Ma-Go-20-T List 1. Obsah trojuholníka. RNDr. Marián Macko

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ma-Go-20-T List 1. Obsah trojuholníka. RNDr. Marián Macko"

Transcript

1 Ma-Go-0-T List 1 Obsah trojuholníka RNDr Marián Macko U: Čo potrebuješ poznať, aby si mohol vypočítať obsah trojuholníka? Ž: Potrebujem poznať jednu stranu a výšku na túto stranu, lebo základný vzorec pre obsah trojuholníka je S = a v a = b v b = c v c U: Strane trojuholníka, pomocou ktorej vyjadrujeme jeho obsah, niekedy hovoríme aj základňa Niektoré trojuholníky však môžu byť zadané svojimi stranami, niektorými vnútornými uhlami, ba dokonca aj polomerom kružnice trojuholníku opísanej, respektíve vpísanej Nás bude zaujímať, ako v takýchto prípadoch vyjadriť obsah trojuholníka Ž: Pomocou zadaných prvkov trojuholníka budeme musieť asi vyjadriť jeho výšku U: Začnime prípadom, keď je trojuholník zadaný dvomi stranami a uhlom, ktorý tieto strany zvierajú Nech sú to napríklad strany b, c a uhol α C b v c α A B D c Ž: Ak za základňu trojuholníka zoberiem stranu c, tak potom musím pomocou strany b a uhla α vyjadriť výšku v c na stranu c Ale to je jednoduché V pravouhlom trojuholníku ADC s pravým uhlom pri vrchole D využijem funkciu sínus pre uhol α U: Máš pravdu Strana b je v tomto trojuholníku preponou, výška v c na stranu c protiľahlou odvesnou k uhlu α Preto platí sin α = v c b Ž: Ak rovnicu vynásobím premennou b, dostanem výšku v c = b sin α Po dosadí do základného vzorca získam vzorec S = c v c = c b sin α U: Vzorec sa dá ľahko zapamätať a obmeniť V čitateli zlomku na pravej strane vzorca je súčin dvoch strán a hodnoty funkcie sínus pre uhol, ktorý je týmito stranami zovretý Ž: To znamená, že ak sú zadané strany a a b, musí byť zadaný uhol γ A tieto premenné potom figurujú vo vzorci pre obsah trojuholníka

2 Ma-Go-0-T List U: Cyklicky ich vo vzorci zameníme podľa spomenutého významu To znamená, že ak poznáme dve strany trojuholníka a uhol nimi zovretý, možno obsah trojuholníka vyjadriť v tvare S = ab sin γ = ac sin β = bc sin α Ž: Ako budeme počítať obsah trojuholníka, ak bude daná iba jedna strana? U: V takomto prípade musia byť zadané aj dva vnútorné uhly trojuholníka Ž: Potom poznáme aj tretí uhol, lebo súčet veľkostí vnútorných uhlov v trojuholníku je 180 stupňov U: Vyriešíme situáciu, keď je zadaná strana c a uhly α a β k tejto strane priľahlé C A α c β B Ž: Výšku na stranu c asi cez dva uhly nevyjadrím U: Vzorec teraz odvodíme z predchádzajúcej situácie Ak by boli zadané strany a, c a uhol β, obsah trojuholníka by sa počítal podľa vzorca Ž: Nepoznáme však stranu a U: Vyjadríme ju zo sínusovej vety Vyjadri stranu a S = a sin α = Ž: Po vynásobení rovnice výrazom sin α dostávam ac sin β c sin γ a = c sin α sin γ U: Ak do vzorca pre obsah trojuholníka namiesto strany a dosadíme výraz c sin α sin γ, dostaneme S = ac sin β = c sin α sin γ c sin β Stačí upraviť zložený zlomok

3 Ma-Go-0-T List 3 Ž: Hodnota funkcie sínus pre uhol γ bude po úprave v menovateli zlomku, tak ako číslo dva S = c sin α sin β sin γ U: Opäť zaujímavý vzťah Uhol oproti strane, ktorú poznáme, je argumentom funkcie sínus nachádzajúcej sa v menovateli zlomku V čitateli zlomku sú zvyšné uhly a druhá mocnina zadanej strany Preto cyklickou zámenou premenných dostávame S = a sin β sin γ sin α = b sin α sin γ sin β = c sin α sin β sin γ U: Pomerne jednoducho odvodíme aj vzorec pre prípad, že trojuholník je zadaný všetkými svojimi stranami a polomerom r kružnice trojuholníku opísanej Východiskom ab sin γ k odvádzaniu bude vzorec S = pre obsah trojuholníka, ktorý sme pred chvíľou uviedli Ž: Potrebujeme nejakým spôsobom vyjadriť hodnotu výrazu sin γ Zadané sú iba strany a, b, c a pomer r kružnice trojuholníku opísanej Netuším, odkiaľ by sme tak mohli urobiť U: Uhol, protiľahlú stranu a polomer kružnice trojuholníku opísanej dáva do vzťahu sínusová veta Vieme, že platí c sin γ = r Ž: Aha! To znamená, že namiesto výrazu sin γ môžem dosadiť výraz c r, lebo sin γ = c r Po dosadení dostávam c ab sin γ ab S = = r U: Po úprave zloženého zlomku dostávame výsledný vzorec pre obsah trojuholníka zadaného stranami a polomerom kružnice trojuholníku opísanej v tvare S = abc 4r Ž: Spomínali ste, že obsah trojuholníka sa dá vyjadriť aj cez polomer kružnice vpísanej do trojuholníka U: Opäť musíme poznať aj dĺžky všetkých strán trojuholníka Pre myšlienku odvodenia vzorca je dôležitý stred kružnice vpísanej do trojuholníka Ako ho zostrojíme? Ž: Vznikne ako prienik osí vnútorných uhlov trojuholníka

4 Ma-Go-0-T List 4 C A b ϱ c U: Všimni si, že body A, B, C a S vytvárajú tri nové trojuholníky ABS, BCS a CAS Ich zjednotením je pôvodný trojuholník ABC Ž: Potom ale obsah trojuholníka ABC musí byť súčtom obsahov týchto troch trojuholníkov S ϱ S ABC = S ABS + S BCS + S CAS ϱ a B U: Obsah každého z týchto troch trojuholníkov vieme vyjadriť Ich základňou je jedna zo strán trojuholníka ABC a výškou je polomer ϱ kružnice vpísanej do trojuholníka ABC To preto, lebo úsečka spájajúca stred kružnice a dotykový bod je kolmá na stranu trojuholníka Predstavuje polomer ϱ kružnice vpísanej Ž: Obsah trojuholníka ABS bude S ABS = cϱ Obsahy ostatných trojuholníkov vyjadrím analogicky Pre obsah trojuholníka ABC potom platí S ABC = cϱ + aϱ + bϱ Zo všetkých sčítancov môžem vybrať pred zátvorku výraz ϱ V zátvorke zostane súčet strán trojuholníka ABC S = ϱ (a + b + c) U: Súčet dĺžok všetkých strán trojuholníka predstavuje jeho obvod o Polovica obvodu sa označuje symbolom s Preto sa zvykne daný vzorec uvádzať aj v tvare S = sϱ, kde s = o = a + b + c Ž: Dá sa obsah trojuholníka vypočítať aj v prípade, že poznáme iba jeho strany a, b, c? U: Vzorec pre tento prípad odvodil Herón z Alexandrie, ktorý žil v l storočí nášho letopočtu Nazývame ho preto Herónov vzorec a má tvar S = s (s a) (s b) (s c)

5 Ma-Go-0-T List 5 Ž: Symbol s má zrejme význam polovičného obvodu trojuholníka, tak ako v predchádzajúcom prípade U: Áno Platí s = a + b + c

6 Ma-Go-0-1 List 6 Príklad 1: Vypočítajte obsah trojuholníka ABC, ak sú dané dĺžky jeho strán a = 37 cm, b = 45 cm a veľkosť vnútorného uhla γ = 60 U: Čo potrebuješ poznať, aby si vypočítal obsah trojuholníka? Ž: Potrebujem dĺžku jednej jeho strany a výšku na túto stranu Vzorec pre obsah trojuholníka je S = av a Ale nepoznám výšku U: Pozri sa na obrázok Výška v a na stranu a súvisí so zadanými stranami a uhlom γ C b a D A v a B Ž: Vznikol pravouhlý trojuholník ADC s pravým uhlom pri vrchole D Poznám jeho preponu, čo je zadaná strana b a uhol γ Chcem vypočítať stranu v a, ktorá je oproti zadanému uhlu, preto použijem funkciu sínus Je definovaná ako pomer protiľahlej odvesny a prepony sin γ = v a b U: Vynásobením rovnice premennou b dostaneme vyjadrenie výšky v a na stranu a v a = b sin γ Dosaď do vzorca pre obsah trojuholníka a dopočítaj Ž: Ak výraz b sin γ dosadíme za výšku v a do vzťahu S = av a, tak dostaneme S = av a ab sin γ = Za premennú a dosadím hodnotu 37, b = 45 a uhol γ má veľkosť 60 stupňov Dostávam S = sin 60 = , lebo sínus 60 stupňov je 3 U: Obsah trojuholníka je cm

7 Ma-Go-0-1 List 7 Úloha : Vypočítajte obsah trojuholníka ABC, ak sú dané dĺžky jeho strán a = 37 cm, b = 45 cm a veľkosť vnútorného uhla γ = 10 Výsledok: S = cm

8 Ma-Go-0- List 8 Príklad : Vypočítajte dĺžky strán trojuholníka ABC, ak je daný jeho obsah S = 50 cm a veľkosti jeho vnútorných uhlov α = 48 a β = 5 U: Na výpočet dĺžky strany a trojuholníka použijeme vzorec pre obsah trojuholníka v tvare Vyjadri dĺžku strany a Ž: Vynásobím výrazom sin α, potom S = a sin β sin γ sin α S sin α = a sin β sin γ, a vydelím súčinom hodnôt funkcie sínus pre uhly β a γ Dostávam a = S sin α sin β sin γ U: Vyjadrenie dĺžky strany a bude mať po odmocnení tvar S sin α a = sin β sin γ Ž: Aby som mohol dosadiť všetky zadané hodnoty, potrebujem ešte vypočítať veľkosť uhla γ Viem, že súčet veľkostí vnútorných uhlov v trojuholníku je 180 stupňov Preto uhol γ vypočítam zo vzorca γ = 180 α β = = 80 U: Dosadíme zadané a vypočítané hodnoty a dostávame 50 sin 48 a = sin 5 sin 80 Na výpočet použijeme kalkulačku Dĺžka strany a je približne 1, 9 cm Ž: Na výpočet zvyšných strán by sa mal použiť analogický vzorec Všimol som si, že vo výslednom vyjadrení a = pre stranu a je v čitateli zlomku pod odmocninou uhol S sin α sin β sin γ k tejto strane protiľahlý Teda α Preto pre stranu b môžem písať vzorec S sin β b = sin α sin γ

9 Ma-Go-0- List 9 U: Výborne Zjednodušil si výpočty Veľkosti zvyšných strán budeme počítať analogicky Po dosadení dostávame S sin β 500 sin 5 b = sin α sin γ = sin 48 sin 80 Dĺžka strany b je približne 3, 8 cm Výpočet strany c už zvládneš sám Ž: Vzorec pre vyjadrenie strany c bude mať tvar S sin γ c = sin α sin β, lebo oproti strane c je uhol γ Dosadím číselné hodnoty a dostávam 500 sin 80 c = sin 48 sin 5 U: Dĺžka strany c je približne 9 cm

10 Ma-Go-0-3 List 10 Príklad 3: Vypočítajte dĺžky zvyšných strán ostrouhlého trojuholníka ABC, ak je daná dĺžka jeho strany a = 5 cm Výšky na strany a a b trojuholníka majú dĺžky v a = cm, v b = 4 cm U: Dĺžku strany b trojuholníka ABC vypočítame na základe vyjadrenia jeho obsahu To môžeme urobiť dvoma spôsobmi Ak je základňou trojuholníka strana a, jeho obsah bude vyjadrený vzorcom S = av a To isté musíme dostať, ak obsah vyjadríme pomocou strany b Ž: Musí teda platiť S = av a = bv b U: Rovnicu vynásobíme dvomi, vydelíme premennou v b a dostaneme vyjadrenie strany b v tvare b = av a v b Ž: Stačí dosadiť zadané číselné hodnoty Pre dĺžku strany b trojuholníka dostávame b = 5 =,5 cm 4 U: Jednou z metód, ako vypočítať dĺžku strany c, je použiť kosínusovú vetu Ž: Ale to musíme poznať veľkosť uhla γ, ktorý strany a a b známej dĺžky zvierajú U: To nebude problém Pozri na obrázok C b γ v a a A D v b B Ž: Jasné Využijem pravouhlý trojuholník BCD s pravým uhlom pri vrchole D Uhol γ vypočítam pomocou funkcie sínus Je definovaná ako pomer protiľahlej odvesny a prepony U: Protiľahlou odvesnou je v našom prípade výška na stranu b a preponou úsečka a Preto platí sin γ = v b a U: Po dosadení číselných hodnôt máme sin γ = 4 5

11 Ma-Go-0-3 List 11 Ž: Uhol vypočítam použitím kalkulačky U: V ďalších výpočtoch si poradíme aj bez určenia veľkosti uhla γ Postačí nám vedomosť, že sin γ = 4 Poďme na vyjadrenie strany c pomocou kosínusovej vety 5 Ž: Pre stranu c platí Odkiaľ získame hodnotu výrazu cos γ? c = a + b ab cos γ U: Poznáme hodnotu funkcie sínus, preto použijeme základný vzťah medzi hodnotami funkcií sínus a kosínus sin γ + cos γ = 1 Ž: Za hodnotu funkcie sínus dosadím číslo 4 5 a dostávam ( ) 4 + cos γ = 1 5 Zlomok umocním a odčítam Vyjadrenie druhej mocniny hodnoty funkcie kosínus bude mať tvar cos γ = U: Trojuholník je podľa zadania ostrouhlý Ako vieme, hodnota funkcie kosínus pre ostré uhly je kladná Preto cos γ = = 9 5 = 3 5 Ž: Teraz už môžem vypočítať dĺžku strany c Zadané a vypočítané hodnoty dosadím do kosínusovej vety c = a + b ab cos γ = 5 +,5 5,5 3 5 Po umocnení a vynásobení čísel dostávam U: Strana c má dĺžku 16,5 cm c = 5 + 6,5 15 = 16,5

12 Ma-Go-0-4 List 1 Príklad 4: Vypočítajte obsah rovnobežníka ABCD, ak sú dané dĺžky jeho strán AB = 8 cm, AD = cm a veľkosť vnútorného uhla DAB je 30 stupňov Potom vypočítajte výšku na stranu a U: Ako vypočítame obsah rovnobežníka? Ž: Potrebujem poznať dĺžku jednej strany rovnobežníka a výšku na túto stranu Obsah bude daný súčinom ich dĺžok S = av a U: Výšku v a na stranu a rovnobežníka vyjadríme na základe zadaných strán a uhla rovnobežníka Pozri na obrázok A b = cm 30 D E v a a = 8 cm B C Ž: Na jej výpočet využijem pravouhlý trojuholník AED s pravým uhlom pri vrchole E U: V trojuholníku AED poznáš preponu AD = cm a uhol oproti výške, ktorú chceš vypočítať Ž: Do vzťahu ich dáva funkcia sínus Je definovaná ako pomer protiľahlej odvesny k prepone, preto sin DAB = v a AD U: Ak rovnicu vynásobíme dĺžkou strany AD, dostaneme výšku na stranu a v tvare v a = AD sin DAB Dosaď toto vyjadrenie do vzorca pre obsah rovnobežníka Ž: Po dosadení bude mať vzorec pre obsah rovnobežníka tvar S = av a = a AD sin DAB U: Zostáva nám dosadiť číselné hodnoty Zo zadania vieme, že a = AB = 8 cm, AD = cm a uhol DAB má veľkosť 30 stupňov Dosadíme S = 8 sin 30 Ž: Hodnota funkcie sínus pre 30 stupňov je 0,5 Po vynásobení všetkých čísel dostanem pre obsah rovnobežníka výsledok 8 cm S = 8 sin 30 = 8 0,5 = 8 U: Druhá časť úlohy spočíva vo výpočte výšky v a na stranu a

13 Ma-Go-0-4 List 13 Ž: Keďže poznáme obsah rovnobežníka a dĺžku strany a, môžeme využiť vzorec S = av a Výška bude podielom obsahu a dĺžky strany a v a = S a U: Máš pravdu Po dosadení číselných hodnôt dostávame v a = S a = 8 8 = 1 Ž: Výška v rovnobežníku bude mať veľkosť jeden centimeter U: Výšku sme mohli vypočítať aj iným spôsobom Nepotrebujeme obsah rovnobežníka Stačí použiť dve zadané strany a uhol rovnobežníka Ž: Máte na mysli pravouhlý trojuholník AED, ktorý sme využili na začiatku úlohy? U: Áno Veď vtedy si pre výšku rovnobežníka odvodil vzorec v a = AD sin DAB Ž: Jasné Všetky členy, okrem strany a, vo vzťahu pre obsah S = a AD sin DAB, ktorý sme odvodili, vyjadrujú výšku Je to teda výraz AD sin DAB U: Aj z tohto vyjadrenia dostaneme po dosadení číselných hodnôt výsledok jeden centimeter v a = AD sin DAB = 0,5 = 1

14 Ma-Go-0-5 List 14 Príklad 5: Vypočítajte obsah rovnobežníka ABCD, ak je daný ostrý uhol α = DAB a vzdialenosť priesečníka uhlopriečok S od nerovnakých strán AB a AD je m a p U: Ako je určená vzdialenosť priesečníka S od strany AB rovnobežníka ABCD? Ž: Z bodu S treba zostrojiť kolmicu na stranu AB Táto vzdialenosť, označená symbolom m, predstavuje výšku v trojuholníku ABS D C p S A α m B U: Význam premennej p chápeme podobne Je to výška v trojuholníku ASD Ž: Ako pomocou týchto výšok a uhla α vyjadríme obsah rovnobežníka? U: Pomôžeme si aj stranami rovnobežníka Stranu AB označíme symbolom a, stranu AD symbolom b Uhlopriečky rozdelia rovnobežník na štyri trojuholníky, tak ako to je na obrázku Keďže bod S je stredom uhlopriečok a strany AB a CD sú zhodné, musia byť trojuholníky ABS a CDS zhodné Majú rovnaký obsah Vieš ho vyjadriť? Ž: Základňou v oboch trojuholníkoch je strana a a m je výškou na základňu Preto platí S ABS = S CDS = am U: Aj trojuholníky ADS a CSB sú zhodné Ich základňou je strana b a výškou p Pre ich obsah platí S ADS = S CSB = bp Aký bude celkový obsah rovnobežníka ABCD? Ž: Stačí spočítať obsahy týchto štyroch trojuholníkov Dostávame S = S ABS + S ADS = am + bp Po vynásobení zlomkov číslom dva bude obsah rovnobežníka vyjadrený vzorcom Ale nepoznáme strany a a b S = am + bp U: Z toho dôvodu sa pokúsime vyjadriť obsah rovnobežníka aj iným spôsobom Akú výšku na stranu a má rovnobežník ABCD?

15 Ma-Go-0-5 List 15 D m C v a m S A Ž: Stačí sčítať výšky v trojuholníkoch ABS a CDS Obe výšky uvažujeme na stranu a Preto výška v rovnobežníku ABCD na stranu a má veľkosť m U: Potom obsah rovnobežníka ABCD vieme vyjadriť aj v tvare S = a m B Ž: Zatiaľ sme nikde nevyužili zadaný uhol α U: Máš pravdu Pomocou tohto uhla a strán rovnobežníka vyjadríme obsah rovnobežníka tretím spôsobom Vieme, že rovnobežník sa skladá z dvoch zhodných trojuholníkov ABD a BCD, ktorých spoločná strana BD je uhlopriečkou rovnobežníka Obsah trojuholníka ABD sa dá vyjadriť pomocou dvoch strán a, b a uhla α, ktorý je nimi zovretý Ž: Spomínam si na vzorec ab sin α S ABD = Preto obsah rovnobežníka musí byť jeho dvojnásobkom S = S ABD = ab sin α U: Obsah rovnobežníka sme vyjadrili troma spôsobmi: S = am + bp, S = am, S = ab sin α Výsledný vzorec získame úpravou týchto troch vzorcov tak, aby sme vylúčili nezadané strany a a b Najskôr zo vzorca S = am vyjadríme stranu a a dosadíme do posledného vzorca a = S m

16 Ma-Go-0-5 List 16 Ž: Po dosadení dostávam S = ab sin α = S b sin α m Vykrátim obsah S a vyjadrím stranu b b = m sin α U: Obe vyjadrenia za strany a a b dosadíme teraz do prvého vzorca a upravíme: Vyjadri odtiaľ obsah S S = am + bp = S m m + m sin α p = S + mp sin α Ž: Po odčítaní zlomku S dostávam S = mp sin α Stačí rovnicu vynásobiť dvomi a obsah rovnobežníka bude vyjadrený v tvare S = 4mp sin α U: A to je výsledok úlohy

17 Ma-Go-0-6 List 17 Príklad 6: Vypočítajte obsah trojuholníka ABC a veľkosť vnútorného uhla β, ak sú dané dĺžky jeho strán a = 4 cm, b = 3 cm a c = 3,5 cm U: Využijeme Herónov vzorec na výpočet obsahu trojuholníka S = s (s a) (s b) (s c), kde s = a + b + c Symbolom malé s je označený polovičný obvod trojuholníka Ž: Poznám všetky strany, takže vypočítam najskôr polovičný obvod s = a + b + c = ,5 Polovičný obvod trojuholníka je 5,5 centimetra = 5,5 U: Túto hodnotu a dĺžky strán trojuholníka ABC dosadíme do Herónovho vzorca Dostávame S = 5,5 (5,5 4) (5,5 3) (5,5 3,5) Po odčítaní čísel v zátvorkách dostaneme pod odmocninou súčin čísel S = 5,5 1,5,5 1,75 Ž: Využijem kalkulačku Po vynásobení a odmocnení dostanem približnú hodnotu obsahu trojuholníka S = 5,083 cm U: Prejdeme k druhej časti úlohy Ako vypočítame veľkosť uhla β, ak poznáme všetky strany trojuholníka? Ž: Použijeme kosínusovú vetu b = a + c ac cos β U: Vyjadri odtiaľ hodnotu funkcie kosínus Ž: K rovnici pripočítam výraz ac cos β a odrátam člen b Dostávam ac cos β = a + c b U: Hodnotu funkcie kosínus získame delením výrazom ac Výsledný vzorec na výpočet uhla β má tvar cos β = a + c b ac

18 Ma-Go-0-6 List 18 Ž: Po dosadení zadaných hodnôt dostávam cos β = 4 + 3, ,5 V čitateli čísla umocním a v menovateli ich vynásobím cos β = U: Pre hodnotu funkcie kosínus dostaneme Veľkosť uhla určíme pomocou kalkulačky Ž: Uhol β má veľkosť približne 46,6 stupňa ,5 9 8 cos β = 19,5 8 β 46,6

Vzorce pre polovičný argument

Vzorce pre polovičný argument Ma-Go-15-T List 1 Vzorce pre polovičný argument RNDr Marián Macko U: Vedel by si vypočítať hodnotu funkcie sínus pre argument rovný číslu π 8? Ž: Viem, že hodnota funkcie sínus pre číslo π 4 je Hodnota

Διαβάστε περισσότερα

Objem a povrch rotačného kužeľa

Objem a povrch rotačného kužeľa Ma-Te-04-T List 1 Objem a povrch rotačného kužeľa RNDr. Marián Macko Ž: Prečo má kužeľ prívlastok rotačný? U: Vysvetľuje podstatu vzniku tohto telesa. Rotačný kužeľ vznikne rotáciou, čiže otočením, pravouhlého

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

1. Trojuholník - definícia

1. Trojuholník - definícia 1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku

Goniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku Ma-Go-01-T List 1 Goniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku RNDr. Marián Macko U: Pojem goniometrické funkcie v preklade z gréčtiny znamená funkcie merajúce uhly. Dajú sa použiť v pravouhlom

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Metodicko pedagogické centrum.

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Metodicko pedagogické centrum. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =. Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií

Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

Objem a povrch rotačného valca

Objem a povrch rotačného valca Ma-Te-03-T List 1 Objem a povrch rotačného valca RNDr. Marián Macko Ž: Prečo má valec prívlastok rotačný? U: Vysvetľuje podstatu vzniku tohto telesa. Rotačný valec vznikne rotáciou, čiže otočením obdĺžnika

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah rovinných útvarov

Obvod a obsah rovinných útvarov Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka

Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Ak máme nepravidelný mnohouholník, tak skúsime ho rozdeliť na útvary, ktorým vieme vypočítať obsah z daných údajov najvšeobecnejší spôsob: rozdeliť

Διαβάστε περισσότερα

Mocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník

Mocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník Mocniny : 1. časť 1. Vypočítajte pomocou tabuliek : a) 100 ; 876 ; 15,89 ; 1, ; 0,065 ; b) 5600 ; 16 ; 0,9 ;,64 ; 1,4 ; c) 1,5 ; 170 ; 0,01 ; 148 0, 56 ; 64, 5

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah geometrických útvarov

Obvod a obsah geometrických útvarov Obvod a obsah geometrických útvarov 1. Štvorcu ABCD so stranou a je opísaná a vpísaná kružnica. Vypočítajte obsah medzikružia, ktoré tieto kružnice ohraničujú. 2. Základňa rovnoramenného trojuholníka je

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Ma-Te-05-T List 1. Objem a povrch gule. RNDr. Marián Macko

Ma-Te-05-T List 1. Objem a povrch gule. RNDr. Marián Macko Ma-Te-05-T List 1 Objem a povrch gule RNDr. Marián Macko U: Guľu a guľovú plochu môžeme definovať ako analógie istých rovinných geometrických útvarov. Ž: Máte na mysli kružnicu a kruh? U: Áno. Guľa je

Διαβάστε περισσότερα

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh 16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)

Διαβάστε περισσότερα

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor

Διαβάστε περισσότερα

Jednoducho o matematike

Jednoducho o matematike Jednoducho o matematike Prehľad matematiky zo základnej školy Spracoval: Vladimír Rýs (voľne prístupná práca o matematike základnej školy) 1 1. Úvod Prečo vlastne chcem napísať tento prehľad? Dôvod je

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice riešené substitúciou

Goniometrické rovnice riešené substitúciou Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické funkcie

Goniometrické funkcie Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej

Διαβάστε περισσότερα

Povrch a objem ihlana

Povrch a objem ihlana Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky

Διαβάστε περισσότερα

Objem a povrch zrezaného ihlana a zrezaného rotačného kužeľa

Objem a povrch zrezaného ihlana a zrezaného rotačného kužeľa Ma-Te-06-T List 1 Objem a povrch zrezaného ihlana a zrezaného rotačného kužeľa RNDr. Marián Macko U: Počul si už niekedy o zrezanom rotačnom kuželi? Ž: O rotačnom kuželi som už počul, ale pojem zrezaný

Διαβάστε περισσότερα

Ján Buša Štefan Schrötter

Ján Buša Štefan Schrötter Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

Integrovanie racionálnych funkcií

Integrovanie racionálnych funkcií Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie

Διαβάστε περισσότερα

Konštrukcia mnohouholníkov s využitím množín všetkých bodov danej vlastnosti

Konštrukcia mnohouholníkov s využitím množín všetkých bodov danej vlastnosti Ma-Ko-02-T List 1 Konštrukcia mnohouholníkov s využitím množín všetkých bodov danej vlastnosti RNr. Marián Macko U: pomínaš si zo základnej školy na konštrukciu pravidelného šesťuholníka so stranou a dĺžky

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΤΕΚΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΛΑΔΟΥ

ΤΡΙΤΕΚΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΛΑΔΟΥ 112 134 ΑΒΑΤΑΓΓΕΛΟΥ ΣΟΦΙΑ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑΣ ΚΑΣΣΙΑΝΗ ΠΕ70 Δάσκαλοι ΟΧΙ Β 150 19 Κέρκυρα ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π.Ε. ΚΕΡΚΥΡΑΣ 32 35 ΑΒΡΑΜΙΔΟΥ ΜΑΡΙΚΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΟΦΙΑ ΠΕ70 Δάσκαλοι ΟΧΙ Β 42 28,133 Ζάκυνθος ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π.Ε. ΖΑΚΥΝΘΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΩΦΕΛΟΥΜΕΝΩΝ (ΑΛΦΑΒΗΤΙΚΑ) ΑΝΑ ΔΗΜΟ ΔΟΜΗΣ

ΟΡΙΣΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΩΦΕΛΟΥΜΕΝΩΝ (ΑΛΦΑΒΗΤΙΚΑ) ΑΝΑ ΔΗΜΟ ΔΟΜΗΣ ΑΓΓΕΛΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΑ - ΜΑΡΙΑ 22900 74,33 ΑΓΓΕΛΟΥ ΦΙΛΙΠΠΑ - ΑΡΓΥΡΩ 20191 Α1.1 - Βρεφονηπιακός Σταθμός "Η παρεούλα μας" ΑΓΓΕΛΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ 83231 87,77 ΒΙΡΛΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ 21836 Γ - Κοινωνική Προσπάθεια (ΚΔΑΠ) (Α'

Διαβάστε περισσότερα

STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice

Διαβάστε περισσότερα

Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus

Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο1. ΠΕΡΙΟΧΗ ΠΡΟΣΛΗΨΗΣ ΑΒΡΑΜΙΔΟΥ ΜΑΡΙΚΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Γ Αθηνών ΑΒΡΑΜΙΔΟΥ ΣΟΦΙΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Λασίθι ΑΓΓΕΛΗ ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

Φύλλο1. ΠΕΡΙΟΧΗ ΠΡΟΣΛΗΨΗΣ ΑΒΡΑΜΙΔΟΥ ΜΑΡΙΚΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Γ Αθηνών ΑΒΡΑΜΙΔΟΥ ΣΟΦΙΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Λασίθι ΑΓΓΕΛΗ ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ ΠΕΡΙΟΧΗ ΠΡΟΣΛΗΨΗΣ ΑΒΡΑΜΙΔΟΥ ΜΑΡΙΚΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Γ Αθηνών ΑΒΡΑΜΙΔΟΥ ΣΟΦΙΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Λασίθι ΑΓΓΕΛΗ ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Α Ανατ. Αττικής ΑΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Αχαία ΑΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΥΛΙΝΑ 609315 ΠΕ11 25,5 ΚΑΒΑΛΑΣ ΑΝΑΤ. ΑΤΤΙΚΗ

ΠΑΥΛΙΝΑ 609315 ΠΕ11 25,5 ΚΑΒΑΛΑΣ ΑΝΑΤ. ΑΤΤΙΚΗ ΕΛΛΕΙΜΑΤΙΚΕΣ - ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΙΚΕΣ 1 1 ΑΒΑΝΙΔΗ ΑΝΝΑ 593587 ΠΕ70 14 ΚΟΡΙΝΘΙΑ Α ΑΘΗΝΩΝ 2 ΑΒΕΡΚΙΑΔΟΥ ΠΑΤΑΡΙΝΣΚΑ ΠΑΥΛΙΝΑ 609315 ΠΕ11 25,5 ΚΑΒΑΛΑΣ ΑΝΑΤ. ΑΤΤΙΚΗ 3 ΑΒΟΥΡΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ 590405 ΠΕ16 36,917 ΖΑΚΥΝΘΟΣ ΣΕΡΡΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Príklady na precvičovanie Fourierove rady

Príklady na precvičovanie Fourierove rady Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n

Διαβάστε περισσότερα

9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov,

9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, 9 Planimetria Ciele Preštudovanie tejto kapitoly vám lepšie umožní: identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, používať jednotky

Διαβάστε περισσότερα

Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,

Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie, Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΛΟΓΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΕΒΡΟΥ

ΕΚΛΟΓΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΕΒΡΟΥ ΕΚΛΟΓΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΕΒΡΟΥ ΑΣΗΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ του ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΚΑΛΑΪΤΖΙΔΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ του ΜΙΧΑΗΛ ΚΟΖΑΡΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ του ΧΡΗΣΤΟΥ ΜΑΛΚΟΥΚΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ του ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΜΟΡΑΛΗΣ ΖΗΣΗΣ του ΙΩΑΝΝΗ ΕΚΛΟΓΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Grafy funkcií tangens a kotangens

Grafy funkcií tangens a kotangens Ma-Go-8-T List Graf funkcií tangens a kotangens RNDr. Marián Macko U: Dobrú predstavu o grafe funkcie f : = tg získame z jednotkovej kružnice prenesením hodnôt funkcie tangens pre niekoľko zvolených hodnôt

Διαβάστε περισσότερα

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

Súradnicová sústava (karteziánska)

Súradnicová sústava (karteziánska) Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy obvodného kola 34. ročník, školský rok 2012/2013 KATEGÓRIA P3

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy obvodného kola 34. ročník, školský rok 2012/2013 KATEGÓRIA P3 KATEGÓRIA P3 1. Za dva koláčiky by sme zaplatili 32 centov. Koľko centov zaplatí Peter, ak kúpi po jednom koláčiku pre seba a pre troch súrodencov? 2. Napíšte slovom, aké znamienko matematickej operácie

Διαβάστε περισσότερα

23. Zhodné zobrazenia

23. Zhodné zobrazenia 23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:

Διαβάστε περισσότερα

Potrebné znalosti z podmieňujúcich predmetov

Potrebné znalosti z podmieňujúcich predmetov Potrebné znalosti z podmieňujúcich predmetov Matematika 1: 1. Trigonometria (riešenie trojuholníkov - Pythagorova veta, Euklidove vety, sinusová a kosinusová veta, podobnosť trojuholníkov, výška, ťažnica,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΡΙΑ ΠΙΝΑΚΑ ΣΕΙΡΑ ΠΙΝΑΚΑ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΑ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ ΚΛΑΔΟΣ ΤΡΙΤΕΚΝΟ Σ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΠ/ΣΗΣ

ΜΟΡΙΑ ΠΙΝΑΚΑ ΣΕΙΡΑ ΠΙΝΑΚΑ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΑ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ ΚΛΑΔΟΣ ΤΡΙΤΕΚΝΟ Σ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΠ/ΣΗΣ 1 ΜΑΡΑΜΗ ΕΥΑΓΓΕΛΟ ΝΙΚΟΛΑΟ ΠΕ16.01 ΟΧΙ Β 1 38,715 Α Θεσσαλονίκης ΔΙΕΥΘΥΝΗ Π.Ε. ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ Α 2 ΚΟΛΛΙΑ ΩΤΗΡΙΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗ ΠΕ16.01 ΟΧΙ Β 2 17,29 Β Αθηνών ΔΙΕΥΘΥΝΗ Π.Ε. ΑΘΗΝΑ Β 3 ΔΕΠΟΤΗ ΩΤΗΡΙΟ ΚΩΝΤΑΝΤΙΝΟ ΠΕ16.01

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

Výpočet. grafický návrh

Výpočet. grafický návrh Výočet aaetov a afcký návh ostuu vtýčena odobných bodov echodníc a kužncových obúkov Píoha. Výočet aaetov a afcký návh ostuu vtýčena... Vtýčene kajnej echodnce č. Vstuné údaje: = 00 ; = 8 ; o = 8 S ohľado

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΩΦΕΛΟΥΜΕΝΩΝ (ΑΛΦΑΒΗΤΙΚΑ) ΑΝΑ ΔΗΜΟ ΔΟΜΗΣ

ΟΡΙΣΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΩΦΕΛΟΥΜΕΝΩΝ (ΑΛΦΑΒΗΤΙΚΑ) ΑΝΑ ΔΗΜΟ ΔΟΜΗΣ ΑΕΡΑΚΗ ΚΛΕΟΠΑΤΡΑ 15879 28,69 ΓΙΑΝΝΕΛΟΥ ΜΑΡΙΑ - ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ 30475 Α2 - Δομή Παιδικού Σταθμού - Γκανογιάννη 78, Γουδή ΑΛΒΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΝΗ 15765 60,69 ΚΑΤΣΗ ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ - ΜΕΛΙΝΑ 30524 Α2 - Δομή Παιδικού Σταθμού

Διαβάστε περισσότερα

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a ) Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ / ΟΝΟΜΑ ΣΥΖΥΓΟΥ 1 ΑΓΟΡΑΣΤΟΥ ΜΑΡΙΑ ΤΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ 2 ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΟΥ ΠΑΥΛΟΥ 3 ΑΚΤΣΟΓΛΟΥ ΣΩΚΡΑΤΗΣ ΤΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΥ

ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ / ΟΝΟΜΑ ΣΥΖΥΓΟΥ 1 ΑΓΟΡΑΣΤΟΥ ΜΑΡΙΑ ΤΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ 2 ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΟΥ ΠΑΥΛΟΥ 3 ΑΚΤΣΟΓΛΟΥ ΣΩΚΡΑΤΗΣ ΤΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΥ Υποψήφιοι ημοτικοί Σύμβουλοι: ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ / ΣΥΖΥΓΟΥ 1 ΑΓΟΡΑΣΤΟΥ ΜΑΡΙΑ ΤΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ 2 ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΟΥ ΠΑΥΛΟΥ 3 ΑΚΤΣΟΓΛΟΥ ΣΩΚΡΑΤΗΣ ΤΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΥ 4 ΑΛΦΑΤΖΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΥ 5 ΑΜΟΡΓΙΑΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické nerovnice

Goniometrické nerovnice Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto

Διαβάστε περισσότερα

Smernicový tvar rovnice priamky

Smernicový tvar rovnice priamky VoAg1-T List 1 Smernicový tvar rovnice priamk RNDr.Viera Vodičková U: Medzi prevratné objav analtickej geometrie patrí to, že s priamkou nenarábame ako s geometrickým objektom, ale popisujeme ju rovnicou.

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

JKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková

JKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková JKPo0-T List Nekonečné rady Mgr. Jana Králiková U: Ernest Hemingway povedal: Najľahší spôsob ako stratiť dôveru a úctu mladých je dávať im nekonečné rady. Ž: Poskytnete mi nekonečné rady o nekonečných

Διαβάστε περισσότερα

Parametre ovplyvňujúce spotrebu paliva automobilu

Parametre ovplyvňujúce spotrebu paliva automobilu 1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 Parametre ovplyvňujúce spotrebu paliva automobilu Matej Juraj Elektrotechnika, Strojárstvo 20.03.2013 Nasledujúci príspevok pojednáva o fyzikálnych veličinách,

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

MATURITA 2013 MATEMATIK A

MATURITA 2013 MATEMATIK A Kód testu 8103 MATURITA 2013 EXTERNÁ ČASŤ MATEMATIK A NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! Test obsahuje 30 úloh. Na vypracovanie testu budete mať 120 minút. V teste sa

Διαβάστε περισσότερα

Pilota600mmrez1. N Rd = N Rd = M Rd = V Ed = N Rd = M y M Rd = M y. M Rd = N 0.

Pilota600mmrez1. N Rd = N Rd = M Rd = V Ed = N Rd = M y M Rd = M y. M Rd = N 0. Bc. Martin Vozár Návrh výstuže do pilót Diplomová práca 8x24.00 kr. 50.0 Pilota600mmrez1 Typ prvku: nosník Prostředí: X0 Beton:C20/25 f ck = 20.0 MPa; f ct = 2.2 MPa; E cm = 30000.0 MPa Ocelpodélná:B500

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

2. Aký obsah má vyfarbený útvar? Dĺţka strany štvorca je 3 m.

2. Aký obsah má vyfarbený útvar? Dĺţka strany štvorca je 3 m. Dĺžka kružnice, obsah kruhu 1. Na obrázku je kruţnica vpísaná do štvorca so stranou 4cm a štyri kruţnicové oblúky so stredmi vo vrcholoch štvorca. ký obsah má vyfarbený útvar? 4 + π cm 16 - π cm 8π 16

Διαβάστε περισσότερα

AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený

Διαβάστε περισσότερα

MONITOR 9 (2007) riešenia úloh testu z matematiky

MONITOR 9 (2007) riešenia úloh testu z matematiky MONITOR 9 (007) riešenia úloh testu z matematiky Autormi nasledujúcich riešení sú pracovníci spoločnosti EXAM testing Nejde teda o oficiálne riešenia, ktoré môže vydať ia Štátny pedagogický ústav (wwwstatpedusk)

Διαβάστε περισσότερα

Definícia funkcie sínus a kosínus

Definícia funkcie sínus a kosínus a-go-0-t List Definícia funkcie sínus a kosínus RNDr. arián acko U: Dnešnú podobu goniometrickým funkciám dal až v 8. storočí Leonard Euler. Skúmal ich hodnot ako čísla, nie ako úsečk, ako sa to robilo

Διαβάστε περισσότερα

Výpočet. sledu skrátenia koľajníc v zloženom oblúku s krajnými prechodnicami a s medziľahlou prechodnicou a. porovnanie

Výpočet. sledu skrátenia koľajníc v zloženom oblúku s krajnými prechodnicami a s medziľahlou prechodnicou a. porovnanie Výpočet sledu skrátenia koľajníc v zloženo oblúku s krajnýi prechodnicai a s edziľahlou prechodnicou a porovnanie výsledkov výpočtového riešenia a grafického riešenia Príloha.4 Výpočet sledu skrátenia

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

Zložené funkcie a substitúcia

Zložené funkcie a substitúcia 3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi

Διαβάστε περισσότερα

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom

Διαβάστε περισσότερα

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3 ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v

Διαβάστε περισσότερα

ΑΑ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ ΚΛΑΔΟΣ ΤΡΙΤΕΚΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΟΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΙΝΑΚΑ ΠΙΝΑΚΑ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ

ΑΑ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ ΚΛΑΔΟΣ ΤΡΙΤΕΚΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΟΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΙΝΑΚΑ ΠΙΝΑΚΑ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΑΑ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ ΚΛΑΔ ΤΡΙΤΕΚΝ 1 ΛΙΟΛΙΟΥ ΘΕΟΧΑΡΙΑ ΑΠΤΟΛ ΠΕ32 ΟΧΙ Β 1 14,427 Β Θεσσαλονίκης ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π.Ε. ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Β 2 ΨΑΡΡΗ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΠΕ32 ΟΧΙ Β 2 5,51 Β Αθηνών ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π.Ε.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Kruh a kružnica interaktívne

Kruh a kružnica interaktívne Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Mgr. Róbert Truchan Kruh a kružnica interaktívne Osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej praxe Prešov 2013 Vydavateľ:

Διαβάστε περισσότερα

Návrh maturitných zadaní v predmete matematika

Návrh maturitných zadaní v predmete matematika Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ RNDr. Renáta Kunová PhD. Návrh maturitných zadaní v predmete matematika Osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické substitúcie

Goniometrické substitúcie Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať

Διαβάστε περισσότερα