Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις"

Transcript

1 Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o<< ω συνεχής και φθίνουσα όταν ω s() Όπου ω είναι η εσχάτη ή οριακή ηλικία και παριστάνει την ηλικία στην οποία δεν θα υπάρχει επιζών από την αρχική οµάδα. Παραδείγµατα: s() όταν α) s( ) - όταν o<< s() όταν β) s( ) Πίνακας θνησιµότητας ή βιοµετρικός πίνακας: Το δηλώνει τον αριθµό των ατόµων που βρίσκονται εν ζωή στην αρχή της ηλικίας. To d δηλώνει τον αριθµό των ατόµων που βρίσκονται εν ζωή στην αρχή της ηλικίας αλλά δεν βρίσκονται εν ζωή στην αρχή της ηλικίας. k s( ) και d όπου το k είναι µια σταθερά ονοµαζόµενη ρίζα ή βάση του πίνακα θνησιµότητας. Ο παρακάτω πίνακας προέκυψε από το προηγούµενο β) παράδειγµα µε βάση το k και για τιµές του,,2 Ηλικία d

2 Πιθανότητες : Η πιθανότητα άτοµο ηλικίας να γίνει : όταν γράφεται συνήθως p. p Η πιθανότητα άτοµο ηλικίας να µην γίνει : q p όταν γράφεται συνήθως q. Η πιθανότητα άτοµο ηλικίας να γίνει και να πεθάνει µεταξύ των ηλικιών και : q Όταν είναι: d q p q / Ένταση θνησιµότητας: µ d( ) d( s( )) s'( ) d d s( ) d s( ) d( ) µ. d είναι επίσης Από όπου και έχουµε e µ dψ ψ µ d ψ ψ e, s( ) e οπότε p e µ ψd ψ καθώς και µ dψ Με τον µετασχηµατισµό ψ µε έχουµε p e Κλασµατικές ηλικίες : ψ. µ Α. Υπόθεση ότι έχουµε οµοιόµορφη κατανοµή θανόντων κατά την διάρκεια του έτους της ηλικίας. d µε οπότε έχουµε p q, q q ( ) q q q, µ q q d.

3 Β. Υπόθεση Baducci. ( ) µε οπότε έχουµε q q q, q ( ) q, µ q. ( ) q ( ) Νόµοι θνησιµότητας:. Νόµος του e Moivre µ ( ω ) οπότε s( ) µε < ω ω 2. Νόµος του Goperz οπότε µ B c B c ( c ) ( ) e µε B>, c>,, s 3. Νόµος του Makeha οπότε µ B c ( c ) ( ) e µε B>, -B, c>,, s B c

4 Βασικά προγράµµατα ασφαλίσεων ζωής Από τις Ασφαλίσεις ζωής Ασφάλιση µελλοντικού κεφαλαίου (προικοδότησης). Περιγραφή: Άτοµο ηλικίας ετών ασφαλίζεται έτσι ώστε εάν βρίσκεται εν ζωή στην ηλικία να εισπράξει νοµισµατική µονάδα (εν περιπτώσει θανάτου του, πριν γίνει ετών, δεν γίνεται καµιά καταβολή κανενός ποσού). Ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο : : υ Ράντες ζωής: υ Παρούσα αξία ράντας ζωής ισόβιας ληξιπρόθεσµης όρου ν.µ. για άτοµο ηλικίας. α ω 2 ω : υ, ω όπου 2 Παρούσα αξία ράντας ζωής πρόσκαιρης ετών ληξιπρόθεσµης όρου ν.µ. για άτοµο ηλικίας. α : : Παρούσα αξία ράντας ζωής µέλλουσας ετών ισόβιας ληξιπρόθεσµης όρου ν.µ. για άτοµο ηλικίας. α α α : Παρούσα αξία ράντας ζωής µέλλουσας ετών πρόσκαιρης ετών ληξιπρόθεσµης όρου ν.µ. για άτοµο ηλικίας. α α α : : :

5 Προκαταβλητέες ράντες ζωής: Ισόβια: Πρόσκαιρη ετών : Μέλλουσα ισόβια: Μέλλουσα ετών και πρόσκαιρη ετών: : Σχέσεις µεταξύ των ραντών α, α, α, : : : : α, α α : : : : Για την εύρεση της αξίας ενός οιοδήποτε ποσού σε µια άλλη χρονική στιγµή διαφορετική από αυτήν στην οποία αναφέρεται και λαµβάνεται υπ όψιν πέραν του σχετικού επιτοκίου και η επιβίωσης θα πρέπει να χρησιµοποιείται µε τα κατάλληλα, ο χρηµατοοικονοµικός συντελεστής Παράδειγµα: Να βρεθεί η τελική αξία της Έχουµε µια ράντα που η παρούσα της αξία. : α. : α αναφέρεται στην ηλικία είναι ληξιπρόθεσµη πρόσκαιρη µε όρους, και θέλουµε να βρούµε την αξία της την χρονική στιγµή. s α : : : : Γενικός τρόπος υπολογισµού των εκφράσεων του ενιαίου καθαρού ασφαλίστρου (της παρούσας αξίας) στις ράντες ζωής (ληξιπρόθεσµες ή προκαταβλητέες). ψ ψ Όπου ψ είναι η ηλικία στην οποία γίνεται η καταβολή του πρώτου όρου της ράντας. είναι το πλήθος όλων των πληρωµών και είναι η ηλικία στην οποία ζητείται η αξία όλων των πληρωµών της ράντας.

6 Παράδειγµα: Ζητείται η αξία της ράντας ζωής 5 στην ηλικία 38. 3:2 Ο πρώτος όρος της ράντας καταβάλλεται στην ηλικία 35 ( 35 Το πλήθος των όρων της ράντας είναι 2 ( 2 ) Η ηλικία στη οποία ζητείται η αξία είναι 38 ( 38) Οπότε έχουµε : ψ ) ως αξία της ράντας στην ηλικία 38. Το ίδιο αποτέλεσµα θα είχαµε εάν χρησιµοποιούσαµε τον κατάλληλο χρηµατοοικονοµικό συντελεστή : 5 3:2 3: Ασφάλιση σε περίπτωση θανάτου Περιγραφή: Άτοµο ηλικίας ασφαλίζεται έτσι ώστε οποτεδήποτε συµβεί ο θάνατός του να εισπράξουν οι δικαιούχοι του ν. µ. στο τέλος του έτους. Το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο (ή παρούσα αξία της ασφάλισης) που πληρώνει ο ασφαλισµένος µε την έναρξη της ασφάλισης στην ηλικία συµβολίζεται µε. d υ d υ d υ 2 C d υ M C C C 2 d υ d υ d υ Εάν θέσουµε και 2 θα έχουµε d υ d υ d υ 2 υ C C C M Περιγραφή: Άτοµο ηλικίας ασφαλίζεται έτσι ώστε οποτεδήποτε συµβεί ο θάνατός του µέσα στα επόµενα έτη να εισπράξουν οι δικαιούχοι του ν. µ. στο τέλος του έτους. Το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο (ή παρούσα αξία της ασφάλισης) που πληρώνει ο ασφαλισµένος µε την έναρξη της ασφάλισης στην ηλικία συµβολίζεται µε Το σύµβολο κεφαλαίου : :. : είναι διαφορετικό από το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο µελλοντικού που αναφέρθηκε προηγούµενα. Η θέση του στο σύµβολο δηλώνει την διαφορετική σηµασία του καθενός.

7 d υ d υ d υ 2 : d υ d υ d υ 2 : d υ d υ d υ 2 : υ C C C M M : Περιγραφή: Άτοµο ηλικίας ασφαλίζεται έτσι ώστε οποτεδήποτε συµβεί ο θάνατός του σε ηλικία µεγαλύτερη από την να εισπράξουν οι δικαιούχοι του ν. µ. στο τέλος του έτους. Έχουµε δηλαδή µια ισόβια ασφάλιση σε περίπτωση θανάτου µέλλουσα ετών. Το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο (ή παρούσα αξία της ασφάλισης) που πληρώνει ο ασφαλισµένος στην έναρξη της ασφάλισης στην ηλικία συµβολίζεται µε. M M M M : Μικτή Ασφάλιση Περιγραφή: Άτοµο ηλικίας ασφαλίζεται έτσι ώστε οποτεδήποτε συµβεί ο θάνατός του µέσα στα επόµενα έτη να εισπράξουν οι δικαιούχοι του ν. µ. στο τέλος του έτους ενώ εάν επιζήσει και γίνει ετών να εισπράξει ο ίδιος τη ν. µ. Το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο (ή παρούσα αξία της ασφάλισης) που πληρώνει ο ασφαλισµένος µε την έναρξη της ασφάλισης στην ηλικία συµβολίζεται µε. M M M M : : : Έχουµε δηλαδή τον συνδυασµό της ασφάλισης µελλοντικού κεφαλαίου και της πρόσκαιρης ασφάλισης σε περίπτωση θανάτου. Το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο σε αυτήν την περίπτωση είναι το άθροισµα των επιµέρους ασφαλίστρων των δύο ασφαλίσεων. Χρήση του συµβόλου προϋποθέτει ότι το ασφαλισµένο ποσό είναι το ίδιο : είτε πεθάνει ο ασφαλισµένος είτε επιζήσει. Περιοδικά Ασφάλιστρα Για να βρούµε το περιοδικό ασφάλιστρο µιας ασφάλισης βασιζόµαστε στην οικονοµική ισοδυναµία: Η παρούσα αξία των περιοδικών πληρωµών πρέπει να ισούται µε την παρούσα αξία της ασφάλισης. Η οικονοµική αρχή µπορεί να γραφεί και ως εξής: a ɺɺ Όπου είναι το καθαρό ετήσιο ασφάλιστρο. Το είναι η παρούσα αξία της κατάλληλης προκαταβλητέας ράντας ζωής. Το είναι το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο της θεωρούµενης µορφής ασφάλισης. :

8 Ασφάλιση µελλοντικού κεφαλαίου για άτοµο ηλικίας και για περιόδους : Στην περίπτωση των περιοδικών πληρωµών θα έχουµε προκαταβλητέα ράντα. ɺɺ a όπου το είναι ο όρος της προκαταβλητέας ράντας. : : : : Θεωρούµε ότι η πληρωµή γίνεται στην αρχή κάθε περιόδου και για όλη την διάρκεια της ασφάλισης, Εάν το πλήθος των πληρωµών είναι µικρότερο από την διάρκεια της ασφάλισης τότε το σύµβολο και η εξίσωση τροποποιείται αναλόγως. Π.χ. Άτοµο ηλικίας 3 ετών ασφαλίζεται έτσι ώστε εάν γίνει 6 ετών να εισπράξει ν.µ. ενώ θα πληρώνει ετήσια ασφάλιστρα τα 2 πρώτα έτη της ασφάλισης. : Με ασφαλισµένο ποσό ν.µ. η εξίσωση θα είναι οποία έχουµε 3 ɺɺ a από την 3:3 3:2 6 3: : στην συνέχεια πολλαπλασιάζοντας µε θα έχουµε το ζητούµενο περιοδικό ασφάλιστρο για τα 2 πρώτα έτη της ασφάλισης που είναι 7 ν.µ. περίπου. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται ορισµένα περιοδικά ασφάλιστρα. Ισόβια ασφάλιση θανάτου Πρόσκαιρη ασφάλιση θανάτου ετών Μικτή ασφάλιση ( ετών) Ασφάλιση µελλοντικού κεφαλαίου ετών Ισόβια ασφάλιση θανάτου µε τα ασφάλιστρα να πληρώνονται τα πρώτα έτη Πρόσκαιρη ασφάλιση θανάτου και πρόσκαιρη πληρωµή ασφαλίστρων, <. Μικτή ασφάλιση ετών µε πρόσκαιρη πληρωµή ασφαλίστρων, <. M : : : : M M M M : : a : : ɺɺ : : M M M : : : : M M : :

9 Με την ίδια οικονοµική αρχή υπολογίζονται και ετήσια ασφάλιστρα που δεν είναι σταθερά. Σαν παράδειγµα θεωρείστε µια ισόβια ασφάλιση σε περίπτωση θανάτου όπου το ετήσιο ασφάλιστρο των τριών πρώτων ετών είναι το µισό από το ετήσιο ασφάλιστρο των υπολοίπων ετών. Εάν πάρουµε ως Ρ το ασφάλιστρο των τριών πρώτων ετών θα έχουµε: 2 :3 3 M M 2 : Εµπορικά Ασφάλιστρα Τα καθαρά ή µαθηµατικά ασφάλιστρα επιβαρύνονται εν γένει µε i) τα έξοδα διαχείρισης, ιι) τα έξοδα κτήσεως και iii) τα έξοδα εισπράξεως. Τα εµπορικά ασφάλιστρα υπολογίζονται µε την εξίσωση των παρουσών αξιών των εµπορικών ασφαλίστρων και του αθροίσµατος των παρουσών αξιών των ασφαλιζοµένων κεφαλαίων και των παρουσών αξιών των εξόδων. Εάν τα έξοδα εισπράξεως εκφράζονται σαν ποσοστόγ επί του εµπορικού ασφαλίστρου, τα έξοδα διαχείρισης σαν ποσοστό α επί του ασφαλιζοµένου κεφαλαίου και τα έξοδα κτήσεως είναι β τότε θα έχουµε : γ α β Όπου το ασφαλιζόµενο κεφάλαιο είναι ν.µ. και το εµπορικό ασφάλιστρο είναι. Εάν αντικαταστήσουµε προκύπτει β ( α) γ a ɺɺ Η διαφορά είναι η επιβάρυνση του ασφαλιστηρίου συµβολαίου. Ράντες ζωής µε µεταβλητούς όρους. Ισόβια προκαταβλητέα ράντα ζωής της οποίας οι όροι διαφέρουν µεταξύ τους και είναι,2,3,4, καταβαλλόµενοι στην αρχή κάθε περιόδου (προκαταβλητέα). Η περιγραφόµενη παραπάνω ράντα ονοµάζεται Αυξανόµενη Ράντα Ζωής. Την παρούσα αξία (ή το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο ) αυτής της ράντας την δηλώνει το σύµβολο ( I. S ( Ia) ) ɺɺ όπου S ( ) Εάν είναι αυξανόµενη ληξιπρόθεσµη τότε οι όροι,2,3,4, καταβάλλονται στο τέλος κάθε περιόδου και το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο αυτής είναι : S ( Ia) όπου S ( )

10 Το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο µιας αυξανόµενης προκαταβλητέας ράντας ζωής πρόσκαιρης ετών είναι : S S ( I ) : Το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο µιας ελαττούµενης προκαταβλητέας ράντας ζωής πρόσκαιρης ετών όπου ο πρώτος όρος είναι ν.µ. ο δεύτερος ν.µ. ο τρίτος 2 ν.µ. ο τελευταίος ν.µ. είναι: S S ( ) : Ασφαλίσεις σε περίπτωση θανάτου µε µεταβλητά τα ασφαλιζόµενα ποσά. Εάν έχουµε µια αυξανόµενη ισόβια ασφάλιση σε περίπτωση θανάτου όπου το ασφαλιζόµενο ποσό είναι ν.µ. για το πρώτο έτος, 2 ν.µ. για το δεύτερο έτος, 3 ν.µ. για το τρίτο έτος κ.λ.π. τότε το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο στην ηλικία για αυτήν την ασφάλιση είναι : Όπου. R M ( ) C R ( I) Εάν η προηγούµενη ασφάλιση είναι πρόσκαιρη ασφάλιση ετών και όχι ισόβια τότε έχουµε : R R M ( I) : Εάν η πρόσκαιρη ασφάλιση ετών σε περίπτωση θανάτου είναι ελαττούµενη δηλαδή αρχίζει µε ασφαλισµένο ποσό νοµισµατικών µονάδων στην ηλικία και µετά τα ασφαλισµένα ποσά ελαττώνονται κατά ν.µ. κάθε έτος µέχρι του -στου έτους τότε το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο στην ηλικία είναι : M R R ( ) :

11 Σχέσεις µεταξύ των ασφαλίστρων Υπενθυµίζονται τα σύµβολα (συναρτήσεις) µετατροπής.,, S υ 2 2 dυ 2 2 C, M C C C, R M M M Με χρήση της d η C dυ µας δίνει C υ ή C d όπου M M i d -υ iυ i ( d ) C d d a ɺɺ d Από όπου έχουµε : Με ανάλογο τρόπο d ɺɺ a M M C d ( ) d ( ) ( ) M M d d ɺɺ a d ɺɺ a d ɺɺ a : : : : : : d d ɺɺ a ɺɺ a a : : ɺɺ : : : : : Από την ( ) ιαιρώντας µε M M R d d d S R S έχουµε d ( I) ɺɺ a d( I ɺɺ a)

12 Κλασµατικές ράντες ζωής Εάν το ποσό της ν.µ. πληρώνεται τµηµατικά φορές το έτος τότε έχουµε καταβολή 2 3 ν.µ. στις ηλικίες,,, Η παρούσα αξία αυτής της ισόβιας ληξιπρόθεσµης κλασµατικής ράντας ζωής συµβολίζεται µε a. Η προσεγγιστική σχέση που συνδέει την κλασµατική a µε την ετήσια aείναι: a a 2 Η αντίστοιχη προσεγγιστική σχέση που συνδέει την κλασµατική προκαταβλητέα ράντα ζωής µε την ετήσια είναι: ɺɺ a ɺɺ a 2 Εάν έχουµε ράντες πρόσκαιρες τότε οι ανάλογες σχέσεις είναι: a a : : : για την ληξιπρόθεσµη και 2 ɺɺ a ɺɺ a : για την προκαταβλητέα 2 Ασφαλίσεις σε περίπτωση θανάτου και πληρωµής του ασφαλισµένου ποσού µόλις συµβεί ο θάνατος. Με την υπόθεση ότι κατά την διάρκεια κάθε έτους ηλικίας ισχύει η οµοιόµορφη κατανοµή τότε στην ισόβια ασφάλιση θανάτου έχουµε την σχέση : i δ Όπου είναι το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο για ισόβια ασφάλιση όπου το ασφαλισµένο ποσό πληρώνεται αµέσως µετά τον θάνατο του ασφαλισµένου. Το είναι το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο για ισόβια ασφάλιση όπου το ασφαλισµένο ποσό πληρώνεται στο τέλος του έτους του θανάτου. Το ( i) δ και i το επιτόκιο. Με την υπόθεση ότι κατά την διάρκεια κάθε έτους ηλικίας ισχύει η οµοιόµορφη κατανοµή τότε στην πρόσκαιρη ασφάλιση θανάτου έχουµε την σχέση : i δ : : Όπου είναι το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο για πρόσκαιρη ασφάλιση όπου το : ασφαλισµένο ποσό πληρώνεται αµέσως µετά τον θάνατο του ασφαλισµένου.

13 Το είναι το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο για πρόσκαιρη ασφάλιση όπου το : ασφαλισµένο ποσό πληρώνεται στο τέλος του έτους του θανάτου. Μια άλλη υπόθεση είναι να θεωρήσουµε ότι όλες οι πληρωµές γίνονται στο µέσον κάθε έτους οπότε θα έχουµε : ( ) /2 i : : Ή προσεγγίζοντας ( i) /2 µε i 2 : : i 2 Παράδειγµα: Άτοµο ηλικίας 35 ετών ασφαλίζεται έτσι ώστε αν µέσα στα επόµενα 3 έτη πεθάνει να πάρουν οι δικαιούχοι του (αµέσως µετά τον θάνατό του)ν.µ. ενώ αν επιζήσει να εισπράξει ο ίδιος αυτό το ποσό. Ζητείται το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο που θα πρέπει να πληρώσει. ίνοντας ιδιαίτερη προσοχή στον διαχωρισµό µεταξύ της ασφάλισης λόγω θανάτου και της ασφάλισης µελλοντικού κεφαλαίου και µε χρήση του πίνακα ΡΜ 6/64 ΜΚΗ όπου το επιτόκιο είναι i.425 έχουµε: i :3 35:3 35:3 δ 35:3 35:3 (.425) 35:3 35: Χρησιµοποιώντας και τις άλλες προσεγγίσεις έχουµε: και Τέλος η συνάρτηση µετατροπής συνηθισµένη προσέγγιση ( ) 2 Αν µε C στην πράξη υπολογίζεται αναλογικά µε την i i C C i C C δ 2. Περιοδικά κλασµατικά ασφάλιστρα συµβολίζεται το συνολικό ποσό του ετήσιου ασφαλίστρου που πληρώνεται σε δόσεις, τότε το κλασµατικό ασφάλιστρο αντιπροσωπεύει το του ετήσιου (δηλ. ( ) ) και πληρώνεται στην αρχή κάθε περιόδου που αντιστοιχεί στο Συµβολικά θα έχουµε του έτους. όπου είναι η παρούσα αξία της ασφάλισης ɺɺ a η παρούσα αξία της προκαταβλητέας κλασµατικής ράντας ζωής και υπολογίζεται προσεγγιστικά από την ɺɺ a ɺɺ a. 2

14 Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει δύο περιοδικά κλασµατικά ασφάλιστρα. Ισόβια ασφάλιση θανάτου ( ) M ή 2 2 ( ) ( ) ( ) Πρόσκαιρη ασφάλιση θανάτου ετών ή : : : : ( ) : : : : : : : : ( d) 2 2 Παράδειγµα: Άτοµο ηλικίας 3 ετών ασφαλίζεται µε ένα πρόγραµµα ράντα ζωής, βάσει του οποίου η µηνιαία πληρωµή είναι ίση µε 2ν.µ. Αν η πρώτη πληρωµή θα καταβληθεί στην αρχή της ηλικίας των 4 ετών και µετά στην αρχή κάθε µήνα για χρόνια, να υπολογισθεί το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο αυτού του προγράµµατος ασφάλισης σε σύµβολα µετατροπής προσεγγιστικά. Εδώ έχουµε µια ράντα ζωής προκαταβλητέα πρόσκαιρη µέλλουσα µε τις πληρωµές να γίνονται 2 φορές το χρόνο. Η παρούσα αξία αυτής της ράντας είναι: ( ) ( ) ( ) ɺɺ a ɺɺ a ɺɺ a ɺɺ a ɺɺ a / : : : : : 2 2 ɺɺ ɺɺ ( 2) 4 5 ɺɺ / a ɺɺ 3: / a 3: 24 3 a a, 2, 3,, : : 2 ( 2) ɺɺ / a 3: Εδώ έχουµε ως ετήσιο ποσό οπότε είναι : ( 2) ɺɺ / a 24 3:

15 ΑΠΟΘΕΜΑΤΙΚΑ ΑΣΦΑΛΙΣΕΩΝ Θεωρούµε οµάδα ατόµων, όλα ηλικίας 6 ετών, που ασφαλίζονται µε πρόγραµµα µικτής ασφάλισης 5 ετών και για ποσό ν.µ. που καταβάλλεται στο τέλος του έτους του θανάτου κάθε ασφαλισµένου. Τα ασφάλιστρα πληρώνονται κάθε χρόνο. Στον παρακάτω πίνακα παρακολουθείται η εξέλιξη της ασφάλισης από την έναρξη µέχρι και την λήξη της. () (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) Έτος Εισπρακτέα ασφάλιστρα Τόκος που προστίθεται Εν ζωή άτοµα Κεφάλαια στην αρχή του έτους (2)(6) Πληρωµές ικαιούχων θανόντων Κεφάλαιο στο τέλος του έτους (3)(4)-(5) Κεφάλαιο ανά επιζώντα (6)/(7) Η τελευταία στήλη (8) παρουσιάζει τι ποσό είναι διαθέσιµο για κάθε ευρισκόµενο εν ζωή ασφαλισµένο. Τα ποσά είναι στρογγυλοποιηµένα οπότε υπάρχει και η διαφορά των 5 µονάδων στο τελικό ποσό που θεωρητικά είναι ν.µ., ποσό που παίρνουν οι επιζώντες µε το τέλος της ασφαλιστικής περιόδου. Τα ποσά αυτά µπορούν να υπολογισθούν άµεσα µε τους παρακάτω τρόπους. Και στις δύο περιπτώσεις θα είναι ίσα για την ίδια ασφάλιση και για την ίδια χρονική στιγµή. Προοπτικό Αποθεµατικό Παρούσα αξία µελλοντικών υποχρεώσεων ασφαλιστικής εταιρείας Παρούσα αξία µελλοντικών υποχρεώσεων ασφαλισµένου Αναδροµικό Αποθεµατικό Παρούσα αξία υποχρεώσεων που έχει εκπληρώσει ο ασφαλισµένος Παρούσα αξία υποχρεώσεων που έχει εκπληρώσει η ασφαλιστική εταιρεία Παράδειγµα: Να υπολογισθεί το αποθεµατικό στο τέλος του 3 ου έτους στην παραπάνω ασφάλιση. ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ M M V ɺɺ a :5 63:2 6:5 63:2 6: M M M M ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΟ V ɺɺ a 3 6:5 6:5 6:3 6:3 6:3 6:3 M6 M M6 M M M M M

16 Γενικότερα από τις δύο παρακάτω εκφράσεις µε, 2,3, 4,5 µπορούµε να έχουµε την στήλη 8 του παραπάνω πίνακα αν πολλαπλασιάσουµε τα αποτελέσµατα µε διότι ότι προκύπτει είναι για ασφαλισµένο ποσό ν.µ. ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ V ɺɺ a 6:5 6 :5 6:5 6 : ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΟ V ɺɺ a 6:5 6:5 6: 6: 6: 6: Υπενθυµίζετε ότι οι αποκλίσεις στα αποτελέσµατα οφείλονται στις στρογγυλοποιήσεις που έγιναν κατά την κατάστρωση του πίνακα. Όπως π.χ. το ετήσιο ασφάλιστρο ενώ είναι λαµβάνεται 86. ΙΑ ΟΧΙΚΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΙΚΑ Έχοντας υπ όψιν ότι V η σχέση δύο διαδοχικών αποθεµατικών είναι V ( i) q p V ( ) Το iείναι το επιτόκιο, είναι το ασφαλισµένο κεφάλαιο δηλαδή µία νοµισµατική µονάδα που καταβάλλεται στο τέλος του έτους σε περίπτωση θανάτου, η ηλικία του ασφαλισµένου που στην έναρξη της ασφάλισης ήταν, q, p οι πιθανότητες ο ασφαλισµένος να µην γίνει ή να γίνει V είναι το αποθεµατικό της ασφάλισης στο τέλος του έτους και V το αποθεµατικό της ασφάλισης στο τέλος του έτους. Το είναι το ασφάλιστρο που πληρώνεται στην αρχή του έτους Εάν σε περίπτωση θανάτου υπάρχει ασφαλισµένο ποσό S που δίνεται στο τέλος του έτους του θανάτου ενώ αν υπάρχει και ποσό W που δίνεται στο τέλος του έτους λόγω επιβίωσης τότε η σχέση των αποθεµατικών είναι V ( i) S q p ( V W) ( ) όπου το είναι το ετήσιο ασφάλιστρο για αυτήν την ασφάλιση και V, V αντίστοιχα αποθεµατικά στο τέλος του και έτους τα Παράδειγµα: Άτοµο ηλικίας 75 ετών ασφαλίζεται έτσι ώστε εάν βρίσκεται εν ζωή στην ηλικία των 78 ετών να εισπράξει ν.µ. οπότε και λήγει η ασφάλιση. Εάν πεθάνει πριν γίνει 78 ετών τότε ο δικαιούχος του θα πάρει ν.µ. καθώς και το αντίστοιχο αποθεµατικό υπολογιζόµενο στο τέλος του έτους του θανάτου. Για αυτήν την ασφάλιση θα πληρώνει ασφάλιστρο π στην αρχή κάθε έτους. Η θνησιµότητα ακολουθεί τον πίνακα ΡΜ 6/64 µε επιτόκιο i.425 Να υπολογισθεί το π. Θα γίνει χρήση της ( ) V ( i) S q p ( V W)

17 Όπου S V,,2,3 ( V ), π, W για όλα τα. V π ( i) ( V) q ( q ) V Και είναι: ( ) ( ) ( ) V π ( i) q V V V π ( i) q Με 75 V.425 π q 75 2 V.425 ( V π) q V.425 ( 2 V π) q 77 Με V, 3 V q.7692, q.83742, q.94, Έχουµε το σύστηµα V.425 π q 75 V.425 ( V π) q 2 76 V.425 ( V π) q Η λύση του οποίου µας δίνει π Από την σχέση ( ) ( ) V ( i) S q p V έχουµε V ( i) S q ( q ) V V q (S V) Η διαφορά S Vονοµάζεται «κεφάλαιο υπό κίνδυνο». S είναι το ασφαλισµένο ποσό που καταβάλλεται εν περιπτώσει θανάτου και V το αποθεµατικό στο τέλος του έτους Το «αναµενόµενο κόστος ασφάλισης βάσει του κεφαλαίου υπό κίνδυνο» είναι το γινόµενο q ( S V) όπου είναι ο αριθµός των εν ζωή ασφαλισµένων στην αρχή του έτους q η πιθανότητα µη επιβίωσης (από τον χρησιµοποιούµενο πίνακα) S το ασφαλισµένο ποσό σε περίπτωση θανάτου V το αποθεµατικό στο τέλος του έτους Το «πραγµατικό κόστος ασφάλισης βάσει του κεφαλαίου υπό κίνδυνο» είναι το γινόµενο ( S V) d όπου d είναι ο πραγµατικός αριθµός των θανόντων από τους ασφαλισµένους στην διάρκεια όλου του έτους. S το ασφαλισµένο ποσό σε περίπτωση θανάτου V το αποθεµατικό στο τέλος του έτους Ως «κέρδος» ονοµάζεται η διαφορά «αναµενόµενο κόστος ασφάλισης βάσει του κεφαλαίου υπό κίνδυνο» «πραγµατικό κόστος ασφάλισης βάσει του κεφαλαίου υπό κίνδυνο» Το «κέρδος» µπορεί να θετικός ή αρνητικός αριθµός.

18 Οι όροι «κεφάλαιο υπό κίνδυνο», «αναµενόµενο κόστος ασφάλισης βάσει του κεφαλαίου υπό κίνδυνο», «πραγµατικό κόστος ασφάλισης βάσει του κεφαλαίου υπό κίνδυνο» Συµβολίζονται, εν γένει, στην βιβλιογραφία µε SR, ES, S αντίστοιχα. SR (eah Srai Risk) ES (Epeced eah Srai) S (cua eah Srai) Παράδειγµα: Στην /Ιαν/99 ένας µεγάλος αριθµός ατόµων ηλικίας 25 ετών ασφαλίσθηκε µε απλή µικτή ασφάλιση για 4 έτη και µε ασφαλισµένο ποσό ν.µ. Στις 3/ εκ/27 υπήρχαν εν ζωή 8567 ασφαλισµένοι. Σε όλη την διάρκεια του 28 έφυγαν από την ζωή 3 ασφαλισµένοι. Να βρεθούν για το έτος 28: α) το «αναµενόµενο κόστος ασφάλισης βάσει του κεφαλαίου υπό κίνδυνο» β) το «πραγµατικό κόστος ασφάλισης βάσει του κεφαλαίου υπό κίνδυνο» γ) το κέρδος (ή ζηµιά) της ασφαλιστικής εταιρείας. Μπορεί να χρησιµοποιηθεί η σχέση a V ɺɺ : ɺɺ a : είναι και απαραίτητη. Πίνακας θνησιµότητας ΡΜ 6/64 ΜΚΗ Εύρεσης του αποθεµατικού στο τέλος του 28. Με χρήση της a V ɺɺ : ɺɺ a : : : έχουµε το αποθεµατικό: ɺɺ a χωρίς να σηµαίνει ότι 43:22 8 V :4 ɺɺ a :4 a : Χωρίς την χρήση της V ɺɺ : ɺɺ a : V ɺɺ a 8 25:4 43:22 43:22 έχουµε το αποθεµατικό : 25:4 ɺɺ a :22 43:22 a ɺɺ 25:4 Οπότε είναι το κεφάλαιο υπό κίνδυνο. Το αναµενόµενο κόστος ασφάλισης είναι 8567 q Το πραγµατικό κόστος είναι Η διαφορά είναι θετική Άρα για το έτος 28 υπάρχει «κέρδος» για την εταιρεία.

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΙΝ ΥΝΩΝ (MULTIPLE DECREMENT TABLES) Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία αρχίζοντας από µια οµάδα γεννήσεων ζώντων που αποτελεί την ρίζα του πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΒΑΣΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΖΩΗΣ ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ Ρ23

ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΒΑΣΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΖΩΗΣ ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ Ρ23 ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΒΑΣΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΖΩΗΣ ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ Ρ23 ΑΡΘΡΟ 1ο : ΟΡΙΣΜΟΙ «ΑΣΦΑΛΙΖΟΜΕΝΟ ΠΟΣΟ»:Το κεφάλαιο επιβίωσης και το κεφάλαιο θανάτου όπου: α. «Κεφάλαιο επιβίωσης» είναι το ποσό της μηνιαίας σύνταξης

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ρ. ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΑΣΙΛΑΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013 1 ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΥΛΗΣ 1. Απλός τόκος 2. Ανατοκισµός 3. Ράντες 4. άνεια 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ Ι ΕΑ ΤΟΥ ΕΠΙΤΟΚΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1: Το θεωρητικό υπόβαθρο της διαδικασίας λήψεως αποφάσεων και η χρονική αξία του χρήµατος Κεφάλαιο 2: Η καθαρή παρούσα αξία ως κριτήριο επενδυτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ Ι.Ε.Κ. "ΕΙΔΙΚΟΣ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ"

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ Ι.Ε.Κ. ΕΙΔΙΚΟΣ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ, ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ Ι.Ε.Κ. "" 1 η ΠΕΡΙΟΔΟΣ 2015 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εξετάσεις Πιστοποίησης Αρχικής Επαγγελματικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ACCELERATOR PLUS

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ACCELERATOR PLUS ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ACCELERATOR PLUS Το Accelerator Plus είναι το νέο πρόγραμμα Unit Linked περιοδικών καταβολών της MetLife Alico AEAZ. Θα αντικαταστήσει τα βασικά Προγράμματα ScoreInvest και Accelerator καθώς

Διαβάστε περισσότερα

3. ΔΑΝΕΙΑ. Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια

3. ΔΑΝΕΙΑ. Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια 3. ΔΑΝΕΙΑ Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια 38 3. ΔΑΝΕΙΑ Κριτήρια Αξιολόγησης Επενδύσεων 3.1 Χρήσιμες Εφαρμογές Τα δάνεια χωρίζονται σε δύο κατηγορίες τα ενιαία ή αδιαίρετα και τα ομολογιακά.

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Κεφάλαιο 1 Η ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Επιτόκιο: είναι η αμοιβή του κεφαλαίου για κάθε μονάδα χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενα 6 ου εργαστηρίου

Αντικείμενα 6 ου εργαστηρίου 1.1 Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Διδάσκων: Δρ. Γκόγκος Χρήστος Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) Ακαδημαϊκό έτος: 2013-2014 Εξάμηνο Α 6 ο Φυλλάδιο Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000 Θέμα 1 0 Η εταιρία ΑΒΓ σχεδιάζει να επενδύσει σήμερα (στο έτος 0), σε ένα έργο το οποίο θα έχει αρχικό κόστος 00.000, διάρκεια ζωής 5 έτη και αναμένεται να δώσει τις ακόλουθες εισπράξεις: Έτος 1 Έτος 2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 ΠΡΩΪΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 π.μ. π.μ. .......

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΟ : GL/60000540 ΚΩ ΙΚΟΣ : 0-8000

ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΟ : GL/60000540 ΚΩ ΙΚΟΣ : 0-8000 ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΟ : GL/60000540 ΚΩ ΙΚΟΣ : 0-8000 ΣΥΜΒΑΛΛΟΜΕΝΟΣ : Λ.Ε.Α.. ΠΡΟΣΘΕΤΗ ΠΡΑΞΗ GL/3146/02 Το ανωτέρω Οµαδικό Ασφαλιστήριο Συµβόλαιο ανανεώνεται και τροποποιείται όπως ακολουθεί, µε την παρούσα Πρόσθετη

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογιστικά Μαθηµατικά Ασφαλίσεων Ζωής

Αναλογιστικά Μαθηµατικά Ασφαλίσεων Ζωής Αναλογιστικά Μαθηµατικά Ασφαλίσεων Ζωής Αλέξανδρος Α. Ζυµπίδης Λέκτορας Οικονοµικού Πανεπιστηµίου Αθηνών Αναλογιστής τ. Πρόεδρος της Εθνικής Αναλογιστικής Αρχής Αθήνα, Φεβρουάριος 2009 ii Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο

Διαβάστε περισσότερα

PENSION MASTER PLAN ΣΥΝΤΑΞΗ MΕ ΕΓΓΥΗΜΕΝΟ ΕΠΙΤΟΚΙΟ

PENSION MASTER PLAN ΣΥΝΤΑΞΗ MΕ ΕΓΓΥΗΜΕΝΟ ΕΠΙΤΟΚΙΟ ΒΑΣΙΚΗ ΠΑΡΟΧΗ PENSION MASTER PLAN ΣΥΝΤΑΞΗ MΕ ΕΓΓΥΗΜΕΝΟ ΕΠΙΤΟΚΙΟ ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΟ Το παρόν Ασφαλιστήριο συνάπτεται σύμφωνα με την ισχύουσα Νομοθεσία και όλα τα παρακάτω αποτελούν αναπόσπαστο μέρος του: οι Γενικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΑΣΦΑΛΙΣΕΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΑΣΦΑΛΙΣΕΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ 1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΑΣΦΑΛΙΣΕΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ για τον υπολογισμό του κόστους που προκύπτει από την υιοθέτηση της πρότασης της Ομάδας Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 01 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 01 ΑΠΟΓΕΥΜΑΤΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (1 π.μ. π.μ.)

Διαβάστε περισσότερα

Με την βοήθεια του Microsoft Excel μεταφέρουμε τα παραδείγματα σε ένα φύλλο εργασίας και στην συνέχεια λύνουμε την άσκηση που ακολουθεί.

Με την βοήθεια του Microsoft Excel μεταφέρουμε τα παραδείγματα σε ένα φύλλο εργασίας και στην συνέχεια λύνουμε την άσκηση που ακολουθεί. Εργαστήριο 9 ο Με την βοήθεια του Microsoft Excel μεταφέρουμε τα παραδείγματα σε ένα φύλλο εργασίας και στην συνέχεια λύνουμε την άσκηση που ακολουθεί. NPER Αποδίδει το πλήθος των περιόδων μιας επένδυσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΖΩΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΟΙΕΣ, ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΑΡΑ ΟΣΙΑΚΕΣ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΖΩΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΩΝ ΖΩΗΣ ΤΑ ΠΡΟΪΟΝΤΑ UNIT LINKED

ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΖΩΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΟΙΕΣ, ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΑΡΑ ΟΣΙΑΚΕΣ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΖΩΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΩΝ ΖΩΗΣ ΤΑ ΠΡΟΪΟΝΤΑ UNIT LINKED ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΖΩΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΟΙΕΣ, ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΑΡΑ ΟΣΙΑΚΕΣ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΖΩΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΩΝ ΖΩΗΣ ΤΑ ΠΡΟΪΟΝΤΑ UNIT LINKED ΣΥΜΒΑΤΙΚΟΙ ΟΡΟΙ - ΠΑΡΟΧΕΣ Ατοµική ασφάλιση υγείας Οµαδικές ασφαλίσεις Οµαδικά

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες Καταβολής Ασφαλιστικών Εισφορών προς τους Ασφαλισμένους Κύριας Ασφάλισης

Οδηγίες Καταβολής Ασφαλιστικών Εισφορών προς τους Ασφαλισμένους Κύριας Ασφάλισης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΟΑΕΕ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ-ΠΑΡΟΧΩΝ ΤΟΥ ΤΟΜΕΑ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΝΑΥΤΙΚΩΝ & ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΠΡΑΚΤΟΡΩΝ Ταχ. Διευθ.:Ακτή Μιαούλη 17-19 Ταχ. Κωδ.:

Διαβάστε περισσότερα

11.1.1 Χρονική αξία του χρήματος

11.1.1 Χρονική αξία του χρήματος Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης

Διαβάστε περισσότερα

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ «Επιστήµη και Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» Οικονοµικά του Περιβάλλοντος και των Υδατικών Πόρων Αξιολόγηση επενδύσεων Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη Πόσα χρήµατα θα επενδύσω; Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Γενικοί Όροι Ασφαλιστηρίου

Γενικοί Όροι Ασφαλιστηρίου ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΟΥ 1. ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ Η πλήρης Σύμβαση Ασφάλισης με την MetLife Α.Ε.Α.Ζ. αποτελείται από: Τους Γενικούς και Ειδικούς Όρους του Ασφαλιστηρίου, Τη Σελίδα Ειδικών Στοιχείων,

Διαβάστε περισσότερα

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887 Ολοκλήρωση κατά Gauss Ενώ στους τύπους Newton-Cotes χρησιµοποιούσαµε τις τιµές της συνάρτησης σε ισαπέχοντα σηµεία, στους τύπους ολοκλήρωσης κατά Gauss τα σηµεία xj και τα βάρη wj επιλέγονται, έτσι ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κρήτης Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά Σημειώσεις Διδασκαλίας Ανδρέας Αναστασάκης, Καθηγητής Εφαρμογών Ηράκλειο Ιανουάριος 2015

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΕΛΑΤΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΕΛΑΤΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΕΛΑΤΗ Ονοματεπώνυμο Ασφαλιζόμενου: d ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗ Ασφαλιστικό Γραφείο: Ονοματεπώνυμο Συνεργάτη: Τηλέφωνο Επικοινωνίας: Email: Ημερομηνία Έκδοσης: 20/01/2014 1 ΟΙ ΠΑΡΟΧΕΣ ΚΑΙ ΟΙ ΚΑΛΥΨΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ I

4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ I Χρηματοοικονομική Διοίκηση I 4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ I 1 Είδη Επενδύσεων Χρηματιστηριακές και Επενδύσεις Παγίων Είναι κάθε τοποθέτηση διαθεσίμων κεφαλαίων σε ενεργητικά στοιχεία μακράς χρονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ FV Η συνάρτηση αυτή υπολογίζει την μελλοντική αξία μιας επένδυσης βάσει περιοδικών, σταθερών πληρωμών και σταθερού επιτοκίου. =FV(επιτόκιο; αριθμός περιόδων; δόση αποπληρωμής; παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 6 Μέθοδοι Αντασφάλισης σε οµαδικές ασφαλίσεις (Group Business)... 9 7 Παραδείγµατα... 10

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 6 Μέθοδοι Αντασφάλισης σε οµαδικές ασφαλίσεις (Group Business)... 9 7 Παραδείγµατα... 10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΖΩΗΣ - ΑΝΤΑΣΦΑΛΙΣΗ... 2 1 Risk premium (yearly renewable term) reinsurance... 2 2 Risk premium with financing commission... 5 3 Risk premium with profit sharing... 6 4 Άλλες αναλογικές

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Mε την εγγύηση των LLOYD S

Mε την εγγύηση των LLOYD S Mε την εγγύηση των LLOYD S Τι είναι το πρόγραµµα : CRITICAL ILLNESS Insurance; Είναι το ασφαλιστικό πρόγραμμα των LLOYD S, ΝΕΟ ειδικά σχεδιασμένο από την Karavias & associates για την Ελλάδα. Είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εγκύκλιος Υπηρεσιακή Νο 138

Εγκύκλιος Υπηρεσιακή Νο 138 ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΑΣΦΑΛΙΣΕΩΝ ΖΩΗΣ & ΥΓΕΙΑΣ Εγκύκλιος Υπηρεσιακή Νο 138 ΘΕΜΑ : Safe Family, Safe Life Αθήνα, 20 εκεµβρίου 2007 Σε συνέχεια της Εγκυκλίου 132/23-10-2007 σας αποστέλλουµε προς ενηµέρωσής σας

Διαβάστε περισσότερα

ΜAΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α ΜΕΡΟΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ και ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜAΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α ΜΕΡΟΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ και ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜAΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α ΜΕΡΟΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ και ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΘΗΝΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ - ΣΥΝΤΑΞΗ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΝΙΚΟΣ 1 ΜAΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΑΕΠ ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΛΕΥΡΑ ΤΗΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΔΑΠΑΝΗΣ Y = C + I + G + ( X M) Y

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΞΙΟΓΡΑΦΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΞΙΟΓΡΑΦΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΞΙΟΓΡΑΦΩΝ A. Η Έννοια της Παρούσας και της Μελλοντικής Αξίας A1. Εισαγωγή στην έννοια της χρονικής αξίας του χρήµατος Η «πράξη» της αναγωγής σε παρούσα και

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΟΧΩΝ

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΟΧΩΝ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΟΧΩΝ ΜΕΡΟΣ Α ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗ Άρθρο 1 Πρόσωπα που υπάγονται στην Ασφάλιση Στην ασφάλιση του Ενιαίου Ταµείου Επικουρικής Ασφάλισης ΕΤΕΑ υπάγονται υποχρεωτικά: α.

Διαβάστε περισσότερα

Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value)

Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value) Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value) Σύμφωνα με αυτή την τεχνική θα πρέπει να επιλέγουμε επενδυτικά σχέδια τα οποία έχουν Καθαρή Παρούσα Αξία μεγαλύτερη του μηδενός. Συγκεκριμένα δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 31 Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος: 2009-10 Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2008 ΣΥΝΤΑΞΙΟ ΟΤΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2008

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2008 ΣΥΝΤΑΞΙΟ ΟΤΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2008 ΣΥΝΤΑΞΙΟ ΟΤΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2008 ΠΡΩΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (09:00 :00) . Για

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΩΤ. ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΛΑΜΑΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013 2014 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ ΑΠΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος

Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος Βασικά Σηµεία ιάλεξης Ορισµός Επένδυσης Μελλοντική Αξία Επένδυσης Παρούσα Αξία Επένδυσης Αξιολόγηση Επενδυτικών Έργων Ορθολογικά Κριτήρια Μέθοδος της Καθαρής

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΡΡΟΕΣ ΥΠΟΘΕΤΙΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΕΓΓΥΗΣΗΣ ΕΣΟ ΩΝ

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΡΡΟΕΣ ΥΠΟΘΕΤΙΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΕΓΓΥΗΣΗΣ ΕΣΟ ΩΝ Αθήνα 13.01.2006 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΡΡΟΕΣ ΥΠΟΘΕΤΙΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΕΓΓΥΗΣΗΣ ΕΣΟ ΩΝ σύµφωνα µε το δηµοσιευµένο σχέδιο του τεύχους διακήρυξης του διαγωνισµού "για τη σύναψη συµβάσεων διαθεσιµότητας ισχύος νέας

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

1 2,55 1.250 3,19 0,870 2,78 2 2,55 1.562 3,98 0,756 3,01 3 2,55 1.953 4,98 0,658 3,28

1 2,55 1.250 3,19 0,870 2,78 2 2,55 1.562 3,98 0,756 3,01 3 2,55 1.953 4,98 0,658 3,28 Άσκηση 1 Η κατασκευαστική εταιρία Κ εξετάζει την περίπτωση αγοράς μετοχών της εταιρίας «Ε» με πληρωμή σε μετρητά. Κατά τη διάρκεια της χρήσης που μόλις ολοκληρώθηκε, η «Ε» είχε κέρδη ανά μετοχή 4,25 και

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ. Κωδικός: Δ2-02-Ε-03

ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ. Κωδικός: Δ2-02-Ε-03 ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Κωδικός: Δ2-02-Ε-03 Έκδοση 01 9/1/2009 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΑΝΕΙΩΝ

1 Ο Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΑΝΕΙΩΝ Σηµειώσεις στο Μάθηµα Ειδικά Θέµατα Χρηµατοδοτικής Διοίκησης. Π. Φ. Διαµάντης Α.Α.Δράκος 1 Ο Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΑΝΕΙΩΝ Τα Δάνεια, είναι τα πολύ γνωστά σε όλους µας πιστωτικά προϊόντα στα οποία η αποπληρωµή

Διαβάστε περισσότερα

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100 1. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία θέλει να εξετάσει εάν το εκπαιδευτικό πρόγραµµα που ακολουθήσανε οι 100 πωλητές της ήταν αποτελεσµατικό (δηλαδή εάν αυξήθηκαν οι πωλήσεις). Οι δύο παρακάτω πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) 1.0 Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) Ακαδημαϊκό έτος: 2013-2014 Εξάμηνο Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Κατασκευάστε ένα λογιστικό φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ

5.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ 1 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. ύο υπάλληλοι έχουν µηνιαίο µισθό 1500. Στον έναν από τους δύο έγινε αύξηση % και στον άλλο µείωση 5% πάνω στις αποδοχές του πρώτου υπαλλήλου όπως αυτές διαµορφώθηκαν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 31 www.frontistiria-eap.gr ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 31 www.frontistiria-eap.gr ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 1 ΤΟΜΟΣ ΚΑΘΑΡΑ ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ Η καθαρή Παρούσα Αξία ισούται με το άθροισμα προεξοφλημένων καθαρών ταμειακών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 0-0 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΤΑΞΙΟΔΟΤΗΣΗΣ ΛΟΓΩ ΑΝΑΠΗΡΙΑΣ (Άρθρα 25, 26 Ν. 2084/92)

Α. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΤΑΞΙΟΔΟΤΗΣΗΣ ΛΟΓΩ ΑΝΑΠΗΡΙΑΣ (Άρθρα 25, 26 Ν. 2084/92) ΘΕΜΑ: «Προϋποθέσεις συνταξιοδότησης λόγω αναπηρίας και θανάτου των εργαζομένων που υπήχθησαν για πρώτη φορά στην ασφάλιση από 1.1.93 και μετά - Υπολογισμός ποσού σύνταξης μετά τη δημοσίευση του Ν. 3029/11.7.02».

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 7: Μετοχικοί τίτλοι. Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 7: Μετοχικοί τίτλοι. Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Χρηματοοικονομική Ι Ενότητα 7: Μετοχικοί τίτλοι Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΥ

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΥ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΟ ΔΕΝ ΕΠΙΣΤΡΦΕΤΑΙ ΣΤΟ ΤΑΜΕΙΟ 2009 ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΥ (Όπως εγκρίθηκαν από τη Γενική Συνέλευση των μελών της 11ης Μαρτίου 2009) 1. O Κλάδος Εφάπαξ επεκτείνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ν 100 80 Από συνήθεια λέµε «80 τοις εκατό» και γράφουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΒΙΒΑΣΗ ΕΤΑΙΡΙΚΟΥ ΜΕΡΙΔΙΟΥ Ή ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ A) ΠΩΛΗΣΗ ΑΤΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

ΜΕΤΑΒΙΒΑΣΗ ΕΤΑΙΡΙΚΟΥ ΜΕΡΙΔΙΟΥ Ή ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ A) ΠΩΛΗΣΗ ΑΤΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΜΕΤΑΒΙΒΑΣΗ ΕΤΑΙΡΙΚΟΥ ΜΕΡΙΔΙΟΥ Ή ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ A) ΠΩΛΗΣΗ ΑΤΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ 1. Μεταβίβαση ατομικής επιχείρησης Ελάχιστο ποσό υπεραξίας ατομικής επιχείρησης = Ελάχιστη αξία μεταβίβασης μείον κόστος απόκτησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ακολουθίας. Πίνακας τιµών µεταβλητών Χ Α Β α 5 20 8 10 23 15 15 23 8 β 3 18 4 8 17 13 13 17 4 γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ακολουθίας. Πίνακας τιµών µεταβλητών Χ Α Β α 5 20 8 10 23 15 15 23 8 β 3 18 4 8 17 13 13 17 4 γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ακολουθίας Η δοµή Ακολουθίας είναι η πιο απλή δοµή του δοµηµένου προγραµµατισµού. Η κάθε εντολή ακολουθεί κάποια άλλη. Οι εντολές εκτελούνται ακριβώς µε τη σειρά όπως θα δοθούν στον αλγόριθµο

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Απαιτήσεων

Λογιστική Απαιτήσεων Λογιστική Απαιτήσεων 112 ιάκριση Απαιτήσεων 113 Βραχυπρόθεσµες Απαιτήσεις Η προθεσµία εξοφλήσεως λήγει µέσα στην επόµενη χρήση Μακροπρόθεσµες Απαιτήσεις η προθεσµία εξοφλήσεως λήγει µετά το τέλος της επόµενης

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενος για Ασφάλιση : ΣΤΡΑΪΤΟΥΡΗΣ ΘΑΝΑΣΗΣ Ημερομηνία Γέννησης : 7/12/1979 Ηλικία : 33

Προτεινόμενος για Ασφάλιση : ΣΤΡΑΪΤΟΥΡΗΣ ΘΑΝΑΣΗΣ Ημερομηνία Γέννησης : 7/12/1979 Ηλικία : 33 Κεντρικά Γραφεία: Λεωφ. Κηφισίας 119, 151 24, Μαρούσι, Αθήνα Τηλ: 210 87.87.000 e-mail: contact@metlifealico.gr www.metlifealico.gr Σπύρος Γεωργιάδης Ασφαλιστικός Σύμβουλος Γραφείο Πωλήσεων DSF 581 Δ.:

Διαβάστε περισσότερα

Πλεόνασμα του Καταναλωτή, Πλεόνασμα του Παραγωγού και η Αποτελεσματικότητα της Ανταγωνιστικής Αγοράς - Η αλληλεπίδραση της συνολικής ζήτησης και της

Πλεόνασμα του Καταναλωτή, Πλεόνασμα του Παραγωγού και η Αποτελεσματικότητα της Ανταγωνιστικής Αγοράς - Η αλληλεπίδραση της συνολικής ζήτησης και της Πλεόνασμα του Καταναλωτή, Πλεόνασμα του Παραγωγού και η Αποτελεσματικότητα της Ανταγωνιστικής Αγοράς - Η αλληλεπίδραση της συνολικής ζήτησης και της προσφοράς προσδιορίζει την τιμή και την ποσότητα ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Πρώτο. Συναρτήσεις και πίνακες θνησιμότητας

Κεφάλαιο Πρώτο. Συναρτήσεις και πίνακες θνησιμότητας Κεφάλαιο Πρώτο Συναρτήσεις και πίνακες θνησιμότητας. Πρόλογος Η θνησιμότητα είναι ένα βιολογικό φαινόμενο με πολλές κοινωνικές και οικονομικές προεκτάσεις. Διαφοροποιείται ανάλογα με το φύλο, την ηλικία,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 1 ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΜΙΣΘΟ ΟΣΙΑΣ... 2 1.1 Βασικός Κανόνας Στρογγυλοποίησης...2 1.2 Κωδικός Πακέτου Κάλυψης

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 1 ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΜΙΣΘΟ ΟΣΙΑΣ... 2 1.1 Βασικός Κανόνας Στρογγυλοποίησης...2 1.2 Κωδικός Πακέτου Κάλυψης ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 1 ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΜΙΣΘΟ ΟΣΙΑΣ.... 2 1.1 Βασικός Κανόνας Στρογγυλοποίησης...2 1.2 Κωδικός Πακέτου Κάλυψης (Ι.Κ.Α.)...2 1.3 Ωριαία αποζηµίωση...2 2 ΕΙ Η ΜΙΣΘΟ ΟΣΙΑΣ...

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΕΡΩΤΗΣΗ. (5 μονάδες) Θέλετε να αξιολογήσετε τέσσερα ομόλογα. Όλα τα ομόλογα έχουν 0 χρόνια μέχρι την λήξη και ονομαστική αξία.000. Το ομόλογο Α έχει κουπόνι με ετήσια απόδοση % το οποίο παραμένει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «Υπαγωγή στην ασφάλιση του κλάδου ασθενείας σε είδος των μακροχρόνια ανέργων.»

ΘΕΜΑ: «Υπαγωγή στην ασφάλιση του κλάδου ασθενείας σε είδος των μακροχρόνια ανέργων.» ΘΕΜΑ: «Υπαγωγή στην ασφάλιση του κλάδου ασθενείας σε είδος των μακροχρόνια ανέργων.» Κοινοποιούμε τις διατάξεις των παρ. 1-3 του άρθρου 10 του Ν. 2434/96 (ΦΕΚ 188/20-08-96, τ.α') σχετικά με τα "Μέτρα πολιτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής Δεσμευμένη αξιοπιστία Η δεσμευμένη αξιοπιστία R t είναι η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει για χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Α.Α.Δράκος 2014-2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Α.Α.Δράκος 2014-2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ 1 3.) ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΘΑΡΩΝ ΤΑΜΕΙΑΚΩΝ ΡΟΩΝ Α.Α.Δράκος 2014-2015 Α. Εισαγωγικά Oι Καθαρές

Διαβάστε περισσότερα

31987L0343. EUR-Lex - 31987L0343 - EL. Avis juridique important

31987L0343. EUR-Lex - 31987L0343 - EL. Avis juridique important Avis juridique important 31987L0343 Οδηγία 87/343/ΕΟΚ του Συμβουλίου της 22ας Ιουνίου 1987 για την τροποποίηση, όσον αφορά την ασφάλιση πιστώσεων και εγγυήσεων, της οδηγίας 73/239/ΕΟΚ περί συντονισμού

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΤΑΞΙΟ ΟΤΗΣΗΣ (Σύµφωνα µε το νόµο Ν. 3863/2010) Α) ΕΙ ΙΚΑ ΤΑΜΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΩΝ (Περιλαµβάνεται η ΕΤΕ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΤΑΞΙΟ ΟΤΗΣΗΣ (Σύµφωνα µε το νόµο Ν. 3863/2010) Α) ΕΙ ΙΚΑ ΤΑΜΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΩΝ (Περιλαµβάνεται η ΕΤΕ) ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΤΑΞΙΟ ΟΤΗΣΗΣ (Σύµφωνα µε το νόµο Ν. 3863/2010) Α) ΕΙ ΙΚΑ ΤΑΜΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΩΝ (Περιλαµβάνεται η ΕΤΕ) ΑΣΦΑΛΙΣΗ µέχρι την 31/12/1982 Άνδρες Γυναίκες: Στον νέο νόµο καθορίζεται µε µεταβατικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΘΕΤΗ ΠΡΑΞΗ 23912/2012 00009256 ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΜΕΝΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Α.Ε.

ΠΡΟΣΘΕΤΗ ΠΡΑΞΗ 23912/2012 00009256 ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΜΕΝΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Α.Ε. Ελλάδος Κεντρικά Γραφεία Διεύθυνση Ομαδικών Ασφαλίσεων No Αρ. Συμβολαίου Συμβαλλόμενος ΠΡΟΣΘΕΤΗ ΠΡΑΞΗ 23912/2012 00009256 ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΜΕΝΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Α.Ε. Allianz (fij) Μ'αυτή την Πρόσθετη Πράξη, η

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΧΡΗΣΗ: 30/6/2015. Κωδικός Ασφαλιστικής Επιχείρησης: 9 Αριθμός Μητρώου (ΑΡΜΑΕ):

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΧΡΗΣΗ: 30/6/2015. Κωδικός Ασφαλιστικής Επιχείρησης: 9 Αριθμός Μητρώου (ΑΡΜΑΕ): ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΧΡΗΣΗ: Επωνυμία Ασφαλιστικής Επιχείρησης : GENERALI HELLAS ΑΝΩΝΥΜΟΣ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Κωδικός Ασφαλιστικής Επιχείρησης: 9 Αριθμός Μητρώου (ΑΡΜΑΕ): 25081/B/05/1991/22

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Υπαγωγή στην ασφάλιση του κλάδου ασθενείας σε είδος των ανέργων νέων ηλικίας μέχρι 29 ετών.

ΘΕΜΑ: Υπαγωγή στην ασφάλιση του κλάδου ασθενείας σε είδος των ανέργων νέων ηλικίας μέχρι 29 ετών. ΘΕΜΑ: Υπαγωγή στην ασφάλιση του κλάδου ασθενείας σε είδος των ανέργων νέων ηλικίας μέχρι 29 ετών. Κοινοποιούμε τις διατάξεις του άρθρου 18 του ν. 2639/98 (ΦΕΚ 205/2.9.98 τ.α) σχετικά με τη «Ρύθμιση εργασιοικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΧΡΗΣΗ: 31/12/2014

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΧΡΗΣΗ: 31/12/2014 ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΧΡΗΣΗ: Επωνυμία Ασφαλιστικής Επιχείρησης : ERGO ΑΝΩΝΥΜΗ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΖΗΜΙΩΝ Κωδικός Ασφαλιστικής Επιχείρησης: 30 Αριθμός Μητρώου (ΑΡΜΑΕ): 20264/B/05/1989/8 ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΥΜΒΑΛΛΟΜΕΝΟΥ KAI ΤΟΥ ΑΣΦΑΛΙΖΟΜΕΝΟΥ 4.1 Κατά τη σύναψη της ασφάλισης 4.2 Κατά τη διάρκεια της ασφάλισης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΥΜΒΑΛΛΟΜΕΝΟΥ KAI ΤΟΥ ΑΣΦΑΛΙΖΟΜΕΝΟΥ 4.1 Κατά τη σύναψη της ασφάλισης 4.2 Κατά τη διάρκεια της ασφάλισης ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΖΩΗΣ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΑΡΘΡΟ 1 ΑΡΘΡΟ 2 ΑΡΘΡΟ 3 ΑΡΘΡΟ 4 ΑΡΘΡΟ 5 ΑΡΘΡΟ 6 ΑΡΘΡΟ 7 ΑΡΘΡΟ 8 ΑΡΘΡΟ 9 ΑΡΘΡΟ 10 ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΜΒΑΛΛΟΜΕΝΟΣ 2.1 Δικαιώματα συμβαλλόμενου 2.2 Αλλαγή συμβαλλόμενου 2.3 Υποκατάστατος

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα