ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α."

Transcript

1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. 1. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: επνεπίσκεψη. Η εξής πρτήρηση γι τις (μονομερείς) διμελείς σχέσεις, εξυπηρετεί την τξινόμησή τους: τ ζεύγη μις οποιδήποτε τέτοις σχέσης εμπίπτουν σε τρείς κτηγορίες: Τ συμμετρικά ζεύγη, : τόσο το, όσο κι το, νήκουν στη σχέση προσέχουμε ότι κάποι πό υτά ίσως είνι νκλστικά ζεύγη,. Τ σύγκριτ ζεύγη, : ούτε το, ούτε το, νήκουν στη σχέση προσέχουμε ότι κάποι πό υτά ίσως είνι νκλστικά ζεύγη,, κι ότι η σχέση συγκρισίς είνι πάντοτε συμμετρική: ν το δεν συγκρίνετι με το, τότε, προφνώς, ούτε το συγκρίνετι με το. Τ σύμμετρ ζεύγη, : είτε μόνον το, είτε μόνον το, νήκουν στη σχέση. ΓΕΝΙΚΗ ΙΜΕΛΗΣ ΣΧΕΣΗ σύγκριτ συµµετρικά? σύµµετρ µεττικά Εικονίζουμε υτή την κτάστση με τρείς περιοχές-σύνολ, κι σχεδιάζουμε τ έλη γι ζεύγη που δεν νήκουν στη σχέση με δικεκομμένες γρμμές. Με (κυνό) πχύ περίγρμμ υποδεικνύουμε εκείνες τις κτηγορίες κμών που (ζητούμε ν) είνι μεττικές. Τ 1+1 σπουδιότερ είδη σχέσης εικονίζοντι όπως πρκάτω: Μς ενδιφέρει οι σχέσεις ν είνι μεττικές. Σε όλες τις σχέσεις υπάρχει το ενδεχόμενο κάποι ζεύγη στοιχείων ν είνι σύγκριτ. Στις σχέσεις ισοδυνμίς υπάρχουν μόνον συμμετρικά ζεύγη, κι όλ τ νκλστικά, Στις σχέσεις γνήσις διάτξης υπάρχουν μόνον σύμμετρ ζεύγη, δηλδή κνέν νκλστικό. < <_ ΣΧΕΣΗ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ ΓΝΗΣΙΑ ΙΑΤΑΞΗ ΜΗ-ΓΝΗΣΙΑ ΙΑΤΑΞΗ 2. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: η ντιστοιχί γνήσι μη-γνήσι. ΠΡΟΣΟΧΗ: τ νκλστικά ζεύγη τξινομούντι «χλρά»: στις σχέσεις ισοδυνμίς περιλμάνοντι μεν όλ, συχνά όμως κτά σύμση 1 στις σχέσεις διάτξης εξιρούντι όλ, (ή εάν συμπεριληφθούν, τρέπουν την διάτξη σε μη-γνήσι, κι ντιστρόφως). = Αν σε μι γνήσι διάτξη <, προσθέσουμε τ νκλστικά ζεύγη, προκύπτει μι μη-γνήσι επέκτση υτής,. Έστω ( < ) μι γνήσι διάτξη (μη-νκλστική, μη-συμμετρική, μεττική). Ορίζουμε την «μη-γνήσι» εκδοχή της, ως εξής: ( ) ( < ) ( = ) Όπως κι ν ονομάσουμε ή συμολίσουμε την πρπάνω σχέση, το ερώτημ μένει: είνι όντως διάτξη κι, μάλιστ, μη-γνήσι; Ελέγχουμε τις ιδιότητες: νκλστική: ( )? Νί, διότι ( = ) κι ισχύει το 2 ο μέλος (λ. πρπάνω). 1 Π.χ. θεωρείτι έν πρόσωπο δελφός του ευτού του; Ο ριθμός 1 διιρεί τον ευτό του; Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 1 / 23

2 ντισυμμετρική: ν ( ) κι ( ) ( = )? Νί, διότι ν ( ) τότε ( ) ( < ), κι ( ) ( < ), άτοπο διότι η διάτξη < είνι μη-συμμετρική. μεττική: ν ( ) κι ( γ) ( γ)? Νί, διότι ν ( = ) τότε ( γ) ( γ), κι ν ( = γ) τότε ( ) ( γ), λλιώς ( ) ( < ), κι ( γ) ( < γ), οπότε μεττικά ( < γ), που δίδει ( γ). = (Κι ντιστρόφως:) Αν πό μι μη-γνήσι (= μερική) διάτξη φιρέσουμε τ νκλστικά ζεύγη υτή περιορίζετι σε μι γνήσι διάτξη, <. Έστω ( ) μι μη-γνήσι διάτξη (νκλστική, ντι-συμμετρική, μεττική). Ορίζουμε την «γνήσι» εκδοχή της: ( < ) ( ) ( ) Αξίζει την ονομσί μς; Είνι δηλδή όντως διάτξη κι γνήσι; Ελέγχουμε τις ιδιότητες: μη-νκλστική: Νί, διότι ( < ) θ σήμινε, πό το 2 ο μέλος ( ), πράγμ άτοπο. μη-συμμετρική: Νί, διότι δεν είνι δυντόν κι ( < ) κι ( < ), διότι θ είχμε ( < ) ( ), κι ( < ) ( ), κι η ντισυμμετρική θ μς έδινε ( = ), ενώ πό το 2 ο μέλος έχουμε ( ), πράγμ άτοπο. μεττική: ν ( < ) κι ( < γ) ( < γ)? Νί, διότι πό τον ορισμό λμάνουμε ( ) κι ( γ), κι άρ μεττικά ( γ). Επίσης ισχύει ( γ), διότι λλιώς, ν ( = γ) πό τ ( ) κι ( γ) ( ) θ λμάνμε (ντι-συμμετρική) ότι ( = ), που ντιφάσκει με το ότι ( ). Έχοντς ότι ( γ) κι ( γ) λμάνουμε ότι ( < γ). 3. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: η προέλευση. Από μθημτικής πλευράς υπάρχουν πολλές πηγές που μς πρέχουν σχέσεις διάτξης. Απριθμούμε εδώ μόνον τ μεγάλ είδη τέτοιων διτάξεων: διθμίσεις: εγκλεισμός: συνέπει: πόδειξη: Εάν επί συνόλου Α ορίζετι μι ριθμητική συνάρτηση χ(-), χ(-): Α a Ν (οι φυσικοί ριθμοί ρκούν γι τέτοιες συνρτήσεις), η οποί «διθμίζει» υτά τ στοχεί, τότε η διάτξη των φυσικών ριθμών μετφέρετι κι επί υτών των στοιχείων: ( < ) ( χ() < χ() ) Αξίζει ν προσέξουμε εδώ ότι η σχέση ( ) ( χ() = χ() ) πράγει σχέσεις ισοδυνμίς, όπως πρπάνω η σχέση ( < ) ( χ() < χ() ) πράγει σχέσεις (γνήσις) διάτξης. Στ σύνολ η σχέση «εγκλεισμού», υπό τις δύο μορφές (γνήσι, μη-γνήσι ), είνι μι σχέση διάτξης. Στις προτάσεις της λογικής η σχέση «Φ έχει-ως-συνέπει-την Ψ» είνι μι σχέση που δεν είνι κριώς διάτξης (φού δεν είνι κτ νάγκην σύμμετρη), γίνετι όμως διάτξη επί των κλάσεων των λογικώς ισοδυνάμων προτάσεων. Το νάλογο ισχύει κι γι την σχέση ««Φ ποδεικνύει-την Ψ» («ποδεικνύει» με άσει τ ξιώμτ κι τους κνόνες της μθημτικής λογικής). Αξίζει ν πρτηρήσουμε ότι το πρώτο είδος στηρίζετι στο δεύτερο (φού m < n σημίνει ότι m n), κι ότι το δεύτερο στηρίζετι στο τρίτο, φού Α Β, σημίνει «σ Α σ Β». Στο χώρο των»κθημερινών» εφρμογών υπάρχει τεράστι ποικιλί διτκτικών σχέσεων. Είνι τόσες πολλές, που όπως θ προσέξετε πρκάτω δεν νφέρουμε κάν συγκεκριμμένες περιπτώσεις, λλά είδη περιπτώσεων: προτιμήσεις: διθμίσεις: Οι άνθρωποι, εμφνίζουν στην πρέ τους, στην δράση τους, στις κτνλωτικές τους συνήθειες, μυρίων ειδών προτιμήσεις: προτιμούν υτούς τους χρκτήρες κι όχι εκείνους, υτές τις δρστηριότητες κι όχι εκείνες, ή υτές τις γεύσεις κι όχι εκείνες, κοκ. Όλ υτά εκφράζοντι μέσ πό διτάξεις στοιχείων. Συχνόττ, διθμίζουμε πρόσωπ κι ομάδες προσώπων ή γθά, ώστε ν διτχθούν. Π.χ. οι θλητικές ομάδες πίρνουν θμούς, τ δημόσι πρόσωπ ένν Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 2 / 23

3 χρονολογήσεις: εξρτήσεις: θησυροί όρων: γενικεύσεις: ειδικεύσεις: ιερρχίες: προτεριότητες: δείκτη δημοφιλίς, τ προϊόντ μι τιμή γοράς, κοκ. Όλ υτά είνι μι πόπειρ ν τ διτάξουμε κτά τον πλούστερο τρόπο (δηλδή «γρμμικά»). Ο χρόνος διτάσσει τ γεγονότ κτά χρονολογική σειρά, κτά προφνή τρόπο. Αυτό ίσως ν λησμονείτι, είνι ότι συχνόττ δεν έχουμε κριείς χρονολο γήσεις: λ.χ. έν ιστορικό γεγονός μπορεί πλώς ν τοποθετείτι πό το 150 μχ έως το 180 μχ, επομένως η χρονολογική του διάτξη δεν μπορεί ν είνι κτηγορημτική. Επίσης συχνά δεν ενδιφερόμστε γι έν επί μέρους συμάν, λλά γι μι περίοδο ή εποχή. Οι διτάξεις που εμφνίζοντι λοιπόν δεν είνι τόσο πλοϊκές όσο η κοινή γρμμική διάτξη του φυσικού χρόνου. Σε έν σύστημ φυσικό, ή κοινωνικό, κττ, οι επί μέρους πράγοντες επηρρεάζουν άλλους, κι δημιουργούν διτάξεις. Αυτό το πρόσωπο σκεί επιρροή σε έν άλλο, υτό ο νόμος επιδρά σε τούτον ή εκείνον τον άλλο νόμο, υτό το είδος επιδρά οικολογικά σε εκείνο το είδος, κκτ. Οι εξρτήσεις δεν είνι πάντ διτετγμένες, ποτελούν όμως πηγή διτκτικών σχέσεων. Στη γλώσσ εν γένει, λλά κι στην ορολογί επί μέρους κλάδων εμφνίζοντι χιλιάδες όροι που έχουν μετξύ τους σχέση συνωνυμίς, ή σχέση ευρύτερου ειδικότερου όρου. Λ.χ. ο όρος «πώληση» θεωρείτι ισοδύνμος με τον «γορπωλησί», που είνι όμως ειδικότερος του «μετίση δικιώμτος», κοκ. Τέτοιες γλωσσικές συσχετίσεις εκφράζοντι πό σχέσεις ισοδυνμίς κι διάτξης. Σε κάθε επιστημονικό κλάδο τ υπό μελέτη ντικείμεν τξινομούντι σε «είδη» κι «γένη». Λ.χ. τ τετράγων είνι ορθογώνι, υτά είνι τετράπλευρ, τ οποί είνι πολύγων, που με τη σειρά τους είνι επίπεδ σχήμτ, κοκ. Στη ιολογί, τ ζώ δικρίνοντι σε σπονδυλωτά κι σπόνδυλ, τ σπονδυλωτά σε θηλστικά κι μη, κοκ. Όλες υτές οι κτηγοριοποιήσεις, δημιουργούν διτάξεις όπου η σχέση ίνει πό «είδος» σε «γένος». Στ κοινωνικά συστήμτ εμφνίζετι πληθώρ ιερρχικών σχέσεων, με άση την ηλικί, την εμπειρί, την θέση σε έν επγγελμτικό χώρο, κοκ. Οι ιερρχίες είνι τυπικό είδος γνήσις διάτξης. Η τήρηση προτεριοτήτων είνι εύλογη κι κρίσιμη στην κθημερινή ζωή όσο κι στις πργωγικές διδικσίες, Πρώτ ψωνίζουμε κι μετά μγειρεύουμε, κι σε μι γρμμή πργωγής πρώτ κτσκευάζουμε τ τεμάχι μις μηχνής κι μετά την συνρμολογούμε. Ακόμ κι η συνρμολόγηση, έχει κι υτή τις προτεριότητες της, π.χ. πρώτ τοποθετούμε τις ρόδες σε έν ποδήλτο κι μετά την λυσίδ. Ακόμ κι το πιο πλό έργο, όπως η χρήση μις μηχνής espresso, έχει μι διάτξη των εργσιών του, (διάτξη που είνι μερική κι όχι πλήρης): 1. νµονή ψύξης 2. νερό στη δεξµενή 3. σκόνη κφέ στο δοχείο 4. σφράγιση δεξµενής 5. δοχείο κφέ στη θέση του 6. φλυτζάνι στη θέση ροής 7. ενεργοποίηση - (on) 8. πενεργοποίηση - (off) ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: η σχεδίση. µερική σχεδίση oι υπόλοιπες µεττικές κµές διάγρµµ Hasse: µόνον µετάτες Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 3 / 23

4 Σε μι σχέση γνήσις διάτξης δεν υπάρχουν νκλστικές ή συμμετρικές κμές, κι δεν χρειάζετι ν σχεδιάσουμε τις μεττικές κμές. Αφιρώντς υτές τις κμές, μένουμε μόνον με τις μετάτες κμές, τις οποίες σχεδιάζουμε ως γράφημ κόμων κι κμών, με φορά (κτά συνήθει) πό κάτω προς τ επάνω. Αυτή η οικονομική σχεδίση ποκλείτι διάγρμμ Hasse. Στο προηγούμενο σχήμ εικονίζετι μι διάτξη σχεδισμένη κτά (πό ριστερά προς τ δεξιά) με μερικό, πλήρη, κι οικονομικό τρόπο. 5. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: η μορφικά χρκτηριστικά. Σε έν τέτοιο διάγρμμ, υπάρχουν περί τ 10 μορφικά χρκτηριστικά άξι προσοχής, κι σχεδόν υθερμήνευτ πό το εξής σχήμ. Προσέξτε ότι γι κάθε στοιχείο σ της διάτξης, όλ τ στοιχεί x, (περιλμάνετι κι το σ), διμερίζοντι σε 3 είδη: μικρότερ { x < σ }, σύγκριτ { x σ }, μεγλύτερ { σ < x }. νώττ κρί δ επόµεν(σ) µεγλύτερ(σ) µετάτη κµή σ γ σύγκριτ(σ) σ µεττική κµή προηγούµεν(σ) µικρότερ(σ) λυσίδ,, γ, δ κτώττ κρί επόμεν στοιχει του σ: όσ είνι «μέσως» μεγλύτερ του σ, δηλδή η σ είνι μετάτη κμή. προηγούμεν του σ: όσ είνι «μέσως» μικρότερ του σ, δηλδή η σ είνι μετάτη κμή. κρί στοιχεί: νώττο ή maximal όποιο δεν έχει επόμενο, κτώττο ή minimal όποιο δεν έχει προηγούμενο. Γι τους όρους μικρότερος-μεγλύτερος χρησιμοποιούντι κι οι πρόγονος-πόγονος. Γι τους όρους προηγούμενος-επόμενος χρησιμοποιούντι κι οι προκάτοχος-διάδοχος. 6. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ οι κρίες μορφές. Οι διτάξεις έχουν δύο κρίες μορφές: η 1 η είνι ότν, τετριμμέν, η σχέση είνι κενή. Τέτοι σύνολ στοιχείων τ ονομάζουμε νεξάρτητ, κι έχουν ενδιφέρουν ως ενδεχόμεν μέρη μις ευρύτερης σχέσης. Η 2 η είνι είνι ότν υπάρχουν όλ τ δυντά (σύμμετρ) ζεύγη, κι σε υτή την περίπτωση ισχύει η τριχοτομική ιδιότητ: γι κάθε ζεύγος στοιχείων κι, είτε μόνον ( < ), είτε μόνον ( = ), είτε μόνον ( < ). Κάθε στοιχείο έχει κριώς έν επόμενο, πλην ενός μεγίστου που δεν έχει επόμενο, κι κάθε στοιχείο έχει κριώς έν προηγούμενο, πλην ενός ελχίστου που δεν έχει προηγούμενο. Η πρκάτω εικόν μις τέτοις σχέσης 5 στοιχείων δικιολογεί την ονομσί: πλήρης ή γρμμική διάτξη: min max γρµµική διάτξη: όλ τ ζεύγη γρµµική διάτξη: µόνον τ µετάτ ζεύγη 7. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: προσθφίρεση μεττικών κμών. Σε οποιδήποτε σχέση, είτε πληροί κριώς τις προδιγρφές της διάτξης είτε όχι, έχει σημσί ν εξετάσουμε τί θ προέκυπτε εάν προσθέτμε όλες τις μεττικές κμές ή κριέστερ, όλες τις μεττικές κμές που λείπουν. Αυτή η πράξη επεκτείνει την σχέση, λλά συχνά υτή η επέκτση είτε λλοιώνει μόνον ελφρά το ρχικό νόημ της σχέσης, είτε το διτηρεί, είτε, ορισμένες φορές εκφράζει υτή η ίδι το «νόημ» της σχέσης. Π.χ. τ μεττικά εροπορικά δρομολόγι λλοιώνουν πολύ λίγο την έννοι της εροπορικής μετφοράς: το χρκτηριστικό της πτήσης κι της μεγάλης τχύτητς διτηρείτι οι μεττικές σχέσεις προγόνων-πογόνων Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 4 / 23

5 σε μι οικογένει δεν λλοιώνοντι κθόλου κι οι οδικές συνδέσεις κτσκευάζοντι κτά 99%, κριώς γι ν χρησιμοποιηθούν «μεττικά». μεττικό πλήρωμ. Δεδομένης μις διμελούς σχέσης S, η σχέση S ( + ) που προκύπτει φού προσθέσουμε όλες τις μεττικές κμές που «λείπουν» ονομάζετι το μεττικό πλήρωμ (ή μεττικό «κλείσιμο») της S. Ο υπολογισμός της S ( + ), δηλδή όλων των μεττικών κμών μις σχέσης, είνι κίρις σημσίς πρόλημ σε πολλά πεδί εφρμογών, κι δυστυχώς η λύση του είνι χρονοόρ. Υπάρχουν ρκετοί λγόριθμοι γι τη λύση του, λλά επειδή εδώ δεν εστιάζουμε στους λγορίθμους κι στη δρστικότητά τους, θ δώσουμε μι έξυπνη πλή τεχνική, εύκολη κι χρήσιμη τόσο γι τον υπολογισμό των μεττικών κμών, όσο κι γι την φίρεσή τους. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μι σχέση S, που είνι μη-συμμετρική, μη-νκλστική, κι θέλουμε ν την συμπληρώσουμε με τις μεττικές κμές που πράγει. Αν εξετάσουμε έν οποιοδήποτε στοιχείο σ, θ δικρίνουμε σε υτό όλ τ μικρότερ, κι όλ τ μεγλύτερ στοιχεί. Κάθε διτετγμένο ζεύγος,, όπου < σ <, πράγει μι μεττική κμή, πού ίσως υπάρχει ήδη στη S, ίσως όχι, κι γι υτό την προσθέτουμε στο S. (Ο έλεγχος του ν υπάρχει ήδη δεν προσφέρει κι πολλά σε τυχείς περιπτώσεις ίσως κι ν επιρύνει (!) χρονικά υτή την διδικσί...) Θ ποκλέσουμε την προσθήκη «S S ( μικρότερ(σ) μεγλύτερ(σ) )», πράκμψη(σ). Δίνουμε στη συνέχει το σχετικό σχήμ γι έν στοιχείο σ με 2 μικρότερ κι 3 μεγλύτερ στοιχεί, κι τον «ψευδοκώδικ» της διδικσίς. σ σ Πράκµψη(σ) +, ιδικσί Προεργσί { Γι κάθε στοιχείο σ { Μικρότερ(σ) {: < σ }, Μεγλύτερ(σ) {: σ < } } } ιδικσί Πράκµψη(σ) { Γι κάθε Μικρότερ(σ), κι κάθε Μεγλύτερ(σ) { S (+) S (+) +, Μικρότερ() Μικρότερ() + Μεγλύτερ() Μεγλύτερ() + } } Συνάρτηση ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΟ_ΠΛΗΡΩΜΑ(S): σχέση { Προεργσί S (+) S Γι κάθε στοιχείο σ S { Πράκµψη(σ) } ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΟ_ΠΛΗΡΩΜΑ S (+) } Θ περίμενε κάποιος ότι η πράκμψη όλων των στοιχείων σ θ οδηγούσε στην προσθήκη όλων των μεττικών κμών. Ο ισχυρισμός φίνετι ορθός εκ πρώτης όψεως, λλά υτό είνι πρπλνητικό: εάν π.χ. σε κάποιο ήμ εφρμόσουμε την διδικσί Πράκμψη(σ), πρμένει δυντόν σε έν μετγενέστερο ήμ ν προσθέσουμε κμές προς ή πό το στοιχείο σ οι οποίες δεν υπήρχν πριν, δηλδή δεν είχν ληφθεί υπόψι σε υτό προγενέστερο ήμ, κι υτό δημιουργεί ειότητ γι το εάν προσθέσμε όλες τις μεττικές κμές μέσω του σ. Κι όμως ο ισχυρισμός ληθεύει: = Εάν σε μι διάτξη εφρμόσουμε την πράξη «Πράκμψη(σ)» γι κάθε στοιχείο σ της διάτξης, τότε θ προσθέσουμε όλες τις μεττικές κμές τις διάτξης. Το επιχείρημ είνι ότι ρκεί ν προσθέτουμε όλες τις μεττικές κμές κτά μήκος οποισδήποτε λυσίδς σ1 σ2... σν, φού όλες οι μεττικές κμές εμφνίζοντι κτά μήκος μις τέτοις λυσίδς (έστω μήκους μόνον 3). Το εξής ισχύει: εάν σε μι λυσίδ σ1 σ2... σν εφρμόσουμε την Πράκμψη(σ) γι κάθε στοιχείο σ της λυσίδς, τότε θ προσθέσουμε όλες τις μεττικές κμές της λυσίδς, νεξρτήτως της Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 5 / 23

6 σειράς των πρκάμψεων. Κι υτός ο ισχυρισμός μπορεί ν ποδειχθεί επγωγικά: Βάση επγωγής: Ο ισχυρισμός ισχύει γι μι λυσίδ σ1 σ2 σ3, μήκους ν = 3 διότι κτά την εξέτση του σ2, η διδικσί Πράκμψη(σ2) θ προσθέσει την μεττική κμή σ1 σ3, που είνι κι η μόνη (δηλδή θ προσθέσει όλες τις μεττικές κμές υτής της λυσίδς). Βήμ επγωγής: Έστω ότι ο ισχυρισμός ισχύει γι λυσίδες σ1 σ2... σν, μήκους ν κ. Θ δείξουμε ότι ισχύει κι γι λυσίδες μήκους έως κι ν = κ+1. Έστω ότι η διδικσί πράκμψης εφρμόζετι γι τελευτί φορά στο σj στοιχείο μις λυσίδς με ν = (κ+1) στοιχεί, όπου 2 j ν 1 (διότι η πράκμψη στ άκρ δεν έχει κμμί επίδρση). Στ προηγούμεν ήμτ η διδικσί έχει εφρμοστεί σε όλ τ στοιχεί της λυσίδς σ1 σ2... σj, μήκους j κ (φού j < ν), λλά κι στην λυσίδ σj σj σν=κ+1, μήκους (ν+1) j (ν 1) κ. Σε υτές τις λυσίδες ισχύει η επγωγική υπόθεση (φού έχουν μήκος κ), κι άρ σε υτές τις λυσίδες έχουν προστεθεί όλες οι μεττικές κμές: δηλδή όλες οι κμές σλ σj, γι λ < j, κι όλες οι κμές σj σλ, γι λ > j. Η διδικσί πράκμψης του σj έχοντς στη διάθεσή της υτές τις κμές, θ συνδέσει μεττικά όλ τ στοιχεί πριν το σj με όλ τ στοιχεί μετά το σj που είνι το ζητούμενο, κι που ρκεί γι ν προστεθούν όλες οι μεττικές κμές της λυσίδς σ1 σ2... σκ+1. 1 < j < κ + 1 ν = (κ + 1) σ 1 σ j σ κ +1 {1.. j} κ { j.. ν } κ Εάν εφρμόσουμε την διδικσί πράκμψης (με οποιδήποτε σειρά) σε όλ τ στοιχεί της διάτξης, θ την έχουμε εφρμόσει τυτόχρον σε όλες τις λυσίδες της, κι άρ θ έχουμε πργάγει όλες τις ενδεχόμενες μεττικές κμές. μεττική νγωγή. Έν ενδιφέρον σημείο στην πρπάνω τεχνική είνι ότι, () προσθέτουμε, εμφνώς, μόνον μεττικές κμές, κι, () δεν προσθέτουμε πλά όλες τις μεττικές κμές που υπολείποντι, λλά προσθέτουμε όλες τις μεττικές κμές, κόμ κι υτές που υπήρχν ήδη. Αυτό δεν χρειάζετι πρόσθετη πόδειξη: ενυπάρχει ήδη στην πόδειξη που δώσμε. Αποκτούμε έτσι μι τεχνική φίρεσης όλων των μεττικών κμών, ώστε ν διτηρήσουμε μόνον τις μετάτες κμές της διάτξης (κάτι χρήσιμο, εάν θέλουμε λ.χ. ν ποθηκεύσουμε υτή την διάτξη, ή ν σχεδιάσουμε το σχετικό διάγρμμ Hasse): πλά φιρούμε (τελικά) όσες κμές πράγοντι, ντί ν τις προσθέτουμε. ιδικσί Προεργσί { Γι κάθε στοιχείο σ { Μικρότερ() {σ: σ < }, Μεγλύτερ() {σ: < σ } } ιδικσί Εξέτση(σ) { Γι κάθε Μικρότερ(σ), κι κάθε Μεγλύτερ(σ) { Σηµειώνουµε την κµή, Μικρότερ() Μικρότερ() + Μεγλύτερ() Μεγλύτερ() + } } Συνάρτηση ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ_ΑΝΑΓΩΓΗ(S): σχέση { Προεργσί Γι κάθε στοιχείο σ S { Εξέτση(σ) } S ( ) S {, : σηµειωµένη κµή } ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ_ΑΝΑΓΩΓΗ S ( ) } ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Κάθε σχέση ορίζει κι ορίζετι πό τις εικόνες των στοιχείων της. Σε μι σχέση S που είνι διάτξη κι την συμολίζουμε με <, ποιά είνι η εικόν S[{σ}] ενός στοιχείου σ; Αφού S[{σ}] = { x Α: σ, x }, ισχύει ότι S[{σ}] = { x Α: σ < x }, δηλδή η εικόν ενός στοιχείου είνι τ μεγλύτερά του. Κι τ μικρότερά του είνι η εικόν του υπό την ντίστροφη σχέση.) Ποιά είνι, όμως, η εικόν ενός στοιχείου στην μετάτη σχέση S ( ) ; Είνι Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 6 / 23

7 τ στοιχεί που ονομάσμε «επόμεν(σ)»: S ( ) [ {σ} ] = { x: σ, x είνι μετάτη κμή/ζεύγος }. Κι η εικόν στην ντίστροφη σχέση είνι υτά που ονομάσμε «προηγούμεν(σ)» στοιχεί. 8. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: πράξεις κι ιδιότητες. Επί δύο ξένων συνόλων νφοράς, Α1 κι Α2: Πράλληλη σύνθεση: Έστω Δ1 = Α1, S1, Δ2 = Α2, S2 διτάξεις επί δύο (ξένων) συνόλων Α1 κι Α2. Ορίζουμε την πράλληλη σύνθεση τους Δ1 Δ2, ενώνοντς τ σύνολ των στοιχείων, κι τ σύνολ των ζευγών: Δ1 Δ2 Α1 Α2, S1 S2 Προσέχουμε εδώ ότι δεν προσθέτουμε κνέν νέο ζεύγος στη σχέση, επομένως τ στοιχεί των Α1 κι Α2 πρμένουν πλήρως σύγκριτ μετξύ τους, όπως κτ ουσί ήσν κι προηγουμένως. Πράδειγμ: έν πρόσωπο μπορεί ν έχει μι διάτξη προτίμησης σχετικά με μουσικές συνθέσεις, κι μι άλλη σχετικά με κινημτογρφικές τινίες. Είνι εύλογο «επί τέχνης» ν μην προχωρεί σε κμμί σύγκριση νάμεσ σε τινίες κι τργούδι. =Η πράλληλη σύνθεση δύο γνήσιων διτάξεων είνι γνήσι διάτξη. Ελέγχουμε την ισχύ των τριών Α-Σ-Μ ιδιοτήτων. μη-νκλστική: Στην σύνθετη σχέση δεν μπορεί ν υπάρξει ζεύγος, με Α1 Α2, διότι το θ νήκε στο Α1 ή στο Α2, κι τότε θ υπήρχε κι πριν, πράγμ δύντον φού έχουμε υποθέσει τις διτάξεις S1, S2 ως μη-νκλστικές. μη-συμμετρική: Στην σύνθετη σχέση δεν μπορεί ν υπάρξουν ζεύγη, κι,, με, Α1 Α2, διότι τ κι θ νήκν είτε κι τ δύο στην Α1 είτε κι τ δύο στην Α2, (φού δεν προσθέσμε ζεύγη νάμεσ σε υτές). Αυτό όμως είνι δύντον φού έχουμε υποθέσει τις διτάξεις S1, S2 ως μησυμμετρικές. μεττική: Αν στην σύνθετη σχέση υπάρχουν τ, κι, γ τότε τ,, γ νήκουν είτε κι τ δύο στην S1, είτε κι τ δύο στην S2, οπότε υπάρχει κι το ζεύγος, γ, το οποίο πρμένει στην σύνθετη σχέση (φού δεν φιρέσμε κνέν ζεύγος). Σειρική σύνθεση: Έστω Δ1 = Α1, S1, Δ2 = Α2, S2 διτάξεις επί δύο (ξένων) συνόλων Α1 κι Α2. Ορίζουμε την σειρική σύνθεση Δ1 Δ2, ενώνοντς τ σύνολ των στοιχείων κι τ σύνολ των ζευγών, λλά κι προσθέτοντς στη διάτξη όλ τ ζεύγη του συνολογινομένου Α1 Α2. Δ1 Δ2 Α1 Α2, S1 S2 Α1 Α2 Προσέχουμε εδώ ότι στη νέ διάτξη, τ στοιχεί εντός του Α1 ή εντός του Α2, συγκρίνοντι όπως κι πριν, οποιοδήποτε όμως στοιχείο του Α1 θεωρείτι πλέον «μικρότερο» πό οποιοδήποτε του Α2. Πράδειγμ: έν πιδί μπορεί ν έχει μι διάτξη προτίμησης σχετικά με τ φρούτ, (λ.χ. προτιμά τις μπνάνες πό τ μήλ), κι μι σειρά προτίμησης στ γλυκά, (π.χ. τ πγωτά πένντι στις τούρτες). Είνι όμως κι φυσικό ν εκφράζει μι συνολική πρότίμηση: γι επιδόρπιο ίσως ν προτιμά το οποιοδήποτε «γλυκό» πό την οποιδήποτε «τούρτ». = Η σειρική σύνθεση δύο γνήσιων διτάξεων είνι γνήσι διάτξη. Ελέγχουμε την ισχύ των τριών Α-Σ-Μ ιδιοτήτων. μη-νκλστική: Στην σύνθετη σχέση δεν μπορεί ν υπάρξει ζεύγος, με Α1 Α2, διότι το θ νήκε στο Α1 ή στο Α2, δηλδή θ υπήρχε κι πριν, πράγμ δύντον φού έχουμε υποθέσει τις διτάξεις S1, S2 ως μη-νκλστικές. μη-συμμετρική: Στην σύνθετη σχέση δεν μπορεί ν υπάρξουν ζεύγη, κι,, με, Α1 Α2, διότι τ κι θ νήκν είτε κι τ δύο στην Α1 είτε κι τ δύο στην Α2, (φού λλιώς έν πό τ δύο θ ήτν πό το Α2 προς το Α1, ενώ τ ζεύγη που προσθέσμε ήσν μόνον πό την Α1 προς την Α2). Αυτό όμως είνι δύντον φού έχουμε υποθέσει τις διτάξεις S1, S2 ως μη-συμμετρικές. μεττική: Αν στην σύνθετη σχέση υπάρχουν τ, κι, γ τότε οι δυντότητες εμφάνισης της λυσίδς γ είνι οι εξής οκτώ, (νλόγως του εάν ο 1 ο κόμος είνι στον χώρο Α1 ή στον Α2, εάν η 1 η κμή μένει εντός του ιδίου συνόλου ή ίνει προς το άλλο, κι εάν η 2 η κμή μένει εντός του ιδίου Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 7 / 23

8 συνόλου ή ίνει προς το άλλο): A 2 2 γ γ γ γ + +???? 1 A 1 γ γ γ γ Στην 1 η περίπτωση η λυσίδ μένει εντός του Α1, κι επειδή η σχέση S1 (ως διάτξη) είνι μεττική, η κμή, γ νήκει στην S1, άρ κι στη σύνθετη σχέση (φού δεν φιρούμε κμμί κμή). Στη 2 η περίπτωση ισχύει το ίδιο κτ νλογί. Στην 3 η κι 4 η περίπτωση η κμή, γ ίνει πό το Α1 στο Α2, άρ υπάρχει στην σύνθετη σχέση (φού προσθέτουμε όλες τις κμές Α1 Α2). Όλες οι υπόλοιπες περιπτώσεις ( 5 η έως 8 η ), είνι δύντον ν εμφνιστούν διότι περιλμάνουν μί κμή πό το Α2 προς το Α1, κι τέτοιες κμές ούτε υπήρχν (προφνώς), ούτε τις προσθέτουμε στην σύνθετη σχέση. Πολυκριτηρική διάτξη. (λ. πρκάτω) Επί του υτού συνόλου νφοράς, Α: Τομή δύο διτάξεων. Έστω Α, S1, Α, S2 δύο διτάξεις επί του υτού συνόλου. Ορίζουμε την διάτξη-τομή, συνολοθεωρητικά: S Α, S1 S2 δηλδή στη νέ διάτξη ισχύει ( < ) εάν κι μόνον ισχύει ( < ) κι στις δύο ρχικές διτάξεις: ( < S ) ( < S1 ) ( < S2 ) Η τομή είνι σημντική πράξη, διότι όπως θ δούμε κάθε διάτξη μπορεί ν εκφρστεί μέσω υτής. Πράδειγμ: Έστω ότι έχετε μι σειρά προτίμησης γι τις κτοικίες νάλογ με το πόσο κλές είνι, λλά, εύλογ έχετε κι μι σειρά προτίμησης σχετικά με το κόστος που έχουν (ενοίκιο, συντήρηση, θέρμνση, κά). Μένετε ήδη σε μι κτοικί κι πληροφορείστε ότι υπάρχει κι μί άλλη διθέσιμη. Θ μετκομίσετε ή όχι; Σε υτή την περίπτωση όπου η εκδήλωση προτίμησης έχει η ίδι έν κόστος συχνά προτιμάμε κάτι νέο μόνον εάν είνι προτιμότερο κι ως προς τ δύο κριτήριά μς: θ μετκομίσουμε μόνον εάν η νέ κτοικί είνι κι κλύτερη κι φθηνότερη. Αυτή η διάτξη προτίμησης είνι η τομή δύο διτάξεων. = Η τομή δύο γνήσιων διτάξεων είνι γνήσι διάτξη. Ελέγχουμε την ισχύ των τριών Α-Σ-Μ ιδιοτήτων. μη-νκλστική: Στην σύνθετη σχέση δεν μπορεί ν υπάρξει ζεύγος, διότι θ υπήρχε κι στις δύο ρχικές, ενώ υτές έχουν υποτεθεί μη-νκλστικές. μη-συμμετρική: Στην σύνθετη σχέση δεν μπορεί ν υπάρξουν τ ζεύγη, κι, διότι θ υπήρχν κι στις δύο ρχικές, ενώ υτές έχουν υποτεθεί μη-συμμετρικές. μεττική: Αν στην σύνθετη σχέση υπάρχουν τ ζεύγη, κι, γ, τότε υτά υπήρχν κι στις δύο ρχικές, επομένως (λόγω μεττικότητς) υπήρχν κι στις δύο ρχικές σχέσεις τ ζεύγη, γ. Η σύνθετη σχέση, ως τομή των ρχικών, θ περιλάει κι το, γ. Η «γεωμετρί» των διτάξεων - η πράστση της τομής δύο γρμμικών διτάξεων στο επίπεδο: Αξίζει ν προσέξουμε την τομή δύο γρμμικών διτάξεων, έστω, π.χ. Γx =, γ, δ, ε,, ζ κι Γy =, ε, ζ, δ, γ,. Τοποθετούμε τ στοιχεί έως ζ στο επίπεδο, κτά τον οριζόντιο άξον κι κτά τη σειρά της διάτξης Γx, κι κτά τον κάθετο άξον, κτά τη σειρά της διάτξης Γy. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 8 / 23

9 Κάθε στοιχείο σ μπορεί τώρ ν νπρστθεί πό το σημείο «σ» στο επίπεδο που έχει x κι y συντετγμένες τ στοιχεί σ επί των ξόνων. Γι ν ισχύει η σχέση ( < ) θ πρέπει το σημείο ν είνι δεξιότερ πό το (λόγω της Γx ), κι υψηλότερ πό το (λόγω Γy). Γ y < ~ γ γ δ δ ζ ζ Γ x = γ δ ε ζ ε ε Γ y = ε ζ δ γ γ δ ε ζ Γ x Αν σε κάθε σημείο «σ» τοποθετήσουμε έν τετρτημόριο (όπως στο σχήμ άνω ριστερά), τότε έν στοιχείο συγκρίνετι με έν στοιχείο εάν το τετρτημόριο του περιλμάνει το τετρτημόριο του, ή ντιστρόφως, λλιώς είνι σύγκριτ μετξύ τους. Κάθε λοιπόν «στερισμός» σημείων στο επίπεδο (όπως δεξιά στο σχήμ), πράγει μι διάτξη στ σημεί του κτά τον πρπάνω τρόπο, κι υτή η διάτξη είνι τομή δύο γρμμικών διτάξεων. Οι τομές 3, ή 4, ή ν γρμμικών διτάξεων νπρίσττι κτά νάλογο τρόπο σε 3, 4, ή ν διστάσεις. Πολυκριτηρική διάτξη. Έστω ότι επί ενός συνόλου Α έχουμε ορίσει δύο διτάξεις «διάθμισης», με άση δύο ριθμητικά κριτήρι διάθμισης χ1(-) κι χ2(-), δηλδή ( < κ ) ( χ κ () < χ κ () ), κ = 1, 2. Εύλογ, μερικές διθμίσεις ίσως ν μην είνι πόλυτες, δηλδή δύο στοιχεί κι ίσως ν έχουν τον ίδιο θμό, δηλδή χ1() = χ1(), οπότε πρμένουν σύγκριτ ως προς υτό το 1 ο κριτήριο. Σε τέτοιες περιπτώσεις είνι εφικτό ν «ενεργοποιήσουμε» το 2 ο κριτήριο. Ορίζουμε πολυκριτηρική διάτξη άσει των «κριτηρίων» χ1(-) κι χ2(-), την διάτξη: ( < ) (χ1() < χ1()) ή [ (χ1() = χ1()) κι (χ2() < χ2()) ] Πράδειγμ: έν πρόσωπο έχει δύο σειρές προτίμησης νάμεσ σε προϊόντ: έν ποιοτικό δείκτη, κι την τιμή γοράς. Αν έλθει η στιγμή ν διλέξει νάμεσ σε δύο προϊόντ, τότε θ πρέπει ν συνθέσει τ δύο κριτήρι. Ίσως ν εφρμόσει κτά πρώτον το κριτήριο ποιότητς, κι ν υτά ισοθμίσουν ν εφρμόσει κτά δεύτερον το κριτήριο κόστους ή ντιστρόφως. = Η πολυκριτηρική διάτξη δύο διθμισμένων διτάξεων διθμισμένη διάτξη. Αν μι σχέση ελέγχετι πό έν διθμιστικό κριτήριο χ(-) Ν, εάν δηλδή ( < ) (χ() < χ()), τότε υτή είνι γνήσι διάτξη, διότι ισχύουν οι σχετικές Α-Σ-Μ ιδιοτήτων: μη-νκλστική: ουδέποτε ( < ) διότι ουδέποτε χ() < χ(). μη-συμμετρική: ουδέποτε ( < ) κι ( < ) διότι ουδέποτε χ() < χ() κι χ() < χ(). μεττική: εάν ( < ) κι ( < γ) τότε κι ( < γ) διότι χ() < χ() < χ(γ) χ() < χ(γ). Το ενδιφέρον εδώ είνι ότι η σύνθεση δύο διθμίσεων χ1(-) κι χ2(-) κτά τον πρπάνω τρόπο δίδετι πό μι νέ διάθμιση ως εξής. Εάν οι διθμίσεις λμάνουν τιμές χ..γ. στο διάστημ [0..Μ 1], ρκεί ν ορίσουμε, χ(σ) = χ1(σ) Μ + χ2(σ) ώστε η συνθήκη «(χ1() < χ1()) ή [ (χ1() = χ1()) κι (χ2() < χ2()) ]» ν ισοδυνμεί με ( χ() < χ() ). Ότν χ1() < χ1() η προσθήκη του χ2(-) < Μ δεν λλάζει την σύγκριση διότι: χ() < χ1() Μ + Μ < (χ1()+1) Μ χ1() Μ χ1() Μ + χ2() = χ(), κι ότν χ1() = χ1(), προφνώς χ() < χ() ισοδυνμεί με χ2() < χ2(). Άρ η σύνθετη σχέση είνι διθμισμένη πό την χ(-), κι άρ είνι εκ νέου διθμισμένη διάτξη. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 9 / 23

10 ΠΡΟΣΟΧΗ-1: Αν έχουμε τρείς διθμίσεις, επειδή η σύνθεση των χ1(-) κι χ2(-) είνι εκ νέου διθμισμένη, είνι δυντόν ν συνθέσουμε κι με την τρίτη χ3(-), κοκ. Αυτό φυσικά επεκτείνετι γι οποιοδήποτε πλήθος διθμίσεων γι υτό κι ο όρος «πολυκριτηρική». ΠΡΟΣΟΧΗ-2: Τ πρπάνω ισχύουν γι διθμισμένες διτάξεις επί του ιδίου χώρου νφοράς Α. Αυτό δεν ποτελεί όμως εμπόδιο: εάν έχουμε δύο διθμισμένες διτάξεις, Δ1 επί του Α1 άσει του κριτηρίου κ1(-), κι Δ2 επί του Α2 άσει του κ2(-), τότε υτές μεττρέποντι σε δύο διθμισμένες διτάξεις επί του ιδίου χώρου νφοράς Α1 Α2, όπου πλά χ1( 1, 2 ) = κ1(1), κι χ2( 1, 2 ) = κ2(2). Πράδειγμ: είνι εύλογο έν πρόσωπο ν έχει ένν δείκτη προτίμησης κ1(-) νάμεσ σε διάφορες εργσίες, κι ένν δείκτη προτίμησης κ2(-) νάμεσ σε διάφορους τόπους κτοικίς/εργσίς. Αν έλθει η στιγμή ν διλέξει νάμεσ σε δύο προσφορές εργσίς σε δύο τόπους, θ πρέπει ν συνθέσει τ δύο κριτήρι. Κι υτό θ γίνει επί του ενιίου συνόλου ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΤΟΠΟΘΕΣΙΕΣ. Λεξικογρφική διάτξη. Έστω ότι ο χώρος Α φέρει μι γρμμική διάτξη Γ. Αυτή μς επιτρέπει ν διτάξουμε κολουθίες στοιχείων του Α, = 1,..., μ, όπου το μήκος μ είνι οσοδήποτε μεγάλο. Ορίζουμε την λεξικογρφική διάτξη επί του Α, ως εξής: ( 1,..., μ <λεξ(γ) 1,..., ν ) ισχύει ( [ j] = [ j]) γι 0 j < θ min{μ, ν}, κι, 1 η περίπτωση: ν θ min{μ, ν}, εφόσον: ( [θ] < [θ] ). 2 η περίπτωση: ν θ > min{μ, ν}, εφόσον: ( μ < ν ) (Δηλδή: προσπερνάμε με έν δείκτη θ όλες τις θέσεις όπου οι κολουθίες κι συμφωνούν, κι κρίνουμε την διάτξή του ως προς την πρώτη εξ ριστερών θέση όπου υτές διφέρουν. Αν είνι ίσες κρίνουμε ως προς το μήκος τους.) Πράδειγμ: έν οποιοδήποτε λεξικό είνι πράδειγμ της λεξικογρφικής διάτξης των λέξεων με άσει την γρμμική διάτξη του λφήτου, < < γ < δ <... < ω. Π.χ. «υγή < «υγό». = Η λεξικογρφική διάτξη επί γρμμικής διάτξης είνι (πράγμτι) γνήσι διάτξη. Ελέγχουμε την ισχύ των τριών Α-Σ-Μ ιδιοτήτων. μη-νκλστική: Αν = έχουμε θ = min{μ, ν}, κι μ = ν, κι δεν ισχύει κμμί πό τις δύο περιπτώσεις. μη-συμμετρική: Δεν μπορεί ν ισχύσει κι < κι <, διότι το «θ» (που προσδιορίζει τ ίσ τμήμτ) είνι το ίδιο νεξρτήτως σειράς των, κι δεν μπορεί ν ισχύει ούτε η 1 η περίπτωση (δηλδή [θ] < [θ] κι [θ] < [θ] ), ούτε η 2 η (δηλδή (μ < ν) κι (ν < μ)), διότι υτές οι διτάξεις είνι μησυμμετρικές. μεττική: Έστω ότι < κι < γ. Οι κολουθίες κι θ ισούντι έως το θ, κι οι κι γ έως κι το θ γ. Οι ενδεχόμενες περιπτώσεις είνι έως κι 12 = 3 2 2, νλόγως του εάν το θ είνι μικρότερο, ίσο ή μεγλύτερο του θ γ, του εάν οι κι συγκρίθηκν ως προς την θέση θ ή ως προς το μήκος, κι του εάν τ κι γ συγκρίθηκν την θέση θ γ ή ως προς το μήκος. Γι ν πλοποιήσουμε τον έλεγχο προσθέτουμε στο τέλος της κάθε λέξης το οηθητικό σύμολο #, το οποίο θεωρούμε ότι είνι μικρότερο πό όλ: # < σ, γι κάθε σ. Έτσι η σύγκριση μπορεί ν γίνει πάντοτε ως προς το περιεχόμενο της θέση θ : ν η σύγκριση ήτν ν γίνει ως προς το μήκος, τότε υτή, ν μεν μ < ν, θ κτέληγε στη σύγκριση του # με έν στοιχείο σ, κι θ έδιδε το ορθό ντίστοιχο # < σ, ν δε μ = ν θ κτέληγε στη σύγκριση # με #, κι θ κτέληγε, ορθώς, σε συγκρισί. Θ έχουμε με υτόν τον τρόπο μόνον 3 περιπτώσεις ν εξετάσουμε, που είνι 2, που είνι 1, ντί γι 12: θ = = = = = = γ θ = = < < <' = = = = # = = = = = = = = < < <' γ = = = = σ γ = = = = = = θ θ γ : Πρέπει ν εξετάσουμε μέχρι ποίου σημείου οι κι γ είνι ίσες κι άρ σε ποιά θέση γίνετι η σύγκριση μετξύ τους. Οι κολουθίες κι είνι ίσες έως το θ κι οι κι γ είνι ίσες τουλάχιστον μέχρι τη θέση θ, φού είνι ίσες ως την θέση θ γ που είνι εκεί ή κόμ πιο δεξιά: Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 10 / 23

11 θ θ γ. Επομένως οι κι γ είνι ίσες τουλάχιστον ως πριν την θέση θ = θ, κι το ερώτημ είνι ν διφέρουν στην θέση θ. Αφού < κι υτές διφέρουν στην θέση θ, ισχύει [θ] < [θ]. Αφού < γ, έχουμε είτε [θ] < γ[θ] είτε [θ] = γ[θ], νλόγως με το πού έγινε η σύγκριση τους: στο θ ή μετά πό υτό. Δηλδή συνολικά [θ] < [θ] γ[θ] ( ), κι άρ [θ] γ[θ]. Τ κι γ διφέρουν λοιπόν όντως στη θέση θ, κι γι πρώτη φορά, άρ η σύγκριση τους γίνετι εκεί. Από την σχέση ( ) προκύπτει ότι [θ] < γ[θ], δηλδή < γ. θ θ γ : Η περίπτωση είνι συμμετρική της πρώτης: ρκεί ν χειριστούμε την «ντίστροφη» σχέση <, όπου (y < x) ν κι μόνον (x < y). 9. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: συγκεκριμμέν πρδείγμτ. κθημερινής νφοράς: (έχουν δοθεί γενικά πρδείγμτ). μθημτικού περιεχομένου: (έχουν δοθεί γενικά πρδείγμτ). 10. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: πλά, λλά κι κεντρικά, θεωρήμτ. Δίνουμε στη συνέχει λίγ πλά, λλά σικής σημσίς θεωρήμτ γι τις σχέσεις διάτξης: (i) κτευθυντά γρφήμτ κι διτάξεις. Σε μι σχέση είνι δυντόν (κι υτό κριώς έχει ενδιφέρον), ν πρτηρηθούν λυσιδωτές συσχετίσεις σ0 < σ1 < σ2 <... < σν. Το «ν» είνι το μήκος (της λυσίδς). Οι κύκλοι (ή: κυκλικές συσχετίσεις), είνι λυσίδες που «κλείνουν» δηλδή σ0 = σν. Η ιδιότητ της μη-νκλστικότητς μς λέει ότι δεν υπάρχουν κύκλοι μήκους 1, κι η ιδιότητ της μη-συμμετρίς μς λέει ότι δεν υπάρχουν κύκλοι μήκους 2. Υπό κθεστώς μεττικότητς δεν έχει νόημ ν εξιρέσουμε με κύκλους μεγλύτερου μήκους, διότι υτοί δεν υπάρχουν ν υπήρχν, τότε λόγω μεττικότητς θ δημιουργούσν κύκλους μήκους 2. Αν όμως δεν έχουμε εξσφλισμένη την μεττικότητ μις σχέσης, τότε έχει νόημ ν την χρκτηρίσουμε ως άκυκλη σχέση, εφόσον δεν περιέχει κνέν κύκλο, οποιουδήποτε μήκους. Το σημντικό στις άκυκλες σχέσεις είνι ότι ενυπάρχουν πίσω ή πριν πό κάθε διάτξη: = Κάθε γνήσι διάτξη είνι άκυκλη, κι κάθε άκυκλη σχέση (ή: άκυκλο γράφημ) επεκτείνετι σε γνήσι διάτξη. Ως προς το 1 ο, υτό σχολιάσμε μόλις προηγουμένως: μι διάτξη δεν έχει κύκλους μήκους 1, ούτε 2, άρ ούτε μκρύτερους. Ως προς το 2 ο, υτό κριώς επιτυγχάνει το μεττικό πλήρωμ μις σχέσης μς δίνει μι μεττική σχέση λλά κι άκυκλη (άρ μη-νκλστική, μη-συμμετρική), διότι σε μι άκυκλη σχέση η προσθήκη μις μεττικής κμής γ, λόγω κι γ, δεν μπορεί ν πργάγει κύκλο, διότι υτός θ υπήρχε κι πριν την προσθήκη υτής της κμής (μέσω του στοιχείου ). Κι προφνώς, η κυκλί διτηρείτι έως τέλους της προσθήκης όλων των μεττικών κμών. = Κάθε άκυκλη σχέση (κι άρ κάθε γνήσι διάτξη) S επιδέχετι μι γρμμική επέκτση. Δίνουμε μι πλή επγωγική πόδειξη. Έστω ότι έχουμε άκυκλη σχέση επί ν στοιχείων. Βάση επγωγής: Αν ν = 1 η σχέση ως έχει είνι ήδη (τετριμμέν) γρμμική. Βήμ επγωγής: Έστω ότι κάθε άκυκλη σχέση ν κ στοιχεί, επιδέχετι γρμμική επέκτση. Θ δείξουμε ότι το υτό ισχύει κι με κάθε άκυκλη σχέση με ν = (κ + 1) στοιχεί. Έστω έν νώττο κρίο στοιχείο σ της σχέσης. Έν τέτοιο σίγουρ θ υπάρχει, διότι νάμεσ στις λυσίδες της σχέσης, υπάρχει μί μεγίστου μήκους, κι σε υτήν το τελευτίο στοιχείο της δεν μπορεί ν έχει επόμενο. Αν φιρέσουμε υτό το κορυφίο στοιχείο η σχέση πρμένει άκυκλη επί των υπολοίπων (ν 1) κ στοιχείων, κι ως τέτοι επιδέχετι, πό την επγωγική υπόθεση, γρμμική επέκτση. Γι ν πάρουμε μι γρμμική επέκτση της ρχικής σχέσης ρκεί πλά, ν τοποθετήσουμε το στοιχείο σ ως μέγιστο στοιχείο της επέκτσης, (δηλδή «μετά» πό όλ τ άλλ στοιχεί). (ii) η διάστση μις διάτξης. Τ πρκάτω θεωρήμτ μς λένε ότι μί οποιδήποτε (πεπερσμένη) διάτξη προκύπτει πό την τομή (πεπερσμένου) πλήθους γρμμικών διτάξεων. Αυτό είνι σημντικό διότι () μς πρέχει έν τρόπο Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 11 / 23

12 νπράστσης υτής της διάτξης, κι () μς δίνει μι «ίσθηση» της πολυπλοκότητς της διάτξης. Σε ορισμένες περιπτώσεις διτάξεων S, το πλήθος των γρμμικών διτάξεων που ρκεί γι την περιγρφή της S είνι εξιρετικά μικρό μόλις 2 ή 3! = Κάθε γνήσι διάτξη στην οποί τ στοιχεί,, είνι σύγκριτ ( ), πρμένει άκυκλη με την προσθήκη είτε του ζεύγους, (ώστε ( < )), είτε του, (ώστε ( < )). Αν μετά την προσθήκη της κμής, υπάρχει κύκλος στη σχέση, τότε υτός περιέχει την κμή,, διότι λλιώς θ υπήρχε κι χωρίς υτήν, πράγμ άτοπο φού πριν η σχέση ήτν άκυκλη. Στον κύκλο υτόν το συνδέετι με το με λυσίδ = σ1 < σ2 <... < σν =, κι άρ μεττικά <. Αυτό είνι άτοπο, διότι υποθέσμε ότι τ κι ήσν προηγουμένως σύγκριτ επομένως τέτοιος κύκλος δεν υπάρχει. Το νάλογο ισχύει ν προσθέσουμε το ζεύγος,. = Κάθε (πεπερσμένη) διάτξη είνι η τομή πεπερσμένου πλήθους γρμμικών διτάξεων. Έστω Ι(S) = { {x, y} S, x y }, όλ τ σύγκριτ ζεύγη της διάτξης, x y. Γι οποιοδήποτε ζεύγος {x, y} Ι(S), η σχέση S + x, y είνι άκυκλη κι επιδέχετι μι γρμμική επέκτση, έστω Γx, y, η οποί θ είνι προφνώς κι επέκτση της S. S S + x, y Γx, y Το υτό ισχύει κι γι την σχέση S + y, x, η οποί δέχετι μι γρμμική επέκτση Γy, x, που είνι φυσικά κι γρμμική επέκτση της S. Τέλος, έστω ΓS μι γρμμική επέκτση της S. Η τομή Τ όλων υτών των επεκτάσεων δίδει την διάτξη S: I S = Τ ΓS ( Γ Γ ) x, y y, x { x, y} Ι( S) Έστω, δύο στοιχεί της διάτξης. Αν, S τότε, Τ, διότι η S, κι άρ το,, περιέχετι σε κάθε γρμμική επέκτση της. Αν, S, λλά, S, τότε, Τ, διότι η επέκτση ΓS περιέχει το, κι άρ, ως γνήσι διάτξη, δεν περιέχει, κι εξιρεί πό την τομή, το, :, Τ. Αν, S, λλά κι, S, δηλδή {, } Ι(S), τότε υπάρχουν οι επεκτάσεις Γ, κι Γ, άρ, Τ (διότι εξιρείτι λόγω της Γ, ), κι, Τ (εξιρείτι λόγω της Γ, ). Συνολικά λμάνουμε το ζητούμενο:, S, Τ = ΓS I ( Γ Γ ). x, y y, x { x, y} Ι( S) Με φορμή τ πρπάνω θεωρήμτ, κι την γεωμετρική νπράστση στην ενότητ #7, ονομάζουμε διάστση μι διάτξης S, τον ελάχιστο ριθμό γρμμικό διτάξεων η τομή των οποίων μς δίδει την S. Θ δούμε στην επόμενη ενότητ #10, ότι μερικά πολύ ξιόλογ είδη διάτξης έχουν εξιρετικά μικρή διάστση μόλις 2. (iii) οι μκρύττες λυσίδες κι τ επίπεδ μις διάτξης. Σε μι διάτξη τ στοιχεί σχετίζοντι κι «έμμεσ» δηλδή μεττικά, κι εκεί είνι η ουσί της σχέσης: τ άκρ κάθε λυσίδς στη διάτξη, σχετίζοντι λλά πόσο «μκρά» είνι υτή η συσχέτιση; Π.χ. πόσ επίπεδ ιερρχίς είνι πό ένν υπάλληλο έως τον γενικό γρμμτέ μις ετιρείς ή ενός υπουργείου; Σε μι διάτξη προτεριοτήτων πόσ ενδιάμεσ στάδι πρέπει ν γίνουν έως ότου είνι δυντή η εκτέλεση μις ορισμένης εργσίς; Μι σχετική πράμετρος κάθε διάτξης είνι το μέγιστο μήκος μις λυσίδς, ή το «ύψος» υτής της διάτξης. Γι τον υπολογισμό της ρκούν οι εξής σκέψεις: Σε κάθε μεγίστου μήκους (μ.μ.) λυσίδ σ1 < σ2 <... < σμ όλες οι «κμές» σκ < σκ+1 είνι μετάτες, λλιώς θ σχημτιζότν μι κόμ μεγλύτερου μήκους λυσίδ. Επομένως πρέπει ν την νζητήσουμε στην σχέση S ( ), την μεττική νγωγή της S, διότι υτή δεν έχει μεττικά ζεύγη. Επίσης η φετηρί μις μ.μ. λυσίδς είνι στοιχείο χωρίς προηγούμεν, κι δεδομένου ενός στοιχείου της σ, το επόμενο στην λυσίδ σ νήκει στ επόμεν(σ) ως προς την S ( ) (φού συνδέετι με υτό με μετάτο ζεύγος). Έστω το σύνολο L των στοιχείων χωρίς προηγούμεν σε μι σχέση S = S ( ). Κμμί λυσίδ που εκκινεί πό το «επίπεδο» L δεν μπορεί ν επιστρέψει σε υτό, σε στοιχείο σ, διότι υτό θ μρτυρούσε ότι το σ έχει έν προηγούμενο, ενώ τ στοιχεί του L δεν έχουν προηγούμεν στοιχεί. Μπορούμε λοιπόν ν γνοήσουμε εφεξής το επίπεδο L κι ν ρούμε μι μ.μ. λυσίδ στην υπόλοιπη διάτξη S = S L. Το νέο φετηρικό επίπεδο L (των στοιχείων «χωρίς προηγούμεν») θ είνι υποσύνολο του Ε = επόμεν(l) στην S, κι μι μ.μ. λυσίδ C στην S θ ρχίζει πό κάποιο στοιχείο σ L, επόμενο, κτ νάγκην, ενός στοιχείου σ L. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 12 / 23

13 Η λυσίδ C = σ + C θ είνι μ.μ. στην S διότι ν υπήρχε άλλη μκρύτερη, η συνέχειά της στην υπόλοιπη διάτξη S θ έδιδε μι λυσίδ μκρύτερη πό την C, την οποί όμως υποθέσμε μεγίστου μήκους στην S. S S' S'' σ C σ' C' C'' L L' L'' «Ε =» Με υτά κτλήγουμε στο εξής: = Η εξής μέθοδος εντοπίζει μι μεγίστου μήκους λυσίδ εντός μις γνήσις διάτξης. Συνάρτηση ΑΛΥΣΙ Α(S: διάτξη): λυσίδ { L { x: προηγούµεν(x) = στην S } // φετηρικό επίπεδο E επόµεν(l) // µέσως επόµεν στοιχεί Περίπτωση { L = : { C } // κενή λυσίδ E = : { C οποιοδήποτε πό L } } // έν κι τελευτίο επίπεδο Αλλιώς { S S L // υπόλοιπη διάτξη C ΑΛΥΣΙ Α(S ) // ΥΠΟΛΟΙΠΗ ΑΛΥΣΙ Α («ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΑ») σ πρώτο-στοιχείο(c ) // σ πό επόµενο «επίπεδο» σ οποιοδήποτε πό ( L προηγούµεν(σ ) ) // σ πό τρέχον «επίπεδο» L C σ + C // προσθήκη σ στη λυσίδ } } ΑΛΥΣΙ Α C } Συνάρτηση MAX-ΑΛΥΣΙ Α(S: διάτξη): λυσίδ { MAX-ΑΛΥΣΙ Α ΑΛΥΣΙ Α(S) } // S (-) ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ-ΑΝΑΓΩΓΗ(S)? Η πόδειξη εμπεριέχετι στην νάλυση των τεσσάρων προηγουμένων πργράφων. Η (χρονοόρ) μεττική νγωγή δεν είνι πρίτητη, διότι οι μεττικές κμές δεν είνι δυντόν ν πργάγουν κάποι λυσίδ κόμ μκρύτερη πό υτή που θ πρήγγε η μεττικά νηγμένη σχέση S ( )! (iv) η δυϊκή μις διάτξης. Είδμε ήδη πό την ρχή ότι οι διτάξεις εμφνίζοντι ως δύο όψεις του «ιδίου νομίσμτος»: πό μι γνήσι διάτξη λμάνουμε μι μη-γνήσι με προσθήκη ή φίρεση των νκλστικών κμών. Υπάρχει άλλος ένς τέτοιος μετσχημτισμός μετξύ των σχέσεων που εμπλέκει κι διτάξεις κι στον οποίο πρέπει ν νφερθούμε: η λεγόμενη δυϊκή σχέση. Με την ευκιρί, ο πρκάτω πίνκς συνοψίζει τις (άλλες) σχέσεις που εμπλέκοντι σε μι διμελή σχέση, κι εξειδικεύει ορισμένες γι την περίπτωση των διτάξεων. Σχέσεις σε μι σχέση Σύμολο Ονομσί Περιγρφή = ισότητ = : πρόκειτι περί ενός κι του υτού στοιχείου. τυτόσημ στοιχεί η S δεν δικρίνει τ, σύγκριτ στοιχεί η S δεν συγκρίνει τ, ( ) σ ( (, σ) S (, σ) S ) κι ( (σ, ) S (σ, ) S ) ( ), ( < ) ( < ) ( < ) < (R) < (C) < (D) ντίστροφη σχέση S (R), S 1 συμπληρωμτική σχέση S (C), S, S η δυϊκή σχέση = η συμπληρωμτική ( < (R) ) ( < ) ( < (C) ) ( < ) ( < (D) ) ( < ) Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 13 / 23

14 της ντιστρόφου < μι γνήσι διάτξη η τυπική μη-νκλστική, μη-συμμετρική, μεττική σχέση μι μη-γνήσι διάτξη η τυπική νκλστική, ντι-συμμετρική, μεττική σχέση < < ντιστοιχί: γνήσι μη-γνήσι ντιστοιχί: πρώτη δυϊκή ( ) ( < ) ( = ) κι ( < ) ( ) ( = ) ( ) ( < ) ( < ) κι ( < ) ( ) ( < ) Πράδειγμ: στο επόμενο σχήμ εικονίζετι εξ ριστερών προς τ δεξιά: μι γνήσι διάτξη (μόνον οι μετάτες κμές). η ίδι διάτξη, με όλες τις μεττικές κμές. η ντίστροφη υτής της διάτξης. η συμπληρωμτική της ντιστρόφου, δηλδή η δυϊκή της ρχικής. οι μετάτες κμές της δυϊκής σχέσης.? Σημειώνουμε ότι η δυϊκή μις διάτξης δεν είνι κτ νάγκην διάτξη. Όχι μόνον δεν είνι συμμετρική, λλά ίσως ν μην είνι ούτε μεττική: εδώ, π.χ., η εστιγμένη κμή «?» είνι μεττική μεν, λλά δεν υπάρχει στην δυϊκή σχέση. Στο 5 ο σχήμ δεξιά φίνετι πόσo λίγες μετάτες κμές έχει υτή η δυϊκή σχέση. Αλλά «τί ν το κάνεις», φού δεν είνι μεττική...: ν φιρέσουμε τις μεττικές κμές, πώς θ τις επνφέρουμε ότν κι εφόσον χρειστεί, φού, εδώ, η σχέση δεν ισούτι με το μεττικό πλήρωμά της; Το επόμενο άξιο λόγου στη δυϊκότητ είνι ότι ο δυϊκός μετσχημτισμός είνι «όνομ κι πράγμ»: = Η δυϊκή της δυϊκής σχέσης, τυτίζετι με την ρχική σχέση: ( < (D)(D) ) ( < ). Γι την πόδειξη ρκεί μι πλή εξέτση του ορισμού: η λήψη της δυϊκής σχέσης λλάζει τη σειρά των συγκριτέων, κι προσθέτει μι άρνηση. Αν υτό γίνει δύο φορές, η σειρά των συγκριτέων θ επνέλθει ως είχε, οι δύο ρνήσεις θ δώσουν μι κτάφση, κι άρ η σχέση θ έχει επνέλθει κριώς στην ρχική της μορφή. Θ χρησιμοποιήσουμε την δυϊκότητ γι ν διευκρινίσουμε μι κτάστση που εμφνίζετι συχνόττ στις διτάξεις. Οι διθμίσεις είνι μί πό τις πιο συχνές κι συνηθισμένες πηγές διτάξεων: πό μι διάθμιση, λμάνουμε μι γνήσι διάτξη: χ(-): Α Ν, ( < ) (χ() < χ()). Δεν μπορούμε όμως (διρκώς) ν υπεκφεύγουμε το γεγονός ότι, επίσης συχνά, τυχίνει γι δύο στοιχεί ν έχουμε ισότητ χ() = χ(), κι άρ συγκρισί. Τί προκύπτει ν ορίσουμε την μη-γνήσι «διάτξη» ως εξής: ( ) (χ() χ()) ; Η πάντηση είνι ότι δεν προκύπτει κν διάτξη! Η σχέση που προκύπτει είνι μεν νκλστική κι μεττική, δεν είνι όμως ούτε συμμετρική, ούτε ντι-συμμετρική, διότι τ στοιχεί που λμάνουν ίση διάθμιση πράγουν, νά δύο, μη-τετριμμέν συμμετρικά ζεύγη είδος που δεν επιτρέπετι στις διτάξεις. Δεν μπορεί κνείς, φυσικά, ν φήσει τξινόμητη μι σχέση που προκύπτει με τόσο πλό κι φυσικό, σχεδόν κθημερινό, τρόπο. Αν μη τί άλλο, τηρεί την πιο «σορή» ιδιότητ: είνι μεττική! Θ ποκλούμε, λοιπόν, προδιάτξη μι σχέση που είνι νκλστική κι μεττική. Ο όρος προέρχετι πό το ότι μι τέτοι σχέση είνι έν «ήμ» πρό του ν κτστεί διάτξη. Θ ποκλούμε ολική προδιάτξη, μι προδιάτξη που είνι ολική ως σχέση, δηλδή γι κάθε δύο στοιχεί κι, ισχύει είτε ( ) είτε ( ). Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 14 / 23

15 ΠΡΟΣΟΧΗ: η πρπάνω πίτηση είνι εν δυνάμει πρπλνητική: ν κι σε μι ολική προδιάτξη οποιοδήποτε ζεύγος στοιχείων είνι συγκρίσιμο, υτό δεν σημίνει ότι η σχέση είνι γρμμική. Το επόμενο σχήμ εικονίζει ριστερά μι ολική προδιάτξη, στο κέντρο την δυϊκή της (δυϊκή της οποίς είνι η ρχική), κι δεξιά την σχέση συγκρισίς (οι κμές που προσθφιρούντι νάμεσ στις δυϊκές). Διάφορες μεττικές κμές πρλείποντι. δυϊκή ~ < ~ < δυϊκή Η εξής πρτήρηση είνι σχεδόν τετριμμένη: = Κάθε διάθμιση χ(-): Α Ν, πράγει μέσω του ορισμού ( ) (χ() χ()) μι ολική προδιάτξη στο σύνολο Α. Η σχέση είνι εμφνώς νκλστική, κι μεττική, κι ολική. (Προσέχουμε ότι δεν είνι ντισυμμετρική: ότν χ() χ() κι χ() χ() ισχύει μεν χ() = χ(), λλά υτό δεν εγγυάτι εν γένει ότι τ υπο σύγκριση στοιχεί κι είνι ίσ: δύο πρόσωπ ίσως ν έχουν το ίδιο ύψος, χωρίς ν τυτίζοντι.) Αλλά το κρίσιμο κι χρήσιμο σημείο είνι το εξής, κι φορά στη δυϊκή σχέση: = Η δυϊκή < μις ολικής προδιάτξης είνι γνήσι διάτξη στην οποί η σχέση συγκρισίς < είνι σχέση ισοδυνμίς κι ντιστρόφως. Η νάλυση πρά το μήκος της, είνι εντελώς «κτ ευθείν». Έστω η σχέση ( ) που θεωρείτι νκλστική, μεττική κι ολική. Η δυϊκή της ορίζετι ως ( < ) ( ). Ελέγχουμε τις τρείς ιδιότητες: μη-νκλστική: Ουδέποτε ( < ) φού ουδέποτε ( ), φού πάντ ( ). μη-συμμετρική: Ουδέποτε ( < ) κι ( < ) διότι υτό θ σήμινε ( ) κι ( ), πράγμ εκτός της υπόθεσής μς: η σχέση ( ) έχει υποτεθεί ολική, κι άρ έν εκ των δύο θ πρέπει ν ισχύει. μεττική: Εάν ( < ) κι ( < γ) θ ισχύει κι ( < γ); Τ πρώτο δίδει ( ) κι επειδή η σχέση είνι ολική λμάνουμε ( ). Αν ίσχυε (γ ), πό υτό θ λμάνμε μεττικά ότι (γ ). Αυτό θ ήτν άτοπο διότι ήδη μς δίδετι ( < γ) δηλδή (γ ). Αφού θ ισχύει λοιπόν (γ ) λμάνουμε το μεττικά ζητούμενο ( < γ). Απομένει ν δείξουμε ότι η σχέση συγκρισίς ( < ) στην διάτξη < είνι σχέση ισοδυνμίς: νκλστική: σε μι γνήσι διάτξη όπως η < ισχύει πάντοτε ( ). συμμετρική: η συγκρισί είνι πάντοτε συμμετρική σχέση. μεττική: η συγκρισί ( ) σημίνει ( < ) κι ( < ) κι κτά τον ορισμό υτό ισοδυνμεί με ( ) κι ( ), ή με το ότι το το σχετίζετι μφίδρομ με το. Έστω λοιπόν ότι ( ) κι ( γ). Αυτό δίδει ότι κι σχετίζοντι μφίδρομ, κι ότι κι γ σχετίζοντι μφίδρομ. Επομένως, μεττικά, τ κι γ σχετίζοντι μφίδρομ στην σχέση, κι άρ είνι σύγκριτ στη σχέση < : ( γ ) κι ( γ) σημίνει ( < γ) κι (γ < ), δηλδή ( γ). Το ντίστροφο: Αν σε μι γνήσι διάτξη < η σχέση συγκρισίς είνι σχέση ισοδυνμίς (δηλδή εκτός πό τ «εξσφλισμέν» νκλστική κι συμμετρική, είνι κι μεττική), τότε η δυϊκή της είνι ολική προδιάτξη, είνι δηλδή νκλστική, κι μεττική, κι ολική. Με δεδομένο ότι ( ) ( < ), ελέγχουμε: νκλστική: Πάντοτε ( ) φού πάντοτε ( < ) (η σχέση < είνι γνήσι διάτξη). μεττική: Εάν ( ) κι ( γ) θ ισχύει κι ( γ); Τ δύο πρώτ δίδουν ότι ( < ), κι (γ < ), κι ζητείτι το (γ < ). Θ υποθέσουμε το ντίθετο κι θ κτλήξουμε σε άτοπο. Έστω ότι (γ < ), τότε: ν ισχύει ( < ) τότε μεττικά (γ < ) ενώ ισχύει (γ < ) δύντον, άρ ( < ). ν ισχύει ( < γ) τότε μεττικά ( < ) ενώ ισχύει ( < ) δύντον, άρ ( < γ). Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 15 / 23

16 φού ισχύει ( < ), κι ( < ) τ κι είνι σύγκριτ: ( ). φού ισχύει (γ < ), κι ( < γ), τ κι γ είνι σύγκριτ: ( γ). η συγκρισί στην διάτξη < έχει υποτεθεί μεττική, κι άρ πό ( ), ( γ) προκύπτει ότι τ κι γ είνι σύγκριτ, ενώ υποθέσμε ότι συγκρίνοντι (γ < ). Εκ του τόπου συμπερίνουμε ότι (γ < ), κι τελικά, ισχύει η μεττική σχέση ( γ). ολική: Δεν είνι δυντόν ν ισχύει κι ( ) κι ( ), γιτί υτό ισοδυνμεί με ( < ) κι ( < ), δηλδή με ( < ) κι ( < ), πράγμ δύντον φού η σχέση < ως γνήσι διάτξη είνι μησυμμετρική. Η πρπάνω μικρή θεωρί πντάει «τί είνι» οι τόσο συχνές σχέσεις που προέρχοντι πό ποσοτικά, διθμιστικά χρκτηριστικά: κάθε τέτοι σχέση (στην μη-γνήσι εκδοχή της) είνι μι ολική προδιάτξη, λλά κάθε τέτοι «ψευδο-διάτξη» ντιστοιχεί, μέσω δυϊκότητς, σε μι γνήσι διάτξη, το χρκτηριστικό γνώρισμ της οποίς είνι ότι η σχέση συγκρισίς σε υτήν είνι σχέση ισοδυνμίς. Οι διτάξεις υτού του είδους ποκλούντι (γνήσιες) σθενείς διτάξεις. Δεν είνι δύσκολο ν πρτηρήσετε στο προηγούμενο σχήμ τ εξής γι την συγκεκριμμένη δυϊκή σχέση: ότι έχει τρί «επίπεδ», (εδώ, το 1 ο με έν, το 2 ο με τρί, κι το 3 ο με δύο στοιχεί), ότι τ στοιχεί κάθε επιπέδου είνι σύγκριτ μετξύ τους, κι, ότι υτά τ επίπεδ ευρίσκοντι σε σειρά, τέτοι ώστε τ στοιχεί κάθε επιπέδου ν είνι μικρότερ πό όλ τ στοιχεί του επόμενου. Η μορφή υτή δεν είνι συμπτωμτική: υτή την μορφή έχει κάθε σθενής διάτξη, κι άρ κάθε τέτοι διάτξη δεν είνι πρά μι διθμισμένη σχέση (όπου, ν όχι λλιώς, η διάθμιση χ(σ) ενός στοιχείου σ δίδετι πό το «επίπεδο» της διάτξης στο οποίο νήκει). Οι διθμίσεις με κριτήριο το (χ() < χ()) ή (χ() χ()) πράγουν λοιπόν, ντιστοίχως, σθενείς διτάξεις ή ολικές προδιτάξεις, υτές είνι δυϊκές μετξύ τους, κι προκύπτουν με την προσθφίρεση των «ισοδύνμων» συμμετρικών ζευγών. Κι ντιστρόφως: όλες υτές οι διτάξεις προέρχοντι πό κάποιου είδους διάθμιση. 11. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: ειδικού τύπου διτάξεις. Περιγράφουμε ορισμέν σικά είδη διτάξεων. σειρικές-πράλληλες διτάξεις. Δεδομένου ενός χώρου νφοράς Α θεωρούμε τ στοιχεί του ως τετριμμένες γνήσιες διτάξεις (εκάστη με έν μόνο στοιχείο, σ Α). Μπορούμε ν ρχίσουμε ν συνθέτουμε υτές τις διτάξεις πράλληλ ή σειρικάμ κι επνληπτικά μετξύ τους. Οι διτάξεις που προκύπτουν με τέτοιο τρόπο ονομάζοντι σειρικές-πράλληλες διτάξεις. Αν νπρστήσουμε κάθε στοιχείο σ Α με έν σημείο στο επίπεδο η σειρική σύνθεση δύο στοιχειωδών διτάξεων γι τ σημεί κι νπρίσττι πό την «διγώνι» τοποθέτησή τους, κι η πράλληλη σύνθεσή τους νπρίσττι πό την «ντι-διγώνι» τοποθέτησή τους (λ. 1 ο σχήμ), όπου η σύγκριση δύο σημείων κι γίνετι με άση το εάν το τετρτημόριο το περιέχει το τετρτημόριο του (λ. ενότητ #7). Το ίδιο ισχύει κι μη-τετριμμένες διτάξεις οι οποίες νπρίστντι πό «στερισμό» σημείων εντός ενός τετργώνου (χ..γ.): γι την πράλληλη σύνθεση τοποθετούμε τ δύο τετράγων ώστε ν έχουν την κάτω-δεξιά κι την άνω ριστερή κορυφή ως κοινή κι γι την σειρική σύνθεσή τους τοποθετούμε τ δύο τετράγων ώστε ν έχουν την άνω-δεξιά κι την κάτω-ριστερή κορυφή ως κοινή, (λ. 2 ο κι 3 ο σχήμ). ( ) ( ) ( X Y ) X Y ( X Y ) Y X ((( A D) ( B C)) F) E F D A B C πράλληλη σύνθεση σειρική σύνθεση E Στο 4 ο σχήμ, δεξιά, εικονίζετι η σύνθεση 6 σειρικών-πράλληλων διτάξεων, όπου κάθε μί νπρίσττι πό έν στερισμό σημείων, που δεν εικονίζοντι, εντός τετργωνιδίων (κίτρινο χρώμ). Το συμπέρσμ διτυπώνετι πό το κόλουθο θεώρημ: Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 16 / 23

17 = Οι σειρικές-πράλληλες διτάξεις έχουν διάστση το πολύ 2. Κτά την πρπάνω γεωμετρική νάλυση μι σειρική-πράλληλη διάτξη νπρίστντι πό ένν στερισμό σημείων στο επίπεδο, κι όπως είδμε υτές οι διτάξεις είνι η τομή δύο γρμμικών διτάξεων: των διτάξεων που έχουν οι προολές των σημείων επί του x κι y άξον των συντετγμένων. δενδρικές διτάξεις. Οι «δενδρικές διτάξεις» (ή έρριζ δένδρ) είνι η πιο κρίσιμη διάτξη στον χώρο της επιστήμης υπολογιστών: πρόκειτι γι διτάξεις όπου κάθε στοιχείο έχει το πολύ έν μέσως προηγούμενο (ποκλίνοντ δένδρ), είτε, συμμετρικά, κάθε στοιχείο έχει το πολύ έν μέσως επόμενο στοιχείο (συγκλίνοντ δένδρ). Οι δενδρικές διτάξεις εξηγούντι λεπτομερώς σε μθήμτ όπως οι Δομές δεδομένων. Εδώ θ περιοριστούμε στο ν υποδείξουμε τ σικά ενδιφέροντ στοιχεί τους. Στο πρκάτω σχήμ εικονίζοντι τ μορφικά χρκτηριστικά τους, σε έν ποκλίνον δένδρο. (η) ρίζ (ένς) κλάδος κµή κόµος, εσωτερικός κόµος θµού =3 επίπεδο (το 2 ο ) τερµτικός κόµος, ή φύλλο πτρικός θυγτρικοί ύψος = 5 κόµος σε άθος = 4 «κίτρινο» = το φύλλωµ υπόδενδρο διστημτικές σχέσεις. Συχνόττ διτάσσουμε έν χώρο στοιχείων με άση έν ποσοτικό χρκτηριστικό χ(-), το οποίο, επίσης πολύ συχνά προέρχετι πό κάποι μέτρηση ή διάθμιση. Η διάτξη ορίζετι με άση την τιμή του χρκτηριστικού: ( < ) (χ() < χ()). Αυτές οι διθμίσεις συνοδεύοντι σχεδόν πάντοτε πό έν θμό νκρίεις ή σάφεις: είτε τ όργν μέτρησης δεν είνι πολύτως κριή, είτε τ χρκτηριστικά έχουν υποκειμενικό ή/κι σφή χρκτήρ, είτε έχουν σττιστική-πιθνοκρτική προέλευση, κοκ. Ας συμολίσουμε με δ(σ) τον θμό κρίεις που έχει η διθέσιμη εκτίμηση της χρκτηριστικής ποσότητς χ(σ). Το πρκτικό νόημ υτής της κρίεις είνι ότι «μετά ειότητς» (ίσως πόλυτ, ίσως πιθνοκρτικά), η ορθή τιμή γι το χ(σ) είνι εντός του διστήμτος i(σ) ( χ(σ) δ(σ), χ(σ) + δ(σ) ). Τί διάτξη προκύπτει πό τέτοιες νκριείς πλροφορίες; Λ.χ. ν το γεγονός συνέη το 230 μ.χ. ± 50 χρόνι, κι το το 330 μ.χ. ± 30 χρόνι, είνι δυντόν ν «ειώσουμε» ότι το συνέη πριν το ; Στο πράδειγμ υτό «νί», διότι < i() χ() δ() χ()+δ() i() χ() δ() χ()+δ() i() χ() δ() χ()+δ() i() χ() δ() χ()+δ() < S λλά όχι < S < S λλά κι < S Με φορμή τ πρπάνω θ ονομάζουμε μι σχέση S επί του χώρου νφοράς Α, διστημτική σχέση (interval relation), εάν γι κάθε στοιχείο σ, ορίζετι έν χρκτηριστικός ριθμός χ(σ), κι ένς θμός κρίεις δ(σ), κι η σχέση ( < S ) ορίζετι με άση υτά, ως εξής: ( < S ) (χ() δ()) (χ() + δ()) ( < S = το 1ο άκρο του 1 ου διστήμτος είνι πριν το 2 ο άκρο του 2 ου διστήμτος). Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 17 / 23

18 Προσέχουμε εδώ ότι οι διστημτικές σχέσεις, δεν είνι διτάξεις, διότι περιέχουν μη-τετριμμέν συμμετρικά ζεύγη,, κι ότι υτά οφείλοντι σε τεμνόμεν διστήμτ i() i(). Αληθεύουν όμως δύο σημντικές πρτηρήσεις: Το σύμμετρο μέρος μις διστημτικής διάτξης είνι γνήσι διάτξη, κι φορά ζεύγη,, στ οποί το διάστημ i() κείτι εξ ολοκλήρου προς τ ριστερά του διστήμτος i(). Οι διστημτικές σχέσεις είνι ολικές, δηλ. γι δύο οποιδήποτε στοιχεί κι, είτε ( S ) είτε ( S ). ημι-διτκτικές σχέσεις (ισοδιστημτικές). Σκεφθείτε έν ρολόι που έχει χάσει τον λεπτοδείκτη του κι έτσι δεν γνωρίζουμε, εξ υτού, τον χρόνο πρά με κρίει ώρς, ή ± 30. Οι χρονικές σχέσεις γεγονότων σ με άση έν τέτοιο ρολόι είνι διστημτικές σχέσεις (όπως πρπάνω) όπου, όμως, το διάστημ κριείς είνι το ίδιο γι όλ τ γεγονότ σ: δ(σ) = ½. Αυτές οι σχέσεις έχουν ιδιίτερ χρκτηριστικά κι ονομάζοντι ημι-διτκτικές (semiorders). 12. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: ρίθμηση κι διάστση των δενδρικών διτάξεων. Κεντρικό ρόλο στην νάλυση κι τον χειρισμό των δένδρων, πίζουν οι γρμμικές επεκτάσεις τους, ή λλιώς ριθμήσεις ή δινύσεις των δένδρων: κθοδική ή προ-ρίθμηση. νοδική ή υστερο-ρίθμηση. «οριζόντι» ή κτά πλάτος. Εξηγούμε εδώ πό κοινού τις δύο πρώτες γι έν ποκλίνον δένδρο. Ο λγόριθμος ρίθμησης δίδετι μέσως πρκάτω μζί με έν πράδειγμ. Αριστερά εικονίζετι η κθοδική ρίθμηση κι δεξιά η νοδική ιδικσί ΑΡΙΘΜΗΣΗ(σ) { Κ Κ + 1, ΚΑΘΟΔΙΚΗ(σ) Κ // «προρίθµηση», pre-order Γι θ Επόµεν(σ) { ΑΡΙΘΜΗΣΗ(θ) } // εδώ: «επόµεν» = τ θυγτρικά Α Α + 1, ΑΝΟΔΙΚΗ(σ) Α } } ιδικσί ΙΑΝΥΣΗ- ΕΝ ΡΟΥ( ) { Κ 0 // κθοδικός µετρητής Α 0 // νοδικός µετρητής ΑΡΙΘΜΗΣΗ( ρίζ( ) ) } // «υστερορίθµηση», post-order Το πρκάτω θεώρημ διτυπώνει τις ιδιότητες υτών των δύο ριθμήσεων: = Έστω, δύο στοιχεί του δένδρου, όπου το είνι «πρόγονος» του, δηλ. ( < ). (1) ΚΑΘΟΔΙΚΗ() < ΚΑΘΟΔΙΚΗ(), κι, ΑΝΟΔΙΚΗ() > ΑΝΟΔΙΚΗ(). (2) Η ρίθμηση κάθε υπόδενδρου είνι διδοχική (πο ριθμό μ έως ριθμό ν). Συνοπτικά, το (1) ισχύει διότι έν στοιχείο ριθμείτι κθοδικά πριν πό τ επόμενά του, ενώ ριθμείτι νοδικά, μετά πό τ επόμενά του κι το (2) ισχύει διότι η ρίθμηση δίδετι νδρομικά: δηλδή στο υπόδενδρο κάθε θυγτρικού ενός στοιχείου σ είνι διδοχική (επγωγικά), συνεχίζει την ρίθμηση του προηγούμενου θυγτρικού, κι η ρίθμηση του όλου υπόδενδρου ποτελείτι πό την πράθεση υτών των ριθμήσεων, με τον ριθμό του σ στην ρχή (γι την κθοδική, κι στο τέλος (γι την νοδική). Η κτκλείδ που επιδιώκμε είνι ότι υτές οι δύο ριθμήσεις ορίζουν την δενδρική διάτξη. = Οι δενδρικές διτάξεις έχουν διάστση το πολύ 2, κι προκύπτουν ως η τομή της κθοδικής κι της Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 18 / 23

19 (ντιστρόφου) νοδικής ρίθμησης: ( < ) [ΚΑΘΟΔΙΚΗ() < ΚΑΘΟΔΙΚΗ()] [ΑΝΟΔΙΚΗ() > ΑΝΟΔΙΚΗ()] ( ) (δηλδή το «προηγείτι» του στην κθοδική κι «υστερεί» του στην νοδική.) Το ότι τ δένδρ έχουν διάστση 2 δεν πράγει έκπληξη: είδμε στ προηγούμεν ότι οι σειρικές πράλληλες διτάξεις έχουν διάστση 2, κι τ δένδρ είνι σειρικές πράλληλες διτάξεις: κάθε στοιχείο συντίθετι σειρικά με τ διτάξεις-υπόδενδρ των θυγτρικών του, (λ. σχήμ ριστερά). π θ θ Αυτό που έχει ενδιφέρον εδώ είνι ότι οι δύο γρμμικές διτάξεις που πράγουν το δένδρο δίδοντι πό την κθοδική + νοδική ρίθμηση! Ότν ( < ) η σχέση ( ) είνι προφνής, διότι το θ ριθμηθεί πριν πό το στην κθοδική, κι μετά πό το στην νοδική. Το συμμετρικό ισχύει, φυσικά, ν ( < ). Τί θ συμεί όμως εάν ( ~ ), δηλδή τ κι είνι σύγκριτ (λ. σχήμ δεξιά); Τότε έχουν έν κοινό προγονικό στοιχείο π, (το ριζικό στοιχείο στην κρί περίπτωση), κι η σχέση ( ), (όπως θ έπρεπε), δεν ισχύει: το νήκει στο υπόδενδρο κάποιου θυγτρικού θ του π, κι το στο υπόδενδρο κάποιου θυγτρικού θ θ, κι επειδή (χ..γ.) το υπόδενδρο του θ θ ριθμηθεί εξ ολοκλήρου πριν πό εκείνο του θ, θ έχουμε: ΚΑΘΟΔΙΚΗ() < ΚΑΘΟΔΙΚΗ(), λλ κι, ΑΝΟΔΙΚΗ() < ΑΝΟΔΙΚΗ() Σε έν οσοδήποτε μεγάλο δένδρο, ρκούν δύο ριθμοί γι ν χρκτηρίσουν την σχέση προγόνου-πογόνου μετξύ δύο στοιχείων κι, οσοδήποτε μκράν εντός του δένδρου κι ν ευρίσκοντι υτά! 13. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: μορφολογί κι μι κτινογρφί των σχέσεων. Γι όσους ενδιφέροντι γι μι «πνορμική» εικόν των μονομερών διμελών σχέσεων (κυρίως: ισοδυνμίες κι διτάξεις), δίνουμε μι συνοπτική μορφολογί τους με δύο τρόπους ένν με πίνκ κι ένν άσει της διμέρισης συμμετρικά, σύμμετρ κι σύγκριτ ζεύγη. συντομογρφί πλήρες όνομ περιγρφή Α νκλστική (ως συνήθως) Σ συμμετρική (ως συνήθως) Μ μεττική (ως συνήθως) Τ τριχοτομική έν κριώς εκ των τριών ισχύει: ( < ), ( = ), ( < ). Ο ολική (σχέση) είτε ( < ), είτε ( < ), είτε κι τ δύο. Π(σ) προηγούμεν τ μέσως προηγούμεν (ή: προκάτοχ) στοιχεί του σ Ε(σ) επόμεν τ μέσως επόμεν (ή: διάδοχ) στοιχεί του σ Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 19 / 23

20 (Μονομερείς) ΔΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ: ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ Μ Σ ντι-σ μη-σ Α μη-α Π(σ) : Ε(σ) Τ Ο Extra ΜΟΡΦΗ ΣΧΕΣΕΩΣ κτευθυντά γρφήμτ μφίδρομ γρφήμτ σχέση ισοδυνμίς m : n σχέση διάτξης, μη-γνήσι (1) m : n γνήσι < m : 1, 1 : n δενδρική διάτξη 1 : 1 γρμμική διάτξη προδιτκτική σχέση? σθενής διάτξη (μη-γνήσι) (2) (i) σθενής διάτξη (γνήσι) (ii) διστημτική διάτξη (iii) ημιδιάτξη (1) επίσης: μερική διάτξη. (2) επίσης: ολική προδιάτξη. Extra χρκτηριστικά: (i) H σχέση συγκρισίς είνι σχέση ισοδυνμίς, (δηλδή, εδώ, είνι κι μεττική). (ii) H σχέση συγκρισίς προέρχετι πό συσχέτιση διστημάτων, λ. διστημτικές σχέσεις (#10). (iii) H σχέση συγκρισίς προέρχετι πό συσχέτιση ισομήκων διστημάτων, λ. ημι-διτάξεις (#10). Θυμίζουμε την εικόν των τριών μερών μις διμελούς σχέσεως: συμμετρικά, σύμμετρ κι σύγκριτ ζεύγη. ΓΕΝΙΚΗ ΙΜΕΛΗΣ ΣΧΕΣΗ σύγκριτ συµµετρικά? σύµµετρ µεττικά Η εικόν υτή πρλλάσετι ως εξής, στις σχέσεις που είδμε (διτκτικές κι μή): Προδιτκτικές σχέσεις: Ζητούμε μεττικότητ, κι πό υτό το σημείο έχουμε τρείς διδρομές: είτε κμμί συμμετρί, είτε κμμί συγκρισί, είτε κμμί συμμετρί. + κμμί συμμετρί = σχέσεις ισοδυνμίς: έχουμε μεττικότητ κι συμμετρί. + κμμί συγκρισί = σθενείς διτάξεις: ν υποθέσουμε ολική συγκρισιμότητ, λμάνουμε τις ολικές προδιτάξεις, που (μέσω προσθφίρεσης των συμμετρικών κμών, <, δυϊκότητ) ντιστοιχούν 1-προς-1 με τις σθενείς διτάξεις, που με τη σειρά τους είνι όλες κι μόνον οι «διθμισμένες» διτάξεις. + κμμί συμμετρί = γνήσιες διτάξεις: ν υποθέσουμε ολική συμμετρί λμάνουμε τις γνήσιες διτάξεις, που (μέσω προσθφίρεσης των νκλστικών κμών 2, < ) ντιστοιχούν 1-προς-1 με τις μη-γνήσιες διτάξεις. Ημιδιτάξεις: Ως ενδιάμεση μορφή, είνι δυντόν ν έχουμε σχέσεις το σύμμετρο μέρος των οποίων είνι διάτξη μεν, το δε συμμετρικό έχει κάποι ενδιφέρουσ δομή (λ.χ. είνι διστημτική σχέση). Είνι άξιο προσοχής ότι έχουμε ουσιστικά τρί ενδιφέροντ είδη διάτξης, κι ότι σε όλ το «συμμετρικό» τμήμ τους S, είνι μι σχέση ισοδυνμίς: τις γνήσιες διτάξεις (όπου το S είνι κενό), τις μερικές διτάξεις (όπου το S είνι, τετριμμέν, τ νκλστικά ζεύγη κι μόνον), κι τις σθενείς διτάξεις (όπου το S είνι μη-τετριμμένο, λλά έχουμε ολική σύγκριση). Οι γγλικοί όροι είνι strict, partial κι weak order(s). 2 Οι μόνες (κι τετριμμέν) συμμετρικές σε υτή την περίπτωση. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 18/11/2014 ΣΕΛ. 20 / 23

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011:

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011: ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξετάσεων Φεβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδες Πρέπει με κυβικές b-splnes ν πρεμβάλετε, κτά σειρά, τ εξής σημεί:,,,,,,,8, 7, κι,. Ας είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ. το σύνολο των μεταθέσεων (βλέπε σελ. 19) Ν. Την μετάθεση p [permutation] την συμβολίζουν ως εξής:

Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ. το σύνολο των μεταθέσεων (βλέπε σελ. 19) Ν. Την μετάθεση p [permutation] την συμβολίζουν ως εξής: III Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ Μετθέσεις Θεωρούμε έν σύνολο Ν με πεπερσμένο το πλήθος ντικείμεν Τ ριθμούμε υτά κτά κάποιο τρόπο, κι στη συνέχει, νφερόμεθ σ υτά με τον ριθμό τους Εστω, λοιπόν, Ν {,,, } το δοσμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα Κεφάλιο 2 ο Γρμμικά Δικτυώμτ Έν ηλεκτρικό κύκλωμ ή δικτύωμ ποτελείτι πό ένν ριθμό πλών κυκλωμτικών στοιχείων, όπως υτά που νφέρθηκν στο Κεφ.1, συνδεδεμένων μετξύ τους. Το κύκλωμ θ περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία.

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία. Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 ΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22/05/2015 ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμίς πό τις πρκάτω ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για 3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι.

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ (i Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι: 6 ( (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΓΔ είνι: ( (iii Ο συντεεστής διεύθυνσης κάθε ευθείς κάθετης προς την ΓΔ έχει

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,,, Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ Ν υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεί εισγωγής γι τη Φυσική Α Λυκείου Οι πρκάτω σημειώσεις δινέμοντι υπό την άδει: Creative Commons Ανφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Πρόμοι Δινομή 4.0 Διεθνές. 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ 1 3.1 σκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 144 146 Ο Σ 1. Έν κουτί έχει τρεις µπάλες, µι άσπρη, µι µύρη κι µι κόκκινη. άνουµε το εξής πείρµ : πίρνουµε πό το κουτί µι µπάλ, κτγράφουµε το χρώµ της κι την ξνάζουµε στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n ΣΕΙΡΕΣ Έστω. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ μι κολουθί πργμτικών ριθμών. Η κολουθί ( σ ) με γενικό όρο: σ + + + i ονομάζετι κολουθί μερικών θροισμάτων της κολουθίς ( ), ή σειρά των ριθμών,,,, κι σημειώνετι με i + + +

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα)

Ευθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα) Εθύγρμμες Κινήσεις (Σμπκνωμέν) Χρήση Λελεδάκης Κωστής ( koleygr@gmailcom ) Οι σημειώσεις πεθύνοντι σε κάποιον πο θέλει ν μάθει ή ν θμηθεί τ βσικά στοιχεί των εθύγρμμων κινήσεων (χωρίς πργώγος κι ολοκληρώμτ)

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώττο Εκπιδευτικό Ίδρυμ Πειριά Τεχνολογικού Τομέ Συστήμτ Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητ #3: Ευστάθει Συστημάτων - Αλγεβρικό Κριτήριο Routh Δημήτριος Δημογιννόπουλος Τμήμ Μηχνικών Αυτομτισμού

Διαβάστε περισσότερα

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες;

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες; ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) Ποι είνι η ρχική ή πράγουσ; Τι σχέση έχει µε την f. Έστω f µι συνάρτηση ορισµένη σ έν διάστηµ. Αρχική ή πράγουσ της f στο θ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F ()

Διαβάστε περισσότερα

Γ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6.

Γ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6. Γ.3 3.3 Εξισώσεις ου θμού Απρίτητες νώσεις Θεωρίς Θεωρί 5. Τι ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού (ή δευτεροάθμι εξίσωση) μ ένν άνωστο κι τι δικρινουσά της; Ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού μ ένν άνωστο κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02 Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ 1 Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν Κ Ε Ν

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities)

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities) Το υπόδειγµ Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Πργωγικές Εξωτερικότητες Κεφλίου Romer-ype exernales Α. Αποκεντρωµένη Οικονοµί Υποθέστε µί κλειστή οικονοµί η οποί πρτίζετι πό πλήθος νοικοκυριών κι πλήθος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Νόμοι Νεύτων - Δυνάμεις Εισγωγή στην έννοι της Δύνμης Γι ν λύσουμε το πρόβλημ του πως θ κινηθεί έν σώμ ότν ξέρουμε το περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.

Διαβάστε περισσότερα

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επνληπτικό Διγώνισμ Μθημτικών Γενικής Πιδείς Γ Λυκείου Θέμ A Α. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f(x)=x ισούτι με x, δηλδή(x ) =x. (6 μονάδες) A. Ν δώσετε τον ορισμό:. του ξιωμτικού ορισμού της

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 193 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 194 Θέμ 1 ο Α. Ν δώσετε τον ορισμό της πόλυτης τιμής ενός πργμτικού ριθμού Μονάδες 5 Β. Αν 0 κι μ, ν θετικοί κέριοι ν ποδείξετε ότι: μ μν ν = Γ. Ν χρκτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Έννοιες

Επαναληπτικές Έννοιες Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc ) ΣΥΝΟΛΑ 0,,,, Φυσικοί,,,0,,, Ακέριοι,, 0 Ρητοί \ Άρρητοι Πργμτικοί ) ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ορισμοί Επνληπτικές Έννοιες, ν 0. ν, ν, ν, ν πράγοντες.., 0 Ιδιότητες Κοινής Βάσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ω Ν

ΣΤΟΙΧΕΙΑ Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ω Ν ΣΤΟΙΧΕΙ Τ Ρ Ι Ω Ν Ω Ν Θυμάμι ότι... ˆ + ˆ + ˆ = 180 ο ντί ν ράφουμε συνέχει «το τρίωνο» μπορούμε ν ράφουμε Δ. ΠΛΕΥΡΕΣ = = = ΩΝΙΕΣ = = = ν χωρίσουμε τ τρίων σε κτηορίες, με κριτήριο τ κύρι στοιχεί τους,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ημιτελείς προτάσεις Α1 έως Α5 κι δίπλ το γράμμ που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Ηλεκτρικό φορτίο Εισγωγή στην έννοι του Ηλεκτρικού Φορτίου Κάθε σώμ περιέχει στην φυσική του κτάστση ένν πάρ πολύ μεγάλο ριθμό

Διαβάστε περισσότερα

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π2.2 Γι ν δούμε με ποιο τρόπο ο τύπος των τεσσάρων συντελεστών προκύπτει πό την (2.2.1) χρειάζετι πρώτ τ γενικεύσουμε τις έννοιες της πυκνότητς κι της ροής νετρονίων. ε κάθε θέση r της κρδιάς

Διαβάστε περισσότερα