Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς"

Transcript

1 Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το σύνολό τους συµβολίζεται µε το γράµµα N Έχουµε δηλαδή N {0,,,, } Η χρήση των φυσικών γίνεται κυρίως σε προβλήµατα που αναφέρονται στο πλήθος αντικειµένων και όχι σε οποιαδήποτε ποσότητα Με κάποιο άλµα µερικών µαθητικών χρόνων µεταβαίνουµε στο Γυµνάσιο, όπου ο µαθητής µαθαίνει για τους ακέραιους αριθµούς Αυτοί είναι οι φυσικοί και οι αντίθετοί τους Η εισαγωγή των ακεραίων γίνεται για να διαχωριστούν µεγέθη τα οποία εµπλέκουν έννοιες, όπως φορά, κέρδος ή ζηµία κτλ Το σύνολο των ακεραίων συµβολίζεται µε Z Έτσι, Z {,,,,0,,,, } Είναι προφανές ότι τόσο το σύνολο των φυσικών, όσο και το υπερσύνολό του των ακεραίων είναι άπειρα σύνολα Ήδη όµως από το δηµοτικό οι µαθητές έρχονται σε επαφή και µε ένα άλλο είδος αριθµών, τους ρητούς, δηλαδή τα κλάσµατα Συγκεκριµένα, τα κλάσµατα µε αριθµητή και παρονοµαστή φυσικούς ή γενικότερα ακεραίους Η εισαγωγή των κλασµάτων υπαγορεύεται από την ανάγκη να περιγραφούν ποσότητες που δεν µπορούν να παρασταθούν ως ακέραιες µονάδες Έτσι, ο ρητός 6 παριστάνει τα δύο από τα τρία ίσα µέρη της µονάδας, ο 5 5 την ποσότητα που είναι ίση µε µία µονάδα συν ένα από τα πέντε ίσα µέρη της και ο αντίθετο του 6 Το σύνολο των ρητών παριστάνεται µε το γράµµα Q 5 6 τον 5 Έτσι, Q { κ κλ, Z, λ 0} λ Τώρα, θα πρέπει να τονιστεί ότι οι δεκαδικοί αριθµοί δεν αποτελούν ένα ιδιαίτερο σύνολο αριθµών αλλά είναι ένα είδος γραφής των αριθµών µε τη χρήση δεκαδικών ψηφίων Στις εφαρµογές χρησιµοποιούµε δεκαδικές προσεγγίσεις των διαφόρων µεγεθών οι οποίες είναι ρητοί αριθµοί Αυτό αρχικά µπορεί να δηµιουργήσει την αντίληψη ότι όλα τα φυσικά µεγέθη, δηλαδή ο,τιδήποτε µπορεί να µετρηθεί, µπορεί να παρασταθεί µε τη βοήθεια των ρητών αριθµών Η αντίληψη αυτή είχε αναχθεί σε φιλοσοφικό δόγµα από τη σχολή των Το µηδέν συνήθως εισάγεται αργότερα, για να συµβολίσει το αποτέλεσµα της αφαίρεσης ίσων αριθµών

2 Πυθαγορείων Προτού σχολιάσουµε την αντίληψη αυτή ας δούµε πως οι ρητοί αριθµοί παριστάνονται γεωµετρικά ως σηµεία µιας ευθείας Αρχικά επιλέγουµε αυθαίρετα ένα σηµείο Ο το οποίο παριστάνει το µηδέν Το ίδιο αυθαίρετα, επιλέγουµε ένα δεύτερο σηµείο Ι, το οποίο παριστάνει το Επιλέγουµε δηλαδή το ευθύγραµµο τµήµα ΟΙ να έχει µοναδιαίο µήκος Από τη στιγµή που επιλέξαµε τα δύο σηµεία Ο και Ι, κάθε ρητός αριθµός κατέχει πια µια µοναδική θέση στην ευθεία O I K Στην ηµιευθεία ΟΙ και εκτός του τµήµατος ΟΙ ορίζεται ένα µοναδικό σηµείο Κ, τέτοιο ώστε ΟΙΙΚ Αναγκαστικά το Κ θα παριστάνει τον αριθµό Σε ίση απόσταση (ίση µε τη µονάδα ΟΙ) και προς το µέρος του Κ έχουµε ένα άλλο σηµείο που παριστάνει τον Προχωρώντας κατ αυτόν τον τρόπο τοποθετούµε στην ευθεία όλους τους φυσικούς αριθµούς Αν τώρα πάρουµε τα συµµετρικά των εικόνων των φυσικών αριθµών ως προς το σηµείο Ο βρίσκουµε τις εικόνες των αντιθέτων τους Έτσι έχουµε όλο το σύνολο των ακεραίων Η κατασκευή των ρητών σηµείων γίνεται εύκολα Αν για παράδειγµα θέλουµε να παραστήσουµε στην ευθεία τον ρητό 7, κάνουµε το εξής: Λ Χωρίζουµε, χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Θαλή, το µοναδιαίο τµήµα σε 4 ίσα µέρη Με ακτίνα το 4 και δεξιά του γράφουµε τρεις ίσους κύκλους Το σηµείο Λ παριστάνει το 7 4 Επανερχόµαστε τώρα στην αντίληψη των Πυθαγορείων: «Όλα τα µεγέθη είναι σύµµετρα», δηλαδή κλάσµατα µε αριθµητή και παρονοµαστή ακεραίους Σύµφωνα µε την αντίληψη αυτή, κάθε τι που µπορεί να µετρηθεί παριστάνεται µε έναν ρητό αριθµό Ο αριθµός, δηλαδή ο θετικός αριθµός του οποίου το τετράγωνο είναι ο, είναι µια υπαρκτή οντότητα Πράγµατι, είναι το µήκος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου του

3 οποίου το µήκος κάθε κάθετης πλευράς είναι Ένα τέτοιο τρίγωνο είναι εύκολο να κατασκευαστεί µε κανόνα (χάρακα) και διαβήτη 0 Αν δεχτούµε την άποψη των Πυθαγορείων, τότε ο αριθµός θα ισούται µε ένα κλάσµα της µορφής κ λ, όπου τα κ και λ είναι θετικοί ακέραιοι Από τη σχέση κ παίρνουµε λ κ λ Το τετράγωνο λοιπόν του κ είναι αριθµός άρτιος (ζυγός) Μιας και µόνον οι ζυγοί αριθµοί δίνουν ζυγά τετράγωνα, (µπορείτε να σκεφτείτε έναν µονό αριθµό µε ζυγό τετράγωνο;) o κ θα είναι ζυγός Άρα κ κ, όπου κ ακέραιος Τότε όµως θα πάρουµε κ λ και επιχειρηµατολογώντας όπως προηγουµένως, συµπεραίνουµε ότι και το λ θα είναι ζυγός της µορφής λ Οι αριθµοί κ και λ είναι µικρότεροι απ τους κ και λ αντίστοιχα κ κ και το κλάσµα γράφεται απλούστερα: λ λ Με την ίδια λογική, το κλάσµα κ λ θα απλουστευθεί και αυτό µε τη σειρά του και θα µας δώσει ένα νέο κλάσµα Συνεχώς θα παίρνουµε όλο και απλούστερα κλάσµατα και η διαδικασία αυτή δεν σταµατάει ποτέ Αυτό όµως δεν µπορεί να συµβαίνει, γιατί οι όροι του κλάσµατος είναι (θετικοί) ακέραιοι και δεν µπορούν να µειώνονται επ άπειρον, αφού δεν µπορούν να γίνουν µικρότεροι της µονάδας Έτσι προκύπτει αντίφαση Η υπόθεσή µας λοιπόν ότι ο είναι ρητός καταρρέει και µαζί της καταρρέει και το δόγµα των Πυθαγορείων Η δυσάρεστη αυτή αλήθεια ανακαλύφθηκε από τους ίδιους τους Πυθαγόρειους, ίσως από τον ίδιο τον Πυθαγόρα Ο θρύλος θέλει τον Ίππασο τον Μεταπόντιο, µαθητή του Πυθαγόρα ως τον ένοχο Λέγεται ότι για να τον τιµωρήσουν τα άλλα µέλη της Σχολής, σ ένα ταξίδι από την Κόρινθο προς την έδρα τους τον Κρότωνα, τον έριξαν στη θάλασσα µε τραγικό γι αυτόν τέλος Ο, φαίνεται ότι είναι ο πρώτος µη ρητός που ανακαλύφθηκε Οι µη ρητοί λέγονται άρρητοι αριθµοί Η δεκαδική µορφή ενός άρρητου περιέχει άπειρα ψηφία που δεν επαναλαµβάνονται κατά περιοδικό τρόπο Αν επαναλαµβάνονταν, ο αριθµός αυτός θα ήταν ρητός Έτσι, ο ρητός 5 γράφεται στη δεκαδική µορφή ως 0, , ενώ ο δεν έχει αυτή

4 την ιδιότητα Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθµοί, µαζί, αποτελούν το σύνολο των πραγµατικών αριθµών, δηλαδή των αριθµών που αντιπροσωπεύουν κάθε ποσότητα που µπορεί να µετρηθεί Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών συµβολίζεται µε το σύµβολο R Οι πραγµατικοί αριθµοί παριστάνονται γεωµετρικά µε όλα τα σηµεία της ευθείας που θεωρήσαµε προηγουµένως Γι αυτό και η ευθεία µας θα λέγεται στο εξής ευθεία των πραγµατικών ή πραγµατική ευθεία Ο, αν και άρρητος παρουσιάζει µια οµαλή συµπεριφορά Συγκεκριµένα είναι ρίζα του πολυωνύµου 0, το οποίο έχει ακέραιους συντελεστές Τέτοιοι αριθµοί λέγονται αλγεβρικοί Υπάρχουν µη αλγεβρικοί, υπερβατικοί όπως λέγονται αριθµοί; Τέτοιοι αριθµοί θα αναζητηθούν ανάµεσα στους άρρητους αριθµούς, µιας και οι ρητοί είναι αλγεβρικοί Από τις εργασίες του Joseph Liouville, οι µαθηµατικοί γνώριζαν την ύπαρξη τέτοιων αριθµών Για παράδειγµα, ο άρρητος αριθµός 0, , ο οποίος έχει παντού µηδενικά εκτός από τις θέσεις!,!, 6!, 44! 4 κοκ, είναι υπερβατικός Το 88 ο Γερµανός µαθηµατικός Krl Lidem απέδειξε ότι ο γνωστός αριθµός π, , δηλαδή ο λόγος της περιφέρειας κύκλου προς τη διάµετρό του, είναι αριθµός υπερβατικός Έτσι αποδείχτηκε ότι ο κύκλος δεν τετραγωνίζεται! ηλαδή, αν έχουµε έναν κύκλο, δεν µπορούµε να κατασκευάσουµε µόνο µε το χάρακα και το διαβήτη τετράγωνο που να έχει εµβαδόν ίσο µε αυτό του κύκλου Ήδη από τα τέλη του 9 ου αιώνα, χάρις στις εργασίες του Georg Ctor, ξέρουµε ότι οι άρρητοι αριθµοί, και ακόµα περισσότερο οι υπερβατικοί, δεν είναι η εξαίρεση του κανόνα αλλά ο ίδιος ο κανόνας! ηλαδή το σύνολο των ρητών αριθµών φαντάζει απειροελάχιστο µπροστά στο σύνολο των αρρήτων, το οποίο κατακλύζει την ευθεία των πραγµατικών αριθµών Η σχέση ανάµεσα στα διάφορα σύνολα αριθµών περιγράφεται στο παρακάτω διάγραµµα: πραγµατικοί φυσικοί ακέραιοι ρητοί άρρητοι 4

5 Οι αλγεβρικές ιδιότητες των πραγµατικών Η επίλυση πολλών µαθηµατικών προβληµάτων απαιτεί ευχέρεια στο χειρισµό αλγεβρικών παραστάσεων Οι ιδιότητες των αλγεβρικών παραστάσεων απορρέουν από λίγες βασικές παραδοχές (αξιώµατα) που κάνουµε σχετικά µε τους πραγµατικούς αριθµούς Αξίωµα Ισχύουν τα ακόλουθα: i) ( b) c ( b c), για κάθε bc,, ii) b b, για κάθε b, iii) Υπάρχει ένας πραγµατικός που λέγεται µηδέν και συµβολίζεται µε 0 µε την ιδιότητα 0, για κάθε iv) Για κάθε πραγµατικό αριθµό, υπάρχει ένας πραγµατικός µε την ιδιότητα ( ) 0 v) ( b) c ( bc), για κάθε bc,, vi) b b, για κάθε b, που λέγεται αντίθετος του, vii) Υπάρχει ένας πραγµατικός που λέγεται ένα και συµβολίζεται µε µε την ιδιότητα, για κάθε viii) Για κάθε µη µηδενικό πραγµατικό αριθµό, υπάρχει ένας πραγµατικός που λέγεται αντίστροφος του, µε την ιδιότητα i) ( b) c c bc, για κάθε bc,, (Επιµεριστική ιδιότητα) Οι παραπάνω ιδιότητες είναι προφανείς σε κάθε απόφοιτο του γυµνασίου Το ίδιο προφανείς είναι και οι ιδιότητες που αναφέρονται στα επόµενα παραδείγµατα Κάθε µαθητής του γυµνασίου και του λυκείου έχει µάθει να χρησιµοποιεί σχεδόν µηχανικά τις ιδιότητες αυτές κατά την επίλυση προβληµάτων Εδώ δεν επιχειρούµε να παρουσιάσουµε µια αξιωµατική θεµελίωση της αλγεβρικής δοµής των πραγµατικών Απλώς προσπαθούµε να δώσουµε, στον ενδιαφερόµενο µόνον αναγνώστη, το πώς µέσω της αποδεικτικής διαδικασίας, κάποιες ιδιότητες προκύπτουν από άλλες, στοιχειωδέστερες Ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται µόνον για τις εφαρµογές µπορεί να παραλήψει τα παραδείγµατα αυτά Παραδείγµατα είξτε ότι οι αριθµοί 0 (µηδέν) και (ένα) που ορίζονται στα (iii) και (vii) του παραπάνω αξιώµατος είναι µοναδικοί 5

6 Απόδειξη: Ας υποθέσουµε ότι ο µηδέν δεν είναι µοναδικός Τότε υπάρχει κάποιος πραγµατικός αριθµός θ 0 µε την ιδιότητα θ, για κάθε R Ειδικά για 0 θα έχουµε 0 θ 0 Αλλά ο αριθµός 0 θ θ 0 θα πρέπει να είναι ίσος µε θ, σύµφωνα µε το (iii) του αξιώµατος Άρα 0 θ, αντίφαση Εποµένως ο αριθµός 0 είναι µοναδικός Αν µιµηθούµε την προηγούµενη απόδειξη µπορούµε να αποδείξουµε την µοναδικότητα του ένα Αρκεί τα αθροίσµατα να γίνουν γινόµενα και το µηδέν να αντικατασταθεί από το ένα είξτε ότι κάθε πραγµατικός αριθµός έχει µοναδικό αντίθετο και κάθε µη µηδενικός πραγµατικός έχει µοναδικό αντίστροφο Απόδειξη: Αν και είναι δύο αντίθετοι του, τότε θα έχουµε: 0 ( ) ( ) 0 (iii) (i) Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται η µοναδικότητα του αντιστρόφου είξτε ότι: (i) ( b) ( ) ( b), για κάθε b, R, (ii) 0 0, για κάθε R και (iii) ( b ) ( b) b, για κάθε b, R Απόδειξη: (i) ( b) (( ) ( b)) ( b) (( b) ( )) (( b) ( b)) ( ) ( ( b ( b))) ( ) ( 0) ( ) ( ) 0 Άρα ( ) ( b) ( b) (ii) 0 (0 0) 0 0 Προσθέτουµε και στα δύο µέλη της σχέσης (i) τον αντίθετο του ( 0) ( 0 0) ( 0) 0 0 ( 0 ( 0)) (iii) b ( ) b ( ( )) b 0 b 0 Άρα ( b ) b Όµοια, b ( b) ( b ( b)) 0 0 Άρα ( b) b 4 είξτε ότι αν b 0, τότε 0 ή b 0 Απόδειξη: Έστω ότι 0 Τότε ο έχει αντίστροφο, τον Εποµένως, b 0 ( b) 0 ( ) b 0 b 0 b 0 Το τελευταίο παράδειγµα µπορεί να γενικευτεί για περισσότερους από δύο αριθµούς Έτσι, αν το γινόµενο αριθµών είναι µηδέν, τότε κάποιος απ αυτούς είναι µηδέν Αυτό αποτελεί και το κλειδί για την επίλυση εξισώσεων είτε το επόµενο παράδειγµα: 6

7 5 Να λυθεί η εξίσωση 0 Λύση: Έχουµε: ( ) ( ) ( )( ) Εποµένως ( )( ) 0 Επειδή το γινόµενο των και είναι µηδέν, κάποιος από αυτούς θα είναι µηδέν Άρα 0 ή 0, δηλαδή ή Από το παράδειγµα αυτό προκύπτει πόσο σηµαντικό είναι να µπορούµε να µετατρέπουµε µια παράσταση σε γινόµενο παραγόντων Ταυτότητες-παραγοντοποίηση Η γνώση των αλγεβρικών ταυτοτήτων µας παρέχει ευχέρεια στον χειρισµό αλγεβρικών παραστάσεων Οι ταυτότητες προκύπτουν µε εφαρµογή της επιµεριστικής ιδιότητας (i) του αξιώµατος Έτσι, η γνωστή από το γυµνάσιο ταυτότητα ( ) b b b προκύπτει ως εξής: ( ) ( )( ) ( ) ( ) b b b b b b b b bb b b b b b Παρακάτω καταγράφουµε µερικές χρήσιµες ταυτότητες ) ( b) b b και αν θέσουµε b αντί b, ) ) 4) 5) 6) 7) ( ) b b b ( b) b b b και, αν θέσουµε b ( b) b b b b b b ( )( ) (διαφορά τετραγώνων) b ( b)( b b ) b ( b)( b b ) αντί b, H ταυτότητα ) γενικεύεται για περισσότερους από δύο προσθετέους Πρόταση,,, είναι αριθµοί, τότε Αν ( ) άθροισµα όλων των όρων της µορφής ( ), i j όπου i< j Έτσι, ( ) Απόδειξη: Είναι ( ) ( )( ) Αν κάνουµε όλους τους δυνατούς συνδυασµούς παίρνοντας έναν όρο από κάθε παρένθεση και πολλαπλασιάζοντάς τους µεταξύ τους, θα καταλήξουµε σε ένα άθροισµα της µορφής 7

8 ( ) άθροισµα όλων των όρων της µορφής ( i j), όπου i j Ο όρος i j προκύπτει δύο φορές Τη µία όταν παίρνουµε από την πρώτη παρένθεση το i και από τη δεύτερη το j και την άλλη, όταν από την πρώτη παρένθεση παίρνουµε το από τη δεύτερη το i Έτσι, εµφανίζεται ο συντελεστής j και Η ταυτότητα αυτή γράφεται πιο σύντοµα µε τη χρήση του συµβόλου Σ που δηλώνει το άθροισµα Έτσι, έχουµε: ( ) i j < i j H ταυτότητα 6) γενικεύεται ως εξής: Πρόταση Αν είναι ένας θετικός ακέραιος, τότε ισχύει: b b b b b b b ( )( ) Έτσι, 4 4 b ( b)( b b b ), b ( b)( b b b b ) κτλ Απόδειξη: ( b)( b b b ) ( b b b ) b ( b b b ) b - b - b - b - b b b b Ειδικά για, παίρνουµε - - ( b)( b b b b ) b, οπότε αν b θα - b έχουµε: b b b b Η ταυτότητα 7) γενικεύεται και αυτή, αλλά µόνον για τους περιττούς Συγκεκριµένα: Πρόταση Αν είναι ένας µη αρνητικός ακέραιος, τότε ισχύει: Απόδειξη: b ( b)( b b b b b ) - - ( b)( b b b ) ( b b b ) b ( b b b ) b b b b b b b b b b Σε ορισµένες περιπτώσεις η παραπάνω ταυτότητα µας επιτρέπει να παραγοντοποιήσουµε παραστάσεις της µορφής b ακόµα και όταν το δεν είναι περιττός Αρκεί να διαιρείται 8

9 µε έναν περιττό Για παράδειγµα, 6 6 b ( ) ( b ) ( b )(( ) b ( b ) ) 4 4 ( b )( b b ) Μια άλλη γνωστή ταυτότητα είναι η ταυτότητα των τριών κύβων του Euler: 4 Πρόταση Ισχύει η ακόλουθη ταυτότητα: ( )( ) b c bc b c b c b bc c ( )(( ) ( ) ( ) b c b b c c ) Απόδειξη: b c bc b b b c bc b b ( b) c bc b b ( b) c ( b) c ( b) c bc b b ( b) c ( b) c ( b c) bc b b ( b) c ( b) c ( b c) b( b c) ( b) c( b c) ( b c)(( b c) b ( b) c) ( b c)( b c b bc c b c bc) ( b c)( b c b bc c) Η δεύτερη µορφή της παράστασης b c bc επιτυγχάνεται µε το να δείξουµε ότι (( ) ( ) ( ) b c b bc c b b c c ) Έχουµε: ( ) ( ) ( ) b b c c b b b c bc c c b c b bc c ( b c b bc c) Εποµένως (( ) ( ) ( ) b c b bc c b b c c ) 5 Πρόταση (ταυτότητα του Lgrge) Ισχύει η ακόλουθη ταυτότητα: ( )( b b b) ( b b b) < i j i j b b i j Απόδειξη: Το γινόµενο ( )( b b b ) θα µας δώσει όρους της µορφής b, καθώς και όρους της µορφής i i b µε i i j j Το τετράγωνο ( b b b ) θα µας δώσει τα τετράγωνα b, τα οποία θα µηδενίσουν τα αντίστοιχα που προκύπτουν απ το προηγούµενο γινόµενο, καθώς και όρους της µορφής b i i j b j, µε i< j i i Για ένα ζεύγος δεικτών (, i j ), µε i< j θα πάρουµε τους εξής όρους: b i i j b j b, i j b και j i 9

10 Το άθροισµά τους είναι i b b i j b j i bb i i j j ( b i j b j i) b Αθροίζοντας για j i j όλα τα δυνατά ζεύγη παίρνουµε το αποτέλεσµα Για παράδειγµα, ( )( ) ( ) b b b b b ( b b), b b b b ( )( b b b) ( b b b) b b b ( b b) ( b b) ( b b) κτλ Παραδείγµατα Να τραπούν σε γινόµενο παραγόντων οι ακόλουθες αλγεβρικές παραστάσεις: (i) (ii) m m m m m m y y y, όπου m και θετικοί ακέραιοι b b b (iii) (iv) 4 4 y ( b ) b( y ) ( m y) ( my) Λύση: (i) m m m m m m m m m m m m y y y y y y y y m m y ( y y ) (ii) (iii) b b b b b ( ) ( ) ( )( ) y ( b ) b( y ) y b y b by y ( by ) b ( by ) ( by )( y b ) (iv) ( m y) ( my) m y my my my m y m y ( m ) y ( m ) ( m )( y ) Στο επόµενο παράδειγµα γίνεται χρήση της διαφοράς τετραγώνων Να τραπούν σε γινόµενο παραγόντων οι ακόλουθες αλγεβρικές παραστάσεις: (i) 44 y b, (ii) ( b), (iii) ( by), (iv) ( y y ) ( y y ) Λύση: (i) 44 y b ( y) ( b) (y b)(y b) (ii) (iii) (iv) ( ) ( )( ) b b b ( by) ( by )( by ) ( y y ) ( y y ) ( y y y y ) ( y y 0

11 y y ) 4( y ) y Στο επόµενο παράδειγµα γίνεται χρήση της διαφοράς τετραγώνων και του αναπτύγµατος τετραγώνων Να τραπούν σε γινόµενο παραγόντων οι ακόλουθες αλγεβρικές παραστάσεις: (i) 4 64 y 60 y 00, (ii) 69 yz 86yz yz, (iii) 4y ω β 6 y ω α ± 76αβy ω, (iv) α β βγ γ, (v) α αβ β 4γ γδ 9δ, (vi) 9 6α α β Λύση: (i) y 60y 00 4 (6y 40y 5) 4 ((4 y) 4y 5 5 ) 4 (4y 5) (ii) 69yz 86yz yz yz( ) yz( ) (iii) 4y ωβ 6 y ωα 76 αβy ω y ω( β 9 α β 9 α) ± ± y ω (β ± 9 α) (iv) α β βγ γ α ( β βγ γ ) α ( β γ) ( α β γ)( α β γ) (v) α αβ β 4γ γδ 9 δ ( α β ) (γ δ ) ( α β γ δ )( α β γ δ) (vi) 9 6 α α β ( α) β ( α β)( α β) 4 Να τραπούν σε γινόµενο παραγόντων οι ακόλουθες αλγεβρικές παραστάσεις: (i) 4, (ii) 7α α, (iii) y y Λύση: (i) 4 7 ( 7) ( 7) ( 7)( ) (ii) (iii) 7α α α 4α α ( α) 4 α( α) ( α) ( ± 4 α) 4 ( ) ( ) ( )( ) y y y y y y y y y y y ( y)( y) 5 Να απλοποιηθούν τα κλάσµατα: (i) y 4 4 ( y)( y ), (ii) Λύση: (i) 4 4 y ( ) ( y ) ( y)( y ) ( y)( y)( y y ) ( y )( y ) ( y)( y) ( y y ) y y y

12 (ii) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( ) ( 5) ( ) 6 Να επιλυθεί η εξίσωση ως προς και y ( ) ( ) 8 6( )( ) y y y y Λύση: Η εξίσωση γράφεται: ( ) ( ) 8 6( )( ) y y y y ( ) ( y) ( y) ( )( y)( y) 0 Από την ταυτότητα του Euler παίρνουµε ( )(( ) ( ) ( ) y y y y y y ) 0 ( y )(( y ) ( y) (y ) ) 0 Εποµένως y 0 ή ( y ) ( y) (y ) 0 Η εξίσωση y 0 µας δίνει y και εποµένως παίρνουµε ως λύσεις τα άπειρα ζεύγη της µορφής Από την εξίσωση y, y, y R ( y ) ( y) (y ) 0 παίρνουµε το σύστηµα y 0 y 0 Από την πρώτη και τη δεύτερη εξίσωση του συστήµατος (µε αφαίρεση κατά y 0 µέλη) παίρνουµε 0, άτοπο Άρα οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης είναι µόνον τα ζεύγη y, y, y R Άλυτες ασκήσεις Να κάνετε τις ακόλουθες πράξεις εφαρµόζοντας τις γνωστές ταυτότητες: y, (ii) ( y ) (i), (iii) ( y 5 )( y 5 ), (iv) y Να παραγοντοποιήσετε τις ακόλουθες παραστάσεις: (i) (iii) (v) y 6 y 8 y (ii) ( )( ) ( )( ) 4( ) (iv) y y y y y (vi) 6 b b λ 8λ 4λ b b (vii) b( y ) y( b ) (viii) m m y b by, m>, 0 (i) 4 6b c () b b

13 (i) 0 9 (ii) 6 7 (iii) (v) y 4y 96 (iv) y y ( b) (vi) ( b) ( b) ( b) 4 4 (vii) 8b c 6b 8bc (viii) ( 9)( 4) ( 6) Να απλοποιήσετε τα ακόλουθα κλάσµατα: 6y (i) 4y y (iii) (v) (vii) 4 5 y 5y y y y 4 ( ) ( y) (ii) y 4 8 (iv) (vi) 6 9 (viii) y y y 4 Να αποδείξετε τα ακόλουθα: (i) Αν bc, y b bc, και b c 0, τότε y z bc z c bc (ii) Αν ( b c ) ( b c), τότε b c (iii) Αν yz 0 και (iv) Αν y z, τότε y z ή yz ± y z b, b c και b ( c) c, τότε b b b c (v) Αν b c και c b d, τότε η παράσταση bcd b 4 ( ) είναι τέλειο τετράγωνο 4 ιάταξη των πραγµατικών αριθµών Γνωρίζουµε ότι οι πραγµατικοί αριθµοί είναι διατεταγµένοι µέσω της σχέσης «<» ή της «>» Οι βασικές ιδιότητες των ανισοτικών σχέσεων απορρέουν από λίγες βασικές παραδοχές εχόµαστε το εξής: 4 Αξίωµα Υπάρχει ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγµατικών αριθµών, που το συµβολίζουµε µε µε τις ακόλουθες ιδιότητες: i) Για κάθε πραγµατικό αριθµό ισχύει µία και µόνον µία από τις ακόλουθες σχέσεις: α) 0, β) R, γ) ii) Για κάθε y, R, ισχύει y R και y R R R

14 Τα στοιχεία του R λέγονται θετικοί αριθµοί Τα στοιχεία του συνόλου R { R } λέγονται αρνητικοί αριθµοί Έτσι το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών χωρίζεται σε τρία ξένα µεταξύ τους υποσύνολα: τους αρνητικούς µηδέν R, τους θετικούς R και το µονοσύνολο {0} που περιέχει το αρνητικοί µηδέν θετικοί ύο ή περισσότεροι µη µηδενικοί αριθµοί λέγονται οµόσηµοι αν είναι όλοι θετικοί ή όλοι αρνητικοί ύο µη µηδενικοί αριθµοί που δεν είναι οµόσηµοι λέγονται ετερόσηµοι 4 Ορισµός Έστω y R, Θα λέµε ότι ο είναι µεγαλύτερος του y και αυτό θα το συµβολίζουµε µε > y, αν y R Ισοδύναµη έκφραση είναι «ο y είναι µικρότερος του» Αυτό συµβολίζεται µε y< Προφανώς, > 0 R και < 0 R Από το (i) του αξιώµατος 4 προκύπτει ότι µόνον µία από τις σχέσεις α) y, β) > y, γ) y > ισχύει 4 Παραδείγµατα είξτε ότι αν > y και y > z, τότε > z Απόδειξη: > y y R και y > z y z R Από το (ii) του αξιώµατος 4 προκύπτει ότι z ( y) ( y z) R Εποµένως, > z είξτε ότι αν > y και z > w, τότε z > y w ( ηλαδή µπορούµε να προσθέτουµε κατά µέλη ανισότητες που έχουν την ίδια φορά) Απόδειξη: Έχουµε ( z) ( y w) ( y) ( z w) Αλλά y R (γιατί > y ) και z w R (γιατί z > w) Από την ιδιότητα (ii) του αξιώµατος 4 προκύπτει ότι ( z) ( y w) ( y) ( z w) R και εποµένως z > y w 4

15 44 Πρόταση i) Το γινόµενο δύο οµόσηµων αριθµών είναι θετικός ii) Το γινόµενο δύο ετερόσηµων αριθµών είναι αρνητικός Απόδειξη: Έστω ότι > 0 και y > 0 Από το (ii) του αξιώµατος 4 παίρνουµε ότι y > 0 Αν < 0 και y > 0, τότε > 0 και y > 0 Από το (ii) του αξιώµατος 4 παίρνουµε ότι y ( ) y > 0 Εποµένως (από το (i) του ίδιου αξιώµατος), y < 0 Αν > 0 και y < 0 σκεφτόµαστε παρόµοια Έστω τώρα ότι < 0 και y < 0 Τότε < 0 και y > 0 και, σύµφωνα µε τα προηγούµενα, y ( y) < 0 Εποµένως, y > 0 45 Πόρισµα Για κάθε µη µηδενικό πραγµατικό αριθµό ισχύει: > 0 Ειδικότερα (όσο και αν αυτό φαίνεται αστείο) > 0 Απόδειξη: Άµεση, αφού ο είναι οµόσηµος µε τον εαυτό του 46 Ορισµός Θέτουµε y και διαβάζουµε «µεγαλύτερο ή ίσο του y» αν > y ή y Ακόµη, θέτουµε y αν και µόνον αν y Προφανώς y y 0 47 Πρόταση Ισχύουν τα εξής: (i), για κάθε R, (ii) Αν y και y, τότε y, (iii) Αν y και y z, τότε z Η απόδειξη της πρότασης αυτής είναι προφανής Το πόρισµα 45 διατυπώνεται τώρα (καλύπτοντας και τη µηδενική περίπτωση) ως εξής: Γενικότερα, 0, για κάθε R 0, για κάθε -άδα (,,, ) πραγµατικών αριθµών Σηµειώνουµε ακόµα ότι αν > 0 και y 0, τότε y> 0 (Αν y 0 τότε y > 0 ενώ αν y > 0, χρησιµοποιούµε το (ii) του αξιώµατος 4) 5

16 48 Πόρισµα Έστω,,, R Τότε ισχύει Απόδειξη: Αρκεί να αποδείξουµε ότι αν Πράγµατι, αν 0, τότε > Επειδή 0 τότε 0 0 άτοπο Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει ότι και 0, θα έχουµε, > 0 49 Πόρισµα i) Αν 0, τότε οι αριθµοί και είναι οµόσηµοι ii) Το πηλίκο δύο οµόσηµων αριθµών είναι θετικός Απόδειξη: i) Αν οι αριθµοί και ήσαν ετερόσηµοι, τότε από το (ii) της πρότασης 44, ο θα ήταν αρνητικός ii) Αν οι µη µηδενικοί αριθµοί b, είναι οµόσηµοι, τότε b > 0 Επίσης ξέρουµε ότι Από το (i) προκύπτει ότι ( b ) > 0 Εποµένως ( b)( b ) > 0 b b > 0 40 Πρόταση i) Αν > 0 και > y, τότε > y και > y ηλαδή, µπορούµε να πολλαπλασιάσουµε ή να διαιρέσουµε και τα δύο µέλη µιας ανισότητας µε έναν θετικό αριθµό, χωρίς να αλλάξει φορά η ανισότητα ii) Αν < 0 και > y, τότε < y και < y ηλαδή, µπορούµε να πολλαπλασιάσουµε ή να διαιρέσουµε και τα δύο µέλη µιας ανισότητας µε έναν αρνητικό αριθµό, αλλάζοντας όµως φορά στην ανισότητα Απόδειξη: i) Αν > y, τότε y > 0 Εποµένως οι αριθµοί και y είναι οµόσηµοι Άρα το γινόµενό τους ( y) y και το πηλίκο τους y y είναι θετικοί αριθµοί Εποµένως, > y και > y Η απόδειξη του (ii) είναι ανάλογη 4 Πρόταση Αν οι αριθµοί, y είναι οµόσηµοι, τότε ισχύει: > y < y δηλαδή, αν αντιστρέψουµε και τα δύο µέλη µιας ανισότητας, όταν αυτά είναι οµόσηµοι αριθµοί, παίρνουµε µια ανισότητα µε αντίστροφη φορά 6

17 Απόδειξη: Εφόσον οι, y είναι οµόσηµοι, έχουµε y > 0 Άρα, µε βάση την προηγούµενη πρόταση, y > y > > y y y 4 Πρόταση Έστω 0 και y 0 Για κάθε,, ισχύει: y y > > Απόδειξη: Χρησιµοποιούµε την ταυτότητα ( )( ) y y y y y Έστω > y 0 Εφόσον > 0, έχουµε > 0 και µε βάση την τελευταία παρατήρηση πριν από το πόρισµα 48, y y y > 0 Επειδή y > 0, έπεται ότι ( )( ) > 0 y y y y y, δηλαδή > y Αντίστροφα, έστω > y ( 0) Τότε > 0 και εποµένως 0 Επειδή 0, έπεται > 0 Όπως προηγουµένως προκύπτει ότι y y > y y y 0 y y, δηλαδή > y y > 0 Συνεπώς 4 Παραδείγµατα Αν > 0 και b >, δείξτε ότι ( b) > b Απόδειξη: ( b) > b b> b ( b ) > 0, που ισχύει γιατί > 0 και b> b > 0 είξτε ότι b b, για κάθε b, R Πότε ισχύει το «ίσον»; Απόδειξη: b b b b 0 ( b) 0, και η τελευταία σχέση ισχύει Τώρα, b b ( b) 0 b είξτε ότι: (i) Αν ο είναι θετικός, τότε (ii) Αν ο είναι αρνητικός, τότε Απόδειξη: (i) (πολλαπλασιάζοντας επί τον θετικό -πρόταση 4) ( ) 0 (ii) (πολλαπλασιάζοντας επί τον αρνητικό -πρόταση 4) ( ) 0 7

18 4 είξτε ότι b b 0 και b b 0, για κάθε b, R Πότε ισχύει το «ίσον» στις παραπάνω σχέσεις; Απόδειξη: b b b ( b b) [ b ( b) ] και b b b ( b b) [ b ( b) ] Οι ποσότητες [ ( ) ] b ± b είναι προφανώς 0, ως αθροίσµατα τετραγώνων επί τον θετικό Τώρα, αν [ ( ) b b b b ] 0 θα έχουµε b 0 (πόρισµα 48) Όµοια, b b 0 b 0 5 είξτε την ανισότητα Cuchy-Schwrz: ( )( y y y ) ( y y y ), για κάθε,,,, y, y,, y R Απόδειξη: Με βάση την ταυτότητα Lgrge (πρόταση 5), έχουµε i ( )( y y y) ( y y y) i< j j y y i j και το δεύτερο µέλος είναι 0, ως άθροισµα τετραγώνων 6 είξτε ότι αν b, τότε b Απόδειξη: Έχουµε ( b) b b και ( b) 0 b b 0 Προσθέτοντας κατά µέλη, b b 4 4 Ακόµη, ( b ) b b και ( b ) 0 b b b b 4 8 Προσθέτοντας κατά µέλη, 7 είξτε ότι αν, b είναι θετικοί αριθµοί µε b, τότε (i) b και (ii) 9 4 b Απόδειξη: (i) Έχουµε ( b) b b b b 4b 8

19 4 b ( b) 0 Εποµένως, 4b b 4 b (ii) b, που την b b b b b b b 4 αποδείξαµε προηγουµένως 4 8 είξτε ότι, για κάθε R Απόδειξη: ( ) ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ( ) ( )( )) 0 ( )( ( )( ) ( )( )) 0 ( ) ( ( ) ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ( ) ) 0 που ισχύει 9 Έστω > Να συγκρίνετε τους αριθµούς Λύση: και ( ) ( ) ( ) ( )( ) Από υπόθεση έχουµε 0 > Επίσης, µε βάση το παράδειγµα 4 προκύπτει ότι > 0 Άρα > 0 είξτε ότι ( b ) b ( c ) c ( ) 6bc Απόδειξη: ( b ) b ( c ) c ( ) 6bc b b b c c c 6bc b b bc c c 6bc Έχουµε b c bc ( bc) 0 b c bc Οµοίως, b c bc και c b bc Προσθέτοντας τις σχέσεις b c bc, b c bc και c b bc κατά µέλη παίρνουµε την αποδεικτέα b b b c c c 6bc Αν bc>,, 0, δείξτε ότι < b c b b c c Απόδειξη: b< b c > (πρόταση 4) b b c Όµοια > και > Προσθέτοντας κατά µέλη παίρνουµε την b c b c c b c αποδεικτέα Να λύσετε τις ανισώσεις: (i) > και (ii) 6 0 9

20 Λύση: (i) > 6 > 6 6 επί 6>0 ( ) > ( ) 4 > 9 9> 9 7 6> 7 < 6< 0 6-7/6 0 < -7/6 (ii) Κατ αρχάς θα πρέπει 0 και 0 Με τους περιορισµούς αυτούς έχουµε: 0 0 ( )( ) 0 0 ιατάσσουµε τις ρίζες ( )( ) ( )( ), και των παραγόντων, και αντίστοιχα, σε αύξουσα σειρά και παίρνουµε τον παρακάτω πίνακα: (ο κανόνας είναι: «περιττό πλήθος αρνητικών σηµείων κάνει πλήν») - - -/ / παράσταση - - Στα σηµεία και έχουµε φέρει διακεκοµµένες γραµµές, αφού σ αυτά δεν είναι µη ( )( ) ορίζεται η παράσταση Από τον πίνακα βρίσκουµε ότι η παράσταση θετική αν και µόνον αν < ή < - -/ -/ Να λύσετε το σύστηµα: 0 ( )( ) 7 < 0 Λύση: Η πρώτη ανίσωση έχει λυθεί στο προηγούµενο παράδειγµα Οι λύσεις της είναι όλοι οι αριθµοί µε < ή < 0

21 Για τη δεύτερη ανίσωση παρατηρούµε ότι πρέπει και αρκεί οι αριθµοί 7 και να είναι ετερόσηµοι Έχουµε τον πίνακα: / Θα πρέπει λοιπόν 7 < < Οι λύσεις αυτές σε συνδυασµό µε τις λύσεις της προηγούµενης ανίσωσης παριστάνονται στο ακόλουθο σχήµα: - - -/ -7/ -/ Το µπλέ τµήµα παριστάνει τις λύσεις της 7 < 0 Τα υπόλοιπα τµήµατα (κίτρινο και πράσινο) είναι οι λύσεις της 0 Τα πράσινα τµήµατα είναι οι κοινές λύσεις ( )( ) Άρα οι λύσεις του συστήµατος είναι: < < ή 7 < < Άλυτες ασκήσεις Να αποδείξετε τα ακόλουθα: b b (i) Αν b>, 0, τότε < b b (ii) ( y z ) ( y z), για κάθε yz,, R (iii) Αν 0< <, τότε ( ) (iv) Αν b>, 0 και b, τότε (v) Αν b c, τότε > b b b > 0 b c Αν 0 < < b, να συγκρίνετε τους αριθµούς A b και B b ( ) Να βρείτε τις τιµές του για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις: (i) 5 > και 4 6 (ii) ( ) Κατά την επίλυση ανισώσεων είναι όπως είδαµε χρήσιµο να επικαλούµαστε τη γεωµετρική εποπτεία Οι λύσεις τις περισσότερες φορές, αν όχι όλες, αποτελούν διαστήµατα του συνόλου των πραγµατικών Έτσι ορίζουµε:

22 44 Ορισµός Έστω b, R Θέτουµε: i) ( b, ) { R < < b} b ii) [ b, ) { R < b} b iii) ( b, ] { R < b} b iv) [ b, ] { R b} b v) (, ) { R < } vi) [, ) { R } vii) (, b) { R < b} b viii) (, b] { R b} Αν b, τότε καθένα από τα διαστήµατα των περιπτώσεων i), ii) και iii) είναι το κενό σύνολο Το διάστηµα [, ] είναι το µονοσύνολο {} Αν σύνολο > b, τότε καθένα από τα διαστήµατα των περιπτώσεων i), ii), iii) και iv) είναι το κενό b

23 Αν παρατηρήσουµε το επόµενο σχήµα θα διαπιστώσουµε ότι η πραγµατική ευθεία είναι ένωση ξένων ανά δύο διαστηµάτων της µορφής [ k, k ), k Z Με άλλα λόγια, για κάθε πραγµατικό αριθµό υπάρχει µοναδικός ακέραιος µε την ιδιότητα [ k, k ), δηλαδή k < k (Φυσικά αυτή η παρατήρηση δεν αποτελεί και µαθηµατική απόδειξη του γεγονότος αυτού, η οποία, όσο και αν αυτό φαίνεται παράξενο, δεν είναι τετριµένη) 45 Ορισµός Ο ακέραιος k λέγεται ακέραιο µέρος του και συµβολίζεται µε [ ], δηλαδή ο [ ] είναι ο µοναδικός ακέραιος µε την ιδιότητα [ ] < [ ] Πρακτικά, για να βρούµε το ακέραιο µέρος ενός θετικού αριθµού, παραλείπουµε τα δεκαδικά του ψηφία Έτσι, [,4], [π][,459] κοκ Αυτό όµως δεν ισχύει όταν θεωρούµε αρνητικούς αριθµούς Εκεί παραλείπουµε τα δεκαδικά ψηφία, αλλά στη συνέχεια αφαιρούµε το Έτσι, [ 7,59] 8, [,76666] 4 κοκ 46 Παραδείγµατα είξτε ότι για κάθε ακέραιο k ισχύει [ k] [ ] k, όπου R Απόδειξη: Έχουµε [ ] < [ ] [ ] k k < ([ ] k) Επειδή ο ακέραιος [ ] k έχει την χαρακτηριστική ιδιότητα του ακεραίου µέρους του k, έπεται ότι [ k] [ ] k Αν, b είναι δύο θετικοί ακέραιοι, δείξτε ότι ο ακέραιος ευκλείδειας διαίρεσης : b b ισούται µε το πηλίκο της Απόδειξη: Η ευκλείδεια διαίρεση : b µας δίνει ένα (µοναδικό) πηλίκο π και ένα (µοναδικό) υπόλοιπο υ µε την ιδιότητα πb υ, όπου 0 υ < b Εποµένως, υ π Με βάση το b b

24 προηγούµενο παράδειγµα, π b υ π b b Αλλά, 0 υ < b υ και εποµένως 0 b Άρα Άλυτες ασκήσεις 0, αν Z Να αποδείξετε ότι: (i) [ ] [0,), (ii) [ ] [ ], αν Z, [ ] (iii), όπου,,, (iv) 0, αν [ ] < [ ] [ ], αν [ ], (v) [ ] [ y] [ ] [ y] [ y], για κάθε y, R 5 Απόλυτες τιµές Η απόλυτη τιµή ενός αριθµού, στην ευθεία των πραγµατικών αριθµών είναι η απόστασή του από το µηδέν Πιο αυστηρά, ορίζουµε: 5 Ορισµός αν 0, Έστω R Θέτουµε αν < 0 Ο αριθµός ονοµάζεται απόλυτη τιµή του Στη συνέχεια µελετάµε τις ιδιότητες της απόλυτης τιµής Μια πρώτη παρατήρηση είναι ότι η απόλυτη τιµή είναι ο µεγαλύτερος (ο µη αρνητικός) από τους αριθµούς και οι αριθµοί µπορεί να είναι ίσοι αν και µόνον αν 0) (Αυτοί 5 Πρόταση (i) 0, για κάθε R Επιπλέον, ισχύει 0 0 (ii), για κάθε R 4

25 (iii), για κάθε R (iv) y y, για κάθε y R, (v), για κάθε y R, µε y 0 y y (vi) ± y y y Απόδειξη: Οι (i) και (ii) προκύπτουν άµεσα από τον ορισµό 4 (iii) Από τον ορισµό 5 έχουµε ότι ή Σε κάθε περίπτωση, ( ± ) (iv) Η απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι αν, b είναι δύο µη αρνητικοί αριθµοί, τότε ισχύει b b [Αρκεί να αποδείξουµε το " " Αν > b, τότε από την πρόταση 4 παίρνουµε > b, άτοπο Αν < b, τότε από την πρόταση 4 παίρνουµε και πάλι] Οι αριθµοί y και y είναι προφανώς µη αρνητικοί Ακόµη, y ( y) y y ( y ) και εποµένως y y (iii) (iii) < b, άτοπο (v) (iii) (iii) και άρα y y y y y y y (vi) y y y Ακόµη, y y 0 ( y)( y) 0 (ii) y ή y Η επόµενη ανισότητα είναι ιδιαίτερα χρήσιµη: 5 Πρόταση (τριγωνική ανισότητα) Για κάθε y R, ισχύει: y y y Απόδειξη: Έχουµε y y y ( y ) ( y) y y y y y y y y Η τελευταία σχέση προφανώς ισχύει Ακόµη, y y y y y y y y, γιατί y y Παρόµοια, y y y y Εφόσον η απόλυτη τιµή y είναι µεγαλύτερη ή ίση από κάθε έναν από τους αντίθετους αριθµούς y και y, θα είναι µεγαλύτερη ή ίση από την απόλυτη τιµή τους y 5

26 Σχόλιο: Η ονοµασία «τριγωνική» γίνεται φανερή στις δύο ή τρεις διαστάσεις, όπου η ανισότητα αυτή αναφέρεται στα µήκη διανυσµάτων τα οποία σχηµατίζουν πλευρές τριγώνου Αν A {,,, } είναι ένα πεπερασµένο σύνολο, συµβολίζουµε µε m A το µεγαλύτερο στοιχείο του Α και µε mi A το µικρότερο στοιχείο αυτού 5 Πρόταση Ισχύουν τα εξής: (i) y y m{ y, } και (ii) y y mi{ y, } Απόδειξη: (i) Έστω y Τότε m{, y} Ακόµη, y 0 και άρα y y y y y y y y Εποµένως, δηλαδή, m{ y, } σ αυτή την περίπτωση Έστω < y Τότε m{, y} y Ακόµη, y< 0 και άρα y y y y y y y y Εποµένως, y δηλαδή, m{ y, } και σ αυτή την περίπτωση y y y ( y) (ii) Έστω y Τότε mi{, y} y Εποµένως, y δηλαδή, y y mi{ y, } σ αυτή την περίπτωση y y y ( y ) Έστω < y Τότε mi{, y} Εποµένως, δηλαδή, y y mi{ y, } και σ αυτή την περίπτωση 54 Ορισµός Έστω y R, Η απόσταση των αριθµών και y στην πραγµατική ευθεία είναι η διαφορά του µικρότερου από τον µεγαλύτερο Αν χρησιµοποιήσουµε τους τύπους της πρότασης 5 θα βρούµε ότι η απόσταση µεταξύ y y y y των και y είναι ίση µε m{ y, } mi{ y, } y y -y 6

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Περιεχόµενα Eισαγωγή στους µιγαδικούς αριθµούς Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις 3 Οριο-Συνέχεια-Παράγωγος Αναλυτικές Συναρτήσεις 4 Μιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

g 0 5 0, των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου

g 0 5 0, των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ή ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου Με τη φράση «πρόσημο τριωνύμου» δηλώνουμε τη μέθοδο με την οποία μπορούμε να γνωρίζουμε ποιο πρόσημο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα