Διάδοση Τηλεπικοινωνιακών Σημάτων Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Διδάσκων: Θωμάς Καμαλάκης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διάδοση Τηλεπικοινωνιακών Σημάτων Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Διδάσκων: Θωμάς Καμαλάκης (thkam@hua."

Transcript

1 Διάδοση Τηλεπικοινωνιακών Σημάτων Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Αθηνών Διδάσκων: Θωμάς Καμαλάκης

2 Σκοπός και Περιεχόμενο του Μαθήματος Πως μεταφέρονται τα σήματα από το ένα σημείο στο άλλο; Χρησιμοποιούμε τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι μία ειδική περίπτωση ηλεκτρομαγνητικού πεδίου Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο αποτελείται από μία συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και μία συνιστώσα μαγνητικού πεδίου. Επομένως για να μάθουμε πως διαδίδονται τα σήματα θα πρέπει να μάθουμε(μερικούς) από τους κανόνες που διέπουν τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα.

3 Διάρθρωση του Μαθήματος Ενότητα 1: Τα μαθηματικά εργαλεία(διανύσματα, μερικές παράγωγοι, διανυσματικοί τελεστές, Ενότητα : Εξισώσεις Maxwell(συμπεριλαμβάνουμε επίπεδα κύματα, οριακές συνθήκες, πόλωση, ανάκλαση, διάθλαση και τα περί ισχύος) Ενότητα3:Κεραίες(διανυσματικάδυναμικά, στοιχειώδηδίπολα, περιοχές πεδίου, διάγραμμα ακτινοβολίας, βασικές παράμετροι κεραίας, θεώρημα της αμοιβαιότητας, η κεραία ως δέκτης) Ενότητα4: Κυματοδηγοί(σταθεράδιάδοσης, τρόποιδιάδοσης, ορθογώνιοιμεταλλικοίκυματοδηγοί, κύματατεκαιτμ, κυκλικόςμεταλλικόςκυματοδηγός, ομοαξονικόςκυματοδηγός, επίπεδος διηλεκτρικός κυματοδηγός).

4 Ενότητα 1 Τα βασικά μαθηματικά εργαλεία

5 Η έννοια του διανύσματος Έναδιάνυσμαείναιενμέρειέναευθύγραμμοτμήματοοποίο συνδέειδύοσημείαακαιβ. «Ενμέρει»γιατίσεκάθεδιάνυσμαθαπρέπειναπροσδώσουμε καιμίαφορά, δηλαδήνααποφασίσουμεανπηγαίνειαπότοα στοβήαπότοβστοα. κάθεδιάνυσμαaκαθορίζεταιαπότρειςσυντεταγμένεςa x,a y και a z a = ( ax, ay, az )

6 Πράξεις με Διανύσματα Πρόσθεση a ( a b, a b, a b ) + b= x x y y z z Πολλαπλασιασμός με σταθερά λa = ( λa, λa, λa ) x y z Εσωτερικό γινόμενο Εξωτερικό γινόμενο a b= axbx + ayby + azbz a b= ( a b b a ) x ( a b b a ) y+ ( a b b a ) z y z y z x z x z y z y z

7 Ιδιότητες Γινομένων a b= b a a b= b a ( a+ b) c= a c+ b c ( a+ b) c= a c+ b c a ( b c) = b ( c a) = c ( a b) a ( b c) = ( a c) b ( a b) c ( a b) ( c d) = ( a c)( b d) ( b c)( a d)

8 Μέτρο και Μοναδιαία Διανύσματα x=(1,,) y z = (,1,) = (,,1) Τα παραπάνω διανύσματα είναι μοναδιαία επειδή έχουν μέτρο ίσο με την μονάδα. Το μέτρο ενός διανύσματος ορίζεται ως a = a + a + a = a a x y z Κάθεδιάνυσμαaμπορείναγραφτείκαιως: a= a x+ a y+ a z x y z

9 Το εξωτερικό γινόμενο λίγο διαφορετικά a b= x y z a a a x y z b b b x y z a a a a a a a b = x b b y b b + z b b y z x z x y y z x z x y a b= ( a b b a ) x ( a b b a ) y+ ( a b b a ) z y z y z x z x z y z y z

10 Μερικές ιδιότητες Δύοδιανύσματαa καιbείναικάθεταανκαιμόνοεάν: a b= Δύοδιανύσματαa καιbείναιπαράλληλαανκαιμόνοεάν υπάρχει μία σταθερά λ τέτοια ώστε: b=λa Για τα μοναδιαία διανύσματα που ορίσαμε πρίν: x y= z y z= x z x= y

11 Μερικές ιδιότητες a ( a b) = b ( a a) = b ( a b) = a ( b b) = Επομένως το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι κάθετο στα αρχικά διανύσματα! x y z a ( λa) = a a a = x y z λa λa λa x y z Το εσωτερικό γινόμενο δύο παράλληλων διανυσμάτων είναι ίσο με μηδέν!

12 Μερικές Ιδιότητες a b = ( a b) ( a b) = ( b b)( a a) ( a b)( a b) = b a a b a b + a b = b a Αν δύο διανύσματα είναι κάθετα τότε σύμφωνα με την παραπάνω εξίσωση το μέτρο του εξωτερικό τους γινομένου ισούται με το γινόμενο των μέτρων τους a b = b a

13 Κυλινδρικό Σύστημα Συντεταγμένων Στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων, κάθε σημείο(x,y,z) στο χώρο καθορίζεται από τρεις αριθμούς(ρ,φ,z) x= ρ cosφ y= ρ sinφ z = z Όσο αφορά τα διανύσματα μπορούνε να αναπαρασταθούν στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων ως εξής: a= aρρ+ aφφ+ a z z Ταδιανύσματαρ,φκαιzείναι μοναδιαίακαικάθεταμεταξύτους. Δίνονται από τις σχέσεις: ρ= cosφx+ sinφy φ= sinφx+ cosφy z= z

14 Από το καρτεσιανό σύστημα στο κυλινδρικό και ανάποδα: aρ cosφ sinφ ax a φ sinφ cosφ a = y a z 1 a z ax cosφ sinφ aρ a y sinφ cosφ a = φ a z 1 a z

15 Σφαιρικό Σύστημα Συντεταγμένων Στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, κάθε σημείο(x,y,z) στο χώρο καθορίζεται από τρεις αριθμούς(r,θ,φ) x y = r sinθ cosφ = r sinθ sinφ z = r cosθ Όσο αφορά τα διανύσματα μπορούνε να αναπαρασταθούν στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων ως εξής: a= a r+ aφ+ aθ ρ φ θ Ταδιανύσματαr,θκαιφείναι μοναδιαίακαικάθεταμεταξύτους. Δίνονται από τις σχέσεις: r= sinθ cosφx+ sinθ sinφy+ cosθz θ= cosθ cosφx+ cosθ sinφy sinθz φ= sinφx+ cosφy

16 Από το καρτεσιανό σύστημα στο σφαιρικό και ανάποδα: a ρ sinθ cosφ sinθ sinφ cosθ ax a θ cosθ cosφ cosθ sinφ sinθ a = y a φ sinφ cosφ a z ax sinθ cosφ cosθ cosφ sinφ a ρ a y sinθ sinφ cosθ sinφ cosφ = aθ a z cosθ sinθ aφ

17 Μερικές Παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι χρησιμοποιούνται όταν έχουμε συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Για μία συνάρτηση δύο μεταβλητών f(x,y), ο«επίσημος τρόπος» να ορίσουμε τις παραγώγους είναι ο εξής: f ( x, y ) = lim f ( x, y) f ( x y ) x x x x x f ( x, y ) = lim y y y y y, f ( x, y) f ( x y ), Στην πράξη, μπορούμε να υπολογίζουμε την μερική παράγωγο μίας συνάρτησης ως προς μία μεταβλητή χρησιμοποιώντας όλα όσα ξέρουμε για τις συνήθεις παραγώγους, αντιμετωπίζοντας όλεςτιςάλλεςμεταβλητέςωςσταθερές.

18 Μερικά παραδείγματα ανf(x,y)=x +y, τότεθαέχουμε f/ x=xαφούόπωςείπαμεθα θεωρούμεπωςηyείναισταθεράοπότε (y )/ x=. Παρόμοιαθαέχουμε f/ y=y. Στηνπερίπτωσηόπουf(x,y)=x 3 +y 3 f y = 6 y f y x =

19 Διανυσματικές Συναρτήσεις Στιςβαθμωτέςσυναρτήσειςαντιστοιχούμεμίατιμήf(x,y) (μιγαδική ή πραγματική) σε κάθε συνδυασμό μεταβλητών x και y Στις διανυσματικές συναρτήσεις αντιστοιχούμε ένα διάνυσμα Α(x,y) (με μιγαδικές ή πραγματικές συντεταγμένες) σε κάθε συνδυασμό μεταβλητών x και y Φυσικά, αντί για δύο μεταβλητές θα μπορούσαμε να είχαμε συναρτήσεις τριών μεταβλητών. A( x, y, z) = A ( x, y, z) x+ A ( x, y, z) y+ A ( x, y, z) z x y z Παράδειγμα: x + y + z A( x, y, z) = 3x+ 5y+ 6z 9+ xyz

20 Αρμονικές Διανυσματικές Συναρτήσεις Ιδιαίτερα χρήσιμες για τα παρακάτω είναι οι λεγόμενες διανυσματικές συναρτήσεις. ΈστωΑ καιkσταθεράδιανύσματα. Τότεησυνάρτηση A( r) = A jk e r ονομάζεταιδιανυσματική αρμονικήσυνάρτηση. ΓιαπαράδειγμαανΑ =(1,,3) καιk=(3,,1)τότε: ( ) ( ) ( ) jk r A( r) = A e = e j x y z x+ e j x y z y+ 3e j x y z z

21 Τελεστές Οι τελεστές είναι μετασχηματισμοί που μας μεταφέρουν από μία συνάρτηση σε μία άλλη. Για παράδειγμα ο τελεστής της παραγώγισης d/dx μετασχηματίζει μία συνάρτηση f στην παράγωγο της df/dx Μπορούμε να ορίσουμε τελεστές οι οποίοι μετασχηματίζουν μία διανυσματική ή βαθμωτή συνάρτηση σε μία άλλη διανυσματική ή βαθμωτή συνάρτηση. Οπρώτοςτελεστήςπουθαγνωρίσουμεείναιηκλίσημίας βαθμωτής συνάρτησης, f f f f ( x, y, z) = x+ y+ z x y z Το σύμβολο ονομάζεται«ανάδελτα»

22 Τελεστές Το ανάδελτα μπορεί να θεωρηθεί ως ένας τελεστής-διάνυσμα με «συντεταγμένες», =( / x, / y, / z) Μπορούμε επομένως να ορίσουμε διάφορες δράσεις του τελεστή σκεπτόμενοι τις ιδιότητες των διανυσμάτων. Για παράδειγμα όταν πολλαπλασιάζουμε ένα διάνυσμα με ένα αριθμό έχουμε: Μετονίδιοτρόπο: λa= ( λa, λa, λa ) x y z f f f f ( x, y, z) = x+ y+ z x y z Παρατηρείστεπωςηf στηνουσίαέχειμεταφερθείσεκάθε συνιστώσα του =( / x, / y, / z) όπως περίπου και στην περίπτωση ενός πολλαπλασιασμού διανύσματος με αριθμό!

23 Επιπλέον Τελεστές Η απόκλιση(εσωτερικό γινόμενο του με διανυσματική συνάρτηση) A A A x y z A= + + x x y y z z x y z a b= a b + a b + a b To curl(εξωτερικό γινόμενο του με διανυσματική συνάρτηση) A A A A A A y z z z x y z y x z y x A= x y+ z a b= ( a b b a ) x ( a b b a ) y+ ( a b b a ) z y z y z x z x z y z y z

24 Η Λαπλασιανή Τέλος ορίζουμε και την Λαπλασιανή f f f x y z f = + + A= A x+ A y+ A z x y z Οι βασικοί νόμοι του ηλεκτρομαγνητισμού που θα χρησιμοποιήσουμε για να μελετήσουμε την διάδοση των σημάτων εκφράζονται πολύ πιο εύκολα βάση των τριών τελεστών που ορίσαμε, δηλαδή Α, Α και f

25 Παράδειγμα ΈστωΑ καιkσταθεράδιανύσματακαιορίζουμεπάλιτην αρμονική συνάρτηση A( r) = A jk e r Τότε: A= jk A e + jk A e + jk A e = j( k A ) e j k r j k r j k r j k r x x y y z z A= jk A jk e r Επομένως στην περίπτωση μίας αρμονικής συνάρτησης οι τελεστές Α, Α δρούνε σαν εξωτερικό και εσωτερικό γινόμενο αντίστοιχα! A= k A

26 Οι διαφορικοί τελεστές στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων ψ 1 ψ ψ ψ = ρ + φ + z ρ ρ φ z 1 1 A A ( ) φ z A= ρ Aρ + + ρ ρ ρ φ z 1 A A z φ Aρ A z 1 1 A ( A ) ρ A = ρ + + ρ φ ρ φ z φ z ρ z ρ ρ ρ φ ρ ρ ρ ρ φ z 1 f 1 f f f = ρ + +

27 Οι διαφορικοί τελεστές στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων f 1 f 1 f f = r + θ + φ r r θ r sinθ φ 1 ( ) 1 1 Aφ A= r A r + ( Aθ sinθ) + r r r sinθ θ r sinθ φ r A= ( A sin ) φ θ r sinθ θ Aθ φ θ 1 Ar φ A ( ) r + raφ ( raθ ) r + sinθ φ r r r θ f r f sinθ f f = + + r r r r sinθ θ θ r sin θ φ

28 Μην φοβάστε! Δεν χρειάζεται να ξέρετε τους τύπους απέξω!!!

29 Τι μάθαμε: ΤαβασικάμαθηματικάεργαλείατωννόμωντουΗ/Μπουθα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια: Διανύσματα Προσθεση διανυσμάτων και εσωτερικό/εξωτερικό γινόμενο Μερικές παράγωγοι Διανυσματικές συναρτήσεις Διανυσματικοί τελεστές Συστήματα συντεταγμένων

30 Ενότητα Εξισώσεις Maxwell (+επίπεδακύματα, οριακέςσυνθήκες, πόλωση, ανάκλαση, διάθλαση και τα περί ισχύος)

31 Περί Πεδίων Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι μια ειδική κατηγορία ηλεκτρομαγνητικώνπεδίων. Τοηλεκτρομαγνητικόπεδίοαποτελείταιαπόδύοσυνιστώσες: τηνέντασητουηλεκτρικούπεδίουεκαιτηνένταση του μαγνητικού πεδίου Η. Κάθε ηλεκτρικό φορτίο δημιουργεί στον περιβάλλοντα χώρο ένα ηλεκτρικό πεδίο μέσω του οποίου επιδρά πάνω σε άλλα ηλεκτρικά φορτία Κάθε κινούμενο ηλεκτρικό φορτίο δημιουργεί στον περιβάλλοντα χώρο ένα μαγνητικό πεδίο μέσω του οποίου επιδρά πάνω σε άλλα κινούμενα ηλεκτρικά φορτία

32 y q z r -r 1 a(r -r 1 ) r q 1 r 1 Δύναμη Coulomb x Ότανταφορτίαείναιακίνηταή κινούνται με πολύ αργή ταχύτητα τότε ισχύει ο νόμος του Coulomb Έναφορτίοq 1 δημιουργείστον περιβάλλοντα χώρο ένα ηλεκτρικό πεδίο με ένταση Ε της οποίας το μέτρο δίνεται από την σχέση: E = E = q 1 4πε R τοrείναιηαπόστασημεταξύτοφορτίουq 1 καιτοσημείουστο χώροπουμετράμετηνένταση. Ησταθεράε είναιη διηλεκτρική σταθεράτουκενούκαιισούται μεε = Fm -1

33 ΤοΕσανδιάνυσμα q z r -r 1 a(r -r 1 ) r q 1 r 1 όπουr 1 είναιηθέσητου φορτίουq 1 στοχώροκαι τοa(r,r 1 ) είναιένα διάνυσμα το οποίο έχει μέτροίσομε1 καισυνδέει τασημείαrκαιr 1 με κατεύθυνσηπροςτοr 1. y x q E( r ) = a( r, r ) 1 1 4πε R a( r, r ) = 1 r r r r 1 1

34 Δύναμη Lorentz Όταν υπάρχει και μαγνητικό πεδίο στο χώρο, τότε ένα κινούμενο φορτίοq δέχεταιτηνεπίδρασητόσοτουηλεκτρικούόσοκαιτου μαγνητικού πεδίου ταυτόχρονα. Η συνολική δύναμη που εξασκείται σε αυτό, ονομάζεται δύναμη Lorentz και δίνεται από την σχέση: F= q E+ µ ( v H) Όπουvείναιηταχύτητατουφορτίουq μ ημαγνητικήδιαπερατότηταπουστηνπερίπτωση τουκενού καιείναιίσημεμ =4π 1-7 Η/m Ηείναιηέντασητουμαγνητικούπεδίου

35 Εξισώσεις Maxwell B E= t D H= + t D=ρ B= J Νόμος του Faraday Νόμος του Ampere Νόμος του Gauss Νόμος του Gauss Τορείναιηπυκνότητατουελεύθερουφορτίουπουυπάρχειστο χώρο. Το διάνυσμα J είναι η πυκνότητα του ελεύθερου ηλεκτρικού ρεύματος. DκαιΒείναιηπυκνότηταηλεκτρικήςκαιμαγνητικήςροής

36 Καταστατικές Εξισώσεις Στις εξισώσεις Maxwell υπάρχουν 5 διανυσματικά μεγέθη(τα D,E,B,H καιj) καιέναβαθμωτό(τορ). Ορισμένααπόαυτάσυνδέονται: ΗσχέσηπουδιέπειταDκαιΒ με τα Ε και Η αντίστοιχα ονομάζονται καταστατικές εξισώσεις καικαθορίζονταιαπότουλικόστοοποίουπάρχουνταπεδία. Στα υλικά που θα εξετάσουμε, οι καταστατικές εξισώσεις γράφονται: D=εE B=µ H Τοεείναιηδιηλεκτρική σταθεράτουμέσου. Στηγενικήπερίπτωσητοεείναιμίασυνάρτησητηςθέσηςε=ε(r). Στηνπερίπτωσηόπουτομέσοείναιτοκενόήοαέραςη διηλεκτρικήσταθεράισούταιμεε=ε = Fm -1.

37 Πυκνότητα Ρεύματος και πυκνότητα ελεύθερου φορτίου ΤοJκαιτορεπίσηςσχετίζονταιμετοείδοςτουυλικούκαιτα φορτία που υπάρχουν σε αυτό. αςυποθέσουμεπωςστομέσομαςυπάρχειέναςπληθυσμόςαπό σωματίδια τα οποία μπορούν να κινούνται ελεύθερα(δηλαδή δεν δεσμεύονταιαπόταάτοματουυλικού) Αυτά φέρουν ένα ηλεκτρικό φορτίο q και κινούνται με ταχύτητα v. Αν υποθέσουμε πως η πυκνότητα των σωματιδίων ανά μονάδα όγκου είναι n(r), τότε: ρ ( r) = n( r) q J( r) = qn( r) v

38 Εξισώσεις Maxwell (ξανά!) = µ H E t ε E H= + J t ( εε) = ρ Η= Έχουμε αντικαταστήσει τις καταστατικές εξισώσεις του μέσου D=εE B=µ H

39 Εξισώσεις Maxwell (στον ελεύθερο χώρο) Στονελεύθεροχώροήτον αέρα: α) δενέχουμεελεύθεραφορτία (J=ρ=) καιβ) ε(r)=ε Οι εξισώσεις Maxwell γράφονται ως εξής: = µ H E t =ε E H t Ε= Η=

40 Ο Μετασχηματισμός Fourier Κάθε συνάρτηση x(t) μπορεί να παρασταθεί στο πεδίο των συχνοτήτων, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό Fourier, + = jωt X ( ω) x( t) e dt + 1 jωt x( t) = X ( ω) e dω π Ευθύς μετασχηματισμός Ανάστροφος μετασχηματισμός Η τελευταία εξίσωση λέει πως κάθε συνάρτηση(εκτός αν είναι πολύ ανώμαλη) μπορεί να παρασταθεί με ένα άθροισμα εκθετικών συναρτήσεων της μορφής Χ(ω)exp(jωt) Θυμηθείτε πως σύμφωνα με τον Riemann το ολοκλήρωμα είναι στηνουσίαέναάθροισα( dt ΣΔt)

41 Μετασχηματισμός Fourier των Η/Μ πεδίων + 1 jωt E( r, t) = E% ( r, ω) e dω π + E( r, ω) E% ( r, t) e = jωt To ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο είναι συναρτήσεις του χρόνου Σεκάθεσημείοτουχώρουμπορούνκαιαυτάεπομένωςνααναλυθούν κατά Fourier. To ωραίομετιςεξισώσειςmaxwell(τουλάχιστονστηνμορφήπουθατις δούμε εμείς) είναι ότι είναι γραμμικές Ανέχωδύοπεδία(Ε 1,Η 1 ) και(ε,η ) πουείναιλύσειςτους, τότεκαιτο πεδίο(c 1 E 1 +c E, c 1 H 1 +c H ) είναιλύσητους. Τοπαραπάνωγενικεύεταικαιγιαμεγαλύτεροάθροισμα. Επομένως αν βρω τις λύσεις των εξισώσεων Maxwell της μορφής Ε (r)exp(jωt), τότεμπορώνατιςπροσθέσωσύμφωναμετηνπρώτη εξίσωση και να βρω την γενικότερη λύση dt

42 Οι εξισώσεις Maxwell για αρμονικά κύματα E= E ( ) j t r e ω H= H ( ) j t r e ω Αρμονικά κύματα E = jωµ H H = jωε E E = H = Αν αντικαταστήσουμε τις αρμονικές λύσεις στις εξισώσεις Maxwell απλοποιούνται ακόμα περισσότερο t e jωt = jωe jωt

43 Υπάρχουν μιγαδικά πεδία? ΌΧΙ! Στην φύση υπάρχουν μόνο πραγματικά πεδία. Πεδία της μορφήςε exp(jωt) δενυπάρχουν. Ωστόσο, αυτό δεν σημαίνει ότι δεν μπορούμε να αθροίζουμε πολλάπεδίατηςμορφήςε exp(jωt) καιναπαίρνουμε πραγματικά πεδία! 1 ( ωt φ) E( r, t) = E cos + Πραγματικό Πεδίο 1 1 E( r, t) = E e e + E e e jφ jωt jφ jωt 1 1 Άθροισμα Δύο Μιγαδικών!

44 ΤοΗ/Μφάσμα Μήκοςκύματος, λ=πc/ωόπουc=3 1 8 m/sec ηταχύτητατου φωτός στο κενό.

45 Επίπεδα Κύματα ΠρόκειταιγιααρμονικάκύματατηςμορφήςΕ 1 (r)exp(jωt) όπουτο Ε 1 (r)εξαρτάταιαρμονικάαπότοr E( r, t) H( r, t) = = E 1 H e 1 e j( k r+ωt) j( k r+ωt) Το διάνυσμα k ονομάζεται το κυματάνυσμα του επίπεδου κύματος κάθε ηλεκτρομαγνητικό σήμα μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα επίπεδων κυμάτων j E( r, t) = dω dkx dk y dkze% ( k, ω) e ω π ( t k r)

46 Εξισώσεις Maxwell για επίπεδα κύματα E E E E E E = + y z z z x y z y x z y x E x y z E = ( E, E, E ) = ( E e, E e, E e ) j k r j k r j k r x y z 1x 1y 1z ( ) E = j k E 1 j e k r οτελεστής έδωσετηνθέσητουστοεξωτερικόγινόμενοk Παρόμοιαο δίνειτηθέσητουστοk

47 Εξισώσεις Maxwell για επίπεδα κύματα E = jωµ H k E1 =ωµ H1 H = jωε E k H1 = ωε E1 E = H = k E1 = k H1= έχουμεθέσειεαντίε γιανασυμπεριλάβουμετηνπερίπτωση όπου το μέσο έχει διαφορετική διηλεκτρική σταθερά από αυτή του κενού.

48 Ιδιότητες Επίπεδων Κυμάτων k E1 = k H1= Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο είναι κάθεταστοk k E1 =ωµ H1 k H1 = ωε E1 Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο είναι κάθεταστοkκαικάθεταμεταξύτους (θυμηθείτε τις ιδιότητες του εξ. γινομένου) H k E

49 Ο κανόνας του δεξιού χεριού k E1 =ωµ H1

50 Το μέτρο του διανύσματος k k E1 =ωµ H1 k H1 = ωε E1 k k E = ω µ εe 1 1 ( ) ( ) ( ) k k E = k E k k k E = k k E = k E =ω µ ε 1 k E E k =ω µ ε

51 Ησημασίατουk E( r, t) = E 1 e j( k r+ωt) ω = c Έστωπωςτοδιάνυσμαkείναιπαράλληλομετονάξονατωνx Σεκάθεσημείοτουχώρουμπορούμεναυπολογίσουμετηφάση του επίπεδου κύματος, φ(r,t)=ωt-k r Έναμέτωποτουκύματοςορίζεταιωςηεπιφάνειαπουέχει σταθερή φάση. Το μέτωπο φ= είναι το επίπεδο ωt-k r= ή ισοδύναμαk (r-r 1 )= όπουr 1 =(ωt/ k,,) Τοεπίπεδοαυτότέμνειτονάξονατoυxστοσημείο(ω/ k )t Επομένως το μέτωπο μετακινείται με ταχύτητα v φ =ω/ k =1/(μ ε) 1/ Στοκενόέχουμεε=ε καιαναντικαταστήσουμεπαίρνουμε: v φ =3 1 8 m/s δηλαδήτηνταχύτητατουφωτόςστοκενό Επομένωςτομέτωποτουκύματοςοδεύειμετηνταχύτητατου φωτός! Τυχαίο; Δεν νομίζω! k

52 Μήκος Κύματος Επίπεδων Κυμάτων Έστωπάλιπωςτοδιάνυσμαkείναιπαράλληλομετονάξονα τωνx Ηχωρικήεξάρτησητωνεπίπεδωνκυμάτωνείναιαρμονική, δηλαδή της μορφής: e = e jk r+ ωt jkx+ ωt Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει πως αν το t είναι σταθερό, η χωρική εξάρτηση επαναλαμβάνεται με περίοδο λ όπου Τολείναιτομήκοςκύματος! π π c λ = = k ω k = k = ω c

53 Δείκτης Διάθλασης Συχνά αντί της διηλεκτρικής σταθεράς χρησιμοποιούμε τον δείκτη διάθλασης για να περιγράψουμε τις ιδιότητες του μέσου. k ω ε = ω µ ε = c ε Ο δείκτης διάθλασης του μέσου ορίζεται από την σχέση: n = ε ε Οπότε: k = ωn c

54 Εμπέδηση Κύματος Αν δύο διανύσματα είναι κάθετα το μέτρο του εξωτερικό τους γινομένου ισούται με το γινόμενο των μέτρων τους: H k E1 =ωµ H1 k k E =ωµ H 1 1 E Z = E1 ωµ µ H = ω µ ε = ε 1 ΤομέγεθοςZ είναιηεμπέδησητουκύματος Στηνπερίπτωσητουκενούαναντικαταστήσουμεε = Fm -1 καιμ =4π 1-7 Η/mθαπάρουμεΖ=376.73Ω

55 Πόλωση Επίπεδου Κύματος Θυμηθείτε: Στην φύση υπάρχουν μόνο πραγματικά πεδία! Επομένως δεν είναι δυνατόν να παρατηρήσουμε ποτέ ένα επίπεδοκύμα. Ας θεωρήσουμε ένα πραγματικό κύμα με ηλεκτρικό πεδίο ( ω φ ) E ( r, t) = E cos t kz+ x x x ( ω φ ) E ( r, t) = E cos t kz+ y y y E ( r, t ) = Τότε μπορούμε να γράψουμε τις συνιστώσες ως εξής: 1 1 E ( r, t) = E e e + E e e 1 jφ 1 y ω jφ y Ey ( r, t) = Eye e + Eye e z jφx j( ωt kz) jφx j( ωt kz) x x x j( t kz) j( ωt kz)

56 Πόλωση Επίπεδου Κύματος Ορίζουμε ένα διάνυσμα E jφx Exe jφ y = E e y οπότε το ηλεκτρικό πεδίο γράφεται ως άθροισμα επίπεδων κυμάτων: * j( ωt kz) j( ωt kz) j( ωt kz) E( r, t) = E e + e = Re e E E { } Προσέξτεότιk=kzκαιεπομένωςισχύειk Ε=

57 Πόλωση Επίπεδου Κύματος ΠωςεξελίσσεταιτοδιάνυσμαΕστοχώρο; Αςτοπαραστήσουμεσεένασύστημα συντεταγμένων ώστε να έχει αρχή το κέντρο των αξόνων Μετηνπάροδοτουχρόνουτοσημείο (E x (t),e y (t)), δηλαδήτοάκροτουδιανύσματος, κινείταιπάνωσεμίακαμπύλητηςοποίαςτα χαρακτηριστικά μπορούμε να υπολογίσουμε Με λίγη απλή τριγωνομετρία: ( ) ( ) { ω φ ω φ } E = E cos t kz cos sin t kz sin x x x x ( ) ( ) { ω φ ω φ } E = E cos t kz cos sin t kz sin y y y y ΑνθεωρήσουμεπωςταE x καιe y είναιγνωστάτότεαπότις παραπάνω εξισώσεις είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε τα cos(ωtkz) καιτοsin(ωt-kz).

58 Πόλωση του Κύματος Για το σκοπό αυτό βρίσκουμε την ορίζουσα του συστήματος D = Ex cosφx Ex sinφx E E sin E cosφ E sinφ = y y y y ( φ φ ) x y y x E E sinφ D E E E E x x x c = = x y sinφy y x sin x Ey Ey sinφy φ E cosφ E D E E E E x x x s = = y x cosφx x y cos y Ey cosφy Ey φ

59 Γραμμική Πόλωση ΑνηορίζουσαDείναιίσημεμηδέντότετοσύστημαέχειλύση μόνοανd c =D s =. ΓιαναείναιD= θαπρέπειe x = ήe y = ήsin(φ y -φ x )=, οπότε φ y =φ x ήφ y =π+φ x. Σεκάθεπερίπτωσητοσημείο (E x (t),e y (t)) θακινείταιπάνωσε μίαευθείαπουπερνάειαπότηναρχήτωναξόνων. ΑνE x = τότεηευθείααυτήείναιοάξοναςτωνyενώανe y = τότε πρόκειταιγιατονάξονατωνx. Ανφ y =φ x ήφ y =π+φ x θαέχουμε: E y = ± E E y x E x όποτεπρόκειταιγιαμιαευθείαπουπάλιπερνάειαπότηναρχή τωναξόνωνκαιηκλίσητηςείναι±ε y /Ε x. Στην περίπτωση αυτή μιλάμε για γραμμική πόλωση

60 Πόλωση Επίπεδου Κύματος ΑνηορίζουσαDδενείναιμηδέντότεεκμεταλλευόμενοιτο γεγονόςότιcos (ωt-kz)+sin (ωt-kz)=1 θαέχουμε: E E y E x y E x sinφy sinφx + cosφx cosφy = sin φy φ x Ex E y Ey E x ( ) E E x y E E x y + cos = sin E x E y Ex Ey ( ) φ φ ( φ φ ) y x y x

61 Κυκλική Πόλωση E E x y E E x y + cos = sin E x E y Ex Ey ( ) φ φ ( φ φ ) y x y x Απότηνπαραπάνωεξίσωσησυνάγουμεπωςανφ y =±π/+φ x και Ε x =E y =Κτότε E x E y + = 1 K K καιεπομένωςτoσημείο(e x (t),e y (t)) βρίσκεταιπάνω σεένακύκλο πουέχεικέντροτηναρχή τωναξόνωνκαιακτίνακ=ε x =E y Τότελέμεπωςτοκύμαέχεικυκλική πόλωση.

62 Ελλειπτική Πόλωση E E x y E E x y + cos = sin E x E y Ex Ey Στην γενική περίπτωση μπορούμε να δείξουμε πως η παραπάνω εξίσωσηαντιστοιχείσεμίαέλλειψη. Πράγματι πρόκειται μία εξίσωση της μορφής ( ) φ φ ( φ φ ) y x y x Ax Bxy Cy F = B 1 1 ( ) 1 1 4AC= 4 cos φ φ < y x Ex Ey Ex Ey Επομένως πρόκειται για μία έλλειψη και μιλάμε για ελλειπτική πόλωση.

63 Συνοψίζοντας τα περί πόλωσης Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις: Τοσημείο(E x (t),e y (t)) θακινείταιπάνωσεμίαευθείαπουπερνάει απότηναρχήτωναξόνωνανφ y =φ x ήe x = ήe y =. Στηνπερίπτωση αυτήλέμεπωςτοκύμαμαςέχειγραμμικήπόλωση. Τοσημείο(E x (t),e y (t)) θακινείταιπάνωσεένανκύκλομεκέντρο τηναρχήτωναξόνωνκαιακτίνακανφ y =±π/+φ x καιε x =E y =Κ. Στηνπερίπτωσηαυτήλέμεπωςτοκύμαμαςέχεικυκλική πόλωση. Σεκάθεάλληπερίπτωσητο(E x (t),e y (t)) θακινείταιπάνωσεμία έλλειψη. Στηνπερίπτωσηαυτήλέμεπωςτοκύμαμαςέχει ελλειπτική πόλωση.

64 Οριακές Συνθήκες Μέχριτώραθεωρήσαμεπωςοχώροςστον οποίοεξετάσαμετα κύματα μας ήτανε ομογενής, δηλαδή η διηλεκτρική σταθερά ε δενεξαρτιόταναπότοχώροκαιμάλισταητιμήτηςήτανείσημε την διηλεκτρική σταθερά του κενού. Τιγίνεταιόταναυτόδενισχύει? Π.χότανοχώροςαποτελείται από δύο υλικά? Για παράδειγμα φανταστείτε κύματα που διαδίδονται πάνω από τη θάλασσα. Κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας η διηλεκτρικήσταθεράείναιπερίπουε =3ε (διηλεκτρικήσταθερά τουνερού) ενώπάνωαπότηνεπιφάνειατηςείναιε 1 =ε (διηλεκτρικήσταθεράτουαέρα) ε=ε ε=8ε

65 Οριακές Συνθήκες ΤιμαςλένεοιεξισώσειςMaxwell γιαταπεδίαστηνδιαχωριστική επιφάνεια; Στηνμορφήτουςμέχριτώρα τίποταήσχεδόντίποτα. Ολόγος είναι πως το ε(x,y,z)=ε(z) δεν είναι συνεχής συνάρτηση! Αυτό δημιουργεί ένα πρόβλημα εξαιτίας του Νόμου του Gauss ο οποίος λέει ότι D= [ ε Ex] + ε E y + [ ε Ez] = ρ x y z Οι παράγωγοι μέσα στην παρένθεση δεν ορίζονται, επειδή το ε(x,y,z)=ε(z) δεν είναι συνεχής συνάρτηση Μπορούμεωστόσοναθεωρήσουμεπωςηε(z) δεν παρουσιάζει ασυνέχεια αλλά είναι πολύ απότομη Παραλείπουμε την ανάλυση!

66 Οριακές Συνθήκες ( ) ( ) ( ) n D D =ρ 1 s n B B = 1 n H H = J 1 s ( ) n E E = 1 Στιςπαραπάνωσχέσεις, D 1 καιd είναιηηλεκτρικήροήακριβώς πάνω και κάτω από την διαχωριστική επιφάνεια αντίστοιχα ΟμοίωςορίζονταικαιταΒ i,h i, E i Tαρ s καιj s ονομάζονταιεπιφανειακέςπυκνότητεςφορτίουκαι ρεύματος και οφείλονται σε ενδεχόμενες ασυνέχειες των D και H n=n(x,y) είναι το διάνυσμα που είναι κάθετο στην επιφάνεια D ( x, y) = lim D( x, y, z) D( x, y) = lim D( x, y, z) 1 z + z

67 Ανάκλαση και Διάθλαση Επίπεδων Κυμάτων Ας εξετάσουμε λοιπόν τι συμβαίνει όταν ένα επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό κύμα προσπίπτει σε μία επιφάνεια που χωρίζει δύο μέσα. τόσο το κύμα που προσπίπτει στην διαχωριστική επιφάνεια (προσπίπτων) όσοκαιτοκύμαπουανακλάται(ανακλώμενο) αλλά και το κύμα που διαθλάται(διαθλώμενο) θεωρούμε πως είναι επίπεδα κύματα Εξ. Maxwell στομέσο1 ( E E ) jωµ ( H H ) + = + i r i r ( Hi Hr) jωε1( Ei Er) ( E E ) + = + + = i ( H H ) + = i r r Εξ. Maxwell στομέσο E = jωµ H t H = jωε E Et = H = t t t t

68 Εξισώσεις Maxwell για το προσπίπτον και το ανακλώμενο κύμα ( E E ) jωµ ( H H ) + = + i r i r ( Hi Hr) jωε1( Ei Er) ( E E ) + = + + = i ( H H ) + = i Συνολικό Πεδίο r r Αφαιρούμε το προσπίπτον από το συνολικό! E = jωµ H r H = jωε E r Er = Hr = 1 r r Προσπίπτον Πεδίο E = jωµ H i H = jωε E i Ei = Hi = 1 i i Τοπροσπίπτονπεδίοστηνπεριοχή1 είναιτοπεδίοπουθα υπήρχεανδενυπήρχετομέσο. Επομένωςστηνπεριοχή1 υπακούει τις εξισώσεις Maxwell

69 Μορφή των πεδίων E i = E e jki r i E r = E e jk r r r E t = E e jkt r t H i = H e jki r i H r = H e jk r r r H t = H e jkt r t k i = ω µ ε = k 1 1 k r = ω µ ε = k 1 1 k t = ω µ ε = k Κάθε ένα από τα κύματα παρουσιάζει μία αρμονική εξάρτηση ως προς τις χωρικές συντεταγμένες Οι σταθερές διάδοσης μπορεί να έχουν διαφορετικό μέτρο στο μέσο1 καιστομέσο αφούδιαφέρειηδιηλεκτρικήσταθερά!

70 Οριακές συνθήκες για τα επίπεδα κύματα ( ε ε ) n E / E / = ( ) n H H = 1 ( ) n H H = 1 ( ) n E E = 1 Θεωρούμε πως δεν υπάρχουνε ελεύθερα φορτία στην διαχωριστική επιφάνεια n είναι το διάνυσμα που είναι κάθετο στην διαχωριστική επιφάνεια.

71 Οριακές συνθήκες για τα επίπεδα κύματα 1 1 n ( E e + E e ) = n E e ε jk r jk r jk r i r t 1 ε i r t ( ) n H e + H e = n H e jk r jk r jk r i r t i r t ( i r ) ( t) n H e + H e = n H e jk r jk r jk r i r t ( i r ) ( t ) n E e + E e = n E e jk r jk r jk r i r t Οι παραπάνω σχέσεις θα πρέπει να επαληθεύονται για κάθε r =(x,y,). Γιαναισχύειαυτόθαπρέπει: k r = k r = k r i t r kix = ktx = krx kiy = kty = kry

72 Στροφή των αξόνων kiy = kty = kry = Μπορούμε να στρέψουμε το σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε ηπροβολήτουδιανύσματοςk i ναείναιίσημεμηδέν ωςπροςτον άξονατωνy Απότιςοριακέςσυνθήκεςξέρουμεπωςτοίδιοθαπρέπεινα ισχύεικαιγιατιςσυντεταγμένεςωςπροςyτωνk t καιk r Αυτόσημαίνειπωςκαιτατρίαδιανύσματαθαβρίσκονταιστο ίδιο επίπεδο, δηλαδή το επίπεδο x-z.

73 Οι νόμοι της ανάκλασης και της διάθλασης Λίγη ακόμη τριγωνομετρία: k = k sin 1 θ ix k = k sin θ tx k = k sin 1 θ rx kix = ktx = krx i t r k sinθ = sinθ i sinθ = k 1 i r sinθ t Νόμος της Ανάκλασης n θ = θ i r sinθ = n 1 i sinθ Νόμος της Διάθλασης (Snell) t

74 Κρίσιμη Γωνία ΟνόμοςτουSnell συνεπάγεταιότι, sinθ = t n n 1 sinθ i Ανn 1 /n >1 αυτόσημαίνειπωςυπάρχουνετιμέςτηςθ i γιατις οποίεςδενμπορούμεναυπολογίσουμετοθ t Αυτόσυμβαίνειότανθ i >θ c όπουτοθ c υπολογίζεταιαπότην σχέση sinθ c = Τοθ c ονομάζεταικρίσιμηγωνία n n 1

75 Εξισώσεις Fresnel Οι εξισώσεις Maxwell μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε και τις εντάσεις των κυμάτων. Αςυποθέσουμεπωςοιεντάσειςτουηλεκτρικούκαιτου μαγνητικού πεδίου για το προσπίπτον κύμα είναι όπως φαίνονται στο σχήμα(ηλεκτρικό πεδίο κάθετο στο επίπεδο πρόσπτωσης) j i Eiy Eie k = r Ei Hix = cos Z 1 j i θ i e k r E ty = j t E e t k r H rx = E Z r 1 cos j r θ k r e r E ry = j r E e k r r H tx = E Z t cos j t θ e t k r

76 Εξισώσεις Fresnel Χρησιμοποιούμε τις οριακές συνθήκες για να γράψουμε τις σχέσεις των πεδίων στην διαχωριστική επιφάνεια Ety = Ery + Eiy Htx = H rx + Hix E = E + E t r i E E E cosθ = Z Z Z t i r t 1 1 cosθi Συντελεστής Ανάκλασης ρ v E ε 1 cosθi ε cosθ r t n1 cosθi n cosθt = = = E ε cosθ + ε cosθ n cosθ + n cosθ i 1 i t 1 i t Συντελεστής Διέλευσης t v E ε 1 cosθ t i n1 cosθi = = = E ε cosθ + ε cosθ n cosθ + n cosθ i 1 i i 1 i t

77 Ηλεκτρικό Πεδίο παράλληλο στο επίπεδο πρόσπτωσης ρ t p p E ε 1 cosθt ε cosθ r i n1 cosθt n cosθi = = = E ε cosθ + ε cosθ n cosθ + n cosθ i 1 t i 1 t i E ε 1 cosθ t i n1 cosθi = = = E ε cosθ + ε cosθ n cosθ + n cosθ i 1 t i 1 t i

78 ΣυντελεστέςΑνάκλασηςότανn 1 <n 1.5 ρ v ρ p ρ θ i /π

79 ΣυντελεστέςΑνάκλασηςότανn 1 >n 1 ρ v.5 ρ p ρ θ i /π Hγραφικήπαράστασηδενεκτείνεταισεόλοτονάξονατηνθ i καθώςδενμπορούμεναυπολογίσουμετοsinθ t όταν τοθ i ξεπερνάειτοθ c =.16π. Παρατηρείστεπωςκοντάστηνγωνίααυτή, έχουμε ρ v ρ p 1 κάτι που υποδεικνύει ότι το κύμα ανακλάται πλήρως στην διαχωριστική επιφάνεια

80 Ισχύς του Ηλεκτρομαγνητικού Κύματος το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο μπορεί να μετακινήσει ηλεκτρικά φορτία και επομένως να παράγει κάποιου είδος έργου Ησυνολικήδύναμηπουδέχεταιτοφορτίοδίνεταιαπότην δύναμη Lorentz dw dt ( ) F= qe+ µ q v H ( ) { µ } dw = F dr= qe+ q v H dr d = { qe+ µ ( )} { ( )} q v H r = qe+ µ q v H v dt τοδιάνυσμαv Hείναικάθετοστοvκαιεπομένως(v H) v= P dw = = ( qv) E dt

81 Ισχύς του Ηλεκτρομαγνητικού Κύματος Σεένανόγκομεπολλάκινούμεναφορτία, ηπυκνότηταισχύος που προσφέρεται από το πεδίο στα φορτία του όγκου δίνεται από την σχέση: p loss = P 1 Nq V = v V E = J E Nq J= nqv= v V Γιαναυπολογίσουμετην ισχύππουπροσφέρειτο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο θα πρέπει να ολοκληρώσουμε σε όλο τον όγκο Π= loss = V V p dv E J dv

82 Θεώρημα Poynting ήπώςναυπολογίζετετιςαπώλειεςχωρίςναξέρετετοj S = E H S= H E E H B E= t D H= + t J B D S= H E E J t t

83 Θεώρημα Poynting ήπώςναυπολογίζετετιςαπώλειεςχωρίςναξέρετετοj B D S= H E E J t t B D SdV = S nds = H dv E dv E JdV t t V S V V V Θεώρημα Gauss B D E H nds+ H dv + E dv = E JdV t t ( ) S V V V

84 Θεώρημα Poynting ήπώςναυπολογίζετετιςαπώλειεςχωρίςναξέρετετοj B D SdV = S nds = H dv E dv E JdV t t V S V V V H E E H nds+ µ H dv + εe dv = E JdV t t ( ) S V V V 1 E 1 H E = E H = H t t t t E H nds+ udv = E JdV t ( ) S V V 1 1 u = µ H + ε E (J/m 3 )

85 Ερμηνεία(?) του θεωρήματος Τοuέχειδιαστάσειςενέργειαςανάμονάδαόγκουκαι αναφέρεται ως η«πυκνότητα της αποθηκευμένης ενέργεια του ηλεκτρομαγνητικούπεδίου». Το διάνυσμα S ονομάζεται διάνυσμα Poynting και έχει διαστάσεις ισχύος ανά μονάδα επιφανείας. E H nds+ udv = E JdV t ( ) S V V 1 1 u = µ H + ε E

86 Εφαρμογή στην περίπτωση μίας λεπτής πλάκας Στο εσωτερικό της πλάκας υπάρχουνε διάφορα ελεύθερα φορτία και η πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος είναι ίση με J Ανυποθέσουμεπωςστην άκρητηςπλάκαςτο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο είναι πολύ ασθενές τότε: ( ) ( ) ( ) E H nds E H n ds E H n ds 1 1 S S S ( ) ( ) 1 1 E H n ds E H n ds = E JdV udv 1 1 t S S V V η μεταβολή στο επιφανειακό ολοκλήρωμα του διανύσματοςsαπότηνεπιφάνειαs 1 στην επιφάνειαs ισούταιμετιςαπώλειεςισχύος λόγω των ελεύθερων φορτίων και το ρυθμό μεταβολής της πυκνότητας της ενέργειας του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου

87 Αρμονικά Πεδία(Πραγματικά) 1 j t 1 * E( r, t) = E1( r) e ω + E1 ( r) e jωt 1 j t 1 * H( r, t) = H1( r) e ω + H1( r) e jωt 1 jωt 1 1 S( r, t) = ( E H ) e + ( E H ) e E H + E H ± j ωt 1 * = { οροι που περιέχουν το e } + Re 1 1 E H * * jωt * * E ( r, t) [ ( )] e ( ) e ( ) 4 E r 4 E r E r j ωt * j ωt = H ( r, t) [ ( )] e ( ) e ( ) 4 H r 4 H r H r j ωt * jωt = u = 1 ε E r + 1 µ + ± j ωt { e } 1( ) H1( r) οροι που περιέχουν το

88 Αρμονικά Πεδία(Πραγματικά) 1 j t 1 * J( r, t) = J1( r) e ω + J1( r) e 1 E J= E J + E J + jωt { * * ± j } { ωt οροι που περιέχουν το e } Χρησιμοποιούμε το Θ. Poynting θαέχουμεσταδύομέρητηςεξίσωσηςόρουςπουέχουνχρονική εξάρτηση σύμφωνα με το exp(jωt), όρους με χρονική εξάρτηση σύμφωνα με το exp(-jωt) και όρους που δεν έχουν καθόλου χρονικήεξάρτηση(μέσεςτιμές). Οιαντίστοιχοιόροισταδύομέρηθαπρέπειναείναιίσοι(αλλιώς δεν υπάρχει ελπίδα να επαληθεύεται η για κάθε t!) 1 1 Re ( ) Re E H nds = dv E J S * * V Θεώρημα Poynting για τα αρμονικά πεδία.

89 Διάνυσμα Poynting για αρμονικά πεδία 1 W= Re E H P 1 = W n ds S 1 { * } 1 1 Διάνυσμα Poynting για τα αρμονικά πεδία. Μέση Ισχύς για τα αρμονικά πεδία Στην περίπτωση ενός επίπεδου κύματος έχουμε: 1 { } 1 * { ( *)} 1 W= Re E1 H1 = Re E1 k n E1 = E1 k Z Z Στηνπερίπτωσηόπουδεν έχουμεηλεκτρικόρεύμα(j 1 =) 1 Re ds = ( *) 1 1 E H n S n

90 Ισχύς Ανακλώμενου και Διαθλώμενου Κύματος W z 1 E k z E cosθ i i i = i = n1 i Z1 ki Z Z k z ρ cosθr W z E E Z 1 r r = r = n1 i k r Z k cos t z τ θt t = t = n ι k t Z W z E E R = ρ T = τ n n 1 cosθ t cosθ i

91 Συντελεστές Ανάκλασης και Διέλευσης Ισχύος όταν n 1 <n R v.6 R p ρ.4 T v ρ.4 T p θ i /π θ i /π

92 Συντελεστές Ανάκλασης και Διέλευσης Ισχύος όταν n 1 >n 1 1 R v R p.8 T v.8 T p.6.6 ρ ρ θ i /π θ i /π

93 Τι μάθαμε: Τις εξισώσεις Maxwell Tα επίπεδα κύματα Τις οριακές συνθήκες Ταπερίισχύοςτουπεδίου Τους βασικούς νόμους της διάθλασης και της ανάκλασης

94 Ενότητα 3 Βασικά Στοιχεία Κεραιών

95 Previously on Lost (with Maxwell) ΟιεξισώσειςMaxwell-περιέχουντοηλεκτρικόρεύμαJκαιτην πυκνότητα ηλεκτρικού φορτίου ρ που καθορίζουν την χρονική καιχωρικήκατανομήτων εντάσεωνεκαιη. Για να αποτυπώσουμε επομένως ένα σήμα στο ηλεκτρομαγνητικό μας πεδίο μπορούμε να το αποτυπώσουμε στοηλεκτρικόρεύμαj. Οι κεραίες είναι διατάξεις οι οποίες είναι ειδικά σχεδιασμένες ώστεναδημιουργούνμίακατάλληληκατανομήτουjηοποίαμε τηνσειράτηςναδημιουργείτιςκατάλληλεςκατανομέςεκαιη

96 Διανυσματικό Δυναμικό ΑςορίσουμεένανέομέγεθοςΑτοοποίοθατοονομάζουμε διανυσματικό δυναμικό και το οποίο σχετίζεται με την πυκνότητα μαγνητικής ροής Β ως εξής B = A Ένα βασικό θεώρημα της διανυσματικής ανάλυσης λέει πως αν μία διανυσματική συνάρτηση Β έχει Β=, τότε υπάρχει μία συνάρτηση Α τέτοια ώστε να ισχύει η παραπάνω σχέση Έχουμε και μία σχετική ελευθερία να επιλέξουμε την συνάρτηση Α. Εφόσον ( φ)=, τότε και η συνάρτηση A = A+ φ B= A= A

97 Τα πεδία σε σχέση με το διανυσματικό δυναμικό B = A H 1 = µ A E= jωµ H= jω A Όταν Φ 1 = Φ τότεεν γένειυπάρχειμίασυνάρτησηfγιατην οποίαφ 1 =Φ + f, συνεπώςησυνεπάγεταιότι: E = jωa+ f

98 Το διανυσματικό δυναμικό και το ρεύμα H 1 = µ A E = jωa+ f H= J+ jωε E 1 ω ε jωε f µ = + A J A ( ) A= A A ( j f) ω εµ µ ωµ ε A+ A= J+ A+

99 ΑπλοποιήστετοΑκαιτηνζωήσας ΜπορούμεναεπιλέξουμετοΑέτσιώστε A= jωµ ε f ( j f) ω εµ µ ωµ ε A+ A= J+ A+ Συνδέσαμε το δυναμικό μετορεύμα! A ω εµ A µ J + = j E= jωa A ωµ ε ( )

100 Βρίσκοντας το πεδίο(με την πράσινη συνάρτηση) jk r r µ e A( r) = J( r ) dv 4π r r V Η παραπάνω σχέση ισχύει στον ελεύθερο χώρο ΜαςλέειπωςγιαναβρούμετοΑ(x,y,z) θαπρέπεινα προσδιορίσουμε τον όγκο V μέσα στον οποίο περιλαμβάνεται το ηλεκτρικό μας ρεύμα J(x,y,z ) Μετά να ολοκληρώσουμε το J(x,y,z ) πολλαπλασιασμένο με τον κατάλληλοπαράγοντα όπουr=(x,y,z) καιr =(x,y,z ). Το r-r είναι η απόσταση του εκάστοτε σημείου(x,y,z ) που θεωρούμε εντός του όγκου που περιλαμβάνει τις πηγές και του σημείου(x,y,z) όπου θέλουμε να υπολογίσουμε το Α. Όταν υπολογίσουμε το Α τότε μπορούμε να υπολογίσουμε και το Η/Μ πεδίο.

101 Ηπρώτημαςκεραία: τοδίπολοτουhertz z y l J r x r =(x,y,z ) r=(x,y,z) ΗπυκνότηταρεύματοςJ θεωρείται πως είναι σταθερόσεόλοτομήκος του σύρματος. Υποθέτουμε επίσης πως η πυκνότητα του ρεύματος είναι προσανατολισμένη κατά τονάξονατωνz J = J z z jk r r l / jk r r l / jk r r e e I e dv πρ J z dz dz r r r r r r V l / l / µ µ µ A( r) = J( r ) z = z 4π 4π 4π

102 ΜιααπλοποίησηγιατοΑ υποθέτουμεπωςτομήκοςτουσύρματοςείναιτόσομικρόσε σχέση με την απόσταση μεταξύ του κέντρου του σύρματος και του σημείου r=(x,y,z) έτσι ώστε να ισχύει r r = x + y + ( z z ) x + y + z = r z J r r=(x,y,z) A( r) µ Il e 4π r jkr z l x y r =(x,y,z )

103 Υπολογισμός των πεδίων από το δίπολο του Hertz ΗσυνάρτησηΑεξαρτάταιμόνοαπότομέτροτουδιανύσματος r =rτοοποίοαποτελείκαιτηναπόστασητουσημείουr=(x,y,z) απότοκέντροτωναξόνων. Ο υπολογισμός του H πραγματοποιείται πιο εύκολα όταν περνάμε στις σφαιρικές συντεταγμένες A r sinθ cosφ sinθ sinφ cosθ Ax A θ cosθ cosφ cosθ sinφ sinθ A = y A φ sinφ cosφ A z jkr µ Ile Ar = Az cosθ = cosθ 4π r A θ µ Ile = Az sinθ = 4π r A φ = jkr sinθ

104 Υπολογισμός των πεδίων από το δίπολο του Hertz 1 H= A µ r Aθ 1 Ar Ar ( Aφ sinθ) θ ( raφ ) φ A= ( raθ ) rsinθ + + θ φ r sinθ φ r r r θ εφόσονδενέχουμεεξάρτησηαπότοφκαιa φ = H φ Ar jkil sinθ 1 = ( raθ ) 1 e µ r = + r θ 4π r jkr jkr H φ H r = H θ = jkil sinθ 1 = 1+ e 4π r jkr jkr

105 Υπολογισμός των πεδίων από το δίπολο του Hertz E 1 = jωε H Il cosθ 1 Er = Z 1 e + π r jkr jkr kil cosθ 1 1 Eθ = jz 1+ e 4π r jkr ( kr) E φ = jkr Χρησιμοποιούμε το νόμο του Faraday για να υπολογίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο

106 Υπολογισμός Ισχύος του πεδίου 1 W= Re E H { * } ( ) r ( ) E H = Eφ+ E r H θ = re H θe H * * * φ θ θ φ r φ 1 W= Re r θ { * * E } θ Hφ Er Hφ W n= W r= 1 { *} Z Il sin Re Eθ Hφ = 8 λ r θ Παρατηρούμε πως η πυκνότητα της ηλεκτρομαγνητικής ισχύος μειώνεται~1/r. Γιατολόγοαυτόοιειδικοίπολλέςφορέςσυνιστούνναέχετε μακριάτοκινητόαπότοκεφάλισας!

107 Διάγραμμα Ακτινοβολίας Μπορούμε να κάνουμε ένα τρισδιάστατο γράφημα που να μας δίνει κάποια πληροφορία για την πυκνότητα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας κανονικοποιημένη ως προς την μέγιστη τιμή της W n ( φ θ) ( φ, θ, r ) ( φ θ r ) r W, = = sin max,, { r W } Θεωρούμε τα σημεία r=(x,y,z) σε μία σφαίρα τα οποία προφανώς επαληθεύουντηνεξίσωσηx +y +z =r Για κάθε σημείο πάνω στην σφαίρα μπορούμε να υπολογίσουμε έναδιάνυσμαvτοοποίοναείναιπαράλληλομετοrκαιτου οποίουτομέτροναισούταιμεw n (θ,φ), δηλαδή: v ( φ, θ) = ( φ, θ) W n r θ

108 Διάγραμμα Ακτινοβολίας Διπόλου

109 Ισοτροπικό διάγραμμα ακτινοβολίας Μια κεραία η οποία ακτινοβολεί παντού την ίδια πυκνότητα ισχύος ονομάζεται ισοτροπική και θα έχει ένα σφαιρικό διάγραμμα ακτινοβολίας

110 Ένα πιο ρεαλιστικό(κατευθυντικό) διάγραμμα Ομεγάλοςλοβόςπουτηνίδια διεύθυνση και φορά με τον άξονα τωνzονομάζεταικύριοςλοβός. Υπάρχει ένας μικρός οπίσθιος λοβός ο οποίος έχει κατεύθυνση τον z Eμφανίζονται και μερικοί πλευρικοίλοβοί. Εξαιτίαςτωνλοβώναυτώνη κεραία δεν μεταδίδει μόνο προς την κατεύθυνση που επιθυμούμε κάτι που μπορεί να προκαλέσει παραμόρφωση λόγω παρεμβολών.

111 Περιοχές Πεδίου ανάλογαμετηντιμήτουkrδιακρίνουμετρειςπεριοχέςγιατο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο Ηπρώτηπεριοχήαντιστοιχείσετιμέςkr<<1, δηλαδήr<<λ. Η περιοχή αυτή ονομάζεται περιοχή κοντινού πεδίου H φ jkil sinθ 1 = 1+ 4π r jkr E = H = H = φ r e Il cosθ 1 Er = Z 1 e + π r jkr θ jkr jkr kil cosθ 1 1 Eθ = jz 1+ e 4π r jkr ( kr) jkr H φ jkr Ile sin θ 4π r E = H = H = E r E θ φ r θ jkr Ile jz cos θ 3 π kr jkr Ile jz sin θ 3 4π kr

112 Περιοχές Πεδίου Ηδεύτερηπεριοχήαντιστοιχείστηνπεριοχή όπουτοkrείναιμεν μεγαλύτεροσεσχέσημετηνμονάδα. Ηπεριοχήαυτήπου ονομάζεται περιοχή ενδιάμεσου πεδίου H φ jkil sinθ 1 = 1+ 4π r jkr E = H = H = φ r θ e jkr H φ jkile 4π r r jkr sinθ E = H = H = φ θ Il cosθ 1 Er = Z 1 e + π r jkr jkr kil cosθ 1 1 Eθ = jz 1+ e 4π r jkr ( kr) jkr E r E θ jkr Ile Z cos θ π r jz kile 4π r jkr sinθ

113 Περιοχές Πεδίου Υπάρχεικαιητρίτηπεριοχή, ηπεριοχήτουμακρινούπεδίουστην οποία kr>>1 H φ jkil sinθ 1 = 1+ 4π r jkr E = H = H = φ r θ e jkr H φ jkile 4π r jkr sinθ Il cosθ 1 Er = Z 1 e + π r jkr jkr kil cosθ 1 1 Eθ = jz 1+ e 4π r jkr ( kr) jkr E E = H = H = r E θ φ jz r kile 4π r jkr θ sinθ

114 Χαρακτηριστικά του Πεδίου στη Μακρινή Περιοχή ΣτηνπεριοχήαυτήδενυπάρχεισυνιστώσαE r τόσοτοηλεκτρικόόσοκαιτομαγνητικόπεδίοείναικάθεταστο μοναδιαίο διάνυσμα r Επίσης αν βρισκόμαστε αρκετά μακριά από το κέντρο των αξόνων τότε στην γκρι επιφάνεια του σχήματος μπορούμε να θεωρήσουμε πως οι εντάσειςαυτέςείναισχεδόνσταθερές. Επομένως ένας παρατηρητής που μετράει το πεδίο στην επιφάνεια αυτή βρίσκει πως πρόκειται σχεδόν για ένα επίπεδο κύμα το οποίο διαδίδεται προς την κατεύθυνση του r E H Eθ Z = H φ µ ε

115 Βασικές Παράμετροι μιας Κεραίας ένταση ακτινοβολίας U Γιατοδίπολο, U = r W r U = Z Il 8 λ sin θ ΤογεγονόςπωςτοUείναιανεξάρτητοαπότοr, κάνειτην ένταση ακτινοβολίας περισσότερο κατάλληλη να εκφράζει τις ιδιότητες της κατεθυντικότητας της κεραίας. Κατευθυντικό κέρδος(directive gain) D D U = U όπουτοu είναιηέντασηακτινοβολίαςγιαμίαυποθετική ισοτροπική κεραία η οποία ακτινοβολεί την ίδια συνολική ισχύ P μετηνκεραίαμας.

116 Βασικές Παράμετροι μιας Κεραίας Εφόσον η κεραία αναφοράς μας είναι ισοτροπική, αν φανταστούμε μία σφαιρική επιφάνεια ακτίνας r με κέντρο την κεραίααυτή, ηπυκνότηταισχύοςθαείναιw r =P/(4πr ), επομένως U=r W r =P/(4π), οπότε: D ( ) ( ) πw r 4 πu φ, θ 4 φ θ = = P, r ΣτηνπερίπτωσητουδίπολουτουHertz P Z Il 3P U = sin θ = sin θ 8 λ 8π D 3 sin = θ

117 Βασικές Παράμετροι μιας Κεραίας ΟρίζουμετώρατηνκατευθυντικότηταD max τηςκεραίαςωςτη μέγιστη τιμή του κατευθυντικού κέρδους Dmax = max{ D} ΣτηνπερίπτωσητουδίπολουτουHertz D = max 3 ΗακτινοβολούμενηισχύςPδενισούταιπάνταμετηνισχύP in που προσφέρουμε στην κεραία. Ορίζουμε ως απόδοση ακτινοβολίας της κεραίας το πηλίκο: e cd = P P in

118 Βασικές Παράμετροι μιας Κεραίας Τοκέρδοςτηςκεραίας G (, ) φ θ = ( ) 4 πu φ, θ P in G( φ, θ ) = e U ( φ, θ ) cd Αντίσταση Ακτινοβολίας R r = 1 P I ΣτηνπερίπτωσητουδίπολουτουHertz R r π l = Z 3 λ

119 Διέγερση μίας κεραίας(πως δημιουργούμε το J;) I = V ( g R ) r+ RL+ Rg L+ r + g R R R P = 1 V g in = g = g RL+ Rr + Rg P V I V R r e cd P Rr = = P R + R + R in L g r

120 Προσαρμογή Κεραίας P = 1 V g R ( R + R + R ) r r L g Η P μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται η f ( a) = a ( a+ β) όπουa=r r καιβ=r L +R g f ( a) = β a ( a+ β) 3 Επομένωςμεγιστοποιείταιότανβ=a, δηλαδήr L +R g =R r. στην περίπτωσηαυτήe cd =.5

121 To Θεώρημα της Αμοιβαιότητας ΑςθεωρήσουμεδύοδιαφορετικέςκατανομέςτουJέστωJ 1 καιj κάθεμίααπότιςοποίεςότανβρίσκεταισεέναμέσοαπουσίατης άλληςδημιουργούνταηλεκτρομαγνητικάπεδία(ε 1, Η 1 ) και(ε, Η ) αντίστοιχα E = jωµ H 1 1 H = jωε E + J E = jωµ H H = jωε E + J F= E1 H E H1 F= H E1 E1 H H1 E+ E H1 S F= E J E J 1 1 ( ) 1 1 F nds = E J E J V dv ΌτανR V E J dv = E J 1 1 V dv

122 Τιθέλειναπειοποιητής; αςυποθέσουμεπωςταρεύματαj 1 καιj βρίσκονταιτοκάθεένα πάνωσεέναπολύστενόκαλώδιομήκουςl 1 καιl αντίστοιχα E J l A = E J l A Ανορίσουμεταδιανύσματαb 1 καιb ναέχουνμέτροτηνμονάδα καιναείναιπαράλληλαμετακαλώδιατότεη μπορείναγραφεί: I l E b = I l E b Αςυποθέσουμετώραπωςμεκάποιοντρόπομετράμετηδιαφορά δυναμικού στα άκρα των αγωγών r a V = E dr= l E b r a1 r b V = E dr= l E b 1 1 r b1

123 Τιθέλειναπειοποιητής; ΠωςαντορεύμαΙ 1 δημιουργήσειέναπεδίοπουέχειωςσυνέπεια μίαδιαφοράδυναμικούδv πάνωστονδεύτεροαγωγόκαιαντο ρεύμαι δημιουργήσειέναπεδίοπουέχειωςσυνέπειαμία διαφοράδυναμικούδv 1 πάνωστονπρώτοαγωγόαυτέςπρέπει ναδιέπονταιαπότην. I1 V1 = I V Πρόκειται για μία ιδιότητα του χώρου στις οποίες βρίσκονται οι πηγές ρεύματος.

124 Τιθέλειναπειοποιητής; Θεωρείστεδύοκεραίες«1»και. Ηκεραία«1»εκπέμπειένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο το οποίο λαμβάνεται από την κεραία προκαλώντας κίνηση των ελεύθερων φορτίων που βρίσκονται στους αγωγούςτης. Ανστην«1»τοηλεκτρομαγνητικόπεδίοδημιουργείταιαπότορεύμαΙ 1 έχειωςαποτέλεσμαμίαδιαφοράδυναμικούδv στηνκαιστητο πεδίοδημιουργείταιαπότορεύμαι πουέχειωςαποτέλεσμαμία διαφοράδυναμικούδv 1 στην«1», τότε V I V = I 1 1

125 Τιθέλειναπειοποιητής; V1 = Z11I1+ Z1I V = ZI+ Z1I1 τορεύμαι 1 πουδιέρχεταιστοναγωγό«1»δημιουργείμίαπτώση τάσηςζ 11 Ι 1 ανεξάρτητααπότοανυπάρχειηκεραίαήόχι. ΟμοίωςισχύειγιατοΖ Ι καιτοναγωγόαντίστοιχα ΔV 1 Ι 1 =ΔV Ι σημαίνειζ 1 Ι Ι 1 =Ζ 1 Ι 1 Ι καιεπομένωςζ 1 =Ζ 1 «Σεένασύστημαδύοκεραιών, ηισχύςπουλαμβάνειημίακεραία από την άλλη είναι ίδια ανεξάρτητα με το ποια κεραία θεωρούμε πως εκπέμπει και ποια λαμβάνει!»

126 Ηκεραίαωςδέκτης A e = PT W i ΤοενεργόάνοιγματηςκεραίαςΑ e τοοποίοορίζεταιωςτοπηλίκο τηςισχύοςp T πουηκεραίαπαραδίδεισταάκρατηςπροςτην πυκνότητα ισχύος του προσπίπτοντος ηλεκτρομαγνητικού κύματοςw i. Αν θέλουμε με μεγιστοποιήσουμε την ισχύ λήψης τότε θα πρέπει R =R r V V = I R = R R+ Rr P = V 8R r A P V e = = Wi 1 8Rr Wi 1

127 Το ενεργό άνοιγμα ενός στοιχειώδους διπόλου V = l E 1 z V = l E max, 1 W i = 1 Z E 1 A max, e = l 4R Z r A e PT = W i A max, e 3λ = = 8π.119λ

128 Ηκεραίασανπομπόςκαισανδέκτης D A = D A 1 e1 e D A D λ π max,1 max, = = max, e1 Amax, e 4 Σεένασύστημαδύοκεραιών, ολόγοςμεταξύτης κατευθυντικότητας και του ενεργού ανοίγματος τους πρέπει να είναι σταθερός! Το μέγιστο ενεργό άνοιγμα και η μέγιστη κατευθηντικότητα μίαςκεραίαςέχουνσταθερόλόγοίσομελ /4π.

129 Τι μάθαμε: Πώς να υπολογίζουμε τα Η/Μ πεδία εξαιτίας ενός ρεύματος (μέχρις ένα βαθμό ) Το στοιχειώδες δίπολο Τις περιοχές του πεδίου Το διάγραμμα ακτινοβολίας Τις βασικές παραμέτρους μιας κεραίας Πωςηκεραίαλειτουργείωςδέκτης Την αρχή της αμοιβαιότητας

130 Ενότητα 4 Κυματοδηγοί

131 Εισαγωγικά Στηνπαρούσαενότηταθαδούμεπωςμπορούμενα περιορίσουμε το ηλεκτρομαγνητικό κύμα μέσα σε διατάξεις που το μεταφέρουν από τον πομπό στο δέκτη χωρίς τις μεγάλες γεωμετρικές απώλειες που υφίστανται στον ελεύθερο χώρο. Κυματοδηγός Η διηλεκτρική σταθερά ε=ε(x,y) είναι συνήθως ανεξάρτητη από τηνz. Ο κυματοδηγός μας μπορεί να περιβάλλεται από έναν πολύ καλό αγωγό(μέταλλο) το οποίο να απαγορεύει στο ηλεκτρομαγνητικόπεδίοναδιαδοθείεκτόςτουκυματοδηγού.

132 Αγωγοί Πρόκειται για υλικά που έχουν αφθονία ελεύθερων ηλεκτρονίων (φορτίων). Είναιταγνωστάμαςμέταλλα. J =σ E H= jωε E+ J= jωε E ε ε 1 j σ = ωε για να συμπεριλάβουμε την επίδραση των ελεύθερων φορτίων στις εξισώσεις Maxwell στο πεδίο των συχνοτήτων αρκεί να αντικαταστήσουμε το ε με ε

133 Κύματα μέσα στους Αγωγούς οι εξισώσεις που αποδείξαμε για τα επίπεδα κύματα ισχύουν με τηναλλαγήαπόεμεε k 1/ 1/ = ω ( µ ε ) = ω ( µ ε) 1 σ jωε 1/ Αςυποθέσουμεότιτοσείναιπολύμεγάλοκαιεπομένως ( ) 1/ 1/ σ ω µ ε σ k ω ( µ ε) j = 1 j = a 1 j ωε ωε a = σ µ ε 1/ exp( jkz) = exp( az jaz) ( ) ( ) Μέσασεέναναγωγότο κύμα αποσβαίνει!

134 Κύματα μέσα στους Αγωγούς ( ) 1/ 1/ σ ω µ ε σ k ω ( µ ε) j = 1 j = a 1 j ωε ωε 1/ ( ) ( ) Αντοσείναιπολύμεγάλο, τοαείναικαιαυτόπολύμεγάλοκαι τοκύμαεξασθενείπολύγρήγορα. Αντοσήτανάπειρο(είχαμεδηλαδήέναναγωγόμεπολύμικρή αντίσταση) τότετοκύμαθαήτανεμηδέν. Ναλοιπόνγιατίμέσασεέναντέλειοαγωγότοηλεκτρικόπεδίο (και επομένως και το μαγνητικό) είναι ίσο με μηδέν).

135 Τρόποι Διάδοσης j E( r) = E ( x, y) e β z j H( r) = H ( x, y) e β z Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο του κυματοδηγού μπορεί να γραφεί ως υπέρθεσητωντρόπωνδιάδοσηςτουκυματοδηγού. Στο πεδίο των συχνοτήτων, ένας τρόπος διάδοσης είναι ένα πεδίο της παραπάνω μορφής όπουτοβονομάζεταισταθεράδιάδοσηςτουτρόπουδιάδοσης.

136 Διαμήκεις και Εγκάρσιες Συνιστώσες E= jωµ H H= jωε ( x, y) E E = xe + ye T x y H = xh + yh T x y ( εe) = H= T = x + y x y ( ε ) ( ε E ) y ( ε ) E E E ( εe) = + + = ( εe ) + ε x y z z H H x y H z H z H= + + = T HT + x y z z x z z T T ( εe ) jβε E E= = T T z H= H jβ H = T T z

137 Διαμήκεις και Εγκάρσιες Συνιστώσες E E E E E E y z x z x y z y z x y x E= x y+ z E E E E = + + y x x y z z y x E jβ Ey x jβ Ex y z E y z E= jωµ H x Ez jβ( Ex Ey ) = jωµ T x y y x H E E x y Ez Ez ( T Ez) z= x+ y z= x y x y y x ( E ) j ( ) = j z β z E ωµ H T z T T ( E E ) ( E E ) z E = z x+ y = y x T x y x y ( E ) j ( ) j z z β z z E = ωµ z H T z T T

138 Διαμήκεις και Εγκάρσιες Συνιστώσες Παρόμοια... ( ) E + jβe = jωµ z H T z T T ( ) H + jβh = jωε z E T z T T Ey E x E= jωµ H z= jωµ H x y z z E = T T E z x y E x y Παρόμοια... E = jωµ H T T z H = jωε E z T T z z

139 Αν έχετε επιβιώσει μέχρι εδώ, συγχαρητήρια! Έχετε καταφέρει να γράψετε τις εξισώσεις Maxwell σε μία μορφή που οι εγκάρσιες συνιστώσες του πεδίου έχουν ως ένα σημείο απεμπλακεί από τις διαμήκεις ( ) E + jβe = jωµ z H T z T T ( ) H + jβh = jωε z E T z T T E = jωµ H T T z z H = jωε E T T z z ( εe ) jβε E = T T z H jβ H = T T z

140 Αντί 6 χρειαζόμαστε μονάχα συνιστώσες ( ) H + jβh = jωε z E T z T T E ( z H ) ( E ) j ( ) = j E + jβ = jωµ T z T T z β z E ωµ H T z T T p = ω µε β jβ jωµ z E = z E p p H H T T z T z jωε jβ = z E p p H T T z T z E H jβ jωµ = E + z p p H T T z T z jωε jβ = z E p p H T T z T z

141 Αντί 6 χρειαζόμαστε μονάχα συνιστώσες H x H jωε Ez jβ H = p y p x y jωε Ez jβ H = p x p y z z E E y x jβ Ez jωµ H = p x p y jβ Ez jωµ H = + p y p x z z έχουμεεκφράσειτιςεγκάρσιεςσυνιστώσεςτουπεδίουε Τ καιη Τ συναρτήσειδιαμηκώνσυνιστωσώνε z καιh z.

142 Ορθογώνιος Μεταλλικός Κυματοδηγός περιβάλλεται από τέλειο αγωγό και στο εσωτερικό του έχει ένα υλικό με διηλεκτρική σταθεράε(x,y)=ε 1 ( ε ) jβε E E = T ET jβ Ez = T T z z z + = E jβ jωµ = E + z p p H T T z T z β ωµ + z β = p p T T Ez T H z Ez ωµ ωµ ωµ H H H { H } p p p x y z z T z T z = T z T z = T y + x = ωµ H H p y x x y β p E β = p E T T z T z E E + = + + = x y z z T Ez p Ez p E z

143 ΒρίσκονταςταΕ z καιh z E E + = + + = x y z z T Ez p Ez p E z H H + = + + = x y z z T H z p H z p H z To H z δίνεταιαπόμίαπαρόμοια εξίσωση Για να προσδιορίσουμε πλήρως τα Ε z καιh z χρειαζόμαστεκαιτις οριακές συνθήκες που πληρούν στα άκρα του κυματοδηγού.

144 Οριακές Συνθήκες Στομέταλλοόλαταπεδίαείναιμηδέν ( ) n B B = 1 ( ) n E E = 1 E ( x,) = E ( x, b) = E (, y) = E ( a, y) = z z z z E ( x,) = E ( x, b) = E (, y) = E ( a, y) = x x y y H (, y) = H ( a, y) = H ( x,) = H ( x, b) = x x y y

145 Τι σημαίνουν οι οριακές συνθήκες για τις διαμήκεις συνιστώσες; E H jβ E (, y) jωµ H (, y) p y p x z z y (, y) = + = x jωε Ez (, y) jβ H z (, y) (, y) = = p y p x Ez (, y) H z (, y) = = y x

146 Τι σημαίνουν οι οριακές συνθήκες για τις διαμήκεις συνιστώσες; E ( x,) = E ( x, b) = E (, y) = E ( a, y) = z z z z Ez (, y) H z (, y) Ez ( a, y) H z (, y) = = = = y x y x Ez ( x,) H z ( x,) Ez ( x, b) H z ( x, b) = = = = x y x y H z ( x,) H z ( x, b) H z (, y) H z ( a, y) = = = = x x y y

147 Τιείναιόλααυτά; Και όμως είναι κάτι σημαντικό! Έχουμε εκφράσει τις x και y συνιστώσες του ηλεκτρομαγνητικού πεδίουσυναρτήσειτωνzσυνιστωσώνδηλαδήτηςh z καιe z. Αυτό έχει γίνει στην γενική περίπτωση όπου έχουμε μία τυχαία διατομή οπότε ισχύει και στην περίπτωση του μεταλλικού κυματοδηγού. Έχουμε βρει δύο εξισώσεις οι οποίες περιγράφει τις συνιστώσες H z καιe z. ΠαρατηρείστεπωςστηνεξίσωσητουE z δεν εμφανίζεταικαθόλουτοh z καιτοανάποδο. Απόόλεςτιςπιθανέςλύσειςτωνκαιθαπρέπειναεπιλέξουμε αυτές που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες στην άκρη της διατομής του κυματοδηγού που τώρα ξέρουμε ποιες είναι!

148 ΤΕκαιΤΜκύματα ΜπορούμεναλύσουμετηνεξίσωσηγιατοE z ΞΕΧΩΡΙΣΤΑαπό τηνεξίσωσηγιατοη z αφούτόσοηίδιαηεξίσωσηόσοκαιοι οριακέςσυνθήκεςδενπεριέχουντοη z. ΟμοίωςμπορούμεναλύσουμετηνεξίσωσηγιατοΗ z ΞΕΧΩΡΙΣΤΑαπότηνεξίσωσηγιατοΕ z αφούτόσοηίδιαη εξίσωση όσοκαιοιοριακέςσυνθήκεςδενπεριέχουν τοε z. Έστω ότι καταφέρνουμε να βρούμε λύσεις των εξισώσεων MaxwellοιοποίεςέχουνετηνσυνιστώσαΕ z παντούίσημεμηδέν. Τα κύματα αυτά ονομάζεται μαγνητικά εγκάρσια(transverse electric-τε). ΕπίσηςανκαταφέρναμεναβρούμεκύματαμεΗ z = τότεαυτάθα ήτανε μαγνητικά εγκάρσια(transverse electric- ΤΜ) ΆμαβρούμετιςΤΕκαιτιςΤΜλύσειςτότεαπλάπροσθέτουμετα πεδία τους για να βρούμε την συνολική λύση.

149 ΕξισώσειςτωνπεδίωνΤΕ(Ε z =) z x H j H p x β = z y H j H p y β = z x j H E p y ωµ = z y j H E p x ωµ =+

150 ΕξισώσειςτωνπεδίωνΤΜ(H z =) z x E j H p y ωε = z y E j H p x ωε = z x E j E p x β = z y E j E p y β =

151 Βρίσκοντας την άκρη E E + = + + = x y z z T Ez p Ez p E z Η μέθοδος των χωριζομένων μεταβλητών Ez = X ( x) Y ( y) 1 d X 1 d Y + = p X dx Y dy d X 1 X dx = p x p = p + p x y 1 d Y y Y dy = p

152 Βρίσκοντας την άκρη 1 X dx d X x x = p X ( x) = Ae jp x + Be x jp x Θαπρέπειόμως E ( x,) = E ( x, b) = E (, y) = E ( a, y) = z z z z X () = X ( a) = jpxa jpxa A+ B= Ae + Be = e jp a x = jpxa e p x mπ a = X ( x) A sin m π x = a

153 Βρίσκοντας την άκρη ΜεπαρόμοιοτρόπομπορούμεναβρούμεκαιτηνY(y) p y = nπ b Y ( y) sin n π y b = B ΤελικάτοπεδίοE z =XY τουτρόπουτμ mn θαδίνεταιαπότην Ηδεσταθεράδιάδοσης mπ x nπ y Ez ( x, y) = C sin sin a b mπ nπ β = ω µ ε p = ω µ ε a b

154 Φανταστικό ή Πραγματικό β; mπ nπ β = ω µ ε p = ω µ ε a b Υπάρχουντιμέςτουωγιατιςοποίεςθαέχουμεω μ ε<p οπότετο β θα είναι φανταστικό! Ένα κύμα με φανταστικό β ονομάζονται αποσβένον κύμα Ένα κύμα με πραγματικό β είναι φορέας ηλεκτρομαγνητικής ισχύος και ονομάζεται κυματοδηγούμενο κύμα * * * βωε E ExH y EyH E H z= x = + ( ) E z z 4 p x y 1 * ωε E Re { } 4 Re z E z P= ds { β} ds E H = p + x y S S Ένα αποσβένον κύμα δεν μεταφέρει ισχύ! Ότανβ= τότεοτρόποςδιάδοσηςλέμεπωςβρίσκεταιστην αποκοπή

155 Συχνότητες αποκοπής mπ nπ β = ω µ ε = a b ω mn 1/ 1/ 1 mπ nπ 1 mπ nπ = + = + µ ε a b c a b Γιασυχνότητεςω>ω mn otm mn βρίσκεταιπάνωαπότηναποκοπή (κυματοδηγούμενο κύμα) ενώω<ω mn βρίσκεταικάτω απότηναποκοπή(αποσβένονκύμα)

156 Μετιμοιάζειτο Ε z ;

157 Βρίσκοντας την άκρη (για τα ΤΕ) H x H y z z + + p H z = H z ( x,) H z ( x, b) H z (, y) H z ( a, y) = = = = x x y y Μέθοδος Χωριζόμενων Μεταβλητών, κτλ mπ x nπ y H z ( x, y) = C cos cos a b ω mπ nπ β = ω µ ε p = c a b

158 Μετιμοιάζειτο Η z ;

159 Διάδοση σημάτων μέσα σε έναν κυματοδηγό ΑςυποθέσουμεπωςέχουμεένανμόνοτρόποδιάδοσηςτονΤΕ j t x( t) = dω X ( ω) e ω π + 1 j ( ) z j t y( t) X ( ω) e β ω + = ω π β ( ω) β + β ( ω ω ) y t X ω e e X ω e e x t β1l π π jβl jβω 1 L+ jωt jβl 1 j L ( ) ( ) ( ) jβωl jωt β = = + = ( ) οδέκτηςλαμβάνειμίαέκδοσητουx(t) καθυστερημένηκατάβ 1 L

160 Ταχύτητα Ομάδας ονομάζουμε την ταχύτητα του σήματος v g ( ) L 1 dβ ω β1l β1 dω = = = 1 β = ( ω / c) p 1 = dβ = 1 ω 1 ω 1 v ( ω / c) p = = φ vg dω c β c c v v g φ = c

161 Κυκλικός Μεταλλικός Κυματοδηγός H jωε jβ = z E p p H T T z T z E ( R, φ ) = z Eφ ( R, φ ) = H ( R, φ ) = r E jβ jωµ = E + z p p H T T z T z E ρ z T Ez = ρ+ H H ρ z T z = ρ+ Ezφ φ H zφ φ

162 Κυκλικός Μεταλλικός Κυματοδηγός H H E φ ρ ρ jωε E = p ρ φ z jωε E = p ρ z jβ H z p ρ jβ H z p ρ φ jωµ H z jβ Ez = p ρ φ p ρ E φ jωµ H z jβ Ez = p ρ p ρ φ Έχουμε εκφράσει τις εγκάρσιες συνιστώσες σε συνάρτηση των διαμήκων αλλά αυτή τη φορά στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων

163 Τι σημαίνουν οι οριακές συνθήκες για τις διαμήκεις συνιστώσες; E H φ ρ ( φ R) ( φ R) ( φ, ) jβ ( φ, ) jωε Ez R H z R, = = p ρ φ p ρ ( φ, ) j ( φ, ) jωµ H z R β Ez R, = = p ρ p ρ φ H E z z ( φ, R) ρ ( φ, R) φ = = E ( R, φ ) = z

164 Βρίσκοντας την άκρη 1 E z 1 Ez T Ez + p Ez = ρ + + p E z = ρ ρ ρ ρ φ 1 H z 1 H z T H z+ p H z = ρ + + p H z = ρ ρ ρ ρ φ Μέθοδοςχωριζομένωνμεταβλητών: Θέτουμεπ.χ. E z =Ρ(ρ)Φ(φ) d dρ d Φ ρ ρ ρ dρ dρ + dφ + = p d dφ Φ p = ( ) φ ρ d Ρ ρ dρ + + p ρ m Ρ= dρ dρ

165 Ξέρετε να λύνετε την ( φ) d Φ p = dφ jp φ ΘαπρέπειΦ(φ+πκ)= Φ(φ) γιακάθεακέραιοκ. Επομένως, φ φ Φ = Ae + Be jp φ φ p φ = m ( φ) C cos( mφ) Dsin( mφ) Φ = +

166 ΓιατουςτρόπουΤΜ, ξέρετεναλύνετετην όπουοισυναρτήσειςj m (x) καιυ m (x) ονομάζονταισυναρτήσεις Besselπρώτουκαιδεύτερουείδουςαντίστοιχα. ΗΥ m (pρ) απειρίζεταιγιαρ= οπότεδεναντιστοιχείσεκάποιο πραγματικό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο Θέτουμε επομένως Β= ρ d Ρ d d ρ Ρ ρ dρ ρ ( + + p m ) Ρ= Ρ ( R) = ( ρ) = ( ρ) + ( ρ) P AJ p BY p m E ( ρ, φ) = AJ ( pρ)cos( mφ) z m E ( ρ, φ) = AJ ( pρ)sin( mφ) z m m

167 Συναρτήσεις Bessel

168 Ιδιότητες Συναρτήσεων Bessel 1 ( ) J ( x) = x m m = ( 1 x ) 4 µ µ µ!( µ + m)! mπ π Jm( x) cos x π x 4 Γιαμεγάλαx m J m+ 1( x) = J m( x) J m 1( x) x m m 1 J m( x) = J m( x) + J m 1( x) = J m( x) Jm 1( x) = Jm 1( x) J m 1( x) x x [ ]

169 Συχνότητες Αποκοπής για τους ΤΜ J ( ) m pr = J ( x ) = m mn xmn pmn = R TM cx ω mn = R mn Ταx mn είναιοιμηδενισμοίτηςσυνάρτησηςbesselj m (x)

170 Συχνότητες Αποκοπής για τους ΤΜ dρ ( R) dρ = dj m( pr) dρ ω = TE mn cy R mn = Ταy mn είναιοιμηδενισμοίτηςπαραγώγουτηςσυνάρτησηςbessel J m (x)

171 Τρόποι ΤΕ(Σχεδόν τα ίδια Παντελάκη μου) ρ d Ρ d d ρ Ρ ρ dρ ρ ( + + p m ) Ρ= dρ dρ ( R) = ( ρ) = ( ρ) + ( ρ) P AJ p BY p m m H ( ρ, φ) = AJ ( pρ)cos( mφ) z m H ( ρ, φ) = AJ ( pρ)sin( mφ) z m

172 Συχνότητες Αποκοπής J ( x ) = m mn ω = TM mn cx R mn dj ( ymn) dρ m = ω = TE mn cy R mn

173 Ομοαξονικοί Κυματοδηγοί Ηανάλυσηείναιπαρόμοιαμετονκυκλικόκυματοδηγό. Μεμία βασική διαφορά. Οκυματοδηγόςτώραμπορείναυποστηρίξεικαιέναντρόποο οποίοςείναικαιτεκαιτμ, δηλαδήέχειe z =H z = και χαρακτηρίζεται ως ΤΕΜ

174 Αναζητώντας το ΤΕΜ ( ) E + jβe = jωµ z H T z T T ( ) H + jβh = jωε z E T z T T E = jωµ H T T z H = jωε E z T T z z ( εe ) jβε E = T T z H jβ H = T T z T ( ) βe = ωµ z H T ( ) βh = ωε z E E = T T H = T T E = T T H = T T T T

175 Αναζητώντας το ΤΕΜ ή το βαθμωτό δυναμικό E = E = V T T T T E = T T = V T Γιατί«δυναμικό»? V V V dw = qe dr= q( V) dr= q dx+ q dy+ q dz x y z { } W ( r ) W ( r ) = q V ( r ) qv ( r ) 1 1

176 Αναζητώντας το βαθμωτό δυναμικό 1 V 1 V TV = ρ + = ρ ρ ρ ρ φ E V 1 V T = TV = ρ ρ φ E φ = 1 V ρ φ E ( a, φ) = E ( b, φ) = φ φ V ( a, φ) V ( b, φ) = = φ φ Επομένως οι οριακές συνθήκες επιβάλλουν να μην έχουμε εξάρτησηαπότοφότανρ=ακαιρ=β

Σημειώσεις του Μαθήματος «Διάδοση Τηλεπικοινωνιακών Σημάτων»

Σημειώσεις του Μαθήματος «Διάδοση Τηλεπικοινωνιακών Σημάτων» Σημειώσεις του Μαθήματος «Διάδοση Τηλεπικοινωνιακών Σημάτων» Θωμάς Καμαλάκης Λέκτορας Τμήματος Πληροφορικής και Τηλεματικής του Χαροκοπείου Πανεπιστημίου Σκοπός και Περιεχόμενο του Μαθήματος To μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 Φυσικά µεγέθη... 1 1.2 ιανυσµατική άλγεβρα... 2 1.3 Μετατροπές συντεταγµένων... 6 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες...

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Όλα τα θέματα των εξετάσεων έως και το 2014 σε συμβολή, στάσιμα, ηλεκτρομαγνητικά κύματα, ανάκλαση - διάθλαση Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ. Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής

Όλα τα θέματα των εξετάσεων έως και το 2014 σε συμβολή, στάσιμα, ηλεκτρομαγνητικά κύματα, ανάκλαση - διάθλαση Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ. Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ 1. Τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα: Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής α. είναι διαµήκη. β. υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας. γ. διαδίδονται σε όλα τα µέσα µε την ίδια ταχύτητα. δ. Δημιουργούνται από

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ.. Α.Μ.. ΛΑΜΙΑ 2015 Παράδοση και προφορική εξέταση της εργασίας Για να ληφθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ H.D. H.D. Young Πανεπιστημιακή Φυσική Εκδόσεις Παπαζήση Alonso Alonso / Finn Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική Α. Φίλιππας, Λ. Ρεσβάνης (Μετ.) R. A. Seway Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23)

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23) ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23) Υπενθύμιση/Εισαγωγή: Λέμε ότι ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό) όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη μετατόπιση ενός σώματος από μία

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών και Μετάδοσης Σύστημα μετάδοσης με οπτικές ίνες Tο οπτικό φέρον κύμα μπορεί να διαμορφωθεί είτε από αναλογικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο31 Εξισώσεις Maxwellκαι ΗλεκτροµαγνητικάΚύµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο31 Εξισώσεις Maxwellκαι ΗλεκτροµαγνητικάΚύµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο31 Εξισώσεις Maxwellκαι ΗλεκτροµαγνητικάΚύµατα ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 31 Τα µεταβαλλόµενα ηλεκτρικά πεδία παράγουν µαγνητικά πεδία. Ο Νόµος του Ampère-Ρεύµα µετατόπισης Νόµος του Gauss s στο µαγνητισµό

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισμα στη Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Επαναληπτικό Ι

ιαγώνισμα στη Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Επαναληπτικό Ι Θέμα 1 ο ιαγώνισμα στη Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Επαναληπτικό Ι Στα ερωτήματα 1 5 του πρώτου θέματος, να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα της απάντησης που θεωρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Συστήματα Κεραιών & Ασύρματη Διάδοση. Κεραίες Βρόχου

Περιεχόμενα. Συστήματα Κεραιών & Ασύρματη Διάδοση. Κεραίες Βρόχου 8 Μαρτίου 1 Συστήματα Κεραιών & Ασύρματη Διάδοση Κεραίες Βρόχου Περιεχόμενα Εισαγωγή Μικρός κυκλικός βρόχος Πυκνότητα ισχύος και αντίσταση ακτινοβολίας Κοντινό πεδίο Μακρινό πεδίο Κυκλικός βρόχος σταθερού

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα διάλεξης

Περιεχόμενα διάλεξης 7η Διάλεξη Οπτικές ίνες Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 1 Περιεχόμενα διάλεξης Διασπορά Πόλωσης Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. Page 1 Πόλωση Γενική θεωρία Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 3 Μηχανικό ανάλογο Εγκάρσια

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 214 Ασκηση συνολικό φορτίο λεκτρικό φορτίο Q είναι κατανεμημένο σε σφαιρικό όγκο ακτίνας R με πυκνότητα ορτίου ανάλογη του

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 7.1 Τι είναι το ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο; Πως παράγεται ένα ηλεκτρομαγνητικό

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 7.1 Τι είναι το ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο; Πως παράγεται ένα ηλεκτρομαγνητικό ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ηλεκτρομαγνητικά κύματα 7. Τι είναι το ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο; Πως παράγεται ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα; 7.2 Ποιες εξισώσεις περιγράφουν την ένταση του ηλεκτρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΩΝ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΟΜΩΝ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΔΟΜΩΝ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ Σελίδα 1 από 76 Πρόλογος Οι σημειώσεις για το εργαστήριο των Δομών Μετάδοσης που ακολουθούν έχουν ως σκοπό την πρώτη επαφή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Έργο ηλεκτροστατικής δύναμης W F Δl W N i i1 F Δl i Η μετατόπιση Δl περιγράφεται από ένα διάνυσμα που

Διαβάστε περισσότερα

Πως διαδίδονται τα Η/Μ κύματα σε διαφανή διηλεκτρικά?

Πως διαδίδονται τα Η/Μ κύματα σε διαφανή διηλεκτρικά? Πως διαδίδονται τα Η/Μ κύματα σε διαφανή διηλεκτρικά? (Μη-μαγνητικά, μη-αγώγιμα, διαφανή στερεά ή υγρά με πυκνή, σχετικά κανονική διάταξη δομικών λίθων). Γραμμικά πολωμένο κύμα προσπίπτει σε ηλεκτρόνιο

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

6.10 Ηλεκτροµαγνητικά Κύµατα

6.10 Ηλεκτροµαγνητικά Κύµατα Πρόταση Μελέτης Λύσε απο τον Α τόµο των Γ. Μαθιουδάκη & Γ.Παναγιωτακόπουλου τις ακόλουθες ασκήσεις : 11.1-11.36, 11.46-11.50, 11.52-11.59, 11.61, 11.63, 11.64, 1.66-11.69, 11.71, 11.72, 11.75-11.79, 11.81

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνες Χ (Roentgen) Κ.-Α. Θ. Θωμά

Ακτίνες Χ (Roentgen) Κ.-Α. Θ. Θωμά Ακτίνες Χ (Roentgen) Είναι ηλεκτρομαγνητικά κύματα με μήκος κύματος μεταξύ 10 nm και 0.01 nm, δηλαδή περίπου 10 4 φορές μικρότερο από το μήκος κύματος της ορατής ακτινοβολίας. ( Φάσμα ηλεκτρομαγνητικής

Διαβάστε περισσότερα

Όλα τα θέματα των εξετάσεων έως και το 2014 σε συμβολή, στάσιμα, ηλεκτρομαγνητικά κύματα, ανάκλαση - διάθλαση ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗ

Όλα τα θέματα των εξετάσεων έως και το 2014 σε συμβολή, στάσιμα, ηλεκτρομαγνητικά κύματα, ανάκλαση - διάθλαση ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗ Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής 1. To βάθος µιας πισίνας φαίνεται από παρατηρητή εκτός της πισίνας µικρότερο από το πραγµατικό, λόγω του φαινοµένου της: α. ανάκλασης β. διάθλασης γ. διάχυσης

Διαβάστε περισσότερα

r r r r r r r r r r r

r r r r r r r r r r r ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑÏΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών και Μετάδοσης Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής & Δρ. Στυλιανός Π. Τσίτσος Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ημερομηνία παράδοσης 3 Ιουλίου 2005)

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ημερομηνία παράδοσης 3 Ιουλίου 2005) Άσκηση 1. (1 μονάδες) ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ημερομηνία παράδοσης Ιουλίου 5) Α) Δοκιμαστικό φορτίο q αφήνεται σε κάποιο σημείο μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο εντάσεως Ε. Να εξετάσετε πώς θα κινηθεί το

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ι 10. Η μέθοδος των ειδώλων

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ι 10. Η μέθοδος των ειδώλων ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ι. Η μέθοδος των ειδώλων Περιγραφή της μεθόδου Σημειακό φορτίο και αγώγιμο επίπεδο Φορτίο μεταξύ δύο αγωγίμων ημιεπιπέδων Σημειακό φορτίο έξω από γειωμένη σφαίρα Σημειακό φορτίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Φυσική των Laser ΔΙΑΔΟΣΗ ΗΜ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ. Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Φυσική των Laser ΔΙΑΔΟΣΗ ΗΜ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ. Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Φυσική των Laser ΔΙΑΔΟΣΗ ΗΜ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα

Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα Θέµα 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ14, 2009-2010-Εργασιά 6 η Ημερομηνία παράδοσης 28/6/2010

ΦΥΕ14, 2009-2010-Εργασιά 6 η Ημερομηνία παράδοσης 28/6/2010 ΦΥΕ4, 9--Εργασιά 6 η Ημερομηνία παράδοσης 8/6/ Άσκηση A) Μια ράβδος μήκους είναι ομοιόμορφα φορτισμένη θετικά με συνολικό ηλεκτρικό φορτίο Q και βρίσκεται κατά μήκος του θετικού άξονα x από το σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ ΤΑΞΗ ΤΜΗΜΑ ΗΜ/ΝΙΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 11/3/2012 ΧΡΟΝΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 10:30-13:30

ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ ΤΑΞΗ ΤΜΗΜΑ ΗΜ/ΝΙΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 11/3/2012 ΧΡΟΝΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 10:30-13:30 ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ ΤΑΞΗ ΤΜΗΜΑ ΗΜ/ΝΙΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 11/3/2012 ΧΡΟΝΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 10:30-13:30 Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης. Προτεινόμενα Θέματα

Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης. Προτεινόμενα Θέματα Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Προτεινόμενα Θέματα Θέμα ο Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Η φάση της ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα : φ(rad) 2π π 6

Διαβάστε περισσότερα

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα!

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! ΓΙΩΡΓΟΣ ΑΣΗΜΕΛΛΗΣ Μαθήματα Οπτικής 3. Πόλωση Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! Αυτό που βλέπουμε με τα μάτια μας ή ανιχνεύουμε με αισθητήρες είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει όταν φως με συγκεκριμένο χρώμα -είδος,

Διαβάστε περισσότερα

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ . ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σήμα και να κατατάξει τα διάφορα σήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τις βασικές ιδιότητες τους. Επίσης,

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του στερεού σώματος

Μηχανική του στερεού σώματος Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ ΧΧ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΠΟΛΩΜΕΝΟΥ ΦΩΤΟΣ - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ FRESNEL

ΑΣΚΗΣΗ ΧΧ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΠΟΛΩΜΕΝΟΥ ΦΩΤΟΣ - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ FRESNEL ΑΣΚΗΣΗ ΧΧ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΠΟΛΩΜΕΝΟΥ ΦΩΤΟΣ - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ FRESNEL ΧΧ.1 Σκοπός Σκοπός αυτής της άσκησης είναι η μελέτη της συμπεριφοράς του γραμμικά πολωμένου φωτός, όταν ανακλάται σε επίπεδη επιφάνεια διηλεκτρικού

Διαβάστε περισσότερα

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 0 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ . Γεωμετρική οπτική ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Η Γεωμετρική οπτική είναι ένας τρόπος μελέτης των κυμάτων και χρησιμοποιείται για την εξέταση μερικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Ανάκλαση. Κάτοπτρα. Διάθλαση. Ολική ανάκλαση. Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου. Μετατόπιση ακτίνας. Πρίσματα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Ανάκλαση. Κάτοπτρα. Διάθλαση. Ολική ανάκλαση. Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου. Μετατόπιση ακτίνας. Πρίσματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ Ανάκλαση Κάτοπτρα Διάθλαση Ολική ανάκλαση Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου Μετατόπιση ακτίνας Πρίσματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ - Ανάκλαση Επιστροφή σε «γεωμετρική οπτική» Ανάκλαση φωτός ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 1 ο ΘΕΜΑ Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 1. Μια ακτίνα φωτός προσπίπτει στην επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια δύο µέσων. Όταν η διαθλώµενη ακτίνα κινείται παράλληλα προς τη διαχωριστική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στα Συστήµατα Ηλεκτρονικών Επικοινωνιών Κεφάλαιο 3 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ και ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ

Ασκήσεις στα Συστήµατα Ηλεκτρονικών Επικοινωνιών Κεφάλαιο 3 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ και ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Κεφάλαιο 3 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ και ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 1. Ποµπός ΑΜ εκπέµπει σε φέρουσα συχνότητα 1152 ΚΗz, µε ισχύ φέροντος 10KW. Η σύνθετη αντίσταση της κεραίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Θεώρηµα tokes (Γενική Μορφή): Χωρος " Παραγωγος " Πεδιου = Οριο Πεδιο Χωρου Παραδείγµατα: 1. Θεώρηµα Newton-Leibniz (ο «χώρος» είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα Ηλεκτρική Ενέργεια Σημαντικές ιδιότητες: Μετατροπή από/προς προς άλλες μορφές ενέργειας Μεταφορά σε μεγάλες αποστάσεις με μικρές απώλειες Σημαντικότερες εφαρμογές: Θέρμανση μέσου διάδοσης Μαγνητικό πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ. + 1) με Ν=0,1,2,3..., όπου d το μήκος της χορδής. 4 χορδή με στερεωμένο το ένα άκρο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ,στο κενό (αέρα) co

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ. + 1) με Ν=0,1,2,3..., όπου d το μήκος της χορδής. 4 χορδή με στερεωμένο το ένα άκρο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ,στο κενό (αέρα) co ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Κύματα που t x t x σχηματίζουν το y1 = A. hm2 p ( - ), y2 = A. hm2 p ( + ) T l T l στάσιμο Εξίσωση στάσιμου c κύματος y = 2 A. sun 2 p. hm2p t l T Πλάτος ταλάντωσης c A = 2A sun 2p l Κοιλίες,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Νόμος του Coulomb Έστω δύο ακίνητα σημειακά φορτία, τα οποία βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους. Τα φορτία αυτά αλληλεπιδρούν μέσω δύναμης F, της οποίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα Κεφάλαιο Πολλαπλά Ολοκληρώματα Διπλά Ολοκληρώματα. Έστω ότι η f ( είναι, ) ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d ΔA (, ) Δ c Δ a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια υποχωρία (, ). Σχηματίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 14 Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 14 8:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Παράρτημα Ι 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Ας θεωρήσουμε μια κυκλική στεφάνη ακτίνας a η οποία κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία (για ευκολία υποθέστε ότι η ευθεία είναι ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΙ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ ΙΟΝΙΖΟΥΣΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΙ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ ΙΟΝΙΖΟΥΣΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΙ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ ΙΟΝΙΖΟΥΣΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ Οποτε ακούτε ραδιόφωνο, βλέπετε τηλεόραση, στέλνετε SMS χρησιµοποιείτε ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία (ΗΜΑ). Η ΗΜΑ ταξιδεύει µε

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση Γωνίας Brewster Νόμοι του Fresnel

Μέτρηση Γωνίας Brewster Νόμοι του Fresnel Μέτρηση Γωνίας Bewse Νόμοι του Fesnel [] ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο πείραμα, δέσμη φωτός από διοδικό lase ανακλάται στην επίπεδη επιφάνεια ενός ακρυλικού ημι-κυκλικού φακού, πολώνεται γραμμικά και ανιχνεύεται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

συνίστανται από πολωτή που επιτρέπει να περνούν µόνο τα κατακόρυφα πολωµένα κύµατα.

συνίστανται από πολωτή που επιτρέπει να περνούν µόνο τα κατακόρυφα πολωµένα κύµατα. Γραµµικά πολωµένο ηλεκτροµαγνητικό κύµα. Νόµος του Malus Η κλασσική κυµατική θεωρία του φωτός µοντελοποιεί το φως (ή ένα τυχόν ηλεκτροµαγνητικό κύµα κατ επέκταση), στον ελεύθερο χώρο, ως ένα εγκάρσιο ηλεκτροµαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ 1 ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 20 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α) Για κάθε μία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1 Θέµα 1 ο 1. Το διάγραµµα του διπλανού σχήµατος παριστάνει τη χρονική µεταβολή της αποµάκρυνσης ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Ποια από

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ-ΟΠΤΙΚΗ, ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ-ΟΠΤΙΚΗ, ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ-ΟΠΤΙΚΗ, ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ Ανδρέας Ζούπας 2 Αυγούστου 212 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ. Παράδειγµα: Κίνηση φορτισµένου σωµατιδίου µέσα σε µαγνητικό πεδίο. z B. m υ MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ. Παράδειγµα: Κίνηση φορτισµένου σωµατιδίου µέσα σε µαγνητικό πεδίο. z B. m υ MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ 1 ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ.. Αν δοκιµαστικό φορτίο q βρεθεί κοντά σε αγωγό που διαρρέεται από ρεύµα, υφίσταται δύναµη κάθετη προς την διεύθυνση της ταχύτητάς του και µε µέτρο ανάλογο της ταχύτητάς του, F qυ Β (νόµος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΚΥΜΑΤΑ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΚΥΜΑΤΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΚΥΜΑΤΑ Θέμα1: Α. Η ταχύτητα διάδοσης ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος: α. εξαρτάται από τη συχνότητα ταλάντωσης της πηγής β. εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση ΦΥΣ 131 - Διαλ.34 1 KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση q Παλµός πάνω σε χορδή: Ένα άκρο της σταθερό (δεµένο) Προσπίπτων Ο παλµός ασκεί µια δύναµη προς τα πάνω στον τοίχο ο οποίος ασκεί µια δύναµη προς τα κάτω

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 (ΚΥΜΑΤΑ) ΚΥΡΙΑΚΗ 27 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ 5

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 (ΚΥΜΑΤΑ) ΚΥΡΙΑΚΗ 27 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ 5 ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 (ΚΥΜΑΤΑ) ΚΥΡΙΑΚΗ 27 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ 5 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς

Διαβάστε περισσότερα

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο.

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο. Κεφάλαιο T2 Κύµατα Είδη κυµάτων Παραδείγµατα Ένα βότσαλο πέφτει στην επιφάνεια του νερού. Κυκλικά κύµατα ξεκινούν από το σηµείο που έπεσε το βότσαλο και αποµακρύνονται από αυτό. Ένα σώµα που επιπλέει στην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

r r r r r r r r r r r Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

r r r r r r r r r r r Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑÏΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας.

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ο πυκνωτής Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. Η απλούστερη μορφή πυκνωτή είναι ο επίπεδος πυκνωτής, ο οποίος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ηµεροµηνία: Τετάρτη 7 Ιανουαρίου 015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης ύναµη σε ρευµατοφόρους αγωγούς (β) Ο αγωγός δεν διαρρέεται από ρεύμα, οπότε δεν ασκείται δύναμη σε αυτόν. Έτσι παραμένει κατακόρυφος. (γ) Το µαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ ΗΥ- Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Ολοκληρώματα Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Υπολογισμός μήκους Υπολογισμός εμβαδού Υπολογισμός όγκου Χρήση σε Τύπους/Μετρικές Φυσική Πιθανότητες Γραφική Θέματα Αναγνώρισης προτύπων

Διαβάστε περισσότερα

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό.

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 91 9. Άσκηση 9 ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. 9.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε τα φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Q=Ne. Συνοπτική Θεωρία Φυσικής Γ Γυμνασίου. Q ολ(πριν) = Q ολ(μετά) Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.

Q=Ne. Συνοπτική Θεωρία Φυσικής Γ Γυμνασίου. Q ολ(πριν) = Q ολ(μετά) Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno. Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Φυσικής Γ Γυμνασίου Κβάντωση ηλεκτρικού φορτίου ( q ) Q=Ne Ολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 9 Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη Ιουνίου 9 11. 14. ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά Κυµατικής Είδη κυµάτων: ιαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της ιάδοσης κυµάτων ΗΕξίσωσητουΚύµατος Κανόνας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

7α Γεωμετρική οπτική - οπτικά όργανα

7α Γεωμετρική οπτική - οπτικά όργανα 7α Γεωμετρική οπτική - οπτικά όργανα Εισαγωγή ορισμοί Φύση του φωτός Πηγές φωτός Δείκτης διάθλασης Ανάκλαση Δημιουργία ειδώλων από κάτοπτρα Μαρία Κατσικίνη katsiki@auth.gr users.auth.gr/katsiki Ηφύσητουφωτός

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ Σκοπός Στο δεύτερο κεφάλαιο θα εισαχθεί η έννοια του ηλεκτρικού ρεύματος και της ηλεκτρικής τάσης,θα μελετηθεί ένα ηλεκτρικό κύκλωμα και θα εισαχθεί η έννοια της αντίστασης.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 476: ΚΙΝΗΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ (MOBILE NETWORKS)

ΕΠΛ 476: ΚΙΝΗΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ (MOBILE NETWORKS) ΟΜΑΔΑ ΦΟΙΤΗΤΩΝ: Χριστιάνα Δαυίδ 960057 Ιάκωβος Στυλιανού 992129 ΕΠΛ 476: ΚΙΝΗΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ (MOBILE NETWORKS) Δρ. Χριστόφορος Χριστοφόρου Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής Παρουσίαση 1- ΚΕΡΑΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ. Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Ασύρματη Διάδοση ΑΣΥΡΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΑ. Ευάγγελος Παπαπέτρου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ. Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Ασύρματη Διάδοση ΑΣΥΡΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΑ. Ευάγγελος Παπαπέτρου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ. Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ασύρματη Διάδοση ΑΣΥΡΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΑ Ευάγγελος Παπαπέτρου Διάρθρωση μαθήματος Ασύρματη διάδοση Εισαγωγή Κεραίες διάγραμμα ακτινοβολίας, κέρδος, κατευθυντικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΚΥΜΑΤΑ Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες; α Η υπέρυθρη ακτινοβολία έχει µήκη κύµατος µεγαλύτερα από

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης Μοριακή Φασματοσκοπία I Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης 2 Τι μελετά η μοριακή φασματοσκοπία; Η μοριακή φασματοσκοπία μελετά την αλληλεπίδραση των μορίων με την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Από τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα