ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α."

Transcript

1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. 1. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: επνεπίσκεψη. Η εξής πρτήρηση γι τις (μονομερείς) διμελείς σχέσεις, εξυπηρετεί την τξινόμησή τους: τ ζεύγη μις οποιδήποτε τέτοις σχέσης εμπίπτουν σε τρείς κτηγορίες: Τ συμμετρικά ζεύγη, : τόσο το, όσο κι το, νήκουν στη σχέση προσέχουμε ότι κάποι πό υτά ίσως είνι νκλστικά ζεύγη,. Τ σύγκριτ ζεύγη, : ούτε το, ούτε το, νήκουν στη σχέση προσέχουμε ότι κάποι πό υτά ίσως είνι νκλστικά ζεύγη,, κι ότι η σχέση συγκρισίς είνι πάντοτε συμμετρική: ν το δεν συγκρίνετι με το, τότε, προφνώς, ούτε το συγκρίνετι με το. Τ σύμμετρ ζεύγη, : είτε μόνον το, είτε μόνον το, νήκουν στη σχέση. ΓΕΝΙΚΗ ΙΜΕΛΗΣ ΣΧΕΣΗ σύγκριτ συµµετρικά? σύµµετρ µεττικά Εικονίζουμε υτή την κτάστση με τρείς περιοχές-σύνολ, κι σχεδιάζουμε τ έλη γι ζεύγη που δεν νήκουν στη σχέση με δικεκομμένες γρμμές. Με (κυνό) πχύ περίγρμμ υποδεικνύουμε εκείνες τις κτηγορίες κμών που (ζητούμε ν) είνι μεττικές. Τ 1+1 σπουδιότερ είδη σχέσης εικονίζοντι όπως πρκάτω: Μς ενδιφέρει οι σχέσεις ν είνι μεττικές. Σε όλες τις σχέσεις υπάρχει το ενδεχόμενο κάποι ζεύγη στοιχείων ν είνι σύγκριτ. Στις σχέσεις ισοδυνμίς υπάρχουν μόνον συμμετρικά ζεύγη, κι όλ τ νκλστικά, Στις σχέσεις γνήσις διάτξης υπάρχουν μόνον σύμμετρ ζεύγη, δηλδή κνέν νκλστικό. < <_ ΣΧΕΣΗ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ ΓΝΗΣΙΑ ΙΑΤΑΞΗ ΜΗ-ΓΝΗΣΙΑ ΙΑΤΑΞΗ 2. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: η ντιστοιχί γνήσι μη-γνήσι. ΠΡΟΣΟΧΗ: τ νκλστικά ζεύγη τξινομούντι «χλρά»: στις σχέσεις ισοδυνμίς περιλμάνοντι μεν όλ, συχνά όμως κτά σύμση 1 στις σχέσεις διάτξης εξιρούντι όλ, (ή εάν συμπεριληφθούν, τρέπουν την διάτξη σε μη-γνήσι, κι ντιστρόφως). = Αν σε μι γνήσι διάτξη <, προσθέσουμε τ νκλστικά ζεύγη, προκύπτει μι μη-γνήσι επέκτση υτής,. Έστω ( < ) μι γνήσι διάτξη (μη-νκλστική, μη-συμμετρική, μεττική). Ορίζουμε την «μη-γνήσι» εκδοχή της, ως εξής: ( ) ( < ) ( = ) Όπως κι ν ονομάσουμε ή συμολίσουμε την πρπάνω σχέση, το ερώτημ μένει: είνι όντως διάτξη κι, μάλιστ, μη-γνήσι; Ελέγχουμε τις ιδιότητες: νκλστική: ( )? Νί, διότι ( = ) κι ισχύει το 2 ο μέλος (λ. πρπάνω). 1 Π.χ. θεωρείτι έν πρόσωπο δελφός του ευτού του; Ο ριθμός 1 διιρεί τον ευτό του; Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 1 / 23

2 ντισυμμετρική: ν ( ) κι ( ) ( = )? Νί, διότι ν ( ) τότε ( ) ( < ), κι ( ) ( < ), άτοπο διότι η διάτξη < είνι μη-συμμετρική. μεττική: ν ( ) κι ( γ) ( γ)? Νί, διότι ν ( = ) τότε ( γ) ( γ), κι ν ( = γ) τότε ( ) ( γ), λλιώς ( ) ( < ), κι ( γ) ( < γ), οπότε μεττικά ( < γ), που δίδει ( γ). = (Κι ντιστρόφως:) Αν πό μι μη-γνήσι (= μερική) διάτξη φιρέσουμε τ νκλστικά ζεύγη υτή περιορίζετι σε μι γνήσι διάτξη, <. Έστω ( ) μι μη-γνήσι διάτξη (νκλστική, ντι-συμμετρική, μεττική). Ορίζουμε την «γνήσι» εκδοχή της: ( < ) ( ) ( ) Αξίζει την ονομσί μς; Είνι δηλδή όντως διάτξη κι γνήσι; Ελέγχουμε τις ιδιότητες: μη-νκλστική: Νί, διότι ( < ) θ σήμινε, πό το 2 ο μέλος ( ), πράγμ άτοπο. μη-συμμετρική: Νί, διότι δεν είνι δυντόν κι ( < ) κι ( < ), διότι θ είχμε ( < ) ( ), κι ( < ) ( ), κι η ντισυμμετρική θ μς έδινε ( = ), ενώ πό το 2 ο μέλος έχουμε ( ), πράγμ άτοπο. μεττική: ν ( < ) κι ( < γ) ( < γ)? Νί, διότι πό τον ορισμό λμάνουμε ( ) κι ( γ), κι άρ μεττικά ( γ). Επίσης ισχύει ( γ), διότι λλιώς, ν ( = γ) πό τ ( ) κι ( γ) ( ) θ λμάνμε (ντι-συμμετρική) ότι ( = ), που ντιφάσκει με το ότι ( ). Έχοντς ότι ( γ) κι ( γ) λμάνουμε ότι ( < γ). 3. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: η προέλευση. Από μθημτικής πλευράς υπάρχουν πολλές πηγές που μς πρέχουν σχέσεις διάτξης. Απριθμούμε εδώ μόνον τ μεγάλ είδη τέτοιων διτάξεων: διθμίσεις: εγκλεισμός: συνέπει: πόδειξη: Εάν επί συνόλου Α ορίζετι μι ριθμητική συνάρτηση χ(-), χ(-): Α a Ν (οι φυσικοί ριθμοί ρκούν γι τέτοιες συνρτήσεις), η οποί «διθμίζει» υτά τ στοχεί, τότε η διάτξη των φυσικών ριθμών μετφέρετι κι επί υτών των στοιχείων: ( < ) ( χ() < χ() ) Αξίζει ν προσέξουμε εδώ ότι η σχέση ( ) ( χ() = χ() ) πράγει σχέσεις ισοδυνμίς, όπως πρπάνω η σχέση ( < ) ( χ() < χ() ) πράγει σχέσεις (γνήσις) διάτξης. Στ σύνολ η σχέση «εγκλεισμού», υπό τις δύο μορφές (γνήσι, μη-γνήσι ), είνι μι σχέση διάτξης. Στις προτάσεις της λογικής η σχέση «Φ έχει-ως-συνέπει-την Ψ» είνι μι σχέση που δεν είνι κριώς διάτξης (φού δεν είνι κτ νάγκην σύμμετρη), γίνετι όμως διάτξη επί των κλάσεων των λογικώς ισοδυνάμων προτάσεων. Το νάλογο ισχύει κι γι την σχέση ««Φ ποδεικνύει-την Ψ» («ποδεικνύει» με άσει τ ξιώμτ κι τους κνόνες της μθημτικής λογικής). Αξίζει ν πρτηρήσουμε ότι το πρώτο είδος στηρίζετι στο δεύτερο (φού m < n σημίνει ότι m n), κι ότι το δεύτερο στηρίζετι στο τρίτο, φού Α Β, σημίνει «σ Α σ Β». Στο χώρο των»κθημερινών» εφρμογών υπάρχει τεράστι ποικιλί διτκτικών σχέσεων. Είνι τόσες πολλές, που όπως θ προσέξετε πρκάτω δεν νφέρουμε κάν συγκεκριμμένες περιπτώσεις, λλά είδη περιπτώσεων: προτιμήσεις: διθμίσεις: Οι άνθρωποι, εμφνίζουν στην πρέ τους, στην δράση τους, στις κτνλωτικές τους συνήθειες, μυρίων ειδών προτιμήσεις: προτιμούν υτούς τους χρκτήρες κι όχι εκείνους, υτές τις δρστηριότητες κι όχι εκείνες, ή υτές τις γεύσεις κι όχι εκείνες, κοκ. Όλ υτά εκφράζοντι μέσ πό διτάξεις στοιχείων. Συχνόττ, διθμίζουμε πρόσωπ κι ομάδες προσώπων ή γθά, ώστε ν διτχθούν. Π.χ. οι θλητικές ομάδες πίρνουν θμούς, τ δημόσι πρόσωπ ένν Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 2 / 23

3 χρονολογήσεις: εξρτήσεις: θησυροί όρων: γενικεύσεις: ειδικεύσεις: ιερρχίες: προτεριότητες: δείκτη δημοφιλίς, τ προϊόντ μι τιμή γοράς, κοκ. Όλ υτά είνι μι πόπειρ ν τ διτάξουμε κτά τον πλούστερο τρόπο (δηλδή «γρμμικά»). Ο χρόνος διτάσσει τ γεγονότ κτά χρονολογική σειρά, κτά προφνή τρόπο. Αυτό ίσως ν λησμονείτι, είνι ότι συχνόττ δεν έχουμε κριείς χρονολο γήσεις: λ.χ. έν ιστορικό γεγονός μπορεί πλώς ν τοποθετείτι πό το 150 μχ έως το 180 μχ, επομένως η χρονολογική του διάτξη δεν μπορεί ν είνι κτηγορημτική. Επίσης συχνά δεν ενδιφερόμστε γι έν επί μέρους συμάν, λλά γι μι περίοδο ή εποχή. Οι διτάξεις που εμφνίζοντι λοιπόν δεν είνι τόσο πλοϊκές όσο η κοινή γρμμική διάτξη του φυσικού χρόνου. Σε έν σύστημ φυσικό, ή κοινωνικό, κττ, οι επί μέρους πράγοντες επηρρεάζουν άλλους, κι δημιουργούν διτάξεις. Αυτό το πρόσωπο σκεί επιρροή σε έν άλλο, υτό ο νόμος επιδρά σε τούτον ή εκείνον τον άλλο νόμο, υτό το είδος επιδρά οικολογικά σε εκείνο το είδος, κκτ. Οι εξρτήσεις δεν είνι πάντ διτετγμένες, ποτελούν όμως πηγή διτκτικών σχέσεων. Στη γλώσσ εν γένει, λλά κι στην ορολογί επί μέρους κλάδων εμφνίζοντι χιλιάδες όροι που έχουν μετξύ τους σχέση συνωνυμίς, ή σχέση ευρύτερου ειδικότερου όρου. Λ.χ. ο όρος «πώληση» θεωρείτι ισοδύνμος με τον «γορπωλησί», που είνι όμως ειδικότερος του «μετίση δικιώμτος», κοκ. Τέτοιες γλωσσικές συσχετίσεις εκφράζοντι πό σχέσεις ισοδυνμίς κι διάτξης. Σε κάθε επιστημονικό κλάδο τ υπό μελέτη ντικείμεν τξινομούντι σε «είδη» κι «γένη». Λ.χ. τ τετράγων είνι ορθογώνι, υτά είνι τετράπλευρ, τ οποί είνι πολύγων, που με τη σειρά τους είνι επίπεδ σχήμτ, κοκ. Στη ιολογί, τ ζώ δικρίνοντι σε σπονδυλωτά κι σπόνδυλ, τ σπονδυλωτά σε θηλστικά κι μη, κοκ. Όλες υτές οι κτηγοριοποιήσεις, δημιουργούν διτάξεις όπου η σχέση ίνει πό «είδος» σε «γένος». Στ κοινωνικά συστήμτ εμφνίζετι πληθώρ ιερρχικών σχέσεων, με άση την ηλικί, την εμπειρί, την θέση σε έν επγγελμτικό χώρο, κοκ. Οι ιερρχίες είνι τυπικό είδος γνήσις διάτξης. Η τήρηση προτεριοτήτων είνι εύλογη κι κρίσιμη στην κθημερινή ζωή όσο κι στις πργωγικές διδικσίες, Πρώτ ψωνίζουμε κι μετά μγειρεύουμε, κι σε μι γρμμή πργωγής πρώτ κτσκευάζουμε τ τεμάχι μις μηχνής κι μετά την συνρμολογούμε. Ακόμ κι η συνρμολόγηση, έχει κι υτή τις προτεριότητες της, π.χ. πρώτ τοποθετούμε τις ρόδες σε έν ποδήλτο κι μετά την λυσίδ. Ακόμ κι το πιο πλό έργο, όπως η χρήση μις μηχνής espresso, έχει μι διάτξη των εργσιών του, (διάτξη που είνι μερική κι όχι πλήρης): 1. νµονή ψύξης 2. νερό στη δεξµενή 3. σκόνη κφέ στο δοχείο 4. σφράγιση δεξµενής 5. δοχείο κφέ στη θέση του 6. φλυτζάνι στη θέση ροής 7. ενεργοποίηση - (on) 8. πενεργοποίηση - (off) ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: η σχεδίση. µερική σχεδίση oι υπόλοιπες µεττικές κµές διάγρµµ Hasse: µόνον µετάτες Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 3 / 23

4 Σε μι σχέση γνήσις διάτξης δεν υπάρχουν νκλστικές ή συμμετρικές κμές, κι δεν χρειάζετι ν σχεδιάσουμε τις μεττικές κμές. Αφιρώντς υτές τις κμές, μένουμε μόνον με τις μετάτες κμές, τις οποίες σχεδιάζουμε ως γράφημ κόμων κι κμών, με φορά (κτά συνήθει) πό κάτω προς τ επάνω. Αυτή η οικονομική σχεδίση ποκλείτι διάγρμμ Hasse. Στο προηγούμενο σχήμ εικονίζετι μι διάτξη σχεδισμένη κτά (πό ριστερά προς τ δεξιά) με μερικό, πλήρη, κι οικονομικό τρόπο. 5. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: η μορφικά χρκτηριστικά. Σε έν τέτοιο διάγρμμ, υπάρχουν περί τ 10 μορφικά χρκτηριστικά άξι προσοχής, κι σχεδόν υθερμήνευτ πό το εξής σχήμ. Προσέξτε ότι γι κάθε στοιχείο σ της διάτξης, όλ τ στοιχεί x, (περιλμάνετι κι το σ), διμερίζοντι σε 3 είδη: μικρότερ { x < σ }, σύγκριτ { x σ }, μεγλύτερ { σ < x }. νώττ κρί δ επόµεν(σ) µεγλύτερ(σ) µετάτη κµή σ γ σύγκριτ(σ) σ µεττική κµή προηγούµεν(σ) µικρότερ(σ) λυσίδ,, γ, δ κτώττ κρί επόμεν στοιχει του σ: όσ είνι «μέσως» μεγλύτερ του σ, δηλδή η σ είνι μετάτη κμή. προηγούμεν του σ: όσ είνι «μέσως» μικρότερ του σ, δηλδή η σ είνι μετάτη κμή. κρί στοιχεί: νώττο ή maximal όποιο δεν έχει επόμενο, κτώττο ή minimal όποιο δεν έχει προηγούμενο. Γι τους όρους μικρότερος-μεγλύτερος χρησιμοποιούντι κι οι πρόγονος-πόγονος. Γι τους όρους προηγούμενος-επόμενος χρησιμοποιούντι κι οι προκάτοχος-διάδοχος. 6. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ οι κρίες μορφές. Οι διτάξεις έχουν δύο κρίες μορφές: η 1 η είνι ότν, τετριμμέν, η σχέση είνι κενή. Τέτοι σύνολ στοιχείων τ ονομάζουμε νεξάρτητ, κι έχουν ενδιφέρουν ως ενδεχόμεν μέρη μις ευρύτερης σχέσης. Η 2 η είνι είνι ότν υπάρχουν όλ τ δυντά (σύμμετρ) ζεύγη, κι σε υτή την περίπτωση ισχύει η τριχοτομική ιδιότητ: γι κάθε ζεύγος στοιχείων κι, είτε μόνον ( < ), είτε μόνον ( = ), είτε μόνον ( < ). Κάθε στοιχείο έχει κριώς έν επόμενο, πλην ενός μεγίστου που δεν έχει επόμενο, κι κάθε στοιχείο έχει κριώς έν προηγούμενο, πλην ενός ελχίστου που δεν έχει προηγούμενο. Η πρκάτω εικόν μις τέτοις σχέσης 5 στοιχείων δικιολογεί την ονομσί: πλήρης ή γρμμική διάτξη: min max γρµµική διάτξη: όλ τ ζεύγη γρµµική διάτξη: µόνον τ µετάτ ζεύγη 7. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: προσθφίρεση μεττικών κμών. Σε οποιδήποτε σχέση, είτε πληροί κριώς τις προδιγρφές της διάτξης είτε όχι, έχει σημσί ν εξετάσουμε τί θ προέκυπτε εάν προσθέτμε όλες τις μεττικές κμές ή κριέστερ, όλες τις μεττικές κμές που λείπουν. Αυτή η πράξη επεκτείνει την σχέση, λλά συχνά υτή η επέκτση είτε λλοιώνει μόνον ελφρά το ρχικό νόημ της σχέσης, είτε το διτηρεί, είτε, ορισμένες φορές εκφράζει υτή η ίδι το «νόημ» της σχέσης. Π.χ. τ μεττικά εροπορικά δρομολόγι λλοιώνουν πολύ λίγο την έννοι της εροπορικής μετφοράς: το χρκτηριστικό της πτήσης κι της μεγάλης τχύτητς διτηρείτι οι μεττικές σχέσεις προγόνων-πογόνων Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 4 / 23

5 σε μι οικογένει δεν λλοιώνοντι κθόλου κι οι οδικές συνδέσεις κτσκευάζοντι κτά 99%, κριώς γι ν χρησιμοποιηθούν «μεττικά». μεττικό πλήρωμ. Δεδομένης μις διμελούς σχέσης S, η σχέση S ( + ) που προκύπτει φού προσθέσουμε όλες τις μεττικές κμές που «λείπουν» ονομάζετι το μεττικό πλήρωμ (ή μεττικό «κλείσιμο») της S. Ο υπολογισμός της S ( + ), δηλδή όλων των μεττικών κμών μις σχέσης, είνι κίρις σημσίς πρόλημ σε πολλά πεδί εφρμογών, κι δυστυχώς η λύση του είνι χρονοόρ. Υπάρχουν ρκετοί λγόριθμοι γι τη λύση του, λλά επειδή εδώ δεν εστιάζουμε στους λγορίθμους κι στη δρστικότητά τους, θ δώσουμε μι έξυπνη πλή τεχνική, εύκολη κι χρήσιμη τόσο γι τον υπολογισμό των μεττικών κμών, όσο κι γι την φίρεσή τους. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μι σχέση S, που είνι μη-συμμετρική, μη-νκλστική, κι θέλουμε ν την συμπληρώσουμε με τις μεττικές κμές που πράγει. Αν εξετάσουμε έν οποιοδήποτε στοιχείο σ, θ δικρίνουμε σε υτό όλ τ μικρότερ, κι όλ τ μεγλύτερ στοιχεί. Κάθε διτετγμένο ζεύγος,, όπου < σ <, πράγει μι μεττική κμή, πού ίσως υπάρχει ήδη στη S, ίσως όχι, κι γι υτό την προσθέτουμε στο S. (Ο έλεγχος του ν υπάρχει ήδη δεν προσφέρει κι πολλά σε τυχείς περιπτώσεις ίσως κι ν επιρύνει (!) χρονικά υτή την διδικσί...) Θ ποκλέσουμε την προσθήκη «S S ( μικρότερ(σ) μεγλύτερ(σ) )», πράκμψη(σ). Δίνουμε στη συνέχει το σχετικό σχήμ γι έν στοιχείο σ με 2 μικρότερ κι 3 μεγλύτερ στοιχεί, κι τον «ψευδοκώδικ» της διδικσίς. σ σ Πράκµψη(σ) +, ιδικσί Προεργσί { Γι κάθε στοιχείο σ { Μικρότερ(σ) {: < σ }, Μεγλύτερ(σ) {: σ < } } } ιδικσί Πράκµψη(σ) { Γι κάθε Μικρότερ(σ), κι κάθε Μεγλύτερ(σ) { S (+) S (+) +, Μικρότερ() Μικρότερ() + Μεγλύτερ() Μεγλύτερ() + } } Συνάρτηση ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΟ_ΠΛΗΡΩΜΑ(S): σχέση { Προεργσί S (+) S Γι κάθε στοιχείο σ S { Πράκµψη(σ) } ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΟ_ΠΛΗΡΩΜΑ S (+) } Θ περίμενε κάποιος ότι η πράκμψη όλων των στοιχείων σ θ οδηγούσε στην προσθήκη όλων των μεττικών κμών. Ο ισχυρισμός φίνετι ορθός εκ πρώτης όψεως, λλά υτό είνι πρπλνητικό: εάν π.χ. σε κάποιο ήμ εφρμόσουμε την διδικσί Πράκμψη(σ), πρμένει δυντόν σε έν μετγενέστερο ήμ ν προσθέσουμε κμές προς ή πό το στοιχείο σ οι οποίες δεν υπήρχν πριν, δηλδή δεν είχν ληφθεί υπόψι σε υτό προγενέστερο ήμ, κι υτό δημιουργεί ειότητ γι το εάν προσθέσμε όλες τις μεττικές κμές μέσω του σ. Κι όμως ο ισχυρισμός ληθεύει: = Εάν σε μι διάτξη εφρμόσουμε την πράξη «Πράκμψη(σ)» γι κάθε στοιχείο σ της διάτξης, τότε θ προσθέσουμε όλες τις μεττικές κμές τις διάτξης. Το επιχείρημ είνι ότι ρκεί ν προσθέτουμε όλες τις μεττικές κμές κτά μήκος οποισδήποτε λυσίδς σ1 σ2... σν, φού όλες οι μεττικές κμές εμφνίζοντι κτά μήκος μις τέτοις λυσίδς (έστω μήκους μόνον 3). Το εξής ισχύει: εάν σε μι λυσίδ σ1 σ2... σν εφρμόσουμε την Πράκμψη(σ) γι κάθε στοιχείο σ της λυσίδς, τότε θ προσθέσουμε όλες τις μεττικές κμές της λυσίδς, νεξρτήτως της Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 5 / 23

6 σειράς των πρκάμψεων. Κι υτός ο ισχυρισμός μπορεί ν ποδειχθεί επγωγικά: Βάση επγωγής: Ο ισχυρισμός ισχύει γι μι λυσίδ σ1 σ2 σ3, μήκους ν = 3 διότι κτά την εξέτση του σ2, η διδικσί Πράκμψη(σ2) θ προσθέσει την μεττική κμή σ1 σ3, που είνι κι η μόνη (δηλδή θ προσθέσει όλες τις μεττικές κμές υτής της λυσίδς). Βήμ επγωγής: Έστω ότι ο ισχυρισμός ισχύει γι λυσίδες σ1 σ2... σν, μήκους ν κ. Θ δείξουμε ότι ισχύει κι γι λυσίδες μήκους έως κι ν = κ+1. Έστω ότι η διδικσί πράκμψης εφρμόζετι γι τελευτί φορά στο σj στοιχείο μις λυσίδς με ν = (κ+1) στοιχεί, όπου 2 j ν 1 (διότι η πράκμψη στ άκρ δεν έχει κμμί επίδρση). Στ προηγούμεν ήμτ η διδικσί έχει εφρμοστεί σε όλ τ στοιχεί της λυσίδς σ1 σ2... σj, μήκους j κ (φού j < ν), λλά κι στην λυσίδ σj σj σν=κ+1, μήκους (ν+1) j (ν 1) κ. Σε υτές τις λυσίδες ισχύει η επγωγική υπόθεση (φού έχουν μήκος κ), κι άρ σε υτές τις λυσίδες έχουν προστεθεί όλες οι μεττικές κμές: δηλδή όλες οι κμές σλ σj, γι λ < j, κι όλες οι κμές σj σλ, γι λ > j. Η διδικσί πράκμψης του σj έχοντς στη διάθεσή της υτές τις κμές, θ συνδέσει μεττικά όλ τ στοιχεί πριν το σj με όλ τ στοιχεί μετά το σj που είνι το ζητούμενο, κι που ρκεί γι ν προστεθούν όλες οι μεττικές κμές της λυσίδς σ1 σ2... σκ+1. 1 < j < κ + 1 ν = (κ + 1) σ 1 σ j σ κ +1 {1.. j} κ { j.. ν } κ Εάν εφρμόσουμε την διδικσί πράκμψης (με οποιδήποτε σειρά) σε όλ τ στοιχεί της διάτξης, θ την έχουμε εφρμόσει τυτόχρον σε όλες τις λυσίδες της, κι άρ θ έχουμε πργάγει όλες τις ενδεχόμενες μεττικές κμές. μεττική νγωγή. Έν ενδιφέρον σημείο στην πρπάνω τεχνική είνι ότι, () προσθέτουμε, εμφνώς, μόνον μεττικές κμές, κι, () δεν προσθέτουμε πλά όλες τις μεττικές κμές που υπολείποντι, λλά προσθέτουμε όλες τις μεττικές κμές, κόμ κι υτές που υπήρχν ήδη. Αυτό δεν χρειάζετι πρόσθετη πόδειξη: ενυπάρχει ήδη στην πόδειξη που δώσμε. Αποκτούμε έτσι μι τεχνική φίρεσης όλων των μεττικών κμών, ώστε ν διτηρήσουμε μόνον τις μετάτες κμές της διάτξης (κάτι χρήσιμο, εάν θέλουμε λ.χ. ν ποθηκεύσουμε υτή την διάτξη, ή ν σχεδιάσουμε το σχετικό διάγρμμ Hasse): πλά φιρούμε (τελικά) όσες κμές πράγοντι, ντί ν τις προσθέτουμε. ιδικσί Προεργσί { Γι κάθε στοιχείο σ { Μικρότερ() {σ: σ < }, Μεγλύτερ() {σ: < σ } } ιδικσί Εξέτση(σ) { Γι κάθε Μικρότερ(σ), κι κάθε Μεγλύτερ(σ) { Σηµειώνουµε την κµή, Μικρότερ() Μικρότερ() + Μεγλύτερ() Μεγλύτερ() + } } Συνάρτηση ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ_ΑΝΑΓΩΓΗ(S): σχέση { Προεργσί Γι κάθε στοιχείο σ S { Εξέτση(σ) } S ( ) S {, : σηµειωµένη κµή } ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ_ΑΝΑΓΩΓΗ S ( ) } ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Κάθε σχέση ορίζει κι ορίζετι πό τις εικόνες των στοιχείων της. Σε μι σχέση S που είνι διάτξη κι την συμολίζουμε με <, ποιά είνι η εικόν S[{σ}] ενός στοιχείου σ; Αφού S[{σ}] = { x Α: σ, x }, ισχύει ότι S[{σ}] = { x Α: σ < x }, δηλδή η εικόν ενός στοιχείου είνι τ μεγλύτερά του. Κι τ μικρότερά του είνι η εικόν του υπό την ντίστροφη σχέση.) Ποιά είνι, όμως, η εικόν ενός στοιχείου στην μετάτη σχέση S ( ) ; Είνι Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 6 / 23

7 τ στοιχεί που ονομάσμε «επόμεν(σ)»: S ( ) [ {σ} ] = { x: σ, x είνι μετάτη κμή/ζεύγος }. Κι η εικόν στην ντίστροφη σχέση είνι υτά που ονομάσμε «προηγούμεν(σ)» στοιχεί. 8. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: πράξεις κι ιδιότητες. Επί δύο ξένων συνόλων νφοράς, Α1 κι Α2: Πράλληλη σύνθεση: Έστω Δ1 = Α1, S1, Δ2 = Α2, S2 διτάξεις επί δύο (ξένων) συνόλων Α1 κι Α2. Ορίζουμε την πράλληλη σύνθεση τους Δ1 Δ2, ενώνοντς τ σύνολ των στοιχείων, κι τ σύνολ των ζευγών: Δ1 Δ2 Α1 Α2, S1 S2 Προσέχουμε εδώ ότι δεν προσθέτουμε κνέν νέο ζεύγος στη σχέση, επομένως τ στοιχεί των Α1 κι Α2 πρμένουν πλήρως σύγκριτ μετξύ τους, όπως κτ ουσί ήσν κι προηγουμένως. Πράδειγμ: έν πρόσωπο μπορεί ν έχει μι διάτξη προτίμησης σχετικά με μουσικές συνθέσεις, κι μι άλλη σχετικά με κινημτογρφικές τινίες. Είνι εύλογο «επί τέχνης» ν μην προχωρεί σε κμμί σύγκριση νάμεσ σε τινίες κι τργούδι. =Η πράλληλη σύνθεση δύο γνήσιων διτάξεων είνι γνήσι διάτξη. Ελέγχουμε την ισχύ των τριών Α-Σ-Μ ιδιοτήτων. μη-νκλστική: Στην σύνθετη σχέση δεν μπορεί ν υπάρξει ζεύγος, με Α1 Α2, διότι το θ νήκε στο Α1 ή στο Α2, κι τότε θ υπήρχε κι πριν, πράγμ δύντον φού έχουμε υποθέσει τις διτάξεις S1, S2 ως μη-νκλστικές. μη-συμμετρική: Στην σύνθετη σχέση δεν μπορεί ν υπάρξουν ζεύγη, κι,, με, Α1 Α2, διότι τ κι θ νήκν είτε κι τ δύο στην Α1 είτε κι τ δύο στην Α2, (φού δεν προσθέσμε ζεύγη νάμεσ σε υτές). Αυτό όμως είνι δύντον φού έχουμε υποθέσει τις διτάξεις S1, S2 ως μησυμμετρικές. μεττική: Αν στην σύνθετη σχέση υπάρχουν τ, κι, γ τότε τ,, γ νήκουν είτε κι τ δύο στην S1, είτε κι τ δύο στην S2, οπότε υπάρχει κι το ζεύγος, γ, το οποίο πρμένει στην σύνθετη σχέση (φού δεν φιρέσμε κνέν ζεύγος). Σειρική σύνθεση: Έστω Δ1 = Α1, S1, Δ2 = Α2, S2 διτάξεις επί δύο (ξένων) συνόλων Α1 κι Α2. Ορίζουμε την σειρική σύνθεση Δ1 Δ2, ενώνοντς τ σύνολ των στοιχείων κι τ σύνολ των ζευγών, λλά κι προσθέτοντς στη διάτξη όλ τ ζεύγη του συνολογινομένου Α1 Α2. Δ1 Δ2 Α1 Α2, S1 S2 Α1 Α2 Προσέχουμε εδώ ότι στη νέ διάτξη, τ στοιχεί εντός του Α1 ή εντός του Α2, συγκρίνοντι όπως κι πριν, οποιοδήποτε όμως στοιχείο του Α1 θεωρείτι πλέον «μικρότερο» πό οποιοδήποτε του Α2. Πράδειγμ: έν πιδί μπορεί ν έχει μι διάτξη προτίμησης σχετικά με τ φρούτ, (λ.χ. προτιμά τις μπνάνες πό τ μήλ), κι μι σειρά προτίμησης στ γλυκά, (π.χ. τ πγωτά πένντι στις τούρτες). Είνι όμως κι φυσικό ν εκφράζει μι συνολική πρότίμηση: γι επιδόρπιο ίσως ν προτιμά το οποιοδήποτε «γλυκό» πό την οποιδήποτε «τούρτ». = Η σειρική σύνθεση δύο γνήσιων διτάξεων είνι γνήσι διάτξη. Ελέγχουμε την ισχύ των τριών Α-Σ-Μ ιδιοτήτων. μη-νκλστική: Στην σύνθετη σχέση δεν μπορεί ν υπάρξει ζεύγος, με Α1 Α2, διότι το θ νήκε στο Α1 ή στο Α2, δηλδή θ υπήρχε κι πριν, πράγμ δύντον φού έχουμε υποθέσει τις διτάξεις S1, S2 ως μη-νκλστικές. μη-συμμετρική: Στην σύνθετη σχέση δεν μπορεί ν υπάρξουν ζεύγη, κι,, με, Α1 Α2, διότι τ κι θ νήκν είτε κι τ δύο στην Α1 είτε κι τ δύο στην Α2, (φού λλιώς έν πό τ δύο θ ήτν πό το Α2 προς το Α1, ενώ τ ζεύγη που προσθέσμε ήσν μόνον πό την Α1 προς την Α2). Αυτό όμως είνι δύντον φού έχουμε υποθέσει τις διτάξεις S1, S2 ως μη-συμμετρικές. μεττική: Αν στην σύνθετη σχέση υπάρχουν τ, κι, γ τότε οι δυντότητες εμφάνισης της λυσίδς γ είνι οι εξής οκτώ, (νλόγως του εάν ο 1 ο κόμος είνι στον χώρο Α1 ή στον Α2, εάν η 1 η κμή μένει εντός του ιδίου συνόλου ή ίνει προς το άλλο, κι εάν η 2 η κμή μένει εντός του ιδίου Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 7 / 23

8 συνόλου ή ίνει προς το άλλο): A 2 2 γ γ γ γ + +???? 1 A 1 γ γ γ γ Στην 1 η περίπτωση η λυσίδ μένει εντός του Α1, κι επειδή η σχέση S1 (ως διάτξη) είνι μεττική, η κμή, γ νήκει στην S1, άρ κι στη σύνθετη σχέση (φού δεν φιρούμε κμμί κμή). Στη 2 η περίπτωση ισχύει το ίδιο κτ νλογί. Στην 3 η κι 4 η περίπτωση η κμή, γ ίνει πό το Α1 στο Α2, άρ υπάρχει στην σύνθετη σχέση (φού προσθέτουμε όλες τις κμές Α1 Α2). Όλες οι υπόλοιπες περιπτώσεις ( 5 η έως 8 η ), είνι δύντον ν εμφνιστούν διότι περιλμάνουν μί κμή πό το Α2 προς το Α1, κι τέτοιες κμές ούτε υπήρχν (προφνώς), ούτε τις προσθέτουμε στην σύνθετη σχέση. Πολυκριτηρική διάτξη. (λ. πρκάτω) Επί του υτού συνόλου νφοράς, Α: Τομή δύο διτάξεων. Έστω Α, S1, Α, S2 δύο διτάξεις επί του υτού συνόλου. Ορίζουμε την διάτξη-τομή, συνολοθεωρητικά: S Α, S1 S2 δηλδή στη νέ διάτξη ισχύει ( < ) εάν κι μόνον ισχύει ( < ) κι στις δύο ρχικές διτάξεις: ( < S ) ( < S1 ) ( < S2 ) Η τομή είνι σημντική πράξη, διότι όπως θ δούμε κάθε διάτξη μπορεί ν εκφρστεί μέσω υτής. Πράδειγμ: Έστω ότι έχετε μι σειρά προτίμησης γι τις κτοικίες νάλογ με το πόσο κλές είνι, λλά, εύλογ έχετε κι μι σειρά προτίμησης σχετικά με το κόστος που έχουν (ενοίκιο, συντήρηση, θέρμνση, κά). Μένετε ήδη σε μι κτοικί κι πληροφορείστε ότι υπάρχει κι μί άλλη διθέσιμη. Θ μετκομίσετε ή όχι; Σε υτή την περίπτωση όπου η εκδήλωση προτίμησης έχει η ίδι έν κόστος συχνά προτιμάμε κάτι νέο μόνον εάν είνι προτιμότερο κι ως προς τ δύο κριτήριά μς: θ μετκομίσουμε μόνον εάν η νέ κτοικί είνι κι κλύτερη κι φθηνότερη. Αυτή η διάτξη προτίμησης είνι η τομή δύο διτάξεων. = Η τομή δύο γνήσιων διτάξεων είνι γνήσι διάτξη. Ελέγχουμε την ισχύ των τριών Α-Σ-Μ ιδιοτήτων. μη-νκλστική: Στην σύνθετη σχέση δεν μπορεί ν υπάρξει ζεύγος, διότι θ υπήρχε κι στις δύο ρχικές, ενώ υτές έχουν υποτεθεί μη-νκλστικές. μη-συμμετρική: Στην σύνθετη σχέση δεν μπορεί ν υπάρξουν τ ζεύγη, κι, διότι θ υπήρχν κι στις δύο ρχικές, ενώ υτές έχουν υποτεθεί μη-συμμετρικές. μεττική: Αν στην σύνθετη σχέση υπάρχουν τ ζεύγη, κι, γ, τότε υτά υπήρχν κι στις δύο ρχικές, επομένως (λόγω μεττικότητς) υπήρχν κι στις δύο ρχικές σχέσεις τ ζεύγη, γ. Η σύνθετη σχέση, ως τομή των ρχικών, θ περιλάει κι το, γ. Η «γεωμετρί» των διτάξεων - η πράστση της τομής δύο γρμμικών διτάξεων στο επίπεδο: Αξίζει ν προσέξουμε την τομή δύο γρμμικών διτάξεων, έστω, π.χ. Γx =, γ, δ, ε,, ζ κι Γy =, ε, ζ, δ, γ,. Τοποθετούμε τ στοιχεί έως ζ στο επίπεδο, κτά τον οριζόντιο άξον κι κτά τη σειρά της διάτξης Γx, κι κτά τον κάθετο άξον, κτά τη σειρά της διάτξης Γy. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 8 / 23

9 Κάθε στοιχείο σ μπορεί τώρ ν νπρστθεί πό το σημείο «σ» στο επίπεδο που έχει x κι y συντετγμένες τ στοιχεί σ επί των ξόνων. Γι ν ισχύει η σχέση ( < ) θ πρέπει το σημείο ν είνι δεξιότερ πό το (λόγω της Γx ), κι υψηλότερ πό το (λόγω Γy). Γ y < ~ γ γ δ δ ζ ζ Γ x = γ δ ε ζ ε ε Γ y = ε ζ δ γ γ δ ε ζ Γ x Αν σε κάθε σημείο «σ» τοποθετήσουμε έν τετρτημόριο (όπως στο σχήμ άνω ριστερά), τότε έν στοιχείο συγκρίνετι με έν στοιχείο εάν το τετρτημόριο του περιλμάνει το τετρτημόριο του, ή ντιστρόφως, λλιώς είνι σύγκριτ μετξύ τους. Κάθε λοιπόν «στερισμός» σημείων στο επίπεδο (όπως δεξιά στο σχήμ), πράγει μι διάτξη στ σημεί του κτά τον πρπάνω τρόπο, κι υτή η διάτξη είνι τομή δύο γρμμικών διτάξεων. Οι τομές 3, ή 4, ή ν γρμμικών διτάξεων νπρίσττι κτά νάλογο τρόπο σε 3, 4, ή ν διστάσεις. Πολυκριτηρική διάτξη. Έστω ότι επί ενός συνόλου Α έχουμε ορίσει δύο διτάξεις «διάθμισης», με άση δύο ριθμητικά κριτήρι διάθμισης χ1(-) κι χ2(-), δηλδή ( < κ ) ( χ κ () < χ κ () ), κ = 1, 2. Εύλογ, μερικές διθμίσεις ίσως ν μην είνι πόλυτες, δηλδή δύο στοιχεί κι ίσως ν έχουν τον ίδιο θμό, δηλδή χ1() = χ1(), οπότε πρμένουν σύγκριτ ως προς υτό το 1 ο κριτήριο. Σε τέτοιες περιπτώσεις είνι εφικτό ν «ενεργοποιήσουμε» το 2 ο κριτήριο. Ορίζουμε πολυκριτηρική διάτξη άσει των «κριτηρίων» χ1(-) κι χ2(-), την διάτξη: ( < ) (χ1() < χ1()) ή [ (χ1() = χ1()) κι (χ2() < χ2()) ] Πράδειγμ: έν πρόσωπο έχει δύο σειρές προτίμησης νάμεσ σε προϊόντ: έν ποιοτικό δείκτη, κι την τιμή γοράς. Αν έλθει η στιγμή ν διλέξει νάμεσ σε δύο προϊόντ, τότε θ πρέπει ν συνθέσει τ δύο κριτήρι. Ίσως ν εφρμόσει κτά πρώτον το κριτήριο ποιότητς, κι ν υτά ισοθμίσουν ν εφρμόσει κτά δεύτερον το κριτήριο κόστους ή ντιστρόφως. = Η πολυκριτηρική διάτξη δύο διθμισμένων διτάξεων διθμισμένη διάτξη. Αν μι σχέση ελέγχετι πό έν διθμιστικό κριτήριο χ(-) Ν, εάν δηλδή ( < ) (χ() < χ()), τότε υτή είνι γνήσι διάτξη, διότι ισχύουν οι σχετικές Α-Σ-Μ ιδιοτήτων: μη-νκλστική: ουδέποτε ( < ) διότι ουδέποτε χ() < χ(). μη-συμμετρική: ουδέποτε ( < ) κι ( < ) διότι ουδέποτε χ() < χ() κι χ() < χ(). μεττική: εάν ( < ) κι ( < γ) τότε κι ( < γ) διότι χ() < χ() < χ(γ) χ() < χ(γ). Το ενδιφέρον εδώ είνι ότι η σύνθεση δύο διθμίσεων χ1(-) κι χ2(-) κτά τον πρπάνω τρόπο δίδετι πό μι νέ διάθμιση ως εξής. Εάν οι διθμίσεις λμάνουν τιμές χ..γ. στο διάστημ [0..Μ 1], ρκεί ν ορίσουμε, χ(σ) = χ1(σ) Μ + χ2(σ) ώστε η συνθήκη «(χ1() < χ1()) ή [ (χ1() = χ1()) κι (χ2() < χ2()) ]» ν ισοδυνμεί με ( χ() < χ() ). Ότν χ1() < χ1() η προσθήκη του χ2(-) < Μ δεν λλάζει την σύγκριση διότι: χ() < χ1() Μ + Μ < (χ1()+1) Μ χ1() Μ χ1() Μ + χ2() = χ(), κι ότν χ1() = χ1(), προφνώς χ() < χ() ισοδυνμεί με χ2() < χ2(). Άρ η σύνθετη σχέση είνι διθμισμένη πό την χ(-), κι άρ είνι εκ νέου διθμισμένη διάτξη. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 9 / 23

10 ΠΡΟΣΟΧΗ-1: Αν έχουμε τρείς διθμίσεις, επειδή η σύνθεση των χ1(-) κι χ2(-) είνι εκ νέου διθμισμένη, είνι δυντόν ν συνθέσουμε κι με την τρίτη χ3(-), κοκ. Αυτό φυσικά επεκτείνετι γι οποιοδήποτε πλήθος διθμίσεων γι υτό κι ο όρος «πολυκριτηρική». ΠΡΟΣΟΧΗ-2: Τ πρπάνω ισχύουν γι διθμισμένες διτάξεις επί του ιδίου χώρου νφοράς Α. Αυτό δεν ποτελεί όμως εμπόδιο: εάν έχουμε δύο διθμισμένες διτάξεις, Δ1 επί του Α1 άσει του κριτηρίου κ1(-), κι Δ2 επί του Α2 άσει του κ2(-), τότε υτές μεττρέποντι σε δύο διθμισμένες διτάξεις επί του ιδίου χώρου νφοράς Α1 Α2, όπου πλά χ1( 1, 2 ) = κ1(1), κι χ2( 1, 2 ) = κ2(2). Πράδειγμ: είνι εύλογο έν πρόσωπο ν έχει ένν δείκτη προτίμησης κ1(-) νάμεσ σε διάφορες εργσίες, κι ένν δείκτη προτίμησης κ2(-) νάμεσ σε διάφορους τόπους κτοικίς/εργσίς. Αν έλθει η στιγμή ν διλέξει νάμεσ σε δύο προσφορές εργσίς σε δύο τόπους, θ πρέπει ν συνθέσει τ δύο κριτήρι. Κι υτό θ γίνει επί του ενιίου συνόλου ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΤΟΠΟΘΕΣΙΕΣ. Λεξικογρφική διάτξη. Έστω ότι ο χώρος Α φέρει μι γρμμική διάτξη Γ. Αυτή μς επιτρέπει ν διτάξουμε κολουθίες στοιχείων του Α, = 1,..., μ, όπου το μήκος μ είνι οσοδήποτε μεγάλο. Ορίζουμε την λεξικογρφική διάτξη επί του Α, ως εξής: ( 1,..., μ <λεξ(γ) 1,..., ν ) ισχύει ( [ j] = [ j]) γι 0 j < θ min{μ, ν}, κι, 1 η περίπτωση: ν θ min{μ, ν}, εφόσον: ( [θ] < [θ] ). 2 η περίπτωση: ν θ > min{μ, ν}, εφόσον: ( μ < ν ) (Δηλδή: προσπερνάμε με έν δείκτη θ όλες τις θέσεις όπου οι κολουθίες κι συμφωνούν, κι κρίνουμε την διάτξή του ως προς την πρώτη εξ ριστερών θέση όπου υτές διφέρουν. Αν είνι ίσες κρίνουμε ως προς το μήκος τους.) Πράδειγμ: έν οποιοδήποτε λεξικό είνι πράδειγμ της λεξικογρφικής διάτξης των λέξεων με άσει την γρμμική διάτξη του λφήτου, < < γ < δ <... < ω. Π.χ. «υγή < «υγό». = Η λεξικογρφική διάτξη επί γρμμικής διάτξης είνι (πράγμτι) γνήσι διάτξη. Ελέγχουμε την ισχύ των τριών Α-Σ-Μ ιδιοτήτων. μη-νκλστική: Αν = έχουμε θ = min{μ, ν}, κι μ = ν, κι δεν ισχύει κμμί πό τις δύο περιπτώσεις. μη-συμμετρική: Δεν μπορεί ν ισχύσει κι < κι <, διότι το «θ» (που προσδιορίζει τ ίσ τμήμτ) είνι το ίδιο νεξρτήτως σειράς των, κι δεν μπορεί ν ισχύει ούτε η 1 η περίπτωση (δηλδή [θ] < [θ] κι [θ] < [θ] ), ούτε η 2 η (δηλδή (μ < ν) κι (ν < μ)), διότι υτές οι διτάξεις είνι μησυμμετρικές. μεττική: Έστω ότι < κι < γ. Οι κολουθίες κι θ ισούντι έως το θ, κι οι κι γ έως κι το θ γ. Οι ενδεχόμενες περιπτώσεις είνι έως κι 12 = 3 2 2, νλόγως του εάν το θ είνι μικρότερο, ίσο ή μεγλύτερο του θ γ, του εάν οι κι συγκρίθηκν ως προς την θέση θ ή ως προς το μήκος, κι του εάν τ κι γ συγκρίθηκν την θέση θ γ ή ως προς το μήκος. Γι ν πλοποιήσουμε τον έλεγχο προσθέτουμε στο τέλος της κάθε λέξης το οηθητικό σύμολο #, το οποίο θεωρούμε ότι είνι μικρότερο πό όλ: # < σ, γι κάθε σ. Έτσι η σύγκριση μπορεί ν γίνει πάντοτε ως προς το περιεχόμενο της θέση θ : ν η σύγκριση ήτν ν γίνει ως προς το μήκος, τότε υτή, ν μεν μ < ν, θ κτέληγε στη σύγκριση του # με έν στοιχείο σ, κι θ έδιδε το ορθό ντίστοιχο # < σ, ν δε μ = ν θ κτέληγε στη σύγκριση # με #, κι θ κτέληγε, ορθώς, σε συγκρισί. Θ έχουμε με υτόν τον τρόπο μόνον 3 περιπτώσεις ν εξετάσουμε, που είνι 2, που είνι 1, ντί γι 12: θ = = = = = = γ θ = = < < <' = = = = # = = = = = = = = < < <' γ = = = = σ γ = = = = = = θ θ γ : Πρέπει ν εξετάσουμε μέχρι ποίου σημείου οι κι γ είνι ίσες κι άρ σε ποιά θέση γίνετι η σύγκριση μετξύ τους. Οι κολουθίες κι είνι ίσες έως το θ κι οι κι γ είνι ίσες τουλάχιστον μέχρι τη θέση θ, φού είνι ίσες ως την θέση θ γ που είνι εκεί ή κόμ πιο δεξιά: Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 10 / 23

11 θ θ γ. Επομένως οι κι γ είνι ίσες τουλάχιστον ως πριν την θέση θ = θ, κι το ερώτημ είνι ν διφέρουν στην θέση θ. Αφού < κι υτές διφέρουν στην θέση θ, ισχύει [θ] < [θ]. Αφού < γ, έχουμε είτε [θ] < γ[θ] είτε [θ] = γ[θ], νλόγως με το πού έγινε η σύγκριση τους: στο θ ή μετά πό υτό. Δηλδή συνολικά [θ] < [θ] γ[θ] ( ), κι άρ [θ] γ[θ]. Τ κι γ διφέρουν λοιπόν όντως στη θέση θ, κι γι πρώτη φορά, άρ η σύγκριση τους γίνετι εκεί. Από την σχέση ( ) προκύπτει ότι [θ] < γ[θ], δηλδή < γ. θ θ γ : Η περίπτωση είνι συμμετρική της πρώτης: ρκεί ν χειριστούμε την «ντίστροφη» σχέση <, όπου (y < x) ν κι μόνον (x < y). 9. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: συγκεκριμμέν πρδείγμτ. κθημερινής νφοράς: (έχουν δοθεί γενικά πρδείγμτ). μθημτικού περιεχομένου: (έχουν δοθεί γενικά πρδείγμτ). 10. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: πλά, λλά κι κεντρικά, θεωρήμτ. Δίνουμε στη συνέχει λίγ πλά, λλά σικής σημσίς θεωρήμτ γι τις σχέσεις διάτξης: (i) κτευθυντά γρφήμτ κι διτάξεις. Σε μι σχέση είνι δυντόν (κι υτό κριώς έχει ενδιφέρον), ν πρτηρηθούν λυσιδωτές συσχετίσεις σ0 < σ1 < σ2 <... < σν. Το «ν» είνι το μήκος (της λυσίδς). Οι κύκλοι (ή: κυκλικές συσχετίσεις), είνι λυσίδες που «κλείνουν» δηλδή σ0 = σν. Η ιδιότητ της μη-νκλστικότητς μς λέει ότι δεν υπάρχουν κύκλοι μήκους 1, κι η ιδιότητ της μη-συμμετρίς μς λέει ότι δεν υπάρχουν κύκλοι μήκους 2. Υπό κθεστώς μεττικότητς δεν έχει νόημ ν εξιρέσουμε με κύκλους μεγλύτερου μήκους, διότι υτοί δεν υπάρχουν ν υπήρχν, τότε λόγω μεττικότητς θ δημιουργούσν κύκλους μήκους 2. Αν όμως δεν έχουμε εξσφλισμένη την μεττικότητ μις σχέσης, τότε έχει νόημ ν την χρκτηρίσουμε ως άκυκλη σχέση, εφόσον δεν περιέχει κνέν κύκλο, οποιουδήποτε μήκους. Το σημντικό στις άκυκλες σχέσεις είνι ότι ενυπάρχουν πίσω ή πριν πό κάθε διάτξη: = Κάθε γνήσι διάτξη είνι άκυκλη, κι κάθε άκυκλη σχέση (ή: άκυκλο γράφημ) επεκτείνετι σε γνήσι διάτξη. Ως προς το 1 ο, υτό σχολιάσμε μόλις προηγουμένως: μι διάτξη δεν έχει κύκλους μήκους 1, ούτε 2, άρ ούτε μκρύτερους. Ως προς το 2 ο, υτό κριώς επιτυγχάνει το μεττικό πλήρωμ μις σχέσης μς δίνει μι μεττική σχέση λλά κι άκυκλη (άρ μη-νκλστική, μη-συμμετρική), διότι σε μι άκυκλη σχέση η προσθήκη μις μεττικής κμής γ, λόγω κι γ, δεν μπορεί ν πργάγει κύκλο, διότι υτός θ υπήρχε κι πριν την προσθήκη υτής της κμής (μέσω του στοιχείου ). Κι προφνώς, η κυκλί διτηρείτι έως τέλους της προσθήκης όλων των μεττικών κμών. = Κάθε άκυκλη σχέση (κι άρ κάθε γνήσι διάτξη) S επιδέχετι μι γρμμική επέκτση. Δίνουμε μι πλή επγωγική πόδειξη. Έστω ότι έχουμε άκυκλη σχέση επί ν στοιχείων. Βάση επγωγής: Αν ν = 1 η σχέση ως έχει είνι ήδη (τετριμμέν) γρμμική. Βήμ επγωγής: Έστω ότι κάθε άκυκλη σχέση ν κ στοιχεί, επιδέχετι γρμμική επέκτση. Θ δείξουμε ότι το υτό ισχύει κι με κάθε άκυκλη σχέση με ν = (κ + 1) στοιχεί. Έστω έν νώττο κρίο στοιχείο σ της σχέσης. Έν τέτοιο σίγουρ θ υπάρχει, διότι νάμεσ στις λυσίδες της σχέσης, υπάρχει μί μεγίστου μήκους, κι σε υτήν το τελευτίο στοιχείο της δεν μπορεί ν έχει επόμενο. Αν φιρέσουμε υτό το κορυφίο στοιχείο η σχέση πρμένει άκυκλη επί των υπολοίπων (ν 1) κ στοιχείων, κι ως τέτοι επιδέχετι, πό την επγωγική υπόθεση, γρμμική επέκτση. Γι ν πάρουμε μι γρμμική επέκτση της ρχικής σχέσης ρκεί πλά, ν τοποθετήσουμε το στοιχείο σ ως μέγιστο στοιχείο της επέκτσης, (δηλδή «μετά» πό όλ τ άλλ στοιχεί). (ii) η διάστση μις διάτξης. Τ πρκάτω θεωρήμτ μς λένε ότι μί οποιδήποτε (πεπερσμένη) διάτξη προκύπτει πό την τομή (πεπερσμένου) πλήθους γρμμικών διτάξεων. Αυτό είνι σημντικό διότι () μς πρέχει έν τρόπο Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 11 / 23

12 νπράστσης υτής της διάτξης, κι () μς δίνει μι «ίσθηση» της πολυπλοκότητς της διάτξης. Σε ορισμένες περιπτώσεις διτάξεων S, το πλήθος των γρμμικών διτάξεων που ρκεί γι την περιγρφή της S είνι εξιρετικά μικρό μόλις 2 ή 3! = Κάθε γνήσι διάτξη στην οποί τ στοιχεί,, είνι σύγκριτ ( ), πρμένει άκυκλη με την προσθήκη είτε του ζεύγους, (ώστε ( < )), είτε του, (ώστε ( < )). Αν μετά την προσθήκη της κμής, υπάρχει κύκλος στη σχέση, τότε υτός περιέχει την κμή,, διότι λλιώς θ υπήρχε κι χωρίς υτήν, πράγμ άτοπο φού πριν η σχέση ήτν άκυκλη. Στον κύκλο υτόν το συνδέετι με το με λυσίδ = σ1 < σ2 <... < σν =, κι άρ μεττικά <. Αυτό είνι άτοπο, διότι υποθέσμε ότι τ κι ήσν προηγουμένως σύγκριτ επομένως τέτοιος κύκλος δεν υπάρχει. Το νάλογο ισχύει ν προσθέσουμε το ζεύγος,. = Κάθε (πεπερσμένη) διάτξη είνι η τομή πεπερσμένου πλήθους γρμμικών διτάξεων. Έστω Ι(S) = { {x, y} S, x y }, όλ τ σύγκριτ ζεύγη της διάτξης, x y. Γι οποιοδήποτε ζεύγος {x, y} Ι(S), η σχέση S + x, y είνι άκυκλη κι επιδέχετι μι γρμμική επέκτση, έστω Γx, y, η οποί θ είνι προφνώς κι επέκτση της S. S S + x, y Γx, y Το υτό ισχύει κι γι την σχέση S + y, x, η οποί δέχετι μι γρμμική επέκτση Γy, x, που είνι φυσικά κι γρμμική επέκτση της S. Τέλος, έστω ΓS μι γρμμική επέκτση της S. Η τομή Τ όλων υτών των επεκτάσεων δίδει την διάτξη S: I S = Τ ΓS ( Γ Γ ) x, y y, x { x, y} Ι( S) Έστω, δύο στοιχεί της διάτξης. Αν, S τότε, Τ, διότι η S, κι άρ το,, περιέχετι σε κάθε γρμμική επέκτση της. Αν, S, λλά, S, τότε, Τ, διότι η επέκτση ΓS περιέχει το, κι άρ, ως γνήσι διάτξη, δεν περιέχει, κι εξιρεί πό την τομή, το, :, Τ. Αν, S, λλά κι, S, δηλδή {, } Ι(S), τότε υπάρχουν οι επεκτάσεις Γ, κι Γ, άρ, Τ (διότι εξιρείτι λόγω της Γ, ), κι, Τ (εξιρείτι λόγω της Γ, ). Συνολικά λμάνουμε το ζητούμενο:, S, Τ = ΓS I ( Γ Γ ). x, y y, x { x, y} Ι( S) Με φορμή τ πρπάνω θεωρήμτ, κι την γεωμετρική νπράστση στην ενότητ #7, ονομάζουμε διάστση μι διάτξης S, τον ελάχιστο ριθμό γρμμικό διτάξεων η τομή των οποίων μς δίδει την S. Θ δούμε στην επόμενη ενότητ #10, ότι μερικά πολύ ξιόλογ είδη διάτξης έχουν εξιρετικά μικρή διάστση μόλις 2. (iii) οι μκρύττες λυσίδες κι τ επίπεδ μις διάτξης. Σε μι διάτξη τ στοιχεί σχετίζοντι κι «έμμεσ» δηλδή μεττικά, κι εκεί είνι η ουσί της σχέσης: τ άκρ κάθε λυσίδς στη διάτξη, σχετίζοντι λλά πόσο «μκρά» είνι υτή η συσχέτιση; Π.χ. πόσ επίπεδ ιερρχίς είνι πό ένν υπάλληλο έως τον γενικό γρμμτέ μις ετιρείς ή ενός υπουργείου; Σε μι διάτξη προτεριοτήτων πόσ ενδιάμεσ στάδι πρέπει ν γίνουν έως ότου είνι δυντή η εκτέλεση μις ορισμένης εργσίς; Μι σχετική πράμετρος κάθε διάτξης είνι το μέγιστο μήκος μις λυσίδς, ή το «ύψος» υτής της διάτξης. Γι τον υπολογισμό της ρκούν οι εξής σκέψεις: Σε κάθε μεγίστου μήκους (μ.μ.) λυσίδ σ1 < σ2 <... < σμ όλες οι «κμές» σκ < σκ+1 είνι μετάτες, λλιώς θ σχημτιζότν μι κόμ μεγλύτερου μήκους λυσίδ. Επομένως πρέπει ν την νζητήσουμε στην σχέση S ( ), την μεττική νγωγή της S, διότι υτή δεν έχει μεττικά ζεύγη. Επίσης η φετηρί μις μ.μ. λυσίδς είνι στοιχείο χωρίς προηγούμεν, κι δεδομένου ενός στοιχείου της σ, το επόμενο στην λυσίδ σ νήκει στ επόμεν(σ) ως προς την S ( ) (φού συνδέετι με υτό με μετάτο ζεύγος). Έστω το σύνολο L των στοιχείων χωρίς προηγούμεν σε μι σχέση S = S ( ). Κμμί λυσίδ που εκκινεί πό το «επίπεδο» L δεν μπορεί ν επιστρέψει σε υτό, σε στοιχείο σ, διότι υτό θ μρτυρούσε ότι το σ έχει έν προηγούμενο, ενώ τ στοιχεί του L δεν έχουν προηγούμεν στοιχεί. Μπορούμε λοιπόν ν γνοήσουμε εφεξής το επίπεδο L κι ν ρούμε μι μ.μ. λυσίδ στην υπόλοιπη διάτξη S = S L. Το νέο φετηρικό επίπεδο L (των στοιχείων «χωρίς προηγούμεν») θ είνι υποσύνολο του Ε = επόμεν(l) στην S, κι μι μ.μ. λυσίδ C στην S θ ρχίζει πό κάποιο στοιχείο σ L, επόμενο, κτ νάγκην, ενός στοιχείου σ L. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 12 / 23

13 Η λυσίδ C = σ + C θ είνι μ.μ. στην S διότι ν υπήρχε άλλη μκρύτερη, η συνέχειά της στην υπόλοιπη διάτξη S θ έδιδε μι λυσίδ μκρύτερη πό την C, την οποί όμως υποθέσμε μεγίστου μήκους στην S. S S' S'' σ C σ' C' C'' L L' L'' «Ε =» Με υτά κτλήγουμε στο εξής: = Η εξής μέθοδος εντοπίζει μι μεγίστου μήκους λυσίδ εντός μις γνήσις διάτξης. Συνάρτηση ΑΛΥΣΙ Α(S: διάτξη): λυσίδ { L { x: προηγούµεν(x) = στην S } // φετηρικό επίπεδο E επόµεν(l) // µέσως επόµεν στοιχεί Περίπτωση { L = : { C } // κενή λυσίδ E = : { C οποιοδήποτε πό L } } // έν κι τελευτίο επίπεδο Αλλιώς { S S L // υπόλοιπη διάτξη C ΑΛΥΣΙ Α(S ) // ΥΠΟΛΟΙΠΗ ΑΛΥΣΙ Α («ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΑ») σ πρώτο-στοιχείο(c ) // σ πό επόµενο «επίπεδο» σ οποιοδήποτε πό ( L προηγούµεν(σ ) ) // σ πό τρέχον «επίπεδο» L C σ + C // προσθήκη σ στη λυσίδ } } ΑΛΥΣΙ Α C } Συνάρτηση MAX-ΑΛΥΣΙ Α(S: διάτξη): λυσίδ { MAX-ΑΛΥΣΙ Α ΑΛΥΣΙ Α(S) } // S (-) ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ-ΑΝΑΓΩΓΗ(S)? Η πόδειξη εμπεριέχετι στην νάλυση των τεσσάρων προηγουμένων πργράφων. Η (χρονοόρ) μεττική νγωγή δεν είνι πρίτητη, διότι οι μεττικές κμές δεν είνι δυντόν ν πργάγουν κάποι λυσίδ κόμ μκρύτερη πό υτή που θ πρήγγε η μεττικά νηγμένη σχέση S ( )! (iv) η δυϊκή μις διάτξης. Είδμε ήδη πό την ρχή ότι οι διτάξεις εμφνίζοντι ως δύο όψεις του «ιδίου νομίσμτος»: πό μι γνήσι διάτξη λμάνουμε μι μη-γνήσι με προσθήκη ή φίρεση των νκλστικών κμών. Υπάρχει άλλος ένς τέτοιος μετσχημτισμός μετξύ των σχέσεων που εμπλέκει κι διτάξεις κι στον οποίο πρέπει ν νφερθούμε: η λεγόμενη δυϊκή σχέση. Με την ευκιρί, ο πρκάτω πίνκς συνοψίζει τις (άλλες) σχέσεις που εμπλέκοντι σε μι διμελή σχέση, κι εξειδικεύει ορισμένες γι την περίπτωση των διτάξεων. Σχέσεις σε μι σχέση Σύμολο Ονομσί Περιγρφή = ισότητ = : πρόκειτι περί ενός κι του υτού στοιχείου. τυτόσημ στοιχεί η S δεν δικρίνει τ, σύγκριτ στοιχεί η S δεν συγκρίνει τ, ( ) σ ( (, σ) S (, σ) S ) κι ( (σ, ) S (σ, ) S ) ( ), ( < ) ( < ) ( < ) < (R) < (C) < (D) ντίστροφη σχέση S (R), S 1 συμπληρωμτική σχέση S (C), S, S η δυϊκή σχέση = η συμπληρωμτική ( < (R) ) ( < ) ( < (C) ) ( < ) ( < (D) ) ( < ) Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 13 / 23

14 της ντιστρόφου < μι γνήσι διάτξη η τυπική μη-νκλστική, μη-συμμετρική, μεττική σχέση μι μη-γνήσι διάτξη η τυπική νκλστική, ντι-συμμετρική, μεττική σχέση < < ντιστοιχί: γνήσι μη-γνήσι ντιστοιχί: πρώτη δυϊκή ( ) ( < ) ( = ) κι ( < ) ( ) ( = ) ( ) ( < ) ( < ) κι ( < ) ( ) ( < ) Πράδειγμ: στο επόμενο σχήμ εικονίζετι εξ ριστερών προς τ δεξιά: μι γνήσι διάτξη (μόνον οι μετάτες κμές). η ίδι διάτξη, με όλες τις μεττικές κμές. η ντίστροφη υτής της διάτξης. η συμπληρωμτική της ντιστρόφου, δηλδή η δυϊκή της ρχικής. οι μετάτες κμές της δυϊκής σχέσης.? Σημειώνουμε ότι η δυϊκή μις διάτξης δεν είνι κτ νάγκην διάτξη. Όχι μόνον δεν είνι συμμετρική, λλά ίσως ν μην είνι ούτε μεττική: εδώ, π.χ., η εστιγμένη κμή «?» είνι μεττική μεν, λλά δεν υπάρχει στην δυϊκή σχέση. Στο 5 ο σχήμ δεξιά φίνετι πόσo λίγες μετάτες κμές έχει υτή η δυϊκή σχέση. Αλλά «τί ν το κάνεις», φού δεν είνι μεττική...: ν φιρέσουμε τις μεττικές κμές, πώς θ τις επνφέρουμε ότν κι εφόσον χρειστεί, φού, εδώ, η σχέση δεν ισούτι με το μεττικό πλήρωμά της; Το επόμενο άξιο λόγου στη δυϊκότητ είνι ότι ο δυϊκός μετσχημτισμός είνι «όνομ κι πράγμ»: = Η δυϊκή της δυϊκής σχέσης, τυτίζετι με την ρχική σχέση: ( < (D)(D) ) ( < ). Γι την πόδειξη ρκεί μι πλή εξέτση του ορισμού: η λήψη της δυϊκής σχέσης λλάζει τη σειρά των συγκριτέων, κι προσθέτει μι άρνηση. Αν υτό γίνει δύο φορές, η σειρά των συγκριτέων θ επνέλθει ως είχε, οι δύο ρνήσεις θ δώσουν μι κτάφση, κι άρ η σχέση θ έχει επνέλθει κριώς στην ρχική της μορφή. Θ χρησιμοποιήσουμε την δυϊκότητ γι ν διευκρινίσουμε μι κτάστση που εμφνίζετι συχνόττ στις διτάξεις. Οι διθμίσεις είνι μί πό τις πιο συχνές κι συνηθισμένες πηγές διτάξεων: πό μι διάθμιση, λμάνουμε μι γνήσι διάτξη: χ(-): Α Ν, ( < ) (χ() < χ()). Δεν μπορούμε όμως (διρκώς) ν υπεκφεύγουμε το γεγονός ότι, επίσης συχνά, τυχίνει γι δύο στοιχεί ν έχουμε ισότητ χ() = χ(), κι άρ συγκρισί. Τί προκύπτει ν ορίσουμε την μη-γνήσι «διάτξη» ως εξής: ( ) (χ() χ()) ; Η πάντηση είνι ότι δεν προκύπτει κν διάτξη! Η σχέση που προκύπτει είνι μεν νκλστική κι μεττική, δεν είνι όμως ούτε συμμετρική, ούτε ντι-συμμετρική, διότι τ στοιχεί που λμάνουν ίση διάθμιση πράγουν, νά δύο, μη-τετριμμέν συμμετρικά ζεύγη είδος που δεν επιτρέπετι στις διτάξεις. Δεν μπορεί κνείς, φυσικά, ν φήσει τξινόμητη μι σχέση που προκύπτει με τόσο πλό κι φυσικό, σχεδόν κθημερινό, τρόπο. Αν μη τί άλλο, τηρεί την πιο «σορή» ιδιότητ: είνι μεττική! Θ ποκλούμε, λοιπόν, προδιάτξη μι σχέση που είνι νκλστική κι μεττική. Ο όρος προέρχετι πό το ότι μι τέτοι σχέση είνι έν «ήμ» πρό του ν κτστεί διάτξη. Θ ποκλούμε ολική προδιάτξη, μι προδιάτξη που είνι ολική ως σχέση, δηλδή γι κάθε δύο στοιχεί κι, ισχύει είτε ( ) είτε ( ). Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 14 / 23

15 ΠΡΟΣΟΧΗ: η πρπάνω πίτηση είνι εν δυνάμει πρπλνητική: ν κι σε μι ολική προδιάτξη οποιοδήποτε ζεύγος στοιχείων είνι συγκρίσιμο, υτό δεν σημίνει ότι η σχέση είνι γρμμική. Το επόμενο σχήμ εικονίζει ριστερά μι ολική προδιάτξη, στο κέντρο την δυϊκή της (δυϊκή της οποίς είνι η ρχική), κι δεξιά την σχέση συγκρισίς (οι κμές που προσθφιρούντι νάμεσ στις δυϊκές). Διάφορες μεττικές κμές πρλείποντι. δυϊκή ~ < ~ < δυϊκή Η εξής πρτήρηση είνι σχεδόν τετριμμένη: = Κάθε διάθμιση χ(-): Α Ν, πράγει μέσω του ορισμού ( ) (χ() χ()) μι ολική προδιάτξη στο σύνολο Α. Η σχέση είνι εμφνώς νκλστική, κι μεττική, κι ολική. (Προσέχουμε ότι δεν είνι ντισυμμετρική: ότν χ() χ() κι χ() χ() ισχύει μεν χ() = χ(), λλά υτό δεν εγγυάτι εν γένει ότι τ υπο σύγκριση στοιχεί κι είνι ίσ: δύο πρόσωπ ίσως ν έχουν το ίδιο ύψος, χωρίς ν τυτίζοντι.) Αλλά το κρίσιμο κι χρήσιμο σημείο είνι το εξής, κι φορά στη δυϊκή σχέση: = Η δυϊκή < μις ολικής προδιάτξης είνι γνήσι διάτξη στην οποί η σχέση συγκρισίς < είνι σχέση ισοδυνμίς κι ντιστρόφως. Η νάλυση πρά το μήκος της, είνι εντελώς «κτ ευθείν». Έστω η σχέση ( ) που θεωρείτι νκλστική, μεττική κι ολική. Η δυϊκή της ορίζετι ως ( < ) ( ). Ελέγχουμε τις τρείς ιδιότητες: μη-νκλστική: Ουδέποτε ( < ) φού ουδέποτε ( ), φού πάντ ( ). μη-συμμετρική: Ουδέποτε ( < ) κι ( < ) διότι υτό θ σήμινε ( ) κι ( ), πράγμ εκτός της υπόθεσής μς: η σχέση ( ) έχει υποτεθεί ολική, κι άρ έν εκ των δύο θ πρέπει ν ισχύει. μεττική: Εάν ( < ) κι ( < γ) θ ισχύει κι ( < γ); Τ πρώτο δίδει ( ) κι επειδή η σχέση είνι ολική λμάνουμε ( ). Αν ίσχυε (γ ), πό υτό θ λμάνμε μεττικά ότι (γ ). Αυτό θ ήτν άτοπο διότι ήδη μς δίδετι ( < γ) δηλδή (γ ). Αφού θ ισχύει λοιπόν (γ ) λμάνουμε το μεττικά ζητούμενο ( < γ). Απομένει ν δείξουμε ότι η σχέση συγκρισίς ( < ) στην διάτξη < είνι σχέση ισοδυνμίς: νκλστική: σε μι γνήσι διάτξη όπως η < ισχύει πάντοτε ( ). συμμετρική: η συγκρισί είνι πάντοτε συμμετρική σχέση. μεττική: η συγκρισί ( ) σημίνει ( < ) κι ( < ) κι κτά τον ορισμό υτό ισοδυνμεί με ( ) κι ( ), ή με το ότι το το σχετίζετι μφίδρομ με το. Έστω λοιπόν ότι ( ) κι ( γ). Αυτό δίδει ότι κι σχετίζοντι μφίδρομ, κι ότι κι γ σχετίζοντι μφίδρομ. Επομένως, μεττικά, τ κι γ σχετίζοντι μφίδρομ στην σχέση, κι άρ είνι σύγκριτ στη σχέση < : ( γ ) κι ( γ) σημίνει ( < γ) κι (γ < ), δηλδή ( γ). Το ντίστροφο: Αν σε μι γνήσι διάτξη < η σχέση συγκρισίς είνι σχέση ισοδυνμίς (δηλδή εκτός πό τ «εξσφλισμέν» νκλστική κι συμμετρική, είνι κι μεττική), τότε η δυϊκή της είνι ολική προδιάτξη, είνι δηλδή νκλστική, κι μεττική, κι ολική. Με δεδομένο ότι ( ) ( < ), ελέγχουμε: νκλστική: Πάντοτε ( ) φού πάντοτε ( < ) (η σχέση < είνι γνήσι διάτξη). μεττική: Εάν ( ) κι ( γ) θ ισχύει κι ( γ); Τ δύο πρώτ δίδουν ότι ( < ), κι (γ < ), κι ζητείτι το (γ < ). Θ υποθέσουμε το ντίθετο κι θ κτλήξουμε σε άτοπο. Έστω ότι (γ < ), τότε: ν ισχύει ( < ) τότε μεττικά (γ < ) ενώ ισχύει (γ < ) δύντον, άρ ( < ). ν ισχύει ( < γ) τότε μεττικά ( < ) ενώ ισχύει ( < ) δύντον, άρ ( < γ). Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 15 / 23

16 φού ισχύει ( < ), κι ( < ) τ κι είνι σύγκριτ: ( ). φού ισχύει (γ < ), κι ( < γ), τ κι γ είνι σύγκριτ: ( γ). η συγκρισί στην διάτξη < έχει υποτεθεί μεττική, κι άρ πό ( ), ( γ) προκύπτει ότι τ κι γ είνι σύγκριτ, ενώ υποθέσμε ότι συγκρίνοντι (γ < ). Εκ του τόπου συμπερίνουμε ότι (γ < ), κι τελικά, ισχύει η μεττική σχέση ( γ). ολική: Δεν είνι δυντόν ν ισχύει κι ( ) κι ( ), γιτί υτό ισοδυνμεί με ( < ) κι ( < ), δηλδή με ( < ) κι ( < ), πράγμ δύντον φού η σχέση < ως γνήσι διάτξη είνι μησυμμετρική. Η πρπάνω μικρή θεωρί πντάει «τί είνι» οι τόσο συχνές σχέσεις που προέρχοντι πό ποσοτικά, διθμιστικά χρκτηριστικά: κάθε τέτοι σχέση (στην μη-γνήσι εκδοχή της) είνι μι ολική προδιάτξη, λλά κάθε τέτοι «ψευδο-διάτξη» ντιστοιχεί, μέσω δυϊκότητς, σε μι γνήσι διάτξη, το χρκτηριστικό γνώρισμ της οποίς είνι ότι η σχέση συγκρισίς σε υτήν είνι σχέση ισοδυνμίς. Οι διτάξεις υτού του είδους ποκλούντι (γνήσιες) σθενείς διτάξεις. Δεν είνι δύσκολο ν πρτηρήσετε στο προηγούμενο σχήμ τ εξής γι την συγκεκριμμένη δυϊκή σχέση: ότι έχει τρί «επίπεδ», (εδώ, το 1 ο με έν, το 2 ο με τρί, κι το 3 ο με δύο στοιχεί), ότι τ στοιχεί κάθε επιπέδου είνι σύγκριτ μετξύ τους, κι, ότι υτά τ επίπεδ ευρίσκοντι σε σειρά, τέτοι ώστε τ στοιχεί κάθε επιπέδου ν είνι μικρότερ πό όλ τ στοιχεί του επόμενου. Η μορφή υτή δεν είνι συμπτωμτική: υτή την μορφή έχει κάθε σθενής διάτξη, κι άρ κάθε τέτοι διάτξη δεν είνι πρά μι διθμισμένη σχέση (όπου, ν όχι λλιώς, η διάθμιση χ(σ) ενός στοιχείου σ δίδετι πό το «επίπεδο» της διάτξης στο οποίο νήκει). Οι διθμίσεις με κριτήριο το (χ() < χ()) ή (χ() χ()) πράγουν λοιπόν, ντιστοίχως, σθενείς διτάξεις ή ολικές προδιτάξεις, υτές είνι δυϊκές μετξύ τους, κι προκύπτουν με την προσθφίρεση των «ισοδύνμων» συμμετρικών ζευγών. Κι ντιστρόφως: όλες υτές οι διτάξεις προέρχοντι πό κάποιου είδους διάθμιση. 11. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: ειδικού τύπου διτάξεις. Περιγράφουμε ορισμέν σικά είδη διτάξεων. σειρικές-πράλληλες διτάξεις. Δεδομένου ενός χώρου νφοράς Α θεωρούμε τ στοιχεί του ως τετριμμένες γνήσιες διτάξεις (εκάστη με έν μόνο στοιχείο, σ Α). Μπορούμε ν ρχίσουμε ν συνθέτουμε υτές τις διτάξεις πράλληλ ή σειρικάμ κι επνληπτικά μετξύ τους. Οι διτάξεις που προκύπτουν με τέτοιο τρόπο ονομάζοντι σειρικές-πράλληλες διτάξεις. Αν νπρστήσουμε κάθε στοιχείο σ Α με έν σημείο στο επίπεδο η σειρική σύνθεση δύο στοιχειωδών διτάξεων γι τ σημεί κι νπρίσττι πό την «διγώνι» τοποθέτησή τους, κι η πράλληλη σύνθεσή τους νπρίσττι πό την «ντι-διγώνι» τοποθέτησή τους (λ. 1 ο σχήμ), όπου η σύγκριση δύο σημείων κι γίνετι με άση το εάν το τετρτημόριο το περιέχει το τετρτημόριο του (λ. ενότητ #7). Το ίδιο ισχύει κι μη-τετριμμένες διτάξεις οι οποίες νπρίστντι πό «στερισμό» σημείων εντός ενός τετργώνου (χ..γ.): γι την πράλληλη σύνθεση τοποθετούμε τ δύο τετράγων ώστε ν έχουν την κάτω-δεξιά κι την άνω ριστερή κορυφή ως κοινή κι γι την σειρική σύνθεσή τους τοποθετούμε τ δύο τετράγων ώστε ν έχουν την άνω-δεξιά κι την κάτω-ριστερή κορυφή ως κοινή, (λ. 2 ο κι 3 ο σχήμ). ( ) ( ) ( X Y ) X Y ( X Y ) Y X ((( A D) ( B C)) F) E F D A B C πράλληλη σύνθεση σειρική σύνθεση E Στο 4 ο σχήμ, δεξιά, εικονίζετι η σύνθεση 6 σειρικών-πράλληλων διτάξεων, όπου κάθε μί νπρίσττι πό έν στερισμό σημείων, που δεν εικονίζοντι, εντός τετργωνιδίων (κίτρινο χρώμ). Το συμπέρσμ διτυπώνετι πό το κόλουθο θεώρημ: Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 16 / 23

17 = Οι σειρικές-πράλληλες διτάξεις έχουν διάστση το πολύ 2. Κτά την πρπάνω γεωμετρική νάλυση μι σειρική-πράλληλη διάτξη νπρίστντι πό ένν στερισμό σημείων στο επίπεδο, κι όπως είδμε υτές οι διτάξεις είνι η τομή δύο γρμμικών διτάξεων: των διτάξεων που έχουν οι προολές των σημείων επί του x κι y άξον των συντετγμένων. δενδρικές διτάξεις. Οι «δενδρικές διτάξεις» (ή έρριζ δένδρ) είνι η πιο κρίσιμη διάτξη στον χώρο της επιστήμης υπολογιστών: πρόκειτι γι διτάξεις όπου κάθε στοιχείο έχει το πολύ έν μέσως προηγούμενο (ποκλίνοντ δένδρ), είτε, συμμετρικά, κάθε στοιχείο έχει το πολύ έν μέσως επόμενο στοιχείο (συγκλίνοντ δένδρ). Οι δενδρικές διτάξεις εξηγούντι λεπτομερώς σε μθήμτ όπως οι Δομές δεδομένων. Εδώ θ περιοριστούμε στο ν υποδείξουμε τ σικά ενδιφέροντ στοιχεί τους. Στο πρκάτω σχήμ εικονίζοντι τ μορφικά χρκτηριστικά τους, σε έν ποκλίνον δένδρο. (η) ρίζ (ένς) κλάδος κµή κόµος, εσωτερικός κόµος θµού =3 επίπεδο (το 2 ο ) τερµτικός κόµος, ή φύλλο πτρικός θυγτρικοί ύψος = 5 κόµος σε άθος = 4 «κίτρινο» = το φύλλωµ υπόδενδρο διστημτικές σχέσεις. Συχνόττ διτάσσουμε έν χώρο στοιχείων με άση έν ποσοτικό χρκτηριστικό χ(-), το οποίο, επίσης πολύ συχνά προέρχετι πό κάποι μέτρηση ή διάθμιση. Η διάτξη ορίζετι με άση την τιμή του χρκτηριστικού: ( < ) (χ() < χ()). Αυτές οι διθμίσεις συνοδεύοντι σχεδόν πάντοτε πό έν θμό νκρίεις ή σάφεις: είτε τ όργν μέτρησης δεν είνι πολύτως κριή, είτε τ χρκτηριστικά έχουν υποκειμενικό ή/κι σφή χρκτήρ, είτε έχουν σττιστική-πιθνοκρτική προέλευση, κοκ. Ας συμολίσουμε με δ(σ) τον θμό κρίεις που έχει η διθέσιμη εκτίμηση της χρκτηριστικής ποσότητς χ(σ). Το πρκτικό νόημ υτής της κρίεις είνι ότι «μετά ειότητς» (ίσως πόλυτ, ίσως πιθνοκρτικά), η ορθή τιμή γι το χ(σ) είνι εντός του διστήμτος i(σ) ( χ(σ) δ(σ), χ(σ) + δ(σ) ). Τί διάτξη προκύπτει πό τέτοιες νκριείς πλροφορίες; Λ.χ. ν το γεγονός συνέη το 230 μ.χ. ± 50 χρόνι, κι το το 330 μ.χ. ± 30 χρόνι, είνι δυντόν ν «ειώσουμε» ότι το συνέη πριν το ; Στο πράδειγμ υτό «νί», διότι < i() χ() δ() χ()+δ() i() χ() δ() χ()+δ() i() χ() δ() χ()+δ() i() χ() δ() χ()+δ() < S λλά όχι < S < S λλά κι < S Με φορμή τ πρπάνω θ ονομάζουμε μι σχέση S επί του χώρου νφοράς Α, διστημτική σχέση (interval relation), εάν γι κάθε στοιχείο σ, ορίζετι έν χρκτηριστικός ριθμός χ(σ), κι ένς θμός κρίεις δ(σ), κι η σχέση ( < S ) ορίζετι με άση υτά, ως εξής: ( < S ) (χ() δ()) (χ() + δ()) ( < S = το 1ο άκρο του 1 ου διστήμτος είνι πριν το 2 ο άκρο του 2 ου διστήμτος). Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 17 / 23

18 Προσέχουμε εδώ ότι οι διστημτικές σχέσεις, δεν είνι διτάξεις, διότι περιέχουν μη-τετριμμέν συμμετρικά ζεύγη,, κι ότι υτά οφείλοντι σε τεμνόμεν διστήμτ i() i(). Αληθεύουν όμως δύο σημντικές πρτηρήσεις: Το σύμμετρο μέρος μις διστημτικής διάτξης είνι γνήσι διάτξη, κι φορά ζεύγη,, στ οποί το διάστημ i() κείτι εξ ολοκλήρου προς τ ριστερά του διστήμτος i(). Οι διστημτικές σχέσεις είνι ολικές, δηλ. γι δύο οποιδήποτε στοιχεί κι, είτε ( S ) είτε ( S ). ημι-διτκτικές σχέσεις (ισοδιστημτικές). Σκεφθείτε έν ρολόι που έχει χάσει τον λεπτοδείκτη του κι έτσι δεν γνωρίζουμε, εξ υτού, τον χρόνο πρά με κρίει ώρς, ή ± 30. Οι χρονικές σχέσεις γεγονότων σ με άση έν τέτοιο ρολόι είνι διστημτικές σχέσεις (όπως πρπάνω) όπου, όμως, το διάστημ κριείς είνι το ίδιο γι όλ τ γεγονότ σ: δ(σ) = ½. Αυτές οι σχέσεις έχουν ιδιίτερ χρκτηριστικά κι ονομάζοντι ημι-διτκτικές (semiorders). 12. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: ρίθμηση κι διάστση των δενδρικών διτάξεων. Κεντρικό ρόλο στην νάλυση κι τον χειρισμό των δένδρων, πίζουν οι γρμμικές επεκτάσεις τους, ή λλιώς ριθμήσεις ή δινύσεις των δένδρων: κθοδική ή προ-ρίθμηση. νοδική ή υστερο-ρίθμηση. «οριζόντι» ή κτά πλάτος. Εξηγούμε εδώ πό κοινού τις δύο πρώτες γι έν ποκλίνον δένδρο. Ο λγόριθμος ρίθμησης δίδετι μέσως πρκάτω μζί με έν πράδειγμ. Αριστερά εικονίζετι η κθοδική ρίθμηση κι δεξιά η νοδική ιδικσί ΑΡΙΘΜΗΣΗ(σ) { Κ Κ + 1, ΚΑΘΟΔΙΚΗ(σ) Κ // «προρίθµηση», pre-order Γι θ Επόµεν(σ) { ΑΡΙΘΜΗΣΗ(θ) } // εδώ: «επόµεν» = τ θυγτρικά Α Α + 1, ΑΝΟΔΙΚΗ(σ) Α } } ιδικσί ΙΑΝΥΣΗ- ΕΝ ΡΟΥ( ) { Κ 0 // κθοδικός µετρητής Α 0 // νοδικός µετρητής ΑΡΙΘΜΗΣΗ( ρίζ( ) ) } // «υστερορίθµηση», post-order Το πρκάτω θεώρημ διτυπώνει τις ιδιότητες υτών των δύο ριθμήσεων: = Έστω, δύο στοιχεί του δένδρου, όπου το είνι «πρόγονος» του, δηλ. ( < ). (1) ΚΑΘΟΔΙΚΗ() < ΚΑΘΟΔΙΚΗ(), κι, ΑΝΟΔΙΚΗ() > ΑΝΟΔΙΚΗ(). (2) Η ρίθμηση κάθε υπόδενδρου είνι διδοχική (πο ριθμό μ έως ριθμό ν). Συνοπτικά, το (1) ισχύει διότι έν στοιχείο ριθμείτι κθοδικά πριν πό τ επόμενά του, ενώ ριθμείτι νοδικά, μετά πό τ επόμενά του κι το (2) ισχύει διότι η ρίθμηση δίδετι νδρομικά: δηλδή στο υπόδενδρο κάθε θυγτρικού ενός στοιχείου σ είνι διδοχική (επγωγικά), συνεχίζει την ρίθμηση του προηγούμενου θυγτρικού, κι η ρίθμηση του όλου υπόδενδρου ποτελείτι πό την πράθεση υτών των ριθμήσεων, με τον ριθμό του σ στην ρχή (γι την κθοδική, κι στο τέλος (γι την νοδική). Η κτκλείδ που επιδιώκμε είνι ότι υτές οι δύο ριθμήσεις ορίζουν την δενδρική διάτξη. = Οι δενδρικές διτάξεις έχουν διάστση το πολύ 2, κι προκύπτουν ως η τομή της κθοδικής κι της Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 18 / 23

19 (ντιστρόφου) νοδικής ρίθμησης: ( < ) [ΚΑΘΟΔΙΚΗ() < ΚΑΘΟΔΙΚΗ()] [ΑΝΟΔΙΚΗ() > ΑΝΟΔΙΚΗ()] ( ) (δηλδή το «προηγείτι» του στην κθοδική κι «υστερεί» του στην νοδική.) Το ότι τ δένδρ έχουν διάστση 2 δεν πράγει έκπληξη: είδμε στ προηγούμεν ότι οι σειρικές πράλληλες διτάξεις έχουν διάστση 2, κι τ δένδρ είνι σειρικές πράλληλες διτάξεις: κάθε στοιχείο συντίθετι σειρικά με τ διτάξεις-υπόδενδρ των θυγτρικών του, (λ. σχήμ ριστερά). π θ θ Αυτό που έχει ενδιφέρον εδώ είνι ότι οι δύο γρμμικές διτάξεις που πράγουν το δένδρο δίδοντι πό την κθοδική + νοδική ρίθμηση! Ότν ( < ) η σχέση ( ) είνι προφνής, διότι το θ ριθμηθεί πριν πό το στην κθοδική, κι μετά πό το στην νοδική. Το συμμετρικό ισχύει, φυσικά, ν ( < ). Τί θ συμεί όμως εάν ( ~ ), δηλδή τ κι είνι σύγκριτ (λ. σχήμ δεξιά); Τότε έχουν έν κοινό προγονικό στοιχείο π, (το ριζικό στοιχείο στην κρί περίπτωση), κι η σχέση ( ), (όπως θ έπρεπε), δεν ισχύει: το νήκει στο υπόδενδρο κάποιου θυγτρικού θ του π, κι το στο υπόδενδρο κάποιου θυγτρικού θ θ, κι επειδή (χ..γ.) το υπόδενδρο του θ θ ριθμηθεί εξ ολοκλήρου πριν πό εκείνο του θ, θ έχουμε: ΚΑΘΟΔΙΚΗ() < ΚΑΘΟΔΙΚΗ(), λλ κι, ΑΝΟΔΙΚΗ() < ΑΝΟΔΙΚΗ() Σε έν οσοδήποτε μεγάλο δένδρο, ρκούν δύο ριθμοί γι ν χρκτηρίσουν την σχέση προγόνου-πογόνου μετξύ δύο στοιχείων κι, οσοδήποτε μκράν εντός του δένδρου κι ν ευρίσκοντι υτά! 13. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: μορφολογί κι μι κτινογρφί των σχέσεων. Γι όσους ενδιφέροντι γι μι «πνορμική» εικόν των μονομερών διμελών σχέσεων (κυρίως: ισοδυνμίες κι διτάξεις), δίνουμε μι συνοπτική μορφολογί τους με δύο τρόπους ένν με πίνκ κι ένν άσει της διμέρισης συμμετρικά, σύμμετρ κι σύγκριτ ζεύγη. συντομογρφί πλήρες όνομ περιγρφή Α νκλστική (ως συνήθως) Σ συμμετρική (ως συνήθως) Μ μεττική (ως συνήθως) Τ τριχοτομική έν κριώς εκ των τριών ισχύει: ( < ), ( = ), ( < ). Ο ολική (σχέση) είτε ( < ), είτε ( < ), είτε κι τ δύο. Π(σ) προηγούμεν τ μέσως προηγούμεν (ή: προκάτοχ) στοιχεί του σ Ε(σ) επόμεν τ μέσως επόμεν (ή: διάδοχ) στοιχεί του σ Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 19 / 23

20 (Μονομερείς) ΔΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ: ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ Μ Σ ντι-σ μη-σ Α μη-α Π(σ) : Ε(σ) Τ Ο Extra ΜΟΡΦΗ ΣΧΕΣΕΩΣ κτευθυντά γρφήμτ μφίδρομ γρφήμτ σχέση ισοδυνμίς m : n σχέση διάτξης, μη-γνήσι (1) m : n γνήσι < m : 1, 1 : n δενδρική διάτξη 1 : 1 γρμμική διάτξη προδιτκτική σχέση? σθενής διάτξη (μη-γνήσι) (2) (i) σθενής διάτξη (γνήσι) (ii) διστημτική διάτξη (iii) ημιδιάτξη (1) επίσης: μερική διάτξη. (2) επίσης: ολική προδιάτξη. Extra χρκτηριστικά: (i) H σχέση συγκρισίς είνι σχέση ισοδυνμίς, (δηλδή, εδώ, είνι κι μεττική). (ii) H σχέση συγκρισίς προέρχετι πό συσχέτιση διστημάτων, λ. διστημτικές σχέσεις (#10). (iii) H σχέση συγκρισίς προέρχετι πό συσχέτιση ισομήκων διστημάτων, λ. ημι-διτάξεις (#10). Θυμίζουμε την εικόν των τριών μερών μις διμελούς σχέσεως: συμμετρικά, σύμμετρ κι σύγκριτ ζεύγη. ΓΕΝΙΚΗ ΙΜΕΛΗΣ ΣΧΕΣΗ σύγκριτ συµµετρικά? σύµµετρ µεττικά Η εικόν υτή πρλλάσετι ως εξής, στις σχέσεις που είδμε (διτκτικές κι μή): Προδιτκτικές σχέσεις: Ζητούμε μεττικότητ, κι πό υτό το σημείο έχουμε τρείς διδρομές: είτε κμμί συμμετρί, είτε κμμί συγκρισί, είτε κμμί συμμετρί. + κμμί συμμετρί = σχέσεις ισοδυνμίς: έχουμε μεττικότητ κι συμμετρί. + κμμί συγκρισί = σθενείς διτάξεις: ν υποθέσουμε ολική συγκρισιμότητ, λμάνουμε τις ολικές προδιτάξεις, που (μέσω προσθφίρεσης των συμμετρικών κμών, <, δυϊκότητ) ντιστοιχούν 1-προς-1 με τις σθενείς διτάξεις, που με τη σειρά τους είνι όλες κι μόνον οι «διθμισμένες» διτάξεις. + κμμί συμμετρί = γνήσιες διτάξεις: ν υποθέσουμε ολική συμμετρί λμάνουμε τις γνήσιες διτάξεις, που (μέσω προσθφίρεσης των νκλστικών κμών 2, < ) ντιστοιχούν 1-προς-1 με τις μη-γνήσιες διτάξεις. Ημιδιτάξεις: Ως ενδιάμεση μορφή, είνι δυντόν ν έχουμε σχέσεις το σύμμετρο μέρος των οποίων είνι διάτξη μεν, το δε συμμετρικό έχει κάποι ενδιφέρουσ δομή (λ.χ. είνι διστημτική σχέση). Είνι άξιο προσοχής ότι έχουμε ουσιστικά τρί ενδιφέροντ είδη διάτξης, κι ότι σε όλ το «συμμετρικό» τμήμ τους S, είνι μι σχέση ισοδυνμίς: τις γνήσιες διτάξεις (όπου το S είνι κενό), τις μερικές διτάξεις (όπου το S είνι, τετριμμέν, τ νκλστικά ζεύγη κι μόνον), κι τις σθενείς διτάξεις (όπου το S είνι μη-τετριμμένο, λλά έχουμε ολική σύγκριση). Οι γγλικοί όροι είνι strict, partial κι weak order(s). 2 Οι μόνες (κι τετριμμέν) συμμετρικές σε υτή την περίπτωση. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 20 / 23

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία.

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία. Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 ΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22/05/2015 ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμίς πό τις πρκάτω ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02 Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ 1 Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν Κ Ε Ν

Διαβάστε περισσότερα

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ 1 3.1 σκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 144 146 Ο Σ 1. Έν κουτί έχει τρεις µπάλες, µι άσπρη, µι µύρη κι µι κόκκινη. άνουµε το εξής πείρµ : πίρνουµε πό το κουτί µι µπάλ, κτγράφουµε το χρώµ της κι την ξνάζουµε στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ω Ν

ΣΤΟΙΧΕΙΑ Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ω Ν ΣΤΟΙΧΕΙ Τ Ρ Ι Ω Ν Ω Ν Θυμάμι ότι... ˆ + ˆ + ˆ = 180 ο ντί ν ράφουμε συνέχει «το τρίωνο» μπορούμε ν ράφουμε Δ. ΠΛΕΥΡΕΣ = = = ΩΝΙΕΣ = = = ν χωρίσουμε τ τρίων σε κτηορίες, με κριτήριο τ κύρι στοιχεί τους,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επνληπτικό Διγώνισμ Μθημτικών Γενικής Πιδείς Γ Λυκείου Θέμ A Α. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f(x)=x ισούτι με x, δηλδή(x ) =x. (6 μονάδες) A. Ν δώσετε τον ορισμό:. του ξιωμτικού ορισμού της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ημιτελείς προτάσεις Α1 έως Α5 κι δίπλ το γράμμ που

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011 Λογισμός των Μετβολών Γιώργος Χ. Ππδημητρίου 8 Ιουλίου 2011 Οι προύσες σελίδες είνι μί χλρή εισγωγή στον λογισμό των μετβολών κι στις κυριότερες χρήσεις τους. Σκοπός τους είνι φ' ενός ν κλύψουν ρκετές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα 1ο (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα 1ο (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) ΔΙΓΩΝΙΣΜ Θέµ 1 ο πό τις πρκάτω πολλπλές πντήσεις ν επιλέξετε τη σωστή. 1. Ηκυττρική διφοροποίηση συνίσττι. στην πύση της λειτουργίς όλων των γονιδίων β. στην εκλεκτική λειτουργί των γονιδίων γ. σε δυνµί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α A ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α Β ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα 1ο (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα 1ο (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµ ο Από τις πρκάτω πολλπλές πντήσεις ν επιλέξετε τη σωστή..κάθε µετφορικό trn :. συνδέετι µε έν συγκεκριµένο µινοξύ β. συνδέετι µε οποιοδήποτε µινοξύ γ. µπορεί ν µετφέρει πό έως 6 διφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 =

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 = 3.5 ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μονάδες µέτρησης µήκους Βσική µονάδ το µέτρο. Συµβολίζετι m Υποδιιρέσεις του µέτρου : δεκτόµετρο dm = 0 m = 0, m Πολλπλάσιο του µέτρου : εκτοστόµετρο cm = 00 m = 0,0 m χιλιοστόµετρο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

α Κατά τη μεταφορά με δεξαμενή φορτωμένη 15% του συνολικού όγκου. Λ γ Κατά την εκφόρτωση υπό πίεση. Λ

α Κατά τη μεταφορά με δεξαμενή φορτωμένη 15% του συνολικού όγκου. Λ γ Κατά την εκφόρτωση υπό πίεση. Λ ΚΕΦΑΑΙΟ 1: ΔΕΞΑΜΕΝΗ 30 Τ κπάκι των νθρωποθυρίδων μπορούν ν πρμένουν νοικτά: Κτά τη μετφορά με δεξμενή φορτωμένη 15% του συνολικού όκου. Κτά τις ερσίες κθρισμού της δεξμενής (gasfree). Κτά την εκφόρτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Η Υγεία σας - και - η Κατάστασή σας

Η Υγεία σας - και - η Κατάστασή σας Η Υγεί σς - κι - η Κτάστσή σς Kidney Disease and Quality of Life (KDQOL-SF ) Αυτή η έρευν σς ρωτά γι τις πόψεις σς γι την υγεί σς. Αυτές οι πληροφορίες θ µς βοηθήσουν ν δούµε πώς ισθάνεσθε κι πόσο κλά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς Mare-Esrt-Léon

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΙΑΣ ΠΛΕΥΡΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΑΛΛΩΝ ΠΛΕΥΡΩΝ ΤΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΕ ΑΥΤΕΣ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΙΑΣ ΠΛΕΥΡΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΑΛΛΩΝ ΠΛΕΥΡΩΝ ΤΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΕ ΑΥΤΕΣ 2 ΥΝ ΤΗ Υ Τ ΤΗΝ ΥΗ 363 ΜΤΗΗ Μ ΛΥ ΤΩΝΥ ΥΝΤΗ ΤΩΝ ΛΛΩΝ ΛΥΩΝ ΤΥ ΤΩΝ ΛΩΝ ΤΗ ΥΤ Μστροιάννης Ν. νάρυρος Μθημτικός πιμορφωτής Ν.Τ. ΛΗΗ Το θέμ προς διπρμάτευση νφέρετι στη σχέση των εμδών που σχημτίζοντι σε τρίωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ Δύο ομογενείς δίσκοι, ένς μεγάλος μάζς Μ=3kg κι κτίνς =40 κι ένς μικρός μάζς m=kg κι κτίνς =10, ενώνοντι έτσι ώστε ν συμπίπτουν τ κέντρ τους. Ο δίσκος κτίνς διθέτει υλάκι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το Πρακτικό 5/2013 της συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής του Δήμου Αγίου Ευστρατίου, της 24 ης Μαϊου 2013

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το Πρακτικό 5/2013 της συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής του Δήμου Αγίου Ευστρατίου, της 24 ης Μαϊου 2013 ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το Πρκτικό 5/2013 της συνεδρίσης της Οικονομικής Επιτροπής του Δήμου Αγίου Ευστρτίου, της 24 ης Μϊου 2013 Αριθμός Απόφσης 24/2013 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Προέλεγχος πολογισμού εσόδων - εξόδων του Δήμου

Διαβάστε περισσότερα

ΡΑΔΙΕΝΕΡΓΕΣ ΥΛΕΣ ΚΛΑΣΗ 7

ΡΑΔΙΕΝΕΡΓΕΣ ΥΛΕΣ ΚΛΑΣΗ 7 ΧΟΗ ΕΠΑΓΓΕΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΗ ΜΕΤΑΦΟΡΕΩΝ ΕΚOMEE (ΑDR) ΘΕΑΙΑ & ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΑΔΟ ΓΡΑΦΕΙΑ & ΑΙΘΟΥΕ ΔΙΔΑΚΑΙΑ: ΚΟΥΤΑΡΕΙΑ 12 ΜΕΙΑOΝΟ (ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΠΕΙΡΑΙΩ) Τ.Κ.: 38333 ΒΟΟ ΤΗ.: 24210 34944 / 6977 280182

Διαβάστε περισσότερα

Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργαλείο κατανόησης βασικών εννοιών στο Γυµνάσιο

Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργαλείο κατανόησης βασικών εννοιών στο Γυµνάσιο Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργλείο κτνόησης σικών εννοιών στο Γυµνάσιο ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΓΕΩΡΓΟΣ Μθηµτικός-Υπεύθυνος του Μθηµτικού Εργστηρίου του Λυκείου Ελληνικού kontod@yahoo.gr ΚΩΝ/ΝΟΣ ΜΑΡΑΓΚΟΣ Μθηµτικός -Κθ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου ΟΕ Β (παραγ. 6.4)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου ΟΕ Β (παραγ. 6.4) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ότν σιγά σιγά άρχισ ν ενηµερώνοµι γύρω πό τις µθηµτικές γνώσεις των ρχίων Ελλήνων µθηµτικών κι µελετητών, ένοιωσ µεγάλη έκπληξη τόσο γι την ποιότητ κι ποσότητ των γνώσεών τους, όσο κι γι τη δική

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις ακολουθίες

Σηµειώσεις στις ακολουθίες Σηµειώσεις στις κολουθίες Η έννοι της κολουθίς Ας ρίξουµε µι µτιά στην επόµενη πράθεση ριθµών: 7,, 5, 9,, 7,, Όπως κτλβίνει κνείς, υπάρχουν άπειροι ριθµοί που διδέχοντι ο ένς τον άλλο, µε κάποι λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο Κίνηση σε γνητικό πεδίο 4.1. Ακτίν κι Περίοδος στο ΟΠ. Από έν σημείο Α μέσ σε ομογενές μγνητικό πεδίο έντσης Β=2Τ, εκτοξεύοντι δύο σωμτίδι Σ 1 κι Σ 2 ίδις μάζς m=10-10 kg κι ντίθετων φορτίων, με τχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ»

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mρτίου Aρ. πρ. 66 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ. Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµουλος Μθηµτικών Τχ. /νση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005 ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005 ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ 70 ΑΣΚΑΛΩΝ EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείµενο» Κυρική 10-4-2005 Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 4 IOYNIOY 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν.

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν. ΑΔΑ: 6ΩΗΩΗ 5ΓΡ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήν, 15 Ιουνίου 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΕΣΟΔΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΑΜΕΣΗΣ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ: Β Τχ.

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Αθαν. ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών. ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Καθηγητής: Κων/νος Α.

Ιωάννης Αθαν. ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών. ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Καθηγητής: Κων/νος Α. Ιωάννης Αθν ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμ Μθημτικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πνεπιστήμιο Πτρών ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Κθηγητής: Κων/νος Α Δρόσος) ΠΑΤΡΑ 005 "So fa as aws of mathematcs efe to eaty they ae ot ceta

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ Σηµείωση. Γράφουµε νν ντί του ν κι µόνον ν.. Προλεγόµεν. Σε ότι κολουθεί, ο νγνώστης θ έρθει σε επφή µε έννοιες πό την Μθηµτική Λογική, την Θεωρί Συνόλων, κι την Άλγεβρ. Σύµφων µε την Πλτωνική ντίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ. ρ. Στυλιανός Γ. Λόζιος

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ. ρ. Στυλιανός Γ. Λόζιος ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ρ. Στυλινός Γ. Λόζιος Επ. Κθηγητής του Τµήµτος Γεωλογίς του Εθνικού & Κποδιστρικού Πνεπιστηµίου Αθηνών Το εφρµοσµέν

Διαβάστε περισσότερα

Είναι ένα πιστοποιητικό που επιτρέπει τη μεταφορά επικίνδυνων εμπορευμάτων ακόμα και εάν η μονάδα μεταφοράς δεν είναι κατάλληλη.

Είναι ένα πιστοποιητικό που επιτρέπει τη μεταφορά επικίνδυνων εμπορευμάτων ακόμα και εάν η μονάδα μεταφοράς δεν είναι κατάλληλη. ΚΕΦΑΑΙΟ 1: ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟ ΠΑΙΙΟ - ΤΑΞΙΝΟΜΗΗ ΕΠΙΚΙΝΔΥΝΩΝ ΕΜΠΟΡΕΥΜΑΤΩΝ 1 Ποιος έχει την υποχρέωση ν πρδώσει στον οδηό τις ρπτές οδηίες σχετικές με τη μετφερόμενη επικίνδυνη ύλη; Ο πρλήπτης. Η τροχί. Ο ποστολές.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Ανθρωπιστικών και Κοινωνικών Επιστημών Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών

Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Ανθρωπιστικών και Κοινωνικών Επιστημών Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Πνεπιστήμιο Πτρών Σχολή Ανθρωπιστικών κι Κοινωνικών Επιστημών Πιδγωγικό Τμήμ Δημοτικής Εκπίδευσης Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών Mετπτυχική Εργσί Πεποιθήσεις κι κίνητρ. Μι ερευνητική προσέγγιση σε πολιτισμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2015

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2015 ΠΝΤΣΕΙΣ ΘΕΜΤΩΝ ΙΟΛΟΓΙΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΣ 2015 ΘΕΜ 1. 2. γ 3. 4. δ 5. γ ΘΕΜ 1. 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8. νφορά στις σελίδες γίνετι µε τη σελιδοποίηση του πλιού ιλίου. 2. Σχολικό ιλίο σελ.36 «Κτά την ένρξη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ Γ. Αλεξίου, Α. Κλμπούνις, Ε. Αμντίδης, Δ. Μτράς Εργστήριο Τεχνολογίς Πλάσμτος, Τμήμ Χημικών Μηχνικών, Πνεπιστήμιο Πτρών ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη

Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη κι Έλκουσ Κµπύλη ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σ. Σ. Μ. 1. ΑΛΥΣΟΕΙ ΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΙΣΤΟΡΙΑ Μι πό τις ιστορικές κι ονοµστές κµπύλες, του επιπέδου που µελετήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ ΤΑΛΑΣΛΙΔΗΣ ΗΛΙΑΣ ΜΠΟΥΓΑΪΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΙΝΟΠΟΥΛΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΤΕΥΧΟΣ A Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Α Κ Ε Σ Σ Η Μ Ε Ι Ω Σ Ε Ι Σ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ. Τ Μ Η Μ Α ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ κ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΘΕΜΑ

Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ. Τ Μ Η Μ Α ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ κ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΘΕΜΑ Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ Σ χ ο λ ή Διο ίκ η σ η ς κ Ο ικ ο ν ο μ ί ς Τ Μ Η Μ Α ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ κ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΑΠΟΨΕΩΝ ΧΡΗΣΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΙΑΤΡΕΙΩΝ ΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα