη: f ( ) f ( ) 8 ΟΡΗΜΟ ΜΔΓΗΣΟΤ ΤΝΑΡΣΖΖ Δ-ΔΛ-4 Μηα ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνχ Α ζα ιέκε φηη: Παξνπζηάδεη ζην A (νιηθφ) κέγηζην, ην f( ), φηαλ f ( ) f ( ) γηα θάζε A 9 ΟΡΗΜΟ ΔΛΑΥΗΣΟΤ ΤΝΑΡΣΖΖ 9 Λ Μηα ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνχ Α ζα ιέκε φηη: Παξνπζηάδεη ζην A (νιηθφ) ειάρηζην, ην f( ), φηαλ f ( ) f ( ) γηα θάζε A ΟΡΗΜΟ - ΤΝΑΡΣΖΖ Δ5-Λ-Δ5 Μηα ζπλάξηεζε f : A R ιέγεηαη ζπλάξηεζε, φηαλ γηα νπνηαδήπνηε, A ηζρχεη ε ζπλεπαγσγή: αλ, ηφηε f ( ) f ( ) ΟΡΗΜΟ ΑΝΣΗΣΡΟΦΖ ΤΝΑΡΣΖΖ Έζησ κηα ζπλάξηεζε f : A R Αλ ππνζέζνπκε φηη απηή είλαη, ηφηε γηα θάζε ζηνηρείν ηνπ ζπλφινπ ηηκψλ, f( A ), ηεο f ππάξρεη κνλαδηθφ ζηνηρείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο Α γηα ην νπνίν ηζρχεη f ( ) Δπνκέλσο νξίδεηαη κηα ζπλάξηεζε g : f ( A) R κε ηελ νπνία θάζε f ( A) αληηζηνηρίδεηαη ζην κνλαδηθφ A γηα ην νπνίν ηζρχεη f ( ) Απηφ ζεκαίλεη φηη, αλ ε f αληηζηνηρίδεη ην ζην, ηφηε ε g αληηζηνηρίδεη ην ζην θαη αληηζηξφθσο Γειαδή ε g είλαη ε αληίζηξνθε δηαδηθαζία ηεο f Γηα ην ιφγν απηφ ε g ιέγεηαη αληίζηξνθε ζπλάξηεζε ηεο f θαη ζπκβνιίδεηαη κε Δπνκέλσο έρνπκε f ( ) f ( ) 3

4 ΑΠΟΓΔΗΞΔΗ Δ4Λ-5Λ-Λ-8Λ Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο C θαη C ησλ ζπλαξηήζεσλ f θαη f είλαη ζπκκεηξηθέο σο πξνο ηελ επζεία πνπ δηρνηνκεί ηηο γσλίεο θαη ΑΠΟΓΔΗΞΖ Αο πάξνπκε κηα ζπλάξηεζε f θαη αο ζεσξήζνπκε ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο C θαη C ησλ f θαη ηεο (ρ 37) Δπεηδή f ζην ίδην ζχζηεκα αμφλσλ f ( ) f ( ),αλ έλα ζεκείν M (, ) αλήθεη ζηε γξαθηθή παξάζηαζε C ηεο f, ηόηε ην ζεκείν (, ) ζα αλήθεη ζηε γξαθηθή παξάζηαζε C C ηεο f f θαη αληηζηξόθσοδ7λ Σα ζεκεία, φκσο, απηά είλαη ζπκκεηξηθά σο πξνο ηελ επζεία πνπ δηρνηνκεί ηηο γσλίεο θαη Δπνκέλσο, νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο C θαη C ησλ ζπλαξηήζεσλ f θαη είλαη ζπκκεηξηθέο σο πξνο ηελ επζεία πνπ δηρνηνκεί ηηο γσλίεο θαη ΥΟΛΗΑ -Λ Η εμίζσζε, f ( ) επαιεζεχεηαη κφλν απφ ηα ζεκεία ηεο C f Δπνκέλσο, ε f ( ) είλαη ε εμίζσζε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f Δπεηδή θάζε A αληηζηνηρίδεηαη ζε έλα κφλν R, δελ ππάξρνπλ ζεκεία ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f κε ηελ ίδηα ηεηκεκέλε 3 θάζε θαηαθφξπθε επζεία έρεη κε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f ην πνιχ έλα θνηλφ ζεκείν (ρ 7α) C = M(α,β) C f 37 M (β,α) C f Α (a) 4

5 4 Οθχθινο δελ απνηειεί γξαθηθή παξάζηαζε ζπλάξηεζεο (ρ 7β) 7 C (β) 5 Οηαλ δίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε C f κηαο ζπλάξηεζεο f, ηφηε: α) Σν πεδίν νξηζκνχ ηεο f είλαη ην ζχλνιν Α ησλ ηεηκεκέλσλ ησλ ζεκείσλ ηεο C f β) Σν ζχλνιν ηηκψλ ηεο f είλαη ην ζχλνιν f( A ) ησλ ηεηαγκέλσλ ησλ ζεκείσλ ηεο C f γ) Η ηηκή ηεο f ζην A είλαη ε ηεηαγκέλε ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ηεο επζείαο θαη ηεο C f (ρ 8) = 8 C f f(α) C f f( ) C f A(,f( )) Α (α) (β) (γ) 6Η γξαθηθή παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο f είλαη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλα, ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f, γηαηί απνηειείηαη απφ ηα ζεκεία M(, f ( )) πνπ είλαη ζπκκεηξηθά ησλ M (, f ( )), σο πξνο ηνλ άμνλα (ρ 9) Μ(,f()) Μ (,f()) 9 =f() =f() 7 Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f απνηειείηαη απφ ηα ηκήκαηα ηεο C πνπ βξίζθνληαη πάλσ απφ ηνλ άμνλα f θαη απφ ηα ζπκκεηξηθά, σο πξνο ηνλ άμνλα, ησλ ηκεκάησλ ηεο C πνπ βξίζθνληαη θάησ απφ ηνλ άμνλα απηφλ (ρ ) f = f() =f() 5

6 8 Σν πεδίν νξηζκνχ ηεο gof απνηειείηαη απφ φια ηα ζηνηρεία ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο f γηα ηα νπνία ην f( ) αλήθεη ζην πεδίν νξηζκνχ ηεο g Γειαδή είλαη ην ζχλνιν A { A f ( ) B} A A f f(a) f() g f B g g(b) g( f()) Δίλαη θαλεξφ φηη ε gof νξίδεηαη αλ A, δειαδή αλ f ( A) B Δ4-Δ5-Δ Γεληθά, αλ f, g είλαη δχν ζπλαξηήζεηο θαη νξίδνληαη νη gof θαη fog, ηφηε απηέο δ ε λ ε ί λ α η π π ν ρ ξ ε ω η η θ ά ίζεο Αλ f, g, h είλαη ηξεηο ζπλαξηήζεηο θαη νξίδεηαη ε ho( gof ), ηφηε νξίδεηαη θαη ε ( hog) of θαη ηζρχεη ho( gof ) ( hog) of Σε ζπλάξηεζε απηή ηε ιέκε ζχλζεζε ησλ f, g θαη h θαη ηε ζπκβνιίδνπκε κε hogof Η ζχλζεζε ζπλαξηήζεσλ γεληθεχεηαη θαη γηα πεξηζζφηεξεο απφ ηξεηο ζπλαξηήζεηο Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο αχμνπζα ή γλεζίσο θζίλνπζα ζ έλα δηάζηεκα Γ ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο, ηφηε ιέκε φηη ε f είλαη γλεζίσο κνλόηνλε ζην Δ ηελ πεξίπησζε πνπ ην πεδίν νξηζκνχ ηεο f είλαη έλα δηάζηεκα Γ θαη ε f είλαη γλεζίσο κνλφηνλε ζ απηφ, ηφηε ζα ιέκε, απιψο, φηη ε f είλαη γλεζίσο κνλφηνλε 6

7 3 8Λ Η ζπλάξηεζε f ( ) εκ (ρ ε) παξνπζηάδεη κέγηζην, ην, ζε θαζέλα απφ ηα ζεκεία π kπ, k Z θαη ειάρηζην, ην, ζε π θαζέλα απφ ηα ζεκεία kπ, k Z, αθνχ εκ γηα θάζε R π/ π/ π (ε) 3π/ =εκ π 5π/ 4 Άιιεο ζπλαξηήζεηο παξνπζηάδνπλ κφλν κέγηζην, άιιεο κφλν ειάρηζην, άιιεο θαη κέγηζην θαη ειάρηζην θαη άιιεο νχηε κέγηζην νχηε ειάρηζην 5 Σν (νιηθφ) κέγηζην θαη ην (νιηθφ) ειάρηζην κηαο ζπλάξηεζεο f ιέγνληαη (νιηθά) αθξόηαηα ηεο f 6 Δ3 Λ Μηα ζπλάξηεζε f : A R είλαη ζπλάξηεζε, αλ θαη κφλν αλ γηα νπνηαδήπνηε, A ηζρχεη ε ζπλεπαγσγή: αλ f ( ) f ( ), ηφηε Δεν είναι αστός ο ορισμός της «-» σσνάρτησης 7 Δ6--6 Γηα θάζε ζηνηρείν ηνπ ζπλφινπ ηηκψλ ηεο ε εμίζσζε f ( ) έρεη αθξηβψο κηα ιχζε σο πξνο 8 Γελ ππάξρνπλ ζεκεία ηεο γξαθηθήο ηεο παξάζηαζεο κε ηελ ίδηα ηεηαγκέλε Απηφ ζεκαίλεη φηη θάζε νξηδφληηα επζεία ηέκλεη ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f ην πνιχ ζε έλα ζεκείν (ρ) σςνάπτηση - 7

8 9 Απφ ηνλ ηξφπν πνπ νξίζηεθε ε αληίζηξνθε f - πξνθχπηεη φηη: έρεη πεδίν νξηζκνχ ην ζχλνιν ηηκψλ f( A ) ηεο f, έρεη ζχλνιν ηηκψλ ην πεδίν νξηζκνχ Α ηεο f θαη ηζρχεη ε ηζνδπλακία: f ( ) f ( ) 8Λ Προσοτή ποσ ανήκοσν κάθε υορά τα, ( ( )), θαη ( ( )), ( ) Η αληίζηξνθε ηεο εθζεηηθήο ζπλάξηεζεο f( ),, είλαη ε ινγαξηζκηθή ζπλάξηεζε g( ) log πλεπψο a a log, R θαη log a a, (, ) ΥΟΛΗΑ- ΑΝΣΗΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑΣΑ Α-Φ, -Λ Έζησ ηψξα f, g δχν ζπλαξηήζεηο κε πεδία νξηζκνχ Α, Β αληηζηνίρσο θαη Γ έλα ππνζχλνιν ησλ Α θαη Β Αλ γηα θάζε Γ ηζρχεη f ( ) g( ), ηφηε ιέκε φηη νη ζπλαξηήζεηο f θαη g είλαη ίζεο ζην ζύλνιν Γ (ρ ) Ο Γ B A Οη ζπλαξηήζεηο f( ) θαη g ( ), είλαη ίζεο Α-Φ 8

9 νη ζπλαξηήζεηο f( ) Φεπδέο δηόηη θαη g ( ), πνπ έρνπλ πεδία νξηζκνχ ηα ζχλνια AR {} θαη BR {} αληηζηνίρσο, είλαη ίζεο κόλν ζην ζχλνιν Γ R {, }, αθνχ γηα θάζε Γ ηζρχεη f ( ) g( ) Δ9-Δ3-Λ-Δ8Λ-ΔΛ- 8ΑΦ Κάζε ζπλάξηεζε πνπ είλαη είλαη γλεζίσο κνλφηνλε Α-Φ Φεπδέο δηόηη Αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη γλεζίσο κνλφηνλε, ηφηε πξνθαλψο, είλαη ζπλάξηεζε " " Έηζη, νη ζπλαξηήζεηο f ( ) α β, 3 α, f ( ) α, α, ( ) f3 α, α θαη f ( ) log 4 α, α, είλαη ζπλαξηήζεηο Τπάξρνπλ, φκσο, ζπλαξηήζεηο πνπ είλαη αιιά δελ είλαη γλεζίσο κνλφηνλεο, φπσο γηα παξάδεηγκα ε ζπλάξηεζε, g ( ) (ρ 34), =g() ΟΡΗΜΟΗ-ΘΔΧΡΖΜΑΣΑ «ΜΔ ΟΝΟΜΑΣΔΠΧΝΤΜΟ» Κξηηήξην παξεκβνιήο Τπνζέηνπκε φηη θνληά ζην κηα ζπλάξηεζε f εγθισβίδεηαη (ρ 5) αλάκεζα 9

10 ζε δχν ζπλαξηήζεηο h θαη g Αλ, θαζψο ην ηείλεη ζην, νη g θαη h έρνπλ θνηλφ φξην, ηφηε, φπσο θαίλεηαη θαη ζην ζρήκα, ε f ζα έρεη ην ίδην φξην Απηφ δίλεη ηελ ηδέα ηνπ παξαθάησ ζεσξήκαηνο πνπ είλαη γλσζηφ σο θξηηήξην παξεκβνιήο ΚΡΗΣΖΡΗΟ ΠΑΡΔΜΒΟΛΖ Έζησ νη ζπλαξηήζεηο f, g, h Αλ θαη h( ) f ( ) g( ) θνληά ζην ηφηε lim f( ) lim h( ) lim g( ), ΓΗΑΣΤΠΧΖ Δ6 C g C f C h 5 α β ΑΠΟΓΔΗΞΔΗ Έζησ ηψξα ην πνιπψλπκν λ λ P ( ) αλ αλ α α θαη R χκθσλα κε ηηο ηδηφηεηεο έρνπκε: λ lim P ( ) lim( α α α ) λ λ λ lim( α ) lim( α ) lim α λ λ λ λ α lim α lim lim α λ λ λ λ α α α P( ) λ λ λ λ Δπνκέλσο, lim P ( ) P ( )

11 P ( ) 3 Έζησ ε ξεηή ζπλάξηεζε f( ), φπνπ P, ( ) Q ( ) πνιπψλπκα ηνπ Q ( ) θαη R κε Q ( ) Σφηε, Δπνκέλσο, P( ) lim P ( ) P( ) lim f( ) lim Q ( ) lim Q ( ) Q ( ) P( ) P( ), εθφζνλ lim Q ( ) Q ( ) Q ( ) ΥΟΛΗΑ -Λ Όηαλ νη ηηκέο κηαο ζπλάξηεζεο f πξνζεγγίδνπλ φζν ζέινπκε έλαλ πξαγκαηηθφ αξηζκφ, θαζψο ην πξνζεγγίδεη κε νπνηνλδήπνηε ηξφπν ηνλ αξηζκφ, ηφηε γξάθνπκε lim f( ) θαη δηαβάδνπκε ην φξην ηεο f( ), φηαλ ην ηείλεη ζην, είλαη f () ην φξην ηεο f( ) ζην είλαη f() f() ή 39 f ( ) f () f() f() (a) f( ) (β) (γ) Απφ ηα παξαπάλσ ζρήκαηα παξαηεξνχκε φηη: 3 Γηα λα αλαδεηήζνπκε ην φξην ηεο f ζην, πξέπεη ε f λα νξίδεηαη φζν ζέινπκε θνληά ζην, δειαδή ε f λα είλαη νξηζκέλε ζ έλα ζχλνιν ηεο κνξθήο ( α, ) (, β) ή ( α, ) ή (, β )

12 4 Σν κπνξεί λα αλήθεη ζην πεδίν νξηζκνχ ηεο ζπλάξηεζεο (ρ 39α, 39β) ή λα κελ αλήθεη ζ απηφ (ρ 39γ) 5 Η ηηκή ηεο f ζην, φηαλ ππάξρεη, κπνξεί λα είλαη ίζε κε ην φξηφ ηεο ζην (ρ 39α) ή δηαθνξεηηθή απφ απηφ (ρ 39β) 6- Οηαλ νη ηηκέο κηαο ζπλάξηεζεο f πξνζεγγίδνπλ φζν ζέινπκε ηνλ πξαγκαηηθφ αξηζκφ, θαζψο ην πξνζεγγίδεη ην απφ κηθξφηεξεο ηηκέο ( ), ηφηε γξάθνπκε: lim f( ) θαη δηαβάδνπκε: ην φξην ηεο f( ), φηαλ ην ηείλεη ζην απφ ηα αξηζηεξά, είλαη Οηαλ νη ηηκέο κηαο ζπλάξηεζεο f πξνζεγγίδνπλ φζν ζέινπκε ηνλ πξαγκαηηθφ αξηζκφ, θαζψο ην πξνζεγγίδεη ην απφ κεγαιχηεξεο ηηκέο ( ), ηφηε γξάθνπκε: lim f( ) θαη δηαβάδνπκε: ην φξην ηεο f( ), φηαλ ην ηείλεη ζην απφ ηα απφ ηα δεμηά, είλαη 7 4Λ f( ) 4 f() f() f() f() Σνπο αξηζκνχο (a) lim f ( ) θαη f() (β) f() (γ) lim f ( ) ηνπο ιέκε πιεπξηθά όξηα ηεο f ζην θαη ζπγθεθξηκέλα ην αξηζηεξό όξην ηεο f ζην, ελψ ην δεμηό όξην ηεο f ζην Απφ ηα παξαπάλσ ζρήκαηα θαίλεηαη φηη: lim f( ), αλ θαη κφλν αλ lim f ( ) lim f ( ) 8 Απνδεηθλχεηαη φηη, αλ κηα ζπλάξηεζε f έρεη φξην ζην, ηφηε απηφ είλαη κνλαδηθό θαη ζπκβνιίδεηαη, φπσο είδακε, κε lim f( )

13 9 Δ8Λ lim f( ) lim( f( ) ) 3 lim f( ) lim f ( h) h 3 Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη νξηζκέλε ζε έλα ζχλνιν ηεο κνξθήο ( α, ) (, β), ηφηε ηζρχεη ε ηζνδπλακία: lim f( ) lim f ( ) lim f ( ) 3 Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη νξηζκέλε ζε έλα δηάζηεκα ηεο κνξθήο (, β ), αιιά δελ νξίδεηαη ζε δηάζηεκα ηεο κνξθήο ( α, ), ηφηε νξίδνπκε: lim f ( ) lim f ( ) 44 33Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη νξηζκέλε ζε έλα δηάζηεκα ηεο κνξθήο ( α, ), αιιά δελ νξίδεηαη ζε δηάζηεκα ηεο κνξθήο (, β ), ηφηε νξίδνπκε: 45 lim f ( ) lim f ( ) 34 Απνδεηθλχεηαη φηη ην lim f( ) είλαη αλεμάξηεην ησλ άθξσλ αβ, ησλ δηαζηεκάησλ ( α, ) θαη (, β ) ζηα νπνία ζεσξνχκε φηη είλαη νξηζκέλε ε f Έηζη γηα παξάδεηγκα, αλ ζέινπκε λα βξνχκε ην φξην ηεο ζπλάξηεζεο f( ) ζην, πεξηνξηδφκαζηε ζην ππνζχλνιν (, ) (, ) ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο, ζην νπνίν απηή παίξλεη ηε κνξθή ( ) f( ) = = 46 3

14 Δπνκέλσο, φπσο θαίλεηαη θαη απφ ην δηπιαλφ ζρήκα, ην δεηνχκελν φξην είλαη lim f( ) 35 ηε ζπλέρεηα, φηαλ ιέκε φηη κηα ζπλάξηεζε f έρεη θνληά ζην κηα ηδηφηεηα Ρ ζα ελλννχκε φηη ηζρχεη κηα απφ ηηο παξαθάησ ηξεηο ζπλζήθεο: α) Η f είλαη νξηζκέλε ζε έλα ζχλνιν ηεο κνξθήο ( α, ) (, β) θαη ζην ζχλνιν απηφ έρεη ηελ ηδηφηεηα Ρ β) Η f είλαη νξηζκέλε ζε έλα ζχλνιν ηεο κνξθήο ( α, ), έρεη ζ απηφ ηελ ηδηφηεηα Ρ, αιιά δελ νξίδεηαη ζε ζχλνιν ηεο κνξθήο (, β ) γ) Η f είλαη νξηζκέλε ζε έλα ζχλνιν ηεο κνξθήο (, β ), έρεη ζ απηφ ηελ ηδηφηεηα Ρ, αιιά δελ νξίδεηαη ζε ζχλνιν ηεο κνξθήο ( α, ) εκ Γηα παξάδεηγκα, ε ζπλάξηεζε f( ) είλαη ζεηηθή θνληά ζην, π π αθνχ νξίδεηαη ζην ζχλνιν,, θαη είλαη ζεηηθή ζε απηφ 37 lim f() f( )= f() lim c c =c 47 = (a) (β) 38 Λ-6Λ Αλ lim f( ), C f ηφηε f( ) θνληά ζην (ρ α) α β (a) Λ-3Λ Αλ lim f( ), ηφηε f( ) θνληά ζην (ρ 48β) 4 C f α β (β)

15 4 Δ5Λ-6Λ Αλ νη ζπλαξηήζεηο f, g έρνπλ φξην ζην θαη ηζρχεη f ( ) g( ) θνληά ζην, ηφηε lim f ( ) lim g( ) 4 Αλ ππάξρνπλ ηα φξηα ησλ ζπλαξηήζεσλ f θαη g ζην, ηφηε: 5Λ 3 lim( f ( ) g( )) lim f ( ) lim g( ) lim( θf ( )) θ lim f ( ), γηα θάζε ζηαζεξά θ R lim( f ( ) g( )) lim f ( ) lim g( ) f( ) lim f( ) 4 lim, εθφζνλ g ( ) lim g ( ) lim g ( ) 5 lim f ( ) lim f ( ) 6 Δ4Λ lim k f ( ) k lim f ( ), εθφζνλ f( ) θνληά ζην 4 Οη ηδηφηεηεο θαη 3 ηνπ ζεσξήκαηνο ηζρχνπλ θαη γηα πεξηζζφηεξεο απφ δπν ζπλαξηήζεηο Άκεζε ζπλέπεηα απηνχ είλαη: λ lim[ f ( )] lim f ( ), * λ N λ 43 lim λ λ 44 3Λ εκ, γηα θάζε R (ε ηζφηεηα ηζρχεη κφλν φηαλ ) 5

16 45 46 lim εκ εκ lim ζπλ ζπλ 47 Λ εκ lim 489Λ-3Λ-Δ6Λ-8Λ ζπλ lim ΥΟΛΗΑ- ΑΝΣΗΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑΣΑ Α-Φ, -Λ 3 Η ζπλάξηεζε f( ) (ρ 4) έρεη φξην ζην Α-Φ Φεπδέο δηόηη Η ζπλάξηεζε f( ) (ρ 4) δελ έρεη φξην ζην, αθνχ γηα είλαη f( ), νπφηε lim f( ), ελψ γηα είλαη f( ), νπφηε θαη έηζη lim f( ), lim f ( ) lim f ( ) 4 f()= = f() 6

17 Γηα παξάδεηγκα, νπφηε Δπεηδή έρνπκε: ΒΑΗΚΖ ΑΚΖΖ-ΔΦΑΡΜΟΓΔ limεκ Πξάγκαηη, γηα έρνπκε εκ εκ, εκ lim( ) lim, ζχκθσλα κε ην παξαπάλσ θξηηήξην, limεκ 6-7 ΟΡΗΜΟΗ-ΘΔΧΡΖΜΑΣΑ «ΜΔ ΟΝΟΜΑΣΔΠΧΝΤΜΟ» 3 ΟΡΗΜΟ ΑΚΟΛΟΤΘΗΑ Αθνινπζία νλνκάδεηαη θάζε πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε * : R 4 ΟΡΗΜΟ ΟΡΗΟΤ ΑΚΟΛΟΤΘΗΑ Θα ιέκε φηη ε αθνινπζία ( ) έρεη φξην ην R θαη ζα γξάθνπκε * lim, φηαλ γηα θάζε, ππάξρεη N ηέηνην, ψζηε γηα θάζε λα ηζρχεη 7

18 ΥΟΛΗΑ -Λ Όπσο ζηελ πεξίπησζε ησλ πεπεξαζκέλσλ νξίσλ έηζη θαη γηα ηα άπεηξα φξηα ζπλαξηήζεσλ, πνπ νξίδνληαη ζε έλα ζύλνιν ηεο κνξθήο (, ) (, ), ηζρχνπλ νη παξαθάησ ηζνδπλακίεο: lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) 49 5 lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) Με ηε βνήζεηα ηνπ νξηζκνχ απνδεηθλχνληαη νη παξαθάησ ηδηφηεηεο: 5 Λ Αλ 5 Δ5Λ αλ 53 Αλ lim f( ) lim f( ) lim f( ), ηφηε 54 Δ3Λ αλ 55 ΔΛ Αλ, ηφηε f( ) θνληά ζην, ελψ, ηφηε f( ) θνληά ζην lim( f( )), ελψ lim f( ), ηφηε lim f( ) ή, ηφηε 56 5Λ- ΔΛ-5Λ Αλ lim( f( )) lim ( ) f lim f( ) θαη f( ) θνληά ζην, ηφηε lim f ( ), ελψ 57 Δ9Λ αλ lim f ( ) lim f( ) θαη f( ) θνληά ζην, ηφηε 8

19 58Αλ lim f( ) ή, ηφηε lim f( ) 59 Αλ lim f( ), ηφηε lim k f( ) χκθσλα κε ηηο ηδηφηεηεο απηέο έρνπκε: lim θαη γεληθά lim, 6 * N (ρ 57α) 57 (α) (β) 6 lim θαη γεληθά lim Δλψ, lim θαη γεληθά lim, (ρ 57β) Δπνκέλσο, δελ ππάξρεη ζην κεδέλ ην φξην ηεο f( ), Γηα ηα φξηα αζξνίζκαηνο θαη γηλνκέλνπ δχν ζπλαξηήζεσλ απνδεηθλχνληαη ηα παξαθάησ ζεσξήκαηα: 6ΘΔΧΡΖΜΑ ν (όξην αζξνίζκαηνο) Αλ ζην R ην φξην ηεο f είλαη: αr αr - - θαη ην φξην ηεο g είλαη: ηφηε ην φξην ηεο f g είλαη: ; ; 9

20 63 ΘΔΧΡΖΜΑ ν (όξην γηλνκέλνπ) Αλ ζην R, ην φξην ηεο f είλαη: θαη ην φξην ηεο g είλαη: ηφηε ην φξην ηεο f g είλαη: α> α< α> α< ; ; ηνπο πίλαθεο ησλ παξαπάλσ ζεσξεκάησλ, φπνπ ππάξρεη εξσηεκαηηθφ, ζεκαίλεη φηη ην φξην (αλ ππάξρεη) εμαξηάηαη θάζε θνξά απφ ηηο ζπλαξηήζεηο πνπ παίξλνπκε ηηο πεξηπηψζεηο απηέο ιέκε φηη έρνπκε απξνζδηόξηζηε κνξθή 64 7Λ Aπξνζδηφξηζηεο κνξθέο γηα ηα φξηα αζξνίζκαηνο θαη γηλνκέλνπ ζπλαξηήζεσλ είλαη νη: ( ) ( ) θαη ( ) 65 Δπεηδή f g f ( g) θαη f f, απξνζδηφξηζηεο κνξθέο γηα ηα g g φξηα ηεο δηαθνξάο θαη ηνπ πειίθνπ ζπλαξηήζεσλ είλαη νη: ( ) ( ), ( ) ( ) θαη, 66 Όηαλ ην ην απμάλεηαη απεξηφξηζηα κε νπνηνλδήπνηε ηξφπν θαη ην f( ) πξνζεγγίδεη φζν ζέινπκε ηνλ πξαγκαηηθφ αξηζκφ ηελ πεξίπησζε απηή ιέκε φηη ε f έρεη ζην φξην ην θαη γξάθνπκε lim f( )

21 67 Όηαλ ην ην απμάλεηαη απεξηφξηζηα κε νπνηνλδήπνηε ηξφπν θαη ην g ( ) απμάλεηαη απεξηφξηζηα ηελ πεξίπησζε απηή ιέκε φηη ε g έρεη ζην φξην ην θαη γξάθνπκε lim g ( ) 68 Όηαλ ην ην απμάλεηαη απεξηφξηζηα κε νπνηνλδήπνηε ηξφπν θαη ην h ( ) κεηψλεηαη απεξηφξηζηα ηελ πεξίπησζε απηή ιέκε φηη ε h έρεη ζην φξην ην θαη γξάθνπκε lim h ( ) 69Γηα λα αλαδεηήζνπκε ην φξην κηαο ζπλάξηεζεο f ζην, πξέπεη ε f λα είλαη νξηζκέλε ζε δηάζηεκα ηεο κνξθήο (, ) Αλάινγνη νξηζκνί κπνξνχλ λα δηαηππσζνχλ, φηαλ γηα κηα ζπλάξηεζε πνπ είλαη νξηζκέλε ζε δηάζηεκα ηεο κνξθήο (, ) Δηζη, γηα ηηο ζπλαξηήζεηο f, g, h ησλ παξαθάησ ζρεκάησλ έρνπκε: C f lim f ( ) (α) f() lim g( ) Cg g() (β) + θαη lim h( ) Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ νξίνπ ζην ή ελφο κεγάινπ αξηζκνχ ζπλαξηήζεσλ ρξεηαδφκαζηε ηα παξαθάησ βαζηθά φξηα: 7 lim * θαη C h (γ) h() lim, * 59 7 lim, αλ άξηηνο -, αλ πεξηηηόο θαη lim, * 7 Γηα ηελ πνιπσλπκηθή ζπλάξηεζε ηζρχεη: P( ), κε lim P( ) lim ( ) θαη lim P( ) lim ( )

22 73Γηα ηε ξεηή ζπλάξηεζε ηζρχεη: lim f( ) lim f( ) θαη lim f( ) lim,, 74 Αλ (ρ 6), ηφηε lim 7Λ 6 lim limlog, =a =log a lim log 75 Αλ (ρ 6), ηφηε =a 6 lim, 7Λ lim ΔΛ limlog, =log a lim log

23 ΥΟΛΗΑ- ΑΝΣΗΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑΣΑ Α-Φ, -Λ 4 Δ8ΑΦ Αλ f f f g lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) Α-Φ Φεπδέο δηόηη αλ πάξνπκε ηηο ζπλαξηήζεηο f( ) θαη g ( ), ηφηε έρνπκε: lim f( ) lim Καη lim( f ( ) g( )) lim, lim g ( ) lim ελψ, αλ πάξνπκε ηηο ζπλαξηήζεηο f( ) θαη g ( ), ηφηε έρνπκε: lim f( ) lim, lim g ( ) lim θαη lim( f ( ) g( )) lim lim 8 ΟΡΗΜΟΗ-ΘΔΧΡΖΜΑΣΑ «ΜΔ ΟΝΟΜΑΣΔΠΧΝΤΜΟ» 3

24 5 ΟΡΗΜΟ ΤΝΔΥΔΗΑ ΣΟ Δ9-5 Δζησ κηα ζπλάξηεζε f θαη έλα ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο Θα ιέκε φηη ε f είλαη ζπλερήο ζην, φηαλ lim f ( ) f ( ) 6 ΟΡΗΜΟ ΤΝΔΥΔΗΑ ΣΟ ΠΔΓΗΟ ΟΡΗΜΟΤ ΣΖ Μία ζπλάξηεζε f πνπ είλαη ζπλερήο ζε φια ηα ζεκεία ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο, ζα ιέγεηαη, απιά, ζπλερήο ζπλάξηεζε 7ΟΡΗΜΟ ΤΝΔΥΔΗΑ Δ ΑΝΟΗΚΣΟ ΓΗΑΣΖΜΑ Δ4-8 Μηα ζπλάξηεζε f ζα ιέκε φηη είλαη ζπλερήο ζε έλα αλνηθηό δηάζηεκα (, ), φηαλ είλαη ζπλερήο ζε θάζε ζεκείν ηνπ (, ) 8ΟΡΗΜΟ ΤΝΔΥΔΗΑ Δ ΚΛΔΗΣΟ ΓΗΑΣΖΜΑ -7 Μηα ζπλάξηεζε f ζα ιέκε φηη είλαη ζπλερήο ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα [, ], φηαλ είλαη ζπλερήο ζε θάζε ζεκείν ηνπ (, ) θαη επηπιένλ lim f ( ) f ( ) θαη lim f ( ) f ( ) 9ΘΔΧΡΖΜΑ BLZAN 5Λ-Δ7ΠΔΠ Έζησ κηα ζπλάξηεζε f, νξηζκέλε ζε έλα θιεηζηφ δηάζηεκα [, ] Αλ: ε f είλαη ζπλερήο ζην [, ] θαη, επηπιένλ, ηζρχεη f( ) f( ), ηφηε ππάξρεη έλα, ηνπιάρηζηνλ, (, ) ηέηνην, ψζηε f( ) Γειαδή, ππάξρεη κηα, ηνπιάρηζηνλ, ξίδα ηεο εμίζσζεο f( ) ζην αλνηθηφ δηάζηεκα (, ) ΘΔΧΡΖΜΑ ΔΝΓΗΑΜΔΧΝ ΣΗΜΧΝ Έζησ κηα ζπλάξηεζε f, ε νπνία είλαη νξηζκέλε ζε έλα θιεηζηφ δηάζηεκα [, ] Αλ: 4

25 ε f είλαη ζπλερήο ζην [, ] θαη f( ) f( ) ηφηε, γηα θάζε αξηζκφ ε κεηαμχ ησλ f ( ) θαη f ( ) ππάξρεη έλαο, ηνπιάρηζηνλ (, ) ηέηνηνο, ψζηε f( ) ΘΔΧΡΖΜΑ ΜΔΓΗΣΖ ΚΑΗ ΔΛΑΥΗΣΖ ΣΗΜΖ Λ-6Λ Αλ f είλαη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζην [, ], ηφηε ε f παίξλεη ζην [, ] κηα κέγηζηε ηηκή Μ θαη κηα ειάρηζηε ηηκή m (ρ 69δ) Γειαδή, ππάξρνπλ, [, ] ηέηνηα, ψζηε, αλ m f ( ) θαη M f ( ), λα ηζρχεη: ( ), γηα θάζε [, ] ΑΠΟΓΔΗΞΔΗ 4 ΘΔΧΡΖΜΑ ΔΝΓΗΑΜΔΧΝ ΣΗΜΧΝ 5-5 Έζησ κηα ζπλάξηεζε f, ε νπνία είλαη νξηζκέλε ζε έλα θιεηζηφ δηάζηεκα [, ] Αλ: ε f είλαη ζπλερήο ζην [, ] θαη f( ) f( ) ηφηε, γηα θάζε αξηζκφ ε κεηαμχ ησλ f ( ) θαη f ( ) ππάξρεη έλαο, ηνπιάρηζηνλ (, ) ηέηνηνο, ψζηε f( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αο ππνζέζνπκε φηη f( ) f( ) Σφηε ζα ηζρχεη f( ) f( ) (ρ 67) Αλ ζεσξήζνπκε ηε ζπλάξηεζε g( ) f ( ), [, ], παξαηεξνχκε φηη: ε g είλαη ζπλερήο ζην [, ] θαη 67 g( ) g( ), f(β) B(β,f(β)) αθνχ η g( ) f( ) θαη =η g( ) f( ) f(a) Δπνκέλσο, ζχκθσλα κε ην ζεψξεκα ηνπ Bolzano, ππάξρεη (, ) ηέηνην, ψζηε Α(α,f(α)) a β 5

26 g( ) f ( ), νπφηε f( ) ΓΔΧΜΔΣΡΗΚΖ ΔΡΜΖΝΔΗΑ ΠΡΟΣΑΔΧΝ -ΘΔΧΡΖΜΑΣΧΝ Θεώξεκα ηνπ Bolzano ην δηπιαλφ ζρήκα έρνπκε ηε γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ζπλερνχο ζπλάξηεζεο f ζην [, ] Δπεηδή ηα ζεκεία A(, f( )) θαη B(, f( )) βξίζθνληαη εθαηέξσζελ ηνπ άμνλα, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f ηέκλεη ηνλ άμνλα ζε έλα ηνπιάρηζηνλ ζεκείν f(β) a β f(a) Α(α,f(α)) 64 B(β,f(β)) ΥΟΛΗΑ -Λ Μηα ζπλάξηεζε f δελ είλαη ζπλερήο ζε έλα ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο φηαλ: 76 Γελ ππάξρεη ην φξηφ ηεο ζην ή 77 Τπάξρεη ην φξηφ ηεο ζην, αιιά είλαη δηαθνξεηηθφ απφ ηελ ηηκή ηεο, f( ), ζην ζεκείν 78 Κάζε πνιπσλπκηθή ζπλάξηεζε Ρ είλαη ζπλερήο, αθνχ γηα θάζε R ηζρχεη lim P ( ) P ( ) 79Κάζε ξεηή ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο, αθνχ γηα θάζε ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο ηζρχεη 6

27 P( ) P( ) lim Q ( ) Q ( ) 8 Οη ζπλαξηήζεηο ( ) εκ θαη ( ) ζπλ είλαη ζπλερείο, αθνχ γηα θάζε R ηζρχεη lim εκ εκ θαη lim ζπλ ζπλ 8 Οη ζπλαξηήζεηο ( ) θαη ( ) log, είλαη ζπλερείο 8 Αλ νη ζπλαξηήζεηο f θαη g είλαη ζπλερείο ζην, ηφηε είλαη ζπλερείο ζην θαη νη ζπλαξηήζεηο: f f g, c f, φπνπ c R, f g, g, f θαη f κε ηελ πξνϋπόζεζε όηη νξίδνληαη ζε έλα δηάζηεκα πνπ πεξηέρεη ην Γηα παξάδεηγκα: Οη ζπλαξηήζεηο ( ) εθ θαη ( ) ζθ είλαη ζπλερείο σο πειίθα ζπλερψλ ζπλαξηήζεσλ Η ζπλάξηεζε f ( ) 3 είλαη ζπλερήο ζην πεδίν νξηζκνχ ηεο,, αθνχ ε ζπλάξηεζε ( ) 3 3 g είλαη ζπλερήο Η ζπλάξηεζε f ( ) εκ είλαη ζπλερήο, αθνχ είλαη ηεο κνξθήο f ( ) g( ), φπνπ g( ) εκ ε νπνία είλαη ζπλερήο ζπλάξηεζε σο γηλφκελν ησλ ζπλερψλ ζπλαξηήζεσλ f ( ) θαη f ( ) εκ 83 7Λ Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην θαη ε ζπλάξηεζε g είλαη ζπλερήο ζην f( ), ηφηε ε ζχλζεζή ηνπο gof είλαη ζπλερήο ζην Απφ ην ζεψξεκα ηνπ Bolzano πξνθχπηεη φηη: 84 5Λ-Δ3Λ Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζε έλα δηάζηεκα Γ θαη δε κεδελίδεηαη ζ απηφ, ηφηε απηή ή είλαη ζεηηθή γηα θάζε ή είλαη αξλεηηθή γηα θάζε, δειαδή δηαηεξεί πξφζεκν ζην δηάζηεκα Γ (ρ 65) 7

28 65 f()> a β a f()< β 85 8Λ-3Λ (α) Μηα ζπλερήο ζπλάξηεζε f δηαηεξεί πξφζεκν ζε θαζέλα απφ ην δηαζηήκαηα ζηα νπνία νη δηαδνρηθέο ξίδεο ηεο f ρσξίδνπλ ην πεδίν νξηζκνχ ηεο (β) 86 Σν Θεψξεκα ελδηάκεζσλ ηηκψλ απνηειεί γελίθεπζε ηνπ ζεσξήκαηνο ηνπ Bolzano 87 Αλ κηα ζπλάξηεζε f δελ είλαη ζπλερήο ζην δηάζηεκα [, ], ηφηε, φπσο θαίλεηαη θαη ζην παξαθάησ ζρήκα, δελ παίξλεη ππνρξεσηηθά φιεο ηηο ελδηάκεζεο ηηκέο f(β) ε 68 =ε f(a) a β Με ηε βνήζεηα ηνπ ζεσξήκαηνο ελδηακέζσλ ηηκψλ απνδεηθλχεηαη φηη: 88 Η εηθφλα f ( ) ελφο δηαζηήκαηνο Γ κέζσ κηαο ζπλερνχο θαη κε ζηαζεξήο ζπλάξηεζεο f είλαη δηάζηεκα 69 ( ) a β (α) ( ) a β (β) 8

29 Μ [ ) a β (γ) m Μ m [ ] a β (δ) 89 Σν ζύλνιν ηηκώλ κηαο ζπλερνχο ζπλάξηεζεο f κε πεδίν νξηζκνχ ην [, ] είλαη ην θιεηζηφ δηάζηεκα [, ], φπνπ m ε ειάρηζηε ηηκή θαη Μ ε κέγηζηε ηηκή ηεο Γηα παξάδεηγκα, ε ζπλάξηεζε f ( ) εκ, [, ] έρεη ζχλνιν ηηκψλ ην [, ], αθνχ είλαη ζπλερήο ζην [, ] κε m θαη M 3π/ π/ π π 7 Σέινο, απνδεηθλχεηαη φηη: 9 Δ7Λ Aλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα θαη ζπλερήο ζε έλα αλνηθηφ δηάζηεκα (, ), ηφηε ην ζχλνιν ηηκψλ ηεο ζην δηάζηεκα απηφ είλαη ην δηάζηεκα (, ) (ρ α), φπνπ lim f( ) θαη B lim f ( ) B A ( ) a β (α) 9 Λ Αλ, φκσο, ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα θαη ζπλερήο ζην (, ), ηφηε ην ζχλνιν ηηκψλ ηεο ζην δηάζηεκα απηφ είλαη ην δηάζηεκα ( BA, ) (ρ 7β) φπνπ 9 Α Β 7 ( ) a β (β)

30 lim f( ) θαη B lim f ( ) ΔΡΧΣΖΔΗ ΚΑΣΑΝΟΖΖ ε θαζεκηά από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο λα θπθιώζεηε ην γξάκκα Α, αλ ν ηζρπξηζκόο είλαη αιεζήο θαη ην γξάκκα Φ, αλ ν ηζρπξηζκόο είλαη ςεπδήο, αηηηνινγώληαο ζπγρξόλσο ηελ απάληεζή ζαο Αλ f ( ) ln θαη g( ) e, ηφηε α) * ( g f )( ), β) f g)( ) (, f ( ) Η Α Ψ Α Ψ Αλ lim l, ηφηε f ( ) A Ψ lim lim 3 Δίλαη lim lim lim A Ψ 4Αλ f ( ) γηα θάζε θαη ππάξρεη ην f ( ), ηφηε θαη αλάγθε lim f ( ) Α Ψ ημ lim 5Ιζρχεη: α) lim ημ β) Α Ψ 6 Αλ f ( ) θνληά ζην, ηφηε lim( f ( )) Α Ψ f, ( α, ) 7Αλ ( ) lim, ηφηε θαη αλάγθε ζα είλαη lim f ( ) Α Ψ 8 Αλ ππάξρεη ην ( f ( ) g( )), ηφηε είλαη ίζν κε f ( 6) g(6) Α Ψ lim 6 9 Αλ lim f ( ), ηφηε θαη αλάγθε ζα είλαη Α Ψ lim f ( ) ή lim f ( ) Α Ψ Αλ lim f ( ), ηφηε lim f ( ) Α Ψ 3

31 7 Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην θαη γηα 4 ηζρχεη f ( ) 4 f (4) είλαη ίζν κε Α Ψ, ηφηε ην Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην [,] θαη f ( ) 4, f ( ) 3, ηφηε ππάξρεη πξαγκαηηθφο αξηζκφο (,) ηέηνηνο, ψζηε f ( ) π Α Ψ Να θπθιώζεηε ηε ζσζηή απάληεζε ζε θαζεκηά από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο Αλ lim f ( ) l, lim g( ) m αλάγθε ζα είλαη:, m ΗΗ l, θαη f ( ) g( ) θνληά ζην, ηφηε θαη Α) l m Β) l m Γ) l m Γ) l m Δ) m l ( Σν φξην lim 3 ( ) ) 3 είλαη ίζν κε: Α) 8 Β) Γ) Γ) Δ) 8 3 Σν lim 3 3 είλαη ίζν κε: Α) Β) Γ) Γ) Δ) 4 Αλ ην Α) lim 3 3 Β) δελ ππάξρεη, ηφηε: Γ) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) ( ) f θαη Γ) ΗΗΗ g ( ) Απφ ηνπο Παξαθάησ ηζρπξηζκνχο ιάζνο είλαη ν: Α) ε g είλαη ζπλερήο ζην Β) ε f είλαη ζπλερήο ζην Γ) ε g έρεη δπν ζεκεία ζηα νπνία δελ είλαη ζπλερήο Γ) lim f ( ) Πνηα απφ ηα παξαθάησ φξηα είλαη θαιψο νξηζκέλα; 3

32 Α) lim 9 Γ) lim 3 3 Δ) lim[ln( )] Β) lim 9 Γ) lim 3 3 Σ) lim[ln( )] 3 Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f ε νπνία είλαη ζπλερήο ζην δηάζηεκα [,3] κε f ( ), f ( ) θαη f ( 3) Γ, Πνηνο απφ ηνπο παξαθάησ ηζρπξηζκνχο δελ πξνθχπηεη θαη αλάγθε απφ ηηο ππνζέζεηο; Α) Τπάξρεη (,3) ηέηνηνο, ψζηε ( ) Β) lim f ( ) 3 Γ) f ( ) f () lim Γ) [, ] f ( Γ) f Δ) Η κέγηζηε ηηκή ηεο f ζην [,3] είλαη ην θαη ε ειάρηζηε ηηκή ηεο ην ΚΔΦΑΛΑΗΟ - ΟΡΗΜΟΗ-ΘΔΧΡΖΜΑΣΑ «ΜΔ ΟΝΟΜΑΣΔΠΧΝΤΜΟ» ΟΡΗΜΟ ΤΝΑΡΣΖΖ ΘΔΖ Αο ζεσξήζνπκε έλα ζψκα πνπ θηλείηαη θαηά κήθνο ελφο άμνλα θαη αο ππνζέζνπκε φηη S S() t είλαη ε ηεηκεκέλε ηνπ ζψκαηνο απηνχ ηε ρξνληθή ζηηκή t A S(t ) S(t) M M =S(t) H ζπλάξηεζε S θαζνξίδεη ηε ζέζε ηνπ ζψκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή t θαη νλνκάδεηαη ζπλάξηεζε ζέζεο ηνπ θηλεηνχ 3 ΟΡΗΜΟ ΣΗΓΜΗΑΗΑ ΣΑΥΤΣΖΣΑ 3

33 ην ρξνληθφ δηάζηεκα απφ t έσο t ε κεηαηφπηζε ηνπ θηλεηνχ είλαη ίζε κε S( t) S( t) Άξα, ε κέζε ηαρύηεηα ηνπ θηλεηνχ ζ απηφ ην ρξνληθφ δηάζηεκα είλαη S( t) S( t) κεηαηφπηζε t t ρξφλνο απηφ ην φξην ηεο κέζεο ηαρχηεηαο, θαζψο ην t ηείλεη ζην t, ην νλνκάδνπκε ζηηγκηαία ηαρύηεηα ηνπ θηλεηνχ ηε ρξνληθή ζηηγκή t θαη ηε ζπκβνιίδνπκε κε ( t ) Γειαδή: S( t) S( t) ( t) lim t t t t 4 ΟΡΗΜΟ ΔΦΑΠΣΟΜΔΝΖ Έζησ f κηα ζπλάξηεζε θαη A(, f ( )) έλα ζεκείν ηεο C f Αλ ππάξρεη ην f ( ) f ( ) lim θαη είλαη έλαο πξαγκαηηθφο αξηζκφο ι, ηφηε νξίδνπκε σο εθαπηνκέλε ηεο C f ζην ζεκείν ηεο Α, ηελ επζεία ε πνπ δηέξρεηαη απφ ην Α θαη έρεη ζπληειεζηή δηεχζπλζεο ι Δπνκέλσο, ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ζην ζεκείν A(, f ( )) είλαη φπνπ ( ) ( ), f ( ) f ( ) lim 5 ΟΡΗΜΟ ΠΑΡΑΓΧΓΟΤ Δ ΖΜΔΗΟ4-9 Μηα ζπλάξηεζε f ιέκε φηη είλαη παξαγσγίζηκε ζ έλα ζεκείν νξηζκνχ ηεο, αλ ππάξρεη ην f ( ) f ( ) lim ηνπ πεδίνπ θαη είλαη πξαγκαηηθφο αξηζκφο Σν φξην απηφ νλνκάδεηαη παξάγσγνο ηεο f ζην θαη ζπκβνιίδεηαη κε ( ) Γειαδή: 33

34 f ( ) f ( ) f( ) lim ή ( ) ( ) ( ) lim ή Η ηειεπηαία ηζφηεηα νδήγεζε ην Leibniz λα ζπκβνιίζεη ηελ παξάγσγν ζην κε df ( ) d ή df ( ) d 6 ΟΡΗΜΟ ΠΑΡΑΓΧΓΗΜΟΣΖΣΑ ΣΟ ΠΔΓΗΟ ΟΡΗΜΟΤ Έζησ f κηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνχ έλα ζχλνιν Α Θα ιέκε φηη: H f είλαη παξαγσγίζηκε ζην Α ή, απιά, παξαγσγίζηκε, φηαλ είλαη παξαγσγίζηκε ζε θάζε ζεκείν A 7 ΟΡΗΜΟ ΠΑΡΑΓΧΓΗΜΟΣΖΣΑ Δ ΑΝΟΗΚΣΟ ΓΗΑΣΖΜΑ Η f είλαη παξαγσγίζηκε ζε έλα αλνηθηό δηάζηεκα (, ) ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο, φηαλ είλαη παξαγσγίζηκε ζε θάζε ζεκείν (, ) 8 ΟΡΗΜΟ ΠΑΡΑΓΧΓΗΜΟΣΖΣΑ Δ ΚΛΔΗΣΟ ΓΗΑΣΖΜΑ Η f είλαη παξαγσγίζηκε ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα [, ] ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο, φηαλ είλαη παξαγσγίζηκε ζην (, ) θαη επηπιένλ ηζρχεη lim f ( ) f ( ) R θαη lim f ( ) f ( ) R 34

35 9 ΟΡΗΜΟ ΠΑΡΑΓΧΓΟΤ ΤΝΑΡΣΖΖ Έζησ f κηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνχ Α θαη A ηo ζχλνιν ησλ ζεκείσλ ηνπ Α ζηα νπνία απηή είλαη παξαγσγίζηκε Αληηζηνηρίδνληαο θάζε A ζην f ( ), νξίδνπκε ηε ζπλάξηεζε f : A R f ( ), ε νπνία νλνκάδεηαη πξώηε παξάγσγνο ηεο f ή απιά παξάγσγνο ηεο f H πξψηε παξάγσγνο ηεο f ζπκβνιίδεηαη θαη κε df πνπ δηαβάδεηαη ληε εθ πξνο ληε d ρη Γηα πξαθηηθνχο ιφγνπο ηελ παξάγσγν ζπλάξηεζε f ( ) ζα ηε ζπκβνιίδνπκε θαη κε ( f ( )) ΑΠΟΓΔΗΞΔΗ 5-3-Δ7-ΔΛ-Δ3-8 Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ζ έλα ζεκείν, ηφηε είλαη θαη ζπλερήο ζην ζεκείν απηφ ΑΠΟΔΕΙΞΗ f ( ) f ( Γηα ) έρνπκε f ( ) f ( ) ( ), νπφηε f ( ) f ( ) lim[ f ( ) f ( )] lim ( ) f ( ) f ( ) lim lim( ) f( ), αθνχ ε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην Δπνκέλσο, είλαη ζπλερήο ζην lim f ( ) f ( ), δειαδή ε f 35

36 6 Δζησ ε ζηαζεξή ζπλάξηεζε f ( ) c, c R Η ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην R θαη ηζρχεη f( ), δειαδή ΑΠΟΔΕΙΞΗ ( c) Πξάγκαηη, αλ είλαη έλα ζεκείν ηνπ R, ηφηε γηα ηζρχεη: Δπνκέλσο, δειαδή ( c) f ( ) f ( ) c c f ( ) f ( ) lim, 7 Έζησ ε ζπλάξηεζε f ( ) Η ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην R θαη ηζρχεη f( ), δειαδή ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Πξάγκαηη, αλ είλαη έλα ζεκείν ηνπ R, ηφηε γηα ηζρχεη: Δπνκέλσο, f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim lim, δειαδή ( ) 36

37 8 Έζησ ε ζπλάξηεζε f ( ) παξαγσγίζηκε ζην R θαη ηζρχεη, N {, } Η ζπλάξηεζε f είλαη, δειαδή f ( ) ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Πξάγκαηη, αλ είλαη έλα ζεκείν ηνπ R, ηφηε γηα ηζρχεη: f ( ) f ( ) ( )( ) Οπφηε f ( ) f ( ) lim lim( ), δειαδή ( ) 9 E5-E9 Έζησ ε ζπλάξηεζε f ( ) Η ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην (, ) θαη ηζρχεη f( ), δειαδή ΑΠΟΔΕΙΞΗ Πξάγκαηη, αλ είλαη έλα ζεκείν ηνπ (, ), ηφηε γηα ηζρχεη: ( ) ( ) f ( ) f ( ) νπφηε, f ( ) f ( ) lim lim, 37

38 δειαδή Όπσο είδακε ζηελ παξάγξαθν 3 ε f ( ) δελ είλαη παξαγσγίζηκε ζην Αλ νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη παξαγσγίζηκεο ζην, ηφηε ε ζπλάξηεζε f g είλαη παξαγσγίζηκε ζην θαη ηζρχεη: ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γηα, ηζρχεη: ( f g) ( ) f ( ) g( ) ( f g)( ) ( f g)( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) Δπεηδή νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη παξαγσγίζηκεο ζην, έρνπκε: ( f g)( ) ( f g)( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) lim lim lim f ( ) g ( ), δειαδή ( f g) ( ) f ( ) g( ) Γηα ηξεηο παξαγσγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ηζρχεη: ( ) ( ) ( ) ( ) h( ) ( ) ( ) h( ) ( ) ( ) h ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ ( f ( ) g( ) h( )) [( f ( ) g( )) h( )] ( f ( ) g( )) h( ) ( f ( ) g( )) h( ) [ f ( ) g( ) f ( ) g( )] h( ) f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h( ) Έζησ ε ζπλάξηεζε f ( ) ζην * R θαη ηζρχεη, ( ), δειαδή f * N Η ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ 38

39 Πξάγκαηη, γηα θάζε * R έρνπκε: () ( ) ( ) ( ) 3 E9Λ-Λ Έζησ ε ζπλάξηεζε f ( ) εθ Η ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην R R { ζπλ } θαη ηζρχεη f( ), δειαδή ζπλ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Πξάγκαηη, γηα θάζε R έρνπκε: (εθ ) ζπλ εκ (εκ ) ζπλ εκ (ζπλ ) ζπλζπλ εκεκ (εθ ) ζπλ ζπλ ζπλ ζπλ εκ ζπλ ζπλ α 4 Η ζπλάξηεζε f ( ), R Z είλαη παξαγσγίζηκε ζην (, ) θαη ηζρχεη α f ( ) α, δειαδή ΑΠΟΔΕΙΞΗ Πξάγκαηη, αλ Δπνκέλσο, e ( α α ) α () ln θαη ζέζνπκε u ln, ηφηε έρνπκε e e u e u u ln ( ) u e 5 6Λ-EΛ Η ζπλάξηεζε f( ), είλαη παξαγσγίζηκε ζην R θαη ηζρχεη f( ) ln, δειαδή ( ) ln () Απνδεηθλχεηαη φηη, γηα α ε f είλαη παξαγσγίζηκε θαη ζην ζεκείν θαη ε παξάγσγφο ηεο είλαη ίζε κε, επνκέλσο δίλεηαη απφ ηνλ ίδην ηχπν 39

40 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Πξάγκαηη, αλ Δπνκέλσο, θαη ζέζνπκε u ln, ηφηε έρνπκε ln e u u ln ( e ) e u e ln ln u e 6 Δ6Λ-8- Δ6Λ Η ζπλάξηεζε f ( ) ln, ΑΠΟΔΕΙΞΗ * R είλαη παξαγσγίζηκε ζην (ln ) * R θαη ηζρχεη Πξάγκαηη αλ, ηφηε (ln ) (ln ), ελψ αλ, ηφηε ln ln( ), νπφηε, αλ ζέζνπκε ln( ) θαη u, έρνπκε lnu Δπνκέλσο, θαη άξα (ln ) (ln u) u ( ) u ΥΟΛΗΑ -Λ 9 Οηαλ έλα θηλεηφ θηλείηαη πξνο ηα δεμηά, ηφηε θνληά ζην t ηζρχεη S( t) S( t), νπφηε είλαη ( t), ελψ, φηαλ ην θηλεηφ θηλείηαη πξνο ηα t t S( t) S( t) αξηζηεξά θνληά ζην t ηζρχεη, νπφηε είλαη ( t) t t 93 Η f είλαη παξαγσγίζηκε ζην, αλ θαη κφλν αλ ππάξρνπλ ζην R ηα φξηα θαη είλαη ίζα lim f ( ) f ( ), lim f ( ) f ( ) 94 Η ζηηγκηαία ηαρχηεηα ελφο θηλεηνχ, ηε ρξνληθή ζηηγκή t, είλαη ε παξάγσγνο ηεο ζπλάξηεζεο ζέζεο S() t ηε ρξνληθή ζηηγκή t Γειαδή, είλαη ( ) ( ) 4

41 95 Ο ζπληειεζηήο δηεχζπλζεο ηεο εθαπηνκέλεο ε ηεο C f κηαο παξαγσγίζηκεο ζπλάξηεζεο f, ζην ζεκείν A(, f ( )) είλαη ε παξάγσγνο ηεο f ζην Γειαδή, είλαη ( ), νπφηε ε εμίζσζε ηεο ε θ α π η ν κ έ λ ε ο ε είλαη: f ( ) f ( )( ) 96 Σελ θιίζε f ( ) ηεο εθαπηνκέλεο ε ζην A(, f ( )) ζα ηε ιέκε θαη θιίζε ηεο ζην Α ή θιίζε ηεο f ζην 97 9Λ-ΔΛ-Δ6Λ Αλ κηα ζπλάξηεζε f δελ είλαη ζπλερήο ζ έλα ζεκείν, ηφηε, ζχκθσλα κε ην πξνεγνχκελν ζεψξεκα, δελ κπνξεί λα είλαη παξαγσγίζηκε ζην 98 -Δ Έζησ ζπλάξηεζε f ( ) εκ Η ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην R θαη ηζρχεη f ( ) ζπλ, δειαδή (εκ ) ζπλ 99 E6-Λ- E-5Λ Έζησ ε ζπλάξηεζε f ( ) ζπλ Η ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην R θαη ηζρχεη f ( ) εκ, δειαδή (ζπλ ) εκ Σα φξηα εκ ζπλ lim, lim, ηα νπνία ρξεζηκνπνηήζακε γηα λα ππνινγίζνπκε ηελ παξάγσγν ησλ ζπλαξηήζεσλ f ( ) εκ, g( ) ζπλ είλαη ε παξάγσγνο ζην ησλ ζπλαξηήζεσλ f, g αληηζηνίρσο, αθνχ εκ εκ εκ lim lim f () ζπλ ζπλζπλ lim lim g() 4

42 Έζησ ε ζπλάξηεζε f ( ) e Απνδεηθλχεηαη φηη ε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην R θαη ηζρχεη f ( ) e, δειαδή ( e ) e Έζησ ε ζπλάξηεζε f ( ) ln Απνδεηθλχεηαη φηη ε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην (, ) θαη ηζρχεη f( ), δειαδή (ln ) 3 Αλ νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη παξαγσγίζηκεο ζ έλα δηάζηεκα Γ, ηφηε γηα θάζε ηζρχεη: ( ) ( ) ( ) ( ) Σν παξαπάλσ ζεψξεκα ηζρχεη θαη γηα πεξηζζφηεξεο απφ δχν ζπλαξηήζεηο Γειαδή, αλ f, f,, f k, είλαη παξαγσγίζηκεο ζην Γ, ηφηε ( f f f ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) k k 4 4Λ-E3Λ Αλ νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη παξαγσγίζηκεο ζην, ηφηε θαη ε ζπλάξηεζε f g είλαη παξαγσγίζηκε ζην θαη ηζρχεη: ( f g) ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) Αλ νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη παξαγσγίζηκεο ζ έλα δηάζηεκα Γ, ηφηε γηα θάζε ηζρχεη: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 Αλ f είλαη παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε ζ έλα δηάζηεκα Γ θαη cr, επεηδή ( c), ζχκθσλα κε ην ζεψξεκα () έρνπκε: ( cf ( )) cf ( ) 6 E6Λ 4

43 Αλ νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη παξαγσγίζηκεο ζην θαη g ( ), ηφηε f θαη ε ζπλάξηεζε g είλαη παξαγσγίζηκε ζην θαη ηζρχεη: f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g f g g [ g( )] Αλ νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη παξαγσγίζηκεο ζ έλα δηάζηεκα Γ θαη γηα θάζε ηζρχεη g ( ), ηφηε γηα θάζε έρνπκε: ( ) ( ) ( ( ) ( ) [ ( )] 7 Δίδακε πην πξηλ φηη, γηα θάζε θπζηθφ ( ) Δπνκέλσο, αλ Z {, }, ηφηε: ( ) 8 Λ Έζησ ε ζπλάξηεζε f ( ) ζθ Η ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην R R { εκ } θαη ηζρχεη f( ), δειαδή εκ 9 (ζθ ) εκ Αλ ε ζπλάξηεζε g είλαη παξαγσγίζηκε ζην θαη ε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην g ( ), ηφηε ε ζπλάξηεζε f g είλαη παξαγσγίζηκε ζην θαη ηζρχεη ( f g) ( ) f ( g( )) g( ) Γεληθά, αλ κηα ζπλάξηεζε g είλαη παξαγσγίζηκε ζε έλα δηάζηεκα Γ θαη ε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην g( ), ηφηε ε ζπλάξηεζε f g είλαη παξαγσγίζηκε ζην Γ θαη ηζρχεη Γειαδή, αλ ( ), ηφηε ( ( ( ))) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) Με ην ζπκβνιηζκφ ηνπ Leibniz, αλ f ( u) θαη u g( ), έρνπκε ηνλ ηχπν 43

44 πνπ είλαη γλσζηφο σο θαλόλαο ηεο αιπζίδαο d Σν ζχκβνιν δελ είλαη πειίθν ηνλ θαλφλα ηεο αιπζίδαο απιά d ζπκπεξηθέξεηαη σο πειίθν, πξάγκα πνπ επθνιχλεη ηελ απνκλεκφλεπζε ηνπ θαλφλα αλ ε ζπλάξηεζε ( ) είλαη παξαγσγίζηκε, ηφηε έρνπκε: ( u ) u u (ζθ u) u εκ u (εθ u) u (ζπλ u) εκu u ζπλ u ( u) u (εκ u) ζπλu u u u u u u ( e ) e u ( ) ln u (ln u ) u u ΥΟΛΗΑ- ΑΝΣΗΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑΣΑ Α-Φ, -Λ 5 H εθαπηνκέλε νπνηαζδήπνηε θακπχιεο έρεη κε ηελ θακπχιε έλα κφλν θνηλφ ζεκείν Α-Φ Φεπδέο δηόηη Δίλαη γλσζηφ απφ ηελ Δπθιείδεηα Γεσκεηξία φηη εθαπηνκέλε ελφο θχθινπ ζε έλα ζεκείν ηνπ Α νλνκάδνπκε ηελ επζεία ε νπνία έρεη κε ηνλ θχθιν έλα κφλν θνηλφ ζεκείν, ην Α(ρ 3) Ο νξηζκόο απηόο δελ κπνξεί λα γεληθεπηεί γηα νπνηαδήπνηε θακπύιε, γηαηί, κε έλαλ ηέηνην νξηζκφ ε παξαβνιή ζα είρε ζην ζεκείν 44

45 A (, ) δχν εθαπηφκελεο ε θαη δ (ρ α), ελψ ε A (, ) θακία εθαπηνκέλε (ρ 4β) 3 δελ ζα είρε ζην ζεκείν Α 3 ε 4 A(,) = A(,) = 3 Ο Ο ε δ (α) (β) 6 Παξάγσγνο θαη ζπλέρεηα 7AΦ Μηα ζπλάξηεζε f κπνξεί λα είλαη ζπλερήο ζ έλα ζεκείν ρσξίο λα είλαη παξαγσγίζηκε ζ απηφ Α-Φ Φεπδέο δηόηη Έζησ ε ζπλάξηεζε f ( ) Η f είλαη ζπλερήο ζην, αιιά δελ είλαη παξαγσγίζηκε ζ απηφ, αθνχ 45

46 f ( ) f () lim lim, 4 ελψ f ( ) f () lim lim Παξαηεξνχκε, δειαδή, φηη κηα ζπλάξηεζε f κπνξεί λα είλαη ζπλερήο ζ έλα ζεκείν ρσξίο λα είλαη παξαγσγίζηκε ζ απηό ΟΡΗΜΟΗ-ΘΔΧΡΖΜΑΣΑ «ΜΔ ΟΝΟΜΑΣΔΠΧΝΤΜΟ» 3 ΟΡΗΜΟ ΡΤΘΜΟΤ ΜΔΣΑΒΟΛΖ Αλ δχν κεηαβιεηά κεγέζε ζπλδένληαη κε ηε ζρέζε =f(), φηαλ f είλαη κηα ζπλάξηεζε παξαγσγίζηκε ζην, ηφηε νλνκάδνπκε ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ σο πξνο ην ζην ζεκείν ηελ παξάγσγν f ( ) 3ΟΡΗΜΟ ΔΠΗΣΑΥΤΝΖ Ο ξπζκφο κεηαβνιήο ηεο ηαρχηεηαο π σο πξνο ην ρξφλν t ηε ρξνληθή ζηηγκή είλαη ε παξάγσγνο π (t ), ηεο ηαρχηεηαο π σο πξνο ην ρξφλν t ηε ρξνληθή ζηηγκή t Η παξάγσγνο π (t ) ιέγεηαη επηηάρπλζε ηνπ θηλεηνχ ηε ρξνληθή ζηηγκή t θαη ζπκβνιίδεηαη κε α(t ) Δίλαη δειαδή α(t ) =π (t ) = S (t ) 3ΟΡΗΜΟ ΟΡΗΑΚΟΤ ΚΟΣΟΤ-ΟΡΗΑΚΖ ΔΗΠΡΑΞΖ- ΟΡΗΑΚΟΤ ΚΔΡΓΟΤ ηελ νηθνλνκία, ην θφζηνο παξαγσγήο Κ, ε είζπξαμε Δ θαη ην θέξδνο Ρ εθθξάδνληαη ζπλαξηήζεη ηεο πνζφηεηαο ηνπ παξαγφκελνπ πξντφληνο Έηζη, ε παξάγσγνο Κ ( ) παξηζηάλεη ην ξπζκφ κεηαβνιήο ηνπ θφζηνπο Κ σο πξνο ηελ πνζφηεηα, φηαλ = θαη ιέγεηαη νξηαθό θόζηνο ζην Αλάινγα, νξίδνληαη θαη νη έλλνηεο νξηαθή είζπξαμε ζην θαη νξηαθό θέξδνο ζην 46

47 33ΘΔΧΡΖΜΑ RLLE Δ ΓΗΑΣΤΠΧΖ-Δ7Λ Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη: ζπλερήο ζην θιεηζηφ δηάζηεκα [α,β] παξαγσγίζηκε ζην αλνηθηφ δηάζηεκα(α,β) θαη f(α)=f(β) ηφηε ππάξρεη έλα, ηνπιάρηζηνλ, (, ) ηέηνην, ψζηε: f (μ)= 34ΘΔΧΡΖΜΑ ΜΔΖ ΣΗΜΖ ΓΗΑΦΟΡΗΚΟΤ ΛΟΓΗΜΟΤ (ΘΜΣ) 3 ΓΗΑΣΤΠΧΖ-6 ΓΗΑΣΤΠΧΖ Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη: ζπλερήο ζην θιεηζηφ δηάζηεκα [α,β] παξαγσγίζηκε ζην αλνηθηφ δηάζηεκα(α,β) ηφηε ππάξρεη έλα, ηνπιάρηζηνλ, ηέηνην, ψζηε (, ) ηέηνην, ψζηε: f f (μ)= ( ) f ( ) : ΑΠΟΓΔΗΞΔΗ 7 Δ4-9-4 Έζησ κηα ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζε έλα δηάζηεκα Γ Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην Γ θαη f ()= γηα θάζε ε ζ ω η ε ξ η θ ό ζεκείν ηνπ Γ, ηφηε ε f είλαη ζηαζεξή ζε φιν ην δηάζηεκα Γ ΑΠΟΔΕΙΞΗ 47

48 Αξθεί λα απνδείμνπκε φηη γηα νπνηαδήπνηε, ηζρχεη f( )=f( ) Πξάγκαηη Αλ =, ηφηε πξνθαλψο f( )=f( ) Αλ <, ηφηε ζην δηάζηεκα [, ] ε f ηθαλνπνηεί ηηο ππνζέζεηο ηνπ ζεσξήκαηνο κέζεο ηηκήο Δπνκέλσο, ππάξρεη (, ) ηέηνην, ψζηε: f ( ) f ( ) f (μ)= () Δπεηδή ην μ είλαη εζσηεξηθφ ζεκείν ηνπ Γ, ηζρχεη f (μ)=,νπφηε, ιφγσ ηεο (), είλαη f( )=f( ) Αλ <, ηφηε νκνίσο απνδεηθλχεηαη φηη f( )=f( ) ε φιεο, ινηπφλ, ηηο πεξηπηψζεηο είλαη f( )=f( ) 8 Δ7Λ ΠΟΡΗΜΑ Έζησ δπν ζπλαξηήζεηο νξηζκέλεο ζε έλα δηάζηεκα Γ Αλ νη f,g είλαη ζπλερείο ζην Γ θαη f ()= g () γηα θάζε ε ζ ω η ε ξ η θ ό ζεκείν ηνπ Γ, ηφηε ππάξρεη ζηαζεξά c ηέηνηα, ψζηε γηα θάζε λα ηζρχεη: f()= g()+c ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η ζπλάξηεζε f-g είλαη ζπλερήο ζην Γ θαη γηα θάζε εζσηεξηθφ ζεκείν ηζρχεη (f-g) ()=f ()- g ()= Δπνκέλσο, ζχκθσλα κε ην παξαπάλσ ζεψξεκα, ε ζπλάξηεζε f-g είλαη ζηαζεξή ζην Γ Άξα, ππάξρεη ζηαζεξά C ηέηνηα, ψζηε γηα θάζε λα ηζρχεη f()- g()=c, νπφηε f()= g()+c 9 4Λ

49 Έζησ κηα ζπλάξηεζε f, ε νπνία είλαη ζ π λ ε ρ ή ο ζε έλα δηάζηεκα Γ Αλ f ()> ζε θάζε ε ζ ω η ε ξ η θ ό ζεκείν ηνπ Γ, ηφηε ε f είλαη γλεζίσο αχμνπζα ζε φιν ην Γ Αλ f ()< ζε θάζε ε ζ ω η ε ξ η θ ό ζεκείν ηνπ Γ, ηφηε ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζε φιν ην Γ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Απνδεηθλχνπκε ην ζεψξεκα ζηελ πεξίπησζε πνπ είλαη f ()> Έζησ, κε < Θα δείμνπκε φηη f( )<f( ) Πξάγκαηη, ζην δηάζηεκα [, ] ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνυπνζέζεηο ηνπ ΘΜΣ Δπνκέλσο, f ( ) f ( ) ππάξρεη (, ) ηέηνην, ψζηε f (μ)=, νπφηε έρνπκε f( )- f( )= f (μ)( - ) Δπεηδή f (μ)> θαη - >, έρνπκε f( )-f( )>, νπφηε f( )<f( ) ηελ πεξίπησζε πνπ είλαη f ()< εξγαδφκαζηε αλαιφγσο ΓΔΧΜΔΣΡΗΚΖ ΔΡΜΖΝΔΗΑ ΠΡΟΣΑΔΧΝ -ΘΔΧΡΖΜΑΣΧΝ ΘΔΧΡΖΜΑ RLLE Δ7 Γεσκεηξηθά, απηφ ζεκαίλεη φηη ππάξρεη έλα, ηνπιάρηζηνλ (, ), ηέηνην, ψζηε ε εθαπηνκέλε ηεο ζην Μ(μ,f(μ)) λα είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα ησλ 49

50 Μ(ξ,f(ξ)) Α(α,f(α)) 8 Β(β,f(β)) α ξ ξ β 3 ΘΔΧΡΖΜΑ ΜΔΖ ΣΗΜΖ ΓΗΑΦΟΡΗΚΟΤ ΛΟΓΗΜΟΤ (ΘΜΣ) 3- Δ8-6 Γεσκεηξηθά, απηφ ζεκαίλεη φηη ππάξρεη έλα, ηνπιάρηζηνλ, (, ) ηέηνην, ψζηε ε εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην ζεκείν Μ(μ,f(μ)) λα είλαη παξάιιειε ηεο επζείαο ΑΒ M(ξ,f(ξ)) Β(β,f(β)) A(a,f(a)) Ο a ξ ξ β ΥΟΛΗΑ- ΑΝΣΗΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑΣΑ Α-Φ, -Λ 7 6 Λ Έζησ κηα ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζε έλσζε δηαζηεκάησλ Γ, Γ Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην Γ Γ θαη 5

51 f ()= γηα θάζε ε ζ ω η ε ξ η θ ό ζεκείν ηνπ Γ Γ, ηφηε ε f είλαη ζηαζεξή ζε όιν ην Δ Δ Α-Φ Φεπδέο δηόηη Σο αντίστοιτο θεώρημα ΘΔΩΡΗΜΑ Έζησ κηα ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζε έλα δηάζηεκα Γ Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην Γ θαη f ()= γηα θάζε ε ζ ω η ε ξ η θ ό ζεκείν ηνπ Γ, ηφηε ε f είλαη ζηαζεξή ζε φιν ην δηάζηεκα Γ θαζώο θαη ην πόξηζκά ηνπ ΠΟΡΙΜΑ Έζησ δπν ζπλαξηήζεηο νξηζκέλεο ζε έλα δηάζηεκα Γ Αλ νη f,g είλαη ζπλερείο ζην Γ θαη f ()= g () γηα θάζε ε ζ ω η ε ξ η θ ό ζεκείν ηνπ Γ, ηφηε ππάξρεη ζηαζεξά c ηέηνηα, ψζηε γηα θάζε λα ηζρχεη: f()= g()+c ηζρύνπλ ζε δηάζηεκα θαη όρη ζε έλσζε δηαζηεκάησλ Γηα παξάδεηγκα, έζησ ε ζπλάξηεζε, f ( ), 5

52 Παξαηεξνχκε φηη, αλ θαη f ()= γηα θάζε (,) (, ), εληνχηνηο ε f δελ είλαη ζηαζεξή ζην (,) (, ) 8 7 Λ- Λ-8 Λ Αλ ε f είλαη γλεζίσο αχμνπζα (αληηζηνίρσο γλεζίσο θζίλνπζα) ζην Γ, ε παξάγσγφο ηεο είλαη ππνρξεσηηθά ζεηηθή (αληηζηνίρσο αξλεηηθή) ζην εζσηεξηθφ ηνπ Γ Α-Φ Σν αληίζηξνθν ηνπ ζεσξήκαηνο Φεπδέο δηόηη Έζησ κηα ζπλάξηεζε f, ε νπνία είλαη ζ π λ ε ρ ή ο ζε έλα δηάζηεκα Γ Αλ f ()> ζε θάζε ε ζ ω η ε ξ η θ ό ζεκείν ηνπ Γ, ηφηε ε f είλαη γλεζίσο αχμνπζα ζε φιν ην Γ Αλ f ()< ζε θάζε ε ζ ω η ε ξ η θ ό ζεκείν ηνπ Γ, ηφηε ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζε φιν ην Γ δελ ηζρύεη Γειαδή, αλ ε f είλαη γλεζίσο αχμνπζα (αληηζηνίρσο γλεζίσο θζίλνπζα) ζην Γ, ε παξάγσγφο ηεο δελ είλαη ππνρξεσηηθά ζεηηθή (αληηζηνίρσο αξλεηηθή) ζην εζσηεξηθφ ηνπ Γ Γηα παξάδεηγκα, ε ζπλάξηεζε f()= 3, αλ θαη είλαη γλεζίσο αχμνπζα ζην R, εληνχηνηο έρεη παξάγσγν f ()=3 ε νπνία δελ είλαη ζεηηθή ζε φιν ην R, αθνχ f ()= Ιζρχεη φκσο f () γηα θάζε R 7 = 3 Ο ΟΡΗΜΟΗ-ΘΔΧΡΖΜΑΣΑ «ΜΔ ΟΝΟΜΑΣΔΠΧΝΤΜΟ» 5

53 3 ΟΡΗΜΟ ΣΟΠΗΚΟΤ ΜΔΓΗΣΟΤ Μηα ζπλάξηεζε f, κε πεδίν νξηζκνχ Α, ζα ιέκε φηη παξνπζηάδεη ζην A ηνπηθό κέγηζην, φηαλ ππάξρεη, ηέηνην ψζηε f ( ) f ( ) γηα θάζε A(, ) Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπηθνύ κεγίζηνπ, ελψ ην f( ) ηνπηθό κέγηζην ηεο f 3 ΟΡΗΜΟ ΣΟΠΗΚΟΤ ΔΛΑΥΗΣΟΤ 5 Μία ζπλάξηεζε f, κε πεδίν νξηζκνχ Α, ζα ιέκε φηη παξνπζηάδεη ζην A ηνπηθό ειάρηζην, φηαλ ππάξρεη, ηέηνην ψζηε f ( ) ( ) f, γηα θάζε A (, ) Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπηθνύ ειαρίζηνπ, ελψ ην f( ) ηνπηθό ειάρηζην ηεο f 33 ΟΡΗΜΟ ΣΟΠΗΚΧΝ-ΟΛΗΚΧΝ ΑΚΡΟΣΑΣΧΝ-ΘΔΔΧΝΣΟΠΗΚΧΝ ΑΚΡΟΣΑΣΧΝ Σα ηνπηθά κέγηζηα θαη ηνπηθά ειάρηζηα ηεο f ιέγνληαη ηνπηθά αθξόηαηα απηήο, ελψ ηα ζεκεία ζηα νπνία ε f παξνπζηάδεη ηνπηθά αθξφηαηα ιέγνληαη ζέζεηο ηνπηθώλ αθξνηάησλ Σν κέγηζην θαη ην ειάρηζην ηεο f ιέγνληαη νιηθά αθξόηαηα ή απιά αθξόηαηα απηήο 34 ΘΔΧΡΖΜΑ FERMAT Δ3 ΓΗΑΣΤΠΧΖ Έζησ κηα ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζ έλα δηάζηεκα Γ θαη έλα εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ Αλ ε f παξνπζηάδεη ηνπηθό αθξόηαην ζην θαη είλαη παξαγσγίζηκε ζην ζεκείν απηφ, ηφηε: f( ) 35 ΟΡΗΜΟ ΚΡΗΗΜΧΝ ΖΜΔΗΧΝ Δ5Λ-Δ3Λ Σα ε ζ ω η ε ξ η θ ά ζεκεία ηνπ Γ ζηα νπνία ε f δελ παξαγσγίδεηαη ή ε παξάγσγφο ηεο είλαη ίζε κε ην κεδέλ, ιέγνληαη θξίζηκα ζεκεία ηεο f ζην δηάζηεκα Γ 36 ΟΡΗΜΟ ΚΤΡΣΖ ΤΝΑΡΣΖΖ 6 Έζησ κία ζπλάξηεζε f ζ π λ ε ρ ή ο ζ έλα δηάζηεκα Γ θαη π α ξ α γ ω γ ί ζ η κ ε ζην ε ζ ω η ε ξ η θ ό ηνπ Γ Θα ιέκε φηη: 53

54 Η ζπλάξηεζε f ζηξέθεη ηα θνίια πξνο ηα άλσ ή είλαη θπξηή ζην Γ, αλ ε f είλαη γλεζίσο αχμνπζα ζην ε ζ ω η ε ξ η θ ό ηνπ Γ 37 ΟΡΗΜΟ ΚΟΗΛΖ ΤΝΑΡΣΖΖ 4 Έζησ κία ζπλάξηεζε f ζ π λ ε ρ ή ο ζ έλα δηάζηεκα Γ θαη π α ξ α γ ω γ ί ζ η κ ε ζην ε ζ ω η ε ξ η θ ό ηνπ Γ Θα ιέκε φηη: Η ζπλάξηεζε f ζηξέθεη ηα θνίια πξνο ηα θάησ ή είλαη θνίιε ζην Γ, αλ ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην ε ζ ω η ε ξ η θ ό ηνπ Γ 38 ΟΡΗΜΟ ΖΜΔΗΟΤ ΚΑΜΠΖ ΤΝΑΡΣΖΖ Δ4Λ Έζησ κηα ζπλάξηεζε f παξαγσγίζηκε ζ έλα δηάζηεκα (, ), κε εμαίξεζε ίζσο έλα ζεκείν ηνπ Αλ ε f είλαη θπξηή ζην (, ) θαη θνίιε ζην (, ), ή αληηζηξφθσο, θαη ε C f έρεη εθαπηνκέλε ζην ζεκείν A(, f ( )), ηφηε ην ζεκείν A(, f ( )) νλνκάδεηαη ζεκείν θακπήο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f Όηαλ ην A(, f ( )) είλαη ζεκείν θακπήο ηεο C f, ηφηε ιέκε φηη ε f παξνπζηάδεη ζην θακπή θαη ην ιέγεηαη ζέζε ζεκείνπ θακπήο 39 ΟΡΗΜΟ ΚΑΣΑΚΟΡΤΦΖ ΑΤΜΠΣΧΣΖ Δ3--Δ5 Αλ έλα ηνπιάρηζηνλ απφ ηα φξηα lim f( ), lim f( ) είλαη ή, ηφηε ε επζεία ιέγεηαη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f 4 ΟΡΗΜΟ ΟΡΗΕΟΝΣΗΑ ΑΤΜΠΣΧΣΖ 7-Δ6 Αλ lim f( ) (αληηζηνίρσο lim f( ) ), ηφηε ε επζεία ιέγεηαη νξηδόληηα αζύκπησηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην (αληηζηνίρσο ζην ) 4 ΟΡΗΜΟ ΑΤΜΠΣΧΣΖ 5-54

55 Η επζεία ιέγεηαη αζύκπησηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην (αληηζηνίρσο ζην ), αλ lim[ f ( ) ( )], αληηζηνίρσο lim[ f ( ) ( )] Η αζχκπησηε είλαη νξηδόληηα αλ, ελψ αλ ιέγεηαη πιάγηα αζχκπησηε 4 ΘΔΧΡΖΜΑ νο ΚΑΝΟΝΑ DE L HSPITAL (ΜΟΡΦΖ ) Αλ lim f( ), lim g ( ), R{, } θαη ππάξρεη ην (πεπεξαζκέλν ή άπεηξν), ηφηε: f ( ) f ( ) lim lim g( ) g( ) f( ) lim g ( ) 43 ΘΔΧΡΖΜΑ νο ΚΑΝΟΝΑ DE L HSPITAL (ΜΟΡΦΖ Αλ lim f( ), lim g ( ) ) lim g ( ), R{, } θαη ππάξρεη ην f( ) (πεπεξαζκέλν ή άπεηξν), ηφηε: f ( ) f ( ) lim lim g( ) g( ) ΑΠΟΓΔΗΞΔΗ 55

56 ΘΔΧΡΖΜΑ (Fermat) 3Λ-4--Δ6-7Λ-Δ7 Έζησ κηα ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζ έλα δηάζηεκα Γ θαη έλα εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ Αλ ε f παξνπζηάδεη ηνπηθό αθξόηαην ζην θαη είλαη παξαγσγίζηκε ζην ζεκείν απηφ, ηφηε: ΑΠΟΔΕΙΞΗ f( ) Αο ππνζέζνπκε φηη ε f παξνπζηάδεη ζην ηνπηθφ κέγηζην Δπεηδή ην είλαη εζσηεξηθφ ζεκείν ηνπ Γ θαη ε f παξνπζηάδεη ζ απηφ ηνπηθφ κέγηζην, ππάξρεη ηέηνην, ψζηε(, ) θαη f ( ) ( ) f, γηα θάζε (, ) () Δπεηδή, επηπιένλ, ε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην, ηζρχεη f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f( ) lim lim Δπνκέλσο, f ( ) f ( ) αλ (, ), ηφηε, ιφγσ ηεο (), ζα είλαη, νπφηε ζα έρνπκε f ( ) f ( ) f( ) lim () f ( ) f ( ) αλ (, ), ηφηε, ιφγσ ηεο (), ζα είλαη, νπφηε ζα έρνπκε f ( ) f ( ) f( ) lim (3) Έηζη, απφ ηηο () θαη (3) έρνπκε f( ) Η απφδεημε γηα ηνπηθφ ειάρηζην είλαη αλάινγε f( ) δ +δ 33 56

57 Έζησ κηα ζπλάξηεζε f παξαγσγίζηκε ζ έλα δηάζηεκα (, ), κε εμαίξεζε ίζσο έλα ζεκείν ηνπ, ζην νπνίν φκσο ε f είλαη ζπλερήο i) Δ3Λ-Δ-6 Αλ f( ) ζην (, ) θαη f( ) ζην (, ), ηφηε ην f( ) είλαη ηνπηθφ κέγηζην ηεο f (ρ 35α) ii) Αλ f( ) ζην (, ) θαη f( ) ζην (, ), ηφηε ην f( ) είλαη ηνπηθφ ειάρηζην ηεο f (ρ 35β) ii) Δ8 Aλ ε f ( ) δηαηεξεί πξφζεκν ζην (, ) (, ), ηφηε ην f( ) δελ είλαη ηνπηθφ αθξφηαην θαη ε f είλαη γλεζίσο κνλφηνλε ζην (, ) (ρ 35γ) ΑΠΟΓΔΗΞΖ i) Eπεηδή f( ) γηα θάζε (, ) θαη ε f είλαη ζπλερήο ζην, ε f είλαη γλεζίσο αχμνπζα ζην (, ] Έηζη έρνπκε f ( ) ( ) f, γηα θάζε (, ] () Δπεηδή f( ) γηα θάζε (, ) θαη ε f είλαη ζπλερήο ζην, ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην [, ) Έηζη έρνπκε: f ( ) ( ) f, γηα θάζε [, ) () f > f < f > f < 35a f( ) f( ) a β a β Δπνκέλσο, ιφγσ ησλ () θαη (), ηζρχεη: f ( ) f ( ), γηα θάζε (, ), πνπ ζεκαίλεη φηη ην f( ) είλαη κέγηζην ηεο f ζην (, ) θαη άξα ηνπηθφ κέγηζην απηήο ii) Δξγαδφκαζηε αλαιφγσο 35β f < f > f < f > a β a β 57

58 iii) Έζησ φηη f( ), γηα θάζε (, ) (, ) f > f > 35γ f > f > a β a β Δπεηδή ε f είλαη ζπλερήο ζην ζα είλαη γλεζίσο αχμνπζα ζε θάζε έλα απφ ηα δηαζηήκαηα (, ] θαη [, ) Δπνκέλσο, γηα ηζρχεη f ( ) f ( ) f ( ) Άξα ην f( ) δελ είλαη ηνπηθφ αθξφηαην ηεο f Θα δείμνπκε, ηψξα, φηη ε f είλαη γλεζίσο αχμνπζα ζην (, ) Πξάγκαηη, έζησ, (, ) κε Αλ, (, ], επεηδή ε f είλαη γλεζίσο αχμνπζα ζην (, ], ζα ηζρχεη f ( ) f ( ) Αλ, [, ), επεηδή ε f είλαη γλεζίσο αχμνπζα ζην [, ), ζα ηζρχεη f ( ) f ( ) Σέινο, αλ, ηφηε φπσο είδακε f ( ) f ( ) f ( ) Δπνκέλσο, ζε φιεο ηηο πεξηπηψζεηο ηζρχεη f ( ) f ( ), νπφηε ε f είλαη γλεζίσο αχμνπζα ζην (, ) Οκνίσο, αλ f( ) γηα θάζε (, ) (, ) 58

59 ΥΟΛΗΑ -Λ Έλα ηνπηθφ κέγηζην κπνξεί λα είλαη κηθξφηεξν απφ έλα ηνπηθφ ειάρηζην (ρ3α) 3 4 (a) ρ3α 3 Αλ κηα ζπλάξηεζε f παξνπζηάδεη κέγηζην, 3 ηφηε απηφ ζα είλαη ην κεγαιχηεξν απφ ηα ηνπηθά κέγηζηα, ελψ αλ παξνπζηάδεη, ειάρηζην, ηφηε απηφ ζα είλαη ην κηθξφηεξν απφ ηα ηνπηθά a ma (β) 3 min 4 β ειάρηζηα (ρ 3β) 4Σν κεγαιχηεξν φκσο απφ ηα ηνπηθά κέγηζηα κίαο ζπλάξηεζεο δελ είλαη πάληνηε κέγηζην απηήο Δπίζεο ην κηθξφηεξν απφ ηα ηνπηθά ειάρηζηα κίαο ζπλάξηεζεο δελ είλαη πάληνηε ειάρηζην ηεο ζπλάξηεζεο (ρ 3α) 3 4 (a) ρ3α 5χκθσλα κε ην πξνεγνχκελν ζεψξεκα, ηα εζσηεξηθά ζεκεία ηνπ Γ, ζηα νπνία ε είλαη δηαθνξεηηθή απφ ην κεδέλ, δελ είλαη ζέζεηο ηνπηθψλ αθξνηάησλ 6Δπνκέλσο, φπσο θαίλεηαη θαη ζηα ζρήκαηα 9 θαη 3, νη π η ζ α λ έ ο ζ έ ζ ε η ο η ωλ η ν π η θ ώ λ α θ ξ ν η ά η ω λ κηαο ζπλάξηεζεο f ζ έλα δηάζηεκα Γ είλαη: C f A(,f( )) a β 9 59

60 Σα εζσηεξηθά ζεκεία ηνπ Δ ζηα νπνία ε παξάγσγνο ηεο f κεδελίδεηαη C f 3 Σα εζσηεξηθά ζεκεία ηνπ Δ ζηα νπνία ε f δελ παξαγσγίδεηαη a β 3 Σα άθξα ηνπ Δ (αλ αλήθνπλ ζην πεδίν νξηζκνχ ηεο) 7Δπνπηηθά, κία ζπλάξηεζε f είλαη θπξηή (αληηζηνίρσο θνίιε) ζε έλα δηάζηεκα Γ, φηαλ έλα θηλεηφ, πνπ θηλείηαη πάλσ ζηε, γηα λα δηαγξάςεη ην ηφμν πνπ αληηζηνηρεί ζην δηάζηεκα Γ πξέπεη λα ζηξαθεί θαηά ηε ζεηηθή (αληηζηνίρσο αξλεηηθή) θνξά (ρ 4) 4 C f Λ-Δ8Λ Απνδεηθλχεηαη φηη, αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη θπξηή (αληηζηνίρσο θνίιε) ζ έλα δηάζηεκα Γ, ηφηε ε εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζε θάζε ζεκείν ηνπ Γ βξίζθεηαη θάησ (αληηζηνίρσο πάλσ ) απφ ηε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε (ρ 39), κε εμαίξεζε ην ζεκείν επαθήο ηνπο = 39 + Ο (a) Καθώρ το αςξάνεται η ευαπτομένη τηρ C f στπέυεται κατά τη θετική υοπά Ο (β) Καθώρ το αςξάνεται η ευαπτομένη τηρ C g στπέυεται κατά την απνητική υοπά 9 3Λ Έζησ κηα ζπλάξηεζε f ζ π λ ε ρ ή ο ζ έλα δηάζηεκα Γ θαη δπν θνξέο παξαγσγίζηκε ζην ε ζ ω η ε ξ η θ ό ηνπ Γ Αλ f( ) γηα θάζε ε ζ ω η ε ξ η θ ό ζεκείν ηνπ Γ, ηφηε ε f είλαη θπξηή ζην Γ Αλ f( ) γηα θάζε ε ζ ω η ε ξ η θ ό ζεκείν ηνπ Γ, ηφηε ε f είλαη θνίιε ζην Γ 6

61 ηα ζεκεία θακπήο ε εθαπηνκέλε ηεο C f δηαπεξλά ηελ θακπχιε Σα εζσηεξηθά ζεκεία ελφο δηαζηήκαηνο Γ ζηα νπνία ε f είλαη δηαθνξεηηθή απφ ην κεδέλ δελ είλαη ζέζεηο ζεκείσλ θακπήο Δπνκέλσο, ν η π η ζ α λ έ ο ζ έ ζ ε η ο ζ ε κ ε ί ω λ θ α κ π ή ο κηαο ζπλάξηεζεο f ζ έλα δηάζηεκα Γ είλαη: i) ηα εζσηεξηθά ζεκεία ηνπ Δ ζηα νπνία ε 43 f κεδελίδεηαη, θαη =f() ii) ηα εζσηεξηθά ζεκεία ηνπ Δ ζηα νπνία δελ ππάξρεη ε f (ρ 43) 3 Αλ ην A(, f ( )) είλαη ζεκείν θακπήο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f θαη ε f είλαη δπν θνξέο παξαγσγίζηκε, ηφηε f( ) 4Έζησ κηα ζπλάξηεζε f oξηζκέλε ζ έλα δηάζηεκα (, ) θαη (, ) Αλ ε f αιιάδεη πξφζεκν εθαηέξσζελ ηνπ θαη νξίδεηαη εθαπηνκέλε ηεο C f ζην A(, f ( )), ηφηε ην A(, f ( )) είλαη ζεκείν θακπήο 5 Δ5Λ- Δ6Λ Οη πνιπσλπκηθέο ζπλαξηήζεηο βαζκνχ κεγαιχηεξνπ ή ίζνπ ηνπ δελ έρνπλ αζχκπησηεο P ( ) 6 Οη ξεηέο ζπλαξηήζεηο, κε βαζκφ ηνπ αξηζκεηή P ( ) κεγαιχηεξν Q ( ) ηνπιάρηζηνλ θαηά δχν ηνπ βαζκνχ ηνπ παξνλνκαζηή, δελ έρνπλ πιάγηεο αζχκπησηεο 7 χκθσλα κε ηνπο παξαπάλσ νξηζκνχο, αζχκπησηεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο κηαο ζπλάξηεζεο f αλαδεηνχκε: ηα άθξα ησλ δηαζηεκάησλ ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο ζηα νπνία ε f δελ νξίδεηαη ηα ζεκεία ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο, ζηα νπνία ε f δελ είλαη ζπλερήο ην,, εθφζνλ ε ζπλάξηεζε είλαη νξηζκέλε ζε δηάζηεκα ηεο κνξθήο (, ), αληηζηνίρσο (, ) 8 Δ8Λ Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f κπνξεί λα ηέκλεη κηα αζχκπησηή ηεο 6

62 9 Σν ν ζεψξεκα DE L HSPITAL (ΜΟΡΦΗ,, ) ηζρχεη θαη γηα ηηο κνξθέο 3 Σα ζεσξήκαηα DE L HSPITAL ηζρχνπλ θαη γηα πιεπξηθά φξηα θαη κπνξνχκε, αλ ρξεηάδεηαη, λα ηα εθαξκφζνπκε πεξηζζφηεξεο θνξέο, αξθεί λα πιεξνχληαη νη πξνυπνζέζεηο ηνπο ΥΟΛΗΑ- ΑΝΣΗΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑΣΑ Α-Φ, -Λ 9 Γηα θάζε ζπλάξηεζε f νξηζκέλε θαη παξαγσγίζηκε ζην R,αλ γηα θάπνην R ηζρχεη f( ) ηφηε ην είλαη ζέζε ηνπηθνχ αθξνηάηνπ ηεο f Α-Φ Φεπδέο δηόηη Δεν είναι όλα τα κρίσιμα σημεία θέσεις τοπικών ακροτάτων της f Ο = 3 7 Γηα παξάδεηγκα, ε ζπλάξηεζε f()= 3, έρεη παξάγσγν f ()=3 νπφηε f ()= ελψ δελ έρεη αθξφηαηα αθνχ είλαη γλεζίσο αχμνπζα ζην R 6

63 Γηα θάζε ζπλάξηεζε f νξηζκέλε θαη παξαγσγίζηκε ζ έλα δηάζηεκα Γ, κε εμαίξεζε θάπνην εζσηεξηθφ ζεκείν ζην νπνίν δελ είλαη παξαγσγίζηκε, ηζρχεη φηη ην είλαη ζέζε ηνπηθνχ αθξνηάηνπ ηεο f Α-Φ Φεπδέο δηόηη Δεν είναι όλα τα κρίσιμα σημεία θέσεις τοπικών ακροτάτων της f Γηα παξάδεηγκα, ε ζπλάξηεζε f( ) f '( ) 3 είλαη παξαγσγίζηκε ζην [,) (, ) κε θαη δελ είλαη παξαγσγίζηκε ζην δηφηη: 3 f ( ) f () lim lim θαη f ( ) f () 3 lim lim Όκσο f ζπλερήο ζην = δηφηη: lim f ( ) lim( ) f () lim f ( ) lim(3 ) f ()> ζην[,) (, ) Δπνκέλσο ε f είλαη γλ αχμνπζα ζην [, ) νπφηε δελ έρεη αθξφηαηα θαη 63

64 8Λ Αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη θπξηή ζ έλα δηάζηεκα Γ ηφηε f( ) γηα θάζε ε ζ ω η ε ξ η θ ό ζεκείν ηνπ Γ Α-Φ Φεπδέο δηόηη Σν αληίζηξνθν ηνπ ζεσξήκαηνο Έζησ κηα ζπλάξηεζε f ζ π λ ε ρ ή ο ζ έλα δηάζηεκα Γ θαη δπν θνξέο παξαγσγίζηκε ζην ε ζ ω η ε ξ η θ ό ηνπ Γ Αλ f ( ) γηα θάζε ε ζ ω η ε ξ η θ ό ζεκείν ηνπ Γ, ηφηε ε f είλαη θπξηή ζην Γ Αλ f ( ) γηα θάζε ε ζ ω η ε ξ η θ ό ζεκείν ηνπ Γ, ηφηε ε f είλαη θνίιε ζην Γ δελ ηζρύεη 4 Γηα παξάδεηγκα, έζησ ε ζπλάξηεζε f ( ) 4 (ρ 4) Δπεηδή 3 4 ε f ( ) 4 είλαη γλεζίσο αχμνπζα ζην R ε f ( ) είλαη θπξηή ζην R Δληνχηνηο, ε f ( ) δελ είλαη ζεηηθή ζην R, αθνχ f () = 4 Δ7ΑΦ Γηα θάζε ζπλάξηεζε f νξηζκέλε θαη δχν θνξέο παξαγσγίζηκε ζην R,αλ γηα θάπνην R ηζρχεη f( ) ηφηε ην είλαη ζέζε ζεκείνπ θακπήο f Α-Φ Φεπδέο δηόηη 4 Γηα ηε ζπλάξηεζε f ( ) ηζρχεη f () ελψ είλαη θπξηή ζην R,νπφηε δελ έρεη ζεκεία θακπήο(ρ 4) =

65 3 Γηα θάζε ζπλάξηεζε f νξηζκέλε θαη δχν θνξέο παξαγσγίζηκε ζ έλα δηάζηεκα Γ, κε εμαίξεζε θάπνην εζσηεξηθφ ζεκείν ζην νπνίν δελ είλαη δχν θνξέο παξαγσγίζηκε, ηζρχεη φηη ην είλαη ζέζε ζεκείνπ θακπήο f Α-Φ Φεπδέο δηόηη Έζησ ε ζπλάξηεζε f( ) 3, 4 ( ), (ρ 44) Η f είλαη δχν θνξέο παξαγσγίζηκε ζην R {} κε 44 6, f( ) ( ), C f Έηζη έρνπκε ηνλ παξαθάησ πίλαθα: f () f () θνίιε θπξηή θπξηή θπξηή Δπεηδή ε f κεδελίδεηαη ζηα ζεκεία θαη, ελψ δελ ππάξρεη ζην, νη πηζαλέο - ζέζεηο ησλ ζεκείσλ θακπήο είλαη ηα ζεκεία, θαη Όκσο, φπσο θαίλεηαη ζηνλ παξαπάλσ πίλαθα θαη ζην ζρήκα, ηα ζεκεία θαη δελ είλαη ζέζεηο ζεκείσλ θακπήο, αθνύ ζ απηά ε f δελ αιιάδεη θπξηόηεηα, ελψ ην ζεκείν είλαη ζέζε ζεκείνπ θακπήο, αθνύ ζην (, f ()) ππάξρεη εθαπηνκέλε ηεο C f θαη ε f ζην αιιάδεη θπξηόηεηα Παξαηεξνχκε ινηπφλ φηη απφ ηηο πηζαλέο ζέζεηο ζεκείσλ θακπήο, ζέζε ζεκείνπ θακπήο είλαη κφλν ην, εθαηέξσζελ ηνπ νπνίνπ ε f αιιάδεη πξφζεκν 65

66 ΜΕΛΕΣΗ ΚΑΙ ΥΑΡΑΞΗ ΣΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΑΗ ΜΙΑ ΤΝΑΡΣΗΗ ηελ παξάγξαθν απηή ζα δνχκε πψο, κε ηε βνήζεηα ησλ πιεξνθνξηψλ πνπ απνθηήζακε κέρξη ηψξα, κπνξνχκε λα ραξάμνπκε ηε γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο κε ηθαλνπνηεηηθή αθξίβεηα Η πνξεία ηελ νπνία αθνινπζνχκε ιέγεηαη κειέηε ηεο ζπλάξηεζεο θαη πεξηιακβάλεη ηα παξαθάησ βήκαηα: ν Βξίζθνπκε ην πεδίν νξηζκνχ ηεο f o Eμεηάδνπκε ηε ζπλέρεηα ηεο f ζην πεδίν νξηζκνχ ηεο 3ν Βξίζθνπκε ηηο παξαγψγνπο f θαη f θαη θαηαζθεπάδνπκε ηνπο πίλαθεο ησλ πξνζήκσλ ηνπο Με ηε βνήζεηα ηνπ πξνζήκνπ ηεο f πξνζδηνξίδνπκε ηα δηαζηήκαηα κνλνηνλίαο θαη ηα ηνπηθά αθξφηαηα ηεο f, ελψ κε ηε βνήζεηα ηνπ πξνζήκνπ ηεο f θαζνξίδνπκε ηα δηαζηήκαηα ζηα νπνία ε f είλαη θπξηή ή θνίιε θαη βξίζθνπκε ηα ζεκεία θακπήο 4ν Μειεηνχκε ηε ζπκπεξηθνξά ηεο ζπλάξηεζεο ζηα άθξα ησλ δηαζηεκάησλ ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο (νξηαθέο ηηκέο, αζχκπησηεο, θηι) 5ν πγθεληξψλνπκε ηα παξαπάλσ ζπκπεξάζκαηα ζ έλα ζπλνπηηθφ πίλαθα πνπ ιέγεηαη θαη πίλαθαο κεηαβνιώλ ηεο f θαη κε ηε βνήζεηά ηνπ ραξάζζνπκε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f Γηα θαιχηεξε ζρεδίαζε ηεο C f θαηαζθεπάδνπκε έλαλ πίλαθα ηηκψλ ηεο f ΥΟΛΗΟ ) Όπσο είλαη γλσζηφ, αλ κηα ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνχ ην Α είλαη ά ξ η η α, ηφηε ε C f έρεη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ άμνλα, ελψ αλ είλαη π ε ξ ηη η ή, ε C f έρεη θέληξν ζπκκεηξίαο ηελ αξρή ησλ αμφλσλ Ο Δπνκέλσο, γηα ηε κειέηε κηαο ηέηνηαο ζπλάξηεζεο κπνξνχκε λα πεξηνξηζηνχκε ζηα A, κε ) Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη π ε ξ η ν δ η θ ή κε πεξίνδν Τ, ηφηε πεξηνξίδνπκε ηε κειέηε ηεο C f ζ έλα δηάζηεκα πιάηνπο Τ 66

67 ΕΡΧΣΗΕΙ ΚΑΣΑΝΟΗΗ ε θαζεκηά από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο λα θπθιώζεηε ην γξάκκα Α, αλ ν ηζρπξηζκόο είλαη αιεζήο θαη ην γξάκκα Φ, αλ ν ηζρπξηζκόο είλαη ςεπδήο δηθαηνινγώληαο ζπγρξόλσο ηελ απάληεζε ζαο Η Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην,] ζην,) ( θαη f ( ) γηα φια ηα (,), ηφηε ( ) f () [, παξαγσγίζηκε f Αλ ε ζπλάξηεζε f παξαγσγίδεηαη ζην [, β] ηφηε ππάξρεη ( α, ) ηέηνην, ψζηε f ( ) β α κε f ( β) f ( α), 3 Αλ νη f, g είλαη ζπλαξηήζεηο παξαγσγίζηκεο ζην [ α, β], κε f ( α) g( α) θαη f ( β) g( β), ηφηε ππάξρεη ( α, β) ηέηνην, ψζηε ζηα ζεκεία A (, f ( )) θαη B (, g( )) νη εθαπηφκελεο λα είλαη παξάιιειεο Α Α Α Ψ Ψ Ψ 4 Αλ f ( ) ( ) ( ) γηα θάζε, ηφηε: α) ην f () είλαη ηνπηθφ κέγηζην ηεο f A Ψ β) ην f () είλαη ηνπηθφ ειάρηζην ηεο f Α Ψ 5 α) Η γξαθηθή παξάζηαζε κηαο πνιπσλπκηθήο ζπλάξηεζεο άξηηνπ βαζκνχ έρεη πάληνηε νξηδφληηα εθαπηνκέλε β) Η γξαθηθή παξάζηαζε κηαο πνιπσλπκηθήο ζπλάξηεζεο πεξηηηνχ βαζκνχ έρεη πάληνηε νξηδφληηα εθαπηνκέλε 3 6 Η ζπλάξηεζε f ( ) α β γ δ κε α, β, γ, δ θαη α έρεη πάληα έλα ζεκείν θακπήο 7 Αλ νη ζπλαξηήζεηο f, g έρνπλ ζην ζεκείν θακπήο, ηφηε θαη ε h f g έρεη ζην ζεκείν θακπήο 8 Γίλεηαη φηη ε ζπλάξηεζε f παξαγσγίδεηαη ζην θαη φηη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε είλαη πάλσ απφ ηνλ άμνλα Αλ ππάξρεη θάπνην ζεκείν A (, f ( )) ηεο C f ηνπ νπνίνπ ε απφζηαζε απφ ηνλ άμνλα είλαη κέγηζηε (ή ειάρηζηε), ηφηε ζε απηφ ην ζεκείν ε εθαπηνκέλε ηεο C είλαη νξηδφληηα f Α Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 67

68 9 Η επζεία είλαη θαηαθφξπθε αζχκπησηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο: α) ( ) 3 f Α Ψ 3 β) g ( ) Α Ψ ( ) Αλ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f δίλεηαη απφ ην παξαθάησ ζρήκα, ηφηε: 4 i) ην πεδίν νξηζκνχ ηεο είλαη ην (, 4 ) Α Ψ f ii) ην πεδίν νξηζκνχ ηεο είλαη ην [, 4 ] Α Ψ f iii) f ( ) γηα θάζε (, 4) Α Ψ iv) ππάξρεη, 4) : f ( ) Α Ψ ( 3 Η ζπλάξηεζε f ( ) έρεη: α) κηα, ηνπιάρηζηνλ, ξίδα ζην (,) Α Ψ β) κηα, αθξηβψο, ξίδα ζην (, ) Α Ψ γ) ηξεηο πξαγκαηηθέο ξίδεο Α Ψ Αλ γηα ηηο παξαγσγίζηκεο ζην ζπλαξηήζεηο f, g ηζρχνπλ ( ) 4 f ( ) 3, f ( 5) 6, g ( ) 5, g ( ), ( 4) ) g, ηφηε f g () ( g f ) () ΗI Α Ψ f, ε θαζεκηά από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο λα θπθιώζεηε ηε ζσζηή απάληεζε Σν Α) 3 3 π π εθ h εθ 6 6 lim h h Β) 3 4 ηζνχηαη κε: Γ) 3 Γ) Δ) 4 3 Σν Α) lim h h h ηζνχηαη κε: Β) Γ) Γ) 3 3 Αλ f ( ) 5 ηφηε ε f () ηζνχηαη κε: Δ) 68

69 3 Α) 3 5 Β) 3 Γ) Γ) 3ln5 3 Δ) 5 3 ln5 3 4 Αλ f ( ) ζπλ ( ) ηφηε ε f (π) ηζνχηαη κε: 3 Α) 3ζπλ ( )εκ( π ) π Β) 3ζπλ ( π ) Γ) 3ζπλ ( )εκ( π ) π Γ) 3π ζπλ ( π ) 3 5 Αλ f ( ) ( ) ηφηε ε έβδνκε παξάγσγνο απηήο ζην ηζνχηαη κε: 3 5 Α) Β) Γ) Γ) 7 Δ) δελ ππάξρεη 6 Αλ νη εθαπηφκελεο ησλ ζπλαξηήζεσλ f ( ) ln θαη g( ) ζηα ζεκεία κε ηεηκεκέλε είλαη παξάιιειεο, ηφηε ην είλαη: Α) Β) Γ) Γ) Δ) 4 β α 7 Αλ f ( ) e, g( ) e θαη ηνπ α ηζνχηαη κε: α Α) Γ) α α α Β) Δ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) α α α α 8 Αλ f ( ) γηα θάζε [, ] θαη f ( ), ηφηε: Α) ( ), ηφηε ην β σο ζπλάξηεζε α Γ) f Β) f ( ) Γ) f ( ) Γ) ( ) ΗΗΗ α f Να αληηζηνηρίζεηε θαζεκηά απφ ηηο ζπλαξηήζεηο α, β, γ, δ ζε εθείλε απφ ηηο ζπλαξηήζεηο Α, Β, Γ, Γ, Δ, Z πνπ λνκίδεηε φηη είλαη ε παξάγσγφο ηεο (a) (β) 69

70 (γ) (δ) (Α) (Β) (Γ ) - (Γ) (Δ) (Ε) Καζεκηά απφ ηηο παξαθάησ ζπλαξηήζεηο λα αληηζηνηρίζεηε ζηελ επζεία πνπ είλαη αζχκπησηε ηεο γξαθηθήο ηεο παξάζηαζεο ζην ΤΝΑΡΣΗΗ ΑΤΜΠΣΧΣΗ f ( ) Α f ( ) Β 3 e 3 ( ) f Γ Γ Δ 7

71 ΚΔΦΑΛΑΗΟ 3 35 E6-E ΟΡΗΜΟΗ-ΘΔΧΡΖΜΑΣΑ «ΜΔ ΟΝΟΜΑΣΔΠΧΝΤΜΟ» ΟΡΗΜΟ ΑΡΥΗΚΖ ΤΝΑΡΣΖΖ Ζ ΠΑΡΑΓΟΤΑ Έζησ f κηα ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε έλα δηάζηεκα Γ Αξρηθή ζπλάξηεζε ή παξάγνπζα ηεο f ζην Δ () νλνκάδεηαη θάζε ζπλάξηεζε F πνπ είλαη παξαγσγίζηκε ζην Γ θαη ηζρχεη F( ) f ( ), γηα θάζε 36 ΟΡΗΜΟ ΟΡΗΜΔΝΟΤ ΟΛΟΚΛΖΡΧΜΑΣΟ =f() a= ξ ξ k v- ξ v v =β ξ Έζησ κηα ζπλάξηεζε f ζ π λ ε ρ ή ο ζην [, ] Με ηα ζεκεία ρσξίδνπκε ην δηάζηεκα [, ] ζε λ ηζνκήθε ππνδηαζηήκαηα κήθνπο ηε ζπλέρεηα επηιέγνπκε απζαίξεηα έλα [, ], γηα θάζε {,,, }, θαη ζρεκαηίδνπκε ην άζξνηζκα S f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ην νπνίν ζπκβνιίδεηαη, ζχληνκα, σο εμήο: S f ( ) () Aπνδεηθλχεηαη φηη, () Απνδεηθλχεηαη φηη θάζε ζπλερήο ζπλάξηεζε ζε δηάζηεκα Γ έρεη παξάγνπζα ζην δηάζηεκα απηφ () Σν άζξνηζκα απηφ νλνκάδεηαη έλα άζξνηζκα RIEMANN 7

72 Σν φξην ηνπ αζξνίζκαηνο S, δειαδή ην lim ( ) () ππάξρεη ζην R θαη είλαη αλεμάξηεην απφ ηελ επηινγή ησλ ελδηάκεζσλ ζεκείσλ Σν παξαπάλσ φξην () νλνκάδεηαη νξηζκέλν νινθιήξσκα ηεο ζπλερνχο ζπλάξηεζεο f απφ ην α ζην β, ζπκβνιίδεηαη κε ( ) θαη δηαβάδεηαη a νινθιήξσκα ηεο f απφ ην α ζην β Γειαδή, f ( ) d lim f ( ) 37 4Λ-Δ6Λ-ΔΛ-Δ5Λ-6Λ-Δ7Λ-6 ΓΗΑΣΤΠΧΖ ΘΔΜΔΛΗΧΓΔ ΘΔΧΡΖΜΑ ΣΟΤ ΟΛΟΚΛΖΡΧΣΗΚΟΤ ΛΟΓΗΜΟΤ Έζησ f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλα δηάζηεκα [, ] Αλ G είλαη κηα παξάγνπζα ηεο f ζην [,, ] ηφηε f ( t) dt G( ) G( ) 38 ΟΡΗΜΟ ΔΜΒΑΓΟΤ Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζε έλα δηάζηεκα [, ] θαη f( ) γηα θάζε [, ], ηφηε ην εκβαδφλ ηνπ ρσξίνπ Ω πνπ νξίδεηαη απφ ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f, ηηο επζείεο, θαη ηνλ άμνλα (ρ 6) είλαη E( ) f ( ) d α =f() Ω β 6 7

73 ΑΠΟΓΔΗΞΔΗ 3 E3--E5 Έζησ f κηα ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε έλα δηάζηεκα Γ Αλ F είλαη κηα παξάγνπζα ηεο f ζην Γ, ηφηε θαη φιεο νη ζπλαξηήζεηο ηεο κνξθήο είλαη παξάγνπζεο ηεο f ζην Γ G( ) F( ) c, c R, θάζε άιιε παξάγνπζα G ηεο f ζην Γ παίξλεη ηε κνξθή G( ) F( ) c, c R, ΑΠΟΔΕΙΞΗ Κάζε ζπλάξηεζε ηεο κνξθήο G( ) F( ) c, φπνπ c R, είλαη κηα παξάγνπζα ηεο f ζην Γ, αθνχ G( ) ( F( ) c) F( ) f ( ), γηα θάζε Έζησ G είλαη κηα άιιε παξάγνπζα ηεο f ζην Γ Σφηε γηα θάζε F( ) f ( ) θαη G( ) f ( ), νπφηε G( ) F( ), γηα θάζε Άξα, ζχκθσλα κε ην πφξηζκα ηεο 6, ππάξρεη ζηαζεξά c ηέηνηα, ψζηε G( ) F( ) c, γηα θάζε Γ ηζρχνπλ 4 5Λ-Δ7Λ Αλ f είλαη κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζε έλα δηάζηεκα Γ θαη α είλαη έλα ζεκείν ηνπ Γ, ηφηε ε ζπλάξηεζε 73

74 F( ) f ( t) dt,, είλαη κηα παξάγνπζα ηεο f ζην Γ Γειαδή ηζρχεη: f ( t ) dt f ( ), γηα θάζε a Δπνπηηθά ην ζπκπέξαζκα ηνπ παξαπάλσ ζεσξήκαηνο πξνθχπηεη (ρ 4) σο εμήο: h F( h) F( ) f ( t) dt Δκβαδφλ ηνπ ρσξίνπ Ω f ( ) h, γηα κηθξά h Άξα, γηα κηθξά h είλαη F( h) F( ) f( ), h νπφηε F( h) F( ) F( ) lim f ( ) h h 5 -Δ8-3 ΘΔΜΔΛΗΧΓΔ ΘΔΧΡΖΜΑ ΣΟΤ ΟΛΟΚΛΖΡΧΣΗΚΟΤ ΛΟΓΗΜΟΤ Έζησ f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλα δηάζηεκα [ α, β] Αλ G είλαη κηα παξάγνπζα ηεο f ζην [,, ] ηφηε ΑΠΟΔΕΙΞΗ f ( t) dt G( ) G( ) χκθσλα κε ην πξνεγνχκελν ζεψξεκα, ε ζπλάξηεζε F( ) f ( t) dt είλαη κηα παξάγνπζα ηεο f ζην [, ] Δπεηδή θαη ε G είλαη κηα παξάγνπζα ηεο f ζην [,, ] ζα ππάξρεη c R ηέηνην, ψζηε G( ) F( ) c () Απφ ηελ (), γηα, έρνπκε G( ) F( ) c f ( t) dt c c, νπφηε c G( ) Δπνκέλσο, νπφηε, γηα, έρνπκε G( ) F( ) G( ), α F() f() =f() β 4 74

75 θαη άξα G( ) F( ) G( ) f ( t) dt G( ) f ( t) dt G( ) G( ) 6 Έζησ δπν ζπλαξηήζεηο f θαη g, ζπλερείο ζην δηάζηεκα [, ] κε f ( ) g( ) γηα θάζε [, ] θαη Ω ην ρσξίν πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ f, g θαη ηηο επζείεο θαη Να απνδείμεηε φηη E( ) ( f ( ) g( )) d ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έζησ δπν ζπλαξηήζεηο f θαη g, ζπλερείο ζην δηάζηεκα [, ] κε f ( ) g( ) γηα θάζε [, ] θαη Ω ην ρσξίν πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ f, g θαη ηηο επζείεο θαη (ρ 8α) =f() =f() 8 Ω =g() (α) Ω (β) =g() Ω (γ) Παξαηεξνχκε φηη ( ) ( ) ( ) f ( ) d g( ) d ( f ( ) g( )) d Δπνκέλσο, E( ) ( f ( ) g( )) d () 7 Έζησ δπν ζπλαξηήζεηο f θαη g, ζπλερείο ζην δηάζηεκα [, ] κε f ( ) g( ) γηα θάζε [, ] θαη Ω ην ρσξίν πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ f, g θαη ηηο επζείεο θαη Να απνδείμεηε φηη E( ) ( f ( ) g( )) d 75

76 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Δπεηδή νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη ζπλερείο ζην [, ], ζα ππάξρεη αξηζκφο c R ηέηνηνο ψζηε f ( ) c g( ) c, γηα θάζε [, ] Δίλαη θαλεξφ φηη ην ρσξίν Ω (ρ α) έρεη ην ίδην εκβαδφλ κε ην ρσξίν (ρ β) =f()+c Ω =f() Ω =g()+c α β α β =g() Δπνκέλσο, ζχκθσλα κε ηελ πξνεγνχκελε πξφηαζε, Έζησ δπν ζπλαξηήζεηο f θαη g, ζπλερείο ζην δηάζηεκα [, ] κε f ( ) g( ) γηα θάζε [, ] θαη Ω ην ρσξίν πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ f, g θαη ηηο επζείεο θαη Να απνδείμεηε φηη E( ) ( f ( ) g( )) d έρνπκε Άξα, ( ) ( ) [( f ( ) c) ( g( ) c)] d ( f ( ) g( )) d E( ) ( f ( ) g( )) d 8 Να ππνινγίζεηε ην εκβαδφλ ηνπ ρσξίνπ Ω πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηνλ άμνλα, ηε γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο g, κε g ( ) γηα θάζε [, ] θαη ηηο επζείεο θαη (ρ ) 76

77 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Πξάγκαηη, επεηδή ν άμνλαο είλαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f( ), έρνπκε [ g( )] d g( ) d E( ) ( f ( ) g( )) d Δπνκέλσο, αλ γηα κηα ζπλάξηεζε g ηζρχεη g ( ) γηα θάζε [, ], ηφηε α Ω β =g() E( ) g( ) d 9 Να ππνινγίζεηε ην εκβαδφλ ηνπ ρσξίνπ Ω πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ f, g θαη ηηο επζείεο θαη φηαλ ε δηαθνξά f ( ) g( ) δελ δηαηεξεί ζηαζεξφ πξφζεκν ζην [, ] (ρ 3) Ω α γ =g() =f() Ω 3 Ω δ β 3 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Όηαλ ε δηαθνξά f ( ) g( ) δελ δηαηεξεί ζηαζεξφ πξφζεκν ζην [, ], φπσο ζην ρήκα 3, ηφηε ην εκβαδφλ ηνπ ρσξίνπ Ω πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ f, g θαη ηηο επζείεο θαη είλαη ίζν κε ην άζξνηζκα ησλ εκβαδψλ ησλ ρσξίσλ, θαη 3 Γειαδή, ( ) ( ) ( ) ( 3) ( f ( ) g( )) d ( g( ) f ( )) d ( f ( ) g( )) d f ( ) g( ) d f ( ) g( ) d f ( ) g( ) d f ( ) g( ) d 77

78 Δπνκέλσο, E( ) f ( ) g( ) d ΥΟΛΗΑ -Λ 3 Αλ νη ζπλαξηήζεηο F θαη G είλαη παξάγνπζεο ησλ f θαη g θαη ν ι είλαη έλαο πξαγκαηηθφο αξηζκφο,ηφηε: Η ζπλάξηεζε F+G είλαη κηα παξάγνπζα ηεο f+g, θαη Η ζπλάξηεζε ι F είλαη κηα παξάγνπζα ηεο ιf 3 Οη αξηζκνί α θαη β νλνκάδνληαη όξηα ηεο νινθιήξσζεο Η έλλνηα φξηα εδψ δελ έρεη ηελ ίδηα έλλνηα ηνπ νξίνπ ηνπ νπ θεθαιαίνπ 33 ηελ έθθξαζε f ( ) d ην γξάκκα είλαη κηα κεηαβιεηή θαη κπνξεί λα αληηθαηαζηαζεί κε νπνηνδήπνηε άιιν γξάκκα Έηζη, γηα παξάδεηγκα, νη εθθξάζεηο f ( ) d, f () t dt ζπκβνιίδνπλ ην ίδην νξηζκέλν νινθιήξσκα θαη είλαη πξαγκαηηθφο αξηζκφο 34 f ( ) d f ( ) d 35 f ( ) d 36 Αλ f( ), ηφηε f ( ) d 37 Αλ c, ηφηε ην cd εθθξάδεη ην εκβαδφλ ελφο νξζνγσλίνπ κε βάζε θαη χςνο c (ρ ) 38 Έζησ f, g ζ π λ ε ρ ε ί ο ζπλαξηήζεηο ζην [, ] θαη, R Σφηε ηζρχνπλ θαη γεληθά f ( ) d f ( ) d [ f ( ) g( )] d f ( ) d g( ) d =c α β 78

79 39 8Λ [ f ( ) g( )] d f ( ) d g( ) d Αλ ε f είλαη ζ π λ ε ρ ή ο ζε δηάζηεκα Γ θαη,,, ηφηε ηζρχεη 4 5Λ-Δ6Λ f ( ) d f ( ) d f ( ) d Έζησ f κηα ζ π λ ε ρ ή ο ζπλάξηεζε ζε έλα δηάζηεκα [, ] Αλ f( ) γηα θάζε [, ] θαη ε ζπλάξηεζε f δελ είλαη παληνχ κεδέλ ζην δηάζηεκα απηφ, ηφηε f ( ) d ( ) ( ( )) ( ) 4 a 4 6Λ-Δ7Λ-Λ f ( ) g( ) d [ f ( ) g( )] f ( ) g( ) d φπνπ f, g είλαη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο ζην [, ], 44 Δ8Λ-Δ7 Λ u 43 f ( g ( )) g ( ) d f ( u ) du u φπνπ f, g είλαη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο, u g( ), du g( ) d θαη u g( ), u g( ) Σν f ( ) d είλαη ίζν κε ην άζξνηζκα ησλ εκβαδψλ ησλ ρσξίσλ πνπ βξίζθνληαη πάλσ απφ ηνλ άμνλα κείνλ ην άζξνηζκα ησλ εκβαδψλ ησλ ρσξίσλ πνπ βξίζθνληαη θάησ απφ ηνλ άμνλα (ρ 5) Ο a β 45 Δ7Λ Γηα θάζε ζπλερή ζπλάξηεζε f:[α,β] R, αλ ηζρχεη f ( ) d ηφηε f()= γηα θάζε [, ] a 79

80 ΕΡΧΣΗΕΙ ΚΑΣΑΝΟΗΗ Η ε θαζεκηά από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο λα θπθιώζεηε ην γξάκκα Α, αλ ν ηζρπξηζκόο είλαη αιεζήο θαη ην γξάκκα Φ, αλ ν ηζρπξηζκόο είλαη ςεπδήο δηθαηνινγώληαο ζπγρξόλσο ηελ απάληεζή ζαο Ιζρχεη ( ) g( )) d f ( ) d ( f g( ) d Α Ψ β Ιζρχεη β ) g( ) d f ( ) d α α α β f ( g( ) d Α Ψ 3 Αλ, ηφηε f ( ) d Α Ψ 4 Αλ f ( ) d, ηφηε θαη αλάγθε ζα είλαη f ( ) γηα θάζε [, ] Α Ψ 5 Αλ f ( ) γηα θάζε [, ], ηφηε f ( ) d Α Ψ 6 Αλ f ( ) d, ηφηε θαη αλάγθε ζα είλαη f ( ) γηα θάζε [, ] Α Ψ 7 ( ) d 4, γηα θάζε Α Ψ 4 ( ) d / 4 8 ln( εκ ) d / 4 ln ζπλd Α Ψ e 9 ln d ln dt Α Ψ e t Αλ f ( ) d θαη ε f δελ είλαη παληνχ κεδέλ ζην [, ], ηφηε ε f παίξλεη δπν, ηνπιάρηζηνλ, εηεξφζεκεο ηηκέο 3 Σν νινθιήξσκα ( ) d παξηζηάλεη ην εκβαδφλ ηνπ ρσξίνπ Α Ψ Α Ψ 8

81 πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο άμνλα ησλ f ( ) 3 θαη ηνλ ΗΗ ε θαζεκηά από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο λα θπθιώζεηε ηε ζσζηή απάληεζε Αλ f ( ) εκπ θαη f ( ), ηφηε ην f () ηζνχηαη κε Α), Β), Γ), Γ) π π π π Σν νινθιήξσκα d είλαη ίζν κε Α), Β), Γ), Γ), Δ) Έζησ f, g δπν παξαγσγίζηκεο ζπλαξηήζεηο κε ζπλερείο παξαγψγνπο ζην [ α, β] Αλ f ( ) g( ) γηα θάζε [ α, β], ηφηε θαη αλάγθε ζα ηζρχεη: Α) f ( ) g( ), [ α, β] α Γ) ) d β f ( g( ) d α β β, Β) ( ) d 6 Σν εκβαδφλ ηνπ γξακκνζθηαζκέλνπ ρσξίνπ ηνπ δηπιαλνχ ζρήκαηνο είλαη ίζν κε Α) 5 3 f ( ) d, Β) 3 f ( ) d 5 Γ) ) d f ( f ( ) d, Γ) f ( ) d f ( ) d 5 α f g( ) d 7 Aλ f ( ) g( ) γηα θάζε [, ] θαη f ( ) g(), ηφηε γηα θάζε [, ] ηζρχεη: Α) f ( ) g( ), Β) ( f ( ) g( )) d 4 Γ) f ( ) g( ), [, ] Γ) Οη f C, C έρνπλ θνηλφ ζεκείν ζην [,] g α β 8 Έζησ ε ζπλάξηεζε F( ) f ( t) dt φπνπ f ε ζπλάξηεζε ηνπ δηπιαλνχ ζρήκαηνο Σφηε ε F () είλαη ίζε κε C f Α), Β), Γ), Γ) 3 9 Έζησ ε ζπλάξηεζε f ηνπ δηπιαλνχ ζρήκαηνο Aλ ηφηε ην β f ( ) d είλαη ίζν κε α Α) 6, Β) 4, Γ) 4, E ( Ω ), Δ ( Ω ) θαη Δ ( Ω3 ) 3 8