ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ"

Transcript

1

2 Mark de Berg Otfried Cheong Marc van Kreveld Mark Overmars ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Επιμέλεια: Ιωάννης Παπαδόγγονας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ, 2011

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ Ίδρυμα Τεχνολογίας & Έρευνας Αθήνα: Κλεισόβης 3, , Εξάρχεια, Αθήνα. Τηλ , Fax Ηράκλειο: Νικ. Πλαστήρα 100, Βασιλικά Βουτών , Ηράκλειο Κρήτης. Τηλ Fax ΣΕΙΡΑ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ / ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ È ı ÓÙÂÛ ÂÈÚ Û: ˆÚÁÈÔÛ ºÚ. ˆÚÁ ÎÔappleÔ ÏÔÛ, πˆ ÓÓËÛ apple ÔÁÁÔÓ Û Τίτλος πρωτοτύπου: c 2008: c για την ελληνική γλώσσα: Μετάϕραση 2ης έκδοσης: Επιμέλεια κειμένου και ορολογίας, προσαρμογή στην 3η έκδοση: Προσαρμογή L A TEX: Μακέτα εξωϕύλλου: Computational Geometry, Algorithms and Applications, 3rd Edition by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης Χρήστος Καπούτσης Ιωάννης Παπαδόγγονας (ΠΕΚ) David J. McClurkin Βάσω Αβραμοπούλου ISBN

4 Πρόλογος Η υπολογιστική γεωμετρία αναδύθηκε από τον κλάδο της σχεδίασης και ανάλυσης αλγορίθμων στα τέλη της δεκαετίας του Έχει εξελιχθεί σε έναν αναγνωρισμένο επιστημονικό τομέα, με τα δικά του τεχνικά περιοδικά και συνέδρια, και με μια μεγάλη κοινότητα ενεργών ερευνητών. Η επιτυχία της ως ερευνητικού τομέα μπορεί να αποδοθεί αϕ ενός στην ομορϕιά των προβλημάτων που μελετάει και των λύσεων που ανακαλύπτει, και αϕ ετέρου στα πολλά πεδία εϕαρμογών υπολογιστική γραϕιστική, γεωγραϕικά συστήματα πληρο- ϕοριών, ρομποτική, και άλλα στα οποία οι γεωμετρικοί αλγόριθμοι παίζουν θεμελιώδη ρόλο. Για πολλά γεωμετρικά προβλήματα, οι πρώτες αλγοριθμικές λύσεις που αναπτύχθηκαν ήταν είτε βραδείες είτε δύσκολες στην κατανόηση και υλοποίηση. Τα τελευταία χρόνια έχουν διαμορϕωθεί αρκετές νέες αλγοριθμικές τεχνικές οι οποίες βελτίωσαν και απλοποίησαν πολλές από τις προηγούμενες προσεγγίσεις. Σε αυτό το βιβλίο έχουμε προσπαθήσει να καταστήσουμε αυτές τις σύγχρονες αλγοριθμικές λύσεις προσιτές σε ένα ευρύ κοινό. Αν και το βιβλίο γράϕτηκε ως διδακτικό εγχειρίδιο για ένα μάθημα υπολογιστικής γεωμετρίας, μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για αυτόνομη μελέτη. Δομή του βιβλίου. Καθένααπόταδεκαέξικεϕάλαια(εκτόςαπότοεισαγωγικό) ξεκινάει με ένα πρόβλημα που ανακύπτει σε κάποιο από τα πεδία εϕαρμογών. Στη συνέχεια, το πρόβλημα αυτό αναδιατυπώνεται σε καθαρά γεωμετρική μορϕή, και επιλύεται με τεχνικές της υπολογιστικής γεωμετρίας. Το πραγματικό θέμα του κάθε κεϕαλαίου είναι η γεωμετρική μορϕή του προβλήματος και οι έννοιες και τεχνικές που απαιτούνται για την επίλυσή του. Η επιλογή των εϕαρμογών έγινε με κριτήριο τα θέματα της υπολογιστικής γεωμετρίας που θέλαμε να καλύψουμε. ο σκοπός μας δεν ήταν να καλύψουμε εκτενώς τα διάϕορα πεδία εϕαρμογών. Στόχος των εϕαρμογών είναι να διεγείρουν το ενδιαϕέρον του αναγνώστη. η διαμόρϕωση της ύλης των κεϕαλαίων δεν αποσκοπεί στο να παρέχει λύσεις έτοιμες προς χρήση για τις εϕαρμογές. Παρ όλα αυτά, πιστεύουμε ότι η γνώση της υπολογιστικής γεωμετρίας παίζει ουσιαστικό ρόλο στη δραστική επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων στις διάϕορες περιοχές εϕαρμογών. Ελπίζουμε το βιβλίο μας να προσελκύσει το ενδιαϕέρον όχι μόνο των μελών την αλγοριθμικής κοινότητας, αλλά και επαγγελματιών από τα διάϕορα πεδία εϕαρμογών. Γιαταπερισσότερααπόταγεωμετρικάπροβλήματαπουπραγματευόμαστε παραθέτουμε μόνο μία λύση, ακόμη και όταν υπάρχουν πολλές διαϕορετικές. Εν γένει, επιλέγουμε τη λύση που είναι ευκολότερη στην κατανόηση και την υλοποίηση. Αυτή δεν είναι απαραιτήτως και η δραστικότερη. Επίσης, ϕροντίσαμε το βιβλίο να περιλαμβάνει ένα καλό μείγμα τεχνικών όπως η διαίρει-καικυρίευε, η σάρωση επιπέδου, και οι τυχαιοκρατικοί αλγόριθμοι. Αποϕασίσαμε να μην ασχοληθούμε με όλες τις δυνατές παραλλαγές των προβλημάτων. θεωρήσαμε ότι είναι σημαντικότερο να παρουσιάσουμε όλα τα βασικά θέματα της υπολογιστικής γεωμετρίας παρά να δώσουμε λεπτομερέστερες πληροϕορίες για ένα μικρότερο πλήθος θεμάτων. Αρκετά κεϕάλαια περιέχουν μία ή περισσότερες ενότητες που επισημαίνονται με αστερίσκο. Οι ενότητες αυτές περιλαμβάνουν βελτιώσεις της λύσης που έχει ήδη παρουσιαστεί, περιγράϕουν επεκτάσεις, ή επεξηγούν τη σχέση μεταξύ v

5 ÚÔÏÔÁÔÛ διαϕόρων προβλημάτων. Δεν είναι απαραίτητες για την κατανόηση της υπόλοιπης ύλης του βιβλίου. Κάθε κεϕάλαιο ολοκληρώνεται με μια ενότητα με τίτλο Σημειώσεις και σχόλια. Στις ενότητες αυτές υποδεικνύεται η προέλευση των αποτελεσμάτων που περιγράϕονται στο κεϕάλαιο, αναϕέρονται άλλες λύσεις, γενικεύσεις και βελτιώσεις, και παρέχονται βιβλιογραϕικές παραπομπές. Αν και η μελέτη τους δεν είναι απαραίτητη, ωστόσο περιέχουν χρήσιμη ύλη για όσους θέλουν να μάθουν περισσότερα για το θέμα του κεϕαλαίου. Στο τέλος κάθε κεϕαλαίου δίνονται ορισμένες ασκήσεις, οι οποίες καλύπτουν όλο το ϕάσμα από τον απλό έλεγχο της κατανόησης της ύλης μέχρι τη μελέτη πιο σύνθετων ερωτημάτων που επεκτείνουν την ύλη. Όσες ασκήσεις είναι δύσκολες ή αϕορούν τις ενότητες που επισημαίνονται με αστερίσκο υποδεικνύονται επίσης με αστερίσκο. Ένα περίγραμμα μαθήματος. Αν και τα κεϕάλαια αυτού του βιβλίου είναι ως επί το πλείστον ανεξάρτητα μεταξύ τους, είναι προτιμότερο να μην καλυϕθούν με αυθαίρετη σειρά. Παραδείγματος χάριν, το Κεϕάλαιο 2 εισάγει τους αλγορίθμους σάρωσης επιπέδου, και είναι καλύτερο να διαβαστεί πριν από όλα τα άλλα κεϕάλαια που χρησιμοποιούν αυτήν τη μέθοδο. Παρομοίως, το Κεϕάλαιο 4 θα πρέπει να διαβαστεί πριν από όλα τα άλλα κεϕάλαια που χρησιμοποιούν τυχαιοκρατικούς αλγορίθμους. Για ένα πρώτο μάθημα υπολογιστικής γεωμετρίας, συνιστούμε την κάλυψη των Κεϕαλαίων 1 10 με τη δεδομένη σειρά. Τα κεϕάλαια αυτά καλύπτουν τις έννοιες και τεχνικές που, κατά τη γνώμη μας, δεν μπορούν να λείπουν από κανένα μάθημα υπολογιστικής γεωμετρίας. Αν υπάρχει η δυνατότητα να καλυ- ϕθεί περισσότερη ύλη, μπορεί να γίνει μια επιλογή από τα υπόλοιπα κεϕάλαια. Προαπαιτούμενα. Το βιβλίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως διδακτικό εγχειρίδιο σε ένα προχωρημένο προπτυχιακό μάθημα ή ένα εισαγωγικό μεταπτυχιακό, ανάλογα με το υπόλοιπο πρόγραμμα σπουδών. Υποθέτουμε ότι ο αναγνώστης έχει ήδη κάποιες βασικές γνώσεις σχεδίασης και ανάλυσης αλγορίθμων και δομών δεδομένων: πρέπει να είναι εξοικειωμένος με τον ασυμπτωτικό συμβολισμό (τον συμβολισμό «κεϕαλαίου όμικρον») και με απλές αλγοριθμικές τεχνικές όπως η ταξινόμηση, η δυαδική (ή «διχοτομική») αναζήτηση και τα ισοσταθμισμένα δέντρα αναζήτησης. Δεν απαιτείται καμία γνώση των διαϕόρων πεδίων εϕαρμογών, και σχεδόν καμία γνώση γεωμετρίας. Στην ανάλυση των τυχαιοκρατικών αλγορίθμων χρησιμοποιούνται κάποια πολύ απλά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων. vi Υλοποιήσεις. Οι αλγόριθμοι σε αυτό το βιβλίο παρουσιάζονται μέσω ενός ψευδοκώδικα που, αν και μάλλον «υψηλού επιπέδου», είναι αρκετά λεπτομερής ώστε να καθιστά την υλοποίηση σχετικά εύκολη. Ειδικότερα, έχουμε προσπαθήσει να υποδείξουμε τον τρόπο αντιμετώπισης των εκϕυλισμένων περιπτώσεων, οι οποίες συχνά δημιουργούν διάϕορα προβλήματα κατά την υλοποίηση. Πιστεύουμε ότι είναι πολύ χρήσιμο να υλοποιήσει κανείς έναν ή περισσότερουςαπότουςαλγορίθμους,ώστενααποκτήσειμιααίσθησητηςπολυπλοκότητάςτουςστηνπράξη.κάθεκεϕάλαιομπορείναθεωρηθείωςμιαπρογραμματιστική εργασία. Ανάλογα με τον χρόνο που διαθέτει κανείς, μπορεί να υλοποιήσει είτε απλώς τους στοιχειώδεις γεωμετρικούς αλγορίθμους είτε ολόκληρη την εϕαρμογή. Για την υλοποίηση ενός γεωμετρικού αλγορίθμου απαιτούνται κάποιοι βασικοί τύποι δεδομένων σημεία, ευθείες, πολύγωνα, κ.λπ.- και ορισμένες βασικές διαδικασίες για τον χειρισμό τους. Η ευσταθής υλοποίηση αυτών των βασικών διαδικασιών δεν είναι εύκολη υπόθεση, και απαιτεί πολύ χρόνο. Αν και καλό θα ήταν να έχει κανείς αυτήν την εμπειρία τουλάχιστον μία ϕορά, είναι χρήσιμο

6 να έχει πρόσβαση σε μια βιβλιοθήκη λογισμικού που να περιέχει τους βασικούς τύπους δεδομένων και τις βασικές διαδικασίες. Στον ιστότοπο του βιβλίου μπορείτε να βρείτε παραπομπές προς τέτοιες βιβλιοθήκες. ÚÔÏÔÁÔÛ Ιστότοπος. Το βιβλίο συνοδεύεται από έναν ιστότοπο, ο οποίος περιέχει έναν κατάλογο των τυπογραϕικών λαθών για κάθε έκδοση, όλα τα σχήματα και τον ψευδοκώδικα για όλους τους αλγορίθμους, καθώς και άλλους σχετικούς πόρους. Η διεύθυνση είναι Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τη διεύθυνση που αναϕέρεται στον Ιστότοπό μας για να μας στείλετε τα λάθη που θα εντοπίσετε και όποια άλλα σχόλια θα θέλατε να κάνετε για το βιβλίο. Σχετικά με την τρίτη έκδοση. Σεαυτήντηντρίτηέκδοσηυπάρχουνδύοβασικές προσθήκες: Στο Κεϕάλαιο 7, που πραγματεύεται τα διαγράμματα Voronoi, εξετάζονται πλέον και τα διαγράμματα Voronoi ευθύγραμμων τμημάτων και απώτατων σημείων. Στο Κεϕάλαιο 12, έχει προστεθεί μια επιπλέον ενότητα με θέμα τα δέντρα δυαδικής διαμέρισης χώρου για σκηνές χαμηλής πυκνότητας, ως εισαγωγή σε μοντέλα με ρεαλιστικά δεδομένα εισόδου. Επιπλέον, έχουν διορθωθεί πολλά μικρά και κάποια μεγαλύτερα λάθη (βλ. τον κατάλογο λαθών για τη δεύτερη έκδοση στον Ιστότοπο). Έχουμε επίσης ενημερώσει τις σημειώσεις και τα σχόλια όλων των κεϕαλαίων προσθέτοντας παραπομπές προς πρόσϕατα αποτελέσματα και πρόσϕατες βιβλιογραϕικές πηγές. Προσπαθήσαμε να μην αλλάξουμε τους αριθμούς των ενοτήτων και των ασκήσεων, ώστε οι ϕοιτητές που παρακολουθούν κάποιο πανεπιστημιακό μάθημα να έχουν τη δυνατότητα να εξακολουθήσουν να χρησιμοποιούν τη δεύτερη έκδοση. Ευχαριστίες. Η συγγραϕή ενός διδακτικού εγχειριδίου είναι μια μακρά διαδικασία, ακόμη και όταν γίνεται από τέσσερεις συγγραϕείς. Πολλοί ήταν εκείνοι που μας βοήθησαν στην πρώτη έκδοση δίνοντας χρήσιμες συμβουλές για το τι να συμπεριλάβουμε στο βιβλίο και τι όχι, διαβάζοντας κεϕάλαια και προτείνοντας αλλαγές, και εντοπίζοντας και διορθώνοντας λάθη. Πολύ περισσότεροι ήταν εκείνοι που έκαναν σχόλια και εντόπισαν λάθη στις δύο πρώτες εκδόσεις.θαθέλαμενατουςευχαριστήσουμεόλους,καιειδικότερατουςpankaj Agarwal, Helmut Alt, Marshall Bern, Jit Bose, Hazel Everett, Gerald Farin, Steve Fortune, Geert-Jan Giezeman, Mordecai Golin, Dan Halperin, Richard Karp, Matthew Katz, Klara Kedem, Nelson Max, Joseph S. B. Mitchell, René van Oostrum, Günter Rote, Henry Shapiro, Sven Skyum, Jack Snoeyink, Gert Vegter, Peter Widmayer, Chee Yap, και Günther Ziegler. Τόσο στο δικό μας όσο και σε άλλα πανεπιστημιακά τμήματα, χρησιμοποιήθηκαν για διδασκαλία κάποιες προκαταρκτικές εκδόσεις του βιβλίου. Ευχαριστούμε όλους τους ϕοιτητές που ανέχθηκαν τις ατελείς εκδόσεις και τα λάθη, και μας βοήθησαν να ϕέρουμε το βιβλίο στην παρούσα μορϕή του. Θα θέλαμε επίσης να ευχαριστήσουμε τον εκδοτικό οίκο Springer-Verlag για τις συμβουλές και την υποστήριξή του κατά τη σύνταξη του βιβλίου, τη διαμόρϕωση των νέων εκδόσεών του, και τη μετάϕρασή του σε άλλες γλώσσες (προς το παρόν τα ιαπωνικά, τα κινέζικα και τα πολωνικά). Τέλος, θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε για την υποστήριξή τους τον Ολλανδικό Οργανισμό για την Επιστημονική Έρευνα (N.W.O.) και το Ίδρυμα Ερευνών τηςκορέας(krf). Ιανουάριος 2008 Mark de Berg Otfried Cheong Marc van Kreveld Mark Overmars vii

7 Περιεχόμενα 1 Υπολογιστικήγεωμετρία 1 Εισαγωγή 1.1 Ένα παράδειγμα: κυρτά περιβλήματα Εκϕυλισμένες περιπτώσεις και ευστάθεια Πεδία εϕαρμογών Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις 16 2 Τομή ευθύγραμμων τμημάτων 19 Υπέρθεση θεματικών χαρτών 2.1 Τομή ευθύγραμμων τμημάτων Ο διπλοσυνδεδεμένος κατάλογος ακμών Υπολογισμός της υπέρθεσης δύο υποδιαιρέσεων Λογικές πράξεις Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις 42 3 Τριγωνισμός πολυγώνου 45 Επιτήρηση πινακοθήκης 3.1 Επιτήρηση και τριγωνισμοί Διαμέριση πολυγώνου σε μονότονα τεμάχια Τριγωνισμός μονότονου πολυγώνου Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις 60 4 Γραμμικός προγραμματισμός 63 Βιομηχανική παραγωγή με μήτρες 4.1 Η γεωμετρική ανάλυση της χύτευσης Τομή ημιεπιπέδων Αυξητικός γραμμικός προγραμματισμός Τυχαιοκρατικός γραμμικός προγραμματισμός Μη ϕραγμένα γραμμικά προγράμματα * Γραμμικός προγραμματισμός σε περισσότερες διαστάσεις * Μικρότατοι περικλείοντες δίσκοι Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις 91 5 Ορθογωνικήεκτασιακήαναζήτηση 95 Ερωτήματα προς βάσεις δεδομένων 5.1 Μονοδιάστατη εκτασιακή αναζήτηση 96 ix

8 ÂÚÈÂ ÔÌÂÓ 5.2 kd-δέντρα Εκτασιακά δέντρα Εκτασιακά δέντρα περισσότερων διαστάσεων Τυχόντα σύνολα σημείων * Κλασματική επαλληλία Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις Εντοπισμόςσημείου 121 Πώς ξέρουμε πού βρισκόμαστε 6.1 Εντοπισμός σημείου και τραπεζιομερείς χάρτες Ένας τυχαιοκρατικός αυξητικός αλγόριθμος Αντιμετώπιση των εκϕυλισμένων περιπτώσεων * Μια εκτίμηση για την «ουρά» της κατανομής Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις ΔιαγράμματαVoronoi 147 Το πρόβλημα του ταχυδρομείου 7.1 Ορισμός και βασικές ιδιότητες Υπολογισμός του διαγράμματος Voronoi Διαγράμματα Voronoi ευθύγραμμων τμημάτων Διαγράμματα Voronoi απώτατων σημείων Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις Σχηματισμοί και δυϊκότητα 173 Υπερδειγματοληψία κατά την ακτινηλάτηση 8.1 Υπολογισμός της απόκλισης Δυϊκότητα Σχηματισμοί ευθειών Βαθμίδες και απόκλιση Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις ΤριγωνισμοίDelaunay 191 Παρεμβολή καθ ύψος 9.1 Τριγωνισμοί επίπεδων σημειοσυνόλων Ο τριγωνισμός Delaunay Υπολογισμός του τριγωνισμού Delaunay Ανάλυση * Ένα πλαίσιο για τυχαιοκρατικούς αλγορίθμους Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις 214 x 10 Άλλες γεωμετρικές δομές δεδομένων 219 Παραθυρική εστίαση 10.1 Δέντρα διαστημάτων Προτεραϊκά δέντρα αναζήτησης Δέντρα ευθύγραμμων τμημάτων Σημειώσεις και σχόλια 237

9 10.5 Ασκήσεις 239 ÂÚÈÂ ÔÌÂÓ 11 Κυρτά περιβλήματα 243 Μείξεις 11.1 Η πολυπλοκότητα των κυρτών περιβλημάτων στον τριδιάστατο χώρο Υπολογισμός κυρτών περιβλημάτων στον τριδιάστατο χώρο * Ανάλυση * Κυρτά περιβλήματα και τομή ημιχώρων * Επανεξέταση των διαγραμμάτων Voronoi Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις Δυαδικές διαμερίσεις χώρου 259 Ο αλγόριθμος του ζωγράϕου 12.1 Ορισμός των δέντρων ΔΔΧ Δέντρα ΔΔΧ και ο αλγόριθμος του ζωγράϕου Κατασκευή δέντρου ΔΔΧ * Το μέγεθος των δέντρων ΔΔΧ στον τριδιάστατο χώρο Δέντρα ΔΔΧ για σκηνές χαμηλής πυκνότητας Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις Σχεδιασμός κίνησης ρομπότ 283 Μετάβαση στο επιθυμητό σημείο 13.1 Χώρος εργασίας και χώρος διαμορϕώσεων Ένα σημειακό ρομπότ Αθροίσματα Minkowski Σχεδιασμός μετατοπιστικής κίνησης * Σχεδιασμός κίνησης με περιστροϕές Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις Τετραδικά δέντρα 307 Κατασκευή ανομοιόμορϕου πλέγματος 14.1 Ομοιόμορϕα και ανομοιόμορϕα πλέγματα Τετραδικά δέντρα για σημειοσύνολα Από τα τετραδικά δέντρα στα πλέγματα Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις Γραϕήματα ορατότητας 323 Εύρεση βραχύτατης διαδρομής 15.1 Βραχύτατες διαδρομές για σημειακό ρομπότ Υπολογισμός του γραϕήματος ορατότητας Βραχύτατες διαδρομές για μετατοπιζόμενο πολυγωνικό ρομπότ Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις 332 xi

10 ÂÚÈÂ ÔÌÂÓ 16 Απλοκοειδής εκτασιακή αναζήτηση 335 Επανεξέταση της παραθυρικής εστίασης 16.1 Διαμεριστικά δέντρα Πολυβαθμιδικά διαμεριστικά δέντρα Κοπτικά δέντρα Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις 353 Λεξικό βασικών όρων 357 Βιβλιογραϕία 367 Ευρετήριο 383 xii

11 1 Υπολογιστική γεωμετρία Εισαγωγή Φανταστείτε ότι περπατάτε στον χώρο μιας πανεπιστημιούπολης και ξαϕνικά συνειδητοποιείτε ότι πρέπει να κάνετε ένα επείγον τηλεϕώνημα. Φυσικά, από τα πολλά δημόσια τηλέϕωνα του πανεπιστημίου, θέλετε να χρησιμοποιήσετε το πλησιέστερο. Αλλά ποιο είναι αυτό; Θα ήταν χρήσιμο να είχατε ένα χάρτη στον οποίο θα μπορούσατε να βρείτε το πλησιέστερο δημόσιο τηλέϕωνο, για οποιαδήποτε περιοχή της πανεπιστημιούπολης. Ο χάρτης θα έπρεπε να παρουσιάζει τον χώρο της πανεπιστημιούπολης χωρισμένο σε επιμέρους περιοχές, και για καθεμία από αυτές να υποδεικνύει το πλησιέστερο δημόσιο τηλέϕωνο. Τι μορϕή θα είχαν αυτές οι περιοχές; Και πώς θα μπορούσαμε να τις έχουμε προσδιορίσει; Αν και το συγκεκριμένο πρόβλημα δεν είναι ιδιαίτερα σημαντικό, αναδεικνύει την ουσία μιας θεμελιώδους γεωμετρικής έννοιας, που παίζει ρόλο σε πολλές εϕαρμογές. Το αποτέλεσμα της υποδιαίρεσης της πανεπιστημιούπολης σε περιοχές είναι ένα διάγραμμα Voronoi. Ταδιαγράμματααυτά,ταοποίαθα μελετήσουμε στο Κεϕάλαιο 7, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναπαράσταση των εμπορικών περιϕερειών διαϕόρων πόλεων, για την καθοδήγηση ρομπότ, ακόμη και για την περιγραϕή και προσομοίωση της ανάπτυξης κρυστάλλων. Για να υπολογίσουμε μια γεωμετρική δομή όπως το διάγραμμα Voronoi, χρειαζόμαστε γεωμετρικούς αλγορίθμους. Αυτού του είδους οι αλγόριθμοι αποτελούν το αντικείμενο του βιβλίου. Ας δούμε ένα δεύτερο παράδειγμα. Έστω ότι έχετε βρεί ποιο από τα δημόσια τηλέϕωνα είναι το πλησιέστερο. Χρησιμοποιώντας τον χάρτη της πανεπιστημιούπολης, μάλλον δεν θα δυσκολευτείτε ιδιαίτερα να ϕτάσετε σε αυτό το τηλέϕωνο μέσω μιας αρκετά σύντομης διαδρομής, αποϕεύγοντας τους τοίχους και τα όποια άλλα αντικείμενα. Ωστόσο, το να προγραμματίσουμε ένα ρομπότ για να πραγματοποιήσει την ίδια εργασία είναι πολύ δυσκολότερο. Όπως και πριν, το πρόβλημα είναι κατ ουσίαν γεωμετρικό: για δύο δεδομένα σημεία και ένα δεδομένο σύνολο γεωμετρικών εμποδίων, θα πρέπει να βρεθεί μια σύντομη διαδρομή που να συνδέει τα δύο σημεία αποϕεύγοντας τα εμπόδια. Πρόκειται για το λεγόμενο πρόβλημα του σχεδιασμούκίνησης, η επίλυση του οποίου έχει ζωτική σημασία για τη ρομποτική. Οι γεωμετρικοί αλγόριθμοι που απαιτούνται για τον σχεδιασμό κίνησης παρουσιάζονται στα Κεϕάλαια 13 και 15. Ας εξετάσουμε ένα τρίτο παράδειγμα. Υποθέστε ότι αντί για έναν μόνο χάρτη έχετε δύο: έναν που περιγράϕει τα διάϕορα κτίρια, και ο οποίος περιλαμβάνει και τα δημόσια τηλέϕωνα, και έναν που υποδεικνύει τους δρόμους μέσα στονχώροτηςπανεπιστημιούπολης.γιανασχεδιάσουμεμιαδιαδρομήπρος το επιλεγμένο δημόσιο τηλέϕωνο θα πρέπει να υπερθέσουμε τους δύο χάρτες, ώστε να συνδυάσουμε τις πληροϕορίες που περιέχουν. Η υπέρθεση χαρτών είναι μια από τις βασικότερες πράξεις σε ένα γεωγραϕικό σύστημα πληροϕοριών. Απαιτεί να εντοπιστεί στον έναν χάρτη η θέση κάποιων αντικειμένων του άλλου, να υπολογιστεί η τομή διαϕόρων στοιχείων, κ.ο.κ. Το πρόβλημα αυτό εξετάζεται στο Κεϕάλαιο 2. 1

12 Κεϕάλαιο 1 ÀappleÔÏÔÁÈÛÙÈÎË ÁˆÌÂÙÚÈ Τα παραπάνω προβλήματα είναι απλώς τρία παραδείγματα γεωμετρικών προβλημάτων των οποίων η επίλυση απαιτεί προσεκτικά σχεδιασμένους γεωμετρικούς αλγορίθμους. Η υπολογιστική γεωμετρία εμϕανίστηκε τη δεκαετία του 1970, με αντικείμενο μελέτης αυτού του είδους τα γεωμετρικά προβλήματα. Μπορεί να οριστεί ως η συστηματική μελέτη αλγορίθμων και δομών δεδομένων για γεωμετρικά αντικείμενα, με έμϕαση σε ακριβείς αλγορίθμους οι οποίοι είναι ασυμπτωτικά ταχείς. Οι δυσκολίες που αναδείχθηκαν από τα γεωμετρικά προβλήματα προσείλκυσαν πολλούς ερευνητές. Συχνά, η πορεία από τη διατύπωση ενός προβλήματος μέχρι την εύρεση μιας δραστικής και κομψής λύσης υπήρξε μακρά, με πολλά δύσκολα ενδιάμεσα αποτελέσματα, κατώτερα τουβέλτιστου.σήμεραυπάρχειμιαπλούσιασυλλογήδραστικώνγεωμετρικών αλγορίθμων που μπορούν να κατανοηθούν και να υλοποιηθούν σχετικά εύκολα. Στο βιβλίο αυτό παρουσιάζονται οι σημαντικότερες έννοιες, τεχνικές και δομές δεδομένων, και οι βασικότεροι αλγόριθμοι της υπολογιστικής γεωμετρίας με τρόπο που ελπίζουμε να ϕανεί ελκυστικός στους αναγνώστες που ενδιαϕέρονται να χρησιμοποιήσουν τα σχετικά αποτελέσματα. Σε κάθε κεϕάλαιο χρησιμοποιείται ως έναυσμα ένα πραγματικό υπολογιστικό πρόβλημα, του οποίου η επίλυση απαιτεί γεωμετρικούς αλγορίθμους. Για να δείξουμε το εύρος των εϕαρμογών της υπολογιστικής γεωμετρίας, επιλέξαμε αυτά τα προβλήματα από διάϕορα πεδία: τη ρομποτική, την υπολογιστική γραϕιστική, την υπολογιστικά βοηθούμενη σχεδίαση και βιομηχανική παραγωγή (computer aided design/manufacturing, για συντομία CAD/CAM), και τα γεωγραϕικά συστήματα πληροϕοριών. Ωστόσο, μην περιμένετε να βρείτε «έτοιμες προς υλοποίηση» λύσεις λογισμικούγιαταμεγάλαπροβλήματατωνπεδίωνεϕαρμογών.τοκάθεκεϕάλαιο πραγματεύεται μία μόνο έννοια της υπολογιστικής γεωμετρίας. Οι εϕαρμογές χρησιμεύουν απλώς για να εισαγάγουν και να αναδείξουν τις σχετικές έννοιες. Ταυτόχρονα, βοηθούν στο να αποσαϕηνιστεί η διαδικασία της αναπαράστασης ενός μηχανολογικού προβλήματος και της εύρεσης μιας ακριβούς λύσης. q pq p κυρτό 2 q pq p μη κυρτό 1.1 Ένα παράδειγμα: κυρτά περιβλήματα Κάθε καλή λύση ενός αλγοριθμικού προβλήματος γεωμετρικής ϕύσης βασίζεταικυρίωςσεδύοπαράγοντες.οέναςείναιηπλήρηςκατανόησητωνγεωμετρικών ιδιοτήτων του προβλήματος, και ο άλλος η σωστή εϕαρμογή αλγοριθμικών τεχνικών και δομών δεδομένων. Αν δεν έχετε κατανοήσει τη γεωμετρία του προβλήματος, κανένας αλγόριθμος στον κόσμο δεν πρόκειται να σας βοηθήσει να λύσετε το πρόβλημα δραστικά. Από την άλλη πλευρά, ακόμη και αν κατανοείτε τέλεια τη γεωμετρία του προβλήματος, είναι δύσκολο να βρείτε κάποια δραστική λύση αν δεν γνωρίζετε τις κατάλληλες αλγοριθμικές τεχνικές. Σκοπός αυτού του βιβλίου είναι να σας βοηθήσει να κατανοήσετε σε βάθος τις σημαντικότερες γεωμετρικές έννοιες και αλγοριθμικές τεχνικές. Για να δείτε ένα παράδειγμα των ζητημάτων που ανακύπτουν στη σχεδίαση ενός γεωμετρικού αλγορίθμου, στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με ένα από τα πρώτα προβλήματα που μελετήθηκαν στην υπολογιστική γεωμετρία: τον υπολογισμό του κυρτού περιβλήματος στο επίπεδο. Σε αυτήν τη ϕάση, δεν θα αναϕερθούμε στο κίνητρο για την μελέτη αυτού του προβλήματος. Οι ενδιαϕερόμενοι αναγνώστες μπορουν να ανατρέξουν στην εισαγωγή του Κεϕαλαίου 11, όπου μελετάμε την έννοια του κυρτού περιβλήματος στον τριδιάστατο χώρο. Ένα υποσύνολο S του επιπέδου λέγεται κυρτό εάν και μόνο εάν για κάθε ζεύγος σημείων p, q S το ευθύγραμμοτμήμα pq περιέχεται πλήρως στο S.Τοκυρτό περίβλημα KP(S) ενός συνόλου S είναιτομικρότεροκυρτόσύνολο πουπεριέ-

13 χει το S. Ακριβέστερα, είναι η τομή όλων των κυρτών συνόλων που περιέχουν το S. Θα μελετήσουμε το πρόβλημα του υπολογισμού του κυρτού περιβλήματος ενός πεπερασμένου συνόλου P από n σημεία στο επίπεδο. Μπορείτε να αντιληϕθείτε σε εποπτικό επίπεδο τι είναι το κυρτό περίβλημα μέσω ενός νοητικού πειράματος. Φανταστείτε ότι τα σημεία είναι καρϕιά που προεξέχουν από το επίπεδο. Παίρνουμε μια κλειστή ελαστική ταινία, την τεντώνουμε γύρω από τα καρϕιά και την αϕήνουμε ελεύθερη. Η ταινία θα συσϕιχθεί γύρω από τα καρϕιά, ελαχιστοποιώντας το μήκος της. Το κυρτό περίβλημα του P είναι η επιϕάνεια που περικλείει η ταινία. Οδηγούμαστε έτσι σε έναν εναλλακτικό ορισμόγιατοκυρτόπερίβλημαενόςπεπερασμένουσυνόλουp από σημεία στο επίπεδο: είναι το μοναδικό κυρτό πολύγωνο του οποίου όλες οι κορυϕές είναι σημεία του P, και το οποίο περιέχει όλα τα σημεία του P.Φυσικά,θαπρέπεινααποδείξουμεκαιτυπικάότιοεναλλακτικόςαυτόςορισμόςείναιέγκυρος δηλαδή ότι υπάρχει μόνο ένα τέτοιο πολύγωνο και ισοδύναμος με τον προηγούμενο.ωστόσο,σεαυτότοεισαγωγικόκεϕάλαιοθαπαραλείψουμετην απόδειξη. Ενότητα 1.1 Ó apple Ú ÂÈÁÌ : Î ÚÙ appleâúè ÏËÌ Ù Πώς υπολογίζουμε το κυρτό περίβλημα; Για να μπορέσουμε να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, θα πρέπει να θέσουμε ένα άλλο: τι σημαίνει «υπολογίζουμε το κυρτό περίβλημα»; Όπως είδαμε, το κυρτό περίβλημα του P είναι ένα κυρτό πολύγωνο. Ένας εύλογος τρόπος να αναπαραστήσουμε ένα πολύγωνο είναι να παραθέσουμε τις κορυϕές του κατά την ωρολόγια διάταξη (δηλ. κατά τη ϕορά των δεικτών του ρολογιού), ξεκινώντας από οποιαδήποτε εξ αυτών. Επομένως, το πρόβλημα που θέλουμε να λύσουμε είναι το εξής: για ένα δεδομένο σύνολο P = {p 1,p 2,...,p n } από σημεία στο επίπεδο, να προσδιοριστεί ένας κατάλογος ο οποίος να περιέχει όλα τα σημεία του P που είναι κορυϕές του KP(P ), διατεταγμένα κατά την ωρολόγια διάταξη. είσοδος = σύνολο σημείων: p 1,p 2,p 3,p 4,p 5,p 6,p 7,p 8,p 9 p 9 p 7 p 1 p 4 p 2 έξοδος = αναπαράσταση τού κυρτού p 6 p 3 p περιβλήματος: p 5 4,p 5,p 8,p 2,p 9 Σχήμα 1.1 Υπολογισμός κυρτού περιβλήματος p 8 Ο πρώτος ορισμός του κυρτού περιβλήματος δεν μας βοηθάει ιδιαίτερα να σχεδιάσουμε έναν αλγορίθμο για τον υπολογισμό του. Ο ορισμός αυτός ανα- ϕέρεται στην τομή όλων των κυρτών συνόλων που περιέχουν το P,ταοποία είναι απειράριθμα. Η παρατήρηση ότι το KP(P ) είναι ένα κυρτό πολύγωνο είναι πιο χρήσιμη. Ας δούμε ποιες θα είναι οι ακμές του KP(P ). Ταάκραp και q κάθε τέτοιας ακμής ανήκουν αμϕότερα στο P και, αν ορίσουμε τη ϕορά της ευθείας που διέρχεται από αυτά έτσι ώστε το KP(P ) να κείται στα δεξιά της, τότεόλατασημείατουp θα πρέπει επίσης να κείνται στα δεξιά της ευθείας. Ισχύει επίσης το αντίστροϕο: αν όλα τα σημεία του P \{p, q} κείνται στα δεξιά μιας από τις δύο κατευθυντές ευθείες που διέρχονται από τα p και q, τότετο ευθύγραμμο τμήμα pq είναι μία από τις ακμές του KP(P ). Έχοντας πλέον κατανοήσει κάπως καλύτερα τη γεωμετρία του προβλήματος, μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν αλγόριθμο. Θα τον περιγράψουμε με ένα είδος ψευδοκώδικα που θα χρησιμοποιήσουμε σε όλο το βιβλίο. p q Αλγόριθμος μú ÚÙÔ ÂÚÈ ÏËÌ (P ) Είσοδος. Ένα σύνολο P από σημεία στο επίπεδο. Έξοδος. Ένας κατάλογος L των κορυϕών του KP(P ) σε ωρολόγια διάταξη. 1. E. 2. για κάθε διατεταγμένο ζεύγος (p, q) P P με p διάϕορο του q 3

14 Κεϕάλαιο 1 ÀappleÔÏÔÁÈÛÙÈÎË ÁˆÌÂÙÚÈ απόληξη της e 1 =αϕετηρίατης e 2 e 1 e 2 αϕετηρία της e έγκυρο αληθές. 4. για κάθε σημείο r P διάϕορο των p και q 5. εάν το r κείται αριστερά της κατευθυντής ευθείας από το p στο q: 6. τότε έγκυρο ψευδές. 7. εάν έγκυρο, τότε προσθέτουμε την κατευθυντή ακμή pq στο E. 8. Από το σύνολο E των ακμών κατασκευάζουμε έναν κατάλογο L των κορυϕών του KP(P ) σε ωρολόγια διάταξη. Δύο από τα βήματα του αλγορίθμου ενδεχομένως να μην είναι απολύτως σαϕή. Τοπρώτοείναιοέλεγχοςστηγραμμή5:πώςελέγχουμεανένασημείοκείται αριστερά ή δεξιά μιας κατευθυντής ευθείας; Αυτή είναι μια από τις στοιχειώδεις πράξεις που απαιτούνται στους περισσότερους γεωμετρικούς αλγορίθμους. Σε αυτό το βιβλίο υποθέτουμε ότι τέτοιες πράξεις μάς είναι διαθέσιμες. Είναι προ- ϕανές ότι μπορούν να εκτελεστούν σε σταθερό χρόνο, και επομένως η πρακτική τους υλοποίηση δεν πρόκειται να επηρεάσει την τάξη μεγέθους του ασυμπτωτικού χρόνου εκτέλεσης. Αυτό δεν σημαίνει ότι τέτοιες στοιχειώδεις πράξεις είναι ασήμαντες ή τετριμμένες. Η ορθή τους υλοποίηση δεν είναι εύκολη υπόθεση, και ο τρόπος με τον οποίο θα υλοποιηθούν σίγουρα επηρεάζει τον πραγματικό χρόνο εκτέλεσης του αλγορίθμου. Ευτυχώς, σήμερα έχουμε στην διάθεσή μας βιβλιοθήκες λογισμικού που περιλαμβάνουν αυτές τις στοιχειώδεις πράξεις. Συμπερασματικά, ο έλεγχος στη γραμμή 5 δεν χρειάζεται να μας ανησυχεί. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι έχουμε στη διάθεσή μας μια συνάρτηση που εκτελεί αυτόν τον έλεγχο σε σταθερό χρόνο. Το άλλο βήμα του αλγορίθμου που χρειάζεται κάποια επεξήγηση είναι το τελευταίο.οβρόχοςστιςγραμμές2 7προσδιορίζειτοσύνολοE των ακμών του κυρτού περιβλήματος. Από αυτό το σύνολο μπορούμε να κατασκευάσουμε τον κατάλογο L ως εξής. Κάθε ακμή του συνόλου E είναι κατευθυντή, και επομένως μπορούμε να μιλάμε για την αϕετηρία και την απόληξή της. Δεδομένου ότι η κατεύθυνση της κάθε ακμής είναι τέτοια ώστε όλα τα υπόλοιπα σημεία να βρίσκονται στα δεξιά της, η απόληξή της θα πρέπει να έπεται της αϕετηρίας της όταν οι κορυϕές παρατίθενται σε ωρολόγια διάταξη. Μπορούμε λοιπόν να εργαστούμε ως εξής. Επιλέγουμε αυθαίρετα μια ακμή e 1 του E και την αϕαιρούμε από το E. Προσθέτουμε στον κατάλογο L ως πρώτο σημείο την αϕετηρία της e 1 και ως δεύτερο σημείο την απόληξή της. Κατόπιν, βρίσκουμε την ακμή e 2 του E που έχει ως αϕετηρία την απόληξη της e 1.Αϕαιρούμετην e 2 από το E, και επισυνάπτουμε στον κατάλογο L την απόληξή της. Στη συνέχεια, βρίσκουμε την ακμή e 3 που έχει ως αϕετηρία την απόληξη της e 2.Αϕαιρούμε την e 3 από το E, και επισυνάπτουμε στον L την απόληξή της. Συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο, θα απομείνει τελικά στο E μόνο μία ακμή, οπότε θα έχουμε τελειώσει. Η απόληξη αυτής της τελευταίας ακμής είναι αναγκαστικά η αϕετηρία της e 1, που βρίσκεται ήδη στον κατάλογο L, ως πρώτο σημείο του καταλόγου αυτού. Μια απλή υλοποίηση αυτής της διαδικασίας απαιτεί χρόνο O(n 2 ). Ο χρόνος αυτός μπορεί εύκολα να βελτιωθεί σε O(n log n), αλλάούτωςηάλλως ο συνολικός χρόνος εκτέλεσης καθορίζεται από τον χρόνο που απαιτείται από τον υπόλοιπο αλγόριθμο. Η ανάλυση της χρονικής πολυπλοκότητας της διαδικασίας μú ÚÙÔ ÂÚÈ ÏËÌ δεν παρουσιάζει καμία δυσκολία. Ελέγχουμε n 2 n ζεύγη σημείων. Για κάθε ζεύγος, διατρέχουμε τα υπόλοιπα n 2 σημεία για να διαπιστώσουμε αν κείνται όλα στη δεξιά πλευρά. Αυτό απαιτεί συνολικά χρόνο O(n 3 ). Δεδομένου ότι το τελευταίο βήμα απαιτεί χρόνο O(n 2 ), ο συνολικός χρόνος εκτέλεσης είναι O(n 3 ).Έναςαλγόριθμοςμεκυβικόχρόνοεκτέλεσηςείναιτόσοβραδύς που δεν μπορεί να έχει κάποια πρακτική χρησιμότητα, παρά μόνο για εισόδους πολύ μικρού μεγέθους. Στην προκειμένη περίπτωση, το πρόβλημα είναι ότι δεν χρησιμοποιήσαμε καμία έξυπνη τεχνική σχεδίασης αλγορίθμων. απλώς μετα- ϕράσαμε τη γεωμετρική μας αντίληψη σε έναν αλγόριθμο εξαντλητικού τύπου. Προτού προσπαθήσουμε να βρούμε κάτι καλύτερο, όμως, θα ήταν χρήσιμο να

15 κάνουμε ορισμένες παρατηρήσεις σχετικά με τον αλγόριθμο αυτόν. Στην επιλογή του κριτηρίου για το πότε ένα ζεύγος σημείων p και q ορίζει κάποια ακμή του περιβλήματος KP(P ),ήμαστανκάπως απρόσεκτοι.θεωρήσαμε ότι ένα σημείο r μπορεί να κείται είτε δεξιά είτε αριστερά της ευθείας που ορίζουν τα p και q. Υπάρχει όμως και η περίπτωση να κείται επί της ευθείας. Τι θα πρέπει να κάνουμε τότε; Μια τέτοια κατάσταση ονομάζεται εκϕυλισμένη περίπτωση, ήενσυντομίαεκϕυλισμός. Στο πρώτο στάδιο της αντιμετώπισης ενός προβλήματος συνήθως αγνοούμε αυτές τις περιπτώσεις, προκειμένου να μην περιπλέξουμε την κατάσταση στη ϕάση που προσπαθούμε να κατανοήσουμε τις γεωμετρικές ιδιότητες του προβλήματος. Ωστόσο, οι περιπτώσεις αυτές είναι δυνατόν να εμϕανιστούν στην πράξη. Παραδείγματος χάριν, αν τα σημεία έχουν δημιουργηθεί στην οθόνη του υπολογιστή με το «ποντίκι», τότε έχουν όλα τους ως συντεταγμένες κάποιους μικρούς ακέραιους αριθμούς, και επομένως δεν είναι καθόλου απίθανο τρία από αυτά να βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Ενότητα 1.1 Ó apple Ú ÂÈÁÌ : Î ÚÙ appleâúè ÏËÌ Ù Για να διορθώσουμε τον αλγόριθμο ώστε να λειτουργεί σωστά ακόμη και στις εκϕυλισμένες περιπτώσεις, θα πρέπει να αναδιατυπώσουμε το παραπάνω κριτήριο ως εξής: το κατευθυντό τμήμα pq είναι ακμή του KP(P ) εάν και μόνο εάν κάθε άλλο σημείο r P κείται είτε γνησίως δεξιά της κατευθυντής ευθείας που συνδέει τα p και q είτε επί του ανοιχτού ευθύγραμμου τμήματος pq.(υποθέτουμε ότι δεν υπάρχουν στο P σημεία που να συμπίπτουν.) Επομένως, η γραμμή 5 του αλγορίθμου θα πρέπει να αντικατασταθεί από αυτόν τον πιο περίπλοκο έλεγχο. Ένα άλλο σημαντικό ζήτημα που έχουμε παραβλέψει και το οποίο μπορεί να επηρεάσει την ορθότητα του αλγορίθμου είναι το εξής. Έχουμε υποθέσει σιωπηρά ότι υπάρχει τρόπος να ελέγχεται με ακρίβεια εάν ένα σημείο κείται δεξιά ή αριστερά μιας δεδομένης ευθείας. Αυτό δεν ισχύει πάντα: αν τα σημεία μάς έχουν δοθεί με συντεταγμένες κινητής υποδιαστολής και οι υπολογισμοί γίνονται με αριθμητικές πράξεις κινητής υποδιαστολής, τότε θα προκύψουν σϕάλματα στρογγύλευσης που ενδέχεται να αλλοιώσουν το αποτέλεσμα των ελέγχων. Φανταστείτε ότι υπάρχουν τρία σημεία, p, q,καιr, πουείναισχεδόνσυνευ- θειακά, και ότι όλα τα υπόλοιπα σημεία βρίσκονται μακριά από αυτά, και προς q τα δεξιά. Ο αλγόριθμός μας ελέγχει τα ζεύγη (p, q), (r, q),και(p, r). Δεδομένου r ότι τα σημεία αυτά είναι σχεδόν συνευθειακά, πιθανόν τα σϕάλματα στρογγύλευσης να οδηγήσουν στο συμπέρασμα ότι το r κείται δεξιά της κατευθυντής p ευθείας από το p στο q,τοp κείται δεξιά της κατευθυντής ευθείας από το r στο q, καιτοq κείται δεξιά της κατευθυντής ευθείας από το p στο r. Φυσικά, αυτό είναι γεωμετρικώς αδύνατον αλλά η αριθμητική κινητής υποδιαστολής δεν το γνωρίζει! Σε αυτήν την περίπτωση, ο αλγόριθμος θα δεχθεί και τις τρεις ακμές. Ακόμη χειρότερα, πιθανόν οι παραπάνω έλεγχοι να δώσουν και οι τρεις την q αντίθετη απάντηση, οπότε ο αλγόριθμος θα απορρίψει και τις τρεις ακμές, με r αποτέλεσμα να μείνει ένα χάσμα στο σύνορο του κυρτού περιβλήματος. Αυτό θα δημιουργήσει σοβαρό πρόβλημα στο τελευταίο βήμα του αλγορίθμου, όπου p επιχειρείται να κατασκευασταστεί ο ταξινομημένος κατάλογος των κορυϕών του κυρτού περιβλήματος. Το συγκεκριμένο βήμα προϋποθέτει ότι καθεμία από τις κορυϕές του κυρτού περιβλήματος αποτελεί την αϕετηρία μίας και μόνο μίας ακμής και την απόληξη μίας και μόνο μίας ακμής. Λόγω των σϕαλμάτων στρογγύλευσης, όμως, ενδέχεται ξαϕνικά να έχουμε κάποια κορυϕή p που να αποτελεί αϕετηρία δύο ακμών, ή και καμίας ακμής. Δεδομένου ότι το τελευταίο βήμα του αλγορίθμου δεν έχει σχεδιαστεί να αντιμετωπίζει τέτοιου είδους ασυνέπειες στα δεδομένα, το πρόγραμμα που τον υλοποιεί πιθανόν να καταρρεύσει. Παρ ότιαποδείξαμεότιοαλγόριθμόςμαςείναιορθόςκαιμπορείναδιαχειριστεί σωστά όλες τις ειδικές περιπτώσεις, ωστόσο δεν είναι ευσταθής:λόγω 5

16 Κεϕάλαιο 1 ÀappleÔÏÔÁÈÛÙÈÎË ÁˆÌÂÙÚÈ μικρών σϕαλμάτων στους υπολογισμούς, ενδέχεται να αποτύχει με εντελώς απρόσμενους τρόπους. Το πρόβλημα πηγάζει από το ότι, κατά την απόδειξη της ορθότητάς του, υποθέσαμε πως μπορούμε να εκτελούμε υπολογισμούς ακριβείας σε πραγματικούς αριθμούς. p 1 άνω περίβλημα κάτω περίβλημα p i αϕαιρούμενα σημεία p n Σχεδιάσαμε λοιπόν τον πρώτο μας γεωμετρικό αλγόριθμο, ο οποίος υπολογίζει το κυρτό περίβλημα ενός συνόλου σημείων στο επίπεδο. Ωστόσο, είναι αρκετά βραδύς (έχει χρόνο εκτέλεσης O(n 3 )), διαχειρίζεται τις εκϕυλισμένες περιπτώσεις με αδέξιο τρόπο, και επιπλέον δεν είναι ευσταθής. Θα πρέπει να προσπαθήσουμε για κάτι καλύτερο. Για τον σκοπό αυτό, θα εϕαρμόσουμε μια καθιερωμένη τεχνική αλγοριθμικής σχεδίασης: θα αναπτύξουμε έναν αυξητικό αλγόριθμο. Αυτόσημαίνειότι θα προσθέτουμε τα σημεία στο σύνολο P ένα προς ένα, και μετά από κάθε προσθήκη θα ενημερώνουμε κατάλληλα την τρέχουσα λύση. Θα δώσουμε σε αυτήν την αυξητική προσέγγιση και μια γεωμετρική χροιά, προσθέτοντας τα σημεία από αριστερά προς τα δεξιά. Ξεκινάμε λοιπόν διατάσσοντας τα σημεία κατά αύξουσα τετμημένη (συντεταγμένη x), ώστε να πάρουμε μια ταξινομημένη ακολουθία p 1,...,p n, βάσει της οποίας θα προσθέτουμε τα σημεία. Δεδομένου ότι εργαζόμαστε από αριστερά προς τα δεξιά, θα μας διευκόλυνε να ήταν και οι κορυϕές του κυρτού περιβλήματος διατεταγμένες από αριστερά προς τα δεξιά, με τη σειρά που εμϕανίζονται στο σύνορό του. Αυτό όμως δεν ισχύει. Για τον λόγο αυτό, θα υπολογίσουμε πρώτα μόνο τις κορυϕές που ανήκουν στο άνω περίβλημα, δηλαδή στο τμήμα του συνόρου του κυρτού περιβλήματος που εκτείνεται από το αριστερότερο σημείο p 1 έως το δεξιότερο σημείο p n,ότανοικορυϕέςπαρατίθενταιμετηνωρολόγιαδιάταξη.μεάλλαλόγια, το άνω περίβλημα περιλαμβάνει τις ακμές του κυρτού περιβλήματος που οριοθετούν το περίβλημα από επάνω. Σε μια δεύτερη σάρωση, που εκτελείται από δεξιά προς τα αριστερά, θα υπολογίσουμε το υπόλοιπο τμήμα του συνόρου του κυρτού περιβλήματος, το λεγόμενο κάτω περίβλημα. Το βασικό βήμα του αυξητικού αλγορίθμου είναι η ενημέρωση του άνω περιβλήματος μετά την προσθήκη ενός σημείου p i.μεάλλαλόγια,μεδεδομένο το άνω περίβλημα των σημείων p 1,...,p i 1,θαπρέπειναυπολογίσουμε το άνω περίβλημα των p 1,...,p i. Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής. Όταν διατρέχουμε το σύνορο ενός πολυγώνου κατά την ωρολόγια ϕορά, σε κάθε κορυϕή του πολυγώνου εκτελούμε μια στροϕή. Αν και για ένα τυχόν πολύγωνο η κάθε στροϕή μπορεί να είναι είτε δεξιά είτε αριστερή, για ένα κυρτό πολύγωνο θα είναι σίγουρα δεξιά. Με βάση αυτήν την παρατήρηση, η προσθήκη του σημείου p i μπορεί να διεκπεραιωθεί ως εξής. Έστω L άνω ένας κατάλογος που περιέχει τις κορυϕές του άνω περιβλήματος με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά. Ως πρώτο βήμα, προσθέτουμε το p i στο τέλος του L άνω (δηλ. το «επισυνάπτουμε»). Η επισύναψη αυτή είναι σίγουρα σωστή, διότι το p i κείται δεξιότερα από όλα τα σημεία που έχουν προστεθεί μέχρι στιγμής, και άρα θα ανήκει οπωσδήποτε στο άνω περίβλημα. Κατόπιν, ελέγχουμε αν η στροϕή που ορίζουν τα τρία τελευταία σημεία του L άνω είναι δεξιά. Εάν είναι, τότε δεν χρειάζεται να κάνουμε τίποτε άλλο. ο L άνω περιέχει ήδη τις κορυϕές του άνω περιβλήματος των σημείων p 1,...,p i, και άρα μπορούμε να προχωρήσουμε στο επόμενο σημείο, p i+1.εάν όμως τα τελευταία τρία σημεία ορίζουν αριστερή στροϕή, τότε θα πρέπει να αϕαιρέσουμε από τον κατάλογο το μεσαίο από αυτά. Και πάλι όμως δεν έχουμε τελειώσει: πιθανόν η στροϕή που ορίζουν τα νέα τρία τελευταία σημεία να μην είναι ούτε αυτή δεξιά, οπότε θα πρέπει και πάλι να αϕαιρέσουμε το μεσαίο. Συνεχίζουμε με αυτόν τον τρόπο μέχρις ότου τα τρία τελευταία σημεία να ορίζουν δεξιά στροϕή, ή μέχρι να απομείνουν στον κατάλογο μόνο δύο σημεία. 6 Κατόπιν αυτών, μπορούμε πλέον να διατυπώσουμε τον αλγόριθμο σε μορ- ϕή ψευδοκώδικα. Σημειωτέον ότι ο κώδικας υπολογίζει τόσο το άνω όσο και το κάτω περίβλημα. Για το κάτω περίβλημα διεξερχόμαστε τα σημεία από τα

17 δεξιά προς τα αριστερά. η διαδικασία είναι απολύτως αντίστοιχη με αυτήν για το άνω περίβλημα. Αλγόριθμος ÚÙÔ ÂÚÈ ÏËÌ (P ) Είσοδος. Ένα σύνολο P από σημεία στο επίπεδο. Έξοδος. Ένας κατάλογος των κορυϕών του KP(P ) σε ωρολόγια διάταξη. 1. Διατάσσουμετασημείακατάαύξουσατετμημένη,οπότεπροκύπτειηακολουθία p 1,...,p n. 2. Εισάγουμε τα σημεία p 1 και p 2, με αυτήν τη σειρά, σε έναν νέο κατάλογο L άνω. 3. για i 3 έως n 4. Επισυνάπτουμε το p i στον κατάλογο L άνω. 5. ενόσω ο L άνω περιέχει περισσότερα από δύο σημεία και ηστροϕήπου ορίζουν τα τρία τελευταία από αυτά δεν είναι δεξιά 6. Αϕαιρούμε από τον L άνω το μεσαίο από τα τρία τελευταία σημεία του. 7. Εισάγουμε τα σημεία p n και p n 1, με αυτήν τη σειρά, σε έναν νέο κατάλογο L κάτω 8. για i n 2 αντίστροϕα-έως 1 9. Επισυνάπτουμε το p i στον κατάλογο L κάτω. 10. ενόσω ο L κάτω περιέχει περισσότερα από δύο σημεία και ηστροϕήπου ορίζουν τα τρία τελευταία από αυτά δεν είναι δεξιά 11. Αϕαιρούμε από τον L κάτω το μεσαίο από τα τρία τελευταία σημεία του. 12. Αϕαιρούμε από τον L κάτω το πρώτο και το τελευταίο σημείο του, ώστε να αποϕύγουμε τη διπλή καταχώριση των κορυϕών στις οποίες συναρμόζονταιτοάνωκαιτοκάτωπερίβλημα. 13. Επισυνάπτουμε τον L κάτω στον L άνω.έστωl οκατάλογοςπουπροκύπτει. 14. επιστροϕή L. Και πάλι, εξετάζοντας τον αλγόριθμό μας πιο προσεκτικά αντιλαμβανόμαστε ότι δεν είναι ορθός. Χωρίς να το έχουμε αναϕέρει, υποθέσαμε ότι τα σημεία μας έχουν όλα διαϕορετικές τετμημένες. Αν αυτή η υπόθεση δεν ισχύει, τότε η διάταξη των σημείων κατά αύξουσα τετμημένη δεν είναι καλά ορισμένη. Ευτυχώς, το συγκεκριμένο πρόβλημα δεν είναι σοβαρό. Αρκεί να γενικεύσουμε κατάλληλα τη διάταξη: αντί να την ορίζουμε χρησιμοποιώντας μόνο την τετμημένη των σημείων, χρησιμοποιούμε και την τεταγμένη (δηλ. τη συντεταγμένη y), μέσωτηςλεξικογραϕικήςδιάταξης.δηλαδήδιατάσσουμετασημείαπρώταμε βάση την τετμημένη και, εάν κάποια από αυτά έχουν την ίδια τετμημένη, τα διατάσσουμεμεβάσητηντεταγμένητους. Ένα άλλο ζήτημα που δεν λάβαμε υπ όψιν είναι η ειδική περίπτωση όπου τα τρία σημεία για τα οποία πρέπει να εξετάσουμε εάν ορίζουν αριστερή ή δεξιά στροϕή τυχαίνει να είναι συνευθειακά. Στην περίπτωση αυτή, το μεσαίο σημείο δεν είναι κορυϕή του κυρτού περιβλήματος. επομένως, τα συνευθειακά σημεία θα πρέπει να αντιμετωπίζονται όπως τα σημεία που ορίζουν αριστερή στρο- ϕή. Με άλλα λόγια, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μια διαδικασία ελέγχου που να δίνει αποτέλεσμα «αληθές» εάν τα τρία σημεία ορίζουν δεξιά στροϕή, και «ψευδές» σε αντίθετη περίπτωση. (Σημειωτέον ότι αυτός ο έλεγχος είναι απλούστερος από εκείνον που απαιτούσε ο προηγούμενος αλγόριθμος σε περίπτωση συνευθειακών σημείων.) Μετά από αυτές τις τροποποιήσεις, ο αλγόριθμος υπολογίζει σωστά το κυρτό περίβλημα: στην πρώτη σάρωση υπολογίζεται το άνω περίβλημα, που πλέον ορίζεται ως το τμήμα του συνόρου του κυρτού περιβλήματος που εκτείνεται απότηλεξικογραϕικάμικρότερηέωςτηλεξικογραϕικάμεγαλύτερηκορυϕή, και στη δεύτερη σάρωση υπολογίζεται το υπόλοιπο τμήμα του περιβλήματος. Ενότητα 1.1 Ó apple Ú ÂÈÁÌ : Î ÚÙ appleâúè ÏËÌ Ù μη δεξιά στροϕή Πώς συμπεριϕέρεται ο αλγόριθμός μας όταν σημειώνονται σϕάλματα στογγύλευσης στις αριθμητικές πράξεις κινητής υποδιαστολής; Σε αυτήν την περί- 7

18 Κεϕάλαιο 1 ÀappleÔÏÔÁÈÛÙÈÎË ÁˆÌÂÙÚÈ πτωση, ο αλγόριθμος ενδέχεται είτε να μην συμπεριλάβει στο σύνορο του κυρτού περιβλήματος κάποιο σημείο που θα έπρεπε να συμπεριληϕθεί, είτε να συμπεριλάβει κάποιο σημείο που στην πραγματικότητα βρίσκεται στο εσωτερικό του περιβλήματος. Ωστόσο, αυτό δεν επηρεάζει τη δομική ακεραιότητά του: ο αλγόριθμος υπολογίζει σίγουρα μια κλειστή πολυγωνική αλυσίδα. Σε κάθε περίπτωση, το αποτέλεσμα είναι ένας κατάλογος σημείων που μπορεί να ερμηνευθεί ως παράθεση των κορυϕών ενός πολυγώνου σε ωρολόγια διάταξη, και κάθε τριάδα διαδοχικών σημείων αυτού του καταλόγου ορίζει είτε μια δεξιά στροϕή είτε, λόγω των σϕαλμάτων στρογγύλευσης, μια σχεδόν δεξιά στρο- ϕή. Επιπλέον, κανένα σημείο του P δεν μπορεί να βρίσκεται πολύ μακριά από το υπολογιζόμενο περίβλημα. Το μόνο ενδεχόμενο πρόβλημα που εξακολουθεί να υπάρχει είναι να εκληϕθεί ως δεξιά στροϕή μια οξεία αριστερή στροϕή που ορίζεται από τρία πολύ κοντινά σημεία. Αυτό θα μπορούσε να προκαλέσει στο τελικό πολύγωνο ένα «βαθούλωμα». Ένας τρόπος να παρακάμψουμε το πρόβλημα είναι να ϕροντίσουμε π.χ., μέσω στρογγύλευσης των συντεταγμένων τα σημεία της εισόδου που είναι πολύ κοντινά να αντιμετωπίζονται ως ένα σημείο. Με τον τρόπο αυτό, το αποτέλεσμα ίσως να μην είναι μεν απόλυτα ορθό (κάτι που ούτως ή άλλως θα πρέπει να αποδεχθούμε, όταν έχουμε αριθμητική περιορισμένης ακρίβειας), αλλά θα έχει νόημα. Για πολλές εϕαρμογές αυτός είναι ένας αρκετά καλός συμβιβασμός. Σε κάθε περίπτωση, δεν βλάπτει να είμαστε προσεκτικοί κατά την υλοποίηση του βασικού ελέγχου ώστε να αποϕύγουμε τα σϕάλματα όσο είναι δυνατόν. κενή περιοχή 8 p i 1 p i Ολοκληρώνουμε αυτήν την ενότητα με το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα 1.1 Το κυρτό περίβλημα ενός συνόλου n σημείων στο επίπεδο μπορεί να υπολογιστεί σε χρόνο O(n log n). Απόδειξη. Θα αποδείξουμε κατ αρχάς την ορθότητα του υπολογισμού του άνω περιβλήματος. η ορθότητα του υπολογισμού του κάτω περιβλήματος μπορεί να αποδειχθεί με παρόμοιο σκεπτικό. Η απόδειξη θα γίνει με επαγωγή ως προς το πλήθος των σημείων που έχουν ήδη εξεταστεί. Πριν από την έναρξη του βρόχου για, ο κατάλογος L άνω περιέχει τα σημεία p 1 και p 2,πουπροϕανώς συνιστούν όντως το άνω περίβλημα του συνόλου {p 1,p 2 }.Αςυποθέσουμεστη συνέχεια ότι ο L άνω περιέχει τις κορυϕές του άνω περιβλήματος του συνόλου {p 1,...,p i 1 }, και ας εξετάσουμε τι συμβαίνει με την προσθήκη του σημείου p i. Μετά την εκτέλεση του βρόχου ενόσω και λόγω της επαγωγικής υπόθεσης, γνωρίζουμε ότι τα σημεία του L άνω σχηματίζουν μια αλυσίδα στην οποία υπάρχουν μόνο δεξιές στροϕές. Επιπλέον, η αλυσίδα αρχίζει με το λεξικογρα- ϕικά μικρότερο σημείο του συνόλου {p 1,...,p i } και τελειώνει με το λεξικογραϕικά μεγαλύτερο σημείο, δηλαδή το p i. Αν δείξουμε ότι όλα τα σημεία του {p 1,...,p i } που δεν συμπεριλαμβάνονται στον κατάλογο L άνω βρίσκονται κάτω από την αλυσίδα, αυτό θα σημαίνει ότι ο L άνω περιέχει πράγματι τα σωστά σημεία. Από την επαγωγική υπόθεση, γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει κανένα σημείο πάνω από την αλυσίδα που είχαμε πριν την προσθήκη του p i. Καθώς η προηγούμενη αυτή αλυσίδα βρίσκεται κάτω από τη νέα, η μόνη περίπτωση να βρίσκεται ένα σημείο πάνω από τη νέα αλυσίδα είναι να κείται στην κατακόρυϕη ζώνη μεταξύ των σημείων p i 1 και p i. Όμως αυτό είναι αδύνατον, αϕού ένα τέτοιο σημείο θα βρισκόταν ανάμεσα στο p i 1 και το p i στη λεξικογραϕική διάταξη. (Θα πρέπει να επαληθεύσετε ότι ένα αντίστοιχο επιχείρημα ισχύει και στην περίπτωση που τα p i 1 και p i, ή οποιαδήποτε άλλα σημεία, έχουν την ίδια τετμημένη.) Για να αποδείξουμε το χρονικό ϕράγμα, παρατηρούμε κατ αρχάς ότι η λεξικογραϕική ταξινόμηση των σημείων μπορεί να πραγματοποιηθεί σε χρόνο O(n log n). Στη συνέχεια εξετάζουμε τον υπολογισμό του άνω περιβλήματος. Το πλήθος των επαναλήψεων του βρόχου για είναι γραμμικό. Το ερώτημα που απομένει είναι πόσο συχνά εκτελείται ο βρόχος ενόσω. Γιακάθεεκτέλεσητου

19 βρόχου για, ο βρόχος ενόσω εκτελείται τουλάχιστον μία ϕορά. Σε κάθε επιπλέον εκτέλεσή του, αϕαιρείται από το τρέχον άνω περίβλημα ένα σημείο. Δεδομένου ότι το κάθε σημείο μπορεί να αϕαιρεθεί μόνο μία ϕορά κατά την κατασκευή του άνω περιβλήματος, το συνολικό πλήθος των επιπλέον εκτελέσεων κατά τη διάρκεια όλων των επαναλήψεων του βρόχου για είναι το πολύ n. Παρομοίως, ο υπολογισμός του κάτω περιβλήματος απαιτεί χρόνο επίσης O(n). Λόγω του βήματος της ταξινόμησης, ο συνολικός χρόνος που απαιτείται για τον υπολογισμό του κυρτού περιβλήματος είναι O(n log n). Ενότητα 1.2 ÎÊ ÏÈÛÌÂÓÂÛ appleâúèappleùˆûâèû Î È Â ÛÙ ıâè Ο τελικός αλγόριθμος του κυρτού περιβλήματος είναι απλός στην περιγραϕή και εύκολος στην υλοποίηση. Δεν απαιτεί παρά μόνο τη λεξικογραϕική ταξινόμηση και τον έλεγχο της ϕοράς της στροϕής που ορίζουν τρία διαδοχικά σημεία. Όταν διατυπώσαμε αρχικά το πρόβλημα, δεν ήταν καθόλου προϕανές ότι θα υπήρχε μια τόσο εύκολη και δραστική λύση. 1.2 Εκϕυλισμένες περιπτώσεις και ευστάθεια Όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα, η ανάπτυξη ενός γεωμετρικού αλγορίθμου διέρχεται συχνά από τρεις ϕάσεις. Στην πρώτη ϕάση, προσπαθούμε να αγνοήσουμε οτιδήποτε μπορεί να αποσπάσει την προσοχή μας από την κατανόηση των γεωμετρικών εννοιών που πραγματευόμαστε. Μερικές ϕορές το πρόβλημα είναι τα συνευθειακά σημεία, άλλοτε είναι τα κατακόρυϕα ευθύγραμμα τμήματα. Στην πρώτη σας προσπάθεια να σχεδιάσετε ή να κατανοήσετε έναν αλγόριθμο, συχνά είναι προτιμότερο να αγνοείτε αυτές τις εκϕυλισμένες περιπτώσεις. Στη δεύτερη ϕάση, θα πρέπει να ρυθμίσουμε τον αλγόριθμο που σχεδιάσαμε στην πρώτη ϕάση ώστε να χειρίζεται ορθά ακόμη και τις εκϕυλισμένες περιπτώσεις. Οι αρχάριοι τείνουν να αντιμετωπίζουν το ζήτημα αυτό με πολυάριθμες προσθήκες στον αλγόριθμό τους, ώστε να διακρίνουν πάμπολλες διαϕορετικές περιπτώσεις. Πολλές ϕορές υπάρχει κάποιος καλύτερος τρόπος. Επανεξετάζοντας τη γεωμετρία του προβλήματος, συχνά μπορεί κανείς να ενσωματώσει κάποιες ειδικές περιπτώσεις στη γενική. Παραδείγματος χάριν, στον αλγόριθμο του κυρτού περιβλήματος, το μόνο που χρειάστηκε για να αντιμετωπίσουμετηνπερίπτωσησημείωνμεκοινήτετμημένηήταννααντικαταστήσουμε τη διάταξη κατά τετμημένη με τη λεξικογραϕική διάταξη. Στους περισσότερους αλγορίθμους αυτού του βιβλίου, έχουμε προσπαθήσει να διαχειριστούμε τις ειδικές περιπτώσεις με αυτό το ενοποιητικό πνεύμα. Παρ όλα αυτά, στην πρώτη ανάγνωση είναι ευκολότερο να μην ασχολείστε με τέτοιες περιπτώσεις. Μόνο αϕότου έχετε κατανοήσει τον τρόπο λειτουργίας του αλγορίθμου στη γενική περίπτωση θα πρέπει να σας απασχολήσουν οι διάϕοροι εκϕυλισμοί. Αν μελετήσετε τη βιβλιογραϕία της υπολογιστικής γεωμετρίας, θα διαπιστώσετε ότι πολλοί συγγραϕείς αγνοούν τις ειδικές περιπτώσεις, συχνά εισάγοντας συγκεκριμένες προδιαγραϕές για την είσοδο. Παραδείγματος χάριν, στο πρόβλημα του κυρτού περιβλήματος θα μπορούσαμε να έχουμε αγνοήσει τις ειδικές περιπτώσεις λέγοντας απλώς πως υποθέτουμε ότι η είσοδος δεν περιέχει ούτε τριάδες συνευθειακών σημείων ούτε ζεύγη σημείων με κοινή τετμημένη. Από θεωρητικής πλευράς, τέτοιες υποθέσεις είναι συνήθως δικαιολογημένες: στη θεωρητική μελέτη ο στόχος είναι να προσδιοριστεί η υπολογιστική πολυπλοκότητα ενός προβλήματος, και οι εκϕυλισμένες περιπτώσεις, παρά την πληκτική δουλειά που απαιτεί η αναλυτική επεξεργασία τους, μπορούν σχεδόν πάντοτε να αντιμετωπιστούν χωρίς να αυξηθεί η ασυμπτωτική πολυπλοκότητα του αλγορίθμου. Ωστόσο, οι ειδικές αυτές περιπτώσεις σίγουρα αυξάνουν την πολυπλοκότητα των υλοποιήσεων των αλγορίθμων. Στις 9

20 Κεϕάλαιο 1 ÀappleÔÏÔÁÈÛÙÈÎË ÁˆÌÂÙÚÈ μέρες μας, οι περισσότεροι ερευνητές στην υπολογιστική γεωμετρία γνωρίζουν ότι οι παραδοχές γενικής θέσης που υιοθετούν δεν ικανοποιούνται στις πρακτικές εϕαρμογές, και ότι ο καλύτερος τρόπος αντιμετώπισης των ειδικών περιπτώσεων είναι κατά κανόνα η ενοποιημένη διαχείρισή τους. Επιπλέον, υπάρχουν γενικές τεχνικές τα λεγόμενα σχήματα συμβολικής διαταραχής πουμας επιτρέπουν να αγνοούμε τις ειδικές περιπτώσεις κατά τη σχεδίαση και την υλοποίηση του αλγορίθμου, εξασϕαλίζοντας παρ όλα αυτά την ορθότητά του ακόμη και απέναντι σε εκϕυλισμένες περιπτώσεις. Η τρίτη ϕάση είναι η καθαυτό υλοποίηση. Σε αυτό το στάδιο είμαστε πλέον αναγκασμένοι να ασχοληθούμε με τις στοιχειώδεις πράξεις, όπως είναι ο έλεγχος για το αν ένα σημείο κείται αριστερά, δεξιά, ή επί κάποιας κατευθυντής ευθείας. Αν είστε τυχεροί, θα έχετε πρόσβαση σε κάποια βιβλιοθήκη γεωμετρικού λογισμικού που θα περιλαμβάνει τις πράξεις που χρειάζεστε. Διαϕορετικά, θα πρέπει να τις υλοποιήσετε μόνοι σας. Έναάλλοζήτημαπουανακύπτειστηϕάσητηςυλοποίησηςείναιότιηπαραδοχή πως μπορούμε να εκτελούμε αριθμητικές πράξεις ακριβείας σε πραγματικούς αριθμούς παύει να ισχύει, και είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τις συνέπειες αυτού του γεγονότος. Τα προβλήματα ευστάθειας αποτελούν συχνή αιτία απογοήτευσης όταν υλοποιούμε γεωμετρικούς αλγορίθμους. Η αντιμετώπισή τους δεν είναι εύκολη υπόθεση. Μια λύση είναι να χρησιμοποιήσουμε ένα πακέτο λογισμικού που παρέχει αριθμητική ακριβείας (μέσω ακεραίων, ρητών, ή ακόμη και αλγεβρικών αριθμών, ανάλογα με το είδος του προβλήματος), αλλά αυτό επιβραδύνει τον αλγόριθμό μας. Εναλλακτικά, μπορούμε να ρυθμίσουμε τον αλγόριθμο έτσι ώστε να ανιχνεύει τις τυχόν ασυνέπειες και να λαμβάνει τα κατάλληλα μέτρα ώστε να αποϕευχθεί η κατάρρευση του προγράμματος. Σε αυτή την περίπτωση, δεν μπορούμε πλέον να είμαστε βέβαιοι ότι η έξοδος του αλγορίθμου θα είναι ορθή, και επομένως θα πρέπει να αποδείξουμε τις ακριβείς της ιδιότητες. Αυτό ακριβώς κάναμε στην προηγούμενη ενότητα, όταν αναπτύξαμε τον αλγόριθμο του κυρτού περιβλήματος: αν και το αποτέλεσμα ενδέχεται να μην είναι ένα κυρτό πολύγωνο, ωστόσο γνωρίζουμε ότι η έξοδος είναι δομικά ορθή και ότι αντιπροσωπεύει ένα πολύγωνο που προσεγγίζει πολύ ικανοποιητικά το κυρτό περίβλημα. Τέλος, με βάση την είσοδο, είναι δυνατόν να προβλέψουμε την ακρίβεια που απαιτείται στην αναπαράσταση των αριθμών προκειμένου να επιλυθεί σωστά το πρόβλημα. Το ποια από τις προσεγγίσεις είναι η καλύτερη εξαρτάται από την εϕαρμογή. Αν η ταχύτητα του αλγορίθμου δεν μας απασχολεί ιδιαίτερα, τότε η αριθμητική ακριβείας είναι προτιμότερη. Σε άλλες περιπτώσεις, η ακρίβεια του αποτελέσματος του αλγορίθμου δεν είναι και τόσο σημαντική. Παραδείγματος χάριν, για την προβολή του κυρτού περιβλήματος ενός συνόλου σημείων σε μια οθόνη, μια ενδεχόμενη ελαϕρά απόκλιση του πολυγώνου από το πραγματικό κυρτό περίβλημα κατά πάσα πιθανότητα δεν θα γίνει αντιληπτή. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορούμε να προτιμήσουμε μια προσεκτική υλοποίηση που να βασίζεται σε αριθμητική κινητής υποδιαστολής. Στο υπόλοιπο του βιβλίου θα εστιάσουμε την προσοχή μας στη ϕάση της σχεδίασης γεωμετρικών αλγορίθμων. τα προβλήματα που ανακύπτουν στην ϕάση της υλοποίησης δεν θα μας απασχολήσουν ιδιαίτερα. 1.3 Πεδία εϕαρμογών 10 Όπως προαναϕέραμε, για κάθε έννοια, αλγόριθμο, ή δομή δεδομένων γεωμετρικού τύπου που θα παρουσιάσουμε σε αυτό το βιβλίο, έχουμε επιλέξει ως έναυσμα μια ενδεικτική εϕαρμογή. Οι περισσότερες εϕαρμογές προέρχονται από τα πεδία της υπολογιστικής γραϕιστικής, της ρομποτικής, των γεωγρα- ϕικών συστημάτων πληροϕοριών, και της υπολογιστικά βοηθούμενης σχεδίασης και βιομηχανικής παραγωγής. Για όσους δεν είναι εξοικειωμένοι με αυτά

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 5.1 Εισαγωγή στους αλγορίθμους 5.1.1 Εισαγωγή και ορισμοί Αλγόριθμος (algorithm) είναι ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών οι οποίες εκτελούν κάποιο ιδιαίτερο έργο. Κάθε αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του A A N A B P Y T A ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΑ ΑΠΛΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 9 5 0 Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του Περιεχόμενα Εισαγωγή και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δρ. Κόννης Γιώργος Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής Προγραμματισμός Στόχοι 1 Να περιγράψουμε τις έννοιες του Υπολογιστικού Προβλήματος και του Προγράμματος/Αλγορίθμου

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλια και υποδείξεις για το Σχέδιο Μαθήματος

Σχόλια και υποδείξεις για το Σχέδιο Μαθήματος Σχόλια και υποδείξεις για το Σχέδιο Μαθήματος Ακολούθως αναπτύσσονται ορισμένα διευκρινιστικά σχόλια για το Σχέδιο Μαθήματος. Αφετηρία για τον ακόλουθο σχολιασμό υπήρξαν οι σχετικές υποδείξεις που μας

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα

5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα 5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχεις ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου θα έχεις κατανοήσει τις τεχνικές ανάλυσης των αλγορίθμων, θα μπορείς να μετράς την επίδοση των αλγορίθμων με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΙΤΛΟΣ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Μέτρα διασποράς - Συντελεστής μεταβολής ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Καραγιάννης Βασίλης ΑΜ: 201118 Οικονόμου Κυριάκος AM: 201102 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: Στατιστική Γ Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

9 Τριγωνισμοί Delaunay

9 Τριγωνισμοί Delaunay 9 Τριγωνισμοί Delaunay Παρεμβολή καθ ύψος Ότανσεπροηγούμενακεϕάλαιααναϕερθήκαμεσεχάρτεςενόςτμήματοςτης επιϕάνειας της Γης, υποθέσαμε σιωπηρά ότι δεν υπάρχουν υψομετρικές διαϕορές. Η παραδοχή αυτή πιθανόν

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και Βασίλευε (Divide and

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα αλγόριθμοι τεχνολογία αλγορίθμων 2 αλγόριθμοι αλγόριθμος: οποιαδήποτε καλά ορισμένη υπολογιστική διαδικασία που δέχεται κάποια τιμή ή κάποιο σύνολο τιμών, και δίνεικάποιατιμήήκάποιοσύνολοτιμώνως

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 6.1 Τι ονοµάζουµε πρόγραµµα υπολογιστή; Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Γώγουλος Γ., Κοτσιφάκης Γ., Κυριακάκη Γ., Παπαγιάννης Α., Φραγκονικολάκης Μ., Χίνου Π. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης Περιεχόμενα Δομές δεδομένων 37. Δομές δεδομένων (θεωρητικά στοιχεία)...11 38. Εισαγωγή στους μονοδιάστατους πίνακες...16 39. Βασικές επεξεργασίες στους μονοδιάστατους πίνακες...25 40. Ασκήσεις στους μονοδιάστατους

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών Μ7 Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών 1. Σκοπός Τα διαστημόμετρα, τα μικρόμετρα και τα σφαιρόμετρα είναι όργανα που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση της διάστασης του μήκους, του

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: Τηλέφωνο: 210-3443422 Ινστιτούτο Εκπαιδευτικής Πολιτικής ΚΟΙΝ.:

ΠΡΟΣ: Τηλέφωνο: 210-3443422 Ινστιτούτο Εκπαιδευτικής Πολιτικής ΚΟΙΝ.: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών Θέμα Α A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Ομάδα Γ Βότσης Ευστάθιος Γιαζιτσής Παντελής Σπαής Αλέξανδρος Τάτσης Γεώργιος Προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι αρχάριοι προγραμματιστές Εισαγωγή Προβλήματα Δυσκολίες Διδακτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Mα θ η μ α τ ι κ ά Γ Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς στον Αλέξη, το Σπύρο, τον Ηλία και το Λούη, στην παντοτινή φιλία Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΕΛΤΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΕΛΤΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΕΛΤΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥ ΕΠΑΛ Α Έκδοση 1.0, Ιούνιος 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΛΙΣΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις δεδομένων (Access)

Βάσεις δεδομένων (Access) Βάσεις δεδομένων (Access) Όταν εκκινούμε την Access εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Για να φτιάξουμε μια νέα ΒΔ κάνουμε κλικ στην επιλογή «Κενή βάση δεδομένων» στο Παράθυρο Εργασιών. Θα εμφανιστεί το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. 1. Στην εντολή εκχώρησης Χ ΨΕΥΔΗΣ η μεταβλητή Χ είναι τύπου χαρακτήρες.

ΘΕΜΑ Α. 1. Στην εντολή εκχώρησης Χ ΨΕΥΔΗΣ η μεταβλητή Χ είναι τύπου χαρακτήρες. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 08/04/2015- ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Η ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Συμπληρωματικό κείμενο στη θέση του Δ.Σ. της ΠΕΚαΠ για την Πληροφορική στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση. Τελική έκδοση κειμένου: Η ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Εισαγωγικά ΘΕ ΠΛΗ 204-5 ONLINE ΕΡΓΑΣΙΑ E2- Η Online Εργασία Ε2- αποτελεί (όπως περιγράφεται αναλυτικότερα και στον Οδηγό Σπουδών της Θ.Ε. που σας έχει διατεθεί) συμπληρωματική άσκηση στα πλαίσια της Γραπτής

Διαβάστε περισσότερα

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo;

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Η Logo είναι μία από τις πολλές γλώσσες προγραμματισμού. Κάθε γλώσσα προγραμματισμού έχει σκοπό τη δημιουργία προγραμμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός γρήγορης εκκίνησης

Οδηγός γρήγορης εκκίνησης Οδηγός γρήγορης εκκίνησης Το Microsoft Excel 2013 έχει διαφορετική εμφάνιση από προηγούμενες εκδόσεις. Γι αυτό το λόγο, δημιουργήσαμε αυτόν τον οδηγό για να ελαχιστοποιήσουμε την καμπύλη εκμάθησης. Προσθήκη

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

εισαγωγικές έννοιες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και

εισαγωγικές έννοιες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα ενθετική ταξινόμηση ανάλυση αλγορίθμων σχεδίαση αλγορίθμων 2 ενθετική ταξινόμηση 3 ενθετική ταξινόμηση Βασική αρχή: Επιλέγει ένα-έναταστοιχείατηςμηταξινομημένης ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Άπληστοι Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άπληστοι Αλγόριθμοι... για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΕΛΤΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΕΛΤΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΕΛΤΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥ ΕΠΑΛ A Έκδοση 1.0, Ιούνιος 2015 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ, ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΛΙΣΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση Συστημάτων

Μοντελοποίηση Συστημάτων Εργασία για το μάθημα Μοντελοποίηση Συστημάτων 29 Οκτωβρίου 204 Α. Στόχος Στην εργασία αυτή θα εξοικειωθείτε με τα πρώτα στάδια σχεδιασμού λογισμικού. Συγκεκριμένα, μετά την εκπόνηση της εργασίας θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 10 000

ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 10 000 ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 10 000 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών μέχρι το. Αρ2.2 Συγκρίνουν και διατάσσουν τους φυσικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ Α... Β

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ Α... Β ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΑ Ε ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ ΗΛΙΟΥΔΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΜΕΤΑΛΛΙΔΟΥ ΧΡΥΣΗ ΝΙΖΑΜΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΤΖΗΚΑΛΑΓΙΑΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΤΡΙΓΚΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ

ΟΜΑΔΑ Ε ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ ΗΛΙΟΥΔΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΜΕΤΑΛΛΙΔΟΥ ΧΡΥΣΗ ΝΙΖΑΜΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΤΖΗΚΑΛΑΓΙΑΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΤΡΙΓΚΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ ΟΜΑΔΑ Ε ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ ΗΛΙΟΥΔΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΜΕΤΑΛΛΙΔΟΥ ΧΡΥΣΗ ΝΙΖΑΜΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΤΖΗΚΑΛΑΓΙΑΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΤΡΙΓΚΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Εισαγωγή Η μεγάλη ανάπτυξη και ο ρόλος που

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Αναπαράσταση μοντέλου Το 3D μοντέλο το αποθηκεύουμε στην μνήμη με τις εξής δομές δεδομένων: Λίστα κορυφών Λίστα τριγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ. Public Relations Management

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ. Public Relations Management ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ Public Relations Management Στόχος του Προγράμματος Το πρόγραμμα Διοίκηση Επικοινωνίας Δημοσίων Σχέσεων είναι ένα πλήρες και ολοκληρωμένο εκπαιδευτικό πρόγραμμα με

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα