Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Τόμος Β Δημήτρης Τσουμπελής ΠΑΤΡΑ 200

2

3 Πρόλογος Τούτο το (δεύτερο) μέρος του βοηθήματος Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις στοχεύει στο να οδηγήσει τον αναγνώστη στο... ανοιχτό πέλαγος. Εκεί όπου ο χώρος-υπόβαθρο είναι πολυδιάστατος, οι συνοριακές συνθήκες (μπορεί να) δίνονται σε υπερεπιφάνειες, οι αρχικές σε μη συμπαγείς περιοχές και, τέλος, οι συναρτήσεις-λύσεις δεν είναι υποχρεωτικά αυστηρές ή κλασικές. Βέβαια, τα προβλήματα συνοριακών και αρχικών τιμών που αναλύονται κάπως συστηματικά στις σελίδες αυτού του τόμου είναι οι κλασικές εξισώσεις των Laplace- Poisson, της διάχυσης ή της θερμότητας και η κυματική ή εξίσωση του d Alembert, που είναι οικείες στον αναγνώστη από τον πρώτο τόμο. Και τα μόνα εννοιολογικά σύμπλοκα που θα μπορούσε κανείς να τα χαρακτηρίσει σαν όντως καινούργια είναι οι συναρτήσεις Green, οι γενικευμένες συναρτήσεις ή κατανομές και οι μετασχηματισμοί Fourier. Συνεπώς, και στον δεύτερο τόμο περιοριζόμαστε σε προβλήματα που έχουν ως βασικό χαρακτηριστικό την γραμμικότητα. Ετσι, η επέκταση της συζήτησής μας σε μη γραμμικές εξισώσεις εξέλιξης και μη γραμμικές εξισώσεις ελλειπτικού τύπου πρέπει να μετατεθεί στις σελίδες του τρίτου τόμου αυτού του συγγράμματος. Ωστόσο, κάποια προετοιμασία για το πέρασμα στο χώρο της μη γραμμικότητας γίνεται ήδη στις σελίδες που ακολουθούν. Χωρίς να το αναφέρουμε ρητά, προθερμαίνουμε τον φίλο αναγνώστη (και τη φίλη αναγνώστρια, βέβαια δυστυχώς η ελληνική γλώσσα, και όχι μόνο, επιμένει στις διακρίσεις και δυσκολεύει την συστηματική αναφορά της) για να μπορέσει να ανταπεξέλθει ευκολότερα στις δυσκολίες των μη γραμμικών εξισώσεων, αφιερώνοντας πολλές από τις σελίδες αυτού του τόμου στις μιγαδικές συναρτήσεις. Ειδικότερα, τα ολοκληρώματα τύπου Cauchy, οι σχέσεις Plemelj-Sokhotski και άλλες έννοιες και μέθοδοι της μιγαδικής ανάλυσης που παρουσιάζουμε στο δεύτερο κεφάλαιο και φαίνονται ως πλεονασμός από την άποψη των αναγκών αυτού του τόμου είναι απαραίτητες στη διατύπωση και λύση των προβλημάτων (ντι μπαρ) και Riemann-Hilbert. Tα τελευταία αποτελούν βασικά εργαλεία της σύγχρονης ανάλυσης των μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Για την αρχική παραγωγή αυτού του τόμου, στηρίχτηκα στη βοήθεια των τότε συνεργατών μου και σήμερα διδακτόρων Παύλου Ξενιτίδη και Τάσου Τόγκα. Η τωρινή του μορφή οφείλει πολλά στον συνεργάτη μου και υποψήφιο διδάκτορα Σωτήρη Ρίζο- Κωνσταντίνου. Τους ευχαριστώ θερμά κι από τη θέση αυτή. Πάτρα, Σεπτέμβρης 200 Δημήτρης Γ&Σ Τσουμπελής

4 Περιεχόμενα Κεφάλαιο VII. Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace. Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο.. 2. Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο χώρο 7 3. Kλίση, απόκλιση, στροβιλισμός To στατικό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο Το χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο 4 n 6. Οι εξισώσεις Laplace και Poisson στον Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace Oι ταυτότητες Green και οι συνέπειές τους To θεώρημα της ολοκληρωτικής αναπαράστασης αρμονικών συναρτήσεων Συναρτήσεις Green 67. Η μέθοδος των ειδώλων O τύπος του Poisson Συνέπειες του τύπου Poisson.88 Κεφάλαιο VIII..93 O φανταστικός κόσμος των Laplace, Cauchy και Riemann 93. Mιγαδικές Συναρτήσεις Δυναμοσειρές Αναλυτικές Συναρτήσεις Oλομορφικές Συναρτήσεις Toμές και κλαδικά σημεία Cauchy oλογία Oλομορφικές Συναρτήσεις και η εξίσωση Laplace Σύμμορφοι μετασχηματισμοί και λύσεις ΠΣΤ Ανώμαλα σημεία και ολοκληρωτικά υπόλοιπα..88 Κεφάλαιο IX. 25 Μετασχηματισμοί Fourier Από τις σειρές στους μετασχηματισμούς Fourier O ευθύς και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier Iδιότητες των μετασχηματισμών Fourier Yπολογισμός του μετασχηματισμού Fourier μέσω επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων στο μιγαδικό επίπεδο H έννοια της συνέλιξης δύο συναρτήσεων..252

5 6. Μετασχηματισμοί Fourier ημιτόνου συνημιτόνου Μετασχηματισμοί Fourier πολλών μεταβλητών Eπίλυση του ΠΑΤ για την εξίσωση της διάχυσης στην πραγματική ευθεία To ΠΑΤ για την κυματική εξίσωση ΠΑΣΤ για την εξίσωση της διάχυσης.279. Πολυδιάστατα προβλήματα αρχικών τιμών 287 Κεφάλαιο X..29 Μετασχηματισμός Laplace Άλλοι ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί Ο μετασχηματισμός Laplace Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Eπίλυση του ΠΑΤ για την εξίσωση της διάχυσης Eπίλυση του ΠΑΣΤ για την εξίσωση της διάχυσης.35 Κεφάλαιο XI..39 Γενικευμένες Συναρτήσεις To όνειρο του Dirac Γενικευμένες Συναρτήσεις (κατανομές) στον 327 n 3. Γενικευμένες συναρτήσεις (κατανομές) στον Παράγωγοι κατανομών Μετασχηματισμοί και τανυστικό γινόμενο κατανομών Aκολουθίες και σειρές κατανομών Ήπιες κατανομές Μετασχηματισμοί Fourier ήπιων κατανομών Μετασχηματισμός Fourier και ακολουθίες ήπιων κατανομών 399 Κεφάλαιο XI..405 Θεμελιακές λύσεις και συναρτήσεις Green Eξισώσεων Εξέλιξης Η πενιά του Τσιτσάνη Διαφορικές εξισώσεις κατανομών Συναρτήσεις Green για συμπαγείς περιοχές Συναρτήσεις Green για μη φραγμένες περιοχές Θεμελιακές λύσεις εξισώσεων εξέλιξης Το ΠΑΤ για την κυματική εξίσωση στον

6 Παράρτημα..460 Σύνοψη διανυσματικής ανάλυσης Grad, div, curl σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες του E Γενικοί μετασχηματισμοί συντεταγμένων Συντελεστές κλίμακας και μετρική Γενικός ορισμός των τελεστών grad, div, curl και Δ..472 Αναφορές..48

7

8 VII Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace Στο Εδάφιο 6 του Κεφάλαιου V (Η μέθοδος του χωρισμού των μεταβλητών) ασχοληθήκαμε με το πρόβλημα συνοριακών τιμών της εξίσωσης Laplace στο επίπεδο και δώσαμε, ορισμένες φορές χωρίς απόδειξη, κάποια γενικά χαρακτηριστικά των αντίστοιχων λύσεων. Επιπλέον, στο Εδάφιο 2 του Κεφάλαιου VΙ (Πολυδιάστατα προβλήματα αρχικών -συνοριακών τιμών) κατασκευάσαμε λύσεις ανάλογων προβλημάτων συνοριακών τιμών για την εξίσωση Laplace στον Ευκλείδειο τρισδιάστατο χώρο. Ο στόχος του παρόντος κεφάλαιου είναι διπλός. Από τη μια, θέλουμε να αναλύσουμε τα προηγούμενα αποτελέσματα με ενιαίο τρόπο, έτσι ώστε να γενικευτούν και να ισχύουν ανεξάρτητα από τη διάσταση του χώρου. Από την άλλη, σκοπεύουμε να εισαγάγουμε ορισμένες καινούργιες έννοιες, όπως αυτές της θεμελιακής λύσης και της συνάρτησης Green, οι οποίες δεσπόζουν σε όλες τις γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντε- λεστές και όχι μόνο στις ελλειπτικές, στις οποίες, βέβαια, η εξίσωση (του) Laplace διατηρεί εξέχουσα θέση.. Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο Οπως σημειώσαμε από την πρώτη στιγμή που αναφερθήκαμε στην εξίσωση (του) Laplace, αυτή συνδέεται άρρηκτα με τις ιδιότητες των διανυσματικών πεδίων, τα οποία συναντάμε πολύ συχνά στις εφαρμογές της. Γι αυτό, θα ξεκινήσουμε τη συστηματική μελέτη της εξίσωσης Laplace, υπενθυμίζοντας κάποια βασικά στοιχεία της διανυσματικής ανάλυσης. Ας υποθέσουμε, λοιπόν, ότι θέλουμε να μελετήσουμε τη ροή ενός λεπτού στρώματος κάποιου ρευστού, το οποίο κινείται πάνω σε μια επίπεδη πλάκα. Αυτό σημαίνει ότι, από φυσική άποψη, το αντικείμενο της μελέτης μας καταλαμβάνει ένα τμήμα αυτού που ονομάζουμε Ευκλείδειο επίπεδο. Για λόγους που θα φανούν καθαρά σε λίγο, το Ευκλείδειο επίπεδο θα το συμβολίζουμε, προσωρινά τουλάχιστον, με 2. Τα βασικά στοιχεία του 2 είναι οι ευθείες, τα σημεία, η απόσταση δύο σημείων και ότι άλλο έχουμε μάθει από το γυμνάσιο. Από την άλλη, με 2 εννοούμε πάντα το σύνολο των δια(τε)ταγμένων ζευγαριών πραγματικών αριθμών. Ωστόσο, στα προηγούμενα κεφάλαια, χρησιμοποιήσαμε επανειλημμένα

9 2 Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace τη φράση "το Ευκλείδειο επίπεδο 2 ". Αυτό υπονοεί ότι, με κάποιο τρόπο, είχαμε ταυτίσει το σύνολο 2 με το γεωμετρικό αντικείμενο 2. Αρα, είναι καιρός να περιγράψουμε ρητά τη διαδικασία που οδηγεί σε μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ανάμεσα σ αυτά τα δύο μαθηματικά αντικείμενα. Για το σκοπό αυτό, θεωρούμε δύο κάθετες μεταξύ τους ευθείες του 2, τις x και y, οι οποίες τέμνονται στο σημείο Ο. Αυτές τις αυθείες θα τις λέμε ορθογώνιο σύστημα αξόνων με αρχή το O. Mε τη γεωμετρική κατασκευή που περιγράψαμε στο Εδάφιο I-4, το τυχαίο σημείο p του 2 αντιστοιχίζεται αυτόματα σε δύο πραγματικούς αριθμούς, τους xhpl και yhpl. To ζευγάρι HxHpL, yhpll καθορίζεται μονοσήμαντα από το σημείο p και αντίστροφα. Οι αριθμοί xhpl και yhpl αναφέρονται από κει και πέρα ως Καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου p. Το γεγονός ότι η αντιστοίχιση των στοιχείων του 2 μ εκείνα του 2 προϋποθέτει την επιλογή ενός συγκεκριμένου ζευγαριού τεμνόμενων ευθειών κάνει αμέσως φανερή την αλήθεια της ακόλουθης πρότασης: Υπάρχουν άπειρες αμφιμονοσήμαντες αντιστοιχίες των συνόλων 2 και 2. Συνακόλουθα, υπάρχουν άπειρα συστήματα Καρτεσιανών συντεταγμένων - όσα είναι και τα ζευγάρια ορθογώνιων ευθειών του 2. Από τον ορισμό τους, οι Καρτεσιανές συντεταγμένες δύο τυχαίων σημείων του Ευκλείδειου επίπεδου συνδέονται με μία σχέση, η οποία αποτελεί το θεμελιακό χαρακτηριστικό των συντεταγμένων αυτού του είδους. Πιο συγεκριμένα, αν το ζευγάρι Hx, y L αποτελεί τις συντεταγμένες ενός σημείου p του 2 και το Hx 2, y 2 L εκείνες του σημείου p 2, τότε η απόσταση, dhp, p 2 L, των παραπάνω σημείων είναι ίση με dhp, p 2 L = Hx 2 - x L 2 + Hy 2 - y L 2. (.) Θυμίζουμε ότι, με απόσταση δύο σημείων εννοούμε πάντα το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που τα ενώνει. Αρα, η (.) δεν είναι παρά το Πυθαγόρειο Θεώρημα, διατυπωμένο μέσω των συντεταγμένων των σημείων p και p 2. Ειδικότερα, η απόσταση του σημείου p œ 2 με συντεγμένες Hx, yl από την αρχή των Καρτεσιανών συντεταγμένων, O, δίνεται από τον τύπο dho, pl = x 2 + y 2. (.2) Οπως βέβαια τονίσαμε νωρίτερα, συστήματα Καρτεσιανών συντεταγμένων του Ευκλείδειου επίπεδου υπάρχουν άπειρα. Εκείνο, λοιπόν, που εννοούμε λέγοντας ότι η σχέση (.) χαρακτηρίζει αυτά τα συστήματα είναι το εξής: Η (.) ισχύει εάν και μόνο όταν οι συντεταγμένες στις οποίες περιγράφεται ο χώρος 2 είναι Καρτεσιανές. Συνεπώς, αν σε κάποιο Καρτεσιανό σύστημα, διαφορετικό από εκείνο που έδωσε τους αριθμούς Hx, y L και Hx 2, y 2 L, τα ίδια σημεία p και p 2 έχουν συντεταγμένες Ix, y M και Ix 2, y 2 M, αντίστοιχα, τότε dhp, p 2 L = Hx 2 - x L 2 + Hy 2 - y L 2. (.3) Από τη σύγκριση των (.) και (.3) αμέσως έπεται ότι

10 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο 3 Hx 2 - x L 2 + Hy 2 - y L 2 = Hx 2 - x L 2 + Hy 2 - y L 2. (.4) Αυτή η ισότητα εκφράζει με συμπυκνωμένο τρόπο τη σχέση δύο τυχαίων μελών της κλάσης των συντεταγμένων που ονομάσαμε Καρτεσιανές. Αν θέσουμε Δ x := x 2 - x, Δ y := y 2 - y, (.5) τότε μπορούμε να γράψουμε την προηγούμενη σχέση στη μορφή HΔ xl 2 + HΔ yl 2 = HΔ x L 2 + HΔ y L 2 (.6) Συνεπώς, η χαρακτηριστική ιδιότητα των Καρτεσιανών συντεταγμένων του 2 διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: Ο μετασχηματισμός Hx, yl Ø Hx, y L που οδηγεί από ένα σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων σ ένα δεύτερο της ίδιας κλάσης αφήνει την έκφραση HΔ xl 2 + HΔ yl 2 αναλλοίωτη. Οταν, λοιπόν, αναφερόμαστε στο Ευκλείδειο επίπεδο 2, εννοούμε πως τα στοιχεία του 2 αντιστοιχούν στις Καρτεσιανές συντεταγμένες των σημείων του 2, ως προς κάποιο ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Συνακόλουθα, με κάθε στοιχείο Ha, bl του 2 θα συνδέουμε αυτόματα και δύο γεωμετρικές εικόνες: (α) Το σημείο p του 2 που έχει συντεταγμένες Ha, bl στο συγκεκριμένο σύστημα αξόνων και (β) Το προσανολισμένο ευθύγραμμο τμήμα που οδηγεί από την αρχή των αξόνων, O, στο σημείο p. Οπως γνωρίζουμε, τα στοιχεία του 2 ονομάζονται και διανύσματα. Συχνά, τα διανύσματα συμβολίζονται με ένα μόνο γράμμα που, είτε το τυπώνουμε έντονα, ή προσθέτουμε στο πάνω μέρος του ένα βέλος. Ετσι, λέμε, για παράδειγμα, "δίνεται το διάνυσμα V = Ha, bl ή V = Ha, bl". Η γεωμετρική ερμηνεία του Ha, bl œ 2 που μόλις περιγράψαμε εξηγεί το γιατί, ως μέτρο ή μήκος του διανύσματος V = Ha, bl ορίζεται ο μη αρνητικός αριθμός V := Ia 2 + b 2 M ê2. (.7) (Εμείς θα προτιμήσουμε το απλούστερο σύμβολο V ). Με την ευκαιρία, θυμίζουμε ότι, ένα διάνυσμα που έχει μοναδιαίο μήκος λέγεται κανονικό. Θυμίζουμε επίσης ότι, με εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων V = Ha, bl και W = Hc, dl εννοούμε τον αριθμό V ÿ W := ac+ bd. (.8) Εύκολα δείχνει κανείς ότι V ÿ W := V W cos θ, (.9) όπου θ η γωνία που ορίζεται από τα βέλη (προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα) τα οποία αντιστοιχούν στα διανύσματα V και W. Εύλογα, λοιπόν, τα διανύσματα V, W χαρακτηρίζονται ως (μεταξύ τους) ορθογώνια, αν το εσωτερικό γινόμενό τους μηδενίζεται. Ας θεωρήσουμε τώρα τη συνάρτηση f : 2 Ø που έχει ως πεδίο ορισμού ολόκληρο το επίπεδο 2 και τύπο f Hx, yl = 2 xy. Επειδή τα στοιχεία του ονομάζονται και βαθμωτά

11 4 Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace (scalars), η παραπάνω f : 2 Ø ονομάζεται βαθμωτό πεδίο (scalar field) του 2. Γενικότερα, μπορούμε να θεωρήσουμε βαθμωτά πεδία που ορίζονται μόνο σε μια περιοχή του επίπεδου, αντί σε ολόκληρο τον 2. Ενα παράδειγμα αποτελεί η συνάρτηση h : Ω Ø με τύπο hhx, yl = + x + y και πεδίο ορισμού την ορθογώνια περιοχή Ω = 9Hx, yl œ 2 :0 x 2, 0 y =. Συχνά, βαθμωτά πεδία αυτού του είδους χρησιμεύουν στην αναπαράσταση μιας φυσικής ποσότητας, γ.π. της θερμοκρασίας, σε μια γεωγραφική περιοχή που αντιστοιχεί στη γεωμετρική περιοχή Ω. Αλλοτε, πάλι, ο περιορισμός σε κάποιο γνήσιο υποσύνολο Ω του 2 επιβάλλεται από το γεγονός ότι ο τύπος της συνάρτησης που περιγράφει το πεδίο δεν έχει νόημα σε όλα τα σημεία του επίπεδου. Για παράδειγμα, ο τύπος ghx, yl = ë Ix 2 + y 2 M δεν έχει νόημα στο σημείο Hx, yl = H0, 0L. Συνεπώς, αυτός ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό του βαθμωτού πεδίου g : Ω Ø στην περιοχή Ω = 2 \ 8H0, 0L< ή σε κάποιο τμήμα αυτής της περιοχής, όχι όμως και σ ολόκληρο τον 2. Ανάλογα, ο τύπος φhx, yl = ê Hx - yl δεν έχει νόημα κατά μήκος της ευθείας Γ = 9Hx, yl œ 2 : x = y =. Αρα, με αυτό τον τύπο μπορούμε να ορίσουμε ένα βαθμωτό πεδίο μόνο σε κάποιο υποσύνολο της (μη συνεκτικής) περιοχής Ω = 2 \ Γ. Yπάρχουν πολλοί τρόποι για να δώσουμε μια γραφική αναπαράσταση ενός βαθμωτού πεδίου στον 2. Ενας απ αυτούς έγκειται στο να καταγράψουμε την τιμή της αντίστοιχης συνάρτησης f : Ω Ø σε ορισμένα από τα σημεία της περιοχής Ω, όπως γίνεται στο Σχ.. για την f Hx, yl = 2 xy. y x Σχ.. Γραφική παράσταση του βαθμωτού πεδίου f Hx, yl = 2 xy. Δίπλα σε καθένα από τα σημεία Hx, yl που δηλώνονται με στίγμα, σημειώνεται η τιμή της συνάρτησης f Hx, yl = 2 xy. Πολλές φυσικές ποσότητες που αφορούν μιαν επίπεδη περιοχή προσδιορίζονται με τη βοήθεια δύο συναρτήσεων και όχι μιας μόνο. Ας σκεφτούμε και πάλι το παράδειγμα του λεπτού στρώματος υγρού που κινείται πάνω σε μιαν επίπεδη πλάκα. Για να προσδιορίσουμε την ταχύτητα των στοιχείων του υγρού, θα πρέπει, για κάθε Hx, yl œ Ω, να δώσουμε το μέτρο και την κατεύθυνση της ταχύτητας του στοιχείου σ του υγρού το οποίο, τη στιγμή που μας -4-8

12 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο 5 ενδιαφέρει, βρίσκεται στο σημείο Hx, yl. Η κατεύθυνση προσδιορίζεται δίνοντας την ημιευθεία EHx, yl που ξεκινάει από το σημείο Hx, yl και πάνω στην οποία κινείται προς στιγμή το σ. Η ταχύτητα του στοιχείου σ του ρευστού, το οποίο βρίσκεται προς στιγμή στο σημείο Hx, yl, συμβολίζεται συνήθως με VHx, yl ή με V Hx, yl. Ο μη αρνητικός αριθμός που προσδιορίζει το μέτρο της VHx, yl συμβολίζεται συνήθως με VHx, yl, αλλά εμείς θα προτιμήσουμε το απλούστερο σύμβολο VHx, yl. Για να προσδιορίσουμε την κατεύθυνση της ταχύτητας VHx, yl, αρκεί να δώσουμε τη γωνία θhx, yl που σχηματίζει η παραπάνω ημιευθεία EHx, yl με τον άξονα x. Να λοιπόν δύο συναρτήσεις με τις οποίες μπορεί να προσδιοριστεί πλήρως η ταχύτητα του ρευστού στην περιοχή Ω: Το ζευγάρι H VHx, yl, θhx, yll. Ομως, από το ζευγάρι των συναρτήσεων VHx, yl και θhx, yl αυτόματα ορίζεται και το ζευγάρι IV x Hx, yl, V y Hx, ylm, όπου V x Hx, yl := VHx, yl cos θ Hx, yl, V y Hx, yl := VHx, yl sin θ Hx, yl. (.0) Αντίστροφα, από τις (.0) και τη θεμελιακή σχέση αμέσως συνάγεται ότι Συνακόλοθα, sin 2 θ + cos 2 θ =. V x 2 Hx, yl + V y 2 Hx, yl = V Hx, yl 2, tan θ Hx, yl = V yhx, yl V x Hx, yl. VHx, yl = AV x 2 Hx, yl + V y 2 Hx, yle ê2, θ Hx, yl = tan - B V yhx, yl V x Hx, yl F. (.) (.2) (.3) Αυτό σημαίνει ότι το ζευγάρι των συναρτήσεων IV x Hx, yl, V y Hx, ylm προσδιορίζει πλήρως το H VHx, yl, θhx, yll. Η ταχύτητα ενός ρευστού σε μια επίπεδη περιοχή Ω είναι ένα παράδειγμα αυτών που ονομάζουμε διανυσματικές συναρτήσεις ή διανυσματικά πεδία. Γενικότερα λοιπόν, με διανυσματικό πεδίο (vector field) στην περιοχή Ω θα εννοούμε μιαν απεικόνιση V : Ω Ø 2, η οποία προσδιορίζεται μέσω δύο βαθμωτών συναρτήσεων f : Ω Ø και g : Ω Ø, οπότε η τιμή της V στο σημείο Hx, yl œ Ω είναι το ζευγάρι των πραγματικών αριθμών VHx, yl := H f Hx, yl, ghx, yll. Οι αριθμοί f Hx, yl, ghx, yl ονομάζονται συνιστώσες του διανύσματος VHx, yl, στην κατεύθυνση x και y, αντίστοιχα. Για να κατασκευάσουμε μια γραφική αναπαράσταση ενός διανυσματικού πεδίου V : Ω Ø 2, μπορούμε να ακολουθήσουμε το παράδειγμα της γραφικής παράστασης του βαθμωτού πεδίου που δώσαμε νωρίτερα. Πιο συγκεκριμένα, αν η συνάρτηση V : Ω Ø 2 ορίζεται από τις f : Ω Ø και g : Ω Ø 2, τότε αρκεί να δώσουμε τις τιμές του ζευγαριού H f Hx, yl, ghx, yll σε ορισμένα σημεία της περιοχής Ω. Αυτό γίνεται στο Σχ..2, υποθέτοντας ότι η συνάρτηση f : 2 Ø ορίζεται από τον

13 6 Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace τύπο f Hx, yl = 2 xy, ενώ η g : 2 Ø ορίζεται από τον τύπο ghx, yl = x 2 - y 2, οπότε VHx, yl = H f Hx, yl, ghx, yll= I2 xy, x 2 - y 2 M. y 8-8, 0< 8-4, -3< 80, -4< 2 84, -3< 88, 0< 8-4, 3< 8-2, 0< 80, -< 82, 0< 84, 3< 80, 4< 80, < 80, 0< 80, < 80, 4< x , 3< 82, 0< 80, -< - 8-2, 0< 8-4, 3< 88, 0< 84, -3< 80, -4< , -3< 8-8, 0< Σχ..2 Γραφική παράσταση του διανυσματικού πεδίου VHx, yl = I2 xy, x 2 - y 2 M. Το ζευγάρι 8a, b< δίπλα στο σημείο (στίγμα) με συντεταγμένες Hx, yl δηλώνει την τιμή των συναρτήσεων f Hx, yl = 2 xy και ghx, yl = x 2 - y 2 στο συγκεκριμένο σημείο. Eναλλακτικά, μπορούμε, στα επιλεγμένα σημεία της περιοχής Ω, να κατασκευάσουμε βελάκια, που ξεκινάνε από το σημείο Hx, yl και καλήγουν στο Hx, yl + VHx, yl, όπως στο Σχ..3. Αυτός είναι και ο πιο συνηθισμένος τρόπος αναπαράστασης ενός διανυσματικού πεδίου. 2 y x - -2 Σχ..3 Εναλλακτική γραφική παράσταση του διανυσματικού πεδίου VHx, yl = I2 xy, x 2 - y 2 M. Στο σημείο Hx, yl, κατασκευάζεται ένα βέλος με αφετηρία το Hx, yl και τέρμα το σημείο Hx + f Hx, yl, y + ghx, yll = Ix + 2 xy, y + x 2 - y 2 M. Με τη βοήθεια των σύγχρονων υπολογιστών, ακόμα και "προσωπικών" (PCs), μπορούμε να κατασκευάσουμε σχεδιαγράμματα που, σαν το προηγούμενο, δείχνουν βέλη τα οποία παριστάνουν τις τιμές του πεδίου σε ορισμένα, αλλά πολύ περισσότερα, σημεία. Τo αποτέλεσμα μιας τέτοιας κατασκευής φαίνεται στο Σχ..4.

14 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο 7 2 y -2-2 x - -2 Σχ..4 Γραφική αναπαράσταση του διανυσματικού πεδίου VHx, yl = I2 xy, x 2 - y 2 M στην περιοχή Ω = 9Hx, yl œ 2 : -2 x 2, -2 y 2 = Eνα διανυσματικό πεδίο λέγεται ομογενές όταν είναι της μορφής V Hx, yl = Ha, bl όπου a, b τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί. Το απλούστερο δυνατό πεδίο αυτού του είδους είναι το μηδενικό: VHx, yl = 0 := H0, 0L. Δύο άλλα ομογενή διανυσματικά πεδία, ξεχωριστής σημασίας, είναι τα εξής: e x Hx, yl := H, 0L, e y Hx, yl := H0, L. H γραφική τους αναπαράσταση με βέλη δίνεται στo Σχ..5. (.4) y y x -2-2 x Σχ..5 Γραφική αναπαράσταση των ομομογενών διανυσματικών πεδίων e x Hx, yl := H, 0L και e y Hx, yl := H0, L στην περιοχή Ω = 9Hx, yl œ 2 : - 2 x 2, -2 y 2 =. Ας θυμηθούμε τώρα ότι με γινόμενο του αριθμού (βαθμωτού) λ με το διάνυσμα V = Ha, bl εννοούμε το διάνυσμα λv := Hλ b, λ yl. (.5) Με βάση αυτή την έννοια και τις (.4), μπορούμε να γράφουμε κάθε διανυσματικό πεδίο VHx, yl = H f Hx, yl, ghx, yll στην ακόλουθη μορφή VHx, yl = f Hx, yl e x Hx, yl + ghx, yl e y Hx, yl. (.6)

15 8 Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace Αυτή η σχέση θα πρέπει να εννοείται με τον ακόλουθο τρόπο: Θεωρούμε ότι το επίπεδο 2 είναι πάντα εφοδιασμένο με δύο διανυσματικά πεδία, τα e x Hx, yl και e y Hx, yl. Με άλλα λόγια, θεωρούμε ότι σε κάθε σημείο Hx, yl του 2 στέκεται ένα ζευγάρι από βέλη που αντιστοιχεί στο ζευγάρι Ie x Hx, yl, e y Hx, ylm. Σύμφωνα λοιπόν με την (.6), κάθε άλλο διάνυσμα VHx, yl που δίνεται στο ίδιο σημείο γράφεται ως γραμμικός συνδυσμός των e x Hx, yl και e y Hx, yl. Αυτή η διαπίστωση δηλώνεται με το να πούμε ότι το ζευγάρι Ie x Hx, yl, e y Hx, ylm αποτελεί βάση του χώρου των διανυσμάτων που ορίζονται στο σημείο Hx, yl. Ας παρατηρήσουμε τώρα ότι τα διανύσματα e x Hx, yl και e y Hx, yl που ορίσαμε παραπάνω είναι κανονικά και μεταξύ τους ορθογώνια. Γι αυτό, η βάση Ie x Hx, yl, e y Hx, ylm χαρακτηρίζεται ως ορθοκανονική. Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι η βάση Ie x Hx, yl, e y Hx, ylm δεν είναι η μοναδική. Μάλιστα, δεν είναι πάντα και η πιο βολική για να εκφράσουμε το τυχαίο διανυσματικό πεδίο ως γραμμικό συνδυασμό των στοιχείων της. Οποιοδήποτε άλλο ζευγάρι διανυσματικών πεδίων, He Hx, yl, e 2 Hx, yll, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως βάση. Αρκεί τα στοιχεία του να είναι μη μηδενικά και μη συγγραμμικά σε όλα τα σημεία της περιοχής Ω που μας ενδιαφέρει. Με άλλα λόγια, τα πεδία e Hx, yl και e 2 Hx, yl θα πρέπει να είναι τέτοια που, σε κανένα σημείο της Ω, δεν είναι το ένα πολλαπλάσιο του άλλου. Ισοδύναμα, δεν θα πρέπει να υπάρχει συνάρτηση λhx, yl τέτοια που το e 2 Hx, yl = λhx, yl e Hx, yl, "Hx, yl œ Ω. Αλλά, ούτε και συνάρτηση μ Hx, yl τέτοια που το e Hx, yl = μ Hx, yl e 2 Hx, yl. Δύο πεδία τα οποία πληρούν αυτή τη συνθήκη ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητα (το ένα από το άλλο). Θεωρήστε για παράδειγμα τα πεδία e Hx, yl := He y,0l, e 2 Hx, yl := Hx, L. (.7) Εύκολα αποδείχει κανείς ότι αυτά τα πεδία είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Αρα αποτελούν βάση. Αυτή η βάση δεν είναι ορθοκανονική, αφού e Hx, yl ÿ e Hx, yl = e 2 y, e Hx, yl ÿ e 2 Hx, yl = xe y, e 2 Hx, yl ÿ e 2 Hx, yl = x 2 +. (.8) Ενας συστηματικός τρόπος για την κατασκευή βάσεων είναι αυτός που στηρίζεται στα εναλλακτικά συστήματα συντατεγμένων, με τα οποία μπορούμε να προσδιορίζουμε τα σημεία μιας επίπεδης περιοχής. Για να περιγράψουμε αυτό τον τρόπο αναλυτικά, χρειάζεται να υπενθυμίσουμε ότι, μια ομαλή παραμετρική καμπύλη ορίζει, σε κάθε σημείο της (εικόνας της), ένα διάνυσμα. Είναι αυτό που ονομάζουμε εφαπτόμενο. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι η καμπύλη Γ ορίζεται από τις σχέσεις x = X HsL, y = YHsL, s œ I s, και διέρχεται από το σημείο Hx 0, y 0 L του 2. Αυτό σημαίνει ότι, στο διάστημα μεταβολής I s της παραμέτρου s, υπάρχει ένα σημείο s 0 τέτοιο που Hx 0, y 0 L = HX Hs 0 L, YHs 0 LL. Το εφαπτόμενο διάνυσμα της Γ στο τυχαίο σημείο της, Hx, yl, ορίζεται από τον τύπο υ Hx, yl = IX HsL, Y HsLM, (.9) όπου η τελεία πάνω από το σύμβολο της συνάρτησης δηλώνει την παράγωγο.

16 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο 9 Ειδικότερα, στο συγκεκριμένο σημείο Hx 0, y 0 L œ Γ, το εφαπτόμενο διάνυσμα είναι ίσο με υ Hx 0, y 0 L = IX Hs 0 L, Y Hs 0 LM. Αυτό το διάνυσμα μπορούμε να το παριστάνουμε με ένα βέλος που έχει ως βάση το σημείο Hx 0, y 0 L και κορυφή το σημείο Hx 0, y 0 L + υ Hx 0, y 0 L. Παράδειγμα. Το απλούστερο δυνατό παράδειγμα "παραμετικής καμπύλης" αποτελεί η ευθεία Γ που διέρχεται από το σημείο Hx 0, y 0 L και είναι παράλληλη προς τον άξονα x. Αυτή μπορεί να περιγραφτεί από τις σχέσεις x = x 0 + Hs - s 0 L, y = y 0, οπότε υ Hx, yl = H, 0L. (.20) Αν αφήσουμε την παράμετρο y 0 να διατρέξει όλη την πραγματική ευθεία, τότε οι σχέσεις x = x 0 + Hs - s 0 L, y = y 0, s œ, δε θα περιγράφουν μία μόνο ευθεία, αλλά το σύνολο των ευθειών που είναι παράλληλες προς τον άξονα x. Σ αυτή την περίπτωση, ο τύπος (.20) περιγράφει το ομογενές διανυσματικό πεδίο που νωρίτερα ονομάσαμε e x Hx, yl. Με ανάλογο τρόπο, αν για "καμπύλη Γ" πάρουμε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο Hx 0, y 0 L και είναι παράλληλη προς τον άξονα y, τότε x = x 0, y = y 0 + Ht - t 0 L, t œ. Σε τούτη την περίπτωση, υ Hx, yl = H0, L. (.2) Αφήνοντας τώρα την παράμετρο y 0 να διατρέξει όλη την πραγματική ευθεία, βλέπουμε ότι οι σχέσεις x = x 0, y = y 0 + Ht - t 0 L, t œ, περιγράφουν το σύνολο των ευθειών που είναι παράλληλες προς τον άξονα y. Aυτό σημαίνει ότι ο τύπος (.2) περιγράφει το ομογενές διανυσματικό πεδίο που ονομάσαμε e y Hx, yl. ð Ας υποθέσουμε τώρα ότι, για να περιγράψουμε κάποιο φυσικό πρόβλημα στην περιοχή Ω του Ευκλείδειου επίπεδου, αντί για τις Καρτεσιανές συντεταγμένες x, y, είναι βολικότερο να χρησιμοποιήσουμε κάποιες άλλες, ας τις πούμε r, s. To γεγονός ότι πρόκειται για νέες συντεταγμένες, σημαίνει ότι, ανάμεσα στις πραγματικές μεταβλητές r, s και τις x, y υπάρχει μια σχέση της μορφής x = X Hr, sl, y = YHr, sl, (.22) με τα εξής χαρακτηριστικά: (α) Οι συναρτήσεις X Hr, sl, YHr, sl έχουν ως κοινό πεδίο ορισμού ένα ανοιχτό υποσύνολο Ω του 2. Αναλυτικότερα, το Ω = I r äi s, όπου I r, I s τα διαστήματα μεταβολής των παραμέτρων r και s, αντίστοιχα. (β) Οι X Hr, sl, YHr, sl ανήκουν στην κλάση C HΩ L και είναι τέτοιες που η ορίζουσα Jacobi r X r Y JHr, sl := det (.23) s X s Y, είναι μη μηδενική σε όλα τα σημεία της περιοχής Ω. (Σημ. με r X, s X συμβολίζουμε τις

17 0 Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace μερικές παραγώγους πρώτης τάξης της συνάρτησης X Hr, sl, ως προς τις μεταβλητές r και s, αντίστοιχα). Οι (.22) ορίζουν αυτόματα δύο οικογένειες παραμετρικών καμπυλών, ας τις ονομάσουμε Γ s και Γ r, αντίστοιχα. Κατά μήκος μιας καμπύλης της οικογένειας Γ s μεταβάλλεται μόνο η r, ενώ η παράμετρος s μένει σταθερή. Αρα, το διανυσματικό πεδίο που ορίζεται από αυτή την οικογένεια δίνεται από τον τύπο e r = r X Hr, sl e x + r YHr, sl e y. (.24) Ανάλογα, το διανυσματικό πεδίο που ορίζεται από τις καμπύλες Γ r, κατά μήκος των οποίων μένει σταθερή η παράμετρος r, ορίζεται από τον τύπο e s = s X Hr, sl e x + s YHr, sl e y. (.25) Χρησιμοποιώντας το συμβολισμό των πινάκων, μπορούμε να γράψουμε τις δύο προηγούνες σχέσεις στη μορφή e r = r X r Y e x (.26) e s s X s Y Με αυτόν ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο, αμέσως συμπεραίνουμε ότι τα διανυσματικά πεδία e r και e s είναι γραμμικά ανεξάρτητα σε όλη την περιοχή Ω. Αρα, σε κάθε σημείο της περιοχής Ω, το ζευγάρι He r, e s L αποτελεί βάση. Αυτό σημαίνει ότι, κάθε διανυσματικό πεδίο VHx, yl που ορίζεται στην περιοχή Ω μπορεί να γραφτεί είτε στη μορφή είτε στην V = V x e x + V y e y V = V r e r + V s e s. e y (.27) (.28) Για να βρούμε τις συνιστώσες V r και V s του VHx, yl ως προς τη βάση He r, e s L, αρκεί να αντικαταστήσουμε τις σχέσεις (.24) και (.25) στην (.28). Αυτή η αντικατάσταση δίνει Ισοδύναμα, V = V r I r X e x + r Ye y M + V s I s X e x + s Ye y M. V = HV r r X + V s s X L e x + HV r r Y + V s s YL e y. Συγκρίνοντας τις (.27) και (.30) συμπεραίνουμε ότι V x = V r r X + V s s X, V y = V r r Y + V s s Y. (.29) (.30) (.3) Αυτό το γραμμικό σύστημα λύνεται πολύ εύκολα ως προς τις ποσότητες V r και V s. Αξίζει, ωστόσο, να παρατηρήσουμε ότι, με το συμβολισμό πινάκων, το σύστημα (.3) γράφεται στη μορφή Σημειώστε, τώρα, ότι V x = r X s X V y r Y s Y V r V s. (.32)

18 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο όπου r X s X r Y s Y = AT, A := r X r Y s X s Y (.33) (.34) και με A T εννοούμε τον ανάστροφο του πίνακα A. Από την άλλη, η (.32) μας επιτρέπει να συμπεράνουμε αμέσως ότι V r = r X s X - V x ª IA T M - V x. V s r Y s Y V y V y (.35) όπου με P - εννοούμε τον αντίστροφο του τυχαίου ομαλού πίνακα P. Και ο πίνακας A T είναι ομαλός ή αντιστρέψιμος, γιατί Επιπλέον, det A T = det A ª JHr, sl 0, " Hr, sl œ Ω. IA T M - = IA - M T. (.36) (.37) Αρα, με τα παραπάνω έχουμε αποδείξει την Πρόταση. Ο πίνακας που περιγράφει τον μετασχηματισμό IV x, V y M Ø HV r, V s L των συνιστωσών ενός διανυσματικού πεδίου είναι ο ανάστροφος του αντίστροφου του πίνακα ο οποίος περιγράφει τον μετασχηματισμό Ie x, e y M Ø He r, e s L των αντίστοιχων βάσεων. ð Ας υποθέσουμε, κλείνοντας, ότι ο αντίστροφος, Hx, yl Ø Hr, sl, του μετασχηματισμού Hr, sl Ø Hx, yl περιγράφεται από τις σχέσεις Αυτό σημαίνει ότι r = RHx, yl, s = SHx, yl. X HRHx, yl, SHx, yll = x, YHRHx, yl, SHx, yll = y. Συνακόλουθα, ο κανόνας της αλυσίδας οδηγεί αμέσως στα εξής αποτελέσματα. = x x = r X x R + s X x S, 0 = y x = ry x R + s Y x S, 0 = x y = r X y R + s X y S, = y y = ry y R + s Y y S. (.38) (.39) (.40) (.4) (.42) (.43)

19 2 Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace Με το συμβολισμό των πινάκων, αυτές οι τέσσερεις σχέσεις γράφονται στη μορφή x R x S r X r Y y R y S s X s Y = 0 0. Αυτό σημαίνει ότι οπότε Κατά συνέπεια, A - ª r X r Y s X s Y IA T M - = IA - M T = V r = x R y R V s x S y S - = x R x S y R y S, x R y R x S y S. V x V y. (.44) (.45) (.46) (.47) Ασκηση Να δειχτεί ότι e x = x R x S e y y R y S e r e s (.48) Δηλαδή, e x = x R e r + x S e s, e y = y R e r + y S e s. (.49) ð Ας υποθέσουμε για παράδειγμα ότι α) Το σημείο Ο στο οποίο τέμνονται οι δυο ευθείες που ορίζουν το σύστημα Σ έχει συντεταγμένες Ha, bl ως προς το Σ και β) Οι παρα- πάνω ευθείες είναι παράλληλες και ομόρροπες προς εκείνες που ορίζουν το Σ. Τότε, x = x + a, y = y + b. (.50) Αν από την άλλη, αν το σημείο Ο ταυτίζεται με την αρχή Ο των αξόνων του Σ, αλλά οι άξονες του Σ έχουν προκύψει στρίβοντας εκείνους του Σ κατά γωνία θ με τον ίδιο τρόπο που γυρίζουν οι δείχτες ενός ρολογιού, τότε x = x cos θ - y sin θ, y = x sin θ + y cos θ. (.5) Παράδειγμα.2 Οι πολικές συντεταγμένες, Hr, θl, του Ευκλείδειου επίπεδου συνδέονται με τις Καρτεσιανές, Hx, yl μέσω των σχέσεων x = X Hr, θl := r cos θ, y = YHr, θl := r sin θ. Από αυτές τις σχέσεις αμέσως έπεται ότι x 2 + y 2 = r 2 y, = tan θ. x (.52) (.53)

20 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο 3 Συνακόλουθα, όλα τα σημεία του επίπεδου με το ίδιο r βρίσκονται πάνω σε έναν κύκλο ακτίνας r με κέντρο την αρχή Hx, yl = H0, 0L των Καρτεσιανών αξόνων. Αντίθετα, όλα τα σημεία με το ίδιο θ βρίσκονται πάνω σε μια ημιευθεία E, με κλίση tan θ ως προς τον θετικό ημιάξονα x. Με άλλα λόγια, η ημιευθεία E προκύπτει στρίβοντας τον θετικό ημιάξονα x κατά γωνία θ, αντίθετα προς τη φορά των δειχτών ενός ρολογιού. Από την προηγούμενη παρατήρηση συνάγεται αμέσως και το ακόλουθο συμπέρασμα: Οι σχέσεις (.52) περιγράφουν δύο οικογένειες παραμετρικών καμπυλών του Ευκλείδειου επίπεδου. Η πρώτη, ας την πούμε Γ r, αποτελείται από ομόκεντρους κύκλους και τα μέλη της διακρίνονται από τις τιμές του r. Κατά μήκος κάθε συγκεκριμένου μέλους αυτής της οικογένειας μεταβάλλεται μόνο η παράμετρος θ. Η δεύτερη οικογένεια "παραμετρικών καμπυλών", ας την ονομάσουμε Γ θ, αποτελείται από τις ημιευθείες που έχουν ως κοινή αφετηρία το σημείο Hx, yl = H0, 0L. Τα μέλη αυτής της οικογένειας διακρίνονται με τη βοήθεια της μεταβλητής θ και, κατά μήκος κάθε μέλους της ξεχωριστά μεταβάλλεται μόνο η παράμετρος r. Στην προκείμενη περίπτωση, A := r X r Y θ X θ Y = cos θ sin θ -r sin θ r cos θ (.54) Συνεπώς, η ορίζουσα Jacobi του μετασχηματισμού Hr, θl Ø Hx, yl είναι ίση με JHr, sl := det A = r. (.55) Αυτό σημαίνει ότι, για κάθε r > 0, ο μετασχηματισμός Hr, θl Ø Hx, yl είναι τοπικά αντιστρέψιμος. Δηλαδή, υπάρχουν ανοιχτά διαστήματα I r και I θ, των μεταβλητών r και θ, αντίστοιχα, με την ακόλουθη ιδιότητα: Στο ανοιχτό υποσύνολο Ω = I r äi s του 2, η απεικόνιση Φ : Ω Ø 2 που ορίζεται από τις (.52) είναι -. Το γεγονός ότι η συνάρτηση tan θ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα H-π ê 2, π ê 2L υποδείχνει την επιλογή I r = H0, L, I θ = H-π ê 2, π ê 2L. (.56) Τότε οι (.53) οδηγούν αμέσως στην ακόλουθη μορφή της απεικόνισης Φ - : r = RHx, yl := x 2 + y 2, θ = ΘHx, yl := tan - Hy ê xl. (.57) Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να καλύψουμε και τις υπόλοιπες περιοχές του ανοιχτού σύνολου 2 \ 8H0, 0L<, στο οποίο περιέχονται οι καμπύλες Γ θ και Γ r. Σύμφωνα, τώρα, με την ανάλυση που προηγήθηκε, τα διανυσματικά πεδία που ορίζουν οι οικογένειες Γ θ και Γ r δίνονται από τους τύπους e r = cos θ e x + sin θ e y (.58) και e θ =-r sin θe x + r cos θ e y, (.59) αντίστοιχα. Σημειώστε ότι, χρησιμοποιώντας τη σχέση ανάμεσα στις Hr, θl και Hx, yl, μπορού-

8. 1 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία

8. 1 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία 8. 1 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f : 2 Ø που έχει ως πεδίο ορισμού ολόκληρο το επίπεδο 2 και τύπο f Hx, yl = 2 xy. Επειδή τα στοιχεία του ονομάζονται και βαθμωτά, η παραπάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού φορτίου στο Διεθνές Σύστημα (S.I.) είναι το προς τιμήν του Γάλλου φυσικού Charles Augustin de Coulomb.

Μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού φορτίου στο Διεθνές Σύστημα (S.I.) είναι το προς τιμήν του Γάλλου φυσικού Charles Augustin de Coulomb. Βασικές έννοιες Τα σώματα μπορούν να αλληλεπιδράσουν ηλεκτρικά. Ο Θαλής ο Μιλήσιος παρατήρησε πρώτος την έλξη μικρών αντικειμένων από ήλεκτρο, αφού πρώτα τριφτεί σε ξηρό ύφασμα. Το φαινόμενο αυτό ονομάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1 ΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 7 1.1 Μονάδες και σύμβολα φυσικών μεγεθών..................... 7 1.2 Προθέματα φυσικών μεγεθών.............................. 13 1.3 Αγωγοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ)

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ- ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Στα φυσικά φαινόμενα εμφανίζονται κάποιες ιδιότητες της ύλης. Για να περιγράψουμε αυτές τις ιδιότητες χρησιμοποιούμε τα φυσικά μεγέθη. Τέτοια είναι η μάζα, ο χρόνος, το ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις

Ευθύγραμμες Κινήσεις Οι παρακάτω σημειώσεις διανέμονται υπό την άδεια: Creaive Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές. 1 Θέση και Σύστημα αναφοράς Στην καθημερινή μας ζωή για να περιγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Hλεκτροδυναμική

Κλασική Hλεκτροδυναμική Κλασική Hλεκτροδυναμική Ενότητα 1: Εισαγωγή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι μια σύντομη επανάληψη στις βασικές έννοιες της ηλεκτροστατικής.

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Νόμος Gauss Ο νόµος του Gauss εκφράζει τη σχέση μεταξύ της συνολικής ηλεκτρικής ροής που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια και του φορτίου

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή 1 ΙΝΥΣΜΤ Εισαγωγή Το διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκε μέσα από τη στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. κανόνας του παραλληλόγραμμου, σύμφωνα με τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση 44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

t : (x, y) x 2 +y 2 y x

t : (x, y) x 2 +y 2 y x Σύνοψη Κεφαλαίου 5: Αντιστροφική Γεωμετρία Αντιστροφή 1. Η ανάκλαση σε μία ευθεία l στο επίπεδο απεικονίζει ένα σημείο A σε ένα σημείο A που απέχει ίση απόσταση από την l αλλά βρίσκεται στην άλλη πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής.

Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 55 Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Η δισδιάστατη γραμμική δυναμική ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από ένα σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 4.9.

Πρόβλημα 4.9. Πρόβλημα 4.9. Να βρεθεί το δυναμικό V() παντού στο χώρο ενός θετικά φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Πάρτε τον άξονα κάθετα στο φύλλο και θεωρήστε ότι το φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή - Διανύσματα 25/7/2014

Μαθηματική Εισαγωγή - Διανύσματα 25/7/2014 Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορή Επίλυση βασικών μορών εξισώσεων Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Ενότητα 1: Στοιχεία Διανυσματικού Λογισμού Σκορδύλης Εμμανουήλ Καθηγητής Σεισμολογίας,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις :

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις : Η Εξίσωση Helmholtz Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή εξίσωση Helmholtz σε χωρικές διαστάσεις : ( + k Ψ ( r f( r ( k (6 Η εξίσωση αυτή συνοδεύεται (συνήθως από συνοριακές συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Θεωρούμε ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές εκφρασμένο στις καρτεσιανές συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. «Μηχανική Συνεχούς Μέσου» (ΕΜ257) Εαρινό Εξάμηνο , Διδάσκων: Ι.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. «Μηχανική Συνεχούς Μέσου» (ΕΜ257) Εαρινό Εξάμηνο , Διδάσκων: Ι. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών «Μηχανική Συνεχούς Μέσου» (ΕΜ57) Εαρινό Εξάμηνο 008-09 Διδάσκων: Ι Τσαγράκης ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 μια βάση του Ευκλείδειου χώρου E Δείξτε ότι τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Experiments are the only means of knowledge. Anyother is poetry and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL

Experiments are the only means of knowledge. Anyother is poetry and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 7 xpeiments ae the only means o knowledge. Anyothe is poety and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWLL Σε µια πρώτη παρουσίαση του θέµατος δίνονται οι εξισώσεις του Maxwell στο

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ETION 1 13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13.1 Ορισµοί Μεγέθη Μια ποσότητα που εκφράζεται από ένα µόνο πραγµατικό αριθµό καλείται βαθµωτό µέγεθος. Μια ποσότητα που εκφράζεται από περισσότερους από έναν πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΙΝΗΣΗ ΣΩΜΑΤΙΟ Ή ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ Ή ΣΗΜΕΙΑΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ

Η ΚΙΝΗΣΗ ΣΩΜΑΤΙΟ Ή ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ Ή ΣΗΜΕΙΑΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ «Μπορούμε να παρομοιάσουμε τις έννοιες που δεν έχουν καμιά θεμελίωση στη φύση, με τα δάση εκείνα του Βορρά όπου τα δένδρα δεν έχουν καθόλου ρίζες. Αρκεί ένα φύσημα του αγέρα, ένα ασήμαντο γεγονός για να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ

ΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ημερομηνία:. ΤΜΗΜΑ:.. ΟΜΑΔΑ:. Ονομ/νυμο: Α.Μ. Συνεργάτες Ονομ/νυμο: Α.Μ. Ονομ/νυμο: Α.Μ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ (καθένας με δικά του λόγια, σε όλες τις γραμμές) ΒΑΘΜΟΣ#1: ΥΠΟΓΡΑΦΗ:

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα