Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ, ΤΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ ΣΤΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΕΡΕΥΝΑ ΣΕ ΠΡΩΤΟΕΤΕΙΣ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΣΕΜΦΕ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ, ΤΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ ΣΤΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΕΡΕΥΝΑ ΣΕ ΠΡΩΤΟΕΤΕΙΣ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΣΕΜΦΕ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΣΤΟΠΟΥΛΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑ ΙΡΙΔΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΑΝΑΡΓΥΡΟΣ ΦΕΛΛΟΥΡΗΣ, Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π.

2 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Για την ολοκλήρωση της παρούσας διπλωµατικής εργασίας θα ήθελα να ευχαριστήσω την καθηγήτρια µου Κάλλια Παυλοπούλου καθώς και τον καθηγητή µου Ανάργυρο Φελλούρη για την καθοδήγηση που µου δώσανε και την πολύτιµη βοήθεια τους.

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Οι σκοποί της διδασκαλίας των µαθηµατικών. σελ. 1-3 Διάφορες µέθοδοι της διδασκαλίας των µαθηµατικών. σελ.4-12 Μαθηµατικά κατεύθυνσης Β Λυκείου. σελ Προτάσεις βελτίωσης της διδασκαλίας των Μαθηµατικών στη Δευτεροβάθµια Εκπαίδευση. σελ Τα επίπεδα σηµειωτικής αναπαράστασης στη διδακτική του διανύσµατος. σελ Δυσκολίες των µαθητών στην κατανόηση και χρήση της διανυσµατικής γλώσσας στη Γ Γυµνασίου. σελ Η αξιοποίηση των τεχνολογιών πληροφορίας και επικοινωνίας (ΤΠΕ) στη διδακτική των µαθηµατικών. σελ Διδακτική του διανύσµατος, της ευθείας και των κωνικών τοµών στη Β Λυκείου µέσω του λογισµικού Geogebra. σελ Παράθεση του ερωτηµατολογίου - Ποσοστά επιτυχίας-αποτυχίας απαντήσεων, ποιοτική ανάλυση απαντήσεων. σελ

4 Αντί προλόγου Θα ήθελα να ξεκινήσω µε την παράθεση µερικών συµβουλών του ζωγράφου και ακαδηµαϊκού Δηµήτρη Μυταρά οι οποίες εµπεριέχονται στο υπό έκδοση βιβλίου του «Η Γλώσσα της Τέχνης».Οι συµβουλές αυτές αφορούν τους φοιτητές τέχνης, παρ όλα αυτά φαίνονται να είναι χρήσιµες και για όλους εµάς τους φοιτητές που ξεκινάµε γεµάτοι όνειρα τη σταδιοδροµία µας µετά το πτυχίο.στο σηµείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω το δάσκαλο Δηµήτρη Μυταρά για την παραχώρηση. ΣΥΜΒΟΥΛΕΣ Πολλοί λένε ότι ο δάσκαλος επηρεάζει το µαθητή. Όταν ο µαθητής είναι κενός, τον γεµίζει ο δάσκαλος. Όταν δεν υπάρχει δάσκαλος, τότε ο µαθητής ψάχνει να βρεί ποιος θα του γεµίσει το κενό. Μην εµπιστεύεστε τους πολύ συµπαθείς δασκάλους, γιατρούς, δικηγόρους ή άλλους που είµαστε υποχρεωµένοι να συµβουλευόµαστε. Η συµπάθεια µας δεν αποτελεί ασφαλές κριτήριο και το τίµηµα είναι πολύ ακριβό. Δεν κάνεις ό,τι σου αρέσει, κάνεις ό,τι µπορείς και ό,τι είσαι. Όταν κάποιος σπουδαστής αντιληφθεί το πρόβληµα,χωρίς έστω να το λύσει, τότε παίρνει πτυχίο. Δεν παλεύεις για να σώσεις τον πολιτισµό, αλλά για να ολοκληρώσεις τον εαυτό σου.τότε σώζεις τον πολιτισµό. Η ανάλυση προηγείται της σύνθεσης. Όταν συνθέτεις χωρίς να έχεις αναλύσει είναι σα να χτίζεις στην άµµο. Δεν έχει σηµασία τι κάνεις, αλλά πως το κάνεις. Να εύχεσαι το ταλέντο σου να είναι µεγαλύτερο από τη φιλοδοξία σου. Μη καταδέχεσαι να παριστάνεις το δικηγόρο του έργου σου. Δηµιούργησε το δικό σου κανόνα αξιών. Μόνο αυτός µπορεί να σε οδηγήσει µακριά...μόνο το προσωπικό έργο είναι πρωτότυπο και αληθινό. Η αλήθεια δε διδάσκεται. Το µόνο τίµιο είναι η µορφή σου. Ποτέ µη την προδώσεις.

5 Οι σκοποί της διδασκαλίας των µαθηµατικών Οι σκοποί της διδασκαλίας των µαθηµατικών στο σχολείο είναι αρχικά η µεθοδική άσκηση των µαθητών στην ορθολογική σκέψη και η γενικότερη πνευµατική καλλιέργεια και η ολοκλήρωση της προσωπικότητας του µαθητή. Μέσα από την παραγωγική διδασκαλία των µαθηµατικών οι µαθητές είναι σε θέση να αναπτύξουν την ικανότητα για την ακριβή σύλληψη των µαθηµατικών εννοιών. Ακόµη οι µαθητές µαθαίνουν να χειρίζονται και να χρησιµοποιούν σωστά τη µαθηµατική γλώσσα και να κατανοούν το ρόλο και τη συµβολή των Μαθηµατικών στους διάφορους επιστηµονικούς τοµείς. Συγκεκριµένα µέσα από τη µεθοδική άσκηση οι µαθητές αναπτύσσουν ορθολογική σκέψη,αφαιρετικό και αναλυτικό πνεύµα. Η µεθοδική άσκηση του µαθητή τον οδηγεί στη ανάπτυξη της ικανότητας της γενίκευσης και της εφαρµογής. Επίσης ο µαθητής αναπτύσσει κριτική σκέψη και µεταβαίνει σε λογικές διεργασίες καθώς επίσης µυείται αβίαστα στην αυστηρά µαθηµατική αποδεικτική διαδικασία. Οι µαθητές µέσα από τη διδασκαλία των µαθηµατικών οδηγούνται στην πνευµατική καλλιέργεια καθώς επίσης και στην ολοκλήρωση της προσωπικότητας τους. Αυτό είναι επακόλουθο διότι τα µαθηµατικά αναπτύσσουν την παρατηρητικότητα, την προσοχή καθώς επίσης και την δύναµη αυτοσυγκέντρωσης στους µαθητές. Είναι αξιοσηµείωτο να αναφερθεί ότι οι µαθητές καλλιεργούν το αίσθηµα της επιµονής, µαθαίνουν να λαµβάνουν πρωτοβουλίες. Επιπρόσθετα οι µαθητές καλλιεργούν µέσα από τη σωστή διδασκαλία των Μαθηµατικών την δηµιουργική φαντασία και αναπτύσσουν πειθαρχηµένη σκέψη και συµπεριφορά. Όλα τα παραπάνω συµβάλλουν στην διδασκαλία των µαθητών που µαθαίνουν µέσα από τη διδασκαλία των µαθηµατικών να αναπτύσσουν και να καλλιεργούν την κριτική σκέψη και το κριτικό πνεύµα. Πρέπει να επισηµάνουµε ότι µέσα από τη διδασκαλία των µαθηµατικών µαθαίνουν και αναπτύσσουν την ικανότητα για την ακριβή σύλληψη των 3

6 εννοιών που µελετούν. Πρέπει να είναι σε θέση να καταλαβαίνουν σε βάθος τα µεγέθη που µελετάνε τις ιδιότητες αυτών καθώς επίσης και τις συγκεκριµένες σχέσεις που συνδέουν τα µεγέθη αυτά. Ακόµα θα πρέπει να καταλαβαίνουν σε βάθος και ιδιαιτέρως τις έννοιες εκείνες που είναι απαραίτητες για την κατανόηση και επίλυση προβληµάτων της σύγχρονης ζωής κυρίως στον τοµέα της τεχνολογίας, της οικονοµίας αλλά και της κοινωνικής πραγµατικότητας γενικότερα. Είναι αξιοσηµείωτο ότι οι µαθητές µαθαίνουν αλλά και κατανοούν αυστηρά και ουσιαστικά τη µαθηµατική γλώσσα. Σε αυτή την περίπτωση είναι σε θέση να διατυπώνουν τα αντίστοιχα µαθηµατικά θεωρήµατα χρησιµοποιώντας τη µαθηµατική γλώσσα µε τάξη, σαφήνεια,ακρίβεια,αυστηρότητα, λιτότητα και κοµψότητα. Μέσα από τη δηµιουργική και παραγωγική διδασκαλία των µαθηµατικών οι µαθητές είναι σε θέση να κατανοήσουν το ρόλο των µαθηµατικών στους διάφορους τοµείς της γνώσης και οικοδοµούν σηµαντικά µαθηµατικά θεµέλια τόσο για την απόκτηση σωστής µαθηµατικής παιδείας και υποβάθρου αλλά όσο για την δυνατότητα να συνεχίσουν τις σπουδές τους στην Τριτοβάθµια εκπαίδευση. Μέσα από τη διδασκαλία των µαθηµατικών στη δευτεροβάθµια εκπαίδευση επιδιώκεται να εµπεδωθεί και να συµπληρωθεί περισσότερο η ύλη που έχουν διδαχθεί οι µαθητές. Έτσι ώστε οι µαθητές να εφοδιαστούν µε όλες τις µαθηµατικές γνώσεις που είναι απαραίτητες για τη ζωή και την περαιτέρω µελέτη και εκπαίδευση. Επιπλέον οι µαθητές εµπλουτίζουν τις εµπειρίες τους µε εφαρµογές από τη καθηµερινή ζωή, την τεχνολογία καθώς επίσης και από τις άλλες εφαρµοσµένες µαθηµατικές επιστήµες. Αυτό έχει ως σκοπό οι µαθητές να µπορέσουν να αναπτύξουν µια θετική στάση απέναντι στο µάθηµα των µαθηµατικών. Πρέπει να αναφερθεί ότι οι µαθητές εισάγονται στην αποδεικτική διαδικασία και συνειδητοποιούν ότι αυτή αποτελεί χρήσιµο και άµεσο τρόπο για την επαλήθευση γενικών νόµων. 4

7 Με τη διδασκαλία των µαθηµατικών στο Λύκειο οι µαθητές µυούνται και εξοικειώνονται στη διαδικασία της µαθηµατικής απόδειξης και καλλιεργούν τη µαθηµατική σκέψη. Επιπρόσθετα οι µαθητές µέσω µιας παραγωγικής διδασκαλίας των µαθηµατικών είναι σε θέση να εµπεδώσουν αλλά και να διερευνήσουν σε θεωρητικότερο επίπεδο τις γνώσεις τις οποίες έχουν ήδη αποκτήσει προγενέστερα. Το πιο σηµαντικό από όλα τα παραπάνω είναι ότι οι µαθητές µέσα από τη συνεχή µαθηµατική άσκηση και πρακτική µαθαίνουν να χρησιµοποιούν τα µαθηµατικά όχι µόνο ως γνώση αλλά κυρίως ως µέθοδο σκέψης και πράξης στην καθηµερινή ζωή. Τέλος οι µαθητές έχουν τη δυνατότητα να έρθουν σε επαφή µε τις ποικίλες εφαρµογές των µαθηµατικών στις άλλες επιστήµες και στη σύγχρονη πραγµατικότητα. 5

8 Διάφορες µέθοδοι της διδασκαλίας των µαθηµατικών Δεν είναι µόνο σηµαντικό αλλά κρίνεται απαραίτητο σε κάθε ώρα διδασκαλίας των µαθηµατικών να υπάρχει η ενεργή συµµετοχή των µαθητών αλλά και κάθε ένας από αυτούς να συµβάλει µε την προσωπική του εργασία πάνω στο µάθηµα. Η τάξη πρέπει να είναι ένα µέρος µέσα στο οποίο οι µαθητές δεν θα είναι παθητικοί αλλά θα συµµετέχουν ενεργά στη διεξαγωγή του µαθήµατος. Οι µαθητές θα πρέπει να εξερευνούν καταστάσεις, και να ανακαλύπτουν νέες γνώσεις. Ακόµη θα πρέπει να ερµηνεύουν και να χρησιµοποιούν τις γνώσεις που απέκτησαν. Κάθε διδασκαλία θα πρέπει να προχωρεί από το γνωστό στο άγνωστο και από το συγκεκριµένο στο αφηρηµένο και τέλος από το απλό στο σύνθετο. Αυτό για να µη γίνεται κουραστική στους µαθητές ώστε να µην καταβάλουν πολύ κόπο για να τα κατανοήσουν, αλλά να αποκτήσουν όλο και περισσότερο ενδιαφέρον για να µάθουν αλλά και να συµµετέχουν ακόµα πιο ενεργά στην διαδικασία της µάθησης των εκάστοτε ενννοιών. Η σωστή προετοιµασία,η θεωρητική κατάρτιση και ο συνεχής προβληµατισµός του διδάσκοντος αποτελούν απαραίτητα στοιχεία για µια επιτυχή διδασκαλία. Για το λόγο αυτό ο διδάσκων πρέπει στην αρχή του κάθε έτους να µελετάει την ύλη και τα βιβλία που πρόκειται να διδάξει και να δίνει σηµαντική προσοχή στις διδακτικές οδηγίες. Έτσι θα ξέρει τι θα πρέπει να επισηµάνει στους µαθητές ώστε να οδηγηθούν στην επιτυχηµένη και ουσιαστική µάθηση. Η εµµονή σε ενότητες που ανήκουν µάλλον στην «ιστορία των Μαθηµατικών» και η επιλογή πολύπλοκων ασκήσεων, όχι µόνο δε συµβάλλει στην επίτευξη των σκοπών της διδασκαλίας, αλλά αντίθετα οδηγεί στη «µαθηµατικοφοβία», ενώ παράλληλα επιβραδύνει το ρυθµό της διδασκαλίας. Έτσι δε µένει χρόνος για τη διδασκαλία άλλων ενοτήτων, οι οποίες είναι χρήσιµες αν όχι απαραίτητες, για όλους τους µαθητές, ανεξάρτητα από τη κατεύθυνση που θα ακολουθήσουν. 6

9 Είναι βασικό οι µαθητές να εξοικειωθούν µε το µαθηµατικό λογισµό και να αναπτύξουν τις σχετικές µε αυτόν δεξιότητες. Βέβαια είναι σηµαντικό να µη σπαταλάται πολύτιµος χρόνος µε εκτέλεση πολύπλοκων αριθµητικών ή αλγεβρικών υπολογισµών. Θα πρέπει να γίνει κατανοητό ότι οι δύσκολες και οι εξεζητηµένες ασκήσεις που υπερβαίνουν τις δυνατότητες των µαθητών έχουν ελάχιστη χρησιµότητα στην προαγωγή του µαθηµατικού τρόπου σκέψης και αντιβαίνει στη σύγχρονη διδακτική των µαθηµατικών.με τα πιο εξεζητηµένα θέµατα ασκήσεων το µόνο που επιτυγχάνεται είναι οι µαθητές να απογοητευτούν και να καλλιεργήσουν ένα αίσθηµα αποστροφής για τα Μαθηµατικά. Έτσι µπορεί εύκολα να τους δηµιουργηθεί η αντίληψη ότι η κατανόηση των Μαθηµατικών προυποθέτει ειδικές ικανότητες. Ο µαθητής µέσα από τη σύγχρονη διδακτική των µαθηµατικών θα πρέπει να µάθει να εκφράζεται µε πληρότητα, σαφήνεια και αυστηρότητα χρησιµοποιώντας µαθηµατικές έννοιες και όρους. Χρησιµοποιώντας τη µαθηµατική γλώσσα χρησιµοποιεί τα µαθηµατικά σύµβολα των οποίων η σηµασία έχει γίνει αµφίβολη και ρευστή από την κοινή χρήση. Σε καµία περίπτωση ο συµβολισµός δεν πρέπει να ενισχύει τη «σπουδαιοφάνεια» και την τάση τα «εύκολα να γίνονται δύσκολα». Κατά την εισαγωγή νέων µαθηµατικών όρων, όπως π.χ. µειωτέος, διαιρετέος, εφαπτοµένη, συµµετρία κτλ. είναι σκόπιµο να αναφερόµαστε, όσο είναι δυνατό, και στην ετυµολογική σηµασία τους, παράλληλα µε τη λειτουργική σηµασία που έχουν στα Μαθηµατικά. Με αυτό τον τρόπο βοηθούµε το µαθητή στην κατανόηση, στη συγκράτηση και στην ορθή εννοιολογική χρήση των όρων. Είναι γνωστή η παιδαγωγική αξία των σχηµάτων και γενικότερα των εποπτικών εικόνων γι' αυτό συνιστάται, όταν προσφέρεται η διδακτική ενότητα, η χρησιµοποίηση σχηµάτων, πινάκων κ.τ.λ. γιατί έτσι γίνονται κατανοητές και ερµηνεύονται καλύτερα οι έννοιες που πραγµατεύεται η ενότητα. Ιδιαίτερα στις γυµνασιακές τάξεις πρέπει να γίνεται συστηµατική χρήση των εποπτικών µέσων. Το ψαλίδι, το διαφανές χαρτί, τα γεωµετρικά όργανα και το τετραγωνισµένο χαρτί πρέπει να χρησιµοποιούνται 7

10 σε κάθε βήµα της διδακτικής πορείας. Τα εποπτικά µέσα και οι κάθε είδους µετρήσεις και πειραµατισµοί πρέπει να µιλούν περισσότερο από το διδάσκοντα και να είναι αναπόσπαστα στοιχεία της µαθητικής εργασίας. Οι εφαρµογές και τα παραδείγµατα βοηθούν στην καλύτερη κατανόηση και εµπέδωση της εκάστοτε διδακτικής ενότητας Αυτά µπορούν να χρησιµοποιούνται ως προτάσεις για τη λύση των ασκήσεων και την απόδειξη άλλων προτάσεων αλλά δεν εξετάζονται ούτε ως θεωρία ούτε ως ασκήσεις. Σε κάθε βιβλίο συναντάµε ποικιλία από ασκήσεις και εφαρµόγες. Ο διδάσκων πρέπει κατά τη διδασκαλία µιας ενότητας να λαµβάνει υπόψη του τις ατοµικές διαφορές των µαθητών και τα ιδιαίτερα γνωρίσµατα που µπορεί να έχει η τάξη του και κάθε φορά να επιλέγει τις κατάλληλες ασκήσεις τόσο για την κατανόηση της ενότητας όσο και για την περαιτέρω εµβάθυνση της. Στο τέλος των περισσότερων κεφαλαίων των βιβλίων υπάρχουν ιστορικά σηµειώµατα που έχουν σκοπό να διεγείρουν το ενδιαφέρον και την αγάπη των µαθητών για τα Μαθηµατικά και να τους πληροφορήσουν για την ιστορική πορεία της µαθηµατικής σκέψης. Η αξιοποίηση των ιστορικών σηµειωµάτων στη διδασκαλία εξαρτάται σε µεγάλο βαθµό από τις πρωτοβουλίες και ιδέες που θα αναπτύξουν οι διδάσκοντες. Μια πρόταση που έχει µε επιτυχία δοκιµαστεί πειραµατικά σε άλλες χώρες, είναι διάθεση µιας διδακτικής ώρας µετά την ολοκλήρωση της ύλης ενός κεφαλαίου, για τη µελέτη του αντίστοιχου ιστορικού σηµειώµατος και ελεύθερη συζήτηση στην τάξη. Με αυτή την προοπτική έχουν γραφτεί ιδιαίτερα τα ιστορικά σηµειώµατα για τη λογαριθµική συνάρτηση στο βιβλίο της Άλγεβρας της Β' Λυκείου. Κατά τη διδασκαλία της Τριγωνοµετρίας και της Στατιστικής, οι διδάσκοντες πρέπει να ενθαρρύνουν τους µαθητές στη χρήση των υπολογιστικών µηχανών (calculators), ώστε να µη σπαταλάται χρόνος στη χρήση των τριγωνοµετρικών πινάκων και γενικότερα στον αριθµητικό λογισµό. Έτσι, θα έχουν τη δυνατότητα οι µαθητές, να ασχοληθούν µε µεγαλύτερη ποικιλία ασκήσεων και να διαθέσουν περισσότερο χρόνο στη διαδικασία λύσης των προβληµάτων και την ερµηνεία των αποτελεσµάτων. 8

11 Το παραδοσιακό διδακτικό µοντέλο Από τη δεκαετία του 80 η διδακτική των µαθηµατικών και η γενικότερα η µαθηµατική εκπαίδευση σταδιακά αλλά συστηµατικά και µεθοδικά µεταβαλλόταν σε όλους τους τοµείς και τις συνιστώσες της. Παρατηρήθηκαν αρκετές αλλαγές στις διδακτικές µεθόδους στα είδη των δεξιοτήτων που πρέπει να αναπτύξουν οι µαθητές, στο περιεχόµενο και στη διάρθρωση του προγράµµατος σπουδών και των διδακτικών βιβλίων. Ακόµα παρατηρήθηκαν αλλαγές και στις µεθόδους και στους τρόπους αξιολόγησης. Αυτές οι µεταβολές προέκυψαν είτε λόγω της εξέλιξης των σύγχρονων κοινωνιών, είτε λόγω της ραγδαίας ανάπτυξης της τεχνολογίας. Επιπλέον σηµαντικές αλλαγές δηµιούργησαν χρήσιµα συµπεράσµατα που βγήκαν µέσα από έρευνες της διδακτικής των µαθηµατικών σε ζητήµατα µαθηµατικης εκπαίδευσης. Οι συνέπειες συγκλίνουν στο να δούµε µε διαφορετικό τρόπο το ρόλο και τη θέση του καθηγητή των µαθηµατικών µέσα στην τάξη και να δώσουµε ένα ευρύτερο περιεχόµενο στον όρο διδακτική των µαθηµατικών. Κατά το παραδοσιακό διδακτικό µοντέλο ισχύουν τα παρακάτω. Ο διδάσκων αρχίζει τη διδασκαλία µε την παρουσίαση µιας τεχνικής στη συνέχεια ακολουθούν ασκήσεις για εξάσκηση και ασκήσεις και προβλήµατα για εφαρµογή. Αυτό που επιδιώκεται είναι η απόκτηση εκείνων ακριβώς των δεξιοτήτων που παρουσιάζει ο δάσκαλος στην τάξη καθώς επίσης στην ταχύτητα και στην ακρίβεια των απαντήσεων. Το παραδοσιακό µοντέλο διδασκαλίας λειτουργεί κάτω από την ακόλουθη υπόθεση. Το σύνολο των τεχνικών που διαθέτουν οι µαθητές για να λύνουν ασκήσεις είναι το σώµα των γνώσεων που πρέπει να κατέχουν. Εποµένως η ευχέρεια στις τεχνικές αυτές εκφράζει το αν οι µαθητές έχουν µάθει τα µαθηµατικά ή όχι. Στο παραδοσιακό διδακτικό µοντέλο η γνώση είναι προσωπική υπόθεση του κάθε µαθητή. Ο µαθητής δεν µπορεί να την επηρεάσει παρά µόνο 9

12 πρέπει να τη µάθει. Κατά το παραδοσιακό διδακτικό µοντέλο ο καθηγητής διδάσκει στους µαθητές έναν αλγόριθµο και για να διαπιστώσει αν οι µαθητές τον έχουν µάθει σωστά τότε αυτοί θα πρέπει να είναι ικανοί να λύσουν ασκήσεις και προβλήµατα πάνω στη συγκεκριµένη θεµατική ενότητα του αλγορίθµου. Η παραδοσιακή διδασκαλία προκαλεί τις ακόλουθες πεποιθήσεις στους µαθητές. Έτσι πιστεύουν ότι όλα τα προβλήµατα µπορούν να λύθουν σε λίγο χρόνο. Η αποµνηµόνευση κανόνων και θεωρηµάτων οδηγεί τους µαθητές στην αντίληψη ότι είναι παθητικοί δέκτες της γνώσης. Τέλος οι µαθητές τείνουν να πιστεύουν ότι τα Μαθηµατικά δεν έχουν σχέση µε τον πραγµατικό κόσµο. Ενεργητικές διδασκαλίες. Στις συγχρονές διδασκαλίες των µαθηµατικών και των µαθηµάτων που σχετίζονται µε τις φυσικές επιστήµες ακολουθούνται οι εξής παραδοχές. Η γνώση δε µεταφέρεται από το δάσκαλο στο µαθητή. Ο µαθητής συµµετέχει ενεργά στην οικοδόµηση και στην ανάπτυξη της γνώσης. Αυτό βασίζεται στο γεγονός ότι ο κάθε µαθητής έχει δικό του προσωπικό τρόπο πρόσβασης στη γνώση και αντίθετα µε το παραδοσιακό µοντέλο ο µαθητής και η γνώση δεν είναι δυο ξεχωριστές έννοιες. Η διαδικασία της µάθησης εξαρτάται από την ήδη υπάρχουσα γνώση. Είναι σηµαντικό ότι ο δάσκαλος των µαθηµατικών θα πρέπει να ξέρει ότι θα υπάρχουν στην τάξη του µαθητές που δεν θα έχουν κατανοήσει τις προηγούµενες έννοιες προκειµένου να συµµετάσχουν στο νέο µάθηµα αλλά και κάποιοι άλλοι µαθητές που θα έχουν οικοδοµήσει µε λάθος τρόπο τις προηγούµενες γνώσεις. Τα προσωπικά νοήµατα των µαθητών που έχουν οικοδοµήσει κατά την διδακτική ώρα των µαθηµατικών συζητούνται µέσα στην τάξη προκειµένου να οµογενοποιηθούν 10

13 και να γίνουν συµβατά και συνεπή µε ό,τι δέχεται η µαθηµατική κοινότητα. Αυτό στηρίζεται στην υπόθεση της αλληλεπίδρασης και της διάδρασης. Ο δάσκαλος που δεν εφαρµόζει το παραδοσιακό διδακτικό µοντέλο θα πρέπει να δει µε έναν διαφορετικό τρόπο τη θέση του και το ρόλο του µέσα στην τάξη. Θα πρέπει να οργανώνει τη διδακτική ώρα έτσι ώστε να υπάρχουν κατάλληλες δραστηριότητες µέσα από τις οποίες να δίνεται η δυνατότητα οι µαθητές να οικοδοµήσουν τη γνώση. Παράλληλα ο διδάσκων θα πρέπει να ελαττώσει το χρόνο που αφιερώνει για την παρουσίαση από τον ίδιο, θεµάτων και εννοιών. Κρίνεται αποτελεσµατικό να εφαρµοστούν ενεργητικές µέθοδοι διδασκαλίας. Δηλαδή να εφαρµόζονται µαθησιακές δραστηριότητες που να περιλαµβάνουν ερευνητικές εργασίες και εργασίες κατά οµάδες µαθητών. Μέσα απο αυτές τις µαθηµατικές δραστηριότητες οι µαθητές θα κάνουν υποθέσεις και εικασίες. Επίσης θα έχουν τη δυνατότητα να ελέγχουν τις υποθέσεις τους να παρατηρούν και να αναπτύσσσουν ένα µοντέλο.θα πρέπει να ακολουθούν προσεγγιστικές και αριθµητικές µεθόδους να µεταφράζουν ένα µοντέλο από ένα αναπαραστασιακό σύστηµα σε ένα άλλο. Για παράδειγµα από τη γλωσσική περιγραφή να καταλήγουν στον αλγεβρικό τύπο.το ζητούµενο είναι λοιπόν η ανάπτυξη µιας ενεργητικής και ερευνητικής στάσης των µαθητών ως προς τα µαθηµατικά. Επιπρόσθετα η γνώση ορίζεται ως η επίλυση προβλήµάτων και ασκήσεων από τους µαθητές και όχι η στείρα εξέταση αλγορίθµων κανόνων και τύπων. Ο δάσκαλος των µαθηµατικών θα πρέπει να έχει υπόψη του ότι µε τα προβλήµατα και τις ασκήσεις αποκαλύπτεται η αξία και η χρησιµότητα των µαθηµατικών. Δίνει κίνητρα στους µαθητές να ενδιαφερθούν για το µάθηµα των µαθηµατικών. Βοηθάει τους µαθητές να αναπτύξουν τη γνώση µε πιο αποτελεσµατικό τρόπο. Επίσης ελέγχει το βαθµό κατανόησης των µαθητών στις µαθηµατικές έννοιες. Οι µαθητές κατά τη διδακτική διαδικασία των µαθηµατικών θα πρέπει να µαθαίνουν και να κατανοούν σε βάθος τους αλγόριθµους και τις αποδεικτικές διαδικασίες. Να αναπτύσσουν την κριτική ικανότητα ώστε να ξέρουν πότε 11

14 πρέπει να χρησιµοποιούν κάθε αλγόριθµο και την κατάλληλη αποδεικτική διαδικασία στην επίλυση προβληµάτων. Οι µαθητές θα πρέπει να αναπτύσσουν µαθηµατικό τρόπο σκέψης δηλαδή να οικοδοµούν τη µαθηµατική δοµή ενός θέµατος ή µιας έννοιας και να εκφράζουν τις σκέψεις τους µε τη γλώσσα και τα σύµβολα των µαθηµατικών. Βασικός ρόλος του δασκάλου είναι να µπορεί να βοηθήσει τους µαθητές τους µαθητές του να κατασκευάσουν ιδέες και έννοιες που η µαθηµατική κοινότητα χρειάστηκε εκατοντάδες χρόνια να αναπτύξει. Ο δάσκαλος θα πρέπει πάντα να τοποθετεί τη γνώση σε κατάλληλα και οικεία πλαίσια για το µαθητή ενώ ο µαθητής µε τη σειρά του µέσω κατάλληλων αφαιρέσεων και γενικεύσεων θα πρέπει να κατακτήσει τη µαθηµατική δοµή του θέµατος. Ο σχεδιασµός της συγχρόνης διδασκαλίας µπορεί να έχει τρία µέρη. Στο πρώτο µέρος δίνουµε ένα πρόβληµα η επίλυση ή η απάντηση του οποίου θα οδηγήσει στην αναγκαιότητα της εισαγωγής της έννοιας που θέλουµε να διδάξουµε. Οι µαθητές θα το προσεγγίσουν διαισθητικά προκειµένου να αναπτύξουν εικασίες ή υποθέσεις τις οποίες στη συνέχεια θα επιχειρήσουν να τις ελέγξουν επίσης εµπειρικά. Η ανάπτυξη εικασιών και υποθέσεων και η τάση για τον έλεγχο τους είναι ένα σαφές µήνυµα ότι έχουν αρχίσει να διαµορφώνουν την ενεργητική και ερευνητική στάση ως προς το µάθηµα των µαθηµατικών. Για την ακρίβεια όταν οι µαθητές βρουν τα δικά τους αποτελέσµατα τότε η απόδειξη µπορεί πραγµατικά να θεωρηθεί σηµαντική γιατί τότε έχουν την ανάγκη για να πειστούνε για πράγµατα για τα οποία δεν είναι βέβαιοι. Στο δεύτερο µέρος θα γίνει η µετάβαση από τις εµπειρικές διαισθητικές αντιλήψεις σε αποδεικτικές µεθόδους, χωρίς η έννοια της απόδειξης να παραπέµπει απαραίτητα στις γνωστές τυπικές µαθηµατικές µεθόδους. Αυτό εξαρτάται από το επίπεδο των µαθητών που αναφερόµαστε και το στόχο που έχουµε. Σε κάθε περίπτωση το δεύτερο µέρος της σύγχρονης διδασκαλίας έχει σκοπό να αποσπάσει τη σκέψη του µαθητή από τα πλαίσια του συγκεκριµένου 12

15 προβλήµατος και να τον εισάγει στη µαθηµατική δοµή του θέµατος που διαπραγµατεύεται. Στο τρίτο µέρος θεωρείται γνωστή η έννοια που διδάχθηκε και την οποία την χρησιµοποιούµε για να λύσουµε προβλήµατα και εφαρµόγες. Το µέρος αυτό είναι χρήσιµο στο να διευρύνει τις εµπειρίες των µαθητών για το πεδίο εφαρµογής της έννοιας. Για το λόγο αυτό θα πρέπει να γίνεται εδώ ένα είδος ανασκόπησης. Κατά τη διάρκεια της ανασκόπηση θα πρέπει να γίνεται ένα είδος συζήτησης στο τέλος του µαθήµατος που θα συνοψίζονται οι εφαρµογές της έννοιας έτσι όπως προκύψουν από τα προβλήµατα που λύθηκαν και θα συνδέεται η έννοια µε τις εκφράσεις της καθηµερινής γλώσσας. Η καθηµερινή διδακτική πρακτική Οι επιλογές του «παραδοσιακού» µοντέλου ενσωµατώνονται και αποκτούν ένα πιο συγκεκριµένο περιεχόµενο µέσα σε ένα ευρύτερο φάσµα διδακτικών ενεργειών. Έτσι, για παράδειγµα ούτε συνήθεις ασκήσεις και προβλήµατα θα πρέπει να αγνοηθούν ούτε η παρουσίαση του µαθήµατος από τον ίδιο το δάσκαλο. Εκείνα που πρέπει να µας απασχολήσουν είναι ερωτήµατα όπως: Σε ποια περίπτωση και για ποιο λόγο ο δάσκαλος θα επιλέξει να παρουσιάσει ο ίδιος το µάθηµα ή πότε και γιατί θα κάνει ερευνητικές δραστηριότητες αντί για ασκήσεις; "Οπως έχουµε ήδη τονίσει, δεν υπάρχουν συγκεκριµένες διδακτικές προσεγγίσεις, υπάρχουν µόνο συγκεκριµένες γενικές αρχές. Μια διδακτική προσέγγιση (δηλαδή ένας τρόπος υλοποίησης των αρχών) εξαρτάται τόσο από το ίδιο το θέµα όσο και από το δάσκαλο και τους µαθητές του. Μια διδασκαλία που αποδεικνύεται επιτυχής σε κάποια σχολική τάξη µπορεί να µην είναι κατάλληλη για κάποια άλλη. Oι συγκεκριµένες επιλογές που µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε στην τάξη είναι 13

16 οι εξής. Αρχικά ο δάσκαλος κάνει την παρουσίαση του µαθήµατος. Αυτό ονοµάζεται ευθεία ή µετωπική διδασκαλία.επίσης κρίνεται αποτελεσµατική η συζήτηση ανάµεσα στο δάσκαλο και τους µαθητές ή και µόνο ανάµεσα στους µαθητές. Είναι αρκετά χρήσιµες κατά τη διάρκεια της διεξαγωγής του µαθήµατος η ενασχόληση των µαθητών µε πρακτικές δραστηριότητες. Οι µαθητές θα πρέπει να έρχονται αντιµέτωποι και µε προβλήµατα που αναφέρονται σε εξωµαθηµατικές καταστάσεις. Είναι απόλυτως απαραίτητες οι ερευνητικές δραστηριότητες και οι ερευνητικές εργασίες οι οποίες θα ανατεθούν στους µαθητές από το δάσκαλο. Οι ερευνητικές εργασίες είναι δραστηριότητες που απαιτούν περισσότερο χρόνο για παράδειγµα µια ή δυο εβδοµάδες έχοντας οι µαθητές να καταφέρουν τα ακόλουθα.αρχικά θα πρέπει οι µαθητές µέσα από τις ερευνητικές εργασίες να εξετάσουν, να αναλύσουν και να δώσουν απαντήσεις σε ένα συγκεκριµένο πρόβληµα ή µια σειρά προβληµάτων που να συνδέονται µεταξύ τους ή σε µια πραγµατική κατάσταση η οποία µπορεί να είναι σύνθετη ώστε να διερευνηθεί µέσα στην τάξη. Στην περίπτωση αυτή τα µαθηµατικά που απαιτούνται θα πρέπει να είναι σωστά. Επιπλέον οι µαθητές θα πρέπει να διερευνήσουν ένα θέµα από την ιστορία των µαθηµατικών. Ακόµα κρίνεται πολύ παραγωγικό οι µαθητές να αναπτύξουν ένα θέµα της διδακτέας ύλης τους µέσα σε µια ή δυο βδοµάδες αντί να διδαχθεί το ίδιο θέµα στην τάξη. Τέλος τα τελευταία χρόνια οι έρευνες της διδακτικής των µαθηµατικών έχουν αναδείξει την αξία της εργασίας των µαθητών σε οµάδες.οι έρευνες αυτές έχουν επισηµάνει ότι η συνεργασία των µαθητών αναπτύσσει πολλάπλές και διαφορετικές προσεγγίσεις σε ένα πρόβληµα.επίσης ένα σηµαντικό πλεονέκτηµα φαίνεται να είναι η ευκαιρία που έχουν οι µαθητές να συζητούν τις απόψεις και ιδέες τους, γεγονός που διευκολύνει την επισήµανση των προσωπικών ιδεών και την οµογενοποίηση των διαφορετικών νοηµάτων σύµφωνα µε αυτά που απαιτεί η µαθηµατική κοινότητα. Το πιο σηµαντικό στοιχείο της εργασίας σε οµάδες είναι το γεγονός ότι επιτρέπει να αναπτυχθεί η ικανότητα να παίρνουµε αποστάσεις από τις πράξεις µας και να τις κρίνουµε. 14

17 Η συζήτηση σε οµάδες διευκολύνει την ανάπτυξη της η οποία θεωρείται τόσο σηµαντική ώστε κάποιοι ερευνητές να ισχυρίζονται ότι είναι αυτή η ικανότητα που ξεχωρίζει από τον έµπειρο µαθηµατικό από τον µη έµπειρο. Εξάλλου η κριτική σκέψη µε ό,τι µπορεί να εννοεί κανείς µε τον όρο αυτό θα πρέπει να έχει ως βασικό συστατικό αυτήν την ικανότητα. 15

18 Μαθηµατικά κατεύθυνσης Β Λυκείου. Οι φοιτητές της ΣΕΜΦΕ που συµπλήρωσαν το ερωτηµατολόγιο που µοιράστηκε στο µάθηµα της Γραµµικής Άλγεβρας και της Αναλυτικής Γεωµετρίας απόκτησαν τις προαπαιτούµενες γνώσεις, απαραίτητες για την συµπλήρωση του ερωτηµατολογίου από την ύλη των µαθηµατικών κατεύθυνσης της Β Λυκείου. Το πρώτο κεφάλαιου του συγκεκριµένου βιβλίου αναφέρεται στα διανύσµατα. Τα διανύσµατα έχουν ιδιαίτερη σηµασία όχι µόνο για τα Μαθηµατικά, αλλά και για πολλές άλλες επιστήµες, αφού προσφέρουν τη δυνατότητα µαθηµατικοποίησης µεγεθών τα οποία δεν ορίζονται µόνο µε την αριθµητική τιµή τους. Εξάλλου, η αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία ενός σηµείου του επιπέδου µε ένα διατεταγµένο ζεύγος πραγµατικών αριθµών οδηγεί στην «αλγεβροποίηση» της Γεωµετρίας, δηλαδή στη µελέτη των γεωµετρικών σχηµάτων µε αλγεβρικές µεθόδους. Ειδικότερα: Το διάνυσµα εισάγεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγµένα, και δεν γίνεται καµιά αναφορά στα ελεύθερα ή στα εφαρµοστά διανύσµατα. Όµως, µε την εισαγωγή της έννοιας της ισότητας των διανυσµάτων, κάθε διάνυσµα παραµένει «αναλλοίωτο» αν µετακινηθεί παράλληλα προς την αρχική του θέση. Έτσι, κάθε διάνυσµα του χώρου είναι ίσο µε ένα µοναδικό διάνυσµα που έχει αρχή ένα σταθερό σηµείο Ο σηµείο αναφοράς). Ως γωνία δύο διανυσµάτων!"=! και!"=! Ορίζεται η κυρτή γωνία!"#.εποµένως αν θ=!"#, τότε 0!!.Η επιλογή αυτή διευκολύνει το διανυσµατικό λογισµό και δεν επιβαρύνει τους µαθητές µε νέο συµβολισµό. Οι πράξεις της πρόσθεσης διανυσµάτων και του πολλαπλασσιασµού διανύσµατος µε αριθµο καθώς και οι βασικές τους ιδιότητες παρουσιάζονται µε τη βοήθεια της γεωµετρικής εποπτείας και τονίζεται ιδιαίτερα ότι ένα 16

19 οποιοδήποτε διάνυσµα!" µπορεί να γραφτεί ως διαφορά!" -!". Όπου Ο είναι ένα οποιοδήποτε σηµείο του χώρου.στην τριγωνική ανισότητα να τονιστεί ότι η αριστερή ισότητα ισχύει όταν τα διανύσµατα είναι αντίρροπα ένω η δεξιά ισότητα όταν τα διανύσµατα είναι οµόρροπα. Η ικανή και αναγκαία συνθήκε παραλλήλίας δύο διανυσµάτων είναι: Aυτή χρησιµοποιείται για την απόδειξη της συγγραµµικότητας τριών σηµείων. Τέλος, δε γίνεται αναφορά στον απλό λόγο στον οποίο διαιρείται ένα διάνυσµα από ένα σηµείο.ο απλός λογός δεν περιλαµβάνεται στη διδακτέα ύλη. Στη συνέχεια µε τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήµατος ένα διάνυσµα συµβολίζεται ως ένα διατεταγµένο ζεύγος µε στοιχεία τις συντεταγµένες του και έτσι διευκολύνεται ο λογισµός των διανυσµάτων. Με αφορµή της ικανής και αναγκαίας συνθήκης παραλληλίας δυο διανυσµάτων Εισάγεται ο συµβολισµός Αυτός θα χρησιµοποιηθεί και για την έκφραση του εµβαδού τριγώνου. Τέλος, ορίζεται το εσωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων και αποδεικνύονται οι βασικές του ιδιότητες. Το εσωτερικό γινόµενο αποτελεί τη 17

20 σηµαντικότερη ενότητα του κεφαλαίου των διανυσµάτων και αυτό φαίνεται από την ποικιλία των εφαρµογών του. Οι διάφορες εκφράσεις του εσωτερικού γινοµένου, επιτρέπουν τον υπολογισµό του µέτρου ενός διανύσµατος και της γωνίας διανυσµάτων, καθώς και την ευκολότερη απόδειξη πολλών προτάσεων της Ευκλείδειας Γεωµετρίας. Με τη διδασκαλία του κεφαλαίου αυτού επιδιώκεται: Να εξοικειωθούν οι µαθητές µε το λογισµό των διανυσµάτων, ώστε να ανταποκρίνονται επιτυχώς στις απαιτήσεις άλλων κλάδων που χρησιµοποιούν διανύσµατα (Κινηµατική,Ηλεκτρισµός κτλ.). Να προσεγγίζουν οι µαθητές γεωµετρικά θέµατα µέσω των διανυσµάτων, µια προσέγγιση που σε πολλές περιπτώσεις διευκολύνει τη µελέτη και την εξαγωγή των συµπερασµάτων. Να µπορούν οι µαθητές να χρησιµοποιούν τα διανύσµατα στη µελέτη θεµάτων της Αναλυτικής Γεωµετρίας και των µιγαδικών αριθµών. Τέλος, πρέπει να τονίσουµε ότι, όπως έχει αποδείξει η διδακτική πράξη, το κεφάλαιο των διανυσµάτων είναι µια ενότητα το περιεχόµενο της οποίας δύσκολα αφοµοιώνουν οι µαθητές. Γι αυτό απαιτείται εποπτική παρουσίαση των εννοιών και προσπάθεια ενεργού συµµετοχής των µαθητών. Το δεύτερο κεφάλαιο του ίδιου βιβλίου αφορά την ευθεία στο επίπεδο. Ένα µεγάλο µέρος του κεφαλαίου αυτού το έχουν διδαχτεί οι µαθητές σε προηγούµενες τάξεις, αλλά εδώ τα θέµατα που σχετίζονται µε την ευθεία παρουσιάζονται συστηµατικότερα και µε µεγαλύτερη πληρότητα και ακρίβεια. Ειδικότερα: 18

21 Τονίζεται η σηµασία του συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας µε τη βοήθεια του οποίου διατυπώνονται οι συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δυο ευθειών, και προσδιορίζονται οι διάφορες µορφές της εξίσωσης ευθείας. Το σύνολο των ευθειών που διέρχονται από το σηµείο A( x 0, y 0 ) αποτελείται από την κατακόρυφη ευθεία x = x 0 και τις µη κατακόρυφες ευθείες y y 0 = λ(x x 0 ), λ R. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από δυο σηµεία A(x 1,y 1 ) και B(x 2,y 2 ), µε χ 1 χ 2. Δίνεται µε τον παρακάτω τύπο. Αυτός προκύπτει από την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από ένα σηµείο και έχει γνωστό συντελεστή διεύθυνσης. εν αναφέρεται ο αντίστοιχος τύπος µε την ορίζουσα 3x3, αφού οι µαθητές δεν έχουν διδαχθεί τις ορίζουσες και τις ιδιότητες τους. Το πρόβληµα της συγγραµµικότητας τριών σηµείων αντιµετωπίζεται διανυσµατικά ή εξετάζεται αν η εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από τα δυο σηµεία διέρχεται και από το τρίτο σηµείο. εν περιλαµβάνεται στη διδακτέα ύλη η σχέση της γωνίας δυο ευθειών και των συντελεστών διεύθυνσής τους. Ο προσδιορισµός της γωνίας δυο ευθειών γίνεται µε τον προσδιορισµό της γωνίας αντίστοιχων παράλληλων διανυσµάτων. Με τη διδασκαλία του κεφαλαίου αυτού επιδιώκεται οι µαθητές: Να γνωρίσουν την εξίσωση της ευθείας και να µελετήσουν 19

22 µε αλγεβρικές µεθόδους τις ιδιότητες της στο επίπεδο. Να εξοικειωθούν µε τις µεθόδους της Αναλυτικής Γεωµετρίας. Να κατανοήσουν τις δυνατότητες και τις µεθόδους της Αναλυτι- κής Γεωµετρίας για την αντιµετώπιση σύνθετων προβληµάτων. Το τρίτο κεφάλαιο του ίδιου διδακτικού εγχειριδίου αναφέρεται στις κωνικές τοµές. Οι κωνικές τοµές είχαν µελετηθεί από τους αρχαίους Έλληνες, οι οποίοι είχαν ανακαλύψει τις γεωµετρικές τους ιδιότητες, πολύ πριν από την εισαγωγή των µεθόδων της Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σήµερα το ενδιαφέρον για τη µελέτη των κωνικών τοµών είναι αυξηµένο, λόγω του µεγάλου αριθµού των θεωρητικών και πρακτικών εφαρµογών τους (τροχιές πλανητών, κοµητών, βληµάτων, ηλεκτρονίων κτλ.). Ειδικότερα: Προσδιορίζεται η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο την αρχή των αξόνων, καθώς και οι παραµετρικές εξισώσεις του. Με τη µέθοδο της συµπλήρωσης τετραγώνου υπολογίζονται οι συντεταγµένες του κέντρου και η ακτίνα του κύκλου που παριστάνει η εξίσωση x 2 + y 2 + Ax + By + Γ = 0. Η εξίσωση της εφαπτοµένης ενός κύκλου σε ένα σηµείο του προσδιορίζεται από την ιδιότητά της να είναι κάθετη στην ακτίνα που αντιστοιχεί στο σηµείο επαφής. ίνεται ο ορισµός της παραβολής και βρίσκεται η εξίσωση της µε άξονα των τετµηµένων τον άξονα συµµετρίας της και άξονα των τεταγµένων τη µεσοκάθετη της απόστασης της εστίας της από τη διευθετούσα. Η εξίσωση της εφαπτοµένης της παραβολής σε ένα σηµείο της Μ 1, ορίζεται ως η εξίσωση της ευθείας που αποτελεί την οριακή θέση µιας τέµνουσας M 1 M 2 της παραβολής, καθώς το Μ 2 κινούµενο επί της παραβολής τείνει να συµπέσει µε το Μ 1, 20

23 (αργότερα στη Γ τάξη η αναλυτική εξίσωση της εφαπτοµένης των κωνικών τοµών θα προσδιοριστεί και µε τις µεθόδους της Ανάλυσης). Αποδεικνύεται τέλος η ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής η οποία έχει πολλές πρακτικές εφαρµογές. Ακολουθεί η έλλειψη, για την εξίσωση της οποίας δεν αποδεικνύεται το αντίστροφο. ίνονται και οι παραµετρικές εξισώσεις της έλλειψης, οι οποίες βοηθούν στο γεωµετρικό προσδιορισµό των σηµείων της. εν αποδεικνύεται ο τύπος της εξίσωσης της εφαπτοµένης της έλλειψης αλλά ορίζεται κατ' αναλογία προς την εφαπτοµένη της παραβολής. Τονίζεται ιδιαίτερα η έννοια της εκκεντρότητας και η σηµασία της για τη µορφή της έλλειψης. Τέλος (χωρίς απόδειξη) αναφέρεται η ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης και οι εφαρµογές της στις ακουστικές στοές και στη λιθοθρυψία. Με ανάλογο τρόπο παρουσιάζονται και τα σχετικά µε την υπερβολή. Για τον προσδιορισµό των ασύµπτωτων της υπερβολής δεν γίνεται χρήση της αυστηρής έννοιας του ορίου και του συµβολισµού του, άλλο χρησιµοποιείται διαισθητικά η έννοια αυτή. Με τη διδασκαλία του κεφαλαίου αυτού επιδιώκεται: Να διευρύνουν οι µαθητές το πεδίο των γεωµετρικών τους γνώσεων και µε άλλη κατηγορία γραµµών εκτός της ευθείας και του κύκλου. Να γνωρίσουν οι µαθητές τις βασικές ιδιότητες των κωνικών τοµών. Να έρθουν οι µαθητές σε επαφή µε την ποικιλία των εφαρµογών των κωνικών τοµών. 21

24 Προτάσεις Βελτίωσης της Διδασκαλίας των Μαθηµατικών στη Δευτεροβάθµια Εκπαίδευση. Οι παρακάτω προτάσεις που θα αναφέρονται στη συνέχεια και αφορούν τη βελτίωση της διδασκαλίας των µαθηµατικών στη δευτεροβάθµια εκπαίδευση έχουν γίνει από τη Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών και πιο συγκεκριµένα από τον Τοµέα Μαθηµατικών. Ακόµα πρέπει να επισηµανθεί ότι είχε πραγµατοποιηθεί ηµερίδα στη σχολή το έτος 2011 όπου είχαν παρατεθεί και αναλυθεί οι παρακάτω προτάσεις. Οι προτάσεις αυτές έχουν προκύψει από συλλογική εµπειρία πολλών ετών. Αρχικά κρίνεται απαραίτητο να αναφερθούν τα προβλήµατα που υπάρχουν στη διδασκαλία των Μαθηµατικών στη Δευτεροβάθµια Εκπαίδευση. Αυτά προκύπτουν από τις επιδόσεις των φοιτητών του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και πιο συγκεκριµένα από τις επιδόσεις των πρωτοετών. Παρακάτω θα αναφερθούν κάποιες προτάσεις που αφορούν κυρίως την διδασκαλία και το περιεχόµενο της ύλης των Μαθηµατικών σε µαθητές που έχουν επιλέξει τη Θετική ή αντίστοιχα την Τεχνολογική κατεύθυνση. Είναι χαρακτηριστικό ότι υπάρχουν εµφανή προβλήµατα µαθηµατικής παιδείας σε µαθητές-φοιτητές που έχουν συγκεντρώσει από τους υψηλότερους βαθµούς στις Παννελαδικές Εξετάσεις για την εισαγωγή τους στο Ε.Μ.Π. Οι δυσκολίες και οι αδυναµίες στο Πολυτεχνείο εµφανίζονται κατά µεγάλο βαθµό στο σύνολο των πρωτοετών φοιτητών. Έχουν παρατηρηθεί προβλήµατα στον τρόπο κριτικής σκέψης των πρωτοετών φοιτητών κυρίως. Ακόµα προβλήµατα έχουν εντοπισθεί στις ουσιαστικές γνώσεις που έχουν αποκτήσει ως µαθητές στο Λύκειο βασισµένες σε διάφορες περιοχές των µαθηµατικών πάνω στις οποίες έχουν εξετασθεί επιτυχώς ακόµα και στις εισαγωγικές εξετάσεις. Επιπλέον το πιο θλιβερό από όλα είναι ότι έχουν αυξηθεί οι ελλείψεις των µαθητών πάνω σε διάφορα αντικείµενα που πραγµατεύεται το µάθηµα των Μαθηµατικών και αυτές παρουσιάζουν µεγαλύτερη αύξηση τα τελευταία χρόνια. Στο Πολυτεχνείο έχει παρατηρηθεί ότι έχουν εισαχθεί µέσω των Πανελλήνιων Εξετάσεων άριστοι µαθητές που έχουν εξελιχθεί σε άριστους φοιτητές. Αυτοί 22

25 έχουν καλλιεργήσει σωστό τρόπο µαθηµατικής σκέψης καθώς επίσης έχουν αναπτύξει κριτικό πνεύµα. Έχουν αξιοποιήσει πλήρως τις δυνατότητες που τους παρέχει το εκπαιδευτικό σύστηµα που θεωρεί τα µαθηµατικά ως εφόδιο οργάνωσης της σκέψης. Από την άλλη πλευρά υπάρχουν φοιτητές που έχουν αντιπαθήσει τα Μαθηµατικά ή τα θεωρούν ως αναγκαίο κακό. Αυτό έχει προκύψει από το τρέχον εκπαιδευτικό σύστηµα που δυστυχώς χρησιµοποεί τα µαθηµατικά πρωτίστως ως εργαλείο κατάταξης των µαθητών. Είναι απαραίτητο λοιπόν να ενισχυθεί η αυτοτέλεια της Δευτεροβάθµιας Εκπαίδευσης ως ξεχωριστής βαθµίδας που παρέχει τα απαραίτητα εφόδια για τη σύγχρονη εποχή στον Έλληνα πολίτη. Επιπρόσθετα οποιαδήποτε βελτίωση στη δευτεροβάθµια εκπαίδευση θα έχει άµεση θετική επίδραση στην Τριτοβάθµια εκπαίδευση. Η διδασκαλία των µαθηµατικών στη δευτεροβάθµια εκπαίδευση είναι ολοφάνερο ότι έχει καταλήξει σε µεγάλο βαθµό σε ανάπτυξη µηχανιστικών τεχνικών πολλές φορές πολύπλοκων και όχι στην ουσιαστική κατανόηση και εµβάθυνση χρήσιµων και σηµαντικών εννοιών και µαθηµατικών θεωρηµάτων. Σε αυτό ευθύνεται σε σηµαντικό βαθµό και ο τρόπος εξέτασης στις Πανελλήνιες εξετάσεις που απαιτεί όλο και πιο εξεζητηµένες τεχνικές µε την αιτιολογία της αντικειµενικής αξιολόγησης των γραπτών. Οι προτάσεις στις συγκεκριµένες µαθηµατικές περιοχές που πρέπει να διδάσκονται στη Δευτεροβάθµια Εκπαίδευση θέτουν ένα πλαίσιο όχι εξαιρετικά εξιδικευµένο.το ζητούµενο δεν πρέπει να είναι η ποσότητα της ύλης αλλά η ορθή άρθρωσή της που οδηγεί στη δόµηση της σκέψης. Είναι απαραίτητη και αναγκαία µια ορθότερη διάταξη της ύλης και ένας εµπλουτισµός αυτής µε αντικείµενα που θα συµβάλλουν στους στόχους που έρχεται να υπηρετήσει η µαθηµατική παιδεία σε αυτή τη βαθµίδα εκπαίδευσης. Είναι κατανοητό ότι οποιαδήποτε αλλάγη στο εκπαιδευτικό σύστηµα θα πρέπει πρώτα να εφαρµόζεται πιλοτικά στα πειραµατικά σχολεία µε επισήµανση και θεραπεία των προβληµάτων και δυσκολιών που προκύπτουν και στη συνέχεια να επιχειρείται η εφαρµογή της στο σύνολο του µαθηµατικού πληθυσµού. 23

26 H εισαγωγή του νέου µαθήµατος ερευνητική εργασία-project µολονότι αποτελεί µια καλή ιδέα από την άλλη πλευρά απαιτεί µια απαιτητική προετοιµασία θεµατολογίας, διαδικασιών αλλά και φυσικά κατάλληλης κουλτούρας.απαιτεί επιπλέον επιµόρφωση των καθηγητών που θα κληθούν να το υλοποιήσουν.η άµεση και καθολική εφαρµογή του σε όλα τα σχολεία µε βαθµό µάλιστα που θα επηρεάζει την εισαγωγή στο πανεπιστήµιο είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα δηµιουργήσει νέα µορφή παραπαιδείας.ειδικά αυτό το αντικείµενο όφειλε να δοκιµαστεί πρώτα σε πειραµατικό πιλοτικό στάδιο. ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η διδασκαλία των µαθηµατικών πρέπει να αποσκοπεί στην ωφέλεια του µαθητή. Τα βασικά χαρακτηριστικά των µαθηµατικών είναι ο παιδευτικός και ο εφαρµόσιµος χαρακτήρας τους. Τα µαθηµατικά µέσω του παιδευτικού τους χαρακτήρα οξύνουν την αναλυτική και συνθετική σκέψη και εκπαιδεύουν την ακρίβεια της διατύπωσης των συλλογισµών.επιπλέον οι µαθητές αποκτούν την ικανότητα να αναπτύξουν κριτική σκέψη.στην εποχή µας όπου η υπερβολική πληροφόρηση καταλήγει σε µη πληροφόρηση η ισχυρή κριτική σκέψη αποτελεί ένα σηµαντικό εφόδιο. Τα µαθηµατικά µέσω του εφαρµόσιµου χαρακτήρα τους εφοδιάζουν µε γνώσεις χρήσιµες και τις άλλες επιστήµες. Τα µαθηµατικά αποτελούν τη βάση της σύγχρονης τεχνολογίας. Τέλος χρησιµοποιούνται σε πολλούς τοµείς ακόµα και στις κοινωνικές επιστήµες. Κατά τη διδασκαλία των µαθηµατικών θα πρέπει να δίνεται έµφαση στην ουσιαστικότερη κατανόηση των εννοιών και όχι τόση έµφαση στις πράξεις καθώς αυτές πραγµατοποιούνται µε τη βοήθεια του ηλεκτρονικού υπολογιστή. Η κατανόηση των διαφόρων µαθηµατικών εννοιών θα πρέπει να είναι ουσιαστική και ανεξάρτητη από τα σύµβολα που τις συνοδεύουν ώστε να γίνει άρτια η γλωσσική τους απόδοση. Πρέπει να γίνεται η εκµάθηση τύπων κανόνων και θεωρηµάτων και πρέπει να αποφεύγεται η διδασκαλία θεωρηµάτων χωρίς την απόδειξή τους. Επιπλέον η µετάβαση σε αφαιρετικό επίπεδο δεν πρέπει να εµφανίζεται ως επιβάρυνση διότι η µετάβαση σε πιο αφηρηµένο επίπεδο κάνει µια µέθοδο που εφαρµόζεται σε µια περιοχή εφαρµόσιµη και σε µια 24

27 διαφορετική περιοχή. Είναι αποτελεσµατική η µη συσσώρευση των γνώσεων αλλά αντίθετα η ενίσχυση της δοµής των γνώσεων και η συσχέτιση των νέων γνώσεων µε το ήδη αφοµοιωµένο.ακόµα είναι αρκετά σηµαντικό να χρησιµοποιούνται προβλήµατα που επιδέχονται διαφορετικούς τρόπους λύσης. Έτσι θα εµπεδώσουν οι µαθητές ότι η ορθότητα ενός συλλογισµού είναι διαφορετική από την αποµνηµόνευση µιας σειράς υποχρεωτικών βηµάτων. Ακόµη είναι βασικό να κατανοηθεί ότι η ύλη των µαθηµατικών θα πρέπει να διαµορφώνεται και από τις ανάγκες αλλών µαθηµάτων όπως για παράδειγµα είναι το µάθηµα της φυσικής. Στην ύλη των µαθηµατικών θα πρέπει να υπάρχουν και να διδάσκονται παραδείγµατα χρήσης των µαθηµατικών και σε άλλες επιστήµες.επίσης είναι σηµαντικό να αναφερθεί ότι το µάθηµα της γεωµετρίας έχει σοβαρό λόγο ύπαρξης γιατί έχει βασικό ρόλο σε επιστηµονικές περιοχές όπως η Φυσική, η Αρχιτεκτονική,οι Κατασκευές των Πολιτικών Μηχανικών και των Μηχανολόγων Μηχανικών. Είναι βασικό να τονιστεί ότι η διδακτέα ύλη και ο τρόπος της διδασκαλίας της πρέπει να είναι ανεξάρτητη οποιοδήποτε συστήµατος εισαγωγής στα ΑΕΙ. Επίσης δεν θα πρέπει να αφαιρούνται ενότητες για λόγους ελάφρυνσης της ύλης, ενώ η ύλη έχει οργανωθεί µε συγκεκριµένες θεωρίες µάθησης. Επιπρόσθετα να µην καταργούνται περιοχές οπώς για παράδειγµα η στερεοµετρία. Η ενεργητική-κινητική εµπέδωση των γνώσεων µέσω της κατασκευής σχηµάτων είναι πολλή σηµαντική καθώς θα πρέπει να αποφεύγεται να δίνονται τα σχήµατα στη γεωµετρία έτοιµα σε ασκήσεις. Αυτό βοηθάει τους µαθητές να αφοµοιώσουν καλύτερα έννοιες όπως είναι η παραλληλία-συγγραµµικότητα αλλά και η καθετότητα των διανυσµάτων. Τελος είναι βασικό να γίνεται αξιολόγηση των Η/Υ ως εκπαιδευτικού µέσου στα Μαθηµατικά. 25

28 Τα επίπεδα σηµειωτικής αναπαράστασης στη διδακτική του διανύσµατος Κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας των µαθηµατικών είναι απαραίτητο να κατανοηθεί ότι οι σηµειωτικές αναπαραστάσεις είναι αναγκαίες στην ανάπτυξη της ίδιας της Μαθηµατικής δραστηριότητας. Είναι φανερό ότι η δυνατότητα πραγµατοποίησης επεξεργασιών εξαρτάται άµεσα από το σύστηµα της σηµειωτικής αναπαράστασης που χρησιµοποιείται. Στα Μαθηµατικά ένα ίδιο αντικείµενο µπορεί να δοθεί διαµέσου αναπαραστάσεων πολύ διαφορετικών. Κάθε σύγχυση ανάµεσα στο αντικείµενο και στη αναπαράσταση του οδηγεί σε µια έλλειψη κατανόησης (Duval 1996). Στη γραµµική άλγεβρα πιο συγκεκριµένα για να αναπαραστήσουµε ένα διάνυσµα ή µια κατάσταση διανυσµάτων µέσα σε ένα διανυσµατικό χώρο ανατρέχουµε συχνά σε τρία επίπεδα σηµειωτικής αναπαράστασης. Αυτά είναι το γραφικό, ο πίνακας και τέλος το συµβολικό. Στο γραφικό επίπεδο ένα διάνυσµα αναπαρίσταται µε ένα βέλος σχεδιασµένο στο επίπεδο των δυο διαστάσεων ή στο χώρο των τριών διαστάσεων.το κάθε βέλος µπορεί να συνοδεύεται από ένα γράµµα για να διευκρίνεται από άλλα, σε περίπτωση που πολλά διανύσµατα έχουν σχεδιαστεί στην ίδια αναπαράσταση. Στο επίπεδο των πινάκων ένα διάνυσµα αναπαρίσταται µε µια κολώνα που έχει δύο ή τρεις γραµµές, όταν πρόκειται για διάνυσµα του επιπέδου ή του χώρου αντίστοιχα. Στο επίπεδο της συµβολικής γραφής χρησιµοποιούµε ένα γράµµα για να αναπαραστήσουµε ένα διάνυσµα είτε στο επίπεδο αλλά είτε και στο χώρο. Στη γραµµική άλγεβρα στο πρώτο έτος του Πανεπιστηµιού στη Γαλλία, οι φοιτητές συγχέουν πολύ συχνά ένα διάνυσµα µε ένα βέλος µέσα στο επίπεδο ή στο χώρο των τριών διαστάσεων. Αλλά αυτό το βέλος δεν είναι παρά ένας αναπαραστάτης του µαθηµατικού αντικειµένου που ονοµάστηκε διάνυσµα. Αυτό το λάθος οδηγεί πολλές φορές τους φοιτητές σε αδιέξοδο. Η προσκόλληση σε µια αναφορά συγκεκριµένη όπως για παράδειγµα διάνυσµα και βέλος εµποδίζει τους φοιτητές να συλλογιστούν µέσα στο αφηρηµένο. Για να µη 26

29 συγχέεται ένα αντικείµενο µε την αναπαράσταση του είναι αναγκαίο να διαθέτουµε πολλές αναπαραστάσεις σηµειωτικά ετερογενείς αυτού του αντικειµένου και να τις συντονίζουµε. (Duval 1996) Oι ιδιοµορφίες του κάθε επιπέδου αναπαράστασης περιορίζουν τις δυνατότητες περιγραφής µιας µαθηµατικής έννοιας σε ορισµένες µόνο περιπτώσεις. Μέσα στο γραφικό επίπεδο για παράδειγµα δεν µπορούµε να έχουµε εύκολα ακριβείς αναπαραστάσεις παρά ενός διανύσµατος του επιπέδου ή του χώρου των τριών διαστάσεων. Επιπλέον ένας άλλος περιορισµός είναι ότι το µηδενικό διάνυσµα δε µπορεί να αναπαρασταθεί στο γραφικό επίπεδο.στο επίπεδο των πινάκων µπορούµε να αναπαραστήσουµε το µηδενικό διάνυσµα αλλά είµαστε περιορισµένοι να περιγράψουµε µόνο καταστάσεις διανυσµάτων που ανήκουν σε ένα χώρο πεπερασµένης αλλά όχι απείρου διάστασης. Στο συµβολικό επίπεδο µπορούµε επίσης να περιγράψουµε καταστάσεις διανυσµάτων που ανήκουν σε ένα χώρο άπειρης διάστασης. Είναι αξιοσηµείωτο να αναφερθεί ότι για να αποδείξουµε ότι δεν ισχύει µια πρόταση που αφορά τα διανύσµατα είναι συνήθως πιο σύντοµο να δώσουµε ένα αντιπαράδειγµα µέσα στο γραφικό επίπεδο ή στο επίπεδο των πινακών παρά να αναπτύξουµε µια µακροσκελή απόδειξη στο επίπεδο της συµβολικής γραφής. Είναι όµως σηµαντικό να κινητοποιήσουµε πολλά επίπεδα σηµειωτικής αναπαράστασης. Πρέπει να τονίσουµε ότι η διδασκαλία της γραµµικής άλγεβρας βασισµένη στην ποικιλία των επίπεδων σηµειωτικής αναπαράστασης,δίνοντας προτεραιότητα στη διεργασία της µετατροπής αναπαραστάσεων από το ένα επίπεδο στο άλλο προσφέρει στους φοιτητές σηµαντικά εφόδια. Αρχικά η διάκριση ανάµεσα σε αναπαραστάτη και αναπαριστούµενου επιτρέπει στους µαθητές να µη συγχέουν ένα ορισµένο αντικείµενο µε τους αναπαραστάτες τους. Οι µαθητές έχουν τη δυνατότητα να επιλέγουν εκείνο το επίπεδο αναπαράστασης που τους φαίνεται πιο οικονοµικό ως προς την επεξεργασία και τις δυνατότητες αναπαράστασης. Τέλος οι µαθητές µέσω της ποικιλίας των επιπέδων της σηµειωτικής αναπαράστασης αποκτούν ένα µέσο ελέγχου διότι µπορούν να επαληθεύσουν την αξιοπιστία των αποτελεσµάτων που έλαβαν από την επεξεργασία µέσα σε 27

30 ένα επίπεδο συγκρίνοντας µε εκείνα που λαµβάνουν µε την επεξεργασία σε ένα άλλο επίπεδο. 28

31 Γλωσσολογικές προσεγγίσεις µε την πειραµατική διδασκαλία Ο διανυσµατικός λογισµός αποτελεί µια γλώσσα των µαθηµατικών. Μέσα από το διανυσµατικό λογισµό εξετάζονται διανυσµατικές έννοιες ως µαθηµατικά αντικείµενα. Δηλαδή εξετάζεται το εννοιολογικό τους περιεχόµενο,ο συµβολισµός τους,η γεωµετρικής τους αναπαράσταση και οι πράξεις τους. Σύµφωνα µε κάποια πειράµατα του Vygotsky έχουµε καταλήξει ότι η σκέψη των εφήβων διέπεται από κάποια ιδιόµορφα στοιχεία. Αρχικά «ο έφηβος χρησιµοποιεί µια έννοια σε µια εποπτική κατάσταση».αυτό δηµιουργεί δυσκολίες στο να εφαρµοστεί µια έννοια που είναι ήδη κατάλληλα επεξεργασµένη για ορισµένες καταστάσεις σε άλλες συγκεκριµένες καταστάσεις.αξίζει να επισηµανθεί ότι η µεγαλύτερη δυσκολία του εφήβου είναι να µεταβιβάσει τη σηµασία «µιας επεξεργασµένης έννοιας σε καινούργιες συγκεκριµένες καταστάσεις, που να τις σκέφτεται επίσης σε αφηρηµένο επίπεδο».στην περίπτωση αυτή η µετάβαση απο το αφηρηµένο στο συγκεκριµένο αποδεικνύεται εξίσου δύσκολη µε τη µετάβαση από το συγκεκριµένο στο αφηρηµένο. Ακόµα υπάρχουν αρκετές περιπτώσεις όπου οι έφηβοι χρησιµοποιούν αφηρηµένες λέξεις όπου σκέφτονται ένα αντίστοιχο αντικείµενο µε ένα εξαιρετικά συγκεκριµένο τρόπο. Ο Vygotsky κάνει ένα διαχωρισµό ανάµεσα στις αυθόρµητες ή καθηµερινές έννοιες που προσφέρονται από το οικογενειακό περιβάλλον και στις επιστηµονικές έννοιες οι οποίες σχηµατίζονται στο σχολικό περιβάλλον.η ισχύς µιας αυθόρµητης έννοιας δυσκολεύει το παιδί να αποσυνδέσει τη λέξη από τη σηµασία που περιστασιακά έχει αυτή και να αντιµετωπίσει την έννοια στην αφηρηµένη της µορφή. Αυτό οφείλεται στο ότι η καθηµερινή έννοια δηµιουργείται µε άµεση σύγκρουση του παιδιού µε τα πραγµατικά αντικείµενα και µόνο µετά από µακρά εξέλιξη συνειδητοποιείται η έννοια στην αφηρηµένη της µορφή.οι δυο αυτές έννοιες βρίσκονται στο παιδί περίπου στο ίδιο επίπεδο έτσι ώστε το παιδί να µην είναι σε θέση να διαφοροποιήσει τις έννοιες που απέκτησε στο οικείο του περιβάλλον από αυτές που απέκτησε στο σχολείο. 29

32 Δυσκολίες των µαθητών στην κατανόηση και την χρήση της διανυσµατικής γλώσσας. Σύµφωνα µε πειραµατικές διδασκαλίες των µαθηµατικών έχει διαπιστωθεί ότι υπάρχει ένας πυρήνας µαθητών οι οποιοί διαµορφώνουν δικές τους απόψεις µε αποτέλεσµα να χειρίζονται τη διανυσµατική γλώσσα µε τρόπο ιδιόµορφο. Έτσι το διάνυσµα δεν αντιµετωπίζεται πάντοτε σε συµφωνία µε τη διδασκαλία δηλαδή ως τρισυπόσταση έννοια µε µέτρο,φορά και διεύθυνση αλλά ανάλογα µε την εκχωρούµενη κατάσταση, εξετάζεται µέσα σε ένα από τα ακόλουθα πλαίσια αναφοράς.αυτά είναι το αλγεβρικό πλαίσιο, το γεωµετρικό πλαίσιο, το φυσικό πλαίσιο και το βιωµατικό πλαίσιο. Αλγεβρικό πλαίσιο Οι µαθητές αντιµετωπίζουν το διάνυσµα ως αριθµητική οντότητα οπότε οδηγούνται σε µια ιδιόµορφη λειτουργία των συµβόλων και των πράξεων στενά συνδεδεµένη µε την αντίστοιχη που ισχύει για τους αριθµούς. Γεωµετρικό πλαίσιο Στο σηµείο αυτό οι µαθήτες πιστεύουν ότι το διάνυσµα εκφράζει το απλό µοντέλο ένος ευθύγραµµου τµήµατος. Φυσικό πλαίσιο Οι µαθητές επηρεασµένοι από όρους σύµβολα και έννοιες που διδάχθηκαν στη φυσική, προσπαθούν να τα µεταφέρουν στην αφηρηµένη έννοια του διανύσµατος. Βιωµατικό πλαίσιο Αυτό δεν αποτελεί καλά οριοθετηµένο πλαίσιο, αλλά µάλλον µια ενδιάµεση συχνά ασυνεπής και ελλιπής κατάσταση, ανάµεσα στην πρώτη αντίληψη συγκεκριµένων πραγµατικών καταστάσεων και στην πιο συστηµατική µοντελοποίηση τους. Πρόκειται δηλαδή για βιωµατικές καταστάσεις που βασίζονται στον κοινό νου όπως αντιλαµβάνεται την πραγµατικότητα. 30

33 Δυσκολία στην ενσωµάτωση της φοράς στο συµβολισµό ενός διανυσµατος. Η πιο συχνή τάση στη χρήση συµβόλων µε κεφαλαία γράµµατα, είναι η αναγραφή των ακραίων σηµείων µε τυχαία διάταξη (!" ή!"). Το σύµβολο αυτό ουσιαστικά δεν διαφέρει από αυτό του ευθυγράµµου τµήµατος. Οι µαθητές που το χρησιµοποιούν αγνοούν τη συµφωνηµένη σύµβαση, δηλαδή την ιδιότητα του συµβόλου να δείχνει και τη φορά. Στην πλειοψηφία τους δεν αναγνωρίζουν τη φορά ως κύριο χαρακτηριστικό του διανύσµατος. Το αποτέλεσµα των ανωτέρω είναι οι µαθητές να αντιµετωπίζουν περισσότερα προβλήµατα στο χειρισµό συµβόλων µε κεφαλαία γράµµατα από ότι µε µικρά, και τα προβλήµατα αυτά να παραµένουν έντονα ακόµη και µετά τη διδασκαλία. Η χρήση του όρου αντίθετος. Ο όρος αντίθετο χρησιµοποιείται στον προφορικό λόγο µε διαφορετική σηµασία και σε διαφορετικές περιστάσεις. Αρκετοί µαθητές συνδέουν την έννοια της λέξης αυτής µε προηγούµενες καθηµερινές εµπειρίες.επόµενως η λέξη αυτή δεν έχει µετατραπεί αυθόρµητα στην επιστηµονική της έννοια. Στις περιπτώσεις αυτές η λέξη σηµαίνει διαφορετικός ή άνισος ακόµη και όταν οι σχέσεις δεν είναι δυαδικές και χρησιµοποιείται για τη διάκριση διανυσµάτων διαφορετικής φοράς ή διεύθυνσης και σε µεµονωµένες περιπτώσεις διαφορετικού µέτρου. Αντίθετη φορά. Ορισµένοι µαθητές αναγνωρίζουν µόνο µια δυαδική σύγκριση για τη φορά.για παράδειγµα «αν δεν είναι ίδια θα είναι αντίθετη.», ακόµα και σε µη συγγραµµικά διανύσµατα. Αντίθετη διεύθυνση. Συχνά ακούγεται η έκφραση «αντίθετη φορά και διεύθυνση» µε την έννοια της «αντίθετης κατεύθυνσης» ή της «διαφορετικής φοράς και διεύθυνσης». 31

34 Διανύσµατα διαφορετικής διεύθυνσης (για παράδειγµα τα κάθετα διανύσµατα) µπορεί από κάποιους µαθητές να χαρακτηρισθούν και ως αντίθετα. «Aντίθετα µέτρα». Ο όρος «αντίθετα µέτρα» δηλώνει ότι έιναι και άνισα. «Τα µέτρα είναι αντίθετα» «Aντίθετα διανύσµατα». Υπάρχουν µαθητές που πιστεύουν ότι όσα διανύσµατα δεν είναι ίσα τότε αυτά θα θεωρούνται αντίθετα. Η έννοια του διανύσµατος δεν έχει ωριµάσει στο µυαλό των µαθητών µε αποτέλεσµα να µη την σκέφτονται ως σύµπλεγµα αλλά µε βάση µόνο ένα κοινό χαρακτηριστικό που επικρατεί των άλλων. Για παράδειγµα ίσα διανύσµατα είναι όσα διανύσµατα έχουν την ίδια φορά ή ίσα µέτρα ενώ τα υπόλοιπα έιναι αντίθετα. Αρκετοί µαθητές θεωρούν ότι δυο διανύσµατα είναι αντίθετα όταν έχουν απλώς αντίθετη φορά χωρίς να έχουν και ίσα µέτρα. Αυτό οφείλεται στο ότι αποµονώνουν µόνο ένα χαρακτηριστικό τους την αντίθετη φορά που γίνεται άµεσα αντιληπτή από την εποπτεία. To διάνυσµα αντιµετωπίζεται ως ευθύγραµµο τµήµα. Οι περιπτώσεις των µαθητών που αγνοούν το τρισυπόσταστο της έννοιας του 32

35 διανύσµατος (µέτρο, διεύθυνση και φορά ) είναι αρκετές. Στις περιπτώσεις αυτές οι µαθητές κρατάνε στην έννοια του διανύσµατος µόνο το µέτρο. Συχνά λάθη και παρανοήσεις είναι οι παρακάτω. Η διεύθυνση δεν θεωρείται σταθερή. Όταν κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας απαιτήθηκε η γραφική αναπαραγωγή διανυσµάτων, υπήρξαν κάποιοι µαθητές όπου µετέβαλαν τις διευθύνσεις τους διατηρώντας σταθερό µόνο το µέτρο.συνήθως σχεδίαζαν τα διανύσµατα σε µια από τις συνηθισµένες διευθύνσεις οριζόντια ή κατακόρυφη ή τα µετέτρεπαν σε συγγραµµικά. Η φορά αγνοείται. Ένα πιο συχνό φαινόµενο παρατηρείται κατά τη χρήση κεφαλαίων γραµµάτων οπότε τα διανύσµατα συµβολίζονται χωρίς να λαµβάνεται υπ όψιν η σειρά αναγραφής των γραµµάτων αρχής και πέρατος. Ειδικότερα για συγγραµµικά διανύσµατα δεν εξετάζεται από αρκετούς µαθητές αν είναι οµόρροπα ή αντίρροπα. Σύγκριση διανυσµάτων Το γεωµετρικό µοντέλο του διανύσµατος (σύµπλεγµα) που δηµιουργείται στη σκέψη των παιδιών οδηγεί σε µια νέα µορφή σύγκρισης διανυσµάτων βασισµένη αποκλειστικά στη σύγκριση των µετρών τους. Η ισχύς του γεωµετρικού πλαισίου της κατάστασης που εξετάζεται µεταβάλλει το διάνυσµα σε ευθύγραµµο τµήµα µε αποτέλεσµα αντίθετα ή µη συγγραµµικά διανύσµατα ίσων µέτρων να θεωρούνται ίσα. Συναντάται σε αρκετές περιπτώσεις απόκλιση ανάµεσα στον ορισµό µιας µαθηµατικής έννοιας και στην χρήση της έννοιας αυτής στην πράξη. Συχνές περιπτώσεις µαθητών δίνουν τον αφηρηµένο ορισµό της ισότητας ως µια µαθηµατική έννοια που διδάχθηκε στο σχολείο, δυσκολεύονται όµως να τον εφαρµόσουν στην πράξη. Αυτό αποτελεί και το φαινόµενο των επιστηµονικών εννοιών. 33

36 Μια ιδιόµορφη χρήση του συµβόλου «=». Αρκετοί µαθητές έχει παρατηρηθεί ότι συνδέουν την ισότητα των διανυσµάτων µε µόνο ένα κοινό τους χαρακτηριστικό το οποίο αυτό είναι κυρίως το µέτρο και σποραδικά, η διεύθυνση και η φορά τους. Χαρακτηριστικό αυτής της χρήσης του συµβόλου είναι ότι σε περιπτώσεις σύγκρισης µέτρων αναγράφεται η διευκρίνηση «ως προς το µέτρο». Σε αρκετές περιπτώσεις τα αντίθετα διανύσµατα συνδέονται µε το σύµβολο της µη ισότητας. Το διάνυσµα αντιµετωπίζεται σαν αριθµός. Όταν οι µαθητές αντιµετωπίζουν µια συγκεκριµένη κατάσταση µέσα σε ένα αλγεβρικό πλαίσιο στο οποίο επικεντρώνουν το ενδιαφέρον τους τότε το διάνυσµα αντιµετωπίζεται περισσότερο ως αριθµητική οντότητα. Διανυσµατική και αλγεβρική πρόσθεση. Αρκετοί µαθητές συγχέουν τη διανυσµατική και την αλγεβρική πρόσθεση και µπερδεύουν τα αντίστοιχα σύµβολα που χρησιµοποιούνται.υπάρχουν αρκετές περιπτώσεις µαθητών που προσθέτουν τα µέτρα των µη συγγραµµικών διανυσµάτων για να βρουν το µέτρο της συνισταµένης τους. Όσο αφορά το διανυσµατικό λογισµό οι µαθητές αντιµετωπίζουν αρκετές δυσκολίες χρησιµοποιώντας τα διανύσµατα. Αρχικά αποτελεί σοβαρό πρόβληµα η κατανόηση του τρισυπόστατου της έννοιας του διανύσµατος. Οι µαθητές άλλοτε σκέφτονται την έννοια του διανύσµατος ως αριθµό και άλλοτε ως ευθύγραµµο τµήµα. Επίσης σηµαντικό πρόβληµα αποτελεί η ιδιόµορφη χρήση των διανυσµατικών όρων και συµβόλων. Έχουν εντοπισθεί δυσκόλιες των µαθητών στο χειρισµό των πράξεων. Οι µαθητές δείχνουν απρόθυµοι να ακολουθούν τα επίσηµα µοντέλα πρόσθεσης που διδάσκονται και καταφεύγουν σε διαισθητικές τεχνικές που για αυτούς είναι 34

37 απλούστερες. Τέλος παρατηρείται συχνά οι µαθητές να δυσκολεύονται να συνειδητοποιήσουν τις έννοιες στην αφηρηµένη τους µορφή και τις αντιµετωπίζουν µε τρόπο που ταιριάζει περισσότερο µε τη χρήση τους στην καθηµερινή εµπειρία. 35

38 H αξιοποίηση των τεχνολογιών πληροφορίας και επικοινωνίας (ΤΠΕ) στην στη διδακτική των µαθηµατικών. Οι τεχνολογίες Πληροφορίας και Επικοινωνίας είναι όλες οι εφαρµογές και τα προϊόντα της σύγχρονης τεχνολογίας που αφορούν τη συγκέντρωση και ηλεκτρονική κωδικοποίηση, επεξεργασία, γνωστοποίηση και µελέτη της όποιας πληροφορίας σε κάθε της µορφή (κείµενο,γραφική παράσταση,ήχος,εικόνα). Οι ΤΠΕ έχουν ως κέντρο τον ηλεκτρονικό υπολογιστή ο οποίος σήµερα είναι εµπλουτισµένος µε τις παρακάτω δυνατότητες. Τα πολυµέσα επιτρέπουν την καταγραφή, την επεξεργασία και την αποθήκευση κειµένου ήχου και βίντεο. Μέσω των τηλεποινωνιών οι άνθρωποι έχουν την δυνατότητα άµεσης πρόσβασης σε βάσεις δεδοµένων, σε τράπεζες πληροφοριών καθώς και σε ανάπτυξη και χρήση δίκτυων υπολογιστών. Σήµερα όλο και περισσότερες χώρες επιδιώκουν την εισαγωγή και ενσωµάτωση των ΤΠΕ στο εκπαιδευτικό τους σύστηµα. Το ψηφιακό εκπαιδευτικό υλικό έχει µεγαλύτερη ποικιλία από το έντυπο και περιλαµβάνει τα λογισµικά εξάσκησης και εµβάθυνσης, τα ηλεκτρονικά βιβλία πολυµέσων, τα λογισµικά παραγωγής προσοµοιώσεων φαινοµένων, τα λογισµικά δηµιουργίας και δοκιµής µοντέλων, τα συστήµατα λήψης και επεξεργασίας δεδοµένων καθώς και τα νοήµονα συστήµατα διδασκαλίας. Τα λογισµικά εξάσκησης και εµβάθυνσης στοχεύουν στην αποµνηµόνευση των γνώσεων και στη σωστή χρήση αλγοριθµικών διαδικασιών. Τα ηλεκτρονικά βιβλία πολυµέσων περιέχουν εκτός από κείµενα, διαγράµµατα και εικόνες, αποσπάσµατα µουσικής ή οµιλίας ή βίντεο τα οποία αναπαριστούν φαινόµενα, πειράµατα και µοντέλα. Οι εικόνες, τα κείµενα και τα σχεδιαγράµµατα που υπάρχουν σε ένα ηλεκτρονικό βιβλίο συνήθως είναι 36

39 συσχετισµένα µεταξύ τους µέσω συνδέσµων και ο µαθητής µπορεί να µεταβεί από ένα σηµείο του κειµένου σε ένα άλλο ή σε ένα λεξικό όρων ή σε µια εικόνα και ένα διάγραµµα για να δει για παράδειγµα την προσοµοίωση ενός πειράµατος ή φαινοµένου. Η δυνατότητα αναζήτησης πληροφοριών στα περιεχόµενα ενός ηλεκτρονικού βιβλίου διευκολύνεται από το ίδιο το λογισµικό ή από τα προγράµµατα τα οποία στηρίζουν τη λειτουργία του ίδιου του υπολογιστή. Τα λογισµικά προσοµοίωσης έχουν ποικίλες δυνατότητες από την παρουσίαση ενός φαινοµένου εώς το εικονικό εργαστήριο στο οποίο προσοµοιώνονται συσκευές, διατάξεις, διαδικασίες και φαινόµενα (π.χ. java,applets). Σηµαντική διάδοση παρουσιάζουν οι διαδραστικές αναπαραστάσεις φαινοµένων. Σε αυτές ο µαθητής έχει τη δυνατότητα να επιλέξει τιµές παραµέτρων, αρχικές τιµές και να δει αλλαγές που επιφέρουν οι επιλογές του.τα λογισµικά δηµιουργίας και δοκιµής µοντέλων αφορούν την µοντελοποίηση. Η µοντελοποίηση είναι µια σηµαντική διαδικασία τόσο για τη µάθηση όσο και την επιστηµονική µεθοδολογία. Ο χρήστης µπορεί να µοντελοποιήσει ένα φαινόµενο µέσω της µαθηµατικής του περιγραφής και να αλλάξει τις τιµές των παραµέτρων ώστε να µελετήσει διάφορες περιπτώσεις. Τα νοήµονα συστήµατα διδασκαλίας αποτελούν µια προσπάθεια να χρησιµοποιηθούν τα πρόσφατα επιτεύγµατα της τεχνητής νοηµοσύνης στην προσοµοίωση του ρόλου του δασκάλου στην εξατοµικευµένη διδασκαλία. Είναι αποτελεσµατικά σε θέµατα τα οποία έχουν αυστηρή λογικοµαθηµατική δοµή και απευθύνονται σε εκπαιδευόµενους µε ανάλογη αρχική γνώση. Δεν είναι εξίσου αποτελεσµατικά στην εκπαίδευση των µαθητών, η µαθησιακή συµπεριφορά των οποίων παρουσιάζει πολυπλοκότητα. 37

40 Είναι όµως εύκολα κατανοητό ότι το εκπαιδευτικό υλικό των ΤΠΕ θα πρέπει να έχει ορισµένα βασικά χαρακτηριστικά για να µπορέσει να γίνει αποτελεσµατικό. Αρχικά το εκπαιδευτικό υλικό των ΤΠΕ θα πρέπει να προσφέρει πολλά και διαφορετικά σηµεία εισόδου στο περιεχόµενο καθώς και τη δυνατότητα επιστροφής σε προηγούµενες ενότητες ώστε να διευκολύνει τον αναστοχασµό ή την εκτίµηση της προόδου. Τα διάφορα λογισµικά θα πρέπει να έχουν δυνατότητες ώστε το υλικό να µπορεί να προσαρµοστεί στην αρχική γνώση των µαθητών µε τη βοήθεια στοιχείων που θα συλλέξει ο εκπαιδευτικός. Τα διάφορα λογισµικά θα πρέπει να προσφέρουν εκτός από τη διαδραστικότητα, και δυνατότητες συλλογής παραγωγής και επεξεργασίας πληροφοριών, πινάκων τιµών και γραφικών παραστάσεων,σχεδίων και µοντέλων. Τα παραπάνω χαρακτηριστικά από µόνα τους δεν αρκούν αν δε συσχετίζονται αρµονικά µε τη διδακτική στρατηγική, τη σκοποθεσία και το περιεχόµενο των αναλυτικών προγραµµάτων. Επίσης επιβάλλεται ο εκπαιδευτικός να έχει γνώσεις σχετικά µε το λογισµικό, τον τρόπο χρήσης του και τον τρόπο προσαρµογής του στα χαρακτηριστικά των µαθητών που διδάσκει. Κατά συνέπεια η εκπαίδευση των εκπαιδευτικών στη διδακτική αξιοποίηση των ΤΠΕ προβάλλει επιτακτική. Οι νέες τεχνολογίες δε θα πρέπει να χρησιµοποιούνται ως προµηθευτές πληροφόρησης αλλά µάλλον ως φορείς και διευκολυντές της σκέψης και της οικοδόµησης της γνώσης. 38

41 Διδακτική µέσω του λογισµικού Geogebra Το λογισµικό Geogebra χρησιµοποιείται για τη διδακτική προσέγγιση των διανυσµάτων, των κωνικών τοµών και για την ευθεία στο επιπέδο. Οι δραστηριότητες του σεναρίου των διανυσµάτων µπορούν να υποστηρίξουν τη διδασκαλία του σχετικού κεφαλαίου συγχρόνως όµως δίνουν τη δυνατότητα στο διδάσκοντα να τις µετασχηµατίσει ή να τις συµπληρώσει ώστε να επεκτείνει το µαθηµατικό τους περιεχόµενο. Οι δραστηριότητες αυτές περιλαµβάνουν απλές κατασκεύες αλλά και τη διερεύνηση των παραµετρικών περιπτώσεων. Οι δραστηριότητες αυτές έχουν ως στόχο τη κατανόηση της προβλεπόµενης θεωρίας αλλά και την επέκταση των γνώσεων των µαθητών.μέσω µιας συγκεκριµένης δραστηριότητας στο συγκεκριµένο λογισµικό θα δηµιουργήσουν κατασκευές µε διανύσµατα που θα µπορούσαν να αναδείξουν µε ενδεικτικό τρόπο τη σχέση των συντεταγµένων των παράλληλων και των κάθετων διανυσµάτων. Μέσω µιας άλλης δραστηριότητας οι µαθητές θα επινοήσουν έναν τρόπο να υπολογίσουν τη γωνία δύο ευθειών µε τη βοήθεια του εσωτερικού γινοµένου διανυσµάτων που είναι παράλληλες προς τις δύο ευθείες. Είναι κατανοητό ότι οι µαθητές µέσα από τις παραπάνω δραστηριότητες που αφορούν τα διανύσµατα θα µπορέσουν να εντοπίσουν τη σχέση που συνδέει τις συντεταγµένες των διανυσµάτων που είναι κάθετα ή παράλληλα.επίσης θα µπορέσουν να κατασκευάσουν µια διαδικασία για να υπολογίζουν τη γωνία δυο ευθείων µε τη βοήθεια διανυσµάτων. Τέλος θα εµπλακούν σε δραστηριότητες αυστηρά µαθηµατικής απόδειξης. Eνδεικτικά απεικονίζεται η δραστηριότητα που αφορά τα διανύσµατα. Στην οθόνη προβάλλονται µια σειρά από διανύσµατα και σηµεία που καθορίζουν τα άκρα των διανυσµάτων. Ο στόχος µας είναι να µελετήσουµε τη σχέση που έχουν οι συντεταγµένες των διανυσµάτων στην περίπτωση του αθροίσµατος, της διαφοράς, της καθετότητας και της παραλληλίας. Είναι 39

42 απαραίτητο για την υλοποίηση της παραπάνω δραστηριότητας οι µαθητές να γνωρίζουν την έννοια των συντεταγµένων ενός διανύσµατος καθώς επίσης να έχουν κατανοήσει σε βάθος τη γεωµετρική πρόσθεση δύο διανυσµάτων (κανόνας του παραλληλογράµµου). Επιπλέον αναµένεται οι µαθητές να παρατηρήσουν ότι οι συντελεστές διεύθυνσης των παράλληλων διανυσµάτων είναι ίσοι ένω το γινόµενο των συντελεστών διεύθυνσης δυο κάθετων διανυσµάτων είναι ίσο µε -1. Στην επόµενη δραστηριότητα που αφορά τα διανύσµατα θα υπολογιστεί η γωνία ευθειών και διανυσµάτων.για να υλοποιήσουν οι µαθητές την παρακάτω δραστηριότητα θα πρέπει να γνωρίζουν τον τύπο του εσωτερικού γινοµένου.ακόµα οι µαθητές θα πρέπει να γνωρίζουν την έννοια των συντεταγµένων ενός διανύµατος.τέλος θα πρέπει να γνωρίζουν τον τύπο που δίνει το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων όταν είναι γνωστές οι συντεταγµένες των κορυφών του. 40

43 Η παρακάτω δραστηριότητα χρησιµοποιώντας το λογισµικό geogebra αφορά την ευθεία στο επίπεδο. Η δραστηριότητα αυτή αφορά στην κατασκευή ευθείας παράλληλης ή κάθετης σε διάνυσµα.το λογισµικό προβάλλει το διάνυσµα και τις εξισώσεις των ευθειών µε τρόπο που είναι εµφανής η σχέση των συντεταγµένων του διανύσµατος µε τους συντελεστές κάθε ευθείας. Οι µαθητές µέσα από τη συγκεκριµένη δραστηριότητα θα εντοπίσουν και θα αποδείξουν τη σχέση που συνδέει τις συντεταγµένες του διανύσµατος µε τους συντελεστές τόσο της κάθετης όσο και της παράλληλης προς αυτό ευθείας. Οι µαθητές για να υλοποιήσουν την συγκεκριµένη δραστηριότητα θα πρέπει να γνωρίζουν το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας και τη γενική εξίσωση της ευθείας Αχ+Βψ+γ=0. Οι µαθητές θα πρέπει να παρατηρήσουν και να σηµειώσουν ότι αν το διάνυσµα θεωρηθεί ως (Α,Β) τότε η παράλληλη ευθεία έχει εξίσωση Βχ-Αψ=κ ένω η κάθετη έχει εξίσωση Αχ+Βψ=λ. Σε κάθε περίπτωση οι µαθητές κάνουν µία γενική απόδειξη µε βάση την ισότητα 41

44 των συντελεστών διεύθυνσης στην παράλληλη ευθεία και το γεγονός ότι το γινόµενο των συντελεστών είναι ίσο µε -1 στην κάθετη ευθεία. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Οι δραστηριότητες πάνω στις κωνικές τοµές χρησιµοποιώντας το λογισµικό geogebra παρέχουν την δυνατότητα στους µαθητές να εξοικειωθούν περισσότερο µε το συγκεκριµένο λογισµικό καθώς και συνεισφέρουν στη καλή διερεύνηση θεµάτων που αφορούν στην αναλυτική γεωµετρία. Οι µαθητές θα ασχοληθούν µε την κατασκευή της παραβολής, της έλλειψης και της υπερβολής και µε τις βασικές ιδιότητες αυτών. Το βασικό θέµα είναι η διερεύνηση των ανακλαστικών ιδιοτήτων της παραβολής και της έλλειψης. Το πρόβληµα της ανάκλασης σε µια κωνική τοµή αποτελεί µια από τις βασικές αιτίες ανάπτυξης της µελέτης των κωνικών και της χρήσης τους σε πρακτικά ζητήµατα. Στην πρώτη δραστηριότητα οι µαθητές θα µελετήσουν µια δυναµική αναπαράσταση της ανακλαστικής ιδιότητας της παραβολής. Συγκεκριµένα θα φέρουν την κάθετη στην εφαπτοµένη σε ένα σηµείο και στη συνέχεια θα δηµιουργήσουν και θα µελετήσουν µια προσοµοίωση ανάκλασης ακτίνας 42

45 παράλληλης προς τον άξονα της παραβολής. Ο στόχος είναι οι µαθητές να κατασκευάσουν το παρακάτων σχήµα. Στη δεύτερη δραστηριότητα οι µαθητές θα µελετήσουν την ανακλαστική ιδιότητα σε µια έλλειψη.θα πρέπει να φέρουν την εφαπτοµένη σε ελεύθερο σηµείο Α, κάθετη στην εφαπτοµένη και να προσδιορίσουν τις εστίες. Ο στόχος είναι να κατασκευαστεί σταδιακά το παρακάτω σχήµα. 43

46 Στην τρίτη δραστηριότητα οι µαθητές θα εντοπίσουν ένα τρίγωνο του οποίου το εµβαδόν είναι σταθερό και το οποίο τρίγωνο δηµιουργείται από µια εφαπτοµένη και τις ασύµπτωτες υπερβολής. Ο στόχος είναι να κατασκευαστεί σταδιακά το παρακάτω σχήµα. Στόχοι Οι µαθητές µέσα από τις δραστηριότητες που αφορούν στις κωνικές τοµές θα δηµιουργήσουν µια προσοµοίωση ανακλάσεων πάνω σε παραβολή και έλλειψη. Ακόµα θα διερευνήσουν ιδιότητες κωνικών τοµών που σχετίζονται µε ανάκλαση.τέλος θα εµπλακούν σε διαδικασίες απόδειξης µε αυστηρά µαθηµατικό τρόπο. 44

47 Εισαγωγή Σε 86 φοιτητές του πρώτου έτους της Σχολής Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών µοιράσαµε ένα ερωτηµατολόγιο κατά τη διάρκεια του µαθήµατος της Γραµµικής Άλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας. Οι φοιτητές συµπλήρωσαν τις ερωτήσεις του ερωτηµατολογίου σε διάρκεια περί τα είκοσι λεπτά. Το συγκεκριµένο ερωτηµατολόγιο περιελάµβανε ερωτήσεις πάνω στα διανύσµατα, στις ευθείες στο επίπεδο και στις κωνικές τοµές και πιο συγκεκριµένα στην έλλειψη, στην υπερβολή και στην παραβολή. Οι προαπαιτούµενες γνώσεις που αφορούν τη συµπλήρωση των ερωτηµάτων είχαν καλύφθει από την ύλη των µαθηµατικών κατεύθυνσης της Β Λυκείου. Το πρώτο κεφάλαιο του βιβλίου των µαθηµατικών κατεύθυνσης της Β Λυκείου αφορά τα διανύσµατα. Το δεύτερο κεφάλαιο του ίδιου βιβλίου αφορά τις ευθείες στο επίπεδο ενώ το τρίτο κεφάλαιο αφορά τις κωνικές τοµές. H ύλη του µαθήµατος της Γραµµικής Άλγεβρας και της Αναλυτικής Γεωµετρίας του πρώτου εξαµήνου της ΣΕΜΦΕ περιλαµβάνει το κεφάλαιο του διανυσµατικού λογισµού, το κεφάλαιο της ευθείας στο χώρο και το κεφάλαιο των καµπυλών στο επίπεδο και στο χώρο. Κατά συνέπεια οι φοιτητές έχουν αποκτήσει όλες τις απαραίτητες γνώσεις που χρειάζονται ώστε να παρακολουθήσουν επιτυχώς το µάθηµα της Γραµµικής Άλγεβρας και της Αναλυτικής Γεωµετρίας κατά µεγάλο ποσοστό και από τα µαθηµατικά κατεύθυνσης της Β Λυκείου. Στη συνέχεια παραθέτω το ερωτηµατολόγιο µε τις ερωτήσεις όπως ακριβώς αυτό µοιράστηκε στους 86 φοιτητές του πρώτου εξαµήνου. Έπειτα ακολουθούν οι ενδεικτικές απάντησεις στις αντίστοιχες ερωτήσεις. Ακόµα έχει γίνει ανάλυση του ποσοστού επιτυχίας και αποτυχίας των φοιτητών σε κάθε ερώτηση και τα ποσοστά αυτά απεικονίζονται σε αντίστοιχα γραφήµατα. 45

48 Τέλος πραγµατοποιήθηκε µια ποιοτική έρευνα των λανθασµένων απαντήσεων που έδωσαν οι φοιτητές για κάθε ερώτηση του ερωτηµατολογίου. 46

49 Όνοµα: 21/11/2011 Εξάµηνο: Έτος αποφοίτησης από το Λύκειο: ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ 1) Πότε δύο διανύσµατα ονοµάζονται συγγραµµικά; ) Τα συγγραµµικά διανύσµατα είναι οµόρροπα; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας ) Αν! =!, τότε ισχύει ότι! =!; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας ) Δυο διανύσµατα που δεν είναι οµόρροπα, θα είναι αντίρροπα; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας

50 5) Να δοθεί ο τύπος της προβολής του διανύσµατος! πάνω στο διάνυσµα!, κάνοντας χρήση του τύπου του εσωτερικού γινοµένου ) Αν!!, τότε!!=; ) Ποια είναι η αλγεβρική-αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου δυο διανυσµάτων!=(α 1, α 2, α 3 ) και!=(β 1, β 2, β 3 ) ; ) Δίνεται η ευθεία στο επίπεδο µε εξίσωση Αx+Βy+Γ=0, µε Α 0 ή Β 0. α) Ποια είναι η κλίση της ευθείας και πότε ορίζεται; β) Να δοθούν οι συντεταγµένες του διανύσµατος που είναι παράλληλο στην ευθεία και του διανύσµατος που είναι κάθετο στην ευθεία

51 9) Δίνεται µια ευθεία δ και ένα σηµείο Ε εκτός της δ. Ονοµάζεται παραβολή µε εστία το σηµείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωµετρικός τόπος C των σηµείων του επιπέδου τα οποία ) Ένα σηµείο Μ του επιπέδου είναι σηµείο της έλλειψης αν και µόνο αν ) Ένα σηµείο Μ του επιπέδου είναι σηµείο της υπερβολής αν και µόνο αν

52 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ 1. Δύο µη µηδενικά διανύσµατα που έχουν τον ίδιο ή παράλληλους φορείς λέγονται παράλληλα ή συγγραµµικά. Αν α,β είναι δύο διανύσµατα µε β 0 τότε α β α=λβ,λϵr. Ως φορέα ενός µηδενικού διανύσµατος µπορούµε να θεωρούµε οποιαδήποτε από τις ευθείες που διέρχονται από το αυτό. 2. Όχι.Τα συγγραµµικά διανύσµατα µπορεί να είναι είτε οµόρροπα είτε αντίρροπα. Για παράδειγµα, τα αντίθετα διανύσµατα έχουν ίσα µέτρα, αλλά δεν είναι ίσα. 3. Όχι. Δύο διανύσµατα είναι ίσα όταν έχουν ίδιο µέτρο, ίδια διεύθυνση και ίδια φορά. 4. Δύο διανύσµατα που δεν είναι οµόρροπα δεν σηµαίνει ότι θα είναι κατ ανάγκη αντίρροπα. Αυτό συµβαίνει διότι δεν έχουµε καµµία πληροφορία για την κατεύθυνση των δυο διανυσµάτων. 5. Ο τύπος της προβολής του διανύσµατος! πάνω στο διάνυσµα! κάνοντας χρήση του τύπου του εσωτερικού γινοµένου είναι ο παρακάτω.!"#$!! =!!!!! 50

53 6.!!==!!. 7.!!=α 1 β 1 +α 2 β 2 +α 3 β 3 8. Αν Β 0, τότε η εύθεια έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=! και! εποµένως είναι παράλληλη προς το διάνυσµα!=(β,-α) ή κάθε πολλαπλάσιο αυτού. Αν Β=0, τότε η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα yy και εποµένως και πάλι παράλληλη προς το διάνυσµα!=(β,-α). Η ευθεία είναι κάθετη στο διάνυσµα!=(α,β). 9. Έστω µια ευθεία δ και ένα σηµείο Ε εκτός της δ. Ονοµάζεται παραβολή µε εστία το σηµείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωµετρικός τόπος C των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την Ε και τη δ. 51

54 10. Ένα σηµείο Μ του επιπέδου είναι σηµείο της έλλειψης αν και µόνο αν: (ΜΕ)+(ΜΕ )=2α, όπου Ε, Ε είναι δύο δεδοµένα σηµεία του επιπέδου (εστίες) και α είναι µία σταθερά. Kάθε σηµείο M (x, y), του οποίου οι συντεταγµένες επαληθεύουν την εξίσωση!!!!+!!!!=1 είναι σηµείο της έλλειψης. 11. Ένα σηµείο Μ είναι σηµείο της υπερβολής, αν και µόνο αν (MEʼ)-(ME) =2α, όπου Ε, Ε είναι δύο δεδοµένα σηµεία του επιπέδου (εστίες) και α είναι µια σταθερά. Κάθε σηµείο M (x, y) του οποίου οι συντεταγµένες επαληθεύουν την εξίσωση!!!!!!!!=1 είναι σηµείο της υπερβολής. 52

55 Ανάλυση αποτελεσµάτων 1. Στην πρώτη ερώτηση του ερωτηµατολογίου σχετικά µε το πότε δύο διανύσµατα είναι συγγραµµικά παρατηρήσαµε ότι το 66.3% των πρωτοετών φοιτητών απάντησαν σωστά ενώ το 33.7% των φοιτητών έδωσε λάθος απάντηση. 0.7 EΡΩΤΗΣΗ EΡΩΤΗΣΗ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 53

56 2. Στη δεύτερη ερώτηση στο ερωτηµατολόγιο ζητηθήκε στους πρωτοετείς φοιτητές να δικαιολογήσουν αν τα συγγραµµικά διανύσµατα είναι οµόρροπα. Το ποσοστό των φοιτήτων που απάντησαν σωστά ήταν το 93% ενώ µόνο το 7% των φοιτητών έδωσε λάθος απάντηση. Παρακάτω φαίνεται το αντίστοιχο γράφηµα ΕΡΩΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΗ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 54

57 3. Από την τρίτη ερώτηση στο ερωτηµατολόγιο εξετάζουµε αν οι φοιτητές γνωρίζουν πότε δύο διανύσµατα είναι ίσα.τίθεται το παρακάτω ερώτηµα όταν τα µέτρα τους είναι ίσα τότε αυτό συνεπάγεται ότι τα διανύσµατα είναι ίσα και στη συνέχεια πρέπει οι φοιτητές να δώσουν δικαιολόγηση στην απαντησή τους. Από την ανάλυση των αποτελέσµατων προκύπτει ότι το 79% των φοιτητών απάντησε σωστά ενώ το 21% έδωσε λάθος απάντηση. Παρακάτω ακολουθεί και το αντίστοιχο γράφηµα ΕΡΩΤΗΣΗ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΕΡΩΤΗΣΗ 3 55

58 4. Στην τέταρτη ερώτηση ζητήθηκε από τους φοιτητές να απαντήσουν αν δυο διανύσµατα που δεν είναι οµόρροπα τότε αυτά θα είναι αντίρροπα και να δικαιολογήσουν την απάντηση που θα δώσουν. Από την ανάλυση των αποτελεσµάτων προέκυψε ότι το 85% των φοιτητών απάντησε σωστά ενώ το 15% των φοιτητών έδωσε λάθος απάντηση. Τα αποτελέσµατα αυτά απεικονίζονται στο γράφηµα που ακολουθεί ΕΡΩΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΗ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 56

59 5. Στην 5 η ερώτηση ζητήσαµε από τους φοιτητές να δώσουν τον τύπο της προβολής του διανύσµατος! πάνω στο διάνυσµα! κάνοντας χρήση του τύπου του εσωτερικού γινοµένου. Από την ανάλυση των απαντήσεων που δώσανε οι 86 φοιτητές προέκυψε ότι το 76% των φοιτητών έδωσε λάθος απάντηση δηλαδή το ποσοστό αποτυχίας είναι πάρα πολύ υψηλό,ενώ µόλις το 24% των φοιτητών απάντησε σωστά στη ερώτηση αυτή. Τα παραπάνω αποτελέσµατα φαίνονται στο παρακάτω γράφηµα ΕΡΩΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΗ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 57

60 6. Στην έκτη ερώτηση του ερωτηµατολογίου ζητήσαµε από τους φοιτητές να δώσουν το αποτέλεσµα του εσωτερικού γινοµένου δυο αντίρροπων διανυσµάτων. Από την ανάλυση των αποτελεσµάτων προέκυψε ότι το 70% των φοιτητών απάντησε σωστά ενώ το 30% απάντησε λάθος στην συγκεκριµένη ερώτηση. Παρακάτω ακολουθεί και το αντίστοιχο γράφηµα ΕΡΩΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΗ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 58

61 7. Στην έβδοµη ερώτηση στο ερωτηµατολόγιο ζητήθηκε η αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου δυο διανυσµάτων.από την ανάλυση των απάντησεων των 86 φοιτητών προέκυψαν τα ακόλουθα αποτελέσµατα. Το 72% των φοιτητών απάντησε σωστά ενώ το 28% των φοιτητών απάντησε λάθος. Στη συνέχεια ακολουθεί το γράφηµα ΕΡΩΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΗ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 59

62 8. Στο πρώτο υποερώτηµα της 8 ης ερώτησης ζητήθηκε από τους φοιτητές να αναφέρουν την κλίση της ευθείας και πότε ορίζεται. Από την ανάλυση των αποτελεσµάτων προέκυψε ότι το 73% των φοιτητών απάντησε σωστά ενώ το 27% των φοιτητών απάντησε λάθος στην ερώτηση αυτή. Τα αποτελέσµατα αυτά φαίνονται στο παρακάτω γράφηµα ΕΡΩΤΗΣΗ 8α 0.4 ΕΡΩΤΗΣΗ 8α ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 60

63 Το δεύτερο υποερώτηµα της ερώτησης 8 έχει δύο σκέλη.στο πρώτο σκέλος ζητήθηκε από τους φοιτητές να γράψουν τις συντεταγµένες του διανύσµατος που είναι παράλληλο στην ευθεία. Από την ανάλυση των απαντήσεων προέκυψαν τα παρακάτω αποτελέσµα τα οποία στη συνέχεια απεικονίζονται σε γράφηµα που ακολουθεί. Το 90% των φοιτητών απάντησε λάθος, ποσοστό αποτυχία παρα πολύ υψηλό ενώ µόλις το 10% των φοιτητών απάντησε σωστά ΕΡΩΤΗΣΗ 8β ΕΡΩΤΗΣΗ 8β ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 61

64 Στη συνέχεια στην ίδια ερώτηση ζητήθηκε από τους φοιτητές να γράψουν τις συντεταγµένες του κάθετου διανύσµατος ως προς την ευθεία. Τα αποτελέσµατα που λάβαµε από την ανάλυση µας φαίνονται παρακάτω. Το 73% των φοιτητών απάντησε λάθος, ποσοστό αποτυχίας αρκετά υψηλό, ενώ µόλις το 27% των φοιτητών απάντησε σωστά. Ακολουθεί το γράφηµα ΕΡΩΤΗΣΗ 8γ 0.4 ΕΡΩΤΗΣΗ 8γ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 62

65 9. Στην ερώτηση εννέα ζητήθηκε από τους φοιτητές να συµπληρώσουν κάποια στοιχεία στον ορισµό της παραβολής.κάνοντας την ανάλυση των απαντήσεων που έδωσαν οι φοιτητές προέκυψαν τα ακόλουθα αποτελέσµατα. Το 63% των φοιτητών έδωσε λάθος απάντηση, ποσοστό αποτυχίας αρκετά υψηλό, ενώ το 37% των φοιτητών έδωσε σωστή απάντηση. Παρακάτω φαίνεται το αντίστοιχο γράφηµα. 0.7 ΕΡΩΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΗ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 63

66 10. Στην 10 η ερώτηση ζητήθηκε από τους φοιτητές να γράψουν τη συνθήκη για να είναι ένα σηµείο του επιπέδου σηµείο της έλλειψης.από την ανάλυση των απαντήσεων που έδωσαν οι φοιτητές προέκυψαν τα ακόλουθα αποτελέσµατα.το 57% των φοιτητών έδωσε σωστή απάντηση ενώ το 43% των φοιτητών απάντησε λάθος. Τα αποτελέσµατα αυτά απεικονίζονται στο παρακάτω γράφηµα. 0.6 ΕΡΩΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΗ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 64

67 11. Στην 11 η ερώτηση ζητήθηκε από τους φοιτητές να γράψουν τη συνθήκη για να είναι ένα σηµείο του επιπέδου σηµείο της υπερβολής.από την ανάλυση των απαντήσεων που έδωσαν οι φοιτητές προέκυψαν τα ακόλουθα αποτελέσµατα.το 49% των φοιτητών έδωσε σωστή απάντηση ενώ το 51% των φοιτητών απάντησε λάθος.τα αποτελέσµατα αυτά απεικονίζονται στο παρακάτω γράφηµα. ΕΡΩΤΗΣΗ 11 ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 65