2. ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2. ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ"

Transcript

1 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΤΙΜΑΙΟ ΩΣ ΤΟΝ FELIX KLEIN ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΤΟΥ ERLANGEN 2. ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ξεκινώντας από την κάπως αόριστη αντίληψη της συµµετρίας σαν "αρµονία των αναλογιών", σε αυτό το κεφάλαιο θα αποπειραθούµε να παρουσιάσουµε τη γεωµετρική έννοια της συµµετρίας στις διάφορες µορφές που εµφανίζεται, όπως είναι η αµφίπλευρη, η κεντρική, η περιστροφική, η διακοσµητική, η κρυσταλλογραφική κτλ. Στην ουσία θέλουµε να δείξουµε το τεράστιο πεδίο εφαρµογών της συµµετρίας στην τέχνη και στην φύση, και σε αυτό θα βοηθηθούµε από διάφορες εικόνες γραφήµατα και φωτογραφίες. Ακόµη µας ενδιαφέρει η µαθηµατική και φιλοσοφική σηµασία της. Σκοπός είναι η βαθύτερη κατανόηση της συµµετρίας και επιπλέον η σκιαγράφηση της γενικής ιδέας που αποτελεί τη βάση όλων αυτών των ειδικών µορφών της: το αµετάβλητο ενός σχηµατισµού στοιχείων ως προς µια οµάδα µετασχηµατισµών. [Β-1]. Για αρχή, ας παραθέσουµε τι υπάρχει στο λήµµα συµµετρία σε µια εγκυκλοπαίδεια: ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ, από την αρχαία ελληνική λέξη σύµµετρος, συν + µέτρον = µε µέτρο, µε κανόνα, µε υπολογισµό, µε µέτρηση (1541): 1) ισορροπηµένες αναλογίες, ακόµη οµορφιά στη φόρµα που προκαλείται από τις ισορροπηµένες αναλογίες. 2) η ιδιότητα του να είναι συµµετρικό. Ακριβής αντιστοιχία στο µέγεθος, το σχήµα και τη σχετική θέση των µερών στις αντίθετες πλευρές µιας διαχωριστικής γραµµής ή ενδιάµεσου επιπέδου ή γύρω από ένα κέντρο ή άξονα. 3) µια αυστηρή κίνηση µιας γεωµετρικής µορφής που ορίζει µια ένα προς ένα αντιστοιχία στον εαυτό της 4) η ιδιότητα να παραµένει απαράλλαχτο κάτω από συγκεκριµένους µετασχηµατισµούς όπως ο προσανατολισµός του χώρου, το πρόσηµο του ηλεκτρικού φορτίου ή της κατεύθυνσης του βέλους του

2 χρόνου. - χρησιµοποιείται για φυσικά φαινόµενα και εξισώσεις που τα περιγράφουν. [Β- Β] Όπως παρατηρούµε, δίνονται τέσσερις εξηγήσεις της συµµετρίας. Στην πρώτη, η συµµετρία συνδέεται µε την οµορφιά µέσω της ισορροπίας των αναλογιών. Είναι, όπως είδαµε στην εισαγωγή, η πρώτη σηµασία που της αποδίδει ο Weyl στο βιβλίο του και είναι λίγο πολύ η ιδέα που έχουµε όλοι µας για αυτήν. Αν και δεν εµφανίζονται µαθηµατικά ή αριθµοί, ακόµη και αυτός ο ορισµός χρησιµοποιεί µια µαθηµατική έννοια.: την αναλογία. Στην εισαγωγή είδαµε ότι διάφοροι καλλιτέχνες τόσο της αρχαιότητας όσο και της Αναγέννησης προσπάθησαν και πέτυχαν να αναπαράγουν την ανθρώπινη οµορφιά χρησιµοποιώντας αυστηρούς υπολογισµούς και µετρήσεις, δηλαδή χρησιµοποιώντας τη συµµετρία. Στην ουσία αυτό που προκύπτει συνήθως είναι µια ιδεατή αψεγάδιαστη µορφή. Μερικοί κατέγραψαν τις απόψεις τους σε βιβλία, όπως ο Πολύκλειτος στο Κανόνα του και ο Durer,στα Βιβλία των ανθρώπινων αναλογιών. Η ανθρώπινη οµορφιά βασίζεται ακριβώς στην ιδέα της κανονικής σε αµοιβαία αντιστοιχία διευθέτησης των επιµέρους τµηµάτων του σώµατος µε αποτέλεσµα τη δηµιουργία µιας αναλογικά ισορροπηµένης µορφής. [Β-Ε]. Σε αυτόν τον πρώτο ορισµό η οµορφιά συναρτάται µε τη συµµετρία. Χαρακτηριστικό παράδειγµα ο Βιτρουβιανός άνθρωπος του DaVinci: ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ

3 Στο συγκεκριµένο παράδειγµα του ανθρώπου, το είδος της συµµετρίας που εµφανίζεται είναι κατά προσέγγιση η αµφίπλευρη, δηλαδή η συµµετρία στην οποία παρόµοια ανατοµικά µέρη είναι διευθετηµένα σε αντίθετες πλευρές ενός ενδιάµεσου άξονα, έτσι ώστε µόνο ένα επίπεδο ή ευθεία να µπορεί να διαιρεί το όλο σε δύο ουσιαστικά ίδια µισά. [Β-Β]. Αφού το ανθρώπινο σώµα είναι αµφίπλευρα συµµετρικό, κάθε αµφίπλευρα συµµετρικό σώµα θα έχει την ίδια θεµελιώδη και καταφανή ιδιότητα (που συνήθως δεν της δίνουµε σηµασία) του ανθρώπινου σώµατος: να έχει τα επιµέρους τµήµατα του κατανεµηµένα οµοιόµορφα γύρω από ένα κάθετο ενδιάµεσο άξονα, έτσι ώστε να χωρίζεται νοητά σε δύο όµοια µισά, που το ένα µπορεί να προκύψει από το άλλο µε τη διαδικασία που λέγεται κατοπτρισµός ή ανάκλαση. Με λίγη σκέψη το συµπέρασµα επεκτείνεται σε όλα τα σπονδυλωτά ζώα. Συµπερασµατικά, η αµφίπλευρη συµµετρία είναι µια διαδικασία ανάµεσα σε δύο σύνολα (τα σηµειοσύνολα του αριστερού και το δεξιού µέρους του σώµατος) και έχει και άλλα ονόµατα, όπως κατοπτρισµός ή ανάκλαση. Στα µαθηµατικά, όµως, µια τέτοια διαδικασία δεν είναι τίποτε άλλο από µια συνάρτηση. Συγκεκριµένα υπάρχει ο εξής ορισµός: Μια διαδικασία, έστω Μ, λέγεται µετασχηµατισµός ή συνάρτηση ένα προς ένα και επί όταν σε κάθε σηµείο ενός συνόλου, Ε, αντιστοιχίζει ένα και µόνο στοιχείο του ίδιου συνόλου και αντίστροφα, κάθε στοιχείο του συνόλου Ε είναι εικόνα µοναδικού στοιχείου του Ε δηλαδή έχει αντιστοιχηθεί µε ένα και µόνον στοιχείο του ίδιου συνόλου. Γράφουµε M: E --> E Ειδικότερα, έστω ε µια ευθεία του επιπέδου Ε, και ο µετασχηµατισµός για τον οποίο ισχύουν: I) για κάθε SεΕ είναι Μ(S)=S, δηλαδή τα σηµεία του άξονα ε παραµένουν αναλλοίωτα κατά το µετασχηµατισµό. II) Αν S!ε E, τότε η εικόνα του S'=M(S) µέσω του µετασχηµατισµού είναι το σηµείο εκείνο του επιπέδου Ε που κάνει την ευθεία µεσοκάθετο του ευθύγραµµου τµήµατος. [Β-7] Ο µετασχηµατισµός Μ λέγεται συµµετρία ως προς άξονα την ευθεία ε ή ανάκλαση ή κατοπτρισµός ως προς την ε και η ευθεία ε θα καλείται άξονας συµµετρίας του σχήµατος. Έτσι όταν θα λέµε ανάκλαση ή κατοπτρισµό θα εννοούµε το ίδιο πράγµα µε την αµφίπλευρη συµµετρία και αντίστροφα. Επιπλέον από εδώ και πέρα θα αναφερόµαστε στην συµµετρία και τα διάφορα είδη της µε όρους περισσότερο µαθηµατικούς παρά διαισθητικούς ή περιγραφικούς όπως πριν. Σηµασία έχει ότι ορίσαµε ένα είδος συµµετρίας, την αµφίπλευρη, µαθηµατικά ως έναν µετασχηµατισµό, µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και πεδίο τιµών το ίδιο σύνολο, το επίπεδο Ε. Η αµφίπλευρη συµµετρία

4 επεκτείνεται εύκολα στο χώρο: Θα είναι µια 1-1 και επί απεικόνιση του Ευκλείδειου χώρου στον εαυτό του τέτοια ώστε τα σηµεία ενός επιπέδου ε να µένουν αναλλοίωτα και κάθε άλλο σηµείο Μ να απεικονίζεται σε ένα σηµείο Μ' τέτοιο ώστε το ΜΜ' να είναι κάθετο στο ε. Αν ανατρέξουµε πάλι στον ορισµό της συµµετρίας από την εγκυκλοπαίδεια στην αρχή του κεφαλαίου θα δούµε ότι στην ουσία έχουµε ήδη καλύψει και την 3η εξήγηση της συµµετρίας: µια ένα προς ένα απεικόνιση µιας γεωµετρικής µορφής στον εαυτό της. Είµαστε επίσης σε θέση να µιλήσουµε και για την 4η εξήγηση που δίνεται. ως ιδιότητα να παραµένει απαράλλαχτο κάτω από συγκεκριµένους µετασχηµατισµούς. Γενικά οι µετασχηµατισµοί που έχουν την συγκεκριµένη ιδιότητα να αφήνουν αναλλοίωτα τα µήκη των ευθύγραµµων τµηµάτων λέγονται ισοµετρίες. ηλαδή, ο µετασχηµατισµός Μ είναι ισοµετρία όταν: αν Α, Β δύο τυχαία σηµεία του Ε, και Α'=Μ(Α), Β'=Μ(Β) οι εικόνες τους, τότε. Οι ισοµετρίες τώρα εκτός από τις αποστάσεις αφήνουν αναλλοίωτες τις ευθείες γραµµές, τις γωνίες, την παραλληλία, την καθετότητα κ.α. Ένα παράδειγµα µετασχηµατισµών που είναι ισοµετρίες είναι και οι συµµετρίες. Αυτό διαισθητικά φαίνεται σωστό και εύκολα το αποδεικνύει κανείς. Το σχήµα 2 είναι µια οπτική αναπαράσταση του γεγονότος ότι η συµµετρία είναι µια ισοµετρία. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο µε την εικόνα του Α'Β'Γ' µέσω του µετασχηµατισµού, αφού ευθύγραµµα τµήµατα απεικονίζονται σε ευθύγραµµα τµήµατα, και οι γωνίες και αποστάσεις σηµείων µένουν απαράλλαχτες. ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ή ΜΙΣΗ ΣΤΡΟΦΗ Μέχρι στιγµής έχουµε ασχοληθεί µόνο µε ένα από τα είδη της συµµετρίας, την αµφίπλευρη, που αν και είναι σχετικά το πιο συχνά εµφανιζόµενο εντούτοις δεν είναι το µοναδικό, αφού στη φύση παρατηρούνται και άλλα είδη όπως η κεντρική συµµετρία., η οποία αναφέρεται και στον εγκυκλοπαιδικό ορισµό ως αντιστοιχία στη σχετική θέση και το σχήµα των τµηµάτων γύρω από ένα κέντρο ή έναν κεντρικό άξονα Η κεντρική συµµετρία, όπως όλα τα είδη της συµµετρίας, είναι ένας µετασχηµατισµός του επιπέδου (ή του χώρου). Ο αυστηρός µαθηµατικός ορισµός της είναι ο εξής: Αν Ο ένα σηµείο του επιπέδου, τότε ο µετασχηµατισµός M: E --> E θα λέγεται κεντρική συµµετρία ως προς ένα σηµείο Ο ή µισή στροφή, αν και µόνο αν: I) Αν P=O τότε M(P)=P, δηλαδή το Ο

5 είναι σταθερό κατά το µετασχηµατισµό. II) Αν P!=O τότε M(P)=P', τέτοιο ώστε το Ο να είναι το µέσο του ευθύγραµµου τµήµατος PP'. [Β-7] Το σηµείο Ο θα λέγεται κέντρο συµµετρίας του σχήµατος. Τα σχήµατα 3 και 4 δείχνουν ακριβώς την κεντρική συµµετρία. Η κεντρική συµµετρία είναι µια ισοµετρία, αφού διατηρεί τις αποστάσεις όπως προκύπτει από το σχήµα 3: τα τρίγωνα ΑΟΒ και Α'ΟΒ' είναι ίσα αφού έχουν κατακορυφήν γωνίες ίσες και τις προσκείµενες πλευρές ίσες, συνεπώς το ΑΒ=Α'Β'. Εκτός από την αµφίπλευρη συµµετρία και τη κεντρική, άλλου είδους µετασχηµατισµοί που έχουν την ιδιότητα να διατηρούν τις αποστάσεις των σηµείων ίσες µε τις αποστάσεις των εικόνων τους, δηλαδή είναι ισοµετρίες, είναι η περιστροφές κατά γωνία και η παράλληλες µεταφορές κατά διάνυσµα α. Στις τρεις διαστάσεις, µια στροφή κατά γωνία Θ περί έναν άξονα ε είναι ο µετασχηµατισµός M: V --> V που σε κάθε σηµείο Α του χώρου, πλην των σηµείων του άξονα ε που µένουν αναλλοίωτα, αντιστοιχίζει ένα µόνο σηµείο Α τέτοιο ώστε η γωνία του αντίστοιχου επιπέδου να ισούται µε θ, και επιπλέον ΑΟ = ΟΑ'. Στις δύο διαστάσεις, ο προηγούµενος ορισµός περιορίζεται στο επίπεδο στο οποίο είναι κάθετος ο άξονας ε, οπότε έχουµε ότι στροφή κατά γωνία Θ µε κέντρο το σηµείο Ο είναι ο µετασχηµατισµός M: E->E, που σε κάθε σηµείο Α του επιπέδου, πλην του Ο που µένει πάντα σταθερή,

6 απεικονίζει ένα µόνο στοιχείο Α του επιπέδου, τέτοιο ώστε η γωνία AOA'=Θ και ΑΟ = ΟΑ. Συµβολίζουµε την στροφή µε R. Αν Θ=0, έχουµε µηδενική στροφή, δηλαδή την ταυτοτική συνάρτηση επί του Ε [Β-7]. Παράλληλη µεταφορά κατά διάνυσµα a (ή ολίσθηση), λέγεται ο µετασχηµατισµός M: E --> E του επιπέδου, που σε κάθε σηµείο του Ε απεικονίζει ένα σηµείο Α τέτοιο ώστε το διάνυσµα AA' να είναι ισοδύναµο µε το a, δηλαδή να έχει το ίδιο µήκος και να είναι παράλληλο µε την ίδια φορά. Έτσι κάθε ολίσθηση του επιπέδου κινεί κάθε του σηµείο κατά την ίδια απόσταση, την ίδια διεύθυνση και µε την ίδια φορά. [Β-7] Ένας άλλος ορισµός έχουµε ότι ο M : E --> E θα είναι µια παράλληλη µεταφορά αν το τετράπλευρο ( A, M(A), B, M(B) ) είναι παραλληλόγραµµο. [Β-7] Οι ισοµετρίες διατηρούν εκτός από τις αποστάσεις, τις ευθείες και τα µέτρα των γωνιών. Αποδεικνύεται ότι αν υπάρχει µια ισοµετρία που να απεικονίζει τρία µη συνευθειακά σηµεία σε τρία άλλα, αυτή είναι µοναδική. Βάσει αυτών µπορούµε να αποδείξουµε ότι κάθε ισοµετρία είναι ισοδύναµη µε τη σύνθεση το πολύ τριών αξονικών συµµετριών. [Β-7] ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Μιλώντας για αµφίπλευρη και κεντρική συµµετρία µιλήσαµε για κίνηση. Μπορούµε να φανταζόµαστε τις συµµετρίες σαν κινήσεις. Για παράδειγµα, ένα σώµα θα είναι αµφίπλευρα συµµετρικό όταν ταυτίζεται µε το κατοπτρικά συµµετρικό του, όταν δηλαδή παραµένει αµετάβλητο στην όψη µετά από κίνηση, τον µετασχηµατισµό του κατοπτρισµού. Βέβαια αυτή η εξήγηση της συµµετρίας δεν συµπεριλαµβάνει πουθενά την αισθητική σηµασία της. Αυτό δεν πρέπει να µας εκπλήσσει αφού ένα τροµερά άσχηµο πράγµα µπορεί να είναι αµφίπλευρα συµµετρικό. Παρεµπιπτόντως κάθε σχήµα έχει τουλάχιστον µια τετριµµένη συµµετρία: αν δεν το µετακινήσουµε καθόλου παραµένει αµετάβλητο. Αυτήν τη συµµετρία θα λέµε ταυτοτική. Έτσι ένα αµφίπλευρα συµµετρικό σχήµα θα έχει δύο συµµετρίες: την ταυτοτική και την συµµετρία κατά την µετακίνηση του. Ένα άλλο είδος συµµετρίας που εµφανίζεται συχνά στη φύση είναι η περιστροφική. Για να την κατανοήσει κανείς είναι καλύτερο να φέρουµε ένα παράδειγµα [Β-5]. Ο ιδανικός πεντάποδος αστερίας της εικόνας έχει περιστροφική συµµετρία. ηλαδή αν τον στρέψουµε γύρω από το κέντρο του κατά γωνία 360/5=72 µοιρών, το ένα πέµπτο µιας πλήρους στροφής, η σχετική του θέση δεν θα φαίνεται να έχει αλλάξει, δηλαδή δεν θα καταλάβουµε καµία διαφορά στη µορφή του πριν και µετά, αφού κάθε πόδι θα έχει πέσει στο επόµενο και τα κενά στα κενά. Αν αντίθετα τον περιστρέψουµε κατά γωνία 45 µοιρών, τότε θα παρατηρήσουµε αλλαγή. Υπάρχουν συνολικά πέντε διαφορετικές γωνίες κατά τις οποίες µπορούµε να περιστρέψουµε τον αστερία δίχως να αντιλαµβανόµαστε διαφορά στον προσανατολισµό. Αυτές είναι οι κατά 0, 72, 144, 216, 288, δηλαδή τα ακέραια πολλαπλάσια του ενός πέµπτου µιας πλήρους στροφής.

7 Θα λέµε ότι ο αστερίας έχει πενταπλή περιστροφική συµµετρία. Οι περιστροφές στις δύο διαστάσεις δεν έχουν άξονα περιστροφής αλλά ένα συγκεκριµένο σηµείο, το κέντρο περιστροφής που δεν µετακινείται καθόλου. Βέβαια, όπως προκύπτει από το σχήµα, ο αστερίας εκτός από την εµφανή περιστροφική συµµετρία, έχει και αµφίπλευρη συµµετρία, αφού τα δύο µισά στα οποία τον χωρίζει ένας άξονας που διέρχεται από µία κορυφή του, είναι κατοπτρικά όµοια. Ο άξονας αυτός διέρχεται από το κέντρο της περιστροφικής συµµετρίας του αστερία και προφανώς υπάρχουν πέντε τέτοιοι άξονες, όσα και τα πόδια του αφού καθένα έχει το δικό του άξονα συµµετρίας ως προς τον αντίστοιχο κατοπτρισµό. Οι άξονες αυτοί διαφέρουν κατά γωνία 72 µοιρών. Συνολικά, ο πεντάποδος αστερίας έχει δέκα δυνατές συµµετρίες: πέντε περιστροφικές κατά πολλαπλάσια των 72 µοιρών και πέντε αµφίπλευρες ως προς τους αντίστοιχους άξονες που διέρχονται από κάθε πόδι του. Το λουλούδι της φωτογραφίας έχει επίσης πενταπλή περιστροφική συµµετρία, δηλαδή εάν κανείς κοιτάξει το λουλούδι και την ώρα που κοιτάζουµε αλλού, κάποιος το περιστρέψει γύρω από το κέντρο του κατά γωνία πολλαπλάσια των 72 µοιρών δεν θα καταλάβουµε καµιά διαφορά.

8 Η περιστροφική συµµετρία είναι επίσης ένας µετασχηµατισµός (1-1 και επί απεικόνιση) του επιπέδου ή του χώρου στον εαυτό του. Ο πλήρης ορισµός της είναι: Λέµε ότι ένα σχήµα έχει περιστροφική συµµετρία όταν ταυτίζεται µε την εικόνα του µετά την εφαρµογή του µετασχηµατισµού της στροφής κατά µια γωνία. Εύκολα αντιλαµβάνεται κανείς πως η κεντρική συµµετρία είναι µια περίπτωση περιστροφικής συµµετρίας, αφού προκύπτει µε στροφή γύρω από το κέντρο της Ο κατά γωνία 180 µοιρών. Περιστροφική συµµετρία εµφανίζεται πολύ συχνά στα λουλούδια και ειδικά η πενταπλή περιστροφική συµµετρία., όπως φαίνεται και στο παράδειγµα της φωτογραφίας. Επίσης, τέτοια συµµετρία παρατηρείται και µεταξύ των κατώτερων ζωικών οργανισµών. Για παράδειγµα οι δισκοµέδουσες εµφανίζουν οκταγωνική περιστροφική συµµετρία. [Β-1, σελ 84] Αντίθετα, στις τέλεια συµµετρικές δηµιουργίες της ανόργανης φύσης, τους κρυστάλλους, η πενταπλή περιστροφική συµµετρία δεν εµφανίζεται ποτέ. Οι µόνες δυνατές συµµετρίες είναι 2ης, 3ης, 4ης και 6ης τάξης [Β-1, σελ 86]. Οι κρύσταλλοι του χιονιού είναι χαρακτηριστικό παράδειγµα εξαπλής περιστροφικής συµµετρίας. Όλοι οι κρύσταλλοι του χιονιού βασίζονται στο κανονικό εξάγωνο αλλά κάθε ένας έχει ένα µοναδικό σχέδιο. Ένας κρύσταλλος χιονιού φαίνεται στη φωτογραφία ενώ στο παρακάτω σχέδιο παρατηρούµε διάφορες παραλλαγές που εµφανίζονται στους κρυστάλλους του χιονιού.

9 ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΙΑΚΟΣΜΗΤΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Τέλος, ένα ακόµη είδος συµµετρίας που θα µας απασχολήσει, κυρίως όσον αφορά το επίπεδο και την εµφάνισή της στην τέχνη, είναι η µεταφορική ή διακοσµητική συµµετρία, που βασίζεται στον µετασχηµατισµό της παράλληλης µεταφοράς κατά διάνυσµα α. Θα λέµε ότι ένα σχέδιο ή ένα µόρφωµα έχει µεταφορική συµµετρία όταν ταυτίζεται µε την εικόνα του από τον µετασχηµατισµό της µεταφοράς. Ακόµη, για µια τέτοια εικόνα που παραµένει αναλλοίωτη από τη µεταφορά κατά, λέµε ότι εµφανίζει µια επ' άπειρον σχέση, δηλαδή επανάληψη µε κανονικό ρυθµό µέσα στο χώρο. Αυτή η µεταφορά γίνεται να συνδυαστεί µε ανακλαστική συµµετρία. Σε αυτήν την περίπτωση, τα κέντρα των κατοπτρισµών εµφανίζονται σε κάθε µέσο της µεταφοράς, δηλαδή απέχουν το ένα από το άλλο απόσταση 1/2α. ρα έχουµε δυο είδη µεταφορικής συµµετρίας: ένα που εµφανίζεται µόνο η µεταφορά και άλλο ένα που η µεταφορά συνδυάζεται µε κατοπτρισµό.

10 Παραδείγµατα µεταφορικής συµµετρίας συναντάµε στις διακοσµητικές ταινίες, σε γλυπτά, κίονες, αγγεία κ.α.. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα µεταφορικής συµµετρίας (χωρίς κατοπτρισµό) φαίνεται στην διακοσµητική ταινία στο επάνω µέρος του διπλανού γλυπτού που βρίσκεται στην Villa Barbaro, στο Maser, της Ιταλίας και έχει σχεδιαστεί από τον Andrea Palladio.[Φωτό: Β-Β] Στην παρακάτω εικόνα βλέπουµε µια ατσάλινη επιφάνεια στην οποία το σχηµατιζόµενο µόρφωµα έχει µεταφορική συµµετρία. Αν το φανταστούµε να επεκτείνεται στο άπειρο, τότε προφανώς οποιαδήποτε µεταφορά του θα το αφήνει φαινοµενικά αναλλοίωτο. Μάλιστα το συγκεκριµένο σχέδιο φαίνεται να συνδυάζει και κατοπτρική συµµετρία µαζί µε την µεταφορική. Η µεταφορική συµµετρία συναντάται κατά προσέγγιση συνήθως και στον οργανικό κόσµο. Για παράδειγµα, µια σαρανταποδαρούσα έχει, εκτός από αµφίπλευρη, µεταφορική συµµετρία ως προς τον άξονα της.

11 Από τα παραπάνω µπορούµε να συµπεράνουµε ότι ένα αντικείµενο δεν έχει συµµετρία αλλά συµµετρίες, δηλαδή µετασχηµατισµούς που το αφήνουν αµετάβλητο και έτσι εκτός από την ποιοτική περιγραφή της συµµετρίας, δηλαδή το είδος, διαθέτουµε και µια ποσοτική περιγραφή της. Έτσι ένα σώµα µπορεί να διαφέρει ως προς τη συµµετρία του από ένα άλλο αφού µπορεί µεν να έχουν το ίδιο είδος συµµετρίας ποιοτικά αλλά το ένα να έχει περισσότερες ποσοτικά από το άλλο. Για παράδειγµα µπορούµε να αποδείξουµε ότι ο αστερίας έχει διαφορετική συµµετρία από τον άνθρωπο αφού έχει δέκα συµµετρίες ενώ εµείς µόνο δύο, την αµφίπλευρη και την ταυτοτική [Β-5]. Η συστηµατική αυτή αντιµετώπιση της συµµετρίας είναι αρκετά χρήσιµη. Ο Galois ( ) χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι οι εξισώσεις πέµπτου βαθµού δεν έχουν το κατάλληλο είδος συµµετρίας απέδειξε ότι δεν µπορούν να λυθούν µε κάποιο τύπο. [Β-5] ΛΟΓΟΙ ΥΠΑΡΞΗΣ ΤΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Στην επιστήµη, δεν υπάρχει καµία απολύτως διαφορά µεταξύ αριστερού και δεξιού, όπως υπάρχει ανάµεσα στο αρσενικό και το θηλυκό, πέραν του γεγονότος ότι το ένα έχει εκλεγεί αυθαίρετα να λέγεται αριστερό ή δεξιό επειδή βρίσκεται στην αντίθετη πλευρά από το άλλο, δεξί ή αριστερό αντίστοιχα. Στο χώρο όταν µιλάµε για αριστερό ή δεξιό αναφερόµαστε σε προσανατολισµό µιας βίδας. Στροφή προς τα αριστερά εννοούµε ότι η φορά προς την οποία στρέφεται µαζί µε την διεύθυνση της από τα κάτω προς πάνω σχηµατίζει µια αριστερόστροφη βίδα. [Β-1] Γενικότερα, η φύση πουθενά δεν έχει δείξει να πριµοδοτεί το δεξιό εις βάρος του αριστερού ούτε το αντίστροφο. Αυτό που φαίνεται καθαρά, όπως γράφει ο Weyl, "είναι ότι σε όλη τη φυσική τίποτε δεν φαίνεται να δείχνει µια ουσιαστική διαφορά του αριστερού και του δεξιού. Όπως όλα τα σηµεία και όλες οι διευθύνσεις στο χώρο είναι ισοδύναµα, το ίδιο και το αριστερό και το δεξιό. Αριστερή ή δεξιά θέση ή διεύθυνση είναι έννοιες σχετικές". Η µυθολογική άποψη, αντιθέτως, νοηµατοδοτεί διαφορετικά τις έννοιες δεξιός και αριστερός, για παράδειγµα συµβολίζοντας αντίστοιχα το καλό και το κακό παλαιότερα. Ο Weyl φωτίζοντας λίγο αυτήν την µυθική άποψη περί ανωτερότητας του δεξιού υπενθυµίζει την διπλή σηµασία της λέξης right στα αγγλικά, µε ποιο χέρι χαιρετιούνται οι άνθρωποι, ποιος από τους ληστές που σταυρώθηκαν µε το Χριστό πήγε στον παράδεισο καθώς και συµβολικές αναφορές από τις Γραφές. Η τελική, πάντως, διαπίστωση είναι ότι στην οργάνωση της φύσης κυριαρχεί η συµµετρία του δεξιού µε το αριστερό, αν και δεν περιµένουµε να την δείχνει τέλεια κάθε πράγµα στη φύση. Είναι εύλογη η απορία εάν υπάρχει κάποια αιτία για αυτό. Μια τέτοια αιτία υπάρχει και πρέπει να είναι ότι η πιθανότερη µορφή ισορροπίας µάλλον είναι η συµµετρική. ηλαδή, από όλες τις συνθήκες που καθορίζουν µια κατάσταση ισορροπίας, η συµµετρία των συνθηκών αντανακλάται στην κατάσταση ισορροπίας [B-1]. Για παράδειγµα η γη θα ήταν τελείως σφαιρική εάν δεν περιστρεφόταν γύρω από τον άξονα της, πράγµα που την πλαταίνει στους πόλους, αλλά η συµµετρία της (περιστροφική) διατηρείται. Αυτό που συνήθως έχει ανάγκη εξήγησης δεν είναι η ύπαρξη και διατήρηση της συµµετρίας, που αναµένεται, αλλά το λεγόµενο σπάσιµο της συµµετρίας, δηλαδή την απόκλιση από αυτήν, όπως στο παράδειγµα της γης εµφανίζεται στην άνιση κατανοµή στεριάς θάλασσας. Για τον ίδιο λόγο ο W. Ludwig στην πραγµατεία του για τη συµµετρία στη ζωολογία δεν δίνει εξήγηση για την καταγωγή της αµφίπλευρης συµµετρίας που επικρατεί στο ζωικό βασίλειο, αλλά επιµένει περισσότερο στην επιµέρους διαφοροποίηση - ασυµµετρία από το βασικό συµµετρικό σχέδιο. Γράφει:

12 "Το ανθρώπινο σώµα, όπως και των άλλων σπονδυλωτών, είναι βασικά κατασκευασµένο αµφίπλευρο-συµµετρικά. Όλες οι παρατηρούµενες ασυµµετρίες είναι δευτερεύοντος χαρακτήρα και οι πιο σπουδαίες απ' αυτές, που επηρεάζουν τα εσωτερικά όργανα, καθορίζονται κυρίως από την ανάγκη του πεπτικού σωλήνα να αυξάνει την επιφάνεια του δυσανάλογα µε την ανάπτυξη του σώµατος, η επιµήκυνση του οποίου οδηγεί σε µια ασυµµετρική πτύχωση και περιστροφή. Κατά την πορεία της φυλογενετικής εξέλιξης, αυτές οι πρώτες ασυµµετρίες που αφορούν το πεπτικό σύστηµα και τα συναφή του όργανα προκάλεσαν ασυµµετρίες και στα άλλα οργανικά συστήµατα". Πάνω σε αυτό το θέµα της καταγωγής της συµµετρίας ο Weyl γράφει πως εάν η φύση ήταν πέρα για πέρα νοµοταγής τότε κάθε φαινόµενο θα το διεπόταν από την συµµετρία των παγκόσµιων νόµων της φύσης όπως καθορίζονται στη θεωρία της σχετικότητας. Το γεγονός ότι δεν είναι έτσι µας αποδεικνύει ότι το απρόοπτο και το τυχαίο είναι συστατικά στοιχεία του κόσµου. Πάντως το θέµα της αιτίας ύπαρξης της συµµετρίας είναι αρκετά περίπλοκο και κάθε απόπειρα εξαγωγής τελικού συµπεράσµατος είναι επισφαλής. Ίσως γιατί το συγκεκριµένο θέµα δεν είναι αµιγώς επιστηµονικό. Ο ίδιος ο Weyl γράφει πως αν για ένα κοµµάτι ύλης η ολική φυσιολογική του συµµετρία δεν περιορίζεται σε τίποτα παρά µόνο από τη σχετική του θέση τότε το πιθανότερο είναι πως θα πάρει σχήµα σφαίρας µε κέντρο τη θέση αυτή. Γι' αυτό το λόγο οι κατώτερες µορφές ζωής που αιωρούνται στο νερό είναι λίγο πολύ σφαιρικές. Οι µορφές ζωής όµως που έχουν τη δυνατότητα να αυτοκινούνται στον αέρα, το νερό ή επάνω στη γη επηρεάζονται από τις διευθύνσεις της βαρύτητας και της κίνησης τους. Συνεπώς µετά τον προσδιορισµό των αξόνων πάνω-κάτω και εµπρός-πίσω, µόνο για τον άξονα αριστερά-δεξιά µένει αυθαίρετη επιλογή και σε αυτό το στάδιο δεν υπάρχει ανώτερη µορφή ισορροπίας από την αµφίπλευρη συµµετρία. Τέλος, ακόµη και εάν υπάρχουν παράγοντες στην εξέλιξη που τείνουν να διαφοροποιήσουν το δεξιό από το αριστερό, πιθανότατα εξουδετερώνονται από το πλεονέκτηµα που αντλεί το ζώο από τον αµφίπλευρο σχηµατισµό των οργάνων κίνησης του και των άκρων: εάν δεν ήταν συµµετρικά σχηµατισµένα, τότε η κίνηση του θα ήταν τύπου κοχλία αντί για ευθύγραµµη. Έτσι, εξηγείται γιατί τα άκρα µας είναι περισσότερο συµµετρικά από τα εσωτερικά µας όργανα [Β-1]. Ο Αριστοφάνης στο Συµπόσιο του Πλάτωνα αφηγείται µια διαφορετική ιστορία για το πως προήλθε η αµφίπλευρη από τη σφαιρική συµµετρία. Αρχικά ο άνθρωπος ήταν στρογγυλός µε την πλάτη και τις πλάτες του να σχηµατίζουν κύκλο ("έπειτα όλον ήν εκάστου του ανθρώπου το είδος στρογγύλον, νώτον και πλευράς κύκλω έχον") Για να ταπεινώσει την υπερηφάνεια και την δύναµη τους ο ίας άρχισε να τους κόβει στα δύο (έτεµνε τους ανθρώπους δίχα") και ο Απόλλων τους έστριβε τα πρόσωπα. Και ο ίας απείλησε "αν συνεχίσουν να φαίνονται αδιάντροποι...και θα τους ξαναδιχοτοµήσω και θα βαδίζουν µε το ένα πόδι σαν εκείνους που παίζουν το κουτσό".[β-1] ΣΗΜΑΣΙΑ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Τα πιο εντυπωσιακά παραδείγµατα συµµετρίας στην ανόργανη φύση είναι οι κρύσταλλοι. Στην κρυσταλλική κατάσταση της ύλης τα άτοµα ταλαντώνονται γύρω από θέσεις ισορροπίας, οι οποίες σχηµατίζουν στο χώρο ένα καθορισµένο κανονικό σχήµα..

13 Όλες οι κλάσεις κρυστάλλων διαιρούνται σε έξι συστήµατα, µε βάση το µήκος των αξόνων και τις υπόλοιπες λεπτοµέρειες των συµµετριών τους. [Β-Β]. [Συνολικά υπάρχουν 230 είδη οµάδων συµµετρίας στους κρυστάλλους] Στη φυσική, ένα σύστηµα θεωρείται συµµετρικό εάν παραµένει αµετάβλητο όταν υπόκειται σε διαδικασίες όπως κατοπτρική αντιστροφή, αντιστροφή της διεύθυνσης του χρόνου και µετασχηµατισµό του χωροχρόνου. Πολλά φυσικά συστήµατα υπακούν σε τέτοιου είδους συµµετρίες, µε τις οποίες σχετίζονται οι νόµοι διατήρησης της φυσικής. Η σχέση αυτή έχει µια ιδιαίτερη σηµασία στη φυσική των σωµατιδίων, όπου συγκεκριµένες συµµετρίες, που λέγονται εσωτερικές, παρατηρούνται. Τέτοιες συµµετρίες υπάρχουν στο χώρο της µαθηµατικής σκέψης και στηρίζουν τη διατήρηση τέτοιων ποσοτήτων όπως το φορτίο, η ισότητα, το πλήθος των βαρυόνιων και λεπτόνιων, και η ολικά ασυνήθιστη κατάσταση όταν συγκεκριµένα σωµάτια αντικαθίστανται µεταξύ τους. Στη σύγχρονη θεωρητική φυσική, πάντως, τέτοιες συµµετρίες είναι γνωστές µόνο κατά προσέγγιση, εκτός όµως από τα βαρυόνια και τα λεπτόνια, όπου παραβιάζονται κατά τα πειράµατα µε αυτά. Όταν οι εσωτερικές συµµετρίες δεν λειτουργούν µε τον ίδιο τρόπο, αλλά αντιθέτως µπορούν να διαφέρουν σε κάθε σηµείο του χωροχρόνου, αποκαλούνται συµµετρίες gauge. Οι θεωρητικοί φυσικοί ελπίζουν ότι θα καταφέρουν να µειώσουν όλες τις συµµετρίες σε συµµετρίες gauge στην προσπάθεια τους να αναπτύξουν µια µεγάλη ενοποιητική θεωρία (Θεωρία των Πάντων), η οποία θα ενσωµατώνει όλες της θεµελιώδεις λειτουργίες και ιδιότητες της ύλης. [Β-Ε] ΜΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΟΤΕΡΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Η αντίληψη ότι οι συµµετρίες είναι καλύτερα κατανοητές ως µετασχηµατισµοί προέκυψε όταν συνειδητοποιήθηκε το γεγονός ότι το σύνολο των συµµετριών ενός αντικειµένου δεν είναι απλά µια αυθαίρετη συλλογή αντικειµένων αλλά έχει εσωτερική δοµή. Αυτή είναι η δοµή που στα µαθηµατικά ονοµάζεται οµάδα. Επιστρέφοντας στο παράδειγµα του αστερία, είδαµε ότι το αντικείµενο αυτό έχει 10 συµµετρίες, πέντε περιστροφικές µε τη µία την ταυτοτική και πέντε αµφίπλευρες. Αν υποθέσουµε ότι εφαρµόζουµε στον αστερία δύο τέτοιους µετασχηµατισµούς, το έναν µετά τον άλλο, τότε καθένας αφήνει φαινοµενικά αναλλοίωτο τον αστερία και έτσι το τελικό αποτέλεσµα είναι να µένει ο αστερίας αναλλοίωτος. ηλαδή το αποτέλεσµα της σύνθεσης των δύο µετασχηµατισµών συµµετρίας είναι πάλι µια συµµετρία. Για παράδειγµα µια στροφή κατά 72 µοίρες και µια ανάκλαση ισοδυναµεί µε µια στροφή κατά 288 µοίρες.

14 Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε για δύο οποιεσδήποτε συµµετρίες κάθε σχήµατος. ρα το σύνολο των µετασχηµατισµών συµµετρίας ενός σχήµατος είναι κλειστό ως προς την πράξη της σύνθεσης δύο µετασχηµατισµών. Η εξήγηση είναι απλή: µια συµµετρία είναι ένας µετασχηµατισµός που αφήνει αναλλοίωτο το αντικείµενο. ηλαδή αν πάρουµε ένα αντικείµενο και εφαρµόσουµε την πρώτη συµµετρία, τότε φαίνεται όµοιο πριν και µετά την εφαρµογή της συµµετρίας και είναι ίδια η σχετική του θέση. Το ίδιο συµβαίνει και µε την εφαρµογή της δεύτερης συµµετρίας: το αντικείµενο παραµένει αµετάβλητο. ρα συνολικά το αντικείµενο µένει αναλλοίωτο εάν εφαρµόσουµε και τις δύο συµµετρίες. Αυτό σηµαίνει ότι η σύνθεση δύο συµµετριών δίνει µια συµµετρία. Με όµοιο τρόπο µπορούµε να αποδείξουµε ότι ισχύει και η προσεταιριστικότητα, δηλαδή δεν έχει σηµασία η σειρά που εκτελούνται οι συνθέσεις. Ακόµη υπάρχει µια µονάδα, δηλαδή ένα ταυτοτικό στοιχείο στο σύνολο των συµµετριών κάθε αντικειµένου, που δεν κάνει τίποτα. Αυτή είναι η ταυτοτική συµµετρία. Τέλος, για κάθε συµµετρία ενός αντικειµένου υπάρχει και η αντίστροφή της. Για παράδειγµα στις ανακλάσεις, η αντίστροφη κάθε µιας τέτοιας συµµετρίας είναι η ίδια, ενώ στις περιστροφές κατά µια γωνία θ, η αντίστροφη είναι η περιστροφή κατά αντίθετη γωνία -θ. Συνεπώς, πληρούνται και οι τέσσερις ιδιότητες που είναι απαραίτητες για να έχει ένα σύνολο δοµή οµάδας. ρα όντως όλες οι δυνατές συµµετρίες ενός οποιοδήποτε αντικειµένου του επιπέδου ή του χώρου συγκροτούν µια οµάδα. Αν και φαίνεται απλό και προφανές, κανείς δεν πρόσεξε για καιρό το γεγονός ότι είναι οµάδα το σύνολο των συµµετριών ενός αντικειµένου. Αλλά ακόµη κι όταν κάποιοι το παρατήρησαν, χρειάστηκαν κάµποσο χρόνο για να εκτιµήσουν τη σηµασία της παρατήρησης αυτής που οδήγησε σε µια άλγεβρα της συµµετρίας, δηλαδή τη θεωρία οµάδων. Η απλή αντίληψη αυτή της οµάδας δεν προέκυψε επειδή κάποιος σκέφτηκε τι είναι η συµµετρία, αλλά όταν υπόνοιες για την γενική ιδέα εµφανίστηκαν µέσα από σηµαντικά προβλήµατα. Ένα από τα πρώτα θεωρήµατα που σχετίζονται µε τη συµµετρία αποδείχθηκε στο 13ο βιβλίο του πολύτοµου έργου Στοιχεία του Ευκλείδη (3ος αιώνας π.χ.) και αφορά την ύπαρξη και την κατασκευή των πέντε µοναδικών κανονικών πολύεδρων: τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, εικοσάεδρο και δωδεκάεδρο. Ο Ευκλείδης µας δίνει την απόδειξη και αναφέρει ότι η αποκάλυψη έγινε αρχικά από πυθαγόρειους, για να ολοκληρωθεί όσον αφορά στο οκτάεδρο και στο εικοσάεδρο από ένα µαθητή του Πλάτωνα, τον Θεαίτητο. Ο Πλάτωνας τα χρησιµοποιεί, όπως θα δούµε σε επόµενο

15 κεφάλαιο, στον διάλογό του "Τίµαιος" για την κοσµολογία του υποστηρίζοντας ότι αυτά τα σχήµατα έχουν τα θεµελιώδη µόρια των τεσσάρων στοιχείων που αποτελούν την ύλη: η φωτιά, η γη, το νερό και ο αέρας. Για αυτό και λέγονται πλατωνικά σώµατα. Φυσικά, ο Πλάτωνας δεν φαίνεται να κατείχε κάποια µαθηµατική τυποποίηση της έννοιας της συµµετρίας. Αυτό που τον προσέλκυσε να τα χρησιµοποιήσει πρέπει να ήταν η αισθητική τους αξία. Τελικά, όµως η έννοια της οµάδας δεν προέκυψε από την γεωµετρία αλλά από την άλγεβρα και συγκεκριµένα από τη λύση των εξισώσεων. Μέχρι το 1770 οι µαθηµατικοί αναζητούσαν τύπους για την επίλυση των 5ου βαθµού εξισώσεων. Τότε ο Lagrange έδειξε ότι οι τύποι για την λύση των εξισώσεων δευτέρου, τρίτου και τετάρτου βαθµού ανάγονται όλοι σε µια µοναδική γενική τεχνική και ότι η τεχνική αυτή δεν επαρκεί για τις εξισώσεις 5ου βαθµού. Φυσικά, θα µπορούσε να υπάρχει κάποια άλλη τεχνική, όµως κανείς δεν µπορούσε να φτάσει σε κάποια. Έτσι ο Lagrange είχε δείξει τη φύση του προβλήµατος. Η τεχνική του ήταν η µελέτη των µεταθέσεων των υποθετικών λύσεων της εξίσωσης. Για παράδειγµα, οι τρεις λύσεις της 3ου βαθµού εξίσωσης µετατίθενται κατά έξι τρόπους: αβγ, αγβ, βαγ, βγα, γαβ, γβα, Το 1824, ο Abel απέδειξε µε αυτήν την ιδέα ότι ο περίφηµος τύπος δεν υπάρχει. Η απόδειξη του όµως ήταν περίπλοκη και δεν εισερχόταν στην καρδιά του προβλήµατος. Η τελική απόδειξη προήλθε από τον Evariste Galois ( ). Εκείνος ανέπτυξε µια γενική θεωρία για τις µεταθέσεις των λύσεων των εξισώσεων, επικεντρώνοντας την προσοχή του σε εκείνες τις µεταθέσεις που αφήνουν αναλλοίωτες τις αλγεβρικές σχέσεις µεταξύ των λύσεων. Εκεί παρατήρησε µια ιδιότητα των συστηµάτων των µεταθέσεων: αν γίνουν διαδοχικά δύο από αυτές, τότε το αποτέλεσµα είναι πάντοτε µία ακόµη µετάθεση του ίδιου συστήµατος. Αυτά τα συστήµατα τα ονόµασε οµάδες µεταθέσεων. Το αποκορύφωµα της εργασίας του ήταν η απόδειξη πως για να έχει µια εξίσωση κάποιο τύπο επίλυσης θα πρέπει να έχει οµάδα ενός συγκεκριµένου είδους και ότι οι εξισώσεις 5ου βαθµού δεν έχει το κατάλληλο είδος. [Β-5] Οι µεταθέσεις των λύσεων των εξισώσεων του Lagrange και του Galois δεν φαίνεται εκ πρώτης όψης να έχουν καµία σχέση µε τους γεωµετρικούς µετασχηµατισµούς. Όµως οι οµάδες µεταθέσεων των λύσεων µπορούν να θεωρηθούν οµάδες συµµετρίας των εξισώσεων ως εξής: η µετάθεση είναι ένας µετασχηµατισµός αφού µετασχηµατίζει, κινεί τα στοιχεία του συνόλου των λύσεων. Είναι µια αναδιάταξη τους. Τώρα ένας µετασχηµατισµός για να είναι συµµετρία ενός αντικειµένου πρέπει να το αφήνει αµετάβλητο. Το ανάλογο του σχήµατος στη θεωρία εξισώσεων είναι οι λύσεις της εξίσωσης. Όπως το σχήµα καθορίζεται από τις αποστάσεις ανάµεσα στα σηµεία που το συνθέτουν και µια συµµετρία είναι µια κίνηση που πρέπει να τις διατηρεί, έτσι και οι συµµετρίες µιας εξίσωσης οφείλουν να διατηρούν τις βασικές αλγεβρικές σχέσεις µεταξύ των λύσεων της, όπως ακριβώς όρισε τις οµάδες του ο Galois. ΣΥΝΟΨΗ - Η ΟΜΑ Α ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Ας επιχειρήσουµε µια ανακεφαλαίωση των όσων είπαµε µέχρι τώρα, µέσα όµως από το φίλτρο του Herman Weyl [B1]. Έστω ότι ζητάµε τις δυνατές συµµετρίες ενός σχήµατος, έστω του πρώτου από τα κανονικά πολύγωνα, του ισόπλευρου τριγώνου. Στην ουσία,

16 από όσα είδαµε µέχρι τώρα ζητάµε τίποτε άλλο, παρά όλους τους δυνατούς µετασχηµατισµούς [1-1 και επί] ενός συνόλου (εδώ επίπεδο) στον εαυτό του που αφήνουν αναλλοίωτη τη δοµή του επιπέδου, που σηµαίνει ότι "απεικονίζουν δυο συµπίπτουσες εικόνες σε δύο συµπίπτουσες", δηλαδή ζητάµε όλους τους αυτοµορφισµούς [οµοιοθεσίες] του επιπέδου που επιπλέον αφήνουν το σχήµα [εδώ τρίγωνο] αναλλοίωτο. Το σύνολο, τώρα, όλων των αυτοµορφισµών του επιπέδου σχηµατίζει οµάδα και είναι η συµµετρία του επιπέδου. Επιπλέον, από όλους τους αυτοµορφισµούς διακρίνουµε εκείνους που διατηρούν τις αποστάσεις, αφού θέλουµε να µένει το σχήµα αναλλοίωτο. Αυτούς τους λέµε ισοµετρικούς µετασχηµατισµούς ή ισοµετρίες, όπως είδαµε στην αρχή. Αυτές οι ισοµετρίες είναι δυνατόν να ξεχωριστούν σε γνήσιες ή κινήσεις και µη γνήσιες ή κατοπτρισµούς ανάλογα µε το εάν διατηρούν τη φορά ενός κοχλία. ηλαδή µια ισοµετρία είναι κίνηση όταν απεικονίζει έναν αριστερόστροφο κοχλία σε αριστερόστροφο π.χ. µια στροφή, ενώ είναι κατοπτρισµός όταν τον απεικονίζει σε δεξιόστροφο ή το αντίθετο, οπότε οι αµφίπλευρες συµµετρίες που είδαµε στην αρχή, µαζί και η ανθρώπινη είναι µη γνήσιες αφού απεικονίζουν το δεξί στο αριστερό, άσχετα αν είναι όµοια µεταξύ τους. Έτσι προκύπτει το σχήµα: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ [1-1, επί, αντιστρέψιµες απεικονίσεις] -----> -----> ΑΥΤΟΜΟΡΦΙΣΜΟΙ [µετασχηµατισµοί που διατηρούν τη δοµή] -----> -----> ΙΣΟΜΕΤΡΙΕΣ [αυτοµορφισµοί που διατηρούν την κλίµακα] : A) ΚΙΝΗΣΕΙΣ [γνήσιες ισοµετρίες] B) ΚΑΤΟΠΤΡΙΣΜΟΙ Στο ισόπλευρο τρίγωνο, τώρα, έχουµε έξι αυτοµορφισµούς που διατηρούν την κλίµακα άρα έξι δυνατές ισοµετρίες. Αυτές είναι οι τρεις περιστροφές γύρω από το ορθόκεντρο Ο του τριγώνου κατά γωνίες που είναι τα πολλαπλάσια της γωνίας α=120 µέχρι την πλήρη περιστροφή, δηλαδή 120, 240, 360=0. Ακόµη υπάρχουν άλλες τρεις ισοµετρίες, που είναι οι κατοπτρισµοί µε άξονες τους ε1, ε2, ε3 που διέρχονται από τις αντίστοιχες κορυφές και το Ο και σχηµατίζουν γωνία 1/2α, όπως φαίνεται στο σχήµα. Το σύνολο όλων των ισοµετριών ενός σχήµατος συνιστούν οµάδα που είδαµε ότι λέγεται οµάδα συµµετρίας του σχήµατος και εκφράζει ακριβώς τη συµµετρία του. Στην περίπτωση του τριγώνου, η οµάδα συµµετρίας του αποτελείται από έξι στοιχεία, τις τρεις

17 κινήσεις-στροφές κατά 120 µοίρες και τους τρεις κατοπτρισµούς. λέγεται διεδρική και συµβολίζεται µε D3. Αν ονοµάσουµε C1, C2, C3=id τις στροφές και S1, S2, S3 τους κατοπτρισµούς θα είναι D3={C1,C2,C3, S1,S2,S3}. Οι κινήσεις συγκροτούν υποοµάδα της οµάδας συµµετρίας, αφού η σύνθεση δύο κινήσεων είναι πάντα κίνηση, η οποία µάλιστα είναι κυκλική δείκτου 2 υποοµάδα της οµάδας των ισοµετριών. Αυτό σηµαίνει πολύ απλά ότι µπορούµε να βλέπουµε τις συµµετρίες ενός σχήµατος σαν το άθροισµα δύο ξεχωριστών κλάσεων: η µία κλάση περιέχει όλες τις κινήσεις και η άλλη περιέχει όλα τα υπόλοιπα, δηλαδή τους κατοπτρισµούς. Οι τελευταίοι δεν σχηµατίζουν οµάδα, αφού η µεταξύ τους σύνθεση δίνει πάντα στροφή, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Όµως η σύνθεση οποιασδήποτε κατοπτρισµού µε οποιαδήποτε στροφή δίνει µη αντιµεταθετικά πάντα κατοπτρισµό. Στην οµάδα συµµετρίας του τριγώνου, οι τρεις στροφές που είναι κινήσεις συγκροτούν οµάδα, αφού κάθε σύνθεσή τους ξαναδίνει στροφή, και προφανώς είναι ισόµορφη µε την κυκλική οµάδα Z3 αφού µόνο µια οµάδα τάξης 3 υπάρχει και γράφουµε C3~Z3 Αντίθετα οι κατοπτρισµοί δεν σχηµατίζουν οµάδα ούτε και στο τρίγωνο όπου όπως φαίνεται στο σχήµα, δίνουν πάντα στροφή όταν συντίθενται µεταξύ τους. Γενικότερα, αποδεικνύεται ότι για κάθε n=3,4,5... υπάρχει ένα κανονικό n-γωνο που έχει οµάδα συµµετρίας την αντίστοιχη διεδρική µε τάξη 2n. Συνολικά για τις δύο διαστάσεις, έχουµε τις δύο ακόλουθες δυνατότητες για πεπερασµένες οµάδες περιστροφών ως προς κέντρο Ο: 1) την οµάδα που αποτελείται από την στροφή γωνίας α=360/n και τις επαναλήψεις της, δηλαδή τις κινήσεις και 2) την οµάδα που αποτελείται από τις προηγούµενες συνδυασµένες από κατοπτρισµούς σε n άξονες που σχηµατίζουν γωνίες ίσες 1/2α (µη γνήσιες κινήσεις). Η πρώτη είναι η κυκλική και συµβολίζεται µε Cn, ενώ η δεύτερη διεδρική µε Dn. Τέλος, είναι άξιο αναφοράς ότι η διεδρική οµάδα D3 είναι η µικρότερης τάξης µη αβελιανή, δηλαδή µη αντιµεταθετική οµάδα, κάτι το οποίο φαίνεται στο παρακάτω σχήµα - πίνακα της D3. Παρατηρούµε ότι η σύνθεση της S2 µε την S1 δίνει τη στροφή C2, ενώ αντίστροφα S1* S2 = C1.

18 ΤΟ ΠΕΡΙΦΗΜΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΤΟΥ ERLANGEN Μέχρι τώρα µελετάµε τη συµµετρία σαν κάτι που να εµφανίζεται µέσα από τη γεωµετρία. Όµως, ένας Γερµανός µαθηµατικός, ο Felix Klein έφερε τα πάνω κάτω θεωρώντας ότι οι Γεωµετρίες είναι συνεπακόλουθο της συµµετρίας. Ο Klein έγινε καθηγητής στο πανεπιστήµιο του Erlangen το Στην εναρκτήρια διάλεξη του, που έµεινε γνωστή σαν Πρόγραµµα Erlangen, έθεσε ως στόχο να βάλει σε τάξη τις Γεωµετρίες κάνοντας τις δευτερεύουσες, δίνοντας τον πρώτο λόγο στη συµµετρία. Η βασική ιδέα πίσω από αυτά ήταν ότι η γεωµετρία δεν είναι τίποτε άλλο από θεωρία οµάδων. Οι οµάδες σχηµατίζονται γενικά από εκείνους τους µετασχηµατισµούς που αφήνουν τις γεωµετρικές έννοιες απαράλλαχτες, αλλά ο Klein πίστεψε ότι αυτή η σχέση µπορεί να αναστραφεί και έλεγε ότι "οι γεωµετρικές ιδιότητες χαρακτηρίζονται από την σταθερότητά τους κάτω από µια οµάδα µετασχηµατισµών". Κάθε γεωµετρία έχει τη δική της οµάδα αλλά µέσα στον σκελετό της οµάδας αυτής κάθε γεωµετρία ακολουθεί ανάλογη πορεία. [Β-5] Στην Ευκλείδεια γεωµετρία για παράδειγµα, οι βασικές έννοιες είναι οι αποστάσεις και οι γωνίες. Οι µετασχηµατισµοί που τις διατηρούν είναι οι κινήσεις στερεού, δηλαδή οι ισοµετρίες. Κατά συνέπεια η ιδέα του Klein είναι να αντιστρέψουµε το παραπάνω και να πάρουµε τη οµάδα των ισοµετριών ως το βασικό αντικείµενο από το οποίο θα προκύψει η αντίστοιχη γεωµετρία. Έτσι στην ευκλείδεια γεωµετρία µια θεµιτή γεωµετρική γενική ιδέα είναι οτιδήποτε παραµένει αµετάβλητο µετά από µια ισοµετρία. Το ορθογώνιο τρίγωνο για παράδειγµα είναι µια θεµιτή ιδέα, αλλά κάτι οριζόντιο δεν είναι, αφού οι ευθείες µπορούν να παρουσιάσουν κλίση µετά από έναν µετασχηµατισµό. Συνεπώς, εξηγείται καθαρά και η εµµονή του Ευκλείδη στα ίσα τρίγωνα σαν αποδεικτική µέθοδος αφού τα τρίγωνα είναι ακριβώς ίσα όταν το ένα µπορεί να τοποθετηθεί πάνω στο άλλο µε έναν µετασχηµατισµό ισοµετρίας. Ο Ευκλείδης τα χρησιµοποίησε για να παίξουν τον ίδιο ρόλο που παίζουν στο πρόγραµµα του Erlangen οι µετασχηµατισµοί. [Β-5] Η µη ευκλείδεια γεωµετρία βασίζεται και αυτή στις µετρικές και τις γωνίες, αλλά συµπεριφέρονται µε διαφορετικό τρόπο από ότι στην Ευκλείδεια γεωµετρία. Οι µη Ευκλείδειες Γεωµετρίες δηµιουργήθηκαν όταν κάποιοι αµφισβήτησαν την ορθότητα του 5ου Αιτήµατος του Ευκλείδη σύµφωνα µε το οποίο: "Αν µια ευθεία τέµνει δύο άλλες ευθείες και επί τα αυτά σχηµατιζόµενες γωνίες έχουν άθροισµα µικρότερο από δύο ορθές () τότε όταν οι δυο ευθείες προεκταθούν τέµνονται προς το µέρος που σχηµατίζονται οι µικρότερες των δύο ορθών γωνίες". Μια πιο γνωστή διατύπωση του αξιώµατος αυτού, που αποδίδεται στον γγλο µαθηµατικό John Playtair ( ) είναι ότι "παράλληλη προς ευθεία από σηµείο εκτός αυτής είναι µοναδική". Στη µία από τις µη ευκλείδειες γεωµετρίες, την ελλειπτική γεωµετρία του Riemann, οι παράλληλες ευθείες δεν υπάρχουν καν. Στην άλλη την υπερβολική γεωµετρία, οι παράλληλες υπάρχουν σε άπειρες δέσµες. Κάθε τύπος µη ευκλείδειας γεωµετρίας έχει τη δική του οµάδα από κινήσεις, δηλαδή µετασχηµατισµούς που διατηρούν τη δική τους ιδιαίτερη έννοια της απόστασης. Μια γεύση από τις παράξενες αυτές γεωµετρίες παίρνουµε από ένα έργο του Escher, τον οριακό κύκλο IV του 1960, µια λιθογραφία που βασίζεται στην υπερβολική

19 γεωµετρία. Παρόλο που οι άγγελοι και οι δαίµονες φαίνεται να συρρικνώνονται όσο προχωρούν προς την περιφέρεια του κύκλου, αυτό αληθεύει µόνο για τη συνηθισµένη ευκλείδεια αντίληψη της απόστασης. Για την υπερβολική γεωµετρία, στην κατάλληλη απόσταση, όλοι οι άγγελοι και οι δαίµονες είναι πανοµοιότυποι: σχηµατίζουν ένα ψηφιδωτό του υπερβολικού επιπέδου. Είναι προφανές ότι η εικόνα έχει τροµερά µεγάλη συµµετρία. [Β-5] Στην προβολική γεωµετρία, οι επιτρεπόµενοι µετασχηµατισµοί είναι οι προβολές. Οι προβολές δεν διατηρούν τις αποστάσεις, και έτσι η απόσταση δεν έχει ισχύ εκεί. Η έλλειψη ωστόσο έχει νόηµα, αφού η προβολή µιας έλλειψης είναι πάντα έλλειψη. Βάζοντας τάξη στο χάος, o Klein µας αποκάλυψε απρόσµενες σχέσεις ανάµεσα στις διάφορες Γεωµετρίες. Μερικές Γεωµετρίες προέκυψαν να έχουν οµάδες όµοιες µε τις οµάδες άλλων γεωµετριών ή ελαφρά παραλλαγµένες. Αυτό σηµαίνει ότι δύο τέτοιες γεωµετρίες είναι στην ουσία ισοδύναµες αφού ένας µετασχηµατισµός, µια τυποποιηµένη διαδικασία µπορεί να µετατρέψει τα θεωρήµατα της µιας στα θεωρήµατα της άλλης. Παρόµοια, οι Γεωµετρίες που βασίζονται σε ευρύτερες οµάδες είναι γενικότερες από εκείνες που βασίζονται σε µικρότερες οµάδες και επιπλέον κάθε θεώρηµα που ισχύει στη γεωµετρία µε τη µεγάλη οµάδα ισχύει αυτόµατα και στη γεωµετρία µε τη µικρή. Για παράδειγµα τα θεωρήµατα της προβολικής γεωµετρίας ισχύουν και στην ευκλείδεια. Έτσι εµφανίζεται µια ιεραρχία στις γεωµετρίες, ενώ πριν ήταν όλα µπερδεµένα. [Β-5] Η

20 πρόταση του Klein άσκησε τροµερή επιρροή όχι µόνο γιατί ενοποίησε τις γεωµετρίες αλλά και επειδή οι µαθηµατικοί της εποχής του ανακάλυπταν ότι όλο και περισσότερα προβλήµατα περιστρέφονταν γύρω από µετασχηµατισµούς και οµάδες.

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή Η ιδέα, ότι όλα τα υλικά πράγµατα συντίθενται από αυτά τα τέσσερα πρωταρχικά στοιχεία, αποδίδεται στον προγενέστερό Εµπεδοκλή, Έλληνα φιλόσοφο, ποιητή και πολιτικό [493-433 π.χ.] που γεννήθηκε στον Ακράγαντα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων

5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων 5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o προβλέπετε με βάση τη συμμετρία αν ένα μόριο έχει μόνιμη

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. Σε αυτό το επίπεδο περιλαµβάνονται δραστηριότητες ταξινόµησης, αναγνώρισης και περιγραφής διαφόρων σχηµάτων. Είναι σηµαντικό να χρησιµοποιούνται πολλά διαφορετικά και ποικίλα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58].

εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. Η συνεισφορά του Kepler στα Αρχιµήδεια ήταν µεγάλη, γιατί αυτός απέδειξε

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ Το κεφάλαιο αυτό γράφτηκε από το Βαγγέλη Δρίβα Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την συμμετρία στο επίπεδο. Αυτή έχει την έννοια της μεταφοράς όλων των σημείων ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1). . Ερωτήσεις διάταξης. Οι συναρτήσεις f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x, φ (x) = 3x, ρ (x) = 5x, t (x) = 7x έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α = [- 3, 3]. Να γράψετε τις συναρτήσεις σε µια σειρά έτσι ώστε η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Πρόκειται να δώσουμε τον ορισμό των κωνικών τομών και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τοµές

Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τοµές Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τοµές Μιχαήλ Τζούµας Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικών Ιωσήφ Ρωγών και Βεΐκου 302 00 Μεσολόγγι mtzoumas@sch.gr Περίληψη Οι κωνικές τοµές (κ.τ.) και ειδικότερα η Παραβολή, η Έλλειψη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα