ACTIVIDADES INICIALES

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1 Solucionario Trigonometría ACTIVIDADES INICIALES.I. En una recta r hay tres puntos: A, B y C, que distan, sucesivamente, y cm. Por esos puntos se trazan rectas paralelas que cortan otra, s, en M, N y P. Si el segmento MN mide 8 cm, cuál es la distancia entre los puntos N y P? Por el teorema de Tales, los segmentos correspondientes en ambas rectas son proporcionales. AB B C M N NP 8 NP 0 cm NP.II. Calcula las medidas de los elementos que faltan en el triángulo rectángulo de la derecha. A Los ángulos del triángulo miden 90, 60 y 0. cm El cateto que falta mide cm. C cm 60 B EJERCICIOS PROPUESTOS.. Epresa las siguientes medidas de ángulos en radianes. a) 0 b) 60 c) 0 d) 00 a) rad c) rad b) rad d) rad Cuánto mide en grados seagesimales un ángulo de rad? Aproima el resultado con grados, minutos y segundos. rad Halla la medida en grados de los siguientes ángulos epresados en radianes. a) 7 rad b) rad c) rad d) rad a) rad c) rad b) 80 rad d) rad Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de estos triángulos. a) Ap 90, b 0 cm, c cmb) Bp 90, b cm, c cm a) a 0 6 sen Bp b a 0 6 cos Bp c 6 a 6 6 tg Bp b 6 6 c sen Cp c a 6 6 cos Cp b 6 a 6 c tg Cp 6 6 b 0 b) a 9 a 9 sen Ap b cos Ap c b tg Ap a 9 c c sen Cp b cos Cp a b tg Cp c a 9

2 .. Calcula la cosecante, la secante y la cotangente del ángulo de menor amplitud del triángulo rectángulo cuyos catetos miden y 0 centímetros, respectivamente. Hipotenusa: a 0 cm. El ángulo de menor amplitud es el opuesto al cateto menor, por tanto: cosec sec cotg Calcula las razones trigonométricas de 0 y de 60. Para ello, toma un triángulo equilátero de lado a y divídelo en dos por una de sus alturas. Al ser un triángulo equilátero, sus tres ángulos deben medir 60 cada uno. Por tanto: ; 60 Aplicando el teorema de Pitágoras, se puede calcular el valor de la altura: altura sen 0 sen 60 cos 0 cos 60 tg 0 tg 60 _.7. Indica el signo de todas las razones trigonométricas de los siguientes ángulos. a) 0 c) 6 e) g) b) 70 d) 800 f) 00 h) Cuadrante II IV III I IV II I III sen y cosec cos y sec tg y cotg.8. Para los siguientes ángulos, indica el signo de todas sus razones trigonométricas. a) b) c) 7 9 d) e) Cuadrante II IV III I IV sen y cosec cos y sec tg y cotg

3 .9. Calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas reduciéndolas al primer cuadrante. a) sen 0 c) tg 0 e) sec 0 b) cos d) cosec f) cotg 00 Solucionario a) sen 0 sen 0 d) cosec sen sen b) cos cos c) tg 0 tg 0 e) sec 0 sec 60 cos 60 f) cotg 00 ctg 60 tg Calcula el valor eacto de las siguientes razones trigonométricas. a) sen b) cosec c) tg d) cos 6 6 a) sen sen c) tg tg b) cosec cosec 6 6 d) cos cos 6 6 sen 6.. Sabiendo que la cotangente de un ángulo del primer cuadrante vale, calcula el resto de las razones de dicho ángulo. Al ser un ángulo del primer cuadrante, todas las razones son positivas. Así, tenemos: tg tg sec sec tg ) ( sen cos tg cosec cos.. Calcula las restantes razones de sabiendo que: sec y que 90 < < 80. Al ser un ángulo del segundo cuadrante, el seno y la cosecante son positivos y el resto de razones son negativas. sec cos sen cos sen sen cosec tg s en cotg cos sen.. Halla todas las razones trigonométricas de si se sabe que cotg y que < <. Al ser un ángulo del tercer cuadrante, la tangente y la cotangente son positivas, y el resto de razones, negativas. tg ; tg sec sec tg cos sen cos tg cosec

4 .. Calcula la razón pedida en cada caso: a) sen, si tg y II b) tg, si cos y IV 9 9 a) cotg sen sen. Como II, sen c otg b) tg tg co s 9 tg, ya que IV Calcula las razones trigonométricas de 7 y rad. a) sen 7 sen (0 ) sen 0 cos cos 0 sen cos 7 cos (0 ) cos 0 cos sen 0 sen tg 7 s en cos7 b) sen cos sen sen cos cos sen cos cos cos sen sen tg Demuestra que sen cos. sen sen cos cos sen cos () cos.7. Desarrolla las epresiones de cos y de tg en función de las razones trigonométricas del ángulo. cos cos ( ) cos cos sen sen cos (cos sen ) sen sen cos cos cos sen sen cos cos cos sen cos cos tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ( ) tg tg tg tg tg tg t g tg tg tg tg tg ( tg ) tg.8. Si es un ángulo del segundo cuadrante y sen, calcula las razones de. Como es del. cuadrante, sen sen c cos c es del primero y todas sus razones son positivas. cos 9 os os y, por último, tg

5 .9. Transforma las siguientes sumas en productos. Solucionario a) sen sen b) sen 7 sen c) cos cos 8 d) cos 0 cos 0 a) sen sen sen cos sen cos 0 b) sen 7 sen cos 7 sen 7 cos sen 0 c) cos cos 8 cos 8 cos 8 cos 0 cos 0 d) cos 0 cos 0 sen 0 0 sen 0 0 sen 0 sen Transforma los siguientes productos en sumas. a) sen 80 sen 0 b) cos cos 0 a) A B 80, A B 0 A 0, B 0 sen 80 sen 0 (cos 0 cos 0) b) A B, A B 0 A, B cos cos 0 (cos cos ).. Comprueba que cos 7 cos = cos. cos 7 cos cos 7 cos 7 cos 60 cos cos cos.. Simplifica la siguiente epresión: c os cos sen sen cos cos cos cos cos cotg s en sen sen sen cos.. Resuelve las siguientes ecuaciones y da los resultados en grados y en radianes. a) sen c) cos 0 b) tg 0 d) tg 0 a) sen El seno de un ángulo vale únicamente en 90, 0, 80, etc. Por tanto: k con k Z o k con k Z b) tg 0 La tangente vale 0 en los ángulos 0, 80, 60, 0, etc. Por tanto: 80 k con k Z o k con k Z c) cos El coseno es negativo para los ángulos de los cuadrantes. y. Por tanto: 0 60 k, 0 60 k con k Z o k, k con k Z d) tg La tangente es positiva para los ángulos de los cuadrantes. y. Por tanto: 0 60 k, 0 60 k con k Z o 6 k 7 k con k Z 6.. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones en el intervalo [0, ]. tg ( y) y a) b) sen sen y sen sen y

6 tg ( y) y a) tg y cotg y tg y Solución: 6, y 6 sen sen y sen sen y tg ( y) y y b) ; y 6 ; y 6 ; y 6 ; y 6 sen sen sen y sen y y 6, y Calcula la longitud del lado c de un triángulo ABC sabiendo que a 0 cm, Ap y Bp 00. a c Cp c a sen Cp 0 sen 8, cm sen Ap sen Cp sen Ap sen.6. Calcula la longitud del lado c de un triángulo ABC sabiendo que a = cm, b = cm y Cp =. c a b ab cos Cp cos 7,0 c 8,6 cm.7. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos y calcula sus áreas. a) Ap 90, b cm, a 0 cmb) Bp 90, Cp, b 0 mc) Cp 90, b 0 mm, a 8 mm a) c 0,; sen Bp b a 0,7 Bp 8, Cp '. Área: b c 99, cm 0 b) A 906; a b cos Cp 0 cos 9,06 m; c b sen Cp 0 sen, m. Área: a c 9,6 m c) c 0 8 0,9 mm; tg Bp b a 0 0,6 Bp 9, Ap Área: b a 90 mm 8.8. Resuelve los siguientes triángulos y calcula sus áreas. a) Ap 80, Bp 0, a 8 dmc) a 0 cm, b cm, c 0 cm b) *Ap 80, a 0 m, b md) *Ap 7, b 8 mm, c mm a) Ap Bp Cp 80 Cp Aplicando el teorema del seno: a b b a sen Bp 8 sen 0, dm sen Ap sen Bp sen Ap sen 80 a c c a sen Cp 8 sen 60 7,0 dm sen Ap sen Cp sen Ap sen 80 Área: S a b sen Cp 8, dm b) Aplicando el teorema del seno: sen Bp bse nap se n 80 0,9 Bp 9 9 a 0 Cp Por el teorema del coseno: c a b ab cos Cp 0 0 cos 70 9,6 c 9,7 m Área: S a c sen Bp,6 m

7 Solucionario c) Por el teorema del coseno: cos Ap b c a bc cos Bp a c b ac cos Cp a b c ab Área: S a c sen Bp 7,6 cm 0,87 Ap 8 7 0,687 Bp 6 0, Cp 0 9 d) Por el teorema del coseno: a b c bc cos Ap 8 8 cos 7 8, a,8 mm Aplicando el teorema del seno: sen Bp b se n Ap 8s en 7 0,6 Bp 7,88 7 a,8 Cp ,88 67, 67 7 Área: S b c sen Ap 6,6 mm EJERCICIOS Medida de ángulos.9. Copia y completa las siguientes tablas. Grados 0 60 Radianes Grados 0 0 Radianes Grados 80 Radianes 6 Grados 60 Radianes 6 Grados Radianes 6 Grados Radianes 6 Grados Radianes 7 6 Grados Radianes Pasa de grados a radianes. a) 8 b) 0 c) 76 0 d) 8 0 a) rad c) ,87 80 rad 96 b) rad d) 8 0 8, 80 7 rad 8.. Pasa de radianes a grados. a) rad b) rad c) rad d) rad a) rad c) rad b) rad d) rad Indica los siguientes ángulos como suma de un número entero de vueltas completas más el ángulo restante. a) b) 00 c) 6 rad d) rad 7 a) vueltas 8 c) vueltas rad b) vueltas 60 d) 0 vueltas 0 rad 7 7 7

8 Razones trigonométricas.. Halla los valores eactos de las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo de la figura. B Bp Cp a b b b sen b cos, y tg b b c = b A b a C.. En un triángulo isósceles, el lado mayor es el triple del lado menor. Calcula las razones trigonométricas. Llamando al lado menor, el lado mayor será 6. Altura: h (6) Si el ángulo mayor es, sen, cos ytg. Para hallar las razones del ángulo menor,, teniendo en cuenta que, podemos aplicar las fórmulas correspondientes. sen = sen () sen sen cos,coscos ( ) cos sen cos tg = s en = cos 7.. (TIC) Utiliza la calculadora para hallar el valor de las siguientes razones trigonométricas. Aproima los resultados a las milésimas. a) sen 6 e) cotg i) sec 6 b) cos f) sec j) tg c) tg g) sen 0 k) tg d) cosec 7 h) cos l) cotg a) sen 6 0,88 e) cotg 0,8 i) sen 6,679 b) cos 0,9 f) sec,0 j) tg 0, c) tg 0, g) sen 0 0, k) tg 0,667 d) cosec 7,0 h) cos 0,97 l) cotg 0,6.6. (TIC) Utiliza la calculadora para hallar el valor de las siguientes razones trigonométricas. Aproima los resultados a las milésimas y ten en cuenta que todos los ángulos están dados en radianes. a) sen b) cosec c) cos d) sec e) tg f) cotg,7 7 a) sen 0,9 c) cos 0, e) tg 0,77 7 b) cosec, d) sec,0 f) cotg,7,.7. (TIC) Con ayuda de la calculadora, halla la medida en grados del ángulo del primer cuadrante tal que: a) sen 0, c) tg 0, e) sec 0, b) cosec 0, d) cos 0, f) cotg 0,0 a) sen 0, 0 d) sec 0, No eiste ningún ángulo. b) cosec 0, No eiste ningún ángulo. e) cos 0, 6 6 c) tg 0, f) cotg 0,0 89 6

9 .8. Calcula, de forma eacta, el valor de las siguientes razones trigonométricas. a) sen 0 d) cosec 0 g) sec 0 b) cos e) tg 00 h) cotg c) sen 7 7 f) tg i) sec Solucionario a) sen 0 sen 60 d) cosec 0 cosec 0 g) sec 0 sec 60 b) cos cos e) tg 00 tg 60 h) cotg cotg c) sen 7 sen f) tg 7 tg 60 i) sec sec.9. Halla el valor eacto de las siguientes razones trigonométricas. a) sen b) cos (600) c) cosec d) cotg 80 e) tg () f) sec a) sen sen sen d) cotg 80 cotg 0 b) cos (600) cos 600 cos 0 cos 60 e) tg () tg tg 0 c) cosec cosec f) sec sec sec sen.0. Calcula todas las razones trigonométricas del ángulo sabiendo que: a) Es un ángulo del primer cuadrante y cos. d) < < y sec b) Pertenece al segundo cuadrante y sen 0,. e) 90 < < 80 y cotg c) 80 < < 70 y tg f) < < y cosec a) Al ser un ángulo del primer cuadrante, todas las razones trigonométricas son positivas. sen cos sen sen 9 9 sen 9 sec co s, cosec sen,tg s en, cotg cos tg b) Al ser un ángulo del segundo cuadrante, el seno y la cosecante son positivos y el resto de razones son negativas. sen cos cos cos 6 cos 6 tg s en cos, cotg tg, cosec se n, sec co s c) Al ser un ángulo del tercer cuadrante, la tangente y la cotangente son positivas y el resto de razones son negativas. tg cotg cos sen cos tg, tg sec sec g t 6 cosec

10 d) Al ser un ángulo del cuarto cuadrante, el coseno y la cosecante son positivos y el resto de razones son negativas. sec cos,sen cos sen tg s en cotg cosec cos tg se n sen sen e) Al ser un ángulo del segundo cuadrante, el seno y la cosecante son positivos y el resto de razones son negativas. cotg tg tg sec sec tg sen cos tg cos cosec f) Al ser un ángulo del tercer cuadrante, la tangente y la cotangente son positivas y el resto de razones son negativas. cosec sen sen cos cos cos cos tg s en cos cotg, sec co tg s.. Calcula en función de h el valor de cada una de las siguientes razones trigonométricas. a) sen, siendo sen 7 h. f) cosec 70, siendo cotg 99 h. b) cos 0, siendo tg 0 h. g) tg 90, siendo sen 0 h. c) tg 60, siendo sen 80 h. h) sen 8, siendo cos 7 h. d) cos 0, siendo sen 0 h. i) sec 0, siendo cotg 67 h. e) cos 7, siendo sen h. j) sec, siendo sen h. a) sen sen 7 h b) cos 0 g t 0 g t 0 h c) tg 60 cos 60 s en 60 s ( 80) en h h tg 60 h h h d) cos 0 cos 0 en s0 h e) cos 7 en s7 en s 67 h f) cosec 70 cosec cosec 9 otg c9 h g) tg 90 tg 0 h h) sen 8 cos 7 h i) sec 0 sec cosec 67 c cos sen 67 otg 7 6 h j) sec sec cos h s en

11 Solucionario Relaciones entre las razones trigonométricas.. Calcula, en función de h, la razón trigonométrica que se indica en cada caso. a) cosec, sabiendo que cotg h. b) sec 0, sabiendo que cotg h. c) tg 8, sabiendo que cos 9 h. a) cosec cosec cotg h b) sec 0 cos 0 cos h c) tg 8 8 cos g t cotg cos (cos ) 9 / h h h h h.. Sabiendo que sen h y que es un ángulo del primer cuadrante, calcula en función de h: a) sen (90 ) b) tg (080 ) a) 90 es también un ángulo del primer cuadrante; sen (90 ) cos h. h b) ; tg (080 ) tg () tg h.. Si tg h y es un ángulo del primer cuadrante, calcula en función de h: a) sen (90 ) b) cotg (080 ) tg sec cos tg h ; sen cos tg h h a) 90 es también un ángulo del primer cuadrante; sen (90 ) cos h b) ; cotg (080 ) cotg () cotg h.. Sabiendo que cosec 7, calcula: a) sen (80 ) b) sec 7 está en el tercer cuadrante o en el cuarto. Por tanto, 80 y 7 están en el. o. er cuadrantes. No se puede saber el signo de cos, por lo que no se puede saber el signo de sen (80 ). a) sen (80 ) sen (90 ) cos s en b) sec 7 cos sec se c ose c cosec 7 n Demuestra que tg (70 ) cotg. tg(70 ) s en ( 70 ) sen 70 cos cos 70 sen cos cos ( 70 ) cos 70 cos sen 70 sen se n cotg

12 .7. Desarrolla en función de sen y cos la epresión de sen. sen sen ( ) sen cos cos sen sen (cos sen ) cos (sen cos ) sen cos sen sen cos sen cos sen.8. Sabiendo que sen 0, y cos 0,, y que y son ángulos del primer cuadrante, calcula: a) sen ( ) b) cos ( ) c) sec ( ) d) cotg ( ) sen 0,; cos 0,968; sen 0,866; cos 0, a) sen ( ) 0, 0, 0,968 0,866 0,96 b) cos ( ) 0,968 0, 0, 0,866 0,7 c) sec ( ),7 cos ( ) 0,968 0, 0, 0,866 0, d) cotg ( ) tg tg 0,9 68 0, 866 0, 0,98 tg ( ) tg tg 0, 0,9 68 0, 866 0,.9. Si sen 0, y cos 0,, siendo < < y < <, calcula: a) sen ( ) b) cos ( ) c) tg ( ) sen 0, ; cos 0,97 ; sen 0,866 ; cos 0, a) sen ( ) 0, 0, 0,97 0,866 0,99 b) cos ( ) 0,97 0, 0, 0,866 0,80 0, tg tg 0,9 7 0, 866 c) tg ( ) 0, 0,7 tg tg 0, 0,9 7 0, 866 0,.0. Sabiendo que tg, calcula las razones trigonométricas del ángulo en cada caso. a) Si es un ángulo del primer cuadrante. b) Si es un ángulo del tercer cuadrante. a) El ángulo pertenece al segundo cuadrante. Al ser tg, 90. tg cos tg ; sen sen sen cos , cos cos sen 9 0 0, 0,9 0, ,6 tg 0,7 0,8 b) Los mismos valores del apartado anterior, ya que el ángulo también pertenece en este caso al segundo cuadrante... Calcula el valor de la tangente de sabiendo que es un ángulo del primer cuadrante y que sen. cos sen 8 8 cos sen cos 8 7 cos 8 sen 9 9 sen cos ; tg tg ( )

13 Solucionario.. Calcula, de forma eacta, las razones trigonométricas de los siguientes ángulos. a) b) 7 0 a) sen sen 0 c os 0 cos cos 0 c os 0 c tg o s co 0 s 0 b) sen 7 0 sen c os cos 7 0 cos c os sen 7 tg 7 0 ' c os 7 ( ) ( )( ).. Si cos y 90 < < 80, calcula las razones trigonométricas de. Si el ángulo pertenece al segundo cuadrante, el ángulo sen c o s s pertenece al primero. 6 ;cos c o ; tg Transforma en producto de razones trigonométricas las siguientes sumas. a) sen 8 sen d) sen 0 sen b) cos 00 cos 0 e) cos cos 7 c) sen sen f) cos cos 9 a) sen 8 sen sen 8 cos 8 sen 0 cos 8 b) cos 00 cos 0 cos 00 0 cos 00 0 cos 0 cos 80 c) sen sen sen cos sen cos d) sen 0 sen cos 0 sen 0 cos 6 sen 0 e) cos cos 7 sen 7 sen 7 sen 0 sen (7) sen 0 sen 7 f) cos cos 9 sen 9 sen 9 sen sen 9 9

14 .. Transforma en suma de razones trigonométricas los siguientes productos. a) sen cos c) sen 0 cos 7 b) cos 9 cos 8 d) sen 9 sen a) sen cos sen sen b) cos 9 cos 8 (cos cos 7) c) sen 0 cos 7 (sen sen ()) (sen sen ) d) sen 9 sen (cos cos 9).6. Transforma en productos las siguientes sumas. a) sen sen c) cos 6 cos b) sen sen d) cos 8 cos a) sen sen sen cos sen cos b) sen sen cos sen cos sen c) cos 6 cos cos 6 cos 6 cos cos d) cos 8 cos sen 8 sen 8 sen sen.7. Simplifica la epresión sen π sen. sen π π π sen sen cos sen π cos π π π sen cos cos sen π cos sen cos sen cos.8. Desarrolla las siguientes epresiones. a) sen ( β γ) c) sen ( β) b) cos ( β γ) d) cos ( β) a) sen ( β γ) sen ( (β γ)) sen cos (β γ) cos sen (β γ) sen cos β cos γ sen sen β sen γ cos sen β cos γ cos cos β sen γ sen cos β cos γ cos sen β cos γ cos cos β sen γ sen sen β sen γ b) cos ( β γ) cos ( (β γ)) cos cos (β γ) sen sen (β γ) cos cos β cos γ cos sen β sen γ sen sen β cos γ sen cos β sen γ cos cos β cos γ cos sen β sen γ sen cos β sen γ sen sen β cos γ c) sen ( β) sen cos β cos sen β sen cos cos β cos sen β sen sen β d) cos ( β) cos cos β sen sen β cos (cos β sen β) sen sen β cos β cos cos β cos sen β sen sen β cos β

15 Solucionario.9. Demuestra las siguientes identidades trigonométricas. a) sen cos sen cos g) tg tg cos cot b) se n cos cosec h) tg π tg π tg c) tg sen tg sen i) sen sen β sen ( β) sen ( β) tg d) tg tg j) (cos cos β) (sen sen β) sen β co s e) tg cotg sec cosec k) tg f) cos sen sen tg sen cos a) sen cos sen cos sen cos (sen cos ) cos cos tg sen cos s en sen cos cos cos sen cos c os cotg sen sen b) se n cos sen cos sen cos se n cosec c) tg sen s en sen cos sen ( cos ) cos s en sen cos tg sen tg d) tg tg tg tg tg tg tg s en tg cos tg tg s en cos sen cos cos tg tg tg cos sen c os cos sen cos e) tg cotg s en cos se n cos sec cosec cos s en sen cos f) cos sen cos sen sen cos sen sen cos se n se n cos cos sen tg sen cos sen sen g) cos sen cos s en os cos c s en tg cos sen cos tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg h) tg tg i) sen ( β) sen ( β) (sen cos β cos sen β) (sen cos β cos sen β) sen cos β cos sen β sen cos β ( sen ) sen β sen cos β sen sen β sen β sen (cos β sen β) sen β sen sen β j) (cos cos β) (sen sen β) cos cos β cos cos β sen sen β sen sen β (cos ( β) cos ( β)) (cos ( β) cos ( β)) cos ( β) cos ( β) cos ( β) cos ( β) cos ( β) cos β sen β sen β sen β k) Equivale a la identidad del apartado h. sen sen cos cos tg π a tg π tg g

16 .60. Simplifica las siguientes epresiones trigonométricas. a) (sen cos ) (sen cos ) e) sen (tg cotg ) cos sen b) tg tg β (cotg cotg β) f) cos sen c) tg sen cos g) tg c os tg sen tg cos d) sen a) (sen cos ) (sen cos ) sen cos sen cos sen cos sen cos b) tg tg β (cotg cot β) tg tg β tg tg β tg tg β t g β tg tg tg β tg tg β sen c) tg c os cos sen cos tg sen cos sen cos sen c os cos d) sen ( sen )( sen ) sen sen sen sen e) sen (tg cotg ) sen cos s en cos cos s en sen cos cos sen cos sen f) cos sen sen cos cos sen (sen ) (sen )(cos )(cos ) (sen )(cos ) ( cos ) ( sen ) g) tg tg se sen sen cos n cos c tg os cos sen tg cos tg tg tg.6. Simplifica las siguientes epresiones utilizando las fórmulas de transformación de sumas en productos. sen 8 sen a) b) co s cos β sen c) d) cos sen( β) sen sen cos cos sen sen sen 8 sen sen cos sen sen a) sen c) cos cos sen sen co s sen cos b) co cos cos β cos β cos β cos s cos β sen( β) d) cos cos cotg sen sen sen sen β sen β cos β cos Ecuaciones y sistemas de ecuaciones.6. (TIC) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas indicando todas sus soluciones en grados. a) sen c) tg e) cos g) sen 0 b) cos d) sen f) tg h) cos 0 a) sen 060 k d) sen 60 k f) sen 0 80 k 060 k 60 k b) cos 060 k 060 k e) cos g) cos 0 60 k c) tg 60 k f) tg 60 k 060 k 060 k 060 k 060 k

17 .6. (TIC) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas indicando todas sus soluciones en radianes. a) sen c) tg e) cos b) cos d) sen 0 f) tg a) sen b) cos k k d) sen 0 k k k e) cos 7 π k k k k c) tg f) tg k 7 k k 8 k 7 k 8 7 k k Solucionario 6k 6k 0 8 k k k k (TIC) Halla todas las soluciones de las siguientes ecuaciones trigonométricas. a) sen cos b) sen sen 0 c) sen cos 0 d) sen cos a) sen cos tg 60 k 60 k sen 0 80 k b) sen sen 0 sen cos sen 0 sen ( cos ) k cos 0060 k c) sen cos 0 tg 6060 k 060 k d) sen cos sen sen sen sen sen sen sen 0 sen 60 k.6. (TIC) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo [0, 60]. a) tg cotg b) 8 cos 8 cos 9 c) tg cotg d) sen cos cos a) tg cot g tg tg tg tg tg tg 0 tg 6 tg tg b) 8 cos 8cos 9 8cos 8sen 8cos 9 0 8cos 8 8cos 8cos cos 8cos 0 cos ; 8 9 tg tg c) tg cot g tg tg tg tg tg tg tg 0, 0 0, 0 d) sen cos cos sen cos sen cos sen cos cos cos cos cos 60, 00 0, 0

18 .66. (TIC) Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones trigonométricas comprendidas en el intervalo [0, π]. a) sen tg 0 b) sen tg 0 c) cos sen sen cos a) sen tg 0 sen co s b) sen tg 0 sen s c 0 0 sen c en os 0 c) cos sen sen cos cos cos sen sen cos cos sen cos cos cos sen 0 sen 0 sen 0 0,, 0 no aporta soluciones co s os cos 0 ;, tg : 6, 6 sen 0 0,, cos 7, (TIC) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo [, ]. a) sen sen 6 0 b) cos cos cos c) cos sen a) sen sen 6 0 sen 9 cos sen ,, 9 9 cos 0,, b) cos cos cos cos cos cos cos ( cos ) 0 cos 0, cos,, c) cos sen cos sen sen 6

19 Solucionario.68. (TIC) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonométricas en el intervalo [0, 60]. sen cos y a) b) cos cos y c) d) sen cos y y 90 sen cos y cos sen y tg tg y y 90 cos y sen a) sen cos y sen sen cos y 70 cos y sen cos y b) sen ( y) cos sen y (sen ( y) sen ( y)) (sen ( y) sen ( y)) sen ( y) sen ( y) sen ( y) sen ( y) 90, y 60 90, y 0 90, y 0 90, y 00 70, y 60 70, y 0 70, y 0 70, y 00 sen ( y) sen ( y) sen ( y) sen ( y) sen ( y) y 0, y 0 sen ( y) 0 y 0, y 80 Soluciones: (, y )( 7, y 7)( 8, y 0)( 0, y 8)( 6, y )(, y 6) c) cos cos y cos y cos y cos y cos y y 90 y y 90 y y 60 y 90 y 90 90, y 0 d) tg tg y tg tg( ) tg tg tg, y Solución:, y Resolución de triángulos.69. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos. a) Ap 90, a mm, c mm c) Cp 90, Ap 0, a dm b) Bp 90, a 8 cm, c cm d) Bp 90, Ap, b m a) b 0,7 mm, sen Cp Cp Bp 7 b) b 8 cm; tg Cp Cp 8 7 Ap 8 c) Bp 70; c a,09 dm; b a sen Ap se n 0,97 dm tg Ap tg 0 d) Cp 7; a b sen Ap sen,88 m; c b cos Ap cos,9 m

20 .70. Calcula el área de cada uno de estos triángulos rectángulos. a) Ap 90, a 7 mm, c mm b) A c) B C 0 m 90 B A dm C a) b 7 8 S 8 0 mm b) a 0 sen m; c m; S m c) b a 6 9,07 dm; S 6 9,07,6 dm tg 0 tg Ap.7. Resuelve los siguientes triángulos. a) b 0 cm, c 8 cm, Cp 0 c) a cm, Bp 0, c cm e) a 0 cm, Bp 0, Cp 0 b) a cm, b 9 cm, c 0 cm d) a cm, b cm, Cp f) b cm, Bp, C 6 b c a) sen Bp b s en Cp 0 s en0 0,9 Bp 7 0, Ap 0 sen Bp sen Cp c 8 a sen Ap c c sen Ap a 8 s en 0 0, cm sen Cp sen Cp sen 0 b) cos Ap b c a bc cos Bp a c b ac cos Cp a b c ab Ap 90 0,976 Bp 0,9 Ap 77 9 c) b a c ac cos Bp 9 0 cos 0 8,09 b,88 cm b sen Bp c sen Cp sen Cp c s en Bp sen 0 8,888 Dos soluciones b,88 Cp 6 9, Ap 88 Cp 8, Ap 9 d) c a b ab cos Cp 60 cos 7,0 c 8,608 cm b sen Bp c sen Cp sen Bp b s en Cp c e) Ap sen 8 0,999 Dos soluciones, 608 Cp 88, Ap 6 Cp 9, Ap 6 a sen Ap a sen Ap c a sen Cp c 0 sen 0, cm sen Cp sen Ap sen 00 b a sen B b 0 sen 0, cm sen Bp sen Ap sen 00 f) Ap b sen Bp b sen Bp a a sen Cp c sen 6 7,66 sen Cp sen Bp sen a b sen Ap a sen 60 6, cm sen Ap sen Bp sen

21 Solucionario.7. Calcula el área de cada uno de estos triángulos. a) Ap 80, b cm, c 6 cm d) Ap 66, a cm, c 0 cm b) Ap 70, Bp 0, c 0 cm e) a 0 cm, b cm, Cp c) a 6 cm, b cm, c cm a) S bc senap 96,96 cm b) Cp 70, a 0 S ac senbp 8,6 cm c) cosap b c a 0,79 senap 0,60 bc a c c sen Ap 0 sen 66 d) sen Cp. No hay triángulo. sen Ap sen Cp a e) S ab sen Cp,0 cm PROBLEMAS.7. Un globo está sujeto a una cuerda de 0 m de longitud. Por la acción del viento, el globo se encuentra a una altura de 8 m. Calcula la inclinación de la cuerda respecto de la línea de tierra. 8 Sea la inclinación buscada. Entonces, sea En cierta ciudad, en el mediodía del solsticio de verano, los rayos solares tienen una inclinación de 7. Calcula la longitud de la sombra de un edificio de m de altura. tg 7,8 m.7. Una señal de tráfico indica que la inclinación de un tramo de carretera es del 8%, lo cual quiere decir que en un desplazamiento horizontal de 00 m se realiza un ascenso de 8 m de altura. a) Qué ángulo forma la carretera con la horizontal? b) Cuántos metros hay que recorrer para ascender? a) tg 0,08 b) Sea el recorrido pedido: sen sen 70 m.76. Desde un punto del suelo se ve la copa de un pino bajo un ángulo de. Si nos alejamos, m hacia otro punto del suelo, alineado con el anterior y con el pie del pino, vemos la copa bajo un ángulo de º. Calcula la altura del pino. Sea h la altura del pino y la distancia del pie del pino al primer punto. tg h h tg 0,9 0,9, 0, 0,9, h, m h 0, tg,,.77. Calcula la altura de los dos edificios de la figura. Sea la altura del primer edificio e y la del segundo. tg tg 6 m tg 6 6 y y tg 6 6 m y 6 8 m

22 .78. Dos coches, con velocidades constantes respectivas de 90 y 80 km por hora, toman dos carreteras que se bifurcan con un ángulo de 8. Qué distancia habrá entre ellos cuando lleven minutos de viaje? El ángulo que forman las dos carreteras es 8. Sean e y e los espacios recorridos por los dos coches: e 90 0,, km d, 0, 08 cos 7,9 km e 80 0, 0 km.79. Dos coches parten a la vez de un cruce del que salen dos carreteras: una en dirección norte y otra en dirección nornordeste. Uno de los coches toma la primera de ellas con una velocidad uniforme de 70 km por hora, y el otro la segunda con una velocidad constante de 90 km por hora. A qué distancia se encontrarán al cabo de 0 minutos? El ángulo que forman las dos carreteras es 0. Sean e y e los espacios recorridos por los dos coches: e 70 0, km d os c 8, km e 90 0, km.80. Dos ciudades A y B están situadas sobre el mismo meridiano de la esfera terrestre, mientras que la ciudad C se encuentra en el mismo paralelo que A. La latitud de A es de 0 Norte. a) Si la ciudad B está 0 km al norte de A, calcula su latitud sabiendo que el radio de la Tierra es de unos 670 km. b) Si la ciudad C está situada en un meridiano a 0 al oeste de A, qué distancia separa estas dos ciudades? a) Recordando que la longitud de un arco de amplitud grados y de una circunferencia de radio r es L π r : β π L 80 π r π 670 b) Se calcula en primer lugar el radio del paralelo correspondiente. r sen 0 r 879,7 km; L 6 70 π r 80 km.8. Un avión vuela entre dos ciudades, A y B, que distan entre sí 7 km. Las visuales desde A y B hasta el avión forman con la horizontal ángulos de 6 y de amplitud, respectivamente. Calcula la altura a la que vuela el avión y las distancias a las que se encuentra de A y de B, suponiendo que el avión y las ciudades están sobre el mismo plano vertical. VB 7 VB 9 km sen 6 sen V º VA 7 A 6º B VA km h VB sen, km 7 sen sen.8. Calcula el ángulo de tiro del jugador que está situado en el punto B del campo. 60 tg CBA p 7, 0,687 CBA p BA 0 tg DBA p, BA, 0,8 DBA p

23 Solucionario.8. Calcula la distancia entre los puntos A y B. A AD sen 0 7, AD,77 sen 7 B BD sen 8 9, BD 7,7 sen 7 7, m, m AB,77 7,7,,77 7,7 cos(8077) 8,7 AB,7 m E D C.8. Calcula el área de un pentágono regular si su perímetro coincide con el de un cuadrado que tiene cm de área. El lado del cuadrado mide cm. El perímetro del pentágono 8 cm. Cada lado del pentágono mide 9,6 cm. tg 6, 8,8 Ap 6,6 cm A Ap tg 6 pentágono períme tro Ap 8 6,6 8,6 cm 6º Ap,8 cm.8. Calcula los radios y las áreas de las circunferencias inscrita y circunscrita a un octógono regular de cm de lado. tg 60 / / R 6, cm Sc πr cm 6 R sen 0 cm 60 tg / / r 6 r tg 0 6,0 cm S c πr cm,º R r.86. Calcula el área del paralelogramo cuyos lados miden 0 y cm, respectivamente, si uno de sus ángulos mide. El paralelogramo se puede dividir en dos triángulos iguales. S t 0 sen S p 0 sen 86,0 cm º 0 cm cm.87. a) Halla una fórmula que permita calcular el área de un rombo conociendo las medidas de su lado y de uno de sus ángulos. b) Cuál es el área de un rombo de cm de lado si uno de sus ángulos mide 0? a) El rombo se puede dividir en dos triángulos isósceles iguales. S t sen S R sen b) S R sen 0,6 cm.88. Dado el triángulo de la figura. a) Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos. b) Halla la medida de los segmentos BH y CH. C cm A H 8 cm B a) BC 7 cm sen Bp 8 cos Bp tg Bp sen Cp cos Cp 8 tg Cp 7 7 b) CH cos Cp, cm BH 8 cos Bp,76 cm

24 .89. Calcula el ángulo que forman la diagonal del cubo y la diagonal de una cara del mismo. Sea a la arista del cubo. Diagonal del cubo: D a a a a a. Diagonal de una cara: d a a a a d a cos 6 D D d.90. Calcula la amplitud del ángulo de la figura. La figura se puede dividir en dos triángulos iguales, ya que tienen los tres lados iguales. tg a a 6 8 a a π rad a.9. Calcula la altura, el perímetro y el área del trapecio de la figura. cm a Altura: h 6 tg 0,0 cm Lado restante: b 6 cos 0,6 cm Perímetro:,6 cm Área: 0,0, cm 0 cm 0.9. Las bases de un trapecio isósceles miden 0 y cm, respectivamente. El ángulo que forma la base mayor con cada uno de los lados no paralelos es de. Calcula la altura, el perímetro y el área del trapecio. tg h 0 h,7 cm º h 0 cos,, co,0 cm s P, cm ; A (0 ) h, cm.9. Se ha colocado un poste sujeto al suelo mediante dos anclajes como aparece en la figura. Determina si las medidas son correctas. CB 6 sen 0 sen(8008),86 AB,86 tg,8 m BD 6 sen 8 sen(8008),6 AB,6 tg 0,7 m Los datos no son correctos..9. Un hombre que está situado al oeste de una emisora de radio observa que su ángulo de elevación es de. Camina 0 m hacia el sur y observa que el ángulo de elevación es ahora de 0. Halla la altura de la antena. La distancia inicial a la torre será igual a la altura de la antena (ángulo de ). h Desde el segundo punto, la distancia a la torre será h. tg 0 Al ser el triángulo del suelo rectángulo, h 0 (h) h,6 m.

25 .9. Dos personas que están separadas por km de distancia, sobre su plano vertical y en el mismo momento, una nube bajo ángulos respectivos de 7 8 y 8 7. Calcula la altura de la nube y la distancia de la misma a cada uno de los observadores. Solucionario Hay dos posibles interpretaciones del problema. N A B km N 7º km A B Si la nube está situada entre los dos observadores: NB NB,0 km sen 7 8 sen NA NA, km sen 8 7 sen h NB sen 8 7 km Si la nube está situada a un mismo lado de los dos observadores: NB NB 0,0 km sen 7 8 sen 0 9 NA NA 0, km sen 9 sen 0 9 h NB sen km.96determina, en función del número de lados, las áreas de los polígonos regulares de n lados inscritos y circunscritos, respectivamente, a una circunferencia de 0 cm de radio. Polígono de n lados inscrito en una circunferencia de radio 0 cm: S n S t n 0 sen 6 0 0n sen 6 0 n n Siendo S t la superficie de un triángulo cuyos lados son un lado del polígono y dos radios de la circunferencia circunscrita. Polígono de n lados circunscrito en una circunferencia de radio 0 cm: S perímetro apotema n 0 tg n tg 8 0 n n.97. a) Demuestra que en cualquier triángulo ABC, rectángulo en A, se verifica que: sen Bp sen Cp b) Demuestra que cualquier triángulo ABC que verifique la igualdad anterior es isósceles o rectángulo. a) Bp Cp 90 Bp 80 Cp sen Bp sen (80 Cp) sen Cp b) sen Bp sen Cp Bp Cp Bp Cp es isósceles Bp 80Cp Bp Cp 80 Bp Cp 90 Ap 90 es restángulo.98. Si Ap, Bp y Cp son los tres ángulos de un triángulo cualquiera, calcula el valor de la epresión: cotg Ap cotg Bp cotg Ap cotg Cp cotg Bp cotg Cp tg Ap tg Bp cotg(ap Bp) cotg Ap cotg Bp cotg (80Cp) cotg Cp tg (Ap Bp) tg Ap tg Bp cotg Ap cotg Bp Por tanto: cotg Ap cotg Bp cotg Ap cotg Cp cotg Bp cotg Cp La epresión vale.

26 PROFUNDIZACIÓN.99. Epresa sen y cos en función de sen y de cos. sen sen(()) sen cos sen cos (cos sen ) sen cos sen cos Y de este resultado, junto con el obtenido en el ejercicio 7 se llega a: tg sen cos sen cos sen cos cos sen 6 sen cos.00. Calcula tg( β γ) en función de tg, tg β y tg γ. tg β tg γ tg tg tg( β γ) tg β tg γ tg( β γ) tg( (β γ)) tg tg(β γ) tg β tg γ tg tg β tg γ tg tg β tg γ tg tg β tg γ tg β tg γ tg β tg γ tg tg β tg tg γ tg β tg γ tg tg β tg γ tg tg β tg γ tg tg β tg tg γ tg β tg γ.0. Demuestra la siguiente identidad trigonométrica. cos sen cos cos cos sen cos cos cos cos cos cos.0. a) Demuestra que cos cos. b) Con ayuda de la fórmula anterior y el teorema del coseno, demuestra que en un triángulo de lados a, b y c se verifica: cos p(p a) bc siendo p el valor del semiperímetro del triángulo: p a b c a) cos cos sen cos b) cos cos c b b a c bc b c a (b c) a (b c a) (b c a) bc bc bc p(p a) cos bc p(p a) bc.0. (TIC) Resuelve la ecuación trigonométrica sen cos sen cos (sen cos )(sen cos ) sen cos cos cos Soluciones: 0 60 k k 0 60 k 0 80 k

27 Solucionario.0. (TIC) Resuelve este sistema de ecuaciones trigonométricas en el intervalo [0, π]. sen sen y cos cos y Elevando al cuadrado las ecuaciones y sumando miembro a miembro los resultados: sen sen y sen sen y cos cos y cos cos y Sustituyendo en la primera ecuación: sen cos sen y cos y (sen sen y cos cos y) π π y y cos( y) cos( y) 0 π π y y sen π y sen y cos y sen y n se y sen y sen y sen y seny sen y seny 0 seny (sen y ) 0 sen y 0 y 0 ; π De la misma forma, se obtiene también la solución 0 ; y π. π sen y y ; π solución falsa.0. Calcula, en función de t, el valor de las razones trigonométricas del ángulo sabiendo que tg t. sen cos sen cos sen sen sen cos t cos sen sen cos sen cos cos sen cos tg tg tg tg cos cos cos sen t cos cos cos sen cos cos sen cos cos cos t t π cos cos β.06. Si la suma de dos ángulos y β es igual a radianes, calcula el valor de la epresión: sen sen β cos cos β sen sen cos β cos β cos β cotg β π cotg 6 sen β sen β cos β.07. El radio de la circunferencia inscrita a un triángulo isósceles mide 8 cm. Resuelve el triángulo sabiendo que su base mide 60 cm. OB 8 0. El triángulo OBC tiene por lados, y 60 cm. Por tanto: 60 cos cos 600 0,706 8 Ap 9 8 Bp Cp 60 9, AB AC BC sen 60 9 sen 9 60,9 cm B A O _ C

28 .08. Demuestra que la suma de las tangentes de los tres ángulos de un triángulo cualquiera es igual al producto de las mismas. Ap Bp 80Cp tg(ap Bp) tg(80cp) tg Ap tg Bp tg Cp tg Ap tg Bp tg Ap tg Bp tg Cp tg Ap tg Bp tg Cp tg Ap tg Bp tg Cp tg Ap tg Bp tg Cp.09. Prueba que si los ángulos de un triángulo verifican que cos Ap cos Bp sen Cp, entonces el triángulo es rectángulo. Cuál es el ángulo recto? cos Ap cos Bp sen Cp cos Ap Bp cos Ap Bp sen Cp cos 80 Cp cos Ap Bp sen Cp cos 90 Cp cosap Bp sen Cp sen Cp cosap Bp sen Cp cos Cp cosap Bp cos Cp Ap Bp Cp Ap Bp Cp Ap Bp Cp Ap Bp Cp 90 Ap Bp Cp Ap Cp Bp Demuestra que dado el triángulo de la figura y la circunferencia circunscrita a él: A b a a) Se cumple la relación: r sen Bp sen Ap (Ten en cuenta la relación entre los ángulos Bp y Bp.) c sen Cp b) El área del triángulo se puede calcular como A a b c. r C b r a B B a) Bp Bp, ya que son ángulos inscritos a la misma circunferencia y determinan el mismo arco. sen Bp b s en Ap b ; sen Bp. Por tanto, bse n Ap b se n Ap a r a r a r a b r sen Ap sen Bp b) Ap a b sen Cp a b c a b c r r.. Observa la siguiente figura: c sen Cp a) Si las diagonales de un cuadrilátero miden d y D unidades lineales, respectivamente, y forman un ángulo, demuestra que el área de dicho cuadrilátero puede calcularse con la fórmula: A d D sen r b) Calcula el área de un cuadrilátero cuyas diagonales forman un ángulo de 80 si miden y cm, respectivamente. a) Dado el cuadrilátero, se considera el paralelogramo que se obtiene al trazar por cada vértice la paralela a la diagonal que no pasa por él. El área del cuadrilátero es igual a la suma de las áreas de cuatro triángulos: T, T, T y T. Por tanto: S cuadrilátero S paralelogramo D d sen b) S D d sen sen 80 9,8 cm a sen Ap d D.. Considera las dos circunferencias coplanarias de la figura. Calcula la inclinación sobre la recta que une los dos centros de: a) La tangente común eterior. 6 cm b) La tangente común interior. a) sen b) sen β 6 β 6 7 cm cm

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