Fibonacciho postupnosť a zlatý rez Marta Mlynarčíková, Gymnázium P. O. Hviezdoslava, Kežmarok

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Fibonacciho postupnosť a zlatý rez Marta Mlynarčíková, Gymnázium P. O. Hviezdoslava, Kežmarok"

Transcript

1 Fibonacciho postupnosť a zlatý rez Marta Mlynarčíková, Gymnázium P. O. Hviezdoslava, Kežmarok Úvod Fibonacciho postupnosť ani zlatý rez nie sú zaradené do učebných osnov gymnázia. Napriek tomu je ich vhodné zakomponovať do stredoškolského učiva, pretože sú to témy so silným motivačným nábojom a pritom nenáročné na matematické vedomosti a zručnosti žiakov. Tému som zaradila v oktáve na záver tematického celku Postupnosti, s cieľom ukázať v závere štúdia na gymnáziu aj trochu netradičné využitie matematiky v rôznych oblastiach vedy a umenia. Inšpirovala ma k tomu kniha Dana Browna: Da Vinciho kód, v ktorej som našla na beletriu celkom ojedinelú súvislú časť venovanú danej matematickej téme, pri čítaní ktorej som sama objavila doteraz netušené súvislosti. Priebeh vyučovacej hodiny Začali sme známym príkladom o rozmnožovaní králikov (obr. 1) a na základe neho sme sa dopracovali k rekurentnému vzťahu pre Fibonacciho postupnosť. Táto úvodná motivácia trvala cca 8-10 minút. obr. 1 obr. 2 Potom nasledovalo komentované čítanie celej kapitoly knihy, v ktorej jeden z hlavných hrdinov profesor Langdon spomína na svoju prednášku na Harvarde na tému Symbolika v umení. Niťou celej prednášky je číslo ϕ = 1,618, ktoré sa vo všeobecnosti považuje za najkrajšie číslo vo vesmíre a najohromujúcejšou vlastnosťou tohto čísla je, že predstavuje základný stavebný kameň v prírode. Rozmerové vlastnosti rastlín, zvierat, ba aj ľudí sa so záhadnou presnosťou pridŕžajú pomeru ϕ k 1. Číslo ϕ bolo odvodené z Fibonacciho postupnosti slávnej nielen preto, že súčet dvoch susediacich čísel sa rovnal nasledujúcemu číslu, ale aj preto, že podiel dvoch susediacich čísel sa prekvapujúco rovnal približne číslu ϕ. Túto vlastnosť Fibonacciho postupnosti sme so žiakmi overili.(obr. 2) Pojem zlatého rezu sme ukázali na rozdelení úsečky v pomere 1: φ. Ak rozdelíme úsečku AB dĺžky a bodom C na dve časti dĺžky x a (a - x) tak, aby sa pomer dĺžok väčšej časti x k menšej x a = časti (a - x) rovnal pomeru dĺžky úsečky a k väčšej časti x, teda aby platilo a x x, potom a x hovoríme, že sme zostrojili zlatý rez (bod C) úsečky AB (obr. 3) a pomer x, resp. a x, nazveme zlatým pomerom. Tento pomer označil americký matematik Mark Barr písmenom φ podľa počiatočného písmena mena najslávnejšieho starovekého gréckeho sochára Feidia, ktorý vo svojich dielach 64

2 zlatý rez používal. Hodnotu môžeme veľmi jednoducho určiť. Zvoľme veľkosť úsečky a = 1 a dosaďme do rovnice zlatého rezu: x 1 a = 1 = 1 x x + x 1 = 0 obr. 3 Ďalšie časti prednášky profesora Langdona sú venované ukážkam toho, že číslo ϕ možno nájsť v biológii, maliarstve, architektúre,... Takmer všetky obrázky, ktoré sú v prednáške spomínané sa dajú nájsť na internete. Z obrázkov som zostavila prezentáciu a cez dataprojektor som ju premietala počas čítania knihy. Na ilustráciu ukážeme niekoľko snímok zo spomínanej prezentácie (obr.4-7) x 2 1 ϕ = = 1,618 x 1 1+ x1 = 2 5 Zlatý rez v prírode Kvety slnečnice Nautilus africký kudu obr. 4 obr. 5 Zlatý rez v umení Zlatý rez v architektúre Cheopsova pyramída Dizajn obsahujúci pentagonálne a hexagonálne tvary používané v mešitách, ktoré boli odvodené zo spojitosti s Fibonacciho postupnosťou a zlatým pomerom Parthenón na Akropole obr. 6 obr. 7 Teraz uvedieme presný prepis časti spomínanej kapitoly knihy, ktorá súvisí s nasledujúcou aktivitou žiakov. 65

3 Bingo. Na plátne sa začali objavovať obrázky v rýchlom slede borovicové šišky, listy na stonkách rastlín, bunkové delenie hmyzu a na všetkých sa prejavoval rovnaký zákon zlatého rezu. To je úžasné! vykríkol ktosi. Hej, ozval sa iný, ale ako to súvisí s umením? Aha! spomenul si Langdon. Dobre, že ste mi to pripomenuli. Ukázal ďalší obrázok bledý, zažltnutý pergamen so slávnou da Vinciho kresbou nahého muža Vitruviovho muža pomenovaného podľa Marca Vitruvia, vynikajúceho rímskeho architekta, ktorý chválil zlatý rez vo svojom diele De architectura. Nikto neporozumel božskej stavbe ľudského tela lepšie než Leonardo da Vinci. V snahe zmerať presný pomer ľudských kostí exhumoval mŕtvoly. Ako prvý dokázal, že ľudské telo je doslova stvorené zo stavebných kameňov, ktorých vzájomný pomer sa vždy rovná PHI. Študenti sa naňho pochybovačne pozreli. Neveríte? spýtal sa Langdon. Keď sa pôjdete najbližšie sprchovať, vezmite si so sebou meter. Niekoľko študentov, ktorí sa venovali futbalu, sa rozrehotalo. A nielen športovci, pokračoval Langdon, ale všetci. Chlapci i dievčatá. Skúste to. Zmerajte si vzdialenosť od temena hlavy po zem. Potom ju vydeľte vzdialenosťou od pupku po zem. Môžete trikrát hádať, aké číslo vám vyjde. Hádam len nie PHI! vykríkol neveriacky jeden zo športovcov. Presne tak, odvetil Langdon. Jedna celá šesťstoosemnásť tisícin. Mám vám dať ešte jeden príklad? Zmerajte vzdialenosť od pleca po končeky prstov na rukách a vydeľte ju vzdialenosťou od lakťa po končeky tých istých prstov. PHI. Mám pokračovať? Vydeľte vzdialenosť od bokov po zem vzdialenosťou od kolien po zem. Zase PHI. Nech meriate ako meriate, vždy dostanete PHI. Priatelia, my všetci predstavujeme živý hold, ktorý vzdávame zlatému rezu. Langdon aj potme videl, akí sú všetci ohúrení. Pocítil dôverne známe teplo, ktoré sa mu rozlievalo po tele. Kvôli tomu učil. Hodinu sme ukončili tým, že žiaci dostali za úlohu overiť na sebe, či sa pomery dĺžok časti ľudského tela spomínané v knihe naozaj rovnajú číslu ϕ. Namerané hodnoty a ich pomery žiaci doniesli na nasledujúcu hodinu a jedna žiačka sa prihlásila, že tieto údaje spracuje. Aj ďalších žiakov som vyzvala, že pokiaľ ich téma zaujala môžu si pripraviť referáty na tému zlatý rez a číslo ϕ v rôznych oblastiach umenia a vedy a že ak zistia o tejto téme niečo zaujímavé, budeme jej ešte venovať jednu vyučovaciu hodinu asi o dva týždne. Téma žiakov zaujala, čo sa prejavilo už v priebehu 1. hodiny, keď sme čítali ukážku z knihy a záujem o tému potvrdilo aj to, že v priebehu dvoch týždňov si až 11 žiakov pripravilo referát. Týmto referátom bola venovaná ďalšia vyučovacia hodina. Nakoľko referátov bolo veľa a obsahom boli niektoré veľmi podobné nedostali sa všetci žiaci k slovu vybrala som len tie referáty, ktoré obsahovali nové veci, ktoré neboli už na 1. hodine. Pochopiteľne najviac žiakov zaujímalo ako dopadli v triede merania proporcií vlastných tiel, ale zaujímavé boli aj rýdzo geometrické referáty o konštrukcii zlatého rezu na úsečke, o zlatom obdĺžniku, trojuholníku, špirále. Odzneli aj referáty o zlatom reze v hudbe a architektúre. Do aktivity sa zapojili aj žiaci, ktorí v matematike nedosahujú najlepšie výsledky, čo bolo aj jedným z cieľov celej aktivity. Problémy, ktoré sa pri aktivite vyskytli boli spôsobené najmä nedostatkom času v 1. i 2. časti aktivity. Na 1. hodine sme chceli úryvok dočítať, takže v jeho poslednej časti už nebol čas na komentár a diskusiu so žiakmi. V 2. časti by bolo vhodné, aby svoj referát mohli prezentovať všetci žiaci, ktorí si ho pripravili. Plánujem materiály, ktoré som si pripravila použiť aj na matematickom krúžku so žiakmi 1. a 2. ročníka, kde časový problém nebude a môžeme sa problematikou zaoberať tak dlho ako to bude žiakov baviť. 66

4 Ukážky zo žiackych referátov Oktáva a zlatý rez (Spracovala: Tamara Kurilová, oktáva, Gymnázium P. O. Hviezdoslava v Kežmarku, január 2006) Najmä v renesancii sa pestovala a udržovala mienka, že najkrajšie sú útvary, v ktorých možno nájsť zlatý rez. Učitelia radili svojim maliarskym učňom konštruovať telo podľa zlatého rezu. Filozofovia zaoberajúci sa estetikou našli na ľudskom tele zlatý rez v pomere dĺžok nad pásom a pod pásom. A tieto časti tela môžeme znovu rozdeliť na dve časti v pomere 0,618 : 1. Hranicami sú ďalšie dve zúženia na ľudskom tele - krk a noha tesne pod kolenom. Zlatý rez je však statická hodnota. Je to akýsi ideálny priemer a každý človek s ním nie je na milimeter totožný. A navyše platí pre akéhosi obojpohlavného človeka, pretože je priemerom hodnôt nameraných u žien i mužov. V skutočnosti je hodnota 0,618 u mužov trochu menšia a u žien väčšia. Dievčatá by mali mať dlhšie nohy a chlapci v pomere k svojej výške viac vyvinutú hornú, hrudnú časť. Stupeň krásy určitej postavy je v tom, ako veľmi sa jej proporcie priblížili k priemerným, resp. normálnym proporciám. Indivíduí s priemernými proporciami je však pomerne málo a u väčšiny ľudí kolíšu okolo tohto priemeru. Priemerné proporcie sú teda základom, z ktorého umelec pri svojej tvorbe musí vychádzať. Pokiaľ si konštruuje alebo používa kánon (vzorové rozmery), musí si uvedomiť, že ide len o jednoduché pravidlo, resp. pomôcku, a to že kánon vyjadruje hodnoty iba blízke priemeru, a že i dobrý kánon sa nehodí na všetky prípady, obzvlášť nie na extrémne. Prakticky sa proporcie skôr cítia, než merajú. Značný význam má štúdium proporcií a použitia správneho kánonu najmä v sochárstve, menej v maliarstve, kde záleží viac na bezprosrednom postrehu umelca, pretože maliar sa stretáva vždy s perspektívnym skreslením tela, čím sa aplikácia kánonu stáva niekedy nemožnou. V historickom slede bolo konštruované veľké množstvo kánonov, z ktorých niektoré mnohé umelecké školy doposiaľ používajú. "Ondrejov kríž" je kánonom rímskeho staviteľa Vitruvia. Podľa neho sa dĺžka rozpätých horných končatín rovná výške tela a je teda možné ľudské telo zakresliť do štvorca. Okolo tejto figúry opísal kružnicu - stred je v pupku - ktorý sa tým stal prirodzeným stredom, nie však poliacim bodom tela. Túto tzv. Vitruviovu figúru používal v renesancii Leonardo da Vinci a Albrecht Dürer. obr. 8 obr. 9 67

5 Leonardo da Vinci si tento kánon upravil. Na obrázku proporčnej štúdie Ondrejovho kríža majú obdĺžniky strany v pomere zlatého pomeru. V rovnakom pomere sú umiestnené na ľudskej ruke zápästné kĺby. Adolf Zeissing prehlásil pravidlo zlatého rezu za zákon proporcionality. Podľa neho je vzdialenosť od temena k pupku ku vzdialenosti pupku od podložky v rovnakom pomere ako táto vzdialenosť k výške tela. Zlatý rez platí podľa neho pre všetky časti tela (aj pre končatiny), preto dĺžka predlaktia s rukou je k dĺžke paže v tom istom pomere ako dĺžka celej hornej končatiny k predlaktiu s rukou. Čo sa týka dolnej končatiny, pomer by mal platiť pre dĺžku celej nohy a dĺžku predkolenia... V snahe zistiť, či my, žiaci oktávy, sme tiež proporcionálne krásni, vzali sme do ruky meter a odmerali sme všetky veličiny potrebné na výpočet nižšie uvedených pomerov. Došli sme k záveru, že zistené hodnoty ( po výpočte aritmetického priemeru ) síce nie sú veľmi vzdialené od zlatého pomeru, no zaujímavý je poznatok, že najviac sa vymyká hodnota týkajúca sa dolných končatín. Ešte možno hádam spomenúť, že u chlapcov sa priemerná hodnota pomeru pre ruku odchýlila o dosť viac ako u dievčat. Výsledky však môžu byť ovplyvnené aj tým, že sme nepreskúmali väčšiu vzorku. Všetky hodnoty sú uvedené v tabuľkách. Číslo žiaka DIEVČATÁ pomer 1 pomer 2 pomer 3 1 1,66 1,79 1,64 2 1,68 1,62 1,81 3 1,6 1,71 1,57 4 1,7 1,68 1,84 5 1,52 1,35 1,95 6 1,58 1,80 1,90 7 1,66 1,58 1,70 aritmetický priemer 1,628 1,646 1,771 Číslo žiaka CHLAPCI pomer 1 pomer 2 pomer 3 1 1,65 1,61 1,70 2 1,56 1,86 1,88 3 1,66 1,69 1,70 4 1,67 1,70 1,65 5 1,73 1,65 1,91 6 1,53 1,56 1,71 7 1,62 1,63 1,67 8 1,51 1,63 1,98 9 1,60 1,77 1, ,67 1,59 1, ,64 1,78 1, ,60 1,68 1, ,66 1,71 1, ,545 1,55 1, ,8 1,58 1, ,59 1,91 1,94 aritmetický priemer 1,627 1,681 1,785 Pomer 1 je pomer vzdialenosti od temena po zem ku vzdialenosti od pupku po zem. Pomer 2 je pomer vzdialenosti ramena a koncov prstov ku vzdialenosti od lakťa po konce prstov. Pomer 3 je pomer vzdialenosti bokov po zem a vzdialenosti kolena po zem. Uvediem ešte aritmetické priemery priemerných hodnôt chlapcov a dievčat(p ): P (1)=1,627 P (2)=1,663 P (3)=1,778 Aj keď naše telesné proporcie nespĺňajú úplne ideál, nemusíme zúfať, veď knihy sa neposudzujú podľa obalu a na ľudské vedomosti a povahu zlatý rez hádam žiaden vplyv nemá... =) 68

6 Zlatý rez v hudbe a staroindickom literárnom jazyku (Spracoval: Michal Gurník. Oktáva, Gymnázium P. O. Hviezdoslava v Kežmarku, január 2006) Zlatý rez má v hudbe dosť veľké využitie. Používali ho výrobcovia hudobných nástrojov aj skladatelia. Analýzami Mozartových sonát vedci zistili, že skoro všetky sú rozdelené na dve časti presne podľa zlatého rezu. Je to úmyselné (Mozartova sestra potvrdila, že sa často hral s číslami) alebo to urobil intuitívne? Beethovenova piata symfónia v sebe tiež obsahuje zlatý rez. Slávne motto sa opakuje nielen na začiatku a na konci (takt 601 pred Codou), ale aj v zlatom reze, teda v 372. takte (0,618 diela) a aj na začiatku opakovania, čo je 0,382 tisícin diela. Na klávesnici klavíra je v oktáve 5 čiernych klávesov a 8 bielych, teda spolu 13. Ak vydelíte 13/8 a 8/5, vyjde vám 1,625 a 1,6. Má to však háčik, v oktáve (C, D, E, F, G, A, H, C) sa C opakuje dvakrát. Je to možno kvôli tomu, že C a C sú od seba o oktávu vyššie a možno len preto, že oktáva krajšie znie. Slávny výrobca huslí Stradivari používal zlatý rez pri ich konštrukcii a na umiestnenie f- otvorov, vďaka čomu majú tieto husle taký výnimočný zvuk. Zlatý rez v Sanskrite Sanskrit je staroindický literárny jazyk založený na časomiere. Slová môžu obsahovať krátke (K) a dlhé (D) slabiky. Ak predpokladáme, že jedna dlhá trvá tak dlho ako dve krátke dve doby, môžeme si vytvoriť postupnosť: jedna doba K máme 1 možnosť ako usporiadať slabiky dve doby KK, D 2 možnosti tri doby KKK, DK, KD 3 možnosti štyri doby KKKK, KKD, KDK, DKK, DD 5 možností a ďalej to už asi poznáte Tento objav urobil(a) Acarya Hemacandra v roku 1150 n. l., teda 70 rokov predtým, ako Fibonacci vydal svoju prvú knihu Liber Abaci (1220). Záver Spomínaná kapitola knihy je príkladom toho ako možno aj starším žiakom spestriť vyučovanie beletrizovaným príbehom, ktorý žiaci zvyčajne privítajú - najmä ak boli v mladšom veku odchovaní na matematických rozprávkach. Učiteľ pri vyučovaní často bojuje sám so sebou, či si môže dovoliť zaradiť do vyučovania aj niečo zaujímavé, čo priamo nemá predpísané osnovami a vzdelávacími štandardami, hlavne keď má zvyčajne problém stihnúť prebrať a precvičiť aj základné učivo. Skúsenosti z tejto i podobných aktivít však ukazujú, že je to vhodné a niekedy i dôležitejšie a užitočnejšie ako vypočítať niekoľko typových príkladov na precvičenie učiva. Použité zdroje (vrátane žiackych referátov): 1. Dan Brown: Da Vinciho kód, Slovak Edition Vydavateľstvo SLOVART, s. r. o., Bratislava 2004, str

obr. 1 Prvý bol Pythagoras

obr. 1 Prvý bol Pythagoras Zlatý rez Zlatý rez je len jedno konkrétne číslo. Je to možno sklamanie, ale tento honosný názov naozaj nesie jedno konkrétne číslo. Na to, či je toto číslo natoľko zaujímavé, že si zaslúži vlastné meno,

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom

Διαβάστε περισσότερα

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda

Διαβάστε περισσότερα

Vzorce pre polovičný argument

Vzorce pre polovičný argument Ma-Go-15-T List 1 Vzorce pre polovičný argument RNDr Marián Macko U: Vedel by si vypočítať hodnotu funkcie sínus pre argument rovný číslu π 8? Ž: Viem, že hodnota funkcie sínus pre číslo π 4 je Hodnota

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Objem a povrch rotačného kužeľa

Objem a povrch rotačného kužeľa Ma-Te-04-T List 1 Objem a povrch rotačného kužeľa RNDr. Marián Macko Ž: Prečo má kužeľ prívlastok rotačný? U: Vysvetľuje podstatu vzniku tohto telesa. Rotačný kužeľ vznikne rotáciou, čiže otočením, pravouhlého

Διαβάστε περισσότερα

KOMPARO. celoslovenské testovanie žiakov 9. ročníka ZŠ. Matematika. exam KOMPARO 2006-07

KOMPARO. celoslovenské testovanie žiakov 9. ročníka ZŠ. Matematika. exam KOMPARO 2006-07 Základné informácie o projekte KOMPARO 006-07 pre základné školy 006-07 KOMPARO KOMPARO celoslovenské testovanie žiakov 9. ročníka ZŠ Matematika A exam testing EXAM testing, spol. s r. o. P. O. Box 5,

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

Modul pružnosti betónu

Modul pružnosti betónu f cm tan α = E cm 0,4f cm ε cl E = σ ε ε cul Modul pružnosti betónu α Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Modul pružnosti betónu Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Trnava 2008 Obsah 1 Úvod...7 2 Deformácie

Διαβάστε περισσότερα

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE

ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE bulletin občianskeho združenia 2 /6.11.2006/ ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE akvá ri um pr pree kre vet y, raky a krab y akva foto gr afi e Ji Jiřříí Plí š

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Kruh a kružnica interaktívne

Kruh a kružnica interaktívne Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Mgr. Róbert Truchan Kruh a kružnica interaktívne Osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej praxe Prešov 2013 Vydavateľ:

Διαβάστε περισσότερα

Pevné ložiská. Voľné ložiská

Pevné ložiská. Voľné ložiská SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu

Διαβάστε περισσότερα

Ma-Go-20-T List 1. Obsah trojuholníka. RNDr. Marián Macko

Ma-Go-20-T List 1. Obsah trojuholníka. RNDr. Marián Macko Ma-Go-0-T List 1 Obsah trojuholníka RNDr Marián Macko U: Čo potrebuješ poznať, aby si mohol vypočítať obsah trojuholníka? Ž: Potrebujem poznať jednu stranu a výšku na túto stranu, lebo základný vzorec

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv

Διαβάστε περισσότερα

Zlatý rez. Diana Kurtyová 3.D

Zlatý rez. Diana Kurtyová 3.D Zlatý rez Diana Kurtyová 3.D Obsah: 1. História 2. Tajomstvo zlatého rezu 3. Zlatý rez v matematike 4. Zlatý rez v prírode 5. Zlatý rez v umení 6. Fibonacciho čísla 7. Zoznam použitej literatúry 1. História

Διαβάστε περισσότερα

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3 ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v

Διαβάστε περισσότερα

Výpočet. grafický návrh

Výpočet. grafický návrh Výočet aaetov a afcký návh ostuu vtýčena odobných bodov echodníc a kužncových obúkov Píoha. Výočet aaetov a afcký návh ostuu vtýčena... Vtýčene kajnej echodnce č. Vstuné údaje: = 00 ; = 8 ; o = 8 S ohľado

Διαβάστε περισσότερα

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L

Διαβάστε περισσότερα

Pravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A.

Pravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A. 7. Negácie výrokov Negácie jednoduchých výrokov tvoríme tak, že vytvoríme tvrdenie, ktoré popiera pôvodný výrok. Najčastejšie negujeme prísudok alebo použijeme vetu Nie je pravda, že.... Výrok A: Prší.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO

PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE Fakulta špeciálneho inžinierstva Doc. Ing. Jozef KOVAČIK, CSc. Ing. Martin BENIAČ, PhD. PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO Druhé doplnené a upravené vydanie Určené

Διαβάστε περισσότερα

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 % Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO

Διαβάστε περισσότερα

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový

Διαβάστε περισσότερα

Generovanie náhodných čísel

Generovanie náhodných čísel Generovanie náhodných čísel Náhodné čísla sú dôležitá súčasť výpočtov v: modelovaní a simuláciách numerickej analýze rozhodovaní počítačovej grafike kryptografii dátovej komunikácií... Základné spôsoby

Διαβάστε περισσότερα

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy obvodného kola 34. ročník, školský rok 2012/2013 KATEGÓRIA P3

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy obvodného kola 34. ročník, školský rok 2012/2013 KATEGÓRIA P3 KATEGÓRIA P3 1. Za dva koláčiky by sme zaplatili 32 centov. Koľko centov zaplatí Peter, ak kúpi po jednom koláčiku pre seba a pre troch súrodencov? 2. Napíšte slovom, aké znamienko matematickej operácie

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah geometrických útvarov

Obvod a obsah geometrických útvarov Obvod a obsah geometrických útvarov 1. Štvorcu ABCD so stranou a je opísaná a vpísaná kružnica. Vypočítajte obsah medzikružia, ktoré tieto kružnice ohraničujú. 2. Základňa rovnoramenného trojuholníka je

Διαβάστε περισσότερα

Jednoducho o matematike

Jednoducho o matematike Jednoducho o matematike Prehľad matematiky zo základnej školy Spracoval: Vladimír Rýs (voľne prístupná práca o matematike základnej školy) 1 1. Úvod Prečo vlastne chcem napísať tento prehľad? Dôvod je

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Výpočet. sledu skrátenia koľajníc v zloženom oblúku s krajnými prechodnicami a s medziľahlou prechodnicou a. porovnanie

Výpočet. sledu skrátenia koľajníc v zloženom oblúku s krajnými prechodnicami a s medziľahlou prechodnicou a. porovnanie Výpočet sledu skrátenia koľajníc v zloženo oblúku s krajnýi prechodnicai a s edziľahlou prechodnicou a porovnanie výsledkov výpočtového riešenia a grafického riešenia Príloha.4 Výpočet sledu skrátenia

Διαβάστε περισσότερα

Ročník: šiesty. 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích hodín

Ročník: šiesty. 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích hodín OKTÓBER SEPTEMBER Skúmanie vlastností kvapalín,, tuhých látok a Mesiac Hodina Tematic ký celok Prierezo vé témy Poznám ky Rozpis učiva predmetu: Fyzika Ročník: šiesty 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

Odraz a lom svetla. Kapitola 4

Odraz a lom svetla. Kapitola 4 Kapitola 4 Odraz a lom svetla Náuka o svetle, optika, je jednou z najdôležitejších častí fyziky, lebo valnú väčšinu skúseností so svetom, ktorý nás obklopuje, získavame našim zrakom. Čo vieme o vzdialených

Διαβάστε περισσότερα

Zadání úloh. Úloha 4.1 Sirky. Úloha 4.2 Zvuk. (4b) (4b) Studentský matematicko-fyzikální časopis ročník IX číslo 4. Termín odeslání 24. 3.

Zadání úloh. Úloha 4.1 Sirky. Úloha 4.2 Zvuk. (4b) (4b) Studentský matematicko-fyzikální časopis ročník IX číslo 4. Termín odeslání 24. 3. Studentský matematicko-fyzikální časopis ročník IX číslo 4 Termín odeslání 24. 3. 2003 Milí kamarádi, jetunovéčíslonašehočasopisuasnímiprvníinformaceojarnímsoustředění.budesekonat3. 11.května2003vCelnémuTěchonínavokreseÚstí

Διαβάστε περισσότερα

difúzne otvorené drevovláknité izolačné dosky - ochrana nie len pred chladom...

difúzne otvorené drevovláknité izolačné dosky - ochrana nie len pred chladom... (TYP M) izolačná doska určená na vonkajšiu fasádu (spoj P+D) ρ = 230 kg/m3 λ d = 0,046 W/kg.K 590 1300 40 56 42,95 10,09 590 1300 60 38 29,15 15,14 590 1300 80 28 21,48 20,18 590 1300 100 22 16,87 25,23

Διαβάστε περισσότερα

AKO PUBLIKOVAŤ V BIOMEDICÍNSKYCH VEDÁCH

AKO PUBLIKOVAŤ V BIOMEDICÍNSKYCH VEDÁCH PETER CELEC AKO PUBLIKOVAŤ V BIOMEDICÍNSKYCH VEDÁCH UNIVERZITA KOMENSKÉHO BRATISLAVA AKO PUBLIKOVAŤ V BIOMEDICÍNSKYCH VEDÁCH MUDr. Ing. Mgr. Peter Celec, PhD., MPH MUDr. Ing. Mgr. Peter Celec, PhD., MPH

Διαβάστε περισσότερα

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a ) Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým

Διαβάστε περισσότερα

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq MATEMATIKA 1. ročník wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui Učebný odbor:

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do testovania hypotéz

Úvod do testovania hypotéz TESTOVANIE HYPOTÉZ Úvod do testovania hypotéz Hypotéza je výrok, alebo tvrdenie o stave sveta (o skutočnej hodnote neznámeho parametra populácie - základného súboru), napr: Obvinený je nevinný µ= 100 Každá

Διαβάστε περισσότερα

ZHODNÉ ZOBRAZENIA A GEOGEBRA

ZHODNÉ ZOBRAZENIA A GEOGEBRA ODBORNÁ KONFERENCIA PRIMAS: OBJAVNÉ VYUČOVANIE MATEMATIKY A PRÍRODOVEDNÝCH PREDMETOV ZHODNÉ ZOBRAZENIA A GEOGEBRA V KONŠTRUKČNÝCH ÚLOHÁCH KARIN FUSKOVÁ ABSTRAKT Práca je zameraná na riešenie konštrukčných

Διαβάστε περισσότερα

PUGÁČIK. Časopis ZŠ na Pugačevovej ulici v Humennom

PUGÁČIK. Časopis ZŠ na Pugačevovej ulici v Humennom PUGÁČIK Časopis ZŠ na Pugačevovej ulici v Humennom Číslo 1/ 2005-2006 Milí žiaci, milí čitatelia, sme veľmi radi, že prostredníctvom týchto riadkov môžeme medzi našimi čitateľmi privítať všetkých vás,

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008) ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh 16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Metodicko pedagogické centrum.

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Metodicko pedagogické centrum. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

Strážte si svoje hodnoty. Ak chcete bezpečne kráčať životom a naplno si ho vychutnávať, nesmiete zanedbávať zdanlivo nepodstatné detaily.

Strážte si svoje hodnoty. Ak chcete bezpečne kráčať životom a naplno si ho vychutnávať, nesmiete zanedbávať zdanlivo nepodstatné detaily. Preukaz diabetika Strážte si svoje hodnoty Ak chcete bezpečne kráčať životom a naplno si ho vychutnávať, nesmiete zanedbávať zdanlivo nepodstatné detaily. V prípade, že máte cukrovku, celkom určite by

Διαβάστε περισσότερα

Gramatická indukcia a jej využitie

Gramatická indukcia a jej využitie a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)

Διαβάστε περισσότερα

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

Astma - život pacienta s astmou a jej liečba

Astma - život pacienta s astmou a jej liečba Astma - život pacienta s astmou a jej liečba Autor: PharmDr. Martin Bukvay Odborný garant a spoluautor: PharmDr. Martina Kozlíková Pokiaľ chcete vedieť, ako sa cíti astmatik, je na to jednoduché cvičenie:

Διαβάστε περισσότερα

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

A. BELAN: AKO UDRŽAŤ V TRIEDE MIER. v školách pribúda. Jeho príspevok obsahoval okrem iného aj otázku: Prečo

A. BELAN: AKO UDRŽAŤ V TRIEDE MIER. v školách pribúda. Jeho príspevok obsahoval okrem iného aj otázku: Prečo I. STRAUSSOVÁ: UČITELIA ČASTO NEKLADÚ OTÁZKY, IBA PLNIA PRÍKAZY A. BELAN: AKO UDRŽAŤ V TRIEDE MIER str. 4 6 str. 8 9 str. 14 DOBRÁ ŠKOLA D. KRÁLIK: DAJME SVETU VEDIEŤ, ŽE UČÍME INAK! II. ROČNÍK INŠPIRÁCIA

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu

Διαβάστε περισσότερα

Návrh maturitných zadaní v predmete matematika

Návrh maturitných zadaní v predmete matematika Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ RNDr. Renáta Kunová PhD. Návrh maturitných zadaní v predmete matematika Osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej

Διαβάστε περισσότερα

Energetická hodnota potravín

Energetická hodnota potravín Súťažný odbor 02 Matematika, Fyzika Energetická hodnota potravín Stredoškolská odborná činnosť Sivek Michal, sexta Gymnázium Ivana Bellu L. Novomeského 15, Handlová Konzultant: Mgr. Zuzana Černáková Handlová

Διαβάστε περισσότερα

experimentuj.eu MANUÁL EXPERIMENTŮ TATIANA HIKOVÁ LUDMILA POTOČÁKOVÁ PETR PUPÍK LUCIA RUMANOVÁ KITTI VIDERMANOVÁ

experimentuj.eu MANUÁL EXPERIMENTŮ TATIANA HIKOVÁ LUDMILA POTOČÁKOVÁ PETR PUPÍK LUCIA RUMANOVÁ KITTI VIDERMANOVÁ MANUÁL EXPERIMENTŮ TATIANA HIKOVÁ LUDMILA POTOČÁKOVÁ PETR PUPÍK LUCIA RUMANOVÁ KITTI VIDERMANOVÁ INTERAKTIVNÍ EXPERIMENTÁLNÍ WORKSHOP ŽILINA 4. 5. 9. 04 Interaktivní experimentální workshop je realizovaný

Διαβάστε περισσότερα

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Informatika Fyzika

Matematika Informatika Fyzika Metodicko-pedagogické centrum Prešov Centrum celoživotného vzdelávania Prírodovedecká fakulta UPJŠ v Košiciach Matematika Informatika Fyzika číslo 21 didaktický časopis učiteľov matematiky, informatiky

Διαβάστε περισσότερα

η = 1,0-(f ck -50)/200 pre 50 < f ck 90 MPa

η = 1,0-(f ck -50)/200 pre 50 < f ck 90 MPa 1.4.1. Návrh priečneho rezu a pozĺžnej výstuže prierezu ateriálové charakteristiky: - betón: napr. C 0/5 f ck [Pa]; f ctm [Pa]; fck f α [Pa]; γ cc C pričom: α cc 1,00; γ C 1,50; η 1,0 pre f ck 50 Pa η

Διαβάστε περισσότερα

! " #! $ %&! '( #)!' * +#, " -! %&! "!! ! " #$ % # " &' &'... ()* ( +, # ' -. + &', - + &' / # ' -. + &' (, % # , 2**.

!  #! $ %&! '( #)!' * +#,  -! %&! !! !  #$ % #  &' &'... ()* ( +, # ' -. + &', - + &' / # ' -. + &' (, % # , 2**. ! " #! $ %&! '( #)!' * +#, " -! %&! "!!! " #$ % # " &' &'... ()* ( +, # ' -. + &', - + &' / 0123 4 # ' -. + &' (, % #. -5 0126, 2**., 2, + &' %., 0, $!, 3,. 7 8 ', $$, 9, # / 3:*,*2;

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie - základné pojmy

Funkcie - základné pojmy Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny

Διαβάστε περισσότερα

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017 Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27

Διαβάστε περισσότερα

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor

Διαβάστε περισσότερα

PROMO AKCIA. Platí do konca roka 2017 APKW 0602-HF APKT PDTR APKT 0602-HF

PROMO AKCIA. Platí do konca roka 2017 APKW 0602-HF APKT PDTR APKT 0602-HF AKCIA Platí do konca roka 2017 APKW 0602-HF APKT 060204 PDTR APKT 0602-HF BENEFITY PLÁTKOV LAMINA MULTI-MAT - nepotrebujete na každú operáciu špeciálny plátok - sprehľadníte situáciu plátkov vo výrobe

Διαβάστε περισσότερα

Priklady, ktore pohli (mojim) svetom

Priklady, ktore pohli (mojim) svetom Priklady, ktore pohli (mojim) svetom Juro Tekel juraj(dot)tekel(at)gmail(dot)com Poznamky k seminaru o niekolkych najzakladnejsich typoch uloh, ktore je ozaj dobre poznat a vediet riesit. Januar 2006 Pocuvadlo

Διαβάστε περισσότερα

Příloha č. 1 etiketa. Nutrilon Nenatal 0

Příloha č. 1 etiketa. Nutrilon Nenatal 0 Příloha č. 1 etiketa Nutrilon Nenatal 0 Čelní strana Logo Nutrilon + štít ve štítu text: Speciální výživa pro nedonošené děti a děti s nízkou porodní hmotností / Špeciálna výživa pre nedonosené deti a

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B

1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B . písoá pác z tetik Skpi A. Zjedodšte výz : ) z 8 ) c). Doplňte, pltil ovosť : ) ). Vpočítjte : ) ) c). Vpočítjte : ) ( ) ) v v v c). Upvte výz ovete spávosť výsledk pe : 6. Zostojte tojholík ABC, k c

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΟΡΙΣΜΟΣ. Η χρυσή τομή φ ορίζεται ως το πηλίκο των θετικών αριθμών όταν ισχύει

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΟΡΙΣΜΟΣ. Η χρυσή τομή φ ορίζεται ως το πηλίκο των θετικών αριθμών όταν ισχύει ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ Ίσως όλοι έχουμε την εντύπωση πως αυτό που λέγεται λόγος χρυσής τομής, είναι μία έμπνευση των αρχαίων Ελλήνων την οποία εκμεταλλεύτηκαν για να κατασκευάσουν κτίσματα ή να δημιουργήσουν μορφές

Διαβάστε περισσότερα

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.2 Vzdelávacia

Διαβάστε περισσότερα

MATURITA 2013 MATEMATIK A

MATURITA 2013 MATEMATIK A Kód testu 8103 MATURITA 2013 EXTERNÁ ČASŤ MATEMATIK A NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! Test obsahuje 30 úloh. Na vypracovanie testu budete mať 120 minút. V teste sa

Διαβάστε περισσότερα

7 Mechanika tuhého telesa

7 Mechanika tuhého telesa 105 7 Mechanika tuhého telesa V tejto kapitole sú popísané základy dynamiky sústavy hmotných bodov a tuhého telesa. Zovšeobecnia sa vzorce pre pohyb, rýchlosť a zrýchlenie takýchto sústav pomocou ťažiska.

Διαβάστε περισσότερα