Studentov t-test. razlike. t = SG X
|
|
- Άρχιππος Τρικούπη
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Studentov t-test Najčešće upotrebljavan parametrijski test značajnosti za testiranje nulte hipoteze je Studentov t-test. Koristi se za testiranje značajnosti razlika između dve aritmetičke sredine. Uslovi za primenu t testa: Obe varijable koje se testiraju moraju biti numeričke Ukoliko je veličina uzorka manja od 30 jedinica, raspored treba biti normalan ili bar simetričan Za njegovo realizovanje potrebno je poznavati parametre statističkog skupa: veličinu uzorka (n), standardnu devijaciju (SD), i aritmetičku sredinu ( X ). Nije potrebno poznavanje varijanse osnovnog skupa, pa je ovaj tip testa praktičniji od z testa, jer se testiranje hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa najčešće odvija u uslovima kada je varijansa osnovnog skupa nepoznata. U tim uslovima varijansu osnovnog skupa procenjujemo na osnovu varijanse uzorka, odnosno grešku ocene aritmetičke sredine osnovnog skupa izračunavamo na osnovu standarne devijacije uzorka po obrascu: SDuz SG n gde je n- stepen slobode. Pod uslovom da osnovni skup uma normalan raspored ili da je n>30, a varijansa osnovnog skupa nije poznata, testiranje hipoteze zasniva se na statistici Studentovog t-testa, koji se izračunava po obrascu: t X uz X SD uz n os gde je X osnovnog skupa hipotetična, unapred poznata vrednost. Studentov t-test se koristi i za testiranje razlike aritmetičkih sredina dva velika ili dva mala uzorka, gde je njegova vrednost količnik između razlike aritmetičkih sredina i standardne greške ocene te razlike, pa je njegov opšti obrazac: t s tan dardna razlika greška ocene razlike X X SG X _ X
2 Već smo istakli: ako se razlike aritmetičkih sredina uzoraka simetrično raspoređuju oko prave razlike, onda je logično da i njihove standardne greške imaju normalan raspored oko prave greške, pa mogu da se aproksimiraju normalnim standardizovanim rasporedom. Tumačenje dobijene vrednsti t testa bazira se na Studentovom t rasporedu sa određenim brojem stepena slobode i studentovim tablicama kritičnih vrednosti t rasporeda (Prilog). Iz svega napred rečenog proizilaze pravila: Ako je realizovana t-vrednost manja od granične tablične vrednosti za odgovarajući broj stepena slobode i prag značajnosti, nulta hipoteza se prihvata kao tačna, a odbacuje alternativna hipoteza. t-realizovano < t (SS i 0,05) Ho se ne odbacuje jer je rizik veći od 5% (p>0,05) Obrnuto, ako je realizovana t-vrednost jednaka ili veća od granične tablične vrednosti, za odgovarajući broj stepena slobode i prag značajnosti, nulta hipoteza se odbacuje kao netačna, a prihvata se alternativna hipoteza: t-realizovano t (SS i 0,05) odbacuje se nulta hipoteza za nivo rizika p0,05, odnosno za nivo sigurnosti P0,95 (95%) t-realizovano t (SS i 0,0) odbacuje se Ho i za nivo rizika p0,0, odnosno za nivo sigurnosti P0,99 (99%). Sa povećanjem uzorka t-raspored se približava standardizovanom normalnom z- rasporedu, i kod velikih uzoraka (n>30 ili n +n >60 jedinica) poprima sve osobine ovog rasporeda i t-vrednost se "ponaša" kao z-vrednost.
3 Kod velikih uzoraka gornja pravila o prihvatanju ili neprihvatanju H 0 se uprošćavaju i ne zahtevaju primenu tablice Studentovog t-rasporeda, već se zaključivanje zavisno od nivoa dozvoljene granice greške vrši na sledeći način: za p0,05 Ako razlika padne u intervalu 0±,96SG nije značajna; t<,96 i Ho se prihvata; p>0,05 Ako razlika padne van intervala 0±,96SG značajna je; Ho se odbacuje; p<0,05 za p0,0 Ako razlika padne u intervalu 0±,58SG nije značajna; t<,58 i Ho se prihvata; p>0,05 Ako razlika padne van intervala 0±,58SG značajna je; Ho se odbacuje i za nivo p<0,0 Postoji šest tipova t testa: t test razlike između aritmetičke sredine osnovnog skupa i uzorka t test razlike između aritmetičkih sredina dva mala nezavisna uzorka t test razlike između aritmetičkih sredina dva mala zavisna uzorka t test razlike između aritmetičkih sredina dva velika nezavisna uzorka t test razlike između aritmetičkih sredina dva velika zavisna uzorka t test proporcije Navedenu podelu potrebno je samo poznavati, jer računar vodi računa o malim i velikim uzorcima i na korisniku je da samo izabere vrstu t testa (jedan uzorak za t test osnovnog skupa i uzorka, upareni uzorci kod zavisnih ili neupareni kod nezavisnih uzoraka). Vrednosti testa dobijene računskim putem zbog zaokruživanja na određen broj decimala mogu se neznatno razlikovati od vrednosti dobijenih kompjuterskim programima. t-test razlike između aritmetičkih sredina osnovnog skupa i uzorka Testira značajnost razlike između prosečnih vrednosti osnovnog skupa i uzorka. Uslov za primenu ovog testa je da je aritmetička sredina osnovnog skupa iz iskustva poznata ili da je to unapred propisana vrednost. Na primer, u medicini propisane normalne vrenosti eritrocita, holesterola, krvnog pritiska, bilirubina, uree itd. Osnovni skup za ove "normalne" vrednosti predstavljaju zdrave osobe. Obrazac za ovaj test je : t X X SG uz os SDuz SG n Stepen slobode se određuje po formuli: S.S. n Ako je: 3
4 t-realizovano < t (SS i 0,05), prihvata se Ho a odbacuje Ha, p>0,05, t-realizovano t (SS i 0,05),odbacuje se Ho a prihvata Ha, p < 0,05, t-realizovano t (SS i 0,0), odbacuje se Ho a prihvata Ha i za nivo p < 0,0. Primer: Normalne vrednosti holesterola kod zdravih osoba se kreće od 3,-5,8 mmol/l, tako da je x 3,+5,8/4,45. Odabran je zatim uzorak od (n) dijabetičara, određen holesterol i dobijene su vrednosti x 5,88 i SD0,64. Osnovno pitanje je da li se vrednost holesterola nalazi u granicama normale, odnosno da li se njihova prosečna vrednost od 5,88 značajno razlikuje od proseka osnovnog skupa, odnosno od 4,45. Problem rešavamo testiranjem razlike, pa zato izračunamo kolika je ta razlika: X uz X os 5,88 4,45,43mmol / l. Postavljamo hipoteze: Ho: Razlika od,43 mm mol/l holesterola nije statistički značajna već je posledica dejstva slučajnih faktora i ima karakter slučajne varijabilnosti. Uzorak se ponaša kao da pripada osnovnom skupu zdravih. Ha: Razlika od,43 mm mol/l holesterola je statistički značajna i verovatno je posledica uticaja dijabeta, tako da uzorak ne pripada osnovnom skupu zdravih.. Odabir odgovarajućeg testa, čija je formula u ovom slučaju: t X X SG 5,88 4, SG uz os 45 SDuz SG n 0,64 0,4 t,43 0,4 0, 3. Stepen slobode za naš primer je: SSn--0 Za broj stepena slobode 0 i prag značajnosti od 0,05 u tablicama očitavamo da je t,09, a za isti broj stepena slobode i za p0,0 granična tablična vrednost je t,84. 4
5 t 0, > t (0 i 0,05),09 i p<0,05 Kako je realizovana t-vrednost od 0, veća od granične tablične vrednosti, t,09, za broj stepeni slobode 0 i prag značajnosti od p0,05, to odbacujemo nultu i prihvatamo alternativnu hipotezu sa greškom p<0,05 i sigurnošću P>95% tvrdimo da kod dijabetičara holesterol pokazuje znatno veće vrednosti nego kod zdravih osoba. To je verovatno posledica dejstva same bolesti. Uzorak od dijabetičara prema visini holesterola ne pripada osnovnom skupu zdravih. t 0, > t (0 i 0,0),84 i p<0,0 Kako je realizovana t-vrednost od 0, veća od granične tablične vrednosti, t,84, za broj stepeni slobode 0 i prag značajnosti od p0,0, to odbacujemo nultu i prihvatamo alternativnu hipotezu sa greškom p<0,0 i sigurnošću P>99% tvrdimo da kod dijabetičara holesterol pokazuje znatno veće vrednosti nego kod zdravih osoba. 5
6 U SPSS-u se ovaj zadatak radi na sledeći način: Da bi se aktivirao t test za osnovni skup i uzorak treba otići u Analyse/Compare Means/One- Sample T Test, na koji se klikne i pojavljuje se sledeći prozor: U Test Variable treba ubaciti varijablu sa vrenostima holesterola dijabetičara, a u Test Value prosečnu vrednost holesterola zdravih osoba koja iznosi 4,45. Klikne se na OK i u Output-u dobiju rezultati: 6
7 U prvoj tabeli je deskriptivna statistika varijable holesterol: veličina uzorka (N), X, SD i SG. U drugoj tabeli redom su date vrednosti: t, S.S., p, razlike između prosečnih vrednosti i 95% intervala poverenja te razlike. t-test razlike između aritmetičkih sredina dva velika nezavisna uzorka Testira značajnost razlike između prosečnih vrednosti dva velika nezavisna uzorka. Vrednost t testa se izračunava po formuli: t X SD n X SD + n gde su: X - aritmetička sredina jednog uzorka (obično se uzima veća vrednost da bi se izbegao negativan predznak) SD - varijansa istog uzorka n - veličina prvog uzorka SD - varijansa drugog uzorka n - veličina drugog uzorka uz uslov: n>30 ili n +n >60 Zaključak se donosi na sledeći način: t-realizovano < t,96, prihvata se Ho a odbacuje Ha, p>0,05, t-realizovano t,96,odbacuje se Ho a prihvata Ha, p < 0,05, t-realizovano t,58, odbacuje se Ho a prihvata Ha i za nivo p < 0,0. Pimer: Ispitivana je visina holesterola u krvi kod populacije seoskog i gradskog stanovništva. Merenje je izvršeno na slučajnim uzorcima odraslog stanovništva i kod 00 stanovnika sa sela prosečna vrednost holesterola iznosila je X 7,5, a SD 0,9. Kod 50 ispitanika iz grada prosečna visina holesterola bila je X 6,73, a SD 0,85. 7
8 Da li postoji značajna razlika izmedju proseka visine holesterola kod gradskog i seoskog stanovništva i da li je ona posledica razlike u načinu ishrane ili je posledica slučajnog karaktera? Ho: 7,5 6,73 0,77 nije statistički značajna Ha: 7,5 6,73 0,77 je značajna razlika i posledica je različitog načina ishrane t SD SD + n n X X 7,5 6,73 0,9 0, ,6 t 9,6 > t,96 i p<0,05 Kako je realizovana t-vrednost od 9,6 veća od granične vrednosti t,96 za prag značajnosti od p0,05, to odbacujemo nultu i prihvatamo alternativnu hipotezu sa greškom p<0,05 i sigurnošću P>95% tvrdimo da je razlika između prosečne visine holesterola seoskog i gradskpog stanovništva statistički značajna. To je verovatno posledica razlike u načinu ishrane. t 9,6 > t,58 i p<0,0 Kako je realizovana t-vrednost od 9,6 veća i od granične vrednosti t,84 za prag značajnosti od p0,0, to odbacujemo nultu i prihvatamo alternativnu hipotezu sa greškom p<0,0 i verovatnoćom P>99%. U SPSS-u se zadatak radi na sledeći način: Pre izračunavanja testa napomena da treba formirati grupnu varijablu u kojoj se šifriraju ispitivane grupe, tj. u redovima u kojima su ispitanici sa sela u rubrici grupne varijable upisuje se šifra selo, a za ispitanike iz grada šifra grad. Vrednosti holesterola svih ispitanika (i onih sa sela i onih iz grada) date su u varijabli holesterol. Da bi se aktivirao t test za nezavisne uzorke treba otići u Analyse/Compare Means/Independent-Samples T Test. 8
9 Nakon toga pojavljuje se sledeći prozor: U Test Variable treba ubaciti varijablu koju ispitujemo, tj. varijablu holesterol. U Grouping Variable treba ubaciti grupnu varijablu u kojoj smo šifrirali seosko i gradsko stanovništvo, tj. varijablu šifra. 9
10 Sada treba definisati kako su šifrirane grupe ispitanika. Klikne se na Define Groups i pojavi se sledeći prozor: grad. U Group upiše se šifra prve grupe ispitanika, tj. selo, a u Group druge grupe, tj. 0
11 Klikne se na Continue: pa na OK i u Output-u se dobiju rezultati:
12 U prvoj tabeli je deskriptivna statistika varijabli selo i grad, tj. seoskog i gradskog stanovništva: veličina uzorka (N), X, SD i SG. U drugoj tabeli (u redu Equal variances assumed) čitamo vrednost t testa (u koloni t) i grešku p (u koloni Sig. -tailed). t-test razlike između aritmetičkih sredina dva velika zavisna uzorka Testira značajnost razlike između prosečnih vrednosti dva velika zavisna uzorka. Ako se eksperiment izvodi po metodu jedne grupe (jednog uzorka ) gde je istovremeno grupa i kontrolna i eksperimentalna, onda se vrednosti ispitivanog obeležja mere i izračunavaju parametri pre i posle delovanja eksperimentalnog faktora. To je tzv. nulta faza merenja. Zatim se grupa podvrgava eksperimentalnom faktoru i po završetku eksperimenta mere se vrednosti istog obeležja i izračunavaju parametri. U postupku se dalje testira razlika između parametara pre (nulta faza) i nakon delovanja eksperimentalnog faktora. Međutim, u proceduri ne može da se kod iste osobe (kod istog objekta) isključi zavisnost vrednosti koje nastaju pri dejstvu eksperimentalnog faktora od početnih vrednosti. Između ovih vrednosti postoji izvestan stepen korelacije, pa se u formulu za izračunavanje t testa uvodi i faktor korelacije tj. vrednost koeficijenta linearne korelacije, kao relativne mere stepena korelacije. Uvodi se i faktor korelacije tj. vrednost koeficijenta linearne korelacije, kao relativne mere stepena korelacije. Vrednost t testa kod dva velika zavisna uzorka zavisi i od vrednosti koeficijenta linearne korelacije, pa obrazac ima izraz:
13 t-test razlike između aritmetičkih sredina dva mala nezavisna uzorka Koristi se za testiranje značajnosti razlike aritmetičkih sredina dva mala nezavisna uzorka, čije se aritmetičke sredine osnovnog skupa raspoređuju u vidu Studentovog t rasporeda. Naravno, podrazumeva se da su uzorci jednaki i dobijeni metodom slučajnosti iz istog uzorka. Njegova formula je: t ( n ) SD + ( n ) x n + n x SD n + n n n Data formula za t-test može se primeniti i za testiranje razlike aritmetičkih sredina dva velika nezavisna uzorka, ali ne i obrnuto. Pri tumačenju realizovane t-vrednosti obavezna je primena i Studentovih tablica t- rasporeda Stepen slobode se određuje po formuli: S.S n + n. Ako je: t-realizovano < t (SS i 0,05), prihvata se Ho a odbacuje Ha, p>0,05, t-realizovano t (SS i 0,05),odbacuje se Ho a prihvata Ha, p < 0,05, t-realizovano t (SS i 0,0), odbacuje se Ho a prihvata Ha i za nivo p < 0,0. 3
14 Primer: Izmeren je radijalni puls kod dve grupe pacijenata. Jedna grupa je imala ugrađen pejsmeker, a druga nije imala. Dobijene su sledeće vrednosti: N Sa pejsmejkerom Bez pejsmejkera X X X X Da li postoji statistički signifikantna razlika između proseka radijalnog pulsa kod ove grupe pacijenata? Moraju se izračunati aritmetičke sredine i standardne devijacije za obe grupe, prema već poznatim obrascima: X 689 X 745 X 68,9 X 74, 5 n 0 n 0 SD X ,9 X n 0 5,0 SD X ,5 X n 0 5,63 Sada se može pristupiti testiranju. Ho: 74,5-68,95,6 nije statistički značajna; Ha: 74,5-68,95,6 statisticki je značajna i posledica je ugradnje pejsmejkera. t ( n ) SD + ( n ) x n + n x SD n + n n n 5,6 9 5, , ,6,38,35 4
15 SS n + n Za SS 8 i za p 0,05 granična tablična vrednost je t,0 t,35 > t (8 i 0,05),0 i p < 0,05 Kako je realizovana t-vrednost od,35 veća od granične tablične vrednosti t,0, za broj stepeni slobode 8 i prag značajnosti od p0,05, to odbacujemo nultu hipotezu i prihvatamo alternativnu sa greškom p>0,05 i sigurnošću P>95% tvrdimo: razlika od 5,6 između prosečnog radijalnog pulsa pacijenata sa i bez pejs mejkera je statistički značajna. t,35 < t (8 i 0,0),88 i p > 0,0 Greška p<0,05, ali je p>0,0, tako da ne možemo tvrditi i sa sigurnošću većom i od 99% da je razlika signifikantna. U SPSS-u se t test razlike između aritmetičkih sredina dva mala nezavisna uzorka radi kao i t test za dva velika nezavisna uzorka. t-test razlike između aritmetičkih sredina dva mala zavisna uzorka 5
16 Da bi se izbeglo izračunavanje koeficijenta linearne korelacije, kod dva mala zavisna uzorka primenjuje se posebna tehnika izračunavanja, poznata kao t-test diferencije. Princip "diferencije" sastoji se u tome da se niz individualnih razlika, tretira kao poseban uzorak, za koga se izračunava X diferencije, SD diferencije i SG diferencije. Vrednost t-testa se dobija, kao količnik aritmetičke sredine diferencije ( X diferencije ) i standardne greške diferencije (SG diferencije ) pa je njegova formula: Pri tumačenju realizovane t-vrednosti obavezna je primena i Studentovih tablica t- rasporeda Stepen slobode se određuje po formuli: S.S n -. Ako je: t-realizovano < t (SS i 0,05), prihvata se Ho a odbacuje Ha, p>0,05, t-realizovano t (SS i 0,05),odbacuje se Ho a prihvata Ha, p < 0,05, t-realizovano t (SS i 0,0), odbacuje se Ho a prihvata Ha i za nivo p < 0,0. x Primer: Izmeren je sistolni pritisak kod jednog fudbalskog tima, neposredno pre i neposredno posle odigrane utakmice. Dobijene su sledeće vrednosti: dif t SG dif fudbaler pre posle Da li postoji statistički značajna razlika u sistolnom krvnom pritisku fudbalera pre i posle utakmice? Ho: Ne postoji signifikantna razlika u sistolnom pritisku fudbalskog tima pre i posle utakmice Ha: Postoji signifikantna razlika u sistolnom pritisku fudbalskog tima pre i posle utakmice Sada pravimo radnu tabelu: Fudbaler Sistolni pritisak niz N diferencije d ( X X ) X dif d pre ( X ) posle ( X ) X X
17 Σ ( X X ) 44 X dif 4 prosečno povećanje pulsa po jednom fudbaleru n SD [( X X ) X dif ] dif n n d 6 3,84 SG dif SDdif n 3,84 3,84 0 3,84 3,6, t x dif SGdif 4, 3,8 S.S. n- - 0 t 3,8 > t (0 i 0,05),3 i p < 0,05 Kako je realizovana t-vrednost od 3,8 veća od granične tablične vrednosti, t,3, za broj stepeni slobode 0 i prag značajnosti od p0,05, to odbacujemo nultu i prihvatamo alternativnu hipotezu sa greškom p<0,05 i sigurnošću P>95% tvrdimo da postoji signifikantna razlika u sistolnom pritisku fudbalskog tima pre i posle utakmice. t 3,8 > t (0 i 0,0) 3,7 i p < 0,0 Kako je realizovana t-vrednost od 3,8 veća od granične tablične vrednosti, t3,7, za broj stepeni slobode 0 i prag značajnosti od p0,0, to i na ovom nivou odbacujemo nultu hipotezu i sa sigurnošću većom od 99% tvrdimo da je razlika statistički značajna. 7
18 U SPSS-u se testiranje razlike između aritmetičkih sredina zavisnih uzoraka vrši na sledeći način: Da bi se aktivirao t test za zavisne uzorke treba otići u Analyse/Compare Means/Paired-Samples T Test. Nakon toga se pojavi sledeći prozor: 8
19 Zatim se obeleži varijabla sa vrednostima pre eksperimenta, tj. varijabla pre i na taj način prebaci u Current Selection na mesto prve varijable (Variable ) i posle eksperimenta, tj. varijabla posle i stavi na mesto druge varijable (Variable ). Tako uparene vrednosti pre i posle eksperimenta se prebace u Paired Variables. 9
20 Klikne se na OK i u Output-u dobiju rezultati: U poslednjoj tabeli se čita vrednost t testa (u koloni t) i greška p (u koloni Sig. -tailed). t-test proporcije Na istim principima na kojima se testira i ocenjuje razlika između dve aritmetičke sredine može da se oceni i značajnost razlike između dve proporcije. Proporcije mogućih jednakih uzoraka dobijenih iz istog osnovnog skupa, raspoređuju se u vidu binomnog rasporeda oko prave proporcije skupa. Kada su uzorci veći od 30 jedinica i kada je verovatnoća "povoljnog" događaja blizu vrednosti od 0,5 mogu da se koriste tablice normalnog rasporeda. Za distribuciju proporcija uzoraka, kao i za aritmetičke sredine uzoraka, može da se izračuna standardna greška proporcije, koja pokazuje koliko je proporcija nekog uzorka udaljena od prave proporcije osnovnog skupa, odnosno što je važnije - koliko je prava proporcija osnovnog skupa udaljena od proporcije uzorka. Ako je uzorak dovoljno veliki (n > 30, neki smatraju i n > 00), obrazac za standardnu grešku proporcije je: SG p p q ili n SG p p ( p) n 0
21 gde je: n - veličina uzorka, a p i q - proporcije dihotomnih modaliteta, odnosno p je relativno (proporcionalno) učešće posmatranog modaliteta u uzorku. Standardnu grešku razlike proporcija dva uzorka, izračunavamo kao koren iz zbira kvadrata grešaka proporcija: SG p q q p p + n n ili p SG p ( p ) p ( p ) p p n n + Da bi se pokazala statistička značajnost razlike proporcija dva uzorka (p - p) i odbacila nulta hipoteza kod proporcija, ta razlika mora da bude odgovarajući broj puta veća od njene standardne greške pa je obrazac za t-test razlike proporcija dva velika nezavisna uzorka: t p p q n p p q + n Zaključak se donosi na sledeći način: t-realizovano < t,96, prihvata se Ho a odbacuje Ha, p>0,05, t-realizovano t,96,odbacuje se Ho a prihvata Ha, p < 0,05, t-realizovano t,58, odbacuje se Ho a prihvata Ha i za nivo p < 0,0. Primer: U grupi od 50 muškaraca od hipertenzije je obolelo 45, a u grupi od 00 žena iste starosne dobi od hipertenzije je bolovalo 70. Da li postoji statistički značajna razlika među polovima po zastupljenosti hipertenzije? H0: Ne postoji signifikantna razlika između zastupljenosti hipertenzije kod mučkaraca i žena Ha: Postoji signifikantna razlika između zastupljenosti hipertenzije kod mučkaraca i žena U postupku najpre izračunavamo proporcije za oba uzorka: 45 p 0,3 ; q p 0, p 0,35 ; q p 0, Diferencija p p 0,35 0,3 0,05 ili 5% Iz dobijenih vrednosti sledi: t 0,99 < t,96 i p > 0,05
22 Kako je dobijena vrednost t0,99 manja od,96, ne postoji statistički značajna razlika između zastupljenosti hipertenzije kod muškaraca i žena. Nulta hipoteza nije odbačena jer je p>0,05. Kod t testa razlike proporcija dva velika zavisna uzorka u obrazac se uvodi korektivni faktor zbog korelacije među posmatranim modalitetima, pa formula glasi: t p p p q p q p q p q + r + n n n n Na ilustraciji t testa razlike između proporcija dva mala uzorka nećemo se zadržavati, jer se u praksi znatno višeupotrebljava neparametrijski χ test. Zadaci za vežbanje. U porodilištu u Nišu je izmereno 70 novorođenčadi i dobijene su sledeće vrednosti: X 3450g, SD80g. Na osnovu raznih istraživanja, postavljena je hipoteza da prosečna težina novorođenčadi u Nišu iznosi X 3400g. Da li se izmerena telesna težina 70 novorođenčadi razlikuje od poznatog proseka za ceo grad?. Izvršeno je merenje telesne visine dečaka trćeg razreda dve osnovne škole u Nišu i dobijeni su sledeći rezultati: Škola A n90 X 38, 3 SD 6,3 Škola B n30 X 4, SD 7, Da li se prosečne telesne visine dečaka dve škole značajno razlikuju? 3. Merena je prosečna vrednost sistolnog krvnog pritiska nakon maksimalnog trčanja deonice od 00m. U istraživanju je učestvovalo 80 žena i 00 muškaraca. Prosečna vrednost sistolnog pritiska (u mm Hg) za žene nakon opterećenja je iznosila 55, a kod muškaraca 40. Da li postoji signifikantna razlika između prosečnog sistolnog pritiska muškaraca i žena? 4. Određivan je hemoglobin periferne krvi zdravih ispitanika i dobijene su sledeće vrednosti od: X 88 i SD,4 za 5 muškaraca i X 83 i SD,4 za 3 žene. Da li je hemoglobin značajno različit u odnosu na pol?
23 5. Odabrana su dva uzorka od po 0 pacijenata sa povišenim holesterolom u krvi. Jedna grupa je lečena dotadašnjim poznatim terapijskim metodama. Po završetku lečenja dobijene su sledeće vrednosti: X 6,5mmol / l i SD 0,7. Druga grupa pacijenata je pored klasične terapije bila podvrgnuta i specifičnoj dijeti. Posle istog vremena lečenja kao i kod prve grupe, dobijene su sledeće vrednosti: X 6, 5 i SD 0,6. Da li je dijeta imala uticaj na smanjenje holesterola u krvi? 6. U jednom epidemiološkom istraživanju čiji je zadatak bio da se utvrde mogući etiološki faktori za nastanak nekog oboljenja ispitivano je 00 osoba i meren nivo hemoglobina pre i nakon izlaganja faktorima i dobijene su sledeće vrednosti: X pre 5, 5, SD 3,, X posle 0,, SD 3, 8. Da li postoji signifikantna razlika između pre posle prosečne visine hemoglobina ispitanika pre i nakon izlaganja faktorima rizika? 7. Izmerene su vrednosti albumina (g/l) ispitanika pre i posle tretmana i dobijene su sledeće vrednosti: ispitanici pre posle Da li je došlo do značajnog sniženja albumina posle tretmana? 3
24 Prilog. Studentova t-distribucija. SS 0,0 0,05 0,0 0,00 p 0% 5% % 0,% 6,3,70 63,66 636,6,9 4,30 9,93 3,60 3,35 3,8 5,84,9 5,0,57 4,03 6,87 8,86,3 3,36 5,04 9,83,6 3,5 4,78 0,8,3 3,7 4,59 8,73,0,88 3,9 0,7,09,85 3,85,7,07,8 3,79 4,7,06,80 3,75 40,68,0,70 3,55 60,67,00,66 3,46 0,66,98,6 3,37,64,96,58 3,9 4
25 5
Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće naučnim ili iskustvenim).
Str. 53;76; Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama
Διαβάστε περισσότεραUvod u neparametarske testove
Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:
Διαβάστε περισσότεραStr
Str. Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće
Διαβάστε περισσότεραPostoji nekoliko statidtičkih testova koji koriste t raspodelu, koji se jednim imenom zovu t-testovi.
Postoji nekoliko statidtičkih testova koji koriste t raspodelu, koji se jednim imenom zovu t-testovi. U SPSS-u su obradjeni: t test razlike između aritmetičke sredine osnovnog skupa i uzorka t test razlike
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Διαβάστε περισσότεραUvod u neparametarske testove
Str. 644;1;148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Hi-kvadrat testovi χ Str. 646;1;149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste
Διαβάστε περισσότεραPOSTAVLJANJE I TESTIRANJE HIPOTEZA
POSTAVLJANJE I TESTIRANJE HIPOTEZA Hipoteza je precizno formulisana verbalna tvrdnja, pretpostavka o karakteristici jednog skupa ili o odnosu vrednosti posmatrane karakteristike u više skupova. U statističkim
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραNeparametarski testovi za dva nezavisna uzorka. Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010
Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010 Neparametarski testovi Hipoteze o raspodeli obeležja se nazivaju neparametarske hipoteze, a odgovarajući testovi
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPočela biostatistike, Poslijediplomski interdisciplinarni doktorski studij Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti
Analiza brojčanih podataka Nora Nikolac Klinički zavod za kemiju KB Sestre milosrdnice Kolegij: Počela biostatistike Statistička hipoteza postupak testiranja 1. postavljanje hipoteze: H 0, H 1 2. odabir
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραSTATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA
Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIJSKE TEHNIKE
NEPARAMETRIJSKE TEHNIKE Neparametrijske tehnike se koriste za obradu podataka dobijenih na nominalnim i ordinalnim skalama. za testiranje značajnosti distribucije frekvencija po kategorijama jedne nominalne
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραChi-kvadrat test. Chi-kvadrat (χ2) test
1 Chi-kvadrat test Chi-kvadrat (χ2) test Test za proporcije, porede se frekvence Neparametarski test Koriste se dihotomne varijable Proverava se veza između dva faktora Npr. tretmana i bolesti pola i smrtnosti
Διαβάστε περισσότεραIzbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραStatističko zaključivanje - testiranje hipoteza. Katedra za medicinsku statistiku i informatiku
Statističko zaključivanje - testiranje hipoteza Statističko zaključivanje Ideja moderne statistike je da na osnovu uzorka (dobijenog uzorkovanjem iz osnovnog skupa) donosimo zaključke o populaciji (statističko
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραAnaliza varijanse sa jednim Posmatra se samo jedna promenljiva
ANOVA Analiza varijanse (ANOVA) Analiza varijanse sa jednim faktorom Proširena ANOVA tabela 2 Tehnike za analizu podataka Analiza varijanse sa jednim faktorom Posmatra se samo jedna promenljiva Posmatra
Διαβάστε περισσότερα7. glava STATISTIČKO OCENJIVANJE CILJEVI POGLAVLJA. Nakon čitanja ovoga poglavlja bićete u stanju da:
STATISTIČKO OCENJIVANJE CILJEVI POGLAVLJA Nakon čitanja ovoga poglavlja bićete u stanju da: 1. razumete smisao statističkog ocenjivanja 2. shvatite razliku između tačkastih i intervalnih ocena 3. konstruišete
Διαβάστε περισσότεραREGRESIONA I KORELACIONA ANALIZA
REGRESIONA I KORELACIONA ANALIZA Reč regresija dospela je u statistiku kada je 1855.godine Fransis Galton objavio publikaciju u kojoj je analizirao visinu sinova u zavisnosti od visine očeva. Zaključak
Διαβάστε περισσότεραTESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE
//0 TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE Z-TEST I T-TEST Beograd, 0 Ass. dr Zora Bukumirić Z-TEST I T-TEST z-testom i Studetovim t-testom testiramo razliku: jede aritmetičke sredie i pretpostavljee vredosti
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραX. Testiranje hipoteza. Osnovni koncepti testiranja hipoteza TESTIRANJE HIPOTEZA OSNOVNI KONCEPTI I TESTOVI POVEZANOSTI 19/11/15
TESTIRANJE HIPOTEZA OSNOVNI KONCEPTI I TESTOVI POVEZANOSTI X. Testiranje hipoteza Osnovni koncepti testiranja hipoteza Unakrsno tabeliranje i hi-kvadrat Testiranje hipoteza o srednjoj vrednosti i proporcijama
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραTestiranje hipoteza statistika zaključivanja
Metodologija političkih i društvenih istraživanja II Pavle Pavlović pavlovic.pavle@outlook.com Testiranje hipoteza statistika zaključivanja Testiranje hipoteza zajedno sa statistikom ocjenjivanja čine
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότερα9.1 Testovi hipoteza u statistici
196 9 Testiranje parametarskih hipoteza 9.1 Testovi hipoteza u statistici Popularan metod dokazivanja teorema u matematici je deductio ad absurdum, dovod enje do protivrečnosti ako se pretpostavi suprotno
Διαβάστε περισσότερα(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1
χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραPopulacija Ciljna/uzoračka populacija
Populacija i uzorak Sadržaj predavanja Šta je populacija, šta je uzorak a šta uzorkovanje? Statističko zaključivanje Klasifikacija uzoraka: sa i bez verovatnoće, sa i bez zamenjivanja Uzoračke raspodele
Διαβάστε περισσότεραUvod u neparametrijske testove. Usporedba. Neparametrijske inačice t-testa za dva nezavisna uzorka. dr. sc. Goran Kardum
Uvod u neparametrijske testove dr. sc. Goran Kardum 1 Usporedba NACRT ISTRAŽIVANJA PARAMETRIJSKA PROCEDURA NEPARAMETRIJSKA PROCEDURA Dva nezavisna uzorka T-test Mann-Whitney U-test Dva zavisna uzorka T-test
Διαβάστε περισσότεραRegresija i korelacija
Regresija i korelacija Goran Trajković septembar, 008. godine Regresija i korelacija Regresijom i korelacijom analizira se povezanost (asocijacija, odnos) dve ili više varijabli. Korelacija podrazumeva
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραDODATNI MATERIJAL SA NASTAVE (2017/18)
DODATNI MATERIJAL SA NASTAVE (2017/18) 1. Povežite obeležja sa odgovarajudim tipom obeležja a) Broj gostiju b) Boja šešira c) Iznos računa u dinarima 1) Atributivno 2) Numeričko (neprekidno) 3) Numeričko
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE U RIJECI GRAĐEVINSKI FAKULTET U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij
SVEUČILIŠTE U RIJECI GRAĐEVINSKI FAKULTET U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij Test hipoteze o jednakosti aritmetičkih sredina K osnovnih skupova Seminarski rad Kolegij: Odabrana poglavlja
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραRELATIVNI BROJEVI. r b
RELATIVNI BROJEVI Relativni brojevi služe za poređenje pojava, istoimenih ili raznoimenih. Relativni broj se dobija kao količnik dva apsolutna broja: V R b = V r b gde je Vr računska vrednost vrednost
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα