Εισαγωγή στους αλγορίθµους

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στους αλγορίθµους"

Transcript

1

2 Thomas H. Cormen Charles E. Leiserson Ronald L. Rivest Clifford Stein Εισαγωγή στους αλγορίθµους Απόδοση στα ελληνικά: Ιωάννης Παπαδόγγονας Επιστηµονική επιµέλεια: Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος (Κεϕ. 1-26) Μετη συνεργασία των: Σταύρου Νικολόπουλου Λεωνίδα Παληού Βιβής Φραγκοπούλου Ιωάννης Παπαδόγγονας (Κεϕ ) ÓÂappleÈÛÙËÌÈ ÎÂÛ Î ÔÛÂÈÛ ÚËÙËÛ Ιδρυτική ωρεά Παγκρητικής Ενώσεως Αµερικής ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2012

3 π ªπ π ƒ Ι ΡΥΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΑΣ Αθήνα: Κλεισόβης 3, , Αθήνα. Τηλ , Fax: Ηράκλειο: Νικ. Πλαστήρα 100, Βασιλικά Βουτών , Ηράκλειο Κρήτης. Τηλ , Fax: ΣΕΙΡΑ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ / ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ È ı ÓÙÂÛ ÂÈÚ Û: ˆÚÁÈÔÛ ºÚ. ˆÚÁ ÎÔappleÔ ÏÔÛ, πˆ ÓÓËÛ apple ÔÁÁÔÓ Û Τίτλος πρωτοτύπου: Introduction to Algorithms, 2nd edition c 1990, 2001: The Massachusetts Institute of Technology - MIT Press c για την ελληνική γλώσσα: 2003, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης Πρώτη έκδοση: εκέµβριος 2006 Πρώτη έκδοση σε ενιαίο τόµο: Σεπτέµβριος 2012 Απόδοση στα ελληνικά: Ιωάννης Παπαδόγγονας (ΠΕΚ) Επιστηµονική επιµέλεια: Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος (Κεϕ. 1-26) Μετη συνεργασία των: Σταύρου Νικολόπουλου Λεωνίδα Παληού Βιβής Φραγκοπούλου Ιωάννης Παπαδόγγονας (Κεϕ ) Τελική ανάγνωση (Κεϕ ): Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Στοιχειοθεσία, σελιδοποίηση, επιµέλεια έκδοσης: Ιωάννης Παπαδόγγονας (ΠΕΚ) Μακέτα εξωϕύλλου: Βάσω Αβραµοπούλου ISBN

4 Περιεχόµενα Πρόλογος xiii I Θεµελιώδεις έννοιες Εισαγωγή 3 1 Ο ρόλος των αλγορίθµων στις υπολογιστικές διαδικασίες Αλγόριθµοι Οι αλγόριθµοι ως τεχνολογία 10 2 Προκαταρκτικές έννοιες και παρατηρήσεις Ενθετική ταξινόµηση Ανάλυση αλγορίθµων Σχεδίαση αλγορίθµων 28 3 Ρυθµός αύξησης συναρτήσεων Ασυµπτωτικός συµβολισµός Καθιερωµένοι συµβολισµοί και συνήθεις συναρτήσεις 52 4 Αναδροµικές σχέσεις Η µέθοδος της αντικατάστασης Η µέθοδος του δένδρου αναδροµής Η κεντρική µέθοδος Απόδειξη του κεντρικού θεωρήµατος 75 5 Πιθανοτική ανάλυση και τυχαιοκρατικοί αλγόριθµοι Το πρόβληµα της πρόσληψης είκτριες τυχαίες µεταβλητές Τυχαιοκρατικοί αλγόριθµοι Πιθανοτική ανάλυση και άλλες χρήσεις των δεικτριών τυχαίων µεταβλητών 104

5 vi Περιεχόµενα II Ταξινόµηση και διατακτικές στατιστικές Εισαγωγή Ταξινόµηση σωρού Σωροί ιατήρηση της ιδιότητας σωρού Κατασκευή σωρού Ο αλγόριθµος της ταξινόµησης σωρού Ουρές προτεραιότητας Ταχυταξ ινόµηση Περιγραϕή της ταχυταξινόµησης Επίδοση της ταχυταξινόµησης Μια τυχαιοκρατική εκδοχή της ταχυταξινόµησης Ανάλυση της ταχυταξινόµησης Ταξινόµηση σε γραµµικό χρόνο Κάτω ϕράγµατα για αλγορίθµους ταξινόµησης Απαριθµητική ταξινόµηση Αριθµοτακτική ταξινόµηση Ταξινόµηση µεδοχεία ιάµεσοι και διατακτικές στατιστικές Ελάχιστο και µέγιστο Επιλογή σε γραµµικό αναµενόµενο χρόνο Επιλογή σε γραµµικό χρόνο χειρότερης περίπτωσης 186 III οµές δεδοµένων Εισαγωγή Στοιχειώδεις δοµές δεδοµένων Στοίβες και ουρές Αλυσίδες Υλοποίηση δεικτών και αντικειµένων Αναπαράσταση έρριζων δένδρων Πίνακες διασποράς Πίνακες σταθερών διευθύνσεων Πίνακες διασποράς Συναρτήσεις διασποράς Η µέθοδος των µεταβλητών διευθύνσεων Πλήρης διασπορά υαδικά δένδρα αναζήτησης Τι είναι ένα δυαδικό δένδρο αναζήτησης; Άντληση πληροϕοριών από δυαδικό δένδρο αναζήτησης Εισαγωγή και διαγραϕή Τυχαία κατασκευασµένα δυαδικά δέντρα αναζήτησης 264

6 Περιεχόµενα vii 13 Μελανέρυθρα δένδρα Ιδιότητες των µελανέρυθρων δένδρων Περιστροϕές Εισαγωγή ιαγραϕή Επαύξηση δοµών δεδοµένων υναµικές διατακτικές στατιστικές Ηεπαύξησηδοµώνδεδοµένωνστηνπράξη ένδρα διαστηµάτων 311 IV Ανώτερες τεχνικές σχεδίασης και ανάλυσης Εισαγωγή υναµικός προγραµµατισµός Χρονοπρογραµµατισµός γραµµής παραγωγής Πολλαπλασιασµός αλληλουχίας πινάκων Στοιχεία δυναµικού προγραµµατισµού Μέγιστη κοινή υπακολουθία Βέλτιστα (στατικά) δυαδικά δένδρα αναζήτησης Άπληστοι αλγόριθµοι Ένα πρόβληµα επιλογής δραστηριοτήτων Στοιχεία της άπληστης στρατηγικής Κώδικες Huffman Θεωρητική θεµελίωση της άπληστης µεθοδολογίας Ένα πρόβληµα χρονοπρογραµµατισµού εργασιών Αντισταθµιστική ανάλυση Η αθροιστική µέθοδος Η χρεωπιστωτική µέθοδος Η ενεργειακή µέθοδος υναµικοί πίνακες 420 V οµές δεδοµένων προηγµένης σχεδίασης Εισαγωγή ένδρα Β Ορισµός των δένδρων Β Βασικές πράξεις σε δένδρα Β ιαγραϕή κλειδιού από δένδρο Β ιωνυµικοί σωροί ιωνυµικά δένδρα και διωνυµικοί σωροί Πράξεις σε διωνυµικούς σωρούς 465

7 viii Περιεχόµενα 20 Σωροί Fibonacci οµή των σωρών Fibonacci Πράξεις συγχωνεύσιµου σωρού Μείωση κλειδιού και διαγραϕή κόµβου Φραγή του µέγιστου βαθµού οµές δεδοµένων για παράσταση ξένων συνόλων Πράξεις ξένων συνόλων Αναπαράσταση ξένων συνόλων µέσω αλυσίδων άση ξένων συνόλων Ανάλυση της ένωσης κατά τάξη µεσυµπίεση κλάδου 512 VI Αλγόριθµοι γραϕηµάτων Εισαγωγή Στοιχειώδεις αλγόριθµοι γραϕηµάτων Αναπαραστάσεις γραϕηµάτων Οριζόντια διερεύνηση Καθοδική διερεύνηση Τοπολογική ταξινόµηση Ισχυρά συνδεδεµένες συνιστώσες Ελαϕρύτατα συνδετικά δένδρα Επέκταση ελαϕρύτατου συνδετικού δένδρου Οι αλγόριθµοι των Kruskal και Prim Οµοαϕετηριακές ελαϕρύτατες διαδροµές Ο αλγόριθµος των Bellman-Ford Οµοαϕετηριακές ελαϕρύτατες διαδροµές σε κατευθυντά άκυκλα γραϕήµατα Αλγόριθµος του Dijkstra Περιορισµοί διαϕοράς και ελαϕρύτατες διαδροµές Αποδείξεις των ιδιοτήτων ελαϕρύτατων διαδροµών Πανζευκτικές ελαϕρύτατες διαδροµές Ελαϕρύτατες διαδροµές και πολλαπλασιασµός πινάκων Ο αλγόριθµος των Floyd-Warshall Αλγόριθµος του Johnson για αραιά γραϕήµατα Μέγιστη ροή ίκτυα ροής Η µέθοδος των Ford-Fulkerson Μέγιστη διµερής αντιστοίχιση Αλγόριθµοι διοχέτευσης-αναβάθµισης Ο αλγόριθµος της προτακτικής αναβάθµισης 684

8 Περιεχόµενα ix VII Επιλεγµένα θέµατα Εισαγωγή Ταξινοµητικά δίκτυα Συγκριτικά δίκτυα Η αρχή µηδέν-ένα Ένα διτονικό ταξινοµητικό δίκτυο Ένα συγχωνευτικό δίκτυο Ένα ταξινοµητικό δίκτυο Πράξειςσεπίνακες Ιδιότητες πινάκων Ο αλγόριθµος του Strassen για πολλαπλασιασµό πινάκων Επίλυση συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων Αντιστροϕή πινάκων Συµµετρικοί θετικά ορισµένοι πίνακες και προσέγγιση ελαχίστων τετραγώνων Γραµµικός προγραµµατισµός Τυπική και αποκλιτική µορϕή ιατύπωση προβληµάτων µετη µορϕή γραµµικών προγραµµάτων Ο πολυτοπικός αλγόριθµος υϊκότητα Η αρχική βασική εϕικτή λύση Πολυώνυµα και FFT Αναπαράσταση πολυωνύµων Οι µετασχηµατισµοί DFT και FFT ραστικές υλοποιήσεις FFT Αριθµοθεωρητικοί αλγόριθµοι Στοιχειώδεις έννοιες της θεωρίας αριθµών Μέγιστος κοινός διαιρέτης Υπολοιπική αριθµητική Επίλυση υπολοιπικών γραµµικών εξισώσεων Το κινεζικό θεώρηµα του υπολοίπου υνάµεις ενός στοιχείου Το κρυπτοσύστηµα δηµόσιου κλειδιού RSA Έλεγχος πρώτευσης Ακέραιη παραγοντοποίηση Ταύτιση συµβολοσειρών Ο απλοϊκός αλγόριθµος ταύτισης συµβολοσειρών Ο αλγόριθµος Rabin-Karp Ταύτιση συµβολοσειρών µε πεπερασµένα αυτόµατα Ο αλγόριθµος Knuth-Morris-Pratt 918

9 x Περιεχόµενα 33 Υπολογιστική γεωµετρία Ιδιότητες ευθύγραµµων τµηµάτων Πώς προσδιορίζεται εάν υπάρχει ζεύγος τεµνόµενων τµηµάτων Εύρεση του κυρτού καλύµµατος Εύρεση του ζεύγους εγγύτατων σηµείων NP-πληρότητα Πολυωνυµικός χρόνος Επαλήθευση πολυωνυµικού χρόνου NP-πληρότητα και αναγωγιµότητα Αποδείξεις NP-πληρότητας NP-πλήρη προβλήµατα Προσεγγιστικοί αλγόριθµοι Το πρόβληµα του κοµβικού καλύµµατος Το πρόβληµα του περιοδεύοντος πωλητή Το πρόβληµα της κάλυψης συνόλου Τυχαιότητα και γραµµικός προγραµµατισµός Το πρόβληµα του αθροίσµατος υποσυνόλου 1039 VIII Παράρτηµα: Μαθηµατικό υπόβαθρο Εισαγωγή Π 1 Αʹ Αθροίσµατα Π 2 Αʹ.1 Τύποι και ιδιότητες αθροισµάτων Π 2 Αʹ.2 Φραγή αθροισµάτων Π 6 Βʹ Σύνολα, σχέσεις, γραϕήµατα και άλλα Π 14 Βʹ.1 Σύνολα Π 14 Βʹ.2 Σχέσεις Π 19 Βʹ.3 Συναρτήσεις Π 21 Βʹ.4 Γραϕήµατα Π 23 Βʹ.5 ένδρα Π 28 Γʹ Απαρίθµηση και πιθανότητες Π 37 Γʹ.1 Απαρίθµηση Π 37 Γʹ.2 Πιθανότητες Π 42 Γʹ.3 ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Π 49 Γʹ.4 Η γεωµετρική και η διωνυµική κατανοµή Π 54 Γʹ.5 Οι ουρές της διωνυµικής κατανοµής Π 59 Γλωσσάριο (Ελληνοαγγλικό - Αγγλοελληνικό) Γ 1 Βιβλιογραϕία Β 1 Ευρετήριο Ε 1

10 Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί µια εκτενή εισαγωγή στη σύγχρονη µελέτη των υπολογιστικών αλγορίθµων. Πραγµατεύεται ένα µεγάλο πλήθος αλγορίθµων, τους οποίους καλύπτει σε αρκετά µεγάλο βάθος, διατηρώντας ταυτόχρονα τη σχεδίαση και την ανάλυσή τους προσιτή σε όλους τους αναγνώστες. Έχουµε προσπαθήσει να διατηρήσουµε τη µελέτη των αλγορίθµων σε στοιχειώδες επίπεδο, χωρίς να θυσιάσουµε την εµβάθυνση ή τη µαθηµατική αυστηρότητα. Σε κάθε κεϕάλαιο παρουσιάζεται ένας αλγόριθµος, µια τεχνική σχεδίασης, µια περιοχή εϕαρµογών ή ένα σχετικό θέµα. Οι αλγόριθµοι περιγράϕονται σε ϕυσική γλώσσα και µέσω ενός «ψευδοκώδικα» σχεδιασµένου ώστε να είναι κατανοητός από οποιονδήποτε έχει έστω και ελάχιστη εµπειρία στον προγραµµατισµό. Το βιβλίο περιλαµβάνει περισσότερα από 230 σχήµατα τα οποία αποσαϕηνίζουν τη λειτουργία των αλγορίθµων. εδοµένου ότι δίνουµε έµϕαση στη δραστικότητα ως κριτήριο σχεδίασης, έχουµε συµπεριλάβει διεξοδικές αναλύσεις των χρόνων εκτέλεσης των αλγορίθµων µας. Σκοπός του βιβλίου είναι να χρησιµοποιηθεί ως διδακτικό εγχειρίδιο σε προπτυχιακά ή µεταπτυχιακά µαθήµατα αλγορίθµων ή δοµών δεδοµένων. εδοµένου ότι εκτός από τις µαθηµατικές πλευρές της σχεδίασης αλγορίθµων πραγµατεύεται και τα σχετικά τεχνικά ζητήµατα, προσϕέρεται εξίσου και για κατ ιδίαν µελέτη από επαγγελµατίες µε τεχνικό προσανατολισµό. Σε αυτή τη δεύτερη έκδοση, το βιβλίο έχει αναθεωρηθεί στο σύνολό του. Οι αλλαγέςεκτείνονταιαπότηνπροσθήκηνέωνκεϕαλαίωνµέχριτηναναδιατύπωση µεµονωµένων προτάσεων. Προς τον διδάσκοντα Το βιβλίο αυτό έχει σχεδιαστεί έτσι ώστε να είναι αϕ ενός προσαρµόσιµο στις ανάγκες των αναγνωστών και αϕ ετέρου πλήρες. Μπορεί να χρησιµοποιηθεί στη διδασκαλία διαϕόρων µαθηµάτων, από ένα προπτυχιακό µάθηµα δοµών δεδοµένων µέχρι και ένα µεταπτυχιακό µάθηµα αλγορίθµων. εδοµένου ότι η ύλη που περιλαµβάνει υπερβαίνει σηµαντικά αυτήν που µπορεί να καλυϕθεί σε ένα τυπικό εξα- µηνιαίο µάθηµα, µπορεί να θεωρηθεί ως ένα είδος «εκθετηρίου» από το οποίο έχετε τη δυνατότητα να επιλέξετε την ύλη που ταιριάζει περισσότερο στο µάθηµα που επιθυµείτε να διδάξετε. Ευελπιστούµε ότι η δοµή του βιβλίου θα σας επιτρέψει να οργανώσετε το µάθηµά σας µόνο µε βάση τα κεϕάλαια που θα θεωρήσετε αναγκαία. Έχουµε ϕροντίσει τα διάϕορα κεϕάλαια να είναι σχετικά αυτοτελή, ώστε να µη χρειάζεται να ανησυχείτε για αναπάντεχες και περιττές αλλελεξαρτήσεις µεταξύ τους. Σε κάθε κεϕάλαιο,

11 xii Πρόλογος παρατίθενται πρώτα τα πιο βατά τµήµατα της ύλης και ακολουθούν τα πιο απαιτητικά, ενώ τα όρια µεταξύ των ενοτήτων σηµατοδοτούν ϕυσιολογικά σηµεία τερµατισµού. Σεένα προπτυχιακό µάθηµα, θα µπορούσαν να χρησιµοποιηθούν µόνο οι αρχικές ενότητες των κεϕαλαίων που θα επιλεγούν. σε ένα µεταπτυχιακό µάθηµα, θα µπορούσε κανείς να καλύψει στο σύνολό τους τα κεϕάλαια που θα επιλέξει. Το βιβλίο περιλαµβάνει περισσότερες από 920 ασκήσεις και περισσότερα από 140 προβλήµατα. Κάθε ενότητα ολοκληρώνεται µε τις αντίστοιχες ασκήσεις, και κάθε κεϕάλαιο µε τα αντίστοιχα προβλήµατα. Οι ασκήσεις συνίστανται εν γένει σε σύντοµα ερωτήµατα που ελέγχουν την αϕοµοίωση της ύλης σε βασικό επίπεδο. Ορισµένες από τις ασκήσεις αποτελούν απλές νοητικές δοκιµασίες αυτοελέγχου, ενώ άλλες είναι περισσότερο ουσιώδεις και προσϕέρονται για ανάθεση κατ οίκον εργασιών. Τα προβλήµατα συνιστούν πιο σύνθετες µελέτες περιπτώσεων στις οποίες συχνά παρουσιάζονται και κάποια συµπληρώµατα της θεωρίας, και αποτελούνται κατά κανόνα από διάϕορα ερωτήµατα τα οποία καθοδηγούν τον σπουδαστή στα βήµατα που θα πρέπει να ακολουθήσει για να ϕτάσει στη λύση. Οι ενότητες και οι ασκήσεις που είναι περισσότερο κατάλληλες για µεταπτυχιακούς παρά για προπτυχιακούς ϕοιτητές επισηµαίνονται µε έναν αστερίσκο ( ). Οι επισηµασµένες ενότητες δεν είναι κατ ανάγκη δυσκολότερες από τις µη επισηµασµένες, αλλά ενδέχεται να απαιτούν υψηλότερο µαθηµατικό υπόβαθρο. Οµοίως, οι επισηµασµένες ασκήσεις ενδέχεται να απαιτούν υψηλότερο υπόβαθρο ή αυξηµένη επινοητικότητα. Προς τον σπουδαστή Ελπίζουµε το βιβλίο αυτό να αποτελέσει για εσάς µια ευχάριστη εισαγωγή στο πεδίο των αλγορίθµων. Έχουµεπροσπαθήσει να παρουσιάσουµεόλους τους αλγορίθµους µε τρόπο βατό και ενδιαϕέροντα. Για να διευκολύνουµε την κατανόηση µη οικείων ή δύσκολων αλγορίθµων, έχουµεακολουθήσει µια βήµα προς βήµα περιγραϕή. Παραθέτουµε επίσης λεπτοµερείς αναϕορές στα µαθηµατικά που απαιτούνται για την κατανόηση της ανάλυσης των αλγορίθµων. Εάν είστε ήδη εξοικειµένοι µε κάποιο γνωστικό αντικείµενο, θα διαπιστώσετε ότι τα κεϕάλαια είναι δοµηµένα έτσι ώστε να µπορείτε να διατρέξετε επί τροχάδην τις εισαγωγικές ενότητες και να προχωρήσετε γρήγορα στα πιο απαιτητικά τµήµατα της ύλης. εδοµένου του µεγάλου όγκου του βιβλίου, το µάθηµά σας θα καλύψει πιθανότητα µόνο ένα τµήµα της συνολικής ύλης του. Ωστόσο, έχουµεκαταβάλει κάθε προσπάθεια ώστε το βιβλίο αυτό, πέραν της χρήσης του ως διδακτικού εγχειριδίου, να αποτελέσει επίσης χρήσιµο βοήθηµα στη µελλοντική σας καριέρα τόσο ως βιβλίο αναϕοράς για µαθηµατικά ζητήµατα όσο και ως τεχνικό εγχειρίδιο. Ποια είναι τα προαπαιτούµενα για τη µελέτη αυτού του βιβλίου; Θα πρέπει να έχετε κάποια εµπειρία στον προγραµµατισµό. Συγκεκριµένα, θα πρέπει να έχετε κατανοήσει τις αναδροµικές διαδικασίες και τις απλές δοµές δεδοµένων, όπως οι συστοιχίες και οι αλυσίδες. Θα πρέπει να έχετε κάποια ευχέρεια στις αποδείξεις µέσω µαθηµατικής επαγωγής. Λίγα τµήµατα του βιβλίου προϋποθέτουν στοιχειώδεις γνώσεις απειροστικού λογισµού. Πέραν αυτών, όλες οι µαθηµατικές τεχνικές που θα χρειαστείτε αναπτύσσονται στα Μέρη I και VIII.

12 Πρόλογος xiii Προς τον επαγγελµατία Το µεγάλο εύρος των ζητηµάτων που καλύπτει το βιβλίο αυτό το καθιστούν ιδανικό εγχειρίδιο αναϕοράς για αλγορίθµους. Το γεγονός ότι όλα τα κεϕάλαια είναι σχετικά αυτοτελή σας επιτρέπει να εστιάσετε στα ζητήµατα που σας ενδιαϕέρουν περισσότερο. Οι περισσότεροι από τους αλγορίθµους που πραγµατευόµαστε στο βιβλίο αυτό έχουν µεγάλη πρακτική χρησιµότητα. Για τον λόγο αυτό, η µελέτη τους επεκτείνεται και σεζητήµατα υλοποίησης, καθώς και σετεχνικά θέµατα. Για τους λίγους αλγορίθµους που έχουν πρωτίστως θεωρητικό ενδιαϕέρον, συχνά παραθέτουµε πρακτικές εναλλακτικές λύσεις. Εάν θελήσετε να υλοποιήσετε κάποιους από τους αλγορίθµους, θα διαπιστώσετεότι η µετάϕρασή τους απο τον ψευδοκώδικα που χρησιµοποιούµεστην γλώσσα προγραµµατισµού της επιλογής σας είναι αρκετά απλή διαδικασία. Ο ψευδοκώδικας είναι σχεδιασµένος έτσι ώστε η παρουσίαση όλων των αλγορίθµων να χαρακτηρίζεται από σαϕήνεια και λιτότητα. Ως εκ τούτου, δεν ασχολούµαστε µε ζητήµατα διαχείρισης σϕαλµάτων και τεχνολογίας λογισµικού τα οποία βασίζονται σε συγκεκριµένες παραδοχές για το εκάστοτε προγραµµατιστικό περιβάλλον. Στόχος µας είναι να παρουσιάσουµεκάθεαλγόριθµο µεαπλό και άµεσο τρόπο, και να αποϕύγουµετη συσκότιση των βασικών του χαρακτηριστικών από τις ιδιοµορϕίες της κάθεγλώσσας προγραµµατισµού. Προς τους συναδέλϕους µας Έχουµε ϕροντίσει να παραθέσουµε µια εκτενή βιβλιογραϕία καθώς και παραποµπές στη σύγχρονη αρθρογραϕία. Στο τέλος κάθε κεϕαλαίου, παρατίθενται κάποιες «σηµειώσεις» οι οποίες αναϕέρονται σε ζητήµατα ιστορικού ενδιαϕέροντος καθώς και σε βιβλιογραϕικές πηγές. Εντούτοις, οι σηµειώσεις αυτές δεν εξαντλούν τις βιβλιογραϕικές αναϕορές στο πεδίο των αλγορίθµων. Αν και, κρίνοντας από τον όγκο του βιβλίου, θα ήταν µάλλον δύσκολο να το πιστέψει κανείς, πολλοί ενδιαϕέροντες αλγόριθµοι δεν στάθηκε δυνατόν να συµπεριληϕθούν λόγω έλλειψης χώρου. Παρά τα αναρίθµητα αιτήµατα που δεχθήκαµε από σπουδαστές για να συµπεριλάβουµε τις λύσεις των προβληµάτων και των ασκήσεων, επιλέξαµε να µην παραθέσουµε αναλυτικές υποδείξεις για τα προβλήµατα και τις ασκήσεις, προκειµένου οι σπουδαστές να αποϕύγουν τον πειρασµό να ανατρέξουν απλώς στη λύση αντί νατηβρουνοιίδιοι. Αλλαγές στη δεύτερη έκδοση Τι έχει αλλάξει µεταξύ της πρώτης και της δεύτερης έκδοσης αυτού του βιβλίου; Ανάλογα µε το πώς το εξετάζει κανείς, είτε ελάχιστα πράγµατα είτε πάρα πολλά. Όπως µπορεί να διαπιστώσει κανείς µε µια σύντοµη µατιά στον πίνακα περιεχο- µένων, τα κεϕάλαια και οι ενότητες της πρώτης έκδοσης υπάρχουν στην πλειονότητά τους και στη δεύτερη. Έχουµε αϕαιρέσει δύο κεϕάλαια και λίγες ενότητες, και έχουµε προσθέσει τρία νέα κεϕάλαια και τέσσερεις νέες ενότητες, πέραν των νέων αυτών κεϕαλαίων. Εάν προσπαθήσει κανείς να εκτιµήσει το εύρος των αλλαγών µε βάση τον πίνακα των περιεχοµένων, θα συµπεράνει µάλλον ότι δεν υπάρχουν σηµαντικές µεταβολές.

13 xiv Πρόλογος Εντούτοις, οι αλλαγές στη δεύτερη έκδοση εκτείνονται πολύ πέραν αυτών που ϕαίνονται στον πίνακα των περιεχοµένων. Οι πιο σηµαντικές από αυτές, µε αυθαίρετη σειρά, είναι οι εξής: Στην οµάδα των συγγραϕέων έχει προστεθεί και ο Cliff Stein. Έχουν διορθωθεί κάποια λάθη. Πόσα; Ας πούµε απλώς αρκετά. Υπάρχουν τρία νέα κεϕάλαια: Το Κεϕάλαιο 1 πραγµατεύεται τον ρόλο των αλγορίθµων στις υπολογιστικές διαδικασίες. Το Κεϕάλαιο 5 καλύπτει την πιθανοτική ανάλυση και τους τυχαιοκρατικούς αλγορίθµους. Όπως και στην πρώτη έκδοση, τα αντικείµενα αυτά απαντούν σεδιάϕορα σηµεία του βιβλίου. Το Κεϕάλαιο 29 είναι αϕιερωµένο στον γραµµικό προγραµµατισµό. Σε κεϕάλαια που υπήρχαν και στην πρώτη έκδοση, έχουν προστεθεί νέες ενότητες στα εξής αντικείµενα: στην πλήρη διασπορά (Ενότητα 11.5), σε δύο εϕαρµογές δυναµικού προγραµµατισµού (Ενότητες 15.1 και 15.5), και σεπροσεγγιστικούς αλγορίθµους οι οποίοι βασίζονται σετυχαιοκρατικές διαδικασίες και σε γραµµικό προγραµµατισµό (Ενότητα 35.4). Προκειµένου να εισαγάγουµε τον αναγνώστη στην καθαυτό µελέτη των αλγορίθµων νωρίτερα, έχουµε µετακινήσει τρία από τα κεϕάλαια που αϕορούν το µαθηµατικό υπόβαθρο από το Μέρος I στο Παράρτηµα, το οποίο αποτελεί το Μέρος VIII. Υπάρχουν περισσότερα από 40 νέα προβλήµατα και περισσότερες από 185 νέες ασκήσεις. Έχουµε καθιερώσει την απευθείας χρήση των αναλλοίωτων συνθηκών για την απόδειξη της ορθότητας αλγορίθµων. Η πρώτη αναλλοίωτη συνθήκη εµϕανίζεται στο Κεϕάλαιο 2, ενώ η µέθοδος χρησιµοποιείται συνολικά µερικές δεκάδες ϕορέςσεόλοτοβιβλίο. Πολλές από τις πιθανοτικές αναλύσεις έχουν αναθεωρηθεί. Συγκεκριµένα, χρησιµοποιούµε σε περίπου δέκα περιπτώσεις την τεχνική των «δεικτριών τυχαίων µεταβλητών», η οποία απλοποιεί την πιθανοτική ανάλυση, ιδιαίτερα όταν οι δείκτριες µεταβλητές είναι εξαρτηµένες. Έχουµε επεκτείνει και ανανεώσει τις σηµειώσεις των κεϕαλαίων και τη βιβλιογραϕία. Η βιβλιογραϕία έχει αυξηθεί κατά περίπου 50%, και έχουµεπροσθέσει αναϕορές σε πολλά νέα αποτελέσµατα τα οποία δηµοσιεύθηκαν µετά την κυκλοϕορία της πρώτης έκδοσης. Έχουµε προχωρήσει επίσης στις ακόλουθες αλλαγές: Από το κεϕάλαιο που αϕορά την επίλυση αναδροµικών σχέσεων έχει απαλει- ϕθεί η επαναληπτική µέθοδος. Αντ αυτής, στην Ενότητα 4.2, έχουµε «προαγάγει» τα δένδρα αναδροµής σε καθαυτό µέθοδο επίλυσης. Έχουµε διαπιστώσει ότι η µέθοδος της σχεδίασης δένδρων αναδροµής είναι λιγότερο ευάλωτη σε

14 Πρόλογος xv σϕάλµατα απ ό,τι η επαναληπτική επίλυση αναδροµικών σχέσεων. Επισηµαίνουµε, ωστόσο, ότι τα δένδρα αναδροµής είναι καλύτερο να χρησιµοποιούνται για τη διατύπωση εικασιών οι οποίες στη συνέχεια επιβεβαιώνονται µέσω της µεθόδου της αντικατάστασης. Η µέθοδος διαµέρισης που χρησιµοποιείται στην ταχυταξινόµηση (Ενότητα 7.1) και ο αλγόριθµος διατακτικών στατιστικών γραµµικού αναµενόµενου χρόνου (Ενότητα 9.2) διαϕέρουν σεσχέση µετην πρώτη έκδοση. Στην έκδοση αυτή, χρησιµοποιούµε τη µέθοδο που έχει αναπτυχθεί από τον Lomuto, η οποία, σε συνδυασµό µε τις δείκτριες τυχαίες µεταβλητές, απλοποιεί κάπως την ανάλυση. Η µέθοδος της πρώτης έκδοσης, η οποία οϕείλεται στον Hoare, παρατίθεται ως πρόβληµα στο Κεϕάλαιο 7. Έχουµετροποποιήσει την περιγραϕή της καθολικής διασποράς (Ενότητα ) έτσι ώστε να εντάσσεται στη µελέτη της πλήρους διασποράς. Η ανάλυση του ύψους ενός τυχαία κατασκευασµένου δυαδικού δένδρου αναζήτησης (Ενότητα 12.4) έχει απλοποιηθεί σηµαντικά. Η µελέτη των στοιχείων δυναµικού προγραµµατισµού (Ενότητα 15.3) έχει επεκταθεί σηµαντικά, όπως και η µελέτη των στοιχείων των άπληστων αλγορίθµων (Ενότητα 16.2). Η διερεύνηση του προβλήµατος της επιλογής δραστηριοτήτων, µε το οποίο ξεκινά το κεϕάλαιο των άπληστων αλγορίθµων, διευκολύνει την αποσαϕήνιση της σχέσης µεταξύ δυναµικού προγραµµατισµού και άπληστων αλγορίθµων. Η απόδειξη του χρόνου εκτέλεσης της δοµής δεδοµένων της ένωσης ξένων συνόλων στην Ενότητα 21.4 έχει αντικατασταθεί. Η νέα απόδειξη βασίζεται στην ενεργειακή µέθοδο για τον προσδιορισµό ενός αυστηρού ϕράγµατος. Η απόδειξη της ορθότητας του αλγορίθµου για τις ισχυρά συνδεδεµένες συνιστώσες στην Ενότητα 22.5 έχει γίνει απλούστερη, σαϕέστερη και πιο άµεση. Το Κεϕάλαιο 24, που αναϕέρεται στις οµοαϕετηριακές ελαϕρύτατες διαδροµές, έχει ανασυγκροτηθεί έτσι ώστε οι αποδείξεις των βασικών ιδιοτήτων να ενταχθούν σε µια ξεχωριστή ενότητα. Η νέα δοµή του κεϕαλαίου µας επιτρέπει να εισαγάγουµε νωρίτερα τους σχετικούς αλγορίθµους. Η Ενότητα 34.5 περιλαµβάνει µια διευρυµένη επισκόπηση της NP-πληρότητας καθώς και νέες αποδείξεις της NP-πληρότητας για τα προβλήµατα του χαµιλτονιανού κύκλου και του αθροίσµατος υποσυνόλων. Τέλος, σχεδόν όλες οι ενότητες έχουν τροποποιηθεί προκειµένου να διορθωθούν, να απλοποιηθούν και να αποσαϕηνιστούν οι διάϕορες εξηγήσεις και αποδείξεις. ικτυότοπος Μιαάλληαλλαγήσεσχέσηµετηνπρώτηέκδοσηείναιότιτοβιβλίοδιαθέτειπλέον τον δικό του δικτυότοπο: αυτού, µπορείτε να αναϕέρετε σϕάλµατα, να προµηθευτείτε έναν κατάλογο των γνωστών σϕαλµάτων, ή να κάνετε υποδείξεις. τα σχόλιά σας είναι ευπρόσδεκτα. Θα εκτιµούσαµε ιδιαίτερα τις ιδέες σας για νέες ασκήσεις και προβλήµατα, που θα θέλαµε όµως να συνοδεύονται από τις λύσεις τους. υστυχώς, δεν είναι δυνατόν να απαντήσουµε προσωπικά σε όλα τα σχόλια.

15 xvi Πρόλογος Ευχαριστίες για την πρώτη έκδοση Πολλοί ϕίλοι και συνάδελϕοι έχουν συµβάλει σηµαντικά στην ποιότητα αυτού του βιβλίου. Τους ευχαριστούµε όλους για τη συνδροµή τους και την εποικοδοµητική τους κριτική. Το Εργαστήριο Επιστήµης Υπολογιστών του MIT µας εξασϕάλισε ένα ιδανικό περιβάλλον εργασίας. Οι συνάδελϕοί µας από την Οµάδα Θεωρίας Υπολογισµού του εργαστηρίου προσέϕεραν σηµαντική υποστήριξη και επέδειξαν εξαιρετική υπο- µονή στις συνεχείς παρακλήσεις µας για κριτική αξιολόγηση των διαϕόρων κε- ϕαλαίων. Θα θέλαµενα ευχαριστήσουµειδιαίτερα τους Baruch Awerbuch, Shafi Goldwasser, Λεωνίδα Γκίµπα, Tom Leighton, Albert Meyer, David Shmoys, και Éva Tardos. Ευχαριστούµεεπίσης τους William Ang, Sally Bemus, Ray Hirschfeld, και Mark Reinhold για την εύρυθµη λειτουργία των υπολογιστών µας (DEC Microvax, Apple Macintosh, και Sun Sparcstation) και την επαναµεταγλώττιση του TEX κάθε ϕορά που υπερβαίναµε κάποιο χρονικό όριο µεταγλώττισης. Η Thinking Machines Corporation προσέϕερε την υποστήριξή της στον Charles Leiserson για να ασχοληθεί µε αυτό το βιβλίο κατά τη διάρκεια µιας εκπαιδευτικής άδειας από το MIT. Πολλοί συνάδελϕοι οι οποίοι χρησιµοποίησαν προσχέδια του κειµένου αυτού στη διδασκαλία µαθηµάτων σε άλλες σχολές µας υπέδειξαν αρκετές διορθώσεις και αναθεωρήσεις. Θα θέλαµε να ευχαριστήσουµε ιδιαίτερα τους Richard Beigel, Andrew Goldberg, Joan Lucas, Mark Overmars, Alan Sherman, και Diane Souvaine. Πολλοί βοηθοί καθηγητού στα µαθήµατά µας συνεισέϕεραν σηµαντικά στην ανάπτυξη του υλικού αυτού. Ευχαριστούµειδιαίτερα τους Alan Baratz, Bonnie Berger, Aditi Dhagat, Burt Kaliski, Arthur Lent, Andrew Moulton, Μάριο Παπαευθυµίου, Cindy Phillips, Mark Reinhold, Phil Rogaway, Flavio Rose, Arie Rudich, Alan Sherman, Cliff Stein, Susmita Sur, Gregory Troxel, και Margaret Tuttle. Πολλοί άλλοι προσέϕεραν πολύτιµη τεχνική υποστήριξη. Η Denise Sergent αϕιέρωσε πολλές ώρες στις βιβλιοθήκες του MIT αναζητώντας βιβλιογραϕικές πηγές. Η Maria Sensale, η βιβλιοθηκονόµος του αναγνωστηρίου µας, ήταν πάντοτε προσηνής και εξυπηρετική. Η πρόσβαση που είχαµε στην προσωπική βιβλιοθήκη του Albert Meyer µας απάλλαξεαπό πολλές ώρες απασχόλησης στη βιβλιοθήκη για την προετοιµασία των σηµειώσεων των κεϕαλαίων. Οι Shlomo Kipnis, Bill Niehaus, και David Wilson διόρθωσαν παλιές ασκήσεις, ανέπτυξαν νέες, και προσέθεσαν ση- µειώσεις στις λύσεις τους. Οι Μάριος Παπαευθυµίου και Gregory Troxel βοήθησαν στην ευρετηρίαση των όρων. Επί πολλά χρόνια, οι γραµµατείς µας Inna Radzihovsky, Denise Sergent, Gayle Sherman, και ιδιαιτέρως η Be Blackburn παρείχαν απεριόριστη υποστήριξη στην προσπάθεια αυτή. Τις ευχαριστούµε. Πολλοί ϕοιτητές µάς ανέϕεραν σϕάλµατα στα αρχικά προσχέδια του βιβλίου. Ευχαριστούµειδιαίτερα τους Bobby Blumofe, Bonnie Eisenberg, Raymond Johnson, John Keen, Richard Lethin, Mark Lillibridge, Ιωάννη Πεζάρη, Steve Ponzio, και Margaret Tuttle για την προσεκτική τους ανάγνωση. Επίσης, πολλοί συνάδελϕοι συνέταξαν κριτικές ανασκοπήσεις για συγκεκριµένα κεϕάλαια, ή προσέϕεραν πληροϕορίες για συγκεκριµένους αλγορίθµους, και τους ευχαριστούµεθερµά. Ιδιαίτερα θα θέλαµενα ευχαριστήσουµετους Bill Aiello, Alok Aggarwal, Eric Bach, Vašek Chvátal, Richard Cole, Johan Hastad, Alex Ishii, David Johnson, Joe Kilian, Dina Kravets, Bruce Maggs, Jim Orlin, James Park, Thane Plambeck, Hershel Safer, Jeff Shallit, Cliff Stein, Gil Strang, Bob Tarjan, και Paul Wang. ιάϕοροι συνάδελϕοί µας είχαν επίσης την καλοσύνη να µας προµηθεύ-

16 Πρόλογος xvii σουν προβλήµατα. ευχαριστούµε ιδιαίτερα τους Andrew Goldberg, Danny Sleator, και Umesh Vazirani. Ήταν χαρά για µας η συνεργασία µε την MIT Press και την McGraw-Hill για τη διαµόρϕωση του κειµένου αυτού. Ευχαριστούµε ιδιαιτέρως τους Frank Satlow, Terry Ehling, Larry Cohen, και Lorrie Lejeune της MIT Press και τον David Shapiro της McGraw-Hill για την ενθάρρυνση, την υποστήριξη και την υποµονή τους, καθώς και τον Larry Cohen για την εξαιρετική επιµέλεια της έκδοσης. Ευχαριστίες για τη δεύτερη έκδοση Όταν ζητήσαµε από την Julie Sussman, P.P.A., να αναλάβει την τεχνική επιµέλεια της δεύτερης έκδοσης, δεν µπορούσαµε να ϕανταστούµε πόσο εύστοχη ήταν η επιλογή µας. Εκτός από την επιµέλεια του κειµένου ως προς το τεχνικό σκέλος, η Julie ανέλαβε επίσης µε ιδιαίτερο ζήλο και τη ϕιλολογική επιµέλεια. Αισθανόµαστε πολύ πιο ταπεινοί όταν σκεπτόµαστε πόσα λάθη εντόπισε η Julie στα αρχικά µας δοκί- µια, παρ ότι αυτό δεν προκαλεί καµία έκπληξη αν αναλογιστούµε πόσα εντόπισε στην πρώτη έκδοση (δυστυχώς, αϕότου είχε εκτυπωθεί). Επιπλέον, η Julie υπερέβη το δικό της χρονοδιάγραµµα προκειµένου να προσαρµοστεί στις δικές µας υποχρεώσεις ϕτάνοντας στο σηµείο να επιµεληθεί κάποια κεϕάλαια ακόµη και σε ένα ταξίδι της στις Παρθένους Νήσους! Julie, όσο και αν σεευχαριστήσουµεγια την καταπληκτική σου δουλειά, δεν θα είναι αρκετό. Η προετοιµασία της δεύτερης έκδοσης πραγµατοποιήθηκε ενόσω οι συγγραϕείς ήταν µέλη του Τµήµατος Επιστήµης Υπολογιστών του Dartmouth College και του Εργαστηρίου Επιστήµης Υπολογιστών του MIT. Και στα δύο αυτά ιδρύµατα, το περιβάλλον εργασίας ήταν ιδιαίτερα ενθαρρυντικό, και θα θέλαµε να ευχαριστήσουµε όλους τους συναδέλϕους µας για την υποστήριξή τους. ιάϕοροι ϕίλοι και συνάδελϕοι ανά την υϕήλιο διατύπωσαν υποδείξεις και απόψεις οι οποίες µας καθοδήγησαν στη συγγραϕή του κειµένου. Ευχαριστούµε πολύ τους Sanjeev Arora, Javed Aslam, Guy Blelloch, Avrim Blum, Scot Drysdale, Hany Farid, Hal Gabow, Andrew Goldberg, David Johnson, Yanlin Liu, Nicolas Schabanel, Alexander Schrijver, Sasha Shen, David Shmoys, Dan Spielman, Gerald Jay Sussman, Bob Tarjan, Mikkel Thorup, και Vijay Vazirani. Πολλοί δάσκαλοι και συνάδελϕοι µας δίδαξαν πολλά σχετικά µε τους αλγορίθ- µους. Θα θέλαµενα ευχαριστήσουµειδιαίτερα τους δασκάλους µας Jon L. Bentley, Bob Floyd, Don Knuth, Harold Kuhn, H. T. Kung, Richard Lipton, Arnold Ross, Larry Snyder, Michael I. Shamos, David Shmoys, Ken Steiglitz, Tom Szymanski, Éva Tardos, Bob Tarjan, και Jeffrey Ullman. Θα πρέπει επίσης να ευχαριστήσουµε πολλούς από τους τους βοηθούς καθηγητού στα µαθήµατα της θεωρίας αλγορίθµων στο MIT και το Dartmouth, µεταξύ των οποίων τους Joseph Adler, Craig Barrack, Bobby Blumofe, Roberto De Prisco, Matteo Frigo, Igal Galperin, David Gupta, Raj D. Iyer, Nabil Kahale, Sarfraz Khurshid, Σταύρο Κολλιόπουλο, Alain Leblanc, Yuan Ma, Maria Minkoff, ηµήτρη Μήτσουρα, Alin Popescu, Harald Prokop, Sudipta Sengupta, Donna Slonim, Joshua A. Tauber, Sivan Toledo, Elisheva Werner-Reiss, Lea Wittie, Qiang Wu, και Michael Zhang. Οι William Ang, Scott Blomquist, και Greg Shomo στο MIT και οι Wayne Cripps, John Konkle, και Tim Tregubov στο Dartmouth µας προσέϕεραν υπολογιστική υποστήριξη. Ευχαριστούµεεπίσης τους Be Blackburn, Don Dailey, Leigh Deacon,

17 xviii Πρόλογος Irene Sebeda, και Cheryl Patton Wu του MIT και τους Phyllis Bellmore, Kelly Clark, Delia Mauceli, Sammie Travis, Deb Whiting, και Beth Young του Dartmouth για τη διοικητική υποστήριξη. Οι Michael Fromberger, Brian Campbell, Amanda Eubanks, Sung Hoon Kim, και Neha Narula µας προσέϕεραν επίσης σηµαντική βοήθεια στο Dartmouth. Πολλοί αναγνώστες είχαν την καλοσύνη να µας αναϕέρουν σϕάλµατα στην πρώτη έκδοση. Θα θέλαµενα ευχαριστήσουµετους παρακάτω αναγνώστες, καθένας από τους οποίους ανέϕερε πρώτος κάποιο σϕάλµα στην πρώτη έκδοση: Len Adleman, Selim Akl, Richard Anderson, Juan Andrade-Cetto, Gregory Bachelis, David Barrington, Paul Beame, Richard Beigel, Margrit Betke, Alex Blakemore, Bobby Blumofe, Alexander Brown, Xavier Cazin, Jack Chan, Richard Chang, Chienhua Chen, Ien Cheng, Hoon Choi, Drue Coles, Christian Collberg, George Collins, Eric Conrad, Peter Csaszar, Paul Dietz, Martin Dietzfelbinger, Scot Drysdale, Patricia Ealy, Yaakov Eisenberg, Michael Ernst, Michael Formann, Nedim Fresko, Hal Gabow, Marek Galecki, Igal Galperin, Luisa Gargano, John Gately, Rosario Genario, Mihaly Gereb, Ronald Greenberg, Jerry Grossman, Stephen Guattery, Alexander Hartemik, Anthony Hill, Thomas Hofmeister, Mathew Hostetter, Yih-Chun Hu, Dick Johnsonbaugh, Marcin Jurdzinki, Nabil Kahale, Fumiaki Kamiya, Anand Kanagala, Mark Kantrowitz, Scott Karlin, Dean Kelley, Sanjay Khanna, Haluk Konuk, Dina Kravets, Jon Kroger, Bradley Kuszmaul, Tim Lambert, Hang Lau, Thomas Lengauer, George Madrid, Bruce Maggs, Victor Miller, Joseph Muskat, Tung Nguyen, Michael Orlov, James Park, Seongbin Park, Ιωάννης Πασχαλίδης, Boaz Patt-Shamir, Leonid Peshkin, Patricio Poblete, Ira Pohl, Stephen Ponzio, Kjell Post, Todd Poynor, Colin Prepscius, Sholom Rosen, Dale Russell, Hershel Safer, Karen Seidel, Joel Seiferas, Erik Seligman, Stanley Selkow, Jeffrey Shallit, Greg Shannon, Micha Sharir, Sasha Shen, Norman Shulman, Andrew Singer, Daniel Sleator, Bob Sloan, Michael Sofka, Volker Strumpen, Lon Sunshine, Julie Sussman, Asterio Tanaka, Clark Thomborson, Nils Thommesen, Homer Tilton, Martin Tompa, Andrei Toom, Felzer Torsten, Hirendu Vaishnav, M. Veldhorst, Luca Venuti, Jian Wang, Michael Wellman, Gerry Wiener, Ronald Williams, David Wolfe, Jeff Wong, Richard Woundy, Neal Young, Huaiyuan Yu, Tian Yuxing, Joe Zachary, Steve Zhang, FlorianZschoke,καιUriZwick. Πολλοί από τους συναδέλϕους µας προσέϕεραν ενδελεχείς ανασκοπήσεις ή συµπλήρωσαν µακροσκελή ερωτηµατολόγια. Ευχαριστούµε τους Nancy Amato, Jim Aspnes, Kevin Compton, William Evans, Peter Gacs, Michael Goldwasser, Andrzej Proskurowski, Vijaya Ramachandran, και John Reif για την κριτική ανάγνωση κε- ϕαλαίων. Ευχαριστούµεεπίσης τους κάτωθι, για τη συµπλήρωση του ερωτηµατολογίου: James Abello, Josh Benaloh, Bryan Beresford-Smith, Kenneth Blaha, Hans Bodlaender, Richard Borie, Ted Brown, Domenico Cantone, M. Chen, Robert Cimikowski, William Clocksin, Paul Cull, Rick Decker, Matthew Dickerson, Robert Douglas, Margaret Fleck, Michael Goodrich, Susanne Hambrusch, Dean Hendrix, Richard Johnsonbaugh, Κυριάκο Καλορκώτη, Srinivas Kankanahalli, Hikyoo Koh, Steven Lindell, Errol Lloyd, Andy Lopez, Dian Rae Lopez, George Lucker, David Maier, Charles Martel, Xiannong Meng, David Mount, Alberto Policriti, Andrzej Proskurowski, Kirk Pruhs, Yves Robert, Guna Seetharaman, Stanley Selkow, Robert Sloan, Charles Steele, Gerard Tel, Murali Varanasi, Bernd Walter, και Alden Wright. Θα ήµασταν ευτυχείς εάν µπορούσαµε να υλοποιήσουµε όλες τις υποδεί-

18 Πρόλογος xix ξεις τους. Το µόνο πρόβληµα είναι ότι εάν το κάναµε, η δεύτερη έκδοση θα είχε έκταση περίπου 3000 σελίδες! Η δεύτερη έκδοση συντάχθηκε στο LATEX 2ε. Ο Michael Downes µετέτρεψε τις µακροεντολές του LATEX από το «κλασικό» LATEXστοLATEX2ε, και προσάρµοσεεπίσης τα αρχεία κειµένου προκειµένου να χρησιµοποιούν αυτές τις µακροεντολές. Επίσης, προσέϕερετη βοήθειά του και σεγενικότερα ζητήµατα του L A TEX 2ε. Τα σχήµατα της δεύτερης έκδοσης σχεδιάστηκαν από τους συγγραϕείς µε το πρόγραµ- µα MacDraw Pro. Όπως και στην πρώτη έκδοση, για τη σύνταξη του ευρετηρίου χρησιµοποιήθηκετο Windex, ένα πρόγραµµα σεc το οποίο έχουν κατασκευάσει οι συγγραϕείς, ενώ η βιβλιογραϕία συντάχθηκε µέσω του προγράµµατος µè TEX. Οι Ayorkor Mills-Tettey και Rob Leathern βοήθησαν στη µετατροπή των σχηµάτων στο πρόγραµµα MacDraw Pro, ενώ ο Ayorkor έλεγξε επίσης τη βιβλιογραϕία. Όπως και στην πρώτη έκδοση, η συνεργασία µε την MIT Press και την McGraw- Hill ήταν ιδιαίτερα ευχάριστη. Οι επιµελητές µας, Bob Prior από την MIT Press και Betsy Jones από την McGraw-Hill, ανέχθηκαν τις ιδιορρυθµίες µας και µας παρότρυναν µε«καρότο και µαστίγιο». Τέλος, θα θέλαµενα ευχαριστήσουµετις συζύγους µας Nicole Cormen, Gail Rivest, και Rebecca Ivry τα παιδιά µας Ricky, William, και Debby Leiserson. Alex και Christopher Rivest. και Molly, Noah, και Benjamin Stein και τους γονείς µας Renee και Perry Cormen, Jean και Mark Leiserson, Shirley και Lloyd Rivest, και Irene και Ira Stein για την αγάπη και συµπαράστασή τους κατά τη διάρκεια της συγγραϕής αυτού του βιβλίου. Η ευόδωση της προσπάθειας αυτής οϕείλεται στην υποµονή και την ενθάρρυνση των οικογενειών µας. Τους αϕιερώνουµε το βιβλίο αυτό µεστοργή. Thomas H. Cormen Charles E. Leiserson Ronald L. Rivest Clifford Stein Hanover, New Hampshire Cambridge, Massachusetts Cambridge, Massachusetts Hanover, New Hampshire Μάιος2001

19

20 I Θεµελιώδεις έννοιες

viii 20 Δένδρα van Emde Boas 543

viii 20 Δένδρα van Emde Boas 543 Περιεχόμενα Πρόλογος xi I Θεμελιώδεις έννοιες Εισαγωγή 3 1 Ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες 5 1.1 Αλγόριθμοι 5 1.2 Οι αλγόριθμοι σαν τεχνολογία 12 2 Προκαταρκτικές έννοιες και παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους αλγορίθµους

Εισαγωγή στους αλγορίθµους Thomas H. Cormen Charles E. Leiserson Ronald L. Rivest CliffordStein Εισαγωγή στους αλγορίθµους Απόδοση στα ελληνικά: Ιωάννης Παπαδόγγονας Επιστηµονική επιµέλεια: Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Με τη συνεργασία

Διαβάστε περισσότερα

ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα αλγόριθμοι τεχνολογία αλγορίθμων 2 αλγόριθμοι αλγόριθμος: οποιαδήποτε καλά ορισμένη υπολογιστική διαδικασία που δέχεται κάποια τιμή ή κάποιο σύνολο τιμών, και δίνεικάποιατιμήήκάποιοσύνολοτιμώνως

Διαβάστε περισσότερα

περιεχόμενα υπολογιστικό πρόβλημα αλγόριθμοι παράδειγμα ταξινόμησης ταξινόμηση αλγόριθμοι τεχνολογία αλγορίθμων Παύλος Εφραιμίδης

περιεχόμενα υπολογιστικό πρόβλημα αλγόριθμοι παράδειγμα ταξινόμησης ταξινόμηση αλγόριθμοι τεχνολογία αλγορίθμων Παύλος Εφραιμίδης περιεχόμενα αλγόριθμοι τεχνολογία αλγορίθμων Παύλος Εφραιμίδης 1 2 αλγόριθμοι αλγόριθμος: οποιαδήποτε καλά ορισμένη υπολογιστική διαδικασία που δέχεταικάποιατιμήήκάποιοσύνολοτιμών, και δίνει κάποια τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1 1. Τα δεδομένα μπορούν να παρέχουν πληροφορίες όταν υποβάλλονται σε 2. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών μιας επιχείρησης είναι πρόβλημα 3. Για την επίλυση ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Περιεχόμενα

Περιεχόμενα. Περιεχόμενα Περιεχόμενα xv Περιεχόμενα 1 Αρχές της Java... 1 1.1 Προκαταρκτικά: Κλάσεις, Τύποι και Αντικείμενα... 2 1.1.1 Βασικοί Τύποι... 5 1.1.2 Αντικείμενα... 7 1.1.3 Τύποι Enum... 14 1.2 Μέθοδοι... 15 1.3 Εκφράσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Εισαγωγή του επιμελητή, Γιάννης Σταματίου 15 Πρόλογος 17 Εισαγωγή 23. Μέρος I. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

Περιεχόμενα. Εισαγωγή του επιμελητή, Γιάννης Σταματίου 15 Πρόλογος 17 Εισαγωγή 23. Μέρος I. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Περιεχόμενα Εισαγωγή του επιμελητή, Γιάννης Σταματίου 15 Πρόλογος 17 Εισαγωγή 23 Μέρος I. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ 1. Επαναληπτικοί αλγόριθμοι: Μέτρα προόδου και αναλλοίωτες συνθήκες.....................................................29

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Εισαγωγή Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Βιβλιογραφία Jon Kleinberg και Éva Tardos, Σχεδιασμός αλγορίθμων, Εκδόσεις Κλειδάριθμος,

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Ενότητα 1 - Εισαγωγή. Χρήστος Γκουμόπουλος. Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων

Δομές Δεδομένων. Ενότητα 1 - Εισαγωγή. Χρήστος Γκουμόπουλος. Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Δομές Δεδομένων Ενότητα 1 - Εισαγωγή Χρήστος Γκουμόπουλος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Αντικείμενο μαθήματος Δομές Δεδομένων (ΔΔ): Στην επιστήμη υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι: ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ Η ΦΥΣΗ ΤΩΝ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ...

ΜΕΡΟΣ Ι: ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ Η ΦΥΣΗ ΤΩΝ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ... ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι: ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ...1 1. Η ΦΥΣΗ ΤΩΝ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ...3 Κατηγορίες των Γεωγραφικών εδοµένων...3 Γεωγραφικές οντότητες...3 ιαστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη εφαρµογών σε προγραµµατιστικό περιβάλλον (στοιχεία θεωρίας)

Ανάπτυξη εφαρµογών σε προγραµµατιστικό περιβάλλον (στοιχεία θεωρίας) Ανάπτυξη εφαρµογών σε προγραµµατιστικό περιβάλλον (στοιχεία θεωρίας) Εισαγωγή 1. Τι είναι αυτό που κρατάς στα χέρια σου. Αυτό το κείµενο είναι µια προσπάθεια να αποτυπωθεί όλη η θεωρία του σχολικού µε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων. Λουκάς Γεωργιάδης

ΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων. Λουκάς Γεωργιάδης ΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων Λουκάς Γεωργιάδης loukas@cs.uoi.gr www.cs.uoi.gr/~loukas Βασικές έννοιες και εφαρμογές Αλγόριθμος: Μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος Δομή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικά Σύνολα. Δυναμικό σύνολο. Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής. διαγραφή. εισαγωγή

Δυναμικά Σύνολα. Δυναμικό σύνολο. Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής. διαγραφή. εισαγωγή Δυναμικά Σύνολα Δυναμικό σύνολο Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής διαγραφή εισαγωγή Δυναμικά Σύνολα Δυναμικό σύνολο Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

xvi Προσέγγιση δομεσ δεδομενων και αλγοριθμοι

xvi Προσέγγιση δομεσ δεδομενων και αλγοριθμοι Πρόλογος Το εφαλτήριο για τη συγγραφή αυτού του βιβλίου ήταν η πολύχρονη εμπειρία μου στη διδασκαλία του μαθήματος «Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων» (κωδ. ECE 250) το οποίο εντάσσεται στο πρόγραμμα σπουδών

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Α. Αλεξόπουλος. Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών

Χ. Α. Αλεξόπουλος. Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Χ. Α. Αλεξόπουλος Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών Πάτρα 2014 Αφιερωµένο σε δύο εκλεκτούς ανθρώπους, πανεπιστηµιακούς δασκάλους

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 1. 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9

Πρόλογος 1. 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9 Πρόλογος 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 7 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9 1.1 Η αριθµητική υπολοίπων.............. 10 1.2 Η πολυωνυµική αριθµητική............ 14 1.3 Θεωρία πεπερασµένων οµάδων και σωµάτων.... 17 1.4 Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Άπληστοι Αλγόριθµοι (Greedy Algorithms) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 4. Άπληστοι Αλγόριθµοι (Greedy Algorithms) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 4 Άπληστοι Αλγόριθµοι (Greedy Algorithms) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 4.1 Χρονοπρογραµµατισµός Διαστηµάτων Χρονοπρογραµµατισµός Διαστηµάτων Το πρόβληµα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ VΙ - Ο ΗΓΙΕΣ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ VΙ - Ο ΗΓΙΕΣ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ VΙ - Ο ΗΓΙΕΣ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ Έκδοση Εγγράφου: 1.0 Επιχειρησιακό Πρόγραµµα «Εκπαίδευση & ια Βίου Μάθηση» (ΕΚ. ι.βι.μ) Κενή σελίδα 2 Πίνακας περιεχοµένων 1 Εισαγωγή... 6 1.1 ηµιουργία πρότασης...

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Β'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της B Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν βάση των µαθηµατικών του

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Αναζήτησης. εισαγωγή αναζήτηση επιλογή. εισαγωγή. αναζήτηση

Δομές Αναζήτησης. εισαγωγή αναζήτηση επιλογή. εισαγωγή. αναζήτηση Δομές Αναζήτησης χειρότερη περίπτωση μέση περίπτωση εισαγωγή αναζήτηση επιλογή εισαγωγή αναζήτηση διατεταγμένος πίνακας διατεταγμένη λίστα μη διατεταγμένος πίνακας μη διατεταγμένη λίστα δένδρο αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικά Σύνολα. Δυναμικό σύνολο. Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής. διαγραφή. εισαγωγή

Δυναμικά Σύνολα. Δυναμικό σύνολο. Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής. διαγραφή. εισαγωγή Δυναμικά Σύνολα Δυναμικό σύνολο Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής διαγραφή εισαγωγή Δυναμικά Σύνολα Δυναμικό σύνολο Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών 1 Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ της Κωτσογιάννη Μαριάννας Περίληψη 1. Αντικείµενο- Σκοπός Αντικείµενο της διπλωµατικής αυτής εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Η έννοια πρόβληµα Ανάλυση προβλήµατος Με τον όρο πρόβληµα εννοούµε µια κατάσταση η οποία χρήζει αντιµετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή ούτε προφανής. Μερικά προβλήµατα είναι τα εξής:

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Εισαγωγή στις έννοιες Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα, Οργάνωση Δεδοµένων και Δοµές Δεδοµένων Χρήσιµοι µαθηµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών 44 Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών Διδακτικοί στόχοι Σκοπός του κεφαλαίου είναι οι μαθητές να κατανοήσουν τα βήματα που ακολουθούνται κατά την ανάπτυξη μιας εφαρμογής.

Διαβάστε περισσότερα

Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΘΗΝΑ, 2001 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ iii ix ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2. Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2. Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2 Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Εµπειρική ανάλυση αλγορίθµων Μαθηµατική ανάλυση αλγορίθµων Αύξηση συναρτήσεων Συµβολισµός µεγάλου όµικρον Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΦΑΚΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΦΑΚΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΦΑΚΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθηµα: Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Γ Φάσης) ΜΙΧΑΗΛ ΣΚΟΥΜΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 10 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΥΠΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ 1. Πως ορίζεται ο τμηματικός προγραμματισμός; Τμηματικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 9 P vs NP 1 / 13 Δυσκολία επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων Κάποια προβλήματα είναι εύκολα να λυθούν με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 435: ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗ ΑΝΘΡΩΠΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Ακαδηµαϊκό Έτος 2004 2005, Χειµερινό Εξάµηνο 2 Η ΟΜΑ ΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΡΧΙΚΗΣ Ι ΕΑΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΝΑΓΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ B ΕΚΔΟΣΗ ΑΘΗΝΑ 2004 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή και επεξεργασία δεδομένων από πεπερασμένους πληθυσμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων...

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων... Περιεχόμενα Ανάλυση προβλήματος 1. Η έννοια πρόβλημα...13 2. Επίλυση προβλημάτων...17 Δομή ακολουθίας 3. Βασικές έννοιες αλγορίθμων...27 4. Εισαγωγή στην ψευδογλώσσα...31 5. Οι πρώτοι μου αλγόριθμοι...54

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΗ ΝΕΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ

ΠΡΟΤΑΣΗ ΝΕΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ. 2010-2011 ΠΡΟΤΑΣΗ ΝΕΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ Εισαγωγικά: Το σχέδιο περιλαµβάνει τον προτεινόµενο κατάλογο υποχρεωτικών µαθηµάτων µε τις αντίστοιχες

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγική προσέγγιση: Πρόταση για την διδασκαλία της έννοιας αλγόριθµός στο περιβάλλον MicroWorlds Pro

Παιδαγωγική προσέγγιση: Πρόταση για την διδασκαλία της έννοιας αλγόριθµός στο περιβάλλον MicroWorlds Pro Παιδαγωγική προσέγγιση: Πρόταση για την διδασκαλία της έννοιας αλγόριθµός στο περιβάλλον MicroWorlds Pro Το «Φύλλο Εργασίας» για τους µαθητές Το παρακάτω φύλλο εργασίας µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως εισαγωγικό

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Οργανωτικά ιδάσκοντες:. Φωτάκης (και Σ. Ζάχος στο μτπχ.) Βοηθοί διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ. 1 η ΕΝΟΤΗΤΑ: Γνωρίζω τον υπολογιστή. Θα παρουσιαστεί µε τρόπο απλό και κατανοητό,

Α ΤΑΞΗ. 1 η ΕΝΟΤΗΤΑ: Γνωρίζω τον υπολογιστή. Θα παρουσιαστεί µε τρόπο απλό και κατανοητό, 1 η ΕΝΟΤΗΤΑ: Γνωρίζω τον υπολογιστή 1. εδοµένα, Πληροφορίες και Υπολογιστές 2. Πώς φτάσαµε στους σηµερινούς υπολογιστές 3. Το υλικό ενός υπολογιστικού συστήµατος 4. Το λογισµικό ενός υπολογιστικού συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Α Ν Α Λ Τ Η Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ω Ν Κ Ε Υ Α Λ Α Ι Ο 5. Πως υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου;

Α Ν Α Λ Τ Η Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ω Ν Κ Ε Υ Α Λ Α Ι Ο 5. Πως υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου; 5.1 Επίδοση αλγορίθμων Μέχρι τώρα έχουμε γνωρίσει διάφορους αλγόριθμους (αναζήτησης, ταξινόμησης, κ.α.). Στο σημείο αυτό θα παρουσιάσουμε ένα τρόπο εκτίμησης της επίδοσης (performance) η της αποδοτικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης Περιεχόμενα Δομές δεδομένων 37. Δομές δεδομένων (θεωρητικά στοιχεία)...11 38. Εισαγωγή στους μονοδιάστατους πίνακες...16 39. Βασικές επεξεργασίες στους μονοδιάστατους πίνακες...25 40. Ασκήσεις στους μονοδιάστατους

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος εδοµένα οµές δεδοµένων και αλγόριθµοι Τα δεδοµένα είναι ακατέργαστα γεγονότα. Η συλλογή των ακατέργαστων δεδοµένων και ο συσχετισµός τους δίνει ως αποτέλεσµα την πληροφορία. Η µέτρηση, η κωδικοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι. Παράδειγµα. ιαίρει και Βασίλευε. Παράδειγµα MergeSort. Τεχνικές Σχεδιασµού Αλγορίθµων

Αλγόριθµοι. Παράδειγµα. ιαίρει και Βασίλευε. Παράδειγµα MergeSort. Τεχνικές Σχεδιασµού Αλγορίθµων Τεχνικές Σχεδιασµού Αλγορίθµων Αλγόριθµοι Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Ορισµένες γενικές αρχές για τον σχεδιασµό αλγορίθµων είναι: ιαίρει και Βασίλευε (Divide and Conquer) υναµικός Προγραµµατισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 1: Εισαγωγή Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και Βασίλευε (Divide and

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (1) Διαφάνειες του Γ. Χ. Στεφανίδη

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (1) Διαφάνειες του Γ. Χ. Στεφανίδη Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (1) Διαφάνειες του Γ. Χ. Στεφανίδη 0. Εισαγωγή Αντικείμενο μαθήματος: Η θεωρητική μελέτη ανάλυσης των αλγορίθμων. Στόχος: επιδόσεις των επαναληπτικών και αναδρομικών αλγορίθμων.

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 3: Ασυμπτωτικός συμβολισμός Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμικές Τεχνικές

Αλγοριθμικές Τεχνικές Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Αλγοριθμικές Τεχνικές 1 Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Δοµών Δεδοµένων

Βασικές Έννοιες Δοµών Δεδοµένων Δοµές Δεδοµένων Δοµές Δεδοµένων Στην ενότητα αυτή θα γνωρίσουµε ορισµένες Δοµές Δεδοµένων και θα τις χρησιµοποιήσουµε για την αποδοτική επίλυση του προβλήµατος του ευσταθούς ταιριάσµατος Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις wwwzitigr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίας και Πληροφορικής Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:

Διαβάστε περισσότερα

Μαλούτα Θεανώ Σελίδα 1

Μαλούτα Θεανώ Σελίδα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 6 ο ( Ενότητες 2.3 ) 1.Τι είναι πρόγραμμα; 2. Ποια είναι τα πλεονεκτήματα των γλωσσών υψηλού επιπέδου σε σχέση με τις γλώσσες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Γώγουλος Γ., Κοτσιφάκης Γ., Κυριακάκη Γ., Παπαγιάννης Α., Φραγκονικολάκης Μ., Χίνου Π. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ»

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» - Κρυπτογραφία είναι - Κρυπτανάλυση είναι - Με τον όρο κλειδί. - Κρυπτολογία = Κρυπτογραφία + Κρυπτανάλυση - Οι επιστήµες αυτές είχαν

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2009. Οι συγγραφείς. Κ. Παπαρρίζος, Ν. Σαμαράς, Α. Σιφαλέρας.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2009. Οι συγγραφείς. Κ. Παπαρρίζος, Ν. Σαμαράς, Α. Σιφαλέρας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο «Δικτυακή Βελτιστοποίηση» γράφτηκε με κύριο στόχο να καλύψει τις ανάγκες της διδασκαλίας του μαθήματος «Δικτυακός Προγραμματισμός», που διδάσκεται στο Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής,

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 1 Εισαγωγή 1 / 14 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομή Δεδομένων Δομή δεδομένων είναι ένα σύνολο αποθηκευμένων

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Απαιτήσεις Μαθήματος Εργαστηρίου Σκιαγράφηση Μαθήματος μια Πρώτη Εισαγωγή Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

Γεωλογικοί Χάρτες ΜΕΡΟΣ Α: Βασικές Έννοιες & Στοιχειώδεις Δομές. Χ.Δ. Κράνης. Β.Ε. Αντωνίου. Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Γεωλογικοί Χάρτες ΜΕΡΟΣ Α: Βασικές Έννοιες & Στοιχειώδεις Δομές. Χ.Δ. Κράνης. Β.Ε. Αντωνίου. Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Γεωλογίας Γεωλογικοί Χάρτες ΜΕΡΟΣ Α: Βασικές Έννοιες & Τομέας ΔυναμικήςΤεκτονικής & Εφαρμοσμένης Γεωλογίας Στοιχειώδεις Δομές Χ.Δ. Κράνης Β.Ε. Αντωνίου

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος των Συγγραφέων

Πρόλογος των Συγγραφέων Πρόλογος των Συγγραφέων Τεχνητή Νοηµοσύνη (ΤΝ) είναι ο τοµέας της επιστήµης των υπολογιστών, που ασχολείται µε τη σχεδίαση ευφυών (νοηµόνων) υπολογιστικών συστηµάτων, δηλαδή συστηµάτων που επιδεικνύουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στο σηµείωµα αυτό αρχικά εξηγείται η έννοια αλγόριθµος και παραθέτονται τα σπουδαιότερα κριτήρια που πρέπει να πληρεί κάθε αλγόριθµος. Στη συνέχεια, η σπουδαιότητα των αλγορίθµων συνδυάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Η δοµή δεδοµένων Σωρός και η Ταξινόµηση Σωρού (The Heap data structure and Heapsort) Έκδοση 1.1, 12/05/2010

Κεφάλαιο 2. Η δοµή δεδοµένων Σωρός και η Ταξινόµηση Σωρού (The Heap data structure and Heapsort) Έκδοση 1.1, 12/05/2010 Κεφάλαιο 2 Η δοµή δεδοµένων Σωρός και η Ταξινόµηση Σωρού (The Heap data structure and Heapsort) Έκδοση., 2/05/200 Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Σωρός και Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ )

Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ ) Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ. 25 48) Τι είναι αλγόριθμος; Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αλγόριθμος είναι μία πεπερασμένη σειρά ενεργειών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα,

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολικό Έτος: 2014-2015 Μαθηματικός Περιηγητής 1 Διδακτέα ύλη και οδηγίες διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Δοµές Δεδοµένων

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Δοµές Δεδοµένων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ AM: Δοµές Δεδοµένων Εξεταστική Ιανουαρίου 2014 Διδάσκων : Ευάγγελος Μαρκάκης 20.01.2014 ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΕΠΟΠΤΗ: Διάρκεια εξέτασης : 2 ώρες και

Διαβάστε περισσότερα

υναμικός Προγραμματισμός

υναμικός Προγραμματισμός υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί

Διαβάστε περισσότερα