ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών."

Transcript

1 ΘΕΩΡΙ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. 1. ΣΥΝΟΛ: το σκεπτικό. σύνολο = πολλά στοιχεία ως «ένα», ως «μία» ολότητα. τα στοιχεία ανήκουν στο σύνολο, ή είναι μέλη του συνόλου το σύνολο περιέχει τα στοιχεία του. τα στοιχεία της ολότητας έχουν μια κάποια κοινή ιδιότητα Ι, και το σύνολο προκύπτει επειδή από κάποιο χώρο αναφοράς U, αποσπούμε το σύνολο S όσων στοιχείων του U έχουν την ιδιότητα Ι. 2. ΣΥΝΟΛ: γραφή και ανάγνωση. ως «νόημα»: γράφουμε ως { x: Ι(x) } ως το σύνολο των x που έχουν την ιδιότητα Ι( ). ως «αναφορά»: γράφουμε ως { σ1, σ2, σ3,..., σν } το σύνολο με τα ίδια τα στοιχεία σκ, 1 κ Ν. γράφουμε σ, όταν και μόνον το στοιχείο σ είναι ένα εκ των στοιχείων μελών του. γράφουμε σ, για το «σ δεν ανήκει στο». ΠΡΟΣΟΧΗ: είναι δυνατόν να έχουμε σύνολα «μέσα» σε σύνολα: { α, { α, β, { γ, α } }, { β }, γ }. η σειρά δεν παίζει ρόλο: { α, β, γ, δ } = { β, α, δ, γ }. η επανάληψη δεν παίζει ρόλο: { α, β, β, γ } = { α, β, γ } = { α, α, γ, β, β }. ίσως να μην έχουμε κανένα στοιχείο: { } (το «κενό» σύνολο, με σύμβολο: ). το στοιχείο x και το «μονοσύνολο» { x } δεν είναι το ίδιο πράγμα: x { x }. (Στη «καθαρή» θεωρία συνόλων αυτό δεν ισχύει ποτέ, διότι αν σ = { σ } τότε σ σ, και το σύνολο είναι «ανώμαλο», κάτι που η standard θεωρία συνόλων το εξαιρεί αξιωματικά. Σε μια τέτοια περίπτωση το σ θα είχε την μορφή σ = { σ } = { { σ } } = { { { σ } } } χωρίς οι αγκύλες να μπορούσαν να εξαντληθούν...) 3. ΣΥΝΟΛ: σχεδίαση (διαγράμματα τύπου Euler Venn) για κάθε στοιχείο σ και σύνολο, το σ είναι είτε «εντός» του, είτε «εκτός» του. Γι αυτό μπορούμε να σχεδιάσουμε ένα σύνολο ως μια κλειστή γραμμή, και τα στοιχεία του να είναι τα στοιχεία «εντός» αυτής της γραμμής και μόνον. συνήθως σχεδιάζουμε τον χώρο αναφοράς U ως ένα ορθογωνικό πλαίσιο που περιβάλλει τα σύνολα που έχουμε εξάγει από αυτόν. σε πεπερασμένους χώρους αναφοράς αναπαριστούμε τα στοιχεία ως «σημεία», (αν και συχνά για λόγους οικονομίας παραλείπουμε αυτή τη σχεδίαση). χώρος αναφοράς U στοιχείο S A B σύνολο 4. ΣΥΝΟΛ: θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ συνόλων. «ανήκειν»: σ S. στη θεωρία συνόλων όλα τα στοιχεία είναι επίσης σύνολα, άρα η σχέση του «ανήκειν» είναι μια σχέση μεταξύ δύο συνόλων. ΠΡΟΣΟΧΗ: ( σ S ) ( { σ } S ). «ισότητα»: =. έχουν τα «ίδια» στοιχεία με το εξής πολύ συγκεκριμμένο τρόπο: «υποσύνολο»:. όλα τα στοιχεία του είναι και στοιχεία του : (A = B) x ((x A) (x B)) (A = B) x ((x A) (x B)) (=) ( ) ( ), δηλαδή η σχέση «υποσύνολο» είναι «αντι συμμετρική», δεν ισχύει και προς τις δύο κατευθύνσεις παρά μόνον εάν τα δύο σύνολα είναι ίσα. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» Γ. Φ. Γεωργακόπουλος ΕΚΔ. 29/10/2014 ΣΕΛ. 1 / 12

2 ( ) ( Γ) ( Γ), δηλαδή η σχέση «υποσύνολο» είναι «μεταβατική». «ξένα»: δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο. γενική θέση υποσύνολο, ξένα μεταξύ τους 5. ΣΥΝΟΛ: το κενό σύνολο προσοχή στις ιδιότητές του. υπάρχει: το κενό σύνολο αντιστοιχεί στην «αδύνατη» ιδιότητα, και επί οποιουδήποτε χώρου αναφοράς υπάρχει μία τουλάχιστον «αδύνατη» ιδιότητα, δηλαδή μια ιδιότητα που κανένα στοιχείο δεν μπορεί να την έχει. υτή είναι λ.χ. η ιδιότητα: Ι(σ) (σ σ). είναι υποσύνολο κάθε συνόλου: S ( S), δηλαδή το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου. (Και πράγματι: είναι δυνατόν να υπάρξει έστω ένα στοιχείο που να ανήκει στο, αλλά να μήν ανήκει στο S;). ΠΡΟΣΟΧΗ: το κενό σύνολο είναι υποσύνολο του S, όχι στοιχείο του S. είναι ένα και μοναδικό: έστω ότι KΕΝΟ(x) είναι αληθες εάν και μόνον εάν το x δεν περιέχει κανένα στοιχείο: KΕΝΟ(x) σ ( σ x ). Τότε: x y ( (KΕΝΟ(x) KΕΝΟ(y) ) (x = y)) γι αυτό και δικαιολογούμαστε να χρησιμοποιήσουμε ένα σύμβολο για αυτό, (το: ). ένα μόνον κενό σύνολο (?): αν από «πρόσωπα» ξεωρίσουμε ένα κενό σύνολο, και από «αριθμούς» ξεχωρίσουμε ένα κενό σύνολο, τότε πώς ένα σύνολο προσώπων ισούται με ένα σύνολο αριθμών; Το παράδοξο είναι φαινομενικό διότι στην ισότητα των συνόλων δεν εξετάζουμε την ερμηνεία που τους δίνουμε, αλλά μόνον το ποιά στοιχεία περιέχουν. Και δύο κενά σύνολα περιέχουν τα «ίδια» στοιχεία: κανένα. 6. ΣΥΝΟΛ: πράξεις επί ενός ή δύο συνόλων (μονομελείς / διμελείς). πράξεις κατασκευής: στα σύνολα όπως και σε όλων των ειδών τα «αντικείμενα» από ήδη υπάρχοντα μπορούμε με «πράξεις» να κατασκευάσουμε νέα. Μας ενδιαφέρουν δύο είδη πράξεων: μονομελείς και διμελείς, δηλαδή με μία ή δύο παραμέτρους. (Πράξεις με μηδέν παραμέτρους δίνουν πάντα το ίδιο αποτέλεσμα, αντιστοιχούν λοιπόν σε σταθερές. Στα σύνολα η βασική σταθερά είναι το (το κενό). ) μονομελείς: η κύρια μονομελής πράξη είναι η «κατασκευή» από ένα σύνολο S του συνόλου που περιέχει όλα τα υποσύνολα του S που συμβολίζεται με [S], και ονομάζεται δυναμοσύνολο του S: [S] = { s: s S } Π.χ. [ {α,β,γ} ] = {, {α}, {β}, {γ}, {α,β}, {β,γ}, {γ,α}, {α,β,γ} } διμελείς: τέσσερεις διμελείς πράξεις είναι οι πιο συχνές στη χρήση: ένωση: από τα σύνολα και «κατασκευάζουμε» το = { σ: (σ ) (σ ) }. τομή: από τα σύνολα και «κατασκευάζουμε» το = { σ: (σ ) (σ ) }. διαφορά: από τα σύνολα και «κατασκευάζουμε» το = { σ: (σ ) (σ ) }. (καρτεσιανό) γινόμενο: = { σ: (δίδεται στην ενότητα #7.) }. Η εικόνα «λέει» περισσότερα: Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» Γ. Φ. Γεωργακόπουλος ΕΚΔ. 29/10/2014 ΣΕΛ. 2 / 12

3 προτασιακός λογισμός και πράξεις συνόλων: αν τα σύνολα και προσδιορίζονται από τις ιδιότητας Ι και Ι, τότε οι παραπάνω πράξεις αναπαριστούν λογικές πράξεις επί των ιδιοτήτων: ένωση: αναπαριστά την λογική διάζευξη Ι Ι τομή: αναπαριστά την λογική σύζευξη Ι Ι διαφορά: περιέχει την άρνηση της Ι Ι Ι 7. ΣΥΝΟΛ: διατεταγμένα ζεύγη και το (καρτεσιανό) γινόμενο συνόλων. Μας ενδιαφέρει να παραστήσουμε την διάταξη δύο στοιχείων μέσω της θεωρίας συνόλων να μπορούμε να πούμε δηλαδή ότι από δύο στοιχεία α και β το α είναι το «1 ο» και το β είναι το «2 ο». υτό είναι ηλίου φαεινότερον στη γραφή, π.χ. μπορούμε να γράψουμε α, β (οπότε το α γράφεται ως πρώτο), αλλά θέλουμε αυτό να αποτυπώνεται στο νόημα. Και κάτι τέτοιο δεν επιτυγχάνεται λ.χ. ερμηνεύοντας το α, β ως το απλό ζεύγος { α, β }, διότι όπως έχουμε ήδη διευκρινίσει η σειρά δεν παίζει ρόλο στα σύνολα: { α, β } = { β, α}. Το «τέχνασμα» (του Kuratowksi δείτε wikipedia για το ποιός ήταν) που αποδίδει (ανάμεσα και σε άλλα) είναι να ορίσουμε ως διατεταγμένο ζεύγος α, β το εξής: α, β { { α }, { α, β } } Η παρακάτω σειρά συλλογισμών, (ιδιαίτερα μακρά για 3 4 στοιχεία!), αποδεικνύει ότι: α, β = κ, λ ( α = κ ) και ( β = λ) «Ευθύ»: α, β = κ, λ ( α = κ ) και ( β = λ) δεν μπορεί ένα μονοσύνολο { σ } να ισούται με ένα δισύνολο { κ, λ } (κ λ): διότι θα έπρεπε κ { σ }, άρα κ = σ, και λ { σ } άρα λ = σ, δηλαδή κ = σ = λ, ενώ έχουμε υποθέσει ότι κ λ. (Προσέξτε ότι δεν χρησιμοποιούμε «αριθμούς», αλλά μόνον λόγια περί «συνόλων»!) αν α, β = κ, λ τότε είτε (α = β) και (κ = λ), είτε (α β) και (κ λ), δηλαδή τα {α, β} και {κ, λ} θα ήσαν είτε και τα δύο μονοσύνολα, είτε και τα δύο δισύνολα: διότι αν ίσχυε (α = β) αλλά (κ λ) θα είχαμε την εξής αντίφαση: το μέν 1 ο ζεύγος θα ήταν μονοσύνολο, αφού: α, β = { {α}, {α, β} } = { {α}, {α, α} } = { {α}, {α} } = { {α} } το δε 2 ο ζεύγος θα ήταν δισύνολο, αφού κ, λ = { { κ }, { κ, λ } } και το { κ } είναι διάφορο του { κ, λ }, (το πρώτο είναι μονοσύνολο και το δεύτερο είναι δισύνολο διότι (κ λ) ). αν α, β = κ, λ και είναι και τα δύο μονοσύνολα τότε (α = κ) και (β = λ). διότι α, β = {{α}} = {{κ}} = κ, λ και άρα α = κ και παρομοίως, β = λ. αν α, β = κ, λ και είναι και τα δύο δισύνολα τότε (α = κ) και (β = λ). διότι α, β = { { α }, { α, β } } και κ, λ = { { κ }, { κ, λ } }, και το στοιχείο { α } ανήκει στο { { κ }, { κ, λ } }, άρα ισούται με το 1 ο ή το 2 ο στοιχείο. Δεν μπορεί όμως ένα μονοσύνολο να ισούται με το δισύνολο { κ, λ }, άρα ισούται με το { κ }, και άρα α = κ. Ομοίως το δισύνολο { α, β } δεν μπορεί να ισούται με το μονοσύνολο { κ }, άρα { α, β } = { κ, λ } = { α, λ }, και αφού β α, πρέπει να ισχύει β = λ. «ντίστροφο»: ( α = κ ) και ( β = λ) α, β = κ, λ (προφανές) Έχοντας στην διάθεσή μας το εργαλείο των «διατεταγμένων» ζευγών, μπορούμε να ορίσουμε μία από τις πιο σημαντικές κατασκευές στη θεωρία συνόλων το καρτεσιανό γινόμενο: = { σ: σ = α, β, α και β } δηλαδή το σύνολο όλων και μόνον των διατεταγμένων ζευγών, το 1 ο μέλος των οποίων είναι από το σύνολο και το 2 ο από το σύνολο. Το «νόημα» του καρτεσιανού γινομένου: Μετά τα σύνολα που αναπαριστούν ιδιότητες στοιχείων, θέλουμε ένα τρόπο για να παραστήσουσε τις σχέσεις που έχουν τα διάφορα στοιχεία μεταξύ τους. Η σχέση του στοιχείου α με το στοιχείο β με όποιο τρόπο και εάν ορίζεται ή δημιουργείται ή ερμηνεύεται καταλήγει να «γράφεται» με έναν απλό τρόπο: ως το διατεταγμένο ζεύγος α, β. Π.χ. η σχέση «x γονέας του y» περιέχει ζεύγη της μορφής Παρασκευάς, Κυριακή, όπου το 1 ο μέλος δηλώνει τον γονέα (εδώ έναν πατέρα), και το 2 ο μέλος δηλώνει το τέκνο (εδώ μια κόρη). ν πρόκειται να συσχετίσουμε στοιχεία από δύο σύνολα και, το γινόμενο απλά περιέχει όλες ακριβώς τις δυνατές συσχετίσεις που θα μπορούσαν να συμβούν. 8. ΣΥΝΟΛ: οι ιδιότητες των πράξεων και ο τρόπος ανάλυσης. Οι διμελείς πράξεις έχουν μια σειρά από ιδιότητες που μας ενδιαφέρουν. ΜΕΤΘΕΤΙΚΗ. Λ.χ. για κάθε X, Y: Χ Υ = Υ Χ η σειρά των Χ, Υ μπορεί να αλλάξει. ΠΡΟΣΕΤΙΡΙΣΤΙΚΗ. Λ.χ. για κάθε X, Y, Ζ : Χ (Υ Ζ) = (Χ Υ) Ζ η σειρά των παρενθέσεων αλλάζει. ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ. Λ.χ. για κάθε X, Y, Ζ: Χ (Υ Ζ) = (Χ Υ) (Χ Ζ) η πράξη «επιμερίζεται» επί της άλλης. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» Γ. Φ. Γεωργακόπουλος ΕΚΔ. 29/10/2014 ΣΕΛ. 3 / 12

4 Δίνουμε δύο πίνακες για το ποιές ιδιότητες ισχύουν στα σύνολα. Ότι γράφεται ισχύει, εκτός εάν αναγράφεται το αντίθετο. Διαβάστε τα περιεχόμενα ένα προς ένα, και σχεδιάστε το. ιδιότητα: ΜΕΤΘΕΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΤΙΡΙΣΤΙΚΗ = ( Γ) = ( ) Γ = ( Γ) = ( ) Γ = μόνον αν = ( Γ) =? ( ( Γ) όχι πάντοτε = μόνον αν = ( Γ) ( ) Γ ΕΠΙΜΕΡΙΖΕΤΙ επί: ( Γ) = ( ) ( Γ) ( Γ) =? ( ) ( Γ) όχι (!) χωρίς νόημα ( Γ) = ( ) ( Γ) ( Γ) = ( ) ( Γ) ναί (!) χωρίς νόημα ( Γ) = ( ) ( Γ) De Morgan (!) ( Γ) = ( ) ( Γ) De Morgan (!) χωρίς νόημα ( Γ) = ( ) ( Γ) ( Γ) = ( ) ( Γ) ( Γ) = ( ) ( Γ) ΠΡΟΣΟΧΗ: Η σχέση ( Γ) ( ) Γ δεν ισχύει επακριβώς διότι τα στοιχεία του 1 ου μέλους είναι της μορφής α, β, γ ενώ του 2 ου είναι α, β, γ. ντί για ισότητα έχουμε ένα είδος ισοδυναμίας, διότι και τα δύο σύνολα περιέχουν (τις ίδιες) διατεταγμένες τριάδες στοιχείων α, β, γ Όταν έχουμε επιμερισμό της διαφοράς η ένωση γίνεται τομή και η τομή γίνεται ένωση, (σχέσεις De Morgan). κόμα και εάν από κάποιο σχήμα για τις παραπάνω σχέσεις φαίνεται ότι η ισότητα ισχύει, η αποδεικτική ανάλυση ότι αυτό είναι πράγματι αλήθεια, γίνεται με τον πρωταρχικό κανόνα της «ισότητας»: δείχνουμε πως όποιο στοιχείο ανήκει στο 1 ο μέλος ανήκει και στο 2 ο, και όποιο ανήκει στο 2 ο ανήκει και στο 1 ο. Π.χ.: ισχύει πάντοτε η σχέση: ( Γ)=( ) ( Γ). Η απόδειξη έχει τα εξής δύο σκέλη: σ ( Γ) σ ( ) ( Γ) σ ( Γ) σ σ Γ ( ) σ σ σ ( ) ( Γ) σ Γ σ ( Γ) σ ( ) ( Γ) σ ( Γ) σ σ ( ) ( Γ) σ σ Γ ( ) σ σ Γ σ σ ( Γ) ( αδύνατον αφού σ ) σ ( Γ) καί ή Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» Γ. Φ. Γεωργακόπουλος ΕΚΔ. 29/10/2014 ΣΕΛ. 4 / 12

5 Εάν από κάποιο σχήμα για τις παραπάνω σχέσεις φαίνεται ότι η ισότητα δεν ισχύει, μπορούμε και πρέπει να πάρουμε αντιπαράδειγμα, τοποθετώντας στις σχετικές περιοχές του σχήματος «κατοίκους». Θα μπορούσαμε να «κατοικήσουμε» όλες τις εμφανιζόμενες περιοχές σύνολα, και με πολλά στοιχεία, αλλά οικονομικότερες λύσεις συχνά αρκούν. Π.χ. για την σχέση: ( Γ) =? ( ) ( Γ), σ * σ * Γ ( Γ ) ( ) ( Γ) αρκεί ένας «κάτοικος» σ στο ( ) Γ για να υλοποιήσει την ανισότητα, και να παραγάγει το αντιπαράδειγμα: = { σ }, = { σ }, Γ = { }, όπου ( Γ) = και ( ) ( Γ) = { σ }. Γ 9. ΣΥΝΟΛ: οι συνολοπράξεις και η σχέση ορισμάτων και αποτελεσμάτων. Εξετάζουμε πώς οι πράξεις μεταβάλλουν τα σύνολα, δηλαδή τι σχέσεις υπάρχουν μεταξύ των ορισμάτων και των αποτελεσμάτων:, η ένωση «αυξάνει» τα σύνολα., η τομή «μειώνει» τα σύνολα. S [S] το δυναμοσύνολο περιέχει το αφετηριακό σύνολο. = η ένωση με το ίδιο το σύνολο δεν το μεταβάλλει. = η ένωση με το κενό δεν μεταβάλλει το αφετηριακό σύνολο. = η τομή με το ίδιο το σύνολο δεν το μεταβάλλει. = η τομή με το κενό παράγει πάντοτε το κενό σύνολο. = αφαιρώντας από σύνολο τον εαυτό του παράγεται το κενό. = αφαιρώντας από το σύνολο το κενό, το σύνολο μένει αμετάβλητο, = = το γινόμενο με κενό δίδει κενό σύνολο, Έχει επίσης ενδιαφέρον ποιές σχέσεις διατηρούνται (ή πώς μεταβάλλονται) από τις πράξεις π.χ. : αν τότε S B S η ένωση διατηρεί τη σχέση υποσυνόλου. αν τότε S B S η τομή διατηρεί τη σχέση υποσυνόλου. αν τότε S B S το γινόμενο διατηρεί τη σχέση υποσυνόλου. αν τότε S B S η αφαίρεση του ιδίου συνόλου διατηρεί τη σχέση υποσυνόλου. αν τότε S S! η αφαίρεση από το ίδιο σύνολο αντιστρέφει τη σχέση υποσυνόλου. 10. ΣΥΝΟΛ: η γλώσσα των συνόλων και ο ρόλος της. Έχουμε λοιπόν συνθέσει μια γλώσσα για να «μιλάμε» (για την ακρίβεια: να γράφουμε) προτάσεις περί συνόλων. Τα γλωσσικά στοιχεία (πέραν των όποιων μεταβλητών: α, β, σ, S, A, B, x, y, z, κττ) είναι τα εξής: από λογική:, λογικοί ποσοδείκτες.,,, λογικοί σύνδεσμοι. = σχέση της ισότητας. από σύνολα: η σταθερά «κενό σύνολο»., σχέση ανήκειν και υποσυνόλου. [ ] δυναμοσύνολο.,,, διμελείς πράξεις. Με αυτή την γλώσσα μπορούμε να γράψουμε τυπικές προτάσεις που να εκφράζουν ορισμούς και ιδιότητες επί των συνόλων. Ουσιαστικά όλα τα μαθηματικά που κάνουμε μπορούν να γραφούν σε αυτή τη γλώσσα. Π.χ. μπορείτε να διαβάσετε τις παρακάτω προτάσεις και να καταλάβετε το «νόημά» τους, (επί των συνόλων); Μας λένε συζευκτικά ότι το σύνολο F είναι μια «συνάρτηση» από το στο : F A B Το F αποτελείται από διατεταγμένα ζεύγη του A B. α (α ) β( (β ) ( α,β F) ) Κάθε στοιχείο του απεικονίζεται σε ένα τουλάχιστον, α β β ( ( ( α,β F) ( α,β F) ) (β=β ) ) και ένα το πολύ στοιχείο του (δηλαδή σε ένα ακριβώς). Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» Γ. Φ. Γεωργακόπουλος ΕΚΔ. 29/10/2014 ΣΕΛ. 5 / 12

6 Το ερώτημα που πρέπει να απαντηθεί είναι το εξής απλό: «και γιατί να το κάνουμε έτσι; τα καθημερινά ελληνικά δεν αρκούν;». Η απάντηση είναι ότι στα μαθηματικά (και όχι μόνον) τα όσα λέμε έχουν δύο όψεις: η μία είναι συντακτική, και αφορά στο τί γράφουμε (ή σκεπτόμαστε, αλλά θα μπορούσαμε να γράψουμε, είναι δηλαδή «γραπτόν»), και, η άλλη είναι η σημασιολογική, και αφορά στο πώς ερμηνεύουμε ή φανταζόμαστε αυτό που γράφουμε. Π.χ. μπορεί να γράφουμε x = y, αλλά πώς ερμηνεύουμε την ισότητα (ως ομοιότητα, λ.χ. ή ως απόλυτη ταυτότητα); Ή, όταν γράφουμε (α ) πώς ερμηνεύουμε το σύμβολο ; Και η ερμηνεία μας είναι η ίδια κάθε φορά ή σε ένα χρόνο από τώρα θα έχει μεταβληθεί; Και πώς την εξηγούμε σε κάποιον άλλον από εμάς; υτός ο άλλος το ερμηνεύει επίσης κατά τον ίδιο τρόπο με εμάς; Όλες αυτές οι «πολυσημίες» είναι εμπόδια και στη σαφήνεια, και στην επικοινωνία, και στην ορθότητα των συλλογισμών ιδίως όταν συνοδεύουν οριακά ή και παράδοξα φαινόμενα. Η διέξοδος και λύση είναι... να χρησιμοποιήσουμε μια αυστηρή («τυπική») γλώσσα, να γράψουμε σε αυτήν τις πρωταρχικές υποθέσεις μας (τα «αξιώματα»), και να θέσουμε κανόνες συλλογιστικής («τυπική λογική»), δηλαδή εξαγωγής συμπερασμάτων από αυτά. Π.χ. μπορούμε να θέσουμε τον κανόνα α β σ( ((α=σ) (β=σ)) (α=β) ) που λέει ότι «τα προς τρίτον ίσα είναι και μεταξύ τους ίσα». Με αυτό τον κανόνα από δύο ισότητες λ.χ. χ = 5, ψ = 5, μπορούμε να συμπεράνουμε μηχανικά ή «συντακτικά» ότι χ = ψ, [με την αντικατάσταση: α χ, β ψ, σ 5] χωρίς να ασχοληθούμε με το ποιά είναι η ερμηνεία που είτε εμείς είτε οποιοσδήποτε άλλος δίνει στο χ ή στο ψ, ακόμα και στο ίδιο το 5. Έτσι η ανάγκη σαφήνειας και επικοινωνίας περιορίζεται στη συμφωνία πάνω σε απλά θεμελιακά στοιχεία κάτι που είναι πολύ πιο εύκολο και ασφαλές στη συνέχεια προχωράμε σε «αποδείξεις» δηλαδή σε εφαρμογή κοινώς παραδεκτών λογικών κανόνων. Δεδομένων δύο προτάσεων Φ και Ψ, αν οποτεδήποτε και οπουδήποτε αληθεύει η Φ, τυχαίνει να αληθεύει και Ψ, θα λέμε ότι η Ψ είναι σημασιολογική συνέπεια της Φ (Φ Ψ). Και αν από την Φ μπορούμε με μηχανικούς γραπτούς κανόνες (συν τους πάγιους λογικούς κανόνες) να παραγάγουμε την Ψ τότε λέμε ότι η Ψ παράγεται συντακτικά (ή αποδεικνύεται) από την Φ, ή (Φ Ψ). Στην καθημερινή πρακτική ανακαλούμε συνεχώς την «σημασία» των όσων λέμε, και σπάνια γράφουμε επακριβώς κάθε λεπτομέρεια, εργαζόμαστε δηλαδή κυρίως «σημασιολογικά». Εδώ έρχεται να φωτίσει την κατάσταση ένα βαρυσήμαντο θεώρημα του Gödel (βλ. wikipedia), από τις αρχές του 20 ου αιώνα, το οποίο λέει το εξής: «εάν η Ψ είναι σημασιολογική συνέπεια της Φ, τότε η Ψ παράγεται συντακτικά από την Φ, (και αντιστρόφως)» ή συμβολικά: «(Φ Ψ) ισοδυναμεί με (Φ Ψ)» υτό το θεώρημα μας λέει ότι εάν κάνουμε σωστά την σημασιολογική πλευρά, τότε τίποτε δεν αφαιρείται και τίποτε δεν προστίθεται στα όσα θα μπορούσαμε να αποδείξουμε με συντακτικό, δηλαδή με αδιάσειστο μηχανικό και γραπτό τρόπο. Εάν ο τρόπος που εκφραζόμαστε και γράφουμε είναι αρκετά αυστηρός ώστε τα όσα λέμε έστω και να μπορούσαν να γραφούν με την παραπάνω γλώσσα των συνόλων, τότε είναι πιο εύκολο να εξασφαλίσουμε την ορθή σημασιολογική συνέπεια (Φ Ψ), και εξ αυτής να εξασφαλίζουμε την ύπαρξη και μιας συντακτικής (= γραπτής) απόδειξης από τα αξιώματά μας, να εξασφαλίσουμε δηλαδή την λογική παραγωγή (Φ Ψ). Και αυτό είναι που θέλουμε και επιδιώκουμε διότι τέτοιες αποδείξεις αποτελούν το τελεσίδικο κριτήριο ορθότητας (εξ όσων διαθέτουμε), αλλά και το μοναδικό καταφύγιο σε περίπτωση περίπλοκων ή παράδοξων φαινομένων. 11. ΣΥΝΟΛ: τί σύνολα υπάρχουν; Τί υπάρχει αφετηριακά: Δύο σύνολα είναι οι αφετηρίες μας: το κενό σύνολο, που το έχουμε ήδη σχολιάσει, ΚΕΝΟ(x) σ (σ x), s ΚΕΝΟ(s) και το σπουδαιότερο (μετά από αυτό) σύνολο των μαθηματικών, οι φυσικοί αριθμοί: οι φυσικοί αριθμοί: αρχίζοντας από το κενό σύνολο (με «μηδέν» στοιχεία), 0 =, μπορούμε να φτιάξουμε το σύνολο 1 = { }, με «ένα» στοιχείο. πό αυτά μπορούμε να φτιάξουμε ένα σύνολο με «δύο» στοιχεία, το 2 = {, { } } = { 0, 1 }, και να συνεχίσουμε έτσι «επ άπειρον», θεωρώντας ότι ο «φυσικός αριθμός» n + δεν είναι παρά το σύνολο των «προηγουμένων» του: n + = { 0, 1, 2,, n }. (O Frege είχε χρησιμοποιήσει αυτή την ιδέα, θεμελιώνοντας την λογική και την αριθμητική(δείτε wikipedia για το ποιός ήταν).) Υπάρχει όμως το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών; υτό το υποθέτουμε αξιωματικά (χωρίς ένα τέτοιο σύνολο δεν θα μπορούσαμε να κάνουμε πολλά διότι δεν θα είχαμε στη διάθεσή μας παρά μόνον πεπερασμένα σύνολα): S ( ( S) n ( (n S) ((n + ) S) ) ) Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» Γ. Φ. Γεωργακόπουλος ΕΚΔ. 29/10/2014 ΣΕΛ. 6 / 12

7 Το μικρότερο σύνολο με την παραπάνω ιδιότητα (... ), το συμβολίζουμε με το γνωστό σύμβολο, και είναι οι φυσικοί αριθμοί, χάρις στους οποίους «μετράμε» (και κάνουμε «επαγωγικές» αποδείξεις). Τί σύνολα κατασκευάζονται (αξιωματικά) από ήδη υπάρχοντα σύνολα: από δύο σύνολα A, B, το σύνολο ζεύγος με αυτά ως στοιχεία: A, { A, } από ένα σύνολο S η ένωση των στοιχείων του: S σ S σ από ένα σύνολο S το δυναμοσύνολο: S [S] από ένα σύνολο S και μια ιδιότητα I το εξειδικευμένο σύνολο: S, I( ) { σ: (σ S) και Ι(σ) } πό τις παραπάνω κατασκευές (των οποίων το αποτέλεσμα ζητείται αξιωματικά να υπάρχει πάντοτε), είναι δυνατόν να εξασφαλίσουμε τις 4 συνήθεις διμελείς πράξεις: ένωση, τομή, διαφορά, γινόμενο. 1 Προσέξτε ότι ότι δεν ζητάμε να κατασκευάζουμε ένα σύνολο από μια οποιαδήποτε ιδιότητα Ι( ), παρά μόνον να αποσπούμε από ήδη υπάρχον σύνολο όσα στοιχεία έχουν την «συνολοποιό» ιδιότητα Ι( ). Ο λόγος εξηγείται παρακάτω και η ανακάλυψή του (από τον Russel ως σχόλιο στο έργο του Frege), ήταν μείζον μαθηματικό γεγονός στη στροφή του 19 ου προς τον 20 ο αιώνα. Το παράδοξο του Russel (δείτε wikipedia για το ποιός ήταν): δεν μπορούμε από οποιαδήποτε «ιδιότητα» (ή «έννοια») να σχηματίσουμε το σύνολο ακριβώς (δηλαδή: όλων και μόνον) των στοιχείων που έχουν αυτή την ιδιότητα. Π.χ. έστω η ιδιότητα ή έννοια ΟΜΛΟ(x), που ισχύει εάν και μόνον εάν το σύνολο x δεν περιέχει τον εαυτό του, (κάτι που ούτως ή άλλως θα ήταν πολύ παράξενο): ΟΜΛΟ (x) ( x x ) ν από αυτή την ιδιότητα μπορούσαμε να φτιάξουμε το «σύνολο S όλων και μόνον των ομαλών συνόλων», δηλαδή το: S { x: ΟΜΛΟ(x) } τότε θα καταλήγαμε στην εξής λογική αντίφαση: Ισχύει ΟΜΛΟ (S), είναι δηλαδή το S ομαλό; Μα τότε αφού το S έχει ως στοιχεία όλα τα ομαλά σύνολα θα έπρεπε να περιέχει και το ομαλό S, δηλαδή τον εαυτό του, δηλαδή S S, και το S θα ήταν ανώμαλο... Ισχύει ΟΧΙ ΟΜΛΟ (S), είναι δηλαδή το S ανώμαλο; Μα τότε αφού S S, και αφού το S έχει ως στοιχεία μόνον ομαλά σύνολα θα έπρεπε να ισχύει ΟΜΛΟ (S)... Δηλαδή ΟΜΛΟ (S) ΟΧΙ ΟΜΛΟ (S), αλλά και ΟΧΙ ΟΜΛΟ (S) ΟΜΛΟ (S), πράγμα αδύνατον, άρα το S δεν μπορεί να θεωρηθεί σύνολο... Γι αυτό το λόγο χρησιμοποιούμε μια ιδιότητα Ι( ) για να κατασκευάσουμε ένα σύνολο S όχι μόνη της, αλλά «εξειδικεύοντας» με βάση αυτήν τα στοιχεία ενός ήδη υπάρχοντος συνόλου U. 2 Έτσι με αφετηρία το κενό σύνολο, και (στη συνέχεια) το σύνολο των φυσικών αριθμών, και με πράξεις κατασκευής το ζευγάρωμα, την ένωση και το δυναμοσύνολο κατασκευάζουμε μια ιεραρχία συνόλων, τα οποία είναι δυνατόν να «εξειδικεύουμε» προς μικρότερα, μέσω μια οποιασδήποτε λογικής ιδιότητας Ι( ). Και με αυτά τα σύνολα μπορούμε να κάνουμε όλα τα «μαθηματικά» που χρειαζόμαστε. (Εμείς στην πληροφορική: καταμέτρηση, συνδυαστική, θεωρία υπολογισμού και πολυπλοκότητας, κττ). 12. ΣΥΝΟΛ: δύο κατηγορίες συνόλων, πεπερασμένα και άπειρα το τέχνασμα της διαγωνιοποίησης. Δύο είναι οι σπουδαίες κατηγορίες συνόλων, και στηρίζονται σε μια διάκριση που είναι βαθειά μέσα στον πυρήνα των μαθηματικών: τα πεπερασμένα και τα άπειρα σύνολα. Πώς τα διακρίνουμε; Δεν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε αριθμούς, διότι θέλουμε να οδηγηθούμε (όπως και συμβαίνει) από τα σύνολα στους αριθμούς και όχι ανάποδα. Η διάκριση γίνεται με βάση την παρατήρηση: δύο σύνολα μπορούν να θεωρηθούν ότι έχουν ισάριθμα στοιχεία, (ή, αλλιώς, ότι είναι ισοπληθή) χωρίς να μετρήσουμε τα στοιχεία τους (!). ρκεί να φέρουμε τα στοιχεία τους σε ένα προς ένα αντιστοίχιση: Δεδομένων δύο συνόλων, και, θα αποκαλούμε αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχιση ένα υποσύνολο Μ του γινομένου, τέτοιο ώστε κάθε στοιχείο του ή του να ανήκει σε ένα και μόνον ένα ζεύγος του Μ, δηλαδή: 1 Τα αξιώματα που δίνουμε (συν 1 2 επιπλέον), οφείλονται στους Zermelo Fraenkel, και αποτελούν την standard συνολοθεωρία. 2 Έχει ενδιαφέρον ότι αυτή την προσεκτική στάση είχαν κρατήσει οι αρχαίοι αν και όχι στα πλαίσια μιας θεωρίας συνόλων, αλλά σε φιλοσοφικό πλαίσιο: ο ριστοτέλης έλεγε ότι από ένα «γένος» (το σύνολο U), συν ένα «ειδοποιό» χαρακτηριστικό (την ιδιότητα Ι( )), ορίζεται ένα «είδος» (το σύνολο S). Λ.χ. από τα «ορθογώνια» συν το «ίσες πλευρές» λαμβάνουμε τα «τετράγωνα». πό αυτή την ιδέα έχουμε κρατήσει τις λέξεις «ειδοποιός» και «εξ ειδ ίκευση» (specification). Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» Γ. Φ. Γεωργακόπουλος ΕΚΔ. 29/10/2014 ΣΕΛ. 7 / 12

8 α (α ) β( (β ) ( α, β Μ) ) κάθε στοιχείο του αντιστοιχίζεται με ένα του β (β ) α( (α ) ( α, β Μ) ) κάθε στοιχείο του αντιστοιχίζεται με ένα του α β α β ( ( ( α,β Μ) ( α, β Μ) (α α ) ) (β β ) ), α β α β ( ( ( α,β Μ) ( α, β Μ)) (β β ) ) (α α ) ) δύο ζεύγη αντιστοίχισης δεν έχουν κοινό στοιχείο α α, β Μ β α' β' ν υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχιση του στο θα γράφουμε ότι: ή =, και θα λέμε ότι το είναι ισοπληθές με το. ν το είναι ισοπληθές με ένα υποσύνολο του, αλλά όχι με το ίδιο το, τότε θα γράφουμε <. (Και βοηθητικά, > εάν και μόνον εάν < ). Η εξής παρατήρηση διακρίνει τα πεπερασμένα από τα άπειρα σύνολα: Η αρχή του περιστερώνα (του Dirichlet, δείτε wikipedia): υπάρχουν σύνολα από τα οποία εάν αφαιρέσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο τους σ, το αποτέλεσμα είναι πληθικά μικρότερο: < {σ} για σ, δηλαδή δεν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχιση {σ}. υτά είναι όλα και μόνον τα «πεπερασμένα», και αυτό ακριβώς λέει η αρχή του περιστερώνα: «Όπως και αν θέσουμε n περιστέρια σε n < n < φωλιές, κάπου θα έχουμε μια διπλοθεσία.» (δηλαδή: δεν υπάρχει ούτε μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχιση από n σε n < n όταν n <.) Tο άπειρο ξενοδοχείο (του Hilbert, δείτε wikipedia): Υπάρχουν όμως σύνολα από τα οποία ακόμα και εάν αφαιρέσουμε ένα οποιαδήποτε στοιχείο, το αποτέλεσμα παραμένει ισοπληθές με το αρχικό (!), δηλαδή: = {σ}, για σ. υτά είναι όλα και μόνον τα «άπειρα». Π.χ. φανταστείτε ένα ιδεατό ξενοδοχείο με δωμάτια αριθμημένα με τους φυσικούς αριθμούς ως 0, 1, 2, 3, κοκ, το οποίο είναι πλήρες, με έναν ένοικο σε κάθε δωμάτιο. Στο δωμάτιο υπ. αρ. δ συμβαίνει μια βλάβη και ο ένοικός του πρέπει να εξυπηρετηθεί, (χωρίς να δώσουμε σε δύο ενοίκους το ίδιο δωμάτιο). Μπορεί να γίνει αυτό; Ναί... Ζητάμε από τους ενοίκους των δωματίων κ = (δ+1), (δ+2), και εφεξής, να μετακινηθούν από το δωμάτιό τους κ, στο επόμενο (κ+1), και δίνουμε στον ένοικο του δωματίου δ το υπ. αρ. (δ+1) δωμάτιο. Με αυτόν τον τρόπο χωρέσαμε ενοίκους σε {δ} δωμάτια, από έναν στο καθένα! Το λήμμα του δυναμοσυνόλου και η τεχνική της διαγωνιοποίησης (του Cantor, δείτε wikipedia): Το ξενοδοχείο του Hilbert μοιάζει με παιδικό ανέκδοτο σε παράθεση με την εξής διαπίστωση (που μπορεί να τρελλάνει κόσμο, και κατά εποχές το έκανε κιόλας). Είναι προφανές ότι για ένα πεπερασμένο σύνολο S, το δυναμοσύνολο [S] περιέχει περισσότερα στοιχεία (αφού περιέχει το { σ } για κάθε σ S, και εκτός αυτών περιέχει το, και ίσως και άλλα). λλά για απειροπληθή σύνολα αυτό θα μπορούσε να μην ισχύει ίσως και να «πρέπει» να μην ισχύει αφού το S και το [S], ως άπειρα και τα δύο, θα έπρεπε να είναι «ισοπληθή». Και όμως ισχύει: «Για κάθε σύνολο S (πεπερασμένο ή άπειρο) ισχύει ότι S < [S] (Cantor)» Το λήμμα αυτό, και ο τρόπος απόδειξής του, σημάδεψαν τα μαθηματικά από τα τέλη του 19 ου αιώνα, όλου του 20 ου αιώνα, και εφεξής. Η τεχνική λέγεται «διαγωνιοποίηση» και φαίνεται στην εξής απόδειξή του: Προφανώς το S έρχεται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία σ { σ }, με κάποιο υποσύνολο S του [S], αυτό που περιέχει όλα τα μονο υπο σύνολα { σ } για σ S. Άρα είτε S < [S], είτε S = [S]. Το ζήτημα είναι να δείξουμε ότι δεν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία από S προς όλο το [S], δηλαδή S < [S]. Προς τούτο θα δείξουμε πρώτα ότι για μια οποιαδήποτε αντιστοιχία σ Υσ S, μπορούμε να φτιάξουμε ένα υποσύνολο Δ διαφορετικό από όλα τα υποσύνολα της μορφής Υx, (για x S). υτό ισχύει διότι μπορούμε να κάνουμε το σύνολο Δ να διαφέρει από το Υσ ως προς το σ, για κάθε σ, (γι αυτό και η ονομασία «αντιδιαγώνιο») η εξής «κατασκευή» αρκεί: Εξετάζουμε όλα τα στοιχεία σ S, και, αν (σ Υσ) τότε δεν συμπεριλαμβάνουμε το σ στο Δ, δηλαδή (σ Δ), άρα Δ Υσ για αυτά τα σ. αν (σ Υσ) τότε συμπεριλαμβάνουμε το σ στο Δ, δηλαδή (σ Δ), άρα Δ Υσ και για αυτά τα σ. Έχουμε ένα καλώς ορισμένο υποσύνολο Δ του S, (αφού για κάθε σ είναι ορισμένο το εάν (σ Δ) ή (σ Δ)), και αυτό το Δ διαφέρει από όλα τα υποσύνολα της μορφής Υx, διότι για κάθε σ έχουμε εξασφαλίσει Δ Υσ. πό τα παραπάνω έπεται ότι δεν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία από S προς όλο τα υποσύνολα [S]. Διότι τότε το παραπάνω αντιδιαγώνιο υποσύνολο Δ διαφέροντας από όλα τα Υx θα διέφερε από όλα Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» Γ. Φ. Γεωργακόπουλος ΕΚΔ. 29/10/2014 ΣΕΛ. 8 / 12

9 τα υποσύνολα του S, πράγμα αδύνατον αφού είναι ένα από αυτά! Και αφού δεν υπάρχει τέτοια πλήρης αντιστοίχιση, ισχύει S < [S]. Δείτε τα παραπάνω σχηματικά σε παράδειγμα με 6 στοιχεία: S = S = Υ1 = { 1, 2 } Υ2 = { 2, 4, 5 } Υ3 = { } Υ4 = { 2, 4, 6 } Υ5 = { 1, 3, 4 } Υ6 = { 1, 3, 5 } Υ? Δ «ντιδιαγώνιο» σύνολο: Δ = { 3, 5, 6 }: διαφέρει από το Υσ ως προς το στοιχείο σ, για σ { 1, 2, 3,... }. Οι διαβαθμίσεις του απείρου: Η «τρέλλα» της προηγούμενης διαπίστωσης είναι ότι τα υποσύνολα ενός απείρου συνόλου S είναι περισσότερα από τα στοιχεία του S, και τόσο πολύ ώστε να μην είναι δυνατόν να έλθουν σε ένα προς ένα αντιστοίχιση με αυτά: για κάθε άπειρο σύνολο, υπάρχει τουλάχιστον ένα ακόμα πολύ πιο... άπειρο. αριθμήσιμα σύνολα: όσα σύνολα S είναι πεπερασμένα ή ισοπληθή με τους φυσικούς : S. μη αριθμήσιμα σύνολα: όσα σύνολα S είναι άπειρα μεν, αλλά και μη ισοπληθή με το : S >. οι ρητοί αριθμοί είναι αριθμήσιμοι, και οι πραγματικοί αριθμοί μή αριθμήσιμοι. 13. ΣΥΝΟΛ: η (ανα)παράσταση συνόλων σε μια γλώσσα προγραμματισμού. Ως δομές δεδομένων που στηρίζουν, με ταχύ ή όχι τρόπο, τις πράξεις ανεύρεσης, συγχώνευσης, τομής κλπ. Ως πίνακες S[1..Μ] λογικών τιμών. Tο υπ. αρ. κ στοιχείο ανήκει στο σύνολο εάν και μόνον S[κ] = ΛΗΘΕΣ. Πρόσωπα: ριστοτέλης Έλληνας π.χ. Euler, Leonhard Ελβετός μ.χ. Venn, John ρεττανός Frege, Friedrich Ludwig Gottlob Γερμανός Cantor, George Γερμανός Dirichlet, Peter Gustav Lejeune Γερμανός Russel, Bertrandl ρεττανός Hilbert, David Γερμανός Zermelo, Ernst Γερμανός Fraenkel, Abraham Γερμανός Εβραίος Kuratowski, Kazimierz Πολωνός Gödel, Kurt υστριακός Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» Γ. Φ. Γεωργακόπουλος ΕΚΔ. 29/10/2014 ΣΕΛ. 9 / 12

10 ΘΕΩΡΙ ΣΥΝΟΛΩΝ τα βασικά στοιχεία σκήσεις 1. ΣΥΝΟΛ: το σκεπτικό. 2. ΣΥΝΟΛ: γραφή και ανάγνωση. 3. ΣΥΝΟΛ: σχεδίαση (διαγράμματα τύπου Euler Venn) 4. ΣΥΝΟΛ: θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ συνόλων. 5. ΣΥΝΟΛ: το κενό σύνολο προσοχή στις ιδιότητές του. 6. ΣΥΝΟΛ: πράξεις επί ενός ή δύο συνόλων (μονομελείς / διμελείς). 7. ΣΥΝΟΛ: διατεταγμένα ζεύγη και το (καρτεσιανό) γινόμενο συνόλων. 8. ΣΥΝΟΛ: οι ιδιότητες των πράξεων και ο τρόπος ανάλυσης. 9. ΣΥΝΟΛ: οι συνολοπράξεις και η σχέση ορισμάτων και αποτελεσμάτων. 10. ΣΥΝΟΛ: η γλώσσα των συνόλων και ο ρόλος της. 11. ΣΥΝΟΛ: τί σύνολα υπάρχουν; 12. ΣΥΝΟΛ: δύο κατηγορίες συνόλων, πεπερασμένα και άπειρα το τέχνασμα της διαγωνιοποίησης. 13. ΣΥΝΟΛ: η (ανα)παράσταση συνόλων σε μια γλώσσα προγραμματισμού. Λύσατε τις εξής ασκήσεις: 1) 3 από τις 6 τελευταίες. 2) 3, 4, 5. 3) 2 από τις 4 τελευταίες. 4) 4 από τις 8 τελευταίες. 5) 1, 2. 6) 3 από τις 6 τελευταίες. 7) ως έχει 8) 3, 4. 9) ως έχει 10) 2, 4. 11) 1, 2. ΣΚΗΣΕΙΣ: 1) Πόσα στοιχεία έχουν τα εξής σύνολα; 1. { α, β, { α, σ }, γ, δ } 2. { } 3. { { α, β, α } } 4. α, β, α, αν α β, και αν α = β 5. {,, } 6. { σ: σ είναι φυσικός αριθμός κ < σ λ } 7. { σ: σ είναι φυσικός αριθμός κ < σ < λ } 8. { σ: σ είναι φυσικός αριθμός κ σ λ } 1. Πέντε. Το στοιχείο { α, σ } μετριέται φυσικά ως ένα στοιχείο του δεδομένου συνόλου. 2. Ένα. Το κενό μπορεί να έχει μηδέν στοιχεία, αλλά το ίδιο είναι ένα σύνολο (και όχι μηδέν σύνολα). 2) Ισχύουν οι σχέσεις μεταξύ των παρακάτω συνόλων όπως έχουν γραφεί; 1. { α, β, { γ } } = { α, β, γ } 2. { α, α, β, γ, δ, β } = { γ, α, δ, β } 3. { {α}, {α, β} } = { {α, β}, {β} } 4. { α, α, β, γ, δ, β } = { α, γ, δ, β, } 5. { 2, 4, 8, 16 } = { ν: ν είναι δύναμη του 2 μικρότερη από 20 } 1. Η σχέση δεν ισχύει: { α, β, { γ } } { α, β, γ } διότι το γ ανήκει στο 2 ο μέλος, αλλά δεν ανήκει στο 1 ο. Στο 1 ο μέλος ανήκει το μονοσύνολο { γ } αλλά δεν ισχύει γ = { γ }. 2. Ισχύει: ένα σύνολο δεν εξαρτάται από επαναλήψεις ή εναλλαγές στοιχείων. 3) Σχεδιάστε τρία σύνολα,, Γ και σκιαγραφείστε τις περιοχές που δηλώνονται από τις εξής εκφράσεις: 1. (Γ ) 2. ( Γ), ( ) Γ 3. ( ) ( Γ) 4. ( Γ) ( Γ) 5. ( ) ( ) Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» Γ. Φ. Γεωργακόπουλος ΕΚΔ. 29/10/2014 ΣΕΛ. 10 / 12

11 6. ( Γ) ( ( Γ)) ( ( Γ)) (Γ ( )) 1. δείτε το παρακάτω σχήμα για την έκφραση (Γ ). Γ Γ Γ ( Γ ) Γ 4) Ισχύουν οι εξής σχέσεις; Εάν ναι δώστε μια απόδειξη, εάν όχι δώστε ένα (μικρό) αντιπαράδειγμα. 1. [ ] = [] [] 2. ( ) ( Γ) = (( Γ) (Γ )) 3. Εάν τότε S S 4. [ ] = [] [] 5. ( ) = 6. ( {σ}) ( {σ}) = {σ} {σ}, όπου σ, σ 7. = 8. (( Γ) Δ) = (Γ ) (Δ ) 9. αν τότε [] [] 10. αν τότε S A S B 11. αν τότε S S Για τις περιπτώσεις απόδειξης δείτε την σύνοψη, ενότητα [#8]. 1. Δεν ισχύει: αν = { α} και = { β } τότε S = { α, β } [ ] αλλά { α, β } [] []. 2. Δεν ισχύει: Το σχήμα παρακάτω υποδεικνύει το αντιπαράδειγμα = = Γ = { σ }. * * Γ Γ 3. Το σχήμα δείχνει τον συλλογισμό. Για τέτοιες περιπτώσεις απόδειξης δείτε και την ενότητα [#8]. σ ( A S) σ A σ S A B σ B σ ( B S) 5) Ορίζουμε την «συμμετρική διαφορά» B (A B) (B A). Δείξτε ότι η πράξη αυτή είναι μεταθετική και προσεταιριστική: 1. B =. 2. ( Γ) = ( B) Γ. Υπόδειξη: Για το 2 ο μπορείτε να δείξετε ότι το σ ανήκει στο 1 ο ή 2 ο μέλος εάν και μόνον εάν ανήκει είτε και στα τρία σύνολα, είτε σε ένα μόνον εξ αυτών. 6) Γράψτε στη γλώσσα των συνόλων τις εξής προτάσεις (αδιαφόρως του εάν αληθεύουν ή όχι): 1. Γράψτε πρόταση UNION(X, S) επί των μεταβλητών Χ και S που θα ισχύει εάν και μόνον εάν X = σ. σ S 2. Τα και έχουν τουλάχιστον δύο κοινά στοιχεία. 3. Ένα στοιχείο δεν ανήκει την τομή των συνόλων και παρά μόνον εάν ανήκει στο σύνολο Γ. 4. Το σύνολο έχει το πολύ δύο στοιχεία που δεν περιέχει το. 5. Τα σύνολα, έχουν το πολύ ένα κοινό στοιχείο, και, 6. Τα σύνολα,, Γ έχουν, ανά δύο, το πολύ ένα κοινό στοιχείο. 7. Το S δεν μπορεί να είναι κενό παρά μόνον εάν τα και είναι ίσα. 8. Το S είναι υποσύνολο ενός εκ των,, Γ. 1. Φ1 UNION(X, S) (x X) σ( (σ S) (x σ) ). 2. Φ2 x y (x ) (y ) (x y) Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» Γ. Φ. Γεωργακόπουλος ΕΚΔ. 29/10/2014 ΣΕΛ. 11 / 12

12 7) Εάν ορίσουμε ως α, β, γ το σύνολο α, β, γ, αποδείξτε ότι α, β, γ = α, β, γ εάν και μόνον εάν α = α, β = β και γ = γ. Υπόδειξη: ακολουθείστε τον ορισμό του διατεταγμένου ζεύγους. 8) Μπορούμε να ορίζουμε σύνολα με όποιο τρόπο «τύχει», αλλά γιατί να υπάρχει κάτι που ικανοποιεί τον εκάστοτε ορισμό; Εξετάστε τα εξής: 1. Η ένωση δύο συνόλων ορίζεται ως { σ: (σ ) (σ ) }, αλλά τί εγγυάται την ύπαρξή της; 2. Για να εγγυηθούμε την ύπαρξη της τομής, είναι δυνατόν («εξειδίκευση») να γράψουμε, = { σ: (σ U) και ΜΕΛΟΣ(σ) } Ποιό θα πρέπει να ήταν το σύνολο «αναφοράς» U και ποιά η ιδιότητα ΜΕΛΟΣ( ) με την οποία αποσπούμε από το U τα στοιχεία του ; 3. Για να εγγυηθούμε την ύπαρξη της διαφοράς, είναι δυνατόν να γράψουμε, = { σ: (σ U) και ΜΕΛΟΣ(σ) } Ποιό θα πρέπει να ήταν το σύνολο «αναφοράς» U και ποιά η ιδιότητα ΜΕΛΟΣ( ) με την οποία αποσπούμε από το U τα στοιχεία του ; 4. Για να εγγυηθούμε την ύπαρξη του καρτεσιανού γινομένου, είναι δυνατόν να γράψουμε, = { σ: (σ U) και ΖΕΥΓΟΣ(σ) } όπου η ιδιότητα ΖΕΥΓΟΣ( ) με την οποία τα αποσπούμε από το U είναι η εξής: ΖΕΥΓΟΣ(σ) α β( (α ) (β ) (σ = α, β ) ). Δεδομένου ότι α, β = {{α},{α,β}}, ποιό θα πρέπει να ήταν το σύνολο «αναφοράς» U; 1. πό τα κατασκευαστικά αξιώματα [#10] υπάρχει το {, } και άρα η ένωση = {, }. σ {, } 2. ρκεί να θέσουμε U A, και ΜΕΛΟΣ(σ) (σ ), «εξειδικεύοντας» τα στοιχεία του σε όσα ανήκουν και στο. 9) Προσπαθείστε να αποδείξετε την αρχή του Dirichlet επαγωγικά: «όπως και αν τοποθετήσουμε ν 2 αντικείμενα σε (ν 1) θέσεις, εμφανίζεται μία τουλάχιστον διπλοθεσία». Η βάση της επαγωγής, ν = 2, είναι αληθής, διότι τοποθετεί 2 αντικείμενα σε (2 1) = 1 θέση, και αυτό είναι προφανώς διπλοθεσία. Πώς θα κάνατε το βήμα της επαγωγής, ότι δηλαδή «αν η αρχή για ισχύει για k = ν, θα ισχύει και για k = (ν+1)»; Υπόδειξη: εξετάστε πού και πώς απεικονίζονται τα πρώτα ν στοιχεία (από τα ν+1). 10) Δείξτε τις εξής ισοπληθικές σχέσεις: 1. Έστω ότι δύο ξένα σύνολα Χ, Υ είναι ισοπληθή με το. Τότε και Χ Υ (k φορές). 4. { p: p πρώτος φυσικός αριθμός }. 1. Χωρίζουμε τους φυσικούς στο σύνολο των αρτίων και στο σύνολο των περιττών Π. Το είναι ισοπληθές με το υπό την αντιστοίχιση ν ν/2 και άρα με το Χ. Το Π είναι ισοπληθές με το υπό την αντιστοίχιση ν (ν 1)/2, και άρα με το Υ. Επομένως: Χ Υ Π =. 11) Δείξτε τις εξής πληθικές ανισότητες: 1. S < [S], ακόμα και για απειροπληθή σύνολα S. 2. Δείξτε ότι <, όπου το σύνολο των πραγματικών αριθμών. 1. υτό ακριβώς δίδεται στη σύνοψη [#11]. Η ανάλυση που δίδεται εκεί δεν εξαρτάται από το εάν τα σύνολα είναι πεπερασμένα ή απειροπληθή. 2. Περιοριστείτε στο διάστημα των πραγματικών [0.. 1) και αναπαραστήσατε αυτούς σαν μια ακολουθία δεκαδικών ψηφίων, π.χ Στη συνέχεια υποθέσατε ότι αυτές οι ακολουθίες δεκαδικών ψηφίων είναι αριθμήσιμες και εφαρμόστε το τέχνασμα της διαγωνιοποίησης, για να πάρετε μία τέτοια ακολουθία διαφορετική από όλες όσες έχουν αριθμηθεί. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» Γ. Φ. Γεωργακόπουλος ΕΚΔ. 29/10/2014 ΣΕΛ. 12 / 12

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΤΜΤΡΗΣΗ ΘΜΛΙΚΩΝ ΣΥΝ ΥΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: η μορφολογία. Όλες οι συνδυαστικές μορφές που θα εξετάσουμε είναι διαφόρων ειδών συναρτήσεις. Οι «παράμετροι» που παραλλάσονται είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ Eugene T. GENDLIN University of Chicago, U.S.A Αυτό το άρθρο είναι μια αναθεωρημένη έκδοση της πλήρους

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΚΕΙΜΕΝΟ. Πέµπτη 19 Νοεµβρίου 1942. Αγαπητή Κίττυ,

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΚΕΙΜΕΝΟ. Πέµπτη 19 Νοεµβρίου 1942. Αγαπητή Κίττυ, ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΝΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΚΦΡΑΣΗ - ΕΚΘΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Αγαπητή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος

23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος 23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος Μια βραδιά στο λούκι με τους αστέγους «Έχετε ποτέ σκεφτεί να κοιμηθείτε μια χειμωνιάτικη νύχτα στο δρόμο;» Με αυτό το ερώτημα απευθύναμε και φέτος την πρόσκληση στους

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Οι Τρείς «Διαστάσεις» για το Σώμα (Eugene T. Gendlin)

Οι Τρείς «Διαστάσεις» για το Σώμα (Eugene T. Gendlin) Οι Τρείς «Διαστάσεις» για το Σώμα (Eugene T. Gendlin) Εισαγωγή: Θα ξεκινήσουμε με την ερώτηση: Πού στηρίζεται θεωρητικά η Διαδικασία Εστίασης (ΔΕ); και στην συνέχεια θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε πώς

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να - 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ Μορφές δημόσιου δανεισμού Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate 1 Ανάλογα με την πηγή προελεύσεως των πόρων Με βάση το κριτήριο αυτό, ο δανεισμός διακρίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Διδαγμένο Κείμενο ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Επομένως οι αρετές δεν υπάρχουν μέσα μας εκ φύσεως ούτε αντίθετα προς τη φύση μας, αλλά έχουμε από τη φύση την ιδιότητα να τις δεχτούμε

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Βιωματική Απόκριση. (Άρθρο του Eugene Gendlin) ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ. Βιωμένο νόημα

Βιωματική Απόκριση. (Άρθρο του Eugene Gendlin) ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ. Βιωμένο νόημα Βιωματική Απόκριση (Άρθρο του Eugene Gendlin) ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ Βιωμένο νόημα Τα προσωπικά προβλήματα και οι δυσκολίες της ζωής δεν είναι ποτέ μόνο γνωσιακού επιπέδου, δεν είναι ποτέ μόνο θέμα του

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι η (ατρίδα,ας

Τι είναι η (ατρίδα,ας Müller, Vincent C. (2005), Τι είναι η πατρίδα μας; [What is our fatherland?], Cogito, 3, 8-10. [This is the original draft. The published version is shorter and polished.] http://www.nnet.gr/cogito/cogitoindex.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων : Πομπιέρη Βασιλεία, Δικηγόρος, LLM UCL Πτωχευτικό Δίκαιο Σημαντικότερες ρυθμίσεις σε προπτωχευτικό στάδιο. Εισαγωγή της διαδικασίας συνδιαλλαγής Σκοπός Η διάσωση και εξυγίανση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Επειδή βλέπουμε κάθε πόλη κράτος να είναι ένα είδος κοινότητας και κάθε κοινότητα να έχει συσταθεί για χάρη κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

Ελένη Δημητρίου ΑΝΤΙΓΟΝΗ ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ. Μετάφραση. Ελένη Δημητρίου. Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων

Ελένη Δημητρίου ΑΝΤΙΓΟΝΗ ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ. Μετάφραση. Ελένη Δημητρίου. Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων ΑΝΤΙΓΟΝΗ ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ Μετάφραση Ελένη Δημητρίου Μετάφραση στίχων 1 99 Προλόγου ΑΝΤΙΓΟΝΗ Πολυαγαπημένη μου αδερφή Ισμήνη, άραγε ξέρεις αν υπάρχει καμιά συμφορά που μας κληροδότησε ο Οιδίποδας και να μην την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο (701-718)

ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο (701-718) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από

Διαβάστε περισσότερα

Γιάννης Ι. Πασσάς. Γλώσσα. Οι λειτουργίες της γλώσσας Η γλωσσική 4εταβολή και ο δανεισ4ός

Γιάννης Ι. Πασσάς. Γλώσσα. Οι λειτουργίες της γλώσσας Η γλωσσική 4εταβολή και ο δανεισ4ός Γιάννης Ι. Πασσάς Γλώσσα Οι λειτουργίες της γλώσσας Η γλωσσική 4εταβολή και ο δανεισ4ός Αρχή πάντων ορισµός εστί Γλώσσα: Κώδικας ση4είων ορισ4ένης 4ορφής (γλωσσικής), 4ε τα ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΑΛΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ FOUCAULT ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΣΤΑ ΜΕΣΑ ΜΑΖΙΚΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ

ΠΡΟΒΑΛΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ FOUCAULT ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΣΤΑ ΜΕΣΑ ΜΑΖΙΚΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ ΠΡΟΒΑΛΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ FOUCAULT ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ Εργασία για το µάθηµα του εαρινού εξαµήνου του µεταπτυχιακού προγράµµατος του τµήµατος Επικοινωνίας & Μέσων Μαζικής Ενηµέρωσης του Εθνικού

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων : Βασίλειος Σταματόπουλος, Δικηγόρος, Δ.Μ.Σ. Συνάντηση 4 η ΕΝΟΧΕΣ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΕΣ Εννοιολογική προσέγγιση. Διαζευκτική είναι η ενοχή που έχει ως αντικείμενο δύο ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων Projects για το εργαστήριο των Βάσεων Δεδομένων Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος Δεκέμβριος 2013 1. Το πολυκατάστημα Το πολυκατάστημα έχει ένα σύνολο από εργαζομένους. Κάθε εργαζόμενος χαρακτηρίζεται από έναν κωδικό

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Τεχνική φλοπ Φορά Σκοπός της φοράς είναι να αναπτυχθεί μια ιδανική για τον κάθε αθλητή ταχύτητα και ταυτόχρονα να προετοιμάσει το πάτημα. Το είδος της φοράς του Fosbury ήτα, μια

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Κείµενο διδαγµένο Κείµενο από το πρωτότυπο

Κείµενο διδαγµένο Κείµενο από το πρωτότυπο ΤΡΙΤΗ 29 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Κείµενο διδαγµένο Κείµενο από το πρωτότυπο Θουκυδίδη Ιστορία Γ, 70 Καὶ (ἦν γὰρ Πειθίας ἐθελοπρόξενός τε τῶν Ἀθηναίων καὶ τοῦ δήµου προειστήκει)

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια σύνταξης απαντήσεων: Μαρία Πέτρα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Επιμέλεια σύνταξης απαντήσεων: Μαρία Πέτρα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Κλάδος: ΠΕ 60 ΝΗΠΙΑΓΩΓΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Ειδική Διδακτική και Παιδαγωγικά Γενική Διδακτική) Κυριακή 1-2-2009 ΕΡΩΤΗΜΑ 2ο: Την τελευταία περίπου πενταετία εφαρμόζεται στα νηπιαγωγεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. Παράλληλα, ο συνεντευξιαζόμενος προβάλλει τον εαυτό του και παίρνει περισσότερες πληροφορίες για τη θέση.

ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. Παράλληλα, ο συνεντευξιαζόμενος προβάλλει τον εαυτό του και παίρνει περισσότερες πληροφορίες για τη θέση. ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σκοπός της Συνέντευξης είναι η αναζήτηση του καλύτερου υποψηφίου που θα στελεχώσει την προκηρυσσόμενη θέση. Η Συνέντευξη έχει διττό χαρακτήρα, όπου λόγο έχουν και οι αξιολογητές και

Διαβάστε περισσότερα

Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε

Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε Δυστυχώς είναι μια πραγματικότητα της ζωής ότι αν διατηρείτε στο σπίτι σας φυτά, υπάρχει πάντα η πιθανότητα να υποστούν ζημίες από βλαβερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΙΣΜΟΣ, ΚΟΣΜΟΣ ΕΝΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3 Η ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΑΠ ΕΛΠ22 ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΤΣΑΜΠΟΥΚΟΣ ΑΜ.: 37565

ΠΥΘΑΓΟΡΙΣΜΟΣ, ΚΟΣΜΟΣ ΕΝΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3 Η ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΑΠ ΕΛΠ22 ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΤΣΑΜΠΟΥΚΟΣ ΑΜ.: 37565 ` ΕΑΠ ΕΛΠ22 3 Η ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ : ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΕΩΣ ΤΟΝ 20 Ο ΑΙΩΝΑ ΠΥΘΑΓΟΡΙΣΜΟΣ, ΕΝΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΦΟΙΤΗΤΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΤΣΑΜΠΟΥΚΟΣ ΑΜ.: 37565 Περιστέρι,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο (στ.471-490) ΧΟΡΟΣ ηλοῖ τὸ γέννηµ' ὠµὸν ἐξ ὠµοῦ πατρὸς 471 τῆς παιδὸς εἴκειν δ'οὐκ ἐπίσταται κακοῖς.

ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο (στ.471-490) ΧΟΡΟΣ ηλοῖ τὸ γέννηµ' ὠµὸν ἐξ ὠµοῦ πατρὸς 471 τῆς παιδὸς εἴκειν δ'οὐκ ἐπίσταται κακοῖς. ΑΡΧΗ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΚΡΑΤΟΥΣ

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΚΡΑΤΟΥΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΚΡΑΤΟΥΣ ΘΕΜΑ: Η ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΚΡΑΤΟΥΣ Ο ΙΕΡΑΡΧΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΙ Η ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΟΠΤΕΙΑ Σύνταξη: Ηλίας Κουβαράς, Δικηγόρος L.L.M., Υπ. Διδάκτωρ Δημοσίου Δικαίου

Διαβάστε περισσότερα

Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις

Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις Το κείμενο αυτό ανανεώνεται με τη δική σας παρέμβαση, τις ερωτήσεις, τα σχόλια και τις παρατηρήσεις σας. Θα συνεχίζει να ανανεώνεται μέχρι την ημέρα των εξετάσεων. Αυτή

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1. Κριτήριο για ολιγόλεπτη εξέταση 91 (15 ) Στοιχεία µαθητή Ονοµατεπώνυµο:... Εξεταζόµενο µάθηµα: Αρχαία Ελληνική Γραµµατεία (µάθηµα κατεύθυνσης) Τάξη:... Ηµεροµηνία

Διαβάστε περισσότερα

1. Πώς διαγράφεται, όμως, η μελλοντική εξέλιξη της Ελληνικής στον αιώνα που έρχεται;

1. Πώς διαγράφεται, όμως, η μελλοντική εξέλιξη της Ελληνικής στον αιώνα που έρχεται; 1. Πώς διαγράφεται,όμως,η μελλοντική εξέλιξη της Ελληνικής στον αιώνα που έρχεται; ΕίναιαλήθειαότιηΕλληνικήδιατρέχεικινδύνουςπουμπορείνατηνοδηγήσουνσεμιακρεολή (μιγαδοποιημένη) μορφή γλώσσας ή ακόμη και

Διαβάστε περισσότερα

Α) Ανάλογα με τη φύση των κονδυλίων που περιλαμβάνουν οι προϋπολογισμοί διακρίνονται σε:

Α) Ανάλογα με τη φύση των κονδυλίων που περιλαμβάνουν οι προϋπολογισμοί διακρίνονται σε: Ο διαγωνισμός της Εθνικής Σχολής Δημόσιας Διοίκησης προϋποθέτει, ως γνωστόν, συνδυασμό συνδυαστικής γνώσης της εξεταστέας ύλης και θεμάτων πολιτικής και οικονομικής επικαιρότητας. Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια

Διαβάστε περισσότερα

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται 1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται από: α) Τη ροπή για αποταμίευση β) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος και τη ροπή για αποταμίευση γ) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

To παιχνίδι την Αρχαία Ελλάδα

To παιχνίδι την Αρχαία Ελλάδα To παιχνίδι την Αρχαία Ελλάδα Μέχρι τα επτά του χρόνια το παιδί έμενε στο σπίτι, όπου έπαιζε διάφορα παιχνίδια. Ο Πλάτων κι ο Αριστοτέλης συμβούλευαν τους γονείς να αφήνουν τα παιδιά τους να διασκεδάζουν

Διαβάστε περισσότερα

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι:

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: 1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: α) Ανεξάρτητα από το ύψος της τιμής των οσπρίων, ο καταναλωτής θα δαπανά πάντα ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται 1. Ο πληθωρισμός ορίζεται ως εξής: (Δ= μεταβολή, Ρ= επίπεδο τιμών, Ρ e = προσδοκώμενο επίπεδο τιμών): α) Δ Ρ e /Ρ β) Ρ e / Ρ γ) Δ Ρ/Ρ δ) (Ρ Ρ e )/Ρ 2. Όταν οι εξαγωγές αυξάνονται: α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα

Διαβάστε περισσότερα

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα 11.1. Εισαγωγή Τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα είναι διαιρεμένα σε μια ιεραρχία τριών επιπέδων: Στα δίκτυα πρόσβασης, τα μητροπολιτικά δίκτυα και τα δίκτυα κορμού. Τα δίκτυα κορμού

Διαβάστε περισσότερα

3. Με βάση τη βραχυχρόνια καμπύλη Phillips η σχέση πληθωρισμού και ανεργίας είναι:

3. Με βάση τη βραχυχρόνια καμπύλη Phillips η σχέση πληθωρισμού και ανεργίας είναι: 1. Σε περίπτωση που το κράτος φορολογεί τους πολίτες το διαθέσιμο εισόδημα του κάθε ατόμου είναι: α) το σύνολο του εισοδήματός του β) το σύνολο του εισοδήματός του, αφού προηγουμένως αφαιρέσουμε τους φόρους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Α. Μετάφραση 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επομένως η ηθική αρετή κινείται γύρω από τις ηδονές και τις λύπες, αφού κάνουμε τα τιποτένια εξαιτίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ HMEΡΟΜΗΝΙΑ ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗΣ: 4 ΑΠΡΙΛΙΟΥ: ΩΡΑ 10μ.μ Τα παρακάτω θέματα δημοσιεύονται αποκλειστικά και μόνο για όσους υποψήφιους του φροντιστηρίου μας δεν κατάφεραν να προσέλθουν στα επαναληπτικά μαθήματα που

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming)

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 1 Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής ΜΜΚ 452: Μηχανικές Ιδιότητες και Κατεργασία Πολυμερών Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 2 Εισαγωγή: Η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΝΑΥΤΙΛΟΣ

ΕΚΠΑ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΝΑΥΤΙΛΟΣ ΣΧΟΛΙΑ Οι κληρούχοι συντάκτες της αίτησης και οι εμπλεκόμενοι Πτολεμαϊκοί αξιωματούχοι Η αίτηση υποβάλλεται από δύο κληρούχους ιππείς, το Μακεδόνα Αντίμαχο, γιο του Αριστομήδη, και το Θράκα Ηρακλείδη,

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ, ΒΙΟΣ ΚΑΙ ΕΡΓΑ σελ.139 149 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ, ΒΙΟΣ ΚΑΙ ΕΡΓΑ σελ.139 149 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ, ΒΙΟΣ ΚΑΙ ΕΡΓΑ σελ.139 149 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ 1. Πότε έφτασε ο Αριστοτέλης στην Αθήνα για πρώτη φορά και γιατί επέλεξε την Ακαδημία για τις σπουδές του; Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΛΗΘΕΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ (http://spithes.wordpress.com) (με μερικές τροποποιήσεις)

Η ΑΛΗΘΕΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ (http://spithes.wordpress.com) (με μερικές τροποποιήσεις) Η ΑΛΗΘΕΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ (http://spithes.wordpress.com) (με μερικές τροποποιήσεις) 1. Η ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΗΣ ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑΣ Αν και στον πολύ κόσμο είναι γνωστή η πρακτική εφαρμοσμένη αστρολογία, δηλαδή οι γνωστές

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. «Κεφάλαιο» «Περιουσία» «Περιουσία» Οικονομική επιστήμη «μέσων», «ανάγκες» «αγαθά» Επιχειρήσεων.

Παράδειγμα. «Κεφάλαιο» «Περιουσία» «Περιουσία» Οικονομική επιστήμη «μέσων», «ανάγκες» «αγαθά» Επιχειρήσεων. (ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ) Οικονομική μονάδα είναι ο συστηματικός συνδυασμός των συντελεστών της παραγωγής (φύση, εργασία, κεφάλαιο) με τον οποίο αποσκοπείται η παραγωγή αγαθών ή η προσφορά υπηρεσιών για την κάλυψη

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων

Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων 28 Μαΐου 2012 Αρχαία Ελληνικά Θεωρητικής Κατεύθυνσης Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων Α1. Και αυτά, επειδή η ηθική αρετή συνδέεται με τα ευχάριστα και τα δυσάρεστα συναισθήματα

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές ΙΙ. nkavv@uop.gr. Καταμερισμός καταχωρητών. Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr Μεταγλωττιστές ΙΙ

Μεταγλωττιστές ΙΙ. nkavv@uop.gr. Καταμερισμός καταχωρητών. Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr Μεταγλωττιστές ΙΙ Μεταγλωττιστές ΙΙ Καταμερισμός καταχωρητών Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr 01 Δεκεμβρίου 2010 Γενικά για τον καταμερισμό καταχωρητών Καταμερισμός καταχωρητών (register allocation): βελτιστοποίηση μεταγλωττιστή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας χρήστης μιας PDH μισθωμένης γραμμής χρησιμοποιεί μια συσκευή πρόσβασης που υλοποιεί τη στοίβα ΑΤΜ/Ε1. α) Ποιος είναι ο μέγιστος υποστηριζόμενος ρυθμός (σε

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση του δικαιώματος σημαίνει την εξουσία του δικαιούχου να ενεργήσει για την

Άσκηση του δικαιώματος σημαίνει την εξουσία του δικαιούχου να ενεργήσει για την Καραίσκος Δημήτριος: Δικηγόρος υπ. Διδάκτωρ Ιδιωτικού Δικαίου Παν/μίου Αθηνών 1. Άσκηση και κατάχρηση του δικαιώματος Άσκηση του δικαιώματος σημαίνει την εξουσία του δικαιούχου να ενεργήσει για την αξιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Η διπλωματική εργασία

Η διπλωματική εργασία Η διπλωματική εργασία Αριστείδης Χατζής * Το κείμενο αυτό ανανεώνεται συνέχεια με τη δική σας παρέμβαση, τις ερωτήσεις, τα σχόλια και τις παρατηρήσεις σας. Αυτή η εκδοχή ανανεώθηκε στις 12 Δεκεμβρίου 2006.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΜΒΟΥΛΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ ΤΟΥ ΑΓΝΩΣΤΟΥ ΚΕΙΜΕΝΟΥ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους Εκπαιδευτικούς για τον

Διαβάστε περισσότερα

BACCALAURÉATS GÉNÉRAL ET TECHNOLOGIQUE

BACCALAURÉATS GÉNÉRAL ET TECHNOLOGIQUE BACCALAURÉATS GÉNÉRAL ET TECHNOLOGIQUE SESSION 2015 GREC MODERNE MARDI 23 JUIN 2015 LANGUE VIVANTE 2 Séries ES et S Durée de l épreuve : 2 heures coefficient : 2 Série L Langue vivante obligatoire (LVO)

Διαβάστε περισσότερα

Παλαιά ιαθήκη: Μυθολογία των Εβραίων ή Βίβλος της Εκκλησίας;

Παλαιά ιαθήκη: Μυθολογία των Εβραίων ή Βίβλος της Εκκλησίας; Παλαιά ιαθήκη: Μυθολογία των Εβραίων ή Βίβλος της Εκκλησίας; Καθηγητής Μιλτιάδης Κωνσταντίνου Τµήµα Θεολογίας Α.Π.Θ. Ένα από τα µεγαλύτερα επιτεύγµατα του ιθ µ.χ. αιώνα συνιστά αναµφίβολα η ανακάλυψη των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΙΚΟΝΑΣ ADOBE PHOTOSHOP CS ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ Β. ΣΥΜΕΩΝΙ ΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΡΧΕΙΑ Ο πιο γνωστός τρόπος οργάνωσης δεδομένων με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι σε αρχεία. Ένα αρχείο μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε σαν ένα σύνολο που αποτελείται από οργανωμένα

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Δρ Φασουλάς Χαράλαμπος Συντονιστής, Υπεύθυνος του Τμήματος Γεωποικιλότητας του Μουσείο Φυσικής Ιστορίας Κρήτης

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Δρ Φασουλάς Χαράλαμπος Συντονιστής, Υπεύθυνος του Τμήματος Γεωποικιλότητας του Μουσείο Φυσικής Ιστορίας Κρήτης 2 ιά ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Δρ Φασουλάς Χαράλαμπος Συντονιστής, Υπεύθυνος του Τμήματος Γεωποικιλότητας του Μουσείο Φυσικής Ιστορίας Κρήτης ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ Δρ Αμπαρτζάκη Μαρία, Παιδαγωγικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Γ. Η. Πανάγος 1195 ΟΡΘΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΚΛΙ ΝΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΏΝ Η ορθή πρακτική διεξαγωγής των κλινικών δοκιμών (GCP) είναι ένα διεθνές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Περίληψη Κεφαλαίου: Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και αφετέρου η σωστή εφαρμογή του Επιχειρηματικού

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΡΔΙΑ ΤΗΡΗΣΕ ΕΝΟΣ ΛΕΠΤΟΥ ΣΙΓΗ. Ἡ καρδιά (ἔλεγε κάποτε ὁ γέροντας Παΐσιος) εἶναι ὅπως τό ρολόι.

Η ΚΑΡΔΙΑ ΤΗΡΗΣΕ ΕΝΟΣ ΛΕΠΤΟΥ ΣΙΓΗ. Ἡ καρδιά (ἔλεγε κάποτε ὁ γέροντας Παΐσιος) εἶναι ὅπως τό ρολόι. Η ΚΑΡΔΙΑ ΤΗΡΗΣΕ ΕΝΟΣ ΛΕΠΤΟΥ ΣΙΓΗ. Ἡ καρδιά (ἔλεγε κάποτε ὁ γέροντας Παΐσιος) εἶναι ὅπως τό ρολόι. Καί πράγματι εἶναι! σταματώντας ὁ χρόνος της, χρόνος ὅπου μετριοῦνται μέ τούς χτύπους τῆς καρδιᾶς, σταματάει

Διαβάστε περισσότερα