Δημήτρης Πορτίδης / Στάθης Ψύλλος / Διονύσιος Αναπολιτάνος: Λογική. Η δομή του επιχειρήματος. Αθήνα: Νεφέλη 2007, 292 σ., 22.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Δημήτρης Πορτίδης / Στάθης Ψύλλος / Διονύσιος Αναπολιτάνος: Λογική. Η δομή του επιχειρήματος. Αθήνα: Νεφέλη 2007, 292 σ., 22."

Transcript

1 1/ Πορτίδης/Ψύλλος/Αναπολιτάνος: Λογική Δημήτρης Πορτίδης / Στάθης Ψύλλος / Διονύσιος Αναπολιτάνος: Λογική. Η δομή του επιχειρήματος. Αθήνα: Νεφέλη 2007, 292 σ., 22. Κρίνει ο Αριστείδης Αραγεώργης (ΕΜΠ) «Η λογική είναι πολλά πράγματα: μια επιστήμη, μια τέχνη, ένα παιχνίδι, μια πηγή χαράς. Και μερικές φορές ένα εργαλείο». Με αυτά τα λόγια αρχίζουν ένα άρθρο τους οι διακεκριμένοι ειδικοί της λογικής Μπέλναπ και Γκρόβερ (N. Belnap & D. Grover, «Quantifying in and out of quotes», στο H. Leblanc (ed.), Truth, Syntax and Μodality, Amsterdam: North-Holland 1973, σ ). Και το βιβλίο Λογική: Η δομή του επιχειρήματος των Πορτίδη, Ψύλλου και Αναπολιτάνου (στο εξής απλώς: Λογική) καταφέρνει να αναδείξει, αναπόφευκτα ετεροβαρώς, όλες αυτές τις όψεις της λογικής. Αναπτύσσει θέματα της επιστήμης της λογικής όπως η ορθότητα και πληρότητα συστημάτων αποδεικτικών κανόνων για τον προτασιακό και τον πρωτοβάθμιο κατηγορηματικό λογισμό, η κανονική διαζευκτική και συζευκτική μορφή προτασιακών τύπων, η επάρκεια συνόλων αληθοσυναρτησιακών συνδέσμων, η έννοια της αποκρισιμότητας ή αποφασισιμότητας (decidability), κ.ά. Καλλιεργεί την τέχνη του έγκυρου συλλογισμού με την ανασυγκρότηση και αξιολόγηση επιχειρημάτων διατυπωμένων σε φυσική γλώσσα. Αποκαλύπτει την παιγνιώδη πλευρά της λογικής, συμπεριλαμβάνοντας «γρίφους» σαν αυτούς που επινόησε ο Σμάλυαν (Raymond Smullyan, σ ) ή σαν εκείνους που αντιμετώπιζε ο Σέρλοκ Χολμς στα έργα τού Άρθουρ Κόναν Ντόυλ (σ. 155). Καθοδηγεί με υπομονή τον αναγνώστη προς τη χαρά της κατανόησης, του υπολογισμού και της απόδειξης. Τέλος, η Λογική προτείνεται ρητά από τους συγγραφείς της ως εργαλείο για «την κατανόηση της φιλοσοφικής δραστηριότητας εν γένει» (σ. 14). Αυτό το τελευταίο στοιχείο διαμορφώνει τη γενική κατεύθυνση του βιβλίου. Η Λογική απευθύνεται κυρίως σε σπουδαστές της φιλοσοφίας. Έτσι, δεδομένου ότι για ένα μεγάλο μέρος της φιλοσοφικής παράδοσης η μονάδα του φιλοσοφικού λόγου είναι το επιχείρημα, η Λογική, όπως διαφαίνεται και από τον υπότιτλό της, επικεντρώνεται στην ανάλυση επιχειρημάτων και όχι στην ανάλυση της δομής μαθηματικών θεωριών, ό- πως συμβαίνει με τα τυπικά εγχειρίδια μαθηματικής λογικής. Επιπλέον, η Λογική δεν προϋποθέτει κανένα μη τετριμμένο υπόβαθρο μαθηματικών γνώσεων ή δεξιοτήτων από τον αναγνώστη. Τέλος, η Λογική εκμεταλλεύεται ευκαιρίες για να θίξει ζητήματα φιλοσοφικής λογικής ή φιλοσοφίας της λογικής όπως η έννοια της πρότασης (σ. 26-8), η δισθένεια της λογικής (σ. 28), η ευλογοφάνεια του ορισμού της υλικής συνεπαγωγής

2 2/6 (σ ), η εκτασιακότητα της λογικής (σ. 96-7, 134-5, 184-5, 239), η κατά Φρέγκε διάκριση μεταξύ αντικειμένων και εννοιών (σ ), κ.ά. Πάντως, η Λογική περιλαμβάνει όλη την ύλη που προτείνει η διεθνής Εταιρεία Συμβολικής Λογικής (Association for Symbolic Logic) για ένα πρώτο μάθημα λογικής στην τριτοβάθμια εκπαίδευση, χρήσιμο για τους φοιτητές οποιασδήποτε ειδίκευσης (βλ. «Guidelines on logic education», The Bulletin of Symbolic Logic 1, 1995, σ. 4-8). Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στην έννοια του επιχειρήματος και πραγματεύεται την έννοια της εγκυρότητας επιχειρημάτων και τη σχέση της με την αλήθεια προτάσεων, τη διάκριση ανάμεσα σε παραγωγικά και επαγωγικά επιχειρήματα, την έννοια της λογικής πλάνης, τη στρατηγική κατάδειξης της ακυρότητας ενός επιχειρήματος με αναζήτηση αντιπαραδείγματος και τη διάκριση μεταξύ έγκυρων και πειστικών επιχειρημάτων. Τα κεφάλαια 2-6 αφιερώνονται στην προτασιακή λογική: στοιχειώδη σύμβολα και κανόνες σχηματισμού προτασιακών τύπων, διάκριση των προτασιακών τύπων σε ταυτολογικούς, αντιφατικούς και ενδεχομενικούς, λογική ισοδυναμία, λογική συνέπεια συνόλων προτασιακών τύπων, έλεγχος της προτασιακής εγκυρότητας μορφών επιχειρημάτων [1], κ.λπ. Χρησιμοποιούνται και παρουσιάζονται με ιδιαίτερα φιλικό προς τον αναγνώστη τρόπο η μέθοδος των πινάκων αληθείας και η μέθοδος των δενδροδιαγραμμάτων. Η πραγμάτευση του προτασιακού λογισμού ολοκληρώνεται με την ανάπτυξη, χωρίς εκτενείς αποδείξεις, μεταθεωρητικών θεμάτων (ορθότητα, πληρότητα, αποκρισιμότητα) καθώς και θεμάτων που αφορούν τη δομή και τις εκφραστικές δυνατότητες προτασιακών γλωσσών εδώ εκτίθεται με ιδιαίτερα εύληπτο τρόπο η αποδεικτική μέθοδος της επαγωγής πάνω σε τύπους μιας προτασιακής γλώσσας. Τα κεφάλαια 7-13 αφιερώνονται στην πρωτοβάθμια κατηγορηματική λογική με ισότητα. Με αφετηρία τη λογική ανάλυση φυσικών γλωσσών, συζητούνται εκτενώς οι θεμελιώδεις συντακτικές και σημασιολογικές έννοιες για πρωτοβάθμιες γλώσσες: εμβέλεια ποσοδεικτών, ανοικτοί και κλειστοί τύποι, ερμηνεία (ή δομή) μιας πρωτοβάθμιας γλώσσας, ικανοποίηση ενός τύπου μιας πρωτοβάθμιας γλώσσας από μια αποτίμηση σε μια ερμηνεία, μοντέλο ενός συνόλου προτάσεων μιας πρωτοβάθμιας γλώσσας, κ.λπ. Εισάγονται δενδροδιαγραμματικοί αποδεικτικοί κανόνες για ποσοδείκτες και ισότητα. Και με τη βοήθεια αυτού του εννοιολογικού και μεθοδολογικού οπλοστασίου ορίζονται οι ιδιότητες της πρωτοβάθμιας λογικής συνέπειας, της πρωτοβάθμιας λογικής εγκυρότητας, της πρωτοβάθμιας λογικής αλήθειας, της πρωτοβάθμιας λογικής ισοδυναμίας και αναπτύσσονται διαδικασίες απόφανσης για την απόδοση αυτών των ιδιοτήτων σε σύνολα προτάσεων ή μορφές επιχειρημάτων πρωτοβάθμιων γλωσσών. Τέλος, γίνεται λόγος για την ορθότητα και πληρότητα του συστήματος πρωτοβάθμιου κατηγορηματικού λογισμού που οικοδομήθηκε, καθώς και αναφορά στη μη αποκρισιμότητα της πρωτοβάθμιας λογικής [2]. Κεντρικό στοιχείο της όλης προσέγγισης είναι η τυποποίηση και ο συνακόλουθος έλεγχος εγκυρότητας επιχειρημάτων διατυπωμένων σε φυσική γλώσσα. Η Λογική είναι ένα βιβλίο χωρίς αξιοσημείωτες αδυναμίες για τους στόχους που θέλει να υπηρετήσει. Ωστόσο, επειδή το αντικείμενο που πραγματεύεται μπορεί να προσεγγι-

3 3/6 στεί από διαφορετικές σκοπιές και με διαφορετικά στιλ, θα αναπτύξω παρακάτω μερικές σκέψεις που θα μπορούσαν να εκληφθούν ως σημεία κριτικής. Το έργο χρησιμοποιεί τους όρους «αληθοσυναρτησιακός λογισμός» και «προτασιακός λογισμός» ως συνώνυμους (βλ., π.χ., σ. 17, 49, 177). Αυτό δεν αποτελεί πρόβλημα για τους στόχους ενός βιβλίου που περιορίζεται στο πλαίσιο της κλασικής λογικής. Ω- στόσο, από τη σκοπιά των επεκτάσεων της κλασικής λογικής και τη σκοπιά των εναλλακτικών λογικών, η παραπάνω ταύτιση συγχέει το βάθος της λογικής ανάλυσης από το οποίο εξαρτάται η εγκυρότητα με το είδος των συνθηκών αληθείας των συνθέτων προτάσεων που προκύπτουν με χρήση συνδέσμων. Ένας προτασιακός λογισμός είναι ένα σύστημα τυπικής λογικής που μπορεί να διερευνήσει μόνον την εγκυρότητα που απορρέει από τη διαπροτασιακή δομή ενός επιχειρήματος δηλαδή, από τις σχέσεις μεταξύ απλών προτάσεων θεωρουμένων ως μη περαιτέρω αναλύσιμων ολοτήτων [3]. Και η εν λόγω διαπροτασιακή δομή αναπαριστάνεται με τη βοήθεια συνδέσμων. Αλλά ένας προτασιακός λογισμός μπορεί να περιλαμβάνει συνδέσμους που δεν είναι αληθοσυναρτησιακοί. (Ένας προτασιακός σύνδεσμος λέγεται αληθοσυναρτησιακός αν και μόνο αν η αληθοτιμή της σύνθετης πρότασης που σχηματίζει καθορίζεται κατά μοναδικό τρόπο από τις αληθοτιμές των συνιστωσών.) Τέτοιοι προτασιακοί λογισμοί απαντούν, για παράδειγμα, στο πλαίσιο της τροπικής λογικής (modal logic), της επιστημικής λογικής (epistemic logic), κ.ά. (βλ., π.χ., L. Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Oxford: Blackwell 2001). Φυσικά, οι συγγραφείς θα μπορούσαν να αποφύγουν το ενδεχόμενο δημιουργίας μιας τέτοιας σύγχυσης στους αναγνώστες δηλώνοντας απλώς ότι ο κλασικός προτασιακός λογισμός αντιμετωπίζει ως απλή κάθε μηαληθοσυναρτησιακά-σύνθετη πρόταση. Αλλά, πάλι, αυτό αφορά μόνον εκείνους τους αναγνώστες που θα συνεχίσουν τη μελέτη της τυπικής λογικής πέρα από το κλασικό πλαίσιο. Ένα δεύτερο σημείο κριτικής αφορά τον τρόπο ανάπτυξης της θεωρίας αποδείξεων (proof-theory). Σε ένα τυπικό σύστημα συμβολικής λογικής, η θεωρία αποδείξεων μελετά την παραγωγή («απόδειξη») καλώς σχηματισμένων τύπων από άλλους καλώς σχηματισμένους τύπους χωρίς να ασχολείται με το νόημά τους. Έτσι η θεωρία αποδείξεων είναι ανεξάρτητη από τη σημασιολογία και, συνεπώς, αναπτύσσεται χωρίς να βασίζεται σε έννοιες όπως η ερμηνεία, η συνθήκη αληθείας, η αληθοτιμή, κ.λπ. Κατ αντιδιαστολή, κεντρικές έννοιες της θεωρίας αποδείξεων είναι εκείνες του αποδεικτικού κανόνα ή κανόνα συναγωγής (inference rule), του αξιώματος, του θεωρήματος, κ.λπ. Η Λογική παρουσιάζει τη θεωρία αποδείξεων αποκλειστικά με χρήση δενδροδιαγραμμάτων. Μάλιστα, η διεξοδική ανάλυση της μεθόδου των δενδροδιαγραμμάτων ως μεθόδου «επίλυσης ασκήσεων λογικής» δηλώνεται ρητά από τους συγγραφείς ως ένας από τους λόγους για τη συγγραφή του βιβλίου (σ. 14). Πρέπει να σημειωθεί ότι οι συγγραφείς μοιράζονται αυτή τη στάση απέναντι στην αξία της μεθόδου των δενδροδιαγραμμάτων με πολλούς άλλους διακεκριμένους ειδικούς της λογικής. Πράγματι, πολλά βιβλία που καλύπτουν την τυπική λογική μέχρι και τον πρωτοβάθμιο κατηγορηματικό

4 4/6 λογισμό με ισότητα βασίζονται αποκλειστικά στη μέθοδο των δενδροδιαγραμμάτων βλ. ενδεικτικά R. Jeffrey, Formal logic: Its Scope and Limits, 3rd edition, New York: McGraw-Hill 1991, το οποίο επεκτείνεται αναλυτικότερα σε θέματα προχωρημένου επιπέδου όπως το θεώρημα μη αποκρισιμότητας του Τσερτς (Church) και τα θεωρήματα πληρότητας και μη πληρότητας του Γκέντελ (Gödel). Παρ όλα αυτά, η αποκλειστική χρήση της μεθόδου των δενδροδιαγραμμάτων φαλκιδεύει, κατά τη γνώμη μου, την ουσία της θεωρίας αποδείξεων, και τούτο για δυο λόγους. Πρώτο, ενώ η θεωρία αποδείξεων πρέπει τυπικά να αναπτύσσεται εντελώς ανεξάρτητα από τη σημασιολογία (ώστε, επιπλέον, να καθίστανται ευκρινέστερες οι έννοιες της ορθότητας και της πληρότητας), ο πλέον εύλογος τρόπος να σκεφτεί κανείς τη μέθοδο των δενδροδιαγραμμάτων βασίζεται σε σημασιολογικές έννοιες όπως η αληθοτιμή. Πράγματι, η κεντρική ιδέα της μεθόδου των δενδροδιαγραμμάτων έχει ως εξής. Για να ελέγξουμε εάν ένα επιχείρημα είναι έγκυρο, υποθέτουμε ότι οι προκείμενες είναι αληθείς και ότι το συμπέρασμα δεν είναι αληθές και διερευνούμε τις δυνατότητες για να συμβαίνει κάτι τέτοιο. Αν υπάρχει τέτοια δυνατότητα, το επιχείρημα είναι άκυρο αν δεν υπάρχει, είναι έγκυρο. Αυτή η περιγραφή αναδεικνύει τον δεύτερο λόγο για τον οποίο ισχυρίζομαι ότι η μέθοδος των δενδροδιαγραμμάτων φαλκιδεύει την ουσία της θεωρίας αποδείξεων. Σε ένα πρόσφατο εξαιρετικό βιβλίο του, ο Ρέσταλ επιχειρηματολογεί ορθά ότι τα δενδροδιαγράμματα τυποποιούν έναν τρόπο συλλογισμού που ονομάζει «επεξήγηση δυνατοτήτων» («explication of possibilities» βλ. G. Restall, Logic: An Introduction, London: Routledge 2006, σ. 5). Όμως αυτός ο τρόπος συλλογισμού δεν απηχεί τη διαισθητική έννοια της απόδειξης στα μαθηματικά, στις επιστήμες, στη φιλοσοφία ή και στην καθημερινή επιχειρηματολογία. Είναι δύσκολο να φανταστούμε έναν ομιλητή ή έναν συγγραφέα να διατυπώνει τις προκείμενες και το συμπέρασμα του επιχειρήματός του και στη συνέχεια να προσπαθεί να αποκλείσει κάθε δυνατότητα κατά την οποία όλες οι προκείμενες είναι αληθείς ενώ το συμπέρασμα ψευδές. Η συνήθης συλλογιστική μας πρακτική είναι διαφορετική. Ο ομιλητής ή συγγραφέας θα προσπαθήσει να καταλήξει σταδιακά στο συμπέρασμα ξεκινώντας από τις προκείμενες μέσω μιας πεπερασμένης ακολουθίας μικρών αλλά αναντίρρητα έγκυρων βημάτων. Η θεωρία αποδείξεων, όταν αναπτύσσεται στη βάση συστημάτων λογικών αξιωμάτων και κανόνων, σκοπεύει να συλλάβει ακριβώς αυτή τη διαισθητική έννοια απόδειξης που ανταποκρίνεται στη συνήθη συλλογιστική μας πρακτική. Αλλά η μέθοδος των δενδροδιαγραμμάτων είναι ακατάλληλη για τον σκοπό αυτό. Για τους παραπάνω λόγους, θα έκρινα σκόπιμη ακόμη και σε ένα εισαγωγικό βιβλίο λογικής την προσθήκη ενός κεφαλαίου για θεωρία αποδείξεων με κάποιο σύστημα λογικών αξιωμάτων και κανόνων. Μάλιστα, στον βαθμό που η λογική εκλαμβάνεται ως θεωρία του συλλογισμού, ένα τέτοιο σύστημα θα περιείχε κανόνες παρά αξιώματα όπως συμβαίνει με τα συστήματα φυσικής παραγωγής (natural deduction). Ας σημειωθεί, πάντως, ότι σε σύγκριση με τις αποδείξεις που βασίζονται σε συστήματα λογικών αξιωμάτων και κανόνων, τα δενδροδιαγράμματα έχουν παιδαγωγικές αρετές. Οι αποδείξεις στο πλαίσιο ενός συστήματος λογικών αξιωμάτων και κανόνων απαιτούν συχνά να

5 5/6 έχει κανείς ευφυείς ιδέες για να τις ολοκληρώσει. Αντίθετα τα δενδροδιαγράμματα λειτουργούν πιο μηχανικά : οι ευφυείς ιδέες, μολονότι βοηθούν, δεν είναι απαραίτητες επειδή η υπομονετική ορθή εφαρμογή των δενδροδιαγραμματικών κανόνων θα οδηγήσει τελικά σε αποτέλεσμα (εφόσον το πρόβλημα είναι επιλύσιμο). Συμπληρωματικά, θα μπορούσε κανείς να προτείνει μερικές πρόσθετες, αλλά ελάσσονος σημασίας, βελτιώσεις της Λογικής. Λίγες έχουν να κάνουν με ζητήματα περιεχομένου: ο πίνακας στη σ. 29 ενδέχεται να παραπλανήσει τον μη προσεκτικό αναγνώστη, η πραγμάτευση των ταυτολογικών, αντιφατικών και ενδεχομενικών προτάσεων στις σ συγκαλύπτει διακρίσεις που κατέστησε σημαντικές η φιλοσοφική διερεύνηση της έννοιας της αναγκαιότητας από τον Κρίπκι (Saul Kripke), κ.ά. Άλλες έχουν να κάνουν με ζητήματα ορολογίας: ο όρος «δομή επιχειρήματος» είναι ίσως προτιμότερος από τον όρο «επιχειρηματική δομή» (σ. 37), ενώ ο όρος «συνθήκες αληθείας» ακούγεται περισσότερο οικείος από τον όρο «αρχές αληθείας» (σ. 64). Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι δεδομένης της ένδειας της ελληνόγλωσσης βιβλιογραφίας πάνω σε ζητήματα λογικής, οι συγγραφείς της Λογικής είχαν να αντιμετωπίσουν την πρόσθετη δυσκολία της επινόησης εκφράσεων για την απόδοση ξενόγλωσσων όρων. Και ως προς αυτό, η συμβολή του έργου θα αποδειχθεί σημαντικότατη. Γενικά, η Λογική έρχεται να καλύψει ένα τεράστιο κενό στην ελληνόγλωσση φιλοσοφική γραμματεία. Και το καλύπτει με αξιοθαύμαστο τρόπο. Σημειώσεις: [1] Οι συγγραφείς προτιμούν τη διατύπωση «αληθοσυναρτησιακή εγκυρότητα επιχειρηματικών σχημάτων». Ωστόσο, ο όρος «μορφή επιχειρήματος» φαίνεται πιο δόκιμος από τον όρο «επιχειρηματικό σχήμα» ενώ η ταύτιση της προτασιακότητας με την αληθοσυναρτησιακότητα ενδέχεται να οδηγήσει σε παρανοήσεις, όπως ισχυρίζομαι παρακάτω. [2] Η πραγμάτευση της μη αποκρισιμότητας της πρωτοβάθμιας λογικής που βρίσκει κανείς στη Λογική έχει κάποιες αδυναμίες. Στη σ. 252, αμέσως κάτω από μια ορθή διατύπωση της σημασίας της έκφρασης «μη αποκρισιμότητα για την πρωτοβάθμια λογική», διαβάζουμε ότι η εν λόγω μη αποκρισιμότητα «σημαίνει ότι είναι δυνατόν να μην υπάρχει απόδειξη από ένα σύνολο πρωτοβάθμιων προτάσεων ούτε της Α ούτε της (Α)». Αυτή η επεξήγηση συγχέει τη μη αποκρισιμότητα της πρωτοβάθμιας λογικής με τη μη πληρότητα πρωτοβάθμιων θεωριών κατά Γκέντελ. Το ότι μια πρωτοβάθμια πρόταση μπορεί να είναι τέτοια ώστε ούτε η ίδια ούτε η άρνησή της να αποδεικνύεται από ένα δεδομένο σύνολο πρωτοβάθμιων προτάσεων είναι ένα παντελώς τετριμμένο γεγονός. Παραδείγματος χάριν, από την x yrxy δεν αποδεικνύεται ούτε η xrxx ούτε η xrxx. Εκείνο που απέδειξε ο Alonzo Church το 1936 είναι ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος που να αποφασίζει εάν μια πρωτοβάθμια πρόταση είναι λογικά αληθής ή όχι και μάλιστα υπό την προϋπόθεση ότι η πρωτοβάθμια γλώσσα περιέχει τουλάχιστον ένα διθέσιο κατηγόρημα. (Η αποκρισιμότητα της λογικής των μονοθέσιων κατηγορημάτων είχε αποδειχθεί από τον Löwenheim το 1915.) Σχετικά βλ. G. S. Boolos & R. C. Jeffrey,

6 6/6 Computability and Logic, 2nd edition, Cambridge: Cambridge University Press 1980, κεφ. 15. [3] Από αυτή την άποψη, ο κλασικός πρωτοβάθμιος κατηγορηματικός λογισμός μπορεί πράγματι να εκληφθεί ως επέκταση του κλασικού προτασιακού λογισμού (πρβ. Λογική, σ. 179, σημ. 1) με την έννοια ότι εξετάζει, όχι μόνον τη διαπροτασιακή, αλλά και την ενδοπροτασιακή δομή ή, αυστηρότερα, ορισμένα είδη τέτοιων δομών. Δημοσιεύθηκε: Τρόπος παραπομπής στη βιβλιοκρισία: Αραγεώργης, Α.: (Βιβλιοκρισία του:) Δημήτρης Πορτίδης / Στάθης Ψύλλος / Διονύσιος Αναπολιτάνος: Λογική. Η δομή του επιχειρήματος (Αθήνα: Νεφέλη 2007). Κριτικά , <http://www.philosophica.gr/critica/ html>.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος. Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Λογική στην Πληροφορική - Εισαγωγή

Λογική στην Πληροφορική - Εισαγωγή Λογική στην Πληροφορική - Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Οργάνωση του Μαθήματος Αναδρομή στην Ιστορία της Λογικής ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 1-1 Διδασκαλία Διαλέξεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II Ενότητα: Λογική και Θεωρία Συνόλων Διδάσκων: Πηγουνάκης Κωστής ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 9: Προτασιακή λογική Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

«Αγώνες λόγου» Εισαγωγή στην επιχειρηµατολογία οµή και µορφές επιχειρήµατος Λογικά σφάλµατα. Άννα Ντιντή

«Αγώνες λόγου» Εισαγωγή στην επιχειρηµατολογία οµή και µορφές επιχειρήµατος Λογικά σφάλµατα. Άννα Ντιντή «γώνες λόγου» ισαγωγή στην επιχειρηµατολογία οµή και µορφές επιχειρήµατος Λογικά σφάλµατα Άννα Ντιντή Το έργο «ΚΗΙ ΠΛΤΩΝ - ΝΠΤΞΗ ΤΗ ΓΝΩΗ ΚΙ ΚΙΝΤΩΝ ΙΩΝ υλοποιείται µέσω του πιχειρησιακού Προγράµµατος «κπαίδευση

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης

Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης Λογική Προτασιακή Λογική Λογική Πρώτης Τάξης Λογική (Logic) Αναλογίες διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων υπολογισμού και προβλημάτων νοημοσύνης: Πρόβλημα υπολογισμού 1. Επινόηση του αλγορίθμου 2. Επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα (

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων

Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Ο βασικός μηχανισμός εξαγωγής συμπερασμάτων στην κατηγορηματική λογική είναι η απόδειξη. Υπάρχει ένα πλήθος κανόνων συμπερασμού. Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική

Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε δύο ενότητες. Στην πρώτη ενότητα επιχειρείται μια ιστορική αναδρομή στη λογική και τον λογικό προγραμματισμό,

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική)

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 1 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ καλή εικόνα με εξαιρετική βαθμολογία

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Ενότητα 1: Εισαγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Για τον προτασιακό λογισμό παρουσιάσαμε την αποδεικτική θεωρία (natural deduction/λογικό συμπέρασμα) τη σύνταξη (ορίζεται με γραμματική χωρίς συμφραζόμενα και εκφράζεται με συντακτικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αναλυτική Φιλοσοφία

Εισαγωγή στην Αναλυτική Φιλοσοφία Εισαγωγή στην Αναλυτική Φιλοσοφία Εισαγωγή Η αναλυτική φιλοσοφία δεν είναι κλάδος ή επιμέρους αντικείμενο της φιλοσοφίας (όπως η ηθική, η γνωσιοθεωρία, η μεταφυσική κτλ). Είναι τρόπος διαξαγωγής της φιλοσοφίας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΗ. ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ: Η Αληθοσυναρτησιακή Λογική. Δημήτρης Πορτίδης Πανεπιστήμιο Κύπρου

ΛΟΓΙΚΗ. ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ: Η Αληθοσυναρτησιακή Λογική. Δημήτρης Πορτίδης Πανεπιστήμιο Κύπρου ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ: Η Αληθοσυναρτησιακή Λογική Δημήτρης Πορτίδης Πανεπιστήμιο Κύπρου 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Γενική Εισαγωγή στην Έννοια του Επιχειρήματος 1.1 Βασικές Έννοιες 1.1.1 Η Έννοια του Επιχειρήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΠΟΙ ΠΕΙΘΟΥΣ. Επίκληση στη λογική Επίκληση στο συναίσθημα Επίκληση στο ήθος

ΤΡΟΠΟΙ ΠΕΙΘΟΥΣ. Επίκληση στη λογική Επίκληση στο συναίσθημα Επίκληση στο ήθος ΤΡΟΠΟΙ ΠΕΙΘΟΥΣ Επίκληση στη λογική Επίκληση στο συναίσθημα Επίκληση στο ήθος ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΕΚΜΗΡΙΑ (ΜΕΣΑ ΠΕΙΘΟΥΣ ΕΠΙΚΛΗΣΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ) Όταν θέλουμε να πείσουμε με λογικές αποδείξεις, τότε χρησιμοποιούμε:

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Σχεδιασμός... αντιμετωπίζει ενιαία το πλαίσιο σπουδών (Προδημοτική, Δημοτικό, Γυμνάσιο και Λύκειο), είναι συνέχεια υπό διαμόρφωση και αλλαγή, για να αντιμετωπίζει την εξέλιξη,

Διαβάστε περισσότερα

Tο βασικό ερώτημα στην ηθική φιλοσοφία αναφέρεται

Tο βασικό ερώτημα στην ηθική φιλοσοφία αναφέρεται Π P O Λ O Γ O Σ Tο βασικό ερώτημα στην ηθική φιλοσοφία αναφέρεται στον καθορισμό τού τι είναι καλό. Ό,τι, με τις ηθικές θεωρίες που διατυπώθηκαν κατά καιρούς, επιχείρησαν, πρωτίστως, οι εισηγητές των να

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Το ζήτημα της πλάνης στο Σοφιστή του Πλάτωνα

Το ζήτημα της πλάνης στο Σοφιστή του Πλάτωνα Το ζήτημα της πλάνης στο Σοφιστή του Πλάτωνα του μεταπτυχιακού φοιτητή Μαρκάτου Κωνσταντίνου Α.Μ.: 011/08 Επιβλέπων: Αν. Καθηγητής Άρης Κουτούγκος Διατμηματικό μεταπτυχιακό πρόγραμμα Ιστορίας και Φιλοσοφίας

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

<5,0 5,0 6,9 7 7,9 8 8,9 9-10

<5,0 5,0 6,9 7 7,9 8 8,9 9-10 ΚΡΙΤΗΡΙΑ Εύρος θέματος Τίτλος και περίληψη Εισαγωγή Βαθμολογία

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Οι τυπικές μέθοδοι παρέχουν ένα πλαίσιο μέσα στο οποίο μπορούμε να προδιαγράψουμε και να εγκυροποιήσουμε ένα σύστημα με συστηματικό τρόπο.

Οι τυπικές μέθοδοι παρέχουν ένα πλαίσιο μέσα στο οποίο μπορούμε να προδιαγράψουμε και να εγκυροποιήσουμε ένα σύστημα με συστηματικό τρόπο. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΤΥΠΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Οι τυπικές μέθοδοι παρέχουν ένα πλαίσιο μέσα στο οποίο μπορούμε να προδιαγράψουμε και να εγκυροποιήσουμε ένα σύστημα με συστηματικό τρόπο. Όταν γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Ενότητα 2: Λογική: Εισαγωγή, Προτασιακή Λογική. Νίκος Βασιλειάδης, Αναπλ. Καθηγητής Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Ι

ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Ι ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Ι Η τυπική επαλήθευση βάση μοντέλου είναι κατάλληλη για συστήματα επικοινωνούντων διεργασιών (π.χ. κατανεμημένα συστήματα) όπου το βασικό πρόβλημα είναι ο έλεγχος αλλά γενικά δεν

Διαβάστε περισσότερα

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ Απόστολος Δοξιάδης Περίληψη του βιβλίου Τι είναι τα Μαθηματικά; Ποια είναι η σχέση της «εικασίας» και του «θεωρήματος»; Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Christian

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές ναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές! Γενικά Προτασιακή λογική Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος ναπαράσταση γνώσης " ναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση

Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής Χειμερινό Εξάμηνο 2011-2012 Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 2 Προτασιακή Λογική 3 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές μορφές - Ορισμοί

Κανονικές μορφές - Ορισμοί HY-180 Περιεχόμενα Κανονικές μορφές (Normal Forms) Αλγόριθμος μετατροπής σε CNF-DNF Άρνηση (Negation) Βασικές Ισοδυναμίες με άρνηση Νόμος De Morgan Πίνακες Αληθείας Κανονικές μορφές - Ορισμοί Ορισμός:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΟΝΟΜΑΤΩΝ

ΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΟΝΟΜΑΤΩΝ ΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΟΝΟΜΑΤΩΝ Κεντρικός άξονας της περιγραφικής θεωρίας των ονομάτων είναι η θέση ότι το νόημα-σημασία ενός ονόματος δίνεται από μια οριστική περιγραφή και επομένως ικανή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ 1 ΚΡΙΤΗΡΙΑ Βαθμολογία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα ΕΙΣΑΓΩΓΉ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα ΕΙΣΑΓΩΓΉ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα ΕΙΣΑΓΩΓΉ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Άννα Φιλίππου annap@cs.ucy.ac.cy ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 0-1 Στοιχεία του μαθήματος Διδάσκουσα: Άννα Φιλίππου Γραφείο: FST-01

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 1 : Σύνολα & Σχέσεις (1/2) Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 1 : Σύνολα & Σχέσεις (1/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 1 : Σύνολα & Σχέσεις (1/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Συγγραφή κώδικα, δοκιμασία, επαλήθευση. Γιάννης Σμαραγδάκης

Συγγραφή κώδικα, δοκιμασία, επαλήθευση. Γιάννης Σμαραγδάκης Συγγραφή κώδικα, δοκιμασία, επαλήθευση Γιάννης Σμαραγδάκης Προδιαγραφή απαιτήσεων Σχεδιασμός συνεπείς σχέσεις Υψηλό επίπεδο συνεπείς σχέσεις Χαμηλό επίπεδο συνεπείς σχέσεις Πλάνο δοκιμών Κώδικας Συγγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00) Πέτρος Ρούσσος ΔΙΑΛΕΞΗ 5 Έννοιες και Κλασική Θεωρία Εννοιών Έννοιες : Θεμελιώδη στοιχεία από τα οποία αποτελείται το γνωστικό σύστημα Κλασική θεωρία [ή θεωρία καθοριστικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Λύσεις Άσκηση 1 [30 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα χρησιμοποιώντας τα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική διαδικασία και συγγραφή διατριβής: Μεθοδολογικές παρατηρήσεις ρ. Ηλίας Μαυροειδής Σ.Ε.Π., Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Τα στάδια της ερευνητικής διαδικασίας Τα βασικά στάδια για την εκπόνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Οικονομική Πολιτική. Διαλέξεις 4 6. Ελληνική. Ναι (στην Αγγλική)

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Οικονομική Πολιτική. Διαλέξεις 4 6. Ελληνική. Ναι (στην Αγγλική) ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ (1) ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ Κοινωνικών, Πολιτικών και Οικονομικών Επιστημών ΤΜΗΜΑ Οικονομικών Επιστημών ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Προπτυχιακό ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΝΚ43 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ εξάμηνο ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της αιτιότητας στη φιλοσοφία του Kant: η σημασία της Δεύτερης Αναλογίας

Η έννοια της αιτιότητας στη φιλοσοφία του Kant: η σημασία της Δεύτερης Αναλογίας Η έννοια της αιτιότητας στη φιλοσοφία του Kant: η σημασία της Δεύτερης Αναλογίας Διατμηματικό μεταπτυχιακό πρόγραμμα «Ιστορία και Φιλοσοφία της Επιστήμης και της Τεχνολογίας» Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Από τις διαλέξεις του μαθήματος του Α εξαμήνου σπουδών του Τμήματος. Κ. Παπαθεοδώρου, Αναπληρωτής Καθηγητής Οκτώβριος 2013

Από τις διαλέξεις του μαθήματος του Α εξαμήνου σπουδών του Τμήματος. Κ. Παπαθεοδώρου, Αναπληρωτής Καθηγητής Οκτώβριος 2013 Συγγραφή Τεχνικών Κειμένων Πτυχιακή Εργασία Από τις διαλέξεις του μαθήματος του Α εξαμήνου σπουδών του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής Κ. Παπαθεοδώρου, Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Δημόσια Οικονομική. Διαλέξεις 4 6. Ελληνική. Ναι (στην Αγγλική)

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Δημόσια Οικονομική. Διαλέξεις 4 6. Ελληνική. Ναι (στην Αγγλική) ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ (1) ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ Κοινωνικών, Πολιτικών και Οικονομικών Επιστημών ΤΜΗΜΑ Οικονομικών Επιστημών ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Προπτυχιακό ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΝΕ77 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Ζ εξάμηνο ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων I. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως της πιθανότητας, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 11 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 11 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2015 16 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 11 ης διάλεξης 11.1 (α) Μετατρέψτε σε κανονική συζευκτική μορφή (CNF)

Διαβάστε περισσότερα

9.1 Προτασιακή Λογική

9.1 Προτασιακή Λογική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 9 Λογική Η λογική παρέχει έναν τρόπο για την αποσαφήνιση και την τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης και προσφέρει µια σηµαντική και εύχρηστη µεθοδολογία για την αναπαράσταση και

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Γνώσης. Θεωρητικό Κομμάτι Μαθήματος Ενότητα 2: Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής

Συστήματα Γνώσης. Θεωρητικό Κομμάτι Μαθήματος Ενότητα 2: Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρητικό Κομμάτι Μαθήματος Ενότητα 2: Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής Νίκος Βασιλειάδης, Αναπλ. Καθηγητής Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Σεμινάριο Τελειοφοίτων. 4 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση

Σεμινάριο Τελειοφοίτων. 4 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση Σεμινάριο Τελειοφοίτων 4 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση Τυπικά το τέταρτο στάδιο της ερευνητικής διαδικασίας Ουσιαστικά εξελίσσεται δυναμικά καθόλη τη διάρκεια της έρευνας o Η έρευνα και η καταγραφή της φέρνουν

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Λογική Αποσαφήνιση και τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης Η μαθηματική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Έστω L, η γλώσσα της αριθµητικής και Ν η στάνταρτ ερµηνεία της. Για µια πρόταση της L αντί να λέµε 'αληθής' στην στάνταρτ ερµηνεία θα λέµε για συντοµία ότι η πρόταση είναι ορθή.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1. Λέξεις και νόημα Η γλώσσα αποτελείται από λέξεις. Η λέξη είναι το μικρότερο τμήμα της γλώσσας

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτές Μέθοδοι για την Επιστήμη των Υπολογιστών

ιακριτές Μέθοδοι για την Επιστήμη των Υπολογιστών ιακριτές Μέθοδοι για την Επιστήμη των Υπολογιστών ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 2 II Βασική άλγεβρα. Αρχικά μαθήματα 4 1 Μάθημα 1 4 1.1 Πορεία μελέτης............................ 4 1.2 Διάφορα σχόλια............................ 5 1.3 Πορεία μελέτης............................

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 7η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 7η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 7η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: ΛΟΓΙΚΗ-ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β και Γ Λυκείου 1. Περιγραφή Γενικοί Σκοποί:

Μάθημα: ΛΟΓΙΚΗ-ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β και Γ Λυκείου 1. Περιγραφή Γενικοί Σκοποί: Μάθημα: ΛΟΓΙΚΗ-ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β και Γ Λυκείου 1. Περιγραφή Γενικοί Σκοποί: Το μάθημα Λογικής-Φιλοσοφίας αποτελεί επιλεγόμενο - εξεταζόμενο μάθημα για την Κατεύθυνση «Κλασικών και Ανθρωπιστικών Σπουδών» στη

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος μαθήματος: ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΤΑΞΗ. Ενότητα 3 Η ΕΡΩΤΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ

Τίτλος μαθήματος: ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΤΑΞΗ. Ενότητα 3 Η ΕΡΩΤΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ Τίτλος μαθήματος: ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΤΑΞΗ Ενότητα 3 Η ΕΡΩΤΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ Οι ερωτήσεις στη διδασκαλία Α) Η ερώτηση του εκπαιδευτικού Β) Η ερώτηση του μαθητή Α) Η

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 15 Μαΐου 2010

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 15 Μαΐου 2010 1 ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 15 Μαΐου 2010 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : Γιάννης Στεφάνου ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΓΕΝΝΗΣΗΣ : 23 Μαΐου 1966 ΤΟΠΟΣ ΓΕΝΝΗΣΗΣ : Αθήνα ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑΣ : Λοχαγού Δεδούση 43, 155 62 Χολαργός ΤΗΛΕΦΩΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθησιακά Αντικείμενα για το μάθημα ΤΠΕ-Πληροφορική: Παιδαγωγική αξιοποίηση στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση

Μαθησιακά Αντικείμενα για το μάθημα ΤΠΕ-Πληροφορική: Παιδαγωγική αξιοποίηση στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση Μαθησιακά Αντικείμενα για το μάθημα ΤΠΕ-Πληροφορική: Παιδαγωγική αξιοποίηση στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση Καθηγητής Αθανάσιος Τζιμογιάννης Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου ΙΤΥΕ «Διόφαντος» ΗΜΕΡΙΔΑ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα