Φυλλο 11, 27 Απριλιου 2012

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Φυλλο 11, 27 Απριλιου 2012"

Transcript

1 ÐÐ Å Ñ Ø È Φυλλο 11, 27 Απριλιου 2012 ÔÖÓ Ø Ñ Ô Ø Ò Ð Á ØÓÖ Ñ Ñ Ø Ø ÕÓÐ ³ Ð Ö º ½ ΓιάννηςΘωμαΐδης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Εισαγωγή Σ ένα από τα τελευταία τεύχη του μαθητικού περιοδικού Ευκλείδης Β (Νο 82, Οκτώβριος- Νοέμβριος- Δεκέμβριος 2011, σελ. 25) δημοσιεύτηκε η ακόλουθη άσκηση: Δίνεταιηεξίσωση αx 2 +βx+γ= 0,α 0. Εάν α+β+γ < α ναδείξετεότιηεξίσωσηέχειμία τουλάχιστον ρίζα μεταξύ 0 2. Η συγκεκριμένη άσκηση προέρχεται από τον«σκληρό πυρήνα» της παραδοσιακής ασκησιολογίας του δευτεροβάθμιου τριωνύμουτωναπολύτωντιμώνηεπίλυσήτηςστονευκλείδηβ ακολουθεί τη σχετική«μεθοδολογία». Με τη βοήθεια των τύπων του Viéte η δοθείσα σχέση των συντελεστών της εξίσωσης μετασχηματίζεται σε μία σχέση μεταξύ των ριζών από την οποία συνάγεται το ζητούμενο. Αντιγράφουμε τη λύση της άσκησης όπως ακριβώς παρουσιάστηκε στον Ευκλείδη Β : Εχουμε: α+β+γ < α α >0 α+β+γ α <1 α+β+γ <1 α 1+ β α + γ α <1 1 (ρ 1 +ρ 2 )+ρ 1 ρ 2 <1 1 ρ 1 ρ 2 +ρ 1 ρ 2 <1 (1 ρ 1 ) ρ 2 (1 ρ 1 ) <1 (1 ρ 1 )(1 ρ 2 ) <1 1 ρ 1 1 ρ 2 <1 1 ρ 1 <1 (1) ή 1 ρ 2 <1 (2). (1) 1<1 ρ 1 <1 2< ρ 1 <0 2>ρ 1 >0. Ομοίως(2) 2>ρ 2 >0 Τα προηγούμενα εγείρουν αρχικά δύο ενστάσεις μαθηματικού περιεχομένου: Κανένα στοιχείο στα δεδομένα της άσκησης δεν εξασφαλίζει ότι ηεξίσωσηέχειτιςπραγματικέςρίζες ρ 1 ρ 2 πουεμφανίζονται στην πορεία της απόδειξης. Π.χ., οι συντελεστές της δευτεροβάθμιαςεξίσωσης 4x 2 2x+1=0ικανοποιούντηνυπόθεση Ò Ñ Ø Ò Ô Ö Ø Ð Ö º ƺ˺ŠÙÖÓ ÒÒ ÖÅ Ñ Ø ôò ØÙ Ì ÔÓ Ù Ð ËÕÓÐ ËÑ ÖÒ È Ö Ñ Ø Ä Ó Ô Ñ Ð ËØÓ Õ Ó Ø Ø Ñ ØÓLA TEX¾ε α+β+γ < α αλλάησυγκεκριμένηεξίσωσηδενέχειπραγματικές ρίζες. Θα πρέπει λοιπόν να προστεθεί στα δεδομένα ως υπόθεση η ύπαρξη πραγματικών ριζών ή κάποια συνθήκη που τηνεξασφαλίζει(π.χ. ρ 1 ρ 2 ). Αντίθετα,ηυπόθεση α 0 που δίνεται είναι περιττή επειδή προκύπτει άμεσα από τη δοθείσα σχέση α+β+γ < α. Κρίνοντας τώρα τα γραφόμενα από διδακτική άποψη εγείρονται ενστάσεις άλλου είδους: Οτρόποςπουεκτίθεταιηλύσητηςάσκησηςσ έναπεριοδικό για μαθητές του Λυκείου δεν απέχει πολύ από τη μηχανική εφαρμογή μιας αλγοριθμικής διαδικασίας, από την οποία απουσιάζει όχι μόνο η ακριβολογία που πρέπει να χαρακτηρίζει τη διδασκαλία των Μαθηματικών στο επίπεδο του Λυκείου, αλλά η διαύγεια. Ποια σκοπιμότητα εξυπηρετεί η συρρίκνωση της φυσικής γλώσσας στη χρήση δύο μόνο λέξεων, των«εχουμε» «Ομοίως»; Με βάση τα παραπάνω, μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι για τους μαθητές της Α Λυκείου(στους οποίους απευθύνεται η άσκηση) θα είχε ίσως μεγαλύτερη διδακτική αξία η οργάνωση μιας δραστηριότητας, με αντικείμενο τη μελέτη της προηγούμενης απόδειξης στόχο να εντοπιστούν να αποκατασταθούν τα δύο προβληματικά σημεία που αναφέρθηκαν. Δραστηριότητες αυτού του είδους αποτελούν ίσως το μόνο τρόπο καταπολέμησης της άκριτης εφαρμογής τεχνικών, τύπων «μεθοδολογίας» που κυριαρχεί σήμερα στη διδασκαλία των Μαθηματικών συμβάλει ευθέως στην υποβάθμισή της. Η συγκεκριμένη άσκηση όμως περικλείει ιδιαίτερη μαθηματική ¾ διδακτική δυναμική έχει μια ενδιαφέρουσα ιστορία, που ανάγεται σε«ένδοξες» εποχές της νεοελληνικής μαθηματικής εκπαίδευσης. Με αφορμή λοιπόν τη δημοσίευσή της στον Ευκλείδη θα παρουσιάσουμε κάποια στοιχεία αυτής της ιστορίας θα σκιαγραφήσουμε ορισμένες μαθηματικές διδακτικές προεκτάσεις. Μερικά στοιχεία από την ιστορία της άσκησης Η άσκηση πρωτοεμφανίστηκε στην ελληνική βιβλιογραφία το 1955,σ έναμικρόβιβλίοπουεκδόθηκεστηναθήναέφερε τον τίτλο Γενικαί Ασκήσεις Αλγέβρας των Απολύτων Τιμών Ανισοτικών Συστημάτων. Συγγραφέας του βιβλίου ήταν ένας σημαντικός δάσκαλος- φροντιστής εκείνης της εποχής, ο μαθηματικός Βάσος Σαββαΐδης. Η άσκηση, η οποία ανήκει στις προτεινόμενες προς λύση, διατυπώνεται στο βιβλίο με διαφορετικήυπόθεσηαλλάμετοίδιοσυμπέρασμα,ωςεξής(σελ.65): Δίδεται η με πραγματικούς συντελεστάς εξίσωσις αx 2 +βx+γ=0όπουυποτίθεται α(β γ) > β 2 αγ + γ 2 αβ (1) Αν αι ρίζαι της εξισώσεως είναι πραγματικαί δείξατεότιμίατουλάχιστονρίζα ραυτήςπληροίτην ανισότητα 0<ρ<2. 1

2 Είναι χαρακτηριστικό ότι στον πρόλογο του βιβλίου του ο Β. Σαββαΐδης διεκδικεί την πατρότητα της συγκεκριμένης άσκησης( πολλών άλλων παρόμοιων) απαγορεύει ρητά την αναδημοσίευσή της!½ Οπως βλέπουμε, στη διατύπωση δεν υπάρχει το περιττό δεδομένο α 0,αλλάγίνεταιηαπαραίτητη-σύμφωναμετοζητούμενο- υπόθεση ότι οι ρίζες είναι πραγματικές. Ας επιχειρήσουμε τώρα να εφαρμόσουμε τη σχετική «μεθοδολογία» μετασχηματισμού της σχέσης των συντελεστών σε αντίστοιχη σχέση των ριζών. Ανονομάσουμερ 1,ρ 2 τιςρίζεςτηςεξίσωσηςδιαιρέσουμε ταμέλητηςανισότητας(1)μετονθετικόαριθμό α 2 βρίσκουμε διαδοχικά: α(β γ) > β 2 αγ + γ 2 αβ β α γ α > β2 α 2 γ α + γ2 α 2 β α (ρ 1+ρ 2) ρ 1ρ 2 > (ρ 1+ρ 2) 2 ρ 1ρ 2 + (ρ 1ρ 2) 2 +ρ 1+ρ 2 ρ 1+ρ 2+ρ 1ρ 2 > ρ 2 1+ρ 2 2+ρ 1ρ 2 + ρ 2 1ρ 2 2+ρ 1+ρ 2 Απότηντελευταίασχέσηδενφαίνεταιμεποιοτρόποθαμπορούσεναφτάσεικανείςστηζητούμενηανισότητα 0<ρ 1 < 2 ή 0<ρ 2 < 2. Προσπαθώνταςναεξάγουμεκάποιοχρήσιμο συμπέρασμα, παρατηρούμε ότι αν οι δύο ρίζες της εξίσωσης ήταν θετικές, τότε από τη σχέση αυτή προκύπτει δηλαδή ρ 1 +ρ 2 +ρ 1 ρ 2 >ρ 2 1+ρ 2 2+ρ 1 ρ 2 +ρ 2 1ρ 2 2+ρ 1 +ρ 2 ρ 2 1+ρ 2 2+ρ 2 1ρ 2 2<0 που είναι άτοπο. Άρα εκείνο που συνάγεται μέχρι στιγμής από την ανισότητα(1) είναι ότι μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης θα είναι αρνητικός αριθμός. Για να αποδείξουμε λοιπόν το ζητούμενο θα πρέπει να αναζητήσουμε κάποιο διαφορετικό μετασχηματισμό της (1). Λαμβάνοντας υπόψη (βλέπε παραπάνω την απόδειξη της άσκησης στον Ευκλείδη) ότι ισχύει η συνεπαγωγή α+β+γ < α 1 ρ 1 1 ρ 2 <1(2) Η αξιοποίηση της δεύτερης ανισότητας μας οδηγεί στο εξής αποτέλεσμα: α(β γ) > β 2 αγ + γ 2 αβ α(β γ) > β 2 αγ γ 2 +αβ α(β γ) > (β γ)(β+γ)+α(β γ) α(β γ) > (β γ)(β+γ+α) α β γ > β γ α+β+γ α > α+β+γ (επειδή,όπωςεύκολαπροκύπτειαπότην(1),είναι β γ άρα β γ > 0) Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η ανισότητα (1) συνεπάγεται την ανισότητα α+β+γ < α, από την οποία, όπως έχουμε διαπιστώσει, προκύπτει μέσω της (2) ότι μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης ανήκει στο διάστημα (0, 2). Λαμβάνοντας υπόψη όλα τα παραπάνω καταλήγουμε στα εξής συμπεράσματα: Η άσκηση που δημοσιεύτηκε το 2011 στον Ευκλείδη αποτελεί μια απλοποιημένη εκδοχή εκείνης που είχε δημοσιευθείτο1955(ηυπόθεση α(β γ) > β 2 αγ + γ 2 αβ αντικαταστάθηκε από μια συνέπειά της, την α > α+β+γ ). Αναζητώντας τις συνέπειες της ανισότητας (1) διαπιστώσαμε προηγουμένως ότι μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσηςαx 2 +βx+γ=0θαείναιαρνητικόςαριθμός.άρα στην αρχική διατύπωση του Β. Σαββαΐδη, το συμπέρασμα «μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης ανήκει στο διάστημα(0, 2») μπορεί να αντικατασταθεί από το ισχυρότερο «μία μόνο μία ρίζα της εξίσωσης ανήκει στο διάστημα (0,2)». Στα56χρόνιαπουμεσολάβησαναπότο1955μέχριτο2011, παρά τη ρητή απαγόρευση του δημιουργού της, η προηγούμενη άσκηση αναδημοσιεύθηκε στα περισσότερα φροντιστηριακά βιβλία Άλγεβρας στις διάφορες μονογραφίες με θέμα το Τριώνυμο ή τις Απόλυτες Τιμές. Ο σπουδαίος μαθηματικός φροντιστής Σπύρος Κανέλλος, στο δεύτερο τόμο του βιβλίου του Μαθήματα Αλγέβρας (1η έκδοση 1956, 2η έκδοση, 1958), προτείνει δύο μορφές της άσκησης. Αρχικά στο κεφάλαιο ΙΙ Το δευτεροβάθμιον τριώνυμον συγκεκριμένα στις ασκήσεις της ενότητας Άθροισμα γινόμενον των ριζών της δευτεροβαθμίου εξισώσεως(σελ. 18), προτείνεται προς λύση η απλοποιημένη εκδοχή: είναιφανερόότιπριναπότηδιαίρεσημετο αγιατηδημιουργία των τύπων του Viéte, απαιτείται κάποιος μετασχηματισμός που οδηγεί σε απλοποίηση της ανισότητας(1). Στο σημείο αυτό ακριβώς βρίσκεται η ουσιαστική δυσκολία της άσκησης που πρότεινε ο Β. Σαββαΐδης το Ο λογισμός των απολύτων τιμών ½Ì Ø ØÓÙ½ ¼ ½ ¼Ó ß Ô ÐÙØ Ì Ñ Ð ÔÓØ ÐÓ Ò Ñ Ó ÕÑ Ø Ü Ø Ø Ð Å Ñ Ø ôò Ø Û Ü Ø μας δίνει τα μέσα να μετασχηματίσουμε την(1) ελαττώνοντας το μικρότερο δεξιό μέλος, σύμφωνα με τις ιδιότητες α,β,γτηςδευτεροβαθμίουεξισώσεωςαx 2 +βx+γ= Εάν μεταξύ των (πραγματικών) συντελεστών 0 υφίσταται η ανισότης x + y x+y α > α+β+γ Ò Ô ÓÖ ÓÙÒØ Ò Ò ÑÓ Ù ØÛÒ ÛÒÔÓÙ Õ Ò Ô ÒÓ ºÄ ÔØÓÑ Ö Ñ Ð Ø ØÓÙÞ Ø Ñ ØÓ Ò Ø ØÓ ÂÛÑ ½ к Ñ ØÛÒØ Òß Ô Ò Ù Ð Ð ôò ÛÒ Ü ô Ò ô Ò Ø Ø ØÖ ôòùñó ØÐµÑ Ø Ò ÒÒÓ ØÓ Ñ ÓÐÓØ Ô ÐÙØ Ø Ñ º ÌÓ ÓÒ ÙØ Õ ÔÖÓ Ð ØÓÙ ÖÓÒØ Ø Ø ÔÓÕ Ñ Ö ÒØ ÒØ ÛÒ ÑÓ Ø Ò Ò Þ Ø Ô Ö Û Ô Ö ÑÓ ÛÒ ÛÒ Ñ ÔÓØ Ð Ñ Ò Ù ÐÓ ÓÖÓ Ò Ò Ø ÒÔ ÖÓ Ó Ø Ò ÐÐ Ô Ö Ø Ö Ô ½¼ÔÓÐÙ Ð ÑÓÒÓ Ö ÔÓÙ Õ Ò ÔÓ Ð Ø Ñ Ø Ô ÐÙØ Ì Ñ Ò Ñ ÒÓÑÓÒ Ø Ò Ð Ó Ö µºëùò Ò Ñ Ð Ø ÙÕÒ Ò Ô ÐÓ ÒØ Ó Ù Ö ôñ Ø ÔÒ ÙÑ Ø Ó Ø ØÛÒ º ºÁº Ø Ö ØÓÙÈÓÐÙØ ÕÒ ÓÙµ Ô Ó ÒØ ØÓ ÕÓ Ø ¹ Ñ ØÓ Ø ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ò ÙÕÒ ÛÑ Ó ÓÔ Ö Û ÔÖÛØ ØÙÔÛÒ τότεανηεξίσωσιςέχειπραγματικάςρίζας ρ 1,ρ 2 η ¾¼½¹¾¾½µº Ø Ñ Ð ØÑ ÔÓÙ Õ Ö Ó ÓË Ô Ø Ñ Ñ Ø Ô ÙØ Ó Ò Ø Ø Ø ÔÓÕ Ô Ö Ô ÑÔÓÙÑ x + y x y μία τουλάχιστον τούτων περιέχεται μεταξύ 0 2. Ò ÖÓÙÒ Õ Ø Ó Ëº Ö ½ к½ µ ÂºÃ Þ ÒØÞ ½ к¾ ¹ ¼µ ÄºÌ ÐÓ ÐÓÙ ¾¼¼ к½ µº 2

3 Στο ίδιο κεφάλαιο, στις ασκήσεις της ενότητας Διάφοροι εφαρμογαί της θεωρίας του τριωνύμου(σελ. 43) προτείνεται προς λύση η αρχική άσκηση, αλλά με το ισχυρότερο συμπέρασμα: Εάν μεταξύ των πραγματικών αριθμών α,β,γ πληρούται η ανισότης Δίδεταιηεξίσωσις αx 2 +βx+γ= 0έχουσαρίζας πραγματικάςταςρ 1 ρ 2.Εάνοιπραγματικοίσυντελεσταί της εξισώσεως πληρούν μίαν των κατωτέρων σχέσεων είτε την α(β γ) > β 2 αγ + γ 2 αβ α(β γ) > β 2 αγ + γ 2 αβ αιδερίζαιτης αx 2 +βx+γ= 0είναιπραγματικαί, τότεημίαμόνονημίαρίζαθαπεριέχεταιμεταξύ 02. Οι δύο αυτές ασκήσεις περιλαμβάνονται επίσης στις ίδιες ενότητες του δεύτερου τόμου του βιβλίου του Σ. Κανέλλου ΆλγεβραδιαταΛύκεια,(1ηέκδοση1966,2ηέκδοση1970:σελ.31 άσκησηβ-98σελ.64άσκησηβ-167,όπουμετοδιακριτικό Β υποδηλώνονται οι σύνθετες ασκήσεις). Το 1959 εμφανίζεται επίσης ο πρώτος... απόγονος της άσκησης, στο δεύτερο τόμο του βιβλίου του Χρίστου Μπαρμπαστάθη Μεγάλη Άλγεβρα. Στο κεφάλαιο Εξισώσεις του δευτέρου βαθμού προτείνεται προς λύση η επόμενη(σελ. 12): Αν οι συντελεσταί α,β,γ της εξισώσεως αx 2 + βx+γ= 0ηοποίαέχειπραγματικάςρίζας ρ 1,ρ 2 συνδέωνται δια της σχέσεως α > α+2β+4γ η μία τουλάχιστον των ριζών αυτής περιέχεται μεταξύ01. Η απόδειξη είναι ουσιαστικά μια επανάληψη της μεθόδου που εφαρμόστηκεστηνπερίπτωσητηςυπόθεσης α+β+γ < α : α+2β+4γ < α 1+2 β α +4γ α <1 1 2(ρ 1 +ρ 2 )+4ρ 1 ρ 2 <1 1 2ρ 1 2ρ 2 +4ρ 1 ρ 2 <1 (1 2ρ 1 ) 2ρ 2 (1 2ρ 1 ) <1 (1 2ρ 1 )(1 2ρ 2 ) <1 1 2ρ 1 1 2ρ 2 <1 1 2ρ 1 <1 ή 1 2ρ 2 <1 1 2ρ 1 <1 1<1 2ρ 1 <1 2< 2ρ 1 <0 0<ρ 1 <1 είτε την α > α+β+γ. Να αποδειχθεί ότι μία τουλάχιστον των ριζών της εξισώσεως περιέχεται μεταξύ των 0 2. Οι δύο μορφές της άσκησης(ανάλογα με την ανισότητα που δίνεται ως υπόθεση) καθιερώθηκαν έκτοτε στη σχετική βιβλιογραφία εμφανίζονται στα περισσότερα από τα πολυάριθμα βιβλία Άλγεβρας ή τις μονογραφίες για το Τριώνυμο τις Απόλυτες Τιμές που εκδόθηκαν τις επόμενες δεκαετίες. Για να αναφέρουμε ένα μόνο χαρακτηριστικό παράδειγμα, αμφότερες περιέχονται στο κεφάλαιο για την εξίσωση το τριώνυμο 2ου βαθμού όλων των εκδόσεων της περίφημης Άλγεβρας του ΘεόδωρουΚαζαντζή(1967,σελ.2053,1971,σελ.2154, 1978,σελ.25). Σε ορισμένες μάλιστα περιπτώσεις εμφανίστηκαν νέοι... απόγονοι ή επιχειρήθηκαν από τους συγγραφείς εναλλακτικές διατυπώσεις. Στο βιβλίο του Δ. Μάγκου Τριώνυμο(Θεσσαλονίκη, 1978) αφού λύνεται πρώτα η αρχική μορφή(σελ. 11), στη συνέχεια προτείνεται προς λύση μαζί με την απλοποιημένη εκδοχή μια νέα μορφή της άσκησης που έχει διαφορετική υπόθεση συμπέρασμα(σελ. 23): Ανηεξίσωση αx 2 +βx+γ= 0, α,β,γ R,έχει ρίζες πραγματικές, να αποδειχθεί ότι: α)αν α > α+β+γ, τότε μια τουλάχιστον ρίζα ανήκει στο διάστημα (0,2). β)αν α > α β+γ, τότε μια τουλάχιστον ρίζα ανήκει στο διάστημα ( 2,0). Τον επόμενο χρόνο, οι Α. Κουκλάδας Π. Γεωργιακάκης, στο βιβλίο τους Μεθοδική Άλγεβρα 2(Αθήνα, 1979) στην ενότητα Μέθοδος της εις άτοπον του κεφαλαίου Απόλυτα, προτείνουν προς λύση την αρχική άσκηση στην εξής, ισοδύναμη μορφή που παρακάμπτει την αναφορά στην εξίσωση τις ρίζες της(σελ. 50): Ομοίως Εάν α,β,γ,x,y R, 1 2ρ 2 <1 0<ρ 2 <1. Λίγα χρόνια μετά ακολούθησε η πρώτη δημοσίευση της άσκησης στο Παράρτημα του Δελτίου της Ε.Μ.Ε.(τον πρόδρομο του x+y= β α,xy= γ α Ø Ð Ö Â Ñ Ø ØÓÙÈ Ò ôø Å Ö ÔÖôØ Ó ØÓ½ ¾ Ô Ò ØÓ½ ½ ¼ ½ µºë Ñ Ô Ø Ô Ò Ò ÓÖ º σημερινού Õ ÑÓ ÙØ Ù Ö Ñ Ò Ô Ö ØÓ ÓÒ Ø Ô Ö ÕÓÒØ ÙØ ØÓÒØ Ô Ö ÑÓ º ¾ Ô Ø Ø Ñ ÕÖ Ñ Ö Ù Ö Ñ Ò Õ ÑÓ Ù ØÓÈ Ö ÖØ Ñ ØÓÙ ÐØÓÙ ØÓÒ Ù Ð ØÓÒ Ù Ð ³ØÓÙÐ Õ ØÓÒ½¼ Ó Ü Ó Ñ ÛØ Ü Ö ÔÓØ ÐÓ Ò Å Ð ³ Ð Ö ØÓÙ Ö Ø È ÐÐ ÔÖôØ Ó ØÓ½ Ô Ò ØÓ½ ¼ ½ ½ ¼µ Ευκλείδη)¾. Στο τεύχος 144 που κυκλοφόρησε το α(β γ) > β Δεκέμβριο του 1963, προτείνεται προς λύση από τον Ι. Τ- 2 αγ + γ 2 αβ σακιρίδη με την εξής, κάπως περίεργη, διατύπωση στην οποία τότεέναςμόνοναπ τους x,yπεριέχεταιμεταξύ0 αναμειγνύονται οι δύο υποθέσεις(σελ. 93): 2. 3

4 Ολες οι εμφανίσεις της συγκεκριμένης άσκησης ή των παραλλαγών της στη σχετική βιβλιογραφία ακολουθούν την πεπατημένη της παραδοσιακής«ασκησιολογίας» «μεθοδολογίας» που εντάσσεται στο γενικότερο πλαίσιο της «προετοιμασίας για τις εξετάσεις». Δεν συναντούμε σε καμιά περίπτωση προβληματισμούς για μαθηματικές ή διδακτικές προεκτάσεις, όπως π.χ. αναζήτηση γενικεύσεων, διαφορετικών αποδείξεων ή την ένταξη της άσκησης σ ένα ευρύτερο εννοιολογικό πλαίσιο. Ορισμένα ζητήματα αυτού του είδους θα εξετάσουμε στην ενότητα που ακολουθεί. Μερικές μαθηματικές διδακτικές προεκτάσεις Η πρώτη ερευνητική δραστηριότητα που ακολουθεί συνήθως την επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος, είναι η αναζήτηση κάποιων γενικεύσεων(οι οποίες συχνά ανοίγουν το δρόμο για διαφορετικές λύσεις ή αποδεικτικές προσεγγίσεις). Στην άσκηση που μας απασχολεί εδώ, μια πρώτη αυθόρμητη απόπειρα γενίκευσης θα μπορούσε να αναφέρεται στο βαθμό του πολυωνύμου: Τι συμπέρασμα εξάγεται από τη σχέση α+β+γ+δ < α για τους πραγματικούς συντελεστές ενός τριτοβάθμιου πολυωνύμουαx 2 +βx 2 +γx+δπουέχειτρειςπραγματικέςρίζες ρ 1,ρ 2 ρ 3 ; Μετασχηματίζονταςτηνανισότητα α+β+γ+δ < α με χρήση των αντίστοιχων τύπων του Viéte ρ 1 +ρ 2 +ρ 3 = β α,ρ 1ρ 2 +ρ 2 ρ 3 +ρ 3 ρ 1 = γ α,ρ 1ρ 2 ρ 3 = δ α διαπιστώνουμε (αποτελεί μια ενδιαφέρουσα άσκηση παραγοντοποίησης) ότι στην περίπτωση αυτή προκύπτει ηανισότητα (1 ρ 1 )(1 ρ 2 )(1 ρ 3 ) <1 από την οποία έπεται βέβαια ότι μία τουλάχιστον ρίζα του πολυωνύμου βρίσκεται ανάμεσα στο 0 το 2. Αυτή η γενίκευση μεταφέρεται άμεσα στην περίπτωση του αντίστοιχου πολυωνύμου ν-οστού βαθμού φέρνει στο προσκήνιο μια νέα αποδεικτική προσέγγιση. Αν λάβουμε υπόψη τιςθεμελιώδειςταυτότητες: λ Rμε λ 0,τοτριώνυμοέχειπραγματικέςρίζες,τότε μίατουλάχιστονρίζαανήκειστοδιάστημα(0, 2 )αν λ>ήστο αx 2 λ +βx+γ=α(x ρ 1 )(x ρ 2 ) ( 2,0)αν λ<0. λ ÔÓÙ Þ ÒØ Ðô Òô ÔÖôØ ÙÐÞ Ø ßØ ÔÓÔ Ö ÓÒØÓÔÓ ÐºË Ñ ÛÒ Ñ Ø Õ ÓÒØ Ò ÐÙØ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÔÖÓØ Ö Ø Ø Ø ÀÑ Ð Ñ ÙØôÒØÛÒØ ÙØÓØ ØÛÒ Ò ÒØ ØÖ Û Ò ÐÓ Ñ Ø ÒÕÖ ØÓÙ Ø Ð Ø ³ Ð Ö ØÓÄ ÓºÀ Ø Ö Αποδειξη. Η απόδειξη γίνεται με τη γνωστή διαδικασία, από την οποία προκύπτει ότι: αx 2 +βx 2 +γx+δ=α(x ρ 1 )(x ρ 2 )(x ρ 3 ) α+λβ+λ 2 γ < α 1 λρ 1 1 λρ 2 <1 διαπιστώνουμε άμεσα ότι ισχύει Από την τελευταία ανισότητα δεν είναι δύσκολο να οδηγηθούμε Ð Ô Ô Ö Ø Ö ØÓÞ Ø Ñ ÙØ ØÓ ÂÛÑ ¾¼½½µº Ð ØÛÒÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ Ø ³ÄÙ ÓÙ ÕÓÙÒÙÔÓÐÓ Ø Ø ÕÒ ÔÛØÓ Õ Ñ Hornerº Ø Ø Ø ÓÖ Ñ ÒÛÒ Ø ÖôÒ Ô Ô Ö Ñ ØÖÓÙºÀ Ò ÔØÙÜ Ø Ò Ø Ø ß ØÓÙ Ò Ó Ñ ØÓ Ð ÔÓØ Ð Ò Þ ØÓ Ñ ÒÓ Ø Ø ØÛÒÅ Ñ Ø ôò Ò Õ Ø ÓÐÓØÖ ÔÓÒ ÐÐ Ö ÙØ Ò Ø Ø Ô Ø Ð ØÛÒÅ Ñ Ø ôò Ò Ò Ò ÖÖ ÒÓÒØ Ó Ñ Ø Ò ÖÒÓÙÒØ Ò ÔÐÙ Ñ ÓÕ Ö ÑÓ ÛÒ ÛÒ Ô Ñ Ñ Ð Ø Ô ÒÛ ØÓ ÒÓÐÓ ÙØôÒØÛÒ ÛÒº ËØ ÒÔÓÖ ÔÖÓØ Ø ÔÛ Ø ÈÖ Ø ½ Ô ØôÒÓÙÑ Ò Õ Ö Ø Ö Ø Ø Ò Ù Ø Å Ñ Ø Ð Ø Ò Ò¹ α+β+γ=α(1 ρ 1 )(1 ρ 2 ) στο συμπέρασμα της πρότασης, διακρίνοντας τις περιπτώσεις 4 α+β+γ+δ=α(1 ρ 1 )(1 ρ 2 )(1 ρ 3 ) Από τις σχέσεις αυτές οι ανισότητες α+β+γ < α α+β+γ+δ < α μας δίνουν αμέσως τα αντίστοιχα συμπεράσματα για τις ρίζες, χωρίς εμπλοκή των τύπων του Viéte παραγοντοποιήσεων. Μια άλλη ενδιαφέρουσα προοπτική γενίκευσης μας παρέχει η σύγκριση των τριών διαφορετικών υποθέσεων των αντίστοιχων συμπερασμάτων που έχουμε συναντήσει ήδη στην βιβλιογραφία: 1. α+β+γ < α ρ (0,2)(Κανέλλος) 2. α+2β+4γ < α ρ (0,1)(Μπαρμπαστάθης) 3. α β+γ < α ρ ( 2,0)(Μάγκος) Ξαναγράφοντας τις ανισότητες αυτές στη μορφή α+1 β+1 2 γ < α α+2 β+2 2 γ < α α+( 1)β+( 1) 2 γ < α οδηγούμαστε αυθόρμητα στην εικασία- ερώτηση: Τι συμπέρασμαπροκύπτειγιατιςπραγματικέςρίζεςτουτριωνύμου αx 2 + βx+γότανισχύει α+3β+9γ < α ; Ηεφαρμογήτηςίδιας διαδικασίας που ακολουθήσαμε στις προηγούμενες περιπτώσεις μας οδηγεί στην ανισότητα 1 3ρ 1 1 3ρ 2 <1 από την οποία προκύπτει ότι μία τουλάχιστον ρίζα του τριωνύμουανήκειστοδιάστημα(0, 2 ). Τοσυμπέρασμααυτόη 3 μορφή των αντίστοιχων διαστημάτων μας οδηγούν στη διατύπωση της επόμενης πρότασης: Προταση 1. Αν οι συντελεστές του τριωνύμου f(x) = α+λβ+λ 2 γ < α

5 λ>0 λ<0. Οι κλασικές ασκήσεις που είχαν ως υποθέσεις τις ανισότητες (1),(2) (3) αποτελούν πλέον ειδικές περιπτώσεις της Πρότασης1,για λ=1, λ=2 λ= 1αντίστοιχα. Μια άλλη προοπτική γενίκευσης μας παρέχει η αποδεικτική μέθοδος που υποδείξαμε παραπάνω με βάση την ταυτότητα αx 2 +βx+γ= α(x ρ 1 )(x ρ 2 ). Τοαποτέλεσμαστοοποίο καταλήγουμε μας οδηγεί στην επόμενη βασική πρόταση, την απόδειξη της οποίας αφήνουμε ως άσκηση για τον αναγνώστη: Προταση 2. Αν οι συντελεστές του τριωνύμου f(x) = αµ 2 +βµ+γ < α, µ R, (δηλαδή f(µ) < α ) το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες, τότε μία τουλάχιστον ρίζα ανήκει στο διάστημα (µ 1,µ+1). Ενδιαφέρον παρουσιάζει επίσης η γεωμετρική ερμηνεία αλλά η περαιτέρω μελέτη αυτού του αποτελέσματος, το οποίο εκφράζει μία αντιστοιχία ανάμεσα σ ένα διάστημα που περιέχει τιμές του τριωνύμου ένα διάστημα που περιέχει μία ρίζα του: f(µ) ( α, α ) ρ (µ 1,µ+1). Μετοντρόποπουέχουμεεργαστείμέχριτώραφαίνεταιότιέχουμε εξαντλήσει τα περιθώρια γενικεύσεων της άσκησης για τοτριώνυμο f(x)=αx 2 +βx+γ.μιανέαπροοπτικήανοίγεται όμως αν συνδυάσουμε την Πρόταση 2 με τις επόμενες βασικές προτάσεις της σχολικής Άλγεβρας: Θεωρημα. Αν α,β,γ,ρ 1,ρ 2 R, α 0 β 2 > 4αγ,τότε οισχέσεις ρ 1 + ρ 2 = β α ρ 1ρ 2 = γ α αποτελούνικανές αναγκαίεςσυνθήκεςώστεοιαριθμοί ρ 1,ρ 2 ναείναιοιρίζεςτου τριωνύμου f(x)=αx 2 +βx+γ. Πορισμα.Οιαριθμοί ρ 1,ρ 2 με ρ 1 +ρ 2 =S ρ 1 ρ 2 =Pείναι ρίζεςτουτριωνύμου f(x)=αx +βx+γ 2 Από το προηγούμενο πόρισμα γίνεται άμεσα φανερό ότι μ- πορούμε να δημιουργήσουμε διάφορα τριώνυμα που οι ρίζες τους είναισυναρτήσειςτωνριζών ρ 1 ρ 2 ενόςδεδομένουτριωνύμου f(x)=αx 2 +βx+γ.γιαπαράδειγμα,απότιςσχέσεις λρ 1 +λρ 2 =λ(ρ 1 +ρ 2 )= λβ α έχειρίζεςτουςαριθμούς ρ 2 1 ρ2 2 (ασκήσειςαυτούτουείδους αφθονούσαν στην βιβλιογραφία της κλασικής σχολικής Άλγεβρας). Η εφαρμογή τώρα της παραπάνω Πρότασης 2 στο τριώνυμο ϕ(x)=αx 2 +λβx+λ 2 γ, οδηγεί στο συμπέρασμα ότι αν ισχύει αµ 2 +λβµ+λ 2 γ < α (δηλαδή ϕ(µ) < α ) το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες, τότε μία τουλάχιστον από αυτές (δηλαδή ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς λρ 1 λρ 2 ) θα ανήκει στο διάστημα (µ 1,µ+1). Τοσυμπέρασμααυτόμαςοδηγείστηνεπόμενη πρόταση, την απόδειξη της οποίας αφήνουμε ως άσκηση για τον αναγνώστη: Προταση 3. Αν οι συντελεστές του τριωνύμου f(x) = αµ 2 +λβµ+λ 2 γ < α με λ,µ R λ 0,τοτριώνυμοέχειπραγματικέςρίζες, τότεμίατουλάχιστονρίζαανήκειστοδιάστημα( µ 1 λ, µ+1 λ )αν λ>0ήστο( µ+1 )αν λ<0. λ, µ 1 λ Με τη μέθοδο αυτή, δηλαδή την εφαρμογή της Πρότασης 2σετριώνυμαπουοιρίζεςτουςείναισυναρτήσειςτωνριζών του f(x), ανοίγει ο δρόμος για ένα μεγάλο αριθμό ωραίων συμπερασμάτων. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης δεν θα έχει δυσκολία να αποδείξει δύο από αυτά, τα οποία διατυπώνουμε ως εξής: Προταση 4. Αν οι συντελεστές του τριωνύμου f(x) = α+µβ+µ 2 γ < γ µ R µ ±1, τοτριώνυμοέχειπραγματικέςρίζες, τότεμίατουλάχιστονρίζαανήκειστοδιάστημα( 1 µ 1, 1 µ+1 )αν 1<µ<1ήστοδιάστημα( 1 µ+1, 1 )αν µ< 1ήµ>1. µ 1 Υποδειξη: Να γίνει εφαρμογή της Πρότασης 2 στο τριώνυμο σ(x)=γx 2 + βx+απουέχειρίζεςτιςαντίστροφεςτων ριζώντου f(x)=αx 2 +βx+γ. Προταση 5. Αν οι συντελεστές του τριωνύμου f(x) = λρ 1 λρ 2 =λ 2 ρ 1 ρ 2 = λ2 γ α f( µ)f( µ) < α 2 προκύπτεισύμφωναμετοπόρισμαότιοιαριθμοί λρ 1 λρ 2 είναιρίζεςτουτριωνύμου ϕ(x)=αx 2 + λβx+λ 2 γ. Εύκολα µ R µ 1,τοτριώνυμοέχειπραγματικέςρίζες,τότε μπορεί να αποδειχθεί επίσης ότι το τριώνυμο γιαμίατουλάχιστονρίζατου ρ,ισχύει ρ ( µ 1, µ+1). ³ Ð Ö Ø ³ÄÙ ÓÙ Ð Õ Ø ÙÑ Ð Ø Ò Ø Ò ØÓÙ Ñ ÒØ Ø ØÓÙÖ ÐÓÙØÓÙ Ø ÛÖ ØÛÒÔÓÐÙÛÒÙÑ ôò Ü ô ÛÒº Ô σ(x)=γx 2 +βx+α Υποδειξη: Να γίνει εφαρμογή της Πρότασης 2 στο τριώνυμο τ(x)=αx 2 +(β 2 2αγ)x+γ 2 πουέχειρίζεςτατετράγωνα ÛßØ ÔÓØ ÖÒÓÙ ÐØÛÒ Ü ô ÛÒ¾ÓÙ ÑÓ º À Ð ØÛÒÐ Ñ ÒÛÒØ ÔÛÒØÓÙViéte ØÓ Õ ô ÙÑÑ ØÖ Ô Ö Ø ØÛÒÖ ÞôÒµ Ñ ÛÒ Ñ Ò ÖÓÒØ ØÓ ÕÓÐ ÐÓ S xy=pºìó Ø Ñ ÙØ ÙÔ ÖÜ ØÓÖ ØÓÔÖ Ð Ñ ¹ ÒÒ ØÓÖ Ô Ø Ð ØÓÙÓÔÓÓÙÔÖÓ Ð Õ ÔÓÙ Ò ÒÛ Ø έχειρίζεςτουςαριθμούς 1 1 ρ 1 ρ 2 0ÐÙÔÓ ÑÞ Ø Ñ Ð Ñ Ñ Ø Ø Ñ ØÓÙ,ενώτοτριώνυμο τωνριζώντου f(x)=αx 2 +βx+γ. Μιαενδιαφέρουσαειδική περίπτωση αποτελεί η επόμενη άσκηση, η οποία προκύπτει από τ(x)=αx 2 +(β 2 2αγ)x+γ 2 τηνπρόταση4για µ=2: Ñ ØÓÒÐ Ñ ÒÓßØ ÔÓ Ø Ù Ü Û ¾ÓÙ ÑÓ x2 Sx+P = Ù Ø Ñ ØÓx+y= 5

6 Ασκηση. Αν ισχύει α+2β+4γ < γ τοτριώνυμο f(x)=αx 2 +βx+γέχειπραγματικέςρίζες, τότεμίατουλάχιστοναπόαυτέςθαανήκειστοδιάστημα( 1 3, 1). Το ενδιαφέρον εστιάζεται αρχικά στην αποδεικτική τεχνική που απαιτεί η επίλυση της συγκεκριμένης άσκησης, αν θεωρηθεί ανεξάρτητα από την Πρόταση 4. Μια άλλη ενδιαφέρουσα προοπτική ανοίγεται από τη σύγκριση της ανισότητας α+2β+4γ < γ μετην α+2β+4γ < α ηοποία,όπωςδιαπιστώσαμε παραπάνω, εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας τουλάχιστονρίζαςστοδιάστημα(0,1).ησύγκρισηαυτήμπορείναμας οδηγήσει σε μια συζήτηση για το πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα του εντοπισμού των ριζών ενός πολυωνύμου τη βελτίωση των σχετικώνφραγμάτων(ηαλλαγήτουσυντελεστήαμετονγστο δεύτερο μέλος της ανισότητας περιορίζει το διάστημα κατά τοένατρίτο). Ησχετικήέρευνα,στηνοποίαείχανκατάτο παρελθόνλάβειμέροςμεαξιόλογη-σεδιεθνέςεπίπεδο-συμβολή Ελληνες μαθηματικοί από το χώρο της μέσης εκπαίδευση- ς, περιέχει πολλά ωραία αποτελέσματα που θα μπορούσαν(με κατάλληλη προσαρμογή) να ενταχθούν στη διδασκαλία των Μαθηματικών να αποδώσουν κάποιο νόημα στην ασυνάρτητη παραδοσιακή ασκησιολογία. Επίλογος Κλείνοντας αυτή την εργασία θέλουμε να σημειώσουμε ότι περιοριστήκαμε στο τριώνυμο δευτέρου βαθμού, έτσι ώστε το περιεχόμενό της να μπορεί να αξιοποιηθεί διδακτικά σε όλες τις τάξεις του Λυκείου. Είναι όμως φανερό ότι τα συμπεράσματαγενικεύονταιγιαπολυώνυμα ν-οστούβαθμού(ν N, ν>2). Για τον ίδιο λόγο επίσης υποθέσαμε την ύπαρξη πραγματικών ριζών περιοριστήκαμε σε διαστήματα της πραγματικής ευθείας, ενώ τα συμπεράσματα ισχύουν στη γενική περίπτωση μιγαδικών εν γένει ριζών αντίστοιχους τόπους(κυκλικούς δίσκους ή δακτυλίους) του μιγαδικού επιπέδου. Θέλουμε επίσης να τονίσουμε ότι στην κλασική βιβλιογραφία της στοιχειώδους Άλγεβρας υπάρχει ένα πλούσιο απόθεμα προβλημάτων ασκήσεων τα οποία σήμερα, εποχή υποβάθμισης της διδασκαλίας των Μαθηματικών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση μετατόπισης του«ασκησιολογικού» ενδιαφέροντος προς την Ανάλυση, έχουν περιέλθει στην αφάνεια. Ολο αυτό το υ- λικό, που είχε μείνει κατά το παρελθόν εγκλωβισμένο στην εξεταστική θεματολογία, αξίζει να γίνει αντικείμενο μελέτης διδακτικής ανάλυσης με στόχο την αξιοποίησή του στην τάξη, σε ερευνητικές εργασίες των μαθητών σε μαθηματικούς ομίλους. Βιβλιογραφικες παραπομπες Σ. Ζερβος, Ιστορική αναδρομή στο ρόλο του φροντιστή. Η- μερολόγιο 1999, σελ Ομοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδας. Γ. Θωμαΐδης, Διδακτική μετατόπιση μαθηματικών εννοιών εμπόδια μάθησης ( η περίπτωση της απόλυτης τιμής). Διδακτορική διατριβή, Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη Γ. Θωμαΐδης, Ιστορικές διδακτικές όψεις της γενίκευσης στην Άλγεβρα. Στο συλλογικό τόμο της Επιστημονικής Ενωσης για τη Διδακτική των Μαθηματικών: Η Άλγεβρα η Διδακτική της στη Σύγχρονη Εκπαίδευση, σελ Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, Θ. Καζαντζης, Φροντιστήρια μαθηματικοί- φροντιστές. Ημερολόγιο 1999, σελ Ομοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδας. Λ. Τσιλογλου, Τα Φροντιστήρια στην Ελλάδα: Η Ιστορία οιάνθρωποι.α τόμος κέδρος,αθήνα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ÔÖÓØ Ô ØÓ ESO (M. Sarazin and F. Roddier, A&A 227, 294-300, 1990) Õ Ò ¹

ÔÖÓØ Ô ØÓ ESO (M. Sarazin and F. Roddier, A&A 227, 294-300, 1990) Õ Ò ¹ Seeing-GR Å ØÖôÒØ Ø Ø Ö Õ Ø ØÑ Ö Ø Ò ÐÐ Å Ð Ñ ØÖ 1 Æ ØÓÖ ÒÒ 2 È ÖÞ ËØ Ð Ó 3 ÌÖ ÑÓÙ Ù Ð 4 Ã Ö Ñ Ò Ð 5 ÒØÛÒ ÒÒ 5 ÓÙÐ ÒÒ 5 ÃÓÙÖÓÙÑÔ ØÞ Ãô Ø 5 Ë Ö ÒÒ 5 1 Hamburger Sternwarte, Gojenbergsweg 112, 21029 Hamburg,

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ÍÒ Ú Ö Ø Ð Ù ÖÒ Ö ÄÝÓÒ Á ÁÒ Ø ØÙØ È Ý ÕÙ ÆÙÐ Ö ÄÝÓÒ Ì ÓØÓÖ Ø ËÔ Ð Ø È Ý ÕÙ Ô ÖØ ÙÐ ØÙ Ù Ò Ð À ¼ ¼ ÙÜ ÓÐÐ ÓÒÒ ÙÖ ÖÓÒ ÕÙ Ø ÒØ Ö Ð Ö Ø ÓÒ Ù ÐÓÖ Ñ ØÖ Ù ÊÙÒ ÁÁ Ù Ì Ú ØÖÓÒº Ô Ö È ÖÖ ¹ ÒØÓ Ò Ð ÖØ ËÓÙØ ÒÙ Ð ½

Διαβάστε περισσότερα

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Mα θ η μ α τ ι κ ά Β Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Λυκείου Θετικής-Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

Λυση. και επομένως. Αντικαθιστούμε στη σχέση. Λυση. y = f 3 και y = f 3

Λυση. και επομένως. Αντικαθιστούμε στη σχέση. Λυση. y = f 3 και y = f 3 Ø ÔØÓÑ Ò ½ Á ÒÓÙ ÖÓÙ ¾¼¼ Ασκηση Δίνεται η συνάρτηση f (x) =x +lnx. Να βρεθεί η εφαπτομένη της C f στοσημείομετετμημένηe. Η εξίσωση της τυχούσας εφαπτομένης της C f είναι y = f (x 0 ) x + f (x 0 ) f (x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 2015-2016 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπα. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος

Πρότυπα. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος Πρότυπα ΙωάννηςΓºΤσούλος ¾¼ ½ Συναρτήσειςπροτύπων Μετιςσυναρτήσειςπροτύπωνμπορούμενακάνουμεσυναρτήσειςοιοποίεςεκτελούντονίδιοκώδικα γιαδιαφορετικούςτύπουςδεδομένων όπωςπαρουσιάζεται καιστοεπόμενοπαράδειγμαºοιδηλώσειςσυναρτήσεωνμετηνχρήση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

g 0 5 0, των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου

g 0 5 0, των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ή ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου Με τη φράση «πρόσημο τριωνύμου» δηλώνουμε τη μέθοδο με την οποία μπορούμε να γνωρίζουμε ποιο πρόσημο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Σταύρος Σ. Λίτσας. Μ α θ η μ α τ ι κ ό ς. Μιγαδικοί αριθμοί. ΞΑΝΘΗ Αύγουστος 2013 ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΥΚΕΙΟ

Σταύρος Σ. Λίτσας. Μ α θ η μ α τ ι κ ό ς. Μιγαδικοί αριθμοί. ΞΑΝΘΗ Αύγουστος 2013 ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Σταύρος Σ Λίτσας Μ α θ η μ α τ ι κ ό ς Μιγαδικοί αριθμοί i =- ΞΑΝΘΗ Αύγουστος 0 C:\Users\Stavros\Desktop\ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ internet\00 0 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ για internet Αdoc 7/07/ διάχυση της γνώσης Vincent Van Gogh Στη

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2

x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2 ¾ λ¹ ÐÓÒ Ó ÙÖ ½ ¼ º õ ¹ ¹ ÙÖ ¾ ÙÖ º ÃÐ ¹ ½ ¼º ¹ Ð Ñ ÐÙÐÙ µ λ¹ λ¹ ÐÙÐÙ µº λ¹ º ý ½ ¼ ø λ¹ ÃÐ º λ¹ ÌÙÖ Ò ÌÙÖ º ÌÙÖ Ò ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ ÇÊÌÊ Æ Ä Çĺ ý λ¹ ¹ º Ö ÙØ ÓÒ Ñ Ò µ Ø ¹ ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö µ ¹ λ¹ º λ¹ ÙÒØ ÓÒ Ð

Διαβάστε περισσότερα

Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: Αθήνα, 01-10-2013 Αρ. Πρωτ. 139606/Γ2 Δ/νσεις Δ/θμιας Εκπ/σης Γραφεία Σχολικών Συμβούλων

Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: Αθήνα, 01-10-2013 Αρ. Πρωτ. 139606/Γ2 Δ/νσεις Δ/θμιας Εκπ/σης Γραφεία Σχολικών Συμβούλων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ----- Α Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Montreal - Quebec, Canada.

Montreal - Quebec, Canada. ÂÆÁÃÇ Å ÌËÇ ÁÇ ÈÇÄÍÌ ÉÆ ÁÇ ËÉÇÄÀ ÀÄ ÃÌÊÇÄÇ ÏÆ ÅÀÉ ÆÁÃÏÆ Ã Á ÅÀÉ ÆÁÃÏÆ ÍÈÇÄÇ ÁËÌÏÆ ÌÇÅ Ë ËÀÅ ÌÏÆ Ä ÉÇÍ Ã Á ÊÇÅÈÇÌÁÃÀË ËÙÑ ÓÐ Ø Ò Ò ÔØÙÜ ÈÓÐÙÔÖ ØÓÖ ÖÕ Ø ØÓÒ Ò ÔØÙÜ Ó ÊÓÑÔÓØ Ó Ð ÕÓÙ Ø Ó Ò ÕÙØ Å : ÖÑÓ ØÓÒ

Διαβάστε περισσότερα

2.1-2.10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ (Version 23-9-2015)

2.1-2.10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ (Version 23-9-2015) .1-.10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ (Version 3-9-015) K1. Δύο διαφορετικές ευθείες μπορεί να έχουν: i) κανένα κοινό σημείο ii) ένα κοινό σημείο iii) δύο κοινά σημεία iv) άπειρα κοινά σημεία Αιτιολογήστε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Μ Ο Ρ Φ Ω Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Ε Κ Π Α Ι Δ Ε Υ Τ Ι Κ Ο Υ Σ Σ Τ Ο Ν Π Ο Λ Υ Χ Ω Ρ Ο Μ Ε Τ Α Ι Χ Μ Ι Ο

Ε Π Ι Μ Ο Ρ Φ Ω Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Ε Κ Π Α Ι Δ Ε Υ Τ Ι Κ Ο Υ Σ Σ Τ Ο Ν Π Ο Λ Υ Χ Ω Ρ Ο Μ Ε Τ Α Ι Χ Μ Ι Ο ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΝΩΣΗ ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Ε Π Ι Μ Ο Ρ Φ Ω Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Ε Κ Π Α Ι Δ Ε Υ Τ Ι Κ Ο Υ Σ Σ Τ Ο Ν Π Ο Λ Υ Χ Ω Ρ Ο Μ Ε Τ Α Ι Χ Μ Ι Ο Ο κ τ ώ β ρ ι ο ς Ν ο έ μ β ρ

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση ης εργασίας ΕΟ3 03-04 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr 1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

10.05.12 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

10.05.12 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 10.05.12 Χ. Χαραλάμπους 1. Έχει κάθε πολυώνυμο ρίζα? 2. Πόσες ρίζες έχει ένα πολυώνυμο βαθμού n? 3. Μπορούμε να καθορίσουμε πότε οι ρίζες είναι ρητές, πραγματικές, θετικές, κλπ? 4.

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 01 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Μαΐου 01 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

Role of Alumina Support in Cobalt Fischer-Tropsch Synthesis

Role of Alumina Support in Cobalt Fischer-Tropsch Synthesis Øyvind Borg Role of Alumina Support in Cobalt Fischer-Tropsch Synthesis Thesis for the degree of doktor ingeniør Trondheim, April 2007 Norwegian University of Science and Technology Faculty of Natural

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr 11 ΟΗΓΙΕΣ 1. Το ebook περιέχει εργασίες δραστηριότητες για µαθητές που θα πάνε στη Γ Λυκείου και θα επιλέξουν µαθηµατικά κατεύθυνσης ή γενικής παιδείας.. Για την επίλυση θα χρειαστούν όλα τα βιβλία µαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑπαντησηΙσχύει α+βi = γ +δi α = γκαι β = δ 1πτ

ΑπαντησηΙσχύει α+βi = γ +δi α = γκαι β = δ 1πτ È Ö Ñ Ø ÓÄÙ Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑÙÖÒ Ì Ü Å Ñ Ø Â Ø Ì ÕÒÓÐÓ Ã Ø Ù ÙÒ Ë Ñ Û Â ÛÖ ô º Ò ÑÓÒØ Û ÕÓÙÒ Ó ÙÒØ Ø ØÓÙ Ò Ö Ñ Ù Ò ØÙÕ ÒÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓÙ Ã Ø Ç Ñ ô ÙØ Ò ÕÓÐ ÕÖ ºÅÔÓÖÓ ÒÒ Ò Ô Ö Õ Ó Ò Ò Ò Ñ Ó Ò Ð Ö Ö ½¼ ÔÖ ÐÓÙ¾¼½¾

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ»

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΑΘΗΝΑ 1999 Οµάδα σύνταξης Συντονιστής: Γεώργιος Κιούσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΣΤΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΕΚΕ 2013 2014»

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΣΤΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΕΚΕ 2013 2014» ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΣΤΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΕΚΕ 2013 2014» Γ Ε Ν Ι Κ Α Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Πρόγραμμα Διαγωνισμός : Καλλιέργεια Ερευνητικής και Καινοτομικής Κουλτούρας : Τεχνολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Mα θ η μ α τ ι κ ά Γ Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς στον Αλέξη, το Σπύρο, τον Ηλία και το Λούη, στην παντοτινή φιλία Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΞΑΝΘΗ 2013, 2 ο ΣΕΚ ΞΑΝΘΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 Νέες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου 0 στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Πέμπτη 0 Μαΐου 0 (Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα) Όνομα:.. Θέμα Α ν ν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Óõíåéñìüò ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Óõíåéñìüò ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 011 1 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ο α. I. Σχολικό βιβλίο σελ. 41. ΙΙ. Σχολικό βιβλίο σελ. 89. β. Σχολικό βιβλίο σελ. 71. γ. Σχολικό βιβλίο σελ.60. δ. Σ, Λ,

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Οι μαθηματικές δραστηριότητες ως εργαλείο Διδασκαλίας και Αξιολόγησης. Ε.Κολέζα

Οι μαθηματικές δραστηριότητες ως εργαλείο Διδασκαλίας και Αξιολόγησης. Ε.Κολέζα Οι μαθηματικές δραστηριότητες ως εργαλείο Διδασκαλίας και Αξιολόγησης Ε.Κολέζα Η μαθηματική δραστηριότητα Α) Υλοποιεί τους στόχους του Π.Σ. Στόχους περιεχομένου (στο τέλος του μαθήματος οι μαθητές θα

Διαβάστε περισσότερα

API: Applications Programming Interface

API: Applications Programming Interface ÒØ Ñ ÒÓ ØÖ ÔÖÓ» Ñ ÒØ Ñ ÒÓ ØÖ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ñ ½ Ö Ø Ò Ô Ö Ø ÒØ Ñ ÒÛÒ ÒÒÓ ôòøóù ÔÖ Ñ Ø Ó ÑÓÙ Ì ÔÓ ÓÑ ÒÛÒ Ì µ (i) ÒÓÐÓØ ÑôÒ (ii)ôö Ü º Ð ØÖ Ò Ò ÖÛÔÓ ØÖ ÔÐ Ò Ø Ó Ó Ù Ø Ñ Ø ººº ½ºÈÖÛØ ÓÒØ Ø ÔÓ int double char

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα