Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1"

Transcript

1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci

2 Numerička integracija O problemima integriranja Ako je f : [a, b] R neprekidna funkcija, a G njena primitivna funkcija, onda se Riemannov integral na segmentu [a, b] može izračunati primjenom Newton-Leibnizove formule I = b a f (x) dx = G(b) G(a). U praksi se najčešće pojavljuju situacije gdje nije moguće primjeniti ovu formulu. Može se dogoditi da: primitivnu funkciju G nije moguće dobiti elementarnim metodama podintegralna funkcija je poznata u samo nekoliko točaka

3 Numerička integracija O problemima integriranja Ako je f : [a, b] R neprekidna funkcija, a G njena primitivna funkcija, onda se Riemannov integral na segmentu [a, b] može izračunati primjenom Newton-Leibnizove formule I = b a f (x) dx = G(b) G(a). U praksi se najčešće pojavljuju situacije gdje nije moguće primjeniti ovu formulu. Može se dogoditi da: primitivnu funkciju G nije moguće dobiti elementarnim metodama podintegralna funkcija je poznata u samo nekoliko točaka

4 Numerička integracija Aproksimativno izračunavanje vrijednosti integrala na segmentu Kako bismo ipak aproksimativno izračunali vrijednost integrala I, podintegralnu funkciju moramo interpolirati nekom jednostavnijom funkcijom ϕ i na taj način dobiti aproksimaciju integrala I koju označavamo s I : b I = ϕ(x) dx = G(b) G(a). a Pri tome, aproksimirajuća funkcija treba biti takva da za zadanu točnost ε > 0 bude I = I I < ε. Uz pretpostavku poznavanja funkcije f u n + 1 točaka x 0, x 1,... x n [a, b] za funkciju ϕ možemo uzeti, primjerice, Lagrangeov interpolacijski polinom.

5 Numerička integracija Aproksimativno izračunavanje vrijednosti integrala na segmentu Kako bismo ipak aproksimativno izračunali vrijednost integrala I, podintegralnu funkciju moramo interpolirati nekom jednostavnijom funkcijom ϕ i na taj način dobiti aproksimaciju integrala I koju označavamo s I : b I = ϕ(x) dx = G(b) G(a). a Pri tome, aproksimirajuća funkcija treba biti takva da za zadanu točnost ε > 0 bude I = I I < ε. Uz pretpostavku poznavanja funkcije f u n + 1 točaka x 0, x 1,... x n [a, b] za funkciju ϕ možemo uzeti, primjerice, Lagrangeov interpolacijski polinom.

6 Numerička integracija Aproksimativno izračunavanje vrijednosti integrala na segmentu Kako bismo ipak aproksimativno izračunali vrijednost integrala I, podintegralnu funkciju moramo interpolirati nekom jednostavnijom funkcijom ϕ i na taj način dobiti aproksimaciju integrala I koju označavamo s I : b I = ϕ(x) dx = G(b) G(a). a Pri tome, aproksimirajuća funkcija treba biti takva da za zadanu točnost ε > 0 bude I = I I < ε. Uz pretpostavku poznavanja funkcije f u n + 1 točaka x 0, x 1,... x n [a, b] za funkciju ϕ možemo uzeti, primjerice, Lagrangeov interpolacijski polinom.

7 Trapezna formula Trapezna formula Funkciju f : [a, b] R interpolirat ćemo linearnom funkcijom P 1 (interpolacijskim polinomom stupnja 1) u čvorovima interpolacije x 0 = a, x 1 = b. Graf funkcije P 1 je pravac koji prolazi točkama T 0 = (a, f (a)), T 1 = (b, f (b)), odnosno vrijedi Lako se dobije I = P 1 (x) = f (a) + b a f (b) f (a) (x a). b a P 1 (x) dx = b a (f (a) + f (b)). 2

8 Trapezna formula Trapezna formula Funkciju f : [a, b] R interpolirat ćemo linearnom funkcijom P 1 (interpolacijskim polinomom stupnja 1) u čvorovima interpolacije x 0 = a, x 1 = b. Graf funkcije P 1 je pravac koji prolazi točkama T 0 = (a, f (a)), T 1 = (b, f (b)), odnosno vrijedi Lako se dobije I = P 1 (x) = f (a) + b a f (b) f (a) (x a). b a P 1 (x) dx = b a (f (a) + f (b)). 2

9 Trapezna formula Trapezna formula Funkciju f : [a, b] R interpolirat ćemo linearnom funkcijom P 1 (interpolacijskim polinomom stupnja 1) u čvorovima interpolacije x 0 = a, x 1 = b. Graf funkcije P 1 je pravac koji prolazi točkama T 0 = (a, f (a)), T 1 = (b, f (b)), odnosno vrijedi Lako se dobije I = P 1 (x) = f (a) + b a f (b) f (a) (x a). b a P 1 (x) dx = b a (f (a) + f (b)). 2

10 Trapezna formula Trapezna formula Geometrijski, I predstavlja površinu trapeza sa stranicama f (a) i f (b) i visinom h = b a. Apsolutna greška predstavlja površinu izmedu pravca L 1 i grafa funkcije f.

11 Trapezna formula Trapezna formula Teorem Neka je f C[a,b] 3. Tada postoji c a, b takav da je I = b a f (x) dx = b a 2 (b a)3 (f (a) + f (b)) f (c). 12

12 Trapezna formula Produljena trapezna formula Ako je segment integracije [a, b] relativno velik, greška E će biti velika. U cilju postizanja bolje aproksimacije I integrala I, segment [a, b] podijelit ćemo na podsegmente i na svakom od njih primjeniti trapeznu formulu. Pretpostavimo da funkciju f poznajemo u n + 1 točaka x 0, x 1,... x n [a, b], ali je pri tome ispunjeno: x 1 x 0 = = x n x n 1 = h, x 0 = a, x n = b.

13 Trapezna formula Produljena trapezna formula

14 Trapezna formula Produljena trapezna formula Očigledno vrijedi h = b a n, a točke x 0,... x n dijele segment [a, b] na n jednakih dijelova duljine h. Označimo y i = f (x i ), i = 0,..., n. Na svakom podsegmentu primjenjujemo trapeznu formulu i za [x i 1, x i ] dobivamo xi x i 1 f (x) dx = h 2 (y i 1 + y i ) h3 12 f (c i ), c i x i 1, x i.

15 Trapezna formula Produljena trapezna formula Očigledno vrijedi h = b a n, a točke x 0,... x n dijele segment [a, b] na n jednakih dijelova duljine h. Označimo y i = f (x i ), i = 0,..., n. Na svakom podsegmentu primjenjujemo trapeznu formulu i za [x i 1, x i ] dobivamo xi x i 1 f (x) dx = h 2 (y i 1 + y i ) h3 12 f (c i ), c i x i 1, x i.

16 Trapezna formula Produljena trapezna formula Očigledno vrijedi h = b a n, a točke x 0,... x n dijele segment [a, b] na n jednakih dijelova duljine h. Označimo y i = f (x i ), i = 0,..., n. Na svakom podsegmentu primjenjujemo trapeznu formulu i za [x i 1, x i ] dobivamo xi x i 1 f (x) dx = h 2 (y i 1 + y i ) h3 12 f (c i ), c i x i 1, x i.

17 Trapezna formula Produljena trapezna formula Cijeli integral I postaje: b I = f (x) dx = a n i=1 xi x i 1 f (x) dx = h 2 (y 0 + 2y y n 1 + y n) h3 12 n f (c i ). i=1 Na ovaj način dobivamo produljenu (generaliziranu) trapeznu formulu: I = I + E n, gdje je I = h 2 (y 0 + 2y y n 1 + y n ), E n = b a 12 h2 f (c).

18 Trapezna formula Greška produljene trapezne formule Ako je zadana točnost ε s kojom treba izračunati integral I i ako označimo M 2 = max x [a,b] f (x), onda je apsolutna greška I b a 12 h2 M 2 < ε. Broj podsegmenata n na koji treba podijeliti početni segment da bi se postigla zadana točnost ε je M 2 n > (b a) ε b a 12.

19 Trapezna formula Greška produljene trapezne formule Ako je zadana točnost ε s kojom treba izračunati integral I i ako označimo M 2 = max x [a,b] f (x), onda je apsolutna greška I b a 12 h2 M 2 < ε. Broj podsegmenata n na koji treba podijeliti početni segment da bi se postigla zadana točnost ε je M 2 n > (b a) ε b a 12.

20 Trapezna formula Zadatak 1. Produljenom trapeznom formulom izračunati približnu vrijednost odredenog integrala uz korak h = 0.2. Rješenje. 4 3 x ln x dx

21 Trapezna formula Zadatak 2. (vježba) Produljenom trapeznom formulom izračunati približnu vrijednost odredenog integrala x sin x dx uz korak h = 0.3. Rješenje x sin x dx

22 Trapezna formula Zadatak 3. Produljenom trapeznom formulom izračunati približnu vrijednost broja π računajući površinu jediničnog kruga pomoću odredenog integrala za korak h = 0.1. Rješenje.

23 Trapezna formula Zadatak 4. (vježba) Neka je zadano 2 0 dx 1 + x 2. Koristimo li produljenu trapeznu formulu za izračunavanje aproksimacije vrijednosti zadanog integrala, koliki bi trebao biti n ako je uvjet da je greška aproksimacije E n ? Rješenje. n 517.

24 Newton - Cotesove formule Newton - Cotesove formule Newton - Cotesova formula reda n + 1 za aproksimaciju odredenog integrala b f (x) dx a dobiva se tako da se funkcija f zamijeni Lagrangeovim interpolacijskim polinomom stupnja n koji interpolira vrijednosti funkcije f u n + 1 ekvidistantnih točaka. Ukoliko su krajnje točke segmenta [a, b] ujedno i interpolacijske točke, onda govorimo o zatvorenoj Newton - Cotesovoj formuli, a u protivnom o otvorenoj.

25 Newton - Cotesove formule Newton - Cotesove formule Promotrimo zatvorenu Newton - Cotesovu formulu reda n + 1. Interpolacijske točke su x i = a + h i, h = b a, i = 0, 1, 2,... n. n Lagrangeov interpolacijski polinom je oblika L n (x) = n f (x i )L i (x), i=0 gdje je L i (x) = j=0,j i (x x j) j=0,j i (x i x j ).

26 Newton - Cotesove formule Newton - Cotesove formule Lako dolazimo do formule: b a f (x) dx n i=0 b f (x i ) L i (x) dx. a U ovoj formuli integrale na desnoj strani uvijek možemo egzaktno izračunati pa nakon zamjene varijabli x = a + th dobivamo: b a n L i (x) dx = h 0 j=0,j i t j i j dt = hλ n,i, što nam daje eksplicitnu ovisnost koeficijenata formule o parametru h.

27 Newton - Cotesove formule Newton - Cotesove formule Konačno, Newton - Cotesova formula reda n + 1 ima oblik: b a f (x) dx h n f (x i )λ n,i, gdje koeficijenti λ n,i ne ovise o a, b. Newton - Cotesova formula reda n + 1 točna je na polinomima stupnja manjeg ili jednakog n. Greška n + 1-ve Newton - Cotesove formule dana je formulom gdje je E n+1 (f ) = b a i=0 f [x 0, x 1,... x n, x]w n (x) dx, w n (x) = n (x x j ). j=0

28 Newton - Cotesove formule Simpsonova formula Ako koristeći Newton - Cotesove formule funkciju aproksimiramo kvadratnim polinomom kroz točke ( ( )) a + b a + b (a, f (a)), 2, f, (b, f (b)) 2 dobivamo specijalan slučaj Newton-Cotesove formule kojeg nazivamo Simpsonova formula. Vrijedi I b a 6 ( f (a) + 4f ( a + b 2 ) ) + f (b).

29 Newton - Cotesove formule Simpsonova formula Za grešku Simpsonove formule vrijedi E 3 = I I = (b a)5 f (4) (c), 90 c a, b.

30 Newton - Cotesove formule Produljena Simpsonova formula Ako je segment integracije [a, b] relativno velik, i greška E će biti velika. U cilju postizanja bolje aproksimacije I integrala I segment [a, b] podijelit ćemo na paran broj (n = 2m) podsegmenata duljine h = b a n u čvorovima x i = a + ih, i = 0, 1,..., n. Uz oznaku y i = f (x i ), i = 0, 1,..., n redom, na po dva podsegmenta primjenjujemo Simpsonovo pravilo Na ovaj način dobivamo produljeno (generalizirano) Simpsonovo pravilo

31 Newton - Cotesove formule Produljena Simpsonova formula

32 Newton - Cotesove formule Produljena Simpsonova formula Vrijedi: I = I + E n, I = h 3 ((y 0 + y 2m + 4(y y 2m 1 ) + 2(y y 2m 2 )), E n = b a 180 h4 f (4) (c), c a, b.

33 Newton - Cotesove formule Greška produljene Simpsonove formule Ako je zadana točnost ε s kojom treba izračunati integral I i ako označimo M 4 = max x [a,b] f (4) (x), onda je apsolutna greška I b a 180 h4 M 4 < ε. Broj podsegmenata n na koji treba podijeliti početni segment da bi se postigla zadana točnost ε je n > (b a) 4 M 4 ε b a 180.

34 Newton - Cotesove formule Zadatak 1. Produljenom Simpsonovom formulom izračunati približnu vrijednost odredenog integrala uz korak h = Rješenje. 2 1 x 2 arctan x dx

35 Newton - Cotesove formule Zadatak 2. Produljenom Simpsonovom formulom izračunati približnu vrijednost broja ln 2 računajući ga pomoću odredenog integrala za korak h = 0.1. Rješenje. ln

36 Newton - Cotesove formule Zadatak 3. Neka je zadano 2 0 dx 1 + x 2. Koristimo li produljenu Simpsonovu formulu za izračunavanje aproksimacije vrijednosti zadanog integrala, koliki bi trebao biti n ako je uvjet da je greška aproksimacije E n ? Rješenje. n 31.

37 Newton - Cotesove formule Simpsonova formula 3/8 Simpsonova formula 3/8 je još jednan način aproksimativne integracije izveden iz Newton - Cotesovih formula (za n = 4) koji se oslanja na aproksimaciju kubičnim polinomom na zadanom segmentu b a f (x) dx b a 8 ( f (a) + 3f Greška ove metode je ( 2a + b 3 ) + 3f E 4 = (b a) f (4) (ζ), ζ a, b. ( ) ) a + 2b + f (b), b a = 3h. 3

38 Newton - Cotesove formule Produljena Simpsonova formula 3/8 Za h = b a n, x i = a + ih, i = 0, 1,... n 1 definiramo Produljenu Simpsonovu formulu 3/8: b f (x) dx 3 8 (f (x 0) + 3f (x 1 ) + 3f (x 2 ) + 2f (x 3 ) + 3f (x 4 ) + 3f (x 5 ) + 2f (x 6 ) + + f (x n)). a Greška koja se dogada pri aproksimaciji vrijednosti integrala ovim pravilom je E n = 1 80 (b a)4 f (4) (ζ), ζ a, b.

39 Newton - Cotesove formule Boolova formula Boolova formula je način aproksimativne integracije izveden iz Newton - Cotesovih formula za n = 5. x5 x 1 f (x) dx 2h 45 (7f (x 1) + 32f (x 2 ) + 12f (x 3 ) + 32f (x 4 ) + 7f (x 5 )), b a = 4h. Greška ove metode je E 5 = h7 f (6) (c), ζ x 1, x 5

40 Gaussova kvadratura Gaussova kvadratura Sve metode koje smo do sad upoznali za aproksimativno izračunavanje vrijednosti odredenog integrala b a f (x) dx n ω j f (x j ), j=0 gdje su x j, j = 0,..., n imale su svojstvo da su zadani čvorovi bili ekvidistantni. Možemo li drugačije rasporediti te čvorove kako bi smanjili grešku integracije? Cilj je rasporediti čvorove tako da minimiziramo grešku

41 Gaussova kvadratura Gaussova kvadratura Početni problem ostaje isti b a f (x) dx n ω j f (x j ), j=0 gdje su nepoznanice ω j, x j, j = 0, 1,..., n. Promatramo n + 1 nepoznatu točku x j [a, b], a x 0 < x 1 <... x n 1 < x n b i n + 1 realan koeficijent ω j što znači da u ovom slučaju postoje 2n + 2 nepoznanice U slučaju trapezne formule postoje dvije nepoznanice U slučaju Simpsonove formule postoje tri nepoznanice U slučaju Newton - Cotesovih formula, općenito, postoji n + 1 nepoznanica

42 Gaussova kvadratura Gaussova kvadratura Promatramo slučaj za n = 1 (2 točke) i [a, b] = [ 1, 1] radi jednostavnosti Znamo da je trapezna formula u ovom slučaju primjenjiva i interesira nas kako konstruirati što točniju formulu 1 1 f (x) dx ω 0 f (x 0 ) + ω 1 f (x 1 ).

43 Gaussova kvadratura Gaussova kvadratura

44 Gaussova kvadratura Gaussova kvadratura Cilj je pronaći ω 0, ω 1, x 0, x 1 tako da je aproksimacija 1 f (x) dx ω 0 f (x 0 ) + ω 1 f (x 1 ) 1 bude točna za polinome do trećeg stupnja - ovako dobivamo još jednu metodu za aproksimaciju integracije koju nazivamo Gauss - Legendreova kvadratura Definiramo Dobivamo: 1 1 f (x) dx = f (x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x (c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 ) dx = = ω 0 (c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 ) + ω 1 (c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 ).

45 Gaussova kvadratura Gaussova kvadratura Jednostavnim računom dobivamo: Vrijedi: ω 0 + ω 1 = ω 0 x 0 + ω 1 x 1 = ω 0 x ω 1 x 2 1 = dx = 2, x dx = 0, x 2 dx = 2 3, 1 ω 0 x0 3 + ω 1x1 3 = x 3 dx = 0. 1 ω 0 = 1, ω 1 = 1, x 0 = 3 3 3, x 1 = 3.

46 Gaussova kvadratura Gaussova kvadratura Dobivamo: 1 1 ( ) ( ) 3 3 f (x) dx f + f. 3 3 Jednostavnim transformacijama možemo doći i do izraza za integraciju na općenitom segmentu [a, b] b a f (x) dx = 1 1 ( ) (b a)t + b + a b a f dt. 2 2

47 Gaussova kvadratura Gaussova kvadratura Potrebno je poopćiti ovu formulu, odnosno odrediti čvorove u slučaju da ih je više unutar zadanog segmenta Formula koja bi odgovarala jednom čvoru na segmentu [ 1, 1] koristila bi čvor x = 0 što je korijen od Brojevi ± 1 3 su korijeni od Koji je opći izraz za Φ(x)? Φ(x) = x. Φ(x) = 3x 2 1.

48 Gaussova kvadratura Legendreovi polinomi Radi se o Legendreovim polinomima Φ 0 (x) = 1, Općenito, Φ 1 (x) = x, Φ 2 (x) = 3x 2 1, 2 Φ 3 (x) = 5x 3 3x, Φ n (x) = 2n 1 n xφ n 1 (x) n 1 n Φ n 2(x).

49 Gaussova kvadratura Legendreovi polinomi n x i ω i 2 ± = ± = 8 9 ± = ± = ± = ± (3 2 6/5)/ = ± = ± ( /5)/ = = 128/225 ± = ± / = ± ± / =

50 Gaussova kvadratura Zadatak 1. Aproksimirati x 2 ln x dx koristeći Gaussovu kvadraturu s n = 1.

51 Gaussova kvadratura Zadatak 2. Aproksimirati 1 0 x 2 e x dx koristeći Gaussovu kvadraturu s n = 1.

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 12. predavanje

Numerička matematika 12. predavanje Numerička matematika 12. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumMat 2009, 12. predavanje p.1/101 Sadržaj predavanja Numerička integracija (nastavak):

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ Εισαχθέντων 2011-12

ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ Εισαχθέντων 2011-12 ΑΓΓΕΛΑΚΗ ΚΡΥΣΤΑΛΙΑ 4441 ΚΟΥΒΙ ΑΚΗΣ Z303 Παρασκευή, 10:15-11 Z303 ΑΓΓΕΛΕΤΟΥ ΘΕΚΛΑ 4458 ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ Z303 ευτέρα, 1:15-2 ΑΓΙΩΤΑΚΗ ΝΙΚΗ 4459 ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΥ Ε304 Πέµπτη, 5:15-6 Ε304 ΑΚΤΟΥ ΙΑΝΑΚΗ ΓΕΩΡΓΙΑ 4485

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΘΕΜΑ 1 Ο

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΘΕΜΑ 1 Ο ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ 1 ο κεφάλαιο: «ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ» ΘΕΜΑ 1 Ο 1. Ένα σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Στο διπλανό σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση της ταχύτητας του σώµατος µε το χρόνο. Η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011.

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. Matematika 2 1. Funkcije više varijabli 2. Višestruki integral 3. Vektorska Analiza 4. Obi cne diferencijalne jednadbe MATEMATIKA 2 1 Literatura: Petar Javor, Matematicka

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e

Διαβάστε περισσότερα

Ι Ο Λ Ο Γ Ι Μ Ο - Α Π Ο Λ Ο Γ Ι Μ Ο Μ Η Ν Ο Γ Δ Κ Δ Μ Β Ρ Ι Ο Υ 2 0 1 5

Ι Ο Λ Ο Γ Ι Μ Ο - Α Π Ο Λ Ο Γ Ι Μ Ο Μ Η Ν Ο Γ Δ Κ Δ Μ Β Ρ Ι Ο Υ 2 0 1 5 Μ Ρ : 0 9 / 0 1 / 2 0 1 6 Ρ. Ρ Ω. : 7 Λ Γ Μ - Λ Γ Μ Μ Η Γ Δ Κ Δ Μ Β Ρ Υ 2 0 1 5 Δ Γ Ρ Ϋ Λ Γ Θ Δ ΚΔ Μ Β Δ Β Ω Θ Δ Δ Ρ Υ Θ Δ 0111 Χ / Γ Δ Θ Μ Θ Δ Ρ Ω Κ - - - 0112 Χ / Γ Λ Ρ Γ Κ Δ 2 3. 2 1 3. 0 0 0, 0 0-2

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση των Επιδράσεων του Σχεδίου Τοποθέτησης Άνεργων Νέων Αποφοίτων Γυμνασίων, Λυκείων, Τεχνικών Σχολών και Μεταλυκειακής Εκπαίδευσης μέχρι και

Αξιολόγηση των Επιδράσεων του Σχεδίου Τοποθέτησης Άνεργων Νέων Αποφοίτων Γυμνασίων, Λυκείων, Τεχνικών Σχολών και Μεταλυκειακής Εκπαίδευσης μέχρι και Αξιολόγηση των Επιδράσεων του Σχεδίου Τοποθέτησης Άνεργων Νέων Αποφοίτων Γυμνασίων, Λυκείων, Τεχνικών Σχολών και Μεταλυκειακής Εκπαίδευσης μέχρι και ιετούς ιάρκειας για Απόκτηση Εργασιακής Πείρας σε Επιχειρήσεις/Οργανισμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο Θέµα Α. α) Έστω η συνάρτηση στο κάθε f δ) R τις τιµές του γ) Αν η συνάρτηση παραγωγίσιµη σε αυτό. Τότε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΩΝΑ. ΜΑΘΗΜΑ ΛΑΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ κ.μαρινα ΒΡΕΛΛΗ-ΖΑΧΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΚΑΛΑΤΗ ΕΜΜΑΝΟΥΕΛΑ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ 6084 ΕΞΑΜΗΝΟ Γ (3006 ~ 00Fj

ΑΙΩΝΑ. ΜΑΘΗΜΑ ΛΑΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ κ.μαρινα ΒΡΕΛΛΗ-ΖΑΧΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΚΑΛΑΤΗ ΕΜΜΑΝΟΥΕΛΑ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ 6084 ΕΞΑΜΗΝΟ Γ (3006 ~ 00Fj ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΤΜΗΜΑ ΙΣΤΟΡΙΑΣ-ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΙΑΣ Α Έ Ί Ί Ί < Α Κ Έ Ν Ύ Κ Μ Α Τ Ά Κ Α Ι Α Ρ Χ Ω Ν Τ Ο Ύ 2 1 ΑΙΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΛΑΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ κ.μαρινα ΒΡΕΛΛΗ-ΖΑΧΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΚΑΛΑΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

5. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ

5. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ 5. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ Κριτήριο (τεστ) αξιολόγησης είναι ένα σύνολο ερωτήσεων - θεµάτων διαφόρων τύπων που επιλέγονται µε βάση:! τους στόχους που αξιολογούνται,!

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογιστεί το εμβαδόν Ε του "ανοιχτού" χωρίου Ω, που ορίζεται από

Να υπολογιστεί το εμβαδόν Ε του ανοιχτού χωρίου Ω, που ορίζεται από ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α. Χωρίο από C και Ασύμπτωτή τη Πρόβημα (Πάγια- Οριζόντια Ασύμπτωτη) Να υποογιστεί το εμβαδόν Ε του "ανοιχτού" χωρίου Ω, που ορίζεται από τη γραφική παράσταση C μια συνεχού συνάρτηση, την ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0 9. Z transformacija 9.. Z transformacija Z transformacija nia brojeva {f[n]} a koje vrijedi je Z [ f[n] ] = f[n] = 0, n < 0 9.) f[n] n = F ). 9.) Ovom transformacijom niu brojeva {f[n]} pridružuje se funkcija

Διαβάστε περισσότερα

=:, = 1( 2 = 0,.52.2 (1(5 & 25 = 0,.5232/, (1(5 &

=:, = 1( 2 = 0,.52.2 (1(5 & 25 = 0,.5232/, (1(5 & 3ΡΟΛΩΗΦΚΘΛΝ ΟςΝ : Γ]Λ (ΟΗΝΩΥ Φ]Θ,ΘςΩ ΩΞΩ(ΟΗΝΩΥΡΗΘΗΥϑΗΩ ΝΛΛ6ΩΗΥΡΖ ΘΛ 8Ν ΓψΖ ΟΛΖΛΦΗΞΟ%ΡΟΗς Ζ.Υ] ΖΡΞςΩΗϑΡ 6 ΠΕΡΟΞΠΡΖ Θ Γ Θ Ζ1&%Λ563% 6 ΠΕΡΟΞΠΡΖ Θ Γ Θ Ζ3ΡΟΛΩΗΦΚΘΛΦΗΟςΝΛΗΜ3%65,( 7 ΩΞ ΣΥΡΜΗΝΩΞ =ΛΘΩΗϑΥΡΖ Θ ς

Διαβάστε περισσότερα

Σχηματισμός Υποτακτικής Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής. Ο Παρακείμενος σχηματίζει την Υποτακτική έγκλιση με δύο τρόπους:

Σχηματισμός Υποτακτικής Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής. Ο Παρακείμενος σχηματίζει την Υποτακτική έγκλιση με δύο τρόπους: Σχηματισμός Υποτακτικής Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής Ο Παρακείμενος σχηματίζει την Υποτακτική έγκλιση με δύο τρόπους: α. περιφραστικά (δηλ. χρησιμοποιώντας δύο λέξεις περιφραστικός ρηματικός τύπος στα

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. ) x. f(x)dx = lim f(ξ. Παραδείγµατα Επισηµάνσεις Θεωρίας Θέµατα. f(ξκ) Επιµέλεια: Μάριος Ελευθεριάδης 1. + κ=1

Ολοκληρώματα. ) x. f(x)dx = lim f(ξ. Παραδείγµατα Επισηµάνσεις Θεωρίας Θέµατα. f(ξκ) Επιµέλεια: Μάριος Ελευθεριάδης 1. + κ=1 Ολοκληρώμτ Cf f(ξκ) = 3 κ-ξκ κ - = f()d = lim f(ξ κ ) + κ= Πρδείγµτ Επισηµάσεις Θεωρίς Θέµτ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης . Αρχική συάρτηση ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Πρδείγµτ Επισηµάσεις Θεωρίς Θέµτ Ορισµός: Αρχική

Διαβάστε περισσότερα

JAVA podrška za simpleks metodu

JAVA podrška za simpleks metodu Sveučilište u Zagrebu PMF - Matematički odjel Juraj Ivančić JAVA podrška za simpleks metodu Diplomski rad Zagreb, siječanj 2005. Sveučilište u Zagrebu PMF - Matematički odjel Juraj Ivančić JAVA podrška

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Tijekom ocjenjivanja nacionalnih ispita i ispita državne mature, neovisno o razini, uvidjeli smo neke probleme pri rješavanju zadataka. Ovdje želimo navesti

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Στερεάς Κατάστασης - 2 ο μέρος Ε. Κ. Παλούρα. Στόχος της διδακτικής ενότητας

Φυσική Στερεάς Κατάστασης - 2 ο μέρος Ε. Κ. Παλούρα. Στόχος της διδακτικής ενότητας Φυσική Στερεάς Κατάστασης - ο μέρος Ε. Κ. Παλούρα Στόχος της διδακτικής ενότητας Να κατανοήσουμε τα φαινόμενα μεταφοράς σε μακροσκοπική κλίμακα (ηλεκτρικές, θερμικές μαγνητικές ιδιότητες) Να επιλέξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja

Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja 1. Uvod i motivacija - 1. lekcija Začetci ideje o eliptičkim krivuljama mogu se nazrijeti kod Diofanta (vjerojatno u 3. stoljeću) u postupku rješavanja jednadžba u

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Ružica Korać GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Maja Starčević Zagreb, rujan 2015. Svaki dan je

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Ζήτηµα 1ο Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 Α.1. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α 1 και διαφορά ω. (Μοάδες 3) Α.. Να γράψετε τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΥΧΡΩΜΑ ΜΟΛΥΒΙΑ. «Γ λ υ κ ό κ α λ ο κ α ι ρ ά κ ι» της Γ ω γ ώ ς Α γ γ ε λ ο π ο ύ λ ο υ

ΥΧΡΩΜΑ ΜΟΛΥΒΙΑ. «Γ λ υ κ ό κ α λ ο κ α ι ρ ά κ ι» της Γ ω γ ώ ς Α γ γ ε λ ο π ο ύ λ ο υ ΤΑ Π ΥΧΡΩΜΑ ΜΟΛΥΒΙΑ Εφη μ ε ρ ί δ α τ ο υ τ μ ή μ α τ ο ς Β τ ο υ 1 9 ου Δ η μ ο τ ι κ ο ύ σ χ ο λ ε ί ο υ Η ρ α κ λ ε ί ο υ Α ρ ι θ μ ό ς φ ύ λ λ ο υ 1 Ι ο ύ ν ι ο ς 2 0 1 5 «Γ λ υ κ ό κ α λ ο κ α ι ρ

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE

SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE Sadržaj DVOSTRUKI INTEGRALI TROSTRUKI INTEGRALI 3 VEKTORSKA ANALIZA 4 KRIVULJNI INTEGRALI 34 5 PLOŠNI

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ (ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ)

1 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ (ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ) δυαδικό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ (ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ) ΔΙΑΡΚΕΙΑ: ώρες ΒΑΘΜΟΣ:.. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /0/009 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία, σελ 53, σχολικού βιβλίου Α Θεωρία, σελ 9, σχολικού βιβλίου Α3 Θεωρία, σελ 58, σχολικού βιβλίου Α4 α) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ,

Διαβάστε περισσότερα

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto?

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Franka Miriam Brückler Igor Pažanin Zagreb, 2012. Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Varijable i konstante............................

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου είναι ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου. Αν σε χρόνο t γίνονται Ν επαναλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

KONTURNA INTEGRACIJA

KONTURNA INTEGRACIJA KONTURNA INTEGRACIJA Materijal sa sedme radne Ljaškijade - jun 14. Studentska asocijacija Eneter emineter.wordpress.com Ovo je materijal za rešavanje pet tipova integrala koristeći teoreme kompleksne analize

Διαβάστε περισσότερα

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ==========================

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== M. JOVANOVIĆ M. MERKLE Z. MITROVIĆ Elektrotehnički fakultet Banja Luka ================================== ii Autori: dr Milan

Διαβάστε περισσότερα

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem Dirichletov princip Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem obliku glasi ovako: Dirichletov princip: Ako n + 1 predmet rasporedimo kako

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) Παγκόσμιο χωριό γνώσης. 13 ο ΜΑΘΗΜΑ. 3.6. Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων: Τετραγωνικής ρίζας: = g 2 g. Δύναμης α : Εκθετικής με βάση α

( ) ( ) ( ) Παγκόσμιο χωριό γνώσης. 13 ο ΜΑΘΗΜΑ. 3.6. Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων: Τετραγωνικής ρίζας: = g 2 g. Δύναμης α : Εκθετικής με βάση α 13 ΜΑΘΗΜΑ 3.6. Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων: Τετραγωνικής ρίζας: ( g ) = g g, g > 0 Δύναμης α : Εκθετικής με βάση e: * Εκθετικής με βάση α { 1} Λγαριθμικών: = α α α 1 e = e α =α nα n =, > 0 ( ) α> 0,

Διαβάστε περισσότερα

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE 2. METOE RJEŠVNJ STRUJNH KRUGOV STOSMJERNE STRUJE U svrhu lakšeg snalaženja u analizi složenih strujnih krugova i električnih mreža uvode se nazivi za pojedine dijelove mreže. Onaj dio električne mreže

Διαβάστε περισσότερα

! # %& #( #) #! # +, # # #./00

! # %& #( #) #! # +, # # #./00 !! # %& #( #) #! # +, # # #./00 ! # 12 3 # #( 4 5 # 6 12 #5 7! 4 ( # # # #! # 8 7 5 #9 3 7! 3 : #(12 4 # # # #5 7! 4 3 #5.;

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονική φασματοσκοπία μορίων

Ηλεκτρονική φασματοσκοπία μορίων Ηλεκτρονική φαματοκοπία μορίων Μοριακά τροχιακά διατομικών μορίων Για την περιγραφή της ηλεκτρονικής δομής των μορίων θα χρηιμοποιήομε μοριακά τροχιακά τα οποία είναι γραμμικοί νδαμοί ατομικών τροχιακών

Διαβάστε περισσότερα

2 Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις

2 Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις 2 Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις 2.1 Το κύκλωµα L - C ιαθέτουµε ένα κύκλωµα που περιλαµβάνει ένα πυκνωτή χωρητικότητας C, ένα ιδανικό πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής L και ένα διακόπτη συνδεδεµένα σε σειρά.αν

Διαβάστε περισσότερα

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α. Από το πρακτικό της αριθ. 26/2013 τακτικής Συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής του Δήμου Φιλαδελφείας-Χαλκηδόνος

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α. Από το πρακτικό της αριθ. 26/2013 τακτικής Συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής του Δήμου Φιλαδελφείας-Χαλκηδόνος ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΑΔΑ: ΒΛ1ΠΩΗΓ-81Ζ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΦΙΛΑΔΕΛΦΕΙΑΣ-ΧΑΛΚΗΔΟΝΟΣ Δ/νση Διοικητικών Υπηρεσιών Τμήμα Υποστήριξης Πολιτικών Οργάνων του Δήμου & Διοικητικής Μέριμνας

Διαβάστε περισσότερα