ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Γυμνασίου. Β Τεύχος ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Γυμνασίου. Β Τεύχος ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ"

Transcript

1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Β Τεύχος ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

2 Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Τεύχος Β Συγγραφή: Αθανασίου Ανδρέας Αντωνιάδης Μάριος Γιασουμής Νικόλας Έλληνα Αγγέλα Ματθαίου Κυριάκος Μουσουλίδου Μαριλένα Παπαγιάννης Κωνσταντίνος Τιμοθέου Σάββας Φιλίππου Ανδρέας Συντονιστής: Χρίστου Κωνσταντίνος, Καθηγητής Πανεπιστημίου Κύπρου Εποπτεία: Θεοφίλου Στέλιος, Επιθεωρητής Μέσης Εκπαίδευσης Κωστή Αντώνιος, Επιθεωρητής Μέσης Εκπαίδευσης Παντελή Παντελής, Επιθεωρητής Μέσης Εκπαίδευσης Παπαγιάννη Όλγα, Επιθεωρήτρια Μέσης Εκπαίδευσης Γλωσσική επιμέλεια: Χριστόφια Παλάτου Μαριάννα Συντονισμός έκδοσης: Χρίστος Παρπούνας, Συντονιστής Υπηρεσίας Ανάπτυξης Προγραμμάτων Έκδοση 2012 Εκτύπωση: Lithoweb Ltd ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΥΠΡΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ISBN: Στο εξώφυλλο χρησιμοποιήθηκε ανακυκλωμένο χαρτί σε ποσοστό τουλάχιστον 50%, προερχόμενο από διαχείριση απορριμμάτων χαρτιού. Το υπόλοιπο ποσοστό προέρχεται από υπεύθυνη διαχείριση δασών.

3 Πρόλογος Με ιδιαίτερη χαρά προλογίζω το δεύτερο τεύχος των Μαθηματικών της Γ Γυμνασίου. Τα Νέα Αναλυτικά Προγράμματα Μαθηματικών βρίσκονται στον τρίτο χρόνο εφαρμογής τους και κατά την τρέχουσα σχολική χρονιά επεκτάθηκαν και καλύπτουν από την Α μέχρι και τη Γ Γυμνασίου. Όλες οι εκδόσεις των τελευταίων δύο χρόνων, για τα Μαθηματικά Α, Β και Γ Γυμνασίου είναι δοκιμαστικές και βρίσκονται υπό συνεχή αξιολόγηση, διαμόρφωση και βελτίωση στη βάση ανατροφοδότησης και γενικά παρατηρήσεων που προέρχονται και από τη βάση, τους μάχιμους καθηγητές των Μαθηματικών. Όλο το υλικό που παράγεται για το μάθημα των Μαθηματικών, όπως και το παρόν δεύτερο τεύχος των Μαθηματικών της Γ Γυμνασίου, αποσκοπεί στη βοήθεια τόσο των μαθητών όσο και των καθηγητών, στην πορεία τους μέσα από τα Νέα Αναλυτικά Προγράμματα, με στόχο το καλύτερο αποτέλεσμα. Είναι εμποτισμένο με τη φιλοσοφία των Νέων Αναλυτικών Προγραμμάτων και προσηλωμένο στην προαγωγή και ανάδειξη των βασικών δεξιοτήτων των μαθητών μας, το οποίο αποτελεί πρώτιστο μέλημά μας. Η προσπάθεια συνεχίζεται και οι προοπτικές είναι λαμπρές. Ευχαριστώ θερμά όλους τους συντελεστές της παρούσας έκδοσης. Δρ Ζήνα Πουλλή Διευθύντρια Μέσης Εκπαίδευσης

4

5 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΥΘΕΙΑ 3 24 Γραμμικά Συστήματα Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους Συντελεστής Διεύθυνσης (Κλίση) Ευθείας Συνθήκη Παραλληλίας Καθετότητας δύο ευθειών ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εξισώσεις Δευτέρου και Ανωτέρου βαθμού Επίλυση Εξίσωσης 2 ου Βαθμού ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συναρτήσεις Γραφική Παράσταση Συνάρτησης ς Είδη Συναρτήσεων

6

7 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Ευθεία Γραμμικά Συστήματα Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

8

9 Γραμμικά Συστήματα Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους Διερεύνηση Ένας επιχειρηματίας χρειάζεται να ενοικιάσει μια αποτάθηκε σε δύο εταιρείες, για να πάρει προσφορές. εξειδικευμένη συσκευή και Εταιρείαα Α Ζητά πάγιο ποσό 600 την εβδομάδα και επιπλέον 20 γιαα κάθε ώρα χρήσης της συσκευής. Με βάση τις πιο πάνω πληροφορίες να συμπληρώσ σετε τον πίνακα: ώρες χρήσης () εβδομαδιαίο κόστος () Εταιρείαα Β Ζητά πάγιο ποσό 500 την εβδομάδα και επιπλέον 40 γιαα κάθε ώρα χρήσης της συσκευής. Με βάση τις πιο πάνω πληροφορίες να συμπληρώσ σετε τον πίνακα: ώρες χρήσης () εβδομαδιαίο κόστος () Η πιο κάτω γραφική παράσταση παρουσιάζει το εβδομαδιαίο κόστος χρήσης της συσκευής σύμφωνα με τις προσφορές και από τις δύο εταιρείες. Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση ή τους πιο πάνωω πίνακες, να απαντήσετε στα ερωτήματα που ακολουθούν: ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 3

10 (α) Αν ο επιχειρηματίας χρησιμοποιεί τη συσκευή 2 ώρες την εβδομάδα πόσα θα πληρώνει την εταιρείαα και πόσαα την εταιρεία ; (β) Αν ο επιχειρηματίας χρησιμοποιεί τη συσκευή 9 ώρες την εβδομάδα, πόσα θα πληρώνει την εταιρείαα και πόσαα την εταιρεία ; (γ) Πόσες ώρες την εβδομάδα πρέπει να χρησιμοποιεί τηη συσκευή ώστε το κόστος να είναι το ίδιο, σύμφωνα με τις προσφορές των δυο εταιρειών; Πόσο θα είναι το κόστος στην περίπτωση αυτή; Μαθαίνω Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους, (π.χ και ) και βρίσκουμε το ζεύγος των αριθμών, πουυ είναι ταυτόχρονα λύση και των δύο εξισώσεων, τότεε λέμε ότι επιλύουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους,. Λύση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους και ονομάζεται κάθε ζεύγος τιμών, που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του. π.χ. Η λύση του γραμμικού συστήματος είναι ε το ζεύγος 5, 700 γιατί και οι δύο εξισώσεις του συστήματος επαληθεύονται, αφού α και Για τη γραφική λύση ενός γραμμικούύ συστήματος εργαζόμαστε ως εξής: Σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα γραμμικές εξισώσεις. αξόνων τις ευθείες που αντιστοιχούν στις δύο (α) Εάν οι ευθείες τέμνονται τότε προσδιορίζουμε τιςς συντεταγμένες του τομής τους,. Το ζεύγος, είναι η λύση τουυ συστήματος. σημείου (β) Εάν οι ευθείες είναι παράλληλες (δεν τέμνονται) τότε το σύστημα είναι αδύνατο (το σύστημα δεν έχει λύση). (γ) Εάν οι ευθείες ταυτίζονταιτ ι τότε όλα τα σημεία τους είναι κοινά και οι συντεταγμένες των σημείων είναι λύσεις του συστήματος. Το σύστημα δηλαδή, έχει άπειρες λύσεις. 4 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

11 π.χ. 2 3 Για το σύστημα: 9 κατασκευάζουμε τις ευθείες : 23 : 9. και Ακολούθως βρίσκουμε το σημείο τομής τους που είναι το 2, 7. Η λύση του συστήματος είναι η 2, 7. Για την αλγεβρική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αντικατάστασης. π.χ. Για να λύσουμε το σύστημα 2 1 7, ερ ργαζόμαστε ως εξής: Βήματα Λύνουμε τη μια από τις τ δύο εξισώσεις Λύνουμε την 2 1 ως προς του συστήματος ως προς τον έναα και έχουμε την τ 2 1. άγνωστο. Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση Αντικαθιστο ούμε το 2 1 στη θέση του συστήματος και λύνουμε τηνν του στην εξίσωση ε 7 καιι εξίσωση που προκύπτει. έχουμε: Την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε Αντικαθιστο ούμε το 2 στην την αντικαθιστούμε σε μια από τις δύο εξίσωση 2 1 και έχουμε: αρχικές ή σε μια ισοδύναμή τουςς και βρίσκουμε την τιμή του άλλου 55 αγνώστου. Η λύση του συστήματος είναι το Άρα η λύση του συστήματος είναι ζεύγος, που βρήκαμε. 2 και 5 δηλαδή το ζεύγος, 2, 5. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 5

12 Παραδείγματα 1. Δίνονται οι εξισώσεις : 1 και : 3. (α) Ποια από τα πιο κάτω ζεύγη αριθμών είναι λύσεις της εξίσωσης ε και ποια είναι λύσεις της εξίσωσης ; A) 0, 1 B) 1, 2 Γ) 2, 1 Δ) 1, 4 (β) Ποιο ζεύγος είναι λύση του συστήματος των εξισώσεωνν και ; Λύση: (α) Τα ζεύγη Α και Β είναι λύσεις της, γιατί την επαληθεύουν, δηλ. 101 και 211. Τα ζεύγη Β, Γ και Δ είναι λύσειςς της, γιατί την επαληθεύουν,, δηλ. 21 3, 123 και (β) Το ζεύγος Β είναι λύση του συστήματος των εξισώσεων και, γιατί επαληθεύει και τις δύο.. 2. Ο Χριστόφορος και ο Άρης έχουν μαζί 30. Αν ο Χριστόφορος έχει ταα διπλάσια χρήματα από τον Άρη, να βρείτε πόσα χρήματα έχει ο καθένας; Λύση: Συμβολίζουμε με τα χρήματα που έχει ο Χριστόφορος και τα χρήματα που έχει ο Άρης. Τότε: 30 και 2 Επειδή η δεύτερη εξίσωση είναι λυμένη ως προς, αντικαθιστούμε το 2 στη θέση του στην εξίσωση 30 και έχουμε: Αντικαθιστούμε το 10 στην εξίσωση 2 και έχουμε: Άρα, ο Χριστόφορος έχει 20 και ο Άρης ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

13 3. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα εξισώσεων: (α) (β) Λύση: Εκτός από τη μέθοδο της αντικατάστασης για την επίλυση των πιο μπορούμε να εργαστούμε ως εξής: πάνω συστημάτων (α) 2x 3y 3 + x 3y Παρατηρούμεε ότι οι συντελεστές του στις δύο εξισώσειςς του συστήματος είναι αντίθετοι. Άραα προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο εξισώσεις, προκύπτειι μια νέα εξίσωση με άγνωστο μόνοο το. Έτσι βρίσκουμε εύκολα την τιμή του. (*) Αντικαθιστούμε το 3στην εξίσωση 36 και έχουμε: Άρα, η λύση του συστήματος είναι 3 και 1 δηλαδή το ζεύγοςς, 3,1. (β) 3x 2y 5 1 3x 2y 5 x3y 9 3 3x 9y Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση επί 1 ( δηλ. παραμένει ως έχει) και τη δεύτερη επί 3, για να προκύψει ισοδύναμο σύστημα με τους συντελεστές του στις δύο εξισώσεις να είναι ε αντίθετοι. Στη συνέχεια ακολουθούμε σύστημα (α). την (*) ίδια διαδικασία με το Αντικαθιστούμε το 2 στην εξίσωση 3 9 και έχουμε: 69 3 Άρα, η λύση του συστήματος, 3,2. είναι 3 και 2 δηλαδή το ζεύγος (*) Η τεχνική που εφαρμόστηκε για την επίλυση των πιο πάνω π συστημάτων ονομάζεται μέθοδος των αντίθετων συντελεστών. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 7

14 1. Να εξετάσετε κατά πόσο το τ ζεύγος αριθμών 3, 2είναι η λύση του συστήματος: x y 1 x 2y 0 (α) Να βρείτε γραφικά τη λύση των πιο κάτω συστημάτων με τη βοήθεια του υπολογιστή μετακινώντας τους δρομείς ώστε να δημιουργήσετε τις πιο κάτω εξισώσεις. Δραστηριότητες y 3x 6 2. Ποια από τα πιο κάτω ζεύγη αριθμώνν είναι η λύση του συστήματος: x2y 5 Α) 3,1 B) 3,44 Γ) 1,3 Δ) 1,9 3. Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο CEn6_Sistimata.ggb.. Α) y 2x 1 y x 3 Β) y 3x 1 y x 1 Γ) y 3x1 Δ) y 3x 3 y 3x 3 y 3x 3 (β) Να γράψετε το πλήθος των λύσεων του καθενός από τα πιο πάνω συστήματα. Να σχολιάσετε τα αποτελέσματα αυτά. 4. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα εξισώσεων: (α) 3 (β) (γ) Ο Στέφανος και η Μαρίλια έχουν συνολικά 120. Αν ο Στέφανος Σ δώσει στη Μαρίλια 10, τότε θα έχουν τα ίδια χρήματα. Να βρείτε πόσα χρήματα είχε αρχικά ο καθένας. 6. Σε μια κατασκήνωση υπάρχουν 260 παιδιά, τα οποία μένουν σε 50 σκηνές των 4 και 6 ατόμων. Αν οι σκηνές είναι όλες γεμάτες, να υπολογίσετε ε πόσες είναι οι σκηνές των 4 και πόσες των 6 ατόμων. 7. Σε μια εκδρομή πήγαν συνολικά 60 παιδιά, αγόρια και κορίτσια. Τα αγόρια ήταν τριπλάσια από τα κορίτσια. Να βρείτε πόσα ήταν τα αγόριαα και πόσα τα κορίτσια. 8 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

15 ΕΥΘΕΙΑ Συντελεστής Διεύθυνσης (Κλίση) Ευθείας Ε Διερεύνηση Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο CEn6_Klisi_Eftheias.ggb. Να μετακινήσετε τους δρομείς και και να καταγράψετεε τις παρατηρήσεις σας. Μαθαίνω Αν ( είναι μια ευθεία και,,, είναι δύοο σημεία της, τότε η κλίση της ευθείας ορίζεται ως ο λόγος της κατακόρυφης μεταβολής προς την οριζόντια μεταβολή από το σημείο στο σημείο της ευθείας. Η κλίση ονομάζεται και συντελεστής ς διεύθυνσης της ευθείας () και συμβολίζεται με. y y 2 y 1 Ax 1, y 1 x x B x, y y y Γ (ε) 2 1 x 1 x2 x Δηλαδή η κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία, και, με είναι ίση με. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 9

16 Κάθε ευθεία με εξίσωση έχει κλίση ίση με μ, δηλαδή. Απόδειξη: Παίρνουμε δύο σημεία, και, με πάνω στην ευθεία. Οι συντεταγμένες των δύο σημείων επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Άρα έχουμε: Aν η εξίσωση ευθείας είναι σε κανονική μορφή Γ 0, της ευθείας είναι ίση με, δηλαδή ή. 0 τότε η κλίση Απόδειξη: Αν Γ 0 Παρατήρηση, 0. Η γραφική παράσταση της είναι ευθεία κάθετη στον σ άξονα, 0. Η κλίση της ευθείας με εξίσωση δεν ορίζεται. Γενικά έχουμε: y ε y y ε ε των στoo σημείο y ε x x x x Κάθε ευθεία τέμνει τ τον άξονα των στο σημείο 0,. H κλίση τηςς ευθείας (ε) δεν ορίζεται Αν 0, τότε η εξίσωση της ευθείας παίρνει τη μορφή και αρχή των αξόνων. διέρχεται από την 10 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

17 Παραδείγματα 1. Να βρεθεί η εξίσωση 2, 7. Λύση: Α τρόπος Τα δύο σημεία πρέπει δηλαδή: της ευθείας που να επαληθεύουν το περνά από τα σημεία 2,5 και γενικό τύπο της ευθείας, Για 2,5 5 2 (1) Για 2, (2) Λύουμε το σύστημα των (1) και (2) (1) ) 2 7 (2) και βρίσκουμε 3 και Άρα, η ζητούμενη εξίσωση της ευθείας είναι 3 1. Β τρόπος Τα δύο σημεία πρέπει να επαληθεύουν το γενικό τύπο της ευθείας. Α Γνωρίζουμε ότι η παράμετρος ισούται με την κλίση. Άρα υπολογίζουμε αρχικά την τιμή της κλίσης λ Β Γ Άρα η ζητούμενη 3. εξίσωση παίρνει τη μορφή: Το σημείο Α2,5 ανήκει στην ευθεία, οπότε: 56ββ β1. Άρα, η ζητούμενη εξίσωση της ευθείας είναι y3 1. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 11

18 2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας 0, 3 και έχει κλίση 2. που τέμνει τον άξοναα των τεταγμένων στο σημείο Λύση Η εξίσωση έχει τη μορφή και 2. Άρα η εξίσωση παίρνει τη μορφή 2. Η ευθεία τέμνει τον άξονα των στο σημείο 0, 3, οπότεε το 3. Άρα η ζητούμενη εξίσωση της ευθείας είναι 2 3. Δραστηριότητες 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε μια εξίσωση : ευθείας από τη στήληη με την κλίση της στη στήλη ( α) 3 1 ( β) 1 (γ) 3 1 (δ) 1 ( ε) 2 1 (i) (ii) (iii) (iv) (v) ( στ) 3 (vi) ( ζ) 5 ( η) 4 ( θ) 5 (vii) (viii) (ix) (x) (xi) 5 3 ί 1 12 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

19 2. Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο CEn6_ShmeiaEftheias_b.ggb Να σύρετε τα δύο σημεία έτσι ώστε να ανήκουν στηη ευθεία που σας δίνεται. Να πατήσετε το κουμπί «Νέαα Ευθεία» για να εμφανιστεί άλλη εξίσωση ευθείας. 3. Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο CEn6_EvreshEftheias_b.ggb Να γράψετε στο πεδίο εισόδου την εξίσωση της συνάρτησης που περνά από τα σημεία και. Να επιλέξετε «Βοήθεια για εύρεση κλίσης» αν θέλετε βοήθεια. Να επιλέξετε «Εμφάνιση ευθείας» για επαλήθευση. 4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία και : (α) 3,2 και 1,1 (γ) 3,2 και 3,1 (β) 3,2 και 1,2 (δ) 3,2 και 0,0 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 13

20 5. Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση με τη γραφική της παράσταση. (α) 2 4 (β) 2 4 (γ) 2 (δ) 4 (ε) 2 30 (στ) 2 A) B) Γ) Δ) Ε) ΣΤ) 6. Ο μισθός ενός εργάτη είναι 150, όταν εργάζεται 40 ώρες τη βδομάδα. Να κατασκευάσετεε γραφική παράστασηη που να δείχνει τη σχέση που συνδέει τις ώρες εργασίας με τα χρήματαα που κερδίζει ο εργάτης. Απόό τη γραφική παράσταση να υπολογίσετε: (α) το μισθό του για 18 ώρεςς δουλειάς. (β) τις ώρες που εργάστηκε, για να κερδίσει Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα: Εξίσωση (α) 4 (β) (γ) 5 2 (δ) 2 Τιμή του α Τιμή του β Κλίσηη Τομή ευθείας ε με άξονα των τεταγμένων 14 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

21 8. Ένας αλεξιπτωτιστής πέφτει από αεροπλάνο που βρίσκεται σε ύψος 3000 από τη γη. Η ταχύτητα με την οποία πέφτει είναι 30 /. (α) Να εκφράσετεε το ύψος χρόνου. (β) Να υπολογίσετε σε ποιο του.. που βρίσκεται ο αλεξιπτωτιστής συναρτήσει του ύψος βρίσκεται 1 λεπτό μετάά από την πτώση 9. Μια άδεια δεξαμενή έχει όγκο 3. Μια αντλία αρχίζει να τη γεμίζει με ρυθμό 15 ί ανά λεπτό. Να εκφράσετε τον όγκο του νερού στη δεξαμενή συναρτήσει του χρόνου και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτησηη αυτή. ( ) 10. Σε μια δεξαμενή, χωρητικότητας 4000 ί, υπάρχουν 600 ί βενζίνης. Ένα βυτιοφόρο, που περιέχει 2000 ί, αρχίζει να τη γεμίζει. Αν το βυτιοφόρο γεμίζει τη δεξαμενή με ρυθμό 100 ί ά ό, να βρείτε: (α) Την ποσότητα της βενζίνης που μένει στο βυτιοφόρο μετά από χρόνο. (β) Την ποσότητα της βενζίνης που περιέχει η δεξαμενή μετά από χρόνο. (γ) Να κατασκευάσετε τις γραφικές παραστάσει ις των συναρτήσεωνν αυτών και να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή κατά την τ οποία το βυτιοφόρο και η δεξαμενή έχουν ίσες ποσότητες βενζίνης. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 15

22 Συνθήκη Παραλληλίας Δύο Ευθειών Εξερεύνηση Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο «CEn6_SynthikhParall_b.ggb»» Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο και να μετακινήσετεε τα σημεία,, και ώστε οι ευθείες και να είναι παράλληλες. Τι παρατηρείτεε για τη σχέση των κλίσεών τους. Μαθαίνω Για τις ευθείες ε : και ε : ισχύει: Αν οι ευθείες έχουν ίσες κλίσεις ( και διαφορετικές σταθερές και τότε οι ευθείες είναι παράλληλες. Ισχύει και η αντίστροφη πρόταση., Αν οι ευθείες έχουν ίσες κλίσεις ( και ίσες σταθερέςς και τότε οι ευθείες ταυτίζονται. Ισχύει και η αντίστροφη πρόταση., Ο συμβολισμός σημαίνει ότι οι δύο ευθείες ταυτίζονται. Παρατήρηση: Έστω το σύστημα που δημιουργείται από τις εξισώσεις των ευθειών ε : ε : i) Αν, τότε οι ευθείες δενν τέμνονται, άρα το σύστημα των ν εξισώσεων δεν έχει λύση και ονομάζεται αδύνατο. 16 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

23 ii) Αν, τότε οιι ευθείες συμπίπτουν. Το σύστημαα των εξισώσεων έχει άπειρες λύσεις. Οι ευθείες με εξισώσεις και με είναι παράλληλες διότι είναι κάθετες στην ίδια ευθεία (τονν άξονα των τετμημένων). Απόδειξη Έστω οι ευθείες και, με εξισώσεις: : : Εξετάζουμε το ενδεχόμενο να υπάρχει κατάλληλη τιμή του τέτοια ώστε οι αντίστοιχες τιμές του των σημείων που ανήκουν στις δύο ευθείες να είναι ίσες. Άρα πρέπει, ή (1) Η τελευταία εξίσωση μπορεί να λυθεί ως προς και να έχει μόνον μια λύσηη αν 0. Άρα οι ευθείες και τέμνονται αν και μόνο αν. Οι ευθείες είναι παράλληλες αν καιι μόνο αν ισχύει και, διότι η εξίσωση 1 γίνεται 0 που είναι αδύνατη. Οι ευθείες ταυτίζονται αν και μόνον αν ισχύει και, διότι ι η εξίσωση 1 γίνεται 0 0που είναι αόριστη. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 17

24 1. Να εξετάσετε αν οι ευθείες και με εξισώσεις : 2 4 και :6 3 2 είναι παράλληλες. Λύση: H έχει κλίση 2. Παραδείγματα H έχει κλίση 2. Παρατηρούμε ότι. Άρα οι ευθείες δεν είναι παράλληλες ς. 2. Δίνονται οι ευθείες :3 3 και : 2 1. Να υπολογίσετε την τ τιμή του ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες. Λύση: H έχει κλίση 3. H έχει κλίση 2. Αν Να βρείτε την εξίσωση της τ ευθείας που περνά από το τ σημείο παράλληλη με την ευθεία : ,1 και είναι Λύση: H ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση με κλίση. Η ευθεία : έχει κλίση. Οι ευθείες και είναι παράλληλες ς άρα, επομένως ς :. Το σημείο 1,1 ανήκει στην ευθεία, επομένως οιι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας, δηλαδή: σημείου Αντικαθιστούμε: 1, 1 στην 1 1 Άρα η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωσηη ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

25 Δραστηριότητες 1. Να εξετάσετε αν οι ευθείες και είναι παράλληλες στιςς πιο κάτω περιπτώσεις: (α) : (β) : 2 (γ) : 4 :242 (δ) : 3 5 :62 10 : 3 (ε) : 6 : 2 : 2 2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο και είναι παράλληλη με την ευθεία σε κάθε μια από τις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) 1,2 : (β) 1,3 : 2 3 (γ) 2,2 : 5 (δ) 2, 2 : 0 (ε) 2, 5 : 2 3. Να βρείτε την τιμή του, ώστε η ευθεία 2 35 να είναι παράλληληη με την ευθεία Δίνονται οι ευθείες : 0 και : 0. Αν να αποδείξετε ότι. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 19

26 Συνθήκη Καθετότητας Δύο Ευθειών Διερεύνηση Τεχνολογία: Να χρησιμοποιήσετε το «CEn6_kathetotita_dierevnisi.ggb». Να μετακινήσετε τον τ δρομέαα στα αριστερά και ναα παρατηρήσετε τις κλίσεις και των καθέτων ευθειών και για να βρείτεε τη συνθήκη σύμφωνα με την οποία οι δύο ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους. Μαθαίνω Αν δύο ευθείες : και ι : είναι κάθετες τότε οι κλίσεις τους έχουν γινόμενο ίσο με 1, δηλαδή. Απόδειξη: Στο σχήμα δίνονται οι κάθετες ευθείες και, με εξισώσεις : και : με 0, 0. y A(1,λ 1) Για την απόδειξη μπορείτε να ανοίξετε το αρχείο : CEn6_kathetotita_apodeiksh.ggb Ο Γ( (1,0) Β(1,λ 2) x Θεωρούμε τα σημεία 1,, 1, και 1,0. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ( 90 ) Από το τρίγωνο 1 2 Από το τρίγωνο 1 λ (επειδή 0). 20 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

27 Από τις (2), (3) και (4) η (1) γίνεται Σημείωση Στην απόδειξη χρησιμοποιήθηκαν ευθείες που διέρχονται από τηνν αρχή των αξόνων ( ). Αυτό δεν επηρεάζει τη γενικότητα της συνθήκηςς καθετότητας, γιατί ευθείες της μορφής, 0 είναι παράλληλες με αυτές της μορφής μ. Παράδειγμα Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο 2, 3 και είναι κάθετη στην ευθεία :23. Λύση: H ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση με κλίση. Η ευθεία : 23 έχει κλίση 2. Οι ευθείες και είναι κάθετες άρα η ζητούμενη ευθεία παίρνει την μορφή., επ πομένως Το σημείο 2,3 ανήκει στην ευθεία, επομένως οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας, δηλαδή: Άρα η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση 2. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 21

28 Δραστηριότητες 1. Να εξετάσετε αν οι ευθείες και είναι κάθετες μεταξύ τους σεε καθεμιά από τις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) :4 3 2 :4 3 7 (β) :243 : 7 (γ) :4 2 3 : 7 2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από τοο σημείο και είναι κάθετη στην ευθεία σε καθεμιά από τις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) 3, 1 : 3 1 (β)) 3, 1 :3 (γ) 3, 1 : 3 3. Να υπολογίσετε την τιμή του, ώστε η ευθεία 1 9 να είναι κάθετη στην ευθεία ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

29 Δραστηριότητες Ενότητας 1. Να εξετάσετε αν οι ευθείες και είναι παράλληλες στιςς ακόλουθες περιπτώσεις: (α) : 3 4 ( β) : 3 (γ) : 5 :3 2 : 3 : 3 2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο καιι είναι κάθετη στην ευθεία σε καθεμιά από τις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) 3,2 : 3 1 (β) 1,3 :8 3. Για ποιες τιμές του οι ευθείες 3 1 και 1 είναι παράλληλες; 4. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές 3,4, 1,0 και 3,2. (α) Να υπολογίσετε τις κλίσεις των πλευρών του τριγώνου. (β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. (γ) Να βρείτε την εξίσωση τουυ ύψους. 5. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα εξισώσεων: α β Σε ένα βιβλιοπωλείο 2 τετράδια και 1 μολύβι κοστίζουν 10, ενώ 3 τετράδια και 5 μολύβια κοστίζουν 22. Να βρείτε πόσο κοστίζει κάθε τετράδιο και ι κάθε μολύβι. 7. Μια παρέα 26 ατόμων θα πάνε εκδρομή και θα μεταφερθούν με 8 οχήματα αυτοκίνητα και μοτοσικλέτες. Με κάθε αυτοκίνητο μεταφέρονται 4 άτομα, ενώ με κάθε μοτοσικλέτα 2 άτομα. Να βρείτεε πόσα αυτοκίνητα και πόσες μοτοσικλέτες θα χρησιμοποιηθούν Αν το σύστημα 2 8 έχει ως λύση 1 και 2, να βρείτε τις τιμές των αριθμών και. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα Ευθεία 23

30 Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Δίνονται οι ευθείες και με εξισώσεις 1 και κ. 1 αντίστοιχα, (α) (β) (γ) Να βρείτεε τις σχετικές θέσεις των δύο ευθειών για τις διάφορες τιμές του. Να υπολογίσετε την τιμή τ του για την οποία οι ευθείες τέμνονται κάθετα. Να υπολογίσετε το εμβαδόν τουυ τριγώνου που σχηματίζεται απόό τις ευθείες και τον άξονα των τετμημένων, ότανν οι ευθείες τέμνονταιι κάθετα. 2. Δίνεται το σύστημα: , Αν το σύστημα έχει μοναδική λύσηη την 10,, και 0, να υπολογίσετε την τιμή του. 3. Αν 2,1, 3, 2 και 6,0 είναι κορυφές του παραλληλογράμμου, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες της κορυφής. 24 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: 6 Γραμμικάά Συστήματα. Ευθεία

31 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

32

33 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣΣ Εξισώσεις Δευτέρου και Ανωτέρου Βαθμού Διερεύνηση Ο καθηγητής των Μαθηματικών πρότεινε στους μαθητές του να α λύσουν ορισμένες ασκήσεις από το βιβλίο τους, για α να εμπεδώσουν την ενότητα ε πουυ διδάχτηκαν. Όταν αυτοί τον ρώτησαν σε ποια σελίδα είναι οι ασκήσεις,, τους απάντησε: Το γινόμε ενο των αριθμών των δύο διαδο οχικών σελίδων στις οποίες βρίσκονται οιι ασκήσεις είναι ίσο μεε 90. Μπορείτε να βρείτε σε ποιες σελίδες είναι γραμμένες οι ασκήσεις; Μαθαίνω Όταν το γινόμενο δύο αλγεβρικών παραστάσεων ισούται με μηδέν, τότε τουλάχιστον μια από αυτές τις παραστάσεις ισούται μεε μηδέν και αντίστροφα. Δηλαδή 0 0 ή 0 Όταν το πηλίκο δύο αλγεβρικών παραστάσεων ισούται με μηδέν, τότε ο αριθμητής του πηλίκου ισούται με μηδέν και ο παρονομαστής είναι διάφορος από το μηδέν και αντίστροφα Σημείωση Κάθε εξίσωση της μορφής 0, 0 (εξίσωση α βαθμού) έχει λύση τον αριθμό. ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 27

34 Παραδείγματα 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) (β) (γ) 0 (δ) Λύση: (α) ή 30 2 ή 3 (β) ή 1 0 ή ή 1 ή 2 ή 1 ή 2 (γ) 0 0 ή 0 ή (δ) ή ή 2 δηλαδή 2 2. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) 3 50 (β) 40 (γ) 3 60 (δ) ε ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

35 Λύση: (α) ή ή ή 5 3 (β) ή 20 2 ή 2 (γ) ή ή 2 (δ) ή 1 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 29

36 (ε) ή 80 ή ή 8 ή 8 3. Να λύσετε την εξίσωσ η Λύση: y 2 3y 1, y 2 0 y 2 4 y ή ή 12 Οι λύσεις είναι δεκτές. Θέτουμε περιορισμοπ ούς Εφαρμόζουμε ιδιότητες των αναλογιών. Λύνουμε την εξίσωσηη που προκύπτει Ελέγχουμεε κατά πόσοο οι λύσεις που βρήκαμε τηρούν τουςς περιορισμούς. 30 ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

37 Δραστηριότητες 1. Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις πιο κάτω προτάσεις ωςς Σωστή ή Λάθος. (α) (β) (γ) (δ) (ε) Η εξίσωση έχει λύσηη 1. Αν 10 τότε 1 ή 1. Αν 3 0 τότε 3. H εξίσωση 0 0 είναι αδύνατηη εξίσωση. Η εξίσωση 0 3 έχει λύση Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σεε καθεμιά από τις πιο κάτω κ προτάσεις: (α) Η εξίσωση 2 0 έχει τη λύση: Α) 2 Β) Γ) 0 Δ) 2 (β) Η εξίσωση έχει τη λύση: Α) 2 Β) 2 Γ) 1 Δ) 1 (γ) Η εξίσωση Α) είναι αδύνατη Β) ) είναι αόριστη Γ) έχει λύση 1 Δ) έχει λύση 0 (δ) Η εξίσωση 4 έχει λύσεις Α 2 ή 2 Β) 2 Γ) 22 0 ή 2 (ε) Η εξίσωση 2 x 1 0 έχει λύσειςς τις x 1 Α 1 Β) 1 ή 0 Γ) 1 Δ) 11 ή 1 (στ) Αν η εξίσωση έχει λύση 1, τότε το είναιι ίσο με Α) 1 Β) 1 Γ) 2 Δ) 0 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 31

38 3. Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) Να λύσετε την εξίσωση: 5. Να λύσετε την εξίσωση: 32 ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

39 Επίλυση Εξίσωσης 2 ου Βαθμού Διερεύνηση (α) (β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο Να λύσετε την εξίσωση χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμαα που βρήκατε στο (α) ερώτημα. Μαθαίνω Κάθε εξίσωση της μορφής 0 με 0 ονομάζεται εξίσωση 2 ου βαθμού. Αν 4 0, τότε οι λύσεις ή ρίζες της εξίσωσης 0,0 είναι:, 4 2 Η παράσταση 4 συμβολίζεται με Δ και ονομάζεται Διακρίνουσα της εξίσωσης δηλαδή : 4 Aν 0 έχει δύο πραγματικές άνισες ρίζες τις, Aν 0 έχει μια πραγματική διπλή ρίζα τη Αν 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 33

40 Απόδειξη 0, Πολλαπλασιάζουμε και τα εξίσωσης επί 4. δύο μέλη της Προσθέτουμε και αφαιρούμε το, για να προκύψει τέλειοο τετράγωνο. 2 4 Αν θέσουμε Δ 4, τότε η εξίσωση γίνεται: 2 Δ Διακρίνουμε τώρα τρεις περιπτώσεις: (i) 4 0. Στην περίπτωση αυτή η Δ είναι πραγματικός αριθμός και έχουμε: 2 Δ 2 Δ 0 2 Δ2 Δ 0 2 Δ 0 ή 22 ΔΔ 0 2 Δ 0 ή 22 ΔΔ 0 και Επομένως, η εξίσωση 0, 0 έχει δύοο ρίζες πραγματικές και άνισες που για συντομία γράφονται,. (ii) (iii) 4 0, Επειδή τώρα βρήκαμε δύο ίσες λύσεις λέμε ότι η εξίσωση μας έχει μια διπλή πραγματική ρίζα την Η εξίσωση 2 Δ είναι αδύνατη αφού 0 και κ 2 0. Επομένως, η εξίσωση 0, 0 δεν έχει πραγματικέςς ρίζες. 34 ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

41 Παραδείγματα 1. Να λύσετε οι πιο κάτω εξισώσεις: (α) (γ) 1 0 (ε) 2 30 (β) (δ) 54 (στ) (ζ) 4 80 (η) Λύση: (α) 2 60, 2, 1, 6 Έχουμε Δ , επομένως η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες:, (β) , 16, 8, 1 Έχουμε ότι Δ , επομένως ε η εξίσωση μας έχει μια διπλή πραγματική ρίζα την (γ) 10, 1, 1, 1 Έχουμε Δ , επομένως η εξίσωση έχει δύο λύσεις πραγματικές και άνισες., ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 35

42 (δ) 5 4, , 4, 5 Έχουμε Δ , επομένως η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες:, (ε) (στ) ή 2. (ζ) , η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες (διότι 0). (η) 2 40, 1, 2, 4 Έχουμε , επομένως ε η εξίσωση μας δεν έχει πραγματικές ρίζες. 36 ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

43 2. Να λύσετε την εξίσωση Λύση: Αναλύουμε τους παρονομαστές , Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών. Θέτουμε περιορισμούς Κάνουμε απαλειφήή των παρονομαστών, μετατρέποντας τα κλάσματα σε ομώνυμα Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει Δ , Η λύση 4 είναι δεκτή και η λύση 3 απορρίπτεται. Ελέγχουμε κατά πόσο οι λύσεις που βρήκαμε τηρούν τους περιορισμούς ή όχι και ανάλογα δεχόμαστε ή απορρίπτουμε συγκεκριμένες λύσεις. ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 37

44 Δραστηριότητες 1. Να αντιστοιχίσετε την κάθε εξίσωση της στήλης Α με μια πρόταση απόό τη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β I. 560 (α) Έχει δύο πραγματικέπ ές και II. 420 άνισες ρίζες. III. 40 (β) Έχει δύο πραγματικέπ ές και IV. 210 ίσες ρίζες. V. 2 0 (γ) Δεν έχει πραγματικέπ ς ρίζες. VI Να λύσετε τις εξισώσεις (α) 6 0 (β) 690 (γ) (δ) (ε) 2 20 (στ) (ζ) Nα λύσετε τις εξισώσεις (α) 2 40 (β) (γ) ) 7 (δ) Nα υπολογίσετεε το στα πιο κάτω σχήματα. x 2 cm x 2 cm E=16 cm² 38 ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

45 5. Tα πιο κάτω σχήματα έχουν το ίδιο εμβαδόν. Να υπολογίσετε την τιμήή του. x cmm 3 cm (x+ 1) cm (x+ 2) 2 cm 6. Σε έναν αριθμό προσθέτουμε τον αντίστροφο του και βρίσκουμε. Να α βρείτε ποιος είναι ο αριθμός αυτός. 7. Στο σχήμα το εξωτερικό τετράγωνο έχει πλευρά και τοο εσωτερικό τετράγωνο έχει πλευρά. (α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους είναι:. (β) Να υπολογίσετε την τιμή του εάν γνωρίζετεε ότι το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους είναι. 8. Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις: (α) (β) (γ) (δ) (ε) ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμούύ 39

46 Δραστηριότητες Ενότητας 1. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο μεε διαστάσεις 5 και 5, έχει εμβαδόν 24. Να βρείτε τις διαστάσεις του. 2. Να βρείτε δύο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς που ταα τετράγωνά τους να έχουν άθροισμα Δίνεται το πολυώνυμο 1 1 7: (α) Να αποδείξετε ότι (β) Να λύσετε την εξίσωση 0 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) 9 (β) (γ) (δ) 6 (ε) (ζ) (θ) α22αα 8 0 (στ) (η) (ι) α 5α 6α (ια) (ιγ) (ιβ) Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) (γ) (β) (δ) 6. Να βρείτε δύο διαδοχικούς ακέραιουςς αριθμούς που το γινόμενό τουςς είναι ΕΝΟΤΗΤΑΑ 6: Εξισώσεις Ανωτέρου Βαθμού

47 ΕΝΟΤΗΤΑ 7 Συναρτήσεις Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

48

49 Συναρτήσεις Εξερεύνηση Να μελετήσετε τα πιο κάτω σενάρια: 1 ο Σενάριο: Εισάγουμε τα αρχικά ενός ατόμου, σε μια βάση δεδομένων δ ν και εμφανίζεται η ημερομηνία γέννησής του. Τεχνολογία: Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αρχείο CEn8_BashDedomenon.xls 2 ο Σενάριο: Σχεδιάζουμε ένα ταξίδι και εισάγουμε στον υπολογιστή μας ένα ποσό χρημάτων, που διαθέτουμε για αεροπορικά εισιτήρια. Ο υπολογιστής μάς δίνει τους διαφορετικούς προορισμούς, στους οποίους μπορούμε να ταξιδέψουμε με το συγκεκριμένο ποσό χρημάτων. ΕΝΟΤΗΤΑ 7: Συναρτήσεις 43

50 3 ο Σενάριο: Λέμε σε ένα φίλο μας έναν οποιοδήποτε αριθμό, τονν υψώνει στο τετράγωνο, στη συνέχεια προσθέτει 2 και μας λέει τοο αποτέλεσμα. Τεχνολογία: Μπορείτεε να χρησιμοποιήσετε το αρχείο CEn8_ArithmosApotelesma.xls 4 ο Σενάριο: Στο τέλος του τετραμήνου, η βαθμολογία των μαθητών στα σ Μαθηματικά τοποθετείται σε έναν πίνακα που παρουσιάζει τον αριθμό μητρώου του μαθητή στην αριστερή στήλη και το βαθμό του μαθητή στη δεξιά στήλη. Να περιγράψετε τις ομοιότητες και τις διαφορές των πιο πάνω σεναρίων. Σε ποιες περιπτώσεις νομίζετε ότι το είναι συνάρτηση του ; Γιατί; Διερεύνηση Ένα ορθογώνιο έχει αρχικές διαστάσεις 4 και 3,, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η μια διάσταση του ορθογωνίου παραμένει σταθερή και η άλλη αυξάνεται κατά. (α) Αν συμβολίσουμε το εμβαδόν τουυ ορθογωνίου με, ναα βρείτε τον τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού. (β) Για πέντε διαφορετικές τιμές του, να υπολογίσετε το εμβαδόν και να κατασκευάσετε τον αντίστοιχο πίνακα τιμών. x cm 3 cm y = 3 4 cm 2 4 cm (γ) Να υπολογίσετε την τιμή του, όταν το εμβαδόν γίνει ΕΝΟΤΗΤΑ 8: Συναρτήσεις

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Λυκείου Α τεύχος ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Α Λυκείου, Α Τεύχος Συγγραφή: Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολική Χρονιά: 015-016 Ασκήσεις Επανάληψης για την B Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί Αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα 1. Να γράψετε σε μορφή δύναμης τα πιο κάτω: 1) ².³ = ) (³) 5 = 3) 5 : 8 = 4) ( 5. 7 ) :

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 5. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 Ορισμοί Ονομάζουμε συνάρτηση την διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε μια μόνο τιμή της μεταβλητής. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = -

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο (ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Παράγραφος 1.1 (ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Πότε μια εξίσωση λέγεται γραμμική; Η εξίσωση α + βy = γ Κάθε εξίσωση της μοεφής α + βy = γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση, παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι Οι συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων είναι: Α(2,3),

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικές Προτάσεις Πλοηγηθείτε: http://www.youtube.com/watch?v MtmJ3BArAgA Διαβάστε: Λ. Κάρολ, Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων, Εκδόσεις Πατάκη Δείτε: Alice in

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Μεθοδική Επανάληψη www.askisopolis.gr Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Ε. Σύνολα i. Τι είναι το σύνολο; ii. Ποιοι είναι οι βασικοί τρόποι παράστασης συνόλων και τι γνωρίζετε γι αυτούς; iii. Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

[TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

[TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνεται η συνάρτηση α) Να υπολογίσετε το άθροισμα (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της f με τους άξονες.

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

y x y x+2y=

y x y x+2y= ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 59 3. 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση α+β=γ Λύση μιας εξίσωσης α + β = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, ) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

y είναι πάντα σταθερός και ίσος µε α, δηλα- y x 0.O λόγος αυτός λέγεται κλίση της ευθείας y = αx. x ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

y είναι πάντα σταθερός και ίσος µε α, δηλα- y x 0.O λόγος αυτός λέγεται κλίση της ευθείας y = αx. x ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α Ποσά ανάλογα- Η συνάρτηση =α Δύο ποσά λέγονται ανάλογα, όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιµές του ενός ποσού µε έναν αριθµό, τότε και οι αντίστοιχες τιµές του άλλου πολλαπλασιάζονται

Διαβάστε περισσότερα

MATHematics.mousoulides.com

MATHematics.mousoulides.com ΟΔΗΓΙΕΣ: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 3 (Θέματα από τελικό γραπτό Ιουνίου 2014, Γυμνασίου Αρχαγγέλου Μιχαήλ) Επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Να γράφετε μόνο με μελάνι μπλε ή μαύρο,

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η ευθεία με εξίσωση y=αx+β. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β 0 είναι µια ευθεία παράλληλη της ευθείας µε εξίσωση y = αx, που διέρχεται από το σημείο β του άξονα y'y.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013. Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ.

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013. Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ. ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΤΑΞΗ: B ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ώρες ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 12 / 6 / 2013 Βαθμός: Ολογράφως: Υπογραφή: Όνομα μαθητή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα