Copyright, Οκτώβριος 2011, Δ. Καραγιαννάκης, Eκδόσεις Zήτη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Copyright, Οκτώβριος 2011, Δ. Καραγιαννάκης, Eκδόσεις Zήτη"

Transcript

1

2 2 Περιεχόμενα ISBN Copyright, Οκτώβριος 2011, Δ. Καραγιαννάκης, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N.2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 18 ο χλμ Θεσσαλονίκης - Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: Fax BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fax: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια , Aθήνα Tηλ.-Fax: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 Ανάλυση Σήματος 5 Αντί Προλόγου Θέλω να καταγράψω εδώ μία ακαδημαϊκή εξομολόγηση, όχι όμως πολύ de profundis, προς διδάσκοντες και φοιτητές ή και προς τους απλά επαγγελματίες «πληροφορικάριους» ή «ηλεκτρονικούς» που έχουν επιστημονικές ανησυχίες (υπάρχουν και αυτοί και είναι πολλοί, περισσότεροι από όσους φανταζόμαστε!): Κάθε γραμμή του παρόντος βιβλίου (ή συγγράμματος ή εγχειριδίου ή όπως αλλιώς θα το βαπτίσει ο αναγνώστης) ήταν για μένα βάδισμα ισορροπίας σε τεντωμένο σκοινί. Από τη μία μεριά οι τεχνικές και εκπαιδευτικές ανάγκες της Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος (ή ΨΕΣ όπως επεκράτησε πλέον ο όρος αν και προσωπικά θα τον ήθελα με την λέξη «Ανάλυση» στη θέση τoυ «Επεξεργασία»). Από την άλλη, η ανάγκη να αναδειχθούν οι πανέμορφες μαθηματικές ιδέες που σε θαυμαστή ώσμωση με τα όπλα της τεχνολογικής εξέλιξης οδηγούν στα εντυπωσιακά αποτελέσματα και εφαρμογές της ΨΕΣ σχεδόν σε όλους τους θετικούς (και όχι μόνο!) επιστημονικούς κλάδους. Ελπίζω να πέτυχα να περάσω απέναντι χωρίς πτώση! Δεν μπορώ όμως να αποφύγω τον πειρασμό να παραθέσω ως επίμετρο μία φράση του μεγάλου καλλιτέχνη και μηχανικού Leonardo da Vinci η μετάφραση (από τα αγγλικά!) της οποίας βαραίνει εξ ολοκλήρου εμένα: Όποιος αντιπαθεί την υψηλή σοφία των μαθηματικών τρέφεται με ψευδαισθήσεις. Ηράκλειο Κρήτης, Αύγουστος 2011 μ.χ. Δημήτρης Καραγιαννάκης

4 Ανάλυση Σήματος 7 Περιεχόμενα Εισαγωγή... 9 Κεφ. 0: Σύμβολα, ορολογία, θεμελιώδεις έννοιες και τύποι 0.1. Βασικά στοιχεία από τη θεωρία συνόλων Βασικά στοιχεία από τα σύμβολα του Απειροστικού Λογισμού Βασικές συναρτήσεις και χρήσιμοι τριγωνομετρικοί τύποι Κεφ. 1: Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 1.1. Εισαγωγικές έννοιες Ασκήσεις Διανυσματικοί χώροι και εσωτερικό γινόμενο Ασκήσεις Η έννοια της στάθμης Ασκήσεις Ορθογώνια και ορθοκανονικά Συστήματα Ασκήσεις Ορθογώνια προβολή και προσέγγιση συνάρτησης Ασκήσεις Μη πεπερασμένα ορθοκανονικά συστήματα Ασκήσεις Κεφ. 2: Ο Μετασχηματισμός Fourier και η Ψηφιακή Ανάλυση Σήματος 1.1. Η μαθηματική προσέγγιση της έννοιας του σήματος με έμφαση στο ψηφιακό σήμα Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Ο Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) Ο Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (FFT) Ασκήσεις 2.2 & Ο Συνεχής Μετασχηματισμός Fourier (FT) Ασκήσεις

5 8 Περιεχόμενα 2.5. Η συνέλιξη Ασκήσεις Η κατασκευή Χαμηλοπερατών Φίλτρων Ασκήσεις Το Θεώρημα Δειγματοληψίας του Shannon Ασκήσεις Kεφ. 3: Υπολογισμοί και Μετρήσεις για το Φάσμα Ισχύος. Η συνάρτηση παραθύρου 3.1. Βασικοί υπολογισμοί της ανάλυσης σήματος Ασκήσεις Η χρήση του FFT και του παραθύρου για την εκτέλεση υπολογιστικών πράξεων σε σχέση με το φάσμα του σήματος Ασκήσεις Κεφ. 4: Η δυναμική ανάλυση του ψηφιακού σήματος 4.1. Χρόνος, συχνότητα και modal domain ηλεκτρικού σήματος Τα εργαλεία για την ανάλυση του σήματος στα πεδία της Ασκήσεις 4 ου κεφαλαίου Παράρτημα 4 ου Κεφαλαίου Χρήση του Mathematica Παράρτημα Α Οι Σειρές Fourier Παράρτημα Β Ο Μετασχηματισμός Laplace Παράρτημα Γ Κυματίδια και Ανάλυση Σήματος. (Από τον Fourier στον Haar, στον Meyer) Ειδική Βιβλιογραφία Γενική Βιβλιογραφία Ευρετήριο Όρων

6 Ανάλυση Σήματος 9 Εισαγωγή Παρουσιάζοντας ένα βιβλίο εκπαιδευτικού ή/και επιστημονικού περιεχομένου, ο συγγραφέας πρέπει να είναι προσεκτικός αλλά και ειλικρινής με τον αναγνώστη που θα το ανοίξει για πρώτη φορά. Υπ αυτή την έννοια, ο συγγραφέας πρέπει να έχει τουλάχιστον δύο στόχους, που όμως εμφανίζουν πάντα και μία σχετική δυσκολία: Ο πρώτος στόχος είναι να μην κουράσει ή, ακόμη χειρότερα, να μην μπερδέψει μακρηγορώντας αυτούς στους οποίους απευθύνεται. Ο δεύτερος είναι να μην υποσχεθεί περισσότερα από όσα μπορεί! Δεν πρόκειται ως εκ τούτου εδώ να βρείτε μια εισαγωγή υπέρ του επιστημονικού αντικειμένου που είναι ο πυρήνας του βιβλίου, γιατί αυτό θα γίνει στις εισαγωγικές επισημάνσεις του Κεφαλαίου 2, όταν θα έχει ωριμάσει το διάβασμά σας. Ας δούμε λοιπόν τώρα πώς θα υπηρετηθούν καλύτερα οι δύο αυτοί στόχοι: Κατ αρχάς ας διευκρινίσουμε σε ποιους απευθύνεται το ανά χείρας βιβλίο. Σημειώστε ότι ο συγγραφέας επιμένει να το αποκαλεί έτσι δείτε και τη σχετική αναφορά στον πρόλογο παρά τη «λογοτεχνική διατίμηση» που ο ίδιος επιφέρει έναντι όρων όπως σύγγραμμα, πόνημα, εγχειρίδιο κ.λπ. (παρόλο που δεν θα τον «χάλαγε» και ο όρος βοήθημα). Απευθύνεται λοιπόν σίγουρα σε όσους παρακολουθούν μαθήματα σε επίπεδο τριτοβάθμιας εκπαίδευσης, όπου εξ ολοκλήρου ή και εν μέρει πρέπει να αποκτήσουν γνώσεις πάνω στην Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος (ΨΕΣ). Αυτό αναγκαστικά απαιτεί ένα σχετικά καλό υπόβαθρο μαθηματικών γνώσεων, τουλάχιστον σε επίπεδο Απειροστικού Λογισμού Ι και Γραμμικής Άλγεβρας Ι. Βέβαια ο συγγραφέας, έχοντας πλήρη γνώση εκ των έσω του «νεοελληνικού προβλήματος» με τα Μαθηματικά, φρόντισε εμβόλιμα να επαναλάβει μερικές βασικές έννοιές τους χωρίς διάθεση υποτίμησης όσων τις κατέχουν πλήρως. Το βιβλίο όμως απευθύνεται και στους διδάσκοντες. Εδώ η λέξη βοήθημα ταιριάζει πιο καλά, αφού στο CD των Ασκήσεων που το συνοδεύει δίνονται όχι μόνο προβλήματα αυτό είναι σχετικά εύκολο με τόσα κυρίως αγγλόφωνα που κυκλοφορούν στο διαδίκτυο μερικές φορές και με τις απαντήσεις τους αλλά και θεωρητικές περιλήψεις (ως πρόλογος) για να διευκολύνουν και τον διδάσκοντα στην παρουσίαση εξειδικευμένων ή/και δύσκολων προβλημάτων. Τέλος, αλλά όχι τελευταία σε αξία κατηγορία αναγνωστών, απευθύνεται στους

7 10 Εισαγωγή λεγόμενους «εραστές της πληροφορικής», οι οποίοι είτε σπουδάζουν συναφή αντικείμενα είτε έχουν κάποια επαγγελματική ανάγκη επιμόρφωσης είτε ακόμα έχουν την ασίγαστη περιέργεια ενός ερασιτέχνη. Αυτοί αλλά μόνον αυτοί μπορούν να παρακάμψουν τις μαθηματικές λεπτομέρειες του βιβλίου. Και επειδή έχουμε ασυναίσθητα διολισθήσει ήδη στο πεδίο ορισμού του δεύτερου στόχου μας, ας δώσουμε και μερικές χρηστικές συμβουλές (δεν είναι αρεστή στον συγγραφέα η λέξη «οδηγίες» για τον αποκλειστικό και μόνο λόγο ότι αυτή δεν αρέσει συνήθως στους άλλους): Όταν το βιβλίο σάς συμβουλεύει να ψάξετε το πού είδατε κάποια έννοια, για λίγα λεπτά ψάξτε το μόνοι σας! Αν δεν το εντοπίσετε, συμβουλευτείτε το ευρετήριο. Είναι ένας καλός τρόπος να σας εντυπωθούν οι έννοιες και ο σκελετός του βιβλίου. Όταν υπάρχει παραπομπή σε κάποια άσκηση κατά την ανάπτυξη της θεωρίας, μην προχωρήσετε αν τουλάχιστον δεν την κοιτάξετε, ανεξάρτητα αν τη λύσετε. Αν μέσα στις υποδείξεις ή/και απαντήσεις μιας άσκησης υπάρχει η αναφορά «προφανής, «εύκολη» κ.λπ., «παλέψτε» την επί τόπου. Αν δεν την καταφέρετε, μην πανικοβληθείτε, αφού μπορεί να ευθύνεται ο υποκειμενισμός του συγγραφέα. Πάρτε όμως και μια δεύτερη γνώμη από τον διδάσκοντα ή κάποιο φιλικό σας πρόσωπο που γνωρίζει. Επίσης και με αυτό τελειώνoυν τώρα οι συμβουλές όταν ο συγγραφέας επικαλείται ή/και παραπέμπει σε online βιβλία ή manuals, μη βαρεθείτε να τα βρείτε μόνοι σας. Στο κάτω κάτω εν ανάγκη δείτε το ως «σερφάρισμα» στον ωκεανό του διαδικτύου. Με κίνδυνο να κουράσει, άρα να μην υπηρετήσει σωστά τον πρώτο στόχο, οφείλει ο συγγραφέας να πει κάτι για το γλωσσικό ύφος του βιβλίου ύφος που μάλλον μπορεί να ξενίσει ουκ ολίγους. Η γλωσσική μας ένδεια σήμερα στην Ελλάδα είναι πιο μεγάλη κατά μέσο όρο και από τη μαθηματική μας! Σκόπιμα λοιπόν, αλλά αραιά και πού, γίνεται «επιστράτευση» του γλωσσικού πλούτου και πιστεύουμε ότι σε αυτό το σημείο γίνεται το βιβλίο, αν όχι παιδαγωγικό, τουλάχιστον και διδακτικό. Παρόλο που ο τομέας των ευχαριστιών έχει γίνει κάτι σαν τυπολατρικός θεσμός στις εισαγωγές των βιβλίων, ίσως ακουστεί παλαιομοδίτικο, αλλά ο συγγραφέας γράφει τώρα «από καρδιάς» (αν τα έγραφε «εκ καρδίας» αναρωτιέται αν και πόσους αναγνώστες θα ενοχλούσε). Εν κατακλείδι λοιπόν εκφράζω τις ευχαριστίες μου ασφαλώς προς τις Εκδόσεις Ζήτη, που ανέχθηκαν τον εντελώς ανώμαλο ρυθμό των «δόσεων», όπως ετοιμάζονταν και αποστέλλονταν τα κομμάτια του βιβλίου. Αλλά και τον άμισθο «βοηθό», τον οσονούπω πτυχιούχο και πρώην μαθητή του συγγραφέα στο Τμήμα ΕΠΠ του ΤΕΙ Κρήτης κ. Γεώργιο Κασαγιάννη, ο ο- ποίος ετοίμασε το μεγαλύτερο μέρος του βιβλίου αλλά δεν θα βαρύνεται για τυχόν

8 Ανάλυση Σήματος 11 λάθη που θα προκύψουν στους μαθηματικούς τύπους! Εκεί θα βαρύνεται μόνο ο συγγραφέας, που προκαταβολικά δηλώνει ότι θα είναι ευγνώμων σε όσους του τα υποδείξουν, ώστε να τα διορθώσει σε μία μελλοντική επανέκδοση. ΚΑΛΟ ΣΑΣ ΔΙΑΒΑΣΜΑ! Ηράκλειο Κρήτης, Αύγουστος 2011 Δρ. Δημήτρης Καραγιαννάκης Καθηγητής Μαθηματικών ΣΤΕΦ ΤΕΙ Κρήτης

9 Σύμβολα, Ορολογία, Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 13 0 ο Κεφάλαιο Σύμβολα, Oρολογία, Ορολογία, Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι Κανονικά έπρεπε να θεωρήσουμε τον αναγνώστη εξοικειωμένο σχεδόν με όλα όσα θα περιλάβουμε στο παρόν κεφάλαιο (εξού και η αρίθμησή του ), αλλά επειδή - δυστυχώς- η πορεία σε όλα τα στάδια της εκπαιδευτικής διαδικασίας στον τόπο μας χαρακτηρίζεται πλέον από μία μακρά ακολουθία γνωστικών κενών, παραθέτουμε συνοπτικά ένα σημαντικό μέρος από τον όγκο εννοιών, συμβόλων και τύπων που θα εμφανίζονται με την μεγαλύτερη συχνότητα Αν δεχθούμε έστω και εμπειρικά ότι ένα ψηφιακό σήμα (αλλά και σήμα οποιασδήποτε άλλης φύσης), πρωτογενώς ή σε τελευταία ανάλυση δεν είναι παρά μία συνάρτηση f () t του χρόνου t, αντιλαμβανόμαστε ότι ούτως ή άλλως για την (ψηφιακή) ανάλυση σήματος χρειαζόμαστε σχεδόν όλα τα είδη των συνόλων αλλά και τις θεμελιώδεις έννοιες που συναντάμε στον Απειροστικό Λογισμό μιας πραγματικής μεταβλητής (αλλά ενίοτε και μη πραγματικής, όπως θα φανεί στην πορεία). 0.1 Βασικά στοιχεία από τη θεωρία συνόλων Υπενθυμίζεται ότι όταν ένα στοιχείο α ανήκει σε σύνολο A γράφουμε αœa ενώ σε αντίθετη περίπτωση γράφουμε αœa. A x φ x όπου x είναι τα = { } Εν γένει θα περιγράφουμε ένα σύνολο γράφοντας ( ) στοιχεία του (είτε είναι αριθμοί είτε όχι) και όπου το φx ( ) με την προφανή κατάχρηση στον συμβολισμό θα εκφράζει την κοινή ιδιότητα που χαρακτηρίζει αυτά τα x (κάποια εξίσωση, ανισότητα, διάταξη, κ.λπ.). 4 Για παράδειγμα το = { π1} είχαμε για φx ( ) το A x x εκφράζει το A { x x 1, ι} = π ± ±, δηλαδή εδώ 4 x π 1. Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι πιο εύχρηστο το φx ( )

10 14 Κεφάλαιο 0 να αντικατασταθεί από μία φράση με λέξεις. Για παράδειγμα αντί να γράφουμε ότι A= {2κ κ = 0, ± 1, ± 2,...} μπορούμε να γράψουμε = { άρτιος ακέραιος} A κ κ. 0.2 Βασικά στοιχεία από τα σύμβολα του Απειροστικού Λογισμού Ως γνωστόν, το πιο θεμελιώδες αριθμοσύνολο εδώ είναι οι φυσικοί αριθμοί N = { 1,2,3,4,... } Κατόπιν έχουμε τους ακέραιους = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Ειδικά αν θέλουμε το Z 0,1,2,3, = { } Z. N να το ενισχύσουμε με το μηδέν γράφουμε Τα κλάσματα των ακεραίων (δηλαδή οι ρητοί αριθμοί) συμβολίζονται με Ïm Q = Ì m και n ακέραιοι και πρέπει n π 0. Ón Το σύνολο όλων των πραγματικών γράφεται ως R = { x όπου x είναι πραγματικός αριθμός}. Τέλος για τους μιγαδικούς γράφουμε = { x+ iy x, yœ } C R. Όταν ένας μιγαδικός z γράφεται υπό την μορφή x + y (διότι θα δούμε και άλλους τρόπους περιγραφής του) λέμε ότι έχει πραγματικό μέρος Re z = x και φανταστικό Im z = y (που πάλι είναι πραγματικός!). Ο μιγαδικός x - y ονομάζεται συζυγής του z και γράφεται z και ο μη αρνητικός αριθμός τιμή (ή μέτρο) του z και συμβολίζεται με z. Αν το ότι 2 2 x + y ονομάζεται απόλυτη z 2 = zz δεν σας είναι προφανές μετά από λίγη σκέψη, παραμείνατε στο 0.2 για όσο χρόνο χρειαστεί μέχρι να τα καταφέρετε! Εις τον Απειροστικό Λογισμό πραγματικής μεταβλητής έχουμε συχνή χρήση των διαστημάτων. Γράφουμε για ανοικτό διάστημα ( αβ, ) = { xα< x< β }, για κλειστό διάστημα [, ] = { } αβ xα x β και για ημιανοικτά ή/και ημίκλειστα διαστήματα, αντίστοιχα, τα [ αβ, ) = { xα x< β } και ( αβ, ] = { xα< x β }. Με αυτά καλύπτουμε τα πεπερασμένα διαστήματα (δηλαδή όσα έχουν πεπερασμένο μήκος L = β-α ). Πολύ χρήσιμα όμως είναι και τα απειροδιαστήματα με τις

11 Σύμβολα, Ορολογία, Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 15 αντίστοιχες βαρύγδουπες περιγραφές ημιανοικτό/ημικλειστό αριστερά/δεξιά κ.λπ., δηλαδή τα ( α, ) = { x α< x } [ α, ) = { x α x } (-, α) = { x x < α } (-, α] = { x x α } Το (-, ) ταυτίζεται βέβαια με το R (παρ όλο που το πρώτο υπονοεί διάταξη ενώ το δεύτερο ένα λιτό απειροσύνολο) και ασφαλώς τα -, είναι σύμβολα και όχι αριθμοί. Περνώντας τώρα σε συναρτήσεις f :[ α, β] Æ C μπορούμε να γράφουμε f = u+ iv u v είναι συναρτήσεις [ αβ, ] Æ R και ονομάζονται, όπως πριν με τον όπου οι, μιγαδικό z, Re f = u το πραγματικό μέρος της f και Im f = v το φανταστικό μέρος της. Αν μία συνάρτηση f :[ α, β] Æ C είναι συνεχής θα λέμε ότι είναι στοιχείο του συναρτησιακού συνόλου Cαβ [, ] και βέβαια αυτό ισοδυναμεί με το ότι οι u, v είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις. Αν η f έχει πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών (δείτε όμως και το επόμενο σχόλιο για μία γενίκευση) και εκεί υπάρχουν και τα δύο πλευρικά όριά της και είναι πεπερασμένα, θα καλούμε την συνάρτηση κατά τμήματα συνεχή (κ.τ.σ.) και το αντίστοιχο συναρτησιοσύνολο θα συμβολίζεται C [ α, β ]. Προφανώς όταν οι u, v 0 είναι 0 στο αντίστοιχο [, ] C α β και θα είναι η f = u+ iv είναι και αντιστρόφως. Μπορούμε να επιτρέψουμε ένα ή και τα δύο άκρα να απειρισθούν τροποποιώντας τον συμβολισμό κατ αναλογία. Σχόλια για τις κ.τ.σ. συναρτήσεις: α) Σε ορισμένες περιπτώσεις θα δούμε ότι πρέπει να δεχθούμε το πλήθος των ασυνεχειών να είναι αριθμήσιμο. Επειδή όμως δεν θέλουμε να βυζαντινολογούμε με μαθηματικό τρόπο ας πούμε απλά ότι θα επιτρέπουμε να έχουμε άπειρο πλήθος ασυνεχειών, ίδιας φύσεως με τον επίσημο ορισμό, που θα είναι απαριθμήσιμο όπως κάνουμε με τους ακεραίους. 0 β) Δεν είναι ανάγκη για μία f στο C [, ] α β να ορίζεται καν στα σημεία ασυνέχειάς της. Όταν όμως ορίζεται και τα πλευρικά της όρια είναι ίσα (και δίνουν

12 16 Κεφάλαιο 0 βέβαια άλλη τιμή από την τιμή της f εκεί) λέμε αυτή την ασυνέχεια αιρόμενη ασυνέχεια (για λεπτομέρειες δείτε το [1] της Γενικής Βιβλιογραφίας). 0 γ) Έχουμε δει ήδη δύο συναρτησιοσύνολα: το C [ α, β ] και το γνήσιο υποσύνολο του Cαβ [, ] χωρίς να έχουν καμία ιδιαίτερη δομή. Αργότερα θα δούμε και μερικά άλλα στον κύριο κορμό του βιβλίου αλλά και στα παραρτήματα. Με την κατάλληλη δομή θα αποτελέσουν τους λεγόμενους συναρτησιακούς διανυσματικούς χώρους, έναν μαθηματικό γαλαξία απαραίτητο για την ανάλυση σχεδόν κάθε σήματος. 0.3 Βασικές συναρτήσεις και χρήσιμοι τριγωνομετρικοί τύποι Μεταξύ άλλων θα χρειαστούμε: ν ν-1 ν N : ( ) i. Το ν-βάθμιο πολυώνυμο, Œ Pν x = α0x + α1x αν-1x+ α ν. Προφανώς όταν ν = 0 παίρνουμε P0( x) = α 0 = σταθερά. ii. Τις συναρτήσεις ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης σημειούμενες με sin x, cos x, tan x και cot x. iii. Την εκθετική συνάρτηση exp x ή e x x και την γενίκευσή της α (με α > 0 και κυρίως όταν α = 2 ). iv. Την συνάρτηση του φυσικού και δεκαδικού λογάριθμου, συμβολιζόμενες αντίστοιχα ως, ln x και log x. v. Την συνάρτηση απόλυτη τιμή, x. vi. Την συνάρτηση ακέραιο μέρος του x (συνήθως IntegerPart ή floor function στις γλώσσες προγραμματισμού) δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υ- περβαίνει τον x. Αν πιστέψουμε το σχόλιό μας της 0.2 η [ x ] ανήκει στην 0 C (-, + ) αλλά προφανώς αν και η [ x ] ορίζεται και στα σημεία ασυνέχειας της, δηλαδή το Z, οι ασυνέχειες δεν είναι αιρόμενες. Παραμείνατε στο 0.3 μέχρι να το ξεκαθαρίσετε και αυτό! sin x vii. Την συνάρτηση sin cx = (προσοχή το c δεν είναι σταθερά αλλά x γράμμα- μέρος του συμβολισμού). Την γραφική της παράσταση αλλά και την χρησιμότητα της θα την δούμε στην 2.4.

13 Σύμβολα, Ορολογία, Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 17 viii. Την συνάρτηση Heaviside uc () t με c 0 Ï0,0 t < c uc () t = Ì Ó1, c t Προφανώς όταν, σε τετριμένη εκδοχή, = 0 Επομένως για > 0. Βλέπε και Παράρτημα Β. c η c () = 1 c έχουν ότι η u () t ανήκει στο C 0 [ 0, ) c u t για κάθε t 0. ix. Την συνάρτηση δέλτα του Dirac ως προς το α, δ α. Τόσο τα εισαγωγικά στην λέξη συνάρτηση όπως και τον ορισμό και την χρησιμότητα του κορυφαίου αυτού μαθηματικού όπλου για την μελέτη των σημάτων θα την αναπτύξουμε στα Παραρτήματα Β και Γ. Θεωρούμε ότι είναι πολύ νωρίς να παρουσιάσουμε τον ορισμό σε αυτό το σημείο διακινδυνεύοντας ένα μόνιμο εγκλεισμό του αναγνώστη εντός του Κεφ. 0. sinnπ = 0, cosnπ = -1 για κάθε n ŒZ. x. ( ) n 1 1 α α α α α α sin α = 3-4cos2α+ cos 4 α, cos α = 3 + 4cos2α+ cos 4α. 8 8 xi. sin 3 = ( 3sin - sin3 ), cos 3 = ( 3cos + cos 3 ) xii. ( ) ( ) α xiii. e = cosα+ cosα (τύπος του Euler), για κάθε α ŒR (και όχι μόνο ). xiv. 1 iα cos ( - iα = + ), sin = 1 iα ( - - iα α e e α e e ) Εδώ το xiv είναι άμεση συνέπεια 2 2i κατάλληλης διπλής χρήσης του xiii. Κάντε το ως προπόνηση! n 2κπi n xv. Αν z = 1, nœ N τότε z = zκ = e, κ = 0,1,..., n-1 και αντιστρόφως. (Οι αριθμοί z κ καλούνται τα n πρώτα ριζικά της μονάδας). Και κλείνουμε το Κεφ. 0 με τον επόμενο τύπο που τουλάχιστον στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση έκανε τον σεβαστό κ. De Moivre διασημότερο του Euler, αν και αποτελεί απλή ειδική εφαρμογή του xiii: cosα+ isinα = cosnα+ isin nα για nœz (και όχι μόνο ). xvi. ( ) n

14 Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 19 1 ο Κεφάλαιο Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου Πολλές έννοιες που θα συναντήσουμε στο παρόν κεφάλαιο τις συναντάμε σε ένα προπτυχιακό εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας. Υπάρχουν όμως και μέρη της θεωρίας που μάλλον ο διδασκόμενος θα τα συναντήσει για πρώτη φορά. Αυτά κυρίως αφορούν τα απείρου πλήθους ορθοκανονικά συστήματα και θεωρήματα συνδεόμενα με αυτά (π.χ. ανισότητα Bessel, το Λήμμα των Riemann & Lebesgue και άλλα). Μερικών εξ αυτών τις αποδείξεις τις παραλείπουμε αφού το ανά χείρας σύγγραμμα δεν σκοπεύει να παίξει τον ρόλο ενός βοηθήματος προχωρημένης Γραμμικής Άλγεβρας. Δίνεται όμως μια ποικιλία από βιβλιογραφικές παραπομπές για όποιον ενδιαφέρεται. 1.1 Εισαγωγικές Έννοιες Η πιο θεμελιώδης αλγεβρική δομή που χρειαζόμαστε είναι ο διανυσματικός χώρος (δ.χ.). Οι αριθμοί που θα χρησιμοποιηθούν σε σχέση με τον ορισμό ενός δ.χ. μπορεί να είναι το R ή το C (τυπικά έπρεπε να πούμε ότι αυτά έχουν την δομή σώματος αλλά δεν θα μας απασχολούν τέτοιες λεπτομέρειες ). Τα στοιχεία ενός δ.χ. θα τα ονομάζουμε διανύσματα (αλλά ας μην παρασύρεται ο αναγνώστης από την τετριμμένη χρήση του όρου λόγω της Φυσικής στο χώρο ή στο επίπεδο που γνωρίζει). Τυπικά ένα (μη κενό προφανώς) σύνολο V θα καλείται δ.χ. πάνω στο αριθμοσύνολο F ( F = R ή C) αν το εμπλουτίσουμε με τις εξής πράξεις, + και, 1. Πρόσθεση διανυσμάτων: αν uv, ŒV ορίζεται ένα τρίτο διάνυσμα u+ v πάλι στον V. 2. Πολλαπλασιασμός με αριθμό: για κάθε uœv και αœf ορίζεται ένα διάνυσμα αu Œ V.

15 20 Κεφάλαιο 1 Οι εν λόγω πράξεις πρέπει να διασφαλίζουν και τα εξής: 1. ( u+ v) + w = u( v+ w ) για κάθε uvw,, ŒV. 2. Υπάρχει διάνυσμα ονομαζόμενο μηδενικό διάνυσμα 0 (το βέλος το βάζουμε για να μην το μπερδεύουμε με τον αριθμό 0 και όχι για να παραπέμψουμε στη συνηθισμένη από την Φυσική γραφή) με την ιδιότητα 0+ v = v+ 0= v για κάθε vœ V. 3. Για κάθε vœv υπάρχει ένα διάνυσμα ονομαζόμενο μείον v, -v με την ιδιότητα v+ (- v ) = = + u v v u για κάθε vu, ŒV. 5. Για κάθε αœf και vu, ŒV, α ( u+ v) = α u+ α v. 6. Για κάθε αb, ŒF και uœ V, ( + ) = + 7. Για κάθε vœ V, 1 v = v. α b u α u b u και ( ) ( ) α b u = αb u. Σχόλιο: Αφού επισημάνουμε ότι η ιδιότητα 9 χρειάζεται διότι δεν πρόκειται περί του συνηθισμένου πολλαπλασιασμού έχουμε από τις 8 και 9 ότι u+ (- 1) u = ( 1-1) u = 0 u = -0 u u-0 u = 1-0 u = u fi 0 u = 0 και επειδή ( ) άρα το -u της 4 δεν είναι παρά το (-1) u το ήδη εξασφαλισμένο Και άλλες παρόμοιες περικοπές θα μπορούσαν να γίνουν σε έναν πιο αυστηρό ορισμό του δ.χ. V, αλλά με αυτή τη μακρά λίστα ιδιοτήτων αισθανόμαστε πιο απελευθερωμένοι όταν αργότερα οι πράξεις μας γίνουν πιο σύνθετες από ό,τι είχαμε συνηθίσει με τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου. Ανάλογα με το αν F = R ή F = C καλούμε τον δ.χ. V πραγματικό ή μιγαδικό δ.χ. και προσοχή διότι αυτά τα επίθετα αφορούν τους αριθμούς και όχι τα διανύσματα! Ένα W Õ V (W υποσύνολο του V) ονομάζεται διανυσματικός υποχώρος (δ.υ.) του V αν στο W οι ίδιες +, και με το ίδιο F έχουμε τις ίδιες ιδιότητες του ορισμού ενός δ.χ. Αν θέλουμε να ελέγξουμε γρήγορα κατά πόσο το W είναι δ.υ. έχουμε το εξής κριτήριο ελέγχου. Κριτήριο Ελέγχου Ενός Διανυσματικού Υποχώρου Για W π, έχουμε δ.υ. αν για κάθε uv, ŒW και κάθε αb, ŒF fi αu+ bvœw. Θα χρειαστούμε τέσσερεις ακόμα ορισμούς:

16 Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 21 Ορισμός Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων Αν v1,..., v n διανύσματα ενός δ.χ. V, το διάνυσμα u καλείται γραμμικός συνδυασμός (γ.σ.) των v 1,..., v n αν u = v1α vnα n για κάποιους αριθμούς α1,..., αn ŒF. Ορισμός Γραμμικής Ανεξαρτησίας Διανυσμάτων Τα v1, v2,..., v n ενός δ.χ. V θα καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα (γ.α.) αν η εξίσωση αv = 1 1 αv αv n n 0 με α1,..., αn ŒF ικανοποιείται μόνο αν α1 = α 2 = =... = α = 0. Αλλιώς τα καλούμε γραμμικώς εξαρτημένα (γ.ε.). n Ορισμός Γραμμικού Αναπτύγματος Το σύνολο όλων των u που είναι γραμμικός συνδυασμός των v1,..., v n καθώς τα α1,..., α n μεταβάλλονται, ονομάζεται γραμμικό ανάπτυγμα των v 1,..., v n και συμβολίζεται με span{ v1,..., v n}. Ορισμός Βάσης ενός Δ.Χ. του V αν είναι γ.α. και { } Ένα πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων v1,..., v n ενός δ.χ. V θα ονομάζεται βάση V = span v1,..., v. Ο αριθμός αυτών, n, μάλιστα ονομάζεται διάσταση του δ.χ. V και γράφουμε n= dim V. n Σχόλια: α) Από τους πιο πάνω ορισμούς βγαίνει (και είναι μια εύκολη άσκηση για το σπίτι) ότι τα v 1,..., v n είναι γ.α. αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν είναι γ.σ. των υ- πολοίπων n -1 διανυσμάτων. β) Ο αναγνώστης θα πρέπει ήδη να διαισθάνεται ότι ένας δ.χ. (πραγματικός ή μη) που δεν είναι ο τετριμένος V = { 0} έχει άπειρο πλήθος βάσεων που οδηγεί μετά από σκέψη ότι η διάσταση του V είναι ανεξάρτητη της επιλογής της βάσης. γ) Ο ορισμός αυτός της βάσης που δόθηκε αφορά εκ κατασκευής δ.χ. πεπερασμένης διάστασης. Αλλά με αυτούς που είναι απειροδιάστατοι θα ασχοληθούμε σε αργότερα και κυρίως στα παραρτήματα.

17 22 Κεφάλαιο 1 Ασκήσεις 1.1 Εισαγωγικές Έννοιες 1) Είναι μάλλον προφανές ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους δ. υπόχωρων ενός δ.χ. είναι και αυτός δ.υ. Ελέγξτε το! Μπορείτε να πείτε το ίδιο για την ένωσή τους; Γιατί; (Υπόδειξη: Αν uv, Œ W 1» W 2 όπου W 1, W 2 δύο δ.υ ενός δ.χ. ισχύει το κριτήριo αb, ŒF fi αu+ bvœ W» W ; Γιατί;) 1 2 u V τότε το σύνολο { } 2) Aν V ένας δ.χ. ως προς F και Œ αu α ŒF είναι δ.υ. του V και μάλιστα εμπεριέχεται σε κάθε δ.υ. που περιέχει το u. 3) Αποδείξτε ότι το συναρτησιοσύνολο L 1 ( R) = καθίσταται πραγματικός δ.χ. με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf. (Υπόδειξη: Ιδιότητες ολοκλήρωσης.) ÏÔ Ô Ìf f : RÆ R, Ú f( x) dx < ÔÓ - Ô 4) Ορίζουμε ως V = C 1 [ α, β ] τις συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους στο [ α, β ]. Δείξτε ότι με τις συνήθεις πράξεις καθίσταται ένας δ.χ. και επομένως θα είναι και δ.υ. του δ.χ. Cα [, β ] 5) Έστω το σύνολο όλων των n n πινάκων (με n σταθερό) με στοιχεία από το F. Ορίζουμε επί αυτού την συνήθη πρόσθεση πινάκων και τον πολ/σμό αριθμού επί πίνακα. Τότε παίρνουμε ένα δ.χ. που τον συμβολίζουμε Mn( F ) (όπου το Μ αντιστοιχεί στον όρο Μatrix = Πίνακας, που μερικές φορές απαντάται και με τον όρο Μητρώο). Μπορείτε αμέσως να περιγράψετε το 0 του εν λόγω δ.χ.; 6) Παρουσιάζουμε τώρα ένα παράδειγμα «εξωτικού» δ.χ. που όμως είναι πολύ χρήσιμος και σε ειδικότερες μορφές τον συναντάμε σε πολλές ασκήσεις Φυσικής: Έστω Ω ένα μη κενό υποσύνολο του F και V ένας οποιοσδήποτε δ.χ. Ορίζουμε το σύνολο V όλων των f : ΩÆ V με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf. Ω Τότε έχουμε έναν νέο δ.χ.. Σημειώστε ότι η f(z) είναι διάνυσμα και όχι αριθμός και ότι η μηδενική συνάρτησή μας στον V είναι αυτή με εικόνα το Ω ουδέ-

18 Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23 τερο στοιχείο του V. Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση 0(z) = 0 με το ίδιο το 0. Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορισθούμε στο υποδιάστημα [0, ) και με V= R 3 έχουμε την περιγραφή των διανυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής. 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός δ.χ. είναι γ.ε. τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων. Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση αv = 1 1 αv αv n n 0 αν υποθέσουμε π.χ. ότι α1 π 0 τότε έχουμε v1 =-( α2 / α1) v ( αn / α1) v n, κ.ο.κ. Συμπερασματικά εδώ έχουμε v1œspan{ v2,..., v n} κ.ο.κ. 1.2 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δ.χ. δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων. Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (ε.γ.) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δ.χ. προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περιβάλλον για την μελέτη των σημάτων. Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δ.χ. δεν έχουν αυτομάτως και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο. Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου Έστω V ένας δ.χ. με F = R ή C. Για uv, ŒV ορίζουμε ως ε.γ. των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε uv,. Η πράξη, έχει τις ιδιότητες: 1. Για κάθε vœ V, vv, Για κάθε uœ V, uu, = 0 u= Για κάθε uvw,, ŒV και αb, Œ F, αu+ buw, = α uw, + b uw,. 4. Για κάθε uv, ŒV, uv, = vu,.

19 24 Κεφάλαιο 1 Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου Ο δ.χ. V με ένα ε.γ. ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χ.ε.γ.) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός ε.γ. στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυσκολίας): α) Για κάθε uvw,, ŒV και αb, ŒF ισχύει ότι uαv, + bw = α uv, + b uw,. β) Για κάθε vœv και κάθε α Œ F, αv, αv = α v, v. γ) Για κάθε vœ V, 0, v = 0. δ) Στον φυσικό χώρο R 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για u1 = ( α1, β1, γ 1) και u2 = ( α2, β2, γ 2) το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης u1 u2 = α1 α2 + β1 β2 + γ1 γ 2 (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική u1 u2 = u1 u2 cos θ, με θ την γωνία μεταξύ των u 1, u 2). Επαληθεύστε ότι το u1, u2 = u1 u 2 έχει τις ιδιότητες του ε.γ. που δώσαμε για τον αφηρημένο δ.χ. V. ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός ε.γ. και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F. Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κάναμε πλαγίως στο δ) για χ.ε.γ. Παράδειγμα 1 Παίρνουμε για V = C n (n-άδες, γραμμές ή στήλες, με μιγαδικές συντεταγμένες) και F = C. Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δ.χ. Ορίζουμε για r1,..., r n > 0 την εξής πράξη μεταξύ δύο z = ( z κ ) και ( κ ) n Τότε ο ( C, ) n ( C, ). w = w, 1 κ n, με z, w ŒC : 2 i i n zw, rzw. =  k k k k= 1 είναι χ.ε.γ. Οι αριθμοί r1,..., r n ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση r1 = r2 =... = r n = 1. Παράδειγμα 2 V = C α, β όπως ορίστηκε στην 0.2 και που όπως είδαμε ήδη στην 1.1 με Έστω [ ] τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων f :[ α, β ] Æ C και του πολλαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δ.χ. Ορίζουμε τώρα

20 Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25 α την εξής πράξη μεταξύ f, g ŒV : f, g = Ú f ( x) g( x) dx. (Ο Απειροστικός Λογισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή!). Δοκιμάστε β τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα ε.γ. Παράδειγμα 3 z μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε Έστω { } n n=1 Â 2 n <. n= 1 z (Για παράδειγμα: όταν z = 1 n n 2 i 2 1 έχουμε z n = και η n n n= Ï Ì Ó 1 είναι μία κλασσική φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος με πρώτον όρο το 1 4 και λόγο το 1 4 και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή Â n= = 4 1 =. n Το σύνολο όλων των { } n n=1 z με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε l 2. Η πρόσθεση των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλασιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον l 2 δ.χ. είναι οι συνηθισμένες επεκτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο z = z και Παράδειγμα 1). Προσοχή όμως: δεν είναι εντελώς προφανές ότι { } n n= w = { w } Œl 2 n τότε η { } n= 1 n n = 1 Œl2. n 1 zw Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις. Αν ορίσουμε (σαν γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη zw, = zw = Âzn w n δεν είναι n= 1 δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός ε.γ. Αυτό που ίσως σας δυσκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει, ή σε απλουστευμένη διατύπωση ότι το απειροάθροισμα Âzn n= 1 στις ασκήσεις του 1.3 με επαρκή υπόδειξη. Παράδειγμα 4 2 Ο χ.ε.γ. (- + ) w είναι κάποιος αριθμός στο C όπως θα το βρείτε n L,. Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώσεις χ.ε.γ. ή, αν ανυπομονείτε, πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ.

21 26 Κεφάλαιο 1 Ασκήσεις 1.2 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο 1) Στον γνωστό μας δ.χ. C [-1, 1] ορίζουμε την σχέση Ú 1-1 f, g = f( x) + g( x) dx. Έχουμε ορίσει τώρα ένα ε.γ. στον εν λόγω χώρο; (Υπόδειξη: 2 x,0 = 2/3 (γιατί;) π 0. Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί;) 2) Στον δ.χ. V = C 1 [ α, β ] (δείτε την Άσκ. 4 της 1.1) ας πάρουμε [, ] α β = = [ 1, 1]. Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση Ú 1-1 f, g = f(0) g(0) + f ( x) g ( x) dx. Eίναι το, ένα ε.γ. επί του V; (Yπόδειξη: Πάρτε f(x) = x, και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δ.χ. 1 C α, β ). Τότε όμως f, g = 0 ενώ g( x ) π 0. Άρα;) [ ] 3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δ.χ. C(α, β) έχουμε το γνωστό ε.γ. του Παραδ. 2 της 1.2. Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα ε.γ. επί του δ. υπέρχωρου C 0 ( α, β ). (Yπόδειξη: Πάρτε f(γ) = 1 για α<γ<β και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστημα. Tότε f, f = 0 αλλά f(x) π 0.) 4) Έστω V ο δ.χ. που ορίσαμε στην Άσκ. 6 της 1.2. Ορίζουμε για Α, ΒŒ M ( n C ) την εξής σχέση: A, B = tr[a ( B ) T ]. Εδώ με ( B ) T συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πίνακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνακα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του). Ελέγξτε ότι το, ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V. (Yπόδειξη: Aν Α = ( α ij ) και Β = ( b ij ) τότε AB, = n n  ι= 1 j= 1 α.) ij b ji

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 978-960-456-191-9

ISBN 978-960-456-191-9 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-191-9 Copyright, Ιανουάριος 2010, Σέμος Αναστάσιος, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ISBN 978-96-46-28-9 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 211 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ _CONT_.indd iii τίτλος: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ συγγραφέας: Καραγιαννάκης Δημήτριος 2014 Εκδόσεις Δίσιγμα Για την ελληνική

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD Εισαγωγή To παρόν κεφάλαιο χωρίζεται σε μέρη. Στο (Α), μεταξύ άλλων, εξηγούμε γιατί μας ενδιαφέρει η λεγόμενη ανάλυση σε παράγοντες ειδικούς πίνακες (decompositio)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα

ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα ISBN 978-960-456-205-3 Copyright, Μάρτιος 2010, Ε. Λάμπρου, Γ. Πανταζής, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 9 Φεβουαρίου 007 Ημερομηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στο Κεφ. 2, όπως και σε όλο το βιβλίο άλλωστε, αναπτύσσουμε τον μετ/σμό Laplace, τον μετ/σμό Fourier και και τον μετ/σμό z. Αυτό δεν

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία,

Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία, www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία, θα σου φανεί χρήσιμο τις τελευταίες ημέρες της προετοιμασίας σου για τις πανελλαδικές εξετάσεις. Τα περιεχόμενά

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη Μιγαδικών Αριθμών

Επανάληψη Μιγαδικών Αριθμών Σήματα και Συστήματα ΗΜΥ0 //006 Επανάληψη Μιγαδικών Αριμών Δημήτρης Ηλιάδης, eldemet@ucy.ac.cy Που χρησιμεύει: Από τη εωρία των Σειρών Fourier, γνωρίζουμε πως οποιοδήποτε περιοδικό σήμα ανεξαρτήτως πολυπλοκότητας,

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-353-1 Copyright: Π. Δ. Τσαχαγέας, Eκδόσεις ZHTH, Θεσσαλονίκη, 2012 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο της επεξεργασίας σήματος αλλά και συχνή αιτία πονοκεφάλου για όσους πρωτοασχολούνται

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

«Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano»

«Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano» «Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano» Ιορδανίδης Ι. Φώτιος Καθηγητής Μαθηματικών, 2 ο Γενικό Λύκειο Πτολεμαΐδας fjordaneap@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το θεώρημα του Bolzano

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από το συγγραφέα. Copyright, Απρίλιος 2012, Θ. Κουτρουμανίδης, Ε. Ζαφειρίου, Eκδόσεις Zήτη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από το συγγραφέα. Copyright, Απρίλιος 2012, Θ. Κουτρουμανίδης, Ε. Ζαφειρίου, Eκδόσεις Zήτη Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από το συγγραφέα ISBN 978-960-456-322-7 Copyright, Απρίλιος 2012, Θ. Κουτρουμανίδης, Ε. Ζαφειρίου, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ . ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σήμα και να κατατάξει τα διάφορα σήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τις βασικές ιδιότητες τους. Επίσης,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στους ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ.Περιγράψτε το σύνολο των μιγαδικών αριθμών και δώστε τους ορισμούς της πρόσθεσης, του πολ/σμού και της ισότητας δύο μιγαδικών αριθμών.(σελ. 86-87, τα μπλε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου 0 στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Πέμπτη 0 Μαΐου 0 (Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα) Όνομα:.. Θέμα Α ν ν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Mα θ η μ α τ ι κ ά Γ Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς στον Αλέξη, το Σπύρο, τον Ηλία και το Λούη, στην παντοτινή φιλία Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011 MATLAB

Διαβάστε περισσότερα