* website:

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "* website:"

Σωφρόνιος Καψής
3 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Άσκηση 7 Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας * 2 Δεκεμβρίου Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων Οταν κάνουμε μία μέτρηση παίρνουμε ζευγάρια τιμών (x, y) στα οποία έχουμε την είσοδο x και την έξοδο y. Τα δεδομένα αυτά συνήθως τα αποθηκεύουμε σε πίνακες και ο καλύτερος τρόπος για να τα παρουσιάσουμε είναι γραφικά κάνοντας δηλαδή την γραφική παράσταση των (x, y) (δες σχήμα 1). Με βάση τα δεδομένα που έχουμε η γραφική παράσταση μπορεί να γίνει με διάφορες κλίμακες (π.χ. εκατοστόμετρο, λογαριθμικό, ημιλογαριθμικό κλπ...). Οι πρώτες πληροφορίες που μας δίνει το διάγραμμα είναι: ˆ Η συμπεριφορά του συστήματος που μελετάμε. ˆ Την γενική μαθηματική σχέση που συνδέει τα μεγέθη. ˆ Τις πειραματικές μετρήσεις που έχουν σημαντική απόκλιση από τις υ- πόλοιπες. Για να μπορέσουμε να προσεγγίσουμε την μαθηματική σχέση που συνδέει τις ποσότητες μεταξύ τους προσπαθούμε να φτιάξουμε την καλύτερη γραμμή μεταξύ των σημείων. Η πιο απλή γραμμή είναι μια ευθεία που περνά όσο πιο * jmaay@physics.auth.gr, website: 1

2 Σχήμα 1: κοντά γίενται από όλα τα σημεία. Η γραμμή που προσεγγίζει την συμπεριφορά του συστήματος μπορεί να έχει και άλλη μορφή πέρα από ευθεία γραμμή (π.χ. καμπύλη). Οι πιο συνηθισμένες εξισώσεις καμπυλών που συνδέουν τα δεδομένα μεταξύ τους είναι: ˆ y = a 0 + a 1 x, ˆ y = Cx n, ˆ y = D kx, ˆ y = D10 kx, όπου τα a 0, a 1, C, D και k είναι οι σταθερές (παράμετροι) του πειράματος μας και τα x, y οι μεταβλητές. 1.1 Ευθεία ελαχίστων τετραγώνων Η ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων είναι ένα πολυώνυμο πρώτου βαθμού της μορφής P (x) = ax + b. (1) 2

3 Με βάση την θεωρία των ελαχίστων τετραγώνων μπορούμε να βρούμε τις σταθερές a, b του πρωτοβάθμιου πολυωνύμου ελαχιστοποιώντας το άθροισμα S = n i=0 [y i ax i b] 2. Τα a, b δίνονται από τις σχέσεις: όπου a = s 0u 1 s 1 u 0, b = s 2u 0 s 1 u 1, (2) s 0 = n, s 1 = x i, s 2 = x 2 i, u 0 = y i, u 1 = x i y i. (3) Η τυπική απόκλιση των a, b δίνεται από τις σχέσεις: s0 σ a = s y, s2 σ b = s y, (4) όπου [yi (ax i + b)] 2 s y = s 0 2 (5) 1.2 Εφαρμογή σε καμπύλες γραμμές Στην περίπτωση που η βελτιστη γραμμή δίνεται από ένα πολυώνυμο της μορφής: P (x) = y = Cx n, (6) όπου n θετικός ή αρνητικός αριθμός εκτός από μηδέν και η μονάδα C είναι μια σταθερή ποσότητα, τότε παίρνουμε τον λογάριθμο της (6) από όπου έχουμε: log y = log C + n log x (7) 3

4 όπου αν θέσουμε Y = log y, a 0 = log C, a 1 = n, X = log x, (8) έχουμε Y = a 0 + a 1 X, (9) που είναι της μορφής της ευθείας γραμμής (1) και μπορούμε να δουλέψουμε ακριβώς όπως στην προηγούμενη παράγραφο. Στην περιπτωση που το πολυώνυμο μας είναι της μορφής P (x) = y = Ce n, (10) παίρνουμε τον νεπέριο λογάριθμο (ln) της εξίσωσης (14) από όπου έχουμε: ln y = ln C + nx (11) όπου αν θέσουμε Y = ln y, a 0 = ln C, a 1 = n, X = x, (12) έχουμε Y = a 0 + a 1 X, (13) που είναι και αυτό της μορφής της ευθείας γραμμής (1) και μπορούμε να δουλέψουμε ακριβώς όπως στην προηγούμενη παράγραφο. Αντίστοιχα για την μορφή P (x) = y = C10 n, (14) παίρνουμε τον λογάριθμο (log 10 ) και ακολουθούμε την ίδια διαδικασία. 2 Ασκήσεις 1. Κάντε την γραφική παράσταση και βρείτε την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων για τις παρακάτω μετρήσεις της κίνησης ενός κινούμενου σώματος: 4

Χρόνος (min) Ταχύτητα (km/min) 0.1 1.2 0.2 2.6 0.5 7.2 0.8 10.0 1.0 12.6 2.

5 Χρόνος (min) Ταχύτητα (km/min) Να βρείτε την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων για τις παρακάτω τιμές μέτρησης της τάσης ενός θερμοηλεκτρικού στοιχείου συναρτήσει της θερμοκρασίας 3. Βρείτε έναν τύπο της μορφής P (x) = Ae Mx για τα παρακάτω δεδομένα 4. Αν η εξέλιξη ενός φαινομένου ακολουθεί έναν νόμο της μορφής y(t) = ke at2 +bt, να βρεθούν οι τιμές των σταθερών k, a, b για τα δεδομένα του παρακάτω πίνακα 5

Σχετικά έγγραφα

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Γραφικές παραστάσεις Μαρία Κατσικίνη E-mail: katsiki@auth.gr Web: users.auth.gr/katsiki Παρουσίαση αποτελεσμάτων με τη μορφή πινάκων Πίνακας : χρόνος και ταχύτητα του κινητού