ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΒΑΚΑΛΟΠΟΥΛΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΒΑΚΑΛΟΠΟΥΛΟΣ"

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η έκδοση που έχετε στα χέρια σας είναι μια προσπάθεια να γίνει πιο κατανοητό το κεφάλαιο των ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (Διαφορικός Λογισμός) Περιέχονται: Eπισημάνσεις στη θεωρία και ταυτόχρονη εφαρμογή τους στις ασκήσεις Μεθοδολογίες για τις ασκήσεις καθώς και πολλά λυμένα παραδείγματα Προσοχή, το φυλλάδιο αυτό δεν αντικαθιστά κατά οποιονδήποτε τρόπο το σχολικό βιβλίο, έχει όμως συμβουλευτικό και συμπληρωματικό χαρακτήρα Μαρούσι Κώστας Βακαλόπουλος Μαθηματικός, MSc in Statistics Διαφορικός Λογισμός

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (σελ ) ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (σελ 9) ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (σελ 4) 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (σελ ) 5 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ (σελ4) 6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (σελ) 5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ROLLE (σελ 7) 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (σελ 9) 7 ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (σελ 46) 8 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (σελ 5) 9 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (σελ 56) ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ (σελ 66) ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HOSPITAL (σελ 7) ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (σελ 77) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ (σελ78) Διαφορικός Λογισμός

3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Η ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ Έστω S(t): η συνάρτηση θέσης ενός κινητού (t ο χρόνος κίνησης) και t μια χρονική στιγμή πχ s(t) 5t 5t, t s(t) vt αt, με v 5 και α Ο λόγος: S(t) S(t ), t t ή S(t +h) S(t ), t t h h εκφράζει τη μέση ταχύτητα του κινητού (μεταξύ των χρονικών στιγμών t & t) Ενώ το S(t) S(t ) S(t ή + h) S(t ) tt t t h h εκφράζει τη στιγμιαία ταχύτητα: v(t ) (τη χρονική στιγμή t ) Στο παράδειγμά μας: Η στιγμιαία ταχύτητα τη χρονική στιγμή t είναι: 5t 5t s(t) s() v() t t 5(t t ) 5(t )(t ) t t 5(t ) 5 (Θυμηθείτε!: vv αt δηλαδή v() 5 5 ) Η ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΤΗΣ: Μ (, f( )) Έστω συνάρτηση f, Α το πεδίο ορισμού της, με γραφική παράσταση C f και M(,f ( )) σημείο της, όπου A Ο λόγος f() f( ), ή f( +h) f( ), h h εκφράζει το συντελεστή διεύθυνσης της εκάστοτε τέμνουσας ευθείας που διέρχεται από το Μ (, f( )) και από μεταβλητό σημείο Μ(, f()) της γραφικής παράστασης της f f() f( Αν το: ) ή f( + h) f( ) υπάρχει και είναι h h πραγματικός αριθμός (έστω λ ), τότε ονομάζουμε εφαπτόμενη ευθεία της C f στο σημείο M(,f ( )), την ευθεία που διέρχεται από το Μ και έχει συντελεστή διεύθυνσης το παραπάνω όριο Έτσι η εξίσωσή της θα είναι: y f ( ) λ ( ) Παράδειγμα: Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης στη γραφική παράσταση της A,f() Λύση Για, f () f () 5 f() 5 5 στο 5( )( ) 5 5 Άρα: Η εξίσωση της εφαπτόμενης στο Α είναι: y 5( ) y 5 5 ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση f με πο το Α Ονομάζουμε παράγωγο της f στο Α το f() f( ) όταν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός και συμβολίζεται f ( ) f() f( Άρα f ( ) = ) f( = +h)f( ) h h ή Δf( ) ή df( ) d ή df() d Διαφορικός Λογισμός

4 Η συνάρτηση f τότε λέγεται παραγωγίσιμη στο Α Η συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο Α αν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε Α ΕΠΟΜΕΝΩΣ: Η στιγμιαία ταχύτητα στο t είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης στο t Άρα: v(t o) s (t ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ευθείας στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης στο σημείο Μ(, f( )) είναι η παράγωγος της συνάρτησης στο Δηλαδή λ f ( ) Έτσι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο M,f y f ( ) f ( ) ( ) γίνεται: Tο παραπάνω αποτελεί τη γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου μιας συνάρτησης στο σημείο ΠAΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ) Άσκηση iii/a Ομάδα σελ9 Αν f() ημ να βρεθεί, αν υπάρχει, η παράγωγός f ( ) στο Λύση Για, f() f() ημ ημ f() f() ημ Άρα: f () ημ ημ ημ Σημείωση: Αν η συνάρτηση αλλάζει τύπο εκατέρωθεν του τότε, για να είναι παραγωγίσιμη πρέπει να ισχύει: f() f( για, ) - f() f( = ) +, οπότε αν το κοινό αυτό όριο είναι και πραγματικός αριθμός τότε αυτό το όριο λέγεται: παράγωγος της f στο και συμβολίζεται πάλι: f ( ) ) Άσκηση iv/α Ομάδα σελ 9 Αν f(),, υπάρχει, η f () Λύση Για αν τότε: αν τότε: Άρα: Άρα: f () ΠΡΟΣΟΧΗ! f() f() f() f() να βρεθεί, αν f() f() ( ) f() f() Για ο λόγος: f() f( ) λέγεται και λόγος μεταβολής της f από το στο ενώ το f() f( ) f ( ) δηλαδή η παράγωγος της f στο, λέγεται και ρυθμός μεταβολής της f στο Έτσι, Η στιγμιαία ταχύτητα στο t είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης θέσης στο t O συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης στο σημείο M,f ( ) είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης στο Το οριακό κόστος για μονάδες παραγωγής, είναι ο ρυθμός μεταβολής του κόστους στο 4 Διαφορικός Λογισμός

5 (ΒΑΣΙΚΟ) ΘΕΩΡΗΜΑ Αν μια συνάρτηση f με πο το Α είναι παραγωγίσιμη στο Α, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό (δηλ στο ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Με υπόθεση ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο Α, δηλαδή ότι για υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το όριο: f () f ( ) f ( ) (),θα αποδείξουμε ότι ισχύει: f () f ( ), () Ως γνωστόν όμως ισχύει: f () f ( ) f () f ( ) Αρκεί να δείξουμε ότι: Πράγματι: Για, f () f ( ) () f () f ( ) f () f ( ) ( ) f () f ( ) ( ) f ( ) f ( ) Άρα: f () f ( ) f () f ( ) Δηλαδή η συνάρτηση f συνεχής στο τότε δεν είναι ούτε παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό(αφού αν ήταν παραγωγίσιμη θα ήταν και συνεχής στο ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (Άσκηση iii Α Ομ σελ 8): Να βρεθεί (αν υπάρχει) η f ( ) της f(), 4 Λύση για Επειδή: f() 8 f() 4 6 η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο άρα ούτε παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το να εξετάζουμε τη συνέχεια μιας συνάρτησης στο πριν εξετάσουμε τη παραγωγισιμότητα στο διευκολύνει όταν δεν είναι συνεχής Άσκηση (etra) σ αυτό Να βρεθούν οι τιμές των κ, λ για τις οποίες η συνάρτηση: f() κ, λ, είναι παραγωγίσιμη στο f () f ( Ος ) τρόπος: Θέτουμε g() f () f ( ) g() f () f ( ) g() g() f Άρα: f () f ( ) g() f ( ) f f ( ) ΠΡΟΣΟΧΗ: Τότε: Δεν ισχύει πάντα το αντίστροφο! Δηλαδή αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο δεν είναι οπωσδήποτε και παραγωγίσιμη σ αυτό Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο ΛΥΣΗ Στην άσκηση αυτή η απαίτηση να είναι συνεχής στο επιβάλλεται για να δημιουργήσουμε μια ακόμη εξίσωση με τις παραμέτρους κ και λ Έτσι, Για να είναι η f συνεχής στο πρέπει: f() f() f() ( κ) (λ ) κ κ λ () Τότε η συνάρτηση γίνεται: f() κ, ( κ), Για να είναι η f παραγωγίσιμη στο πρέπει: f() f() f() f() () 5 Διαφορικός Λογισμός

6 f() f() κ κ f() f() ( κ) κ ( κ)( ) Άρα: () κ Επομένως: ( κ)( ) ( )( ) κ κ () () () λ Δηλαδή για κ και λ η f παραγωγίσιμή στο ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΤΗΣ M (,f( )) Έστω συνάρτηση f με πο Α, Α και C f η γραφική της παράσταση η περίπτωση: Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο τότε εφαπτόμενη της C f στο Μ (, f( )) ονομάζουμε την ευθεία που διέρχεται από το Μ (, f( )) και έχει συντελεστή διεύθυνσης το: f() f( ) δηλαδή την παράγωγο της f στο Η εξίσωση της είναι : y f( ) f ( )( ) η περίπτωση : Αν η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο, όμως είναι συνεχής στο και τα όρια: f() f( ), f() f( ) υπάρχουν, δεν είναι και τα δύο άπειρα () και είναι διαφορετικά, τότε δεν ορίζεται εφαπτόμενη ευθεία της C f στο Μ(, f( )) και το σημείο Μ λέγεται γωνιακό σημείο της C f η περίπτωση : Αν η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο, προφανώς δεν ορίζεται η εφαπτόμενη στο σημείο Μ(, f( )) () Σημείωση: Την 4 η περίπτωση που είναι συνεχής στο και τα πλευρικά όρια είναι άπειρα, οπότε η εφαπτόμενη είναι η κατακόρυφη ευθεία: δε θα τη μελετήσουμε (είναι εκτός ύλης) Στη περίπτωση αυτή για παράδειγμα αναφέρουμε τη ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ συνάρτηση f ( ) που στο δεν είναι παραγωγίσιμη, όμως είναι συνεχής σ αυτό και f ( ) f ( ) οπότε η εφαπτόμενη είναι ο άξονας y y ) Άσκηση iii/α Ομάδα σελ Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης (αν ορίζεται) της γραφικής παράστασης της f στο Μ(, f( )) αν f() ημ και Λύση: Η f είναι παραγωγίσιμη στο (βλέπε ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ σελ) με f () Άρα η εξίσωση είναι: ψ f() f ()( ) ψ ( ) ψ (ο άξονας ) ) Άσκ iv/α Ομάδα σελ Επίσης της f(),,, Λύση: Η f είναι παραγωγίσιμη στο (βλέπε ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ σελ) με f () Άρα η εξίσωση της εφαπτόμενης στο Α(,) είναι ψ f() f ()( ) ψ ( ) ψ ) Επίσης της f(),, Λύση:, Η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο αφού δεν είναι συνεχής σ' αυτό Άρα δεν ορίζεται η εφαπτόμενη της C f στο (, f()) 6 Διαφορικός Λογισμός

7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Θα ασχοληθούμε τώρα με ασκήσεις που ζητείται η παραγωγισιμότητα σ ένα σημείο Α μιας συνάρτησης της οποίας δεν γνωρίζουμε τον τύπο, όμως γνωρίζουμε μία σχέση για τον τύπο της (ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ) Στις ασκήσεις αυτές αναζητούμε αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το ( ), δηλαδή το () ( ) ( +h) ( ) όριο: ή h h Από τα δεδομένα κάθε άσκησης συλλέγουμε ό,τι είναι απαραίτητο για τον υπολογισμό του παραπάνω ορίου ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός) Όμως η είναι συνεχής στο Άρα: f ( ) f () f ( h) f (h ) h h Θέτoυμε: g() = () g() () = g() με Οπότε: ( ) = g() = = Άρα: f ( ) () Επιστρέφοντας στον αρχικό μας στόχο έχουμε: (h ) () () ( ) = = h h ( ) = (από υπόθεση) Άρα: Η είναι παραγωγίσιμη = με () = Έστω συνάρτηση g συνεχής στο με g() = 6 Να δείξετε ότι η συνάρτηση () = g() είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε την () ΛΥΣΗ Αναζητούμε την παραγωγισιμότητα της στο, δηλαδή αναζητούμε (αν υπάρχει) για το όριο: () () Όμως () = g() και () = g() = 6 + = () () g() Άρα: = = (g() ) () = g() = = Άρα: () = () Υπ όψιν ότι: g() g() 6 αφού η g συνεχής στο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν συνάρτηση συνεχής στο = και () = να δειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιμη στο = ΛΥΣΗ Αναζητούμε για h το όριο: ( + h) () h h (h ) () = h h (αν ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται συνάρτηση που είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε, y ισχύει: (y) = () + (y) () Να αποδείξετε ότι η παραγωγίζεται σε κάθε * ΛΥΣΗ Αφού η είναι παραγωγίσιμη στο θα είναι και συνεχής στο, δηλαδή () = () και () () = () Η () για = y = γίνεται: () = () + () () = Άρα οι παραπάνω σχέσεις γίνονται: () () = και = () Έστω * Για αναζητούμε το όριο: () ( ) (Θέτoυμε: = h, οπότε h = και h = ) Άρα: () ( ) ( ) + (h) ( ) = = h (h ) ( h) ( ) = h h h (h) h = () Άρα: η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε με ( ) = () 7 Διαφορικός Λογισμός

8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο και η είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: () = g(), Να βρεθεί η τιμή g() ΛΥΣΗ Η g συνεχής στο άρα: g () = g () = g() () - + H είναι παραγωγίσιμη στο () () Άρα: - = + ( )g() - = + () () ( )g() ό () - [ g ()] = g () + g() = g() g() = g() = ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f () ημ Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε την f () Α) Δίνεται η συνάρτηση συν, f () Να εξετάσετε αν, η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο g(), Β) Αν f () και, g() g (), ν αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγώγιση στο Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f (), g() f ( )( ) f ( ), είναι παραγωγίσιμη στο 4 Α) Δίνεται η συνάρτηση, f () 5 4, Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η f είναι: i) συνεχής στο, ii) παραγωγίσιμη στο Β) Να βρείτε τις τιμές των α,β, ώστε η συνάρτηση f () α β,, παραγωγίσιμη στο 8 Διαφορικός Λογισμός να είναι, Γ) Αν f (),, να βρείτε τις τιμές των α, β, γ για τις οποίες η f είναι παραγωγίσιμη στο 5 Α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής f ( h) στο και 5, να h h αποδείξετε ότι f () και ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο Β) Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο και συνεχής στο με f () 6 6 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο και να βρείτε την f () 6 Α) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε, y ισχύει: f ( y) f () f (y) 5y, να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο Β) Έστω συνάρτηση f που ικανοποιεί τη σχέση: f ( y) συν f (y) συνy f () για κάθε, y Αν f () να δείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο π και να βρείτε την f(π) Γ) Έστω η συνάρτηση f που ικανοποιεί τη σχέση: f () f () ημ για κάθε Αν η f παραγωγίζεται στο να βρείτε την f ()

9 7 Α) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο α και f ( ), να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση α f είναι παραγωγίσιμη στο Β) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο α και f ( ), να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο α 8 Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο και παραγωγίσιμη στο με f α να αποδείξετε ότι: f h f h 5α h h 9 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με f () που ικανοποιεί τις σχέσεις: f () για κάθε και f () f (y) 6 f ( y) για κάθε f (y), y Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται σε κάθε με f f α) Να αποδείξετε ότι αν τα f () f ( ) όρια και f () f ( ) είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε η f είναι συνεχής στο β) Δείξτε ότι ενώ η, f () δεν είναι, παραγωγίσιμη στο εν τούτοις είναι συνεχής στο εφαρμόζοντας το προηγούμενο συμπέρασμα Έστω οι συναρτήσεις f και g οι οποίες είναι παραγωγίσιμες στο α,β f g και f g με Αν ισχύει f () h() g() για α,β, να αποδείξετε ότι και η h είναι παραγωγίσιμη στο και μάλιστα ισχύει h f 9 Διαφορικός Λογισμός

10 ΟΡΙΣΜΟΙ Παράγωγος συνάρτηση f μιας συνάρτησης f:α, ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το στοιχείο του συνόλου Α στο f ( h) f () f () f ( ) f (), h h όταν το όριο αυτό υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός Το πεδίο ορισμού της f είναι γενικά: A A - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν f () (c ), τότε f () (), Πράγματι: Για κάθε και, f () f λ α f () f ( ) f ( ) Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σύνολο Α αν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του συνόλου Α Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα α,β αν είναι παραγωγίσιμή σε κάθε σημείο του ανοιχτού διαστήματος α,β Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα α,β ο: : αν είναι παραγωγίσιμή σε κάθε σημείο του ανοιχτού διαστήματος α,β και ον : αν α f f β f f λ λ και Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω ορισμό αποδεικνύονται οι παρακάτω τύποι για τις παραγώγους των βασικών συναρτήσεων: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (I) Αν f () c (c ), τότε f () (c), Πράγματι: Για κάθε και, f () f ( ) c c f ( ) Αν f () ν f () ( ) ν (ν * ), τότε ν ν, Πράγματι: Για κάθε και, ν ν f () f ( ) f ( ) ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν 4 Αν f (),, τότε f () ( ),, ενώ δεν είναι παραγωγίσιμη στο, και, Πράγματι: Για κάθε f () f ( ) f ( ) Για f () f () Διαφορικός Λογισμός

11 5 Αν f () ημ, τότε f () (ημ) συν, 6 Αν f () συν, τότε f () (συν) ημ, ΛΥΣΗ Για κάθε, ln f () log ln ln ln ln ln ln ln 7 Αν f () e, τότε 8 Αν f () ln, τότε f () (ln ), f () (e ) e ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα Δ τότε για κάθε Δ ισχύει: f () g() f () g () I Πράγματι, Αν F() f () g() τότε για F() F( ) κάθε και, f () g() f ( ) g( ) f () f ( ) g() g( ) f () f ( ) g() g( ) f ( ) g ( ) f () g() f () g() f () g () II f ()g()h() III f ()g()h() f ()g ()h() f ()g()h () IV c f () c f (), (c ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης: f () log, Γενικά: Αν f () log, α,, τότε α ln f () logα ln α ln α ln α f () f () g() f () g () V g() g () με g() g () VI g() g () με g() ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙI) Χρησιμοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης επεκτείνουμε τον κατάλογο των βασικών παραγώγων συναρτήσεων με τις παρακάτω: 9 Αν f (), και τότε f () Πράγματι: Αν f (),, f () τότε: Πράγματι: ( ) ( ) Διαφορικός Λογισμός

12 Αν f (),, τότε: f () Πράγματι: ( ) ( ) ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f g() f g() g () (αρκεί να υπάρχουν οι παράγωγοι που αναφέρονται) Στις αποδείξεις που ακολουθούν θα χρησιμοποιήσουμε τη παράγωγο: g() g() (e ) e g () ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (III) Αν f (), και, f () τότε Πράγματι: ln ln uln e e ln ln u u e e e e u e ln ln πχ για πχ για, , g() g() g () Γενικά: πχ Σημείωση: Αν η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο 4 πχ Η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο (άσκ 9/Β Ομ) Αν f (), και τότε ln f () Πράγματι: ln ln e e uln ln u u e e e u ln e ln ln πχ ln Γενικά: g() g() ln g () πχ ln ln ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f (), ΛΥΣΗ ln ln ln e e e ln uln u u e e e u e ln ln ln Γενικά: Αν f () τότε f () g() e ln f () g() e f () e g()ln f () ln f () Οπότε Διαφορικός Λογισμός

13 g() g()lnf () ug()ln f () f () e e u g()ln f () e u e g() ln f () g() f () g()ln f () g() f () g () ln f () g() f () f () ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί η γωνία ω που σχηματίζει με τον άξονα η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f () ln συνάρτησης: τετμημένη e ΛΥΣΗ Για στο σημείο της με ln ln ln ln ln ln e ln e lnln ln e Οπότε: u ln ln ln ln u f () ln e e u lnln e u e ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln Άρα: e f (e) ln e ln ln e ln ln e Άρ α: 45 4 Αν f () ln τότε f () ln, Πράγματι: Αν Αν τότε f () ln u τότε: u f () ln ln u u u ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Έστω οι συναρτήσεις f και g με, τύπους: f (),, g(),, i) Εξετάστε αν f () g () για κάθε ii) Εξετάστε αν f () g() για κάθε Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος της 4, συνάρτησης: f (), 4 Αν f: παραγωγίσιμη συνάρτηση, άρτια και f (), να δείξετε ότι για τη συνάρτηση g() f f () e ισχύει: g () 5 Έστω η συνάρτηση f με τύπο f () e Να δείξετε ότι: f () f () f () 6 6 Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f με τύπο f () ημ είναι: f () ημ ν, * ν (ν) ν π 7 Να βρείτε τη παράγωγο των συναρτήσεων: α) 4 f () α β) φ() 4 5 γ) g() e συν ημ δ) h() ln e 4 ε) σ(), α Διαφορικός Λογισμός

14 8 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, να βρείτε τη παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων: i) g() f ημ ii), g() f f ln, iii) g() f συν iv) g() ημ f f () 9 Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g παραγωγίσιμες στο και f άρτια α) Να δείξετε ότι η f είναι περιττή β) Αν f, g f () ημ να βρείτε τη g () f και, για κάθε, Δίνεται η συνάρτηση f () ημ στο π π, A) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη f B) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε να βρείτε τον τύπο της παραγώγου της αντίστροφης της f A) Έστω f: α,β συνάρτηση γνησίως μονότονη και συνεχής Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο α,β f και η f τότε: η f f f και ισχύει: f f ( B) Δίνεται η συνάρτηση με είναι συνεχής στο παραγωγίζεται στο f f () e Αν η αντίστροφη της f είναι συνεχής στο, να βρείτε τον αριθμό f Να βρείτε τα όρια: i) ημ e, ii) Θεωρούμε μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: y f ( y) e f (y) e f () y α για κάθε, y α) Να δείξετε ότι f α, β) Να δείξετε ότι η C f περνά από την αρχή των αξόνων, γ) Να δείξετε ότι: f f f () e, για κάθε Σημείωση: Να λύσετε την παραπάνω άσκηση με την υπόθεση ότι η f είναι παραγωγίσιμη μόνο στο σημείο 4 Γνωρίζουμε ότι για ισχύει: ν ν α) Να υπολογίσετε το άθροισμα: ν ν, β) Να υπολογίσετε το άθροισμα: Διαφορικός Λογισμός

15 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Άρθρο μου από το περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Όταν μας ζητούν την εξίσωση της εφαπτόμενης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f που διέρχεται (ή άγεται) από το σημείο Α(α, β), θεωρούμε το σημείο επαφής Μ(, ψ ), σχηματίζουμε την εξίσωση της εφαπτόμενης στο Μ και επαληθεύουμε την εξίσωση της για το σημείο Α(α, β)απ όπου προσδιορίζουμε το και στη συνέχεια την ζητούμενη εξίσωση (Βλέπε εφαρμογή σελ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (Άσκ σελ9) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f() που άγεται από το σημείο Α(, ) Λύση ΠΡΟΣΟΧΗ! Το σημείο Α(, ) δεν είναι το σημείο επαφής Έστω Μ(, ψ ) το σημείο επαφής Η f είναι παραγωγίσιμη στο με f () Η εξίσωση της εφαπτόμενης στο σημείο Μ(, ψ ) είναι: (ε): ψ f( ) f ( )( ) ψ ( ) ψ ψ () Προφανώς αφού η ευθεία ε, περνάει από το σημείο Α(, ) οι συντεταγμένες του σημείου Α επαληθεύουν την εξίσωση της () Άρα: Άρα: τα σημεία επαφής είναι: Α (, ) και Α (, ) Οπότε οι εξισώσεις εφαπτόμενων είναι αντίστοιχα: ψ και ψ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f() e α) Να βρεθεί σημείο της γραφικής της παράστασης αν υπάρχει, στο οποίο η εφαπτόμενη να διέρχεται από την αρχή των αξόνων και να βρεθεί η εξίσωσή της (Απ y e ) β) Να εξετασθεί αν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης ώστε οι εφαπτόμενες σ αυτά να είναι παράλληλες Έστω η συνάρτηση f με τύπο f Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f που διέρχεται από το σημείο A, 6 (Απ y 6 ) Δίνεται η συνάρτηση f() ln Αν C η γραφική παράσταση της f να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης της C που διέρχεται από την αρχή των αξόνων (Απ y ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Όταν μας ζητούν να βρούμε τα σημεία της γραφικής παράστασης μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης στο Α, που η εφαπτόμενη είναι: Παράλληλη στον άξονα, Παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση: y α β, Κάθετη στην ευθεία με εξίσωση: y α β, 4 Σχηματίζει με τον άξονα γωνία ω, Αναζητούμε τα σημεία εκείνα με τετμημένη τις ρίζες των εξισώσεων: f (), f () α, f ()α, 4 f () εφω (αντίστοιχα) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (Άσκ 5iii Α Ομ σελ8) Να βρεθούν τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα οποία η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στον αν f() ΛΥΣΗ Η f() είναι παραγωγίσιμη στο * με: f () Οπότε: f () ή Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι: Α(, ), Β(, ) 5 Διαφορικός Λογισμός

16 (Άσκ 9 Α Ομ σελ9) Βρείτε τα σημεία της γραφ παράστασης της συνάρτησης f() 5 στα οποία η εφαπτόμενη είναι: i) στην ευθεία: ψ 9, ii) στην ευθεία: ψ Λύση: Η f() 5 είναι παραγωγίσιμη στο με f () i) f () ή Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι: Α(, 7), Β(, ) ii) f ()() f () 4 Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι : Α, f, Β, f ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f με f που είναι παράλληλες στην ευθεία y (Απ Για, y και για, y ) Έστω η συνάρτηση f Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της είναι κάθετη στην ευθεία y (Απ Για ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ C f που, y και για, 9 6 y ) 9 Όταν μας ζητούν ν' αποδείξουμε ότι μια ευθεία ε, εφάπτεται στη C f μιας συνάρτησης f σ ένα συγκεκριμένο σημείο της Μ(, ψ ) (σημείο επαφής), αποδεικνύουμε ότι η εφαπτόμενη στο σημείο Μ(, ψ ) της C f, ταυτίζεται με την (ε) Αφού όμως οι ευθείες αυτές έχουν ένα κοινό σημείο, ΑΡΚΕΙ: λ ε f ( ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (Ασκ / Β ομ σελ 8) Έστω συνάρτηση f() και το σημείο Α(ξ, f(ξ)), ξ της γραφικής παράστασης της f Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(ξ, f(ξ)) και Β(ξ, ) εφάπτεται της C f στο Α Λύση Για να αποδείξουμε ότι η ευθεία ε(αβ) εφάπτεται στο C f αρκεί ν' αποδείξουμε ότι ταυτίζεται με την εφαπτόμενη στο C f στο Α(ξ, f(ξ) ξ) Αρκεί: λ ΑΒ f (ξ) ξ ξ (ξ) ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ισχύει! Άρα: Η ευθεία ΑΒ εφάπτεται στη C f στο Α(ξ, ξ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 Όταν μας ζητούν ν' αποδείξουμε ότι μια ευθεία ε: ψ α β, εφάπτεται στη C f μιας συνάρτησης f, χωρίς να μας προσδιορίζουν το σημείο επαφής, προσπαθούμε ν' αποδείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Α(, ψ ) στο οποίο η εφαπτόμενη ταυτίζεται με την (ε) Έτσι, βρίσκουμε τα κοινά σημεία της ευθείας (ε) και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης C f λύνοντας το σύστημα : ψ α β και ψ f() και εξετάζουμε σε ποιο απ αυτά η ευθεία (ε) είναι εφαπτόμενη στη γραφική παράσταση της f ελέγχοντας αν ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτόμενης δηλ, η f () στα σημεία αυτά, ισούται με τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας (ε) δηλαδή αν ισχύει: f () α Μ άλλα λόγια: αρκεί να βρούμε σημείο Α(, ψ ) ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: () ψ α β () ψ f( ) () f ( ) α 6 Διαφορικός Λογισμός

17 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στις μη παραμετρικές ασκήσεις λύνουμε το σύστημα των (), () για να προσδιορίσουμε το σημείο Α(, ψ ) και επαληθεύουμε στην () (ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ) Στις παραμετρικές ασκήσεις λύνουμε τις () και () ως προς και ψ και αντικαθιστούμε στη () απ' όπου υπολογίζουμε την παράμετρο (ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (Άσκ 4/ Β ομ σελ 4) Ν' αποδειχθεί ότι η εφαπτόμενη στο Α(, ) της f() e εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της g() Λύση (Η f() e είναι παραγωγίσιμη στο με f () e και η g() στο με g () ) Κατ' αρχήν θα βρούμε την εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στο C f στο (, ): ψ e ( ) ψ ψ Για να εφάπτεται η ευθεία ψ στο διάγραμμα της g() πρέπει να βρούμε σημείο Α(, ψ ): ψ ψ g ( ) Λύνουμε το σύστημα: ψ ψ ψ Επαληθεύουμε στην: g () () ισχύει! Άρα: Η ευθεία ψ εφάπτεται στο C g στο (, ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε η ευθεία ψ α να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() α και να προσδιοριστεί το σημείο επαφής Λύση (Η f() α είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο: f () α) Για να εφάπτεται η ευθεία ψ α στο C f της f() α πρέπει να υπάρχει σημείο y α () (, ψ ): y α () α () Έχουμε: () α, () ψ α α α Αντικαθιστώντας στη () έχουμε: α α α α α ή α Για α η ευθεία ψ εφάπτεται στο διάγραμμα της f() στο Α(, ) Για α η ευθεία ψ εφάπτεται στο διάγραμμα της f() στο Β(, ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες η ευθεία ψ εφάπτεται στη γραφική παράσταση C της f() α και να βρεθεί το σημείο επαφής (Απ Για α, Μ(,) ) Δίνονται οι συναρτήσεις f() 6, g() λ Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η εφαπτόμενη της C f στο Α(, 6) να εφάπτεται και στη C g (Απ λ ή λ 4 ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 Όταν μας ζητούν ν' αποδείξουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων f, g έχουν στο κοινό τους σημείο Μ(, ψ ): α) κοινή εφαπτόμενη ή β) εφαπτόμενες κάθετες πρέπει να συναληθεύονται οι σχέσεις: 7 Διαφορικός Λογισμός

18 α) β) f ( ) g( ) ή f ( ) g ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνονται οι f() 4, g() 5 α Να βρεθεί η τιμή του α για την οποία υπάρχει κοινό σημείο στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g με την ίδια εφαπτόμενη ΛΥΣΗ Κατ' αρχήν η f είναι παραγωγίσιμη στο με f () και g στο * με g () α Αν Μ(, ψ ) το κοινό σημείο των C f και C g πρέπει: f ( ) g( ) () f ( ) g ( ) () () 4 5 α 4 5 α 9 α () Έτσι: () α α α (4) Η () (4) 9 9 ( ) ή Όμως: άρα: ή Άρα: έχουμε: α ( ) ή α ( ) ( ) Σημείωση: Αν στις ασκήσεις αυτές δίνεται το σημείο Μ(,ψ ) τότε επαληθεύουμε τις παραπάνω σχέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Δίνονται οι συναρτήσεις: f () α και g() α, α οι οποίες έχουν στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτόμενη Να βρείτε: α) Την τιμή του α και το σημείο επαφής β) Την κοινή εφαπτόμενη (Απ α) α, Μ(, ), β) y ) Δίνονται οι συναρτήσεις f() 5 και g() (α 4) β με γραφικές παραστάσεις C, C αντίστοιχα Να βρεθούν τα α, β για τα οποία οι C, C διέρχονται από το ίδιο σημείο στο οποίο έχουν κοινή εφαπτόμενη με συντελεστή διεύθυνσης 8 (Απ Για α, β, Μ(,) και για α 4, β 9, Μ(, ) ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 Όταν μας ζητούν να βρούμε τη κοινή εφαπτόμενη των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων f, g χωρίς να δίνονται τα σημεία επαφής εργαζόμαστε ως εξής: Αν Α(,ψ ) και Β(,ψ ) τα σημεία επαφής της ζητούμενης εφαπτόμενης με τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g, τότε οι εξισώσεις των εφαπτομένων θα είναι : ε : ψ f( ) f ( )( ) και ε : ψ g( ) g ( )( ) () αντίστοιχα Οι εξισώσεις αυτές γίνονται: ε : ψ f ( ) f ( ) + f( ) και ε : ψ g ( ) g ( ) + g( ) Η κοινή εφαπτόμενη των δύο γραφικών παραστάσεων θα υπάρχει αν οι δύο παραπάνω ευθείες ταυτίζονται δηλαδή υπάρχουν σημεία Α(,ψ ) και Β(,ψ ) που επαληθεύουν τις σχέσεις: f ( ) g ( και f ( ) + f( g ( ) + g( ) Από το σύστημα των δύο τελευταίων εξισώσεων προσδιορίζουμε τα, και στη συνέχεια τη ζητούμενη εξίσωση αντικαθιστώντας σε μια από 8 Διαφορικός Λογισμός

19 τις εξισώσεις () (Τα παραδείγματα που ακολουθούν αφορούν και τις δύο τελευταίες μεθοδολογίες! ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων () = + και g() = δέχονται κοινή εφαπτόμενη Να βρεθεί η εφαπτόμενη αυτή Λύση: Κατ αρχήν εξετάζουμε αν στο κοινό τους σημείο (αν υπάρχει) έχουν κοινή εφαπτόμενη: + = y + = = y (Σ) = y ( + = + = + =, ΑΔΥΝΑΤΗ) Άρα το σύστημα (Σ) είναι αδύνατο, δηλαδή οι γραφικές παραστάσεις δεν τέμνονται! Για να δέχονται κοινή εφαπτόμενη αρκεί να υπάρχουν, έτσι ώστε οι εφαπτόμενες στο (,( )) της C και στο (,( )) της C g να συμπίπτουν Αρκεί δηλαδή να υπάρχουν, έτσι ώστε: ( ) = g ( ) () και ( ) + ( ) = g ( ) + g( ) () (Οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες με: () = και g () = για κάθε ) Έχουμε: () ( ) = g ( ) = () + = = () ( ) + ( ) = g ( ) + g( ) ( ) + + = ( ) + + ( ) = = = + ή = Για = + = Για = + είναι = είναι = + + = και = : και για και + = Άρα: ε : y + + = + y = ( ) + y = ( ) + 9 Διαφορικός Λογισμός g = και g = Άρα: ε : y g = g y = ( ) y = ( ) + Για =, = + = + και = Άρα: ε : y = y + = ( ) y = ( + ) + + : g + = και g + = ( + ) Άρα: ε : y g + + = g + y + = (+ ) + y = (+ ) + + ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να εξετάσετε αν υπάρχει κοινή εφαπτομένη των γραφικών παραστάσεων των f(), g() Λύση Επειδή δε μας προσδιορίζει η άσκηση αν η κοινή εφαπτομένη είναι σε κοινό σημείο ή όχι θα μελετήσουμε και τις δύο περιπτώσεις

20 η περίπτωση Έστω ότι υπήρχε κοινή εφαπτομένη των C f και C g στο κοινό τους σημείο (, y ) Τότε θα ισχύει: f( ) g( ) f ( ) g ( ) ή 4 ΑΔΥΝΑΤΟ! Άρα: Δεν υπάρχει κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο! η περίπτωση Έστω ότι υπήρχε κοινή εφαπτομένη των C f και C g σε σημείο Α(, f( )) και Β(, g( )) αντίστοιχα Τότε οι εξισώσεις των αντιστοίχων εφαπτομένων θα είναι: ε : y f( ) f ( )( ) και ε : y g( ) g ( )( ) Αν υπήρχε η κοινή εφαπτομένη των δύο γραφικών παραστάσεων θα πρέπει οι ευθείες ε και ε να ταυτίζονται Αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν: ε : y f ( ) f ( ) f( ) ε : y g ( ) g ( ) g( ) Άρα: f ( ) g ( ) f ( ) f( ) g ( ) g( ) f ( ) g ( ) f( ) f ( ) g( ) g ( ) ( ) ( ) ΑΔΥΝΑΤΟΝ Άρα: Δεν υπάρχει κοινή εφαπτομένη των C f και C g ούτε σε διαφορετικά σημεία των ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: g() (Απ y και f () και y ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου του διπλανού σχήματος Αν (ε): ψ είναι η εφαπτόμενη του διαγράμματος της παραγωγίσιμης στο συνάρτησης f στο σημείο, να βρεθεί η εφαπτόμενη (ε ) του C g, με g() f 45 στο σημείο Έστω η συνάρτηση f με f() ( )e, Αφού βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης στο σημείο με f ( ), στη συνέχεια να αποδειχθεί ότι είναι κάθετη στην ευθεία (ε): ψ 4 Έστω η συνάρτηση f: (, ), με f() 6 ln( ) Έστω c πραγματικός μεγαλύτερος του 5 Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση y c και η γραφική παράσταση της f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου, τα Α και Β Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της f, στα Α και Β, είναι κάθετες μεταξύ τους y 5 Διαφορικός Λογισμός

21 5 α) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f () 6 8, να φέρετε τις εφαπτόμενες ε, ε της C f στα σημεία τομής της C f με τον και να δικαιολογήσετε από το σχήμα γιατί οι εφαπτόμενες τέμνονται πάνω στην ευθεία β) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες της παραβολής y α β γ, α με Δ, στα σημεία τομής της με τον άξονα τέμνονται στον άξονα β συμμετρίας της παραβολής α ln (α) 6 Δίνεται η συνάρτηση f () με α και α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο,f β) Να αποδείξετε ότι όλες οι παραπάνω εφαπτόμενες στο σημείο,f, καθώς μεταβάλλεται το α, διέρχονται από το ίδιο σημείο 7 Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει η σχέση: f ( ) f ( ) για κάθε Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο,f () είναι κάθετη στην ευθεία y 8 α) Έστω δύο συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το Να γράψετε τις συνθήκες ώστε η C f και η C g στο κοινό τους σημείο με τετμημένη να δέχονται κοινή εφαπτομένη β) Δίνονται οι και f () g() Δείξετε ότι οι C f, C g δέχονται κοινή εφαπτομένη σε ένα σημείο, το οποίο να βρείτε 9 Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει f ln ln, > α) Να αποδείξετε ότι η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο με τετμημένη γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου το οποίο σχηματίζεται από την εφαπτομένη της C στο σημείο της με f τετμημένη και τους άξονες και y y Αν f είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση για την οποία ισχύουν: και f (4), α) να βρεθεί ο τύπος της f, f () f () για κάθε β) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf που είναι παράλληλη στην ευθεία y Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: για την οποία ισχύει: f () 6 ημ i) Να βρείτε το f () ii) Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο, καθώς και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης στη γραφική παράσταση της f στο σημείο A,f (), iii) Να βρείτε το f ( ) 6 όριο: Δίνεται η συνάρτηση f: με 4 f () ημ ημ για κάθε Αν η f είναι συνεχής τότε: i) Δείξτε ότι: f () Διαφορικός Λογισμός

22 ii) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C f στο Έστω f: μια περιττή συνάρτηση για την οποία ισχύει: f (), για κάθε A) Να δείξετε ότι: f (), B) Να δείξετε ότι f (), για κάθε και μετά να βρείτε τα ακρότατα της f και το σύνολο τιμών της Γ) Να βρείτε το λ, όπου λ, ώστε η εφαπτόμενη της C f, στο, να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() e Δ)Να βρείτε το όριο: f ()ημ λ 4 Έστω f,g :, δυο συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν:, για κάθε f () e f () g() f (), για κάθε Α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο Β) Να βρείτε την εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο Γ) Να δείξετε ότι η εφαπτόμενη ε του προηγουμένου ερωτήματος εφάπτεται στη καμπύλη y Δ) Να βρείτε το α, ώστε: g () 5 g() 5 Δίνονται οι συναρτήσεις f () ln και g() ln f () Α) Να δείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση f και να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f () έχει μοναδική ρίζα Γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό,, ώστε η εφαπτόμενη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g στο σημείο,g( ) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων 6 Έστω f: μια συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει: f (), ια κάθε και η συνάρτηση g() e Α) Να δείξετε ότι:, f (), Β) Να βρείτε την εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A,f () Γ) Nα βρείτε το λ, ώστε η εφαπτόμενη ε του ερωτήματος β να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g Δ) Για, να βρείτε το όριο: f () g() Διαφορικός Λογισμός

23 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έστω δύο μεγέθη και ψ που συνδέονται μεταξύ τους με την παραγωγίσιμη συνάρτηση f έτσι ώστε ψ f() με Α και Α Ως γνωστόν: ρυθμός μεταβολής της μεταβλητής ψ ως προς στο ονομάζεται η παράγωγος της στο δηλαδή : f ( ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Όταν μας ζητούν το ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ μιας μεταβλητής ψ ως προς στο ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: ο: Εκφράζουμε τη μεταβλητή ψ συνάρτηση του (ψ f()) (Ενδεχομένως η συνάρτηση να δίνεται) ο: Υπολογίζουμε την παράγωγο συνάρτηση: f () και ο: Υπολογίζουμε την παράγωγο της στο : f ( ) αντικαθιστώντας όπου = ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Άσκηση (A Ομάδα σελ 4) Μια σφαιρική μπάλα χιονιού αρχίζει να λιώνει Η ακτίνα της ελαττώνεται σύμφωνα με τον τύπο: r 4 t, όπου t ο χρόνος σε sec Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του όγκου της μπάλας όταν t sec Λύση ο: Ο όγκος της σφαίρας σαν συνάρτηση της ακτίνας είναι: V(r) 4 πr Όμως η ακτίνα σαν συνάρτηση του χρόνου είναι (δίνεται): r(t) 4 t με t Άρα: Ο όγκος σαν συνάρτηση του χρόνου δίνεται από τον τύπο: V(t) 4 π(4 t ) με t (σύνθεση συναρτήσεων) ο: Η παράγωγος της συνάρτησης V(t) είναι: V (t) = [ 4 π(4 t ) ] = 4 π(4 t ) (4 t ) 4π(4 t ) (t) 8πt(4 t ) Δηλαδή: V (t) = 8πt(4 t ) 4 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ο: Αντικαθιστώντας για t έχουμε: V () = 8π(4 ) 7π μονόγκου/sec Άσκηση (Β ομάδας σελ 44) Έστω και Τ το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία Ο(, ), Α(, ), Β(, ln) Αν το μεταβάλλεται με ρυθμό 4cm/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Τ όταν = 5cm Λύση Έστω t η χρονική στιγμή στην οποία ζητείται ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Τ Προσέξτε! Το είναι συνάρτηση του χρόνου t Άρα υπάρχει συνάρτηση η οποία δεν δίνεται του ως προς t την οποία συμβολίζουμε: (t) Από τα δεδομένα προκύπτει ότι: (t ) 5 ενώ (t) 4 cm sec (σταθερή) Επίσης δεν δίνεται η χρονική στιγμή κατά την οποία ζητείται ο ρυθμός μεταβολής του όγκου Αυτή τη χρονική στιγμή εμείς την συμβολίσαμε t και έτσι θα εργαστούμε Θα παρατηρήσετε στη συνέχεια ότι ούτε την ακριβή έκφραση της συνάρτησης (t) χρειαζόμαστε τελικά ούτε την τιμή της χρονικής στιγμής t Επομένως: ο) Το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ δίνεται από τον τύπο: T (ΟΑ) (ΟΒ) Δηλαδή T() ln Όμως, όπως είπαμε το είναι συνάρτηση του χρόνου t με τύπο: (t) Άρα: Το εμβαδόν του τριγώνου σαν συνάρτηση του χρόνου t δίνεται από τον τύπο: Τ(t) (t)ln(t) ο) Η παράγωγος της συνάρτησης T(t) είναι: Τ (t) [ (t)ln(t) + (t)(ln(t)) ]) [ (t)ln(t) + (t) (t) (t) ] Διαφορικός Λογισμός

24 (t)[ln(t) + ] ο) Αντικαθιστώντας για t t έχουμε: T (t ) (t )[ln(t ) + ] = T (t ) (t )[ln(t ) + ] = (ln5 ) 4 (ln5 ) cm /sec Άσκηση (Β ομάδας σελ44) Αν η επιφάνεια μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό cm /sec, να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος αυτής όταν r 85cm ( δηλ τη χρονική στιγμή t όπου r(t ) 85cm) Λύση ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ: ο ) Ισχύει: Ε(r) 4πr Όμως: r r(t) Άρα: Ε(t) 4π[r(t)] ο ) Επίσης: Ε (t) 8πr(t)r (t) ο ) Για t t, Ε (t ) 8πr(t )r (t ) Όμως: E (t ) 8πr(t ) r (t ) = () 8π85r (t ) = r ( t ) ΟΓΚΟΣ: 885π ο ) Ισχύει: V(r) 4 πr Όμως: r r(t) Άρα: V(t) 4 πr (t) ο ) Επίσης: V (t) = 4πr (t) r (t) ο ) Για t t, V (t ) = 4πr (t ) r (t ) () 4π(85) 885π 45 cm /sec Σημείωση: Θα μπορούσαμε να είχαμε διαιρέσει κατά μέλη τις παραγώγους: E (t ) και V (t ),οπότε: V (t ) 4πr (t ) r (t ) V (t ) 85 E (t ) 8πr(t ) r (t ) V (t ) 45cm / sec ΣΥΣΧΕΤΙΖΟΜΕΝΟΙ ΡΥΘΜΟI ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Σε πολλά προβλήματα έχουμε δύο μεγέθη που ενώ το καθένα είναι συνάρτηση της ίδιας μεταβλητής (πχ το χρόνου t), συνδέονται μεταξύ τους με κάποια σχέση Τα προβλήματα αυτά είναι γνωστά ως προβλήματα με συσχετιζόμενους ρυθμούς μεταβολής Στις περιπτώσεις αυτές η σχέση των δύο μεγεθών δίνεται ή πρέπει να βρεθεί από τα δεδομένα του προβλήματος (βήμα ) Στη συνέχεια παραγωγίζουμε και συνεχίζουμε κατά τα γνωστά ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 4 Άσκηση 5 (Α Ομάδας σελ 4) Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y με Σε ποιο σημείο 4 της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του y, αν υποτεθεί ότι (t) για κάθε t ΛΥΣΗ Τα δύο μεγέθη που μεταβάλλονται με το χρόνο είναι οι συντεταγμένες του κινητού (t) και y y(t) που συνδέονται μεταξύ τους με τη σχέση: y(t) (t) 4 Παραγωγίζοντας τη σχέση αυτή έχουμε: y (t) (t) (t) Για t t γίνεται: (t o) y (t ) yt t t t y t Οπότε το ζητούμενο 4 Άρα: σημείο είναι το M, 4 Διαφορικός Λογισμός

25 Άσκηση 5 (Β Ομάδας σελ 4) Ένα αερόστατο Α αφήνει το έδαφος σε απόσταση m από ένα παρατηρητή Π με ταχύτητα 5m/min Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η γωνία θ που σχηματίζει η ΑΠ με το έδαφος τη χρονική στιγμή κατά την οποία το αερόστατο βρίσκεται σε ύψος m ΛΥΣΗ Τα μεταβαλλόμενα μεγέθη με το χρόνο t είναι το ύψος h h(t) του αερόστατου και η γωνία θ θ(t) που συνδέονται μεταξύ τους με τη h(t) σχέση: εφθ(t) Παραγωγίζοντας τη σχέση αυτή έχουμε: h εφ θ(t) θ (t) (t) Για t t γίνεται h (t ) εφ θ(t ) θ (t ) 5 θt θt θt, 5rad min 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Αν ο ρυθμός μεταβολής της επιφάνειας ενός κύβου είναι 8 cm min να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του όταν το εμβαδόν είναι 5 cm Ένα αεροπλάνο πετώντας οριζόντια σε ύψος Κ αντιστοίχως Το σημείο Β κινείται με σταθερή ταχύτητα υ m και η θέση του πάνω στον sec άξονα Ο δίνεται από τη συνάρτηση g(t) υt, t [, 5] όπου t ο χρόνος σε sec α) Να βρεθεί το εμβαδό Ε(t) του τριγώνου ΑΟΒ ως συνάρτηση του χρόνου β) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε(t) τη χρονική στιγμή κατά την οποία το μήκος του τμήματος ΟΑ είναι 6m 4 Δίνονται οι συναρτήσεις f () e, και g() e Α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f B) Να λύσετε την εξίσωση: e, Γ) Να βρείτε την εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο A,f ( ), που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Δ) Έστω επιπλέον ότι ένα κινητό Μ κινείται στη καμπύλη y e Καθώς το Μ περνάει από το Α του προηγουμένου ερωτήματος, η τετμημένη του Μ, αυξάνει με ρυθμό μονάδες το δευτερόλεπτο Να βρείτε το ρυθμό l OM τη μεταβολής της απόστασης β χρονική στιγμή που το κινητό Μ περνάει από το Α 6 m με ταχύτητα 4 km h περνάει κατ' ευθείαν επάνω από έναν παρατηρητή (δηλαδή m 6m στο ίδιο κάθετο επίπεδο προς τη γη) α) Πόσο γρήγορα πλησιάζει τον παρατηρητή όταν είναι m μακριά απ' αυτόν β) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας με την οποία βλέπει ο παρατηρητής το αεροπλάνο την ίδια χρονική στιγμή; Δίνεται η ορθή γωνία Οψ και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους m του οποίου τα άκρα ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές Οψ και Ο Π 5 Διαφορικός Λογισμός

(ΜΕ ΤΑ ΔΥΟ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ)

(ΜΕ ΤΑ ΔΥΟ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ) 1 ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΩΝ ΠΟΝΩΝ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ (ΜΕ ΤΑ ΔΥΟ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ) Η πραγματικότητα ξεπερνά και την πιο τολμηρή φαντασία. Επίκτητος Σοφός δεν είναι όποιος ξέρει πολλά, αλλά όποιος ξέρει χρήσιμα. Ηράκλειτος Οι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΗΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΜΕΤΑ ΤΟΝ Β ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΟΛΕΜΟ ΚΑΙ Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΣΤΟ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ

Η ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΗΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΜΕΤΑ ΤΟΝ Β ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΟΛΕΜΟ ΚΑΙ Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΣΤΟ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΌ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Η ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΗΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΜΕΤΑ ΤΟΝ Β ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΟΛΕΜΟ

Διαβάστε περισσότερα

Σ Χ Ο Λ Η :Δ ΙΟ ΙΚ Η Σ Η Σ Κ Α Ι Ο ΙΚ Ο Ν Ο Μ ΙΑ Σ ΤΜ Η Μ Α : Λ Ο Γ ΙΣ Τ ΙΚ Η Σ. ιιιιιιι. Θέμα: Συναλλαγματική Γραμμάτιο εις Δ ια ταγήν Επιταγή

Σ Χ Ο Λ Η :Δ ΙΟ ΙΚ Η Σ Η Σ Κ Α Ι Ο ΙΚ Ο Ν Ο Μ ΙΑ Σ ΤΜ Η Μ Α : Λ Ο Γ ΙΣ Τ ΙΚ Η Σ. ιιιιιιι. Θέμα: Συναλλαγματική Γραμμάτιο εις Δ ια ταγήν Επιταγή τ.ε.ι. Κ Α Β Α Λ Α Σ Σ Χ Ο Λ Η :Δ ΙΟ ΙΚ Η Σ Η Σ Κ Α Ι Ο ΙΚ Ο Ν Ο Μ ΙΑ Σ ΤΜ Η Μ Α : Λ Ο Γ ΙΣ Τ ΙΚ Η Σ ιιιιιιι Θέμα: Συναλλαγματική Γραμμάτιο εις Δ ια ταγήν Επιταγή Καθηγητής: Τσαρουχάς Αναστάσιος Σπουδάστριες:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΣ ΠΟΛΥΓΥΡΟΥ ΑΡΙΘΜ. ΑΠΟΦ:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΣ ΠΟΛΥΓΥΡΟΥ ΑΡΙΘΜ. ΑΠΟΦ: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΣ ΠΟΛΥΓΥΡΟΥ ΑΡΙΘΜ. ΑΠΟΦ: 1/2013 Απόσπασμα από το πρακτικό της 1/2013 συνεδρίασης του Δημοτικού Συμβουλίου ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Θέμα: Εκλογή Προεδρείου Δημοτικού Συμβουλίου και των μελών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΗΜΟΤΙΚΩΝ αριθ. Πρωτ. Προκ: 54141 & ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΚΤΙΡΙΩΝ Κ.Α. 30-7331.055 για το 2015

ΤΜΗΜΑ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΗΜΟΤΙΚΩΝ αριθ. Πρωτ. Προκ: 54141 & ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΚΤΙΡΙΩΝ Κ.Α. 30-7331.055 για το 2015 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 05/05/2015 ΗΜΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ «Προµήθεια Χρωµάτων» /ΝΣΗ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ & Έργο: Συντήρηση Σχολικών Κτιρίων ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑΣ A/θµιας & Β/θµιας Εκπαίδευσης. ΤΜΗΜΑ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΗΜΟΤΙΚΩΝ αριθ.

Διαβάστε περισσότερα

Γ49/59 ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ Π Ρ Ο Σ :

Γ49/59 ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ Π Ρ Ο Σ : Αθήνα, 30-5-2012 Δ Ι Ο Ι Κ Η Σ Η ΓΕΝΙΚΗ Δ/ΝΣΗ ΔΙΟΙΚ/ΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Δ/ΝΣΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑ : ΕΡΓΑΣΙΑΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ Ταχ. Δ/νση : Αγ. Κωνσταντίνου 8 Ταχ. Κώδικας: 102 41 ΑΘΗΝΑ Τηλέφωνο : 210-215289,290,291,292

Διαβάστε περισσότερα

Η δίκη του Νίκου Πλουμπίδη μέσα από τις εφημερίδες.

Η δίκη του Νίκου Πλουμπίδη μέσα από τις εφημερίδες. Του Σταύρου Καλλώνη.* Η δίκη του Νίκου Πλουμπίδη μέσα από τις εφημερίδες. Ο χώρος τα πρόσωπα και το κατηγορητήριο. Η δίκη της ηγεσίας του ΚΚΕ, γιατί περί αυτού πρόκειται, συνηθίζεται να λέγεται ως δίκη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠΕΙΡΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΚΛΑΔΟΥ ΤΗΣ ΕΚΤΡΟΦΗΣ ΤΩΝ ΓΟΥΝΟΦΟΡΩΝ

ΕΜΠΕΙΡΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΚΛΑΔΟΥ ΤΗΣ ΕΚΤΡΟΦΗΣ ΤΩΝ ΓΟΥΝΟΦΟΡΩΝ ΕΜΠΕΙΡΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΚΛΑΔΟΥ ΤΗΣ ΕΚΤΡΟΦΗΣ ΤΩΝ ΓΟΥΝΟΦΟΡΩΝ ΚΑΣΑΠΙΔΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Γεωπόνος, Msc Αγροτικής Οικονομίας Βουλευτής Ν. Κοζάνης ΚΟΖΑΝΗ 11 ΜΑΪΟΥ 2012 1 ΣΤΟΧΟΙ: Πρόβλεψη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ

ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ Θέμα: Κληρονομικά προβλήματα από νομική άποψη (κληρονομικό δίκαιο) από μαθηματική (συλλογισμοί και πράξεις για τον υπολογισμό των μεριδίων) Διδάσκοντες: Κ. Ντούρου (Κοινωνικός Γραμματισμός)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2009 2010 ΟΔΗΓΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΦΥΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΑΓΡΟΤΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Ν. Ιωνία, ΒΟΛΟΣ Τη συγκέντρωση της ύλης του και την επιμέλεια της έκδοσης είχε

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Ν Α Κ Α Σ Α Μ Ο Ι Β Ω Ν Ε Π Ι Δ Ο Σ Ε Ω Ν

Π Ι Ν Α Κ Α Σ Α Μ Ο Ι Β Ω Ν Ε Π Ι Δ Ο Σ Ε Ω Ν Π Ι Ν Α Κ Α Σ Α Μ Ο Ι Β Ω Ν Ε Π Ι Δ Ο Σ Ε Ω Ν ΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΜΕΛΗΤΩΝ ΕΦΕΤΕΙΩΝ ΑΘΗΝΩΝ & ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΔΙΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΣΤΑ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΑ ΑΘΗΝΩΝ & ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΜΕ ΕΔΡΑ ΤΗΝ ΑΘΗΝΑ Η χιλιομετρική απόσταση υπολογίσθηκε με σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α. Από το πρακτικό της αριθ. 1/2015 τακτικής Συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής του Δήμου Φιλαδελφείας-Χαλκηδόνος

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α. Από το πρακτικό της αριθ. 1/2015 τακτικής Συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής του Δήμου Φιλαδελφείας-Χαλκηδόνος ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΦΙΛΑΔΕΛΦΕΙΑΣ-ΧΑΛΚΗΔΟΝΟΣ Δ/νση Διοικητικών Υπηρεσιών Τμήμα Υποστήριξης Πολιτικών Οργάνων του Δήμου & Διοικητικής Μέριμνας Γραφείο Οικ. Επιτροπής

Διαβάστε περισσότερα

Γ49/ 35 ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ Π Ρ Ο Σ :

Γ49/ 35 ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ Π Ρ Ο Σ : Αθήνα, 19 / 5 / 2010 Δ Ι Ο Ι Κ Η Σ Η ΓΕΝΙΚΗ Δ/ΝΣΗ ΔΙΟΙΚ/ΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Δ/ΝΣΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑ : ΕΡΓΑΣΙΑΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ Ταχ. Δ/νση : Αγ. Κωνσταντίνου 8 Ταχ. Κώδικας: 102 41 ΑΘΗΝΑ Τηλέφωνο : 210-215292,289,290,294

Διαβάστε περισσότερα

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α από το πρακτικό της υπ αριθ. 22ης/2015 Συνεδρίασης της Επιτροπής Ποιότητας Ζωής

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α από το πρακτικό της υπ αριθ. 22ης/2015 Συνεδρίασης της Επιτροπής Ποιότητας Ζωής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΧΑΛΑΝ ΡΙΟΥ /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΤΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΗΜΟΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΑΡΜΟ ΙΑ: Κα ΣΟΦΙΑ ΗΛΙΑΚΟΠΟΥΛΟΥ ΤΗΛ.: 2132023905-908 Α Π Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΟΡΧΟΜΕΝΟΥ Αρ.Πρωτ.: 10829/14-8-2015 Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΟΡΧΟΜΕΝΟΥ Αρ.Πρωτ.: 10829/14-8-2015 Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΟΡΧΟΜΕΝΟΥ Αρ.Πρωτ.: 10829/14-8-2015 Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από το πρακτικό της αριθ. 12 ης /2015 Συνεδρίασης του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Ορχομενού. Αριθ. Απόφασης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΡΟΠΑΡΙΩΝ ΤΗΣ ΚΕΡΚΥΡΑΪΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΨΑΛΤΙΚΗΣ 1

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΡΟΠΑΡΙΩΝ ΤΗΣ ΚΕΡΚΥΡΑΪΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΨΑΛΤΙΚΗΣ 1 ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΡΟΠΑΡΙΩΝ ΤΗΣ ΚΕΡΚΥΡΑΪΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΨΑΛΤΙΚΗΣ 1 Σταματοπούλου Νικολίνα Ωδείο Σύγχρονης Τέχνης Αγρινίου, nistamato@yahoo.gr Περίληψη Για το παρόν άρθρο επιλέχθηκαν

Διαβάστε περισσότερα

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α. 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΟΡΧΟΜΕΝΟΥ Αρ.Πρωτ.: 16036/27-11-2014

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α. 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΟΡΧΟΜΕΝΟΥ Αρ.Πρωτ.: 16036/27-11-2014 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΟΡΧΟΜΕΝΟΥ Αρ.Πρωτ.: 16036/27-11-2014 Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από το πρακτικό της αριθ. 17 ης /2014 Συνεδρίασης του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Ορχομενού. Αριθ. Απόφασης

Διαβάστε περισσότερα

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α από το 21 ο πρακτικό της 07-11-2014 συνεδριάσεως του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Κάσου

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α από το 21 ο πρακτικό της 07-11-2014 συνεδριάσεως του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Κάσου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΔΗΜΟΣ ΚΑΣΟΥ Αριθ. Απόφ: 127/2014 Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α από το 21 ο πρακτικό της 07-11-2014 συνεδριάσεως του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Κάσου Θέμα: «Ψήφιση Προϋπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

15PROC003562344 2015-12-23

15PROC003562344 2015-12-23 Τηλ: 2382084380-374 - Fax: 2382025884 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Αρμόδιοι υπαλ:παλαμιδά Ζαχαρούλα αρθ πρωτ: 1706/23-12-2015 Μπουλουσάκης Δημήτριος Γιαννιτσά Διεύθυνση: Κ.Ασμανίδη 2 Email: palamida@in.gr ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ «ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ» ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΩΝ ΣΕ ΜΕΤΑΒΑΣΗ ΕΘΝΙΚΟ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΦΑΣΗ Ο ΥΠΟΥΡΓΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ

ΑΠΟΦΑΣΗ Ο ΥΠΟΥΡΓΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ Ελληνική ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 11 Ιουλίου 2014 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ Α.Π.: 27934 ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ & ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΟΤΑ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Θέμα: Τροποποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΟ: «ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΒΟΙΩΤΙΑ: ΜΑΝΤΕΙΟ ΤΡΟΦΩΝΙΟΥ ΚΑΙ ΜΥΚΗΝΑΪΚΗ ΘΗΒΑ»

ΕΡΓΟ: «ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΒΟΙΩΤΙΑ: ΜΑΝΤΕΙΟ ΤΡΟΦΩΝΙΟΥ ΚΑΙ ΜΥΚΗΝΑΪΚΗ ΘΗΒΑ» ΕΡΓΟ: «ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΒΟΙΩΤΙΑ:» ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΙΔΡΥΜΑΤΟΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΕΛΛΗΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ «ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΝΗΜΕΙΩΝ ΒΟΙΩΤΙΑΣ, ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΙΣΤΟΡΙΚΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ ΚΑΙ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΤΙΚΑ ΑΔΕΙΩΝ ΜΟΝΙΜΩΝ, ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΩΝ ΚΑΙ ΩΡΟΜΙΣΘΙΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΩΤΙΚΩΝ ΣΧΟΛΕΙΩΝ

ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ ΚΑΙ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΤΙΚΑ ΑΔΕΙΩΝ ΜΟΝΙΜΩΝ, ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΩΝ ΚΑΙ ΩΡΟΜΙΣΘΙΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΩΤΙΚΩΝ ΣΧΟΛΕΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ---- ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π.Ε. & Δ.Ε. ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β ΑΘΗΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΑΔΕΙΩΝ ΜΟΝΙΜΩΝ, ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΥΠΟΥΡΓΟΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Ο ΥΠΟΥΡΓΟΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ - ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΥΠΑΙΘ --- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ & ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣH ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από το αριθμ. 18/2015 πρακτικό τακτικής συνεδρίασης του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Λήμνου της 29 ης Οκτωβρίου 2015.

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από το αριθμ. 18/2015 πρακτικό τακτικής συνεδρίασης του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Λήμνου της 29 ης Οκτωβρίου 2015. Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από το αριθμ. 18/2015 πρακτικό τακτικής συνεδρίασης του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Λήμνου της 29 ης Οκτωβρίου 2015. Αριθμός Απόφασης 294/2015 Θέμα 7 ο : Διαγραφή οφειλών βάσει του άρθρου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΚΤΙΚΟ της 4/2011 συνεδρίασης του Δημοτικού Συμβουλίου

ΠΡΑΚΤΙΚΟ της 4/2011 συνεδρίασης του Δημοτικού Συμβουλίου 1 ΠΡΑΚΤΙΚΟ της 4/2011 συνεδρίασης του Δημοτικού Συμβουλίου Στον Πολύγυρο, σήμερα μία (1) του μηνός Φεβρουαρίου του έτους 2011, ημέρα Τρίτη και ώρα 19:00 το Δημοτικό Συμβούλιο του Δήμου Πολυγύρου συνήλθε

Διαβάστε περισσότερα

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α από το πρακτικό της υπ' αριθµ. 53 ης /2015 Συνεδρίασης της Οικονοµικής Επιτροπής

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α από το πρακτικό της υπ' αριθµ. 53 ης /2015 Συνεδρίασης της Οικονοµικής Επιτροπής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΧΑΛΑΝ ΡΙΟΥ /ΝΣΗ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΗΜΟΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΑΡΜΟ ΙΑ: Κα ΣΟΦΙΑ ΗΛΙΑΚΟΠΟΥΛΟΥ ΤΗΛ.: 2132023905-908 Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «Κινητικότητα υπαλλήλων σε διαθεσιμότητα»

ΘΕΜΑ: «Κινητικότητα υπαλλήλων σε διαθεσιμότητα» ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΡΡΥΘΜΙΣΗΣ & ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ Ταχυδρομική Διεύθυνση: Βασ. Σοφίας 15 106 74, Αθήνα τηλ.213

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «Ορισμός αριθμού εισακτέων κατά τις εισιτήριες εξετάσεις για τη Σχολή Αρχιπυροσβεστών της Πυροσβεστικής Ακαδημίας». Ο Υπουργός Εσωτερικών

ΘΕΜΑ: «Ορισμός αριθμού εισακτέων κατά τις εισιτήριες εξετάσεις για τη Σχολή Αρχιπυροσβεστών της Πυροσβεστικής Ακαδημίας». Ο Υπουργός Εσωτερικών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΡΧΗΓΕΙΟ ΠΥΡΟΣΒΕΣΤΙΚΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Β ΚΛΑΔΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑ 2ο ΥΠΑΞ/ΚΩΝ & ΠΥΡ/ΣΤΩΝ Ταχ.Δ/νση : Μουρούζη 4 Τ.Κ. 101 72 ΑΘΗΝΑ Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Έφη Κατσαδήµα, Αθηνά Νέγρη, Χρυσάνθη Παλαµά

Έφη Κατσαδήµα, Αθηνά Νέγρη, Χρυσάνθη Παλαµά Έφη Κατσαδήµα, Αθηνά Νέγρη, Χρυσάνθη Παλαµά Εκπαιδευτική και κοινωνική πραγµατικότητα: µέτωπα διαπραγµάτευσης και δράσης στους νοµούς Ιωαννίνων, Άρτας και Πρέβεζας Στα πλαίσια της εκπαιδευτικής και κοινωνικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ. υπ αριθμόν 2

ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ. υπ αριθμόν 2 ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ υπ αριθμόν 2 Πρακτικά συνεδρίασης Διοικητικού Συμβουλίου του σωματείου, που εδρεύει στην Κόρινθο, με την επωνυμία «Σύλλογος Επιστημόνων Κοινωνικής Πολιτικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΦΑΣΗ. Βαθμός Ασφαλείας... Μαρούσι 24-9-08 Αριθ. Πρωτ. 122455 /Γ2 Βαθ. Προτερ... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΑΠΟΦΑΣΗ. Βαθμός Ασφαλείας... Μαρούσι 24-9-08 Αριθ. Πρωτ. 122455 /Γ2 Βαθ. Προτερ... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Βαθμός Ασφαλείας... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Μαρούσι 24-9-08 Αριθ. Πρωτ. 122455 /Γ2 Βαθ. Προτερ.... ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝ. ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ Αθήνα, 22/2/2008

ΓΕΝ. ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ Αθήνα, 22/2/2008 ΓΕΝ. ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ Αθήνα, 22/2/2008 ΓΕΝΙΚΗ Δ/ΝΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑΣ Αριθμ. πρωτ.1023510/889/227/ Α0014 14η Δ/ΝΣΗ ΦΠΑ ΤΜΗΜΑ Α Ταχ. Δ/νση : Σίνα 2 4 ΠΟΛ. 1043 Tαx. Kώδικας : 10672

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση Φοιτητών Θεατρικών Σπουδών σε Γυμνάσια Λύκεια Δοκιμαστική εφαρμογή Μάρτιος Μάιος 2002

Πρακτική Άσκηση Φοιτητών Θεατρικών Σπουδών σε Γυμνάσια Λύκεια Δοκιμαστική εφαρμογή Μάρτιος Μάιος 2002 πρόγραμμα «εκπαίδευση & θέατρο» σε συνεργασία με Πανεπιστήμιο Αθηνών Πρακτική Άσκηση Φοιτητών Θεατρικών Σπουδών σε Γυμνάσια Λύκεια Δοκιμαστική εφαρμογή Μάρτιος ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΡΙΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ Ο ΥΠΟΥΡΓΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ

5 η ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ Ο ΥΠΟΥΡΓΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ, ΑΠΟΚΕΝΤΡΩΣΗΣ & ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ ΕΙΔΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΜΕΤΑΡΡΥΘΜΙΣΗ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ Ε.Π. «ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αναρτητέα στο διαδίκτυο: Α.Δ.Α.: Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η ΑΣΤΥΝΟΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΤΥΝ.Δ/ΝΣΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΝΑΥΠΛΙΟ 13 Νοεμβρίου 2013 ΑΣΤΥΝΟΜΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΡΓΟΛΙΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΜΕΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΤΥΟΥ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ» Η ΠΡΟΕΔΡΟΣ

ΔΙΚΤΥΟΥ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ» Η ΠΡΟΕΔΡΟΣ 18ης Οκτωβρίου 18, 582 00 Έδεσσα τηλ. 2381025555, fax. 2381051255 Εργασία: Αποφράξεις δικτύου αποχέτευσης Προϋπολογισμός: 30.100,00 (με Φ.Π.Α.) Αριθμός Μελέτης: 35/2013 Έδεσσα, 27-12-2013 ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΠΡΟΧΕΙΡΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΦΑΣΗ 34750/2006 (Αριθμός καταθέσεως πράξεως 43170/2006) ΤΟ ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από

ΑΠΟΦΑΣΗ 34750/2006 (Αριθμός καταθέσεως πράξεως 43170/2006) ΤΟ ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από ΑΠΟΦΑΣΗ 34750/2006 (Αριθμός καταθέσεως πράξεως 43170/2006) ΤΟ ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από τους Δικαστές Κυριάκο Μπαμπαλίδη, Πρόεδρο Πρωτοδικών,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΕΔΕΣΣΑΣ (Δ.Ε.Υ.Α.Ε.)

ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΕΔΕΣΣΑΣ (Δ.Ε.Υ.Α.Ε.) ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΕΔΕΣΣΑΣ (Δ.Ε.Υ.Α.Ε.) ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ Άρθρο 1 Περιεχόμενο Οργανισμού Ο Οργανισμός

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα !"#$%&%'(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( )!

Περιεχόμενα !#$%&%'(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( )! Περιεχόμενα!"#$%&%'(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( )! *+",',"-+.-"/'0$.-$".1$/!1"#,'0"+(((((((((((((((((((((((23! 14+,$%0$ ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((()5!

Διαβάστε περισσότερα

Αν και νόµιµα προσκλήθηκαν 1. ΒΟΡΕΑΣ ΣΕΒΑΣΤΟΣ ΗΜΟΤ.ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ (προσήλθε) 2. ΜΙΧΑΛΕΛΗΣ ΗΜΗΤΡΙΟΣ «(προσήλθε) 1

Αν και νόµιµα προσκλήθηκαν 1. ΒΟΡΕΑΣ ΣΕΒΑΣΤΟΣ ΗΜΟΤ.ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ (προσήλθε) 2. ΜΙΧΑΛΕΛΗΣ ΗΜΗΤΡΙΟΣ «(προσήλθε) 1 Αναρτητέα στο διαδίκτυο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ A Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από τα πρακτικά της µε αριθµ. 23/2014 τακτικής συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου Αριθµ.Απόφασης: 226/2014 Π Ε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ : β) Διακήρυξη Δημοπρασίας. γ) Τεχνικές Προδιαγραφές. δ) Ενδεικτικός Προϋπολογισμός.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ : β) Διακήρυξη Δημοπρασίας. γ) Τεχνικές Προδιαγραφές. δ) Ενδεικτικός Προϋπολογισμός. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Διακήρυξη Διεθνούς Ανοικτού ( Επαναληπτικού) Διαγωνισμού για την «Προμήθεια, εγκατάσταση και θέση σε λειτουργία Φ/Β διασυνδεδεμένων συστημάτων σε κτίρια ( στέγες σχολείων ) και εγκαταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ «Δήμος Αιγάλεω» ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : «ΑΣΚΗΣΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΣΕ ΤΟΠΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Η ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από το αριθμ. 12/2015 πρακτικό τακτικής συνεδρίασης του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Λήμνου της 30 ης Ιουλίου 2015.

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από το αριθμ. 12/2015 πρακτικό τακτικής συνεδρίασης του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Λήμνου της 30 ης Ιουλίου 2015. Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από το αριθμ. 12/2015 πρακτικό τακτικής συνεδρίασης του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Λήμνου της 30 ης Ιουλίου 2015. Αριθμός Απόφασης 210/2015 Θέμα 7 ο : Έγκριση διενέργειας δημοπρασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΕΥΒΟΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΜΟΝΑΔΩΝ Α ΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΕΥΒΟΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΜΟΝΑΔΩΝ Α ΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΕΡΓΑΣΙΑ: Αναγόμωση συντήρηση Αναγόμωση συντήρηση Μονάδες Α Βάθμιας εκπ/σης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Τεχνική περιγραφή 2. Ενδεικτικός Προϋπολογισμός 3. Συγγραφή υποχρεώσεων 1 ΕΡΓΑΣΙΑ: Αναγόμωση συντήρηση Τεχνική

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 22 Ιουλίου 2014 Αριθ. Τεύχους: 194 Εβδομαδιαία ηλεκτρονική εφημερίδα του Υπουργείου Διοικητικής Μεταρρύθμισης και Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης

Τρίτη, 22 Ιουλίου 2014 Αριθ. Τεύχους: 194 Εβδομαδιαία ηλεκτρονική εφημερίδα του Υπουργείου Διοικητικής Μεταρρύθμισης και Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης Περιεχόμενα Υπουργείο Πολιτισμού και Αθλητισμού: Πρόσληψη 1 ατόμου... 3 ΚΒ Εφορεία Προϊστορικών και Κλασσικών Αρχαιοτήτων Δωδεκανήσου: Πρόσληψη 4 ατόμων... 3 ΛΖ Εφορεία Προϊστορικών και Κλασσικών Αρχαιοτήτων:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑ: 6Ψ8Μ9-ΩΙΕ. ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Βαθμός Ασφαλείας : Να διατηρηθεί μέχρι : Μαρούσι, 24-06-2014 Αρ. Πρωτ. 97654/Δ2

ΑΔΑ: 6Ψ8Μ9-ΩΙΕ. ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Βαθμός Ασφαλείας : Να διατηρηθεί μέχρι : Μαρούσι, 24-06-2014 Αρ. Πρωτ. 97654/Δ2 ΑΔΑ: 6Ψ8Μ9-ΩΙΕ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ --- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ & ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ΔΙΟΡΙΣΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΦΑΣΗ. Βαθμός Ασφαλείας... Μαρούσι 24-9-08 Αριθ. Πρωτ. 122459 /Γ2 Βαθ. Προτερ... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΑΠΟΦΑΣΗ. Βαθμός Ασφαλείας... Μαρούσι 24-9-08 Αριθ. Πρωτ. 122459 /Γ2 Βαθ. Προτερ... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Βαθμός Ασφαλείας... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Μαρούσι 24-9-08 Αριθ. Πρωτ. 122459 /Γ2 Βαθ. Προτερ.... ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου

Διαβάστε περισσότερα

έκφραση έκθεση γενικό λύκειο

έκφραση έκθεση γενικό λύκειο έκφραση έκθεση γενικό λύκειο β τεύχος Τόμος 1 ος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» έκθεση έκφραση για το γενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗ αριθ. 78/2013 ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΥΓΡΩΝ ΚΑΥΣΙΜΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΥ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ ΕΤΟΥΣ 2013

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗ αριθ. 78/2013 ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΥΓΡΩΝ ΚΑΥΣΙΜΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΥ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ ΕΤΟΥΣ 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΡΟ ΟΠΗΣ ΗΜΟΣ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ:ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ, ΥΛΙΚΩΝ ΕΞΟΠΛΙΣΜΩΝ & ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Ταχ. /νση: Πλ. Γ.Βιζυηνού 1, Κοµοτηνή Πληροφορίες: Σεραφείµ Μαρία Τηλ.:2531352448

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤHΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ

ΑΝΑΡΤHΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΚΥΚΛΑΔΩΝ ΔΗΜΟΣ ΜΥΚΟΝΟΥ Δ/ΝΣΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΑΝΑΡΤHΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α από τo πρακτικό της 03/28-02-2013 συνεδριάσεως τoυ Δημoτικoύ Συμβoυλίoυ Μυκόνου. ΑΡIΘΜΟΣ ΑΠΟΦΑΣΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΟΡΧΟΜΕΝΟΥ Αρ.Πρωτ.: 415/14-1-2015

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΟΡΧΟΜΕΝΟΥ Αρ.Πρωτ.: 415/14-1-2015 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΟΡΧΟΜΕΝΟΥ Αρ.Πρωτ.: 415/14-1-2015 Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από το πρακτικό της αριθ. 24 ης /2014 Συνεδρίασης του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Ορχομενού. Αριθ. Απόφασης 219/2014

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΑΛΙΕΙΑΣ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΔΕΚΑΕΤΙΑ ΤΟΥ 20ουΑΙΩΝΑ Διπλωματική Εργασία για το Προπτυχιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑ: Β42ΖΩΞΜ-ΤΚ8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ. ήµου Πολυγύρου. Επιτροπής ήταν: Αριθµός θέµατος: 11

ΑΔΑ: Β42ΖΩΞΜ-ΤΚ8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ. ήµου Πολυγύρου. Επιτροπής ήταν: Αριθµός θέµατος: 11 1 ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΣ ΠΟΛΥΓΥΡΟΥ ΝΟΜΟΣ ΧΑΛΚΙΔΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ Ταχ. Δ/νση : Πολυτεχνείου 50 63100 ΠΟΛΥΓΥΡΟΣ Πληροφορίες : Ψαθά Κωνσταντία Τηλέφωνο : 23713-50738 FAX : 2371022266

Διαβάστε περισσότερα

συγκρότηση επιτροπών: α) Διενέργειας & Αξιολόγησης ψήφισαν οι Δημοτικοί Προμηθειών, β) Παραλαβής Προμηθειών (Ορθή Σύμβουλοι κ.

συγκρότηση επιτροπών: α) Διενέργειας & Αξιολόγησης ψήφισαν οι Δημοτικοί Προμηθειών, β) Παραλαβής Προμηθειών (Ορθή Σύμβουλοι κ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΣ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Εγκρίνει με ΔΗΜΟΣ (19) ψήφους ΝΕΑΣ το ΣΜΥΡΝΗΣ Πρόγραμμα των Ιωνικών Γιορτών, αρνητικά ψήφισε η Δημοτική Σύμβουλος ANAΡΤΗΤΕΑ κα Ζησίμου Δημόκλεια. Α Π Ο Σ Π

Διαβάστε περισσότερα

2863/19-2-2015 ΔΗΜΟΣ ΤΑΝΑΓΡΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ

2863/19-2-2015 ΔΗΜΟΣ ΤΑΝΑΓΡΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΗΜΟΣ ΤΑΝΑΓΡΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ 2863/19-2-2015 ΑΠΟΦΑΣΗ: 117 Από το πρακτικό 5 ης /2015 συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής του Δήμου Τανάγρας. Περίληψη «Περί λήψης απόφασης για την έγκριση της δαπάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Θέμα 69 ο Εισήγηση για την υπ αρίθμ. 5 Τροποποίηση Προϋπολογισμού Οικ. Έτους 2013.

ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Θέμα 69 ο Εισήγηση για την υπ αρίθμ. 5 Τροποποίηση Προϋπολογισμού Οικ. Έτους 2013. Συνεδρίαση 60 η Απόφαση υπ αριθμ. 2564/2013 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Δ/νση: Λ. Συγγρού 15 17 Τ.Κ.: 117 43 Αθήνα Τηλ.: 213 20 63 776 213 20 63 537 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ

Διαβάστε περισσότερα

lim = + ή -, τότε η f δεν είναι lim

lim = + ή -, τότε η f δεν είναι lim Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, αν το f () - f ( ) είναι πραγματικός - αριθμός.. * Αν ισχύει f ()

Διαβάστε περισσότερα

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από το Πρακτικό της 03ης Τακτικής Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου Σκοπέλου

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από το Πρακτικό της 03ης Τακτικής Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου Σκοπέλου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ ΗΜΟΣ ΣΚΟΠΕΛΟΥ Πληροφορίες: Σπυριδούλα Καρβέλη Τηλέφωνο: 2424350103 E-mail: dstech@otenet.gr ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ ΑΡΙΘΜ. ΑΠΟΦ: 31 /2013 Α.Π. 1181 Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από

Διαβάστε περισσότερα

Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣ ΝΟΤΙΑΣ ΚΥΝΟΥΡΙΑΣ

ΔΗΜΟΣ ΝΟΤΙΑΣ ΚΥΝΟΥΡΙΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΡΚΑΔΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΝΟΤΙΑΣ ΚΥΝΟΥΡΙΑΣ Τμήμα: Διοικητικών & Οικονομικών Υπηρεσιών Γραφείο: Διοικητικών Υπηρεσιών -------------------//------------------------------------------ Ταχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : Κώδικας Ορθής Γεωργικής Πρακτικής για την Προστασία των Νερών από τη Νιτρορύπανση Γεωργικής Προέλευσης.

ΘΕΜΑ : Κώδικας Ορθής Γεωργικής Πρακτικής για την Προστασία των Νερών από τη Νιτρορύπανση Γεωργικής Προέλευσης. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗΣ ΑΝΑΣΥΓΚΡΟΤΗΣΗΣ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ & ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΓΕΝ. Δ/ΝΣΗ ΒΙΩΣΙΜΗΣ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Δ/ΝΣΗ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ & ΚΛΙΜΑΤΙΚΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ Τμήμα Προστασίας Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία δημοσίευσης στον Ελληνικό Τύπο Α Π Ο Φ Α Σ Η

Ημερομηνία δημοσίευσης στον Ελληνικό Τύπο Α Π Ο Φ Α Σ Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΑΜΕΣΗΣ ΒΟΗΘΕΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ Ταχ. Δ/νση : Τέρμα Αργυροκάστρου Παιδόπολη Καβάλας Ταχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Πειραιάς 16/05/2013 ΩΡΕΣ ΑΙΘΟΥΣΕΣ ΕΞ.-ΤΥΠΟΣ ΜΑΘΗΜΑ ΒΑΡΔΙΑ ΚΩΔΙΚΟΣ ΕΞΕΤΑΣΤΕΣ. Δευτέρα, 10/06/2013

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Πειραιάς 16/05/2013 ΩΡΕΣ ΑΙΘΟΥΣΕΣ ΕΞ.-ΤΥΠΟΣ ΜΑΘΗΜΑ ΒΑΡΔΙΑ ΚΩΔΙΚΟΣ ΕΞΕΤΑΣΤΕΣ. Δευτέρα, 10/06/2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ 2012-2013 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΑΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ - ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Διεύθυνση Σπουδών

Διαβάστε περισσότερα

A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας την περίληψη του κειμένου που σας δόθηκε (100-120 λέξεις). Μονάδες 25

A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας την περίληψη του κειμένου που σας δόθηκε (100-120 λέξεις). Μονάδες 25 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 28 ΜΑΪΟΥ 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΕΙΜΕΝΟ Η «ανθρωπιά» είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α ΠΡΟΕΔΡΟΙ ΤΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ & ΤΟΠΙΚΩΝ ΚΟΙΝΟΤΗΤΩΝ (ΠΑΡΟΝΤΕΣ) ΕΚΠΡΟΣΩΠΟΙ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΚΟΙΝΟΤΗΤΩΝ (ΠΑΡΟΝΤΕΣ)

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α ΠΡΟΕΔΡΟΙ ΤΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ & ΤΟΠΙΚΩΝ ΚΟΙΝΟΤΗΤΩΝ (ΠΑΡΟΝΤΕΣ) ΕΚΠΡΟΣΩΠΟΙ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΚΟΙΝΟΤΗΤΩΝ (ΠΑΡΟΝΤΕΣ) ΔΗΜΟΣ ΒΟΪΟΥ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από το αριθμ. 25/2014 πρακτικό συνεδριάσεως του Δημοτικού Συμβουλίου Βοΐου. Αριθμ. Απόφασης 417/2014 Περίληψη «Προσφυγή στην διαδικασία της διαπραγμάτευσης

Διαβάστε περισσότερα

4ο εαρ. Εξαμηνο, 2010-2011

4ο εαρ. Εξαμηνο, 2010-2011 4ο εαρ. Εξαμηνο, 2010-2011 Η αποτυπωση ως εργαλειο αναγνωρισης του δομημενου περιβαλλοντος Συστηματικη Αποτυπωση κτηριου ΜΑΡΓΑΡΙΤΑ ΓΡΑΦΑΚΟΥ Αν. Καθηγ. της Σχολης Αρχιτεκτονων Ε.Μ.Π. Μαθημα 1ο Εικονογραφηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ. Δ/νση: Λ. Συγγρού 15 17 Τ.Κ.: 117 43 Αθήνα Τηλ.: 213 20 63 776 213 20 63 537

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ. Δ/νση: Λ. Συγγρού 15 17 Τ.Κ.: 117 43 Αθήνα Τηλ.: 213 20 63 776 213 20 63 537 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Δ/νση: Λ. Συγγρού 15 17 Τ.Κ.: 117 43 Αθήνα Τηλ.: 213 20 63 776 213 20 63 537 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Συνεδρίαση 43 η Απόφαση υπ αριθ. 1950/2014

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣ ΑΧΑΡΝΩΝ Σύστημα Διαχείρισης Ποιότητας ISO 9001 : 2008 ΠΑΡΟΝΤΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟΝΤΕΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ

ΔΗΜΟΣ ΑΧΑΡΝΩΝ Σύστημα Διαχείρισης Ποιότητας ISO 9001 : 2008 ΠΑΡΟΝΤΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟΝΤΕΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΔΗΜΟΣ ΑΧΑΡΝΩΝ Σύστημα Διαχείρισης Ποιότητας ISO 9001 : 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΑΧΑΡΝΩΝ Διεύθυνση Διοίκησης Τμήμα Δημοτικού Συμβουλίου Φιλαδελφείας 87 & Μπόσδα Τ.Κ. 13673, Αχαρνές Συντάκτης:

Διαβάστε περισσότερα

β) κίνημα στο Γουδί: σχολ. βιβλ σελ 86-87 «το 1909 μέσω της Βουλής».

β) κίνημα στο Γουδί: σχολ. βιβλ σελ 86-87 «το 1909 μέσω της Βουλής». ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. α) αγροτική μεταρρύθμιση: σχολ. βιβλ. σελ 42 «καθώς. κοινωνικές συνθήκες». β) κίνημα στο Γουδί: σχολ. βιβλ σελ 86-87 «το 1909 μέσω της Βουλής». γ) Συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή Εργασία. <<Η Ενιαία Φορολογική Πολιτική στην Ευρωπαϊκή Ένωση>> Επιβλέπων Καθηγητης : Παρχαρίδης Βασίλης. Φοιτήτρια :Μαρινέλη Ξανθή

Πτυχιακή Εργασία. <<Η Ενιαία Φορολογική Πολιτική στην Ευρωπαϊκή Ένωση>> Επιβλέπων Καθηγητης : Παρχαρίδης Βασίλης. Φοιτήτρια :Μαρινέλη Ξανθή Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ Σχολή Διοίκησης & Οικονομίας Τμήμα Λογιστικής Πτυχιακή Εργασία Επιβλέπων Καθηγητης : Παρχαρίδης Βασίλης Φοιτήτρια :Μαρινέλη Ξανθή Καβάλα,

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική. ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΤΗΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟ 3/2011 ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗΣ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΔΗΜΟΥ ΤΡΙΠΟΛΗΣ ΤΗΣ 14 ης ΜΑΡΤΙΟΥ 2011

Ελληνική. ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΤΗΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟ 3/2011 ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗΣ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΔΗΜΟΥ ΤΡΙΠΟΛΗΣ ΤΗΣ 14 ης ΜΑΡΤΙΟΥ 2011 Ελληνική ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΤΗΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟ 3/2011 ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗΣ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΔΗΜΟΥ ΤΡΙΠΟΛΗΣ ΤΗΣ 14 ης ΜΑΡΤΙΟΥ 2011 Αριθμ. απόφ. 79/2011 ΘΕΜΑ:24 ο «Προμήθεια Στολών του Ειδικού Ένστολου Προσωπικού της Δημοτικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Πέμπτο Εθνοπολιτισμική Ζωή και Εμπειρίες Ελληνικότητας των Ελληνοαυστραλών Εφήβων

Κεφάλαιο Πέμπτο Εθνοπολιτισμική Ζωή και Εμπειρίες Ελληνικότητας των Ελληνοαυστραλών Εφήβων Κεφάλαιο Πέμπτο Εθνοπολιτισμική Ζωή και Εμπειρίες Ελληνικότητας των Ελληνοαυστραλών Εφήβων Στο πλαίσιο του παρόντος κεφαλαίου εξετάζονται οι κοινές ενδοοικογενειακές δραστηριότητες και η γλωσσική αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

Στις 20 Ιουνίου ψηφίζουμε ΔΑΚΕ, για το 16ο συνέδριο τής ΟΛΜΕ

Στις 20 Ιουνίου ψηφίζουμε ΔΑΚΕ, για το 16ο συνέδριο τής ΟΛΜΕ Στις 20 Ιουνίου ψηφίζουμε ΔΑΚΕ, για το 16ο συνέδριο τής ΟΛΜΕ Αγαπητοί Συνάδελφοι, 17 Ιουνίου 2013 Την Πέμπτη 20 Ιουνίου 2013, από τις 8 το πρωί έως τις 8 το βράδυ στο 1ο Λύκειο Παλλήνης, καλούμαστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑ: ΒΙΕ9ΩΗΑ-5ΒΚ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ

ΑΔΑ: ΒΙΕ9ΩΗΑ-5ΒΚ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Χαλκίδα Αριθμ.Πρωτ. : 12577 ΔΗΜΟΣ ΧΑΛΚΙΔΕΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Αριθ. Αποφ. 91/2014 Από το Πρακτικό της 6ης/2014 Συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής του Δήμου Χαλκιδέων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «Καθιέρωση και έγκριση 24ωρης λειτουργίας των Υπηρεσιών της /νσης Παιδείας Πολιτισµού κ Αθλητισµού του ήµου Αγρινίου για το έτος 2012»

ΘΕΜΑ: «Καθιέρωση και έγκριση 24ωρης λειτουργίας των Υπηρεσιών της /νσης Παιδείας Πολιτισµού κ Αθλητισµού του ήµου Αγρινίου για το έτος 2012» ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το πρακτικό της µε αριθ. 16ης/2011 Τακτικής Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου του ήµου Αγρινίου. Αριθ. Απόφασης 466/2011 ΘΕΜΑ: «Καθιέρωση και έγκριση 24ωρης λειτουργίας των Υπηρεσιών της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑ: 4ΙΦΝΚ-ΔΘ. Αθήνα, 14 Δεκεμβρίου 2010 Αριθ. Πρωτ.: 71351. Ταχυδρομική. Σταδίου 27 Διεύθυνση: Ταχυδρομικός Κώδικας: 101 83 ΑΘΗΝΑ

ΑΔΑ: 4ΙΦΝΚ-ΔΘ. Αθήνα, 14 Δεκεμβρίου 2010 Αριθ. Πρωτ.: 71351. Ταχυδρομική. Σταδίου 27 Διεύθυνση: Ταχυδρομικός Κώδικας: 101 83 ΑΘΗΝΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΠΟΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥTΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ & ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΑΔΑ: Ταχυδρομική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ Εκλογικών

ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ Εκλογικών ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ Εκλογικών Χρήσιμο Β Ο Η Θ Η Μ Α Ο Δ Η Γ Ο Σ του Αντιπροσώπου της Δικαστικής Αρχής (Περιέχονται σχέδια και έντυπα για διευκόλυνση του έργου των Αντιπροσώπων της Δικαστικής Αρχής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕΚ Β 2139 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: -----

ΦΕΚ Β 2139 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ----- ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡ. ΜΕΛΕΤΗΣ ( Οικον. Υπηρεσίας) 5/2014 ΠΡΟΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ : 112.431,50 ΠΗΓΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗΣ : Από ιδίους πόρους

ΑΡ. ΜΕΛΕΤΗΣ ( Οικον. Υπηρεσίας) 5/2014 ΠΡΟΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ : 112.431,50 ΠΗΓΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗΣ : Από ιδίους πόρους Ελληνική Δημοκρατία Νομός Θεσπρωτίας Δήμος Ηγουμενίτσας Διεύθυνση Οικονομικού Τμήμα Προμηθειών ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ «Προμήθεια Καυσίμων & πετρελαίου θέρμανσης για τα οχήματα και μηχανήματα του Δήμου Ηγουμενίτσας,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΗ ΣΥΝΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΜΗΤΡΟΠΟΛΕΩΣ 42, 105 63 ΑΘΗΝΑ

ΕΘΝΙΚΗ ΣΥΝΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΜΗΤΡΟΠΟΛΕΩΣ 42, 105 63 ΑΘΗΝΑ ΕΘΝΙΚΗ ΣΥΝΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΜΗΤΡΟΠΟΛΕΩΣ 42, 105 63 ΑΘΗΝΑ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΜΠΟΡΙΟΥ & ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΠΕΤΡΑΚΗ 16 Τ.Κ. 105 63 ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ: 210. 32.59.197 FAX 32.59.229 8 Σεπτεμβρίου 2011 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΝΕΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

35η ιδακτική Ενότητα ΕΝΟΧΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ( ΕΝΟΧΙΚΟ ΙΚΑΙΟ)

35η ιδακτική Ενότητα ΕΝΟΧΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ( ΕΝΟΧΙΚΟ ΙΚΑΙΟ) 35η ιδακτική Ενότητα ΕΝΟΧΙΚΕ ΧΕΕΙ ( ΕΝΟΧΙΚΟ ΙΚΑΙΟ) Εργασία για το σχολείο Ο καθηγητής θα µοιράσει µισθωτήρια κατοικιών στους µαθητές, θα τους χωρίσει ανά θρανίο σε εκµισθωτές και µισθωτές και αφού τους

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Π. ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ, (ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ) 2000-2006 ΜΕΤΡΟ 2.5, ΕΝΕΡΓΕΙΑ 2.5.1, ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 2.5.1.α

Ε.Π. ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ, (ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ) 2000-2006 ΜΕΤΡΟ 2.5, ΕΝΕΡΓΕΙΑ 2.5.1, ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 2.5.1.α Ε.Π. ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ, (ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ) 2000-2006 ΜΕΤΡΟ 2.5, ΕΝΕΡΓΕΙΑ 2.5.1, ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 2.5.1.α ΕΡΓΟ: «ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΕΝΔΥΝΑΜΩΣΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ ΜΕ ΑΝΑΠΗΡΙΑ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΤΕΛΕΧΩΝ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Α π ο φ α σ ί ζ ο υ μ ε

Α π ο φ α σ ί ζ ο υ μ ε ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π. & Δ. ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΛΑΚΩΝΙΑΣ Σπάρτη: 31-7-2014 Αριθ. Πρωτ.: 11.2/5330 Ταχ. Διεύθυνση :

Διαβάστε περισσότερα

Δ Η Μ Ο Σ ΣΗΤΕΙΑΣ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ. Προμήθεια ρυμουλκούμενου οχήματος (trailer) για την ανέλκυση/καθέλκυση/μεταφορά σκαφών για το λιμάνι Σητείας

Δ Η Μ Ο Σ ΣΗΤΕΙΑΣ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ. Προμήθεια ρυμουλκούμενου οχήματος (trailer) για την ανέλκυση/καθέλκυση/μεταφορά σκαφών για το λιμάνι Σητείας Δ Η Μ Ο Σ ΣΗΤΕΙΑΣ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ Προμήθεια ρυμουλκούμενου οχήματος (trailer) για την ανέλκυση/καθέλκυση/μεταφορά σκαφών για το λιμάνι Σητείας ΑΡ. ΜΕΛΕΤΗΣ 2 /2015 ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΜΕΣΩΝ ΑΤΟΜΙΚΗΣ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΛΕΣΒΟΥ

ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΜΕΣΩΝ ΑΤΟΜΙΚΗΣ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΛΕΣΒΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΛΕΣΒΟΥ ΔΗΜΟΣ ΛΕΣΒΟΥ Δ/ΝΣΗ ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑΣ & ΑΝΑΚΥΚΛΩΣΗΣ Τμήμα Σχεδιασμού, Εποπτείας Καθαριότητας, Ανακύκλωσης, Αποκομιδής Απορριμμάτων και Ανακυκλώσιμων υλικών Ν.Α. Λέσβου ΑΡΙΘΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σχηματισμός Υποτακτικής Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής. Ο Παρακείμενος σχηματίζει την Υποτακτική έγκλιση με δύο τρόπους:

Σχηματισμός Υποτακτικής Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής. Ο Παρακείμενος σχηματίζει την Υποτακτική έγκλιση με δύο τρόπους: Σχηματισμός Υποτακτικής Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής Ο Παρακείμενος σχηματίζει την Υποτακτική έγκλιση με δύο τρόπους: α. περιφραστικά (δηλ. χρησιμοποιώντας δύο λέξεις περιφραστικός ρηματικός τύπος στα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 10 Ιουνίου 2014 ΙΣΤΟΡΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ A1. α. Αγροτική μεταρρύθμιση : Η κατάργηση των μεγάλων ιδιοκτησιών και η κατάτμηση

Διαβάστε περισσότερα

Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Δ Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Σ, Κ Ο Ι Ν Ω Ν Ι Κ Η Σ Α Σ Φ Α Λ Ι Σ Η Σ & Π Ρ Ο Ν Ο Ι Α Σ ΣΥΜΒΑΣΗ

Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Δ Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Σ, Κ Ο Ι Ν Ω Ν Ι Κ Η Σ Α Σ Φ Α Λ Ι Σ Η Σ & Π Ρ Ο Ν Ο Ι Α Σ ΣΥΜΒΑΣΗ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Δ Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Σ, Κ Ο Ι Ν Ω Ν Ι Κ Η Σ Α Σ Φ Α Λ Ι Σ Η Σ & Π Ρ Ο Ν Ο Ι Α Σ ΣΥΜΒΑΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΕΡΓΟ «ΠΑΡΟΧΗ ΤΑΧΥΔΡΟΜΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΣΤΟΝ Ο.Α.Ε.Ε.». ΜΕΤΑΞΥ

Διαβάστε περισσότερα

Φιλολογικό Φροντιστήριο http://www.filologikofrontistirio.gr

Φιλολογικό Φροντιστήριο http://www.filologikofrontistirio.gr Φιλολογικό Φροντιστήριο http://www.filologikofrontistirio.gr Πανελλήνιες 2014 Ενδεικτικές απαντήσεις στη Νεοελληνική Λογοτεχνία Α1 Είναι γνωστό ότι η ειδοποιός διαφορά μεταξύ πεζογραφίας και δραματικού

Διαβάστε περισσότερα

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από το 08/2013 πρακτικό συνεδρίασης του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Λήμνου της 15 ης Απριλίου 2013.

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από το 08/2013 πρακτικό συνεδρίασης του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Λήμνου της 15 ης Απριλίου 2013. Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από το 08/2013 πρακτικό συνεδρίασης του Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Λήμνου της 15 ης Απριλίου 2013. Αριθμός Απόφασης 142/2013 Θέμα 24 ο : Συγκρότηση επιτροπής παραλαβής της «ΠΡΟΜΗΘΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ A Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από τα πρακτικά της µε αριθµ. 19/2014 Ειδικής Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου

ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ A Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από τα πρακτικά της µε αριθµ. 19/2014 Ειδικής Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αναρτητέα στο διαδίκτυο ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ A Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από τα πρακτικά της µε αριθµ. 19/2014 Ειδικής Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου Αριθµ.Απόφασης: 183/2014 Π Ε Ρ

Διαβάστε περισσότερα

62 η ΣΥΝΟΔΟΣ ΠΡΥΤΑΝΕΩΝ & ΠΡΟΕΔΡΩΝ Δ.Ε. ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΩΝ

62 η ΣΥΝΟΔΟΣ ΠΡΥΤΑΝΕΩΝ & ΠΡΟΕΔΡΩΝ Δ.Ε. ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΩΝ 62 η ΣΥΝΟΔΟΣ ΠΡΥΤΑΝΕΩΝ & ΠΡΟΕΔΡΩΝ Δ.Ε. ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΩΝ Τεχνολογικό Πολιτιστικό Πάρκο Λαυρίου του Ε.Μ.Π. 11 & 12 Δεκεµβρίου 2009, Λαύριο ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗΣΚΕΙΑΣ ΣΤΟ ΟΥΔΕΤΕΡΟΘΡΗΣΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (ΤΟΥ ΡΕΖΙΣ ΝΤΕΜΠΡΕ)

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗΣΚΕΙΑΣ ΣΤΟ ΟΥΔΕΤΕΡΟΘΡΗΣΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (ΤΟΥ ΡΕΖΙΣ ΝΤΕΜΠΡΕ) Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗΣΚΕΙΑΣ ΣΤΟ ΟΥΔΕΤΕΡΟΘΡΗΣΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (ΤΟΥ ΡΕΖΙΣ ΝΤΕΜΠΡΕ) I Το Δεκέμβριο του 2001 ο Ζακ Λαγκ, Υπουργός Εθνικής Παιδείας της Γαλλίας ζήτησε από τον καθηγητή Ρεζίς Ντεμπρέ, το θεωρητικό ενδιαφέρον

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτικό 1/2012 της συνεδρίασης της Δημοτικής Επιτροπής Διαβούλευσης του Δήμου Λήμνου,

Πρακτικό 1/2012 της συνεδρίασης της Δημοτικής Επιτροπής Διαβούλευσης του Δήμου Λήμνου, Πρακτικό 1/2012 της συνεδρίασης της Δημοτικής Επιτροπής Διαβούλευσης του Δήμου Λήμνου,. Αριθμός Απόφασης 1/2012 της 1 ης Δεκεμβρίου 2012. τεχνικού προγράμματος του Δήμου Λήμνου, οικονομικού έτους 2013.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΦΑΣΗ ΑΡΙΘ. 399 ΑΠΟ ΤΟ ΥΠ' ΑΡΙΘ. 23/2015 ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΕΩΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΛΑΡΙΣΑΙΩΝ

ΑΠΟΦΑΣΗ ΑΡΙΘ. 399 ΑΠΟ ΤΟ ΥΠ' ΑΡΙΘ. 23/2015 ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΕΩΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΛΑΡΙΣΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΣ ΛΑΡΙΣΑΙΩΝ Δ/ΝΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΑΠΟΦΑΣΗ ΑΡΙΘ. 399 ΑΠΟ ΤΟ ΥΠ' ΑΡΙΘ. 23/2015 ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΕΩΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΛΑΡΙΣΑΙΩΝ ΘΕΜΑ: Έγκριση διοργάνωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΠΡΟΧΕΙΡΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΠΡΟΧΕΙΡΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΦΩΚΙΔΑΣ ΔΗΜΟΣ ΔΕΛΦΩΝ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ: ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ-ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΞΥΛΙΝΟΥ ΔΑΠΕΔΟΥ ΣΤΟ ΚΛΕΙΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΤΗΡΙΟ ΙΤΕΑΣ Αριθ. Πρωτ. 19.622 ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΠΡΟΧΕΙΡΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ O Αντιδήμαρχος Δελφών Έχοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΗΚΗ SCHENGEN (ΣΕΝΓΚΕΝ)

ΣΥΝΘΗΚΗ SCHENGEN (ΣΕΝΓΚΕΝ) ΣΥΝΘΗΚΗ SCHENGEN (ΣΕΝΓΚΕΝ) ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΣΥΜΦΩΝΙΑΣ ΤΟΥ ΣΕΝΓΚΕΝ της 14ης Ιουνίου 1985 μεταξύ των κυβερνήσεων των κρατών της Οικονομικής Ένωσης Μπενελούξ, της Ομοσπονδιακής Δημοκρατίας της Γερμανίας

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία δημοσίευσης στον Ελληνικό Τύπο Α Π Ο Φ Α Σ Η

Ημερομηνία δημοσίευσης στον Ελληνικό Τύπο Α Π Ο Φ Α Σ Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΑΜΕΣΗΣ ΒΟΗΘΕΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ Ταχ. Δ/νση : Γ.ΧΑΤΖΗΚΩΣΤΑ 1 Ταχ. Κώδικας : 45444 Πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΝΟΜΟΥ ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΜΑΤΟΓΡΑΦΙΚΗΣ ΤΕΧΝΗΣ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ. Γενικές Αρχές και Ορισμοί. Άρθρο 1 Γενικές αρχές

ΣΧΕΔΙΟ ΝΟΜΟΥ ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΜΑΤΟΓΡΑΦΙΚΗΣ ΤΕΧΝΗΣ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ. Γενικές Αρχές και Ορισμοί. Άρθρο 1 Γενικές αρχές ΣΧΕΔΙΟ ΝΟΜΟΥ ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΜΑΤΟΓΡΑΦΙΚΗΣ ΤΕΧΝΗΣ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ Γενικές Αρχές και Ορισμοί Άρθρο 1 Γενικές αρχές 1. Η ανάπτυξη της κινηματογραφικής τέχνης αποτελεί υποχρέωση

Διαβάστε περισσότερα