ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ"

Transcript

1 ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΦΟΥΝΤΟΥΚΙ ΗΣ Γ. ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Ρ. ΧΗΜΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ ΑΘΗΝΑ 01

2 Καόες Ασφαλείας 1. Κατά τη χρήση χηµικώ ουσιώ πρέπει α είαι γωστές οι επικίδυες ιδιότητες της χηµικής ουσίας και α λαµβάοται τα κατάλληλα µέτρα προστασίας.. Προτού χρησιµοποιήσετε κάποιο ατιδραστήριο α διαβάζετε καλά τη ετικέτα του. 3. Η χρήση ατιδραστηρίω που εκλύου τοξικούς ατµούς γίεται πάτα στο απαγωγό. 4. Μετά το τέλος κάθε εργασίας ή πειράµατος α πλύετε καλά µε σαπούι τα χέρια σας και α ξεπλύετε µε άφθοο ερό. 5. Να ξεπλέετε αµέσως και µε άφθοο ερό τα µάτια ή τα χέρια σας µετά από επαφή µε οποιοδήποτε ατιδραστήριο. 6. Σε περίπτωση προσβολής από οξύ: Πλύσιµο µε άφθοο ερό, µετά µε κορεσµέο διάλυµα όξιου αθρακικού ατρίου και πάλι µε άφθοο ερό. Σε περίπτωση δηµιουργίας χηµικού εγκαύµατος η παραπάω διαδικασία συµπληρώεται µε χρήση ατισηπτικού υγρού, στέγωµα και επάλειψη µε ειδική αλοιφή. 7. Σε περίπτωση προσβολής από αλκάλια: Πλύσιµο µε άφθοο ερό, µετά µε 1% οξικό οξύ ή βορικό οξύ και πάλι µε ερό. Σε περίπτωση εγκαύµατος ακολουθείται η ίδια µε τη παραπάω συµπληρωµατική διαδικασία. 8. Για προστασία τω µατιώ από κάθε είδους κίδυο πρέπει α φοράτε τα ειδικά προστατευτικά γυαλιά. 9. Να εηµερωθείτε για τη θέση τω πυροσβεστήρω και τη λειτουργία τους. 10. Εά συµβεί αάφλεξη υγρού χρησιµοποιείστε το πυροσβεστήρα. 11. Εά συµβεί αάφλεξη τω ρούχω σας τυλιχθείτε µε ατιπυρική κουβέρτα ή έα βαρύ παλτό. Χρησιµοποιείστε, α υπάρχει, το καταιωιστήρα ερού. 1. Να βεβαιώεστε ότι οι ηλεκτρικές συσκευές είαι γειωµέες. 13. Να ααφέρετε οποιοδήποτε ατύχηµα που συέβη. 14. Να επιθεωρείτε το Εργαστήριο σχολαστικά πρι φύγετε από αυτό, α τακτοποιείτε τις συσκευές, τα σκεύη και τα ατιδραστήρια και α κλείετε τους διακόπτες ρεύµατος, υγραερίου, ερού.

3 3 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ - ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ - ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ Α ΕΞΑΜ. 1. Στατιστική επεξεργασία µετρήσεω. Γραµµική παλιδρόµηση. Μέθοδος ελαχίστω τετραγώω 3. Ισοζύγιο εέργειας. 4. Χηµική ισορροπία, οξέα, βάσεις, ph. Ογκοµετρική αάλυση οξικού οξέος 5. Χηµική αάλυση ερού. Προσδιορισµός σκληρότητας 6. ιαλυµέο οξυγόο στο ερό (DO) - 1 ο γραπτό διαγώισµα 7. Αφαλάτωση ερού µε Ατίστροφη Ώσµωση (RO) 8. Προσδιορισµός BOD και COD 9. ιάβρωση τω µετάλλω 10. Μετάδοση θερµότητας. Θερµικές απώλειες 11. Θερµική αάλυση. ιαγράµµατα φάσεω κραµάτω 1. Χηµική κιητική. Ταχύτητα ατίδρασης 13. Υδρόλυση. Ρυθµιστικά διαλύµατα 14. Καθίζηση σωµατιδίω. Κοκκοµετρική αάλυση µε αραιόµετρο 15. ο γραπτό διαγώισµα στο σύολο της ύλης

4 4 ΑΣΚΗΣΗ 1 η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Α. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 1.1 Σφάλµατα Κατά τη παρασκευή εός προϊότος σε µια βιοµηχαία, πολλά χαρακτηριστικά του προϊότος διαφέρου τόσο σε κάθε παρτίδα παραγωγής, όσο και στη ίδια παρτίδα ή σε κάθε συσκευασία. Οι διαφορές αυτές τω χαρακτηριστικώ οφείλοται σε πολλούς παράγοτες, όπως στη πρώτη ύλη, στη µέθοδο, τα µηχαήµατα, τη εξειδίκευση του προσωπικού κ.τ.λ. Κατά το ποιοτικό έλεγχο του προϊότος παραγωγής µιας βιοµηχαίας τα αποτελέσµατα τω ααλύσεω, ή τω µετρήσεω, σπάια συµφωού απόλυτα µεταξύ τους, παρόλο που χρησιµοποιείται η ίδια µέθοδος αάλυσης ή µέτρησης ή αξιολόγησης. Κατά το έλεγχο της περιεκτικότητας σε σίδηρο σε έα ορυχείο σιδήρου, λαµβάοται δείγµατα του µεταλλεύµατος από τυχαίες θέσεις και µετρείται η περιεκτικότητα. Παρατηρούµε ότι οι µετρήσεις διαφέρου µεταξύ τους. Η διακύµαση τω µετρήσεω οφείλεται σε πολλές αιτίες. Για παράδειγµα διαφορετικές τοποθεσίες µέσα στο ορυχείο ααµέεται α δίου διαφορετικά αποτελέσµατα. Άλλες πιθαές αιτίες διακύµασης µπορεί α οφείλοται στο ααλυτή (α είαι περισσότεροι από έας), ή στη ώρα της ηµέρας που έγιε η µέτρηση (έας εργαζόµεος αποδίδει καλύτερα στη αρχή του ωραρίου του παρά στο τέλος που είαι κουρασµέος) κλπ. Από τα αωτέρω συάγεται ότι στα αποτελέσµατα τω µετρήσεω υπεισέρχοται κάποια σφάλµατα. Για α ελέγξουµε τη ολική ποιότητα εός προϊότος ή τη ακρίβεια τω µετρήσεω πρέπει α καθορίσουµε το µέγεθος του σφάλµατος που ααπόφευκτα υπάρχει σε κάθε µέτρηση. Στις περιπτώσεις αυτές εφαρµόζουµε στατιστικές µεθόδους για α µπορούµε α ελέγξουµε τη αξιοπιστία τω αποτελεσµάτω. Τα σφάλµατα ααλόγως της προέλευσής τω µπορεί α είαι : Τυχαία σφάλµατα ( Random errors) : Οφείλοται σε παράγοτες που δε γωρίζουµε ή που δε µπορούµε α ελέγξουµε και γι αυτό τα οοµάζουµε τυχαία. Στη περίπτωση που έχουµε τυχαία σφάλµατα οι µετρήσεις µας καταέµοται οµοιόµορφα γύρω από τη µέση τιµή, ακολουθώτας τη καοική καταοµή (βλ ----). Η έοια του τυχαίου σφάλµατος είαι σχετική και εξαρτάται από τη διαθέσιµη

5 5 µετρητική διάταξη. Για παράδειγµα σε έα ζυγό ακριβείας τα τυχό ρεύµατα αέρα προκαλού σφάλµατα που τα θεωρούµε τυχαία. Ατίθετα σε έα άλλο ζυγό ακριβείας, όπου ο δίσκος ζύγισης κλείει µε παραθυράκια, τα τυχό ρεύµατα αέρα δε προκαλού σφάλµατα. Συστηµατικά σφάλµατα (Systematic errors) : Τα συστηµατικά σφάλµατα επηρεάζου κατά το ίδιο µέτρο τις µετρήσεις µας, οι οποίες καταέµοται γύρω από τη µέση τιµή, που είαι όµως διάφορη της πραγµατικής. Αυτά τα σφάλµατα οφείλοται (όπως άλλωστε δηλώει και η οοµασία τους) σε κάποιο συστηµατικό λάθος που γίεται κατά τη διάρκεια του πειράµατος. Για παράδειγµα το όργαο τω µετρήσεω δε έχει ρυθµιστεί σωστά και µας δίει συεχώς τιµές µεγαλύτερες ή µικρότερες της πραγµατικής ή η πειραµατική διαδικασία, α και ορθή, δε ακολουθείται επακριβώς ή η µεθοδολογία µέτρησης είαι αφ εαυτής λαθασµέη. Λοιπά σφάλµατα (Gross errors) : Οοµάζοται όλα τα υπόλοιπα σφάλµατα που µπορεί α οφείλοται σε σοβαρά λάθη που έγια κατά το πείραµα ή σε κάποιο ατύχηµα, όπως η καταστροφή εός κρίσιµου δείγµατος ή η βλάβη εός οργάου. Είαι στη πλειοψηφία τους οφθαλµοφαή λάθη και ο µόος τρόπος για α τα εξαλείψουµε είαι α ξαακάουµε το πείραµα από τη αρχή. 1. Συλλογή και παρουσίαση στατιστικώ στοιχείω Η συλλογή τω στατιστικώ στοιχείω γίεται µε διάφορες µεθόδους, όπως η απογραφή και η δειγµατοληψία. Στη απογραφή συγκετρώοται στοιχεία από όλες τις µοάδες του πληθυσµού που θέλουµε α µελετήσουµε σε µια χροική περίοδο. Στη δειγµατοληψία εξετάζουµε έα µικρό µέρος (δείγµα) του πληθυσµού, το οποίο επιλέγουµε κατά τέτοιο τρόπο, ώστε οι πληροφορίες, οι εκτιµήσεις και τα συµπεράσµατα που θα πάρουµε από αυτό, α έχου ισχύ για όλο το σύολο του πληθυσµού στο οποίο αήκει το δείγµα. Στη περίπτωση αυτή λέµε ότι το δείγµα είαι ατιπροσωπευτικό του πληθυσµού. Ορίζουµε τις παρακάτω στατιστικές έοιες: Πληθυσµός: Είαι το σύολο τω µετρήσεω ή γεικά τω παρατηρήσεω, οι οποίες ααφέροται σε έα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα τω µοάδω του συόλου που εξετάζουµε. Για πειραµατικές µετρήσεις, ο πληθυσµός θεωρητικά, είαι ο άπειρος αριθµός µετρήσεω που µπορού α εκτελεστού. Μεταβλητή: Είαι το χαρακτηριστικό ή η ιδιότητα τω στατιστικώ µοάδω ως προς τo οποίo εξετάζουµε έα πληθυσµό. Για πειραµατικές µετρήσεις είαι το

6 6 αριθµητικό αποτέλεσµα της πειραµατικής µέτρησης, δηλαδή η πειραµατική τιµή (xi) i=1,,..., είγµα: Η λήψη όλω τω δυατώ τιµώ µιας µεταβλητής (απογραφή) είαι δαπαηρή και πολλές φορές αδύατη (πειραµατικές µετρήσεις). Για το λόγο αυτό στη πράξη παίρουµε έα περιορισµέο αριθµό τιµώ µιας µεταβλητής xi που οοµάζουµε δείγµα (το είαι το µέγεθος του δείγµατος). Το δείγµα για α είαι ατιπροσωπευτικό του πληθυσµού από το οποίο προέρχεται πρέπει α έχει επιλεγεί µε επιστηµοικές µεθόδους δειγµατοληψίας. Η παρουσίαση τω στατιστικώ στοιχείω γίεται µε τους στατιστικούς πίακες και µε τα διαγράµµατα. Η παρουσίαση τω στατιστικώ στοιχείω σε πίακες γίεται µε τη κατάλληλη τοποθέτηση τω στατιστικώ πληροφοριώ σε στήλες και γραµµές, κατά τρόπο που α διευκολύεται η σύγκριση τω στοιχείω και η καλύτερη εηµέρωση για τη δοµή του πληθυσµού που ερευάται. Μετά τη συγκέτρωση τω στατιστικώ στοιχείω οι τιµές της µεταβλητής κατατάσσοται και οµαδοποιούται συστηµατικά. Σηµατικό βήµα στη στατιστική αάλυση είαι η οργάωση τω στατιστικώ δεδοµέω µε τη µορφή µιας καταοµής συχοτήτω ή πίακα συχοτήτω. Για τη κατασκευή του πίακα συχοτήτω τα δεδοµέα ταξιοµούται σε µικρό πλήθος οµάδω που οοµάζοται κλάσεις. Οι κλάσεις συήθως έχου το ίδιο εύρος και είαι διαστήµατα κλειστά αριστερά και αοικτά δεξιά δηλαδή [, ). Ο αριθµός τω οµάδω µπορεί α ορίζεται αυθαίρετα από το ερευητή αλλά εξαρτάται από το µέγεθος του δείγµατος. Καλό είαι α ακολουθείται ο παρακάτω πίακας. Πίακας 1.1: Πίακας επιλογής αριθµού κλάσεω Μέγεθος δείγµατος Αριθµός κλάσεω κ Μέγεθος δείγµατος Αριθµός κλάσεω κ Μικρότερο του Αφού επιλεγεί ο αριθµός τω κλάσεω προσδιορίζεται το εύρος κάθε κλάσης διαιρώτας το εύρος του δείγµατος (αώτερη κατώτερη τιµή) µε το αριθµό τω κλάσεω. Ο παρακάτω πίακας δίει τη καταοµή τω µετρήσεω της πυκότητας εός διαλύµατος 3Μ NaCl από µία οµάδα = 50 σπουδαστώ σ έα εργαστήριο.

7 7 Πίακας 1.: Πίακας καταοµής Συχοτήτω α/α Πυκότητα διαλύµατος Αριθµός φοιτητώ 3Μ NaCl (gr/ml) Συχότητα i 1 1,09-1,10 4 1,10-1, ,11-1, ,1-1, ,13-1, ,14-1,15 5 Σ i = = 50 Εά θέλαµε α συγκρίουµε τα παραπάω αποτελέσµατα, µε τα αποτελέσµατα τω µετρήσεω της πυκότητας εός διαλύµατος 3Μ NaCl από µία άλλη οµάδα 10 σπουδαστώ σ έα άλλο εργαστήριο, τα αποτελέσµατα που θα προέκυπτα από τους δύο πίακες καταοµής συχοτήτω, δε θα ήτα άµεσα συγκρίσιµα. Ορίζουµε έα άλλο στατιστικό µέγεθος, τη σχετική συχότητα (f i ), που δίεται από τη σχέση: i f i = (1.1) Σ i Ο Πίακας 1. της καταοµής συχοτήτω, µπορεί τώρα α πάρει τη παρακάτω µορφή, εά τις τιµές της µεταβλητής που είαι σε τάξεις, τις ατικαταστήσουµε µε τις κετρικές τιµές κάθε τάξης και τις συχότητες µε τις σχετικές συχότητες κάθε τάξης. Πίακας 1.3: Πίακας καταοµής Σχετικώ Συχοτήτω ή Πιθαότητας Πυκότητα διαλύµατος 3Μ NaCl (gr/ml) Κετρικές τιµές x i Σχετική Συχότητα ή Πιθαότητα f i 1,09-1,10 1,095 4:50 = 0,08 1,10-1,11 1,105 6:50 = 0,1 1,11-1,1 1,115 13:50 = 0,6 1,1-1,13 1,15 15:50 = 0,30 1,13-1,14 1,135 7:50 = 0,14 1,14-1,15 1,145 5:50 = 0,10 Σ f i = Σ i / = 1

8 8 Η σχετική συχότητα ταυτίζεται µε τη µαθηµατική πιθαότητα. Α εκτελέσουµε έα πείραµα τύχης φορές και το εδεχόµεο Α εµφαισθεί i φορές, τότε η πιθαότητα Ρ(Α) α εµφαισθεί το εδεχόµεο Α είαι : i Ρ ( A ) = (1.) Εποµέως ο Πίακας 1.3 οοµάζεται και πίακας καταοµής πιθαότητας. Τα διαγράµµατα είαι καλύτερο µέσο παρουσίασης τω στατιστικώ στοιχείω, γιατί δίου στους αριθµούς συγκεκριµέη µορφή που µας διευκολύει α έχουµε µία πλήρη εικόα του φαιοµέου που µελετάµε. Υπάρχου πολλοί τύποι στατιστικώ διαγραµµάτω όπως: Ιστοδιαγράµµατα, Κυκλικά διαγράµµατα, Ακιδωτά διαγράµµατα, Αθροιστικά διαγράµµατα κ.λ.π. Η γραφική απεικόιση της καταοµής τω Συχοτήτω i δίεται στο παρακάτω διάγραµµα: 0 i ,0 1,09 1,10 1,11 1,1 1,13 1,14 1,15 Πυκότητα διαλύµατος Χ Σχήµα 1.1 : Ιστόγραµµα Συχοτήτω Η γραφική απεικόιση της καταοµής Σχετικώ Συχοτήτω f i ή Πιθαότητας δίεται στο παρακάτω διάγραµµα:

9 9 0,40 0,30 f i 0,0 0,10 0,0 1,09 1,10 1,11 1,1 1,13 1,14 1,15 Πυκότητα διαλύµατος Χ Σχήµα 1. : Ιστόγραµµα Σχετικώ Συχοτήτω Παρατηρούµε ότι η µορφή του διαγράµµατος δε αλλάζει, απλά στο άξοα τω Ψ η συχότητα i έχει ατικατασταθεί µε τη σχετική συχότητα f i = i /. Εά εώσουµε τα µέσα της άω πλευράς τω ορθογωίω που έχου σχηµατιστεί προκύπτει µια τεθλασµέη γραµµή που µπορεί α ατικαταστήσει διαγραµµατικά το ιστόγραµµα. Η γραµµή αυτή δηµιουργεί το λεγόµεο πολύγωο συχοτήτω. 0,4 0,3 f i 0, 0,1 0,0 1,09 1,10 1,11 1,1 1,13 1,14 1,15 Πυκότητα διαλύµατος Χ Σχήµα 1.3 : Το πολύγωο συχοτήτω

10 10 Επειδή το πολύγωο συχοτήτω δηµιουργεί ίσα τρίγωα, το συολικό εµβαδό τω ορθογωίω, είαι ίσο µε το εµβαδό που περικλείεται µεταξύ της τεθλασµέης γραµµής και του άξοα τω Χ. Στα δεδοµέα του Πίακα η µεταβλητή που εξετάσαµε (πυκότητα διαλύµατος) µπορεί α πάρει οποιαδήποτε τιµή ακέραια ή δεκαδική. Άρα πρόκειται για συεχή µεταβλητή. Ότα το πλήθος τω δεδοµέω είαι αρκετά µεγάλο, το εύρος τω τάξεω µπορεί α µικρύει και η τεθλασµέη γραµµή της καταοµής συχοτήτω τείει α πάρει τη µορφή καµπύλης, η οποία οοµάζεται καµπύλη συχοτήτω. Οι καµπύλες συχοτήτω έχου µεγάλη σηµασία στη στατιστική, γιατί µε αυτές εξάγοται χρήσιµα συµπεράσµατα. 1.3 Μέτρα θέσης και διασποράς Μετά τη παρουσίαση τω στατιστικώ δεδοµέω προσπαθούµε α ατικαταστήσουµε το σύολο τω δεδοµέω, µε ορισµέους ατιπροσωπευτικούς αριθµούς, που συοψίζου τα χαρακτηριστικά τω παρατηρήσεώ µας. Μέσος όρος ( x ): Κατά τη διεξαγωγή τω µετρήσεω υπεισέρχοται ααπόφευκτα τυχαία σφάλµατα και γι' αυτό τα αποτελέσµατα χαρακτηρίζοται από κάποιο βαθµό αβεβαιότητας. Είαι γωστό ότι στη πράξη η προσπάθεια α ααπαραχθεί µία µέτρηση οδηγεί σε διαφορετικό αποτέλεσµα. Γι' αυτό κατά τη διεξαγωγή τω πειραµάτω, λαµβάεται µία σειρά µετρήσεω (δείγµα µεγέθους ) και για α εξαλειφθεί κατά το δυατό η επίδραση τω τυχαίω σφαλµάτω, το αποτέλεσµα εκφράζεται µε το µέσο όρο : x = x + x 1 + x x = x i (1.3) ιακύµαση (S ) : ιακύµαση εός πλήθους παρατηρήσεω οοµάζεται το άθροισµα τω τετραγώω τω αποκλίσεω τω τιµώ της µεταβλητής από το µέσο όρο της, διαιρούµεο µε -1. Η διακύµαση εκφράζεται σε µοάδες, οι οποίες είαι τα τετράγωα τω αρχικώ µοάδω της µεταβλητής. Για παράδειγµα α η µεταβλητή εκφράζεται σε εκατοστά, η διακύµαση εκφράζεται σε εκατοστά στο τετράγωο. Η διακύµαση δίεται από το τύπο : S = ( xi x) v 1 (1.4) Τυπική απόκλιση (S -1 ): Για α έχουµε έα δείκτη ο οποίος α µετράει τη

11 11 διασπορά και α εκφράζεται στις ίδιες µοάδες που εκφράζεται η µεταβλητή µας, παίρουµε τη τετραγωική ρίζα της διακύµασης. Το µέτρο αυτό οοµάζεται τυπική απόκλιση και είαι το µέτρο της διασποράς που χρησιµοποιείται συήθως στη πράξη. Όσο µεγαλύτερη είαι η τυπική απόκλιση, τόσο µεγαλύτερη είαι η διασπορά τω παρατηρήσεω από το µέσο όρο. Η τυπική απόκλιση δίεται από το τύπο : S -1 = ( xi x) v 1 (1.5) ότα τότε S v-1 σ δηλαδή στη πραγµατική τυπική απόκλιση σ του πληθυσµού. Συτελεστής µεταβλητότητας (C.V.): Είαι έα µέτρο διασποράς τω τιµώ της µεταβλητής από το µέσο όρο. Ορίζεται ως ο λόγος της τυπικής απόκλισης (S -1 ) δια του µέσου όρου ( x ) και συήθως εκφράζεται ως ποσοστό επί τοις %. S -1 C.V. (x) =. 100 x (1.6) Είαι καθαρός αριθµός απαλλαγµέος από τις µοάδες µέτρησης της µεταβλητής και µέτρο της σχετικής διασποράς τω τιµώ. Όσο µικρότερος είαι ο συτελεστής µεταβλητότητας, τόσο ποιό οµοιογεές είαι το δείγµα. Γεικά δεχόµαστε ότι έα δείγµα τιµώ µιας µεταβλητής είαι οµοιογεές εά ο C.V. είαι µικρότερος του 10%. 1.4 Σηµατικά ψηφία Σηµατικά ψηφία εός αριθµού είαι όλα τα ψηφία για τα οποία είµαστε βέβαιοι συ έα ακόµα που είαι αβέβαιο και προκύπτει από εκτίµηση. Με αυτό το τρόπο δείχουµε τη αβεβαιότητα µιας µέτρησης. Για παράδειγµα, ότα εκφράζουµε µία µέτρηση µάζας ως,05 g (τρία σηµατικά ψηφία) είµαστε βέβαιοι για τα δύο πρώτα (,0) αλλά αµφιβάλλουµε για το τελευταίο (5), που προέκυψε από εκτίµηση. Για α αποφεύγεται η σύγχυση είαι καλό α εκφράζουµε τους αριθµούς στη τυποποιηµέη τους µορφή, σα δύαµη του 10. Για παράδειγµα στο αριθµό δε γωρίζουµε α τα τελευταία µηδεικά είαι σηµατικά ψηφία ή απλώς εκφράζου τη τάξη µεγέθους του αριθµού. Εά γράψουµε,5.10 4

12 1 δηλώουµε ότι ο αριθµός έχει µόο δύο σηµατικά ψηφία (το είαι βέβαιο και το 5 είαι το πρώτο αβέβαιο). Εά γράψουµε, δηλώουµε ότι ο αριθµός έχει τέσσερα σηµατικά ψηφία (τα πρώτα τρία είαι βέβαια εώ το τελευταίο 0 είαι το πρώτο αβέβαιο ψηφίο). Επίσης, τα µηδεικά στο αριθµό 0,0063 δε είαι σηµατικά, γιατί ο αριθµός γράφεται, και έχει τρία σηµατικά ψηφία. Ότα προσθέτουµε µηδεικά στο τέλος εός αριθµού και µετά τη υποδιαστολή, δηλώουµε ότι είαι σηµατικά, αλλιώς δε θα έπρεπε α έχου γραφεί. Ο αριθµός τω σηµατικώ ψηφίω σε µετρήσεις, εξαρτάται από τη ευαισθησία του οργάου µέτρησης. Στα ααλογικά όργαα, α η βελόα του οργάου βρίσκεται µεταξύ δύο εδείξεω π.χ. µεταξύ 10,4 και 10,5 τα εκατοστά προκύπτου κατ εκτίµηση. ίουµε για παράδειγµα σα αποτέλεσµα το αριθµό 10,47 όπου το 7 είαι το πρώτο αβέβαιο ψηφίο. Προφαώς ο αριθµός 10,47 έχει τέσσερα σηµατικά ψηφία. Στα ψηφιακά όργαα το τελευταίο δεξιά ψηφίο που διαβάζουµε στη οθόη του οργάου, είαι αβέβαιο ψηφίο. Για παράδειγµα α διαθέτουµε έα ψηφιακό ΡΗµετρο µε ευαισθησία εκατοστό του ΡΗ και µετρώτας το ΡΗ εός διαλύµατος διαβάζουµε τη έδειξη 3,58, το 8 είαι το πρώτο αβέβαιο ψηφίο. Προφαώς ο αριθµός 3,58 έχει τρία σηµατικά ψηφία. 1.5 Στρογγυλοποίηση αριθµώ Το τελικό αποτέλεσµα που εξάγεται από σειρά υπολογισµώ συήθως έχει περισσότερα ψηφία, από αυτά που µπορεί α δικαιολογηθού από τη αβεβαιότητα στη µέτρηση τω πειραµατικώ δεδοµέω. Στη περίπτωση αυτή παρουσιάζουµε το αποτέλεσµα στρογγυλοποιηµέο στα σηµατικά του ψηφία (όλα τα βέβαια συ το πρώτο αβέβαιο). Έστω ότι θέλουµε α παρουσιάσουµε το αριθµό 6,3547 µε τρία σηµατικά ψηφία. Η στρογγυλοποίηση αρχίζει από το τέλος. Εά ο τελευταίος αριθµός είαι µικρότερος του 5 απαλείφεται και µετά το πρώτο βήµα γράφουµε 6,3547. Εά ο τελευταίος αριθµός είαι µεγαλύτερος του 5 ο προτελευταίος αυξάεται κατά µία µοάδα, άρα στο δεύτερο βήµα γράφουµε 6,355. Εά ο τελευταίος αριθµός είαι 5, ο προτελευταίος, εά είαι ζυγός παραµέει ως έχει, εά είαι µοός αυξάεται κατά µία µοάδα. Έτσι γράφουµε διαδοχικά 6,35 6,35 και τελικά 6,4. Ότα κάουµε πράξεις µεταξύ αριθµώ εφαρµόζουµε τη αρχή, ότι η πράξη µεταξύ δύο ψηφίω δίει βέβαιο αποτέλεσµα, µόο α και τα δύο παράγωγα του

13 13 αποτελέσµατος ψηφία, είαι βέβαια. Πρόσθεση (αφαίρεση) : Το άθροισµα (διαφορά) τω τιµώ δε πρέπει α περιέχει περισσότερα σηµατικά ψηφία προς τα δεξιά του, από όσα περιέχει ο λιγότερο ακριβής παράγοτας του αθροίσµατος (διαφοράς) π.χ 14,8 + 0,053 = 14,853 που στρογγυλοποιείται στο 14,8 δηλαδή: 14,800 Τα υπογραµµισµέα ψηφία είαι αβέβαια. + 0, ,853 Τα προερχόµεα ψηφία από πρόσθεση βέβαιου µε αβέβαιο είαι αβέβαιο ψηφίο. Τα τρία δεκαδικά ψηφία του αθροίσµατος είαι αβέβαια. Άρα θα πρέπει α εκφράσουµε το αποτέλεσµα στρογγυλοποιηµέο µε τέσσερα σηµατικά ψηφία: 14,8 Πολλαπλασιασµός (διαίρεση): Το γιόµεο (πηλίκο) τω διαφόρω τιµώ δε πρέπει α περιέχει περισσότερα σηµατικά ψηφία, από αυτά που περιέχοται στο παράγοτα του γιοµέου (πηλίκου) µε τα λιγότερα σηµατικά ψηφία. Παραδείγµατα: Πολ/σµός 113, Χ 1,43 = 161,876 που στρογγυλοποιείται στο 16 ιαίρεση 113, : 1,43 = 79, που στρογγυλοποιείται στο 79, Αρκετά χρόια ωρίτερα, ότα η χρήση υπολογιστικώ µηχαώ (κοµπιουτεράκια) δε ήτα γεικευµέη, για λόγους ταχύτητας στο απαιτούµεο χρόο υπολογισµώ, οι µηχαικοί συήθως τηρούσα του καόες τω σηµατικώ ψηφίω και έκαα στρογγυλοποίηση σε κάθε εδιάµεση πράξη. Σήµερα, α επιθυµούµε ακρίβεια στους υπολογισµούς, είαι εύκολο στις εδιάµεσες πράξεις α κρατάµε πολλά ψηφία και α κάουµε στρογγυλοποίηση µόο στο τελικό αποτέλεσµα. Για παράδειγµα έστω ότι κατά τη εφαρµογή της µεθόδου τω ελαχίστω τετραγώω (βλπ. Άσκηση ), χωρίς στρογγυλοποιήσεις στις εδιάµεσες πράξεις, βρίσκουµε τα αποτελέσµατα: a = 13, b = 0, r = 0, Επειδή είαι καλό για α έχουµε γεικά αποδεκτή ακρίβεια, α δίουµε τα αποτελέσµατα µε τουλάχιστο τρία σηµατικά ψηφία, παρουσιάζουµε τα τελικά

14 14 αποτελέσµατα στρογγυλοποιώτας στα τρία σηµατικά ψηφία: a = 13,7 b = 0,00038 r = 0, Και άλλες στατιστικές έοιες Ορίζουµε τις παρακάτω στατιστικές έοιες: Αληθιή τιµή (Τ ή µ) : Είαι η πραγµατική αριθµητική τιµή εός µεγέθους. Προσεγγίζεται από το µέσο όρο µεγάλου αριθµού πειραµατικώ µετρήσεω (θεωρητικά άπειρος αριθµός µετρήσεω). ηλαδή x µ ότα Απόλυτο σφάλµα : x i T (1.7) Απόλυτο σφάλµα του µέσου : x T (1.8) Σχετικό σφάλµα : ( x T) / T (1.9) Σχετικό σφάλµα % : (( x T ) / T ) 100 (1.10) Ορθότητα (Accuracy): Ορθότητα έχου οι µετρήσεις µας ότα είαι οµοιόµορφα καταεµηµέες γύρω από το σωστό αποτέλεσµα. ηλαδή, ο µέσος όρος τω µετρήσεω ( x ) συµπίπτει ή είαι πολύ κοτά στη αληθιή τιµή (µ). Μέτρο της ορθότητας είαι το απόλυτο σφάλµα του µέσου. Ακρίβεια (Precision): Ακρίβεια έχου οι µετρήσεις µας, ότα είαι καταεµηµέες πολύ στεά γύρω από το µέσο όρο τω µετρήσεω (που µπορεί α είαι διαφορετικός από τη αληθιή τιµή). Μέτρο της ακρίβειας είαι η τυπική απόκλιση. Επααληψιµότητα (Repeatability): Επααληψιµότητα έχου οι µετρήσεις µας ότα στη ίδια δειγµατοληψία τα αποτελέσµατα χαρακτηρίζοται από ακρίβεια. Ααπαραγωγισιµότητα (Reproducibility) : Ααπαραγωγισιµότητα έχου οι µετρήσεις µας ότα τα αποτελέσµατά µας πάλι έχου ακρίβεια, αλλά σε διαφορετικές δειγµατοληψίες. Ευαισθησία (Sensitivity): Ευαισθησία είαι η ελάχιστη µεταβολή στο µετρούµεο µέγεθος, που µπορεί α δείξει το όργαο µέτρησης. Ααγωσιµότητα (Readability): Ααγωσιµότητα είαι η ελάχιστη

15 15 µεταβολή που µπορούµε α διαβάσουµε στη κλίµακα αάγωσης του οργάου. Χροική σταθερά απόκρισης (Time constant): Είαι ο χρόος που απαιτείται για α φθάσει η αάγωση σε όργαο µέτρησης το 63,% της τελικής τιµής, µετά από βαθµωτή (απότοµη) µεταβολή του ερεθίσµατος. ιακρίβωση (Calibration) : ιακρίβωση οοµάζουµε όλες τις εργασίες που αποσκοπού στο α προσδιοριστού οι τιµές τω σφαλµάτω µετρητικού οργάου. 1.7 Καταοµές Συχοτήτω Όπως είδαµε, στα δεδοµέα του Πίακα 1.3, η µεταβλητή που εξετάσαµε (πυκότητα διαλύµατος), µπορεί α πάρει οποιαδήποτε τιµή ακέραια ή δεκαδική. Άρα πρόκειται για συεχή µεταβλητή. Ότα το πλήθος τω δεδοµέω είαι µεγάλο, το εύρος τω κλάσεω (dx) µπορεί α µικρύει. Εά στο άξοα τω Ψ µετράµε ατί για τη σχετική συχότητα f i το f i / dx, τότε το εµβαδό εός ορθογωίου παραλληλογράµµου είαι (f i / dx). dx και το εµβαδό όλω τω παραλληλογράµµω είαι : Σ(f i / dx). dx = Σf i = 1 Εποµέως και το εµβαδό που περικλείεται από το πολύγωο συχοτήτω και το άξοα τω Χ είαι ίσο µε 1. f i / dx Σχήµα 1.4 : Η καµπύλη συχοτήτω Χ

16 16 Ότα το πλήθος τω δεδοµέω είαι µεγάλο ( ), το πλήθος τω κλάσεω µπορεί α µεγαλώσει και εποµέως το εύρος τω κλάσεω (dx) µπορεί α µικρύει (dx 0 ) και το πολύγωο συχοτήτω, τείει α πάρει τη µορφή λείας καµπύλης, η οποία οοµάζεται καµπύλη συχοτήτω. Το εµβαδό µεταξύ της καµπύλης συχοτήτω και του άξοα τω χ είαι ίσο µε 1. Οι καµπύλες συχοτήτω έχου µεγάλη σηµασία στη στατιστική, γιατί µε τη βοήθειά τους εξάγοται χρήσιµα συµπεράσµατα Καοική Καταοµή Σε πάρα πολλές περιπτώσεις έα σύολο πειραµατικώ µετρήσεω ακολουθεί µια συγκεκριµέη καµπύλη σε έα διάγραµµα συχότητας που οοµάζεται καοική καταοµή (Normal Distribution) ή καταοµή του Gauss. Α και καέα δείγµα δε είαι ακριβώς καοικά καταεµηµέο η καοική καταοµή αποτελεί µια εξαιρετική προσέγγιση της διακύµασης τω δεδοµέω. Ο λόγος που κάει τη καοική καταοµή τόσο σηµατική από πρακτική και θεωρητική άποψη, είαι ότι, αεξάρτητα από τις καµπύλες καταοµής κάθε µιας από τις πιθαές αιτίες που προκαλού τη διακύµαση, το άθροισµα τω αιτιώ αυτώ τείει α ακολουθήσει τη καοική καταοµή. Η καοική καταοµή ή καταοµή του Gauss εκφράζεται από τη σχέση : 1 x µ σ 1 f ( x) = e (1.11) σ π όπου x : συεχής µεταβλητή στο διάστηµα (, + ) µ : µέση ή αληθιής τιµής x -µ : το µέγεθος της απόκλισης, δηλ. η διαφορά µεταξύ της τιµής x και της αληθιής τιµής µ σ : η τυπική απόκλιση e :,7183 η βάση τω φυσικώ λογαρίθµω π : 3,14 Μια καοική καταοµή µε µέση τιµή µ και τυπική απόκλιση σ συµβολίζεται και σα Ν(µ,σ).

17 17 Η καταοµή τω τυχαίω σφαλµάτω ακολουθεί το όµο της καοικής καταοµής του Gauss. Στο Σχήµα 5 δίεται το σχήµα της καοικής καταοµής κατά Gauss. Κ αο ική Κ αταοµή 0,09 0,08 0,07 0,06 Συχότητα 0,05 0,04 0,03 0,0 0, εδ ο µ έα µ ετρήσ εω, x i Ε=x-µ z = x µ σ Σχήµα 5 : Η καοική καταοµή κατά Gauss. Από τις τρεις κλίµακες της τετµηµέης, η πρώτη παριστά τη πειραµατική τιµή x, η δεύτερη τη καταοµή της απόκλισης Ε=x-µ και η τρίτη µια έα µεταβλητή z, που προέρχεται από γραµµικό µετασχηµατισµό. Σε απόσταση ± σ γύρω από το µέσο αριθµητικό, δηλ. ότα ισχύει µ σ x µ + σ περιλαµβάεται το 68,7% τω τιµώ. Σε απόσταση ± σ από το µέσο αριθµητικό ( µ σ x µ + σ ) περιλαµβάεται το 95,45% τω τιµώ. Σε απόσταση ± 3σ ( µ 3 σ x µ + 3σ ) περιλαµβάεται το 99,73% τω τιµώ. Τα βασικά χαρακτηριστικά της καοικής καταοµής είαι :

18 18 α) Η µέση τιµή (µ) για το άπειρο αριθµό µετρήσεω, συµπίπτει µε τη αληθιή τιµή και ατιστοιχεί στη µέγιστη πιθαότητα. β) Η τεταγµέη της µέγιστης τιµής είαι άξοας συµµετρίας της καµπύλης, η δε τυπική απόκλιση (σ) είαι η απόσταση τω σηµείω καµπής από το άξοα συµµετρίας. γ) Λόγω της συµµετρίας της καµπύλης τα θετικά και τα αρητικά σφάλµατα είαι εξίσου πιθαά. δ) Η πιθαότητα τω µεγάλω σφαλµάτω είαι µικρή, εώ τα µικρά σφάλµατα είαι πιο πιθαά. ε) Το πλάτος της καοικής καµπύλης καταοµής υποδηλώει τη ακρίβεια τω µετρήσεω. Όσο µεγαλύτερη είαι η ακρίβεια τόσο µικρότερο είαι το (σ) άρα και το άοιγµα της καµπύλης. στ) Η αληθιή τιµή µ επηρεάζει τη καµπύλη καταοµής από πλευράς θέσης, η δε τυπική απόκλιση (σ) από άποψη σχήµατος. ζ) Το εµβαδό κάτω από τη καοική καµπύλη από έως και ισούται µε τη µοάδα. + Το εµβαδό υπολογίζεται µε το ορισµέο ολοκλήρωµα: 1 e σ π 1 χ µ σ dx= 1 (1.1) Ο υπολογισµός της πιθαότητας µια τυχαία µεταβλητή x που ακολουθεί τη καοική καταοµή α πάρει π.χ. τιµή : a x β δίεται από το ολοκλήρωµα P β ( a x β) = α 1 e σ π 1 χ= µ σ dx (1.13) Για κάποιο γωστό ζεύγος παραµέτρω µ και σ, θα χρειασθεί α υπολογίσουµε έα ολοκλήρωµα της παραπάω µορφής. Ο υπολογισµός όµως του παραπάω ολοκληρώµατος για κάθε µία καοική καταοµή, παρουσιάζει µεγάλες δυσκολίες στις εφαρµογές. Για α ατιµετωπίσουµε τις δυσκολίες αυτές, κάουµε το παρακάτω γραµµικό µετασχηµατισµό, ατικαθιστώτας τη µεταβλητή x µε έα µεταβλητή z: x µ z= σ (1.14) Οι µοάδες του z είαι καθαροί αριθµοί. Αποδεικύεται ότι α µία τυχαία µεταβλητή x ακολουθεί τη καοική καταοµή που έχει µέσο αριθµητικό µ και τυπική απόκλιση σ τότε η τυχαία µεταβλητή z

19 19 ακολουθεί τη καοική καταοµή που έχει µέσο αριθµητικό 0 και τυπική απόκλιση 1. Αυτή η καοική καταοµή που έχει µέσο αριθµητικό 0 και τυπική απόκλιση 1, λέγεται τυποποιηµέη καοική καταοµή και συµβολίζεται σα Ν(0, 1). Επειδή η καταοµή της µεταβλητής z είαι αεξάρτητη από τις παραµέτρους µ και σ µπορούµε α κατασκευάσουµε πίακες που µας δίου για z από 5 µέχρι 5 τις διάφορες τιµές τω εµβαδώ που περικλείοται µεταξύ της συάρτησης καταοµής και του άξοα του z για κάθε τιµή του z (βλέπε πίακα καοικής καταοµής) Επίπεδα αξιοπιστίας ή διάστηµα εµπιστοσύης Η παρουσίαση του αποτελέσµατος πειραµατικώ µετρήσεω µε το µέσο όρο και τη τυπική απόκλιση, συµπληρώεται µε το καθορισµό εός διαστήµατος µέσα στο οποίο βρίσκεται η αληθιή τιµή και µε κάποια βεβαιότητα. Το διάστηµα αυτό ορίζεται από δύο τιµές οι οποίες λέγοται όρια αξιοπιστίας (confidence limits). Τα όρια αξιοπιστίας προσδιορίζοται : α) από το µέγεθος του δείγµατος β) από τη στατιστική διακύµαση γ) από το βαθµό αξιοπιστίας µε τη οποία θέλουµε α δώσουµε το αποτέλεσµα. Ο βαθµός αξιοπιστίας ή η πιθαότητα (Ρ) εκφράζεται είτε επί τοις % από το 0 έως 100 είτε από 0 έως 1. Η αβεβαιότητα (α) λέγεται επίπεδο σηµατικότητας και εκφράζεται είτε επί τοις % από 0 έως 100 είτε από 0 έως 1. Για παράδειγµα α δίεται ότι Ρ = 95% ή Ρ=0,95 τότε επειδή Ρ + α = 100% ή Ρ + α = 1 το α = 5% ή α = 0, Κερικό οριακό θεώρηµα Α µία τυχαία µεταβλητή x καταέµεται καοικά, τότε οι µέσοι όροι τω δειγµάτω x καταέµοται καοικά µε µέσο αριθµητικό ίσο µε το µέσο αριθµητικό του πληθυσµού: µ = µ και διακύµαση ίση µε τη διακύµαση του πληθυσµού αφού x διαιρεθεί µε το µέγεθος του δείγµατος: σ σ χ = (1.15) n Αυτό όµως δε ισχύει ότα η καταοµή του πληθυσµού δε είαι καοική. Αεξάρτητα όµως από τη µορφή της καταοµής του γεήτορα πληθυσµού, α το

20 0 µέγεθος του δείγµατος είαι αρκετά µεγάλο (>30), τότε η καταοµή τω µέσω δειγµάτω τείει α γίει καοική, όσο αυξάει το µέγεθος του δείγµατος µε µέσο µ = µ και τυπική απόκλιση x σ σ χ = (1.16) n Το θεώρηµα αυτό οοµάζεται κετρικό οριακό θεώρηµα και ισχύει για συεχείς και ασυεχείς καταοµές Καταοµή Χ Η καταοµή Χ είαι παράγωγος της καοικής καταοµής και ορίζεται ως εξής: Έστω οι τυχαίες µεταβλητές x 1,x,.x που είαι αεξάρτητες µεταξύ τους και ότι κάθε µία καταέµεται καοικά µε µέση τιµή 0 και διακύµαση 1. Α όµως πάρουµε το άθροισµα τω τετραγώω τω παραπάω µεταβλητώ δηλ. x = x 1 + x n x i i= x = (1.17) τότε το άθροισµα αυτό δε καταέµεται όπως η καοική καταοµή, αλλά ακολουθεί µία άλλη καταοµή που λέγεται x τετράγωο και γράφεται Χ. Η καταοµή Χ εξαρτάται από τους βαθµούς ελευθερίας και παίρει µόο θετικές τιµές: 0 < x < και έχει συήθως ασύµετρη µορφή. Α από έα καοικό πληθυσµό πάρουµε έα τυχαίο δείγµα x 1,x,.x τότε ( x) και το παρακάτω άθροισµα x x ( x x) x i ακολουθεί τη καταοµή Χ σ δηλαδή: i = αλλά επειδή ( ) ( 1) x i x = s σ ( v 1 s = όπου σ η διακύµαση του πληθυσµού (1.18) σ ) Οι πίακες Χ που χρησιµοποιούται στη πράξη δίου τη πιθαότητα η µεταβλητή Χ α υπερβεί µία ορισµέη τιµή (βλέπε πίακα καταοµής Χ ) Καταοµή t του student H καταοµή t είαι παράγωγος καταοµή της καοικής καταοµής και τη

21 1 ορίζουµε ως εξής: Α η τυχαία µεταβλητή z ακολουθεί τη καοική καταοµή µε µέση τιµή 0 και διακύµαση 1 τότε και Υ, µία άλλη µεταβλητή, αεξάρτητη της Χ, που ακολουθεί τη καταοµή x µε = n-1 βαθµούς ελευθερίας, τότε η τυχαία µεταβλητή : ακολουθεί τη καταοµή t µε βαθµούς ελευθερίας. ( n 1) x µ s Α στη παραπάω σχέση θέσουµε z= και Υ = σ n σ x µ τότε θα έχουµε: t v = µε < t < (1.19) s n Για τις πρακτικές εφαρµογές υπάρχει πίακας της καταοµής t-student. Είαι πίακας διπλής εισόδου µε τους βαθµούς ελευθερίας α βρίσκοται στη πρώτη στήλη και τα επίπεδα σηµατικότητας α στη πρώτη γραµµή. t v = z Y v Χρήσεις Καταοµώ Οι εφαρµογές τω καταοµώ είαι πολλές. Θα περιοριστούµε σε περιπτώσεις που έχου εφαρµογή στο έλεγχο ποιότητας: Ι. Καοική καταοµή Χρήση : Ότα είαι γωστή η σ του πληθυσµού α) Εύρεση κάτω ορίου ια µεµοωµέες τιµές (x i ): x i ; = x i,min ; µ - z. σ, α µ γωστή (1.0) x i ; = x i,min ; x - z.σ, α µ άγωστη (1.1) β) Εύρεση κάτω ορίου για µέσους όρους ( x ): x ; = σ x, min ; = µ min ; µ - z 1/ Α µ άγωστο, τότε στη σχέση (3) µ = x, α µ γωστή (1.) ΙΙ. Καταοµή Χ Χρήση : Εύρεση ορίω για τη τυπική απόκλιση α) Α σ άγωστο (S v-1 γωστό από δείγµα πλήθους )

22 Εύρεση άω ορίου σ > σ max ; πάω από το οποίο ααµέεται α βρίσκεται το α% τω υπολογιζόµεω S v-1 από -άδες δειγµάτω. σ max 1 ; = s 1 (1.3) Χ ( α, (-1)) β) Α σ γωστό. Εύρεση άω ορίου S v-1 ; > S max ; πάω από το οποίο ααµέεται α βρίσκεται το α% τω υπολογιζόµεω S v-1 από -άδες δειγµάτω. Χ ((1 α), ( 1)) s 1 ; = smax ; = σ (1.4) 1 Τα Χ (α, (-1)) ή Χ ((1-α), (-1)) είαι στατιστικοί δείκτες της καταοµής Χ. Η τιµή του Χ (α, (-1)) ή Χ ((1-α), (-1)) προκύπτει από το πίακα τηςκαταοµής Χ, που είαι πίακας διπλής εισόδου. Ο πίακας αυτός έχει στη πρώτη στήλη τους βαθµούς ελευθερίας και στη πρώτη σειρά τη αβεβαιότητα (α) %. Η τιµή του Χ (α, (-1)) προκύπτει από τη διασταύρωση της στήλης µε τιµή α% και της σειράς µε (-1) βαθµούς ελευθερίας. Η τιµή του Χ ((1-α), (-1)) προκύπτει από τη διασταύρωση της στήλης µε τιµή 1-α και της σειράς µε (-1) βαθµούς ελευθερίας. Προσοχή! Α α = 5% ή α=0,05 τότε 1-α=0,95 ή 95 %. Από το πίακα της Χ βρίσκω το Χ (95%, - 1) και όχι το Χ (5%, -1). ΙΙΙ. Καταοµή t του student Χρήση: Ότα είαι άγωστη η σ και τη εκτιµώ από δείγµα µε πλήθος µετρήσεω (βρίσκω το S v-1 ) α) Εύρεση κάτω ορίου για µεµοωµέες τιµές (xi) x i ; = x i,min ; x - t (a, (v - 1 ) ). S v-1 (1.5) β) Εύρεση κάτω ορίου για µέσους όρους ( x ): x ; = S 1 x, min ; = µ min ; x - t (a, (v - 1 ) ). 1/ (1.6) γ) ιάστηµα εµπιστοσύης µέσης τιµής (µε πιθαότητα Ρ)

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Χημική Τεχνολογία. Εργαστηριακό Μέρος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Χημική Τεχνολογία. Εργαστηριακό Μέρος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Εργαστηριακό Μέρος Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Περιβαλλοντική Χημεία

Περιβαλλοντική Χημεία ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Περιβαλλοντική Χημεία Εργαστηριακό Μέρος Ενότητα 3: Ισοζύγιο Ενέργειας Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε .3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Οι σπουδές στα ΤΕΙ οργανώνονται µε βάση τα εξάµηνα. Κάθε διδακτικό έτος περιλαµβάνει δύο εξάµηνα, το χειµερινό και το εαρινό. Κάθε διδακτικό εξάµηνο περιλαµβάνει 15 εβδοµάδες για διδασκαλία

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α η συάρτηση f είαι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΦΟΥΝΤΟΥΚΙΔΗΣ Γ. ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΔΡ. ΧΗΜΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο .Στη ερώτηση με ποιο μέσο πηγαίετε στη δουλειά σας 0 άτομα απάτησα: αυτοκίητο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τραμ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, τραμ, αυτοκίητο, μετρό, τρόλεϊ,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΑ : Είαι γωστό ότι για µια συεχή συάρτηση σε έα διάστηµα, το ολοκλήρωµα F ορίζει έα πραγµατικό αριθµό όπου o είαι έα οποιοδήποτε σηµείο του και α έα αυθαίρετο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ 2o Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Το χρώµα κάθε αυτοκιήτου είαι ποιοτική µεταβλητή. Σ Λ 2. * Ο αριθµός τω αθρώπω που παρακολουθού µια συγκεκριµέη τηλεοπτική εκποµπή είαι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση.4 Μέτρα θέσης Στη συέχεια θα περιγράψουµε κάποια µέτρα, τα οοµαζόµεα µέτρα θέσης. Τα µέτρα θέσης µίας καταοµής, είαι κάποια αριθµητικά µεγέθη που δίου τη θέση του κέτρου

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )

1.  [0,+   ,      >0,   ) 2. ,    >0,  x   ( ) Σελίδα 1 από 5 ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ α, α ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ του Ατώη Κυριακόπουλου 1 ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R = [, ) Θεώρηµα και ορισµός οθέτος, εός πραγµατικού αριθµού α και εός φυσικού αριθµού >, υπάρχει έας

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος.

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύεται σε κάθε συάδελφο Μαθηματικό, αλλά κυρίως σε κάθε έο συάδελφο που πρόκειται α συμμετάσχει στο διαγωισμό του Α.Σ.Ε.Π. Επίσης, απευθύεται σε μαθητές με υψηλούς

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi Στατιστική "Υπάρχου τα μικρά ψέματα, τα μεγάλα ψέματα και οι στατιστικές" Μαρκ Τουαί Σε κάθε πρόβλημα της Στατιστικής υπάρχει έας «πληθυσμός» Ω τα στοιχεία του οποίου (άτομα) εξετάζοται ως προς έα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x)

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x) taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f() S + +, R όπου η μέση τιμή και S > η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω εός δείγματος μεγέθους Α η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Εισαγωγικό Κεφάλαιο: Ρητοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 0 Υποεότητα 1: Βασικές Επααληπτικές Έοιες (Επααλήψεις-Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες: 1. Ρητοί αριθµοί-βασικές επααληπτικές έοιες.. Πρόσθεση ρητώ αριθµώ. 3. Άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Επιστημονικές Εκδόσεις Εργαστηριακές Ασκήσεις Χημικής και Περιβαλλοντικής Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΤΩΝ ημιτελές(veron 6-4-206) ΠΡΟΣΟΧΗ! Επισημαίω ότι οι λύσεις ούτε πλήρεις είαι ούτε έχου διπλοελεγχθεί τουλάχιστο μέχρι τώρα.ετσι ο ααγώστης πρέπει α έχει υπόψη του ότι μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Επιτρέπεται η χ ρήση του εκπαιδευτικού υλικού εντός του φροντιστηρίου

Επιτρέπεται η χ ρήση του εκπαιδευτικού υλικού εντός του φροντιστηρίου Θεωρία Θ Ε Ω Ρ Ι Α Παελλαδικώ εξετάσεω Βασίλης Γατσιάρης ωρεά υποστηρικτικό υλικό Θεωρία Στο βιβλίο αυτό, για πρακτικούς λόγους χρησιµοποιούµε τα πιο κάτω σύµβολα, για τις διάφορες κατηγορίες τω θεµάτω

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! taexeiola.blogspot.com 6 ο ΥΜΝΑΣΙΟ ΡΟΔΟΥ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΑΞΗ Β' ΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΡΟΔΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση φασµάτων. σύζευξης πολύ µεγαλύτερη σε µέγεθος από τη χηµική µετατόπιση, δηλαδή ν / J <<

Ανάλυση φασµάτων. σύζευξης πολύ µεγαλύτερη σε µέγεθος από τη χηµική µετατόπιση, δηλαδή ν / J << Αάλυση φασµάτω Στα προηγούµεα µαθήµατα συζητήσαµε τη σύζευξη πρώτης τάξης και τη εφαρµογή του καόα Ν για τη αάλυσή τω ατιστοίχω φασµάτω πρώτης τάξης. Στα φάσµατα πρώτης τάξης η σύζευξη σπι-σπι είαι ασθεής

Διαβάστε περισσότερα

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι

Διαβάστε περισσότερα

Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικών ( αν) ν αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα & αντιπαραδείγµατα.

Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικών ( αν) ν αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα & αντιπαραδείγµατα. Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικώ ( α) µε ατιπροσωπευτικά παραδείγµατα & ατιπαραδείγµατα. Ιωάης Π. Πλατάρος, Μαθηµατικός, Καπετά Κρόµπα 37, Τ.Κ. 24 2 ΜΕΣΣΗΝΗ, ηλ./ταχ. Plataros@sch.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ρ Αθ. Ρούτουλας Καθηγητής ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 η ΤΣΙΜΕΝΤΑ - ΣΚΥΡΟ ΕΜΑ ΑΣΚΗΣΗ 10

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΕΤΟΥΣ 007 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Απογευματιή εξέταση στα μαθήματα: «. Άλγεβρα» «.5

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ 1 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κλάσµα : Είαι το µαθηµατιό σύµβολο το οποίο δηλώει σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε το όλο αι πόσα µέρη πήραµε Κλάσµα : πόσα µέρη πήραµε σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε : αριθµητής

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Α. Να βρεθού οι κ,λ R για τους οποίους είαι ίσα τα πολυώυµα ( λ + 1) x ( κ ) x λ + 1 (x) = και Q(x) = κx λx + κ Β. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ R για τους

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης,. Λεπίπας, Π. Αγγελόπουλος Άσκηση.3 σελ. 4 α) εύκολο β) Αφού C F θα είαι σ( C) σ( F) και λόφω του α) θα είαι σ( C) F. Για τη απόδειξη του ατίθετου

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ

Α. ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2006 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 70 ΔΑΣΚΑΛΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γωστικό ατικείμεο) Σάββατο 27-1-2007

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΧΑΛΚΙ ΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΑΝΗ Γ. ΛΑΥΡΕΝΤΗ Ο ΗΓΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΤΗΡΙΩΝ Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Η Καοική Καταομή H καοική καταομή (normal dstrbuton) θεωρείται η σπουδαιότερη καταομή

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ H απλούστερη συεχής καταοµή πιαότητας είαι η οµοιόµορφη η οποία εκχωρεί ίσες (οµοιόµορφες) πιαότητες στα στοιχειώδη δυατά αποτελέσµατα εός τυχαίου

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Γραπτές αακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Δρ. Πααγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Για το υπολογισμό του βαθμού της ετήσιας επίδοσης τω

Διαβάστε περισσότερα

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 174 47 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το ζήτημα της διαιρετότητας τω αεραίω είαι υρίαρχο θέμα στη Θεωρία τω Αριθμώ Μια έοια που βοηθάει στη μελέτη αι επίλυση προβλημάτω διαιρετότητας είαι η έοια τω ισοϋπόλοιπω αριθμώ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Μαρία Κατσικίνη E-mal: katsk@auth.gr Web: users.auth.gr/katsk Τηλ: 0 99800 Γραφείο : Β όροφος, Τομέας Φυσικής Στερεάς Κατάστασης Σειρά των ασκήσεων Θεωρία : Σφάλματα Θεωρία :

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 7 Μάθημα 8ο ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 8 Το διωυμικό θεώρημα μπορεί α αποτελέσει τη βάση για τη απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η ακολουθία είαι µια συάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R. * Η γραφική παράσταση µιας ακολουθίας είαι Α. Μια ευθεία γραµµή Β. Μια παραβολή Γ. Μια

Διαβάστε περισσότερα

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο

Διαβάστε περισσότερα

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Ο όρος Στατιστική εδεχομέως α προέρχεται από τη λατιική λέξη status (πολιτεία, κράτος) η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικώ δεδομέω που ααφέροται κυρίως στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)! ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή άσκηση 10 Βαθµονόµηση θερµοµέτρου

Εργαστηριακή άσκηση 10 Βαθµονόµηση θερµοµέτρου Μιχαήλ Μιχαήλ, Φυσικός 1 Εργαστηριακή άσκηση 10 Βαθµονόµηση θερµοµέτρου ΣΤΟΧΟΙ Οι στόχοι αυτής της εργαστηριακής άσκησης είναι: - Να κατασκευάζεις µια κλίµακα θερµοκρασίας Κελσίου. - Να µπορείς να χρησιµοποιείς

Διαβάστε περισσότερα

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού 4. Ατιδράσεις πολυμερισμού Ποια μόρια οομάζοται μακρομόρια Τα μακρομόρια είαι μόρια μεγάλου μοριακού βάρους που σχηματίζοται από τη συέωση (= πολυμερισμό) απλούστερω δομικά μορίω (= μοομερή) σύμφωα με

Διαβάστε περισσότερα