Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς"

Transcript

1 Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το σύνολό τους συµβολίζεται µε το γράµµα N Έχουµε δηλαδή N {0,,,, } Η χρήση των φυσικών γίνεται κυρίως σε προβλήµατα που αναφέρονται στο πλήθος αντικειµένων και όχι σε οποιαδήποτε ποσότητα Με κάποιο άλµα µερικών µαθητικών χρόνων µεταβαίνουµε στο Γυµνάσιο, όπου ο µαθητής µαθαίνει για τους ακέραιους αριθµούς Αυτοί είναι οι φυσικοί και οι αντίθετοί τους Η εισαγωγή των ακεραίων γίνεται για να διαχωριστούν µεγέθη τα οποία εµπλέκουν έννοιες, όπως φορά, κέρδος ή ζηµία κτλ Το σύνολο των ακεραίων συµβολίζεται µε Z Έτσι, Z {,,,,0,,,, } Είναι προφανές ότι τόσο το σύνολο των φυσικών, όσο και το υπερσύνολό του των ακεραίων είναι άπειρα σύνολα Ήδη όµως από το δηµοτικό οι µαθητές έρχονται σε επαφή και µε ένα άλλο είδος αριθµών, τους ρητούς, δηλαδή τα κλάσµατα Συγκεκριµένα, τα κλάσµατα µε αριθµητή και παρονοµαστή φυσικούς ή γενικότερα ακεραίους Η εισαγωγή των κλασµάτων υπαγορεύεται από την ανάγκη να περιγραφούν ποσότητες που δεν µπορούν να παρασταθούν ως ακέραιες µονάδες Έτσι, ο ρητός 6 παριστάνει τα δύο από τα τρία ίσα µέρη της µονάδας, ο 5 5 την ποσότητα που είναι ίση µε µία µονάδα συν ένα από τα πέντε ίσα µέρη της και ο αντίθετο του 6 Το σύνολο των ρητών παριστάνεται µε το γράµµα Q 5 6 τον 5 Έτσι, Q { κ κλ, Z, λ 0} λ Τώρα, θα πρέπει να τονιστεί ότι οι δεκαδικοί αριθµοί δεν αποτελούν ένα ιδιαίτερο σύνολο αριθµών αλλά είναι ένα είδος γραφής των αριθµών µε τη χρήση δεκαδικών ψηφίων Στις εφαρµογές χρησιµοποιούµε δεκαδικές προσεγγίσεις των διαφόρων µεγεθών οι οποίες είναι ρητοί αριθµοί Αυτό αρχικά µπορεί να δηµιουργήσει την αντίληψη ότι όλα τα φυσικά µεγέθη, δηλαδή ο,τιδήποτε µπορεί να µετρηθεί, µπορεί να παρασταθεί µε τη βοήθεια των ρητών αριθµών Η αντίληψη αυτή είχε αναχθεί σε φιλοσοφικό δόγµα από τη σχολή των Το µηδέν συνήθως εισάγεται αργότερα, για να συµβολίσει το αποτέλεσµα της αφαίρεσης ίσων αριθµών

2 Πυθαγορείων Προτού σχολιάσουµε την αντίληψη αυτή ας δούµε πως οι ρητοί αριθµοί παριστάνονται γεωµετρικά ως σηµεία µιας ευθείας Αρχικά επιλέγουµε αυθαίρετα ένα σηµείο Ο το οποίο παριστάνει το µηδέν Το ίδιο αυθαίρετα, επιλέγουµε ένα δεύτερο σηµείο Ι, το οποίο παριστάνει το Επιλέγουµε δηλαδή το ευθύγραµµο τµήµα ΟΙ να έχει µοναδιαίο µήκος Από τη στιγµή που επιλέξαµε τα δύο σηµεία Ο και Ι, κάθε ρητός αριθµός κατέχει πια µια µοναδική θέση στην ευθεία O I K Στην ηµιευθεία ΟΙ και εκτός του τµήµατος ΟΙ ορίζεται ένα µοναδικό σηµείο Κ, τέτοιο ώστε ΟΙΙΚ Αναγκαστικά το Κ θα παριστάνει τον αριθµό Σε ίση απόσταση (ίση µε τη µονάδα ΟΙ) και προς το µέρος του Κ έχουµε ένα άλλο σηµείο που παριστάνει τον Προχωρώντας κατ αυτόν τον τρόπο τοποθετούµε στην ευθεία όλους τους φυσικούς αριθµούς Αν τώρα πάρουµε τα συµµετρικά των εικόνων των φυσικών αριθµών ως προς το σηµείο Ο βρίσκουµε τις εικόνες των αντιθέτων τους Έτσι έχουµε όλο το σύνολο των ακεραίων Η κατασκευή των ρητών σηµείων γίνεται εύκολα Αν για παράδειγµα θέλουµε να παραστήσουµε στην ευθεία τον ρητό 7, κάνουµε το εξής: Λ Χωρίζουµε, χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Θαλή, το µοναδιαίο τµήµα σε 4 ίσα µέρη Με ακτίνα το 4 και δεξιά του γράφουµε τρεις ίσους κύκλους Το σηµείο Λ παριστάνει το 7 4 Επανερχόµαστε τώρα στην αντίληψη των Πυθαγορείων: «Όλα τα µεγέθη είναι σύµµετρα», δηλαδή κλάσµατα µε αριθµητή και παρονοµαστή ακεραίους Σύµφωνα µε την αντίληψη αυτή, κάθε τι που µπορεί να µετρηθεί παριστάνεται µε έναν ρητό αριθµό Ο αριθµός, δηλαδή ο θετικός αριθµός του οποίου το τετράγωνο είναι ο, είναι µια υπαρκτή οντότητα Πράγµατι, είναι το µήκος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου του

3 οποίου το µήκος κάθε κάθετης πλευράς είναι Ένα τέτοιο τρίγωνο είναι εύκολο να κατασκευαστεί µε κανόνα (χάρακα) και διαβήτη 0 Αν δεχτούµε την άποψη των Πυθαγορείων, τότε ο αριθµός θα ισούται µε ένα κλάσµα της µορφής κ λ, όπου τα κ και λ είναι θετικοί ακέραιοι Από τη σχέση κ παίρνουµε λ κ λ Το τετράγωνο λοιπόν του κ είναι αριθµός άρτιος (ζυγός) Μιας και µόνον οι ζυγοί αριθµοί δίνουν ζυγά τετράγωνα, (µπορείτε να σκεφτείτε έναν µονό αριθµό µε ζυγό τετράγωνο;) o κ θα είναι ζυγός Άρα κ κ, όπου κ ακέραιος Τότε όµως θα πάρουµε κ λ και επιχειρηµατολογώντας όπως προηγουµένως, συµπεραίνουµε ότι και το λ θα είναι ζυγός της µορφής λ Οι αριθµοί κ και λ είναι µικρότεροι απ τους κ και λ αντίστοιχα κ κ και το κλάσµα γράφεται απλούστερα: λ λ Με την ίδια λογική, το κλάσµα κ λ θα απλουστευθεί και αυτό µε τη σειρά του και θα µας δώσει ένα νέο κλάσµα Συνεχώς θα παίρνουµε όλο και απλούστερα κλάσµατα και η διαδικασία αυτή δεν σταµατάει ποτέ Αυτό όµως δεν µπορεί να συµβαίνει, γιατί οι όροι του κλάσµατος είναι (θετικοί) ακέραιοι και δεν µπορούν να µειώνονται επ άπειρον, αφού δεν µπορούν να γίνουν µικρότεροι της µονάδας Έτσι προκύπτει αντίφαση Η υπόθεσή µας λοιπόν ότι ο είναι ρητός καταρρέει και µαζί της καταρρέει και το δόγµα των Πυθαγορείων Η δυσάρεστη αυτή αλήθεια ανακαλύφθηκε από τους ίδιους τους Πυθαγόρειους, ίσως από τον ίδιο τον Πυθαγόρα Ο θρύλος θέλει τον Ίππασο τον Μεταπόντιο, µαθητή του Πυθαγόρα ως τον ένοχο Λέγεται ότι για να τον τιµωρήσουν τα άλλα µέλη της Σχολής, σ ένα ταξίδι από την Κόρινθο προς την έδρα τους τον Κρότωνα, τον έριξαν στη θάλασσα µε τραγικό γι αυτόν τέλος Ο, φαίνεται ότι είναι ο πρώτος µη ρητός που ανακαλύφθηκε Οι µη ρητοί λέγονται άρρητοι αριθµοί Η δεκαδική µορφή ενός άρρητου περιέχει άπειρα ψηφία που δεν επαναλαµβάνονται κατά περιοδικό τρόπο Αν επαναλαµβάνονταν, ο αριθµός αυτός θα ήταν ρητός Έτσι, ο ρητός 5 γράφεται στη δεκαδική µορφή ως 0, , ενώ ο δεν έχει αυτή

4 την ιδιότητα Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθµοί, µαζί, αποτελούν το σύνολο των πραγµατικών αριθµών, δηλαδή των αριθµών που αντιπροσωπεύουν κάθε ποσότητα που µπορεί να µετρηθεί Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών συµβολίζεται µε το σύµβολο R Οι πραγµατικοί αριθµοί παριστάνονται γεωµετρικά µε όλα τα σηµεία της ευθείας που θεωρήσαµε προηγουµένως Γι αυτό και η ευθεία µας θα λέγεται στο εξής ευθεία των πραγµατικών ή πραγµατική ευθεία Ο, αν και άρρητος παρουσιάζει µια οµαλή συµπεριφορά Συγκεκριµένα είναι ρίζα του πολυωνύµου 0, το οποίο έχει ακέραιους συντελεστές Τέτοιοι αριθµοί λέγονται αλγεβρικοί Υπάρχουν µη αλγεβρικοί, υπερβατικοί όπως λέγονται αριθµοί; Τέτοιοι αριθµοί θα αναζητηθούν ανάµεσα στους άρρητους αριθµούς, µιας και οι ρητοί είναι αλγεβρικοί Από τις εργασίες του Joseph Liouville, οι µαθηµατικοί γνώριζαν την ύπαρξη τέτοιων αριθµών Για παράδειγµα, ο άρρητος αριθµός 0, , ο οποίος έχει παντού µηδενικά εκτός από τις θέσεις!,!, 6!, 44! 4 κοκ, είναι υπερβατικός Το 88 ο Γερµανός µαθηµατικός Krl Lidem απέδειξε ότι ο γνωστός αριθµός π, , δηλαδή ο λόγος της περιφέρειας κύκλου προς τη διάµετρό του, είναι αριθµός υπερβατικός Έτσι αποδείχτηκε ότι ο κύκλος δεν τετραγωνίζεται! ηλαδή, αν έχουµε έναν κύκλο, δεν µπορούµε να κατασκευάσουµε µόνο µε το χάρακα και το διαβήτη τετράγωνο που να έχει εµβαδόν ίσο µε αυτό του κύκλου Ήδη από τα τέλη του 9 ου αιώνα, χάρις στις εργασίες του Georg Ctor, ξέρουµε ότι οι άρρητοι αριθµοί, και ακόµα περισσότερο οι υπερβατικοί, δεν είναι η εξαίρεση του κανόνα αλλά ο ίδιος ο κανόνας! ηλαδή το σύνολο των ρητών αριθµών φαντάζει απειροελάχιστο µπροστά στο σύνολο των αρρήτων, το οποίο κατακλύζει την ευθεία των πραγµατικών αριθµών Η σχέση ανάµεσα στα διάφορα σύνολα αριθµών περιγράφεται στο παρακάτω διάγραµµα: πραγµατικοί φυσικοί ακέραιοι ρητοί άρρητοι 4

5 Οι αλγεβρικές ιδιότητες των πραγµατικών Η επίλυση πολλών µαθηµατικών προβληµάτων απαιτεί ευχέρεια στο χειρισµό αλγεβρικών παραστάσεων Οι ιδιότητες των αλγεβρικών παραστάσεων απορρέουν από λίγες βασικές παραδοχές (αξιώµατα) που κάνουµε σχετικά µε τους πραγµατικούς αριθµούς Αξίωµα Ισχύουν τα ακόλουθα: i) ( b) c ( b c), για κάθε bc,, ii) b b, για κάθε b, iii) Υπάρχει ένας πραγµατικός που λέγεται µηδέν και συµβολίζεται µε 0 µε την ιδιότητα 0, για κάθε iv) Για κάθε πραγµατικό αριθµό, υπάρχει ένας πραγµατικός µε την ιδιότητα ( ) 0 v) ( b) c ( bc), για κάθε bc,, vi) b b, για κάθε b, που λέγεται αντίθετος του, vii) Υπάρχει ένας πραγµατικός που λέγεται ένα και συµβολίζεται µε µε την ιδιότητα, για κάθε viii) Για κάθε µη µηδενικό πραγµατικό αριθµό, υπάρχει ένας πραγµατικός που λέγεται αντίστροφος του, µε την ιδιότητα i) ( b) c c bc, για κάθε bc,, (Επιµεριστική ιδιότητα) Οι παραπάνω ιδιότητες είναι προφανείς σε κάθε απόφοιτο του γυµνασίου Το ίδιο προφανείς είναι και οι ιδιότητες που αναφέρονται στα επόµενα παραδείγµατα Κάθε µαθητής του γυµνασίου και του λυκείου έχει µάθει να χρησιµοποιεί σχεδόν µηχανικά τις ιδιότητες αυτές κατά την επίλυση προβληµάτων Εδώ δεν επιχειρούµε να παρουσιάσουµε µια αξιωµατική θεµελίωση της αλγεβρικής δοµής των πραγµατικών Απλώς προσπαθούµε να δώσουµε, στον ενδιαφερόµενο µόνον αναγνώστη, το πώς µέσω της αποδεικτικής διαδικασίας, κάποιες ιδιότητες προκύπτουν από άλλες, στοιχειωδέστερες Ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται µόνον για τις εφαρµογές µπορεί να παραλήψει τα παραδείγµατα αυτά Παραδείγµατα είξτε ότι οι αριθµοί 0 (µηδέν) και (ένα) που ορίζονται στα (iii) και (vii) του παραπάνω αξιώµατος είναι µοναδικοί 5

6 Απόδειξη: Ας υποθέσουµε ότι ο µηδέν δεν είναι µοναδικός Τότε υπάρχει κάποιος πραγµατικός αριθµός θ 0 µε την ιδιότητα θ, για κάθε R Ειδικά για 0 θα έχουµε 0 θ 0 Αλλά ο αριθµός 0 θ θ 0 θα πρέπει να είναι ίσος µε θ, σύµφωνα µε το (iii) του αξιώµατος Άρα 0 θ, αντίφαση Εποµένως ο αριθµός 0 είναι µοναδικός Αν µιµηθούµε την προηγούµενη απόδειξη µπορούµε να αποδείξουµε την µοναδικότητα του ένα Αρκεί τα αθροίσµατα να γίνουν γινόµενα και το µηδέν να αντικατασταθεί από το ένα είξτε ότι κάθε πραγµατικός αριθµός έχει µοναδικό αντίθετο και κάθε µη µηδενικός πραγµατικός έχει µοναδικό αντίστροφο Απόδειξη: Αν και είναι δύο αντίθετοι του, τότε θα έχουµε: 0 ( ) ( ) 0 (iii) (i) Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται η µοναδικότητα του αντιστρόφου είξτε ότι: (i) ( b) ( ) ( b), για κάθε b, R, (ii) 0 0, για κάθε R και (iii) ( b ) ( b) b, για κάθε b, R Απόδειξη: (i) ( b) (( ) ( b)) ( b) (( b) ( )) (( b) ( b)) ( ) ( ( b ( b))) ( ) ( 0) ( ) ( ) 0 Άρα ( ) ( b) ( b) (ii) 0 (0 0) 0 0 Προσθέτουµε και στα δύο µέλη της σχέσης (i) τον αντίθετο του ( 0) ( 0 0) ( 0) 0 0 ( 0 ( 0)) (iii) b ( ) b ( ( )) b 0 b 0 Άρα ( b ) b Όµοια, b ( b) ( b ( b)) 0 0 Άρα ( b) b 4 είξτε ότι αν b 0, τότε 0 ή b 0 Απόδειξη: Έστω ότι 0 Τότε ο έχει αντίστροφο, τον Εποµένως, b 0 ( b) 0 ( ) b 0 b 0 b 0 Το τελευταίο παράδειγµα µπορεί να γενικευτεί για περισσότερους από δύο αριθµούς Έτσι, αν το γινόµενο αριθµών είναι µηδέν, τότε κάποιος απ αυτούς είναι µηδέν Αυτό αποτελεί και το κλειδί για την επίλυση εξισώσεων είτε το επόµενο παράδειγµα: 6

7 5 Να λυθεί η εξίσωση 0 Λύση: Έχουµε: ( ) ( ) ( )( ) Εποµένως ( )( ) 0 Επειδή το γινόµενο των και είναι µηδέν, κάποιος από αυτούς θα είναι µηδέν Άρα 0 ή 0, δηλαδή ή Από το παράδειγµα αυτό προκύπτει πόσο σηµαντικό είναι να µπορούµε να µετατρέπουµε µια παράσταση σε γινόµενο παραγόντων Ταυτότητες-παραγοντοποίηση Η γνώση των αλγεβρικών ταυτοτήτων µας παρέχει ευχέρεια στον χειρισµό αλγεβρικών παραστάσεων Οι ταυτότητες προκύπτουν µε εφαρµογή της επιµεριστικής ιδιότητας (i) του αξιώµατος Έτσι, η γνωστή από το γυµνάσιο ταυτότητα ( ) b b b προκύπτει ως εξής: ( ) ( )( ) ( ) ( ) b b b b b b b b bb b b b b b Παρακάτω καταγράφουµε µερικές χρήσιµες ταυτότητες ) ( b) b b και αν θέσουµε b αντί b, ) ) 4) 5) 6) 7) ( ) b b b ( b) b b b και, αν θέσουµε b ( b) b b b b b b ( )( ) (διαφορά τετραγώνων) b ( b)( b b ) b ( b)( b b ) αντί b, H ταυτότητα ) γενικεύεται για περισσότερους από δύο προσθετέους Πρόταση,,, είναι αριθµοί, τότε Αν ( ) άθροισµα όλων των όρων της µορφής ( ), i j όπου i< j Έτσι, ( ) Απόδειξη: Είναι ( ) ( )( ) Αν κάνουµε όλους τους δυνατούς συνδυασµούς παίρνοντας έναν όρο από κάθε παρένθεση και πολλαπλασιάζοντάς τους µεταξύ τους, θα καταλήξουµε σε ένα άθροισµα της µορφής 7

8 ( ) άθροισµα όλων των όρων της µορφής ( i j), όπου i j Ο όρος i j προκύπτει δύο φορές Τη µία όταν παίρνουµε από την πρώτη παρένθεση το i και από τη δεύτερη το j και την άλλη, όταν από την πρώτη παρένθεση παίρνουµε το από τη δεύτερη το i Έτσι, εµφανίζεται ο συντελεστής j και Η ταυτότητα αυτή γράφεται πιο σύντοµα µε τη χρήση του συµβόλου Σ που δηλώνει το άθροισµα Έτσι, έχουµε: ( ) i j < i j H ταυτότητα 6) γενικεύεται ως εξής: Πρόταση Αν είναι ένας θετικός ακέραιος, τότε ισχύει: b b b b b b b ( )( ) Έτσι, 4 4 b ( b)( b b b ), b ( b)( b b b b ) κτλ Απόδειξη: ( b)( b b b ) ( b b b ) b ( b b b ) b - b - b - b - b b b b Ειδικά για, παίρνουµε - - ( b)( b b b b ) b, οπότε αν b θα - b έχουµε: b b b b Η ταυτότητα 7) γενικεύεται και αυτή, αλλά µόνον για τους περιττούς Συγκεκριµένα: Πρόταση Αν είναι ένας µη αρνητικός ακέραιος, τότε ισχύει: Απόδειξη: b ( b)( b b b b b ) - - ( b)( b b b ) ( b b b ) b ( b b b ) b b b b b b b b b b Σε ορισµένες περιπτώσεις η παραπάνω ταυτότητα µας επιτρέπει να παραγοντοποιήσουµε παραστάσεις της µορφής b ακόµα και όταν το δεν είναι περιττός Αρκεί να διαιρείται 8

9 µε έναν περιττό Για παράδειγµα, 6 6 b ( ) ( b ) ( b )(( ) b ( b ) ) 4 4 ( b )( b b ) Μια άλλη γνωστή ταυτότητα είναι η ταυτότητα των τριών κύβων του Euler: 4 Πρόταση Ισχύει η ακόλουθη ταυτότητα: ( )( ) b c bc b c b c b bc c ( )(( ) ( ) ( ) b c b b c c ) Απόδειξη: b c bc b b b c bc b b ( b) c bc b b ( b) c ( b) c ( b) c bc b b ( b) c ( b) c ( b c) bc b b ( b) c ( b) c ( b c) b( b c) ( b) c( b c) ( b c)(( b c) b ( b) c) ( b c)( b c b bc c b c bc) ( b c)( b c b bc c) Η δεύτερη µορφή της παράστασης b c bc επιτυγχάνεται µε το να δείξουµε ότι (( ) ( ) ( ) b c b bc c b b c c ) Έχουµε: ( ) ( ) ( ) b b c c b b b c bc c c b c b bc c ( b c b bc c) Εποµένως (( ) ( ) ( ) b c b bc c b b c c ) 5 Πρόταση (ταυτότητα του Lgrge) Ισχύει η ακόλουθη ταυτότητα: ( )( b b b) ( b b b) < i j i j b b i j Απόδειξη: Το γινόµενο ( )( b b b ) θα µας δώσει όρους της µορφής b, καθώς και όρους της µορφής i i b µε i i j j Το τετράγωνο ( b b b ) θα µας δώσει τα τετράγωνα b, τα οποία θα µηδενίσουν τα αντίστοιχα που προκύπτουν απ το προηγούµενο γινόµενο, καθώς και όρους της µορφής b i i j b j, µε i< j i i Για ένα ζεύγος δεικτών (, i j ), µε i< j θα πάρουµε τους εξής όρους: b i i j b j b, i j b και j i 9

10 Το άθροισµά τους είναι i b b i j b j i bb i i j j ( b i j b j i) b Αθροίζοντας για j i j όλα τα δυνατά ζεύγη παίρνουµε το αποτέλεσµα Για παράδειγµα, ( )( ) ( ) b b b b b ( b b), b b b b ( )( b b b) ( b b b) b b b ( b b) ( b b) ( b b) κτλ Παραδείγµατα Να τραπούν σε γινόµενο παραγόντων οι ακόλουθες αλγεβρικές παραστάσεις: (i) (ii) m m m m m m y y y, όπου m και θετικοί ακέραιοι b b b (iii) (iv) 4 4 y ( b ) b( y ) ( m y) ( my) Λύση: (i) m m m m m m m m m m m m y y y y y y y y m m y ( y y ) (ii) (iii) b b b b b ( ) ( ) ( )( ) y ( b ) b( y ) y b y b by y ( by ) b ( by ) ( by )( y b ) (iv) ( m y) ( my) m y my my my m y m y ( m ) y ( m ) ( m )( y ) Στο επόµενο παράδειγµα γίνεται χρήση της διαφοράς τετραγώνων Να τραπούν σε γινόµενο παραγόντων οι ακόλουθες αλγεβρικές παραστάσεις: (i) 44 y b, (ii) ( b), (iii) ( by), (iv) ( y y ) ( y y ) Λύση: (i) 44 y b ( y) ( b) (y b)(y b) (ii) (iii) (iv) ( ) ( )( ) b b b ( by) ( by )( by ) ( y y ) ( y y ) ( y y y y ) ( y y 0

11 y y ) 4( y ) y Στο επόµενο παράδειγµα γίνεται χρήση της διαφοράς τετραγώνων και του αναπτύγµατος τετραγώνων Να τραπούν σε γινόµενο παραγόντων οι ακόλουθες αλγεβρικές παραστάσεις: (i) 4 64 y 60 y 00, (ii) 69 yz 86yz yz, (iii) 4y ω β 6 y ω α ± 76αβy ω, (iv) α β βγ γ, (v) α αβ β 4γ γδ 9δ, (vi) 9 6α α β Λύση: (i) y 60y 00 4 (6y 40y 5) 4 ((4 y) 4y 5 5 ) 4 (4y 5) (ii) 69yz 86yz yz yz( ) yz( ) (iii) 4y ωβ 6 y ωα 76 αβy ω y ω( β 9 α β 9 α) ± ± y ω (β ± 9 α) (iv) α β βγ γ α ( β βγ γ ) α ( β γ) ( α β γ)( α β γ) (v) α αβ β 4γ γδ 9 δ ( α β ) (γ δ ) ( α β γ δ )( α β γ δ) (vi) 9 6 α α β ( α) β ( α β)( α β) 4 Να τραπούν σε γινόµενο παραγόντων οι ακόλουθες αλγεβρικές παραστάσεις: (i) 4, (ii) 7α α, (iii) y y Λύση: (i) 4 7 ( 7) ( 7) ( 7)( ) (ii) (iii) 7α α α 4α α ( α) 4 α( α) ( α) ( ± 4 α) 4 ( ) ( ) ( )( ) y y y y y y y y y y y ( y)( y) 5 Να απλοποιηθούν τα κλάσµατα: (i) y 4 4 ( y)( y ), (ii) Λύση: (i) 4 4 y ( ) ( y ) ( y)( y ) ( y)( y)( y y ) ( y )( y ) ( y)( y) ( y y ) y y y

12 (ii) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( ) ( 5) ( ) 6 Να επιλυθεί η εξίσωση ως προς και y ( ) ( ) 8 6( )( ) y y y y Λύση: Η εξίσωση γράφεται: ( ) ( ) 8 6( )( ) y y y y ( ) ( y) ( y) ( )( y)( y) 0 Από την ταυτότητα του Euler παίρνουµε ( )(( ) ( ) ( ) y y y y y y ) 0 ( y )(( y ) ( y) (y ) ) 0 Εποµένως y 0 ή ( y ) ( y) (y ) 0 Η εξίσωση y 0 µας δίνει y και εποµένως παίρνουµε ως λύσεις τα άπειρα ζεύγη της µορφής Από την εξίσωση y, y, y R ( y ) ( y) (y ) 0 παίρνουµε το σύστηµα y 0 y 0 Από την πρώτη και τη δεύτερη εξίσωση του συστήµατος (µε αφαίρεση κατά y 0 µέλη) παίρνουµε 0, άτοπο Άρα οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης είναι µόνον τα ζεύγη y, y, y R Άλυτες ασκήσεις Να κάνετε τις ακόλουθες πράξεις εφαρµόζοντας τις γνωστές ταυτότητες: y, (ii) ( y ) (i), (iii) ( y 5 )( y 5 ), (iv) y Να παραγοντοποιήσετε τις ακόλουθες παραστάσεις: (i) (iii) (v) y 6 y 8 y (ii) ( )( ) ( )( ) 4( ) (iv) y y y y y (vi) 6 b b λ 8λ 4λ b b (vii) b( y ) y( b ) (viii) m m y b by, m>, 0 (i) 4 6b c () b b

13 (i) 0 9 (ii) 6 7 (iii) (v) y 4y 96 (iv) y y ( b) (vi) ( b) ( b) ( b) 4 4 (vii) 8b c 6b 8bc (viii) ( 9)( 4) ( 6) Να απλοποιήσετε τα ακόλουθα κλάσµατα: 6y (i) 4y y (iii) (v) (vii) 4 5 y 5y y y y 4 ( ) ( y) (ii) y 4 8 (iv) (vi) 6 9 (viii) y y y 4 Να αποδείξετε τα ακόλουθα: (i) Αν bc, y b bc, και b c 0, τότε y z bc z c bc (ii) Αν ( b c ) ( b c), τότε b c (iii) Αν yz 0 και (iv) Αν y z, τότε y z ή yz ± y z b, b c και b ( c) c, τότε b b b c (v) Αν b c και c b d, τότε η παράσταση bcd b 4 ( ) είναι τέλειο τετράγωνο 4 ιάταξη των πραγµατικών αριθµών Γνωρίζουµε ότι οι πραγµατικοί αριθµοί είναι διατεταγµένοι µέσω της σχέσης «<» ή της «>» Οι βασικές ιδιότητες των ανισοτικών σχέσεων απορρέουν από λίγες βασικές παραδοχές εχόµαστε το εξής: 4 Αξίωµα Υπάρχει ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγµατικών αριθµών, που το συµβολίζουµε µε µε τις ακόλουθες ιδιότητες: i) Για κάθε πραγµατικό αριθµό ισχύει µία και µόνον µία από τις ακόλουθες σχέσεις: α) 0, β) R, γ) ii) Για κάθε y, R, ισχύει y R και y R R R

14 Τα στοιχεία του R λέγονται θετικοί αριθµοί Τα στοιχεία του συνόλου R { R } λέγονται αρνητικοί αριθµοί Έτσι το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών χωρίζεται σε τρία ξένα µεταξύ τους υποσύνολα: τους αρνητικούς µηδέν R, τους θετικούς R και το µονοσύνολο {0} που περιέχει το αρνητικοί µηδέν θετικοί ύο ή περισσότεροι µη µηδενικοί αριθµοί λέγονται οµόσηµοι αν είναι όλοι θετικοί ή όλοι αρνητικοί ύο µη µηδενικοί αριθµοί που δεν είναι οµόσηµοι λέγονται ετερόσηµοι 4 Ορισµός Έστω y R, Θα λέµε ότι ο είναι µεγαλύτερος του y και αυτό θα το συµβολίζουµε µε > y, αν y R Ισοδύναµη έκφραση είναι «ο y είναι µικρότερος του» Αυτό συµβολίζεται µε y< Προφανώς, > 0 R και < 0 R Από το (i) του αξιώµατος 4 προκύπτει ότι µόνον µία από τις σχέσεις α) y, β) > y, γ) y > ισχύει 4 Παραδείγµατα είξτε ότι αν > y και y > z, τότε > z Απόδειξη: > y y R και y > z y z R Από το (ii) του αξιώµατος 4 προκύπτει ότι z ( y) ( y z) R Εποµένως, > z είξτε ότι αν > y και z > w, τότε z > y w ( ηλαδή µπορούµε να προσθέτουµε κατά µέλη ανισότητες που έχουν την ίδια φορά) Απόδειξη: Έχουµε ( z) ( y w) ( y) ( z w) Αλλά y R (γιατί > y ) και z w R (γιατί z > w) Από την ιδιότητα (ii) του αξιώµατος 4 προκύπτει ότι ( z) ( y w) ( y) ( z w) R και εποµένως z > y w 4

15 44 Πρόταση i) Το γινόµενο δύο οµόσηµων αριθµών είναι θετικός ii) Το γινόµενο δύο ετερόσηµων αριθµών είναι αρνητικός Απόδειξη: Έστω ότι > 0 και y > 0 Από το (ii) του αξιώµατος 4 παίρνουµε ότι y > 0 Αν < 0 και y > 0, τότε > 0 και y > 0 Από το (ii) του αξιώµατος 4 παίρνουµε ότι y ( ) y > 0 Εποµένως (από το (i) του ίδιου αξιώµατος), y < 0 Αν > 0 και y < 0 σκεφτόµαστε παρόµοια Έστω τώρα ότι < 0 και y < 0 Τότε < 0 και y > 0 και, σύµφωνα µε τα προηγούµενα, y ( y) < 0 Εποµένως, y > 0 45 Πόρισµα Για κάθε µη µηδενικό πραγµατικό αριθµό ισχύει: > 0 Ειδικότερα (όσο και αν αυτό φαίνεται αστείο) > 0 Απόδειξη: Άµεση, αφού ο είναι οµόσηµος µε τον εαυτό του 46 Ορισµός Θέτουµε y και διαβάζουµε «µεγαλύτερο ή ίσο του y» αν > y ή y Ακόµη, θέτουµε y αν και µόνον αν y Προφανώς y y 0 47 Πρόταση Ισχύουν τα εξής: (i), για κάθε R, (ii) Αν y και y, τότε y, (iii) Αν y και y z, τότε z Η απόδειξη της πρότασης αυτής είναι προφανής Το πόρισµα 45 διατυπώνεται τώρα (καλύπτοντας και τη µηδενική περίπτωση) ως εξής: Γενικότερα, 0, για κάθε R 0, για κάθε -άδα (,,, ) πραγµατικών αριθµών Σηµειώνουµε ακόµα ότι αν > 0 και y 0, τότε y> 0 (Αν y 0 τότε y > 0 ενώ αν y > 0, χρησιµοποιούµε το (ii) του αξιώµατος 4) 5

16 48 Πόρισµα Έστω,,, R Τότε ισχύει Απόδειξη: Αρκεί να αποδείξουµε ότι αν Πράγµατι, αν 0, τότε > Επειδή 0 τότε 0 0 άτοπο Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει ότι και 0, θα έχουµε, > 0 49 Πόρισµα i) Αν 0, τότε οι αριθµοί και είναι οµόσηµοι ii) Το πηλίκο δύο οµόσηµων αριθµών είναι θετικός Απόδειξη: i) Αν οι αριθµοί και ήσαν ετερόσηµοι, τότε από το (ii) της πρότασης 44, ο θα ήταν αρνητικός ii) Αν οι µη µηδενικοί αριθµοί b, είναι οµόσηµοι, τότε b > 0 Επίσης ξέρουµε ότι Από το (i) προκύπτει ότι ( b ) > 0 Εποµένως ( b)( b ) > 0 b b > 0 40 Πρόταση i) Αν > 0 και > y, τότε > y και > y ηλαδή, µπορούµε να πολλαπλασιάσουµε ή να διαιρέσουµε και τα δύο µέλη µιας ανισότητας µε έναν θετικό αριθµό, χωρίς να αλλάξει φορά η ανισότητα ii) Αν < 0 και > y, τότε < y και < y ηλαδή, µπορούµε να πολλαπλασιάσουµε ή να διαιρέσουµε και τα δύο µέλη µιας ανισότητας µε έναν αρνητικό αριθµό, αλλάζοντας όµως φορά στην ανισότητα Απόδειξη: i) Αν > y, τότε y > 0 Εποµένως οι αριθµοί και y είναι οµόσηµοι Άρα το γινόµενό τους ( y) y και το πηλίκο τους y y είναι θετικοί αριθµοί Εποµένως, > y και > y Η απόδειξη του (ii) είναι ανάλογη 4 Πρόταση Αν οι αριθµοί, y είναι οµόσηµοι, τότε ισχύει: > y < y δηλαδή, αν αντιστρέψουµε και τα δύο µέλη µιας ανισότητας, όταν αυτά είναι οµόσηµοι αριθµοί, παίρνουµε µια ανισότητα µε αντίστροφη φορά 6

17 Απόδειξη: Εφόσον οι, y είναι οµόσηµοι, έχουµε y > 0 Άρα, µε βάση την προηγούµενη πρόταση, y > y > > y y y 4 Πρόταση Έστω 0 και y 0 Για κάθε,, ισχύει: y y > > Απόδειξη: Χρησιµοποιούµε την ταυτότητα ( )( ) y y y y y Έστω > y 0 Εφόσον > 0, έχουµε > 0 και µε βάση την τελευταία παρατήρηση πριν από το πόρισµα 48, y y y > 0 Επειδή y > 0, έπεται ότι ( )( ) > 0 y y y y y, δηλαδή > y Αντίστροφα, έστω > y ( 0) Τότε > 0 και εποµένως 0 Επειδή 0, έπεται > 0 Όπως προηγουµένως προκύπτει ότι y y > y y y 0 y y, δηλαδή > y y > 0 Συνεπώς 4 Παραδείγµατα Αν > 0 και b >, δείξτε ότι ( b) > b Απόδειξη: ( b) > b b> b ( b ) > 0, που ισχύει γιατί > 0 και b> b > 0 είξτε ότι b b, για κάθε b, R Πότε ισχύει το «ίσον»; Απόδειξη: b b b b 0 ( b) 0, και η τελευταία σχέση ισχύει Τώρα, b b ( b) 0 b είξτε ότι: (i) Αν ο είναι θετικός, τότε (ii) Αν ο είναι αρνητικός, τότε Απόδειξη: (i) (πολλαπλασιάζοντας επί τον θετικό -πρόταση 4) ( ) 0 (ii) (πολλαπλασιάζοντας επί τον αρνητικό -πρόταση 4) ( ) 0 7

18 4 είξτε ότι b b 0 και b b 0, για κάθε b, R Πότε ισχύει το «ίσον» στις παραπάνω σχέσεις; Απόδειξη: b b b ( b b) [ b ( b) ] και b b b ( b b) [ b ( b) ] Οι ποσότητες [ ( ) ] b ± b είναι προφανώς 0, ως αθροίσµατα τετραγώνων επί τον θετικό Τώρα, αν [ ( ) b b b b ] 0 θα έχουµε b 0 (πόρισµα 48) Όµοια, b b 0 b 0 5 είξτε την ανισότητα Cuchy-Schwrz: ( )( y y y ) ( y y y ), για κάθε,,,, y, y,, y R Απόδειξη: Με βάση την ταυτότητα Lgrge (πρόταση 5), έχουµε i ( )( y y y) ( y y y) i< j j y y i j και το δεύτερο µέλος είναι 0, ως άθροισµα τετραγώνων 6 είξτε ότι αν b, τότε b Απόδειξη: Έχουµε ( b) b b και ( b) 0 b b 0 Προσθέτοντας κατά µέλη, b b 4 4 Ακόµη, ( b ) b b και ( b ) 0 b b b b 4 8 Προσθέτοντας κατά µέλη, 7 είξτε ότι αν, b είναι θετικοί αριθµοί µε b, τότε (i) b και (ii) 9 4 b Απόδειξη: (i) Έχουµε ( b) b b b b 4b 8

19 4 b ( b) 0 Εποµένως, 4b b 4 b (ii) b, που την b b b b b b b 4 αποδείξαµε προηγουµένως 4 8 είξτε ότι, για κάθε R Απόδειξη: ( ) ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ( ) ( )( )) 0 ( )( ( )( ) ( )( )) 0 ( ) ( ( ) ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ( ) ) 0 που ισχύει 9 Έστω > Να συγκρίνετε τους αριθµούς Λύση: και ( ) ( ) ( ) ( )( ) Από υπόθεση έχουµε 0 > Επίσης, µε βάση το παράδειγµα 4 προκύπτει ότι > 0 Άρα > 0 είξτε ότι ( b ) b ( c ) c ( ) 6bc Απόδειξη: ( b ) b ( c ) c ( ) 6bc b b b c c c 6bc b b bc c c 6bc Έχουµε b c bc ( bc) 0 b c bc Οµοίως, b c bc και c b bc Προσθέτοντας τις σχέσεις b c bc, b c bc και c b bc κατά µέλη παίρνουµε την αποδεικτέα b b b c c c 6bc Αν bc>,, 0, δείξτε ότι < b c b b c c Απόδειξη: b< b c > (πρόταση 4) b b c Όµοια > και > Προσθέτοντας κατά µέλη παίρνουµε την b c b c c b c αποδεικτέα Να λύσετε τις ανισώσεις: (i) > και (ii) 6 0 9

20 Λύση: (i) > 6 > 6 6 επί 6>0 ( ) > ( ) 4 > 9 9> 9 7 6> 7 < 6< 0 6-7/6 0 < -7/6 (ii) Κατ αρχάς θα πρέπει 0 και 0 Με τους περιορισµούς αυτούς έχουµε: 0 0 ( )( ) 0 0 ιατάσσουµε τις ρίζες ( )( ) ( )( ), και των παραγόντων, και αντίστοιχα, σε αύξουσα σειρά και παίρνουµε τον παρακάτω πίνακα: (ο κανόνας είναι: «περιττό πλήθος αρνητικών σηµείων κάνει πλήν») - - -/ / παράσταση - - Στα σηµεία και έχουµε φέρει διακεκοµµένες γραµµές, αφού σ αυτά δεν είναι µη ( )( ) ορίζεται η παράσταση Από τον πίνακα βρίσκουµε ότι η παράσταση θετική αν και µόνον αν < ή < - -/ -/ Να λύσετε το σύστηµα: 0 ( )( ) 7 < 0 Λύση: Η πρώτη ανίσωση έχει λυθεί στο προηγούµενο παράδειγµα Οι λύσεις της είναι όλοι οι αριθµοί µε < ή < 0

21 Για τη δεύτερη ανίσωση παρατηρούµε ότι πρέπει και αρκεί οι αριθµοί 7 και να είναι ετερόσηµοι Έχουµε τον πίνακα: / Θα πρέπει λοιπόν 7 < < Οι λύσεις αυτές σε συνδυασµό µε τις λύσεις της προηγούµενης ανίσωσης παριστάνονται στο ακόλουθο σχήµα: - - -/ -7/ -/ Το µπλέ τµήµα παριστάνει τις λύσεις της 7 < 0 Τα υπόλοιπα τµήµατα (κίτρινο και πράσινο) είναι οι λύσεις της 0 Τα πράσινα τµήµατα είναι οι κοινές λύσεις ( )( ) Άρα οι λύσεις του συστήµατος είναι: < < ή 7 < < Άλυτες ασκήσεις Να αποδείξετε τα ακόλουθα: b b (i) Αν b>, 0, τότε < b b (ii) ( y z ) ( y z), για κάθε yz,, R (iii) Αν 0< <, τότε ( ) (iv) Αν b>, 0 και b, τότε (v) Αν b c, τότε > b b b > 0 b c Αν 0 < < b, να συγκρίνετε τους αριθµούς A b και B b ( ) Να βρείτε τις τιµές του για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις: (i) 5 > και 4 6 (ii) ( ) Κατά την επίλυση ανισώσεων είναι όπως είδαµε χρήσιµο να επικαλούµαστε τη γεωµετρική εποπτεία Οι λύσεις τις περισσότερες φορές, αν όχι όλες, αποτελούν διαστήµατα του συνόλου των πραγµατικών Έτσι ορίζουµε:

22 44 Ορισµός Έστω b, R Θέτουµε: i) ( b, ) { R < < b} b ii) [ b, ) { R < b} b iii) ( b, ] { R < b} b iv) [ b, ] { R b} b v) (, ) { R < } vi) [, ) { R } vii) (, b) { R < b} b viii) (, b] { R b} Αν b, τότε καθένα από τα διαστήµατα των περιπτώσεων i), ii) και iii) είναι το κενό σύνολο Το διάστηµα [, ] είναι το µονοσύνολο {} Αν σύνολο > b, τότε καθένα από τα διαστήµατα των περιπτώσεων i), ii), iii) και iv) είναι το κενό b

23 Αν παρατηρήσουµε το επόµενο σχήµα θα διαπιστώσουµε ότι η πραγµατική ευθεία είναι ένωση ξένων ανά δύο διαστηµάτων της µορφής [ k, k ), k Z Με άλλα λόγια, για κάθε πραγµατικό αριθµό υπάρχει µοναδικός ακέραιος µε την ιδιότητα [ k, k ), δηλαδή k < k (Φυσικά αυτή η παρατήρηση δεν αποτελεί και µαθηµατική απόδειξη του γεγονότος αυτού, η οποία, όσο και αν αυτό φαίνεται παράξενο, δεν είναι τετριµένη) 45 Ορισµός Ο ακέραιος k λέγεται ακέραιο µέρος του και συµβολίζεται µε [ ], δηλαδή ο [ ] είναι ο µοναδικός ακέραιος µε την ιδιότητα [ ] < [ ] Πρακτικά, για να βρούµε το ακέραιο µέρος ενός θετικού αριθµού, παραλείπουµε τα δεκαδικά του ψηφία Έτσι, [,4], [π][,459] κοκ Αυτό όµως δεν ισχύει όταν θεωρούµε αρνητικούς αριθµούς Εκεί παραλείπουµε τα δεκαδικά ψηφία, αλλά στη συνέχεια αφαιρούµε το Έτσι, [ 7,59] 8, [,76666] 4 κοκ 46 Παραδείγµατα είξτε ότι για κάθε ακέραιο k ισχύει [ k] [ ] k, όπου R Απόδειξη: Έχουµε [ ] < [ ] [ ] k k < ([ ] k) Επειδή ο ακέραιος [ ] k έχει την χαρακτηριστική ιδιότητα του ακεραίου µέρους του k, έπεται ότι [ k] [ ] k Αν, b είναι δύο θετικοί ακέραιοι, δείξτε ότι ο ακέραιος ευκλείδειας διαίρεσης : b b ισούται µε το πηλίκο της Απόδειξη: Η ευκλείδεια διαίρεση : b µας δίνει ένα (µοναδικό) πηλίκο π και ένα (µοναδικό) υπόλοιπο υ µε την ιδιότητα πb υ, όπου 0 υ < b Εποµένως, υ π Με βάση το b b

24 προηγούµενο παράδειγµα, π b υ π b b Αλλά, 0 υ < b υ και εποµένως 0 b Άρα Άλυτες ασκήσεις 0, αν Z Να αποδείξετε ότι: (i) [ ] [0,), (ii) [ ] [ ], αν Z, [ ] (iii), όπου,,, (iv) 0, αν [ ] < [ ] [ ], αν [ ], (v) [ ] [ y] [ ] [ y] [ y], για κάθε y, R 5 Απόλυτες τιµές Η απόλυτη τιµή ενός αριθµού, στην ευθεία των πραγµατικών αριθµών είναι η απόστασή του από το µηδέν Πιο αυστηρά, ορίζουµε: 5 Ορισµός αν 0, Έστω R Θέτουµε αν < 0 Ο αριθµός ονοµάζεται απόλυτη τιµή του Στη συνέχεια µελετάµε τις ιδιότητες της απόλυτης τιµής Μια πρώτη παρατήρηση είναι ότι η απόλυτη τιµή είναι ο µεγαλύτερος (ο µη αρνητικός) από τους αριθµούς και οι αριθµοί µπορεί να είναι ίσοι αν και µόνον αν 0) (Αυτοί 5 Πρόταση (i) 0, για κάθε R Επιπλέον, ισχύει 0 0 (ii), για κάθε R 4

25 (iii), για κάθε R (iv) y y, για κάθε y R, (v), για κάθε y R, µε y 0 y y (vi) ± y y y Απόδειξη: Οι (i) και (ii) προκύπτουν άµεσα από τον ορισµό 4 (iii) Από τον ορισµό 5 έχουµε ότι ή Σε κάθε περίπτωση, ( ± ) (iv) Η απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι αν, b είναι δύο µη αρνητικοί αριθµοί, τότε ισχύει b b [Αρκεί να αποδείξουµε το " " Αν > b, τότε από την πρόταση 4 παίρνουµε > b, άτοπο Αν < b, τότε από την πρόταση 4 παίρνουµε και πάλι] Οι αριθµοί y και y είναι προφανώς µη αρνητικοί Ακόµη, y ( y) y y ( y ) και εποµένως y y (iii) (iii) < b, άτοπο (v) (iii) (iii) και άρα y y y y y y y (vi) y y y Ακόµη, y y 0 ( y)( y) 0 (ii) y ή y Η επόµενη ανισότητα είναι ιδιαίτερα χρήσιµη: 5 Πρόταση (τριγωνική ανισότητα) Για κάθε y R, ισχύει: y y y Απόδειξη: Έχουµε y y y ( y ) ( y) y y y y y y y y Η τελευταία σχέση προφανώς ισχύει Ακόµη, y y y y y y y y, γιατί y y Παρόµοια, y y y y Εφόσον η απόλυτη τιµή y είναι µεγαλύτερη ή ίση από κάθε έναν από τους αντίθετους αριθµούς y και y, θα είναι µεγαλύτερη ή ίση από την απόλυτη τιµή τους y 5

26 Σχόλιο: Η ονοµασία «τριγωνική» γίνεται φανερή στις δύο ή τρεις διαστάσεις, όπου η ανισότητα αυτή αναφέρεται στα µήκη διανυσµάτων τα οποία σχηµατίζουν πλευρές τριγώνου Αν A {,,, } είναι ένα πεπερασµένο σύνολο, συµβολίζουµε µε m A το µεγαλύτερο στοιχείο του Α και µε mi A το µικρότερο στοιχείο αυτού 5 Πρόταση Ισχύουν τα εξής: (i) y y m{ y, } και (ii) y y mi{ y, } Απόδειξη: (i) Έστω y Τότε m{, y} Ακόµη, y 0 και άρα y y y y y y y y Εποµένως, δηλαδή, m{ y, } σ αυτή την περίπτωση Έστω < y Τότε m{, y} y Ακόµη, y< 0 και άρα y y y y y y y y Εποµένως, y δηλαδή, m{ y, } και σ αυτή την περίπτωση y y y ( y) (ii) Έστω y Τότε mi{, y} y Εποµένως, y δηλαδή, y y mi{ y, } σ αυτή την περίπτωση y y y ( y ) Έστω < y Τότε mi{, y} Εποµένως, δηλαδή, y y mi{ y, } και σ αυτή την περίπτωση 54 Ορισµός Έστω y R, Η απόσταση των αριθµών και y στην πραγµατική ευθεία είναι η διαφορά του µικρότερου από τον µεγαλύτερο Αν χρησιµοποιήσουµε τους τύπους της πρότασης 5 θα βρούµε ότι η απόσταση µεταξύ y y y y των και y είναι ίση µε m{ y, } mi{ y, } y y -y 6

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση α Στους µιγαδικούς δεν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις Το σύνολο C διατηρεί ισοτικά όλες τις ιδιότητες του R εν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις, υφίστανται µόνο στο

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα