ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 13. Συμπεράσματα για τη σύγκριση δύο πληθυσμών

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Κεφάλαιο 13 Συμπεράσματα για τη σύγκριση δύο πληθυσμών Επιμέλεια παρουσιάσεων: Γ. Βάσιου

2 Συγκρίνοντας δύο πληθυσμούς Προηγουμένως εξετάσαμε τις τεχνικές για την εκτίμηση και τον έλεγχο των παραμέτρων για ένα πληθυσμό: Μέσος Πληθυσμού μ Αναλογία Πληθυσμού p Θα εξακολουθούμε να υπολογίζουμε αυτές τις παραμέτρους, όταν μελετάμε δύο πληθυσμούς, ωστόσο, τώρα το ενδιαφέρον μας θα είναι κυρίως : Η διαφορά μεταξύ των δύο μέσων. ο λόγος των δύο διακυμάνσεων. Η διαφορά μεταξύ των δύο αναλογιών.

3 Διαφορά μεταξύ των δύο μέσων Προκειμένου να ελέγξουμε και να εκτιμήσουμε την διαφορά μεταξύ των μέσων δύο πληθυσμών, σχεδιάσαμε τυχαία δείγματα από κάθε πληθυσμό. Αρχικά θα χρησιμοποιήσουμε ανεξάρτητα δείγματα, δηλαδή, δείγματα που δεν έχουν καμία σχέση το ένα με το άλλο. Πληθυσμός 1 Μέγεθος δείγματος : n 1 Παράμετροι : Μέτρα: (Ομοίως, θεωρούμε για τον πληθυσμό 2)

4 Διαφορά μεταξύ δύο μέσων Επειδή συγκρίνουμε τους μέσους δύο πληθυσμών, χρησιμοποιούμε το στατιστικό μέτρο, το οποίo είναι ένας αμερόληπτος και συνεπής εκτιμητής της διαφοράς µ 1 - µ 2.

5 Δειγματοληπτική Κατανομή της Διαφοράς 1. Η διαφορά ακολουθεί την κανονική κατανομή αν οι αρχικοί πληθυσμοί είναι κανονικοί - ή - πλησιάζει την κανονική κατανομή αν οι πληθυσμοί είναι μη κανονικοί και τα μεγέθη των δειγμάτων είναι μεγάλα (n 1, n 2 > 30). 2. Η αναμενόμενη τιμή της διαφοράς είναι µ 1 - µ Η διακύμανση της διαφοράς είναι και το τυπικό σφάλμα είναι

6 Συμπεράσματα για την διαφορά μ 1 -μ 2 Εφόσον η διαφορά ακολουθεί την κανονική κατανομή αν οι αρχικοί πληθυσμοί είναι κανονικοί - ή - πλησιάζει την κανονική κατανομή αν οι πληθυσμοί είναι μη κανονικοί και τα μεγέθη των δειγμάτων είναι μεγάλα, τότε : είναι μία τυπική κανονική (ή περίπου κανονική) τυχαία μεταβλητή. Θα μπορούσαμε να το χρησιμοποιήσουμε αυτό για να δημιουργήσουμε τον στατιστικό έλεγχο και τον εκτιμητή του διαστήματος εμπιστοσύνης για την διαφορά µ 1 - µ 2.

7 Συμπεράσματα για την διαφορά μ 1 -μ 2 εκτός του ότι, στην πράξη, η μεταβλητή z χρησιμοποιείται σπάνια αφού οι διασπορές των πληθυσμών είναι άγνωστες.?? Αντί γι αυτό χρησιμοποιούμε την κατανομή student t. Θεωρούμε δύο υποθέσεις για τις άγνωστες διασπορές των πληθυσμών: όταν δεχόμαστε ότι είναι ίσες και αντιστρόφως όταν δεχόμαστε ότι είναι άνισες. Θα δούμε περισσότερα γι αυτό αργότερα

8 Έλεγχος υποθέσεων για την διαφορά μ 1 -μ 2 (ίσες διασπορές) Υπολογίζουμε τον - τον σταθμισμένο εκτιμητή διασποράς ως εξής και τον χρησιμοποιούμε εδώ : βαθμοί ελευθερίας

9 Εκτιμητής Δ.Ε. για την διαφορά μ 1 -μ 2 (ίσες διασπορές) Ο εκτιμητής του διαστήματος εμπιστοσύνης για την διαφορά μ 1 -μ 2 όταν οι διασπορές των πληθυσμών είναι ίσες δίνεται από τον τύπο : σταθμισμένος εκτιμητής διασποράς βαθμοί ελευθερίας

10 Έλεγχος υποθέσεων για την διαφορά μ 1 -μ 2 (άνισες διασπορές) Ο έλεγχος υποθέσεων για την διαφορά μ 1 -μ 2 όταν οι διασπορές των πληθυσμών είναι άνισες γίνεται με τους τύπους: βαθμοί ελευθερίας Ομοίως, ο εκτιμητής του διαστήματος εμπιστοσύνης είναι:

11 Ποιον έλεγχο χρησιμοποιούμε; Ποιον έλεγχο υποθέσεων χρησιμοποιούμε; Ίσες διασπορές ή άνισες διασπορές; Όταν δεν υπάρχουν επαρκείς ενδείξεις ότι οι διασπορές είναι άνισες, είναι προτιμότερο να εφαρμόζουμε τον έλεγχο υποθέσεων για ίσες διασπορές Κι αυτό γιατί, για οποιαδήποτε δύο δείγματα: Ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας στην περίπτωση των ίσων διασπορών Ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας στην περίπτωση των άνισων διασπορών Ο μεγαλύτερος αριθμός βαθμών ελευθερίας ισοδυναμεί με το να είχαμε μεγαλύτερο μέγεθος δείγματος

12 Ελέγχοντας τις διασπορές των πληθυσμών Έλεγχος των διασπορών των πληθυσμών H 0 : σ 1 2 / σ 2 2 = 1 H 1 : σ 1 2 / σ Ο έλεγχος είναι ο λόγος s 1 2 / s 22, ο οποίος ακολουθεί την κατανομή F με βαθμούς ελευθερίας ν 1 = n 1 1 και ν 2 = n 2 2. Η απαραίτητη προυπόθεση είναι ίδια με αυτή στον έλεγχο της µ 1 - µ 2, δηλαδή και οι δύο πληθυσμοί να ακολουθούν την κανονική κατανομή.

13 Ελέγχοντας τις διασπορές των πληθυσμών Σε αυτόν τον έλεγχο υπάρχει περιοχή απόρριψης και στα δύο άκρα της κατανομής (two-tail) συνεπώς το κριτήριο απόρριψης της μηδενικής υπόθεσης είναι : F F / 2, 1, 2 ή F F 1 / 2, 1, 2

14 Παράδειγμα 13.1 Εκατομμύρια επενδυτών αγοράζουν αμοιβαία κεφάλαια έχοντας χιλιάδες επιλογές. Κάποια κεφάλαια αγοράζονται απευθείας από τράπεζες ή άλλους οικονομικούς οργανισμούς ενώ άλλα αγοράζονται από χρηματιστές, οι οποίοι χρεώνουν μια αμοιβή για την υπηρεσία που προσφέρουν. Αυτό δημιουργεί το ερώτημα, είναι καλύτερα για τους επενδυτές να αγοράζουν αμοιβαία κεφάλαια απευθείας ή μέσω χρηματιστών;

15 Παράδειγμα 13.1 Για να απαντηθεί αυτό το ερώτημα επιλέχθηκε ένα τυχαίο δείγμα αμοιβαίων κεφαλαίων που είναι άμεσα διαθέσιμα στους επενδυτές και αμοιβαίων κεφαλαίων που διατίθενται μέσω χρηματιστών και καταγράφηκε η ετήσια απόδοσή τους, αφού αφαιρέθηκαν όλες οι σχετικές αμοιβές. Xm13-01 Μπορούμε να συμπεράνουμε με επίπεδο σημαντικότητας 5% ότι τα αμοιβαία κεφάλαια που αγοράζονται απευθείας από τους επενδυτές έχουν υψηλότερη απόδοση;

16 Παράδειγμα 13.1 IDENTIFY Για να απαντήσουμε στο ερώτημα πρέπει να συγκρίνουμε τον πληθυσμό των απευθείας διαθέσιμων αμοιβαίων κεφαλαίων με τον πληθυσμό των αμοιβαίων κεφαλαίων που διατίθενται μέσω χρηματιστών. Τα δεδομένα είναι προφανώς ποσοτικά συνεχή (έχουμε καταγράψει πραγματικά νούμερα). Ένα τέτοιο πρόβλημα με αντικειμενικά δεδομένα μας δείχνει ότι αυτό που πρέπει να ελέγξουμε είναι η διαφορά των μέσων των δύο πληθυσμών µ 1 - µ 2.

17 Παράδειγμα 13.1 IDENTIFY Η υπόθεση που πρέπει να ελεγχθεί είναι ότι η μέση απόδοση των απευθείας διαθέσιμων αμοιβαίων κεφαλαίων (µ 1 ) είναι μεγαλύτερη από την μέση απόδοση αυτών που διατίθενται μέσω χρηματιστών (µ 2 ).Έτσι,η εναλλακτική υπόθεση είναι : και H 1 : µ 1 - µ 2 > 0 H 0 : µ 1 - µ 2 = 0 Για να επιλέξουμε τον κατάλληλο έλεγχο θα πρέπει να προηγηθεί ο έλεγχος για τον λόγο F=σ 12 / σ 2 2.

18 Παράδειγμα 13.1 IDENTIFY Από τα δεδομένα υπολογίσαμε τα παρακάτω: s 1 2 = και s 2 2 = Ο έλεγχος είναι: F = 37.49/43.34 = 0.86 Περιοχή απόρριψης: F F 2,, F.025,49,49 F.025,50, 50 / ή F F / 2,, F.975,49,49 1/ F.025,49,49 1/ F.025,50, /

19 Παράδειγμα 13.1 IDENTIFY Επιλέγουμε Data, Data Analysis, και F-Test Two Sample for Variances

20 Παράδειγμα 13.1 IDENTIFY A B C F-Test Two-Sample for Variances Direct Broker Mean Variance Observations df F 0.86 P(F<=f) one-tail F Critical one-tail Η τιμή του ελέγχου είναι F =.86. Το Excel υπολογίζει την τιμή p που αφορά το ένα άκρο της κατανομής. Συνεπώς επειδή έχουμε κατανομή two-tail, η τιμή p θα διπλασιαστεί και θα γίνει =.6136.

21 Παράδειγμα 13.1 IDENTIFY Δεν υπάρχουν αρκετές ενδείξεις ότι οι διασπορές των δύο πληθυσμών διαφέρουν. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να εφαρμόσουμε τον έλεγχο υποθέσεων για ίσες διασπορές προκειμένου να ελέγξουμε την διαφορά µ 1 - µ 2

22 Παράδειγμα 13.1 Για χειροκίνητους υπολογισμούς επιλέξτε Example 13.1 Manual Calculations Για το Excel κοιτάξτε στην επόμενη διαφάνεια. COMPUTE 12.22

23 Παράδειγμα 13.1 COMPUTE Επιλέξτε Data, Data Analysis, t-test: Two-Sample Θεωρώντας τις Διασπορές Ίσες

24 Παράδειγμα 13.1 COMPUTE A B C t-test: Two-Sample Assuming Equal Variances Direct Broker Mean Variance Observations Pooled Variance Hypothesized Mean Difference 0 df 98 t Stat 2.29 P(T<=t) one-tail t Critical one-tail P(T<=t) two-tail t Critical two-tail

25 Example 13.1 INTERPRET The value of the test statistic is The one-tail p-value is We observe that the p-value of the test is small (and the test statistic falls into the rejection region). As a result we conclude that there is sufficient evidence to infer that on average directly-purchased mutual funds outperform broker-purchased mutual funds

26 Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε έναν εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης για την διαφορά των μέσων για στάθμη εμπιστοσύνης 95% σχετικά με τη μέση πρόσληψη θερμίδων ανάμεσα σε αυτούς που καταναλώνουν και αυτούς που δεν καταναλώνουν δημητριακά πλούσια σε φυτικές ίνες. Ο εκτιμητής για άνισες διασπορές είναι : (x1 x 2 ) t / 2 sp n1 n 2 Χρησιμοποιούμε το φύλλο εργασίας που ονομάζεται t-estimate_2 Means (Eq-Var) στο βιβλίο εργασίας Estimators ή δουλεύουμε χειροκίνητα (Click here).

27 Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης COMPUTE A B C D E F t-estimate of the Difference Between Two Means (Equal-Variances) Sample 1 Sample 2 Confidence Interval Estimate Mean ± 2.52 Variance Lower confidence limit 0.39 Sample size Upper confidence limit 5.43 Pooled Variance Confidence level 0.95

28 Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης INTERPRET Εκτιμούμε ότι η απόδοση των απευθείας διαθέσιμων αμοιβαίων κεφαλαίων είναι κατά μέσο όρο μεταξύ.39 και 5.43 ποσοστιαίες μονάδες μεγαλύτερη από αυτή των αμοιβαίων κεφαλαίων που διατίθενται μέσω χρηματιστών.

29 Παράδειγμα 13.2 Τι συμβαίνει σε μια οικογενειακή επιχείρηση όταν αναλαμβάνει ο γιος ή η κόρη του αφεντικού; Είναι καλύτερο για την επιχείρηση αν ο νέος διευθυντής είναι παιδί του ιδιοκτήτη ή αν είναι ξένος; Για να απαντηθεί το ερώτημα επιλέχθησαν τυχαία 140 οικογενειακές επιχειρήσεις στις οποίες αποσύρθηκε ο αρχικός διευθυντής μεταξύ1994 και Από αυτές στο 30% ανέλαβε νέος διευθυντής κάποιο από τα παιδιά του αρχικού ενώ στο 70% ανέλαβε ξένος.

30 Παράδειγμα 13.2 Για κάθε επιχείρηση η έρευνα κατέγραψε την ποσοστιαία μεταβολή του συνολικού ενεργητικού ένα χρόνο πριν και ένα χρόνο μετά την αλλαγή του διευθυντή. Η αλλαγή (ενεργητικό πριν ενεργητικό μετά) σε αυτή την μεταβλητή καταγράφηκε. Xm13-02 Μπορούμε από τα δεδομένα να συμπεράνουμε ότι η πορεία της επιχείρησης είναι διαφορετική με τα δύο είδη διευθυντών;

31 Παράδειγμα 13.2 IDENTIFY Αυτό που πρέπει να κάνουμε είναι να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς. Πληθυσμός 1: Έσοδα επιχείρησης με διευθυντή κάποιο από τα παιδιά του αρχικού Πληθυσμός 2: Έσοδα επιχείρησης με διευθυντή ξένο Τα δεδομένα είναι ποσοτικά συνεχή. Πρέπει να ελέγξουμε μια υπόθεση για τη διαφορά µ 1 - µ 2, όπου µ 1 ο μέσος του πληθυσμού 1 και µ 2 ο μέσος του πληθυσμού 2.

32 Παράδειγμα 13.2 IDENTIFY Θέλουμε να αποφασίσουμε αν υπάρχουν αρκετές στατιστικές ενδείξεις ότι ο µ 1 είναι διάφορος του µ 2. Δηλαδή ότι η διαφορά µ 1 - µ 2 δεν είναι ίση με 0. Έτσι, και H 1 : µ 1 - µ 2 0 H 0 : µ 1 - µ 2 = 0 Χρειάζεται πρώτα να αποφασίσουμε αν θα επιλέξουμε τον έλεγχο για τις ίσες ή τις άνισες διασπορές.

33 Παράδειγμα 13.2 IDENTIFY Επιλέγουμε Data, Data Analysis, και F-Test Two Sample for Variances

34 Παράδειγμα 13.2 IDENTIFY A B C F-Test Two-Sample for Variances Offspring Outsider Mean Variance Observations df F 0.47 P(F<=f) one-tail F Critical one-tail Η τιμή του ελέγχου είναι F =.47. Η τιμή του p που υπολογίζουμε είναι =.0080.

35 Παράδειγμα 13.2 IDENTIFY Οπότε, η σωστή επιλογή είναι ο έλεγχος για άνισες διασπορές της διαφοράς µ 1 - µ 2.

36 Παράδειγμα 13.2 Για χειροκίνητους υπολογισμούς επιλέγουμε Example 13.2 manual calculations Για το Excel κοιτάξτε στην επόμενη διαφάνεια. COMPUTE 12.37

37 Παράδειγμα 13.2 COMPUTE Επιλέγουμε Data, Data Analysis, t-test: Two-Sample Assuming Unequal Variances

38 Παράδειγμα 13.2 COMPUTE A B C t-test: Two-Sample Assuming Unequal Variances Offspring Outsider Mean Variance Observations Hypothesized Mean Difference 0 df 111 t Stat P(T<=t) one-tail t Critical one-tail P(T<=t) two-tail t Critical two-tail

39 Παράδειγμα 13.2 INTERPRET Ο έλεγχος είναι 3.22 και η τιμή του p είναι Επομένως, συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν αρκετές ενδείξεις ότι οι μέσοι διαφέρουν.

40 Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης Μπορούμε, επίσης, να εξάγουμε συμπεράσματα για τη διαφορά των μέσων δύο πληθυσμών υπολογίζοντας έναν εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης. Χρησιμοποιούμε τον εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης για άνισες διασπορές και σε επίπεδο εμπιστοσύνης 95%. Χρησιμοποιούμε το φύλλο εργασίας που ονομάζεται t-estimate_2 Means (Uneq-Var) από το βιβλίο εργασίας Estimators ή εργαζόμαστε χειροκίνητα (Click here).

41 Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης COMPUTE Χρησιμοποιούμε το φύλλο εργασίας t-estimate_2 Means (Uneq-Var) από το βιβλίο εργασίας Estimators και αντικαθιστούμε τα στατιστικά μέτρα των δειγμάτων καθώς και το επίπεδο εμπιστοσύνης. A B C D E F t-estimate of the Difference Between Two Means (Unequal-Variances) Sample 1 Sample 2 Confidence Interval Estimate Mean ± 0.82 Variance Lower confidence limit Sample size Upper confidence limit Degrees of freedom Confidence level 0.95

42 Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης INTERPRET Σύμφωνα με τα αποτελέσματα, η μέση απόδοση των επιχειρήσεων στις οποίες ανέλαβε διευθυντής κάποιος εκτός οικογένειας είναι 0.52% % υψηλότερη σε σύγκριση με αυτή των επιχειρήσεων που ανέλαβε διευθυντής ένα από τα παιδιά του ιδρυτή.

43 Έλεγχος της αναγκαίας συνθήκης Οι έλεγχοι για τις ίσες αλλά και για τις άνισες διασπορές απαιτούν οι πληθυσμοί να ακολουθούν την κανονική κατανομή. Όπως και προηγουμένως, μπορούμε να ελέγξουμε αν αυτή η αναγκαία συνθήκη ικανοποιείται, σχεδιάζοντας τα ιστογράμματα των δεδομένων.

44 Frequency Frequency Έλεγχος αναγκαίας συνθήκης: Παράδειγμα Histogram More Direct Histogram More Broker

45 Frequency Frequency Έλεγχος αναγκαίας συνθήκης: Παράδειγμα Histogram Offspring Histogram Outsider

46 Παραβίαση της Αναγκαίας Συνθήκης Όταν η συνθήκη της κανονικότητας δεν ικανοποιείται, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια μη παραμετρική μέθοδο όπως το τεστ Wilcoxon για ανεξάρτητα δείγματα (Κεφάλαιο 19) το οποίο αντικαθιστά τον έλεγχο της διαφοράς µ 1 -µ 2 για ίσες διασπορές. Δεν έχουμε εναλλακτική λύση για τον έλεγχο της διαφοράς µ 1 -µ 2 για άνισες διασπορές όταν οι πληθυσμοί είναι μη κανονικοί.

47 Οργάνωση των δεδομένων Αν τα δεδομένα κάθε δείγματος εμφανίζονται σε διαφορετική στήλη, τότε αυτά τα δεδομένα ονομάζονται μη στοιβαγμένα (unstacked). Αν όλα τα δεδομένα και των δύο δειγμάτων εμφανίζονται στην ίδια στήλη, τότε ονομάζονται στοιβαγμένα (stacked).

48 Κατανόηση Στατιστικών Εννοιών 1 Οι μαθηματικοί τύποι αυτού του κεφαλαίου είναι σχετικά πολύπλοκοι. Ωστόσο, εννοιολογικά και οι δύο έλεγχοι υποθέσεων βασίζονται στις μεθόδους που γνωρίσαμε στα Κεφάλαια 11 και 12. Έτσι, το στατιστικό στοιχείο που χρησιμοποιείται για τον έλεγχο υποθέσεων είναι η διαφορά των μέσων των δύο δειγμάτων, ενώ η υποθετική τιμή της διαφοράς των μέσων των δύο πληθυσμών υπολογίζεται σε σχέση με το τυπικό σφάλμα. Test statistic Statistic Parameter Stan dard error

49 Κατανόηση Στατιστικών Εννοιών 2 Όπως είχαμε δει για τον εκτιμητή διαστήματος μιας αναλογίας, έτσι και για τη διαφορά των μέσων δύο πληθυσμών το τυπικό σφάλμα πρέπει να εκτιμηθεί από τα δεδομένα των δειγμάτων. Η μέθοδος που χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε το τυπικό σφάλμα της διαφοράς x1 x 2 εξαρτάται από το αν οι διασπορές των πληθυσμών είναι ίσες. Αν οι διασπορές είναι ίσες υπολογίζουμε τον σταθμισμένο εκτιμητή διασποράς s p2. Εδώ χρησιμοποιούμε μια βασική αρχή, την οποία θα ξαναδούμε σε επόμενα κεφάλαια : όπου αυτό είναι δυνατόν, είναι προτιμότερο να συνδυάζουμε τα δεδομένα των δύο δειγμάτων για την εκτίμηση του τυπικού σφάλματος.

50 Κατανόηση Στατιστικών Εννοιών 2 Στην προηγούμενη εφαρμογή μπορούσαμε να συνδυάσουμε τα δεδομένα των δύο δειγμάτων γιατί θεωρούσαμε ότι τα δύο αυτά δείγματα προέρχονται από πληθυσμούς με κοινή διασπορά. Ο συνδυασμός και των δύο δειγμάτων αυξάνει την ακρίβεια της εκτίμησης. Έτσι, ο s p 2 είναι καλύτερος εκτιμητής της κοινής διασποράς σε σχέση με καθένα από τους s 1 2 ή s 22. Όταν οι διασπορές των δύο πληθυσμών διαφέρουν, τότε δεν μπορούμε να συνδυάσουμε τα δεδομένα και να προκύψει ένας κοινός εκτιμητής. Πρέπει να κάνουμε υπολογισμούς και να χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα για να εκτιμήσουμε τα σ 1 2 και σ 22, αντίστοιχα.

51 Παράγοντες που καθορίζουν την μέθοδο I Παράγοντες που καθορίζουν την χρήση της μεθόδου των ίσων διασπορών για τον έλεγχο και τον εκτιμητή της διαφοράς :

52 Παράγοντες που καθορίζουν την μέθοδο ΙΙ Παράγοντες που καθορίζουν τη χρήση της μεθόδου των άνισων διασπορών για τον έλεγχο και τον εκτιμητή της διαφοράς :

53 Άγνοια δεν έχει κάποιος όταν δεν ξέρει κάτι, αλλά όταν αυτό που ξέρει δεν είναι ακριβώς έτσι όπως νομίζει. Will Rogers Δεν υπάρχει τίποτα που να επιβεβαιώνει περισσότερο αυτά τα λόγια όσο η ερμηνεία των στατιστικών αποτελεσμάτων.

54 Παράδειγμα 13.3 Εκτός από κάποιες διαφωνίες, οι επιστήμονες γενικά συμφωνούν ότι τα δημητριακά με υψηλή περιεκτικότητα σε φυτικές ίνες μειώνουν την πιθανότητα εμφάνισης διάφορων μορφών καρκίνου. Ένας επιστήμονας ισχυρίζεται ότι αυτοί που στο πρωινό τους τρώνε δημητριακά πλούσια σε φυτικές ίνες καταναλώνουν λιγότερες θερμίδες στο μεσημεριανό γεύμα σε σχέση με αυτούς που δεν τρώνε δημητριακά στο πρωινό τους.

55 Παράδειγμα 13.3 Αν αυτός ο ισχυρισμός αληθεύει, μπορεί να αποτελέσει ένα ισχυρό διαφημιστικό όπλο για τα εργοστάσια παραγωγής δημητριακών. Για να ελεγχθεί αυτός ο ισχυρισμός, επιλέχθηκαν τυχαία 150 άτομα και ρωτήθηκαν τι τρώνε συνήθως στο πρωινό και στο μεσημεριανό τους.

56 Παράδειγμα 13.3 Κάθε άτομο καταγράφηκε σαν καταναλωτής ή μη καταναλωτής δημητριακών πλούσιων σε φυτικές ίνες, ενώ μετρήθηκαν και καταγράφηκαν οι θερμίδες που καταναλώνει στο μεσημεριανό του. Xm13-03 Μπορούμε να συμπεράνουμε σε επίπεδο σημαντικότητας 5% ότι αυτός ο ισχυρισμός είναι αληθής;

57 Παράδειγμα 13.3 H 2 0 : ( 1 ) H 2 1 : ( 1 ) A B C t-test: Two-Sample Assuming Unequal Variances 0 Consumers Nonconsumers Mean Variance Observations Hypothesized Mean Difference 0 df 123 t Stat P(T<=t) one-tail t Critical one-tail P(T<=t) two-tail t Critical two-tail

58 Παράδειγμα 13.3 Η τιμή του ελέγχου είναι Η τιμή του p για το ένα άκρο είναι Από τα δεδομένα έχουμε αρκετές ενδείξεις ότι οι καταναλωτές δημητριακών με υψηλή περιεκτικότητα σε φυτικές ίνες στο πρωινό τους, λαμβάνουν λιγότερες θερμίδες στο μεσημεριανό τους.

59 Παρατηρούμενα και Πειραματικά Δεδομένα Από τα αποτελέσματα τείνουμε να πιστέψουμε ότι η κατανάλωση δημητριακών πλούσιων σε φυτικές ίνες είναι ένας τρόπος να μειώσουμε το βάρος μας. Ωστόσο, μπορούν να δοθούν και άλλες ερμηνείες. Για παράδειγμα, άνθρωποι που λαμβάνουν λιγότερες θερμίδες είναι πιθανόν περισσότερο ευαισθητοποιημένοι σε θέματα υγείας και προτιμούν τα δημητριακά ως κομμάτι ενός υγειινού πρωινού. Σύμφωνα με αυτή την ερμηνεία, η κατανάλωση δημητριακών δεν οδηγεί απαραίτητα σε πρόσληψη λιγότερων θερμίδων στο μεσημεριανό γεύμα.

60 Παρατηρούμενα και Πειραματικά Δεδομένα Αντιθέτως ένας άλλος παράγοντας, η ευαισθητοποίηση σε θέματα υγείας, οδηγεί στην πρόσληψη λιγότερων θερμίδων στο γεύμα και στην κατανάλωση δημητριακών πλούσιων σε φυτικές ίνες στο πρωινό. Να σημειώσουμε εδώ ότι το συμπέρασμα της στατιστικής διαδικασίας είναι αμετάβλητο. Κατά μέσο όρο, άνθρωποι που τρώνε δημητριακά λαμβάνουν λιγότερες θερμίδες στο γεύμα. Ωστόσο, εξ αιτίας του τρόπου συλλογής των δεδομένων δεν μπορούμε εύκολα να ερμηνεύσουμε αυτό το αποτέλεσμα.

61 Observational and Experimental Data From the result in Example 13.3, we're inclined to believe that eating a high-fiber cereal at breakfast may be a way to reduce weight. However, other interpretations are possible. For example, people Who eat fewer calories at lunch are probably more health conscious, and such people are more likely to eat high-fiber cereal as part of a healthy breakfast. In this interpretation, high-fiber cereals do not necessarily lead to Fewer calories at lunch. Instead another factor, general health consciousness, leads to both fewer calories at lunch and high-fiber cereal for breakfast.

62 Παρατηρούμενα και Πειραματικά Δεδομένα Ας υποθέσουμε ότι επαναλαμβάνουμε το Παράδειγμα 13.3 με μια πειραματική προσέγγιση. Επιλέγουμε τυχαία 150 ανθρώπους για να συμμετέχουν στο πείραμα. Επιλέγουμε τυχαία 75 από αυτούς και τους ζητούμε να τρώνε δημητριακά πλούσια σε φυτικές ίνες στο πρωινό ενώ οι άλλοι 75 όχι. Έπειτα, καταγράφουμε τις θερμίδες που λαμβάνουν στο μεσημεριανό τους γεύμα.

63 Παρατηρούμενα και Πειραματικά Δεδομένα Και οι δύο ομάδες πρέπει να έχουν παρόμοια χαρακτηριστικά και σε άλλους παράγοντες που επηρεάζουν τη λήψη θερμίδων όπως η ευαισθητοποίηση σε θέματα υγείας. (Μεγαλύτερα μεγέθη δειγμάτων αυξάνουν την πιθανότητα οι δύο ομάδες να έχουν παρόμοια χαρακτηριστικά.) Αν το στατιστικό αποτέλεσμα είναι περίπου το ίδιο με αυτό του Παραδείγματος 13.3, έχουμε ένα σημαντικό λόγο να πιστεύουμε ότι τα πλούσια σε φυτικές ίνες δημητριακά στο πρωινό οδηγούν σε μείωση πρόσληψης θερμίδων στο μεσημεριανό.

64 Σύγκριση κατά ζεύγη Νωρίτερα, όταν συγκρίναμε δύο πληθυσμούς μελετούσαμε ανεξάρτητα δείγματα. Αν, ωστόσο, η μελέτη ενός δείγματος ταιριάζει με την μελέτη ενός δεύτερου δείγματος, τότε η μέθοδος που χρησιμοποιούμε ονομάζεται σύγκριση κατά ζεύγη. Για να κατανοήσουμε αυτή τη μέθοδο θα δούμε το Παράδειγμα 13.4.

65 Παράδειγμα 13.4 Τα τελευταία χρόνια έχουν κάνει την εμφάνισή τους αρκετές διαδικτυακές εταιρείες που προσφέρουν ευκαιρίες καριέρας. Ο διευθυντής μιας τέτοιας εταιρείας ενδιαφέρεται να ερευνήσει τις προσφορές εργασίας που δέχονται οι κάτοχοι πτυχίου MBA. Συγκεκριμένα, θέλει να ξέρει αν αυτοί που έχουν κάνει οικονομικές σπουδές δέχονται καλύτερες προσφορές με μεγαλύτερους μισθούς σε σχέση με αυτούς που έχουν κάνει σπουδές marketing.

66 Παράδειγμα 13.4 Σε μια προκαταρκτική μελέτη επέλεξε τυχαίο δείγμα 50 κατόχων MBA, οι μισοί από τους οποίους είχαν σπουδές στην οικονομία και οι άλλοι μισοί στο marketing. Από κάθε ομάδα κατέγραψε τη προσφορά με τον μεγαλύτερο μισθό (συμπεριλαμβανομένου κάποιων πρόσθετων απολαβών) (Xm13-04). Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι κάτοχοι ΜΒΑ με οικονομικές σπουδές δέχονται προσφορές με καλύτερο μισθό σε σχέση με τους κατόχους ΜΒΑ που έχουν σπουδές marketing;

67 Παράδειγμα 13.4 IDENTIFY Η παράμετρος που μελετάμε είναι η διαφορά των δύο μέσων (όπου µ 1 = μέσος υψηλότερος προσφερόμενος μισθός σε αυτούς με τις οικονομικές σπουδές και µ 2 = μέσος υψηλότερος προσφερόμενος μισθός σε αυτούς με σπουδές marketing). Επειδή θέλουμε να ελέγξουμε αν αυτοί που έχουν κάνει οικονομικές σπουδές δέχονται καλύτερες προσφορές, η εναλλακτική υπόθεση θα είναι µ 1 - µ 2 > 0. Ο έλεγχος για τις διασπορές έδειξε ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο των ίσων διασπορών.

68 Παράδειγμα 13.4 IDENTIFY Οι υποθέσεις είναι : H 2 0 : ( 1 ) H 2 1 : ( 1 ) 0 0 Τα αποτελέσματα στο Excel είναι:

69 Παράδειγμα 13.4 COMPUTE A B C t-test: Two-Sample Assuming Equal Variances Finance Marketing Mean 65,624 60,423 Variance 360,433, ,228,559 Observations Pooled Variance 311,330,926 Hypothesized Mean Difference 0 df 48 t Stat 1.04 P(T<=t) one-tail t Critical one-tail P(T<=t) two-tail t Critical two-tail

70 Παράδειγμα 13.4 INTERPRET Η τιμή του ελέγχου (t =1.04) και η τιμή του p (.1513) δεν μπορούν να στηρίξουν την υπόθεση ότι αυτοί που έχουν οικονομικές σπουδές δέχονται καλύτερες προσφορές από αυτούς που έχουν σπουδές marketing.

71 Παράδειγμα 13.4 INTERPRET Έχουμε κάποια στοιχεία, αλλά όχι αρκετά, για να στηρίξουμε την εναλλακτική υπόθεση. Εδώ να σημειώσουμε ότι η διαφορά των μέσων των δειγμάτων είναι : x1 x 2 = (65,624-60,423) = 5,201

72 Παράδειγμα 13.5 Ας υποθέσουμε ότι επαναλαμβάνουμε το πείραμα με τον εξής τρόπο. Αποκτούμε πρόσβαση στις βαθμολογίες σπουδών των κατόχων ΜΒΑ. Επιλέγουμε τυχαία έναν απόφοιτο οικονομικών και έναν απόφοιτο marketing των οποίων ο μέσος όρος της βαθμολογίας του πτυχίου (Grade Point Average (GPA)) είναι μεταξύ 3.92 και 4 (με μέγιστη τιμή το 4). Έπειτα, επιλέγουμε τυχαία έναν απόφοιτο οικονομικών και έναν απόφοιτο marketing των οποίων ο GPA είναι μεταξύ 3.84 και 3.92.

73 Παράδειγμα 13.5 Συνεχίζουμε τη διαδικασία έως ότου φτάσουμε στο 25ο ζευγάρι αποφοίτων που επιλέχθηκε έτσι ώστε ο GPA τους να είναι μεταξύ 2.0 και (Ο ελάχιστος GPA για την αποφοίτηση είναι 2.0.) Όπως κάναμε και στο Παράδειγμα 13.4 καταγράφουμε την προσφορά με τον καλύτερο μισθό. Xm13-05 Μπορούμε να συμπεράνουμε από τα δεδομένα ότι οι απόφοιτοι οικονομικών δέχονται καλύτερες προσφορές από τους αποφοίτους marketing;

74 Παράδειγμα 13.5 IDENTIFY Στο πείραμα που περιγράψαμε στο Παράδειγμα 13.4 τα δείγματα ήταν ανεξάρτητα. Δηλαδή, δεν υπήρχε καμία σχέση μεταξύ των παρατηρήσεων των δύο δειγμάτων. Ωστόσο, σε αυτό το παράδειγμα το πείραμα σχεδιάστηκε με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε κάθε παρατήρηση του ενός δείγματος να αντιστοιχεί σε μία παρατήρηση του άλλου. Η αντιστοιχία αυτή επετεύχθη επιλέγοντας ζευγάρια αποφοίτων από τις δύο κατευθύνσεις σπουδών με παρόμοιο GPA. Έτσι, είναι λογικό να συγκρίνουμε τις προσφορές που δέχονται πτυχιούχοι με παρόμοιο GPA. Αυτού του είδους το πείραμα βασίζεται στην σύγκριση κατά ζεύγη (matched pairs).

75 Παράδειγμα 13.5 IDENTIFY Για κάθε ομάδα με διαφορετικό GPA, υπολογίζουμε τη διαφορά στους μισθούς των προσφορών κάθε ζεύγους.

76 Παράδειγμα 13.5 IDENTIFY Τα μαύρα νούμερα είναι τα αρχικά δεδομένα των μισθών (Xm13-05) και τα μπλε είναι αυτά που υπολογίστηκαν. Παρ όλο που ένας φοιτητής είναι στα οικονομικά ή στο marketing (δηλ. ανεξάρτητα δείγματα), το ότι συλλέξαμε τα δεδομένα με αυτόν τον τρόπο μας δίνει τη δυνατότητα σύγκρισης κατά ζεύγη (π.χ. οι δύο φοιτητές στο group #1 «ταίριαξαν» με κριτήριο το GPA η διαφορά των μέσων είναι ίση με τον μέσο των διαφορών, έτσι, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο ο μέσος των διαφορών των ζευγών είναι η παράμετρος που θα ελέγξουμε:

77 Παράδειγμα 13.5 IDENTIFY Έχουν οι απόφοιτοι Οικονομικών καλύτερες προσφορές από τους αποφοίτους Marketing; Αφού: Θέλουμε να ελέγξουμε την υπόθεση: H 1 : ( και η μηδενική υπόθεση είναι H 0 : )

78 Έλεγχος υποθέσεων για τον IDENTIFY Ο έλεγχος για τον μέσο του πληθυσμού των διαφορών ( ) είναι : ο οποίος ακολουθεί την κατανομή Student t με n D 1 βαθμούς ελευθερίας, μας έδειξε ότι οι διαφορές ακολουθούν την κανονική κατανομή.

79 Παράδειγμα 13.5 Για χειροκίνητους υπολογισμούς επιλέξτε Example 13.5 Manual Calculations Για το Excel κοιτάξτε τη επόμενη διαφάνεια. COMPUTE 12.80

80 Παράδειγμα 13.5 COMPUTE Επιλέξτε Data, Data Analysis, t-test: Paired Two- Sample for Means

81 Παράδειγμα 13.5 COMPUTE A B C t-test: Paired Two Sample for Means Finance Marketing Mean 65,438 60,374 Variance 444,981, ,441,785 Observations Pearson Correlation Hypothesized Mean Difference 0 df 24 t Stat 3.81 P(T<=t) one-tail t Critical one-tail P(T<=t) two-tail t Critical two-tail

82 Παράδειγμα 13.5 INTERPRET Η τιμή του p είναι Υπάρχουν πολύ σοβαρές ενδείξεις ότι όντως οι απόφοιτοι Οικονομικών δέχονται καλύτερες προσφορές από τους αποφοίτους Marketing.

83 Παράδειγμα 13.6 Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης για τον µ D Χρησιμοποιώντας αλγεβρικούς μετασχηματισμούς μπορούμε να υπολογίσουμε τον εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης: A B C t-estimate: Mean Difference Mean 5065 Standard Deviation 6647 LCL 2321 UCL 7808

84 Frequency Ελέγχοντας την αναγκαία συνθήκη Απαραίτητη προυπόθεση είναι ο πληθυσμός των διαφορών να ακολουθεί την κανονική κατανομή. Όπως και πριν, μπορούμε να δούμε αν η προυπόθεση αυτή ικανοποιείται σχεδιάζοντας το ιστόγραμμα των διαφορών.. Histogram Difference

85 Παραβίαση της Αναγκαίας Συνθήκης Αν οι διαφορές είναι μη κανονικές, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον έλεγχο για τον µ D. Μπορούμε, ωστόσο, να χρησιμοποιήσουμε μία μη παραμετρική μέθοδο τη μέθοδο Wilcoxon για ζεύγη, την οποία παρουσιάζουμε στο Κεφάλαιο 19.

86 Ανεξάρτητα δείγματα ή σύγκριση κατά ζεύγη: Ποιος πειραματικός σχεδιασμός είναι καλύτερος; Τα παραδείγματα 13.4 και 13.5 έδειξαν ότι ο τρόπος συλλογής των πειραματικών δεδομένων παίζει σημαντικό ρόλο στην εξαγωγή συμπερασμάτων σε μια στατιστική έρευνα. Ωστόσο, αυτά τα δύο παραδείγματα εγείρουν διάφορα ερωτήματα σχετικά με τον πειραματικό σχεδιασμό. 1 Για ποιο λόγο καταλήξαμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση στηριζόμενοι στη σύγκριση κατά ζεύγη ενώ δεν μπορέσαμε να κάνουμε το ίδιο με τη βοήθεια των ανεξάρτητων δειγμάτων;

87 Ανεξάρτητα δείγματα ή σύγκριση κατά ζεύγη: Ποιος πειραματικός σχεδιασμός είναι καλύτερος; 2 Πότε πρέπει να χρησιμοποιούμε τη σύγκριση κατά ζεύγη και ποια είναι τα μειονεκτήματά της; 3 Πώς αναγνωρίζουμε αν μια έρευνα έχει χρησιμοποιήσει τη σύγκριση κατά ζεύγη;

88 Ανεξάρτητα δείγματα ή σύγκριση κατά ζεύγη: Ποιος πειραματικός σχεδιασμός είναι καλύτερος; 1 Η εφαρμογή της σύγκρισης κατά ζεύγη στο παράδειγμα 13.5 μείωσε τη μεταβλητότητα των δεδομένων. Για να κατανοήσουμε αυτό το σημείο, ας δούμε τους ελέγχους και στα δύο παραδείγματα. Στο παράδειγμα 13.4, βρήκαμε x x2 1 5,201 και στο παράδειγμα 13.5 x D 5,065

89 Ανεξάρτητα δείγματα ή σύγκριση κατά ζεύγη: Ποιος πειραματικός σχεδιασμός είναι καλύτερος; Βλέπουμε ότι οι αριθμητές των ελέγχων δεν διέφεραν πολύ. Παρ όλα αυτά, το αποτέλεσμα του ελέγχου στο παράδειγμα 13.5 ήταν πολύ μεγαλύτερο από αυτό του παραδείγματος 13.4 εξ αιτίας των τυπικών σφαλμάτων.

90 Ανεξάρτητα δείγματα ή σύγκριση κατά ζεύγη: Ποιος πειραματικός σχεδιασμός είναι καλύτερος; Στο Παράδειγμα 13.4, υπολογίσαμε : s 2 p 311,330,926 s 2 p 1 n 1 n 1 2 4,991 Από το Παράδειγμα 13.5 προέκυψε : s D 6,647 s n D D 1,329

91 Ανεξάρτητα δείγματα ή σύγκριση κατά ζεύγη: Ποιος πειραματικός σχεδιασμός είναι καλύτερος; 2 H σύγκριση κατά ζεύγη παράγει πάντα μεγαλύτερο έλεγχο από τα ανεξάρτητα δείγματα; Όχι απαραίτητα. Ας υποθέσουμε ότι στο παράδειγμα 13.5 οι εταιρείες δεν λαμβάνουν υπόψη τους την βαθμολογία των αποφοίτων MBA για να αποφασίσουν τι προσφορά θα τους κάνουν. Σε αυτή τη περίπτωση, η σύγκριση κατά ζεύγη δεν οδηγεί σε μεγάλη μείωση της διασποράς, οπότε προτιμούμε τα ανεξάρτητα δείγματα.

92 Ανεξάρτητα δείγματα ή σύγκριση κατά ζεύγη: Ποιος πειραματικός σχεδιασμός είναι καλύτερος; 3 Στο βιβλίο αυτό ασχολούμαστε με πειράματα ή έρευνες που γνωρίζουμε προκαταβολικά τη δομή τους. Έτσι, αυτό που πρέπει να κάνουμε είναι να αποφασίσουμε ποιος έλεγχος είναι κατάλληλος σε κάθε περίπτωση. Στην περίπτωση σύγκρισης δύο πληθυσμών με ποσοτικά συνεχή δεδομένα, πρέπει να αποφασίσουμε αν τα δείγματα είναι ανεξάρτητα (οπότε θα ελέγξουμε τη διαφορά των μέσων) ή έχουν επιλεγεί κατά ζεύγη (οπότε θα ελέγξουμε τον μέσο των διαφορών).

93 Ανεξάρτητα δείγματα ή σύγκριση κατά ζεύγη: Ποιος πειραματικός σχεδιασμός είναι καλύτερος; Στην απόφαση αυτή μπορεί να μας βοηθήσει η απάντηση στο ακόλουθο ερώτημα: Υπάρχει κάποια φυσική αντιστοιχία ανάμεσα στις παρατηρήσεις των δειγμάτων έτσι, ώστε να σχηματίσουν ζεύγη; Αν δεν υπάρχει, τότε τα δείγματα είναι ανεξάρτητα.

94 Κατανόηση Στατιστικών Εννοιών 1 Σε αυτό το κεφάλαιο εφαρμόσαμε δύο από τις βασικότερες αρχές της Στατιστικής. Η πρώτη είναι η αναζήτηση των πηγών διασποράς. Στα παραδείγματα 13.4 και 13.5 είδαμε ότι εξουδετερώνοντας τη διασπορά στο εσωτερικό των δειγμάτων, μπορέσαμε να ανιχνεύσουμε μια πραγματική διαφορά μεταξύ των δύο πληθυσμών.

95 Κατανόηση Στατιστικών Εννοιών 1 Η ανάλυση των πηγών διασποράς είναι μια γενικότερη μέθοδος που εξετάζει τα δεδομένα και αποδίδει σε διάφορα χαρακτηριστικά του πληθυσμού ένα ποσοστό της συνολικής διασποράς. Στο Παράδειγμα 13.5, οι δύο πηγές διασποράς ήταν η βαθμολογία και η κατεύθυνση των σπουδών. Ωστόσο, δεν ενδιαφερόμαστε για τη διασπορά μεταξύ αποφοίτων με διαφορετικά GPA. Αντιθέτως, θέλαμε να εξουδετερώσουμε αυτή την πηγή διασποράς για να μπορέσουμε να εξετάσουμε τις συνέπειες της άλλης.

96 Κατανόηση Στατιστικών Εννοιών 1 Στο Κεφάλαιο 14, θα γνωρίσουμε μια μέθοδο που ονομάζεται ανάλυση διασποράς (analysis of variance) και η οποία αναλύει τις πηγές μεταβλητότητας προσπαθώντας να ανιχνεύσει τις πραγματικές διαφορές. Στις περισσότερες εφαρμογές ο στόχος δεν θα είναι απλά η εξουδετέρωση μιας πηγής διασποράς, αλλά η μελέτη όλων των πηγών. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται εξήγηση της διασποράς και θα τη συναντήσουμε επίσης στα κεφάλαια

97 Κατανόηση Στατιστικών Εννοιών 2 Η δεύτερη βασική αρχή της Στατιστικής που είδαμε είναι ότι η συλλογή των δεδομένων μπορεί να σχεδιαστεί με τέτοιο τρόπο ώστε να απομονώνει πηγές διασποράς. Πριν επιλέξει το κριτήριο για τον σχηματισμό ζευγών στο παράδειγμα 13.5, ο στατιστικολόγος υποψιαζόταν ότι υπάρχουν μεγάλες διαφορές ανάμεσα σε αποφοίτους με διαφορετικά GPA.

98 Κατανόηση Στατιστικών Εννοιών 2 Έτσι, οργάνωσε τη συλλογή των δεδομένων με τρόπο που ελαχιστοποιεί τις συνέπειες της διαφοράς στη βαθμολογία. Είναι επίσης δυνατό να σχεδιαστούν πειράματα που όχι μόνο εξουδετερώνουν πηγές διασποράς αλλά και ελαχιστοποιούν το κόστος της συλλογής δεδομένων.

99 Καθοριστικοί Παράγοντες Παράγοντες που καθορίζουν τη χρήση του ελέγχου και τον εκτιμητή του μέσου των διαφορών : D

100 Λόγος δύο διασπορών Μέχρι τώρα συγκρίναμε στατιστικά μέτρα κεντρικής θέσης και συγκεκριμένα τον μέσο δύο πληθυσμών. Όταν εξετάζουμε τις διασπορές δύο πληθυσμών, αυτό που μας ενδιαφέρει είναι ο λόγος τους: Ο δειγματοληπτικός έλεγχος: ακολουθεί την κατανομή F με βαθμούς ελευθερίας.

101 Λόγος δύο διασπορών Η μηδενική υπόθεση είναι πάντα: H 0 : (δηλ. οι διασπορές δύο πληθυσμών είναι ίσες όταν ο λόγος τους είναι 1) Έτσι, ο έλεγχος είναι:

102 Παράδειγμα 13.7 IDENTIFY Στο Παράδειγμα 12.3, εφαρμόσαμε για την διασπορά τον έλεγχο χ-τετράγωνο για να αποφασίσουμε αν υπάρχουν αρκετές ενδείξεις ότι η διασπορά του πληθυσμού είναι μικρότερη του 1. Ας υποθέσουμε ότι η επιχείρηση έχει συγκεντρώσει δείγματα του περιεχομένου των συσκευασιών από μια δεύτερη μηχανή εμφιάλωσης. Μπορούμε να συμπεράνουμε σε επίπεδο σημαντικότητας 5% ότι η δεύτερη μηχανή είναι πιο σταθερή από την πρώτη;

103 Παράδειγμα 13.7 IDENTIFY Πρέπει να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς όπου τα δεδομένα είναι ποσοτικά συνεχή. Επειδή θέλουμε πληροφορίες για την σταθερότητα των δύο μηχανών, θα ελέγξουμε τον λόγο σ 1 2 / σ 22, όπου σ 1 2 είναι η διασπορά της μηχανής 1 και σ 2 2 η διασπορά της μηχανής 2.

104 Παράδειγμα 13.7 IDENTIFY Πρέπει να εφαρμόσουμε τον έλεγχο F για να διαπιστώσουμε αν η διασπορά του πληθυσμού 1 είναι μικρότερη από αυτή του πληθυσμού 2. Ή αλλιώς, θέλουμε να διαπιστώσουμε αν υπάρχουν αρκετές ενδείξεις ότι η σ 1 2 είναι μεγαλύτερη από τη σ 22. Οπότε οι υποθέσεις του ελέγχου είναι : H 0 : σ 1 2 / σ 2 2 = 1 H 1 : σ 1 2 / σ 2 2 > 1

105 Παράδειγμα 13.7 Για χειροκίνητους υπολογισμούς επιλέξτε Example 13.7 Manual Calculations Για το Excel δείτε την επόμενη διαφάνεια. COMPUTE

106 Παράδειγμα 13.7 COMPUTE Επιλέξτε Data, Data Analysis, F-Test Two-Sample for Variances.

107 Παράδειγμα 13.7 COMPUTE A B C F-Test Two-Sample for Variances Machine 1 Machine 2 Mean Variance Observations df F 1.40 P(F<=f) one-tail F Critical one-tail

108 Παράδειγμα 13.7 INTERPRET Δεν υπάρχουν αρκετές ενδείξεις ότι η διασπορά της μηχανής 2 είναι μικρότερη από αυτή της μηχανής 1.

109 Παράδειγμα 13.8 Να εκτιμήσετε σε επίπεδο εμπιστοσύνης 95% τον λόγο των διασπορών των δύο πληθυσμών του Παραδείγματος Ο εκτιμητής του διαστήματος εμπιστοσύνης για τον λόγο σ 1 2 / σ 2 2 είναι:

110 Παράδειγμα 13.8 Για χειροκίνητους υπολογισμούς επιλέξτε Example 13.8 Manual Calculations Για το Excel δείτε την επόμενη διαφάνεια. COMPUTE

111 Παράδειγμα 13.8 COMPUTE Ανοίξτε το φύλλο εργασίας F-Estimator_2 Variances του βιβλίου εργασίας Estimators και εισάγετε στα κελιά τις διασπορές και τα μεγέθη των δύο δειγμάτων καθώς και το επίπεδο εμπιστοσύνης A B C D E F-Estimate of the Ratio of Two Variances Sample 1 Sample 2 Confidence Interval Estimate Sample variance Lower confidence limit Sample size Upper confidence limit Confidence level 0.95 Έτσι, εκτιμούμε ότι ο λόγος σ 1 2 / σ 2 2 βρίσκεται μεταξύ.6164 and Σημειώστε εδώ ότι η μονάδα (1) ανήκει σε αυτό το διάστημα.

112 Καθοριστικοί Παράγοντες της μεθόδου Παράγοντες που καθορίζουν τη χρήση της κατανομής F για τον έλεγχο υποθέσεων και την εκτίμηση του λόγου των διασπορών : :

113 Διαφορά δύο Αναλογιών Τώρα θα δούμε διαδικασίες εξαγωγής συμπερασμάτων για την διαφορά δύο πληθυσμών των οποίων τα δεδομένα είναι ονομαστικά. Όταν τα δεδομένα είναι ονομαστικά, το μόνο που μπορεί να μετρηθεί είναι η συχνότητα εμφάνισης ενός ενδεχομένου και ο υπολογισμός της αναλογίας του ενδεχομένου αυτού στο σύνολο του πληθυσμού (σχετική συχνότητα). Συνεπώς, η μόνη παράμετρος που μπορούμε να ελέγξουμε ή να εκτιμήσουμε είναι η διαφορά των αναλογιών δύο πληθυσμών: p 1 p 2.

114 Έλεγχος και Κατανομή Δειγματοληψίας Για να εξάγουμε συμπεράσματα για την παράμετρο p 1 p 2, παίρνουμε δείγματα των πληθυσμών, υπολογίζουμε τις αναλογίες των δειγμάτων και βρίσκουμε τη διαφορά τους. είναι ένας συνεπής και αμερόληπτος εκτιμητής της παραμέτρου p 1 p 2. x 1 επιτυχίες σε ένα δείγμα μεγέθους n 1 από τον πληθυσμό 1

115 Κατανομή Δειγματοληψίας Ο έλεγχος έχει κατά προσέγγιση κανονική κατανομή αν τα μεγέθη των δειγμάτων είναι αρκετά μεγάλα ώστε: Αφού έχουμε «κατά προσέγγιση κανονική κατανομή» μπορούμε να περιγράψουμε την κανονική κατανομή με τη βοήθεια του μέσου και της διασποράς έτσι η μεταβλητή z είναι μια κατά προσέγγιση τυποποιημένη κανονική τυχαία μεταβλητή:

116 Έλεγχος και Εκτίμηση της διαφοράς p 1 p 2 Επειδή οι αναλογίες των πληθυσμών (p 1 & p 2 ) είναι άγνωστες, το τυπικό σφάλμα: είναι άγνωστο. Έτσι, έχουμε δυο διαφορετικούς εκτιμητές για το τυπικό σφάλμα της διαφοράς που εξαρτάται από την μηδενική υπόθεση. Θα δούμε αυτές τις περιπτώσεις στην επόμενη διαφάνεια

117 Έλεγχος Υποθέσεων για τη διαφορά p 1 p 2 Εξετάζουμε δύο περιπτώσεις

118 Παράδειγμα 13.9 Η εταιρεία General Products Company παράγει ένα σαπούνι μπάνιου που έχει πολύ χαμηλές πωλήσεις. Ελπίζοντας να βελτιώσει τις πωλήσεις η General Products αποφάσισε να δημιουργήσει μια πιο ελκυστική συσκευασία γι αυτό το σαπούνι. Το διαφημιστικό τμήμα της εταιρείας δημιούργησε δύο νέα σχέδια συσκευασιών.

119 Παράδειγμα 13.9 Το πρώτο σχέδιο έχει έντονα φωτεινά χρώματα για να ξεχωρίζει από τις άλλες μάρκες. Το άλλο σχέδιο είναι σε χρώμα ανοιχτό πράσινο και έχει επάνω μόνο το λογότυπο της εταιρείας. Για να αποφασίσει ποιο από τα δύο σχέδια θα χρησιμοποιήσει, ο διευθυντής marketing επέλεξε δύο πολυκαταστήματα. Στο πρώτο πολυκατάστημα το σαπούνι συσκευάστηκε σύμφωνα με το πρώτο σχέδιο ενώ στο δεύτερο σύμφωνα με το δεύτερο σχέδιο.

120 Παράδειγμα 13.9 Οι ταμειακές μηχανές των πολυκαταστημάτων κατέγραψαν για μία εβδομάδα όλες τις αγορές σαπουνιών μπάνιου με τη μορφή ενός τετραψήφιου κωδικού για κάθε μία από τις πέντε μάρκες σαπουνιών που πουλούσαν. Xm13-09 Ο κωδικός για το σαπούνι της General Products είναι 9077(οι άλλοι κωδικοί είναι 4255, 3745, 7118 και 8855).

121 Παράδειγμα 13.9 Μετά το τέλος της εβδομάδας η εταιρεία απέκτησε τα δεδομένα με τη μορφή ηλεκτρονικού αρχείου. Επειδή η πρώτη από τις δύο νέες συσκευασίες είναι ακριβότερη, η εταιρεία έχει αποφασίσει ότι θα την επιλέξει μόνο αν αποδειχθεί ότι εξασφαλίζει μεγαλύτερο μερίδιο αγοράς. Μπορούμε να συμπεράνουμε ποια από τις δύο συσκευασίες πρέπει να επιλέξει η εταιρεία;

122 Παράδειγμα 13.9 IDENTIFY Θέλουμε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς των πωλήσεων σαπουνιών μπάνιου στα δύο πολυκαταστήματα. Τα δεδομένα είναι ονομαστικά και το ενδεχόμενο που θεωρείται ως επιτυχία είναι ο κωδικός 9077, δηλαδή οι πωλήσεις του σαπουνιού της συγκεκριμένης εταιρείας Η παράμετρος που πρέπει να ελεγχθεί είναι η διαφορά των αναλογιών των δύο πληθυσμών p 1 -p 2.

123 Παράδειγμα 13.9 IDENTIFY Η εναλλακτική υπόθεση είναι : H 1 : (p 1 p 2 ) > 0 Η μηδενική υπόθεση είναι : H 0 : (p 1 p 2 ) = 0 γεγονός που μας δείχνει ότι θα χρησιμοποιήσουμε τον έλεγχο της περίπτωσης 1 (Case 1). Έτσι, ο έλεγχος είναι : z (pˆ 1 pˆ(1 pˆ) pˆ 1 n 1 2 ) 1 n 2

124 Παράδειγμα 13.9 Για χειροκίνητους υπολογισμούς επιλέξτε Example 13.9 Manual Calculations Για το Excel δείτε την επόμενη διαφάνεια. COMPUTE

125 Παράδειγμα 13.9 COMPUTE Επιλέξτε Add-Ins, Data Analysis Plus, Z-Test: 2 Proportions

126 Παράδειγμα 13.9 COMPUTE A B C z-test: Two Proportions Supermarket 1 Supermarket 2 Sample Proportions Observations Hypothesized Difference 0 z Stat 2.90 P(Z<=z) one tail z Critical one-tail P(Z<=z) two-tail z Critical two-tail 1.96

127 Παράδειγμα 13.9 INTERPRET Η τιμή του ελέγχου είναι z = 2.90 και η τιμή του p είναι Υπάρχουν αρκετές ενδείξεις ότι η πολύχρωμη συσκευασία είναι πιο δημοφιλής από την απλή. Οπότε, συνιστάται στην εταιρεία να επιλέξει το πρώτο σχέδιο.

128 Παράδειγμα Ας υποθέσουμε ότι το πρόσθετο κόστος της πολύχρωμης συσκευασίας είναι αρκετά μεγάλο κι έτσι για να προτιμηθεί θα πρέπει το μερίδιο αγοράς που θα προσελκύσει να είναι τουλάχιστον κατά 3% μεγαλύτερο από αυτό της απλής συσκευασίας.

129 Παράδειγμα IDENTIFY Η εναλλακτική υπόθεση τώρα γίνεται: H 1 : (p 1 p 2 ) >.03 Κι έτσι η μηδενική υπόθεση είναι: H 0 : (p 1 p 2 ) =.03 Αφού το αποτέλεσμα του ελέγχου για την H 0 είναι μη μηδενικό, θα χρησιμοποιήσουμε τον έλεγχο για την περίπτωση 2 (case 2)

130 Παράδειγμα COMPUTE Επιλέξτε Add-Ins, Data Analysis Plus, Z-Test: 2 Proportions

131 Παράδειγμα COMPUTE A B C z-test: Two Proportions Supermarket 1 Supermarket 2 Sample Proportions Observations Hypothesized Difference 0.03 z Stat 1.14 P(Z<=z) one tail z Critical one-tail P(Z<=z) two-tail z Critical two-tail 1.96

132 Παράδειγμα INTERPRET Δεν υπάρχουν αρκετές ενδείξεις ότι το πρώτο σχέδιο προσελκύει μερίδιο αγοράς μεγαλύτερο κατά 3% σε σχέση με το δεύτερο.

133 Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης Ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης για την διαφορά p 1 p 2 είναι: και είναι αξιόπιστος όταν

134 Παράδειγμα Στη συνέχεια των παραδειγμάτων 13.9 και ο διευθυντής marketing της εταιρίας θέλει να έχει μια εκτίμηση (σε επίπεδο εμπιστοσύνης 95%) του πρόσθετου μεριδίου αγοράς που αναμένεται να προσελκύσει η πολύχρωμη συσκευασία.

135 Παράδειγμα Για χειροκίνητους υπολογισμούς επιλέξτε Example Manual Calculations Για το Excel δείτε την επόμενη διαφάνεια. COMPUTE

136 Παράδειγμα COMPUTE Επιλέξτε Add-Ins, Data Analysis Plus, Z-Estimate: 2 Proportions

137 Παράδειγμα COMPUTE A B C D z-estimate: Two Proportions Supermarket 1 Supermarket 2 Sample Proportions Observations LCL UCL

138 Καθοριστικοί Παράγοντες Παράγοντες που καθορίζουν τον έλεγχο και τον εκτιμητή της p 1 p 2