Metoda sila (1) V. S. & K. F.
|
|
- Οὐλίξης Νικολάκος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 . Temejna zamisao Metoda sia () V. S. & K. F. Rješavajući zadatak izračunavanja sia u jednostrano upetoj gredi Navier je dodatnu jednadžu izveo iz uvjeta kompatiinosti pomakâ u desnom ežaju (pogavje Statički neodredeni sistemi definicija i osnovne karakteristike, od stranice 5. nadaje). Kjučni je korak pritom io anaitičko rješavanje diferencijane jednadže progine inije grede. Znamo, medutim, da je u soženijim sučajevima naaženje tog rješenja dugotrajno i mukotrpno. U Navierovu postupku vaja uočiti dvije pojedinosti: anaitički izraz za proginu iniju potrean je samo za uvrštavanje runoga uvjeta na mjestu i po pravcu djeovanja odarane prekorojne sie, reakcije B; u tom se izrazu od nepoznanica pojavjuje samo vrijednost B sie B pa se ona može iz njega neposredno izračunati. Umjesto zadane jednostrano upete grede AB promatrat ćemo sada konzou Ā B istoga raspona i istih geometrijskih i materijanih karakteristika EI, opterećenu siom u istom poožaju te siom X, zasad nepoznate vrijednosti X, na pravcu koji odgovara pravcu djeovanja reakcije B (sika..). Sia X zamjenjuje reakciju B, a time i ežaj B jednostrano upete grede. (U n puta statički neodredenom nosaču pojavit će se n sia čije su vrijednosti na početku proračuna nepoznate; označavat ćemo ih sa X, X 2,..., X n.) Zamisit ćemo da na konzou u početku djeuje samo sia (sika.c.). Reakcije i unutarnje sie jednake su tada reakcijama i unutarnjim siama u mogućem ravnotežnom stanju grede AB uz pretpostavku B 0; usporedite, primjerice, momentni dijagram prikazan na sici.d. s dijagramom na sici 3.c. na stranici 4. pogavja Statički neodredeni sistemi. No, vidjei smo da to moguće stanje ravnoteže nije stvarno stanje. Sada Õ možemo dati još jedno tumačenje te tvrdnje: kako je reakcija B izraz otpora ežaja B vertikanom pomaku, pretpostavka B 0znači da se ežaj tom pomaku ne odupire. Vrijednost vertikanoga pomaka ežajne točke stoga i ia jednaka vrijednosti vertikanog pomaka soodnoga kraja konzoe: dx EI ³± a2ô2. 6EI δ BÔÕ 0 IÔxÕ ÔxÕ M 0ÔxÕm E a2»¹ ³± »¹
2 a. A a B x z. Ā B c. X d. a M 0 e. f. m g. δ B() h. X δ B(X ) i. j. M 0 X m k. M(0) M(a) M Sika. 2
3 Vrijednost pomaka izračunai smo primjenom metode jedinične sie. Momentni dijagram za jediničnu siu u točki B, orijentiranu kao X (sika e.), prikazan je na sici.f. δ B δ BÔÕ δ BÔX Õ. Sada ćemo zamisiti da je, nakon što se konzoa prognua pod siom (sika.g.), počea djeovati i sia X. Na temeju principa superpozicije ukupni je vertikani pomak točke B zroj pomakâ zog neovisnih djeovanja sia i X pa je njegova vrijednost: S pogedom unaprijed, na proračun n puta statički neodredenih sistema, uvest ćemo sustavan način označavanja vrijednostî pomakâ: δ i,j. rvi indeks, ièö, n, označava da je riječ o pomaku hvatišta sie X i po pravcu njezina djeovanja:øδ i,j δ i,jøe i, pri čemu jeøe i jedinični vektor na pravcu djeovanja sie X i, orijentiran kao ta sia:øx i X iøe i uz X 0. Očito je da predznak vrijednosti δ i,j daje smisao pomaka u odnosu na smisao djeovanja sie X i. Drugi indeks, j, oznaka je uzroka pomaka: j 0 označava sva zadana djeovanja, a jèö, n jediničnu siu u hvatištu, na pravcu i u smisu djeovanja sie X j. rema tom su načinu označavanja δ BÔÕ δ,0 i δ BÔX Õ X δ,. Dake: δ,0 vrijednost je pomaka hvatišta sie X po pravcu njezina djeovanja (dake, po vertikanom pravcu kroz točku B), izazvanog zadanim opterećenjem (u našem primjeru siom ), dok je δ, vrijednost pomaka hvatišta sie X po pravcu njezina djeovanja zog jedinične sie, orijentirane kao X, u toj točki i na tom pravcu. Za δ,0 doii smo negativnu vrijednost kako sia X djeuje prema gore,øδ,0 pomak je prema doje. Desna strana izraza δ BÔX Õ X δ, pokazuje da i u izračunavanju te vrijednosti primjenjujemo princip superpozicije: uzrokuje i jedinična sia pomak čija je vrijednost δ,, sia vrijednosti X prouzročit će pomak čija je vrijednost X δ,. ritom je, primjenom metode jedinične sie, δ, EI ³± 3 0 3EI ; ÔxÕ m 2 E IÔxÕdx δ, ima isti smisao kao i sia koja ga je izazvaa. 2»¹ ³±2»¹ 2 3 δ B δ BÔÕ δ BÔX Õ 0. Budući da sia X zamjenjuje ežaj B jednostrano upete grede, njezinu ćemo vrijednost odarati tako da točku B vrati u početni poožaj (sika.h.): Iz tog uvjeta, koji ćemo, dosjednije, napisati u oiku δ, X δ,0 0, () Ostajemo u okviru Bernoui Euerove teorije savijanja. retpostavjat ćemo uvijek da je po pojedinim dijeovima sistema E const (iako razičiti dijeovi mogu imati razičiti modu eastičnosti; mogu, primjerice, iti izvedeni od razičitih gradiva: etona, čeika, drva...). A kao što zapis IÔxÕu općem izrazu za pomak pokazuje, poprečni se presjeci mogu i duž pojedinih dijeova mijenjati. 3
4 Õ možemo izračunati potrenu vrijednost X sie X : δ, 6EI X δ a2ô2,0 uvrstimo i još a, doit ćemo 3 3EI X 3 a2 a Õ a2ô2 ; 2 3 Usporeda doivenoga izraza s izrazom za vrijednost B reakcije B, koji smo izvei Navierovim postupkom (Statički neodredeni sistemi, stranica 6.), pokazuje da je, zaista, X B. Ukratko, zamjena jednostrano upete grede konzoom općenitije: statički neodredena sistema odredenim omogućia je izračunavanje vrijednosti pomaka odarane točke metodom jedinične sie, čime smo izjegi potreu za rješavanjem diferencijane jednadže progine inije. I k tomu još, primjena principa superpozicije itno je pojednostavia postupak učinivši ga pritom zornijim i pregednijim: izrazi za vrijednosti pomaka izazvanih neovisnim djeovanjima zadane i jedinične sie znatno su kraći i stoga manje podožni greškama no što je to izraz za vrijednost ÔxÕ pomaka pri istodonom djeovanju sia i X. Izvest ćemo, kontrasta radi, i taj izraz. Momentni dijagram pri zajedničkom djeovanju sia i X (sika 2.a.; podsjećamo, vrijednost X zasad je neodredena) skiciran je na sici 2.. pa je M XÔxÕm δ B dx 0 EIÔxÕ Õ»¹»¹ ³± EI ³± 2 X a»¹ ³± a 6EI 2Ô2 2X a 2 a a 2 3. Iz uvjeta δ B 0 sijedi»¹ Õa»¹ ³± 2 2Ôa X 3 3 X a uvrštavanje a daje već poznati izraz za X. Õ a 2Ô2 2Ôa 2 a a 2 3Õ, ³± 2 X 2»¹ ³±2 Kao što je vrijednost konačnoga pomaka točke B zroj vrijednosti pomakâ zog sie i zog sie X, tako se i vrijednosti drugih kinematičkih i statičkih veičina mogu izračunati zrajanjem utjecajâ jedne i druge sie. Time nismo reki ništa novo riječ je tek, ponovo, o neposrednoj primjeni principa superpozicije. No, tim postupkom, a to je za rješavanje statički neodredenih zadataka svakako vro važna spoznaja, doivamo ujedno i vrijednosti odgovarajućih veičina u jednostrano upetoj gredi. Ako, naime, s pomoću sie X zadovojimo na konzoi Ā B uvjet δ B 0, tada su konzoa i jednostrano upeta greda AB u istim mehaničkim stanjima: ponajprije, sia X mora iti jednaka reakciji B; potom, iz uvjetâ je 4
5 a. a X. a X X M X c. m Sika 2. ravnoteže očito da su i ostae reakcije i unutarnje sie u konzoi i gredi medusono jednake. A jasno je da su jednake i njihove progine inije: sike.h. i.i. na stranici 2. rema tome, vrijednost momenta savijanja MÔxÕu presjeku x jednostrano upete grede, na primjer, možemo izračunati 0ÔxÕ Ôa xõ prema izrazu m ÔxÕ, (2) gdje su za 0 x a, M Ô xõ 0 za a x i 0ÔaÕ X m ÔxÕ X vrijednosti momenata u presjeku x od neovisnih djeovanja sia i X na konzou. Napose, MÔaÕ M X a2 2 4 a 3 a rimjena principa superpozicije u duhu je prethodnih koraka pa se takav postupak oično smatra kanonskim. Crtanje dijagrama M na temeju otprije poznatih dijagrama M 0 i m (sike.d. i f.; str. 2.) prikazano je na sikama j. i k. No, za crtanje momentnog dijagrama na jednostrano upetoj gredi (sika.k.) potrene su nam samo vrijednosti MÔ0Õ M A, MÔaÕiMÔÕ M B. Budući da je B X, iz ravnoteže momenata oko točke x 0 za dioü0, jednostrano upete grede doivamo MÔ0Õ a B a X 2 a2 3 a 2 a 3, 2 2 a iz ravnoteže momenata oko x a za dioüa, MÔxÕ M 0ÔxÕ X m ÔaÕ 0 X MÔaÕ B X X Ô aõ 3 Ô aõ 3 5 a2 2 4 a 3 a ;
6 znamo da je M B 0. Dake, kad je vrijednost odarane prekorojne sie poznata, vrijednosti ostaih reakcija i unutarnjih sia možemo izračunati iz jednadži ravnoteže; taj postupak može iti kraći od primjene principa superpozicije. (Dijagram poprečnih sia možemo, ako je poznat momentni dijagram, nacrtati i na temeju diferencijanoga odnosa T M½. [Nacrtajte taj dijagram na sva tri načina!]) U oradenom su primjeru sadržani svi itni koraci proračuna statički neodredenih sistema metodom sia. Zamišjenim raskidanjem veza zadani se sistem pretvara u statički odredeni, koji nazivamo osnovnim sistemom, a raskinute se veze nadomještaju siama koje odgovaraju siama koje su te veze prenosie. Vrijednosti tih sia potom izračunavamo iz uvjetâ kompatiinosti pomakâ na mjestima raskinutih veza sie moraju povratiti narušenu neprekinutost poja pomaka ii osigurati podudaranje pomakâ na mjestima ukonjenih ežajeva sa stvarnim ežajnim uvjetima. Vrijednosti pomakâ koji se pojavjuju u uvjetima kompatiinosti proračunavamo metodom jedinične sie; na temeju principa superpozicije možemo to uraditi za zasena djeovanja zadanoga opterećenja i pojedinih jediničnih sia u raskinutim vezama. Iako smo dosad, govoreći o pomacima, misii samo na transacijske, sve što je rečeno može se primijeniti i na rotacijske pomake. Umetanjem zgoa umjesto krute veze omogućavamo zaokret osi grede 2 ; raskinuta je veza prenosia moment savijanja. Tako upeti ežaj A naše jednostrano upete grede (sika 3.a.) sprečava pomak te točke i zaokret osi u njoj tangenta na proginu iniju mora se u toj točki pokapati s osi nedeformirane grede. Uacivanjem zgoa nastaje prosta greda Ā B u kojoj se os u ežaju može soodno zaokretati. Reaktivni moment M A, a time i upetu vezu jednostrano upete grede, nadomjestit ćemo u osnovnom sistemu momentom X (sika.); njegovu ćemo vrijednost odarati tako da poništi zaokret zog zadanoga opterećenja, sie. Kut zaokreta osi u ežaju Ā proste grede zog djeovanja sie (sika 3.e.) je ĀÔÕ»¹»¹ ϕ dx 0 ³± EI ³± a a 2 2 IÔxÕ ÔxÕ M 0ÔxÕm E a»¹ ³± 3 2 3»¹ ³± a2 3 a 2 a 3. 6 EI Dijagrami M 0 i m na osnovnom sistemu za siu i za jedinični moment u Ā, istoga smisa kao X, prikazani su na sikama 3.c. i d. Dijagram M 0 podudara se, naravno, s dijagramom za moguće ravnotežno stanje zadane grede uz pretpostavku M A 0, sika 3.e. na stranici 4. pogavja Statički neodredeni sistemi. 2 risjetite se usput: u Timošenkovoj je teoriji savijanja odgovarajuća veičina zaokret normae na ravninu poprečnoga presjeka. 6
7 a. A B. Ā B X c. a M 0 d. m e. ϕ Ā () f. ϕ Ā (X ) X g. X m ĀÔÕ M M 0 Sika 3. Uvjet kompatiinosti pomakâ naaže iščezavanje zaokreta osi pri istodonom djeovanju sia i X (sika 3.f.): ÔxÕ ϕ Ā ϕ ϕ ĀÔX Õ 0. ritom je kut zaokret samo od momenta X ϕ ĀÔX Õ X δ,, pri čemu je m δ, 2 0 E IÔxÕdx EI ³± 2»¹ ³±2 Uz ϕ ĀÔÕ δ i ϕ ĀÔX Õ X δ, uvjet kompatiinosti pomakâ imat će formano isti zapis kao jednadža () na stranici 3.:,0 Iz njega sijedi δ,0 X δ, X δ, a2 3 a 2 a 3. δ, »¹ 3 EI.
8 Superpozicija dijagramâ M 0 i X m, kojom doivamo konačni momentni dijagram na jednostrano upetoj gredi, prikazana je sici 3.g. Funkcijski izraz za vrijednost momenta savijanja formano je ponovo 0ÔxÕ ³²³±Ô aõ 0ÔxÕ Ô xõ MÔxÕ M X m ÔxÕ, no sada su x za 0 x a, M a za a x ; x m ÔxÕ. oseno, za x 0 doivamo MÔ0Õ X 2 a2 3 a 2 a 3 Ô Õ X. 2 2 Dok smo umetanjem zgoa na mjestu upetoga ežaja omogućii apsoutni zaokret osi u ežaju, zgoom unutar raspona grede (sika 4..) omogućavamo reativni zaokret osi neposredno ijevo u odnosu na os neposredno desno pa se progina inija omi : sika e. Da zagadimo nastai šijak, dodati moramo par momenata jednakih intenziteta, ai suprotna smisa vrtnje: sika f. Dijagrami momenata savijanja na osnovnom sistemu, koji je sada jednostavni Gererov nosač (sika 4..), pri djeovanju sie te pri djeovanju para jediničnih momenata oko zgoa prikazani su na sikama c. i d. (Uacivanjem zgoa upravo u hvatište sie oakšai smo izračunavanje vrijednosti pomaka metodom jedinične sie. Smjestimo i zgo u neki presjek ijevo od tog hvatišta, dijagram M 0 it će soženijeg oika [nacrtajte ga!]. Za sve poožaje zgoa desno od hvaišta taj dijagram ostaje kao na sici c. [dokažite!]. No, ako je zgo u hvatištu, vrijednosti u dijagramu m izražene su samo s pomoću već poznatih geometrijskih veičina, dok i se pri drugim poožajima pojavie još neke veičine [provjerite!].) ri prijeazu preko umetnutoga zgoa kut je reativnog zaokreta prognute osi Gererova nosača zog djeovanja sie,0 EI ³± ϕ zôõ δ 3»¹ a2ô3 a2»¹ ³± EIÔ aõ; to je kut izmedu tangenata na proginu iniju u točkama neposredno ijevo i neposredno desno od zgoa (sika 4.e.). Kako su u zadanoj jednostrano upetoj gredi u točki koja odgovara poožaju umetnutoga zgoa ijevi i desni dio medusono kruto spojeni, progina se inija ne smije somiti možemo reći (možda uz stanoviti nedostatak matematičke strogosti) da u toj točki dijeovi imaju zajedničku tangentu. Dodani momenti X moraju 8
9 a. A B. Ā B X X c. a M 0 d. m e. ϕ z() f. ϕ ijevo z (X ) ϕ z desno (X ) X X g. M 0 X m M Sika 4. stoga dovesti tangente na siom somjenu Õ proginu iniju do pokapanja. Svaki moment zatvara dio kuta na svojoj strani (sika 4.f.): ϕ ijevo ÔX z ϕ z desno ÔX Õ ϕ zôx Õ. Kako je ϕ zôx Õ X»¹ δ,, gdje je δ, aõô aõ EI ³±»¹ ³± , EIÔ aõ2 uvjet kompatiinosti pomakâ δ, X δ,0 0 (taj ste izraz već vidjei, zar ne?) daje δ X a2ô3 δ, 3 a2 2 4 a 3 a ,0 Kao i ranije, s drugim osnovnim sistemima, uz poznatu vrijednost X momenata X, vrijednosti reakcija i unutarnjih sia u odaranim presjecima jednostrano upete grede možemo 9
10 izračunati primjenom principa superpozicije ii iz jednadži ravnoteže njezinih pogodno odaranih dijeova. Na isti način možemo izvesti i funkcijske izraze za vrijednosti unutarnjih sia duž cijeog raspona. rimjerice, 0ÔxÕ prema principu superpozicije funkcijski je izraz za vrijednost momenta savijanja 0ÔxÕ Ôa xõ i sada formano MÔxÕ M X m ÔxÕ, ai se u nj uvrštavaju izrazi za 0 x a, M 0 za a x ; ÔxÕ x m a. oseno je MÔaÕ X 3 a2 2 4 a 3 a Crtanje momentnog dijagrama superpozicijom dijagrama M 0 i X m prikazano je na sici 4.g. [Izvedite funkcijske izraze i nacrtajte dijagrame momenata savijanja i poprečnih sia ako je zadano jednoiko distriuirano opterećenje po cijeoj dujini grede! Za osnovni sistem uzmite prostu gredu. Izvedite funkcijske izraze za momente i poprečne sie i nacrtajte dijagrame ako jednoiko distriuirano opterećenje djeuje samo na dijeuö0, a! Za osnovni sistem uzmite sada Gererov nosač sa zgoom u x a.] 0
Metoda sila (1) K. F.
1. Temejna zamisao Metoda sia (1) K. F. Rješavajući zadatak izračunavanja sia u jednostrano upetoj gredi Navier je dodatnu jednadžu izveo iz uvjeta kompatiinosti pomakâ u desnom ežaju (pogavje Statički
Διαβάστε περισσότεραDijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.
Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραPROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)
ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραGeometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio
Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραSTATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
STTIČKI ODREĐENI SUSTVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI SVOJSTV SUSTV Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. F C 1. F x =0 C 2. M =0 3. F y =0 Jednoznačno rješenje
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραVrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.
Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujna 2015. Dragana Zekić SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραKolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,
Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραISPIT GRUPA A - RJEŠENJA
Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραMetode pomakâ (1) V. S. & K. F.
1. O metodama pomakâ Metode pomakâ (1) V. S. & K. F. Metode pomakâ su metode proračuna štapnih sistema u kojima su nepoznanice vrijednosti translacijskih pomaka i kutovi zaokreta odabranih točaka sistema
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραMasa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραFAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραDIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Osijek, 15.09.2015. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD TEMA: USPOREDBA REZULTATA PRORAČUNA STATIČKI NEODREĐENIH SUSTAVA
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD TEMA: IZRAČUN UNUTRAŠNJIH SILA I PLANOVA
Διαβάστε περισσότεραMoguća i virtuelna pomjeranja
Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραF (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK
OGLEDNI PRIMJER ZADAAK Odredte dnamčke karakterstke odzv armranobetonskog okvra C-C prkazanog na slc s prpadajućom tlorsnom površnom, na zadanu uzbudu tjekom prve tr sekunde, ako je konstrukcja prje djelovanja
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραPRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότερα