Metoda sila (1) V. S. & K. F.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Metoda sila (1) V. S. & K. F."

Transcript

1 . Temejna zamisao Metoda sia () V. S. & K. F. Rješavajući zadatak izračunavanja sia u jednostrano upetoj gredi Navier je dodatnu jednadžu izveo iz uvjeta kompatiinosti pomakâ u desnom ežaju (pogavje Statički neodredeni sistemi definicija i osnovne karakteristike, od stranice 5. nadaje). Kjučni je korak pritom io anaitičko rješavanje diferencijane jednadže progine inije grede. Znamo, medutim, da je u soženijim sučajevima naaženje tog rješenja dugotrajno i mukotrpno. U Navierovu postupku vaja uočiti dvije pojedinosti: anaitički izraz za proginu iniju potrean je samo za uvrštavanje runoga uvjeta na mjestu i po pravcu djeovanja odarane prekorojne sie, reakcije B; u tom se izrazu od nepoznanica pojavjuje samo vrijednost B sie B pa se ona može iz njega neposredno izračunati. Umjesto zadane jednostrano upete grede AB promatrat ćemo sada konzou Ā B istoga raspona i istih geometrijskih i materijanih karakteristika EI, opterećenu siom u istom poožaju te siom X, zasad nepoznate vrijednosti X, na pravcu koji odgovara pravcu djeovanja reakcije B (sika..). Sia X zamjenjuje reakciju B, a time i ežaj B jednostrano upete grede. (U n puta statički neodredenom nosaču pojavit će se n sia čije su vrijednosti na početku proračuna nepoznate; označavat ćemo ih sa X, X 2,..., X n.) Zamisit ćemo da na konzou u početku djeuje samo sia (sika.c.). Reakcije i unutarnje sie jednake su tada reakcijama i unutarnjim siama u mogućem ravnotežnom stanju grede AB uz pretpostavku B 0; usporedite, primjerice, momentni dijagram prikazan na sici.d. s dijagramom na sici 3.c. na stranici 4. pogavja Statički neodredeni sistemi. No, vidjei smo da to moguće stanje ravnoteže nije stvarno stanje. Sada Õ možemo dati još jedno tumačenje te tvrdnje: kako je reakcija B izraz otpora ežaja B vertikanom pomaku, pretpostavka B 0znači da se ežaj tom pomaku ne odupire. Vrijednost vertikanoga pomaka ežajne točke stoga i ia jednaka vrijednosti vertikanog pomaka soodnoga kraja konzoe: dx EI ³± a2ô2. 6EI δ BÔÕ 0 IÔxÕ ÔxÕ M 0ÔxÕm E a2»¹ ³± »¹

2 a. A a B x z. Ā B c. X d. a M 0 e. f. m g. δ B() h. X δ B(X ) i. j. M 0 X m k. M(0) M(a) M Sika. 2

3 Vrijednost pomaka izračunai smo primjenom metode jedinične sie. Momentni dijagram za jediničnu siu u točki B, orijentiranu kao X (sika e.), prikazan je na sici.f. δ B δ BÔÕ δ BÔX Õ. Sada ćemo zamisiti da je, nakon što se konzoa prognua pod siom (sika.g.), počea djeovati i sia X. Na temeju principa superpozicije ukupni je vertikani pomak točke B zroj pomakâ zog neovisnih djeovanja sia i X pa je njegova vrijednost: S pogedom unaprijed, na proračun n puta statički neodredenih sistema, uvest ćemo sustavan način označavanja vrijednostî pomakâ: δ i,j. rvi indeks, ièö, n, označava da je riječ o pomaku hvatišta sie X i po pravcu njezina djeovanja:øδ i,j δ i,jøe i, pri čemu jeøe i jedinični vektor na pravcu djeovanja sie X i, orijentiran kao ta sia:øx i X iøe i uz X 0. Očito je da predznak vrijednosti δ i,j daje smisao pomaka u odnosu na smisao djeovanja sie X i. Drugi indeks, j, oznaka je uzroka pomaka: j 0 označava sva zadana djeovanja, a jèö, n jediničnu siu u hvatištu, na pravcu i u smisu djeovanja sie X j. rema tom su načinu označavanja δ BÔÕ δ,0 i δ BÔX Õ X δ,. Dake: δ,0 vrijednost je pomaka hvatišta sie X po pravcu njezina djeovanja (dake, po vertikanom pravcu kroz točku B), izazvanog zadanim opterećenjem (u našem primjeru siom ), dok je δ, vrijednost pomaka hvatišta sie X po pravcu njezina djeovanja zog jedinične sie, orijentirane kao X, u toj točki i na tom pravcu. Za δ,0 doii smo negativnu vrijednost kako sia X djeuje prema gore,øδ,0 pomak je prema doje. Desna strana izraza δ BÔX Õ X δ, pokazuje da i u izračunavanju te vrijednosti primjenjujemo princip superpozicije: uzrokuje i jedinična sia pomak čija je vrijednost δ,, sia vrijednosti X prouzročit će pomak čija je vrijednost X δ,. ritom je, primjenom metode jedinične sie, δ, EI ³± 3 0 3EI ; ÔxÕ m 2 E IÔxÕdx δ, ima isti smisao kao i sia koja ga je izazvaa. 2»¹ ³±2»¹ 2 3 δ B δ BÔÕ δ BÔX Õ 0. Budući da sia X zamjenjuje ežaj B jednostrano upete grede, njezinu ćemo vrijednost odarati tako da točku B vrati u početni poožaj (sika.h.): Iz tog uvjeta, koji ćemo, dosjednije, napisati u oiku δ, X δ,0 0, () Ostajemo u okviru Bernoui Euerove teorije savijanja. retpostavjat ćemo uvijek da je po pojedinim dijeovima sistema E const (iako razičiti dijeovi mogu imati razičiti modu eastičnosti; mogu, primjerice, iti izvedeni od razičitih gradiva: etona, čeika, drva...). A kao što zapis IÔxÕu općem izrazu za pomak pokazuje, poprečni se presjeci mogu i duž pojedinih dijeova mijenjati. 3

4 Õ možemo izračunati potrenu vrijednost X sie X : δ, 6EI X δ a2ô2,0 uvrstimo i još a, doit ćemo 3 3EI X 3 a2 a Õ a2ô2 ; 2 3 Usporeda doivenoga izraza s izrazom za vrijednost B reakcije B, koji smo izvei Navierovim postupkom (Statički neodredeni sistemi, stranica 6.), pokazuje da je, zaista, X B. Ukratko, zamjena jednostrano upete grede konzoom općenitije: statički neodredena sistema odredenim omogućia je izračunavanje vrijednosti pomaka odarane točke metodom jedinične sie, čime smo izjegi potreu za rješavanjem diferencijane jednadže progine inije. I k tomu još, primjena principa superpozicije itno je pojednostavia postupak učinivši ga pritom zornijim i pregednijim: izrazi za vrijednosti pomaka izazvanih neovisnim djeovanjima zadane i jedinične sie znatno su kraći i stoga manje podožni greškama no što je to izraz za vrijednost ÔxÕ pomaka pri istodonom djeovanju sia i X. Izvest ćemo, kontrasta radi, i taj izraz. Momentni dijagram pri zajedničkom djeovanju sia i X (sika 2.a.; podsjećamo, vrijednost X zasad je neodredena) skiciran je na sici 2.. pa je M XÔxÕm δ B dx 0 EIÔxÕ Õ»¹»¹ ³± EI ³± 2 X a»¹ ³± a 6EI 2Ô2 2X a 2 a a 2 3. Iz uvjeta δ B 0 sijedi»¹ Õa»¹ ³± 2 2Ôa X 3 3 X a uvrštavanje a daje već poznati izraz za X. Õ a 2Ô2 2Ôa 2 a a 2 3Õ, ³± 2 X 2»¹ ³±2 Kao što je vrijednost konačnoga pomaka točke B zroj vrijednosti pomakâ zog sie i zog sie X, tako se i vrijednosti drugih kinematičkih i statičkih veičina mogu izračunati zrajanjem utjecajâ jedne i druge sie. Time nismo reki ništa novo riječ je tek, ponovo, o neposrednoj primjeni principa superpozicije. No, tim postupkom, a to je za rješavanje statički neodredenih zadataka svakako vro važna spoznaja, doivamo ujedno i vrijednosti odgovarajućih veičina u jednostrano upetoj gredi. Ako, naime, s pomoću sie X zadovojimo na konzoi Ā B uvjet δ B 0, tada su konzoa i jednostrano upeta greda AB u istim mehaničkim stanjima: ponajprije, sia X mora iti jednaka reakciji B; potom, iz uvjetâ je 4

5 a. a X. a X X M X c. m Sika 2. ravnoteže očito da su i ostae reakcije i unutarnje sie u konzoi i gredi medusono jednake. A jasno je da su jednake i njihove progine inije: sike.h. i.i. na stranici 2. rema tome, vrijednost momenta savijanja MÔxÕu presjeku x jednostrano upete grede, na primjer, možemo izračunati 0ÔxÕ Ôa xõ prema izrazu m ÔxÕ, (2) gdje su za 0 x a, M Ô xõ 0 za a x i 0ÔaÕ X m ÔxÕ X vrijednosti momenata u presjeku x od neovisnih djeovanja sia i X na konzou. Napose, MÔaÕ M X a2 2 4 a 3 a rimjena principa superpozicije u duhu je prethodnih koraka pa se takav postupak oično smatra kanonskim. Crtanje dijagrama M na temeju otprije poznatih dijagrama M 0 i m (sike.d. i f.; str. 2.) prikazano je na sikama j. i k. No, za crtanje momentnog dijagrama na jednostrano upetoj gredi (sika.k.) potrene su nam samo vrijednosti MÔ0Õ M A, MÔaÕiMÔÕ M B. Budući da je B X, iz ravnoteže momenata oko točke x 0 za dioü0, jednostrano upete grede doivamo MÔ0Õ a B a X 2 a2 3 a 2 a 3, 2 2 a iz ravnoteže momenata oko x a za dioüa, MÔxÕ M 0ÔxÕ X m ÔaÕ 0 X MÔaÕ B X X Ô aõ 3 Ô aõ 3 5 a2 2 4 a 3 a ;

6 znamo da je M B 0. Dake, kad je vrijednost odarane prekorojne sie poznata, vrijednosti ostaih reakcija i unutarnjih sia možemo izračunati iz jednadži ravnoteže; taj postupak može iti kraći od primjene principa superpozicije. (Dijagram poprečnih sia možemo, ako je poznat momentni dijagram, nacrtati i na temeju diferencijanoga odnosa T M½. [Nacrtajte taj dijagram na sva tri načina!]) U oradenom su primjeru sadržani svi itni koraci proračuna statički neodredenih sistema metodom sia. Zamišjenim raskidanjem veza zadani se sistem pretvara u statički odredeni, koji nazivamo osnovnim sistemom, a raskinute se veze nadomještaju siama koje odgovaraju siama koje su te veze prenosie. Vrijednosti tih sia potom izračunavamo iz uvjetâ kompatiinosti pomakâ na mjestima raskinutih veza sie moraju povratiti narušenu neprekinutost poja pomaka ii osigurati podudaranje pomakâ na mjestima ukonjenih ežajeva sa stvarnim ežajnim uvjetima. Vrijednosti pomakâ koji se pojavjuju u uvjetima kompatiinosti proračunavamo metodom jedinične sie; na temeju principa superpozicije možemo to uraditi za zasena djeovanja zadanoga opterećenja i pojedinih jediničnih sia u raskinutim vezama. Iako smo dosad, govoreći o pomacima, misii samo na transacijske, sve što je rečeno može se primijeniti i na rotacijske pomake. Umetanjem zgoa umjesto krute veze omogućavamo zaokret osi grede 2 ; raskinuta je veza prenosia moment savijanja. Tako upeti ežaj A naše jednostrano upete grede (sika 3.a.) sprečava pomak te točke i zaokret osi u njoj tangenta na proginu iniju mora se u toj točki pokapati s osi nedeformirane grede. Uacivanjem zgoa nastaje prosta greda Ā B u kojoj se os u ežaju može soodno zaokretati. Reaktivni moment M A, a time i upetu vezu jednostrano upete grede, nadomjestit ćemo u osnovnom sistemu momentom X (sika.); njegovu ćemo vrijednost odarati tako da poništi zaokret zog zadanoga opterećenja, sie. Kut zaokreta osi u ežaju Ā proste grede zog djeovanja sie (sika 3.e.) je ĀÔÕ»¹»¹ ϕ dx 0 ³± EI ³± a a 2 2 IÔxÕ ÔxÕ M 0ÔxÕm E a»¹ ³± 3 2 3»¹ ³± a2 3 a 2 a 3. 6 EI Dijagrami M 0 i m na osnovnom sistemu za siu i za jedinični moment u Ā, istoga smisa kao X, prikazani su na sikama 3.c. i d. Dijagram M 0 podudara se, naravno, s dijagramom za moguće ravnotežno stanje zadane grede uz pretpostavku M A 0, sika 3.e. na stranici 4. pogavja Statički neodredeni sistemi. 2 risjetite se usput: u Timošenkovoj je teoriji savijanja odgovarajuća veičina zaokret normae na ravninu poprečnoga presjeka. 6

7 a. A B. Ā B X c. a M 0 d. m e. ϕ Ā () f. ϕ Ā (X ) X g. X m ĀÔÕ M M 0 Sika 3. Uvjet kompatiinosti pomakâ naaže iščezavanje zaokreta osi pri istodonom djeovanju sia i X (sika 3.f.): ÔxÕ ϕ Ā ϕ ϕ ĀÔX Õ 0. ritom je kut zaokret samo od momenta X ϕ ĀÔX Õ X δ,, pri čemu je m δ, 2 0 E IÔxÕdx EI ³± 2»¹ ³±2 Uz ϕ ĀÔÕ δ i ϕ ĀÔX Õ X δ, uvjet kompatiinosti pomakâ imat će formano isti zapis kao jednadža () na stranici 3.:,0 Iz njega sijedi δ,0 X δ, X δ, a2 3 a 2 a 3. δ, »¹ 3 EI.

8 Superpozicija dijagramâ M 0 i X m, kojom doivamo konačni momentni dijagram na jednostrano upetoj gredi, prikazana je sici 3.g. Funkcijski izraz za vrijednost momenta savijanja formano je ponovo 0ÔxÕ ³²³±Ô aõ 0ÔxÕ Ô xõ MÔxÕ M X m ÔxÕ, no sada su x za 0 x a, M a za a x ; x m ÔxÕ. oseno, za x 0 doivamo MÔ0Õ X 2 a2 3 a 2 a 3 Ô Õ X. 2 2 Dok smo umetanjem zgoa na mjestu upetoga ežaja omogućii apsoutni zaokret osi u ežaju, zgoom unutar raspona grede (sika 4..) omogućavamo reativni zaokret osi neposredno ijevo u odnosu na os neposredno desno pa se progina inija omi : sika e. Da zagadimo nastai šijak, dodati moramo par momenata jednakih intenziteta, ai suprotna smisa vrtnje: sika f. Dijagrami momenata savijanja na osnovnom sistemu, koji je sada jednostavni Gererov nosač (sika 4..), pri djeovanju sie te pri djeovanju para jediničnih momenata oko zgoa prikazani su na sikama c. i d. (Uacivanjem zgoa upravo u hvatište sie oakšai smo izračunavanje vrijednosti pomaka metodom jedinične sie. Smjestimo i zgo u neki presjek ijevo od tog hvatišta, dijagram M 0 it će soženijeg oika [nacrtajte ga!]. Za sve poožaje zgoa desno od hvaišta taj dijagram ostaje kao na sici c. [dokažite!]. No, ako je zgo u hvatištu, vrijednosti u dijagramu m izražene su samo s pomoću već poznatih geometrijskih veičina, dok i se pri drugim poožajima pojavie još neke veičine [provjerite!].) ri prijeazu preko umetnutoga zgoa kut je reativnog zaokreta prognute osi Gererova nosača zog djeovanja sie,0 EI ³± ϕ zôõ δ 3»¹ a2ô3 a2»¹ ³± EIÔ aõ; to je kut izmedu tangenata na proginu iniju u točkama neposredno ijevo i neposredno desno od zgoa (sika 4.e.). Kako su u zadanoj jednostrano upetoj gredi u točki koja odgovara poožaju umetnutoga zgoa ijevi i desni dio medusono kruto spojeni, progina se inija ne smije somiti možemo reći (možda uz stanoviti nedostatak matematičke strogosti) da u toj točki dijeovi imaju zajedničku tangentu. Dodani momenti X moraju 8

9 a. A B. Ā B X X c. a M 0 d. m e. ϕ z() f. ϕ ijevo z (X ) ϕ z desno (X ) X X g. M 0 X m M Sika 4. stoga dovesti tangente na siom somjenu Õ proginu iniju do pokapanja. Svaki moment zatvara dio kuta na svojoj strani (sika 4.f.): ϕ ijevo ÔX z ϕ z desno ÔX Õ ϕ zôx Õ. Kako je ϕ zôx Õ X»¹ δ,, gdje je δ, aõô aõ EI ³±»¹ ³± , EIÔ aõ2 uvjet kompatiinosti pomakâ δ, X δ,0 0 (taj ste izraz već vidjei, zar ne?) daje δ X a2ô3 δ, 3 a2 2 4 a 3 a ,0 Kao i ranije, s drugim osnovnim sistemima, uz poznatu vrijednost X momenata X, vrijednosti reakcija i unutarnjih sia u odaranim presjecima jednostrano upete grede možemo 9

10 izračunati primjenom principa superpozicije ii iz jednadži ravnoteže njezinih pogodno odaranih dijeova. Na isti način možemo izvesti i funkcijske izraze za vrijednosti unutarnjih sia duž cijeog raspona. rimjerice, 0ÔxÕ prema principu superpozicije funkcijski je izraz za vrijednost momenta savijanja 0ÔxÕ Ôa xõ i sada formano MÔxÕ M X m ÔxÕ, ai se u nj uvrštavaju izrazi za 0 x a, M 0 za a x ; ÔxÕ x m a. oseno je MÔaÕ X 3 a2 2 4 a 3 a Crtanje momentnog dijagrama superpozicijom dijagrama M 0 i X m prikazano je na sici 4.g. [Izvedite funkcijske izraze i nacrtajte dijagrame momenata savijanja i poprečnih sia ako je zadano jednoiko distriuirano opterećenje po cijeoj dujini grede! Za osnovni sistem uzmite prostu gredu. Izvedite funkcijske izraze za momente i poprečne sie i nacrtajte dijagrame ako jednoiko distriuirano opterećenje djeuje samo na dijeuö0, a! Za osnovni sistem uzmite sada Gererov nosač sa zgoom u x a.] 0

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 009. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) (A) (A) 600 (B) 600 (B) 500 (A) 500 (A) SADRŽAJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01...3.1. Analiza opterećenja ploče

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA **** MLADEN SRAGA **** 00. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA JEDNADŽBE NEJEDNADŽBE APSOLUTNE JEDNADŽBE APSOLUTNE NEJEDNADŽBE

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

12. SKUPINA ZADATAKA IZ FIZIKE I 6. lipnja 2016.

12. SKUPINA ZADATAKA IZ FIZIKE I 6. lipnja 2016. 12 SKUPIN ZDK IZ FIZIKE I 6 linja 2016 Zadatak 121 U osudi - sremniku očetnog volumena nalazi se n molova dvoatomnog lina na temeraturi rema slici) Plin izobarno ugrijemo na temeraturu, adijabatski ga

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela.

Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela. S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 90 Primjer 4.56. Osnovka ABCD uspravne četverostrane prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Ružica Korać GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Maja Starčević Zagreb, rujan 2015. Svaki dan je

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 5: Tα Άκλιτα µέρη του λόγου. Μπορόβας Γεώργιος Τµήµα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 5: Tα Άκλιτα µέρη του λόγου. Μπορόβας Γεώργιος Τµήµα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 5: Tα Άκλιτα µέρη του λόγου Μπορόβας Γεώργιος Τµήµα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Matrična analiza linijskih

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA STVAAJE VEZE C-C PM]U GAAA 2 6 rojne i raznovrsne reakcije * idroborovanje alkena i reakcije alkil-borana 3, Et 2 (ili TF ili diglim) Ar δ δ 2 2 3 * cis-adicija "suprotno" Markovnikov-ljevom pravilu *

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut α < 90 pravi kut α = 90 tupi kut 90 < α < 180 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360 puni kut α = 360 Komplementi

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE 2. METOE RJEŠVNJ STRUJNH KRUGOV STOSMJERNE STRUJE U svrhu lakšeg snalaženja u analizi složenih strujnih krugova i električnih mreža uvode se nazivi za pojedine dijelove mreže. Onaj dio električne mreže

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE **** MLADEN SRAGA **** 0. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE α LOGARITMI Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

JAVA podrška za simpleks metodu

JAVA podrška za simpleks metodu Sveučilište u Zagrebu PMF - Matematički odjel Juraj Ivančić JAVA podrška za simpleks metodu Diplomski rad Zagreb, siječanj 2005. Sveučilište u Zagrebu PMF - Matematički odjel Juraj Ivančić JAVA podrška

Διαβάστε περισσότερα

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h A n a l i s a M a n a j e m e n B P I H d i B a n k S y a r i a h I S S N : 2 0 8 7-9 2 0 2 I S L A M I N O M I C P e n e r b i t S T E S I S L A M I C V I L L A G E P e n a n g g u n g J a w a b H. M

Διαβάστε περισσότερα

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Tijekom ocjenjivanja nacionalnih ispita i ispita državne mature, neovisno o razini, uvidjeli smo neke probleme pri rješavanju zadataka. Ovdje želimo navesti

Διαβάστε περισσότερα

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I . Otnik tnsti = 00, kalem induktivnsti = mh i kndenzat kaacitivnsti = 00 nf vezani su aaleln, a između njihvih kajeva je usstavljen steidični nan efektivne vednsti = 8 V, kužne učestansti = 0 5 s i četne

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradiva za kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputama predmetnog nastavnika

Διαβάστε περισσότερα

='5$9.2 STRUJNI IZVOR

='5$9.2 STRUJNI IZVOR . STJN KGOV MŽ.. Strujni krug... zvori Skup elektrotehničkih elemenata koji su preko električnih vodiča međusobno spojeni naziva se električna mreža ili elektrotehnički sklop. električnoj mreži, kada su

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Projektovanje informacionih sistema 39

Projektovanje informacionih sistema 39 Projektovanje informacionih sistema 39 Glava 3 3.0 Osnove relacione algebre - uvod Za manipulisanje podacima i tabelama u relacionim bazama podataka potrebna su osnovna znanja iz relacione algebre. Relaciona

Διαβάστε περισσότερα

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje:

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje: 8. VJEŽBA - RIJEŠENI ZADACI IZ MEANIKE FLUIDA. Oreite minimalni protok Q u nestlačiom strujanju fluia ko koje će ejektor početi usisaati flui kroz ertikalnu cječicu. Zaano je A = cm, A =,5 cm, h=,9 m.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11.

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11. OSNOVE EEKTOTEHNKE Vježba... Za redno rezonantno kolo, prikazano na slici. je poznato E V, =Ω, =Ω, =Ω kao i rezonantna učestanost f =5kHz. zračunati: a) kompleksnu struju u kolu kao i kompleksne napone

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatke trebate rjesiti potpuno samostalno. Tek ako nesto "zapne" odnosno za kontrolu rezultata koristite ove upute.

Zadatke trebate rjesiti potpuno samostalno. Tek ako nesto zapne odnosno za kontrolu rezultata koristite ove upute. 1 OE 11/12 Zadaci za pripremu III. ciklusa laboratorijskih vjezbi PTA ZA RJESAVANJE Zadatke trebate rjesiti potpuno samostalno. Tek ako nesto "zapne" odnosno za kontrolu rezultata koristite ove upute.

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. TRIGONOMETRIJA 5. Definicija trigonometrijskih funkcija Naj jednostavnija definicija trigonometrijskih funkcija dobije se promatranjem pravokutnog ( ) ( r) ( ) trokuta. Svaki takav trokut, za promatrani

Διαβάστε περισσότερα

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2)

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2) 1 RАVNSKE REŠETKE Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova međusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su opterećene

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N I N F O T E K N I K V o l u m e 1 5 N o. 1 J u l i 2 0 1 4 ( 61-70) A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N N o v i

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

Nikola Sandrić MATEMATIKA 1. Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu

Nikola Sandrić MATEMATIKA 1. Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu Tomislav Došlić Nikola Sandrić MATEMATIKA 1 Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu Predgovor Poštovani čitatelji, u rukama imate nastavni materijal koji izlaže gradivo kolegija Matematika 1 za studente

Διαβάστε περισσότερα

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Prof. dr. sc. Ivica Džeba Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu SPREGNUTI NOSAČI 1B. DIO PRIJENJIVO NA SVE KLASE POPREČNIH PRESJEKA OBAVEZNA PRIJENA ZA KLASE PRESJEKA 3 i 4

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel. Zdenko Novak 1. UVOD

VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel. Zdenko Novak 1. UVOD 10.2012-13. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel Zdenko Novak TEHNIČKA SREDSTVA U CESTOVNOM PROMETU 1. UVOD 1 Literatura: [1] Novak, Z.: Predavanja Tehnička sredstva u cestovnom prometu, Web stranice Veleučilišta

Διαβάστε περισσότερα

PREDMET: Upravljanje sistemima. Frekvencijske karakteristike

PREDMET: Upravljanje sistemima. Frekvencijske karakteristike Osnovne akademske studije PREDMET: Upravljanje sistemima TEMA: Frekvencijske karakteristike Predmetni nastavnik: Prof. dr Milorad Stanojević Asistent: mr Marko Đogatović Kompleksna funkcija prenosa Ukoliko

Διαβάστε περισσότερα

ORTODROMSKA, LOKSODROMSKA I KOMBINIRANA PLOVIDBA

ORTODROMSKA, LOKSODROMSKA I KOMBINIRANA PLOVIDBA David Brčić ORTODROMSKA, LOKSODROMSKA I KOMBINIRANA PLOVIDBA Riješeni zadaci DAVID BRČIĆ LOKSODROMSKA PLOVIDBA I. Loksodromski zadatak (kurs i udaljenost): tgk= II. Loksodromski zadatak (relativne koordinate):

Διαβάστε περισσότερα

AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE

AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE MJEŠOVITA SREDNJA TEHNIČKA ŠKOLA TRAVNIK AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE Električna kola Profesor: mr. Selmir Gajip, dipl. ing. el. Travnik, februar 2014. Osnovni pojmovi- naizmjenična

Διαβάστε περισσότερα