Odraz a lom svetla. Kapitola 4

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Odraz a lom svetla. Kapitola 4"

Transcript

1 Kapitola 4 Odraz a lom svetla Náuka o svetle, optika, je jednou z najdôležitejších častí fyziky, lebo valnú väčšinu skúseností so svetom, ktorý nás obklopuje, získavame našim zrakom. Čo vieme o vzdialených galaxiách, vieme len vďaka svetlu: tento posol bežal v hlbokom vesmíru milióny a miliardy rokov, než k nám dorazil. Aj to, čo vieme o atómoch nám prezradilo svetlo vychádzajúce z ich vnútrajšku. Svetlo z atómu nesie tajnú zakódovanú správu o vnútornej štruktúre látky. Sprostredkovateľom väčšiny informácií, s ktorými sa stretávame v každodennom živote je tiež svetlo. Pokiaľ sa nepozeráme priamo do zdroja svetla do Slnka, žiarovky, svetlušky apod. tak to čo vidíme, je väčšinou odrazené svetlo. Plochy, ktoré odrážajú svetlo sa líšia jeden od druhej v mnohých ohľadoch. Dobre vyleštená karoséria čierneho auta odráža sotva 5% svetla, ktoré na neho dopadá. Toto málo svetla však postačuje k tomu, aby sme videli jasne svoj vlastný odraz na aute. Ani dobré zrkadlo nie je toho schopné viac, len obraz bude svetlejší, lebo jeho povrch odráža 85-95% svetla. Kus čiernej liatiny železa a stena izby vymaľovaná na peknú svetlú farbu odráža zrovna toľko svetla, ako čierna karoséria auta a zrkadlo, predsa sa v nich neuvidíme. Vysvetlenie tohoto rozdielneho správania sa plôch nájdeme v hladkosti odrazových plôch. Vyleštená plocha zrkadla, lakovaný, leštený povrch kovu je nesmierne hladký, rovnomerne hladký ešte aj pre svetlo. Na druhú stranu povrch papiera a steny je posiaty drobnými nerovnosťami, z ktorých sa svetlo odráža na všetky možné strany zrovna tak, ako ping-pongová loptička z hrboľatého povrchu. Odraz svetla z rovnej plochy nazývame aj zrkadlením. Odraz z nerovnomernej, nepravidelnej plochy nazývame difúznym odrazom, difúznou reflexiou. Našu pozornosť sústredíme na zrkadlenie: takýto odraz má jednoduché Odraz svetla

2 46 4. Kapitola 4-2 Rovinné zrkadlá 4-3 Duté a vypuklé zrkadlá zákonitosti. Ak na zrkadlo necháme dopadnúť úzky zväzok svetla (obrázok??) a budeme sledovať smer odrazeného lúča, zistíme zákonitosť, ktorú poznali aj starovekí Gréci. Spustíme na plochu zrkadla kolmicu v mieste, kde sa ho dopadajúci zväzok dotkne; uhol, ktorý uzatvára dopadajúci lúč a spustená kolmica nazývame uhlom dopadu. Uhol medzi kolmicou a odrazeným lúčom sa nazýva uhlom odrazu. Zákon odrazu znie: uhol odrazu sa rovná uhlu dopadu. Pomocou tohoto zákona môžeme skúmať vznik obrazu, jeho formovanie sa v zrkadlách rôzneho tvaru. Najčastejšie používané zrkadlá sú rovinné zrkadlá. Obraz, ktorý v ňom uvidíme, keď sa do neho pozrieme, je všedná udalosť. Pri presnejšej formulácii už teraz nepovieme že vidíme predmet v zrkadle, ale povieme, že v zrkadle vidíme obraz predmetu a tento obraz je výsledkom zobrazenia zrkadla. Na obrázku?? ukážeme, ako zobrazuje rovinné zrkadlo obraz predmetu. Lístky štvorlístka osvetľuje slnečné svetlo. Vrchný bod horného lístka označíme písmenom T (v tomto okamihu je predmetom tento bod). Vďaka difúznemu odrazu slnečného svetla z lístka sa slnečné lúče odrážajú do všetkých možných smerov my ich znázorníme na obrázku len niektoré. Lúče odrazené zo zrkadla a dopadajúce do nášho oka vytvárajú dojem, akoby vychádzali všetky z bodu K. V skutočnosti do bodu K nedorazí ani jeden svetelný lúč (možno, že tento bod sa nachádza hlboko v múre) a vtedy bod K nazývame virtuálnym (neskutočným) obrazom bodu T. Svetelný lúč T C, ktorý na zrkadlo dopadá kolmo, sa odráža naspäť sám do seba. Ak v bode B vztýčime kolmicu BM k ploche zrkadla, potom podla zákona odrazu je uhol dopadu TBM rovný uhlu odrazu MBA. Využitím základných geometrických znalostí môžeme ukázať, že trojuholník T CB je zhodný s trojuholníkom KCB. Z toho však vyplýva, že: virtuálny obraz predmetu v rovinnom zrkadle je na kolmici vztýčenej z predmetu na plochu zrkadla a nachádza sa presne tak ďaleko za plochou zrkadla, ako ďaleko je predmet pred plochou zrkadla. Rovnako môžeme zostrojiť obraz najnižšieho bodu D stonky štvorlístka (i ostatných bodov štvorlístka), musíme dbať len o to, aby DEF bolo kolmé na plochu zrkadla a aby platilo DE = EF, čím obdržíme presnú polohu bod F, ktorý je obrazom bodu D. Poznamenajme, že náš oko vidí v F obraz bodu D aj vtedy, ak samotné zrkadlo k bodu E nesiaha. Namiesto rovinných zrkadiel sa v optických prístrojoch, od ďalekohľadov až po mikroskopy, sa najčastejšie používajú duté a vypuklé zrkadlá. Najjednoduchším takým zrkadlom je vyleštený kúsok povrchu gule. Pozrime sa, že čo sa stane so svetlom, keď sa odráža od povrchu dutého zrkadla,

3 Biofyzika a radiológia 47 tak ako to ukazuje aj obrázok??a. Bod C, ktorý je geometrickým stredom gule nazývame stredom krivosti zrkadla zrkadlo je časťou plochy tejto gule. Stred krivosti a stred zrkadla (toho kúsku povrchu gule) spája priamka CO, ktorú nazývame optickou osou. Pozrime sa teraz na lúč, ktorý postupuje rovnobežne s optickou osou a na povrch zrkadla dopadne v bode B. Polomer CB gule je kolmý na povrch zrkadla, preto lúč AB sa odráža do smeru F tak, že uhol dopadu i sa rovná uhlu odrazu r. Odrazený lúč pretína optickú os v bode F; tento bod nazývame ohniskom zrkadla. Nakoľko AB je rovnobežný s optickou osou, uhol BCF je rovný i a preto trojuholník BCF je rovnoramenný, teda BF = CF. Pokiaľ bod B nie je príliš ďaleko od bodu, potom OF a BF sú si skoro rovnako veľké. To ale znamená aj to, že bod F skoro presne polí polomer krivosti CO. Vychádzajúc z nejakého skutočného a vzdialeného predmetu môžeme nakresliť množstvo lúčov rovnobežných vzájomne a súčasne rovnobežných s optickou osou. Tieto lúče po odraz sa pretínajú všetky v tom istom (alebo skoro v tom istom) bode F. Čím je lúč AB bližšie k optickej osi, tým skôr je splnená približná rovnosť OF = BF, teda to, že bod F polí polomer krivosti OC. Nezabúdajúc toto priblíženie, ako ohnisko zrkadla definujeme bod F, v ktorom sa všetky lúče, bežiace rovnobežne s optickou osou a dostatočne blízko k nej, pretínajú navzájom i s optickou osou. Vzdialenosť OF (ktorú označujeme zvyčajne f) nazývame ohniskovou vzdialenosťou zrkadla. Pri našom bádaní budú rozmery zrkadla podstatne menšie, ako polomer krivosti zrkadla, preto naše priblíženie bude v dobrej zhode so skutočnosťou. Na obrázku??b vidíme, ako zostrojíme obraz predmetu zobrazený dutým zrkadlom. Z predmetu T by sme mohli vypustiť množstvo lúčov dopadajúcich na zrkadlo. Ku každému z nich by sme mohli zostrojiť polomer krivosti vychádzajúci z bodu C a mohli by sme zostrojiť uhol odrazu r rovný uhlu dopadu i. Získali by sme tým všetky odrazené lúče. Pokiaľ si však vyberieme lúče umne, môžeme sa dopracovať k výsledku aj jednoduchšie. Nech je TB rovnobežný s optickou osou; je známe, že tento lúč sa odrazí do ohniska F. Nasledujúcim vhodným lúčom môže byť T C; Tento lúč postupuje v smere polomeru gule a na povrch zrkadla dopadá kolmo v bode D, preto sa odráža späť sám do seba, smerom k C. Nakoľko i = r, každý odrazený lúč sa dá sledovať aj v opačnom smere. Na obrázku??a lúč vychádzajúci z bodu F a smerujúci do bodu B sa odráža do lúča BA rovnobežného s optickou osou. Môžeme preto, vychádzajúc z bodu T, zostrojiť aj cestu tretieho vhodne zvoleného lúča, TF, ktorý po dopade na zrkadlo sa odráža ako vidieť rovnobežne s optickou osou. Tieto tri lúče sa vzájomne pretínajú v bode K, preto pozorovateľovi sa zdá, akoby svetlo vychádzalo z bodu K. Všetky lúče vychádzajúce z bodu T sa vzájomne pretínajú v bode K.

4 48 4. Kapitola Ak do tohoto bodu umiestníme mliečne sklo, uvidíme obraz bodu T. Takýto bod nazývame preto reálnym (skutočným) obrazom. Na obrázku?? sme nakreslili jeden lúč od T k bodu O, ku stredu zrkadla. Nakoľko uhol T OA sa rovná uhlu KOB (prečo?), pravouhlý trojuholník TOA je podobný pravouhlému trojuholníku KOB. Platí preto teda výška predmetu výška obrazu TA KB = AO BO, = vzdialenosť predmetu vzdialenosť obrazu = t k. ( Vzdialenosť je vzdialenosť od zrkadla.) Na obrázku je ešte dvojica podobných trojuholníkov T AC a KBC, preto AC BC = TA KB = t k. Aj z obrázku je vidieť, že AC je rozdiel vzdialenosti predmetu a polomeru krivosti zrkadla, teda t r. Podobne BC = r k. Dosaďme tieto rovnosti t r = t r k k, tk rt = rt tk, rk + rt = 2tk. Predelme obidve strany poslednej rovnosti tkr a dostaneme t + k = 2 r, a nakoľko r = 2f, teda 2/r = /f, náš vzťah nadobudne tvar t + k = f. Ako príklad zoberme duté zrkadlo, ktorého polomer krivosti je 24 cm. Čo vieme povedať o predmete vysokom 4 cm, ktorý stojí 48 cm pred zrkadlom? Údaje sú f = 2 cm, p = 48 cm, teda teda 48 + k = 2, k = 2 48 = = 6

5 Biofyzika a radiológia 49 a k = 6 cm. dokážeme vypočítať aj veľkosť obrazu rozmer obrazu 4 = 6 48, odkiaľ rozmer (výška) predmetu je = 4 6/48 = 4/3 cm. Obraz je (čo môžeme skontrolovať geometrickou konštrukciou) je reálny a obrátený. Je účelné, pokiaľ pri riešení úloh so zrkadlami a šošovkami, robíme náčrtky a pokiaľ robíme tieto náčrtky rovnakým spôsobom, napríklad, aby svetlo prichádzalo vždy zľava. Pokiaľ si budeme pamätať, že členy vo vzťahu medzi predmetovou vzdialenosťou k, obrazovou vzdialenosťou o a ohniskovou vzdialenosťou f (ktorý sme odvodili vyššie) sú kladné (majú znamienko +), potom so znamienkami problémy mať nikdy nebudeme. Stred krivosti dutého zrkadla spadá naľavo od zrkadla a brali sme jej hodnotu za kladnú, preto polomer krivosti vypuklého zrkadla ktorého stred krivosti spadá napravo budeme brať ako záporný. Predmetová vzdialenosť naľavo od zrkadla je kladná a preto hodnotu p napravo od zrkadla by sme mali brať ako zápornú. Obdobne budeme brať vzdialenosť obrazu (k) napravo od zrkadla za zápornú. Na obrázku?? môžeme vidieť, ako zostrojíme zobrazenie vypuklého zrkadla. Lúč TA rovnobežný s optickou osou sa odráža od zrkadla tak, akoby vychádzal z bodu F. (Ohnisko F vypuklého zrkadla je samozrejme virtuálny bod, nakoľko ani jeden lúč cez neho v skutočnosti neprechádza.) Lúč TB, ktorý postupuje smerom k stredu krivosti zrkadla, sa odrazí sám do seba, nakoľko na povrch zrkadla dopadá kolmo. Vrchol tyče so zástavou môžeme zostrojiť už aj s touto dvojicou lúčov.; môžeme však ľahko narysovať aj tretí lúč: lúč TC postupujúci v smere F sa odráža rovnobežne s optickou osou. Ak lúč predĺžime za zrkadlo, dostaneme sa do priesečníku priamok AF a BC : tento bod je vrcholom tyče, na ktorej vlaje zástava. Pozorovateľ vidí lúče odrazené z bodov A,B a C ako aj všetky lúče vychádzajúce z T a odrazené na povrchu zrkadla akoby vychádzajúce z bodu spoza zrkadla a tento bod K je virtuálnym obrazom bodu T. Vzťah medzi predmetovou, obrazovou vzdialenosťou a ohniskovou vzdialenosťou (t,k a f) je rovnaká ako predtým, len ich hodnoty musíme brať podľa našej dohody. Nech predmet T je 25 cm pred zrkadlom, ktorého polomer krivosti je 20 cm. Podľa toho je ohnisková vzdialenosť 0 cm.

6 50 4. Kapitola Kde je obraz? 25 + k k = 0 = k = 50 7 = 7,4 cm. Záporné znamienko ukazuje, že obraz sa nachádza za zrkadlom a je preto virtuálny. Vo všetkých našich príkladoch sme museli predpokladať, že rozmer zrkadla je podstatne menší, ako jeho ohnisková vzdialenosť. Pokiaľ by tomu tak nebolo, potom by bol obraz rozmazaný a neboli by sme schopní povedať kde sa obraz vôbec nachádza. Príčinou je, že lúče odrážajúce sa od kraja zrkadla pretínajú optickú os bližšie k zrkadlu, než tie, ktoré sa odrážajú od stredu zrkadla (pozri obrázok??a). Túto vadu zrkadla nazývame sférickou vadou alebo sférickou aberáciou. Táto vada predstavuje vážny problém u veľkých hvezdárskych ďalekohľadoch, ktoré musia podľa možnosti pozbierať veľa svetla. Problémy možno prekonať tým, že namiesto sférických zrkadiel budeme používať parabolické zrkadlá (ktorého výroba stojí žiaľ podstatne viac, a má iný typ chyby, ktorý sa u guľových zrkadiel sa neobjavuje). Parabolické zrkadlá pozbierajú všetky lúče rovnobežné s optickou osou do ohniska (pozri obrázok??b). Chod lúčov znázornených na obrázku sa dá aj otočiť; umiestnime do ohniska malý zdroj svetla: od parabolického zrkadla sa odrazia rovnobežne a postupujú ďalej ako zväzok vzájomne rovnobežných lúčov. Vo svetlometoch, ktoré majú svietiť ďaleko (napríklad svetlomety protivzdušnej obrany) sa používajú parabolické zrkadlá. 4-4 Lom svetla Pokiaľ lúč svetla vojde do kúsku skla, alebo vodnej vrstvy, zmení svoj smer (jedine, žeby vchádzal do skla alebo vody kolmo na povrch, čo je špeciálny prípad). Na obrázku??a postupuje svetelný lúč najprv vo vzduchu, potom vchádza do bloku skla meniac svoj smer. Uhol i meraný medzi lúčom a normálou plochy (tj. priamkou, ktorá je kolmá k povrchu) je uhol dopadu, kým r je uhol lomu. V tomto prípade neplatí rovnosť i = r, ako pri odraze. Príslušný zákon objavil holandský fyzik Willebrod Snell v roku 62. Podľa tohoto zákona, ak svetlo vstupuje z jedného prostredia do druhého, platí sin i sin r = n,

7 Biofyzika a radiológia 5 kde n je konštanta, teda nech je uhol dopadu i akokoľvek veľký, uhol lomu bude taký, že pomer sin i/sin r zostane nemenný. Tento pomer, n, nazývame indexom lomu druhého prostredia (prostredia, v ktorom sa svetlo láme) vzhľadom na prvé prostredie (prostredia, z ktorého svetlo dopadá). K indexu lomu je zvykom pripísať ako dolný index dvojicu prostredí. V príklade obrázku??a znamená n sv =,65, že index lomu skla vzhľadom na sklo sa rovná tejto hodnote, teda sin i/sin r =,65 vždy, keď svetlo zo vzduchu prechádza v sklo. Index lomu vzťahujeme väčšinou k vákuu a vtedy nepíšeme druhý dolný index. V tomto ohľade sa vzduch líši od vákua len veľmi nepatrne a môžeme preto povedať aj to, že index lomu skla je n s =,65. Index lomu niektorých látok sme uviedli v tabuľke4.. Index lomu závisí nepatrne aj od farby svetla; v tabuľke sme udali index lomu podľa zvyklostí pre žlté svetlo. látka index lomu voda, 33 lieh, 36 flintové sklo, 65 diamant 2, 42 Tabuľka 4.: Index lomu niektorých látok (pre žlté svetlo) Ak uhol dopadu na obrázku??a je 40, potom sin40 =, 65, sin r sin 40 sin r =,65 = 0,643,65 = 0,390, r = 23, 0. Situácia na obrázku??b je o niečo zložitejšia, lebo tu je medzi sklom a vzduchom naviac rovnomerná vrstva vody. Ak zadáme uhol dopadu i, uhol lomu r vo vode vieme bez problémov vypočítať., nakoľko index lomu vody (vzťahujúc na vákuum alebo na vzduch) nájdeme v tabuľke 4.. V tejto tabuľke však nenájdeme index lomu flintového skla vzhľadom na vodu, to by sme ale potrebujeme k výpočtu druhého lomu svetla. Tento problém sa dá našťastie ľahko preklenúť, lebo (ako o tom bude reč v nasledujúcej kapitole) n sklo,voda = n sklo n voda =,65,33 =,24. Predpokladajme, že i = 60. Výpočet vzťahujúci sa k obrázku??b je

8 52 4. Kapitola nasledujúci sin 60 sin r =,33, Pri prechode svetla z vody do skla sin r = sin60,33 = 0,866,330 = 0,65, r = 40,6 = i 2. sin 40,6 sinr 2 =,24, sinr 2 = 0,65,24 = 0,525 r 2 = 3,7. Je zaujímavé, že pokiaľ svetlo pôjde v opačnom smere, teda zo skla do vody a odtiaľ do vzduchu, jeho dráha bude rovnaká. Zo všetkých i sa stanú r a z r zase i, ďalej budeme musieť počítať indexy lomu vody vzhľadom na sklo a vzduchu vzhľadom na vodu: tieto indexy lomu sú prevrátenými hodnotami predtým použitých príslušných indexov lomu a hodnoty majú menšie od. Ak do priehľadnej kvapaliny ponoríme pevné teleso z priehľadnej látky, ktorej index lomu je rovnaké ako kvapaliny, potom teleso ponorené do kvapaliny nie je viditeľné, nakoľko lúče pri prechode z kvapaliny do telesa a naspäť sa nelámu. Tento fyzikálny fakt využil aj H.G. Wells vo svojom slávnom románe neviditeľný muž, keď hlavný hrdina zmenil svoj index lomu na, čím sa stal vo vzduchu priehľadným, neviditeľným. Wells však pozabudol na veľmi podstatnú vec pravdepodobne zámerne, hlavný hrdina jeho románu musel byť slepým, lebo jeho očné šošovky neboli takto schopné tvoriť obraz na jeho retine. 4-5 Hranoly Často používanou súčiastkou optických prístrojov je hranol, o ktorom bude reč aj neskôr pri optických prístrojoch. Na obrázku?? dopadá na sklenený hranol úzky zväzok svetelného lúča. Nech toto svetlo je zmesou červeného a modrého svetla. Zistíme, že hranol vychýli svetlo, ale modré viac, ako červené. Môžeme z toho usúdiť, že index lomu skla pre modré svetlo je väčšie, ako pre červené. Ak na hranol necháme dopadnúť biele svetlo, za hranolom sa objaví celé spektrum farieb: fialovú, modrú, zelenú, žltú, oranžovú a červenú, ktoré sa radia tak, že najviac sa vychyľuje fialová a najmenej červená. Túto závislosť indexu lomu od farby svetla nazývame disperziou a je vlastnosťou všetkých priehľadných látok. Spôsobuje farebnú hru diamantov v prsteni, ale aj farebné trblietanie kvapiek rosy, ale vďačíme tomuto javu

9 Biofyzika a radiológia 53 aj za schopnosť spektroskopu, že je schopný rozdeliť svetlo na jeho farebné komponenty, ktoré potom môžeme analyzovať. Vo fotoaparátoch, ďalekohľadoch, mikroskopoch je ale disperzia veľmi rušivým javom, lebo v týchto prístrojoch by sme chceli všetky farby sústrediť do jediného bodu (pokiaľ vyšli z jediného bodu). Preskúmajme, že čo sa udeje s úzkym zväzkom bieleho svetla, ak prejde hranolom. Nech hranol má tvar rovnostranného trojuholníka, teda veľkosť každého uhla je 60. Nech je z flintového skla (sklo s veľkou hustotou), ktorého index lomu pre červené, žlté a modré svetlo je n č =,600, n ž =,605, n m =,626. Nastavme naše pomôcky tak, aby zväzok žltého lúča bežal v hranole rovnobežne so základňou BC hranola (pozri obrázok??). V tomto prípade je uhol lomu žltého svetla patriaci k povrchu AB 30 a uhol dopadu (čo je súčasne uhlom dopadu i bieleho svetla) sa dá vypočítať nasledovne sini = sin i sin 30 0,5 =,605, sin i = 0, 8025, i = Pri tejto voľbe uhla dopadu postupuje žlté svetlo vzhľadom na uhol A úplne symetricky a po pri prechode cez plochu AC sa dostane na vzduch tak, že jeho uhol lomu bude r ž = Červená zložka svetla cez hranol už neprechádza symetricky, preto s touto zložkou už budeme mať trošku viac práce. Jeho uhol dopadu na plochu AB je ešte rovnaký ako u žltého svetla, teda 5322 a uhol lomu v skle sa dá vypočítať nasledovne sin5322 sin r č =,600, sin r č = 0,8025,600, r č = Krátkym výpočtom môžeme zistiť, že uhol dopadu červeného svetla na plochu AC je i č = Uhol lomu pri výstupe na vzduch sa dá tiež vypočítať sin 2954 sin r č =,600 ( n vzduch,sklo = sin r č = 0,4985,600 = 0,7976, r č = n sklo,vzduch ),

10 54 4. Kapitola Úplne rovnako postupujeme aj v prípade modrej zložky svetla a nakoniec dostaneme r m = V tomto prípade biele svetlo bude rozložené na jeho zložky tak, že rozdiel v smere červenej a modrej zložky svetla bude = 233. Každý hranol sa dá využiť k tomu, aby sme ním odchýlili smer lúča a vyvolali tiež disperziu. Mnohé hranoly ale majú úplne odlišnú úlohu, odrážajú svetlo zrovna tak, ako zrkadlo. To, že ako je to možné, ukazuje obrázok??a. Existuje veľmi veľa druhov optického skla a ich index lomu (pre žlté svetlo) spadá medzi hodnoty,45 a,92. Zoberme také sklo, ktorého index lomu vzhľadom na vzduch je napríklad,65. Ak svetelný lúč vystupuje z tohoto skla do vzduchu, potom index lomu je /, 65 = 0, 606 a smer lomeného lúča môžeme určiť podľa vzťahu sini sin r = 0,606, veľmi ľahko. Vždy, keď keď svetelný lúč dorazí k rozhraniu prostredí, časť svetla sa odrazí z rozhrania a časť prejde do druhého prostredia, pričom zmení svoj smer. Presne to sa deje aj s lúčom na obrázku. Správanie sa lúča 2 je podobný, ale 3 lúč sa chová neobvykle. Ak jeho uhol dopadu je v prípade nášho skla 37,3, potom sínus uhla lomu je a tak sin r = sin37,3 0,606 r = 90. = 0,606 0,606 =, Ak nejaký lúč (nazývame aj kritickým lúčom) dopadá na rozhranie skla a vzduchu pod takýmto kritickým alebo hraničným uhlom, potom sa láme tak, že vôbec neprejde do druhého prostredia, do vzduchu. Ak v našom danom prípade chceme vypočítať uhol lomu pre väčší uhol dopadu, než je 37,3, pre sin r dostaneme hodnotu, ktorá je väčšia ako, čo nie je možné. Príroda tu naráža na nemožné (alebo ako neskôr uvidíme na skoro nemožné) a zväzok sa odráža naspäť do skla, tak ako to ukazuje lúč 4 na obrázku??b. Takýto úplný odraz môže nastať len vtedy, pokiaľ svetelný lúč prechádza z prostredia s väčším indexom lomu do prostredia s menším indexom lomu. Všetky lúče, ktoré dopadajú na rozhranie pod väčším uhlom, než je kritický, sa odrazia úplne. Hodnotu kritického alebo hraničného uhla môžeme vypočítať zo vzťahu sin i h = n.

11 Biofyzika a radiológia 55 Na obrázku??b je znázornený 45 -vý hranol a uhol dopadu lúča je 45, čo je väčšie ako hraničný uhol, preto zväzok sa úplne odrazí, tj. odrazí sa sto percent lúča. Účinnosť odrazu svetla sa dá zvyšovať postriebrením, alebo nanesením hliníkovej vrstvy povrchu hranola; táto vrstva nevybledne, ani nezoxiduje a preto stopercentná schopnosť odraziť svetlo hranola sa udrží po veľmi dlhú dobu. Podobne k vypuklým (konvexným) a dutým (konkávnym) zrkadlám existujú aj vypuklé šošovky (spojky) a duté šošovky (rozptylky), ktoré mô- 4-6 Šošovky žeme vidieť na obrázku??. Spojky sú v strede hrubšie ako na kraji; lúče rovnobežné s optickou osou pozbierajú do skutočného, reálneho ohniska. Stred rozptyliek je tenší a ich okraj hrubší; rovnobežne lúče rozptýlia tak, akoby vychádzali z virtuálneho ohniska. Zrovna tak, ako v prípade zrkadiel, vzdialenosť medzi šošovkou a ohniskom sa nazýva ohnisková vzdialenosť; v prípade spojky je jej hodnota kladná, v prípade rozptylky záporná. Jednoduchým výpočtom pomocou podobných trojuholníkov (k čomu použijeme obrázok??b) sa dá ukázať, že medzi predmetovou vzdialenosťou t, obrazovou vzdialenosťou k a ohniskovou vzdialenosťou f platí rovnaký vzťah, ako v prípade zrkadiel, teda t + k = f. Aby sme sa o používaní kladných a záporných hodnôt (znamienková dohoda) sa dohodli aj tu na niečom, všimnime si obrázok??b, kde všetky vzdialenosti sú kladné. Svetlo aj tu postupuje zľava doprava; vzdialenosť predmetu, ktorý sa nachádza naľavo od šošovky je kladná a vzdialenosť obrazu, ktorý je od šošovky napravo je tiež kladná a nakoľko sa jedná o spojku, aj ohnisková vzdialenosť je kladná.. Na obrázku??d môžeme vidieť zobrazenie spojky. Tu je hodnota f záporná, ale hodnota t je kladná, lebo predmet sa nachádza naľavo od šošovky. Virtuálny obraz sa nachádza tiež naľavo od šošovky, preto hodnota k je záporná. Zobrazenie pomocou šošoviek je zrovna také jednoduché ako zobrazenie pomocou zrkadiel. Z množstva lúčov vyrážajúcich z T nakreslíme dva (pozri obrázok??b): jeden z nich beží rovnobežne s optickou osou, tento sa láme do ohniska; druhý lúč nech prechádza stredom šošovky. V tomto bode môžeme považovať plochy vymedzujúce šošovku za rovnobežné a nakoľko v tomto základnom výklade sa zaoberáme len s tenkými šošovkami, môžeme predpokladať, že lúč prechádzajúci stredom šošovky nezmení svoj smer. K pozorovateľovi, ktorý je napravo od šošovky prichádzajú lúče tak, akoby vychádzali z priesečníku lúčov, teda z reálneho (skutočného) obrazu K. Pomer rozmerov obrazu a predmetu nazývame zväčšením. Z podobných trojuhol-

12 56 4. Kapitola níkov obrázku??b vyplýva, že zväčšenie je N = k t. Ako príklad si pozriem veľmi jednoduchý fotoaparát, ktorý má šošovku s ohniskovou vzdialenosťou 50 mm. Ak s tým fotoaparátom fotíme predmety, ktoré sú dostatočne ďaleko, lúče vychádzajúce z jednotlivých bodov predmetu prichádzajú do šošovky takmer rovnobežne s optickou osou a šošovka ich pozbiera do bodu na filme nachádzajúceho sa vo vzdialenosti 50 mm za šošovkou. Pokiaľ však predmet bude len vo vzdialenosti meter (000 mm) od šošovky, potom obrazová vzdialenosť bude o niečo väčšia. Dosaďme číselné hodnoty do vzťahu takže t + k = f k k = 50 = = 0,020 0,00 = 0,09, a takto k = 52,6 mm. Pokiaľ chceme, aby obraz predmetu sa vytvoril presne na filme, potom vzdialenosť medzi šošovkou a filmom musíme zväčšiť. V ďalšom príklade predpokladajme, že 20 cm od steny svieti žiarovka a máme spojku s ohniskovou vzdialenosťou 24 cm. Kam máme umiestniť šošovku, aby sa na stene vytvoril ostrí obraz žiarovky? Náčrtok úlohy je vidieť na obrázku?? Zrejme platí, že k = 20 t (alebo t = 20 k; výsledok bude samozrejme v oboch prípadoch rovnaké). Potom t + 20 t 20 t(20 t) = 24, = 24, t 2 20t = 0,

13 Biofyzika a radiológia 57 z čoho t = 20 ± t = 20 ± ± 53,7 t = 2 t = 86,8 cm alebo 33,2 cm. Dobre vidíme, že úloha má dve riešenia, šošovku môžeme umiestniť do dvoch polôh: v jednom prípade bude veľkosť obrazu väčšia, v druhom menšia ako veľkosť predmetu. Úloha, ktorého náčrtok vidieť na obrázku??a sa zdá byť na prvý pohľad dosť zložitou: Kam zobrazí táto sústava troch šošoviek predmet T. a aké je zväčšenie sústavy? Táto úloha, podobne mnohým iným úlohám vo fyzike, je sériou jednoduchých otázok. Zaoberajme sa naraz len s jednou šošovkou. Zo vzťahu + =, t k f ktorá popisuje zobrazenie prvej šošovky (pozri obrázok??b), plynie a 24 + k = 6 k = +8. Obraz vytvorený prvou šošovkou sústavy je predmetom pre druhú šošovku, nezávisle od toho, že je tento obraz skutočný, alebo neskutočný, nezávisle od toho, či druhá šošovka bráni lúčom vo vytvorení obrazu alebo nie. Zo vzdialenostných údajov sa dá ľahko zistiť, že K sa nachádza od druhej šošovky vo vzdialenosti 4 jednotiek (??c) a pre šošovku predstavuje virtuálny predmet (V T 2 ). Nakoľko V T 2 sa nachádza od 2. šošovky napravo, predmetová vzdialenosť t 2 je záporná a takto 4 + k 2 = 6, teda k 2 = +2. Teraz tento obraz K 2 vytvorený 2. šošovkou bude predmetom pre šošovku 3 (obrázok??d). pre tretiu šošovku píšeme 6 + k 3 = +2, teda k 3 = Sústavy šošoviek

14 58 4. Kapitola Konečný obraz sa teda nachádza na 4 jednotky napravo od tretej šošovky. Celkové zväčšenie dostaneme tak, že zväčšenie jednotlivých šošoviek medzi sebou násobím N = k t k2 t 2 k3 t 3 = = 2 3. Konečný obraz teda má 2/3 výšky predmetu a z konštrukcie je zrejmé, že obraz je skutočný a obrátený. 4-8 Mikroskop Každodenným nástrojom je zväčšovacie sklo. Ak nejaký predmet približujeme k svojmu oku, vidíme ho čím ďalej tým väčším; pokiaľ by toto zväčšovanie by nemalo svoje hranice, nepotrebovali by sme zväčšovacie sklo. Zaostrovanie oka je však obmedzené skutočnosťou, že na predmety, ktoré držíme bližšie, než 25 cm nedokážeme trvalo pozerať pohodlne (táto vzdialenosť je tzv. vzdialenosť ostrého videnia). Obyčajné zväčšovacie sklo môžeme chápať aj ako prostriedok, ktorý posilňuje naše očné šošovky, a tak môžeme predmet viac priblížiť predmet k nášmu oku a pritom stále budeme mať jasný obraz vytvorený na zadnej strane oka, na retine citlivej na svetlo. Na obrázku?? sme ukázali použitie jednoduchého zväčšovacieho skla, alebo lupy. Pokiaľ predmet umiestníme medzi lupou a jeho ohniskovou vzdialenosťou, vo vzdialenosti 25 cm, teda vo vzdialenosti ostrého videnia vznikne virtuálny obraz. Zväčšenie je pomer rozmerov obrazu a predmetu. Aby sme mohli stanoviť zväčšenie, musíme poznať ohniskovú vzdialenosť f lupy a k je vzdialenosť ostrého videnia, tj. k = 25 cm. Vtedy t 25 t = f, = f + 25 = 25 + f 25f N = k t = k t =, 25(25 + f) 25f = 25 cm f cm +. Ak rozmeru udáme v iných jednotkách, aj vtedy bude platiť tento vzťah, napr. 0,25 metra N = +. f metrov Od jednoduchej lupy je podstatne účinnejší prístroj zložená lupa, prístroj známy skôr pod názvom mikroskop. Na obrázku?? sme nakreslili trojicu lúčov vychádzajúcich z oboch koncov malého predmetu, ktoré prejdú dvojicou šošoviek mikroskopu a nakoniec sa dostanú do oka. Prvá šošovka (väčšinou s malou ohniskovou vzdialenosťou) sa nazývaná objektív alebo predmetová šošovka a zobrazí obraz predmetu do blízkosti druhej šošovky, ktorá

15 Biofyzika a radiológia 59 sa nazýva okulár alebo očná šošovka. Pomocou okuláru sa pozeráme ako s obyčajnou lupou a vidíme obraz predmetu ešte väčším. ďalekohľadďalekohľad pracuje na tom istom princípe, ako mikroskop. 4-9 Objektív vytvorí reálny obraz o nejakom veľmi vzdialenom predmete a na tento predmet hľadíme okulárom. Aby sme zamedzili príliš veľkému počtu zbiehavých lúčov, na niektorých z obrázkov?? sme nakreslili len lúče, ktoré prechádzajú stredom šošoviek, bez zmeny smeru. V prípade ďalekohľadov nemá zmysel porovnávať rozmer predmetu a obrazu; namiesto toho používame tzv. uhlové zväčšenie. Nasmerujme napríklad hvezdársky ďalekohľad obrázku??a na nejakú hviezdu; na obrázku sme označili päťcípou hviezdou. Ak sa na oblohu pozrieme vlastnými očami, bez ďalekohľadu napríklad o uhol α nad našu hviezdu môžeme vidieť aj inú hviezdu, ktorú sme na obrázku označili malým čiernym krúžkom. Objektív vytvára v prípade oboch hviezd reálny obraz. Vzdialenosť dvojice obrazov je d (tým rozumieme to, že ak do ohniska objektívu umiestníme film, vzdialenosť medzi obrazmi hviezd na filme bude d). Hľadiac na obraz cez okulár, bude rozostup medzi hviezdami vyjadrený pomocou uhla rovný β. Uhlové zväčšenie definujeme ako pomer β/α. K jeho výpočtu udávame hodnotu β a α v radiánoch. Nakoľko približne platí, že α = d a β = d F obj F ok potom β α = F obj F ok. Hvezdársky ďalekohľad má jednu veľkú nevýhodu, o ktorou sa ale hvezdári nestarajú: druhá hviezda, ktorú sa v skutočnosti nachádza nad prvou hviezdou, ďalekohľade vidíme pod druhou hviezdou, inými slovami je obrázok otočený hlavou dole. V pozemských ďalekohľadoch, ktorými sledujeme predmety a udalosti je obrátený obraz veľmi rušivý, preto sa používa aj tretia šošovka, ktorá obracia obraz ešte raz, a zabezpečí, aby sme videli zväčšene, ale normálne (obrázok??b). Nepríjemné je len to, že ďalekohľad musí byť štyrikrát taký dlhý, ako ohnisková vzdialenosť šošovky, ktorá obracia obraz do normálnej polohy. Binokulár je v podstate dvojica ďalekohľadov namontovaných vedľa seba. Aby sa nepríjemná dĺžka a váha zmenšila, obracanie obrazu sa robí pomocou hranolov: svetelný lúč sa odráža na plochách 45 -ho hranola štyrikrát (pozri obrázok??c). Už sme videli, že použitím svetla rôznej farby, je aj index lomu skla iný a iný. Odlišné správanie sa farieb umožnili fyzikom analýzu svetla a tým 4-0 Hranolové spektroskopy

16 60 4. Kapitola aj analýzu štruktúry atómov, vlastnosti a zloženia hviezd o čom budeme hovoriť aj neskôr. Prostriedkom analýzy svetla je spektroskop (pozri obrázok??). V hornej časti obrázku (obrázok??a) vidíme bezhranolový spektroskop. Svetlo zdroja, ktorý chceme analyzovať, dopadne na úzku štrbinu; štrbina sa nachádza v ohnisku tav. kolimátorovej šošovky (C). Lúče zo štrbiny sa teda lámu na tejto šošovke do rovnobežných zväzkov a dopadajú na objektív, ktorý premietne obraz štrbiny do ohniska. Tento obraz zrovna tak ako v ďalekohľade skúmame okulárom. Ďalekohľad sa dá otáčať na podstavci a miera otočenia sa dá merať na uhlovej stupnici. K presnému nastaveniu slúži zameriavací kríž zabudovaný do ohniska objektívu. Presné nastavenie predstavuje otočenie ďalekohľadu, pri ktorom stredová čiara zameriavacieho kríža splýva s obrazom štrbiny. Ak medzi kolimátor a ďalekohľad umiestníme hranol (obrázok??b) obvykle rovnostranný, tj. každý jeho uhol je 60 potom svetelný lúč sa vychýli a ďalekohľad musíme na podstavci natočiť, aby obraz štrbiny a stredová čiara zameriavacieho kríža znova splynuli. Pokiaľ je svetlo monochromatické, potom vidíme v ďalekohľade jediný obraz štrbiny. Pokiaľ však (ako aj na obrázku??c) sa skladá svetlo z červeného a fialového svetla, potom po prechode hranolom sa fialové svetlo vychýli viac, než červené a dostaneme dva obrazy štrbiny. Aby obrázok nebol príliš komplikovaný, označili sme len polohy zameriavacieho kríža: pre každú farbu je poloha iná. Svetlo prichádzajúce z bežnej žiarovky obsahuje všetky farby, preto skúmaním jeho svetla vidíme v spektroskopu nespočetne veľa štrbín vedľa seba (každý inej farby). Výsledkom je teda spojité spektrum: naše oko vidí všetky druhy farieb, od najhlbšej červenej az po krajnú fialovú. Zo slnečného svetla niektoré farby chýbajú, preto ak do spektroskopu privedieme prirodzené slnečné svetlo, spojité spektrum je prerušované tmavými čiarami; každá tmavá čiara je jeden chýbajúci obraz štrbiny a príslušné svetlo chýba preto, lebo ho pohltila vlastná atmosféra Slnka. Takéto spektrum nazývame absorpčným spektrom. Svetlo neónky však dá v spektroskope rad širokých farebných čiar, väčšina z nich je červená a oranžová. Poukazuje to na to, že neónový plyn vyžaruje svetlo len niektorých farieb; každá farba zobrazí štrbinu ako farebný pás. Takéto spektrum nazývame čiarovým spektrom. V neskoršej kapitole uvidíme, že aký je rozdiel medzi týmito spektrami a ich zdrojmi. Autori tu mali na mysli skutočne neónku naplnenú neónovým plynom.

17 Biofyzika a radiológia 6 Úlohy 4.. Jeden človek chce na stenu zavesiť zrkadlo, v ktorom sa bude vidieť celý. Aké dlhé musí byť toto zrkadlo? (Predpokladajme, že náš človek je 80 cm vysoký a oči má vo výške 70 cm) (4-)

18 62 4. Kapitola

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

Ma-Go-20-T List 1. Obsah trojuholníka. RNDr. Marián Macko

Ma-Go-20-T List 1. Obsah trojuholníka. RNDr. Marián Macko Ma-Go-0-T List 1 Obsah trojuholníka RNDr Marián Macko U: Čo potrebuješ poznať, aby si mohol vypočítať obsah trojuholníka? Ž: Potrebujem poznať jednu stranu a výšku na túto stranu, lebo základný vzorec

Διαβάστε περισσότερα

Vzorce pre polovičný argument

Vzorce pre polovičný argument Ma-Go-15-T List 1 Vzorce pre polovičný argument RNDr Marián Macko U: Vedel by si vypočítať hodnotu funkcie sínus pre argument rovný číslu π 8? Ž: Viem, že hodnota funkcie sínus pre číslo π 4 je Hodnota

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Zobrazovanie odrazom a lomom

2.6 Zobrazovanie odrazom a lomom ktorých vzniká aspoň čiastočne polarizované svetlo. Toto odrazené svetlo spôsobuje nepríjemné reflexy, ktoré sú pri fotografovaní nežiaduce. Vhodne orientovaným analyzátorom môžeme tieto reflexy odstrániť.

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

UFOčebnica: Svetlo a optika

UFOčebnica: Svetlo a optika Fyzikálny korešpondenčný seminár 8. ročník, 2014/2015 UFO, KTFDF FMFI UK, Mlynská dolina, 842 48 Bratislava e-mail: otazky@fks.sk web: http://ufo.fks.sk UFOčebnica: Svetlo a optika Milí riešitelia! V nasledujúcom

Διαβάστε περισσότερα

Bezpečnosť práce v laboratóriu biológie

Bezpečnosť práce v laboratóriu biológie Bezpečnosť práce v laboratóriu biológie Riziká: chemické (slabé roztoky kyselín a lúhov) biologické rastlinné pletivá/ infikované umyť si ruky el. prúd len obsluha zariadení, nie ich oprava Ochrana: 1.

Διαβάστε περισσότερα

17 Optika. 1 princípom: Každý bod vlnoplochy predstavuje nový zdroj. 1 CHRISTIAN HUYGENS ( ) holandský matematik a fyzik, zakladateľ vlnovej

17 Optika. 1 princípom: Každý bod vlnoplochy predstavuje nový zdroj. 1 CHRISTIAN HUYGENS ( ) holandský matematik a fyzik, zakladateľ vlnovej 259 17 Optika V tejto časti sa budeme zaoberať šírením svetla v optických sústavách. Svetlo je elektromagnetické žiarenie, ktorého spektrum zahrňuje veľmi širokú oblasť vlnových dĺžok od γ-žiarenia až

Διαβάστε περισσότερα

23. Zhodné zobrazenia

23. Zhodné zobrazenia 23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:

Διαβάστε περισσότερα

ABSORPCIA SVETLA I. SKÚMANIE VLASTNOSTÍ SVETLA. Dátum:

ABSORPCIA SVETLA I. SKÚMANIE VLASTNOSTÍ SVETLA. Dátum: ABSORPCIA SVETLA I. SKÚMANIE VLASTNOSTÍ SVETLA 1. Priraď k optickým prostrediam správnu charakteristiku tak, že ich spojíš čiarami. Ku každému druhu doplň konkrétny príklad. PRIEHĽADNÉ... PRIESVITNÉ...

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Objem a povrch rotačného kužeľa

Objem a povrch rotačného kužeľa Ma-Te-04-T List 1 Objem a povrch rotačného kužeľa RNDr. Marián Macko Ž: Prečo má kužeľ prívlastok rotačný? U: Vysvetľuje podstatu vzniku tohto telesa. Rotačný kužeľ vznikne rotáciou, čiže otočením, pravouhlého

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah geometrických útvarov

Obvod a obsah geometrických útvarov Obvod a obsah geometrických útvarov 1. Štvorcu ABCD so stranou a je opísaná a vpísaná kružnica. Vypočítajte obsah medzikružia, ktoré tieto kružnice ohraničujú. 2. Základňa rovnoramenného trojuholníka je

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory Pro trial version ZOBRAZOVANIE LOMOM. ŠOŠOVKY AKO ZOBRAZOVACIE SÚSTAVY alebo O spojkách a rozptylkách

PDF created with pdffactory Pro trial version  ZOBRAZOVANIE LOMOM. ŠOŠOVKY AKO ZOBRAZOVACIE SÚSTAVY alebo O spojkách a rozptylkách PedDr. Joze Beňušk jbenusk@nextr.sk ZBRAZVANIE LMM ŠŠVKY AK ZBRAZVACIE SÚSTAVY lebo spojkách rozptlkách ptická sústv -je sústv optických prostredí ich rozhrní, ktorá mení smer chodu svetelných lúčov. Šošovk

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

Zhodné zobrazenia (izometria)

Zhodné zobrazenia (izometria) Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

Zadania 2. kola zimnej časti 2014/2015

Zadania 2. kola zimnej časti 2014/2015 Fyzikálny korešpondenčný seminár 8. ročník, 2014/2015 UFO, KTFDF FMFI UK, Mlynská dolina, 842 48 Bratislava e-mail: otazky@fks.sk web: http://ufo.fks.sk Zadania 2. kola zimnej časti 2014/2015 Termín: 27.

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

Tepelné žiarenie. Kapitola 2. 2.1 Viditeľné svetlo

Tepelné žiarenie. Kapitola 2. 2.1 Viditeľné svetlo Kapitola 2 Tepelné žiarenie V tejto kapitole sa budeme venovať tepelnému žiareniu telies, ktoré sa riadi Planckovým vyžarovacím zákonom. Zdrojom tepelného žiarenia je každé teleso, a v menej komplikovanej

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

Výpočet. sledu skrátenia koľajníc v zloženom oblúku s krajnými prechodnicami a s medziľahlou prechodnicou a. porovnanie

Výpočet. sledu skrátenia koľajníc v zloženom oblúku s krajnými prechodnicami a s medziľahlou prechodnicou a. porovnanie Výpočet sledu skrátenia koľajníc v zloženo oblúku s krajnýi prechodnicai a s edziľahlou prechodnicou a porovnanie výsledkov výpočtového riešenia a grafického riešenia Príloha.4 Výpočet sledu skrátenia

Διαβάστε περισσότερα

Priklady, ktore pohli (mojim) svetom

Priklady, ktore pohli (mojim) svetom Priklady, ktore pohli (mojim) svetom Juro Tekel juraj(dot)tekel(at)gmail(dot)com Poznamky k seminaru o niekolkych najzakladnejsich typoch uloh, ktore je ozaj dobre poznat a vediet riesit. Januar 2006 Pocuvadlo

Διαβάστε περισσότερα

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L

Διαβάστε περισσότερα

Vzorce a definície z fyziky 3. ročník

Vzorce a definície z fyziky 3. ročník 1 VZORCE 1.1 Postupné mechanické vlnenie Rovnica postupného mechanického vlnenia,=2 (1) Fáza postupného mechanického vlnenia 2 (2) Vlnová dĺžka postupného mechanického vlnenia λ =.= (3) 1.2 Stojaté vlnenie

Διαβάστε περισσότερα

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh 16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)

Διαβάστε περισσότερα

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy obvodného kola 34. ročník, školský rok 2012/2013 KATEGÓRIA P3

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy obvodného kola 34. ročník, školský rok 2012/2013 KATEGÓRIA P3 KATEGÓRIA P3 1. Za dva koláčiky by sme zaplatili 32 centov. Koľko centov zaplatí Peter, ak kúpi po jednom koláčiku pre seba a pre troch súrodencov? 2. Napíšte slovom, aké znamienko matematickej operácie

Διαβάστε περισσότερα

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv

Διαβάστε περισσότερα

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore. Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.

Διαβάστε περισσότερα

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová

Διαβάστε περισσότερα

Súradnicová sústava (karteziánska)

Súradnicová sústava (karteziánska) Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO

PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE Fakulta špeciálneho inžinierstva Doc. Ing. Jozef KOVAČIK, CSc. Ing. Martin BENIAČ, PhD. PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO Druhé doplnené a upravené vydanie Určené

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

Pevné ložiská. Voľné ložiská

Pevné ložiská. Voľné ložiská SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu

Διαβάστε περισσότερα

Jednoducho o matematike

Jednoducho o matematike Jednoducho o matematike Prehľad matematiky zo základnej školy Spracoval: Vladimír Rýs (voľne prístupná práca o matematike základnej školy) 1 1. Úvod Prečo vlastne chcem napísať tento prehľad? Dôvod je

Διαβάστε περισσότερα

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =. Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Διαβάστε περισσότερα

Zadání úloh. Úloha 4.1 Sirky. Úloha 4.2 Zvuk. (4b) (4b) Studentský matematicko-fyzikální časopis ročník IX číslo 4. Termín odeslání 24. 3.

Zadání úloh. Úloha 4.1 Sirky. Úloha 4.2 Zvuk. (4b) (4b) Studentský matematicko-fyzikální časopis ročník IX číslo 4. Termín odeslání 24. 3. Studentský matematicko-fyzikální časopis ročník IX číslo 4 Termín odeslání 24. 3. 2003 Milí kamarádi, jetunovéčíslonašehočasopisuasnímiprvníinformaceojarnímsoustředění.budesekonat3. 11.května2003vCelnémuTěchonínavokreseÚstí

Διαβάστε περισσότερα

Obr. 28 Pohľad na ceruzku ponorenú vo vode. Urob pokus s pozorovaním predmetu v akváriu a pokús sa o vysvetlenie pozorovaného javu.

Obr. 28 Pohľad na ceruzku ponorenú vo vode. Urob pokus s pozorovaním predmetu v akváriu a pokús sa o vysvetlenie pozorovaného javu. 1.6 Lom svetla Urob jednoduché pozorovanie: do skleného pohára s vodou vlož lyžicu alebo ceruzku. Ak sa pozeráme zboku alebo zhora, javí sa predmet vo vode ako zlomený (obr. 28). Obr. 28 Pohľad na ceruzku

Διαβάστε περισσότερα

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda

Διαβάστε περισσότερα

Uhol, pod ktorým sa lúč láme závisí len od relatívnych indexov lomu dvojice prostredí a od uhla dopadu podľa Snellovho zákona. n =

Uhol, pod ktorým sa lúč láme závisí len od relatívnych indexov lomu dvojice prostredí a od uhla dopadu podľa Snellovho zákona. n = Lom svetla. Lom svetla hraolom, optickým kliom a plaparalelou doštičkou Záko lomu Na rozhraí dvoch prostredí sa svetelý lúč láme tak, aby prešiel dráhu z bodu A do bodu B za ajkratší možý čas. Teda v opticky

Διαβάστε περισσότερα

Planárne a rovinné grafy

Planárne a rovinné grafy Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia

Διαβάστε περισσότερα

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE

ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE bulletin občianskeho združenia 2 /6.11.2006/ ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE akvá ri um pr pree kre vet y, raky a krab y akva foto gr afi e Ji Jiřříí Plí š

Διαβάστε περισσότερα

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3 ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.

ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies. ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,

Διαβάστε περισσότερα

ZHODNÉ ZOBRAZENIA A GEOGEBRA

ZHODNÉ ZOBRAZENIA A GEOGEBRA ODBORNÁ KONFERENCIA PRIMAS: OBJAVNÉ VYUČOVANIE MATEMATIKY A PRÍRODOVEDNÝCH PREDMETOV ZHODNÉ ZOBRAZENIA A GEOGEBRA V KONŠTRUKČNÝCH ÚLOHÁCH KARIN FUSKOVÁ ABSTRAKT Práca je zameraná na riešenie konštrukčných

Διαβάστε περισσότερα

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a ) Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým

Διαβάστε περισσότερα

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Príklady na precvičovanie Fourierove rady

Príklady na precvičovanie Fourierove rady Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

Vlnová optika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky III pre EF Dušan PUDIŠ (2010)

Vlnová optika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky III pre EF Dušan PUDIŠ (2010) Vlnová optika Fyzikálna podstata svetla. Svetlo ako elektromagnetické vlnenie. Základné zákony geometrickej optiky. Inde lomu. Fermatov princíp. Snellov zákon. Ohyb svetla na jednoduchej štrbine a na mriežke.

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

Zobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.

Zobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie. Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny

Διαβάστε περισσότερα

Geometrická a fyzikálna optika

Geometrická a fyzikálna optika Geometrická a fyzikála optika Fyzikála podstata svetla. Svetlo ako elektromagetické vleie. Základé zákoy geometrickej optiky. Idex lomu. Fermatov pricíp. Sellov záko. Ohyb svetla a jedoduchej štrbie a

Διαβάστε περισσότερα

Výpočet. grafický návrh

Výpočet. grafický návrh Výočet aaetov a afcký návh ostuu vtýčena odobných bodov echodníc a kužncových obúkov Píoha. Výočet aaetov a afcký návh ostuu vtýčena... Vtýčene kajnej echodnce č. Vstuné údaje: = 00 ; = 8 ; o = 8 S ohľado

Διαβάστε περισσότερα

Reálna funkcia reálnej premennej

Reálna funkcia reálnej premennej (ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od

Διαβάστε περισσότερα

Zateplite fasádu! Zabezpečte, aby Vám neuniklo teplo cez fasádu

Zateplite fasádu! Zabezpečte, aby Vám neuniklo teplo cez fasádu Zateplite fasádu! Zabezpečte, aby Vám neuniklo teplo cez fasádu Austrotherm GrPS 70 F Austrotherm GrPS 70 F Reflex Austrotherm Resolution Fasáda Austrotherm XPS TOP P Austrotherm XPS Premium 30 SF Austrotherm

Διαβάστε περισσότερα

ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol

ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov

Διαβάστε περισσότερα

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet

Διαβάστε περισσότερα

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom

Διαβάστε περισσότερα

7 Mechanika tuhého telesa

7 Mechanika tuhého telesa 105 7 Mechanika tuhého telesa V tejto kapitole sú popísané základy dynamiky sústavy hmotných bodov a tuhého telesa. Zovšeobecnia sa vzorce pre pohyb, rýchlosť a zrýchlenie takýchto sústav pomocou ťažiska.

Διαβάστε περισσότερα

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.

Διαβάστε περισσότερα

ÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI

ÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI ÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI 1. Zadanie: Určiť odchýlku kolmosti a priamosti meracej prizmy prípadne vzorovej súčiastky. 2. Cieľ merania: Naučiť sa merať na špecializovaných

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n

Διαβάστε περισσότερα

Semetrálna práca. Lentikulárne sklá a ích využitie v 3D zobrazovaní.

Semetrálna práca. Lentikulárne sklá a ích využitie v 3D zobrazovaní. Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra informatiky a výpočetní techniky Semetrálna práca Lentikulárne sklá a ích využitie v 3D zobrazovaní. Plzeň, 2011 Peter Citriak Obsah 1 Úvod

Διαβάστε περισσότερα

G. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III

G. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je

Διαβάστε περισσότερα

Ján Buša Štefan Schrötter

Ján Buša Štefan Schrötter Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako

Διαβάστε περισσότερα

Laboratórna úloha č. 23. Meranie horizontálnej zložky magnetického poľa Zeme tangentovou buzolou

Laboratórna úloha č. 23. Meranie horizontálnej zložky magnetického poľa Zeme tangentovou buzolou Laboratórna úloha č. 23 Meranie horizontálnej zložky magnetického poľa Zeme tangentovou buzolou Úloha: Experimentálne určiť lokálnu veľkosť horizontálnej zložky vektora magnetickej indukcie a vektora intenzity

Διαβάστε περισσότερα

4. Podivné správanie sa fotónov

4. Podivné správanie sa fotónov 4 Podivné správanie sa fotónov 141 4. Podivné správanie sa fotónov 4.1 Dvojštrbinový eperiment Na začiatku 3. kapitol sme hovorili o rozdieloch medzi časticami a vlnami prechádzajúcimi tienidlom s dvomi

Διαβάστε περισσότερα

Kruh a kružnica interaktívne

Kruh a kružnica interaktívne Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Mgr. Róbert Truchan Kruh a kružnica interaktívne Osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej praxe Prešov 2013 Vydavateľ:

Διαβάστε περισσότερα

Náuka o elektrine v 7.triede

Náuka o elektrine v 7.triede Náuka o elektrine v 7.triede Gilbertom otvorené polia bádania v oblasti elektriny prinášali v 17. a 18.storočí nepretržite objavy, ako elektrizačný stroj, leidenská fľaša, elektrická zvonkohra, bazový

Διαβάστε περισσότερα

Modul pružnosti betónu

Modul pružnosti betónu f cm tan α = E cm 0,4f cm ε cl E = σ ε ε cul Modul pružnosti betónu α Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Modul pružnosti betónu Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Trnava 2008 Obsah 1 Úvod...7 2 Deformácie

Διαβάστε περισσότερα

STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY

STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =

Διαβάστε περισσότερα

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα