ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Γυμνασίου. Β Τεύχος ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Γυμνασίου. Β Τεύχος ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ"

Transcript

1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Β Τεύχος ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

2 Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Τεύχος Β Συγγραφή: Αθανασίου Ανδρέας Αντωνιάδης Μάριος Γιασουμής Νικόλας Έλληνα Αγγέλα Ματθαίου Κυριάκος Μουσουλίδου Μαριλένα Παπαγιάννης Κωνσταντίνος Τιμοθέου Σάββας Φιλίππου Ανδρέας Συντονιστής: Χρίστου Κωνσταντίνος, Καθηγητής Πανεπιστημίου Κύπρου Εποπτεία: Θεοφίλου Στέλιος, Επιθεωρητής Μέσης Εκπαίδευσης Κωστή Αντώνιος, Επιθεωρητής Μέσης Εκπαίδευσης Παντελή Παντελής, Επιθεωρητής Μέσης Εκπαίδευσης Παπαγιάννη Όλγα, Επιθεωρήτρια Μέσης Εκπαίδευσης Γλωσσική επιμέλεια: Χριστόφια Παλάτου Μαριάννα Συντονισμός έκδοσης: Χρίστος Παρπούνας, Συντονιστής Υπηρεσίας Ανάπτυξης Προγραμμάτων Έκδοση 2012 Εκτύπωση: Lithoweb Ltd ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΥΠΡΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ISBN: Στο εξώφυλλο χρησιμοποιήθηκε ανακυκλωμένο χαρτί σε ποσοστό τουλάχιστον 50%, προερχόμενο από διαχείριση απορριμμάτων χαρτιού. Το υπόλοιπο ποσοστό προέρχεται από υπεύθυνη διαχείριση δασών.

3 Πρόλογος Με ιδιαίτερη χαρά προλογίζω το δεύτερο τεύχος των Μαθηματικών της Γ Γυμνασίου. Τα Νέα Αναλυτικά Προγράμματα Μαθηματικών βρίσκονται στον τρίτο χρόνο εφαρμογής τους και κατά την τρέχουσα σχολική χρονιά επεκτάθηκαν και καλύπτουν από την Α μέχρι και τη Γ Γυμνασίου. Όλες οι εκδόσεις των τελευταίων δύο χρόνων, για τα Μαθηματικά Α, Β και Γ Γυμνασίου είναι δοκιμαστικές και βρίσκονται υπό συνεχή αξιολόγηση, διαμόρφωση και βελτίωση στη βάση ανατροφοδότησης και γενικά παρατηρήσεων που προέρχονται και από τη βάση, τους μάχιμους καθηγητές των Μαθηματικών. Όλο το υλικό που παράγεται για το μάθημα των Μαθηματικών, όπως και το παρόν δεύτερο τεύχος των Μαθηματικών της Γ Γυμνασίου, αποσκοπεί στη βοήθεια τόσο των μαθητών όσο και των καθηγητών, στην πορεία τους μέσα από τα Νέα Αναλυτικά Προγράμματα, με στόχο το καλύτερο αποτέλεσμα. Είναι εμποτισμένο με τη φιλοσοφία των Νέων Αναλυτικών Προγραμμάτων και προσηλωμένο στην προαγωγή και ανάδειξη των βασικών δεξιοτήτων των μαθητών μας, το οποίο αποτελεί πρώτιστο μέλημά μας. Η προσπάθεια συνεχίζεται και οι προοπτικές είναι λαμπρές. Ευχαριστώ θερμά όλους τους συντελεστές της παρούσας έκδοσης. Δρ Ζήνα Πουλλή Διευθύντρια Μέσης Εκπαίδευσης

4

5 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΥΘΕΙΑ 3 24 Γραμμικά Συστήματα Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους Συντελεστής Διεύθυνσης (Κλίση) Ευθείας Συνθήκη Παραλληλίας Καθετότητας δύο ευθειών ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εξισώσεις Δευτέρου και Ανωτέρου βαθμού Επίλυση Εξίσωσης 2 ου Βαθμού ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συναρτήσεις Γραφική Παράσταση Συνάρτησης ς Είδη Συναρτήσεων

6

7 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Ευθεία Γραμμικά Συστήματα Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

8

9 Γραμμικά Συστήματα Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους Διερεύνηση Ένας επιχειρηματίας χρειάζεται να ενοικιάσει μια αποτάθηκε σε δύο εταιρείες, για να πάρει προσφορές. εξειδικευμένη συσκευή και Εταιρείαα Α Ζητά πάγιο ποσό 600 την εβδομάδα και επιπλέον 20 γιαα κάθε ώρα χρήσης της συσκευής. Με βάση τις πιο πάνω πληροφορίες να συμπληρώσ σετε τον πίνακα: ώρες χρήσης () εβδομαδιαίο κόστος () Εταιρείαα Β Ζητά πάγιο ποσό 500 την εβδομάδα και επιπλέον 40 γιαα κάθε ώρα χρήσης της συσκευής. Με βάση τις πιο πάνω πληροφορίες να συμπληρώσ σετε τον πίνακα: ώρες χρήσης () εβδομαδιαίο κόστος () Η πιο κάτω γραφική παράσταση παρουσιάζει το εβδομαδιαίο κόστος χρήσης της συσκευής σύμφωνα με τις προσφορές και από τις δύο εταιρείες. Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση ή τους πιο πάνωω πίνακες, να απαντήσετε στα ερωτήματα που ακολουθούν: ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 3

10 (α) Αν ο επιχειρηματίας χρησιμοποιεί τη συσκευή 2 ώρες την εβδομάδα πόσα θα πληρώνει την εταιρείαα και πόσαα την εταιρεία ; (β) Αν ο επιχειρηματίας χρησιμοποιεί τη συσκευή 9 ώρες την εβδομάδα, πόσα θα πληρώνει την εταιρείαα και πόσαα την εταιρεία ; (γ) Πόσες ώρες την εβδομάδα πρέπει να χρησιμοποιεί τηη συσκευή ώστε το κόστος να είναι το ίδιο, σύμφωνα με τις προσφορές των δυο εταιρειών; Πόσο θα είναι το κόστος στην περίπτωση αυτή; Μαθαίνω Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους, (π.χ και ) και βρίσκουμε το ζεύγος των αριθμών, πουυ είναι ταυτόχρονα λύση και των δύο εξισώσεων, τότεε λέμε ότι επιλύουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους,. Λύση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους και ονομάζεται κάθε ζεύγος τιμών, που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του. π.χ. Η λύση του γραμμικού συστήματος είναι ε το ζεύγος 5, 700 γιατί και οι δύο εξισώσεις του συστήματος επαληθεύονται, αφού α και Για τη γραφική λύση ενός γραμμικούύ συστήματος εργαζόμαστε ως εξής: Σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα γραμμικές εξισώσεις. αξόνων τις ευθείες που αντιστοιχούν στις δύο (α) Εάν οι ευθείες τέμνονται τότε προσδιορίζουμε τιςς συντεταγμένες του τομής τους,. Το ζεύγος, είναι η λύση τουυ συστήματος. σημείου (β) Εάν οι ευθείες είναι παράλληλες (δεν τέμνονται) τότε το σύστημα είναι αδύνατο (το σύστημα δεν έχει λύση). (γ) Εάν οι ευθείες ταυτίζονταιτ ι τότε όλα τα σημεία τους είναι κοινά και οι συντεταγμένες των σημείων είναι λύσεις του συστήματος. Το σύστημα δηλαδή, έχει άπειρες λύσεις. 4 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

11 π.χ. 2 3 Για το σύστημα: 9 κατασκευάζουμε τις ευθείες : 23 : 9. και Ακολούθως βρίσκουμε το σημείο τομής τους που είναι το 2, 7. Η λύση του συστήματος είναι η 2, 7. Για την αλγεβρική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αντικατάστασης. π.χ. Για να λύσουμε το σύστημα 2 1 7, ερ ργαζόμαστε ως εξής: Βήματα Λύνουμε τη μια από τις τ δύο εξισώσεις Λύνουμε την 2 1 ως προς του συστήματος ως προς τον έναα και έχουμε την τ 2 1. άγνωστο. Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση Αντικαθιστο ούμε το 2 1 στη θέση του συστήματος και λύνουμε τηνν του στην εξίσωση ε 7 καιι εξίσωση που προκύπτει. έχουμε: Την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε Αντικαθιστο ούμε το 2 στην την αντικαθιστούμε σε μια από τις δύο εξίσωση 2 1 και έχουμε: αρχικές ή σε μια ισοδύναμή τουςς και βρίσκουμε την τιμή του άλλου 55 αγνώστου. Η λύση του συστήματος είναι το Άρα η λύση του συστήματος είναι ζεύγος, που βρήκαμε. 2 και 5 δηλαδή το ζεύγος, 2, 5. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 5

12 Παραδείγματα 1. Δίνονται οι εξισώσεις : 1 και : 3. (α) Ποια από τα πιο κάτω ζεύγη αριθμών είναι λύσεις της εξίσωσης ε και ποια είναι λύσεις της εξίσωσης ; A) 0, 1 B) 1, 2 Γ) 2, 1 Δ) 1, 4 (β) Ποιο ζεύγος είναι λύση του συστήματος των εξισώσεωνν και ; Λύση: (α) Τα ζεύγη Α και Β είναι λύσεις της, γιατί την επαληθεύουν, δηλ. 101 και 211. Τα ζεύγη Β, Γ και Δ είναι λύσειςς της, γιατί την επαληθεύουν,, δηλ. 21 3, 123 και (β) Το ζεύγος Β είναι λύση του συστήματος των εξισώσεων και, γιατί επαληθεύει και τις δύο.. 2. Ο Χριστόφορος και ο Άρης έχουν μαζί 30. Αν ο Χριστόφορος έχει ταα διπλάσια χρήματα από τον Άρη, να βρείτε πόσα χρήματα έχει ο καθένας; Λύση: Συμβολίζουμε με τα χρήματα που έχει ο Χριστόφορος και τα χρήματα που έχει ο Άρης. Τότε: 30 και 2 Επειδή η δεύτερη εξίσωση είναι λυμένη ως προς, αντικαθιστούμε το 2 στη θέση του στην εξίσωση 30 και έχουμε: Αντικαθιστούμε το 10 στην εξίσωση 2 και έχουμε: Άρα, ο Χριστόφορος έχει 20 και ο Άρης ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

13 3. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα εξισώσεων: (α) (β) Λύση: Εκτός από τη μέθοδο της αντικατάστασης για την επίλυση των πιο μπορούμε να εργαστούμε ως εξής: πάνω συστημάτων (α) 2x 3y 3 + x 3y Παρατηρούμεε ότι οι συντελεστές του στις δύο εξισώσειςς του συστήματος είναι αντίθετοι. Άραα προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο εξισώσεις, προκύπτειι μια νέα εξίσωση με άγνωστο μόνοο το. Έτσι βρίσκουμε εύκολα την τιμή του. (*) Αντικαθιστούμε το 3στην εξίσωση 36 και έχουμε: Άρα, η λύση του συστήματος είναι 3 και 1 δηλαδή το ζεύγοςς, 3,1. (β) 3x 2y 5 1 3x 2y 5 x3y 9 3 3x 9y Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση επί 1 ( δηλ. παραμένει ως έχει) και τη δεύτερη επί 3, για να προκύψει ισοδύναμο σύστημα με τους συντελεστές του στις δύο εξισώσεις να είναι ε αντίθετοι. Στη συνέχεια ακολουθούμε σύστημα (α). την (*) ίδια διαδικασία με το Αντικαθιστούμε το 2 στην εξίσωση 3 9 και έχουμε: 69 3 Άρα, η λύση του συστήματος, 3,2. είναι 3 και 2 δηλαδή το ζεύγος (*) Η τεχνική που εφαρμόστηκε για την επίλυση των πιο πάνω π συστημάτων ονομάζεται μέθοδος των αντίθετων συντελεστών. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 7

14 1. Να εξετάσετε κατά πόσο το τ ζεύγος αριθμών 3, 2είναι η λύση του συστήματος: x y 1 x 2y 0 (α) Να βρείτε γραφικά τη λύση των πιο κάτω συστημάτων με τη βοήθεια του υπολογιστή μετακινώντας τους δρομείς ώστε να δημιουργήσετε τις πιο κάτω εξισώσεις. Δραστηριότητες y 3x 6 2. Ποια από τα πιο κάτω ζεύγη αριθμώνν είναι η λύση του συστήματος: x2y 5 Α) 3,1 B) 3,44 Γ) 1,3 Δ) 1,9 3. Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο CEn6_Sistimata.ggb.. Α) y 2x 1 y x 3 Β) y 3x 1 y x 1 Γ) y 3x1 Δ) y 3x 3 y 3x 3 y 3x 3 (β) Να γράψετε το πλήθος των λύσεων του καθενός από τα πιο πάνω συστήματα. Να σχολιάσετε τα αποτελέσματα αυτά. 4. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα εξισώσεων: (α) 3 (β) (γ) Ο Στέφανος και η Μαρίλια έχουν συνολικά 120. Αν ο Στέφανος Σ δώσει στη Μαρίλια 10, τότε θα έχουν τα ίδια χρήματα. Να βρείτε πόσα χρήματα είχε αρχικά ο καθένας. 6. Σε μια κατασκήνωση υπάρχουν 260 παιδιά, τα οποία μένουν σε 50 σκηνές των 4 και 6 ατόμων. Αν οι σκηνές είναι όλες γεμάτες, να υπολογίσετε ε πόσες είναι οι σκηνές των 4 και πόσες των 6 ατόμων. 7. Σε μια εκδρομή πήγαν συνολικά 60 παιδιά, αγόρια και κορίτσια. Τα αγόρια ήταν τριπλάσια από τα κορίτσια. Να βρείτε πόσα ήταν τα αγόριαα και πόσα τα κορίτσια. 8 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

15 ΕΥΘΕΙΑ Συντελεστής Διεύθυνσης (Κλίση) Ευθείας Ε Διερεύνηση Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο CEn6_Klisi_Eftheias.ggb. Να μετακινήσετε τους δρομείς και και να καταγράψετεε τις παρατηρήσεις σας. Μαθαίνω Αν ( είναι μια ευθεία και,,, είναι δύοο σημεία της, τότε η κλίση της ευθείας ορίζεται ως ο λόγος της κατακόρυφης μεταβολής προς την οριζόντια μεταβολή από το σημείο στο σημείο της ευθείας. Η κλίση ονομάζεται και συντελεστής ς διεύθυνσης της ευθείας () και συμβολίζεται με. y y 2 y 1 Ax 1, y 1 x x B x, y y y Γ (ε) 2 1 x 1 x2 x Δηλαδή η κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία, και, με είναι ίση με. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 9

16 Κάθε ευθεία με εξίσωση έχει κλίση ίση με μ, δηλαδή. Απόδειξη: Παίρνουμε δύο σημεία, και, με πάνω στην ευθεία. Οι συντεταγμένες των δύο σημείων επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Άρα έχουμε: Aν η εξίσωση ευθείας είναι σε κανονική μορφή Γ 0, της ευθείας είναι ίση με, δηλαδή ή. 0 τότε η κλίση Απόδειξη: Αν Γ 0 Παρατήρηση, 0. Η γραφική παράσταση της είναι ευθεία κάθετη στον σ άξονα, 0. Η κλίση της ευθείας με εξίσωση δεν ορίζεται. Γενικά έχουμε: y ε y y ε ε των στoo σημείο y ε x x x x Κάθε ευθεία τέμνει τ τον άξονα των στο σημείο 0,. H κλίση τηςς ευθείας (ε) δεν ορίζεται Αν 0, τότε η εξίσωση της ευθείας παίρνει τη μορφή και αρχή των αξόνων. διέρχεται από την 10 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

17 Παραδείγματα 1. Να βρεθεί η εξίσωση 2, 7. Λύση: Α τρόπος Τα δύο σημεία πρέπει δηλαδή: της ευθείας που να επαληθεύουν το περνά από τα σημεία 2,5 και γενικό τύπο της ευθείας, Για 2,5 5 2 (1) Για 2, (2) Λύουμε το σύστημα των (1) και (2) (1) ) 2 7 (2) και βρίσκουμε 3 και Άρα, η ζητούμενη εξίσωση της ευθείας είναι 3 1. Β τρόπος Τα δύο σημεία πρέπει να επαληθεύουν το γενικό τύπο της ευθείας. Α Γνωρίζουμε ότι η παράμετρος ισούται με την κλίση. Άρα υπολογίζουμε αρχικά την τιμή της κλίσης λ Β Γ Άρα η ζητούμενη 3. εξίσωση παίρνει τη μορφή: Το σημείο Α2,5 ανήκει στην ευθεία, οπότε: 56ββ β1. Άρα, η ζητούμενη εξίσωση της ευθείας είναι y3 1. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 11

18 2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας 0, 3 και έχει κλίση 2. που τέμνει τον άξοναα των τεταγμένων στο σημείο Λύση Η εξίσωση έχει τη μορφή και 2. Άρα η εξίσωση παίρνει τη μορφή 2. Η ευθεία τέμνει τον άξονα των στο σημείο 0, 3, οπότεε το 3. Άρα η ζητούμενη εξίσωση της ευθείας είναι 2 3. Δραστηριότητες 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε μια εξίσωση : ευθείας από τη στήληη με την κλίση της στη στήλη ( α) 3 1 ( β) 1 (γ) 3 1 (δ) 1 ( ε) 2 1 (i) (ii) (iii) (iv) (v) ( στ) 3 (vi) ( ζ) 5 ( η) 4 ( θ) 5 (vii) (viii) (ix) (x) (xi) 5 3 ί 1 12 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

19 2. Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο CEn6_ShmeiaEftheias_b.ggb Να σύρετε τα δύο σημεία έτσι ώστε να ανήκουν στηη ευθεία που σας δίνεται. Να πατήσετε το κουμπί «Νέαα Ευθεία» για να εμφανιστεί άλλη εξίσωση ευθείας. 3. Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο CEn6_EvreshEftheias_b.ggb Να γράψετε στο πεδίο εισόδου την εξίσωση της συνάρτησης που περνά από τα σημεία και. Να επιλέξετε «Βοήθεια για εύρεση κλίσης» αν θέλετε βοήθεια. Να επιλέξετε «Εμφάνιση ευθείας» για επαλήθευση. 4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία και : (α) 3,2 και 1,1 (γ) 3,2 και 3,1 (β) 3,2 και 1,2 (δ) 3,2 και 0,0 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 13

20 5. Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση με τη γραφική της παράσταση. (α) 2 4 (β) 2 4 (γ) 2 (δ) 4 (ε) 2 30 (στ) 2 A) B) Γ) Δ) Ε) ΣΤ) 6. Ο μισθός ενός εργάτη είναι 150, όταν εργάζεται 40 ώρες τη βδομάδα. Να κατασκευάσετεε γραφική παράστασηη που να δείχνει τη σχέση που συνδέει τις ώρες εργασίας με τα χρήματαα που κερδίζει ο εργάτης. Απόό τη γραφική παράσταση να υπολογίσετε: (α) το μισθό του για 18 ώρεςς δουλειάς. (β) τις ώρες που εργάστηκε, για να κερδίσει Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα: Εξίσωση (α) 4 (β) (γ) 5 2 (δ) 2 Τιμή του α Τιμή του β Κλίσηη Τομή ευθείας ε με άξονα των τεταγμένων 14 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

21 8. Ένας αλεξιπτωτιστής πέφτει από αεροπλάνο που βρίσκεται σε ύψος 3000 από τη γη. Η ταχύτητα με την οποία πέφτει είναι 30 /. (α) Να εκφράσετεε το ύψος χρόνου. (β) Να υπολογίσετε σε ποιο του.. που βρίσκεται ο αλεξιπτωτιστής συναρτήσει του ύψος βρίσκεται 1 λεπτό μετάά από την πτώση 9. Μια άδεια δεξαμενή έχει όγκο 3. Μια αντλία αρχίζει να τη γεμίζει με ρυθμό 15 ί ανά λεπτό. Να εκφράσετε τον όγκο του νερού στη δεξαμενή συναρτήσει του χρόνου και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτησηη αυτή. ( ) 10. Σε μια δεξαμενή, χωρητικότητας 4000 ί, υπάρχουν 600 ί βενζίνης. Ένα βυτιοφόρο, που περιέχει 2000 ί, αρχίζει να τη γεμίζει. Αν το βυτιοφόρο γεμίζει τη δεξαμενή με ρυθμό 100 ί ά ό, να βρείτε: (α) Την ποσότητα της βενζίνης που μένει στο βυτιοφόρο μετά από χρόνο. (β) Την ποσότητα της βενζίνης που περιέχει η δεξαμενή μετά από χρόνο. (γ) Να κατασκευάσετε τις γραφικές παραστάσει ις των συναρτήσεωνν αυτών και να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή κατά την τ οποία το βυτιοφόρο και η δεξαμενή έχουν ίσες ποσότητες βενζίνης. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 15

22 Συνθήκη Παραλληλίας Δύο Ευθειών Εξερεύνηση Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο «CEn6_SynthikhParall_b.ggb»» Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο και να μετακινήσετεε τα σημεία,, και ώστε οι ευθείες και να είναι παράλληλες. Τι παρατηρείτεε για τη σχέση των κλίσεών τους. Μαθαίνω Για τις ευθείες ε : και ε : ισχύει: Αν οι ευθείες έχουν ίσες κλίσεις ( και διαφορετικές σταθερές και τότε οι ευθείες είναι παράλληλες. Ισχύει και η αντίστροφη πρόταση., Αν οι ευθείες έχουν ίσες κλίσεις ( και ίσες σταθερέςς και τότε οι ευθείες ταυτίζονται. Ισχύει και η αντίστροφη πρόταση., Ο συμβολισμός σημαίνει ότι οι δύο ευθείες ταυτίζονται. Παρατήρηση: Έστω το σύστημα που δημιουργείται από τις εξισώσεις των ευθειών ε : ε : i) Αν, τότε οι ευθείες δενν τέμνονται, άρα το σύστημα των ν εξισώσεων δεν έχει λύση και ονομάζεται αδύνατο. 16 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

23 ii) Αν, τότε οιι ευθείες συμπίπτουν. Το σύστημαα των εξισώσεων έχει άπειρες λύσεις. Οι ευθείες με εξισώσεις και με είναι παράλληλες διότι είναι κάθετες στην ίδια ευθεία (τονν άξονα των τετμημένων). Απόδειξη Έστω οι ευθείες και, με εξισώσεις: : : Εξετάζουμε το ενδεχόμενο να υπάρχει κατάλληλη τιμή του τέτοια ώστε οι αντίστοιχες τιμές του των σημείων που ανήκουν στις δύο ευθείες να είναι ίσες. Άρα πρέπει, ή (1) Η τελευταία εξίσωση μπορεί να λυθεί ως προς και να έχει μόνον μια λύσηη αν 0. Άρα οι ευθείες και τέμνονται αν και μόνο αν. Οι ευθείες είναι παράλληλες αν καιι μόνο αν ισχύει και, διότι η εξίσωση 1 γίνεται 0 που είναι αδύνατη. Οι ευθείες ταυτίζονται αν και μόνον αν ισχύει και, διότι ι η εξίσωση 1 γίνεται 0 0που είναι αόριστη. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 17

24 1. Να εξετάσετε αν οι ευθείες και με εξισώσεις : 2 4 και :6 3 2 είναι παράλληλες. Λύση: H έχει κλίση 2. Παραδείγματα H έχει κλίση 2. Παρατηρούμε ότι. Άρα οι ευθείες δεν είναι παράλληλες ς. 2. Δίνονται οι ευθείες :3 3 και : 2 1. Να υπολογίσετε την τ τιμή του ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες. Λύση: H έχει κλίση 3. H έχει κλίση 2. Αν Να βρείτε την εξίσωση της τ ευθείας που περνά από το τ σημείο παράλληλη με την ευθεία : ,1 και είναι Λύση: H ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση με κλίση. Η ευθεία : έχει κλίση. Οι ευθείες και είναι παράλληλες ς άρα, επομένως ς :. Το σημείο 1,1 ανήκει στην ευθεία, επομένως οιι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας, δηλαδή: σημείου Αντικαθιστούμε: 1, 1 στην 1 1 Άρα η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωσηη ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

25 Δραστηριότητες 1. Να εξετάσετε αν οι ευθείες και είναι παράλληλες στιςς πιο κάτω περιπτώσεις: (α) : (β) : 2 (γ) : 4 :242 (δ) : 3 5 :62 10 : 3 (ε) : 6 : 2 : 2 2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο και είναι παράλληλη με την ευθεία σε κάθε μια από τις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) 1,2 : (β) 1,3 : 2 3 (γ) 2,2 : 5 (δ) 2, 2 : 0 (ε) 2, 5 : 2 3. Να βρείτε την τιμή του, ώστε η ευθεία 2 35 να είναι παράλληληη με την ευθεία Δίνονται οι ευθείες : 0 και : 0. Αν να αποδείξετε ότι. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 19

26 Συνθήκη Καθετότητας Δύο Ευθειών Διερεύνηση Τεχνολογία: Να χρησιμοποιήσετε το «CEn6_kathetotita_dierevnisi.ggb». Να μετακινήσετε τον τ δρομέαα στα αριστερά και ναα παρατηρήσετε τις κλίσεις και των καθέτων ευθειών και για να βρείτεε τη συνθήκη σύμφωνα με την οποία οι δύο ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους. Μαθαίνω Αν δύο ευθείες : και ι : είναι κάθετες τότε οι κλίσεις τους έχουν γινόμενο ίσο με 1, δηλαδή. Απόδειξη: Στο σχήμα δίνονται οι κάθετες ευθείες και, με εξισώσεις : και : με 0, 0. y A(1,λ 1) Για την απόδειξη μπορείτε να ανοίξετε το αρχείο : CEn6_kathetotita_apodeiksh.ggb Ο Γ( (1,0) Β(1,λ 2) x Θεωρούμε τα σημεία 1,, 1, και 1,0. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ( 90 ) Από το τρίγωνο 1 2 Από το τρίγωνο 1 λ (επειδή 0). 20 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

27 Από τις (2), (3) και (4) η (1) γίνεται Σημείωση Στην απόδειξη χρησιμοποιήθηκαν ευθείες που διέρχονται από τηνν αρχή των αξόνων ( ). Αυτό δεν επηρεάζει τη γενικότητα της συνθήκηςς καθετότητας, γιατί ευθείες της μορφής, 0 είναι παράλληλες με αυτές της μορφής μ. Παράδειγμα Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο 2, 3 και είναι κάθετη στην ευθεία :23. Λύση: H ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση με κλίση. Η ευθεία : 23 έχει κλίση 2. Οι ευθείες και είναι κάθετες άρα η ζητούμενη ευθεία παίρνει την μορφή., επ πομένως Το σημείο 2,3 ανήκει στην ευθεία, επομένως οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας, δηλαδή: Άρα η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση 2. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 21

28 Δραστηριότητες 1. Να εξετάσετε αν οι ευθείες και είναι κάθετες μεταξύ τους σεε καθεμιά από τις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) :4 3 2 :4 3 7 (β) :243 : 7 (γ) :4 2 3 : 7 2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από τοο σημείο και είναι κάθετη στην ευθεία σε καθεμιά από τις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) 3, 1 : 3 1 (β)) 3, 1 :3 (γ) 3, 1 : 3 3. Να υπολογίσετε την τιμή του, ώστε η ευθεία 1 9 να είναι κάθετη στην ευθεία ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

29 Δραστηριότητες Ενότητας 1. Να εξετάσετε αν οι ευθείες και είναι παράλληλες στιςς ακόλουθες περιπτώσεις: (α) : 3 4 ( β) : 3 (γ) : 5 :3 2 : 3 : 3 2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο καιι είναι κάθετη στην ευθεία σε καθεμιά από τις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) 3,2 : 3 1 (β) 1,3 :8 3. Για ποιες τιμές του οι ευθείες 3 1 και 1 είναι παράλληλες; 4. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές 3,4, 1,0 και 3,2. (α) Να υπολογίσετε τις κλίσεις των πλευρών του τριγώνου. (β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. (γ) Να βρείτε την εξίσωση τουυ ύψους. 5. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα εξισώσεων: α β Σε ένα βιβλιοπωλείο 2 τετράδια και 1 μολύβι κοστίζουν 10, ενώ 3 τετράδια και 5 μολύβια κοστίζουν 22. Να βρείτε πόσο κοστίζει κάθε τετράδιο και ι κάθε μολύβι. 7. Μια παρέα 26 ατόμων θα πάνε εκδρομή και θα μεταφερθούν με 8 οχήματα αυτοκίνητα και μοτοσικλέτες. Με κάθε αυτοκίνητο μεταφέρονται 4 άτομα, ενώ με κάθε μοτοσικλέτα 2 άτομα. Να βρείτεε πόσα αυτοκίνητα και πόσες μοτοσικλέτες θα χρησιμοποιηθούν Αν το σύστημα 2 8 έχει ως λύση 1 και 2, να βρείτε τις τιμές των αριθμών και. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 23

30 Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Δίνονται οι ευθείες και με εξισώσεις 1 και κ. 1 αντίστοιχα, (α) (β) (γ) Να βρείτεε τις σχετικές θέσεις των δύο ευθειών για τις διάφορες τιμές του. Να υπολογίσετε την τιμή τ του για την οποία οι ευθείες τέμνονται κάθετα. Να υπολογίσετε το εμβαδόν τουυ τριγώνου που σχηματίζεται απόό τις ευθείες και τον άξονα των τετμημένων, ότανν οι ευθείες τέμνονταιι κάθετα. 2. Δίνεται το σύστημα: , Αν το σύστημα έχει μοναδική λύσηη την 10,, και 0, να υπολογίσετε την τιμή του. 3. Αν 2,1, 3, 2 και 6,0 είναι κορυφές του παραλληλογράμμου, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες της κορυφής. 24 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

31 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

32

33 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣΣ Εξισώσεις Δευτέρου και Ανωτέρου Βαθμού Διερεύνηση Ο καθηγητής των Μαθηματικών πρότεινε στους μαθητές του να α λύσουν ορισμένες ασκήσεις από το βιβλίο τους, για α να εμπεδώσουν την ενότητα ε πουυ διδάχτηκαν. Όταν αυτοί τον ρώτησαν σε ποια σελίδα είναι οι ασκήσεις,, τους απάντησε: Το γινόμε ενο των αριθμών των δύο διαδο οχικών σελίδων στις οποίες βρίσκονται οιι ασκήσεις είναι ίσο μεε 90. Μπορείτε να βρείτε σε ποιες σελίδες είναι γραμμένες οι ασκήσεις; Μαθαίνω Όταν το γινόμενο δύο αλγεβρικών παραστάσεων ισούται με μηδέν, τότε τουλάχιστον μια από αυτές τις παραστάσεις ισούται μεε μηδέν και αντίστροφα. Δηλαδή 0 0 ή 0 Όταν το πηλίκο δύο αλγεβρικών παραστάσεων ισούται με μηδέν, τότε ο αριθμητής του πηλίκου ισούται με μηδέν και ο παρονομαστής είναι διάφορος από το μηδέν και αντίστροφα Σημείωση Κάθε εξίσωση της μορφής 0, 0 (εξίσωση α βαθμού) έχει λύση τον αριθμό. ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 27

34 Παραδείγματα 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) (β) (γ) 0 (δ) Λύση: (α) ή 30 2 ή 3 (β) ή 1 0 ή ή 1 ή 2 ή 1 ή 2 (γ) 0 0 ή 0 ή (δ) ή ή 2 δηλαδή 2 2. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) 3 50 (β) 40 (γ) 3 60 (δ) ε ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

35 Λύση: (α) ή ή ή 5 3 (β) ή 20 2 ή 2 (γ) ή ή 2 (δ) ή 1 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 29

36 (ε) ή 80 ή ή 8 ή 8 3. Να λύσετε την εξίσωσ η Λύση: y 2 3y 1, y 2 0 y 2 4 y ή ή 12 Οι λύσεις είναι δεκτές. Θέτουμε περιορισμοπ ούς Εφαρμόζουμε ιδιότητες των αναλογιών. Λύνουμε την εξίσωσηη που προκύπτει Ελέγχουμεε κατά πόσοο οι λύσεις που βρήκαμε τηρούν τουςς περιορισμούς. 30 ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

37 Δραστηριότητες 1. Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις πιο κάτω προτάσεις ωςς Σωστή ή Λάθος. (α) (β) (γ) (δ) (ε) Η εξίσωση έχει λύσηη 1. Αν 10 τότε 1 ή 1. Αν 3 0 τότε 3. H εξίσωση 0 0 είναι αδύνατηη εξίσωση. Η εξίσωση 0 3 έχει λύση Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σεε καθεμιά από τις πιο κάτω κ προτάσεις: (α) Η εξίσωση 2 0 έχει τη λύση: Α) 2 Β) Γ) 0 Δ) 2 (β) Η εξίσωση έχει τη λύση: Α) 2 Β) 2 Γ) 1 Δ) 1 (γ) Η εξίσωση Α) είναι αδύνατη Β) ) είναι αόριστη Γ) έχει λύση 1 Δ) έχει λύση 0 (δ) Η εξίσωση 4 έχει λύσεις Α 2 ή 2 Β) 2 Γ) 22 0 ή 2 (ε) Η εξίσωση 2 x 1 0 έχει λύσειςς τις x 1 Α 1 Β) 1 ή 0 Γ) 1 Δ) 11 ή 1 (στ) Αν η εξίσωση έχει λύση 1, τότε το είναιι ίσο με Α) 1 Β) 1 Γ) 2 Δ) 0 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 31

38 3. Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) Να λύσετε την εξίσωση: 5. Να λύσετε την εξίσωση: 32 ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

39 Επίλυση Εξίσωσης 2 ου Βαθμού Διερεύνηση (α) (β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο Να λύσετε την εξίσωση χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμαα που βρήκατε στο (α) ερώτημα. Μαθαίνω Κάθε εξίσωση της μορφής 0 με 0 ονομάζεται εξίσωση 2 ου βαθμού. Αν 4 0, τότε οι λύσεις ή ρίζες της εξίσωσης 0,0 είναι:, 4 2 Η παράσταση 4 συμβολίζεται με Δ και ονομάζεται Διακρίνουσα της εξίσωσης δηλαδή : 4 Aν 0 έχει δύο πραγματικές άνισες ρίζες τις, Aν 0 έχει μια πραγματική διπλή ρίζα τη Αν 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 33

40 Απόδειξη 0, Πολλαπλασιάζουμε και τα εξίσωσης επί 4. δύο μέλη της Προσθέτουμε και αφαιρούμε το, για να προκύψει τέλειοο τετράγωνο. 2 4 Αν θέσουμε Δ 4, τότε η εξίσωση γίνεται: 2 Δ Διακρίνουμε τώρα τρεις περιπτώσεις: (i) 4 0. Στην περίπτωση αυτή η Δ είναι πραγματικός αριθμός και έχουμε: 2 Δ 2 Δ 0 2 Δ2 Δ 0 2 Δ 0 ή 22 ΔΔ 0 2 Δ 0 ή 22 ΔΔ 0 και Επομένως, η εξίσωση 0, 0 έχει δύοο ρίζες πραγματικές και άνισες που για συντομία γράφονται,. (ii) (iii) 4 0, Επειδή τώρα βρήκαμε δύο ίσες λύσεις λέμε ότι η εξίσωση μας έχει μια διπλή πραγματική ρίζα την Η εξίσωση 2 Δ είναι αδύνατη αφού 0 και κ 2 0. Επομένως, η εξίσωση 0, 0 δεν έχει πραγματικέςς ρίζες. 34 ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

41 Παραδείγματα 1. Να λύσετε οι πιο κάτω εξισώσεις: (α) (γ) 1 0 (ε) 2 30 (β) (δ) 54 (στ) (ζ) 4 80 (η) Λύση: (α) 2 60, 2, 1, 6 Έχουμε Δ , επομένως η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες:, (β) , 16, 8, 1 Έχουμε ότι Δ , επομένως ε η εξίσωση μας έχει μια διπλή πραγματική ρίζα την (γ) 10, 1, 1, 1 Έχουμε Δ , επομένως η εξίσωση έχει δύο λύσεις πραγματικές και άνισες., ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 35

42 (δ) 5 4, , 4, 5 Έχουμε Δ , επομένως η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες:, (ε) (στ) ή 2. (ζ) , η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες (διότι 0). (η) 2 40, 1, 2, 4 Έχουμε , επομένως ε η εξίσωση μας δεν έχει πραγματικές ρίζες. 36 ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

43 2. Να λύσετε την εξίσωση Λύση: Αναλύουμε τους παρονομαστές , Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών. Θέτουμε περιορισμούς Κάνουμε απαλειφήή των παρονομαστών, μετατρέποντας τα κλάσματα σε ομώνυμα Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει Δ , Η λύση 4 είναι δεκτή και η λύση 3 απορρίπτεται. Ελέγχουμε κατά πόσο οι λύσεις που βρήκαμε τηρούν τους περιορισμούς ή όχι και ανάλογα δεχόμαστε ή απορρίπτουμε συγκεκριμένες λύσεις. ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 37

44 Δραστηριότητες 1. Να αντιστοιχίσετε την κάθε εξίσωση της στήλης Α με μια πρόταση απόό τη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β I. 560 (α) Έχει δύο πραγματικέπ ές και II. 420 άνισες ρίζες. III. 40 (β) Έχει δύο πραγματικέπ ές και IV. 210 ίσες ρίζες. V. 2 0 (γ) Δεν έχει πραγματικέπ ς ρίζες. VI Να λύσετε τις εξισώσεις (α) 6 0 (β) 690 (γ) (δ) (ε) 2 20 (στ) (ζ) Nα λύσετε τις εξισώσεις (α) 2 40 (β) (γ) ) 7 (δ) Nα υπολογίσετεε το στα πιο κάτω σχήματα. x 2 cm x 2 cm E=16 cm² 38 ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

45 5. Tα πιο κάτω σχήματα έχουν το ίδιο εμβαδόν. Να υπολογίσετε την τιμήή του. x cmm 3 cm (x+ 1) cm (x+ 2) 2 cm 6. Σε έναν αριθμό προσθέτουμε τον αντίστροφο του και βρίσκουμε. Να α βρείτε ποιος είναι ο αριθμός αυτός. 7. Στο σχήμα το εξωτερικό τετράγωνο έχει πλευρά και τοο εσωτερικό τετράγωνο έχει πλευρά. (α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους είναι:. (β) Να υπολογίσετε την τιμή του εάν γνωρίζετεε ότι το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους είναι. 8. Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις: (α) (β) (γ) (δ) (ε) ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 39

46 Δραστηριότητες Ενότητας 1. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο μεε διαστάσεις 5 και 5, έχει εμβαδόν 24. Να βρείτε τις διαστάσεις του. 2. Να βρείτε δύο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς που ταα τετράγωνά τους να έχουν άθροισμα Δίνεται το πολυώνυμο 1 1 7: (α) Να αποδείξετε ότι (β) Να λύσετε την εξίσωση 0 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) 9 (β) (γ) (δ) 6 (ε) (ζ) (θ) α22αα 8 0 (στ) (η) (ι) α 5α 6α (ια) (ιγ) (ιβ) Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) (γ) (β) (δ) 6. Να βρείτε δύο διαδοχικούς ακέραιουςς αριθμούς που το γινόμενό τουςς είναι ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

47 ΕΝΟΤΗΤΑ 7 Συναρτήσεις Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

48

49 Συναρτήσεις Εξερεύνηση Να μελετήσετε τα πιο κάτω σενάρια: 1 ο Σενάριο: Εισάγουμε τα αρχικά ενός ατόμου, σε μια βάση δεδομένων δ ν και εμφανίζεται η ημερομηνία γέννησής του. Τεχνολογία: Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αρχείο CEn8_BashDedomenon.xls 2 ο Σενάριο: Σχεδιάζουμε ένα ταξίδι και εισάγουμε στον υπολογιστή μας ένα ποσό χρημάτων, που διαθέτουμε για αεροπορικά εισιτήρια. Ο υπολογιστής μάς δίνει τους διαφορετικούς προορισμούς, στους οποίους μπορούμε να ταξιδέψουμε με το συγκεκριμένο ποσό χρημάτων. ΕΝΟΤΗΤΑ 7: Συναρτήσεις 43

50 3 ο Σενάριο: Λέμε σε ένα φίλο μας έναν οποιοδήποτε αριθμό, τονν υψώνει στο τετράγωνο, στη συνέχεια προσθέτει 2 και μας λέει τοο αποτέλεσμα. Τεχνολογία: Μπορείτεε να χρησιμοποιήσετε το αρχείο CEn8_ArithmosApotelesma.xls 4 ο Σενάριο: Στο τέλος του τετραμήνου, η βαθμολογία των μαθητών στα σ Μαθηματικά τοποθετείται σε έναν πίνακα που παρουσιάζει τον αριθμό μητρώου του μαθητή στην αριστερή στήλη και το βαθμό του μαθητή στη δεξιά στήλη. Να περιγράψετε τις ομοιότητες και τις διαφορές των πιο πάνω σεναρίων. Σε ποιες περιπτώσεις νομίζετε ότι το είναι συνάρτηση του ; Γιατί; Διερεύνηση Ένα ορθογώνιο έχει αρχικές διαστάσεις 4 και 3,, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η μια διάσταση του ορθογωνίου παραμένει σταθερή και η άλλη αυξάνεται κατά. (α) Αν συμβολίσουμε το εμβαδόν τουυ ορθογωνίου με, ναα βρείτε τον τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού. (β) Για πέντε διαφορετικές τιμές του, να υπολογίσετε το εμβαδόν και να κατασκευάσετε τον αντίστοιχο πίνακα τιμών. x cm 3 cm y = 3 4 cm 2 4 cm (γ) Να υπολογίσετε την τιμή του, όταν το εμβαδόν γίνει ΕΝΟΤΗΤΑ 8: Συναρτήσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013. Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ.

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013. Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ. ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΤΑΞΗ: B ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ώρες ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 12 / 6 / 2013 Βαθμός: Ολογράφως: Υπογραφή: Όνομα μαθητή

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης

Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση αx+βy = γ Λύση της εξίσωσης α x + β y = γ ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Να αναφέρετε ποια από τα σώματα που φαίνονται στην εικόνα κινούνται. Α. Ως προς τη Γη B. Ως προς το αυτοκίνητο. Α. Ως προς τη Γη κινούνται το αυτοκίνητο, το αεροπλάνο και ο γλάρος.

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες προτάσεις στην φυσική τους γλώσσα. Να συμπληρώσετε την δεύτερη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα