ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Η έννοια της συνάρτησης και το επίπεδο κατανόησής της από μαθητές της Β Λυκείου.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Η έννοια της συνάρτησης και το επίπεδο κατανόησής της από μαθητές της Β Λυκείου."

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ-ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΩΝ-ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η έννοια της συνάρτησης και το επίπεδο κατανόησής της από μαθητές της Β Λυκείου. Μεταπτυχιακός φοιτητής: ΦΑΛΑΓΚΑΡΑΣ ΑΡΙΣΤΕΙΔΗΣ Επιβλέπων Καθηγητής: ΖΑΧΑΡΙΑΔΗΣ ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΑΘΗΝΑ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2012

2 2

3 Η παρούσα Διπλωματική Εργασία Εκπονήθηκε από τον Φαλαγκάρα Αριστείδη του Ευθυμίου (ΑΜ:Α200911) στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης που απονέμει το Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών» Εγκρίθηκε την 29/11/2012 από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούμενη από τους : Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Υπογραφή 1) Θεοδόσιος Ζαχαριάδης (επιβλέπων Καθηγητής) Καθηγητής. 2) Δέσποινα Πόταρη Αναπλ. Καθηγήτρια.. 3) Παναγιώτης Σπύρου Αναπλ. Καθηγητής... 3

4 4

5 στον πατέρα μου Ευθύμιο στη μητέρα μου Μαρία στον αδερφό μου Γιώργο 5

6 6

7 Ευχαριστώ: Τον καθηγητή κ. Θεοδόσιο Ζαχαριάδη για τη βοήθεια, τις διορθώσεις και τις παρατηρήσεις του. Η συμβολή του ήταν καθοριστικής σημασίας για την όσο το δυνατόν αξιοπρεπέστερη εικόνα της συγκεκριμένης εργασίας. Την αναπληρώτρια καθηγήτρια κ. Δέσποινα Πόταρη και τον αναπληρωτή καθηγητή κ. Παναγιώτη Σπύρου που δέχθηκαν να είναι μέλη της εξεταστικής ε- πιτροπής. Τους διδάσκοντες του μεταπτυχιακού προγράμματος, με τη βοήθεια των ο- ποίων συμμετείχα στη συζήτηση που αφορά στη φύση των Μαθηματικών και στις δυσκολίες κατανόησής τους. Τον ομότιμο καθηγητή κ. Ευστάθιο Γιαννακούλια για το χρόνο πού διέθεσε να διαβάσει και να διορθώσει το σύντομο ιστορικό σημείωμα. Τους μαθητές του 4 ου Λυκείου Περιστερίου που συμμετείχαν στην έρευνα. 7

8 8

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9 Περίληψη 11 Εισαγωγή 13 Κεφάλαιο 1 1. Η ιστορική διαδρομή διαμόρφωσης της έννοιας της συνάρτησης 15 Κεφάλαιο 2 2. Θεωρητικό Πλαίσιο Πλατωνισμός- Εμπειρισμός Η άποψη του J.Piaget για το σχηματισμό της γνώσης Η έννοια του σχήματος (Schema) Τρείς θεωρίες για τη μάθηση των Μαθηματικών βασισμένες στις 31 απόψεις του J.Piaget Η θεωρία APOS Η θεωρία της A.Sfard Η θεωρία των Τριών Κόσμων των Μαθηματικών Εικόνα έννοιας και Ορισμός έννοιας Ανάλυση της συνάρτησης ως διαδικασιοέννοια 46 Κεφάλαιο 3 3. Η συνάρτηση στα σχολικά βιβλία Η έννοια της συνάρτησης στο Γυμνάσιο Η έννοια της συνάρτησης στο Λύκειο Η εικόνα της έννοιας στα βιβλία του Γυμνασίου Η εικόνα της έννοιας στα βιβλία της Α & Β Λυκείου 59 Κεφάλαιο 4 4. Η έρευνα Στόχοι της έρευνας Μεθοδολογία έρευνας Συμμετέχοντες Ερευνητικά εργαλεία Συλλογή δεδομένων Ανάλυση δεδομένων 63 Κεφάλαιο 5 5. Παρουσίαση και ανάλυση των απαντήσεων των μαθητών Οι απαντήσεις και η ανάλυση των απαντήσεων του 1 ου μαθητή Οι απαντήσεις και η ανάλυση των απαντήσεων του 2 ου μαθητή Οι απαντήσεις και η ανάλυση των απαντήσεων του 3 ου μαθητή Οι απαντήσεις και η ανάλυση των απαντήσεων του 4 ου μαθητή 99 Κεφάλαιο 6 6. Συμπεράσματα- Συζήτηση Το επίπεδο κατανόησης της έννοιας της συνάρτησης Οι απαντήσεις των μαθητών σε σχέση με τα βασικά συστατικά της 107 έννοιας της συνάρτησης 6.3 Γιατί δεν επεκτάθηκε η εικόνα της έννοιας που είχε σχηματιστεί 110 στο Γυμνάσιο; 6.4 Προτάσεις 114 Βιβλιογραφία 121 Παράρτημα Α

10 10

11 Περίληψη Αντικείμενο της εργασίας είναι η μελέτη της κατανόησης της έννοιας της συνάρτησης από μαθητές της Β Λυκείου. Ειδικότερα, η εργασία περιλαμβάνει μία συνοπτική ανασκόπηση της ιστορικής εξέλιξης της έννοιας της συνάρτησης, τον τρόπο με τον ο- ποίο η έννοια παρουσιάζεται στα σχολικά βιβλία του Γυμνάσιου και του Λυκείου, και μία έρευνα για το επίπεδο κατανόησης της έννοιας από μαθητές της Β Λυκείου. Για τη μελέτη του επιπέδου κατανόησης των μαθητών χρησιμοποιείται η θεωρία των Τριών Κόσμων των Μαθηματικών του D.Τall, διότι παρέχει ένα επαρκές ερμηνευτικό πλαίσιο της διαδικαστικής αντίληψης της έννοιας σε ολόκληρο το εύρος των αναπαραστάσεών της. Από τη μελέτη προέκυψε ότι οι μαθητές αντιλαμβάνονται την έννοια κυρίως σαν εξίσωση με δύο αγνώστους τόσο στην αλγεβρική όσο και στην γραφική αναπαράσταση. Ο τρόπος με τον οποίο χειρίζονται την έννοια είναι πιο κοντά στην εικόνα πού σχηματίστηκε στο Γυμνάσιο. Διαπιστώθηκε περιορισμένη αντίληψη του συμβόλου f αλλά και ελλιπής γλωσσική ανάπτυξη. Η μαθηματική αιτιολόγηση των παιδιών σε σχέση με τις μεταβολές της γραφικής παράστασης της έννοιας καθοδηγούνταν σε σημαντικό βαθμό από την εποπτεία. Λέξεις κλειδιά Συνάρτηση, γραφική παράσταση συνάρτησης, διαδικασία, διαδικασιοέννοια, met-before, εικόνα έννοιας Abstract The subject of this paper is the study of understanding the concept of function by students of the second grade of Lyceum. In particular, the paper includes a brief overview of the historical evolution of the concept of function, the manner in which the concept is presented in textbooks of Gymnasium and Lyceum, and a survey on the level of understanding the concept of function from students of B Grade of Lyceum. The theory of the Three Worlds of Mathematics Tall has been used in order to probe the level of understanding on behalf of the students, because it provides an adequate interpretive framework of procedural understanding of the concept across the various representations of the function. The analysis showed that students understand the concept mainly as an equation with two unknowns in both the algebraic and the graphic representation. The way they handle the concept is closer to the image formed in Gymnasium. A limited understanding of the symbol f and poor language development was discovered. The mathematical justification of students in relation to changes in the graphical concept of guided largely by their intuitions. Key words Function, graphic representation of function, process, procept, met-before, concept image. 11

12 12

13 Εισαγωγή Η συνάρτηση είναι μια έννοια η οποία γεννήθηκε το 17 ο αι. για να καλύψει, αρχικά τις ανάγκες της Επιστημονικής Έρευνας της εποχής και κατέληξε να είναι μία από τις κεντρικότερες έννοιες των σύγχρονων Μαθηματικών. Οι Μαθηματικοί της αναγέννησης και μέχρι τις αρχές του 19 ου αι. ενδιαφέρονταν κυρίως να ποσοτικοποιήσουν και να μετρήσουν φυσικά φαινόμενα όπως ταχύτητα, θερμοκρασία κ.α. Τα εργαλεία που είχαν κληρονομήσει από τα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά, όπως η έννοια του λόγου ή η μέθοδος της εξάντλησης του Ευδόξου-Αρχιμήδη, δεν επαρκούσαν για να αντιμετωπίσουν αυτές τις νέες προκλήσεις διότι δεν ήταν σχεδιασμένα για τέτοιου είδους «έργα». Για το «έργο» αυτό χρειάστηκε να ανακαλυφθεί ο Απειροστικός Λογισμός από τους Newton και Leibniz και να εισαχθεί η έννοια της συνάρτησης από τον Euler, η οποία όμως ακολούθησε μία εξελικτική πορεία πού ολοκληρώθηκε στις αρχές του 20 ου αι. Η συνάρτηση είναι μια από τις σημαντικότερες αλλά και από τις δυσκολότερες έννοιες με τις οποίες έρχονται σε επαφή οι μαθητές κατά τη διάρκεια της δευτεροβάθμιας και τριτοβάθμιας εκπαίδευσής τους. Το γεγονός αυτό φανερώνεται από το πλήθος των ερευνητικών εργασιών που έχουν πραγματοποιηθεί και οποίες ασχολούνται με τη φύση των δυσκολιών πού αντιμετωπίζουν οι μαθητές. (Γαγάτσης& Ηλία, 2003).Οι δυσκολίες σχετίζονται τόσο με την πολυπλοκότητα της έννοιας όσο και με την επιστημολογία της συνάρτησης. Παρακολουθώντας την πορεία διαμόρφωσης του ορισμού της έννοιας παρατηρούμε ότι είναι συνυφασμένη με τη διαδρομή που ακολούθησε η θεμελίωση των Μαθηματικών σε στέρεες βάσεις, έτσι ώστε να απαλλαχθούν από την επίδραση διαισθητικών αντιλήψεων. Στα τέλη του 19 ου αι. υπήρξε η αυστηρή θεμελίωση συνόλου των πραγματικών αριθμών από τον R. Dedekind( ),G.Cantor ( ) και G. Peano ( ) στην βάση του απλούστερου και πιο στοιχειώδες σύνολο των φυσικών αριθμών,το οποίο με τη σειρά του, στις αρχές του 20 ου αι., θεμελιώθηκε στην έννοια του συνόλου, παρέχοντας έτσι τη δυνατότητα ώστε ο μεγάλος όγκος των Μαθηματικών να βασίζεται στη θεωρία συνόλων (Eves,1969). Προϊόν της εξελικτικής πορείας της έννοιας της συνάρτησης είναι οι πολλοί αποδεκτοί ορισμοί. Υπάρχουν ορισμοί πού αντιμετωπίζουν τη συνάρτηση ως σχέση εξάρτησης, κανόνα αντιστοίχισης, διατεταγμένο ζεύγος. Καθένα ένας από αυτούς αντανακλά στις διαφορετικές περιόδους εξέλιξης της έννοιας και στον τρόπο με τον οποίο αντιλαμβάνονταν τη συνάρτηση κάθε φορά. Οι διαφορετικοί ορισμοί εξυπηρετούν διαφορετικές ανάγκες, με πιο γενικό και πιο πρόσφατο αυτόν του διατεταγμένου ζεύγους ο οποίος αποδείχτηκε και ο λιγότερο κατάλληλος για την εισαγωγή της έννοιας της συνάρτησης στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Σημαντική πηγή δυσκολίας για την κατανόηση της έννοιας είναι το γεγονός ότι μπορεί να αναπαρασταθεί με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Οι βασικές αναπαραστάσεις της είναι: λεκτικά, πίνακας τιμών,αλγεβρικός τύπος, γραφική παράσταση. Η κατάκτηση της έννοιας απαιτεί οι διαφορετικές αναπαραστάσεις να αντιμετωπίζονται ως διαφορετικές όψεις του ίδιου αντικειμένου. Αυτό επιτυγχάνεται με τη δημιουργία συνδέσεων μεταξύ αυτών των αναπαραστάσεων. Η συνάρτηση πέρα από τις διαφορετικές όψεις,εμπεριέχει υποέννοιες όπως πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών, τιμή της συνάρτησης, μεταβλητές (ανεξάρτητη και εξαρτημένη) οι οποίες έχουν τις δικές τους δυσκολίες να κατανοηθούν. Άλλες έννοιες πού εμπλέκονται στη έννοια της συνάρτησης είναι ο αριθμός ως μέγεθος και η σχέση εξάρτησης μεταξύ δύο μεγεθών, η συμμεταβολή, η ποσότητα, η αναλογία. (M. Wilson,1991). Η χρησιμότητα της διδασκαλίας της έννοιας στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση δεν έγκειται στο γεγονός ότι είναι πολύπλοκη και επομένως μία χρήσιμη πνευματική 13

14 άσκηση. Όπως αναφέρουν οι Chazan &Yerushalmy (2003) ο χαρακτήρας της σχολικής Άλγεβρας καθορίζεται σε μεγάλο βαθμό από την επιλογή της βασικής έννοιας πάνω στην οποία θα στηριχθεί η δόμηση των Σχολικών Αναλυτικών Προγραμμάτων: στην εξίσωση ή στη συνάρτηση. Η στρατηγική επιλογή να προσεγγιστεί η Άλγεβρα μέσα από την εξίσωση έχει ως συνέπεια η διδασκαλία να περιορίζεται σε μεθόδους απλοποίησης και παραγοντοποίησης αλγεβρικών εκφράσεων, επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων μίας μεταβλητής, και επίλυσης συστημάτων με εξισώσεις δύο μεταβλητών με την ελπίδα ότι η κατάκτηση αυτών των παραπάνω ικανοτήτων θα επιτρέψει στους μαθητές να τις εφαρμόσουν και σε διαφορετικά πλαίσια. Η προηγούμενη προσέγγιση δημιουργεί ένα περιβάλλον οπού ευνοείται η διδασκαλία επίλυσης απομονωμένων τύπων προβλημάτων. Αντίθετα εάν επιλεγεί η συνάρτηση ως κεντρική έννοια της Άλγεβρας αλλάζει η οπτική όσο αφορά τη ερμηνεία των συμβόλων πού χρησιμοποιούμε αλλά και τον τρόπο επίλυσης προβλημάτων. Έτσι στη συναρτησιακή προσέγγιση της σχολικής άλγεβρας τα γράμματα ερμηνεύονται ως μεταβλητές παρά σαν άγνωστοι. οι αλγεβρικές εκφράσεις ερμηνεύονται ως κανόνες αντιστοίχισης συναρτήσεων. το Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ως ο χώρος πού παρουσιάζονται τα αποτελέσματα υπολογιστικών διαδικασιών παρά ως τα σημεία από ένα σύνολο λύσεων. το σύμβολο ίσον ερμηνεύεται ως η απόδοση ονόματος σε μία συγκεκριμένη υπολογιστική διαδικασία (f(x)=..) και σαν μία ένδειξη ταυτότητας μεταξύ δύο υπολογιστικών διαδικασιών. (Chazan & Yerushalmy, 2003) Με δεδομένη την πολυπλοκότητα και τη σημαντικότητα της έννοιας, στη συγκεκριμένη εργασία θα προσπαθήσουμε να ερμηνεύσουμε τον τρόπο που αντιλαμβάνονται την έννοια της συνάρτησης 4 μαθητές της Β Λυκείου υπό το φώς της θεωρίας των Τριών Κόσμων των Μαθηματικών του D. Τall: του Ενσαρκωμένου (Embodied), του Συμβολικού (Proceptual) και του Αξιωματικού (Formal) κόσμου. Θα γίνει προσπάθεια να συγκριθεί η εικόνα της έννοιας πού έχουν σχηματίσει οι μαθητές σε σχέση με τους διαφορετικούς ορισμούς πού έχουν διδαχθεί αλλά και σε σχέση με τις επιμέρους έννοιες πού απαρτίζουν τη συνάρτηση, όπως πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών. 14

15 Κεφάλαιο 1 Η ιστορική διαδρομή διαμόρφωσης της έννοιας της συνάρτησης Η έννοια της συνάρτησης είναι μία από τις θεμελιώδης έννοιες των μοντέρνων Μαθηματικών, η οποία διατρέχει όλες τις περιοχές του αντικείμενου (Eiseberg, 1991). Είναι τόσο αρχαία όσο και τα Μαθηματικά, εφόσον ανάγεται στην τάση του ανθρώπου να κάνει συσχετίσεις μεταξύ των μεγεθών (Σπύρου&Γαγάτσης,2008). Α- κολούθησε μία μακριά εξελικτική πορεία, η ολοκλήρωση της οποίας πραγματοποιήθηκε μόλις πρόσφατα στα μέσα του 20 ου αι.. Η πορεία καθορίστηκε από τις ανάγκες της μαθηματικής έρευνας της εκάστοτε εποχής (Malik,1980) και «όχι από κάποια α- χρείαστη τάση αφηρημένης μαθηματικής γενίκευσης» (Νεγρεπόντης, Γιωτόπουλος, Γιαννακούλιας, 1987). Οι Βαβυλώνιοι, οι Σουμέριοι και η συνάρτηση Η χρήση συναρτησιακών σχέσεων μπορεί να ανιχνευθεί σε βάθος χιλιετιών, στους πρώτους κιόλας ανθρώπους, εφόσον η διαδικασία της αρίθμησης είναι μία α- ντιστοιχία μεταξύ των αντικειμένων και των αριθμών, όπως και οι τέσσερις βασικές πράξεις που είναι συναρτήσεις δυο μεταβλητών (Ponte,1992). Με μία πιο ευρύτερη οπτική ως συναρτήσεις μπορούν να θεωρηθούν οι πίνακες πού είχαν συντάξει οι Σουμέριοι για τον υπολογισμού των πολλαπλασίων κάποιου αριθμού και οι οποίοι συνδυάζονταν συχνά από ένα πίνακα αντιστρόφων και ένα πίνακα τετραγώνων (Van Der Waerden, 2007).Αλλά και οι πίνακες των Βαβυλωνίων πού περιείχαν τους αντιστρόφους, τα τετράγωνα, τους κύβους, τις τετραγωνικές ρίζες, κυβικές ρίζες κα (Kleiner1989,Ponte1992). Επιπλέον οι Βαβυλώνιοι είχαν πινακοποιήσει αστρονομικές παρατηρήσεις σχετικές με τη θέση των πλανητών σε αντιστοιχία με το χρόνο (Kleiner 1989,Σπύρου & Γαγάτσης,2008). Τα δεδομένα αυτά αξιοποιήθηκαν αργότερα από Έλληνες αστρονόμους. Δεν μπορούμε όμως να ισχυριστούμε ότι η έννοια της συνάρτησης ήταν παρούσα στα Βαβυλωνιακά μαθηματικά από το γεγονός και μόνο ότι ασχολήθηκαν με κάποιες συναρτήσεις. Οι Έλληνες και η συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης με τη μορφή του πίνακα τιμών απαντάται και στα ελληνικά μαθηματικά, ιδίως στους πίνακες για τα μήκη χορδών των αντίστοιχων τόξων ενός κύκλου, πού πρώτος συνέταξε ο Ίππαρχος (150 π.χ.) στο έργο του Περί των εν κύκλω ευθειών για τον υπολογισμό του χρόνου ανατολής και δύσης των απλανών αστέρων και ζωδίων(van Der Waerden, 2007). Αντίστοιχους πίνακες είχε καταρτίσει και ο Πτολεμαίος (150 μ.χ.) στην Αλμαγέστη,ο οποίος υπολόγισε με μεγάλη ακρίβεια τα μήκη των χορδών των τόξων 1 ο, 2 ο ως το 180 ο κατασκευάζοντας ουσιαστικά πίνακα που αντιστοιχεί στον πίνακα τιμών της συνάρτησης του ημιτόνου (Kleiner 1991, Van Der Waerden, 2007). Γενικά η έννοια της συνάρτησης δεν είχε συνειδητοποιηθεί από τους Αρχαίους Έλληνες Μαθηματικούς,και επομένως δεν συμμετείχαν στην ανάπτυξη της έννοιας, κυρίως για δύο λόγους. Πρώτον γιατί το ενδιαφέρον τους ήταν στραμμένο σε γεωμετρικά σχήματα όπως τρίγωνα και κωνικές τομές, η μελέτη των οποίων δεν α- παιτούσε την εισαγωγή της,(νεγρεπόντης,κ.α.1987) όπως θα συνέβαινε στην περίπτωση πού θα μελετούσαν γενικές καμπύλες. Αντίστοιχα ο Boyer(1959) αναφέρει: «Οι Έλληνες γεωμέτρες ασχολούνταν κυρίως με τη μορφή παρά με την μεταβολή με αποτέλεσμα να μην αναπτυχθεί η έννοια της συνάρτησης». Μόνο ο Αρχιμήδης πλησίασε την έννοια της συνάρτησης εφόσον «στο έργο του περί σφαίρας και κυλίνδρου Α ορίζει τα αξιώματα κυρτότητας για μία καμπύλη, και επομένως βρίσκεται πολύ κοντά στο γενικό ορισμό της κυρτής συνάρτησης» (Νεγρεπόντης,κ.α., 1987). Ο δεύτερος λόγος είναι η κυριαρχία της έννοιας του λόγου. Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνδεμένη με την ανάγκη για μέτρηση, όμως στα αρχαία Ελληνικά Μαθηματι- 15

16 κά κυριαρχούσε η έννοια του λόγου η οποία δεν παρέπεμπε άμεσα στη μέτρηση (Σπύρου&Γαγάτσης, 2008). Είναι χαρακτηριστικό ότι μέσω του λόγου και των αναλογιών εκφράστηκαν μαθηματικές σχέσεις πού σήμερα τις θεωρούμε ως συναρτησιακές (Kleiner,1989). Παράδειγμα είναι η σχέση της διαμέτρου με το εμβαδό του κύκλου και η οποία σήμερα εκφράζεται μέσα από τη σχέση Ε=πρ 2 ενώ στα Στοιχεία του Ευκλείδη (300 πχ) δίνεται μέσα από την αναλογία: «Οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα.» (ΒιβλίοΧΙΙ, πρόταση 2) δηλ ο λόγος των εμβαδών δύο κύκλων είναι ίσος με το λόγο των τετραγώνων των διαμετρών τους. Με τη χρήση της έννοιας του λόγου εκφράστηκε από τους Πυθαγόρειους ίσως και ο πρώτος μαθηματικός νόμος της φυσικής: η σχέση του μήκους μίας μεταλλικής χορδής με τον παραγόμενο ήχο (Kleiner,1989). Οι Άραβες,οι Ινδοί και η συνάρτηση Οι Άραβες αλλά και οι Ινδοί θεωρούσαν τους εαυτούς τους πρωτίστως αστρονόμους και δευτερευόντως μαθηματικούς, με συνέπεια να αντιμετωπίζουν τα μαθηματικά ως εργαλείο για την μελέτη της αστρονομίας. Επομένως ήταν αναπόφευκτη η ενασχόλησή τους με την τριγωνομετρία (Eves, 1953) και έμμεσα με την έννοια της συνάρτησης. Οι Ινδοί Μαθηματικοί,από τον 7 ο αιώνα με τον Βραχμαγκούπτα έως τον 12 ο αιώνα με τον Μπασκάρα, προσέγγισαν την έννοια της συνάρτησης έμμεσα, στο πλαίσιο της μελέτης της αστρονομίας, όπου συνέταξαν πίνακες όχι χορδών όπως οι Έλληνες μαθηματικοί, αλλά πίνακες μισών χορδών,υπολογίζοντας έτσι στη πραγματικότητα τα ημίτονα των αντίστοιχων γωνιών (Eves, 1953). Ομοίως και οι Άραβες μαθηματικοί συνέταξαν πίνακες υπολογισμού των ημιτόνων με μεγαλύτερη πυκνότητα (ανά 15 της μοίρας), συγκεκριμένα ο Abul-Wefa ( ) ο οποίος και εισήγαγε για πρώτη φορά τη συνάρτηση εφαπτομένη. Η μελέτη της κίνηση και η συνάρτηση Στην ιστορική πορεία της ανάπτυξης των Μαθηματικών θα ξανασυναντήσουμε τις συναρτησιακές σχέσεις το 13 ο και 14 ο αιώνα, στο Παρίσι και την Οξφόρδη, στην προσπάθεια των δύο κύριων σχολών της Φυσικής Φιλοσοφίας να μελετηθεί η κίνηση, και ιδιαίτερα η επιταχυνόμενη κίνηση «μέσα από τα μαθηματικά και την ποσοτική διατύπωση των νόμων της κίνησης» (Γιαννακούλιας 2007, Kleiner 1989). Ε- κεί τέθηκαν για πρώτη φόρα τα προβλήματα εκείνα, που για τη λύση τους είναι απαραίτητο να επινοηθεί η έννοια της συνάρτησης. Για την επίτευξή του στόχου της ποσοτικοποίησης φυσικών μεγεθών οι μαθηματικοί και φιλόσοφοι της εποχής μετακινήθηκαν από την αρχαιοελληνική έννοια του λόγου στην έννοια του ratio, δηλαδή «σε μία υπολογιστική σχέση με αριθμητικό αποτέλεσμα, καθόσον η αναγέννηση βλέπει τις φυσικές οντότητες ως res extensa «μεγέθη εκτατά και μετρούμενα»(σπύρου& Γαγατσης,2008). Η ταχύτητα είναι ένα τέτοιο φυσικό μέγεθος που για να μετρηθεί θα χρησιμοποιηθεί ο λόγος της απόστασης προς το χρόνο. Σύμφωνα με τους φιλοσόφους της εποχής η ταχύτητα είναι ποιότητα στην οποία πρέπει να αποδοθεί μια αριθμητική τιμή, η ένταση (Intensio) ή πλάτος (latitudo), και για το σκοπό αυτό πρέπει να μελετηθεί η σχέση πού υπάρχει ανάμεσα στην ένταση της ποιότητας και μίας αμετάβλητης μορφής, της έκτασης(extensio) ή μήκους (longitudo), δηλ της απόστασης ή του χρόνου (Γιαννακούλιας,2007). Αναπτύχθηκε έτσι η θεωρία των Latitude of forms, όπου ως form μπορεί να θεωρηθεί οποιαδήποτε ποιότητα που επιδέχεται κάποια μεταβολή (Boyer,1959). Στο πλαίσιο αυτό οι ερευνητές του Κολεγίου του Merton της Οξφόρδης απέδειξαν τον «κανόνα της μέσης ταχύτητας του Merton»: Μία ομαλά επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη κίνηση είναι ισοδύναμη, όσον αφορά το διάστημα που διανύεται σε δοθέντα χρόνο, με μια ομαλή κίνηση στην οποία η ταχύτητα είναι ίση καθ όλη τη διάρκεια, με τη στιγμιαία ταχύτητα στο μέσον του χρόνου της ομαλά επιταχυνόμενης ή 16

17 επιβραδυνομένης κίνησης. Στο Παρίσι ο γάλλος σχολαστικός Nikola Oresme ( ) για να οπτικοποιήσει τη μεταβολή στη θεωρία των latitude of forms χρησιμοποίησε τη γεωμετρία και αναπαράστησε την ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με μία γραφική παράσταση, η οποία ήταν η πρώτη γραφική αναπαράσταση ενός νόμου της φυσικής (Kleiner,1993).«Ουσιαστικά ανέπτυξε την ιδέα της αναπαράστασης της συναρτησιακής σχέσης μεταξύ ταχύτητας και χρόνου από μία καμπύλη» (Γιαννακούλιας,2007). Με την αναπαράσταση της κίνησης των σωμάτων έδωσε και μία γεωμετρική απόδειξη του θεωρήματος της μέσης ταχύτητας. Ο Oresme χρησιμοποιεί ένα είδος συστήματος συντεταγμένων όπου η οριζόντια γραμμή αναπαριστούσε το «μήκοςlongitude» της ποιότητας (το χρόνο) και αντιστοιχεί στην τετμημένη, ενώ η κατακόρυφη γραμμή την ένταση ή latitude της μορφής ( τη ταχύτητα) και αντιστοιχεί στην τεταγμένη, καταφέρνοντας έτσι να παραστήσει γεωμετρικά τη μεταβολή, και συγκεκριμένα τη μεταβολή της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο. Η ιδέα του Oresme λειτούργησε θετικά για την ανακάλυψη της Αναλυτικής Γεωμετρίας,στην οποία η εξίσωση μίας καμπύλης αποτελούσε για το Fermat την «ειδική ιδιότητά της», χωρίς όμως ο Oresme να διαθέτει την οπτική της εξίσωσης στη γεωμετρική αναπαράσταση της μεταβολής της ταχύτητας, αλλά μία θεώρηση περισσότερο συνεπή στην παράδοση των Αρχαίων οι οποίοι θεωρούσαν τους αριθμούς ως διακριτούς και τα γεωμετρικά μεγέθη ως συνεχή (Boyer,1959). Γενικά η προσέγγιση της έννοιας της συνάρτησης από τους μαθηματικούς του μεσαίωνα δεν περιλάμβανε την πτυχή της έννοιας ως αριθμητική εξάρτηση μίας ποσότητας σε μία άλλη όπως στον Descartes (Cajory, 1980). O Galileo Galilei ( ) (Γαλιλαίος) χρησιμοποίησε τα Μαθηματικά με καινοτόμο τρόπο στη μελέτη φυσικών φαινομένων, μεταφράζοντας νόμους Φυσικής στη γλώσσα των Μαθηματικών. Παρόλο που κινήθηκε εντός του πλαισίου της θεωρίας λόγων μεγεθών του Ευδόξου, κατάφερε να ξεφύγει από τη στατικότητα των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών και να τα εισάγει στην μελέτη της κίνησης, συνδέοντας με σχέση λόγου την απόσταση με το χρόνο, ποσοτικοποιώντάς έτσι την κίνηση με αριθμούς. Ο Γαλιλαίος απέρριψε την Αριστοτελική άποψη ότι τα βαρύτερα σώματα πέφτουν γρηγορότερα σε σχέση με τα ελαφρύτερα και διατύπωσε το 1604 τον νόμο για την πτώση των σωμάτων. Σε επιστολή στον Paulo Sarpi γράφει «οι αποστάσεις που διανύει ένα σώμα που κινείται με φυσική κίνηση είναι ανάλογες με τα τετράγωνα των χρόνων», εκφράζοντας τη συναρτησιακή σχέση s=1/2gt 2,όχι με τη σύγχρονη έννοια της συνάρτησης, αλλά ως αναλογία s 1 /s 2 =t 1 2 /t 1 2 πιστός στο πνεύμα του Ευδόξου (Γιανακούλιας,2007) πού όμως περιέχει την συνειδητοποίηση της κίνησης ως σχέση μεταξύ μεταβλητών μεγεθών. Η ανάπτυξη της συμβολικής Άλγεβρας και η συνάρτηση Σημαντικό ρόλο στην πορεία προς την διαμόρφωση της έννοιας της συνάρτησης διαδραμάτισε ο François Vieta ( ) δίνοντας ώθηση στην ανάπτυξη της συμβολικής Άλγεβρας. Τα γράμματα στην άλγεβρα είχαν ήδη χρησιμοποιηθεί από τους Regiomontanus( ),Michael Stiffel( ) και Jerolamo Cardano( ) όμως ο Vietta ήταν αυτός πού τα ενσωμάτωσε στην Άλγεβρα ως οργανικό της κομμάτι. Διαχώρισε τις γνωστές ποσότητες (γνωστοί παράμετροι) από τις άγνωστες ποσότητες (άγνωστες μεταβλητές) σε μία εξίσωση, αναπαριστώντας τις πρώτες με τα σύμφωνα της αλφαβήτου και με τα φωνήεντα τις γνωστές ποσότητες (Νεγρεπόντης, Eves).Χρησιμοποίησε το ίδιο γράμμα για να υποδηλώσει τις δυνάμεις μίας ποσότητας π.χ. τα σημερινά x, x 2, x 3 ως Α, Α quadratum, A cubum ή A, Aq Ac (Eves,1953). Διαχώρισε την Αριθμητική ( logistica numerosa) από την Άλγεβρα (logistica speciosa),επιτρέποντας στην Άλγεβρα υπολογισμούς με γράμματα και όχι μόνο με αριθμούς. Με συνέπεια να δώσει τεράστια ώθηση στην πορεία προς την α- 17

18 νάπτυξη της αναλυτικής γεωμετρίας και του Απειροστικού Λογισμού, επιτρέποντας τις έννοιες της μεταβολής (variation ) και της συνάρτησης να εισέλθουν στην αλγεβρική σκέψη (Boyer, 1959).Ο Vietta ήταν ο πρώτος πού εισήγαγε αλγεβρικούς μετασχηματισμούς στην τριγωνομετρία εκφράζοντας συνnθ ως συνάρτηση του συνθ για n=0.9 αλλά και στη Γεωμετρία, συνεισφέροντας με αυτόν τον τρόπο στην έρευνα σχετικά με τα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας, δείχνοντας ότι τόσο η τριχοτόμηση μίας γωνίας όσο και ο διπλασιασμός του κύβου εξαρτώνται από τη επίλυση τριτοβάθμιας εξίσωσης. Η αναλυτική Γεωμετρία και η συνάρτηση Η ουσιαστική εισαγωγή της Άλγεβρας στην Γεωμετρία πραγματοποιήθηκε με την ανακάλυψη της Αναλυτικής Γεωμετρίας.Την Αναλυτική Γεωμετρία την ανακάλυψαν, ο Rene Descartes ( ) και ο Pierre de Fermat ( ) σχεδόν ταυτόχρονα και ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, εκκινώντας όμως από διαφορετικές αφετηρίες. Ο Descartes στο έργο του Discours de la methode pour bien conduire sa raison et chercher la varite dans le science (1637 ) και στο παράρτημα la Geometrie παρουσιάζει μια γεωμετρική μέθοδο, τη μέθοδο των συντεταγμένων (αναλυτική γεωμετρία) με την οποία ένα γεωμετρικό πρόβλημα μετατρέπεται σε αλγεβρικό και αντίστροφα. Η ανάπτυξη της κινηματικής από τους επιστήμονες της εποχής του 17 ου αι.(γαλιλαίος, Κέπλερ) και η χρήση των μεταβλητών μεγεθών για την περιγραφή διαφορετικών κινήσεων, επηρέασε τον Descartes ώστε να εισάγει με την καρτεσιανή γεωμετρία τη γενική έννοια του μεταβλητού μεγέθους (Γιαννακούλιας, 2007). Η μεταβλητή x στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά αντιστοιχούσε στο μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος, το x 2 στο εμβαδό ενός τετραγώνου πλευράς x και το x 3 στον όγκο ενός κύβου ακμής x 3 1 x. O Descartes όμως μέσω της αναλογίας αντιλαμβάνονταν το x 2 ως το μήκος της τετάρτου αναλόγου το οποία και εύκολα κατασκευάζεται, 2 x x έτσι το γεωμετρικό αντίστοιχο του x 2 δεν είναι το τετράγωνο αλλά η παραβολή (Γιαννακούλιας, Eves). Στη geomertie ο Descartes αντιμετωπίζει γεωμετρικά προβλήματα παρόμοια με αυτά των Αρχαίων και προσπαθεί να τα επιλύσει. με τη βοήθεια της Άλγεβρας. Αυτό το καταφέρνει με την επινόηση του Καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων όπου σε έναν άξονα σημειώνει το μήκος x και στη συνέχεια υπό συγκεκριμένη γωνία σημειώνει το αντίστοιχο μήκος y.με τον τρόπο αυτό καταφέρνει να αντιστοιχίσει τα σημεία του επίπεδου με τις συντεταγμένες του, μετατρέποντας έτσι το γεωμετρικό πρόβλημα σε αλγεβρικό καθώς οι καμπύλες πλέον είναι γεωμετρικοί τόποι σημείων πού οι συντεταγμένες τους ικανοποιούν την εξίσωση.( Eves, Γιαννακούλιας, Νεγρεπόντης). Σε αντίθεση με τον Descartes ο οποίος προσπαθούσε να βρει την εξίσωση της καμπύλης, ο Fermat διέθετε την εξίσωση και μελετούσε την καμπύλη, λειτουργώντας συμπληρωματικά ο ένας με τον άλλον σε σχέση με τις δύο πτυχές της Αναλυτικής Γεωμετρίας. Η εισαγωγή της Άλγεβρας στη Γεωμετρία και οι μέθοδοι του Vietta ήταν γνωστοί στο Fermat ο οποίος και τις εφάρμοσε στην Αναλυτική Γεωμετρία. Μέχρι το 17 ο αιώνα η έννοια της συνάρτησης αναπτύχθηκε κυρίως μέσα από την μελέτη των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και των λογαριθμικών συναρτήσεων καθώς επίσης από την ανάπτυξη της συμβολικής άλγεβρας. Οι μαθηματικοί της προηγούμενης περιόδου, παρόλο πού οι ίδιοι δεν είχαν συνείδηση της έννοιας της συνάρτησης, με τις ανακαλύψεις τους προλείαναν το έδαφος για την ανάδυση της. Μέχρι εκείνη τη στιγμή η έννοια της συνάρτησης είχε εμφανιστεί ως πίνακας τιμών, λεκτικά, ως γραφική παράσταση αλλά και κινηματικά. Η αναλυτική έκφραση της έννοιας εμφανίζεται στο τέλος του 17 ου αι. με την ανακάλυψη της Αναλυτικής Γεωμετρίας. 18

19 Η γέννηση του Απειροστικού Λογισμού και η συνάρτηση. Ταυτόχρονα με την κυοφορία της έννοιας της συνάρτησης ολόκληρη η προηγούμενη περίοδος υπήρξε και περίοδος κυοφορίας του Απειροστικού Λογισμού, του οποίου η ανάπτυξη θα καθιστούσε επιτακτική την ανάγκη για την εισαγωγή της έννοιας τη συνάρτησης. Ο Απειροστικός Λογισμός ανακαλύφθηκε από τον Isaac Newton ( ) κάπου μεταξύ του 1665 και 1666, όπως ο ίδιος λέει, και ανακοινώθηκε το 1669 σε ένα στενό κύκλο φίλων του με την πραγματεία De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas,όπου πρωτοπαρουσιάζεται εν μέρει η αρχή των fluxion (ροή) που αντιστοιχεί στην σημερινή έννοια της παραγώγου ή του ρυθμού μεταβολής. Το 1671 εμφανίστηκε στην πραγματεία του Methodus fluxionum et sererum ifinitarum (δημοσιεύτηκε το 1739) ολοκληρωμένη η μέθοδος των ροών (Method of fluxions ) και τα fluents (ρεόντα) (Γιανακούλιας, Cajori) που είναι οι μεταβλητές ποσότητες και αντιστοιχούν στις σημερινές εξαρτημένες μεταβλητές αλλά και στο σημερινό ολοκλήρωμα. Η μέθοδος των ροών (fluxions) του Newton δεν ήταν Απειροστικός Λογισμός συναρτήσεων διότι η μέθοδός του εφαρμόζεται σε ρέοντα (fluents) και όχι σε συναρτήσεις. Τα ρέοντα είναι οι μεταβαλλόμενες ποσότητες οι οποίες αναπαριστώνται γεωμετρικά ως η τεταγμένη ενός σημείου πού «ρέει» κατά μήκος μίας καμπύλης (Kleiner, 1993) σε συνάρτηση πάντοτε με το χρόνο. Οι μεταβλητές, τόσο η τετμημένη όσο και η τεταγμένη, μεταβάλλονται σε συνάρτηση με το χρόνο. «Η μέθοδος των ροών θεωρούνταν ως βολικές διαδικασίες για τη επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων. Παρόλο πού τα αποτελέσματα συνήθως εκφράζονταν σε αλγεβρική μορφή, βασίζονταν κυρίως στη γεωμετρία των αρχαίων παρά σε αριθμητικές αντιλήψεις» (Βoyer,1949) Η έννοια της συνάρτησης στον Newton είχε άμεση σχέση με γεωμετρικές ή μηχανικές ιδέες δηλ πχ η λογαριθμική συνάρτηση αντιστοιχούσε στο εμβαδό της υπερβολής. Η κυριότερη συνεισφορά του Newton σε σχέση με την έννοια της συνάρτησης ήταν η άποψη του ότι όλες οι συναρτήσεις μπορούν να αναπαρασταθούν με δυναμοσειρές, οπότε με αυτό τον τρόπο μπορούσαν να εκφραστούν υπερβατικές συναρτήσεις ως άπειρο άθροισμα δυνάμεων του x και κατά συνέπεια θα μπορούσαν να παραγωγιστούν όρο με όρο. (Kleiner,1989) Παράλληλα με τον Newton και ο Gottfried W. Leibniz( ) έφτασε στην ανακάλυψη του Απειροστικού Λογισμού. Η λέξη συνάρτηση (function) χρησιμοποιήθηκε από τον Leibniz για πρώτη φορά το 1673 στο χειρόγραφο (Methodus tangentium inversa, seu de functionibus) για να ο- νομάσει οποιοδήποτε μέγεθος πού σχετίζεται με μία καμπύλη και μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο όπως το μήκος της υποεφαπτομένης ή της υποκαθέτου τα οποία ονομάζει «γραμμές που εκπληρώνουν κάποια «λειτουργία» function σε σχέση με την καμπύλη» ( Βασάκος,2010). Η χρήση του όρου συνάρτηση από το Leibniz είναι διαφορετική από τη σημερινή χρήση. Είναι χαρακτηριστικό ότι στο σύστημα συμβόλων, τους διαφορικούς λόγους ο Leibniz τους θεωρούσε πηλίκα και τα ολοκληρώματά του ως αθροίσματα και όχι όρια συγκεκριμένων συναρτήσεων με τη σύγχρονη σημασία (Boyer,1959). Τόσο ο Newton όσο και ο Leibniz ανέπτυξαν αλγορίθμους για να αντιμετωπίσουν προβλήματα όπως η εύρεση εφαπτομένης μία καμπύλης, εμβαδά κάτω από μία καμπύλη κ.α., τα οποία βασίζονταν στην αναπαράσταση των καμπυλών με εξισώσεις και όχι με συναρτήσεις. Σύμφωνα με τον Child (1920) o Leibniz λίγο πριν το τέλος της ζωής του πρέπει να είχε φτάσει στην αλγεβρική έννοια της συνάρτησης γεγονός πού προκύπτει από την αλληλογραφία του Leibniz με τον John Bernoulli. Στις 2 Σεπ. του 1694 σε ένα γράμμα του στο Leibnitz, ο Bernoulli περιγράφει τη συνάρτηση ως : «μία ποσότητα που σχηματίζεται από απροσδιόριστες και σταθερές ποσότητες» και το 1698 σε ένα άρθρο του για ισοπεριμετρικά προβλήματα ο Bernoulli πάλι γράφει «συνάρτηση τε- 19

20 ταγμένων» (function of ordinates) και ο Leibniz του απαντάει «χαίρομαι πού χρησιμοποιείς τον όρο συνάρτηση με το δικό μου τρόπο» (O Connor,Robertson,2005). Τα έξι ευθύγραμμα τμήματα πού σχετίζονται με τη λέξη «συνάρτηση» στην μελέτη της παραβολής κατά τον Leibniz PO= Τεταγμένη, AO=τετμημένη, PT= εφαπτομένη, OT= υποεφαπτομένη, PN = κάθετος, ON= υποκάθετος Ενώ το 1718 o John Bernoulli στο Memoires de l'academie des Sciences de Paris ορίζει τη συνάρτηση ως «μία ποσότητα πού συντίθεται με οποιοδήποτε τρόπο από μία μεταβλητή και κάποιες σταθερές» (on apelle ici fonction d une grandeur variable, une quantite composee de quelque maniere que ce soit de cette grandeur variable et de constants) (Cajory,1980 ) χωρίς να εξηγεί τι σημαίνει να συντίθεται με οποιοδήποτε τρόπο αλλά από τα συμφραζόμενα μπορούμε να υποθέσουμε ότι εννοούσε μία αλγεβρική έκφραση.(kleiner,1993). Ένας σαφής ορισμός για την έννοια της συνάρτησης δόθηκε από τον James Gregory( ) στο Vera Circuliet Hyperbolae Quadrarura (1667),αλλά αγνοήθηκε από τους μαθηματικούς της εποχής ίσως διότι οι συναρτήσεις την εποχή εκείνη παριστάνονταν με σειρές,και ήταν ο εξής: «συνάρτηση είναι μία ποσότητα πού προκύπτει από άλλες ποσότητες με μία σειρά από αλγεβρικές πράξεις ή με κάθε άλλη νοητή πράξη», όπου με την τελευταία φράση εννοούσε, όπως ο ίδιος επεξήγησε, ότι είναι αναγκαίο να προσθέσει κανείς στις πράξεις της Άλγεβρας και μία άλλη πράξη, αυτή που μας περνάει στο όριο (Suzuki,2002). Η συνάρτηση ως αναλυτική έκφραση Μπορούμε να πούμε ότι η έννοια της συνάρτησης ήταν αποτέλεσμα της ανάπτυξης της κινηματικής από τους επιστήμονες των αρχών του 17 ου αι. (Γαλιλαίου, Κέπλερ), και της εισαγωγής της γενικής έννοιας του μεταβλητού μεγέθους από τον Decartes. Το αποτέλεσμα ήταν η αντικατάσταση της γλώσσας των μαθηματικών από τη γλώσσα της μηχανικής, και η κυριαρχία της γεωμετρικής αναπαράστασης. Στο πλαίσιο αυτό ο J.Napier ( ) όρισε τη λογαριθμική συνάρτηση χρησιμοποιώντας ευθύγραμμες κινήσεις σημείων.o Απειροστικός Λογισμός του Newton μελετούσε μεγέθη,που σχετίζονταν με την κίνηση (όπως ταχύτητα και επιτάχυνση),σε συνάρτηση με το χρόνο. Ενώ για τον Leibniz, τουλάχιστον αρχικά, η συνάρτηση ήταν σχέση ανάμεσα σε ευθύγραμμα τμήματα, πού σχετίζονταν με σημεία μίας καμπύλης. 20

21 Μετά από αυτή τη μακριά περίοδο πού υπήρξε προπαρασκευαστική για την έννοια της συνάρτησης ο Euler( ) το 1748 στο έργο του Ιntroductio in analysin infinitorum, πραγματοποιεί το διαχωρισμό της Ανάλυσης από τη Γεωμετρία με την αντικατάσταση της έννοιας της γεωμετρικής μεταβλητής από την έννοια της συνάρτησης. Στο έργο αυτό έδωσε τον ορισμό της συνάρτησης ως αναλυτική έκφραση (αλγεβρικό τύπος) απαλλάσσοντας έτσι την έννοια από τη γεωμετρικά και κινηματικά στοιχεία. Ο ορισμός είναι ο εξής: «Συνάρτηση μίας μεταβλητής ποσότητας είναι μία αναλυτική έκφραση πού συντίθεται με οποιοδήποτε τρόπο από μία μεταβλητή ποσότητα και αριθμούς ή σταθερές ποσότητες». Ο Euler δεν ορίζει την έννοια αναλυτική έκφραση αλλά από τα συμφραζόμενα ο αναγνώστης καταλαβαίνει ότι εννοεί μία αλγεβρική έκφραση πού αποτελείται από τις τέσσερις γνωστές πράξεις υπονοώντας έτσι ότι αναλυτική έκφραση είναι ο αλγεβρικός τύπος (Kleiner 1989). Μέχρι εκείνη τη στιγμή οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις θεωρούνταν από τους μαθηματικούς της εποχής ως ευθύγραμμα τμήματα πού σχετίζονταν με τον κύκλο. Ο Euler στην παραπάνω εργασία αντιμετωπίζει τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ως αριθμητικούς λόγους και συνδέει τη λογαριθμική συνάρτηση με τη εκθετική, εισάγοντας έτσι τη σύγχρονη συναρτησιακή αντίληψη για τις προαναφερθείσες συναρτήσεις. Χαρακτηριστικά ο Kleiner αναφέρει ότι σε αυτό το έργο παρόλο πού μελετάει τριγωνομετρικές και λογαριθμικές συναρτήσεις δεν υπάρχει ούτε ένα γεωμετρικό σχήμα. Στο «introductio» η έννοια της συνάρτησης γίνεται κεντρική για την ανάλυση εφόσον το αντικείμενο πλέον της μελέτης δεν είναι οι καμπύλες και οι ιδιότητες τους αλλά ιδιότητες συναρτήσεων με την αλγεβρική τους μορφή. Σύμφωνα με το Hawkins: «Αν και η έννοια της συνάρτησης δεν προέρχεται από τον Euler, ήταν αυτός που της έδωσε προεξάρχοντα ρόλο, αντιμετωπίζοντάς την Ανάλυση ως μία τυπική θεωρία των συναρτήσεων» (στο Kleiner,1993). Έτσι η συνάρτηση παίρνει τη μορφή του υπολογιστικού εργαλείου πού είναι απαραίτητο για την Ανάλυση. Πέρα από τον ορισμό της έννοιας στον Εuler ανήκει και ο συμβολισμός y= f(x). Η συνάρτηση και το πρόβλημα της παλλόμενης χορδής Στο μεταξύ ο Jean-Baptiste le Rond D Alembert( ) στην προσπάθειά του να μοντελοποιήσει την κίνηση της παλλόμενης χορδής καταλήγει στο συμπέρασμα ότι η συνάρτηση πού την περιγράφει είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης 2 2 y 2 y a, με a σταθερό όπου το y αντιπροσωπεύει την απομάκρυνση από τη 2 2 t x θέση ισορροπίας, x απόσταση από την αρχή, και t τον χρόνο. Η λύση πού έδωσε είναι: y=φ(x+t)+φ(x-t), όπου φ(x) αυθαίρετη συνάρτηση πού εκφράζει την αρχική θέση της χορδής. Ο D Alembert ισχυρίσθηκε ότι η λύση πού βρήκε για τη διαφορική εξίσωση ήταν η πιο γενική, έχοντας όμως στο μυαλό του ότι η φ πρέπει να δίνεται από ένα αλγεβρικό τύπο. Πάνω σε αυτό τον ισχυρισμό ξεκίνησε ένα διάλογος μεταξύ Euler, D Alembert, Bernoulli σχετικά με τη φύση της έννοιας της συνάρτησης, όπου στην πραγματικότητα αποτυπώνονται οι αντιλήψεις πού επικρατούσαν σχετικά με την έννοια αλλά και οι δυσκολίες στη διαμόρφωση της έννοιας. Την εποχή πού διαμορφώνονταν η έννοια και κατά συνέπεια και ο ορισμός της, δεν υπήρχε καθολική συμφωνία για το τι ακριβώς περιλαμβάνεται στην έννοια της συνάρτησης και δη της συνάρτησης ως αναλυτική έκφραση. Ο Euler ταξινομούσε τις συναρτήσεις χρησιμοποιώντας τους όρους συνεχής,μικτή και ασυνεχής συνάρτηση με διαφορετική όμως σημασία από τη σημερινή. Η κλάση των συνεχών αποτελούνταν από συναρτήσεις πού 21

22 δίνονταν από ένα μοναδικό αλγεβρικό τύπο, οι μικτές από συναρτήσεις με πολλούς κλάδους ενώ η κλάση των ασυνεχών περιλάμβανε τις μικτές και τις συναρτήσεις των οποίων το γράφημα είναι μία καμπύλη αυθαίρετα σχεδιασμένη(o Connor, Robertson, 2005). Αντίθετα οι μαθηματικοί της εποχής δεν θεωρούσαν ως συναρτήσεις τις πολύκλαδες καθώς επίσης ότι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων ήταν ολόκληρο το R με εξαίρεση ίσως ένα πεπερασμένο πλήθος σημείων. Μια επιπλέον πεποίθηση η οποία σχετίζεται με τη συνάρτηση και το πρόβλημα της παλλόμενης χορδής είναι η εξής: Αν δύο αναλυτικές εκφράσεις συμφωνούν σε ένα διάστημα τότε συμφωνούν παντού. Η συζήτηση πού ξεκίνησε μεταξύ Euler,D Alembert, D.Bernoulli με αφορμή το πρόβλημα της παλλόμενης χορδής, και πού στην ουσία αφορούσε τη φύση της έννοιας της συνάρτησης είχε ως αποτέλεσμα την επέκταση της έννοιας ώστε να περιλάβει και τις πολύκλαδες συναρτήσεις αλλά και τις συναρτήσεις πού σχεδιάζονταν αυθαίρετα και που μπορεί να μην υπήρχε αλγεβρικός τύπος για τις εκφράσει. Το 1755 ο Euler στο έργο του «Institutiones calculi differentialis» διατυπώνει ένα πιο αφηρημένο ορισμό πού φανερώνει τη θεώρηση της συνάρτησης ως σχέση εξάρτησης:«αν μερικές ποσότητες εξαρτώνται από πολλές ποσότητες, ώστε όταν οι δεύτερες μεταβληθούν μεταβάλλονται και οι πρώτες, τότε οι πρώτες ποσότητες καλούνται συναρτήσεις των πρώτων, έτσι αν το x συμβολίζει μία μεταβλητή ποσότητα, τότε όλες οι ποσότητες πού με οποιοδήποτε τρόπο καθορίζονται από αυτή καλούνται συναρτήσεις του x». Με αυτό τον ορισμό μπορούν να συμπεριληφθούν και συναρτήσεις πού δεν είναι δυνατόν να εκφραστούν αναλυτικά και κατά συνέπεια «ο Euler φτάνει στο σύγχρονο γενικό ορισμό της συνάρτησης» (Νεγρεπόντης,κ.α.1987). Ο ισχυρισμός του Fourier και η συνάρτηση Η συζήτηση πού διεξήχθη μεταξύ των μαθηματικών του 18 ου αι. σχετικά με τη φύση της έννοιας ως προς το εύρος των μαθηματικών αντικειμένων πού μπορούν να χαρακτηριστούν ως συναρτήσεις συνεχίστηκε και τον 19 ο αι. Ο επόμενος σταθμός στην πορεία της διαμόρφωσης της έννοιας της συνάρτησης ήταν το πρόβλημα της διάδοσης της θερμότητας στο έργο του J. Fourier ( ), Analitique de la Chalier το οποίο υποβλήθηκε στη Γαλλική Ακαδημία το 1807 και δημοσιεύθηκε το 1822, όπου ένα από τα ερωτήματα πού τέθηκαν ήταν τι επιτρέπουμε να περιλαμβάνει η έννοια συνάρτηση (Davis & Hersch,1981). Ο ισχυρισμός του Fourier ήταν ο εξής: «κάθε συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα μπορεί να γραφεί ως άπειρο άθροισμα συναρτήσεων του ημιτόνου και του συνημίτονου». Ο ισχυρισμός του Fourier αποδείχθηκε λάθος ως προς το εύρος των συναρτήσεων που καλύπτει, εφόσον ο J. Dirichlet το 1829 έθεσε τους περιορισμούς πού πρέπει να ικανοποιεί μία συνάρτηση ώστε να παριστάνεται με σειρά Fourier,όμως έθεσε σημαντικά ερωτήματα ως προς την φύση της έννοιας της συνάρτησης,τα οποία σύμφωνα με τον Kleiner (1993) είναι : α Είναι δυνατόν μία πολύκλαδή συνάρτηση να παρασταθεί από μία άλλη με μοναδική αλγεβρική έκφραση( Δηλαδή μία ασυνεχής συνάρτηση κατά Euler να παρασταθεί από μία συνεχή). β. Μία μη περιοδική συνάρτηση να μπει παρασταθεί ως ένα άθροισμα περιοδικών συναρτήσεων σε ένα κομμάτι του πεδίου ορισμού της. γ. συναρτήσεις το γράφημα των οποίων είναι παρουσιάζει γωνιακά σημεία ή άλματα παριστάνονται από «λείες» συναρτήσεις όπως το ημίτονο και το συνημίτονο. Έτσι για πρώτη φορά εμφανίζεται το πεδίο ορισμού ως σημαντικό συστατικό της έννοιας της συνάρτησης καθώς ανατρέπεται η πεποίθηση των μαθηματικών του 18 ου αι. ότι δύο συναρτήσεις με ίδια αναλυτική έκφραση σε ένα διάστημα θα συμφωνεί σε ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. 22

23 Ο σύγχρονος ορισμός της έννοιας από τον J. Dirichlet Η απόδειξη των ισχυρισμών του Fourier απαιτούσε την ουσιαστική κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης αλλά και των βασικών εννοιών σχετικές με αυτή ό- πως συνέχεια, σύγκλιση. Ο Johann Dirichlet ( ) διαγιγνώσκοντας την ανεπάρκεια του ορισμού της έννοιας πρότεινε νέο ορισμό: H μεταβλητή y είναι συνάρτηση της μεταβλητής x, ορισμένη σε ένα διάστημα a<x<b, αν σε κάθε τιμή της μεταβλητής x σε αυτό το διάστημα αντιστοιχεί μία συγκεκριμένη τιμή της μεταβλητής y.επίσης είναι άσχετο με ποιο τρόπο εγκαθίσταται αυτή η αντιστοιχία. (Kleiner, 1989). διαχωρίζοντας έτσι οριστικά την έννοια της συνάρτησης από την αναλυτική έκφραση αλλά και από την γεωμετρία,,αποκτώντας έτσι την απαραίτητη αυτονομία για να γίνει η έννοια κεντρική για όλους τους κλάδους των μαθηματικών. Ο ίδιος ο Dirichlet στην παρακάτω παράγραφο συνοψίζει και απαντάει σε όλα τα ζητήματα σχετικά με την έννοια, που έθεσαν οι προγενέστεροι μαθηματικοί: Δεν είναι απαραίτητο το y να υπόκειται στο ίδιο κανόνα αντιστοίχισης όσον αφορά το x σε όλο το διάστημα, πράγματι κάποιος δεν είναι απαραίτητο να εκφράσει τη σχέση μέσω μαθηματικών πράξεων..δεν πειράζει αν κάποιος την σκεφτεί [ την αντιστοιχία] έτσι ώστε διαφορετικά μέρη να δίνονται από διαφορετικούς νόμους ή να την ορίσει (την αντιστοιχία) χωρίς κανένα νόμο.αν η συνάρτηση είναι καθορισμένη μόνο για ένα τμήμα ενός διαστήματος, ο τρόπος με τον οποίο θα συμπεριφερθεί στο υπόλοιπο διάστημα είναι τελείως αυθαίρετος. (Davis & Herch, 1981). Με τον παραπάνω ορισμό η συνάρτηση απαλλάσσεται από αναφορές στον χρόνο ο οποίος υπεισέρχονταν στην έννοια μέσω της αναφοράς στη μεταβλητή εφόσον η μεταβλητή πλέον «ενέχει θέση νοητής επιλογής ενός στοιχείου του συνόλου των πραγματικών αριθμών α<x<b και είναι πλέον ανεξάρτητη από την εμμονή σε μία εποπτική είτε χρονική διάσταση» ( Frege, Ρουσσόπουλος στο Σπύρου &Γαγάτσης). Στο ορισμό του Dirichlet εντάσσεται το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ως οργανικό της κομμάτι αλλά και πρώτη φορά εμφανίζεται το μονοσήμαντο της τιμής του y κάνοντας έτσι σαφή το διαχωρισμό μεταξύ της εξίσωσης μία καμπύλης και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Ο ορισμός του Dirichlet επιτρέπει συναρτήσεις της μορφής 1, x ό f (x) 0, x,ά Με το παράδειγμα της συνάρτηση f για την οποία σχεδόν δεν είναι δυνατόν να παρασταθεί γραφικά αποσυνδέεται η έννοια και από τη γεωμετρία αλλάζοντας έτσι το περιεχόμενο της έννοιας αυθαίρετη συνάρτηση. Η αντίληψη του Cauchy για τη συνάρτηση Στο μεταξύ ο Augustine Louis Cauchy( ) προσπαθώντας να ορίσει την έννοια του ορίου με αυστηρό τρόπο, από την αλγεβρική σκοπιά, απαλλαγμένο από τις γεωμετρικές αναφορές του ορίου του Leibniz και Newton, στο έργο του Cours d Analyse το 1821, έδωσε το δικό του ορισμό για την έννοια της συνάρτησης, ο οποίος φαινομενικά απομακρύνεται από την ιδέα της αλγεβρικής έκφρασης, εφόσον ορίζει την συνάρτηση, όπως και στο δεύτερο ορισμό του Euler, ως σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών ποσοτήτων, χωρίς να είναι απαραίτητη η παρουσία της αναλυτικής έκφρασης: «όταν οι μεταβλητές ποσότητες είναι συσχετισμένες μεταξύ τους έτσι ώστε, όταν δίνεται η τιμή της μίας, κάποιος να μπορεί να ορίσει τις τιμές των άλλων, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι οι διάφορες ποσότητες μπορούν να 23

24 εκφραστούν μέσα από αυτές, η οποία παίρνει το όνομα της ανεξάρτητης μεταβλητής, ενώ οι άλλες ποσότητες πού εκφράζονται μέσω της ανεξάρτητης μεταβλητής, είναι εκείνες πού ονομάζονται συναρτήσεις αυτής της μεταβλητής». Ο ορισμός είναι πιο γενικός σε σχέση με τους ορισμούς πού έδωσαν οι προηγούμενοι μαθηματικοί, σαφώς όμως δεν περιλαμβάνει την έννοια του πεδίου ορισμού αλλά δεν είναι απαλλαγμένος από την έννοια της μεταβλητής και κατά συνέπεια την αναφορά στο χρόνο. Η αντίληψη όμως της έννοιας της συνάρτησης από τον Cauchy δεν έχει το αντίστοιχο εύρος της αντίληψης του Dirichlet, εφόσον ταξινομεί της συναρτήσεις σε απλές ( α+χ, α-χ, αχ, α/χ. χ α, logx, sinx) και σε μικτές (συνθέσεις α- πλών) ( Κleiner, 1989) από όπου φαίνεται ότι η αντίληψή του για την έννοια είναι πολύ κοντά σε αυτή του Euler δηλαδή συναρτήσεις αναλυτικές πού είναι συνεχείς και διαφορίσιμες. Ο Cauchy αναφερόμενος στο διαχωρισμό των συναρτήσεων εκ μέρους x, x 0 του Euler ως συνεχή και ασυνεχή δείχνει ότι η συνάρτηση f (x) x, x 0 μπο- 2 2 x ρεί να γραφεί ως f (x) x αλλά και ως f (x) dt καταδεικνύοντας έτσι 2 2 x t 0 ότι η ταξινόμηση πού έκανε ο Euler δεν έστεκε εφόσον μια πολύκλαδη συνάρτηση μπορούσε να δοθεί και με μια αναλυτική έκφραση. Οι συναρτήσεις «τέρατα» Ο ορισμός του Dirichlet δεν έγινε αποδεκτός άμεσα από όλους τους μαθηματικούς της εποχής διότι «για ορισμένους φάνηκε πολύ ευρύς όπως π.χ. Lebesgue,και για άλλους κενός περιεχομένου όπως π.χ. Baire &Borel, ενώ αποδεκτός ήταν από τον Hadamard» (Kleiner,1989). Ο ορισμός του Dirichlet είναι τόσο ευρύς πού έδωσε τη δυνατότητα για την εμφάνιση των συναρτήσεων «τεράτων». Η πρώτη «αφύσικη» συνάρτηση ήταν η συνάρτηση 0-1 του ίδιου του Dirichlet, την οποία και ο ίδιος δεν θεωρούσε τυπικό παράδειγμα συνάρτησης αλλά μία ακραία περίπτωση. Όμως στα μαθηματικά πολλές φορές η ανακάλυψη των ακραίων περιπτώσεων καταλήγει να είναι ο κανόνας. Η αριθμητικοποίηση της ανάλυσης, ο εψιλοντικός ορισμός του ορίου, της συνέχειας και της παραγώγου συνέτειναν στην ανακάλυψη περισσότερων συναρτήσεων «τεράτων» όπως αυτή του Weierstrass, η οποία είναι συνεχής και πουθενά διαφορίσιμη, ανατρέποντας έτσι πεποίθηση ότι όλες οι συνεχείς συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες. Η κατεύθυνση αυτή του ορισμού δεν άρεσε στον Poincare οποίος θεωρούσε αυτού του είδους τις συναρτήσεις «άχρηστες» σε αντίθεση με τις συνηθισμένες τις οποίες θεωρούσε «έντιμες» υπό την έννοια ότι εξυπηρετούν κάποιο σκοπό. Η μόνη χρησιμότητα κατά τον Poincare των συναρτήσεων «τεράτων» ήταν η προσπάθεια ανάδειξης ελαττωμάτων στη σκέψη των προγενέστερων μαθηματικών. Η συνάρτηση και η θεωρία συνόλων «Η εισαγωγή των εννοιών μετρικός χώρος και τοπολογία έδωσαν τη δυνατότητα να συνειδητοποιηθεί ότι οι ιδιότητες της έννοιας της συνάρτησης εξαρτώνται από τοη δομή των συνόλων στα οποία ορίζεται. Αυτό οδήγησε στις έννοιες του πεδίου ορισμού και συνόλου τιμών, ανεβάζοντας την έννοια σε υψηλότερα επίπεδα.(malik,1980). Η ανάπτυξη της θεωρίας συνόλων τον 20 ο αι έθεσε τις προϋποθέσεις για το σύγχρονο ορισμό της έννοιας. «Το 1917 ο Καραθεωδορή όρισε τη συνάρτηση ως κανόνα αντιστοίχισης από ένα σύνολο Α σε σύνολο των πραγματικών αριθμών.(malik,1980). Ενώ το 1939 οι Bourbaki μετά τον ορισμό του διατεταγμένου ζεύγους το 1921 από τον Kuratowski ως σύνολο «απαλλαγμένο από τη χρονική διά- 2 24

25 ταξη του πρώτου στοιχείου από το δεύτερο στοιχείο [(a,b) {a,{a,b}]» (Σπύρου&Γαγάτσης, 2008 ) όρισαν τη συνάρτηση ως σύνολο διατεταγμένων ζευγών: Έστω Ε και F δύο σύνολα, τα οποία μπορεί είναι ή να μην είναι διακριτά. Μία σχέση μεταξύ ενός μεταβλητού στοιχείου x του Ε και μία μεταβλητή y ενός στοιχείου y του F καλείται συναρτησιακή σχέση στο y εάν, για όλα τα x E, υπάρχει ένα μοναδικό y F το οποίο είναι στη δοσμένη σχέση με το x. Ονομάζουμε συνάρτηση την πράξη με την οποία σχετίζεται με κάθε στοιχείο x E το στοιχείο y F το οποίο είναι στη δοσμένη σχέση με το x, το yονομάζεται η τιμή της συνάρτησης στο στοιχείο x,και η συνάρτηση λέγεται ότι είναι καθορισμένη από τη δοσμένη συναρτησιακή σχέση. Δύο συναρτησιακές σχέσεις καθορίζουν την ίδια συνάρτηση. (Kleiner 1989). Συνοψίζοντας για τη εξέλιξη της συνάρτησης έχουμε. α. Η έννοια αναπτύχθηκε βαθμιαία μέσα από την καθημερινή εμπειρία και από την ενασχόληση αρχικά με μεμονωμένες συναρτήσεις, χωρίς να είναι συνειδητά σχηματισμένη η έννοια της συνάρτησης. β. οι μαθηματικοί του 18 ου 19 ου αι. θεωρούσαν ως συναρτήσεις τις συνεχείς, λείες και όχι σταθερές καμπύλες, οι οποίες εκφράζονταν με μία αναλυτική έκφραση. γ. Η έννοια της συνάρτησης αρχικά ήταν σε αντιστοιχία με τις ανάγκες της καθημερινής ζωής ή των προβλημάτων της φυσικής. Έντονος ήταν ο διαδικαστικός χαρακτήρας της συνάρτησης συνδεδεμένος με την αλλαγή σε σχέση με τον χρόνο. Οι αρχικοί ορισμοί της έννοιας ήταν περισσότερο προσανατολισμένοι προς την σχέση ε- ξάρτησης ενώ αργότερα εμφανίστηκε η απαίτηση για το μονοσήμαντο της τιμής της εξαρτημένης μεταβλητής. 25

26 Κεφάλαιο 2 Θεωρητικό πλαίσιο 2.1 Πλατωνισμός Εμπειρισμός Τα βασικά ερωτήματα πού καθορίζουν τo αντικείμενο της γνωσιολογίας είναι τρία: Ποιο είναι το αντικείμενο της γνώσης; Έχουμε τη δυνατότητα να αποκτήσουμε γνώση; Ποια είναι η πηγή της γνώσης ; Οι Αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι παρουσίασαν τις πρώτες ορθολογικές αναλύσεις των νοητικών φαινομένων που βασίζονται στη λογική ανάλυση και συστηματική παρατήρηση. Οι προσωκρατικοί φιλόσοφοι από τα π.χ. ανέπτυξαν διάφορες εξηγήσεις των νοητικών φαινομένων που προκύπτουν από ένα μείγμα μεταφυσικών θεωριών και εμπειρικών παρατηρήσεων (Bοσνιάδου,2004). Οι πληροφορίες πού έ- χουμε για τις απόψεις των προσωκρατικών φιλοσόφων προέρχονται είτε από αποσπάσματα διασωθέντων κειμένων είτε από σχόλια του Αριστοτέλη και του Θεόφραστου (Curd, 2007). Κύρια επιδίωξή τους ήταν να εξηγήσουν τον κόσμο με όρους που να προέρχονται από τις αρχές πού διέπουν τον ίδιο τον κόσμο. Κύριο εργαλείο σε αυτή τους την προσπάθεια τους ήταν η λογική και όχι οι αισθήσεις, παρόλο που χαρακτηρίστηκαν αισθησιοκράτες. Χρησιμοποίησαν λογικές μεθόδους όπως η αναγωγή, η επαγωγή και η αναλογία για να φτάσουν στην ουσία του κόσμου. Στο πλαίσιο αυτό εμφανίστηκαν οι πρώτες γνωσιοθεωρητικές ιδέες (Σπύρου,2009) και δημιούργησαν τις σταθερές πάνω στις οποίες οικοδομήθηκε η φιλοσοφία του Πλάτωνα και ο Κόσμος των Ιδεών του. Πλατωνισμός Ο Δ. Αναπολιτάνος (1985) αναφέρει ότι η βασική αρχή πού καθοδηγούσε την σκέψη των φιλοσόφων την εποχή του Πλάτωνα ήταν: εφόσον ο κόσμος των φαινομένων υπόκειται σε συνεχείς αλλαγές, για να μπορέσουμε να ταχτοποιήσουμε τον κόσμο μέσα μας πρέπει να αναζητήσουμε κάποιες αναλλοίωτες σταθερές πάνω στις ο- ποίες να βασίζονται τα φαινόμενα. Τις αναλλοίωτες αυτές σταθερές ο Πλάτων τις ο- νομάζει Ιδέες. Ο κόσμος των φαινομένων αποτελεί ένα ατελές αντίγραφο του κόσμου των Ιδεών, όπου τα εμπειρικά αντικείμενα οφείλουν την παρασιτική τους ύπαρξη στο γεγονός ότι προσεγγίζουν μία Πλατωνική Ιδέα. Δηλαδή «οι Ιδέες παριστάνουν την ουσία των πραγμάτων, είναι το πραγματικό»(βοσνιάδου, 2004) και όχι αυτό που αντιλαμβανόμαστε μέσα από τις αισθήσεις μας.οι Ιδέες, σύμφωνα με τον Πλάτωνα, είναι ακριβείς, άχρονες και ανεξάρτητες από το γνώστη. Εφόσον οι Ιδέες είναι ανεξάρτητες από το γνώστη ανακύπτει το εξής ερώτημα: Πως προσεγγίζονται οι Ιδέες; Ο Πλάτωνας για να αντιμετωπίσει το πρόβλημα τις προσέγγισης αυτού του Ιδεατού Κόσμου από το γνώστη χρησιμοποιεί την άποψη ότι η γνώση είναι ανάμνηση. Η θεωρία αυτή αναπτύσσεται στο διάλογο «Μένων», όπου γίνεται εμφανής η θέση του Πλάτωνα ότι η γνώση είναι έμφυτη στον άνθρωπο. Κατά τον Πλάτωνα «η ψυχή, και ιδιαίτερα η νόηση, είναι αιώνια, άφθαρτη και ικανή να προσεγγίσει τον κόσμο των Ιδεών» (Βοσνιάδου,2005) σε αντίθεση με το σώμα πού είναι φθαρτό και επομένως εφήμερο. Έτσι το σύνολο όλων των γνώσεων υπάρχουν στην ψυχή του γνώστη. Στην πραγματικότητα δεν μαθαίνει κάτι καινούριο, απλώς «θυμάται» κάτι το οποίο βρίσκεται ήδη στην ψυχή του, περιμένοντάς τον να το ανακαλύψει. Έτσι η γνώση μιας Ιδέας είναι άμεση, δηλαδή δεν χρειάζεται κάποιου είδους διαμεσολαβητή μεταξύ αυτής και του γνώστη. Παρόλα αυτά μερικές φορές είναι απαραίτητη, η εμπειρία μέσω 26

27 των αισθήσεων ή η «διδασκαλία» με την έννοια της διαλεκτικής μεθόδου του Σωκράτη. «Ο ρόλος της αισθητηριακής αντίληψης και η διαλεκτική μέθοδος παίζουν ρόλο εκμαιευτικό,όπου οι Ιδέες κατά κάποιο τρόπο ξυπνούν μέσα μας κάτω από κατάλληλες συνθήκες εκμαίευσής τους» (Αναπολιτάνος, 1985). Ένα μοντέλο του αναλλοίωτου, ακριβούς και άχρονου σύμπαντος των Πλατωνικών ιδεών είναι τα Μαθηματικά. Στο διάλογο «Μένων» τίθενται κατά τον Η.Gardner (1987) ίσως για πρώτη φορά στην ιστορία της ανθρωπότητας τα φιλοσοφικά ερωτήματα σχετικά με τη φύση της μαθηματικής γνώσης: ποια είναι η πηγή της, από τι αποτελείται, πως αναπαρίσταται στο ανθρώπινο μυαλό και ταυτόχρονα δίνονται και οι απαντήσεις. Το Πλατωνικό φιλοσοφικό σύστημα απαντάει και στα τρία αρχικά ερωτήματα. Τα αντικείμενα της γνώσης είναι οι Ιδέες, οι οποίες είναι ανεξάρτητες από το γνώστη, αναλλοίωτα σε χωροχρονικές μεταβολές, ακριβείς. Η πηγή της γνώσης είναι ένα εσωτερικά συνεπές σύστημα εικόνων. Η γνώση της πραγματικότητας όταν υφίσταται είναι άμεση, χωρίς να είναι απαραίτητη η διαμεσολάβηση της εμπειρίας. Αγγλικός Εμπειρισμός Στον αντίποδα του Πλατωνικού συστήματος των Ιδεών,που προϋποθέτει την ύ- παρξη έμφυτων γνώσεων, βρίσκεται ο Εμπειρισμός. Οι βασικές αρχές του Εμπειρισμού είναι α. Η μοναδική πηγή της γνώσης είναι η εμπειρία, και β. Η απόρριψη της ύπαρξης έμφυτων ιδεών. Στις τρείς επόμενες παραγράφους θα παρουσιάσουμε συνοπτικά τις απόψεις των τριών εκφραστών του Αγγλικού εμπειρισμού. Του J.Locke, του G. Berkely, και του D. Hume. Οι τρείς φιλόσοφοι τονίζουν την σημασία της εμπειρίας η οποία μέσω των αισθήσεων αποτελεί την πηγή της γνώσης. Με αυτό τον τρόπο τα νοητικά φαινόμενα έχουν υλική βάση και επομένως μπορούν να διερευνηθούν επιστημονικά (Βοσνιάδου, 2004). Ο John Locke( ) θεωρεί τον ανθρώπινο νου ως tabula rasa πάνω στο οποίο θα εγγραφούν οι γνώσεις που αποκτιούνται με διάμεσο την αισθητηριακή αντίληψη, η «αλήθεια των οποίων εξαρτάται από την συμφωνία τους με ένα κόσμο ανεξάρτητο από το γνώστη» (Αναπολιτάνος,1985). Ο Locke δέχεται δυο τρόπους α- πόκτησης της γνώσης: α) μέσω της αισθητηριακής αντίληψης και β) μέσω της αυτοπαρατηρησίας (introspection) ή εσωτερική αίσθηση. Κάθε αντικείμενο της ανθρώπινης κατανόησης είναι οι ιδέες : «οτιδήποτε αντιλαμβάνεται ο νους ή οτιδήποτε αποτελεί άμεσο αντικείμενο εσωτερικής αντίληψης, σκέψης ή νόησης, το αποκαλώ ιδέα» (Σπύρου, 2005).Έχοντας ως πρώτη ύλη τα εμπειρικά δεδομένα ο Locke, δέχεται την ύπαρξη αφηρημένων ιδεών οι οποίες είναι αποτέλεσμα κατασκευαστικής ικανότητας του νου, και δεν αντιστοιχούν σε τίποτα το εξωτερικό. Με αυτό τον τρόπο διαφοροποιείται ως ένα βαθμό από τον καθαρό εμπειρισμό. Σε αυτή τη κατηγορία των αφηρημένων ιδεών εντάσσει και τα μαθηματικά, η εγκυρότητα των οποίων εξασφαλίζεται από την λογική ικανότητα του κατασκευαστή της, και όχι άμεσα από τη εμπειρία. O George Berkeley( ) εισάγει την υποκειμενική ιδεοκρατία (σολιψισμός) όπου η ύπαρξη εξωτερικών αντικειμένων αμφισβητείται, εφόσον ο ανθρώπινος νους αντιλαμβάνεται εικόνες, δηλαδή «πολυπλοκότητες αισθητηριακών δεδομέ- 27

28 νων» (Αναπολιτάνος,2005) και όχι εξωτερικά αντικείμενα, καθιστώντας έτσι τα εξωτερικά αντικείμενα εξαρτημένα από τον γνώστη. Για να αντιμετωπίσει το πρόβλημα της συνέχισης της ύπαρξης ενός αντικειμένου μετά την απομάκρυνση του γνώστη από το χώρο, ο Berkley θεωρεί ότι ο Θεός, ως υπερπαρατηρητής εξασφαλίζει την ροή αισθητηριακών δεδομένων και άρα την ύπαρξη του αντικειμένου. Για τον Berkley δεν υπάρχουν αφηρημένες ιδέες υπό την έννοια ότι δεν είναι συγκεκριμένα νοητά αντικείμενα ανεξάρτητα από την εμπειρία όπως στον Locke, διότι δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε από τα αντικείμενα της εμπειρίας τις ιδιότητες τους.έτσι δεν υπάρχει η ιδέα του γενικού τριγώνου αλλά κάθε φορά αναφερόμαστε σε ένα συγκεκριμένο τρίγωνο πού έχει κοινές ιδιότητες με όλα τα τρίγωνα. Έτσι αυτό πού ο Locke ονομάζει αφηρημένες ιδέες, στο φιλοσοφικό σύστημα του Berkley αποκτά ένα παρασιτικό χαρακτήρα σε σχέση με τα αντικείμενα της εμπειρίας και κατ επέκταση και τα μαθηματικά εφόσον αυτά εντάσσονται στην κατηγορία των αφηρημένων ιδεών. Ο David Hume ( ) επηρεασμένος από τους Locke και Berkley δέχεται τις αναλύσεις τους και προσπαθεί να εκλεπτύνει το σύστημά τους (Σπύρου, 2005), θέτοντας ως όριο στην ανθρώπινη γνώση τις αντιληπτικές δυνατότητες του ανθρώπινου νου. Στο επίπεδο των αφηρημένων ιδεών ο Hume δέχεται τις απόψεις του Berkley για τον παρασιτικό τους χαρακτήρα, ενώ στο επίπεδο απόκτησης την γνώσης o Hume δέχεται ότι οι πηγές της γνώσεις είναι τα αισθητηριακά δεδομένα, η αυτοπαρατηρησία, και η κατασκευαστική δυνατότητα του ανθρώπινου νου. Η τελευταία αποτελεί την εγγύηση για την ορθότητα της γνώσης που δεν αποκτάται άμεσα από την εμπειρία, όπως οι μαθηματικές ιδέες οι οποίες είναι αποτέλεσμα της εσωτερικής ε- μπειρίας. Ο Hume εισάγει τον «ψυχολογισμό», όπου αμφισβητείται η εγκυρότητα της επαγωγικής διαδικασίας απόκτησης της γνώσης, όταν αυτή είναι αποτέλεσμα εμπειρικής παρατήρησης, όπως πχ η αλήθεια της πρότασης «ο ήλιος θα εμφανιστεί από την ανατολή». Διότι είναι ενδεχομενικού χαρακτήρα, και εκφράζει φυσικές νομοτέλειες, που στην προκειμένη περίπτωση η αλήθεια της πρότασης συνάγεται από τις εμπειρικές παρατηρήσεις πού μέχρι τώρα έχουμε συλλέξει, ενώ ενδεχομένως στο μέλλον να μην ισχύουν. 2.2 Η άποψη του J.Piaget για την απόκτηση της γνώσης Ο J.Piaget (1972) απέρριψε τις δυο προηγούμενες φιλοσοφικές προσεγγίσεις για το σχηματισμό της γνώσης αλλά και όλες τις ενδιάμεσες θεωρήσεις. Σύμφωνα με τον Piaget οι βασικές θέσεις των δύο ακραίων φιλοσοφικών θεωρήσεων- Εμπειρισμού Πλατωνισμού- εμπεριέχουν σιωπηρές παραδοχές για τον τρόπο πού αποκτάται η γνώση. Η θέση του εμπειρισμού ότι η πηγή της γνώσης είναι τα αντικείμενα συνεπάγεται ότι η γνώση είναι εξωτερική ως προς τον γνώστη, ενώ ο πλατωνισμός θεωρεί ότι υπάρχουν ενδογενείς δομές στο γνώστη τις οποίες και εφαρμόζει στα αντικείμενα. Η κριτική του Piaget στις προηγούμενες φιλοσοφικές προσεγγίσεις είναι, ότι δέχονται ανεξάρτητα από το ηλικιακό επίπεδο του άτομου: α. ότι αυτό έχει συνείδηση των δυνατοτήτων του, β. ότι τα αντικείμενα του φυσικού κόσμου τα αντιλαμβάνεται στις πραγματικές τους διαστάσεις, και γ. ότι υπάρχουν διαθέσιμες στο γνώστη αντιλήψεις ή έννοιες που μεσολαβούν μεταξύ αυτού και των αντικειμένων. Οι δυο θεωρίες (Εμπειρισμός, Πλατωνισμός) δεν απαντούν, για τουλάχιστον τα πρώιμα στάδια της ανάπτυξης του παιδιού, στο εξής πρόβλημα: τι είναι αυτό που διαμεσολαβεί μεταξύ του παιδιού και ενός αντικειμένου του φυσικού κόσμου, του οποίου η εικόνα σχηματίζεται στο νου του παιδιού. 28

29 Ο Piaget θεωρεί ότι η γνωστική ανάπτυξη πραγματοποιείται σε στάδια με χρονικά καθορισμένη σειρά. Η κατάκτηση ενός σταδίου προϋποθέτει την κατάκτηση του αμέσως προηγουμένου. Τα τέσσερα στάδια είναι :Η αισθησιοκινητική περίοδος από τη γέννηση ως τα 2 έτη, η προεννοιολογική περίοδος από τα 2 έως τα 6/7 έτη, η περίοδος συγκεκριμένων λογικών ενεργειών από τα έτη 6/7 έως 12 και η περίοδος τω τυπικών λογικών ενεργειών από τα 12 και πάνω. (Βοσνιάδου,1992). O Piaget ξεκινάει από τη βρεφική ηλικία, όπου η βασική του υπόθεση είναι ότι το βρέφος στους πρώτους μήνες της ζωής του δεν διαφοροποιεί το εαυτό του από το περιβάλλον και κατά κάποιο τρόπο το σώμα του, είναι αυτό που παίζει το ρόλο του διαμεσολαβητή μεταξύ του γνώστη και των αντικειμένων, εφόσον σχετίζει τα πάντα με σώμα του. Είναι η περίοδος των αισθητικοκινητικών ενεργειών (sensory motor actions) όπου το άτομο κατασκευάζει την πραγματικότητα μέσω των ενεργειών (actions) του σώματός του πάνω στα αντικείμενα. Οι αρχικές αυτές ενέργειες όπως γλείψιμο αντικειμένων, το πιάσιμο κ.α. πού εφαρμόζει το άτομο πάνω στο αντικείμενο είναι έμφυτες(innate) και έχουν αντανακλαστικό χαρακτήρα. Οι ενέργειες παίζουν το ρόλο του συνδέσμου μεταξύ του νου του ατόμου και των αντικειμένων. Κάθε μία από τις παραπάνω αντανακλαστικές ενέργειες συνιστούν μία ξεχωριστή δομή πού την ονομάζει ένα νοητικό σχήμα (Schema). Τα στοιχειώδη αντανακλαστικά σχήματα προϋπάρχουν στο άτομο και η εφαρμογή τους σε φυσικά αντικείμενα τα διευρύνει, ενσωματώνοντας σε αυτά καινούρια δεδομένα. Αυτή η διαδικασία ενσωμάτωσης ονομάζεται από τον Piaget αφομοίωση( assimilation).h αφομοίωση όμως δεν παίζει ρόλο μόνο στη ενσωμάτωση και καινούριων δεδομένων σε ένα ήδη κληρονομημένο σχήμα αλλά συμμετέχει και στη δημιουργία νέων σχημάτων. Η δημιουργία νέου σχήματος προκύπτει από την ε- παφή του βρέφους με μία αναπάντεχη προβληματική κατάσταση, όπου τα υπάρχοντα σχήματα δεν επαρκούν για την αντιμετώπισή τους. Στην περίπτωση αυτή ο Piaget διακρίνει τρία είδη αφομοίωσης: την αφομοίωση μέσω της επανάληψης της ίδιας ε- νέργειας(reproductive assimilation), την αφομοίωση μέσω της αναγνώρισης μίας παρόμοιας κατάστασης και εφαρμογή της προηγούμενης ενέργειας (recognitive assimilation) και την αφομοίωση μέσω της γενίκευσης εφαρμόζοντας την ίδια ενέργεια σε μία διαφορετική κατάσταση. Η απουσία διαφοροποίησης του ατόμου από το περιβάλλον του, οφείλεται στην έλλειψη της ικανότητας του ατόμου για συντονισμό των ενεργειών του (coordination of actions), οι οποίες είναι απομονωμένες μεταξύ τους και κάθε μία αποτελεί για το άτομο ένα διακριτό και απομονωμένο όλο. Οι ενέργειες αυτές του ατόμου που ενώ αρχικά ήταν απομονωμένες, υπό την έννοια ότι κάθε φορά εφαρμόζεται μόνο ένα σχήμα χωρίς να συσχετίζεται με κάποιο άλλο, με τον καιρό και μέσω της αμοιβαίας αφομοίωσης αποκτά την ικανότητα να συντονίζει τις ενέργειες του (coordination of actions). Η αμοιβαία αφομοίωση και επομένως, και ο συντονισμός των ενεργειών του ατόμου, μπορεί να εφαρμοστεί με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι, δύο ή περισσότερα διαφορετικά σχήματα να εφαρμοστούν ταυτόχρονα στο ίδιο αντικείμενο και από εκεί να προκύψει καινούρια γνώση σχετικά με το αντικείμενο. Σε αυτή την περίπτωση η καινούρια γνώση αποκτάται άμεσα από τα αντικείμενα μέσω της απλής αφαίρεσης (abstraction) και σχετίζεται άμεσα με την εξαγωγή ιδιοτήτων των αντικειμένων. Ο δεύτερος τρόπος είναι το παιδί να θέσει ένα στόχο και να οργανώσει μια ακολουθία από σχήματα έτσι ώστε να πετύχει το στόχο του. Έτσι η γνώση δεν αποκτάται άμεσα από το αντικείμενο, αφού τα σχήματα δεν εφαρμόζονται άμεσα στο αντικείμενο, αλλά από το συντονισμό των μέσων πού έχει στην διάθεσή του και των στόχων πού έχει θέσει το ίδιο το παιδί. Η αφαίρεση πού πραγματοποιεί το παιδί δεν είναι τις ίδιας μορφής με την προηγούμενη απλή αφαίρεση, αλλά στοχεύει στην εξαγωγή σχέσεων. Ο Dubinsky(1991) ονομάζει αυτή την αφαίρεση ψευδοεμπειρική 29

30 αφαίρεση. Από τη στιγμή πλέον πού το άτομο αποκτά την ικανότητα να συντονίζει τις ενέργειές του, είναι σε θέση να διαφοροποιήσει τον εαυτό του από το περιβάλλον και να θεωρεί τον εαυτό του, πηγή των ενεργειών και επομένως και των γνώσεών του. Ο συντονισμός των ενεργειών που επιβάλλονται στα αντικείμενα, συνεπάγεται την κατάκτηση από μέρους του ατόμου της ικανότητας να διατηρεί το αντικείμενο. Δηλαδή όταν μετατοπίζει ένα αντικείμενο να αντιλαμβάνεται ότι παραμένει το ίδιο. Το τρίτο είδος αφαίρεσης που αναφέρει ο Piaget είναι η στοχαστική αφαίρεση (Reflective abstraction), μέσω της οποίας αναδύονται οι λογικομαθηματικές δομές. Η στοχαστική αφαίρεση πραγματοποιείται μέσω νοητικών ενεργειών πάνω σε νοητικά αντικείμενα και οι οποίες (νοητικές ενέργειες) μετατρέπονται σε αντικείμενα της σκέψης. (Piaget,1972). Η στοχαστική αφαίρεση επιτρέπει την ανάδυση - δημιουργία δομών υψηλότερου επίπεδου από δομές χαμηλότερου επιπέδου Η έννοια του σχήματος (schema) «Η έννοια του σχήματος έχει χρησιμοποιηθεί με διαφορετικούς τρόπους από διαφόρους φιλοσόφους και ψυχολόγους. Ο όρος σχήμα χρησιμοποιείται είτε ως μέσο αντίληψης του κόσμου, είτε ως μία έμφυτη λογική ανάπτυξη, είτε ως patterns ενεργειών» (Hershkovitz, Nesher, 2003). Αποτελεί ένα μέσο αποθήκευσης της γνώσης και ταυτόχρονα συσκευή ερμηνείας του κόσμου. «Ο ψυχολόγος F.Bartlett το 1932 ήταν ο πρώτος ο οποίος πρότεινε ότι οι άνθρωποι αναπαριστούν σε κάποια σχηματική μορφή τις αναμνήσεις των γεγονότων και ότι τα σχήματα αυτά δημιουργούν ισχυρές προσδοκίες πού επηρεάζουν τις ερμηνείες που δίνονται στις εισερχόμενες πληροφορίες» (Βοσνιάδου,2001). Οι Rumelhart&Norman (1985) χαρακτηρίζουν τα σχήματα «ως δομές δεδομένων που αναπαριστούν γενικές έννοιες που είναι αποθηκευμένες στη μνήμη. Υπάρχουν σχήματα για γενικευμένες έννοιες πού βρίσκονται πίσω από αντικείμενα, καταστάσεις, γεγονότα, ακολουθίες γεγονότων, ενεργειών και ακολουθίες ενεργειών, και κατά κάποιο τρόπο αναπαριστούν τα στερεότυπα αυτών των εννοιών. Τα σχήματα μοιάζουν με μοντέλα του εξωτερικού κόσμου. Για να επεξεργαστούμε πληροφορίες με τη χρήση σχημάτων πρέπει να καθορίσουμε πιο μοντέλο ταιριάζει καλλίτερα με την εισερχόμενη πληροφορία. Τα σχήματα έχουν χαρακτηριστικά, που όταν συνδυαστούν τα ισχυροποιούν. Αυτά είναι: α. τα σχήματα έχουν μεταβλητές β. τα σχήματα ενσωματώνονται το ένα μέσα στο άλλο γ. τα σχήματα αναπαριστούν έννοιες σε όλα τα επίπεδα της αφαίρεσης δ. τα σχήματα αναπαριστούν γνώση και όχι ορισμούς ε. τα σχήματα είναι ενεργές συσκευές αναγνώρισης των οποίων η λειτουργία στοχεύει στο να εκτιμούν πόσο καλά ταιριάζουν στα δεδομένα πού επεξεργάζονται.» O Fischbein (1997) διακρίνει δύο τύπους σχημάτων. «Ο πρώτος είναι ένα είδος συμπιεσμένης, και απλοποιημένης αναπαράστασης μιας κλάσης απλοποιημένων αντικειμένων ή γεγονότων».παράδειγμα είναι το σχήμα που έχουμε στο μυαλό μας για την αναγνώριση ενός προσώπου, αλλά και το σχήμα της αναλογίας το οποίο χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε την τιμή του συνόλου όταν γνωρίζουμε την τιμή της μονάδας πχ ό 1 ή1 ό 2 ή2. Οι Hertzikovitz&Nesher (2003) αναφέρουν ότι το σχήμα δεν είναι ένα άθροισμα από αντικείμενα μεταξύ τους αλλά «μια οργανωμένη συλλογή από αντικείμενα που σχετίζονται μεταξύ τους και αυτές οι σχέσεις δίνουν νόημα σε όλα τα συστατικά»τους». Ως παράδειγμα φέρουν το σχήμα «πρόσωπο» στο Rumelhart (1980) όπου 30

31 καθένα από τα συστατικά του αποκτά νόημα μέσα από τη συμμετοχή του στο όλο (Εικόνα 1 ). Εικόνα 1 Η δεύτερη κατηγορία σχημάτων στην οποία αναφέρεται ο Fischbein (1997) βασίζεται στην Πιαζετιανή έννοια του σχήματος το οποίο συμμετέχει στην διαδικασία προσαρμογής της συμπεριφοράς του ατόμου μέσα από την αφομοίωση και την προσαρμογή. Από τη μία πλευρά η αφομοίωση δίνει τη δυνατότητα σε ένα νοητικό οργανισμό να επεξεργαστεί την πληροφορία με σκοπό να αναγνωρίσει ένα συγκεκριμένο αντικείμενο, για να κατανοήσει ένα κείμενο, να λύσει ένα πρόβλημα ενώ από την άλλη πλευρά τα νοητικά σχήματα πρέπει να μπορούν να προσαρμόζονται στις συγκεκριμένες ιδιότητες των αντίστοιχων ερεθισμάτων (Fischbein 1997). Ο Fischbein(1997) σε μία προσπάθεια να συνθέσει τις διαφορετικές προσεγγίσεις της έννοιας του σχήματος δίνει τον παρακάτω ορισμό : Σχήμα είναι ένα πρόγραμμα το οποίο επιτρέπει στο άτομο α)να καταγράψει, να επεξεργαστεί, να ελέγξει και να ενσωματώσει πληροφορίες, και β) να αντιδράσει με σωστό και αποτελεσματικό τρόπο στα εξωτερικά ερεθίσματα. Την ιδέα του σχήματος την παραλληλίζει με ένα πρόγραμμα παρόμοιο με αυτό ενός υπολογιστή το οποίο αποτελείται από κάποια ακολουθία καθορισμένων βημάτων πού καταλήγουν σε κάποιο στόχο. Το σχήμα δηλαδή είναι μία δομή οργανωμένη με ακολουθιακό τρόπο σε αντίθεση με το τρόπο δημιουργίας του πού είναι αργός και περίπλοκός. Στην κατηγορία του σχήματος ο Fischbein εντάσσει και τις στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων διότι τις θεωρεί ως ένα πρόγραμμα πού επιτρέπει στο άτομο να ανταπεξέλθει με επιτυχία στην επίλυση του προβλήματος. 2.4 Τρείς θεωρίες για τη μάθηση των Μαθηματικών βασισμένες στις απόψεις του J. Piaget H θεωρία του J.Piaget, για τον τρόπο με τον οποίο αποκτάται η γνώση, αποτέλεσε τη βάση για την ανάπτυξη τριών θεωριών, της APOS, της Α. Sfard και του D. Tall, που αναφέρονται στον σχηματισμό των μαθηματικών εννοιών από ψυχολογικής άποψης. Οι τρείς θεωρίες οι οποίες είναι συγγενικές μεταξύ τους, και σε αρκετά σημεία αληλοκαλυπτόμενες, εξετάζουν το ρόλο των διαδικασιών στο σχηματισμό των μαθηματικών εννοιών και τη μετάβαση από τη διαδικαστική αντίληψη των μαθηματικών εννοιών στη δομική. Η Sfard (1991) αναφερομένη στον τρόπο αντίληψης των μαθηματικών εννοιών διακρίνει δύο τρόπους: δομικά (structurally) ως αντικείμενα και λειτουργικά (operationally) ως διαδικασίες. Στη βιβλιογραφία υπάρχουν αρκετές αντίστοιχες διακρίσεις τις οποίες αναφέρει η ίδια η Sfard (1991): όπως συντελεστικός (instrumental), σχεσιακός (relational) του R.Skemp, εννοιολογικός (conceptual), διαδικαστικός (procedural) των Lesh & Landau και J.Heibert, διαλεκτικός (dialectic) και 31

32 αλγοριθμικός (algorithimic) του P.Henrici. Ο δομικός τρόπος αντίληψης των μαθηματικών εννοιών χαρακτηρίζεται από στατικότητα και σταθερότητα, υπό την έννοια ότι αντιμετωπίζονται ως «αντικείμενα» που υπάρχουν σε κάποιο νοητό σύμπαν ( η Sfard λέει στο χώρο και στο χρόνο). Έτσι μια έννοια γίνεται αντιληπτή από το άτομο δομικά,όταν την αναγνωρίζει άμεσα, τη χειρίζεται ως όλο χωρίς να υπεισέρχεται στις λεπτομέρειες της έννοιας. Ενώ η αντίληψη των μαθηματικών εννοιών με το λειτουργικό τρόπο συνεπάγεται τη θεώρηση τους ως διαδικασίες, δράσεις ή αλγορίθμους. Γενικά ο δομικός τρόπος αντίληψης είναι στατικός, ακαριαίος και ενοποιητικός ενώ ο λειτουργικός δυναμικός, ακολουθιακός και λεπτομερειακός. Σε αυτό το πλαίσιο η θεωρία APOS ερμηνεύει το σχηματισμό της ανώτερης μαθηματικής γνώσης μέσα από τη δημιουργία και οργάνωση ενός σχήματος όπως το περιγράφει ο Piaget. Η θεωρία της Sfard εξετάζει το ρόλο των διαδικασιών στο σχηματισμό των μαθηματικών εννοιών μέσα από την ιστορική εξέλιξη τους, ενώ ο Tall δίνει έμφαση στο ρόλο των συμβόλων. Επιπλέον ο Tall προσπαθεί να συγκροτήσει μία θεωρία,που να ερμηνεύει το σχηματισμό της μαθηματικής γνώσης από τα πρώιμα στάδια της ανάπτυξης του παιδιού μέχρι και την ώριμη φάση του ερευνητή μαθηματικού. Στην προσπάθειά του αυτή συνδέει τη θεωρία του με άλλες συγγενικές θεωρίες. Στις επόμενες παραγράφους θα παρουσιάσουμε τις τρείς αυτές θεωρίες, δίνοντας έμφαση στη θεωρία των Τριών Κόσμων του Μαθηματικών του D.Tall Η Θεωρία APOS Ο Dubinsky και οι συνεργάτες του στηριζόμενοι στη θεωρία του Piaget για το σχηματισμό των εννοιών στο αρχικό στάδιο (αισθησιοκινητικό στάδιο), συγκροτούν μία θεωρία, έτσι ώστε να είναι δυνατή η ερμηνεία του σχηματισμού της ανώτερης μαθηματικής γνώσης. Η θεωρία αποτελεί στην ουσία επέκταση της θεωρίας του Piaget σε μεγαλύτερες ηλικίες, εφόσον ο ίδιος ασχολήθηκε με τον τρόπο που οικοδομούνται οι βασικές λογικομαθηματικές έννοιες στα παιδιά κυρίως προσχολικής ηλικίας. Ο Dubinsky (1991) υπέθεσε ότι οι ίδιες αρχές που διέπουν, κατά τον Piaget, την κατασκευή απλών μαθηματικών εννοιών, όπως η αριθμητική, η αναλογία και η απλή μέτρηση, διέπουν και την κατασκευή των ανώτερων μαθηματικών εννοιών, όπως η μαθηματική επαγωγή, η έννοια της συνάρτησης, οι τοπολογικοί χώροι. Η βασική αρχή της θεωρίας APOS, η οποία συνοψίζει την περιγραφή που κάνει ο Piaget για το σχηματισμό των σχημάτων στο αισθησιοκινητικό στάδιο είναι η εξής: «η μαθηματική γνώση αποτελείται από την τάση του ατόμου να αντιμετωπίσει, στο κοινωνικό πλαίσιο, τις μαθηματικές προβληματικές καταστάσεις κατασκευάζοντας νοητικές δράσεις(actions), διαδικασίες(processes) και αντικείμενα (Objects) τα οποία τα οργανώνει σε σχήματα (Shemas) με σκοπό την κατανόηση αυτών των καταστάσεων και την επίλυση των προβλημάτων».(dubinsky, McDonald, 2001). Tο όνομά της προκύπτει από τα αρχικά γράμματα των βασικών εννοιών από τις οποίες αποτελείται: Action, Process, Object, Schema. Οι νοητικές ενέργειες, οι διαδικασίες και τα αντικείμενα που συγκροτούν το νοητικό σχήμα της εκάστοτε έννοιας, αποτελούν ένα δυναμικό σύστημα, όπου δομές χαμηλότερου επιπέδου μετασχηματίζονται σε δομές υψηλότερου επιπέδου. Στη συγκεκριμένη θεωρία οι ενέργειες (χαμηλότερου επιπέδου δομή) μετασχηματίζονται σε διαδικασίες, οι οποίες με τη σειρά τους μετατρέπονται σε αντικείμενα (υψηλότερου επιπέδου δομή). Η μετάβαση από τη μία δομή στην άλλη πραγματοποιείται όταν το άτομο έρθει σε επαφή του με προβληματικές καταστάσεις,στις οποίες εμπλέκεται η έννοια. Ο νοητικός μηχανισμός μετατροπής των δομών χαμηλότερου επιπέδου σε δομές υψηλότερου επιπέδου είναι η στοχαστική αφαίρεση. Ο Dubinsky (1991) κατέγραψε τέσσερα είδη στοχαστικής αφαίρεσης διάσπαρτα στο έργο του Piaget για το σχηματισμό των απλών λογικο- 32

33 μαθηματικών εννοιών, που σύμφωνα με τη θεωρία APOS συναντώνται και κατά την προσπάθεια οικοδόμησης μίας ανώτερης μαθηματικής έννοιας. Αυτά είναι: εσωτερίκευση (interiorization), συγχρονισμός (general coordination of actions),η ενθυλάκωση, (encapsulation) και η γενίκευση (generalization). Κάθε ένα από τα παραπάνω είδη έχει διαφορετική δράση και ρόλο στη δημιουργία ανώτερων δομών και στην οργάνωση ενός νοητικού σχήματος. Οι Breidenbach, Dubinsky κ.α.(1992) ανέλυσαν εμπειρικά δεδομένα, που συνέλεξαν από συνεντεύξεις και εργασίες μαθητών, οι οποίοι βρίσκονταν στο στάδιο κατανόησης των εννοιών της συνάρτησης και του ορίου, και πρότειναν ένα τρόπο οργάνωσης των σχημάτων με βάση τη λειτουργία κάθε ενός από τα είδη της στοχαστικής αφαίρεσης. Έτσι: Με την εσωτερίκευση, γίνεται η κατασκευή εσωτερικών νοητικών διαδικασιών για την κατανόηση των φαινόμενων. Είναι η «μετάφραση μιας αλληλουχίας υλικών πράξεων σε ένα σύστημα εσωτερικευμένων λειτουργιών» (Beth&Piaget, 1966), δηλαδή οι ενέργειες του ατόμου σε ένα υλικό αντικείμενο εσωτερικεύονται σε διαδικασίες. Ο συγχρονισμός, είναι η σύνθεση δύο ή περισσότερων διαδικασιών για το σχηματισμό μίας νέας διαδικασίας. Η ενθυλάκωση, συνίσταται στην μετατροπή μιας (δυναμικής) διαδικασίας σε ένα στατικό αντικείμενο. Δηλαδή η μακρόσυρτη διαδικασία πακετάρεται σε μια οντότητα πάνω στην οποία μπορεί να εφαρμοστούν ενέργειες με αποτέλεσμα τη δημιουργία νοητού αντικείμενου. Και η γενίκευση συμβαίνει όταν ένα σχήμα εφαρμόζεται σε μία ευρύτερη συλλογή από αντικείμενα και γενικεύεται. Είναι αύτη πού ο Piaget αναφέρεται ως αναπαρακτική αφομοίωση. Εκτός από την εσωτερίκευση των ενεργειών πού εφαρμόζονται σε αντικείμενα, και το συντονισμό δύο ή περισσότερων διαδικασιών, μία διαδικασία μπορεί να δημιουργηθεί και με το να αντιστρέψει μία άλλη διαδικασία. Τα αντικείμενα δημιουργούνται μέσω της ενθυλάκωσης. Στο παρακάτω γράφημα(σχήμα 1),φαίνεται ο τρόπος με τον οποίο διαρθρώνεται ένα νοητικό σχήμα σύμφωνα με Breidenbach, Dubinsky κ.α (1992). Εσωτερίκευση Ενέργεια ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Ενθυλάκωση Συντονισμός Αντιστροφή Γενίκευση Σχήμα 1 33

34 Ανάλογα με τον τρόπο που το άτομο αντιλαμβάνεται την εκάστοτε μαθηματική έννοια, η θεωρία APOS διακρίνει στάδια στα οποία βρίσκεται κάθε φορά το άτομο. Τα βασικά στάδια, όπως αυτά παρουσιάζονται από τους Dubinsky και Mc Donald (2001),είναι : Action (ενέργεια ): Στο στάδιο αυτό το άτομο είναι σε θέση να μετασχηματίζει αντικείμενα τα οποία γίνονται αντιληπτά ως εξωτερικά σε σχέση με το ίδιο το άτομο και απαιτούνται είτε σιωπηρά είτε από μνήμης - οδηγίες για τη βήμα προς βήμα πραγματοποίηση της ενέργειας. Process (διαδικασία) : Το άτομο βρίσκεται σε αυτό το στάδιο όταν έχει δημιουργήσει μία εσωτερική νοητή κατασκευή (process) βασισμένη στην επανάληψη μίας ενέργειας (action) και στο στοχασμό για αυτή την ενέργεια. Τότε είναι ικανό να σκεφτεί ότι πραγματοποιεί το ίδιο είδος ενέργειας χωρίς όμως να χρειάζεται εξωτερικό ερέθισμα ή μπορεί να σκεφτεί ότι πραγματοποιεί τη διαδικασία χωρίς όμως να την εκτελεί,και έτσι να είναι σε θέση να σκεφτεί για την αντίστροφη διαδικασία ή να τη συνθέσει με άλλες διαδικασίες. Object (Αντικείμενο) Το στάδιο αυτό περιλαμβάνει την κατασκευή ενός νοητού αντικείμενου (object). Η νοητική αυτή κατασκευή υφίσταται όταν το άτομο αντιλαμβάνεται μία διαδικασία (process) ως ολότητα και συνειδητοποιεί ότι μπορεί να εφαρμόσει μετασχηματισμούς πάνω σε αυτή. Schema (σχήμα): μιας συγκεκριμένης μαθηματικής έννοιας είναι μία συλλογή από δράσεις, διαδικασίες, αντικείμενα με κάποιες γενικές αρχές με σκοπό τη μορφοποίηση ενός πλαισίου, στο μυαλό του ατόμου, το οποίο μπορεί να χρησιμοποιήσει για να ανταπεξέλθει σε προβληματικές καταστάσεις. Παρόλο πού τα συστατικά στοιχεία της θεωρίας παρουσιάζονται ως ιεραρχικά δομημένα, στην πραγματικότητα η κατασκευή της έννοιας δεν γίνεται γραμμικά, αλλά με κάποιου είδους κυκλικότητα όπως δείχνει το σχήμα Η θεωρία της Α. Sfard Η A. Sfard (1991) εξετάζει τις μαθηματικές έννοιες, που προέρχονται κυρίως από την Άλγεβρα, ως προς την διχοτομία λειτουργικής και δομικής προσέγγισης και παρατηρεί ότι η δομική προσέγγιση συμβαδίζει με τις όλο και υψηλότερου επίπεδου αφηρημένες έννοιες. Η βασική αρχή της Sfard είναι ότι «η λειτουργική (διαδικαστική) αντίληψη κατά το σχηματισμό των μαθηματικών εννοιών προηγείται της δομικής αντίληψης», χωρίς όμως να υποβαθμίζει την αξία της λειτουργικής αντίληψης για την κατάκτηση των μαθηματικών εννοιών. Αντίθετα θεωρεί ότι οι δύο αυτές, φαινομενικά αντίθετες, προσεγγίσεις λειτουργούν εν τέλει συμπληρωματικά η μία με την άλλη, σαν τις «όψεις του ίδιου νομίσματος». Η τεκμηρίωση της άποψης αυτής στηρίζεται σε δύο πυλώνες. Ο πρώτος πυλώνας είναι η ψυχολογική ανάλυση του Piaget σχετικά με τον τρόπο απόκτησης της γνώσης. Στις προηγούμενες παραγράφους είδαμε ότι ο Piaget θεωρεί ότι η διαδικασία οικοδόμησης των αφηρημένων εννοιών είναι η μετάβαση από το λειτουργικό τρόπο αντίληψης στον δομικό, αφού η κατεύθυνση που περιγράφει είναι από τις ενέργειες του ατόμου (λειτουργική αντίληψη) μέσω της στοχαστικής αφαίρεσης στη δημιουργία νοητών αντικειμένων (δομική αντίληψη). Ο Piaget στην Γενετική του Ψυχολογία αναφέρει ότι «η μαθηματική αφαίρεση δεν αναδύεται από το αντικείμενο στο οποίο εφαρμόζεται μία ενέργεια,αλλά από την ενέργεια καθαυτή» (Piaget 1970), υποδηλώνοντας ότι η γέννηση μίας αφηρημένης έννοιας πραγματοποιείται με τον λειτουργικό τρόπο. 34

35 Ο δεύτερος πυλώνας είναι η ιστορική εξέλιξη κάποιων βασικών εννοιών της Άλγεβρας, όπου η Sfard εντοπίζει κοινά χαρακτηριστικά στην πορεία γέννησης και αποκρυστάλλωσης της κάθε έννοιας. Αναφέρει ότι οι αλγεβρικές έννοιες είναι προϊόντα διαδικασιών οι οποίες εφαρμόστηκαν είτε σε αντικείμενα της εμπειρίας μας είτε σε μαθηματικά αντικείμενα, και οι οποίες με τη σειρά τους μετατράπηκαν σε μαθηματικά αντικείμενα υψηλότερης τάξης. Το πέρασμα από τη διαδικασία στο αντικείμενο είναι συνήθως μακροχρόνιο και επιτυγχάνεται όταν το κέντρο της προσοχής μετατοπίζεται από τη διαδικασία αυτή καθ αυτή στο αποτέλεσμα της διαδικασίας το ο- ποίο όταν αντιμετωπίζεται δομικά μετατρέπεται σε ένα νέο μαθηματικό αντικείμενο πάνω στο οποίο μπορούν να εφαρμοστούν καινούριες διαδικασίες. Η Sfard φέρνει ως παράδειγμα τα στάδια από τα οποία πέρασαν οι έννοιες του αριθμού και της συνάρτησης έως ότου αυτές φτάσουν στη σημερινή μορφή τους. Χαρακτηριστικά αναφέρει ότι η έννοια της συνάρτησης γεννήθηκε για να περιγράψει σχέσεις μεταξύ μεταβλητών μεγεθών που συναντούσαν οι επιστήμονες του 17 ου αι. στην προσπάθειά τους να μοντελοποιήσουν φυσικά φαινόμενα τα οποία εξελίσσονταν στο χρόνο. Ο J.Bernoulli το 1718 και ο Euler 1747 όρισαν η συνάρτηση να είναι μία «αναλυτική έκφραση».το γεγονός αυτό κατά τη Sfard δείχνει ότι οι Bernoulli & Euler αντιλαμβάνονταν την έννοια ως αλγεβρικό χειρισμό μεταβλητών ποσοτήτων, κάτι δηλαδή μεταξύ αποτελέσματος και διαδικασίας. Ο ορισμός που έδωσε εκ νέου ο Euler το 1755 ώστε η συνάρτηση να είναι μία σχέση εξάρτησης μεταξύ δύο ποσοτήτων, αναδεικνύει ότι αντιλαμβάνονταν την έννοια με το λειτουργικό τρόπο. Αργότερα, η αναγκαιότητα για αρμονική σύνδεση της αλγεβρικής αναπαράστασης με την γραφική αναπαράσταση της έννοιας ( δηλ. η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης να μπορεί να δίνεται από περισσότερους από ένα αλγεβρικό τύπο) καθώς επίσης και η ανάγκη να μην γίνεται α- ναφορά στο χρόνο, οδήγησαν τον Diriclhet σε έναν ορισμό πού αντανακλά σε μία απολύτως δομική αντίληψη της έννοιας, σύμφωνα με τη Sfard. Η Sfard προτείνει τρία στάδια στο σχηματισμό των μαθηματικών εννοιών από ψυχολογικής πλευράς σε αναλογία με τα στάδια της ιστορική ανάπτυξης της μαθηματικών εννοιών (Σχήμα 2). Τα στάδια τα ονομάζει εσωτερίκευση (interiorization), συμπύκνωση (condensation),και υλοποίηση (reification). Έννοια Γ Αντικείμενο Γ Έννοια Β Αντικείμενο Β Υλοποίηση Συμπύκνωση Εσωτερίκευση Διαδικασίες στο Β Διακριτά αντικείμενα Έννοια Α Αντικείμενο Α Υλοποίηση Συμπύκνωση Εσωτερίκευση Διαδικασίες σε διακριτά Αντικείμενα Υλοποίηση Συμπύκνωση Εσωτερίκευση Διαδικασίες στο Α Γενικό μοντέλο σχηματισμού εννοιών Σχήμα 2 35

36 Ο όρος εσωτερίκευση είναι το στάδιο σύμφωνα με το οποίο η διαδικασία μπορεί να πραγματοποιηθεί νοητά και δεν είναι απαραίτητο να εκτελεστεί εάν χρειαστεί είτε να στοχαστούμε πάνω σε αυτή είτε να τη συγκρίνουμε είτε να τη αναλύσουμε. Η συμπύκνωση είναι το στάδιο όπου γεννιέται μία μαθηματική έννοια. Σε αυτό το στάδιο οι μακρόσυρτες ακολουθίες από πράξεις συμπυκνώνονται σε μονάδες που είναι πιο εύκολο να τις χειριστούμε, και μπορούμε να σκεφτούμε τη διαδικασία ως όλο χωρίς να είναι απαραίτητο να υπεισέρθουμε σε λεπτομέρειες. Το τελικό στάδιο στο σχηματισμό των μαθηματικών εννοιών είναι η υλοποίηση, η οποία πραγματοποιείται απότομα και συνεπάγεται την ικανότητα του ατόμου να βλέπει την έννοια ξέχωρα από την συγκεκριμένη διαδικασία. Είναι μια οντολογική μετακίνηση όπου η διαδικασία παγιώνεται σε αντικείμενο, δηλ σε μία στατική δομή, από την οποία με τη σειρά της θα προκύψουν νέα αντικείμενα. Τα τρία αυτά στάδια είναι ιεραρχικά δομημένα και με την ίδια ακριβώς σειρά επαναλαμβάνονται σχηματίζοντας αντικείμενα υψηλότερης τάξης (Σχήμα 2) Η θεωρία των Τριών Κόσμων των Μαθηματικών Γενικά Ο D. Tall (2003a ) εισάγει τη θεωρία των Τριών Κόσμων των Μαθηματικών (The Three Worlds of Mathematics) και ταυτόχρονα προτείνει μια συνολική γνωστική θεωρία για την ανάπτυξη των Μαθηματικών εννοιών (Tall, 2004a),που να περιλαμβάνει και να ερμηνεύει τον τρόπο σχηματισμού της μαθηματικής γνώσης από τις αρχικές αντιλήψεις των παιδιών έως την ώριμη σκέψη των ερευνητών μαθηματικών. Στη θεωρία των Τριών Κόσμων των Μαθηματικών(όπως και σε όλες τις θεωρίες που είναι επηρεασμένες από τον J.Piaget) σημαντικό ρόλο κατέχουν οι διαδικασίες και η συμπίεση αυτών. Είναι γνωστό ότι η βραχυχρόνια-εργαζόμενη μνήμη είναι περιορισμένη. Ο G. Miller(1958) υποστηρίζει ότι ο ανθρώπινος εγκέφαλος έχει τη δυνατότητα να συγκρατήσει ταυτόχρονα, μέχρι 7±2 αντικείμενα. Επειδή οι διαδικασίες απαιτούν χρόνο για να πραγματοποιηθούν, και οι αποθηκευτικές δυνατότητες του εγκεφάλου στη βραχυχρόνια-εργαζόμενη μνήμη είναι περιορισμένες, για να μπορέσει το άτομο να επεξεργαστεί το μεγάλο όγκο πληροφοριών που παράγει μια διαδικασία, πρέπει με κάποιο τρόπο να τις συμπιέσει σε έννοιες ικανές να τις χειριστεί ο εγκέφαλος (thinkable concepts). Οι Gray & Tall(1994) αναφέρουν ότι τόσο η A.Sfard με τον όρο υλοποίηση όσο και ο E.Dubinsky με τον όρο ενθυλάκωση ονομάζουν τη νοητική διαδικασία μέσω της οποίας μία δυναμική διαδικασία συμπιέζεται σε στατικό αντικείμενο. Σύμφωνα με τον D.Tall(2006) εκτός από τη συμπίεση διαδικασιών σε έννοιες, το ά- τομο είναι απαραίτητο να κάνει και συνδέσεις μεταξύ αυτών των εννοιών, έτσι ώστε να σχηματιστούν: Α. Σχήματα ενεργειών (action-schemas) τα οποία συνδέουν μία αλληλουχία εννοιών. Τα συγκεκριμένα σχήματα είναι δυναμικά διότι οι συνδεόμενες έννοιες διαδέχονται η μια την άλλη και επομένως χρειάζεται αρκετός χρόνος για τον χειρισμό τέτοιου είδους σχημάτων. Β. Σχήματα γνώσεων ( knowledge schema) τα οποία συνδέουν ιδέες σε δίκτυα από σχέσεις. Με τον τρόπο αυτό δημιουργούνται «πλουσιότερες» και υψηλότερου επιπέδου δομές που και αυτές με τη σειρά τους μπορούν να συμπιεστούν σε πιο περιορισμένες δομές. 36

37 Η συμπίεση μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαφόρους τρόπους: Με επανάληψη των σχημάτων ενεργειών έτσι ώστε να πραγματοποιούνται αυτόματα, με αποτέλεσμα να απαιτείται λιγότερη συνειδητή προσπάθεια για να ειδωθούν ως όλο, δηλ μία νοητή διαδικασία (process) Οι διαδικασίες (processes) μπορούν συμπιεστούν περαιτέρω σε έννοιες, όπου σημαντικό ρόλο διαδραματίζουν τα σύμβολα. Oι έννοιες μπορούν να κατηγοριοποιηθούν και να τους δοθούν ονόματα με τα οποία κάθε κατηγορία μπορεί να θεωρηθεί ως έννοια. Πχ η ιεράρχηση των τετραπλεύρων. Η πειραματική σκέψη μπορεί να οδηγήσει συνδέσεις μεταξύ ιδιοτήτων. Για παράδειγμα «αν η τάδε ιδιότητα ισχύει τότε ισχύει και η δείνα ιδιότητα». Τα αποτελέσματα τέτοιου είδους σκέψης μπορεί να χρησιμοποιηθούν ως έννοιες και να οδηγήσουν σε δημιουργία ανώτερων δομών. Στα φορμαλιστικά μαθηματικά, ορισμένες ιδιότητες μπορεί να χρησιμοποιηθούν για να ορισθεί ένα αξιωματικό σύστημα το οποίο αφού ονομαστεί μπορεί να θεωρηθεί ως έννοια μέσα σε μια μαθηματική θεωρία Σε υψηλότερα επίπεδα, σχήματα γνώσης όπως «η θεωρία αριθμών» ή η «Ευκλείδεια γεωμετρία» μπορούν να θεωρηθούν ως έννοιες. (Tall, 2006) Από βιολογικής άποψης η συμπίεση των διαδικασιών σε έννοιες επιτυγχάνεται μέσα από την ηλεκτροχημική τροποποίηση των συνδέσμων μεταξύ των νευρώνων. Οι σύνδεσμοι τροποποιούνται κατά τέτοιο τρόπο ώστε να ενισχύονται οι χρήσιμες συνδέσεις και να αποδυναμώνονται οι λιγότερο σχετικές (Gray&Tall,2007). Δηλαδή η συμπίεση των γνώσεων πραγματοποιείται όταν η προσοχή του ατόμου εστιάζει στις χρήσιμες συνδέσεις, και αποσιωπά συνειδητά τις λιγότερο χρήσιμες. Με ανάλογο τρόπο δομούνται και οι μαθηματικές έννοιες: Αρχικά οι ιδέες που αναδύονται μέσα από τις αισθητηριακές αντιλήψεις του πραγματικού κόσμου, διαδραματίζουν τον πρωτεύοντα ρόλο στην οικοδόμηση των εννοιών. Βαθμιαία υποβαθμίζεται ο ρόλος τους και ταυτόχρονα καθίσταται σημαντικότερος ο ρόλος των συνδέσμων μεταξύ συμβολικών ιδεών. Έτσι το άτομο εστιάζει περισσότερο στις μαθηματικές δραστηριότητες και λιγότερο στις αρχικές αισθητηριακές αντιλήψεις (Tall,2006). Οι τρείς κόσμοι των Μαθηματικών Η Θεωρία APOS δίνει μία ερμηνεία της γνωστικής κατασκευής της ανώτερης μαθηματικής γνώσης επεκτείνοντας την άποψη του J.Piaget για τον τρόπο δόμησης των σχημάτων στη αισθησιοκινητική περίοδο του βρέφους. Η A.Sfard παρουσίασε τη θέση της ότι η δυϊκότητα της φύσης της μαθηματικών (διαδικασίας- αντικείμενο) η οποία αντανακλά και στον τρόπο αντίληψης τους (λειτουργικά- δομικά) δρα συμπληρωματικά στην προσπάθεια κατανόησης των μαθηματικών εννοιών, με το λειτουργικό τρόπο να προηγείται του δομικού. Η θεωρία που προτείνει ο D.Tall, περιγράφει την καταγωγή και την πορεία ωρίμανσης της μαθηματικής σκέψης. Η καταγωγή της μαθηματικής σκέψης ανάγεται στις βασικές ανθρώπινες δραστηριότητες: στην αντίληψη, στην ενέργεια και στο στοχασμό. Αφετηρία της πορείας ωρίμανσης είναι οι αρχικές αισθητηριακές αντιλήψεις και ενέργειες των παιδιών, ενώ αργότερα με την ε- μπλοκή της γλώσσας και του συμβολισμού καθίσταται δυνατή η απόκτηση μαθηματικής γνώσης ανώτερου επιπέδου ( Tall 2012). Ο D.Tall ονομάζει προϋπάρχουσες (set-before) τις εγγενείς γνωστικές δομές με τις οποίες είναι εφοδιασμένο κάθε ανθρώπινο ον από τη στιγμή της γέννησης του. Οι τρείς βασικές αυτές προϋπάρχουσες γνωστικές δομές είναι 37

38 η αναγνώριση των patterns, ομοιοτήτων και διαφορών η επανάληψη μίας διαδοχής ενεργειών, μέχρι να γίνουν αυτόματες ρουτίνες. η γλώσσα με την οποία περιγράφουμε και τελειοποιούμε τον τρόπο πού σκεφτόμαστε για τις έννοιες. Η γλώσσα δίνει τη δυνατότητα να μιλήσουμε για αυτά που αναγνωρίζουμε αλλά και για το πώς επαναλαμβάνουμε τις ενέργειές μας. (Tall 2008 α, Τall 2008b ) Η ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης έχει ως προαπαιτούμενο τη χρήση,συνδυαστικά, και των τριών εγγενών αυτών γνωστικών δομών. Η ικανότητα αναγνώρισης ομοιοτήτων και διαφορών μας δίνει τη δυνατότητα να χρησιμοποιήσουμε τη γλώσσα έτσι ώστε να κατηγοριοποιήσουμε αντικείμενα, όπως γάτα, τραπέζι, τρίγωνο, συνάρτηση αλλά και τις ιδιότητες των αντικειμένων. Για παράδειγμα το Σχήμα 3 φαίνεται να έχει τις πλευρές και τις γωνίες του ίσες. Αρχικά αυτές οι ιδιότητες αποδίδονται στο σχήμα αυτό καθαυτό. Σε ένα υψηλότερο επίπεδο μπορούμε να σκεφτούμε ότι αν οι πλευρές του είναι ίσες τότε και οι γωνίες του είναι ίσες. Σχήμα 3 Αρχικά η γλώσσα χρησιμοποιείται για να περιγράψει κάποιες από τις ιδιότητες του σχήματος, στη συνέχεια για να επιλέξει ποιες από αυτές θα χρησιμοποιήσει για να ορίσει το ισόπλευρο τρίγωνο και τέλος να εξάγει ιδιότητες οι οποίες είναι συνέπεια του ορισμού((tall 2008 α). Η ικανότητα επανάληψης μίας αλληλουχίας ενεργειών επιτρέπει την εκμάθηση διαδικασιών χωρίς να χρειάζεται να σκεφτούμε όλα τα βήματα της διαδικασίας. Η γλωσσική ικανότητα είναι αυτή πού δίνει τη δυνατότητα να ονομάσουμε αυτές τις διαδικασίες και με τη βοήθεια του συμβολισμού να τις μετατρέψουμε σε νοητές έννοιες. Για παράδειγμα, η διαδικασία της μέτρησης μας οδηγεί στην έννοια του αριθμού 1, 2, 3,.., κ.ο.κ. φτάνοντας έτσι στην νοητή ιδέα του εν δυνάμει απείρου. Η συλλογή των αριθμών 1, 2, 3. κατηγοριοποιείται ως το σύνολο όλων αριθμών, επιτρέποντας μας έτσι να μιλάμε για το σύνολο των φυσικών αριθμών το οποίο έχει απειρία στοιχείων (Tall, 2008 α). Τα τρία αυτά διαφορετικά είδη γνωστικής ανάπτυξης των Μαθηματικών, που είναι διαφορετικά αλλά αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, οδηγούν σε τρείς νοητούς κόσμους των Μαθηματικών : Στον Ενσαρκωμένο κόσμο (conceptual- embodied world) Στον Συμβολικό κόσμο (proceptual- symbolic world) Στον Αξιωματικό κόσμο (formal- axiomatic world) Παρά το γεγονός ότι οι τρείς κόσμοι των μαθηματικών είναι διασυνδεδεμένοι, ο κάθε ένας από αυτούς έχει τη δικιά του εξελικτική πορεία προς την τελειοποίηση και διαφορετική πορεία για την ανάπτυξη των εγγυήσεων της αλήθειας. (Tall,2004 a). 38

39 Ο Ενσαρκωμένος κόσμος Ο Ενσαρκωμένος κόσμος αποτελεί τη βάση όλων των δραστηριοτήτων μας. Στηρίζεται : α) στα αισθητηριακά ερεθίσματα πού λαμβάνονται από τα αντικείμενα του φυσικού κόσμου μέσω της αντίληψης, β) στο στοχασμού πάνω στις ιδιότητες των φυσικών αντικειμένων και γ) στη συνεχή γλωσσική ανάπτυξη. Η αρχή του ενσαρκωμένου κόσμου βρίσκεται στα αισθητηριακά ερεθίσματα του φυσικού κόσμου και η ανάπτυξή του συντελείται όταν στοχαζόμαστε είτε για α- ντικείμενα του φυσικού κόσμου είτε για αντικείμενα του νοητού μας κόσμου. Η ε- κλεπτυσμένη γλώσσα δίνει τη δυνατότητα να εστιάσουμε σε συγκεκριμένες πλευρές των αισθητηριακών μας ερεθισμάτων που συμβάλλουν στην ανάδυση εννοιών που δεν υπάρχουν στο φυσικό κόσμο αλλά μόνο στη φαντασία του καθενός (Tall, 2004c). Ο Ενσαρκωμένος κόσμος αποτελείται από τα ενσαρκωμένα αντικείμενα (Embodied Objects). Οι Gray&Tall (2001) χρησιμοποιούν τον όρο ενσαρκωμένο αντικείμενο για να ονομάσουν τη νοητική εικόνα που σχηματίζεται από την άμεση αισθητηριακή αντίληψη ενός αντικειμένου του φυσικού κόσμου. Στην έννοια των «ενσαρκωμένων αντικειμένων» περιλαμβάνουν τις νοητικές εικόνες για το τραπέζι, τη γάτα, τα γεωμετρικά σχήματα, συλλογές αντικειμένων που μπορούν να αριθμηθούν, γραμμές που μπορούν να μετρηθούν,τη γραφική παράσταση μίας συνάρτησης, τα διαγράμματα Venn, κ.α. Αυτές οι νοητικές εικόνες (ενσαρκωμένα αντικείμενα) βρίσκονται στο μυαλό υπό τη μορφή «πρωτοτύπων». Τα πρωτότυπα έχουν συγκεκριμένες ιδιότητες με βάση τις οποίες μπορούμε να κατηγοριοποιήσουμε ένα αντικείμενο το οποίο υποπίπτει στην αντίληψη μας.ο κατάλογος των ιδιοτήτων αυτών των πρωτοτύπων μπορεί να εμπλουτιστεί έτσι ώστε να συμπεριληφθούν αντικείμενα που έχουν και κάποια επιπλέον ιδιότητα. Τα πρωτότυπα αντιστοιχούν στη έννοια του σχήματος κατά Piaget. Σε σχέση με τα μαθηματικά, τα ενσαρκωμένα αντικείμενα μπορούν να αποτελέσουν τη βάση ώστε να δημιουργηθούν αφηρημένες μαθηματικές έννοιες. Όπως πχ. η γραμμή που σχεδιάζεται στο χαρτί με κανόνα και διαβήτη και η οποία φαίνεται ευθεία,αποτελεί το νοητικό στήριγμα για να αναδυθεί η έννοια της ευθείας γραμμής. Με τη χρήση της γλώσσας το ενσαρκωμένο αντικείμενο ευθεία γραμμή μετατρέπεται σε ένα νοητό αντικείμενο που δεν έχει πάχος και το οποίο εκτείνεται απεριόριστα προς τις δύο κατευθύνσεις (Gray&Tall, 2001). Εκτός από νοητικές αντιλήψεις των αντικειμένων του φυσικού κόσμου, στον ενσαρκωμένο κόσμο περιλαμβάνονται και οι εσωτερικές αντιλήψεις που αφορούν τις νοητικές οπτικό -χωρικές εικόνες. Έτσι η έννοια του ενσαρκωμένου αντικειμένου μπορεί να έχει εφαρμογή και στην εννοιολογική ανάπτυξη των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών, αφού δίνεται η δυνατότητα να τη φανταστούμε σε επιφάνειες πού δεν είναι επίπεδες (Tall, 2004c). Η συμβολή της γλώσσας στη δημιουργία των αφηρημένων εννοιών είναι καθοριστικής σημασίας, αφού με τη βοήθειά της οι αισθητηριακές αντιλήψεις των ενσαρκωμένων αντικειμένων αποκτούν ακρίβεια και ιεραρχίες νοημάτων. Η γλώσσα στον ενσαρκωμένο κόσμο χρησιμοποιείται αρχικά για να ονομάσει μία έννοια και να περιγράψει τις ιδιότητές της. Στη συνέχεια να οργανώσει κατηγορίες εννοιών, όπου σε κάθε κατηγορία θα αποδώσει ένα όνομα και έτσι θα μετατραπεί σε έννοια. δημιουργώντας έτσι ένα πλούσιο παραγωγικό σύστημα (Tall,2007). Υφίσταται δηλαδή ένα είδος συμπίεσης όπως την περιγράψαμε στην προηγούμενη παράγραφο. 39

40 Γενικά ο ενσαρκωμένος κόσμος έχει ως αφετηρία την αλληλεπίδραση με τα αντικείμενα, όπου το άτομο πειραματίζεται με τις ιδιότητες τους, προσπαθεί να τα περιγράψει και να τα ορίσει ως νοητές έννοιες, και να συνάγει σχέσεις μεταξύ αυτών φτάνοντας ίσως και στην αποδεικτική διαδικασία όπως αυτή υπάρχει στην Ευκλείδεια Γεωμετρία (Tall, 2007). Η διαδικασία εξαγωγής ιδιοτήτων από τα αντικείμενα είναι αυτό που ο Piaget ονομάζει ψευδοεμπειρική αφαίρεση. Ο Συμβολικός κόσμος Ο Συμβολικός κόσμος σχετίζεται κυρίως με την ανάπτυξη των αλγεβρικών εννοιών. Σε αυτόν τον κόσμο κυριαρχούν τα σύμβολα, των οποίων η συμβολή στο σχηματισμό των μαθητικών εννοιών είναι πρωταρχικής σημασίας. Στον συμβολικό κόσμο μία αλληλουχία ενεργειών (δηλαδή ένα σχήμα ενεργειών), όπως η αρίθμηση, συμπιέζεται σε μία διαχειρίσιμη για τη μνήμη έννοια (thinkable concept), π.χ. ο αριθμός. Οι Gray&Tall(1994) επισημαίνουν, ότι η ταυτόχρονη αντίληψη της έννοιας ως διαδικασία και ως αντικείμενο, επιτυγχάνεται μέσα από τον κοινό συμβολισμό τόσο της αλληλουχίας ενεργειών (process) όσο και της έννοιας (concept), εφόσον μέσα από διττή χρήση του συμβόλου,καθίσταται δυνατή η εναλλαγή: να «τελέσω» τη διαδικασία (πχ αρίθμηση) και να «σκεφτώ» για την έννοια (πχ. αριθμός). Η ικανότητα για ευέλικτη χρήση των συμβόλων είναι ένας από τους παράγοντες πού επηρεάζουν την επιτυχία στα μαθηματικά, εφόσον επιτρέπει στο μαθητή να «κινείται» με άνεση ανάμεσα στις διαφορετικές σημασίες του συμβόλου, ε- ναλλάσσοντας την οπτική, από τη διαδικασία σε αντικείμενο ανάλογα με την προβληματική κατάσταση. Δηλαδή το σύμβολο λειτουργεί ως ο συνδετικός άξονας μεταξύ της διαδικασίας και της έννοιας ( Gray&Tall 1994). Οι Gray& Tall(1994) για να εκφράσουν τη δυϊκότητα μεταξύ διαδικασίας και έννοιας, και να τονίσουν το ρόλο των συμβόλων, εισήγαγαν τον όρο της διαδικασιοέννοιας(procept) χρησιμοποιώντας τις λέξεις διαδικασία (prοcess) και έννοια (concept). Διαδικασιοέννοια είναι το αμάλγαμα τριών συστατικών: μία διαδικασία (process) πού παράγει ένα μαθηματικό αντικείμενο (object) και ένα σύμβολο το οποίο χρησιμοποιείται να αναπαραστήσει ταυτόχρονα το αντικείμενο και τη διαδικασία. Η γλώσσα στον συμβολικό κόσμο είναι το μέσο για τη διατύπωση προβλημάτων και των στρατηγικών επίλυσής του, όπως επίσης για την περιγραφή νέων εννοιών όπως άθροισμα και γινόμενο κλπ. Η κύρια όμως λειτουργία της γλώσσας στο συμβολικό κόσμο είναι το γεγονός ότι παρέχει τη δυνατότητα να εκφραστεί η δυϊκότητα του ρόλου των συμβόλων ως διαδικασία και ως έννοια (Tall, 2007). Ο Αξιωματικός κόσμος Ο τρίτος κόσμος ονομάζεται Αξιωματικός κόσμος και αποτελείται από μαθηματικές δομές οι οποίες εκφράζονται μέσω τυπικών συνολοθεωρητικών ορισμών. Σε 40

41 αυτό τον κόσμο κυριαρχούν οι ορισμοί των εννοιών και τα αξιώματα. Οι ορισμοί α- ποτελούν γενικεύσεις των θεμελιωδών ιδιοτήτων που είχαν προκύψει από το μετασχηματισμό προηγούμενων εμπειριών και οι οποίες θεσπίζονται ως αξιώματα της θεωρίας ενώ όλες οι άλλες ιδιότητες συνάγονται παραγωγικά μέσω της απόδειξης. Στον αξιωματικό κόσμο η γλώσσα αλλάζει ρόλο και μετατρέπεται στο όργανο εκείνο το οποίο παρέχει τη δυνατότητα να οριστούν με ακρίβεια οι έννοιες του συγκεκριμένου κόσμου, για να μπορέσουν να χρησιμοποιηθούν για την παραγωγή θεωρημάτων μέσα από την αυστηρή παραγωγική διαδικασία. Η αλληλεπίδραση των τριών κόσμων Οι τρεις κόσμοι όπως είπαμε παραπάνω δεν είναι απομονωμένοι αλλά αλληλεπιδρούν μεταξύ τους όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αξιωματικός Κόσμος Τυπικές έννοιες βασισμένες σε ορισμούς Γνωστική ανάπτυξη Ενσαρκωμένος αξιωματικός Πλήρως ενσωματωμένος Ενσαρκωμένος συμβολικός Συμβολικός αξιωματικός Ορισμοί βασισμένοι σε γνωστές έννοιες Ενσαρκωμένος Κόσμος Ενσάρκωση του συμβολισμού Συμβολισμός της ενσάρκωσης Συμβολικός Κόσμος Σχήμα 4 Ο Tall (2008b ) επεξηγεί την αλληλεπίδραση των παραπάνω κόσμων πού περιγράφεται στο παραπάνω σχήμα Η βάση των σχολικών μαθηματικών είναι ο Ενσαρκωμένος κόσμος, όπου ενσαρκώνονται σωματικές-υλικές αντιλήψεις και ενέργειες. Παράδειγμα τέτοιων ενεργειών είναι το παιχνίδι με τα σχήματα, η τοποθέτησης τους σε συλλογές και η μέτρηση δείχνοντας τα αντικείμενα. Όταν αυτές οι ενέργειες μετατραπούν σε ρουτίνες, μπορούν να συμβολιστούν και να λειτουργήσουν με το διττό τους ρόλο, ως ενέργειες και ως οντότητες πάνω στις οποίες θα εφαρμοστούν και άλλες ενέργειες. Παράδειγμα είναι οι παραπάνω ενέργειες (παιχνίδι με σχήματα, συλλογή από σχήματα και μέτρηση) οι οποίες συμβολίζονται ως αριθμοί. Σε αυτούς του αριθμούς θα εφαρμοστούν πράξεις όπως πρόσθεση, αφαίρεση κτλ. Βαθμιαία υπάρχει μετατόπιση της προσοχής από την ενσάρκωση προς το χειρισμό των συμβόλων και κατά συνέπεια η Μαθηματική σκέψη θα μετακινηθεί από τον Ενσαρκωμένο κόσμο στον Συμβολικό 41

42 κόσμο. Στα σχολικά μαθηματικά κυριαρχεί η αμφίδρομη αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο πρώτων κόσμων (Ενσαρκωμένου & Συμβολικού) όπου ο ένας αποτελεί στήριγμα για την ανάπτυξη του άλλου. Οι δυο αυτοί κόσμοι στηρίζουν τη μετάβαση στον Αξιωματικό κόσμο ο οποίος είναι τελικός προορισμός-στόχος στην πορεία της ανάπτυξης της μαθηματικής σκέψης. Έτσι σύμφωνα με τον ίδιο τον Tall το θεωρητικό πλαίσιο που προτείνει για την γνωστική ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης, δεν είναι απλώς ένα γραμμικό μοντέλο πού έχει ως σημείο εκκίνησης τον Ενσαρκωμένο κόσμο με τελική κατάληξη τον Αξιωματικό κόσμο αλλά μπορεί να λειτουργήσει κυκλικά. Ένα παράδειγμα είναι το εξής: Η έννοια του διανυσματικού χώρου προκύπτει από ένα αξιωματικό σύστημα. Για παράδειγμα με αφετηρία τον 2 (το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων) για τον οποίο έχουμε εικόνα, περνάμε στον ν (ν-διάστατος διανυσματικός χώρος) και στη συνέχεια ένα στοιχείο ν το υλοποιούμε με ένα διάνυσμα στο επίπεδο. Η συμπίεση των διαδικασιών Οι Pegg&Tall (2005), εστιάζουν στο ρόλο των διαδικασιών στο σχηματισμό των μαθηματικών εννοιών, και επισημαίνουν την ύπαρξη θεμελιωδών κύκλων οι ο- ποίοι διέπουν τη γνωστική ανάπτυξη των μαθηματικών, οι οποίοι είναι παρόμοιοι σε διαφορετικά θεωρητικά πλαίσια, κάποια από τα οποία είναι επηρεασμένα από τον Piaget. Όπως είδαμε στην ανάπτυξη των μαθηματικών εννοιών υπάρχει διάκριση μεταξύ της αλγοριθμικής και εννοιολογικής κατανόησης των μαθηματικών εννοιών. Η Α.Sfard έδειξε είναι οι δύο όψεις του ίδιου νομίσματος, που λειτουργούν συμπληρωματικά η μία με την άλλη. Ο Tall(2006) με τη σειρά του, με τον όρο αλγοριθμική γνώση (procedural knowledge) εννοεί τις βήμα-βήμα ενέργειες πριν αυτές συμπυκνωθούν σε «συνολικές» διαδικασίες (processes) και στη συνέχεια αποκρυσταλλωθούν σε έννοιες. Ενώ με τον όρο εννοιολογική γνώση (conceptual knowledge) εννοεί το σχηματισμό σχημάτων γνώσεων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν με ευέλικτο τρόπο(tall,2006). Η αλγοριθμική γνώση στη θεωρία του Tall αποτελεί μέρος της εννοιολογικής γνώσης. Οι αλγοριθμικές διαδικασίες είναι γενικά ταυτισμένες κυρίως με την Άλγεβρα. Η Άλγεβρα στη θεωρία του Tall σχετίζεται με τον Συμβολικό κόσμο και θα ήταν εύλογο να θεωρηθεί ότι η αλγοριθμική γνώση υφίσταται μόνο στον Συμβολικό κόσμο.o Tall (2006) όμως αναφέρει ότι η αλγοριθμική γνώση υφίσταται και στον Ενσαρκωμένο κόσμο και είναι παρόμοιας μορφής και στους δύο κόσμους. Εφόσον ο χρόνος και ο χώρος πού απαιτείται για την αλγοριθμική γνώση είναι περιορισμένος, ο τρόπος συμπίεσης των διαδικασιών είναι βασικό τμήμα της θεωρίας του D.Tall. Η περιγραφή του μηχανισμού συμπίεσης των διαδικασιών, βασίζεται στη διάκριση μεταξύ διεργασίας (procedure) και διαδικασίας (process) που χρησιμοποιεί ο Davis (1983) : Ο όρος διεργασία σημαίνει έναν βήμα προς βήμα αλγόριθμο στον οποίο το άτομο πρέπει να ολοκληρώσει κάθε βήμα πριν κάνει το επόμενο. Ενώ τον όρο διαδικασία τον χρησιμοποιεί όταν μία ή περισσότερες διεργασίες που έχουν το ίδιο αποτέλεσμα, θεωρούνται ως όλον, χωρίς να είναι απαραίτητο να ανατρέχει ο μαθητής σε κάθε βήμα της διεργασίας ξεχωριστά, ή ακόμα και σε κάθε διαδικασία. Οι Gray,Pitta,Pinto,& Tall, (1999 ) διακρίνουν διαφορετικά επίπεδα στην αλγοριθμική γνώση των παιδιών. Χρησιμοποιούν το μοντέλο της ταξινομίας SOLO (J. Biggs,1979) η οποία μας δίνει τη δυνατότητα να κατατάξουμε τις επιδόσεις κάθε μα- 42

43 θητή σε επίπεδα, ανάλογα με την δομή του μαθηματικού αποτελέσματος πού παρουσιάζει ο κάθε μαθητής. Σε αναλογία με τα επίπεδα της ταξινομίας SOLO, η αλγοριθμική γνώση των παιδιών τοποθετείται σε πέντε επίπεδα. Κάθε ένα από τα επίπεδα χαρακτηρίζεται από τις συγκεκριμένες στάσεις του μαθητή σε σχέση με τον συμβολισμό μιας έννοιας. Ξεκινώντας από το χαμηλότερο επίπεδο, προ-διεργασίας (pre-procedural) όταν οι μαθητές είτε δεν μπορούν να λύσουν ένα πρόβλημα ρουτίνας είτε το λύνουν μερικώς. Όταν οι μαθητές είναι στο επίπεδο της διεργασίας(procedural) μπορούν να λύσουν ένα πρόβλημα ρουτίνας εστιάζοντας την προσοχή τους σε μια διαδικασία η οποία πρέπει να εκτελεστεί βήμα προς βήμα. Στο επίπεδο της διαδικασίας (processual) ο μαθητής διαθέτει διαφορετικούς «αλγορίθμους» και μεθόδους για το ίδιο πρόβλημα οι οποίες οδηγούν στο ίδια αποτέλεσμα, και επομένως είναι σε θέση να ελέγξει την ορθότητα του αποτελέσματος. Ενώ στο επίπεδο της διαδικασιοέννοιας (proceptual) τα σύμβολα αποκτούν την δυική φύση τους,όπου διαθέτουν ευέλικτη κατανόηση του σύμβολου ως διαδικασία και ως έννοια και που επιτρέπουν στο μαθητή να σκέφτεται για τα μαθηματικά συμβολικά, και όχι απλώς να ε- κτελεί πράξεις. Η συμπίεση μίας ενέργειας σε έννοια πραγματοποιείται,όταν υπάρχει μετατόπιση της προσοχής από τα βήματα της διεργασίας στο αποτέλεσμα της διεργασίας. Η πορεία αποκρυστάλλωσης μίας έννοιας,μέσα από τον τρόπο κατανόησης και χρήσης των συμβόλων παριστάνεται στο Σχήμα 5 (Gray&Tall, 2001) Το φάσμα των διαφορετικών τρόπων αντιμετώπισης μίας προβληματικής κατάστασης Καθόλου λύση ή μερική λύση Βήμα προς βήμα λύση σε ένα πρόβλημα ρουτίνας Ευέλικτη λύση με εννοιολογικά εναλλακτικές λύσεις Ικανότητα να ΣΚΕΦΤΕΙ για τα μαθηματικά συμβολικά Διαδικασία (διεργασίες) Διαδικασίο έννοια (διαδικασιες) (διεργασίες) Πρόοδος Διεργασία Προ-διεργασία Εκλέπτυνση (Συμπίεση) Το φάσμα των διαφορετικών τρόπων αντιμετώπισης μίας προβληματικής κατάστασης σε σχέση με την πορεία συμπίεσης του συμβολισμού Σχήμα 5 Ο τρόπος με τον οποίο γίνεται η συμπίεση των διαδικασιών σε διαδικασιοέννοιες υφίσταται και στον Ενσαρκωμένο κόσμο. Η αλληλουχία των επίπεδων είναι παρόμοια με αυτή του Συμβολικού κόσμου. Αυτό συμβαίνει όταν 43

44 οι ενέργειες (actions) επιδρούν σε ορατά αντικείμενα. Η περίπτωση αυτή αντιστοιχεί στη διεργασία του Συμβολικού κόσμου. Ένα παράδειγμα είναι το μοίρασμα σε ίσα μέρη ή μετατόπιση αντικειμένου στο επίπεδο. Οι ενέργειες έχουν ένα αποτέλεσμα (effect) στα αντικείμενα. Το αποτέλεσμα αντιστοιχεί στη διαδικασία του Συμβολικού κόσμου.για παράδειγμα το αποτέλεσμα είναι η αλλαγή της θέσης του αντικειμένου από την αρχική στην τελική θέση. Κάθε ένα από τα στάδια που περιγράφηκαν παραπάνω βρίσκονται σε ένα προς ένα αντιστοίχιση όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Τα στάδια της μπορούν να τεθούν σε αντιστοιχία με τα στάδια της θεωρίας APOS (Tall,2006). Σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα, τα επίπεδα ενέργεια, διαδικασία και αντικείμενο της APOS αντιστοιχούν στα επίπεδα της διεργασίας, διαδικασίας και διαδικασιοέννοιας του Tall. Η δομή για μία έννοια,πού σχηματίζεται στο μυαλό του ατόμου, από τις εμπειρίες τόσο στον Ενσαρκωμένο κόσμο όσο και στον Συμβολικό κόσμο του Tall, αντιστοιχεί στην έννοια του σχήματος κατά τη θεωρία APOS. Συμπίεση μίας διαδικασιοέννοιας σε έννοια Έννοια που συνδέεται με άλλες έννοιες Σχήμα (schema) Μια εννοιολογική δομή που περιέχει όλες τις εικόνες, διαδικασίες, σύμβολα κλπ. Ενσαρκωμένη έννοια Αναπαριστά το αποτέλεσμα Διαδικασιοέννοια Ταυτόχρονη αντίληψη ως διαδικασία και ως έννοια Αντικείμενο (Object) Αποτέλεσμα της ενσαρκωμένης ενέργειας Διαδικασία Ως όλο Διαδικασία (Process) Διαδικασία Μέσα από την ενσαρκωμένη ενέργεια Διεργασία Εκφρασμένη συμβολικά Βήμα- βήμα Ενέργεια (Action) Μέσα από ενσάρκωση Μέσα από το συμβολισμό Σχήμα 6 44

45 Ο όρος met-before Ο D.Tall εισήγαγε τον όρο met-before (Tall, 2004) για να εστιάσει στο γεγονός ότι η νέα μάθηση επηρεάζεται από εμπειρίες που ο μαθητής έχει συναντήσει στο παρελθόν (Tall 2010). Καθώς ο μαθητής συναντά νέα πεδία γνώσης χτίζει νέες ιδέες πού βασίζονται σε προηγούμενες νοητικές κατασκευές, τις οποίες ονομάζει metbefore. Έτσι met-before είναι μία προσωπική νοητική κατασκευή η οποία ανακαλείται στη μνήμη για την αντιμετώπιση μιας τρέχουσας κατάστασης. Οι met-before είναι προαπαιτούμενες για την μάθηση καινούριων μαθηματικών, τόσο για την απόκτηση μαθηματικής γνώσης από μαθητές της πρωτοβάθμιας & δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης αλλά και στο επίπεδο της παραγωγής καινούριας μαθηματικής γνώσης από ερευνητές μαθηματικούς.«σε ένα καλά θεμελιωμένο πρόγραμμα σπουδών, μία met- before μπορεί να αποτελέσει το θεμέλιο για την επιτυχημένη ανάπτυξη της μαθηματικής έννοιας, αλλιώς μπορεί να λειτουργήσει ως επιστημολογικό εμπόδιο» (Akkoç,2006). Δηλαδή μία met-before μπορεί να έχει θετική ή και αρνητική επίδραση στην προσπάθεια του μαθητή για τη απόκτηση της καινούριας γνώσης,σε αντίθεση με την αποκλειστικά αρνητική χροιά του όρου «επιστημολογικό εμποδίο» πού χρησιμοποιήθηκε από τον Brousseau (1983) «για να υποδηλώσει ένα συγκεκριμένο κομμάτι γνώσης πού εμποδίζει την απόκτηση της καινούριας γνώσης» (McGowen&Tall,2010). Ένα παράδειγμα αρνητικής επίδρασης μιας met-before γνώσης είναι η αντίληψη της αφαίρεσης ως τη φυσική πράξη του «παίρνω κάτι από ένα σύνολο φυσικών αντικειμένων», η οποία λειτουργεί επαρκώς στο πλαίσιο των φυσικών αντικείμενων ή στην πρόσθεση φυσικών αριθμών αλλά «δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε πλαίσια όπως αυτό των θερμοκρασιών κάτω από το μηδέν, στη χρέωση και πίστωση ή στην αριθμητική γραμμή». Αντίθετα η met-before γνώση του 2+2 κάνει 4 μπορεί να λειτουργήσει υ- ποστηρικτικά όταν το νέο πλαίσιο είναι αυτό της πρόσθεσης μήλων, ή στο χειρισμό συμβόλων όπως 2α+3β+2α = 4α +3β. (Tall, 2005). Οι met- before έχουν συνέπειες τόσο στον τομέα της ανάπτυξης της μαθηματικής γνώσης των παιδιών αλλά και στον συναισθηματικό τομέα. Μία met-before που δεν λειτουργεί στο νέο πλαίσιο εμποδίζει τη γενίκευση και δημιουργεί σύγχυση. Η επίδραση μιας τέτοιας met-before μπορεί να λειτουργήσει με δύο τρόπους πάνω στο συναισθηματικό κομμάτι :α) εάν ο μαθητής έχει εμπιστοσύνη στον εαυτό του να α- ποτελέσει πρόκληση για την επίλυση του προβλήματος με ένα νέο τρόπο και β) εάν ο μαθητής δεν έχει υψηλή αυτοεκτίμηση να απογοητευθεί και να μην αφιερώσει την απαιτούμενη προσπάθεια για την υπερπήδηση των εμποδίων. 2.5 Εικόνα έννοιας και Ορισμός έννοιας. Ο όρος εικόνα έννοιας (Concept Image) χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τους Vinner& Herschowitz (1980). Το περιεχόμενο του όρου καθορίστηκε από τους Tall&Vinner (1981) και από τον Vinner (1983). Οι Tall&Vinner (1981) δηλώνουν ότι, χρησιμοποιούν τον όρο εικόνα για την έννοια για να περιγράψουν τη γνωστική δομή, που σχετίζεται με μία έννοια, και η οποία περιλαμβάνει όλες τις ιδιότητες και όλες τις διαδικασίες που συνδέει το άτομο με το όνομα της έννοιας. Κάθε ένας δημιουργεί την προσωπική εικόνα για την έννοια, η οποία διαφέρει από άτομο σε ά- τομο. Η εικόνα για μία έννοια είναι μία δυναμική νοητική κατασκευή, που οικοδομείται με το πέρασμα του χρόνου μέσα από τις εμπειρίες του ατόμου και μεταβάλλεται καθώς το άτομο συναντά καινούρια ερεθίσματα και ταυτόχρονα ωριμάζει. 45

46 Όταν κάποιος βρίσκεται στη φάση της κατασκευής της εικόνας για μία έννοια, είναι πιθανό να παρατηρηθεί ασυνέπεια στον τρόπο χρήση της,δηλαδή μπορεί να α- ντιδράσει διαφορετικά όταν η έννοια εμφανιστεί σε διαφορετικό πλαίσιο. Η ασυνέπεια μπορεί να οφείλεται στο γεγονός ότι είναι δυνατόν να ενεργοποιούνται διαφορετικά τμήματα της εικόνας της έννοιας, ανάλογα με το πλαίσιο. Το τμήμα της έννοιας που ενεργοποιείται κάθε φορά, οι Tall&Vinner (1981) το ονομάζουν προκληθείσα εικόνα για την έννοια (evoked concept image). Το άτομο γενικά μπορεί να μην έχει συνείδηση της αντιφατικότητας των τμημάτων της εικόνας της έννοιας. Για να γίνει αντιληπτή η πιθανή ασυνέπεια, πρέπει να υπάρχει ταυτόχρονη εμφάνιση των αντικρουόμενων τμημάτων της εικόνας. Ο ορισμός της έννοιας (Concept definition) είναι συμφώνα με τον Vinner (1983) ένας λεκτικός ορισμός, που περιγράφει την έννοια με ακριβή και μη κυκλικό τρόπο. Στην καθημερινή ζωή υπάρχουν έννοιες που δεν έχουν ορισμό. Στην περίπτωση αυτή το άτομο σκέφτεται μέσα από την εικόνα που έχει σχηματίσει για την έννοια. Η περίπτωση των Μαθηματικών όμως διαφέρει από αυτή της καθημερινής ζωής, διότι είναι μία παραγωγική επιστήμη η οποία στηρίζεται σε ορισμούς και σε αξιώματα από όπου συνάγονται τα θεωρήματα και οι προτάσεις. Οι ορισμοί, δηλαδή, βρίσκονται στον πυρήνα του τρόπου με τον οποίο δομούνται τα Μαθηματικά. Οι έννοιες στα Μαθηματικά καθορίζονται από τεχνητούς ορισμού οι οποίοι δομούνται στη βάση της γενικότητας, της περιεκτικότητας και της λιτότητας. Ο τρόπος όμως με τον οποίο σχηματίζονται οι μαθηματικές έννοιες στο μυαλό του ατόμου διαφέρει από τον τρόπο δόμησης των τυπικών μαθηματικών εννοιών. Σύμφωνα με τον Vinner (1983&1991) το να κατανοήσουμε μία έννοια σημαίνει να αποκτήσουμε μία συνεπή με τον ορισμό εικόνα για την έννοια. Η εικόνα για την έννοια είναι όμοια την έννοια του σχήματος, με τη διαφορά ότι το σχήμα είναι συνεπές, δηλαδή ότι μπορεί να καθορίζει πιο φαινόμενο ανήκει και πιο όχι στο σχήμα. Σε αντίθεση με την εικόνα για την έννοια που μπορεί να περιέχει αντιφάσεις Ανάλυση της συνάρτησης ως διαδικασιοέννοια Στη συγκεκριμένη παράγραφο θα παραθέσουμε την ανάλυση που κάνουν οι Gray&Tall (1992) για την έννοιας της συνάρτησης ως διαδικασιοέννοια. Η έννοια της συνάρτησης είναι μία αρχετυπική διαδικασιοέννοια την οποία οι Gray& Tall αναλύουν ως εξής: Ως διαδικασία (process) είναι «είσοδος και έξοδος» δεδομένων, σύμφωνα με τη οποία ένα στοιχείο x του πεδίου ορισμού μέσα από μία διαδικασία, συνήθως αλγεβρική, μετασχηματίζεται σε ένα στοιχείο f(x) του συνόλου τιμών. Ταυτόχρονα η έννοια (concept) της συνάρτησης είναι και αντικείμενο της θεωρίας στο οποίο μπορεί να εφαρμοστούν πράξεις, Ενώ το σύμβολο f πού είναι το όνομα της συνάρτησης είναι αυτό πού εκφράζει ταυτόχρονα την διαδικασία και την έννοια. Παραθέτουν δύο παραδείγματα για να κάνουν σαφή το ρόλο του συμβολισμού στην κατανόηση της συνάρτησης ως διαδικασιοέννοια. Το πρώτο παράδειγμα αφορά στη σύνθεση συναρτήσεων η οποία μπορεί να γίνει αντιληπτή ως συντονισμός δύο διαδοχικών διαδικασιών: αρχικά μετασχηματίζεται το x στο f(x) και στη συνέχεια το f(x) σε g(f(x)). Η ικανότητα να σκεφτεί κάποιος για την συνάρτηση ως έννοια της μαθηματικής θεωρία ενδυναμώνεται μέσα από τη χρήση του συμβόλου f το οποίο υποδηλώνει τη συνάρτηση και τη σύνθεση gf δύο συναρτήσεων f και g. Το δεύτερο παράδειγμα αφορά στον τρόπο αντίληψης του συμβόλου f. Ο συμβολισμός, πχ. της συνάρτησης f(x)=x 2-3, εκφράζει τη διαδικασία με την οποία πρέπει να υπολογιστεί η 46

47 τιμή της συνάρτησης για μία συγκεκριμένη τιμή του x, πχ. για x= 2 f(2)=1. Ταυτόχρονα ενθυλακώνει την συνολική έννοια της συνάρτησης για μία γενική τιμή του x, «σωματοποιώντας» έτσι ολόκληρη τη διαδικασία, εφόσον ο συμβολισμός f(x) σωματοποιεί την κίνηση: παίρνω κάθε αριθμό x και τον μετασχηματίζω στο x 2-3. Η διαδικασιοέννοια συνάρτηση εκλεπτύνεται καθώς ο μαθητής αποκτά ε- μπειρία. Μπορεί να τη συναντήσει σε διάφορες αναπαραστάσεις: διαδικαστική, αριθμητική, συμβολική, γραφική, πίνακα τιμών κ.α. Ένας μαθητής εκμεταλλεύεται τη δύναμη που του δίνει η αντίληψη της έννοιας της συνάρτησης ως διαδικασιοέννοια, όταν είναι σε θέση να μετακινηθεί από μία αναπαράσταση στην άλλη, χωρίς να έχει την αίσθηση αυτής της μετάβασης. Διότι στην ουσία δεν υφίσταται τέτοιου είδους μετάβαση, αφού όλες οι αναπαραστάσεις είναι η ίδια διαδικασιοέννοια. 47

48 Κεφάλαιο 3 3. Η συνάρτηση στα Σχολικά Βιβλία Τα σχολικά βιβλία αποτελούν ντοκουμέντα τα οποία προσφέρουν σημαντικές πληροφορίες για τη μάθηση που ενδεχομένως να συντελεστεί σε μία τάξη και επομένως είναι πιθανό να σχετίζονται με τις δυσκολίες που έχουν οι μαθητές στην κατανόηση των μαθηματικών εννοιών (Mesa, 2000). Στο κεφάλαιο 3 θα κάνουμε μία σύντομη περιγραφή της έννοιας της συνάρτησης όπως αυτή εμφανίζεται στα σχολικά Βιβλία του Γυμνάσιου και του Λυκείου. Η αρχή που διατυπώνει η Sfard(1991) ότι η λειτουργική αντίληψη των εννοιών προηγείται της δομικής, αντανακλάται και στον τρόπο με τον οποίο παρουσιάζονται οι έννοιες κατά τη διάρκεια της σχολικής σταδιοδρομίας των μαθητών. Στην περίπτωση της έννοιας της συνάρτησης η δομική αντίληψη της έννοιας εκφράζεται από τον συνολοθεωρητικό ορισμό της έννοιας ως διατεταγμένο ζεύγος. Η προσέγγιση της έννοιας μέσα από αυτό τον ορισμό κρίθηκε ακατάλληλη για τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση (Eisenberg,1991). Η ακαταλληλότητα του έγκειται στην λιτότητα και την περιεκτικότητά του, με αποτέλεσμα να λειτουργεί για τους μαθητές σαν ξυράφι του Ockham ( Σπύρου & Γαγάτσης,2008) αλλά και στο γεγονός ότι είναι το προϊόν μίας μακριάς εξελικτικής πορείας η οποία συνδέεται με πολλά επιστημολογικά προβλήματα που σχετίζονται με την έννοια. Σύμφωνα με τον Malik (1980) η χρήση ενός τέτοιου ορισμού μπορεί να αναβληθεί έως ότου οι μαθητές χρειαστεί να ασχοληθούν με την Ανάλυση και την Τοπολογία. Στο Ελληνικό σχολικό πρόγραμμα η έννοια της συνάρτησης στο Γυμνάσιο παρουσιάζεται ως μία έκφραση ή ένας αλγεβρικός τύπος πού αναπαριστά μια σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών. Ενώ στο Λύκειο ορίζεται ως μία διαδικασία (κανόνας) αντιστοίχισης μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων, για να μπορέσει να συμπεριλάβει στην έννοια τις τριγωνομετρικές και λογαριθμικές συναρτήσεις,εφόσον δεν υπάρχει αλγεβρική έκφραση για αυτές, αλλά και για να προετοιμάσει τους μαθητές για την εισαγωγή τους Ανάλυση. 3.1 Η έννοια της συνάρτησης στο Γυμνάσιο Η συνάρτηση στην Α Γυμνασίου Η πρώτη επαφή των παιδιών με την έννοια πραγματοποιείται στην Α Γυμνασίου κατά τη μελέτη των ανάλογων και αντιστρόφως ανάλογων ποσών, στο Κεφάλαιο 6 του βιβλίου Μαθηματικά Α Γυμνασίου (Βανδουλάκης, κ.α. 2011). Σ αυτή τη φάση δεν γίνεται ρητή αναφορά ούτε στην όρο συνάρτηση,αλλά ούτε και στην έννοια της συνάρτησης. Επί το πλείστον γίνεται μία προσπάθεια να αναδειχθεί μία σχέση εξάρτησης δύο μεγεθών. Συναντούν όμως για πρώτη φορά τις βασικές αναπαραστάσεις της έννοιας. Έρχονται δηλαδή σε επαφή με την αλγεβρική αναπαράσταση μιας σχέσης, όπως y=αx και y=α/x, με τον πίνακα τιμών αυτής της σχέσης και με τη γραφική παράστασή της Η συνάρτηση στη Β Γυμνασίου Η «επίσημη» εισαγωγή των παιδιών στην έννοια γίνεται στη Β Γυμνασίου μέσα από το βιβλίο Μαθηματικά Β Γυμνασίου σελ 55 ( Βλάμος, κ.α. 2011), όπου και ακούνε για πρώτη φορά τον όρο «συνάρτηση». Δεν δίνεται πλήρης ορισμός για την έννοια αλλά γίνεται η προσπάθεια να οικοδομηθεί η εικόνα της μέσα από παραδείγματα της καθημερινής ζωής αλλά και μέσα από τα μαθηματικά. Αρχικά δίνεται η ε- ξής δραστηριότητα: 48

49 Σκοπός αυτής της δραστηριότητας είναι η ανάδειξη μίας σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών (μεγεθών) την οποία και τελικά θα ονομάσει συνάρτηση. Στην περιγραφή της έννοιας της συνάρτησης μπαίνει περιορισμός όσον αφορά το είδος των σχέσεων που μπορούν να ονομαστούν συναρτήσεις. Το παρακάτω απόσπασμα που έρχεται σε συνέχεια της εισαγωγικής δραστηριότητας είναι η κάπως τυπική περιγραφή της έννοιας: Για λόγους ευκολίας θα ονομάσουμε την παραπάνω περιγραφή της έννοιας ως «ο ορισμός της έννοιας της συνάρτησης στο Γυμνάσιο». Θα προσπαθήσουμε συνταιριάξουμε την εικόνα της έννοιας της συνάρτησης πού ενδεχομένως αναδύεται μέσα από τον προηγούμενο ορισμό,τις δραστηριότητες και τις ασκήσεις που περιέχονται στο βιβλίο της Β Γυμνασίου. Παρόλο που ο ορισμός αναφέρεται σε αντιστοίχιση εν τούτοις οι εισαγωγικές δραστηριότητες και οι ασκήσεις παραπέμπουν σε μια αλγεβρική σχέση εξάρτησης του y με το x παρά σε διαδικασία αντιστοίχισης. Οι αλγεβρικές σχέσεις που χρησιμοποιούνται είναι: αρχικά η y=αx 2, και στη συνέχεια οι y=αx, y=αx+β και η y=α/x, οι οποίες μελετούνται εκτενώς. Η συνηθισμένη πρακτική που ακολουθείται από το βιβλίο είναι: οι μαθητές να καλούνται να συμπληρώσουν ένα πίνακα τιμών όταν γνωρίζουν τον αλγεβρικό τύπο, είτε να ανακαλύψουν την αλγεβρική σχέση που συνδέει δύο μεγέθη.(εικόνα 1) Ασκήσεις Συμπλήρωσης πίνακα τιμών Αλγεβρική σχέση δύο μεγεθών Εικόνα 1 Ενώ στο πλαίσιο της ανάδειξης της συνάρτησης ως σχέσης εξάρτησης δύο μεγεθών δίνονται ασκήσεις του παρακάτω τύπου (Εικόνα 2) Εικόνα 2 Ασκήσεις ανάλογες με αυτή της εικόνας 2, συνάντησαν οι μαθητές και στην Α Γυμνασίου κατά την μελέτη των αναλόγων ποσών. Σε αυτού του είδους τις ασκήσεις οι μαθητές για να συμπληρώσουν τον πίνακα τιμών πρέπει να λύσουν μία εξίσωση. Συνδέοντας έτσι την έννοια της συνάρτησης με την διαδικασία λύσης εξίσωσης. 49

50 Οι εφαρμογές της παραπάνω μορφής στοχεύουν στη δημιουργία της εικόνας της έννοιας στο Συμβολικό κόσμο. Στον Ενσαρκωμένο κόσμο η έννοια της συνάρτησης υφίσταται μέσω της γραφικής της παράστασης. Οι μαθητές έχουν ήδη κατασκευάσει γραφικές παραστάσεις των ανάλογων και αντιστρόφως ανάλογων ποσών στην Α Γυμνασίου, επομένως έ- χουν εμπειρία αυτής της αναπαράστασης. Στη Β Γυμνασίου δίνεται μεγαλύτερο βάρος στις πληροφορίες που μπορούμε να αποκομίσουμε από το γράφημα μίας συνάρτησης. Στο πλαίσιο αυτό υπάρχουν ασκήσεις και εφαρμογές ανάλογες με του παραδείγματος 3. Χαρακτηριστική είναι η εφαρμογή 4 της σελ 64 (Βλάμος κ.α. 2011) η οποία χρησιμοποιεί τη γραφική παράσταση μίας συνάρτησης για να εκτιμηθεί η τιμή του y για μία συγκεκριμένη τιμή του x και αντίστροφα (Εικόνα 3). Στην εφαρμογή αυτή η συνάρτηση αντιμετωπίζεται με το ίδιο πνεύμα που συναντήσαμε στο παράδειγμα 2. Στην πραγματικότητα οι εφαρμογές είναι ίδιες, αλλάζει μόνο η αναπαράσταση, και στις δύο περιπτώσεις λύνουμε κάποια εξίσωση είτε αλγεβρικά είτε γραφικά. Εικόνα 3 Μετά την εισαγωγή της έννοιας της συνάρτησης το βιβλίο προχωράει στην μελέτη και τη γραφική παράσταση συγκεκριμένων συναρτήσεων. Μελετούνται οι συναρτήσεις y=αx, y=αx+β και y=α/x. Η διδασκαλία επικεντρώνεται κυρίως στη γραφική αναπαράσταση αυτών των αλγεβρικών σχέσεων και στις γεωμετρικές ιδιότητες των γραφημάτων τους (κλίση της y=αx, παραλληλία των y=αx+β). Η σύνδεση της έννοιας με την καθημερινότητα γίνεται μέσα από προβλήματα του παρακάτω τύπου (Εικόνα 4). Ιδιαίτερα η άσκηση 8 σελ 71(Βλάμος κ.α.2011)αναπαράγει την εικόνα πού αναδύεται μέσα από τις ασκήσεις που παρουσιάζονται στις Εικόνες 2 και 3. Εικόνα 4 Εάν συγκρίνουμε τον «ορισμό» της έννοιας της συνάρτησης και των εφαρμογών που επιλέγονται για την δημιουργία της εικόνας της έννοιας θα φανεί ότι ο «ορισμός» δεν είναι σε αντιστοιχία με την εικόνα που αναδύεται από τις εφαρμογές. Στον 50

51 «ορισμό» εμφανίζονται οι έννοιες των μεταβλητών x,y, και γίνεται αναφορά στην αντιστοίχιση ως διαδικασία όπου πρέπει να αντιστοιχηθεί κάθε τιμή της μεταβλητής x με μία μόνο τιμή της μεταβλητής y. Η μοναδικότητα της τιμής του y δεν αναδεικνύεται από κάποιο παράδειγμα-αντιπαράδειγμα με αποτέλεσμα να φαίνεται σαν περιττή απαίτηση μέσα στον «ορισμό». Ούτε και η απαίτηση να γίνεται αντιστοίχιση για κάθε τιμή x στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, κάτι που θα ήταν άλλωστε αταίριαστο ε- φόσον δεν ορίζεται το πεδίο ορισμού. Το ρόλο του πεδίου ορισμού τον αναλαμβάνουν «οι τιμές της μεταβλητής x» και το ρόλο του συνόλου τιμών «οι τιμές της μεταβλητής y».αν και η μεταβλητή y (το ποσό της αύξησης) εξαρτάται από τη μεταβλητή x (αρχικός μισθός) δεν γίνεται αναφορά στη διαφοροποίηση των μεταβλητών ως προς το ρόλο της εξαρτημένης και ανεξάρτητης μεταβλητής. Αντίθετα οι εφαρμογές των Εικόνων 2 και 3 ενισχύουν την πεποίθηση ότι οι δύο μεταβλητές έχουν κοινό ρόλο. Εφόσον στην εικόνα της έννοιας ο ρόλος των μεταβλητών x και y φαίνεται να είναι ίδιος, είναι φυσικό και οι τιμές των μεταβλητών να μην είναι απαραίτητο να διαφοροποιηθούν. Έτσι οι τιμές του x και του y είναι «τιμές της συνάρτησης». Ο ορισμός φαίνεται να μην είναι σε αντιστοιχία με τους στόχους πού θέτουν τα παραδείγματα και οι δραστηριότητες αλλά περισσότερο προσπαθεί να είναι σε συμφωνία με τον ο- ρισμό που δίνεται στην Α Λυκείου Η συνάρτηση στη Γ Γυμνασίου Στη Γ Γυμνασίου δεν δίνεται εκ νέου ορισμός για την έννοια, εφόσον αποτελεί συνέχεια της Β Γυμνασίου. Η διδασκαλία της έννοιας γίνεται κυρίως μέσω της μελέτης της γραφικής παράστασης της y=αx 2 +βx+γ στο Κεφάλαιο 4 του σχολικού βιβλίου Μαθηματικά Γ Γυμνασίου (Αργυράκης,κ.α.,2011). Οι στόχοι πού θέτουν οι συγγραφείς στην αρχή της παραγράφου 4.1 με τίτλο H συνάρτηση y=αx 2 με a 0 είναι οι εξής: Με όμοιο τρόπο στην παράγραφο 4.2 H συνάρτηση y=αx 2 +βx+γ με a 0 ο μοναδικός στόχος που τίθεται είναι να μάθουν οι μαθητές να σχεδιάζουν τη γραφική παράσταση της εν λόγω συνάρτησης. Μέσα από τη μελέτη της y=αx 2 γίνεται προσπάθεια να κατανοηθεί ο ρόλος του α α- νάλογα με το πρόσημο του, χωρίς όμως ταυτόχρονη προσπάθεια να ερμηνευθεί ο μηχανισμός που «ανοίγει» και «κλείνει» τη γραφική παράσταση. 51

52 Επιπλέον εισάγονται οι έννοιες ελάχιστη και μέγιστη τιμή, ο άξονας συμμετρίας και η κορυφή της παραβολής.στο επόμενο στάδιο γίνεται μελέτη της γραφικής παράστασης της y=αx 2 +βx+γ μέσω των μετασχηματισμών της μορφής y=a(x-b)+c,δηλ της κατακόρυφης και οριζόντιας μετατόπισης, όπως φαίνεται στα παρακάτω παραδείγματα. Στην πραγματικότητα δεν προστίθεται κάτι εντελώς νέο σε σχέση με την εικόνα της έννοιας που δημιουργήθηκε στη Β Γυμνασίου. Ο τρόπος με τον όποιο παρουσιάζεται η έννοια παραπέμπει σε γραφική μελέτη των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παρά πολυωνυμικών συναρτήσεων 2 ου βαθμού. Αποφεύγεται η αναφορά στις οριακές θέσεις της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=αx 2 όταν α=0 ή όταν το α είναι πολύ μεγάλος αριθμός,όπου θα μπορούσαν οι μαθητές να προβληματιστούν πάνω στις βασικές διαφορές μίας οποιασδήποτε αλγεβρικής και μίας συναρτησιακής σχέσης. Καθώς επίσης δεν επιχειρείται να προβληματιστούν οι μαθητές, έστω και σε πρώιμο στάδιο, για τη σχέση των συντεταγμένων των σημείων των γραφικών παραστάσεων. Η σχέση θα μπορούσε να αναδειχθεί μέσα από μία σημείο προς σημείο προσέγγιση του προβλήματος, προσεγγίζοντας έτσι με το λειτουργικό, κατά Sfard, τρόπο. Αντίθετα ακολουθεί μία πιο ολιστική προσέγγιση η οποία προσιδιάζει στο δομικό, κατά Sfard, τρόπο. Στην εισαγωγή της πρώτης παραγράφου υπενθυμίζεται ο «ορισμός» της έννοιας που δόθηκε στη Β Γυμνασίου και δίνεται ένα παράδειγμα μίας αλγεβρικής σχέσης που είναι συνάρτηση :..η ισότητα y=x 2 καθορίζει μία συνάρτηση, αφού σε κάθε τιμή του x αντιστοιχίζεται μόνο μία τιμή του y. Πχ. Για x=1 έχουμε y=1 2 =1 Για x=2 έχουμε y=2 2 =4 κ.τ.λ. Το προηγούμενο παράδειγμα είναι η μοναδική προσπάθεια, σε όλα τα βιβλία της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, να διευκρινιστεί πότε μία αλγεβρική σχέση είναι συνάρτηση. Μία δεύτερη προσπάθεια επιχειρείται στην Α Λυκείου με χρήση όμως διαγραμμάτων Venn. Το προηγούμενο Κεφάλαιο 3 διαπραγματεύεται την έννοια της γραμμικής ε- ξίσωσης και την επίλυση γραμμικού συστήματος, αλγεβρικά και γραφικά. Συγκρίνοντας τον τρόπο με τον οποίο παρουσιάζονται οι έννοιες γραμμική εξίσωση και συνάρτηση, παρατηρούμε ότι φαίνεται να διαφοροποιούνται μόνο στο όνομα και στη θέση της μεταβλητής x σε σχέση με το σύμβολο της ισότητας. Δηλαδή η εξίσωση της ευθείας δίνεται από την αλγεβρική έκφραση αx+βy=γ ενώ η συνάρτηση από την έκφραση y=αx+β. Μέσα από τη σύγκριση των δύο εκφράσεων παρέχεται μία δεύτερη ευκαιρία, που δεν αξιοποιείται, για την ανάδειξη των διαφορών που υπάρχουν μεταξύ μίας οποιασδήποτε εξίσωσης δύο μεταβλητών και μίας που παριστάνει συνάρτηση. Η 52

53 αποσιώπηση,όμως, αυτών των διαφορών έχει ως αποτέλεσμα η εικόνα που σχηματίζεται από τους μαθητές για την έννοια της συνάρτησης να είναι αυτή της εξίσωσης δύο μεταβλητών χωρίς περιορισμούς. Η εικόνα της έννοιας που δημιουργείται στο Γυμνάσιο ενδεχομένως να δρα ως μία αρνητική met-before η οποία δεν λειτουργεί στο πλαίσιο πού καθορίζεται από τον ορισμό της έννοιας στο Λύκειο, περιορίζοντας έτσι τον ορίζοντα της έννοιας. 3.2 Η έννοιας συνάρτηση στο Λύκειο Η συνάρτηση στην Α Λυκειου Στο βιβλίο «Άλγεβρα και στοιχεία Πιθανοτήτων Α Λυκείου» (Ανδρεαδάκης κ.α.2011) στο Κεφάλαιο 6 διατυπώνεται ο ορισμός της έννοιας ως διαδικασία αντιστοίχισης: Ενώ ορίζονται και οι «υπο-έννοιες» που συγκροτούν την έννοια της συνάρτησης ως εξής: Για την εμπέδωση του ορισμού χρησιμοποιούνται δύο παραδείγματα με βελοδιάγραμματα. Το πρώτο παράδειγμα στοχεύει στο να καταδείξει ότι όταν μία σχέση είναι συνάρτηση τότε τίθενται σε αντιστοιχία κάθε στοιχεία του πεδίου ορισμού με ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β, κάποια στοιχεία του συνόλου Β μπορεί να μην είναι τιμές της συνάρτησης, και ότι δύο στοιχεία του πεδίου ορισμού να μπορούν να αντιστοιχίζονται στο ίδιο στοιχείο του συνόλου Β. 53

54 καθώς και να μπορούν οι μαθητές να γράψουν συμβολικά το πεδίο ορισμού Α και το σύνολο τιμών f(a). Ενώ το δεύτερο παράδειγμα στοχεύει στην κατανόηση της έννοιας μέσα από αντιπαραδείγματα συνάρτησης (Σχήμα β, γ &δ). Πέρα από τα βελοδιαγράμματα το βιβλίο της Α Λυκείου επανέρχεται στο ζήτημα για το πότε μία σχέση είναι συνάρτηση όταν αναφέρεται στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιεί το κριτήριο της κατακόρυφης ευθείας για να ελέγξει αν μία καμπύλη είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. Ως αντιπαράδειγμα χρησιμοποιεί τον κύκλο. Τα παραπάνω τρία παραδείγματα είναι τα μόνα πού ασχολούνται με τα συστατικά εκείνα της έννοιας, όπως πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών,περιορισμός στο πλήθος των εικόνων ενός στοιχείου πεδίο ορισμού, και το σύμβολο f, που την διαφοροποιούν από μία οποιαδήποτε σχέση και κυρίως από την εξίσωση Ιδιαίτερα για το σύμβολο f, το οποίο είναι ένα από τα νέα στοιχεία πού εισάγεται με τον ορισμό της έννοιας στην Α Λυκείου, γίνεται ιδιαίτερη προσπάθεια να αποσαφηνιστεί ο ρόλος του. Το f(x) ορίζεται ως η τιμή της f στο x, και ο σχηματισμός της εικόνας του συμβόλου στο μυαλό του μαθητή γίνεται μέσω του παρακάτω παραδείγματος:«η συνάρτηση f(x)= x 2-4x+7 θα μπορούσε να έχει τη μορφή f( ) = ( ) 2-4 ( ) +7» όπου μέσα από αυτό αναδεικνύεται ο διαδικαστικός ρόλος του συμβόλου f, ο οποίος συνεπάγεται την κατανόηση του ρόλου του f ως τον υποδοχέα των τιμών του x και το έναυσμα για πράξεις. Οι εφαρμογές και οι ασκήσεις εστιάζουν στη συνάρτηση ως εξίσωση δύο μεταβλητών και αναπαράγουν το προηγούμενο στερεότυπο για το σύμβολο f, εφόσον αναφέρονται ή σε πολυωνυμικές ή σε ρητές ή τετραγωνικές ρίζες πολυωνυμικών συναρτήσεων. Γενικά δεν ανακύπτει σε κάποια εφαρμογή η αναγκαιότητα για τη χρήση του περιορισμού στο πλήθος των στοιχείων με τα οποία θα μπορούσε να αντιστοιχη- 54

55 θεί ένα στοιχείο του πεδίο ορισμού. Και ο ρόλος του πεδίου ορισμού υποβαθμίζεται μιας και πλέον όπως αναφέρει το βιβλίο: όταν δίνεται ο τύπος μίας συνάρτησης f θα θεωρούμε συμβατικά το πεδίο ορισμού Α της f θα είναι το «ευρύτερο» από τα υποσύνολα του R στα οποία το f(x) έχει νόημα. Μετά από την προηγούμενη σύμβαση συνήθως δίνεται ένας αλγεβρικός τύπος και ζητείται να βρεθεί το πεδίο ορισμού με βάση τους περιορισμούς πού επιβάλλει ο αλγεβρικός τύπος, δημιουργώντας έτσι μια κάπως διαδικαστική εικόνα για το πεδίο ορισμού. Χαρακτηριστικό είναι ότι, για το πεδίο ορισμού δεν γίνεται αναφορά στην παράγραφο 4.2,που πραγματεύεται την γενική έννοιας της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Σε αυτή την παράγραφο ορίζεται η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης ως το σύνολο των σημείων Μ(x,f(x)), με x A, χωρίς να γίνεται προσπάθεια οπτικής σύνδεσης του πεδίο ορισμού με την γραφική παράσταση. Ακόμα και σε αυτή την περίπτωση οι ασκήσεις που χρησιμοποιούνται για την κατανόηση της γραφικής παράστασης εμπλέκουν κυρίως επίλυση κάποιας εξίσωσης.οι ασκήσεις αναφέρονται στην εύρεση των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης με τους άξονες κοινά σημεία γραφικών παραστάσεων. Στην παράγραφο Η συνάρτηση f(x)=αx+β όπου μελετάται η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης, δεν γίνεται αναφορά στις διαφορές των εκφράσεων αx+βy=γ και f(x)=αx+β, όπου θα μπορούσε να διευκρινιστεί,ως ένα βαθμό, η διαφορετικότητα μίας οποιασδήποτε σχέσης από μια συναρτησιακή. Στις επόμενες παραγράφους οι μαθητές επανέρχονται στη μελέτη της κατακόρυφης και οριζόντιας μετατόπισης μίας γραφικής παράστασης. Μέσα από εκεί αναμένεται να διαμορφώσουν μία νέα πτυχή του συμβόλου f,εκτός αυτής του υποδοχέα τιμών του στη θέση του x.για να κατακτήσουν το νόημα των εκφράσεων f(x)=φ(x)+c και f(x)=φ(x-c) πρέπει να αντιληφθούν το σύμβολο f(x) ταυτόχρονα αριθμό και ως μία νοητή διαδικασία. Πρέπει να το αντιληφθούν ως την τιμή της συνάρτησης f στο αντίστοιχο x και ταυτόχρονα το f(x) να είναι η τεταγμένη του σημείου (x,f(x)) όχι μόνο για ένα αλλά για όλα τα x του πεδίου ορισμού. Η τελευταία παράγραφος ασχολείται με τις έννοιες της μονοτονίας, ακροτάτων και των συμμετριών της συνάρτησης, οι οποίες είναι απαραίτητες για τη μελέτη μιας συνάρτησης. Στο κεφάλαιο 7 πραγματοποιείται η μελέτη της f(x)=αx 2, της f(x)=α/x και της f(x)=αx 2 +βx+γ, χρησιμοποιώντας τα καινούρια νοητικά «εργαλεία» πού απόκτησαν οι μαθητές κατά τη μελέτη του κεφαλαίου 6. Στο τέλος της παραγράφου 7.1 συνοψίζοντας για το ρόλο του α στην f(x)=αx 2 αναφέρει 55

56 3.2.2 Η συνάρτηση στη B Λυκείου Στη Β Λυκείου οι μαθητές έρχονται σε επαφή με τη μελέτη υπερβατικών συναρτήσεων, όπως οι τριγωνομετρικές και οι λογαριθμικές. Για τη μελέτη αυτού του είδους των συναρτήσεων είναι απαραίτητος ο ορισμός της έννοιας ως διαδικασία α- ντιστοίχισης, εφόσον απουσιάζει ο αλγεβρικός τύπος. Η παράγραφος 1 του 1 ου κεφαλαίου του βιβλίου Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου (Ανδρεαδάκης, κ.α. 1998) πραγματεύεται την μελέτη των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, f(x)=ημx, g(x)=συνx και h(x)=εφx. Ορίζεται για πρώτη φορά η περιοδική συνάρτηση, οπότε αποκτά το πεδίο ορισμού ένα ρόλο διαφορετικό από το συνήθη, εφόσον περιορίζεται η μελέτη της περιοδικής συνάρτησης σε ένα τμήμα του πεδίο ορισμού της. Το σύνολο τιμών των συναρτήσεων του ημιτόνου και του συνημίτονου είναι διάστημα με πεπερασμένα άκρα, ενώ στη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων που έως τώρα έχουν συναντήσει οι μαθητές το ένα τουλάχιστο άκρο είναι συνήθως το άπειρο. Είναι η πρώτη φορά που συναντούν συναρτήσεις που δεν περιγράφονται από κάποιον αλγεβρικό τύπο, και επομένως η τιμή της [τριγωνομετρικής] συνάρτησης δεν είναι πλέον το «αποτέλεσμα» που προκύπτει από την αντικατάσταση ενός αριθμού στη θέση του x το «προϊόν» της αντιστοίχισης ενός πραγματικού αριθμού με τον αντίστοιχο τριγωνομετρικό αριθμό της γωνίας x rad. Η παράγραφος κλείνει με την μελέτη των μετασχηματισμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων f(x)=ρημ(ωx) και τη γραφική ερμηνεία του ρόλου των παραμέτρων ρ και ω. Ενώ η δεύτερη παράγραφος του ίδιου κεφαλαίου ασχολείται με την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων. Στη συγκεκριμένη παράγραφο χρησιμοποιείται η γραφική παράσταση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για να προκύψουν οι τύποι επίλυσης των αντίστοιχων εξισώσεων. Τέλος στο κεφάλαιο 4 πραγματοποιείται η μελέτη της εκθετικής και της λογαριθμικής συνάρτησης αγγίζοντας και την έννοια της αντίστροφης συνάρτησης. Η επαφή των μαθητών με τις προηγούμενες συναρτήσεις τους δίνει τη δυνατότητα να διευρύνουν την εικόνα πού είχε βασιστεί σε αλγεβρικές συναρτήσεις. Στη τέλος της Β Λυκείου μπορούμε να πούμε ότι ολοκληρώνεται η πορεία παρουσίασης της έννοιας της συνάρτησης, εφόσον οι μαθητές δεν θα έρθουν σε επαφή με νέες συναρτήσεις, τουλάχιστον μέχρι το τέλος της Γ Λυκείου. Στο μεταξύ όσοι από τους μαθητές ακολουθούν Θετική ή Τεχνολογική Κατεύθυνση διδάσκονται το μάθημα «Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου» (Αδαμόπουλος,κ.α, 2011) το οποίο ασχολείται μεταξύ άλλων τη μελέτη και γραφική παράσταση της ευθείας και των κωνικών τομών. Ανάλογη εμπειρία είχαν οι μαθητές στη Γ Γυμνασίου όπου μελετήθηκε η εξίσωση της ευθείας, ενώ τώρα προστίθενται και οι κωνικές τομές. Επιπλέον στην Α Λυκείου και στο Γυμνάσιο διδάχθηκαν συναρτήσεις που παριστάνουν ευθείες και παραβολές. Στο μάθημα αυτό το πλαίσιο αλλάζει 56

57 εφόσον δεν μελετά συναρτήσεις αλλά καμπύλες οι οποίες εκφράζουν μια σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών χωρίς άλλους περιορισμούς. Επίσης στο μάθημα αυτό δεν γίνεται αναφορά στη διαφορετικότητα των δύο παρεμφερών αντικειμένων Η συνάρτηση στη Γ Λυκείου Στην τελευταία τάξη του Λυκείου ο ορισμός της έννοιας ξαναδιατυπώνεται χωρίς ουσιαστικές αλλαγές σε σχέση τον ορισμό που δίνεται στην Α Λυκείου. Το παρακάτω απόσπασμα που περιλαμβάνει τον ορισμό της έννοιας είναι παρμένο από το βιβλίο «Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου (Ανδρεαδάκης κ.α, 2011). Στο συγκεκριμένο βιβλίο δεν υπάρχουν παραδείγματα με βελοδιαγράματα αλλά χρησιμοποιείται το ίδιο παράδειγμα που υπάρχει και στο βιβλίο της Α Λυκείου, σχετικά με το κριτήριο της κατακόρυφης ευθείας που πρέπει να πληροί μια καμπύλη για να είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. Για πρώτη φορά γίνεται προσπάθεια για οπτική σύνδεση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης με το πεδίο ορισμού και του συνόλου τιμών όπως φαίνεται παρακάτω. Η σύνδεση αυτή είναι απαραίτητη μίας και τα αντικείμενο του βιβλίου είναι η εισαγωγή των μαθητών στον Απειροστικό Λογισμό. 57

58 Γενικά οι συναρτήσεις τις οποίες περιλαμβάνει η ύλη της Γ Λυκείου είναι οικείες στους μαθητές. Με την εισαγωγή όμως τεσσάρων πράξεων (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση) και τις σύνθεσης συναρτήσεων μεγαλώνει το εύρος των συναρτήσεων τις οποίες μπορούν οι μαθητές να χειριστούν. Επιπρόσθετα με την διαδικασία παραγώγισης και ολοκλήρωσης η έννοια της συνάρτησης παύει να είναι πλέον μόνο μία διαδικασία αλλά γίνεται και η ίδια αντικείμενο της θεωρίας. Στη Γ Λυκείου ολοκληρώνεται η πορεία διαμόρφωσης της εικόνας της έννοιας, από την α- ντίληψή της ως διαδικασία έως την ταυτόχρονη αντίληψη ως διαδικασία και ως αντικείμενο Η εικόνα της έννοιας στα βιβλία του Γυμνάσιου Η εικόνα πού επιδιώκεται να αναδυθεί μέσα από τα παραδείγματα και τις ε- φαρμογές που υπάρχουν στα σχολικά εγχειρίδια του Γυμνασίου, είναι μία σχέση ε- ξάρτησης μεταξύ δύο μεταβλητών μεγεθών η οποία αναπαρίσταται αλγεβρικά, με πίνακα τιμών και γραφικά. Χαρακτηριστικά στο εγχειρίδιο «Μαθηματικά Β Γυμνασίου, βιβλίο εκπαιδευτικού» (Βλάμος κ.α.2011) το οποίο περιέχει τις οδηγίες για τον καθηγητή αναφέρεται ότι «η διδασκαλία της έννοιας της συνάρτησης στη Β Γυμνασίου περιορίζεται στη συσχέτιση δύο μεταβλητών και στην κατασκευή του πίνακα τιμών και στη γραφική παράσταση». Στο πλαίσιο που καθορίζει η συγκεκριμένη στοχοθεσία, εντοπίζεται μία επαναλαμβανόμενη ρουτίνα με την οποία προσεγγίζεται η έννοια της συνάρτησης, και η οποία διαπερνά τα σχολικά βιβλία και των τριών τάξεων του Γυμνασίου. Είναι παρούσα σε μεγάλο αριθμό λυμένων παραδειγμάτων και εφαρμογών. Στη Β Γυμνασίου η συνήθης ρουτίνα που χρησιμοποιείται είναι η εξής: με αφορμή ένα παράδειγμα της καθημερινής ζωής εντοπίζεται μία σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών μεγεθών. Η σχέση αυτή μεταφράζεται σε μία αλγεβρική έκφραση (συνήθως της μορφής y=ax+b), από την οποία κατασκευάζεται ένας πίνακας τιμών όπου με βάση αυτόν από όπου σχεδιάζεται η γραφική παράσταση αυτής της σχέσης. Η ίδια ρουτίνα χρησιμοποιείται και στην Α Γυμνασίου χωρίς αναφορά στην έννοια της συνάρτησης. Ενώ στη Γ Γυμνασίου η ρουτίνα λειτουργεί και προς τις δύο κατευθύνσεις: με δεδομένο τον αλγεβρικό τύπο και μέσω του πίνακα τιμών σχεδιάζεται η γραφική παράσταση και αντίστροφα, από συγκεκριμένη γραφική παράσταση υπολογίζεται ο αλγεβρικός τύπος. Στην τελευταία τάξη του Γυμνασίου δίνεται μεγαλύτερη έμφαση στην γραφική αναπαράσταση των τετραγωνικών συναρτήσεων. Και στις τρείς τάξεις η έννοια της συνάρτησης συνδέεται είτε με την διαδικασία επίλυσης κάποιας εξίσωσης είτε με την αντικατάσταση αριθμών στη θέση του x. Η επανάληψη 58

59 της ίδιας ρουτίνας αφήνει αρκετές βασικές υπο-έννοιες έξω από την εικόνα της έννοιας,εάν τη συγκρίνουμε με την εικόνα που επιδιώκεται να σχηματιστεί στο Λύκειο. Ο τρόπος με τον οποίο παρουσιάζεται η έννοια στο Γυμνάσιο έχει ως συνέπεια την εμπέδωση εκ μέρους των μαθητών συγκεκριμένων αλγοριθμικών διαδικασιών. Αυτές οι επαναλαμβανόμενες αλγοριθμικές διαδικασίες, εν πολλοίς ταυτίζονται στο μυαλό των παιδιών με την έννοια της συνάρτησης διότι η προσήλωση τους σε αυτές,τους διασφαλίζει σε μεγάλο βαθμό, επιτυχία στην προσπάθειά τους να α- νταπεξέλθουν στις απαιτήσεις του σχολικού προγράμματος στο Γυμνάσιο. Αυτές οι αλγοριθμικές διαδικασίες σχηματικά είναι οι εξής: Αλγεβρικός τύπος πχ y=3x+5 Πίνακας τιμών της μορφής x y Πίνακας τιμών της μορφής x 2 4 y 8 14 Γραφική παράσταση Γραφική παράσταση Εκτίμηση της τιμής του x για συγκεκριμένη τιμή του y Εκτίμηση της τιμής του y για συγκεκριμένη τιμή του x Οι παραπάνω διαδικασίες ανιχνεύονται και στον τρόπο με τον οποίο αντιλαμβάνονται οι τέσσερις μαθητές την έννοια της συνάρτησης Η εικόνα της έννοιας στα βιβλία της Α & Β Λυκείου Από τον ορισμό της έννοιας στο βιβλίο της Α Λυκείου και από τη συνολική παρουσίασή της στα σχολικά εγχειρίδια της Α & Β Λυκείου προκύπτει ότι μία νέα εικόνα για την έννοια προσδοκάται να σχηματιστεί από τους μαθητές της Β Λυκείου. Η έννοια της συνάρτησης, σύμφωνα με τον ορισμό πού δίνεται στο βιβλίο της Α Λυκείου, αποτελείται από πέντε βασικά συστατικά. Τη διαδικασία αντιστοίχισης,το πεδίο ορισμού,το σύνολο τιμών και το σύμβολο f,ανεξάρτητη και εξαρτημένη μεταβλητή. Το πλαίσιο μέσα στο οποίο συναντώνται για πρώτη φορά από τους μαθητές, τα πέντε αυτά βασικά στοιχεία είναι στον τυπικό ορισμό της έννοιας στην Α Λυκείου. Η νοητική εικόνα, όμως που σχηματίζουν οι μαθητές για κάθε ένα από αυτά τα συστατικά καθορίζεται από το πλαίσιο στο οποίο χρησιμοποιείται και από τον τρόπο πού χρησιμοποιείται. Είναι χαρακτηριστικό ότι τις περισσότερες από αυτές οι συγκεκριμένοι μαθητές δεν τις έχουν εμπεδώσει. Για να μπορέσουν να φτάσουν στο επίπεδο της διαδικασιοέννοιας πρέπει να μπορούν να κινούνται με ευελιξία μεταξύ του νο- 59

60 ητού αντικειμένου και διαδικασίας. Η ευελιξία εξασφαλίζεται όταν έχουν καθένα από τα διαφορετικά συστατικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί με τη σημασία πού απαιτεί η εκάστοτε προβληματική κατάσταση. Παρατηρώντας τον τρόπο παρουσίασης της έννοιας της συνάρτησης στα σχολικά βιβλία της Α & Β Λυκείου και κυρίως τις εφαρμογές που καλούνται οι μαθητές να χειριστούν, προκύπτει ότι θα πρέπει να έχουν κατανοήσει τα βασικά συστατικά με αρκετούς διαφορετικούς τρόπους, ανάλογα με το πλαίσιο στο οποίο εμφανίζεται κάθε φορά η έννοια. Στο κείμενο που ακολουθεί θα συνοψίσουμε τις διαφορετικές εμφανίσεις κάθε υπο-έννοιας. Η διαδικασία αντιστοίχισης εμφανίζεται με πέντε διαφορετικούς τρόπους, και ε- πομένως οι μαθητές θα αναμέναμε να είναι σε θέση να την εντοπίσουν σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις. Μέσα από τα διαγράμματα Venn, από όπου δίνεται η δυνατότητα για ανάδυση της εικόνας της συνάρτησης ανεξάρτητης από δοσμένο αλγεβρικό τύπο. Σε ένα φυσικό νόμο (χρόνος απομάκρυνση), Σε ένα αλγεβρικό τύπο. Σε μία σχέση δυο γεωμετρικών μεγεθών (Μήκος τόξου-συνημίτονο γωνίας). Μέσα από ένα πίνακα τιμών. Συμβολικά f: A B x f(x) Από όλες τις παραπάνω αναπαραστάσεις της διαδικασίας αντιστοίχισης, η μόνη που εμφανίζεται στα σχολικά βιβλία με κατηγορηματικό τρόπο είναι τα διαγράμματα Venn. Στις υπόλοιπες αναπαραστάσεις βρίσκεται με υπονοούμενο τρόπο, χωρίς επίσης να ζητείται από τους μαθητές να ανακαλύψουν την διαδικασία αντιστοίχισης. Η έννοια του πεδίου ορισμού εμφανίζεται με την τυπική μορφή ως εξής: Στον ορισμό: ως το σύνολο A, από όπου αντλεί τιμές η ανεξάρτητη μεταβλητή και η μεταβολή του οποίου αλλάζει και τη συνάρτηση. Το «ευρύτερο» από τα υποσύνολα του R στα οποία το f(x) έχει νόημα (Ανδρεαδάκης, κ.α. 2011,). Οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Το σύνολο των τετμημένων των σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Και από μέσα από τη χρήση της έννοιας της συνάρτησης μέσα από ασκήσεις και τα παραδείγματα Οι τιμές πού αντικαθίστανται στη θέση του x. Ένα διάστημα στον άξονα των x. Συνώνυμο του x. Οι τιμές που επιτρέπει ο τύπος της συνάρτησης. Το σύνολο τιμών εμφανίζεται στην τυπική του μορφή στο βιβλίο της Α Λυκείου ως εξής: Το σύνολο,που έχει για στοιχεία του τις τιμές του f(x) για όλα τα x Α (Ανδρεαδάκης, κ.α. 2011). το f(a) το σύνολο των τεταγμένων των σημείων της γραφικής παράστασης Ενώ άτυπα : Οι τιμές του y. Τμήμα του y. Συνώνυμο του y. 60

61 Η διάκριση των μεταβλητών ως εξαρτημένη και ανεξάρτητη αναφέρεται μία φορά στο Βιβλίο της Α Λυκείου, αμέσως μετά την εισαγωγή του τυπικού ορισμού. Το γράμμα x, που παριστάνει οποιοσδήποτε στοιχείο του πεδίου ορισμού της f, ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή. Ενώ το y, που παριστάνει την τιμή της συνάρτησης στο x, ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή (Ανδρεαδάκης, κ.α. 2011, σελ 98). Ενώ η άτυπη χρήση των x, και y όπως προκύπτει από τη χρήση τους στις α- σκήσεις των βιβλίων είναι αυτή των αγνώστων. Το τελευταίο συστατικό είναι το σύμβολο f, πού αποτελεί το συνδετικό κρίκο ό- λων σχεδόν όλων των παραπάνω συστατικών. Η τυπική εμφάνιση του συμβόλου f πραγματοποιείται στην Α Λυκείου με τις εξής σημασίες: Το όνομα της συνάρτησης Η τιμή της f στο x Συνώνυμο του y (y= f(x)) Η διαδικασία αντιστοίχισης: «Αν με μία συνάρτηση f από το Α στο Β, το x A αντιστοιχίζεται στο y B,..» (Ανδρεαδάκης, κ.α. 2011). Η εξαρτημένη μεταβλητή Ο υποδοχέας των τιμών του x Η τεταγμένη του σημείου (x,f(x)) Ενώ άτυπα το σύμβολο f(x) έχει τις παρακάτω σημασίες Αποτέλεσμα πράξεων για κάποια τιμή του x Κάποιο σημείο του άξονα y Ένα ευθύγραμμο τμήμα υπεράνω του x Η βαθύτερη κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης απαιτεί, εκτός από τις σύνδεση των διαφορετικών αναπαραστάσεων της έννοιας (αλγεβρική, γραφική και πίνακα τιμών, και τη διασύνδεση των διαφορετικών τρόπων με τον οποίο εμφανίζονται τα επιμέρους συστατικά της έννοιας. Σε αυτό τον τομέα οι μαθητές φαίνεται να αποτυγχάνουν όπως θα δούμε στην παράγραφο

62 Κεφάλαιο 4 Η έρευνα 4.1 Στόχοι της έρευνας Η έρευνα πού αποτελείται από τέσσερις μελέτες περίπτωσης (case studies) σχετικά με την έννοια της συνάρτησης έχει ως στόχους: α. να εντοπιστεί το επίπεδο κατανόησης της έννοιας της συνάρτησης σε μαθητές της Β Λυκείου μέσα από την προσπάθειά τους να διατυπώσουν τον ορισμό. β. να εντοπιστεί το επίπεδο κατανόησης της έννοιας της συνάρτησης σε μαθητές της Β Λυκείου μέσα από τους μετασχηματισμούς της γραφικής παράστασης μίας πολυωνυμική συνάρτησης. γ. να εντοπιστεί ο τρόπος με τον οποίο αντιλαμβάνονται μαθητές της Β Λυκείου τις υπο-έννοιες που απαρτίζουν την έννοια της συνάρτησης 4.2 Μεθοδολογία Έρευνας Συμμετέχοντες Στην έρευνα έλαβαν μέρος 4 μαθητές της Β Λυκείου της Θετικής Κατεύθυνσης σε σχολείο του Περιστερίου, με επιδόσεις από μέτριες έως πολύ καλές στα Μαθηματικά του σχολείου. Τον πρώτο μαθητή στη συνέχεια θα τον ονομάζουμε Χρήστο. Οι επιδόσεις του στα μαθήματα Άλγεβρα, Γεωμετρία και Μαθηματικά Κατεύθυνσης γενικά είναι άνω του μετρίου. Κατά τη διάρκεια της συνέντευξης, ο Χρήστος είχε αρκετό άγχος πού προκαλούνταν τόσο από την θέα του μαγνητοφώνου, όσο και από το αντικείμενο της συζήτησης: τις συναρτήσεις. Οι απαντήσεις του Χρήστου δεν χαρακτηρίζονται από σταθερότητα, αλλά αλλάζουν κάθε φορά που ο τόνος της φωνής του ερευνητή δείχνει κάποια αμφιβολία. Το δεύτερο μαθητή στη συνέχεια θα τον ονομάζουμε Δημήτρη. Οι επιδόσεις του στα μαθήματα Άλγεβρα, Γεωμετρία και Μαθηματικά Κατεύθυνσης γενικά είναι πολύ καλές. Και ο Δημήτρης, όπως και ο προηγούμενος μαθητής,είναι αρκετά αγχωμένος στην αρχή της συνέντευξης. Ο Δημήτρης ήταν ταυτόχρονα και μαθητής του ερευνητή. Τον τρίτο μαθητή στη συνέχεια θα τον ονομάζουμε Σπύρο. Ανήκει στην κατηγορία των μαθητών με πολύ καλές επιδόσεις στα μαθήματα των Θετικών Επιστημών και ιδιαίτερα στα μαθηματικά του Σχολείου. Ο Σπύρος εκτός από το ερωτηματολόγιο χρησιμοποίησε και μία εφαρμογή στο Geometer s Sketchpad. Τον τέταρτο μαθητή που πήρε μέρος στην έρευνα, θα τον ονομάσουμε Βύρωνα. Οι επιδόσεις του στα σχολικά μαθηματικά ήταν πολύ καλές. Επιπλέον είχε ξεκινήσει την προετοιμασία του για τις πανελλαδικές εξετάσεις, οπότε έχει έρθει σε επαφή με την ύλη της Γ Λυκείου και ειδικότερα με το κεφάλαιο των συναρτήσεων. Ο Βύρωνας εκτός από το ερωτηματολόγιο είχε στη διάθεσή και την εφαρμογή στο λογισμικό Sketchpad Ερευνητικά εργαλεία Στους 2 πρώτους μαθητές δόθηκε ερωτηματολόγιο και με βάση αυτό πραγματοποιήθηκε η συνέντευξη. Στους άλλους 2 εκτός από ερωτηματολόγιο χρησιμοποιήθηκε και μία εφαρμογή στο δυναμικό περιβάλλον του Geometers SketchPad. Οι μαθητές της δεύτερης ομάδας καλούνταν να απαντήσουν στις ίδιες ερωτήσεις με τους μαθητές της πρώτης ομάδας,με τη διαφορά ότι η πρώτη ομάδα επιχειρηματολογούσε 62

63 βασιζόμενη στις στατικές γραφικές παραστάσεις του τυπωμένου ερωτηματολογίου, ενώ η δεύτερη ομάδα μπορούσε να χειριστεί δυναμικά, μέσω του Geometers Sketchpad, τις ίδιες γραφικές παραστάσεις. Ο δυναμικός χειρισμός επέτρεπε την παρατήρηση της επίδρασης των παραμέτρων α και c στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=αx 2 και g(x)= x 2 +c. Τα ερωτηματολόγια αποτελούνταν από 5 θέματα: Το 1 ο θέμα εξετάζει την εννοιολογική κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης μέσα από την προσπάθεια διατύπωσης ορισμού ή ερμηνείας εκφράσεων όπως τιμή της συνάρτησης (Λεκτική αναπαράσταση της έννοιας) Το 2 ο θέμα με αρχικό ερέθισμα τις γραφικές παραστάσεις της οικείας συνάρτησης της παραβολής, ζητήθηκε από τους μαθητές να επιχειρηματολογήσουν για τις έννοιες πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών, διαστήματα μονοτονίας και μέγιστο και ελάχιστο. Το 3 ο, 4 ο και 5 ο αφορούσε στους μετασχηματισμούς της συνάρτησης f(x)=αx 2,την κατακόρυφη μετατόπιση g(x)=f(x)+c και την μεταβολή του συντελεστή του α, και τους παράγοντες πού επιδρούν στο τρόπο με τον οποίους τους αντιλαμβάνονται οι μαθητές. Τα ερωτηματολόγια παρουσιάζονται στο Παράρτημα Α Συλλογή δεδομένων Η διαδικασία της συλλογής των δεδομένων που ακολουθήθηκε και για τις δυο ομάδες ήταν η εξής: Πραγματοποιήθηκαν τέσσερις ατομικές συνεντεύξεις, με κάθε ένα μαθητή ξεχωριστά σε μία κενή αίθουσα του σχολείου στο οποίο φοιτούσαν. Οι μαθητές έρχονταν σε επαφή με το ερωτηματολόγιο για πρώτη φορά τη στιγμή της συνέντευξης. Οι απαντήσεις τους στο ερωτηματολόγιο δίνονταν παρουσία του ερευνητή, ο οποίος και ζητούσε διευκρινήσεις για την κάθε μία απάντησή τους. Οι συνεντεύξεις και των τεσσάρων μαθητών καταγράφηκαν και απομαγνητοφωνήθηκαν. Για την δεύτερη ομάδα, που χρησιμοποίησε την εφαρμογή στο Geometers Sketchpad, χρησιμοποιήθηκε το λογισμικό Ηypercam2 το οποίο παρείχε τη δυνατότητα καταγραφής των εικόνων της οθόνης υπολογιστή, και επομένως των δυναμικών χειρισμών που πραγματοποιήθηκαν από τους μαθητές στο περιβάλλον του Geometer s Sketchpad. Από τη διαδικασία προέκυψε ηχογραφημένο υλικό περίπου 4 ωρών και απομαγνητοφωνήσεις 80 περίπου σελίδων Ανάλυση δεδομένων Η έννοια της συνάρτησης είναι πολύπλευρη και πολυεπίπεδη και η κατανόησή της προϋποθέτει την ευέλικτη κίνηση μεταξύ των διαφορετικών όψεων της (αλγεβρική, γραφική, λεκτική κτλ) αλλά και άνετη μετακίνηση από το διαδικαστικό στο δομικό τρόπο αντίληψης της έννοιας. Το θεωρητικό πλαίσιο που χρησιμοποιήθηκε για την ερμηνεία των δεδομένων είναι η Θεωρία των Τριών Κόσμων των Μαθηματικών του D.Tall. Στο πλαίσιο αυτής της θεωρίας οι DeMarois&Tall(1996) ανέπτυξαν ένα μοντέλο ανάλυσης δεδομένων με σκοπό τη σκιαγράφηση του προφίλ των μαθητών σε σχέση με την εικόνα που έχουν σχηματίσει για την έννοια της συνάρτησης. Η ανάπτυξη της έννοιας της συνάρτησης σύμφωνα με τους Tall & DeMarois (1996) πραγματοποιείται προς δύο κατευθύνσεις. Η μία κατεύθυνση είναι αυτή που αναφέρεται στην ανάπτυξη κατά το πλάτος της έννοιας και εξετάζει την δημιουργία συνδέσεων μεταξύ των διαφορετικών αναπαραστάσεών της. Ενώ η άλλη κατεύθυνση, που είναι το βάθος της έννοιας, αναφέρεται στη γνωστική ανάπτυξη της έννοιας μέσω 63

64 του περάσματος από τη διαδικασία στο αντικείμενο και στη συνέχεια στη διαδικασιοέννοια. Τις διαφορετικές αναπαραστάσεις, που αποτελούν το πλάτος της έννοιας οι Τall & DeMarois (1996,1999) τις ονομάζουν facets,εμείς όμως θα χρησιμοποιήσουμε τον όρο αναπαράσταση. «Ο όρος αναπαράσταση(facet) μιας μαθηματικής οντότητας αναφέρεται στους διάφορους τρόπους που σκεφτόμαστε για αυτή και την «μεταφέρουμε» σε άλλους»( Tall& DeMarois,1996). Εκτός από τους τρείς βασικούς τρόπους αναπαράστασης της έννοιας της συνάρτησης (αλγεβρικός, γραφικός και πίνακας τιμών),εντοπίζουν και υπο-αναπαραστάσεις αυτών. Έτσι οι αναπαραστάσεις (facets) είναι: λεκτική, γραπτή, κιναισθητική, καθομιλούμενη με τη χρήση της «συνάρτησης μηχανής»,συμβολισμός, αριθμητική, συμβολική και γεωμετρική (οπτική),χωρίς να αποκλείεται η ύπαρξη και άλλων εκτός αυτών. Από τις παραπάνω αναπαραστάσεις θα διερευνήσουμε: Τη λεκτική αναπαράσταση (Verbal facet) που αναφέρετε στη χρήση του ορισμού. Το συμβολισμό (Notational facet) που αναφέρετε στην κατανόηση του συμβολισμού. Τη συμβολική (Symbolic Facet) πού αναφέρετε στην αναλυτική έκφραση της συνάρτησης. Τη γραφική (Geometric Facet)πού αναφέρετε στην κατανόηση της γραφικής παράστασης. Στην πορεία προς την εμβάθυνση της έννοιας της συνάρτησης ως διαδικασιοέννοια διακρίνονται διάφορα επίπεδα (layers). Τα επίπεδα αντιστοιχούν στην πορεία συμπίεσης μίας διεργασίας σε διαδικασία, αντικείμενο και τελικά διαδικασιοέννοια κατά Gray,Pitta,Pinto,& Tall (1999). Τα κριτήρια βάση των οποίων θα γίνει η κατάταξη σε κάθε επίπεδο τα αναλύουν οι Tall&De Marois(1999): Επίπεδο προ-διεργασία (pre-procedure): όταν δεν έχει κατακτηθεί το επίπεδο διεργασία. Επίπεδο διεργασία(procedure) : όταν ο μαθητής εκτελεί μία βήμα- βήμα διαδικασία. Επίπεδο διαδικασία(process): όταν ο μαθητής δέχεται την ύπαρξη μίας διαδικασίας μεταξύ εισαγόμενου (input) και εξαγόμενου (output) χωρίς να είναι απαραίτητο να γνωρίζει τα συγκεκριμένα βήματα, και να βλέπει δύο διεργασίες (procedures) με τα ίδια εισαγόμενα-εξαγόμενα ως την ίδια διαδικασία. Επίπεδο αντικείμενο(object): όταν ο μαθητής έχει την ικανότητα να αντιμετωπίσει την έννοια ως ένα νοητό αντικείμενο πού επιδέχεται χειρισμών και στο οποίο μπορεί να εφαρμοστεί μία διαδικασία. Επίπεδο διαδικασιοέννοια (procept): όταν ο μαθητής έχει την ικανότητα να κινείται ευέλικτα μεταξύ νοητού αντικειμένου και διαδικασίας. Στον παρακάτω κυκλικό δίσκο(σχήμα 7), κάθε κυκλικός τομέας αντιστοιχεί σε μία από τις αναπαραστάσεις της έννοιας της συνάρτησης και κάθε δακτύλιος σε ένα από τα επίπεδα της έννοιας. 64

65 Σχήμα 7 Ταυτόχρονα με την κατάταξη των μαθητών σε επίπεδα ως προς το φάσμα διεργασία- διαδικασιοέννοια, θα επιχειρηθεί να συγκριθεί η εικόνα της έννοιας πού φαίνεται να έχει σχηματίσει ο κάθε μαθητής,με τον τρόπο με τον οποίο παρουσιάζεται η έννοια της συνάρτησης στα σχολικά βιβλία του Γυμνάσιου και του Λυκείου. 65

66 Κεφάλαιο 5 5. Παρουσίαση και ανάλυση των απαντήσεων των μαθητών Στο κεφάλαιο αυτό θα αναλύσουμε τους διαλόγους, όπως αυτοί προέκυψαν, μέσα από τη συζήτηση που διεξήχθη μεταξύ του κάθε μαθητή και του ερευνητή. Θα παρουσιάσουμε τις απαντήσεις του κάθε μαθητή χωριστά,με τη σειρά πού καθορίζεται από το ερωτηματολόγιο πού βρίσκεται στο Παράρτημα Α. 5.1 Οι απαντήσεις και η ανάλυση των απαντήσεων του πρώτου μαθητή Απαντήσεις στο 1 ο Θέμα. Με αφορμή την ερώτηση 1.1 του ερωτηματολογίου (Τι είναι συνάρτηση;) διεξήχθη μία εκτενής συζήτηση, μέσα από την οποία φανερώνεται η αντίληψη του μαθητή για την έννοια. Θα παραθέσουμε μερικά χαρακτηριστικά αποσπάσματα από αυτή τη συζήτηση. Ε.1.1.Θυμάσαι μήπως τι είναι συνάρτηση; Το είχατε πει και πέρσι ; Χ.1.1.εε είναι ένα σύστημα αξόνων, που αποτελείται από ένα κάθετο και οριζόντιο άξονα και καταγράφουμε στοιχεία συνήθως για δύο μεγέθη πάντα για δύο μεγέθη...εεε...τί άλλο να σας πω δεν θυμάμαι, έχει θετικό και αρνητικό ημιάξονα και οι δυο ημιάξονες αποτελούνται από ένα θετικό και ένα αρνητικό ημιάξονα αυτά Χ.1.2. Δηλαδή παρατηρούμε τη μπορούμε να μελετήσουμε ξέρω γω..ένα μέγεθος της συνάρτησης σε αντιστοιχία με ένα άλλο μέγεθος, αυτό είναι η συνάρτηση. Χ.1.3Μπορούμε να παρατηρήσουμε δύο μεγέθη ταυτόχρονα τις σχέσεις που τα συνδέει μεταξύ τους. Ε.1.4. Με κάποιο συγκεκριμένο τρόπο ή με οποιοδήποτε τρόπο; Χ.1.4 εε Με συγκεκριμένο με καταγραφή με συγκεκριμένη καταγραφή, για παράδειγμα άμα έχουμε μεταβολή ας πούμε της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο για παράδειγμα.. Χ.1.5. πρέπει να έχουμε συγκεκριμένες τιμές για να δούμε πώς μεταβάλλεται η ταχύτητα..λέμε ένα παράδειγμα. πρέπει να έχουμε κάποια στοιχεία δεν μπορούμε να πούμε.να δημιουργήσουμε μόνοι μας συνάρτηση αυθαίρετα πρέπει να έχουμε στοιχεία, έτσι νομίζω. Ε.1.5. Οκ, Εντάξει Μπορείς να μου πεις ένα παράδειγμα συνάρτησης; Χ.1.6. Συνάρτησης..εεε.Μεταβολή μαγνητικής ροής σε σχέση με το χρόνο σε συνάρτηση με το χρόνο Ε.1.8. Άρα έχουμε ένα παράδειγμα από τη φυσική. Kαι τι κάνεις εκεί ; τι αντιστοιχείς σε τι ; Τι τι συνδέεις ; Χ.1.8. Παίρνουμε χρονικές στιγμές και βλέπουμε πως μεταβάλλεται η μαγνητική ροή σε συνάρτηση με το χρόνο. Σε κάθε χρονική στιγμή στα δύο τα στα τέσσερα το στα έξι κ.οκ Ε1.9. Παράδειγμα πού να μην είναι από τη φυσική; αφηρημένο παράδειγμα που χρησιμοποιείται και.. ; Χ1.9. εεεε.. στην άλγεβρα για παράδειγμα : η έννοια της παραβολής μπορεί να σχηματιστεί σε συνάρτηση Ε1.10 Ποια είναι αυτή; Χ1.10 Η παραβολή που.. πως μπορούμε να δημιουργήσουμε μία παραβολή πάνω σε ένα..πώς δημιουργήσουμε την παραβολή σε συνάρτηση δηλαδή σε αυτό το σύστημα των δυο αξόνων. 66

67 Ε1.11. Ναι..η παραβολή είναι.. τι σχήμ..τι χρειάζεται να ξέρεις για να καθορίσεις πλήρως μία συνάρτηση ; για να είσαι σίγουρος.. Χ1.11 λογικά δεν πρέπει να ξέρουμε κάποιον παράγοντα που διαμορφώνει τη συνάρτηση; Ε 1.12Ποιος είναι αυτός ο παράγοντας; Χ 1.12Ανάλογα τη συνάρτηση. Για παράδειγμα..τί να σας πω τώρα..ας πούμε αν έ- χουμε έναν κύκλο για παράδειγμα σε συνάρτηση πρέπει να ξέρουμε ένα σταθερό σημείο. Ε1.13. Γιατί να ξέρουμε ένα σταθερό σημείο; Χ1.13. Για να αποδείξουμε.. για να έχουμε ένα σταθερό σημείο για να παίρνουμε σταθερές αποστάσεις από αυτό το σημείο. Έτσι δεν πρέπει να γίνει; Όπως είναι ο κύκλος δεν είναι το σημείο.. το σύνολο.. Η απάντηση Χ1.1 δείχνει την πρώτη εικόνα που έρχεται στο μυαλό του στην προσπάθειά του, να περιγράψει τι είναι συνάρτηση. Περιγράφει το καρτεσιανό σύστημα συνταγμένων και τη διαδικασία τοποθέτησης σημείων σε αυτό. Έτσι το Καρτεσιανό σύστημα είναι μέρος της εικόνας που έχει δημιουργήσει ο Χρήστος για την έννοια καθώς επίσης και η υλική διαδικασία αποτύπωσης των σημείων σε αυτό. Άλλη υλική-σωματική ενέργεια που συνδέει με την έννοια της συνάρτησης είναι η καταγραφή της συμμεταβολής δυο φυσικών μεγεθών όπως χρόνος -ταχύτητα ( απάντηση Χ1.4). Από τις απαντήσεις Χ1.1,Χ1.2, Χ1.3, Χ1.4 βλέπουμε ότι αναφέρεται σε μεγέθη. Ο όρος αυτός κατά πάσα πιθανότητα, εκτός από φυσικά μεγέθη όπως ταχύτητα και χρόνος,εκφράζει για το Χρήστο και τις μεταβλητές. Από την Χ.1.1 φαίνεται ότι αναφέρεται σε συναρτήσεις δύο μεταβλητών:«πάντα δύο μεγέθη». Η συνάρτηση είναι μία σχέση εξάρτησης (X1,2, X1.3) και μοντελοποίησης ενός φυσικού φαινομένου που εξελίσσεται στο χρόνο (Χ1.8). Δεν υπάρχουν αυθαίρετες συναρτήσεις, αλλά «πρέπει να έχουμε στοιχεία»(χ1.5). Η εικόνα πού αναδύεται μέχρι στιγμής για την έννοια της συνάρτησης, είναι η γραφική αναπαράσταση ενός φυσικού φαινομένου πού εξελίσσεται στο χρόνο. Η εικόνα δεν αλλάζει ιδιαίτερα ακόμα και όταν προσπαθούμε να περάσουμε σε παραδείγματα από την Άλγεβρα. Εκεί φαίνεται εντονότερα η σύνδεση της έννοιας της συνάρτησης, με το αποτέλεσμα της υλικής-σωματικής ενέργειας: αποτύπωση σημείων στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (Χ1.9, Χ1.10) ή η διαδικασία χάραξης ενός γεωμετρικού τόπου (X1.12).Έτσι συνάρτηση είναι σε μεγάλο βαθμό μία γραμμή (κύκλος ή παραβολή) πού εκφράζει κάποια σχέση εξάρτησης δύο μεγεθών-μεταβλητών, χωρίς άλλους περιορισμούς. Η ερώτηση 1.2 του ερωτηματολογίου η οποία αφορούσε στην κατανόηση της έννοιας τιμή της συνάρτησης ανέδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Χρήστος αντιλαμβάνεται την έννοια της συνάρτησης σε αυτό πού ονομάζει ο Tall συμβολικό κόσμο. Αλλά και σε σχέση με τις «υπο-έννοιες» που αποτελούν τη συνάρτηση. Από την απάντηση του Χρήστου:«Η τιμή της συνάρτησης..εεε. χμ..για παράδειγμα...μπορείτε να μού δώσετε ένα παράδειγμα για να το κάνουμε πιο κατανοητό ;» βλέπουμε ότι δεν γνωρίζει τον όρο τιμή της συνάρτησης. Ούτε γνωρίζει τον όρο εξαρτημένη μεταβλητή : Ε.2.2 Έχεις ακούσει τον όρο εξαρτημένη μεταβλητή ; Χ 2.2 Απλώς δεν το θυμάμαι πολύ καλά. Το έχουμε αναφέρει. Εφόσον φάνηκε ότι δεν γνωρίζει τους συγκεκριμένους όρους προσπαθήσαμε να ανιχνεύσουμε ποια εικόνα έχει σχηματίσει για αυτές μέσα από το συγκεκριμένο παράδειγμα της f(x)=3x+5. Ε3.1 Τι σημαίνει τιμή της συνάρτησης; Χ Ποιες τιμές μπορεί να πάρει το χ λογικά, αυτό σημαίνει..εε πόσες τιμές μπορεί να πάρει το χ και πως μεταβάλλεται η συνάρτηση. 67

68 Ε3.2. Εδώ στη συγκεκριμένη πόσες μπορεί να πάρει; (αναφέρεται στην f(x)=3x+5) Χ3.2 Άπειρες μπορεί να πάρει. Ε3.3 εεε άπειρες τιμές..εεε από πού το καταλαβαίνεις ότι παίρνει άπειρες τιμές; Χ3.3 Γιατί δεν έχουμε πεδίο ορισμού να μας..να μας..εεε καθορίζει ακριβώς ποιες τιμές μπορεί να πάρει το χ. Έτσι δεν είναι ; Ε3.4. Ποιο είναι το πεδίο..δεν έχουμε καθόλου [πεδίο ορισμού] μπορούμε να το βρούμε; Χ3.4 Ναι. Μπορούμε να το βρούμε το πεδίο ορισμού. Ε3.5 Ποιο είναι το πεδίο ορισμού ; Χ.357 Αυτής της συνάρτησης ;εε θα πάρουμε το 3x+5>0 αν το λέω σωστά..σωστά δεν το λέω; Η απάντηση Χ.3.1 δείχνει ότι εκλαμβάνει τον όρο τιμή της συνάρτησης κυριολεκτικά. Με τον όρο αυτό φαίνεται να εννοεί και τις τιμές του x (πεδίο ορισμού) αλλά και τις τιμές του f(x) (πώς μεταβάλλεται η συνάρτηση), δείχνοντας έτσι ότι δεν αποδίδει διαφορετικούς ρόλους στις δύο μεταβλητές. Η απάντηση Χ3.3 κατά πάσα πιθανότητα σημαίνει ότι δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός πού να απορρέει από τον αλγεβρικό τύπο και επομένως το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρο το R. Επειδή όμως του ζητείται να βρει το πεδίο ορισμού (Ε.3.4) ο Χρήστος αισθάνεται υποχρεωμένος να εφαρμόσει κάποια από τις διαδικασίες πού συνήθως χρησιμοποιεί για την εύρεση του πεδίου ορισμού. Στην Α Λυκείου οι συναρτήσεις στις οποίες εφαρμόζεται κάποια αλγεβρική διαδικασία εύρεσης του πεδίου ορισμού είναι είτε οι ρητές συναρτήσεις είτε όσες περιέχουν τετραγωνικές ρίζες. Επειδή η συνάρτηση f(x)=3x+5 δεν έχει παρονομαστή η πιο ταιριαστή διαδικασία, είναι αυτή με την τετραγωνική ρίζα, την οποία και εφαρμόζει (Εικόνα 5). Χαρακτηριστικά λέει ότι για να βρούμε το πεδίο ο- ρισμού συνήθως «παίρνουμε τη συνάρτηση πού δίνεται και τη βάζουμε μεγαλύτερη από το μηδέν και τη λύνουμε σαν ανίσωση έτσι δεν είναι;». Εικόνα 5 Το αποτέλεσμα το ερμηνεύει όπως θα έκανε στην περίπτωση πού είχε μπροστά του μία συνάρτηση που περιείχε στον αλγεβρικό της τύπο μία τετραγωνική ρίζα (Χ4.1, Χ.4.3). Ε.4.1 Πώς θα ερμηνεύσεις αυτό πού βρήκες ; Χ.4.3 Ότι μπορεί να πάρει τιμές από το Μεγαλύτερες από -5/3 έως το +, δηλαδή όλους τους θετικούς αριθμούς και κάποιους αρνητικούς. Ε.4.5 Εντάξει.Δεν μπορεί να πάρει παραδείγματος χάριν την τιμή -4 ; Τι μας περιορίζει; Χ πρέπει να είμαστε από το.μμμ εεε.. μετά το -1,6 δηλ όπως είναι ο άξονας πού έχουμε για παράδειγμα εδώ, το -1 είναι εδώ, το 1,6 είναι κάπου εδώ θα πάρει τιμές από εδώ και κάτω, ανοιχτό το κυκλάκι. Άρα το -4 πού βρίσκεται εδώ κάτω δεν μπορεί να είναι δεν μπορεί να τη συμπεριλάβουμε μέσα στη συνάρτηση την τιμή αυτή. Ε.4.6. Δηλαδή; Χ.4.6. Δεν επαληθεύει τη συνάρτηση. 68

69 Συνεχίζοντας τη συζήτηση σχετικά με το πώς θα ερμηνεύσουμε το παραπάνω αποτέλεσμα, τέθηκε το ερώτημα τι σημαίνει για το Χρήστο η αλγεβρική έκφραση 3x+5. Χ.5.1. Όλη η συνάρτηση δεν πρέπει να είναι μικρότερη του μηδενός ; Ε.5.1.Όταν λέμε όλη η συνάρτηση, τι εννοείς όλη η συνάρτηση ; Χ.5.2. εε η τιμή αυτή πού έχουμε, η 3x+5 για παράδειγμα Ε.5.2.Τι είναι,τι ρόλο παίζει το 3x+5 για σένα ; Χ.5.3 εεε.. μία συνάρτηση ;Κάποιες τιμές πάνω στο.. σε αυτό το σύστημα αξόνων. Από τον παραπάνω διάλογο προκύπτει ότι με τη λέξη συνάρτηση εννοεί τις τιμές της συνάρτησης (Χ.5.1) ενώ η έκφραση f(x)=3x+5 σημαίνει την τοποθέτηση τιμών και όχι σημείων (Χ.5.3) πάνω στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, πού όπως θα δούμε και παρακάτω έχει ιδιαίτερη σημασία. Ο Χρήστος κάνει με ευκολία τους υπολογισμούς για το f(0),f(1), f(-3), f(2) ενώ όταν πρέπει να παραστήσει γραφικά τα αποτελέσματα κάνει το σχήμα της εικόνας 6 (βλέπε & Διάλογο 6 ) Η γραφική παράσταση της f(x)=3x+5 Η γραφική παράσταση της y=3x+5 Εικόνα 6 Εικόνα 7 Αφού ο Χρήστος σχεδίασε τη γραφική παράσταση της f(x)=3x+5 του ζητήθηκε να σχεδιάσει τη γραφική παράσταση της y=3x+5 το οποίο και κάνει με επιτυχία (Εικόνα 7) και στη συνέχεια του ζητήθηκε να εξηγήσει σε τι διαφέρει, η έκφραση y=3x+5 από την έκφραση f(x)=3x+5( βλέπε Διάλογο 8). Παραθέτουμε τον διάλογο 6 που πραγματοποιήθηκε όταν ο Χρήστος προσπαθούσε να σχεδιάσει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=3x+5 (εικόνα 2). Ε.6.1. Ναι αυτό πού είπες να βάλεις τις τιμές πάνω στο..στους άξονες. Τι ήθελες να κάνεις ; κάτι είχες πει για γραφική παράσταση.. Χ.6.1 Έχουμε εδώ...ας το κάνω αναλυτικά f(0)=3*0+5=5, άρα 5. Ε.6.2. Και τι βρήκες τώρα εσύ εδώ; Χ.6.2 εεε τις τιμές του y λογικά έτσι ;αφού το x είναι μηδέν. Χ.6.4 Για παράδειγμα εδώ ας πούμε το 5..[βάζει το σημείο 5 πάνω στον άξονα y y] και ξεκινάει από εδώ η συνάρτησή μας, είναι το πρώτο σημείο αυτό. Ε.6.5.Ποιο σημείο είναι αυτό; Χ6.5.Το (0,5). Ε.6.7.Τί έκανες τώρα σε αυτό;.; Τι βρήκες; Χ.6.7.Βασικά βρήκα πού τέμνει η συνάρτηση τον άξονα yy. Ε.6.9 Αν σου έλεγα να μου πεις τώρα ποια είναι η τιμή της συνάρτησης και για ποιον αριθμό τι θα έλεγες; Χ.6.9.Για όπου το x είναι 0 η τιμή της συνάρτησης είναι το 5. Ε Για συνέχισε 69

70 Χ Για παράδειγμα, ας πούμε ότι παίρνουμε το 1 ας πούμε, αντικαθιστούμε όπου x το1 Συν 5, 3+5, ας πούμε για παράδειγμα 8. Ε , και τι θα πεις τώρα τι βρήκες εδώ ; Χ εεε για όπου x το1 η τιμή της συνάρτησης είναι το 8. Ε 6.13 Kαι πως θα το ; Χ.6.13.Θα πάμε στον άξονα των x x; Ε.6.14 Ναι. Χ.6.14.Θα πάρουμε το 1. Ε.6.15 Ναι. Χ.6.15 Εδώ είναι το μηδέν. Ε.6.16.Ωραία. Χ.6.16 Και θα πάρουμε το 8 εδώ ας πούμε για παράδειγμα και θα τα ενώσουμε αυτά τα δύο [ ενώνει με ένα ευθύγραμμο τμήμα το σημείο (0,8) με το (1,0)]. Ε.6.26 Εδώ το f(0) =5, πως το ένωσες εδώ τώρα; Χ Ναι,όταν το x ήταν μηδέν η τιμή του στο άξονα των y ήταν το πέντε, αλλά εδώ δεν χρειάζεται να τα ενώσουμε. Ε Γιατί; Χ εεε γιατί είναι και τα δύο πάνω στον ίδιο άξονα, και δεν μπορούμε να τα ενώσουμε. Από τον Χρήστο ζητείται να υπολογίσει το f(-3), αν και έχει αντιρρήσεις για το κατά πόσο επιτρέπεται να κάνει αυτό τον υπολογισμό εφόσον το -3 δεν ανήκει στο διάστημα [-5/3, + ), και να παραστήσει γραφικά το αποτέλεσμα. Χ Θα πήγαινα στον αρνητικό ημιάξονα και θα έπαιρνα το σημείο -3. Και για y θα πήγαινα πάλι στον αρνητικό ημιάξονα θα πάρω την τιμή -4 και θα τα ένωνα αυτά τα δυο σημεία,για παράδειγμα. Ε Εντάξει. Και πόσο.. τι θα έφτιαχνες αν συνέχιζες να κάνεις αυτή την εργασία ; για πόσες τιμές του x,θα μπορούσες να το κάνεις αυτό; Χ Για άπειρες τιμές. Ε.6.38.Και τι θα σου έδινε εκεί πέρα η γραφική παράσταση, πως θα ήταν περίπου; Χ Λογικά παράλληλες γραμμές; Όχι..εε.. θα μού έδινε δεν θα ήτανε μία,πως το λένε συνεχής γραμμή; [ Υπολογίζει και το f(2) και με τον ίδιο τρόπο το παριστάνει γραφικά] Ε.6.39.Πως θα το παριστούσες και αυτό τώρα ; Χ.6.40 Λογικά θα ενώναμε τα σημεία ;..δεν, δεν,.συνήθως κανονικά δεν ενώνουμε τα σημεία μεταξύ τους; Επειδή ο Χρήστος γνωρίζει ότι η συνάρτηση f(x)=3x+5 παριστάνει μία ευθεία, ενεργοποιεί τη ρουτίνα της σχεδίασης της γραφικής παράστασης μίας ευθείας πού δίνεται από την αλγεβρική έκφραση y=3x+5. Θέτει στη θέση του x το 0 και βρίσκει το f(0) δηλ το y (X.6.2). Μέχρι εδώ η διαδικασία πού χρησιμοποιεί είναι συνεπής με τη ρουτίνα. Όμως το y έχει αντικατασταθεί με το f(x) και έτσι δεν μπορεί να εφαρμόσει πλήρως τη ρουτίνα, αφού δεν μπορεί να βάλει στη θέση του y το 0 και λύσει την εξίσωση. Έτσι συνεχίζει θέτοντας x=1, κάνει πράξεις και βρίσκει f(1)=8 και στη συνέχεια προσπαθεί να εφαρμόσει την ίδια διαδικασία ενώνοντας το 1 με το 8 εκφράζοντας όμως κάποιες αμφιβολίες σχετικά με το αν έχει εκτελέσει σωστά τη ρουτίνα (X.6.19) αφού η γραμμή που ενώνει το δεύτερο ζευγάρι αριθμών θα έπρεπε να ξεκινάει από την αρχή των αξόνων ( Χ.6.20, Χ.6.21).Από εδώ φαίνεται ότι για το μαθητή η έκφραση f(1)=8 δεν παράγει το διατεταγμένο ζεύγος (1,8), ούτε το σημείο με συνταγμένες (1,8) αλλά το σύμβολο f ενεργοποιεί την εξής διαδικασία: βάλε στη θέση του x αριθμούς και κάνε πράξεις. 70

71 Ε.7.1. Τι διαφορά έχει η γραφική παράσταση αυτή y=3x+5 και η f(x)=3x+5, είναι διαφορετικό ή ίδια ; Χ.7.1. Όχι τα ίδια είναι..όχι δεν είναι τα ίδια ας πούμε εδώ έχουμε δύο μεταβλητές. Ε.7.2.Ποιες είναι οι μεταβλητές ; Χ.7.2.Το y και το x [ αναφέρεται στην y=3x+5]. Ε.7.3 Και εκεί τι έχουμε ; Χ.7.3.Εκεί έχουμε μόνο το x, βασικά [αναφέρεται στην f(x)=3x+5]. Ε.7.4.Εδώ που είναι το y, ποιο είναι το y για εμάς εδώ;. Εδώ σε αυτή τη συνάρτηση f(x)=3x+5. Χ.7.5. Βασικά,εδώ αν έχουμε για παράδειγμα στο x και λύσουμε την συνάρτησή μας, εδώ για παράδειγμα, τη λύσουμε σαν εξίσωση. Ε Πες μου ένα παράδειγμα. Χ.7.6 Για παράδειγμα, αυτή πού έκανα και πριν. Ε.7.7.Δηλαδή αντικατέστησες στη θέση του x και πήρες κάποιον αριθμό. Χ.7.7.Ναι κάποιον αριθμό, παίρνουμε το y με αυτή τη διαδικασία, παίρνουμε την άλλη μεταβλητή το y. Ε.7.8. To y, και εδώ πως διαφέρει η y=3x+5 και η f(x)=3x+5; Χ.7.8. Στη μία περίπτωση παίρνουμε τιμές μόνο για το x, ενώ εδώ μπορούμε να πάρουμε τιμή και για το y. Ε Η γραφική παράσταση αυτής [της f(x)=3x+5] έχει καμία σχέση με αυτή [της y=3x+5] ; Χ Λογικά θα είναι οι ίδιες. Ίδιες δεν είναι λογικά οι γραφικές παραστάσεις τους ; Ε Δεν ξέρω. Θα είναι ; Χ εεε...για περιμένετε να το δούμε,..3χ+5, ναι γιατί άμα..ναι θα είναι ίδιες θα είναι, ότι τιμή δώσουμε εδώ στο x για παράδειγμα, αν δώσουμε την ίδια τιμή και εδώ αφού έχουμε τις ίδιες συναρτήσεις ουσιαστικά εδώ θα πάρουν και τις ίδιες γραφικές παραστάσεις. Λογικά οι γραφικές τους παραστάσεις θα είναι ίδιες. Από τον παραπάνω διάλογο φαίνεται ότι δεν αντιλαμβάνεται τον συμβολισμό f(x) ως μεταβλητή, αλλά ως το έναυσμα της αντικατάστασης τιμών στην θέση του x και πράξεις έτσι ώστε να βρούμε το y «την άλλη μεταβλητή» (Χ.7.7). Το y και το f(x) δεν είναι τα ίδια αντικείμενα παρόλο που οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα (Χ.7.7) και προκύπτουν από την ίδια διαδικασία (Χ.7.12). Ο Χρήστος εντοπίζει τη διαφορά στο γεγονός ότι μπορούμε να αντικαταστήσουμε («πάρουμε» σύμφωνα με το Χρήστο) τιμές στο y,επομένως το y είναι μεταβλητή, ενώ στη θέση του f(x) δεν μπορούμε να αντικαταστήσουμε («πάρουμε») κάποιον αριθμό και επομένως το f(x) δεν είναι μεταβλητή. Ίσως επειδή έχουμε ήδη αντικαταστήσει το x με κάποιον αριθμό. Η ερώτηση 1.3 του ερωτηματολογίου αφορούσε στη δυνατότητα των μαθητών να διαχωρίζουν τη γραφική από το σύστημα αξόνων. Ο Χρήστος ξεχωρίζει τη γραφική παράσταση από τους άξονες,αλλά όπως είχαμε δει θεωρεί ότι οι άξονες είναι μέρος της έννοιας της συνάρτησης ( Χ.1.1.) Απαντήσεις στο 2 ο Θέμα. Το θέμα 2 είχε ως στόχο την διερεύνηση της ικανότητας των μαθητών να διαβάσουν τη γραφική παράσταση συνάρτησης. Στον πίνακα που ακολουθεί υπάρχουν οι γραφικές παραστάσεις, επί των οποίων επιχειρηματολόγησε ο Χρήστος και οι γραπτές απαντήσεις του. 71

72 Στον παρακάτω πίνακα (Πίνακας 1) είναι συγκεντρωμένες οι απαντήσεις του Χρήστου σχετικά με το πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών, τα διαστήματα μονοτονίας,τα ακρότατα (μεγαλύτερη τιμή ή μικρότερη τιμή ).Ο Χρήστος φαίνεται να απαντάει σωστά στις ερωτήσεις, όμως ο τρόπος με τον οποίο εκφράζεται δείχνει να διακατέχεται από κάποια σύγχυση σε σχέση με τις έννοιες σύνολο τιμών και το πεδίο ορισμού. Μάλλον με κάποιο τρόπο τα ταυτίζει. Στη γραμμή «Σύνολο τιμών» του παρακάτω πίνακα εμφανίζονται οι απαντήσεις του Χρήστου όταν το ερώτημα ήταν: ποιο είναι το σύνολο τιμών των συναρτήσεων των γραφικών παραστάσεων των σχημάτων 2,3,4&5, ενώ στη γραμμή «οι τιμές του y» όταν το ίδιο ερώτημα ήταν: ποιες είναι οι τιμές του y. Πίνακας 1 Απαντήσεις Χρήστου Ερώτηση Σχήμα 2 Σχήμα 3 Σχήμα 4 Σχήμα 5 Πεδίο ορισμού R R R R Σύνολο τιμών (με τη διαδικασία αντιστοίχισης του Χρήστου) Οι τιμές του y Διαστήματα μονοτονίας R R R R παίρνει μόνο θετικές τιμές και το μηδέν Από (-,0) γνησίως φθίνουσα και από (0,+ ) γνησίως αύξουσα παίρνει μόνο αρνητικές τιμές και το μηδέν Από (-,0) γνησίως αύξουσα και από (0,+ ) γνησίως φθίνουσα παίρνει μόνο αρνητικές τιμές και το μηδέν Από (-,0) γνησίως αύξουσα και από (0,+ ) γνησίως φθίνουσα παίρνει μόνο θετικές τιμές και το μηδέν Από (-,0) γνησίως φθίνουσα και από (0,+ ) γνησίως αύξουσα 72

73 Μεγαλύτερη ή Μικρότερη τιμή Πολύ μεγάλες ή πολύ μικρές τιμές Ελάχιστη τιμή το 0, μέγιστη δεν έχει Μπορεί να πάρει πολύ μεγάλες τιμές Μέγιστη τιμή το 0, ελάχιστη δεν έχει Μπορεί να πάρει πολύ μικρές τιμές Μέγιστη το 0, ελάχιστη δεν έχει Μπορεί να πάει πολύ μικρές τιμές Ελάχιστη τιμή το 0, μέγιστη δεν έχει Μπορεί να πάρει πολύ μεγάλες τιμές Στους παρακάτω διαλόγου φαίνεται ο τρόπος με τον οποίο αντιλαμβάνεται τις εκφράσεις πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών (Ερώτηση 2.1). Ε.8.1. Τι είναι το πεδίο ορισμού ; Χ.8.1Εεε, το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο αριθμών..το σύνολο τιμών..εεε.πού μπορεί.εεε, είναι τιμές βασικά πού μπορεί να πάρει το x.. Από την απάντηση X.8.1.φαίνεται ότι γνωρίζει ποιο είναι το πεδίο ορισμού. Επιπλέον όταν ρωτάται για το πεδίο ορισμού της συνάρτησης του σχήματος 2 απαντάει ότι είναι ολόκληρο το R και το δικαιολογεί ως εξής: Χ.9.1. Γιατί βλέπω ότι για παράδειγμα έχουμε και αρνητικούς για το x και θετικούς από εδώ..βασικά το x ανήκει σε όλο το R. Ε Από πού το καταλαβαίνεις είπες ; Χ.9.2 Επειδή βλέπουμε η γραφική παράσταση αναπτύσσεται και στον αρνητικό ημιάξονα των x και στον θετικό ημιάξονα των x. Ε.9.3.εεε Χ.9.3 Άμα την προεκτείνουμε λογικά και τη συνεχίσουμε θα μπορεί να πάρει όλες τις τιμές του x, ας πούμε και θετικές και αρνητικές. Όταν του ζητείται να συμπεράνει το σύνολο τιμών της συνάρτησης από τη γραφική παράσταση πραγματοποιείται ο παρακάτω διάλογος. Ε Το σύνολο τιμών ποιο είναι ; Χ Το σύνολο τιμών ; εεε θα πάρουμε.. για παράδειγμα σε αυτή εδώ τη συνάρτηση [σχήμα 2] μία τιμή για το 2 [αναφέρεται στον άξονα των y] ας πούμε Ε Λες εκεί πάνω στον άξονα των y το 2 ; Χ Ναι, θα πάμε στη γραφική παράσταση εδώ [φέρνει παράλληλη στον άξονα των x]. Ε.10.3 Θα πάρεις δηλαδή από το y =2. Χ Ναι. Ε.10.4 Θα φέρεις παράλληλη προς τον άξονα x και θα κόψει το Χ.10.4Ναι θα δούμε πού τέμνει τη γραφική παράσταση, και μετά θα τραβήξουμε μία παράλληλη προς τον άξονα των y. Ε.10.5 Παράλληλη, ναι. Χ.10.5 Έτσι μία διακεκομμένη γραμμή ας πούμε και θα βρούμε ένα σημείο πού είναι ας πούμε για παράδειγμα δηλαδή πήραμε ένα y και βρήκαμε ένα x. Αυτό εδώ είναι ένα σημείο ξέρω γω, Β το ονομάζουμε ξέρω γω,και αντιστοιχεί το μηδέν κόμμα κάτι, 0,8 ας πούμε για παράδειγμα Ε Και το 2 αντιστοιχεί το μηδέν κόμμα οκτώ, και τι βρήκαμε τώρα, Μ Για παράδειγμα. Ε.10.7 Ναι τι έχουμε βρει τώρα; Χ Στην τιμή 2 ποία αντιστοιχεί σύμφωνα με τη γραφική παράσταση αντιστοιχεί η τιμή.. 0,8. Ε ,8. Χ10.8 Ναι, για παράδειγμα.. Ε.10.9 Η τιμή δύο πού ανήκει είναι στο σύνολο τιμών ή στο πεδίο ορισμού ; Χ10.9 και στα δυο δεν είναι λογικά; 73

74 Ε Ωραία και το 0,8 ; Χ Το 0,8 ανήκει και στα δύο,και στο σύνολο τιμών και στο πεδίο ορισμού. Ε10.11 Ωραία..εε και ποιο είναι είπαμε..εμείς ψάχναμε να βρούμε στο σχήμα 2 ποια είναι η..ποιο είναι το σύνολο τιμών, μπορούμε να..ποιο είναι το σύνολο τιμών τελικά το βρήκαμε ; Είπαμε το πεδίο ορισμού είναι όλο το R γιατί είναι το. Χ Ναι και στον θετικό και στον αρνητικό ημιάξονα. Ε Ναι γιατί είναι και στα δύο τεταρτημόρια, Ωραία και τώρα εδώ ποίο θα είναι το σύνολο τιμών της συνάρτησης ; Χ Λογικά θα πάρουμε και άλλες τιμές. Ο μαθητής με όμοιο τρόπο δικαιολογεί τις απαντήσεις του και για το σχήμα 4 όπου η μορφή της καμπύλης είναι λιγότερο «κλειστή». Από τους παραπάνω διαλόγους φαίνεται ότι για το μαθητή το πεδίο ορισμού είναι οι τιμές που μπορεί να «πάρει» το x (X.8.1) και τμήματα του άξονα των x (X.9.2). Οι απαντήσεις φανερώνουν τη συνήθη μαθηματική «αργκώ» που χρησιμοποιούμε στο σχολείο τόσο οι μαθητές όσο και οι καθηγητές. Όταν όμως ζητάμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης του σχήματος 2 ο Χρήστος είναι συνεπής με την απάντηση Χ.3.1. και ψάχνει να βρει τους αριθμούς τους αριθμούς πού βάζουμε στη θέση του x και το αποτέλεσμα των πράξεων. Έτσι στο Διάλογο 10, ο Χρήστος λύνει γραφικά μία εξίσωση ώστε να βρει πχ για y= 2 ποια τιμή αντιστοιχεί(χ.10.7) και αυτή η διαδικασία πρέπει να συνεχιστεί, μάλλον επ άπειρο (Χ.10.12).Επιπλέον δεν φαίνεται να τον απασχολεί η φορά της αντιστοίχισης, αλλά ούτε έχει και κάποια ιδιαίτερη δυσκολία να συμπεριλάβει το 2 και 0,8 στο ίδιο σύνολο ( Χ.10.9, Χ.10.10) αντιμετωπίζοντας έτσι τις μεταβλητές x και y ακόμα και στον ενσαρκωμένο κόσμο με ένα είδος συμμετρίας. Δεν δείχνει, δηλαδή, να διαχωρίζει την εξαρτημένη από την ανεξάρτητη μεταβλητή. Όταν στη συζήτηση χρησιμοποιείται ο όρος y για το σύνολο τιμών,τότε οι απαντήσεις του μαθητή αποκτούν σταθερότητα και γίνονται απολύτως ξεκάθαρες (Διάλογος 11). Με τον ίδιο τρόπο απαντάει και για το σχήμα 4 και 5. Ε.11.1 Ααα το y Αν πούμε εδώ τώρα, στην πρώτη, τι τιμές μπορεί να πάρει το y; Χ.11.1 Μόνο θετικές. Ε.11.2 Μόνο θετικές στο σχήμα 2; Χ.11.2 Ναι, το μηδέν και θετικές. Ε.11.5 Εδώ στο σχήμα 3; Χ.11.5 Στο σχήμα 3 μπορεί να πάρει μόνο αρνητικές τιμές. Ε.11.6 Και πώς το καταλαβαίνεις ότι το y μπορεί να πάρει μόνο αρνητικές τιμές; Χ.11.6, Βλέπουμε ότι η γραφική παράσταση αναπτύσσεται μόνο στον αρνητικό η- μιαξόνα των y Απαντήσεις στο 3 ο Θέμα. Το θέμα 3 προσπαθεί να εντοπίσει την δυνατότητα των μαθητών να σχεδιάσουν τη γραφική παράσταση μίας συνάρτησης, η οποία είναι μετατόπιση της δοσμένης συνάρτησης.αρχικά φαίνεται να ανταπεξέρχεται με επιτυχία τόσο στον σχεδιασμό της γραφικής παράστασης όσο και στην αιτιολόγηση. Από τη συζήτηση όμως προκύπτει ότι η διαδικασία χάραξης που έχει στο μυαλό του ο Χρήστος, είναι διαφορετική από την αναμενόμενη. Η αρχική αιτιολόγηση του Χρήστου φαίνεται παρακάτω: Χ.13.1Μήπως αυτή η γραφική παράσταση θα κατεβεί 3 μονάδες κάτω; Ε.13.1.Δεν ξέρω ; Ίσως. Γιατί θα κατέβει 3 μονάδες κάτω; 74

75 Χ.13.1 Γιατί για παράδειγμα αν πούμε ότι εδώ σε αυτή τη γραφική παράσταση έ- χουμε την τιμή 0,ας πούμε, για παράδειγμα, στη δεύτερη γραφική παράσταση πού μας ζητάει πρέπει να είναι 3 μονάδες μικρότερη. X Nα γράψω, να κάνω την γραφική παράσταση; Η ίδια θα είναι, απλά θα πάει 3 μονάδες κάτω. Ο Χρήστος εστιάζει την προσοχή του κυρίως στην κορυφή της παραβολής την οποία θεωρεί ότι πρέπει να μετακινήσει κατά 3 μονάδες προς τα κάτω (X.13.1). Επιπλέον από την απάντηση Χ.13.2 προκύπτει ότι ο Χρήστος θεωρεί ότι η νέα γραφική παράσταση θα είναι ίδια με την προηγούμενη. Έτσι με βάση αυτέ τις δύο αρχές σχεδιάζει τη γραφική παράσταση που φαίνεται στην Εικόνα 4. Όταν η συζήτηση έρχεται στο ζήτημα εάν αυτές οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται τότε φανερώνεται ο τρόπος με τον οποίο ο Χρήστος αντιλαμβάνεται τη φράση «οι τιμές της για κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της θα είναι μικρότερες κατά 3 μονάδες» : Χ Δεν θα τέμνονται. Ε Ποιος μας το εξασφαλίζει ; Χ.14.2 Αυτό εδώ το κομμάτι λογικά δεν μας το δείχνει ; [αναφέρεται στις κορυφές της παραβολής και στα σημεία γύρω από αυτή]. Ε Εδώ πού ξέρουμε τι θα συμβαίνει για πολύ μεγάλες τιμές αν κάπου θα συναντώνται; Χ Γιατί πάντα η μία θα είναι μικρότερη της άλλης κατά 3 μονάδες. οπότε δεν μπορούν ποτέ να συναντηθούνε. Ε Γιατί; Χ Γιατί για κάθε τιμή ας πούμε πού θα έχει..να για παράδειγμα ας πούμε εεε εδώ ας πούμε έχουμε ας πούμε στο 1 είναι το 1. Ε Ναι. Χ.14.5.Έτσι ; Στο -3 αυτής γραφικής παράστασης ανήκει το +3 ξέρω γω. Σημαίνει θα έχει διαφορά 3 μονάδες. παντού θα έχει διαφορά 3 μονάδες. Χ.14.6 Θα είναι λογικά και εδώ 3, και πιο κάτω 3, 3, και 3 και 3 και 3... Η διαφορά στην οποία αναφέρεται ο Χρήστος δεν είναι η κατακόρυφη απόσταση των σημείων των δύο γραφικών παραστάσεων, αλλά οι οριζόντιες αποστάσεις των σημείων των γραφικών παραστάσεων καθώς επίσης και η απόσταση των κορυφών τους. Στην Εικόνα 4 φαίνεται τι εννοεί διαφορά τρείς μονάδες. Τα οριζόντια ευθύγραμμα τμήματα συμβολίζουν τις αποστάσεις που θα είχαν, κατά τη γνώμη του Χρήστου, τα σημεία των δύο γραφικών παραστάσεων εάν είχε σχεδιάσει με ακρίβεια τη γραφική παράσταση της g. Στο ίδιο θέμα του ζητείται να απαντήσει στα εξής ερωτήματα Α.Ποια είναι η g(3) 75

76 B. Αν g(k)=1 πόσο είναι το f(k); Για το πρώτο ερώτημα γνωρίζει ότι g(x)=f(x)-3 άρα g(x)=x 2-3 και επομένως g(3)=3 2-3=9-3=6 Στην περίπτωση αυτή για να απαντήσει στο ερώτημα εκτελεί τη διαδικασία πού σχετίζεται με το σύμβολο f και την οποία γνωρίζει πάρα πολύ καλά. Και για το δεύτερο ερώτημα έχει την ίδια προσέγγιση, λύνει ένα σύστημα. Η διαδικασία πού ακολουθεί είναι η εξής 2 g(x) x 3 g(k) 1 και άρα x 2-3=1 οπότε x =2 κάνει επαλήθευση g(k)=4-3=1 και βρίσκει f(k)=x 2 =2 2 και άρα f(k)=4. Παρατηρούμε ότι για το σύμβολο x του επιφυλάσσει το ρόλο του αγνώστου αφού όπου πρέπει να σκεφτεί με όρους α- γνώστου δεν χρησιμοποιεί το k αλλά το x Απαντήσεις στο 4 ο Θέμα. Οι απαντήσεις του Χρήστου στο θέμα 4 είναι συνεπείς με τις απαντήσεις του θέματος 3 Βλέποντας τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις ακολουθεί ο παρακάτω διάλογος E.15.1 Αυτές εδώ οι γραφικές παραστάσεις στο σχήμα 7, τι σχέση έχουν μεταξύ τους; X Έχουνε διαφορά κατά δύο μονάδες; Όχι. E Δεν ξέρω, εσύ θα μου πεις. Πως το βρήκες αυτό ;Πώς πηγές σε αυτό το συμπέρασμα; Χ Βλέπω εδώ ότι, παίρνω αυτό το σημείο του αρνητικού ημιάξονα, τέλος πάντων στον άξονα y y, βλέπω ότι. Ε Και το βρίσκεις από εδώ από το σημείο.. Χ Για το σημείο 0 εδώ έχουμε το -2 [Αναφέρεται στις τεταγμένες των κορυφών των παραβολών] Άρα η διαφορά είναι 2 μονάδες. 76

77 Ε Για αυτά τα δύο σημεία. Ισχύει και για όλα τα υπόλοιπα αυτό; Χ.15.4.Όχι Ε Γιατί; Χ.15.5 Γιατί βλέπουμε ότι εδώ ότι η απόσταση μεταξύ των δύο παραστάσεων όλο και μικραίνει.[αναφέρεται στις οριζόντιες αποστάσεις των σημείων των γραφικών παραστάσεων]. Συζητώντας με τον Χρήστο για τις απαντήσεις του, φάνηκε ότι τη διαφορά των δύο μονάδων πού αναφέρει στην Χ.15.1 τη σχετίζει με το σύνολο τιμών, δηλαδή το y. Λέει ότι «δεν έχουνε τις ίδιες τιμές μέχρι το 0» δηλ «η g(x) μέχρι την τιμή 0, μέχρι το y να πάρει την τιμή 0 δεν μπορεί να έχει την ίδια τιμή y, όπως είναι και στην υπόλοιπη γραφική παράσταση». Για τον Χρήστο οι τιμές του y και οι τιμές του x δεν έχουν κάποια ουσιαστική διαφορά.και οι δύο είναι τιμές της συνάρτησης. Στην περίπτωση του θέματος 3 σχεδίασε τη γραφική παράσταση ώστε και οι τιμές του y και του x να έχουν 3 μονάδες διαφορά (Εικόνα 4, Διάλογος 14). Ενώ στο θέμα τέσσερα βρίσκει ότι οι τιμές του y διαφέρουν κατά 2 μονάδες όμως οι τιμές του x δεν διαφέρουν κατά την ίδια σταθερά (Εικόνα 5, Διάλογος 15). Προσπαθώντας να δικαιολογήσει περαιτέρω την άποψη του για τη σχέση των γραφικών παραστάσεων της εικόνας 5, εφάρμοσε την ίδια τακτική να επιλέγει κάποιο σημείο στον άξονα των y και μέσω της γραφικής παράστασης να βρίσκει κάποιο σημείο του άξονα x. Στην προσπάθειά μας να εντοπίσουμε γιατί ο Χρήστος επιλέγει να χρησιμοποιεί αυτή τη φορά της αντιστοίχισης,φάνηκε ένας από τους τρόπος με τον οποίο σκέφτεται για το σύμβολο f. Ε.16.1 γράψε μου τώρα εδώ, πόσο είναι το f(0) [Εικόνα 5 ] Χ.16.1.Το f(0) έτσι; Ε.16.2 Πόσο είναι; Χ.16.2 Δεν γνωρίζω, ίσον με 0 ; Ε.16.3 Γιατί; Χ.16.3 Εδώ που μας λέτε y=f(x).. Ε.16.4 Αυτή είναι η συνάρτηση f(x). Το f(0) πως θα το βρεις; Χ.16.4.Αν f(x)= y, όχι μάλλον όχι, περιμένετε, ναι το x είναι 0 εδώ δηλαδή, Ε.16.5.Το x είναι μηδέν δηλ.άρα το y πόσο θα είναι ; Χ.16.5 Μηδέν. Ε.16.6 Από πού το βλέπεις ; Χ.16.6 Από εδώ. Ε.16.7Από εδώ πού λέει y=f(x);πάνω στη γραφική παράσταση ; Χ16.7 Ναι, ότι τιμή, πάρει το x θα πάρει και το y. Ο Χρήστος δεν διαβάζει την έκφραση y=f(x) ως το y είναι το f(x) ή ότι το y είναι συνάρτηση του x αλλά το f(x) είναι η τιμή που θα «πάρει» το x,συνδέοντας έτσι την υλική πράξη αντικατάστασης με το σύμβολο f. Επομένως το y θα πάρει την ίδια τιμή με το x (X.16.7).Ακόμα και η γλώσσα: «θα πάρει το x» παραπέμπει στην υλική ενέργεια. Αυτή η ενέργεια είναι το πρώτο βήμα στο σχήμα που ενεργοποιεί το σύμβολο f, το επόμενο βήμα είναι οι πράξεις στον αλγεβρικό τύπο πού το ακολουθεί. Όμως επειδή εδώ δεν υπάρχει αλγεβρική έκφραση συμπεραίνει ότι το y θα είναι ίδιο με το x. Προχωρώντας για να βρούμε και άλλα σημεία ο Χρήστος, διατυπώνει τον προβληματισμό του σε σχέση με την απουσία τύπου (Χ17.2). Ε Για βρες το f(-1). Χ Το f(-1) ; Ε Ναι. Χ.17.2 Βασικά κύριε τόση ώρα πού κάθομαι και γράφω έτσι δεν πρέπει να έχουμε ένα τύπο να για παράδειγμα όπως είναι στην προηγούμενη σελίδα; 77

78 Φαίνεται ότι το σύμβολο f είναι συνδεδεμένο με αλγεβρικό τύπο,αφού δεν μπορούσε να εντοπίσει από τη γραφική παράσταση το f(0) ή το f(-1). Για να προχωρήσει η συζήτηση, ο Χρήστος ήθελε κάποιον τύπο, και βρήκε μόνος του από τη γραφική παράσταση ότι f(x)=x 2.Έχοντας πλέον κάποιο τύπο του ζητήθηκε να βρει, χρησιμοποιώντας όμως τη γραφική παράσταση, το g(0), το f(1) και το g(1) από όπου προέκυψε ο παρακάτω διάλογος: E , για βρες μού το f(1). X Tο f(1)=1. E Aπό πού το βρήκες; X.18.2 Λοιπόν. E18.3 Τί αντιστοίχισες; Χ.18.4 Πήρα την τιμή 1 από εδώ και την αντιστοίχισα εδώ. Ε.18.4 Tην τιμή ένα από τον y και τη αντιστοίχισες εκεί. Για βρες το g(1). Χ το g(1) θα πάρουμε εδώ..η τιμή 1,7. [εικόνα 5] Ο Χρήστος συνεχίζει στο ίδιο μοτίβο, να αντιστοιχεί σημεία από τον άξονα των y στον άξονα των x. Δεν προβληματίζεται από το γεγονός ότι στη θέση του x α- ντικαθιστά κάποιον αριθμό από το σύνολο των τιμών του y. (Χ.18.2, Ε.18.4, Χ.18.5). Έτσι δεν συνδέει άμεσα τη γραφική παράσταση με το σύμβολο f. Αυτό είναι φυσικό επακόλουθο του τρόπου με τον οποίο αντιλαμβάνεται τη γραφική παράσταση (:Μία γραμμή που παριστάνει γραφικά μία εξίσωση), το σύμβολο f (:έναυσμα για α- ντικατάσταση και πράξεις) πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών (:αριθμοί πού προκύπτουν από αντικατάσταση και πράξεις) Απαντήσεις στο 5 ο Θέμα. Στο θέμα 5 του ερωτηματολογίου δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων της μορφής ax 2, σχεδιασμένες στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Για να απαντήσει στην ερώτηση «Ποια από τις 3 έχει μεγαλύτερο α»; χρησιμοποιεί την διαίσθηση και την τάση να κάνει τις αντιστοιχίσεις από το άξονα y στον άξονα x.η διαίσθησή του τον οδηγεί στην άποψη ότι μεγαλύτερο α έχει η συνάρτηση h(x).ο ίδιος όμως εκφράζει αμφιβολίες για την προηγουμένη απάντησή του και θέλει να το ε- λέγξει. Χρησιμοποιεί τις σχέσεις g(2)=4 και h(4)=8 από όπου προκύπτει ότι α=2 και α=1/2 αντίστοιχα. Με την ίδια μέθοδο βρίσκει ότι το για την f το α είναι ίσο με ένα. Οι απαντήσεις του στα υπο-ερωτήματα 5.2.1~5.2.5 του ερωτηματολογίου που αφορούσαν στο ρόλο του α είναι συγκεντρωμένες στον παρακάτω πίνακα. Ερώτηση Απάντηση Χρήστου Η γραφική παράσταση θα τείνει προς τον άξονα των y, να γίνει εφαπτόμενη στον άξονα των y Θα τείνει να φτάσει τον άξονα των x Θα φτάσει τον άξονα των x Όπως στην Όπως στην Παρατηρούμε ότι οι απαντήσεις του καθοδηγούνται πλήρως από την διαίσθηση. Γεγονός που είναι αναμενόμενο, από τη στιγμή που ο Χρήστος δεν έχει στη διάθεσή του τα κατάλληλα εργαλεία να υπερνικήσει τη διαίσθηση του. Τα απαραίτητα εργαλεία είναι, ο περιορισμός που θέτει ο ορισμός σε σχέση με το πλήθος των στοιχείων πού μπορεί να αντιστοιχηθεί ένα στοιχείο του πεδίου ορισμού, αλλά και ο ρόλος του πεδίου ορισμού. 78

79 Η εικόνα της έννοιας σε σχέση με το Γυμνάσιο και το Λύκειο Από τη συζήτηση με τον Χρήστο αναδύθηκαν κομμάτια της εικόνας της έννοιας της συνάρτησης που έχει δημιουργήσει από τη Β Γυμνασίου, όπου πρωτοήρθε σε επαφή με την έννοια μέσω απλών συναρτήσεων, έως τη Β Λυκείου όπου πλέον μελετά πιο δύσκολες συναρτήσεις. Οι απαντήσεις του στην ερώτηση «Τι είναι συνάρτηση;» φανερώνουν καταρχήν την έλλειψη γνώσης τυπικού ορισμού. Κάτι που είναι αναμενόμενο, από τη στιγμή που πέρασε ένας χρόνος από τότε που διδάχθηκε τυπικό ορισμό για την έννοια, και δεν τον ξαναχρησιμοποίησε. Άλλωστε σύμφωνα με τον Vinner (1983, 2002) συνήθως δεν σκεφτόμαστε με βάση τον ορισμό αλλά με την εικόνα της έννοιας. Οι πρώτες εικόνες πού έρχονται στο μυαλό του Χρήστου είναι από τον ενσαρκωμένο κόσμο. Η συνάρτηση κατά τον Χρήστο αποτελείται από δύο «μεγέθη» σε «αντιστοιχία», ενώ «στοιχεία» τους να «καταγράφονται» σε δύο άξονες (οριζόντιο και κάθετο) όπου παρατηρούμε τις σχέσεις τους (Χ.1.1, Χ.1.2 Χ.1.3, Χ.1.4). Αυτή είναι η γενική εικόνα πού έχει για την έννοια της συνάρτησης. Τα μεγέθη κατά πάσα πιθανότητα είναι οι μεταβλητές και τα στοιχεία τους είναι οι αριθμοί πού μπαίνουν στην θέση των μεταβλητών. Η εικόνα αυτή έχει σχέση με προβλήματα από την καθημερινότητα. Οι ίδιες φράσεις βρίσκονται στην εισαγωγή της έννοιας της συνάρτησης στην Α Λυκείου:«Σε πολλά καθημερινά φαινόμενα εμφανίζονται δύο μεγέθη, τα οποία μεταβάλλονται έτσι, ώστε η τιμή του ενός να καθορίζει την τιμή του άλλου.» (Ανδρεαδάκης,κ.α., 2011). Στην ίδια παράγραφο ακολουθούν 3 παραδείγματα: ένα το οποίο αναφέρεται στη σχέση τόκου-κεφαλαίου, ένα στην ταχύτητααπόσταση και ένα στο εμβαδό κύκλου με την ακτίνα.και δύο αναφορές σε αυθαίρετη αντιστοίχιση: ώρες μέρας θερμοκρασία και ημέρα και τιμές νομίσματος Παρατηρούμε αυτό που έμεινε στο μυαλό του Χρήστου είναι οι φράσεις δυο μεγέθη που σχετίζονται με κάποιο τρόπο. Η ύλη της Α Λυκείου από εκεί και πέρα παύει να ασχολείται με προβλήματα της καθημερινής ζωής και εστιάζει στην μελέτη κυρίως πολυωνυμικών συναρτήσεων 1 ου και 2 ου βαθμού. Οι μαθητές γενικά, έρχονται σε επαφή με παραδείγματα και προβλήματα από την καθημερινότητα κυρίως στις τάξεις Β & Γ Γυμνασίου. Ενδεχομένως η εικόνα να σχηματίστηκε στο Γυμνάσιο και να χρησιμοποιεί την ορολογία της Α Λυκείου. Η διάκριση μεταξύ μεγέθους και αριθμού είναι ένα από τα εμπόδια πού πρέπει να υπερπηδήσουν οι μαθητές στην προσπάθεια να κατανοήσουν την έννοια της συνάρτησης, «ο αριθμός και η ποσότητα δεν πρέπει να συγχέονται»( Sierpinska 1992). Όπως είδαμε οι αυθόρμητες απαντήσεις του στις άμεσες ερωτήσεις για το τι είναι συνάρτηση δεν φανερώνουν στοιχεία για το πώς αντιλαμβάνεται την έννοια της συνάρτησης στον συμβολικό κόσμο. Η συμβολική αναπαράσταση της έννοιας έρχεται στη συζήτηση όταν ζητείται η γνώμη του για την f(x)=3x+5 και στη συνέχεια για την y=3x+5. Από τη συζήτηση προκύπτει ότι στον συμβολικό κόσμο αντιλαμβάνεται την έννοια κυρίως μέσα από διαδικασίες επίλυσης εξισώσεων.αυτό φανερώνεται και από το λεξιλόγιο πού χρησιμοποιεί αφού όταν αναφέρεται στην έννοια της συνάρτησης χρησιμοποιεί εκφράσεις όπως «να λύσω τη συνάρτηση», και επεξηγεί «να τη λύσουμε σαν εξίσωση» (Χ.7.5) ή σε άλλη στιγμή όταν θέλει να πει ότι κάποιος αριθμός ανήκει στο πεδίο ορισμού μίας συνάρτησης λέει «δεν επαληθεύει τη συνάρτηση» (Χ.4.7). Στο συμβολικό κόσμο ο Χρήστος αντιλαμβάνεται την έννοια ως μία εξίσωση με δυο μεταβλητές x, y από την οποία προκύπτει η εξής διαδικασία: αντικαθιστώ τιμές στη θέση του x ή του y και βρίσκω το αντίστοιχο y ή x. Μέσα σε αυτό το νοητικό σχήμα, δηλ η συνάρτηση ως εξίσωση, είναι δύσκολο να συμπεριλάβει τις «υποέννοιες» πού εμπλέκονται σε αυτή. 79

80 Σε αυτό το σχήμα που έχει δημιουργήσει απουσιάζει παντελώς η διάκριση του ρόλου των δύο μεταβλητών, ως ανεξάρτητη και εξαρτημένη. Διάκριση που εισήχθη για πρώτη φορά στην Α Λυκείου. Η κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης σύμφωνα με την Sierpinska (1992) περνάει και μέσα από την υπερπήδηση αυτού του επιστημολογικού εμποδίου. Αν και γενικά στο λεξιλόγιο του δεν χρησιμοποιεί τις λέξεις μεταβλητές,αλλά κυρίως μεγέθη ή τα γράμματα x, y αντίστοιχα, η συμμετρία με την οποία αντιμετωπίζει τις μεταβλητές φάνηκε από δύο περιπτώσεις κατά τη διάρκεια της συνέντευξης. Πρώτον από τον τρόπο με τον οποίο κάνει την αντιστοίχιση σημείων των αξόνων μέσω της γραφικής παράστασης, και δεύτερον από το γεγονός ότι στην έκφραση g(x) μπορεί να αντικαταστήσει τιμές προερχόμενες τόσο από τον άξονα των x όσο και από τον άξονα των y. Oι όροι πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών, που εισήχθησαν για πρώτη φορά στην Α Λυκείου, δεν έχουν αποσαφηνιστεί επαρκώς. Ο Χρήστος σε ένα βαθμό ταυτίζει τους δύο όρους, εφόσον όταν αναφέρεται στον όρο «τιμές της συνάρτησης» εννοεί και τις τιμές του πεδίου ορισμού και τις τιμές του συνόλου τιμών. Γενικά τις έννοιες πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών τις διαχωρίζει με τον εξής τρόπο: το πεδίο ορισμού είναι συνώνυμο με το σύμβολο x και με τον άξονα x x ενώ το σύνολο τιμών είναι συνώνυμο του y και του άξονα των y y. Φαίνεται όμως, ότι για το Χρήστο, τα δύο σύνολα είναι τιμές τις συνάρτησης αφού και τα δύο προκύπτουν μέσα από μια διαδικασία επίλυσης κάποιας εξίσωσης. Η σύγχυση, δηλαδή, στην ορολογία ενδεχομένως να έχει ως αίτιο, το γεγονός ότι για το Χρήστο δεν υπάρχει αναγκαιότητα διάκρισης μεταξύ των τιμών του x και των τιμών του y. Το επόμενο στοιχείο πού εισήχθη στην Α Λυκείου είναι το σύμβολο f. Παρατηρήσαμε ότι, εκτός από το όνομα της συνάρτησης, η μόνη από τις λειτουργίες του συμβόλου f πού έχει ενσωματώσει στην εικόνα της έννοιας είναι αυτή της αντικατάστασης ενός αριθμού στη θέση τoυ x και πράξεις στον αλγεβρικό τύπο πού πρέπει πάντα να ακολουθεί. Σε καμία περίπτωση δεν το αντιλαμβάνεται ως μεταβλητή,και πολύ περισσότερο ως μεταβλητή που εξαρτάται από το x. Αντίθετα όταν το y αντικαθίσταται από το f(x) «εξαφανίζεται» η δεύτερη μεταβλητή. Καθώς επίσης ούτε ως την τεταγμένη του σημείου (x,f(x)) της γραφικής παράστασης της f. Η ιδέα ότι η συνάρτηση είναι μία διαδικασία αντιστοίχισης κάθε στοιχείου από ένα σύνολο σε ένα μόνο στοιχείο ενός άλλου συνόλου, δεν φαίνεται να υπάρχει στην εικόνα για την έννοια πού έχει σχηματίσει παρόλο που στη ροή της συζήτησης προσπαθώντας να ξεκαθαρίσουμε τις έννοιες σύνολο τιμών και πεδίο ορισμού αναφέρει αυθόρμητα ότι «έχουμε ένα σύνολο Α και ας πούμε και ένα σύνολο Β και σε κάθε τιμή από το Α αντιστοιχεί μία τιμή από το σύνολο Β». Άλλωστε ο Χρήστος όταν περιγράφει την έννοια θεωρεί ότι ο κύκλος είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. Παρατηρώντας την εικόνα που έχει δημιουργήσει για την έννοια της συνάρτησης, βλέπουμε ότι ταιριάζει με την εικόνα της έννοιας που σχηματίζεται στο Γυμνάσιο, τόσο στον συμβολικό κόσμο, όσο και στον ενσαρκωμένο κόσμο. Φαίνεται να είναι απόλυτα ευθυγραμμισμένη με το πνεύμα δύο εφαρμογών που συναντάμε στο βιβλίο της Β Γυμνασίου. Η πρώτη εφαρμογή η οποία ταιριάζει με την αντίληψη του Χρήστου για την έννοια στο συμβολικό κόσμο: 80

81 Και η δεύτερη εφαρμογή η οποία ταιριάζει με την αντίληψη της έννοιας στον ενσαρκωμένο κόσμο. Ο Χρήστος σε όλη τη διάρκεια της συνέντευξης δεν αντιστοιχίζει στοιχεία δυο συνόλων αλλά «λύνει» εξισώσεις τόσο αλγεβρικά όσο και γραφικά. Έτσι οι παραπάνω εφαρμογές φαίνεται να λειτουργούν ως met-before που εμποδίζουν τη διεύρυνση της εικόνας της έννοιας, ώστε να συμπεριλάβει και τις έννοιες της εξαρτημένης και ανεξάρτητης μεταβλητής, το ρόλο του πεδίου ορισμού και του συνόλου τιμών και εν μέρει το ρόλο του f Το επίπεδο κατανόησης της έννοιας της συνάρτησης. Χρησιμοποιώντας το πλαίσιο ανάλυσης των Tall&Marois θα δώσουμε μια εικόνα του επιπέδου κατανόησης της έννοιας της συνάρτησης από τον Χρήστο με βάση το φάσμα διεργασία(procedure) -διαδικασία(process) αντικείμενο (object)- διαδικασιοέννοια (procept). Στη λεκτική αναπαράσταση (verbal facet), δηλ στην προσπάθεια διατύπωσης ορισμού ο μαθητής δεν έχει κάποια συγκεκριμένη εικόνα για τον ορισμό της έννοιας, παρά προσπαθεί να συνδυάσει διάφορες διαδικασίες πού σχετίζονται με την έννοια. Χρησιμοποιεί τη λέξη συνάρτηση για να αναφερθεί σχεδόν σε όλες τις διαδικασίες πού εμπλέκονται τόσο με την έννοια, όσο και με τα μέσα αναπαράστασής της,όπως το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων(χ.1.1), η έκφραση 3x+5 (X.5.2), «κάποιες τιμές πάνω στο σύστημα αξόνων.(χ.5.3).δεν υπάρχει διάκριση των μεταβλητών ως προς το ρόλο τους (ανεξάρτητη και εξαρτημένη μεταβλητή). Δεν είναι σαφής ο ρόλος του πεδίου ορισμού και του συνόλου τιμών. Στην προσπάθεια του Χρήστου να περιγράψει την έννοια, προκύπτει ότι την αντιλαμβάνεται ως μία σχέση που αναπαρίσταται γραφικά, χωρίς να υπόκειται σε κανένα περιορισμό. Δεν μπορεί να ελέγξει πότε μία σχέση είναι συνάρτηση Έτσι ο μαθητής μπορεί να καταταχτεί στο επίπεδο της προδιεργασίας. Στο συμβολισμό (Notational Facet.) Σύμφωνα με τον Χρήστο οι εκφράσεις y=3x+5 και f(x) = 3x+5 είναι διαφορετικές (Ε.7.8, Χ.7.8),παρόλο που εκφράζουν τις ίδιες διαδικασίες (Χ.7.12). Επιπλέον όταν ο συμβολισμός γίνεται πιο αφηρημένος,όπως y=f(x), όπου πρέπει να φανταστεί μια διαδικασία χωρίς συγκεκριμένο τύπο τότε ο μαθητής «εξαφανίζει» το σύμβολο f (X.16.7).Επομένως δεν μπορεί να κατατα- 81

82 χθεί στο επίπεδο διαδικασία. Η διαφορά των εκφράσεων y=3x+5 και f(χ)=3x+5 έ- γκειται στο γεγονός ότι δεν μπορεί να «δει» το σύμβολο f(x) ως μεταβλητή, αλλά μόνο ως το έναυσμα να εκτελέσει την εξής βήμα προς βήμα διαδικασία: αντικαθιστούμε στη θέση του x έναν αριθμού και βρίσκουμε το αποτέλεσμα(χ.6.1.) χωρίς να είναι σε θέση να ερμηνεύσει το ρόλο των δύο αυτών αριθμών. Ο Χρήστος βρίσκεται ανάμεσα το επίπεδο της προ-διεργασίας, αφού το σύμβολο f συμβάλει καθοριστικά στην αποτυχία σχεδίασης της γραφικής παράστασης της f(x)=3x+5, και διεργασίας εφόσον μπορεί να εκτελέσει τη διαδικασία αντικατάστασης, με κοντινότερο αυτό της διεργασίας αφού είναι σε θέση να εκτελέσει μία διαδικασία, έστω βήμα-βήμα. Στη γραφική παράσταση (Geometric Facet) βρίσκεται στο επίπεδο της προδιεργασίας (pre-procedural) εφόσον δεν μπορεί να τοποθετήσει στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων το σημείο με συντεταγμένες (1,f(1)),που «παράγεται» από την f(x)=3x+5 (Εικόνα 2& Χ.6.12~Χ.6.16). Στη Συμβολική αναπαράσταση (Symbolic Facet) της έννοια της συνάρτησης ο μαθητής κατατάσσεται στο επίπεδο της διεργασίας (Procedural) εφόσον στην ερώτηση του θέματος 3 (παράγραφος 5.1.3). Α. Ποια είναι η g(3); Β. Αν g(k)=1 πόσο είναι το f(k); Ο μαθητής εφαρμόζει ολόκληρη τη διαδικασία αντικατάστασης στους αλγεβρικούς τύπους για την εύρεση της απάντησης. Το παρακάτω Σχήμα 8 μας δίνει την οπτική αναπαράσταση του επιπέδου στο οποίο βρίσκεται ο μαθητής σε κάθε αναπαράσταση της έννοιας της συνάρτησης. Σχήμα 8 82

83 5.2 Οι απαντήσεις και η ανάλυση των απαντήσεων του δεύτερου μαθητή Απαντήσεις στο 1 ο Θέμα Ο Δημήτρης παρόλο πού δεν έχει διαθέσιμο τυπικό ορισμό για την έννοια, μέσα από τη συζήτηση φαίνεται να έχει ενσωματώσει αρκετά στοιχεία από τον ορισμό πού διδάχθηκε στην Α Λυκείου. Η πρώτη αντίδρασή του στην ερώτηση 1.1 (Τι είναι συνάρτηση;) δείχνει ότι για αυτόν η συνάρτηση είναι συνδεδεμένη με μία αλγεβρική έκφραση (Δ.1.1) χωρίς να είναι σε θέση να καθορίσει με σαφήνεια το ρόλο των μεταβλητών x και y. Δεν έχει σχηματισμένη εικόνα σχετικά με το ποια είναι η εξαρτημένη μεταβλητή (Δ.1.2) αλλά ούτε γνωρίζει τον όρο (Ε1.6, Δ.1.6). Δ.1.1. Είναι κάτι σαν εξίσωση.. Ε.1.1 Ναι Δ.1.2 Πού ότι τιμές πάρουμε από το y μεταβάλλεται το x; Ε.1.5.Αυτές τις μεταβλητές τις ονομάζουμε κάπως ; τις ξεχωρίζουμε με κάποιο τρόπο;..έχουν τον ίδιο ρόλο στην συνάρτηση ; Δ.1.5 Λογικά δεν θα έχουνε. Μήπως παίζει το x δευτερεύοντα ρόλο; Ε.1.6 Δεν το λέγαμε εξαρτημένη και ανεξάρτητη μεταβλητή ; Δ.1.6 Δεν τα έχουμε κάνει αυτά. Όταν τα είχαμε κάνει αυτά στην πρώτη Λυκείου ή- ταν πολύ αόριστα. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα της f(x)= 5+x όπου η διαδικασία της αντικατάστασης πραγματοποιείται άμεσα είναι πιο ξεκάθαρος σχετικά με τη φορά της σχέσης εξάρτησης : Δ.1.3 Ότι τιμές βάλουμε στο x, πχ 4 τότε μεταβάλλεται το αποτέλεσμα δηλ θα γίνει 9 εδώ πέρα. Στην εικόνα της έννοιας υπάρχει η συνάρτηση ως διαδικασία αντιστοίχισης (Δ.2.1) όπου κάθε στοιχείο (Δ.2.2, Δ.3.1) του πεδίου ορισμού αντιστοιχείται σε ένα μόνο στοιχείο (Δ.2.3, Δ2.4, Δ.3.2) του συνόλου τιμών, χωρίς όμως να είναι σε θέση να ξεκαθαρίσει τη σημασία του όρου σύνολο τιμών (Ε.4.1, Δ.4.1) Ε.2.1 Δηλ χρειαζόμαστε κάποιον τύπο; Και τι κάνουμε σε αυτή τη διαδικασία ; Δ.2.1 Αντιστοιχίζουμε τιμές ; Ε.2.2 Αντιστοιχίζουμε τιμές. Μπράβο. Υπάρχει κάποιος κανόνας πού γίνεται αυτή η αντιστοίχιση; Ή μπορεί να είναι αυθαίρετη ; με οπουδήποτε τρόπο ; Δ.2.2. Πρέπει κάθε αριθμός να αντιστοιχεί με ένα.με έναν άλλο Ε.2.3. Αυτός ο αριθμός σε πόσους αριθμούς μπορεί να αντιστοιχεί ; Δ.2.3 Σε έναν αριθμό. Ε.2.4. Σε δύο μπορούμε ; Δ.2.4 εεεε νομίζω πως όχι.. Ε.3.1Για να έχουμε μην έχουμε συνάρτηση τι πρέπει να συμβαίνει; Δ.3.1 Πρέπει ένα να μην αντιστοιχείται καθόλου Ε.3.2 ή Δ3.2 ένα με δύο. Ε.4.1 Στη θέση το x από πιο σύνολο βάζουμε τιμές; Δ.4.1 Από το σύνολο τιμών. Στην ερώτηση 1.2 σχετικά τον όρο «τιμή της συνάρτησης» φαίνεται ότι δεν έχει ξεκάθαρη άποψη για τη σημασία του. Από την Δ.5.1 φαίνεται ότι αναφέρεται στην τιμή που αντικαθίσταται στη θέση του x και στην αποτύπωση του σημείου (x,f(x)) στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Προβληματίζεται σε ποια από τις 83

84 δύο μεταβλητές αναφέρεται ο όρος τιμή της συνάρτησης (Δ.5.2). Στην προσπάθειά του να διευκρινίσει τη σημασία του όρου φάνηκε ότι δεν μπορεί να ερμηνεύσει σωστά τη σημασία της έκφρασης f(2)=7 ( Δ.5.4). Ε.5.1 Η τιμή της συνάρτησης σε ένα σημείο; Δ.5.1.Ότι βάζουμε υποτίθεται μία τιμή και την απεικονίζουμε στο σε μία γραφική παράσταση... Ε.5.2 Μπορείς να βρεις την τιμή της συνάρτησης f(x)=x+5 στο 2 Δ.5.2. Σε x ; Στον άξονα y;το 2 τι εννοείται; Ε.5.3. Όταν θέλεις να βρεις την τιμή της συνάρτησης; Δ.5.3 Α! του 2, το f(2) εννοείται; Ε.5.4 Εσύ τι καταλαβαίνεις Δ.5.4 Όπου y είναι 2, στη γραφική παράσταση Ε.5.5 Μην πας ακόμα στη γραφική παράσταση. Δ.5.5 Άρα f(2)=7 Ε.5.6 Άρα τι έκανες σε αυτή την περίπτωση; Δ.5.6 Από τον αριθμό πού μου δώσατε πήραμε έναν καινούριο αριθμό πού είναι το αντίστοιχο x; Δ.5.7 Το y είναι το 2 και το x το 7. Δ.5.9 Υποτίθεται ότι το f(x) είναι το αντίστοιχο y, μόνο πού απεικονίζεται μέσω του x, το απεικονίζουμε Στους παραπάνω διαλόγους είναι φανερή η σύγχυση που έχει ο Δημήτρης σχετικά με το τι αντιστοιχούμε σε τι (Δ.1.2, Δ.5.4,Δ.5.6, Δ.5.9) αλλά και για το ρόλο του συμβόλου f και πως συνδέεται με το x και y,κάτι που δείχνει ότι δεν έχει εμπλακεί άλλη φορά σε τέτοια συζήτηση. Η σύγχυση επιτείνεται όταν στη συζήτηση μπαίνουν και οι έννοιες πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών. Ε.6.1. Ποιος από τους δύο αριθμούς [μεταξύ του 2 και του f(2)=7]ανήκει στο πεδίο ορισμού και ποιος στο σύνολο τιμών ; Δ.6.1. Πεδίο ορισμού το f(2); Ε.6.2. Το f(2) ποιο είναι ; Δ.6.2 Το y.. Στο πεδίο ορισμού ;(αλλάζει γνώμη). Στο σύνολο τιμών.και το 7 στο πεδίο ορισμού. Ε.6.3 Το f(2) και το 7 είναι διαφορετικά ή είναι ίδια; Δ.6.3..εεε υποτίθεται είναι ίσα. Στην παραπάνω περίπτωση φαίνεται να συμπεριφέρεται στο f(2) και στο 7 σαν να είναι διαφορετικές οντότητες (Δ.6.2) και απλώς τυχαίνει να είναι ίσα (Δ.6.3.) και όχι ταυτόσημα. Στην ερώτηση 1.3 απαντάει σωστά ότι η γραφική παράσταση είναι η κόκκινη γραμμή Απαντήσεις στο 2 ο Θέμα. Γενικά η συζήτηση δεν μπορεί να προχωρήσει όταν γίνεται με τυπικούς όρους όπως πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών, τιμές της συνάρτησης καθώς επίσης και όταν ε- μπλέκεται το σύμβολο f. Επειδή ο Δημήτρης ερμηνεύει την φράση «οι τιμές που θα πάρει η συνάρτηση» ως οι τιμές πού αντικαθιστούμε στην θέση του x, συγχέει το πεδίο ορισμού με το σύνολο τιμών. Επιπλέον, επειδή το σύμβολο f «περιέχει» το x, δεν μπορεί να ξεκαθαρίσει σε ποιο σύνολο ανήκει το f(x). Χαρακτηριστικά αναφέρει «το πεδίο ορισμού είναι το f(x);» 84

85 Έτσι για να διευκολυνθεί η συζήτηση συμφωνήσαμε ότι όταν χρησιμοποιούμε τη φράση πεδίο ορισμού θα εννοούμε τις τιμές του x και ενώ όταν χρησιμοποιούμε τη φράση σύνολο τιμών θα εννοούμε τις τιμές του y. Πίνακας 2 Απαντήσεις Δημήτρη Ερώτηση Σχήμα 2 Σχήμα 3 Σχήμα 4 Σχήμα 5 Πεδίο ορισμού R R R R Σύνολο τιμών [0,+ ) (-,0] (-,0] [0,+ ) μο- Διαστήματα νοτονίας Μεγαλύτερη ή Μικρότερη τιμή Πολύ μεγάλες ή πολύ μικρές τιμές Από (-,0) γνησίως φθίνουσα και από (0,+ ) γνησίως αύξουσα Ελάχιστη τιμή το 0, μέγιστη δεν έχει Δεν θυμάται Από (-,0) γνησίως αύξουσα και από (0,+ ) γνησίως φθίνουσα Μεγαλύτερη τιμή το 0, μικρότερη το - Από (-,0) γνησίως αύξουσα και από (0,+ ) γνησίως φθίνουσα Μεγαλύτερη τιμή το 0, μικρότερη το - Από (-,0) γνησίως φθίνουσα και από (0,+ ) γνησίως αύξουσα Ελάχιστη τιμή το 0, μέγιστη δεν έχει Για να φτάσουμε στις παραπάνω απαντήσεις χρειάστηκε να διευκρινίσουμε τη σημασία των όρων: μικρότερη και μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης. Ο Δημήτρης ρώτησε αν με τις προηγούμενες φράσεις εννοούμε τα ακρότατα και όταν πήρε καταφατική απάντηση έγινε ο διάλογος 7. Εκεί φαίνεται ότι πέρα από το γεγονός ότι δεν έχει κατανοήσει το νόημα της έκφρασης ακρότατο(δ.7.1.), δεν έχει κατανοήσει ούτε την έννοια πεδίο ορισμού. Διότι, ενώ στον παραπάνω πίνακα 2 αναφέρει ως πεδίο ορισμού της συνάρτησης (σχήμα 2 του ερωτηματολογίου) ολόκληρο το R,όταν χρησιμοποιεί τη γραφική παράσταση για να βρει την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή θεωρεί ότι είναι η μεγαλύτερη και μικρότερη τιμή του x αντίστοιχα (Εικόνα 8). Στην ουσία ξαναβρίσκει το πεδίο ορισμού. Εικόνα 8 85

86 Δ.7.1. Τώρα τα ακρότατα πώς τα βρίσκουμε. Με βάση τον άξονα xx ; Δηλαδή ποιές τιμές είναι μέγιστες; Ε.7.1 Πώς βρίσκουμε τα ακρότατα ; Τι είναι τα ακρότατα ; Δ.7.2. Είναι τα όρια της συνάρτησης ; Ε.7.2 Τα όρια ; Δ.7.3 Μέγιστη τιμή. Μπορεί να πάρει μέγιστη και ελάχιστη., Ε.7.3.Εδώ πώς θα τη δεις από τη γραφική της παράσταση ; Δ.7.4. πού τελειώνει; Ε.7.4. Οκ εντάξει πού τελειώνει. Δ.7.5 Στον άξονα x x δεν είναι; Ορίζει ως ακρότατα σημεία (όρια της γραφικής παράστασης) το σημεία -1,8 και 1,8 Στον άξονα xx. (Εικόνα 8) Απαντήσεις στο 3 ο Θέμα. Ο Δημήτρης σχεδιάζει τη γραφική παράσταση της g(x) γνωρίζοντας ότι οι τιμές της σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της είναι μικρότερες κατά τρεις μονάδες από τις τιμές της f(x)=x 2. Χρησιμοποιεί τη γραφική παράσταση της f ως οδηγό για να σχεδιάσει τη γραφική παράσταση της g. Ακολουθεί προσέγγιση σημείο προς σημείο, παίρνοντας αρχικά τέσσερα σημεία της f βρίσκει τα σημεία της g που έχουν τη ζητούμενη ιδιότητα. Όμως σχεδιάζει τη γραφική παράσταση της g να περνάει από την αρχή των αξόνων.(εικόνα 9) Η γραφική παράσταση της g πριν τη συζήτηση Η γραφική παράσταση της g μετά τη συζήτηση Εικόνα 9 Εικόνα 10 Ρωτάμε το Δημήτρη, γιατί ενώ το f(1)=1,το g(1) είναι ίσο με 0,3; (Σύμφωνα με τις απαντήσεις του ίδιου). Από την απάντησή του φανερώνεται ότι η πρόθεση του ήταν να σχεδιάσει την g έτσι ώστε να είναι της μορφής αx 2 (Δ.8.2) Δ.8.1. Μήπως είναι άλλης μορφής της γραφικής παράστασης. Ε.8.1 Ποιας; 86

87 Δ.8.2. Η g(x) να μην είναι x 2. Να έχει άλλη μορφή. Παρατηρούμε ότι τη σχεδιάζει με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι πιο «ανοιχτή» για να ταιριάζει με την διαίσθησή του. Στο ερώτημα τι τον έκανε να σχεδιάσει με τον τρόπο αυτό την γραφική παράσταση της g o Δημήτρης επικαλείται την κορυφή της παραβολής f(x)=x 2 και το γεγονός ότι έχει σύνολο τιμών θετικό. Στη συνέχεια και αφού ξεκαθαρίστηκε ότι και η g μπορεί να πάρει αρνητικές τιμές, σχεδιάζει τη γραφική παράσταση της g όπως φαίνεται στην Εικόνα10. Αλλάζοντας ταυτόχρονα και τη μορφή της καμπύλης εκτός από τα σημεία κοντά στην κορυφή και στα σημεία πού είναι πιο απομακρυσμένα από τον άξονα των x. Το επόμενο ερώτημα είναι τι σχέση έχουν οι γραφικές παραστάσεις των f και g οπότε ο Δημήτρης απαντά Δ Ουσιαστικά είναι η ίδια μετατοπισμένη απλώς κατά 3 μονάδες στον άξονα yy. Ενώ στο ερώτημα εάν αυτές οι δύο θα τέμνονται κάπου, απάντηση είναι : Δ.8.2 Όχι νομίζω. Ε.8.2 Τι είναι αυτό πού μας εξασφαλίζει ότι δεν θα τέμνονται ; Δ.8.3 Αυτό μπορούμε να το δούμε παίρνοντας υψηλές τιμές για την ίδια τιμή του x δούμε αν έχουν το ίδιο σημείο. Στην ερώτηση αν μπορούμε να ελέγξουμε για όλες τις τιμές απαντάει θα λύσουμε σύστημα έτσι ώστε : Δ.8.4 Αν για την ίδια τιμή του x να έχουν το ίδιο y. Έχει την κεντρική ιδέα αλλά δεν φαίνεται να είναι σε θέση να σκεφτεί την έκφραση g(x)=f(x)-3 η οποία σημαίνει ότι για την ίδια τιμή του x δεν έχουν την ίδια τιμή του y. Γεγονός που θα απαντούσε στο ερώτημα που θέτει στην Δ.8.4. Μετά από προτροπή βρίσκει τον τύπο g και χωρίς δισταγμό πλέον αποφασίζει ότι για να απαντήσει στο ερώτημα Ε.8.2.θα λύσει σύστημα. E. 9.1 Την g(x) την ξέρεις; Δ. 9.1 Ναι αφού την έχουμε σχεδιάσει. Ε. 9.2 ή τον τύπο της g(x). Δ.9.2. Είναι x 2-3. Παρατηρώντας πώς λύνει το σύστημα βλέπουμε ότι πρέπει να μεταφράσει το σύμβολο f(x) και g(x) ως y (Εικόνα 11). Εικόνα 11 Από αυτή την προσέγγιση βλέπουμε ότι θέλει να χρησιμοποιήσει τον ίδιο άγνωστο για να λύσει το σύστημα. Ενώ θέλει να δει για ποιες τιμές του x το f(x) είναι ίδιο με το g(x) (Δ.8.4) δεν εξισώνει το f(x) με το g(x), ίσως γιατί τα θεωρεί ότι δεν μπορεί να είναι ίσα. Ίσως να χρειάζεται κάτι πιο στατικό, όπως είναι το σύμβολο y, από τα f και g που είναι πιο δυναμικά εφόσον εμπεριέχουν μία διαδικασία. Όπως θα 87

88 φανεί και παρακάτω το σύμβολο f και g θ&alp