Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος"

Transcript

1 Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα Fourier µπορούµε να αναλύσουµε τη συνάρτηση αυτή σε αρµονικές συχνότητας : όπου το πλάτος κάθε αρµονικής δίνεται από: Προτιµήσαµε να χρησιµοποίησουµε τη συχνότητα. (σε κύκλους/µονάδα χρόνου, ή Hz εάν η µονάδα χρόνου είναι το second) αντί της κυκλικής συχνότητας (µε µονάδες rad/µονάδα χρόνου), διότι αποφεύγονται οι σταθεροί όροι στον ορισµό του µετασχηµατισµού Fourier. Εάν είχαµε στη διάθεση µας τη συνάρτηση,, ή τις τιµές της συνάρτησης στο άπειρο διάστηµα τότε θα µπορούσαµε να αναλύσουµε την κατά Fourier και να υπολογίσουµε την ισχύ του φάσµατος του σήµατος σε κάθε συχνότητα (power spectrum):. Συνήθως, όµως, έχουµε µόνο ένα µικρό δείγµα της, ένα πεπερασµένο αριθµό τιµών από ένα πεπερασµένο χρονικό διάστηµα. Εάν αναλύσουµε τότε αυτό το δείγµα της κατά Fourier και υπολογίσουµε φασµατκή ισχύ του σήµατος προκύπτει το ερώτηµα: ποία η σχέση του ιδανικού µε το ; Για να συγκεκριµενοποίησουµε το ερώτηµα θεωρούµε ότι ανά χρονικά διαστήµατα µετρούµε την, δηλαδή έχουµε µετρήσεις της, µε. Ορίζουµε το µετασχηµατισµό Fourier της,, µε τη προσέγγιση του συνεχούς µετασχηµατισµού Fourier: όπου.,

2 Χρησιµοποιώντας τη ιδιότητα ότι το γινόµενο δύο συνάρτησεων, µετασχηµατισµό Fourier το convolution των µετασχηµατισµών Fourier των έχει συναρτήσεων αυτών, µπορεί να υπολογισθεί ότι Η σχέση αυτή µας προσδιορίζει τη σχέση του µετασχηµατισµού Fourier του δείγµατος του σήµατος,, µε τον ακριβή µετασχηµατισµό Fourier,, της.. Παρατηρείστε ότι το προσεγγιστικό φάσµα είναι περιοδικό µε περίοδο. Το πλάτος ταλάντωσης στην συχνότητας του προσεγγιστικού µετασχηµατισµού δεν είναι ίσο µε το πλάτος ταλάντωσης του µετασχηµατισµού του ιδανικού σήµατος αλλά συντελούν στο πλάτος αυτό αθροιστικά και το πλάτος του ιδανικού σήµατος στις αριθµήσιµα άπειρες συχνότητες, όπου το χρονικό διάστηµα µεταξύ των µετρήσεων. Το αποτέλεσµα δηλαδή της χρονικά διακριτής δειγµατοληψίας του σήµατος είναι η µόλυνση του προσεγγιστικού σήµατος µε ακέραια πολλαπλάσια των συχνοτήτων φαινόµενο αυτό λέγεται αλληλο-ετερισµός (µεταφράζω το aliasing).. Το Για ποιό λόγο εµφανίζεται η συχνότητα ; Εστω ότι παρατηρούµε ανά χρονικά διαστήµατα ένα φυσικό φαινόµενο του οποίου η συχνότητα είναι, δηλαδή οι τιµές που γνωρίζουµε είναι οι. Με λίγο σκέψη µπορείτε να δείτε ότι τις ίδιες τιµές θα έδινε και µία ταλάντωση συχνότητας όπου κάποιος θετικός ή αρνητικός ακέραιος, οπότε το φάσµα των χρονικά διακριτών µετρήσεων θα είναι συναρτήσεις δέλτα επικεντρωµένες στα σηµεία,. Παρατηρείστε ότι η µεγαλύτερη συχνότητα που δεν µπορεί να µολυνθεί από µικρότερες συχνότητες είναι η. Συνεπώς άν επιλέξουµε το διάστηµα ώστε το φυσικό φαινόµενο να µην έχει φασµατική ισχύ για συχνότητες µε απόλυτη τιµή (1) µεγαλύτερη από τη συχνότητα, τότε ο υπολογισµός του φάσµατος στο διάστηµα είναι απόλυτα ακριβής. Η πρόταση αυτή έχει γενική ισχύ και ονοµάζεται θεώρηµα δειγµατοληψίας του Shannon-Whittaker. Το θεώρηµα Shannon-Whittaker αποδεικνύει ότι ικανή και αναγκαία

3 συνθήκη για να ανακατασκευάσει ακριβώς ένα σήµα ανά διαστήµατα είναι: για. από µετρήσεις του σήµατος Το θεώρηµα µάλιστα δίνει και τον αναλυτικό τύπο για τον υπολογισµό της διακριτές τιµές : από τις Το θεώρηµα Shannon-Whittaker είναι καταπληκτικό διότι παρέχει τις προϋποθέσεις ώστε µία συνάρτηση η οποία λαµβάνει µη αριθµήσιµο πλήθος τιµών να µπορεί να ανακατασκευασθεί πλήρως από ένα αριθµήσιµο πλήθος παρατηρήσεων. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι για να έχουµε πιστό υπολογισµό του φάσµατος θα πρέπει να επιλέξουµε ικανά µικρό,, τέτοιο µάλιστα ώστε να µην υπάρχει σηµαντική ισχύς του σήµατος για συχνότητες µεγαλύτερες του. Η συχνότητα λέγεται συχνότητα του Nyquist. Οταν δε υπολογίζουµε τη ισχύ του φάσµατος ενός φαινοµένου µόνο το διάστηµα συχνοτήτων είδαµε είναι περιοδικό µε περίοδο αρκεί να υπολογίζεται, διότι το φάσµα όπως. Αλλά και αντιστρόφως, εάν θέλουµε να αναπαράγουµε ένα φαινόµενο συχνότητας θα πρέπει να κάνουµε παρατηρήσεις ανά χρονικά διαστήµατα µικρότερα του ώστε να πάρουµε τουλάχιστον δύο δείγµατα ανά κύκλο του φαινοµένου (συνήθως για ασφάλεια λαµβάνονται κατ ελάχιστον 4 δείγµατα ανά κύκλο). Οµοίως εάν θέλουµε να µεταδώσουµε πιστά τη µουσική µιάς συµφωνικής ορχήστρας µέσω µίας συσκευής θα πρέπει οι µηχανισµοί να λαµβάνουν δείγµατα του ήχου ανά διαστήµατα µικρότερα του, όπου η µεγαλύτερη συχνότητα την οποία ενδιαφερόµαστε να µεταφέρουµε (για ήχο συχνότητας, απαιτείται µηχανισµός µε ταχύτητα ανταπόκρισης, το τηλέφωνο π.χ. είναι σε θέση να έχει τέτοια ανταπόκριση). Τα περισσότερα φυσικά φαινόµενα περιορίζονται σε µία πεπερασµένη δέσµη (µπάντα) συχνοτήτων. Οπότε η παραπάνω ανάλυση µπορεί να µας καθοδηγήσει στο προσδιορισµό της συχνότητας των παρατηρήσεων που απαιτείται για να τα αναπαράγουµε. Οι επιπτώσεις της αθέτισης του κριτηρίου του Nyquist µπορεί να είναι καταστρεπτικές. Ως παράδειγµα, αναφέρω τις απαιτήσεις για τη παρατηρήση της κύριας σεληνιακής παλίρροιας στη θάλασσα, η οποία συµβολίζεται µε, που έχει περίοδο ώρες,

4 δηλαδή. Για την ακριβή επισήµανση της σεληνιακής παλίρροιας απαιτούνται σύµφωνα µε το κριτήριο Nyquist παρατηρήσεις ανά διαστήµατα µικρότερα των ωρών, δηλαδή δύο παρατηρήσεις ανά παλιρροιακό κύκλο, ώστε. Ας υποθέσουµε ότι ένας ανύποπτος ερευνητής παρατηρεί το ύψος της θάλασσας κάθε µέρα στις 10 π.µ.. Οι παρατηρήσεις του σηµειώνονται µε ένα κύκλο στο διπλανό σχήµα. Το παραγµατικό ύψος της θάλασσας δίνεται από τη συνεχή γραµµή. Αλλά καθώς βλέπεται επειδή η συχνότητα παρατηρήσεων, ανα µία 1 µέρα, είναι µεγαλύτερη από τη κρίσιµο διάστηµα παρατηρήσεων Nyquist, οι ίδιες παρατηρήσεις είναι συνεπείς και µε περιοδικά φαινόµενα µικρότερης συχνότητας (σύµφωνα µε τον τύπο (1)), και , και η τελευταία (στο σχήµα είναι η διακεκοµµένη γραµµή), η οποία είναι η µόνη που βρίσκεται στο διάστηµα συχνοτήτων Nyquist για παρατηρήσεις ανά µία

5 µέρα, προβλέπει ότι σύµφωνα µε τις παρατηρήσεις ότι η περίοδος των παλιρροιών είναι µέρες. Τα δύο φάσµατα, το ιδανικό και το αλληλο-ετερισµένο που προκύπτει από τις ανα ηµέρα παρατηρήσεις, παρουσιάζονται στο δεύτερο σχήµα της προηγούµενης σελίδας. Εάν µεν ο ερευνητής καταλαβαίνει τι συµβαίνει δεν υπάρχει πρόβληµα, αντιλαµβάνεται ότι υπάρχει αλληλο-ετερισµός, και ότι η παραγµατική περίοδος των παλιρροιών είναι µία απο τις συχνότητες που δίνει ο τύπος (1) (όπως ακριβώς παρατηρητής ενός περιστρεφόµενου τροχού ποδηλάτου µε στροβοσκόπιο δεν ξεγελιέται όταν δεί τις ακτίνες του ποδηλάτου ακίνητες για να συµπεράνει ότι παρατηρεί ένα ακίνητο ποδήλατο). Εάν όµως ο ερευνητής δεν γνώριζε το φαινόµενο των παλιρροιών και πρότεινε στην επιστηµονική κοινότητα οτι ανακάλυψε θαλάσσιο φαινόµενο περιόδου ηµερών θα ήταν σε κίνδυνο να παρουσίασει µαζύ µε τις παρατηρήσεις του και κάποια περίεργη θεωρία για να υποστηρίξει τις παρατηρήσεις αυτές. Το παράδειγµα µπορεί να σας φαίνεται απλοϊκό, αλλά πρέπει να γνωρίζετε ότι πολλές φορές ψευδοφαινόµενα τέτοιας µορφής έρχονται στη δηµοσιότητα. Σε αυτό το κίνδυνο προφανώς είναι πλέον ευάλωτοι και καλοπροαίρετοι άνθρωποι του τύπου ή και µέλη κυβερνήσεων.

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σηµειώσεις Φυσικής Γ Λυκείου

Πρόχειρες Σηµειώσεις Φυσικής Γ Λυκείου Πρόχειρες Σηµειώσεις Φυσικής Γ Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου MSc Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης 2η Εκδοση - Ιούλης 2013 2 Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου Περιεχόµενα 1 Ταλαντώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικά και Κλασσικά Ανάλογα της Σύγχρονης Φυσικής

Μηχανικά και Κλασσικά Ανάλογα της Σύγχρονης Φυσικής ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Μεταπτυχιακή Ειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστηµών ιπλωµατική Εργασία της Ευθυµίας- Βικτωρίας Σιούτα Σύµβουλος Καθηγητής: ΣΠΥΡΟΣ ΕΥΣΤ. ΤΖΑΜΑΡΙΑΣ Μηχανικά και Κλασσικά Ανάλογα

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VII. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΡΑΥΣΕΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Εισαγωγή Θραύση (fracture) ονοµάζεται ο διαχωρισµός, ή θρυµµατισµός, ενός στερεού σώµατος σε δύο ή περισσότερα κοµµάτια, κάτω από την επίδραση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2.

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. Κεφάλαιο 17 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17.3. ΤΟ χ 2 ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 17.3.1. Ένα ερευνητικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Ατοµικής και Μοριακής Φυσικής

Σηµειώσεις Ατοµικής και Μοριακής Φυσικής Σηµειώσεις Ατοµικής και Μοριακής Φυσικής Ε. Φωκίτης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ατοµική και Μοριακή Φυσική 1. Εισαγωγή 2. Πολυηλεκτρονιακά άτοµα: Ταυτόσηµα σωµατίδια,συµµετρικές και αντισυµµετρικές κυµατοσυναρτήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

, y 1. y y y y = x ( )

, y 1. y y y y = x ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Μία εξίσωση µε αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µίας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C και µόνο αυτές την επαληθεύουν. Αν έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας Υλικών Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Νίκος Λαζαρίδης Για το µάθηµα Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά (ΤΕΤΥ 116) Αναθεώρηση, συµπληρώσεις : Μαρία Καφεσάκη 1 Κεφάλαιο 1: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 ( ) ( ) ( ) = 4( ) d d ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 00 Email: dsourlas@phsics.upatras.gr www.phsics.upatras.gr

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΖΕΥΞΕΙΣ- ΙΑ ΟΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Ο Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΡΖΑΚΑΣ ΠANAΓΙΩΤΗΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Ασύρµατες

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Οι πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασµού στο σύνολο των ακεραίων µε εποπτικό τρόπο: Ένα µοντέλο ή ένα παιχνίδι; ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 www.ptheodoropoulos.gr

Διαβάστε περισσότερα

Μια µατιά στην Κβαντοµηχανική 0.1 Εισαγωγή

Μια µατιά στην Κβαντοµηχανική 0.1 Εισαγωγή Μια µατιά στην Κβαντοµηχανική 0.1 Εισαγωγή Είναι χρήσιµο να ξεκινήσουµε πρώτα µε κάποιες γενικές παρατηρήσεις και υπενθυµίσεις. Η Φυσική είναι η επιστήµη που µελετάει τη δοµή της ύλης και τις αλληλεπιδράσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Οπτική, Σύγχρονη, Ατομική & Μοριακή Φυσική για Βιολόγους

Οπτική, Σύγχρονη, Ατομική & Μοριακή Φυσική για Βιολόγους Οπτική, Σύγχρονη, Ατομική & Μοριακή Φυσική για Βιολόγους 011 Σαμουήλ Κοέν Μέρος Α. Οπτική Κ0. Εισαγωγικό Σημείωμα Κυματικής Σελίδα 1. Απλή Αρμονική Ταλάντωση.... Κ0-1 1.1 Ορισμοί... Κ0-1 1. Η Αρχή της

Διαβάστε περισσότερα

2 Φωτογραφία εξωφύλλου: Κυµατοσυνάρτηση για ένα ηλεκτρόνιο στο άτοµο του Η.

2 Φωτογραφία εξωφύλλου: Κυµατοσυνάρτηση για ένα ηλεκτρόνιο στο άτοµο του Η. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΚΑΘΗΓΗΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΙΚΡΟΚΟΣΜΟ» ΜΠΑΚΑΤΣΕΛΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 0 : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 0 : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 0 : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ 1.1 Εισαγωγή Η επιστήµη των Μικροκυµάτων ξεκίνησε µε την ανάπτυξη του ραντάρ και επεκτάθηκε κατά τη διάρκεια του 2 ου Παγκοσµίου Πολέµου. Η ανακάλυψη των µικροκυµατικών

Διαβάστε περισσότερα