2. Γεωµετρική Οπτική. Η Γεωµετρία της Οπτικής. Μαθήµατα Οπτικής

Transcript

1 ΓΙΩΡΓΟΣ ΑΣΗΜΕΛΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ Μαθήµατα Οπτικής 2. Γεωµετρική Οπτική Η Γεωµετρία της Οπτικής Η Γεωµετρική Οπτική εξετάζει τη διάδοση του φωτός µε τους µηχανισµούς της ανάκλασης και διάθλασης. Οι µηχανισµοί αυτοί καθορίζουν µια µεγάλη ποικιλία εφαρµογών αλλά και καθηµερινών µας εµπειριών, όπως τη λειτουργία των κατόπτρων και φακών, την αρχή λειτουργίας των οπτικών ινών, αλλά και τα φαινόµενα του αντικατοπτρισµού! Για τη θεωρητική ερµηνεία των φαινοµένων αυτών δεν είναι απαραίτητο να αποφασίσουµε αν το φως είναι κύµα ή σωµατίδιο: τα φαινόµενα διάδοσης εξηγούνται το ίδιο καλά τόσο µε τη σωµατιδιακή θεώρηση του Newton όσο και µε την κυµατική θεώρηση του Huygens. Ένα µπαλάκι του τένις ανακλάται από ένα δάπεδο όπως ένα κύµα που ανακλάται από ένα τοίχο! Έτσι θα καταλήξουµε ακριβώς στους ίδιους νόµους ανάκλασης και διάθλασης όποια φύση του φωτός κι αν υιοθετήσουµε. Η Γεωµετρική Οπτική είναι πεδίο σύγκλισης των δύο αυτών θεωριών. Έτσι λοιπόν στο κεφάλαιο αυτό θα αγνοήσουµε την κυµατική φύση του φωτός, δηλαδή θα θεωρήσουµε ότι το µήκος κύµατος είναι αµελητέο σε σχέση µε τις διαστάσεις του οπτικού συστήµατος, και έτσι τα οπτικά φαινόµενα µπορούν να περιγραφούν γεωµετρικά. ηλαδή, οι ακτίνες περνώντας δίπλα από ένα εµπόδιο ή µέσα από µικρό ελεύθερο πέρασµα δεν αποκλίνουν. Αν όµως το εµπόδιο ή το άνοιγµα έχει διαστάσεις συγκρίσιµες µε το µήκος κύµατος τότε παύει να ισχύει η προσέγγισή µας και έχουµε φαινόµενα Περίθλασης (κεφ. 6). Εκεί πλέον η κυµατική φύση του φωτός κυριαρχεί, καθορίζοντας τη διάδοσή του, και τότε κάποια αποτελέσµατα της γεωµετρικής οπτικής τίθενται υπό αναθεώρηση. Μια γενική αρχή, η αρχή του ελάχιστου χρόνου (ή ισοδύναµα, του ελάχιστου οπτικού δρόµου), προσφέρει πλήρη εξήγηση όλων των φαινοµένων διάδοσης του φωτός. Από τη γενική αρχή αυτή πηγάζουν οι νόµοι της ανάκλασης, διάθλασης, αλλά και η αρχή της αντίστροφης πορείας του φωτός: αποτελεί δηλαδή, το Σύνταγµα της Γεωµετρικής Οπτικής. Είναι µια αρχή παρόµοια µε αυτή της ελάχιστης δράσης που συναντάται στην κλασική µηχανική. Η Φυσική είναι απλή και όµορφη, αν τη δούµε µε τη µατιά των γενικών αρχών που τη διέπουν.

2 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ 2.1. ιάδοση του Φωτός: Η Αρχή του Ελάχιστου Χρόνου Έχουµε ακούσει πολλές φορές ότι, το φως ταξιδεύει ευθύγραµµα, αν δεν παρεµποδίζεται από κάτι. Πράγµατι, σε πολλά παραδείγµατα της καθηµερινής µας ζωής φαίνεται ότι το φως διαδίδεται σε ευθείες γραµµές. Μπορούµε πολύ απλά να το διαπιστώσουµε αυτό µε ένα laser pointer. Αλλά και µε µια απλή πηγή σε ένα σκοτεινό δωµάτιο, αυτό είναι εύκολο: τοποθετούµε ένα εµπόδιο στην πορεία µιας δέσµης από ένα προβολέα, και ανοίγουµε µερικές µικρές -σχετικά- οπές. Στο χώρο πέρα από το εµπόδιο θα διακρίνουµε ευθύγραµµες δέσµες φωτός. Σχήµα : Το φως φαίνεται να διαδίδεται ευθύγραµµα. Ας δούµε τί γίνεται όταν το φως συναντήσει κάποια αλλαγή στην ταχύτητα διάδοσής του. Στο σηµείο αλλαγής της ταχύτητας το φως αντιλαµβάνεται ένα νέο µέσο διάδοσης. Ένα µέρος του θα περάσει στο δεύτερο µέσο, θα διαθλαθεί, εκτρεπόµενο από την αρχική του πορεία, και ένα άλλο µέρος του θα διαδοθεί προς µια άλλη διεύθυνση µέσα στο πρώτο µέσο, δηλαδή θα ανακλαστεί. A O x Σχήµα : Κατά τη διάθλαση το φως ακολουθεί τεθλασµένη πορεία. Την αλλαγή της πορείας του φωτός µπορούµε να την παρατηρήσουµε όταν µια ευθύγραµµη δέσµη φωτός συναντήσει µια επιφάνεια π.χ. νερού ή γυαλιού: η δέσµη αλλάζει πορεία, κάµπτεται ακριβώς πάνω στη διαχωριστική επιφάνεια. Μπορούµε να παραθέσουµε πολλά άλλα παραδείγµατα όπου φαίνεται ότι το φως κάθε άλλο παρά ευθύγραµµα διαδίδεται, και µάλιστα ανεµπόδιστο. Γιατί συµβαίνει αυτό; Γιατί να µην συνεχίσει το φως την ευθύγραµµή του πορεία στο δεύτερο µέσο; Υπάρχει κάτι που εξηγεί τη συµπεριφορά του φωτός καθώς διαδίδεται µέσα σε διάφορα µέσα; B Σελίδα 2.2

3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ Ας δούµε γιατί το φως, ταξιδεύοντας από το Α στο Β δεν διαδίδεται ευθύγραµµα, αλλά τεθλασµένα µέσω του σηµείου Ο στη διαχωριστική γραµµή, δίνοντας λίγη ζωή στο παραπάνω σχήµα. Ας φανταστούµε λοιπόν ότι πρόκειται για µια παραλία, η αµµουδιά είναι το πάνω τµήµα, η κυµµατογραµµή είναι η διαχωριστική γραµµή Χ και το κάτω γκρι τµήµα είναι η θάλασσα. Ενώ εµείς βρισκόµαστε στην άµµο -σηµείο Α- απολαµβάνοντας τον ήλιο, ένα ωραίο κορίτσι στη θάλασσα -σηµείο Β- πέφτει από τη βάρκα της και ζητά βοήθεια. Για να τη σώσουµε θα πρέπει να φτάσουµε όσο γίνεται πιο σύντοµα. Αν ακολουθήσουµε την ευθύγραµµη πορεία θα τρέξουµε στην άµµο και να κολυµπήσουµε µια απόσταση στη θάλασσα αλλά επειδή τρέχουµε πιο γρήγορα από όσο κολυµπάµε, πιθανόν να αργήσουµε. Για να φτάσουµε όσο γίνεται πιο σύντοµα, πρέπει να διανύσουµε µια λίγο περισσότερη απόσταση στην άµµο, έτσι ώστε να κολυµπήσουµε κάπως λιγότερο στη θάλασσα, σε µια τεθλασµένη γραµµή AΟB. Το ποια ακριβώς θα είναι αυτή η γραµµή, το που ακριβώς δηλαδή τοποθετείται το σηµείο Ο, βρίσκεται αν µετρήσουµε το χρόνο για κάθε διαδροµή και διαλέξουµε το δρόµο εκείνο που απαιτεί το µικρότερο χρόνο από όλους τους άλλους. Την ίδια συµπεριφορά δείχνει και το φως. Όταν το φως περάσει από ένα γρήγορο µέσο, π.χ. αέρα, σε ένα αργό, π.χ. γυαλί ή νερό, η ταχύτητά του από c µειώνεται σε υ (1.2.10). Έτσι, ακριβώς στη διαχωριστική επιφάνεια το φως αλλάζει διεύθυνση ώστε να ελαχιστοποιήσει το συνολικό χρόνο της πορείας του. Κάτι παρόµοιο φαίνεται να ισχύει και στην ανάκλαση. Αναζητούµε την πορεία του φωτός από το σηµείο Α στο σηµείο Β µέσω µιας ανακλαστικής επιφάνειας. Όλη η πορεία γίνεται στο ίδιο µέσο. Στο σχήµα απεικονίζονται µερικές πιθανές πορείες. Από όλες τις πιθανές τεθλασµένες, η ΑΚΒ φαίνεται να είναι η συντοµότερη. Αν σχεδιάσουµε το πλήρως συµµετρικό ως προς τη διαχωριστική επιφάνεια σηµείο του Β, το Β, τότε µόνο η ΑΚΒ είναι ευθεία, και είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι η ανάκλαση από το σηµείο Κ αντιστοιχεί στη συντοµότερη διαδροµή. Πράγµατι, το φως θα ανακλαστεί από ένα τέτοιο σηµείο, και αυτό αποτέλεσε µια από τις παρατηρήσεις του Ήρωνα του Αλεξανδρινού. A B I K Ë Ì Σχήµα : Ανάκλαση κατά τη συντοµότερη διαδροµή. ιαπιστώνουµε λοιπόν ότι το φως βιάζεται! Η διάδοση του φωτός υπακούει σε µια γενική αρχή, την αρχή του ελάχιστου χρόνου (principle of least time) που διατύπωσε ο Pierre de Fermat το 1657 : B Σελίδα 2.3

4 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ Αρχή του ελάχιστου χρόνου, ή Αρχή του Fermat: Από όλους τους πιθανούς δρόµους που µπορεί να µεταδοθεί από ένα σηµείο στο άλλο, το φως διαλέγει το δρόµο που χρειάζεται τον ελάχιστο χρόνο. Ας δούµε πόσο χρόνο χρειάζεται το φως να µεταβεί από ένα σηµείο Α σε ένα σηµείο Β µέσω ενός σηµείου Ο (σχήµα 2-1-2). Ο χρόνος αυτός εξαρτάται από την απόσταση, αλλά και από την ταχύτητα του φωτός στα διάφορα σηµεία. ηλαδή : t L L L c L L L c υ c υ c c c = AO + OB = AO + OB = AO + OB AB n (2.1.1) όπου n ο δείκτης διάθλασης (index of refraction), που σε κάθε σηµείο ορίζεται ως ο λόγος της ταχύτητας του φωτός στο κενό (c) προς την ταχύτητά του στο µέσο (υ) : n = c/ υ (2.1.2) Ο δείκτης διάθλασης είναι αδιάστατη ποσότητα. Η τιµή του, µεγαλύτερη της µονάδας, εξαρτάται από το υλικό αλλά και από τη συχνότητα/µήκος κύµατος. Όσο πιο µεγάλη είναι η τιµή του δείκτη διάθλασης, τόσο πιο αργά διαδίδεται το φως µέσα στο µέσο, δηλαδή τόσο πιο δύσκολη είναι η πορεία του µέσα από αυτό. Για το νερό ο δείκτης διάθλασης είναι περίπου ίσος µε 1.33, σε διάφορα γυαλιά κυµαίνεται από 1.4 σε 1.6, και σε άλλα υλικά π.χ. το Σεληνίδιο του Ψευδαργύρου µπορεί να έχει τιµή 2.4. Έτσι το φως µέσα σε διάφορα υλικά επιβραδύνεται. [ εν θα εξηγήσουµε εδώ το γιατί επιβραδύνεται το φως. Αυτό θα γίνει στο κεφάλαιο του ιασκεδασµού, 4.1. που µελετάται η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από το υλικό αλλά και από τη συχνότητα. Προς το παρόν, θα θεωρήσουµε ότι ο δείκτης διάθλασης είναι ένας πραγµατικός αριθµός, ανεξάρτητος του µήκους κύµατος/συχνότητας.] Εισάγουµε την έννοια του οπτικού δρόµου, που -σε µονάδες µήκους- είναι άµεσα ανάλογος ( c) του χρόνου που χρειάζεται το φως για τη µετάβασή του από ένα σηµείο Α σε ένα σηµείο Β. Εκφράζεται ως το ορισµένο ολοκλήρωµα κατά µήκος της διαδροµής ΑΒ : Οπτικός δρόµος L ( ) AB B = n s ds (2.1.3) Αν µια διαδροµή µεταξύ Α και Β αντιστοιχεί στον ελάχιστο χρόνο τότε επίσης θα αντιστοιχεί στον ελάχιστο οπτικό δρόµο. Έτσι το φως θα ακολουθήσει αυτόν το δρόµο, και η αρχή του Fermat γράφεται ισοδύναµα : A Αρχή του ελάχιστου οπτικού δρόµου: Από όλους τους πιθανούς δρόµους που µπορεί να µεταδοθεί από ένα σηµείο στο άλλο, το φως διαλέγει το δρόµο που αντιστοιχεί στον ελάχιστο οπτικό δρόµο. Σελίδα 2.4

5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ Όταν το οπτικό µέσο είναι οµογενές τότε είναι n = σταθ. και έτσι ο οπτικός δρόµος είναι το γινόµενο του δείκτη διάθλασης επί τον αντίστοιχο γεωµετρικό δρόµο: L= n ( AB) (2.1.4) Σε αυτήν την περίπτωση, αφού n = σταθ., ο οπτικός δρόµος L ελαχιστοποιείται όταν ελαχιστοποιείται ο πραγµατικός δρόµος ΑΒ, δηλαδή το φως θα διαδοθεί ευθύγραµµα! (rectilinear motion). Αυτό δεν ισχύει όταν κατά µήκος της διαδροµής αλλάζει η ταχύτητα διάδοσής του. Το ότι ένας οπτικός δρόµος είναι ο συντοµότερος σηµαίνει ότι οποιοσδήποτε άλλος χρειάζεται περισσότερο χρόνο. ηλαδή αν µετακινήσουµε το σηµείο που η πορεία µας συναντά την ακτογραµµή γύρω από το σηµείο Ο κατά απόσταση x, σε µια πρώτη προσέγγιση, δεν υπάρχει ουσιαστικά καµία µεταβολή στο χρόνο. Έτσι θα βρούµε αυτή τη διαδροµή αν εκφράσουµε το χρόνο που απαιτείται από το Α στο Β µε βάση την ελεύθερη παράµετρο x της θέσης του σηµείου Ο και παραγωγίσουµε ως προς x, απαιτώντας η παράγωγος να δίνει µηδέν. Από τις πιθανές απαντήσεις (µέγιστο, ελάχιστο, ή αδιάφορο -άλλωστε η γενικότερη διατύπωση του Fermat προβλέπει ότι το φως ταξιδεύει εκεί που ο οπτικός δρόµος της διαδροµής είναι ίσος, σε πρώτη προσέγγιση, µε τους γειτονικούς οπτικούς δρόµους), η σταθερή λύση είναι αυτή που προκύπτει από την ελάχιστη τιµή του οπτικού δρόµου. Ας το δούµε αυτό : Θα ακολουθήσουµε την πορεία µιας δέσµης από ένα σηµείο Α σε ένα µέσο µε δείκτη διάθλασης n 1, καθώς αυτή πορεύεται προς ένα σηµείο Β σε ένα µέσο µε δείκτη διάθλασης n 2. Στη διαχωριστική επιφάνεια, σε ένα τυχαίο σηµείο πρόσπτωσης x χαράσσουµε την κάθετη, και έτσι η προσπίπτουσα δέσµη σχηµατίζει γωνία πρόσπτωσης θi, ενώ η διαθλώµενη σχηµατίζει γωνία διάθλασης θt. [Οι γωνίες ορίζονται ως προς την κάθετη στην επιφάνεια.] Το επίπεδο πρόσπτωσης ορίζεται από την προσπίπτουσα δέσµη και την κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια. Ο οπτικός δρόµος από το Α στο Β (σχήµα 2-1-4) µπορεί να εκφραστεί ως : ( ) 2 Lx ( ) = n a + x + n b + d x (2.1.5) A a èi O x d-x n 1 d n 2 Σχήµα : Εξαγωγή του νόµου της διάθλασης του φωτός. Η ελαχιστοποίηση του οπτικού δρόµου απαιτεί ( ) 0 èt B b d L x dx = και έτσι έχουµε : Σελίδα 2.5

6 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ ( d x) ( ) d n1 2x n 2 2 L( x) = = 0 dx a + x b + d x ή n ( ϑ ) n sin ( ϑ ) 1 i 2 ( d x) ( ) x = n a + x b + d x n sin = (2.1.6) ηλαδή µε εφαρµογή της αρχής του ελάχιστου οπτικού δρόµου καταλήξαµε σε µια σχέση που συνδέει τις γωνίες πρόσπτωσης και διάθλασης. Είναι ο νόµος της διάθλασης, που τιµή του Ολλανδού Μαθηµατικού Willebrord Snell van Royen που τον ανακάλυψε πειραµατικά το 1611 : Η διαθλώµενη ακτίνα βρίσκεται επάνω στο επίπεδο πρόσπτωσης, και οι γωνίες πρόσπτωσης θi και διάθλασης θt συνδέονται µε τη σχέση : n sin ( ϑ ) = n sin ( ϑ ) 1 i 2 t t ðñïóðßðôïõóá äýóìç θi åðßðåäï ðñüóðôùóçò n i äéá ùñéóôéêþ åðéöüíåéá n t θt äéáèëþìåíç äýóìç Σχήµα : Νόµος της διάθλασης του φωτός. Αυτή η µεθοδολογία µπορεί να εφαρµοστεί και στο φαινόµενο της ανάκλασης. A a x èi d Σχήµα : Εξαγωγή του νόµου της ανάκλασης του φωτός. Ο οπτικός δρόµος από το Α στο Β µέσω ενός τυχαίου σηµείου ανάκλασης Ο που απέχει οριζόντια απόσταση x από το Α είναι : èr O d-x ( ) ( ) B b L x = n a + x + n b + d x (2.1.7) Η ελαχιστοποίηση του οπτικού δρόµου απαιτεί µηδενισµό της παραγώγου ως προς x : Σελίδα 2.6

7 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ( d x) ( ) d n1 2x n 2 1 L( x) = = 0 dx a + x b + d x ( ) sin ( ) ή ( d x) ( ) x = a + x b + d x sin ϑ = ϑ ϑ = ϑ (2.1.8) i r r i Oι γωνίες πρόσπτωσης (θi) και ανάκλασης (θr) ορίζονται και πάλι ως προς την κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια. Έτσι, µε εφαρµογή της αρχής του ελάχιστου οπτικού δρόµου καταλήξαµε στη γνωστή σχέση που συνδέει τις γωνίες πρόσπτωσης και ανάκλασης. Είναι ο -από την αρχαιότητα γνωστός- νόµος της ανάκλασης : Η προσπίπτουσα και η ανακλώµενη οπτική ακτίνα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο µε την κάθετη στην ανακλαστική επιφάνεια στο σηµείο πρόσπτωσης, και η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση µε τη γωνία ανάκλασης ϑi = ϑt ðñïóðßðôïõóá äýóìç θi áíáêëþìåíç äýóìç θr=θi åðßðåäï ðñüóðôùóçò Σχήµα : Νόµος της ανάκλασης του φωτός. Οι παραπάνω νόµοι µπορούν να προκύψουν επίσης και µε εφαρµογή αρχών του Ηλεκτροµαγνητισµού, και συγκεκριµένα της αρχής της συνέχειας του ηλεκτρικού πεδίου στα δύο µέρη της διαχωριστικής επιφάνειας (Παράρτηµα 2.1.), µε εφαρµογή της αρχής διατήρησης της ορµής των φωτονικών σωµατιδίων (Παράρτηµα 1.1.), αλλά και µε κυµατικές ιδιότητες, µε βάση την αρχή του Huygens ( 1.2.5)! ηλαδή, όποια και να είναι η θέση µας για τη φύση του φωτός, σωµατιδιακή ή κυµατική, τα φαινόµενα διάδοσης του φωτός στη Γεωµετρική Οπτική εξηγούνται το ίδιο καλά. Αν αναρωτηθούµε το πώς άραγε το φως επιλέγει τη διαδροµή του ελάχιστου οπτικού δρόµου, τότε θα χρειαστεί να πάρουµε θέση. H λέξη επιλέγει υπονοεί ότι υπάρχει µια ικανότητα σύγκρισης διαφορετικών δρόµων. Στη συζήτηση που γίνεται στο Lectures on Physics του Richard Feynman ( 26, 27) δίνεται µια ενδιαφέρουσα εξήγηση για το πώς γίνεται η σύγκριση. Μια πληρέστερη εικόνα θα αποκτήσουµε γνωρίζοντας τα φαινόµενα Συµβολής ( 5.4.1). Το φως δεν χάνει ποτέ την κυµατική του φύση: ως κύµα, µπορεί να διαδίδεται από κάθε σηµείο σε όλες τις κατευθύνσεις, και σε κάθε πιθανή πορεία αντιστοιχεί µια διανυσµατική πιθανότητα, η οποία έχει πλάτος και φάση. Η πορεία του φωτός καθορίζεται από το γεωµετρικό τόπο όπου όλες οι πιθανές συνιστώσες από όλες τις τυχαίες διαδροµές συµβάλλουν θετικά. Σελίδα 2.7

8 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ Σε κάθε πρόβληµα διάδοσης του φωτός θα συναντούµε τα φαινόµενα ανάκλασης και διάθλασης. Τα φαινόµενα αυτά προκαλούνται σε κάθε περίπτωση που ένα κύµα -και όχι µόνο φωτεινό- συναντήσει µια αλλαγή στην ταχύτητα διάδοσής του µέσα στο µέσο που διαδίδεται. Αυτό µπορούµε να το διαπιστώσουµε κοιτώντας ένα κοµµάτι γυαλί, ένα τζάµι. Είναι βέβαιο ότι βλέπουµε ταυτόχρονα αντικείµενα που βρίσκονται πέρα από το τζάµι (άρα έχουν διαθλαθεί για να γίνουν αντιληπτά), αλλά και αντικείµενα που βρίσκονται πίσω από τον παρατηρητή, και άρα έχουν ανακλαστεί. Τέτοια φαινόµενα εµφανίζονται ακόµα και αν δεν αλλάξει το υλικό µέσο αρκεί να αλλάξει η ταχύτητα του φωτός, έστω και βαθµιαία. Με τέτοιες βαθµιαίες, και όχι απότοµες αλλαγές στο δείκτη διάθλασης, ασχολείται η οπτική Schliere. Η γωνία διάθλασης είναι µια συνεχής συνάρτηση, και δεν παρατηρούνται απότοµες, αλλά βαθµιαίες αλλαγές στην πορεία του φωτός. Μπορούµε πάντα να µελετήσουµε τέτοια φαινόµενα αν θεωρήσουµε πολλαπλές απότοµες, µικρές αλλαγές στην τιµή του δείκτη διάθλασης. Σε αρκετά προβλήµατα θα συναντήσουµε επιφάνειες που διαχωρίζουν δύο µέσα µε διαφορετικό δείκτη διάθλασης. Στην πάνω επιφάνεια έχουµε µία σταθερή τιµή του δείκτη διάθλασης n 1 -άρα ταχύτητα υ 1 =c/n 1, και στην άλλη n 2 -άρα ταχύτητα υ 2 =c/n 2. Μια τέτοια επιφάνεια λέγεται δίοπτρο. Αν η επιφάνεια είναι επίπεδη ή σφαιρική, τότε το δίοπτρο λέγεται επίπεδο ή σφαιρικό, αντίστοιχα. Το πόσο µέρος του κύµατος θα ανακλαστεί και πόσο θα διαθλαθεί εξαρτάται από παράγοντες όπως γωνία πρόσπτωσης, µήκος κύµατος, κατάσταση πόλωσης, και τιµές του δείκτη διάθλασης στα δύο µέσα. Τα φυσικά µεγέθη που εκφράζουν την κατανοµή είναι οι λόγοι πλατών του ανακλώµενου και διαθλώµενου προς το πλάτος του προσπίπτοντος κύµατος, και ονοµάζονται συντελεστής ανάκλασης ρ (coefficient of reflection) και συντελεστής διαπερατότητας τ (coefficient of transmission). Οι λόγοι αυτοί, γνωστοί και ως συντελεστές ανάκλασης και διάθλασης Fresnel, είναι αδιάστατες ποσότητες -γενικότερα µιγαδικοί αριθµοί- µε µέτρο από 0 έως 1. Τα τετράγωνα των µέτρων τους είναι οι λόγοι των ενεργειών που στη µονάδα χρόνου κατευθύνονται προς/από το δίοπτρο, δηλαδή η ανακλαστικότητα R (Reflectance ή Reflectivity) και η διαθλαστικότητα Τ (Transmittance ή Transmissivity). Μια πρώτη συζήτηση για αυτούς τους δείκτες γίνεται στο Παράρτηµα 2.3. Για να βρούµε τις αναλυτικές εκφράσεις τους εφαρµόζουµε αρχές Ηλεκτροµαγνητισµού: η συνιστώσα των αντίστοιχων πεδίων κατά µήκος της διαχωριστικής επιφάνειας του διόπτρου είναι συνεχής, δεν αλλάζει. Εξισώνοντας τα δύο µέρη υπολογίζουµε ακριβώς πόσο τµήµα του προσπίπτοντος πεδίου ανακλάται και πόσο διαθλάται για κάθε γωνία πρόσπτωσης και για κάθε κατάσταση πόλωσης (Παράρτηµα 3.3.). Στη συνέχεια δεν θα ασχοληθούµε µε το ποσοτικό πρόβληµα της διάθλασης/ανάκλασης, αλλά µε τους γεωµετρικούς κανόνες που τα φαινόµενα αυτά ακολουθούν. Θα αγνοήσουµε δηλαδή ότι µέρος µόνο της δέσµης διαθλάται ή ανακλάται άλλωστε αυτό δεν επηρεάζει το προς τα που θα διαδοθεί η δέσµη! Σελίδα 2.8

9 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ Συνέπειες της Αρχής του Ελάχιστου Οπτικού ρόµου Θα εξετάσουµε τώρα µερικές συνέπειες της αρχής του ελάχιστου δρόµου. Αν, µεταβαίνοντας από το Α στο Β, έχουµε βρει τον ελάχιστο δρόµο, τότε για να µεταβούµε στην αντίθετη διεύθυνση (υποθέτοντας ότι το φως ταξιδεύει µε την ίδια ταχύτητα σε κάθε κατεύθυνση), ο ελάχιστος δρόµος θα είναι ακριβώς ο ίδιος, και έτσι, αν το φως µπορεί να ταξιδέψει σε ένα δρόµο, µπορεί να τον αντιστρέψει. ηλαδή από το Β στο Α το φως ακολουθεί ακριβώς την ίδια πορεία που ακολουθεί από το Α στο Β. Αυτή είναι η αρχή της αντίστροφης πορείας του φωτός. Η πιο απλή περίπτωση διάδοσης συµβαίνει όταν φως προσπέσει κάθετα (normal incidence) σε ένα επίπεδο δίοπτρο. Έχουµε διάθλαση χωρίς καµία εκτροπή. Ας εξετάσουµε δύο περιπτώσεις όπου φως διαδιδόµενο στον αέρα συναντά, κάθετα, δύο διαφορετικά γυαλιά, µε δείκτες διάθλασης n 1, και n 2, αντίστοιχα, όπου n 1 < n 2. Σχήµα : ιάθλαση από κάθετη πρόσπτωση σε επίπεδο δίοπτρο. Το πρώτο γυαλί είναι οπτικά αραιότερο από το δεύτερο, που είναι οπτικά πυκνότερο. Και στις δύο περιπτώσεις δεν υπάρχει εκτροπή της δέσµης γιατί ο συντοµότερος οπτικός δρόµος από το Α στο Β εξακολουθεί να είναι η ευθεία γραµµή! Παρά το ότι δεν φαίνεται να υπάρχει αλλαγή, στην πραγµατικότητα το φως στο γυαλί επιβραδύνεται. Οι νέες ταχύτητες διάδοσης είναι : υ 1 = c/ n 1 και υ 2 = c/ n 2 (2.1.9) Αν θυµηθούµε τη βασική σχέση της κυµατικής : υ = ν λ (2.1.10) τότε αφού αλλάζει η ταχύτητα του κύµατος, θα πρέπει να αλλάζει ή η συχνότητα ή το µήκος κύµατος. Αλλά µιας και η συχνότητα είναι χαρακτηριστικό της πηγής και δεν γίνεται να αλλάξει επειδή...ξαφνικά έγινε πιο δύσκολο να διαδοθεί το κύµα σε ένα µέσο προς κάποια κατεύθυνση, αυτό που θα συµβεί είναι ότι το µήκος κύµατος µέσα στο υλικό θα µειωθεί κατά παράγοντα ίσο προς το δείκτη διάθλασης n του υλικού : λ = λ n (2.1.11) n 0 / Στα δύο δίοπτρα του παραδείγµατος, εξετάζουµε τώρα την περίπτωση της πρόσπτωσης µε κάποια γωνία 0. Και πάλι συµβαίνει διάθλαση αυτή τη φορά, εκτός από τη µείωση του µήκους κύµατος του φωτός στο πυκνότερο µέσο, βλέπουµε επιπλέον µια εκτροπή της δέσµης. Επειδή το δεύτερο γυαλί είναι οπτικά πυκνότερο, το φως θα κάνει σε αυτό ακόµα λιγότερο δρόµο έτσι, πλησιάζει περισσότερο την κάθετη στο σηµείο Σελίδα 2.9

10 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ πρόσπτωσης. Το αντίθετο συµβαίνει κατά την αντίστροφη πορεία του φωτός από οπτικά πυκνότερο σε αραιότερο: αποµακρύνεται από την κάθετη, αυξάνοντας τη γωνία διάθλασης θ t. A θi A' θi n 1 n 2 θt B θt B' Σχήµα : ιάθλαση υπό γωνία σε επίπεδο δίοπτρο µε διαφορετικούς δ.δ. Αυξάνοντας σταδιακά τη γωνία πρόσπτωσης θ i θα αυξηθεί αντίστοιχα και η γωνία διάθλασης θ t, σύµφωνα µε τη σχέση sin(θt) = (n 2 /n 1 ) sin(θi). Ωστόσο, το ηµίτονο µιας γωνίας θt δεν γίνεται να ξεπεράσει τη µονάδα! Αυτό αντιστοιχεί σε µια κρίσιµη γωνία πρόσπτωσης θ i =θ κ τέτοια ώστε : sin ( θ ) = n n k sin ( 90 ) n = n (2.1.12) 2 2 Σε µια γωνία πρόσπτωσης θ i = θ κ προκύπτει ότι θt=90, δηλαδή η διαθλώµενη δέσµη είναι εφαπτοµενική της διαχωριστικής επιφάνειας. Τί συµβαίνει για γωνία πρόσπτωσης θ i > θ κ ; Ισχύει, ασφαλώς, η µαθηµατική απαγόρευση : ένα ηµίτονο δεν γίνεται να είναι µεγαλύτερο της µονάδας. Έτσι δεν µπορεί να υπάρξει διαθλώµενη δέσµη! Αν προσπαθήσουµε να εφαρµόσουµε την αρχή του ελάχιστου οπτικού δρόµου για µια τέτοια γωνία πρόσπτωσης τότε είναι βέβαιο ότι δεν θα υπάρξει καµία γωνία διάθλασης που να ελαχιστοποιεί τον ελάχιστο οπτικό δρόµο. Το κύµα ανακλάται ολικά, και έχουµε το φαινόµενο της Ολικής Εσωτερικής Ανάκλασης (Total Internal Reflection), που ανακαλύφθηκε από τον Johannes Kepler. Añáéüôåñï Ðõêíüôåñï ðñïóðßðôïõóá θ i θ r θ t äéáèëþìåíç n 1 n 2 áíáêëþìåíç Σχήµα : ιάθλαση και ανάκλαση από οπτικά πυκνότερο σε αραιότερο υλικό. Οι εφαρµογές του φαινοµένου αυτού είναι πολλές: µέτρηση δείκτη διάθλασης, κυµατοδηγοί, πρίσµατα ολικής ανάκλασης. Η πιο σηµαντική εφαρµογή είναι οι οπτικές ίνες (optical fibers): ένας φωτεινός παλµός, ένα κυµατοπακέτο δηλαδή, που είναι η ελάχιστη ποσότητα οπτικής πληροφορίας, µπορεί να διαδοθεί σε µεγάλες αποστάσεις µέσα σε λεπτές διαφανείς ίνες από καθαρό γυαλί ή πλαστικό µε Σελίδα 2.10

11 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ διαδοχικές ολικές ανακλάσεις. Το πώς ακριβώς θα το εξετάσουµε στην Η σηµασία των οπτικών ινών είναι τεράστια στην εποχή της πληροφορίας. Το πώς επηρεάζεται η χωρητικότητα πληροφορίας ενός συστήµατος οπτικών ινών από το φαινόµενο του διασκεδασµού συζητείται στην 4.5. θ i =θ κρίσιµη : ανάκλαση + evanescent wave θ t äéáèëþìåíç θ i >θ κρίσιµη : ολική εσωτερική ανάκλαση áíáêëþìåíç θ i θ r ðñïóðßðôïõóá ðñïóðßðôïõóá θ i θ r áíáêëþìåíç Σχήµα : Κρίσιµη γωνία πρόσπτωσης για ολική εσωτερική ανάκλαση. Σχήµα : ιάδοση ακτίνας σε οπτική ίνα µε διαδοχικές εσωτερικές ανακλάσεις. Σηµείωση : Αν εφαρµόσουµε το νόµο της διάθλασης µε το µεγαλύτερο της µονάδας ηµίτονο προκύπτει ότι ο δείκτης διάθλασης στο αραιό µέσο είναι καθαρά φανταστικός. Σε ένα τέτοιο κύµα αντιστοιχεί ένα εκθετικά εξασθενούµενο πλάτος κατά διεύθυνση κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια ( 4.3.2), δηλαδή µη διαδιδόµενο. Αυτό είναι το αποσβενόµενο ή διαφεύγον κύµα (evanescent wave). Μέσα στο λεγόµενο επιδερµικό βάθος, εξασθενίζει κατά 1/e του αρχικού. Άρα, δεν υπάρχει -µακροσκοπικά- διαθλώµενη δέσµη! Το διαφεύγον κύµα δεν διαδίδει στο αραιό µέσο καθόλου ενέργεια, η οποία όλη ανακλάται. Όταν βλέπουµε τον Ήλιο να δύει είναι ήδη πέρα από τον ορίζοντα! εν φαίνεται να βρίσκεται πέρα από τον ορίζοντα, αλλά είναι : O ¹ëéïò üðùò öáßíåôáé ÐñáãìáôéêÞ èýóç ¹ëéïõ Σχήµα : Σχηµατισµός φαινόµενου Ήλιου µέσα από την ατµόσφαιρα. Σελίδα 2.11

12 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ Η ατµόσφαιρα της Γης είναι αραιότερη στα ψηλά στρώµατα και πυκνότερη στα κατώτερα. Το φως του ήλιου µπορεί να φτάσει σ ένα σηµείο πιο γρήγορα αν, αντί να ταξιδέψει σε ευθεία γραµµή, αποφύγει τα πυκνά στρώµατα όπου είναι πιο αργό, διαγράφοντας έτσι µια καµπύλη. Έτσι φαίνεται πάνω από τη γραµµή του ορίζοντα, ενώ είναι στην πραγµατικότητα αρκετά πιο κάτω. Ένα άλλο παράδειγµα είναι ο αντικατοπτρισµός που βλέπουµε οδηγώντας στη ζεστή έρηµο. Αυτό που πραγµατικά βλέπουµε είναι φως που, οδεύοντας προς τη ζεστή έρηµο, καταλήγει στο µάτι µας. Ο αέρας είναι αρκετά ζεστός ακριβώς πάνω από την έρηµο, αλλά ψυχρότερος πιο πάνω. Ο ζεστός αέρας έχει, λόγω διαστολής, µικρότερη πυκνότητα από τον ψυχρό. Έτσι το φως ταξιδεύοντας γρηγορότερα στο ζεστό αέρα απ ότι στο ψυχρό, αντί να ταξιδέψει ευθύγραµµα, έχει µια πορεία ελάχιστου χρόνου τέτοια ώστε η τροχιά του να είναι καµπύλη. æåóôþ Ýñçìïò öáéíüìåíï åßäùëï Σχήµα : Σχηµατισµός φαινόµενου αντικατοπτρισµού. Αυτό ακριβώς το φαινόµενο εξηγεί το διπλό σχήµα του ήλιου πάνω από τη θερµή θάλασσα στο σχήµα Φως από το κάτω µέρος του ηλιακού δίσκου διαλέγει δύο δρόµους για να φθάσει στο φωτογραφικό φακό, -όπως είδαµε, κανείς από αυτούς τους δύο δεν είναι ευθύγραµµος- και έτσι το κάτω µέρος του ηλιακού δίσκου, καθώς βυθίζεται στον ορίζοντα, εµφανίζεται διπλό. O Jules Verne όταν παρατήρησε το φαινόµενο αυτό, το παροµοίασε σαν ένα Ετρουσκικό βάζο. Σχήµα : Φαινόµενο αντικατοπτρισµού (mirage) κατά τη δύση του Ήλιου. Φωτογραφία Γ. Ασηµέλλης Ας δούµε δύο ακόµα εφαρµογές της αρχής του Fermat. Όταν φως πέσει µε κάποια γωνία θ i σε ένα πλακίδιο γυαλιού µε παράλληλα επίπεδα που βρίσκεται στον αέρα, (σχήµα ) µειώνει το χρόνο ταξιδιού µέσα στο γυαλί συγκλίνοντας προς την κάθετο. Η δέσµη εξέρχεται µε γωνία θ i ίση µε την προσπίπτουσα, δηλαδή είναι Σελίδα 2.12

13 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ παράλληλα µετατοπισµένη κατά δ ως προς την αρχική. Ο παρατηρητής νοµίζει ότι βλέπει κάτι που βρίσκεται στη θέση Α, ενώ οι ακτίνες έρχονται από το σηµείο Α! A A' θi d θt θ't θ'i δ B' B Σχήµα : έσµη φωτός µετατοπίζεται παράλληλα καθώς διαθλάται µέσα από παράλληλο πλακίδιο. Ένα αντικείµενο µέσα σε νερό -το ψάρι στη γυάλα- φαίνεται µεγαλύτερο και πιο κοντά στην επιφάνεια! Αυτό µπορεί να κάνει -για λίγο- χαρούµενους τους ψαράδες, αλλά δεν παρά µια ακόµα εφαρµογή του ελάχιστου χρόνου. Το φως, εξερχόµενο προς τον αραιότερο αέρα, φαίνεται να προέρχεται από το σηµείο Α, που είναι πιο κοντά στην επιφάνεια και έτσι το αντικείµενο φαίνεται ανυψωµένο και µεγεθυµένο. Αυτή είναι η φαινόµενη µεγέθυνση και ανύψωση. Αέρας Νερό Α' Σχήµα : Φαινόµενη ανύψωση αντικειµένου µέσα από νερό. Και αφού απαντήσαµε το ερώτηµα πού και πώς βλέπει ο άνθρωπος το ψάρι; ας αναρωτηθούµε πού και πώς βλέπει το ψάρι τον άνθρωπο; Η αναζήτηση της απάντησης αφήνεται στον αναγωνώστη. Α Σελίδα 2.13

14 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ ράση Φακών και Κατόπτρων. Η αρχή του ελάχιστου χρόνου εξηγεί τη δράση των φακών. Θέλουµε ένα σύστηµα τέτοιο ώστε όλο το φως που ξεκινά από ένα σηµείο Α, αφού περάσει από το οπτικό µέσο που θα ονοµάσουµε φακό, να συλλέγεται σε ένα άλλο σηµείο Α (σχήµα ). Επειδή όµως είναι πολλές οι ακτίνες από το A, δεν υπάρχει ένας µόνο οπτικός δρόµος. Για να φέρουµε όλο το φως που εκπέµπεται από το Α στο σηµείο Α πρέπει όλοι οι δυνατοί δρόµοι να προσφέρουν ακριβώς τον ίδιο χρόνο ταξιδιού. Αυτό µπορεί να γίνει ως εξής: θα τοποθετήσουµε στο χώρο ένα κοµµάτι γυαλί. Στη διαδροµή ΑPΑ αντιστοιχεί µεγαλύτερος χρόνος σε σχέση µε την ευθεία διαδροµή από το Α στο Α. Αν παρεµβάλλουµε στην ευθεία διαδροµή ακριβώς το κατάλληλο πάχος γυαλιού που θα καθυστερήσει το φως τόσο, ώστε να αντισταθµίσει ακριβώς τον επιπλέον χρόνο που χρειάζεται το φως να ταξιδέψει µέσω της τεθλασµένης, τότε ο χρόνος που χρειάζεται το φως να ταξιδέψει µέσω της ευθείας γίνεται ακριβώς ίσος µε το χρόνο ταξιδιού µέσω της τεθλασµένης ΑPΑ. Για την ακτίνα ΑΠΠ Α που η διαδροµή της δεν είναι τόσο µεγάλη όσο η ΑΡΑ, θα χρειαστεί να παρεµβάλλουµε λιγότερο πάχος γυαλιού. Ñ Ð Ð' Á Ï Ï' Á' Σχήµα : Σύστηµα εστίασης µε ένα συγκλίνοντα παραβολικό φακό Αν το γυαλί είναι τέτοιο ώστε το πάχος να µειώνεται παραβολικά γύρω από το κέντρο του Ο, τότε µπορεί να αποδειχθεί ότι µε αυτό ακριβώς το σχήµα γυαλιού όλες οι ακτίνες που ξεκινούν από το Α θα καταλήξουν στο Α. Αυτός είναι ένας συγκλίνων φακός. Είναι αυτό το παραβολικό σχήµα φακού το µόνο που θα µας δώσει τη σωστή αντιστάθµιση; Μπορούµε να πετύχουµε το στόχο µας µε ένα κοµµάτι γυαλιού µε παράλληλες επιφάνειες (σχήµα ); Το ζητούµενο είναι να αυξήσουµε τον οπτικό δρόµο από το κέντρο προς τα άκρα. Αυτό µπορεί να επιτευχθεί µε ένα κοµµάτι γυαλιού µε επίπεδες έδρες, στο οποίο ο δείκτης διάθλασης µειώνεται προς τα άκρα -από σηµείο Ο προς σηµείο Ρ- παραβολικά. Τέτοιοι είναι οι φακοί βαθµιαίας αύξησης του δείκτη διάθλασης (GRaded INdex lenses). Ñ Ð Ð' Á Ï Ï' Á' Σχήµα : Σύστηµα εστίασης µε φακό βαθµιαίας αύξησης δείκτη διάθλασης. Σελίδα 2.14

15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ Παρόµοια είναι η αρχή λειτουργίας της δράσης των πρισµάτων. ύο επίπεδα δίοπτρα, που τέµνονται µε γωνία (διαθλαστική γωνία) χωρίζουν ένα οπτικό µέσο π.χ. γυαλί, από ένα άλλο οπτικό µέσο π.χ. τον αέρα, και σχηµατίζουν ένα οπτικό πρίσµα (σχήµα ). Από το Α προς το Α η ακτίνα δεν θα ακολουθήσει την ευθύγραµµη πορεία αλλά µια τεθλασµένη ΑΟΟ Α, επειδή η πορεία αυτή είναι η συντοµότερη! Η τεθλασµένη διαδροµή είναι η πιο σύντοµη επειδή έχει λιγότερο τµήµα στο οπτικά πυκνό υλικό. Έτσι, αν µια ακτίνα φωτός προσπέσει τη µια πλευρά του πρίσµατος, τότε µετά από δύο διαθλάσεις εξέρχεται από την άλλη πλευρά, σχηµατίζοντας γωνία εκτροπής Ε σε σχέση µε την προσπίπτουσα. Ï E Ï' Á Á' Σχήµα : Η πορεία του φωτός σε ένα πρίσµα δεν είναι ευθύγραµµη. είχνουµε λεπτοµερειακά στο κεφάλαιο του ιασκεδασµού ( 4.3) ότι η γωνία εκτροπής εξαρτάται από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του πρίσµατος και το δείκτη διάθλασης n. Όπως θα δούµε, ο δείκτης διάθλασης n του πρίσµατος, εκτός από το υλικό εξαρτάται και από το µήκος κύµατος λ -ή τη συχνότητα ν. Έτσι, αν φωτίσουµε κατάλληλα µε πολλά µήκη κύµατος ένα πρίσµα, τότε τα διαφορετικά χρώµατα θα έχουν διαφορετική γωνία εκτροπής. Όσο µεγαλύτερο είναι το λ, τόσο µικρότερη θα είναι η γωνία εκτροπής. Αν φωτίσουµε το πρίσµα µε λευκό φως τότε θα πάρουµε µια συνεχή σειρά χρωµάτων, το φάσµα του δηλαδή. Αν φωτίσουµε το πρίσµα µε φως που περιέχει συγκεκριµένες χρωµατικές συνιστώσες τότε θα πάρουµε το γραµµικό φάσµα της πηγής -περισσότερα για τα είδη φασµάτων στην Στην εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από το µήκος κύµατος οφείλεται το φαινόµενο των χρωµατικών σφαλµάτων στους φακούς, που θα συζητήσουµε στις παραγράφους 2.5 και Η αρχή του ελάχιστου χρόνου µπορεί να µας δώσει, εκτός από την αρχή λειτουργίας των φακών, και την αρχή λειτουργίας των κατόπτρων. Το ερώτηµα Τι είδους κάτοπτρο πρέπει να χρησιµοποιηθεί ώστε παράλληλες ακτίνες ανακλώµενες από ένα κάτοπτρο να συγκλίνουν σε ένα σηµείο; πάλι θα απαντηθεί µε την αρχή του Fermat. Θέλουµε ένα σύστηµα τέτοιο ώστε όλο το φως που έρχεται από πολύ µακριά να συλλέγεται, µετά από ανάκλαση στην κατοπτρική επιφάνεια, σε ένα µόνο σηµείο Β (σχήµα ). Ο µόνος τρόπος να γίνει αυτό είναι τα διάφορα µονοπάτια να προσφέρουν ακριβώς τον ίδιο χρόνο ταξιδιού. Ας το δούµε αυτό. Θεωρούµε ένα σύστηµα αξόνων (x,y) µε αρχή το σηµείο Β, και δύο σηµεία στο µέτωπο κύµατος, Α & Α, που απέχουν τετµηµένη απόσταση a από το σηµείο Β. Οι δύο οπτικοί δρόµοι γράφονται : Σελίδα 2.15

16 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ AO+ OB = x + y + x + a και Απαιτούµε οι δύο οπτικοί δρόµοι να είναι ίσοι : και έτσι µπορούµε να γράψουµε : 2 2 x y x a AO' + O' B = x + y + x + a (2.1.13) = σταθερά (2.1.14) x + y + x = σ' x + y = σ'-x x + y = σ' 2 σ' x+ x y σ' y = σ' 2 σ' x x= + 2 σ' 2 (2.1.15) ηλαδή η απαίτηση ότι όλοι οι οπτικοί δρόµοι είναι ισοδύναµοι έχει ως συνέπεια ότι η κατοπτρική επιφάνεια πρέπει να περιγράφεται από µια εξίσωση παραβολής µε κέντρο το σηµείο B. Á Á á ø Â (0,0) Ï(x 1,ø 1 ) Ï (x 2,ø 2 ) x Σχήµα : Παραβολική ανακλαστική επιφάνεια. Αν προσπέσει ένα ιδανικά επίπεδο µέτωπο κύµατος ή µια ιδανικά παράλληλη δέσµη, -π.χ. αδιατάρακτο φως από ένα αστέρι-, σε µια ανακλαστική επιφάνεια παραβολικού σχήµατος, τότε όλο το φως θα συγκεντρωθεί στο κέντρο της παραβολής. Ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή αν µια σηµειακή πηγή φωτός βρεθεί στην εστία της παραβολής τότε θα δηµιουργήσουµε ένα επίπεδο µέτωπο κύµατος/παράλληλη δέσµη. Είναι ακριβώς η αρχή λειτουργίας των προβολέων! Σηµειώνουµε ότι όπως και στα κάτοπτρα, έτσι και στους φακούς, είναι ακριβώς το παραβολικό σχήµα που επιτρέπει σε όλες τις ακτίνες από ένα σηµείο να συγκλίνουν σε ένα εστιακό σηµείο: αυτή είναι η στιγµατική απεικόνιση. Σελίδα 2.16

17 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ 2.2. ιάθλαση: ίοπτρα και Φακοί Εστιακή Απόσταση ιόπτρου Θεωρούµε ένα σφαιρικό δίοπτρο, µια επιφάνεια που είναι ένα τµήµα σφαίρας µε συγκεκριµένη ακτίνα καµπυλότητας R=ΟΚ=QK. Το δίοπτρο διαχωρίζει ένα µέσο µε δείκτη διάθλασης n 2 (π.χ. µεγάλης καθαρότητας διοξείδιο του πυριτίου, SiO 2, το γνωστό γυαλί) από περιβάλλον µέσο n 1 (π.χ. αέρα). Θα θεωρήσουµε ότι η επιφάνεια είναι λεία. Ο άξονας συµµετρίας του διόπτρου λέγεται οπτικός άξονας και βρίσκεται κατά µήκος της ακτίνας ΟΚ. èi Q èi T P s è 1 èt U h O è 2 K s' n 1 R n 2 P' Σχήµα : Γεωµετρία διάθλασης από κυρτό σφαιρικό δίοπτρο. Μια ακτίνα από το σηµείο Ρ του οπτικού άξονα διαδίδεται µέχρι στο σηµείο Q του διόπτρου µε γωνία θ 1 ως προς τον άξονα συµµετρίας. Εκεί διαθλάται, και συνεχίζοντας στο δεύτερο οπτικό µέσο τέµνει τον οπτικό άξονα στο σηµείο Ρ µε γωνία θ 2. Στο σηµείο Q ισχύει ο νόµος της διάθλασης : n sinϑi = n sinϑt (2.2.1) 1 2 Από τα ορθογώνια τρίγωνα QΤK & ΡΤΚ και QUK & P UK έχουµε : KT = Rsinϑi = ( R + s) sinϑ1 & KU = Rsinϑt = ( s R) sinϑ2 (2.2.2) όπου s=ορ είναι η απόσταση του αντικειµένου και s =ΟΡ του ειδώλου από την κορυφή Ο του διόπτρου. Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι : sinϑ1 s R sinϑi s R n2 = = (2.2.3) sinϑ s + R sinϑt s+ R n 2 1 Η σχέση αυτή δίνει την απόσταση ειδώλου s από ένα αντικείµενο που βρίσκεται σε συγκεκριµένη απόσταση s. Ωστόσο, για κάθε ξεχωριστή ακτίνα - διαφορετική γωνία ως προς τον οπτικό άξονα θ 1 - προκύπτει µια διαφορετική θέση ειδώλου s, έχουµε δηλαδή µια µη-στιγµατική απεικόνιση. Γιατί συµβαίνει αυτό; Για να συγκλίνουν όλες οι ακτίνες -διαφορετικές γωνίες θ 1 - από ένα σηµείο, -στιγµατική απεικόνιση- πρέπει να µειώνεται παραβολικά το οπτικό πάχος του διόπτρου προς τα άκρα. Αλλά εξετάσαµε ένα σφαιρικό δίοπτρο, όχι παραβολικό. Αυτό γιατί τα δίοπτρα -και οι φακοί- κατασκευάζονται σφαιρικά για πρακτικούς λόγους: είναι εξαιρετικά δύσκολο να κατασκευαστεί µια λεία παραβολική επιφάνεια, ενώ είναι σχετικά εύκολο να κατασκευαστεί µια λεία σφαιρική! Σελίδα 2.17

18 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ Αν ωστόσο περιοριστούµε κοντά στον οπτικό άξονα, δηλαδή αν θεωρήσουµε ότι το σηµείο Q είναι κοντά στο Ο, τότε µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το σφαιρικό δίοπτρο γύρω από τον οπτικό άξονα είναι σαν ένα παραβολικό κοντά στην κορυφή του. Περιορίζουµε δηλαδή τις ακτίνες σε µια µικρή στερεά γωνία γύρω από τον οπτικό άξονα. Οι ακτίνες αυτές λέγονται παραξονικές και ισχύει η παραξονική προσέγγιση (paraxial approximation). Θα συναντήσουµε κάποιες συνέπειες της παρέκκλισης αυτής στο κεφάλαιο σφαλµάτων φακών. Αν ισχύει η παραξονική προσέγγιση µπορούµε να γράψουµε : QO QO sinϑ1 ϑ1 ( rad ) και sinϑ2 ϑ2= ( rad ) (2.2.4) s s Με αυτές τις προσεγγίσεις η (2.2.3) µπορεί να µετασχηµατιστεί στην : n1 n2 n2 n1 Εξίσωση απεικόνισης σφαιρικού διόπτρου : + = (2.2.5) s s' R Η απλή αυτή σχέση, γνωστή ως τύπος του Gauss, προς τιµή του Γερµανού µαθηµατικού Karl Friedrich Gauss, µας δίνει για µια απόσταση αντικειµένου (s) µια συγκεκριµένη θέση ειδώλου (s ) που σχηµατίζεται από το δίοπτρο. Η απόσταση s εξαρτάται µόνο από τους δ.δ. υλικού & περιβάλλοντος και την ακτίνα καµπυλότητας του διόπτρου και όχι από τη γωνία που σχηµατίζει η ακτίνα µε τον οπτικό άξονα. Έτσι έχουµε µια στιγµατική απεικόνιση: ένα σηµείο απεικονίζεται σε ένα µόνο σηµείο Ρ για όλες τις γωνίες, για όλες τις δυνατές πορείες ακτίνων από το Ρ. Αν το αντικείµενο είναι στο άπειρο, s =, τότε η απόσταση s είναι η εστιακή απόσταση (focal length) f 1 του διόπτρου (σχήµα 2-2-2α) : n n n n n R + = f = s s' = f R n2 n1 1 (2.2.6) Αντίστοιχα για είδωλο στο άπειρο, δηλαδή s = (σχήµα 2-2-2β) η απόσταση του αντικειµένου είναι η εστιακή απόσταση f 2 του διόπτρου : n n n n nr + = f = s R n n s= f (2.2.7) f 1 n 1 n 2 > n 1 R E 1 E 2 R n 1 n 2 > n 1 Σχήµα : Οι δύο εστίες ενός κυρτού διόπτρου, κύρια (Ε 1 ) και δευτερεύουσα (Ε 2 ). Το σφαιρικό δίοπτρο λοιπόν έχει δύο εστίες Ε 1 και Ε 2. Συµβατικά ορίζουµε το κύριο εστιακό σηµείο (principal focal point) Ε 1 ως το σηµείο σύγκλισης µιας παράλληλης προς τον οπτικό άξονα δέσµης που συναντά το δίοπτρο από τα αριστερά, ενώ το δευτερεύον εστιακό σηµείο (secondary focal point) Ε 2 ως το σηµείο f 2 Σελίδα 2.18

19 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ σύγκλισης παράλληλης δέσµης που συναντά το δίοπτρο από τα δεξιά του σχήµατος. Το µέτρο και το πρόσηµο της εστιακής απόστασης ενός διόπτρου εξαρτώνται από : Την οπτική πυκνότητα του υλικού του, n 2, Την οπτική πυκνότητα του περιβάλλοντος χώρου, n 1, και Τη γεωµετρία του, όπως εκφράζεται από την ακτίνα καµπυλότητας. Το πρόσηµο της ακτίνας καµπυλότητας ορίζεται θετικό αν το κέντρο καµπυλότητας βρίσκεται στα δεξιά της επιφάνειας, δηλαδή κυρτή, και αρνητικό αν η ακτίνα καµπυλότητας βρίσκεται στα αριστερά της, δηλαδή κοίλη επιφάνεια. f R E 2 n 1 n 2 > n 1 Σχήµα : Κοίλο δίοπτρο µε αρνητική εστιακή απόσταση. Για θετική εστιακή απόσταση µια δέσµη ακτίνων που προσπίπτει επάνω στο δίοπτρο παράλληλα στον οπτικό άξονα µετατρέπεται σε συγκλίνουσα δέσµη στην πραγµατική εστία Ε 1 (σχήµα 2-2-2α). Αντίθετα, ένα αρνητικό πρόσηµο εστιακής απόστασης σηµαίνει ότι η παράλληλη δέσµη µετατρέπεται σε αποκλίνουσα, η οποία φαίνεται να προέρχεται από την εστία του διόπτρου (σχήµα 2-2-3) Εστιακή Απόσταση Φακού Συνδυάζοντας δύο δίοπτρα που περιορίζουν ένα διαφανές µέσο έχουµε ένα φακό. Στο σχήµα ο φακός καθορίζεται από τις επιφάνειες Κ 1 µε ακτίνα καµπυλότητας R 1, και Κ 2 µε ακτίνα καµπυλότητας R 2, οι οποίες περιορίζουν ένα υλικό µε δείκτη διάθλασης n 2 από το περιβάλλον µέσο µε δείκτη διάθλασης n 1. s E' P d Q s' s o A A' E n 1 R2 n 2 n 1 R1 Σχήµα : Φακός = δύο δίοπτρα. Σελίδα 2.19

20 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ Αν αγνοήσουµε προσωρινά τη δεύτερη διαχωριστική επιφάνεια Κ 2, θεωρούµε ότι ο χώρος πέρα από την καµπύλη Κ 1 είναι συνεχής µε δείκτη διάθλασης n 2. Έτσι η ακτίνα ΑΡ θα διαθλαθεί προς το ΡΑ. Από τη σχέση απεικόνισης (2.2.5) έχουµε : n1 n2 n2 n1 + = (2.2.8) s s0 R1 Θεωρούµε τώρα µια ακτίνα από το σηµείο Α η οποία, φθάνοντας στο Q διαθλάται από το δεύτερο δίοπτρο Κ 2, και διαδίδεται προς το E. Η απόσταση s του σηµείου τοµής της νοητής προέκτασής της, QE, βρίσκεται εφαρµόζοντας πάλι τη σχέση απεικόνισης για το δεύτερο δίοπτρο : n n n n + = s d s' R ( ) (2.2.9) Εδώ ισχύει (n 1 n 2 )<0 αλλά και ταυτόχρονα R 2 <0, οπότε το κλάσµα παραµένει θετικό. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2.2.8) και (2.2.9) έχουµε : n n = ( n n ) + n d s s R R n s d s ' 1 2 1( 0 ) 0 (2.2.10) Για αµελητέο πάχος d του φακού, έτσι ώστε d ^ s 0, µπορούµε να αγνοήσουµε τον τελευταίο όρο καταλήγοντας στην απλή σχέση των κατασκευαστών φακών, που συνδέει την εστιακή απόσταση ενός φακού από τα γεωµετρικά του χαρακτηριστικά. Έτσι στην (2.2.10) τοποθετούµε το αντικείµενο στο άπειρο, δηλαδή s=, οπότε s =f : 1 n τύπος κατασκευαστών φακών = 1 f n1 R1 R2 (2.2.11) Με βάση αυτή την αρχιτεκτονική συνταγή µπορούµε να κατασκευάσουµε φακό µε συγκεκριµένη εστιακή απόσταση f αν γνωρίζουµε τις τιµές των δεικτών διάθλασης του υλικού και του περιβάλλοντος µέσου: µένει µόνο να καθοριστούν οι καµπυλότητες των επιφανειών! Οι συµβάσεις προσήµων για εστιακή απόσταση και ακτίνες καµπυλότητας, συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα, και είναι οι ίδιες µε αυτές που ισχύουν στα δίοπτρα : πρόσηµο ακτίνα καµπυλότητας R εστιακή απόσταση f κυρτή επιφάνεια κοίλη επιφάνεια R R + - Συγκλίνων + Αποκλίνων - Πίνακας : Πρόσηµα για ακτίνα καµπυλότητας και εστιακή απόσταση. Σελίδα 2.20