Α.Τ.Ε.Ι ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ ΤΜΗΜΑ ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗΣ & ΙΑΚΙΝΗΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ (LOGISTICS) ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Α.Τ.Ε.Ι ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ ΤΜΗΜΑ ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗΣ & ΙΑΚΙΝΗΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ (LOGISTICS) ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ"

Transcript

1 Α.Τ.Ε.Ι ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ ΤΜΗΜΑ ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗΣ & ΙΑΚΙΝΗΣΗΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ (LOGISTICS) ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΓΕΩΡΓΙΑ ΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: Επίλυση προβληµάτων δροµολόγησης και εφαρµογή στην εταιρεία ΕΒΡΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΠΑΜΕΙΝΩΝ ΑΣ ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΚΑΤΕΡΙΝΗ 2009

2 ii Περίληψη Αντικείµενο αυτής της πτυχιακής εργασίας είναι η επίλυση προβληµάτων δροµολόγησης και η εφαρµογή των σχετικών µεθόδων στην περίπτωση της εταιρίας ΕΒΡΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ η οποία έχει ως αντικείµενο εργασίας τη διανοµή των φαρµάκων στους νοµούς Θεσσαλονίκης, Σερρών και Κιλκίς. Πιο συγκεκριµένα, οι ερευνητικοί στόχοι της εργασίας είναι οι εξής : 1. Ο εντοπισµός της διαδροµής ελάχιστου µήκους µε την οποία εξυπηρετούνται όλοι οι σταθµοί ενός νοµού µε ένα δροµολόγιο από την αφετηρία η οποία βρίσκεται στην κεντρική αποθήκη στη Θεσσαλονίκη. 2. Ο εντοπισµός της βέλτιστης τοποθεσίας σε κάθε έναν από τους νοµούς Σερρών και Κιλκίς όπου µπορεί να δηµιουργηθεί µία αποθήκη µεταφόρτωσης. 3. Η πρόβλεψη της µελλοντικής ζήτησης των φαρµάκων στο σύνολο των τριών νοµών. 4. Η πρόβλεψη της µελλοντικής επιστροφής φαρµάκων από τους τελικούς προορισµούς προς την κεντρική αποθήκη. Για να πετύχουµε τους στόχους αυτούς µελετούµε τους παλαιότερους αλγορίθµους αλλά και τις σύγχρονες προσεγγίσεις. Πιο συγκεκριµένα, ο πρώτος στόχος αντιµετωπίζεται µε τη µέθοδο των ελάχιστων επικαλύπτοντων δέντρων (Παράγραφοι 3.2, 3.3 και 3.4). Ο δεύτερος στόχος ισοδυναµεί µε τον εντοπισµό του κέντρου των γραφηµάτων των δύο νοµών και υλοποιείται µε τη µέθοδο της ελάχιστης εκκεντρικότητας (Παράγραφοι 3.5 και 3.6). Για την απάντηση στον τρίτο ερευνητικό στόχο χρησιµοποιούµε διπλή εκθετική παλινδρόµηση (Παράγραφος 3.7) ενώ για την πρόβλεψη των επιστροφών των φαρµάκων χρησιµοποιούµε τη µέθοδο του κινούµενου µέσου όρου (Παράγραφος 3.8). Λέξεις Κλειδιά Αλγόριθµοι δροµολόγησης, µεταφορικό δίκτυο, ελάχιστα επικαλύπτοντα δέντρα, γραφήµατα, εκκεντρικότητα γραφηµάτων, πρόβλεψη της ζήτησης.

3 iii ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Περίληψη. Πίνακας περιεχοµένων Πίνακας εικόνων. Πίνακας σχηµάτων.. Πίνακας πινάκων. ii iii v v vi 1. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ Εισαγωγή Ορισµός δικτύου Βασικά στοιχεία ενός δικτύου Η δροµολόγηση στο οδικό δίκτυο Γραφική απεικόνιση δικτύου Η αρχή της βελτιστοποίησης Μελέτη στα µεταφορικά δίκτυα Το πρόβληµα δροµολόγησης σε µεταφορικά δίκτυα Ευριστικές τεχνικές Μοντελοποίηση δικτύου Συνήθεις εφαρµογές διαδικασίες που συναντάµε σε δίκτυα ιαδικασία Geocoding ιαδικασία location-allocation Business logistics Χωρική αλληλεπίδραση και µοντελοποίηση βαρύτητας υναµική τµηµατοποίηση Ενδιαφέρουσες κατηγορίες προβληµάτων δροµολόγησης σε µεταφορικά δίκτυα Προβλήµατα συντοµότερων µονοπατιών πολλών κριτηρίων υναµικά προβλήµατα ελάχιστης διαδροµής Ιδιαιτερότητες των µεταφορικών δικτύων. Η FIFO συµπεριφορά στα µεταφορικά δίκτυα Ανάλυση δικτύων διανοµής-στρατηγική διοικητικών µεριµνών. 15

4 iv 1.10 Ορισµός ελάχιστων επικαλύπτων δένδρων Μη βεβαρηµένο γράφηµα Βεβαρηµένο γράφηµα Γραφήµατα Μέθοδοι προβλέψεων Ανάλυση χρονοσειρών ιπλή εκθετική εξοµάλυνση Απλή εκθετική εξοµάλυνση ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 2.1 Παρουσίαση της εταιρείας Περιγραφή του προβλήµατος βέλτιστης διαδροµής Εντοπισµός κεντρικού σηµείου Πρόβλεψη της ζήτησης Ερευνητικό υλικό-διαδικασία ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 3.1 Στοιχεία από τα απαντηµένα ερωτηµατολόγια Ψηφιοποίηση χαρτών Εφαρµογή στο Ν. Θεσσαλονίκης Εφαρµογή στο Ν. Σερρών Εφαρµογή στο Ν. Κιλκίς Εντοπισµός κεντρικού σηµείου στον Ν. Κιλκίς Εντοπισµός κεντρικού σηµείου στον Ν. Σερρών Πρόβλεψη µελλοντικής ζήτησης Πρόβλεψη επιστροφών µε την µέθοδο του κινούµενου µέσου όρου ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Συµπεράσµατα 52 53

5 v ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 54 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ Αγγλικών- Ελληνικών Όρων.. 56 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ 58 ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΙΚΟΝΩΝ Εικόνα 3.1.α Φορτωτική από φάρµακα Εικόνα 3.3.β Πιθανά µονοπάτια στο Ν. Θεσσαλονίκης. 36 Εικόνα 3.3.γ Βέλτιστη διαδροµή στο Ν. Θεσσαλονίκης. 37 Εικόνα 3.4.β Πιθανά µονοπάτια στο Ν. Σερρών. 39 Εικόνα 3.4.γ Βέλτιστη διαδροµή στο Ν. Σερρών Εικόνα 3.5.β Πιθανά µονοπάτια στο Ν. Κιλκίς Εικόνα 3.5.γ Βέλτιστη διαδροµή στο Ν. Κιλκίς.. 43 Εικόνα 3.6.γ Κέντρο του γραφήµατος στον Ν. Κιλκίς 45 Εικόνα 3.7.γ Κέντρο του γραφήµατος στον Ν. Σερρών.. 47 Εικόνα 3.8.β Ζήτηση των φαρµάκων για τους τρεις Νοµούς Θεσσαλονίκης Σερρών- Κιλκίς. 48 Εικόνα 3.8.δ Πρόβλεψη της ζήτησης των φαρµάκων για τους τρεις Νοµούς Θεσσαλονίκης Σερρών- Κιλκίς. 49 Εικόνα 3.9.β Επιστροφές φαρµάκων από τους Νοµούς Θεσσαλονίκης Σερρών- Κιλκίς Εικόνα 3.9.δ Πρόβλεψη επιστροφών φαρµάκων από τους Νοµούς Θεσσαλονίκης Σερρών- Κιλκίς. 51 ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήµα 1.4.α Αναπαράσταση ενός δικτύου..... Σχήµα 1.10.α Συνεκτικό γράφηµα Σχήµα 1.10.β Επικαλύπτον δένδρο. 17 Σχήµα 1.10.γ Επικαλύπτον δένδρο 18 Σχήµα 1.10.δ Επικαλύπτον δένδρο. 18 Σχήµα α Βεβαρηµένο γράφηµα Σχήµα γ Ελάχιστο επικαλύπτον δένδρο.. 26 Σχήµα 1.11.α Αποστάσεις και εκκεντρικότητες γραφήµατος... 28

6 vi ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας β Πινάκας ταξινόµησης σε αύξουσα σειράς βάρους Πίνακας 1.11.β Πίνακας αποστάσεις και εκκεντρικότητες. Πίνακας 3.3.α Πίνακας µονοπατιών στον Ν. Θεσσαλονίκης Πίνακας 3.4.α Πίνακας µονοπατιών στον Ν. Σερρών Πίνακας 3.5.α Πίνακας µονοπατιών στον Ν. Κιλκίς Πίνακας 3.6.α Σταθµοί Ν. Κιλκίς Πίνακας 3.6.β Εφαρµογή κεντρικότητας στον Ν. Κιλκίς Πίνακας 3.7.α Σταθµοί Ν. Σερρών Πίνακας 3.7.β Εφαρµογή κεντρικότητας στον Ν. Σερρών Πίνακας 3.8.α Πίνακας ζήτησης των φαρµάκων.. 48 Πίνακας 3.8.γ Πίνακας πρόβλεψης της ζήτησης των φαρµάκων Πίνακας 3.9.α Επιστροφές φαρµάκων από τους Νοµούς Θεσσαλονίκης Σερρών- Κιλκίς.. 50 Πίνακας 3.9.γ Πίνακας πρόβλεψης επιστροφής φαρµάκων.. 51

7 Εισαγωγή Το πρόβληµα της δροµολόγησης είναι ένα από τα πλέον ενδιαφέροντα προβλήµατα βελτιστοποίησης ροής και βρίσκει εφαρµογές σε πολλούς χώρους όπου εµπλέκονται δίκτυα µεταφορών. Οι διαφορετικές τεχνικές σχεδίασης αλγορίθµων έχουν οδηγήσει στην ανάπτυξη µίας ποικιλίας αλγορίθµων δροµολόγησης, των οποίων η ποιότητα έχει αποτιµηθεί τόσο θεωρητικά όσο και πειραµατικά. Η αποτίµηση αυτή έχει οδηγήσει στο συµπέρασµα ότι η επίδοση των αλγορίθµων δροµολόγησης πρακτικά εξαρτάται άµεσα από τον βαθµό στον οποίο συµβαδίζουν µε τις απαιτήσεις και τους περιορισµούς που υπαγορεύονται κατά την µετακίνηση µέσα στο δίκτυο κάποιας συγκεκριµένης κατηγορίας, αλλά και από το κατά πόσο λαµβάνουν υπ' όψιν τους και είναι σε θέση να αξιοποιήσουν εποικοδοµητικά τη δοµή του δικτύου. Μερικά από τα δίκτυα στα οποία απαντώνται συχνά προβλήµατα δροµολόγησης µε ιδιαίτερο ενδιαφέρον, είναι τα δίκτυα υπολογιστών, τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα, τα συγκοινωνιακά δίκτυα και τα δίκτυα βιοµηχανικής παραγωγής. Στα δίκτυα υπολογιστών λ.χ. η δροµολόγηση αφορά την µετάδοση µηνυµάτων µεταξύ υπολογιστών που ανήκουν στο ίδιο δίκτυο ή σε διαφορετικά δίκτυα. O τοµέας των δικτύων υπολογιστών είναι ένας ταχέως αναπτυσσόµενος τοµέας. Ενδεικτικά αναφέρουµε ως ένα από τα πιο σύγχρονα προβλήµατα δροµολόγησης σ' αυτόν τον χώρο τη δροµολόγηση πολυµέσων των οποίων οι υπηρεσίες χρησιµοποιούνται όλο και περισσότερο από διάφορες εφαρµογές media. Π.χ. το backbone πολυµέσων ( MBone ) του Internet χρησιµοποιείται για την µεταφορά πραγµατικού χρόνου audio και video για ειδήσεις, ψυχαγωγία κ.ο.κ. Στην εργασία αυτή επικεντρώνουµε το ενδιαφέρον µας στη δροµολόγηση των οχηµάτων της εταιρείας ΕΒΡΟΣ για τη διανοµή, την πρόβλεψη της ζήτησης των φαρµάκων και προτείνουµε τη βέλτιστη τοποθέτηση αποθηκών στους νοµούς Σερρών και Κιλκίς. Ο αλγόριθµος δροµολόγησης που εφαρµόζουµε θα εξηγηθεί αναλυτικά, το ίδιο και η µοντελοποίηση του οδικού δικτύου των νοµών. Μετά από µία σύντοµη αξιολόγηση του αλγόριθµου, γίνετε εφαρµογή του βάσει των δεδοµένων. Θα ακολουθήσει µοντελοποίηση στους χάρτες των νοµών και παρουσίαση της πρόβλεψης των φαρµάκων και πρόταση τοποθέτησης της αποθήκης στους νοµούς. Η πτυχιακή εργασία διαρθρώνεται σε 4 µέρη. Στο πρώτο µέρος συγκροτείται η βιβλιογραφική επισκόπηση της εργασίας. Εδώ επιχειρείται η ανάλυση της έννοιας 1

8 του δικτύου µε ιδιαίτερη έµφαση στα µεταφορικά δίκτυα. Το 2 ο µέρος αποτελεί συνδετικό κρίκο ανάµεσα στο θεωρητικό τµήµα της εργασίας και την εφαρµογή. Σ αυτό το µέρος της εργασίας περιγράφεται η εταιρεία ΕΒΡΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ, αναλύεται η µέθοδος των ελάχιστων επικαλύπτοντα, οι τρόποι εντοπισµού της εκκεντρικότητας ενός γραφήµατος και η µέθοδος πρόβλεψης της ζήτησης µε την διπλή εκθετική εξοµάλυνση και απλή εκθετική εξοµάλυνση Στο 3 ο µέρος της εργασίας αναπτύσσονται τα αποτελέσµατα που έχουµε από την εφαρµογή της θεωρίας. Αρχικά παρακολουθούµε την βέλτιστη διαδροµή µε την µέθοδο των ελάχιστων επικαλύπτοντων δένδρων στους Ν. Θεσσαλονίκης, Ν. Σερρών, Ν. Κιλκίς. Την κεντρικότητα των γραφηµάτων των Ν. Σερρών και Ν. Κιλκίς και την πρόβλεψη της ζήτησης των φαρµάκων για τους νοµούς Θεσσαλονίκης, Σερρών και Κιλκίς µε διπλή εκθετική εξοµάλυνση. Τέλος, µε τη µέθοδο του κινούµενου µέσου όρου θα προβλέψουµε τις επιστροφές των φαρµάκων από τους τρείς νοµούς στην κεντρική αποθήκη της εταιρείας. Στο 4 ο µέρος της εργασίας παρουσιάζεται η συζήτηση των αποτελεσµάτων στα οποία καταλήγει η εργασία µας και καταγράφονται ορισµένα συµπεράσµατα. 2

9 1. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ 1.1 Ορισµός δικτύου Γενικός Ορισµός : Ένα δίκτυο είναι ένα σύστηµα γραµµικών χαρακτηριστικών που συνδέονται σε διασταυρώσεις και κόµβους. Οι κόµβοι µέσα σε ένα δίκτυο συνδέονται µέσω του γραµµικού χαρακτηριστικού που ονοµάζεται ακµή. ηλαδή, κάθε ακµή αντιστοιχεί σε ένα ζεύγος κόµβων (i, j) και συνδέει τον κόµβο i µε τον κόµβο j. Τυπικά, ένα δίκτυο ορίζεται ως ένας κατευθυνόµενο γράφηµα G= (N, E) που αποτελείται από ένα σύνολο κόµβων Ν= n και ένα σύνολο ακµών E= m, όπου n είναι ο αριθµός των ακµών και m ο αριθµός των κόµβων (Halary, F.1969). ίκτυο µέσων µεταφοράς : Σε ένα δίκτυο µέσων µεταφοράς, οι κόµβοι αντιστοιχούν σε στάσεις των γραµµών των µέσων µεταφοράς που απαρτίζουν το δίκτυο. Οι ακµές µεταξύ των κόµβων ενώνουν διαδοχικές στάσεις, δηλαδή είναι τµήµατα της διαδροµής που ακολουθούν µία ή περισσότερες γραµµές που εξυπηρετούν τις στάσεις- κόµβους. Ένα µεταφορικό δίκτυο απεικονίζεται συνήθως µέσα στο πλαίσιο ενός γεωγραφικού πληροφοριακού συστήµατος (GIS), οπότε κάθε κόµβος αντιστοιχεί σε µία τοποθεσία µε γεωγραφικές συντεταγµένες. Τα µεταφορικά δίκτυα παρίστανται συνήθως από βεβαρηµένα γραφήµατα. ηλαδή, δίπλα από κάθε ακµή υπάρχει µία αριθµητική τιµή γνωστή και ως βάρος. Η τιµή αυτή αποτελεί το κόστος για να διασχίσουµε την ακµή και µπορεί να αναφέρεται σε χρόνο, απόσταση µεταξύ των δύο κόµβων, σε άλλες παραµέτρους ή συνηθέστερα σε συνδυασµό των παραπάνω και άλλων παραµέτρων οπότε και αναφέρεται ως «γενικευµένο κόστος» (Halary, F. 1969). 1.2 Βασικά στοιχεία ενός δικτύου Τα βασικά στοιχεία ενός δικτύου που συνήθως συναντάµε στα γεωγραφικά πληροφοριακά συστήµατα (GIS) είναι τα µονοπάτια, οι κύκλοι, οι στάσεις, τα κέντρα και οι στροφές. Μονοπάτι : Μονοπάτι σ ένα γράφηµα και εποµένως σε ένα δίκτυο είναι µία πεπερασµένη ακολουθία από διαδοχικούς κόµβους και διαδοχικές ακµές που εναλλάσσονται και στην οποία κάθε ακµή εµφανίζεται µόνο µία φορά. Σε ένα δίκτυο 3

10 µεταφοράς, ένα µονοπάτι είναι µία ακολουθία διαδοχικών στάσεων (Κωνσταντόπουλος, Π. 2008). Συντοµότερο Μονοπάτι : Συντοµότερο µονοπάτι (shortest path) που είναι και το ζητούµενο της εργασίας είναι το µονοπάτι µε το ελάχιστο κόστος από έναν κόµβοαφετηρία προς έναν κόµβο- προορισµό. Πρακτικά λοιπόν, το να βρούµε ένα συντοµότερο µονοπάτι σηµαίνει να βρούµε την ακολουθία εκείνη τοποθεσιών που µας οδηγεί από την αφετηρία στον προορισµό µε το λιγότερο κόστος (Κωνσταντόπουλος, Π. 2008). Μονοπάτι- Κύκλος : Ένας κύκλος είναι ένα κλειστό µονοπάτι, δηλαδή ένα µονοπάτι στο οποίο η αφετηρία και ο προορισµός συµπίπτουν (Κωνσταντόπουλος Π, 2008). Στάση : Μία στάση είναι µία τοποθεσία που επισκεπτόµαστε σε ένα µονοπάτι ή κύκλο (Κωνσταντόπουλος, Π. 2008). Κέντρο : Ένα κέντρο είναι µία τοποθεσία στην οποία παρέχονται κάποια αγαθά ή υπηρεσίες. Κάτι τέτοιο είναι πιθανό να ενδιαφέρει σ ένα γεωγραφικό σύστηµα πληροφοριών ωστόσο δεν ενδιαφέρει άµεσα το δικό µας µεταφορικό δίκτυο. (Κωνσταντόπουλος, Π. 2008). Στροφή : Στροφή σε ένα δίκτυο είναι η µετάβαση από µία ακµή του δικτύου σε µία άλλη (Κωνσταντόπουλος, Π. 2008). Παράλληλα µας ενδιαφέρουν και άλλες βασικές έννοιες σε ένα δίκτυο οι οποίες είναι οι εξής (Κωνσταντόπουλος, Π. 2008) : Σύνδεσµοι : Οι σύνδεσµοι ενός δικτύου, δηλαδή οι ακµές του, µας ενδιαφέρουν ιδιαιτέρως διότι αυτές καθορίζουν ποιοι κόµβοι είναι προσβάσιµοι, από ποιους κόµβους είναι προσβάσιµοι καθώς και τα δυνατά µονοπάτια που οδηγούν από έναν κόµβο σε κάποιον άλλον. Ενδιαφέρει επίσης και η παράµετρος της κατεύθυνσης ενός συνδέσµου που καθορίζει ποιος κόµβος είναι η κεφαλή και ποιος η ουρά του συνδέσµου αφού σε πολλά δίκτυα οι σύνδεσµοι δεν είναι δικατευθυνόµενοι µε αποτέλεσµα τα δίκτυα αυτά να αναπαρίστανται από γραφήµατα κατευθυνόµενους, δηλαδή γραφήµατα που δηλώνουν την κατεύθυνση των συνδέσµων τους. Συνδεσιµότητα (Connectivity) : Με τον όρο συνδεσιµότητα αναφερόµαστε στο χαρακτηριστικό του δικτύου που µετρά την προσπάθεια, δηλαδή τον ελάχιστο αριθµό συνδέσµων που απαιτούνται για να φθάσουµε από όλους τους κόµβους σε όλους τους υπόλοιπους κόµβους. Προσβασιµότητα (Accessibility) : Η προσβασιµότητα (accessibility) είναι το χαρακτηριστικό του δικτύου που αποτελεί µέτρο της προσπάθειας που απαιτείται 4

11 για να φθάσουµε σε όλους ή σε κάποιους κόµβους από έναν συγκεκριµένο κόµβο. Μονοπάτια- Fundamental circuits : Τα µονοπάτια είναι από τις βασικότερες έννοιες που ενδιαφέρουν σε ένα δίκτυο. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει για κάποια δίκτυα η έννοια των fundamental circuits. Πρόκειται για κλειστά µονοπάτια που δεν περιέχουν άλλα κλειστά µονοπάτια. 1.3 Η δροµολόγηση στο οδικό δίκτυο. Η µελέτη της βιβλιογραφίας οδηγεί σε κάποιες παρατηρήσεις σχετικά µε τη δροµολόγηση στα µεταφορικά δίκτυα. Η φύση της εφαρµογής στα µεταφορικά δίκτυα είναι τέτοια που κάνει απαραίτητη τη χρήση διαδικασιών που να είναι ευέλικτες και επαρκείς, τόσο σε ότι αφορά τον χρόνο υπολογισµού όσο και σε ότι αφορά τις απαιτήσεις σε µνήµη. Επειδή δεν υπάρχει βέλτιστος αλγόριθµος για κάθε είδος προβλήµατος µεταφορών, η έρευνα στοχεύει στον σχεδιασµό και την υλοποίηση διαδικασιών που είναι ικανές να συλλάβουν τις ιδιαιτερότητες των προβληµάτων προς επίλυση. Μία µεγάλη κατηγορία των διαδικασιών αυτών είναι κατάλληλη για εφαρµογή προς τις απαιτήσεις που έχουµε εµείς από την εφαρµογή και συνήθως επιλύει το πρόβληµα υπό κάποιους περιορισµούς και υποθέσεις που γίνονται για να φθάσουµε γρηγορότερα στη λύση. Οι διαδικασίες αυτές ανήκουν στην κατηγορία των πληροφορηµένων αλγορίθµων και συνήθως χρησιµοποιούν κάποιο επαναληπτικό αλγόριθµο, ο οποίος ύστερα από πεπερασµένες επαναλήψεις συγκλίνει στην καλύτερη λύση. Μέσω αυτής αξιολογούν τις επόµενες πιθανές καταστάσεις και επιλέγουν την καλύτερη. Οι κόµβοι σε τέτοια δίκτυα έχουν διαφορετικά επίπεδα σηµασίας γεγονός που µπορούν να αξιοποιήσουν κάποιο επαναληπτικό αλγόριθµο. Υπάρχει εδώ µία αµφίδροµη σχέση αλληλεπίδρασης ανάµεσα στο δίκτυο και τον τρόπο που µοντελοποιείται και τους αλγόριθµους που επιλέγονται για την εφαρµογή και τυχόν επαναληπτικές συναρτήσεις που χρησιµοποιούν (Κωνσταντόπουλος, Π. 2008). 1.4 Γραφική απεικόνιση δικτύου Για να απεικονίσουµε γραφικά ένα δίκτυο κάνουµε συνήθως τα εξής: Σε κάθε κόµβο αντιστοιχίζουµε έναν αριθµό που χρησιµεύει για να τον αναγνωρίζουµε από τους υπόλοιπους και ο οποίος τοποθετείται στο εσωτερικό του κύκλου που απεικονίζει τον κόµβο. 5

12 Κάθε ακµή απεικονίζεται ως ένα ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει δύο κόµβους. Η κατεύθυνση του βέλους δηλώνει τη διάταξη των κόµβων στην ακµή. Επίσης, δίπλα από κάθε ακµή εµφανίζεται ένας αριθµός που είναι το κόστος για να διασχίσουµε τη συγκεκριµένη ακµή (Παναγιωτόπουλος, Α. 1989). Το γράφηµα G= (N, E) που φαίνεται στο παρακάτω σχήµα είναι ένα κατευθυνόµενο δίκτυο και θα τον χρησιµοποιήσουµε για να δείξουµε τους τρόπους µε τους οποίους µπορεί να αναπαρασταθεί ένα δίκτυο : Σχήµα 1.4.α Αναπαράσταση ενός δικτύου 6

13 1.5 Η αρχή της βελτιστοποίησης Πριν αναφερθούµε στον αλγόριθµο δροµολόγησης, µπορούµε να κάνουµε µία γενική παρατήρηση σε ότι αφορά τις βέλτιστες διαδροµές η οποία αναφέρεται ως αρχή της βελτιστοποίησης και ισχύει ανεξάρτητα από την τοπολογία ή την κίνηση του δικτύου (Chris, I., & Gordon, R. 2001). Πρόταση Έστω γράφηµα G= ( N, A). Αν η κορυφή k βρίσκεται πάνω στη βέλτιστη διαδροµή από την κορυφή i προς την κορυφή j, τότε η βέλτιστη διαδροµή από την k προς την j είναι τµήµα της ίδιας διαδροµής. Απόδειξη Πράγµατι, έστω α το τµήµα της βέλτιστης διαδροµής από την i προς την k και b το τµήµα της βέλτιστης διαδροµής από την κορυφή k προς την j. Αν υπήρχε καλύτερη της b διαδροµή από την k προς την j, θα µπορούσε να αντικαταστήσει την b βελτιώνοντας έτσι την διαδροµή από την i προς την j. Αυτό όµως είναι άτοπο, αφού έχουµε υποθέσει ότι η διαδροµή a-b από την i προς την j είναι βέλτιστη. Μία βασική ιδιότητα που απορρέει από την αρχή της βελτιστοποίησης είναι ότι όλες οι βέλτιστες διαδροµές από µία πηγή προς οποιονδήποτε προορισµό σχηµατίζουν δένδρο µε ρίζα την πηγή. Το δένδρο αυτό είναι γνωστό ως δένδρο συντοµότερων µονοπατιών και δεν είναι απαραιτήτως µοναδικό. Σκοπός των περισσότερων αλγορίθµων δροµολόγησης είναι να κατασκευάσουν ένα τέτοιο δένδρο. Τότε, το συντοµότερο µονοπάτι από την αφετηρία προς κάποιον προορισµό είναι γνωστό µέσω του δένδρου και αφού ένα δένδρο δεν περιέχει βρόχους είναι πεπερασµένο. 1.6 Μελέτη στα µεταφορικά δίκτυα Μέχρι εδώ περιγράψαµε για τους τρόπους µε τους οποίους µπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά ένα δίκτυο και είδαµε τις βασικότερες έννοιες καθώς και τα µεγέθη που συνήθως χρησιµοποιούνται ως «µέτρα» ενός δικτύου. Στην παράγραφο αυτή, θα επικεντρώσουµε στα µεταφορικά δίκτυα. Πιο συγκεκριµένα, θα αναφέρουµε συνοπτικά κάποιες παρατηρήσεις για το πρόβληµα της δροµολόγησης σε µεταφορικά δίκτυα. Επίσης, θα επιχειρήσουµε να συνοψίσουµε τις παραµέτρους που εµφανίζονται συχνά όταν µελετάµε τη δροµολόγηση σε ένα µεταφορικό δίκτυο και επίσης θα αναφερθούµε στις βασικότερες κατευθύνσεις προς 7

14 τις οποίες έχει στραφεί η έρευνα στον τοµέα των δικτύων µεταφοράς τα τελευταία χρόνια (Κωνσταντόπουλος, Π. 2008) Το πρόβληµα δροµολόγησης σε µεταφορικά δίκτυα Η φύση της εφαρµογής στα µεταφορικά δίκτυα είναι τέτοια που κάνει απαραίτητη τη χρήση διαδικασιών που να είναι ευέλικτες και επαρκείς σε ότι αφορά τον χρόνο τρεξίµατος των αλγορίθµων που χρησιµοποιούνται για τη δροµολόγηση, αλλά και σε ότι αφορά τις απαιτήσεις σε µνήµη του υπολογιστικού συστήµατος που χρησιµοποιούµε. Είναι κοινά αποδεκτό ότι δεν υπάρχει βέλτιστος αλγόριθµος για τη δροµολόγηση σε κάθε µεταφορικό δίκτυο. Στη γενική περίπτωση, προσπαθούµε να κάνουµε δροµολόγηση χρησιµοποιώντας τους αλγόριθµους που µας παρέχει η θεωρία, βασισµένοι µόνο στον ορισµό του προβλήµατος και χωρίς εξωτερικές παρεµβάσεις και παραδοχές. Ωστόσο, πολλές φορές το µέγεθος του δικτύου αλλά και οι ιδιαιτερότητες των δικτύων είναι τέτοιες που η αποκλειστική και πιστή εφαρµογή των αλγορίθµων ουσιαστικά να καθιστούν το πρόβληµα ανεπίλυτο. Πολλές φορές για πρακτικούς λόγους θέλουµε να καθοδηγήσουµε την αναζήτηση για να φθάσουµε γρηγορότερα στη λύση του προβλήµατος. Για τους παραπάνω λόγους, η έρευνα στον τοµέα των µεταφορικών δικτύων στοχεύει στον σχεδιασµό και την υλοποίηση ad- hoc διαδικασιών, δηλαδή διαδικασιών που είναι ικανές να συλλάβουν τις ιδιαιτερότητας του προβλήµατος όπως αυτές διαµορφώνονται στο δίκτυο που επιχειρούµε να κάνουµε δροµολόγηση. Το ζητούµενο είναι οι διαδικασίες αυτές να συµµορφώνονται µε τις απαιτήσεις που έχουµε εµείς από την εφαρµογή και να επιλύουν το πρόβληµα υπό κάποιους περιορισµούς και υποθέσεις που κάνουµε για να φθάσουµε γρηγορότερα στη λύση. Οι διαδικασίες αυτές ανήκουν στην κατηγορία των πληροφορηµένων αλγορίθµων αναζήτησης και συνήθως χρησιµοποιούν «ευριστικές» τεχνικές (Κωνσταντόπουλος, Π. 2008) Ευριστικές τεχνικές Με τον όρο «ευριστικές» τεχνικές εννοούµε ακριβώς τις τεχνικές εκείνες που χρησιµοποιούµε για να καθοδηγήσουµε «έξυπνα» την αναζήτηση προς την κατεύθυνση εκείνη που θεωρούµε ότι θα οδηγήσει γρηγορότερα σε λύση. Οι τεχνικές 8

15 αυτές είτε ταξινοµούν την σειρά µε την οποία εξετάζονται οι πιθανές λύσεις µε κάποιο κριτήριο- χωρίς να µειώνουν την ικανότητα του αλγορίθµου να βρει λύσηείτε περιορίζουν τον χώρο αναζήτησης αναζητώντας τη λύση µέσα στον νέο, πολύ µικρότερο χώρο. Ο τρόπος µε τον οποίο γίνεται αυτή η καθοδήγηση είναι µέσω κάποιας συνάρτησης που αναφέρεται ως «ευριστική» και εκτιµά την «αξία» της κάθε πιθανής κατάστασης. Μετά από αυτήν την αξιολόγηση των επόµενων πιθανών καταστάσεων επιλέγεται η καλύτερη (Κωνσταντόπουλος, Π. 2008) Μοντελοποίηση δικτύου Ιδιαίτερα σηµαντικός είναι ο τρόπος µε τον οποίο γίνεται η µοντελοποίηση του δικτύου. Με τον όρο αυτό εννοούµε τον τρόπο µε τον οποίο οργανώνουµε τους κόµβους στο δίκτυο, τα χαρακτηριστικά τους που επιλέγουµε να αναπαραστήσουµε αλλά και τις κατηγορίες στις οποίες διακρίνονται αυτοί οι κόµβοι µε βάση κάποια κριτήρια. Σ αυτό το τελευταίο θα σταθούµε σ αυτήν την παράγραφο. Ο στόχος είναι να υπάρχει µία «καλή» σχέση ανάµεσα στη µοντελοποίηση και στα heuristics, δηλαδή τις «ευριστικές» τεχνικές που χρησιµοποιούν οι αλγόριθµοι που θα «τρέξουν» στο δίκτυο. Οι κόµβοι στα µεταφορικά δίκτυα έχουν συνήθως διαφορετικά επίπεδα σηµασίας. ηλαδή, υπάρχουν κόµβοι που είναι πιο κεντρικοί, που ενώνουν γραµµές ή αποτελούν σηµεία ιδιαίτερου ενδιαφέροντος για λόγους που ποικίλλουν ανάλογα µε το µεταφορικό δίκτυο και για τον λόγο αυτό είναι περισσότερο «σηµαντικοί» από τους υπόλοιπους κόµβους στο δίκτυο. Με λίγα λόγια, οι κόµβοι στα µεταφορικά δίκτυα µπορούν να διακριθούν σε διαφορετικά επίπεδα ανάλογα µε τη σηµασία τους και στόχος µας είναι οι «ευριστικοί» αλγόριθµοι που θα χρησιµοποιήσουν να αξιοποιήσουν αυτό το γεγονός. Εδώ λοιπόν, εντοπίζεται µία σχέση αλληλεπίδρασης ανάµεσα στο δίκτυο και τον τρόπο που µοντελοποιείται και τους αλγόριθµους που επιλέγονται προς εφαρµογή και τις «ευριστικές» τεχνικές που αυτοί χρησιµοποιούν. ηλαδή, ο τρόπος που επιλέγουµε να µοντελοποιήσουµε το δίκτυο ( λ.χ. τα ιεραρχικά επίπεδα στα οποία το οργανώνουµε ) µπορούν να καθοδηγήσουν την επιλογή των heuristics που θα εφαρµόσουµε στους αλγορίθµους και αντίστροφα, αν έχουµε κατά νου ποια heuristics θέλουµε να χρησιµοποιήσουµε στην εφαρµογή, 9

16 µπορούµε να µοντελοποιήσουµε το δίκτυο έτσι ώστε να επωφελείται από την εφαρµογή τους στο µέγιστο (Κωνσταντόπουλος, Π. 2008) Συνήθεις εφαρµογές- διαδικασίες που συναντάµε σε δίκτυα Στις παραγράφους που ακολουθούν περιγράφουµε µερικές από τις πιο συνηθισµένες εφαρµογές που συναντάµε σε µεταφορικά δίκτυα. Οι περισσότερες από αυτές αφορούν σε οδικά δίκτυα. Αυτό γιατί πρόκειται για δίκτυα στα οποία εκτελείται δροµολόγηση και τα οποία περιέχουν γεωγραφική πληροφορία που η δροµολόγηση λαµβάνει υπ όψιν της. Ας δούµε ποιες είναι αυτές οι διαδικασίες (Bang, J., & Gustin, G. 2008) : ιαδικασία Geocoding Η διαδικασία αυτή δηµιουργεί µία σχέση ανάµεσα σε χωρικά (locational) δεδοµένα σε µία βάση δεδοµένων και σε δεδοµένα διευθύνσεων δρόµου τα οποία συνήθως εµφανίζονται υπό τη µορφή πίνακα. Σε πολλές εφαρµογές, υπάρχουν δεδοµένα διευθύνσεων που διατίθενται µόνο υπό την µορφή πίνακα. Το geocoding λοιπόν παρέχει έναν πολύ βολικό µηχανισµό για την εγκαθίδρυση µίας σχέσης βάσης δεδοµένων µεταξύ γεωγραφικών τοποθεσιών και διευθύνσεων. Υπάρχουν πολλά παραδείγµατα geocoding. Για παράδειγµα, οι διευθύνσεις πελατών µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να δηµιουργηθούν χάρτες που οµαδοποιούν τους πελάτες ανάλογα µε την αγοραστική τους συµπεριφορά. Ή στον τοµέα της εγκληµατολογίας µετά από διαδικασίες ανάλυσης, οι διευθύνσεις στις οποίες γίνονται εγκλήµατα µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να δηµιουργήσουν χάρτες µε «επικίνδυνα» σηµεία ιαδικασία location- allocation Η διαδικασία αυτή είναι µία διαδικασία καθορισµού των βέλτιστων τοποθεσιών για έναν αριθµό από facilities που βασίζεται σε κάποια κριτήρια και ταυτόχρονα πραγµατοποιεί ανάθεση του πληθυσµού σ αυτές τις facilities. Η ανάλυση location- allocation συνήθως χρησιµοποιείται τόσο στον δηµόσιο όσο και στον ιδιωτικό τοµέα. Ο καθορισµός τοποθεσιών για καταστήµατα, εστιατόρια, τράπεζες, εργοστάσια και αποθήκες ανήκει στον ιδιωτικό τοµέα. Αντίστοιχα στον δηµόσιο τοµέα, η επιλογή τοποθεσιών για βιβλιοθήκες, νοσοκοµεία, 10

17 ταχυδροµεία και σχολεία µπορεί να υποστηριχθεί από τα αποτελέσµατα ανάλυσης που προκύπτουν από location- allocation µοντέλα Business logistics Για πολλές επαγγελµατικές εφαρµογές, η βελτιστοποίηση της δροµολόγησης οχηµάτων και δηµιουργίας προγραµµάτων προς παράδοση, είναι ζωτικής σηµασίας. Τα business logistics ασχολούνται µε τη βελτιστοποίηση αυτού του είδους. Για το λόγο αυτό, τα γεωγραφικά πληροφοριακά συστήµατα ( GIS ) συνιστούν ιδανικό περιβάλλον για αναλύσεις που σχετίζονται µε τα business logistics Χωρική αλληλεπίδραση και µοντελοποίηση βαρύτητας (Spatial interaction and gravity modeling ) Η αλληλεπίδραση µεταξύ διαφορετικών τοποθεσιών στον γεωγραφικό χώρο και η µαθηµατική µοντελοποίηση αυτής της αλληλεπίδρασης είναι σηµαντικές για τοµείς εφαρµογών όπως είναι η ανάλυση των µεταφορών. Τα µοντέλα βαρύτητας είναι µοντέλα που χρησιµοποιούνται συχνά για να υποστηρίξουν αυτές τις αναλύσεις. Η µοντελοποίηση βαρύτητας µπορεί να υποστηριχθεί µέσω ανάλυσης δικτύου σε GIS περιβάλλον υναµική τµηµατοποίηση Η δυναµική τµηµατοποίηση είναι ένα συγκεκριµένο µοντέλο δικτύου που χρησιµοποιείται για να αναπαραστήσει, να αναλύσει, να αναζητήσει και να παρουσιάσει γραµµικά χαρακτηριστικά. Η βασική διαφορά ανάµεσα στη δυναµική τµηµατοποίηση και την αναπαράσταση δικτύου όπως κλασικά τη γνωρίζουµε είναι ότι η δυναµική τµηµατοποίηση έχει την ευελιξία να συνδέσει ένα χαρακτηριστικό µε ένα τµήµα ακµής ή περισσότερων ακµών (λ.χ. µέσω του καθορισµού ενός δροµολογίου ). Η δυναµική τµηµατοποίηση χρησιµοποιείται συχνά για την µοντελοποίηση γραµµικών χαρακτηριστικών όπως είναι οι λεωφόροι, οι ενεργειακές γραµµές, οι δρόµοι πόλεων και οι τηλεφωνικές γραµµές. 11

18 1.6.5 Ενδιαφέρουσες κατηγορίες προβληµάτων δροµολόγησης σε µεταφορικά δίκτυα Στην παράγραφο αυτή, θα αναφερθούµε στις πιο σηµαντικές κατηγορίες προβληµάτων δροµολόγησης που µπορεί να συναντήσει κανείς στα µεταφορικά δίκτυα. Οι κατηγορίες αυτές υποδεικνύουν την κατεύθυνση προς την οποία έχει στραφεί η έρευνα τα τελευταία χρόνια στον τοµέα των µεταφορών : Προβλήµατα συντοµότερων µονοπατιών πολλών κριτηρίων (multicriteria shortest- paths problems ) Στα περισσότερα προβλήµατα δροµολόγησης στον τοµέα των µεταφορικών δικτύων, οι σύνδεσµοι διακρίνονται από δύο ή και περισσότερα χαρακτηριστικά όπως µήκος, κόστος, χρόνος κ.λ.π. Σε κάποια από τα προβλήµατα αυτά είναι δυνατόν και θέλουµε να ενοποιήσουµε τα χαρακτηριστικά αυτά σε ένα και µοναδικό χαρακτηριστικό το οποίο αναφέρεται ως «γενικευµένο κόστος» και προκύπτει από συνδυασµό των παραπάνω επιµέρους χαρακτηριστικών. Στην περίπτωση αυτή αναζητούµε µονοπάτια µε ελάχιστο «γενικευµένο κόστος». Ωστόσο, σε κάποιες περιπτώσεις, ο συγκερασµός των χαρακτηριστικών είτε δεν είναι εφικτός είτε δεν εξυπηρετεί οπότε και πρέπει να αντιµετωπίσουµε τα χαρακτηριστικά ως διακεκριµένα για να βρούµε βέλτιστες λύσεις. Ας φανταστούµε για παράδειγµα ότι βρισκόµαστε σε ένα δίκτυο µε πολλαπλά µέσα µαζικής µεταφοράς στο οποίο σύνολα ακµών που αντιπροσωπεύουν υπο- µονοπάτια του προς εύρεση µονοπατιού από την αφετηρία προς τον προορισµό συνοδεύονται από τα εξής µεγέθη : χρονικό κόστος και οικονοµικό κόστος. Σε ένα τέτοιο δίκτυο µπορεί να αναζητούµε το µονοπάτι µε το µικρότερο χρονικό κόστος, δηλαδή το συντοµότερο «χρονικά» µονοπάτι του οποίου επιπλέον το οικονοµικό κόστος να µην ξεπερνά κάποιο καθορισµένο ποσό. Στο πρόβληµα αυτό είναι φανερό ότι δεν επιτρέπεται ο συγκερασµός των χαρακτηριστικών διότι ενώ θέλουµε µονοπάτι µε το ελάχιστο χρονικό κόστος δεν µας ενδιαφέρει το οικονοµικό κόστος να είναι ελάχιστο παρά µόνο µικρότερο από κάποια ορισµένη τιµή. Είναι φανερό ότι το χρονικό και το οικονοµικό κόστος εδώ πρέπει να αντιµετωπιστούν ως δύο ξεχωριστά χαρακτηριστικά. 12

19 Τα προβλήµατα αυτού του είδους είναι γνωστά ως multicriteria shortest-paths προβλήµατα. Το απλούστερο από αυτά είναι το πρόβληµα των δύο κριτηρίων που διατυπώνεται ως εξής (Chris, I., & Gordon, R. 2001): οθέντος ενός γραφήµατος G= (Ν, Α) υποθέτουµε ότι δύο µέτρα cij και wij συνδέονται µε κάθε ακµή ( i, j ) ε Α, τα οποία ονοµάζονται κόστος και βάρος της ακµής ( i, j ) αντίστοιχα. Έστω P το σύνολο ακµών σ' ένα µονοπάτι από µία δεδοµένη αφετηρία προς έναν δεδοµένο προορισµό και έστω C(P) και W(P), δηλαδή το κόστος και το βάρος του P δύο συναρτήσεις του κόστους και του βάρους, αντιστοίχως, των ακµών του P : C(P)= f({c ij : (i,j) ε P }), W(P)= g({w ij : (i,j) ε P}). Έστω Π η οικογένεια όλων των εφικτών υποσυνόλων των ακµών, δηλαδή οι ακµές στα µονοπάτια από τη δεδοµένη αφετηρία προς τον δεδοµένο προορισµό. Το P ε Π είναι ένα dominated path αν υπάρχει µονοπάτι P' ε Π τέτοιο ώστε C(P)>= C(P'), W(P)>= W(P') και τουλάχιστον µία αυστηρή ανισότητα ισχύει. ιαφορετικά, το P λέγεται ότι είναι non dominated ή efficient. To πρόβληµα των δύο κριτηρίων είναι να βρεθεί η υπο-οικογένεια που αποτελείται από όλα τα efficient µονοπάτια από την δεδοµένη αφετηρία προς τον δεδοµένο προορισµό. 1.7 υναµικά προβλήµατα ελάχιστης διαδροµής Ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά που ενδιαφέρουν σχεδόν πάντα σε προβλήµατα δροµολόγησης σε µεταφορικά δίκτυα είναι ο χρόνος. Η κατηγορία προβληµάτων που λαµβάνουν υπ όψιν τους τον χρόνο είναι γνωστή ως κατηγορία των dynamic shortest- path προβληµάτων. Στα προβλήµατα αυτά, το κυριότερο µέγεθος είναι ο χρόνος µεταφοράς ή καθυστέρηση d ij (t) το οποίο συνδέεται µε την ακµή ( i, j ) µε τον εξής τρόπο : Αν t είναι ο χρόνος αναχώρησης από την κορυφή i, τότε t + d ij (t) είναι ο χρόνος άφιξης στην κορυφή j. Η καθυστέρηση λαµβάνεται υπ' όψιν ανεξάρτητα από τυχόν άλλα µέτρα που επιβαρύνουν την ακµή, π.χ. το κόστος c ij και το βάρος w ij για το πρόβληµα των δύο κριτηρίων. Ωστόσο, ο χρόνος µπορεί να υπεισέρχεται στα προβλήµατα αυτού του είδους και µε διαφορετικούς τρόπους : µπορεί να υπάρχει η δυνατότητα αναµονής στις κορυφές. Στην περίπτωση αυτή, θεωρούµε το κόστος αναµονής w i (t), που αντιπροσωπεύει το κόστος αναµονής στην κορυφή i, τη χρονική στιγµή t. 13

20 Έχουν ορισθεί και αναλυθεί διάφορα µοντέλα για τα dynamic shortest path προβλήµατα που ποικίλλουν ανάλογα µε τις ιδιότητες των συναρτήσεων καθυστέρησης, τη δυνατότητα αναµονής στις κορυφές και την επιλογή του χρόνου αναχώρησης από την κορυφή- αφετηρία. Έτσι, οι συναρτήσεις καθυστέρησης µπορούν να είναι διακριτές ή συνεχείς. Η αναµονή µπορεί να µην επιτρέπεται ή µπορεί να επιτρέπεται : σε οποιαδήποτε κορυφή ή µόνο στην κορυφή- αφετηρία. Τέλος, υπάρχουν µοντέλα που απευθύνονται σε dynamic shortest path προβλήµατα για καθορισµένο χρόνο αναχώρησης και µοντέλα για προβλήµατα που εξετάζουν όλους τους δυνατούς χρόνους αναχώρησης. Η µέθοδος αυτή βασίζεται στην παραδοχή ότι το πρωτύτερο αγορασµένο εµπόρευµα, πουλιέται πρώτο. Έτσι η ποσότητα και η αξία των αποθεµάτων προέρχεται από τις τελευταίες αγορές, ενώ η ποσότητα και η αξία των πωληθέντων εµπορευµάτων προέρχεται από τα αρχικά αποθέµατα και τις πρώτες αγορές µέχρι να συµπληρωθεί η ποσότητα των προϊόντων (Bang, J., & Gustin, G. 2008). 1.8 Ιδιαιτερότητες των µεταφορικών δικτύων. Η FIFO συµπεριφορά στα µεταφορικά δίκτυα Καθοριστικός παράγοντας για την πολιτική επιλογής της διανοµής των φαρµάκων σε ένα µεταφορικό οδικό δίκτυο είναι το αν οι ακµές τους εµφανίζουν FIFO συµπεριφορά. Ας δούµε όµως τι είναι η FIFO first-in first out συµπεριφορά : Λέµε ότι η ακµή (i, j) ενός δικτύου εµφανίζει FIFO συµπεριφορά όταν το να φύγει κανείς από την κορυφή i κάποια χρονική στιγµή th εγγυάται ότι θα φθάσει νωρίτερα στην κορυφή j κινούµενος κατά µήκος της ακµής (i, j) από κάποιον που θα φύγει από την κορυφή i τη χρονική στιγµή t k που έπεται της t h. Μαθηµατικά διατυπωµένο το παραπάνω έχει ως εξής : t h + d ij (t h ) <= t k + d ij (t k ), για κάθε t h < t k Η µέθοδος αυτή βασίζεται στην παραδοχή ότι το πρωτύτερο αγορασµένο εµπόρευµα, πουλιέται πρώτο, στην προκειµένη περίπτωση αυτό το δέµα φαρµάκων οπού εισέρχεται πρώτο παραδίδετε και πρώτο. Έτσι η ποσότητα και η αξία των αποθεµάτων προέρχεται από τις τελευταίες αγορές, ενώ η ποσότητα και η αξία των πωληθέντων εµπορευµάτων προέρχεται από τα αρχικά αποθέµατα και τις πρώτες αγορές µέχρι να συµπληρωθεί η ποσότητα των προϊόντων (Bang, J., & Gustin, G. 2008). 14

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών 1 Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ της Κωτσογιάννη Μαριάννας Περίληψη 1. Αντικείµενο- Σκοπός Αντικείµενο της διπλωµατικής αυτής εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Η έννοια πρόβληµα Ανάλυση προβλήµατος Με τον όρο πρόβληµα εννοούµε µια κατάσταση η οποία χρήζει αντιµετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή ούτε προφανής. Μερικά προβλήµατα είναι τα εξής:

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem

Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Έλενα Ρόκου Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια ΕΜΠ Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Πέµπτη, 19/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι έχουµε δει µέχρι τώρα Κατευθυνόµενοι µη κατευθυνόµενοι

Διαβάστε περισσότερα

7.9 ροµολόγηση. Ερωτήσεις

7.9 ροµολόγηση. Ερωτήσεις 7.9 ροµολόγηση Ερωτήσεις 1. Να δώσετε τον ορισµό της δροµολόγησης; 2. Από τι εξαρτάται η χρονική στιγµή στην οποία λαµβάνονται οι αποφάσεις δροµολόγησης; Να αναφέρετε ποια είναι αυτή στην περίπτωση των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Θεσσαλονίκη 2012 2 Περιεχόµενα 1 υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1 1. Τα δεδομένα μπορούν να παρέχουν πληροφορίες όταν υποβάλλονται σε 2. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών μιας επιχείρησης είναι πρόβλημα 3. Για την επίλυση ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

4. ΔΙΚΤΥΑ

4. ΔΙΚΤΥΑ . ΔΙΚΤΥΑ Τελευταία μορφή επιχειρησιακής έρευνας αποτελεί η δικτυωτή ανάλυση (δίκτυα). Τα δίκτυα είναι ένα διάγραμμα από ς οι οποίοι συνδέονται όλοι μεταξύ τους άμεσα ή έμμεσα μέσω ακμών. Πρόκειται δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών Γραφήµατα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Εισαγωγή στις έννοιες Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα, Οργάνωση Δεδοµένων και Δοµές Δεδοµένων Χρήσιµοι µαθηµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM. Μάθηµα : Αλγοριθµικές Βάσεις στη Γεωπληροφορική ιδάσκων : Συµεών Κατσουγιαννόπουλος Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.. Μέθοδοι παρεµβολής. Η παρεµβολή σε ψηφιακό µοντέλο εδάφους (DTM) είναι η διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

7.6 ιευθυνσιοδότηση. Ερωτήσεις

7.6 ιευθυνσιοδότηση. Ερωτήσεις 7.6 ιευθυνσιοδότηση Ερωτήσεις 1. Να εξηγήσετε τους όρους διεύθυνση, όνοµα και διαδροµή στην τεχνολογία TCP/IP και να εξηγήσετε πώς σχετίζονται αυτοί µεταξύ τους. 2. Τι είναι η φυσική διεύθυνση ή διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 26 Ιουνίου 201 1 / Απληστοι (Greedy) Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος εδοµένα οµές δεδοµένων και αλγόριθµοι Τα δεδοµένα είναι ακατέργαστα γεγονότα. Η συλλογή των ακατέργαστων δεδοµένων και ο συσχετισµός τους δίνει ως αποτέλεσµα την πληροφορία. Η µέτρηση, η κωδικοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Η αρχική τους εφαρµογή, όπως δηλώνει και η ονοµασία τους, αφορούσε τον καθορισµό του βέλτιστου τρόπου µεταφοράς αγαθών από διαφορετικά σηµεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης (π.χ.,

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ Ενότητα 8: Μοντέλα χωροθέτησης και ανάθεσης δυναμικότητας - Μέρος ΙΙ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative

Διαβάστε περισσότερα

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Επώνυµη ονοµασία. Ενότητα 13 η Σχεδίαση,Επιλογή, ιανοµή Προϊόντων 1

Επώνυµη ονοµασία. Ενότητα 13 η Σχεδίαση,Επιλογή, ιανοµή Προϊόντων 1 Επώνυµη ονοµασία Η επώνυµη ονοµασία είναι αυτή η ονοµασία που ξεχωρίζει τα προϊόντα και τις υπηρεσίες µας από αυτές των ανταγωνιστών. Οι σχετικές αποφάσεις θα επηρεαστούν από τις εξής ερωτήσεις: 1. Χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους

Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους Περίληψη Επίλυση προβληµάτων χρησιµοποιώντας Greedy Αλγόριθµους Ελάχιστα Δέντρα Επικάλυψης Αλγόριθµος του Prim Αλγόριθµος του Kruskal Πρόβληµα Ελάχιστης Απόστασης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Ερωτήσεις Σωστό Λάθος 1. Οι διαστάσεις ενός πίνακα δεν µπορούν να µεταβάλλονται κατά την εκτέλση ενός αλγόριθµου. 2. Ο πίνακας είναι στατική δοµή δεδοµένων. 3. Ένας πίνακας δυο στηλών µπορεί να περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 Συστήµατα αναµονής Οι ουρές αναµονής αποτελούν καθηµερινό και συνηθισµένο φαινόµενο και εµφανίζονται σε συστήµατα εξυπηρέτησης, στα οποία η ζήτηση για κάποια υπηρεσία δεν µπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Πολυκριτηριακός Γραμμικός Προγραμματισμός. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

Πολυκριτηριακός Γραμμικός Προγραμματισμός. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης Πολυκριτηριακός Γραμμικός Προγραμματισμός Πολλαπλά κριτήρια στη λήψη απόφασης Λήψη Αποφάσεων με Πολλαπλά Κριτήρια Διακριτό σύνολο επιλογών Συνεχές σύνολο επιλογών Πολυκριτηριακή Ανάλυση (ELECTRE, Promethee,

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3)

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 1 / 23 Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Απαρίθµηση Μονοπατιών. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Ορέστης Τελέλης

Απαρίθµηση Μονοπατιών. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Ορέστης Τελέλης Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω γράφηµα G(V, E) µε πίνακα γειτνίασης A Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ως προς µια διάταξη των

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 Θέματα μελέτης Πρόβλημα αναζήτησης σε γραφήματα Αναζήτηση κατά βάθος (Depth-first search DFS) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-first search BFS) 2 Γράφημα (graph) Αναπαράσταση συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι:

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι: ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Μια δομή δεδομένων στην πληροφορική, συχνά αναπαριστά οντότητες του φυσικού κόσμου στον υπολογιστή. Για την αναπαράσταση αυτή, δημιουργούμε πρώτα ένα αφηρημένο μοντέλο στο οποίο προσδιορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας

ιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Εφοδιαστική Αλυσίδα (ΕΡΓ.)

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,

Διαβάστε περισσότερα

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού

Διαβάστε περισσότερα

Τη φυσική (MAC) διεύθυνση που δίνει ο κατασκευαστής του δικτυακού υλικού στις συσκευές του (π.χ. στις κάρτες δικτύου). Η περιοχή διευθύνσεων που

Τη φυσική (MAC) διεύθυνση που δίνει ο κατασκευαστής του δικτυακού υλικού στις συσκευές του (π.χ. στις κάρτες δικτύου). Η περιοχή διευθύνσεων που 7.7 Πρωτόκολλο ARP 1 ύο είδη διευθύνσεων: MAC - IP Τη φυσική (MAC) διεύθυνση που δίνει ο κατασκευαστής του δικτυακού υλικού στις συσκευές του (π.χ. στις κάρτες δικτύου). Η περιοχή διευθύνσεων που µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι. Παράδειγµα. ιαίρει και Βασίλευε. Παράδειγµα MergeSort. Τεχνικές Σχεδιασµού Αλγορίθµων

Αλγόριθµοι. Παράδειγµα. ιαίρει και Βασίλευε. Παράδειγµα MergeSort. Τεχνικές Σχεδιασµού Αλγορίθµων Τεχνικές Σχεδιασµού Αλγορίθµων Αλγόριθµοι Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Ορισµένες γενικές αρχές για τον σχεδιασµό αλγορίθµων είναι: ιαίρει και Βασίλευε (Divide and Conquer) υναµικός Προγραµµατισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το το σύνολο N * = {,, 3, 4.} και σύνολο αφίξεως το R Η ακολουθία συµβολίζεται (α ν ) ή (β ν ) κ.λ.π.

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Χωροταξικός Σχεδιασμός Κριτήρια αξιολόγησης Χωροταξικού Σχεδιασμού Δραστηριότητες Χωροταξικού Σχεδιασμού...

5.1. Χωροταξικός Σχεδιασμός Κριτήρια αξιολόγησης Χωροταξικού Σχεδιασμού Δραστηριότητες Χωροταξικού Σχεδιασμού... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΧΩΡΟΤΑΞΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Περιεχόμενα 5.1. Χωροταξικός Σχεδιασμός... 2 5.2. Κριτήρια αξιολόγησης Χωροταξικού Σχεδιασμού... 4 5.3. Δραστηριότητες Χωροταξικού Σχεδιασμού... 5 5.4. Τύποι Χωροταξίας...

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΓΕΝΙΚΑ Η συλλογή των στατιστικών δεδοµένων αποτελεί σηµαντικό στάδιο κάθε Στατιστικής έρευνας. Απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή, διότι,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS

ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS Χρήστος Δ. Ταραντίλης Αν. Καθηγητής ΟΠΑ ACO ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Η ΛΟΓΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ ΛΥΣΕΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΙΑΤΑΞΗΣ (1/3) Ε..Ε. ΙΙ Oι ACO

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Παραγωγής και Συστημάτων Υπηρεσιών

Διοίκηση Παραγωγής και Συστημάτων Υπηρεσιών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Διοίκηση Παραγωγής και Συστημάτων Υπηρεσιών Αθήνα, Οκτώβριος 2008 Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης 1. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access

Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access Μάθηµα 1 Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access Τι είναι οι βάσεις δεδοµένων Μία βάση δεδοµένων (Β..) είναι µία οργανωµένη συλλογή πληροφοριών, οι οποίες είναι αποθηκευµένες σε κάποιο αποθηκευτικό

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΑ ΑΠΟ ΟΣΗΣ & ΕΞΙΣΟΡΡΟΠΗΣΗ ΦΟΡΤΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΨΗΛΩΝ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΒΑΘΜΟΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΣΜΟΥ Η υλοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ INTERNET

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ INTERNET ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ INTERNET Κεφάλαιο 4: Τεχνικές Μετάδοσης ΜΕΤΑΓΩΓΗ Τεχνική µεταγωγής ονομάζεται ο τρόπος µε τον οποίο αποκαθίσταται η επικοινωνία ανάµεσα σε δύο κόµβους με σκοπό την

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ÌïëëÜ Ì. Á μýô Á.Ì. : 5 moll@moll.r ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ (ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ) Ε ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ: Χαϊδόγιαννος Χαράλαμπος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 1 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ 2 ο : ΣΤΟΙΒΑ & ΟΥΡΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: http://eclass.sch.gr/courses/el594100/ ΣΤΟΙΒΑ 2 Μια στοίβα

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

6η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων

6η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 6 η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων Αλγόριθμος αναζήτησης σε Βαθος Αλγόριθμος αναζήτησης κατά Πλάτος Αλγόριθμοι για Δένδρα Εύρεση ελαχίστων Γεννητορικών (Επικαλύπτοντα) Δένδρων Διάσχιση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΠΡΟΙΌΝΤΩΝ ΞΥΛΟΥ ΚΑΙ ΕΠΙΠΛΟΥ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΠΡΟΙΌΝΤΩΝ ΞΥΛΟΥ ΚΑΙ ΕΠΙΠΛΟΥ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΥ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΠΡΟΙΌΝΤΩΝ ΞΥΛΟΥ ΚΑΙ ΕΠΙΠΛΟΥ Έρευνα μάρκετινγκ Τιμολόγηση Ανάπτυξη νέων προϊόντων ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Τμηματοποίηση της αγοράς Κανάλια

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Εκτίµησης Καθυστέρησης και

Αλγόριθµοι Εκτίµησης Καθυστέρησης και Αλγόριθµοι Εκτίµησης Καθυστέρησης και Βελτιστοποίησης Εισαγωγή Το κύριο πρόβληµα στην σχεδίαση κυκλωµάτων είναι η επίτευξη της µέγιστης απόδοσης για την δεδοµένη τεχνολογία. Μεγιστοποίηση απόδοσης: (α)

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήστε ένα puzzle (παιχνίδι σπαζοκεφαλιάς) με την ακόλουθη αρχική διαμόρφωση : b b b w w w e

Θεωρήστε ένα puzzle (παιχνίδι σπαζοκεφαλιάς) με την ακόλουθη αρχική διαμόρφωση : b b b w w w e Άσκηση 1 Θεωρήστε ένα puzzle (παιχνίδι σπαζοκεφαλιάς) με την ακόλουθη αρχική διαμόρφωση : b b b w w w e Υπάρχουν τρία μαύρα τετραγωνάκια (b), τρία άσπρα (w) και ένα κενό (e). Η σπαζοκεφαλιά έχει τις ακόλουθες

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 4 ΑΣΚΗΣΗ 5

ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 4 ΑΣΚΗΣΗ 5 ΑΣΚΗΣΗ Μία εταιρεία διανομών διατηρεί την αποθήκη της στον κόμβο και μεταφέρει προϊόντα σε πελάτες που βρίσκονται στις πόλεις,,,7. Το οδικό δίκτυο που χρησιμοποιεί για τις μεταφορές αυτές φαίνεται στο

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. ίνεται το γνωστό πρόβληµα των δύο δοχείων: «Υπάρχουν δύο δοχεία

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων...

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων... Περιεχόμενα Ανάλυση προβλήματος 1. Η έννοια πρόβλημα...13 2. Επίλυση προβλημάτων...17 Δομή ακολουθίας 3. Βασικές έννοιες αλγορίθμων...27 4. Εισαγωγή στην ψευδογλώσσα...31 5. Οι πρώτοι μου αλγόριθμοι...54

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξοικείωση µε τις σηµαντικότερες έννοιες και τους αλγορίθµους της Θεωρίας ένδρων.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Κρήτης, Παράρτηµα Χανίων

ΤΕΙ Κρήτης, Παράρτηµα Χανίων ΠΣΕ, Τµήµα Τηλεπικοινωνιών & ικτύων Η/Υ Εργαστήριο ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ ( ηµιουργία συστήµατος µε ροint-tο-ροint σύνδεση) ρ Θεοδώρου Παύλος Χανιά 2003 Περιεχόµενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...2 2 ΤΟ ΚΑΝΑΛΙ PΟINT-TΟ-PΟINT...2

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 12 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α Μία εταιρεία παροχής ολοκληρωμένων ευρυζωνικών υπηρεσιών μελετά την

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1 Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης 4.1. (α) Αποδείξτε ότι αν η h είναι συνεπής, τότε h(n

Διαβάστε περισσότερα

Οι δυναμικές δομές δεδομένων στην ΑΕΠΠ

Οι δυναμικές δομές δεδομένων στην ΑΕΠΠ Καθηγητής Πληροφορικής Απαγορεύεται η αναπαραγωγή των σημειώσεων χωρίς αναφορά στην πηγή Οι σημειώσεις, αν και βασίζονται στο διδακτικό πακέτο, αποτελούν προσωπική θεώρηση της σχετικής ύλης και όχι επίσημο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Τι ορίζεται ως απόθεμα;

Διαβάστε περισσότερα

7.3 Πρωτόκολλο TCP. 1. Το TCP πρωτόκολλο παρέχει υπηρεσίες προσανατολισµένες σε σύνδεση. Σ Λ

7.3 Πρωτόκολλο TCP. 1. Το TCP πρωτόκολλο παρέχει υπηρεσίες προσανατολισµένες σε σύνδεση. Σ Λ Ερωτήσεις 7.3 Πρωτόκολλο TCP 1. Τι είναι το τµήµα (segment) στο πρωτόκολλο TCP; Από ποια µέρη αποτελείται; 2. Για ποιο σκοπό χρησιµοποιείται ο Αριθµός ειράς στην επικεφαλίδα ενός segment TCP; 3. την περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ 2.1 Εισαγωγή Η μέθοδος που θα χρησιμοποιηθεί για να προσομοιωθεί ένα σύστημα έχει άμεση σχέση με το μοντέλο που δημιουργήθηκε για το σύστημα. Αυτό ισχύει και

Διαβάστε περισσότερα

ιαµέριση - Partitioning

ιαµέριση - Partitioning ιαµέριση - Partitioning ιαµέριση ιαµέριση είναι η διαµοίραση αντικειµένων σε οµάδες µε στόχο την βελτιστοποίηση κάποιας συνάρτησης. Στην σύνθεση η διαµέριση χρησιµοποιείται ως εξής: Οµαδοποίηση µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα