ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΥΨΗΛΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΩΝ Υπολογιστικές Μεθοδολογίες για τη ιαχείριση και Ανάλυση Μακράς ιάρκειας Video Ηλεκτροεγκεφαλογραφήµατος ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Νικολάου Π. Χαριτωνίδη Επιβλέπουσα: Κωνσταντίνα Σ. Νικήτα Καθηγήτρια Ε.Μ.Π Αθήνα, Οκτώβριος 2008

2

3 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΥΨΗΛΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΩΝ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑ ΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΙΟΑΤΡΙΚΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Υπολογιστικές Μεθοδολογίες για τη ιαχείριση και Ανάλυση Μακράς ιάρκειας Video Ηλεκτροεγκεφαλογραφήµατος ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Νικολάου Π. Χαριτωνίδη Επιβλέπουσα: Κωνσταντίνα Σ. Νικήτα Καθηγήτρια Ε.Μ.Π Εγκρίθηκε από την τριµελή εξεταστική επιτροπή την 31/10/ Κωνσταντίνα Νικήτα Καθηγήτρια Ε.Μ.Π... Θεόδωρος Αλεξόπουλος Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π... ηµήτριος Κουτσούρης Καθηγητής Ε.Μ.Π

4 ... Νικόλαος Π. Χαριτωνίδης ιπλωµατούχος Φυσικός Εφαρµογών Ε.Μ.Π c (2008) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για εµπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής ϕύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα. Ερωτήµατα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συµπεράσµατα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερµηνευθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσηµες ϑέσεις του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου.

5 Ευχαριστίες Για την εκπόνηση της παρούσης διπλωµατικής εργασίας, ϑα ήθελα να εκφράσω τις ϑερµότατες ευχαριστίες µου στους παρακάτω: Την επιβλέπουσα καθηγήτρια µου κ. Κωνσταντίνα Νικήτα, τόσο για την ανάθεση της παρούσας διπλωµατικής εργασίας όσο και για την συµπαράσταση και τις πολύτιµες συµβουλές της καθόλη τη διάρκεια της εκπόνησης, καθώς και για την επιµονή της να εκφράζω τη δική µου άποψη πάνω στα ϑέµατα που πραγµατευόταν η εργασία. Την Υποψήφια ιδάκτορα της Σχολής Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών κ. Λάγια Πολυχρονάκη, που ήταν δίπλα µου από το πρώτο δευτερόλεπτο της ανάθεσης µέχρι την τελευταία στιγµή, και µε ατέλειωτη υποµονή µου προσέφερε τη ϐοήθεια της σε οποιοδήποτε πρόβληµα παρουσιαζόταν κάθε ϕορά, ϑυσιάζοντας πάντοτε µε χαρά το χρόνο της για να µε ϐοηθήσει. Ολόκληρη την Οµάδα Πειραµατικής Φυσικής Υψηλών Ενεργειών του Τοµέα Φυσικής της σχολής Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, για την ευγενική παραχώρηση των υπολογιστικών πόρων που απαίτησε η παρούσα εργασία, αλλά ιδιαίτερα τον Αν.Καθηγητή Ε.Μ.Π κ. Θεόδωρο Αλεξόπουλο και τον Καθηγητή Ε.Μ.Π κ. Εµµανουήλ ρή που µου προσέφεραν καθόλη τη διάρκεια των σπουδών µου την υποδοµή για να µπορώ να διαβάζω, να δουλεύω, και να λειτουργώ απερίσπαστος. Τον Υποψήφιο ιδάκτορα του πανεπιστηµίου Κύπρου κ. Φώτη Γεωργάτο για τις πολύτιµες συµβουλές του και την τεχνική ϐοήθεια που προσέφερε αγόγγυστα σχετικά µε το GRID. Τον Επ. Καθηγητή της Ιατρικής Σχολής και γιατρό του Ευαγγελισµού κ. Στέργιο Γκατζώνη για την πολύτιµη συνεισφορά του στην απόκτηση των δεδοµένων.

6 Περίληψη Η παρούσα διπλωµατική εργασία αποτελείται από δύο µέρη. Το πρώτο µέρος αφορά στην περιγραφή και µελέτη δύο µεθόδων εξαγωγής ϕάσης από ηλεκτρεγκεφαλογραφικά δεδοµένα, δύο καναλιών του ηλεκτρεγκεφαλογραφήµατος ασθενούς πάσχοντος από επιληψία κροταφικού λοβού. Η µία µέθοδος, περιλαµβάνει την εξαγωγή ϕάσης µέσω του µετασχηµατισµού Hilbert, ενώ η δεύτερη είναι µια νέα µέθοδος εξαγωγής ϕάσης που αναπτύχθηκε στο πανεπιστήµιο του Potsdam, στη Γερµανία. Προκειµένου να ποσοτικοποιηθεί ο συγχρονισµός ϕάσης µεταξύ των δύο καναλιών, υπολογίστηκε το µέτρο µέσης συνάφειας ϕάσης (Mean Phase Coherence), και συγκρίθηκαν τα αποτελέσµατα. Απώτερος στόχος της µελέτης συγχρονισµού ϕάσης µεταξύ ΗΕΓ καταγραφών είναι ο υπολογιστικός διαχωρισµός µεταξύ των περιόδων που προηγούνται µιας κρίσης (προκριτικών) και περιόδων που απέχουν χρονικά από την κρίση (µεσοκριτικών). Στο δεύτερο κοµµάτι της εργασίας, περιγράφεται και εφαρµόζεται µια µέθοδος διαχείρισης µεγάλου όγκου Video-Ηλεκτρεγκεφαλογραφικών δεδοµένων, τα οποία συλλέχθηκαν στη µονάδα χειρουργικής της επιληψίας του νοσοκοµείου Ευαγγελισ- µός. Η διαχείριση των δεδοµένων έγινε χρησιµοποιώντας το διεθνές υπολογιστικό πλέγµα (GRID), στα πλαίσια του EGEE Project. ιαπιστώθηκε πως η υποδοµή του GRID µπορεί να προσφέρει πολύ αποδοτικές λύσεις στην περίπτωση ασφαλούς αποθήκευσης δεδοµένων, από τις ανά τον κόσµο ερευνητικές οµάδες. Λέξεις Κλειδιά Επιληψία, στιγµιαίες ϕάσεις, συγχρονισµός ϕάσης, Mean Phase Coherence, µετασχηµατισµός Hilbert, GRID, πλέγµα, Data Management, διαχείριση δεδοµένων

7 Abstract The present diploma thesis consists of two basic parts. In the first part, two methods of phase reconstruction from EEG Data, acquired from epilepsy patients were studied. The first one, uses the Hilbert Transform in order to extract the phases, and the other one, is a new method developed at Potsdam University, Germany. The Mean Phase Coherence index of synchronization was computed, for both methods, and the results are being compared. The further purpose of this study is the computational segregation of pre ictal and inter ictal periods. At the second part of this thesis, a method of Data Management of a big volume of Video EEG Data is being described, analyzed and applied. The data were collected at the unit of Epilepsy Surgery, of the Evagelismos public hospital, and they are being used by several research teams. The Data management is being embedded using the International Grid, part of the EGEE Project. Key Words Epilepsy, Phase Reconstruction Method, Hilbert Transform, Mean Phase Coherence, GRID, EGEE Project, Data Management

8 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή Σκοπός οµή της εργασίας Η επιληψία Ιστορικά Στοιχεία Αιτιοπαθογένεια Αιτιολογία Παθογένεια Επιδηµιολογία Ταξινόµηση επιληπτικών κρίσεων Είδη επιληπτικών κρίσεων Γενικευµένες Τονικές - Κλονικές κρίσεις Τυπικές κρίσεις αφαίρεσης Status Epilepticus ϑάνατος εξαιτίας επιληψίας Ηλεκτροεγκεφαλογράφηµα Ιστορικά Στοιχεία Τεχνικά στοιχεία Το σύστηµα Ρυθµοί ΗΕΓ εδοµένα της παρούσας εργασίας Μέθοδοι συγχρονισµού Ιστορικά στοιχεία Θεωρητικό υπόβαθρο Ο χώρος ϕάσης Τοµή Poincare Εξωτερική ύναµη ύο συζευγµένοι ταλαντωτές Προβλεψιµότητα επιληπτικών κρίσεων

9 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ Συγχρονισµός ϕάσης Μέθοδοι εξαγωγής ϕάσης Μέτρα συγχρονισµού Mean Phase Coherence Εξαγωγή ϕάσης µέσω του µετασχηµατισµού Hilbert Ορισµός Αναλυτική αναπαράσταση σήµατος Ηµιτονοειδή σήµατα Η µέθοδος των Pikovski et al Εισαγωγικά Ενας αυτόνοµος ταλαντωτής Οι πρωτοφάσεις Θορυβώδη συστήµατα Γενίκευση για δύο ταλαντωτές Αιτιολόγηση εφαρµογής της µεθόδου πάνω σε ΗΕΓ εδοµένα Εφαρµογή στο ΗΕΓ Υπολογιστική Υλοποίηση Υποθέσεις Τα αρχεία.matκαι υπολογιστική υλοποίηση Αποτελέσµατα Αποτελέσµατα µε ϕίλτρο συχνοτήτων Hz-30Hz Σύγκριση εξαγόµενων ϕάσεων Αποτελέσµατα µε ϕίλτρο συχνοτήτων Hz-70Hz Σύγκριση-συµπεράσµατα Σύγκριση χρόνου υπολογισµού Σύγκριση των δύο µεθόδων Αποτελεσµατικότητα του Mean Phase Coherence Το GRID Εισαγωγή - Τι είναι το GRID Η έννοια της κατανεµηµένης υπολογιστικής ισχύος - Parallel Distributed Computing Enabling Grids for E science (EGEE) Η υποδοµή του GRID Virtual Organizations Η αρχιτεκτονική του GRID Το ψηφιακό πιστοποιητικό Το User Interface UI Το Storage Element Ο LFC Catalog

10 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 9 7 Τα δεδοµένα στο GRID Σκοπός Περιγραφή της ϕύσεως των δεδοµένων Ιατρικό Απόρρητο Το Data Management( ιαχείριση των δεδοµένων στο GRID) Το User Interface Χαρακτηριστικά του µηχανήµατος Λειτουργικό σύστηµα και ειδικό λογισµικό Το middleware- UI_TAR Το site info.def αρχείο Τα πιστοποιητικά µας και ο ϕάκελος.globus Data Upload Ανάκτηση των αρχείων Συµπεράσµατα από τη χρήση του GRID Α Κώδικας Matlab 97 Α.1 Συνολικός κώδικας εξαγωγής ϕάσης και γραφικών παραστάσεων.. 97 Α.2 PhaseTrans1.m

11 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Σκοπός Η µάχη κατά της επιληψίας, απαιτεί συνδυασµένη προσπάθεια τόσο από το ιατρικό επιτελείο, άλλα και από την πλευρά των υπόλοιπων επιστηµόνων. Σήµερα γίνονται διεθνείς προσπάθειες για την δηµιουργία και εφαρµογή µεθόδων, που ϑα µπορούν αναλύοντας τις διάφορες ηλετροεγκεφαλογραφικές καταγραφές να εξάγουν διάφορα συµπεράσµατα, τόσο για την πορεία της νόσου, όσου και για την πρόβλεψή της. Μια προσέγγιση αυτού του Ϲητήµατος, είναι µέσω της µελέτης του συγχρονισµού του ηλεκτροεγκεφαλογραφήµατος σε χρονικές στιγµές τόσο πριν από την κρίση, όσο και κατά τη διάρκεια της. Στο πρώτο τµήµα της παρούσης διπλωµατικής εργασίας περιγράφονται και µελετώνται δύο µέθοδοι εξαγωγής ϕάσης. Η µία, είναι η εξαγωγή ϕάσης µέσω της αναλυτικής αναπαράστασης σήµατος, που χρησιµοποιεί τον µετασχηµατισµό Hilbert, ενώ η δεύτερη είναι µια νέα µέθοδος εξαγωγής ϕάσης, η οποία αναπτύχθηκε στο πανεπιστήµιο του Potsdam το 2007, και εξήγαγε µε απόλυτη επιτυχία τις ϕάσεις από περιοδικούς, συζευγµένους ταλαντωτές, ενώ έδινε µια πολύ καλή προσέγγιση στη γραµµική ϕάση, όταν εφαρµόστηκε σε ϑορυβώδεις, Van Der Pol ταλαντωτές. Οι δύο µέθοδοι υλοποιήθηκαν υπολογιστικά, και στη συνέχεια εφαρµόστηκαν. Εξήχθησαν και µε τις δύο µεθόδους οι ϕάσεις από ηλεκτρεγκεφαλογραφικά δεδοµένα µιας ολόκληρης ΗΕΓ καταγραφής µιας ασθενούς. Στη συνέχεια χρησιµοποιήθηκε µια µέθοδος ελέγχου του συγχρονισµού αυτών των ϕάσεων, µε τον υπολογισµό ενός µέτρου που ονοµάζεται Mean Phase Coherence. Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται και συγκρίνονται. Στο δεύτερο τµήµα της παρούσας εργασίας, Video-ηλεκτροεγκεφαλογραφικά δεδοµένα πολύ µεγάλου όγκου, τα οποία συλλέχθηκαν από την µονάδα χειρουργικής της επιληψίας του νοσοκοµείου Ευαγγελισµός, οµαδοποιούνται, συµπιέζονται, κρυπτογραφούνται και αποθηκεύονται σε διάφορους, ανά την Ελλάδα, υπολογιστικούς αποθηκευτικούς χώρους, στα πλαίσια της υποδοµής Hellasgrid, που είναι µέρος του διεθνούς Project EGEE GRID. Για να χρησιµοποιηθεί η υποδοµή του 10

12 1.2. οµή της εργασίας 11 GRID, αναπτύχθηκε και ϱυθµίστηκε ένα ειδικό µηχάνηµα-πύλη µέσω του οποίου γινόταν όλη η επεξεργασία και διαχείριση των δεδοµένων. Τα δεδοµένα αυτά, τα οποία οι ανά τον κόσµο ερευνητικές οµάδες είναι πολύ δύσκολο να ϐρούν, και λόγω του µεγάλου όγκου αλλά και λόγω της σπανιότητάς τους, είναι δυνατόν να µοιραστούν και να χρησιµοποιηθούν για παρόµοιες µελέτες στο µέλλον µέσω της υποδοµής του GRID. 1.2 οµή της εργασίας Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται µια ιστορική ανασκόπηση και σύνοψη των κυριότεϱων παθολογικών στοιχείων, και της κλινικής εικόνας της επιληψίας. Στο τρίτο κεφάλαιο αναλύονται τα τεχνικά στοιχεία του ηλεκτροεγκεφαλογράφου και του ηλεκτροεγκεφαλογραφήµατος, και γίνεται περιγραφή των δεδοµένων που χρησιµοποιήσαµε Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται µια εισαγωγή στις έννοιες του συγχρονισµού, και στις µαθηµατικές µεθόδους που χρησιµοποιούνται, ενώ ταυτόχρονα περιγράφονται οι δύο µέθοδοι εξαγωγής ϕάσης που χρησιµοποιήσαµε. Επίσης αναλύεται το µέτρο ελέγχου του συγχρονισµού, Mean Phase Coherence. Στο πέµπτο κεφάλαιο αναλύεται η υπολογιστική υλοποίηση πάνω στα δεδοµένα του ασθενούς, παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα και τα συµπεράσµατα από τη σύγκριση µε τον κλασσικό τρόπο εξαγωγής ϕάσης. Στο έκτο κεφάλαιο περιγράφεται η δοµή, η υποδοµή, η αρχιτεκτονική και τα ϐασικά στοιχεία λειτουργίας του GRID, όπως είναι σήµερα. Στο έβδοµο κεφάλαιο περιγράφεται η ϕύση των δεδοµένων που είχαµε στη διάθεσή µας, και δίνεται έµφαση στην ιατρική ϕύση των δεδοµένων και τα απαραίτητα µέτρα ασφαλείας που έπρεπε να ληφθούν υπόψην όσον αφορά το Ιατρικό Απόρρητο. Στο όγδοο κεφάλαιο περιγράφεται αναλυτικά η διαδικασία ανάπτυξης και ϱύ- ϑµισης του ειδικού υπολογιστή-πύλη που χρησιµοποιήθηκε για την διαχείριση των δεδοµένων, και στη συνέχεια περιγράφεται και εξηγείται η διαδικασία ανεβάσµατος αυτών των δεδοµένων στο GRID, και η περαιτέρω διαχείριση τους.

13 Κεφάλαιο 2 Η επιληψία 2.1 Ιστορικά Στοιχεία Η λέξη Επιληψία προέρχεται από το ελληνικό ϱήµα επιλαµβάνειν που σηµαίνε κατάληψη από αιφνίδια κρίση. Στην αρχαία Ελλάδα η επιληψία καλείτο Ιερά Νόσος, µια και ϑεωρείτο οτι οι ασθενείς καταλαµβάνονταν από Θεεική Μανία. Από τα αρχαία κιόλας χρόνια, ο Ιπποκράτης είχε συσχετίσει την ασθένεια µε εγκεφαλικές ϐλάβες. Εν τούτοις, η αντίληψη της επιληψίας σαν Θεία Τιµωρία επικράτησε πλήρως κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα και δεν εξαφανίστηκε πλήρως µέχρι την Αναγέννηση. Ο Ελβετός γιατρός Samiuel Tissot περιέργραψε το 1770 πρακτικά όλες τις µορφές επιληψίας στο ϐιβλίο του Traite de l epilepsie. Ο Βρεταννός νευρολόγος John Hughlings Jackson πρότεινε το 1873 οτι η αιτία της επιληψίας ήταν οι εξαιρετικά ισχυρές ηλεκτρικές εκτονώσεις της ϕαιάς ουσίας του εγκεφάλου. ύο χρόνια αργότε- ϱα, στο Liverpool ο Richard Caton επιβεβαίωσε πειραµατικά τη ϑεωρία του Jackson µετρώντας απευθείας την ηλεκτρική δραστηριότητα του ϕλοιού σε Ϲώα. Την ίδια εποχή, το 1857, ανακαλύφθηκε και η αντιεπιληπτική δράση του ϐρωµίου. Σε συνδυασµό µε την ανακάλυψη και άλλων ϕαρµάκων µε αντιεπιληπτική δράση στο πρώτο µισό του εικοστού πρώτου αιώνα, όπως η ϕαινοβαρβιτάλη και η ϕαινιτόνη, ο Hans Berger στη Γερµανία εκτέλεσε την πρώτη ηλεκτρεγκεφαλογραφική καταγραφή, ενώ από τα µέσα του αιώνα είχαν ήδη αρχίσει µέσω άµεσων χειρουργικών παρατηρήσεων προσπάθειες συσχετισµού των ϕυσιολογικών λειτουργιών των τµη- µάτων του εγκεφάλου µε την κλινική ϕαινοµενολογία της επιληψίας. 2.2 Αιτιοπαθογένεια Αιτιολογία Σε ϑεωρητική ϐάση, κάθε εγκέφαλος, ακόµα και ένας εντελώς υγιής, µπορεί να εµφανίσει επιληπτική κρίση κάτω από συγκεκριµένες συνθήκες που να διεγείρουν 12

14 2.3. Επιδηµιολογία 13 αφύσικα τη ϕαιά ουσία [1]. Ο όρος επιληψία, στη σωστή του διάσταση αναφέρεται σε µια διαρκή τάση για εµφάνιση κρίσεων. Η αιτία µπορεί να είναι είτε δοµική ϐλάβη του εγκεφάλου, όπως µια αναπτυξιακή ανωµαλία, µια ουλή από ένα τραύµα που προκλήθηκε κατά τη διαδικασία της γέννησης, ισχαιµία, κάποια εστιακή µόλυνση, ή όγκος. Σε άλλες περιπτώσεις, κρίσεις επιληψίας µπορεί να εµφανιστούν εξαιτίας κάποιας µεταβολικής διαταραχής, όπως η υπογλυκαιµία, ή σε κάποια τοξική κατάσταση, όπως για παράδειγµα ο αλκοολισµός. Πολύ συχνά, η αιτία των επιληπτικών κρίσεων παραµένει απροσδιόριστη [1] Παθογένεια Η επιληψία αντικατοπτρίζει κάποια προβληµατική λειτουργία των εγκεφαλικών νευρώνων. Υπό ϕυσιολογικές συνθήκες, ένας νευρώνας λαµβάνει τόσο διεγερτικά όσο και ανασταλτικά δυναµικά από άλλους νευρώνες, και παράγει ένα δυναµικό δράσης όταν και µόνο όταν το σύνολο των διεγερτικών µετασυναπτικών δυναµικών ξεπερνά αυτό των ανασταλτικών µετασυναπτικών δυναµικών. Ενδονευρωνικές καταγραφές από επιληπτικές εστίες, έχουν δείξει πως µια αποπόλωση της µεµβράνης µε αφύσικα µεγάλο πλάτος, πυροδοτεί την έναρξη µιας σειράς υψίσυχνων δυναµικών δράσης ακολουθούµενα από υπερπόλωση. Μια τέτοια ηλεκτρική δραστηριότητα, η οποία µπορεί να ϑεωρηθεί σαν ένα µεγαλύτερου πλάτους µετασυναπτικό δυναµικό διέγερσης, όταν εµφανιστεί ανάµεσα σε έναν πληθυσµό νευρώνων, απεικονίζεται από κορυφές που ακολουθούνται από συµπλέγµατα αργών κυµάτων (spike wave). Αυτά ακριβώς τα συµπλέγµατα είναι η αρχική απεικόνιση στο ΗΕΓ µιας κλινικά παρατηρούµενης κρίσης. εν είναι γνωστό πότε ακριβώς ξεκινούν αυτά τα συµπλέγ- µατα τόσο η ϑαλαµο-ϕλοιώδης όσο και η ενδο-ϕλοιώδης προέλευση έχουν υποτεθεί. Εν τούτοις, οι ακόλουθες διαδικασίες παίζουν σηµαντικό ϱόλο: Εισροή ιόντων νατρίου και ασβεστίου µε ταυτόχρονη εκροή ιόντων καλίου ιεγερτικά αµινοξέα όπως η γλουταµάτη Ανασταλτικοί νευροδιαβιβαστές όπως η GABA (γάµα-αµινοβουτιρικό οξύ) Οι παραπάνω διαδικασίες είναι και η ϐάση για διάφορα είδη αντισπασµωδικής ϑεραπείας. Κάποια ϕάρµακα ελλατώνουν την εισροή νατρίου, κάποια άλλα ενισχύουν την ανασταλτική δράση του γάµα-αµινοβουτιρικού οξέος, ενώ άλλα µπλοκάρουν επιλεκτικά ορισµένα κανάλια ασβεστίου [1]. 2.3 Επιδηµιολογία Η επιληψία είναι µια από τις πιο κοινές νευρολογικές ασθένειες. Εµφανίζεται συνήθως στο % - 1% του πληθυσµού, ενώ η πιθανότητα εµφάνισης κυµαίνεται στο µεγαλύτερο ποσοστό µέχρι την ηλικία του 1ου έτους και µετά την ηλικία των 65 ετών [1]. Η κληρονοµικότητα ϕαίνεται να έχει σηµαντικό ϱόλο, µια και

15 2.4. Ταξινόµηση επιληπτικών κρίσεων 14 επιδηµιολογικές µελέτες έχουν αποδείξει πως η πιθανότητα να εµφανίσει τη νόσο τέκνο ενός ιδιοπαθούς επιληπτικού γονέα, είναι 1 προς 25. Εάν και οι δύο γονείς έχουν εµφανίσει τη νόσο, η πιθανότητα µεγαλώνει ακόµα περισσότερο [1]. 2.4 Ταξινόµηση επιληπτικών κρίσεων Η επιληψία µπορεί να ταξινοµηθεί µε διάφορους τρόπους: κατά αιτιολογία: 1. ιδιοπαθής, γενετική, γνήσια 2. συµπτωµατική, που οφείλεται σε κάποια προβληµατική περιοχή του εγκεφάλου 3. κρυπτογενής κατά κλινικό µοτίβο: 1. γενικευµένη 2. µερική (εστιακή, τοπική) 3. αταξινόµητη 4. ακολουθία κρίσεων, status epilepticus κατά σηµείο επιλεπτογόνου εστίας: 1. κρίσεις προσθίου λοβού 2. κρίσεις κροταφικού λοβού 3. κρίσεις ϐρεγµατικού λοβού 4. κρίσεις ινιακού λοβού κατά µοτίβο ΗΕΓ κατά την ηλικία έναρξης Πρέπει σε αυτό το σηµείο να αποσαφηνιστεί ο όρος επιληψία. Οι επιληπτικές κρίσεις είναι διαταραχές της λειτουργίας του εγκεφάλου. Οταν οι επιληπτικές κρίσεις συµβαίνουν επαναλαµβανόµενα και χωρίς συγκεκριµένο αίτιο, τότε ο ασθενής ϑεωρείται οτι πάσχει από επιληψία µε την ακριβή έννοια του όρου, ενώ, στην περίπτωση που κρίσεις συµβαίνουν µόνο περιστασιακά και κάτω από ορισµένες συνθήκες, όπως για παράδειγµα η στέρηση ύπνου ή ή κατάχρηση αλκοόλ, αυτές ονοµάζονται προκλητές κρίσεις (provoked seizures). Μια µόνη κρίση, δεν συνιστά επιληψία. Η υποψία επιληψίας όµως, µπορεί να προέλθει από µια µόνο κρίση

16 2.5. Είδη επιληπτικών κρίσεων 15 αν οι ηλεκτρεγκεφαλογραφικές καταγραφές δείξουν το συνήθες µοτίβο ϱυθµών που παρατηρείται εντός της επιληπτικής κρίσης [1]. Στην εστιακή ή µερική επιληψία, οι παθολογικές ηλεκτρικές εκκενώσεις συµ- ϐαίνουν σε ένα συγκεκριµένο σηµείο του εγκεφαλικού ϕλοιού. Οι εστιακές κρίσεις υποδιαιρούνται σε απλές και σύνθετες: Στις απλές, ο ασθενείς διατηρεί τις αισθήσεις και τη συνείδησή του, ενώ στις σύνθετες όχι. Η επιληψία εξαιτίας κάποιας συγκεκριµένης παθολογίας, όπως π.χ ένας όγκος, ονοµάζεται συµπτωµατική επιληψία. Οι επιληπτικοί ασθενείς που είναι ψυχονευ- ϱολογικά υγιείς ανάµεσα στις κρίσεις και δεν έχουν καµία δοµική παθογένεια σύµφωνα µε την MRI εξέταση, λέγεται ότι πάσχουν από ιδιοπαθή επιληψία που έχει, σε αρκετά µεγάλο αριθµό περιπτώσεων, γενετική ϐάση. Η επιληψία εξαιτίας µιας παθογενούς αιτίας, η οποία όµως δεν είναι προφανής µε τα σηµερινά διαγνωστικά µέσα, ονοµάζεται κρυπτογενής επιληψία. 2.5 Είδη επιληπτικών κρίσεων Παραπάνω από τα µισά είδη επιληπτικών κρίσεων, είναι γενικευµένες, δηλαδή εµφανίζονται ταυτόχρονα σε όλο τον εγκέφαλο, εν αντιθέσει µε τις ελάχιστες περιπτώσεις εστιακών κρίσεων [1] Γενικευµένες Τονικές - Κλονικές κρίσεις Πρόκειται για το πιο συνηθισµένο είδος γενικευµένης επιληπτικής κρίσης. Ονοµάζεται επίσης Grand Mall κρίσεις, και είναι οι πιο ευρέως γνωστές στο κοινό. Πολλοί ασθενείς αναφέρουν διάφορα προδροµικά συµπτώµατα, όπως άγχος, εκνευρισµός, γενικό αίσθηµα ανησυχίας, αδυναµία συγκέντρωσης. Κάποιοι άλλοι ασθενείς έχουν αναφέρει µια προειδοποιητική αύρα πριν από την κρίση, όπως ένα αίσθηµα ζεστασιάς στο στήθος [2]. Τονική ϕάση Η κρίση ξεκινά µε αιφνίδια απώλεια συνείδησης και πτώση στο έδαφος, που µερικές ϕορές ακολουθείται από ακούσιο ουρλιαχτό (παραγόµενο από ξαφνική εκτόνωση αέρα µέσα από τις ϕωνητικές χορδές). Υπάρχει γενική σύσπαση των µυών, συνοδευόµενη από δύσπνοια, κυάνωση, ακαµψία και έκταση του σώµατος. Η τονική αυτή ϕάση διαρκεί 10 δευτερόλεπτα ή περισσότερο και ακολουθείται από την κλονική ϕάση. Κλονική ϕάση Η κλονική ϕάση χαρακτηρίζεται από ταυτόχρονους, αµφίπλευρα σύγχρονους σπασµούς, στο στόµα του ασθενούς εµφανίζονται αφροί (προερχόµενοι από σάλιο και αέρα) και µπορεί να δαγκώσει τη γλώσσα του και/η να έχει ακράτεια ούρων. Η

17 2.5. Είδη επιληπτικών κρίσεων 16 κλονική ϕάση γενικά διαρκεί 2-5 λεπτά. Ο ασθενής παραµένει για λίγο αναίσθητος µετά την κρίση, στην συνέχεια περνάει σε µια ϕάση µέτα-κριτικής σύγχυσης, και τέλος, αποκτά πλήρη συνείδηση. Είναι αξιοσηµείωτο πως, ο ασθενής παραµένει πλήρως αµνησιακός τόσο για την κρίση, όσο και για την περίοδο σύγχυσης που ακολούθησε, ή οποία µπορεί να διαρκέσει µέχρι 10 λεπτά ή περισσότερο. Ο γιατρός που εξετάζει τον ασθενή αµέσως µετά από µια κρίση, ϑα έπρεπε να ελέγξει τη γλώσσα του ασθενούς για δάγκωµα στην άκρη της, µια και συνήθως, αυτό είναι το µόνο σηµείο - ένδειξη από την κρίση. Από ψυχιατρικής άποψης ασθενείς µε συχνές κρίσεις σταδιακά υπόκεινται σε µια αλλαγή προσωπικότητας, χαρακτηριστικά γίνονται πιο αργοί γνωστικά, δυσχερείς, και υπερβολικά ακριβείς σε συνδυασµό µε παθολογικό εκνευρισµό και ευερεθιστότητα [2]. Τέτοιες αλλαγές συνήθως δεν εµφανίζονται σε ασθενείς που ανταποκρίνονται καλά σε κατάληλλη αντιεπιληπτική ϕαρµακολογία [1]. Εικόνα 2.1: Η εικόνα του ηλεκτρεγκεφαλογραφήµατος κατά τη διάρκεια µιας γενικευµένης κρίσης [3] Αιτιολογία και παράγοντες πρόκλησης των grand mall κρίσεων Οι γενικευµένες τονικές-κλονικές κρίσεις επιληψίας συχνά οφείλονται σε µια παθολογία στον εγκέφαλο η οποία δεν είναι ανιχνεύσιµη από τα τρέχοντα διαθέσιµα µέσα δοµικής απεικόνισης. Κάποιοι εξωτερικοί παράγοντες σε πολλές περιπτώσεις

18 2.5. Είδη επιληπτικών κρίσεων 17 είναι δυνατόν να προκαλέσουν τέτοιες κρίσεις επιληψίας, όπως για παράδειγµα η στέρηση ύπνου, επαναλαµβανόµενα ϕωτοερεθίσµατα, και άλλα. Σε πολλές περιπτώσεις οι κρίσεις τείνουν να συµβαίνουν αµέσως µετά την αφύπνιση του ασθενούς, από τον νυχτερινό ύπνο Τυπικές κρίσεις αφαίρεσης Οι κρίσεις Grand Mall συµβαίνουν στους ενήλικες κάθε ηλικίας άλλοι τύποι γενικευµένων κρίσεων είναι ηλικιακά εξαρτώµενοι. Ενα τέτοιο παράδειγµα είναι οι κρίσεις αφαίρεσης (abscence seizures).σύµφωνα µε επιδηµιολογικές µελέτες, οι κρίσεις αφαίρεσης εµφανίζονται πολύ συχνά σε παιδιά από 1-13 χρονών. Οι κρίσεις αφαίρεσης είναι αρκετά διαφορετικές από τις Grand Mall κρίσεις που αναφέρθηκαν προηγουµένως ο ασθενής, κατά τη διάρκεια της κρίσης παύει οποιαδήποτε δραστηριότητα έκανε µέχρι εκείνη τη στιγµή (συµπεριλαµβανοµένης και της οµιλίας), κοιτάει το κενό, µη έχοντας επαφή µε το περιβάλλον, και αµέσως µετά, επανέρχεται στην ϕυσιολογική κατάσταση. Οι κρίσεις αφαίρεσης, εξαιτίας ακριβώς αυτής της κλινικής εικόνας, πολλές ϕορές εκλαµβάνονται εσφαλµένα ως ονειροπόληση. Αυτού του είδους οι κρίσεις, που ονοµαζονται Petit Mall (εν αντιθέσει µε τις Grand Mall) συνήθως εξαφανίζονται µόλις το παιδί µπει στην εφηβεία. Το ΗΕΓ είναι το κύριο µέσο διάγνωσης και για αυτό το είδος της επιληψίας [1] Status Epilepticus ϑάνατος εξαιτίας επιληψίας Το Status Epilepticus ορίζεται σαν µια ακολουθία κρίσεων που συµβαίνουν χωρίς διακοπή ανάµεσά τους, ή χωρίς, ο ασθενής να επανέλθει πλήρως ανάµεσα στις κρίσεις. Οι κρίσεις στο status epilepticus δεν είναι γενικευµένες σε όλες τους τις ϕάσεις. Μη σπασµωδικό status epilepticus, χωρίς καµία απολύτως κινητική δραστηριότητα, µπορεί επίσης να συµβεί. Το status epilepticus είναι µια επικίνδυνη για τη Ϲωή του ασθενούς κατάσταση, καθώς προκαλεί κεντρική υποθερµία, ασφυξία, ηλεκτρολυτικές διαταραχές, υποοξυγόνωση του εγκεφάλου που µπορεί να προκαλέσουν το ϑάνατο. Η πιθανότητα ϑανάτου από status epilepticus κινείται από 5% - 20%, εξαρτώµενη από την αιτιολογία του. Γενικά η πιθανότητα ϑανάτου από την επιληψία παρατηρείται στην πλειοψηφία των ασθενών που έχουν ϕαρµακοανθεκτικότητα. Μέσα σε 9 χρόνια, η πιθανότητα ϑανάτου είναι περίπου 67% για τους ασθενείς µε συµπτωµατική επιληψία, οι οποίοι συνήθως πεθαίνουν εξαιτίας της υποκείµενης παθολογίας. Οι πιο συχνές αιτίες ϑανάτου που οφείλονται στην επιληψία αυτή καθεαυτή είναι, µε σειρά µειούµενης συχνότητας είναι: αιφνίδιος ϑάνατος, ατυχήµατα και, σε σπάνιες περιπτώσεις, αυτοκτονία [2].

19 Κεφάλαιο 3 Ηλεκτροεγκεφαλογράφηµα 3.1 Ιστορικά Στοιχεία Η πρώτη καταγραφή σηµάτων από τον εγκέφαλο, έγινε το 1875 από έναν ειδικευόµενο γιατρό, τον Richard Caton, στο Liverpool, ο οποίος παρουσίασε τα αποτελέσµατα της έρευνάς του περί ηλεκτρικών ϕαινοµένων σε εκτεθειµένο ϕλοιό ποντικών και πιθήκων. Το 1912 ο Ρώσος ϕυσιολόγος Vladimir Vladimirovich Pravdich Neminsky δηµοσίευσε το πρώτο ηλεκτρεγκεφαλογράφηµα και τα προκλητά δυναµικά ενός ϑηλαστικού (σκύλου). Το 1914, οι γιατροί Cybulsky και Jelenska Macieszyna ϕωτογράφησαν για πρώτη ϕορά ηλεκτρεγκεφαλογραφικές καταγραφές από πειραµατικά επαγόµενες κρίσεις. Το 1920, ο Γερµανός ϕυσιολόγος - νευροψυχίατρος Hans Berger άρχισε τη µελέτη του πάνω στο ανθρώπινο ηλεκτρεγκεφαλογράφηµα. Η δουλειά που άρχισε ο Berger ϐελτιώθηκε και συνεχίστηκε αργότερα από τον νοµπελίστα ηλεκτροφυσιολόγο Edgar Douglas Adrian. Το 1934, οι γιατροί Phisher και Lowenback πρώτη ϕορά επέδειξαν µορφές επιληπτικής κρίσης, ενώ µόλις ένα χρόνο αργότερα, το 1935, οι Gibbs, Davis και Lennox περιέγραψαν ηλεκτρεγκεφαλογραφικές κορυφές από κρίσεις αφαίρεσης, το οποίο ήταν και η αρχή της κλινικής ηλεκτροεγκεφαλογραφίας. Από τότε και µέχρι σήµερα, πολλές τεχνικές και µηχανήµατα αναπτύχθηκαν, µε αποτέλεσµα σήµερα το ΗΕΓ να είναι ένα αναντικατάστατο εργαλείο για τη διαφορική διάγνωση προβληµάτων στον εγκέφαλο, τόσο νευρο-παθολογικής, όσο και ψυχιατρικής ϕύσεως. Αυτό που καθιστά το ηλεκτροεγκεφαλογράφηµα τόσο σηµαντική διαγνωστική δοκιµασία, είναι ότι παρέχει στον κλινικό γιατρό πληροφορία για την λειτουργία παρά για τη δοµή, του εγκεφάλου. 18

20 3.2. Τεχνικά στοιχεία Τεχνικά στοιχεία Αρχή λειτουργίας Η ϐασική αρχή λειτουργίας του ηλεκτροεγκεφαλογραφήµατος (ΗΕΓ) στηρίζεται στην τοποθέτηση ηλεκτροδίων σε συγκεκριµένα σηµεία του κρανίου, είτε στην δερµατική επιφάνεια είτε ενδοκρανιακά, κάνοντας δυνατή την µέτρηση ϱευµάτων (διαφορών δυναµικού) που ϱέουν στις κυτταρικές µεµβράνες των νευρώνων που συµµετέχουν στις εκάστοτε εγκεφαλικές λειτουργίες. Ο ηλεκτρεγκεφαλογράφος Ο ηλεκτροεγκεφαλογράφος αποτελείται από τα ηλεκτρόδια και το σύστηµα καταγραφής και επεξεργασίας των σηµάτων. Σε µερικές περιπτώσεις, όπου υπάρχει µονάδα καταγραφής ηλεκτροεγκεφαλογραφηµάτων µακράς διαρκείας, ο ηλεκτροεγκεφαλογράφος είναι συνδεδεµένος και µε µια κάµερα, ώστε παράληλλα µε την ηλεκτροεγκεφαλογραφική καταγραφή να γίνεται και καταγραφή της κλινικής εικόνας του ασθενούς. Τα ηλεκτρόδια έχουν επαφή µε το δέρµα του κρανίου (στην περίπτωση του ηλεκτρεγκεφαλογραφήµατος επιφανείας) µέσω µιας κολλώδους, αγώγιµης ουσίας, που έχει ηλεκτρολυτικές ιδιότητες. Ετσι, µετατρέπεται το ϱεύµα ιόντων µέσα στο ανθρώπινο σώµα σε ϱεύµα ηλεκτρονίων µέσα στα καλώδια, τα οποία στη συνέχεια το οδηγούν σε περαιτέρω στάδια επεξεργασίας. Μόλις τοποθετηθούν τα ηλεκτρόδια και ο ηλεκτρολύτης, έχουµε κίνηση ιόντων µεταξύ του συνόρου ηλεκτροδίουηλεκτρολύτη, µέχρι να επέλθει ισορ- ϱοπία. Από τη στιγµή αυτή και µετά, οποιαδήποτε κίνηση ιόντων στον εγκέφαλο, µεταβάλλει την ισορροπία Εικόνα 3.1: Σχηµατικό διάγραµµα ενός αυτή, µε αποτέλεσµα να αλλάζει και η ηλεκτρεγκεφαλογράφου. Στο σχήµα διαφορά δυναµικού, και να εµφανίζεται ϕαίνονται τα ϐασικά µέρη και η αρχή ϱοή ηλεκτρονίων. Τα ηλεκτρόδια λειτουργίας [36]. που χρησιµοποιούνται είναι ϕτιαγµένα από χλωριούχο άργυρο (AgCl) ενώ ο ηλεκτρολύτης συνήθως περιέχει χλώριο (Cl). Μετά τη λήψη του σήµατος, το σήµα πρέπει να ενισχυθεί, να υποστεί επεξεργασία και να απεικονιστεί. Αυτό γίνεται µε τη ϐοήθεια ενός συστήµατος ηλεκτρονικών, που αποτελείται από ενισχυτές, ϕίλτρα, πολυπλέκτες και ηλεκτρονικούς υπολογιστές.

21 3.3. Ρυθµοί 20 Εικόνα 3.2: Το διεθνές σύστηµα ηλεκτροδίων, [5]. Ενα σχηµατικό διάγραµµα ϕαίνεται στην εικόνα (3.1) Το σύστηµα Προκειµένου να πάρουµε µια γενική εικόνα της ηλεκτρικής δραστηριότητας του εγκεφάλου, πρέπει τα ηλεκτρόδια τα οποία ϑα καταγράφουν τα δυναµικά να τοποθετηθούν σε συγκεκριµένες ϑέσεις, ώστε, αφενός να µην αλληλεπικαλύπτονται και αφετέρου να καλύπτουν το µεγαλύτερο µέρος του εγκεφάλου. Το πιο διαδεδοµένο, σήµερα, σύστηµα τοποθέτησης ηλεκτροδίων, είναι το σύστηµα Η ονοµασία του συστήµατος οφείλεται στην επιλογή του 20% µεταξύ της αποστάσεων των δύο αυτιών, ως την απόσταση ανάµεσα σε δύο διαδοχικά ηλεκτρόδια, καθώς και στην επιλογή του 10% της αποστάσεως µεταξύ των δύο αυτιών ως το σηµείο τοποθέτησης του κοντινότερου ηλεκτροδίου σε κάθε αυτί. Αυτή η µέθοδος εξασφαλίζει οτι, η τοποθέτηση των ηλεκτροδίων ϑα είναι πάντα ανάλογη του µεγέθους του κρανίου του ασθενούς [5]. Τελικά η ηλεκτρεγκεφαλογραφική καταγραφή, περιλαµβάνει τις καταγραφές από όλα τα ηλεκτρόδια, προκειµένου ο κλινικός ιατρός να εξετάσει τις οµοιογένειες ή ανοµοιογένειες που παρατηρούνται στα γειτονικά, ή σε αντιδιαµετρικά ηλεκτρόδια. 3.3 Ρυθµοί Οπως αναφέρθηκε στα προηγούµενα, κατά τη διάρκεια του ηλεκτρεγκεφαλογραφήµατος µετρώνται διαφορές δυναµικού µεταξύ δύο ηλεκτροδίων. Εποµένως, η

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Τοαπλόεκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία Η ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΛΑΚΟΣΑΜΙΔΗΣ ΣΕ ΠΑΙΔΙΑ ΜΕ ΦΑΡΜΑΚΟΑΝΘΕΚΤΙΚΗ ΕΣΤΙΑΚΗ ΕΠΙΛΗΨΙΑ Κωνσταντίνα Κυπριανού Α.Τ.:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΟΕΓΚΕΦΑΛΟΓΡΑΦΗΜΑ (ΗΕΓ) ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΕΠΙΛΗΠΤΙΚΩΝ ΚΡΙΣΕΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΟΕΓΚΕΦΑΛΟΓΡΑΦΗΜΑ (ΗΕΓ) ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΕΠΙΛΗΠΤΙΚΩΝ ΚΡΙΣΕΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑ ΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΟΕΓΚΕΦΑΛΟΓΡΑΦΗΜΑ (ΗΕΓ) ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επιληψία. Λεωνίδας Στεφανής

Επιληψία. Λεωνίδας Στεφανής Επιληψία Λεωνίδας Στεφανής Τι είναι μία επιληπτική κρίση; Όταν ένας πληθυσμός νευρωνικών κυττάρων έχει μια ανώμαλη, υπέρμετρη και παροξυσμική δραστηριότητα Αιφνίδια, παροδική διαταραχή της νευρολογικής

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώµατα εναλλασσόµενης τάσης

Κυκλώµατα εναλλασσόµενης τάσης Κυκλώµατα εναλλασσόµενης τάσης Στόχος αυτής της ενότητας του µαθήµατος είναι η µελέτη των ηλεκτρικών κυκλωµάτων στα οποία η ηλεκτροκινητήρια δύναµη παρέχεται από πηγή εναλλασσόµενης τάσης Σε αυτή την ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΝΑΣ ΓΙΑΤΡΟΣ ΘΑ ΙΑΓΝΩΣΕΙ ΜΙΑ ΣΥΓΓΕΝΗ ΚΑΡ ΙΟΠΑΘΕΙΑ

ΠΩΣ ΕΝΑΣ ΓΙΑΤΡΟΣ ΘΑ ΙΑΓΝΩΣΕΙ ΜΙΑ ΣΥΓΓΕΝΗ ΚΑΡ ΙΟΠΑΘΕΙΑ 2 ΠΩΣ ΕΝΑΣ ΓΙΑΤΡΟΣ ΘΑ ΙΑΓΝΩΣΕΙ ΜΙΑ ΣΥΓΓΕΝΗ ΚΑΡ ΙΟΠΑΘΕΙΑ Κατά κανόνα, η διάγνωση µιας συγγενούς καρδιοπάθειας γίνεται στη βρεφική ηλικία, αν και αρκετές περιπτώσεις µπορούν να διαγνωσθούν σε οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel)

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Απόκριση σε Τυχαία Φόρτιση: Βασική Ιδέα Δ10-2 Το πρόβλημα της κίνησης μονοβάθμιου συστήματος σε τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών - Πειράματα Μονοβαθμίων Συστημάτων (ΜΒΣ) σε Σεισμική Τράπεζα

Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών - Πειράματα Μονοβαθμίων Συστημάτων (ΜΒΣ) σε Σεισμική Τράπεζα ΠΠΜ 5: Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ, Πειράματα ΜΒΣ σε Σεισμική Τράπεζα Πανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος ΠΠΜ 5: Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ Δυναμική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΑ ΡΕΥΜΑΤΑ

ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΑ ΡΕΥΜΑΤΑ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΑ ΡΕΥΜΑΤΑ Ένα ρεύµα ονοµάζεται εναλλασσόµενο όταν το πλάτος του χαρακτηρίζεται από µια συνάρτηση του χρόνου, η οποία εµφανίζει κάποια περιοδικότητα. Το συνολικό ρεύµα που διέρχεται από µια

Διαβάστε περισσότερα

Η θέση ύπνου του βρέφους και η σχέση της με το Σύνδρομο του αιφνίδιου βρεφικού θανάτου. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

Η θέση ύπνου του βρέφους και η σχέση της με το Σύνδρομο του αιφνίδιου βρεφικού θανάτου. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η θέση ύπνου του βρέφους και η σχέση της με το Σύνδρομο του αιφνίδιου βρεφικού θανάτου. Χρυσάνθη Στυλιανού Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.com

Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.com Επαλληλία Αρµονικών Κυµάτων - εκέµβρης 2014 Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός http://www.perifysikhs.com 1. Θέµα Α - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1.1. ύο σύγχρονες κυµατικές πηγές Α και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΤΙΡΙΩΝ Εβελίνα Θεμιστοκλέους

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση της

απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση της 1. Ένα σώμα μάζας m =, kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μικρής απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Οπτική αντίληψη. Μετά?..

Οπτική αντίληψη. Μετά?.. Οπτική αντίληψη Πρωτογενής ερεθισµός (φυσικό φαινόµενο) Μεταφορά µηνύµατος στον εγκέφαλο (ψυχολογική αντίδραση) Μετατροπή ερεθίσµατος σε έννοια Μετά?.. ΓΙΑ ΝΑ ΚΑΤΑΝΟΗΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΟΡΑΣΗ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει

Διαβάστε περισσότερα

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1 Την παρακάτω ανάλυση στο θέµα των Εξαναγκασµένων Ταλαντώσεων έκαναν οι : ρ. Μιχάλης Αθανασίου ρ. Απόστολος Κουιρουκίδης Φυσικοί, Επιστηµονικοί Συνεργάτες ΤΕΙ Σερρών, στα Τµήµατα Πληροφορικής -Επικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Τρέχοντα Κύµατα. Οµάδα.

2.1 Τρέχοντα Κύµατα. Οµάδα. 2.1 Τρέχοντα Κύµατα. Οµάδα. 2.1.41. Κάποια ερωτήµατα πάνω σε µια κυµατοµορφή. Ένα εγκάρσιο αρµονικό κύµα, πλάτους 0,2m, διαδίδεται κατά µήκος ενός ελαστικού γραµµικού µέσου, από αριστερά προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία. Κόπωση και ποιότητα ζωής ασθενών με καρκίνο.

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία. Κόπωση και ποιότητα ζωής ασθενών με καρκίνο. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία Κόπωση και ποιότητα ζωής ασθενών με καρκίνο Μαργαρίτα Μάου Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ220 24/1/2007. of them occurring as the solution of a problem indicates some inconsistency or absurdity.

Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ220 24/1/2007. of them occurring as the solution of a problem indicates some inconsistency or absurdity. Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ0 //007 Μιγαδικοί Αριµοί Παναγιώτης Παναγή, ppanagi@ucy.ac.cy ηµήτρης Ηλιάδης, eldemet@ucy.ac.cy The imaginary expression a and the negative expression b, have this resemblance,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5. 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5. 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8 1.1. Περιοδική κίνηση Περιοδικά φαινόμενα 9 1.2. Ταλάντωση - Ταλαντούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink Δυναμική Μηχανών I 5 6 Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ ΘΕΜΑ 1 ο (βαθµοί 2) Σώµα µε µάζα m=5,00 kg είναι προσαρµοσµένο στο ελεύθερο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου και ταλαντώνεται εκτελώντας πέντε (5) πλήρης ταλαντώσεις σε χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΧΡΥΣΟΒΑΛΑΝΤΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΛΕΜΕΣΟΣ 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση ,Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Καραδηµητρίου Ε. Μιχάλης http://perifysikhs.wordpress.com mixalis.karadimitriou@gmail.com Πρόχειρες Σηµειώσεις 2011-2012 1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση 1.1 Περιοδικά Φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά Κυµατικής Είδη κυµάτων: ιαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της ιάδοσης κυµάτων ΗΕξίσωσητουΚύµατος Κανόνας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ )

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης. Η σύγκριση των πειραματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μια «ανώδυνη» εισαγωγή στο μάθημα (και στο MATLAB )

Μια «ανώδυνη» εισαγωγή στο μάθημα (και στο MATLAB ) Μια «ανώδυνη» εισαγωγή στο μάθημα (και στο MATLAB ) Μια πρώτη ιδέα για το μάθημα χωρίς καθόλου εξισώσεις!!! Περίγραμμα του μαθήματος χωρίς καθόλου εξισώσεις!!! Παραδείγματα από πραγματικές εφαρμογές ==

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Πτυχιακή διατριβή

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Πτυχιακή διατριβή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Πτυχιακή διατριβή 3Δ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ DICOM ΚΑΙ ΕΣΤΙΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΣΚΛΗΡΥΝΣΗΣ ΣΕ ΕΙΚΟΝΕΣ ΕΓΚΕΦΑΛΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑΣ Νικολάου Φοίβια

Διαβάστε περισσότερα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα 3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429 4. Σήματα 1 Σήματα Σήματα είναι: σχήματα αλλαγών που αντιπροσωπεύουν ή κωδικοποιούν πληροφορίες σύνολο πληροφορίας ή δεδομένων σχήματα αλλαγών στο χρόνο, π.χ. ήχος, ηλεκτρικό σήμα εγκεφάλου

Διαβάστε περισσότερα

NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ www.geocities.com/gutsi1 -- www.gutsias.gr

NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ www.geocities.com/gutsi1 -- www.gutsias.gr Έστω µάζα m. Στη µάζα κάποια στιγµή ασκούνται δυο δυνάµεις. ( Βλ. σχήµα:) Ποιά η διεύθυνση και ποιά η φορά κίνησης της µάζας; F 1 F γ m F 2 ιατυπώστε αρχή επαλληλίας. M την της Ποιό φαινόµενο ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-5 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-5 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικό διαγώνισµα Φυσικής Κατεύθυνσης Γ λυκείου 009 ΘΕΜΑ 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -5 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σώµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 25 ΜΑΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 25 ΜΑΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 25 ΜΑΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο της επεξεργασίας σήματος αλλά και συχνή αιτία πονοκεφάλου για όσους πρωτοασχολούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Κρήτης, Παράρτηµα Χανίων

ΤΕΙ Κρήτης, Παράρτηµα Χανίων ΠΣΕ, Τµήµα Τηλεπικοινωνιών & ικτύων Η/Υ Εργαστήριο ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ ( ηµιουργία συστήµατος µε ροint-tο-ροint σύνδεση) ρ Θεοδώρου Παύλος Χανιά 2003 Περιεχόµενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...2 2 ΤΟ ΚΑΝΑΛΙ PΟINT-TΟ-PΟINT...2

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 9 Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη Ιουνίου 9 11. 14. ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ένα σύστημα εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν διεγερθεί κατάλληλα και αφεθεί στη συνέχεια ελεύθερο να

Ένα σύστημα εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν διεγερθεί κατάλληλα και αφεθεί στη συνέχεια ελεύθερο να ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Α. Εξαναγκασμένες μηχανικές ταλαντώσεις Ελεύθερη - αμείωτη ταλάντωση και ποια η συχνότητα και η περίοδος της. Ένα σύστημα εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν διεγερθεί κατάλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Η συμβολή των απεικονιστικών μεθόδων στη διάγνωση μαθησιακών και αναπτυξιακών διαταραχών. Φοιτήτρια: Νούσια Αναστασία

Η συμβολή των απεικονιστικών μεθόδων στη διάγνωση μαθησιακών και αναπτυξιακών διαταραχών. Φοιτήτρια: Νούσια Αναστασία Η συμβολή των απεικονιστικών μεθόδων στη διάγνωση μαθησιακών και αναπτυξιακών διαταραχών Φοιτήτρια: Νούσια Αναστασία Απεικονιστικές μέθοδοι Οι νευροαπεικονιστικές μέθοδοι εμπίπτουν σε δύο μεγάλες κατηγορίες:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.1.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών κεφάλαιο 1 Βασικές Έννοιες Επιστήμη 9 1Εισαγωγή στις Αρχές της Επιστήμης των Η/Υ Στόχοι Στόχος του κεφαλαίου είναι οι μαθητές: να γνωρίσουν βασικές έννοιες και τομείς της Επιστήμης. Λέξεις κλειδιά Επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Σειρές και Ολοκληρώµατα Fourier ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 16 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποσκοπούν στο να δώσουν µια σύνοψη της ϑεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο 7 4 Πεδίο της Συχνότητας 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι. Σημειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι. Σημειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικών Βιομηχανικών Διατάξεων και Συστημάτων Αποφάσεων ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι Σημειώσεις Εργαστηριακών

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα DAQ. 6.1 Εισαγωγή

Συστήµατα DAQ. 6.1 Εισαγωγή 6 Συστήµατα DAQ 6.1 Εισαγωγή Με τον όρο Acquisition (Απόκτηση) περιγράφουµε τον τρόπο µε τον οποίο µεγέθη όπως η πίεση, η θερµοκρασία, το ρεύµα µετατρέπονται σε ψηφιακά δεδοµένα και απεικονίζονται στην

Διαβάστε περισσότερα

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο.

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο. Κεφάλαιο T2 Κύµατα Είδη κυµάτων Παραδείγµατα Ένα βότσαλο πέφτει στην επιφάνεια του νερού. Κυκλικά κύµατα ξεκινούν από το σηµείο που έπεσε το βότσαλο και αποµακρύνονται από αυτό. Ένα σώµα που επιπλέει στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 2003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ήχος. Υπεύθυνος Καθηγητής: Παζούλης Παναγιώτης

Ο Ήχος. Υπεύθυνος Καθηγητής: Παζούλης Παναγιώτης ιαθεµατική Εργασία µε Θέµα: Οι Φυσικές Επιστήµες στην Καθηµερινή µας Ζωή Ο Ήχος Τµήµα: β1 Γυµνασίου Υπεύθυνος Καθηγητής: Παζούλης Παναγιώτης Συντακτική Οµάδα: Γεώργιος Ελευθεριάδης Ο Ήχος Έχει σχέση ο

Διαβάστε περισσότερα

ÊÏÑÕÖÇ ÊÁÂÁËÁ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ

ÊÏÑÕÖÇ ÊÁÂÁËÁ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ZHTHMA Στις ερωτήσεις έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών. Κουτσογιάννης Α. Ευστρατιάδης Φεβρουάριος 2002 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογίες Πληροφορικής και Επικοινωνιών (ΤΠΕ) για την υποστήριξη ιατρικών πράξεων σε νησιωτικές περιοχές στο Αιγαίο

Τεχνολογίες Πληροφορικής και Επικοινωνιών (ΤΠΕ) για την υποστήριξη ιατρικών πράξεων σε νησιωτικές περιοχές στο Αιγαίο Τεχνολογίες Πληροφορικής και Επικοινωνιών (ΤΠΕ) για την υποστήριξη ιατρικών πράξεων σε νησιωτικές περιοχές στο Αιγαίο ρ. Η. Μαγκλογιάννης Πανεπιστήµιο Αιγαίου Τµήµα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Η ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ ΔΙΑΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΤΑΞΙΝΟΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Η ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ ΔΙΑΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΤΑΞΙΝΟΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ ΔΙΑΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΤΑΞΙΝΟΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΕΩΡΓΙΛΑ ΕΛΕΝΗ Απαρτιωμένη Διδασκαλία ΕΙΣΑΓΩΓΗ Διάγνωση: είναι η πολύπλοκη διαδικασία αναγνώρισης και ταυτοποίησης μιας διαταραχής που γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Περιβαλλοντικές απόψεις της παροχής ενέργειας στις χηµικές αντιδράσεις.

Περιβαλλοντικές απόψεις της παροχής ενέργειας στις χηµικές αντιδράσεις. Περιβαλλοντικές απόψεις της παροχής ενέργειας στις χηµικές αντιδράσεις. Περίληψη Η επιβάρυνση του περιβάλλοντος που προκαλείται από την παροχή ηλεκτρικής ή θερµικής ενέργειας είναι ιδιαίτερα σηµαντική.

Διαβάστε περισσότερα

Συνιστώνται για... Οι δονήσεις είναι αποτελεσματικές...

Συνιστώνται για... Οι δονήσεις είναι αποτελεσματικές... ΠΕΔΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ Εκφυλιστικές αλλοιώσεις Αγγειακές παθήσεις Παθολογίες των πνευμόνων Ουρο-γυναικολογικές διαταραχές Καρδιακές παθήσεις Παθολογίες σπονδυλικής στήλης Παθολογίες αρθρώσεων Παθολογίες συνδέσμων

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις µε παλµογράφο

Μετρήσεις µε παλµογράφο Η6 Μετρήσεις µε παλµογράφο ΜΕΡΟΣ 1 ο ΠΑΛΜΟΓΡΑΦΟΣ Α. Γενικά Κατά την απεικόνιση ενός εναλλασσόµενου µεγέθους (Σχήµα 1), είναι γνωστό ότι στον κατακόρυφο άξονα «Υ» παριστάνεται το πλάτος του µεγέθους, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ 1 ο ΘΕΜΑ (1,5 Μονάδες) Στην παράδοση είχε παρουσιαστεί η αριθµητική επίλυση της εξίσωσης «καθαρής συναγωγής» σε µία διάσταση, η µαθηµατική δοµή της οποίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση - Φάση Αρµονικού Κύµατος 4ο Σετ Ασκήσεων - Χειµώνας 2012. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://perifysikhs.wordpress.

Εξίσωση - Φάση Αρµονικού Κύµατος 4ο Σετ Ασκήσεων - Χειµώνας 2012. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://perifysikhs.wordpress. Εξίσωση - Φάση Αρµονικού Κύµατος - Χειµώνας 2012 Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Α.1. Κατά τη διάδοση ενός κύµατος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008 ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές ;

1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές ; 45 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪ Η-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Χρυσ Σµύρνης 3 : Τηλ.: 107601470 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 006 ΘΕΜΑ 1 1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός

Διαβάστε περισσότερα