Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Τόμος Β Δημήτρης Τσουμπελής ΠΑΤΡΑ 200

2

3 Πρόλογος Τούτο το (δεύτερο) μέρος του βοηθήματος Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις στοχεύει στο να οδηγήσει τον αναγνώστη στο... ανοιχτό πέλαγος. Εκεί όπου ο χώρος-υπόβαθρο είναι πολυδιάστατος, οι συνοριακές συνθήκες (μπορεί να) δίνονται σε υπερεπιφάνειες, οι αρχικές σε μη συμπαγείς περιοχές και, τέλος, οι συναρτήσεις-λύσεις δεν είναι υποχρεωτικά αυστηρές ή κλασικές. Βέβαια, τα προβλήματα συνοριακών και αρχικών τιμών που αναλύονται κάπως συστηματικά στις σελίδες αυτού του τόμου είναι οι κλασικές εξισώσεις των Laplace- Poisson, της διάχυσης ή της θερμότητας και η κυματική ή εξίσωση του d Alembert, που είναι οικείες στον αναγνώστη από τον πρώτο τόμο. Και τα μόνα εννοιολογικά σύμπλοκα που θα μπορούσε κανείς να τα χαρακτηρίσει σαν όντως καινούργια είναι οι συναρτήσεις Green, οι γενικευμένες συναρτήσεις ή κατανομές και οι μετασχηματισμοί Fourier. Συνεπώς, και στον δεύτερο τόμο περιοριζόμαστε σε προβλήματα που έχουν ως βασικό χαρακτηριστικό την γραμμικότητα. Ετσι, η επέκταση της συζήτησής μας σε μη γραμμικές εξισώσεις εξέλιξης και μη γραμμικές εξισώσεις ελλειπτικού τύπου πρέπει να μετατεθεί στις σελίδες του τρίτου τόμου αυτού του συγγράμματος. Ωστόσο, κάποια προετοιμασία για το πέρασμα στο χώρο της μη γραμμικότητας γίνεται ήδη στις σελίδες που ακολουθούν. Χωρίς να το αναφέρουμε ρητά, προθερμαίνουμε τον φίλο αναγνώστη (και τη φίλη αναγνώστρια, βέβαια δυστυχώς η ελληνική γλώσσα, και όχι μόνο, επιμένει στις διακρίσεις και δυσκολεύει την συστηματική αναφορά της) για να μπορέσει να ανταπεξέλθει ευκολότερα στις δυσκολίες των μη γραμμικών εξισώσεων, αφιερώνοντας πολλές από τις σελίδες αυτού του τόμου στις μιγαδικές συναρτήσεις. Ειδικότερα, τα ολοκληρώματα τύπου Cauchy, οι σχέσεις Plemelj-Sokhotski και άλλες έννοιες και μέθοδοι της μιγαδικής ανάλυσης που παρουσιάζουμε στο δεύτερο κεφάλαιο και φαίνονται ως πλεονασμός από την άποψη των αναγκών αυτού του τόμου είναι απαραίτητες στη διατύπωση και λύση των προβλημάτων (ντι μπαρ) και Riemann-Hilbert. Tα τελευταία αποτελούν βασικά εργαλεία της σύγχρονης ανάλυσης των μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Για την αρχική παραγωγή αυτού του τόμου, στηρίχτηκα στη βοήθεια των τότε συνεργατών μου και σήμερα διδακτόρων Παύλου Ξενιτίδη και Τάσου Τόγκα. Η τωρινή του μορφή οφείλει πολλά στον συνεργάτη μου και υποψήφιο διδάκτορα Σωτήρη Ρίζο- Κωνσταντίνου. Τους ευχαριστώ θερμά κι από τη θέση αυτή. Πάτρα, Σεπτέμβρης 200 Δημήτρης Γ&Σ Τσουμπελής

4 Περιεχόμενα Κεφάλαιο VII. Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace. Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο.. 2. Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο χώρο 7 3. Kλίση, απόκλιση, στροβιλισμός To στατικό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο Το χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο 4 n 6. Οι εξισώσεις Laplace και Poisson στον Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace Oι ταυτότητες Green και οι συνέπειές τους To θεώρημα της ολοκληρωτικής αναπαράστασης αρμονικών συναρτήσεων Συναρτήσεις Green 67. Η μέθοδος των ειδώλων O τύπος του Poisson Συνέπειες του τύπου Poisson.88 Κεφάλαιο VIII..93 O φανταστικός κόσμος των Laplace, Cauchy και Riemann 93. Mιγαδικές Συναρτήσεις Δυναμοσειρές Αναλυτικές Συναρτήσεις Oλομορφικές Συναρτήσεις Toμές και κλαδικά σημεία Cauchy oλογία Oλομορφικές Συναρτήσεις και η εξίσωση Laplace Σύμμορφοι μετασχηματισμοί και λύσεις ΠΣΤ Ανώμαλα σημεία και ολοκληρωτικά υπόλοιπα..88 Κεφάλαιο IX. 25 Μετασχηματισμοί Fourier Από τις σειρές στους μετασχηματισμούς Fourier O ευθύς και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier Iδιότητες των μετασχηματισμών Fourier Yπολογισμός του μετασχηματισμού Fourier μέσω επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων στο μιγαδικό επίπεδο H έννοια της συνέλιξης δύο συναρτήσεων..252

5 6. Μετασχηματισμοί Fourier ημιτόνου συνημιτόνου Μετασχηματισμοί Fourier πολλών μεταβλητών Eπίλυση του ΠΑΤ για την εξίσωση της διάχυσης στην πραγματική ευθεία To ΠΑΤ για την κυματική εξίσωση ΠΑΣΤ για την εξίσωση της διάχυσης.279. Πολυδιάστατα προβλήματα αρχικών τιμών 287 Κεφάλαιο X..29 Μετασχηματισμός Laplace Άλλοι ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί Ο μετασχηματισμός Laplace Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Eπίλυση του ΠΑΤ για την εξίσωση της διάχυσης Eπίλυση του ΠΑΣΤ για την εξίσωση της διάχυσης.35 Κεφάλαιο XI..39 Γενικευμένες Συναρτήσεις To όνειρο του Dirac Γενικευμένες Συναρτήσεις (κατανομές) στον 327 n 3. Γενικευμένες συναρτήσεις (κατανομές) στον Παράγωγοι κατανομών Μετασχηματισμοί και τανυστικό γινόμενο κατανομών Aκολουθίες και σειρές κατανομών Ήπιες κατανομές Μετασχηματισμοί Fourier ήπιων κατανομών Μετασχηματισμός Fourier και ακολουθίες ήπιων κατανομών 399 Κεφάλαιο XI..405 Θεμελιακές λύσεις και συναρτήσεις Green Eξισώσεων Εξέλιξης Η πενιά του Τσιτσάνη Διαφορικές εξισώσεις κατανομών Συναρτήσεις Green για συμπαγείς περιοχές Συναρτήσεις Green για μη φραγμένες περιοχές Θεμελιακές λύσεις εξισώσεων εξέλιξης Το ΠΑΤ για την κυματική εξίσωση στον

6 Παράρτημα..460 Σύνοψη διανυσματικής ανάλυσης Grad, div, curl σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες του E Γενικοί μετασχηματισμοί συντεταγμένων Συντελεστές κλίμακας και μετρική Γενικός ορισμός των τελεστών grad, div, curl και Δ..472 Αναφορές..48

7

8 VII Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace Στο Εδάφιο 6 του Κεφάλαιου V (Η μέθοδος του χωρισμού των μεταβλητών) ασχοληθήκαμε με το πρόβλημα συνοριακών τιμών της εξίσωσης Laplace στο επίπεδο και δώσαμε, ορισμένες φορές χωρίς απόδειξη, κάποια γενικά χαρακτηριστικά των αντίστοιχων λύσεων. Επιπλέον, στο Εδάφιο 2 του Κεφάλαιου VΙ (Πολυδιάστατα προβλήματα αρχικών -συνοριακών τιμών) κατασκευάσαμε λύσεις ανάλογων προβλημάτων συνοριακών τιμών για την εξίσωση Laplace στον Ευκλείδειο τρισδιάστατο χώρο. Ο στόχος του παρόντος κεφάλαιου είναι διπλός. Από τη μια, θέλουμε να αναλύσουμε τα προηγούμενα αποτελέσματα με ενιαίο τρόπο, έτσι ώστε να γενικευτούν και να ισχύουν ανεξάρτητα από τη διάσταση του χώρου. Από την άλλη, σκοπεύουμε να εισαγάγουμε ορισμένες καινούργιες έννοιες, όπως αυτές της θεμελιακής λύσης και της συνάρτησης Green, οι οποίες δεσπόζουν σε όλες τις γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντε- λεστές και όχι μόνο στις ελλειπτικές, στις οποίες, βέβαια, η εξίσωση (του) Laplace διατηρεί εξέχουσα θέση.. Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο Οπως σημειώσαμε από την πρώτη στιγμή που αναφερθήκαμε στην εξίσωση (του) Laplace, αυτή συνδέεται άρρηκτα με τις ιδιότητες των διανυσματικών πεδίων, τα οποία συναντάμε πολύ συχνά στις εφαρμογές της. Γι αυτό, θα ξεκινήσουμε τη συστηματική μελέτη της εξίσωσης Laplace, υπενθυμίζοντας κάποια βασικά στοιχεία της διανυσματικής ανάλυσης. Ας υποθέσουμε, λοιπόν, ότι θέλουμε να μελετήσουμε τη ροή ενός λεπτού στρώματος κάποιου ρευστού, το οποίο κινείται πάνω σε μια επίπεδη πλάκα. Αυτό σημαίνει ότι, από φυσική άποψη, το αντικείμενο της μελέτης μας καταλαμβάνει ένα τμήμα αυτού που ονομάζουμε Ευκλείδειο επίπεδο. Για λόγους που θα φανούν καθαρά σε λίγο, το Ευκλείδειο επίπεδο θα το συμβολίζουμε, προσωρινά τουλάχιστον, με 2. Τα βασικά στοιχεία του 2 είναι οι ευθείες, τα σημεία, η απόσταση δύο σημείων και ότι άλλο έχουμε μάθει από το γυμνάσιο. Από την άλλη, με 2 εννοούμε πάντα το σύνολο των δια(τε)ταγμένων ζευγαριών πραγματικών αριθμών. Ωστόσο, στα προηγούμενα κεφάλαια, χρησιμοποιήσαμε επανειλημμένα

9 2 Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace τη φράση "το Ευκλείδειο επίπεδο 2 ". Αυτό υπονοεί ότι, με κάποιο τρόπο, είχαμε ταυτίσει το σύνολο 2 με το γεωμετρικό αντικείμενο 2. Αρα, είναι καιρός να περιγράψουμε ρητά τη διαδικασία που οδηγεί σε μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ανάμεσα σ αυτά τα δύο μαθηματικά αντικείμενα. Για το σκοπό αυτό, θεωρούμε δύο κάθετες μεταξύ τους ευθείες του 2, τις x και y, οι οποίες τέμνονται στο σημείο Ο. Αυτές τις αυθείες θα τις λέμε ορθογώνιο σύστημα αξόνων με αρχή το O. Mε τη γεωμετρική κατασκευή που περιγράψαμε στο Εδάφιο I-4, το τυχαίο σημείο p του 2 αντιστοιχίζεται αυτόματα σε δύο πραγματικούς αριθμούς, τους xhpl και yhpl. To ζευγάρι HxHpL, yhpll καθορίζεται μονοσήμαντα από το σημείο p και αντίστροφα. Οι αριθμοί xhpl και yhpl αναφέρονται από κει και πέρα ως Καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου p. Το γεγονός ότι η αντιστοίχιση των στοιχείων του 2 μ εκείνα του 2 προϋποθέτει την επιλογή ενός συγκεκριμένου ζευγαριού τεμνόμενων ευθειών κάνει αμέσως φανερή την αλήθεια της ακόλουθης πρότασης: Υπάρχουν άπειρες αμφιμονοσήμαντες αντιστοιχίες των συνόλων 2 και 2. Συνακόλουθα, υπάρχουν άπειρα συστήματα Καρτεσιανών συντεταγμένων - όσα είναι και τα ζευγάρια ορθογώνιων ευθειών του 2. Από τον ορισμό τους, οι Καρτεσιανές συντεταγμένες δύο τυχαίων σημείων του Ευκλείδειου επίπεδου συνδέονται με μία σχέση, η οποία αποτελεί το θεμελιακό χαρακτηριστικό των συντεταγμένων αυτού του είδους. Πιο συγεκριμένα, αν το ζευγάρι Hx, y L αποτελεί τις συντεταγμένες ενός σημείου p του 2 και το Hx 2, y 2 L εκείνες του σημείου p 2, τότε η απόσταση, dhp, p 2 L, των παραπάνω σημείων είναι ίση με dhp, p 2 L = Hx 2 - x L 2 + Hy 2 - y L 2. (.) Θυμίζουμε ότι, με απόσταση δύο σημείων εννοούμε πάντα το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που τα ενώνει. Αρα, η (.) δεν είναι παρά το Πυθαγόρειο Θεώρημα, διατυπωμένο μέσω των συντεταγμένων των σημείων p και p 2. Ειδικότερα, η απόσταση του σημείου p œ 2 με συντεγμένες Hx, yl από την αρχή των Καρτεσιανών συντεταγμένων, O, δίνεται από τον τύπο dho, pl = x 2 + y 2. (.2) Οπως βέβαια τονίσαμε νωρίτερα, συστήματα Καρτεσιανών συντεταγμένων του Ευκλείδειου επίπεδου υπάρχουν άπειρα. Εκείνο, λοιπόν, που εννοούμε λέγοντας ότι η σχέση (.) χαρακτηρίζει αυτά τα συστήματα είναι το εξής: Η (.) ισχύει εάν και μόνο όταν οι συντεταγμένες στις οποίες περιγράφεται ο χώρος 2 είναι Καρτεσιανές. Συνεπώς, αν σε κάποιο Καρτεσιανό σύστημα, διαφορετικό από εκείνο που έδωσε τους αριθμούς Hx, y L και Hx 2, y 2 L, τα ίδια σημεία p και p 2 έχουν συντεταγμένες Ix, y M και Ix 2, y 2 M, αντίστοιχα, τότε dhp, p 2 L = Hx 2 - x L 2 + Hy 2 - y L 2. (.3) Από τη σύγκριση των (.) και (.3) αμέσως έπεται ότι

10 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο 3 Hx 2 - x L 2 + Hy 2 - y L 2 = Hx 2 - x L 2 + Hy 2 - y L 2. (.4) Αυτή η ισότητα εκφράζει με συμπυκνωμένο τρόπο τη σχέση δύο τυχαίων μελών της κλάσης των συντεταγμένων που ονομάσαμε Καρτεσιανές. Αν θέσουμε Δ x := x 2 - x, Δ y := y 2 - y, (.5) τότε μπορούμε να γράψουμε την προηγούμενη σχέση στη μορφή HΔ xl 2 + HΔ yl 2 = HΔ x L 2 + HΔ y L 2 (.6) Συνεπώς, η χαρακτηριστική ιδιότητα των Καρτεσιανών συντεταγμένων του 2 διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: Ο μετασχηματισμός Hx, yl Ø Hx, y L που οδηγεί από ένα σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων σ ένα δεύτερο της ίδιας κλάσης αφήνει την έκφραση HΔ xl 2 + HΔ yl 2 αναλλοίωτη. Οταν, λοιπόν, αναφερόμαστε στο Ευκλείδειο επίπεδο 2, εννοούμε πως τα στοιχεία του 2 αντιστοιχούν στις Καρτεσιανές συντεταγμένες των σημείων του 2, ως προς κάποιο ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Συνακόλουθα, με κάθε στοιχείο Ha, bl του 2 θα συνδέουμε αυτόματα και δύο γεωμετρικές εικόνες: (α) Το σημείο p του 2 που έχει συντεταγμένες Ha, bl στο συγκεκριμένο σύστημα αξόνων και (β) Το προσανολισμένο ευθύγραμμο τμήμα που οδηγεί από την αρχή των αξόνων, O, στο σημείο p. Οπως γνωρίζουμε, τα στοιχεία του 2 ονομάζονται και διανύσματα. Συχνά, τα διανύσματα συμβολίζονται με ένα μόνο γράμμα που, είτε το τυπώνουμε έντονα, ή προσθέτουμε στο πάνω μέρος του ένα βέλος. Ετσι, λέμε, για παράδειγμα, "δίνεται το διάνυσμα V = Ha, bl ή V = Ha, bl". Η γεωμετρική ερμηνεία του Ha, bl œ 2 που μόλις περιγράψαμε εξηγεί το γιατί, ως μέτρο ή μήκος του διανύσματος V = Ha, bl ορίζεται ο μη αρνητικός αριθμός V := Ia 2 + b 2 M ê2. (.7) (Εμείς θα προτιμήσουμε το απλούστερο σύμβολο V ). Με την ευκαιρία, θυμίζουμε ότι, ένα διάνυσμα που έχει μοναδιαίο μήκος λέγεται κανονικό. Θυμίζουμε επίσης ότι, με εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων V = Ha, bl και W = Hc, dl εννοούμε τον αριθμό V ÿ W := ac+ bd. (.8) Εύκολα δείχνει κανείς ότι V ÿ W := V W cos θ, (.9) όπου θ η γωνία που ορίζεται από τα βέλη (προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα) τα οποία αντιστοιχούν στα διανύσματα V και W. Εύλογα, λοιπόν, τα διανύσματα V, W χαρακτηρίζονται ως (μεταξύ τους) ορθογώνια, αν το εσωτερικό γινόμενό τους μηδενίζεται. Ας θεωρήσουμε τώρα τη συνάρτηση f : 2 Ø που έχει ως πεδίο ορισμού ολόκληρο το επίπεδο 2 και τύπο f Hx, yl = 2 xy. Επειδή τα στοιχεία του ονομάζονται και βαθμωτά

11 4 Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace (scalars), η παραπάνω f : 2 Ø ονομάζεται βαθμωτό πεδίο (scalar field) του 2. Γενικότερα, μπορούμε να θεωρήσουμε βαθμωτά πεδία που ορίζονται μόνο σε μια περιοχή του επίπεδου, αντί σε ολόκληρο τον 2. Ενα παράδειγμα αποτελεί η συνάρτηση h : Ω Ø με τύπο hhx, yl = + x + y και πεδίο ορισμού την ορθογώνια περιοχή Ω = 9Hx, yl œ 2 :0 x 2, 0 y =. Συχνά, βαθμωτά πεδία αυτού του είδους χρησιμεύουν στην αναπαράσταση μιας φυσικής ποσότητας, γ.π. της θερμοκρασίας, σε μια γεωγραφική περιοχή που αντιστοιχεί στη γεωμετρική περιοχή Ω. Αλλοτε, πάλι, ο περιορισμός σε κάποιο γνήσιο υποσύνολο Ω του 2 επιβάλλεται από το γεγονός ότι ο τύπος της συνάρτησης που περιγράφει το πεδίο δεν έχει νόημα σε όλα τα σημεία του επίπεδου. Για παράδειγμα, ο τύπος ghx, yl = ë Ix 2 + y 2 M δεν έχει νόημα στο σημείο Hx, yl = H0, 0L. Συνεπώς, αυτός ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό του βαθμωτού πεδίου g : Ω Ø στην περιοχή Ω = 2 \ 8H0, 0L< ή σε κάποιο τμήμα αυτής της περιοχής, όχι όμως και σ ολόκληρο τον 2. Ανάλογα, ο τύπος φhx, yl = ê Hx - yl δεν έχει νόημα κατά μήκος της ευθείας Γ = 9Hx, yl œ 2 : x = y =. Αρα, με αυτό τον τύπο μπορούμε να ορίσουμε ένα βαθμωτό πεδίο μόνο σε κάποιο υποσύνολο της (μη συνεκτικής) περιοχής Ω = 2 \ Γ. Yπάρχουν πολλοί τρόποι για να δώσουμε μια γραφική αναπαράσταση ενός βαθμωτού πεδίου στον 2. Ενας απ αυτούς έγκειται στο να καταγράψουμε την τιμή της αντίστοιχης συνάρτησης f : Ω Ø σε ορισμένα από τα σημεία της περιοχής Ω, όπως γίνεται στο Σχ.. για την f Hx, yl = 2 xy. y x Σχ.. Γραφική παράσταση του βαθμωτού πεδίου f Hx, yl = 2 xy. Δίπλα σε καθένα από τα σημεία Hx, yl που δηλώνονται με στίγμα, σημειώνεται η τιμή της συνάρτησης f Hx, yl = 2 xy. Πολλές φυσικές ποσότητες που αφορούν μιαν επίπεδη περιοχή προσδιορίζονται με τη βοήθεια δύο συναρτήσεων και όχι μιας μόνο. Ας σκεφτούμε και πάλι το παράδειγμα του λεπτού στρώματος υγρού που κινείται πάνω σε μιαν επίπεδη πλάκα. Για να προσδιορίσουμε την ταχύτητα των στοιχείων του υγρού, θα πρέπει, για κάθε Hx, yl œ Ω, να δώσουμε το μέτρο και την κατεύθυνση της ταχύτητας του στοιχείου σ του υγρού το οποίο, τη στιγμή που μας -4-8

12 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο 5 ενδιαφέρει, βρίσκεται στο σημείο Hx, yl. Η κατεύθυνση προσδιορίζεται δίνοντας την ημιευθεία EHx, yl που ξεκινάει από το σημείο Hx, yl και πάνω στην οποία κινείται προς στιγμή το σ. Η ταχύτητα του στοιχείου σ του ρευστού, το οποίο βρίσκεται προς στιγμή στο σημείο Hx, yl, συμβολίζεται συνήθως με VHx, yl ή με V Hx, yl. Ο μη αρνητικός αριθμός που προσδιορίζει το μέτρο της VHx, yl συμβολίζεται συνήθως με VHx, yl, αλλά εμείς θα προτιμήσουμε το απλούστερο σύμβολο VHx, yl. Για να προσδιορίσουμε την κατεύθυνση της ταχύτητας VHx, yl, αρκεί να δώσουμε τη γωνία θhx, yl που σχηματίζει η παραπάνω ημιευθεία EHx, yl με τον άξονα x. Να λοιπόν δύο συναρτήσεις με τις οποίες μπορεί να προσδιοριστεί πλήρως η ταχύτητα του ρευστού στην περιοχή Ω: Το ζευγάρι H VHx, yl, θhx, yll. Ομως, από το ζευγάρι των συναρτήσεων VHx, yl και θhx, yl αυτόματα ορίζεται και το ζευγάρι IV x Hx, yl, V y Hx, ylm, όπου V x Hx, yl := VHx, yl cos θ Hx, yl, V y Hx, yl := VHx, yl sin θ Hx, yl. (.0) Αντίστροφα, από τις (.0) και τη θεμελιακή σχέση αμέσως συνάγεται ότι Συνακόλοθα, sin 2 θ + cos 2 θ =. V x 2 Hx, yl + V y 2 Hx, yl = V Hx, yl 2, tan θ Hx, yl = V yhx, yl V x Hx, yl. VHx, yl = AV x 2 Hx, yl + V y 2 Hx, yle ê2, θ Hx, yl = tan - B V yhx, yl V x Hx, yl F. (.) (.2) (.3) Αυτό σημαίνει ότι το ζευγάρι των συναρτήσεων IV x Hx, yl, V y Hx, ylm προσδιορίζει πλήρως το H VHx, yl, θhx, yll. Η ταχύτητα ενός ρευστού σε μια επίπεδη περιοχή Ω είναι ένα παράδειγμα αυτών που ονομάζουμε διανυσματικές συναρτήσεις ή διανυσματικά πεδία. Γενικότερα λοιπόν, με διανυσματικό πεδίο (vector field) στην περιοχή Ω θα εννοούμε μιαν απεικόνιση V : Ω Ø 2, η οποία προσδιορίζεται μέσω δύο βαθμωτών συναρτήσεων f : Ω Ø και g : Ω Ø, οπότε η τιμή της V στο σημείο Hx, yl œ Ω είναι το ζευγάρι των πραγματικών αριθμών VHx, yl := H f Hx, yl, ghx, yll. Οι αριθμοί f Hx, yl, ghx, yl ονομάζονται συνιστώσες του διανύσματος VHx, yl, στην κατεύθυνση x και y, αντίστοιχα. Για να κατασκευάσουμε μια γραφική αναπαράσταση ενός διανυσματικού πεδίου V : Ω Ø 2, μπορούμε να ακολουθήσουμε το παράδειγμα της γραφικής παράστασης του βαθμωτού πεδίου που δώσαμε νωρίτερα. Πιο συγκεκριμένα, αν η συνάρτηση V : Ω Ø 2 ορίζεται από τις f : Ω Ø και g : Ω Ø 2, τότε αρκεί να δώσουμε τις τιμές του ζευγαριού H f Hx, yl, ghx, yll σε ορισμένα σημεία της περιοχής Ω. Αυτό γίνεται στο Σχ..2, υποθέτοντας ότι η συνάρτηση f : 2 Ø ορίζεται από τον

13 6 Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace τύπο f Hx, yl = 2 xy, ενώ η g : 2 Ø ορίζεται από τον τύπο ghx, yl = x 2 - y 2, οπότε VHx, yl = H f Hx, yl, ghx, yll= I2 xy, x 2 - y 2 M. y 8-8, 0< 8-4, -3< 80, -4< 2 84, -3< 88, 0< 8-4, 3< 8-2, 0< 80, -< 82, 0< 84, 3< 80, 4< 80, < 80, 0< 80, < 80, 4< x , 3< 82, 0< 80, -< - 8-2, 0< 8-4, 3< 88, 0< 84, -3< 80, -4< , -3< 8-8, 0< Σχ..2 Γραφική παράσταση του διανυσματικού πεδίου VHx, yl = I2 xy, x 2 - y 2 M. Το ζευγάρι 8a, b< δίπλα στο σημείο (στίγμα) με συντεταγμένες Hx, yl δηλώνει την τιμή των συναρτήσεων f Hx, yl = 2 xy και ghx, yl = x 2 - y 2 στο συγκεκριμένο σημείο. Eναλλακτικά, μπορούμε, στα επιλεγμένα σημεία της περιοχής Ω, να κατασκευάσουμε βελάκια, που ξεκινάνε από το σημείο Hx, yl και καλήγουν στο Hx, yl + VHx, yl, όπως στο Σχ..3. Αυτός είναι και ο πιο συνηθισμένος τρόπος αναπαράστασης ενός διανυσματικού πεδίου. 2 y x - -2 Σχ..3 Εναλλακτική γραφική παράσταση του διανυσματικού πεδίου VHx, yl = I2 xy, x 2 - y 2 M. Στο σημείο Hx, yl, κατασκευάζεται ένα βέλος με αφετηρία το Hx, yl και τέρμα το σημείο Hx + f Hx, yl, y + ghx, yll = Ix + 2 xy, y + x 2 - y 2 M. Με τη βοήθεια των σύγχρονων υπολογιστών, ακόμα και "προσωπικών" (PCs), μπορούμε να κατασκευάσουμε σχεδιαγράμματα που, σαν το προηγούμενο, δείχνουν βέλη τα οποία παριστάνουν τις τιμές του πεδίου σε ορισμένα, αλλά πολύ περισσότερα, σημεία. Τo αποτέλεσμα μιας τέτοιας κατασκευής φαίνεται στο Σχ..4.

14 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο 7 2 y -2-2 x - -2 Σχ..4 Γραφική αναπαράσταση του διανυσματικού πεδίου VHx, yl = I2 xy, x 2 - y 2 M στην περιοχή Ω = 9Hx, yl œ 2 : -2 x 2, -2 y 2 = Eνα διανυσματικό πεδίο λέγεται ομογενές όταν είναι της μορφής V Hx, yl = Ha, bl όπου a, b τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί. Το απλούστερο δυνατό πεδίο αυτού του είδους είναι το μηδενικό: VHx, yl = 0 := H0, 0L. Δύο άλλα ομογενή διανυσματικά πεδία, ξεχωριστής σημασίας, είναι τα εξής: e x Hx, yl := H, 0L, e y Hx, yl := H0, L. H γραφική τους αναπαράσταση με βέλη δίνεται στo Σχ..5. (.4) y y x -2-2 x Σχ..5 Γραφική αναπαράσταση των ομομογενών διανυσματικών πεδίων e x Hx, yl := H, 0L και e y Hx, yl := H0, L στην περιοχή Ω = 9Hx, yl œ 2 : - 2 x 2, -2 y 2 =. Ας θυμηθούμε τώρα ότι με γινόμενο του αριθμού (βαθμωτού) λ με το διάνυσμα V = Ha, bl εννοούμε το διάνυσμα λv := Hλ b, λ yl. (.5) Με βάση αυτή την έννοια και τις (.4), μπορούμε να γράφουμε κάθε διανυσματικό πεδίο VHx, yl = H f Hx, yl, ghx, yll στην ακόλουθη μορφή VHx, yl = f Hx, yl e x Hx, yl + ghx, yl e y Hx, yl. (.6)

15 8 Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace Αυτή η σχέση θα πρέπει να εννοείται με τον ακόλουθο τρόπο: Θεωρούμε ότι το επίπεδο 2 είναι πάντα εφοδιασμένο με δύο διανυσματικά πεδία, τα e x Hx, yl και e y Hx, yl. Με άλλα λόγια, θεωρούμε ότι σε κάθε σημείο Hx, yl του 2 στέκεται ένα ζευγάρι από βέλη που αντιστοιχεί στο ζευγάρι Ie x Hx, yl, e y Hx, ylm. Σύμφωνα λοιπόν με την (.6), κάθε άλλο διάνυσμα VHx, yl που δίνεται στο ίδιο σημείο γράφεται ως γραμμικός συνδυσμός των e x Hx, yl και e y Hx, yl. Αυτή η διαπίστωση δηλώνεται με το να πούμε ότι το ζευγάρι Ie x Hx, yl, e y Hx, ylm αποτελεί βάση του χώρου των διανυσμάτων που ορίζονται στο σημείο Hx, yl. Ας παρατηρήσουμε τώρα ότι τα διανύσματα e x Hx, yl και e y Hx, yl που ορίσαμε παραπάνω είναι κανονικά και μεταξύ τους ορθογώνια. Γι αυτό, η βάση Ie x Hx, yl, e y Hx, ylm χαρακτηρίζεται ως ορθοκανονική. Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι η βάση Ie x Hx, yl, e y Hx, ylm δεν είναι η μοναδική. Μάλιστα, δεν είναι πάντα και η πιο βολική για να εκφράσουμε το τυχαίο διανυσματικό πεδίο ως γραμμικό συνδυασμό των στοιχείων της. Οποιοδήποτε άλλο ζευγάρι διανυσματικών πεδίων, He Hx, yl, e 2 Hx, yll, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως βάση. Αρκεί τα στοιχεία του να είναι μη μηδενικά και μη συγγραμμικά σε όλα τα σημεία της περιοχής Ω που μας ενδιαφέρει. Με άλλα λόγια, τα πεδία e Hx, yl και e 2 Hx, yl θα πρέπει να είναι τέτοια που, σε κανένα σημείο της Ω, δεν είναι το ένα πολλαπλάσιο του άλλου. Ισοδύναμα, δεν θα πρέπει να υπάρχει συνάρτηση λhx, yl τέτοια που το e 2 Hx, yl = λhx, yl e Hx, yl, "Hx, yl œ Ω. Αλλά, ούτε και συνάρτηση μ Hx, yl τέτοια που το e Hx, yl = μ Hx, yl e 2 Hx, yl. Δύο πεδία τα οποία πληρούν αυτή τη συνθήκη ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητα (το ένα από το άλλο). Θεωρήστε για παράδειγμα τα πεδία e Hx, yl := He y,0l, e 2 Hx, yl := Hx, L. (.7) Εύκολα αποδείχει κανείς ότι αυτά τα πεδία είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Αρα αποτελούν βάση. Αυτή η βάση δεν είναι ορθοκανονική, αφού e Hx, yl ÿ e Hx, yl = e 2 y, e Hx, yl ÿ e 2 Hx, yl = xe y, e 2 Hx, yl ÿ e 2 Hx, yl = x 2 +. (.8) Ενας συστηματικός τρόπος για την κατασκευή βάσεων είναι αυτός που στηρίζεται στα εναλλακτικά συστήματα συντατεγμένων, με τα οποία μπορούμε να προσδιορίζουμε τα σημεία μιας επίπεδης περιοχής. Για να περιγράψουμε αυτό τον τρόπο αναλυτικά, χρειάζεται να υπενθυμίσουμε ότι, μια ομαλή παραμετρική καμπύλη ορίζει, σε κάθε σημείο της (εικόνας της), ένα διάνυσμα. Είναι αυτό που ονομάζουμε εφαπτόμενο. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι η καμπύλη Γ ορίζεται από τις σχέσεις x = X HsL, y = YHsL, s œ I s, και διέρχεται από το σημείο Hx 0, y 0 L του 2. Αυτό σημαίνει ότι, στο διάστημα μεταβολής I s της παραμέτρου s, υπάρχει ένα σημείο s 0 τέτοιο που Hx 0, y 0 L = HX Hs 0 L, YHs 0 LL. Το εφαπτόμενο διάνυσμα της Γ στο τυχαίο σημείο της, Hx, yl, ορίζεται από τον τύπο υ Hx, yl = IX HsL, Y HsLM, (.9) όπου η τελεία πάνω από το σύμβολο της συνάρτησης δηλώνει την παράγωγο.

16 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο 9 Ειδικότερα, στο συγκεκριμένο σημείο Hx 0, y 0 L œ Γ, το εφαπτόμενο διάνυσμα είναι ίσο με υ Hx 0, y 0 L = IX Hs 0 L, Y Hs 0 LM. Αυτό το διάνυσμα μπορούμε να το παριστάνουμε με ένα βέλος που έχει ως βάση το σημείο Hx 0, y 0 L και κορυφή το σημείο Hx 0, y 0 L + υ Hx 0, y 0 L. Παράδειγμα. Το απλούστερο δυνατό παράδειγμα "παραμετικής καμπύλης" αποτελεί η ευθεία Γ που διέρχεται από το σημείο Hx 0, y 0 L και είναι παράλληλη προς τον άξονα x. Αυτή μπορεί να περιγραφτεί από τις σχέσεις x = x 0 + Hs - s 0 L, y = y 0, οπότε υ Hx, yl = H, 0L. (.20) Αν αφήσουμε την παράμετρο y 0 να διατρέξει όλη την πραγματική ευθεία, τότε οι σχέσεις x = x 0 + Hs - s 0 L, y = y 0, s œ, δε θα περιγράφουν μία μόνο ευθεία, αλλά το σύνολο των ευθειών που είναι παράλληλες προς τον άξονα x. Σ αυτή την περίπτωση, ο τύπος (.20) περιγράφει το ομογενές διανυσματικό πεδίο που νωρίτερα ονομάσαμε e x Hx, yl. Με ανάλογο τρόπο, αν για "καμπύλη Γ" πάρουμε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο Hx 0, y 0 L και είναι παράλληλη προς τον άξονα y, τότε x = x 0, y = y 0 + Ht - t 0 L, t œ. Σε τούτη την περίπτωση, υ Hx, yl = H0, L. (.2) Αφήνοντας τώρα την παράμετρο y 0 να διατρέξει όλη την πραγματική ευθεία, βλέπουμε ότι οι σχέσεις x = x 0, y = y 0 + Ht - t 0 L, t œ, περιγράφουν το σύνολο των ευθειών που είναι παράλληλες προς τον άξονα y. Aυτό σημαίνει ότι ο τύπος (.2) περιγράφει το ομογενές διανυσματικό πεδίο που ονομάσαμε e y Hx, yl. ð Ας υποθέσουμε τώρα ότι, για να περιγράψουμε κάποιο φυσικό πρόβλημα στην περιοχή Ω του Ευκλείδειου επίπεδου, αντί για τις Καρτεσιανές συντεταγμένες x, y, είναι βολικότερο να χρησιμοποιήσουμε κάποιες άλλες, ας τις πούμε r, s. To γεγονός ότι πρόκειται για νέες συντεταγμένες, σημαίνει ότι, ανάμεσα στις πραγματικές μεταβλητές r, s και τις x, y υπάρχει μια σχέση της μορφής x = X Hr, sl, y = YHr, sl, (.22) με τα εξής χαρακτηριστικά: (α) Οι συναρτήσεις X Hr, sl, YHr, sl έχουν ως κοινό πεδίο ορισμού ένα ανοιχτό υποσύνολο Ω του 2. Αναλυτικότερα, το Ω = I r äi s, όπου I r, I s τα διαστήματα μεταβολής των παραμέτρων r και s, αντίστοιχα. (β) Οι X Hr, sl, YHr, sl ανήκουν στην κλάση C HΩ L και είναι τέτοιες που η ορίζουσα Jacobi r X r Y JHr, sl := det (.23) s X s Y, είναι μη μηδενική σε όλα τα σημεία της περιοχής Ω. (Σημ. με r X, s X συμβολίζουμε τις

17 0 Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace μερικές παραγώγους πρώτης τάξης της συνάρτησης X Hr, sl, ως προς τις μεταβλητές r και s, αντίστοιχα). Οι (.22) ορίζουν αυτόματα δύο οικογένειες παραμετρικών καμπυλών, ας τις ονομάσουμε Γ s και Γ r, αντίστοιχα. Κατά μήκος μιας καμπύλης της οικογένειας Γ s μεταβάλλεται μόνο η r, ενώ η παράμετρος s μένει σταθερή. Αρα, το διανυσματικό πεδίο που ορίζεται από αυτή την οικογένεια δίνεται από τον τύπο e r = r X Hr, sl e x + r YHr, sl e y. (.24) Ανάλογα, το διανυσματικό πεδίο που ορίζεται από τις καμπύλες Γ r, κατά μήκος των οποίων μένει σταθερή η παράμετρος r, ορίζεται από τον τύπο e s = s X Hr, sl e x + s YHr, sl e y. (.25) Χρησιμοποιώντας το συμβολισμό των πινάκων, μπορούμε να γράψουμε τις δύο προηγούνες σχέσεις στη μορφή e r = r X r Y e x (.26) e s s X s Y Με αυτόν ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο, αμέσως συμπεραίνουμε ότι τα διανυσματικά πεδία e r και e s είναι γραμμικά ανεξάρτητα σε όλη την περιοχή Ω. Αρα, σε κάθε σημείο της περιοχής Ω, το ζευγάρι He r, e s L αποτελεί βάση. Αυτό σημαίνει ότι, κάθε διανυσματικό πεδίο VHx, yl που ορίζεται στην περιοχή Ω μπορεί να γραφτεί είτε στη μορφή είτε στην V = V x e x + V y e y V = V r e r + V s e s. e y (.27) (.28) Για να βρούμε τις συνιστώσες V r και V s του VHx, yl ως προς τη βάση He r, e s L, αρκεί να αντικαταστήσουμε τις σχέσεις (.24) και (.25) στην (.28). Αυτή η αντικατάσταση δίνει Ισοδύναμα, V = V r I r X e x + r Ye y M + V s I s X e x + s Ye y M. V = HV r r X + V s s X L e x + HV r r Y + V s s YL e y. Συγκρίνοντας τις (.27) και (.30) συμπεραίνουμε ότι V x = V r r X + V s s X, V y = V r r Y + V s s Y. (.29) (.30) (.3) Αυτό το γραμμικό σύστημα λύνεται πολύ εύκολα ως προς τις ποσότητες V r και V s. Αξίζει, ωστόσο, να παρατηρήσουμε ότι, με το συμβολισμό πινάκων, το σύστημα (.3) γράφεται στη μορφή Σημειώστε, τώρα, ότι V x = r X s X V y r Y s Y V r V s. (.32)

18 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο όπου r X s X r Y s Y = AT, A := r X r Y s X s Y (.33) (.34) και με A T εννοούμε τον ανάστροφο του πίνακα A. Από την άλλη, η (.32) μας επιτρέπει να συμπεράνουμε αμέσως ότι V r = r X s X - V x ª IA T M - V x. V s r Y s Y V y V y (.35) όπου με P - εννοούμε τον αντίστροφο του τυχαίου ομαλού πίνακα P. Και ο πίνακας A T είναι ομαλός ή αντιστρέψιμος, γιατί Επιπλέον, det A T = det A ª JHr, sl 0, " Hr, sl œ Ω. IA T M - = IA - M T. (.36) (.37) Αρα, με τα παραπάνω έχουμε αποδείξει την Πρόταση. Ο πίνακας που περιγράφει τον μετασχηματισμό IV x, V y M Ø HV r, V s L των συνιστωσών ενός διανυσματικού πεδίου είναι ο ανάστροφος του αντίστροφου του πίνακα ο οποίος περιγράφει τον μετασχηματισμό Ie x, e y M Ø He r, e s L των αντίστοιχων βάσεων. ð Ας υποθέσουμε, κλείνοντας, ότι ο αντίστροφος, Hx, yl Ø Hr, sl, του μετασχηματισμού Hr, sl Ø Hx, yl περιγράφεται από τις σχέσεις Αυτό σημαίνει ότι r = RHx, yl, s = SHx, yl. X HRHx, yl, SHx, yll = x, YHRHx, yl, SHx, yll = y. Συνακόλουθα, ο κανόνας της αλυσίδας οδηγεί αμέσως στα εξής αποτελέσματα. = x x = r X x R + s X x S, 0 = y x = ry x R + s Y x S, 0 = x y = r X y R + s X y S, = y y = ry y R + s Y y S. (.38) (.39) (.40) (.4) (.42) (.43)

19 2 Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace Με το συμβολισμό των πινάκων, αυτές οι τέσσερεις σχέσεις γράφονται στη μορφή x R x S r X r Y y R y S s X s Y = 0 0. Αυτό σημαίνει ότι οπότε Κατά συνέπεια, A - ª r X r Y s X s Y IA T M - = IA - M T = V r = x R y R V s x S y S - = x R x S y R y S, x R y R x S y S. V x V y. (.44) (.45) (.46) (.47) Ασκηση Να δειχτεί ότι e x = x R x S e y y R y S e r e s (.48) Δηλαδή, e x = x R e r + x S e s, e y = y R e r + y S e s. (.49) ð Ας υποθέσουμε για παράδειγμα ότι α) Το σημείο Ο στο οποίο τέμνονται οι δυο ευθείες που ορίζουν το σύστημα Σ έχει συντεταγμένες Ha, bl ως προς το Σ και β) Οι παρα- πάνω ευθείες είναι παράλληλες και ομόρροπες προς εκείνες που ορίζουν το Σ. Τότε, x = x + a, y = y + b. (.50) Αν από την άλλη, αν το σημείο Ο ταυτίζεται με την αρχή Ο των αξόνων του Σ, αλλά οι άξονες του Σ έχουν προκύψει στρίβοντας εκείνους του Σ κατά γωνία θ με τον ίδιο τρόπο που γυρίζουν οι δείχτες ενός ρολογιού, τότε x = x cos θ - y sin θ, y = x sin θ + y cos θ. (.5) Παράδειγμα.2 Οι πολικές συντεταγμένες, Hr, θl, του Ευκλείδειου επίπεδου συνδέονται με τις Καρτεσιανές, Hx, yl μέσω των σχέσεων x = X Hr, θl := r cos θ, y = YHr, θl := r sin θ. Από αυτές τις σχέσεις αμέσως έπεται ότι x 2 + y 2 = r 2 y, = tan θ. x (.52) (.53)

20 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο 3 Συνακόλουθα, όλα τα σημεία του επίπεδου με το ίδιο r βρίσκονται πάνω σε έναν κύκλο ακτίνας r με κέντρο την αρχή Hx, yl = H0, 0L των Καρτεσιανών αξόνων. Αντίθετα, όλα τα σημεία με το ίδιο θ βρίσκονται πάνω σε μια ημιευθεία E, με κλίση tan θ ως προς τον θετικό ημιάξονα x. Με άλλα λόγια, η ημιευθεία E προκύπτει στρίβοντας τον θετικό ημιάξονα x κατά γωνία θ, αντίθετα προς τη φορά των δειχτών ενός ρολογιού. Από την προηγούμενη παρατήρηση συνάγεται αμέσως και το ακόλουθο συμπέρασμα: Οι σχέσεις (.52) περιγράφουν δύο οικογένειες παραμετρικών καμπυλών του Ευκλείδειου επίπεδου. Η πρώτη, ας την πούμε Γ r, αποτελείται από ομόκεντρους κύκλους και τα μέλη της διακρίνονται από τις τιμές του r. Κατά μήκος κάθε συγκεκριμένου μέλους αυτής της οικογένειας μεταβάλλεται μόνο η παράμετρος θ. Η δεύτερη οικογένεια "παραμετρικών καμπυλών", ας την ονομάσουμε Γ θ, αποτελείται από τις ημιευθείες που έχουν ως κοινή αφετηρία το σημείο Hx, yl = H0, 0L. Τα μέλη αυτής της οικογένειας διακρίνονται με τη βοήθεια της μεταβλητής θ και, κατά μήκος κάθε μέλους της ξεχωριστά μεταβάλλεται μόνο η παράμετρος r. Στην προκείμενη περίπτωση, A := r X r Y θ X θ Y = cos θ sin θ -r sin θ r cos θ (.54) Συνεπώς, η ορίζουσα Jacobi του μετασχηματισμού Hr, θl Ø Hx, yl είναι ίση με JHr, sl := det A = r. (.55) Αυτό σημαίνει ότι, για κάθε r > 0, ο μετασχηματισμός Hr, θl Ø Hx, yl είναι τοπικά αντιστρέψιμος. Δηλαδή, υπάρχουν ανοιχτά διαστήματα I r και I θ, των μεταβλητών r και θ, αντίστοιχα, με την ακόλουθη ιδιότητα: Στο ανοιχτό υποσύνολο Ω = I r äi s του 2, η απεικόνιση Φ : Ω Ø 2 που ορίζεται από τις (.52) είναι -. Το γεγονός ότι η συνάρτηση tan θ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα H-π ê 2, π ê 2L υποδείχνει την επιλογή I r = H0, L, I θ = H-π ê 2, π ê 2L. (.56) Τότε οι (.53) οδηγούν αμέσως στην ακόλουθη μορφή της απεικόνισης Φ - : r = RHx, yl := x 2 + y 2, θ = ΘHx, yl := tan - Hy ê xl. (.57) Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να καλύψουμε και τις υπόλοιπες περιοχές του ανοιχτού σύνολου 2 \ 8H0, 0L<, στο οποίο περιέχονται οι καμπύλες Γ θ και Γ r. Σύμφωνα, τώρα, με την ανάλυση που προηγήθηκε, τα διανυσματικά πεδία που ορίζουν οι οικογένειες Γ θ και Γ r δίνονται από τους τύπους e r = cos θ e x + sin θ e y (.58) και e θ =-r sin θe x + r cos θ e y, (.59) αντίστοιχα. Σημειώστε ότι, χρησιμοποιώντας τη σχέση ανάμεσα στις Hr, θl και Hx, yl, μπορού-

8. 1 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία

8. 1 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία 8. 1 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f : 2 Ø που έχει ως πεδίο ορισμού ολόκληρο το επίπεδο 2 και τύπο f Hx, yl = 2 xy. Επειδή τα στοιχεία του ονομάζονται και βαθμωτά, η παραπάνω

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Νίκος Ν. Αρπατζάνης Πεδίο Πολλές φορές είναι χρήσιμα κάποια φυσικά μεγέθη που έχουν διαφορετική τιμή, σε διαφορετικά σημεία του χώρου (π.χ. μετεωρολογικά δεδομένα,όπως θερμοκρασία, πίεση,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 Φυσικά µεγέθη... 1 1.2 ιανυσµατική άλγεβρα... 2 1.3 Μετατροπές συντεταγµένων... 6 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ.. Α.Μ.. ΛΑΜΙΑ 2015 Παράδοση και προφορική εξέταση της εργασίας Για να ληφθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Δ (15732) Δύο ακίνητα σημειακά ηλεκτρικά φορτία 2 μc και 3 μc, βρίσκονται αντίστοιχα στις θέσεις 3 m και 6 m ενός άξονα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Δ1) Να υπολογίσετε το δυναμικό του ηλεκτρικού

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ

Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ 4_15580 Δύο σημειακά ηλεκτρικά φορτία Q 1 = μc και Q = 8 μc, συγκρατούνται ακλόνητα πάνω σε οριζόντιο μονωτικό δάπεδο, στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, σε απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Έργο ηλεκτροστατικής δύναμης W F Δl W N i i1 F Δl i Η μετατόπιση Δl περιγράφεται από ένα διάνυσμα που

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός

KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις. Ορισμός : Εστω ΑR. Ονομάζουμε (πραγματική) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, μια διαδικασία f Παραδείγματα i) με την οποία στοιχείο xα yβr. ii) Ανεξάρτητη

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης ύναµη σε ρευµατοφόρους αγωγούς (β) Ο αγωγός δεν διαρρέεται από ρεύμα, οπότε δεν ασκείται δύναμη σε αυτόν. Έτσι παραμένει κατακόρυφος. (γ) Το µαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 214 Ασκηση συνολικό φορτίο λεκτρικό φορτίο Q είναι κατανεμημένο σε σφαιρικό όγκο ακτίνας R με πυκνότητα ορτίου ανάλογη του

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Τα θεωρήματα Green, Stokes και Gauss

Τα θεωρήματα Green, Stokes και Gauss Τα θεωρήματα των Green, Stokes και Guss Αντώνης Τσολομύτης Σάμος, 2012 curl F div S F Επειδή αναϕέρθηκε στο μάθημα... Ενεργητική ϕωνή Ενεστώτας παράγω παρέχω Ενεστώτας-υποτακτική να παράγω να παρέχω Ενεστώτας-προστακτική

Διαβάστε περισσότερα