ΠΡΑΚΤΙΚΑ. 15 ο ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. Επιμέλεια Πρακτικών. Αθανάσιος Γαγάτσης, Ανδρέας Φιλίππου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΑΚΤΙΚΑ. 15 ο ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. Επιμέλεια Πρακτικών. Αθανάσιος Γαγάτσης, Ανδρέας Φιλίππου"

Transcript

1

2

3 ΠΡΑΚΤΙΚΑ 15 ο ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 8 10 Μαρτίου 2013 Αγρός ΟΡΓΑΝΩΣΗ 30 Χρόνια Προσφοράς και Δημιουργίας στη Μαθηματική Επιστήμη και Παιδεία της Κύπρου Σε συνεργασία με: Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής, Πανεπιστήμιο Κύπρου Επιθεώρηση Μαθηματικών Σύνδεσμο Μαθηματικών Κύπρου Ίδρυμα ΘΑΛΗΣ Επιμέλεια Πρακτικών Αθανάσιος Γαγάτσης, Ανδρέας Φιλίππου ISBN: (ηλεκτρονική μορφή) ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφείο 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ , Φαξ: , cms@cms.org.cy,

4 15 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Επιστήμης και Παιδείας Οργάνωση Γενικός Συντονιστής Συνεδρίου: Γρηγόρης Μακρίδης, Πρόεδρος ΚΥ.Μ.Ε. και Προϊστάμενος ΥΕΔΣ Πανεπιστημίου Κύπρου Επιστημονικός Υπεύθυνος Συνεδρίου Αθανάσιος Γαγάτσης, Αντιπρόεδρος ΚΥ.Μ.Ε. και Αντιπρύτανης Ακαδημαϊκών Υποθέσεων Πανεπιστημίου Κύπρου Συντονιστής Συμποσίου Μαθηματικής Παιδείας Πρωτοβάθμιας Εκπαίδευσης: Αθανάσιος Γαγάτσης, Αντιπρόεδρος ΚΥ.Μ.Ε. και Αντιπρύτανης Ακαδημαϊκών Υποθέσεων Πανεπιστημίου Κύπρου Συντονιστής Συμποσίου Μαθηματικής Παιδείας Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης: Ανδρέας Φιλίππου, Γενικός Γραμματέας ΚΥ.Μ.Ε. και καθηγητής Μαθηματικών Μέσης Εκπαίδευσης Συντονιστές Μαθητικού Συνεδρίου: Θεόκλητος Παραγιού, Ταμίας ΚΥ.Μ.Ε. και καθηγητής Μαθηματικών Μέσης Εκπαίδευσης Δημήτρης Καραντάνος, Οργανωτικός Γραμματέας ΚΥ.Μ.Ε. και καθηγητής Μαθηματικών Μέσης Εκπαίδευσης (ii)

5 Μέλη Οργανωτικής Επιτροπής Κωνσταντίνος Χρίστου, Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου Κωνσταντίνος Παπαγιάννης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σάββας Αντωνίου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Μάριος Ευσταθίου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σωτήρης Λοϊζιάς, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Ανδρέας Σκοτεινός, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σάββας Τιμοθέου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Ανδρέας Σαββίδης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Αναστασία Ηρακλέους-Θεοδώρου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Χαράλαμπος Καττιμέρης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Δώρα Συμεού, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Γρηγόρης Γρηγορίου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Ιωάννου Ιωάννης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Κυριάκος Κωνσταντινίδης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Κωνσταντίνος Κουμής, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Νικόλας Γιασουμής, Σύνδεσμος Μαθηματικών Κύπρου Πέτρος Πέτρου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Παντελής Ζαμπυρίνης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Τάνια Παναγιώτου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Τα ενυπόγραφα άρθρα εκφράζουν τις απόψεις και μόνον των αρθογράφων και δεν απηχούν απαραίτητα τις απόψεις του εκδότη. (iii)

6 ΠΡΟΛΟΓΟΣ A Το 15o Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης οργανώνεται στην πιο δύσκολη περίοδο που διανύει η χώρα μας σε σχέση με την οικονομία. Οι προκλήσεις και η αξία της εκπαίδευσης δημιουργούν σύγχυση, πολλοί επιστήμονες είναι άνεργοι ενώ ταυτόχρονα δεν φαίνεται προοπτική για ποιες είναι οι σωστές επιλογές. Τα μαθηματικά ως η βασίλισσα των επιστημών καλούνται να δώσουν λύσεις και η λύση είναι απλή και μία. Οι γερές βάσεις στα μαθηματικά θα βοηθήσουν τους νέους μας ώστε να μπορούν να αποκτούν διαθεματικές γνώσεις και να αναπτύσσουν δεξιότητες χρήσιμες για κάθε είδος εργασίας, μέσα στο άγνωστο μέλλον. Τα συνέδρια όπως το Παγκύπριο Συνέδριο στα Μαθηματικά επικοινωνούν με τρόπο χρήσιμο προς όλους, μαθητές, εκπαιδευτικούς, ερευνητές. Η παράλληλη διοργάνωση με το Παγκύπριο Μαθητικό Συνέδριο δίνει διαφορετική διάσταση σε όλο το περιβάλλον του Συνεδρίου. Ελπίζουμε ότι μέσα από το Παγκύπριο Συνέδριο θα αναπτυχθούν συνεργασίες και θα δημιουργηθούν νέες ιδέες για νέες καινοτομίες στο τομέα της μαθηματικής επιστήμης και παιδείας. Ευχαριστούμε τους συνεργάτες μας στο συνέδριο αυτό όπως το Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμούς (Γενική Διεύθυνση, Διεύθυνση Μέσης Εκπαίδευσης, Γενική Επιθεώρηση), τη Σχολή Κοινωνικών Επιστημών και Επιστημών της Αγωγής του Πανεπιστημίου Κύπρου, το Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής του Πανεπιστημίου Κύπρου, το Σύνδεσμο Μαθηματικών Κύπρου και την Κυπριακή Αστροναυτική Εταιρεία. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τους Α. Γαγάτση, Α. Φιλίππου, Δ. Καραντάνο και Θ. Παραγυίου που ανάλαβαν την επιμέλεια των πρακτικών του 15ου Παγκύπριου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης και του 9 ου Μαθητικού Συνεδρίου για τα Μαθηματικά. Ιδιαίτερες ευχαριστίες στη Γενική Διευθύντρια του Υπουργείου Παιδείας και Πολιτισμού, κα Ολυμπία Στυλιανού, που έθεσε το Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης υπό την Αιγίδα της. Εκ μέρους του Διοικητικού Συμβουλίου της Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας εκφράζω ευχαριστίες σε όλους όσοι βοήθησαν στην οργάνωση των Συνεδρίων. Δρ Γρηγόρης Μακρίδης Πρόεδρος Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας Πρόεδρος Ιδρύματος ΘΑΛΗΣ (iv)

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Β Η παρούσα έκδοση του τόμου των Πρακτικών του συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας της ΚΥΜΕ 2013 φανερώνει τη θέληση της ΚΥΜΕ για διατήρηση και ενίσχυση του θεσμού των συνεδρίων στην Μαθηματική Παιδεία. Η επιμονή αυτή δηλώνει τη σημασία που αποδίδει το Συμβούλιο της ΚΥΜΕ στη διάδοση θεμάτων διδασκαλίας των μαθηματικών και στην ενίσχυση του διαλόγου μεταξύ των συναδέλφων. Ο ΤΟΜΟΣ αυτός είναι αποτέλεσμα για ακόμα μια φορά της άριστης συνεργασίας μου με τον Ανδρέα Φιλίππου Γενικό Γραμματέα της ΚΥΜΕ. Δύο είναι οι τάσεις που διαφαίνονται στις εργασίες του τόμου αυτού : Η πρώτη αφορά ένα σημαντικό αριθμό εργασιών συναδέλφων και φοιτητών του Πανεπιστημίου Κύπρου. Η δεύτερη τάση αφορά κείμενα συναδέλφων μαθηματικών από την Ελλάδα. Ελπίζω ότι ο παρών τόμος θα εκπληρώσει τις φιλοδοξίες του, να είναι δηλαδή χρήσιμος για τους εκπαιδευτικούς Μέσης και Δημοτικής Εκπαίδευσης και γενικά για όλους όσοι έχουν ερευνητικά ή πρακτικά ενδιαφέροντα για τα Μαθηματικά και τη Διδακτική τους. Αθανάσιος Γαγάτσης Αντιπρόεδρος ΚΥΜΕ Αντιπρύτανης Ακαδημαϊκών Υποθέσεων, Πανεπιστήμιο Κύπρου (v)

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1 1. Αριθμητικό Γιγνώσκειν 3 Aθανάσιος Pαφτόπουλος 2. Η Αξία της Μεθόδου της προς τα Πίσω Επαγωγής (Backward Induction Method) 19 Δρ Κωστής Ανδριόπουλος 3. Προβλήματα Αλλαγής με Περιττές Πληροφορίες, με Λεκτική Αναπαράσταση και Πληροφοριακή Εικόνα: Ο Ρόλος της Αναπαράστασης, της Δομής και του Διδακτικού Συμβολαίου 31 Αγγέλα Χρυσοστόμου 4. Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία Σύμφωνα με τα Γνωστικά Στυλ των Εκπαιδευτικών 47 Χαράλαμπος Ευσταθίου Ανδρούλλα Πετρίδου 5. Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση Γεωμετρικού Σχήματος 75 Αθανάσιος Γαγάτσης, Παναγιώτα Καλογήρου Ανδρούλλα Πετρίδου 6. Οι Δυσκολίες των Μαθητών σε Έργα Μετάφρασης Γραφικών Παραστάσεων 101 Χριστοδούλου Θεοδώρα Ηλία Ιλιάδα 7. Είναι Συμμετρική η Εικόνα της Πεταλούδας; Μια Διερεύνηση των Διαισθητικών Αντιλήψεων και Αναπαραστάσεων Παιδιών Προδημοτικής σε Έργα Συμμετρίας 119 Λουίζα Δημητρίου Ιλιάδα Ηλία (vi)

9 8. Προσεγγίζοντας Διδακτικά τις Σχέσεις περί Σφαίρας και Κυλίνδρου του Αρχιμήδη. Ένα Διδακτικό Σενάριο 133 Μαρία Πριοβόλου 9. H Κατανόηση και οι Παρανοήσεις Μαθητών για την Έννοια της Εφαπτομένης Ευθείας σε ένα Σημείο 147 Λουΐζα Θεμιστοκλέους Ευγένιος Αυγερινός 10. Πορίσματα του Πυθαγορείου Θεωρήματος και Μαθηματική Δημιουργικότητα των Μαθητών 159 Γιώργος Κόσυβας 11. Η Διδασκαλία της Μαθηματικής Επαγωγής στο Λύκειο 171 Σωτήρης Λοϊζιάς Έλενα Χατζηγεωργίου 12. Οι Αντιλήψεις των Φοιτητών των ΠΤΔΕ στις Έννοιες της Αριθμογραμμής, των Ίσων Μερών της Μονάδας και των Καταχρηστικών Κλαμάτων 189 Ευγένιος Αυγερινός Ρόζα Βλάχου 13. Γιατί είναι Απαραίτητη η Διδασκαλία της Γεωμετρίας ; 201 Δημήτριος Γ. Κοντογιάννης 14. Πλακοστρώσεις με Κανονικά Πολύγωνα 205 Σάββας Τιμοθέου Ανδρέας Φιλίππου 15. Ο Eduard Helly και η συνεισφορά του στην ανάπτυξη της Συνδυαστικής Γεωμετρίας 227 Μπαραλής Η. Γεώργιος, Κοντογιάννης Δ. Γεώργιος Κοντογιάννης Γ. Δημήτριος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ ΣΥΜΠΟΣΙΟ ΑΣΤΡΟΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Κοσμολογία: Απαντήσεις στο Αιώνιο Πρόβλημα. Πως Έγινε ο Κόσμος μας 239 Πέτρος Πέτρου (vii)

10 2. Μεταβολές κατά την Τελευταία Εικοσαετία στον Πλανήτη Γη και η Συμβολή της Γεωτεχνολογίας στον Περιορισμό της Υπερθέρμανσης 245 Νικόλαος Δερμοσονιάδης 3. Μια Περιήγηση στον Άρη 251 Σοφούλης Καρλεττίδης 4. Το Σύμπαν 257 Μάριος Νεοφύτου (viii)

11

12

13 APIΘMHTIKO ΓIΓNΩΣKEIN Αθανάσιος Ραφτόπουλος Τμήμα Ψυχολογίας, Παν/μιο Κύπρου Εισαγωγή Στην εργασία συζητώ το ζήτημα των πρωταρχικών ή πυρηνικών μηχανισμών που διαθέτουμε για την αναπαράσταση των αριθμών. Όντας πρωταρχικοί, οι μηχανισμοί αυτοί πρέπει να εξηγούν τις επιδόσεις ακόμη και των νηπίων σε αριθμητικά έργα στα οποία έχουμε ενδείξεις ότι τα νήπια επιτυγχάνουν. Δεδομένου δε ότι τα νήπια δεν γνωρίζουν ούτε αριθμητική ούτε βέβαια αναπαριστούν τους αριθμούς με τα αφηρημένα σύμβολα της αριθμητικής, η συζήτηση του θέματος εστιάζεται γύρω από τους μηχανισμούς αναπαράστασης αριθμών στα νήπια. H τεκμηρίωση μηχανισμών σε αυτήν την ηλικία θα δικαιολογούσε πλήρως το χαρακτηρισμό τους ως πυρηνικών μηχανισμών αναπαράστασης αριθμών. Στην πρώτη ενότητα συζητώ το θεωρητικό πλαίσιο του αριθμητικού γιγνώσκειν και θα παρουσιάσω τρεις θεωρίες. H πρώτη υποθέτει ότι η βασική αναπαράσταση αριθμών γίνεται μέσω ενός νευρωνικού μηχανισμού που προσμετρά τα στοιχεία συνόλων, ενός μηχανισμού που δεν προϋποθέτει βέβαια γνώση αριθμητικής ή των συμβόλων των αριθμών, και την απόδοση στον τελευταίο αριθμό ή μέγεθος που καταλήγει η μέτρηση ενός αφηρημένου συμβόλου, αυτού που στην αριθμητική θα αντιστοιχούσε στο αριθμητικό σύμβολο του πληθαρίθμου του συνόλου. Λόγω του υφιστάμενου νευρωνικού θορύβου, αυτό το σύστημα δίνει μία προσεγγιστική τιμή του πληθάριθμου του εκάστοτε συνόλου. Ο πυρηνικός αυτός μηχανισμός ονομάζεται Προσεγγιστικό Σύστημα Αριθμού (ΑΝΣ). H δεύτερη θεωρία υποθέτει ότι αντί να αντιστοιχούμε αφηρημένα σύμβολα σε αποτελέσματα μέτρησης, οι επιδόσεις εξηγούνται με την επίκληση του μηχανισμού δημιουργίας φακέλων αντικειμένων (object files) και τη δημιουργία μοντέλων των επί σκηνής αντικειμένων. Επειδή το σύστημα αυτό στηρίζεται στην ύπαρξη ενός μηχανισμού εξατομίκευσης των αντικειμένων και της μετέπειτα παρακολούθησης των, ονομάζεται Σύστημα Παρακολούθησης Αντικειμένων (ΟΤΣ) Mία τρίτη, τέλος θεωρία συνδυάζει τις δύο πρώτες περιορίζοντας ταυτόχρονα το

14 Α. Ραφτόπουλος πεδίο εφαρμογής των. Σύμφωνα με αυτήν, αναπαριστούμε τους μικρούς αριθμούς με τη βοήθεια μοντέλων αντικειμένων που δημιουργούμε με βάση τους φακέλους των αντικειμένων, ενώ τους μεγάλους αριθμούς τους αναπαριστούμε ως μεγέθη που απορρέουν από τη λειτουργία ενός συσσωρευτή που μετρά τα αντικείμενα σε ένα σύνολο. Στην δεύτερη ενότητα συζητώ τον τρόπο με τον οποίον τα δύο μοντέλα εξηγούν την εμφάνιση των συμβολικών αριθμητικών αναπαραστάσεων, της έννοιας δηλαδή του αριθμού. Θα κλείσω επιχειρηματολογώντας συνοπτικά, στη βάση αναπτυξιακών και νευροαπεικονιστικών δεδομένων, ότι υπάρχει ένας μόνο τέτοιος πυρηνικός μηχανισμός στον οποίον στηρίζεται η μετέπειτα γνώση των αριθμητικών συμβόλων και αριθμητικών πράξεων, αυτός της αναλογικής αναπαράστασης αριθμών, δηλαδή το ΑΝΣ. 1. H Βάση του Αριθμητικού Γιγνώσκειν Πρόσφατες εκτεταμένες έρευνες με τη μέθοδο της ευαισθητοποίησης απευαισθητοποίησης δείχνουν ότι τα νήπια έχουν αριθμητικές ευαισθησίες σχετικά με σύνολα ενός έως τριών στοιχείων (Starkey et al., 1990; Wynn, 1996; Uller et al., 1999). Όταν, π.χ., σε νήπια μερικών μηνών που έχουν αποευαισθητοποιηθεί σε σύνολα δύο αντικειμένων παρουσιάζονται σύνολα ενός η τριών αντικειμένων τα νήπια ευαισθητοποιούνται εκ νέου, γεγονός που υποδηλώνει ότι είναι ευαίσθητα σε αριθμητικές διαφορές. Περαιτέρω έρευνες με τη μέθοδο της παραβίασης προσδοκιών (Wynn, 1995; 1996) δείχνουν ότι τα νήπια μπορεί να αναπαραστούν ορισμένες από τις αριθμητικές σχέσεις μεταξύ συνόλων ενός έως τριών στοιχείων, σχέσεις όπως και 2-1 = 1. Κάθε άλλο αποτέλεσμα είναι απρόσμενο για τα νήπια, που ξαφνιάζονται με την παρουσία του. Tα αποτελέσματα αυτά μπορούν να ερμηνευτούν με δύο τρόπους, είτε εννοιολογικά η αντιληπτικά. Μπορεί δηλαδή κάποιος να υποθέσει ότι τα νήπια είτε έχουν εκ γενετής, είτε έχουν οικοδομήσει παρά το νεαρόν της ηλικίας τους, τις έννοιες των πληθικοτήτων κάποιων συνόλων. Έτσι, όταν βλέπουν ένα αντικείμενο να προστίθεται σε ένα άλλο τα νήπια απαριθμούν τα αντικείμενα, όπως θα δούμε αργότερα η απαρίθμηση γίνεται με έναν τρόπο που δεν προϋποθέτει ότι τα παιδιά γνωρίζουν να μετράνε, και έτσι ενεργοποιείται η έννοια που εκφράζεται με τον πληθικό αριθμό 2, αν και τα νήπια δεν γνωρίζουν βέβαια τον αριθμό δύο, και αποθηκεύεται ένα σύμβολο που τη χαρακτηρίζει. Εάν στη σκηνή παρουσιαστούν δύο αντικείμενα τα νήπια ενεργοποιούν την ίδια έννοια και συνεπώς ένα άλλο σύμβολο (token) του ιδίου τύπου (type) με το προηγούμενο. Επειδή τα δύο σύμβολα είναι του ιδίου τύπου το νήπιο δεν ξαφνιάζεται. Εάν όμως στη σκηνή παρουσιαστεί ένα αντικείμενο, τότε το σύμβολο που αντιστοιχεί στην έννοια της πληθικότητας ένα ενεργοποιείται και η σύγκριση αποκαλύπτει ότι διαφέρει από αυτό 4

15 Αριθμητικό Γιγνώσκειν που είναι αποθηκευμένο στη μνήμη, με αποτέλεσμα το γεγονός αυτό να θεωρηθεί απρόσμενο. Αντίθετα μπορεί κάποιος να υποθέσει ότι λόγω του νεαρού της ηλικίας τους και της ανωριμότητας του εγκεφάλου τους, τα νήπια δεν χρησιμοποιούν έννοιες. Αυτό που εξηγεί τα πειραματικά ευρήματα είναι ότι τα αντικείμενα αναπαρίστανται αντιληπτικά στο οπτικό σύστημα του νεογνού χωρίς καμία εννοιολογική παρεμβολή. Tο νήπιο συγκρίνει τις δύο αντιληπτικές αναπαραστάσεις και σε περίπτωση που διαφέρουν ξαφνιάζεται. Στη βιβλιογραφία είχαν προταθεί μέχρι πρόσφατα δύο θεωρίες για τη φύση των διεργασιών που χρησιμοποιούν τα νήπια στα σχετικά έργα. Σύμφωνα με την πρώτη, τα νήπια αναπαριστούν τις πληθικότητες συνόλων αποθηκεύοντας σύμβολα που αντιστοιχούν στις πληθικότητες στις οποίες τα παιδιά φθάνουν με τη χρήση κάποιου απαριθμητικού αλγόριθμου, όπως υποστηρίζουν οι Wynn (1995; 1996) και Gallistel and Gelman, (1992). Σύμφωνα με τη δεύτερη θεωρία τα νήπια αναπαριστούν μόνο αντικείμενα και όχι πληθικότητες και οι διεργασίες που χρησιμοποιούν στα διάφορα έργα με σύνολα και αριθμητικές σχέσεις αντικειμένων συνίστανται στην αντιστοίχηση ένα προς ένα των αντικειμένων σε μία σκηνή και όχι στην εκτέλεση κάποιου απαριθμητικού αλγόριθμου (Carey, 2009, Simon, 1997, Uller et al., 1994). Aς δούμε τις δύο θεωρίες αναλυτικότερα. ΑΝΣ H κλάση της πρώτης θεωρίας συνιστά τα μοντέλα ακεραίων συμβόλων (Integer- Symbol-Models, ISM). Επειδή όπως είδαμε λόγω θορύβου υπάρχει μία προσεγγιστική εκτίμηση του πληθάριθμου ενός συνόλου, αυτό το σύστημα ονομάζεται πλέον ΑΝΣ. Το ΑΝΣ προτείνει ότι ο αριθμός των αντικειμένων σε ένα σύνολο αναπαρίσταται από τον αριθμό του τελευταίου αντικειμένου στον οποίον φθάνουμε με μία διεργασία απαρίθμησης. H διεργασία αυτή καταλήγει στη δημιουργία και αποθήκευση στη μνήμη εργασίας ενός αφηρημένου συμβόλου για τον ακέραιο που αντιστοιχεί στο τελευταίο αντικείμενο που απαριθμήθηκε. Όταν λοιπόν ένα νήπιο παρατηρεί ένα γεγονός κατά το οποίο δύο ή τρία αντικείμενα παρουσιάζονται εν σειρά (τοποθετούμενα με εμφανή τρόπο το ένα δίπλα στο άλλο), το νήπιο απαριθμεί τα αντικείμενα, δημιουργεί ένα σύμβολο που αντιστοιχεί στο αποτέλεσμα της απαρίθμησης και το αποθηκεύει στη μνήμη εργασίας. Όταν σε ένα επόμενο γεγονός το ένα από τα αντικείμενα απομακρύνεται κρυφά από το νήπιο (υψώνοντας ένα πέτασμα που αποκρύπτει τα αντικείμενα από το νήπιο και επιτρέπει στον πειραματιστή να απομακρύνει ένα εξ αυτών χωρίς να γίνει αντιληπτός από το παιδί) και στο νήπιο παρουσιάζεται μία σκηνή με ένα αντικείμενο λιγότερο, το νήπιο επαναμετρά τα αντικείμενα, δημιουργεί και αποθηκεύει ένα σύμβολο που αντιστοιχεί στην πληθικότητα του νέου συνόλου και συγκρίνει αυτό το σύμβολο με το 5

16 Α. Ραφτόπουλος αποθηκευμένο στη μνήμη του σύμβολο της πληθικότητας των αντικειμένων στο πρότερο σύνολο. Εάν τα σύμβολα ανήκουν στον ίδιο τύπο, το αποτέλεσμα είναι αναμενόμενο και το νήπιο δεν ξαφνιάζεται. Εάν δεν ανήκουν, το αποτέλεσμα δεν είναι το αναμενόμενο και το νήπιο εκδηλώνει την έκπληξή του. Επειδή δεν υπάρχει περιορισμός ως προς τον αριθμό των αντικειμένων ενός συνόλου που ο νευρωνικού μηχανισμός μπορεί να προσμετρά, ο ΑΝΣ επιτρέπει την αναπαράσταση των πληθικοτήτων μεγάλων συνόλων και των μεταξύ τους συγκρίσεων. Οι αναπαραστάσεις αυτές ακολουθούν το το νόμο του Weber (Butterworth 2010; Piazza 2010, 542). Ο νόμος αυτός περιγράφει τη σχέση μεταξύ του φυσικού μεγέθους ενός ερεθισμού και της αναπαράστασης του στον εγκέφαλο. Ο νόμος ορίζει ότι το κατώφλι της διακρισιμότητας (δηλαδή η ελάχιστη παρατηρήσιμη διαφορά) μεταξύ δύο ερεθισμών αυξάνεται γραμμικά με την ένταση του ερεθισμού. Ο νόμος αυτός πραγματώνεται μέσω ενός μηχανισμού που επιτάσσει μία λογαριθμική σχέση μεταξύ του φυσικού ερεθισμού και της αναπαράστασης του. Η σχέση αυτή είναι Δπ=Κ Δς/Σ, όπου Δπ είναι η μικρότερη παρατηρήσιμη διαφορά, Δς είναι η φυσική διαφορά, και Σ η ένταση του ερεθισμού, η οποία σε περίπτωση αριθμητικών έργων αντιστοιχεί σε έναν πληθάριθμο. Ως κλάσμα Weber ορίζεται η μικρότερη διαφοροποίηση σε μία ποσότητα που μπορεί να γίνει αντιληπτή. Π.χ. εάν σε ένα σύνολο 4 αντικειμένων προστεθεί ένα πέμπτο, ένας παρατηρητής αντιλαμβάνεται αμέσως τη διαφορά. Εάν, όμως, προστεθεί σε ένα σύνολο 135 αντικειμένων ένα αντικείμενο η διαφορά δεν γίνεται αντιληπτή, Όπως προκύπτει από το νόμο, το κατώφλι διακρισιμότητας εξαρτάται από την αναλογία και όχι από την απόλυτη διαφορά μεταξύ δύο ποσοτήτων. Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο υπάρχει κάποιος μηχανισμός στον εγκέφαλο ο οποίος προσμετρά τα αντικείμενα σε ένα σύνολο και καταλήγει να αναπαριστά την πληθικότητα του συνόλου. Έχω ισχυριστεί αλλού ότι ένας τέτοιος μηχανισμός είναι ένας αναλογικός μηχανισμός που συνδέει την πληθικότητα με ένα μέγεθος. Αν και σε κάποιο στάδιο της ανάπτυξής του το παιδί μαθαίνει να αναπαριστά μεγέθη με αφηρημένα αριθμητικά σύμβολα, υπάρχουν ενδείξεις ότι οι πρώτες αναπαραστάσεις αριθμών δεν είναι συμβολικές αλλά αναλογικές. Έτσι, εάν η αριθμητική βασίζεται σε τελική ανάλυση στην εμπειρία μας, οι πληθικότητες πρέπει να γίνονται πρωταρχικά αντιληπτές με ένα συνεχή αναλογικό τρόπο, να γίνονται δηλαδή αντιληπτές ως μεγέθη και όχι ως αυθαίρετα εσωτερικά σύμβολα που αντιστοιχούν στις πληθικότητες. Πειραματικές μελέτες (Bialystok, 1992, Gallistel, 1990 Gallistel and Gelman, 1992) δείχνουν ότι τόσο τα ζώα όσο και τα παιδιά χρησιμοποιούν ένα αναλογικό σύστημα αναπαράστασης πληθικοτήτων, ότι δηλαδή χρησιμοποιούν μεγέθη για να αναπαραστήσουν πληθικότητες. Tο ερώτημα τώρα είναι το πως θα μπορούσε ένας οργανισμός να οικοδομεί τέτοιες αναλογικές αναπαραστάσεις πληθικοτήτων. Tο δεύτερο πρόβλημα σχετίζεται με το εάν 6

17 Αριθμητικό Γιγνώσκειν υπάρχουν ενδείξεις ότι πράγματι ο εγκέφαλος χρησιμοποιεί ένα αναλογικό σύστημα αναπαράστασης πληθικοτήτων. Ως απάντηση στο πρώτο πρόβλημα οι Meck and Church (1983) πρότειναν το μοντέλο του συσσωρευτή (accumulator model) και παρείχαν ψυχολογικά τεκμήρια για τη χρήση του. Στο μοντέλο αυτό ο αριθμός αναπαρίσταται από ένα φυσικό μέγεθος που είναι συνάρτηση των αντικειμένων που αριθμούνται. Σε ένα τέτοιο αναλογικό σύστημα, ο οργανισμός δεν χρειάζεται να μάθει ποιον αριθμό μία δεδομένη κατάσταση του συσσωρευτή αναπαριστά γιατί η κατάσταση στην οποία ευρίσκεται είναι μία ευθεία γραμμική συνάρτηση του αριθμού. Σύμφωνα με το μοντέλο του συσσωρευτή, το νευρικό σύστημα περιέχει το ισοδύναμο μίας γεννήτριας παλμών η οποία παράγει δραστηριότητα με ένα σταθερό ρυθμό. Κάθε φορά που ένα αντικείμενο σε μία σειρά συναντάται ένας βηματοδότης στέλνει ένα σήμα. H δραστηριότητα ελέγχεται από μία πύλη εισόδου έτσι ώστε ενέργεια περνάει από την πύλη σε ένα συσσωρευτή που καταγράφει πόσο πολύ έχει περάσει μέσα. Tο μέγεθος που έχει συσσωρευτεί στο τέλος της αριθμήσιμης σειράς είναι ανάλογο προς τον αριθμό των αντικειμένων στη σειρά και έτσι αποτελεί μία αναλογική αναπαράσταση της πληθικότητας της σειράς. Oι Meck and Church ισχυρίζονται ότι ο ίδιος μηχανισμός χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση της χρονικής διάρκειας. Σειρά από πειράματα σε ζώα και ανθρώπους (Meck and Church, 1983; Meck et al., 1985) παρέχουν ισχυρές ενδείξεις ότι τα ζώα αναπαριστούν πληθικότητες ως μεγέθη. Ένας μεγάλος αριθμός πειραμάτων (Gallistel, 1990; Gallistel & Gelman, 1992) τεκμηριώνει ότι όχι μόνο τα ζώα αλλά και τα μικρά παιδιά χρησιμοποιούν ένα αναλογικό σύστημα αναπαραστάσεως ποσοτήτων. Ευρήματα νευροψυχολογικών ερευνών με υποκείμενα που πάσχουν από διάφορες μορφές αναριθμησίας ενισχύουν τα παραπάνω ευρήματα. Oι Dehaene and Cohen (1997) επιχειρηματολογούν για την ύπαρξη δύο ξεχωριστών νευρικών οδών οι οποίες επεξεργάζονται την αριθμητική γνώση με διαφορετικό τρόπο, αν και στις περισσότερες κανονικές περιπτώσεις και οι δύο οδοί είναι ενεργές και αλληλεπιδρούν κατά την εκτέλεση μαθηματικών διεργασιών. H μία οδός εμπλέκει τις κατώτερες βρεγματικές περιοχές του φλοιού και σε αυτήν λαμβάνουν χώρα ποσοτικές αριθμητικές διεργασίες. H άλλη οδός εμπλέκει έναν αριστερο-πλευρικό διαφραγματικό-φλοιικό βρόχο και είναι υπεύθυνη για την αριθμητική λεκτική απομνημόνευση (rote verbal knowledge), σε αυτήν την οδό συγκρατείται, π.χ., η προπαίδεια. Συνεπώς, ασθενείς με τραύματα στις κατώτερες βρεγματικές περιοχές υποφέρουν από διαταραχές, ή και ολική απώλεια, της ικανότητας εκτέλεσης μαθηματικών πράξεων ενώ διατηρούν γνώσεις που σχετίζονται με απομνημόνευση μαθηματικών σχέσεων. Αντίθετα, ασθενείς με τραύματα στην αριστερή υποφλοιική περιοχή δεν παρουσιάζουν προβλήματα, αλλά παρουσιάζουν διαταραχές στην λεκτική ανάκληση αριθμητικών γνώσεων. 7

18 Α. Ραφτόπουλος Για να εξηγήσουν αυτά τα πρότυπα διαταραχών και τα πειραματικά ευρήματα οι Dehaene and Cohen (1995) πρότειναν το μοντέλο του τριπλού κώδικα για τη γνωσιακή και ανατομική αρχιτεκτονική της αριθμητικής στον εγκέφαλο. Σύμφωνα με το μοντέλο αυτό, υπάρχουν τρία είδη αριθμητικών αναπαραστάσεων: (α) ένας οπτικός κώδικας με τον οποίον οι αριθμοί αναπαρίστανται ως καθορισμένες σειρές ψηφίων (π.χ., 315). O οπτικός αυτός κώδικας ενυλώνεται στις κατώτερες οπίσθιες κροταφικο-ινιακές περιοχές αμφοτέρων των ημισφαιρίων, (β) ένας ποσοτικο-αναλογικός κώδικας ή κώδικας μεγεθών, που ενυλώνεται στις κατώτερες βρεγματικές περιοχές σε αμφότερα τα ημισφαίρια. Σε αυτόν τον κώδικα, οι αριθμοί αναπαρίστανται ως κατανομές ενεργοποιήσεων σε μία αριθμητική γραμμή με καθορισμένη κατεύθυνση (oriented number line). Αυτός ο κώδικας ενέχεται στην σημασιολογική γνώση σχετική με ποσότητες (σχέσεις μεταξύ μεγεθών, μικρότερο ή μεγαλύτερο, πόσο κοντά, κ.λπ.). (γ) ο λεκτικός κώδικας, που ενυλώνεται στο αριστερό ημισφαίριο στις περιοχές γύρω από την πλάγια αύλακα, με τον οποίον οι αριθμοί αναπαρίστανται ως σειρές λέξεων. Κρίσεις σχετικές με ποσοτικές σχέσεις εμπλέκουν τον δεύτερο κώδικα στον οποίον οι αριθμοί αναπαρίστανται ως μεγέθη, με αναλογικό δηλαδή τρόπο. Όταν εκτελούνται διάφορες μαθηματικές διεργασίες τα μεγέθη αυτά υφίστανται σημασιολογικά νοηματοδοτημένους μετασχηματισμούς και το προκύπτων μέγεθος μεταφέρεται στο αρμόδιο γλωσσικό νευρωνικό δίκτυο για να ονοματιστεί. Τα ανωτέρω ευρήματα σε συνδυασμό με πολλές νεότερες μελέτες (Piazza (2010) δηλώνουν ότι τα νευρωνικά σύστοιχα του ΑΝΣ, ο δεύτερος κώδικας, βρίσκονται κυρίως στην περιοχή του μεσαίου IPS (ενδοβρεγματικός έλικας) και στις δύο πλευρές του εγκεφάλου. Oι Gallistel and Gelman αποκαλούν το αναλογικό σύστημα αναπαράστασης πληθικοτήτων, σύστημα προλεκτικής μέτρησης (preverbal counting), θέλοντας να τονίσουν ότι τα ζώα και τα παιδιά μπορούν να μετρήσουν ή για την ακρίβεια να αναγνωρίσουν αριθμούς αντικειμένων σε ένα σύνολο και να πραγματοποιήσουν στοιχειώδεις αριθμητικές πράξεις πριν από την μάθηση κάποιου συμβολικού συστήματος αρίθμησης. Aκόμη όμως και μετά την απόκτηση ενός λεκτικού συμβολικού συστήματος αριθμητικής, το παιδί αφομοιώνει το λεκτικό σύστημα αριθμητικού συλλογισμού εκτελώντας τις μαθηματικές πράξεις με έναν αναλογικό πρώτα τρόπο ο οποίος του παρέχει τα κατά προσέγγιση αποτελέσματα των αριθμητικών πράξεων που καλείται να εκτελέσει στο λεκτικό κώδικα (Gallistel and Gelman, 1992). Για να το κατορθώσει αυτό, 8

19 Αριθμητικό Γιγνώσκειν το παιδί αντιστοιχεί τους λεκτικούς αριθμούς με μη-λεκτικά μεγέθη, πραγματοποιεί μηλεκτικές αναλογικές αριθμητικές διεργασίες με αυτά τα μεγέθη και ύστερα αντιστοιχεί ξανά τα αποτελέσματα αυτών των αναλογικών διεργασιών με λεκτικούς αριθμούς. ΟΤΣ Η δεύτερη θεωρία είναι αυτή των φακέλων αντικειμένων (Object-Files-Models, OFM) ή συστήματα παρακολούθησης αντικειμένων (ΟΤΣ). Oι OFM προτείνουν μία άλλην εξήγηση των πειραματικών αποτελεσμάτων. Tο νήπιο δεν μετρά τίποτα, απλώς οικοδομεί και αποθηκεύει αναπαραστάσεις των αντικειμένων στη σκηνή. Oι Uller et al (1999) με μία σειρά πειραμάτων έδειξαν ότι τα μικρά παιδιά δεν απαριθμούν τα αντικείμενα σε μία σκηνή και μετά κωδικοποιούν και αποθηκεύουν μία συμβολική μορφή του ακεραίου που αντιστοιχεί στον πληθικό αριθμό των αντικειμένων. Αντίθετα, αναπαριστούν τα αντικείμενα στη σκηνή κτίζοντας μοντέλα των αντικειμένων και ανανεώνοντας τις πληροφορίες που περιέχονται σε αυτά κάθε φορά που κάτι αλλάζει. Tα αντικείμενα στα μοντέλα αυτά αναπαρίστανται με τη μορφή αρχειοθηκών ή φακέλων αντικειμένων (object-files), όρος ο οποίος ανάγεται στους Kahneman and Treisman (1994). Ένα σύνολο δύο αντικειμένων αναπαρίσταται ως O i O j, όπου O i και O j είναι οι αρχειοθήκες που εμπεριέχουν πληροφορίες για τα δύο αντικείμενα. Αυτή η αναπαράσταση περιέχει την πληροφορία ότι υπάρχουν δύο διακριτά αντικείμενα και ότι αυτά είναι τα μόνα αντικείμενα επί σκηνής. Eάν μετά από λίγο δια μέσου κάποιας ενέργειας που το παιδί δεν αντιλαμβάνεται ένα μόνο αντικείμενο εμφανίζεται επί της σκηνής τότε το παιδί κατασκευάζει ένα μοντέλο που περιέχει την αρχειοθήκη O k. Εάν δύο αντικείμενα εμφανιστούν, τότε το παιδί κατασκευάζει το μοντέλο O k O l. Tο παλαιότερο και το καινούργιο μοντέλο των αντικειμένων συγκρίνονται με μία διαδικασία που ανιχνεύει αντιστοιχίες ένα προς ένα μεταξύ των αρχειοθηκών στις δύο αναπαραστάσεις. Στην πρώτη περίπτωση δεν υπάρχει μία ένα προς ένα αντιστοιχία μεταξύ των αναπαραστάσεων O i O j και O k και το παιδί ξαφνιάζεται. Φαίνεται λοιπόν ότι τα παιδιά αναπαριστούν αντικείμενα με τη μορφή αρχειοθηκών και στη βάση αυτών των αρχειοθηκών κατασκευάζουν μοντέλα των αντικειμένων σε μία σκηνή τα οποία αναθεωρούν όταν συμβούν αλλαγές. H αντίληψη κάποιου γεγονότος ως αναμενόμενου ή μη αναμενόμενου και η ακόλουθη αντίδραση στηρίζεται σε μια διαδικασία που ανιχνεύει αντιστοιχίες ένα προς ένα μεταξύ των αρχειοθηκών στα μοντέλα που συγκρίνονται. Oι Uller et al (1999) αφήνουν ανοιχτό το ζήτημα του είδους των πληροφοριών που εμπεριέχονται στις αρχειοθήκες των αντικειμένων που κατασκευάζουν τα παιδιά. Υπάρχουν πάντως πειραματικές ενδείξεις ότι οι αρχειοθήκες 9

20 Α. Ραφτόπουλος περιέχουν πρωτίστως χωροχρονικές πληροφορίες, δηλαδή πληροφορίες για τη θέση ή τη σχετική θέση και κίνηση των αντικειμένων (Spelke, 1995, Ulmann, 1999, Xu and Carey, 2009). Σημειώστε ότι επειδή το σύστημα ανίχνευσης αντικειμένων έχει σαφή περιορισμό ως προς τον αριθμό των αντικειμένων που μπορεί να αναπαριστά εν παραλλήλω, τα ΟΤΣ μπορούν να εξηγήσουν τις αριθμητικές ικανότητες με σύνολα μέχρι 4 στοιχείων. Πιθανολογείτε, συνεπώς. ότι τα ΟΤΣ μπορούν να εξηγήσουν to subitizing καθώς και αυτό χαρακτηρίζεται από τον ίδιο ακριβώς περιορισμό. Τα αντίστοιχα νευρωσικά σύστοιχα του ΟΤΣ δεν είναι τόσο ξεκάθαρα όσο του ΑΝΣ, όμως φαίνεται να ενέχουν τον οπίσθιο βρεγματικό λοβό, σε περιοχές στον ινιακό φλοιό, ή ακόμη και στην δεξιά σύνδεση του κροταφικού με τον βρεγματικό φλοιό (Piazza, 2010). Αυτό το εύρημα συνάδει και με το εύρημα ότι άτομα που πάσχουν από αδυναμία να δουν περισσότερα από δύο αντικείμενα που εμφανίζονται ταυτόχρονα επί σκηνής, γεγονός που σημαίνει ότι υπάρχει βλάβη στο ΟΤΣ στο βαθμό που αυτό είναι υπεύθυνο για την παράλληλη παρακολούθηση περισσοτέρων του ενός αντικειμένων σε μία σκηνή, εμφανίζουν βλάβες στον οπίσθιο βρεγματικό λοβό και στις δύο πλευρές του εγκεφάλου. Υπό τη σκιά διαφόρων προβλημάτων των δύο κυρίων θεωριών για τις αριθμητικές διεργασίες που χρησιμοποιούν τα νήπια, τα όρια θα συζητήσουμε στην επόμενη ενότητα, ορισμένοι ερευνητές πρότειναν πολύ πρόσφατα ένα συμβιβασμό: και οι δύο θεωρίες είναι ορθές, η κάθε μία στο δικό της πεδίο. Oι ΟΤΣ εξηγούν την αριθμητική ικανότητα για μικρούς αριθμούς (μέχρι 3 ή 4), ενώ οι ΑΝΣ εξηγούν τις αριθμητικές ικανότητες με μεγάλους αριθμούς (Feigenson et al., 2004, Xu, 2003). H θεωρία αυτή υποστηρίζει την ύπαρξη δύο πυρηνικών συστημάτων για τον αριθμό. Ένα πρώτο σύστημα αναπαριστά προσεγγιστικά μεγάλους αριθμούς, ενώ ένα δεύτερο αναπαριστά με ακρίβεια μικρούς αριθμούς. Tο πρώτο αποθηκεύει πληθικότητες, ενώ το δεύτερο ανοίγει φακέλους αντικειμένων. H διάκριση βασίζεται, μεταξύ άλλων, στο ότι οι επιδόσεις των νηπίων σε έργα με μικρούς αριθμούς σε σχέση με έργα με μεγάλους αριθμούς εμφανίζουν δύο διαφοροποιήσεις: (α) η διάκριση μεταξύ μικρών αριθμών μεταβάλλεται ανάλογα με τον απόλυτο αριθμό των αντικειμένων, ενώ η διάκριση μεταξύ μεγάλων αριθμών μεταβάλλεται ανάλογα με το λόγο των αριθμών, (β) η διαφοροποίηση μεταξύ μικρών αριθμών επηρεάζεται από τις συνεχείς ιδιότητες των αντικειμένων ενώ αυτό δε συμβαίνει με μεγάλους αριθμούς. 2. Η Εμφάνιση του Συμβόλου για τον Αριθμό Όπως σημειώνουν οι Carey (1995) και Gallistel and Gelman (1992), η απόκτηση του 10

21 Αριθμητικό Γιγνώσκειν συμβολικού αριθμητικού συστήματος της φυσικής γλώσσας συνιστά μίαν ισχυρή εννοιολογική αλλαγή, αφού απαιτεί την απόκτηση ενός νέου αναπαραστατικού κώδικα και δεν είναι απλώς η επέκταση ενός ήδη υφιστάμενου αναπαραστατικού συστήματος. Όπως είναι φανερό, οι αριθμοί σύμβολα πρέπει να κατασκευάζονται στη βάση κάποιου από τα πυρηνικά συστήματα για τον αριθμό ή σε ένα συνδυασμό αυτών. Σύμφωνα με το ΑΝΣ, τα παιδιά έχουν έμφυτο τον αντίστοιχο μηχανισμό. Όμως αυτός ο μηχανισμός είναι προσεγγιστικός, οπότε το ερώτημα αναδύεται πώς μπορεί στη βάση αυτού το παιδί να αποκτά και να αναπαριστά την έννοια του ακριβή αριθμού (exact number). Η εξήγηση που δίνεται είναι ότι αυτό επιτυγχάνεται μέσω της κατανόησης των αρχών μέτρησης. Ένας πιθανός μηχανισμός που εξηγεί αυτό είναι ο εξής. Πραγματοποιείται ένας γρήγορος επανασυντονισμός των κωδικοποιητικών σχημάτων ενός υποσυνόλου νευρώνων στον βρεγματικό λοβό, έτσι σε αλληλεπίδραση με ένα με ένα ακριβές συμβολικό σύστημα, όπου κάθε αριθμός ν διακρίνεται κατηγορικά από τους γειτονικούς αριθμούς ν+1 και ν-1 (θυμηθείτε ότι αυτό δεν ισχύει για το ΑΝΣ λόγω της ισχύος του νόμου του Weber), οι καμπύλες απόκρισης, δηλαδή το φάσμα ενεργοποίησης, ενός υποσυνόλου νευρώνων που ανταποκρίνονται ή είναι ευαίσθητοι στην πληθικότητα ενός συνόλου που παρουσιάζεται, καθίστανται πιο οξείες και οι προκύπτουσες αναπαραστάσεις αριθμών κατατάσσονται σε κατηγορικά ημι-διακριτές περιοχές για ολόκληρο το φάσμα των αριθμών. Αυτή η θεώρηση επιρρώνεται από νευροαπεικονιστικά ευρήματα που δείχνουν ότι τον βρεγματικό λοβό κατανεμημένοι ανακατωμένα πληθυσμοί νευρώνων που κωδικοποιούν αριθμητικές ποσότητες παρουσιάζουν διαφορετικά σχήματα κωδικοποίησης. Ευρύτερα για μη συμβολικούς αριθμούς, όπως οι αναλογικές αναπαραστάσεις των αριθμών του συσσωρευτή, έτσι ώστε αναπαραστάσεις γειτονικών αριθμών να υπεισέρχονται η μία μέσα στην άλλη έτσι ώστε να μην είναι ευδιάκριτες ως διαφορετικές για να εξηγηθεί η προσεγγιστική φύση των αναλογικών αναπαραστάσεων στο ΑΝΣ, και πιο περιορισμένα αναπαραστατικά σχήματα για αριθμητικά σύμβολα, οι οποίες όμως, ούσες τον βρεγματικό λοβό, διατηρούν κάποιες από τις αναλογικές τους ιδιότητες. Ο επανασυντονισμός των κωδικοποιητικών σχημάτων που απαιτείται μπορεί να διαμεσολαβείται από ανάδρομα σήματα από νευρώνες που κατηγοριοποιούν κατηγορικά, δηλαδή διακρίνουν σαφώς σε κατηγορίες και έτσι επιτρέπουν την ακρίβεια στην αναπαράσταση, στον μετωπιαίο φλοιό. Αυτό είναι συμβατό με ευρήματα που δείχνουν ότι όταν οι ενήλικες πραγματοποιούν διάφορα έργα συμβολικών και μη συμβολικών συγκρίσεων, η ενεργοποίηση του μετωπιαίου φλοιού είναι μικρότερη από την αντίστοιχη σε παιδιά που πραγματοποιούν τα ίδια ακριβώς έργα (Ansari et al. 2006). Σύμφωνα με τη θεωρία των ΟΤΣ (Carey 2009), τα παιδιά αποκτούν το νόημα των 11

22 Α. Ραφτόπουλος πρώτων αριθμητικών λέξεων κατασκευάζοντας και αποθηκεύοντας στην μακρόχρονη μνήμη ένα νοητικό μοντέλο ενός συνόλου αντικειμένων για κάθε αριθμό. καθώς και μία διαδικασία που καθορίζει ότι οι λέξεις για τους αριθμούς μπορούν να εφαρμοστούν ορθά στο σύνολο εκείνο το οποίο μπορεί να αντιστοιχιστεί ένα προς ένα με το μοντέλο για τον κάθε αριθμό. Έτσι, ένα νοητικό μοντέλο για την λέξη δύο έχει την μορφή, όπως είδαμε, και ένα νέο σύνολο δύο αντικειμένων συσχετίζεται με την λέξη δύο μέσω της ένα προς ένα αντιστοίχησης του νέου συνόλου με το μοντέλο {ο, κ}. Μόλις το παιδί κατασκευάσει αυτά τα μοντέλα, οι αριθμητικές λέξεις που τους αντιστοιχούν συνταυτίζονται με την καθορισμένη σειρά των αριθμητικών λέξεων που τα παιδιά μαθαίνουν αρχικά με απομνημόνευση αποδίδοντας έτσι ένα αρχικό νόημα, το νοητικό μοντέλο, στις λέξεις. Μόλις δηλαδή το παιδί παρατηρήσει την αντιστοιχία μεταξύ των πρώτων αριθμητικών λέξεων που αναφέρονται στα νοητικά του μοντέλα και των αριθμητικών λέξεων στην αριθμητική σειρά που έχει αποστηθίσει, προσπαθεί να συσχετίσει αυτές τις δύο αρχικά ανεξάρτητες αναπαραστάσεις. Αυτή η συσχέτιση επιτρέπει στο παιδί την εξής επαγωγή: για κάθε λέξη στη σειρά αρίθμησης που αναφέρεται στον πληθάριθμο ν ενός συνόλου, η επόμενη λέξη αναφέρεται στη σειρά αρίθμησης αναφέρεται σε ένα σύνολο με πληθάριθμό ν+1. Έτσι τα παιδιά μπορούν πλέον να νοηματοδοτήσουν οποιοδήποτε νέο αριθμό μαθαίνουν. Ο Butterwort (2010) ισχυρίζεται ότι ακόμη και αν συνυπολογίσει κάποιος και τα δύο συστήματα μαζί, αυτά δεν αρκούν για να εξηγήσουν την εμφάνιση των συμβολικών αναπαραστάσεων γιατί αυτές προϋποθέτουν την κατοχή της έννοιας του ακριβή αριθμού και την κατοχή της έννοιας του διαδοχικού. Χρειάζεται, συνεπώς, να επικαλεστούμε ένα επιπλέον, τρίτο, πυρηνικό εγγενές σύστημα που επιτρέπει στο παιδί να θεωρεί τα στοιχεία σε ένα ερεθισμού ως σύνολα και να μπορεί να εκτελέσει πράξεις σε αυτά. Αυτό είναι το σύστημα της κωδικοποίησης της πληθικότητας (numerosity coding) πάνω στο οποίο στηρίζεται η αριθμητική ικανότητα. Αυτό γιατί το σύστημα αυτό αναπαριστά απευθείας σύνολα, την πληθικότητα των συνόλων, καθώς και τα αποτελέσματα των διαφόρων διεργασιών πάνω στα σύνολα. Μόνο ένα τέτοιο σύστημα θα μπορούσε να επιτρέψει στο παιδί να σχηματίσει αναπαραστάσεις για τον ακριβή αριθμό. Ο Butterworth μάλιστα ισχυρίζεται ότι οι διάφορες μορφές δυσαριθμίας (dyscalculia) οφείλονται σε βλάβες σε αυτό το σύστημα. 3. Πόσα Πυρηνικά Συστήματα έχουμε για τον Αριθμό; Τα ΟΤΣ αντιμετωπίζουν σοβαρά προβλήματα. Πρώτον, δεν μπορούν να εξηγήσουν με το ίδιο μοντέλο ευρήματα που δείχνουν ότι υπό ορισμένες συνθήκες τα νήπια μπορούν να διακρίνουν μεταξύ συνόλων με μεγάλες πληθικότητες (Carey, 2009; Xu, 2003). Στο βαθμό που λόγω μνημονικών περιορισμών δεν μπορούμε να ανοίξουμε και 12

23 Αριθμητικό Γιγνώσκειν διατηρήσουμε παράλληλα περισσότερους των τριών ή τεσσάρων φακέλων αντικειμένων, δεν μπορούμε να οικοδομήσουμε τα σχετικά μοντέλα των αντικειμένων που προβλέπουν οι OFM. Είναι σαφές ότι κάποιος άλλος μηχανισμός απαιτείται για να εξηγηθεί το φαινόμενο. H ιδέα ότι τα νήπια μετρούν αντικείμενα και αναπαριστούν την πληθικότητά τους είναι ελκυστική. Δεύτερον, τα ΟΤΣ δεν μπορούν να εξηγήσουν την αδυναμία των νηπίων να αναπαραστήσουν και σκεφτούν το μηδέν (Wynn 1998). Aν ο μηχανισμός του ανοίγματος φακέλων των ΟΤΣ ήταν ο ορθός, τότε το μηδέν θα ήταν απλά η έκφραση ενός φακέλου που είναι κενός περιεχομένου και δεν θα έπρεπε να αποτελεί πρόβλημα για τα νήπια. Αντίθετα, η δυσκολία με το μηδέν είναι μία άμεση συνέπεια των ISM θεωριών εάν τα παιδιά απαριθμούν αντικείμενα και οικοδομούν σύμβολα των πληθικοτήτων που απορρέουν από την αρίθμηση, τότε δεν μπορούν να αντιστοιχίσουν κάποιο σύμβολο στο μηδέν γιατί το μηδέν δεν είναι αποτέλεσμα κάποιας μέτρησης. Τρίτον, οι ΟΤΣ πρέπει να εξηγήσουν το subitizing επικαλούμενες την κατασκευή και σύγκριση μοντέλων αντικειμένων. H σύγκριση ένα προς ένα που προϋποθέτει η θεωρία, είναι γραμμική συνάρτηση των αντικειμένων όσο περισσότερα αντικείμενα τόσο περισσότερος χρόνος απαιτείται για τη σύγκριση. Άρα, όσον αυξάνεται ο αριθμός των αντικειμένων θα έπρεπε να αυξάνεται γραμμικά και ο χρόνος απόκρισης των υποκειμένων σε έργα subitizing. Όμως, όπως θα δούμε στην επόμενη ενότητα, η αύξηση στον χρόνο απόκρισης δεν είναι γραμμική συνάρτηση του αριθμού των αντικειμένων. Τέταρτον, ένα περαιτέρω πρόβλημα με την ΟΤΣ θεωρία ως το πυρηνικό σύστημα στο οποίο θεμελιώνεται αναπτυξιακά η δυνατότητα απόκτησης συμβολικών αριθμητικών αναπαραστάσεων είναι ότι εάν αυτό συνέβαινε τότε προβλήματα και δυσκολίες στη χρήση συμβολικών αναπαραστάσεων θα έπρεπε να οφείλονται σε βλάβες στα αντίστοιχα νευρωνικά υποστρώματα του πυρηνικού συστήματος. Αυτά όπως είδαμε ευρίσκονται στις βρεγματικές περιοχές του εγκεφάλου. Όμως άτομα με διάφορες μορφές δυσαριθμιών παρουσιάζουν συνήθως βλάβες στον μεσαίο IPS και όχι στον οπίσθιο βρεγματικό φλοιό. Συμπεριφορικά αυτό εμφανίζεται ως το γεγονός ότι παιδιά με δυσαριθμίες έχουν προβλήματα με το ΑΝΣ σύστημα, έχουν, π.χ. πρόβλημα με την ακρίβεια των συγκρίσεων μεταξύ συνόλων με διαφορετικούς πληθάριθμους. Αυτό σημαίνει ότι πιθανότερο πυρηνικό σύστημα για υποστήριξη των μετέπειτα αριθμητικών ικανοτήτων που προϋποθέτουν τις συμβολικές αριθμητικές αναπαραστάσεις είναι το ΑΝΣ. Πέμπτο, αν και το ΟΤΣ παίζει σημαντικό ρόλο στην αντίληψη πληθικοτήτων μέχρι 4, το οποίον σε συνδυασμό με το ό,τι τα παιδιά αποκτούν πολύ εύκολα τις έννοιες των συμβόλων για τους τέσσερις πρώτους αριθμούς, φαίνεται να υποδηλώνει ότι το ΟΤΣ παίζει σημαντικό ρόλο στη συμβολική αναπαράσταση του αριθμού αυτό δεν είναι σωστό. Όταν το παιδί μαθαίνει να μετρά τα ίχνη της λειτουργίας του ΟΤΣ εξαφανίζονται. Αυτό 13

24 Α. Ραφτόπουλος σημαίνει ότι θα ανέμενε κανείς να υπάρχουν σημαντικές συμπεριφορικές και νευρωνικές διαφοροποιήσεις στις διεργασίες με μικρούς συμβολικούς αριθμούς σε σχέση με διεργασίες με μεγάλους συμβολικούς αριθμούς όταν το παιδί μαθαίνει να μετρά. Μέχρι στιγμής, όμως, δεν υπάρχει κανένα σχετικό εύρημα. Επιπλέον, δεν υπάρχουν νευροαπεικονιστικά τεκμήρια σε παιδιά ή ενήλικες για ενεργοποιήσεις σχετιζόμενες με αριθμητικά σύμβολα που να δείχνουν κάποια ασυνέχεια γύρω από τους αριθμούς 3 ή 4 σε περιοχές που έχουν συνδεθεί με το ΟΤΣ, όπως ο οπίσθιος βρεγματικός φλοιός ή οι δεξιές κροταφικό-βρεγματικές περιοχές. Αντίθετα, η προοδευτική κατανόηση των συμβολικών αριθμών με την ανάπτυξη συνοδεύεται από μία προοδευτική συστράτευση περιοχών σε μεσαίες και κατώτερες βρεγματικές περιοχές, οι οποίες συνεπικαλύπτονται μερικώς με τα νευρωνικά υποστρώματα του ΑΝΣ. Υπάρχουν όμως προκλήσεις και για την τρίτη, συμβιβαστική, θεωρία. Πρώτον, εάν η απαρίθμηση μεγάλων αριθμών βασίζεται στη λειτουργία κάποιου απαριθμητικού μηχανισμού, πώς εξηγείται το ότι ο μηχανισμός αυτός αρχίζει να λειτουργεί με σύνολα αντικειμένων που ο αριθμός τους είναι μεγαλύτερος του 3 ή 4; Για να γίνει αυτό χρειάζεται ένας άλλος μηχανισμός που μπορεί να διακρίνει μεταξύ μεγάλων και μικρών αριθμών και μόλις ανιχνεύει σύνολα με πληθικότητα μεγαλύτερη του 3 ή 4 να σηματοδοτεί την έναρξη λειτουργίας του απαριθμητικού μηχανισμού. H θεωρία πρέπει να μας πεί πως μπορεί να γίνει αυτό. Mία απάντηση είναι ότι ο πρώτος μηχανισμός μετρά τα αντικείμενα, αλλά αυτό είναι κυκλικό αφού προϋποθέτει την απάντηση στο πρόβλημα. Mία άλλη δυνατή απάντηση είναι ότι όταν η πληθικότητα ενός συνόλου υπερβαίνει την ικανότητα του συστήματος να ανοίγει και διατηρεί στη μνήμη φακέλους αντικειμένων, τότε αρχίζει η λειτουργία του μηχανισμού αρίθμησης. Αλλά αυτό προϋποθέτει την απάντηση στο ερώτημα το οποίον καλείται να διερευνήσει. Γιατί να μην χρησιμοποιείται εξ αρχής ο μηχανισμός αρίθμησης και να χρειάζονται οι φάκελοι αντικειμένων? Για το πώς μπορούν να απαντηθούν αυτά τα ερωτήματα δες Raftopoulos (2008). Συμπέρασμα Σε αυτήν την εργασία αντικρούω τη θέση ότι υπάρχουν δύο πυρηνικά συστήματα αριθμών στα οποία θεμελιώνεται η έννοια του συμβολικού αριθμού. Πιο συγκεκριμένα, επιχειρηματολογώ ότι η ικανότητα αρίθμησης με κάποιου τύπου συσσωρευτή που αναπαριστά αριθμούς με αναλογικό τρόπο αντιστοιχώντας σε αυτούς μεγέθη και όχι σύμβολα (η οποία είναι εγγενές τμήμα της ανθρώπινης γνωσιακής αρχιτεκτονικής, αφού ενδείξεις της λειτουργίας του υπάρχουν τόσο στα νήπια αλλά και σε άλλα μέλη του ζωικού βασιλείου) είναι ικανή να εξηγήση την δυνατότητα αναπαράστασης των συμβολικών αριθμών. 14

25 Αριθμητικό Γιγνώσκειν ANAΦOPEΣ Ansari, D., & Dhital, B. (2006) Aged-related changes in the activation of the IPS during nonsymbolic magnitude processing. Journal of Cognitive Neuroscience, 18, Butterworth, B. (2010). Foundational numerical capacities and the origins of dyscalculia. Trends in Cognitive Sciences, 14(12), Bialystok, E. (1992). Symbolic representations of letters and numbers. Cognitive Development, 7, Carey, S. (2009). The Origin of Concepts. Oxford, N.Y.: Oxford University Press. Chi, M. (1992). Conceptual change within and across ontological categories: Examples from learning and discovery in science. In R. N. Giere (Ed.), Cognitive models of science. Minnesota Studies in the Philosophy of Science, 25. Minneapolis: The University of Minnesota Press. Dehaene, S., and Cohen, L. (1995). Towards an anatomical and functional of number processing. Mathematical Cognition, 1, Dehaene, S., and Cohen, L. (1997). Cerebral pathways for calculation: Double dissociation between verbal and quantitative knowledge of arithmetic. Cortex, 33, Dehaene, S. (2000). Cerebral bases of number processing and calculation. In M. S. Gazzaniga (Ed.), The New Cognitive Neurosciences (2nd edition). Cambridge, MA: The MIT Press. Feigenson, L., Dehaene, S., & Spelke, E. (2004). Core systems of number. Trends in Cognitive Sciences, 8(7), Gallistel, C. R., & Gelman, R. (1992). Preverbal and verbal counting and computation. Cognition, 44, Gallistel, C. R. (1990). The organization of learning. Cambridge, MA: The MIT University Press. Kahneman, D., Treisman, A., & Gibbs, B. J. (1992). The reviewing of the object files: object-specific integration of information. Cognitive Psychology, 24,

26 Α. Ραφτόπουλος Kahneman, D., & Treisman, A. (1984). Changing views of attention and automaticity. In R. Parasuraman and D. R. Davies, (Eds.), Varieties of attention. New York: Academic Press. Kirsh, D. (1995). The intelligent use of space. Artificial Intelligence, 72, Meck, W.H., & Church, R.M. (1983). A mode control model of counting and timing processes. Journal of Experimental Psychology: Animal Behavior, 9, Meck, W. H., Church, R. M., and Gibbon, J. (1985). Temporal integration in duration and number discrimination. Journal of Experimental Psychology: Animal Behavior Processes, 11, Nieder, A., Freedman, D. J., & Miller, E. K. (2002). Representation of the quantity of visual items in the primate prefrontal cortex. Science, 297, Piazza, M. (2010). Neurocognitive start-up tools for symbolic number representations. Trends in Cognitive Sciences, 14(12), Pylyshyn, Z. (1994). Primitive mechanisms of spatial attention. Cognition, 50, Raftopoulos, A. (2008). Arithmetic Cognition. Noesis, 3, the Journal of the Greek Cognitive Science Society, Siegler, B., Fazio, L. K., Bailey, D. H., & Zhou, X. (2013). Fractions: the new frontier for theories of numerical development. Trends in Cognitive Science, 11(1), Simon, A. (1997). Reconceptualizing the origins of number knowledge: A non-numerical account. Cognitive Development, 12, Spelke, E. R., Kestenbaum, D. S., & Wein, D. (1995). Spatio-temporal continuity, smoothness of motion and object identity in infancy. British Journal of Developmental Psychology, 13, Starkey, P., Spelke, E., & Gelman, R. (1990). Numerical abstraction by human infants. Cognition, 36, Trick, L. and Pylyshyn, Z. (1993). What enumeration studies can show us about spatial attention: evidence for limiting capacity preattentive processing. Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance, 19, Uller, C., Carey, S., Fenner, G. H., & Klatt, L. (1999). What representations underlie infant numerical knowledge? Cognitive Development, 14, Whalen, J., Gallistel, C. R., & Gelman, R. (1999). Nonverbal counting in humans: the psychophysics of number representation. Psychological Science, 10 (2), Wynn, K. (1995). Origins of numerical knowledge. Mathematical Cognition, 1,

27 Αριθμητικό Γιγνώσκειν Wynn, K. (1996). Infants individuation and enumeration of actions. Psychological Science, 7, Wynn, K. (1998). Psychological foundations of number: Numerical competence in human infants. Trends in Cognitive Sciences, 2 (8), Xu, F. (2003). Numerosity discrimination in infants: Evidence for two systems of representations. Cognition, 89, B15-B25. 17

28 Α. Ραφτόπουλος 18

29 Η ΑΞΙΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΗΣ ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΙΣΩ ΕΠΑΓΩΓΗΣ (BACKWARD INDUCTION METHOD) Δρ Κωστής Ανδριόπουλος Καθηγητής στη Σχολή Μωραΐτη και Συντονιστής του Ομίλου Μαθηματικών Γυμνασίου, Ψυχικό, GR-15452, Αθήνα, Ελλάδα ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή παρουσιάζουμε την μέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής και αναδεικνύουμε την αξία της εφαρμόζοντάς την σε μια σειρά πρωτότυπων ή μη παιγνίων. Τα παίγνια αυτά περιλαμβάνουν τα 15 ποτήρια, το παίγνιο της ελευθερίας, την επένδυση ή όχι σε πυρηνικό εξοπλισμό μεταξύ δύο χωρών και προβλήματα τύπου Stackelberg σε ολιγοπώλια. Δείχνουμε λοιπόν πως υπάρχει βέλτιστη στρατηγική για κάποιον (κάποιους) από τους δύο (ή τρεις) παίκτες και μάλιστα ένας τρόπος υπολογισμού της είναι μέσω της μεθόδου της προς τα πίσω επαγωγής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε αυτήν την εργασία θα ασχοληθούμε με ένα ιδιαίτερο κομμάτι της Θεωρίας Παιγνίων που λέγεται Δυναμικά Παίγνια Πλήρους Πληροφόρησης. Πλήρης πληροφόρηση σημαίνει ότι η ωφέλεια για τον κάθε παίκτη αποτελεί κοινή γνώση για όλους τους εμπλεκόμενους. Ο όρος δυναμικά παίγνια αναφέρεται στα παίγνια που έχουν διαδοχικά στάδια. Σε κάθε στάδιο, λοιπόν, ο παίκτης που πραγματοποιεί την κίνηση έχει επίγνωση ολόκληρου του παρελθόντος του ως τότε παιχνιδιού. Ένα παράδειγμα ενός τέτοιου παιχνιδιού είναι τα 15 ποτήρια [1]: Το παιχνίδι παίζεται από δύο παίκτες οι οποίοι πραγματοποιούν τις κινήσεις τους εναλλάξ παίρνοντας σε οποιαδήποτε φάση του παιχνιδιού 1 ή 2 ή 3 ποτήρια από τα 15 ποτήρια που έχουν μπροστά τους. Αυτός που θα αναγκαστεί να πάρει το τελευταίο ποτήρι χάνει. Λύση του παιγνίου των 15 ποτηριών με χρήση της μεθόδου της προς τα πίσω επαγωγής: Ξεκινάμε από το τέλος. Για να αφήσουμε στον αντίπαλο το τελευταίο ποτήρι θα πρέπει πρώτα να του έχουμε αφήσει 5 ποτήρια. (Αυτό, γιατί αν υπάρχουν 5 ποτήρια στο ταμπλό, τότε αν ο αντίπαλος πάρει 1, τότε ο πρώτος παίκτης θα πάρει 3, αφήνοντας έτσι

30 Κ. Ανδριόπουλος 1 στο ταμπλό, αν ο αντίπαλος πάρει 2, τότε ο πρώτος παίκτης θα πάρει 2 και τέλος αν ο αντίπαλος πάρει 3 ποτήρια τότε ο πρώτος παίκτης θα πάρει 1.) Και για να του αφήσουμε 5 ποτήρια θα πρέπει πρώτα να του έχουμε αφήσει 9 ποτήρια (ίδιο σκεπτικό). Ομοίως, για να του αφήσουμε 9 ποτήρια θα πρέπει πρώτα να του αφήσουμε 13 ποτήρια. Συνεπώς, για να του αφήσουμε 13 ποτήρια θα πρέπει να παίξουμε πρώτοι και μάλιστα να πάρουμε 2 ποτήρια ακριβώς. Η λύση μας γενικεύεται εύκολα και στην περίπτωση ν ποτηριών [1]. Βέβαια, η θεωρία παιγνίων δεν αφορά μόνο σε παιχνίδια. Για να τονίσουμε τις εφαρμογές της Θεωρίας Παιγνίων σε κοινωνικές, οικονομικές και άλλες καταστάσεις και μάλιστα μέσα από το πρίσμα των δυναμικών παιγνίων πλήρους πληροφόρησης, θα κινηθούμε ως εξής. Στην επόμενη παράγραφο θα παρουσιάσουμε ένα ακόμη παιχνίδι, το παίγνιο της ελευθερίας. Έπειτα θα αναφέρουμε ένα αντιπροσωπευτικό παράδειγμα παιγνίου που αφορά στον πυρηνικό εξοπλισμό ή όχι δύο χωρών και που έχει πληθώρα προεκτάσεων. Μόλις η μέθοδος της προς τα πίσω επαγωγής γίνει εμφανής, τότε θα παρουσιάσουμε το θεωρητικό της πλαίσιο και ύστερα θα δώσουμε ένα πολύ φημισμένο μικροοικονομικό παράδειγμα: μία ολιγοπωλιακή κατάσταση που πρότεινε ο von Stackelberg. Τέλος, όταν πια θα έχουμε κατανοήσει την μέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής, θα συζητήσουμε για την αξία της και τους τρόπους παρουσίασής της στην Δευτεροβάθμια, και όχι μόνο, Εκπαίδευση. ΤΟ ΠΑΙΓΝΙΟ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ Στο παίγνιο της ελευθερίας παίζουν δύο παίκτες εναλλάξ που χειρίζονται το ίδιο πιόνι. Σκοπός του καθενός από τους δύο παίκτες είναι να φέρουν πρώτοι τον φυλακισμένο (πιόνι πάνω δεξιά, θέση Ν13) στην θέση ελευθερίας του (θέση κάτω αριστερά, θέση Α1). Οι επιτρεπτές κινήσεις του φυλακισμένου από την θέση που καταλαμβάνει σε τυχαία φάση του παιχνιδιού είναι οποιαδήποτε θέση πάνω στο πλέγμα που βρίσκεται αριστερότερα αλλά στην ίδια γραμμή τού πλέγματος της θέσης του εκείνη τη στιγμή οποιαδήποτε θέση πάνω στο πλέγμα που βρίσκεται στην ίδια στήλη τού πλέγματος κάτω από την θέση που καταλαμβάνει εκείνη τη στιγμή οποιαδήποτε θέση πάνω στο πλέγμα που βρίσκεται αριστερότερα προς τα κάτω αλλά στην ίδια διαγώνιο που ορίζει η θέση του εκείνη τη στιγμή. Εξαίρεση αποτελεί η πρώτη κίνηση: Ο πρώτος παίκτης δεν μπορεί να παίξει κατ ευθείαν Α1 διότι τότε θα κερδίσει αμέσως και το παιχνίδι δεν θα είχε ενδιαφέρον. 20

31 Η Αξία της Μεθόδου της προς τα Πίσω Επαγωγής Ένα παράδειγμα επιτρεπόμενων κινήσεων είναι το εξής: Έστω ότι ο πρώτος παίκτης έχει παίξει στην θέση Θ13. Τότε ο δεύτερος παίκτης μπορεί να παίξει σε μια από τις παρακάτω θέσεις: Η13 έως Α13, Θ12 έως Θ1 και Η12, Ζ11, Ε10, Δ9, Γ8, Β7 και Α6. Το ερώτημα είναι αν κάποιος παίκτης (ο πρώτος ή ο δεύτερος) έχει στρατηγική νίκης (και ποια είναι αυτή;). Είναι σαφές ότι σε πεπερασμένα παίγνια (με την έννοια του πεπερασμένου πλήθους παικτών και επιλογών) όπου αποδεικνύεται πως δεν μπορεί το παιχνίδι να λήξει ισόπαλο, υπάρχει στρατηγική νίκης για κάποιον από τους δύο παίκτες, όπως προκύπτει από το Θεώρημα του Nash [2]. Η διαδικασία επίλυσης του παιγνίου της ελευθερίας είναι όμοια με εκείνη που σκιαγραφήθηκε πιο πάνω για το παίγνιο των 15 ποτηριών. Ξεκινάμε από το τέλος. Για να καταφέρει ένας παίκτης να φτάσει πρώτος στην θέση Α1, σε ποιές θέσεις θα πρέπει να έχει αναγκάσει τον αντίπαλο να μετακινήσει το πιόνι του φυλακισμένου; Προφανώς σε οποιαδήποτε θέση της ίδιας στήλης (Α13 έως Α2), της ίδιας γραμμής (Ν1 έως Β1) ή της ίδιας διαγωνίου (Μ12 έως Β2 κινούμενοι διαγώνια) με το Α1. Μπορεί όμως κάποιος παίκτης να το εξασφαλίσει αυτό; Όχι τόσο εύκολα, και αυτό γιατί ο αντίπαλος δεν θα μετακινήσει ποτέ το πιόνι σε κάποια από αυτές τις θέσεις (πάντα πρέπει να υποθέτουμε πως ο αντίπαλος είναι τουλάχιστον τόσο έξυπνος όσο είμαστε εμείς). Αφού λοιπόν ο αντίπαλος (όπως κι εμείς) δεν θα κάνει ποτέ αυτό το λάθος από μόνος του, θα πρέπει να τον αναγκάσουμε εμείς! Συνεπώς αρκεί να προσδιορίσουμε εκείνες τις θέσεις που αν μετακινήσουμε πρώτοι το πιόνι εκεί, τότε ο αντίπαλος δεν θα έχει καμία διαφυγή. Αυτές οι θέσεις κλειδιά είναι για αρχή δύο: Η θέση Β3 και η θέση Γ2. Και αυτό γιατί αν μετακινήσουμε πρώτοι το πιόνι μας, έστω στην Β3, τότε ο αντίπαλος έχει τις εξής επιλογές: Α3, Α2, Β2 και Β1, και κερδίζουμε στην επόμενη κίνηση σε κάθε μία από αυτές τις 4 περιπτώσεις. Οπότε βλέπουμε πως με την μέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής, για να φέρουμε πρώτοι το πιόνι στην θέση Α1, αρκεί να το έχουμε φέρει πρώτοι σε μια εκ των θέσεων Β3 ή Γ2. Με αντίστοιχο συλλογισμό καταλήγουμε στις θέσεις κλειδιά όπως φαίνονται στον Πίνακα. Αυτό δείχνει πως όπου και να παίξει ο πρώτος παίκτης, ο δεύτερος έχει το πάνω χέρι: Μπορεί να μετακινήσει το πιόνι του φυλακισμένου τουλάχιστον σε μία από τις θέσεις κλειδιά κι έτσι να είναι σίγουρος πως θα είναι ο νικητής. Συνεπώς, στο παίγνιο της ελευθερίας σε πλέγμα 13x13, ο δεύτερος παίκτης έχει στρατηγική νίκης και αυτή περιγράφεται από τον παρακάτω κώδικα: 21

32 Κ. Ανδριόπουλος Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Παίξε δεύτερος. Βήμα: Όπου κι αν παίξει ο αντίπαλος, εσύ παίξε σε μία από τις θέσεις κλειδιά ή στο Α1. Σε κάθε επόμενη κίνηση, επανέλαβε το Βήμα μέχρι να κερδίσεις. ΑΠΟΤΡΟΠΗ ΠΟΛΕΜΟΥ Οι παίκτες σε αυτό το υπόδειγμα είναι δύο χώρες, η Χώρα 1 και η Χώρα 2, που έχουν ως διαφορετικές στρατηγικές τον πυρηνικό εξοπλισμό (Π) ή την ειρήνη (Ε), όπως φαίνεται στο Σχήμα [3]. Αν η Χώρα 1 επιλέξει να εξοπλιστεί με πυρηνικά (παίξει δηλαδή Π) και έπειτα η Χώρα 2 πράξει ομοίως (πάλι Π), τότε και οι δύο χώρες έχουν (σταθμισμένο) όφελος 0. Αντίθετα, αν η Χώρα 1 επιλέξει να κινηθεί ειρηνικά (παίξει Ε) και έπειτα η Χώρα 2 πράξει ομοίως (πάλι Ε), τότε και οι δύο χώρες έχουν όφελος 1 (μεγαλύτερο από πριν, διότι, για παράδειγμα, δεν έχουν ξοδέψει μεγάλα χρηματικά ποσά για τον πυρηνικό τους εξοπλισμό). Όμως, αν μια από τις δύο χώρες εξοπλιστεί 22

33 Η Αξία της Μεθόδου της προς τα Πίσω Επαγωγής (Π) ενώ η άλλη όχι (Ε), τότε εκείνη που εξοπλίστηκε έχει ωφέλεια 5, ενώ η ειρηνική χώρα έχει ωφέλεια -1. Αυτό συμβαίνει, για παράδειγμα, διότι η χώρα με τα πυρηνικά έχει πολύ μεγαλύτερη διαπραγματευτική ισχύ από την άλλη χώρα. Η λύση με την μέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής φανερώνει ότι η Χώρα 2 επιλέγει να παίξει Π ανεξάρτητα από την επιλογή τής Χώρας 1. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι η στρατηγική Π κυριαρχεί αυστηρά της στρατηγικής Ε (το και το Προχωρώντας στην ανάλυσή μας, η Χώρα 1 παίζει τώρα και αυτή Π (διότι ). Βλέπουμε λοιπόν, εντελώς απλοϊκά αλλά πολύ αντιπροσωπευτικά, πώς ένα μοντέλο που αγκαλιάζει τα ουσιώδη δεδομένα ενός προβλήματος, καταδεικνύει της ουσίας τής κατάστασης: Οι χώρες έχουν ισχυρά κίνητρα που τις ωθούν στον ανταγωνισμό εξοπλισμών, ενώ και οι δύο χώρες θα βρίσκονταν σε καλύτερη θέση αν δεσμεύονταν σε ειρήνη! ). 0 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Η βασική μεθοδολογία όσον αφορά στα δυναμικά παίγνια πλήρους πληροφόρησης είναι η εξής: Έστω ότι εξετάζουμε την περίπτωση ενός παιγνίου σε δύο στάδια: Ο παίκτης 1 επιλέγει μια κίνηση, s 1, από ένα σύνολο εφικτών επιλογών, Ο παίκτης 2 παρατηρεί την κίνηση s 1 και έπειτα επιλέγει την δική του κίνηση, s 2, πάλι από κάποιο σύνολο εφικτών επιλογών, S 2. S 1. 23

34 Κ. Ανδριόπουλος Τα κέρδη για κάθε παίκτη είναι τα u s, ) και u s, ), αντίστοιχα. 1( 1 s2 2 ( 1 s2 Συνεπώς η εκτεταμένη μορφή ενός παιγνίου καθορίζει το πλήθος των παικτών, πότε κινείται ο καθένας τους, τις πιθανές ενέργειες σε κάθε κίνηση του κάθε παίκτη, την γνώση του κάθε παίκτη για το παίγνιο μέχρι την κάθε αλλαγή κίνησης και τέλος την ωφέλεια για τον κάθε παίκτη για κάθε σύνολο στρατηγικών. Για παράδειγμα, στα ν ποτήρια [1], όπου το παιχνίδι παίζεται σε τόσα στάδια όσα χρειάζονται για να μείνει ένα μόνο ποτήρι στο ταμπλό και να ανακηρυχθεί νικητής, καθένας από τους δύο παίκτες παίζει (εναλλάξ) μια κίνηση s S όπου 1 ποτήρι, 2 ποτήρια, 3 ποτήρια}. Η ωφέλεια είναι η νίκη. Στην αποτροπή πολέμου, S { S { ειρήνη, πυρηνικά}. Η λύση ενός δυναμικού παιγνίου προκύπτει συνήθως με την μέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής: Ο παίκτης 1 (που καλείται και οδηγός του παιγνίου επειδή παίζει πρώτος) έχει να λύσει ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης υποθέτοντας ότι είναι ο δεύτερος παίκτης. Όταν έρχεται η σειρά του παίκτη 2 στο δεύτερο στάδιο, δοσμένης της κίνησης έχει προηγουμένως επιλεγεί από τον παίκτη 1, θα ήθελε να μεγιστοποιήσει το κέρδος του, δηλαδή να υπολογίσει το max u2 ( s1, s2 ) Υποθέστε ότι το παραπάνω πρόβλημα βελτιστοποίησης έχει λύση την s S 2 2 s s 1 R που ( 1 ) 2 2 s όπου R 2 ( s 1 ) συμβολίζει την συνάρτηση απόκρισης σε κάθε πιθανή κίνηση, s 1, που θα μπορούσε να επιλέξει ο παίκτης 1. Έχοντας λοιπόν προσδιορίσει την βέλτιστη δυνατή απόκριση s 2 που θα μπορούσε να κάνει ο παίκτης 2, ανάμεσα σε όλες τις πιθανές κινήσεις του, και γνωρίζοντας πως όλοι έχουν πρόσβαση σε αυτήν την πληροφορία (παίγνιο πλήρους πληροφόρησης) ο παίκτης 1, στο πρώτο στάδιο τού παιγνίου, οφείλει να λύσει το πρόβλημα βελτιστοποίησης max u1( s1, R2 ( s1)) s1s1 Συμβολίζουμε αυτή τη λύση (υποθέτοντας ότι είναι μοναδική) με ισορροπίας, ( s1, R2 ( s1 )) s 1. Το σημείο, καλείται το αποτέλεσμα βάσει της μεθόδου της προς τα πίσω επαγωγής αυτού του παιγνίου διαδοχικών κινήσεων., ΜΟΝΤΕΛΟ ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΩΝ ΤΥΠΟΥ STACKELBERG Η Θεωρία Ολιγοπωλίων εξετάζει την αλληλεπίδραση λίγων επιχειρήσεων σε μία αγορά. Ο Cournot δεν θεωρείται μόνο ο ιδρυτής τής θεωρίας ολιγοπωλίων, αλλά και ο 24

35 Η Αξία της Μεθόδου της προς τα Πίσω Επαγωγής πρώτος που όρισε την έννοια του σημείου ισορροπίας, δηλαδή του συνόλου εκείνων των ποσοτήτων που παράχθηκαν και πωλήθηκαν από κάθε επιχείρηση έτσι ώστε, κρατώντας τα αντίστοιχα μεγέθη όλων των υπόλοιπων επιχειρήσεων σταθερά, καμία επιχείρηση δεν μπορεί να φτάσει σε υψηλότερο κέρδος διαλέγοντας άλλες τιμές αυτών των ποσοτήτων. Έστω ότι υπάρχουν τρεις επιχειρήσεις στην αγορά, η επιχείρηση 1, η επιχείρηση 2 και η επιχείρηση 3, που παράγουν ένα πανομοιότυπο προϊόν στην ίδια τιμή, P. Η συνολική παραγόμενη ποσότητα είναι η Υποθέτουμε σταθερά οριακά κόστη ( c 1,c 2 και 3 ζήτησης [4] ως Q q q 1 2 q 3. c, αντίστοιχα) και μια τιμή που ορίζεται από την αντίστροφη συνάρτηση 1 P( Q) Q q 1 q 1 2 q3 Η συνάρτηση ζήτησης (συνάρτηση ωφέλειας που μοντελοποιεί τις προτιμήσεις των καταναλωτών) συσχετίζει μια τιμή σε μια συνολική διαθέσιμη ποσότητα του προϊόντος. Αντικατοπτρίζει δηλαδή το ύψος παραγωγής που δύναται να απορροφήσει η αγορά για μια δοσμένη τιμή και αντίστροφα. Ο Cournot θεωρεί την τιμή του προϊόντος δεδομένη (όπως αυτή καθορίζεται από την συνάρτηση ζήτησης) και υποστήριξε πως κάθε επιχείρηση αποφασίζει για το βέλτιστο ύψος παραγωγής της. Αντίθετα, ο Bertrand επέμεινε πως η τιμή αποτελεί την κεντρική μεταβλητή (προς βελτιστοποίηση) για κάθε ολιγοπώλιο. Σε αυτήν την παράγραφο ακολουθούμε την προσέγγιση του Cournot: Μια τυπική στρατηγική για κάθε επιχείρηση αποτελεί μια επιλογή για το ύψος παραγωγής, q i 0, i 1,2,3. Η κοινή τιμή πώλησης προκύπτει έπειτα από την συνάρτηση ζήτησης.. Το κέρδος τής επιχείρησης i (δηλαδή η συνάρτηση κέρδους της) ορίζεται από την u ( q, Q i i i ) q i q i Q i c q i i, όπου το Q i συμβολίζει το άθροισμα των ποσοτήτων που επέλεξαν όλες οι επιχειρήσεις πλην της i (για παράδειγμα, για i 1, έχουμε Q 1 q2 q3 ). Κάθε παίκτης i, για να προσδιορίσει την ποσότητα πρόβλημα βελτιστοποίησης max u ( q, Q qisi i i i ) max ( 0qi q i q i Q i q i, c q ). i i θα πρέπει να λύσει το 25

36 Κ. Ανδριόπουλος Οι τρεις λοιπόν επιχειρήσεις πρέπει να λύσουν το σύστημα εξισώσεων (όπως αυτό προκύπτει από τις συνθήκες πρώτης τάξης). Έτσι λοιπόν, η u ισορροπία Cournot (Nash) του τριοπωλίου είναι η [4] i / q 0, i 1,2,3 2( c2 c3 c1 ) 2( c3 c1 c2 ) 2( c1 c2 c3) q1, q2, q3 ),,. 2 2 ( 1 2 3) ( 1 2 3) ( 1 2 3) c c c c c c c c c ( 2 i Σε αυτό το σημείο θα εξετάσουμε το εξής σενάριο που βασίζεται στις πεποιθήσεις του von Stackelberg για την ολιγοπωλιακή δυναμική [5]: Υποθέτουμε πως δύο επιχειρήσεις δραστηριοποιούνται στην αγορά και λαμβάνουν την πληροφορία ότι μια τρίτη επιχείρηση θα εισέλθει στην αγορά. Βήμα 1: Οι επιχειρήσεις 1 και 2 επιλέγουν κάποιο ύψος παραγωγής, έστω q1 0 και, αντίστοιχα. q 2 0 Βήμα 2: Η επιχείρηση 3 παρατηρεί τις ποσότητες της ύψος παραγωγής, q 3 0. q 1 και q 2 και έπειτα επιλέγει το δικό Βήμα 3: Οι επιχειρήσεις απολαμβάνουν τα κέρδη u i ( q1, q2, q3), για i 1,2,3. Ο Stackelberg ισχυρίστηκε, βασισμένος στην δημοφιλή πεποίθηση ότι σε πολλές αγορές παρατηρείται μια επικρατούσα/κυρίαρχη επιχείρηση, ότι σε ένα δυοπώλιο τύπου Cournot, μια εκ των επιχειρήσεων θα μετατρεπόταν, αναπόφευκτα, στον ρόλο οδηγού και η εναπομείνουσα επιχείρηση θα γινόταν, εκ των πραγμάτων, η ακόλουθος. Με αυτόν τον τρόπο δημιούργησε ένα δυναμικό παίγνιο, όπως αυτά που εξετάσαμε πιο πάνω. Θα το λύσουμε με την μέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής. Το πρώτο στάδιο της λύσης αφορά στον προσδιορισμό της συνθήκης πρώτης τάξης για την ακόλουθο επιχείρηση, η οποία θα πρέπει να λύσει το πρόβλημα βελτιστοποίησης q3 max u3( q3, Q3 ) max ( c3q3 ) q3s3 0q 3 q Q 3 3 Q q. (1) 3 3 Q3 c3 Το δεύτερο στάδιο αφορά στον προσδιορισμό των συναρτήσεων κέρδους του οδηγού κατά Stackelberg χρησιμοποιώντας την σχέση (1), με άλλα λόγια 26

37 Η Αξία της Μεθόδου της προς τα Πίσω Επαγωγής q c q q q c u και q c q q q c u Το τρίτο στάδιο της ανάλυσης αφορά στην βελτιστοποίηση των παραπάνω συναρτήσεων κέρδους. Οι συνθήκες πρώτης τάξης ( 1,2 0, / i q u i i ) δίνουν 2 3 / ) ( 2 q q c c q q και 2 3 / ) ( 2 q q c c q q με λύση την ) 4( ) (2 9 c c c c c q και ) 4( ) (2 9 c c c c c q Είναι πλέον εύκολο να υπολογίσουμε το ύψος παραγωγής τής ακόλουθου επιχείρησης, ) 4( ) 3 2 3(2 c c c c c q Όπως ήταν αναμενόμενο, μια επιχείρηση που αναμένεται να εισέλθει σε ένα ήδη διαμορφωμένο δυοπώλιο, με τις επιχειρήσεις που ήδη δραστηριοποιούνται στην αγορά να παίρνουν τον ρόλο επιχειρήσεων οδηγών, παράγει μικρότερη ποσότητα απ ότι αν ήταν εξαρχής μέλος ενός τριοπωλίου. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι ) 4( ) 3 2 3(2 ) ( ) 2( c c c c c c c c c c c ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΤΗΣ ΑΠΡΟΣΔΟΚΗΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Το παράδοξο της απροσδόκητης εξέτασης αποτελεί ένα ενδιαφέρον παράδειγμα μιας κατάστασης όπου μια επιχειρηματολογία που βασίζεται στην προς τα πίσω επαγωγή είναι αβάσιμη. Ένας αξιόπιστος καθηγητής ανακοινώνει πως κάποια μέρα της επόμενης εβδομάδας θα βάλει ένα απροειδοποίητο (αναπάντεχο) διαγώνισμα. Τι μπορούν να περιμένουν οι μαθητές; [6] Οι μαθητές μπορούν να σκεφτούν ως εξής: Αν μέχρι και την Πέμπτη δεν έχουμε γράψει το διαγώνισμα, τότε θα το γράψουμε την Παρασκευή και θα έχει χάσει την έννοια του απροειδοποίητου. Συνεπώς θα το έχουμε γράψει μέχρι την Πέμπτη. Όμως, αν μέχρι και την Τετάρτη δεν το έχουμε γράψει, τότε σίγουρα θα το γράψουμε την Πέμπτη, διότι αν δεν το γράψουμε την Πέμπτη, τότε θα ξέρουμε πως θα το γράψουμε την Παρασκευή.

38 Κ. Ανδριόπουλος Οπότε θα το έχουμε γράψει μέχρι την Τετάρτη. Αυτή η επιχειρηματολογία είναι προφανές πως οδηγεί τελικά στο να περιμένουμε ότι θα γράψουμε το διαγώνισμα την Δευτέρα, οπότε πάλι δεν είναι ουσιωδώς απροειδοποίητο. Οπότε καταλήγουμε πως δεν υπάρχει περίπτωση να αιφνιδιαστούμε με ένα απροειδοποίητο διαγώνισμα! Βέβαια, οι μαθητές σίγουρα θα αιφνιδιαστούν! Κι αυτό διότι ακόμα και την Παρασκευή μπορεί να μπει ένα απροειδοποίητο διαγώνισμα (όπως και οποιαδήποτε άλλη μέρα) μιας και θα είναι τελικά αναπάντεχο αφού οι μαθητές δεν θα το περιμένουν έχοντας οι ίδιοι αποκλείσει το ενδεχόμενο αυτό βασιζόμενοι στην λογική της προς τα πίσω επαγωγής. ΕΠΙΛΟΓΟΣ Σε αυτό το άρθρο αναζητήσαμε διαφορετικά παραδείγματα που να αναδεικνύουν την χρησιμότητα και αξία της μεθόδου της προς τα πίσω επαγωγής. Στην αρχή ασχοληθήκαμε με (πρωτότυπα) παιχνίδια, όπως το παίγνιο των 15 ποτηριών και το παίγνιο της ελευθερίας. Έπειτα είδαμε ένα απλό μοντέλο πυρηνικής συμπλοκής που εντάσσεται σε πλαίσια πολιτικής λήψης αποφάσεων. Στο τέλος μελετήσαμε ένα υπόδειγμα της θεωρίας ολιγοπωλίων που πρότεινε ο Stackelberg. Όλα αυτά τα παραδείγματα λύθηκαν με χρήση της μεθόδου της προς τα πίσω επαγωγής. Αναφερθήκαμε για λόγους ολοκλήρωσης και σε ένα γνωστό παράδοξο που κατασκευάστηκε για να τονίσει τους κινδύνους αυτής της μεθόδου. Έχοντας λοιπόν κατανοήσει την μέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής, έχοντας εντάξει αυτή τη μέθοδο σε ένα ευρύ πλαίσιο που εκτείνεται από τα παιχνίδια μέχρι τις πραγματικές οικονομικές εφαρμογές και έχοντας περιορίσει τους φιλοσοφικούς κινδύνους που κρύβονται πίσω της, είμαστε πλέον σε θέση να την παρουσιάσουμε και να την αναλύσουμε με μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου. Το όφελος των μαθητών από αυτήν την γνώση είναι μεγάλο, απλούστατα διότι είναι σε θέση να την εφαρμόζουν σε πληθώρα προβλημάτων. Εξάλλου, σε ένα τέτοιο πρώτο στάδιο, η μέθοδος αυτή δεν αποτελεί τίποτε άλλο παρά έναν τρόπο σκέψης, μια ανάπτυξη συλλογισμών χρήσιμη για τον καθέναν μας. Ο Όμιλος Μαθηματικών Γυμνασίου της Σχολής Μωραΐτη αποτελείται από μαθητές που φιλοδοξούν να πάρουν μια γεύση από εκείνα τα μαθηματικά που δυστυχώς δεν διδάσκονται στα σχολεία και που πραγματικά κρύβουν όλη εκείνη την μαθηματική σκέψη που γοητεύει. Δουλεύοντας ως μια ομάδα, μαθαίνουν να αναλύουν ένα δοθέν πρόβλημα, παρέα με την διακριτική και μικρή παρέμβαση από τους δύο συντονιστές του Ομίλου. Έτσι, κατάφεραν να λύσουν το παίγνιο των 15 ποτηριών και να το παρουσιάσουν στο μαθητικό συνέδριο της ΚΥΜΕ [1]. 28

39 Η Αξία της Μεθόδου της προς τα Πίσω Επαγωγής Πέρα από την καθοδήγηση μιας συζήτησης, εμείς οι καθηγητές-συντονιστές έχουμε συχνά την ευκαιρία να ακούμε και διάφορες απορίες των μαθητών και να προσπαθούμε να δώσουμε ικανοποιητικές απαντήσεις. Μια απορία που συχνά τίθεται σε ομαδικές συζητήσεις που αφορούν σε θέματα της Θεωρίας Παιγνίων είναι η ακόλουθη: Γιατί οι άνθρωποι γενικώς δεν ψάχνουν να βρουν τις λύσεις των προβλημάτωνπαιχνιδιών; Ίσως γιατί δεν έχουν υπομονή, ίσως γιατί δεν έχουν την διάθεση να αφιερώσουν χρόνο και ενέργεια σε κάτι τέτοιο, ίσως γιατί δεν έχουν αποκτήσει την κατάλληλη παιδεία, πολλά ίσως. Κάποια παιδιά όμως θέτουν τον εξής συλλογισμό: Ποιό το νόημα να λύσεις επακριβώς ένα παιχνίδι αφού μιας και το κάνεις, έπειτα δεν θα έχεις κανένα κίνητρο για να το παίξεις; Είναι αλήθεια αυτό και ποιές εσφαλμένες αντιλήψεις κρύβονται πίσω του; Πράγματι, αν κάποιος έχει καταφέρει να προσδιορίσει την βέλτιστη στρατηγική (ή την στρατηγική νίκης) για ένα παιχνίδι, τότε αρκετή από τη μαγεία έχει χαθεί (ενώ μάλλον αρκετά μεγαλύτερη έχει φανερωθεί). Βέβαια, αυτό είναι αλήθεια μόνο εφόσον υποθέσουμε πως και ο αντίπαλος παίζει σύμφωνα με την βέλτιστη στρατηγική. (Για παράδειγμα, στο παίγνιο των 15 ποτηριών και στα πλαίσια του Ομίλου Μαθηματικών της Σχολής Μωραΐτη, βλέπε [1], δύο παιδιά από τον Όμιλο δεν έχουν κανένα απολύτως κίνητρο να παίξουν το παιχνίδι διότι γνωρίζουν πολύ καλά πως όλα είναι `προκαθορισμένα, δεν υπάρχει κανένα περιθώριο έκπληξης. Το ίδιο συμβαίνει και στο παίγνιο τής ελευθερίας ή σε άλλα παίγνια όπως το Hex που μελετήσαμε στα πλαίσια του Project της Α Λυκείου στη Σχολή Μωραΐτη.) Αντίθετα, αν ο αντίπαλος δεν έχει φτάσει στην βέλτιστη στρατηγική, τότε υπάρχει κάποιο ενδιαφέρον για τον μυημένο: συνήθως διακατέχεται από τον πειρασμό να παρατηρεί τις αντιδράσεις των αντιπάλων και κατ επέκταση να στοχάζεται πάνω στην συλλογιστική και στην ψυχολογία αμύητων παικτών. Εντούτοις, το ενδιαφέρον αυτού του εσφαλμένου συλλογισμού δεν περιορίζεται σε αυτές μόνο τις παρατηρήσεις. Ουσιαστικά μας πληροφορεί για την απροθυμία (ή συχνά την αδράνεια) των μαθητών (των ανθρώπων γενικότερα) για την εύρεση της βέλτιστης στρατηγικής μιας και προτιμούν να συνεχίζουν να παίζουν ένα παιχνίδι (συχνά σαν από κεκτημένη ταχύτητα). Οι άνθρωποι τείνουν να μην εξαντλούν την ανάλυση ενός παιχνιδιού, οπότε σπανίως κατορθώνουν να φθάνουν σε οριστικά συμπεράσματα. 29

40 Κ. Ανδριόπουλος ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] Βούζας Γ., Ζαχαριάδης Ο., Καπετανάκης Κ., Μακράκης Γ., Νομικός Π., Παναγόπουλος Γ., Παπαδημούλης Χ., Πετροπούλου Δ., Πουλά Β., Σαραντοπούλου Ι. και Τρούκης Κ. (2013) Από το παίγνιο `Τα 15 ποτήρια στον ψευδοκώδικα OMG123 Πρακτικά 9 ου Παγκύπριου Μαθητικού Συνεδρίου στα Μαθηματικά, Αγρός, Κύπρος [2] Nash Jr. John F. (1951) Non-cooperative games Annals of Mathematics [3] Aliprantis C.D. and Chakrabarti S.K. (1999) Games and Decision Making, Oxford University Press [4] Puu T. (1998) The chaotic duopolists revisited Journal of Economic Behavior and Organization [5] Ανδριόπουλος Κ. (2010) Μαθηματικές Μέθοδοι στα Μικροοικονομικά και Χρηματοοικονομικά, Διδακτορική Διατριβή, Πανεπιστήμιο Πατρών [6] Sainsbury R.M. (2009) Paradoxes, Cambridge University Press 30

41 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΛΛΑΓΗΣ ΜΕ ΠΕΡΙΤΤΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ, ΜΕ ΛΕΚΤΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗ ΕΙΚΟΝΑ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ, ΤΗΣ ΔΟΜΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΥ Αγγέλα Χρυσοστόμου Δασκάλα, Msc Πληροφορική στην Εκπαίδευση, Msc Μαθηματική Παιδεία Γιάννη Ρίτσου 19, P.O.BOX 30149, Αγία Νάπα, Αμμόχωστος. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα έρευνα, έχει σκοπό να διερευνήσει την επίδοση και τις σωστές και λανθασμένες στρατηγικές, 105 μαθητών Β τάξης και 86 μαθητών Γ Δημοτικού, σε προβλήματα αλλαγής και συγκεκριμένα μείωσης με περιττές πληροφορίες, που παρουσιάζονται λεκτικά ή με πληροφοριακή εικόνα. Επιπρόσθετα, θα διερευνηθεί κατά πόσο η δομή του προβλήματος (θέση άγνωστης ποσότητας), η αναπαράσταση του προβλήματος και η παρουσία των περιττών πληροφοριών, παίζουν ρόλο στην επίδοση των μαθητών, αλλά και κατά πόσο η αναπαράσταση του προβλήματος με πληροφοριακή εικόνα, μπορεί να προκαλέσει ρήξη του διδακτικού συμβολαίου. Αναλύθηκαν οι σωστές και λανθασμένες στρατηγικές των μαθητών. Οι λανθασμένες κατηγοριοποιήθηκαν σε συνηθισμένα λάθη και σε λάθη που οφείλονται στη χρήση περιττών πληροφοριών. Βρέθηκε ότι οι πληροφοριακές εικόνες δε βελτιώνουν την επίδοση των μαθητών σε σχέση με τα λεκτικά προβλήματα, όμως μπορούν να προκαλέσουν τη ρήξη του διδακτικού συμβολαίου σε σχέση με τη χρήση των περιττών πληροφοριών. Η εικονική αναπαράσταση των περιττών πληροφοριών, επιτρέπει στους μαθητές να τις συγκρίνουν οπτικά με τις σχετικές πληροφορίες και να τις απορρίψουν από τη λύση τους.

42 Α. Χρυσοστόμου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένας από τους σημαντικότερους στόχους της Μαθηματικής Παιδείας στα Δημοτικά σχολεία ανά τον κόσμο, είναι η ανάπτυξη της ικανότητας των παιδιών για επίλυση μαθηματικού προβλήματος. Η επίλυση προβλήματος είναι μια δεξιότητα σύνθετη, που δυσκολεύει ιδιαίτερα τους μαθητές. Πολλοί σημαντικοί σύγχρονοι ερευνητές της Διδακτικής των Μαθηματικών, όπως η Presmeg, ο Goldin, ο English και άλλοι, προτείνουν τη χρήση οπτικών αναπαραστάσεων στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος. Οι εικόνες βοηθούν ή όχι στην επίλυση των προβλημάτων; Οι απόψεις διίστανται και διαφοροποιούνται ανάλογα με το είδος του προβλήματος, τη δομή του και τη λειτουργικότητα της εικόνας. Το διδακτικό συμβόλαιο, παίζει καθοριστικό ρόλο στον τρόπο που οι μαθητές λύνουν ένα πρόβλημα και στα λάθη που κάνουν. Θα μπορούσε όμως μια εικόνα σε ένα μαθηματικό πρόβλημα, να λειτουργήσει με τρόπο που να προκαλέσει τη ρήξη του διδακτικού συμβολαίου; Η παρούσα έρευνα, έχει σκοπό να διερευνήσει την επίδοση και τις σωστές και λανθασμένες στρατηγικές, μαθητών Β και Γ Δημοτικού, σε προβλήματα αλλαγής και συγκεκριμένα μείωσης με περιττές πληροφορίες, που παρουσιάζονται λεκτικά ή με πληροφοριακή εικόνα. Επιπρόσθετα, θα διερευνηθεί κατά πόσο η δομή του προβλήματος (θέση άγνωστης ποσότητας), η αναπαράσταση του προβλήματος και η παρουσία των περιττών πληροφοριών, παίζουν ρόλο στην επίδοση των μαθητών, αλλά και κατά πόσο η αναπαράσταση του προβλήματος με πληροφοριακή εικόνα, μπορεί να προκαλέσει ρήξη του διδακτικού συμβολαίου. Για την εκπλήρωση του σκοπού της έρευνας διατυπώθηκαν τα εξής ερευνητικά ερωτήματα: (α) Ποια είναι η επίδοση των μαθητών Β και Γ Δημοτικού σε προβλήματα αλλαγής (μείωσης) που αναπαριστώνται λεκτικά και με πληροφοριακή εικόνα και έχουν περιττές πληροφορίες; (β) Η δομή και η αναπαράσταση του προβλήματος με περιττές πληροφορίες, παίζουν ρόλο στην επίδοση των μαθητών; (γ) Ποιες είναι οι σωστές και ποιες οι λανθασμένες στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές για να επιλύσουν τα προβλήματα με περιττές πληροφορίες; (δ) Όταν το πρόβλημα αναπαριστάται με πληροφοριακή εικόνα, οι μαθητές χρησιμοποιούν λιγότερο τις περιττές πληροφορίες στις λύσεις τους, από όταν παρουσιάζεται λεκτικά, προκαλώντας κατ αυτό τον τρόπο ρήξη στο διδακτικό συμβόλαιο; Οι πληροφοριακές εικόνες, δεν συναντώνται συχνά στα σχολικά εγχειρίδια, με αποτέλεσμα οι μαθητές να μην είναι εξοικειωμένοι με τη χρήση τους. Μια τέτοια εικόνα όμως, δομημένη, έχοντας δυναμικό χαρακτήρα, αναπαριστά ταυτόχρονα και τις ποσοτικές και τις ποιοτικές και τις χρονικές πληροφορίες, όπως προτείνει ο Duval (2005). Θα μπορούσε από τη μια να λειτουργήσει ως οργανωτική αναπαράσταση, παρουσιάζοντας τη δομή του προβλήματος αλλαγής, βοηθώντας έτσι τους μαθητές, και 32

43 Λεκτική Αναπαράσταση και Πληροφοριακή Εικόνα από την άλλη να βοηθήσει στη ρήξη του διδακτικού συμβολαίου, αφού αναπαριστά με εικόνα τις περιττές πληροφορίες, υποβοηθώντας τους μαθητές να τις διακρίνουν από τις χρήσιμες πληροφορίες. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Η έννοια της αναπαράστασης και τα είδη των εικόνων Σύμφωνα με τον ορισμό του Kaput (1987), η έννοια της αναπαράστασης περιλαμβάνει τις ακόλουθες ολότητες: (α) την ολότητα που αναπαρίσταται, (β) την ολότητα που αναπαριστά, (γ) τις συγκεκριμένες πτυχές της ολότητας προς αναπαράσταση που αναπαρίστανται, (δ) τις συγκεκριμένες πτυχές της ολότητας που αναπαριστά, οι οποίες κάνουν την αναπαράσταση και ε) την αντιστοιχία ανάμεσα στις δύο ολότητες. Σημαντική μορφή εξωτερικής αναπαράστασης που θεωρείται ότι μπορεί να διευκολύνει την επίλυση μαθηματικού προβλήματος είναι οι εικόνες. Το NCTM (2000) ενθαρρύνει τη χρήση τέτοιων αναπαραστάσεων στην επίλυση προβλήματος. Με βάση την ταξινόμηση των Carney και Levin (2002) για τη λειτουργία των εικόνων στα λογοτεχνικά κείμενα, οι Theodoulou, Gagatsis και Theodoulou (2003) εισηγούνται τα εξής τέσσερα είδη εικόνων με βάση τη λειτουργία τους στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος: α) διακοσμητικές β) βοηθητικές-αναπαραστατικές γ) βοηθητικέςοργανωτικές και δ) πληροφοριακές. Οι πληροφοριακές εικόνες, περιέχουν πληροφορίες που είναι απαραίτητες για να λυθεί ένα πρόβλημα και δεν μπορεί ο μαθητής να τις βρει στο λεκτικό κομμάτι του προβλήματος, επομένως η χρήση τους είναι αναγκαία για την επίλυσή του προβλήματος. (Theodoulou, Gagatsis & Theodoulou, 2003) Έγιναν αρκετές έρευνες στον κυπριακό χώρο, σε μια προσπάθεια καθορισμού του ρόλου των εικόνων στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων στο Δημοτικό σχολείο (Theodoulou, Gagatsis και Theodoulou, 2003: Γαγάτσης και Μάρκου, 2002: Elia, Gagatsis και Demetriou, 2007). Τα ευρήματα διαφοροποιούνται ανάλογα με το είδος της εικόνας αλλά και το είδος του προβλήματος. Οι πληροφοριακές εικόνες, στην έρευνα των Theodoulou, Gagatsis και Theodoulou (2003), δε βοήθησαν τους μαθητές στην επίλυση προβλημάτων, αφού λόγω της σύνθετης μορφής της, πιθανό να απαιτεί επιπρόσθετο φόρτο νοητική επεξεργασίας από τα παιδιά. Στη έρευνα των Elia, Gagatsi και Demetriou (2007), που αφορούσε παιδιά Α, Β και Γ Δημοτικού στην επίλυση προβλημάτων αλλαγής με τη χρήση πληροφοριακής εικόνας και αριθμητικής γραμμής, φάνηκε ότι το είδος της αναπαράστασης παίζει ρόλο ανάλογα με τη δομή του προβλήματος, όταν δηλαδή η 33

44 Α. Χρυσοστόμου άγνωστη ποσότητα είναι η αρχική ή ο μετασχηματισμός. Βρήκαν ότι η επίλυση προβλημάτων με πληροφοριακή εικόνα, αντιμετωπίζεται διαφορετικά από τους μαθητές, παρά άλλες αναπαραστάσεις, διότι λόγω της σύνθετης μορφής της (περιλαμβάνει λεκτική αναπαράσταση, διάγραμμα και εικόνα), δυσκολεύει περισσότερο τους μαθητές. Βέβαια, μετά από εφαρμογή του παρεμβατικού προγράμματος, φάνηκε ότι η διδασκαλία με έμφαση στην πληροφοριακή εικόνα, βοήθησε περισσότερο τους μαθητές στη βελτίωση της ικανότητάς τους στην επίλυση όλων των προβλημάτων αλλαγής, σε σχέση με άλλες αναπαραστάσεις. Διδακτικό Συμβόλαιο Σε μια προσπάθεια ερμηνείας της συμπεριφοράς των μαθητών, αλλά και των λαθών τους, κυρίως στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, ο Brousseau (1984, αναφορά στους Γαγάτσης, Γεωργίου και Ζαννέττου, 2006) ορίζει το «Διδακτικό Συμβόλαιο» ως το σύνολο των συμπεριφορών του εκπαιδευτικού που αναμένονται από τον μαθητή και το σύνολο των συμπεριφορών του μαθητή που αναμένονται από τον εκπαιδευτικό. Αποτελεί, δηλαδή, ένα σύνολο «έμμεσων» κανόνων, που καθορίζουν τις σχέσεις ανάμεσα στον εκπαιδευτικό, το μαθητή και τη μαθηματική γνώση. Η μάθηση δεν μπορεί να επιτευχθεί μέσα από τη ρήξη του διδακτικού συμβολαίου (Brousseau 1997). Παραδείγματα αντιλήψεων για τα προβλήματα που υποδεικνύουν την παρουσία του διδακτικού συμβολαίου, είναι τα πιο κάτω: (α) Όλα τα προβλήματα λύνονται, (β) Υπάρχει μόνο μία σωστή απάντηση, (γ) Σωστή απάντηση μετά από πράξεις με τους δοσμένους αριθμούς, (δ) Επίλυση με οικείες μαθηματικές διαδικασίες. (ε) Το πρόβλημα περιλαμβάνει όλη την πληροφορία που χρειάζεται για να λυθεί το πρόβλημα, (στ) Η εκφώνηση του προβλήματος οφείλει να μην έχει περιττά στοιχεία, κλπ. Οι περιττές πληροφορίες στη επίλυση μαθηματικού προβλήματος Η παρουσία περιττών δεδομένων σε ένα μαθηματικό πρόβλημα, οδηγεί συχνά τους μαθητές σε λάθη, αφού από τη μία δυσκολεύονται να διακρίνουν τις περιττές πληροφορίες από τις χρήσιμες (Carpenter, Corbitt, Kepner, Lindquist & Reyes, 1980; Carpenter, Lindquist, Brown, Kouba, Silver & Swafford, 1988); Kouba, Brown, Carpenter, Lindquist, Silver & Swafford, 1988) και από την άλλη χρειάζονται περισσότερο χρόνο να λύσουν το πρόβλημα (Cohen & Stover, 1981; Silbert, Carnine, & Stein, 1981; Arter & Clinton, 1974). Η παρουσία των περιττών δεδομένων, προσθέτει επιπλέον βήματα στην επίλυση ενός, προβλήματος, πράγμα που το καθιστά δυσκολότερο. Θα μπορούσε λοιπόν, η ενσωμάτωση στη διδασκαλία προβλημάτων με πληροφοριακή εικόνα, να βοηθήσει στο ρήξη του διδακτικού συμβολαίου, όσον αφορά τις περιττές πληροφορίες, αφού εκτός από την οργάνωση της δομής του προβλήματος, παρέχει και 34

45 Λεκτική Αναπαράσταση και Πληροφοριακή Εικόνα την εικονική αναπαράσταση των περιττών πληροφοριών, πράγμα που τις καθιστά αντιληπτές από τις αισθήσεις μας; ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Για την απάντηση των ερευνητικών ερωτημάτων που τέθηκαν, διενεργήθηκε ποσοτική έρευνα. Το δείγμα της έρευνας αποτέλεσαν 105 μαθητές Β τάξης και 86 μαθητές Γ τάξης, από τρία δημοτικά σχολεία των επαρχιών Αμμοχώστου και Λάρνακας. Ζητήθηκε από τους μαθητές να συμπληρώσουν σε 40 λεπτά, ένα δοκίμιο με 6 προβλήματα αλλαγής και συγκεκριμένα μείωσης. Τα 3 προβλήματα παρουσιάζονται στους μαθητές με λεκτική αναπαράσταση και συμβολική αναπαράσταση οι αριθμοί, ενώ τα άλλα 3, παρουσιάζονται με πληροφοριακή εικόνα, η οποία πλαισιώνεται από λόγια, τα οποία όμως δεν περιλαμβάνουν συμβολικές αναπαραστάσεις των ποσοτήτων. Η πληροφοριακή εικόνα έχει δυναμικό χαρακτήρα Όλες οι ποσοτικές πληροφορίες αναπαριστώνται με την εικόνα, οι ποιοτικές πληροφορίες (ποιος μετασχηματισμός θα γίνει) αναπαριστώνται λεκτικά, ενώ οι χρονικές πληροφορίες (χρονική εξέλιξη της αλλαγής) παρουσιάζονται από τα 3 διαδοχικά κομμάτια της εικόνας (όπως προτείνει ο Duval, 2005). Το πρώτο κομμάτι αναπαριστά την αρχική ποσότητα, το δεύτερο κομμάτι αναπαριστά την αλλαγή (μείωση) και το τρίτο κομμάτι αναπαριστά την τελική ποσότητα, οργανώνοντας κατ αυτόν τον τρόπο τη δομή του προβλήματος. Βέλη υποδηλώνουν τη συνέχεια, τη χρονική διαδοχή μεταξύ των τριών κομματιών. Όλα τα προβλήματα διαφοροποιούνται ως προς τη θέση του αγνώστου. Υπάρχει αντίστοιχα για κάθε μορφή αναπαράστασης, ένα πρόβλημα με άγνωστη την αρχική ποσότητα, ένα πρόβλημα με άγνωστη τη μείωση (μετασχηματισμός) και ένα πρόβλημα με άγνωστη την τελική ποσότητα. Επίσης, κάθε ένα από αυτά τα έξι αυτά προβλήματα υπάρχει μία περιττή πληροφορία (λεκτική στα λεκτικά προβλήματα και εικονική στα προβλήματα με πληροφοριακή εικόνα). Η περιττή πληροφορία τοποθετήθηκε σε όλες τις περιπτώσεις δίπλα από την αρχική ποσότητα, αφού υπάρχει πιθανότητα η διαφοροποίηση της θέσης της να επηρεάσει την επίδοση των μαθητών. ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Η επίδοση των μαθητών Β και Γ Δημοτικού, στα προβλήματα με περιττές πληροφορίες. Ο ρόλος της αναπαράστασης και της δομής του προβλήματος. 35

46 Α. Χρυσοστόμου Για την απάντηση δύο πρώτων ερευνητικών ερωτημάτων, διενεργήθηκαν περιγραφικές στατιστικές αναλύσεις και συγκεκριμένα αναλύσεις συχνοτήτων και επαγωγικές στατιστικές αναλύσεις και συγκεκριμένα έλεγχοι διαφορών (SPSS). Οι πίνακες με όλες τις ορθές και λανθασμένες απαντήσεις των μαθητών ανά πρόβλημα και ανά τάξη, δεν παρουσιάζονται στο παρόν άρθρο για λόγους εξοικονόμησης χώρου. Στον πίνακα 1 που ακολουθεί, παρουσιάζονται αναλυτικά τα ποσοστά επιτυχίας για κάθε πρόβλημα. Πίνακας 1: Ποσοστά επιτυχίας ανά πρόβλημα, ανά τάξη Αναπαράσταση / Θέση αγνώστου Λεκτικό - άγνωστος α Ν = 66 Β τάξη Γ τάξη Συνολικά % επιτυχίας Ν = 86 % επιτυχίας Ν = 191 % επιτυχίας % % % Λεκτικό - άγνωστος β % % % Λεκτικό - άγνωστος γ % % % Πληροφοριακή εικόνα - άγνωστος α % % % Πληροφοριακή εικόνα - άγνωστος β % % % Πληροφοριακή εικόνα - άγνωστος γ % % % Φαίνεται ότι η Γ τάξη είχε καλύτερη επίδοση από τη Β τάξη σε όλα τα προβλήματα. Μάλιστα, οι μαθητές Γ τάξης έλυσαν κατά μέσο όρο περίπου 4 (Χ =3.93, SD=1.89) προβλήματα σωστά ενώ η Β τάξη περίπου 3 (Χ =2.92, SD=1.93). Οι διαφορές αυτές είναι στατιστικά σημαντικές σε επίπεδο α=0.001 (t=-3.63, df= 189, p=0.000) 1. 1 Ανάλυση διαφορών για ανεξάρτητα δείγματα - Independent Samples t-test 36

47 Λεκτική Αναπαράσταση και Πληροφοριακή Εικόνα Στη Γ τάξη όμως, φαίνεται πως η δομή του προβλήματος παίζει ρόλο μόνο στην περίπτωση που άγνωστη είναι η αρχική ποσότητα. Εκεί παρουσιάστηκαν τα χαμηλότερα ποσοστά επιτυχίας, επομένως οι μαθητές δυσκολεύτηκαν περισσότερο. Οι μαθητές έχουν πολύ καλύτερη επίδοση όταν το πρόβλημα είναι λεκτικό (Χ =0.62, SD=0.48) παρά όταν παρουσιαζόταν με πληροφοριακή εικόνα (Χ =0.44, SD=0.5). Η διαφορά αυτή είναι στατιστικά σημαντική σε επίπεδο α=0.01 (t=-2.63, df= 85, p=0.01) 2. Δε βρέθηκαν άλλες στατιστικά σημαντικές διαφορές στη Γ τάξη. Η αναπαράσταση του προβλήματος και η δομή του δε φαίνεται να επηρεάζουν την επίδοση των μαθητών, όταν άγνωστη ποσότητα είναι ο μετασχηματισμός ή η τελική ποσότητα. Οι μαθητές της Β τάξης, είχαν χαμηλότερη επίδοση στα προβλήματα που άγνωστη ήταν η αρχική ποσότητα του προβλήματος. Είχαν όμως, περίπου την ίδια επίδοση και στο λεκτικό και στο πρόβλημα με πληροφοριακή εικόνα. Επόμενα σε δυσκολία για τους μαθητές της Β τάξης, φαίνεται να είναι τα προβλήματα, όπου η άγνωστη ποσότητα είναι ο μετασχηματισμός, ενώ τα ευκολότερα είναι τα προβλήματα όπου άγνωστη είναι η τελική ποσότητα. Στατιστικά σημαντικές διαφορές (t=2.74, df= 104, p=0.007) 3 ανάμεσα στις δύο δομές, φαίνεται να υπάρχουν μόνο στην περίπτωση που το πρόβλημα αναπαριστάται με εικόνα. Οι μαθητές έχουν χαμηλότερη επίδοση όταν η άγνωστη ποσότητα είναι ο μετασχηματισμός (Χ =0.48, SD=0.49), ενώ ψηλότερη όταν άγνωστη είναι η τελική ποσότητα (Χ =0.61, SD=0.47) στα προβλήματα με πληροφοριακή εικόνα. Ποιες ήταν η σωστές λύσεις των μαθητών; Στα περισσότερα προβλήματα, οι μαθητές προτίμησαν να δώσουν κατευθείαν την ορθή απάντησή τους, χωρίς να φαίνεται ο τρόπος σκέψης τους (περίπου 18% έως 34%). Στα προβλήματα με άγνωστη την αρχική ποσότητα, και στις δύο αναπαραστάσεις τους, οι μαθητές προτίμησαν σε μεγαλύτερο ποσοστό (από αυτούς που έδειξαν τον τρόπο σκέψης τους) να κάνουν πρόσθεση του μετασχηματισμού και τις τελικής ποσότητας. Στα προβλήματα όπου η άγνωστη ποσότητα ήταν ο μετασχηματισμός, και στις δύο αναπαραστάσεις προβλημάτων, το μεγαλύτερο ποσοστό των μαθητών, μετέτρεψε το πρόβλημα σαν να ήταν άγνωστη η τελική ποσότητα. Αφαίρεσαν δηλαδή από την αρχική ποσότητα την τελική, βρίσκοντας σαν αποτέλεσμα τον μετασχηματισμό. Αυτό ίσως εξηγεί και τα συνολικά ποσοστά επιτυχίας ανά τάξη (πίνακας 1) όπου φαίνεται οι μαθητές να έχουν περίπου τα ίδια ποσοστά επιτυχίας στα προβλήματα με άγνωστο το μετασχηματισμό ή την τελική ποσότητα. Λόγω της δομής των προβλημάτων μείωσης, είχαν τη δυνατότητα να τα χειριστούν με τον ίδιο τρόπο. 2 Ανάλυση διαφορών για εξαρτημένα δείγματα Paired Samples t - test 3 Ανάλυση διαφορών για εξαρτημένα δείγματα Paired Samples t - test 37

48 Α. Χρυσοστόμου Στα προβλήματα όπου άγνωστη είναι η τελική ποσότητα, η πλειοψηφία των μαθητών και στις δύο αναπαραστάσεις, αφαίρεσε το μετασχηματισμό από την αρχική ποσότητα και κατέληξε στην απάντηση. Σε όλες τις περιπτώσεις των προβλημάτων, μικρά ποσοστά μαθητών έδωσαν σωστές λύσεις οι οποίες ήταν παραλλαγές της συμβολικής αναπαράστασης που χρησιμοποίησε η πλειοψηφία (συμπληρωματική αφαίρεση ή συμπληρωματική πρόσθεση). Στις περιπτώσεις των προβλημάτων με πληροφοριακή εικόνα, μια μικρή μερίδα μαθητών (κυρίως Β τάξης), οδηγήθηκε στη λύση μέσα από χειρισμό των εικόνων του προβλήματος ή μέσα από ζωγράφισμα. Αυτό παρατηρήθηκε περισσότερο στο πρόβλημα με άγνωστο το μετασχηματισμό και την τελική ποσότητα. Εκεί οι μαθητές είτε διέγραφαν από την αρχική ποσότητα όσα έπρεπε να αφαιρεθούν, είτε χώριζαν την αρχική ποσότητα σε δύο μέρη, ξεχωρίζοντας όσα έπρεπε να αφαιρεθούν, είτε ζωγράφιζαν την άγνωστη ποσότητα. Ποιες ήταν οι λανθασμένες λύσεις των μαθητών; Συνηθισμένα Λάθη Όπως ήταν αναμενόμενο, οι μαθητές Β τάξης έκαναν περισσότερα λάθη από τους μαθητές της Γ τάξης, σε όλα τα προβλήματα. Τα συνηθισμένα λάθη, που έκαναν σε όλα τα προβλήματα ήταν είτε να δίνουν κατευθείαν μια λανθασμένη αριθμητική απάντηση, χωρίς να φαίνεται ή να είναι κατανοητή η στρατηγική που ακολούθησαν, είτε δίνοντας ως αριθμητική απάντηση μία από τις δύο δοσμένες ποσότητες είτε την αρχική, είτε το μετασχηματισμό, είτε την τελική, ανάλογα πάντα από τη δομή του προβλήματος. Σε όλα τα προβλήματα, παρατηρήθηκε ότι μικρή μερίδα μαθητών έδωσε λανθασμένη εξίσωση, δηλαδή χρησιμοποίησε τους δοσμένους αριθμούς για να κάνει πολλαπλασιασμό ή διαίρεση ή χρησιμοποίησαν αριθμούς άσχετους με το πρόβλημα. Επιπρόσθετα, ένα μέρος των μαθητών, κυρίως Β τάξης, δεν έλυσε καθόλου τα προβλήματα. Αυτό μπορεί να οφείλεται στο ότι δεν τα κατάλαβαν και επομένως δεν ήξεραν τι να κάνουν ή πιθανό να μην πρόλαβαν. Περισσότεροι μαθητές δεν έκαναν καθόλου το λεκτικό πρόβλημα με άγνωστη την αρχική ποσότητα (19%) και το πρόβλημα με πληροφοριακή εικόνα και άγνωστο το μετασχηματισμό (15%). Τέλος, παρουσιάστηκε άλλη μία λανθασμένη στρατηγική επίλυσης, μόνο στην περίπτωση των προβλημάτων με πληροφοριακή εικόνα. Κάποιοι μαθητές, στην προσπάθειά τους να λύσουν το πρόβλημα με χειρισμό των δοσμένων εικόνων ή με χειρισμό εικόνων που ζωγράφισαν, είτε διέγραψαν διαφορετικό αριθμό, από αυτόν που έπρεπε να αφαιρεθεί, είτε ζωγράφισαν εξαρχής λανθασμένα την εικόνα τους. 38

49 Λεκτική Αναπαράσταση και Πληροφοριακή Εικόνα Λάθη που οφείλονται στη χρήση των περιττών πληροφοριών. Παίζει ρόλο η αναπαράσταση του προβλήματος; Αρκετοί μαθητές, έλυσαν λανθασμένα τα προβλήματα, χρησιμοποιώντας με ποικίλους τρόπους την περιττή πληροφορία του κάθε προβλήματος. Συνοπτικά, παρουσιάζει ο πίνακας 2, τα ποσοστά χρήσης των περιττών πληροφοριών. Παρατηρώντας τις λανθασμένες λύσεις των μαθητών, φαίνεται πως αρκετοί είναι επηρεασμένοι από το διδακτικό συμβόλαιο, αφού χρησιμοποιούν όλες τις πληροφορίες για να το λύσουν κάνοντας πράξεις με αυτές. Οι μαθητές λοιπόν, τείνουν είτε να δίνουν ως απάντηση την ίδια την περιττή πληροφορία, είτε να προσθέτουν και τους τρεις αριθμούς μαζί, είτε να προσθέτουν την περιττή πληροφορία μαζί με μία από τις δύο δοσμένες ποσότητες, είτε να κάνουν πράξεις με διάφορους συνδυασμούς πρόσθεσης ή /και αφαίρεσης μεταξύ των τριών ποσοτήτων. Στα τρία λεκτικά προβλήματα παρουσιάζονται πολλοί διαφορετικοί συνδυασμοί χρήσης των περιττών πληροφοριών. Μάλιστα, στα λεκτικά προβλήματα με άγνωστη την αρχική ποσότητα και τον μετασχηματισμό, υπάρχουν περισσότερες διαφορετικές περιπτώσεις παρά στο λεκτικό πρόβλημα με άγνωστη την τελική ποσότητα. Στα προβλήματα με πληροφοριακή εικόνα, οι διαφορετικές περιπτώσεις είναι πολύ λιγότερες από ότι στα λεκτικά. Από τα προβλήματα με εικόνα, μόνο στο πρόβλημα με άγνωστη την αρχική ποσότητα υπάρχουν περισσότερες διαφορετικές περιπτώσεις λανθασμένων λύσεων, σε σχέση με τις άλλες δύο δομές, αλλά και πάλι είναι λιγότερες από ότι στα λεκτικά προβλήματα. Όπως φαίνεται στον πίνακα 2, σε όλες τις περιπτώσεις προβλημάτων, το ποσοστό των μαθητών Γ τάξης που χρησιμοποιούν περιττές πληροφορίες είναι λίγο μεγαλύτερο από το ποσοστό των μαθητών Β τάξης, εκτός από την περίπτωση του προβλήματος με πληροφοριακή εικόνα και άγνωστη την αρχική ποσότητα, που είναι περίπου ίσα. Αυτό ισχύει παρόλο που σε όλα τα προβλήματα, το ποσοστό των μαθητών Β τάξης που έκανε λάθη ήταν μεγαλύτερο από το ποσοστό των μαθητών της Γ τάξης. Αυτό μπορεί να έχει διττή ερμηνεία. Είτε ότι τα παιδιά όσο μεγαλώνουν, ισχυροποιούνται οι αντιλήψεις του διδακτικού συμβολαίου και τους επηρεάζουν περισσότερο, είτε ότι το νέο εκπαιδευτικό υλικό (Ν.Α.Π.) με το οποίο δούλεψαν οι μαθητές της Β τάξης, τους βοήθησε ώστε να εντοπίζουν και να αγνοούν τις περιττές πληροφορίες, σε σχέση με το εκπαιδευτικό υλικό που δούλεψαν οι μαθητές της Γ τάξης. 39

50 Α. Χρυσοστόμου Πίνακας 2: Συνοπτικός πίνακας χρήσης περιττών πληροφοριών ανά πρόβλημα και ανά τάξη α/α* Αναπαράσταση / Θέση αγνώστου** Β τάξη Γ τάξη Συνολικά Ν = 105 % Ν = 86 % Ν = 191 % 7 Λεκτικό - άγνωστος α % % % 3 Λεκτικό - άγνωστος β % % % 5 Λεκτικό - άγνωστος γ % % % 1 Πληροφοριακή εικόνα - άγνωστος α 9 8.6% 7 8.1% % 8 Πληροφοριακή εικόνα - άγνωστος β 2 1.9% 4 4.7%% 6 3.1% 6 Πληροφοριακή εικόνα - άγνωστος γ 2 1.9% 8 9.3% % *α/α = αρίθμηση προβλήματος στο ερευνητικό δοκίμιο (Παράρτημα Ι) **α = άγνωστη η αρχική ποσότητα, β = άγνωστη ποσότητα ο μετασχηματισμός, γ = άγνωστη η τελική ποσότητα. Σημαντικό εύρημα, αποτελεί το γεγονός ότι οι μαθητές και των δύο τάξεων, σε όλες τις δομές προβλημάτων μείωσης (αλλαγής), χρησιμοποιούν πολύ λιγότερο τις περιττές πληροφορίες όταν το πρόβλημα αναπαρίσταται με πληροφοριακή εικόνα, παρά όταν αναπαρίσταται λεκτικά. Όπως φαίνεται, η εικονική αναπαράσταση της περιττής πληροφορίας, αλλά και των χρήσιμων πληροφοριών στα προβλήματα, βοηθούν τους μαθητές οπτικά να αγνοήσουν τις περιττές πληροφορίες και να λύσουν το πρόβλημα μόνο με τις χρήσιμες πληροφορίες. Τα λάθη που κάνουν οι μαθητές στα προβλήματα με πληροφοριακές εικόνες, οφείλονται κυρίως σε άλλους λόγους κι όχι στην παρουσία περιττών πληροφοριών. Αντίθετα, στα λεκτικά προβλήματα, το ποσοστό των λαθών που γίνονται λόγω των περιττών πληροφοριών είναι αρκετά μεγάλο, αν το συγκρίνουμε 40

51 Λεκτική Αναπαράσταση και Πληροφοριακή Εικόνα με το ποσοστό των λαθών που δεν οφείλονται στις περιττές πληροφορίες. Επομένως, η αναπαράσταση ενός προβλήματος με εικόνα, μπορεί να βοηθήσει στο σπάσιμο του διδακτικού συμβολαίου που αφορά τη χρήση των περιττών πληροφοριών στην επίλυση ενός προβλήματος. Για περεταίρω υποστήριξη της πιο πάνω άποψης, διενεργήθηκε επαγωγική στατιστική ανάλυση διαφορών για εξαρτημένα δείγματα (Paired Samples t - test) 4, με μεταβλητές τη χρήση των περιττών πληροφοριών στα λεκτικά προβλήματα και τη χρήση των περιττών πληροφοριών στα προβλήματα με πληροφοριακή εικόνα. Βρέθηκε ότι υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές σε επίπεδο α=0.001 (t=4.23, df= 190, p<0.001), αφού οι περιττές πληροφορίες χρησιμοποιούνται λιγότερο από τους μαθητές όταν το πρόβλημα αναπαρίσταται με πληροφοριακή εικόνα (Χ =0.21, SD=0.83), παρά όταν αναπαρίσταται λεκτικά (Χ =0.54, SD=0.9). ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Συνοψίζοντας τα αποτελέσματα, προέκυψαν κάποια συμπεράσματα, που απαντούν τα ερευνητικά ερωτήματα που διατυπώθηκαν στην αρχή. μαθητές είχαν περίπου την ίδια επίδοση, είτε το πρόβλημα με περιττές πληροφορίες παρουσιαζόταν με λεκτική αναπαράσταση είτε παρουσιαζόταν με πληροφοριακή εικόνα. Επίσης, είχαν περίπου την ίδια επίδοση, είτε η άγνωστη ποσότητα βρισκόταν στο μετασχηματισμό είτε βρισκόταν στην τελική ποσότητα. Αυτά τα ευρήματα διαφοροποιούνται λίγο από τα ευρήματα των Elia, Gagatsis και Demetriou (2007) για τα προβλήματα αλλαγής. Αυτό, πιθανό να οφείλεται στο γεγονός ότι τα προβλήματα ήταν μόνο μείωσης και είτε η άγνωστη ποσότητα ήταν ο μετασχηματισμός είτε ήταν η τελική ποσότητα, οι μαθητές έλυναν με αφαίρεση, στην οποία συχνά μετέθεταν τον άγνωστο μετασχηματισμό στο τέλος, όπως φάνηκε στις λύσεις τους, μετατρέποντάς τον ουσιαστικά σε τελική ποσότητα. Κάτι τέτοιο βέβαια, δεν μπορεί να συμβεί στα προβλήματα αύξησης, αφού εκεί η μία δομή λύνεται με πρόσθεση, ενώ η άλλη συνήθως με αφαίρεση. Όπως ήταν αναμενόμενο, τα χαμηλότερα ποσοστά επιτυχίας και για τις δύο τάξεις, παρουσιάστηκαν στα δύο προβλήματα όπου η άγνωστη ποσότητα ήταν η αρχική, διότι αυτά τα προβλήματα έχουν τη δυσκολότερη δομή. Οι μαθητές της Γ τάξης, είχαν χαμηλότερη επίδοση στη συγκεκριμένη δομή, όταν η αναπαράσταση του προβλήματος ήταν με πληροφοριακή εικόνα. Η διαφορά αυτή είναι στατιστικά σημαντική. Φαίνεται ότι η πολυπλοκότητα της εικόνας δυσκόλεψε περισσότερο τους μαθητές αυτούς, πιθανό 4 Για όλους τους μαθητές, Β και Γ τάξης μαζί. 41

52 Α. Χρυσοστόμου λόγω του ότι δεν ήταν εξοικειωμένοι με τέτοιου είδους αναπαραστάσεις. Στη Β τάξη δεν υπήρξε τέτοια διαφορά, όμως αξίζει να αναφερθεί ότι η Β τάξη διδάχθηκε με διαφορετικό εκπαιδευτικό υλικό (Νέα Εγχειρίδια), πράγμα που μπορεί να έπαιξε κάποιο ρόλο, ως προς την εξοικείωσή τους με διαφορετικές αναπαραστάσεις προβλημάτων. Επίσης, συγκρίνοντας την επίδοση στα προβλήματα με πληροφοριακή εικόνα, παρουσιάστηκε στατιστικά σημαντική διαφορά μόνο στη Β τάξη, αφού είχαν καλύτερη επίδοση όταν άγνωστη ήταν η τελική ποσότητα, παρά ο μετασχηματισμός. Τα προβλήματα με άγνωστη την αρχική ποσότητα, οι πιο πολλοί μαθητές τα έλυσαν με πρόσθεση, ενώ στις άλλες δύο δομές τις έλυσαν με αφαίρεση, με άγνωστη την τελική ποσότητα. Από μικρά ποσοστά μαθητών χρησιμοποιήθηκαν διάφορες σωστές παραλλαγές των συμβολικών αναπαραστάσεων που χρησιμοποίησε η πλειοψηφία. Μόνο στις περιπτώσεις των προβλημάτων με πληροφοριακές εικόνες, μικρή μερίδα μαθητών, επέλεξε να χειριστεί με κάποιο τρόπο την εικόνα: είτε διαγράφοντας στην αρχική ποσότητα αυτή που αφαιρείται, είτε απλά διαχωρίζοντας την αρχική ποσότητα σε δύο σύνολα, ξεχωρίζοντας την ποσότητα που αφαιρείται, είτε ζωγραφίζοντας την άγνωστη ποσότητα. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσίασαν οι λανθασμένες στρατηγικές των μαθητών. Τα λάθη χωρίστηκαν σε δύο κατηγορίες. Στην πρώτη κατηγορία, στα συνηθισμένα λάθη των μαθητών, παρατηρήθηκε είτε να κάνουν μια εντελώς διαφορετική πράξη που υποδείκνυε ότι δεν κατανόησαν τη δομή του προβλήματος, είτε απαντούσαν με κάποια από τις δεδομένες ποσότητες, είτε έκαναν μια λανθασμένη πράξη πρόσθεσης ή αφαίρεσης με τους δύο δεδομένους αριθμούς, είτε έδιναν κατευθείαν μια λανθασμένη απάντηση δίχως λογική, είτε με λανθασμένο χειρισμό της εικόνας (πληροφ. εικόνα). Η δεύτερη κατηγορία λαθών, είναι τα λάθη που οφείλονται στη χρήση των περιττών πληροφοριών, λόγω του διδακτικού συμβολαίου. Είτε έδιναν ως απάντηση την ίδια την περιττή πληροφορία, είτε πρόσθεταν και τους τρεις αριθμούς μαζί, είτε να πρόσθεταν την περιττή πληροφορία μαζί με μία από τις δύο δοσμένες ποσότητες, είτε έκαναν πράξεις με διάφορους συνδυασμούς πρόσθεσης ή /και αφαίρεσης μεταξύ των τριών αριθμών (περιττή ποσότητα, δύο δοσμένες ποσότητες). Το σημαντικότερο εύρημα της παρούσας έρευνας, αποτελεί το γεγονός ότι οι μαθητές και των δύο τάξεων, σε όλες τις δομές προβλημάτων μείωσης, χρησιμοποιούν πολύ λιγότερο τις περιττές πληροφορίες όταν το πρόβλημα παρουσιαζόταν με πληροφοριακή εικόνα, παρά όταν παρουσιαζόταν λεκτικά. Φαίνεται πως η εικονική αναπαράσταση της περιττής πληροφορίας, επιτρέπει στους μαθητές πολύ πιο εύκολα να τη διακρίνουν ως περιττή και να την αγνοήσουν. Η παρουσία της πληροφοριακής εικόνας, παρόλο που δυσκολεύει τα παιδιά λόγω της περιπλοκότητάς της, μπορεί να προκαλέσει τη ρήξη του διδακτικού συμβολαίου σχετικά με τις περιττές πληροφορίες. Η περιττή πληροφορία 42

53 Λεκτική Αναπαράσταση και Πληροφοριακή Εικόνα οπτικοποιείται και οι μαθητές μέσα από τις αισθήσεις τους μπορούν να τη συγκρίνουν με τις σχετικές πληροφορίες και ευκολότερα να την απορρίψουν. Στα αποτελέσματα της έρευνας των Elia, Gagatsi και Demetriou (2007), φάνηκε ότι η ομάδα των μαθητών που στο παρεμβατικό πρόγραμμα διδάχτηκε τα προβλήματα αλλαγής με έμφαση στις πληροφοριακές εικόνες, βοήθησε στη βελτίωση της ικανότητας των μαθητών στην επίλυση όλων των προβλημάτων αλλαγής. Από την παρούσα έρευνα, παρόλο που δεν είχαν καλύτερη επίδοση οι μαθητές, φάνηκε ότι μπορεί να επέλθει ρήξη του διδακτικού συμβολαίου σε σχέση με τις περιττές πληροφορίες. Επομένως, θα μπορούσε να εξαχθεί το συμπέρασμα ότι αυτό που λείπει από τα παιδιά είναι η εξοικείωση με αυτού του είδους τις εικόνες. Η διδασκαλία των προβλημάτων αλλαγής με έμφαση στις πληροφοριακές εικόνες, θα βοηθήσει τους μαθητές να ξεπεράσουν τις δυσκολίες που έχουν λόγω της πολυπλοκότητάς τους και ταυτόχρονα θα μπορούν από τη μία να οργανώσουν τη δομή του προβλήματος και από την άλλη μπορούν να συνεισφέρουν στη ρήξη του διδακτικού συμβολαίου τουλάχιστον όσον αφορά τη διάκριση των περιττών πληροφοριών στα προβλήματα. Απαιτείται περαιτέρω διερεύνηση, κατά πόσο θα μπορούσαν οι πληροφοριακές εικόνες, αλλά και γενικότερα οι εικόνες να αξιοποιηθούν και σε άλλες περιπτώσεις για τη ρήξη του διδακτικού συμβολαίου σε άλλες του πτυχές. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Γαγάτσης, Α., Γεωργίου, X., Ζαννέττου, E. (2006). Το διδακτικό συμβόλαιο σε παιδιά προσχολικής ηλικίας και Α τάξης δημοτικού. Στο βιβλίο: Σύγχρονη Έρευνα στη Μαθηματική Παιδεία. (σελ ). Λευκωσία. Γαγάτσης, A., & Μάρκου, Α. (2002). Αναπαραστάσεις και µάθηση των Μαθηµατικών: ύο όψεις του ίδιου φαινοµένου; Στο Α. Γαγάτσης, Λ. Κυριακίδης, Ν. Τσαγγαρίδου, Ε. Φτιάκα, & Μ. Κουτσούλης (Εκδ.) Πρακτικά του 7 ου Παγκύπριου Συνεδρίου Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου: Η Εκπαιδευτική Έρευνα στην Εποχή της Παγκοσµιοποίησης, Τόµος Β (σσ ). Λευκωσία: Παιδαγωγική Εταιρεία Κύπρου. Arter, J. A., & Clinton, L. (1974). Time and error consequences of irrelevant data and question placement in arithmetic word problems II: Fourth grades. Journal of Educational Research, 68, Brousseau, G Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Carney, N.R., & Levin, R.J. (2002). Pictorial illustrations still improve students learning from text, Educational Psychology Review, 14(1),

54 Α. Χρυσοστόμου Carpenter, T. P., Kepner, H. S., Corbitt, M. K., Lindquist, M. M., & Reyes, R. E. (1980). Results and implications of the second NAEP Mathematics assessments: Elementary school. Arithmetic Teacher, 27, 10-12, Carpenter, T.P., Lindquist, M. M., Brown, C. A., Kouba, V. L., Silver, E. A., & Swafford, J. O. (1988). Results of the fourth NAEP Assessments of Mathematics: Trends and conclusions.. Arithmetics Teacher, 36, Cohen, S. A., & Stover, G. (1981). Effects of teaching sixth grade students to modify format variables of math word problems. Reading Research Quarterly, 16, (2), Deliyianni, E., Monoyiou, A,. Elia, I., Georgiou, Ch., & Zannettou, E. (2009). Pupils visual representations in standard and problematic problem solving in mathematics: Their role in the breach of the didactical contract. European Early Childhood Education Research Journal, 17(1), Dufur- Janvier, B., Bednarz, N., & Belanger, M. (1987). Pedagogical Considerations Concerning the Problem of Representation. In C. Janvier (Ed.), Problem of Representation in the teaching and learning of Mathematics. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Gerofsky, S. (1996). A linguistic and narrative view of word problems in mathematics education. For the Learning of Mathematics, 16(2), Goldin, G. A. (1998). Representational systems, learning and problem solving in mathematics. Journal of Mathematical Behavior, 17 (2), Greer, B Modeling reality in mathematics classrooms: The case of word problems. Learning and Instruction 7, no. 4: Janvier, C. (1987). Translation Processes in Mathematics Education. In C. Janvier (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics (pp.27-32). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Kaput, J. J. (1987). Representation Systems and Mathematics. In C. Janvier (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics (pp ). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Kouba, V. L., Brown, C. A., Carpenter, T. P., Lindquist, M. M., Silver, E. A., & Swafford, J. O. (1988). Results of τhe 4 th NAEP Assessment of Mathematics: Number, operation, and word problems. Arithmetics Teacher, 35, Littlefield, J., Rieser, J. (1993). Semantic Features of Similarity and Children s Strategies for Identifying Relevant Information in Mathematical Story Problems. Cognition and Instruction, 11, (2), Marcou, A., and A. Gagatsis Didactical contract and word problems: Influences and breach of contract in primary school. In Proceedings of the 3 rd Mediterranean Conference 44

55 Λεκτική Αναπαράσταση και Πληροφοριακή Εικόνα on Mathematical Education, eds. A. Gagatsis and S. Papastavridis, Athens: Hellenic Mathematical Society, Cyprus Mathematical Society NCTM, (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, Va: NCTM. Silbert, J., Carnine, D., & Stein, M. (1981). Direct instruction mathematics. Columbus, OH: Charles E. Merrill. Theodoulou, R., Gagatsis, A. & Theodoulou A. (2003). Are pictures always facilitator in mathematical problem solving? In A. Gagatsis, & I. Elia, (Eds.) Representations and Geometrical Models in the Learning of Mathematics: Vol.1 (pp ). Nicosia: Intercollege Press 45

56 Α. Χρυσοστόμου 46

57 ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΣΕ ΕΠΙΔΟΣΗ ΚΑΙ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΑ ΓΝΩΣΤΙΚΑ ΣΤΥΛ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ Χαράλαμπος Ευσταθίου & Ανδρούλλα Πετρίδου Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της παρούσας έρευνας είναι να διερευνηθούν οι διαφορές σε επίδοση και δημιουργικότητα στη γεωμετρία σύμφωνα με τα γνωστικά στυλ των εκπαιδευτικών πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. Ογδόντα δύο δάσκαλοι κλήθηκαν να συμπληρώσουν ένα δοκίμιο με ασκήσεις επίδοσης και δημιουργικότητας στη γεωμετρία καθώς και ένα ερωτηματολόγιο, το οποίο προσδιορίζει το γνωστικό τους στυλ. Τα αποτελέσματα της έρευνας, έδειξαν ότι ένα σημαντικό ποσοστό των δασκάλων δεν κατέκτησε ούτε το επίπεδο 0 από τα επίπεδα Van Hiele. Ακόμη, υπάρχει θετική συσχέτιση μεταξύ του χωρικού γνωστικού στυλ με όλες τις συνιστώσες της μαθηματικής δημιουργικότητας (ευχέρεια, ευελιξία, πρωτοτυπία). Επιπρόσθετα, εντοπίστηκε αρνητική συσχέτιση μεταξύ του λεκτικού γνωστικού στυλ με την ευελιξία και την πρωτοτυπία. Επίσης, βρέθηκε ότι υπάρχει θετική συσχέτιση μεταξύ του χωρικού στυλ με τη γενική επίδοση στις ασκήσεις γεωμετρίας και ειδικότερα με τη συνολική επίδοση στα εικονικά γεωμετρικά έργα. Επιπλέον, παρουσιάστηκε θετική συσχέτιση μεταξύ της γενικής γεωμετρικής επίδοσης με την ευχέρεια, την ευελιξία και την πρωτοτυπία. Τέλος, τα υποκείμενα παρουσιάζουν διαφορετική συμπεριφορά στην ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία ανάλογα με το επίπεδο Van Hiele στο οποίο βρίσκονται. Γνωστικά Στυλ Θεωρητικό Υπόβαθρο Οι ορισμοί γύρω από τα γνωστικά στυλ ποικίλουν. Παρόλα αυτά, όλοι ακολουθούν πανομοιότυπα πρότυπα. Τα γνωστικά στυλ ορίζονται ως οι ατομικές διαφορές στο τρόπο που τα άτομα αντιλαμβάνονται κάτι, σκέφτονται, λύνουν προβλήματα, μαθαίνουν, συσχετίζουν και γενικά ο τρόπος συμπεριφοράς τους (Witkin, Moore, Goodenough & Cox, 1977).

58 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου Μέσα από μία πληθώρα ερευνητικών δεδομένων και πολύχρονων αναζητήσεων γύρω από τα γνωστικά στυλ έχουν προταθεί πάρα πολλά είδη γνωστικών στυλ. Οι Kozhevnikov, Hegarty και Mayer (2002), μέσα από την έρευνα τους καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι οι οπτικοί τύποι δεν είναι μία ομοιογενής ομάδα όσον αφορά τη χωρική τους ικανότητα, αφού τα υποκείμενα τους φαίνεται να χωρίζονται σε δυο ομάδες, στους οπτικούς τύπους με υψηλά επίπεδα χωρικής ικανότητας και στους οπτικούς τύπους με χαμηλά επίπεδα χωρικής ικανότητας. Οι ερευνητές Blazhenkova και Kozhevnikov (2009), βασισμένοι σε θεωρίες της σύγχρονης ψυχολογίας διαχωρίζουν τα γνωστικά στυλ σε τρεις κατηγορίες: στους λεκτικούς, στους εικονικούς-οπτικούς και στους χωρικούς-οπτικούς τύπους (Πίνακας 1). Οι εικονικοί-οπτικοί τύποι χρησιμοποιούν αποτελεσματικά νοερές αναπαραστάσεις για να αναδομήσουν λεπτομερείς εικόνες συγκεκριμένων αντικειμένων και σχημάτων. Οπτικοποιούν σχήματα και μοτίβα βασισμένοι στη ζωηρότητα των χρώματα, στα σχήματα και στις λεπτομέρειες τους. Οι χωρικοί-οπτικοί τύποι χειρίζονται νοερά χωρικές σχέσεις ανάμεσα σε αντικείμενα ή στοιχεία των αντικειμένων αποτελεσματικά. Είναι ικανοί να οπτικοποιήσουν σύνθετους χωρικούς μετασχηματισμούς, για παράδειγμα με τη νοερή περιστροφή τρισδιάστατων αντικειμένων στο χώρο (Kozhevnikov, Hegarty & Mayer, 2002; Kozhevnikov, Kosslyn & Shephard, 2005). Πίνακας 1. Τα βασικά χαρακτηριστικά των τριών γνωστικών στυλ. Λεκτικοί Τύποι Οπτικοί Τύποι Εικονικοί-Οπτικοί Τύποι Χωρικοί-Οπτικοί Τύποι Λειτουργίες (Farah et al., 1988; Paivio, 1991) Αναπαριστούν λεκτικές πληροφορίες, συζητήσεις και παράγουν προφορικό και γραπτό λόγο. Αναγνωρίζουν και αναπαριστούν αντικείμενα με χρώματα, λεπτομέρειες και σχήματα Αναπαριστούν τη θέση, την κίνηση, τις χωρικές σχέσεις, τους χειρισμούς και τους μετασχηματισμούς του αντικειμένου Οργάνωση και στοιχεία (Paivio, 1991; Richardson, 1977) Διάκριση γλωσσολογικών στοιχείων Η συμβολική αναπαράσταση συστηματικά οργανώνεται βάσει σημασιολογίας και γραμματικής Διάκριση αντικειμένων και οπτικοποίηση του ακέραιου αριθμού Εικονικές, αναλογικές αναπαραστάσεις αντικειμένων Σχηματικές αναπαραστάσεις αντικειμένων και μοτίβων και οι μετασχηματισμοί τους 48

59 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία Στην προσπάθεια σύγκρισης των ικανοτήτων των λεκτικών και των δύο οπτικών τύπων έγιναν αρκετές έρευνες. Σε έρευνα των Kozhevnikov et al. (2005), βρέθηκε ότι οι λεκτικοί τύποι είχαν μέτρια επίδοση σε οπτικές ασκήσεις. Ακόμη, οι εικονικοίοπτικοί τύποι βρέθηκε ότι είχαν χαμηλή επίδοση σε ασκήσεις αντίληψης του χώρο, αλλά υψηλή επίδοση σε ασκήσεις οπτικοποίησης των αντικειμένων, που αφορούσαν τη διάκριση σχημάτων που δεν γίνονταν άμεσα αντιληπτά. Ενώ, οι χωρικοί-οπτικοί τύποι βρέθηκε ότι είχαν ακριβώς τα αντίθετα χαρακτηριστικά, δηλαδή υψηλή επίδοση σε ασκήσεις αντίληψης του χώρου και χαμηλή σε ασκήσεις οπτικοποίησης των αντικειμένων. Στην έρευνα αυτή, φάνηκε ότι οι εικονικοί-οπτικοί τύποι χρησιμοποιούσαν μία διαδικασία ολικής αντιμετώπισης των αναπαραστάσεων, δηλαδή θεωρούσαν την κάθε αναπαράσταση ως μία ενιαία ολότητα. Από την άλλη, οι λεκτικοί και οι χωρικοί-οπτικοί τύποι χρησιμοποιούσαν αναλυτική διαδικασία στις αναπαραστάσεις, δηλαδή χώριζαν κάθε αναπαράσταση σε επιμέρους κομμάτια και τα επεξεργάζονταν. Στην έρευνα των Kozhevnikov, Hegarty και Mayer (2002), φαίνεται ότι οι οπτικοί τύποι με υψηλά επίπεδα χωρικής ικανότητας αντιμετωπίζουν διαφορετικά τις γραφικές παραστάσεις από αυτούς με χαμηλά επίπεδα χωρικής ικανότητας. Τα χωρικάοπτικά άτομα αντιμετωπίζουν τις γραφικές παραστάσεις ως αφηρημένες αναπαραστάσεις που σκοπό τους έχουν να παρουσιάσουν σχέσεις. Ενώ, τα εικονικάοπτικά άτομα θεωρούν ότι οι γραφικές παραστάσεις παρουσιάζουν μία κατάσταση που συμβαίνει στην καθημερινότητα και έχει σχέση με το σχήμα που παίρνει κάθε φορά. Επίσης, οι ίδιοι υποστηρίζουν ότι τα χωρικά-οπτικά άτομα προτιμούν τις σχηματικές αναπαραστάσεις, ενώ οι εικονικοί-οπτικοί τις εικονικές αναπαραστάσεις. Κατά καιρούς, έχουν προταθεί αρκετά δοκίμια γνωστικού στυλ ανάλογα με τον διαχωρισμό των γνωστικών στυλ που υποστηρίζουν οι ερευνητές. Οι τρόποι βαθμολόγησης τους ποικίλει. Κάποιοι μετράνε το χρόνο αντίδρασης των υποκειμένων στα έργα, άλλοι τη συχνότητα και την ορθότητα των απαντήσεων τους και άλλοι το συνδυασμό των προαναφερθέντων. Σύμφωνα με τις αναλύσεις της έρευνας των Blazhenkova και Kozhevnikov (2009), συμπεραίνεται ότι η τριαδική διάσταση των γνωστικών στυλ είναι πολύ καλύτερη από την παραδοσιακή διάσταση (λεκτικών και οπτικών τύπων). Επιπλέον, οι ίδιοι προτείνουν το δικό τους ερωτηματολόγιο, το οποίο μπορεί να εντοπίσει το γνωστικό στυλ του κάθε ατόμου. Το ερωτηματολόγιο αυτό ονομάζεται Object-Spatial Imagery and Verbal Questionnaire (OSIVQ) και αποτελείται από αυτοαναφερόμενες δηλώσεις. Μέσα από τις συγκεκριμένες δηλώσεις εντοπίζεται πιο αποτελεσματικά και γρήγορα το γνωστικό στυλ του ατόμου, πράγμα που παλιότερα γινόταν με τη χρήση χρονοβόρων αντικειμενικών μετρήσεων (Kozhevnikov et al., 2005). Για τη μέτρηση 49

60 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου των οπτικών τύπων (εικονικών και χωρικών) στο OSIVQ, υπάρχουν δηλώσεις που αφορούν ποιοτικά χαρακτηριστικά των εικόνων, τη διατήρηση της εικόνας και διαδικασιών μετασχηματισμού, την προτίμηση συγκεκριμένων ειδών αναπαραστάσεων και την αυτοεκτίμηση των ικανοτήτων του ατόμου. Όσο αφορά τη μέτρηση του λεκτικού τύπου, υπάρχουν δηλώσεις που σχετίζονται με τη λεκτική έκφραση και ευχέρεια, το συνηθισμένο τρόπο μάθησης, την προτίμηση επαγγέλματος και την εκτίμηση των λεκτικών ικανοτήτων. Πρέπει να αναφερθεί ότι το συγκεκριμένο ερωτηματολόγιο θα χρησιμοποιηθεί στην παρούσα έρευνα έτσι ώστε να εντοπιστούν τα γνωστικά στυλ των υποκειμένων. Δημιουργικότητα στα Μαθηματικά Σύμφωνα με το Mann (2006) δεν υπάρχει ένας μοναδικός, επίσημος και αποδεκτός ορισμός της μαθηματικής δημιουργικότητας. Οι Treffinger, Young, Selby και Shepardson (2002) αναφέρουν ότι έχουν διατυπωθεί περισσότεροι από 100 ορισμοί για τη μαθηματική δημιουργικότητα. Κάποιοι από τους ορισμούς εστιάζουν στη γνωστική διαδικασία και κάποιοι επικεντρώνονται στο προϊόν που παράγεται. Ο Romey (1970) αναφέρεται στη μαθηματική δημιουργικότητα ως το συνδυασμό μαθηματικών ιδεών, τεχνικών ή προσεγγίσεων με ένα νέο τρόπο. Ο Krutetskii (1969) αναφέρεται στην εύκολη και ελεύθερη μεταφορά από μια νοερή διαδικασία σε άλλη. Ο Spraker (1960) ορίζει τη μαθηματική δημιουργικότητα ως την ικανότητα παραγωγής πρωτότυπων ή ασυνήθιστων, κατάλληλων μεθόδων επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων. Ο Jensen (1973) αναφέρεται στη μαθηματική δημιουργικότητα ως την ικανότητα να δίνεις πολυάριθμες, διαφορετικές και κατάλληλες ερωτήσεις όταν δίνεται μια μαθηματική κατάσταση η οποία είναι είτε γραπτή είτε συνοδεύεται από γράφημα ή διάγραμμα (αναφορά στο Haylock, 1987). Σύμφωνα με τον Torrance η δημιουργικότητα αποτελείται από τέσσερις συνιστώσες: την ευχέρεια-επάρκεια (fluency), την ευελιξία-ευλυγισία (flexibility), την πρωτοτυπία (novelty) και τον εμπλουτισμό (elaboration). Η ευχέρεια αναφέρεται στον αριθμό (την ποσότητα) των ιδεών (απαντήσεων) που παράγονται ως αντίδραση σε ένα ερέθισμα από το λύτη. Η ευελιξία αναφέρεται στην αντιμετώπιση ενός προβλήματος με διαφορετικούς τρόπους, στην διαφορετικότητα των ιδεών που παράγονται, στον αριθμό των κατηγοριών στις οποίες κατατάσσονται οι ιδέες (απαντήσεις) αυτές. Η πρωτοτυπία αναφέρεται στη σπανιότητα, στη μοναδικότητα των ιδεών που παράγονται. Τέλος, ο εμπλουτισμός αναφέρεται στην ικανότητα περιγραφής, διασαφήνισης και γενίκευσης των ιδεών, δηλαδή στον αριθμό των πληροφοριών που δίνονται από το λύτη (Leikin, 2009; Silver 2007). Το Torrance Tests of Creative Thinking (TTCT), τεστ το οποίο έχει 50

61 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία χρησιμοποιηθεί ευρέως για τον καθορισμό της δημιουργικότητας μαθητών και ενηλίκων, στηρίζεται στην ανάλυση της δημιουργικότητας στις τέσσερις αυτές συνιστώσες (Silver, 1997). Η μαθηματική δημιουργικότητα στα σχολικά μαθηματικά συχνά συνδέεται με την επίλυση προβλήματος ή με τη δημιουργία προβλημάτων. Οι Liljedalh και Sriraman (2006) ορίζουν τη μαθηματική δημιουργικότητα στο επίπεδο του σχολείου ως τη διαδικασία που επιφέρει ως αποτέλεσμα αυθεντικές, μοναδικές λύσεις σε ένα νέο πρόβλημα και/ή διαφορετικές προσεγγίσεις σε ένα «παλαιότερο» (γνωστό) πρόβλημα από μια νέα προοπτική. Επίπεδα Van Hiele Οι Van Hiele βασισμένοι σε παιδαγωγικές εμπειρίες και διδακτικά πειράματα, καθόρισαν ένα μοντέλο μάθησης της γεωμετρίας, το οποίο περιλαμβάνει πέντε επίπεδα κατανόησης τα οποία αντανακλούν τα επίπεδα της γεωμετρικής σκέψης του μαθητή. Αρχικά, στο Επίπεδο 0 (Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης) οι μαθητές αναγνωρίζουν τα σχήματα από τη συνολική μορφή τους, σαν μια ολότητα. Αντιλαμβάνονται το χώρο που υπάρχει γύρω τους οπτικά. Μπορούν να διακρίνουν και να αναπαραγάγουν τα διάφορα σχήματα, αλλά δεν μπορούν να διακρίνουν τις ιδιότητες ενός γεωμετρικού σχήματος. Επίσης, μπορούν ακόμα να περιγράφουν τα σχήματα με ορθή ή άτυπη ορολογία. Ακολούθως, στο Επίπεδο 1 (Ανάλυσης) οι μαθητές μπορούν να αναγνωρίσουν και να ονομάσουν ένα σχήμα βάσει των ιδιοτήτων του. Μπορούν επίσης να συγκρίνουν και να ταξινομούν σχήματα με βάση τις ιδιότητες τους. Στο Επίπεδο 2 (Άτυπης παραγωγική σκέψης) τα άτομα είναι σε θέση να αντιληφθούν τις σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ των σχημάτων. Μπορούν να κάνουν απλούς παραγωγικούς συλλογισμούς. Στη συνέχεια, στο Επίπεδο 3 (Παραγωγικής σκέψης) οι μαθητές κατανοούν τη σημαντικότητα της απόδειξης και το ρόλο των αξιωμάτων, των θεωρημάτων και των αποδείξεων. Αναπτύσσουν συλλογισμούς για να αποδείξουν μια πρόταση χρησιμοποιώντας δεδομένα αξιώματα. Τέλος, στο Επίπεδο 4 (Αυστηρό) τα άτομα είναι σε θέση να κατανοήσουν την αναγκαιότητα της αυστηρής αιτιολόγησης και είναι ικανοί να κάνουν αφηρημένους συλλογισμούς. Στο στάδιο αυτό γνωρίζουν την ύπαρξη και κατανοούν και άλλα αξιωματικά συστήματα, όπως οι μη-ευκλείδιες γεωμετρίες. (Usiskin, 1982; Mayberry, 1983; Unal, Jakubowski, & Corey, 2009) Κάθε επίπεδο έχει τη δική του γλώσσα και συμβολισμούς καθώς και σχέσεις που συνδέουν τους συμβολισμούς αυτούς. Μια σχέση που θεωρείται «σωστή» σε ένα επίπεδο, μπορεί να θεωρηθεί λανθασμένη σε ένα επόμενο επίπεδο (Fuys, Geddes, & Tischler, 1984). Οι Van Hiele τόνισαν ότι τα επίπεδα είναι ιεραρχικά. Οι μαθητές 51

62 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου προχωράνε από το ένα επίπεδο στο άλλο μέσα από διδασκαλία και διδακτικές εμπειρίες και όχι λόγω ηλικιακής και φυσικής ανάπτυξης. Σύμφωνα με τους Jones και Swafford (1997), πολλοί μαθητές λυκείου και ενήλικες βρίσκονται στα χαμηλά επίπεδα. Σε έρευνα της, η Mayberry (1983), διαπίστωσε ότι περισσότεροι από τους μισούς υποψήφιους εκπαιδευτικούς βρίσκονταν στο επίπεδο 2 ή σε χαμηλότερο επίπεδο. Επιπρόσθετα, οι Mason και Schell (1988) διαπίστωσαν ότι το 40% των υποψήφιων δασκάλων βρισκόταν κάτω από το επίπεδο 3. Σε καμία έρευνα δεν βρέθηκαν δάσκαλοι στο επίπεδο 4 ενώ ένα σημαντικό ποσοστό αποτύγχανε ακόμα και στο επίπεδο 0. Συσχέτιση Ερευνητικών Παραγόντων Σύμφωνα με τους Pitta-Pantazi και Christou (2009a) οι διαφορετικές κατηγορίες των οπτικών τύπων, συγκεκριμένα των εικονικών (object) και των χωρικών (spatial), μπορεί να έχουν διαφορετική επίδραση στη δημιουργικότητα των ατόμων στα μαθηματικά. Συγκεκριμένα, σε έρευνα τους βρήκαν ότι τα χωρικά-οπτικά άτομα είχαν στατιστικά σημαντική και θετική συσχέτιση με τη δημιουργικότητα στα μαθηματικά και με τις τρεις διαστάσεις της δημιουργικότητας (ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία). Αντιθέτως, τα εικονικά-οπτικά άτομα είχαν αρνητική συσχέτιση με την πρωτοτυπία και οι λεκτικοί τύποι με την ευελιξία. Οι Hegarty και Kozhevnikov (1999), σε έρευνα τους ανακάλυψαν ότι οι μαθητές δημοτικού σχολείου που είχαν υψηλή χωρική ικανότητα (χωρικοί-οπτικοί τύποι) έτειναν να δημιουργούν σχηματικές αναπαραστάσεις, ενώ οι μαθητές με πιο χαμηλή χωρική ικανότητα (εικονικοί-οπτικοί τύποι) έτειναν να κατασκευάζουν εικονικές αναπαραστάσεις των πληροφοριών που παρουσιάζονταν σε ένα αριθμητικό λεκτικό πρόβλημα. Επιπλέον, ανακάλυψαν ότι η χρήση σχηματικών αναπαραστάσεων σχετίζεται αρνητικά με τη χρήση εικονικών αναπαραστάσεων, δηλαδή ένα άτομο που χρησιμοποιεί εικονικές αναπαραστάσεις δεν θα χρησιμοποιεί σχηματικές. Βρήκαν ότι η χρήση σχηματικών αναπαραστάσεων σχετίζεται θετικά με την επιτυχή λύση του μαθηματικού προβλήματος. Αντιθέτως, οι εικονικές αναπαραστάσεις βρήκαν ότι σχετίζονται αρνητικά με την σωστή επίλυση του μαθηματικού προβλήματος. Οι Anderson, Casey, Thompson, Burrage, Pezaris και Kosslyn (2008), διεξήγαγαν μία έρευνα με σκοπό να προσδιοριστεί εάν οι μαθητές μέσης εκπαίδευσης με ένα συγκεκριμένο γνωστικό στυλ, είχαν καλύτερη επίδοση από άλλους μαθητές, όταν τα γεωμετρικά προβλήματα συνοδεύονταν με νύξεις, συμβατές με το γνωστικό τους στυλ. Τα συμπεράσματα τους έδειξαν ότι παρόλο που δεν υπάρχουν στοιχεία για μία άμεση σχέση μεταξύ γνωστικού στυλ και γεωμετρικής νύξης, που δίνονταν για να λύσουν γεωμετρικά προβλήματα, τα αποτελέσματα δείχνουν τη δύναμη τόσο του 52

63 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία χωρικού-οπτικού, όσο και του λεκτικού στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων, ανεξάρτητα από το είδος των νύξεων που παρέχονται. Στην έρευνα των Pitta-Pantazi και Christou (2009b), βρέθηκε ότι τα γνωστικά στυλ των μαθητών έκτης τάξης δημοτικού σχολείου δεν αποτελούν καθοριστικό παράγοντα που ερμηνεύει τις διαφορές στην επίδοση των ατόμων στη γεωμετρία. Μελέτησαν και την επίδραση της δυναμικής γεωμετρίας σε μαθητές με διαφορετικό γνωστικό στυλ και κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι η χρήση της δυναμικής γεωμετρίας βελτιώνει κυρίως την επίδοση των λεκτικών τύπων. Μία άλλη έρευνα των ερευνητών, που αφορούσε υποψήφιους νηπιαγωγούς, καταλήγει στο συμπέρασμα ότι το γνωστικό στυλ (λεκτικό ή οπτικό/ολικό ή αναλυτικό), δεν επηρεάζει την επίδοση των ατόμων στη γεωμετρία (Pitta-Pantazi και Christou, 2009c). Μεθοδολογία Σκοπός έρευνας και Ερευνητικά ερωτήματα Σκοπός της παρούσας έρευνας είναι να διερευνηθούν οι διαφορές σε επίδοση και δημιουργικότητα στη γεωμετρία σύμφωνα με τα γνωστικά στυλ των εκπαιδευτικών πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. Οι επιμέρους στόχοι της έρευνας είναι: (α) Να διερευνηθεί κατά πόσον το γνωστικό στυλ συσχετίζεται με την επίδοση στη γεωμετρία (β) Να διερευνηθεί κατά πόσον το γνωστικό στυλ συσχετίζεται με τη δημιουργικότητα στη γεωμετρία (γ) Να διερευνηθεί η σχέση επίδοσης και δημιουργικότητας στη γεωμετρία. Η έρευνα αυτή έχει στόχο να δώσει απαντήσεις στα εξής ερωτήματα: (1) Το επίπεδο γεωμετρικής κατανόησης των δασκάλων σχετίζεται και προβλέπεται από το γνωστικό στυλ τους; (2) Ο βαθμός δημιουργικότητας των δασκάλων στη γεωμετρία σχετίζεται και προβλέπεται από το γνωστικό τους στυλ; (3) Η επίδοση των δασκάλων στη γεωμετρία σχετίζεται και προβλέπει τη δημιουργικότητα τους στη γεωμετρία και αντίστροφα; Καθορισμός Πληθυσμού Δείγμα Στην παρούσα έρευνα, που έχει διεξαχθεί τον Μάρτιο 2012, συμμετείχαν 82 πτυχιούχοι δάσκαλοι, από 22 έως 28 ετών. Μέσα Συλλογής Δεδομένων και Κριτήρια Βαθμολόγησης Για τη διεξαγωγή της έρευνας χορηγήθηκε ένα δοκίμιο και ένα ερωτηματολόγιο (παράρτημα). Το δοκίμιο περιελάμβανε γεωμετρικές ασκήσεις για μέτρηση της 53

64 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου επίδοσης (σύμφωνα με τα επίπεδα Van Hiele) και της δημιουργικότητας στη γεωμετρία. Με το ερωτηματολόγιο εντοπιζόταν το γνωστικό στυλ κάθε συμμετέχοντα. Το δοκίμιο περιελάμβανε 13 έργα. Έγινε προσπάθεια ώστε τα έργα να κατανεμηθούν εξίσου και στα τρία γνωστικά στυλ (λεκτικό, εικονικό και χωρικό). Τα 11 έργα χρησιμοποιήθηκαν για την κατάταξη των δασκάλων στα επίπεδα Van Hiele. Χρησιμοποιήθηκαν έργα για τα επίπεδα 0 έως 3, παραλείποντας το επίπεδο 4 στο οποίο ανήκουν κυρίως μαθηματικοί και όπως έχει προαναφερθεί έρευνες έδειξαν ότι δεν υπήρχαν δάσκαλοι στο επίπεδο αυτό. Στο επίπεδο 3 των Van Hiele δε δόθηκε άσκηση για τους εικονικούς τύπους καθώς όλες οι οπτικές ασκήσεις στο επίπεδο αυτό παραπέμπουν σε χωρικές σχέσεις. Στον πίνακα 2 παρουσιάζονται συνοπτικά οι ασκήσεις ανά επίπεδο και γνωστικό στυλ. Πίνακας 2. Επίπεδα Van Hiele και Γνωστικό Στυλ. Επίπεδα Van Hiele Γνωστικό στυλ Λεκτικό Χωρικό Εικονικό Επίπεδο Επίπεδο Επίπεδο Επίπεδο Τέλος, τρία έργα χρησιμοποιήθηκαν για τον καθορισμό της δημιουργικότητας. Δόθηκε μία άσκηση για κάθε ένα γνωστικό στυλ. Το ερωτηματολόγιο που χρησιμοποιήθηκε για τον εντοπισμό του γνωστικού στυλ ήταν το ερωτηματολόγιο OSIVQ των Blazhenkova και Kozhevnikov (2009), που έχει προαναφερθεί στο θεωρητικό υπόβαθρο, μεταφρασμένο στα ελληνικά. Περιελάμβανε 45 δηλώσεις στις οποίες οι ερωτηθέντες καλούνταν να δηλώσουν το κατά πόσο συμφωνούν ή διαφωνούν. Υπήρχαν 15 δηλώσεις για κάθε ένα από τα τρία γνωστικά στυλ, οι οποίες δίνονταν με τυχαία σειρά. 54

65 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία Για τη βαθμολόγηση και την κωδικοποίηση των μεταβλητών χρησιμοποιήθηκαν διαφορετικές κλίμακες για το δοκίμιο και το ερωτηματολόγιο. Στις ασκήσεις οι οποίες κατάτασσαν το δείγμα σε επίπεδα Van Hiele η βαθμολόγηση έγινε με κλίμακα από το 0 έως 1, ανάλογα με την άσκηση. Η κατάταξη στα επίπεδα Van Hiele γινόταν με βάση τη βαθμολόγηση και στις τρεις ασκήσεις που ανήκαν σε κάθε επίπεδο. Για να θεωρηθεί ότι κατακτήθηκε το επίπεδο 0, ο λύτης έπρεπε να έχει συγκεντρώσει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 2 στις ασκήσεις 1, 2 και 3. Το ίδιο ίσχυε και για τα επίπεδα 1 (ασκήσεις 4, 5 και 6) και 2 (ασκήσεις 7, 8 και 9). Για το επίπεδο 3, στο οποίο δίνονταν μόνο 2 ασκήσεις (10 και 11), ο λύτης έπρεπε να συγκεντρώσει βαθμό μεγαλύτερο του 1 για να θεωρηθεί ότι έχει κατακτήσει το επίπεδο αυτό. Επίσης, για κάθε άτομο υπολογίστηκε ένας γενικός βαθμός επίδοσης αθροίζοντας τη βαθμολογία στις 11 γεωμετρικές ασκήσεις αλλά και τρεις επιμέρους βαθμοί: λεκτική επίδοση, χωρική επίδοση και εικονική επίδοση αθροίζοντας τα αντίστοιχα έργα κάθε γνωστικού στυλ. Όπως έχει προαναφερθεί δόθηκαν τρεις ασκήσεις δημιουργικότητας, μία για κάθε γνωστικό στυλ. Οι ασκήσεις αυτές βαθμολογήθηκαν με βάση τις τρεις συνιστώσες της δημιουργικότητας: την ευχέρεια, την ευελιξία και την πρωτοτυπία των απαντήσεων. Όσο αφορά την ευχέρεια βαθμολογείτο η ποσότητα των ορθών απαντήσεων. Η ευελιξία βαθμολογείτο ανάλογα με τον αριθμό των διαφορετικών κατηγοριών στις οποίες κατατάσσονταν οι απαντήσεις κάθε ατόμου. Η πρωτοτυπία βαθμολογείτο με την σπανιότητα των απαντήσεων στο σύνολο των απαντήσεων όλου του δείγματος. Υπολογίστηκαν τρεις διαφορετικοί βαθμοί για κάθε άτομο, ένας για κάθε μία από τις τρεις συνιστώσες της δημιουργικότητας. Για παράδειγμα, η ευχέρεια υπολογίστηκε με βάση τις τρεις βαθμολογήσεις ευχέρειας του ατόμου στις τρεις ασκήσεις της δημιουργικότητας. Το ίδιο και η ευελιξία και η πρωτοτυπία. Για κάθε γνωστικό στυλ υπήρχαν 15 ερωτήσεις. Για κάθε γνωστικό στυλ εξαγόταν το άθροισμα από τις απαντήσεις κάθε ατόμου. Κατά συνέπεια κάθε άτομο είχε τρεις τελικές βαθμολογίες, μία για κάθε γνωστικό στυλ. Για τέσσερις δηλώσεις έγινε αντιστροφή βαθμολόγησης, αφού ήταν αρνητικές δηλώσεις. Ανάλογα με το εύρος των βαθμολογιών για κάθε γνωστικό στυλ, τα άτομα χωρίστηκαν σε τρεις ομάδες και κατηγοριοποιήθηκαν σε ψηλούς, μεσαίους και χαμηλούς τύπους για κάθε γνωστικό στυλ. Διαδικασία Εκτέλεσης Έρευνας Η χορήγηση των δοκιμίων και των ερωτηματολογίων διήρκησε τρεις εβδομάδες. Τα υποκείμενα ήταν ελεύθερα να απαντήσουν ανεξαρτήτως χρόνου. Κάθε εκπαιδευτικός 55

66 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου επίλυε ατομικά το δικό του δοκίμιο. Δόθηκαν σαφής οδηγίες για τον τρόπο συμπλήρωσης του δοκιμίου και επεξηγήθηκαν οποιεσδήποτε απορίες, διαδικαστικής φύσεως, που προέκυπταν από τους δασκάλους. Ανάλυση Δεδομένων Για την ανάλυση των δεδομένων της έρευνας χρησιμοποιήθηκαν τα λογιστικά φύλλα Excel και το στατιστικό πακέτο SPSS-17.0 (Statistical Package for the Social Sciences). Χρησιμοποιήθηκαν και τα τρία είδη στατιστικής ανάλυσης: η περιγραφική, η συσχετιστική και η επαγωγική. Για τη συσχετιστική στατιστική χρησιμοποιήθηκε το τεστ Pearson και Kendall s tau_b. Για την επαγωγική στατιστική χρησιμοποιήθηκαν η ανάλυση διασποράς μονής διαδρομής (ANOVA one-way) και η γραμμική παλινδρόμηση (linear regression). Επίσης, χρησιμοποιήθηκε η εντολή δημιουργίας δευτερογενών δεδομένων (compute). Το επίπεδο σημαντικότητας που χρησιμοποιήθηκε για την απόρριψη ή την αποδοχή των δεδομένων είναι p=0.05. Περιγραφική Ανάλυση Αποτελέσματα Σύμφωνα με τη γραφική παράσταση 1, το μεγαλύτερο ποσοστό επιτυχίας παρουσιάζεται στα εικονικά έργα(83,13%) ενώ το χαμηλότερο ποσοστό συγκεντρώνουν τα χωρικά έργα(56,74%). Η ψηλότερη επίδοση παρουσιάζεται στην εικονική άσκηση του επιπέδου 2(95,12%), με τις λεκτικές ασκήσεις των επιπέδων 0 και 1 να ακολουθούν(91,46% και 90,24% αντίστοιχα). Το χαμηλότερο ποσοστό παρουσιάζει η χωρική άσκηση του επιπέδου 3(7,93%), με τη λεκτική άσκηση του ίδιου επιπέδου να ακολουθεί (50%). Γραφική Παράσταση 1. Ποσοστό επιτυχίας για κάθε άσκηση γεωμετρικής επίδοσης. 56

67 Λεκτικοί Χωρικοί Εικονικοί Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία Αξίζει να σημειωθεί ότι εάν αφαιρεθούν τα έργα του επιπέδου 3 (λεκτικό και χωρικό έργο), τα χωρικά έργα εξακολουθούν να συγκεντρώνουν το χαμηλότερο ποσοστό επιτυχίας(73,01%). Στην περίπτωση αυτή όμως, το μεγαλύτερο ποσοστό επιτυχίας συγκεντρώνουν τα λεκτικά έργα(86,79%) με τα εικονικά να ακολουθούν (83,13%). Γραφική Παράσταση 2. Κατηγοριοποίηση του δείγματος στα επίπεδα Van Hiele ,537 12,195 6,098 12,195 10,976 Πριν το 0 Επίπεδο 0 Επίπεδο 1 Επίπεδο 2 Επίπεδο 3 Στη γραφική παράσταση 2 παρουσιάζεται το ποσοστό συγκέντρωση του δείγματος στα επίπεδα Van Hiele. Υπάρχουν άτομα σε όλα τα επίπεδα. Επιπρόσθετα παρουσιάζεται ένα ποσοστό 12,20% το οποίο δεν έχει κατακτήσει ούτε καν το επίπεδο 0 («πριν το 0»). Οι πλείστοι δάσκαλοι βρίσκονται στο επίπεδο 2 (58,54%). Γραφική Παράσταση 3. Κατηγοριοποίηση του δείγματος σε γνωστικά στυλ. Χαμηλοί Μεσαίοι Ψηλοί Χαμηλοί Μεσαίοι Ψηλοί Χαμηλοί Μεσαίοι Ψηλοί 13,41 18,29 20,73 24,39 36,59 35,37 46,34 50,00 54, Όσο αφορά τα γνωστικά στυλ, όπως προαναφέρθηκε, τα άτομα κατηγοριοποιήθηκαν σε τρεις κατηγορίες: ψηλοί, μεσαίοι και χαμηλοί για κάθε γνωστικό στυλ. Και στα τρία γνωστικά στυλ υπερέχει η μεσαία κατηγορία. Στο εικονικό και χωρικό στυλ, δηλαδή στις δύο οπτικές ομάδες, οι ψηλοί είναι οι λιγότεροι (13,41% και 18,29% αντίστοιχα), ενώ στους λεκτικούς τύπους οι λιγότεροι είναι οι χαμηλοί(20,73%). Το μεγαλύτερο ποσοστό της κατηγορίας των ψηλών εμφανίζεται στο λεκτικό στυλ(24,39%) ενώ στην κατηγορία των χαμηλών το μεγαλύτερο ποσοστό εμφανίζεται στο εικονικό και χωρικό στυλ(36,59% και 35,37% αντίστοιχα). 57

68 Ευχέρεια Ευελιξία Πρωτοτυπία Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου Η δημιουργικότητα στη γεωμετρία βαθμολογήθηκε με βάση την ευχέρεια, την ευελιξία και την πρωτοτυπία, όπως αυτές έχουν καθοριστεί στο θεωρητικό υπόβαθρο. Στη γραφική παράσταση 4 παρουσιάζονται τα ποσοστά κάθε συντελεστή για κάθε άσκηση από τα τρία γνωστικά στυλ και συνολικά. Τα υψηλότερα ποσοστά παρουσιάζονται στην ευχέρεια(38,71%) και τα χαμηλότερα στην πρωτοτυπία(15,48%). Στην ευχέρεια τα μεγαλύτερα ποσοστά παρουσιάζονται στην άσκηση εικονικού στυλ(44,99%). Το ίδιο ισχύει και για την πρωτοτυπία με ποσοστό 26,39%. Στην ευελιξία τα μεγαλύτερα ποσοστά εμφανίζονται στην άσκηση λεκτικού στυλ (37,80%). Γραφική Παράσταση 4. Ποσοστά των τριών συντελεστών της δημιουργικότητας στα έργα δημιουργικότητας Σύνολο Χωρικό Έργο Εικονικό Έργο Λεκτικό Έργο Σύνολο Χωρικό Έργο Εικονικό Έργο Λεκτικό Έργο Σύνολο Χωρικό Έργο Εικονικό Έργο Λεκτικό Έργο 8,96 11,09 15,48 19,69 26,39 30,63 34,39 29,79 37,80 38,71 44,99 41, Συσχετιστική Ανάλυση Ο πίνακας 4 παρουσιάζει τις συσχετίσεις (correlations) των γνωστικών στυλ των υποκειμένων και της επίδοσης τους στην ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία. Υπάρχει στατιστικά σημαντική, θετική συσχέτιση μεταξύ του χωρικού στυλ και των τριών διαστάσεων της δημιουργικότητας. Η συσχέτιση του χωρικού στυλ με την ευχέρεια είναι μέτρια, ενώ μεταξύ χωρικού στυλ με ευελιξία και πρωτοτυπία η συσχέτιση είναι χαμηλή. Επιπρόσθετα, υπάρχουν στατιστικά σημαντικές, αρνητικές συσχετίσεις του λεκτικού γνωστικού στυλ με ευελιξία και πρωτοτυπία. Η συσχέτιση με την ευελιξία είναι μέτρια, ενώ με την πρωτοτυπία χαμηλή. Δηλαδή, η ικανότητα των δασκάλων να βρίσκουν πρωτότυπες λύσεις, οι οποίες να ανήκουν και σε διάφορες κατηγορίες συσχετίζεται αρνητικά με το λεκτικό στυλ. Τα αποτελέσματα αυτά συμφωνούν με τα αποτελέσματα των Πίττα και Χρίστου (2009a). 58

69 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία Πίνακας 4. Συσχέτιση γνωστικών στυλ με συνιστώσες της δημιουργικότητα. Ευχέρεια Ευελιξία Πρωτοτυπία Λεκτικό Στυλ -0,164-0,323** -0,236* Χωρικό Στυλ 0,325** 0,228* 0,256* Εικονικό Στυλ -0,130-0,198-0,059 **Επίπεδο στατιστική σημαντικότητας μικρότερο από 0,01 * Επίπεδο στατιστική σημαντικότητας μικρότερο από 0,05 Ειδικότερα, στο δημιουργικό έργο χωρικού στυλ βρέθηκε στατιστικά σημαντική, θετική συσχέτιση της ευελιξίας και της πρωτοτυπίας με το χωρικό στυλ, όπως φαίνεται στον πίνακα 5. Η συσχέτιση της πρωτοτυπίας με το χωρικό στυλ είναι μέτρια, ενώ με την ευχέρεια χαμηλή. Ακόμη, βρέθηκε στατιστικά σημαντική, χαμηλή, αρνητική συσχέτιση της πρωτοτυπίας με το λεκτικό γνωστικό στυλ. Πίνακας 5. Συσχέτιση των διαστάσεων της δημιουργικότητας στο έργο χωρικού στυλ με το λεκτικό και το χωρικό στυλ. Λεκτικό στυλ Χωρικό στυλ Ευχέρεια -0,207 0,294* Ευελιξία -0,215 0,209 Πρωτοτυπία -0,296** 0,347** **Επίπεδο στατιστική σημαντικότητας μικρότερο από 0,01 * Επίπεδο στατιστική σημαντικότητας μικρότερο από 0,05 Επιπλέον, βρέθηκε στατιστικά σημαντική, χαμηλή, θετική συσχέτιση του χωρικού στυλ με την ευελιξία στο δημιουργικό έργο λεκτικού στυλ, σε αντίθεση με το λεκτικό στυλ όπου η συσχέτιση ήταν μέτρια και αρνητική (πίνακας 6). Πίνακας 6. Συσχέτιση των διαστάσεων της δημιουργικότητας στο έργο λεκτικού στυλ με το λεκτικό και το χωρικό στυλ. 59

70 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου Λεκτικό στυλ Χωρικό στυλ Ευχέρεια -0,214 0,169 Ευελιξία -0,316** 0,262* Πρωτοτυπία -0,031 0,184 **Επίπεδο στατιστική σημαντικότητας μικρότερο από 0,01 * Επίπεδο στατιστική σημαντικότητας μικρότερο από 0,05 Επιπρόσθετα, υπάρχει στατιστικά σημαντική, χαμηλή, θετική συσχέτιση μεταξύ χωρικού στυλ και ευχέρειας στο δημιουργικό έργο εικονικού στυλ (r=0,220, p=0,047). Όσον αφορά το γνωστικό στυλ και την επίδοση, όπως φαίνεται στον πίνακα 7, υπάρχει στατιστικά σημαντική, χαμηλή, θετική συσχέτιση μεταξύ του χωρικού στυλ με την γενική επίδοση. Επίσης, υπάρχει στατιστικά σημαντική, χαμηλή, θετική συσχέτιση μεταξύ του χωρικού στυλ και της συνολικής επίδοσης στα εικονικά γεωμετρικά έργα (πίνακας 8). Δεν υπήρχε συσχέτιση μεταξύ γνωστικού στυλ και επιπέδων Van Hiele. Πίνακας 7. Συσχέτιση του χωρικού στυλ με τη συνολική επίδοση στις γεωμετρικές ασκήσεις. p<0.05 N R p 82 0,247 0,025 Πίνακας 8. Συσχέτιση του χωρικού στυλ με τη επίδοση στις εικονικές γεωμετρικές ασκήσεις. p<0.05 N R p 82 0,254 0,021 Η γραφική παράσταση 5 παρουσιάζει τα ποσοστά επιτυχίας σε εικονικά, χωρικά και λεκτικά έργα των ατόμων που χαρακτηρίζονται «ψηλοί» μόνο σε ένα γνωστικό στυλ. Δηλαδή το δείγμα αποτελείται από άτομα με «ψηλό» λεκτικό και όχι «ψηλό» στα άλλα δύο γνωστικά στυλ, από άτομα με «ψηλό» χωρικό και όχι «ψηλό» στα άλλα δύο 60

71 Λεκτικά Έργα Χωρικά Έργα Εικονικά Έργα Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία γνωστικά στυλ και από άτομα με «ψηλό» εικονικό και όχι «ψηλό» στα άλλα δύο γνωστικά στυλ. Τα εικονικά έργα συγκεντρώνουν το υψηλότερο ποσοστό επιτυχίας (81,85%) και τα χωρικά το χαμηλότερο (56,44%). Τόσο στα λεκτικά, χωρικά και εικονικά έργα υπερέχουν οι χωρικοί τύποι, ακολουθούν οι λεκτικοί και τελευταίοι έρχονται οι εικονικοί. Αξίζει να σημειωθεί ότι το μεγαλύτερο ποσοστό παρουσιάζουν τα άτομα με ψηλό χωρικό στυλ στα εικονικά έργα (88,60%). Γραφική Παράσταση 5. Ποσοστά επιτυχίας σε εικονικά, χωρικά και λεκτικά έργα των ατόμων που χαρακτηρίζονται ψηλοί μόνο σε ένα γνωστικό στυλ. Σύνολο Εικονικοί Χωρικοί Λεκτικοί Σύνολο Εικονικοί Χωρικοί Λεκτικοί Σύνολο Εικονικοί Χωρικοί Λεκτικοί 56,444 49,792 60,789 58,750 74,635 68,229 81,847 77,778 88,596 79,167 82,237 73, Ο πίνακας 9 παρουσιάζει τις συσχετίσεις μεταξύ των επιδόσεων με τις τρεις συνιστώσες της δημιουργικότητας. Υπάρχει στατιστικά σημαντική, ισχυρή, θετική συσχέτιση μεταξύ της γενικής γεωμετρικής επίδοσης με την ευχέρεια και την ευελιξία. Όσον αφορά την πρωτοτυπία υπάρχει μέτρια, στατιστικά σημαντική, θετική συσχέτιση με τη γενική γεωμετρική επίδοση. Η εικονική γεωμετρική επίδοση συσχετίζεται με την ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία. Η συσχέτιση μεταξύ τους είναι στατιστικά σημαντική, ισχυρή και θετική. Η λεκτική και η χωρική γεωμετρική επίδοση παρουσιάζουν στατιστικά σημαντικές, θετικές συσχετίσεις με την ευχέρεια και την ευελιξία. Συγκεκριμένα στη λεκτική γεωμετρική επίδοση η συσχέτιση είναι μέτρια, ενώ στη χωρική γεωμετρική επίδοση χαμηλή. Πίνακας 9. Συσχέτιση των γεωμετρικών επιδόσεων με τις συνιστώσες της δημιουργικότητας. Ευχέρεια Ευελιξία Πρωτοτυπία Γενική Επίδοση 0,612** 0,604** 0,378** 61

72 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου Λεκτική Επίδοση 0,410** 0,436** 0,197 Χωρική Επίδοση 0,267* 0,298** 0,093 Εικονική Επίδοση 0,703** 0,600** 0,618** **Επίπεδο στατιστική σημαντικότητας μικρότερο από 0,01 * Επίπεδο στατιστική σημαντικότητας μικρότερο από 0,05 Ακόμη, εντοπίστηκε στατιστικά σημαντική, θετική συσχέτιση μεταξύ των επιπέδων Van Hiele με την ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία (πίνακας 10). Τα επίπεδα Van Hiele συσχετίζονται μέτρια με την ευελιξία. Χαμηλή συσχέτιση παρουσιάζουν τα επίπεδα Van Hiele με την ευχέρεια και την πρωτοτυπία. Πίνακας 10. Συσχέτιση των επιπέδων Van Hiele με τις συνιστώσες της δημιουργικότητας. Ευχέρεια Ευελιξία Πρωτοτυπία Επίπεδα Van Hiele 0,275** 0,371** 0,264** **Επίπεδο στατιστική σημαντικότητας μικρότερο από 0,01 Επαγωγική Ανάλυση Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι αναλύσεις διασποράς (ANOVA one-way). Στον έλεγχος σημαντικότητας των διαφορών μεταξύ των επιπέδων Van Hiele με βάση την ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία παρατηρήθηκαν στατιστικά σημαντικές διαφορές μεταξύ των επιπέδων. Επομένως, υπάρχουν τα επίπεδα Van Hiele -ως προς την ευχέρεια, την ευελιξία και την πρωτοτυπία- και έχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές με βάση τον αυστηρό έλεγχο Scheffe. Τα υποκείμενα παρουσιάζουν διαφορετική συμπεριφορά σε ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία ανάλογα με το επίπεδο Van Hiele που βρίσκονται (πίνακες 11, 12 και 13). Πίνακας 11. Έλεγχος σημαντικότητας των διαφορών μεταξύ των επιπέδων Van Hiele με βάση την ευχέρεια. 62

73 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία Πηγή διακύμανσης Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων F p Μεταξύ των ομάδων 4 123,660 6,293 0,00097 Εντός των ομάδων 77 19,651 Σύνολο 81 Πίνακας 12. Έλεγχος σημαντικότητας των διαφορών μεταξύ των επιπέδων Van Hiele με βάση την ευελιξία. Πηγή διακύμανσης Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων F p Μεταξύ των ομάδων 4 21,447 6,420 0,00097 Εντός των ομάδων 77 3,808 Σύνολο 81 Πίνακας 13. Έλεγχος σημαντικότητας των διαφορών μεταξύ των επιπέδων Van Hiele με βάση την πρωτοτυπία. Πηγή διακύμανσης Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων F p Μεταξύ των ομάδων , ,006 Εντός των ομάδων ,667 Σύνολο 81 Στη γραφική παράσταση 6 παρουσιάζονται τα ποσοστά ευχέρειας, ευελιξίας και πρωτοτυπίας σε κάθε επίπεδο Van Hiele. Όπως φαίνεται από τη γραφική παράσταση, 63

74 Ευχέρεια Ευελιξία Πρωοτυπία Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου στα επίπεδα 1 και «πριν το 0», παρουσιάζονται τα χαμηλότερα ποσοστά και στις τρεις συνιστώσες της δημιουργικότητας στη γεωμετρία. Ακόμη και στις τρεις συνιστώσες τα επίπεδα 0, 2 και 3 υπερέχουν έναντι των υπολοίπων. Αξίζει να αναφερθεί ότι τα επίπεδα Van Hiele δεν παρουσιάζουν στατιστικά σημαντικές διαφορές με βάση το γνωστικό στυλ. Γραφική Παράσταση 6. Ποσοστά ευχέρειας, ευελιξίας και πρωτοτυπίας σε κάθε επίπεδο Van Hiele. Επίπεδο 3 Επίπεδο 2 Επίπεδο 1 Επίπεδο 0 Πριν το 0 Επίπεδο 3 Επίπεδο 2 Επίπεδο 1 Επίπεδο 0 Πριν το 0 Επίπεδο 3 Επίπεδο 2 Επίπεδο 1 Επίπεδο 0 Πριν το 0 3,79 13,67 17,22 17,78 23,72 20,35 27,46 25,00 26,67 31,83 31,85 40,12 42,22 45,68 44, Σύμφωνα με την ανάλυση διασποράς υπάρχουν οι τρεις κατηγορίες του λεκτικού επιπέδου (ψηλοί, μεσαίοι, χαμηλοί) ως προς την ευελιξία και έχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές με βάση τον αυστηρό έλεγχο Scheffe. Τα υποκείμενα παρουσιάζουν διαφορετική συμπεριφορά στην ευελιξία ανάλογα με την κατηγορία του λεκτικού επιπέδου στο οποίο βρίσκονται. (πίνακας 14). Πίνακας 14. Έλεγχος σημαντικότητας των διαφορών μεταξύ των κατηγοριών του λεκτικού επιπέδου με βάση την ευελιξία. Πηγή διακύμανσης Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων F p Μεταξύ των ομάδων 2 19,121 2,282 0,017 Εντός των ομάδων 79 4,466 64

75 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία Σύνολο 81 Επιπρόσθετα, υπάρχουν οι κατηγορίες των χωρικών επιπέδων ως προς την ευχέρεια και την πρωτοτυπία και έχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές με βάση τον αυστηρό έλεγχο Scheffe. Τα υποκείμενα παρουσιάζουν διαφορετική συμπεριφορά στην ευχέρεια και την πρωτοτυπία ανάλογα με την κατηγορία του χωρικού επιπέδου στο οποίο βρίσκονται (πίνακες 15 και 16). Πίνακας 15. Έλεγχος σημαντικότητας των διαφορών μεταξύ των κατηγοριών του χωρικού επιπέδου με βάση την ευχέρεια. Πηγή διακύμανσης Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων F p Μεταξύ των ομάδων 2 139,741 6,388 0,003 Εντός των ομάδων 79 21,877 Σύνολο 81 Πίνακας 16. Έλεγχος σημαντικότητας των διαφορών μεταξύ των κατηγοριών του χωρικού επιπέδου με βάση την πρωτοτυπία.. Πηγή διακύμανσης Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων F p Μεταξύ των ομάδων ,632 3,188 0,047 Εντός των ομάδων ,851 Σύνολο 81 65

76 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου Ακόμη, σύμφωνα με τον πίνακα 17, υπάρχουν οι κατηγορίες του εικονικού επιπέδου ως προς την ευελιξία και έχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές με βάση τον αυστηρό έλεγχο Scheffe. Τα υποκείμενα παρουσιάζουν διαφορετική συμπεριφορά στην ευελιξία ανάλογα με την κατηγορία του εικονικού επιπέδου στο οποίο βρίσκονται. Πίνακας 17. Έλεγχος σημαντικότητας των διαφορών μεταξύ των κατηγοριών του εικονικού επιπέδου με βάση την ευελιξία.. Πηγή διακύμανσης Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων F p Μεταξύ των ομάδων 2 14,901 3,259 0,044 Εντός των ομάδων 79 4,572 Σύνολο 81 Μέσα από διάφορες παλινδρομικές αναλύσεις (Regression Analysis), εντοπίστηκαν εξισώσεις πρόβλεψης μεταξύ των μεταβλητών. Ακολουθεί ανάλυση των εξισώσεων αυτών. Ο πίνακας 18 δίνει την εξίσωση με την οποία μπορεί να προβλεφθεί η γενική γεωμετρική επίδοση όταν είναι γνωστή η ευχέρεια. Το πιο κάτω μοντέλο της παλινδρομικής ανάλυσης προβλέπει το 36,7% της γενικής επίδοσης των υποκειμένων συναρτήσει της ευχέρειας. Δηλαδή, η αύξηση (ή μείωση) της ευχέρειας προκαλεί αύξηση (ή μείωση) στη βαθμολογία της γενικής γεωμετρικής επίδοσης. Πίνακας 18. Παλινδρομική εξίσωση γενικής γεωμετρικής επίδοσης. Γενική γεωμετρική επίδοση = 5,997 + (0,175 Χ Ευχέρεια)+r R=0,612 R 2 =37,5% Στον πίνακα 19 δίνεται η εξίσωση με την οποία μπορεί να προβλεφθεί η εικονική γεωμετρική επίδοση όταν είναι γνωστή η ευχέρεια. Το πιο κάτω μοντέλο της 66

77 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία παλινδρομικής ανάλυσης προβλέπει το 48,7% της εικονικής επίδοσης των υποκειμένων συναρτήσει της ευχέρειας. Πίνακας 19. Παλινδρομική εξίσωση εικονικής γεωμετρικής επίδοσης. Εικονική γεωμετρική επίδοση = 0,568 + (0,025 Χ Ευχέρεια)+r R=0,703 R 2 =49,4% Ακόμη, η εικονική γεωμετρική επίδοση μπορεί να προβλεφθεί με βάση την ευχέρεια και την ευελιξία στο εικονικό, δημιουργικό έργο. Το πιο κάτω μοντέλο (πίνακας 20) της παλινδρομικής ανάλυσης προβλέπει το 68,3% της εικονικής γεωμετρικής επίδοσης των υποκειμένων συναρτήσει της ευχέρειας (b=0,637, p=0,0097) και της ευελιξίας (b=0,299, p=0,0097) σε εικονικό δημιουργικό έργο. Η ευχέρεια είναι πιο ισχυρός δείκτης πρόβλεψης της εικονικής γεωμετρικής επίδοσης από ότι είναι η ευελιξία στο εικονικό δημιουργικό έργο. Πίνακας 20. Παλινδρομική εξίσωση εικονικής γεωμετρικής επίδοσης. Εικονική γεωμετρική επίδοση = 0,621 + (0,03 Χ Ευχέρεια3)+(0,046 Χ Ευελιξία3)+r R=0,831 R 2 =69,1% Στον πίνακα 21 δίνεται η εξίσωση με την οποία μπορεί να προβλεφθεί η ευχέρεια όταν είναι γνωστή η εικονική και χωρική επίδοση στα γεωμετρικά έργα. Το πιο κάτω μοντέλο της παλινδρομικής ανάλυσης προβλέπει το 54,8% της ευχέρειας των υποκειμένων συναρτήσει της εικονικής (b=0,698, p=0,0097) και χωρικής (b=0,256, p=0,001) γεωμετρικής επίδοσης. Η εικονική γεωμετρική επίδοση προβλέπει μεγαλύτερο ποσοστό της ευχέρειας από ότι η χωρική γεωμετρική επίδοση. Πίνακας 21. Παλινδρομική εξίσωση ευχέρειας. Ευχέρεια = -9,455+(19,859 Χ Εικονική επίδοση)+(6,359 Χ Χωρική Επίδοση)+r R=0,748 67

78 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου R 2 =55,9% Στον πίνακα 22 δίνεται η εξίσωση με την οποία μπορεί να προβλεφθεί η ευχέρεια όταν είναι γνωστή η γενική γεωμετρική επίδοση. Το πιο κάτω μοντέλο της παλινδρομικής ανάλυσης προβλέπει το 36,7% της ευχέρειας των υποκειμένων συναρτήσει της γενικής γεωμετρικής επίδοσης. Πίνακας 22. Παλινδρομική εξίσωση ευχέρειας. Ευχέρεια = -6,155+(2,140 Χ Γενική γεωμετρική επίδοση)+r R=0,612 R 2 =37,5% Στον πίνακα 23 δίνεται η εξίσωση με την οποία μπορεί να προβλεφθεί η ευελιξία. Το πιο κάτω μοντέλο της παλινδρομικής ανάλυσης προβλέπει το 35,7% της ευελιξίας των υποκειμένων συναρτήσει της γενικής γεωμετρικής επίδοσης. Πίνακας 23. Παλινδρομική εξίσωση ευελιξίας. Ευελιξία = -1,967+(0,932 Χ Γενική γεωμετρική επίδοση)+r R=0,604 R 2 =36,5% Στον πίνακα 24 δίνεται η εξίσωση με την οποία μπορεί να προβλεφθεί η πρωτοτυπία όταν είναι γνωστή η εικονική γεωμετρική επίδοση. Το πιο πάνω μοντέλο της παλινδρομικής ανάλυσης προβλέπει το 37,4% της πρωτοτυπίας των υποκειμένων συναρτήσει της εικονικής γεωμετρικής επίδοσης. Πίνακας 24. Παλινδρομική εξίσωση πρωτοτυπίας. Πρωτοτυπία = -228,173+(461,965 Χ Εικονική γεωμετρική επίδοση)+r R=0,618 R 2 =38,1% 68

79 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία Συμπεράσματα Ο σκοπός της παρούσας έρευνας ήταν να διερευνήσει τις διαφορές σε επίδοση και δημιουργικότητα στη γεωμετρία σύμφωνα με τα γνωστικά στυλ των εκπαιδευτικών πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. Όπως αναφέρουν οι Pitta-Pantazi και Christou (2009a), οι διαφορετικές κατηγορίες των οπτικών τύπων, συγκεκριμένα των εικονικών και των χωρικών, μπορεί να έχουν διαφορετική επίδραση στη δημιουργικότητα των ατόμων στα μαθηματικά. Ακόμη, η κατανόηση του γνωστικού στυλ είναι σημαντική για την επίλυση μαθηματικού προβλήματος, διότι οι μαθητές με διαφορετικά γνωστικά στυλ μπορεί να προσπαθήσουν να χρησιμοποιήσουν διαφορετικές στρατηγικές για την επίλυση μαθηματικού προβλήματος (NCTM, 2000). Η παρούσα έρευνα ασχολήθηκε αποκλειστικά με την περιοχή της γεωμετρίας, όπου οι έρευνες μεταξύ γνωστικού στυλ, επίδοσης και δημιουργικότητας είναι ελάχιστες. Με βάση τα αποτελέσματα της έρευνας, διαπιστώθηκε ότι ένα σημαντικό ποσοστό των δασκάλων (12,20%) δεν κατέκτησε ούτε το επίπεδο 0 από τα επίπεδα Van Hiele. Το αποτέλεσμα αυτό συμφωνεί με τα αποτελέσματα της έρευνας των Mason και Schell (1988), όπου το 8% των δασκάλων δεν κατακτούσε ούτε το επίπεδο 0 αλλά και με τα αποτελέσματα της Mayberry (1983), όπου το ποσοστό ανεβαίνει στο 13%. Επίσης, η πλειοψηφία των δασκάλων βρισκόταν κάτω από το επίπεδο 3, γεγονός που συνάδει με τα αποτελέσματα της Mayberry (1983), όπου περισσότεροι από τους μισούς υποψηφίους εκπαιδευτικούς βρίσκονταν στο επίπεδο 2 ή σε χαμηλότερο επίπεδο. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι υπάρχει στατιστικά σημαντική και θετική συσχέτιση μεταξύ του χωρικού γνωστικού στυλ με όλες τις συνιστώσες της μαθηματικής δημιουργικότητας (ευχέρεια, ευελιξία, πρωτοτυπία). Επιπρόσθετα, εντοπίστηκε στατιστικά σημαντική και αρνητική συσχέτιση μεταξύ του λεκτικού γνωστικού στυλ με την ευελιξία και την πρωτοτυπία. Δεν υπήρξε καμία σημαντική συσχέτιση του εικονικού στυλ με οποιαδήποτε συνιστώσα. Τα αποτελέσματα αυτά συνάδουν με τα αποτελέσματα των Pitta-Pantazi και Christou (2009a), οι οποίοι σε έρευνα τους βρήκαν ότι τα χωρικά-οπτικά άτομα είχαν στατιστικά σημαντική και θετική συσχέτιση με τη δημιουργικότητα στα μαθηματικά και με τις τρεις διαστάσεις της δημιουργικότητας (ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία) και αντιθέτως οι λεκτικοί τύποι είχαν αρνητική συσχέτιση με την ευελιξία. Επιπρόσθετα, μέσα από την επεξεργασία των αποτελεσμάτων διαπιστώθηκε ότι τα υποκείμενα παρουσιάζουν διαφορετική συμπεριφορά στην ευελιξία ανάλογα με την κατηγορία του λεκτικού επιπέδου στο οποίο βρίσκονται (ψηλοί, μεσαίοι, χαμηλοί). Το ίδιο ισχύει και για τις κατηγορίες του εικονικού επιπέδου. Ακόμη, τα υποκείμενα 69

80 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου παρουσιάζουν διαφορετική συμπεριφορά στην ευχέρεια και την πρωτοτυπία ανάλογα με την κατηγορία του χωρικού επιπέδου στο οποίο βρίσκονται. Επιπλέον, δεν εμφανίστηκε στατιστικά σημαντική συσχέτιση των γνωστικών στυλ με τα επίπεδα Van Hiele. Στην έρευνα των Pitta-Pantazi και Christou (2009b), βρέθηκε ότι τα γνωστικά στυλ των μαθητών έκτης τάξης δημοτικού σχολείου δεν αποτελούν καθοριστικό παράγοντα που ερμηνεύει τις διαφορές στην επίδοση των ατόμων στη γεωμετρία. Επίσης, μία άλλη έρευνα των ερευνητών, που αφορούσε υποψήφιους νηπιαγωγούς, καταλήγει στο συμπέρασμα ότι το γνωστικό στυλ, δεν επηρεάζει την επίδοση των ατόμων στη γεωμετρία (Pitta-Pantazi και Christou, 2009c). Ακόμη, βρέθηκε ότι υπάρχει στατιστικά σημαντική, χαμηλή, θετική συσχέτιση μεταξύ του χωρικού στυλ με τη γενική επίδοση στις ασκήσεις γεωμετρίας και ειδικότερα με τη συνολική επίδοση στα εικονικά γεωμετρικά έργα. Οι Hegarty και Kozhevnikov (1999), σε έρευνα τους ανακάλυψαν ότι οι μαθητές δημοτικού σχολείου που είχαν υψηλή χωρική ικανότητα (χωρικοί-οπτικοί τύποι) έτειναν να δημιουργούν σχηματικές αναπαραστάσεις, οι οποίες σχετίζονται θετικά με την επιτυχή λύση του μαθηματικού προβλήματος. Όσον αφορά τα άτομα που χαρακτηρίζονται ψηλοί σε μόνο ένα γνωστικό στυλ, τα εικονικά έργα συγκεντρώνουν το υψηλότερο ποσοστό επιτυχίας και τα χωρικά το χαμηλότερο. Τόσο στα λεκτικά, χωρικά και εικονικά έργα υπερέχουν οι χωρικοί τύποι, ακολουθούν οι λεκτικοί και τελευταίοι έρχονται οι εικονικοί. Το μεγαλύτερο ποσοστό παρουσιάζουν τα άτομα με ψηλό χωρικό στυλ στα εικονικά έργα. Τα αποτελέσματα αυτά συμβαδίζουν με την βιβλιογραφία. Οι Anderson, Casey, Thompson, Burrage, Pezaris και Kosslyn (2008), διεξήγαγαν μία έρευνα στην οποία φαίνεται η δύναμη τόσο του χωρικού-οπτικού, όσο και του λεκτικού στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων. Μέσα από την ανάλυση των δεδομένων παρουσιάστηκε στατιστικά σημαντική, θετική συσχέτιση μεταξύ της γενικής γεωμετρικής επίδοσης με την ευχέρεια, την ευελιξία και την πρωτοτυπία. Ένα μέρος της ευελιξίας και της ευχέρειας των υποκειμένων προβλέπεται συναρτήσει της γενικής γεωμετρικής επίδοσης. Αξίζει να σημειωθεί ότι υπάρχει στατιστικά σημαντική, ισχυρή, θετική συσχέτιση μεταξύ εικονικής γεωμετρικής επίδοσης με την ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία. Η αύξηση (ή μείωση) της ευχέρειας προκαλεί αύξηση (ή μείωση) της γενικής γεωμετρικής επίδοσης και της εικονικής γεωμετρικής επίδοσης. Επίσης, τα υποκείμενα παρουσιάζουν διαφορετική συμπεριφορά στην ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία ανάλογα με το επίπεδο Van Hiele στο οποίο βρίσκονται. Συγκεκριμένα, στα επίπεδα 1 και «πριν το 0», παρουσιάζονται τα χαμηλότερα ποσοστά και στις τρεις συνιστώσες της δημιουργικότητας στη γεωμετρία. Ακόμη και στις τρεις συνιστώσες τα επίπεδα 0, 2 και 3 υπερέχουν έναντι των υπολοίπων. Σύμφωνα με τους Sharygin και Protasov (2004) 70

81 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία μελετώντας γεωμετρία και επιλύοντας γεωμετρικά προβλήματα διατηρείται η δημιουργικότητα των μαθητών. Επιπρόσθετα, οι ίδιοι υποστηρίζουν ότι η γεωμετρία αναπτύσσει τη μαθηματική διαίσθηση και εξοικειώνει τους μαθητές στην ελεύθερη μαθηματική δημιουργικότητα. Η παρούσα έρευνα διερευνάει τις διαφορές σε επίδοση και δημιουργικότητα στη γεωμετρία σύμφωνα με τα γνωστικά στυλ των εκπαιδευτικών πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. Σε μελλοντικό ερευνητικό στάδιο θα μπορούσαν να διεξαχθούν έρευνες οι οποίες να μελετούν αν το γνωστικό στυλ του εκάστοτε εκπαιδευτικού επηρεάζει τον τρόπο διδασκαλίας του στο μάθημα της γεωμετρίας. Επιπλέον, μία άλλη έρευνα θα μπορούσε να ασχοληθεί με το βαθμό που η επίδοση και η δημιουργικότητα των εκπαιδευτικών στη γεωμετρία επηρεάζουν την επίδοση και τη δημιουργικότητα των μαθητών τους στη γεωμετρία. Επίσης, θα μπορούσε να διεξαχθεί η παρούσα έρευνα με υποκείμενα μαθητές πρωτοβάθμιας ή δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης ή με εκπαιδευτικούς δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης ή και με πιο έμπειρους εκπαιδευτικούς πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. Τέλος, το δείγμα της έρευνας θα μπορούσε να ήταν μεγαλύτερο. 71

82 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου ΑΝΑΦΟΡΕΣ Anderson, K. L., Casey, M. B., Thompson, W. L., Burrage, M. S., Pezaris, E., & Kosslyn, S. M. (2008). Performance on middle school geometry problem with geometry clues matched to three different cognitive styles. Mind, Brain and Education, 2(4), Blazhenkova, O., & Kozhevnikov, M. (2009). The new object-spatial-verbal cognitive style model: Theory and measurement. Applied Cognitive Psychology, 23(5), Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (Eds). (1984). English translation of selected writings of Dina van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele. Brooklyn: Brooklyn College. (ERIC Document Reproduction Service No. ED ). Haylock, D. W. (1987). A framework for assessing mathematical creativity in school children. Educational Studies in Mathematics, 18, Hegarty, M., & Kozhevnikov, M. (1999). Types of visual-spatial representations and mathematical problem solving. Journal of Educational Psychology, 91(4), Jones, G. A., & Swafford, J. O. (1997). Increased knowledge in geometry and instructional practice. Journal for Research in Mathematics Education, 28(4), Kozhevnikov, M., Hegarty, M., & Mayer, R. E. (2002). Revising the visualizeverbalizer dimension: Evidence for two types of visualizers. Cognition and Instruction, 20(1), Kozhevnikov, M., Kosslyn, S., & Shephard, J. (2005). Spatial versus object visualizers: A new characterization of visual cognitive style. Memory and Cognition, 33(4), Leikin, R. (2009). Exploring mathematical creativity using multiple solution tasks. In R. Leikin, A. Berman, & B. Koichu (Eds.), Creativity in mathematics and the education of gifted students (pp ). Rotterdam, The Netherlands: Sense Publishers. Liljedahl, P., & Sriraman, B. (2006). Musings on mathematical creativity. For The Learnings of Mathematics, 26(1), Mann, E. (2006). Creativity: The Essence of Mathematics. Journal of the Education of the Gifted, 30(2), Mason, M. M., & Schell, V. (1988). Geometric understanding and misconceptions among preservice and inservice mathematics teachers. In M. J. Behr, C. B. Lacampagne, & M. M. Wheeler (Eds.), Proceedings of the Tenth Annual Meeting of 72

83 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp ). DeKalb, IL: Northern Illinois University. Mayberry, J. (1983). The van Hiele level of geometric thought in undergraduate, preservice teachers. Journal for Research in Mathematics Education, 14(1), National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author. Pitta-Pantazi, D., & Christou, C. (2009a). Mathematical creativity and cognitive styles. In Tzekaki, M., Kaldrimidou, M. & Sakonidis, H. (Eds). Proceeding of the 33 rd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, pp ).Thessaloniki, Greece: PME. Pitta-Pantazi, D., & Christou, C. (2009b). Cognitive style, dynamic geometry and measurement performance. Educational Studies in Mathematics, 70(1), Pitta-Pantazi, D., & Christou, C. (2009c). Cognitive style, task presentation mode and mathematical performance. Research in Mathematics Education, 11(2), Sharygin, I. F. & Protasov, V. Yu. (2004). Does the school of the 21st century need geometry? Paper presented at the 10th International Congress on Mathematical Education, Copenhagen, Denmark. Silver, E. A. (1997). Fostering creativity through instruction rich in mathematical problem solving and problem posing. International Reviews on Mathematical Education, 29, Treffinger, D. J., Young, G. C., Selby, E.C., & Shepardson, C. (2002). Assessing creativity: A guide for educators (RM02170). Storrs: University of Connecticut, The National Research Center on the Gifted and Talented. Unal, H., Jakubowski, E., & Corey, D. (2009). Differences in learning geometry among high and low spatial ability pre-service mathematics teachers. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 40(8), doi: / Usiskin, Z. P. (1982). Van Hiele levels and achievement in secondary school geometry (Final Report of the Cognitive Development and Achievement in Secondary School Geometry Project). Chicago, IL: University of Chicago, Department of Education. (ERIC Reproduction Service No. ED ). Witkin, H. A., Moore, C. A., Goodenough, D. R., & Cox, P. W. (1977). Fielddependent and field-independent cognitive styles and their educational implications. Review of Educational Research, 47(1),

84 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου 74

85 ΧΩΡΙΚΗ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ Αθανάσιος Γαγάτσης, Παναγιώτα Καλογήρου & Ανδρούλλα Πετρίδου Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το παρών άρθρο έχει ως σκοπό του να αναλύσει τους δύο όρους «χωρικής ικανότητα» (Spatial Ability) και «κατανόησης γεωμετρικού σχήματος» (Geometrical Figure Apprehension). Μέσα από μία πληθώρα ερευνών επιχειρείται η καλύτερη κατανόηση των εννοιών αυτών καθώς και των παραγόντων που τους αποτελούν. Συγκεκριμένα γίνεται μια προσπάθεια για διασαφήνιση της φύσης και της δομής της χωρικής ικανότητας, αλλά και της επίδρασης της χωρικής ικανότητας στη μάθηση και διδασκαλία των μαθηματικών. Χωρική Ικανότητα Θεωρητικό Υπόβαθρο Ο Freudenthal (1973) αναφέρει ότι η γεωμετρία είναι ένας χώρος στον οποίο το παιδί ζει, αναπνέει και κινείται και τον οποίο θα πρέπει να τον γνωρίσουν, να τον εξερευνήσουν και να τον κατακτήσουν προκειμένου να ζουν, να αναπνέουν και να κινούνται καλύτερα σε αυτόν (στους Ryu, Chong & Song, 2007). Η κατανόηση του χώρου, οι σχέσεις και ο οπτικός χειρισμός αντικειμένων στο χώρο αποτελούν σημαντικές συνιστώσες της γεωμετρικής και ευρείας μαθηματικής και επιστημονικής σκέψης (Michaelides, 2003). Οι Hegarty και Waller (2005), αναφέρουν ότι η χωρική ικανότητα είναι απαραίτητη ικανότητα σε ένα μεγάλο αριθμό καθημερινών δραστηριοτήτων, όπως τη μετακίνηση των επίπλων σε ένα δωμάτιο, την ετοιμασία των αποσκευών και τη μετακίνηση του ατόμου σε μια πόλη. Η χωρική ικανότητα είναι ένα θέμα το οποίο απασχόλησε τόσο ψυχολόγους όσο και ερευνητές της μαθηματικής παιδείας. Οι πρώτες μελέτες στον τομέα της χωρικής ικανότητας χρονολογούνται γύρω στη δεκαετία του '40 και τη δεκαετία του '50, στη βιβλιογραφία της μαθηματικής παιδείας. Εντούτοις, η έννοια προκαλούσε ενδιαφέρον

86 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου στους ψυχολόγους (Spearman, 1927; Thurstone, 1938; στο Unal, 2005) μία δεκαετία νωρίτερα. Από τη φύση της η χωρική ικανότητα αποτελεί ένα πολύπλοκο θέμα, με διαφορετικές ερμηνείες από κάθε ερευνητή. Οι αντιλήψεις των ερευνητών συγκρούονται όχι μόνο στην προσπάθεια αποσαφήνισης του όρου της χωρικής ικανότητας, αλλά και στον καθορισμό του αριθμού των χωρικών ικανοτήτων, στην ονομασία των παραγόντων και στα τεστ που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση του κάθε παράγοντα. Σε εκείνες τις αρχικές μελέτες, πάρα πολλοί μαθηματικοί (Murray, 1949; Wrigley, 1958; Barakat, 1951; στο Unal, 2005) διερεύνησαν τη σχέση μεταξύ των χωρικών ικανοτήτων και των μαθηματικών ικανοτήτων σε διαφορετικό πλαίσιο, όπως η άλγεβρα και η γεωμετρία. Διαπίστωσαν ότι η χωρική ικανότητα συσχετίστηκε περισσότερο με την ικανότητα στη γεωμετρία παρά στην άλγεβρα (στο Bishop, 1983, σελ.181; στο Unal, 2005). Από τότε, οι η χωρική ικανότητα θεωρείται πολύ σημαντική για την απόκτηση υψηλών μαθηματικών ικανοτήτων (Battista, 1994, 1998, 1999; Battista & Clements, 1990, 1991, 1996, 2002; Battista, Wheatley & Talsma, 1982, 1989; Bishop, 1983; Clements & Battista, 1992; Del Grande, 1987; Guay & McDaniel, 1977; Wheatley, 1990, 1992; στο Unal, 2005). Το National Council of Mathematics (2000) έχει θέσει ως κεντρικό στόχο στα μαθηματικά του σχολείου, την ανάπτυξη της χωρικής ικανότητας. Οι χωρικές ικανότητες και ο ρόλος τους στη μάθηση αναγνωρίζονται επίσης στη χημεία (Bodner & Guay, 1996; Carter, LaRussa, & Bodner, 1987; Lord, 1987), μηχανολογία (Hsi, Lyn, & Bell, 1997), γεωεπιστήμη (Kali & Orion, 1996), επιστήμη της φυσικής (Pallrand, & Seeber, 1984) (στο Unal, 2005) Οι Strong και Smith (2002), αναφέρουν ότι για τη «χωρική ικανότητα» δόθηκαν πολλοί ορισμοί, οι οποίοι δυσκολεύουν πολύ την αποσαφήνιση του ακριβούς νοήματός της. Συγκεκριμένα, οι Linn και Petersen (1985), αναφέρουν ότι είναι γενικά αποδεκτό το γεγονός ότι η χωρική ικανότητα είναι μέρος της νοητικής ικανότητας, όμως αυτό που πρέπει να γίνει είναι να αποσαφηνιστεί ο ορισμός της. Η χωρική ικανότητα αναφέρεται, γενικά, στη δεξιότητα αναπαράστασης, μετασχηματισμού, γενίκευσης και μνήμης των συμβολικών, μη γλωσσικών πληροφοριών. Επίσης, οι ίδιοι ορίζουν τη χωρική ικανότητα ως νοητική διαδικασία, η οποία αντιλαμβάνεται, αποθηκεύει, ανασύρει, δημιουργεί, επεξεργάζεται εικόνες που αναφέρονται στο χώρο - περιβάλλον. Σύμφωνα με τον Lohman (1979), η χωρική ικανότητα μπορεί να οριστεί ως η ικανότητα του ατόμου να παράγει, να διατηρεί και να χειρίζεται νοητικές χωρικές εικόνες (Clements, 1981; στους Ryu, Chong, Song, 2007). Άλλοι ερευνητές, όπως οι Lean και Clements (1981), ορίζουν την χωρική ικανότητα ως «την ικανότητα να σχηματοποιούν τις νοερές εικόνες και να χειρίζονται αυτές τις εικόνες στο μυαλό τους» 76

87 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση (σελ. 267). Η χωρική ικανότητα σχετιζόμενη με τα μαθηματικά, ορίζεται, από τον Smith (1998), ως «η ικανότητα του ατόμου να λύνει προβλήματα, που έχουν κυρίως οπτικό-χωρικό περιεχόμενο, χρησιμοποιώντας τουλάχιστον κάποιο εικονικό ή γεωμετρικό στυλ νοητικών αναπαραστάσεων και / ή δραστηριότητες που σχετίζονται λειτουργικά με το οπτικό ή γεωμετρικό περιεχόμενο των έργων» (στους Olkun & Knaupp,1999). Οι περισσότερες έρευνες για τη χωρική ικανότητα έχουν παραχθεί στηριζόμενες σε τέσσερις ερευνητικές προοπτικές: (α) η διαφορική προοπτική (differential perspective), που περιλαμβάνει τη σύγκριση της χωρικής ικανότητας διαφορετικών πληθυσμών (όπως γυναίκες και άντρες) (β) η ψυχομετρική προοπτική (psychometric perspective), που περιλαμβάνει τις σχέσεις ανάμεσα στα διαφορετικά χωρικά έργα με σκοπό να προσδιορίσει τους παράγοντες στη χωρική ικανότητα (γ) η γνωστική προοπτική που περιλαμβάνει τον προσδιορισμό των διαδικασιών που χρησιμοποιούνται παγκόσμια για την επίλυση συγκεκριμένων έργων χωρικής ικανότητας που παρόλα αυτά διαφέρουν ποσοτικά στην αποδοτικότητα (δ) τη προοπτική στρατηγικής που περιλαμβάνει τον προσδιορισμό των ποιοτικά διαφορετικών στρατηγικών που χρησιμοποιούνται για την επίλυση ενός έργου χωρικής ικανότητας με διαφορετικούς λύτες. Οι τέσσερις αυτές αντιλήψεις φανερώνουν την πολυπλοκότητα αυτής της περιοχής. Οι ερευνητές κάθε μίας αντίληψης εξετάζουν πληροφορίες λεπτομερώς σε διαφορετικά επίπεδα και χρησιμοποιούν διαφορετικές ποιοτικές προσεγγίσεις (Linn & Petersen, 1985). Δομή και Παράγοντες Χωρικής Ικανότητας Πραγματοποιήθηκαν μία πλειάδα ερευνών και έχουν καταβληθεί αρκετές προσπάθειες καθορισμού της δομής της χωρικής ικανότητας. Οι απόψεις, όμως, τον ερευνητών διίστανται και έτσι δεν υπάρχει μία ευρέως αποδεχτή δομή της χωρικής ικανότητας. Υπάρχουν ερευνητές, όπως οι Burton, Fogarty (2003) και Colom, Contreras, Botella και Santacreu (2001), που υποστηρίζουν ότι η αντίληψη των εννοιών του χώρου είναι μια μονοδιάστατη οντότητα (Burton & Fogarty, 2003) και αμφισβητούν τα αποτελέσματα των ερευνών που διακρίνουν διαφορετικές ικανότητες αντίληψης του χώρου. Από την άλλη, οι Gilmartin και Patton (1984), αναφέρουν ότι οι ψυχολόγοι αποδέχονται ότι η χωρική ικανότητα αποτελείται από διάφορους διακριτούς, αλλά αλληλένδετους παράγοντες. Οι κατηγορίες (παράγοντες) της χωρικής ικανότητας δεν είναι παγιωμένες, αφού δεν υπάρχει μία συγκεκριμένη γενικά αποδεκτή κατηγοριοποίηση. Αξίζει να σημειωθεί ότι με το πέρασμα του χρόνου έχουν δοθεί 77

88 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου πολλές κατηγοριοποιήσεις από διάφορους ερευνητές, οι οποίες στηρίζονταν κάθε φορά στον καθορισμό των ερωτηματολογίων των ερευνών τους. Επιπρόσθετα, ο McGee (1979), υποστηρίζει ότι υπάρχουν μερικές διαφωνίες όσον αφορά τον αριθμό των παραγόντων και πώς οι παράγοντες αυτοί συσχετίζονται μεταξύ τους. Παρόλα αυτά όλοι, φαίνεται, συμφωνούν στην ύπαρξη των πιο κάτω δυο παραγόντων: του παράγοντα της οπτικοποίησης του χώρου (spatial visualization) και του παράγοντα του προσανατολισμού (spatial orientation) των σχέσεων στο χώρο (στους Gilmartin & Patton, 1984). Συγκεκριμένα, η οπτικοποίηση στο χώρο, ορίζεται ως η ικανότητα νοερού χειρισμού οπτικών ερεθισμάτων. Η ικανότητα αυτή, αναφέρεται τόσο σε αντικείμενα δύο διαστάσεων, όσο και σε αντικείμενα τριών διαστάσεων (Gilmartin και Patton, 1984). Η χωρική ικανότητα οπτικοποίησης του McGee (1979) αναφέρεται στην ικανότητα του ατόμου να χειρίζεται, να περιστρέφει, να αλλάζει τη θέση στο μυαλό ενός αντικειμένου που απεικονίζεται ως εικόνα, με άλλα λόγια η ικανότητα, να χρησιμοποιεί τη νοητική εικόνα, για να περιστρέφει, να ταξινομεί ή να χειρίζεται ένα απεικονιζόμενο αντικείμενο. Ο Lohman (1988) προτείνει ένα μοντέλο τριών παραγόντων για τη χωρική ικανότητα, συμπεριλαμβανομένων της «χωρικής οπτικοποίησης», του «χωρικού προσανατολισμού», και των «χωρικών σχέσεων». Η «χωρική οπτικοποίηση» είναι η ικανότητα του ατόμου να κατανοεί νοητικές μετακινήσεις σε ένα τρισδιάστατο χώρο ή η ικανότητα να χειρίζεται τα αντικείμενα στη φαντασία. Επίσης, η χωρική ικανότητα οπτικοποίησης σημαίνει η ικανότητα ταξινόμησης κομματιών ενός αντικειμένου για να ολοκληρωθεί το δίπλωμα χαρτιού ή το γενικό σχήμα (Christou, Jones, Pitta, Pittalis, Mousoulides & Boytchev, 2008). Ο παράγοντας χωρική οπτικοποίηση μετρά την ικανότητα του ατόμου να αναδομεί νοητικά το χειρισμό των συστατικών του οπτικού ερεθίσματος και περιλαμβάνει την αναγνώριση, τη διατήρηση και την ανάκληση του σχήματος όταν αυτό ή τα μέρη του κινούνται. (Bodner & Guay, 1997; στους Ryu, Chong, Song, 2007). Ο Gutiérrez (1996) θεωρεί την «οπτικοποίηση» στα μαθηματικά ως είδος δραστηριότητας συλλογισμού βασισμένη στη χρήση οπτικών ή χωρικών στοιχείων, είτε νοητικών ή φυσικών, για να λύνει προβλήματα ή να αποδεικνύει ιδιότητες. Η οπτικοποίηση αποτελείται από τέσσερα κύρια στοιχεία: (α) νοητικές εικόνες, (β) εξωτερικές αναπαραστάσεις, (γ) διαδικασίες της οπτικοποίησης, και (δ) ικανότητες της οπτικοποίησης. Οι νοητικές εικόνες (mental images) είναι τα βασικά αντικείμενα για την οπτικοποίηση του χώρου (spatial visualization). Σύμφωνα με την Presmeg (1986), «νοητική εικόνα είναι ένα νοερό σχήμα το οποίο περιγράφει ένα οπτικό ή χωρικό 78

89 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση ερέθισμα, χωρίς να είναι απαραίτητη η ύπαρξη ενός εξωτερικού οπτικού ερεθίσματος». Οι μαθητές πρέπει να μάθουν να κατασκευάζουν, να μετασχηματίζουν και να αναλύουν τις νοητικές εικόνες με σκοπό να αποκτήσουν άριστες δυνατότητες στην οπτικοποίηση του χώρου (spatial visualization) (Gutierrez, 1996). Επιπρόσθετα, η Presmeg (1986) περιγράφει πέντε τύπους εικόνων, οι οποίες θα αναλυθούν εκτενέστερα στις επόμενες παραγράφους. Οι πραγματικές εικόνες (concrete images), αναφέρονται σε εικόνες αντικειμένων αποτυπωμένες στο μυαλό. Είναι μια ολιστική εικόνα της οποίας τα μέρη κατά ένα βαθμό είναι μέρη ενός καθημερινού αντικειμένου ή εικόνας. Οι μαθητές που χρησιμοποιούν αυτόν τον τύπο οπτικοποίησς τείνουν να αναγνωρίζουν το όλο σχήμα με ευκολία, αλλά όχι πάντα να αναγνωρίζουν τα μέρη που αποτελούν το σχήμα εκτός και εάν είναι εικονικές. Οι εικόνες μοτίβων - σχέσων (pattern imagery), σχετίζονται με τις σχέσεις που αναπαριστούνται σε ένα οπτικο χωρικό σχήμα και ασχολούνται με συμβολικά και αριθμητικά μοτίβα. Στα χωρικό-μαθηματικά χρησιμοποιείται όταν υπάρχει συνειδητή αναγνώριση κάποιων ιδιοτήτων των πραγματικών εικονογραφημένων εικόνων και των σχέσεων τους, συχνά με τη μορφή μοτίβων και αφηρημένους συλλογισμούς. Για παράδειγμα, ένα μεγάλο τρίγωνο μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύμπλεγμα από τέσσερα μικρά τρίγωνα και ένα τετράγωνο ως ένα σχήμα που έχει το ίδιο είδος γωνιά σε κάθε κορυφή. Οι μνημονικές εικόνες κάποιου τύπου (memory images of formula), υποστηρίζουν ότι μερικοί μαθητές μπορούν να «δουν» στο μυαλό τους μαθηματικούς τύπους όπως εμφανίζονται στον πίνακα της τάξης ή σε σχολικά εγχειρίδια. Οι δυναμικές εικόνες (dynamic images), δημιουργούνται στο μυαλό με κίνηση. Η Presmeg (1986), εισηγείται ότι στη δυναμική οπτικοποίηση τα σχήματα μεταβάλλονται σε νέα σχετικά αντικείμενα. Για παράδειγμα ένα σημείο ή μια πλευρά ενός τριγώνου μπορεί να μετακινηθεί κα να δημιουργήσει διάφορα είδη τριγώνων. Η χρήση κομματιών από υλικά για παραγωγή σχημάτων έχει το πλεονέκτημα ότι μπορούν να γίνουν οι πραγματικές φυσικές ρυθμίσεις. Η δυναμική οπτικοποίηση ίσως είναι ένα σημαντικό βήμα στην προέκταση πρωτότυπων εικόνων και εννοιών. Για παράδειγμα οποιοδήποτε τρίγωνο μπορεί να απεικονιστεί ως το αποτέλεσμα μετακίνησης των κορυφών από ένα ισόπλευρο τρίγωνο σε άλλες θέσεις. Η δυναμική οπτικοποίηση είναι τόσο το μέσο σύνδεσης διαφορετικών πραγματικών εικόνων με μια έννοια όσο και το μέσο σύνδεσης διαφορετικών εννοιών. Τέλος, οι κιναισθητικές εικόνες (kinesthetic images), δημιουργούνται ή μετασχηματίζονται με τη βοήθεια φυσικών κινήσεων (Hegarty & Kozhevnikov, 1999). 79

90 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου Αυτή η οπτικοποίηση ενισχύει τις διαδικασίες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν δημιουργικά για την επίλυση των προβλημάτων (Presmeg, 1986). Ο McGee (1979) ορίζει πέντε στοιχεία των χωρικών δεξιοτήτων: χωρική αντίληψη, χωρική οπτικοποίηση, νοητικές περιστροφές, νοητικές σχέσεις και χωρικός προσανατολισμός. Εντούτοις, δεν υπάρχει ακόμα καμία πραγματική συναίνεση για το τι σημαίνει ο όρος «δεξιότητες χωρικής οπτικοποίησης» ή «χωρικές ικανότητες» (Sorby, 2001). Η χωρική ικανότητα μπορεί να οριστεί ως «έμφυτη» ικανότητα του ατόμου να απεικονίζει τα χωρικά αντικείμενα και τους μετασχηματισμούς τους στη φαντασία του (στις Górska & Juščákova, 2003). Ο McGee ταξινόμησε τις χωρικές ικανότητες οπτικοποίησης σε τέσσερις υποκατηγορίες (Gutiérrez,1996): (α) Στην ικανότητα του ατόμου να απεικονίζει ένα σχήμα στο οποίο υπάρχει μετακίνηση μεταξύ των μερών του. (β) Στην ικανότητα του ατόμου να κατανοεί τις νοητικές μετακινήσεις σε τρεις διαστάσεις, και να χειρίζεται τα αντικείμενα στη φαντασία του. (γ) Στην ικανότητα του ατόμου να φαντάζεται την περιστροφή ενός απεικονιζόμενου αντικειμένου, το (ξε)δίπλωμα ενός στερεού, και οι σχετικές αλλαγές της θέσης των αντικειμένων στο χώρο. (δ) Τέλος, στην ικανότητα του ατόμου να χειρίζεται ή να μετασχηματίζει την εικόνα ενός χωρικού σχεδίου σε άλλη ταξινόμηση. Η μάθηση και η βελτίωση αυτών των ικανοτήτων είναι το κλειδί για όλη τη διαδικασία της οπτικοποίησης του χώρου (spatial visualization). Υπάρχουν διαφορετικού τύπου δεξιότητες, κάποιες από αυτές έχουν ως κύριο συστατικό την ψυχολογία και άλλες έχουν ψυχολογική φύση (Gutierrez, 1996). Πρότεινε δεξιότητες οι οποίες φαίνεται να είναι από τις καλύτερες εφαρμογές στην ακαδημαϊκή ανάπτυξη της Γεωμετρίας. Οι δεξιότητες αντίληψης του χώρου από το Del Grande (1987) είναι επτά. Τα Οπτικά κίνητρα Συντονισμού (Eye motor coordination). Η Αντίληψη του Πλαισίου του σχήματος (figure-ground perception): η δεξιότητα αναγνώρισης ενός συγκεκριμένου σχήματος με την απομόνωση του από ένα περίπλοκο σύνολο. Για παράδειγμα, χρησιμοποιείται όταν οι μαθητές πρέπει να αναγνωρίσουν την έδρα ενός οκτάεδρου, παρατηρώντας τις κορυφές. Η Αντιληπτική Σταθερότητα (perceptual constancy): η δεξιότητα αναγνώρισης αν ένα αντικείμενο έχει σταθερές ιδιότητες όπως σχήμα ή γειτνίαση δυο εδρών ανεξάρτητα από τη θέση του. Η Νοερή Περιστροφή (mental rotation): η δεξιότητα παραγωγής δυναμικών νοητικών εικόνων και οπτικοποίησης της διαμόρφωσης της εικόνας σε κίνηση. 80

91 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση Η Αντίληψη της Θέσης στο Χώρο (perception of spatial positions): η δεξιότητα συσχέτισης ενός αντικειμένου, εικόνας ή οπτικής εικόνας. Η Οπτική Διάκριση (visual discrimination): είναι η δεξιότητα σύγκρισης διαφορετικών αντικειμένων, εικόνων ή/και νοητικών εικόνων, και αναγνώρισης των ομοιοτήτων και διαφορών τους. Η Αντίληψη της Συσχέτισης στο Χώρο (perception of spatial relationship): η δεξιότητα συσχέτισης διαφορετικών αντικειμένων, εικόνων ή/και νοητικών εικόνων μεταξύ τους. Ο δεύτερος παράγοντας ο προσανατολισμός και οι σχέσεις στο χώρο αναφέρεται σε δύο επιμέρους ικανότητες, στην ικανότητα κατανόησης της διαρρύθμισης των οπτικών αντικειμένων σε ένα μοτίβο, διατηρώντας την όταν βλέπουμε τα αντικείμενα αυτά από διαφορετικούς προσανατολισμούς, και στην ικανότητα να καθορίζονται οι χωρικές σχέσεις σύμφωνα με τον προσανατολισμό προς τον εαυτό του ατόμου (Gilmartin & Patton, 1984). Ο χωρικός προσανατολισμός ορίζεται από τον McGee (1979), ως «η αντίληψη της ρύθμισης των στοιχείων μέσα σε ένα μοντέλο οπτικού ερεθίσματος και η δεξιότητα του υποκειμένου να μην μπερδευτεί από την αλλαγή του προσανατολισμού, στον οποίο η χωρική σύνθεση μπορεί να παρουσιαστεί». Παρομοίως, ο Lohman (1988) ορίζει το «χωρικό προσανατολισμό» ως το μέτρο της ικανότητας κάποιου να μη μπερδεύεται από τις αλλαγές στον προσανατολισμό των οπτικών ερεθισμάτων που απαιτεί μόνο μια νοητική περιστροφή του σχήματος (Christou, κ.ά., 2008). Επίσης, «ο παράγοντας χωρικός προσανατολισμός έχει περιγραφεί ως το μέτρο της ικανότητας του ατόμου να μην επηρεάζεται από τις αλλαγές στον προσανατολισμό των οπτικών ερεθισμάτων, και επομένως, περιλαμβάνει μόνο μία νοητική περιστροφή του σχήματος» (Bodner & Guay, 1997; στο Unal, 2005). Αξίζει να σημειωθεί, ότι οι απόψεις των πιο πάνω ερευνητών συγκλίνουν, όσον αφορά τον ορισμό του προσανατολισμού στο χώρο. Η οπτικοποίηση του χώρου, αλλά και ο προσανατολισμός στο χώρο, απαιτούν ορισμένη χρήση της βραχύχρονης οπτικής μνήμης. Τα ευρήματα διαφόρων ερευνών υποστηρίζουν ότι η οπτικοποίηση στο χώρο συσχετίζεται με την επιτυχία στα μαθηματικά, ενώ ο προσανατολισμός στο χώρο συσχετίζεται στενά με την αίσθηση της κατεύθυνσης και του ανεξάρτητου πεδίου ή εξαρτημένου πεδίου (McGee, 1979; στους Strong και Smith, 2002). Τέλος, ο Lohman το 1988, εισήγαγε ακόμη έναν παράγοντα της χωρικής ικανότητας, τη «χωρική σχέση», η οποία ορίζεται από την ταχύτητα στο χειρισμό απλών οπτικών σχεδίων, όπως νοητικές περιστροφές και περιγράφει την ικανότητα 81

92 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου νοητικής περιστροφής ενός χωρικού αντικειμένου γρήγορα και σωστά (Christou, κ.ά., 2008). Οι Linn και Petersen (1985), διαχωρίζουν ελαφρώς διαφορετικά τη χωρική ικανότητα, σε σχέση με τους προαναφερθέντες ερευνητές, αφού τη χωρίζουν σε τρεις κατηγορίες, την Αντίληψη του Χώρου (Spatial Perception), την Νοερή Περιστροφή (Mental Rotation) και την Εξεικόνιση στο Χώρο (Spatial Visualization). Η πρώτη κατηγορία, που αφορά την αντίληψη του χώρου (Spatial Perception), αναφέρεται στη χωρική σχέση με βάση τον προσανατολισμό του σώματος του ατόμου, παρ όλες τις πληροφορίες που του αποσπούν την προσοχή. Τα έργα που εξετάζουν την αντίληψη του χώρου μπορεί να είναι αποτελεσματικά εάν χρησιμοποιηθούν σε αυτά κιναισθητικές διαδικασίες. Η δεύτερη κατηγορία, που αναφέρεται στη νοερή περιστροφή (Mental Rotation), είναι η εσωτερική γνωστική διαδικασία μετακίνησης και αναδίπλωσης ενός αντικειμένου που υπάρχει στο χώρο. Οι Linn and Petersen (1985), υποστηρίζουν ότι τα αντικείμενα νοερής περιστροφής χρησιμοποιούνται για να μετρηθεί ο χρόνος επίλυσης, πάρα να μετρηθεί η ακρίβεια της λύσης τους. Οι Shepard και Cooper (1982), αναφέρουν ότι κατά τη διάρκεια της νοερής περιστροφής, η εσωτερική γνωστική διαδικασία έχει ένα προς ένα αντιστοιχία με την εξωτερική (φυσική) περιστροφή του αντικειμένου. Οι ίδιοι μέσα από την έρευνά τους ανακάλυψαν ότι όσο πιο μεγάλη είναι η γωνία στην οποία καλείται το υποκείμενο να περιστρέψει νοερά το αντικείμενο, τόσο πιο μεγάλο χρονικό διάστημα χρειάζεται. Κάποιοι ερευνητές ισχυρίζονται ότι η νοερή περιστροφή των τρισδιάστατων αντικειμένων είναι πιο δύσκολη από τη νοερή περιστροφή των δισδιάστατων (Michaelides, 2003). Παρόλα αυτά, οι Shepard και Cooper (1982), αναφέρουν ότι κάτι τέτοιο δε βρέθηκε στις δικές τους έρευνες. Μερικοί ερευνητές αναφέρουν ότι αυτό που διαδραματίζει ρόλο είναι η πολυπλοκότητα του αντικειμένου, είτε αυτό είναι τρισδιάστατο είτε είναι δισδιάστατο. Αξίζει να αναφερθεί ότι ο Michaelides (2003), ορίζει την περιστροφή ως το μετασχηματισμό που περιλαμβάνει τη λογική της «περιστροφής» ενός αντικειμένου και το οπτικοποιεί από διαφορετικές προοπτικές. Αποτελεί ένα θεμελιώδη τρόπο μετασχηματισμού και συλλογισμού για το χώρο. Τα παιδιά, πριν από την απόκτηση της συστηματικής γνώσης για την περιστροφή, έρχονται σε επαφή με την έννοια της περιστροφής μέσα από διάφορες δραστηριότητες της καθημερινότητάς τους, δηλαδή με την ανεπίσημη αντίληψη της περιστροφής. Παρόλα αυτά, άλλοι ερευνητές όπως οι French (1951), Fruchter (1954), Smith (1964) και Thurstone & Thrurstone (1941), συμφωνούν ότι οι δύο μεγάλοι παράγοντες που χαρακτηρίζουν τη χωρική ικανότητα είναι η οπτικοποίηση και η αντίληψη του 82

93 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση χώρου (Linn και Petersen, 1985). Η οπτικοποίηση του χώρου περιλαμβάνει τη νοερή περιστροφή των αντικειμένων. Τέλος, η τρίτη κατηγορία, που αφορά την οπτικοποίηση στο χώρο (Spatial Visualization), αναφέρεται σε έργα πολύπλοκου, αναλυτικού και σταδιακού χειρισμού των πληροφοριών που παρουσιάζονται στο χώρο. Τα έργα αυτά διαφέρουν από τα έργα νοερής περιστροφής και αντίληψης του χώρου, λόγω του ότι εδώ μπορεί να χρησιμοποιηθεί μία ποικιλία στρατηγικών επίλυσης (χωρικές και μη χωρικές στρατηγικές), ενώ στα προηγούμενα δύο υπήρχαν συγκεκριμένες χωρικές στρατηγικές επίλυσης. Η επιτυχία στα έργα αυτά καθορίζεται από το βαθμό ευελιξίας του ατόμου στην επιλογή της κατάλληλης κάθε φορά στρατηγικής. Τα υποκείμενα θα πρέπει να αναπαραστήσουν νοερά το αντικείμενο του χώρου και στη συνέχεια να το διπλώσουν νοερά κρατώντας όμως σταθερή την αντίληψή τους, για το πού βρίσκεται το κάθε χαρακτηριστικό του εκάστοτε αντικειμένου πριν και μετά την αναδίπλωση. Εκπαίδευση και Χωρική Ικανότητα Η μαθηματική εκπαίδευση ενδιαφέρεται για τη χωρική ικανότητα για δύο τουλάχιστον λόγους. Αρχικά, ο πρώτος λόγος είναι η δυνατή συσχέτιση της επίδοσης στα μαθηματικά και της χωρικής ικανότητας, που καθορίζεται από εγκεκριμένα τεστ ικανοτήτων. Ο άλλος λόγος, είναι η πεποίθηση ότι οι οπτικές προσεγγίσεις μπορούν να αποτελέσουν μία ισχυρή εισαγωγή για τις πολύπλοκες γενικεύσεις των μαθηματικών, παρέχοντας εμπειρικές και διαισθητικές αποδείξεις στο μαθητή (Olkun & Knaupp, 1999). Τα τελευταία χρόνια αναπτύσσεται η αντίληψη ότι τα μαθηματικά αφορούν πρώτιστα έννοιες χωρικές, γεωμετρικές ή διαμορφωτικές (Smith, 1964; στους Olkun & Knaupp, 1999). Αυτή η αντίληψη οδήγησε στην αύξηση του ενδιαφέροντος προς τα οπτικά μοντέλα, που θεωρούνται κατευθυντήρια βοηθήματα για τη διδασκαλία των μαθηματικών. Η οπτική πλευρά των μαθηματικών μπορεί να επηρεάσει τη μαθηματική διδασκαλία, αν παρατηρήσουμε και τη φύση της ανθρώπινης οπτικό-χωρικής γνώσης (στη Woolner, 2004). Άραγε, μπορούν οι δεξιότητες οπτικοποίησης του χώρου να διδαχθούν; Πολλές έρευνες ισχυρίζονται ότι η δεξιότητα οπτικοποίησης του χώρου, η οποία είναι ένα μέρος της χωρικής ικανότητας, δεν μπορεί να διδαχθεί αποτελεσματικά μέσω των τυπικών διδακτικών μεθόδων (Salkind, 1976). Ο Bertoline (1988), υποστηρίζει ότι η εξεικόνιση του χώρου αναπτύσσεται μέσα από τις εμπειρίες της ζωής του ατόμου. Ο ίδιος προτείνει οι μαθητές να εκτίθενται στα ανάλογα εκπαιδευτικά περιβάλλοντα, έτσι ώστε να έχουν αργότερα στη ζωή τους πιο δυνατή τη δεξιότητα οπτικοποίησης. Από 83

94 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου την άλλη, ένας άλλος αριθμός ερευνών ισχυρίζεται ότι οι δεξιότητες οπτικοποίησης του χώρου μπορούν να διδαχθούν (Gillespic, 1955). Οι πλείστες έρευνες αναφέρουν ότι η διδασκαλία αυτή πρέπει να είναι μακροχρόνια και όχι να διαρκεί ένα σύντομο χρονικό διάστημα (Sexton, 1992). Παρόλα αυτά, το ερώτημα αυτό δεν μπορεί να απαντηθεί με τα μέχρις στιγμής ερευνητικά δεδομένα (στους Strong & Smith, 2002). Οι Olkun και Knaupp (1999), αναφέρουν ότι τα παιδιά μέσα από τη διδασκαλία κατανοούν και αναπαριστούν σχήματα τριών διαστάσεων, που προηγουμένως τα θεωρούσαν ως δισδιάστατα. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι όταν τα παιδιά αρχικά αναφέρουν ότι ένα ορθογώνιο πρίσμα «είναι ορθογώνιο γιατί μοιάζει με μία πόρτα» και αργότερα μέσα από τη διδασκαλία το αναγνωρίζουν ως στερεό. Η εμπειρία των μαθητών με τους κύβους (οικοδόμηση μίας κατασκευής με κύβους, αναπαραστάσεις κύβων σε δισδιάστατα σχέδια και η ερμηνεία τέτοιων σχεδίων) είναι πολύ βοηθητική για τη βελτίωση της επίδοσής τους στα χωρικά έργα και ως επέκταση της χωρικής ικανότητάς τους (Ben-Chaim, Lappan & Houang, 1985; Olkun & Knaupp, 1999). Ο Battista (1990) ερεύνησε το ρόλο της χωρικής οπτικοποίησης στην επίδοση και τις διαφορές φύλου στη γεωμετρία. Οι συμμετέχοντες ήταν 145 μαθητές γυμνασίου από πέντε κατηγορίες, δύο από τις οποίες διδάχτηκαν από έναν δάσκαλο και οι άλλες τρεις με έναν άλλο δάσκαλο. Ο ερευνητής χορήγησε δοκίμια με χαρτί και μολύβι σε τέσσερις περιοχές: χωρική οπτικοποίηση (Purdue Spatial Visualization Test), λογικός συλλογισμός, γνώση της γεωμετρίας και επίλυση προβλήματος γεωμετρίας/στρατηγικές. Ο Battista (1990) διαπίστωσε ότι τα αγόρια διέφεραν από τα κορίτσια στη χωρική οπτικοποίηση και την επίδοσή τους στη γεωμετρία γυμνασίου, αλλά όχι στις στρατηγικές που χρησιμοποιούσαν για να λύσουν προβλήματα γεωμετρίας. Ενδιαφέρον παρουσίασε το γεγονός ότι η χωρική οπτικοποίηση συσχετιζόταν περισσότερο με τη μάθηση της γεωμετρίας για τους μαθητές στις τάξεις του δεύτερου δασκάλου παρά του πρώτου δασκάλου που δίδαξε σε τρεις τάξεις. Ο Battista (1990) πήρε συνέντευξη και από τους δύο δασκάλους και παρατήρησε ότι ο δεύτερος δάσκαλος ζήτησε από τους μαθητές να κάνουν διαγράμματα για τα προβλήματα γεωμετρίας,. Αν και ο ερευνητής δεν παρατήρησε τις τάξεις, βασισμένος στις συνεντεύξεις με μία προφύλαξη, συμπέρανε ότι ο εκπαιδευτικός διαδραματίζει ένα σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη των χωρικών δεξιοτήτων οπτικοποίησης των μαθητών του (στο Unal, 2005). Επίσης, ο Bishop (1980) αναφέρει ότι ένας σημαντικός καθοριστικός παράγοντας για την ανάπτυξη των χωρικών ικανοτήτων των μαθητών αποτελούν, πιθανόν, οι προσεγγίσεις διδασκαλίας. Τέλος, ο Mitchelmore (1980) υποθέτει ότι οι διαφορές στις προσεγγίσεις διδασκαλίας ευθύνονταν για τις διαφορές στην ικανότητα 84

95 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση τρισδιάστατης σχεδίασης που βρήκε μεταξύ των μαθητών από Ινδία, Αμερική και Αγγλία (στο Bishop, 1980). Γεωμετρία και Κατανόηση Γεωμετρικού Σχήματος Σύμφωνα με τον Peletier «Η γεωμετρία αναπαριστά τη φύση, καθώς είναι καθρέφτης της και δεν κάνει τίποτα άλλο παρά να ανακαλύπτει τα γεωμετρικά σχήματα που υπάρχουν μέσα στην πραγματικότητα» (Barbin, 2003). Η γεωμετρία συνέβαλε στο να βοηθήσει τον άνθρωπο να συσχετιστεί με το περιβάλλον του και να κατανοήσει το χώρο που βρίσκεται γύρω του (Τρούλης, 1992). Όπως είναι γνωστό η γεωμετρία δημιουργήθηκε λόγω της ανάγκης του ανθρώπου να μετρήσει τα κτήματά του και τα κτίσματά του. Πιο συγκεκριμένα ο Ηρόδοτος αναφέρει ότι η γεωμετρία αναπτύχθηκε ως εργαλείο για τη μέτρηση της γης και την οριοθέτηση των αγρών όταν αποσύρονταν τα νερά του Νείλου (Φιλίππου & Χρίστου, 2002). Η γεωμετρία συχνά χαρακτηρίζεται ως «τα μαθηματικά του χώρου» και θεωρείται ένας τρόπος σύνδεσης των μαθηματικών με τον πραγματικό κόσμο (Bishop, 1983; Clements, 1998). Στην πραγματικότητα, η μάθηση της γεωμετρίας βασίζεται σε μια συνεχή αλληλεπίδραση ανάμεσα στη θεωρία της γεωμετρίας (φυσικός χώρος, μαθηματικά, φυσική) και στις γραφικές χωρικές ολότητες, με άλλα λόγια, μια αλληλεπίδραση ανάμεσα στη θεωρία και στα διαγράμματα. Η θεωρία στηρίζει τη γνώση και το θεωρητικό έλεγχο, ενώ τα σχήματα ενισχύουν την οπτική αντίληψη με την πιθανή βοήθεια γεωμετρικών οργάνων ή άλλων μέσων. Περισσότερο από άλλες περιοχές των μαθηματικών, η γεωμετρία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανακάλυψη και ανάπτυξη διαφόρων τρόπων σκέψης (Duval, 1998). Για τους λόγους αυτούς, τα σύγχρονα προγράμματα των μαθηματικών τονίζουν τη σπουδαιότητα της γεωμετρίας, τόσο ως αυτόνομου θέματος όσο και ως μέσου για την ανάπτυξη άλλων μαθηματικών εννοιών (NCTM, 2000). Η γεωμετρία αποτελεί τον πιο δύσκολο κλάδο των μαθηματικών για αρκετά παιδιά. Η ικανότητα αναγνώρισης σχημάτων από τους μαθητές επηρεάζεται από μία πλειάδα παραγόντων, συμπεριλαμβανομένου της οπτικής αντίληψης. Πρέπει να αναφερθεί ότι πολλοί άνθρωποι παρουσιάζουν προβλήματα με τη συγκεκριμένη διαδικασία οπτικοποίησης. Οι English και Warren (1995) υποστηρίζουν ότι ο τρόπος οπτικοποίησης ενός αντικειμένου είναι ένας από τους πιο σημαντικούς παράγοντες που επηρεάζουν τη βελτίωση της χωρικής ικανότητας, που στη συνέχεια σε ένα άλλο υποκεφάλαιο θα αναλύσουμε εκτενέστερα. Ο Fischbein (1993) αναφέρεται στη διπλή φύση του γεωμετρικού σχήματος, επισημαίνοντας ότι κάθε γεωμετρικό σχήμα έχει ταυτόχρονα εννοιολογικές και 85

96 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου σχηματικές ιδιότητες. Η πτυχή των σχημάτων αφορά στο γεγονός πως οι γεωμετρικές έννοιες αναφέρονται στο χώρο, ενώ η εννοιολογική πτυχή αναφέρεται στη σύνοψη και στη θεωρητική φύση που οι γεωμετρικές έννοιες μοιράζονται με όλες τις άλλες έννοιες. Τη διττή λειτουργία των γεωμετρικών σχημάτων επισημαίνουν αρκετοί ερευνητές (Parzyzs, 1988; Duval, 1988; Laborde, 1994). Η Mesquita (1998) αναφέρει σχετικά ότι τα γεωμετρικά σχήματα είναι αναπαραστάσεις με διπλή υπόσταση. Από τη μια το σχήμα στην ιδανική του αντικειμενικότητα, απαλλαγμένο από υλικούς περιορισμούς που χαρακτηρίζουν μια εξωτερική αναπαράσταση, και από την άλλη η ποικιλία πεπερασμένων μορφών. Ο Lemonidis (1997) επισημαίνει ότι σχεδιάζοντας ένα γεωμετρικό σχήμα ώστε να εξεταστούν ή να εφαρμοστούν κάποιες ιδιότητες, είναι γνωστό ότι δε γίνεται αναφορά στο συγκεκριμένο σχήμα, αλλά σε μια τάξη απείρων σχημάτων που υπακούουν στον ορισμό του. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία τα χαρακτηριστικά των σχημάτων δεν εξαρτώνται από τη θέση ή τον προσανατολισμό με τον οποίο σχεδιάζονται. Επιπλέον τα σχήματα παραμένουν αναλλοίωτα με το μετασχηματισμό της ομοιότητας. Δεν ενδιαφέρει δηλαδή το συγκεκριμένο μήκος των σχημάτων, αλλά οι σχέσεις και οι αναλογίες μεταξύ των σχηματικών οντοτήτων. Η διττή λειτουργία των γεωμετρικών σχημάτων αποτελεί τη βασική πηγή δυσκολιών των μαθητών όταν επιλύουν προβλήματα γεωμετρίας (Γαγάτσης, 2007; Mesquita, 1998; Fischbein & Nachlieli, 1998). Αυτό συμβαίνει, σύμφωνα με τον Fischbein (1993), γιατί η εικόνα και η αρχή θα πρέπει να ενώνονται σε ένα μοναδικό νοερό αντικείμενο για να μπορεί να το κατανοήσει ο μαθητής. Την τελευταία δωδεκαετία, αρκετοί εκπαιδευτικοί έχουν μελετήσει τη γεωμετρική αιτιολόγηση βασισμένη σε διαφορετικά θεωρητικά πλαίσια. Οι Van Hieles ανάπτυξαν ένα μοντέλο που αναφέρεται σε ιεραρχικά επίπεδα της γεωμετρικής αντίληψης (Van Hiele, 1986). Το μοντέλο είναι αποτέλεσμα της διδακτορικής εργασίας των Dina van Hiele-Geldof and Pierre van Hiele στο Πανεπιστήμιου του Utrecht in the Netherlands (Crowley, 1987). Βασισμένοι σε παιδαγωγικές εμπειρίες και διδακτικά πειράματα, καθόρισαν ένα μοντέλο μάθησης της γεωμετρίας, το οποίο περιλαμβάνει πέντε επίπεδα κατανόησης τα οποία αντανακλούν τα επίπεδα της γεωμετρικής σκέψης του μαθητή. Σύμφωνα με τη θεωρία, τα πέντε επίπεδα κατανόησης στη γεωμετρία είναι το επίπεδο σφαιρικής αντίληψης, το επίπεδο ανάλυσης, το επίπεδο άτυπης παραγωγικής σκέψης, το επίπεδο παραγωγικής σκέψης και το αυστηρό επίπεδο. Οι Houdement και Kuzniak (2003), διακρίνουν τρία διαφορετικά είδη Γεωμετρίας: τη Γεωμετρία 1 (Εμπειρική), τη Γεωμετρία 2 (Εμπειρική Αξιωματική) και τη Γεωμετρία 3 (Τυπική Αξιωματική). Με βάση το θεωρητικό πλαίσιο που έχουν αναπτύξει, γίνονται εμφανείς οι δυσκολίες μετάβασης από τον ένα τύπο γεωμετρίας 86

97 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση στον άλλο και είναι δυνατό να ερμηνευθεί η αντιμετώπιση γεωμετρικών έργων από τους μαθητές. Ο πρώτος τύπος γεωμετρίας, η Εμπειρική γεωμετρία, σχετίζεται άμεσα με τον πραγματικό φυσικό κόσμο. Τα αντικείμενα της είναι υλικά αντικείμενα (π.χ. γραμμές σε ένα φύλλο χαρτιού ή γραμμές στην οθόνη ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή). Πηγή της εγκυρότητας στη Γεωμετρία 1 μπορεί να είναι οτιδήποτε προκύπτει από τις αισθήσεις (μετρήσεις, συγκρίσεις, «με το μάτι»). Στη Γεωμετρία 2, στην λεγόμενη Εμπειρική Αξιωματική Γεωμετρία, τα αντικείμενα είναι θεωρητικά, δηλαδή η ύπαρξη τους οφείλεται σε αξιώματα και ορισμούς. Περιέχει ορισμούς και αξιώματα που είναι κοντά στη διαίσθηση του χώρου των αισθήσεων. Παρά το γεγονός ότι το σύστημα αξιωμάτων δεν είναι ολοκληρωμένο, η πηγή εγκυρότητας βασίζεται στους υποθετικούς παραγωγικούς νόμους που διέπουν το αξιωματικό σύστημα. Τέλος, στη Τυπική Αξιωματική γεωμετρία, το σύστημα των αξιωμάτων δεν έχει καμιά σχέση με τον πραγματικό φυσικό κόσμο και δε στηρίζεται με οποιοδήποτε τρόπο στις αισθήσεις. Είναι ένα ολοκληρωμένο αξιωματικό σύστημα, ανεξάρτητο από τις ενδεχόμενες εφαρμογές του στον πραγματικό κόσμο. Εδώ, το μοναδικό κριτήριο αλήθειας είναι η συνέπεια. Όσο στη διδακτική των μαθηματικών, τόσο και στον κλάδο της Γνωστικής Ψυχολογίας οι ερευνητές προσπαθούν να βρουν απάντηση στο ερώτημα «Πώς αντιλαμβάνονται τα παιδιά ένα γεωμετρικό σχήμα;». Σύμφωνα με τον Duval (2004), υπάρχουν δύο τρόποι προσέγγισης ενός γεωμετρικού αντικειμένου, «δια του λόγου» και «δια του σχήματος». Ο πρώτος τρόπος επικεντρώνεται στη γεωμετρική έννοια με βάση ορισμούς, θεωρήματα και αξιώματα. Στο δεύτερο τρόπο η γνωστική προσέγγιση επικεντρώνεται στην οπτικοποίηση, δηλαδή πώς βλέπει κανείς τις σχέσεις ανάμεσα σε γεωμετρικά αντικείμενα, ώστε να διευκολύνεται η επεξεργασία του γεωμετρικού προβλήματος. Διακρίνονται δύο τύποι οπτικοποίησης: εικονική και μη εικονική οπτικοποίηση. Στην εικονική οπτικοποίηση γίνεται αναγνώριση του σχήματος με βάση την ομοιότητά του με το τυπικό μοντέλο. Βλέπουν το σχήμα ως μορφή, ανεξάρτητα από τις πράξεις σ αυτό. Αντίθετα, στη μη εικονική οπτικοποίηση η αναγνώριση του σχήματος στηρίζεται στις νοερές, εσωτερικές πράξεις οι οποίες θα βοηθήσουν στον εντοπισμό των ιδιοτήτων για προσδιορισμό του σχήματος. Αυτές οι πράξεις πραγματοποιούνται είτε μέσω της κατασκευής, είτε μέσω του μετασχηματισμού ενός σχήματος. O Duval (2004) υποστηρίζει πως δεν πρέπει η διδασκαλία της γεωμετρίας να ξεκινά με την αναγνώριση των σχημάτων, αφού αυτό καθηλώνει τους μαθητές στην εικονική οπτικοποίηση. Χαρακτηριστικά αναφέρει πως «όταν κάποιος βλέπει τα σχήματα εικονικά δεν μπορεί ποτέ του να μάθει γεωμετρία». Επιπλέον εκφράζει τη 87

98 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου διαφωνία του με την ύπαρξη ιεραρχικών επιπέδων, εξηγώντας πως η ανάπτυξη διαφόρων γνωστικών λειτουργιών που σχετίζονται με τη γεωμετρία γίνεται ταυτόχρονα και μπορεί να ξεκινήσει από τη νηπιακή ηλικία. Σε αντίθεση με τη θεωρία των van Hiele που αναφέρεται σε επίπεδα γεωμετρικής σκέψης μέσα από τα οποία διέρχεται ένας μαθητής, πραγματοποιείται από τον Duval μια προσέγγιση από γνωστική σκοπιά και επιχειρείται μια προσπάθεια καθορισμού των γνωστικών διαδικασιών που βρίσκονται στο υπόβαθρο των διαδικασιών γεωμετρικής σκέψης. Στην ανάλυσή του, κεντρική θέση κατέχει η περιγραφή των τεσσάρων τύπων γνωστικής σύλληψης, μέσα από τους οποίους οι μαθητές προσεγγίζουν τη γεωμετρική εικόνα (Duval, 1998; Παναούρα, 2007). Κάθε είδος κατανόησης έχει συγκεκριμένους νόμους οργάνωσης και επεξεργασίας του οπτικού ερεθίσματος. Ένα σχήμα για να λειτουργήσει ως γεωμετρικό σχήμα πρέπει να υπάρχει σίγουρα η αντιληπτική κατανόηση και τουλάχιστον ένα από τα άλλα είδη κατανόησης (Duval 1995, 1999). Η Αντιληπτική κατανόηση (perceptual apprehension) σχετίζεται με την αναγνώριση του σχήματος με την πρώτη ματιά. Συνίσταται στην κατανόηση της συνολικής μορφής του σχήματος και στη διάκριση των υποσχημάτων του, με τρόπο όμως που δεν επιτρέπει περαιτέρω επεξεργασία του. Συμπεριλαμβάνει δεξιότητες ονομασία του σχήματος και αναγνώρισης υποσχημάτων του σχήματος. Η Σειριακή κατανόηση (sequential apprehension) απαιτείται κατά την κατασκευή ή την περιγραφή της κατασκευής ενός σχήματος. Η οργάνωση των στοιχειωδών μονάδων του σχήματος δεν εμπίπτει σε νόμους της αντίληψης, αλλά καθορίζεται από κατασκευαστικούς περιορισμούς και από μαθηματικές ιδιότητες. Η Λεκτική κατανόηση (discursive apprehension) συνδέεται με την αδυναμία προσδιορισμού των μαθηματικών σχέσεων σε ένα σχήμα μόνο από την αντιληπτική κατανόηση, αφού απαιτείται και λεκτική περιγραφή του. Τέλος, η Λειτουργική κατανόηση (operative apprehension) μας εξασφαλίζει πρόσβαση στην επίλυση του προβλήματος. Αυτό το είδος κατανόησης εξαρτάται από τρείς τρόπους αναγνώρισης ενός σχήματος, τον μερολογικό, οπτικό και χωρικό τρόπο. Ο μερολογικός αναφέρεται στο διαχωρισμό του σχήματος σε επιμέρους κομμάτια και στο συνδυασμό των κομματιών αυτών για την διαμόρφωση άλλων σχημάτων (αναδιαμόρφωση). Ο οπτικό τρόπος είναι όταν μεγεθύνουμε, σμικρύνουμε ή κλίνουμε το σχήμα προς μία κατεύθυνση. Ο χωρικός αναφέρεται στη θέση ή στον προσανατολισμό του σχήματος. Οι τρείς τρόποι μπορούν να γίνουν νοερά ή πρακτικά μέσα από κάποιες διαδικασίες. Ο Duval (1999), επιχειρεί να κάνει σαφέστερη τη διαφορετικότητά της λειτουργικής από την αντιληπτική σύλληψη. Η διαφορά τους έγκειται στο ότι η 88

99 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση αντίληψη σταθεροποιεί με την πρώτη ματιά την όψη κάποιων σχημάτων, κάνοντας τα στατικά. Η λειτουργική σύλληψη εμπερικλείει νοητική αναδιοργάνωση του σχήματος, έτσι ώστε να προκύψουν σχέσεις μη προφανείς από την αντιληπτική σύλληψη. Αποτελεί, δηλαδή, μια ευρετική επεξεργασία του σχήματος, κατά την οποία οι ιδιότητες του σχήματος δεν αλλοιώνονται (von Sommers, 1984; στην Κολέζα, 2003). Στη λειτουργική σύλληψη το δοσμένο σχήμα του προβλήματος αποτελεί σημείο αναφοράς για τη διερεύνηση άλλων σχηματοποιήσεων, μέσω των τροποποιήσεων που αναφέρονται πιο κάτω. Συνεπώς, δημιουργούνται πολλαπλές αλυσίδες σχημάτων, μια εκ των οποίων ανοίγει το δρόμο προς τη λύση του προβλήματος. Η ικανότητα σκέψης ή σχεδίασης επιπλέον μονάδων σε δοσμένο σχήμα υποδηλώνει την ύπαρξη λειτουργικής σύλληψης (Duval, 1999). Ο Duval εισάγει τρία είδη τροποποιήσεων ενός γεωμετρικού σχήματος, τα οποία συνιστούν τη λειτουργική σύλληψη, η μερεολογικη τροποποίηση, η οπτική τροποποίηση και τέλος η αλλαγή θέσης του σχήματος. Οι μερεολογικές τροποποιήσεις (mereologic) αναφέρονται στη διάσπαση του ολόκληρου σχήματος σε διάφορα υποσχήματα, στο συνδυασμό των υποσχημάτων αυτών σε ένα άλλο ενιαίο σχήμα και στην εμφάνιση νέων υποσχημάτων. Συνεπώς, προκύπτει μια αλλαγή του τρόπου με τον οποίο το σχήμα παρουσιάζεται με την πρώτη ματιά. Την πιο τυπική λειτουργία σε αυτό το είδος τροποποίησης αποτελεί η αναδιαμόρφωση του σχήματος (reconfiguration). Οι οπτικές (optic) επιτρέπουν τη σμίκρυνση ή μεγέθυνση του σχήματος ή το να εμφανίζεται λοξό, σαν να γίνεται χρήση φακών. Με τον τρόπο αυτό τα σχήματα αποκτούν τη δυνατότητα να εμφανίζονται διαφορετικά, χωρίς να έχουν υποστεί οποιαδήποτε αλλαγή. Επίπεδα σχήματα δύναται να θεωρηθούν ως τοποθετημένα σε ένα τρισδιάστατο χώρο. Επιπλέον, μια τυπική λειτουργία είναι να παρουσιάσεις δύο όμοια σχήματα επικαλυμμένα, στο βάθος, ώστε το μικρότερο σχήμα να φαίνεται σαν να ήταν το μεγαλύτερο από απόσταση. 89

100 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου Τέλος, η αλλαγής θέσης (place way) τροποποιεί τον προσανατολισμός του σχήματος στο επίπεδο της εικόνας. Αποτελεί τον ασθενέστερο μετασχηματισμό. Επηρεάζει κυρίως την αναγνώριση ορθών γωνιών, οι οποίες οπτικώς σχηματίζονται από οριζόντιες και κατακόρυφες γραμμές. Οι διάφορες αυτές λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν είτε νοερά, είτε φυσικά. Συνθέτουν μια συγκεκριμένη επεξεργασία του σχήματος, η οποία του προσδίδει μια χειριστική λειτουργία. Όπως ο Polya (1945) αναφέρει, στο βιβλίο του How to solve it, οι λειτουργίες αυτές μπορούν να φανερώσουν την «ιδέα», η οποία θα μας οδηγήσει στη λύση του προβλήματος. Θα μπορούσαμε, συνεπώς, να πούμε πως η λειτουργική σύλληψη αποτελεί ένα είδος ευφυούς οργάνωσης του σχήματος, αφού κατά τον Piaget, η νοητική αντίληψη ενός αντικειμένου εμπεριέχει ευφυΐα. Με τη χρήση της ευφυΐας το άτομο καθίσταται ικανό να εντοπίζει ομοιότητες, διαφορές και χωρικές σχέσεις του αντικειμένου (Κολέζα, 2003). Πρόσφατα, οι Deliyianni, Elia, Gagatsis, Monoyiou και Panaoura (2009), έχουν ανακαλύψει ένα ιεραρχικό μοντέλο τριών επιπέδων για το ρόλο της αντιληπτικής (perceptual), λεκτικής (discursive) και λειτουργικής (operative) κατανόηση στη γεωμετρική κατανόηση των σχημάτων. Παρόλα αυτά η σχέση της χωρικής ικανότητας και των τεσσάρων ειδών κατανόησης του «γεωμετρικού σχήματος» που προτείνει ο Duval (1995, 1999) δεν έχει διερευνηθεί ακόμη. Ωστόσο, δεν υπάρχουν έρευνες, στη Μαθηματική Παιδεία, που να σχετίζουν τη γεωμετρική κατανόηση του σχήματος και τη χωρική ικανότητα. Η γεωμετρία έχει πάρει πολλές διαφορετικές μορφές στην εκπαίδευση, γεγονός που υποδηλώνει και μια διαφορετική κάθε φορά πολιτισμική θεώρηση. Έχει θεωρηθεί για τους εκπαιδευόμενους ως η επιστήμη του χώρου που μας περιβάλλει, ως παράδειγμα λογικο-παραγωγικού συστήματος (ή δομής), ως ένα πρακτικό εργαλείο ή ένα σύνολο «χρήσιμων» γνώσεων με κάποια λογική οργάνωση μεταξύ τους, ως «καθαρά» αισθητική αξία, ως αισθησιο-κινητική διαδικασία και «οπτική» κατασκευή, ως «ακόνι της σκέψης», ως εθνική πολιτισμική κληρονομιά και μέσο καλλιέργειας των νέων γενεών, αλλά και ως ένα ιδιαίτερο και ιστορικά προσδιορισμένο πεδίο επίλυσης προβλημάτων (των γεωμετρικών κατασκευών). 90

101 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση Οι Chazan και Yerushalmy (1998) για να τονίσουν το ρόλο της γεωμετρίας στη γένεση και ανάπτυξη μαθηματικών ιδεών αναφέρουν πως οι γεωμετρικές τεχνικές και οι οπτικές εικόνες αποτελούν βασικά εργαλεία και πηγή έμπνευσης για πολλούς μαθηματικούς (στον Πρωτοπαπά, 2003). Κατά συνέπεια, αν αγνοηθεί η γεωμετρία και η εξεικόνιση τότε οι μαθητές δε θα αναπτύξουν πολύ βασικές δεξιότητες όπως αυτές της οπτικής εξερεύνησης, της αιτιολόγησης και της επιχειρηματολογίας και ως εκ τούτου η μαθηματική τους σκέψη θα είναι αποδυναμωμένη. Ο Duval (1998) αναφέρει πως η γεωμετρία περιλαμβάνει τρία είδη γνωστικών διαδικασιών, τα οποία εκπληρώνουν συγκεκριμένες επιστημολογικές λειτουργίες. Τη λειτουργία της εξεικόνισης, της κατασκευής και του συλλογισμού. Η εξεικόνιση είναι μια διαδικασία σχετική με την αναπαράσταση του χώρου για επεξήγηση μιας δήλωσης, για διερεύνηση πολύπλοκων καταστάσεων, για συνοπτική αντίληψη του χώρου. Πολλοί ερευνητές τονίζουν το ρόλο της εξεικόνισης και της οπτικής αιτιολόγησης για την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών. Οι Zazkis, Dubinsky και Dautermann (1996) δίνουν ένα πολύ ενδιαφέρον ορισμό για την εξεικόνιση λέγοντας πως «Η εξεικόνιση είναι μια πράξη κατά την οποία το άτομο δημιουργεί μια ισχυρή σύνδεση μεταξύ μιας εσωτερικής δομής και κάτι στο οποίο η πρόσβαση πετυχαίνεται μέσω των αισθήσεων. Μια τέτοια σύνδεση μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Μια πράξη εξεικόνισης μπορεί να συνίσταται στην κατασκευή νοητικών αντικειμένων ή διαδικασιών τα οποία το άτομο συνδέει με αντικείμενα ή γεγονότα τα οποία λαμβάνει ως εξωτερικά. Επίσης, η πράξη της εξεικόνισης μπορεί να συνίσταται στην κατασκευή εξωτερικών αντικειμένων μέσω του χαρτιού, του πίνακα ή της οθόνης του ηλεκτρονικού υπολογιστή, τα οποία το άτομο αναγνωρίζει ως αντικείμενα ή διαδικασίες που βρίσκονται στο μυαλό του». Η γνωστική διαδικασία της κατασκευής των σχημάτων, η οποία γίνεται με το χέρι, με τη χρήση οργάνων ή στον ηλεκτρονικό υπολογιστή (Duval, 2004), μπορεί να λειτουργήσει ως μοντέλο. Οι ενέργειες για την αναπαράσταση και το παρατηρούμενο αποτέλεσμα συσχετίζονται με τα μαθηματικά αντικείμενα που αναπαριστούν. Τέλος, κάθε γνωστική διαδικασία που εμπλέκεται κατά την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων θεωρείται μια μορφή συλλογισμού. Είναι ουσιαστικά μια διαδικασία η οποία μας καθιστά ικανούς να εξάγουμε νέες πληροφορίες από δοσμένες πληροφορίες. Τα τρία αυτά είδη γνωστικών διαδικασιών δημιουργούν ένα κύκλο ενεργειών όπως φαίνεται πιο κάτω. 91

102 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου ΕΞΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ Στην πραγματικότητα, ο συγκεκριμένος κύκλος, δε λειτουργεί, αφού για πολλούς μαθητές το σχήμα δεν είναι ευρετικό (Duval, 2004). Οι μαθητές κατά τη διαδικασία της εξεικόνισης δεν ασχολούνται με δραστηριότητες που να απαιτούν την αποσύνδεση ή επανασύνδεση και μετασχηματισμό των σχημάτων, δύο δραστηριότητες που σύμφωνα με τους Brown και Wheatley (1997) είναι τα δυο κύρια συστατικά της εξεικόνισης. Αυτές οι διαδικασίες παίρνουν τη μορφή μιας πορείας όπου ο μαθητής σπάζει το σχήμα σε μικρότερα κομμάτια τα οποία μετακινεί ή/και περιστρέφει με σκοπό να καταλήξει σε μια ευρετική λύση (Duval, 2004). Η απουσία των πιο πάνω δραστηριοτήτων δε βοηθά τους μαθητές να κάνουν διάφορες οπτικές αναδιοργανώσεις των συστατικών μερών των διαφόρων σχημάτων, που θα τους βοηθήσουν να επιλύσουν ένα γεωμετρικό πρόβλημα. Οι μαθητές παραμένουν έτσι σε μια οπτική αντίληψη των σχημάτων, που ο Duval (2004) αποκαλεί εικονική εξεικόνιση. Έτσι, οι μαθητές αναγνωρίζουν ένα σχήμα διαισθητικά. Καταγράφουν τις ιδιότητες των σχημάτων, αλλά δεν μπορούν να δουν τις σχέσεις ανάμεσα στις διαφορετικές ιδιότητες. Η οπτική σύλληψη δεν μπορεί να οδηγήσει από μόνη της στη δημιουργία εννοιών (Duval, 1988, στη Laborde, 2003). Η δημιουργία των εννοιών θα επιτευχθεί μέσα από τη λειτουργική σύλληψη, κατά την οποία οι μαθητές πραγματοποιούν νοερούς ανασχηματισμούς του δοσμένου σχήματος, επιλέγουν τμήματα και τα ανάομαδοποιούν (Mesquita, 1989, στη Laborde, 2003). Για να μπορέσουν οι μαθητές να ξεπεράσουν τα προβλήματα που τους δημιουργεί η εικονική εξεικόνιση, θα πρέπει να μάθουν να βλέπουν τα γεωμετρικά σχήματα με ένα διαφορετικό τρόπο. Αυτός ο διαφορετικός τρόπος είναι η μη εικονική εξεικόνιση, όπως ορίζεται από τον Duval (2004). Οι μαθητές που εφαρμόζουν αυτό τον τρόπο διασπούν το σχήμα με τη χρήση βοηθητικών και αναδιοργανωτικών γραμμών. Απαραίτητη προϋπόθεση στη μη εικονική εξεικόνιση είναι η αποσύνθεση των σχημάτων, έτσι που να μπορεί να επιτυγχάνεται ο μετασχηματισμός τους. Για καλύτερη διάκριση της εικονικής από τη μη εικονική εξεικόνιση, ο Duval (2004) αναφέρει ένα χαρακτηριστικό 92

103 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση παράδειγμα. Ένας μαθητής που αντιμετωπίζει τα σχήματα εικονικά όταν βλέπει ένα καλά σχεδιασμένο τετράγωνο πάντα για αυτόν θα είναι τετράγωνο. Δεν μπορεί να είναι τίποτε άλλο, όπως για παράδειγμα δύο ορθογώνια τρίγωνα ενωμένα. Αντίθετα ένας μαθητής που βλέπει τα σχήματα μη εικονικά διακρίνει ένα τετράγωνο με βάση τον τρόπο που κατασκευάστηκε, και με βάση τους μετασχηματισμούς που μπορεί να κάνει σε αυτό το σχήμα. Συμπεράσματα Επίλογος Η μελέτη της βιβλιογραφίας παραπέμπει σε συμπεράσματα σχετικά με τη συσχέτιση χωρικής ικανότητας (spatial ability) και αντίληψης γεωμετρικού σχήματος (geometrical figure understanding). Η γεωμετρία ορίζεται ως «τα μαθηματικά του χώρου» και θεωρείται ένας τρόπος σύνδεσης των μαθηματικών με τον πραγματικό κόσμο (Bishop, 1983; Clements, 1998), επομένως μία πιθανή αλλαγή στην αντιληπτική ικανότητα του χώρου μπορεί να αλλάξει τη γεωμετρική κατανόηση. Πολυάριθμες μελέτες (Ben-Chaim et al., 1988; Burnett & Lane, 1980) έχουν δείξει ότι η χωρική ικανότητα μπορεί να αναπτυχθεί μέσα από εκπαίδευση αν χρησιμοποιούνται τα κατάλληλη εργαλεία.. Συνεπώς η ανάπτυξη της χωρικής ικανότητας μπορεί να αποτελέσει παράγοντα πρόβλεψης της γεωμετρικής αντίληψης του σχήματος; Οι Fischbein και Nachlieli (1998), χαρακτηριστικά αναφέρουν ότι τα γεωμετρικά σχήματα είναι ταυτόχρονα έννοιες αλλά και εικόνες (χωρικές αναπαραστάσεις). Οι χωρικές αναπαραστάσεις αυτές είναι σημειωτικές. Σε αυτές απεικονίζονται οργανωμένα οι σχέσεις μεταξύ των μονάδων αναπαράστασης. Στα γεωμετρικά σχήματα οι αναπαραστάσεις μπορεί να είναι μονοδιάστατες ή δισδιάστατες. Για να επιτευχθεί η γεωμετρική κατανόηση του σχήματος δεν είναι αρκετό να κατακτήσουμε την οπτική αντίληψη αλλά θα πρέπει να οπτικοποιήσουμε το σχήμα. Η οπτική αντίληψη επιτρέπει την απλή αναγνώριση του σχήματος, χωρίς να δίνει μία πλήρη εικόνα της σύλληψης του σχήματος. Αντιθέτως, η οπτικοποίηση του σχήματος βασίζεται στην παραγωγή σημειωτικής αναπαράστασης της έννοιας και δίνει ταυτόχρονα μία οργανωμένη σύλληψη των σχέσεων που υπάρχουν μέσα στο σχήμα (Duval, 1999). Για την πραγμάτωση της οπτικοποίησης στα μαθηματικά θα πρέπει να γίνει ειδική εκπαίδευση έτσι ώστε να κατανοηθούν οι σχέσεις που υπάρχουν στο σχήμα και να είναι εφικτός ο χειρισμός του σχήματος ως ένα γεωμετρικό αντικείμενο. Ένα μέρος της οπτικοποίησης είναι οι διαδικασίες της εξεικόνισης. Οι διαδικασίες αυτές συμπεριλαμβάνουν τις εξής λειτουργίες: (α) Αλλαγή της θέσης του αντικειμένου που αναπαριστάται π.χ. η περιστροφή του. (β) Αλλαγή της δομής του 93

104 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου αντικειμένου που αναπαριστάται. Η μετατρεπόμενη μορφή της εικόνας έχει πολύ λίγες ομοιότητες με την αρχική μορφή της. (γ) Συνδυασμός των προαναφερθέντων (Yakimaskaya, 1991). Ομοίως, η λειτουργική σύλληψη του Duval (1999), είναι μια μορφή οπτικής επεξεργασίας που αφορά γεωμετρικά σχήματα, δηλαδή, η εικονική τους τροποποίηση. Ο Duval (1995, 1999) αναλύει τη μορφή της απεικόνισης του γεωμετρικού σχήματος προτείνοντας τρία είδη τροποποιήσεων (τη μερεολογικη τροποποίηση, τη οπτική τροποποίηση και τη αλλαγή θέσης του σχήματος), που επιτρέπουν την αλλαγή της αρχικής μορφής του γεωμετρικού σχήματος σε ένα άλλο, διατηρώντας τις αρχικές του ιδιότητες. Στην λειτουργική σύλληψη, το δοσμένο σχήμα γίνεται το σημείο εκκίνησης για να διερευνηθούν άλλες μορφές που μπορούν να δημιουργηθούν από τις οπτικές τροποποιήσεις του σχήματος. Ένα γεωμετρικό σχήμα έχει πολλές πιθανές διαμορφώσεις ή υπο-διαμορφώσεις, μία από τις οποίες μπορεί να οδηγήσει στη λύση ενός προβλήματος. Για παράδειγμα, σχεδιάζοντας κάποια σχήματα μέσα σε ένα δοσμένο σχήμα είναι μια ένδειξη της λειτουργικής προσέγγισης που μπορεί να βοηθήσει στην έρευνα. Όμως, αυτό απαιτεί την ικανότητα απεικόνισης του αποτελέσματος της διαμόρφωσης. Ως εκ τούτου, η λειτουργική σύλληψη των γεωμετρικών σχημάτων μπορεί να θεωρηθεί ως μια διάσταση της χωρικής οπτικοποίησης. 94

105 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση Ξένη ΑΝΑΦΟΡΕΣ Barbin, E. (1990). Les éléments de Géométrie de Clairaut: Une Géométrie Problématisée. Colloque inter IREM de géométrie, Prt d Albret, Battista, T. M., Clements, H. D., Arnoff, J., Battista, K., & Borrow C. V. A., (1998). Students spatial structuring of 2D arrays of squares. Journal of Research in Mathematics Education, 29 (5), Ben-Chaim, D., G. Lappan, and R. T. Houang: 1988, The effect of instruction on spatial visualization skills of middle school boys and girls,american Educational Research Journal 25(1), Bishop, A. J. (1980). Spatial Abilities and Mathematics Education A Review. Educational Studies in Mathematics, (11), U.S.A.: Reidel Publishing Co.. Bishop, A. J. (1983). Space and geometry. In R. Lesh and M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes (pp ). New York: Academic Press. Brown, D., & Wheatley, G. (1997). Components of Imagery and Mathematical Understanding, Focus on Learning Problems in Mathematics, 19 (1), Burnett, S. A., & Lane, D. M. (1980). Effects of academic instruction on spatial visualization. Intelligence, 4(3), Burton, L. J., & Fogarty, G. J. (2003). The factor structure of visual imagery and spatial abilities. Intelligence, 31, Chazan, D., & Yerushalmy, M. (1998). Charting a course for secondary geometry. Designing learning environments for developing understanding of geometry and space, Christou, C., Jones, K., Pitta, D., Pittalis, M., Mousoulides, N., & Boytchev, P. (2007). Developing student spatial ability with 3-dimensional applications. Clements, D. H. (1998). Geometric and spatial thinking in young children. (ERIC Document Reproduction Service No. ED436232) Crowley, ML (1987). The van Hiele model of the development of geometric thought. In MM Lind- quist & AP Shulte (Eds.), Learning and teaching geometry, K-12, 1987 yearbook (pp. 1-16). 95

106 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου Del Grande, J. J. (1987). Spatial perception and primary geometry. In M. M. Lindquist & A. P. Shults (Eds.), Learning and teaching geometry K-12 (1987 yearbook, pp ). Reston, VA: NCTM. Deliyianni, E., Elia, I., Gagatsis, A., Monoyiou, A., & Panaoura, A. (2009). A theoretical model of students geometrical figure understanding. In The 6 th Conference of the European Society for Research in Mathematics Education: Working Group 5, Geometrical Thinking (pp ). Duval, R. (1988). Pour une approche cognitive des problemes de geometrie en termes de congruence, annals de didactique et de sciences cognitives, Universite Luis Pasteur et IREM, 11, Duval, R. (1995). Geometrical Pictures: Kinds of Representation and Specific Processings. In R. Sutherland & J. Mason (Εds.), Exploiting Mental Imagery with Computers in Mathematics Education, (p ). Germany:Springer. Duval, R. (1998). Geometry from a cognitive point of view, In C. Mammana & V. Villani (Eds.), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21 st century (pp ). Dordrecht: Kluwer Academic. Duval, R. (1999). Representation, Vision and Visualization: Cognitive Functions in Mathematical Thinking. Basic Issues for learning. Retrieved from ERIC ED Duval, R. (2004). Geometrical Pictures: kind of representation and specific processings, Σημειώσεις διαλέξεων στα πλαίσια του μαθήματος Χώρος, εξεικόνιση και συλλογισμός στη Γεωμετρία. English, L. D., & Warren, E. A. (1995). General reasoning processes and elementary algebraic understanding: implications for initial instruction. Focus on Learning Problems in Mathematics, 17(4), Fischbein, E. (1993). The theory of figural concepts. Educational Studies in Mathematics, 24(2), Fischbein, E., & Nachlieli, T. (1998). Concepts and figures in geometrical reasoning. International Journal of Science Education, 20(10), Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (Eds). (1984). English translation of selected writings of Dina van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele. Brooklyn: Brooklyn College. (ERIC Document Reproduction Service No. ED ). 96

107 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση Gilmartin, P. P., & Patton, C. J. (1984). Comparing the sexes on spatial abilities: Map- Use skills. Annuals of the Association of American Geographers, 74 (4), Górska, R. A. & Juščákova, Z. (2003). A Pilot Study of a New Testing Method for spatial Abilities Evaluation. Journal for Geometry and Graphics, 7 (2), Gutiérrez, A. (1996). Visualization in 3-Dimensional Geometry: In search of a Framework. In L. Puig and A. Gutiérrez (eds.), Proceedings of the 20 th conference of the international group for the psychology of mathematics education, (1), Valencia: Universidad de Valencia. Hegarty, M. & Waller, D. (2005). Individual differences in spatial abilities. In P. Shah & A. Miyake (Eds). The Cambridge handbook of visuospatial thinking. New York, NY: Cambdridge University Press. Houdement, C., & Kuzniak, A. (2003). Elementary geometry split into different geometrical paradigms. In M. Mariotti (Ed.), Proceedings of CERME 3. Bellaria, Italy. [On line] Jones, G. A., & Swafford, J. O. (1997). Increased knowledge in geometry and instructional practice. Journal for Research in Mathematics Education, 28(4), Laborde, C. (2003). Η μάθηση της γεωμετρίας με τη βοήθεια του υπολογιστή. Επαγωγικές και κονστρουκτιβιστικές πλευρές. Στου Α. Γαγάτση (Εκδ.), Κείμενα Διδακτικής της Γεωμετρίας (σ ). Λευκωσία : Πανεπιστήμιο Κύπρου. Lean, G., & Clements, M.A. (1981). Spatial ability, visual imagery, and mathematical performance. Educational Studies in Mathematics, 12 (3), Lemonidis, C. (1997). A few remarks regarding the teaching of geometry, through a theoretical analysis of geometrical figure, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Application, 30 (4), Linn, C. M., & Petersen, C. A. (1985). Emergence and characterization of sex difference in spatial ability: A meta-analysis. Child Development, (56), Manger, T. & Eikeland, O. (1998). The effects of spatial visualization and students sex on mathematical achievement. British Journal of Psychology, 89 (1). British Psychological Society. 97

108 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου Mason, M. M., & Schell, V. (1988). Geometric understanding and misconceptions among preservice and inservice mathematics teachers. In M. J. Behr, C. B. Lacampagne, & M. M. Wheeler (Eds.), Proceedings of the Tenth Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp ). DeKalb, IL: Northern Illinois University. Mayberry, J. (1983). The van Hiele level of geometric thought in undergraduate, preservice teachers. Journal for Research in Mathematics Education, 14(1), McGee, M. G. (1979). Human spatial abilities: Psychometric studies and environmental, genetic, hormonal, and neurological influences. Psychological Bulletin, 86 (5), Mesquita, A. L. (1998). On conceptual obstacles linked with external representation in geometry. Journal of mathematical behavior, 17(2), Michealides, M. P. (2003, April). Age and Gender differences in performance on a spatial rotation test. Poster presented at the AERA Annual Meeting of American Education Research Association, Chicago, IL. National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston: VA, NCTM. National Council of Teachers of Mathematics (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston: VA, NCTM. Newcombe, N., Bandura, M. M., & Taylor, D. G. (1983). Sex Differences in Spatial Ability and Spatial Activities. Sex Roles, 9 (3), Pennsylvania: Pennsylvania State University. Olkun, S., & Knaupp, J. E. (1999, January). Children s understanding of rectangular solids made of small cubes. Paper presented at the Annual Meeting of the Southwest Education Research Association, San Antonio, TX. Polya, G. (1945). How to solve it. Princeton, NJ: Princeton University Press. Presmeg, N. C. (1986). Visualisation in high school mathematics, For the Learning of Mathematics, 6(3), Prevost, J. H. (1985). A simple plasticity theory for frictional cohesionless soils. International Journal of Soil Dynamics and Earthquake Engineering 4.1: Ryu, H., Chong, Y. O., & Song, S. H. (2007). Mathematically gifted students spatial visualization ability of solid figures. In J. H. Woo, H. C. Lew, K. S. Park, & D. 98

109 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση Y. Seo (Eds.). Proceedings of the 31 st Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, (4), Seoul: PME. Shaughnessy, J. M., & William F. Br. (1985). Spadework Prior to Deduction in Geometry. Mathematics Teacher 78 (September): Silverman, I., Choi, J., & Peters, M. (2007). The Hunter-Gatherer theory of sex differences in spatial abilities: Data from 40 counties. Archives of Sexual Behavior, 36, Strong, S., & Smith, R. (2002). Spatial Visualization: Fundamental and trends in engineering Graphics. Journal of Industrial Technology, 18 (1). Syndam, M. N. (1985). The shape of instruction in geometry: Some highlights from research. Mathematics Teacher, 78, Unal, H. (2005). The influence of curiosity and spatial ability on preservice middle and secondary mathematics teachers understanding of geometry. A Dissertation submitted to the Department of Middle and Secondary Education. Florida State University. Unal, H., Jakubowski, E., & Corey, D. (2009). Differences in learning geometry among high and low spatial ability pre-service mathematics teachers. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 40(8), doi: / Usiskin, Z. P. (1982). Van Hiele levels and achievement in secondary school geometry (Final Report of the Cognitive Development and Achievement in Secondary School Geometry Project). Chicago, IL: University of Chicago, Department of Education. (ERIC Reproduction Service No. ED ). Van Hiele, P. (1986). Structure and Insight: A Theory of Mathematics Education. Orlando, FL: Academic Press. Woolner, P. (2004). A comparison of a visual-spatial approach and a verbal approach to teaching mathematics. Paper proceeding of the 28th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME), Bergen Norway, 4, Yakimanskaya, I. S. (1991). Soviet studies in mathematics education: The development of spatial thinking in schoolchildren. Reston, VA: NCTM. Zazkis, R., Dubinsky, E., & Dautermann, J. (1996). Coordinating visual and analytic strategies: A study of students' understanding of the group D4, Journal for Research in Mathematics Education, 27(4),

110 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου Ελληνική Γαγάτσης, Α. (2007). Προβλήματα μάθησης των Μαθηματικών κατά τη μετάβαση από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο. Λευκωσία: Πανεπιστήμιο Κύπρου. Κολέζα, Ε. (2003). Νοητικές Διεργασίες Ανάπτυξης Γεωμετρικών Εννοιών. Πρακτικά 2 ου Συνεδρίου για τα Μαθηματικά στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση [CD-ROM]. Αθήνα: Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών & Πανεπιστήμιο Κύπρου Παναούρα, Γ. (2007). Οι γεωμετρικές γνώσεις και ικανότητες των μαθητών στο τέλος της Δημοτικής Εκπαίδευσης, Συγκρίνοντας τη γεωμετρική σκέψη μαθητών δημοτικής και μέσης εκπαίδευσης. Διδακτορική Διατριβή. Πανεπιστήμιο Κύπρου. Πατρώνης Πέσκιας,Α., & Χρυσοστόμου-Βούργια, Σ. (2003). Η ικανότητα αντιληπτικής σύλληψης γεωμετρικών σχημάτων. Στο Α. Γαγάτσης, & Ι. Ηλία (Εκδ.), Οι Αναπαραστάσεις και τα Γεωμετρικά Μοντέλα στη Μάθηση των Μαθηματικών: Τόμος 2 (σσ ). Λευκωσία: Εκδόσεις Intercollege. Πρωτοπαπάς, Π. (2003). Στρατηγικές Υπολογισμού Όγκου από Μαθητές Ε Δημοτικού. Στους Α. Γαγάτση & Ι.Ηλία (Εκδ.), Οι Αναπαραστάσεις και τα Γεωμετρικά Μοντέλα στη Μάθηση των Μαθηματικών. Τόμος 2 (σ ). Λευκωσία: Intercollege. Τρούλης, Γ. (1992). Τα Μαθηματικά στο Δημοτικό Σχολείο: Διδακτική Προσέγγιση. Αθήνα: Γρηγόρη. Φιλίππου, Γ. & Χρίστου, Κ. (2002). Ιστορία και Μάθηση των Μαθηματικών. Στο Μ. Καϊλα, Φ. Καλαβάσης, & Ν. Πολεμικός (Εκδ.), Αποσιωπημένες Σχέσεις στην Εκπαίδευση (σ ). Αθήνα: Ατραπός. 100

111 ΟΙ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΕ ΕΡΓΑ ΜΕΤΑΦΡΑΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Χριστοδούλου Θεοδώρα & Ηλία Ιλιάδα Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα εργασία επιδιώκει να εξετάσει το χειρισμό έργων μετάφρασης γραφικών παραστάσεων, από μια μορφή αναπαράστασης σε άλλη, από μαθητές Β και Γ τάξης Δημοτικού. Συγκεκριμένα, διερευνά τις δυσκολίες των μαθητών σε έργα που απαιτούν μετάφραση (1) από γραπτή γλώσσα και συμβολική αναπαράσταση σε εικονική αναπαράσταση (εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα), (2) από εικονική αναπαράσταση (εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα) σε γραπτή γλώσσα και συμβολική αναπαράσταση, (3) από γραπτή γλώσσα σε εικονική αναπαράσταση (εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα) και (4) από εικονική αναπαράσταση (εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα) σε συμβολική αναπαράσταση. Επιπλέον, επιχειρεί να εντοπίσει το είδος μετάφρασης, το οποίο οι μαθητές κάθε τάξης φαίνεται να χειρίζονται με μεγαλύτερη ευκολία ή δυσκολία, καθώς να κάνει σύγκριση της επίδοσης των μαθητών των δύο τάξεων. Για τη συλλογή των δεδομένων της έρευνας, 150 μαθητές, Β και Γ τάξης Δημοτικού, κλήθηκαν να συμπληρώσουν δοκίμιο, που περιλάμβανε έργα μετάφρασης με γραφικές παραστάσεις. Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν ότι οι μαθητές και των δύο τάξεων παρουσιάζουν τις περισσότερες δυσκολίες όταν καλούνται να κάνουν μετάφραση από το ραβδόγραμμα (εικόνα) σε λεκτική και συμβολική αναπαράσταση (συμπλήρωση προβλήματος), ενώ το πιο εύκολο είδος μετάφρασης για αυτούς φαίνεται να είναι η μετάφραση από λεκτική και συμβολική αναπαράσταση σε εικονόγραμμα. Επιπρόσθετα, η επίδοση των μαθητών σε συγκεκριμένα είδη μετάφρασης διαφοροποιείται ανάλογα με το φύλο και την ηλικία των μαθητών. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Διαχρονικά η έννοια της αναπαράστασης και ειδικότερα της ικανότητας μετάφρασης από μια μορφή αναπαράστασης σε άλλη, έχει αποσπάσει την προσοχή και το ενδιαφέρον πολλών ερευνητών στο χώρο της μαθηματικής εκπαίδευσης. Η ανάγκη μελέτης της έννοιας της αναπαράστασης προκύπτει τόσο για πρακτικούς όσο και για θεωρητικούς λόγους (Kaput, 1987). Οι πρακτικοί λόγοι αναφέρονται στις δυσκολίες που

112 Θ. Χριστοδούλου, Ι. Ηλία αντιμετωπίζουν οι μαθητές στη μετάφραση από τη μια αναπαράσταση στην άλλη σε σχέση με τις μαθηματικές έννοιες, καθώς και ανάμεσα στην καθημερινή εμπειρία και στα μαθηματικά. Οι θεωρητικοί λόγοι αναφέρονται στην ανάγκη για ύπαρξη ενός συστηματικού πλαισίου σε σχέση με τα διάφορα συστήματα αναπαράστασης, ώστε να μπορούν να αντιμετωπιστούν αποτελεσματικά οι πρακτικές δυσκολίες που προκύπτουν σε σχέση με την κατανόηση και τη χρήση αναπαραστάσεων. Η παρούσα εργασία χρησιμοποιεί οκτώ είδη μεταφράσεων: (1) από γραπτή γλώσσα και συμβολική αναπαράσταση σε εικονική αναπαράσταση (εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα), (2) από εικονική αναπαράσταση (εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα) σε γραπτή γλώσσα και συμβολική αναπαράσταση, (3) από γραπτή γλώσσα σε εικονική αναπαράσταση (εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα) και (4) από εικονική αναπαράσταση (εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα) σε συμβολική αναπαράσταση. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Οι ιδέες γύρω από τις αναπαραστάσεις στην έρευνα, τη διδασκαλία και τη μάθηση των μαθηματικών, έχουν αναπτυχθεί πολύ τα τελευταία χρόνια και απασχολούν την κοινότητα των ερευνών της μαθηματικής παιδείας. Ο όρος «αναπαράσταση» μεταφράζεται σε διάφορα λεξικά με τον όρο «απεικόνιση» (Νεοελληνικό Λεξικό Πατάκη), «αποτύπωση έργου, πράγματος ή γεγονότος, εικαστική ή γραφική παράσταση γεγονότος ή κατασκευής που δεν υπάρχει ή που δεν έχει πλέον τη μορφή που είχε» (Λεξικό της Κοινής Ελληνικής). Οι Confrey και Smith αναφέρουν την αναπαράσταση ως μια νοητική δομή, η οποία καθορίζεται από διάφορα εργαλεία όπως πίνακες, σχήματα, εξισώσεις και γραφικές παραστάσεις και από τον τρόπο που αυτά χρησιμοποιούνται για την παρουσίαση μαθηματικών ιδεών και εννοιών (Confrey & Smith, 1991, στης Γραββανή, 2006). Επομένως, ο όρος «αναπαράσταση» επιδέχεται πολλαπλές ερμηνείες. Σύμφωνα με τον ορισμό του Palmer (1977), τον οποίο υιοθετούν οι Kaput (1987a; 1987b) και Goldin (1987), η έννοια της αναπαράστασης περιλαμβάνει τις ακόλουθες πέντε ολότητες: α. την ολότητα που αναπαρίσταται, β. την ολότητα που αναπαριστά, γ. τις συγκεκριμένες πτυχές της ολότητας προς αναπαράσταση που αναπαρίστανται, δ. τις συγκεκριμένες πτυχές της ολότητας που αναπαριστά, οι οποίες κάνουν την αναπαράσταση και τέλος, ε. την αντιστοιχία ανάμεσα στις δύο ολότητες (στης Γραββανή, 2006). Οι μαθητές στα πλαίσια του μαθήματος των μαθηματικών έρχονται καθημερινά σε επαφή με μια μεγάλη ποικιλία αναπαραστάσεων. Απαραίτητες προϋποθέσεις, όμως, για την αποτελεσματική κατανόηση μιας μαθηματικής έννοιας αποτελούν α) η ικανότητα αναγνώρισης της έννοιας σε μια ποικιλία ποιοτικά διαφορετικών συστημάτων 102

113 Οι Δυσκολίες των Μαθητών σε Έργα Μετάφρασης Γραφικών Παραστάσεων αναπαράστασης και β) η ικανότητα μετάφρασης της έννοιας από το ένα σύστημα στο άλλο (Lesh, Post & Behr, 1987). Η τελευταία προϋπόθεση, δηλαδή η ικανότητα μετάφρασης από το ένα σύστημα αναπαράστασης μιας έννοιας σε άλλο, διαδραματίζει σημαντικό ρόλο, όχι μόνο για τη μάθηση μαθηματικών εννοιών, αλλά και για την επίλυση μαθηματικού προβλήματος (Janvier, 1987). Ως ικανότητα «μετάφρασης αναπαραστάσεων», ο Janvier (1987) ορίζει την ψυχολογική διαδικασία μέσω της οποίας το άτομο μεταφέρεται απλά από ένα σύστημα αναπαράστασης στο άλλο και αποτελεί σημαντικό κριτήριο αξιολόγησης για την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών και παράλληλα αποτελεσματικό μέσο επίλυσης μαθηματικού προβλήματος. Ο Lesh και η ομάδα του (1987), εξέτασαν το ρόλο των αναπαραστάσεων στη μάθηση των μαθηματικών και την επίλυση προβλήματος, δίνοντας ιδιαίτερη έμφαση στις μεταφράσεις από το ένα σύστημα αναπαράστασης στο άλλο και στους μετασχηματισμούς μέσα στο ίδιο σύστημα. Οι ίδιοι ερευνητές διαπίστωσαν δυσκολίες μετάφρασης από το ένα σύστημα αναπαράστασης στο άλλο. Η έρευνά τους, έδειξε ότι οι μεταφράσεις σε εικόνες είναι πιο εύκολες σε σχέση με μεταφράσεις από εικόνες, καθώς επίσης, φάνηκε ότι οι μεταφράσεις που περιλαμβάνουν γραπτή γλώσσα είναι ευκολότερες από τις μεταφράσεις που περιλαμβάνουν γραπτά σύμβολα. Η έρευνα στην παρούσα εργασία σχετίζεται με την ευρεία έννοια της Στατιστικής, όπως αυτή παρουσιάζεται στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση και συγκεκριμένα με τις γραφικές παραστάσεις: εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα. Καταρχάς, στατιστική παιδεία είναι η ικανότητα να διαβάζει και να ερμηνεύει κανείς δεδομένα, η ικανότητα να χρησιμοποιεί στατιστικά στοιχεία ως αποδεικτικά σε επιχειρήματα. Η στατιστική παιδεία αποτελεί επίσης, την ικανότητα να σκέφτεται το άτομο κριτικά για τις στατιστικές (Schield M., 1999) και συγκεκριμένα στην περίπτωση μας, κριτικά για τις γραφικές παραστάσεις. Γραφικές παραστάσεις, είναι οι οπτικές απεικονίσεις λεκτικών δηλώσεων (Jones B. F. και λοιποί, 1988). Είναι, δηλαδή, μια απεικόνιση των δεδομένων μας. Έρευνες έδειξαν ότι οι μαθητές συχνά αδυνατούν να αντιληφθούν τις θεμελιώδεις έννοιες και τις λειτουργίες ενός γραφήματος(garfield, 1995), διότι δεν ξέρουν σε ποια σημεία της γραφικής παράστασης να εστιάσουν την προσοχή τους ούτε πώς να «διαβάσουν» ένα γράφημα (Van Dyke & White, 2004). Στο βιβλίο της Λυκοτραφίτη (nd), αναφέρεται ότι το εικονόγραμμα είναι διάγραμμα στο οποίο οι πληροφορίες δίνονται με την επανάληψη της εικόνας του αντικειμένου στο οποίο αναφερόμαστε. Σύμφωνα με το ηλεκτρονικό λεξικό Βικιπαιδεία, εικονόγραμμα είναι ένα σύμβολο που αντιπροσωπεύει ένα αντικείμενο ή μια έννοια μέσω εικόνων. Είναι μια γραπτή μορφή με την οποία οι ιδέες διαβιβάζονται κατευθείαν με σχέδιο. Το ραβδόγραμμα είναι διάγραμμα στο οποίο οι πληροφορίες δίνονται με ορθογώνιες στήλες 103

114 Θ. Χριστοδούλου, Ι. Ηλία που μοιάζουν με ράβδους. Η μετατροπή δεδομένων σε ραβδόγραμμα είναι ένας φυσικός τρόπος να βοηθηθεί ο μαθητής να κινηθεί από συγκεκριμένες αναπαραστάσεις δεδομένων σε μια μορφή πιο αφηρημένη (Vekiri, 2002). Σύμφωνα με το Αναλυτικό Πρόγραμμα της Κύπρου, οι μαθητές της Β και Γ τάξης του δημοτικού αναμένεται να είναι σε θέση να συλλέγουν πληροφορίες και δεδομένα από το περιβάλλον τους και να τα παρουσιάζουν με οργανωμένο τρόπο, να ερμηνεύουν δεδομένα που παρουσιάζονται με εικονογράμματα και ραβδογράμματα, να κατασκευάζουν εικονογράμματα και ραβδογράμματα, ονομάζοντας τον οριζόντιο και κατακόρυφο άξονα και να συγκρίνουν δεδομένα με βάση τις πληροφορίες που δίνονται σε εικονογράμματα και σε ραβδογράμματα. ΑΝΑΓΚΑΙΟΤΗΤΑ ΕΡΕΥΝΑΣ Το γεγονός ότι δεν έχει διεξαχθεί παρόμοια έρευνα στο χώρο της μαθηματικής κοινότητας, αυτό καθιστά τη συγκεκριμένη έρευνα ξεχωριστή. Παρόλα αυτά, τα αποτελέσματα μιας τέτοιας έρευνας θα ήταν πολύ χρήσιμα και θα μπορούσαν να αξιοποιηθούν ως εργαλεία προβληματισμού από μέρους των εκπαιδευτικών για τις δυσκολίες των παιδιών στη διαδικασία μετάφρασης σε έργα με γραφικές παραστάσεις και ως εκ τούτου να δώσουν κατευθυντήριες γραμμές στους εκπαιδευτικούς σχετικά με την έμφαση που πρέπει να δίνεται κατά τη διδασκαλία των γραφικών παραστάσεων και του τρόπου που αυτή είναι καλό να γίνεται. Επομένως, μέσα από τη συγκεκριμένη έρευνα, δίνεται η δυνατότητα να διαγνωστούν οι ανάγκες των μαθητών σχετικά με την ικανότητα μετάφρασης από μια μορφή αναπαράστασης σε άλλη όσον αφορά τη συγκεκριμένη ενότητα των μαθηματικών, να δοθούν οι κατάλληλες προσεγγίσεις και να επιτευχθεί βελτίωση της ικανότητας μετάφρασης. ΣΚΟΠΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Λαμβάνοντας υπόψη την παραπάνω βιβλιογραφική ανασκόπηση, σκοπός της έρευνας είναι η περιγραφή των δυσκολιών που συχνά αντιμετωπίζουν οι μαθητές Β και Γ τάξης δημοτικού, όταν κάνουν μετάφραση από ένα σύστημα αναπαράστασης σε άλλο, σε έργα που εμπλέκουν εικονογράμματα και ραβδογράμματα. Ειδικότερα, η έρευνα καταπιάνεται με τα εξής ερευνητικά ερωτήματα: 1.Ποιο είδος μετάφρασης φαίνεται να είναι το πιο εύκολο για τους μαθητές της Β δημοτικού και ποιο για τους μαθητές της Γ τάξης και σε ποιο είδος μετάφρασης οι μαθητές Β τάξης δημοτικού παρουσιάζουν τις περισσότερες δυσκολίες και σε ποιο οι μαθητές της Γ τάξης δημοτικού; 104

115 Οι Δυσκολίες των Μαθητών σε Έργα Μετάφρασης Γραφικών Παραστάσεων 2.Οι δυσκολίες των παιδιών στις δύο τάξεις στα συγκεκριμένα είδη μετάφρασης ταυτίζονται ή διαφοροποιούνται; 3.Διαφέρει η επίδοση των παιδιών σε έργα μετάφρασης που εμπλέκουν γραφικές παραστάσεις ως προς την ηλικία και το φύλο τους; Υποθέσεις έρευνας Η μετάφραση από τη λεκτική και συμβολική αναπαράσταση σε εικονόγραμμα ή ραβδόγραμμα πιθανόν να είναι η πιο εύκολη τόσο για τους μαθητές της Β τάξης όσο και για τους μαθητές της Γ τάξης, λαμβάνοντας υπόψη τα ευρήματα των Lesh και των συνεργατών του (1987). Οι μαθητές και των δύο τάξεων, στηριζόμενοι στα ευρήματα της ίδιας έρευνας, ενδεχομένως να δυσκολεύονται περισσότερο όταν καλούνται να κάνουν μετάφραση από την εικονική αναπαράσταση (γραφική παράσταση) στη γραπτή γλώσσα και τη συμβολική αναπαράσταση. Επομένως, οι δυσκολίες των παιδιών στις δύο τάξεις στα συγκεκριμένα είδη μετάφρασης αναμένεται να ταυτίζονται. Οι μαθητές της Γ τάξης αναμένεται να έχουν ψηλότερη επίδοση στα έργα μετάφρασης με γραφικές παραστάσεις, λόγω της μεγαλύτερης εμπλοκής τους με τις γραφικές παραστάσεις και του ενός χρόνου περισσότερης εμπειρίας τους από τους μαθητές της Β τάξης. Αυτό αποδεικνύεται από τα βιβλία των Μαθηματικών των δύο τάξεων, στα οποία μπορεί να γίνει μια σύγκριση σχετικά με τη συχνότητα τέτοιου είδους ασκήσεων στα βιβλία κάθε τάξης. Υπόθεση σχετικά με τη διαφοροποίηση της επίδοσης των μαθητών στις γραφικές παραστάσεις ανάλογα με το φύλο δεν μπορεί να διατυπωθεί, λόγω έλλειψης σχετικής βιβλιογραφικής τεκμηρίωσης. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Δείγμα και διαδικασία συλλογής δεδομένων Το δείγμα της έρευνας αποτέλεσαν συνολικά 150 μαθητές, 76 μαθητές Β τάξης δημοτικού και 74 μαθητές Γ τάξης δημοτικού. Για τη συλλογή των δεδομένων χρησιμοποιήθηκε δοκίμιο (βλέπε παράστημα), το οποίο καταρτίστηκε με 20 έργα, για να εξετάσει το χειρισμό έργων μετάφρασης γραφικών παραστάσεων, από μια μορφή αναπαράστασης σε άλλη. Για τη συμπλήρωση των δοκιμίων, δόθηκαν λεπτά, όπου τα παιδιά εργάστηκαν ατομικά. Κατά τη διαδικασία συμπλήρωσής τους, κάθε πρόβλημα διαβαζόταν στην ολομέλεια μία φορά από την ερευνήτρια, κι έπειτα οι μαθητές έκαναν τη μετάφραση που απαιτούσε το πρόβλημα. Να σημειωθεί ότι, τα έργα 3, 7, 10, 13, 17 και 20 παρουσίαζαν κάποιο βαθμό δυσκολίας σε σχέση με τα υπόλοιπα έργα της ομάδας τους. Δηλαδή, περιείχαν έννοιες όπως το περισσότερο, λιγότερο, τα πιο πολλά, τα πιο λίγα. 105

116 Θ. Χριστοδούλου, Ι. Ηλία Ανάλυση δεδομένων Για την ανάλυση των δεδομένων που συλλέχθηκαν χρησιμοποιήθηκε το στατιστικό πακέτο CHIC και το στατιστικό πακέτο SPSS, ανάλογα με την ανάλυση που χρειαζόταν να γίνει για την απάντηση στο κάθε ερευνητικό ερώτημα. Επιπλέον, χρησιμοποιήθηκαν μεταβλητές για το αρχικό δοκίμιο με τα έργα μετάφρασης των γραφικών παραστάσεων, οι οποίες είχαν τις εξής μορφές: tlsp1, tlsp2 Μετάφραση από λεκτική & συμβολική σε εικονόγραμμα (έργα 1, 2) dtlsp Μετάφραση από λεκτική & συμβολική σε εικονόγραμμα με βαθμό δυσκολίας (έργο 3) tpls Μετάφραση από εικονόγραμμα σε λεκτική & συμβολική (έργα 4) tlp1, tlp2 Μετάφραση από λεκτική σε εικονόγραμμα (έργα 5, 6) dtlp Μετάφραση από λεκτική σε εικονόγραμμα με βαθμό δυσκολίας (έργο 7) tps1, tps2a, tps2b Μετάφραση από εικονόγραμμα σε συμβολική (έργα 8, 9) dtpsa, dtpsb, dtpsc, dtpsd Μετάφραση από εικονόγραμμα σε συμβολική με βαθμό δυσκολίας (έργο 10) tlsbc1, tlsbc2 Μετάφραση από λεκτική & συμβολική σε ραβδόγραμμα (έργα 11, 12) dtlsbc Μετάφραση από λεκτική & συμβολική σε ραβδόγραμμα με βαθμό δυσκολίας (έργο 13) tbcls Μετάφραση από ραβδόγραμμα σε λεκτική & συμβολική (έργο 14) tlbc1, tlbc2 Μετάφραση από λεκτική σε ραβδόγραμμα (έργα 15, 16) dtlbc Μετάφραση από λεκτική σε ραβδόγραμμα με βαθμό δυσκολίας (έργο 17) tbcs1, tbcs2 Μετάφραση από ραβδόγραμμα σε συμβολική (έργα 18, 19) dtbcsa, dtbcsb, dtbcsc Μετάφραση από ραβδόγραμμα σε συμβολική με βαθμό δυσκολίας (έργο 20) 106

117 Οι Δυσκολίες των Μαθητών σε Έργα Μετάφρασης Γραφικών Παραστάσεων ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Τα αποτελέσματα της έρευνας παρουσιάζονται παρακάτω για κάθε ερευνητικό ερώτημα ξεχωριστά. Για την απάντηση στα ερωτήματα 1-3 διενεργήθηκε περιγραφική στατιστική ανάλυση στο στατιστικό πρόγραμμα SPSS για κάθε τάξη ξεχωριστά. Στην ανάλυση συμπεριλήφθηκαν οι 8 μεταβλητές που αφορούσαν τον τελικό βαθμό των μαθητών στα έργα που χρησιμοποιήθηκαν για το κάθε είδος μετάφρασης. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης αναφορικά με το είδος της μετάφρασης που φαίνεται να είναι το πιο εύκολο για τους μαθητές και το είδος της μετάφρασης το οποίο τους δυσκολεύει περισσότερο (ερευνητικό ερώτημα 1), παρουσιάζονται και για τις δύο τάξεις στον πίνακα 1. Επιπλέον, από τον πίνακα 1, μπορούμε να διακρίνουμε κατά πόσο οι δυσκολίες των παιδιών στις δύο τάξεις στα συγκεκριμένα είδη μετάφρασης ταυτίζονται ή διαφοροποιούνται (2 ο ερευνητικό ερώτημα). Πίνακας 1 Μέσοι Όροι και Τυπικές Αποκλίσεις Κατά Τάξη Β τάξη (n=76) Γ τάξη (n=74) Είδος μετάφρασης M SD M SD Μετάφραση από λεκτική & συμβολική σε εικονόγραμμα (έργα 1-3) Μετάφραση από εικονόγραμμα σε λεκτική & συμβολική (έργα 4) Μετάφραση από λεκτική σε εικονόγραμμα (έργα 5, 6, 7) Μετάφραση από εικονόγραμμα σε συμβολική (έργα 8, 9, 10) Μετάφραση από λεκτική & συμβολική σε ραβδόγραμμα (έργα 11, 12, 13) Μετάφραση από ραβδόγραμμα σε λεκτική & συμβολική (έργο 14) Μετάφραση από λεκτική σε ραβδόγραμμα (έργα 15, 16, 17) Μετάφραση από ραβδόγραμμα σε συμβολική (έργα 18, 19, 20)

118 Θ. Χριστοδούλου, Ι. Ηλία Ο πίνακας 1 παρουσιάζει το μέσο όρο και την τυπική απόκλιση σε κάθε τάξη για την επιτυχή επίλυση των έργων που αφορούσαν κάθε είδος μετάφρασης. Στο σημείο αυτό να αναφερθεί ότι για κάθε είδος μετάφρασης, το μέγιστο δυνατό αποτέλεσμα για τους μαθητές ήταν 3 μονάδες. Όπως προκύπτει από τον πίνακα, οι μαθητές της Β τάξης δημοτικού παρουσιάζουν την υψηλότερη επίδοση στα έργα που απαιτούσαν μετάφραση από λεκτική και συμβολική αναπαράσταση σε εικονόγραμμα, εφόσον ο μέσος όρος των έργων που περιλαμβάνονται σε αυτή την κατηγορία μετάφρασης είναι Ο χαμηλότερος μέσος όρος (1.93), για τους μαθητές της Β τάξης, σημειώθηκε στο έργο που απαιτούσε μετάφραση από το ραβδόγραμμα (εικόνα) σε λεκτική και συμβολική αναπαράσταση (συμπλήρωση προβλήματος). Για τους μαθητές της Γ τάξης το πιο εύκολο είδος μετάφρασης είναι η μετάφραση από λεκτική και συμβολική αναπαράσταση σε εικονόγραμμα (εικονική αναπαράσταση). Αυτό φαίνεται από τον ψηλό μέσο όρο (2.85) των μαθητών στα έργα όπου κλήθηκαν να κάνουν το συγκεκριμένο είδος μετάφρασης. Όσον αφορά το είδος μετάφρασης που δυσκολεύει περισσότερο τους μαθητές της Γ τάξης, όπως φαίνεται στον πίνακα, κατά τη μετάφραση από το ραβδόγραμμα (εικονική αναπαράσταση) σε λεκτική και συμβολική αναπαράσταση (συμπλήρωση προβλήματος), τα αποτελέσματα των μαθητών ήταν τα πιο χαμηλά (μέσος όρος: 2.02). Επομένως, όπως συμπεραίνουμε από τα πιο πάνω, οι δυσκολίες των παιδιών στις δύο τάξεις στα συγκεκριμένα είδη μετάφρασης ταυτίζονται (2 ο ερευνητικό ερώτημα). Για να διερευνηθεί κατά πόσο υπήρχαν διαφορές στην επίδοση των μαθητών ανάλογα με την τάξη (ηλικία) και το φύλο (ερευνητικό ερώτημα 3), διενεργήθηκε ανάλυση διασποράς δύο ανεξάρτητων μεταβλητών (two-way ANOVA). Η ίδια ανάλυση επαναλήφθηκε 9 φορές, όπου κάθε φορά, εξαρτημένη μεταβλητή ήταν η επίδοση των μαθητών σε κάθε ομάδα έργων συγκεκριμένου είδους μετάφρασης. Αρχικά, έγινε ανάλυση όπου εξαρτημένη μεταβλητή ήταν η συνολική επίδοση των μαθητών στο δοκίμιο. Από τη συγκεκριμένη ανάλυση (πίνακας 2), βρέθηκε ότι η επίδραση της τάξης δεν ήταν στατιστικά σημαντική (F (1,150)= 3.88, p>.05), το ίδιο και το φύλο (F (1,150)= 2.60, p>.05). Κατά συνέπεια, η αλληλεπίδραση της τάξης και του φύλου δεν ήταν στατιστικά σημαντική (F (1,150)= 0.60, p>.05). 108

119 Οι Δυσκολίες των Μαθητών σε Έργα Μετάφρασης Γραφικών Παραστάσεων Πίνακας 2 Ανάλυση Διασποράς της Συνολικής Επίδοσης των Μαθητών σε Σχέση με την Τάξη και το Φύλο Πηγή διακύμανσης Άθροισμα τετραγώνων Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων Τάξη Φύλο Τάξη Χ Φύλο Εντός ομάδων *p<.05, **p<.01, ***p<.001 F Για το λόγο αυτό, διενεργήθηκαν ακόμα 8 αναλύσεις διασποράς δύο ανεξάρτητων μεταβλητών, όσα ήταν και τα είδη μετάφρασης που εξετάστηκαν στην έρευνα. Από αυτές, φάνηκε ότι όσον αφορά την επίδοση των μαθητών στα έργα μετάφρασης από λεκτική και συμβολική μορφή σε εικονόγραμμα (πίνακας 3), δεν βρέθηκε καμιά στατιστικά σημαντική διαφορά. Τόσο η επίδραση της τάξης (F (1,150)= 2.09, p>.05), όσο και η επίδραση του φύλου (F (1,150)= 0.56, p>.05), δεν ήταν στατιστικά σημαντικές. Επομένως, η αλληλεπίδραση των δύο δεν ήταν στατιστικά σημαντική (F (1,150)= 2.55, p>.05). Πίνακας 3 Ανάλυση Διασποράς της Επίδοσης των Μαθητών σε Έργα Μετάφρασης από Λεκτική και Συμβολική Μορφή σε Εικονόγραμμα σε Σχέση με την Τάξη και το Φύλο Πηγή διακύμανσης Άθροισμα τετραγώνων Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων Τάξη Φύλο Τάξη Χ Φύλο Εντός ομάδων *p<.05, **p<.01, ***p<.001 F 109

120 Θ. Χριστοδούλου, Ι. Ηλία Από την ανάλυση που έγινε με εξαρτημένη μεταβλητή την επίδοση των μαθητών στα έργα μετάφρασης από το εικονόγραμμα σε λεκτική και συμβολική μορφή (πίνακας 4), βρέθηκε ότι, ενώ η επίδραση της τάξης δεν ήταν στατιστικά σημαντική (F (1,150)= 0.64, p>.05), η επίδραση του φύλου ήταν στατιστικά σημαντική (F (1,150)= 4.41, p<.05). Τα κορίτσια υπερτερούσαν με μέσο όρο 2.44 (SD=1.18), ενώ τα αγόρια σημείωσαν μέσο όρο 1.9 (SD=1.46). Παρόλα αυτά, η αλληλεπίδραση της τάξης και του φύλου δεν ήταν στατιστικά σημαντική (F (1,150)= 0.67, p>.05) για την επίδοση των μαθητών στα έργα αυτού του είδους μετάφραση. Πίνακας 4 Ανάλυση Διασποράς της Επίδοσης των Μαθητών σε Έργα Μετάφρασης από το Εικονόγραμμα σε Λεκτική και Συμβολική Μορφή σε Σχέση με την Τάξη και το Φύλο Πηγή διακύμανσης Άθροισμα τετραγώνων Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων Τάξη Φύλο * Τάξη Χ Φύλο Εντός ομάδων *p<.05, **p<.01, ***p<.001 F Για την επίδοση των μαθητών στα έργα μετάφρασης από λεκτική αναπαράσταση σε εικονόγραμμα (πίνακας 5), παρατηρήθηκε ότι η επίδραση της τάξης ήταν στατιστικά σημαντική (F (1,150)= 7.29, p<.05), ενώ η επίδραση του φύλου, όχι (F (1,150)= 0.33, p>.05). Οι μαθητές της Γ τάξης συγκέντρωσαν μέσο όρο 2.78 (SD=0.51), ενώ οι μαθητές της Β τάξης 2.47 (SD=0.81). Η αλληλεπίδραση των δύο δεν ήταν επίσης, στατιστικά σημαντική (F (1,150)= 0.45, p>.05) για την επίδοση των μαθητών στα έργα μετάφρασης από λεκτική μορφή σε εικονόγραμμα. 110

121 Οι Δυσκολίες των Μαθητών σε Έργα Μετάφρασης Γραφικών Παραστάσεων Πίνακας 5 Ανάλυση Διασποράς της Επίδοσης των Μαθητών σε Έργα Μετάφρασης από Λεκτική Μορφή σε Εικονόγραμμα σε Σχέση με την Τάξη και το Φύλο Πηγή διακύμανσης Άθροισμα τετραγώνων Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων Τάξη ** Φύλο Τάξη Χ Φύλο Εντός ομάδων *p<.05, **p<.01, ***p<.001 F Διαφορές στην τάξη και το φύλο δεν βρέθηκαν στην επίδοση των μαθητών στα έργα μετάφρασης από το εικονόγραμμα σε συμβολική μορφή (πίνακας 6). Η ανάλυση, έδειξε ότι η επίδραση της τάξης δεν ήταν στατιστικά σημαντική (F (1,150)= 0.72, p>.05), το ίδιο και για το φύλο (F (1,150)= 0.12, p>.05). Επομένως, η αλληλεπίδραση της τάξης και του φύλου στην επίδοση των μαθητών στα έργα μετάφρασης από το εικονόγραμμα σε συμβολική μορφή δεν ήταν στατιστικά σημαντική (F (1,150)= 0.93, p>.05). Πίνακας 6 Ανάλυση Διασποράς της Επίδοσης των Μαθητών σε Έργα Μετάφρασης από Εικονόγραμμα σε Συμβολική Μορφή σε Σχέση με την Τάξη και το Φύλο Πηγή διακύμανσης Άθροισμα τετραγώνων Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων Τάξη Φύλο Τάξη Χ Φύλο Εντός ομάδων *p<.05, **p<.01, ***p<.001 F Για την επίδοση των μαθητών στα έργα μετάφρασης από λεκτική και συμβολική μορφή σε ραβδόγραμμα (πίνακας 7), η ανάλυση έδειξε ότι η επίδραση της τάξης ήταν στατιστικά σημαντική (F (1,150)= 8.90, p<.05), ενώ η επίδραση του φύλου δεν ήταν στατιστικά 111

122 Θ. Χριστοδούλου, Ι. Ηλία σημαντική (F (1,150)= 2.34, p>.05). Οι μαθητές της Γ τάξης στα έργα αυτά παρουσίασαν μέσο όρο 2.74 (SD=0.57), ενώ οι μαθητές της Β τάξης 2.29 (SD=0.95). Η αλληλεπίδραση των δύο για την επίδοση των μαθητών στα έργα αυτού του είδους μετάφραση δεν ήταν στατιστικά σημαντική (F (1,150)= 0.55, p>.05). Πίνακας 7 Ανάλυση Διασποράς της Επίδοσης των Μαθητών σε Έργα Μετάφρασης από Λεκτική και Συμβολική Μορφή σε Ραβδόγραμμα σε Σχέση με την Τάξη και το Φύλο Πηγή διακύμανσης Άθροισμα τετραγώνων Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων Τάξη ** Φύλο Τάξη Χ Φύλο Εντός ομάδων *p<.05, **p<.01, ***p<.001 F Το αντίστροφο φάνηκε να ισχύει για την επίδοση των μαθητών στα έργα μετάφρασης από το ραβδόγραμμα σε λεκτική και συμβολική μορφή (πίνακας 8), όπου η επίδραση της τάξης δεν ήταν στατιστικά σημαντική (F (1,150)= 0.03, p>.05), ενώ η επίδραση του φύλου ήταν στατιστικά σημαντική (F (1,150)= 3.97, p<.05). Πίνακας 8 Ανάλυση Διασποράς της Επίδοσης των Μαθητών σε Έργα Μετάφρασης από το Ραβδόγραμμα σε Λεκτική και Συμβολική Μορφή σε Σχέση με την Τάξη και το Φύλο Πηγή διακύμανσης Άθροισμα τετραγώνων Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων Τάξη Φύλο * Τάξη Χ Φύλο Εντός ομάδων *p<.05, **p<.01, ***p<.001 F 112

123 Οι Δυσκολίες των Μαθητών σε Έργα Μετάφρασης Γραφικών Παραστάσεων Τα κορίτσια είχαν ψηλότερο μέσο όρο ( =2.19, SD=1.34), έναντι των αγοριών που ήταν 1.71 (SD=1.5). Ωστόσο, η αλληλεπίδραση της τάξης και του φύλου δεν ήταν στατιστικά σημαντική (F (1,150)= 0.05, p>.05). Από την ανάλυση που διενεργήθηκε με εξαρτημένη μεταβλητή την επίδοση των μαθητών στα έργα μετάφρασης από λεκτική αναπαράσταση σε ραβδόγραμμα (πίνακας 9), βρέθηκε ότι η επίδραση της τάξης ήταν στατιστικά σημαντική (F (1,150)= 4.74, p<.05), ενώ η επίδραση του φύλου όχι (F (1,150)= 0.68, p>.05). Οι μαθητές της Γ τάξης συγκέντρωσαν μέσο όρο 2.67 (SD=0.55), ενώ οι μαθητές της Β τάξης 2.35 (SD=0.93). Επιπλέον, φάνηκε ότι η αλληλεπίδραση των δύο στην επίδοση των μαθητών στα έργα μετάφρασης από λεκτική μορφή σε ραβδόγραμμα δεν ήταν στατιστικά σημαντική (F (1,150)= 0.05, p>.05). Πίνακας 9 Ανάλυση Διασποράς της Επίδοσης των Μαθητών σε Έργα Μετάφρασης από Λεκτική Μορφή σε Ραβδόγραμμα σε Σχέση με την Τάξη και το Φύλο Πηγή διακύμανσης Άθροισμα τετραγώνων Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων Τάξη * Φύλο Τάξη Χ Φύλο Εντός ομάδων *p<.05, **p<.01, ***p<.001 F Τέλος, για την επίδοση των μαθητών στα έργα μετάφρασης από το ραβδόγραμμα σε συμβολική μορφή (πίνακας 10), η ανάλυση έδειξε ότι η επίδραση της τάξης δεν ήταν στατιστικά σημαντική (F (1,150)= 3.74, p>.05), το ίδιο και η επίδραση του φύλου (F (1,150)= 0.61, p>.05). Επομένως, η αλληλεπίδραση των δύο δεν ήταν στατιστική σημαντική (F (1,150)= 0.57, p>.05) για την επίδοση των μαθητών στα έργα της συγκεκριμένης ομάδας. 113

124 Θ. Χριστοδούλου, Ι. Ηλία Πίνακας 10 Ανάλυση Διασποράς της Επίδοσης των Μαθητών σε Έργα Μετάφρασης από το Ραβδόγραμμα σε Συμβολική Μορφή σε Σχέση με την Τάξη και το Φύλο Πηγή διακύμανσης Άθροισμα τετραγώνων Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων Τάξη Φύλο Τάξη Χ Φύλο Εντός ομάδων *p<.05, **p<.01, ***p<.001 F Έπειτα, επιλέγηκαν τα έξι έργα τα οποία είχαν κάποιο βαθμό δυσκολίας (3, 7,10, 13, 17, 20), ώστε να ελεγχθεί κατά πόσο υπάρχουν διαφορές στην τάξη και στο φύλο ως προς την επίδοση των μαθητών στα έργα αυτά. Από τις αναλύσεις που έγιναν (πίνακες 11, 12), αξίζει να αναφερθεί ότι η επίδραση της τάξης ήταν στατιστικά σημαντική μόνο για τα έργα 7 και 20 (F (1,150)= 0.61, p>.05), (F (1,150)= 0.61, p>.05). Το έργο 7 εξέταζε την ικανότητα μετάφρασης από τη λεκτική αναπαράσταση στο εικονόγραμμα (dtlp) και σε αυτό οι μαθητές της Γ τάξης συγκέντρωσαν μέσο όρο 0.92 (SD=0.44), ενώ οι μαθητές της Β τάξης 0.75 (SD=0.27), ενώ το έργο 20 την ικανότητα μετάφρασης από το ραβδόγραμμα σε συμβολική μορφή (dtbcsa, dtbcsb, dtbcsc). Σε αυτό το έργο οι μαθητές της Γ τάξης συγκέντρωσαν μέσο όρο 0.9 (SD=0.28), ενώ οι μαθητές της Β τάξης 0.74 (SD=0.41). Πίνακας 11 Ανάλυση Διασποράς της Επίδοσης των Μαθητών στο Δύσκολο Έργο Μετάφρασης από Λεκτική Αναπαράσταση σε Εικονόγραμμα σε Σχέση με την Τάξη και το Φύλο Πηγή διακύμανσης Άθροισμα Βαθμοί Μέσοι τετραγώνων ελευθερίας τετραγώνων F Τάξη ** Φύλο Τάξη Χ Φύλο Εντός ομάδων *p<.05, **p<.01, ***p<

125 Οι Δυσκολίες των Μαθητών σε Έργα Μετάφρασης Γραφικών Παραστάσεων Πίνακας 12 Ανάλυση Διασποράς της Επίδοσης των Μαθητών στο Δύσκολο Έργο Μετάφρασης από το Ραβδόγραμμα σε Συμβολική Μορφή σε Σχέση με την Τάξη και το Φύλο Πηγή διακύμανσης Άθροισμα Βαθμοί Μέσοι τετραγώνων ελευθερίας τετραγώνων F Τάξη * Φύλο Τάξη Χ Φύλο Εντός ομάδων *p<.05, **p<.01, ***p<.001 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία διερευνήθηκαν οι δυσκολίες που συχνά αντιμετωπίζουν οι μαθητές Β και Γ τάξης δημοτικού, όταν κάνουν μετάφραση από ένα σύστημα αναπαράστασης σε άλλο. Συγκεκριμένα, εξετάστηκαν οι δυσκολίες μετάφρασης από το ένα σύστημα αναπαράστασης στο άλλο, στη μαθηματική ενότητα της στατιστικής και κυρίως, κατά την εμπλοκή των μαθητών με εικονογράμματα και ραβδογράμματα. Από την έρευνα που έγινε και από τις αναλύσεις που προέκυψαν, με βάση το παρόν δείγμα, φάνηκε ότι οι δυσκολίες των παιδιών στις δύο τάξεις στα συγκεκριμένα είδη μετάφρασης ταυτίζονται. Συγκεκριμένα, οι μαθητές παρουσιάζουν τις περισσότερες δυσκολίες όταν καλούνται να κάνουν μετάφραση από το ραβδόγραμμα (εικονική αναπαράσταση) σε λεκτική και συμβολική αναπαράσταση (συμπλήρωση προβλήματος), ενώ το πιο εύκολο είδος μετάφρασης για αυτούς φαίνεται να είναι η μετάφραση από λεκτική και συμβολική αναπαράσταση σε εικονόγραμμα. Το παρόν εύρημα, συμφωνεί με τα ευρήματα των Lesh και των συνεργατών του (1987), οι οποίοι διαπίστωσαν ότι οι μεταφράσεις σε εικόνες είναι πιο εύκολες από τις μεταφράσεις από εικόνες. Όπως φάνηκε από συνεντεύξεις που έγιναν σε παιδιά των δύο τάξεων, για να εντοπιστούν οι δυσκολίες τους κατά τη μετάφραση τέτοιων έργων, ήταν πιο εύκολο γι αυτούς βλέποντας τα αριθμητικά δεδομένα στο πρόβλημα να τα αντιστοιχήσουν στη σωστή γραφική παράσταση. Έκαναν, δηλαδή, αντιστοίχηση των αριθμών. Το αντίστροφο ήταν πιο δύσκολο, διότι απαιτούσε ικανότητα ανάγνωσης της γραφικής παράστασης. Στα έργα μετάφρασης από το εικονόγραμμα σε λεκτική και συμβολική μορφή, βρέθηκε ότι η επίδραση του φύλου ήταν στατιστικά σημαντική, ενώ για την επίδοση των μαθητών στα έργα μετάφρασης από λεκτική αναπαράσταση σε εικονόγραμμα, παρατηρήθηκε ότι η επίδραση της τάξης ήταν στατιστικά σημαντική. 115

126 Θ. Χριστοδούλου, Ι. Ηλία Για την επίδοση των μαθητών στα έργα μετάφρασης από λεκτική και συμβολική μορφή σε ραβδόγραμμα, η ανάλυση έδειξε ότι η επίδραση της τάξης ήταν στατιστικά σημαντική, ενώ για την επίδοση των μαθητών στα έργα μετάφρασης από το ραβδόγραμμα σε λεκτική και συμβολική μορφή, η επίδραση του φύλου ήταν στατιστικά σημαντική. Επιπλέον, στα έργα μετάφρασης από λεκτική αναπαράσταση σε ραβδόγραμμα, βρέθηκε ότι η επίδραση της τάξης ήταν στατιστικά σημαντική. Τέλος, από τις αναλύσεις που έγιναν σχετικά με τα έξι έργα τα οποία είχαν κάποιο βαθμό δυσκολίας (3, 7, 10, 13, 17, 20), φάνηκε ότι η επίδραση της τάξης ήταν στατιστικά σημαντική μόνο για τα έργα 7 και 20. Όταν η επίδραση της τάξης ήταν στατιστικά σημαντική με τη Γ τάξη να υπερτερεί, αυτό πιθανόν να οφείλεται στο ότι ο μαθητές της Γ τάξης είναι πιο εξασκημένοι σε τέτοιου είδους έργα και πιο ώριμοι ηλικιακά. Το γεγονός ότι σε κάποια έργα τα κορίτσια είχαν καλύτερα αποτελέσματα, πιθανόν να οφείλεται στο ότι τα κορίτσια είναι πιο συστηματικά στον τρόπο εργασίας τους, καθώς επίσης πιθανός λόγος είναι να ήταν πιο συγκεντρωμένα και να έλαβαν πιο σοβαρά υπόψη τους τη συμπλήρωση του δοκιμίου. ΑΔΥΝΑΜΙΕΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ - ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Τα ευρήματα της έρευνας δεν μπορούν να γενικευτούν, διότι τα δεδομένα πάρθηκαν μόνο από δύο σχολεία. Θα μπορούσε να επαναληφθεί η έρευνα με δείγμα από περισσότερα σχολεία, καθώς επίσης, καλό θα ήταν οι μαθητές να εξεταστούν σε τέτοιου είδους έργα μετάφρασης σε διαφορετικά χρονικά διαστήματα, για παράδειγμα 2-3 φορές κατά τη διάρκεια της σχολικής χρονιάς. Αυτό θα μπορούσε να δώσει στοιχεία σχετικά με το αν οι μαθητές εξακολουθούν να δυσκολεύονται στα ίδια είδη μετάφρασης ή αν οι δυσκολίες τους αλλάζουν και γιατί συμβαίνει αυτό. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Γραββανή Κ. (2006). Αναπαραστάσεις συναρτήσεων και ο μετασχηματισμός τους από μαθητές Λυκείου. Ανακτήθηκε 13 Οκτωβρίου, 2012 από Ηλεκτρονική εγκυκλοπαίδεια: Βικιπαίδεια Λεξικό της κοινής Νεοελληνικής (1998). Θεσσαλονίκη: Ινστιτούτο Νεοελληνικών Σπουδών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης Λυκοτραφίτη Α. (nd). Μαθηματικά Δ Δημοτικού. Εκδόσεις Σαββάλας A.E. σελ Ανακτήθηκε 13 Οκτωβρίου, 2012, από Μικρό Νεοελληνικό Λεξικό (2000). Αθήνα: Πατάκης 116

127 Οι Δυσκολίες των Μαθητών σε Έργα Μετάφρασης Γραφικών Παραστάσεων ΑΓΓΛΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Garfield, J. (1995). How students learn statistics. International Statistical Review, 63(1), pp Ανακτήθηκε 13 Οκτωβρίου, 2012, από Janvier, C. (1987). Translation processes in mathematics education. In C. Janvier (Ed.) Problems of representation in the teaching and learning of mathematics. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Jones B. F., Pierce, J., & Hunter, B. (1988). Teaching students to construct graphic representations. Ανακτήθηκε 13 Οκτωβρίου, 2012, από Kaput, J. J. (1987). Representation systems and mathematics. In C. Janvier (Ed.) Problems of representation in the teaching and learning of mathematics. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1987). Representations and translation among representations in mathematics learning and problem solving. In C. Janvier (Ed.) Problems of representation in the teaching and learning of mathematics. (pp ). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Schiel, M. (1999). Statistical literacy: Thinking critically about statistics. Ανακτήθηκε 13 Οκτωβρίου, 2012, από Van Dyke, F., & White, A. (2004). Making Graphs Count. Mathematics Teaching, 188, pp Vekiri, I., (2002). What is the value of Graphical Displays in Learning? Educational Psychology Review, Vol. 14, No. 3, Ανακτήθηκε 13 Οκτωβρίου, 2012, από pdf 117

128 Θ. Χριστοδούλου, Ι. Ηλία ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 118

129 ΕΙΝΑΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ Η ΕΙΚΟΝΑ ΤΗΣ ΠΕΤΑΛΟΥΔΑΣ; ΜΙΑ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΛΗΨΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΠΡΟΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΣΕ ΕΡΓΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Λουίζα Δημητρίου, Ιλιάδα Ηλία Τμήμα Επιστημών Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ H παρούσα έρευνα εξετάζει την ικανότητα και τις αναπαραστάσεις 50 παιδιών προδημοτικής, ηλικίας 4,5-5,5 χρονών κατά τη διάρκεια επίλυσης έργων συμμετρίας. Παράλληλα γίνεται προσπάθεια να εντοπιστούν οι συνθήκες κάτω από τις οποίες η ικανότητα και οι αναπαραστάσεις των παιδιών σε έργα που σχετίζονται με τη συμμετρία μπορεί να βελτιωθούν. Για το σκοπό αυτό γίνεται χρήση δύο παρεμβατικών προγραμμάτων όπου στην πρώτη ομάδα χρησιμοποιούνται ψηφιακές δυναμικές αναπαραστάσεις (ομάδα Α) και στη δεύτερη συγκεκριμένα υλικά (ομάδα Β). Τα αποτελέσματα εισηγούνται ότι τα έργα με οριζόντιους άξονες συμμετρίας φαίνεται να δυσκολεύουν τα παιδιά. Παράλληλα, τα παιδιά φαίνεται να βελτιώνουν τις επιδόσεις τους, όσον αφορά τη έννοια της συμμετρίας τόσο όταν διδάσκονται με ψηφιακές δυναμικές αναπαραστάσεις όσο και όταν διδάσκονται με συγκεκριμένα υλικά. Οι εξατομικευμένες αναπαραστάσεις των παιδιών μπορούν να εξελιχθούν μέσα από 5 στάδια δομικής ανάπτυξης και η χρήση δυναμικών αναπαραστάσεων ή συγκεκριμένων υλικών μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να μεταβούν σε ένα υψηλότερο επίπεδο δομικής ανάπτυξης ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένα επαναλαμβανόμενο ζήτημα που αφορά τους συγγραφείς των αναλυτικών προγραμμάτων είναι το ερώτημα τι είδους γεωμετρία θα πρέπει να διδάσκεται στο δημοτικό, σε ποια ηλικία και σε ποιο περιεχόμενο. Η αυξανόμενη έμφαση που έχει δοθεί στη γεωμετρία κατά τη διάρκεια των τελευταίων δεκαετιών, έχει τροποποιήσει το περιεχόμενο της παραδοσιακής ευκλείδειας γεωμετρίας με την εισαγωγή νέων τύπων γεωμετρίας όπως η γεωμετρία των μετασχηματισμών (Jones, 2002). Μέσα από την εκπαιδευτική μεταρρύθμιση και την εισαγωγή των νέων αναλυτικών προγραμμάτων που συντελείται στο κυπριακό εκπαιδευτικό σύστημα φαίνεται να δίνεται προσοχή στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς και στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση. Όπως έχει υποστηριχθεί από πολλούς ερευνητές (Hollebrands, 2003; Jones & Mooney, 2003) οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της γεωμετρικής και χωρικής ικανότητας των παιδιών. Ωστόσο, παρόλο που οι γεωμετρικοί

130 Λ. Δημητρίου, Ι. Ηλία μετασχηματισμοί φαίνεται να συνδέονται άμεσα με την ικανότητα στη γεωμετρία, δεν έχουν διεξαχθεί έρευνες που να εξετάζουν τις διαισθητικές αντιλήψεις αλλά και τις αναπαραστάσεις που χρησιμοποιούν μαθητές προδημοτικής σε έργα γεωμετρικών μετασχηματισμών όπως η συμμετρία αλλά ούτε και έχει δοθεί έμφαση στο πώς η διδασκαλία μπορεί να βελτιώσει την ικανότητα των μικρών μαθητών σε αυτά τα έργα. Συγκεκριμένα σκοπός της έρευνας είναι να μελετήσει τις διαισθητικές αντιλήψεις και αναπαραστάσεις παιδιών προδημοτικής σε έργα συμμετρίας καθώς και τις συνθήκες κάτω από τις οποίες μπορούν αυτές να βελτιωθούν. Κατά συνέπεια τα ερευνητικά ερωτήματα που εξετάζει η παρούσα έρευνα είναι: Ποιες δυσκολίες φαίνεται να αντιμετωπίζουν παιδιά προδημοτικής σε έργα αναγνώρισης συμμετρίας, τοποθέτησης αξόνων συμμετρίας και συμπλήρωσης συμμετρικών σχημάτων; Ποιά λάθη παρουσιάζουν οι αναπαραστάσεις μαθητών προδημοτικής σε έργα συμπλήρωσης συμμετρικών σχημάτων ως προς μια ευθεία; Σε ποιο βαθμό μπορεί η διδασκαλία που δίνει έμφαση στη χρήση δυναμικών αναπαραστάσεων και η διδασκαλία που δίνει έμφαση στη χρήση συγκεκριμένων υλικών, να βελτιώσει την ικανότητα των μαθητών σε έργα αναγνώρισης συμμετρίας, τοποθέτησης αξόνων συμμετρίας και συμπλήρωσης συμμετρικών σχημάτων; Η επιτυχία σε ποιά κατηγορία έργων (έργα αναγνώρισης συμμετρίας, τοποθέτησης αξόνων συμμετρίας και συμπλήρωσης συμμετρικών σχημάτων) μπορεί να προβλέψει καλύτερα την επιτυχία σε ολόκληρο το δοκίμιο; ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Όπως έχει διαπιστωθεί, η συμμετρία φαίνεται να είναι ο πιο εύκολος μετασχηματισμός όσον αφορά την οπτικοποίηση για μαθητές μικρής ηλικίας και η ικανότητα αναγνώρισης της συμμετρίας φαίνεται να αναπτύσσεται γρήγορα (αναφορά στο Sarama & Clements, 2009). Οι Τζεκάκη και Χριστοδούλου (2000) υποστηρίζουν ότι η έννοια της συμμετρίας μπορεί να προσεγγιστεί από πεντάχρονα και εξάχρονα παιδιά με ένα ολιστικό τρόπο. Αντίστοιχα, οι Kirby και Boulter (1999) υποστηρίζουν ότι οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα παιδιά σε έργα γεωμετρικού μετασχηματισμού μπορούν να διακριθούν σε δύο κατηγορίες, στις ολιστικές και στις αναλυτικές και ότι οι αναλυτικές στρατηγικές μπορούν να οδηγήσουν τους μαθητές σε επιτυχημένες απαντήσει. Σύμφωνα με τον Clair (1968) μαθητές της τετάρτης και έκτης δημοτικού είναι σε θέση να μάθουν έννοιες που σχετίζονται με τη συμμετρία. Ωστόσο σε έρευνά τους σε μαθητές πρώτης, τρίτης και τετάρτης δημοτικού οι Schultz και Austin (1983) βρήκαν ότι η κατεύθυνση του μετασχηματισμού φαίνεται να επηρεάζει την κατανόηση της συμμετρίας από τους μαθητές αυτής της ηλικίας. Επιπρόσθετα φαίνεται να μην υπήρχαν στατιστικά σημαντικές διαφορές όσον αφορά το φύλο των παιδιών. Παράλληλα σε έρευνά τους οι Τζεκάκη και Χριστοδούλου (2000) αναφέρουν ότι παρόλο που πεντάχρονα και εξάχρονα παιδιά είναι σε θέση να διακρίνουν μεταξύ συμμετρικών και μη συμμετρικών σχημάτων, αδυνατούν να σχεδιάσουν συμμετρικά σχήματα λαμβάνοντας υπόψη τη σχετική θέση και το μέγεθός τους. 120

131 Είναι Συμμετρική η Εικόνα της Πεταλούδας; Ο ρόλος των αναπαραστάσεων στη μάθηση των μαθηματικών Παλαιότερες έρευνες έχουν δείξει ότι οι αναπαραστάσεις των ταλαντούχων παιδιών στα μαθηματικά, παρουσιάζουν δομή και δυναμική απεικόνιση, ενώ οι αναπαραστάσεις των παιδιών χαμηλού επιπέδου δεν παρουσιάζουν δομή και χρησιμοποιούν μια στατική απεικόνιση (Thomas et al., 2002). Σύμφωνα με τους Mulligan, Mitchelmore και Prescott (2005) όσο περισσότερο οι εσωτερικές αναπαραστάσεις των παιδιών στηρίζονται και αναπτύσσονται με βάση μια δομή, τόσο πιο σταθερές, καλά οργανωμένες και συνεκτικές θα είναι οι εξωτερικές αναπαραστάσεις τους. Οι Mulligan, Prescott και Mitchelmore (2004) βασιζόμενοι στο έργο του Goldin (2002) έχουν διακρίνει ότι οι αναπαραστάσεις των παιδιών μπορούν να ταξινομηθούν σε τέσσερα στάδια σύμφωνα με το επίπεδο της δομικής τους ανάπτυξης: Προ-δομικό στάδιο Αναδυόμενο (εφευρετικόσημειωτικό) στάδιο Στάδιο μερικής δομής Στάδιο δομικής ανάπτυξης Από τις αναπαραστάσεις των παιδιών απουσιάζουν ενδείξεις μαθηματικής ή χωρικής δομής. Τα περισσότερα παραδείγματα παρουσιάζουν ιδιοσυγκρασιακά χαρακτηριστικά. Οι αναπαραστάσεις των παιδιών παρουσιάζουν ορισμένα στοιχεία δομής όπως η χρήση κάποιων μονάδων. Ορισμένες πτυχές της μαθηματικής σημειογραφίας ή συμβολισμού και/ή χωρικά χαρακτηριστικά εντοπίζονται στις αναπαραστάσεις των παιδιών. Οι αναπαραστάσεις ξεκάθαρα ενσωματώνουν μαθηματικά και χωρικά δομικά χαρακτηριστικά. Σύμφωνα με τους Σταυροπούλου και Γαγάτση (2006) η χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών έχει προσθέσει αξία στο ρόλο των εικονικών αναπαραστάσεων. Ένα από τα σημαντικότερα πλεονεκτήματα που εντοπίζεται στις ψηφιακές αναπαραστάσεις είναι ότι μπορούν να παρέχουν στα παιδιά άμεση ανατροφοδότηση. Έτσι τους δίνεται η ευκαιρία να διαπιστώσουν μόνοι τους τα λάθη τους καθώς και να γίνουν γνώστες των παρερμηνειών τους (Reimer, & Moyer, 2005). Σύμφωνα με τον Clements (1999), αυτή η δυναμική, καθαρή, ευέλικτη, επαναληπτική και ελεγχόμενη φύση των ψηφιακών αναπαραστάσεων τους δίνει ισχυρό πλεονέκτημα έναντι των αντίστοιχων συγκεκριμένων χειριστικών μέσων. Η ιδιαιτερότητα μιας διδασκαλίας που βασίζεται στα ψηφιακά εποπτικά μέσα, είναι η παροχή στα παιδιά πολλών δυναμικών αναπαραστάσεων αφού χρησιμοποιούν την οπτική, συμβολική και λειτουργική δύναμη των τεχνολογικών μέσων, παρέχοντας έτσι ένα νέο παιδαγωγικό και διδακτικό εργαλείο (Baturo, Cooper & Thompson, 2003). Σύμφωνα με τον Clement, τα δυναμικά υπολογιστικά περιβάλλοντα μπορεί να είναι ιδιαίτερα βοηθητικά στην μάθηση της συμμετρίας (αναφορά στο Sarama & Clements, 2009). Οι Baturo και 121

132 Λ. Δημητρίου, Ι. Ηλία Cooper (2002) υποστηρίζουν ότι αν και η πολυαισθητηριακή φύση των συγκεκριμένων υλικών μπορεί να βοηθήσει τα παιδιά να αναπτύξουν πιο λεπτομερείς δομές μνήμης, οι πιο αφηρημένες μορφές ψηφιακών αναπαραστάσεων μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές να αναπτύξουν μια βαθύτερη κατανόηση των μαθηματικών. Ωστόσο οι Τζεκάκη και Χριστοδούλου (2000) εντόπισαν ότι η ενασχόληση μαθητών προδημοτικής με πραγματικά υλικά βελτίωσε την ικανότητα όλων των παιδιών στην κατασκευή συμμετρικών σχημάτων και η ικανότητα των παιδιών να σχεδιάζουν συμμετρικά σχήματα σε τετραγωνισμένο χαρτί με οριζόντιους και κατακόρυφους άξονες βελτιώθηκε σημαντικά. Παράλληλα η χρήση διαδικασιών αναδίπλωσης με πραγματικά υλικά βοήθησε τα παιδιά να αποκτήσουν μια πιο ουσιαστική γνώση όσον αφορά τη συμμετρία καθώς και για τις ιδιότητες των συμμετρικών σχημάτων. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Για τη συλλογή των δεδομένων της παρούσας εργασίας το δείγμα αποτέλεσαν παιδιά από ένα αστικό νηπιαγωγείο της επαρχίας Λάρνακας. Συμμετείχαν συνολικά 50 παιδιά (24 αγόρια και 26 κορίτσια) από 2 τμήματα του νηπιαγωγείου εκ των οποίων τα 3 είναι αλλόγλωσσα. Στα 25 παιδιά (Α ομάδα) έγινε παρεμβατική διδασκαλία με χρήση ψηφιακών δυναμικών αναπαραστάσεων, ενώ στα υπόλοιπα 25 παιδιά (Β ομάδα) εφαρμόστηκε παρεμβατική διδασκαλία με χρήση συγκεκριμένων υλικών. Αρχικά έγινε μια πρώτη χορήγηση του δοκιμίου σε μορφή προσωπικών συνεντεύξεων ώστε να διαπιστωθεί η αρχική επίδοση των μαθητών Στη συνέχεια ακολούθησαν 2 παρεμβατικές διδασκαλίες. Συγκεκριμένα τα 25 παιδιά της μιας τάξης (Α ομάδα) διδάχτηκαν με τη χρήση ψηφιακών δυναμικών αναπαραστάσεων σε μορφή μικρών ομαδικών εργαστηρίων (5 μαθητές) ενώ τα 25 παιδιά της άλλης τάξης (Β ομάδα) διδάχτηκαν με τη χρήση συγκεκριμένων υλικών. Oι δραστηριότητες που χρησιμοποιήθηκαν για τη διδασκαλία με χρήση συγκεκριμένων υλικών, έδωσαν την ευκαιρία σε όλους τους μαθητές να εμπλακούν και να έρθουν σε επαφή με τα πραγματικά υλικά. Ακολούθως επαναχορηγήθηκε το ίδιο δοκίμιο όπως και κατά την αρχική χορήγηση και ακολουθήθηκε η ίδια διαδικασία. Tο δοκίμιο το οποίο χορηγήθηκε στα παιδιά αποτελείτο από 3 μέρη. Στο πρώτο μέρος τα παιδιά κλήθηκαν να αναγνωρίσουν συμμετρικά αντικείμενα και να τα βάλουν σε κύκλο. Ακολούθως στο δεύτερο μέρος τα παιδιά κλήθηκαν να τοποθετήσουν άξονες συμμετρίας σε εννιά εικονικές αναπαραστάσεις. Τέλος στο τρίτο μέρος τα παιδιά κλήθηκαν να συμπληρώσουν κάποιες εικονικές αναπαραστάσεις ώστε να δημιουργήσουν συμμετρικά σχήματα και εικόνες. Για την ανάλυση των δεδομένων χρησιμοποιήθηκε το στατιστικό πακέτο του SPSS. Όσον αφορά το πρώτο μέρος του δοκιμιού, η βαθμολόγηση έγινε με 0 και 1, το δεύτερο μέρος με 0, 0.5 και 1. Στο τρίτο μέρος του δοκιμιού η κωδικοποίηση βασίστηκε στην ταξινόμηση των αναπαραστάσεων σύμφωνα με το επίπεδο δομικής ανάπτυξης όπως έχει προταθεί από τους Mulligan, Prescott και Mitchelmore (2004) και η βαθμολόγηση έγινε με 0, 0.25, 0.5, 0.75 και

133 Είναι Συμμετρική η Εικόνα της Πεταλούδας; ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Όσον αφορά την εσωτερική αξιοπιστία των έργων του δοκιμιού κατά την πρώτη χορήγηση, βρέθηκε ότι υπάρχει ψηλή εσωτερική συσχέτιση μεταξύ των έργων (Cronbach s alpha=0.87). Στον πιο κάτω πίνακα παρουσιάζονται οι μέσοι όροι επιτυχίας στις τρεις κατηγορίες έργων κατά την πρώτη χορήγηση του δοκιμιού. Χαμηλότερο μέσος όρο φαίνεται να παρουσιάζουν τα έργα όπου τα παιδιά κλήθηκαν να συμπληρώσουν συμμετρικά σχήματα ( =0.43, SD=0.23). Παράλληλα χαμηλή επίδοση φαίνεται να παρουσιάζουν και τα έργα όπου τα παιδιά κλήθηκαν να τοποθετήσουν άξονες συμμετρίας. Καλύτερη επίδοση φαίνεται να παρουσιάζουν τα παιδιά στα έργα αναγνώρισης συμμετρίας ( =0.64, SD=0.17). Πίνακας 1: Μέσοι Όροι Επιτυχίας και Τυπικές Αποκλίσεις των Τριών Έργων Κατά την Αρχική Χορήγηση Αριθμός Μαθητών Μέσος Όρος Τυπική Απόκλιση Αναγνώριση Συμμετρίας Άξονες Συμμετρίας Συμπλήρωση Συμμετρικών Σχημάτων Χαμηλότερη φαίνεται να παρουσιάζεται η επίδοση των παιδιών στο δεύτερο μέρος του δοκιμιού, όπου κλήθηκαν να τοποθετήσουν άξονες συμμετρίας στις συμμετρικές εικόνες ( =0.46, SD=0.17). Τα παιδιά παρουσιάζουν τις χαμηλότερες επιδόσεις στα έργα όπου θα έπρεπε να τοποθετήσουν οριζόντιους άξονες συμμετρίας (έργο 4 =0.00, SD=0.00, έργο 6 =0.08, SD=0.274, έργο 7 =0.18, SD=0.388). Συγκεκριμένα στο τέταρτο έργο κανένας από τους μαθητές δεν ήταν σε θέση να τοποθετήσει τον οριζόντιο άξονα στην εικόνα ενός αστεριού. Παράλληλα, χαμηλή φαίνεται να παρουσιάζεται και η επίδοση των παιδιών στα έργα με περισσότερους από έναν άξονες συμμετρίας (έργο 2 =0.53, SD=0.23, έργο 8 =0.51, SD=0.18, έργο 9 =0.47, SD=0.15). Όπως έχει προαναφερθεί, την πιο χαμηλή επίδοση φαίνεται να παρουσιάζουν τα παιδιά στα έργα συμπλήρωσης συμμετρικών σχημάτων ( =0.43, SD=0.23). Συγκεκριμένα το έργο που δυσκόλεψε περισσότερο τα παιδιά είναι το πέμπτο έργο όπου τα παιδιά κλήθηκαν να συμπληρώσουν το συμμετρικό σχήμα ώστε να δημιουργηθεί ένα τρίγωνο με οριζόντιο άξονα συμμετρίας. Επιπρόσθετα, όπως παρατηρείται, τα παιδιά αντιμετώπιζαν με παρόμοιο τρόπο τα ίδια σχήματα που στην μια περίπτωση δίνονταν σε κατακόρυφο άξονα συμμετρίας και στην άλλη με οριζόντιο άξονα συμμετρίας. Όσον αφορά την κατηγοριοποίηση των αναπαραστάσεων των μαθητών για κάθε έργο σύμφωνα με το επίπεδο της δομικής τους ανάπτυξης, όπως παρατηρείται από τον πιο κάτω πίνακα, οι αναπαραστάσεις ενός μεγάλου αριθμού μαθητών φαίνεται να 123

134 Λ. Δημητρίου, Ι. Ηλία κατηγοριοποιούνται στο προ-δομικό στάδιο αφού δεν παρουσιάζουν οποιαδήποτε στοιχεία μαθηματικής δομής. Πίνακας 2: Κατηγοριοποίηση Αναπαραστάσεων Μαθητών για Κάθε Έργο Κατά την Αρχική Χορήγηση Έργο 1 Έργο 2 Έργο 3 Έργο 4 Έργο 5 Έργο 6 Έργο 7 Έργο 8 Στάδιο Στάδιο Στάδιο Στάδιο Post-test Στον πίνακα 3 γίνεται σύγκριση των μέσων όρων επιτυχίας των δύο ομάδων κατά την αρχική και τελική χορήγηση. Πίνακας 3: Μέσοι Όροι Επιτυχίας και Τυπικές Αποκλίσεις των Δύο Ομάδων Κατά την Αρχική και Τελική Χορήγηση Αριθμός Μαθητών Μέσος Τυπική Απόκλιση Όρος Pre-test Oμάδα Α Ομάδα Β Post-test Ομάδα Α Ομάδα Β Όπως διαπιστώνεται, μετά την παρεμβατική διδασκαλία υπήρξε αύξηση του μέσου όρου επιτυχίας και για τις δύο ομάδες. Ο μέσος όρος επιτυχίας για την ομάδα Α αυξήθηκε από 0.50 σε 0.70 και για την ομάδα Β από 0.53 σε Η χρήση μονόπλευρου ελέγχου t για εξαρτημένα δείγματα έδειξε ότι οι διαφορές που εντοπίστηκαν στην αρχική και τελική χορήγηση του δοκιμιού ήταν στατιστικά σημαντικές για τις τρεις κατηγορίες έργων και στις δύο ομάδες σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.01 (Ομάδα Α ta=-6.19, tb=-9.17, tγ=-5.81df=24, p=0.00, Ομάδα Β tα=-6.92, tβ=-6.31, tγ=-4.38 df=24, p=0.00). Συγκεκριμένα όσον αφορά την Α ομάδα, όπως φαίνεται στον πίνακα 4, ο μέσος όρος επιτυχίας στα έργα αναγνώρισης συμμετρίας αυξήθηκε από 0.66 σε 0.82, στα έργα τοποθέτησης αξόνων συμμετρίας από 0.42 σε 0.71 και στα έργα συμπλήρωσης συμμετρικών σχημάτων από 0.41 σε Αντίστοιχα όσον αφορά τη Β ομάδα, ο μέσος όρος επιτυχίας στα έργα αναγνώρισης συμμετρίας αυξήθηκε από 0.62 σε 0.81, στα έργα τοποθέτησης αξόνων συμμετρίας από 0.50 σε 0.67 και στα έργα συμπλήρωσης συμμετρικών σχημάτων από 0.45 σε

135 Είναι Συμμετρική η Εικόνα της Πεταλούδας; Πίνακας 4: Μέσοι Όροι Επιτυχίας και Τυπικές Αποκλίσεις των Δύο Ομάδων Κατά την Αρχική και Τελική Χορήγηση ανά Κατηγορία Έργων Ομάδα Α Ομάδα Β Μέσος Όρος Τυπική Απόκλιση Μέσος Όρος Τυπική Απόκλιση Αναγνώριση Συμμετρίας (pre-test) Αναγνώριση Συμμετρίας (post-test) Άξονες Συμμετρίας (pre-test) Άξονες Συμμετρίας (post-test) Συμπλήρωση συμμετρικών σχημάτων (pre-test) Συμπλήρωση συμμετρικών σχημάτων (post-test) Αισθητή, παράλληλα, φαίνεται να είναι και η επίδραση της παρεμβατικής διδασκαλίας και στο τρίτο μέρος του δοκιμιού όπου τα παιδιά κλήθηκαν να συμπληρώσουν συμμετρικά σχήματα. Οι πιο κάτω πίνακες παρουσιάζουν τον αριθμό των παιδιών κάθε ομάδας κατά την αρχική χορήγηση του δοκιμιού και κατά την χορήγηση μετά την παρεμβατική διδασκαλία. Όπως παρατηρείται σε όλες τις περιπτώσεις έργων υπήρξε μετάβαση από ένα κατώτερο στάδιο δομικής ανάπτυξης σε ένα ανώτερο στο σύνολο των μαθητών και για τις δύο ομάδες. Πίνακας 5: Κατηγοριοποίηση Αναπαραστάσεων Μαθητών της Ομάδας Α για Κάθε Έργο Κατά την Αρχική και Τελική Χορήγηση Πίνακας 6: Κατηγοριοποίηση Αναπαραστάσεων Μαθητών της Ομάδας Β για Κάθε Έργο Κατά την Αρχική και Τελική Χορήγηση 125

136 Λ. Δημητρίου, Ι. Ηλία Για την απάντηση του ερευνητικού ερωτήματος «Η επιτυχία σε ποιά κατηγορία έργων (έργα αναγνώρισης συμμετρίας, τοποθέτησης αξόνων συμμετρίας και συμπλήρωσης συμμετρικών σχημάτων) μπορεί να προβλέψει καλύτερα την επιτυχία σε ολόκληρο το δοκίμιο;» διενεργήθηκε παλινδρομική ανάλυση. Συγκεκριμένα τα αποτελέσματα δείχνουν ότι η επίδοση στο έργο τοποθέτησης αξόνων συμμετρίας, μπορεί να προβλέψει τη συνολική επίδοση ολόκληρου του δοκιμίου αφού μπορεί να προβλέψει το 88% της διασποράς της τελικής επίδοσης των μαθητών στο συνολικό δοκίμιο. Πίνακας 13: Παλινδρομική Ανάλυση για τις Μεταβλητές που Ερμηνεύουν την Τελική Επίδοση Ανεξάρτητη Μεταβλητή Β (SE) β Τοποθέτηση Αξόνων Συμμετρίας *** *** p<.001 Μέσα από μια ποιοτική ανάλυση του τρίτου μέρους του δοκιμιού, όπου τα παιδιά κλήθηκαν να συμπληρώσουν τα συμμετρικά σχήματα μπορούν να εξαχθούν σημαντικές πληροφορίες όσον αφορά τις διαισθητικές αντιλήψεις των παιδιών σχετικά με την έννοια της συμμετρίας. Συγκεκριμένα ένας μεγάλος αριθμός παιδιών (30 παιδιά), κατά την αρχική χορήγηση του δοκιμιού έτεινε να κάνει μεταφορά του σχήματος αντί να συμπληρώνει το σχήμα σε τουλάχιστον ένα από τα έργα του τρίτου μέρους του δοκιμίου. Μια ακόμη στρατηγική που φαίνεται να εφάρμοζαν τα παιδιά ήταν να αγνοούν κάποιες πτυχές των σχημάτων που τους δόθηκαν. Για παράδειγμα στο δεύτερο και όγδοο έργο του δοκιμίου έτειναν να αγνοούν το κενό τετράγωνο όταν συμπλήρωναν τα συμμετρικά σχήματα κάτι που ενισχύει την ολιστική φύση των αναπαραστάσεων των μικρών μαθητών. Στα έργα τέσσερα και πέντε μια συνηθισμένη στρατηγική που έτειναν οι μαθητές να εφαρμόζουν ήταν να αγνοούν το διαγώνιο ευθύγραμμο τμήμα το 126

137 Είναι Συμμετρική η Εικόνα της Πεταλούδας; οποίο θα έπρεπε να φέρουν ώστε να σχηματιστεί το συμμετρικό σχήμα του τριγώνου. Παράλληλα ένας μεγάλος αριθμός παιδιών φαίνεται να αγνοούσε τις διαστάσεις των σχημάτων που τους δόθηκαν για να συμπληρώσουν, τόσο στην αρχική χορήγηση του δοκιμίου όσο και στην τελική. Έτσι κατέφευγαν σε λανθασμένες συμπληρώσεις σχημάτων, χρησιμοποιώντας μεγαλύτερες ή μικρότερες διαστάσεις από την αρχική εικόνα που τους δόθηκε. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον φαίνεται να παρουσιάζουν τα έργα 1 και 7. Στα συγκεκριμένα έργα δινόταν ένα ορθογώνιο σε κατακόρυφη διάταξη (έργο 1) και ένα ορθογώνιο σε οριζόντιο διάταξη (έργο 7) και τα παιδιά θα έπρεπε να συμπληρώσουν το συμμετρικό σχήμα. Συγκρίνοντας τα δύο έργα μπορεί εύκολα να διαπιστωθεί ότι ο μέσος όρος επίδοσης των παιδιών στο έργο 7 κατά τη διάρκεια της δεύτερης χορήγηση του δοκιμιού ήταν υψηλότερος σε σχέση με το έργο 1. Ωστόσο το αποτέλεσμα αυτό φαίνεται να βρίσκεται σε σύγκρουση με τα αποτέλεσμα του προηγούμενου μέρος του δοκιμίου που εισηγούνται ότι τα έργα με οριζόντιο άξονα συμμετρίας φαίνεται να δυσχεραίνουν την επίδοση των παιδιών. Όπως φαίνεται δεν είναι μόνο η μαθηματική έννοια που φαίνεται να επηρεάζει, αλλά και το είδος της αναπαράστασης επηρεάζει την επιτυχία των παιδιών. Τόσο η παρεμβατική διδασκαλία με τη χρήση δυναμικών αναπαραστάσεων όσο και η διδασκαλία με τη χρήση συγκεκριμένων υλικών βοήθησε αρκετούς μαθητές μέσης επίδοσης να βελτιώσουν την επίδοσή τους. Πιο κάτω δίνονται δείγματα εργασιών ενός μαθητή από την ομάδα Β στα οποία παρατηρήθηκαν σημαντικές μεταβολές μετά την παρεμβατική διδασκαλία. Pre-test Post-test Όπως φαίνεται σε όλες τις περιπτώσεις έργων ο μαθητής έκανε μεταφορά του σχήματος και οι αναπαραστάσεις του δεν παρουσιάζουν ενδείξεις μαθηματικής δομής που να σχετίζονται με την έννοια της συμμετρίας. Όλες οι αναπαραστάσεις του μαθητή κατηγοριοποιήθηκαν στο προ-δομικό στάδιο. Ωστόσο, μετά την παρεμβατική 127

138 Λ. Δημητρίου, Ι. Ηλία διδασκαλία οι αναπαραστάσεις του μαθητή βελτιώθηκαν σε σημαντικό βαθμό όπως φαίνεται πιο πάνω. Συγκεκριμένα στο πρώτο, δεύτερο, έβδομο και όγδοο έργο ο μαθητής από το προ-δομικό στάδιο κατάφερε να μεταβεί στο στάδιο της μερικής δομής. Παράλληλα στο τρίτο, πέμπτο και έκτο έργο ο μαθητής κατάφερε να μεταβεί στο αναδυόμενο στάδιο αφού οι αναπαραστάσεις του άρχισαν να παρουσιάζουν κάποιες ενδείξεις αναδυόμενης δομής. Στο μόνο έργο όπου ο μαθητής δεν κατάφερε να βελτιώσει την επίδοσή του ήταν στο τέταρτο έργο. Οι παρεμβατικές διδασκαλίες φαίνεται να βοήθησαν και τους μαθητές που μπορούν να χαρακτηριστούν ως πολύ καλοί μαθητές κατά την αρχική χορήγηση του δοκιμίου, ώστε να τελειοποιήσουν τις αναπαραστάσεις τους. Πιο κάτω παρουσιάζεται η περίπτωση της Μαρίνας (Ομάδα Α) όπου κατά την αρχική χορήγηση του δοκιμίου φαίνεται να αγνοούσε τις διαστάσεις των σχημάτων. Κατά την τελική χορήγηση, μετά την παρεμβατική διδασκαλία, η μαθήτρια κατάφερε να βελτιώσει τις αναπαραστάσεις της και να μεταβεί στο στάδιο της δομικής ανάπτυξης. Αξίζει να σημειωθεί ότι στην περίπτωση της Μαρίνας παρατηρήθηκαν στρατηγικές που φαίνεται ότι την βοήθησαν να οπτικοποιήσει την έννοια της συμμετρίας. Η συγκεκριμένη μαθήτρια χρησιμοποίησε εικονικές χειρονομίες ώστε να δείξει την αναδίπλωση των σχημάτων. ΣΥΖΗΤΗΣΗ-ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Μέσα από την ανάλυση των δοκιμίων κατά την αρχική χορήγηση, τα παιδιά προδημοτικής φαίνεται να παρουσιάζουν υψηλότερη επίδοση στα έργα αναγνώρισης συμμετρικών σχημάτων ενώ χαμηλότερες φαίνεται να είναι οι επιδόσεις τους στα έργα όπου κλήθηκαν να τοποθετήσουν άξονες συμμετρίας και να συμπληρώσουν συμμετρικά σχήματα. Τα ευρήματα αυτά φαίνεται να βρίσκονται σε συμφωνία με τα αποτελέσματα προηγούμενων ερευνών (Clair, 1968; Τζεκάκη & Χριστοδούλου, 2000) που υποστηρίζουν ότι η έννοια της συμμετρίας μπορεί να προσεγγιστεί από μαθητές πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης και ότι αναπτύσσεται γρήγορα (αναφορά στο Sarama & Clements, 2009). Όσον αφορά την πρώτη κατηγορία έργων, οι μαθητές έτειναν να αγνοούν μικρές λεπτομέρειες στις εικονικές αναπαραστάσεις οι οποίες καθόριζαν εάν ένα σχήμα είναι συμμετρικό ή όχι με αποτέλεσμα να καταλήγουν σε λανθασμένες αναγνωρίσεις. Όσον αφορά τη δεύτερη κατηγορία έργων, όπως φάνηκε, σχεδόν όλοι οι μαθητές ήταν σε θέση να τοποθετήσουν κατακόρυφους άξονες συμμετρίας στις εικονικές αναπαραστάσεις που τους δόθηκαν. Ωστόσο φάνηκε ότι ένας μεγάλος αριθμός μαθητών δεν ήταν σε θέση να τοποθετήσει σωστά οριζόντιους άξονες συμμετρίας άλλα ούτε και να τοποθετήσει περισσότερους από έναν άξονες συμμετρίας στις εικονικές αναπαραστάσεις που τους δόθηκαν. Το γεγονός αυτό πιθανόν να οφείλεται στις αυξημένες απαιτήσεις του συγκεκριμένου έργου σε σχέση με τις ικανότητες των μικρών μαθητών. Πέραν όμως αυτού, φάνηκε ότι όχι μόνο η φύση της μαθηματικής έννοιας επηρέασε την επίδοση των παιδιών αλλά και οι ίδιες οι εικονικές αναπαραστάσεις που χρησιμοποιήθηκαν στο έργο. Συγκεκριμένα, έργα τα οποία απαιτούσαν αυξημένα επίπεδα επεξεργασίας, όπως για παράδειγμα στην περίπτωση της εικονικής 128

139 Είναι Συμμετρική η Εικόνα της Πεταλούδας; αναπαράστασης του αστεριού, φαίνεται να δυσκόλεψαν τους μαθητές. Παράλληλα εικονικές αναπαραστάσεις που δόθηκαν με διαφορετικό κατεύθυνση από αυτό που φαίνεται να είναι συνηθισμένοι οι μαθητές (ανθρώπινη φιγούρα), φαίνεται να αποτέλεσαν εμπόδια για τη σωστή τοποθέτηση των αξόνων. Τα ευρήματα αυτά βρίσκονται σε συμφωνία με προηγούμενη έρευνα των Schultz και Austin (1983) σε μαθητές πρώτης, τρίτης και τετάρτης δημοτικού που βρήκαν ότι η κατεύθυνση του μετασχηματισμού φαίνεται να επηρεάζει την κατανόηση της συμμετρίας από τους μαθητές αυτής της ηλικίας. Παράλληλα όσον αφορά το τρίτο μέρος του ερωτηματολογίου όπου οι μαθητές κλήθηκαν να συμπληρώσουν συμμετρικά σχήματα, βρέθηκε ότι οι αναπαραστάσεις των μαθητών μπορούν να κατηγοριοποιηθούν στα τέσσερα στάδια δομικής ανάπτυξης όπως προτάθηκαν από τους Mulligan, Prescott και Mitchelmore (2004). Ωστόσο ένα μεγάλο μέρος των αρχικών αναπαραστάσεων των παιδιών μπορεί να χαρακτηριστεί ότι ανήκουν στο προ-δομικό στάδιο αφού από αυτές απουσιάζουν οποιεσδήποτε ενδείξεις μαθηματικής δομής σχετικές με την έννοια της συμμετρίας κάτι που υποστηρίζει τα ευρήματα των Kirby και Boulter (1999) και Τζεκάκη και Χριστοδούλου (2000) που υποστηρίζουν ότι οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα μικρά παιδιά σε έργα γεωμετρικού μετασχηματισμού μπορούν να διακριθούν ως ολιστικές. Οι πιο συνηθισμένες λανθασμένες στρατηγικές που έτειναν να εφαρμόζουν οι μαθητές, ήταν να μεταφέρουν τις αρχικές εικόνες που τους δίνονταν καθώς και να αγνοούν τις διαστάσεις των αρχικών σχημάτων που τους δόθηκαν για να συμπληρώσουν κάτι που υποστηρίζεται από παρόμοια έρευνα των Τζεκάκη και Χριστοδούλου (2000) που αναφέρουν ότι παρόλο που πεντάχρονα και εξάχρονα παιδιά είναι σε θέση να διακρίνουν μεταξύ συμμετρικών και μη συμμετρικών σχημάτων, αδυνατούν να σχεδιάσουν συμμετρικά σχήματα λαμβάνοντας υπόψη τη σχετική θέση και το μέγεθός τους. Όπως φάνηκε, οι παρεμβατικές διδασκαλίες που ακολούθησαν, βοήθησαν τους μαθητές να βελτιώσουν τις διαισθητικές τους αντιλήψεις όσον αφορά την έννοια της συμμετρίας και οι διαφορές αυτές ήταν στατιστικά σημαντικές εντός των ομάδων. Συγκεκριμένα οι μαθητές της ομάδας Α προηγήθηκαν ελάχιστα των μαθητών της Β ομάδας, ωστόσο δεν παρατηρήθηκαν στατιστικά σημαντικές διαφορές μεταξύ τους. Μέσα από τα αποτελέσματα της παρούσας έρευνας προκύπτουν κάποιες εκπαιδευτικές επιπτώσεις. Όπως φάνηκε, σε ορισμένες περιπτώσεις το είδος της εικονικής αναπαράστασης επηρέασε την επιτυχία των μαθητών. Κατά συνέπεια κρίνεται απαραίτητο στις πρώτες επαφές των μικρών μαθητών με την έννοια της συμμετρίας να δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στην επιλογή κατάλληλων εικονικών αναπαραστάσεων. Παράλληλα, όπως φάνηκε, η ικανότητα τοποθέτησης αξόνων συμμετρίας είναι ένας σημαντικός παράγοντας πρόβλεψης της ικανότητας σε έργα που σχετίζονται με τη συμμετρία. Είναι ιδιαίτερα σημαντικό κατά τη διδασκαλία της έννοιας της συμμετρίας να δίνεται έμφαση στην τοποθέτηση αξόνων συμμετρίας και ιδιαίτερα στην τοποθέτηση οριζόντιων αξόνων συμμετρίας, αφού όπως φάνηκε είναι κάτι που δημιουργεί δυσκολίες στους μαθητές. 129

140 Λ. Δημητρίου, Ι. Ηλία Παρόλο που φάνηκε ότι οι μαθητές της ομάδας Α παρουσίασαν ελάχιστα ψηλότερη επίδοση κατά τη δεύτερη χορήγηση του δοκιμίου σε σχέση με τους μαθητές της ομάδας Β, χρήσιμη θα ήταν η διεξαγωγή περαιτέρω έρευνας η οποία να εξετάζει πώς η επίδοση των μικρών μαθητών μπορεί να αλλάζει όταν διδάσκονται τόσο με δυναμικές αναπαραστάσεις όσο και με συγκεκριμένα υλικά. Δεδομένου του μικρού δείγματος της παρούσας έρευνας τα αποτελέσματα δε μπορούν να γενικευθούν. Θα ήταν χρήσιμη η διεξαγωγή περαιτέρω έρευνας σε μεγαλύτερο δείγμα μαθητών προδημοτικής που να εξετάζει την ικανότητα μικρών μαθητών στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς καθώς και αν αυτή η ικανότητα μπορεί να προβλέψει τη μαθηματική ικανότητα των μαθητών προδημοτικής. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Baturo, A. R., Cooper, T. J., & Thompson, K. (2003). Effective teaching with materials: Years six and seven case studies [Online]. Available: [2005, September 19]. Boulter, D. R., & Kirby. J. R. (1994). Identification of strategies used in solving transformational geometry problems, Journal of Educational Research, 87 (5), Retrieved from Hollebrands, K. (2003). High school students understandings of geometric transformations in the context of a technological environment. Journal of Mathematical Behavior, 22 (1), doi: /s (03)00004-x Jones, K. (2002), Issues in the teaching and learning of geometry. In Linda Haggarty(Ed), Aspects of Teaching Secondary Mathematics (pp ). London: RoutledgeFalmer. Retrieved from Jones, K., & Mooney, C. (2003). Making space for geometry in primary mathematics. In I. Thompson (Ed.), Enhancing Primary Mathematics Teaching (3-15). Maidenhead, UK: Open University Press. Mulligan, J.T., Prescott, A., & Mitchelmore, M.C. (2004). Children s development ofstructure in early mathematics. In M. Høines & A. Fuglestad (Eds.) Proceedings of the28th annual conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp ). Bergen, Norway: Bergen University College. Reimer, K, & Moyer, P.S. (2005). Third-graders learn about fractions using virtual manipulatives: A classroom study. Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 24(1), Sarama, J., & Clements, D. H. (2009). Early childhood mathematics education research Learning trajectories for young children. Routledge: New York. 130

141 Είναι Συμμετρική η Εικόνα της Πεταλούδας; Schultz, K., & Austin, J. (1983). Directional effects in transformation tasks. Journal for Research in Mathematics Education, 14 (2), Retrieved from Σταυροπούλου, Σ., & Γαγάτσης, Α. (2006). Στατικές και Δυναμικές Αναπαραστάσεις: Στατικές και δυναμικές αναπαραστάσεις η περίπτωση των πιθανοτήτων. Η Σύγχρονη Εκπαιδευτική Έρευνα στην Κύπρο. Λευκωσία: Παιδαγωγική Εταιρεία Κύπρου. Tzekaki, M. & Christodoulou, I. (2000). Mathematics at pre-school age: control processes for the approach of symmetry. EECERA. London: Institute of Education. 131

142 Λ. Δημητρίου, Ι. Ηλία 132

143 ΠΡΟΣΕΓΓΙΖΟΝΤΑΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΑ ΤΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΕΡΙ ΣΦΑΙΡΑΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ ΕΝΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Μαρία Πριοβόλου Μαθηματικός MS Διδακτική Μαθηματικών Ραιδεστού 64, Ν.Σμύρνη, 17122, Αθήνα ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο Αρχιμήδης συγκαταλέγεται στους εξέχοντες επιστήμονες στην ιστορία της ανθρωπότητας. Οι μαθηματικές του ανακαλύψεις και οι εφευρέσεις του δεν επηρέασαν μόνο την Επιστήμη γενικά, αλλά και την Τέχνη και τον Πολιτισμό. Κάθε εκπαιδευτικός επιθυμεί να φέρει τους μαθητές του σε επαφή με το έργο και την επιστημονική φυσιογνωμία του Αρχιμήδη. Με αφορμή το κεφάλαιο της Στερεομετρίας στα Μαθηματικά της Β Γυμνασίου, παρουσιάζεται ένα διδακτικό σενάριο που εστιάζει στις παρακάτω προτάσεις του Αρχιμήδη: «Ο όγκος ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου γύρω από μια σφαίρα με ύψος ίσο με τη διάμετρο της σφαίρας είναι τα 3/2 του όγκου της σφαίρας.» και «Η επιφάνεια του περιγεγραμμένου κυλίνδρου σε μια σφαίρα, συμπεριλαμβανομένων των βάσεων του είναι επίσης τα 3/2 της επιφάνειας της σφαίρας.» Πρόκειται για ένα διδακτικό σενάριο που βασίζεται στην ομαδοκεντρική διδασκαλία. Ενθαρρύνει τους μαθητές να αποδείξουν την ισχύ των παραπάνω μαθηματικών προτάσεων, να κάνουν χρήση των Νέων Τεχνολογιών και να ανακαλύψουν αρχαία και σύγχρονα κείμενα για τον Αρχιμήδη. Προσδιορισμός της θεματικής περιοχής Η εργασία αυτή έχει σαν σκοπό την παρουσίαση ενός διδακτικού σεναρίου κατάλληλο για μαθητές της Β Γυμνασίου. Η ιδιαίτερη περιοχή του γνωστικού αντικειμένου είναι η Στερεομετρία. Το σενάριο είναι βασισμένο στις μαθηματικές έννοιες που παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο 4 της Γεωμετρίας του σχολικού βιβλίου για την Β Γυμνασίου. Οι επιμέρους διδακτικές ενότητες που χρησιμοποιούνται στο σενάριο είναι: Εμβαδό της επιφάνειας Κυλίνδρου, Εμβαδό της επιφάνειας της Σφαίρας, Όγκος Κυλίνδρου, Όγκος της Σφαίρας. Η αρχική ιδέα του διδακτικού σεναρίου είναι ο

144 Μ. Πριοβόλου διαφορετικός τρόπος προσέγγισης των παραπάνω μαθηματικών εννοιών, μέσω μιας διαθεματικής προσέγγισης της σχέσης που ανακάλυψε ο Αρχιμήδης για τους όγκους και τα εμβαδά μιας εγγεγραμμένης σφαίρας σε κύλινδρο. Οι μαθητές καλούνται να επεξεργαστούν διάφορες μαθηματικές δραστηριότητες μέσα από ένα φύλλο εργασίας. Η χρονική διάρκεια υλοποίησης του σεναρίου είναι 3 διδακτικές περίοδοι. Υπηρεσίες των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και Επικοινωνίας (ΤΠΕ) που αξιοποιήθηκαν Το προτεινόμενο διδακτικό σενάριο απαιτεί για την απρόσκοπτη υλοποίησή του την ακόλουθη υλικοτεχνική υποδομή: χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών στο σχολικό εργαστήριο, χρήση διαδραστικών πινάκων, χρήση προγραμμάτων του Microsoft Office και των Windows, πλοήγηση σε ιστοσελίδες του Διαδικτύου. Αξιολόγηση Η αξιολόγηση της διδακτικής δραστηριότητας θα γίνει από τον εκπαιδευτικό και από τους μαθητές, ως προς τρεις παραμέτρους: α) την επιτυχία των ακαδημαϊκών στόχων β) την συμπλήρωση του φύλλου εργασίας και γ) την συνεργασία και την συμμετοχή τους στην μαθητική ομάδα που ανήκουν. Ο εκπαιδευτικός γνωστοποιεί τις διαδικασίες αξιολόγησης εκ των προτέρων με τρόπο σαφή. Κάθε μαθητής θα αξιολογηθεί ατομικά, λαμβάνοντας υπόψη τις παραπάνω τρεις παραμέτρους. Τέλος, και οι μαθητές θα αξιολογήσουν τις καταγραφές τους, μετά την ολοκλήρωση της διδακτικής διαδικασίας, ως προς την μαθηματική ορθότητα των συλλογισμών τους, την αξιοπιστία και την αποτελεσματικότητα των πηγών που χρησιμοποιήθηκαν. Παιδαγωγικές αρχές που οδήγησαν στην δημιουργία του διδακτικού σεναρίου «Όπως όλοι οι μαθητές στον κόσμο, ο Ιωνάθαν είχε συναντηθεί με τον Θαλή αρκετές φορές. Κάθε φορά όμως, ο καθηγητής του μιλούσε για το Θεώρημα, ποτέ για τον άνθρωπο. Άλλωστε, στο μάθημα των μαθηματικών δεν συζητούσαν ποτέ για ανθρώπους. 134

145 Προσεγγίζοντας Διδακτικά τις Σχέσεις περί Σφαίρας και Κυλίνδρου του Αρχιμήδη Πού και πού κάποιο όνομα έβγαινε στην επιφάνεια: Θαλής, Πυθαγόρας, Πασκάλ, Ντεκάρτ. Ήταν όμως ένα σκέτο όνομα. Σαν όνομα τυριού ή σταθμού του μετρό. Δεν μιλούσαν ποτέ για το πότε ή το πού συνέβη κάτι. Οι μαθηματικοί τύποι και οι αποδείξεις απλώς προσγειώνονταν στον πίνακα. Σαν να μην τους είχε ποτέ κάνεις δημιουργήσει, σαν να ήταν εκεί πάντα, όπως τα βουνά και τα ποτάμια. Εδώ και τα βουνά είχαν κάποια ιστορία, κάποια αρχή. Θα λεγε κάνεις ότι τα Θεωρήματα ήταν διαχρονικότερα από τα βουνά και τα ποτάμια! Τα μαθηματικά, δεν είναι ούτε Ιστορία ούτε Γεωγραφία ούτε Γεωλογία. Αλήθεια, τι είναι; Η ερώτηση δεν μοιάζει να ενδιαφέρει και πολύ κόσμο»(γκέτζ, 2000) Ποιός από τους μαθητές μας δεν εχει αισθανθεί στο μάθημα των Μαθηματικών όπως ο Ιωνάθαν, ο ήρωας του Ντενί Γκέτζ, στο Θεώρημα του Παπαγάλου; Πόσες φορές ένας δάσκαλος των Μαθηματικών δεν θέλησε να εμπλουτίσει το μάθημα του με επιπλέον στοιχεία από την Γλώσσα, την Ιστορία, την Τεχνολογία; Να μιλήσει για τις μαθηματικές προσωπικότητες, να σταθεί στις λεπτομέρειες του έργου τους, να μην προσγειώσει μια μαθηματική απόδειξη στον πίνακα να βοηθήσει τον μαθητή να φτάσει σε αυτήν, να μυήσει τον μαθητή στον κόσμο των Μαθηματικών και όχι μόνο στον φορμαλισμό τους; Με βάση τα παραπάνω ερωτήματα δημιουργήθηκε ένα διδακτικό σενάριο με κύριο στόχο να «αγγίξει» κάθε μαθητή είτε αυτός έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τα Μαθηματικά είτε ασχολείται μαζί τους γιατί διδάσκονται υποχρεωτικά στο σχολείο. Τα Μαθηματικά μπορούν να εμπλουτίσουν την άυλη μορφή τους, να τραφούν από το σώμα από το οποίο προφανώς προήρθαν. Επίσης, μπορούν να εξημερωθούν αποκαθιστώντας τις λέξεις τους αναγνωρίζοντας το βάθος του νοήματος τους και το ρόλο τους ως φορέα ανθρωπίνων σχέσεων. Συχνά, πέρα από τους συνειρμούς, μια άσκηση ή ένα θεώρημα εκτυλίσσονται σε πραγματικές ιστορίες. Εμφανίζονται πρόσωπα, συναντώνται, αντιπαρατίθενται Πώς δημιουργούνται αυτές οι ιστορίες; Μήπως απομακρύνουν από τα Μαθηματικά ή μήπως αποδίδουν την πεμπτουσία τους; (Siety, 2003) Μια τέτοια ιστορία θέλει να μας διηγηθεί αυτό το διδακτικό σενάριο. Την ιστορία του Αρχιμήδη, που θέλησε να χαραχτεί στον τάφο του μια σφαίρα εγγεγραμμένη σε έναν κύλινδρο. Οι μαθητές, μέσα από την ιστορία του σεναρίου, θα έρθουν σε επαφή με την Ιστορία μιας μαθηματικής πρότασης και με μια επιστημονική φυσιογνωμία που σημάδεψε την Ιστορία των Μαθηματικών. Η εισαγωγή της Ιστορίας στη διδασκαλία των Μαθηματικών δεν είναι πρόβλημα περιεχομένου. Είναι πρόβλημα στάσης και πρόβλημα εικόνας της επιστήμης των Μαθηματικών και των επιστημόνων μαθηματικών (Lingard, 2002). Η μαθηματική γνώση δεν αποτελεί ένα τελεσίδικα περατωμένο προϊόν της ανθρώπινης δραστηριότητας, εκφρασμένο οριστικά από ένα κλειστό σύστημα προτάσεων (ορισμών, αξιωμάτων και θεωρημάτων) και μια σειρά δεδομένων τεκμηρίωσης και απόδειξης της αλήθειας των προτάσεων αυτών, αλλά ως προϊόν κοινωνικής δραστηριότητας εντάσσεται σε ιστορικά 135

146 Μ. Πριοβόλου καθορισμένα κοινωνικά και πολιτιστικά πλαίσια που καθορίζουν το επίπεδο και προσδιορίζουν την κατεύθυνση ανάπτυξης της. Η Ιστορία δηλαδή, αποτελεί συστατικό στοιχείο των προτάσεων και των διαδικασιών ελέγχου και τεκμηρίωσης της αλήθειας των προτάσεων αυτών που συγκροτούν τη μαθηματική γνώση (Χασάπης, 2002). Οι προτάσεις που έχουν διατυπωθεί μέχρι τώρα για την υλοποίηση της ενσωμάτωσης της Ιστορίας των Μαθηματικών στο πρόγραμμα σπουδών των σχολικών Μαθηματικών φαίνεται να αναπτύσσονται γύρω από δυο βασικούς άξονες: Α) Την αξιοποίηση αυθεντικών κειμένων της Ιστορίας των Μαθηματικών Β) Την οργάνωση της διδασκαλίας μιας μαθηματικής έννοιας με τέτοιο τρόπο, ώστε να λαμβάνεται υπόψη (όταν αυτό είναι δυνατό) η ιστορική πορεία ανάπτυξης της (Κοντογιάννης & Ντζιαχρήστος, 2003). Το διδακτικό αυτό σενάριο φιλοδοξεί την πολύπλευρη προσέγγιση μιας μαθηματικής πρότασης του Αρχιμήδη. Μια προσέγγιση που θα ξεκινήσει από την Ιστορία, μέσα από ένα αυθεντικό κείμενο του Πλουτάρχου που αναφέρεται στην σχέση που ανακάλυψε ο Αρχιμήδης σε μια σφαίρα που είναι εγγεγραμμένη σε έναν κύλινδρο. Η δομή του διδακτικού σεναρίου αξιοποιεί την ομαδοσυνεργατική πορεία των μαθητών στην αναζήτηση στοιχείων για την μαθηματική προσωπικότητα και το έργο του Αρχιμήδη. Αυτή η αναζήτηση δεν είναι βέβαια το απόλυτο ζητούμενο της μαθηματικής γνώσης, λειτουργεί κυρίως σαν παρακίνηση για τους μαθητές. Μια μορφή παρακίνησης συνίσταται στο να φέρουμε, με την βοήθεια του θέματος, τους μαθητές σε επαφή με τη σκέψη και τον αγώνα άλλων. Στα Μαθηματικά, κάποιος μπορεί να αναρωτηθεί σχετικά με τον κόσμο της σκέψης των Ελλήνων, που τους οδήγησαν σε τόσο σημαντικά αποτελέσματα στη Γεωμετρία και τόσο φτωχά στην Άλγεβρα. Η υποκειμενική αξία αυτής της μορφής παρότρυνσης μπορεί να περιγράφει ως εξέλιξη της εκτίμησης του συνανθρώπου. Μια τέτοια παρότρυνση εμφανίζεται όταν οι μαθητές δουλεύουν φιλόδοξα σε ομάδες. Αυτές θα πρέπει να είναι ομάδες με δίκαιη κατανομή εργασίας. Οι μαθητές πρέπει να εμπιστεύονται ο ένας τον άλλο και πρέπει να είναι ενήμεροι για το μερίδιο του καθενός στην εργασία. Στις ομάδες εργασίας συναντάται, σε μια απλουστευμένη μορφή, αυτό το είδος παρακίνησης. Ο μαθητής έρχεται αντιμέτωπος με τη σκέψη και τον αγώνα των συμμαθητών του. Η εργασία στο πλαίσιο ομάδων μπορεί να είναι ένας τρόπος να επιτύχουμε μια κατανόηση του θέματος (Van Hiele, 2011). Η ομαδοσυνεργατική διδασκαλία, και ως θεωρητική πρόταση και ως διδακτική πράξη, διαφοροποιείται σημαντικά από ό, τι κυριαρχεί σήμερα στο σχολικό μας σύστημα. Η ομαδοκεντρική διδασκαλία αξιοποιεί ως κινητήρια δύναμη της διδασκαλίας την ολιγομελή μαθητική ομάδα. Στην απλή της μορφή οι ομαδοκεντρικές διδασκαλίες χρησιμοποιούν εταιρικές ομάδες των δυο μαθητών. Οι ομάδες αυτές λειτουργούν είτε ως 136

147 Προσεγγίζοντας Διδακτικά τις Σχέσεις περί Σφαίρας και Κυλίνδρου του Αρχιμήδη φροντιστηριακές δυάδες, οπότε ο καλός μαθητής βοηθά τον «αδύνατο» ή ως συνεργαζόμενες δυάδες, οπότε από κοινού και οι δυο επεξεργάζονται τα δεδομένα. Οι ομαδοκεντρικές διδασκαλίες επιφέρουν θετικά αποτελέσματα τόσο στη σχολική μάθηση όσο και στην γενικότερη ανάπτυξη του παιδιού, ιδίως στους τομείς της κοινωνικής και της γνωστικής ανάπτυξης (Ματσαγγούρας, 2004). Οι ομάδες κατά την διάρκεια επεξεργασίας των δραστηριοτήτων είναι διμελής. Η επιλογή των μελών γίνεται από τον εκπαιδευτικό. Τα δυο μέλη των ομάδων είναι καλύτερο να είναι διαφορετικού φύλου και διαφορετικού ακαδημαϊκού επιπέδου ώστε να επιτευχθεί μια διαλεκτική σχέση μεταξύ τους. Οι διαφορετικές απόψεις που μπορεί να διαπραγματευθούν δυο μαθητές που δεν έχουν ιδιαίτερα κοινά στοιχεία μπορεί να οδηγήσει σε ένα σημαντικό μαθησιακό αποτέλεσμα. Συχνά οι μαθητές σε αυτήν την ηλικία (κατά την διάρκεια της εφηβείας) επιθυμούν να συνεργάζονται μόνο με συμμαθητές τους που έχουν φιλική σχέση. Αισθάνονται ασφάλεια και εμπιστοσύνη όταν εργάζονται μαζί με φίλους τους. Σαφέστατα αυτά τα δυο στοιχεία είναι σημαντικά για την ομαλή λειτουργιά της ομαδοκεντρικής διδασκαλίας, αλλά αυτό που πρέπει να διδάξουμε στους μαθητές μας είναι ότι δεν θα συνεργάζονται πάντα με πρόσωπα της επιλογής τους, γι αυτό είναι προτιμότερο να εξασκηθούν στη συνεργασία με μαθητές που δεν ανήκουν στο φιλικό τους περιβάλλον. Οι μαθητές έχουν πολλά να κερδίσουν από τις διάφορες σκέψεις που θα ακούσουν από έναν συμμαθητή τους που μπορεί, υπό άλλες συνθήκες, να μην επέλεγαν ποτέ για να συνεργαστούν. Η Γεωμετρία αποτελεί έναν κατάλληλο κλάδο των Μαθηματικών για να δημιουργήσει ένας εκπαιδευτικός διδακτικά σενάρια για ομάδες εργασίας βασισμένα στην παραπάνω μορφή παρακίνησης. Το περίεργο βέβαια είναι, όπως γράφει ο Freudenthal, ότι ενώ η Γεωμετρία είναι η πηγή της λογικής, οι περισσότεροι μαθητές υποφέρουν από δίψα γιατί δεν μπορούν να την πλησιάσουν. Ο τρόπος που διδάσκεται η Γεωμετρία στα σχολεία είναι συχνά η αιτία που οι μαθητές μένουν τελικά στην άγνοια τους. Η κλασική διαδοχή βημάτων: ορισμός θεώρημα απόδειξη δεν παρουσιάζεται πάντα την κατάλληλη χρονική στιγμή ή παρουσιάζεται σε μαθητές που δεν έχουν το κατάλληλο υπόβαθρο για να την κατανοήσουν (Κοντογιάννης & Ντζιαχρήστος, 2003). Το διδακτικό σενάριο που παρουσιάζεται δεν ακολουθεί την διαδοχή βημάτων: μαθηματική πρόταση απόδειξη. Η πρώτη επαφή με την μαθηματική πρόταση δίνεται μέσα από ένα κείμενο σε απόδοση αρχαίων ελληνικών, χωρίς να παρουσιάζεται με ακρίβεια η σχέση του Αρχιμήδη. Αρχικά, οι μαθητές καλούνται, όχι όπως συνήθως να το μεταφράσουν, αλλά να σχεδιάσουν το γεωμετρικό αντικείμενο που περιγράφεται στο κείμενο με την χρήση γεωμετρικών οργάνων. Αν το πρόβλημα μας είναι γεωμετρικό, πρέπει να έχουμε ένα σχήμα. Αυτό το σχήμα μπορεί να είναι είτε στη φαντασία μας είτε σχεδιασμένο σε χαρτί. Σε ορισμένες περιπτώσεις, θα ήταν επιθυμητό να φανταστούμε το σχήμα χωρίς να το σχεδιάσουμε. Αν 137

148 Μ. Πριοβόλου όμως έχουμε να εξετάσουμε διάφορες λεπτομέρειες είναι χρήσιμο να σχεδιάσουμε ένα σχήμα. Όταν υπάρχουν πολλές λεπτομέρειες, δεν μπορούμε να τις φανταστούμε όλες συγχρόνως, υπάρχουν όμως όλες μαζί στο χαρτί. Μια λεπτομέρεια εντυπωμένη στη φαντασία μας μπορεί να ξεχαστεί η λεπτομέρεια όμως που είναι χαραγμένη στο χαρτί παραμένει, κι όταν ξαναγυρίζουμε σ αυτήν, μας θυμίζει τις προηγούμενες παρατηρήσεις μας, μας απαλλάσσει από τον κόπο να συγκεντρώσουμε πάλι τις προηγούμενες σκέψεις μας. Στη Στερεομετρία πρέπει να ικανοποιούμαστε με σχήματα, παρόλο που δεν είναι εύκολο να τα φτιάχνουμε εντυπωσιακά (Polya, 1944). Είναι ιδιαίτερα σημαντικό για τους μαθητές να σχεδιάζουν ένα σχήμα με γεωμετρικά όργανα χωρίς καθοδήγηση από τον εκπαιδευτικό. Οπτικοποιούν την μαθηματική έννοια. Ο σχεδιασμός αυτός απαιτεί ακρίβεια και εφαρμογή γεωμετρικών προτάσεων, όπως η ακρίβεια και οι συντακτικοί κανόνες που ακολουθούνται στην μετάφραση ενός αρχαίου ελληνικού κειμένου. Μια τέτοιου είδους δραστηριότητα δίνει ένα διαφορετικό νόημα στην μετάφραση όπως την συναντάνε οι μαθητές στο μάθημα των Αρχαίων Ελληνικών. Αντιλαμβάνονται καλύτερα τους λόγους που διδάσκονται την γραμματική και το συντακτικό της Αρχαίας Ελληνικής Γλώσσας στο σχολείο. Διότι στα Αρχαία Ελληνικά έχουν γραφτεί κείμενα σπουδαίου επιστημονικού ενδιαφέροντος και όχι μόνο έπη και τραγωδίες. Τέτοιου είδους κείμενα μπορεί να κληθούν αύριο ως επιστήμονες να διαβάσουν και να κατανοήσουν βαθιά. Στη συνέχεια οι μαθητές καλούνται να σχεδιάσουν ξανά το ίδιο σχήμα με χρήση προγραμμάτων ηλεκτρονικού υπολογιστή. Διαπιστώνεται (Owston, 1997) πως η διδακτική αξιοποίηση αλλά και η πρωτογενής δημιουργία από τους ίδιους τους μαθητές πολυμεσικών/υπερμεσικών εφαρμογών: Δημιουργεί ισχυρό κίνητρο για συμμετοχή, όπως προκύπτει τόσο από την ένταση όσο και από τη διάρκεια της επαφής των μαθητών με τον υπολογιστή. Επιτρέπει μια προσέγγιση επικεντρωμένη στις ανάγκες του μαθητή χάρη στη δυνατότητα για αλληλεπίδραση και κατά συνέπεια στις δυνατότητες επιλογής που παρέχει. Υποστηρίζει διαδικασίες που οδηγούν σε μια περισσότερο παραγωγική και αποτελεσματική μάθηση. Θα ήθελα να συμπληρώσω, ότι ο ηλεκτρονικός σχεδιασμός γεωμετρικών σχημάτων φέρνει τους μαθητές σε επαφή με μια πτυχή της τεχνολογίας που στο μέλλον μπορεί να συναντήσουν αν επιθυμούν να ασχοληθούν με αρχιτεκτονικό, βιομηχανικό κλπ. σχεδιασμό. Έπειτα από την οπτική αναπαράσταση μέσα από ένα σχήμα, οι μαθητές πρέπει να ανακαλύψουν την σχέση που συνδέει τα δυο στερεά (τον περιγεγραμμένο κύλινδρο στη σφαίρα) και να αντιληφτούν το «γιατί» ισχύει αυτή η σχέση. Το διδακτικό σενάριο δεν 138

149 Προσεγγίζοντας Διδακτικά τις Σχέσεις περί Σφαίρας και Κυλίνδρου του Αρχιμήδη στοχεύει στο να «προσγειωθεί» η μαθηματική σχέση και η απόδειξη της ξαφνικά στον πίνακα της σχολικής αίθουσας. Σε κάθε μάθημα μπορεί να γίνεται η διδασκαλία των τεχνικών και ευρετικών που χρησιμοποιούνται στην τυπική απόδειξη. Ο δάσκαλος δεν θα πρέπει μόνο να αναφέρει τα αξιώματα, τα προηγούμενα θεωρήματα και τις προτάσεις πάνω στις οποίες στηρίζεται μια απόδειξη, δηλαδή το «πώς» μιας απόδειξης, αλλά και το «γιατί». Είναι απαραίτητο, δηλαδή, να δείχνει στους μαθητές γιατί είναι λογικό να αρχίζει μια συγκεκριμένη απόδειξη κατ αυτό τον τρόπο και όχι κατά έναν άλλον, πώς κάποιος αποφασίζει να προχωρήσει από το ένα βήμα στο επόμενο και ποιές εναλλακτικές στρατηγικές θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για την ανάπτυξη μιας συγκεκριμένης απόδειξης. Ο μαθητής νιώθει ανασφάλεια, όταν είναι σε θέση μεν να παρακολουθήσει τα βήματα μιας απόδειξης, αλλά δεν μπορεί να εξηγήσει το «γιατί» αυτών των βημάτων, τι είναι δηλαδή εκείνο που καθοδηγεί κάθε φορά τη διαδοχή και το σχηματισμό αυτών των λογικών βημάτων σε κάθε απόδειξη (Τουμάσης, 2000). Στο σενάριο, οι μαθητές δεν παρακολουθούν τα βήματα της απόδειξης, αλλά με κατάλληλα διαμορφωμένες ερωτήσεις - υποδείξεις ανακαλύπτουν οι ίδιοι σταδιακά την σχέση του Αρχιμήδη. Το σημαντικό όμως είναι ότι οι υποδείξεις, με τις οποίες αρχίζουμε, πρέπει να είναι απλές, φυσικές και γενικές, και το διάγραμμα τους σύντομο. Οι υποδείξεις πρέπει να είναι απλές και φυσικές γιατί αλλιώς θα είναι δυσχερείς. Οι υποδείξεις πρέπει ακόμη να είναι γενικές και εφαρμόσιμες, αν πρόκειται να βοηθήσουν στην ανάπτυξη της ικανότητας του μαθητή και όχι μόνο στην μάθηση μιας ειδικής τεχνικής (Polya, 1944). Η συγκεκριμένη απόδειξη αποτελείται από πολύ απλά βήματα για την ηλικία των μαθητών της Β Γυμνασίου. Οι μαθητές καλούνται απλά να κάνουν χρήση των τύπων όγκου και εμβαδού σφαίρας και κυλίνδρου, να γράψουν τους αντίστοιχους λόγους και να απλοποιήσουν. Γι αυτόν τον λόγο και είναι σε θέση να καταγράψουν μόνοι τους την απόδειξη της σχέσης με απλές ερωτήσεις υποδείξεις στο φύλλο εργασίας. Στη συνέχεια τους ζητείται να διατυπώσουν μόνοι τους δυο προτάσεις για την σχέση των όγκων και εμβαδών σφαίρας και κυλίνδρου. Η μορφή αυτή της γραπτής εργασίας έχει ως σκοπό να αυξήσει την παρατηρητικότητα, την ακρίβεια έκφρασης των μαθητών και να συμβάλει στην εξοικείωση τους με τη μαθηματική ορολογία και το μαθηματικό συμβολισμό. Ενώ γράφουν έναν ορισμό ή περιγράφουν μια έννοια, οι μαθητές συνειδητοποιούν καταστάσεις και πλευρές τις οποίες δεν έχουν παρατηρήσει κατά την οπτική επαφή τους με την έννοια αυτή. Οι μαθητές έχουν την ψευδαίσθηση ότι καταλαβαίνουν κάτι το οποίο διαβάζουν απλά, παρακολουθώντας μόνο τα διαφορά βήματα των συλλογισμών ή βλέποντας τη συμβολική αντιπροσώπευση των διαφόρων εννοιών. Στην πραγματικότητα, αυτό που κάνουν είναι να αποδέχονται παθητικά μια κατάσταση, στη διαμόρφωση της οποίας δεν έχουν συμμετάσχει καθόλου. Όταν, λοιπόν, τους ρωτήσει κάποιος να περιγράψουν γραπτώς αυτό που διάβασαν, τότε περιέρχονται σε δύσκολη θέση και αποκαλύπτεται η έλλειψη ουσιαστικής κατανόησης (Τουμάσης, 139

150 Μ. Πριοβόλου 2000). Πέρα από αυτό οι μαθητές εκφράζουν τους λόγους που εκείνοι θεωρούν ότι έκαναν τον Αρχιμήδη να επιλέξει αυτή την σχέση να χαραχτεί σχηματικά στον τάφο του. Πρόκειται για μια ερώτηση κρίσεως που στοχεύει να οδηγήσει τους μαθητές να αναρωτηθούν για τον τρόπο σκέψης των Αρχαίων Ελλήνων. Οι εργασίες για το σπίτι που καλούνται οι μαθητές να επεξεργαστούν δεν θυμίζουν κλασσικές εργασίες μαθηματικών. Πρόκειται για αναζήτηση λογοτεχνικών βιβλίων, γραμματοσήμων, έργων τέχνης και βίντεο σχετικά με τον Αρχιμήδη. Μέσα από την παρουσίαση των αποτελεσμάτων των μαθητικών ομάδων έχουν την δυνατότητα να εκφράσουν τα δικά τους ενδιαφέροντα και τις προτιμήσεις ανάλογα με τις επιλογές τους. Κάποιες βασικές αρχές για την νέα περίοδο της εκπαίδευσης είναι: Δεν υπάρχει μαθητής ή εκπαιδευτικός που να μην είναι (σε κάποιο βαθμό) από την σκοπιά του τρόπου μάθησης ένας «μεικτός» τύπος. Η απόκτηση της γνώσης είναι μια καθαρά «μη γραμμική» προσωπική διεργασία και η διαμεσολάβηση του εκπαιδευτικού είναι περισσότερο απαραίτητη για ζητήματα μεθόδου και λιγότερο για την πληροφόρηση και τη «μετάδοση» γνώσης. Οι νέες τεχνολογίες και το Διαδίκτυο διαφοροποιούν σημαντικά τον τρόπο σκέψης και τις διαδικασίες μάθησης και η έμφαση μετατοπίζεται στη διαχείριση της γνώσης και στην παραγωγή νέων ιδεών. (Κεκές, 2007) Κάθε μαθητής θα προσεγγίσει διαφορετικά την μαθηματική γνώση μέσα από αυτό το διδακτικό σενάριο. Θα κρατήσει το κομμάτι εκείνο που σχετίζεται άμεσα με τις κλίσεις και τα ενδιαφέροντα του είτε αυτά είναι καθαρά μαθηματικά είτε ιστορικά, καλλιτεχνικά, σχεδιαστικά κ.α. Το διδακτικό σενάριο αποσκοπεί ώστε κάθε μαθητής να φύγει από την σχολική αίθουσα με ένα στοιχείο για την σχέση σφαίρας εγγεγραμμένης σε κύλινδρο και την συμβολή του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά βαθιά χαραγμένο μέσα του για την συνέχεια της μαθησιακής του πορείας. Σκοπός & Στόχοι της Διδακτικής Πρακτικής Γενικός Σκοπός Ο γενικός σκοπός του διδακτικού σεναρίου είναι οι μαθητές να προσεγγίσουν μέσω της Ιστορίας των Μαθηματικών, της Τέχνης, της Μαθηματικής Απόδειξης και της χρήσης των υπηρεσιών των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και Επικοινωνίας την σχέση των επιφανειών κυλίνδρου σφαίρας και των όγκων κυλίνδρου σφαίρας που απέδειξε ο Αρχιμήδης. 140

151 Προσεγγίζοντας Διδακτικά τις Σχέσεις περί Σφαίρας και Κυλίνδρου του Αρχιμήδη Επιμέρους Στόχοι Το συγκεκριμένο διδακτικό σενάριο στοχεύει, οι μαθητές: Ως προς το γνωστικό αντικείμενο: o Να κατανοήσουν την άμεση σχέση των Μαθηματικών και των ιστορικών κειμένων της Αρχαίας Ελληνικής Γραμματείας και την αλληλεξάρτηση των δυο αυτών πεδίων της γνώσης στην αναπτυξιακή τους πορεία και εξέλιξη. o Να σχεδιάσουν μια σφαίρα εγγεγραμμένη σε έναν κύλινδρο χρησιμοποιώντας γεωμετρικά όργανα. o Να κάνουν χρήση των τύπων υπολογισμού του όγκου κυλίνδρου και σφαίρας. o Να κάνουν χρήση του τύπου υπολογισμού του εμβαδού της επιφάνειας της σφαίρας. o Να υπολογίζουν το ολικό εμβαδόν ενός κυλίνδρου. o Να εμπεδώσουν την χρησιμότητα του λόγου. o Να έρθουν σε πρώτη επαφή με τις έννοιες των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων γεωμετρικών στερεών. o Να αποδείξουν ότι ο όγκος ενός κυλίνδρου περιγεγραμμένου γύρω από μια σφαίρα με ύψος ίσο με τη διάμετρο της σφαίρας είναι τα 3/2 του όγκου της σφαίρας. o Να αποδείξουν ότι η επιφάνεια του περιγεγραμμένου κυλίνδρου, συμπεριλαμβανομένων των βάσεων του είναι επίσης τα 3/2 της επιφάνειας της σφαίρας. o Να έρθουν σε επαφή με την απόδειξη μαθηματικών προτάσεων. o Να διατυπώνουν λεκτικά μαθηματικές προτάσεις. o Να ανακαλύψουν την συμβολή του Αρχιμήδη στην Μαθηματική Επιστήμη. Ως προς τη μαθησιακή διαδικασία Να εξοικειωθούν με τη διερεύνηση και την επιλογή πληροφοριών μέσα από το πλούσιο υλικό του διαδικτύου για να δώσουν απάντηση σε ένα συγκεκριμένο ερώτημα. Να καλλιεργήσουν την ικανότητα αξιολόγησης των πληροφοριών ως προς τη χρησιμότητά τους. 141

152 Μ. Πριοβόλου Ως προς τη χρήση νέων τεχνολογιών Να εξοικειωθούν με τη χρήση μηχανών αναζήτησης πληροφοριών στο Διαδίκτυο. Να αναπτύξουν δεξιότητες αναζήτησης, επιλογής και αξιοποίησης πληροφοριών στο Διαδίκτυο. Να σχεδιάσουν τρισδιάστατα γεωμετρικά σχήματα χρησιμοποιώντας τα προγράμματα Microsoft Word ή Paint. Ως προς την παιδαγωγική διαδικασία Να καλλιεργήσουν πνεύμα κριτικής σκέψης και συνεργασίας. Να παρατηρήσουν και να κατανοήσουν σε ποιο βαθμό τα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά επηρέασαν την Τέχνη και τον Πολιτισμό. Αναλυτική Περιγραφή του Διδακτικού Σεναρίου: 1η Διδακτική Περίοδος: Σε αυτή τη διδακτική περίοδο οι μαθητές και ο εκπαιδευτικός μεταβαίνουν στο εργαστήριο ηλεκτρονικών υπολογιστών του σχολείου. Πρόκειται για μια δραστηριότητα όπου ο εκπαιδευτικός χωρίζει τους μαθητές σε διμελείς ομάδες με χρήση ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή. Ο εκπαιδευτικός παρουσιάζει στους μαθητές το θέμα της διδακτικής δραστηριότητας και τις διαδικασίες αξιολόγησης. Τα φύλλα εργασίας της δραστηριότητας είναι αποθηκευμένα στον ηλεκτρονικό υπολογιστή σε μορφή αρχείου κειμένου (Microsoft Word), ώστε να είναι εύκολη η ηλεκτρονική συμπλήρωση τους. Στο φύλλο εργασίας, ως αφόρμηση για την δραστηριότητα, δίνεται στους μαθητές το παρακάτω αρχαίο ελληνικό κείμενο που αφορά την επιθυμία του Αρχιμήδη να σχεδιαστεί στον τάφο του ένα συγκεκριμένο σχήμα: Πολλών δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς γεγονὼς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον, ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον. Παράλληλοι Βίοι, Πλούταρχος Έπειτα οι διμελείς ομάδες των μαθητών επεξεργάζονται τις παρακάτω δραστηριότητες: Αφού διαβάσετε το παραπάνω κείμενο, σχεδιάστε σε φύλλο Α4 το σχήμα που υπήρχε στον τάφο του Αρχιμήδη χρησιμοποιώντας τα γεωμετρικά σας όργανα (χάρακα γνώμονα - διαβήτη). 142

153 Προσεγγίζοντας Διδακτικά τις Σχέσεις περί Σφαίρας και Κυλίνδρου του Αρχιμήδη Σχεδιάστε με χρήση προγραμμάτων ηλεκτρονικού υπολογιστή (Microsoft Word ή Paint) το παραπάνω σχήμα. Κατά την αξιολόγηση των δραστηριοτήτων, οι ομάδες των μαθητών παρουσιάζουν τα σχήματα τους ηλεκτρονικά και μη. Ο εκπαιδευτικός και οι μαθητές κάνουν παρατηρήσεις και διορθώσεις σχετικά με την ορθότητα των σχημάτων. Στο τέλος της διδακτικής περιόδου ανατίθεται στις ομάδες των μαθητών η έξης εργασία για το σπίτι: Να συγκεντρώσετε πληροφορίες από το Διαδίκτυο και να γράψετε ένα κείμενο 80 λέξεων για το πόσο σημαντική μαθηματική φυσιογνωμία θεωρείται ο Αρχιμήδης. 2 η Διδακτική Περίοδος: Η 2 η διδακτική περίοδος ξεκινά με τον εκπαιδευτικό να παρουσιάζει στους μαθητές έναν πίνακα ζωγραφικής και ένα γραμματόσημο σχετικά με τον Αρχιμήδη και το σχέδιο που είχε χαρακτεί στον τάφο του. Πρόκειται για μια ελαιογραφία του Αυστριακού ζωγράφου Martin Knoller (1775), με τίτλο Ο Κικέρων βρίσκει τον τάφο του Αρχιμήδη 1. Ενώ το γραμματόσημο που επιλέχτηκε να παρουσιαστεί προέρχεται από το Σαν Μαρίνο και εκδόθηκε το 1982, παρουσιάζει μια προτομή του Αρχιμήδη, ενώ πάνω δεξιά έχει ένα σχήμα που θυμίζει σφαίρα εγγεγραμμένη σε κύλινδρο. Ακολουθεί συζήτηση σχετική με την επιρροή του Αρχιμήδη και των ανακαλύψεων του στην Τέχνη και τον Πολιτισμό. Στη συνέχεια οι διμελείς ομάδες των μαθητών καλούνται να επεξεργαστούν την παρακάτω μαθηματική δραστηριότητα, χρησιμοποιώντας γνωστούς μαθηματικούς τύπους και ακολουθώντας μαθηματικούς συλλογισμούς: Μαθηματική Δραστηριότητα Γράψτε τον τύπο υπολογισμού του όγκου του περιγεγραμμένου κυλίνδρου. Γράψτε τον τύπο υπολογισμού του όγκου της εγγεγραμμένης σφαίρας στον κύλινδρο. 1 Ιδιωτική συλλογή Mannheim, Γερμανία 143

154 Μ. Πριοβόλου Υπολογίστε τον λόγο των δυο όγκων. Τι συμπεραίνετε;.. Γράψτε τον τύπο υπολογισμού του εμβαδού της επιφάνειας του περιγεγραμμένου κυλίνδρου. Γράψτε τον τύπο υπολογισμού της επιφάνειας της εγγεγραμμένης σφαίρας. Υπολογίστε τον λόγο των δυο εμβαδών. Τι συμπεραίνετε;. Μετά την ολοκλήρωση της δραστηριότητας γίνεται αξιολόγηση των απαντήσεων και των συμπερασμάτων από το σύνολο της τάξης. Έπειτα οι μαθητές καλούνται να συμπληρώσουν στο ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας τους τα εξής ερωτήματα: Διατυπώστε δυο διαφορετικές μαθηματικές προτάσεις με βάση τα συμπεράσματα σας στην προηγούμενη δραστηριότητα. Με βάση τα παραπάνω, ποιός θεωρείται ότι ήταν ο λόγος που ο Αρχιμήδης επιθυμούσε να χαραχτεί στον τάφο του ένας κύλινδρος περιγεγραμμένος σε μια σφαίρα; Στο τέλος της διδακτικής περιόδου ανατίθεται στους μαθητές η εξής εργασία για το σπίτι: Να συμπληρώσετε στο ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας σας τις σωστές μαθηματικές σχέσεις που χρησιμοποιήθηκαν για να απαντηθεί η Μαθηματική Δραστηριότητα. Πέρα από αυτήν την εργασία, κάποιες ομάδες αναλαμβάνουν να επεξεργαστούν και να παρουσιάσουν την επόμενη διδακτική περίοδο το θέμα: Παρουσιάστε στους συμμαθητές σας έργα τέχνης και γραμματόσημα που σχετίζονται με τον Αρχιμήδη, χρησιμοποιείστε πηγές του Διαδικτύου. και σε άλλες ομάδες ανατίθεται το παρουσίαση του εξής θέματος: Προτείνετε στους συμμαθητές σας λογοτεχνικά βιβλία και βίντεο σχετικά με την ζωή και το έργο του Αρχιμήδη χρησιμοποιώντας πηγές του Διαδικτύου. 144

155 Προσεγγίζοντας Διδακτικά τις Σχέσεις περί Σφαίρας και Κυλίνδρου του Αρχιμήδη 3 η Διδακτική Περίοδος: Σε αυτήν την διδακτική περίοδο ο εκπαιδευτικός ζητεί από τους μαθητές να ανατρέξουν στο συμπληρωμένο πλέον ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας της δραστηριότητας και να επιλύσουν τις παρακάτω ασκήσεις: 1. Έχουμε μια σφαίρα εγγεγραμμένη σε έναν κύλινδρο. Αν γνωρίζετε ότι η επιφάνεια της σφαίρας είναι 144π cm 2, να υπολογίσετε: α) τον όγκο της σφαίρας, β) την επιφάνεια του κυλίνδρου και γ) τον όγκο του κυλίνδρου. 2. Δίνεται ένας κύλινδρος περιγεγραμμένος σε μια σφαίρα. Ο όγκος του κυλίνδρου είναι 75π m 2. Να βρείτε το μέρος του κυλίνδρου χωρίς την σφαίρα (να μην υπολογιστεί ο όγκος της σφαίρας). Οι λύσεις των παραπάνω ασκήσεων θα αξιολογηθούν από τον εκπαιδευτικό ως προς την μαθηματική ορθότητα τους και την εμπέδωση των προτάσεων του Αρχιμήδη. Στη συνέχεια, οι ομάδες των μαθητών θα παρουσιάσουν τα θέματα που τους ανατέθηκαν ως εργασία για το σπίτι. Πρώτα γίνεται ανάγνωση των κειμένων που έγραψαν για το μέγεθος της μαθηματικής φυσιογνωμίας του Αρχιμήδη. Έπειτα οι ομάδες που είχαν αναλάβει παρουσιάζουν έργα τέχνης και γραμματόσημα που σχετίζονται με τον Αρχιμήδη. Οι υπόλοιπες ομάδες παρουσιάζουν λογοτεχνικά βιβλία που σχετίζονται με την ζωή και το έργο του Αρχιμήδη 2. Τέλος επιλέγονται κάποια από τα βίντεο που πρότειναν οι μαθητές και παρακολουθούνται από το σύνολο της τάξης 3. Επίλογος Μέσα από αυτό το διδακτικό σενάριο ο εκπαιδευτικός επιθυμεί να προσεγγίσει πολύπλευρα δυο βασικές προτάσεις της Στερεομετρίας και να κερδίσει το ενδιαφέρον των μαθητών σε αυτόν τον σημαντικό κλάδο των Μαθηματικών. Δίνεται η ευκαιρία στους μαθητές να εργαστούν ομαδικά για να ανακαλύψουν μια ιστορία από την Ιστορία των Μαθηματικων και να γνωρίσουν περισσότερα στοιχεία για την ζωή και το έργο του Αρχιμήδη. Η χρήση της Τεχνολογίας σίγουρα κάνει τις δραστηριότητες πιο ελκυστικές, καθώς ο σύγχρονος μαθητής επιλεγεί να αφιερώνει το μεγαλύτερο μέρος του ελεύθερου χρόνου του σε ηλεκτρονικα μέσα. Ελπίζω ότι με το πέρας του σεναρίου κάθε μαθητής, ανάλογα με τον μαθησιακό του τύπο, θα έχει αποκομίσει ένα σημαντικό μέρος μαθηματικής γνώσης. 2 π.χ. Μπ. Τζίλλιαν, Ο άνθρωπος που μετρούσε την άμμο, Γκ, Χριστοφιλοπούλου, Το παλίμψηστο του Αρχιμήδη 3 π.χ

156 Μ. Πριοβόλου Βιβλιογραφία Βλάμος Π., Δρούτσας Π., Πρέσβης Γ., Ρεκούμης Κ. (2007) Μαθηματικά, Β Γυμνασίου, Αθήνα: ΟΕΔΒ Γκέτζ Ντ. (2000) Το Θεώρημα του παπαγάλου, Αθήνα: Εκδόσεις Πόλις Lingard D. (2002) Η ιστορία των μαθηματικών: Ένα απαραίτητο στοιχείο του αναλυτικού προγράμματος των μαθηματικών του σχολείου, 1 ο Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών, Θεσσαλονίκη Χασάπης Δ. (2002) Η διαμεσολάβηση της ιστορίας των μαθηματικών στη διδασκαλία των μαθηματικών, 1 ο Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών, Θεσσαλονίκη Κεκές Ι. (2007) Τρόποι μάθησης και εκπαίδευση με τις νέες τεχνολογίες, Ηώς, Τόμος 2, , Αθήνα Κοντογιάννης Δ., Ντζιαχρήστος Β. (2003) Βασικές Έννοιες της Γεωμετρίας, Αθήνα Ματσαγγούρας Η. (2004) Θεωρία και πράξη της διδασκαλίας, Η Σχολική Τάξη, Χώρος, Ομάδα, Πειθαρχία, Μέθοδος, Αθήνα: Εκδόσεις Γρηγόρη Owston R.D. (1997) The world wide web: A technology to enhance teaching and learning, Educational Researcher, 24(3) Van Hiele P. (2011) Δομή και Διορατικότητα, Μια θεωρία για την Μαθηματική Εκπαίδευση, Αθήνα: Liberal Books Polya G.: Πώς να το λύσω, Εκδόσεις Σπηλιώτη Siety A. (2003) Μαθηματικά ο αγαπημένος μου φόβος, Αθήνα: Εκδόσεις Σαββάλας Τουμάσης Μπ. (2000) Σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικων, Αθήνα: Gutenberg Πηγές από το Διαδίκτυο (ημερομηνία προσπέλαση ) 146

157 H ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΣΕ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ Λουΐζα Θεμιστοκλέους, και Ευγένιος Αυγερινός Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Εργαστήριο Μαθηματικών, Διδακτικής και Πολυμέσων, Λεωφόρος Δημοκρατίας 1, Ρόδoς ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της παρούσας έρευνας είναι η εξέταση της κατανόησης των μαθητών Λυκείου για την έννοια της εφαπτομένης ευθείας και πώς αντιλαμβάνονται την έννοια αυτή. Το δείγμα της έρευνας αποτέλεσαν 42 μαθητές Λυκείου της επαρχίας Πάφου. Σύμφωνα με τα ευρήματα της παρούσας έρευνας ελάχιστοι μαθητές μπορούν να ορίσουν σωστά την εφαπτομένη ευθεία μιας καμπύλης σε ένα σημείο καθώς και να φέρουν σωστά τις εφαπτομένες ευθείες σε γραφικές παραστάσεις πέρα από τον κύκλο. Ακόμη, παρατηρήθηκε έντονα ότι οι μαθητές δυσκολεύονται να διαχωρίσουν την γεωμετρική εφαπτομένη ευθεία του κύκλου από την εφαπτομένη ευθεία οποιασδήποτε καμπύλης σε κάποιο σημείο. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Ένα από τα προβλήματα που μέσω της προσπάθειας για επίλυσή τους αποτέλεσαν το έναυσμα για ταχεία εξέλιξη του Απειροστικού Λογισμού ήταν το πρόβλημα του προσδιορισμού της εφαπτομένης ευθείας σε δεδομένο σημείο μιας καμπύλης. Τον 17 ο αιώνα ερευνητές όπως οι Isaac Barrow, Isaac Newton και Gottfried Wilhelm Leibniz διατύπωσαν και δημοσίευσαν τις πρώτες ιδέες για την έννοια αυτή. Μέχρι τις αρχές του

158 Λ. Θεμιστοκλέους, Ε. Αυγερινός 17 ου αιώνα η εφαπτομένη ευθεία οριζόταν ως μια ευθεία που «εγγίζει» την καμπύλη σε ένα σημείο, χωρίς να διαπερνά την καμπύλη. Πολλές φορές παρουσιάζεται στους μαθητές η έννοια της γεωμετρικής εφαπτομένης ευθείας με βάση την διαισθητική αντίληψη, ότι δηλαδή είναι μια ευθεία που «αγγίζει» την καμπύλη σε ένα σημείο. Αυτό ωθεί πολλές φορές τους μαθητές στην ιδέα ότι αν μια γραφική παράσταση έχει γωνιακό σημείο τότε εκεί υπάρχουν περισσότερες εφαπτομένες ευθείες (ίσως και άπειρες). Όπως αναφέρει ο Vinner (1982, 1991) οι διαισθητικές ιδέες των μαθητών έρχονται σε σύγκρουση με τον τυπικό ορισμό. Ειδικότερα στην έννοια της εφαπτομένης ευθείας, όπου υπάρχει και η δυσκολία κατανόησης των οριακών διαδικασιών, η κατανόηση της έννοιας και η διαχώρησή της από την διαισθητική της εικόνα καθίσταται ακόμα πιο δύσκολη διαδικασία. Η δυσκολία των μαθητών για την κατανόηση της έννοιας της εφαπτομένης ευθείας συνήθως σχετίζεται με τον διαχωρισμό της εφαπτομένης ευθείας του κύκλου ως προς την εφαπτομένη ευθεία των κωνικών τομών ή μιας γραφικής παράστασης. Στο πλαίσιο αυτό, όπως αναφέρουν οι Winicki και Leikin (2002) οι μαθητές που έχουν μελετήσει εφαπτομένες ευθείες σε διάφορα πλαίσια πιθανόν να αντιλαμβάνονται τις ιδιότητές τους με ένα τρόπο που δεν είναι γενικά έγκυρος. Ο Οrton το 1977, σε μια έρευνά του με δείγμα 110 μαθητές με σκοπό να ερευνήσει τις γνώσεις των μαθητών για το πού τείνουν οι τέμνουσες ευθείες μιας καμπύλης οι οποίες διέρχονται από δύο σημεία της καμπύλης καθώς το ένα πλησιάζει το άλλο, ρώτησε τους μαθητές τι συμβαίνει στις τέμνουσες PQ μιας σχεδιασμένης καμπύλης καθώς το σημείο Q n τείνει προς το P κινούμενο πάνω στην καμπύλη (σχήμα 1). Το 39% των μαθητών δεν μπόρεσαν να αντιληφθούν ότι η διαδικασία οδηγεί στην εφαπτομένη ευθεία της καμπύλης. (Downs και Mamona-Downs (2000)) Σχήμα 1 Οι τέμνουσες και η οριακή εφαπτομένη 148

159 H Κατανοητή και οι Παρανοήσεις Μαθητών για την Έννοια της Εφαπτομένης Ευθείας Παρόμοια, ο Tall (1986) σε μια έρευνα του που είχε τον ίδιο σκοπό με αυτή του Οrton ρώτησε ένα δείγμα από εννέα 16-χρονους μαθητές αν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής ή όχι: «Καθώς Β Α η γραμμή που διέρχεται από το ΑΒ τείνει στην εφαπτομένη ΑΤ» (σχήμα 2). Σχήμα 2 Μία τέμνουσα ευθεία που τείνει σε μια εφαπτομένη ευθεία Οι τέσσερις απάντησαν μεν ότι είναι «αληθής» αλλά όμως συνέδεσαν το σύμβολο «Β Α» με διανυσματικό συμβολισμό και απεικόνισαν νοερά το Β να κινείται προς το Α κατά μήκος της ευθείας ΒΑ. Δηλαδή, γι αυτούς το ευθύγραμμο τμήμα ΒΑ τείνει μεν στην εφαπτομένη ευθεία αλλά κατά μία εντελώς απροσδόκητη έννοια. Είναι αποδεκτό ότι η θεωρία της εννοιολογικής αλλαγής μπορεί να ερμηνεύσει ορισμένες από τις παρανοήσεις που εμφανίζουν οι μαθητές όταν μεταβαίνουν από την έννοια της εφαπτομένης ευθείας του κύκλου και των κωνικών τομών στην εφαπτομένη ευθεία μιας οποιασδήποτε καμπύλης. Οι ιδέες που σχετίζονται με την έννοια της εφαπτομένης ευθείας κύκλου είναι προϋποθέσεις που δρουν ως εμπόδια στη διεργασία της απόκτησης πλήρους και επαρκούς γνώσης της έννοιας της εφαπτομένης ευθείας γραφικής παράστασης Στον πιο κάτω πίνακα (πίνακας 1) φαίνονται τα διάφορα στάδια στα οποία παρουσιάζεται στους μαθητές η έννοια της εφαπτομένης ευθείας στο σχολείο. (Biza, Christou και Zachariades (2008)). 149

160 Λ. Θεμιστοκλέους, Ε. Αυγερινός ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Εφαπτομένη κύκλου σε σημείο αυτού: ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Εφαπτομένη κωνικής τομής σε σημείο αυτής: ΑΝΑΛΥΣΗ Εφαπτομένη της γραφικής παράστασης συνάρτησης σε σημείο αυτής. A O Θεωρούμε κύκλο Κ και ευθεία ε. Έστω A ένα κοινό τους σημείο. Η ευθεία ε είναι εφαπτομένη ευθεία του κύκλου στο σημείο A αν A είναι το μόνο κοινό σημείο του κύκλου και της ευθείας όλος ο κύκλος βρίσκεται σε ένα από τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζει η ευθεία. Επομένως, δεν υπάρχει καμία αναγκαιότητα για τους μαθητές να αλλάξουν τις προηγούμενες διαισθητικές τους εικόνες σχετικά με τις δύο ιδιότητες της εφαπτομένης. Οι μαθητές συνήθως δημιουργούν εικόνες της έννοιας της εφαπτομένης γραφικής παράστασης που είναι επηρεασμένες από την εφαπτομένη κύκλου. Οι εικόνες των εννοιών αυτών προκαλούν παρανοήσεις. Πίνακας 1 Τα στάδια στα οποία παρουσιάζεται η έννοια της εφαπτομένης ευθείας στο σχολείο Ως αποτέλεσμα των τριών παραπάνω σταδίων από τα οποία περνούν οι μαθητές, δυσκολεύονται να διαχωρίσουν τις γεωμετρική εφαπτομένη ευθεία του κύκλου από την εφαπτομένη ευθεία οποιασδήποτε καμπύλης. 150

161 H Κατανοητή και οι Παρανοήσεις Μαθητών για την Έννοια της Εφαπτομένης Ευθείας ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Σκοπός της παρούσας έρευνας είναι να διερευνήσει κατά πόσο οι μαθητές Λυκείου μπορούν να αντιληφθούν σωστά την έννοια της εφαπτομένης ευθείας μιας καμπύλης και τις πιθανές παρανοήσεις τους. Τα ερευνητικά ερωτήματα που τέθηκαν ήταν: Οι μαθητές: 1. Μπορούν να ορίσουν σωστά την εφαπτομένη ευθεία και την τέμνουσα ευθεία σε ένα σημείο μιας καμπύλης C; 2. Μπορούν να αντιληφθούν αν μια ευθεία μπορεί να είναι και τέμνουσα ευθεία ή μια τέμνουσα ευθεία μπορεί να είναι και εφαπτομένη ευθεία σε ένα σημείο; 3. Μπορούν να φέρουν τις εφαπτομένες ευθείες κλειστών και ανοικτών γραμμών; Ποια εικόνα έχουν στο μυαλό τους για την εφαπτομένη ευθεία σε ένα σημείο; Η έρευνα πραγματοποιήθηκε σε μαθητές της επαρχίας Πάφου κατά τη διάρκεια του σχολικού έτους Το δείγμα τις έρευνας αποτέλεσαν συνολικά 42 μαθητές Λυκείου. ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ Για την πραγματοποίηση της έρευνας δόθηκε στους μαθητές ένα ερωτηματολόγιο. Το ερωτηματολόγιο αποτελούταν από 5 ερωτήσεις. Η πρώτη ερώτηση ζητούσε τον ορισμό της εφαπτομένης ευθείας και η δεύτερη τον ορισμό της τέμνουσας ευθείας σε ενα σημείο μιας κλειστής/ανοικτής καμπύλης C. Η τρίτη ερώτηση είχε σκοπό να διερευνήσει κατά πόσο οι μαθητές πιστεύουν ότι μια εφαπτομένη ευθεία στο σημείο Μ μπορεί να είναι και τέμνουσα ευθεία στο σημείο Μ. Η τέταρτη ερώτηση ήταν χωρισμένη σε δύο μέρη. Στην ερώτηση αυτή οι μαθητές έπρεπε να φέρουν εφαπτομένες ευθείες χρησιμοποιώντας τον χάρακά τους σε δοσμένα σημεία Μ 1, Μ 2,, Μ ν πρώτα κλειστών γραμμών C (κυρτών και μη κυρτών) και ακολούθως ανοικτών γραμμών C (κυρτών κα μη κυρτών), όπως δίνονται πιο κάτω (σχήμα 3). Η τελευταία ερώτηση που αποσκοπούσε στην διερεύνηση της εικόνας που έχουν οι μαθητές για την εφαπτομένη ευθεία σε ένα σημείο έπρεπε να επιλέξουν κάποιο από τα δοσμένο σχήματα το οποίο θεωρούν οι ίδιοι ότι αποδίδει καλύτερα την εφαπτομένη ευθεία σε ένα σημείο και να δικαιολογήσουν την απάντησή τους. α) Δίνονται κλειστές γραμμές C (κυρτές/μη κυρτές). Με την χρήση του χαρακά σας να φέρετε τις εφαπτομένες ευθείες στα δοσμένα σημεία Μ 1, Μ 2,, Μ ν. 151

162 Λ. Θεμιστοκλέους, Ε. Αυγερινός β) Δίνονται ανοικτές γραμμές C (κυρτές/μη κυρτές). Με την χρήση του χαρακά σας να φέρετε τις εφαπτομένες ευθείες στα δοσμένα σημεία Μ 1, Μ 2,, Μ ν

163 H Κατανοητή και οι Παρανοήσεις Μαθητών για την Έννοια της Εφαπτομένης Ευθείας Σχήμα 3 Στο (α) οι ανοικτές γραμμές C και στο (β) οι κλειστές γραμμές C Για την ανάλυση των δεδομένων, έγινε χρήση των φύλλων εργασίας της Excel. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Από τα αποτελέσματα της παρoύσας έρευνας διαφάνηκε έντονα το χάσμα που υπάρχει ανάμεσα στις έννοιες της γεωμετρικής εφαπτομένης ευθείας (που αγγίζει την καμπύλη) και την εφαπτομένης ευθεία γραφικής παράστασης. Στις απαντήσεις που έδωσαν οι μαθητές στο ερώτημα 1 για τον ορισμό της εφαπτομένης ευθείας στο σημείο Μ μιας καμπύλης C, διαφάνηκε έντονα η λανθασμένη εντύπωση που έχουν οι μαθητές στο μυαλό τους για την έννοια της εφαπτομένης ευθείας μιας οποιασδήποτε καμπύλης με την εφαπτομένη ευθεία του κύκλου. Ενδεικτικές απαντήσεις των μαθητών ήταν οι ακόλουθες: «[...] μια ευθεία που αγίζει εξωτερικά ένα σημείο του κύκλου», «[...] μια γραμμή που αγγίζει σε ένα αντικειμενο», «[...] μια ευθεία που περνά από ένα σημείο της καμπύλης χωρίς να την κόβει». Παρά το γεγονός ότι η ερώτηση απευθυνόταν γενικά στην εφαπτομένη ευθεία μιας καμπύλης οι μαθητές επέμεναν να δίνουν ένα ορισμό για την εφαπτομένη ευθεία του κύκλου. Από τους 42 μαθητές του δείγματος μόνο 4 (9.5%) έδωσαν ορθά τον ορισμό της εφαπτομένης ευθείας μιας καμπύλης. Στην δεύτερη ερώτηση που αφορούσε στον ορισμό της τέμνουσας ευθείας μιας καμπύλης, οι απαντήσεις που έδωσαν οι μαθητές ήταν: «[...] ενώνει δύο σημεία», «[...] η ευθεία που τέμνει την καμπύλη στο σημείο Μ», «[...] ευθεία γραμμή που ενώνει δύο 153

164 Λ. Θεμιστοκλέους, Ε. Αυγερινός σημεία». Ορθά απάντησαν μόνο οι 3 από τους τέσσερις μαθητές που έδωσαν σωστές απαντήσεις στην πρώτη ερώτηση. Παρατηρήθηκε ότι μόνο λίγοι μαθητές απάντησαν στο ερώτημα αυτό καθώς και στο επόμενο για το αν μια εφαπτομένη ευθεία μπορεί να είναι και τέμνουσα ευθεία, και αντίστροφα. Μόνο δύο μαθητές από τους 4 που έδωσαν ορθή απάντηση στον ορισμό της εφαπτομένης ευθείας και της τέμνουσας ευθείας απάντησαν σωστά στην ερώτηση αυτή χωρις όμως να την δικαιολογήσουν. Κάποιες από τις λανθασμένες απαντήσεις που έδωσαν οι μαθητές ήταν: «Οχι γιατί η εφαπτομένη είναι εξωτερική ευθεία σε κύκλο και δεν μπορεί να ενώσει δύο σημεία». Δύο μαθήτριες απάντησαν ότι «μια εφαπτομένη δεν μπορεί να είναι τέμνουσα ενώ μια τέμνουσα μπορεί να είναι να είναι εφαπτομένη», γιατί, όπως ανάφεραν «μια εφαπτομένη μπορεί να ενώσει δύο σημεία». Η μία από αυτές έδωσε σαν παράδειγμα την C 4 από τις δοσμένες κλειστές γραμμές. Το 69% των μαθητών δεν έδωσαν καθόλου απάντηση στο ερώτημα αυτό. Μη ενθαρρυντικά ήταν τα αποτέλεσματα και στην τέταρτη ερώτηση αφού όπως φαίνεται στον πιο κάτω πίνακα (πίνακας 1) μόνο 4 μαθητές (αυτοί που έδωσαν ορθά τον ορισμό της εφαπτομένης ευθείας) κατάφεραν να φέρουν σωστά τις εφαπτομένες ευθείες όπου αυτές υπήρχαν. Σχεδόν οι μισοί μαθητές δεν κατάφεραν να φέρουν σωστά τι εφαπτομένες ευθείες ούτε και στα μισά σχήματα από τις κλειστές γραμμές. Ακόμα, 5 από τους 42 μαθητές έγραψαν δίπλα από τις κλειστές γραμμές C 5, C 6 και C 8 ότι δεν μπορούν να φέρουν τις εφαπτομένες ευθείες γιατί «τα σχήματα αυτά δεν μοιάζουν καθόλου με κύκλο» κάτι που υποδεικνύει την πεποίθησή τους ότι εφαπτομένες ευθείες μπορούμε να φερουμε μόνο στον κύκλο ή σε κλειστές και ανοικτές γραμμές που μοιάζουν με κύκλο. Αξίζει να σημειώσουμε ότι όλοι οι μαθητές έφεραν ορθά την εφαπτομένη ευθεία του κύκλου. Στις ανοικτές γραμμές οι μαθητές έφεραν εφαπτομένες ευθείες ακόμα και στα γωνιακά σημεία των γραμμων. Σύμφωνα με τον Πίνακα 2 οι μαθητές έφεραν σωστά τις εφαπτομένες ευθείες μόνο στα σχήματα που σύμφωνα με την άποψή τους έμοιαζαν με κύκλο, δηλαδή στα σχήματα που είχαν σχέση με τις κωνικές τομές, ενώ ελάχιστοι (μόνο 4) κατάφεραν να αντιληφθούν τι γίνεται με τις γραφικές παραστάσεις που είχαν γωνιακά σημεία. 154

165 H Κατανοητή και οι Παρανοήσεις Μαθητών για την Έννοια της Εφαπτομένης Ευθείας ΣΧΗΜΑ A ΟΡΘΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1 100% 2 76% 3 62% 4 48% 5 10% 6 10% 7 10% Πίνακας 1 Ποσοστά επιτυχίας, ερώτηση 4(α) ΣΧΗΜΑ B ΟΡΘΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1 93% 2 10% 3 10% 4 81% 5 88% 6 10% 7 14% 8 10% Στην τελευταία ερώτηση απάντησε το 30% των μαθητών. Από Πίνακας 2 Ποσοστά επιτυχίας, τους μαθητές που απάντησαν οι περισσότεροι ερώτηση 4(β) δήλωσαν ότι προτιμούν το πιο κάτω σχήμα (σχήμα 4) από τις ανοικτές γραμές για να αποδώσουν καλύτερα την έννοια της εφαπτομένης ευθείας, και έγραψαν: «[...] είναι καμπύλη του κύκλου», «[...] είναι καμπύλη και τόξο του κύκλου, οπότε η εφαπτομένη φαίνεται καλύτερα σε κύκλο», «[...] γιατί είναι καμπύλη η οποία μπορεί να σχηματίσει κύκλο», «[...] γιατί είναι το μισό του κύκλου», «[...] το σχήμα αυτό είναι μόνο μια καμπύλη και είναι και μισός κύκλος. Η εφαπτομένη συνήθως βρίσκεται σε κύκλο». Δύο μαθητές επέλεξαν το σχήμα 1 από τις ανοικτές γραμμές χωρίς όμως να αιτιολογήσουν την απάντησή τους. Σχήμα 4 Το σχήμα που επέλεξαν οι περισσότερες μαθητές για να αποδώσουν την έννοια της εφαπτομένης ευθείας σε κάποιο σημείο 155

166 Λ. Θεμιστοκλέους, Ε. Αυγερινός ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Με βάση τα αποτελέσματα της παρούσας έρευνας και όσον αφορά στο πρώτο ερευνητικό ερώτημα, θα μπορούσε να ειπωθεί ότι οι μαθητές αντιμετωπίζουν μεγάλη δυσκολία στο να δώσουν τον ορισμό της εφαπτομένης ευθείας και της τέμνουσας ευθείας σε ενα σημείο μιας καμπύλης C. Ο ορισμός της εφαπτομένης ευθείας σε ένα σημείο του κύκλου επηρέασε τις αντιλήψεις των μαθητών. Όσο αφορά στο δεύτερο ερευνητικό ερώτημα διαφάνηκε ότι οι μαθητές δεν μπόρεσαν να αντιληφθούν ότι μια εφαπτομένη ευθεία μπορεί να είναι και τέμνουσα ευθεία (όπως για παράδειγμα η συνάρτηση y = x 3 ). Τα αποτελέσματα της παρούσας έρευνας συμφωνούν με τα ευρήματα άλλων ερευνών (Tall, 1987; Vinner, 1982, 1991) σύμφωνα με τα οποία η προηγούμενη γνώση σχετικά με την εφαπτομένη ευθεία ως η εφαπτομένη ευθεία ενός κύκλου συμβάλλει στην δημιουργία μιας εικόνας έννοιας (concept image) της εφαπτομένης ευθείας ως μια ευθεία που συναντά την καμπύλη σε ένα σημείο και δεν διασχίζει την εφαπτομένη στο σημείο αυτό. Ως αποτέλεσμα οι μαθητές έχουν την αντίληψη ότι αφού η τέμνουσα ευθεία πρέπει να «κόβει» το σχήμα ενώ η εφαπτομένη ευθεία όχι, συνεπώς μια εφαπτομένη ευθεία δεν μπορεί να είναι και τέμνουσα ευθεία. Θα μπορούσε να ειπωθεί ότι δικαιολογημένα οι μαθητές αντιμετωπίζουν τις δυσκολίες αυτές αφού οι μαθητές συναντούν αρχικά την έννοια της εφαπτομένης γωνίας, που είναι ένας αριθμός, ενώ αργότερα συναντούν την έννοια της εφαπτομένης ευθείας ενός κύκλου (Eυκλείδεια Γεωμετρία), την εφαπτομένη ευθεία των κωνικών τομών (Αναλυτική Γεωμετρία) και έπειτα την εφαπτομένη ευθεία μιας γραφικής παράστασης που βρίσκει την κλίση της καμπύλης (Ανάλυση) σε ένα σημείο και άρα την παράγωγο της σε ένα σημείο. Ως αποτέλεσμα, πολλές φορές ακόμα και οι εκπαιδευτικοί δεν είναι σε θέση να ξεκαθαρίσουν τις διαφορές μεταξύ αυτών των εννοιών για να μπορέσουν αργότερα να δώσουν έμφαση στα σημεία όπου οι μαθητές μπορεί να έχουν παρανοήσεις. Έτσι οι μαθητές είτε παραμένουν στην εικόνα που έχουν από την έννοια της εφαπτομένης κύκλου ή δημιουργούν λανθασμένα μοντέλα στο μυαλό τους, καθώς χρησιμοποιούν ιδιότητες της εφαπτομένης κύκλου που δεν ισχύουν γενικά. Αυτό συνέβηκε και στην παρούσα έρευνα. Δηλαδή οι μαθητές δεν μπορούσαν να αντιληφθούν το γεγονός ότι στην Ευκλείδια γεωμετρία η εφαπτομένη ευθεία αφορά μια ολική σχέση ενώ στην αναλυτκή γεωμετρία η εφαπτομένη ευθεία είναι μια τοπική σχέση. Ένα πολύ μικρό ποσοστό μπόρεσε να φέρει σωστά τις εφαπτομένες ευθείες των δοσμένων σχημάτων ιδιαίτερα στα σχήματα που όπως ανάφεραν «δεν έμοιαζαν με τον κύκλο». Όσο αφορά στα πρότυπα που έχουν στο μυαλό τους για την εφαπτομένη ευθεία, μέσα από τα σχήματα που επέλεξαν φάνηκε και πάλι πως η γνώση τους για την 156

167 H Κατανοητή και οι Παρανοήσεις Μαθητών για την Έννοια της Εφαπτομένης Ευθείας εφαπτομένη ευθεία του κύκλου δεν τους άφησε να ξεφύγουν και να δώσουν διαφορετικές απαντήσεις. Είναι δύσκολο για τους μαθητές να διαχωρίσουν στο μυαλό τους τις διαφορές των γεωμετρικών και των αναλυτικών εφαπτομένων ευθειών. Όπως αναφέρει ο Tall (1986) αυτό είναι ακόμη πιο δύσκολο όταν αναφερόμαστε σε ασυνήθιστες περιπτώσεις όπως η συνάρτηση f(x) = x. Ρωτώντας κάποιους μαθητές για το αν υπάρχει εφαπτομένη στο 0 αποκαλύφθηκε μια πληθώρα λανθασμένων απαντήσεων που αποδεικνύει τους διάφορους και λανθασμένους τρόπους σκεψης των μαθητών για την εφαπτομένη ευθεία. Αδιαμφισβήτητα η απόκτηση της σωστής έννοιας της εφαπτομένης ευθείας μιας γραφικής παράσταση απαιτεί εννοιλογική αλλαγή. Οι ιδέες που σχετίζονται με την έννοια της εφαπτομένης ευθείας κύκλου είναι προϋποθέσεις που δρουν ως εμπόδια στη διεργασία της απόκτησης πλήρους και επαρκούς γνώσης της έννοιας της εφαπτομένης ευθείας μιας γραφικής παράστασης. Αυτό που διαφάνηκε έντονα μέσα από την έρευνα είναι ότι οι μαθητές εκχωρούν στην εφαπτομένη ευθεία γραφικής παράστασης ιδιότητες από την εφαπτομένη ευθεία κύκλου. Μια παρέμβαση με σκοπό την βελτίωση της μαθηματικής διαδικασίας θα μπορούσε να επιτευχθεί μέσω της τεχνολογίας. Η εφαπτομένη ευθεία είναι μια από τις έννοιες που θα μπορούσε να αποδοθεί καλύτερα μέσω καλύτερης οπτικοποίησης που προσφέρεται μέσα από λογισμικά που βοηθούν τον μαθητή να μελετήσει καλύτερα την τοπική γραμμική προσέγγιση της εφαπτομένης ευθείας για διάφορες καμπύλες συναρτήσεων, κάτι που μπορεί να πραγματοποιηθεί μέσα από τις οριακές διαδικασίες. Παρόλ αυτά η χρήση της τεχνολογίας δεν συνεπάγεται άμεσα και κατανόηση των εννοιών, αφού απαραίτητη προϋπόθεση αποτελούν οι διδακτικές μεθόδοι του εκπαιδευτικού. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Biza, I, Christou, C, Zachariades, T (2008) Student perspectives on the relationship between a curve and its tangent in the transition from Euclidean Geometry to Analysis., Research in Mathematics Education, 10(1), pp Downs, M., Mamona-Downs, J., (2000), On Grafic Representation of Differentiation of Real Functions, Themes in Education Vol. 1 (2), (p.p ). Tall, D.O. (1986). Constructing the Concept Image of a Tangent. Proceedings of the 11 th PME Conference, Montreal, III, Vinner, S. (1991). The role of definitions in the teaching and learning of Mathematics. In D. 157

168 Λ. Θεμιστοκλέους, Ε. Αυγερινός Vinner, S. (1982). Conflicts between definitions and intuitions: the case of the tangent. Proceedings of the 6 th PME Conference, Antwerp, Winicki, G., & Leikin, R. (2000). On Equivalent and Non-Equivalent Definitions: Part I. For the Learning of Mathematics 20(1),

169 ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ TOY ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ Γιώργος Κόσυβας Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ3 Α Αθήνας ΠΕΡΙΛΗΨΗ Με τι είδους δραστηριότητες θα μπορούσαμε να αναπτύξουμε τη μαθηματική δημιουργικότητα των μαθητών; Η παρούσα εργασία έχει ως θέμα τη διερεύνηση της μαθηματικής δημιουργικότητας μαθηματικά υποσχόμενων δεκατετράχρονων μαθητών μέσω της χρήσης ανοιχτών προβλημάτων με πολλαπλές λύσεις. Ο δάσκαλος-ερευνητής προσπαθεί να εμπλέξει τους μαθητές σε ανοιχτές διερευνήσεις που προάγουν τη γεωμετρική και αλγεβρική σκέψη τους. Με τη δημιουργία ενός κατάλληλου μαθησιακού περιβάλλοντος οι μαθητές διατυπώνουν και ελέγχουν εικασίες που φέρνουν στο φως τα πορίσματα του Πυθαγορείου Θεωρήματος και συζητούν τις αποδείξεις τους. Η πλούσια παραγωγή ιδεών και επιχειρημάτων χαρακτηρίζεται από πρωτοτυπία, ευχέρεια και ευελιξία, συστατικά που συνδέονται με τον πυρήνα των διαστάσεων της μαθηματικής δημιουργικότητας των μαθητών, η οποία θα πρέπει να αποτελεί έναν από τους σημαντικότερους στόχους της σύγχρονης διδασκαλίας των μαθηματικών. Εισαγωγή και θεωρητικό πλαίσιο Από τις απαρχές της έρευνας, η δημιουργικότητα μελετάται ως γνώρισμα που χαρακτηρίζει γενετικώς προικισμένα άτομα (Torrance, 1974). Στη μαθηματική επιστήμη η δημιουργική ικανότητα θεωρείται ως αναπόσπαστο μέρος της έρευνας. Η δημιουργική σκέψη χαρακτηρίζεται από τη διαίσθηση και την αναλυτική σκέψη. Όμως τα σχολικά μαθηματικά και η δημιουργικότητα αποτελούν διαχωρισμένους κόσμους (Leikin, 2009). Παρότι η γνήσια μαθηματική δραστηριότητα είναι στενά συνυφασμένη με τη μαθηματική δημιουργικότητα, το σχολείο αδιαφορεί για τις ιδιαίτερες ανάγκες και τα μαθησιακά ενδιαφέροντα των ταλαντούχων παιδιών.

170 Γ..Κόσυβας Η δημιουργικότητα στα σχολικά μαθηματικά διαφέρει από την αντίστοιχη στους επαγγελματίες μαθηματικούς. Η μαθηματική δημιουργικότητα των μαθητών αξιολογείται σε σχέση με τις πρότερες εμπειρίες τους και την επίδοση άλλων μαθητών που έχουν παρόμοια εκπαιδευτική ιστορία. Ο Sriraman (2005) σημειώνει ότι οι μαθητές μπορούν να προβάλλουν νέες διορατικές μαθηματικές λύσεις. Αυτές οι λύσεις είναι συνήθως καινούργιες ως προς τα μαθηματικά τα οποία οι μαθητές έχουν ήδη μάθει και τα προβλήματα που έχουν ήδη λύσει. Η χαρισματική άποψη της μαθηματικής δημιουργικότητας προϋποθέτει ότι αυτή δεν μπορεί να βελτιωθεί με τη διδασκαλία και ότι τα δημιουργικά επιτεύγματα αποτελούν περισσότερο ευκαιριακές εκρήξεις της διαίσθησης παρά ένα είδος συνεχούς και συνειδητής πορείας που επιδέχεται βελτίωση και μπορεί να αξιολογείται στο σχολείο (Silver, 1997). Ένα νέο είδος μαθηματικής δημιουργικότητας προέκυψε από τη σύγχρονη έρευνα το οποίο βρίσκεται σε αντίθεση με την χαρισματική άποψη. Στην εν λόγω έρευνα η δημιουργικότητα συνδέεται στενά με την σε βάθος ευέλικτη γνώση σε συγκεκριμένους τομείς κατά τη διάρκεια μιας μακράς περιόδου εργασίας και στοχασμού παρά με μια σύντομη και αλματώδη διαίσθηση και επηρεάζεται από τη διδασκαλία (Holyoak & Thagard, 1995; Sternberg, 1988). Αυτός ο αναδυόμενος τομέας δημιουργικότητας προμηθεύει μια ισχυρότερη βάση για τις παιδαγωγικές εφαρμογές. Σύμφωνα με αυτή την άποψη η διδασκαλία που εμπλουτίζεται από τη δημιουργικότητα θα μπορούσε να είναι κατάλληλη για ένα μεγάλο εύρος μαθητών και όχι μόνο για λίγα εξαίρετα άτομα (Silver, 1997). Η επίλυση προβλημάτων έχει μακρά παράδοση στα σχολικά μαθηματικά. Συνήθως διδάσκονται κλειστά προβλήματα με την «τραπεζική μέθοδο», σύμφωνα με την οποία ο εκπαιδευτικός παρουσιάζει μια ετοιμοπαράδοτη λύση και οι μαθητές καλούνται να την εφαρμόσουν σε παρόμοια προβλήματα. Στη σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών η επίλυση προβλημάτων υποκινεί την εσωτερίκευση και αναδιοργάνωση των νοητικών σχημάτων των μαθητών και θεωρείται ως σπουδαίο μέσον για τη μάθηση των μαθηματικών (Cobb et al., 1991). Αποτελεί ένα θαυμάσιο κίνητρο που προκαλεί τους μαθητές να σκεφτούν. Τα «ανοιχτά προβλήματα» είναι προβλήματα που συνήθως επιδέχονται πολλαπλές λύσεις και συνδέονται στενά με τη δημιουργικότητα (Kosyvas, 2010). Στη διδασκαλία των μαθηματικών η λύση προβλημάτων με πολλαπλές λύσεις συνδέεται με τη βαθύτερη κατανόηση και την ανάπτυξη του μαθηματικού συλλογισμού (Polya, 1973 Schoenfeld, 1985). Ο Polya (1973) τονίζει ότι η λύση προβλήματος με διαφορετικούς τρόπους χαρακτηρίζει έμπειρους μαθηματικούς, ενώ απαιτεί ένα μεγάλο εύρος μαθηματικών γνώσεων. Επιπλέον, ο Krutetskii (1976) υποστήριξε ότι τα προβλήματα με πολλές λύσεις επιτρέπουν την εξέταση της ευελιξίας της μαθηματικής σκέψης των ατόμων μέσα από τη διερεύνηση της μετακίνησης από τη μια νοητική διεργασία στην άλλη. Η λύση προβλημάτων με διαφορετικούς τρόπους χαρακτηρίζει τη 160

171 Πορίσματα του Πυθαγορείου Θεωρήματος και Μαθηματική Δημιουργικότητα των Μαθητών δημιουργικότητα της μαθηματικής σκέψης (Γαγάτσης κ. ά., 2009), ενώ ορισμένες λύσεις μπορεί να είναι περισσότερο ευρηματικές από άλλες (πιο κομψές σύντομες, αποτελεσματικές). Η μαθηματική δημιουργικότητα στα σχολικά μαθηματικά συνδέεται συνήθως με την παραγωγή νέας γνώσης, την ευέλικτη λύση προβλήματος και την προβληματοθεσία (problem pοsing) (Silver, 1997). Ο Chiu (2009) συνέδεσε τη μαθηματική δημιουργικότητα με την ικανότητα των μαθητών να λύνουν προβλήματα μη ρουτίνας και να προσεγγίζουν «άσχημα» διατυπωμένα προβλήματα. Η ικανότητα των μαθητών να θέτουν προβλήματα είναι θεμελιώδης στα μαθηματικά και τη φύση της μαθηματικής σκέψης (Silver, 1997). Η διατύπωση προβλημάτων προάγει ένα πνεύμα δημιουργικής περιέργειας και παράγει αποκλίνουσα και εύκαμπτη σκέψη (English, 1997). Ακολουθώντας τον Torrance (1974), ο Silver (1997) πρότεινε την ανάπτυξη της δημιουργικότητας μέσα από τη λύση προβλημάτων ως ακολούθως: Η ευχέρεια αναπτύσσεται με την παραγωγή πολλαπλών ιδεών και απαντήσεων κατά την διερεύνηση ενός προβλήματος. Η ευελιξία προωθείται με την προβολή νέων λύσεων όταν μια τουλάχιστον έχει ήδη βρεθεί. Η καινοτομία προάγεται με την παραγωγή μιας μοναδικής και πρωτότυπης λύσης στο πρόβλημα. Στη διδασκαλία των μαθηματικών μέσω ανοιχτής διερευνητικής προσέγγισης μέρος της υπευθυνότητας για τη διατύπωση του προβλήματος και τη λύση μοιράζονται ανάμεσα στον εκπαιδευτικό και τους μαθητές. Κύριος σκοπός αυτής της εργασίας είναι να εμπλέξει τους μαθητές σε μαθησιακές δραστηριότητες που συνδέονται με την ανάπτυξη και την προαγωγή της μαθηματικής δημιουργικότητας. Ειδικότερα, μελετούμε τη μαθηματική δημιουργικότητα μέσω ανοιχτών διερευνήσεων όπως είναι η προβληματοθεσία (διατύπωση προβλήματος από τους μαθητές) και η λύση ανοιχτών προβλημάτων (Kosyvas, 2010). Μεθοδολογία της έρευνας Η έρευνα αυτή διενεργήθηκε το έτος 2009 και συμμετείχαν δύο διαφορετικές ομάδες μαθητών: οι 24 μαθητές ενός τμήματος της Γ Γυμνασίου του 1ου Πειραματικού Γυμνασίου Αθηνών (ΠΓΑ) και οι 25 μαθητές ενός τμήματος ενδιαφέροντος του 3ου Καλοκαιρινού Μαθηματικού Σχολείου Νάουσας (ΚΜΣΝ), οι οποίοι είχαν ολοκληρώσει τη φοίτησή τους στη Β Γυμνασίου. Ο εκπαιδευτικός ήταν καθηγητής μαθηματικών του σχολείου και διδάσκων στο πρόγραμμα του ΚΜΣΝ ως εθελοντής. Για τον προσδιορισμό της μαθηματικής δημιουργικότητας στις δύο διδακτικές ομάδες δόθηκαν οι ίδιες καταστάσεις προβληματισμού για ομαδοσυνεργατική διερεύνηση και λύση και είχαν διάρκεια 5 διδακτικών ωρών σε καθεμιά. Η ανάλυση των δεδομένων είναι ποιοτική και αφορά κυρίως την παρατήρηση των μαθητών καθώς θέτουν προβλήματα (προβληματοθεσία) ή καταγίνονται με την επίλυση προβλημάτων. 161

172 Γ..Κόσυβας Παρουσίαση και συζήτηση των αποτελεσμάτων Στη συνέχεια παρουσιάζουμε ενδεικτικά ορισμένα δεδομένα από διδακτικά πειράματα που πραγματοποιήθηκαν στο 1ο ΠΓΑ και στο 3ο ΚΜΣΝ. Ορθογώνιο τρίγωνο με ύψος: (1 ο Διδακτικό πείραμα) Το ακόλουθο πρόβλημα είχε εισαγωγικό χαρακτήρα και αποσκοπούσε στη διερεύνηση προϋπαρχουσών γνώσεων των μαθητών. Πρόβλημα 1: Δίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( cm. Φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Α Â = 90 0 ) με ΑΒ=15 cm και ΑΓ=20 15 cm 20 cm Β Με βάση αυτό το σχήμα να συζητήσετε με το διπλανό σας και να υπολογίσετε όσα περισσότερα τμήματα μπορείτε. Παραθέτουμε δύο επεισόδια: Πρώτο επεισόδιο: (1 ο ΠΓΑ) Θ: Μήπως ˆ ˆ ημ Β = συν Γ ; Ναι έτσι είναι! Ισχύει σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο! Δ Γ Δάσκ.: Γιατί; Θ: Γιατί οι γωνίες είναι συμπληρωματικές. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆ 20 ημ Β = 25 και ˆ 20 συν Γ = 25. Το βρήκα! Να το γράψω στον πίνακα; Δάσκ.: Να το γράψεις. Θ: Λοιπόν! Από το τρίγωνο ΑΒΔ είναι: ˆ υ ημ Β =. Επίσης από το μεγάλο τρίγωνο ΑΒΓ : ˆ 20 συν Γ = Έτσι θα έχουμε υ 20 = Οπότε 25υ=300, δηλαδή υ=αδ=

173 Πορίσματα του Πυθαγορείου Θεωρήματος και Μαθηματική Δημιουργικότητα των Μαθητών Δεύτερο επεισόδιο: (3 ο ΚΜΣΝ) Οι μαθητές εύκολα υπολόγισαν τη ΒΓ, το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ και το ύψος του τριγώνου είναι υ=αδ=12 cm (χρησιμοποίησαν δύο τύπους εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ). Στα δύο προηγούμενα διδακτικά επεισόδια οι μαθητές υπολόγισαν το ύψος με δύο διαφορετικούς τρόπους: με χρήση του εμβαδού του τριγώνου και με τριγωνομετρία. Στη συνέχεια ο υπολογισμός των τμημάτων στα οποία το ύψος χωρίζει την υποτείνουσα ήταν εύκολη υπόθεση. Αρκούσε μόνο η εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Η ανάκληση και αξιοποίηση πρότερων γνώσεων δεν ήταν το ίδιο εύκολο για όλους τους μαθητές. Ο συνδυασμός διαφορετικών κεφαλαίων ήταν μια ευχάριστη έκπληξη. Για τους μαθητές οι γνώσεις των διαφόρων κεφαλαίων θεωρούνται ασύνδετες. Δυσκολεύονται να δεχτούν ότι το ίδιο πρόβλημα μπορεί να λύνεται με γνώσεις τριγωνομετρίας ή γεωμετρίας. Ορθογώνιο τρίγωνο με ύψος: (2 ο Διδακτικό πείραμα) Εδώ θέσαμε το ίδιο πρόβλημα χωρίς αριθμητικά δεδομένα. Οι μαθητές κατάφεραν να περάσουν στην ανακάλυψη των πορισμάτων του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Η εκφώνηση αποτελούσε ένα πλαίσιο προβληματοθεσίας, κατάλληλο για την παραγωγή και τον έλεγχο εικασιών από τους μαθητές. Πρόβλημα 2: Δίνεται ορθογώνιο και μη ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( του ΑΔ. Να διατυπώσετε όσες εικασίες μπορείτε και να τις αποδείξετε. Α Â = 90 0 ) και το ύψος γ 1 2 υ β Β γ 1 Δ α Παραθέτουμε στη συνέχεια τις προβληματοθεσίες των μαθητών του 1 ου ΠΓΑ χωρίς καμιά διόρθωση. Η αναγνώρισή τους γίνεται με έναν αριθμό. Κατά τη μεταφορά των εικασιών στον πίνακα χρησιμοποιείται ο ενδεδειγμένος συμβολισμός ή το κατάλληλο λεξιλόγιο. Δεν κρίθηκε απαραίτητο οι εικασίες να πάρουν την τυπική μορφή υποθετικών προτάσεων της μορφής «αν p, τότε q». Όμως καθώς οι μαθητές διατύπωναν τις δικές τους εικασίες ήταν μια θαυμάσια ευκαιρία να κάνουν τη διάκριση ανάμεσα σε αναγκαίες και ικανές συνθήκες. β 1 Γ 163

174 Γ..Κόσυβας 0 1. A ˆ + B ˆ + Γ ˆ = 180,. ˆB + A ˆ + ΑΔΒ ˆ = Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι όμοια. 3. Τα σημεία Β, Δ, Ε είναι συνευθειακά. 4. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι μεγέθυνση του ΑΒΔ. 5. ˆ 0 AΔB = α = β + γ B+Γ ˆ ˆ = ΒΔ=ΔΓ. 9. Α ˆ + Α ˆ = γ = υ + γ 1 και β = υ +β ˆ 1 ˆΒ+ Α = 90 0, ˆ 2 ˆΓ + Α = βγ = αυ. 13. ˆB = Aˆ ˆ υ εφ Β = γ 1 και ˆ υ εφ Γ = β ˆB = Aˆ Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα. Οι εικασίες ελέγχονται με δημόσια συζήτηση στην ολομέλεια της τάξης. Ανάμεσα στις εικασίες ορισμένες είναι προφανείς και οι μαθητές τις προτείνουν γνωρίζοντας ότι είναι αληθείς προτάσεις. Επεισόδια: (1 ο ΠΓΑ) «Τα σημεία Β, Δ, Ε είναι συνευθειακά από την κατασκευή του σχήματος». «Η γωνία ˆ AΔB είναι ίση με 0 90 γιατί το ΑΔ είναι ύψος και το ύψος είναι κάθετο στην στη ΒΓ». «Ισχύει ˆ 1 Β+ Α ˆ = 90 ˆ 0 1 ˆB+ A = , γιατί. B+ A ˆ + ΑΔΒ=180 ˆ ˆ 0 1 και ˆ 0 AΔB = 90 δηλαδή 0 0 ˆB+ A ˆ =180, οπότε Ανάλογες αιτιολογήσεις έγιναν για τις άλλες εικασίες του πίνακα. Επίσης: Δάσκ.: Μπορείτε να ελέγξετε την εικασία Β= ˆ Αˆ 2. Ισχύει; Γ: Είναι ίσες επειδή είναι και οι δύο συμπληρωματικές της γωνίας Ο. (ένας μαθητής σηκώνει το χέρι του) Να το γράψω στον πίνακα κύριε; (ο μαθητής γράφει στον Αˆ1. πίνακα) Αφού ˆ ˆ 0 Β+ Α = 90 και 1 ˆ ˆ 0 Α 1+ Α 2= 90 θα είναι ˆ ˆ ˆ ˆ Β+ Α = Α + Α δηλαδή Β= ˆ Α ˆ. 2 Πώς μπορούν οι μαθητές της Γ Γυμνασίου να ψάξουν για αντιπαραδείγματα; Ο τρόπος σκέψης εξαρτάται από την εκάστοτε προβληματοθεσία. Μπορούν για παράδειγμα να 164

175 Πορίσματα του Πυθαγορείου Θεωρήματος και Μαθηματική Δημιουργικότητα των Μαθητών εξετάσουν ακραίες ή ειδικές περιπτώσεις. Αν ορθογώνιο και ισοσκελές. Όμως δεν ξέρουμε ότι Β ˆ = Αˆ 1 Β = Α ˆ = 45 ˆ 0 1 τότε το τρίγωνο ΑΒΔ θα ήταν. Αν ήταν ˆΒ 45 0 τότε το τρίγωνο ΑΒΓ θα ήταν ορθογώνιο και ισοσκελές. Όμως το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και μη ισοσκελές. Με ανάλογα επιχειρήματα απορρίφτηκαν και οι εικασίες «Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα» και «ΒΔ=ΔΓ». Δύο συνεργαζόμενοι μαθητές με χρήση ομοιότητας τριγώνων απέδειξαν: 2 β = α β 1. Επεισόδια: (3 ο ΚΜΣΝ) Στο ΚΜΣΝ διερευνήθηκαν προβληματοθεσίες παρόμοιες με αυτές που έχουν συγκεντρωθεί στον προηγούμενο πίνακα. Μια μαθήτρια ζητά το λόγο. Ε. Μπορώ να διατυπώσω μια δική μου υπόθεση; Δάσκ. Βεβαίως. Ε. Μήπως ισχύει 2 υ = β1 γ1 ; Δάσκ. Προτείνω να ελέγξετε αν ισχύει η εικασία που πρότεινε η Ε. Για φανταστείτε τι θα μπορούσατε να κάνετε; (Οι μαθητές εργάζονται πρώτα ατομικά και ύστερα ομαδικά). Μετά από λίγο ένας μαθητής ζητά το λόγο. Επειδή ήταν φανερό ότι όλη η τάξη σκεφτόταν δεν του δόθηκε ο λόγος. Ήταν αναγκαίο να δοθεί αρκετός χρόνος για να σκεφτούν όλοι. Στη συνέχεια ένας μαθητής παρουσίασε την εργασία της ομάδας του. Ν. Είπαμε ότι ˆΒ= Αˆ 2. Λέω ˆΒ= ΔΑΓ. ˆ Αφού οι γωνίες είναι ίσες δεν θα έχουν και ίσες εφαπτόμενες; Σ. Ναι αυτό ισχύει γιατί οι γωνίες είναι οξείες. Θα ισχύει εφ Β= ˆ εφ Αˆ 2. Ν. Δεν ισχύει μόνο για γωνίες που είναι οξείες, αλλά και για αμβλείες. Σ. Ναι το έχουμε πει αυτό ισχύει για όλες τις γωνίες. Αν δύο γωνίες είναι ίσες πάντα θα έχουν ίσες εφαπτόμενες. Άρα: εφ Β= ˆ εφ Αˆ 2 ; Να συνεχίσω; Δασκ. Συνέχισε. Σ. Ισχύουν ˆ υ εφ Β = γ 1 και β εφ Α = υ ˆ 1 2. Έτσι δεν είναι; Κ. Όχι έχουμε ˆ υ εφ Β = και ˆ υ εφ Γ =. (τα διαβάζει από τον πίνακα) γ β Σ. Ναι, αλλά δεν μας ενδιαφέρει η ˆ εφ Γ. Εφόσον 1 1 ˆ ˆ υ β1 εφ Β= εφ Α 2 θα έχουμε και. Έτσι τελικά το γ υ 1 απέδειξα: υ 2 β

176 Γ..Κόσυβας Μετά από περισσότερη αιτιολόγηση της προηγούμενης αποδεικτικής επιχειρηματολογίας οι μαθητές στο ΜΚΣΝ βρήκαν δύο τρόπους ακόμα. Ο πρώτος βασίστηκε στην ομοιότητα των τριγώνων ΑΒΔ και ΑΔΓ. Ο δεύτερος που παρουσίασε μια μαθήτρια συνδυάζει το Πυθαγόρειο θεώρημα με χρήση μιας αλγεβρικής ταυτότητας. Π. Θ. στο τριγ. ΑΒΔ γ = υ + γ Π. Θ. στο τριγ. ΑΓΔ β = υ + β Από το Π. Θ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: β + γ = 2υ + β + γ α = β +γ. Οπότε έχουμε: α = 2υ + β 1 +γ1. Όμως: α = β 1+γ1. Επομένως: β + γ = 2υ + β + γ... υ = β γ Στη συνέχεια ένας μαθητής του ΚΜΣΝ απέδειξε ένα ακόμα θεώρημα: Π.Θ. στο τριγ. ΑΓΔ β = υ + β Τριγ. ΑΒΓ υ = β1 γ1 2 β = α β 1 : β = β γ + β β = β γ + β β = β α Τέλος, οι μαθητές μελετούν συστηματικά τη νέα γνώση και ο διδάσκων δίνει τις αναγκαίες εξηγήσεις. Το ορθογώνιο τραπέζιο (3 ο Διδακτικό πείραμα) A=Δ ˆ ˆ = 90 Πρόβλημα 3: Ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο με ΑΔ=12 m, ΒΓ=15m και ΒΔ ΒΓ (δεν δόθηκε σχήμα). α) Μπορεί να ισχύει ΗΓ=9 m; Αν όχι να βρείτε το μήκος του τμήματος ΗΓ. β) Μπορεί να ισχύει ΑΒ=17m. Αν όχι να βρείτε το μήκος του τμήματος ΑΒ. Επεισόδια: (1 ο ΠΓΑ) Δύο τετραμελείς ομάδες μαθητών απάντησαν στο πρόβλημα με μετρήσεις στο σχήμα που κατασκεύασαν. Μια τρίτη άλλη ομάδα έδωσε την ακόλουθη λύση: α) Το τετράπλευρο ΑΒΗΔ είναι ορθογώνιο. Τότε ΒΗ=ΑΔ=12. Το τρίγωνο ΒΗΓ είναι ορθογώνιο και ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Δοκιμάζουμε αν ισχύει ΗΓ=9. Έχουμε: ΒΓ = 15 = ΒΗ + ΗΓ = = = 225 Άρα θα είναι ΗΓ= 9 m. β) Πρέπει να επαληθεύουμε αν ισχύει ΑΒ= ΒΔ = = = ΒΔ = = = 451 Επειδή βρήκαμε διαφορετικά αποτελέσματα είναι λάθος ΑΒ=17 m. 166

177 Πορίσματα του Πυθαγορείου Θεωρήματος και Μαθηματική Δημιουργικότητα των Μαθητών Μια τέταρτη ομάδα προσέγγισε το πρόβλημα αλγεβρικά με τον ακόλουθο τρόπο: Α B θ ω υ Δ φ x x H Γ Συμβολίσουμε ΑΒ=ΔΗ=x. Τότε: ΒΔ = 12 +x ΒΔ = x+9-15 (Π. Θ. στο τρίγωνο ΑΒΔ) (Π. Θ. στο τρίγωνο ΒΓΔ) Θα βρούμε το ΑΒ από τη λύση της εξίσωσης: x = x x = x +18x Επεισόδια: (3 ο ΚΜΣΝ) 18x=288 Δηλαδή: x=16 m. Κατά την αρχική φάση δύο ομάδες πίστευαν ότι το τετράπλευρο ΑΒΗΔ είναι τετράγωνο. Χρειάστηκε αρκετός χρόνος για να αποδεσμευτούν από αυτή την εσφαλμένη αντίληψη. Εκτός από τη προηγούμενη λύση εφευρέθηκε και η εξής: Συμβολίζουμε: ˆ ΒΔΓ = φ, ˆ ΗΒΓ = ω και συμπληρωματικές της γωνίας θ. Ισχύουν: ˆ ΔΒΗ = θ. Οι γωνίες φ και ω είναι ίσες επειδή είναι ˆ 0 ΒΔΓ = φ = 90 - θ και ˆ 0 ΗΒΓ = ω = 90 -θ Άρα: φ=ω Τα τρίγωνα ΒΓΗ, ΔΒΗ είναι ορθογώνια με μια γωνία ίση. Επομένως είναι όμοια. Οπότε έχουμε: BH ΗΓ = ΔΗ ΒΗ ή 12 9 = x 12 ή 9x=12 12 ή 9x=144. Οπότε: x = 16 m. Επίσης προέκυψε στη συζήτηση μια παρόμοια λύση με χρήση τριγωνομετρίας: Eίναι φ=ω και επομένως εφ φ= εφ ω, δηλαδή 12 9 = x 12 κλπ. Συμπεράσματα Στην παρούσα εργασία εστιάσαμε την προσοχή μας στη σχέση ανάμεσα στην ανοιχτή διερεύνηση και την προαγωγή της μαθηματικής δημιουργικότητας σε δεκατετράχρονους μαθητές. Από τη συνεξέταση των δύο διδακτικών ομάδων (σχολική τάξη στο 1 ο ΠΣΑ, τμήμα ενδιαφέροντος στο 3 ο ΜΚΣΝ) προκύπτει ότι μαθηματικά υποσχόμενοι μαθητές υπάρχουν και στις δύο διδακτικές ομάδες και φέρνουν στο φως πολλαπλές και συχνά ασυνήθιστες για την ηλικία τους λύσεις, ενώ τα κύρια συστατικά της μαθηματικής δημιουργικότητας (ευχέρεια, ευελιξία, πρωτοτυπία) μοιράζονται σε αυτές : 167

178 Γ..Κόσυβας Ευχέρεια: οι μαθητές εκφράζουν πλήθος γεωμετρικών ή αλγεβρικών ιδεών και υποθέσεων τις οποίες ερευνούν με τους συμμαθητές τους. Ευελιξία: τα προβλήματα που θέτουν οι μαθητές λύνονται με διαφορετικούς τρόπους και αξιοποιούν πρωτόφαντες ιδέες. Αρχίζουν εκθέτοντας και αιτιολογώντας μια στρατηγική, στη συνέχεια όμως εφευρίσκουν πολλαπλές μεθόδους λύσης. Καινοτομία : Οι μαθητές εξετάζουν με ενδιαφέρον ποικιλία προβλημάτων συνθέτοντας διορατικές, πρωτότυπες και μοναδικές λύσεις. Θα πρέπει να επισημανθεί ότι η καλλιέργεια ενός κλίματος διαρκούς προβληματισμού και επικοινωνίας διευκόλυνε τους μαθητές να αναπτύξουν τη διαίσθηση, τη διορατικότητα και τη νοητική ευελιξία και να επινοήσουν δικές τους εικασίες και αποδείξεις. Οι παρατηρήσεις μας δείχνουν ότι η αλληλεπίδραση προβληματοθεσίας και λύσης προβλήματος αποτελεί θεμελιώδες γνώρισμα της δημιουργικής μαθηματικής δραστηριότητας. Η προβληματοθεσία ήταν μια άσκηση της γόνιμης μαθηματικής φαντασίας που οδηγούσε στη διατύπωση επαγωγικών συλλογισμών, πιθανών εξηγητικών υποθέσεων και παραγωγικών επιχειρημάτων. Οι μαθητές δεν έθεταν απλώς ερωτήματα και προβλήματα, αλλά εξέταζαν αν ισχύουν στα μαθηματικά. Έτσι η εργασία των μαθητών συμπληρωνόταν από πολλαπλές αιτιολογήσεις και αποδείξεις των προτεινόμενων λύσεων. Τα αποδεικτικά επιχειρήματα των μαθητών είχαν διπλό ρόλο: να πείσουν τους συμμαθητές τους και να εμβαθύνουν στην κατανόηση των μαθηματικών. Είναι σπουδαίο οι μαθητές να αιτιολογούν και να αποδεικνύουν αλλά είναι εξίσου σπουδαίο να μυούνται στη μαθηματική ερευνητική δημιουργία. Δημιουργώντας ένα κατάλληλο κλίμα αδιάλειπτης ανοιχτής συζήτησης στην τάξη ενθαρρύναμε τους μαθητές να θέτουν τα δικά τους προβλήματα με μορφή εικασίας και να τα ελέγχουν. Ορισμένες εικασίες απορρίφθηκαν από τη συζήτηση, ενώ άλλες έπεισαν για την εγκυρότητά τους και επικράτησαν. Η απόδειξη αναδείχθηκε ως πραγματική ανάγκη των μαθητών. Οι ενδεικτικές καταστάσεις προβληματισμού τις οποίες δημιουργήσαμε συνέβαλαν στην ανάπτυξη της πρωτοβουλίας και της αυτενέργειας τονώνοντας τα μαθησιακά κίνητρα των μαθητών. Παρείχαν στους μαθητές ευκαιρίες να θέτουν και να λύνουν προβλήματα αναπτύσσοντας ευέλικτες και δημιουργικές προσεγγίσεις της μαθηματικής δραστηριότητας. Ανάλογες στάσεις έχουν παρατηρηθεί από άλλους ερευνητές σε δραστηριότητες προβληματοθεσίας (Silver, 1997 English, 1997). Αναμφισβήτητα, η μαθηματική δημιουργικότητα των δύο ομάδων είναι υψηλή και δεν ταυτίζεται με τους μαθητές που συνήθως αριστεύουν. Αυτά τα ευρήματα μάς παρωθούν να σκεφτόμαστε τη δημιουργικότητα όχι ως έναν τομέα που αφορά μόνο τους λίγους προικισμένους, αλλά ως μια προδιάθεση που απευθύνεται στο σύνολο του μαθητικού 168

179 Πορίσματα του Πυθαγορείου Θεωρήματος και Μαθηματική Δημιουργικότητα των Μαθητών πληθυσμού χωρίς αποκλεισμούς ή διακρίσεις. Είναι καλύτερα να μιλάμε για μαθηματικά υποσχόμενα παιδιά και όχι για παιδιά γενετικά προικισμένα με εξαίρετα μαθηματικά χαρίσματα. Μαθητές με μαθηματικές υποσχέσεις είναι αυτοί που μπορούν να επιτύχουν υψηλές μαθηματικές επιδόσεις όταν ξεδιπλώνονται οι δυνατότητές τους στον μεγαλύτερο δυνατό βαθμό. Σύμφωνα με τον Edison «η δημιουργικότητα οφείλεται 99 % στην επιμονή και 1 % στην έμπνευση». Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι μαθητές διαθέτουν μια δημιουργική αμφιβολία και μια «θολή» τάση μαθηματικής δημιουργικότητας. Για να την αναδείξουν και να την προαγάγουν χρειάζεται μόχθος. Το σχολείο θα πρέπει να παρέχει πλούσιες ευκαιρίες για την καλλιέργεια της δημιουργικότητας όλων των μαθητών από πολύ μικρή ηλικία (Usiskin, 1999). Τα κίνητρα των μαθητών με τη μακρόχρονη επιμονή ενισχύονται και έτσι η μαθηματική αυτοπεποίθησή τους ισχυροποιείται. Οι μαθηματικά υποσχόμενοι μαθητές χρειάζονται ποιοτικά μαθηματικά ερεθίσματα που συμβαδίζουν με τις ιδιαίτερες ανάγκες τους και όχι μια άχαρη ενασχόληση με περισσότερες τυποποιημένες ασκήσεις. Μέσα από μελετημένα προγράμματα εμπλουτισμού θα πρέπει να ενθαρρύνονται να αναπτύσσουν τα χαρίσματα και τις ικανότητές τους. Βιβλιογραφία Chiu, M.-S. (2009). Approaches to the teaching of creative and non-creative mathematical problems. International Journal of Science and Mathematics Education, 7, Cobb, P., Wood, T., & Yackel, E. (1992). Interaction and learning in mathematics classroom situations. Educational Studies in Mathematics, 23, English, L. D. (1997). Development of fifth grade children s problem posing abilities. Educational Studies in Mathematics, 34, Holyoak, K. J. & Thagard, P. (1995). Mental leaps: Analogy in creative thought. Cambridge, MA: MIT Press. Kosyvas, G. (2010). Problèmes ouvertes: notion, catégories et difficultés, Annales de Didactique et des Sciences cognitives, 15, IREM de Strasbourg, Krutetskii, V.A. (1976). The Psychology of Mathematical Abilities in Schoolchildren. (Translated by Teller, J.; edited by J. Kilpatrick and I. Wirszup). Chicago, IL: The University of Chicago Press. Leikin, R. (2009). Exploring mathematical Creativity using multiple solution tasks, In: R. Leikin, A. Berman & B. Koichu (Eds). Creativity in Mathematics and the Education of Gifted Students, (pp ). Rotterdam: Sense Publishers. Polya, G. (1945/1973). How to solve it. Princeton, NJ: Princeton University. 169

180 Γ..Κόσυβας Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical problem solving. New York, NY: Academic Press. Silver, E. A. (1997). Fostering creativity through instruction rich in mathematical problem solving and problem posing. ZDM, 3, Sriraman, B. (2005). Are giftedness and creativity synonyms in mathematics? Journal of Secondary Gifted Education. 17(1), Sternberg, R. J. (Ed.) (1988): The nature of creativity: Contemporary psychological perspectives. New York: Cambridge University Press. Torrance, E. P. (1974): The Torrance tests of creative thinking: Technical-norms manual. Bensenville, IL: Scholastic Testing Services. Usiskin, Z. (1999). The mathematically promising and the mathematically gifted. In L. J. Sheffield (Ed.), Developing mathematically promising students (pp ). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Γαγάτσης, Α., Φιλίππου, Α., Τιμοθέου, Σ., & Δαλιεράκη, Ε. (2009). Ανάπτυξη της δημιουργικότητας στα μαθηματικά. Στo Α. Γαγάτσης, Α. Φιλίππου, Π. Δαμιανού, & Ε. Αυγερινός (Εκδ.), Πρακτικά 11 ου Παγκύπριου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης (σσ ). Λευκωσία: Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία. 170

181 Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Σωτήρης Λοϊζιάς & Έλενα Χατζηγεωργίου Καθηγητές Μαθηματικών (Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση) ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα εργασία είχε ως στόχο να προσδιορίσει την εννοιολογική και τη διαδικαστική γνώση των μαθητών σε σχέση με την έννοια της μαθηματικής επαγωγής, να καταγράψει τα πιο συχνά λάθη που κάνουν όταν τη χρησιμοποιούν, να αναλύσει πού οφείλονται αυτά τα λάθη, πώς μπορούμε να τα αντιμετωπίσουμε αλλά και πώς μπορούμε να τα αξιοποιήσουμε διδακτικά. Είκοσι μαθητές κλήθηκαν να απαντήσουν ένα γραπτό δοκίμιο με σύνολο έξι ερωτημάτων. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη βαρύτητα στη μαθηματική δομή της μαθηματικής επαγωγής. Όταν οι μαθητές κατανοούν κάθε επιμέρους και ουσιαστικό χαρακτηριστικό της μαθηματικής επαγωγής, το ρόλο και τη σημασία του στη συνολική δομή της, τότε είναι περισσότερο ικανοί να αντιμετωπίσουν με επιτυχία μια ποικιλία ερωτημάτων και προβλημάτων. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η απόδειξη είναι το όργανο της θεωρίας που μπορεί να κατοχυρώσει την αλήθεια σε μια Μαθηματική Επιστήμη. Αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο της Μαθηματικής Επιστήμης και είναι από τα πιο αξιοσημείωτα δώρα που έχει κληρονομήσει ο ανθρώπινος πολιτισμός από την Αρχαία Ελλάδα (Babai, 1992). Μια απλή αλλά πολλαπλά χρήσιμη και ισχυρή μέθοδος απόδειξης είναι η μαθηματική ή τέλεια επαγωγή. H μαθηματική επαγωγή χρησιμοποιείται για την απόδειξη μαθηματικών θεωρημάτων τα οποία αναφέρονται σε σύνολα στοιχείων που μπορούν να τοποθετηθούν σε μια, ένα προς ένα, αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών. Συγκεκριμένα, η απόδειξη μιας πρότασης με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής συνίσταται σε δύο μέρη: (α) τη βάση, την απόδειξη δηλαδή, ότι η πρόταση αληθεύει για ή τον ελάχιστο φυσικό 1

182 Σ. Λοϊζιάς, Ε. Χατζηγεωργίου αριθμό και (β) το επαγωγικό βήμα, το οποίο συνιστά μια απόδειξη (παραγωγική) του γενικού ισχυρισμού, ότι εάν ισχύει η πρόταση για τότε θα ισχύει και για (Τουμάσης, 2004). Συνεπώς, η αρχή της μαθηματικής επαγωγής επιτρέπει τη χρήση του λογικού κανόνα modus ponens, σύμφωνα με τον οποίο, αν η πρόταση είναι αληθής 1 και η αλήθεια της πρότασης συνεπάγεται την αλήθεια της πρότασης q, τότε η πρόταση q είναι αληθής. Η μαθηματική επαγωγή, εκτός από αποδεικτική μέθοδος, χρησιμοποιείται και στην επίλυση υπολογιστικών και κατασκευαστικών προβλημάτων της γεωμετρίας, στην εύρεση γεωμετρικών τόπων, στον ορισμό εννοιών όπου περιέχεται το πέρασμα «από το ν στο ν+1», καθώς και στον αριθμό των διαστάσεων στην ν-διάστατη γεωμετρία (Golovina & Yaglom, 1979). Επιπρόσθετα, συμβάλλει στην κατανόηση επαναληπτικών και αναδρομικών μεθόδων οι οποίες, λόγω της ανάπτυξης της τεχνολογίας των υπολογιστών, χρησιμοποιούνται όλο και πιο πολύ (Allen, 2001). Τέλος, είναι ένα από τα αξιώματα τα οποία ορίζουν τη δομή των φυσικών αριθμών. Ως εκ τούτου, η κατανόηση και η άνεση με την οποία χρησιμοποιεί κάποιος τη μαθηματική επαγωγή είναι σημαντικοί παράγοντες στην ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης του (Avital & Lebeskind, 1978). Στα δημόσια σχολεία της Κύπρου, η αναφερόμενη αποδεικτική μέθοδος χρησιμοποιείται για πρώτη φορά στη Β κατεύθυνσης του Ενιαίου Λυκείου, όπου γίνεται προσπάθεια να μυηθούν οι μαθητές στην αποδεικτική διαδικασία και να κατανοήσουν την έννοια του αλγορίθμου. Πιο συγκεκριμένα, η μαθηματική επαγωγή, ως διαδικασία, εμφανίζεται στο διδακτικό βιβλίο μονόπλευρα και αποκομμένη από τη συμπληρωματική και αναπόσπαστη πηγή της, την ατελή επαγωγή, με μια τάση υπερτίμησης της αξίας της ως αποδεικτικής μεθόδου. Το παν, δηλαδή, είναι η απόδειξη άσχετα αν ο μαθητής μπορεί να παπαγαλίζει μια απόδειξη (γιατί αυτό κάνει συνήθως στην περίπτωση τουλάχιστον της μαθηματικής επαγωγής). Έτσι οι μαθητές δεν ασκούνται σε ευρετικές διαδικασίες και όποτε ο εκπαιδευτικός προσανατολίζεται σε θέματα που τις απαιτούν, συναντά αντιδράσεις, φυσιολογικές εφόσον οι μαθητές διαισθάνονται τη μικρή πιθανότητα να έχουν επιτυχία. Ο Τουμάσης (2004) διατυπώνει την άποψη ότι η απόδειξη με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής είναι σχεδόν άχρηστη όταν δεν ξέρουμε τι πρέπει να αποδείξουμε. Για παράδειγμα, πώς θα αποδείξουμε με τη μέθοδο της μαθηματικής 2 επαγωγής, ότι 2, όταν προηγουμένως δεν έχουμε ανακαλύψει με μια ευρετική διαδικασία ότι ίσως για κάθε 4 ; Το αποτέλεσμα αυτής της δογματικής, αλαζονικής συμπεριφοράς και νοοτροπίας, που επιβάλλει στους μαθητές να αποδείξουν με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής διάφορες προτάσεις, χωρίς λειτουργική διασύνδεση με τον πλήρη κύκλο του νοητικού μηχανισμού διερεύνησης μιας

183 Η Διδασκαλία της Μαθηματικής Επαγωγής στο Λύκειο προβληματικής κατάστασης, είναι «πλίνθοι, λίθοι και κέραμοι ατάκτως ερριμέναι», μια απογοητευτική κατάσταση που μοιάζει με τη μάταιη προσπάθεια να ξεχωρίσεις το βόρειο από το νότιο πόλο ενός μαγνήτη (Τουμάσης, 2004). Ως κομμάτι της Θεωρίας Αριθμών λοιπόν, που αποτελεί ίσως τον πιο ελκυστικό κλάδο της μαθηματικής επιστήμης, η μαθηματική επαγωγή αναμένεται να προκαλέσει το ενδιαφέρον των μαθητών και να διεγείρει την πνευματική περιέργεια και την ερευνητική τους διάθεση. Συνεπώς, δεν είναι δυνατόν να «διατάζουμε» τους μαθητές να αποδείξουν ότι χωρίς να έχουν προηγουμένως ανακαλύψει πώς για κάθε. Πώς θα φτάσουν σε αυτή την ανακάλυψη; Με την έρευνα, το πείραμα (επαγωγικός συλλογισμός), τη δημιουργία της εικασίας ότι και στη συνέχεια κάνοντας μια απόδειξη με τη βοήθεια της μαθηματικής επαγωγής, ώστε να σιγουρευτούν μ έναν έγκυρο τρόπο για την εικασία τους Λαμβάνοντας λοιπόν υπόψη τη σημαντικότητα και τη χρησιμότητα της μαθηματικής επαγωγής, στην παρούσα έρευνα θα προσπαθήσουμε να μελετήσουμε τον τρόπο και τον βαθμό που οι μαθητές την κατανοούν, δίνοντας βαρύτητα στην εννοιολογική παρά στη διαδικαστική πλευρά της αποδεικτικής μεθόδου. Επιπλέον, η έρευνα θα επιχειρήσει να τονίσει αφενός τη διαφορά μεταξύ της απόδειξης και της εικασίας και αφετέρου να επισημάνει την αλληλοσυσχέτιση και αλληλοσυμπλήρωσή τους. Πιστεύουμε ότι η διερεύνηση των δυσκολιών και των αδυναμιών των μαθητών σχετικά με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής θα βοηθήσει τους καθηγητές να σχεδιάζουν και να οργανώνουν τη διδασκαλία της αντίστοιχης ενότητας κατά τέτοιο τρόπο, ώστε αυτή να είναι όσο το δυνατό πιο αποτελεσματική. Ο ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΣ ΚΑΙ Ο ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ Τόσο ο όρος παραγωγικός συλλογισμός όσο και ο όρος επαγωγικός συλλογισμός, χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τη διαδικασία εξαγωγής γενικών συμπερασμάτων. Ο μεν παραγωγικός συλλογισμός αρχίζει από μια γενική πρόταση που θεωρείται αληθής, ο δε επαγωγικός συλλογισμός αρχίζει από συγκεκριμένες περιπτώσεις. Δηλαδή, ο παραγωγικός συλλογισμός εκκινεί από το γενικό καταλήγοντας σε κάτι πιο ειδικό, σε αντίθεση με τον επαγωγικό συλλογισμό που ξεκινά από το ειδικό και καταλήγει στο γενικό και το αφηρημένο. Επομένως, ο επαγωγικός συλλογισμός μας επιτρέπει να γενικεύουμε τις γνώσεις μας και να μεταφερόμαστε πέραν των ειδικών περιπτώσεων, χωρίς όμως να είμαστε απολύτως βέβαιοι ότι οι γενικεύσεις μας είναι σωστές. Για παράδειγμα, o Euler διατύπωσε την εικασία πως το πολυώνυμο δίνει πρώτους αριθμούς. Η εικασία επιβεβαιώνεται για 1, 2,3, 4,...,39 περιπτώσεις αλλά για 40 ο αριθμός δεν είναι πρώτος:

184 Σ. Λοϊζιάς, Ε. Χατζηγεωργίου Συμπερασματικά, στα μαθηματικά, κάθε πρόταση πρέπει να συνοδεύεται από μια αυστηρή απόδειξη (παραγωγικός συλλογισμός), ώστε να γίνει αποδεκτή. Διαφορετικά, παραμένει εικασία η οποία προκαλεί τους μαθηματικούς για την εύρεση μιας απόδειξης (π.χ. εικασία Goldbach: «κάθε άρτιος αριθμός είναι άθροισμα δύο πρώτων αριθμών»). Σύμφωνα εξάλλου με τη βιβλιογραφική ανασκόπηση, οι μαθητές όταν αντιμετωπίζουν ένα νέο πρόβλημα στο οποίο είναι απαραίτητο να αναπτύξουν αποδεικτικές στρατηγικές συλλογίζονται επαγωγικά, δηλαδή, ξεκινούν με απλές συγκεκριμένες περιπτώσεις (Recio & Godino, 2001). Επομένως, είναι χρήσιμο οι μαθητές να αντιληφθούν τη σχέση εικασίας και απόδειξης και οι εκπαιδευτικοί να αξιοποιούν στη διδασκαλία της μαθηματικής επαγωγής και τα δύο είδη συλλογισμών, διότι, η μαθηματική επαγωγή καλείται να πιστοποιήσει την αλήθεια προτάσεων, οι οποίες προέκυψαν ως αποτέλεσμα της επαγωγικής μεθόδου γενίκευσης. Η μαθηματική επαγωγή λοιπόν και ο επαγωγικός συλλογισμός όπως, επίσης, η απόδειξη και η εικασία, αν και αντίθετα κατευθυνόμενες μέθοδοι γνώσης, πρέπει στη σχολική τάξη να ιδωθούν μέσα από το πλαίσιο της αλληλοσυσχέτισης και αλληλοσυμπλήρωσής τους. ΟΙ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΣΤΗ ΜΑΘΗΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Όπως η οποιαδήποτε μαθηματική έννοια ή μέθοδος, έτσι και η μαθηματική επαγωγή παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες που έχουν σχέση με το συγκεκριμένο, κάθε φορά, μαθηματικό υπόβαθρο και πεδίο γνώσεων των μαθητών. Με βάση την ανασκόπηση της βιβλιογραφίας κατασκευάσαμε ένα κατάλογο με τις πιο σημαντικές και τις συχνότερα εμφανιζόμενες δυσκολίες: (1) Να κατανοήσουν τη συνύπαρξη της παραγωγικής και επαγωγικής διάστασης στον όρο μαθηματική επαγωγή. Οι μαθητές πολλές φορές αποτυγχάνουν να αντιληφθούν τη διαφορά ανάμεσα στους δύο συλλογισμούς. Προκειμένου να αποφύγουμε αυτή τη δυσκολία, ο Polya (1998) προτείνει η μαθηματική επαγωγή να ονομάζεται «απόδειξη από το στο 1» ή «μετάβαση στον επόμενο ακέραιο». 174

185 Η Διδασκαλία της Μαθηματικής Επαγωγής στο Λύκειο (2) Να κατανοήσουν εννοιολογικά την αρχή της μαθηματικής επαγωγής (για μια ιδιότητα, αν 0 και 1, τότε ) η οποία απαιτεί τη μελέτη των ιδιοτήτων των φυσικών αριθμών. Οι περισσότεροι μαθητές αδυνατούν να κατανοήσουν ότι όλοι οι φυσικοί αριθμοί έχουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα. Ως γνωστό οι φυσικοί αριθμοί έχουν την ιδιότητα να μπορούν όλοι να παράγονται από έναν αρχικό αριθμό και τον επαναλαμβανόμενο σχηματισμό των επόμενων. Άρα, εάν ο αρχικός φυσικός αριθμός έχει μια συγκεκριμένη ιδιότητα και αν περνά από οποιονδήποτε φυσικό αριθμό στον επόμενο του, τότε η ιδιότητα ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς. Συνεπώς, ο εκπαιδευτικός των μαθηματικών πρέπει να εκμεταλλευτεί αυτή τη διάταξη των φυσικών αριθμών (Avital & Lebeskind, 1978 ; Ernest, 1984), προκειμένου οι μαθητές να κατανοήσουν τη βάση της μαθηματικής επαγωγής. Υπάρχουν κάποιες εξωτερικές αναπαραστάσεις οι οποίες βοηθούν στην κατανόηση της σχέσης μεταξύ της μαθηματικής επαγωγής και της διάταξης των φυσικών αριθμών, όπως για παράδειγμα το γκρέμισμα μιας μεγάλης σειράς από ντόμινο ή βιβλία, η μετάδοση ενός μηνύματος σε μια σειρά στρατιωτών, το ανέβασμα της σκάλας σκαλί-σκαλί, η αναχώρηση ενός τρένου, βαγόνι-βαγόνι. Αναλυτικότερα, στο παράδειγμα γκρεμίσματος του ντόμινο (Πάλλα, 2006): Χαρακτηριστικά του παραδείγματος Αντίστοιχο χαρακτηριστικό της επαγωγής Ένα ντόμινο Σειριακή τακτοποίηση των ντόμινο Γκρέμισμα των ντόμινο Συνέπεια του σπρωξίματος Ένας φυσικός αριθμός Διάταξη των φυσικών αριθμών Ιδιότητα των αριθμών Επαγωγικό βήμα Σπρώξιμο του πρώτου ντόμινο Βασικό βήμα 175

186 Σ. Λοϊζιάς, Ε. Χατζηγεωργίου Ωστόσο, υπάρχει ο προβληματισμός μερικών ερευνητών πως η αναπαράσταση με τα ντόμινο αποτυγχάνει να απεικονίσει την άπειρη φύση της μαθηματικής επαγωγής και την ατελείωτη σειρά εφαρμογής του κανόνα modus ponens (Movshovitz Hadar, 1993; Μυτιληναίος, 2004). Ιδιαίτερο ενδιαφέρον αποτελεί και η διαπίστωση των Ron & Dreyfus (2004), πως μερικοί εκπαιδευτικοί χρησιμοποιούν λανθασμένα μοντέλα τα οποία παραποιούν τις βαθύτερες μαθηματικές έννοιες και, στην ουσία, δείχνουν τις δικές τους εννοιολογικές δυσκολίες. (3) Να κατανοήσουν ότι είναι αναγκαίο να αποδεικνύονται όλες οι συνθήκες της μαθηματικής επαγωγή (Ron & Dreyfus, 2004). Οι μαθητές έχουν τη λανθασμένη αντίληψη ότι κάποια από τις συνθήκες της μαθηματικής επαγωγής δε χρειάζεται. Πιο συνηθισμένη είναι η περίπτωση της βάσης της επαγωγής. Ο Ernest (1984) υποστηρίζει ότι ο καλύτερος τρόπος για να εκδιωχθούν οι αμφιβολίες είναι παραδείγματα από λανθασμένες επαγωγικές δηλώσεις. Για παράδειγμα, ο ισχυρισμός: «Για κάθε φυσικό αριθμό ισχύει» αν και είναι προφανώς ψευδής (δεν ισχύει για (, που σημαίνει ότι για είναι αληθής) , 2 1), το επαγωγικό βήμα της μαθηματικής επαγωγής ισχύει 1 Συνεπώς, ο έλεγχος της ισχύος του βασικού βήματος είναι απαραίτητος και ουσιαστικός. (4) Να διακρίνουν τη σχέση ανάμεσα στην επαγωγική υπόθεση (ισχύει η πρόταση για ) και στην απόδειξη (τότε θα ισχύει και για ). Οι περισσότεροι μαθητές, δεν μπορούν να κατανοήσουν ότι η μαθηματική επαγωγή είναι μια μέθοδος στην οποία υποθέτουμε αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε και στη συνέχεια το αποδεικνύουμε. Η συγκεκριμένη δυσκολία δείχνει πως οι μαθητές δεν κατανοούν τη δομή της επαγωγικής απόδειξης και, ιδιαίτερα, δε διακρίνουν τη διαφορά μεταξύ των δύο. Στην επαγωγική υπόθεση το είναι αυθαίρετο αλλά ταυτόχρονα συγκεκριμένο (συμπεριφέρεται ως λογική σταθερά), ενώ στην απόδειξη το συμπεριφέρεται ως ελεύθερη μεταβλητή. Για αποφυγή της συγκεκριμένης παρανόησης, προτείνεται η μαθηματική επαγωγή να εκφράζεται με δύο μεταβλητές (Ernest, 1984; Movshovitz Hadar, 1993; Reid, 2002 ). 1 (5) Να κατανοήσουν εννοιολογικά και όχι μόνο διαδικαστικά το επαγωγικό βήμα (Avital & Lebeskind, 1978). «Πώς μπορούμε να αποδείξουμε την αλήθεια της ;». Η πρότασης 1, αν δε γνωρίζουμε την αλήθεια της πρότασης 176

187 Η Διδασκαλία της Μαθηματικής Επαγωγής στο Λύκειο συγκεκριμένη δυσκολία των μαθητών οφείλεται στο ότι δε γνωρίζουν τον κανόνα modus ponens στη συνεπαγωγή q q q. Οι μαθητές, δηλαδή, πρέπει να αντιληφθούν ότι αυτό που χρειάζεται να δειχθεί δεν είναι ότι η πρόταση είναι αληθής, αλλά ότι αν η πρόταση είναι αληθής, συνεπάγεται την αλήθεια της πρότασης q. Για να γίνει αυτό κατανοητό από τους μαθητές θα μπορούσαν, για παράδειγμα, να δοθούν γεωμετρικά (και όχι μόνο) προβλήματα διατυπωμένα στη μορφή: «αν, τότε» αντί της μορφής: «Δίνεται τρίγωνο Να δειχθεί ότι» (Πάλλα, 2006). (6) Να μεταφράσουν το επαγωγικό βήμα 1. Διάφορες έρευνες καταδεικνύουν ότι οι μαθητές δυσκολεύονται να κατανοήσουν ότι το στοιχείο είναι το επόμενο του 1 στοιχείου, κάτω από κάποια διάταξη. Αυτό όμως, χρήζει προσοχής διότι μπορεί να οδηγήσει ακόμη και σε παράδοξα. Για παράδειγμα, μπορεί να αποδειχθεί ότι όλες οι γυναίκες έχουν το ίδιο χρώμα ματιών (Polya, 1954; Avital & Lebeskind,1978)! Αναλυτικότερα: Αν η πρόταση είναι αληθής. Δεχόμαστε ότι η είναι αληθής. Δηλαδή δεχόμαστε ότι σε ένα σύνολο 1 κοριτσιών όλα έχουν γαλανά μάτια. Έτσι αν πάρουμε τα κορίτσια 1,2,3,..., όλα έχουν γαλανά μάτια. Αλλά και τα κορίτσια 1,2,3,..., 1, 1 που είναι στο πλήθος θα έχουν γαλανά μάτια. Άρα τα κορίτσια 1, 2,3,..., 1έχουν γαλανά μάτια και επομένως η πρόταση 1 είναι αληθή! Το λάθος προκύπτει από το γεγονός ότι η συνεπαγωγή 1 δεν αληθεύει για κ = 1 (σε μια ομάδα δύο γυναικών η καθεμιά έχει μόνη της το ίδιο χρώμα ματιών, χωρίς απαραίτητα τα δύο χρώματα να συμπίπτουν, π.χ. καστανά μπλε). (7) Να χειριστούν με άνεση τις αλγεβρικές πράξεις που υπεισέρχονται στην απόδειξη του επαγωγικού βήματος. Κάποιες φορές οι μαθητές εργάζονται με το ένα μέλος μιας ισότητας με σκοπό να αποδείξουν ότι είναι ίσο με το άλλο μέλος. Άλλες φορές εργάζονται με τα δύο μέλη και μέσω ισοδυναμιών καταλήγουν σε κάτι αληθές. Αυτή η προσέγγιση διευκολύνει στις ισότητες, όχι όμως στις ανισότητες (Nardi & Iannone, 2003). Οι μαθητές, καλό είναι, να εκτίθενται σε μια ποικιλία παραδειγμάτων όπου θα τονίζεται πως δεν υπάρχει μια βασιλική οδός για όλες τις περιπτώσεις. Κάθε περίπτωση πρέπει να εξετάζεται με βάση τις χαρακτηριστικές ιδιότητές της και είναι έργο των μαθητών να βρουν μια σύντομη και περισσότερο κατάλληλη προσέγγιση (Ernest, 1984). 177

188 Σ. Λοϊζιάς, Ε. Χατζηγεωργίου (8) Να κατανοήσουν τον υπαρξιακό και τον καθολικό ποσοδείκτη («αντίστοιχα). Μια προφανής αντιμετώπιση της συγκεκριμένης δυσκολίας, σύμφωνα με τον Ernest (1984), είναι η διδασκαλία της χρήσης των ποσοδεικτών, καθώς και η εξάσκηση των μαθητών με προτάσεις αυτού του τύπου.» και (9) Να χειριστούν δραστηριότητες οι οποίες απαιτούν μια γεωμετρική, ίσως, εφαρμογή της επαγωγικής απόδειξης (Wistedt & Brattstrom, 2005). Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι μαθητές στη σχολική τάξη ασχολούνται μόνο με παραδείγματα Άλγεβρας. Το σωστό είναι οι μαθητές να εφαρμόζουν τη μέθοδο σε ένα ευρύ πεδίο προβλημάτων, όπως σε αλγεβρικές ταυτότητες, σε αθροίσματα πεπερασμένων σειρών, σε άπειρες σειρές, στη θεωρία αριθμών ή στη γεωμετρία (Ernest, 1984). Η ΕΡΕΥΝΑ Σκοπός και Ερευνητικά ερωτήματα Σκοπός της παρούσας εργασίας ήταν να προσδιορίσει την εννοιολογική και τη διαδικαστική γνώση των μαθητών σε σχέση με την έννοια της μαθηματικής επαγωγής και να εντοπίσει τυχόν δυσκολίες που αντιμετωπίζουν, όταν τη χρησιμοποιούν. Αναλυτικά, η εργασία προσπάθησε να απαντήσει στα ακόλουθα ερευνητικά ερωτήματα: Η αποστήθιση του τυπικού ορισμού της έννοιας της μαθηματικής επαγωγής εγγυάται την κατανόησή της; Αντιλαμβάνονται οι μαθητές ότι η μαθηματική επαγωγή συνδέεται με την καλή διάταξη των φυσικών αριθμών και ειδικότερα με την έννοια του «επόμενου» αριθμού; Κατανοούν οι μαθητές ότι οι δύο συνθήκες της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής είναι ανεξάρτητες, αλλά και οι δύο απαραίτητες ώστε να ολοκληρωθεί η αποδεικτική διαδικασία; Σε ποιο βαθμό οι μαθητές που επιλύουν ασκήσεις με τετριμμένη διατύπωση, μπορούν να επιλύουν και ασκήσεις με μη τετριμμένη διατύπωση; Σε ποιο βαθμό οι μαθητές χρησιμοποιούν τον επαγωγικό συλλογισμό και κατασκευάζουν εικασίες; Κατανοούν την ανάγκη απόδειξης των εικασιών; Διακρίνουν δηλαδή τη διαφορά μεταξύ της εικασίας και της απόδειξης; 178

189 Η Διδασκαλία της Μαθηματικής Επαγωγής στο Λύκειο Πως αντιμετωπίζουν οι μαθητές γεωμετρικά προβλήματα με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής; Δείγμα μαθητών Στην έρευνα συμμετείχαν 20 μαθητές Β κατεύθυνσης Λυκείου δημόσιου σχολείου της επαρχίας Λάρνακας. Η έρευνα διεξήχθη τον Ιανουάριο του Οι μαθητές που συμμετείχαν στην έρευνα δεν είχαν διδαχθεί το κεφάλαιο της μαθηματικής επαγωγής σε άλλη κατεύθυνση, πλην της εξάσκησης στην εκτέλεση του αλγόριθμού της. Το μέγεθος του δείγματος αν και είναι πολύ μικρό για γενικευμένα συμπεράσματα, συνέβαλε στην καταγραφή τάσεων που μπορούν να αποτελέσουν αντικείμενα περαιτέρω έρευνας. Εργαλείο Μέτρησης Για τη διερεύνηση του σκοπού της έρευνας αναπτύχθηκε δοκίμιο το οποίο περιλάμβανε έξι ερωτήματα ανάπτυξης (αναφέρεται στο παράρτημα), διάρκειας 45 λεπτών. Η ανάπτυξή του βασίστηκε στη βιβλιογραφική ανασκόπηση και η ιδιαιτερότητά του συνίσταται στο ότι γίνεται προσπάθεια ελέγχου της εννοιολογικής κατανόησης της έννοιας. Συγκεκριμένα, το κάθε ερώτημα εστίαζε σε ένα χαρακτηριστικό ή μια εφαρμογή της μαθηματικής επαγωγής. Επιπλέον, τα ερωτήματα επιλέχθηκαν να είναι αρκετά απλά από άποψη τεχνικής (χωρίς πολύπλοκες αλγεβρικές πράξεις), ώστε οι μαθητές να επικεντρώνονται περισσότερο στην ουσία της μαθηματικής επαγωγής. Το δοκίμιο δόθηκε προειδοποιημένα, μετά την ολοκλήρωση της διδασκαλίας της ενότητας του σχολικού βιβλίου που αναφέρεται στη μαθηματική επαγωγή. Η ανάλυση των δεδομένων είναι ποιοτική και εξετάζει κυρίως την ανάπτυξη του μαθηματικού συλλογισμού των μαθητών στα συγκεκριμένα ερωτήματα. 179

190 Σ. Λοϊζιάς, Ε. Χατζηγεωργίου Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α/Α ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΣΤΟΧΟΙ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΠΕΡ. 6. ΤΕΛΕΙΑ ΕΠΑΓΩΓΗ Μέθοδος τέλειας επαγωγής Με τη συμπλήρωση της ύλης οι μαθητές θα πρέπει να μπορούν να: 3 Διατυπώνουν το θεώρημα της Τέλειας Επαγωγής Εφαρμόζουν το θεώρημα της Τέλειας Επαγωγής στη λύση ασκήσεων και προβλημάτων Να δοθούν απλά παραδείγματα για την κατανόηση του θεωρήματος Συμπερασματικά, η διδασκαλία της μαθηματικής επαγωγής στο Λύκειο αποτελεί ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα ταχείας διολίσθησης προς το παραδοσιακό μοντέλο διδασκαλίας, εφόσον στην πράξη έχουμε μόνο εκτέλεση του αλγόριθμου. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ (1) Εκφώνηση: Να διατυπώσετε την αρχή της μαθηματικής επαγωγής Στην πλειοψηφία τους οι μαθητές, διατυπώνουν την αρχή της μαθηματικής επαγωγής τελείως αλγοριθμικά. Αυτό φαίνεται από τη χρήση ρημάτων σε πρώτο πληθυντικό πρόσωπο, στη μη διάκριση αρχής-μεθόδου και τη θεωρούν ως μια διαδικασία που αποτελείται από τρία βήματα. Συγκεκριμένα, θεωρούν ως πρώτο βήμα τη βάση της επαγωγής και χωρίζουν το επαγωγικό βήμα σε 1 δύο επιμέρους βήματα. Επιπλέον, ένα μεγάλο μέρος των μαθητών δεν αναφέρουν πως η αρχή της επαγωγής αφορά τους φυσικούς αριθμούς. Για παράδειγμα, ενώ περιγραφόταν η αποδεικτική μέθοδος, δε γραφόταν ρητά το συμπέρασμα ότι: «ο ισχυρισμός ισχύει για κάθε θετικό φυσικό αριθμό». Ενδιαφέρον αποτελεί και το γεγονός ότι πολλοί μαθητές εντάσσουν στη διατύπωση του ορισμού, το πεδίο των προβλημάτων του σχολικού βιβλίου που αντιμετωπίζονται με αυτή τη μέθοδο, όπως για παράδειγμα: «Μας βοηθά να βρούμε αν μια ανίσωση ή εξίσωση είναι 180

191 Η Διδασκαλία της Μαθηματικής Επαγωγής στο Λύκειο ψευδής ή αληθής με τα συγκεκριμένα βήματα που ακολουθούμε». Να επισημάνουμε πως η χρήση του ζεύγους εξίσωση-ανίσωση, αντί ισότητα-ανισότητα καταδεικνύει σύγχυση στους μαθητές γύρω από τις έννοιες μεταβλητή, άγνωστος, παράμετρος. Εκτός του ότι όμως κάποιες απαντήσεις ήταν λανθασμένες από μαθηματική σκοπιά, στερούνταν και συντακτικής ορθότητας. Για παράδειγμα: «Είναι μια διαδικασία που μας βοηθά να υπολογίσουμε το άθροισμα μιας συνεχούς παράστασης αριθμών. Υπάρχουν ψευδής και αληθής». Γενικά, στις περισσότερες απαντήσεις διακρίνεται μια αδυναμία απομνημόνευσης του ορισμού και έλλειψη κατανόησής του με αποτέλεσμα να διατυπώνονται προτάσεις εκφραστικά ανεπαρκές. (2) Εκφώνηση: Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι οι αριθμοί 20 και 25 είναι ίσοι και δικαιολογεί τον ισχυρισμό του ως εξής: «Θα αποδείξω ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει Υποθέτω ότι ισχύει για, δηλαδή 5 Προσθέτω και στα δύο μέλη της ισότητας το 1, οπότε: σχέση (Σ) ισχύει και για (Σ) , δηλαδή η Σύμφωνα με την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, η σχέση (Σ) ισχύει για όλους τους θετικούς ακέραιους. Επομένως για ν = 20 θα έχουμε: 20 = 20+5 = 25»! Μπορείτε να βρείτε το λάθος στον παραπάνω ισχυρισμό; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Το συγκεκριμένο ερώτημα στοχεύει στο να εστιάσει ο μαθητής στη δικαιολόγηση της λύσης παρά στη λύση αυτή καθεαυτή. Οι απαντήσεις λοιπόν των μαθητών, συμφωνούν με τα ευρήματα της ερευνήτριας Πάλλα (2006). Δηλαδή, βρίσκουν ότι παραλείπεται το πρώτο βήμα της μαθηματικής επαγωγής (για ), αλλά δεν έλεγξαν την ισχύ του. Επιπρόσθετα, αντί να εντοπίσουν το λάθος στην αιτιολόγηση του ισχυρισμού, έβρισκαν λάθη στην προς απόδειξη σχέση ή στο συμπέρασμα. Για παράδειγμα: «Το λάθος είναι στην αρχική σχέση: (ψευδής)» Συνεπώς, πολλοί μαθητές δεν αντιλαμβάνονται τη σημασία της βάσης της επαγωγής και το ρόλο της στον αποδεικτικό κανόνα modus ponens. Θεωρούν πρόβλημα την απουσία του βασικού βήματος, αλλά δεν ελέγχουν αν είναι αληθές ή όχι (Stylianides & Philippou, in press). Αυτό, ίσως, οφείλεται στο ότι το βασικό βήμα είναι συνήθως εύκολα ελέγξιμο, οπότε το κύριο βάρος της απόδειξης πέφτει στο επαγωγικό βήμα. 181

192 Σ. Λοϊζιάς, Ε. Χατζηγεωργίου (3) Εκφώνηση: Να αποδείξετε ότι: Η μορφή του δεδομένου ερωτήματος είναι οικεία στους μαθητές, εφόσον έχει τετριμμένη διατύπωση (υπάρχει και ως άσκηση στο σχολικό τους βιβλίο) και απαιτεί μόνο την εκτέλεση του αλγορίθμου της αρχής της μαθηματικής επαγωγής, γεγονός το οποίο σύμφωνα και με την παρούσα βιβλιογραφία παρουσιάζει μικρότερες δυσκολίες από τη θεωρητική διατύπωση (ερώτημα 1) (Λεμονής, 2007). Αυτό επιβεβαιώνει και η συνολική εικόνα των απαντήσεων των μαθητών του δείγματος. Συγκεκριμένα, το 80% περίπου των μαθητών κατάφεραν να αποδείξουν την ισότητα, είτε ολοκληρωμένα, είτε με κάποιες παραλείψεις. Αξιοσημείωτο το γεγονός ότι, όσοι μαθητές διατύπωσαν αλγοριθμικά την αρχή της μαθηματικής επαγωγής στο ερώτημα 1, την εφάρμοσαν με επιτυχία στο ερώτημα αυτό. Στις λανθασμένες απαντήσεις των μαθητών να αναφέρουμε ότι τα λάθη ήταν στις αριθμητικές πράξεις και γενικότερα ήταν λάθη αλγεβρικού χαρακτήρα. Κυρίως όμως εμφανίστηκε αδυναμία χειρισμού του αθροίσματος: Οι μαθητές το χειρίστηκαν ως γενικό όρο ακολουθίας και κατά συνέπεια το ως μεταβλητή. Για παράδειγμα, σε αρκετά γραπτά η ισχύς του ισχυρισμού ελεγχόταν ως εξής: (Αληθής). (4) Εκφώνηση: Αφού γράψετε υπό μορφή ενός αριθμού τα πιο κάτω: 1, 13, 13 5, , , προσπαθήστε να διατυπώσετε μια εικασία για το άθροισμα: , όπου θετικός ακέραιος. Οι απαντήσεις των μαθητών στο συγκεκριμένο ερώτημα ήταν απογοητευτικές, παρά το πολύ εύκολο πρώτο μέρος της ερώτησης. Το γεγονός αυτό φανερώνει μια αδυναμία ανταπόκρισης σε κάτι μη τετριμμένο, που ξεφεύγει από την απλή εκτέλεση αλγορίθμων. Μόνο τέσσερις στους είκοσι μαθητές κατάφεραν να διατυπώσουν με επιτυχία την εικασία και δύο μάλιστα από αυτούς προχώρησαν στην απόδειξή της, παρά το ότι η ερώτηση δεν το απαιτούσε. Εντύπωση προκάλεσε το γεγονός ότι αρκετοί μαθητές αγνόησαν το πρώτο μέρος της ερώτησης και προσπάθησαν να διατυπώσουν μια εικασία για το άθροισμα με τον τύπο του 182

193 Η Διδασκαλία της Μαθηματικής Επαγωγής στο Λύκειο αθροίσματος πρώτων όρων αριθμητικής προόδου, παρόλο που δεν το είχαν ακόμη διδαχθεί στη σχολική τάξη, αλλά σε κάποιο φροντιστήριο. (5) Εκφώνηση: Να υπολογίσετε το άθροισμα: Μόνο δύο από τους τέσσερις μαθητές που είχαν διατυπώσει τη σωστή εικασία στο ερώτημα 4 την απόδειξαν στο ερώτημα 5 πριν δώσουν τη σωστή απάντηση, ενώ ο ένας από τους υπόλοιπους δύο μαθητές έδωσε σωστή απάντηση χρησιμοποιώντας τον τύπο του αθροίσματος πρώτων όρων αριθμητικής προόδου. Σε αρκετές από τις λανθασμένες απαντήσεις των μαθητών τα λάθη ήταν «μεταφερόμενα», δηλαδή παρασύρθηκαν από τη λάθος απάντησή τους στο ερώτημα 4. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον αποτελεί το γεγονός ότι ένα μικρό μέρος των μαθητών προσπάθησε να υπολογίσει το άθροισμα με τη βοήθεια της υπολογιστικής μηχανής. (6) Εκφώνηση: Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός γώνου είναι ίσο με μοίρες Κανένας από τους μαθητές δεν κατάφερε να απαντήσει είτε ολοκληρωμένα είτε ελλιπώς το συγκεκριμένο ερώτημα. Να σημειώσουμε, ότι στο σχολικό βιβλίο δεν υπάρχουν ερωτήματα αυτής της μορφής. Ειδικότερα, δε γίνεται καμία νύξη περί εφαρμογής της μαθηματικής επαγωγής στη γεωμετρία, αλλά η όλη παρουσίαση ουσιαστικά εντάσσει τη μαθηματική επαγωγή στη θεωρία αριθμών. Παρόλο που η διατύπωση της πρότασης παραπέμπει σε γεωμετρία, εντούτοις η προσπάθειά τους ήταν καθαρά διαδικαστική (δε διέφερε βασικά από το ερώτημα 3), χωρίς κάποια διάθεση να εντάξουν το θέμα σε γεωμετρικό πλαίσιο. Μόνο ένας μαθητής από τους είκοσι και μόνο στον έλεγχο 3 αξιοποίησε γεωμετρικά εργαλεία (σχήμα). Προκειμένου να σχηματιστεί μια γενική εικόνα της επίδοσης των μαθητών, αναφέρουμε ότι, με βάση την επεξεργασία των γραπτών, κανένας από τους είκοσι μαθητές δεν απάντησε σωστά ή «σχεδόν» σωστά σε όλα τα ερωτήματα του γραπτού. Αν εξαιρεθεί το έκτο ερώτημα το οποίο θεωρήθηκε δύσκολο, τότε το αντίστοιχο ποσοστό των «σχεδόν» σωστών απαντήσεων γίνεται 5% ( ένας μαθητής). Επιπλέον, το 70% των μαθητών ( 14 παιδιά) απάντησαν πλήρως τουλάχιστον σε ένα από τα ερωτήματα, ενώ το 25% ( 5 παιδιά) έδωσαν σε όλα τα ερωτήματα είτε λανθασμένη είτε καμία απάντηση. Όσον αφορά τα ερωτήματα 1, 3, 4 και 5 διαπιστώνουμε ότι από τους 183

194 Σ. Λοϊζιάς, Ε. Χατζηγεωργίου εννιά μαθητές (ποσοστό 45% ) που έδωσαν πλήρη ή ελλιπή ορισμό, οι οκτώ απόδειξαν με επιτυχία την ισότητα του τρίτου ερωτήματος, οι δύο από τους οκτώ (ποσοστό 25% ) έκαναν σωστή εικασία στο ερώτημα 4 και μόνο ο ένας από αυτούς (ποσοστό 12,5%) απάντησε με επιτυχία στο πέμπτο ερώτημα. Ειδικότερα παρατηρούμε ότι από τους μαθητές που διατύπωσαν λανθασμένα ή καθόλου τον ορισμό, κατάφεραν να απαντήσουν με επιτυχία το ερώτημα 4 (διατύπωση της εικασίας) δύο μαθητές, αλλά κανένας δεν μπόρεσε να απαντήσει ολοκληρωμένα στο πέμπτο ερώτημα. Τέλος, το των μαθητών που εντόπισαν την απουσία του βασικού βήματος στο δεύτερο ερώτημα και έλεγξαν την ισχύ του, απέδειξαν πλήρως την ισότητα του τρίτου ερωτήματος. 45% ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Παρά το μικρό μέγεθος του δείγματος που εξετάστηκε, καταγράφηκαν αποτελέσματα, που συμφωνούν με ευρήματα των ερευνητών Dubinski & Lewin (1986), Πάλλα (2006) και Λεμονή (2007) και οδηγούν στην κατάταξη των μαθητών σε τρία επίπεδα κατανόησης της μαθηματικής επαγωγής. Στο πρώτο επίπεδο οι μαθητές αγνοούν τη δομή και τον αλγόριθμο, στο δεύτερο εκτελούν τη διαδικασία μηχανικά και στο τρίτο κατανοούν την έννοια και εννοιολογικά και διαδικαστικά. Οι περισσότεροι μαθητές βρίσκονται στο δεύτερο επίπεδο, κάτι που είναι αναμενόμενο εφόσον η συνολική κατεύθυνση της σχολικής δραστηριότητας στο κεφάλαιο της μαθηματικής επαγωγής ευνοεί την αλγοριθμική και μόνο αντιμετώπιση. Αναλυτικότερα, η λανθασμένη ή ελλιπής διατύπωση της αρχής της μαθηματικής επαγωγής φαίνεται να μην επιδρά στη σωστή εφαρμογή της, εφόσον οι μαθητές στην πλειοψηφία τους μπορούν να την εφαρμόζουν για την απόδειξη αλγεβρικών ισοτήτων. Παρουσιάστηκε όμως και το ακριβώς αντίθετο φαινόμενο όπου οι μαθητές διατυπώνουν σωστά την αποδεικτική μέθοδο, αλλά αδυνατούν να την εφαρμόσουν. Το γεγονός αυτό είναι σύμφωνο με το αντίστοιχο ερευνητικό εύρημα του Vinner (1991) πως η διατύπωση του ορισμού δε συνεπάγεται και την κατανόησή του. Επομένως, τις περισσότερες φορές οι μαθητές εφαρμόζουν τη μέθοδο μηχανικά, χωρίς την εννοιολογική κατανόηση της μαθηματικής δομής της. Κατά συνέπεια, μειώνονται τα ποσοστά επιτυχίας των μαθητών όταν πρόκειται για επίλυση μη τετριμμένων προβλημάτων και για ερωτήματα όπου μελετώνται η αναγκαιότητα και η σημασία του βασικού και του επαγωγικού βήματος. Επίσης, δε θα πρέπει να αγνοηθούν και οι σοβαρές αδυναμίες που εμφανίζουν οι μαθητές, στην έκφραση στον γραπτό λόγο, ειδικά εκεί όπου απαιτείται ακρίβεια και σαφήνεια. 184

195 Η Διδασκαλία της Μαθηματικής Επαγωγής στο Λύκειο Ένα άλλο ερευνητικό ερώτημα είναι κατά πόσο οι μαθητές αντιλαμβάνονται ότι η μαθηματική επαγωγή συνδέεται με την καλή διάταξη των φυσικών αριθμών. Από τα αποτελέσματα της έρευνας διαπιστώνεται ότι ελάχιστοι μαθητές το αντιλαμβάνονται. Το γεγονός αυτό πιθανώς να οφείλεται στο ότι οι μαθητές χρησιμοποιούν μηχανικά τους αριθμούς και δεν εστιάζουν στο ότι είναι διαδοχικοί (πολύ βοηθητική είναι, 1 η αναπαράσταση της μεθόδου π.χ. με τα ντόμινο). Όσον αφορά το ερευνητικό ερώτημα κατά πόσο οι μαθητές θεωρούν ότι οι δύο συνθήκες της μαθηματικής επαγωγής είναι ανεξάρτητες, αλλά και οι δύο απαραίτητες ώστε να ολοκληρωθεί η αποδεικτική διαδικασία, διαπιστώθηκε ότι ένα μεγάλο μέρος των μαθητών δεν αντιλαμβάνονται τη σημασία της βάσης της επαγωγής και το ρόλο της στον αποδεικτικό κανόνα modus ponens του προτασιακού λογισμού. Για παράδειγμα, ενώ θεωρούν πρόβλημα την απουσία του βασικού βήματος, δεν ελέγχουν την ισχύ του. Επιπρόσθετα, κάποιοι μαθητές θεωρούν πως αν δεν ισχύει το βασικό βήμα τότε δε θα ισχύει και το επαγωγικό. Οι μεγαλύτερες δυσκολίες όμως εμφανίστηκαν στο γεωμετρικό πρόβλημα. Όσοι μαθητές έκαναν κάποια προσπάθεια, δεν αξιοποίησαν καθόλου τη γεωμετρική εποπτεία. Συνεπώς, οι μαθητές στην πλειοψηφία τους θεωρούν «εύκολα» τα ερωτήματα που έχουν παραστάσεις αλγεβρικής μορφής και «δύσκολα» τα ερωτήματα που απαιτούν μια διαφορετική εφαρμογή της επαγωγικής απόδειξης, όπως είναι το έκτο ερώτημα του γραπτού (Wistedt & Brattstrom, 2005). Επιχειρώντας να απαντήσουμε στο ερευνητικό ερώτημα κατά πόσο οι μαθητές μπορούν να κάνουν εικασίες και αν αισθάνονται την ανάγκη να αποδείξουν και όχι απλά να γενικεύσουν τον επαγωγικό συλλογισμό τους (ερωτήματα 3 και 4), παρατηρούμε ότι οι περισσότεροι μαθητές του δείγματος δυσκολεύονται να βρουν μια σχέση η οποία εκφράζει την εικασία, ώστε στη συνέχεια να την αποδείξουν με μαθηματική επαγωγή. Αδυνατούν δηλαδή, να μεταφράσουν τη σκέψη τους σε μαθηματική γλώσσα και αυτό συμφωνεί με τα ευρήματα των ερευνητριών Nardi & Iannone (2003). Συνεπώς, στην πλειοψηφία τους οι μαθητές δε θεωρούν την εικασία ως κάτι διαφορετικό από την απόδειξη. Συνοψίζοντας, τα αποτελέσματα της παρούσας έρευνας καταδεικνύουν ότι πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη βαρύτητα στη μαθηματική δομή της μαθηματικής επαγωγής. Όταν οι μαθητές κατανοούν κάθε επιμέρους και ουσιαστικό χαρακτηριστικό της, καθώς επίσης το ρόλο και τη σημασία του στη συνολική δομή της, τότε είναι περισσότερο ικανοί να αντιμετωπίσουν με επιτυχία μια ποικιλία ερωτημάτων και προβλημάτων (αλγεβρικές ταυτότητες, αθροίσματα πεπερασμένων και άπειρων σειρών, θεωρία αριθμών, γεωμετρία κ.ά.). Καλό θα ήταν η μαθηματική επαγωγή να ιδωθεί και μέσα στο ευρύτερο 185

196 Σ. Λοϊζιάς, Ε. Χατζηγεωργίου πλαίσιο της απόδειξης ώστε οι μαθητές να αντιληφθούν βαθύτερα τη χρησιμότητα και τη δύναμή της. Εν κατακλείδι, η εμπλοκή των μαθητών με την έννοια της μαθηματικής επαγωγής θα πρέπει να περιλαμβάνει τη χαρά του πειραματισμού με την έννοια, την ανάπτυξη της ικανότητας να συγκροτούν εικασίες, τον έλεγχο της εικασίας και την εκτέλεση αποδείξεων με μαθηματική επαγωγή (Avital & Hansen, 1976). Έτσι οι μαθητές όχι μόνο κατανοούν την έννοια, αλλά αποκτούν και εικόνα για το πώς δημιουργούνται τα μαθηματικά (Avital & Hansen, 1976). Κατά συνέπεια, μπορούν να γίνουν ενεργητικοί παράγοντες της διαδικασίας της μάθησης, και οι γνώσεις τους ίσως γίνουν πιο σταθερές σε βάθος χρόνου. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Allen, L. (2001). Teaching mathematical induction: an alternative approach. Mathematics Teacher, vol. 94, no 6, Avital, S., & Hansen, R. (1976). Mathematical induction in the classroom. Educational Studies in Mathematics, 7, Avital, S., & Libeskind, S. (1978). Mathematical induction in the classroom: didactical and mathematical issues. Educational Studies in Mathematics, 9, Babai, L (1992). Transparent proofs. Focus. 12(3), 1-2. In Harel, G. & Sowder L. (1998), Students proof Schemes: Results from Exploratory Studies, JBMS Issues in Mathematics Education, Volume 7. Dubinsky, E. (1989). Teaching mathematical induction II. Journal of Mathematical Behavior, 8(3), Dubinsky, E., & Lewin, P. (1986). Reflective abstraction and mathematics education: the genetic decomposition of induction and compactness. Journal of Mathematical Behavior, 5, Ernest, P. (1984). Mathematical induction: a pedagogical discussion. Educational Studies in Mathematics, 15, Golovina, L., & Yaglom, I. (1979). Induction in geometry. Mir Publishers, Moscow. Movshovitz Hadar, N. (1993). The false coin problem, mathematical induction and knowledge fragility. Journal of Mathematical Behavior, 12,

197 Η Διδασκαλία της Μαθηματικής Επαγωγής στο Λύκειο Μυτιληναίος, Μ. (2004). Λογική. Αθήνα: Εκδόσεις Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών. Nardi, E., & Iannone, P. (2003). The rough journey towards a consistent mathematica proof: the P(n) P(n+1) step in mathematical induction. Proceedings of the 3 rd Mediterranean Conference on Mathematical Education, 3-5 January 2003, Athens, Greece, Πάλλα, Μ., (2006). Η Μαθηματική Επαγωγή και η κατανόησή της στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση. Διπλωματική εργασία. Polya, G. (1954). Mathematics and plausible reasoning. Vol. I: Induction and analogy in mathematics. Princeton University Press, New Jersey. Polya, G. (1998). Πώς να το λύσω. (Τ. Πατρώνης, Επιμέλεια ελληνικής έκδοσης). Αθήνα: Εκδόσεις Καρδαμίτσα. Recio, A., & Godino, J. (2001). Institutional and personal meanings of mathematical proof. Educational Studies in Mathematics, 48, Ron, G., & Dreyfus, T. (2004). The use models in teaching proof by mathematical induction. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, July 2004, Bergen, Norway, vol. 4, Τουμάσης, Μ. (2002). Σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών. Αθήνα: Εκδόσεις Gutenberg. Vinner, S. (1991). The role of definitions in teaching and learning mathematics. In D. Tall (ed), Advanced Mathematical Thinking, (pp ). Kluwer Academic Publishers. Wistedt, I., & Brattstrom, G. (2005). Understanding mathematical induction in a cooperative setting. In A. Chronaki, & I.M. Christiansen (Eds), Challenging Perspectives on Mathematics Classroom Communication, (pp ). Information Age Publishing. 187

198 Σ. Λοϊζιάς, Ε. Χατζηγεωργίου 188

199 ΟΙ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΤΩΝ ΠΤΔΕ ΣΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗΣ, ΤΩΝ ΙΣΩΝ ΜΕΡΩΝ ΤΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΑΤΑΧΡΗΣΤΙΚΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Ευγένιος Αυγερινός* & Ρόζα Βλάχου ** *Καθηγητής, **Δασκαλα, υποψ. Δρ Εργαστήριο Μαθηματικών Διδακτικής και Πολυμέσων- Πανεπιστήμιο Αιγαίου- Λ Δημοκρατίας 1, 85100, Ρόδος ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έρευνα αυτή, λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση που έχουν αποδώσει κάποιοι ερευνητές μεταξύ των δυσκολιών στην κατανόηση των κλασμάτων και του τρόπου διδασκαλίας τους, παρουσιάζει τα αποτελέσματα έρευνας που έγινε σε φοιτητές Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης (ΠΤΔΕ) με σκοπό να διερευνήσει τις αντιλήψεις που έχουν οι μελλοντικοί δάσκαλοι πάνω στις έννοιες της σειριοθέτησης των κλασμάτων ως αναπαράσταση στην αριθμογραμμή, καθώς και τις έννοιες του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη και των καταχρηστικών κλασμάτων με τη χρήση αναπαραστάσεων. Πιο συγκεκριμένα, τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι φοιτητές αντιμετωπίζουν σημαντικές δυσκολίες πάνω στις έννοιες αυτές. 1. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Στη βιβλιογραφία υπάρχει μια πληθώρα ερευνών που έχουν γίνει με σκοπό να εντοπιστούν και να ομαδοποιηθούν οι δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές πάνω στην πολυσυζητημένη έννοια των κλασμάτων και πιο συγκεκριμένα στις έννοιες της τοποθέτησης κλασμάτων στην αριθμογραμμή και στις έννοιες του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη και των καταχρηστικών κλασμάτων.

200 Ε. Αυγερινός, Ρ. Βλάχου Πιο συγκεκριμένα, σε έρευνα των Avgerinos et. al. (2012) που έγινε για τον εντοπισμό των δυσκολιών των παραπάνω εννοιών σε μαθητές και των τριών βαθμίδων εκπαίδευσης (Α/θμιας, Β/θμιας και Γ/θμιας) φάνηκε ότι και οι τρεις βαθμίδες εκπαίδευσης παρουσιάζουν σημαντικές δυσκολίες στο να τοποθετήσουν κλάσματα στην αριθμογραμμή, δυσκολίες που εντείνονται όταν τα κλάσματα είναι ετερώνυμα. Επίσης, αναφορικά με τη σύγκριση κλασμάτων παρατηρήθηκε ότι όλοι οι μαθητές και των τριών βαθμίδων παρουσιάζουν δυσκολίες που αυξάνονται όταν τα κλάσματα είναι ετερώνυμα ή καταχρηστικά. Αξιοσημείωτο είναι ότι στη σύγκριση ομώνυμων κλασμάτων η δυσκολία όχι μόνο δε βελτιώνεται κατά το πέρασμα των μαθητών στις επόμενες δύο βαθμίδες (Β/θμια και Γ/θμια), αλλά αντίθετα εντείνεται. Αναφορικά με το χωρισμό της μονάδας σε ίσα μέρη φάνηκε ότι οι μαθητές της Α/θμιας και της Β/θμιας εκπαίδευσης δυσκολεύονται με την κατανόηση του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη, δυσκολία που παραμένει και στην Γ/θμια εκπαίδευση. Όλες αυτές δυσκολίες που έχουν αναδυθεί από διάφορες έρευνες έχουν αποδοθεί σε ποικίλους παράγοντες. Σύμφωνα με τον Janvier (1987), τα περισσότερα σχολικά βιβλία σήμερα περιλαμβάνουν μια ποικιλία αναπαραστάσεων με σκοπό να προωθήσουν την κατανόηση της έννοιας των κλασμάτων. Ωστόσο, ο Lo (1993) σε έρευνά του αποδίδει τις δυσκολίες που υπάρχουν στην αντίληψη των κλασμάτων και των αναλογιών πιθανά στην ακατάλληλη μέθοδο της διδασκαλίας τους στην τάξη. Την ίδια άποψη υποστηρίζει και ο Streefland (1991) προσθέτοντας ότι η αποτυχία στη διδασκαλία της έννοιας του κλάσματος οφείλεται στην πολυπλοκότητα της έννοιας και στην παραδοσιακή προσέγγιση στα κλάσματα, η οποία είναι τυπική και μηχανική από την αρχή (Sfard, 1991). Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι υπάρχει μια κοινή συνιστώσα στην άποψη ότι ο τρόπος διδασκαλίας είναι ένας βασικός παράγοντας που επηρεάζει την μετέπειτα εξέλιξη της κατανόησης έννοιας στις αντιλήψεις των μαθητών. Είναι πολύ σημαντικό, λοιπόν, να δούμε ποιες είναι οι αντιλήψεις των μελλοντικών δασκάλων πάνω στις έννοιες των κλασμάτων, αφού δεν μπορεί να διδαχθεί μια έννοια σωστά εάν δεν την κατέχει κάποιος σε βάθος. Αν, δηλαδή, υπάρχουν στους φοιτητές ιδιότητας του zoom στην αριθμογραμμή. παρανοήσεις πάνω στα κλάσματα, αυτονόητο είναι ότι οι παρανοήσεις 190

201 Έννοιες της Αριθμογραμμής, Ίσων Μερών της Μονάδας και Καταχρηστικών Κλασμάτων αυτές θα μεταδοθούν και στους μαθητές όταν θα φτάσει ο καιρός να μπουν στην τάξη και να διδάξουν. Επιπρόσθετα, σε ανασκόπηση της βιβλιογραφίας που έγινε σε 20 διεθνή επιστημονικά περιοδικά για έρευνες που αφορούσαν τα κλάσματα και τις αναπαραστάσεις τους και που δημοσιεύτηκαν από το έτος 2006 έως και τον Ιούνιο του 2012 (Avgerinos & Vlachou, 2012a) παρατηρήθηκε ότι είναι ελάχιστες οι διδακτικές προσεγγίσεις και προτάσεις που έχουν γίνει από τους ερευνητές για τον τρόπο που μπορούν οι εκπαιδευτικοί να αντιμετωπίσουν διδακτικά και όχι μόνο αυτές τις δυσκολίες. Πιο συγκεκριμένα, όσο αφορά την αριθμογραμμή οι Brousseau et. al. (2007) πραγματοποίησαν μια σειρά παρεμβάσεων που περιελάμβαναν συνολικά 65 μαθήματα (σε 15 κύκλους) και πραγματοποιήθηκαν στην τέταρτη τάξη του σχολείου Michelet, με στόχο να οδηγήσουν τους μαθητές μέρα με την ημέρα στο να εφεύρουν, να κατανοήσουν και να γίνουν πολύ καλοί με όλες τις πτυχές δύο βασικών μαθηματικών δομών, των ρητών και των δεκαδικών αριθμών. Μια άλλη ερευνητική πρόταση για την αριθμογραμμή είναι αυτή των Sedig & Sumner (2006) οι οποίοι αναφέρονται στη σημαντικότητα των οπτικών μαθηματικών αναπαραστάσεων και στη χρήση ψηφιακών εργαλείων που τις διευκολύνουν. Ένα από αυτά τα εργαλεία είναι η χρήση της εστίασης (zoom) στην αριθμογραμμή (εικόνα 1). Η εστίαση αυξάνει ή μειώνει το επίπεδο των λεπτομερειών στην αριθμογραμμή επιτρέποντας στους μαθητές να οπτικοποιούν Εικόνα 2. Αναπαράσταση εκπαιδευτικού για το πως θα μοιράσει 8 πίτσες σε 10 ανθρώπους. τη διαίρεση των αριθμών σε ίσα μέρη και να γίνεται πιο κατανοητή η μετάβαση στο χώρο των ρητών αριθμών. Αναφορικά με την κατανόηση του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη, στην έρευνά τους οι Olive & Vomvoridi (2006) προτείνουν να αποφεύγονται λαθεμένες αναπαραστάσεις από τους εκπαιδευτικούς όπως αυτή της εικόνας 2, όπου δεν τηρείται, απεικονιστικά τουλάχιστον, η διαίρεση της μονάδας σε ίσα μέρη κάτι που μπορεί να οδηγήσει τους μαθητές στην πεποίθηση της μη αναγκαιότητας του χωρισμού της Εικόνα 3. Αναπαράσταση 6/5 191

202 Ε. Αυγερινός, Ρ. Βλάχου μονάδας σε ίσα μέρη. Σχετικά με τα καταχρηστικά κλάσματα ο Hackenberg (2007) για την προσέγγιση της έννοιας χρησιμοποίησε το λογισμικό JavaBars το οποίο επιτρέπει στους μαθητές να σχεδιάσουν παραλληλόγραμμα σε ποικιλία διαστάσεων (εικόνα 3). Στην έρευνά του, σημειώνοντας τη σημασία που έχει η ικανότητα κατασκευής καταχρηστικών κλασμάτων για την τοποθέτηση των αριθμών στην αριθμογραμμή, για την κατασκευή κλασματικών αριθμών που ανοίγουν το δρόμο για την ανάπτυξη μιας αίσθησης συνεκτικότητας και συνέχειας των αριθμών, υποστηρίζει ότι για τη δημιουργία καταχρηστικών κλασμάτων απαιτείται η εσωτερίκευση από τους μαθητές και των τριών επιπέδων γραφικής αναπαράστασης της μονάδας κάτι που μπορεί να επιτευχθεί με το λογισμικό JavaBars (εικόνα 3). Τέλος, οι Αυγερινός και Βλάχου (2012b) παρουσίασαν στην έρευνά τους διδακτικές προσεγγίσεις της έννοια της σειριοθέτησης των κλασμάτων ως αναπαράσταση στην αριθμογραμμή (εικόνα 4), καθώς και των έννοιών του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη και των Εικόνα 4. Βιωματική αναπαράστατη της αριθμογραμμής καταχρηστικών κλασμάτων με τη χρήση βιωματικών και εικονικών αναπαραστάσεων με σκοπό να δώσουν προτάσεις διδακτικές για την αντιμετώπιση των δυσκολιών των μαθητών σε αυτές τις έννοιες. Τα αποτελέσματα έδειξαν βελτίωση των επιδόσεων των μαθητών μετά από τις διδακτικές προσεγγίσεις, γεγονός που αφενός επιβεβαιώνει τις απόψεις των Janvier (1987), Lo (1993) και Streefland (1991) για τη σημασία που έχει ο τρόπος διδασκαλίας στην εμμονή των δυσκολιών στα κλάσματα και αφετέρου επιβάλλει την έρευνα σε φοιτητές των ΠΤΔΕ για τις αντιλήψεις τους στα κλάσματα, αφού αυτοί είναι που θα κληθούν να διδάξουν τους μαθητές. 2. Η ΕΡΕΥΝΑ 2.1. Σκοπός της έρευνας Η παρούσα έρευνα, λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση που έχουν αποδώσει οι διάφοροι ερευνητές στον τρόπο διδασκαλίας και στις δυσκολίες των μαθητών πάνω στην έννοια των κλασμάτων, σκοπό έχει να ελέγξει τις αντιλήψεις των φοιτητών των ΠΤΔΕ πάνω σε διάφορες έννοιες των κλασμάτων, αφού αυτοί είναι που θα κληθούν να διδάξουν στους μαθητές τα κλάσματα και η επιτυχία ή αποτυχία της διδασκαλίας θα 192

203 Έννοιες της Αριθμογραμμής, Ίσων Μερών της Μονάδας και Καταχρηστικών Κλασμάτων εξαρτηθεί και από τις αντιλήψεις που έχουν αυτοί για τα κλάσματα. Πιο συγκεκριμένα, οι επιμέρους στόχοι είναι οι εξής: Να εντοπιστούν οι αντιλήψεις των φοιτητών των ΠΤΔΕ στην έννοια της αριθμογραμμής. Να διερευνηθούν οι αντιλήψεις που έχουν οι φοιτητές των ΠΤΔΕ στην έννοια των ίσων μερών της μονάδας. Να εντοπιστούν οι αντιλήψεις που έχουν οι φοιτητές των ΠΤΔΕ στην έννοια του καταχρηστικού κλάσματος Μεθοδολογία της έρευνας Δείγμα Τον πληθυσμό της έρευνας αποτέλεσαν 80 πρωτοετείς φοιτητές ΠΤΔΕ, οι οποίοι προέρχονται από διάφορα μέρη της Ελλάδας και μετά την αποφοίτησή τους θα κληθούν να διδάξουν σε οποιοδήποτε μέρος της Ελλάδας. Εργαλεία της έρευνας Για την επίτευξη των στόχων της έρευνας χρησιμοποιήθηκε δοκίμιο, το οποίο καταρτίστηκε από τους ερευνητές, για την εξέταση των αντιλήψεων και των δυσκολιών των φοιτητών. Στο δοκίμιο δημιουργήθηκαν 20 διαφορετικές μεταβλητές. Για τη βαθμολόγηση των έργων του δοκιμίου χρησιμοποιήθηκε η κλίμακα 0-1. Τα έργα βαθμολογήθηκαν με 0 (μηδέν) αν ήταν λαθεμένα η δεν είχαν συμπληρωθεί καθόλου και με 1 (ένα) αν τα έργα ήταν σωστά. Το δοκίμιο δόθηκε το Μάρτιο του Μεταβλητές της έρευνας Οι 20 μεταβλητές της έρευνας ορίστηκαν ως συνδυασμός γραμμάτων κι ενός αριθμού. Τα γράμματα δηλώνουν τα αρχικά της έννοιας που εξετάζεται. Για παράδειγμα η μεταβλητή NLi6i αποτελείται από τα αρχικά της πρότασης Number Line, γιατί εξετάζεται η τοποθέτηση του κλάσματος πάνω στην αριθμογραμμή και ο αριθμός 6i δηλώνει το ερώτημα του δοκιμίου (πρόκειται για το υποερώτημα i του ερωτήματος 6). Ανάλυση δεδομένων Για την ανάλυση των δεδομένων της έρευνας χρησιμοποιήθηκε το Συνεπαγωγικό Στατιστικό Μοντέλο του Gras (SIA-Statistical Implicative Analysis) με 193

204 Ε. Αυγερινός, Ρ. Βλάχου τη χρήση του λογισμικού CHIC (Cohesive Hierarchical Implicative Classification) (Gras, 1996) και το πρόγραμμα Microsoft Excel. Η συνεπαγωγική ανάλυση των δεδομένων παρουσιάζεται στην παρούσα έρευνα με το διάγραμμα ομοιότητας, στο οποίο οι μεταβλητές συνδέονται μεταξύ τους ανάλογα με την ομοιότητα ή μη που παρουσιάζουν. Μεταβλητές κατά την επίλυση των οποίων τα υποκείμενα συμπεριφέρνονται με όμοιο τρόπο ομαδοποιούνται μαζί. 3. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 3.1.Ποσοστά επιτυχίας στα δοκίμια Παρατηρήσεις στα ποσοστά επιτυχίας Αναφορικά με την σειριοθέτηση των αριθμών, παρατηρούμε ότι οι φοιτητές παρουσιάζουν σημαντικές δυσκολίες στο να βρίσκουν ένα κλάσμα μεταξύ δύο κλασμάτων όπως δείχνουν τα χαμηλά ποσοστά των αντίστοιχων μεταβλητών (Ord7z:36%, Ord7h:23%). Τα ποσοστά επιτυχίας αυξάνονται όταν ζητείται να βρεθούν τα κλάσματα πάνω στην αριθμογραμμή (εικόνα 5), αλλά και αυτά τα ποσοστά (53% και 57%) δείχνουν τη δυσκολία που έχουν οι φοιτητές να τοποθετούν κλάσματα στην αριθμογραμμή, καθώς σχεδόν μόνο οι μισοί φοιτητές κατάφεραν να λύσουν σωστά την άσκηση. 194

205 Έννοιες της Αριθμογραμμής, Ίσων Μερών της Μονάδας και Καταχρηστικών Κλασμάτων Σχετικά με την έννοια του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη παρατηρούμε ότι οι φοιτητές δεν αντιμετωπίζουν κανένα πρόβλημα στο να βρουν το κλάσμα που αντιπροσωπεύει ένα σχήμα όταν η μονάδα είναι χωρισμένη σε τόσα ίσα μέρη Εικόνα 5. Ποιο κλάσμα δείχνουν τα βέλη στην αριθμογραμμή; όσα λέει ο παρονομαστής (FrD1c:96%, FrD1d100%). Κάποιοι φοιτητές αρχίζουν να δυσκολεύονται όταν τα μέρη που είναι χωρισμένη η μονάδα δεν ταυτίζεται με τον παρονομαστή του κλάσματος (EqD1a:80%, EqD1b:72%). Οι δυσκολίες γίνονται πιο εμφανείς όταν το πλαίσιο της ερώτησης φεύγει από τις συμβατικές διατυπώσεις του τύπου «Πόσα είναι σκιασμένα;». Εικόνα 6. Άσκηση δοκιμίουεικόνα 1. Διάφορες εφαρμογές από τη χρήση της Εικόνα 7. Ποιο κλάσμα αντιπροσωπεύει το σχήμα; Εικόνα 8. Ποιο κλάσμα αντιπροσωπεύει το σχήμα; 195

206 Ε. Αυγερινός, Ρ. Βλάχου Για παράδειγμα, στις ασκήσεις της εικόνας 6 τα ποσοστά επιτυχίας έπεσαν μέχρι 55% (FrD7e) και στην άσκηση της εικόνας 7 τα ποσοστά μειώθηκαν στο 47% (FrD3st). Ωστόσο, φαίνεται τελικά ότι οι φοιτητές δεν έχουν κατανοήσει τη σημαντικότητα του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη, καθώς κανένας φοιτητής δεν έδωσε σωστή απάντηση σε άσκηση αναγνώρισης του κλάσματος από σχήματα που δεν ήταν χωρισμένα σε ίσα μέρη (εικόνα 8) (EqPart3b:0%). Όσον αφορά στην έννοια των καταχρηστικών κλασμάτων κι εδώ παρατηρούμε σημαντικές δυσκολίες των φοιτητών στο να αναγνωρίσουν ή να αναπαραστήσουν σχηματικά ένα καταχρηστικό κλάσμα (MxD3e:14%, Mix7ic:24%) Διαγράμματα ομοιότητας Παρατηρήσεις στο διάγραμμα ομοιότητας EqD1a EqD1b MxD3e Ord7z Ord7h Mix7ic NLi6i NLi6ii FrD7d FrD7e FrD7st FrD1c FrD1d FrD3a EqPart3d Comb7c EqPart3c FrD3st MxCom4d EqPart3b Ομάδα Α Διάγραμμα 1: Διάγραμμα ομοιότητας των απαντήσεων των φοιτητών Similarity : H:\Rosa\ROZA_WD\ROZA\ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ\Πανεπιστ ήμιο\μετ απτ υχιακά\phd\representations\ερευνεσ\δημοσιευμενεσ\ \6.κυπροσ\αναλυση\metavlites.csv Ομάδα Β Το διάγραμμα ομοιότητας (Διάγραμμα 1) παρουσιάζει τις ομαδοποιήσεις των μεταβλητών με βάση τη συμπεριφορά των υποκειμένων κατά την επίλυσή τους και εκφράζουν τις σχέσεις ομοιότητας που ενδεχομένως να έχουν αυτές οι μεταβλητές μεταξύ τους. Στο 196

207 Έννοιες της Αριθμογραμμής, Ίσων Μερών της Μονάδας και Καταχρηστικών Κλασμάτων διάγραμμα 1 έχουν σχηματιστεί δύο μεγάλες ομάδες, η ομάδα Α, στην οποία έχουν σχηματιστεί και οι πιο ισχυρές σχέσεις του διαγράμματος και η ομάδα Β. Βάσει των παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε τα εξής: 1. Αναφορικά με τις μεταβλητές που αφορούν στην αριθμογραμμή, στο διάγραμμα ομοιότητας παρατηρούμε ότι σχηματίζεται η πιο ισχυρή σχέση ομοιότητας μεταξύ τους που πλησιάζει το 1 (μεταξύ των μεταβλητών NLi6i και NLi6ii της ομάδας Α). Επίσης, στην ίδια ομάδα έχουμε άλλη μια ισχυρή σχέση που αγγίζει το 1 μεταξύ των μεταβλητών Ord7z, Ord7h οι οποίες αφορούν στην εύρεση κλάσματος μεταξύ δύο άλλων κλασμάτων και της Mix7ic που αφορά στο σχηματισμό αναπαράστασης ενός καταχρηστικού κλάσματος. Φαίνεται, λοιπόν, από τις συνδέσεις αυτές πως τόσο η εύρεση ενός κλάσματος μεταξύ δύο κλασμάτων όσο και ο σχεδιασμός μιας αναπαράστασης για την παρουσίαση ενός καταχρηστικού κλάσματος δυσκόλεψε στον ίδιο βαθμό τους φοιτητές. Αυτό αποδεικνύεται και από τα χαμηλά ποσοστά (36%, 24% και 23% αντίστοιχα, τα χαμηλότερα του δοκιμίου), που πέτυχαν οι φοιτητές σε αυτά τα έργα και από τη σύνδεσή τους με ισχυρή σχέση που αγγίζει το Όσον αφορά τις μεταβλητές που σχετίζονται με την έννοια του καταχρηστικού κλάσματος (ΜxD3e, Mx7ic), παρατηρούμε, όπως και παραπάνω, ότι αυτές συνδέονται άμεσα με τις μεταβλητές που αφορούν στην εύρεση ενός κλάσματος μεταξύ δύο άλλων κλασμάτων (Ord7z, Ord7h) και μάλιστα συνδέονται μεταξύ τους με μια σημαντική σχέση. Οι συνδέσεις αυτές δείχνουν στοιχεία ομοιότητας κατά την επίλυσή τους, γεγονός που δείχνει πόσο σημαντικές δυσκολίες αντιμετωπίζουν οι φοιτητές σε αυτές τις δύο έννοιες (όπως αναφέραμε παραπάνω, πρόκειται για τις 4 μεταβλητές που συγκέντρωσαν τα χαμηλότερα ποσοστά επιτυχίας στο δοκίμιο). 3. Επιπρόσθετα, παρατηρούμε ότι οι μεταβλητές που σχετίζονται με την κατανόηση του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη δε συνδέονται με άλλες μεταβλητές, αλλά μεταξύ τους. Στην ομάδα Α αποτελούν μια υποομάδα οι μεταβλητές FrD7d, FrD7e και FrD7st που αφορούν στην εύρεση του μέρους της μονάδας με μια διαφορετική διατύπωση (εικόνα 6) και μια άλλη υποομάδα οι μεταβλητές EqD1a και EqD1b που αφορούν στην εύρεση κλάσματος από σχεδιάγραμμα που τα μέρη που είναι χωρισμένη η μονάδα δεν ταυτίζονται με τον παρονομαστή του κλάσματος. Είναι αναμενόμενη αυτή η σύνδεση των μεταβλητών, αφού στην ουσία πρόκειται για τα ίδια έργα που παρουσιάζονται με διαφορετικά παραδείγματα, άρα και οι δυσκολίες που οι φοιτητές αντιμετώπισαν ήταν οι ίδιες. Τέλος, παρατηρούμε ότι σχεδόν όλες οι μεταβλητές της ομάδας Β έχουν να κάνουν με την έννοια του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη, με τη μεταβλητή EqPart3b, η οποία αφορά στον εντοπισμό κλάσματος από αναπαράσταση που η μονάδα δεν είναι χωρισμένη σε ίσα μέρη (εικόνα 8), να μη συνδέεται με καμιά άλλη μεταβλητή, αφού όλοι οι φοιτητές απάντησαν λάθος σε αυτό 197

208 Ε. Αυγερινός, Ρ. Βλάχου το πρόβλημα, γεγονός που δείχνει ότι δεν έχει κατανοηθεί από τους φοιτητές η έννοια του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη και η σημαντικότητα αυτής της παραμέτρου. 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην έρευνα αυτή παρουσιάστηκαν οι δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι φοιτητές των ΠΤΔΕ, όπως αυτές φάνηκαν από την ανάλυση των δοκιμίων, πάνω στις έννοιες της σειριοθέτησης των κλασμάτων ως αναπαράσταση στην αριθμογραμμή, καθώς και στις έννοιες του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη και των καταχρηστικών κλασμάτων με τη χρήση αναπαραστάσεων. Τα αποτελέσματα, τόσο από τις αναλύσεις του διαγράμματος ομοιότητας όσο και από την ανάλυση σε ποσοστά των απαντήσεων των φοιτητών, συνοψίζονται στα εξής σημεία: Οι φοιτητές αντιμετωπίζουν σημαντικές δυσκολίες στην εύρεση ενός κλάσματος μεταξύ δύο κλασμάτων και στην εύρεση κλασμάτων πάνω στην αριθμογραμμή. Εξίσου σημαντικές δυσκολίες φαίνεται να αντιμετωπίζουν οι φοιτητές και στην έννοια του καταχρηστικού κλάσματος, καθώς τα έργα με τις σχετικές έννοιες σημείωσαν τα χαμηλότερα ποσοστά επιτυχίας. Σχετικά με την έννοια του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη παρατηρούμε ότι οι φοιτητές δεν αντιμετωπίζουν κανένα πρόβλημα στο να βρουν το κλάσμα που αντιπροσωπεύει ένα σχήμα όταν η μονάδα είναι χωρισμένη σε τόσα ίσα μέρη όσα λέει ο παρονομαστής. Οι φοιτητές αρχίζουν να αντιμετωπίζουν δυσκολίες όταν τα μέρη που είναι χωρισμένη η μονάδα δεν ταυτίζονται με τον παρονομαστή του κλάσματος. Οι δυσκολίες γίνονται πιο εμφανείς όταν το πλαίσιο της ερώτησης φεύγει από τις συμβατικές διατυπώσεις και αναπαραστάσεις. Τελικά, φαίνεται ότι οι φοιτητές δεν έχουν κατανοήσει την έννοια των ίσων μερών της μονάδας, καθώς κανένας φοιτητής δεν έδωσε σωστή απάντηση σε άσκηση αναγνώρισης του κλάσματος από σχήματα που δεν ήταν χωρισμένα σε ίσα μέρη. Οι παραπάνω δυσκολίες και λαθεμένες αντιλήψεις των φοιτητών των ΠΤΔΕ που αναδείχθηκαν από την παρούσα έρευνα πρέπει να θέσουν προβληματισμούς για το πως θα μπορέσουν οι μελλοντικοί δάσκαλοι να διδάξουν σωστά τα κλάσματα στους μαθητές εάν οι ίδιοι ακόμη έχουν σοβαρές παρανοήσεις και δυσκολίες πάνω σε αυτά 198

209 Έννοιες της Αριθμογραμμής, Ίσων Μερών της Μονάδας και Καταχρηστικών Κλασμάτων και ταυτόχρονα να θέσουν σε εγρήγορση τους ερευνητές για την εύρεση μηχανισμών και μεθόδων που θα βοηθήσουν στην αντιμετώπιση αυτού του σοβαρού ζητήματος. 5. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Αυγερινός, E., & Βλάχου, Ρ., (2012b). Κλάσματα και αναπαραστάσεις: Μια διδακτική προσέγγιση στις έννοιες της αριθμογραμμής, των ίσων μερών της μονάδας και των καταχρηστικών κλασμάτων. Πρακτικά για το 29o Πανελλήνιο Συνέδριo Μαθηματικής Παιδείας, Μαθηματικά : Θεωρία Πράξη Προεκτάσεις, σελ Καλαμάτα, Νοέμβριος Avgerinos, E., Vlachou, R., & K. Kantas (2012). Comparing different age student abilities on the concept and manipulation of fractions. Ιn E. Avgerinos & A. Gagatsis (Eds), Research on Mathematical Education and Mathematics Applications, pp , University of the Aegean, Rhodes. Avgerinos, E. & Vlachou, R., (2012a). Current trend and studies on representation of fractions. In Α.Gagatsis (Eds), Proceedings of MEDCONF 2012, 7th Mediterranean Conference on Mathematics Education, pp , UofCyprus, Cyprus Math Soc. Brousseau, G., Brousseau, N. & Warfield V., (2007). Rationals and decimals as required in the school curriculum Part 2: From rationals to decimals, The Journal of Mathematical Behavior, 26(4), Gras, R. (1996). Implicative statistical analysis. In A. Gagatsis (Ed), Didactics and history of Mathematics, pp University of Thessaloniki. Hackenberg, A., J., (2007). Units coordination and the construction of improper fractions: A revision of the splitting hypothesis, The Journal of Mathematical Behavior, 26(1), Janvier, C. (1987). Translation Processes in Mathematics Education. In C. Janvier (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics, pp Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Lo, J-J. (1993). Conceptual Bases of young Children s Solution Strategies of Missing value Proportional Tasks. Psychology of Mathematics Education, Proceedings of Seventeenth PME International Conference, pp

210 Ε. Αυγερινός, Ρ. Βλάχου Olive, J. & Vomvoridi, E., (2006). Making sense of instruction on fractions when a student lacks necessary fractional schemes: The case of Tim, Journal of Mathematical Behavior 25(1), Sedig, K. & Sumner, M., (2006). Characterizing interaction with visual mathematical representations, International Journal of Computers for Mathematical Learning, 11(2), Sfard, A. (1991). On the Dual Nature of Mathematical Conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies inmathematics, 22, Streefland, L. (1991). Fractions in Realistic Mathematics Education: A paradigm of developmental research. Dordrecht, Τhe Netherlands: Kluwer. 200

211 ΓΙΑΤΙ ΕΙΝΑΙ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΗ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ; Δ. Γ. Κοντογιάννης Πρώην σύμβουλος Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Ελλάδος ΠΕΡΙΛΗΨΗ Από τις απαρχές ακόμη της επιστήμης της Γεωμετρίας, έγινε σαφής ο πρακτικός της χαρακτήρας, όπως άλλωστε αναφέρει και το όνομά της. Ώστε η ίδια η επιστήμη της Γεωμετρίας είχε σαν κύριο σκοπό την αντιμετώπιση πρακτικών προβλημάτων τόσο της Επιστήμης γενικά, όσο και της καθημερινής ζωής. Με το άρθρο αυτό θέλουμε να αναδείξουμε την αξία της διδασκαλίας της Γεωμετρίας και την αναβάθμιση της στα αναλυτικά προγράμματα των Μαθηματικών στην Μέση Εκπαίδευση. Οι ιστορικοί της επιστήμης αναφέρουν, ότι οι ερευνητές (όπως π.χ ο Θαλής ο Μιλήσιος) όταν έκαναν μια Γεωμετρική ανακάλυψη, αμέσως την εφάρμοζαν στην Αστρονομία και σε άλλες επιστήμες. Για παράδειγμα ο μεγάλος Πυθαγόρας εφάρμοσε τις αριθμητικές του ανακαλύψεις στην δημιουργία Μουσικής Θεωρίας. Αυτά που αναφέραμε αφορούσαν την Αρχαία Ελληνική Γεωμετρία. Αλλά ποιος είναι σήμερα ο χαρακτήρας της επιστήμης της Γεωμετρίας. Αντίθετα με ότι θα περίμενε κανείς, ο πρακτικός χαρακτήρας της επιστήμης αυτής όχι μόνο παραμένει, αλλά βαίνει αυξανόμενος, κυρίως μετά την ανακάλυψη των μη-ευκλείδιων Γεωμετριών, της θεωρίας της Σχετικότητας, την ανακάλυψη του DNA και των Fractals. Δεν έχει περάσει πολύς καιρός από την ομιλία του καθηγητού του Cambridge κ. Φωκά στο ετήσιο συνέδριο της ΚΥΜΕ που είχε γίνει στην Λάρνακα, ανέφερε ότι η κατασκευή του μαγνητικού Τομογράφου, στηρίζεται σε ένα γνωστό Θεώρημα της Γεωμετρίας, το θεώρημα Radon. Κάποιος θα ρωτούσε ειρωνικά: Δηλαδή η Γεωμετρία βοηθά τη Ζωή; Η απάντηση είναι χαρακτηριστική. Όχι η Γεωμετρία δεν βοηθά τη Ζωή, γιατί η ίδια η Ζωή είναι μια Γεωμετρική ιδιότητα. Σήμερα μπορούμε να το πούμε αυτό

212 Δ.Γ.Κοντογιάννης γιατί το βεβαιώνει η δομή του DNA. Είναι πράγματι σήμερα γνωστό, ότι κάθε γονίδιο έχει σταθερή θέση στο DNA, άρα προφανώς οι ιδιότητες ενός ατόμου καθορίζονται από τη θέση των γονιδίων στο DNA, δηλαδή από την Γεωμετρία της διπλής έλικας. Θα πρέπει να αναφέρουμε ακόμη ότι η θεωρία της σχετικότητας έχει μια αξιόλογη άποψη για την ζωή και το θάνατο των ανθρώπων, άποψη που ταυτίζεται με αυτή του αρχαίου φιλοσόφου, σύμφωνα με την οποία δεν υπάρχει θάνατος ούτε γέννηση. Αυτά βέβαια δεν γίνονται κατανοητά χωρίς τη βαθειά και ουσιαστική γνώση της Φυσικής και ιδιαίτερα της Θεωρίας της Σχετικότητας, γι αυτό θα αναφερθούμε σε ένα τελευταίο παράδειγμα αληθινό- για την χρησιμότητα της Γεωμετρία και μάλιστα της Ευκλείδιας. Είναι γνωστό ότι ο Πλάτωνας ήταν αυτός που βρήκε ότι τα κανονικά πολύγωνα είναι 5 (τα πέντε πλατωνικά στερεά δηλαδή κανονικό τετράεδρο, κύβος, κανονικό 8-εδρο, κανονικό 12-εδρο και κανονικό 20-εδρο) ενώ ο Ευκλείδης απέδειξε ότι αυτά είναι ακριβώς 5, γύρω στο 360 π. χ. Μετά από 2100 χρόνια, ένας μεγάλος μαθηματικός, ο Leonard Euler ανακάλυψε και απέδειξε ένα τύπο που φέρει το όνομά του, τον γνωστό τύπο του Euler για τα κυρτά πολύεδρα : Κ + Ε = Α + 2 (Μνημονικός κανόνας: Κωνσταντίνος και Ελένη, ήταν άγιοι και οι 2). Ο τύπος αυτός μας λέει ότι αν έχουμε ένα κυρτό στερεό π.χ ένα τετράεδρο, τότε ο αριθμός των κορυφών του (4) συν τον αριθμό των εδρών του (4) είναι ίσος με τον αριθμό των ακμών (6) συν 2. Πράγματι = Στον κύβο έχουμε Κ = 8, Ε = 6, Α = 12 και ο τύπος δίνει Κ + Ε = = Α + 2 = = 14. Στην Ελλάδα την εποχή μεταξύ οι μαθητές διδάσκονταν τον προαναφερθέντα τύπο. Η ιστορία που θα διηγηθούμε είναι αληθινή και συνέβη στην Βουλγαρία τη δεκαετία του 1970, όπως μας είχαν διηγηθεί Βούλγαροι συνάδερφοι. Στα μέσα της δεκαετίας του 1960 τελείωσε την Αρχιτεκτονική Σχολή του Πολυτεχνείου της Σόφιας ένας επιμελής και πολλά υποσχόμενος φοιτητής. Την ίδια εποχή στο Παρίσι έγινε μια έκθεση Αρχιτεκτονικής στην οποία ο νεαρός Βούλγαρος αρχιτέκτονας θέλησε να ενημερωθεί. Αυτό βέβαια, όπως θα θυμούνται οι πιο ηλικιωμένοι ακροατές δεν ήταν καθόλου εύκολο. Στο τέλος όμως τα κατάφερε να επισκεφθεί την έκθεση στο Παρίσι. Αυτό που τον εντυπωσίασε περισσότερο ήταν ένα περίπτερο σε σχήμα κανονοκού 12-εδρου, που το φωτογράφησε από όλες τις πλευρές, το μελέτησε και σκέφθηκε ότι ίσως κάποτε και αυτός δημιουργούσε ένα τέτοιο κτίσμα. Λίγο αργότερα πέθανε η κόρη του προέδρου της Βουλγαρίας, Ζίβκωφ, και η κυβέρνηση αποφάσισε να αναγείρει σε πάρκο της Σόφιας ένα πνευματικό κέντρο σε ανάμνηση της Ζίφκοβα, που υπάρχει ακόμη και σήμερα. Σύντομα προκηρύχτηκε διαγωνισμός για το σχέδιο του κέντρου και ο νεαρός μας αρχιτέκτονας αποφάσισε να 202

213 Γιατί είναι απαραίτητη η διδασκαλία της Γεωμετρίας; πάρει μέρος και μάλιστα με το ίδιο κτίσμα που είχε δει στην έκθεση στο Παρίσι. Για να μην κατηγορηθεί όμως για αντιγραφέας, αποφάσισε να τροποποιήσει λίγο το σχέδιο του κανονικού 12-εδρου. Αντί λοιπόν οι έδρες του 12-εδρου να είναι πεντάγωνα, αυτός αποφάσισε να τις κάνει κανονικά εξάγωνα. Ρίχτηκε λοιπόν στην δουλειά και σε λίγο καιρό είχε ετοιμάσει την μακέτα του κτιρίου. Με έκπληξη τότε διαπίστωσε, ότι το οικοδόμημα δεν μπορούσε να ισορροπήσει ακουμπώντας στο δάπεδο. Ο αρχιτέκτονας απέδωσε τις ατέλειες στην κακή κατασκευή της μακέτας. Όσο όμως και να προσπάθησε να κάνει διορθώσεις το αποτέλεσμα ήταν αρνητικό. Μετά από πολλές ανεπιτυχείς προσπάθειες, ο αρχιτέκτονας αποφάσισε να απευθυνθεί στην έδρα της Γεωμετρίας του Πανεπιστημίου της Σόφιας, όπου εξέθεσε το πρόβλημα του σε ένα καθηγητή. Ο καθηγητής, αφού τον άκουσε προσεκτικά, τον ρώτησε αν γνωρίζει τα πλατωνικά στερεά, το θεώρημα του Euler και αν διδάχθηκε Στερεομετρία. Από τότε οι Βούλγαροι μαθητές διδάσκονται συστηματικά Στερεομετρία στο Λύκειο. 203

214 Δ.Γ.Κοντογιάννης 204

215 ΠΛΑΚΟΣΤΡΩΣΕΙΣ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Σάββας Τιμοθέου και Ανδρέας Φιλίππου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα μελέτη στόχος είναι να διερευνηθούν οι τρόποι με τους οποίους κάποιος μπορεί να καλύψει το επίπεδο χρησιμοποιώντας κανονικά πολύγωνα. Αναφέρουμε κάποιους βασικούς πρώτους ορισμούς στο τι είναι κανονικό πολύγωνο καθώς και ιδιότητές τους όσο αφορά τις πλευρές και τις γωνίες του. Αναφέρεται τι είναι πλακόστρωση (ή επίστρωση) επιπέδου με κανονικά πολύγωνα στην Ευκλείδεια Γεωμετρία και με ποιές περιπτώσεις μπορεί να γίνει αυτό. Διαχωρίζουμε τις πλακοστρώσεις σε κανονικές και ημικανονικές, με κύριο στόχο να βρούμε μέσω της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, όλες τις περιπτώσεις κάλυψης του επιπέδου με χρήση κανονικών πολυγώνων, αλλά και να διαχωρίσουμε στο τέλος την τοπική από την ολική πλακόστρωση. Στη συνέχεια βλέπουμε από διδακτικής πλευράς, ποιες βασικές μαθηματικές έννοιες μπορούν να κατακτηθούν μέσα από την ομορφιά και την αρμονία που δίνουν οι πλακοστρώσεις. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο όρος πλακοστρώσεις προϋπήρχε χρόνια πριν, όταν οι αρχαίοι προσπαθούσαν για να βρουν τρόπους να γεμίσουν πλήρως ένα πάτωμα ή κάποιο τοίχο με πλάκες. Με τον όρο αυτό γενικά εννοούμε τη συγκεκριμένη διάταξη πλακών ώστε να γεμίζουν πλήρως το επίπεδο, χωρίς να μένουν κενά. Σε μεγάλο μέρος της ιστορίας της τέχνης οι πλακοστρώσεις εμφανίζονται από την Αρχαία αρχιτεκτονική μέχρι και τις μέρες μας με την μοντέρνα τέχνη. Η αντίστοιχη αγγλική λέξη «tessallate» προέρχεται από την Ιωνική μεταποίηση της λέξης «τέσσερις». Στα λατινικά tessella είναι το υποκοριστικό της ψηφίδας που ήταν ένα μικρό τετραγωνάκι ή ένα κυβικό κομμάτι είτε από πέτρα είτε από πηλό, όπου και το χρησιμοποιούσαν στα ψηφιδωτά. Τα πρώτα επίπεδα καλύφθηκαν με τετράγωνες πλάκες. Ένα μωσαϊκό είναι βασικά μια επικάλυψη κάποιου χώρου με ένα συγκεκριμένο μοτίβο, ώστε να μην μένει ακάλυπτη περιοχή. Επιστημονικές και τεκμηριωμένες μελέτες για τις πλακοστρώσεις έχει κάνει πρώτος ο Kepler το 1619.

216 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου Αν και τα μαθηματικά και η τέχνη γενικότερα, αποτελούν δυο διαφορετικά πεδία της ανθρώπινης δραστηριότητας, εντούτοις μπορούν να συνδυαστούν και να δώσουν δημιουργίες και κατασκευές εντυπωσιακής πολυπλοκότητας και εκπληκτικής ομορφιάς. Σημαντικές πλακοστρώσεις εμφανίζονται στην τέχνη του Ολλανδού καλλιτέχνη M.C Echer ( ), ο οποίος φυσικά είχε εμπνευσθεί μετά από επίσκεψη του στο Αραβικό παλάτι της Αλάμπρας της Ισπανίας. Οι πλακοστρώσεις όμως που η ίδια η φύση μας προσφέρει είναι πράγματι άξιο θαυμασμού και μελέτης. Δεν θα μπορέσει κάποιος να αρνηθεί την ομορφιά που παρουσιάζουν οι κερήθρες των μελισσών με τα εξαγωνικά κελιά που βρίσκονται σε σειρές, καθώς και τα μοτίβα που παρουσιάζονται κυρίως στα πέταλα των λουλουδιών, στα φύλλα και στους φλοιούς των δένδρων, αλλά και σε πολλά φρούτα. Την άμεση αυτή σχέση που υπάρχει στην ομορφιά της φύσης και στην τέχνη, δεν πρέπει να την προσπερνάμε, αλλά να την απολαμβάνουμε και κυρίως ως Μαθηματικοί να την μελετάμε συνδέοντάς την με την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Κανονικά Πολύγωνα Ένα δάπεδο μπορεί να καλυφθεί με διάφορους τρόπους. Θα διερευνήσουμε ακριβώς εκείνες τις επικαλύψεις, όπου τα σχήματα τα οποία θα χρησιμοποιούνται θα είναι τα κανονικά πολύγωνα. Λέγοντας κανονικά πολύγωνα εννοούμε τα πολύγωνα με ίσες πλευρές και ίσες γωνίες. Επίσης, όπως είναι γνωστό κάθε κανονικό πολύγωνο είναι εγγράψιμο και περιγράψιμο σε κύκλο. Το κέντρο αυτού του κύκλου είναι και το κέντρο του ίδιου του κανονικού πολυγώνου. Κανονικές πλακοστρώσεις είναι οι πλακοστρώσεις οι οποίες γίνονται αποκλειστικά από κανονικά πολύγωνα, του ίδιου σχήματος, και μεγέθους τα οποία γεμίζουν πλήρως ένα επίπεδο. Στην κάθε κορυφή καταλήγουν μόνο πολύγωνα με το ίδιο πλήθος πλευρών. Ένα τέτοιο ισχυρισμό διατύπωσαν πρώτοι οι Πυθαγόρειοι λέγοντας ότι το επίπεδο μπορούν να καλύψουν μόνο 3 είδη από κανονικά πολύγωνα, που έχουν το ίδιο πλήθος πλευρών, αλλά και τις ίδιες πλευρές ως προς το μέγεθος. Έτσι, κανονικές πλακοστρώσεις, αποδεικνύεται ότι, μπορούν να γίνουν μόνο, είτε από 6 ισόπλευρα τρίγωνα, είτε από 4 τετράγωνα, είτε και από 3 κανονικά εξάγωνα. Κάθε κορυφή που θα περιβάλλεται από τα κανονικά πολύγωνα, θα την περιγράφουμε με εκείνους τους αριθμούς των αντίστοιχων πλευρών των κανονικών πολυγώνων. Για παράδειγμα τα 6 ισόπλευρα τρίγωνα που «καλύπτουν» το επίπεδο χωρίς κενό γύρω από μια κορυφή θα γράφουμε (3,3,3,3,3,3), εννοώντας ακριβώς τα 6 πολύγωνα με πλήθος πλευρών 3. Οι τρεις περιπτώσεις κανονικών πλακοστρώσεων φαίνονται και συμβολίζονται στα πιο κάτω διαγράμματα. 206

217 Πλακοστρώσεις με Κανονιά Πολύγωνα 1. από 6 ισόπλευρα τρίγωνα, (3, 3, 3, 3, 3, 3) 2. από 4 τετράγωνα ( 4, 4, 4, 4) 3. από 3 εξάγωνα, ( 6, 6, 6) Είναι γνωστό ότι γενικά, ένα κανονικό πολύγωνο με ν πλευρές μπορεί να χωριστεί σε (ν 2) τρίγωνα, με κοινή μία από τις κορυφές του. Επομένως, το άθροισμα των γωνιών του κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές, είναι (ν 2) 180 ο και έτσι η κάθε μία από τις ίσες γωνίες του θα έχει μέτρο ω ν = (ν 2) 180 ο, ενώ η αντίστοιχη κεντρική γωνία ν 207

218 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου του κανονικού πολυγώνου θα είναι Κ ν = 360. Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι οι ν κανονικές πλακοστρώσεις είναι αυτές που αναφέραμε πιο πάνω και μόνο αυτές, αρκεί να θέσουμε δύο διαφορετικά ερωτήματα. Για ποιες τιμές του ν, ο αριθμός μ = (ν 2) 180 ο είναι ακέραιος; Το πηλίκο 360 μ είναι όμως ακέραιος; Αν υποθέσουμε ότι ο μ είναι ακέραιος θα έχουμε ότι: ν (ν 2) ν 180 ο = μ ν(180 ο μ) = 360. Βλέπουμε ότι το ν θα πρέπει να είναι διαιρέτης τους 360 ο, οπότε και απαντούμε το πρώτο μας ερώτημα. Αν τώρα, δημιουργήσουμε ένα πίνακα τιμών με όλους τους διαιρέτες του 360 ( εκτός φυσικά του 1 και 2, διότι δεν υπάρχει πολύγωνο με πλήθος πλευρών 1 και 2) και τις αντίστοιχες γωνίες του πολυγώνου που προκύπτουν κάθε φορά έχουμε στις πιο κάτω στήλες όλες τις περιπτώσεις. Η τελευταία στήλη του πίνακά μας απαντά ακριβώς και το δεύτερο ερώτημα. Μόνο το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο δημιουργούν κανονική πλακόστρωση. Πράγματι, σύμφωνα και με τον πιο κάτω πίνακα οι μόνες γωνίες κανονικών πολυγώνων που αν διαιρεθούν από το 360 θα δώσουν ακέραιο αριθμό είναι οι γωνίες 60 ο, 90 ο, 120 ο. Πράγματι = 6, = 4, 360 ο 120 = 3. Μια πιο συστηματική προσέγγιση θα ήταν να αναζητήσουμε εκείνο τον τρόπο που θα μας βοηθήσει στο να ανακαλύψουμε όλα τα πιθανά κανονικά πολύγωνα που μπορούν να κάνουν πλήρη επικάλυψη του επιπέδου. Φυσικά έχουν αναφερθεί ήδη τρεις τέτοιες περιπτώσεις τις οποίες και ονομάσαμε κανονικές πλακοστρώσεις γιατί εμφανίζονται μόνο κανονικά πολύγωνα του ίδιου πλήθους πλευρών. Τι θα μπορούσε όμως να συμβαίνει αν δεν είχαμε την «απαίτηση» να καλύψουμε το επίπεδο με μόνο ίδια πολύγωνα; Αν δηλαδή χρησιμοποιηθούν μεν κανονικά πολύγωνα, αλλά να είναι διαφορετικών ειδών. Έχουμε λοιπόν ένα νέο ορισμό! 208

219 Πλακοστρώσεις με Κανονιά Πολύγωνα ν Κ ν = 360 ν ω ν = (ν 2) 180 ο 360 ω ν ν , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

220 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου Ημικανονικές ή αρχιμήδειες πλακοστρώσεις θα είναι οι πλακοστρώσεις στις οποίες θα μπορούν να χρησιμοποιηθούν διαφορετικά πολύγωνα, ώστε να καλύψουν πλήρως το επίπεδο. Για παράδειγμα αν χρησιμοποιήσουμε 2 τετράγωνα και 3 ισόπλευρα τρίγωνα ή 2 τετράγωνα, 1 εξάγωνο και 1 ισόπλευρο τρίγωνο, μπορούμε να καλύψουμε το επίπεδο, ενώ δεν μπορεί να θεωρηθεί πλακόστρωση αν προσπαθήσουμε να καλύψουμε το επίπεδο π.χ. με τρία πεντάγωνα μόνο. Πράγματι στα πιο κάτω σχήματα έχουμε έχουμε την ημικανονική πλακόστρωση με 2 τετράγωνα και 3 ισόπλευρα τρίγωνα, που όμως σε διαφορετική τοποθέτηση ( 4,4,3,3,3), ή (4,3,4,3,3), μας δίνουν και διαφορετικό μοτίβο. (4, 3, 4, 3, 3) (4, 4, 3, 3, 3) (4, 4, 3, 6) (4, 3, 4, 6) Ενώ δεν μπορούν για παράδειγμα τρία κανονικά πεντάγωνα να μας δώσουν πλακόστρωση διότι 108 ο ο 210

221 Πλακοστρώσεις με Κανονιά Πολύγωνα είναι Κ ν = 360 ν Είναι γνωστό ότι η κεντρική γωνιά ενός κανονικού πολυγώνου με ν- πλευρές, και η γωνιά ων είναι παραπληρωματική της Κ ν, δηλαδή ισχύει η σχέση ω ν + Κ ν = 180 ο ή ισοδύναμα ω ν = (ν 2) ν 180 ο = Αυτοί οι δύο τύποι ν είναι αρκετοί για να υπολογίσουμε γωνίες κανονικών πολυγώνων για τις διάφορες τιμές του ν- όπως φαίνονται και στον πιο πάνω πίνακα. Συγκεκριμένα, ο πίνακας εισηγείται ότι με μια απλή ματιά οι γωνίες των κανονικών πολυγώνων κυμαίνονται από 60 ο μέχρι 180 ( ). Δηλαδή δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο 2 κανονικά πολύγωνα για να καλύψουμε το επίπεδο, διότι δεν υπάρχει πολύγωνο με γωνία 360/2=180 ο, αλλά και ούτε 7 κανονικά πολύγωνα διότι 360/7 = γωνία δηλαδή, που δεν υπάρχει σε κανονικό πολύγωνο, διότι η μικρότερη γωνία είναι Αρα θα περιοριστούμε σε πολύγωνα με πλήθος πλευρών 3,4,5,6. 1. Πλήθος Πολυγώνων 3 Έστω ότι έχουμε 3 κανονικά πολύγωνα που μπορούν να καλύψουν το επίπεδο με πλήθος πλευρών (λ, μ, ν), λ μ ν. Τότε θα ισχύει: ω λ + ω μ + ω ν = 360 ο, ή (λ 2) (μ 180 ο 2) (ν ο 2) ο = λ μ ν 540 ο ( 1 λ + 1 μ + 1 ν ) = λ + 1 μ + 1 ν =

222 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου Αν υποθέσουμε ότι λ = 3, τότε: = = 1 6μ ν = = 6(μ 6)+36 = Δηλαδή για να είναι το 3 μ ν 2 μ ν 6 μ 6 μ 6 μ 6 ν ακέραιος αριθμός θα πρέπει το (μ 6) να διαιρεί το 36. Επομένως θα έχουμε μ 6 = 1, 2, 3,4,6,9,12,18,36 ή πιθανές τιμές του μ = 7, 8, 9,10, 12,24, 42. Επειδή όμως θεωρήσαμε τη διάταξη των λ μ ν από τις πιο πάνω λύσεις παίρνουμε τις τριάδες (λ, μ, ν): (3, 7, 42), (3, 8, 24), (3, 9, 18), (3, 10, 15), (3, 12, 12). Η τριάδα (3,12,12) αναπαριστά ότι έχουμε σε μία κορυφή κανονικό τρίγωνο και δύο κανονικά 12-γωνα.. Η τριάδα (3,7,42) αναπαριστά ότι έχουμε σε μία κορυφή κανονικό τρίγωνο, 7-γωνο και 42-γωνο. 212

223 Πλακοστρώσεις με Κανονιά Πολύγωνα Η τριάδα (3,8,24) αναπαριστά ότι έχουμε σε μία κορυφή κανονικό τρίγωνο, 8 γωνο και 24-γωνο Αν υποθέσουμε ότι λ = 4, τότε: μ + 1 ν = μ + 1 ν = 1 4μ 4(μ 4) + 16 ν = = = μ 4 μ 4 μ 4 Δηλαδή για να είναι το ν ακέραιος αριθμός θα πρέπει το (μ 4) να διαιρεί το 16. Επομένως θα έχουμε μ 6 = 1, 2, 4,8,16 ή πιθανές τιμές του μ = 7, 8,10, 14,22. Επειδή όμως θεωρήσαμε τη διάταξη των λ μ ν από τις πιο πάνω λύσεις παίρνουμε τις εξής τριάδες των (λ, μ, ν): (4, 5, 20),(4, 6, 12) και (4, 8, 8). Αν υποθέσουμε ότι λ = 5, τότε: μ + 1 ν = μ + 1 ν = 3 10μ ν = 10 3μ 10 Δηλαδή για να είναι το ν ακέραιος αριθμός θα πρέπει το μ = 5 μόνο.πράγματι, διότι για μ = 6 και για μ = 7, δεν προκύπτει ακέραια τιμή για το ν, ενώ δεν μπορούμε να θεωρήσουμε μ 8,διότι τότε θα έχουμε μ > ν. Αν υποθέσουμε ότι λ = 6, τότε έχουμε δει την τριάδα (6,6,6) να μας δίνει μία από τις κανονικές πλακοστρώσεις. Γιατί όμως δεν μπορούν να υπάρχουν δύο άλλα κανονικά πολύγωνα που μαζί με ένα κανονικό εξάγωνο να μας δίνουν πλακόστρωση; Σε μια τέτοια περίπτωση, με λ = 6 και μ 7 θα είχαμε 1 = = 19 που είναι αδύνατο! 2 λ μ ν 6 7 Έτσι η μόνη τριάδα σε αυτή την περίπτωση είναι η (6, 6, 6)

224 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου Αν υποθέσουμε τώρα ότι λ 7 δεν θα καταφέρουμε να βρούμε μια τριάδα που να μας κάνει πλακόστρωση διότι για λ μ ν θα έχουμε: που είναι Άτοπο! 1 2 = 1 λ + 1 μ + 1 ν 3 7, Έτσι συνεχίζουμε την αναζήτηση μας με περισσότερα από τρία κανονικά πολύγωνα. 2. Πλήθος Πολυγώνων 4 Αν έχουμε τώρα σε μια κορυφή τέσσερα κανονικά πολύγωνα και αυτά τα συμβολίσουμε και πάλι με την 4-αδα (κ, λ, μ, ν), κ λ μ ν, όπως και στην περίπτωση με τρία πολύγωνα θα έχουμε ότι το άθροισμα των τεσσάρων γωνιών των κανονικών πολυγώνων θα είναι 360 ο.έτσι θα έχουμε Τότε θα ισχύει: ω κ + ω λ + ω μ + ω ν = 360 ο, ή (κ 2) (λ 180 ο 2) (μ ο 2) (ν ο 2) ο = κ λ μ ν 720 ο ( 1 κ + 1 λ + 1 μ + 1 ν ) = κ + 1 λ + 1 μ + 1 ν = 1. Εξετάζοντας και πάλι συστηματικά διαφορετικές περιπτώσεις, έχουμε ότι: Για κ = λ + 1 μ + 1 ν = 1 1 λ + 1 μ + 1 ν = 2 3. Αν και το λ = 3, τότε θα έχουμε 1 μ + 1 = 1 ν = 3μ, μ > 3. Για μ = 4, ν = 12, ενώ για μ = 5 δεν έχουμε ακέραιο. Για ν 3 μ 3 μ = 6, ν = 6 και έτσι μας μένουν μόνο οι περιπτώσεις των (3,3,4,12) και (3, 3, 6,6). Τώρα αν το λ = 4, τότε θα έχουμε 1 μ + 1 ν = 5 12 ν = 12μ 5μ 12, μ 3. Αν μ = 4, ν = 6 που θα είναι και η μοναδική λύση, διότι για μ = 5, το ν < 5 άτοπο! Έτσι έχουμε την λύση (3,4,4,6). Για λ 5 δεν πετυχαίνουμε κάτι διότι 2 = που είναι και πάλι 3 λ μ ν 5 αδύνατο! Έτσι η μοναδική τετράδα είναι σ αυτή την περίπτωση η( 3, 3, 4, 12 ). Για κ = 4 η μοναδική λύση είναι η γνωστή μας (4, 4, 4, 4), διότι αν υποθέσουμε ότι ν 5, τότε: 1 = = 19 που είναι αδύνατο! κ λ μ ν 4 5 Για κ 5 τότε: 1 = , που είναι αδύνατο! κ λ μ ν

225 Πλακοστρώσεις με Κανονιά Πολύγωνα 3. Πλήθος Κανονικών Πολυγώνων 5. Για εκείνη την πεντάδα (κ, λ, μ, ν, ξ), κ λ μ ν ξ κανονικών πολυγώνων που μπορούν να πετύχουν πλήρη κάλυψη του επιπέδου θα έχουμε όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις, 1 κ + 1 λ + 1 μ + 1 ν + 1 ξ = 3 2. Παρατηρούμε ότι αν μ 4,τότε: 3 2 = = 17, Άτοπο! Επομένως έχουμε για κ = λ = μ = 3 το = κ λ μ ν ξ ν ξ 1 2 που παίρνουμε δύο ακόμη περιπτώσεις ν = 3, ξ = 6 και ν = 4, ξ = 4. Έτσι συνολικά οι περιπτώσεις με 4 κανονικά πολύγωνα είναι μόνο δύο: (3, 3, 3, 3, 6)και (3, 3, 3, 4, 4). 4. Πλήθος Κανονικών Πολυγώνων 6. Για την εξάδα (κ, λ, μ, ν, ξ, ρ), κ λ μ ν ξ ρ κανονικών πολυγώνων που μπορούν να πετύχουν πλήρη κάλυψη του επιπέδου θα έχουμε όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις, = 2. Παρατηρούμε ότι αν ρ 4,τότε: κ λ μ ν ξ ρ 2 = = 23, Άτοπο! Επομένως κ = λ = μ = ν = ξ = ρ = 6 θα κ λ μ ν ξ 3 4 είναι και η μοναδική εξάδα Πλήθος Κανονικών Πολυγώνων 7 ή και περισσότερο από 7 Κάτι τέτοιο είναι αδύνατο διότι η μικρότερη γωνία κανονικού πολυγώνου είναι η 60 ο και 7 ή περισσότερα πολύγωνα σίγουρα θα ξεπερνούν το άθροισμα των 360 ο. Συνολικά όλες οι διαφορετικές πλακοστρώσεις με κανονικά πολύγωνα είναι Πλήθος καν. πολυγώνων 3 (10) 2. Πλήθος καν. πολυγώνων 4 (4) 3. Πλήθος καν. πολυγώνων 5 (2) 4. Πλήθος καν. πολυγώνων 6 (1) (3, 7, 42), (3, 8, 24), (3, 9, 18), (3, 10, 15), (3, 12, 12), (4, 5, 20),(4, 6, 12), (4, 8, 8), (6, 6, 6)(5, 5, 10) (4, 4, 4, 4),(3, 3, 4, 12),(3, 3, 6, 6), (3, 4, 4, 6) (3, 3, 3, 3, 6), (3, 3, 3, 4, 4). (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3) Οι 17 πιο πάνω διαφορετικές πλακοστρώσεις μπορούν να αυξηθούν σε 21, αν κάποιες από αυτές αναδιαταχθούν ανάλογα με τη σειρά που θα την γράφουμε, νοουμένου ότι θα 215

226 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου μας δίνουν και διαφορετική πλακόστρωση τουλάχιστον οπτικά. Για παράδειγμα τέτοιες τετράδες που αναδιατάσσουμε την σειρά των πολυγώνων κατά την πλακόστρωση είναι (3, 3, 4, 12) (3, 4, 3, 12) (3, 4, 4, 6) (3, 4, 6, 4) Τις 21 πιο πάνω πλακοστρώσεις τις χωρίζουμε σε 3 ομάδες. (3, 3, 4, 12) (3, 4, 3, 12) (3, 3, 3, 4, 4) (3, 3, 4, 3, 4) Ομάδα 1: (3, 7, 42), (3, 8, 24), (3, 9, 18), (3, 10, 15), (4, 5, 20)και(5, 5, 10). Σε αυτές τις ακολουθίες κορυφών (α, β, γ), έχουμε το α =περιττός και β γ.για την τριάδα (4,5,20), μπορούμε να γράψουμε και (5,4,20). Ποιο είναι όμως το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό αυτών των πλακοστρώσεων; Απλά δεν κάνουν πλήρη κάλυψη του επιπέδου, όταν περιστοιχίσουμε γύρω από κάθε πλευρά του πολυγώνου με το περιττό πλήθος πλευρών. Δεν μπορεί δηλαδή να υπάρξει εκείνη η πλακόστρωση όπου σε κάθε κορυφή να υπάρχει η ίδια ακολουθία πολυγώνων. Πράγματι αν κοιτάξουμε στο αντίστοιχο σχήμα της πλακόστρωσης (5, 5, 10) πιο κάτω, βλέπουμε ξεκάθαρα, ότι δεν μπορεί να γίνει ολική κάλυψη του επιπέδου! Αυτό διότι το πολύγωνο με περιττό πλήθος πλευρών πρέπει να περιστοιχίζεται από τα άλλα δύο πολύγωνα εναλλάξ, κάτι που είναι αδύνατο λόγω του περιττού πλήθους. Θα έπρεπε δηλαδή σε κάθε πλευρά του το κανονικό πεντάγωνο να εναλλάσσεται από τα κανονικά πεντάγωνα και δεκάγωνα. Θα έπρεπε δηλαδή να υπάρχει σε κάθε πλευρά του η εναλλαγή 5,10,5,10,5. Αυτό όμως το καθιστά αδύνατο γιατί το πρώτο και το τελευταίο πολύγωνο δεν είναι διαφορετικά όπως αναμενόταν, αλλά είναι τα ίδια πολύγωνα και έτσι αφού θα βρίσκονται δίπλα-δίπλα δεν έχουν την απαιτούμενη εναλλαγή! 216

227 Πλακοστρώσεις με Κανονιά Πολύγωνα Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι και οι άλλες πλακοστρώσεις της Ομάδας 1 δεν μπορούν να είναι ολικές. Για παράδειγμα στην πλακόστρωση (3, 7, 42),θα έπρεπε να είχαμε γύρω από το τρίγωνο τις εναλλακτικές διαδοχές 7, 42, 7. Αυτό όμως «αναγκάζει» τα δύο 7-γωνα να βρίσκονται δίπλα-δίπλα, λόγω του περιττού πλήθους και έτσι να μην έχουμε κάλυψη του επιπέδου σε κάποια κορυφή του τριγώνου. Ομοίως και για τις άλλες τριάδες όπως φαίνονται στα πιο κάτω σχήματα. Ομάδα 2 : (3,3,4,12), (3,4,3,12) (3,3,6,6), (3,4,4,6) Στις πλακοστρώσεις σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να περιστοιχίσουμε το μεγαλύτερο πολύγωνο, με τα υπόλοιπα κανονικά πολύγωνα, έτσι ώστε κάθε κορυφή του να έχει την ίδια ακολουθία πολυγώνων. Το πρόβλημα θα είναι όμως ολικό γιατί πιθανόν σε κάποια άλλη κορυφή, να μην έχουμε την ίδια ακολουθία πολυγώνων, όπως για παράδειγμα στην κορυφή Α, που έχει 3 τρίγωνα αντί 2 που έχει γενικά η ακολουθία. Αυτό φυσικά συμβαίνει και στις άλλες πλακοστρώσεις αυτής της ομάδας. 217

228 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου Ομάδα 3 (3, 12, 12), (4, 6, 12), (4, 8, 8), (6, 6, 6), (3, 4, 6, 4), (3, 6, 3, 6), (4, 4, 4, 4), (3, 3, 3, 3, 6), (3, 3, 3, 4, 4), (3, 3, 4, 3, 4), (3, 3, 3, 3, 3, 3). Στις υπόλοιπες ομάδες δεν έχουμε ούτε τοπικό ούτε ολικό πρόβλημα πλακόστρωσης. Συγκεκριμένα περιέχονται και οι τρεις κανονικές (ή και Πλατωνικές) πλακοστρώσεις(3, 3, 3, 3, 3, 3), (4, 4, 4, 4), (3, 3, 3, 3, 3, 3) που είχαν αναφερθεί στην αρχή. 218

229 Πλακοστρώσεις με Κανονιά Πολύγωνα Οι πλακοστρώσεις ως Διδακτικό εργαλείο Αξίζει πραγματικά να δει κάποιος το όλο θέμα και από διδακτικής πλευράς αναζητώντας ακριβώς εκείνους τους τρόπους που θα μας βοηθούσε να δούμε μια πλακόστρωση με την οπτική γωνία της παιδαγωγικής αξίας των βασικών Γεωμετρικών εννοιών. Υπάρχει αρκετό ενδιαφέρον στο πως μπορούμε να κατασκευάσουμε μια τέτοια πλακόστρωση, ειδικά αν χρησιμοποιήσουμε τους γνωστούς γεωμετρικούς μετασχηματισμούς, ή και ακόμη με απλή χάραξη παράλληλων πλευρών στο επίπεδο. Για παράδειγμα οι πλακοστρώσεις (3, 3, 3, 3, 3, 3) και (3, 6, 3, 6) μπορούν πολύ απλά να κατασκευαστούν από τρεις «οικογένειες» παράλληλων πλευρών που ισαπέχουν μεταξύ τους και κάθε οικογένεια παράλληλων πλευρών να σχηματίζει γωνία 60 ο με τις άλλες δύο οικογένειες. Η πλακόστρωση (4,4,4,4)ίσως καυτασευάζεται πιο απλά απόλες γιατί αρκούν μόνο δύο οικογένειες ευθειών που σχηματίζουν μεταξύ τους 90 ο. 219

230 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου Μια πρώτη προσέγγιση θα ήταν να προτρέπαμε τους μαθητές να σκεφτούν και να προβληματιστούν στον τρόπο με τον οποίο μπορεί να κατασκευαστεί μια πλακόστρωση, μέσα από τα διάφορα εργαλεία που προσφέρει ένα απλό πρόγραμμα δυναμικής Γεωμετρίας. Οι μαθητές αν παρατηρήσουν και κατανοήσουν κάποιες συμμετρίες που υπάρχουν σε κάποια πλακόστρωση θα μπορέσουν εύκολα να οπτικοποιήσουν την επίδραση που κάνει ο κάθε μετασχηματισμός. Σύμφωνα με τον De Villiers (1993) οι κατασκευές πλακοστρώσεων είναι πολύ σημαντικές σε όλες τις βαθμίδες της Εκπαίδευσης γιατί : παρέχουν ένα διαισθητικό (οπτικό) θεμέλιο που είναι κρυμμένες αρκετές γεωμετρικές έννοιες όπως συμμετρία, πολύγωνα, μετασχηματισμοί. Περιέχουν δηλαδή, ενδιαφέροντα μαθηματικά θέματα που μπορεί να παρέχουν μια μεγάλη ευκαιρία για εξερεύνηση και ανάλυση. παρουσιάζουν μεγάλη αισθητική έλξη λόγω των καλλιτεχνικών σχεδίων που μπορούν να δημιουργηθούν με αυτά Ένας από τους κύριους στόχους της εργασίας είναι να παρουσιάσει διάφορες μορφές πλακοστρώσεων, διαβλέποντας τόσο το αισθητικό αλλά και το γεωμετρικό μέρος τους Αυτό φυσικά με τη δυνατότητα πως κάποιες πλακοστρώσεις μπορούν να εφαρμοστούν σε διαφορετικές τάξεις ώστε οι μαθητές να αποκτήσουν ένα ισχυρό διαισθητικό θεμέλιο το οποίο στη συνέχεια θα αντιμετωπιστεί σε ένα παραγωγικό πλαίσιο. Η κύρια έννοια που αναδύεται μέσα από μία κατασκευή είναι η έννοια του ισομετρικού μετασχηματισμού( μεταφορά, περιστροφή, ανάκλαση). Για παράδειγμα αν έχουμε ένα μόνο κανονικό εξάγωνο, μπορούμε να έχουμε την κανονική πλακόστρωση (6, 6, 6) κάνοντας κατάλληλους μετασχηματισμούς. 220

231 Πλακοστρώσεις με Κανονιά Πολύγωνα Μετατοπίζοντας το με κατάλληλα διανύσματα, όπως φαίνεται στο ( πρώτο σχήμα), μπορούμε να κατασκευάσουμε την πλακόστρωση. ( μεταφορά κατά διάνυσμα) Ακόμη, θα μπορούσαμε να το πετύχουμε, αν γίνει ανάκλαση του κανονικού εξαγώνου ως προς δύο διαδοχικές πλευρές του ( δεύτερο σχήμα) Αν δούμε την πλακόστρωση όπως η (3,6,3,6), που όπως είναι γνωστό περιέχει δύο κανονικά εξάγωνα και δύο ισόπλευρα τρίγωνα, μπορεί να κατασκευαστεί με περιστροφή του κανονικού εξαγώνου γύρω από κάθε κορυφή του κατά 180 ο και στη συνέχεια να σχεδιαστούν τα ισόπλευρα τρίγωνα από τις κορυφές των εξαγώνων. Επίσης η πλακόστρωση (4,8,8) μπορεί μέσω της μετατόπισης κατά διάνυσμα ΑΒ και ΑΓ, ενός μόνο κανονικού οκταγώνου να μας δώσει την πιο κάτω πλακόστρωση. 221

232 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου Είναι πολύ σημαντικό να παρατηρήσουμε, ότι ένα κανονικό πολύγωνο που εμφανίζεται δύο ή και περισσότερες φορές σε μία πλακόστρωση, μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας κάποιο από τους απλούς γεωμετρικούς μετασχηματισμούς. Πλακόστρωση με μη κανονικά ψηφιδωτά ( Esher) Μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζει μια κατασκευή όταν αυτή γίνει χωρίς την χρήση κανονικών πολυγώνων, αλλά διατηρώντας κάποιες βασικές γεωμετρικές έννοιες που θα την καθιστούν συμμετρική και πλήρως αρμονικά αποδεκτή. Οι βασικοί γεωμετρικοί μετασχηματισμοί είναι τα εργαλεία που θα μας βοηθήσουν να κατασκευάσουμε γεωμετρικά μοτίβα. Ας δούμε τους τρεις ισομετρικούς μετασχηματισμούς πως μπορούν να μας βοηθήσουν να κατασκευάσουμε κάποιες πλακοστρώσεις που δεν έχουν να κάνουν με κανονικά πολύγωνα. Περιστροφή Αν για παράδειγμα, πάρουμε οποιοδήποτε σχήμα το οποίο να έχει μια γωνία με μέτρο που να είναι διαιρέτης των 360 ο, τότε μπορούμε να καλύψουμε το επίπεδο γύρω από αυτή την κορυφή του, περιστρέφοντας το. Συγκεκριμένα αν πάρουμε κάποιο τυχαίο σχήμα που έχει όμως μία γωνία έστω 72 ο,τότε με 5 περιστροφές μπορούμε να καλύψουμε το επίπεδο γύρω από αυτή την κορυφή. 222

233 Πλακοστρώσεις με Κανονιά Πολύγωνα Μετατόπιση Όμοια ένα μη κυρτό πολύγωνο μεταφέρεται κατά διάνυσμα οριζόντια και κατακόρυφα σε απόσταση ίση με την πευρά ενός τετραγώνου. Ανάκλαση Ένα μη κυρτό πολύγωνο ανακλα ται γύρω από δύο κάθετους άξονες. 223

234 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου Συμπεράσματα Ένας από τους βασικούς στόχους γενικά της Μαθηματικής παιδείας και Επιστήμης σε πολλά αναλυτικά προγράμματα των Μαθηματικών είναι η ανάπτυξη εκείνων των στρατηγικών που θα ελκύσει τους μαθητές. Είναι σίγουρο, ότι αρκετοί καθηγητές των Μαθηματικών κάνουν τεράστιες προσπάθειες να διδάξουν τα Μαθηματικά με εκείνο τον τρόπο που θα κάνουν το μάθημα τους ενδιαφέρον αλλά και με νόημα, πείθοντας έτσι τους μαθητές να αγκαλιάσουν τα Μαθηματικά. Το πρόβλημα γενικά, που είναι και η καρδιά των Μαθηματικών, όταν δίνεται σε πλαίσιο είτε,παιχνιδιού είτε μοτίβου συμμετρικών σχημάτων, προσελκύει τον μαθητή και τον κάνει φίλο προς το αντικείμενο αναπτύσσοντας του όμως την κριτική και δημιουργική σκέψη. Στην πιο πάνω εργασία έχει παρουσιασθεί ένα μέρος των πλακοστρώσεων με κανονικά πολύγωνα. Πιστεύουμε πως υπάρχει πλούσιο έδαφος για διερεύνηση βασικών γεωμετρικών και αλγεβρικών εννοιών. Ακόμη εμπλέκοντας την Τεχνολογία με κατάλληλα λογισμικά Δυναμικής Γεωμετρίας μπορούμε να ενισχύσουμε μέσω των πολλαπλών αναπαραστάσεων την εικασία, ώστε να προωθήσουμε τους μαθητές στο δρόμο της «απόδειξης». 224

Διδάσκων : Αργύρης Καραπέτσας Καθηγητής Νευροψυχολογίας Νευρογλωσσολογίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Διδάσκων : Αργύρης Καραπέτσας Καθηγητής Νευροψυχολογίας Νευρογλωσσολογίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Διδάσκων : Αργύρης Καραπέτσας Καθηγητής Νευροψυχολογίας Νευρογλωσσολογίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Μάθηση και κατάκτηση των Μαθηματικών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ 1/2 Με τον όρο αριθμητική νοείται η μάθηση πρόσθεσης, αφαίρεσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 2η σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 18 Μαίου 2015 Πρόβλημα 1. (14

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Γνωστική Ψυχολογία. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Εισαγωγή στη Γνωστική Ψυχολογία. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Εισαγωγή στη Γνωστική Ψυχολογία Inside the black box για µια επιστήµη του Νου Επιστροφή στο Νου Γνωστική Ψυχολογία / Γνωσιακή Επιστήµη Inside the black box για µια επιστήµη του Νου Επιστροφή στο Νου Γνωστική

Διαβάστε περισσότερα

21 ο ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 15 ο ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

21 ο ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 15 ο ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 21 ο ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 15 ο ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 18 ο ΣΥΜΠΟΣΙΟ ΑΣΤΡΟΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Οργανωτής Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία σε συνεργασία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για Διδασκαλία III

Μαθηματικά για Διδασκαλία III Μαθηματικά για Διδασκαλία III Μαριάννα Τζεκάκη Απαραίτητα στον εκπαιδευτικό Μαθηματικό περιεχόμενο γνώση Ζητήματα των στόχων της διδασκαλίας των μαθηματικών μάθησης και του σχετικού μαθηματικού περιεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

Τι μαθησιακός τύπος είναι το παιδί σας;

Τι μαθησιακός τύπος είναι το παιδί σας; Για τους γονείς και όχι μόνο από το Τι μαθησιακός τύπος είναι το παιδί σας; Ακουστικός, οπτικός ή μήπως σφαιρικός; Ανακαλύψτε ποιος είναι ο μαθησιακός τύπος του παιδιού σας, δηλαδή με ποιο τρόπο μαθαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών).

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Μάθημα 5ο Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Ο δεύτερος ηλικιακός κύκλος περιλαμβάνει την ηλικιακή περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

EDUP-332 Διδασκαλία των Μαθηματικών στο Νηπιαγωγείο

EDUP-332 Διδασκαλία των Μαθηματικών στο Νηπιαγωγείο EDUP-332 Διδασκαλία των Μαθηματικών στο Νηπιαγωγείο Συνάντηση 2 Βασικές πρωτομαθηματικές δεξιότητες: σύγκριση, σειροθέτηση, εκτίμηση Ο Τζέρεμι και η Τζάκι Ο Τζέρεμι και η αδερφή του η Τζάκι συζητούσαν

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων : Αργύρης Καραπέτσας Καθηγητής Νευροψυχολογίας Νευρογλωσσολογίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Διδάσκων : Αργύρης Καραπέτσας Καθηγητής Νευροψυχολογίας Νευρογλωσσολογίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Διδάσκων : Αργύρης Καραπέτσας Καθηγητής Νευροψυχολογίας Νευρογλωσσολογίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 1 Δυσαριθμησία Αξιολόγηση Διάγνωση 2 Όροι και Ορισμοί των Μαθηματικών Διαταραχών Έχουν χρησιμοποιηθεί όροι

Διαβάστε περισσότερα

8.2 Εννοιολογική χαρτογράφηση

8.2 Εννοιολογική χαρτογράφηση 8.2 Εννοιολογική χαρτογράφηση Η εννοιολογική χαρτογράφηση (concept mapping) αποτελεί ένα μέσο για την αναπαράσταση των γνώσεων, των ιδεών, των εννοιών προς οικοδόμηση (Jonassen et al. 1998), των νοητικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014 ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Μπακέττα Βασιλική, Πετροπούλου Γεωργία Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Θεσμικό πλαίσιο στα ΠΠΣ Πειραματική εφαρμογή προγραμμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 2 η Διάλεξη Παίγνια ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά σύνολα Κανονική μορφή παιγνίου Ισοδύναμες στρατηγικές Παίγνια συνεργασίας και μη συνεργασίας Πεπερασμένα και

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης

Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης Clements & Sarama, 2009; Sarama & Clements, 2009 Χωρική αντίληψη και σκέψη Προσανατολισμός στο χώρο Οπτικοποίηση (visualization) Νοερή εικονική αναπαράσταση Νοερή

Διαβάστε περισσότερα

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου)

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου) Ζάντζος Ιωάννης Οι έννοιες του 'μήκους κύκλου' και της 'καμπυλότητας του κύκλου' μέσα από τη διαδικασία προσέγγισης του κύκλου με περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

1. Οι Τεχνολογίες της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στην εκπαιδευτική διαδικασία

1. Οι Τεχνολογίες της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στην εκπαιδευτική διαδικασία 1. Οι Τεχνολογίες της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στην εκπαιδευτική διαδικασία Ο διδακτικός σχεδιασμός (instructional design) εμφανίσθηκε στην εκπαιδευτική διαδικασία και στην κατάρτιση την περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

Κλινική Νευροψυχολογία του παιδιού

Κλινική Νευροψυχολογία του παιδιού Κλινική Νευροψυχολογία του παιδιού Α εξάμηνο Διδάσκων : Α. Β. Καραπέτσας Ακαδημαϊκό έτος 2015-2016 1 ΜΟΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΜΝΗΜΗ 2 Μία από τις πρώτες έρευνες που μελετούν και επιβεβαιώνουν ότι τα άτομα με μουσική

Διαβάστε περισσότερα

άµεση εκτίµηση του πλήθους

άµεση εκτίµηση του πλήθους Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών άµεση εκτίµηση του πλήθους subitizing Subitizing: η άµεση εκτίµηση! Έρευνες έδειξαν ότι οι άνθρωποι από πολύ μικροί είναι ικανοί να εκτιμήσουν αστραπιαία την ποσότητα αντικειμένων

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία του Piaget για την εξέλιξη της νοημοσύνης

Η Θεωρία του Piaget για την εξέλιξη της νοημοσύνης Η Θεωρία του Piaget για την εξέλιξη της νοημοσύνης Σύμφωνα με τον Piaget, η νοημοσύνη είναι ένας δυναμικός παράγοντας ο οποίος οικοδομείται προοδευτικά, έχοντας σαν βάση την κληρονομικότητα, αλλά συγχρόνως

Διαβάστε περισσότερα

Εννοιολογική χαρτογράφηση. Τ. Α. Μικρόπουλος

Εννοιολογική χαρτογράφηση. Τ. Α. Μικρόπουλος Εννοιολογική χαρτογράφηση Τ. Α. Μικρόπουλος Οργάνωση γνώσης Η οργάνωση και η αναπαράσταση της γνώσης αποτελούν σημαντικούς παράγοντες για την οικοδόμηση νέας γνώσης. Η οργάνωση των εννοιών που αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθησιακές δραστηριότητες με υπολογιστή

Μαθησιακές δραστηριότητες με υπολογιστή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθησιακές δραστηριότητες με υπολογιστή Εννοιολογική χαρτογράφηση Διδάσκων: Καθηγητής Αναστάσιος Α. Μικρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση

Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση Πέρα όµως από την Γνωσιακή/Εννοιολογική ανάλυση της δοµής και του περιεχοµένου των σχολικών εγχειριδίων των Μαθηµατικών του Δηµοτικού ως προς τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 1 η Διάλεξη Ορισμός Θεωρίας Παιγνίων και Παιγνίου Κατηγοριοποίηση παιγνίων Επίλυση παιγνίου Αξία (τιμή) παιγνίου Δίκαιο παίγνιο Αναπαράσταση Παιγνίου Με πίνακα Με

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: θεωρίες μάθησης. Διαφορετικές σχολές Διαφορετικές υποθέσεις

Μαθηματικά: θεωρίες μάθησης. Διαφορετικές σχολές Διαφορετικές υποθέσεις Μαθηματικά: θεωρίες μάθησης Διαφορετικές σχολές Διαφορετικές υποθέσεις Τι είναι μάθηση; Συμπεριφορισμός: Aλλαγή συμπεριφοράς Γνωστική ψυχολογία: Aλλαγή νοητικών δομών Κοινωνικοπολιτισμικές προσεγγίσεις:

Διαβάστε περισσότερα

53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σ Α Β Β Α Ϊ Δ Η Μ Α Ν Ω Λ Α Ρ Α Κ Η

53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σ Α Β Β Α Ϊ Δ Η Μ Α Ν Ω Λ Α Ρ Α Κ Η 53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σ Α Β Β Α Ϊ Δ Η Μ Α Ν Ω Λ Α Ρ Α Κ Η ΠΑΓΚΡΑΤΙ: Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : 210/76.01.470 210/76.00.179 ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης 6.1. (α) Το mini-score-3 παίζεται όπως το score-4,

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική μάθηση We are researchers, let us do research! (Elbers and Streefland, 2000)

Διερευνητική μάθηση We are researchers, let us do research! (Elbers and Streefland, 2000) Διερευνητική μάθηση We are researchers, let us do research! (Elbers and Streefland, 2000) Πρόκειται για την έρευνα που διεξάγουν οι επιστήμονες. Είναι μια πολύπλοκη δραστηριότητα που απαιτεί ειδικό ακριβό

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων ΕΚΠΑ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μικροοικονομική Θεωρία ΙΙ Εαρινό εξάμηνο Ακαδ. έτους 08-09 Αν. Παπανδρέου, Φ. Κουραντή, Ηρ. Κόλλιας Δεύτερο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 0 Μαϊου. Θα υπάρξει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων

Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Εκδόσεις Κριτική Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Ύλη για τη Μίκρο ΙΙ: κεφάλαιο 29.1, 29.2, 29.4, 29.7, 29.8 Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION

THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION E F R A I M F I S C H B E I N, T E L - A V I V U N I V E R S I T Y M A R I A D E R I, U N I V E R S I T Y O F P I S

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΕΛΕΝΗ ΑΜ:453 ΕΞ.: Ζ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΩΛΗΣ ΚΟΛΟΜΒΟΥ ΑΦΡΟΔΙΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Σχεδιασμός... αντιμετωπίζει ενιαία το πλαίσιο σπουδών (Προδημοτική, Δημοτικό, Γυμνάσιο και Λύκειο), είναι συνέχεια υπό διαμόρφωση και αλλαγή, για να αντιμετωπίζει την εξέλιξη,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών Η έννοια της δραστηριότητας Δραστηριότητα είναι κάθε ανθρώπινη δράση που έχει ένα κίνητρο και ένα

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Προλογικό Σημείωμα 9

Περιεχόμενα. Προλογικό Σημείωμα 9 Περιεχόμενα Προλογικό Σημείωμα 9 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1. Εισαγωγή 14 1.2 Τα βασικά δεδομένα των Μαθηματικών και οι γνωστικές απαιτήσεις της κατανόησης, απομνημόνευσης και λειτουργικής χρήσης τους 17 1.2.1. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΟΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χ. ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΟΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 Στη διδασκαλία συνήθως τα παιδιά αρχικά διδάσκονται τις

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Ομάδα Γ Βότσης Ευστάθιος Γιαζιτσής Παντελής Σπαής Αλέξανδρος Τάτσης Γεώργιος Προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι αρχάριοι προγραμματιστές Εισαγωγή Προβλήματα Δυσκολίες Διδακτικό

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών. σύμβολα αριθμών. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου. Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών. σύμβολα αριθμών. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου. Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών σύμβολα αριθμών επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 1 αναπαραστάσεις των αριθμών Εμπράγματες Υλικά αντικείμενα ($$$) Εικονικές (***) Λεκτικές (τρία) Συμβολικές, (3, τρία) Διαφορετικές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΑΣΑΠΗΣ Επιμέλεια 7 o Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών 15 & 16 Μαρτίου 2008 Ομάδα Έρευνας της Μαθηματικής Εκπαίδευσης ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ i ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια. Παράδοση: Έως 22/6/2015

EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια. Παράδοση: Έως 22/6/2015 EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Φυλλάδιο 13 Δ. Τουμπακάρης 30 Μαΐου 2015 EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια Παράδοση:

Διαβάστε περισσότερα

EMOJITO! 7 Δίσκοι Ψηφοφορίας. 100 Κάρτες Συναισθημάτων. 1 Ταμπλό. 7 Πιόνια παικτών. 2-7 Παίκτες

EMOJITO! 7 Δίσκοι Ψηφοφορίας. 100 Κάρτες Συναισθημάτων. 1 Ταμπλό. 7 Πιόνια παικτών. 2-7 Παίκτες o Emojito! είναι ένα παιχνίδι παρέας, για 2 έως 14 άτομα, όπου οι παίκτες προσπαθούν να εκφράσουν συναισθήματα που απεικονίζονται σε κάρτες, είτε χρησιμοποιώντας το πρόσωπό τους, είτε ήχους ή και τα 2.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

15 ο ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ και 9 ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ και 12 ο ΣΥΜΠΟΣΙΟ ΑΣΤΡΟΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ

15 ο ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ και 9 ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ και 12 ο ΣΥΜΠΟΣΙΟ ΑΣΤΡΟΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ 15 ο ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ και 9 ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ και 12 ο ΣΥΜΠΟΣΙΟ ΑΣΤΡΟΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Οργανωτής Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία σε συνεργασία

Διαβάστε περισσότερα

B = {x A : f(x) = 1}.

B = {x A : f(x) = 1}. Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 016 017 Λύσεις 1. Χρησιμοποιώντας την Αρχή του Περιστερώνα για τους φυσικούς αριθμούς, δείξτε ότι για κάθε πεπερασμένο σύνολο A και για κάθε f : A A, αν η f είναι 1-1 τότε

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ Β ΦΑΣΗΣ

«ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ Β ΦΑΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ Β ΦΑΣΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Διδάσκουσες:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Χρυσή Κ. Καραπαναγιώτη Τμήμα Χημείας Αντικείμενο και Αναγκαιότητα Μετασχηματισμός της φυσικοεπιστημονικής γνώσης στη σχολική της εκδοχή.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγνωστικές διαδικασίες και κοινωνική αλληλεπίδραση μεταξύ των μαθητών στα μαθηματικά: ο ρόλος των σχολικών εγχειριδίων

Μεταγνωστικές διαδικασίες και κοινωνική αλληλεπίδραση μεταξύ των μαθητών στα μαθηματικά: ο ρόλος των σχολικών εγχειριδίων Μεταγνωστικές διαδικασίες και κοινωνική αλληλεπίδραση μεταξύ των μαθητών στα μαθηματικά: ο ρόλος των σχολικών εγχειριδίων Πέτρος Χαβιάρης & Σόνια Καφούση chaviaris@rhodes.aegean.gr; kafoussi@rhodes.aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Περιεχόμενα

Εισαγωγή. Περιεχόμενα Εισαγωγή Το 1878, το Βασιλικό Μουσείο του Βερολίνου ξεκίνησε την ανάθεση των ανασκαφών στην Πέργαμο, μια περιοχή της νυν Τουρκίας. Η πόλη έφτασε στην κορυφή της ανάπτυξής της γύρω στο 200 π.χ. (στα Λατινικά

Διαβάστε περισσότερα

Τρόποι αναπαράστασης των επιστημονικών ιδεών στο διαδίκτυο και η επίδρασή τους στην τυπική εκπαίδευση

Τρόποι αναπαράστασης των επιστημονικών ιδεών στο διαδίκτυο και η επίδρασή τους στην τυπική εκπαίδευση Τρόποι αναπαράστασης των επιστημονικών ιδεών στο διαδίκτυο και η επίδρασή τους στην τυπική εκπαίδευση Κ. Χαλκιά Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών 2 Το διαδίκτυο: αποτελεί ένα νέο διδακτικό

Διαβάστε περισσότερα

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ.

ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. 2 ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ (Ι) ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ; Στο μάθημα «Κοινωνική Θεωρία της Γνώσης (I)» (όπως και στο (ΙΙ) που ακολουθεί) παρουσιάζονται

Διαβάστε περισσότερα

[H έννοια της συνάρτησης]

[H έννοια της συνάρτησης] Μ. Τσιλπιρίδης [H έννοια της συνάρτησης] πειραματική διδασκαλία στη Β Γυμνασίου με τη διαμεσολάβηση ψηφιακών εργαλείων δυναμικής γεωμετρίας φύλλο εργασίας Ομάδα: Μέλη: Περιεχόμενα Περιεχόμενα... 2 Εισαγωγή...

Διαβάστε περισσότερα

Γενική οργάνωση σεναρίου. 1. Προαπαιτούμενες γνώσεις και πρότερες γνώσεις των μαθητών

Γενική οργάνωση σεναρίου. 1. Προαπαιτούμενες γνώσεις και πρότερες γνώσεις των μαθητών Παράρτημα 1: Τεχνική έκθεση τεκμηρίωσης σεναρίου Το εκπαιδευτικό σενάριο που θα σχεδιαστεί πρέπει να συνοδεύεται από μια τεχνική έκθεση τεκμηρίωσής του. Η τεχνική αυτή έκθεση (με τη μορφή του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΩΝ ΚΥΡΙΟΤΕΡΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΩΝ ΚΥΡΙΟΤΕΡΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΩΝ ΚΥΡΙΟΤΕΡΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ MATHDebate - Η Φωνή των Φοιτητών - Ψάχνοντας την Αριστεία στην Εκπαίδευση Μαθηματικών μέσω της Αύξησης των Κινήτρων για Μάθηση (project 2016-2018) mathdebate.eu Σύντομη

Διαβάστε περισσότερα

Οπτικές Aναπαραστάσεις και πόστερ. Βασιλική Σπηλιωτοπούλου

Οπτικές Aναπαραστάσεις και πόστερ. Βασιλική Σπηλιωτοπούλου Οπτικές Aναπαραστάσεις και πόστερ Βασιλική Σπηλιωτοπούλου Το περιβάλλον της διδασκαλίας των Θετικών Επιστημών Μέσα εργαλεία της διδασκαλίας των Θετικών Επιστημών Το γνωστικό και αισθητικό περιβάλλον των

Διαβάστε περισσότερα

BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS

BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS Effandi Zakaria and Norulpaziana Musiran The Social Sciences, 2010, Vol. 5, Issue 4: 346-351 Στόχος της

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Προσομοίωσης

Εφαρμογές Προσομοίωσης Εφαρμογές Προσομοίωσης H προσομοίωση (simulation) ως τεχνική μίμησης της συμπεριφοράς ενός συστήματος από ένα άλλο σύστημα, καταλαμβάνει περίοπτη θέση στα πλαίσια των εκπαιδευτικών εφαρμογών των ΤΠΕ. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

Έννοιες Φυσικών Επιστημών Ι

Έννοιες Φυσικών Επιστημών Ι Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Έννοιες Φυσικών Επιστημών Ι Ενότητα 4: Θεωρίες διδασκαλίας μάθησης στη διδακτική των ΦΕ. Σπύρος Κόλλας (Βασισμένο στις σημειώσεις του Βασίλη Τσελφέ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΙΑΙΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΕΝΙΑΙΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΝΙΑΙΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΙΣΧΥΕΙ ΚΑΤΑ ΤΟ ΜΕΡΟΣ ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΙΣΧΥΟΥΝ ΤΟ ΔΕΠΠΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ- ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Ε.Κολέζα

ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ- ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Ε.Κολέζα ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ- ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Ε.Κολέζα Οι νοεροί υπολογισμοί απαιτούν ικανότητα οπτικοποίησης: να μπορείς να φανταστείς κάτι και να δουλέψεις με το νου.. Είναι ένα είδος νοητικού πειράματος, η νοερή

Διαβάστε περισσότερα

Πάρεδρος ε.θ του Τμήματος Επιμόρφωσης και Αξιολόγησης του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Πάρεδρος ε.θ του Τμήματος Επιμόρφωσης και Αξιολόγησης του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Κασιμάτη Αικατερίνη Πάρεδρος ε.θ του Τμήματος Επιμόρφωσης και Αξιολόγησης του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου H έννοια του αριθμού Θεωρητικό Πλαίσιο Στην ικανότητα του παιδιού για αρίθμηση στηρίζεται η ανάπτυξη

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τμήμα Ιατρικών εργαστηρίων & Προσχολικής Αγωγής Συντονίστρια: Επίκουρη Καθηγήτρια, Ελένη Μουσένα [Σύγχρονες Τάσεις στην Παιδαγωγική Επιστήμη] «Παιδαγωγικά μέσω Καινοτόμων

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

12/11/16. Τι είναι «ερευνητικό πρόβλημα» 1/2. Τι είναι «ερευνητικό πρόβλημα» 2/2

12/11/16. Τι είναι «ερευνητικό πρόβλημα» 1/2. Τι είναι «ερευνητικό πρόβλημα» 2/2 Τι είναι «ερευνητικό πρόβλημα» 1/2... είναι ένα εκπαιδευτικό θέμα ή ζήτημα που ένας ερευνητής παρουσιάζει και αιτιολογεί σε μία έρευνητική μελέτη θέμα πρόβλημα σκοπός - ερωτήματα Τι είναι «ερευνητικό πρόβλημα»

Διαβάστε περισσότερα

Διδασκαλία στο 2ο Πειραματικό Λύκειο (Αμπελοκήπων)

Διδασκαλία στο 2ο Πειραματικό Λύκειο (Αμπελοκήπων) Διδασκαλία στο 2ο Πειραματικό Λύκειο (Αμπελοκήπων) Τάξη: Β' Λυκείου Μάθημα: Άλγεβρα Μαθηματικό Περιεχόμενο: Εκθετικές Λογαριθμικές Συναρτήσεις Χρονική Διάρκεια: Μία διδακτική ώρα Διδάσκων Φοιτητής: Βαγιάκης

Διαβάστε περισσότερα

26 Ιανουαρίου 2019 ΜΟΝΑΔΕΣ: ΛΥΚΕΙΟ:... ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΤΩΝ:

26 Ιανουαρίου 2019 ΜΟΝΑΔΕΣ: ΛΥΚΕΙΟ:... ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΤΩΝ: ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΒΟΡΕΙΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΦΥΣΙΚΗ 26 Ιανουαρίου 2019 ΛΥΚΕΙΟ:... ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΤΩΝ: 1.. 2..... 3..... ΜΟΝΑΔΕΣ: Η βασική ιδέα Θα αναλάβετε το ρόλο ενός οργανοποιού με επιστημονικές ανησυχίες: Θέλετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 36 η Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» 23 Φεβρουαρίου 2019 Θέματα και ενδεικτικές λύσεις μεγάλων τάξεων

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 36 η Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» 23 Φεβρουαρίου 2019 Θέματα και ενδεικτικές λύσεις μεγάλων τάξεων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 036653 367784 Fax: 036405 e mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Paneistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

Σ.Ε.Π. (Σύνθετο Εργαστηριακό Περιβάλλον)

Σ.Ε.Π. (Σύνθετο Εργαστηριακό Περιβάλλον) ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ: ΝΟΜΟΙ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ με τη βοήθεια του λογισμικού Σ.Ε.Π. (Σύνθετο Εργαστηριακό Περιβάλλον) Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Νοέμβριος 2013 0 ΤΙΤΛΟΣ ΝΟΜΟΙ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΝΟΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΡΙΑ ΚΑΛΔΡΥΜΙΔΟΥ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΝΟΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΡΙΑ ΚΑΛΔΡΥΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΝΟΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΡΙΑ ΚΑΛΔΡΥΜΙΔΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΟΗΜΑ κατάλληλο διδακτικό περιβάλλον εκπαιδευτικός διαχειριστής της τάξης μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα.

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα. Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Βοηθήστε τη ΕΗ Η προβληµατική της Εκπαιδευτικής ραστηριότητας Η επίλυση προβλήµατος δεν είναι η άµεση απόκριση σε ένα ερέθισµα, αλλά ένας πολύπλοκος µηχανισµός στον οποίο εµπλέκονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου Συγγραφέας: Κοπατσάρη Γεωργία Ημερομηνία: Φλώρινα, 5-3-2014 Γνωστική περιοχή: Μαθηματικά (Γεωμετρία) Β Γυμνασίου Προτεινόμενο λογισμικό: Προτείνεται να

Διαβάστε περισσότερα

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ]

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ] 1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

Η ανάπτυξη της Εποικοδομητικής Πρότασης για τη διδασκαλία και τη μάθηση του μαθήματος της Χημείας. Άννα Κουκά

Η ανάπτυξη της Εποικοδομητικής Πρότασης για τη διδασκαλία και τη μάθηση του μαθήματος της Χημείας. Άννα Κουκά Η ανάπτυξη της Εποικοδομητικής Πρότασης για τη διδασκαλία και τη μάθηση του μαθήματος της Χημείας Άννα Κουκά Μοντέλα για τη διδασκαλία της Χημείας Εποικοδομητική πρόταση για τη διδασκαλία «Παραδοσιακή»

Διαβάστε περισσότερα

Πότε πρέπει να αρχίζει η λογοθεραπεία στα παιδιά - λόγος και μαθησιακές δυσκολίες

Πότε πρέπει να αρχίζει η λογοθεραπεία στα παιδιά - λόγος και μαθησιακές δυσκολίες Η διάγνωση των διαταραχών λόγου πρέπει να γίνεται έγκαιρα, μόλις οι γονείς αντιληφθούν οτι κάτι ισως δεν πάει καλά και πρέπει να παρουσιάσουν το παιδί τους στον ειδικό. Ο ειδικός θα λάβει μέτρα για την

Διαβάστε περισσότερα

Έννοιες Φυσικών Επιστημών Ι

Έννοιες Φυσικών Επιστημών Ι Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Έννοιες Φυσικών Επιστημών Ι Ενότητα 4: Θεωρίες διδασκαλίας μάθησης στη διδακτική των Φ.Ε. Σπύρος Κόλλας (Βασισμένο στις σημειώσεις του Βασίλη Τσελφέ)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΗ ΕΡΕΥΝΑΣ I: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ & ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ

ΕΙΔΗ ΕΡΕΥΝΑΣ I: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ & ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΡΕΥΝΑΣ (# 252) Ε ΕΞΑΜΗΝΟ 9 η ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΔΗ ΕΡΕΥΝΑΣ I: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ & ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΛΙΓΗ ΘΕΩΡΙΑ Στην προηγούμενη διάλεξη μάθαμε ότι υπάρχουν διάφορες μορφές έρευνας

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

Διαφοροποίηση στρατηγικών διδασκαλίας ανάλογα με το περιεχόμενο στα μαθήματα των φυσικών επιστημών

Διαφοροποίηση στρατηγικών διδασκαλίας ανάλογα με το περιεχόμενο στα μαθήματα των φυσικών επιστημών Διαφοροποίηση στρατηγικών διδασκαλίας ανάλογα με το περιεχόμενο στα μαθήματα των φυσικών επιστημών Κων/νος Στεφανίδης Σχολικός Σύμβουλος Πειραιά kstef2001@yahoo.gr Νικόλαος Στεφανίδης Φοιτητής ΣΕΜΦΕ, ΕΜΠ

Διαβάστε περισσότερα