Glavni sistem:obremenjen s prvotno obtežbo: P. δ Pomik δ 10 :δ 10 = P (2L ) Reakciji pri levi in desni podpori: ΣV=0

Transcript

1 OGM Metoda sil. METODA SIL. OIS METODE Metoda sil se uporablja za račun statično nedoločenih konstrukcij. V njej kot neznanke nastopajo sile. Namenjena je predvsem ročnemu računanju konstrukcij, ki so sicer lahko zapletene, niso pa prevečkrat statično nedoločene. red začetkom računa moramo poznati stopnjo statične nedoločenosti konstrukcije. Konstrukcija je statično določena, če je število ravnotežnih enačb (v ravnini ) enako številu neznanih sil (t.j. vsota števila neznanih sil v podporah in neznanih medsebojnih sil med elementi v vozliščih). Stopnja statične nedoločenosti je enaka razliki med številom neznanih sil in številom ravnotežnih enačb. V splošnem je lahko konstrukcija notranje in/ali zunanje statično nedoločena. V okviru predmeta OGM se bomo praviloma ukvarjali predvsem z zunanje statično nedoločenimi konstrukcijami, pri katerih se statična nedoločenost nanaša na način podpiranja konstrukcije. ostopek določitve stopnje statične nedoločenosti je v tem primeru enostaven, saj lahko stopnjo zunanje statične nedločenosti izračunamo kot število neznanih sil v podporah zmanjšano za tri. Velja torej, da je ravninska konstrukcija zunanje statično določena (ozirom statično določeno podprta), če je le trikrat podprta (smeri podpor se ne smejo sekati v eni točki). Če je konstrukcija podprta manj kot trikrat, je statično predoločena, oziroma labilna. Vzemimo, da je konstrukcija n-krat statično nedoločena. S primernim vstavljanjem kinematičnih členkov izločimo iz konstrukcije n sil X i (sile so lahko sile ali momenti). Z izločanjem neznanih sil prvotno statično nedoločeno konstrukcijo spremenimo v statično določeno in stabilno konstrukcijo. To konstrukcijo obtežimo s prvotno obtežbo in silami X i, ki smo jih izločili pri vstavljanju kinematičnih členkov. Tako obteženo konstrukcijo imenujemo glavni sistem. Ker želimo, da je glavni sistem v celoti enak prvotni konstrukciji, lahko zahtevamo, da so v kinematičnih členkih izpolnjeni določeni deformacijski pogoji. Izpolnitev teh pogojev pomeni, da se glavni sistem deformira enako kot prvotna konstrukcija. Zapišemo lahko toliko dodatnih deformacijskih pogojev, kolikor sil X i smo izločili. rimer: Enkrat nedoločena osnovna konstrukcija: L Deformacijski pogoj: δ + δ L X X. 75 Glavni sistem:obremenjen s prvotno obtežbo: δ omik δ :δ (L ) 4. 9 E I Reakciji pri levi in desni podpori: ΣV V a V b ( -.75 )/. Glavni sistem obremenjen s silo X : δ X X (L) omik δ :δ - 4 E I Moment nad srednjo podporo (prerezni postopek):. M min.75. M min -. L + L/ M min -. L

2 OGM Metoda sil remike (pomike ali zasuke) glavnega sistema lahko razdelimo na premike zaradi zunanje obtežbe in zaradi sil X i. ri tem pomeni: δ i premik glavnega sistema na mestu in v smeri sile X i zaradi zunanje obtežbe in δ ik premik glavnega sistema na mestu in v smeri sile X i zaradi sile X k. Za premike glavnega sistema na mestu in v smeri sile X i lahko zapišemo: δ δ X + δ X δ X + δ i (i od do n) i i i in n Ker prvotna konstrukcija na mestu in v smeri delovanja sile X i ni prekinjena (sicer bi bila sila X i ) velja: δ i Tako dobimo sistem n enačb (deformacijskih pogojev), ki nam skupaj z ravnotežnimi pogoji omogoča rešitev problema. Na primer za -krat statično nedoločene konstrukcije tako dobimo: δ X + δ X - δ δ X + δ X - δ Koeficiente enačb δ i in δ ik, t.j. premike glavnega sistema na mestih in v smeri delovanja sil X i zaradi sil X k in zaradi zunanje obtežbe, določimo s pomočjo metode virtualnega dela. Kadar je to mogoče, si pomagamo tudi s tabelami in obrazci v priročnikih. Tako smo na primer pri ilustrativnem primeru na prejšnji strani uporabili izraze za pomik prostoležečega nosilca pri koncentrirani sili v sredini in pri simetrični obtežbi z dvema koncentriranima silama, ki jih lahko najdemo v prilogi A (priloga A vsebuje rezultate za različne statično določene konstrukcije obremenjene z različnimi obtežbami). V precej primerih si lahko pomagamo tudi s seštevanjem rezultatov zaradi različnih obtežb. V primeru določitve deformacije statično določenega glavnega sistema s pomočjo virtualnega dela na mesto in v smeri iskane deformacije namestimo na konstrukcijo virtualno silo V, če je iskana deformacija pomik, ali virtualni moment M v, če je iskana deformacija zasuk. Virtualno delo, ki ga opravijo notranje sile zaradi zunanje obtežbe na pomikih zaradi virtualne obtežbe (npr. za račun δ ) določimo po naslednji enačbi: MM D EI dx NN + EA dx + QQ GA dx s M - upogibni moment N - osna sila Q - prečna sila (Količine s prečko pripadajo virtualni obtežbi, vrednosti brez prečke pa zunanji obtežbi) E - elastični modul I - vztrajnostni moment (za pravokotnik b h 4 π D, za krog 64 A - prerez G - strižni modul (.4 E) A s - strižni prerez (za pravokotnik A/., za krog A/.)

3 OGM Metoda sil Virtualno delo, ki ga opravijo notranje sile zaradi virtualne obtežbe na pomikih zaradi virtualne obtežbe (npr. za račun δ ) pa podobno: M D EI dx N + EA dx + Q GA dx s Integriranje poteka po vsej konstrukciji. Strižne deformacije so pomembne pri kratkih elementih, na primer pri nizkih stenah, medtem ko je njihov doprinos pri tankih in dolgih stebrih ali gredah zelo majhen. Iz tega pri računu virtualnega dela običajno zanemarimo vpliv prečnih sil, pogosto pa tudi osnih sil. (na primer pri betonskih okvirjih, kjer so osne deformacije v splošnem zanemarljive). Če so vrednosti v imenovalcih konstantne po dolžini elementa, jih lahko izpostavimo. Deformacijo nato izračunamo po enačbi: δ D / V raviloma za velikost virtualne sile izberemo vrednost. V tem primeru je izračunano virtualno delo D kar enako iskani deformaciji: δ D Na ta način izračunamo pomike glavnega sistema zaradi zunanje obtežbe in sil X i, pri čemer najprej postavimo VX, nato VX in končno VX n Integriramo največkrat s pomočjo metode Verešagina (glej Osnove tehniške mehanike, str 9). Ta metoda poeneostavlja izvedbo integrala pri računu virtulnega dela (deformacij). Integriranju na ravnem delu delu konstrukcije s konstantnimi materialnimi in geometrijskimi karakteristikami (E, I, A) in linearnim (nelomljenim) potekom momenta M se lahko izognemo z uporabo naslednjega izraza. X M M dx E I A y E I X kjer je A ploščina moment-nega diagrama M, y pa vrednost momenta M nad težiščem (T) ploščine momentnega diagrama M. y T vrednost v težišču ploščina A X X X X y T [M] [M] V primeru, da je momentna črta lomljena, oziroma da se spremenijo materialne ali geometrijske karakteristike, integriramo po posameznih odsekih, na katerih je potek konstanten, in rezultate med seboj seštevamo. V primeru, da je potek M in M linearen, velja obrnljivost (vseeno je ali kombiniramo ploščino M z vrednostjo v težišču M ali obratno). ri računanju moramo paziti na predznake količin. Ker upogibne momente vedno rišemo na tisto stran, na kateri povzročajo natege, je v primeru, da sta momenta zaradi M in M na isti strani, produkt pozitiven, v nasprotnem primeru pa negativen. Nekateri izrazi za račun integrala so zbrane v dodatku B. M M dx za najpogostejše oblike momentnih črt Dobljeni sistem linearnih algebraičnih enačb je simetričen. Matriko, ki jo lahko sestavimo iz koeficientov [δ ik ] (i do n, k do n) imenujemo tudi podajnostna matrika konstrukcije. Z njeno

4 OGM Metoda sil 4 inverzijo lahko izračunamo togostno matriko konstrukcije. V okviru našega predmeta, kjer bo število neznank majhno, bomo sistem reševali s pomočjo eliminacije naznank. Z rešitvijo sistema enačb dobimo neznane sile X i. Glavni sistem, ki ga obremenimo zunanjo obtežbo in silami X i, je enak prvotni konstrukciji. osamezne statične količine (upogibne momente, osne sile, prečne sile) lahko izračunamo neposredno z upoštevanjem ravnotežnih pogojev ali pa s seštevanjem že znanih vrednosti statičnih količin na glavnem sistemu za posamezne obtežbe. Ko smo glavni sistem obremenili z zunanjo obtežbo, smo v neki točki izračunali notranje sile M, N in Q. ri obtežbi z neznankami X i pa smo za isto točko izračunali notranje sile M i, N i in Q i. Kadar na glavni sistem deluje vsa obtežba, so notranje sile: M M o + X i M i n i N N o + X i N i n i Q Q o + X i Q i n i ri računu notranjih sil je potrebno torej sešteti notranje sile zaradi zunanje obtežbe z notranjimi silami zaradi obtežbe s silo X, X, X. in X n. ri tem je v zgornjih izrazih potrebno upoštevati dejanske izračunane vrednosti sil X i. Na enak način lahko izračunamo tudi reakcije. Včasih je potrebno uporabiti oba načina, ker pri računu koeficientov enačb (deformacijskih pogojev) ne upoštevamo vseh notranjih sil, ki v konstrukciji nastopajo. ri računu koeficientov enačb običajno zanemarimo vpliv prečnih sil, pogosto pa tudi osne deformacije, vendar pa to ne pomeni, da so prečne oziroma osne sile enake nič - le v računu vpliv prečnih oziroma osnih sil ni vključen. rečne oziroma osne sile lahko izračunamo s pomočjo ravnotežnih pogojev. Sama metoda sil zaradi različnih variant za izbiro glavnega sistema in bistveno obsežnejšega računskega dela pri večkrat statično nedoločenih konstrukcijah ni primerna za splošne velikokrat statično nedoločene sisteme (npr. več-etažne okvirje). Za računalniško obdelavo se je kot primernejša izkazala deformacijska metoda.

5 OGM Metoda sil 5 NALOGA - ALIČJE Leseno strešno konstrukcijo predstavlja paličje, ki je na levi strani vrtljivo podprto, na desni strani pa vrtljivo priključeno na betonski steber. o metodi sil izračunaj osne sile v paličju zaradi podane obtežbe in upogibni moment v stebru (razporeditev upogibnih momentov tudi nariši). ri računu zanemari vpliv prečnih sil in osne deformacije v stebru. Naris konstrukcije in osnovni podatki so prikazani na spodnji sliki. 45 kn kn 4. m A h B b 4. m 4. m 5. m C ALIČJE vse palice so pravokotnega prereza b/h/6 cm E.5E7 kn/m STEBER b/h.5/.5 m E.E7 kn/m. Določitev stopnje statične nedoločenosti Konstrukcija je sestavljena iz paličja in stebra, ki je zaradi raztezka spodnega pasu paličja upogibno obremenjen (nategi se bodo torej pojavili na levi strani stebra). Takšne konstrukcije imenujemo tudi mešane konstrukcije. oglejmo si vsak sestavni del zase. aličje je statično določeno, če je sestavljeno iz posameznih trikotnikov in če je statično določeno podprto. Obravnavano paličje je torej statično določeno, ni pa statično določeno podprto. Neznano število reakcijskih sil je 4 (horizontalni in vertikalni reakciji v vozliščih A in B). Steber je v primeru, če poznamo horizontalno in vertikalno silo, ki se nanj prenašata preko členka B, statično določen. Ker v ravnini obstajajo ravnotežni pogoji, je konstrukcija enkrat statično nedoločena.. Določitev glavnega sistema Glavni sistem lahko dobimo s sprostitvijo ene prostostne stopnje. Ker konstrukcijo sestavlja paličje in steber, je najbolje, da sprostimo horizontalno reakcijo v vozlišču B in jo nadomestimo z neznano silo X. Glavni sistem prikazuje naslednja slika: Ha X X Vb Va Vb

6 OGM Metoda sil 6. Obtežba glavnega sistema z zunanjo obtežbo - reakcije Glavni sistem obremenimo z zunanjo obtežbo. Ta deluje samo na paličje. Ker je konstrukcija simetrična in obtežba simetrična, sta reakciji enaki zunanji obtežbi in usmerjeni navzgor. V horizontalni smeri obtežbe ni, zato je horizontalna reakcija enaka nič. A 4. Notranje sile zaradi zunanje obtežbe odpora A: ΣX N cos 45 + N N - N cos 45 A N N ΣY N cos 45 + N - / cos kn (tlak) > N 4.4 cos 45 kn (nateg) Vozlišče N4 N4.4 N ΣX N cos cos 45 + N4 N4 - N cos 45 - ΣY 4.4 cos 45 - N cos 45 + N > N4 - kn (tlak) Ker je paličje simetrično in obtežba simetrična, so tudi osne sile simetrične. Osne sile zaradi osnovne obtežbe:

7 OGM Metoda sil Obtežba glavnega sistema z neznano silo X - reakcije in notranje sile Sile X obremenjuje le spodnji pas paličja. Reakcije in osne sile so prikazane na spodnji sliki: X -X - X X Sila X obremenjuje tudi steber in v njem povzroča upogibni moment: X h5 Mh X 6. Računanje koeficientov enačb Ker je konstrukcija enkrat statično nedoločena, sistem deformacijskih pogojev predstavlja ena sama enačba: δ X - δ δ je pomik glavnega sistema zaradi zunanje obtežbe na mestu in v smeri neznane sile X δ je pomik glavnega sistema zaradi neznane sile X na mestu in v smeri neznane sile X ri paličjih nastopajo le osne sile. Izraz za izračun virtualnega dela se poenostavi. ri paličjih deformacijsko delo, oziroma pomik (če je izbrana velikost virtualne obtežbe enaka ) računamo po enačbi: n δ i NN i i EA l i i i (pomik na mestu in v smeri sile X zaradi zunanje obtežbe) oziroma po enačbi n δ i NN i i EA l i i i (pomik na mestu in v smeri sile X zaradi sile X)

8 OGM Metoda sil n - število palic paličja N i - osna sila zaradi zunanje obtežbe v palici i N i - osna sila zaradi sile X v palici i l i - dolžina palice i E i - elastični modul palice i A i - prerez palice i Zgornji enačbi veljata za primer, ko sta material in prerez pri posamezni palici konstantna. ri našem primeru koeficienta δ in δ izračunamo s pomočjo zgornjih izrazov, pri čemer so nekatere vrednosti osnih sil enake nič in njihovi produkti iz enačbe izpadejo: δ (- 4-4) - (- označuje pomik v smeri, ki je nasprotna sili X) EA l p EA l p δ ri računu pomika zaradi virtualne obtežbe X moramo poleg osnih sil v paličju zaradi sile X upoštevati še upogibni moment v stebru (osna sila v stebru zaradi virtulne sile X je enaka nič, vpliv prečnih sil pa zanemarimo). δ EA l p ((-) 4 + (-) 4) + EI b s h h h h E A + l E I p b s h h izraz h predstavlja produkt ploščine diagrama momenta v stebru in vrednosti EI b s momenta v težišču istega diagrama. Kompabilitetno enačbo lahko ponazorimo z naslednjo sliko: končni pomik točke B δ H E b I s X E l A p X Neznano silo X lahko torej izračunamo iz že omenjene enačbe, tako da izračunane koeficiente vstavimo v enačbo δ X - δ (upoštevamo tudi predznake koeficientov). ri tem je potrebno paziti na različna modula elastičnosti za les in beton! Običajna vrednost modula elastičnosti za beton je.e+7 kn/m ali kn/m. h ( E A + l E I p b s ) X EA l p > X kn E l - elastični modul za les E b - elastični modul za beton A p - prerez palice paličja (enak za vse palice), A p.6..9 m I s - vztrajnostni moment stebra, I s.5.5/.5 m 4

9 OGM Metoda sil 9 Izračunana sila X je pozitvna, kar pomeni, da sila dejansko deluje v predpostavljeni smeri. S pomočjo izračunane sile X, lahko izračunamo vse neznane notranje količine. 7. Račun osnih sil in reakcij v paličju Osne sile v paličju izračunamo s seštevanjem osnih sil zaradi zunanje obtežbe in osnih sil zaradi virtualne obtežbe X na glavnem sistemu. ri tem upoštevamo izračunano vrednost za silo X X.95 -X7. -X X.95. Račun mometa ob vpetju stebra X.95 h5 M Račun horizontalnega pomika na vrhu stebra omik točke B zaradi zunanje obtežbe za primer, da je točka B pomično podprta (glavni sistem) δ m EA l p (neg. predznak označuje pomik v nasprotni smeri sile X, t.j. v desno) omik točke B zaradi vpliva stebra (sile X) za primer, da je točka B pomično podprta (glavni sistem) X.5 m (pozitvni predznak označuje pomik v smeri sile X, t.j. v levo) E A l p Končni horizontalni pomik vrha stebra: H X.45 m (pozitvni predznak označuje pomik v smeri sile X, t.j. v desno) EbI s Kontrola: H X E.45 b I s B

10 OGM Metoda sil NALOGA - NOSILEC Določi reakcije in razporeditev upogibnih momentov in prečnih sil za spodaj prikazani nosilec. Nosilec je konstantnega prereza in materiala. Obremenjen je z zvezno obtežbo in koncentrirano silo. Zanemari vpliv prečnih sil. A B C. Določitev stopnje statične nedoločenosti a V podpori A nastopajo neznane reakcije (Ha, Va, Ma), v podpori B pa ena neznana reakcija (Vb). Ker v ravnini obstajajo ravnotežni pogoji, je konstrukcija (4-) enkrat statično nedoločena. V primeru, da vse štiri reakcije poznamo, lahko izračunamo tudi vse notranje statične količine. l b Ha Ma Va Vb. Določitev glavnega sistema Za določitev glavnega sistema obstaja več možnosti. Ogledali si bomo račun z dvema različnima glavnima sistemoma. ri. glavnem sistemu bomo sprostili podporo B. V tem primeru je glavni sistem konzola. ri. glavnem sistemu bomo sprostili moment v podpori A. V tem primeru je glavni sistem prostoležeči nosilec. V obeh primerih mankajočo podporo nadomestimo z neznano silo X. Glavni sistem A B X C Glavni sistem X A B C. Obtežba glavnega sistema z zunanjo obtežbo - reakcije Glavni sistem Ha Va a + Ma a a + (a + b)

11 OGM Metoda sil Glavni sistem Ha ΣY Va + Vb a + > Va a + - Vb a ΣM A Vb a - a a a + (a + b) - (a + b) > Vb a 4. Momenti zaradi zunanje obtežbe ri obeh glavnih sistemih je enostavneje, če posebej obravnavamo zvezno obtežbo in posebej koncentrirano obtežbo. Glavni sistem Glavni sistem a A a B C A (a+b) + B b C + b A B C A B C 5. Obtežba glavnega sistema s silo X - reakcije Glavni sistem Ha Va - Ma - a Glavni sistem Ha ΣY Va + Vb > Va -Vb ΣM A Vb a + > Vb - a

12 OGM Metoda sil 6. Obtežba glavnega sistema s silo X - momenti Glavni sistem Glavni sistem X X A B C a A B C 7. Računanje koeficientov enačb Ker je konstrukcija enkrat statično nedoločena, sistem deformacijskih pogojev predstavlja ena sama enačba: δ X - δ δ je pomik glavnega sistema zaradi zunanje obtežbe na mestu in v smeri neznane sile X δ je pomik glavnega sistema zaradi neznane sile X na mestu in v smeri neznane sile X Koeficiente enačb določimo po principu virtualnega dela. Integrale izvrednotimo s pomočjo metode Verešagina. ri tem je virtualna sila enaka in enako usmerjena kot sila X in kot momente zaradi virtualne obtežbe upoštevamo momente zaradi sile X. Ker smo se odločili, da bomo vpliv prečnih (osnih sil ni) pri računu zanemarili, lahko tiste člene, ki vsebujejo Q in N, iz enačbe za račun deformacij s pomočjo virtualnega dela, izpustimo. δ MM EI dx (pomik na mestu in v smeri sile X zaradi zunanje obtežbe) δ M dx (pomik na mestu in v smeri sile X zaradi sile X) EI Količine s prečko pripadajo virtualni obtežbi, vrednosti brez prečke pa zunanji obtežbi. Kombiniramo momente, ki smo jih izračunali v razdelku 4 in 6. ri tem je potrebno poznati površino in težišče lika, ki ga opisuje kvadratna parabola. L L L M L 4 T A M L L 4 M L T A M M L M L 5 L L L

13 OGM Metoda sil Glavni sistem V našem primeru dolžina L ustreza dolžini a. δ E I a a a E I a ordinata v diagramu M(X) ordinata v diagramu M() - pravokotnik ordinata v diagramu M() - trikotnik δ - E I a a 4 a + a a b + a a a površina parabole površina diagrama M(X) površina diagrama M(X) Minus je posledica tega, da se diagrama nahajata na različnih straneh nosilca (imata nasprotni predznak). Računu ordinate pri trapezu smo se izognili tako, da smo ga razdelili na trikotnik in pravokotnik: Dobimo: δ - E I a A a trikotnik pravokotnik 4 + a b Nekateri izrazi za račun integrala + a B b C M [] M M dx za najpogostejše oblike momentnih črt so zbrani v dodatku B. Za kombinacijo parabole in trikotnika lahko najdemo naslednji izraz: M M dx L 4 M M - a 4 ( a a) pri čemer smo upoštevali M -a in M a. Za kombinacijo trapeza in trikotnika pa naslednji izraz: M M dx L 6 (M + M M - L ) 6 (b + (a + b)) a pri čemer smo upoštevali M b, M (a+b) in M -a. δ izračunamo s seštevanjem obeh izrazov: δ - a - a b - a - a E I 6 4 b E I a 4 + a b + a Silo X izračunamo iz enačbe δ X - δ. Dobimo:

14 OGM Metoda sil 4 a E I X E I a 4 + a b + a oziroma: X a + b a + (vertikalna reakcija v podpori B) Glavni sistem δ E I a E I a δ - a a E I + a b a E I 4 Silo X izračunamo iz enačbe δ X - δ. Dobimo: + a b 6 a E I X E I a 4 - a b 6 oziroma: X a - b (vpetostni moment v podpori A) Vidimo lahko, da zvezna obtežba (oziroma večja dolžina polja a) vpetostni moment povečuje, sila (oziroma daljša dolžina previsnega polja b) pa zmanjšuje.. Račun reakcij in notranjih sil Obstajata dve metodi za račun reakcij in notranjih sil. ri prvi metodi notranje statične količine (upogibne momente, osne sile, prečne sile) izračunamo neposredno z upoštevanjem ravnotežnih pogojev (iz znanih reakcij). ri drugi metodi reakcije in notranje statične količine izračunamo s seštevanjem že znanih vrednosti reakcij in notranjih statičnih količin na glavnem sistemu za posamezne obtežbe. Ko smo glavni sistem obremenili z zunanjo obtežbo, smo v neki točki izračunali moment M. ri obtežbi z silo X pa smo za isto točko izračunali moment M. Kadar na glavni sistem deluje vsa obtežba, je torej celotni moment enak: M M o + X M Isti princip lahko uporabimo tudi za račun reakcij ali drugih notranjih statičnih količin. V našem primeru smo zanemarili vpliv prečnih sil (zanemarili smo njihov vpliv na deformacije). rečne sile lahko določimo le iz reakcij s pomočjo ravnotežnih pogojev.

15 OGM Metoda sil 5 Glavni sistem Uporabimo metodo - neznane količine računamo s pomočjo ravnotežnih pogojev: Ma Ha Va a b Σ X Ha Σ Y - a - + Va + X > Va a + - X Σ M Ma - a / + X a - (a +b) > Ma a / - X a + (a +b) Če v zgornje izraze vstavimo X a + b a +, dobimo: Ma a - b (kar je enako vrednosti X iz računa z glavnim sistemom ) X Va 5 a - b a Upogibni moment na sredini polja a (x a/) lahko izračunamo po prereznem postopku. M (x.5 a) a - b 6 4 o istem postopku lahko določimo tudi potek prečnih sil. Diagrama momentov in prečnih sil sta odvisna od konkretnih številčnih vrednosti za,, a in b. Ma Ha Va VbX a b Ma b M max M (x.5a) Va Vb

16 OGM Metoda sil 6 Glavni sistem Uporabimo metodo - neznane količine računamo s pomočjo rezultatov, ki smo jih dobili na glavnem sistemu za različne obtežbe. Uporabimo rezultate za reakcije, ki smo jih za različne obtežbe izračunali v razdelkih in 5. Izračunajmo reakcijo Vb. X Ha Va Vb a b Vb a a + (a + b) - a a X Če vstavimo X a - b, dobimo: Vb a + b a + (kar je enako vrednosti X iz računa z glavnim sistemom ) odobno lahko določimo tudi reakcijo Va, oziroma ostale notranje statične količine. Dobljeni rezultati so enaki ne glede na izbrani glavni sistem.

17 OGM Metoda sil 7 NALOGE ZA VAJO Naslednji nalogi rešite sami. Za kontrolo vaših rezultatov so obema nalogama priložene pravilno izračunane reakcije. NALOGA - ENOETAŽNI ČLENKASTI OKVIR Okvir, ki ga prikazuje slika je obremenjen z verikalno zvezno obtežbo kn/m, vertikalno koncentrirano silo kn in horizontalno silo H kn. Z uporabo metode sil določi (in nariši) razporeditev upogibnih momentov ter prečnih in osnih sil. ri računu zanemari vpliv osnih in prečnih sil na deformacije. Upoštevaj, da je E b 7 kn/m, I.4 m 4, l6 m in h 4 m. riporočljivo je, da se posamezne vplive obravnava ločeno in se jih nato med seboj sešteje. l/ H I I I h l Reakcije (kn):

18 OGM Metoda sil NALOGA 4 - BRANASTA KONSTRUKCIJA Za podano leseno branasto konstrukcijo, pri kateri so štirje prečniki (A-B, B-C, A-B4 in B4- C) členkasto priključeni na kontinuirni glavni nosilec (B-B5) izračunaj: a) Reakcije v vozliščih A, A, C in C. b) Maksimalni upogibni moment v prečniku (A-B). c) Določi potrebne dimenzije prečnika. ri tem upoštevaj, da je dopustna upogibna napetost za les enaka kn/cm. d) Z metodo sil določi razporeditev momentov in prečnih sil v glavnem nosilcu (nariši). ri tem zanemari vpliv prečnih sil na deformacije. e) Izračunaj vertikalne reakcije v vozliščih B, B in B5 in preveri ravnotežje. f) reveri, če debelina glavnega nosilca / cm zadošča. ri tem upoštevaj, da je dopustna upogibna napetost za les enaka kn/cm. Ostali podatki: kn/m, E lesa. 7 kn/m, a.5 m, b4m. B C a/ A B B C a/ a/ A B4 B5 b Reakcije (kn): a/ b Moment nad podporo B je enak -7,5 knm. Opomba: Nalogi in 4 lahko rešite tudi s pomočjo deformacijske metode, oziroma z uporabo formul iz priloge A.

19 OGM Metoda sil 9 Račun naloge s programom Amses Frame D V nadaljevanju je prikazan primer izračuna naloge s programom Amses Frame D. rikazani so vhodni podatki, ki zajemajo vnos geometrije, podpor, členkov, materialov, prerezov in obtežb ter eden od izhodnih podatkov, ki prikazuje notranje statične količine momente. rikaz vhodnih podatkov: statični model konstrukcije s podano geometrijo, podporami, členki ter obtežbami. rikaz enega od izhodnih podatkov: risba momentov z vpisanimi vrednostmi.

20 OGM Metoda sil Račun naloge 4 s programom SA rikazan je primer izračuna naloge 4 s programom SA. rikazani so vhodni podatki, ki zajemajo vnos geometrije, podpor, členkov, materialov, prerezov in obtežb in nekateri izhodni podatki, ki prikazujejo različne rezultate: deformacije, reakcije, notranje statične količine momente. Na koncu lahko tudi preverimo ali konstrukcija prenese podano obtežbo, kar je izraženo s faktorjem izkoriščenosti. Če ta preseže normirano vrednost, je treba prerez povečati. Vrednosti so izražene številčno in z barvo. rikaz nekaterih vhodnih podatkov: statični model konstrukcije s podano geometrijo, podporami, členki, ter izris s podanimi debelinami elementov.

21 OGM Metoda sil rikaz nekaterih izhodnih podatkov: reakcije, momenti (rdeče: pozitivni, modro: negativni), deformacije (izpis označene točke v oknu) in prikaz napetosti v obliki izkoriščenosti prereza.