ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ"

Transcript

1

2 Mark de Berg Otfried Cheong Marc van Kreveld Mark Overmars ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Επιμέλεια: Ιωάννης Παπαδόγγονας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ, 2011

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ Ίδρυμα Τεχνολογίας & Έρευνας Αθήνα: Κλεισόβης 3, , Εξάρχεια, Αθήνα. Τηλ , Fax Ηράκλειο: Νικ. Πλαστήρα 100, Βασιλικά Βουτών , Ηράκλειο Κρήτης. Τηλ Fax ΣΕΙΡΑ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ / ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ È ı ÓÙÂÛ ÂÈÚ Û: ˆÚÁÈÔÛ ºÚ. ˆÚÁ ÎÔappleÔ ÏÔÛ, πˆ ÓÓËÛ apple ÔÁÁÔÓ Û Τίτλος πρωτοτύπου: c 2008: c για την ελληνική γλώσσα: Μετάϕραση 2ης έκδοσης: Επιμέλεια κειμένου και ορολογίας, προσαρμογή στην 3η έκδοση: Προσαρμογή L A TEX: Μακέτα εξωϕύλλου: Computational Geometry, Algorithms and Applications, 3rd Edition by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης Χρήστος Καπούτσης Ιωάννης Παπαδόγγονας (ΠΕΚ) David J. McClurkin Βάσω Αβραμοπούλου ISBN

4 Πρόλογος Η υπολογιστική γεωμετρία αναδύθηκε από τον κλάδο της σχεδίασης και ανάλυσης αλγορίθμων στα τέλη της δεκαετίας του Έχει εξελιχθεί σε έναν αναγνωρισμένο επιστημονικό τομέα, με τα δικά του τεχνικά περιοδικά και συνέδρια, και με μια μεγάλη κοινότητα ενεργών ερευνητών. Η επιτυχία της ως ερευνητικού τομέα μπορεί να αποδοθεί αϕ ενός στην ομορϕιά των προβλημάτων που μελετάει και των λύσεων που ανακαλύπτει, και αϕ ετέρου στα πολλά πεδία εϕαρμογών υπολογιστική γραϕιστική, γεωγραϕικά συστήματα πληρο- ϕοριών, ρομποτική, και άλλα στα οποία οι γεωμετρικοί αλγόριθμοι παίζουν θεμελιώδη ρόλο. Για πολλά γεωμετρικά προβλήματα, οι πρώτες αλγοριθμικές λύσεις που αναπτύχθηκαν ήταν είτε βραδείες είτε δύσκολες στην κατανόηση και υλοποίηση. Τα τελευταία χρόνια έχουν διαμορϕωθεί αρκετές νέες αλγοριθμικές τεχνικές οι οποίες βελτίωσαν και απλοποίησαν πολλές από τις προηγούμενες προσεγγίσεις. Σε αυτό το βιβλίο έχουμε προσπαθήσει να καταστήσουμε αυτές τις σύγχρονες αλγοριθμικές λύσεις προσιτές σε ένα ευρύ κοινό. Αν και το βιβλίο γράϕτηκε ως διδακτικό εγχειρίδιο για ένα μάθημα υπολογιστικής γεωμετρίας, μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για αυτόνομη μελέτη. Δομή του βιβλίου. Καθένααπόταδεκαέξικεϕάλαια(εκτόςαπότοεισαγωγικό) ξεκινάει με ένα πρόβλημα που ανακύπτει σε κάποιο από τα πεδία εϕαρμογών. Στη συνέχεια, το πρόβλημα αυτό αναδιατυπώνεται σε καθαρά γεωμετρική μορϕή, και επιλύεται με τεχνικές της υπολογιστικής γεωμετρίας. Το πραγματικό θέμα του κάθε κεϕαλαίου είναι η γεωμετρική μορϕή του προβλήματος και οι έννοιες και τεχνικές που απαιτούνται για την επίλυσή του. Η επιλογή των εϕαρμογών έγινε με κριτήριο τα θέματα της υπολογιστικής γεωμετρίας που θέλαμε να καλύψουμε. ο σκοπός μας δεν ήταν να καλύψουμε εκτενώς τα διάϕορα πεδία εϕαρμογών. Στόχος των εϕαρμογών είναι να διεγείρουν το ενδιαϕέρον του αναγνώστη. η διαμόρϕωση της ύλης των κεϕαλαίων δεν αποσκοπεί στο να παρέχει λύσεις έτοιμες προς χρήση για τις εϕαρμογές. Παρ όλα αυτά, πιστεύουμε ότι η γνώση της υπολογιστικής γεωμετρίας παίζει ουσιαστικό ρόλο στη δραστική επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων στις διάϕορες περιοχές εϕαρμογών. Ελπίζουμε το βιβλίο μας να προσελκύσει το ενδιαϕέρον όχι μόνο των μελών την αλγοριθμικής κοινότητας, αλλά και επαγγελματιών από τα διάϕορα πεδία εϕαρμογών. Γιαταπερισσότερααπόταγεωμετρικάπροβλήματαπουπραγματευόμαστε παραθέτουμε μόνο μία λύση, ακόμη και όταν υπάρχουν πολλές διαϕορετικές. Εν γένει, επιλέγουμε τη λύση που είναι ευκολότερη στην κατανόηση και την υλοποίηση. Αυτή δεν είναι απαραιτήτως και η δραστικότερη. Επίσης, ϕροντίσαμε το βιβλίο να περιλαμβάνει ένα καλό μείγμα τεχνικών όπως η διαίρει-καικυρίευε, η σάρωση επιπέδου, και οι τυχαιοκρατικοί αλγόριθμοι. Αποϕασίσαμε να μην ασχοληθούμε με όλες τις δυνατές παραλλαγές των προβλημάτων. θεωρήσαμε ότι είναι σημαντικότερο να παρουσιάσουμε όλα τα βασικά θέματα της υπολογιστικής γεωμετρίας παρά να δώσουμε λεπτομερέστερες πληροϕορίες για ένα μικρότερο πλήθος θεμάτων. Αρκετά κεϕάλαια περιέχουν μία ή περισσότερες ενότητες που επισημαίνονται με αστερίσκο. Οι ενότητες αυτές περιλαμβάνουν βελτιώσεις της λύσης που έχει ήδη παρουσιαστεί, περιγράϕουν επεκτάσεις, ή επεξηγούν τη σχέση μεταξύ v

5 ÚÔÏÔÁÔÛ διαϕόρων προβλημάτων. Δεν είναι απαραίτητες για την κατανόηση της υπόλοιπης ύλης του βιβλίου. Κάθε κεϕάλαιο ολοκληρώνεται με μια ενότητα με τίτλο Σημειώσεις και σχόλια. Στις ενότητες αυτές υποδεικνύεται η προέλευση των αποτελεσμάτων που περιγράϕονται στο κεϕάλαιο, αναϕέρονται άλλες λύσεις, γενικεύσεις και βελτιώσεις, και παρέχονται βιβλιογραϕικές παραπομπές. Αν και η μελέτη τους δεν είναι απαραίτητη, ωστόσο περιέχουν χρήσιμη ύλη για όσους θέλουν να μάθουν περισσότερα για το θέμα του κεϕαλαίου. Στο τέλος κάθε κεϕαλαίου δίνονται ορισμένες ασκήσεις, οι οποίες καλύπτουν όλο το ϕάσμα από τον απλό έλεγχο της κατανόησης της ύλης μέχρι τη μελέτη πιο σύνθετων ερωτημάτων που επεκτείνουν την ύλη. Όσες ασκήσεις είναι δύσκολες ή αϕορούν τις ενότητες που επισημαίνονται με αστερίσκο υποδεικνύονται επίσης με αστερίσκο. Ένα περίγραμμα μαθήματος. Αν και τα κεϕάλαια αυτού του βιβλίου είναι ως επί το πλείστον ανεξάρτητα μεταξύ τους, είναι προτιμότερο να μην καλυϕθούν με αυθαίρετη σειρά. Παραδείγματος χάριν, το Κεϕάλαιο 2 εισάγει τους αλγορίθμους σάρωσης επιπέδου, και είναι καλύτερο να διαβαστεί πριν από όλα τα άλλα κεϕάλαια που χρησιμοποιούν αυτήν τη μέθοδο. Παρομοίως, το Κεϕάλαιο 4 θα πρέπει να διαβαστεί πριν από όλα τα άλλα κεϕάλαια που χρησιμοποιούν τυχαιοκρατικούς αλγορίθμους. Για ένα πρώτο μάθημα υπολογιστικής γεωμετρίας, συνιστούμε την κάλυψη των Κεϕαλαίων 1 10 με τη δεδομένη σειρά. Τα κεϕάλαια αυτά καλύπτουν τις έννοιες και τεχνικές που, κατά τη γνώμη μας, δεν μπορούν να λείπουν από κανένα μάθημα υπολογιστικής γεωμετρίας. Αν υπάρχει η δυνατότητα να καλυ- ϕθεί περισσότερη ύλη, μπορεί να γίνει μια επιλογή από τα υπόλοιπα κεϕάλαια. Προαπαιτούμενα. Το βιβλίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως διδακτικό εγχειρίδιο σε ένα προχωρημένο προπτυχιακό μάθημα ή ένα εισαγωγικό μεταπτυχιακό, ανάλογα με το υπόλοιπο πρόγραμμα σπουδών. Υποθέτουμε ότι ο αναγνώστης έχει ήδη κάποιες βασικές γνώσεις σχεδίασης και ανάλυσης αλγορίθμων και δομών δεδομένων: πρέπει να είναι εξοικειωμένος με τον ασυμπτωτικό συμβολισμό (τον συμβολισμό «κεϕαλαίου όμικρον») και με απλές αλγοριθμικές τεχνικές όπως η ταξινόμηση, η δυαδική (ή «διχοτομική») αναζήτηση και τα ισοσταθμισμένα δέντρα αναζήτησης. Δεν απαιτείται καμία γνώση των διαϕόρων πεδίων εϕαρμογών, και σχεδόν καμία γνώση γεωμετρίας. Στην ανάλυση των τυχαιοκρατικών αλγορίθμων χρησιμοποιούνται κάποια πολύ απλά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων. vi Υλοποιήσεις. Οι αλγόριθμοι σε αυτό το βιβλίο παρουσιάζονται μέσω ενός ψευδοκώδικα που, αν και μάλλον «υψηλού επιπέδου», είναι αρκετά λεπτομερής ώστε να καθιστά την υλοποίηση σχετικά εύκολη. Ειδικότερα, έχουμε προσπαθήσει να υποδείξουμε τον τρόπο αντιμετώπισης των εκϕυλισμένων περιπτώσεων, οι οποίες συχνά δημιουργούν διάϕορα προβλήματα κατά την υλοποίηση. Πιστεύουμε ότι είναι πολύ χρήσιμο να υλοποιήσει κανείς έναν ή περισσότερουςαπότουςαλγορίθμους,ώστενααποκτήσειμιααίσθησητηςπολυπλοκότητάςτουςστηνπράξη.κάθεκεϕάλαιομπορείναθεωρηθείωςμιαπρογραμματιστική εργασία. Ανάλογα με τον χρόνο που διαθέτει κανείς, μπορεί να υλοποιήσει είτε απλώς τους στοιχειώδεις γεωμετρικούς αλγορίθμους είτε ολόκληρη την εϕαρμογή. Για την υλοποίηση ενός γεωμετρικού αλγορίθμου απαιτούνται κάποιοι βασικοί τύποι δεδομένων σημεία, ευθείες, πολύγωνα, κ.λπ.- και ορισμένες βασικές διαδικασίες για τον χειρισμό τους. Η ευσταθής υλοποίηση αυτών των βασικών διαδικασιών δεν είναι εύκολη υπόθεση, και απαιτεί πολύ χρόνο. Αν και καλό θα ήταν να έχει κανείς αυτήν την εμπειρία τουλάχιστον μία ϕορά, είναι χρήσιμο

6 να έχει πρόσβαση σε μια βιβλιοθήκη λογισμικού που να περιέχει τους βασικούς τύπους δεδομένων και τις βασικές διαδικασίες. Στον ιστότοπο του βιβλίου μπορείτε να βρείτε παραπομπές προς τέτοιες βιβλιοθήκες. ÚÔÏÔÁÔÛ Ιστότοπος. Το βιβλίο συνοδεύεται από έναν ιστότοπο, ο οποίος περιέχει έναν κατάλογο των τυπογραϕικών λαθών για κάθε έκδοση, όλα τα σχήματα και τον ψευδοκώδικα για όλους τους αλγορίθμους, καθώς και άλλους σχετικούς πόρους. Η διεύθυνση είναι Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τη διεύθυνση που αναϕέρεται στον Ιστότοπό μας για να μας στείλετε τα λάθη που θα εντοπίσετε και όποια άλλα σχόλια θα θέλατε να κάνετε για το βιβλίο. Σχετικά με την τρίτη έκδοση. Σεαυτήντηντρίτηέκδοσηυπάρχουνδύοβασικές προσθήκες: Στο Κεϕάλαιο 7, που πραγματεύεται τα διαγράμματα Voronoi, εξετάζονται πλέον και τα διαγράμματα Voronoi ευθύγραμμων τμημάτων και απώτατων σημείων. Στο Κεϕάλαιο 12, έχει προστεθεί μια επιπλέον ενότητα με θέμα τα δέντρα δυαδικής διαμέρισης χώρου για σκηνές χαμηλής πυκνότητας, ως εισαγωγή σε μοντέλα με ρεαλιστικά δεδομένα εισόδου. Επιπλέον, έχουν διορθωθεί πολλά μικρά και κάποια μεγαλύτερα λάθη (βλ. τον κατάλογο λαθών για τη δεύτερη έκδοση στον Ιστότοπο). Έχουμε επίσης ενημερώσει τις σημειώσεις και τα σχόλια όλων των κεϕαλαίων προσθέτοντας παραπομπές προς πρόσϕατα αποτελέσματα και πρόσϕατες βιβλιογραϕικές πηγές. Προσπαθήσαμε να μην αλλάξουμε τους αριθμούς των ενοτήτων και των ασκήσεων, ώστε οι ϕοιτητές που παρακολουθούν κάποιο πανεπιστημιακό μάθημα να έχουν τη δυνατότητα να εξακολουθήσουν να χρησιμοποιούν τη δεύτερη έκδοση. Ευχαριστίες. Η συγγραϕή ενός διδακτικού εγχειριδίου είναι μια μακρά διαδικασία, ακόμη και όταν γίνεται από τέσσερεις συγγραϕείς. Πολλοί ήταν εκείνοι που μας βοήθησαν στην πρώτη έκδοση δίνοντας χρήσιμες συμβουλές για το τι να συμπεριλάβουμε στο βιβλίο και τι όχι, διαβάζοντας κεϕάλαια και προτείνοντας αλλαγές, και εντοπίζοντας και διορθώνοντας λάθη. Πολύ περισσότεροι ήταν εκείνοι που έκαναν σχόλια και εντόπισαν λάθη στις δύο πρώτες εκδόσεις.θαθέλαμενατουςευχαριστήσουμεόλους,καιειδικότερατουςpankaj Agarwal, Helmut Alt, Marshall Bern, Jit Bose, Hazel Everett, Gerald Farin, Steve Fortune, Geert-Jan Giezeman, Mordecai Golin, Dan Halperin, Richard Karp, Matthew Katz, Klara Kedem, Nelson Max, Joseph S. B. Mitchell, René van Oostrum, Günter Rote, Henry Shapiro, Sven Skyum, Jack Snoeyink, Gert Vegter, Peter Widmayer, Chee Yap, και Günther Ziegler. Τόσο στο δικό μας όσο και σε άλλα πανεπιστημιακά τμήματα, χρησιμοποιήθηκαν για διδασκαλία κάποιες προκαταρκτικές εκδόσεις του βιβλίου. Ευχαριστούμε όλους τους ϕοιτητές που ανέχθηκαν τις ατελείς εκδόσεις και τα λάθη, και μας βοήθησαν να ϕέρουμε το βιβλίο στην παρούσα μορϕή του. Θα θέλαμε επίσης να ευχαριστήσουμε τον εκδοτικό οίκο Springer-Verlag για τις συμβουλές και την υποστήριξή του κατά τη σύνταξη του βιβλίου, τη διαμόρϕωση των νέων εκδόσεών του, και τη μετάϕρασή του σε άλλες γλώσσες (προς το παρόν τα ιαπωνικά, τα κινέζικα και τα πολωνικά). Τέλος, θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε για την υποστήριξή τους τον Ολλανδικό Οργανισμό για την Επιστημονική Έρευνα (N.W.O.) και το Ίδρυμα Ερευνών τηςκορέας(krf). Ιανουάριος 2008 Mark de Berg Otfried Cheong Marc van Kreveld Mark Overmars vii

7 Περιεχόμενα 1 Υπολογιστικήγεωμετρία 1 Εισαγωγή 1.1 Ένα παράδειγμα: κυρτά περιβλήματα Εκϕυλισμένες περιπτώσεις και ευστάθεια Πεδία εϕαρμογών Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις 16 2 Τομή ευθύγραμμων τμημάτων 19 Υπέρθεση θεματικών χαρτών 2.1 Τομή ευθύγραμμων τμημάτων Ο διπλοσυνδεδεμένος κατάλογος ακμών Υπολογισμός της υπέρθεσης δύο υποδιαιρέσεων Λογικές πράξεις Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις 42 3 Τριγωνισμός πολυγώνου 45 Επιτήρηση πινακοθήκης 3.1 Επιτήρηση και τριγωνισμοί Διαμέριση πολυγώνου σε μονότονα τεμάχια Τριγωνισμός μονότονου πολυγώνου Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις 60 4 Γραμμικός προγραμματισμός 63 Βιομηχανική παραγωγή με μήτρες 4.1 Η γεωμετρική ανάλυση της χύτευσης Τομή ημιεπιπέδων Αυξητικός γραμμικός προγραμματισμός Τυχαιοκρατικός γραμμικός προγραμματισμός Μη ϕραγμένα γραμμικά προγράμματα * Γραμμικός προγραμματισμός σε περισσότερες διαστάσεις * Μικρότατοι περικλείοντες δίσκοι Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις 91 5 Ορθογωνικήεκτασιακήαναζήτηση 95 Ερωτήματα προς βάσεις δεδομένων 5.1 Μονοδιάστατη εκτασιακή αναζήτηση 96 ix

8 ÂÚÈÂ ÔÌÂÓ 5.2 kd-δέντρα Εκτασιακά δέντρα Εκτασιακά δέντρα περισσότερων διαστάσεων Τυχόντα σύνολα σημείων * Κλασματική επαλληλία Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις Εντοπισμόςσημείου 121 Πώς ξέρουμε πού βρισκόμαστε 6.1 Εντοπισμός σημείου και τραπεζιομερείς χάρτες Ένας τυχαιοκρατικός αυξητικός αλγόριθμος Αντιμετώπιση των εκϕυλισμένων περιπτώσεων * Μια εκτίμηση για την «ουρά» της κατανομής Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις ΔιαγράμματαVoronoi 147 Το πρόβλημα του ταχυδρομείου 7.1 Ορισμός και βασικές ιδιότητες Υπολογισμός του διαγράμματος Voronoi Διαγράμματα Voronoi ευθύγραμμων τμημάτων Διαγράμματα Voronoi απώτατων σημείων Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις Σχηματισμοί και δυϊκότητα 173 Υπερδειγματοληψία κατά την ακτινηλάτηση 8.1 Υπολογισμός της απόκλισης Δυϊκότητα Σχηματισμοί ευθειών Βαθμίδες και απόκλιση Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις ΤριγωνισμοίDelaunay 191 Παρεμβολή καθ ύψος 9.1 Τριγωνισμοί επίπεδων σημειοσυνόλων Ο τριγωνισμός Delaunay Υπολογισμός του τριγωνισμού Delaunay Ανάλυση * Ένα πλαίσιο για τυχαιοκρατικούς αλγορίθμους Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις 214 x 10 Άλλες γεωμετρικές δομές δεδομένων 219 Παραθυρική εστίαση 10.1 Δέντρα διαστημάτων Προτεραϊκά δέντρα αναζήτησης Δέντρα ευθύγραμμων τμημάτων Σημειώσεις και σχόλια 237

9 10.5 Ασκήσεις 239 ÂÚÈÂ ÔÌÂÓ 11 Κυρτά περιβλήματα 243 Μείξεις 11.1 Η πολυπλοκότητα των κυρτών περιβλημάτων στον τριδιάστατο χώρο Υπολογισμός κυρτών περιβλημάτων στον τριδιάστατο χώρο * Ανάλυση * Κυρτά περιβλήματα και τομή ημιχώρων * Επανεξέταση των διαγραμμάτων Voronoi Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις Δυαδικές διαμερίσεις χώρου 259 Ο αλγόριθμος του ζωγράϕου 12.1 Ορισμός των δέντρων ΔΔΧ Δέντρα ΔΔΧ και ο αλγόριθμος του ζωγράϕου Κατασκευή δέντρου ΔΔΧ * Το μέγεθος των δέντρων ΔΔΧ στον τριδιάστατο χώρο Δέντρα ΔΔΧ για σκηνές χαμηλής πυκνότητας Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις Σχεδιασμός κίνησης ρομπότ 283 Μετάβαση στο επιθυμητό σημείο 13.1 Χώρος εργασίας και χώρος διαμορϕώσεων Ένα σημειακό ρομπότ Αθροίσματα Minkowski Σχεδιασμός μετατοπιστικής κίνησης * Σχεδιασμός κίνησης με περιστροϕές Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις Τετραδικά δέντρα 307 Κατασκευή ανομοιόμορϕου πλέγματος 14.1 Ομοιόμορϕα και ανομοιόμορϕα πλέγματα Τετραδικά δέντρα για σημειοσύνολα Από τα τετραδικά δέντρα στα πλέγματα Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις Γραϕήματα ορατότητας 323 Εύρεση βραχύτατης διαδρομής 15.1 Βραχύτατες διαδρομές για σημειακό ρομπότ Υπολογισμός του γραϕήματος ορατότητας Βραχύτατες διαδρομές για μετατοπιζόμενο πολυγωνικό ρομπότ Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις 332 xi

10 ÂÚÈÂ ÔÌÂÓ 16 Απλοκοειδής εκτασιακή αναζήτηση 335 Επανεξέταση της παραθυρικής εστίασης 16.1 Διαμεριστικά δέντρα Πολυβαθμιδικά διαμεριστικά δέντρα Κοπτικά δέντρα Σημειώσεις και σχόλια Ασκήσεις 353 Λεξικό βασικών όρων 357 Βιβλιογραϕία 367 Ευρετήριο 383 xii

11 1 Υπολογιστική γεωμετρία Εισαγωγή Φανταστείτε ότι περπατάτε στον χώρο μιας πανεπιστημιούπολης και ξαϕνικά συνειδητοποιείτε ότι πρέπει να κάνετε ένα επείγον τηλεϕώνημα. Φυσικά, από τα πολλά δημόσια τηλέϕωνα του πανεπιστημίου, θέλετε να χρησιμοποιήσετε το πλησιέστερο. Αλλά ποιο είναι αυτό; Θα ήταν χρήσιμο να είχατε ένα χάρτη στον οποίο θα μπορούσατε να βρείτε το πλησιέστερο δημόσιο τηλέϕωνο, για οποιαδήποτε περιοχή της πανεπιστημιούπολης. Ο χάρτης θα έπρεπε να παρουσιάζει τον χώρο της πανεπιστημιούπολης χωρισμένο σε επιμέρους περιοχές, και για καθεμία από αυτές να υποδεικνύει το πλησιέστερο δημόσιο τηλέϕωνο. Τι μορϕή θα είχαν αυτές οι περιοχές; Και πώς θα μπορούσαμε να τις έχουμε προσδιορίσει; Αν και το συγκεκριμένο πρόβλημα δεν είναι ιδιαίτερα σημαντικό, αναδεικνύει την ουσία μιας θεμελιώδους γεωμετρικής έννοιας, που παίζει ρόλο σε πολλές εϕαρμογές. Το αποτέλεσμα της υποδιαίρεσης της πανεπιστημιούπολης σε περιοχές είναι ένα διάγραμμα Voronoi. Ταδιαγράμματααυτά,ταοποίαθα μελετήσουμε στο Κεϕάλαιο 7, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναπαράσταση των εμπορικών περιϕερειών διαϕόρων πόλεων, για την καθοδήγηση ρομπότ, ακόμη και για την περιγραϕή και προσομοίωση της ανάπτυξης κρυστάλλων. Για να υπολογίσουμε μια γεωμετρική δομή όπως το διάγραμμα Voronoi, χρειαζόμαστε γεωμετρικούς αλγορίθμους. Αυτού του είδους οι αλγόριθμοι αποτελούν το αντικείμενο του βιβλίου. Ας δούμε ένα δεύτερο παράδειγμα. Έστω ότι έχετε βρεί ποιο από τα δημόσια τηλέϕωνα είναι το πλησιέστερο. Χρησιμοποιώντας τον χάρτη της πανεπιστημιούπολης, μάλλον δεν θα δυσκολευτείτε ιδιαίτερα να ϕτάσετε σε αυτό το τηλέϕωνο μέσω μιας αρκετά σύντομης διαδρομής, αποϕεύγοντας τους τοίχους και τα όποια άλλα αντικείμενα. Ωστόσο, το να προγραμματίσουμε ένα ρομπότ για να πραγματοποιήσει την ίδια εργασία είναι πολύ δυσκολότερο. Όπως και πριν, το πρόβλημα είναι κατ ουσίαν γεωμετρικό: για δύο δεδομένα σημεία και ένα δεδομένο σύνολο γεωμετρικών εμποδίων, θα πρέπει να βρεθεί μια σύντομη διαδρομή που να συνδέει τα δύο σημεία αποϕεύγοντας τα εμπόδια. Πρόκειται για το λεγόμενο πρόβλημα του σχεδιασμούκίνησης, η επίλυση του οποίου έχει ζωτική σημασία για τη ρομποτική. Οι γεωμετρικοί αλγόριθμοι που απαιτούνται για τον σχεδιασμό κίνησης παρουσιάζονται στα Κεϕάλαια 13 και 15. Ας εξετάσουμε ένα τρίτο παράδειγμα. Υποθέστε ότι αντί για έναν μόνο χάρτη έχετε δύο: έναν που περιγράϕει τα διάϕορα κτίρια, και ο οποίος περιλαμβάνει και τα δημόσια τηλέϕωνα, και έναν που υποδεικνύει τους δρόμους μέσα στονχώροτηςπανεπιστημιούπολης.γιανασχεδιάσουμεμιαδιαδρομήπρος το επιλεγμένο δημόσιο τηλέϕωνο θα πρέπει να υπερθέσουμε τους δύο χάρτες, ώστε να συνδυάσουμε τις πληροϕορίες που περιέχουν. Η υπέρθεση χαρτών είναι μια από τις βασικότερες πράξεις σε ένα γεωγραϕικό σύστημα πληροϕοριών. Απαιτεί να εντοπιστεί στον έναν χάρτη η θέση κάποιων αντικειμένων του άλλου, να υπολογιστεί η τομή διαϕόρων στοιχείων, κ.ο.κ. Το πρόβλημα αυτό εξετάζεται στο Κεϕάλαιο 2. 1

12 Κεϕάλαιο 1 ÀappleÔÏÔÁÈÛÙÈÎË ÁˆÌÂÙÚÈ Τα παραπάνω προβλήματα είναι απλώς τρία παραδείγματα γεωμετρικών προβλημάτων των οποίων η επίλυση απαιτεί προσεκτικά σχεδιασμένους γεωμετρικούς αλγορίθμους. Η υπολογιστική γεωμετρία εμϕανίστηκε τη δεκαετία του 1970, με αντικείμενο μελέτης αυτού του είδους τα γεωμετρικά προβλήματα. Μπορεί να οριστεί ως η συστηματική μελέτη αλγορίθμων και δομών δεδομένων για γεωμετρικά αντικείμενα, με έμϕαση σε ακριβείς αλγορίθμους οι οποίοι είναι ασυμπτωτικά ταχείς. Οι δυσκολίες που αναδείχθηκαν από τα γεωμετρικά προβλήματα προσείλκυσαν πολλούς ερευνητές. Συχνά, η πορεία από τη διατύπωση ενός προβλήματος μέχρι την εύρεση μιας δραστικής και κομψής λύσης υπήρξε μακρά, με πολλά δύσκολα ενδιάμεσα αποτελέσματα, κατώτερα τουβέλτιστου.σήμεραυπάρχειμιαπλούσιασυλλογήδραστικώνγεωμετρικών αλγορίθμων που μπορούν να κατανοηθούν και να υλοποιηθούν σχετικά εύκολα. Στο βιβλίο αυτό παρουσιάζονται οι σημαντικότερες έννοιες, τεχνικές και δομές δεδομένων, και οι βασικότεροι αλγόριθμοι της υπολογιστικής γεωμετρίας με τρόπο που ελπίζουμε να ϕανεί ελκυστικός στους αναγνώστες που ενδιαϕέρονται να χρησιμοποιήσουν τα σχετικά αποτελέσματα. Σε κάθε κεϕάλαιο χρησιμοποιείται ως έναυσμα ένα πραγματικό υπολογιστικό πρόβλημα, του οποίου η επίλυση απαιτεί γεωμετρικούς αλγορίθμους. Για να δείξουμε το εύρος των εϕαρμογών της υπολογιστικής γεωμετρίας, επιλέξαμε αυτά τα προβλήματα από διάϕορα πεδία: τη ρομποτική, την υπολογιστική γραϕιστική, την υπολογιστικά βοηθούμενη σχεδίαση και βιομηχανική παραγωγή (computer aided design/manufacturing, για συντομία CAD/CAM), και τα γεωγραϕικά συστήματα πληροϕοριών. Ωστόσο, μην περιμένετε να βρείτε «έτοιμες προς υλοποίηση» λύσεις λογισμικούγιαταμεγάλαπροβλήματατωνπεδίωνεϕαρμογών.τοκάθεκεϕάλαιο πραγματεύεται μία μόνο έννοια της υπολογιστικής γεωμετρίας. Οι εϕαρμογές χρησιμεύουν απλώς για να εισαγάγουν και να αναδείξουν τις σχετικές έννοιες. Ταυτόχρονα, βοηθούν στο να αποσαϕηνιστεί η διαδικασία της αναπαράστασης ενός μηχανολογικού προβλήματος και της εύρεσης μιας ακριβούς λύσης. q pq p κυρτό 2 q pq p μη κυρτό 1.1 Ένα παράδειγμα: κυρτά περιβλήματα Κάθε καλή λύση ενός αλγοριθμικού προβλήματος γεωμετρικής ϕύσης βασίζεταικυρίωςσεδύοπαράγοντες.οέναςείναιηπλήρηςκατανόησητωνγεωμετρικών ιδιοτήτων του προβλήματος, και ο άλλος η σωστή εϕαρμογή αλγοριθμικών τεχνικών και δομών δεδομένων. Αν δεν έχετε κατανοήσει τη γεωμετρία του προβλήματος, κανένας αλγόριθμος στον κόσμο δεν πρόκειται να σας βοηθήσει να λύσετε το πρόβλημα δραστικά. Από την άλλη πλευρά, ακόμη και αν κατανοείτε τέλεια τη γεωμετρία του προβλήματος, είναι δύσκολο να βρείτε κάποια δραστική λύση αν δεν γνωρίζετε τις κατάλληλες αλγοριθμικές τεχνικές. Σκοπός αυτού του βιβλίου είναι να σας βοηθήσει να κατανοήσετε σε βάθος τις σημαντικότερες γεωμετρικές έννοιες και αλγοριθμικές τεχνικές. Για να δείτε ένα παράδειγμα των ζητημάτων που ανακύπτουν στη σχεδίαση ενός γεωμετρικού αλγορίθμου, στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με ένα από τα πρώτα προβλήματα που μελετήθηκαν στην υπολογιστική γεωμετρία: τον υπολογισμό του κυρτού περιβλήματος στο επίπεδο. Σε αυτήν τη ϕάση, δεν θα αναϕερθούμε στο κίνητρο για την μελέτη αυτού του προβλήματος. Οι ενδιαϕερόμενοι αναγνώστες μπορουν να ανατρέξουν στην εισαγωγή του Κεϕαλαίου 11, όπου μελετάμε την έννοια του κυρτού περιβλήματος στον τριδιάστατο χώρο. Ένα υποσύνολο S του επιπέδου λέγεται κυρτό εάν και μόνο εάν για κάθε ζεύγος σημείων p, q S το ευθύγραμμοτμήμα pq περιέχεται πλήρως στο S.Τοκυρτό περίβλημα KP(S) ενός συνόλου S είναιτομικρότεροκυρτόσύνολο πουπεριέ-

13 χει το S. Ακριβέστερα, είναι η τομή όλων των κυρτών συνόλων που περιέχουν το S. Θα μελετήσουμε το πρόβλημα του υπολογισμού του κυρτού περιβλήματος ενός πεπερασμένου συνόλου P από n σημεία στο επίπεδο. Μπορείτε να αντιληϕθείτε σε εποπτικό επίπεδο τι είναι το κυρτό περίβλημα μέσω ενός νοητικού πειράματος. Φανταστείτε ότι τα σημεία είναι καρϕιά που προεξέχουν από το επίπεδο. Παίρνουμε μια κλειστή ελαστική ταινία, την τεντώνουμε γύρω από τα καρϕιά και την αϕήνουμε ελεύθερη. Η ταινία θα συσϕιχθεί γύρω από τα καρϕιά, ελαχιστοποιώντας το μήκος της. Το κυρτό περίβλημα του P είναι η επιϕάνεια που περικλείει η ταινία. Οδηγούμαστε έτσι σε έναν εναλλακτικό ορισμόγιατοκυρτόπερίβλημαενόςπεπερασμένουσυνόλουp από σημεία στο επίπεδο: είναι το μοναδικό κυρτό πολύγωνο του οποίου όλες οι κορυϕές είναι σημεία του P, και το οποίο περιέχει όλα τα σημεία του P.Φυσικά,θαπρέπεινααποδείξουμεκαιτυπικάότιοεναλλακτικόςαυτόςορισμόςείναιέγκυρος δηλαδή ότι υπάρχει μόνο ένα τέτοιο πολύγωνο και ισοδύναμος με τον προηγούμενο.ωστόσο,σεαυτότοεισαγωγικόκεϕάλαιοθαπαραλείψουμετην απόδειξη. Ενότητα 1.1 Ó apple Ú ÂÈÁÌ : Î ÚÙ appleâúè ÏËÌ Ù Πώς υπολογίζουμε το κυρτό περίβλημα; Για να μπορέσουμε να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, θα πρέπει να θέσουμε ένα άλλο: τι σημαίνει «υπολογίζουμε το κυρτό περίβλημα»; Όπως είδαμε, το κυρτό περίβλημα του P είναι ένα κυρτό πολύγωνο. Ένας εύλογος τρόπος να αναπαραστήσουμε ένα πολύγωνο είναι να παραθέσουμε τις κορυϕές του κατά την ωρολόγια διάταξη (δηλ. κατά τη ϕορά των δεικτών του ρολογιού), ξεκινώντας από οποιαδήποτε εξ αυτών. Επομένως, το πρόβλημα που θέλουμε να λύσουμε είναι το εξής: για ένα δεδομένο σύνολο P = {p 1,p 2,...,p n } από σημεία στο επίπεδο, να προσδιοριστεί ένας κατάλογος ο οποίος να περιέχει όλα τα σημεία του P που είναι κορυϕές του KP(P ), διατεταγμένα κατά την ωρολόγια διάταξη. είσοδος = σύνολο σημείων: p 1,p 2,p 3,p 4,p 5,p 6,p 7,p 8,p 9 p 9 p 7 p 1 p 4 p 2 έξοδος = αναπαράσταση τού κυρτού p 6 p 3 p περιβλήματος: p 5 4,p 5,p 8,p 2,p 9 Σχήμα 1.1 Υπολογισμός κυρτού περιβλήματος p 8 Ο πρώτος ορισμός του κυρτού περιβλήματος δεν μας βοηθάει ιδιαίτερα να σχεδιάσουμε έναν αλγορίθμο για τον υπολογισμό του. Ο ορισμός αυτός ανα- ϕέρεται στην τομή όλων των κυρτών συνόλων που περιέχουν το P,ταοποία είναι απειράριθμα. Η παρατήρηση ότι το KP(P ) είναι ένα κυρτό πολύγωνο είναι πιο χρήσιμη. Ας δούμε ποιες θα είναι οι ακμές του KP(P ). Ταάκραp και q κάθε τέτοιας ακμής ανήκουν αμϕότερα στο P και, αν ορίσουμε τη ϕορά της ευθείας που διέρχεται από αυτά έτσι ώστε το KP(P ) να κείται στα δεξιά της, τότεόλατασημείατουp θα πρέπει επίσης να κείνται στα δεξιά της ευθείας. Ισχύει επίσης το αντίστροϕο: αν όλα τα σημεία του P \{p, q} κείνται στα δεξιά μιας από τις δύο κατευθυντές ευθείες που διέρχονται από τα p και q, τότετο ευθύγραμμο τμήμα pq είναι μία από τις ακμές του KP(P ). Έχοντας πλέον κατανοήσει κάπως καλύτερα τη γεωμετρία του προβλήματος, μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν αλγόριθμο. Θα τον περιγράψουμε με ένα είδος ψευδοκώδικα που θα χρησιμοποιήσουμε σε όλο το βιβλίο. p q Αλγόριθμος μú ÚÙÔ ÂÚÈ ÏËÌ (P ) Είσοδος. Ένα σύνολο P από σημεία στο επίπεδο. Έξοδος. Ένας κατάλογος L των κορυϕών του KP(P ) σε ωρολόγια διάταξη. 1. E. 2. για κάθε διατεταγμένο ζεύγος (p, q) P P με p διάϕορο του q 3

14 Κεϕάλαιο 1 ÀappleÔÏÔÁÈÛÙÈÎË ÁˆÌÂÙÚÈ απόληξη της e 1 =αϕετηρίατης e 2 e 1 e 2 αϕετηρία της e έγκυρο αληθές. 4. για κάθε σημείο r P διάϕορο των p και q 5. εάν το r κείται αριστερά της κατευθυντής ευθείας από το p στο q: 6. τότε έγκυρο ψευδές. 7. εάν έγκυρο, τότε προσθέτουμε την κατευθυντή ακμή pq στο E. 8. Από το σύνολο E των ακμών κατασκευάζουμε έναν κατάλογο L των κορυϕών του KP(P ) σε ωρολόγια διάταξη. Δύο από τα βήματα του αλγορίθμου ενδεχομένως να μην είναι απολύτως σαϕή. Τοπρώτοείναιοέλεγχοςστηγραμμή5:πώςελέγχουμεανένασημείοκείται αριστερά ή δεξιά μιας κατευθυντής ευθείας; Αυτή είναι μια από τις στοιχειώδεις πράξεις που απαιτούνται στους περισσότερους γεωμετρικούς αλγορίθμους. Σε αυτό το βιβλίο υποθέτουμε ότι τέτοιες πράξεις μάς είναι διαθέσιμες. Είναι προ- ϕανές ότι μπορούν να εκτελεστούν σε σταθερό χρόνο, και επομένως η πρακτική τους υλοποίηση δεν πρόκειται να επηρεάσει την τάξη μεγέθους του ασυμπτωτικού χρόνου εκτέλεσης. Αυτό δεν σημαίνει ότι τέτοιες στοιχειώδεις πράξεις είναι ασήμαντες ή τετριμμένες. Η ορθή τους υλοποίηση δεν είναι εύκολη υπόθεση, και ο τρόπος με τον οποίο θα υλοποιηθούν σίγουρα επηρεάζει τον πραγματικό χρόνο εκτέλεσης του αλγορίθμου. Ευτυχώς, σήμερα έχουμε στην διάθεσή μας βιβλιοθήκες λογισμικού που περιλαμβάνουν αυτές τις στοιχειώδεις πράξεις. Συμπερασματικά, ο έλεγχος στη γραμμή 5 δεν χρειάζεται να μας ανησυχεί. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι έχουμε στη διάθεσή μας μια συνάρτηση που εκτελεί αυτόν τον έλεγχο σε σταθερό χρόνο. Το άλλο βήμα του αλγορίθμου που χρειάζεται κάποια επεξήγηση είναι το τελευταίο.οβρόχοςστιςγραμμές2 7προσδιορίζειτοσύνολοE των ακμών του κυρτού περιβλήματος. Από αυτό το σύνολο μπορούμε να κατασκευάσουμε τον κατάλογο L ως εξής. Κάθε ακμή του συνόλου E είναι κατευθυντή, και επομένως μπορούμε να μιλάμε για την αϕετηρία και την απόληξή της. Δεδομένου ότι η κατεύθυνση της κάθε ακμής είναι τέτοια ώστε όλα τα υπόλοιπα σημεία να βρίσκονται στα δεξιά της, η απόληξή της θα πρέπει να έπεται της αϕετηρίας της όταν οι κορυϕές παρατίθενται σε ωρολόγια διάταξη. Μπορούμε λοιπόν να εργαστούμε ως εξής. Επιλέγουμε αυθαίρετα μια ακμή e 1 του E και την αϕαιρούμε από το E. Προσθέτουμε στον κατάλογο L ως πρώτο σημείο την αϕετηρία της e 1 και ως δεύτερο σημείο την απόληξή της. Κατόπιν, βρίσκουμε την ακμή e 2 του E που έχει ως αϕετηρία την απόληξη της e 1.Αϕαιρούμετην e 2 από το E, και επισυνάπτουμε στον κατάλογο L την απόληξή της. Στη συνέχεια, βρίσκουμε την ακμή e 3 που έχει ως αϕετηρία την απόληξη της e 2.Αϕαιρούμε την e 3 από το E, και επισυνάπτουμε στον L την απόληξή της. Συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο, θα απομείνει τελικά στο E μόνο μία ακμή, οπότε θα έχουμε τελειώσει. Η απόληξη αυτής της τελευταίας ακμής είναι αναγκαστικά η αϕετηρία της e 1, που βρίσκεται ήδη στον κατάλογο L, ως πρώτο σημείο του καταλόγου αυτού. Μια απλή υλοποίηση αυτής της διαδικασίας απαιτεί χρόνο O(n 2 ). Ο χρόνος αυτός μπορεί εύκολα να βελτιωθεί σε O(n log n), αλλάούτωςηάλλως ο συνολικός χρόνος εκτέλεσης καθορίζεται από τον χρόνο που απαιτείται από τον υπόλοιπο αλγόριθμο. Η ανάλυση της χρονικής πολυπλοκότητας της διαδικασίας μú ÚÙÔ ÂÚÈ ÏËÌ δεν παρουσιάζει καμία δυσκολία. Ελέγχουμε n 2 n ζεύγη σημείων. Για κάθε ζεύγος, διατρέχουμε τα υπόλοιπα n 2 σημεία για να διαπιστώσουμε αν κείνται όλα στη δεξιά πλευρά. Αυτό απαιτεί συνολικά χρόνο O(n 3 ). Δεδομένου ότι το τελευταίο βήμα απαιτεί χρόνο O(n 2 ), ο συνολικός χρόνος εκτέλεσης είναι O(n 3 ).Έναςαλγόριθμοςμεκυβικόχρόνοεκτέλεσηςείναιτόσοβραδύς που δεν μπορεί να έχει κάποια πρακτική χρησιμότητα, παρά μόνο για εισόδους πολύ μικρού μεγέθους. Στην προκειμένη περίπτωση, το πρόβλημα είναι ότι δεν χρησιμοποιήσαμε καμία έξυπνη τεχνική σχεδίασης αλγορίθμων. απλώς μετα- ϕράσαμε τη γεωμετρική μας αντίληψη σε έναν αλγόριθμο εξαντλητικού τύπου. Προτού προσπαθήσουμε να βρούμε κάτι καλύτερο, όμως, θα ήταν χρήσιμο να

15 κάνουμε ορισμένες παρατηρήσεις σχετικά με τον αλγόριθμο αυτόν. Στην επιλογή του κριτηρίου για το πότε ένα ζεύγος σημείων p και q ορίζει κάποια ακμή του περιβλήματος KP(P ),ήμαστανκάπως απρόσεκτοι.θεωρήσαμε ότι ένα σημείο r μπορεί να κείται είτε δεξιά είτε αριστερά της ευθείας που ορίζουν τα p και q. Υπάρχει όμως και η περίπτωση να κείται επί της ευθείας. Τι θα πρέπει να κάνουμε τότε; Μια τέτοια κατάσταση ονομάζεται εκϕυλισμένη περίπτωση, ήενσυντομίαεκϕυλισμός. Στο πρώτο στάδιο της αντιμετώπισης ενός προβλήματος συνήθως αγνοούμε αυτές τις περιπτώσεις, προκειμένου να μην περιπλέξουμε την κατάσταση στη ϕάση που προσπαθούμε να κατανοήσουμε τις γεωμετρικές ιδιότητες του προβλήματος. Ωστόσο, οι περιπτώσεις αυτές είναι δυνατόν να εμϕανιστούν στην πράξη. Παραδείγματος χάριν, αν τα σημεία έχουν δημιουργηθεί στην οθόνη του υπολογιστή με το «ποντίκι», τότε έχουν όλα τους ως συντεταγμένες κάποιους μικρούς ακέραιους αριθμούς, και επομένως δεν είναι καθόλου απίθανο τρία από αυτά να βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Ενότητα 1.1 Ó apple Ú ÂÈÁÌ : Î ÚÙ appleâúè ÏËÌ Ù Για να διορθώσουμε τον αλγόριθμο ώστε να λειτουργεί σωστά ακόμη και στις εκϕυλισμένες περιπτώσεις, θα πρέπει να αναδιατυπώσουμε το παραπάνω κριτήριο ως εξής: το κατευθυντό τμήμα pq είναι ακμή του KP(P ) εάν και μόνο εάν κάθε άλλο σημείο r P κείται είτε γνησίως δεξιά της κατευθυντής ευθείας που συνδέει τα p και q είτε επί του ανοιχτού ευθύγραμμου τμήματος pq.(υποθέτουμε ότι δεν υπάρχουν στο P σημεία που να συμπίπτουν.) Επομένως, η γραμμή 5 του αλγορίθμου θα πρέπει να αντικατασταθεί από αυτόν τον πιο περίπλοκο έλεγχο. Ένα άλλο σημαντικό ζήτημα που έχουμε παραβλέψει και το οποίο μπορεί να επηρεάσει την ορθότητα του αλγορίθμου είναι το εξής. Έχουμε υποθέσει σιωπηρά ότι υπάρχει τρόπος να ελέγχεται με ακρίβεια εάν ένα σημείο κείται δεξιά ή αριστερά μιας δεδομένης ευθείας. Αυτό δεν ισχύει πάντα: αν τα σημεία μάς έχουν δοθεί με συντεταγμένες κινητής υποδιαστολής και οι υπολογισμοί γίνονται με αριθμητικές πράξεις κινητής υποδιαστολής, τότε θα προκύψουν σϕάλματα στρογγύλευσης που ενδέχεται να αλλοιώσουν το αποτέλεσμα των ελέγχων. Φανταστείτε ότι υπάρχουν τρία σημεία, p, q,καιr, πουείναισχεδόνσυνευ- θειακά, και ότι όλα τα υπόλοιπα σημεία βρίσκονται μακριά από αυτά, και προς q τα δεξιά. Ο αλγόριθμός μας ελέγχει τα ζεύγη (p, q), (r, q),και(p, r). Δεδομένου r ότι τα σημεία αυτά είναι σχεδόν συνευθειακά, πιθανόν τα σϕάλματα στρογγύλευσης να οδηγήσουν στο συμπέρασμα ότι το r κείται δεξιά της κατευθυντής p ευθείας από το p στο q,τοp κείται δεξιά της κατευθυντής ευθείας από το r στο q, καιτοq κείται δεξιά της κατευθυντής ευθείας από το p στο r. Φυσικά, αυτό είναι γεωμετρικώς αδύνατον αλλά η αριθμητική κινητής υποδιαστολής δεν το γνωρίζει! Σε αυτήν την περίπτωση, ο αλγόριθμος θα δεχθεί και τις τρεις ακμές. Ακόμη χειρότερα, πιθανόν οι παραπάνω έλεγχοι να δώσουν και οι τρεις την q αντίθετη απάντηση, οπότε ο αλγόριθμος θα απορρίψει και τις τρεις ακμές, με r αποτέλεσμα να μείνει ένα χάσμα στο σύνορο του κυρτού περιβλήματος. Αυτό θα δημιουργήσει σοβαρό πρόβλημα στο τελευταίο βήμα του αλγορίθμου, όπου p επιχειρείται να κατασκευασταστεί ο ταξινομημένος κατάλογος των κορυϕών του κυρτού περιβλήματος. Το συγκεκριμένο βήμα προϋποθέτει ότι καθεμία από τις κορυϕές του κυρτού περιβλήματος αποτελεί την αϕετηρία μίας και μόνο μίας ακμής και την απόληξη μίας και μόνο μίας ακμής. Λόγω των σϕαλμάτων στρογγύλευσης, όμως, ενδέχεται ξαϕνικά να έχουμε κάποια κορυϕή p που να αποτελεί αϕετηρία δύο ακμών, ή και καμίας ακμής. Δεδομένου ότι το τελευταίο βήμα του αλγορίθμου δεν έχει σχεδιαστεί να αντιμετωπίζει τέτοιου είδους ασυνέπειες στα δεδομένα, το πρόγραμμα που τον υλοποιεί πιθανόν να καταρρεύσει. Παρ ότιαποδείξαμεότιοαλγόριθμόςμαςείναιορθόςκαιμπορείναδιαχειριστεί σωστά όλες τις ειδικές περιπτώσεις, ωστόσο δεν είναι ευσταθής:λόγω 5

16 Κεϕάλαιο 1 ÀappleÔÏÔÁÈÛÙÈÎË ÁˆÌÂÙÚÈ μικρών σϕαλμάτων στους υπολογισμούς, ενδέχεται να αποτύχει με εντελώς απρόσμενους τρόπους. Το πρόβλημα πηγάζει από το ότι, κατά την απόδειξη της ορθότητάς του, υποθέσαμε πως μπορούμε να εκτελούμε υπολογισμούς ακριβείας σε πραγματικούς αριθμούς. p 1 άνω περίβλημα κάτω περίβλημα p i αϕαιρούμενα σημεία p n Σχεδιάσαμε λοιπόν τον πρώτο μας γεωμετρικό αλγόριθμο, ο οποίος υπολογίζει το κυρτό περίβλημα ενός συνόλου σημείων στο επίπεδο. Ωστόσο, είναι αρκετά βραδύς (έχει χρόνο εκτέλεσης O(n 3 )), διαχειρίζεται τις εκϕυλισμένες περιπτώσεις με αδέξιο τρόπο, και επιπλέον δεν είναι ευσταθής. Θα πρέπει να προσπαθήσουμε για κάτι καλύτερο. Για τον σκοπό αυτό, θα εϕαρμόσουμε μια καθιερωμένη τεχνική αλγοριθμικής σχεδίασης: θα αναπτύξουμε έναν αυξητικό αλγόριθμο. Αυτόσημαίνειότι θα προσθέτουμε τα σημεία στο σύνολο P ένα προς ένα, και μετά από κάθε προσθήκη θα ενημερώνουμε κατάλληλα την τρέχουσα λύση. Θα δώσουμε σε αυτήν την αυξητική προσέγγιση και μια γεωμετρική χροιά, προσθέτοντας τα σημεία από αριστερά προς τα δεξιά. Ξεκινάμε λοιπόν διατάσσοντας τα σημεία κατά αύξουσα τετμημένη (συντεταγμένη x), ώστε να πάρουμε μια ταξινομημένη ακολουθία p 1,...,p n, βάσει της οποίας θα προσθέτουμε τα σημεία. Δεδομένου ότι εργαζόμαστε από αριστερά προς τα δεξιά, θα μας διευκόλυνε να ήταν και οι κορυϕές του κυρτού περιβλήματος διατεταγμένες από αριστερά προς τα δεξιά, με τη σειρά που εμϕανίζονται στο σύνορό του. Αυτό όμως δεν ισχύει. Για τον λόγο αυτό, θα υπολογίσουμε πρώτα μόνο τις κορυϕές που ανήκουν στο άνω περίβλημα, δηλαδή στο τμήμα του συνόρου του κυρτού περιβλήματος που εκτείνεται από το αριστερότερο σημείο p 1 έως το δεξιότερο σημείο p n,ότανοικορυϕέςπαρατίθενταιμετηνωρολόγιαδιάταξη.μεάλλαλόγια, το άνω περίβλημα περιλαμβάνει τις ακμές του κυρτού περιβλήματος που οριοθετούν το περίβλημα από επάνω. Σε μια δεύτερη σάρωση, που εκτελείται από δεξιά προς τα αριστερά, θα υπολογίσουμε το υπόλοιπο τμήμα του συνόρου του κυρτού περιβλήματος, το λεγόμενο κάτω περίβλημα. Το βασικό βήμα του αυξητικού αλγορίθμου είναι η ενημέρωση του άνω περιβλήματος μετά την προσθήκη ενός σημείου p i.μεάλλαλόγια,μεδεδομένο το άνω περίβλημα των σημείων p 1,...,p i 1,θαπρέπειναυπολογίσουμε το άνω περίβλημα των p 1,...,p i. Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής. Όταν διατρέχουμε το σύνορο ενός πολυγώνου κατά την ωρολόγια ϕορά, σε κάθε κορυϕή του πολυγώνου εκτελούμε μια στροϕή. Αν και για ένα τυχόν πολύγωνο η κάθε στροϕή μπορεί να είναι είτε δεξιά είτε αριστερή, για ένα κυρτό πολύγωνο θα είναι σίγουρα δεξιά. Με βάση αυτήν την παρατήρηση, η προσθήκη του σημείου p i μπορεί να διεκπεραιωθεί ως εξής. Έστω L άνω ένας κατάλογος που περιέχει τις κορυϕές του άνω περιβλήματος με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά. Ως πρώτο βήμα, προσθέτουμε το p i στο τέλος του L άνω (δηλ. το «επισυνάπτουμε»). Η επισύναψη αυτή είναι σίγουρα σωστή, διότι το p i κείται δεξιότερα από όλα τα σημεία που έχουν προστεθεί μέχρι στιγμής, και άρα θα ανήκει οπωσδήποτε στο άνω περίβλημα. Κατόπιν, ελέγχουμε αν η στροϕή που ορίζουν τα τρία τελευταία σημεία του L άνω είναι δεξιά. Εάν είναι, τότε δεν χρειάζεται να κάνουμε τίποτε άλλο. ο L άνω περιέχει ήδη τις κορυϕές του άνω περιβλήματος των σημείων p 1,...,p i, και άρα μπορούμε να προχωρήσουμε στο επόμενο σημείο, p i+1.εάν όμως τα τελευταία τρία σημεία ορίζουν αριστερή στροϕή, τότε θα πρέπει να αϕαιρέσουμε από τον κατάλογο το μεσαίο από αυτά. Και πάλι όμως δεν έχουμε τελειώσει: πιθανόν η στροϕή που ορίζουν τα νέα τρία τελευταία σημεία να μην είναι ούτε αυτή δεξιά, οπότε θα πρέπει και πάλι να αϕαιρέσουμε το μεσαίο. Συνεχίζουμε με αυτόν τον τρόπο μέχρις ότου τα τρία τελευταία σημεία να ορίζουν δεξιά στροϕή, ή μέχρι να απομείνουν στον κατάλογο μόνο δύο σημεία. 6 Κατόπιν αυτών, μπορούμε πλέον να διατυπώσουμε τον αλγόριθμο σε μορ- ϕή ψευδοκώδικα. Σημειωτέον ότι ο κώδικας υπολογίζει τόσο το άνω όσο και το κάτω περίβλημα. Για το κάτω περίβλημα διεξερχόμαστε τα σημεία από τα

17 δεξιά προς τα αριστερά. η διαδικασία είναι απολύτως αντίστοιχη με αυτήν για το άνω περίβλημα. Αλγόριθμος ÚÙÔ ÂÚÈ ÏËÌ (P ) Είσοδος. Ένα σύνολο P από σημεία στο επίπεδο. Έξοδος. Ένας κατάλογος των κορυϕών του KP(P ) σε ωρολόγια διάταξη. 1. Διατάσσουμετασημείακατάαύξουσατετμημένη,οπότεπροκύπτειηακολουθία p 1,...,p n. 2. Εισάγουμε τα σημεία p 1 και p 2, με αυτήν τη σειρά, σε έναν νέο κατάλογο L άνω. 3. για i 3 έως n 4. Επισυνάπτουμε το p i στον κατάλογο L άνω. 5. ενόσω ο L άνω περιέχει περισσότερα από δύο σημεία και ηστροϕήπου ορίζουν τα τρία τελευταία από αυτά δεν είναι δεξιά 6. Αϕαιρούμε από τον L άνω το μεσαίο από τα τρία τελευταία σημεία του. 7. Εισάγουμε τα σημεία p n και p n 1, με αυτήν τη σειρά, σε έναν νέο κατάλογο L κάτω 8. για i n 2 αντίστροϕα-έως 1 9. Επισυνάπτουμε το p i στον κατάλογο L κάτω. 10. ενόσω ο L κάτω περιέχει περισσότερα από δύο σημεία και ηστροϕήπου ορίζουν τα τρία τελευταία από αυτά δεν είναι δεξιά 11. Αϕαιρούμε από τον L κάτω το μεσαίο από τα τρία τελευταία σημεία του. 12. Αϕαιρούμε από τον L κάτω το πρώτο και το τελευταίο σημείο του, ώστε να αποϕύγουμε τη διπλή καταχώριση των κορυϕών στις οποίες συναρμόζονταιτοάνωκαιτοκάτωπερίβλημα. 13. Επισυνάπτουμε τον L κάτω στον L άνω.έστωl οκατάλογοςπουπροκύπτει. 14. επιστροϕή L. Και πάλι, εξετάζοντας τον αλγόριθμό μας πιο προσεκτικά αντιλαμβανόμαστε ότι δεν είναι ορθός. Χωρίς να το έχουμε αναϕέρει, υποθέσαμε ότι τα σημεία μας έχουν όλα διαϕορετικές τετμημένες. Αν αυτή η υπόθεση δεν ισχύει, τότε η διάταξη των σημείων κατά αύξουσα τετμημένη δεν είναι καλά ορισμένη. Ευτυχώς, το συγκεκριμένο πρόβλημα δεν είναι σοβαρό. Αρκεί να γενικεύσουμε κατάλληλα τη διάταξη: αντί να την ορίζουμε χρησιμοποιώντας μόνο την τετμημένη των σημείων, χρησιμοποιούμε και την τεταγμένη (δηλ. τη συντεταγμένη y), μέσωτηςλεξικογραϕικήςδιάταξης.δηλαδήδιατάσσουμετασημείαπρώταμε βάση την τετμημένη και, εάν κάποια από αυτά έχουν την ίδια τετμημένη, τα διατάσσουμεμεβάσητηντεταγμένητους. Ένα άλλο ζήτημα που δεν λάβαμε υπ όψιν είναι η ειδική περίπτωση όπου τα τρία σημεία για τα οποία πρέπει να εξετάσουμε εάν ορίζουν αριστερή ή δεξιά στροϕή τυχαίνει να είναι συνευθειακά. Στην περίπτωση αυτή, το μεσαίο σημείο δεν είναι κορυϕή του κυρτού περιβλήματος. επομένως, τα συνευθειακά σημεία θα πρέπει να αντιμετωπίζονται όπως τα σημεία που ορίζουν αριστερή στρο- ϕή. Με άλλα λόγια, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μια διαδικασία ελέγχου που να δίνει αποτέλεσμα «αληθές» εάν τα τρία σημεία ορίζουν δεξιά στροϕή, και «ψευδές» σε αντίθετη περίπτωση. (Σημειωτέον ότι αυτός ο έλεγχος είναι απλούστερος από εκείνον που απαιτούσε ο προηγούμενος αλγόριθμος σε περίπτωση συνευθειακών σημείων.) Μετά από αυτές τις τροποποιήσεις, ο αλγόριθμος υπολογίζει σωστά το κυρτό περίβλημα: στην πρώτη σάρωση υπολογίζεται το άνω περίβλημα, που πλέον ορίζεται ως το τμήμα του συνόρου του κυρτού περιβλήματος που εκτείνεται απότηλεξικογραϕικάμικρότερηέωςτηλεξικογραϕικάμεγαλύτερηκορυϕή, και στη δεύτερη σάρωση υπολογίζεται το υπόλοιπο τμήμα του περιβλήματος. Ενότητα 1.1 Ó apple Ú ÂÈÁÌ : Î ÚÙ appleâúè ÏËÌ Ù μη δεξιά στροϕή Πώς συμπεριϕέρεται ο αλγόριθμός μας όταν σημειώνονται σϕάλματα στογγύλευσης στις αριθμητικές πράξεις κινητής υποδιαστολής; Σε αυτήν την περί- 7

18 Κεϕάλαιο 1 ÀappleÔÏÔÁÈÛÙÈÎË ÁˆÌÂÙÚÈ πτωση, ο αλγόριθμος ενδέχεται είτε να μην συμπεριλάβει στο σύνορο του κυρτού περιβλήματος κάποιο σημείο που θα έπρεπε να συμπεριληϕθεί, είτε να συμπεριλάβει κάποιο σημείο που στην πραγματικότητα βρίσκεται στο εσωτερικό του περιβλήματος. Ωστόσο, αυτό δεν επηρεάζει τη δομική ακεραιότητά του: ο αλγόριθμος υπολογίζει σίγουρα μια κλειστή πολυγωνική αλυσίδα. Σε κάθε περίπτωση, το αποτέλεσμα είναι ένας κατάλογος σημείων που μπορεί να ερμηνευθεί ως παράθεση των κορυϕών ενός πολυγώνου σε ωρολόγια διάταξη, και κάθε τριάδα διαδοχικών σημείων αυτού του καταλόγου ορίζει είτε μια δεξιά στροϕή είτε, λόγω των σϕαλμάτων στρογγύλευσης, μια σχεδόν δεξιά στρο- ϕή. Επιπλέον, κανένα σημείο του P δεν μπορεί να βρίσκεται πολύ μακριά από το υπολογιζόμενο περίβλημα. Το μόνο ενδεχόμενο πρόβλημα που εξακολουθεί να υπάρχει είναι να εκληϕθεί ως δεξιά στροϕή μια οξεία αριστερή στροϕή που ορίζεται από τρία πολύ κοντινά σημεία. Αυτό θα μπορούσε να προκαλέσει στο τελικό πολύγωνο ένα «βαθούλωμα». Ένας τρόπος να παρακάμψουμε το πρόβλημα είναι να ϕροντίσουμε π.χ., μέσω στρογγύλευσης των συντεταγμένων τα σημεία της εισόδου που είναι πολύ κοντινά να αντιμετωπίζονται ως ένα σημείο. Με τον τρόπο αυτό, το αποτέλεσμα ίσως να μην είναι μεν απόλυτα ορθό (κάτι που ούτως ή άλλως θα πρέπει να αποδεχθούμε, όταν έχουμε αριθμητική περιορισμένης ακρίβειας), αλλά θα έχει νόημα. Για πολλές εϕαρμογές αυτός είναι ένας αρκετά καλός συμβιβασμός. Σε κάθε περίπτωση, δεν βλάπτει να είμαστε προσεκτικοί κατά την υλοποίηση του βασικού ελέγχου ώστε να αποϕύγουμε τα σϕάλματα όσο είναι δυνατόν. κενή περιοχή 8 p i 1 p i Ολοκληρώνουμε αυτήν την ενότητα με το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα 1.1 Το κυρτό περίβλημα ενός συνόλου n σημείων στο επίπεδο μπορεί να υπολογιστεί σε χρόνο O(n log n). Απόδειξη. Θα αποδείξουμε κατ αρχάς την ορθότητα του υπολογισμού του άνω περιβλήματος. η ορθότητα του υπολογισμού του κάτω περιβλήματος μπορεί να αποδειχθεί με παρόμοιο σκεπτικό. Η απόδειξη θα γίνει με επαγωγή ως προς το πλήθος των σημείων που έχουν ήδη εξεταστεί. Πριν από την έναρξη του βρόχου για, ο κατάλογος L άνω περιέχει τα σημεία p 1 και p 2,πουπροϕανώς συνιστούν όντως το άνω περίβλημα του συνόλου {p 1,p 2 }.Αςυποθέσουμεστη συνέχεια ότι ο L άνω περιέχει τις κορυϕές του άνω περιβλήματος του συνόλου {p 1,...,p i 1 }, και ας εξετάσουμε τι συμβαίνει με την προσθήκη του σημείου p i. Μετά την εκτέλεση του βρόχου ενόσω και λόγω της επαγωγικής υπόθεσης, γνωρίζουμε ότι τα σημεία του L άνω σχηματίζουν μια αλυσίδα στην οποία υπάρχουν μόνο δεξιές στροϕές. Επιπλέον, η αλυσίδα αρχίζει με το λεξικογρα- ϕικά μικρότερο σημείο του συνόλου {p 1,...,p i } και τελειώνει με το λεξικογραϕικά μεγαλύτερο σημείο, δηλαδή το p i. Αν δείξουμε ότι όλα τα σημεία του {p 1,...,p i } που δεν συμπεριλαμβάνονται στον κατάλογο L άνω βρίσκονται κάτω από την αλυσίδα, αυτό θα σημαίνει ότι ο L άνω περιέχει πράγματι τα σωστά σημεία. Από την επαγωγική υπόθεση, γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει κανένα σημείο πάνω από την αλυσίδα που είχαμε πριν την προσθήκη του p i. Καθώς η προηγούμενη αυτή αλυσίδα βρίσκεται κάτω από τη νέα, η μόνη περίπτωση να βρίσκεται ένα σημείο πάνω από τη νέα αλυσίδα είναι να κείται στην κατακόρυϕη ζώνη μεταξύ των σημείων p i 1 και p i. Όμως αυτό είναι αδύνατον, αϕού ένα τέτοιο σημείο θα βρισκόταν ανάμεσα στο p i 1 και το p i στη λεξικογραϕική διάταξη. (Θα πρέπει να επαληθεύσετε ότι ένα αντίστοιχο επιχείρημα ισχύει και στην περίπτωση που τα p i 1 και p i, ή οποιαδήποτε άλλα σημεία, έχουν την ίδια τετμημένη.) Για να αποδείξουμε το χρονικό ϕράγμα, παρατηρούμε κατ αρχάς ότι η λεξικογραϕική ταξινόμηση των σημείων μπορεί να πραγματοποιηθεί σε χρόνο O(n log n). Στη συνέχεια εξετάζουμε τον υπολογισμό του άνω περιβλήματος. Το πλήθος των επαναλήψεων του βρόχου για είναι γραμμικό. Το ερώτημα που απομένει είναι πόσο συχνά εκτελείται ο βρόχος ενόσω. Γιακάθεεκτέλεσητου

19 βρόχου για, ο βρόχος ενόσω εκτελείται τουλάχιστον μία ϕορά. Σε κάθε επιπλέον εκτέλεσή του, αϕαιρείται από το τρέχον άνω περίβλημα ένα σημείο. Δεδομένου ότι το κάθε σημείο μπορεί να αϕαιρεθεί μόνο μία ϕορά κατά την κατασκευή του άνω περιβλήματος, το συνολικό πλήθος των επιπλέον εκτελέσεων κατά τη διάρκεια όλων των επαναλήψεων του βρόχου για είναι το πολύ n. Παρομοίως, ο υπολογισμός του κάτω περιβλήματος απαιτεί χρόνο επίσης O(n). Λόγω του βήματος της ταξινόμησης, ο συνολικός χρόνος που απαιτείται για τον υπολογισμό του κυρτού περιβλήματος είναι O(n log n). Ενότητα 1.2 ÎÊ ÏÈÛÌÂÓÂÛ appleâúèappleùˆûâèû Î È Â ÛÙ ıâè Ο τελικός αλγόριθμος του κυρτού περιβλήματος είναι απλός στην περιγραϕή και εύκολος στην υλοποίηση. Δεν απαιτεί παρά μόνο τη λεξικογραϕική ταξινόμηση και τον έλεγχο της ϕοράς της στροϕής που ορίζουν τρία διαδοχικά σημεία. Όταν διατυπώσαμε αρχικά το πρόβλημα, δεν ήταν καθόλου προϕανές ότι θα υπήρχε μια τόσο εύκολη και δραστική λύση. 1.2 Εκϕυλισμένες περιπτώσεις και ευστάθεια Όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα, η ανάπτυξη ενός γεωμετρικού αλγορίθμου διέρχεται συχνά από τρεις ϕάσεις. Στην πρώτη ϕάση, προσπαθούμε να αγνοήσουμε οτιδήποτε μπορεί να αποσπάσει την προσοχή μας από την κατανόηση των γεωμετρικών εννοιών που πραγματευόμαστε. Μερικές ϕορές το πρόβλημα είναι τα συνευθειακά σημεία, άλλοτε είναι τα κατακόρυϕα ευθύγραμμα τμήματα. Στην πρώτη σας προσπάθεια να σχεδιάσετε ή να κατανοήσετε έναν αλγόριθμο, συχνά είναι προτιμότερο να αγνοείτε αυτές τις εκϕυλισμένες περιπτώσεις. Στη δεύτερη ϕάση, θα πρέπει να ρυθμίσουμε τον αλγόριθμο που σχεδιάσαμε στην πρώτη ϕάση ώστε να χειρίζεται ορθά ακόμη και τις εκϕυλισμένες περιπτώσεις. Οι αρχάριοι τείνουν να αντιμετωπίζουν το ζήτημα αυτό με πολυάριθμες προσθήκες στον αλγόριθμό τους, ώστε να διακρίνουν πάμπολλες διαϕορετικές περιπτώσεις. Πολλές ϕορές υπάρχει κάποιος καλύτερος τρόπος. Επανεξετάζοντας τη γεωμετρία του προβλήματος, συχνά μπορεί κανείς να ενσωματώσει κάποιες ειδικές περιπτώσεις στη γενική. Παραδείγματος χάριν, στον αλγόριθμο του κυρτού περιβλήματος, το μόνο που χρειάστηκε για να αντιμετωπίσουμετηνπερίπτωσησημείωνμεκοινήτετμημένηήταννααντικαταστήσουμε τη διάταξη κατά τετμημένη με τη λεξικογραϕική διάταξη. Στους περισσότερους αλγορίθμους αυτού του βιβλίου, έχουμε προσπαθήσει να διαχειριστούμε τις ειδικές περιπτώσεις με αυτό το ενοποιητικό πνεύμα. Παρ όλα αυτά, στην πρώτη ανάγνωση είναι ευκολότερο να μην ασχολείστε με τέτοιες περιπτώσεις. Μόνο αϕότου έχετε κατανοήσει τον τρόπο λειτουργίας του αλγορίθμου στη γενική περίπτωση θα πρέπει να σας απασχολήσουν οι διάϕοροι εκϕυλισμοί. Αν μελετήσετε τη βιβλιογραϕία της υπολογιστικής γεωμετρίας, θα διαπιστώσετε ότι πολλοί συγγραϕείς αγνοούν τις ειδικές περιπτώσεις, συχνά εισάγοντας συγκεκριμένες προδιαγραϕές για την είσοδο. Παραδείγματος χάριν, στο πρόβλημα του κυρτού περιβλήματος θα μπορούσαμε να έχουμε αγνοήσει τις ειδικές περιπτώσεις λέγοντας απλώς πως υποθέτουμε ότι η είσοδος δεν περιέχει ούτε τριάδες συνευθειακών σημείων ούτε ζεύγη σημείων με κοινή τετμημένη. Από θεωρητικής πλευράς, τέτοιες υποθέσεις είναι συνήθως δικαιολογημένες: στη θεωρητική μελέτη ο στόχος είναι να προσδιοριστεί η υπολογιστική πολυπλοκότητα ενός προβλήματος, και οι εκϕυλισμένες περιπτώσεις, παρά την πληκτική δουλειά που απαιτεί η αναλυτική επεξεργασία τους, μπορούν σχεδόν πάντοτε να αντιμετωπιστούν χωρίς να αυξηθεί η ασυμπτωτική πολυπλοκότητα του αλγορίθμου. Ωστόσο, οι ειδικές αυτές περιπτώσεις σίγουρα αυξάνουν την πολυπλοκότητα των υλοποιήσεων των αλγορίθμων. Στις 9

20 Κεϕάλαιο 1 ÀappleÔÏÔÁÈÛÙÈÎË ÁˆÌÂÙÚÈ μέρες μας, οι περισσότεροι ερευνητές στην υπολογιστική γεωμετρία γνωρίζουν ότι οι παραδοχές γενικής θέσης που υιοθετούν δεν ικανοποιούνται στις πρακτικές εϕαρμογές, και ότι ο καλύτερος τρόπος αντιμετώπισης των ειδικών περιπτώσεων είναι κατά κανόνα η ενοποιημένη διαχείρισή τους. Επιπλέον, υπάρχουν γενικές τεχνικές τα λεγόμενα σχήματα συμβολικής διαταραχής πουμας επιτρέπουν να αγνοούμε τις ειδικές περιπτώσεις κατά τη σχεδίαση και την υλοποίηση του αλγορίθμου, εξασϕαλίζοντας παρ όλα αυτά την ορθότητά του ακόμη και απέναντι σε εκϕυλισμένες περιπτώσεις. Η τρίτη ϕάση είναι η καθαυτό υλοποίηση. Σε αυτό το στάδιο είμαστε πλέον αναγκασμένοι να ασχοληθούμε με τις στοιχειώδεις πράξεις, όπως είναι ο έλεγχος για το αν ένα σημείο κείται αριστερά, δεξιά, ή επί κάποιας κατευθυντής ευθείας. Αν είστε τυχεροί, θα έχετε πρόσβαση σε κάποια βιβλιοθήκη γεωμετρικού λογισμικού που θα περιλαμβάνει τις πράξεις που χρειάζεστε. Διαϕορετικά, θα πρέπει να τις υλοποιήσετε μόνοι σας. Έναάλλοζήτημαπουανακύπτειστηϕάσητηςυλοποίησηςείναιότιηπαραδοχή πως μπορούμε να εκτελούμε αριθμητικές πράξεις ακριβείας σε πραγματικούς αριθμούς παύει να ισχύει, και είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τις συνέπειες αυτού του γεγονότος. Τα προβλήματα ευστάθειας αποτελούν συχνή αιτία απογοήτευσης όταν υλοποιούμε γεωμετρικούς αλγορίθμους. Η αντιμετώπισή τους δεν είναι εύκολη υπόθεση. Μια λύση είναι να χρησιμοποιήσουμε ένα πακέτο λογισμικού που παρέχει αριθμητική ακριβείας (μέσω ακεραίων, ρητών, ή ακόμη και αλγεβρικών αριθμών, ανάλογα με το είδος του προβλήματος), αλλά αυτό επιβραδύνει τον αλγόριθμό μας. Εναλλακτικά, μπορούμε να ρυθμίσουμε τον αλγόριθμο έτσι ώστε να ανιχνεύει τις τυχόν ασυνέπειες και να λαμβάνει τα κατάλληλα μέτρα ώστε να αποϕευχθεί η κατάρρευση του προγράμματος. Σε αυτή την περίπτωση, δεν μπορούμε πλέον να είμαστε βέβαιοι ότι η έξοδος του αλγορίθμου θα είναι ορθή, και επομένως θα πρέπει να αποδείξουμε τις ακριβείς της ιδιότητες. Αυτό ακριβώς κάναμε στην προηγούμενη ενότητα, όταν αναπτύξαμε τον αλγόριθμο του κυρτού περιβλήματος: αν και το αποτέλεσμα ενδέχεται να μην είναι ένα κυρτό πολύγωνο, ωστόσο γνωρίζουμε ότι η έξοδος είναι δομικά ορθή και ότι αντιπροσωπεύει ένα πολύγωνο που προσεγγίζει πολύ ικανοποιητικά το κυρτό περίβλημα. Τέλος, με βάση την είσοδο, είναι δυνατόν να προβλέψουμε την ακρίβεια που απαιτείται στην αναπαράσταση των αριθμών προκειμένου να επιλυθεί σωστά το πρόβλημα. Το ποια από τις προσεγγίσεις είναι η καλύτερη εξαρτάται από την εϕαρμογή. Αν η ταχύτητα του αλγορίθμου δεν μας απασχολεί ιδιαίτερα, τότε η αριθμητική ακριβείας είναι προτιμότερη. Σε άλλες περιπτώσεις, η ακρίβεια του αποτελέσματος του αλγορίθμου δεν είναι και τόσο σημαντική. Παραδείγματος χάριν, για την προβολή του κυρτού περιβλήματος ενός συνόλου σημείων σε μια οθόνη, μια ενδεχόμενη ελαϕρά απόκλιση του πολυγώνου από το πραγματικό κυρτό περίβλημα κατά πάσα πιθανότητα δεν θα γίνει αντιληπτή. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορούμε να προτιμήσουμε μια προσεκτική υλοποίηση που να βασίζεται σε αριθμητική κινητής υποδιαστολής. Στο υπόλοιπο του βιβλίου θα εστιάσουμε την προσοχή μας στη ϕάση της σχεδίασης γεωμετρικών αλγορίθμων. τα προβλήματα που ανακύπτουν στην ϕάση της υλοποίησης δεν θα μας απασχολήσουν ιδιαίτερα. 1.3 Πεδία εϕαρμογών 10 Όπως προαναϕέραμε, για κάθε έννοια, αλγόριθμο, ή δομή δεδομένων γεωμετρικού τύπου που θα παρουσιάσουμε σε αυτό το βιβλίο, έχουμε επιλέξει ως έναυσμα μια ενδεικτική εϕαρμογή. Οι περισσότερες εϕαρμογές προέρχονται από τα πεδία της υπολογιστικής γραϕιστικής, της ρομποτικής, των γεωγρα- ϕικών συστημάτων πληροϕοριών, και της υπολογιστικά βοηθούμενης σχεδίασης και βιομηχανικής παραγωγής. Για όσους δεν είναι εξοικειωμένοι με αυτά

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών 44 Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών Διδακτικοί στόχοι Σκοπός του κεφαλαίου είναι οι μαθητές να κατανοήσουν τα βήματα που ακολουθούνται κατά την ανάπτυξη μιας εφαρμογής.

Διαβάστε περισσότερα

Διαγράμματα. Νίκος Σκουλίδης, Σημειώσεις Φυσικής Α` Γυμνασίου, , Διαγράμματα_1_0.docx

Διαγράμματα. Νίκος Σκουλίδης, Σημειώσεις Φυσικής Α` Γυμνασίου, , Διαγράμματα_1_0.docx Διαγράμματα Στα περισσότερα από τα Φύλλα Εργασίας που εργαστήκατε και συμπληρώσατε, είχατε να σχεδιάσετε και ένα διάγραμμα. Ίσως ήταν η πρώτη φορά που ασχοληθήκατε με αυτό το αντικείμενο και να σας φάνηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας

Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας October 11, 2011 Στο μάθημα Αλγοριθμική και Δομές Δεδομένων θα ασχοληθούμε με ένα μέρος της διαδικασίας επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων. Συγκεκριμένα θα δούμε τι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 8 Ο. Ταξινόμηση και Αναζήτηση Συναρτήσεις χειρισμού οθόνης ΣΙΝΑΤΚΑΣ Ι. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 8 Ο. Ταξινόμηση και Αναζήτηση Συναρτήσεις χειρισμού οθόνης ΣΙΝΑΤΚΑΣ Ι. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 8 Ο Ταξινόμηση και Αναζήτηση Συναρτήσεις χειρισμού οθόνης ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 2010-11 1 Εισαγωγή Η τακτοποίηση των δεδομένων με ιδιαίτερη σειρά είναι πολύ σημαντική λειτουργία που ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ Π ΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ Π ΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ Π ΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ Π ΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ Π ΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ Π ΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Κ Υ Κ Λ Ο Υ Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Κ Α Ι Υ Π Η Ρ Ε Σ Ι Ω Ν Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1, Σ 2... Σ N p 1, p 2,... p N k 1, k 2... k n

Σ 1, Σ 2... Σ N p 1, p 2,... p N k 1, k 2... k n Υπολογιστική Γεωμετρία (σημειώσεις διαλέξεων ) Διδάσκων: Ι.Εμίρης Πέμπτη, 7 Απριλίου 2016 1 Ζητήματα πολυπλοκότητας 1. ΚΠ2 Τομή ημιεπιπέδων 2. ΚΠ3, ΚΠd n [d/2+1] (worst case) - Αλλά!! Αν έχουμε σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1 Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης 4.1. (α) Αποδείξτε ότι αν η h είναι συνεπής, τότε h(n

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Δραστηριότητα: Ολικά και τοπικά ακρότατα

4.2 Δραστηριότητα: Ολικά και τοπικά ακρότατα 4.2 Δραστηριότητα: Ολικά και τοπικά ακρότατα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή αφορά στην εισαγωγή των εννοιών του ολικού και του τοπικού ακροτάτου. Στόχοι της δραστηριότητας Μέσω αυτής της

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Βασίλης Καραγιάννης Η παρέμβαση πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Β2 και Γ2 του 41 ου Γυμνασίου Αθήνας και διήρκησε τρεις διδακτικές ώρες για κάθε τμήμα. Αρχικά οι μαθητές συνέλλεξαν

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδια μαθημάτων για την δημιουργία συναρτήσεων υπολογισμού του ΜΚΔ και του ΕΚΠ στην MSWLogo

Σχέδια μαθημάτων για την δημιουργία συναρτήσεων υπολογισμού του ΜΚΔ και του ΕΚΠ στην MSWLogo Σχέδια μαθημάτων για την δημιουργία συναρτήσεων υπολογισμού του Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη (ΜΚΔ) και του Ελάχιστου Κοινού Πολλαπλασίου (ΕΚΠ) δύο αριθμών, με την γλώσσα προγραμματισμού Logo Κογχυλάκης Σ.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική 2. Αλγόριθμοι

Πληροφορική 2. Αλγόριθμοι Πληροφορική 2 Αλγόριθμοι 1 2 Τι είναι αλγόριθμος; Αλγόριθμος είναι ένα διατεταγμένο σύνολο από σαφή βήματα το οποίο παράγει κάποιο αποτέλεσμα και τερματίζεται σε πεπερασμένο χρόνο. Ο αλγόριθμος δέχεται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender

Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender Στον πραγματικό κόσμο, αντιλαμβανόμαστε τα αντικείμενα σε τρεις κατευθύνσεις ή διαστάσεις. Τυπικά λέμε ότι διαθέτουν ύψος, πλάτος και βάθος. Όταν θέλουμε να αναπαραστήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

B = {x A : f(x) = 1}.

B = {x A : f(x) = 1}. Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 016 017 Λύσεις 1. Χρησιμοποιώντας την Αρχή του Περιστερώνα για τους φυσικούς αριθμούς, δείξτε ότι για κάθε πεπερασμένο σύνολο A και για κάθε f : A A, αν η f είναι 1-1 τότε

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 24: Μη Ντεντερμινιστικές Μηχανές Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΧΑΛΑΣΜΑ ΔΕΚΑΔΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΧΑΛΑΣΜΑ ΔΕΚΑΔΑΣ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΧΑΛΑΣΜΑ ΔΕΚΑΔΑΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.11 Αναπαριστούν καταστάσεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, τέλειας και ατελούς διαίρεσης,

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1 1. Τα δεδομένα μπορούν να παρέχουν πληροφορίες όταν υποβάλλονται σε 2. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών μιας επιχείρησης είναι πρόβλημα 3. Για την επίλυση ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

x A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ

x A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Σελίδα από 4 ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Βαγγέλης Μουρούκος Μπάμπης Στεργίου ΥΠΟ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ-ΔΕΝ ΕΧΟΥΝ ΓΙΝΕΙ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ Περίληψη Στο άρθρο αυτό επιχειρούμε να εντοπίσουμε, να καταγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

viii 20 Δένδρα van Emde Boas 543

viii 20 Δένδρα van Emde Boas 543 Περιεχόμενα Πρόλογος xi I Θεμελιώδεις έννοιες Εισαγωγή 3 1 Ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες 5 1.1 Αλγόριθμοι 5 1.2 Οι αλγόριθμοι σαν τεχνολογία 12 2 Προκαταρκτικές έννοιες και παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στην Access...9. Κεφάλαιο 2 Χειρισμός πινάκων... 25

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στην Access...9. Κεφάλαιο 2 Χειρισμός πινάκων... 25 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στην Access...9 Γνωριμία με την Access... 12 Δημιουργία βάσης δεδομένων... 18 Άνοιγμα και κλείσιμο βάσης δεδομένων... 21 Ερωτήσεις ανακεφαλαίωσης... 22 Πρακτική εξάσκηση...

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, όπως και το πρώτο τεύχος, είναι εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη και απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

(18 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ - ΙI: «διάμεσος &θεσιακή επιλογή στοιχείου»

(18 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ - ΙI: «διάμεσος &θεσιακή επιλογή στοιχείου» (8 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΑΓΩΓΗ - ΙI: «διάμεσος &θεσιακή επιλογή στοιχείου» Το πρόβλημα του διαμέσου στοιχείου: ένα θεμελιακό πρόβλημα Συναντήσαμε ήδη αρκετές φορές το πρόβλημα του να «κόψουμε» ένα σύνολο στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών).

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Μάθημα 5ο Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Ο δεύτερος ηλικιακός κύκλος περιλαμβάνει την ηλικιακή περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 + z 2 = R 2.

x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Σημειώσεις μαθήματος Μ2324 Γεωμετρική Τοπολογία Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2011 Εισαγωγή Η Γεωμετρική Τοπολογία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετάει τα ολικά χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η Δ.Π.Θ. - Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2016-2017 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο Β Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης ΜΑΘΗΜΑ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων...

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων... Περιεχόμενα Ανάλυση προβλήματος 1. Η έννοια πρόβλημα...13 2. Επίλυση προβλημάτων...17 Δομή ακολουθίας 3. Βασικές έννοιες αλγορίθμων...27 4. Εισαγωγή στην ψευδογλώσσα...31 5. Οι πρώτοι μου αλγόριθμοι...54

Διαβάστε περισσότερα

Τα συγκεντρωτικά ερωτήματα αφορούν στην ομαδοποίηση των δεδομένων και στη. χρήση συναρτήσεων ομαδοποίησης κατά την εκτέλεση ενός ερωτήματος προβολής

Τα συγκεντρωτικά ερωτήματα αφορούν στην ομαδοποίηση των δεδομένων και στη. χρήση συναρτήσεων ομαδοποίησης κατά την εκτέλεση ενός ερωτήματος προβολής Εργαστήριο 8 ο Συγκεντρωτικά ερωτήματα Ερωτήματα διασταύρωσης Ερωτήματα Ενεργειών Συγκεντρωτικά ερωτήματα Τα συγκεντρωτικά ερωτήματα αφορούν στην ομαδοποίηση των δεδομένων και στη χρήση συναρτήσεων ομαδοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων E Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών μέχρι το 1 000 000 000 8 Επανάληψη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Ρίζου Ζωή

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Ρίζου Ζωή Επαναληπτικές Ασκήσεις Ρίζου Ζωή email: zrizou@ee.duth.gr Άσκηση 1 Τι πραγματεύεται το θεώρημα Euler; Απάντηση Ψευδογραφήματα που περιέχουν ένα κύκλωμα στο ψευδογραφήματα, των οποίων ο βαθμός κάθε κορυφής

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας

1.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας .2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας Θέμα της δραστηριότητας Αυτή η δραστηριότητα εισάγει στην έννοια του Ορίου Ακολουθίας. Δυο φύλλα εργασίας οδηγούν τους μαθητές στον ορισμό της σύγκλισης μηδενικής

Διαβάστε περισσότερα

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του A A N A B P Y T A ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΑ ΑΠΛΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 9 5 0 Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του Περιεχόμενα Εισαγωγή και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Ψηφιακών Εκπαιδευτικών Εφαρμογών ΙI

Σχεδιασμός Ψηφιακών Εκπαιδευτικών Εφαρμογών ΙI Σχεδιασμός Ψηφιακών Εκπαιδευτικών Εφαρμογών ΙI Εργασία 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑΣ: Τσελίγκα Αρετή, 1312009161, Στ εξάμηνο, κατεύθυνση: Εκπαιδευτική Τεχνολογία και Διαπολιτισμική Επικοινωνία Το γνωστικό αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Α Ν Α Λ Τ Η Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ω Ν Κ Ε Υ Α Λ Α Ι Ο 5. Πως υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου;

Α Ν Α Λ Τ Η Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ω Ν Κ Ε Υ Α Λ Α Ι Ο 5. Πως υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου; 5.1 Επίδοση αλγορίθμων Μέχρι τώρα έχουμε γνωρίσει διάφορους αλγόριθμους (αναζήτησης, ταξινόμησης, κ.α.). Στο σημείο αυτό θα παρουσιάσουμε ένα τρόπο εκτίμησης της επίδοσης (performance) η της αποδοτικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός. Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης

Σκοπός. Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Η δομή Επιλογής στη PASCAL H δομή Επανάληψης στη PASCAL. Ρεύμα Εισόδου / Εξόδου.. Ρεύμα Εισόδου / Εξόδου. To πρόγραμμα γραφικών gnuplot. Γραφικά στη PASCAL. Σκοπός 6.1 ΕΠΙΔΙΩΞΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών Η έννοια της δραστηριότητας Δραστηριότητα είναι κάθε ανθρώπινη δράση που έχει ένα κίνητρο και ένα

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμος. Αλγόριθμο ονομάζουμε τη σαφή και ακριβή περιγραφή μιας σειράς ξεχωριστών οδηγιών βημάτων με σκοπό την επίλυση ενός προβλήματος.

Αλγόριθμος. Αλγόριθμο ονομάζουμε τη σαφή και ακριβή περιγραφή μιας σειράς ξεχωριστών οδηγιών βημάτων με σκοπό την επίλυση ενός προβλήματος. Αλγόριθμος Αλγόριθμο ονομάζουμε τη σαφή και ακριβή περιγραφή μιας σειράς ξεχωριστών οδηγιών βημάτων με σκοπό την επίλυση ενός προβλήματος. Εντολές ή οδηγίες ονομάζονται τα βήματα που αποτελούν έναν αλγόριθμο.

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 26: Καθολική Μηχανή Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες. Βασίλης Παπαγεωργίου

Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες. Βασίλης Παπαγεωργίου Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες Ιανουάριος 2011 1. Τίτλος Αναλογίες 2. Ταυτότητα Συγγραφέας: Γνωστική περιοχή των μαθηματικών: Άλγεβρα, Γεωμετρία Θέμα: Αναλογίες Συντεταγμένες στο επίπεδο 3. Σκεπτικό 2

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Εισαγωγή στο Σχεδιασμό & την Ανάλυση Αλγορίθμων Εξέταση Φεβρουαρίου 2016 Σελ. 1 από 7 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Mα θ η μ α τ ι κ ά Γ Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς στον Αλέξη, το Σπύρο, τον Ηλία και το Λούη, στην παντοτινή φιλία Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 16_10_2012 ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 2.1 Απεικόνιση του ανάγλυφου Μια εδαφική περιοχή αποτελείται από εξέχουσες και εισέχουσες εδαφικές μορφές. Τα εξέχοντα εδαφικά τμήματα βρίσκονται μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις

Ευθύγραμμες Κινήσεις Οι παρακάτω σημειώσεις διανέμονται υπό την άδεια: Creaive Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές. 1 Θέση και Σύστημα αναφοράς Στην καθημερινή μας ζωή για να περιγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ένας πίνακας με όνομα Α δέκα θέσεων : 1 η 2 η 3 η 4 η 5 η 6 η 7 η 8 η 9 η 10 η

Έστω ένας πίνακας με όνομα Α δέκα θέσεων : 1 η 2 η 3 η 4 η 5 η 6 η 7 η 8 η 9 η 10 η Μονοδιάστατοι Πίνακες Τι είναι ο πίνακας γενικά : Πίνακας είναι μια Στατική Δομή Δεδομένων. Δηλαδή συνεχόμενες θέσεις μνήμης, όπου το πλήθος των θέσεων είναι συγκεκριμένο. Στις θέσεις αυτές καταχωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Άγγελος Κιαγιάς. https://crypto.di.uoa.gr/dmath aggelos. Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. π.

Διακριτά Μαθηματικά. Άγγελος Κιαγιάς. https://crypto.di.uoa.gr/dmath aggelos. Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. π. π.1 Διακριτά Μαθηματικά https://crypto.di.uoa.gr/dmath2013 Άγγελος Κιαγιάς http://www.di.uoa.gr/ aggelos Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών π.2 Τι είναι τα Διακριτά Μαθηματικά; Είναι η μελέτη διακριτών

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλια και υποδείξεις για το Σχέδιο Μαθήματος

Σχόλια και υποδείξεις για το Σχέδιο Μαθήματος Σχόλια και υποδείξεις για το Σχέδιο Μαθήματος Ακολούθως αναπτύσσονται ορισμένα διευκρινιστικά σχόλια για το Σχέδιο Μαθήματος. Αφετηρία για τον ακόλουθο σχολιασμό υπήρξαν οι σχετικές υποδείξεις που μας

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματιστική Εργασία

Προγραμματιστική Εργασία Προγραμματιστική Εργασία Ημερομηνία Παράδοσης: 22 Ιουνίου 2007 1 Τίπρέπεινακάνετεγιατηνεργασίααυτή Θεωρούμε ότι έχουμε ένα πολύγωνο από n ακμές στις δύο διαστάσεις. Οι ακμές είναι δυνατόν να είναι ευθύγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 5.1 Εισαγωγή στους αλγορίθμους 5.1.1 Εισαγωγή και ορισμοί Αλγόριθμος (algorithm) είναι ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών οι οποίες εκτελούν κάποιο ιδιαίτερο έργο. Κάθε αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2 1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων Πληροφορικής 2. Ο αλγόριθμος αποτελείται από ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών 3. Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

HEAD INPUT. q0 q1 CONTROL UNIT

HEAD INPUT. q0 q1 CONTROL UNIT Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου

Διαβάστε περισσότερα

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Σφάλμα ανάγνωσης οργάνου Το σφάλμα αυτό αναφέρεται σε αβεβαιότητες στη μέτρηση που προκαλούνται από τις πεπερασμένες ιδιότητες του οργάνου μέτρησης και/ή από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Χρησιμοποιείται μόνο όταν οι τιμές της μεταβλητής έχουν ένα σταθερό άθροισμα (συνήθως 100%, όταν μιλάμε για σχετικές συχνότητες) Είναι χρήσιμο μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 Γνωριμία με το Excel...9

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 Γνωριμία με το Excel...9 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 Γνωριμία με το Excel...9 Τα στοιχεία του παραθύρου του Excel... 10 Κελιά και διευθύνσεις... 13 Σε ποιο κελί θα τοποθετηθούν τα δεδομένα;... 14 Καταχώριση δεδομένων... 15 Τι καταλαβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα

5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα 5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχεις ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου θα έχεις κατανοήσει τις τεχνικές ανάλυσης των αλγορίθμων, θα μπορείς να μετράς την επίδοση των αλγορίθμων με βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές σχεδίασης προγραμμάτων, Προγραμματιστικά Περιβάλλοντα

Τεχνικές σχεδίασης προγραμμάτων, Προγραμματιστικά Περιβάλλοντα Τεχνικές σχεδίασης προγραμμάτων, Προγραμματιστικά Περιβάλλοντα Ενότητες βιβλίου: 6.4, 6.7 Ώρες διδασκαλίας: 1 Τεχνικές σχεδίασης προγραμμάτων Στο βιβλίο γίνεται αναφορά σε μία τεχνική για την ανάπτυξη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

5ο Μάθημα Αλγόριθμοι Σχεδίασης Βασικών Σχημάτων

5ο Μάθημα Αλγόριθμοι Σχεδίασης Βασικών Σχημάτων 5ο Μάθημα Αλγόριθμοι Σχεδίασης Βασικών Σχημάτων Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Εισαγωγή Ευθεία Κύκλος Έλλειψη Σύνοψη του σημερινού μαθήματος 1 Εισαγωγή 2 Ευθεία 3 Κύκλος

Διαβάστε περισσότερα