Φυλλο 11, 27 Απριλιου 2012

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Φυλλο 11, 27 Απριλιου 2012"

Transcript

1 ÐÐ Å Ñ Ø È Φυλλο 11, 27 Απριλιου 2012 ÔÖÓ Ø Ñ Ô Ø Ò Ð Á ØÓÖ Ñ Ñ Ø Ø ÕÓÐ ³ Ð Ö º ½ ΓιάννηςΘωμαΐδης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Εισαγωγή Σ ένα από τα τελευταία τεύχη του μαθητικού περιοδικού Ευκλείδης Β (Νο 82, Οκτώβριος- Νοέμβριος- Δεκέμβριος 2011, σελ. 25) δημοσιεύτηκε η ακόλουθη άσκηση: Δίνεταιηεξίσωση αx 2 +βx+γ= 0,α 0. Εάν α+β+γ < α ναδείξετεότιηεξίσωσηέχειμία τουλάχιστον ρίζα μεταξύ 0 2. Η συγκεκριμένη άσκηση προέρχεται από τον«σκληρό πυρήνα» της παραδοσιακής ασκησιολογίας του δευτεροβάθμιου τριωνύμουτωναπολύτωντιμώνηεπίλυσήτηςστονευκλείδηβ ακολουθεί τη σχετική«μεθοδολογία». Με τη βοήθεια των τύπων του Viéte η δοθείσα σχέση των συντελεστών της εξίσωσης μετασχηματίζεται σε μία σχέση μεταξύ των ριζών από την οποία συνάγεται το ζητούμενο. Αντιγράφουμε τη λύση της άσκησης όπως ακριβώς παρουσιάστηκε στον Ευκλείδη Β : Εχουμε: α+β+γ < α α >0 α+β+γ α <1 α+β+γ <1 α 1+ β α + γ α <1 1 (ρ 1 +ρ 2 )+ρ 1 ρ 2 <1 1 ρ 1 ρ 2 +ρ 1 ρ 2 <1 (1 ρ 1 ) ρ 2 (1 ρ 1 ) <1 (1 ρ 1 )(1 ρ 2 ) <1 1 ρ 1 1 ρ 2 <1 1 ρ 1 <1 (1) ή 1 ρ 2 <1 (2). (1) 1<1 ρ 1 <1 2< ρ 1 <0 2>ρ 1 >0. Ομοίως(2) 2>ρ 2 >0 Τα προηγούμενα εγείρουν αρχικά δύο ενστάσεις μαθηματικού περιεχομένου: Κανένα στοιχείο στα δεδομένα της άσκησης δεν εξασφαλίζει ότι ηεξίσωσηέχειτιςπραγματικέςρίζες ρ 1 ρ 2 πουεμφανίζονται στην πορεία της απόδειξης. Π.χ., οι συντελεστές της δευτεροβάθμιαςεξίσωσης 4x 2 2x+1=0ικανοποιούντηνυπόθεση Ò Ñ Ø Ò Ô Ö Ø Ð Ö º ƺ˺ŠÙÖÓ ÒÒ ÖÅ Ñ Ø ôò ØÙ Ì ÔÓ Ù Ð ËÕÓÐ ËÑ ÖÒ È Ö Ñ Ø Ä Ó Ô Ñ Ð ËØÓ Õ Ó Ø Ø Ñ ØÓLA TEX¾ε α+β+γ < α αλλάησυγκεκριμένηεξίσωσηδενέχειπραγματικές ρίζες. Θα πρέπει λοιπόν να προστεθεί στα δεδομένα ως υπόθεση η ύπαρξη πραγματικών ριζών ή κάποια συνθήκη που τηνεξασφαλίζει(π.χ. ρ 1 ρ 2 ). Αντίθετα,ηυπόθεση α 0 που δίνεται είναι περιττή επειδή προκύπτει άμεσα από τη δοθείσα σχέση α+β+γ < α. Κρίνοντας τώρα τα γραφόμενα από διδακτική άποψη εγείρονται ενστάσεις άλλου είδους: Οτρόποςπουεκτίθεταιηλύσητηςάσκησηςσ έναπεριοδικό για μαθητές του Λυκείου δεν απέχει πολύ από τη μηχανική εφαρμογή μιας αλγοριθμικής διαδικασίας, από την οποία απουσιάζει όχι μόνο η ακριβολογία που πρέπει να χαρακτηρίζει τη διδασκαλία των Μαθηματικών στο επίπεδο του Λυκείου, αλλά η διαύγεια. Ποια σκοπιμότητα εξυπηρετεί η συρρίκνωση της φυσικής γλώσσας στη χρήση δύο μόνο λέξεων, των«εχουμε» «Ομοίως»; Με βάση τα παραπάνω, μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι για τους μαθητές της Α Λυκείου(στους οποίους απευθύνεται η άσκηση) θα είχε ίσως μεγαλύτερη διδακτική αξία η οργάνωση μιας δραστηριότητας, με αντικείμενο τη μελέτη της προηγούμενης απόδειξης στόχο να εντοπιστούν να αποκατασταθούν τα δύο προβληματικά σημεία που αναφέρθηκαν. Δραστηριότητες αυτού του είδους αποτελούν ίσως το μόνο τρόπο καταπολέμησης της άκριτης εφαρμογής τεχνικών, τύπων «μεθοδολογίας» που κυριαρχεί σήμερα στη διδασκαλία των Μαθηματικών συμβάλει ευθέως στην υποβάθμισή της. Η συγκεκριμένη άσκηση όμως περικλείει ιδιαίτερη μαθηματική ¾ διδακτική δυναμική έχει μια ενδιαφέρουσα ιστορία, που ανάγεται σε«ένδοξες» εποχές της νεοελληνικής μαθηματικής εκπαίδευσης. Με αφορμή λοιπόν τη δημοσίευσή της στον Ευκλείδη θα παρουσιάσουμε κάποια στοιχεία αυτής της ιστορίας θα σκιαγραφήσουμε ορισμένες μαθηματικές διδακτικές προεκτάσεις. Μερικά στοιχεία από την ιστορία της άσκησης Η άσκηση πρωτοεμφανίστηκε στην ελληνική βιβλιογραφία το 1955,σ έναμικρόβιβλίοπουεκδόθηκεστηναθήναέφερε τον τίτλο Γενικαί Ασκήσεις Αλγέβρας των Απολύτων Τιμών Ανισοτικών Συστημάτων. Συγγραφέας του βιβλίου ήταν ένας σημαντικός δάσκαλος- φροντιστής εκείνης της εποχής, ο μαθηματικός Βάσος Σαββαΐδης. Η άσκηση, η οποία ανήκει στις προτεινόμενες προς λύση, διατυπώνεται στο βιβλίο με διαφορετικήυπόθεσηαλλάμετοίδιοσυμπέρασμα,ωςεξής(σελ.65): Δίδεται η με πραγματικούς συντελεστάς εξίσωσις αx 2 +βx+γ=0όπουυποτίθεται α(β γ) > β 2 αγ + γ 2 αβ (1) Αν αι ρίζαι της εξισώσεως είναι πραγματικαί δείξατεότιμίατουλάχιστονρίζα ραυτήςπληροίτην ανισότητα 0<ρ<2. 1

2 Είναι χαρακτηριστικό ότι στον πρόλογο του βιβλίου του ο Β. Σαββαΐδης διεκδικεί την πατρότητα της συγκεκριμένης άσκησης( πολλών άλλων παρόμοιων) απαγορεύει ρητά την αναδημοσίευσή της!½ Οπως βλέπουμε, στη διατύπωση δεν υπάρχει το περιττό δεδομένο α 0,αλλάγίνεταιηαπαραίτητη-σύμφωναμετοζητούμενο- υπόθεση ότι οι ρίζες είναι πραγματικές. Ας επιχειρήσουμε τώρα να εφαρμόσουμε τη σχετική «μεθοδολογία» μετασχηματισμού της σχέσης των συντελεστών σε αντίστοιχη σχέση των ριζών. Ανονομάσουμερ 1,ρ 2 τιςρίζεςτηςεξίσωσηςδιαιρέσουμε ταμέλητηςανισότητας(1)μετονθετικόαριθμό α 2 βρίσκουμε διαδοχικά: α(β γ) > β 2 αγ + γ 2 αβ β α γ α > β2 α 2 γ α + γ2 α 2 β α (ρ 1+ρ 2) ρ 1ρ 2 > (ρ 1+ρ 2) 2 ρ 1ρ 2 + (ρ 1ρ 2) 2 +ρ 1+ρ 2 ρ 1+ρ 2+ρ 1ρ 2 > ρ 2 1+ρ 2 2+ρ 1ρ 2 + ρ 2 1ρ 2 2+ρ 1+ρ 2 Απότηντελευταίασχέσηδενφαίνεταιμεποιοτρόποθαμπορούσεναφτάσεικανείςστηζητούμενηανισότητα 0<ρ 1 < 2 ή 0<ρ 2 < 2. Προσπαθώνταςναεξάγουμεκάποιοχρήσιμο συμπέρασμα, παρατηρούμε ότι αν οι δύο ρίζες της εξίσωσης ήταν θετικές, τότε από τη σχέση αυτή προκύπτει δηλαδή ρ 1 +ρ 2 +ρ 1 ρ 2 >ρ 2 1+ρ 2 2+ρ 1 ρ 2 +ρ 2 1ρ 2 2+ρ 1 +ρ 2 ρ 2 1+ρ 2 2+ρ 2 1ρ 2 2<0 που είναι άτοπο. Άρα εκείνο που συνάγεται μέχρι στιγμής από την ανισότητα(1) είναι ότι μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης θα είναι αρνητικός αριθμός. Για να αποδείξουμε λοιπόν το ζητούμενο θα πρέπει να αναζητήσουμε κάποιο διαφορετικό μετασχηματισμό της (1). Λαμβάνοντας υπόψη (βλέπε παραπάνω την απόδειξη της άσκησης στον Ευκλείδη) ότι ισχύει η συνεπαγωγή α+β+γ < α 1 ρ 1 1 ρ 2 <1(2) Η αξιοποίηση της δεύτερης ανισότητας μας οδηγεί στο εξής αποτέλεσμα: α(β γ) > β 2 αγ + γ 2 αβ α(β γ) > β 2 αγ γ 2 +αβ α(β γ) > (β γ)(β+γ)+α(β γ) α(β γ) > (β γ)(β+γ+α) α β γ > β γ α+β+γ α > α+β+γ (επειδή,όπωςεύκολαπροκύπτειαπότην(1),είναι β γ άρα β γ > 0) Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η ανισότητα (1) συνεπάγεται την ανισότητα α+β+γ < α, από την οποία, όπως έχουμε διαπιστώσει, προκύπτει μέσω της (2) ότι μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης ανήκει στο διάστημα (0, 2). Λαμβάνοντας υπόψη όλα τα παραπάνω καταλήγουμε στα εξής συμπεράσματα: Η άσκηση που δημοσιεύτηκε το 2011 στον Ευκλείδη αποτελεί μια απλοποιημένη εκδοχή εκείνης που είχε δημοσιευθείτο1955(ηυπόθεση α(β γ) > β 2 αγ + γ 2 αβ αντικαταστάθηκε από μια συνέπειά της, την α > α+β+γ ). Αναζητώντας τις συνέπειες της ανισότητας (1) διαπιστώσαμε προηγουμένως ότι μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσηςαx 2 +βx+γ=0θαείναιαρνητικόςαριθμός.άρα στην αρχική διατύπωση του Β. Σαββαΐδη, το συμπέρασμα «μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης ανήκει στο διάστημα(0, 2») μπορεί να αντικατασταθεί από το ισχυρότερο «μία μόνο μία ρίζα της εξίσωσης ανήκει στο διάστημα (0,2)». Στα56χρόνιαπουμεσολάβησαναπότο1955μέχριτο2011, παρά τη ρητή απαγόρευση του δημιουργού της, η προηγούμενη άσκηση αναδημοσιεύθηκε στα περισσότερα φροντιστηριακά βιβλία Άλγεβρας στις διάφορες μονογραφίες με θέμα το Τριώνυμο ή τις Απόλυτες Τιμές. Ο σπουδαίος μαθηματικός φροντιστής Σπύρος Κανέλλος, στο δεύτερο τόμο του βιβλίου του Μαθήματα Αλγέβρας (1η έκδοση 1956, 2η έκδοση, 1958), προτείνει δύο μορφές της άσκησης. Αρχικά στο κεφάλαιο ΙΙ Το δευτεροβάθμιον τριώνυμον συγκεκριμένα στις ασκήσεις της ενότητας Άθροισμα γινόμενον των ριζών της δευτεροβαθμίου εξισώσεως(σελ. 18), προτείνεται προς λύση η απλοποιημένη εκδοχή: είναιφανερόότιπριναπότηδιαίρεσημετο αγιατηδημιουργία των τύπων του Viéte, απαιτείται κάποιος μετασχηματισμός που οδηγεί σε απλοποίηση της ανισότητας(1). Στο σημείο αυτό ακριβώς βρίσκεται η ουσιαστική δυσκολία της άσκησης που πρότεινε ο Β. Σαββαΐδης το Ο λογισμός των απολύτων τιμών ½Ì Ø ØÓÙ½ ¼ ½ ¼Ó ß Ô ÐÙØ Ì Ñ Ð ÔÓØ ÐÓ Ò Ñ Ó ÕÑ Ø Ü Ø Ø Ð Å Ñ Ø ôò Ø Û Ü Ø μας δίνει τα μέσα να μετασχηματίσουμε την(1) ελαττώνοντας το μικρότερο δεξιό μέλος, σύμφωνα με τις ιδιότητες α,β,γτηςδευτεροβαθμίουεξισώσεωςαx 2 +βx+γ= Εάν μεταξύ των (πραγματικών) συντελεστών 0 υφίσταται η ανισότης x + y x+y α > α+β+γ Ò Ô ÓÖ ÓÙÒØ Ò Ò ÑÓ Ù ØÛÒ ÛÒÔÓÙ Õ Ò Ô ÒÓ ºÄ ÔØÓÑ Ö Ñ Ð Ø ØÓÙÞ Ø Ñ ØÓ Ò Ø ØÓ ÂÛÑ ½ к Ñ ØÛÒØ Òß Ô Ò Ù Ð Ð ôò ÛÒ Ü ô Ò ô Ò Ø Ø ØÖ ôòùñó ØÐµÑ Ø Ò ÒÒÓ ØÓ Ñ ÓÐÓØ Ô ÐÙØ Ø Ñ º ÌÓ ÓÒ ÙØ Õ ÔÖÓ Ð ØÓÙ ÖÓÒØ Ø Ø ÔÓÕ Ñ Ö ÒØ ÒØ ÛÒ ÑÓ Ø Ò Ò Þ Ø Ô Ö Û Ô Ö ÑÓ ÛÒ ÛÒ Ñ ÔÓØ Ð Ñ Ò Ù ÐÓ ÓÖÓ Ò Ò Ø ÒÔ ÖÓ Ó Ø Ò ÐÐ Ô Ö Ø Ö Ô ½¼ÔÓÐÙ Ð ÑÓÒÓ Ö ÔÓÙ Õ Ò ÔÓ Ð Ø Ñ Ø Ô ÐÙØ Ì Ñ Ò Ñ ÒÓÑÓÒ Ø Ò Ð Ó Ö µºëùò Ò Ñ Ð Ø ÙÕÒ Ò Ô ÐÓ ÒØ Ó Ù Ö ôñ Ø ÔÒ ÙÑ Ø Ó Ø ØÛÒ º ºÁº Ø Ö ØÓÙÈÓÐÙØ ÕÒ ÓÙµ Ô Ó ÒØ ØÓ ÕÓ Ø ¹ Ñ ØÓ Ø ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ò ÙÕÒ ÛÑ Ó ÓÔ Ö Û ÔÖÛØ ØÙÔÛÒ τότεανηεξίσωσιςέχειπραγματικάςρίζας ρ 1,ρ 2 η ¾¼½¹¾¾½µº Ø Ñ Ð ØÑ ÔÓÙ Õ Ö Ó ÓË Ô Ø Ñ Ñ Ø Ô ÙØ Ó Ò Ø Ø Ø ÔÓÕ Ô Ö Ô ÑÔÓÙÑ x + y x y μία τουλάχιστον τούτων περιέχεται μεταξύ 0 2. Ò ÖÓÙÒ Õ Ø Ó Ëº Ö ½ к½ µ ÂºÃ Þ ÒØÞ ½ к¾ ¹ ¼µ ÄºÌ ÐÓ ÐÓÙ ¾¼¼ к½ µº 2

3 Στο ίδιο κεφάλαιο, στις ασκήσεις της ενότητας Διάφοροι εφαρμογαί της θεωρίας του τριωνύμου(σελ. 43) προτείνεται προς λύση η αρχική άσκηση, αλλά με το ισχυρότερο συμπέρασμα: Εάν μεταξύ των πραγματικών αριθμών α,β,γ πληρούται η ανισότης Δίδεταιηεξίσωσις αx 2 +βx+γ= 0έχουσαρίζας πραγματικάςταςρ 1 ρ 2.Εάνοιπραγματικοίσυντελεσταί της εξισώσεως πληρούν μίαν των κατωτέρων σχέσεων είτε την α(β γ) > β 2 αγ + γ 2 αβ α(β γ) > β 2 αγ + γ 2 αβ αιδερίζαιτης αx 2 +βx+γ= 0είναιπραγματικαί, τότεημίαμόνονημίαρίζαθαπεριέχεταιμεταξύ 02. Οι δύο αυτές ασκήσεις περιλαμβάνονται επίσης στις ίδιες ενότητες του δεύτερου τόμου του βιβλίου του Σ. Κανέλλου ΆλγεβραδιαταΛύκεια,(1ηέκδοση1966,2ηέκδοση1970:σελ.31 άσκησηβ-98σελ.64άσκησηβ-167,όπουμετοδιακριτικό Β υποδηλώνονται οι σύνθετες ασκήσεις). Το 1959 εμφανίζεται επίσης ο πρώτος... απόγονος της άσκησης, στο δεύτερο τόμο του βιβλίου του Χρίστου Μπαρμπαστάθη Μεγάλη Άλγεβρα. Στο κεφάλαιο Εξισώσεις του δευτέρου βαθμού προτείνεται προς λύση η επόμενη(σελ. 12): Αν οι συντελεσταί α,β,γ της εξισώσεως αx 2 + βx+γ= 0ηοποίαέχειπραγματικάςρίζας ρ 1,ρ 2 συνδέωνται δια της σχέσεως α > α+2β+4γ η μία τουλάχιστον των ριζών αυτής περιέχεται μεταξύ01. Η απόδειξη είναι ουσιαστικά μια επανάληψη της μεθόδου που εφαρμόστηκεστηνπερίπτωσητηςυπόθεσης α+β+γ < α : α+2β+4γ < α 1+2 β α +4γ α <1 1 2(ρ 1 +ρ 2 )+4ρ 1 ρ 2 <1 1 2ρ 1 2ρ 2 +4ρ 1 ρ 2 <1 (1 2ρ 1 ) 2ρ 2 (1 2ρ 1 ) <1 (1 2ρ 1 )(1 2ρ 2 ) <1 1 2ρ 1 1 2ρ 2 <1 1 2ρ 1 <1 ή 1 2ρ 2 <1 1 2ρ 1 <1 1<1 2ρ 1 <1 2< 2ρ 1 <0 0<ρ 1 <1 είτε την α > α+β+γ. Να αποδειχθεί ότι μία τουλάχιστον των ριζών της εξισώσεως περιέχεται μεταξύ των 0 2. Οι δύο μορφές της άσκησης(ανάλογα με την ανισότητα που δίνεται ως υπόθεση) καθιερώθηκαν έκτοτε στη σχετική βιβλιογραφία εμφανίζονται στα περισσότερα από τα πολυάριθμα βιβλία Άλγεβρας ή τις μονογραφίες για το Τριώνυμο τις Απόλυτες Τιμές που εκδόθηκαν τις επόμενες δεκαετίες. Για να αναφέρουμε ένα μόνο χαρακτηριστικό παράδειγμα, αμφότερες περιέχονται στο κεφάλαιο για την εξίσωση το τριώνυμο 2ου βαθμού όλων των εκδόσεων της περίφημης Άλγεβρας του ΘεόδωρουΚαζαντζή(1967,σελ.2053,1971,σελ.2154, 1978,σελ.25). Σε ορισμένες μάλιστα περιπτώσεις εμφανίστηκαν νέοι... απόγονοι ή επιχειρήθηκαν από τους συγγραφείς εναλλακτικές διατυπώσεις. Στο βιβλίο του Δ. Μάγκου Τριώνυμο(Θεσσαλονίκη, 1978) αφού λύνεται πρώτα η αρχική μορφή(σελ. 11), στη συνέχεια προτείνεται προς λύση μαζί με την απλοποιημένη εκδοχή μια νέα μορφή της άσκησης που έχει διαφορετική υπόθεση συμπέρασμα(σελ. 23): Ανηεξίσωση αx 2 +βx+γ= 0, α,β,γ R,έχει ρίζες πραγματικές, να αποδειχθεί ότι: α)αν α > α+β+γ, τότε μια τουλάχιστον ρίζα ανήκει στο διάστημα (0,2). β)αν α > α β+γ, τότε μια τουλάχιστον ρίζα ανήκει στο διάστημα ( 2,0). Τον επόμενο χρόνο, οι Α. Κουκλάδας Π. Γεωργιακάκης, στο βιβλίο τους Μεθοδική Άλγεβρα 2(Αθήνα, 1979) στην ενότητα Μέθοδος της εις άτοπον του κεφαλαίου Απόλυτα, προτείνουν προς λύση την αρχική άσκηση στην εξής, ισοδύναμη μορφή που παρακάμπτει την αναφορά στην εξίσωση τις ρίζες της(σελ. 50): Ομοίως Εάν α,β,γ,x,y R, 1 2ρ 2 <1 0<ρ 2 <1. Λίγα χρόνια μετά ακολούθησε η πρώτη δημοσίευση της άσκησης στο Παράρτημα του Δελτίου της Ε.Μ.Ε.(τον πρόδρομο του x+y= β α,xy= γ α Ø Ð Ö Â Ñ Ø ØÓÙÈ Ò ôø Å Ö ÔÖôØ Ó ØÓ½ ¾ Ô Ò ØÓ½ ½ ¼ ½ µºë Ñ Ô Ø Ô Ò Ò ÓÖ º σημερινού Õ ÑÓ ÙØ Ù Ö Ñ Ò Ô Ö ØÓ ÓÒ Ø Ô Ö ÕÓÒØ ÙØ ØÓÒØ Ô Ö ÑÓ º ¾ Ô Ø Ø Ñ ÕÖ Ñ Ö Ù Ö Ñ Ò Õ ÑÓ Ù ØÓÈ Ö ÖØ Ñ ØÓÙ ÐØÓÙ ØÓÒ Ù Ð ØÓÒ Ù Ð ³ØÓÙÐ Õ ØÓÒ½¼ Ó Ü Ó Ñ ÛØ Ü Ö ÔÓØ ÐÓ Ò Å Ð ³ Ð Ö ØÓÙ Ö Ø È ÐÐ ÔÖôØ Ó ØÓ½ Ô Ò ØÓ½ ¼ ½ ½ ¼µ Ευκλείδη)¾. Στο τεύχος 144 που κυκλοφόρησε το α(β γ) > β Δεκέμβριο του 1963, προτείνεται προς λύση από τον Ι. Τ- 2 αγ + γ 2 αβ σακιρίδη με την εξής, κάπως περίεργη, διατύπωση στην οποία τότεέναςμόνοναπ τους x,yπεριέχεταιμεταξύ0 αναμειγνύονται οι δύο υποθέσεις(σελ. 93): 2. 3

4 Ολες οι εμφανίσεις της συγκεκριμένης άσκησης ή των παραλλαγών της στη σχετική βιβλιογραφία ακολουθούν την πεπατημένη της παραδοσιακής«ασκησιολογίας» «μεθοδολογίας» που εντάσσεται στο γενικότερο πλαίσιο της «προετοιμασίας για τις εξετάσεις». Δεν συναντούμε σε καμιά περίπτωση προβληματισμούς για μαθηματικές ή διδακτικές προεκτάσεις, όπως π.χ. αναζήτηση γενικεύσεων, διαφορετικών αποδείξεων ή την ένταξη της άσκησης σ ένα ευρύτερο εννοιολογικό πλαίσιο. Ορισμένα ζητήματα αυτού του είδους θα εξετάσουμε στην ενότητα που ακολουθεί. Μερικές μαθηματικές διδακτικές προεκτάσεις Η πρώτη ερευνητική δραστηριότητα που ακολουθεί συνήθως την επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος, είναι η αναζήτηση κάποιων γενικεύσεων(οι οποίες συχνά ανοίγουν το δρόμο για διαφορετικές λύσεις ή αποδεικτικές προσεγγίσεις). Στην άσκηση που μας απασχολεί εδώ, μια πρώτη αυθόρμητη απόπειρα γενίκευσης θα μπορούσε να αναφέρεται στο βαθμό του πολυωνύμου: Τι συμπέρασμα εξάγεται από τη σχέση α+β+γ+δ < α για τους πραγματικούς συντελεστές ενός τριτοβάθμιου πολυωνύμουαx 2 +βx 2 +γx+δπουέχειτρειςπραγματικέςρίζες ρ 1,ρ 2 ρ 3 ; Μετασχηματίζονταςτηνανισότητα α+β+γ+δ < α με χρήση των αντίστοιχων τύπων του Viéte ρ 1 +ρ 2 +ρ 3 = β α,ρ 1ρ 2 +ρ 2 ρ 3 +ρ 3 ρ 1 = γ α,ρ 1ρ 2 ρ 3 = δ α διαπιστώνουμε (αποτελεί μια ενδιαφέρουσα άσκηση παραγοντοποίησης) ότι στην περίπτωση αυτή προκύπτει ηανισότητα (1 ρ 1 )(1 ρ 2 )(1 ρ 3 ) <1 από την οποία έπεται βέβαια ότι μία τουλάχιστον ρίζα του πολυωνύμου βρίσκεται ανάμεσα στο 0 το 2. Αυτή η γενίκευση μεταφέρεται άμεσα στην περίπτωση του αντίστοιχου πολυωνύμου ν-οστού βαθμού φέρνει στο προσκήνιο μια νέα αποδεικτική προσέγγιση. Αν λάβουμε υπόψη τιςθεμελιώδειςταυτότητες: λ Rμε λ 0,τοτριώνυμοέχειπραγματικέςρίζες,τότε μίατουλάχιστονρίζαανήκειστοδιάστημα(0, 2 )αν λ>ήστο αx 2 λ +βx+γ=α(x ρ 1 )(x ρ 2 ) ( 2,0)αν λ<0. λ ÔÓÙ Þ ÒØ Ðô Òô ÔÖôØ ÙÐÞ Ø ßØ ÔÓÔ Ö ÓÒØÓÔÓ ÐºË Ñ ÛÒ Ñ Ø Õ ÓÒØ Ò ÐÙØ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÔÖÓØ Ö Ø Ø Ø ÀÑ Ð Ñ ÙØôÒØÛÒØ ÙØÓØ ØÛÒ Ò ÒØ ØÖ Û Ò ÐÓ Ñ Ø ÒÕÖ ØÓÙ Ø Ð Ø ³ Ð Ö ØÓÄ ÓºÀ Ø Ö Αποδειξη. Η απόδειξη γίνεται με τη γνωστή διαδικασία, από την οποία προκύπτει ότι: αx 2 +βx 2 +γx+δ=α(x ρ 1 )(x ρ 2 )(x ρ 3 ) α+λβ+λ 2 γ < α 1 λρ 1 1 λρ 2 <1 διαπιστώνουμε άμεσα ότι ισχύει Από την τελευταία ανισότητα δεν είναι δύσκολο να οδηγηθούμε Ð Ô Ô Ö Ø Ö ØÓÞ Ø Ñ ÙØ ØÓ ÂÛÑ ¾¼½½µº Ð ØÛÒÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ Ø ³ÄÙ ÓÙ ÕÓÙÒÙÔÓÐÓ Ø Ø ÕÒ ÔÛØÓ Õ Ñ Hornerº Ø Ø Ø ÓÖ Ñ ÒÛÒ Ø ÖôÒ Ô Ô Ö Ñ ØÖÓÙºÀ Ò ÔØÙÜ Ø Ò Ø Ø ß ØÓÙ Ò Ó Ñ ØÓ Ð ÔÓØ Ð Ò Þ ØÓ Ñ ÒÓ Ø Ø ØÛÒÅ Ñ Ø ôò Ò Õ Ø ÓÐÓØÖ ÔÓÒ ÐÐ Ö ÙØ Ò Ø Ø Ô Ø Ð ØÛÒÅ Ñ Ø ôò Ò Ò Ò ÖÖ ÒÓÒØ Ó Ñ Ø Ò ÖÒÓÙÒØ Ò ÔÐÙ Ñ ÓÕ Ö ÑÓ ÛÒ ÛÒ Ô Ñ Ñ Ð Ø Ô ÒÛ ØÓ ÒÓÐÓ ÙØôÒØÛÒ ÛÒº ËØ ÒÔÓÖ ÔÖÓØ Ø ÔÛ Ø ÈÖ Ø ½ Ô ØôÒÓÙÑ Ò Õ Ö Ø Ö Ø Ø Ò Ù Ø Å Ñ Ø Ð Ø Ò Ò¹ α+β+γ=α(1 ρ 1 )(1 ρ 2 ) στο συμπέρασμα της πρότασης, διακρίνοντας τις περιπτώσεις 4 α+β+γ+δ=α(1 ρ 1 )(1 ρ 2 )(1 ρ 3 ) Από τις σχέσεις αυτές οι ανισότητες α+β+γ < α α+β+γ+δ < α μας δίνουν αμέσως τα αντίστοιχα συμπεράσματα για τις ρίζες, χωρίς εμπλοκή των τύπων του Viéte παραγοντοποιήσεων. Μια άλλη ενδιαφέρουσα προοπτική γενίκευσης μας παρέχει η σύγκριση των τριών διαφορετικών υποθέσεων των αντίστοιχων συμπερασμάτων που έχουμε συναντήσει ήδη στην βιβλιογραφία: 1. α+β+γ < α ρ (0,2)(Κανέλλος) 2. α+2β+4γ < α ρ (0,1)(Μπαρμπαστάθης) 3. α β+γ < α ρ ( 2,0)(Μάγκος) Ξαναγράφοντας τις ανισότητες αυτές στη μορφή α+1 β+1 2 γ < α α+2 β+2 2 γ < α α+( 1)β+( 1) 2 γ < α οδηγούμαστε αυθόρμητα στην εικασία- ερώτηση: Τι συμπέρασμαπροκύπτειγιατιςπραγματικέςρίζεςτουτριωνύμου αx 2 + βx+γότανισχύει α+3β+9γ < α ; Ηεφαρμογήτηςίδιας διαδικασίας που ακολουθήσαμε στις προηγούμενες περιπτώσεις μας οδηγεί στην ανισότητα 1 3ρ 1 1 3ρ 2 <1 από την οποία προκύπτει ότι μία τουλάχιστον ρίζα του τριωνύμουανήκειστοδιάστημα(0, 2 ). Τοσυμπέρασμααυτόη 3 μορφή των αντίστοιχων διαστημάτων μας οδηγούν στη διατύπωση της επόμενης πρότασης: Προταση 1. Αν οι συντελεστές του τριωνύμου f(x) = α+λβ+λ 2 γ < α

5 λ>0 λ<0. Οι κλασικές ασκήσεις που είχαν ως υποθέσεις τις ανισότητες (1),(2) (3) αποτελούν πλέον ειδικές περιπτώσεις της Πρότασης1,για λ=1, λ=2 λ= 1αντίστοιχα. Μια άλλη προοπτική γενίκευσης μας παρέχει η αποδεικτική μέθοδος που υποδείξαμε παραπάνω με βάση την ταυτότητα αx 2 +βx+γ= α(x ρ 1 )(x ρ 2 ). Τοαποτέλεσμαστοοποίο καταλήγουμε μας οδηγεί στην επόμενη βασική πρόταση, την απόδειξη της οποίας αφήνουμε ως άσκηση για τον αναγνώστη: Προταση 2. Αν οι συντελεστές του τριωνύμου f(x) = αµ 2 +βµ+γ < α, µ R, (δηλαδή f(µ) < α ) το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες, τότε μία τουλάχιστον ρίζα ανήκει στο διάστημα (µ 1,µ+1). Ενδιαφέρον παρουσιάζει επίσης η γεωμετρική ερμηνεία αλλά η περαιτέρω μελέτη αυτού του αποτελέσματος, το οποίο εκφράζει μία αντιστοιχία ανάμεσα σ ένα διάστημα που περιέχει τιμές του τριωνύμου ένα διάστημα που περιέχει μία ρίζα του: f(µ) ( α, α ) ρ (µ 1,µ+1). Μετοντρόποπουέχουμεεργαστείμέχριτώραφαίνεταιότιέχουμε εξαντλήσει τα περιθώρια γενικεύσεων της άσκησης για τοτριώνυμο f(x)=αx 2 +βx+γ.μιανέαπροοπτικήανοίγεται όμως αν συνδυάσουμε την Πρόταση 2 με τις επόμενες βασικές προτάσεις της σχολικής Άλγεβρας: Θεωρημα. Αν α,β,γ,ρ 1,ρ 2 R, α 0 β 2 > 4αγ,τότε οισχέσεις ρ 1 + ρ 2 = β α ρ 1ρ 2 = γ α αποτελούνικανές αναγκαίεςσυνθήκεςώστεοιαριθμοί ρ 1,ρ 2 ναείναιοιρίζεςτου τριωνύμου f(x)=αx 2 +βx+γ. Πορισμα.Οιαριθμοί ρ 1,ρ 2 με ρ 1 +ρ 2 =S ρ 1 ρ 2 =Pείναι ρίζεςτουτριωνύμου f(x)=αx +βx+γ 2 Από το προηγούμενο πόρισμα γίνεται άμεσα φανερό ότι μ- πορούμε να δημιουργήσουμε διάφορα τριώνυμα που οι ρίζες τους είναισυναρτήσειςτωνριζών ρ 1 ρ 2 ενόςδεδομένουτριωνύμου f(x)=αx 2 +βx+γ.γιαπαράδειγμα,απότιςσχέσεις λρ 1 +λρ 2 =λ(ρ 1 +ρ 2 )= λβ α έχειρίζεςτουςαριθμούς ρ 2 1 ρ2 2 (ασκήσειςαυτούτουείδους αφθονούσαν στην βιβλιογραφία της κλασικής σχολικής Άλγεβρας). Η εφαρμογή τώρα της παραπάνω Πρότασης 2 στο τριώνυμο ϕ(x)=αx 2 +λβx+λ 2 γ, οδηγεί στο συμπέρασμα ότι αν ισχύει αµ 2 +λβµ+λ 2 γ < α (δηλαδή ϕ(µ) < α ) το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες, τότε μία τουλάχιστον από αυτές (δηλαδή ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς λρ 1 λρ 2 ) θα ανήκει στο διάστημα (µ 1,µ+1). Τοσυμπέρασμααυτόμαςοδηγείστηνεπόμενη πρόταση, την απόδειξη της οποίας αφήνουμε ως άσκηση για τον αναγνώστη: Προταση 3. Αν οι συντελεστές του τριωνύμου f(x) = αµ 2 +λβµ+λ 2 γ < α με λ,µ R λ 0,τοτριώνυμοέχειπραγματικέςρίζες, τότεμίατουλάχιστονρίζαανήκειστοδιάστημα( µ 1 λ, µ+1 λ )αν λ>0ήστο( µ+1 )αν λ<0. λ, µ 1 λ Με τη μέθοδο αυτή, δηλαδή την εφαρμογή της Πρότασης 2σετριώνυμαπουοιρίζεςτουςείναισυναρτήσειςτωνριζών του f(x), ανοίγει ο δρόμος για ένα μεγάλο αριθμό ωραίων συμπερασμάτων. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης δεν θα έχει δυσκολία να αποδείξει δύο από αυτά, τα οποία διατυπώνουμε ως εξής: Προταση 4. Αν οι συντελεστές του τριωνύμου f(x) = α+µβ+µ 2 γ < γ µ R µ ±1, τοτριώνυμοέχειπραγματικέςρίζες, τότεμίατουλάχιστονρίζαανήκειστοδιάστημα( 1 µ 1, 1 µ+1 )αν 1<µ<1ήστοδιάστημα( 1 µ+1, 1 )αν µ< 1ήµ>1. µ 1 Υποδειξη: Να γίνει εφαρμογή της Πρότασης 2 στο τριώνυμο σ(x)=γx 2 + βx+απουέχειρίζεςτιςαντίστροφεςτων ριζώντου f(x)=αx 2 +βx+γ. Προταση 5. Αν οι συντελεστές του τριωνύμου f(x) = λρ 1 λρ 2 =λ 2 ρ 1 ρ 2 = λ2 γ α f( µ)f( µ) < α 2 προκύπτεισύμφωναμετοπόρισμαότιοιαριθμοί λρ 1 λρ 2 είναιρίζεςτουτριωνύμου ϕ(x)=αx 2 + λβx+λ 2 γ. Εύκολα µ R µ 1,τοτριώνυμοέχειπραγματικέςρίζες,τότε μπορεί να αποδειχθεί επίσης ότι το τριώνυμο γιαμίατουλάχιστονρίζατου ρ,ισχύει ρ ( µ 1, µ+1). ³ Ð Ö Ø ³ÄÙ ÓÙ Ð Õ Ø ÙÑ Ð Ø Ò Ø Ò ØÓÙ Ñ ÒØ Ø ØÓÙÖ ÐÓÙØÓÙ Ø ÛÖ ØÛÒÔÓÐÙÛÒÙÑ ôò Ü ô ÛÒº Ô σ(x)=γx 2 +βx+α Υποδειξη: Να γίνει εφαρμογή της Πρότασης 2 στο τριώνυμο τ(x)=αx 2 +(β 2 2αγ)x+γ 2 πουέχειρίζεςτατετράγωνα ÛßØ ÔÓØ ÖÒÓÙ ÐØÛÒ Ü ô ÛÒ¾ÓÙ ÑÓ º À Ð ØÛÒÐ Ñ ÒÛÒØ ÔÛÒØÓÙViéte ØÓ Õ ô ÙÑÑ ØÖ Ô Ö Ø ØÛÒÖ ÞôÒµ Ñ ÛÒ Ñ Ò ÖÓÒØ ØÓ ÕÓÐ ÐÓ S xy=pºìó Ø Ñ ÙØ ÙÔ ÖÜ ØÓÖ ØÓÔÖ Ð Ñ ¹ ÒÒ ØÓÖ Ô Ø Ð ØÓÙÓÔÓÓÙÔÖÓ Ð Õ ÔÓÙ Ò ÒÛ Ø έχειρίζεςτουςαριθμούς 1 1 ρ 1 ρ 2 0ÐÙÔÓ ÑÞ Ø Ñ Ð Ñ Ñ Ø Ø Ñ ØÓÙ,ενώτοτριώνυμο τωνριζώντου f(x)=αx 2 +βx+γ. Μιαενδιαφέρουσαειδική περίπτωση αποτελεί η επόμενη άσκηση, η οποία προκύπτει από τ(x)=αx 2 +(β 2 2αγ)x+γ 2 τηνπρόταση4για µ=2: Ñ ØÓÒÐ Ñ ÒÓßØ ÔÓ Ø Ù Ü Û ¾ÓÙ ÑÓ x2 Sx+P = Ù Ø Ñ ØÓx+y= 5

6 Ασκηση. Αν ισχύει α+2β+4γ < γ τοτριώνυμο f(x)=αx 2 +βx+γέχειπραγματικέςρίζες, τότεμίατουλάχιστοναπόαυτέςθαανήκειστοδιάστημα( 1 3, 1). Το ενδιαφέρον εστιάζεται αρχικά στην αποδεικτική τεχνική που απαιτεί η επίλυση της συγκεκριμένης άσκησης, αν θεωρηθεί ανεξάρτητα από την Πρόταση 4. Μια άλλη ενδιαφέρουσα προοπτική ανοίγεται από τη σύγκριση της ανισότητας α+2β+4γ < γ μετην α+2β+4γ < α ηοποία,όπωςδιαπιστώσαμε παραπάνω, εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας τουλάχιστονρίζαςστοδιάστημα(0,1).ησύγκρισηαυτήμπορείναμας οδηγήσει σε μια συζήτηση για το πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα του εντοπισμού των ριζών ενός πολυωνύμου τη βελτίωση των σχετικώνφραγμάτων(ηαλλαγήτουσυντελεστήαμετονγστο δεύτερο μέλος της ανισότητας περιορίζει το διάστημα κατά τοένατρίτο). Ησχετικήέρευνα,στηνοποίαείχανκατάτο παρελθόνλάβειμέροςμεαξιόλογη-σεδιεθνέςεπίπεδο-συμβολή Ελληνες μαθηματικοί από το χώρο της μέσης εκπαίδευση- ς, περιέχει πολλά ωραία αποτελέσματα που θα μπορούσαν(με κατάλληλη προσαρμογή) να ενταχθούν στη διδασκαλία των Μαθηματικών να αποδώσουν κάποιο νόημα στην ασυνάρτητη παραδοσιακή ασκησιολογία. Επίλογος Κλείνοντας αυτή την εργασία θέλουμε να σημειώσουμε ότι περιοριστήκαμε στο τριώνυμο δευτέρου βαθμού, έτσι ώστε το περιεχόμενό της να μπορεί να αξιοποιηθεί διδακτικά σε όλες τις τάξεις του Λυκείου. Είναι όμως φανερό ότι τα συμπεράσματαγενικεύονταιγιαπολυώνυμα ν-οστούβαθμού(ν N, ν>2). Για τον ίδιο λόγο επίσης υποθέσαμε την ύπαρξη πραγματικών ριζών περιοριστήκαμε σε διαστήματα της πραγματικής ευθείας, ενώ τα συμπεράσματα ισχύουν στη γενική περίπτωση μιγαδικών εν γένει ριζών αντίστοιχους τόπους(κυκλικούς δίσκους ή δακτυλίους) του μιγαδικού επιπέδου. Θέλουμε επίσης να τονίσουμε ότι στην κλασική βιβλιογραφία της στοιχειώδους Άλγεβρας υπάρχει ένα πλούσιο απόθεμα προβλημάτων ασκήσεων τα οποία σήμερα, εποχή υποβάθμισης της διδασκαλίας των Μαθηματικών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση μετατόπισης του«ασκησιολογικού» ενδιαφέροντος προς την Ανάλυση, έχουν περιέλθει στην αφάνεια. Ολο αυτό το υ- λικό, που είχε μείνει κατά το παρελθόν εγκλωβισμένο στην εξεταστική θεματολογία, αξίζει να γίνει αντικείμενο μελέτης διδακτικής ανάλυσης με στόχο την αξιοποίησή του στην τάξη, σε ερευνητικές εργασίες των μαθητών σε μαθηματικούς ομίλους. Βιβλιογραφικες παραπομπες Σ. Ζερβος, Ιστορική αναδρομή στο ρόλο του φροντιστή. Η- μερολόγιο 1999, σελ Ομοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδας. Γ. Θωμαΐδης, Διδακτική μετατόπιση μαθηματικών εννοιών εμπόδια μάθησης ( η περίπτωση της απόλυτης τιμής). Διδακτορική διατριβή, Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη Γ. Θωμαΐδης, Ιστορικές διδακτικές όψεις της γενίκευσης στην Άλγεβρα. Στο συλλογικό τόμο της Επιστημονικής Ενωσης για τη Διδακτική των Μαθηματικών: Η Άλγεβρα η Διδακτική της στη Σύγχρονη Εκπαίδευση, σελ Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, Θ. Καζαντζης, Φροντιστήρια μαθηματικοί- φροντιστές. Ημερολόγιο 1999, σελ Ομοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδας. Λ. Τσιλογλου, Τα Φροντιστήρια στην Ελλάδα: Η Ιστορία οιάνθρωποι.α τόμος κέδρος,αθήνα

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ14) Περίοδος ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η. Τότε r r b c. και ( )

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ14) Περίοδος ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η. Τότε r r b c. και ( ) Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ4) Περίοδος 8-9 ΕΡΓΑΣΙΑ η Θέμα (μονάδες ) i. Δείξτε ότι ( a b) c a ( b c ) + b( a c ). a b c+ c a b+ b c a ii. Δείξτε την ταυτότητα Jacobi : ( ) ( ) ( ) Απάντηση i.

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων. Α.-Γ. Σταφυλοπάτης.

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων. Α.-Γ. Σταφυλοπάτης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Πειράματα Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα «Η διδασκαλία και η αξιολόγηση των Μαθηματικών στις Πανελλαδικές Εξετάσεις νέοι δρόμοι και αλλαγή φιλοσοφίας»

Θέμα «Η διδασκαλία και η αξιολόγηση των Μαθηματικών στις Πανελλαδικές Εξετάσεις νέοι δρόμοι και αλλαγή φιλοσοφίας» Ημερίδα για Μαθηματικά Σάββατο 28/01/2017 Εκπαιδευτήρια "Ροδίων Παιδεία" Θέμα «Η διδασκαλία και η αξιολόγηση των Μαθηματικών στις Πανελλαδικές Εξετάσεις νέοι δρόμοι και αλλαγή φιλοσοφίας» «Μια αποτύπωση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ σχολικού συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας drizosdim@yahoo.gr Εισαγωγή Σύντομη ιστορική αναδρομή Το

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες)

A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες) A ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( διδακτικές ώρες) 1 Σκοποί Στόχοι α Σκοποί: Οι μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

των θετικών µαθηµάτων Ηµερήσιου και Εσπερινού Γυµνασίου για το σχ.

των θετικών µαθηµάτων Ηµερήσιου και Εσπερινού Γυµνασίου για το σχ. Παραγοντοποίηση του τριωνύµου αx + βx + γ (α ) ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η παραγοντοποίηση ενός πολυωνύµου είναι µία από τις πιο βασικές

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων I. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως της πιθανότητας, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 2 6xy + 11y 2 8y + 8 = 0

Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 2 6xy + 11y 2 8y + 8 = 0 Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 6xy + 11y 8y + 8 = 0 Τι είναι αυτό που έχει δοθεί στην άσκηση; Μία ισότητα την οποία επαληθεύουν οι x, y. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολικό Έτος: 2014-2015 Μαθηματικός Περιηγητής 1 Διδακτέα ύλη και οδηγίες διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Σας εύχομαι καλή μελέτη και επιτυχία.

Σας εύχομαι καλή μελέτη και επιτυχία. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό αποτελεί συνέχεια του Α τεύχους και απευθύνεται κυρίως στους μαθητές της Α Λυκείου, αλλά και στους καθηγητές που διδάσκουν το μάθημα «Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων» της Α Λυκείου.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ -ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ -ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ -ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου»

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

Το σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί με το λογισμικό Geogebra.

Το σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί με το λογισμικό Geogebra. 9.3. Σενάριο 9. Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx +βx+γ Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ +βχ+γ (γραφική παράσταση, μονοτονία, ακρότατα). Θέμα: Το προτεινόμενο θέμα αφορά την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ.

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ. Στέφανος Κεΐσογλου Σχολικός σύμβουλος ΕΝΕΙΚΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΧΕΙΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΙΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ. Στο κείμενο που ακολουθεί έχει γίνει προσπάθεια να φανεί ότι ο σχεδιασμός της διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

a x = x a x. Ηθετικήλύσητηςεξίσωσηςαυτής(για a = 1)είναιοαριθμόςτου Fibonacci 5 1 φ =. 2 ΟΑριστοτέληςδενχρησιμοποιείτονόρο,αλλάπροτιμάτοκάθετος.

a x = x a x. Ηθετικήλύσητηςεξίσωσηςαυτής(για a = 1)είναιοαριθμόςτου Fibonacci 5 1 φ =. 2 ΟΑριστοτέληςδενχρησιμοποιείτονόρο,αλλάπροτιμάτοκάθετος. Ã Ð Ó ½¾ ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ Ø³ ÇÑÓ Ø Ø ½¾º½ Ì Ô Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓ٠س ÇÖ ÑÓ ÇÖ ÑÓ Ø ÓÑÓ Ø Ø Ù Ù Ö ÑÑÛÒ Õ Ñ ØÛÒº ÈÖ Ø ½ ÌÓ ôö Ñ º ÈÖÓØ ¾ ÇÑÓ Ø Ø ØÖ ôòûòº ÈÖÓØ ½ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ñ ØÛÒº ÈÖÓØ ½ ½ Ò ÐÓ Ñ º ½¾ ½¾ à ï Ä ÁÇ ½¾º

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

M 2. T = 1 + κ 1. p = 1 + κ 1 ] κ. ρ = 1 + κ 1 ] 1. 2 κ + 1

M 2. T = 1 + κ 1. p = 1 + κ 1 ] κ. ρ = 1 + κ 1 ] 1. 2 κ + 1 Å Ü Ò ÙÐØ Ø ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ø Ù Ó Ö Ù Ã Ø Ö Þ Ñ Ò Ù ÐÙ Ð Ò Ö Ëº Ó Ì Ä ÈÊÇÊ ÉÍÆ Æ ÃÁÀ ËÌÊÍ ËÌÁ ÁÎÇ ÄÍÁ Á ÆÌÊÇÈËÃ Ê Ä Á κ = 1.4µ ½ ½ ÁÞ ÒØÖÓÔ Ö Ð ÃÓÖ Ø Ò ÑÓ Þ Þ ÒØÖÓÔ Ó ØÖÙ ½ Ú ÔÓÑÓ Ù Ò ÜÙ ØÓØ ÐÒ Ú Ð Õ Ò Ø Ø

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικά Συστήματα. URL:

Δυαδικά Συστήματα.   URL: Ø ÖÓ Ü Ñ ÒÓ ÓØ Δυαδικά Συστήματα ôö Ó Éº Ð Ü Ò Ö ÔÓÙÐÓ Ä ØÓÖ Èº º ¼» ¼ e-mail: alexandg@uop.gr URL: http://users.iit.demokritos.gr/~alexandg ÌÑ Ñ Ô Ø Ñ Ì ÕÒÓÐÓ Ì Ð Ô Ó ÒÛÒ ôò È Ö Õ Ñ Ò Ù Ë Ø Ñ ½ ¾ Δυαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέμα Α. Αν x, x οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx +βx+γ=, α να αποδείξετε ότι S P. (6 μονάδες) Β. Ελέγξατε αν κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικές Συναντήσεις

Μαθηματικές Συναντήσεις Μαθηματικές Συναντήσεις ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1 / ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 16 Ενδεικτικά θέματα μαθηματικών για τις Α, Β και Γ τάξεις του Γενικού Λυκείου Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Τα

Διαβάστε περισσότερα

ÔÖÓØ Ô ØÓ ESO (M. Sarazin and F. Roddier, A&A 227, 294-300, 1990) Õ Ò ¹

ÔÖÓØ Ô ØÓ ESO (M. Sarazin and F. Roddier, A&A 227, 294-300, 1990) Õ Ò ¹ Seeing-GR Å ØÖôÒØ Ø Ø Ö Õ Ø ØÑ Ö Ø Ò ÐÐ Å Ð Ñ ØÖ 1 Æ ØÓÖ ÒÒ 2 È ÖÞ ËØ Ð Ó 3 ÌÖ ÑÓÙ Ù Ð 4 Ã Ö Ñ Ò Ð 5 ÒØÛÒ ÒÒ 5 ÓÙÐ ÒÒ 5 ÃÓÙÖÓÙÑÔ ØÞ Ãô Ø 5 Ë Ö ÒÒ 5 1 Hamburger Sternwarte, Gojenbergsweg 112, 21029 Hamburg,

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, που κρατάς στα χέρια σου προέκυψε τελικά μέσα από την εμπειρία και διδακτική διαδικασία πολλών χρόνων στον Εκπαιδευτικό Όμιλο Άλφα. Είναι το αποτέλεσμα συγγραφής πολλών καθηγητών

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση. (i)(α) Να αποδειχθεί ότι η ƒ αντιστρέφεται και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. (β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός a, τέτοιος ώστε να ισχύει

Άσκηση. (i)(α) Να αποδειχθεί ότι η ƒ αντιστρέφεται και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. (β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός a, τέτοιος ώστε να ισχύει Πειραματικό λύκειο Αναβρύτων Δρεκόλιας Δημήτρης Γ Λυκείου 2//2 Άσκηση Έστω η συνάρτηση f(x) = 2e x x 2 + με πεδίο ορισμού το σύνολο D f = R. (i)(α) Να αποδειχθεί ότι η ƒ αντιστρέφεται και να βρεθεί το

Διαβάστε περισσότερα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

v[m/s] U[mV] 2,2 3,8 6,2 8,1 9,7 12,0 13,8 14,2 14,6 14,9

v[m/s] U[mV] 2,2 3,8 6,2 8,1 9,7 12,0 13,8 14,2 14,6 14,9 Á ¹ È ÖÙÔ ½º ÖÞ ÚÓÞ Ö ÓÒ Ø ÒØÒÓÑ ÖÞ ÒÓÑ ÒØ ÒÞ Ø Ø v 1 = 45,0 m/s ÔÖÙ ÒÓÑ ÔÖ Ð ÞÙ Ó ÔÙØ Ñ ÒÓÖÑ ÐÒÓ Ò ÔÖ Ú ÔÖÙ Ö ÙØÓÑÓ Ð ÓÒ Ø ÒØÒÓÑ ÖÞ ÒÓÑ ÒØ ÒÞ Ø Ø v 2 = 15,0 m/s Ó Ò Ð º Í ÓÐ Ó Ö Ò ÚÓÞ Ñ ØÙ ÞÚÙ ÙÕ Ø ÒÓ

Διαβάστε περισσότερα

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Mα θ η μ α τ ι κ ά Β Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Λυκείου Θετικής-Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Σ. Ασημέλλης. Μαθημαγικά

Σ. Ασημέλλης. Μαθημαγικά Σ. Ασημέλλης Μαθημαγικά Αθήνα 2013 Αφιερωμένο στο δικαίωμα ελεύθερης διάδοσης της γνώσης. Γνωρίζω, οι πρόλογοι των βιβλίων είναι ενδεχομένως το πιο σίγουρο τμήμα τους που κανένας δε διαβάζει. Στην πραγματικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Λυση. και επομένως. Αντικαθιστούμε στη σχέση. Λυση. y = f 3 και y = f 3

Λυση. και επομένως. Αντικαθιστούμε στη σχέση. Λυση. y = f 3 και y = f 3 Ø ÔØÓÑ Ò ½ Á ÒÓÙ ÖÓÙ ¾¼¼ Ασκηση Δίνεται η συνάρτηση f (x) =x +lnx. Να βρεθεί η εφαπτομένη της C f στοσημείομετετμημένηe. Η εξίσωση της τυχούσας εφαπτομένης της C f είναι y = f (x 0 ) x + f (x 0 ) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Ενδεκτικές ασκήσεις-απαντήσεις

Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Ενδεκτικές ασκήσεις-απαντήσεις Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Ενδεκτικές ασκήσεις-απαντήσεις Τσούλος Ιωάννης, Επίκουρος Καθηγητής Τμ. Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. Άρτα, Μάιος 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Τμήμα Διάρκεια: δ. ώρα/ες. Ονοματεπώνυμο Μαθητή: Τετραγωνική ρίζα πραγματικών αριθμών. Ποιοι τετράγωνοι αριθμοί υπάρχουν μέχρι το 100;

Τάξη Τμήμα Διάρκεια: δ. ώρα/ες. Ονοματεπώνυμο Μαθητή: Τετραγωνική ρίζα πραγματικών αριθμών. Ποιοι τετράγωνοι αριθμοί υπάρχουν μέχρι το 100; Φύλλο εργασίας Τάξη Τμήμα Διάρκεια: δ. ώρα/ες Ημερομηνία / / Ονοματεπώνυμο Μαθητή: Τετραγωνική ρίζα πραγματικών αριθμών Ομάδα 1 η Δραστηριότητα 1.1 Θυμάστε τους τετράγωνους αριθμούς; Ποιοι τετράγωνοι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο

Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο 1 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ 19 Φεβρουαρίου 013 ΤΑΞΗ Α Σημειώσεις Άλγεβρας Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο Εξίσωση με ένα άγνωστο λέμε την ισότητα δύο παραστάσεων μιας μεταβλητής. Πχ f(x) = g(x) όπου x μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση Δημιουργία τυχαίων αριθμών

Προσομοίωση Δημιουργία τυχαίων αριθμών Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Προσομοίωση Δημιουργία τυχαίων αριθμών Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Είναι γνωστό ότι η απόδειξη ανισοτήτων είναι ένα ζήτημα που παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες για τους μαθητές. Οι δυσκολίες αυτές συνδέονται τόσο με το

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Άλγεβρα Α Λυκείου, Κεφάλαιο ο ΘΕΩΡΙΑ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη"

Σχέδιο Μαθήματος - Ευθεία Απόδειξη Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη" ΤΑΞΗ: Α Λυκείου Μάθημα: Άλγεβρα Τίτλος Ενότητας: Μέθοδοι Απόδειξης - Ευθεία απόδειξη Ώρες Διδασκαλίας: 1. Σκοποί Να κατανοήσουν οι μαθητές την διαδικασία της ευθείας

Διαβάστε περισσότερα

ÍÒ Ú Ö Ø Ð Ù ÖÒ Ö ÄÝÓÒ Á ÁÒ Ø ØÙØ È Ý ÕÙ ÆÙÐ Ö ÄÝÓÒ Ì ÓØÓÖ Ø ËÔ Ð Ø È Ý ÕÙ Ô ÖØ ÙÐ ØÙ Ù Ò Ð À ¼ ¼ ÙÜ ÓÐÐ ÓÒÒ ÙÖ ÖÓÒ ÕÙ Ø ÒØ Ö Ð Ö Ø ÓÒ Ù ÐÓÖ Ñ ØÖ Ù ÊÙÒ ÁÁ Ù Ì Ú ØÖÓÒº Ô Ö È ÖÖ ¹ ÒØÓ Ò Ð ÖØ ËÓÙØ ÒÙ Ð ½

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα