Copyright, Οκτώβριος 2011, Δ. Καραγιαννάκης, Eκδόσεις Zήτη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Copyright, Οκτώβριος 2011, Δ. Καραγιαννάκης, Eκδόσεις Zήτη"

Transcript

1

2 2 Περιεχόμενα ISBN Copyright, Οκτώβριος 2011, Δ. Καραγιαννάκης, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N.2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 18 ο χλμ Θεσσαλονίκης - Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: Fax BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fax: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια , Aθήνα Tηλ.-Fax: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 Ανάλυση Σήματος 5 Αντί Προλόγου Θέλω να καταγράψω εδώ μία ακαδημαϊκή εξομολόγηση, όχι όμως πολύ de profundis, προς διδάσκοντες και φοιτητές ή και προς τους απλά επαγγελματίες «πληροφορικάριους» ή «ηλεκτρονικούς» που έχουν επιστημονικές ανησυχίες (υπάρχουν και αυτοί και είναι πολλοί, περισσότεροι από όσους φανταζόμαστε!): Κάθε γραμμή του παρόντος βιβλίου (ή συγγράμματος ή εγχειριδίου ή όπως αλλιώς θα το βαπτίσει ο αναγνώστης) ήταν για μένα βάδισμα ισορροπίας σε τεντωμένο σκοινί. Από τη μία μεριά οι τεχνικές και εκπαιδευτικές ανάγκες της Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος (ή ΨΕΣ όπως επεκράτησε πλέον ο όρος αν και προσωπικά θα τον ήθελα με την λέξη «Ανάλυση» στη θέση τoυ «Επεξεργασία»). Από την άλλη, η ανάγκη να αναδειχθούν οι πανέμορφες μαθηματικές ιδέες που σε θαυμαστή ώσμωση με τα όπλα της τεχνολογικής εξέλιξης οδηγούν στα εντυπωσιακά αποτελέσματα και εφαρμογές της ΨΕΣ σχεδόν σε όλους τους θετικούς (και όχι μόνο!) επιστημονικούς κλάδους. Ελπίζω να πέτυχα να περάσω απέναντι χωρίς πτώση! Δεν μπορώ όμως να αποφύγω τον πειρασμό να παραθέσω ως επίμετρο μία φράση του μεγάλου καλλιτέχνη και μηχανικού Leonardo da Vinci η μετάφραση (από τα αγγλικά!) της οποίας βαραίνει εξ ολοκλήρου εμένα: Όποιος αντιπαθεί την υψηλή σοφία των μαθηματικών τρέφεται με ψευδαισθήσεις. Ηράκλειο Κρήτης, Αύγουστος 2011 μ.χ. Δημήτρης Καραγιαννάκης

4 Ανάλυση Σήματος 7 Περιεχόμενα Εισαγωγή... 9 Κεφ. 0: Σύμβολα, ορολογία, θεμελιώδεις έννοιες και τύποι 0.1. Βασικά στοιχεία από τη θεωρία συνόλων Βασικά στοιχεία από τα σύμβολα του Απειροστικού Λογισμού Βασικές συναρτήσεις και χρήσιμοι τριγωνομετρικοί τύποι Κεφ. 1: Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 1.1. Εισαγωγικές έννοιες Ασκήσεις Διανυσματικοί χώροι και εσωτερικό γινόμενο Ασκήσεις Η έννοια της στάθμης Ασκήσεις Ορθογώνια και ορθοκανονικά Συστήματα Ασκήσεις Ορθογώνια προβολή και προσέγγιση συνάρτησης Ασκήσεις Μη πεπερασμένα ορθοκανονικά συστήματα Ασκήσεις Κεφ. 2: Ο Μετασχηματισμός Fourier και η Ψηφιακή Ανάλυση Σήματος 1.1. Η μαθηματική προσέγγιση της έννοιας του σήματος με έμφαση στο ψηφιακό σήμα Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Ο Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) Ο Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (FFT) Ασκήσεις 2.2 & Ο Συνεχής Μετασχηματισμός Fourier (FT) Ασκήσεις

5 8 Περιεχόμενα 2.5. Η συνέλιξη Ασκήσεις Η κατασκευή Χαμηλοπερατών Φίλτρων Ασκήσεις Το Θεώρημα Δειγματοληψίας του Shannon Ασκήσεις Kεφ. 3: Υπολογισμοί και Μετρήσεις για το Φάσμα Ισχύος. Η συνάρτηση παραθύρου 3.1. Βασικοί υπολογισμοί της ανάλυσης σήματος Ασκήσεις Η χρήση του FFT και του παραθύρου για την εκτέλεση υπολογιστικών πράξεων σε σχέση με το φάσμα του σήματος Ασκήσεις Κεφ. 4: Η δυναμική ανάλυση του ψηφιακού σήματος 4.1. Χρόνος, συχνότητα και modal domain ηλεκτρικού σήματος Τα εργαλεία για την ανάλυση του σήματος στα πεδία της Ασκήσεις 4 ου κεφαλαίου Παράρτημα 4 ου Κεφαλαίου Χρήση του Mathematica Παράρτημα Α Οι Σειρές Fourier Παράρτημα Β Ο Μετασχηματισμός Laplace Παράρτημα Γ Κυματίδια και Ανάλυση Σήματος. (Από τον Fourier στον Haar, στον Meyer) Ειδική Βιβλιογραφία Γενική Βιβλιογραφία Ευρετήριο Όρων

6 Ανάλυση Σήματος 9 Εισαγωγή Παρουσιάζοντας ένα βιβλίο εκπαιδευτικού ή/και επιστημονικού περιεχομένου, ο συγγραφέας πρέπει να είναι προσεκτικός αλλά και ειλικρινής με τον αναγνώστη που θα το ανοίξει για πρώτη φορά. Υπ αυτή την έννοια, ο συγγραφέας πρέπει να έχει τουλάχιστον δύο στόχους, που όμως εμφανίζουν πάντα και μία σχετική δυσκολία: Ο πρώτος στόχος είναι να μην κουράσει ή, ακόμη χειρότερα, να μην μπερδέψει μακρηγορώντας αυτούς στους οποίους απευθύνεται. Ο δεύτερος είναι να μην υποσχεθεί περισσότερα από όσα μπορεί! Δεν πρόκειται ως εκ τούτου εδώ να βρείτε μια εισαγωγή υπέρ του επιστημονικού αντικειμένου που είναι ο πυρήνας του βιβλίου, γιατί αυτό θα γίνει στις εισαγωγικές επισημάνσεις του Κεφαλαίου 2, όταν θα έχει ωριμάσει το διάβασμά σας. Ας δούμε λοιπόν τώρα πώς θα υπηρετηθούν καλύτερα οι δύο αυτοί στόχοι: Κατ αρχάς ας διευκρινίσουμε σε ποιους απευθύνεται το ανά χείρας βιβλίο. Σημειώστε ότι ο συγγραφέας επιμένει να το αποκαλεί έτσι δείτε και τη σχετική αναφορά στον πρόλογο παρά τη «λογοτεχνική διατίμηση» που ο ίδιος επιφέρει έναντι όρων όπως σύγγραμμα, πόνημα, εγχειρίδιο κ.λπ. (παρόλο που δεν θα τον «χάλαγε» και ο όρος βοήθημα). Απευθύνεται λοιπόν σίγουρα σε όσους παρακολουθούν μαθήματα σε επίπεδο τριτοβάθμιας εκπαίδευσης, όπου εξ ολοκλήρου ή και εν μέρει πρέπει να αποκτήσουν γνώσεις πάνω στην Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος (ΨΕΣ). Αυτό αναγκαστικά απαιτεί ένα σχετικά καλό υπόβαθρο μαθηματικών γνώσεων, τουλάχιστον σε επίπεδο Απειροστικού Λογισμού Ι και Γραμμικής Άλγεβρας Ι. Βέβαια ο συγγραφέας, έχοντας πλήρη γνώση εκ των έσω του «νεοελληνικού προβλήματος» με τα Μαθηματικά, φρόντισε εμβόλιμα να επαναλάβει μερικές βασικές έννοιές τους χωρίς διάθεση υποτίμησης όσων τις κατέχουν πλήρως. Το βιβλίο όμως απευθύνεται και στους διδάσκοντες. Εδώ η λέξη βοήθημα ταιριάζει πιο καλά, αφού στο CD των Ασκήσεων που το συνοδεύει δίνονται όχι μόνο προβλήματα αυτό είναι σχετικά εύκολο με τόσα κυρίως αγγλόφωνα που κυκλοφορούν στο διαδίκτυο μερικές φορές και με τις απαντήσεις τους αλλά και θεωρητικές περιλήψεις (ως πρόλογος) για να διευκολύνουν και τον διδάσκοντα στην παρουσίαση εξειδικευμένων ή/και δύσκολων προβλημάτων. Τέλος, αλλά όχι τελευταία σε αξία κατηγορία αναγνωστών, απευθύνεται στους

7 10 Εισαγωγή λεγόμενους «εραστές της πληροφορικής», οι οποίοι είτε σπουδάζουν συναφή αντικείμενα είτε έχουν κάποια επαγγελματική ανάγκη επιμόρφωσης είτε ακόμα έχουν την ασίγαστη περιέργεια ενός ερασιτέχνη. Αυτοί αλλά μόνον αυτοί μπορούν να παρακάμψουν τις μαθηματικές λεπτομέρειες του βιβλίου. Και επειδή έχουμε ασυναίσθητα διολισθήσει ήδη στο πεδίο ορισμού του δεύτερου στόχου μας, ας δώσουμε και μερικές χρηστικές συμβουλές (δεν είναι αρεστή στον συγγραφέα η λέξη «οδηγίες» για τον αποκλειστικό και μόνο λόγο ότι αυτή δεν αρέσει συνήθως στους άλλους): Όταν το βιβλίο σάς συμβουλεύει να ψάξετε το πού είδατε κάποια έννοια, για λίγα λεπτά ψάξτε το μόνοι σας! Αν δεν το εντοπίσετε, συμβουλευτείτε το ευρετήριο. Είναι ένας καλός τρόπος να σας εντυπωθούν οι έννοιες και ο σκελετός του βιβλίου. Όταν υπάρχει παραπομπή σε κάποια άσκηση κατά την ανάπτυξη της θεωρίας, μην προχωρήσετε αν τουλάχιστον δεν την κοιτάξετε, ανεξάρτητα αν τη λύσετε. Αν μέσα στις υποδείξεις ή/και απαντήσεις μιας άσκησης υπάρχει η αναφορά «προφανής, «εύκολη» κ.λπ., «παλέψτε» την επί τόπου. Αν δεν την καταφέρετε, μην πανικοβληθείτε, αφού μπορεί να ευθύνεται ο υποκειμενισμός του συγγραφέα. Πάρτε όμως και μια δεύτερη γνώμη από τον διδάσκοντα ή κάποιο φιλικό σας πρόσωπο που γνωρίζει. Επίσης και με αυτό τελειώνoυν τώρα οι συμβουλές όταν ο συγγραφέας επικαλείται ή/και παραπέμπει σε online βιβλία ή manuals, μη βαρεθείτε να τα βρείτε μόνοι σας. Στο κάτω κάτω εν ανάγκη δείτε το ως «σερφάρισμα» στον ωκεανό του διαδικτύου. Με κίνδυνο να κουράσει, άρα να μην υπηρετήσει σωστά τον πρώτο στόχο, οφείλει ο συγγραφέας να πει κάτι για το γλωσσικό ύφος του βιβλίου ύφος που μάλλον μπορεί να ξενίσει ουκ ολίγους. Η γλωσσική μας ένδεια σήμερα στην Ελλάδα είναι πιο μεγάλη κατά μέσο όρο και από τη μαθηματική μας! Σκόπιμα λοιπόν, αλλά αραιά και πού, γίνεται «επιστράτευση» του γλωσσικού πλούτου και πιστεύουμε ότι σε αυτό το σημείο γίνεται το βιβλίο, αν όχι παιδαγωγικό, τουλάχιστον και διδακτικό. Παρόλο που ο τομέας των ευχαριστιών έχει γίνει κάτι σαν τυπολατρικός θεσμός στις εισαγωγές των βιβλίων, ίσως ακουστεί παλαιομοδίτικο, αλλά ο συγγραφέας γράφει τώρα «από καρδιάς» (αν τα έγραφε «εκ καρδίας» αναρωτιέται αν και πόσους αναγνώστες θα ενοχλούσε). Εν κατακλείδι λοιπόν εκφράζω τις ευχαριστίες μου ασφαλώς προς τις Εκδόσεις Ζήτη, που ανέχθηκαν τον εντελώς ανώμαλο ρυθμό των «δόσεων», όπως ετοιμάζονταν και αποστέλλονταν τα κομμάτια του βιβλίου. Αλλά και τον άμισθο «βοηθό», τον οσονούπω πτυχιούχο και πρώην μαθητή του συγγραφέα στο Τμήμα ΕΠΠ του ΤΕΙ Κρήτης κ. Γεώργιο Κασαγιάννη, ο ο- ποίος ετοίμασε το μεγαλύτερο μέρος του βιβλίου αλλά δεν θα βαρύνεται για τυχόν

8 Ανάλυση Σήματος 11 λάθη που θα προκύψουν στους μαθηματικούς τύπους! Εκεί θα βαρύνεται μόνο ο συγγραφέας, που προκαταβολικά δηλώνει ότι θα είναι ευγνώμων σε όσους του τα υποδείξουν, ώστε να τα διορθώσει σε μία μελλοντική επανέκδοση. ΚΑΛΟ ΣΑΣ ΔΙΑΒΑΣΜΑ! Ηράκλειο Κρήτης, Αύγουστος 2011 Δρ. Δημήτρης Καραγιαννάκης Καθηγητής Μαθηματικών ΣΤΕΦ ΤΕΙ Κρήτης

9 Σύμβολα, Ορολογία, Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 13 0 ο Κεφάλαιο Σύμβολα, Oρολογία, Ορολογία, Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι Κανονικά έπρεπε να θεωρήσουμε τον αναγνώστη εξοικειωμένο σχεδόν με όλα όσα θα περιλάβουμε στο παρόν κεφάλαιο (εξού και η αρίθμησή του ), αλλά επειδή - δυστυχώς- η πορεία σε όλα τα στάδια της εκπαιδευτικής διαδικασίας στον τόπο μας χαρακτηρίζεται πλέον από μία μακρά ακολουθία γνωστικών κενών, παραθέτουμε συνοπτικά ένα σημαντικό μέρος από τον όγκο εννοιών, συμβόλων και τύπων που θα εμφανίζονται με την μεγαλύτερη συχνότητα Αν δεχθούμε έστω και εμπειρικά ότι ένα ψηφιακό σήμα (αλλά και σήμα οποιασδήποτε άλλης φύσης), πρωτογενώς ή σε τελευταία ανάλυση δεν είναι παρά μία συνάρτηση f () t του χρόνου t, αντιλαμβανόμαστε ότι ούτως ή άλλως για την (ψηφιακή) ανάλυση σήματος χρειαζόμαστε σχεδόν όλα τα είδη των συνόλων αλλά και τις θεμελιώδεις έννοιες που συναντάμε στον Απειροστικό Λογισμό μιας πραγματικής μεταβλητής (αλλά ενίοτε και μη πραγματικής, όπως θα φανεί στην πορεία). 0.1 Βασικά στοιχεία από τη θεωρία συνόλων Υπενθυμίζεται ότι όταν ένα στοιχείο α ανήκει σε σύνολο A γράφουμε αœa ενώ σε αντίθετη περίπτωση γράφουμε αœa. A x φ x όπου x είναι τα = { } Εν γένει θα περιγράφουμε ένα σύνολο γράφοντας ( ) στοιχεία του (είτε είναι αριθμοί είτε όχι) και όπου το φx ( ) με την προφανή κατάχρηση στον συμβολισμό θα εκφράζει την κοινή ιδιότητα που χαρακτηρίζει αυτά τα x (κάποια εξίσωση, ανισότητα, διάταξη, κ.λπ.). 4 Για παράδειγμα το = { π1} είχαμε για φx ( ) το A x x εκφράζει το A { x x 1, ι} = π ± ±, δηλαδή εδώ 4 x π 1. Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι πιο εύχρηστο το φx ( )

10 14 Κεφάλαιο 0 να αντικατασταθεί από μία φράση με λέξεις. Για παράδειγμα αντί να γράφουμε ότι A= {2κ κ = 0, ± 1, ± 2,...} μπορούμε να γράψουμε = { άρτιος ακέραιος} A κ κ. 0.2 Βασικά στοιχεία από τα σύμβολα του Απειροστικού Λογισμού Ως γνωστόν, το πιο θεμελιώδες αριθμοσύνολο εδώ είναι οι φυσικοί αριθμοί N = { 1,2,3,4,... } Κατόπιν έχουμε τους ακέραιους = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Ειδικά αν θέλουμε το Z 0,1,2,3, = { } Z. N να το ενισχύσουμε με το μηδέν γράφουμε Τα κλάσματα των ακεραίων (δηλαδή οι ρητοί αριθμοί) συμβολίζονται με Ïm Q = Ì m και n ακέραιοι και πρέπει n π 0. Ón Το σύνολο όλων των πραγματικών γράφεται ως R = { x όπου x είναι πραγματικός αριθμός}. Τέλος για τους μιγαδικούς γράφουμε = { x+ iy x, yœ } C R. Όταν ένας μιγαδικός z γράφεται υπό την μορφή x + y (διότι θα δούμε και άλλους τρόπους περιγραφής του) λέμε ότι έχει πραγματικό μέρος Re z = x και φανταστικό Im z = y (που πάλι είναι πραγματικός!). Ο μιγαδικός x - y ονομάζεται συζυγής του z και γράφεται z και ο μη αρνητικός αριθμός τιμή (ή μέτρο) του z και συμβολίζεται με z. Αν το ότι 2 2 x + y ονομάζεται απόλυτη z 2 = zz δεν σας είναι προφανές μετά από λίγη σκέψη, παραμείνατε στο 0.2 για όσο χρόνο χρειαστεί μέχρι να τα καταφέρετε! Εις τον Απειροστικό Λογισμό πραγματικής μεταβλητής έχουμε συχνή χρήση των διαστημάτων. Γράφουμε για ανοικτό διάστημα ( αβ, ) = { xα< x< β }, για κλειστό διάστημα [, ] = { } αβ xα x β και για ημιανοικτά ή/και ημίκλειστα διαστήματα, αντίστοιχα, τα [ αβ, ) = { xα x< β } και ( αβ, ] = { xα< x β }. Με αυτά καλύπτουμε τα πεπερασμένα διαστήματα (δηλαδή όσα έχουν πεπερασμένο μήκος L = β-α ). Πολύ χρήσιμα όμως είναι και τα απειροδιαστήματα με τις

11 Σύμβολα, Ορολογία, Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 15 αντίστοιχες βαρύγδουπες περιγραφές ημιανοικτό/ημικλειστό αριστερά/δεξιά κ.λπ., δηλαδή τα ( α, ) = { x α< x } [ α, ) = { x α x } (-, α) = { x x < α } (-, α] = { x x α } Το (-, ) ταυτίζεται βέβαια με το R (παρ όλο που το πρώτο υπονοεί διάταξη ενώ το δεύτερο ένα λιτό απειροσύνολο) και ασφαλώς τα -, είναι σύμβολα και όχι αριθμοί. Περνώντας τώρα σε συναρτήσεις f :[ α, β] Æ C μπορούμε να γράφουμε f = u+ iv u v είναι συναρτήσεις [ αβ, ] Æ R και ονομάζονται, όπως πριν με τον όπου οι, μιγαδικό z, Re f = u το πραγματικό μέρος της f και Im f = v το φανταστικό μέρος της. Αν μία συνάρτηση f :[ α, β] Æ C είναι συνεχής θα λέμε ότι είναι στοιχείο του συναρτησιακού συνόλου Cαβ [, ] και βέβαια αυτό ισοδυναμεί με το ότι οι u, v είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις. Αν η f έχει πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών (δείτε όμως και το επόμενο σχόλιο για μία γενίκευση) και εκεί υπάρχουν και τα δύο πλευρικά όριά της και είναι πεπερασμένα, θα καλούμε την συνάρτηση κατά τμήματα συνεχή (κ.τ.σ.) και το αντίστοιχο συναρτησιοσύνολο θα συμβολίζεται C [ α, β ]. Προφανώς όταν οι u, v 0 είναι 0 στο αντίστοιχο [, ] C α β και θα είναι η f = u+ iv είναι και αντιστρόφως. Μπορούμε να επιτρέψουμε ένα ή και τα δύο άκρα να απειρισθούν τροποποιώντας τον συμβολισμό κατ αναλογία. Σχόλια για τις κ.τ.σ. συναρτήσεις: α) Σε ορισμένες περιπτώσεις θα δούμε ότι πρέπει να δεχθούμε το πλήθος των ασυνεχειών να είναι αριθμήσιμο. Επειδή όμως δεν θέλουμε να βυζαντινολογούμε με μαθηματικό τρόπο ας πούμε απλά ότι θα επιτρέπουμε να έχουμε άπειρο πλήθος ασυνεχειών, ίδιας φύσεως με τον επίσημο ορισμό, που θα είναι απαριθμήσιμο όπως κάνουμε με τους ακεραίους. 0 β) Δεν είναι ανάγκη για μία f στο C [, ] α β να ορίζεται καν στα σημεία ασυνέχειάς της. Όταν όμως ορίζεται και τα πλευρικά της όρια είναι ίσα (και δίνουν

12 16 Κεφάλαιο 0 βέβαια άλλη τιμή από την τιμή της f εκεί) λέμε αυτή την ασυνέχεια αιρόμενη ασυνέχεια (για λεπτομέρειες δείτε το [1] της Γενικής Βιβλιογραφίας). 0 γ) Έχουμε δει ήδη δύο συναρτησιοσύνολα: το C [ α, β ] και το γνήσιο υποσύνολο του Cαβ [, ] χωρίς να έχουν καμία ιδιαίτερη δομή. Αργότερα θα δούμε και μερικά άλλα στον κύριο κορμό του βιβλίου αλλά και στα παραρτήματα. Με την κατάλληλη δομή θα αποτελέσουν τους λεγόμενους συναρτησιακούς διανυσματικούς χώρους, έναν μαθηματικό γαλαξία απαραίτητο για την ανάλυση σχεδόν κάθε σήματος. 0.3 Βασικές συναρτήσεις και χρήσιμοι τριγωνομετρικοί τύποι Μεταξύ άλλων θα χρειαστούμε: ν ν-1 ν N : ( ) i. Το ν-βάθμιο πολυώνυμο, Œ Pν x = α0x + α1x αν-1x+ α ν. Προφανώς όταν ν = 0 παίρνουμε P0( x) = α 0 = σταθερά. ii. Τις συναρτήσεις ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης σημειούμενες με sin x, cos x, tan x και cot x. iii. Την εκθετική συνάρτηση exp x ή e x x και την γενίκευσή της α (με α > 0 και κυρίως όταν α = 2 ). iv. Την συνάρτηση του φυσικού και δεκαδικού λογάριθμου, συμβολιζόμενες αντίστοιχα ως, ln x και log x. v. Την συνάρτηση απόλυτη τιμή, x. vi. Την συνάρτηση ακέραιο μέρος του x (συνήθως IntegerPart ή floor function στις γλώσσες προγραμματισμού) δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υ- περβαίνει τον x. Αν πιστέψουμε το σχόλιό μας της 0.2 η [ x ] ανήκει στην 0 C (-, + ) αλλά προφανώς αν και η [ x ] ορίζεται και στα σημεία ασυνέχειας της, δηλαδή το Z, οι ασυνέχειες δεν είναι αιρόμενες. Παραμείνατε στο 0.3 μέχρι να το ξεκαθαρίσετε και αυτό! sin x vii. Την συνάρτηση sin cx = (προσοχή το c δεν είναι σταθερά αλλά x γράμμα- μέρος του συμβολισμού). Την γραφική της παράσταση αλλά και την χρησιμότητα της θα την δούμε στην 2.4.

13 Σύμβολα, Ορολογία, Θεμελιώδεις Έννοιες και Τύποι 17 viii. Την συνάρτηση Heaviside uc () t με c 0 Ï0,0 t < c uc () t = Ì Ó1, c t Προφανώς όταν, σε τετριμένη εκδοχή, = 0 Επομένως για > 0. Βλέπε και Παράρτημα Β. c η c () = 1 c έχουν ότι η u () t ανήκει στο C 0 [ 0, ) c u t για κάθε t 0. ix. Την συνάρτηση δέλτα του Dirac ως προς το α, δ α. Τόσο τα εισαγωγικά στην λέξη συνάρτηση όπως και τον ορισμό και την χρησιμότητα του κορυφαίου αυτού μαθηματικού όπλου για την μελέτη των σημάτων θα την αναπτύξουμε στα Παραρτήματα Β και Γ. Θεωρούμε ότι είναι πολύ νωρίς να παρουσιάσουμε τον ορισμό σε αυτό το σημείο διακινδυνεύοντας ένα μόνιμο εγκλεισμό του αναγνώστη εντός του Κεφ. 0. sinnπ = 0, cosnπ = -1 για κάθε n ŒZ. x. ( ) n 1 1 α α α α α α sin α = 3-4cos2α+ cos 4 α, cos α = 3 + 4cos2α+ cos 4α. 8 8 xi. sin 3 = ( 3sin - sin3 ), cos 3 = ( 3cos + cos 3 ) xii. ( ) ( ) α xiii. e = cosα+ cosα (τύπος του Euler), για κάθε α ŒR (και όχι μόνο ). xiv. 1 iα cos ( - iα = + ), sin = 1 iα ( - - iα α e e α e e ) Εδώ το xiv είναι άμεση συνέπεια 2 2i κατάλληλης διπλής χρήσης του xiii. Κάντε το ως προπόνηση! n 2κπi n xv. Αν z = 1, nœ N τότε z = zκ = e, κ = 0,1,..., n-1 και αντιστρόφως. (Οι αριθμοί z κ καλούνται τα n πρώτα ριζικά της μονάδας). Και κλείνουμε το Κεφ. 0 με τον επόμενο τύπο που τουλάχιστον στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση έκανε τον σεβαστό κ. De Moivre διασημότερο του Euler, αν και αποτελεί απλή ειδική εφαρμογή του xiii: cosα+ isinα = cosnα+ isin nα για nœz (και όχι μόνο ). xvi. ( ) n

14 Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 19 1 ο Κεφάλαιο Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου Πολλές έννοιες που θα συναντήσουμε στο παρόν κεφάλαιο τις συναντάμε σε ένα προπτυχιακό εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας. Υπάρχουν όμως και μέρη της θεωρίας που μάλλον ο διδασκόμενος θα τα συναντήσει για πρώτη φορά. Αυτά κυρίως αφορούν τα απείρου πλήθους ορθοκανονικά συστήματα και θεωρήματα συνδεόμενα με αυτά (π.χ. ανισότητα Bessel, το Λήμμα των Riemann & Lebesgue και άλλα). Μερικών εξ αυτών τις αποδείξεις τις παραλείπουμε αφού το ανά χείρας σύγγραμμα δεν σκοπεύει να παίξει τον ρόλο ενός βοηθήματος προχωρημένης Γραμμικής Άλγεβρας. Δίνεται όμως μια ποικιλία από βιβλιογραφικές παραπομπές για όποιον ενδιαφέρεται. 1.1 Εισαγωγικές Έννοιες Η πιο θεμελιώδης αλγεβρική δομή που χρειαζόμαστε είναι ο διανυσματικός χώρος (δ.χ.). Οι αριθμοί που θα χρησιμοποιηθούν σε σχέση με τον ορισμό ενός δ.χ. μπορεί να είναι το R ή το C (τυπικά έπρεπε να πούμε ότι αυτά έχουν την δομή σώματος αλλά δεν θα μας απασχολούν τέτοιες λεπτομέρειες ). Τα στοιχεία ενός δ.χ. θα τα ονομάζουμε διανύσματα (αλλά ας μην παρασύρεται ο αναγνώστης από την τετριμμένη χρήση του όρου λόγω της Φυσικής στο χώρο ή στο επίπεδο που γνωρίζει). Τυπικά ένα (μη κενό προφανώς) σύνολο V θα καλείται δ.χ. πάνω στο αριθμοσύνολο F ( F = R ή C) αν το εμπλουτίσουμε με τις εξής πράξεις, + και, 1. Πρόσθεση διανυσμάτων: αν uv, ŒV ορίζεται ένα τρίτο διάνυσμα u+ v πάλι στον V. 2. Πολλαπλασιασμός με αριθμό: για κάθε uœv και αœf ορίζεται ένα διάνυσμα αu Œ V.

15 20 Κεφάλαιο 1 Οι εν λόγω πράξεις πρέπει να διασφαλίζουν και τα εξής: 1. ( u+ v) + w = u( v+ w ) για κάθε uvw,, ŒV. 2. Υπάρχει διάνυσμα ονομαζόμενο μηδενικό διάνυσμα 0 (το βέλος το βάζουμε για να μην το μπερδεύουμε με τον αριθμό 0 και όχι για να παραπέμψουμε στη συνηθισμένη από την Φυσική γραφή) με την ιδιότητα 0+ v = v+ 0= v για κάθε vœ V. 3. Για κάθε vœv υπάρχει ένα διάνυσμα ονομαζόμενο μείον v, -v με την ιδιότητα v+ (- v ) = = + u v v u για κάθε vu, ŒV. 5. Για κάθε αœf και vu, ŒV, α ( u+ v) = α u+ α v. 6. Για κάθε αb, ŒF και uœ V, ( + ) = + 7. Για κάθε vœ V, 1 v = v. α b u α u b u και ( ) ( ) α b u = αb u. Σχόλιο: Αφού επισημάνουμε ότι η ιδιότητα 9 χρειάζεται διότι δεν πρόκειται περί του συνηθισμένου πολλαπλασιασμού έχουμε από τις 8 και 9 ότι u+ (- 1) u = ( 1-1) u = 0 u = -0 u u-0 u = 1-0 u = u fi 0 u = 0 και επειδή ( ) άρα το -u της 4 δεν είναι παρά το (-1) u το ήδη εξασφαλισμένο Και άλλες παρόμοιες περικοπές θα μπορούσαν να γίνουν σε έναν πιο αυστηρό ορισμό του δ.χ. V, αλλά με αυτή τη μακρά λίστα ιδιοτήτων αισθανόμαστε πιο απελευθερωμένοι όταν αργότερα οι πράξεις μας γίνουν πιο σύνθετες από ό,τι είχαμε συνηθίσει με τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου. Ανάλογα με το αν F = R ή F = C καλούμε τον δ.χ. V πραγματικό ή μιγαδικό δ.χ. και προσοχή διότι αυτά τα επίθετα αφορούν τους αριθμούς και όχι τα διανύσματα! Ένα W Õ V (W υποσύνολο του V) ονομάζεται διανυσματικός υποχώρος (δ.υ.) του V αν στο W οι ίδιες +, και με το ίδιο F έχουμε τις ίδιες ιδιότητες του ορισμού ενός δ.χ. Αν θέλουμε να ελέγξουμε γρήγορα κατά πόσο το W είναι δ.υ. έχουμε το εξής κριτήριο ελέγχου. Κριτήριο Ελέγχου Ενός Διανυσματικού Υποχώρου Για W π, έχουμε δ.υ. αν για κάθε uv, ŒW και κάθε αb, ŒF fi αu+ bvœw. Θα χρειαστούμε τέσσερεις ακόμα ορισμούς:

16 Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 21 Ορισμός Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων Αν v1,..., v n διανύσματα ενός δ.χ. V, το διάνυσμα u καλείται γραμμικός συνδυασμός (γ.σ.) των v 1,..., v n αν u = v1α vnα n για κάποιους αριθμούς α1,..., αn ŒF. Ορισμός Γραμμικής Ανεξαρτησίας Διανυσμάτων Τα v1, v2,..., v n ενός δ.χ. V θα καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα (γ.α.) αν η εξίσωση αv = 1 1 αv αv n n 0 με α1,..., αn ŒF ικανοποιείται μόνο αν α1 = α 2 = =... = α = 0. Αλλιώς τα καλούμε γραμμικώς εξαρτημένα (γ.ε.). n Ορισμός Γραμμικού Αναπτύγματος Το σύνολο όλων των u που είναι γραμμικός συνδυασμός των v1,..., v n καθώς τα α1,..., α n μεταβάλλονται, ονομάζεται γραμμικό ανάπτυγμα των v 1,..., v n και συμβολίζεται με span{ v1,..., v n}. Ορισμός Βάσης ενός Δ.Χ. του V αν είναι γ.α. και { } Ένα πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων v1,..., v n ενός δ.χ. V θα ονομάζεται βάση V = span v1,..., v. Ο αριθμός αυτών, n, μάλιστα ονομάζεται διάσταση του δ.χ. V και γράφουμε n= dim V. n Σχόλια: α) Από τους πιο πάνω ορισμούς βγαίνει (και είναι μια εύκολη άσκηση για το σπίτι) ότι τα v 1,..., v n είναι γ.α. αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν είναι γ.σ. των υ- πολοίπων n -1 διανυσμάτων. β) Ο αναγνώστης θα πρέπει ήδη να διαισθάνεται ότι ένας δ.χ. (πραγματικός ή μη) που δεν είναι ο τετριμένος V = { 0} έχει άπειρο πλήθος βάσεων που οδηγεί μετά από σκέψη ότι η διάσταση του V είναι ανεξάρτητη της επιλογής της βάσης. γ) Ο ορισμός αυτός της βάσης που δόθηκε αφορά εκ κατασκευής δ.χ. πεπερασμένης διάστασης. Αλλά με αυτούς που είναι απειροδιάστατοι θα ασχοληθούμε σε αργότερα και κυρίως στα παραρτήματα.

17 22 Κεφάλαιο 1 Ασκήσεις 1.1 Εισαγωγικές Έννοιες 1) Είναι μάλλον προφανές ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους δ. υπόχωρων ενός δ.χ. είναι και αυτός δ.υ. Ελέγξτε το! Μπορείτε να πείτε το ίδιο για την ένωσή τους; Γιατί; (Υπόδειξη: Αν uv, Œ W 1» W 2 όπου W 1, W 2 δύο δ.υ ενός δ.χ. ισχύει το κριτήριo αb, ŒF fi αu+ bvœ W» W ; Γιατί;) 1 2 u V τότε το σύνολο { } 2) Aν V ένας δ.χ. ως προς F και Œ αu α ŒF είναι δ.υ. του V και μάλιστα εμπεριέχεται σε κάθε δ.υ. που περιέχει το u. 3) Αποδείξτε ότι το συναρτησιοσύνολο L 1 ( R) = καθίσταται πραγματικός δ.χ. με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf. (Υπόδειξη: Ιδιότητες ολοκλήρωσης.) ÏÔ Ô Ìf f : RÆ R, Ú f( x) dx < ÔÓ - Ô 4) Ορίζουμε ως V = C 1 [ α, β ] τις συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους στο [ α, β ]. Δείξτε ότι με τις συνήθεις πράξεις καθίσταται ένας δ.χ. και επομένως θα είναι και δ.υ. του δ.χ. Cα [, β ] 5) Έστω το σύνολο όλων των n n πινάκων (με n σταθερό) με στοιχεία από το F. Ορίζουμε επί αυτού την συνήθη πρόσθεση πινάκων και τον πολ/σμό αριθμού επί πίνακα. Τότε παίρνουμε ένα δ.χ. που τον συμβολίζουμε Mn( F ) (όπου το Μ αντιστοιχεί στον όρο Μatrix = Πίνακας, που μερικές φορές απαντάται και με τον όρο Μητρώο). Μπορείτε αμέσως να περιγράψετε το 0 του εν λόγω δ.χ.; 6) Παρουσιάζουμε τώρα ένα παράδειγμα «εξωτικού» δ.χ. που όμως είναι πολύ χρήσιμος και σε ειδικότερες μορφές τον συναντάμε σε πολλές ασκήσεις Φυσικής: Έστω Ω ένα μη κενό υποσύνολο του F και V ένας οποιοσδήποτε δ.χ. Ορίζουμε το σύνολο V όλων των f : ΩÆ V με τις συνήθεις πράξεις f+g και kf. Ω Τότε έχουμε έναν νέο δ.χ.. Σημειώστε ότι η f(z) είναι διάνυσμα και όχι αριθμός και ότι η μηδενική συνάρτησή μας στον V είναι αυτή με εικόνα το Ω ουδέ-

18 Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 23 τερο στοιχείο του V. Προσπαθήστε να μην μπερδεύετε την Συνάρτηση 0(z) = 0 με το ίδιο το 0. Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται διανυσματικές συναρτήσεις και αν περιορισθούμε στο υποδιάστημα [0, ) και με V= R 3 έχουμε την περιγραφή των διανυσματικών πεδίων της κλάσσικής Μηχανικής. 7) Όπως έχουμε αναφέρει στην θεωρία όταν ένα σύνολο διανυσμάτων εντός ενός δ.χ. είναι γ.ε. τότε τουλάχιστον ένα εξ αυτών είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων. Αυτό είναι σχετικά απλό αφού από την σχέση αv = 1 1 αv αv n n 0 αν υποθέσουμε π.χ. ότι α1 π 0 τότε έχουμε v1 =-( α2 / α1) v ( αn / α1) v n, κ.ο.κ. Συμπερασματικά εδώ έχουμε v1œspan{ v2,..., v n} κ.ο.κ. 1.2 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι ο ορισμός ενός δ.χ. δεν περιλαμβάνει την πράξη πολλαπλασιασμού μεταξύ διανυσμάτων. Η έννοια του εσωτερικού γινομένου (ε.γ.) μπορούμε να πούμε ότι έρχεται να εμπλουτίσει την δομή ενός δ.χ. προς αυτή την κατεύθυνση και όπως θα φανεί αργότερα δημιουργεί το άριστο μαθηματικό περιβάλλον για την μελέτη των σημάτων. Προειδοποιούμε όμως τον αναγνώστη ότι εν γένει οι δ.χ. δεν έχουν αυτομάτως και εκ του φυσικού τους κάποιο εσωτερικό γινόμενο. Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου Έστω V ένας δ.χ. με F = R ή C. Για uv, ŒV ορίζουμε ως ε.γ. των δύο αυτών διανυσμάτων μία πράξη ανάμεσά τους που οδηγεί σε ένα αριθμό του F (προσοχή όχι διάνυσμα) που συμβολίζουμε uv,. Η πράξη, έχει τις ιδιότητες: 1. Για κάθε vœ V, vv, Για κάθε uœ V, uu, = 0 u= Για κάθε uvw,, ŒV και αb, Œ F, αu+ buw, = α uw, + b uw,. 4. Για κάθε uv, ŒV, uv, = vu,.

19 24 Κεφάλαιο 1 Ορισμός Χώρου Εσωτερικού Γινομένου Ο δ.χ. V με ένα ε.γ. ονομάζεται χώρος εσωτερικού γινομένου (χ.ε.γ.) Μπορούμε να απαριθμήσουμε πολλές ιδιότητες ενός ε.γ. στηριγμένες στις (1)-(4) του ορισμό του (και τις οποίες τις αφήνουμε για ασκήσεις εύκολης ως μέτριας δυσκολίας): α) Για κάθε uvw,, ŒV και αb, ŒF ισχύει ότι uαv, + bw = α uv, + b uw,. β) Για κάθε vœv και κάθε α Œ F, αv, αv = α v, v. γ) Για κάθε vœ V, 0, v = 0. δ) Στον φυσικό χώρο R 3 πιθανόν να έχετε συναντήσει για u1 = ( α1, β1, γ 1) και u2 = ( α2, β2, γ 2) το εσωτερικό γινόμενο να ορίζεται μέσω της πράξης u1 u2 = α1 α2 + β1 β2 + γ1 γ 2 (ή ακόμα και ίσως να θυμάστε τον ορισμό από τη φυσική u1 u2 = u1 u2 cos θ, με θ την γωνία μεταξύ των u 1, u 2). Επαληθεύστε ότι το u1, u2 = u1 u 2 έχει τις ιδιότητες του ε.γ. που δώσαμε για τον αφηρημένο δ.χ. V. ε) Γενικεύστε και αποδείξτε την ιδιότητα 3 του ορισμού ενός ε.γ. και την α) για πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων και αριθμών F. Επιτέλους ήρθε η στιγμή να δώσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα (αν και το κάναμε πλαγίως στο δ) για χ.ε.γ. Παράδειγμα 1 Παίρνουμε για V = C n (n-άδες, γραμμές ή στήλες, με μιγαδικές συντεταγμένες) και F = C. Με τη συνήθη πρόσθεση n-άδων και τον συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών επί n-άδα έχουμε έναν δ.χ. Ορίζουμε για r1,..., r n > 0 την εξής πράξη μεταξύ δύο z = ( z κ ) και ( κ ) n Τότε ο ( C, ) n ( C, ). w = w, 1 κ n, με z, w ŒC : 2 i i n zw, rzw. =  k k k k= 1 είναι χ.ε.γ. Οι αριθμοί r1,..., r n ονομάζονται σταθμά (ή βάρη) του Συνήθως εμφανίζεται μόνο η περίπτωση r1 = r2 =... = r n = 1. Παράδειγμα 2 V = C α, β όπως ορίστηκε στην 0.2 και που όπως είδαμε ήδη στην 1.1 με Έστω [ ] τις συνήθεις πράξεις του αθροίσματος συναρτήσεων f :[ α, β ] Æ C και του πολλαπλασιασμού αριθμού επί συνάρτηση έχουμε έναν (μιγαδικό) δ.χ. Ορίζουμε τώρα

20 Τα Θεμέλια των Χώρων Εσωτερικού Γινομένου 25 α την εξής πράξη μεταξύ f, g ŒV : f, g = Ú f ( x) g( x) dx. (Ο Απειροστικός Λογισμός Ι πρέπει να σας έχει ήδη πείσει ότι η πράξη αυτή είναι εφικτή!). Δοκιμάστε β τώρα τις γνώσεις σας στα ορισμένα ολοκληρώματα για να δείτε ότι πράγματι έχει ορισθεί ένα ε.γ. Παράδειγμα 3 z μία (άπειρος) ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε Έστω { } n n=1 Â 2 n <. n= 1 z (Για παράδειγμα: όταν z = 1 n n 2 i 2 1 έχουμε z n = και η n n n= Ï Ì Ó 1 είναι μία κλασσική φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος με πρώτον όρο το 1 4 και λόγο το 1 4 και αντίστοιχη σειρά έχει τιμή Â n= = 4 1 =. n Το σύνολο όλων των { } n n=1 z με αυτή την ιδιότητα το ονομάζουμε l 2. Η πρόσθεση των διανυσμάτων του (υπενθυμίζουμε ότι εδώ είναι ακολουθίες) και ο πολλαπλασιασμός αριθμού επί διάνυσμα που κάνουν τον l 2 δ.χ. είναι οι συνηθισμένες επεκτάσεις των πράξεων όταν είχαμε πεπερασμένο πλήθος συντεταγμένων (όπως στο z = z και Παράδειγμα 1). Προσοχή όμως: δεν είναι εντελώς προφανές ότι { } n n= w = { w } Œl 2 n τότε η { } n= 1 n n = 1 Œl2. n 1 zw Θα είναι μία από τις προτεινόμενες στο CD ασκήσεις που συνοδεύονται από εκτεταμένες υποδείξεις. Αν ορίσουμε (σαν γενίκευση του Παραδείγματος 1) για πράξη zw, = zw = Âzn w n δεν είναι n= 1 δύσκολο να ελέγξουμε ότι ισχύουν οι 4 ιδιότητες ενός ε.γ. Αυτό που ίσως σας δυσκολέψει είναι ότι η προκύπτουσα σειρά συγκλίνει, ή σε απλουστευμένη διατύπωση ότι το απειροάθροισμα Âzn n= 1 στις ασκήσεις του 1.3 με επαρκή υπόδειξη. Παράδειγμα 4 2 Ο χ.ε.γ. (- + ) w είναι κάποιος αριθμός στο C όπως θα το βρείτε n L,. Είτε θα περιμένετε να ωριμάσουν οι πιο εύκολες περιπτώσεις χ.ε.γ. ή, αν ανυπομονείτε, πηγαίνετε τώρα στο Παράρτημα Γ.

21 26 Κεφάλαιο 1 Ασκήσεις 1.2 Διανυσματικοί Χώροι και Εσωτερικό Γινόμενο 1) Στον γνωστό μας δ.χ. C [-1, 1] ορίζουμε την σχέση Ú 1-1 f, g = f( x) + g( x) dx. Έχουμε ορίσει τώρα ένα ε.γ. στον εν λόγω χώρο; (Υπόδειξη: 2 x,0 = 2/3 (γιατί;) π 0. Άρα η απάντηση είναι όχι Γιατί;) 2) Στον δ.χ. V = C 1 [ α, β ] (δείτε την Άσκ. 4 της 1.1) ας πάρουμε [, ] α β = = [ 1, 1]. Ορίζουμε για δύο διανύσματα-συναρτήσεις του V την σχέση Ú 1-1 f, g = f(0) g(0) + f ( x) g ( x) dx. Eίναι το, ένα ε.γ. επί του V; (Yπόδειξη: Πάρτε f(x) = x, και g(x) = 0 που προφανώς ανήκουν στον V (αλλά και σε κάθε δ.χ. 1 C α, β ). Τότε όμως f, g = 0 ενώ g( x ) π 0. Άρα;) [ ] 3) Ας υποθέσουμε ότι στον γνωστό μας πραγματικό δ.χ. C(α, β) έχουμε το γνωστό ε.γ. του Παραδ. 2 της 1.2. Δείξτε ότι δεν έχουμε πλέον ένα ε.γ. επί του δ. υπέρχωρου C 0 ( α, β ). (Yπόδειξη: Πάρτε f(γ) = 1 για α<γ<β και f(x) = 0 για το υπόλοιπο ανοικτό διάστημα. Tότε f, f = 0 αλλά f(x) π 0.) 4) Έστω V ο δ.χ. που ορίσαμε στην Άσκ. 6 της 1.2. Ορίζουμε για Α, ΒŒ M ( n C ) την εξής σχέση: A, B = tr[a ( B ) T ]. Εδώ με ( B ) T συμβολίζουμε τον ανάστροφo (όλες οι γραμμές γίνονται στήλες και οι στήλες γραμμές) του πίνακα με τα συζυγή στοιχεία του Β και με tr (εκ του trace) το ίχνος του πίνακα (= άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του). Ελέγξτε ότι το, ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του V. (Yπόδειξη: Aν Α = ( α ij ) και Β = ( b ij ) τότε AB, = n n  ι= 1 j= 1 α.) ij b ji

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ISBN 978-96-46-28-9 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 211 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 978-960-456-191-9

ISBN 978-960-456-191-9 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-191-9 Copyright, Ιανουάριος 2010, Σέμος Αναστάσιος, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ _CONT_.indd iii τίτλος: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ συγγραφέας: Καραγιαννάκης Δημήτριος 2014 Εκδόσεις Δίσιγμα Για την ελληνική

Διαβάστε περισσότερα

Οι σειρές Fourier. Eισαγωγικές Επισημάνσεις

Οι σειρές Fourier. Eισαγωγικές Επισημάνσεις παραρτημα Α Οι σειρές Fourier Μέρος (Ι) Eισαγωγικές Επισημάνσεις Ο Γάλλος μαθηματικός Jean Baptist Fourier μελετώντας την διάδοση της θερμότητας στα στερεά σώματα και στην προσπάθειά του να δώσει σε κλειστή

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Σύνολα Πως διαβάζουμε κάποιους συμβολισμούς: ανήκει και η άρνηση, δηλαδή δεν ανήκει υπάρχει για κάθε : τέτοιο ώστε. Επίσης το σύμβολο έχει την ερμηνεία «τέτοιο ώστε» και ή υπονοεί

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ISBN 978-960-456-259-6 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις wwwzitigr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίας και Πληροφορικής Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD Εισαγωγή To παρόν κεφάλαιο χωρίζεται σε μέρη. Στο (Α), μεταξύ άλλων, εξηγούμε γιατί μας ενδιαφέρει η λεγόμενη ανάλυση σε παράγοντες ειδικούς πίνακες (decompositio)

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Θεωρία Συνόλων, Συναρτήσεις Πραγματικής Μεταβλητής, Όριο και Συνέχεια Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 2010, Θεσσαλονίκη

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 2010, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Με το συγγραφέα επικοινωνείτε: Tηλ. 310.348.086, e-mail: thaasisxeos@yahoo.gr ISBN 978-960-456-08-4 Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 010,

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ ΣΥΝΟΔΕΥΤΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά)

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός Fourier

Ο μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ 2 5 +32 17 2= 1156 Μαθηματικά Β μέρος 8 9 15 Δ=2 δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Το ζεύγος εξισώσεων που ορίζουν το

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-516-026-9

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κεφάλαιο Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund, Katznelson 4 και Stein and Shakarchi.. Μερικά βασικά περί μιγαδικών αριθμών Υποθέτουμε ως γνωστές

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα

ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα ISBN 978-960-456-205-3 Copyright, Μάρτιος 2010, Ε. Λάμπρου, Γ. Πανταζής, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0}

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0} 1 Θεώρημα BEZOU T Ο δακτύλιος K[x 1,..., x n ] είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Άρα κάθε πολυώνυμο f K[x 1,..., x n ] (που δεν είναι σταθερά, δηλαδή f / K) αναλύεται σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 2 II Βασική άλγεβρα. Αρχικά μαθήματα 4 1 Μάθημα 1 4 1.1 Πορεία μελέτης............................ 4 1.2 Διάφορα σχόλια............................ 5 1.3 Πορεία μελέτης............................

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Κωνσταντίνος Μαντζουκίδης, Ιανουάριος 2012, Θεσσαλονίκη

Κωνσταντίνος Μαντζουκίδης, Ιανουάριος 2012, Θεσσαλονίκη Διεύθυνση επικοινωνίας: Μαντζουκίδης Κωνσταντίνος Πτυιούος Τμήματος Χημείας Α.Π.Θ. Τ.Θ. 1373, Τ.Κ. 57500, Τρίλοφος Θεσσαλονίκης Τηλ: 390 6489 6974 995091 e-mail : costasmantz@gmail.com Το μεγαλύτερο και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα I. Λέμε ότι η F είναι αντιπαράγωγος της f στο I αν ισχύει F = f στο I. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία,

Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία, www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία, θα σου φανεί χρήσιμο τις τελευταίες ημέρες της προετοιμασίας σου για τις πανελλαδικές εξετάσεις. Τα περιεχόμενά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 9 Φεβουαρίου 007 Ημερομηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γραμμικοί Κώδικες 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα Μέχρι τώρα θεωρούσαμε έναν κώδικα C με παραμέτρους (n, M, d) απλώς ως ένα υποσύνολο του συνόλου A n, όπου A είναι ένα αλφάβητο. Είχαμε, όμως,

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα