STATISTIKA. Ako Sauga
|
|
- Κῆρες Ζαχαρίου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ako Sauga Tallinn 2003
2 1 1. STATISTIKA AINE JA MEETOD Statistika: C arvandmed; C praktiline tegevus; C teadus. Statistika on teadus massnähtuste kvantitatiivse uurimise meetoditest. C C statistika käsitleb nähtuste kogumeid, mis koosnevad üksiknähtustest (massnähtused); statistika uurib massnähtusi kvantitatiivsest küljest (erinevalt näit. ökonoomikast, mis uurib nähtusi kvalitatiivsest küljest) Üldkogumiks nimetatakse üksiknähtuste ehk elementide (x i ) hulka. Elementide arvu nimetatakse üldkogumi mahuks ja tähistatakse tavaliselt N. Kogumi elementidel on vähemalt üks tunnus, mille alusel on võimalik üht kogumi elementi teisest eristada. Enamasti on tunnuseid mitu. Kui üldkogumi maht on suur, piirdutakse neist mingi alamhulga, s.o. valimi vaatlemisega. Katse tulemusel saadakse andmestik, mis sisaldab katse käigus mõõdetud tunnuse väärtusi väljavalitud elementidel. Korrastatud statistiline rida - elemendid on järjestatud mingi tunnuse alusel. Ka variatsioonrida. Töö etapid teatud probleemi statistilisel uurimisel: 1. Statistiline vaatlus. Andmete hankimine uuritava kogumi kohta. 2. Andmete kokkuvõte ja töötlemine. Tabelarvutusprogrammid MS Excel, QuattroPro, Lotus Spetsiaalsed tarkvarapaketid SPSS, MINITAB, STATGRAPHICS. 3. Tulemuste analüüs ja tõlgendamine (interpreteerimine), järelduste ja üldistuste tegemine. 4. Tulemuste esitamine. Suuline, kirjalik, tabelid, diagrammid, valemid. 2. STATISTILINE VAATLUS Statistiliste vaatluste liigitus C Liigitus vaatluse otstarbe järgi: 1. Primaarsed ehk spetsiifilised. Korraldatakse otseselt statistiliste andmete kogumiseks. 2. Sekundaarsed. Teistel eesmärkidel kogutud andmeid (majandusarvestus, raamatupidamine) kasutatakse hiljem ka statistikas. C Liigitus andmete hankimise viisi järgi: Audentese Ülikool, Koostanud A. Sauga
3 2 1. Otsese vaatluse puhul registreerib vaatleja oma silmaga vaatluse ajal nähtud tõsiasju. Näiteks ostjate registreerimine, liiklusvaatlused. 2. Küsitluse ajal registreeritakse küsitletavatelt isikutelt saadud vastused. a) suuline küsitlus (vestlus, intervjuu), kus vaatlusalusega vesteldakse ja saadud vastused registreeritakse varem koostatud küsitluslehele; b) ankeetvaatlus (ankeetmeetod), mille puhul lastakse uuritavatel vastata kirjalikult ankeetlehe küsimustele; c) korrespondentvaatlus, kus korrespondendid (eraisikud või firmad) regulaarselt koguvad ja saadavad andmeid varem koostatud programmi või küsitluslehe alusel. 3. Dokumentaalvaatlus kujutab endast kirjalikul (või elektroonsel) kujul olevate allikate (aruandlus, arhiividokumendid, andmebaasid) uurimist. Dokumentaalvaatluse allikaid: Firma raamatupidamine, arhiiv. Eesti Statistikaameti väljaanded ilmuvad nii trükisena kui elektroonsel kujul:! Eesti statistika aastaraamat! Eesti piirkondlik statistika! Ettevõtete finantsnäitajad! Rahvastikustatistika teatmik Lisaks hariduse, palga, tööstuse, kinnisvara, kaubanduse, väliskaubanduse jms kohta. Interneti kaudu on kättesaadavad hulgaliselt elektroonseid andmepankasid! Eesti Statistikaamet Eesti Pank Eesti Väärtpaberite Keskdepositoorium Andmepangad mujal maailmas:! Eurostat, The Statistical Office of the European Communities International Monetary Fund World Trade Organization (WTO) World Bank UNESCO United Nations OECD riikide majandusstatistikat Statistilise andmestiku kogumisel on kaks võimalust: mõõta kõiki üldkogumi objekte (kõikne statistika) või ainult teatavat osa nendest. C Liigitus vaatlusobjekti hõlmamise ulatuse järgi. 1. Monograafilise vaatluse korral jälgitakse ainult ühte elementi ja tehakse selle alusel järeldus kogu kogumi kohta. 2. Võrdlev- monograafilise vaatluse puhul võetakse vaatlusobjektist (grupist) välja kaks erinevat, enamasti kaks äärmist elementi (parim ja halvim firma).
4 3 3. Põhimassi vaatlusega hõlmatakse peamine osa vaatlusobjektist, kõrvalise tähtsusega osa jäetakse välja (turu-uuringud). Näiteks, kui kollektiivis on mõned liikmed teistega võrreldes väga erinevad oma võimetelt, võivad nad vaatlustulemusi äärmuslikult mõjutada ja nad jäetakse tavaliselt vaatlustest välja. 4. Väljavõttelise vaatluse puhul hõlmatakse objektist ainult suhteliselt väike osa. Mitmesuguste meetoditega valitakse üldkogumist välja nn väljavõtukogum ehk valim. Mida ühtlasem on üldkogum, seda väiksem võib olla väljavõtukogum. 5. Kõikne statistika. Vaadeldakse kogu üldkogumit. Näit rahvaloendus. C Liigitus vaatluse sageduse järgi. 1. Pideva vaatluse korral jälgitakse näiteks mõnd kindlat tegevust kindla aja jooksul pidevalt. 2. Korduv vaatlus - kindla ajavahemiku järel (nt 1 nädal). 3. Ühekordne vaatlus. Hindeskaalad 1. Nimi- ehk nominaalskaala. Näiteks sugu (mees/naine), rahvus, huvid, lemmikvärvid, iluuisutajate numbrid (nende numbritega ei saa teha statistilisi arvutusi), telfoninumbrid, kaupade koodid. 2. Järjestuskaala (astmeline skaala) puhul pole intervallid skaalajaotuste vahel ühesugused. Näiteks firmade jaotamine väikesteks, keskmisteks ja suurteks. Koolihinded võib reastada kasvavas või kahanevas järjestuses, kuid nende intervallid pole võrdsed. Ei näita, kui palju kõrgem tase madalamast erineb. Seetõttu on statistilised arvutused koolihinnetega (aritmeetilise keskmise leidmine) ebakorrektsed. Näiteks 50 cm on 10 korda pikem 5 cm-st. Ei saa väita aga, et hinde "4" saanud õpilane on oma teadmistelt täpselt kaks korda tugevam hinde "2" saanust. 3. Intervallskaalal (kvantitatiivne skaala) on skaalajaotuse intervallid täpselt ühepikkused. Näiteks inimese vanus, testimisel saadud õigete vastuste arv, töötajate arv, kauba kaal. Intervallskaala võib olla a) diskreetne b) pidev ÜLESANDED 2.1 Juku kohta on olemas järgmised andmed: Sugu: mees Perekonnaseis: abielus Laste arv: 2 Haridus: kesk Vanus: 25 aastane Amet: lukksepp Kategooria: III Telefoni nr: Milliseid hindeskaalasid on nende andmete korral kasutatud? 2.2 Milliste skaaladega on tegemist? a) vastusevariandid testis: vastu, pigem vastu kui nõus, pigem nõus kui vastu, nõus; b) firma töötajate palgad; c) poodi külastanud ostjate arv päevas; d) kaupade koodid; 3. KIRJELDAV STATISTIKA Statistilise kogumi keskmised < Tihtipeale pole keskmise mõiste seotud mingi kindla arvuga, vaid kujutab endast suhtlemisel kasutatavat üldistavat kategooriat (keskmine inimene, keskmised oskused). < Üks olulisi ülesandeid on nähtuste kvantifitseerimine, st nähtuste kvantitatiivne mõõtmine. Audentese Ülikool, Koostanud A. Sauga
5 4 < Statistiliste meetodite kasutamisel taandatakse terve hulk üksikandmeid üheleainsale, uurija poolt esinduslikuks peetud väärtusele, mida nimetatakse statistiliseks keskmiseks ja mis iseloomustab tervet kogumit. Statistikas kasutatakse kogumi iseloomustamiseks mitmesuguseid erinevaid keskmisi. Tuntumad on aritmeetiline keskmine, mediaan ja mood. Olgu kogumi maht N ja kogumi element x i. Sel juhul aritmeetiline keskmine x' j x i N NÄIDE 3.1. On antud viie inimese vanused : 21, 19, 25, 19, 23. Keskmine vanus x' 21%19%25%19%23 '21,4 5 NÄIDE 3.2. Elamistingimuste uurimiseks küsitleti 100 peret kasutusel olevate tubade arvu kohta. Andmed on esitatud grupeeritult sagedustabelina. Variant i Tubade arv (variantide arvväärtused x i ) Perede arv (esinemissagedus ehk kaal f i ) Korrutis f i x i KOKKU Keskmine tubade arv pere kohta on '3,04 Kui on antud kogumi elementide x i esinemissagedused f i, siis aritmeetilise keskmise leidmiseks kasutatakse kaalutud keskmise valemit x' j i j i f i x i f i Aritmeetilise keskmise omadusi: 1) saab kasutada vaid intervallskaal korral; 2) võimaldab võrrelda üksikväärtuste suurusi aritmeetilise keskmisega; 3) võimaldab arvutada teisi statistilisi näitajaid. Tabelarvutusprogrammis MS Excel on aritmeetilise keskmise leidmiseks funktsioon AVERAGE Mediaan on jaotuse keskmine liige, millest mõlemale poole jääb võrdne arv elemente. Mediaan jaotab järjestatud statistilise rea kaheks. NB! Mediaani leidmiseks tuleb kogumi liikmed eelnevalt järjestada!
6 5 NÄIDE 3.3. Olgu meil viie mõõtmise tulemused 7, 1, 2, 1, 3. Järjestame : 1, 1, 2, 3, 7. Mediaan on 2. Paarituarvulise N korral on mediaan variatsioonrea keskmine liige.võib kasutada järgmist seost l'x N%1. 2 NÄIDE 3.4. On antud kogum 25, 5, 2, 5, 6, 23, 7, 10, 22, 15, 21, 23. Kahanevalt järjestatult: 25, 23, 23, 22, 21, 15, 10, 7, 6, 5, 15%10 5, 2. Mediaan on '12,5. 2 Seega paarisarvulise liikmete arvuga rea korral leitakse mediaan kahe keskmise liikme aritmeetilise keskmisena. %x N %1). 2 l' 1 2 (x N 2 Mediaani kasutatakse siis, kui tahetakse kindlaks määrata jaotuse täpset keskpunkti. Kui aritmeetilist keskmist võivad oluliselt mõjutadada ekstremaalsed väärtused, siis mediaani need oluliselt ei mõjuta. Mediaani omadusi 1) mediaani võib kasutada järjestikskaala ja intervallskaala korral; 2) mediaan ei ole tundlik ekstremaalsetele väärtustele; Tabelarvutusprogrammis MS Excel on mediaani leidmiseks funktsioon MEDIAN. Kvantiilid. Asendikeskmisi, mis jaotavad korrastatud statistilise rea võrdseteks osadeks, nimetatakse kvantiilideks. Kvantiili nimetus Mitu kvantiili on Mitmeks osaks jaotavad Märkused mediaan 1 2 Mõlemale poole jääb 50% rea liikmetest kvartiilid 3 4 Igas neljandikus on 25% rea liikmetest. detsiilid 9 10 Igas kümnendikus on 10% rea liikmetest. tsentiilid e. protsentiilid e. pertsentiilid Igas sajandikus on 1% rea liikmetest. NÄIDE 3.5.Mediaan Olgu meil statistiline rida 4; 8; 2; 10; 6; 12; 14. Korrastatud (reastatud) rida: 2; 4; 6; 8; 10, 12; 14. Siin on kvartiilid paksemas kirjas: 2; 4; 6; 8; 10, 12; 14. Q 1 Q 2 Q 3 NÄIDE 3.6.Sissetulekute jaotus. Aluseks on võetud perede rahalised sissetulekud pereliikme kohta Eestis1994.a. Tabelarvutusprogrammis MSExcel on leitud vastava statistilise rea detsiilid, mille väärtused on toodud tabelis. Joonisel on arvteljel kujutatud sissetulek pereliikme kohta. Detsiilid on arvteljele kantud vertikaalsete lõikudena. Audentese Ülikool, Koostanud A. Sauga
7 6 jaan. - märts Rea jagamine detsiilide abil 10-ks D1 286 D2 403 D3 494 D4 592 D5 700 D6 838 D D D Esimene detsiil D 1 = 286 Y 10%-l peredest on sissetulek pereliikme kohta alla 286 krooni. 20%-l alla 403 krooni jne. Üle 2085 krooni pereliikme kohta on sissetulek 10%-l peredest. Kui andmes on antud grupeerituna, sagedusvahemike ehk klassidena, kasutatakse mediaani leidmiseks interpoleerimist. Interpoleerimiseks võib kasutada graafilist meetodid või arvutusvalemit. NÄIDE 3.7. Tabelis on toodud 1990.a USA-s müüdud veokite jaotus kaalu järgi. (Andmed pärinevad allikast U.S. Environmental Protection Agency, Automotive Technology and Full Economic Trends Through 1991.) Arvutatud kumulatiivse suhtelise sageduse põhjal konstrueeritakse graafik ja sellelt leitakse mediaan. Seega poolte (50%) müüdud veokite kaal oli alla 1,8 tonni Kaal tonnides Alumine piir Ülemine piir Veokite arv (sagedus) Kumulatiivne sagedus Kumulatiivne suhteline sagedus 1,08 1, ,9% 1,19 1, ,0% 1,30 1, ,1% 1,47 1, ,2% 1,70 1, ,7% 1,93 2, ,2% 2,15 2, ,0% 2,38 2, ,2% 2,61 2, ,0% Joonis 5 Mediaani leidmine graafikult NÄIDE 3.8. Järgmises tabelis on toodud Eesti kinnipidamiskohtades viibinud isikute vanuseline jaotus seisuga 1. jaan (Statistika aastaraamat 1995, Tallinn 1995). Leiame, millise vanusepiiri alla jääb 25% kõikidest vangidest. Selleks tuleb leida 1. kvartiil ja selleks kasutame interpoleerimist. Klassi järjenumber i Vanuseintervall ehk klass Arv ehk sagedus f Kumulatiivne sagedus F üle Joonis 6 Interpoleerimine Intervallitud variatsioonridade korral kasutatakse kvartiilide leidmiseks järgmist interpolatsioonvalemit:
8 7 Q r 'x Qr % k f r - kvartiili järjenumber ( r võib olla 1; 2 või 3); j - otsitava kvartiili asukoht reas (järjenumber),, kus N on kogumi maht, N' j f i x Qr - selle klassi, kuhu kvartiil kuulub, alumine piir; k f Qr F - vastava klassi laius (intervall); - vastava klassi sagedus (klassi kuuluvate variantide arv); - eelmise klassi kumulatiivne sagedus. Antud näites r=1, kvartiili asukohta näitab number j' 2595 ja kvartiil Q (vt joonis 6) 4 1 '22% (648,75&438)'23,62 Vastus: 25% vangidest on nooremad kui 24 aastat. MS Excel -is leiab kvartiilid funktsioon QUARTILE, protsentiilid funktsioon PERCENTILE. Mood on variatsioonreas kõige sagedamini esinev liige, see variant, mille sagedus on kõige suurem. NÄIDE Firma töötajatelt küsiti laste arvu: Nimi Laste arv Juku 2 Juhan 3 Mall 1 Liisi 3 Ants 0 Kaarel 2 Tõnu 2 Mari 4 Tiina 2 Toivo 1 Mati 0 Küsitlusandmete põhjal koostati sagedustabel Laste arv Sagedus Aritmeetilist keskmist (1,8) ei ole siin õige kasutada, sest sellel pole õiget sisu. Mida tähendab laste arv 1,8? Kõige sagedamini esines laste arv 2 (4 korda), mis ongi selle kogumi mood. Moodi kasutatakse siis, kui soovitakse kogumit iseloomustada temas kõige sagedamini esineva nähtuse alusel. Näiteks keskmiste hindade arvutamisel turustatistikas, rõiva- ja jalatsinumbrite keskmise suuruse kindlaksmääramisel. Ka keskmised hinnad maailmaturul leitakse tavaliselt moodina. Moodi omadusi 1) Moodi saab kasutada nii nominaalskaala, järjestikskaala kui ka intervallskaala korral 2) Pideva intervallskaala korral tuleb andmed grupeerida intervallidesse. 3) Mõnedel andmekogumitel mood võib puududa (kõik variandid esinevad ühepalju kordi) 4) Mõnedel andmekogumitel võib olla mitu moodi (on mitu ühesuguse sagedusega liiget) Audentese Ülikool, Koostanud A. Sauga
9 8 Tabelarvutusprogrammis MS Excel on moodi leidmiseks funktsioon MODE. ÜLESANDED 3.1 Erinevatel inimestel kulus ühe ülesande täitmiseks erinev aeg. Ajad olid järgmised 45; 47; 52; 36; 48; 47; 50; 51. Leida keskmine aeg, mis kulub antud ülesande täitmiseks. 3.2 Kuu keskmise jäägi leidmisel arvestatakse mõningates pankades aega, kui kaua konkreetne rahasumma arvel on. Leida jaanuarikuu keskmine jääk järgmiste andmete korral Kuupäev Jääk On toodud 6 töötaja palgad kroonides: 2000; 3500; 5000; 3000; 8000; Leida mediaan. 3.4 Osakonnas töötava 7 inimese vanused on järgmised: 28; 37; 35; 43; 32; 65; 38. Lahkus 65 aastane töötaja ja asemele võeti 45 aastane. Leida vanuste aritmeetiline keskmine ning mediaan enne ja peale töötaja vahetust. 3.5 Linnas läbiviidud vaatluse tulemusena selgus, et kõige sagedamini küsiti banaanide eest hinda 11kr 50 senti. Millise statistilise suurusega on tegemist? päeva jooksul registreeriti sõlmitud müügitehingute arvu päevas ja saadi järgmised tulemused: Leida aritmeetiline keskmine, mediaan ja mood. 3.7 Kasutades näites 3.8 toodud andmeid leida, millise vanusepiiri alla jääb 50% vangidest. 3.8 Klassi õpilaste kohta on teada järgmised andmed. Nimi Silmade värv Käitumishinne Pikkus (m) Juku sinine mitterahuldav 1,56 Juhan hall rahuldav 1,62 Mall pruun hea 1,71 Liisi pruun eeskujulik 1,58 Ants sinine rahuldav 1,67 Kaarel pruun hea 1,66 Tõnu hall rahuldav 1,60 Mari pruun rahuldav 1,59 Tiina sinine hea 1,61 Milliste skaaladega on tegemist? Iga suuruse kohta leida enda arvates kõige paremini vastavat kogumit iseloomustav statistiline keskmine ja leida selle väärtus. VASTUSED: kr. 3.4 enne: aritm. keskm 39,7; mediaan 37; pärast: aritm. keskmine 36,9; mediaan aritm. keskmine 2,84; mediaan 3, mood % vangidest on nooremad kui 29,5 aastat Harmooniline keskmine ÜLESANNE 3.9 Esimesed 100 km läbis auto kiirusega 70 km/h, järgmised 100 km kiirusega 110 km/h. Milline oli auto keskmine kiirus? Vastus: Keskmine kiirus oli 85,6 km/h.
10 9 Harmooniline keskmine on suuruste pöördväärtuste aritmeetilise keskmise pöördväärtus x harm ' n Kaalutud harmooniline keskmine j 1 x i x harm ' j f i j 1 x i f i NÄIDE 3.9. Kuu aja jooksul osteti bensiini 400 kr eest hinnaga 6,80 kr/l, 300 kr eest hinnaga 6,90 kr/l ja 250 kr eest hinnaga 7,00 kr/l. Milliseks kujunes bensiiniliitri keskmine hind? keskmine hind' summaarne rahakulu summaarne kogus 400%300% ,8 % 300 6,9 % 250.6,88 7 Vastus: Keskmiseks hinnaks kujunes 6,88 krooni. MS Excel-is on harmoonilise keskmise leidmiseks funktsioon HARMEAN. Geomeetriline keskmine NÄIDE On antud Tallinna Panga aktsia hinnad 96.a. IV kvartalis. Leida keskmine kasv kuus. Kuu Hind sept 38,81 Suhteline juurdekasv ehk hind antud kuul kasvutempo' hind eelmisel kuul okt 39,64 1,0214 nov 48,05 1,2122 dets 55,64 1,1580 Lahendus 1. Kasvutempode aritmeetiline keskmine on 1,1305. Kontroll: Leiame detsembrikuu hinna, kasutades kasvutempode aritmeetilist keskmist: 38,81@1,1305@1,1305@1,1305'56,07 sept okt nov Tulemus ei ole õige. Aritmeetilise keskmise järgi leitud keskmine kasvutempo ei võimalda leida hinda vaadeldava perioodi lõpul. NB! Keskmise kasvutempo arvutamisel EI TOHI kasutada aritmeetilist keskmist. Lahendus 2. Leiame kasvutempode geomeetrilise keskmise 3 1,0214@1,2122@1,1580'1,12758 Audentese Ülikool, Koostanud A. Sauga
11 Leiame detsembrikuu hinna, kasutades kasvutempode gemeetrilist keskmist: sept okt nov 10 Vastus: Keskmiselt kasvas Tallinna panga aktsia hind kuus 1,1276 korda. Olgu x i suhteline juurdekasv (kasvutempo). Siis a 1 'x 0 a 2 'x 1 a 3 'x 2 Avaldame viimase liikme a 3 esimese liikme a 0 kaudu: a 3 'x 0 Teiselt poolt võime me a 3 arvutamiseks kasutada juurdekasvude geomeetrilist keskmist x geom : a 3 ' x x x 0 '( x geom ) 0 Võrreldes viimase kahe avaldise vasakuid ja paremaid pooli, võime avaldada x geom : ( x geom ) 3 'x 3 x geom ' 3 x 3 Geomeetriline keskmine on suuruste korrutis, mis on astendatud nende suuruste arvu pöördväärtusega x geom '(x N ) N ' N x N Kaalutud geomeetriline keskmine (f i on suuruse x i kaal e. sagedus) 1 x geom '(x f 1 f 2 f Σf N N ) i Σf i ' x f 1 f 2 f N N 1 Geomeetrilist keskmist kasutatakse majandusstatistikas kõige rohkem hindade, palkade jms keskmise kasvutempo arvutamisel. Tabelarvutusprogrammis MS Excel on geomeetrilise keskmise leidmiseks funktsioon GEOMEAN. Ruutkeskmine Kui tuleb leida hälbeid (kõrvalekaldeid) normidest, standarditest, planeeritavatest tasemetest või keskmistest, on hälvete keskmise suuruse arvutamiseks otstarbekas kasutada ruutkeskmise valemeid.
12 11 NÄIDE 3.11.Ruutkeskmine Viiel kuul oli igakuiste laekumiste erinevus planeeritust järgmine (tuhandetes kroonides): 54; -22; -18; 32; ja -46. Leida keskmine kõrvalekalle. Lahendus: Artimeetilise keskmise arvutamine annab tulemuseks 0. Kasutada tuleb ruutkeskmist: x rk ' 542 %(&22) 2 %(&18) 2 %32 2 %(&46) Vastus: Keskmine kõrvalekalle planeeritust oli 37 tuh.kr. Lihtne ruutkeskmine x rk ' j x 2 i N Kaalutud ruutkeskmine x rk ' j x 2 i f i j f i ÜLESANDED 3.10 Ema ostis 2 kilo banaane hinnaga 11 kr kilogramm, isa ostis 3 kilo banaane hinnaga 10 kr kilogramm ja poeg ostis 2 kilo banaane hinnaga 12 kr kilogramm. Kui suur tuli banaanide keskmine hind? krooni eest osteti 11 krooniseid banaane, 30 krooni eest osteti 10 krooniseid banaaane ja 24 krooni eest osteti 12 krooniseid banaane. Milliseks kujunes banaanide keskmine hind? 3.12 Hulgimüüjalt A osteti kaupa X 6510 kr eest hinnaga 14 kr. Hulgimüüjalt B osteti seda kaupa 5075 kr eest hinnaga 14 kr 50 senti ja hulgimüüjalt C osteti seda kaupa 4000 kr eest hinnaga 16 kr. Milliseks kujunes kauba keskmine hind? 3.13 Osakonnas on 5 töötajal tunnitasu keskmisest tunnitasust 20 kr kõrgem, 4 töötajal 15 kr kõrgem ja 10 töötajal 5 kr madalam. Leida keskmine kõrvalekalle keskmisest töötasust töölist panid kokku igaüks 20 toodet, 7 töölist 25 toodet töölise kohta ja 10 töölist 30 toodet töölise kohta. Leida keskmine tootlikkus toodet pandi kokku tootlikkusega 20 toodet töölise kohta, 175 toote kokkupanekul oli tootlikkus 25 toodet töölisse kohta ja 300 toote kokkupanekul 30 toodet töölise kohta. Leida keskmine tootlikkus Kui viiel kuul tõusis tarbijahinnaindeks 1,5%, neljal kuul 2% ja kolmel kuul 3%, milline oli keskmine tarbijahinnaindeksi kasv kuus? 3.17 Kauba hind on kasvanud järgmiselt: 1.aastal 6%, 2.aastal 13%, 3.aastal 11% ja 4. aastal 15%. Mitu protsenti on kauba hind keskmiselt aastas kasvanud? 3.18 Kauba hind on viiel järjestikusel aastal olnud 4900 kr, 4850 kr, 4600 kr, 4000 kr ja 3900 kr. Mitu protsenti on kauba hind keskmiselt aastas langenud? 3.19 Töötaja palk tõusis 1. aastal 5,8%, 2. aastal 8,5% ja 3. aastal 3,2%. Mitu protsenti peaks palk tõusma 4. aastal, et keskmine palgatõus oleks 6% aastas? VASTUSED ,86 kr/kg ,86 kr/kg ,63 kr ,88 kr , , ,04% ,2% ,55% ,6% : Audentese Ülikool, Koostanud A. Sauga
13 12 Variatsioonnäitarvud Kui kogumi liikmetel on ühe ja sama tunnuse arvväärtused erinevad, siis selle tunnuse väärtus varieerub. Keskmised kajastavad variantide arvväärtuste üldist keskmist nivood, ei kajasta nende omavahelisi erinevusi, ei kajasta varieerumist. Variatsioonnäitarvud väljendavad kogumi üksikliikmete vahelisi erinevusi. Variatsioonamplituud on rea kõige suurema liikme ja kõige väiksema liikme arvväärtuste vahe: R'x max & x min Variantide arvväärtustest maksimaalse leidmiseks võib programmis MS Excel kasutada funktsiooni MAX ja minimaalse väärtuse annab funktsioon MIN. Keskmine lineaarhälve on variantide individuaalväärtuste x i ja nende aritmeetilise keskmise x vaheliste hälvete absoluutväärtuste aritmeetiline keskmine: d' j *x i & x* N Dispersioon ehk keskmine ruuthälve on ruuthälvete keskmine: σ 2 ' j (x i & x )2 N Dispersiooni mõõtühikuks on variandi dimensiooni ruut. See raskendab tõlgendamist. Näiteks kui hinda mõõdetakse kroonides, siis hinna dispersiooni ühikuks on kr 2. Dispersiooni leidmiseks võib programmis MS Excel kasutada funktsiooni VARP. Standardhälve ehk ruutkeskmine hälve on dispersiooni ruutjuur: σ' j (x i & x )2 N Grupeeritud (sagedustabelina esitatud) andmete korral σ' j (x i & x )2 f i j f i Standardhälve mõõtühikud on samad, mis aritmeetilisel keskmisel ja üksikutel variantidel. Näiteks kui hind on kroonides, siis ka hinna standardhälve on kroonides. NÄIDE Detailide töötlemise kvaliteedi määramisel mõõdeti nende läbimõõdud ja leiti kogumi standardhälve, mille suurus iseloomustab töötlemise täpsust. Tulemused on toodud järgnevas tabelis. i Läbimõõt d i, mm d i & d (d i & d) ,3 0,26 0,0676
14 ,9-0,14 0, ,0-0,04 0, ,8-0,24 0, ,2 0,16 0,0256 d' 12,04 j (d i & d) 2 ' 0,172 Standardhälve σ' j (d i & d) 2 N ' 0,172 '0,185 5 Finantsanalüüsis kasutatakse dispersiooni ja standardhälvet investeeringu riski hindamisel. Dispersiooni kasutamise mõte riski mõõduna tugineb eeldusel, et mida hajuvamad on tulud, seda suurem on nende ebakindlus tulevikus. Finantsanalüüsis nimetatakse standardhälvet ka vastava suuruse volatiilsuseks (volatility). Hind, kr Aeg nädalates Aeg nädalates Joonis 7 Väike volatiilsus, σ=1,17 Joonis 8 Suur volatiilsus, σ=4,45 Standardhälbe leidmiseks võib programmis MS Excel kasutada funktsiooni STDEVP. Eelnevad suurused olid kõik absoluutsed variatsioonnäitarvud. Nende abil ei saa võrrelda C eri ühikutes mõõdetavate suuruste varieerumist; C väga erineva nivoo ümber toimuvaid kõikumisi. Variatsioonikoefitsient on standardhälbe ja aritmeetilise keskmise suhe: V σ ' σ x Variatsioonikoefitsient on suhteline variatsioonnäitarv. Audentese Ülikool, Koostanud A. Sauga
15 14 ÜLESANDED 3.20 Firma töötajate palga ja tööstaaži kohta on järgmised andmed: Töötaja jrk-nr Palk (krooni) Staaž (aastat) Töötaja jrk-nr Palk (krooni) Staaž (aastat) Leida kummagi tunnuse jaoks variatsioonikoefitsient. Võrrelda neid ja teha järeldus Tehases, kus toodetakse kuullaagreid, võeti toodangu hulgast välja 50 laagrit ja mõõdeti üle nende diameetrid. Jaotus diameetrite järgi oli järgmine: a) Leida diameetrite aritmeetiline keskmine ja standardhälve. Teise masina toodangust võeti 100 laagrit. Selle kogumi diameetrite aritmeetiline keskmine oli 0, cm ja standardhälve 0,003 cm. b) Võrrelda mõlema kogumi variatsioonikoefitsiente. Mida võib järeldada? c) Leida summaarse kogumi (150 tk) diameetrite aritmeetiline keskmine. Seejärel avastati, et teise kogumi mõõtmisel oli mõõteriista null paigast ära ja tulemused olid 0,003 cm võrra väiksemad. d) Milline on teise kogumi diameetrite tegelik aritmeetiline keskmine ja variatsioonikoefitsient? Kas parandus mõjutas osas b) tehtud järeldust? Diameeter (cm) 0,160-0,162 0,162-0,164 0,164-0,166 0,166-0,168 0,168-0,170 0,170-0,172 0,172-0,174 Kuullaagrite arv VASTUSED ,097; 0, a)0,16712; 0,00221; b) 1,32%; 1,82% c) 0,16571; d) uus keskmine 0,16800; uus st.hälve 0,003, uus var. koef. 1,79%. Ei. KOKKUVÕTE Suurus Keskmine või variatsioonnäitarv Mahu- või asendikeskmine Skaala, mille korral saab kasutada nominaal järjestik intervall aritmeetiline keskmine keskmine mahukeskmine + harmooniline keskmine keskmine mahukeskmine + geomeetriline keskmine keskmine mahukeskmine + ruutkeskmine keskmine mahukeskmine + mood keskmine asendikeskmine mediaan keskmine asendikeskmine + + kvantiilid keskmine asendikeskmine + + variatsioonamplituud variatsioonnäitarv + dispersioon variatsioonnäitarv + standardhälve variatsioonnäitarv + variatsioonikoefitsient variatsioonnäitarv +
16 Tõenäosusteooria alused TÕENÄOSUSTEOORIA ALUSED Katse ja sündmus Matemaatika haru, mis uurib juhuslike nähtuste üldisi seaduspärasusi, nimetatakse tõenäosusteooriaks. Satistika tegeleb paljude sündmuste tõenäosusega, tõenäosusteooria üksiku sündmuse tõenäosusega. Tõenäosusteoorias on katse (experiment) protsess, mille käigus toimub teatud juhuslik valik etteantud katsetulemuste hulgast. Katse on suvaline arv korratav. Katsetulemuste kohta eeldatakse, et < katsel on lõplik arv võimalikke tulemusi; < katse teostamisel esineb üks ja ainult üks katsetulemus; < katsetulemused on võrdvõimalikud, st et neil on kõigil ühesugune võimalus vastava katse tulemusena esineda. Sündmus on teatud katsetulemuste hulk. Sündmuses sisalduvad katsetulemused on vastava sündmuse jaoks soodsad. NÄIDE 4.1. Katsetulemus ja sündmus Täringu viskamisel on võimalikeks katsetulemusteks 1; 2; 3; 4; 5 ja 6. Sündmuseks võib olla paarisarvulise tulemuse saamine. Joonis 8 Sündmus "paarisarvuline tulemus" Katse Sündmus Mündi vise Kaardi võtmine pakist Aktsia hinna muutus Juhuslikult väljavalitud 20 kliendi küsitlus teenindamisega rahulolu kohta. 1. Tuleb kull 2. Tuleb kiri 1. Tuleb risti 2. Tuleb ruutu 3. Tuleb punane mast 4. Tuleb kümme 1. Aktsia hind tõuseb 2. Aktsia hind langeb 3. Aktsia hind ei muutu klienti on rahul klienti ei ole rahul klienti on rahul. 4. Üle 15 kliendi oli rahul Kuu keskmise käibe leidmine Sündmuseid tähistatakse tavaliselt suurte tähtedega: A, B, C, Kuu keskmine käive on vahemikus krooni. Kindel sündmus on sündmus, mis antud katse korral toimub kindlasti. Kindla sündmuse hulka kuuluvad kõik antud katse võimalikud tulemused. Tähiseks on Ω. Võimatu sündmus on sündmus, mis antud katse korral ei saa kunagi toimuda. Võimatu sündmuse katsetulemuste hulk on tühi hulk. Tähiseks on i. Juhuslik sündmus on sündmus, mis antud katse korral võib toimuda või mitte toimuda. Sündmustega võib teha tehteid, mille abil saadakse uusi sündmusi. Need tehted langevad sisuliselt kokku tehetega, mis tehakse vastavate katsetulemuste hulkadega. NÄIDE 4.2. Tähistame ostja poolt leiva ostmist tähega L ja saia ostmist tähega S. Ostja võib osta kas ainult leiba, ainult saia või mõlemat. Need sündmused ei välista teineteist. Sündmus "ostja ostab pagaritooteid" on siis nende kahe sündmuse summa. Sündmus "ostja ostab nii leiba kui saia" on aga nende sündmuste korrutis (joonis 9). Audentese Ülikool, Koostanud A. Sauga
17 STATISTIKA Tõenäosusteooria alused Joonis 9 Sündmuste summa ja korrutis. 16 Joonis 10 Sündmuste vahe. Sündmus "ostja ostab leiba, aga ei osta saia", on sündmuste vahe (joonis 10). Kahe sündmuse summaks nimetatakse sündmust C, milles toimub kas sündmus A või sündmus B või mõlemad koos: C= A c B. Kahe sündmuse A ja B korrutiseks nimetatakse sündmust C, mille korral esineb nii sündmus A kui ka sündmus B : C= A 1 B. Kahe sündmuse A ja B vaheks nimetatakse sündmust C, mille korral esineb nii sündmus A kuid ei esine sündmust B : C= A \ B. Joonis 12 Täelik süsteem Joonis 11 Teineteist välistavad sündmused Juhuslikud sündmused on üksteist välistavad, kui nad ei saa korraga toimuda (joonis 11). Katsetulemused on alati üksteist välistavad. Kui sündmused A ja B on üksteist välistavad, siis nende korrutis on võimatu sündmus A _ B ' i. Juhuslikud sündmused on üksteist mittevälistavad, kui nad saavad toimuda korraga. Sündmused moodustavad täieliku süsteemi, kui toimub vähemalt üks neist (joonis 12). Sündmuse A vastandsündmuseks A nimetatakse sündmust, mis seisneb sündmuse A mittetoimumises. Vastandsündmused on üksteist välistavad ja moodustavad täieliku süsteemi. Tõenäosus Ühe ja sama katse tulemuste põhjal määratletud sündmustel võib olla erinev võimalikkus. Sündmusel, mille soodsate katsetulemuste hulk on suurem, on rohkem võimalusi toimuda. Seda võimalikkust väljendab sündmuse tõenäosus. Juhuslikud sündmused on võrdvõimalikud, kui ühel neist pole rohkem võimalusi esiletulekuks kui teisel. Võrdvõimalikel sündmustel on võrdne arv soodsaid katsetulemusi. Tõenäosuse arvväärtuse leidmiseks on kolm meetodit
18 < teoreetiline; < statistiline; < subjektiivne. Tõenäosusteooria alused 17 Klassikaline ehk teoreetiline tõenäosus. Sündmuse A tõenäosus on sündmuse jaoks soodsate katsetulemuste arvu m ja kõigi katsetulemuste arvu n suhe p(a)' m n KATSE SÜNDMUS SOODSATE TULEMUSTE ARV m KÕIGI TULEMUSTE ARV n TÕENÄOSUS m n Mündi vise Tuleb "kull" Täringu vise Tulemus on suurem kui ' 1 3 Kaardi võtmine 52 lehega pakist Kaardi võtmine 52 lehega pakist Laps sünnib... Detsembris sündinud inimesel... Homne aktsia hinna muutus Mast on "ruutu" Kaart on "äss"...nädalavahetusel...on sünnipäev peale jõululaupäeva Aktsia hind tõuseb 5% Tõenäosuse definitsioonist järelduvad järgmised tõenäosuse omadused: < Suvalise sündmuse A toimumise tõenäosus võib olla vahemikus nullist üheni, 0 #p(a)#1. < Kindla sündmuse Ω tõenäosus on 1, p(ω)'1; < Võimatu sündmuse i tõenäosus on 0; p(i)'0. < Täieliku süsteemi moodustavate sündmuste tõenäosuste summa on 1, j p'1. < Sündmuse A vastandsündmuse Ā toimumise tõenäosus on p(ā)'1&p(a). Kui pole võimalik leida klassikalist tõenäosust, kasutatakse statistilist (empiirilist) tõenäosust. NÄIDE 4.3. Teoreetiliselt pole võimalik leida nisuterade idanemise tõenäosust. Selle määramiseks pannakse saagist võetud 940 terade hulgast idanema 1000 tera. Kui neist idaneb 940, loetakse põllusaagi idanevuseks '0,94'94% 25 NÄIDE 4.4. Kui 200-st ostjast 25 ostsid Fantat, siis Fanta ostmise tõenäosus on. 200 '0,125'12,5% Audentese Ülikool, Koostanud A. Sauga
19 Tõenäosusteooria alused 18 Kui n on katsete arv ja m sündmuse A esinemissagedus nendes katsetes, siis sündmuse A toimumise suhteline sagedus ehk statistiline tõenäosus p((a)' m n Katsete arvu n suurenemisel läheneb statistiline tõenäosus klassikalisele tõenäosusele: p((a)6p(a). NÄIDE 4.5. Kui suure tõenäosusega võidab järgmise mängu korvpallimeeskond "Kärmed"? Seda pole võimalik leida ei teoreetiliselt ega ka katseliselt. Tõenäosuse subjektiivset hindamist kasutatakse, kui pole võimalik leida teoreetilist tõenäosust ega saa läbi viia ka katseid statistilise tõenäosuse leidmiseks. Subjektiivsel hindamisel kasutatakse olemasolevat informatsiooni ja intuitsiooni. Erinevad inimesed hindavad ühe ja sama sündmuse tõenäosust erinevalt. ÜLESANDED 4.1 Olgu katseks kaardi tõmbamine 52 lehelisest kaardipakist. a) Mitu võimalikku katsetulemust on? b) Milline meetod (teoreetiline, statistiline või subjektiivne) on antud katse juures sobiv sündmuse tõenäosuse leidmiseks? c) Kui suur on iga konkreetse kaardi tõmbamise tõenäosus? d) Kui suur on tõenäosus, et tõmmatakse välja suvaline kaart? 4.2 Loteriipiletite arv on Nende hulgas on üks 100-kroonine võit, viis 50-kroonist võitu, kakskümmend 25-kroonist võitu ja viiskümmend 10-kroonist võitu. Leida tõenäosus, et ühe pileti ostmisel võib võita a) vähemalt 25 krooni; b) saada mingi võit. 4.3 Vaasis on 12 valget, 15 punast ja 9 kollast roosi. Leida tõenäosus, et pimedas ruumis juhuslikult valitud roos pole kollane st firmast on kolme aasta jooksul pankrotti läinud 45. Kui suur on tõenäosus, et teie loodud firma läheb pankrotti? 4.5 Juhuslikult välja valitud 100-st ostjast 32 ei ostnud midagi, 45 ostjat tegid kuni 50-kroonise ostu, 15 ostjat kroonise ostu ja 8 ostsid kaupa rohkem kui 500 krooni eest. Leida, kui suur on tõenäosus, et ostja a) ei osta midagi; b) ostab kaupa kuni 500 krooni eest. 4.6 Katsel on kolm võimalikku tulemust T 1, T 2 ja T 3. Katset korraldati 50 korda, kusjuures tulemus T 1 esines 20 korda, tulemus T 2 esines 13 korda ja tulemus T 3 esines 17 korda. Kui suur on iga tulemuse tõenäosus? Millist meetodit tõenäosuse hindamisel kasutasid? 4.7 Firmas on 100 töötajat, kellest 40 on mehed. Küsitluse tulemusel selgus, et oma tööga on rahul 60 töötajat, kusjuures nendest 30 olid naised. Leida tõenäosus, et a) mees ei ole tööga rahul ; b) naine on tööga rahul. VASTUSED a)52,; b)teoreetiline; c) ; d) a) 0,026; b) 0, , , a) 0,32; b) 0, P(T ; ; 52 1 )'0,4 P(T 2 )'0,26 P(T 3 )'0,34; statistiline. 4.7 a) 0,25; b) 0,5. Kombinatoorika. Mõned probleemid. Üheksast inimesest tuleb moodustada kolmeliikmelised grupid. Mitu erinevat gruppi on võimalik moodustada? Kui aga igas grupis on inimestel alluvusvahekord (ühele allub teine ja teisele kolmas), mitu erinevat gruppi siis saab? Mitu erinevat 4-kohalist PIN koodi on võimalik moodustada (kasutatakse vaid numbreid)? Mitu erinevat võimalust on kahe detaili valikuks 10-st? Tõenäosuse teoreetilisel leidmisel on tihti vaja leida kõigi katsetulemuste arv ja soodsate katsetulemuste arv. Nende arvude leidmisel aitab meid matemaatika osa kombinatoorika.
20 Tõenäosusteooria alused 19 Kombinatoorika tegeleb üldiste meetodite ja valemite loomisega niisuguste ülesannete lahendamiseks, kus tuleb leida erinevate võimaluste arv mingis mõttes eristatavate hulkade moodustamiseks. Tuleb vastata küsimusele kui palju? või mitmel viisil?. Ühenditeks nimetatakse mingitest elementidest moodustatud kogumeid, mis erinevad üksteisest 1) elementide endi; 2) elementide järjestuse; 3) elementide arvu poolest. Permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse selliseid n elemendist koosnevaid ühendeid, mis erinevad üksteisest elementide järjestuse poolest. Näiteks kolmest tähest a, b ja c saab moodustada 6 erinevat permutatsiooni: abc acb bac bca cab cba Kõikvõimalike permutatsioonide arvu n elemendist on võimalik arvutada järgmise valemiga: P n 'n@(n&1)@...@1'n! Suurust 1@2@...@n'n! nimetatakse arvu n faktoriaaliks. Programmis MS Excel võib faktoriaali leidmiseks kasutada funktsiooni FACT. Variatsioonideks n elemendist m kaupa nimetatakse selliseid ühendeid, milledest igaüks sisaldab m elementi, mis on võetud n erineva elemendi hulgast ja mis erinevad üksteisest kas elementide endi või nende järjestuse poolest. Näiteks kui antud elementideks on tähed a, b, c, d ja e (n=5), siis kolmetäheliste (m=3) sõnade moodustamiseks on 60 erinevat võimalust: abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde acb adb aeb adc aec aed bdc bec bed ced bca bda bae cad cae dae cbd cbe dbe dce bac bad bea cda cea dea cbd ceb deb dec cab dab eab dac eac ead dbc ebc ebd ecd cba dba eba dca eca eda dcb ecb edb edc Variatsioonide arvu võib leida valemist V m n! n ' n(n&1)(n&2)...(n&m%1)' (n&m)! Programmis MS Excel leiab variatsioonide arvu funktsioon PERMUT. Variatsioonid n elemendist n kaupa on permutatsioonid, V n n 'P n. Kombinatsioonideks n elemendist m kaupa nimetatakse selliseid ühendeid, millest igaüks sisaldab m elementi, mis on võetud antud n erineva elemendi hulgast ja mis erinevad üksteisest vähemalt ühe elemendi poolest. Kombinatsioonide korral järjestus pole oluline, st. erinevateks loetakse need kombinatsioonid, mis koosnevad erinevatest elementidest. n ' V m n ' n(n&1)...(n&m%1) n! ' P m m! m!(n&m)! C m Audentese Ülikool, Koostanud A. Sauga
21 Tõenäosusteooria alused 20 Programmis MS Excel leiab kombinatsioonide arvu funktsioon COMBIN. Seni vaadeldud ühendeis olid kõik n elementi erinevad ja iga element võis ühendis esineda ülimalt üks kord. Esinegu meil n elemendi hulgas α korda element a, β korda element b jne., λ korda element l, kusjuures α%β%...%λ'n. Neist n elemendist moodustatud permutatsioone nimetatakse kordumistega permutatsioonideks. Kordumistega permutatsioonide arv P n(α,β,...,λ) ' n! α!β!...λ! Kordumistega variatsioonide arv V k n 'n k ÜLESANDED 4.8 Ühe päeva tunniplaanis on 5 tundi. Mitu erinevat tunniplaani saab koostada 10 õppeainest, kui igale õppeainele on ette nähtud üks tund päevas? 4.9 Mitmel erineval viisil saab 6 erinevat kirja panna kuute erinevate aadressidega ümbrikusse, nii et igas ümbrikus oleks üks kiri? Kui suur on tõenäosus, et kõik kirjad satuvad õigetesse ümbrikesse? kandidaadist moodustatakse üks 3-liikmeline grupp ja kõikidel kandidaatidel on ühesugune võimalus pääseda sellesse gruppi. Kui suur on tõenäosus, et kandidaat X pääseb sellesse gruppi? 4.11 Haigla kirurgiaosakonnas töötab 15 kirurgi. Mitmel erineval viisil saab moodustada brigaadi, milles on üks opereeriv kirurg ja üks assisteeriv kirurg? 4.12 Mitmel erineval viisil saab 20 sõdurist määrata toimkonda kaks sõdurpoissi a) samade kohustustega; b) erinevate kohustustega? 4.13 Mitu erinevat 3-st aktsiast koosnevat portfelli saab moodustada 7 erineva firma aktsiatest Kaheksast nelgist ja viiest roosist soovitakse valmistada kimp, milles on 3 nelki ja 2 roosi. Mitu erinevat kimpu on võimalik valmistada? 4.15 Diplomaadid suruvad kohtudes teineteise kätt. Mitu käepigistust vahetatakse diplomaatilisel vastuvõtul, kus osaleb 100 diplomaati? 4.16 Mitu erinevat permutatsiooni saab moodustada sõna mobiiltelefon tähtedest? 4.17 Mitu erinevat neljakohalist PIN koodi on võimalik moodustada (kasutatakse vaid numbreid)? Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud numbrikombinatsioon langeb kokku leitud pangakaardi PIN koodiga? 4.18 Kui parool koosneb kuuest tähest A-Z (kokku 26 märki), mitu erinevat parooli on võimalik moodustada? 4.19 Leida vajalik parooli pikkus, kui soovime, et parooli eluiga oleks 6 kuud ja et selle aja jooksul oleks parooli leidmise tõenäosus alla 10-6 arvestades, et minutis on võimalik läbi proovida 8,5 parooli ja et kasutatavas tähestikus on 26 märki mehe ja 3 naise hulgast tuleb valida 4-liikmeline komisjon. Leida tõenäosus, et a) komisjonis on 2 meest ja 2 naist; b) komisjonis on vähemalt 2 naist Projektis osaleb 5 inimest, kes valitakse välja 4 mehe ja 5 naise hulgast. Leida tõenäosus, et a) projektis osalejate hulgas on 3 naist; b) projektis osalejate hulgas on vähemalt 3 naist; c) projektis osalejate hulgas on mehi rohkem kui naisi Firmal on 6 veokit, millest 2 on uued. Ühel päeval tuleb saata laadungid kahele erinevale tellijale. Kui laadungi saamise šansid on veokitel võrdsed, kui suur on tõenäosus, et üks uus veok jääb garaaži? VASTUSED ; 0, ; 0, a) 190; b) a) 0,514; b) 0, a) 0,476; b) 0,643; c) 0, ,533 Tehted tõenäosustega. Kui me teeme sündmustega mingi tehet, siis teades lähtesündmuste tõenäosusi, võime leida ka saadud sündmuse tõenäosuse.
22 Tõenäosusteooria alused 21 NÄIDE loengukursust kuulanud üliõpilase seast sooritasid esimese kontolltöö positiivselt 160 üliõpilast ja teise kontrolltöö 140 üliõpilast. 124 üliõpilast sooritasid positiivselt mõlemad kontrolltööd. Õppejõud otsustas, et arvestuse saavad need üliõpilased, kes sooritasid positiivselt vähemalt ühe kontrolltöö. Kui suur on tõenäosus, et selle kursuse kuulaja saab arvestuse? Olgu sündmus A esimese kontrolltöö positiivne sooritamine ja sündmus B teise kontrolltöö positiivne sooritamine. Vastavad tõenäosused on siis: p(a)' '0,8 ja p(b)'. Tõenäosus, et sooritatakse mõlemad kontrolltööd positiivselt, on '0,7 p(a_b)' '0,62 Arvestuse saavad need, kes sooritasid positiivselt ainult 1. kontrolltöö pluss need, kes sooritasid positiivselt ainult 2. kontrolltöö pluss need, kes sooritasid positiivselt mõlemad kontrolltööd. Esimese kontrolltöö positiivselt sooritanud 160 üliõpilase seas on ka need, kes tegid ära mõlemad kontrolltööd. Ka 140 üliõpilase seas on mõlema kontrolltöö positiivselt sooritanud. Et me mõlema kontrolltöö sooritanuid kahekordselt ei arvestaks, tuleb arvestuse saajate arv leida järgmiselt: 160%140&124 Arvestuse saamise tõenäosus leitakse järgmiselt: 160%140&124 ' % & '0,8%0,7&0,62'0,88 Vastus: Tõenäosus, et selle kursuse läbimisel õnnestub saada arvestus, on 0,88 Kahe sündmuse summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, millest on lahutatud nende sündmuste korrutise tõenäosus: p(a^b)'p(a)%p(b)&p(a_b) Kui sündmused on teineteist välistavad, siis nende sündmuste korrutis on null, tõenäosuse leidmine lihtsustub. p(a_b)'0 ja summa Kahe teineteist välistava sündmuse summa tõenäosus võrdub nende p(a^ B)'p(A)%p(B) NÄIDE 4.7. Kui kuni 17 aastaseid ostjaid on 20% ostjate üldarvust (tõenäosus p(a) = 0,20) ja aastaseid 15% (tõenäosus p(b) = 0,15), siis tõenäosus, et ostja on kuni 25 aastane, on. p(a^b)'p(a)%p(b)'0,20%0,15'0,35 Tihti on sündmuse A tõenäosuse leidmisel teada lisainformatsiooni mingi teise sündmuse B toimumise kohta (toimus või ei toimunud). Sündmuse A toimumise tinglik tõenäosus tõenäosus, kui on toimunud sündmus B. p(a B) on sündmuse A toimumise NÄIDE 4.8. Firmas on 1200 töötajat: 960 meest ja 240 naist. Kahe aasta jooksul on edutatud 324 töötajat, nende seas oli 288 meest ja 36 naist. Firma juhtkonda süüdistatakse naiste diskrimineerimises, kuna naisi on vähe edutatud. Audentese Ülikool, Koostanud A. Sauga
23 Tõenäosusteooria alused 22 Olukorda kirjeldab järgmine tabel Edutati Ei edutatud Kokku Mees Naine Kokku Vastavad tõenäosused Edutati Ei edutatud Kokku Mees 0,24 0,56 0,80 Naine 0,03 0,17 0,20 Kokku 0,27 0,73 1,00 Tõenäosuste tabelist on näha, et suvalisest soost töötaja edutamise tõenäosus on 0,27. Kui suur on tõenäosus, et edutatud töötaja on mees või naine? Võtame kasutusele järgmised sündmuste tähistused: M - töötaja on mees; N - töötaja on naine; E - töötajat edutati. Meil tuleb leida tinglikud tõenäosused p(e M) ja p(e N) ja neid võrrelda. 288 Mehe tõenäosuse edutamiseks leiame, kui edutatud meeste arvu jagame meeste koguarvuga:. Kasutades aga 960 '0,3 0,24 p(m_e) tõenäosusi, siis '0,3ehk p(e M)' 0,8 p(m) 36 Naise tõenäosuse edutamiseks leiame, kui edutatud naiste arvu jagame naiste koguarvuga:. Kasutades aga 240 '0,15 0,03 p(n_e) tõenäosusi, siis '0,15ehk p(e N)'. 0,20 p(n) Kuna naistel on tõenäosus edutada saada kaks korda väiksem kui meestel, võib tõesti tegemist olla soolise diskrimineerimisega. Sündmuse A tinglik tõenäosus sündmuse B suhtes on leitav järgmiselt p(a B)' p(a_ B) p(b) Kui on aga sündmuse A tinglik tõenäosus B suhtes on teada ja tuleb leida nende sündmuste korrutise tõenäosus, siis seda saab leida samast seosest. Kahe sündmuse A ja B korrutise tõenäosus on p(a_ B)'p(A B)@p(B) p(a_ B)'p(B A)@p(A) NÄIDE 4.9. Päevalehel Meie Päev ilmub ka pühapäevane lisaleht Meie Pühapäev, mida on võimalik eraldi tellida. Toimetusele on teada, et kõikidest ajalehtede tellijatest tellib 84% just nende päevalehte. Lisaks on teada, et kõigist lehe Meie Päev tellijatest tellib 75% ka pühapäevast lisalehte. Kui suur on tõenäosus, et lugeja tellib nii päevalehe Meie Päev kui ka selle lisalehe? Olgu päevalehe tellimine sündmus P ja lisalehe tellimine sündmus L. Siis p(p)'0,84ja p(l P)'0,75Mõlema lehe tellimise tõenäosus on p(p_ L)'p(L P) p(p)'0,75@0,84'0,63 Kui sündmuse A tinglik tõenäosus B suhtes on sama, mis sündmuse A tõenäosus ilma sündmuse B toimumist arvestamata, p(a B)'p(A), siis A ja B on sõltumatud sündmused. Sellisel juhul korrutise tõenäosuse leidmine lihtsustub:
24 Tõenäosusteooria alused 23 Kahe teineteisest sõltumatu sündmuse korrutise tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste korrutisega: p(a_ NÄIDE Kui päikesepaistelisi ilmi on 40% päevadest (tõenäosus p(p) = 0,4) ja statistika loeng on ühel päeval nädalas ( p(s)' 1 ), siis tõenäosus, et statistika loeng satub päikesepaistelisele ilmale, on 7.0,143 p(p _ S)'p(P)@p(S)'0,4@0,143'0,057. Kui aga p(a B) p(a), on sündmused sõltuvad. ÜLESANDED 4.23 Firmas on viis osakonda. Järgnevas tabelis on toodud ülevaade osakondade poolt esitatud tellimustest: Osakonnad KOKKU Müük Varustus Tootmine. Raamatupidamine Ladu Väikevahendid Sisseseade Muu Avastati, et ühes tellimuses esineb viga. Leida tõenäosus, et vigane tellimus a) oli väikevahendite kohta; b) ei olnud väikevahendite kohta; c) tuli laost; d) tuli tootmisosakonnast; e) tuli kas tootmisosakonnast või laost; f) ei tulnud ei tootmisosakonnast ega laost; g) oli väikevahendite tellimus müügiosakonnast Ülikoolis uuriti 100 üliõpilast, kellel oli määratud stipendium. Selgus, et neist 40 töötasid, 25-l oli õppevõlgnevusi ning 15 nii töötasid kui olid ka õppevõlglased. Kui suur on tõenäosus, et stipendiumi saanud üliõpilane kas töötas või oli õppevõlglane? 4.25 "Kulli ja kirja" visatakse kaks korda. Kui suur on tõenäosus, et mõlemal korral tuleb "kull"? 4.26 "Kulli ja kirja" visatakse kaks korda. Leida tõenäosus, et a) esimene kord tuleb "kiri" ja teine kord "kull"; b) ühel juhul tuleb "kiri" ja teisel juhul "kull" inimest viskavad 60 korda "kulli ja kirja". Mitmel korral peaksid nad saama mõlemad tulemuseks "kiri"? 4.28 Münti on rikutud, nii et "kulli" tuleku tõenäosus on 0,2. a) Kui suure tõenäosusega tuleb esimesel viskel "kiri" ja teisel viskel "kull"? b) Kui suure tõenäosusega tuleb kolmel viskel "kiri"? 4.29 Turuuring on näidanud, et reedeõhtust meelelahtussaadet jälgib peredes regulaarselt 30% meestest ja 20% naistest. Lisaks on teada, et 12% abielupaaridest jälgivad saadet koos. Kui suur on tõenäosus, et vähemalt üks abikaasa on saate regulaarne jälgija? 4.30 Tõenäosus, et aktsiad A annavad tulu, on 0,7 ning tõenäosus, et aktsiad B annavad tulu, on 0,9. Kui suur on tõenäosus, et tulu toovad mõlemad aktsiad? 4.31 Valikvastustega testil on 5 küsimust, igal küsimusel kolm vastusevarianti. Õige on üks ja ainult üks vastusevariant. Kui üliõpilane valib vastused huupi, kui suur on tõenäosus, et ta vastab õieti a) kõikidele küsimustele. b) neljale küsimusele. c) kolmele küsimusele Ettevõte saatis kiirtellimuse vajaminevate detailide kohta kahele tarnijale. Kui 4 päeva jooksul kumbagi tellimust ei täideta, tuleb tootmine seisata kuni esimese partii saabumiseni. Tõenäosus, et tarnija A täidab tellimuse 4 päeva jooksul, on 0,55. Tõenäosus, et tarnija B täidab tellimuse 4 päeva jooksul, on 0,35. a) Kui suur on tõenäosus, et mõlemad tellimused täidetakse 4 päeva jooksul? b) Kui suur on tõenäosus, et vähemalt üks tellimus täidetakse 4 päeva jooksul? c) Kui suure tõenäosusega tuleb tootmine 4 päeva pärast seisata? Audentese Ülikool, Koostanud A. Sauga
25 Tõenäosusteooria alused Firma taotleb kahte lepingut. Lepingu A sõlmimise tõenäosus on 0,4 ja lepingu B sõlmimise tõenäosus on 0,1. Leida järgmised tõenäosused: a) sõlmitakse mõlemad lepingud; b) ei sõlmita kumbagi lepingut; c) sõlmitakse üks leping 4.34 AS Nõukogusse kuulub 15 liiget. Reorganiseerimise läbiviimiseks on vajalik 80% liimete nõusolek. Kui suure tõenäosusega läheb reorganiseerimine läbi, kui iga üksiku nõukogu liikema korral on poolt olemise tõenäosus 0,7? 4.35 Enne valimisi uuriti toetust erinevatele parteidele. Küsitleti 1000 inimest, kellest 600 olid naised. Parteid A toetas 350 vastajat, parteid B 320 vastajat, parteid C 300 ja 30 vastajal puudus eelistus. Eeldades, et toetus ühele või teisele parteile ei sõltu vastaja soost, leida a) mitu meest võis toetada parteid A; b) mitu naist võis toetada parteid C; c) mitu naist võis toetada kas parteid A või parteid C Auto esitule kustumise üheks põhjuseks võib olla kas läbipõlenud pirn või rike elektrisüsteemis. Rikke esinemise tõenäosus on 0,2 ja pirni läbipõlemise tõenäosus 0,4. Leida tõenäosus, et a) tule kustumise põhjuseks on nii rike elektrisüsteemis kui pirni läbipõlemine; b) tule kustumist ei põhjustanud ei rike elektrisüsteemis ega pirni läbipõlemine Müügikoolitusprogrammist kokkuvõtete tegemisel selgus, et 50-st eelmisel aastal preemia saanud müügiesindajast olid 20 läbinud koolituse. Kokku on firmas 200 müügiagenti. a) Kui suur on tõenäosus, et müügiesindaja saab preemia? b) Kui suur on tõenäosus, et preemia saanud müügiesindaja on läbinud koolituse? c) Kui suur on tõenäosus, et müügiesindaja on saanud nii koolitust kui ka preemiat? d) Oletame, et koolituse läbib 40% kõikidest müügiesindajatest. Kui suur on tõenäosus, et koolituse läbija saab preemia? e) Hinnata, kas koolitusest on kasu, st kas koolitus ja preemia saamine on sõltuvad või sõltumatud sündmused. VASTUSED 4.23 a) 0,633; b) 0,367; c) 0,117; d) 0,283; e) 0,400; f) 0,600; g) 0, , , a) 0,25; b) 0, a) 0,16; b) 0, , , a) 0,0041; b) 0,041; c) 0, a) 0,19; b) 0,71; c) 0, a) 0,04; b) 0,54; c) 0, ,38% 4.35a)140; b)180; c) a) 0,08 b) 0, a) 0,25; b)0,40; c)0,10; d)0,25; e) sõltumatud, koolitusest pole kasu. Tõenäosuste puu NÄIDE Tõenäosuste puu. Veoauto teeb päevas kaks reisi. Täiskoorma (T ) saamise tõenäosus on 0,25. Eeldades, et täiskoorma saamise tõenäosus päeva teisel reisil ei sõltu esimesel reisil saadud koormast, leida tõenäosus, et veok saab täpselt ühe täiskoorma päevas. Lahendame ülesande, kasutades tõenäosuste puud: Tõenäosuste puu Otsitav tõenäosus on kahe keskmise tõenäosuse summa: p((t_t)^(t_t))'p(t_t)%p(t_t)'p(t)p(t)%p(t)p(t)'0,1875%0,1875'0,375 ÜLESANDED 4.38 Uuritakse lüliti töökindlust. On kindlaks tehtud., et sisselülimisel on tõrke tekkimise tõenäosus 0,1. Kui tõrget ei tekkinud, on järgmisel katsel tõrke tõenäosus sama. Kui aga tekib tõrge, on järgmisel katsel tõrke tekkimise tõenäosus 0,9. Seega tõrke tekkimise tõenäosus sõltub sellest, milline oli eelmine sündmus. Kasutada tõenäosuste puud järgmiste tõenäosuste leidmiseks:
Kompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Διαβάστε περισσότεραGeomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Διαβάστε περισσότεραGraafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Διαβάστε περισσότεραVektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Διαβάστε περισσότερα2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon
2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides
Διαβάστε περισσότεραLokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
Διαβάστε περισσότεραRuumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
Διαβάστε περισσότεραITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Διαβάστε περισσότεραMatemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35
Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika Permutatsioonid, kombinatsioonid ja variatsioonid. Sündmus. Sündmuste liigid. Klassikaline tõenäosus. Geomeetriline tõenäosus. Sündmuste liigid: sõltuvad ja
Διαβάστε περισσότεραLisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus
Lisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus 1. Haljala valla metsa pindala Haljala valla üldpindala oli Maa-Ameti
Διαβάστε περισσότεραKOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed
Διαβάστε περισσότεραFunktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
Διαβάστε περισσότεραPlaneedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
Διαβάστε περισσότεραAndmeanalüüs molekulaarbioloogias
Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.
Διαβάστε περισσότερα9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
Διαβάστε περισσότεραHULGATEOORIA ELEMENTE
HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad
Διαβάστε περισσότεραHAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
Διαβάστε περισσότεραEnergiabilanss netoenergiavajadus
Energiabilanss netoenergiajadus 1/26 Eelmisel loengul soojuskadude arvutus (võimsus) φ + + + tot = φ φ φ juht v inf φ sv Energia = tunnivõimsuste summa kwh Netoenergiajadus (ruumis), energiakasutus (tehnosüsteemis)
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika harjutus
Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative
Διαβάστε περισσότεραPLASTSED DEFORMATSIOONID
PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline statistika ja modelleerimine
Matemaatiline statistika ja modelleerimine Kirjeldav statistika EMÜ doktorikool DK.7 Tanel Kaart Sagedused ja osakaalud diskreetne tunnus Mittearvuliste või diskreetsete tunnuste (erinevate väärtuste arv
Διαβάστε περισσότεραSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning
Διαβάστε περισσότερα,millest avaldub 21) 23)
II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.
Διαβάστε περισσότερα4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36
Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότεραExcel Statistilised funktsioonid
Excel2016 - Statistilised funktsioonid Statistilised funktsioonid aitavad meil kiiresti leida kõige väiksemat arvu, keskmist, koguarvu, tühjaks jäänud lahtreid jne jne. Alla on lisatud sellesse gruppi
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότερα4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks
4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].
Διαβάστε περισσότεραHSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G
HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud
Διαβάστε περισσότεραT~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA
http://wwwttuee http://wwwstaffttuee/ math TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT http://wwwstaffttuee/ itammeraid Ivar Tammeraid T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA Elektrooniline ~oppematerjal
Διαβάστε περισσότερα3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE
3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega
Διαβάστε περισσότερα7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85
7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,
Διαβάστε περισσότεραVeaarvutus ja määramatus
TARTU ÜLIKOOL Tartu Ülikooli Teaduskool Veaarvutus ja määramatus Urmo Visk Tartu 2005 Sisukord 1 Tähistused 2 2 Sissejuhatus 3 3 Viga 4 3.1 Mõõteriistade vead................................... 4 3.2 Tehted
Διαβάστε περισσότεραCompress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013
55 C 35 C A A B C D E F G 50 11 12 11 11 10 11 db kw kw db 2015 811/2013 A A B C D E F G 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi
Διαβάστε περισσότερα1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD
1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki
Διαβάστε περισσότερα6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad
6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline
Διαβάστε περισσότερα1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus
Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks
Διαβάστε περισσότεραJätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV
U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS
Διαβάστε περισσότεραArvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008
Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub
Διαβάστε περισσότεραProgrammeerimise eksamiülesannete kogu
TARTU ÜLIKOOL ARVUTITEADUSE INSTITUUT Programmeerimise eksamiülesannete kogu Helle Hein Jüri Kiho Reimo Palm Eno Tõnisson Tartu 2007 Käesoleva õppevahendi väljaandmist on toetanud Eesti Infotehnoloogia
Διαβάστε περισσότερα2. HULGATEOORIA ELEMENTE
2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.
Διαβάστε περισσότεραT~oestatavalt korrektne transleerimine
T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
Διαβάστε περισσότεραSTM A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013
Ι 47 d 11 11 10 kw kw kw d 2015 811/2013 Ι 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi 2010/30/ täiendavates määrustes () nr 811/2013,
Διαβάστε περισσότεραTöökorraldus. Õppematerialid. Töökorraldus. Harvey Motulsky Intuitive Biostatistics (2010, 1995)
Andmeanalüüs molekulaarbioloogias LOMR.0.007. loeng Andmed, tunnused, tunnuste tüübid ja tunnuse jaotuse iseloomustamine Prof Maido Remm Märt Möls martm@ut.ee Töökorraldus Hinne Hinne kujuneb kontrolltööde
Διαβάστε περισσότερα2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH
Διαβάστε περισσότεραWilcoxoni astakmärgitest (Wilcoxon Signed-Rank Test)
Peatükk 2 Wilcoxoni astakmärgitest (Wilcoxon Signed-Rank Test) 2.1 Motivatsioon ja teststatistik Wilcoxoni astakmärgitesti kasutatakse kahe s~oltuva valimi v~ordlemiseks. Oletame näiteks, et soovime v~orrelda,
Διαβάστε περισσότεραFunktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,
Διαβάστε περισσότερα28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.
8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,
Διαβάστε περισσότεραKirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks
Διαβάστε περισσότεραSORTEERIMINE JA FILTREERIMINE
Praktikum 3 Tänase praktikumi teema on andmetabelite filtreerimine ja kokkuvõtvate tabelite loomine, juttu tulebka mõningatest pisut nutikamatest funktsioonidest keskmiste ja vaatluste arvu arvutamisel.
Διαβάστε περισσότεραKui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist
KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). KINEMAATIKA. Ühtlane liikumine Punktmass Punktmassiks me nimetame keha, mille mõõtmeid me antud liikumise juures ei pruugi arestada. Sel juhul loemegi keha tema asukoha
Διαβάστε περισσότερα2. Normi piiride määramine (R.D. Smith)
. Normi piiride määramine (R.D. Smith) Sissejuhatuseks Meditsiiniliste otsuste tegemise protsess koosneb neljast põhietapist: 1. Subjektiivsete andmete kogumine. Subjektiivsed andmed põhinevad meie enda
Διαβάστε περισσότεραI. Keemiline termodünaamika. II. Keemiline kineetika ja tasakaal
I. Keemiline termdünaamika I. Keemiline termdünaamika 1. Arvutage etüüni tekke-entalpia ΔH f lähtudes ainete põlemisentalpiatest: ΔH c [C(gr)] = -394 kj/ml; ΔH c [H 2 (g)] = -286 kj/ml; ΔH c [C 2 H 2 (g)]
Διαβάστε περισσότερα(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33
(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.
Διαβάστε περισσότεραDEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.
Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka
Διαβάστε περισσότερα20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1
κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii
Διαβάστε περισσότεραÜlesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül.
Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln.6 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Astmed.. Arvutada avaldise täpne väärtus. 8 * (,8)
Διαβάστε περισσότεραKehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks.
KOOLIFÜÜSIKA: SOOJUS 3 (kaugõppele) 6. FAASISIIRDED Kehade sooendamisel või ahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. Sooendamisel vaaminev
Διαβάστε περισσότεραKrüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD
Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD 1 Nõudmised krüptoräsidele (Hash-funktsionidele) Krüptoräsiks nimetatakse ühesuunaline funktsioon
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan
ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja
Διαβάστε περισσότεραTuletis ja diferentsiaal
Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.
Διαβάστε περισσότεραAritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid
Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.. Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Aritmeetilised operaatorid Need leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja eraldi kommenteerimist.
Διαβάστε περισσότεραKoduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused
Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna
Διαβάστε περισσότεραRF võimendite parameetrid
RF võimendite parameetrid Raadiosageduslike võimendite võimendavaks elemendiks kasutatakse põhiliselt bipolaarvõi väljatransistori. Paraku on transistori võimendus sagedusest sõltuv, transistor on mittelineaarne
Διαβάστε περισσότεραJuhuslik faktor ja mitmetasandilised mudelid
Peatükk 2 Juhuslik faktor ja mitmetasandilised mudelid Uurime inimese verer~ohku. Inimese verer~ohk on üsnagi varieeruv ja s~oltub üsnagi tugevalt hetkeolukorrat mida inimene on enne m~o~otmist söönud/joonud,
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.
Διαβάστε περισσότεραsin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α
Διαβάστε περισσότεραStatistiline andmetöötlus, VL-0435 sügis, 2008
Praktikum 6 Salvestage kursuse kodulehelt omale arvutisse andmestik lehmageen.xls. Praktikum püüab kirjeldada mõningaid võimalusi tunnuste vaheliste seoste uurimiseks. Kommentaarid andmestiku kohta Konkreetselt
Διαβάστε περισσότερα; y ) vektori lõpppunkt, siis
III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf
Διαβάστε περισσότερα1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...
Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραEesti elektrienergia hinna analüüs ja ühesammuline prognoosimine ARIMA tüüpi mudelitega
TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA INFORMAATIKATEADUSKOND Matemaatilise statistika instituut Finants- ja kindlustusmatemaatika eriala Kärt Päll Eesti elektrienergia hinna analüüs ja ühesammuline prognoosimine ARIMA
Διαβάστε περισσότερα5. OPTIMEERIMISÜLESANDED MAJANDUSES
5. OPTIMEERIMISÜLESNDED MJNDUSES nts asma Sissejuhatus Majanduses, aga ka mitmete igapäevaste probleemide lahendamisel on piiratud võimalusi arvestades vaja leida võimalikult kasulik toimimisviis. Ettevõtete,
Διαβάστε περισσότεραsiis on tegemist sümmeetrilise usaldusvahemikuga. Vasakpoolne usaldusvahemik x i, E x = EX, D x = σ2
Vahemikhinnangud Vahemikhinnangud Olgu α juhusliku suuruse X parameeter ja α = α (x 1,..., x n ) parameetri α hinnang. Kui ε > 0 on kindel suurus, siis vahemiku (α ε, α +ε) otspunktid on samuti juhuslikud
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte 43. keemiaolümpiaad
Eesti koolinoorte 4. keeiaolüpiaad Koolivooru ülesannete lahendused 9. klass. Võrdsetes tingiustes on kõikide gaaside ühe ooli ruuala ühesugune. Loetletud gaaside ühe aarruuala ass on järgine: a 2 + 6
Διαβάστε περισσότερα4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.
Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised
Διαβάστε περισσότερα1. Paisksalvestuse meetod (hash)
1. Paisksalvestuse meetod (hash) Kas on otsimiseks võimalik leida paremat ajalist keerukust kui O(log n)? Parem saaks olla konstantne keerukus O(1), mis tähendaks seda, et on kohe teada, kust õige kirje
Διαβάστε περισσότεραÜlesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus
Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Antud: Õhuke raudbetoonist gravitatsioontugisein maapinna kõrguste vahega h = 4,5 m ja taldmiku sügavusega d = 1,5 m. Maapinnal tugiseina
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότερα5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE
TTÜ EHHTROONKNSTTUUT HE00 - SNTEHNK.5P/ETS 5 - -0-- E, S 5. TUGEVUSRVUTUSE PNELE Staatika üesandes (Toereaktsioonide eidmine) vaadatud näidete ause koostada taade sisejõuepüürid (põikjõud ja paindemoment)
Διαβάστε περισσότεραEcophon Line LED. Süsteemi info. Mõõdud, mm 1200x x x600 T24 Paksus (t) M329, M330, M331. Paigaldusjoonis M397 M397
Ecophon Line LED Ecophon Line on täisintegreeritud süvistatud valgusti. Kokkusobiv erinevate Focus-laesüsteemidega. Valgusti, mida sobib kasutada erinevates ruumides: avatud planeeringuga kontorites; vahekäigus
Διαβάστε περισσότεραKEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS
KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Nooem aste (9. ja 10. klass) Tallinn, Tatu, Kuessaae, Nava, Pänu, Kohtla-Jäve 11. novembe 2006 Ülesannete lahendused 1. a) M (E) = 40,08 / 0,876 = 10,2 letades,
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
Διαβάστε περισσότεραAnonüümse HIV nõustamise ja testimise teenuse ülevaade aasta. Kristi Rüütel, Natalja Gluškova
Anonüümse HIV nõustamise ja testimise teenuse ülevaade 2012. aasta Kristi Rüütel, atalja Gluškova Tallinn 2013 SISUKORD LÜHEDID JA MÕISTED... 2 HIV ÕUSTAMISE JA TESTIMISE TEEUS... 3 ADMETE KOGUMIE JA AALÜÜS...
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA AJALUGU MTMM MTMM
Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Seminare: 2 Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Seminare: 2 Hindamine:
Διαβάστε περισσότεραSmith i diagramm. Peegeldustegur
Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika. EST meetod
Ehitusmehaanika. EST meetod Staatikaga määramatu kahe avaga raam /44 4 m q = 8 kn/m 00000000000000000000000 2 EI 4 EI 6 r r F EI p EI = 0 kn p EI p 2 m 00 6 m 00 6 m Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna
Διαβάστε περισσότεραväärtpaberite teejuht
väärtpaberite teejuht Väärtpaberite teejuht Saadan selle uuesti, sest lisandus autorite fotode copyright: AS Tallinna Börs 2008 Eesti Päevalehe AS 2008 Toimetaja: Villu Zirnask Korrektor: Maris Makko
Διαβάστε περισσότεραKeemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a.
Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused oorem rühm (9. ja 0. klass) 6. november 2002. a.. ) 2a + 2 = a 2 2 2) 2a + a 2 2 = 2a 2 ) 2a + I 2 = 2aI 4) 2aI + Cl 2 = 2aCl + I 2 5) 2aCl = 2a + Cl 2 (sulatatud
Διαβάστε περισσότερα1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014
1 MTMM.00.188 Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 Eksamitöö annab kokku 80 punkti ja ülesanded jagunevad järgmisse kuude gruppi: P1 ( 10p ) - ülesanded I kontrolltöö põhiteemade peale; P2 ( 10p ) - ülesanded
Διαβάστε περισσότεραEesti LV matemaatikaolümpiaad
Eesti LV matemaatikaolümpiaad 2. veebruar 2008 Piirkonnavoor Kommentaarid Kokkuvõtteks Selleaastast komplekti võib paremini õnnestunuks lugeda kui paari viimase aasta omi. Lõppvooru pääsemise piirid protsentides
Διαβάστε περισσότεραSuhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27
Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid
Διαβάστε περισσότεραNÄIDE KODUTÖÖ TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL. Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut. AAR0030 Sissejuhatus robotitehnikasse
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut AAR000 Sissejuhatus robotitehnikasse KODUTÖÖ Teemal: Tööstusroboti Mitsubishi RV-6SD kinemaatika ja juhtimine Tudeng: Aleksei Tepljakov
Διαβάστε περισσότεραEcophon Square 43 LED
Ecophon Square 43 LED Ecophon Square 43 on täisintegreeritud süvistatud valgusti, saadaval Dg, Ds, E ja Ez servaga toodetele. Loodud kokkusobima Akutex FT pinnakattega Ecophoni laeplaatidega. Valgusti,
Διαβάστε περισσότερα