ΠΡΑΚΤΙΚΑ. 15 ο ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. Επιμέλεια Πρακτικών. Αθανάσιος Γαγάτσης, Ανδρέας Φιλίππου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΑΚΤΙΚΑ. 15 ο ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. Επιμέλεια Πρακτικών. Αθανάσιος Γαγάτσης, Ανδρέας Φιλίππου"

Transcript

1

2

3 ΠΡΑΚΤΙΚΑ 15 ο ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 8 10 Μαρτίου 2013 Αγρός ΟΡΓΑΝΩΣΗ 30 Χρόνια Προσφοράς και Δημιουργίας στη Μαθηματική Επιστήμη και Παιδεία της Κύπρου Σε συνεργασία με: Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής, Πανεπιστήμιο Κύπρου Επιθεώρηση Μαθηματικών Σύνδεσμο Μαθηματικών Κύπρου Ίδρυμα ΘΑΛΗΣ Επιμέλεια Πρακτικών Αθανάσιος Γαγάτσης, Ανδρέας Φιλίππου ISBN: (ηλεκτρονική μορφή) ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφείο 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ , Φαξ: ,

4 15 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Επιστήμης και Παιδείας Οργάνωση Γενικός Συντονιστής Συνεδρίου: Γρηγόρης Μακρίδης, Πρόεδρος ΚΥ.Μ.Ε. και Προϊστάμενος ΥΕΔΣ Πανεπιστημίου Κύπρου Επιστημονικός Υπεύθυνος Συνεδρίου Αθανάσιος Γαγάτσης, Αντιπρόεδρος ΚΥ.Μ.Ε. και Αντιπρύτανης Ακαδημαϊκών Υποθέσεων Πανεπιστημίου Κύπρου Συντονιστής Συμποσίου Μαθηματικής Παιδείας Πρωτοβάθμιας Εκπαίδευσης: Αθανάσιος Γαγάτσης, Αντιπρόεδρος ΚΥ.Μ.Ε. και Αντιπρύτανης Ακαδημαϊκών Υποθέσεων Πανεπιστημίου Κύπρου Συντονιστής Συμποσίου Μαθηματικής Παιδείας Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης: Ανδρέας Φιλίππου, Γενικός Γραμματέας ΚΥ.Μ.Ε. και καθηγητής Μαθηματικών Μέσης Εκπαίδευσης Συντονιστές Μαθητικού Συνεδρίου: Θεόκλητος Παραγιού, Ταμίας ΚΥ.Μ.Ε. και καθηγητής Μαθηματικών Μέσης Εκπαίδευσης Δημήτρης Καραντάνος, Οργανωτικός Γραμματέας ΚΥ.Μ.Ε. και καθηγητής Μαθηματικών Μέσης Εκπαίδευσης (ii)

5 Μέλη Οργανωτικής Επιτροπής Κωνσταντίνος Χρίστου, Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου Κωνσταντίνος Παπαγιάννης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σάββας Αντωνίου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Μάριος Ευσταθίου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σωτήρης Λοϊζιάς, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Ανδρέας Σκοτεινός, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σάββας Τιμοθέου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Ανδρέας Σαββίδης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Αναστασία Ηρακλέους-Θεοδώρου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Χαράλαμπος Καττιμέρης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Δώρα Συμεού, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Γρηγόρης Γρηγορίου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Ιωάννου Ιωάννης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Κυριάκος Κωνσταντινίδης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Κωνσταντίνος Κουμής, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Νικόλας Γιασουμής, Σύνδεσμος Μαθηματικών Κύπρου Πέτρος Πέτρου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Παντελής Ζαμπυρίνης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Τάνια Παναγιώτου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Τα ενυπόγραφα άρθρα εκφράζουν τις απόψεις και μόνον των αρθογράφων και δεν απηχούν απαραίτητα τις απόψεις του εκδότη. (iii)

6 ΠΡΟΛΟΓΟΣ A Το 15o Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης οργανώνεται στην πιο δύσκολη περίοδο που διανύει η χώρα μας σε σχέση με την οικονομία. Οι προκλήσεις και η αξία της εκπαίδευσης δημιουργούν σύγχυση, πολλοί επιστήμονες είναι άνεργοι ενώ ταυτόχρονα δεν φαίνεται προοπτική για ποιες είναι οι σωστές επιλογές. Τα μαθηματικά ως η βασίλισσα των επιστημών καλούνται να δώσουν λύσεις και η λύση είναι απλή και μία. Οι γερές βάσεις στα μαθηματικά θα βοηθήσουν τους νέους μας ώστε να μπορούν να αποκτούν διαθεματικές γνώσεις και να αναπτύσσουν δεξιότητες χρήσιμες για κάθε είδος εργασίας, μέσα στο άγνωστο μέλλον. Τα συνέδρια όπως το Παγκύπριο Συνέδριο στα Μαθηματικά επικοινωνούν με τρόπο χρήσιμο προς όλους, μαθητές, εκπαιδευτικούς, ερευνητές. Η παράλληλη διοργάνωση με το Παγκύπριο Μαθητικό Συνέδριο δίνει διαφορετική διάσταση σε όλο το περιβάλλον του Συνεδρίου. Ελπίζουμε ότι μέσα από το Παγκύπριο Συνέδριο θα αναπτυχθούν συνεργασίες και θα δημιουργηθούν νέες ιδέες για νέες καινοτομίες στο τομέα της μαθηματικής επιστήμης και παιδείας. Ευχαριστούμε τους συνεργάτες μας στο συνέδριο αυτό όπως το Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμούς (Γενική Διεύθυνση, Διεύθυνση Μέσης Εκπαίδευσης, Γενική Επιθεώρηση), τη Σχολή Κοινωνικών Επιστημών και Επιστημών της Αγωγής του Πανεπιστημίου Κύπρου, το Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής του Πανεπιστημίου Κύπρου, το Σύνδεσμο Μαθηματικών Κύπρου και την Κυπριακή Αστροναυτική Εταιρεία. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τους Α. Γαγάτση, Α. Φιλίππου, Δ. Καραντάνο και Θ. Παραγυίου που ανάλαβαν την επιμέλεια των πρακτικών του 15ου Παγκύπριου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης και του 9 ου Μαθητικού Συνεδρίου για τα Μαθηματικά. Ιδιαίτερες ευχαριστίες στη Γενική Διευθύντρια του Υπουργείου Παιδείας και Πολιτισμού, κα Ολυμπία Στυλιανού, που έθεσε το Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης υπό την Αιγίδα της. Εκ μέρους του Διοικητικού Συμβουλίου της Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας εκφράζω ευχαριστίες σε όλους όσοι βοήθησαν στην οργάνωση των Συνεδρίων. Δρ Γρηγόρης Μακρίδης Πρόεδρος Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας Πρόεδρος Ιδρύματος ΘΑΛΗΣ (iv)

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Β Η παρούσα έκδοση του τόμου των Πρακτικών του συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας της ΚΥΜΕ 2013 φανερώνει τη θέληση της ΚΥΜΕ για διατήρηση και ενίσχυση του θεσμού των συνεδρίων στην Μαθηματική Παιδεία. Η επιμονή αυτή δηλώνει τη σημασία που αποδίδει το Συμβούλιο της ΚΥΜΕ στη διάδοση θεμάτων διδασκαλίας των μαθηματικών και στην ενίσχυση του διαλόγου μεταξύ των συναδέλφων. Ο ΤΟΜΟΣ αυτός είναι αποτέλεσμα για ακόμα μια φορά της άριστης συνεργασίας μου με τον Ανδρέα Φιλίππου Γενικό Γραμματέα της ΚΥΜΕ. Δύο είναι οι τάσεις που διαφαίνονται στις εργασίες του τόμου αυτού : Η πρώτη αφορά ένα σημαντικό αριθμό εργασιών συναδέλφων και φοιτητών του Πανεπιστημίου Κύπρου. Η δεύτερη τάση αφορά κείμενα συναδέλφων μαθηματικών από την Ελλάδα. Ελπίζω ότι ο παρών τόμος θα εκπληρώσει τις φιλοδοξίες του, να είναι δηλαδή χρήσιμος για τους εκπαιδευτικούς Μέσης και Δημοτικής Εκπαίδευσης και γενικά για όλους όσοι έχουν ερευνητικά ή πρακτικά ενδιαφέροντα για τα Μαθηματικά και τη Διδακτική τους. Αθανάσιος Γαγάτσης Αντιπρόεδρος ΚΥΜΕ Αντιπρύτανης Ακαδημαϊκών Υποθέσεων, Πανεπιστήμιο Κύπρου (v)

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1 1. Αριθμητικό Γιγνώσκειν 3 Aθανάσιος Pαφτόπουλος 2. Η Αξία της Μεθόδου της προς τα Πίσω Επαγωγής (Backward Induction Method) 19 Δρ Κωστής Ανδριόπουλος 3. Προβλήματα Αλλαγής με Περιττές Πληροφορίες, με Λεκτική Αναπαράσταση και Πληροφοριακή Εικόνα: Ο Ρόλος της Αναπαράστασης, της Δομής και του Διδακτικού Συμβολαίου 31 Αγγέλα Χρυσοστόμου 4. Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία Σύμφωνα με τα Γνωστικά Στυλ των Εκπαιδευτικών 47 Χαράλαμπος Ευσταθίου Ανδρούλλα Πετρίδου 5. Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση Γεωμετρικού Σχήματος 75 Αθανάσιος Γαγάτσης, Παναγιώτα Καλογήρου Ανδρούλλα Πετρίδου 6. Οι Δυσκολίες των Μαθητών σε Έργα Μετάφρασης Γραφικών Παραστάσεων 101 Χριστοδούλου Θεοδώρα Ηλία Ιλιάδα 7. Είναι Συμμετρική η Εικόνα της Πεταλούδας; Μια Διερεύνηση των Διαισθητικών Αντιλήψεων και Αναπαραστάσεων Παιδιών Προδημοτικής σε Έργα Συμμετρίας 119 Λουίζα Δημητρίου Ιλιάδα Ηλία (vi)

9 8. Προσεγγίζοντας Διδακτικά τις Σχέσεις περί Σφαίρας και Κυλίνδρου του Αρχιμήδη. Ένα Διδακτικό Σενάριο 133 Μαρία Πριοβόλου 9. H Κατανόηση και οι Παρανοήσεις Μαθητών για την Έννοια της Εφαπτομένης Ευθείας σε ένα Σημείο 147 Λουΐζα Θεμιστοκλέους Ευγένιος Αυγερινός 10. Πορίσματα του Πυθαγορείου Θεωρήματος και Μαθηματική Δημιουργικότητα των Μαθητών 159 Γιώργος Κόσυβας 11. Η Διδασκαλία της Μαθηματικής Επαγωγής στο Λύκειο 171 Σωτήρης Λοϊζιάς Έλενα Χατζηγεωργίου 12. Οι Αντιλήψεις των Φοιτητών των ΠΤΔΕ στις Έννοιες της Αριθμογραμμής, των Ίσων Μερών της Μονάδας και των Καταχρηστικών Κλαμάτων 189 Ευγένιος Αυγερινός Ρόζα Βλάχου 13. Γιατί είναι Απαραίτητη η Διδασκαλία της Γεωμετρίας ; 201 Δημήτριος Γ. Κοντογιάννης 14. Πλακοστρώσεις με Κανονικά Πολύγωνα 205 Σάββας Τιμοθέου Ανδρέας Φιλίππου 15. Ο Eduard Helly και η συνεισφορά του στην ανάπτυξη της Συνδυαστικής Γεωμετρίας 227 Μπαραλής Η. Γεώργιος, Κοντογιάννης Δ. Γεώργιος Κοντογιάννης Γ. Δημήτριος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ ΣΥΜΠΟΣΙΟ ΑΣΤΡΟΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Κοσμολογία: Απαντήσεις στο Αιώνιο Πρόβλημα. Πως Έγινε ο Κόσμος μας 239 Πέτρος Πέτρου (vii)

10 2. Μεταβολές κατά την Τελευταία Εικοσαετία στον Πλανήτη Γη και η Συμβολή της Γεωτεχνολογίας στον Περιορισμό της Υπερθέρμανσης 245 Νικόλαος Δερμοσονιάδης 3. Μια Περιήγηση στον Άρη 251 Σοφούλης Καρλεττίδης 4. Το Σύμπαν 257 Μάριος Νεοφύτου (viii)

11

12

13 APIΘMHTIKO ΓIΓNΩΣKEIN Αθανάσιος Ραφτόπουλος Τμήμα Ψυχολογίας, Παν/μιο Κύπρου Εισαγωγή Στην εργασία συζητώ το ζήτημα των πρωταρχικών ή πυρηνικών μηχανισμών που διαθέτουμε για την αναπαράσταση των αριθμών. Όντας πρωταρχικοί, οι μηχανισμοί αυτοί πρέπει να εξηγούν τις επιδόσεις ακόμη και των νηπίων σε αριθμητικά έργα στα οποία έχουμε ενδείξεις ότι τα νήπια επιτυγχάνουν. Δεδομένου δε ότι τα νήπια δεν γνωρίζουν ούτε αριθμητική ούτε βέβαια αναπαριστούν τους αριθμούς με τα αφηρημένα σύμβολα της αριθμητικής, η συζήτηση του θέματος εστιάζεται γύρω από τους μηχανισμούς αναπαράστασης αριθμών στα νήπια. H τεκμηρίωση μηχανισμών σε αυτήν την ηλικία θα δικαιολογούσε πλήρως το χαρακτηρισμό τους ως πυρηνικών μηχανισμών αναπαράστασης αριθμών. Στην πρώτη ενότητα συζητώ το θεωρητικό πλαίσιο του αριθμητικού γιγνώσκειν και θα παρουσιάσω τρεις θεωρίες. H πρώτη υποθέτει ότι η βασική αναπαράσταση αριθμών γίνεται μέσω ενός νευρωνικού μηχανισμού που προσμετρά τα στοιχεία συνόλων, ενός μηχανισμού που δεν προϋποθέτει βέβαια γνώση αριθμητικής ή των συμβόλων των αριθμών, και την απόδοση στον τελευταίο αριθμό ή μέγεθος που καταλήγει η μέτρηση ενός αφηρημένου συμβόλου, αυτού που στην αριθμητική θα αντιστοιχούσε στο αριθμητικό σύμβολο του πληθαρίθμου του συνόλου. Λόγω του υφιστάμενου νευρωνικού θορύβου, αυτό το σύστημα δίνει μία προσεγγιστική τιμή του πληθάριθμου του εκάστοτε συνόλου. Ο πυρηνικός αυτός μηχανισμός ονομάζεται Προσεγγιστικό Σύστημα Αριθμού (ΑΝΣ). H δεύτερη θεωρία υποθέτει ότι αντί να αντιστοιχούμε αφηρημένα σύμβολα σε αποτελέσματα μέτρησης, οι επιδόσεις εξηγούνται με την επίκληση του μηχανισμού δημιουργίας φακέλων αντικειμένων (object files) και τη δημιουργία μοντέλων των επί σκηνής αντικειμένων. Επειδή το σύστημα αυτό στηρίζεται στην ύπαρξη ενός μηχανισμού εξατομίκευσης των αντικειμένων και της μετέπειτα παρακολούθησης των, ονομάζεται Σύστημα Παρακολούθησης Αντικειμένων (ΟΤΣ) Mία τρίτη, τέλος θεωρία συνδυάζει τις δύο πρώτες περιορίζοντας ταυτόχρονα το

14 Α. Ραφτόπουλος πεδίο εφαρμογής των. Σύμφωνα με αυτήν, αναπαριστούμε τους μικρούς αριθμούς με τη βοήθεια μοντέλων αντικειμένων που δημιουργούμε με βάση τους φακέλους των αντικειμένων, ενώ τους μεγάλους αριθμούς τους αναπαριστούμε ως μεγέθη που απορρέουν από τη λειτουργία ενός συσσωρευτή που μετρά τα αντικείμενα σε ένα σύνολο. Στην δεύτερη ενότητα συζητώ τον τρόπο με τον οποίον τα δύο μοντέλα εξηγούν την εμφάνιση των συμβολικών αριθμητικών αναπαραστάσεων, της έννοιας δηλαδή του αριθμού. Θα κλείσω επιχειρηματολογώντας συνοπτικά, στη βάση αναπτυξιακών και νευροαπεικονιστικών δεδομένων, ότι υπάρχει ένας μόνο τέτοιος πυρηνικός μηχανισμός στον οποίον στηρίζεται η μετέπειτα γνώση των αριθμητικών συμβόλων και αριθμητικών πράξεων, αυτός της αναλογικής αναπαράστασης αριθμών, δηλαδή το ΑΝΣ. 1. H Βάση του Αριθμητικού Γιγνώσκειν Πρόσφατες εκτεταμένες έρευνες με τη μέθοδο της ευαισθητοποίησης απευαισθητοποίησης δείχνουν ότι τα νήπια έχουν αριθμητικές ευαισθησίες σχετικά με σύνολα ενός έως τριών στοιχείων (Starkey et al., 1990; Wynn, 1996; Uller et al., 1999). Όταν, π.χ., σε νήπια μερικών μηνών που έχουν αποευαισθητοποιηθεί σε σύνολα δύο αντικειμένων παρουσιάζονται σύνολα ενός η τριών αντικειμένων τα νήπια ευαισθητοποιούνται εκ νέου, γεγονός που υποδηλώνει ότι είναι ευαίσθητα σε αριθμητικές διαφορές. Περαιτέρω έρευνες με τη μέθοδο της παραβίασης προσδοκιών (Wynn, 1995; 1996) δείχνουν ότι τα νήπια μπορεί να αναπαραστούν ορισμένες από τις αριθμητικές σχέσεις μεταξύ συνόλων ενός έως τριών στοιχείων, σχέσεις όπως και 2-1 = 1. Κάθε άλλο αποτέλεσμα είναι απρόσμενο για τα νήπια, που ξαφνιάζονται με την παρουσία του. Tα αποτελέσματα αυτά μπορούν να ερμηνευτούν με δύο τρόπους, είτε εννοιολογικά η αντιληπτικά. Μπορεί δηλαδή κάποιος να υποθέσει ότι τα νήπια είτε έχουν εκ γενετής, είτε έχουν οικοδομήσει παρά το νεαρόν της ηλικίας τους, τις έννοιες των πληθικοτήτων κάποιων συνόλων. Έτσι, όταν βλέπουν ένα αντικείμενο να προστίθεται σε ένα άλλο τα νήπια απαριθμούν τα αντικείμενα, όπως θα δούμε αργότερα η απαρίθμηση γίνεται με έναν τρόπο που δεν προϋποθέτει ότι τα παιδιά γνωρίζουν να μετράνε, και έτσι ενεργοποιείται η έννοια που εκφράζεται με τον πληθικό αριθμό 2, αν και τα νήπια δεν γνωρίζουν βέβαια τον αριθμό δύο, και αποθηκεύεται ένα σύμβολο που τη χαρακτηρίζει. Εάν στη σκηνή παρουσιαστούν δύο αντικείμενα τα νήπια ενεργοποιούν την ίδια έννοια και συνεπώς ένα άλλο σύμβολο (token) του ιδίου τύπου (type) με το προηγούμενο. Επειδή τα δύο σύμβολα είναι του ιδίου τύπου το νήπιο δεν ξαφνιάζεται. Εάν όμως στη σκηνή παρουσιαστεί ένα αντικείμενο, τότε το σύμβολο που αντιστοιχεί στην έννοια της πληθικότητας ένα ενεργοποιείται και η σύγκριση αποκαλύπτει ότι διαφέρει από αυτό 4

15 Αριθμητικό Γιγνώσκειν που είναι αποθηκευμένο στη μνήμη, με αποτέλεσμα το γεγονός αυτό να θεωρηθεί απρόσμενο. Αντίθετα μπορεί κάποιος να υποθέσει ότι λόγω του νεαρού της ηλικίας τους και της ανωριμότητας του εγκεφάλου τους, τα νήπια δεν χρησιμοποιούν έννοιες. Αυτό που εξηγεί τα πειραματικά ευρήματα είναι ότι τα αντικείμενα αναπαρίστανται αντιληπτικά στο οπτικό σύστημα του νεογνού χωρίς καμία εννοιολογική παρεμβολή. Tο νήπιο συγκρίνει τις δύο αντιληπτικές αναπαραστάσεις και σε περίπτωση που διαφέρουν ξαφνιάζεται. Στη βιβλιογραφία είχαν προταθεί μέχρι πρόσφατα δύο θεωρίες για τη φύση των διεργασιών που χρησιμοποιούν τα νήπια στα σχετικά έργα. Σύμφωνα με την πρώτη, τα νήπια αναπαριστούν τις πληθικότητες συνόλων αποθηκεύοντας σύμβολα που αντιστοιχούν στις πληθικότητες στις οποίες τα παιδιά φθάνουν με τη χρήση κάποιου απαριθμητικού αλγόριθμου, όπως υποστηρίζουν οι Wynn (1995; 1996) και Gallistel and Gelman, (1992). Σύμφωνα με τη δεύτερη θεωρία τα νήπια αναπαριστούν μόνο αντικείμενα και όχι πληθικότητες και οι διεργασίες που χρησιμοποιούν στα διάφορα έργα με σύνολα και αριθμητικές σχέσεις αντικειμένων συνίστανται στην αντιστοίχηση ένα προς ένα των αντικειμένων σε μία σκηνή και όχι στην εκτέλεση κάποιου απαριθμητικού αλγόριθμου (Carey, 2009, Simon, 1997, Uller et al., 1994). Aς δούμε τις δύο θεωρίες αναλυτικότερα. ΑΝΣ H κλάση της πρώτης θεωρίας συνιστά τα μοντέλα ακεραίων συμβόλων (Integer- Symbol-Models, ISM). Επειδή όπως είδαμε λόγω θορύβου υπάρχει μία προσεγγιστική εκτίμηση του πληθάριθμου ενός συνόλου, αυτό το σύστημα ονομάζεται πλέον ΑΝΣ. Το ΑΝΣ προτείνει ότι ο αριθμός των αντικειμένων σε ένα σύνολο αναπαρίσταται από τον αριθμό του τελευταίου αντικειμένου στον οποίον φθάνουμε με μία διεργασία απαρίθμησης. H διεργασία αυτή καταλήγει στη δημιουργία και αποθήκευση στη μνήμη εργασίας ενός αφηρημένου συμβόλου για τον ακέραιο που αντιστοιχεί στο τελευταίο αντικείμενο που απαριθμήθηκε. Όταν λοιπόν ένα νήπιο παρατηρεί ένα γεγονός κατά το οποίο δύο ή τρία αντικείμενα παρουσιάζονται εν σειρά (τοποθετούμενα με εμφανή τρόπο το ένα δίπλα στο άλλο), το νήπιο απαριθμεί τα αντικείμενα, δημιουργεί ένα σύμβολο που αντιστοιχεί στο αποτέλεσμα της απαρίθμησης και το αποθηκεύει στη μνήμη εργασίας. Όταν σε ένα επόμενο γεγονός το ένα από τα αντικείμενα απομακρύνεται κρυφά από το νήπιο (υψώνοντας ένα πέτασμα που αποκρύπτει τα αντικείμενα από το νήπιο και επιτρέπει στον πειραματιστή να απομακρύνει ένα εξ αυτών χωρίς να γίνει αντιληπτός από το παιδί) και στο νήπιο παρουσιάζεται μία σκηνή με ένα αντικείμενο λιγότερο, το νήπιο επαναμετρά τα αντικείμενα, δημιουργεί και αποθηκεύει ένα σύμβολο που αντιστοιχεί στην πληθικότητα του νέου συνόλου και συγκρίνει αυτό το σύμβολο με το 5

16 Α. Ραφτόπουλος αποθηκευμένο στη μνήμη του σύμβολο της πληθικότητας των αντικειμένων στο πρότερο σύνολο. Εάν τα σύμβολα ανήκουν στον ίδιο τύπο, το αποτέλεσμα είναι αναμενόμενο και το νήπιο δεν ξαφνιάζεται. Εάν δεν ανήκουν, το αποτέλεσμα δεν είναι το αναμενόμενο και το νήπιο εκδηλώνει την έκπληξή του. Επειδή δεν υπάρχει περιορισμός ως προς τον αριθμό των αντικειμένων ενός συνόλου που ο νευρωνικού μηχανισμός μπορεί να προσμετρά, ο ΑΝΣ επιτρέπει την αναπαράσταση των πληθικοτήτων μεγάλων συνόλων και των μεταξύ τους συγκρίσεων. Οι αναπαραστάσεις αυτές ακολουθούν το το νόμο του Weber (Butterworth 2010; Piazza 2010, 542). Ο νόμος αυτός περιγράφει τη σχέση μεταξύ του φυσικού μεγέθους ενός ερεθισμού και της αναπαράστασης του στον εγκέφαλο. Ο νόμος ορίζει ότι το κατώφλι της διακρισιμότητας (δηλαδή η ελάχιστη παρατηρήσιμη διαφορά) μεταξύ δύο ερεθισμών αυξάνεται γραμμικά με την ένταση του ερεθισμού. Ο νόμος αυτός πραγματώνεται μέσω ενός μηχανισμού που επιτάσσει μία λογαριθμική σχέση μεταξύ του φυσικού ερεθισμού και της αναπαράστασης του. Η σχέση αυτή είναι Δπ=Κ Δς/Σ, όπου Δπ είναι η μικρότερη παρατηρήσιμη διαφορά, Δς είναι η φυσική διαφορά, και Σ η ένταση του ερεθισμού, η οποία σε περίπτωση αριθμητικών έργων αντιστοιχεί σε έναν πληθάριθμο. Ως κλάσμα Weber ορίζεται η μικρότερη διαφοροποίηση σε μία ποσότητα που μπορεί να γίνει αντιληπτή. Π.χ. εάν σε ένα σύνολο 4 αντικειμένων προστεθεί ένα πέμπτο, ένας παρατηρητής αντιλαμβάνεται αμέσως τη διαφορά. Εάν, όμως, προστεθεί σε ένα σύνολο 135 αντικειμένων ένα αντικείμενο η διαφορά δεν γίνεται αντιληπτή, Όπως προκύπτει από το νόμο, το κατώφλι διακρισιμότητας εξαρτάται από την αναλογία και όχι από την απόλυτη διαφορά μεταξύ δύο ποσοτήτων. Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο υπάρχει κάποιος μηχανισμός στον εγκέφαλο ο οποίος προσμετρά τα αντικείμενα σε ένα σύνολο και καταλήγει να αναπαριστά την πληθικότητα του συνόλου. Έχω ισχυριστεί αλλού ότι ένας τέτοιος μηχανισμός είναι ένας αναλογικός μηχανισμός που συνδέει την πληθικότητα με ένα μέγεθος. Αν και σε κάποιο στάδιο της ανάπτυξής του το παιδί μαθαίνει να αναπαριστά μεγέθη με αφηρημένα αριθμητικά σύμβολα, υπάρχουν ενδείξεις ότι οι πρώτες αναπαραστάσεις αριθμών δεν είναι συμβολικές αλλά αναλογικές. Έτσι, εάν η αριθμητική βασίζεται σε τελική ανάλυση στην εμπειρία μας, οι πληθικότητες πρέπει να γίνονται πρωταρχικά αντιληπτές με ένα συνεχή αναλογικό τρόπο, να γίνονται δηλαδή αντιληπτές ως μεγέθη και όχι ως αυθαίρετα εσωτερικά σύμβολα που αντιστοιχούν στις πληθικότητες. Πειραματικές μελέτες (Bialystok, 1992, Gallistel, 1990 Gallistel and Gelman, 1992) δείχνουν ότι τόσο τα ζώα όσο και τα παιδιά χρησιμοποιούν ένα αναλογικό σύστημα αναπαράστασης πληθικοτήτων, ότι δηλαδή χρησιμοποιούν μεγέθη για να αναπαραστήσουν πληθικότητες. Tο ερώτημα τώρα είναι το πως θα μπορούσε ένας οργανισμός να οικοδομεί τέτοιες αναλογικές αναπαραστάσεις πληθικοτήτων. Tο δεύτερο πρόβλημα σχετίζεται με το εάν 6

17 Αριθμητικό Γιγνώσκειν υπάρχουν ενδείξεις ότι πράγματι ο εγκέφαλος χρησιμοποιεί ένα αναλογικό σύστημα αναπαράστασης πληθικοτήτων. Ως απάντηση στο πρώτο πρόβλημα οι Meck and Church (1983) πρότειναν το μοντέλο του συσσωρευτή (accumulator model) και παρείχαν ψυχολογικά τεκμήρια για τη χρήση του. Στο μοντέλο αυτό ο αριθμός αναπαρίσταται από ένα φυσικό μέγεθος που είναι συνάρτηση των αντικειμένων που αριθμούνται. Σε ένα τέτοιο αναλογικό σύστημα, ο οργανισμός δεν χρειάζεται να μάθει ποιον αριθμό μία δεδομένη κατάσταση του συσσωρευτή αναπαριστά γιατί η κατάσταση στην οποία ευρίσκεται είναι μία ευθεία γραμμική συνάρτηση του αριθμού. Σύμφωνα με το μοντέλο του συσσωρευτή, το νευρικό σύστημα περιέχει το ισοδύναμο μίας γεννήτριας παλμών η οποία παράγει δραστηριότητα με ένα σταθερό ρυθμό. Κάθε φορά που ένα αντικείμενο σε μία σειρά συναντάται ένας βηματοδότης στέλνει ένα σήμα. H δραστηριότητα ελέγχεται από μία πύλη εισόδου έτσι ώστε ενέργεια περνάει από την πύλη σε ένα συσσωρευτή που καταγράφει πόσο πολύ έχει περάσει μέσα. Tο μέγεθος που έχει συσσωρευτεί στο τέλος της αριθμήσιμης σειράς είναι ανάλογο προς τον αριθμό των αντικειμένων στη σειρά και έτσι αποτελεί μία αναλογική αναπαράσταση της πληθικότητας της σειράς. Oι Meck and Church ισχυρίζονται ότι ο ίδιος μηχανισμός χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση της χρονικής διάρκειας. Σειρά από πειράματα σε ζώα και ανθρώπους (Meck and Church, 1983; Meck et al., 1985) παρέχουν ισχυρές ενδείξεις ότι τα ζώα αναπαριστούν πληθικότητες ως μεγέθη. Ένας μεγάλος αριθμός πειραμάτων (Gallistel, 1990; Gallistel & Gelman, 1992) τεκμηριώνει ότι όχι μόνο τα ζώα αλλά και τα μικρά παιδιά χρησιμοποιούν ένα αναλογικό σύστημα αναπαραστάσεως ποσοτήτων. Ευρήματα νευροψυχολογικών ερευνών με υποκείμενα που πάσχουν από διάφορες μορφές αναριθμησίας ενισχύουν τα παραπάνω ευρήματα. Oι Dehaene and Cohen (1997) επιχειρηματολογούν για την ύπαρξη δύο ξεχωριστών νευρικών οδών οι οποίες επεξεργάζονται την αριθμητική γνώση με διαφορετικό τρόπο, αν και στις περισσότερες κανονικές περιπτώσεις και οι δύο οδοί είναι ενεργές και αλληλεπιδρούν κατά την εκτέλεση μαθηματικών διεργασιών. H μία οδός εμπλέκει τις κατώτερες βρεγματικές περιοχές του φλοιού και σε αυτήν λαμβάνουν χώρα ποσοτικές αριθμητικές διεργασίες. H άλλη οδός εμπλέκει έναν αριστερο-πλευρικό διαφραγματικό-φλοιικό βρόχο και είναι υπεύθυνη για την αριθμητική λεκτική απομνημόνευση (rote verbal knowledge), σε αυτήν την οδό συγκρατείται, π.χ., η προπαίδεια. Συνεπώς, ασθενείς με τραύματα στις κατώτερες βρεγματικές περιοχές υποφέρουν από διαταραχές, ή και ολική απώλεια, της ικανότητας εκτέλεσης μαθηματικών πράξεων ενώ διατηρούν γνώσεις που σχετίζονται με απομνημόνευση μαθηματικών σχέσεων. Αντίθετα, ασθενείς με τραύματα στην αριστερή υποφλοιική περιοχή δεν παρουσιάζουν προβλήματα, αλλά παρουσιάζουν διαταραχές στην λεκτική ανάκληση αριθμητικών γνώσεων. 7

18 Α. Ραφτόπουλος Για να εξηγήσουν αυτά τα πρότυπα διαταραχών και τα πειραματικά ευρήματα οι Dehaene and Cohen (1995) πρότειναν το μοντέλο του τριπλού κώδικα για τη γνωσιακή και ανατομική αρχιτεκτονική της αριθμητικής στον εγκέφαλο. Σύμφωνα με το μοντέλο αυτό, υπάρχουν τρία είδη αριθμητικών αναπαραστάσεων: (α) ένας οπτικός κώδικας με τον οποίον οι αριθμοί αναπαρίστανται ως καθορισμένες σειρές ψηφίων (π.χ., 315). O οπτικός αυτός κώδικας ενυλώνεται στις κατώτερες οπίσθιες κροταφικο-ινιακές περιοχές αμφοτέρων των ημισφαιρίων, (β) ένας ποσοτικο-αναλογικός κώδικας ή κώδικας μεγεθών, που ενυλώνεται στις κατώτερες βρεγματικές περιοχές σε αμφότερα τα ημισφαίρια. Σε αυτόν τον κώδικα, οι αριθμοί αναπαρίστανται ως κατανομές ενεργοποιήσεων σε μία αριθμητική γραμμή με καθορισμένη κατεύθυνση (oriented number line). Αυτός ο κώδικας ενέχεται στην σημασιολογική γνώση σχετική με ποσότητες (σχέσεις μεταξύ μεγεθών, μικρότερο ή μεγαλύτερο, πόσο κοντά, κ.λπ.). (γ) ο λεκτικός κώδικας, που ενυλώνεται στο αριστερό ημισφαίριο στις περιοχές γύρω από την πλάγια αύλακα, με τον οποίον οι αριθμοί αναπαρίστανται ως σειρές λέξεων. Κρίσεις σχετικές με ποσοτικές σχέσεις εμπλέκουν τον δεύτερο κώδικα στον οποίον οι αριθμοί αναπαρίστανται ως μεγέθη, με αναλογικό δηλαδή τρόπο. Όταν εκτελούνται διάφορες μαθηματικές διεργασίες τα μεγέθη αυτά υφίστανται σημασιολογικά νοηματοδοτημένους μετασχηματισμούς και το προκύπτων μέγεθος μεταφέρεται στο αρμόδιο γλωσσικό νευρωνικό δίκτυο για να ονοματιστεί. Τα ανωτέρω ευρήματα σε συνδυασμό με πολλές νεότερες μελέτες (Piazza (2010) δηλώνουν ότι τα νευρωνικά σύστοιχα του ΑΝΣ, ο δεύτερος κώδικας, βρίσκονται κυρίως στην περιοχή του μεσαίου IPS (ενδοβρεγματικός έλικας) και στις δύο πλευρές του εγκεφάλου. Oι Gallistel and Gelman αποκαλούν το αναλογικό σύστημα αναπαράστασης πληθικοτήτων, σύστημα προλεκτικής μέτρησης (preverbal counting), θέλοντας να τονίσουν ότι τα ζώα και τα παιδιά μπορούν να μετρήσουν ή για την ακρίβεια να αναγνωρίσουν αριθμούς αντικειμένων σε ένα σύνολο και να πραγματοποιήσουν στοιχειώδεις αριθμητικές πράξεις πριν από την μάθηση κάποιου συμβολικού συστήματος αρίθμησης. Aκόμη όμως και μετά την απόκτηση ενός λεκτικού συμβολικού συστήματος αριθμητικής, το παιδί αφομοιώνει το λεκτικό σύστημα αριθμητικού συλλογισμού εκτελώντας τις μαθηματικές πράξεις με έναν αναλογικό πρώτα τρόπο ο οποίος του παρέχει τα κατά προσέγγιση αποτελέσματα των αριθμητικών πράξεων που καλείται να εκτελέσει στο λεκτικό κώδικα (Gallistel and Gelman, 1992). Για να το κατορθώσει αυτό, 8

19 Αριθμητικό Γιγνώσκειν το παιδί αντιστοιχεί τους λεκτικούς αριθμούς με μη-λεκτικά μεγέθη, πραγματοποιεί μηλεκτικές αναλογικές αριθμητικές διεργασίες με αυτά τα μεγέθη και ύστερα αντιστοιχεί ξανά τα αποτελέσματα αυτών των αναλογικών διεργασιών με λεκτικούς αριθμούς. ΟΤΣ Η δεύτερη θεωρία είναι αυτή των φακέλων αντικειμένων (Object-Files-Models, OFM) ή συστήματα παρακολούθησης αντικειμένων (ΟΤΣ). Oι OFM προτείνουν μία άλλην εξήγηση των πειραματικών αποτελεσμάτων. Tο νήπιο δεν μετρά τίποτα, απλώς οικοδομεί και αποθηκεύει αναπαραστάσεις των αντικειμένων στη σκηνή. Oι Uller et al (1999) με μία σειρά πειραμάτων έδειξαν ότι τα μικρά παιδιά δεν απαριθμούν τα αντικείμενα σε μία σκηνή και μετά κωδικοποιούν και αποθηκεύουν μία συμβολική μορφή του ακεραίου που αντιστοιχεί στον πληθικό αριθμό των αντικειμένων. Αντίθετα, αναπαριστούν τα αντικείμενα στη σκηνή κτίζοντας μοντέλα των αντικειμένων και ανανεώνοντας τις πληροφορίες που περιέχονται σε αυτά κάθε φορά που κάτι αλλάζει. Tα αντικείμενα στα μοντέλα αυτά αναπαρίστανται με τη μορφή αρχειοθηκών ή φακέλων αντικειμένων (object-files), όρος ο οποίος ανάγεται στους Kahneman and Treisman (1994). Ένα σύνολο δύο αντικειμένων αναπαρίσταται ως O i O j, όπου O i και O j είναι οι αρχειοθήκες που εμπεριέχουν πληροφορίες για τα δύο αντικείμενα. Αυτή η αναπαράσταση περιέχει την πληροφορία ότι υπάρχουν δύο διακριτά αντικείμενα και ότι αυτά είναι τα μόνα αντικείμενα επί σκηνής. Eάν μετά από λίγο δια μέσου κάποιας ενέργειας που το παιδί δεν αντιλαμβάνεται ένα μόνο αντικείμενο εμφανίζεται επί της σκηνής τότε το παιδί κατασκευάζει ένα μοντέλο που περιέχει την αρχειοθήκη O k. Εάν δύο αντικείμενα εμφανιστούν, τότε το παιδί κατασκευάζει το μοντέλο O k O l. Tο παλαιότερο και το καινούργιο μοντέλο των αντικειμένων συγκρίνονται με μία διαδικασία που ανιχνεύει αντιστοιχίες ένα προς ένα μεταξύ των αρχειοθηκών στις δύο αναπαραστάσεις. Στην πρώτη περίπτωση δεν υπάρχει μία ένα προς ένα αντιστοιχία μεταξύ των αναπαραστάσεων O i O j και O k και το παιδί ξαφνιάζεται. Φαίνεται λοιπόν ότι τα παιδιά αναπαριστούν αντικείμενα με τη μορφή αρχειοθηκών και στη βάση αυτών των αρχειοθηκών κατασκευάζουν μοντέλα των αντικειμένων σε μία σκηνή τα οποία αναθεωρούν όταν συμβούν αλλαγές. H αντίληψη κάποιου γεγονότος ως αναμενόμενου ή μη αναμενόμενου και η ακόλουθη αντίδραση στηρίζεται σε μια διαδικασία που ανιχνεύει αντιστοιχίες ένα προς ένα μεταξύ των αρχειοθηκών στα μοντέλα που συγκρίνονται. Oι Uller et al (1999) αφήνουν ανοιχτό το ζήτημα του είδους των πληροφοριών που εμπεριέχονται στις αρχειοθήκες των αντικειμένων που κατασκευάζουν τα παιδιά. Υπάρχουν πάντως πειραματικές ενδείξεις ότι οι αρχειοθήκες 9

20 Α. Ραφτόπουλος περιέχουν πρωτίστως χωροχρονικές πληροφορίες, δηλαδή πληροφορίες για τη θέση ή τη σχετική θέση και κίνηση των αντικειμένων (Spelke, 1995, Ulmann, 1999, Xu and Carey, 2009). Σημειώστε ότι επειδή το σύστημα ανίχνευσης αντικειμένων έχει σαφή περιορισμό ως προς τον αριθμό των αντικειμένων που μπορεί να αναπαριστά εν παραλλήλω, τα ΟΤΣ μπορούν να εξηγήσουν τις αριθμητικές ικανότητες με σύνολα μέχρι 4 στοιχείων. Πιθανολογείτε, συνεπώς. ότι τα ΟΤΣ μπορούν να εξηγήσουν to subitizing καθώς και αυτό χαρακτηρίζεται από τον ίδιο ακριβώς περιορισμό. Τα αντίστοιχα νευρωσικά σύστοιχα του ΟΤΣ δεν είναι τόσο ξεκάθαρα όσο του ΑΝΣ, όμως φαίνεται να ενέχουν τον οπίσθιο βρεγματικό λοβό, σε περιοχές στον ινιακό φλοιό, ή ακόμη και στην δεξιά σύνδεση του κροταφικού με τον βρεγματικό φλοιό (Piazza, 2010). Αυτό το εύρημα συνάδει και με το εύρημα ότι άτομα που πάσχουν από αδυναμία να δουν περισσότερα από δύο αντικείμενα που εμφανίζονται ταυτόχρονα επί σκηνής, γεγονός που σημαίνει ότι υπάρχει βλάβη στο ΟΤΣ στο βαθμό που αυτό είναι υπεύθυνο για την παράλληλη παρακολούθηση περισσοτέρων του ενός αντικειμένων σε μία σκηνή, εμφανίζουν βλάβες στον οπίσθιο βρεγματικό λοβό και στις δύο πλευρές του εγκεφάλου. Υπό τη σκιά διαφόρων προβλημάτων των δύο κυρίων θεωριών για τις αριθμητικές διεργασίες που χρησιμοποιούν τα νήπια, τα όρια θα συζητήσουμε στην επόμενη ενότητα, ορισμένοι ερευνητές πρότειναν πολύ πρόσφατα ένα συμβιβασμό: και οι δύο θεωρίες είναι ορθές, η κάθε μία στο δικό της πεδίο. Oι ΟΤΣ εξηγούν την αριθμητική ικανότητα για μικρούς αριθμούς (μέχρι 3 ή 4), ενώ οι ΑΝΣ εξηγούν τις αριθμητικές ικανότητες με μεγάλους αριθμούς (Feigenson et al., 2004, Xu, 2003). H θεωρία αυτή υποστηρίζει την ύπαρξη δύο πυρηνικών συστημάτων για τον αριθμό. Ένα πρώτο σύστημα αναπαριστά προσεγγιστικά μεγάλους αριθμούς, ενώ ένα δεύτερο αναπαριστά με ακρίβεια μικρούς αριθμούς. Tο πρώτο αποθηκεύει πληθικότητες, ενώ το δεύτερο ανοίγει φακέλους αντικειμένων. H διάκριση βασίζεται, μεταξύ άλλων, στο ότι οι επιδόσεις των νηπίων σε έργα με μικρούς αριθμούς σε σχέση με έργα με μεγάλους αριθμούς εμφανίζουν δύο διαφοροποιήσεις: (α) η διάκριση μεταξύ μικρών αριθμών μεταβάλλεται ανάλογα με τον απόλυτο αριθμό των αντικειμένων, ενώ η διάκριση μεταξύ μεγάλων αριθμών μεταβάλλεται ανάλογα με το λόγο των αριθμών, (β) η διαφοροποίηση μεταξύ μικρών αριθμών επηρεάζεται από τις συνεχείς ιδιότητες των αντικειμένων ενώ αυτό δε συμβαίνει με μεγάλους αριθμούς. 2. Η Εμφάνιση του Συμβόλου για τον Αριθμό Όπως σημειώνουν οι Carey (1995) και Gallistel and Gelman (1992), η απόκτηση του 10

21 Αριθμητικό Γιγνώσκειν συμβολικού αριθμητικού συστήματος της φυσικής γλώσσας συνιστά μίαν ισχυρή εννοιολογική αλλαγή, αφού απαιτεί την απόκτηση ενός νέου αναπαραστατικού κώδικα και δεν είναι απλώς η επέκταση ενός ήδη υφιστάμενου αναπαραστατικού συστήματος. Όπως είναι φανερό, οι αριθμοί σύμβολα πρέπει να κατασκευάζονται στη βάση κάποιου από τα πυρηνικά συστήματα για τον αριθμό ή σε ένα συνδυασμό αυτών. Σύμφωνα με το ΑΝΣ, τα παιδιά έχουν έμφυτο τον αντίστοιχο μηχανισμό. Όμως αυτός ο μηχανισμός είναι προσεγγιστικός, οπότε το ερώτημα αναδύεται πώς μπορεί στη βάση αυτού το παιδί να αποκτά και να αναπαριστά την έννοια του ακριβή αριθμού (exact number). Η εξήγηση που δίνεται είναι ότι αυτό επιτυγχάνεται μέσω της κατανόησης των αρχών μέτρησης. Ένας πιθανός μηχανισμός που εξηγεί αυτό είναι ο εξής. Πραγματοποιείται ένας γρήγορος επανασυντονισμός των κωδικοποιητικών σχημάτων ενός υποσυνόλου νευρώνων στον βρεγματικό λοβό, έτσι σε αλληλεπίδραση με ένα με ένα ακριβές συμβολικό σύστημα, όπου κάθε αριθμός ν διακρίνεται κατηγορικά από τους γειτονικούς αριθμούς ν+1 και ν-1 (θυμηθείτε ότι αυτό δεν ισχύει για το ΑΝΣ λόγω της ισχύος του νόμου του Weber), οι καμπύλες απόκρισης, δηλαδή το φάσμα ενεργοποίησης, ενός υποσυνόλου νευρώνων που ανταποκρίνονται ή είναι ευαίσθητοι στην πληθικότητα ενός συνόλου που παρουσιάζεται, καθίστανται πιο οξείες και οι προκύπτουσες αναπαραστάσεις αριθμών κατατάσσονται σε κατηγορικά ημι-διακριτές περιοχές για ολόκληρο το φάσμα των αριθμών. Αυτή η θεώρηση επιρρώνεται από νευροαπεικονιστικά ευρήματα που δείχνουν ότι τον βρεγματικό λοβό κατανεμημένοι ανακατωμένα πληθυσμοί νευρώνων που κωδικοποιούν αριθμητικές ποσότητες παρουσιάζουν διαφορετικά σχήματα κωδικοποίησης. Ευρύτερα για μη συμβολικούς αριθμούς, όπως οι αναλογικές αναπαραστάσεις των αριθμών του συσσωρευτή, έτσι ώστε αναπαραστάσεις γειτονικών αριθμών να υπεισέρχονται η μία μέσα στην άλλη έτσι ώστε να μην είναι ευδιάκριτες ως διαφορετικές για να εξηγηθεί η προσεγγιστική φύση των αναλογικών αναπαραστάσεων στο ΑΝΣ, και πιο περιορισμένα αναπαραστατικά σχήματα για αριθμητικά σύμβολα, οι οποίες όμως, ούσες τον βρεγματικό λοβό, διατηρούν κάποιες από τις αναλογικές τους ιδιότητες. Ο επανασυντονισμός των κωδικοποιητικών σχημάτων που απαιτείται μπορεί να διαμεσολαβείται από ανάδρομα σήματα από νευρώνες που κατηγοριοποιούν κατηγορικά, δηλαδή διακρίνουν σαφώς σε κατηγορίες και έτσι επιτρέπουν την ακρίβεια στην αναπαράσταση, στον μετωπιαίο φλοιό. Αυτό είναι συμβατό με ευρήματα που δείχνουν ότι όταν οι ενήλικες πραγματοποιούν διάφορα έργα συμβολικών και μη συμβολικών συγκρίσεων, η ενεργοποίηση του μετωπιαίου φλοιού είναι μικρότερη από την αντίστοιχη σε παιδιά που πραγματοποιούν τα ίδια ακριβώς έργα (Ansari et al. 2006). Σύμφωνα με τη θεωρία των ΟΤΣ (Carey 2009), τα παιδιά αποκτούν το νόημα των 11

22 Α. Ραφτόπουλος πρώτων αριθμητικών λέξεων κατασκευάζοντας και αποθηκεύοντας στην μακρόχρονη μνήμη ένα νοητικό μοντέλο ενός συνόλου αντικειμένων για κάθε αριθμό. καθώς και μία διαδικασία που καθορίζει ότι οι λέξεις για τους αριθμούς μπορούν να εφαρμοστούν ορθά στο σύνολο εκείνο το οποίο μπορεί να αντιστοιχιστεί ένα προς ένα με το μοντέλο για τον κάθε αριθμό. Έτσι, ένα νοητικό μοντέλο για την λέξη δύο έχει την μορφή, όπως είδαμε, και ένα νέο σύνολο δύο αντικειμένων συσχετίζεται με την λέξη δύο μέσω της ένα προς ένα αντιστοίχησης του νέου συνόλου με το μοντέλο {ο, κ}. Μόλις το παιδί κατασκευάσει αυτά τα μοντέλα, οι αριθμητικές λέξεις που τους αντιστοιχούν συνταυτίζονται με την καθορισμένη σειρά των αριθμητικών λέξεων που τα παιδιά μαθαίνουν αρχικά με απομνημόνευση αποδίδοντας έτσι ένα αρχικό νόημα, το νοητικό μοντέλο, στις λέξεις. Μόλις δηλαδή το παιδί παρατηρήσει την αντιστοιχία μεταξύ των πρώτων αριθμητικών λέξεων που αναφέρονται στα νοητικά του μοντέλα και των αριθμητικών λέξεων στην αριθμητική σειρά που έχει αποστηθίσει, προσπαθεί να συσχετίσει αυτές τις δύο αρχικά ανεξάρτητες αναπαραστάσεις. Αυτή η συσχέτιση επιτρέπει στο παιδί την εξής επαγωγή: για κάθε λέξη στη σειρά αρίθμησης που αναφέρεται στον πληθάριθμο ν ενός συνόλου, η επόμενη λέξη αναφέρεται στη σειρά αρίθμησης αναφέρεται σε ένα σύνολο με πληθάριθμό ν+1. Έτσι τα παιδιά μπορούν πλέον να νοηματοδοτήσουν οποιοδήποτε νέο αριθμό μαθαίνουν. Ο Butterwort (2010) ισχυρίζεται ότι ακόμη και αν συνυπολογίσει κάποιος και τα δύο συστήματα μαζί, αυτά δεν αρκούν για να εξηγήσουν την εμφάνιση των συμβολικών αναπαραστάσεων γιατί αυτές προϋποθέτουν την κατοχή της έννοιας του ακριβή αριθμού και την κατοχή της έννοιας του διαδοχικού. Χρειάζεται, συνεπώς, να επικαλεστούμε ένα επιπλέον, τρίτο, πυρηνικό εγγενές σύστημα που επιτρέπει στο παιδί να θεωρεί τα στοιχεία σε ένα ερεθισμού ως σύνολα και να μπορεί να εκτελέσει πράξεις σε αυτά. Αυτό είναι το σύστημα της κωδικοποίησης της πληθικότητας (numerosity coding) πάνω στο οποίο στηρίζεται η αριθμητική ικανότητα. Αυτό γιατί το σύστημα αυτό αναπαριστά απευθείας σύνολα, την πληθικότητα των συνόλων, καθώς και τα αποτελέσματα των διαφόρων διεργασιών πάνω στα σύνολα. Μόνο ένα τέτοιο σύστημα θα μπορούσε να επιτρέψει στο παιδί να σχηματίσει αναπαραστάσεις για τον ακριβή αριθμό. Ο Butterworth μάλιστα ισχυρίζεται ότι οι διάφορες μορφές δυσαριθμίας (dyscalculia) οφείλονται σε βλάβες σε αυτό το σύστημα. 3. Πόσα Πυρηνικά Συστήματα έχουμε για τον Αριθμό; Τα ΟΤΣ αντιμετωπίζουν σοβαρά προβλήματα. Πρώτον, δεν μπορούν να εξηγήσουν με το ίδιο μοντέλο ευρήματα που δείχνουν ότι υπό ορισμένες συνθήκες τα νήπια μπορούν να διακρίνουν μεταξύ συνόλων με μεγάλες πληθικότητες (Carey, 2009; Xu, 2003). Στο βαθμό που λόγω μνημονικών περιορισμών δεν μπορούμε να ανοίξουμε και 12

23 Αριθμητικό Γιγνώσκειν διατηρήσουμε παράλληλα περισσότερους των τριών ή τεσσάρων φακέλων αντικειμένων, δεν μπορούμε να οικοδομήσουμε τα σχετικά μοντέλα των αντικειμένων που προβλέπουν οι OFM. Είναι σαφές ότι κάποιος άλλος μηχανισμός απαιτείται για να εξηγηθεί το φαινόμενο. H ιδέα ότι τα νήπια μετρούν αντικείμενα και αναπαριστούν την πληθικότητά τους είναι ελκυστική. Δεύτερον, τα ΟΤΣ δεν μπορούν να εξηγήσουν την αδυναμία των νηπίων να αναπαραστήσουν και σκεφτούν το μηδέν (Wynn 1998). Aν ο μηχανισμός του ανοίγματος φακέλων των ΟΤΣ ήταν ο ορθός, τότε το μηδέν θα ήταν απλά η έκφραση ενός φακέλου που είναι κενός περιεχομένου και δεν θα έπρεπε να αποτελεί πρόβλημα για τα νήπια. Αντίθετα, η δυσκολία με το μηδέν είναι μία άμεση συνέπεια των ISM θεωριών εάν τα παιδιά απαριθμούν αντικείμενα και οικοδομούν σύμβολα των πληθικοτήτων που απορρέουν από την αρίθμηση, τότε δεν μπορούν να αντιστοιχίσουν κάποιο σύμβολο στο μηδέν γιατί το μηδέν δεν είναι αποτέλεσμα κάποιας μέτρησης. Τρίτον, οι ΟΤΣ πρέπει να εξηγήσουν το subitizing επικαλούμενες την κατασκευή και σύγκριση μοντέλων αντικειμένων. H σύγκριση ένα προς ένα που προϋποθέτει η θεωρία, είναι γραμμική συνάρτηση των αντικειμένων όσο περισσότερα αντικείμενα τόσο περισσότερος χρόνος απαιτείται για τη σύγκριση. Άρα, όσον αυξάνεται ο αριθμός των αντικειμένων θα έπρεπε να αυξάνεται γραμμικά και ο χρόνος απόκρισης των υποκειμένων σε έργα subitizing. Όμως, όπως θα δούμε στην επόμενη ενότητα, η αύξηση στον χρόνο απόκρισης δεν είναι γραμμική συνάρτηση του αριθμού των αντικειμένων. Τέταρτον, ένα περαιτέρω πρόβλημα με την ΟΤΣ θεωρία ως το πυρηνικό σύστημα στο οποίο θεμελιώνεται αναπτυξιακά η δυνατότητα απόκτησης συμβολικών αριθμητικών αναπαραστάσεων είναι ότι εάν αυτό συνέβαινε τότε προβλήματα και δυσκολίες στη χρήση συμβολικών αναπαραστάσεων θα έπρεπε να οφείλονται σε βλάβες στα αντίστοιχα νευρωνικά υποστρώματα του πυρηνικού συστήματος. Αυτά όπως είδαμε ευρίσκονται στις βρεγματικές περιοχές του εγκεφάλου. Όμως άτομα με διάφορες μορφές δυσαριθμιών παρουσιάζουν συνήθως βλάβες στον μεσαίο IPS και όχι στον οπίσθιο βρεγματικό φλοιό. Συμπεριφορικά αυτό εμφανίζεται ως το γεγονός ότι παιδιά με δυσαριθμίες έχουν προβλήματα με το ΑΝΣ σύστημα, έχουν, π.χ. πρόβλημα με την ακρίβεια των συγκρίσεων μεταξύ συνόλων με διαφορετικούς πληθάριθμους. Αυτό σημαίνει ότι πιθανότερο πυρηνικό σύστημα για υποστήριξη των μετέπειτα αριθμητικών ικανοτήτων που προϋποθέτουν τις συμβολικές αριθμητικές αναπαραστάσεις είναι το ΑΝΣ. Πέμπτο, αν και το ΟΤΣ παίζει σημαντικό ρόλο στην αντίληψη πληθικοτήτων μέχρι 4, το οποίον σε συνδυασμό με το ό,τι τα παιδιά αποκτούν πολύ εύκολα τις έννοιες των συμβόλων για τους τέσσερις πρώτους αριθμούς, φαίνεται να υποδηλώνει ότι το ΟΤΣ παίζει σημαντικό ρόλο στη συμβολική αναπαράσταση του αριθμού αυτό δεν είναι σωστό. Όταν το παιδί μαθαίνει να μετρά τα ίχνη της λειτουργίας του ΟΤΣ εξαφανίζονται. Αυτό 13

24 Α. Ραφτόπουλος σημαίνει ότι θα ανέμενε κανείς να υπάρχουν σημαντικές συμπεριφορικές και νευρωνικές διαφοροποιήσεις στις διεργασίες με μικρούς συμβολικούς αριθμούς σε σχέση με διεργασίες με μεγάλους συμβολικούς αριθμούς όταν το παιδί μαθαίνει να μετρά. Μέχρι στιγμής, όμως, δεν υπάρχει κανένα σχετικό εύρημα. Επιπλέον, δεν υπάρχουν νευροαπεικονιστικά τεκμήρια σε παιδιά ή ενήλικες για ενεργοποιήσεις σχετιζόμενες με αριθμητικά σύμβολα που να δείχνουν κάποια ασυνέχεια γύρω από τους αριθμούς 3 ή 4 σε περιοχές που έχουν συνδεθεί με το ΟΤΣ, όπως ο οπίσθιος βρεγματικός φλοιός ή οι δεξιές κροταφικό-βρεγματικές περιοχές. Αντίθετα, η προοδευτική κατανόηση των συμβολικών αριθμών με την ανάπτυξη συνοδεύεται από μία προοδευτική συστράτευση περιοχών σε μεσαίες και κατώτερες βρεγματικές περιοχές, οι οποίες συνεπικαλύπτονται μερικώς με τα νευρωνικά υποστρώματα του ΑΝΣ. Υπάρχουν όμως προκλήσεις και για την τρίτη, συμβιβαστική, θεωρία. Πρώτον, εάν η απαρίθμηση μεγάλων αριθμών βασίζεται στη λειτουργία κάποιου απαριθμητικού μηχανισμού, πώς εξηγείται το ότι ο μηχανισμός αυτός αρχίζει να λειτουργεί με σύνολα αντικειμένων που ο αριθμός τους είναι μεγαλύτερος του 3 ή 4; Για να γίνει αυτό χρειάζεται ένας άλλος μηχανισμός που μπορεί να διακρίνει μεταξύ μεγάλων και μικρών αριθμών και μόλις ανιχνεύει σύνολα με πληθικότητα μεγαλύτερη του 3 ή 4 να σηματοδοτεί την έναρξη λειτουργίας του απαριθμητικού μηχανισμού. H θεωρία πρέπει να μας πεί πως μπορεί να γίνει αυτό. Mία απάντηση είναι ότι ο πρώτος μηχανισμός μετρά τα αντικείμενα, αλλά αυτό είναι κυκλικό αφού προϋποθέτει την απάντηση στο πρόβλημα. Mία άλλη δυνατή απάντηση είναι ότι όταν η πληθικότητα ενός συνόλου υπερβαίνει την ικανότητα του συστήματος να ανοίγει και διατηρεί στη μνήμη φακέλους αντικειμένων, τότε αρχίζει η λειτουργία του μηχανισμού αρίθμησης. Αλλά αυτό προϋποθέτει την απάντηση στο ερώτημα το οποίον καλείται να διερευνήσει. Γιατί να μην χρησιμοποιείται εξ αρχής ο μηχανισμός αρίθμησης και να χρειάζονται οι φάκελοι αντικειμένων? Για το πώς μπορούν να απαντηθούν αυτά τα ερωτήματα δες Raftopoulos (2008). Συμπέρασμα Σε αυτήν την εργασία αντικρούω τη θέση ότι υπάρχουν δύο πυρηνικά συστήματα αριθμών στα οποία θεμελιώνεται η έννοια του συμβολικού αριθμού. Πιο συγκεκριμένα, επιχειρηματολογώ ότι η ικανότητα αρίθμησης με κάποιου τύπου συσσωρευτή που αναπαριστά αριθμούς με αναλογικό τρόπο αντιστοιχώντας σε αυτούς μεγέθη και όχι σύμβολα (η οποία είναι εγγενές τμήμα της ανθρώπινης γνωσιακής αρχιτεκτονικής, αφού ενδείξεις της λειτουργίας του υπάρχουν τόσο στα νήπια αλλά και σε άλλα μέλη του ζωικού βασιλείου) είναι ικανή να εξηγήση την δυνατότητα αναπαράστασης των συμβολικών αριθμών. 14

25 Αριθμητικό Γιγνώσκειν ANAΦOPEΣ Ansari, D., & Dhital, B. (2006) Aged-related changes in the activation of the IPS during nonsymbolic magnitude processing. Journal of Cognitive Neuroscience, 18, Butterworth, B. (2010). Foundational numerical capacities and the origins of dyscalculia. Trends in Cognitive Sciences, 14(12), Bialystok, E. (1992). Symbolic representations of letters and numbers. Cognitive Development, 7, Carey, S. (2009). The Origin of Concepts. Oxford, N.Y.: Oxford University Press. Chi, M. (1992). Conceptual change within and across ontological categories: Examples from learning and discovery in science. In R. N. Giere (Ed.), Cognitive models of science. Minnesota Studies in the Philosophy of Science, 25. Minneapolis: The University of Minnesota Press. Dehaene, S., and Cohen, L. (1995). Towards an anatomical and functional of number processing. Mathematical Cognition, 1, Dehaene, S., and Cohen, L. (1997). Cerebral pathways for calculation: Double dissociation between verbal and quantitative knowledge of arithmetic. Cortex, 33, Dehaene, S. (2000). Cerebral bases of number processing and calculation. In M. S. Gazzaniga (Ed.), The New Cognitive Neurosciences (2nd edition). Cambridge, MA: The MIT Press. Feigenson, L., Dehaene, S., & Spelke, E. (2004). Core systems of number. Trends in Cognitive Sciences, 8(7), Gallistel, C. R., & Gelman, R. (1992). Preverbal and verbal counting and computation. Cognition, 44, Gallistel, C. R. (1990). The organization of learning. Cambridge, MA: The MIT University Press. Kahneman, D., Treisman, A., & Gibbs, B. J. (1992). The reviewing of the object files: object-specific integration of information. Cognitive Psychology, 24,

26 Α. Ραφτόπουλος Kahneman, D., & Treisman, A. (1984). Changing views of attention and automaticity. In R. Parasuraman and D. R. Davies, (Eds.), Varieties of attention. New York: Academic Press. Kirsh, D. (1995). The intelligent use of space. Artificial Intelligence, 72, Meck, W.H., & Church, R.M. (1983). A mode control model of counting and timing processes. Journal of Experimental Psychology: Animal Behavior, 9, Meck, W. H., Church, R. M., and Gibbon, J. (1985). Temporal integration in duration and number discrimination. Journal of Experimental Psychology: Animal Behavior Processes, 11, Nieder, A., Freedman, D. J., & Miller, E. K. (2002). Representation of the quantity of visual items in the primate prefrontal cortex. Science, 297, Piazza, M. (2010). Neurocognitive start-up tools for symbolic number representations. Trends in Cognitive Sciences, 14(12), Pylyshyn, Z. (1994). Primitive mechanisms of spatial attention. Cognition, 50, Raftopoulos, A. (2008). Arithmetic Cognition. Noesis, 3, the Journal of the Greek Cognitive Science Society, Siegler, B., Fazio, L. K., Bailey, D. H., & Zhou, X. (2013). Fractions: the new frontier for theories of numerical development. Trends in Cognitive Science, 11(1), Simon, A. (1997). Reconceptualizing the origins of number knowledge: A non-numerical account. Cognitive Development, 12, Spelke, E. R., Kestenbaum, D. S., & Wein, D. (1995). Spatio-temporal continuity, smoothness of motion and object identity in infancy. British Journal of Developmental Psychology, 13, Starkey, P., Spelke, E., & Gelman, R. (1990). Numerical abstraction by human infants. Cognition, 36, Trick, L. and Pylyshyn, Z. (1993). What enumeration studies can show us about spatial attention: evidence for limiting capacity preattentive processing. Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance, 19, Uller, C., Carey, S., Fenner, G. H., & Klatt, L. (1999). What representations underlie infant numerical knowledge? Cognitive Development, 14, Whalen, J., Gallistel, C. R., & Gelman, R. (1999). Nonverbal counting in humans: the psychophysics of number representation. Psychological Science, 10 (2), Wynn, K. (1995). Origins of numerical knowledge. Mathematical Cognition, 1,

27 Αριθμητικό Γιγνώσκειν Wynn, K. (1996). Infants individuation and enumeration of actions. Psychological Science, 7, Wynn, K. (1998). Psychological foundations of number: Numerical competence in human infants. Trends in Cognitive Sciences, 2 (8), Xu, F. (2003). Numerosity discrimination in infants: Evidence for two systems of representations. Cognition, 89, B15-B25. 17

28 Α. Ραφτόπουλος 18

29 Η ΑΞΙΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΗΣ ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΙΣΩ ΕΠΑΓΩΓΗΣ (BACKWARD INDUCTION METHOD) Δρ Κωστής Ανδριόπουλος Καθηγητής στη Σχολή Μωραΐτη και Συντονιστής του Ομίλου Μαθηματικών Γυμνασίου, Ψυχικό, GR-15452, Αθήνα, Ελλάδα ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή παρουσιάζουμε την μέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής και αναδεικνύουμε την αξία της εφαρμόζοντάς την σε μια σειρά πρωτότυπων ή μη παιγνίων. Τα παίγνια αυτά περιλαμβάνουν τα 15 ποτήρια, το παίγνιο της ελευθερίας, την επένδυση ή όχι σε πυρηνικό εξοπλισμό μεταξύ δύο χωρών και προβλήματα τύπου Stackelberg σε ολιγοπώλια. Δείχνουμε λοιπόν πως υπάρχει βέλτιστη στρατηγική για κάποιον (κάποιους) από τους δύο (ή τρεις) παίκτες και μάλιστα ένας τρόπος υπολογισμού της είναι μέσω της μεθόδου της προς τα πίσω επαγωγής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε αυτήν την εργασία θα ασχοληθούμε με ένα ιδιαίτερο κομμάτι της Θεωρίας Παιγνίων που λέγεται Δυναμικά Παίγνια Πλήρους Πληροφόρησης. Πλήρης πληροφόρηση σημαίνει ότι η ωφέλεια για τον κάθε παίκτη αποτελεί κοινή γνώση για όλους τους εμπλεκόμενους. Ο όρος δυναμικά παίγνια αναφέρεται στα παίγνια που έχουν διαδοχικά στάδια. Σε κάθε στάδιο, λοιπόν, ο παίκτης που πραγματοποιεί την κίνηση έχει επίγνωση ολόκληρου του παρελθόντος του ως τότε παιχνιδιού. Ένα παράδειγμα ενός τέτοιου παιχνιδιού είναι τα 15 ποτήρια [1]: Το παιχνίδι παίζεται από δύο παίκτες οι οποίοι πραγματοποιούν τις κινήσεις τους εναλλάξ παίρνοντας σε οποιαδήποτε φάση του παιχνιδιού 1 ή 2 ή 3 ποτήρια από τα 15 ποτήρια που έχουν μπροστά τους. Αυτός που θα αναγκαστεί να πάρει το τελευταίο ποτήρι χάνει. Λύση του παιγνίου των 15 ποτηριών με χρήση της μεθόδου της προς τα πίσω επαγωγής: Ξεκινάμε από το τέλος. Για να αφήσουμε στον αντίπαλο το τελευταίο ποτήρι θα πρέπει πρώτα να του έχουμε αφήσει 5 ποτήρια. (Αυτό, γιατί αν υπάρχουν 5 ποτήρια στο ταμπλό, τότε αν ο αντίπαλος πάρει 1, τότε ο πρώτος παίκτης θα πάρει 3, αφήνοντας έτσι

30 Κ. Ανδριόπουλος 1 στο ταμπλό, αν ο αντίπαλος πάρει 2, τότε ο πρώτος παίκτης θα πάρει 2 και τέλος αν ο αντίπαλος πάρει 3 ποτήρια τότε ο πρώτος παίκτης θα πάρει 1.) Και για να του αφήσουμε 5 ποτήρια θα πρέπει πρώτα να του έχουμε αφήσει 9 ποτήρια (ίδιο σκεπτικό). Ομοίως, για να του αφήσουμε 9 ποτήρια θα πρέπει πρώτα να του αφήσουμε 13 ποτήρια. Συνεπώς, για να του αφήσουμε 13 ποτήρια θα πρέπει να παίξουμε πρώτοι και μάλιστα να πάρουμε 2 ποτήρια ακριβώς. Η λύση μας γενικεύεται εύκολα και στην περίπτωση ν ποτηριών [1]. Βέβαια, η θεωρία παιγνίων δεν αφορά μόνο σε παιχνίδια. Για να τονίσουμε τις εφαρμογές της Θεωρίας Παιγνίων σε κοινωνικές, οικονομικές και άλλες καταστάσεις και μάλιστα μέσα από το πρίσμα των δυναμικών παιγνίων πλήρους πληροφόρησης, θα κινηθούμε ως εξής. Στην επόμενη παράγραφο θα παρουσιάσουμε ένα ακόμη παιχνίδι, το παίγνιο της ελευθερίας. Έπειτα θα αναφέρουμε ένα αντιπροσωπευτικό παράδειγμα παιγνίου που αφορά στον πυρηνικό εξοπλισμό ή όχι δύο χωρών και που έχει πληθώρα προεκτάσεων. Μόλις η μέθοδος της προς τα πίσω επαγωγής γίνει εμφανής, τότε θα παρουσιάσουμε το θεωρητικό της πλαίσιο και ύστερα θα δώσουμε ένα πολύ φημισμένο μικροοικονομικό παράδειγμα: μία ολιγοπωλιακή κατάσταση που πρότεινε ο von Stackelberg. Τέλος, όταν πια θα έχουμε κατανοήσει την μέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής, θα συζητήσουμε για την αξία της και τους τρόπους παρουσίασής της στην Δευτεροβάθμια, και όχι μόνο, Εκπαίδευση. ΤΟ ΠΑΙΓΝΙΟ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ Στο παίγνιο της ελευθερίας παίζουν δύο παίκτες εναλλάξ που χειρίζονται το ίδιο πιόνι. Σκοπός του καθενός από τους δύο παίκτες είναι να φέρουν πρώτοι τον φυλακισμένο (πιόνι πάνω δεξιά, θέση Ν13) στην θέση ελευθερίας του (θέση κάτω αριστερά, θέση Α1). Οι επιτρεπτές κινήσεις του φυλακισμένου από την θέση που καταλαμβάνει σε τυχαία φάση του παιχνιδιού είναι οποιαδήποτε θέση πάνω στο πλέγμα που βρίσκεται αριστερότερα αλλά στην ίδια γραμμή τού πλέγματος της θέσης του εκείνη τη στιγμή οποιαδήποτε θέση πάνω στο πλέγμα που βρίσκεται στην ίδια στήλη τού πλέγματος κάτω από την θέση που καταλαμβάνει εκείνη τη στιγμή οποιαδήποτε θέση πάνω στο πλέγμα που βρίσκεται αριστερότερα προς τα κάτω αλλά στην ίδια διαγώνιο που ορίζει η θέση του εκείνη τη στιγμή. Εξαίρεση αποτελεί η πρώτη κίνηση: Ο πρώτος παίκτης δεν μπορεί να παίξει κατ ευθείαν Α1 διότι τότε θα κερδίσει αμέσως και το παιχνίδι δεν θα είχε ενδιαφέρον. 20

31 Η Αξία της Μεθόδου της προς τα Πίσω Επαγωγής Ένα παράδειγμα επιτρεπόμενων κινήσεων είναι το εξής: Έστω ότι ο πρώτος παίκτης έχει παίξει στην θέση Θ13. Τότε ο δεύτερος παίκτης μπορεί να παίξει σε μια από τις παρακάτω θέσεις: Η13 έως Α13, Θ12 έως Θ1 και Η12, Ζ11, Ε10, Δ9, Γ8, Β7 και Α6. Το ερώτημα είναι αν κάποιος παίκτης (ο πρώτος ή ο δεύτερος) έχει στρατηγική νίκης (και ποια είναι αυτή;). Είναι σαφές ότι σε πεπερασμένα παίγνια (με την έννοια του πεπερασμένου πλήθους παικτών και επιλογών) όπου αποδεικνύεται πως δεν μπορεί το παιχνίδι να λήξει ισόπαλο, υπάρχει στρατηγική νίκης για κάποιον από τους δύο παίκτες, όπως προκύπτει από το Θεώρημα του Nash [2]. Η διαδικασία επίλυσης του παιγνίου της ελευθερίας είναι όμοια με εκείνη που σκιαγραφήθηκε πιο πάνω για το παίγνιο των 15 ποτηριών. Ξεκινάμε από το τέλος. Για να καταφέρει ένας παίκτης να φτάσει πρώτος στην θέση Α1, σε ποιές θέσεις θα πρέπει να έχει αναγκάσει τον αντίπαλο να μετακινήσει το πιόνι του φυλακισμένου; Προφανώς σε οποιαδήποτε θέση της ίδιας στήλης (Α13 έως Α2), της ίδιας γραμμής (Ν1 έως Β1) ή της ίδιας διαγωνίου (Μ12 έως Β2 κινούμενοι διαγώνια) με το Α1. Μπορεί όμως κάποιος παίκτης να το εξασφαλίσει αυτό; Όχι τόσο εύκολα, και αυτό γιατί ο αντίπαλος δεν θα μετακινήσει ποτέ το πιόνι σε κάποια από αυτές τις θέσεις (πάντα πρέπει να υποθέτουμε πως ο αντίπαλος είναι τουλάχιστον τόσο έξυπνος όσο είμαστε εμείς). Αφού λοιπόν ο αντίπαλος (όπως κι εμείς) δεν θα κάνει ποτέ αυτό το λάθος από μόνος του, θα πρέπει να τον αναγκάσουμε εμείς! Συνεπώς αρκεί να προσδιορίσουμε εκείνες τις θέσεις που αν μετακινήσουμε πρώτοι το πιόνι εκεί, τότε ο αντίπαλος δεν θα έχει καμία διαφυγή. Αυτές οι θέσεις κλειδιά είναι για αρχή δύο: Η θέση Β3 και η θέση Γ2. Και αυτό γιατί αν μετακινήσουμε πρώτοι το πιόνι μας, έστω στην Β3, τότε ο αντίπαλος έχει τις εξής επιλογές: Α3, Α2, Β2 και Β1, και κερδίζουμε στην επόμενη κίνηση σε κάθε μία από αυτές τις 4 περιπτώσεις. Οπότε βλέπουμε πως με την μέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής, για να φέρουμε πρώτοι το πιόνι στην θέση Α1, αρκεί να το έχουμε φέρει πρώτοι σε μια εκ των θέσεων Β3 ή Γ2. Με αντίστοιχο συλλογισμό καταλήγουμε στις θέσεις κλειδιά όπως φαίνονται στον Πίνακα. Αυτό δείχνει πως όπου και να παίξει ο πρώτος παίκτης, ο δεύτερος έχει το πάνω χέρι: Μπορεί να μετακινήσει το πιόνι του φυλακισμένου τουλάχιστον σε μία από τις θέσεις κλειδιά κι έτσι να είναι σίγουρος πως θα είναι ο νικητής. Συνεπώς, στο παίγνιο της ελευθερίας σε πλέγμα 13x13, ο δεύτερος παίκτης έχει στρατηγική νίκης και αυτή περιγράφεται από τον παρακάτω κώδικα: 21

32 Κ. Ανδριόπουλος Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Παίξε δεύτερος. Βήμα: Όπου κι αν παίξει ο αντίπαλος, εσύ παίξε σε μία από τις θέσεις κλειδιά ή στο Α1. Σε κάθε επόμενη κίνηση, επανέλαβε το Βήμα μέχρι να κερδίσεις. ΑΠΟΤΡΟΠΗ ΠΟΛΕΜΟΥ Οι παίκτες σε αυτό το υπόδειγμα είναι δύο χώρες, η Χώρα 1 και η Χώρα 2, που έχουν ως διαφορετικές στρατηγικές τον πυρηνικό εξοπλισμό (Π) ή την ειρήνη (Ε), όπως φαίνεται στο Σχήμα [3]. Αν η Χώρα 1 επιλέξει να εξοπλιστεί με πυρηνικά (παίξει δηλαδή Π) και έπειτα η Χώρα 2 πράξει ομοίως (πάλι Π), τότε και οι δύο χώρες έχουν (σταθμισμένο) όφελος 0. Αντίθετα, αν η Χώρα 1 επιλέξει να κινηθεί ειρηνικά (παίξει Ε) και έπειτα η Χώρα 2 πράξει ομοίως (πάλι Ε), τότε και οι δύο χώρες έχουν όφελος 1 (μεγαλύτερο από πριν, διότι, για παράδειγμα, δεν έχουν ξοδέψει μεγάλα χρηματικά ποσά για τον πυρηνικό τους εξοπλισμό). Όμως, αν μια από τις δύο χώρες εξοπλιστεί 22

33 Η Αξία της Μεθόδου της προς τα Πίσω Επαγωγής (Π) ενώ η άλλη όχι (Ε), τότε εκείνη που εξοπλίστηκε έχει ωφέλεια 5, ενώ η ειρηνική χώρα έχει ωφέλεια -1. Αυτό συμβαίνει, για παράδειγμα, διότι η χώρα με τα πυρηνικά έχει πολύ μεγαλύτερη διαπραγματευτική ισχύ από την άλλη χώρα. Η λύση με την μέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής φανερώνει ότι η Χώρα 2 επιλέγει να παίξει Π ανεξάρτητα από την επιλογή τής Χώρας 1. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι η στρατηγική Π κυριαρχεί αυστηρά της στρατηγικής Ε (το και το Προχωρώντας στην ανάλυσή μας, η Χώρα 1 παίζει τώρα και αυτή Π (διότι ). Βλέπουμε λοιπόν, εντελώς απλοϊκά αλλά πολύ αντιπροσωπευτικά, πώς ένα μοντέλο που αγκαλιάζει τα ουσιώδη δεδομένα ενός προβλήματος, καταδεικνύει της ουσίας τής κατάστασης: Οι χώρες έχουν ισχυρά κίνητρα που τις ωθούν στον ανταγωνισμό εξοπλισμών, ενώ και οι δύο χώρες θα βρίσκονταν σε καλύτερη θέση αν δεσμεύονταν σε ειρήνη! ). 0 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Η βασική μεθοδολογία όσον αφορά στα δυναμικά παίγνια πλήρους πληροφόρησης είναι η εξής: Έστω ότι εξετάζουμε την περίπτωση ενός παιγνίου σε δύο στάδια: Ο παίκτης 1 επιλέγει μια κίνηση, s 1, από ένα σύνολο εφικτών επιλογών, Ο παίκτης 2 παρατηρεί την κίνηση s 1 και έπειτα επιλέγει την δική του κίνηση, s 2, πάλι από κάποιο σύνολο εφικτών επιλογών, S 2. S 1. 23

34 Κ. Ανδριόπουλος Τα κέρδη για κάθε παίκτη είναι τα u s, ) και u s, ), αντίστοιχα. 1( 1 s2 2 ( 1 s2 Συνεπώς η εκτεταμένη μορφή ενός παιγνίου καθορίζει το πλήθος των παικτών, πότε κινείται ο καθένας τους, τις πιθανές ενέργειες σε κάθε κίνηση του κάθε παίκτη, την γνώση του κάθε παίκτη για το παίγνιο μέχρι την κάθε αλλαγή κίνησης και τέλος την ωφέλεια για τον κάθε παίκτη για κάθε σύνολο στρατηγικών. Για παράδειγμα, στα ν ποτήρια [1], όπου το παιχνίδι παίζεται σε τόσα στάδια όσα χρειάζονται για να μείνει ένα μόνο ποτήρι στο ταμπλό και να ανακηρυχθεί νικητής, καθένας από τους δύο παίκτες παίζει (εναλλάξ) μια κίνηση s S όπου 1 ποτήρι, 2 ποτήρια, 3 ποτήρια}. Η ωφέλεια είναι η νίκη. Στην αποτροπή πολέμου, S { S { ειρήνη, πυρηνικά}. Η λύση ενός δυναμικού παιγνίου προκύπτει συνήθως με την μέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής: Ο παίκτης 1 (που καλείται και οδηγός του παιγνίου επειδή παίζει πρώτος) έχει να λύσει ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης υποθέτοντας ότι είναι ο δεύτερος παίκτης. Όταν έρχεται η σειρά του παίκτη 2 στο δεύτερο στάδιο, δοσμένης της κίνησης έχει προηγουμένως επιλεγεί από τον παίκτη 1, θα ήθελε να μεγιστοποιήσει το κέρδος του, δηλαδή να υπολογίσει το max u2 ( s1, s2 ) Υποθέστε ότι το παραπάνω πρόβλημα βελτιστοποίησης έχει λύση την s S 2 2 s s 1 R που ( 1 ) 2 2 s όπου R 2 ( s 1 ) συμβολίζει την συνάρτηση απόκρισης σε κάθε πιθανή κίνηση, s 1, που θα μπορούσε να επιλέξει ο παίκτης 1. Έχοντας λοιπόν προσδιορίσει την βέλτιστη δυνατή απόκριση s 2 που θα μπορούσε να κάνει ο παίκτης 2, ανάμεσα σε όλες τις πιθανές κινήσεις του, και γνωρίζοντας πως όλοι έχουν πρόσβαση σε αυτήν την πληροφορία (παίγνιο πλήρους πληροφόρησης) ο παίκτης 1, στο πρώτο στάδιο τού παιγνίου, οφείλει να λύσει το πρόβλημα βελτιστοποίησης max u1( s1, R2 ( s1)) s1s1 Συμβολίζουμε αυτή τη λύση (υποθέτοντας ότι είναι μοναδική) με ισορροπίας, ( s1, R2 ( s1 )) s 1. Το σημείο, καλείται το αποτέλεσμα βάσει της μεθόδου της προς τα πίσω επαγωγής αυτού του παιγνίου διαδοχικών κινήσεων., ΜΟΝΤΕΛΟ ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΩΝ ΤΥΠΟΥ STACKELBERG Η Θεωρία Ολιγοπωλίων εξετάζει την αλληλεπίδραση λίγων επιχειρήσεων σε μία αγορά. Ο Cournot δεν θεωρείται μόνο ο ιδρυτής τής θεωρίας ολιγοπωλίων, αλλά και ο 24

35 Η Αξία της Μεθόδου της προς τα Πίσω Επαγωγής πρώτος που όρισε την έννοια του σημείου ισορροπίας, δηλαδή του συνόλου εκείνων των ποσοτήτων που παράχθηκαν και πωλήθηκαν από κάθε επιχείρηση έτσι ώστε, κρατώντας τα αντίστοιχα μεγέθη όλων των υπόλοιπων επιχειρήσεων σταθερά, καμία επιχείρηση δεν μπορεί να φτάσει σε υψηλότερο κέρδος διαλέγοντας άλλες τιμές αυτών των ποσοτήτων. Έστω ότι υπάρχουν τρεις επιχειρήσεις στην αγορά, η επιχείρηση 1, η επιχείρηση 2 και η επιχείρηση 3, που παράγουν ένα πανομοιότυπο προϊόν στην ίδια τιμή, P. Η συνολική παραγόμενη ποσότητα είναι η Υποθέτουμε σταθερά οριακά κόστη ( c 1,c 2 και 3 ζήτησης [4] ως Q q q 1 2 q 3. c, αντίστοιχα) και μια τιμή που ορίζεται από την αντίστροφη συνάρτηση 1 P( Q) Q q 1 q 1 2 q3 Η συνάρτηση ζήτησης (συνάρτηση ωφέλειας που μοντελοποιεί τις προτιμήσεις των καταναλωτών) συσχετίζει μια τιμή σε μια συνολική διαθέσιμη ποσότητα του προϊόντος. Αντικατοπτρίζει δηλαδή το ύψος παραγωγής που δύναται να απορροφήσει η αγορά για μια δοσμένη τιμή και αντίστροφα. Ο Cournot θεωρεί την τιμή του προϊόντος δεδομένη (όπως αυτή καθορίζεται από την συνάρτηση ζήτησης) και υποστήριξε πως κάθε επιχείρηση αποφασίζει για το βέλτιστο ύψος παραγωγής της. Αντίθετα, ο Bertrand επέμεινε πως η τιμή αποτελεί την κεντρική μεταβλητή (προς βελτιστοποίηση) για κάθε ολιγοπώλιο. Σε αυτήν την παράγραφο ακολουθούμε την προσέγγιση του Cournot: Μια τυπική στρατηγική για κάθε επιχείρηση αποτελεί μια επιλογή για το ύψος παραγωγής, q i 0, i 1,2,3. Η κοινή τιμή πώλησης προκύπτει έπειτα από την συνάρτηση ζήτησης.. Το κέρδος τής επιχείρησης i (δηλαδή η συνάρτηση κέρδους της) ορίζεται από την u ( q, Q i i i ) q i q i Q i c q i i, όπου το Q i συμβολίζει το άθροισμα των ποσοτήτων που επέλεξαν όλες οι επιχειρήσεις πλην της i (για παράδειγμα, για i 1, έχουμε Q 1 q2 q3 ). Κάθε παίκτης i, για να προσδιορίσει την ποσότητα πρόβλημα βελτιστοποίησης max u ( q, Q qisi i i i ) max ( 0qi q i q i Q i q i, c q ). i i θα πρέπει να λύσει το 25

36 Κ. Ανδριόπουλος Οι τρεις λοιπόν επιχειρήσεις πρέπει να λύσουν το σύστημα εξισώσεων (όπως αυτό προκύπτει από τις συνθήκες πρώτης τάξης). Έτσι λοιπόν, η u ισορροπία Cournot (Nash) του τριοπωλίου είναι η [4] i / q 0, i 1,2,3 2( c2 c3 c1 ) 2( c3 c1 c2 ) 2( c1 c2 c3) q1, q2, q3 ),,. 2 2 ( 1 2 3) ( 1 2 3) ( 1 2 3) c c c c c c c c c ( 2 i Σε αυτό το σημείο θα εξετάσουμε το εξής σενάριο που βασίζεται στις πεποιθήσεις του von Stackelberg για την ολιγοπωλιακή δυναμική [5]: Υποθέτουμε πως δύο επιχειρήσεις δραστηριοποιούνται στην αγορά και λαμβάνουν την πληροφορία ότι μια τρίτη επιχείρηση θα εισέλθει στην αγορά. Βήμα 1: Οι επιχειρήσεις 1 και 2 επιλέγουν κάποιο ύψος παραγωγής, έστω q1 0 και, αντίστοιχα. q 2 0 Βήμα 2: Η επιχείρηση 3 παρατηρεί τις ποσότητες της ύψος παραγωγής, q 3 0. q 1 και q 2 και έπειτα επιλέγει το δικό Βήμα 3: Οι επιχειρήσεις απολαμβάνουν τα κέρδη u i ( q1, q2, q3), για i 1,2,3. Ο Stackelberg ισχυρίστηκε, βασισμένος στην δημοφιλή πεποίθηση ότι σε πολλές αγορές παρατηρείται μια επικρατούσα/κυρίαρχη επιχείρηση, ότι σε ένα δυοπώλιο τύπου Cournot, μια εκ των επιχειρήσεων θα μετατρεπόταν, αναπόφευκτα, στον ρόλο οδηγού και η εναπομείνουσα επιχείρηση θα γινόταν, εκ των πραγμάτων, η ακόλουθος. Με αυτόν τον τρόπο δημιούργησε ένα δυναμικό παίγνιο, όπως αυτά που εξετάσαμε πιο πάνω. Θα το λύσουμε με την μέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής. Το πρώτο στάδιο της λύσης αφορά στον προσδιορισμό της συνθήκης πρώτης τάξης για την ακόλουθο επιχείρηση, η οποία θα πρέπει να λύσει το πρόβλημα βελτιστοποίησης q3 max u3( q3, Q3 ) max ( c3q3 ) q3s3 0q 3 q Q 3 3 Q q. (1) 3 3 Q3 c3 Το δεύτερο στάδιο αφορά στον προσδιορισμό των συναρτήσεων κέρδους του οδηγού κατά Stackelberg χρησιμοποιώντας την σχέση (1), με άλλα λόγια 26

37 Η Αξία της Μεθόδου της προς τα Πίσω Επαγωγής q c q q q c u και q c q q q c u Το τρίτο στάδιο της ανάλυσης αφορά στην βελτιστοποίηση των παραπάνω συναρτήσεων κέρδους. Οι συνθήκες πρώτης τάξης ( 1,2 0, / i q u i i ) δίνουν 2 3 / ) ( 2 q q c c q q και 2 3 / ) ( 2 q q c c q q με λύση την ) 4( ) (2 9 c c c c c q και ) 4( ) (2 9 c c c c c q Είναι πλέον εύκολο να υπολογίσουμε το ύψος παραγωγής τής ακόλουθου επιχείρησης, ) 4( ) 3 2 3(2 c c c c c q Όπως ήταν αναμενόμενο, μια επιχείρηση που αναμένεται να εισέλθει σε ένα ήδη διαμορφωμένο δυοπώλιο, με τις επιχειρήσεις που ήδη δραστηριοποιούνται στην αγορά να παίρνουν τον ρόλο επιχειρήσεων οδηγών, παράγει μικρότερη ποσότητα απ ότι αν ήταν εξαρχής μέλος ενός τριοπωλίου. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι ) 4( ) 3 2 3(2 ) ( ) 2( c c c c c c c c c c c ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΤΗΣ ΑΠΡΟΣΔΟΚΗΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Το παράδοξο της απροσδόκητης εξέτασης αποτελεί ένα ενδιαφέρον παράδειγμα μιας κατάστασης όπου μια επιχειρηματολογία που βασίζεται στην προς τα πίσω επαγωγή είναι αβάσιμη. Ένας αξιόπιστος καθηγητής ανακοινώνει πως κάποια μέρα της επόμενης εβδομάδας θα βάλει ένα απροειδοποίητο (αναπάντεχο) διαγώνισμα. Τι μπορούν να περιμένουν οι μαθητές; [6] Οι μαθητές μπορούν να σκεφτούν ως εξής: Αν μέχρι και την Πέμπτη δεν έχουμε γράψει το διαγώνισμα, τότε θα το γράψουμε την Παρασκευή και θα έχει χάσει την έννοια του απροειδοποίητου. Συνεπώς θα το έχουμε γράψει μέχρι την Πέμπτη. Όμως, αν μέχρι και την Τετάρτη δεν το έχουμε γράψει, τότε σίγουρα θα το γράψουμε την Πέμπτη, διότι αν δεν το γράψουμε την Πέμπτη, τότε θα ξέρουμε πως θα το γράψουμε την Παρασκευή.

38 Κ. Ανδριόπουλος Οπότε θα το έχουμε γράψει μέχρι την Τετάρτη. Αυτή η επιχειρηματολογία είναι προφανές πως οδηγεί τελικά στο να περιμένουμε ότι θα γράψουμε το διαγώνισμα την Δευτέρα, οπότε πάλι δεν είναι ουσιωδώς απροειδοποίητο. Οπότε καταλήγουμε πως δεν υπάρχει περίπτωση να αιφνιδιαστούμε με ένα απροειδοποίητο διαγώνισμα! Βέβαια, οι μαθητές σίγουρα θα αιφνιδιαστούν! Κι αυτό διότι ακόμα και την Παρασκευή μπορεί να μπει ένα απροειδοποίητο διαγώνισμα (όπως και οποιαδήποτε άλλη μέρα) μιας και θα είναι τελικά αναπάντεχο αφού οι μαθητές δεν θα το περιμένουν έχοντας οι ίδιοι αποκλείσει το ενδεχόμενο αυτό βασιζόμενοι στην λογική της προς τα πίσω επαγωγής. ΕΠΙΛΟΓΟΣ Σε αυτό το άρθρο αναζητήσαμε διαφορετικά παραδείγματα που να αναδεικνύουν την χρησιμότητα και αξία της μεθόδου της προς τα πίσω επαγωγής. Στην αρχή ασχοληθήκαμε με (πρωτότυπα) παιχνίδια, όπως το παίγνιο των 15 ποτηριών και το παίγνιο της ελευθερίας. Έπειτα είδαμε ένα απλό μοντέλο πυρηνικής συμπλοκής που εντάσσεται σε πλαίσια πολιτικής λήψης αποφάσεων. Στο τέλος μελετήσαμε ένα υπόδειγμα της θεωρίας ολιγοπωλίων που πρότεινε ο Stackelberg. Όλα αυτά τα παραδείγματα λύθηκαν με χρήση της μεθόδου της προς τα πίσω επαγωγής. Αναφερθήκαμε για λόγους ολοκλήρωσης και σε ένα γνωστό παράδοξο που κατασκευάστηκε για να τονίσει τους κινδύνους αυτής της μεθόδου. Έχοντας λοιπόν κατανοήσει την μέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής, έχοντας εντάξει αυτή τη μέθοδο σε ένα ευρύ πλαίσιο που εκτείνεται από τα παιχνίδια μέχρι τις πραγματικές οικονομικές εφαρμογές και έχοντας περιορίσει τους φιλοσοφικούς κινδύνους που κρύβονται πίσω της, είμαστε πλέον σε θέση να την παρουσιάσουμε και να την αναλύσουμε με μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου. Το όφελος των μαθητών από αυτήν την γνώση είναι μεγάλο, απλούστατα διότι είναι σε θέση να την εφαρμόζουν σε πληθώρα προβλημάτων. Εξάλλου, σε ένα τέτοιο πρώτο στάδιο, η μέθοδος αυτή δεν αποτελεί τίποτε άλλο παρά έναν τρόπο σκέψης, μια ανάπτυξη συλλογισμών χρήσιμη για τον καθέναν μας. Ο Όμιλος Μαθηματικών Γυμνασίου της Σχολής Μωραΐτη αποτελείται από μαθητές που φιλοδοξούν να πάρουν μια γεύση από εκείνα τα μαθηματικά που δυστυχώς δεν διδάσκονται στα σχολεία και που πραγματικά κρύβουν όλη εκείνη την μαθηματική σκέψη που γοητεύει. Δουλεύοντας ως μια ομάδα, μαθαίνουν να αναλύουν ένα δοθέν πρόβλημα, παρέα με την διακριτική και μικρή παρέμβαση από τους δύο συντονιστές του Ομίλου. Έτσι, κατάφεραν να λύσουν το παίγνιο των 15 ποτηριών και να το παρουσιάσουν στο μαθητικό συνέδριο της ΚΥΜΕ [1]. 28

39 Η Αξία της Μεθόδου της προς τα Πίσω Επαγωγής Πέρα από την καθοδήγηση μιας συζήτησης, εμείς οι καθηγητές-συντονιστές έχουμε συχνά την ευκαιρία να ακούμε και διάφορες απορίες των μαθητών και να προσπαθούμε να δώσουμε ικανοποιητικές απαντήσεις. Μια απορία που συχνά τίθεται σε ομαδικές συζητήσεις που αφορούν σε θέματα της Θεωρίας Παιγνίων είναι η ακόλουθη: Γιατί οι άνθρωποι γενικώς δεν ψάχνουν να βρουν τις λύσεις των προβλημάτωνπαιχνιδιών; Ίσως γιατί δεν έχουν υπομονή, ίσως γιατί δεν έχουν την διάθεση να αφιερώσουν χρόνο και ενέργεια σε κάτι τέτοιο, ίσως γιατί δεν έχουν αποκτήσει την κατάλληλη παιδεία, πολλά ίσως. Κάποια παιδιά όμως θέτουν τον εξής συλλογισμό: Ποιό το νόημα να λύσεις επακριβώς ένα παιχνίδι αφού μιας και το κάνεις, έπειτα δεν θα έχεις κανένα κίνητρο για να το παίξεις; Είναι αλήθεια αυτό και ποιές εσφαλμένες αντιλήψεις κρύβονται πίσω του; Πράγματι, αν κάποιος έχει καταφέρει να προσδιορίσει την βέλτιστη στρατηγική (ή την στρατηγική νίκης) για ένα παιχνίδι, τότε αρκετή από τη μαγεία έχει χαθεί (ενώ μάλλον αρκετά μεγαλύτερη έχει φανερωθεί). Βέβαια, αυτό είναι αλήθεια μόνο εφόσον υποθέσουμε πως και ο αντίπαλος παίζει σύμφωνα με την βέλτιστη στρατηγική. (Για παράδειγμα, στο παίγνιο των 15 ποτηριών και στα πλαίσια του Ομίλου Μαθηματικών της Σχολής Μωραΐτη, βλέπε [1], δύο παιδιά από τον Όμιλο δεν έχουν κανένα απολύτως κίνητρο να παίξουν το παιχνίδι διότι γνωρίζουν πολύ καλά πως όλα είναι `προκαθορισμένα, δεν υπάρχει κανένα περιθώριο έκπληξης. Το ίδιο συμβαίνει και στο παίγνιο τής ελευθερίας ή σε άλλα παίγνια όπως το Hex που μελετήσαμε στα πλαίσια του Project της Α Λυκείου στη Σχολή Μωραΐτη.) Αντίθετα, αν ο αντίπαλος δεν έχει φτάσει στην βέλτιστη στρατηγική, τότε υπάρχει κάποιο ενδιαφέρον για τον μυημένο: συνήθως διακατέχεται από τον πειρασμό να παρατηρεί τις αντιδράσεις των αντιπάλων και κατ επέκταση να στοχάζεται πάνω στην συλλογιστική και στην ψυχολογία αμύητων παικτών. Εντούτοις, το ενδιαφέρον αυτού του εσφαλμένου συλλογισμού δεν περιορίζεται σε αυτές μόνο τις παρατηρήσεις. Ουσιαστικά μας πληροφορεί για την απροθυμία (ή συχνά την αδράνεια) των μαθητών (των ανθρώπων γενικότερα) για την εύρεση της βέλτιστης στρατηγικής μιας και προτιμούν να συνεχίζουν να παίζουν ένα παιχνίδι (συχνά σαν από κεκτημένη ταχύτητα). Οι άνθρωποι τείνουν να μην εξαντλούν την ανάλυση ενός παιχνιδιού, οπότε σπανίως κατορθώνουν να φθάνουν σε οριστικά συμπεράσματα. 29

40 Κ. Ανδριόπουλος ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] Βούζας Γ., Ζαχαριάδης Ο., Καπετανάκης Κ., Μακράκης Γ., Νομικός Π., Παναγόπουλος Γ., Παπαδημούλης Χ., Πετροπούλου Δ., Πουλά Β., Σαραντοπούλου Ι. και Τρούκης Κ. (2013) Από το παίγνιο `Τα 15 ποτήρια στον ψευδοκώδικα OMG123 Πρακτικά 9 ου Παγκύπριου Μαθητικού Συνεδρίου στα Μαθηματικά, Αγρός, Κύπρος [2] Nash Jr. John F. (1951) Non-cooperative games Annals of Mathematics [3] Aliprantis C.D. and Chakrabarti S.K. (1999) Games and Decision Making, Oxford University Press [4] Puu T. (1998) The chaotic duopolists revisited Journal of Economic Behavior and Organization [5] Ανδριόπουλος Κ. (2010) Μαθηματικές Μέθοδοι στα Μικροοικονομικά και Χρηματοοικονομικά, Διδακτορική Διατριβή, Πανεπιστήμιο Πατρών [6] Sainsbury R.M. (2009) Paradoxes, Cambridge University Press 30

41 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΛΛΑΓΗΣ ΜΕ ΠΕΡΙΤΤΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ, ΜΕ ΛΕΚΤΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗ ΕΙΚΟΝΑ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ, ΤΗΣ ΔΟΜΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΥ Αγγέλα Χρυσοστόμου Δασκάλα, Msc Πληροφορική στην Εκπαίδευση, Msc Μαθηματική Παιδεία Γιάννη Ρίτσου 19, P.O.BOX 30149, Αγία Νάπα, Αμμόχωστος. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα έρευνα, έχει σκοπό να διερευνήσει την επίδοση και τις σωστές και λανθασμένες στρατηγικές, 105 μαθητών Β τάξης και 86 μαθητών Γ Δημοτικού, σε προβλήματα αλλαγής και συγκεκριμένα μείωσης με περιττές πληροφορίες, που παρουσιάζονται λεκτικά ή με πληροφοριακή εικόνα. Επιπρόσθετα, θα διερευνηθεί κατά πόσο η δομή του προβλήματος (θέση άγνωστης ποσότητας), η αναπαράσταση του προβλήματος και η παρουσία των περιττών πληροφοριών, παίζουν ρόλο στην επίδοση των μαθητών, αλλά και κατά πόσο η αναπαράσταση του προβλήματος με πληροφοριακή εικόνα, μπορεί να προκαλέσει ρήξη του διδακτικού συμβολαίου. Αναλύθηκαν οι σωστές και λανθασμένες στρατηγικές των μαθητών. Οι λανθασμένες κατηγοριοποιήθηκαν σε συνηθισμένα λάθη και σε λάθη που οφείλονται στη χρήση περιττών πληροφοριών. Βρέθηκε ότι οι πληροφοριακές εικόνες δε βελτιώνουν την επίδοση των μαθητών σε σχέση με τα λεκτικά προβλήματα, όμως μπορούν να προκαλέσουν τη ρήξη του διδακτικού συμβολαίου σε σχέση με τη χρήση των περιττών πληροφοριών. Η εικονική αναπαράσταση των περιττών πληροφοριών, επιτρέπει στους μαθητές να τις συγκρίνουν οπτικά με τις σχετικές πληροφορίες και να τις απορρίψουν από τη λύση τους.

42 Α. Χρυσοστόμου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένας από τους σημαντικότερους στόχους της Μαθηματικής Παιδείας στα Δημοτικά σχολεία ανά τον κόσμο, είναι η ανάπτυξη της ικανότητας των παιδιών για επίλυση μαθηματικού προβλήματος. Η επίλυση προβλήματος είναι μια δεξιότητα σύνθετη, που δυσκολεύει ιδιαίτερα τους μαθητές. Πολλοί σημαντικοί σύγχρονοι ερευνητές της Διδακτικής των Μαθηματικών, όπως η Presmeg, ο Goldin, ο English και άλλοι, προτείνουν τη χρήση οπτικών αναπαραστάσεων στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος. Οι εικόνες βοηθούν ή όχι στην επίλυση των προβλημάτων; Οι απόψεις διίστανται και διαφοροποιούνται ανάλογα με το είδος του προβλήματος, τη δομή του και τη λειτουργικότητα της εικόνας. Το διδακτικό συμβόλαιο, παίζει καθοριστικό ρόλο στον τρόπο που οι μαθητές λύνουν ένα πρόβλημα και στα λάθη που κάνουν. Θα μπορούσε όμως μια εικόνα σε ένα μαθηματικό πρόβλημα, να λειτουργήσει με τρόπο που να προκαλέσει τη ρήξη του διδακτικού συμβολαίου; Η παρούσα έρευνα, έχει σκοπό να διερευνήσει την επίδοση και τις σωστές και λανθασμένες στρατηγικές, μαθητών Β και Γ Δημοτικού, σε προβλήματα αλλαγής και συγκεκριμένα μείωσης με περιττές πληροφορίες, που παρουσιάζονται λεκτικά ή με πληροφοριακή εικόνα. Επιπρόσθετα, θα διερευνηθεί κατά πόσο η δομή του προβλήματος (θέση άγνωστης ποσότητας), η αναπαράσταση του προβλήματος και η παρουσία των περιττών πληροφοριών, παίζουν ρόλο στην επίδοση των μαθητών, αλλά και κατά πόσο η αναπαράσταση του προβλήματος με πληροφοριακή εικόνα, μπορεί να προκαλέσει ρήξη του διδακτικού συμβολαίου. Για την εκπλήρωση του σκοπού της έρευνας διατυπώθηκαν τα εξής ερευνητικά ερωτήματα: (α) Ποια είναι η επίδοση των μαθητών Β και Γ Δημοτικού σε προβλήματα αλλαγής (μείωσης) που αναπαριστώνται λεκτικά και με πληροφοριακή εικόνα και έχουν περιττές πληροφορίες; (β) Η δομή και η αναπαράσταση του προβλήματος με περιττές πληροφορίες, παίζουν ρόλο στην επίδοση των μαθητών; (γ) Ποιες είναι οι σωστές και ποιες οι λανθασμένες στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές για να επιλύσουν τα προβλήματα με περιττές πληροφορίες; (δ) Όταν το πρόβλημα αναπαριστάται με πληροφοριακή εικόνα, οι μαθητές χρησιμοποιούν λιγότερο τις περιττές πληροφορίες στις λύσεις τους, από όταν παρουσιάζεται λεκτικά, προκαλώντας κατ αυτό τον τρόπο ρήξη στο διδακτικό συμβόλαιο; Οι πληροφοριακές εικόνες, δεν συναντώνται συχνά στα σχολικά εγχειρίδια, με αποτέλεσμα οι μαθητές να μην είναι εξοικειωμένοι με τη χρήση τους. Μια τέτοια εικόνα όμως, δομημένη, έχοντας δυναμικό χαρακτήρα, αναπαριστά ταυτόχρονα και τις ποσοτικές και τις ποιοτικές και τις χρονικές πληροφορίες, όπως προτείνει ο Duval (2005). Θα μπορούσε από τη μια να λειτουργήσει ως οργανωτική αναπαράσταση, παρουσιάζοντας τη δομή του προβλήματος αλλαγής, βοηθώντας έτσι τους μαθητές, και 32

43 Λεκτική Αναπαράσταση και Πληροφοριακή Εικόνα από την άλλη να βοηθήσει στη ρήξη του διδακτικού συμβολαίου, αφού αναπαριστά με εικόνα τις περιττές πληροφορίες, υποβοηθώντας τους μαθητές να τις διακρίνουν από τις χρήσιμες πληροφορίες. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Η έννοια της αναπαράστασης και τα είδη των εικόνων Σύμφωνα με τον ορισμό του Kaput (1987), η έννοια της αναπαράστασης περιλαμβάνει τις ακόλουθες ολότητες: (α) την ολότητα που αναπαρίσταται, (β) την ολότητα που αναπαριστά, (γ) τις συγκεκριμένες πτυχές της ολότητας προς αναπαράσταση που αναπαρίστανται, (δ) τις συγκεκριμένες πτυχές της ολότητας που αναπαριστά, οι οποίες κάνουν την αναπαράσταση και ε) την αντιστοιχία ανάμεσα στις δύο ολότητες. Σημαντική μορφή εξωτερικής αναπαράστασης που θεωρείται ότι μπορεί να διευκολύνει την επίλυση μαθηματικού προβλήματος είναι οι εικόνες. Το NCTM (2000) ενθαρρύνει τη χρήση τέτοιων αναπαραστάσεων στην επίλυση προβλήματος. Με βάση την ταξινόμηση των Carney και Levin (2002) για τη λειτουργία των εικόνων στα λογοτεχνικά κείμενα, οι Theodoulou, Gagatsis και Theodoulou (2003) εισηγούνται τα εξής τέσσερα είδη εικόνων με βάση τη λειτουργία τους στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος: α) διακοσμητικές β) βοηθητικές-αναπαραστατικές γ) βοηθητικέςοργανωτικές και δ) πληροφοριακές. Οι πληροφοριακές εικόνες, περιέχουν πληροφορίες που είναι απαραίτητες για να λυθεί ένα πρόβλημα και δεν μπορεί ο μαθητής να τις βρει στο λεκτικό κομμάτι του προβλήματος, επομένως η χρήση τους είναι αναγκαία για την επίλυσή του προβλήματος. (Theodoulou, Gagatsis & Theodoulou, 2003) Έγιναν αρκετές έρευνες στον κυπριακό χώρο, σε μια προσπάθεια καθορισμού του ρόλου των εικόνων στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων στο Δημοτικό σχολείο (Theodoulou, Gagatsis και Theodoulou, 2003: Γαγάτσης και Μάρκου, 2002: Elia, Gagatsis και Demetriou, 2007). Τα ευρήματα διαφοροποιούνται ανάλογα με το είδος της εικόνας αλλά και το είδος του προβλήματος. Οι πληροφοριακές εικόνες, στην έρευνα των Theodoulou, Gagatsis και Theodoulou (2003), δε βοήθησαν τους μαθητές στην επίλυση προβλημάτων, αφού λόγω της σύνθετης μορφής της, πιθανό να απαιτεί επιπρόσθετο φόρτο νοητική επεξεργασίας από τα παιδιά. Στη έρευνα των Elia, Gagatsi και Demetriou (2007), που αφορούσε παιδιά Α, Β και Γ Δημοτικού στην επίλυση προβλημάτων αλλαγής με τη χρήση πληροφοριακής εικόνας και αριθμητικής γραμμής, φάνηκε ότι το είδος της αναπαράστασης παίζει ρόλο ανάλογα με τη δομή του προβλήματος, όταν δηλαδή η 33

44 Α. Χρυσοστόμου άγνωστη ποσότητα είναι η αρχική ή ο μετασχηματισμός. Βρήκαν ότι η επίλυση προβλημάτων με πληροφοριακή εικόνα, αντιμετωπίζεται διαφορετικά από τους μαθητές, παρά άλλες αναπαραστάσεις, διότι λόγω της σύνθετης μορφής της (περιλαμβάνει λεκτική αναπαράσταση, διάγραμμα και εικόνα), δυσκολεύει περισσότερο τους μαθητές. Βέβαια, μετά από εφαρμογή του παρεμβατικού προγράμματος, φάνηκε ότι η διδασκαλία με έμφαση στην πληροφοριακή εικόνα, βοήθησε περισσότερο τους μαθητές στη βελτίωση της ικανότητάς τους στην επίλυση όλων των προβλημάτων αλλαγής, σε σχέση με άλλες αναπαραστάσεις. Διδακτικό Συμβόλαιο Σε μια προσπάθεια ερμηνείας της συμπεριφοράς των μαθητών, αλλά και των λαθών τους, κυρίως στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, ο Brousseau (1984, αναφορά στους Γαγάτσης, Γεωργίου και Ζαννέττου, 2006) ορίζει το «Διδακτικό Συμβόλαιο» ως το σύνολο των συμπεριφορών του εκπαιδευτικού που αναμένονται από τον μαθητή και το σύνολο των συμπεριφορών του μαθητή που αναμένονται από τον εκπαιδευτικό. Αποτελεί, δηλαδή, ένα σύνολο «έμμεσων» κανόνων, που καθορίζουν τις σχέσεις ανάμεσα στον εκπαιδευτικό, το μαθητή και τη μαθηματική γνώση. Η μάθηση δεν μπορεί να επιτευχθεί μέσα από τη ρήξη του διδακτικού συμβολαίου (Brousseau 1997). Παραδείγματα αντιλήψεων για τα προβλήματα που υποδεικνύουν την παρουσία του διδακτικού συμβολαίου, είναι τα πιο κάτω: (α) Όλα τα προβλήματα λύνονται, (β) Υπάρχει μόνο μία σωστή απάντηση, (γ) Σωστή απάντηση μετά από πράξεις με τους δοσμένους αριθμούς, (δ) Επίλυση με οικείες μαθηματικές διαδικασίες. (ε) Το πρόβλημα περιλαμβάνει όλη την πληροφορία που χρειάζεται για να λυθεί το πρόβλημα, (στ) Η εκφώνηση του προβλήματος οφείλει να μην έχει περιττά στοιχεία, κλπ. Οι περιττές πληροφορίες στη επίλυση μαθηματικού προβλήματος Η παρουσία περιττών δεδομένων σε ένα μαθηματικό πρόβλημα, οδηγεί συχνά τους μαθητές σε λάθη, αφού από τη μία δυσκολεύονται να διακρίνουν τις περιττές πληροφορίες από τις χρήσιμες (Carpenter, Corbitt, Kepner, Lindquist & Reyes, 1980; Carpenter, Lindquist, Brown, Kouba, Silver & Swafford, 1988); Kouba, Brown, Carpenter, Lindquist, Silver & Swafford, 1988) και από την άλλη χρειάζονται περισσότερο χρόνο να λύσουν το πρόβλημα (Cohen & Stover, 1981; Silbert, Carnine, & Stein, 1981; Arter & Clinton, 1974). Η παρουσία των περιττών δεδομένων, προσθέτει επιπλέον βήματα στην επίλυση ενός, προβλήματος, πράγμα που το καθιστά δυσκολότερο. Θα μπορούσε λοιπόν, η ενσωμάτωση στη διδασκαλία προβλημάτων με πληροφοριακή εικόνα, να βοηθήσει στο ρήξη του διδακτικού συμβολαίου, όσον αφορά τις περιττές πληροφορίες, αφού εκτός από την οργάνωση της δομής του προβλήματος, παρέχει και 34

45 Λεκτική Αναπαράσταση και Πληροφοριακή Εικόνα την εικονική αναπαράσταση των περιττών πληροφοριών, πράγμα που τις καθιστά αντιληπτές από τις αισθήσεις μας; ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Για την απάντηση των ερευνητικών ερωτημάτων που τέθηκαν, διενεργήθηκε ποσοτική έρευνα. Το δείγμα της έρευνας αποτέλεσαν 105 μαθητές Β τάξης και 86 μαθητές Γ τάξης, από τρία δημοτικά σχολεία των επαρχιών Αμμοχώστου και Λάρνακας. Ζητήθηκε από τους μαθητές να συμπληρώσουν σε 40 λεπτά, ένα δοκίμιο με 6 προβλήματα αλλαγής και συγκεκριμένα μείωσης. Τα 3 προβλήματα παρουσιάζονται στους μαθητές με λεκτική αναπαράσταση και συμβολική αναπαράσταση οι αριθμοί, ενώ τα άλλα 3, παρουσιάζονται με πληροφοριακή εικόνα, η οποία πλαισιώνεται από λόγια, τα οποία όμως δεν περιλαμβάνουν συμβολικές αναπαραστάσεις των ποσοτήτων. Η πληροφοριακή εικόνα έχει δυναμικό χαρακτήρα Όλες οι ποσοτικές πληροφορίες αναπαριστώνται με την εικόνα, οι ποιοτικές πληροφορίες (ποιος μετασχηματισμός θα γίνει) αναπαριστώνται λεκτικά, ενώ οι χρονικές πληροφορίες (χρονική εξέλιξη της αλλαγής) παρουσιάζονται από τα 3 διαδοχικά κομμάτια της εικόνας (όπως προτείνει ο Duval, 2005). Το πρώτο κομμάτι αναπαριστά την αρχική ποσότητα, το δεύτερο κομμάτι αναπαριστά την αλλαγή (μείωση) και το τρίτο κομμάτι αναπαριστά την τελική ποσότητα, οργανώνοντας κατ αυτόν τον τρόπο τη δομή του προβλήματος. Βέλη υποδηλώνουν τη συνέχεια, τη χρονική διαδοχή μεταξύ των τριών κομματιών. Όλα τα προβλήματα διαφοροποιούνται ως προς τη θέση του αγνώστου. Υπάρχει αντίστοιχα για κάθε μορφή αναπαράστασης, ένα πρόβλημα με άγνωστη την αρχική ποσότητα, ένα πρόβλημα με άγνωστη τη μείωση (μετασχηματισμός) και ένα πρόβλημα με άγνωστη την τελική ποσότητα. Επίσης, κάθε ένα από αυτά τα έξι αυτά προβλήματα υπάρχει μία περιττή πληροφορία (λεκτική στα λεκτικά προβλήματα και εικονική στα προβλήματα με πληροφοριακή εικόνα). Η περιττή πληροφορία τοποθετήθηκε σε όλες τις περιπτώσεις δίπλα από την αρχική ποσότητα, αφού υπάρχει πιθανότητα η διαφοροποίηση της θέσης της να επηρεάσει την επίδοση των μαθητών. ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Η επίδοση των μαθητών Β και Γ Δημοτικού, στα προβλήματα με περιττές πληροφορίες. Ο ρόλος της αναπαράστασης και της δομής του προβλήματος. 35

46 Α. Χρυσοστόμου Για την απάντηση δύο πρώτων ερευνητικών ερωτημάτων, διενεργήθηκαν περιγραφικές στατιστικές αναλύσεις και συγκεκριμένα αναλύσεις συχνοτήτων και επαγωγικές στατιστικές αναλύσεις και συγκεκριμένα έλεγχοι διαφορών (SPSS). Οι πίνακες με όλες τις ορθές και λανθασμένες απαντήσεις των μαθητών ανά πρόβλημα και ανά τάξη, δεν παρουσιάζονται στο παρόν άρθρο για λόγους εξοικονόμησης χώρου. Στον πίνακα 1 που ακολουθεί, παρουσιάζονται αναλυτικά τα ποσοστά επιτυχίας για κάθε πρόβλημα. Πίνακας 1: Ποσοστά επιτυχίας ανά πρόβλημα, ανά τάξη Αναπαράσταση / Θέση αγνώστου Λεκτικό - άγνωστος α Ν = 66 Β τάξη Γ τάξη Συνολικά % επιτυχίας Ν = 86 % επιτυχίας Ν = 191 % επιτυχίας % % % Λεκτικό - άγνωστος β % % % Λεκτικό - άγνωστος γ % % % Πληροφοριακή εικόνα - άγνωστος α % % % Πληροφοριακή εικόνα - άγνωστος β % % % Πληροφοριακή εικόνα - άγνωστος γ % % % Φαίνεται ότι η Γ τάξη είχε καλύτερη επίδοση από τη Β τάξη σε όλα τα προβλήματα. Μάλιστα, οι μαθητές Γ τάξης έλυσαν κατά μέσο όρο περίπου 4 (Χ =3.93, SD=1.89) προβλήματα σωστά ενώ η Β τάξη περίπου 3 (Χ =2.92, SD=1.93). Οι διαφορές αυτές είναι στατιστικά σημαντικές σε επίπεδο α=0.001 (t=-3.63, df= 189, p=0.000) 1. 1 Ανάλυση διαφορών για ανεξάρτητα δείγματα - Independent Samples t-test 36

47 Λεκτική Αναπαράσταση και Πληροφοριακή Εικόνα Στη Γ τάξη όμως, φαίνεται πως η δομή του προβλήματος παίζει ρόλο μόνο στην περίπτωση που άγνωστη είναι η αρχική ποσότητα. Εκεί παρουσιάστηκαν τα χαμηλότερα ποσοστά επιτυχίας, επομένως οι μαθητές δυσκολεύτηκαν περισσότερο. Οι μαθητές έχουν πολύ καλύτερη επίδοση όταν το πρόβλημα είναι λεκτικό (Χ =0.62, SD=0.48) παρά όταν παρουσιαζόταν με πληροφοριακή εικόνα (Χ =0.44, SD=0.5). Η διαφορά αυτή είναι στατιστικά σημαντική σε επίπεδο α=0.01 (t=-2.63, df= 85, p=0.01) 2. Δε βρέθηκαν άλλες στατιστικά σημαντικές διαφορές στη Γ τάξη. Η αναπαράσταση του προβλήματος και η δομή του δε φαίνεται να επηρεάζουν την επίδοση των μαθητών, όταν άγνωστη ποσότητα είναι ο μετασχηματισμός ή η τελική ποσότητα. Οι μαθητές της Β τάξης, είχαν χαμηλότερη επίδοση στα προβλήματα που άγνωστη ήταν η αρχική ποσότητα του προβλήματος. Είχαν όμως, περίπου την ίδια επίδοση και στο λεκτικό και στο πρόβλημα με πληροφοριακή εικόνα. Επόμενα σε δυσκολία για τους μαθητές της Β τάξης, φαίνεται να είναι τα προβλήματα, όπου η άγνωστη ποσότητα είναι ο μετασχηματισμός, ενώ τα ευκολότερα είναι τα προβλήματα όπου άγνωστη είναι η τελική ποσότητα. Στατιστικά σημαντικές διαφορές (t=2.74, df= 104, p=0.007) 3 ανάμεσα στις δύο δομές, φαίνεται να υπάρχουν μόνο στην περίπτωση που το πρόβλημα αναπαριστάται με εικόνα. Οι μαθητές έχουν χαμηλότερη επίδοση όταν η άγνωστη ποσότητα είναι ο μετασχηματισμός (Χ =0.48, SD=0.49), ενώ ψηλότερη όταν άγνωστη είναι η τελική ποσότητα (Χ =0.61, SD=0.47) στα προβλήματα με πληροφοριακή εικόνα. Ποιες ήταν η σωστές λύσεις των μαθητών; Στα περισσότερα προβλήματα, οι μαθητές προτίμησαν να δώσουν κατευθείαν την ορθή απάντησή τους, χωρίς να φαίνεται ο τρόπος σκέψης τους (περίπου 18% έως 34%). Στα προβλήματα με άγνωστη την αρχική ποσότητα, και στις δύο αναπαραστάσεις τους, οι μαθητές προτίμησαν σε μεγαλύτερο ποσοστό (από αυτούς που έδειξαν τον τρόπο σκέψης τους) να κάνουν πρόσθεση του μετασχηματισμού και τις τελικής ποσότητας. Στα προβλήματα όπου η άγνωστη ποσότητα ήταν ο μετασχηματισμός, και στις δύο αναπαραστάσεις προβλημάτων, το μεγαλύτερο ποσοστό των μαθητών, μετέτρεψε το πρόβλημα σαν να ήταν άγνωστη η τελική ποσότητα. Αφαίρεσαν δηλαδή από την αρχική ποσότητα την τελική, βρίσκοντας σαν αποτέλεσμα τον μετασχηματισμό. Αυτό ίσως εξηγεί και τα συνολικά ποσοστά επιτυχίας ανά τάξη (πίνακας 1) όπου φαίνεται οι μαθητές να έχουν περίπου τα ίδια ποσοστά επιτυχίας στα προβλήματα με άγνωστο το μετασχηματισμό ή την τελική ποσότητα. Λόγω της δομής των προβλημάτων μείωσης, είχαν τη δυνατότητα να τα χειριστούν με τον ίδιο τρόπο. 2 Ανάλυση διαφορών για εξαρτημένα δείγματα Paired Samples t - test 3 Ανάλυση διαφορών για εξαρτημένα δείγματα Paired Samples t - test 37

48 Α. Χρυσοστόμου Στα προβλήματα όπου άγνωστη είναι η τελική ποσότητα, η πλειοψηφία των μαθητών και στις δύο αναπαραστάσεις, αφαίρεσε το μετασχηματισμό από την αρχική ποσότητα και κατέληξε στην απάντηση. Σε όλες τις περιπτώσεις των προβλημάτων, μικρά ποσοστά μαθητών έδωσαν σωστές λύσεις οι οποίες ήταν παραλλαγές της συμβολικής αναπαράστασης που χρησιμοποίησε η πλειοψηφία (συμπληρωματική αφαίρεση ή συμπληρωματική πρόσθεση). Στις περιπτώσεις των προβλημάτων με πληροφοριακή εικόνα, μια μικρή μερίδα μαθητών (κυρίως Β τάξης), οδηγήθηκε στη λύση μέσα από χειρισμό των εικόνων του προβλήματος ή μέσα από ζωγράφισμα. Αυτό παρατηρήθηκε περισσότερο στο πρόβλημα με άγνωστο το μετασχηματισμό και την τελική ποσότητα. Εκεί οι μαθητές είτε διέγραφαν από την αρχική ποσότητα όσα έπρεπε να αφαιρεθούν, είτε χώριζαν την αρχική ποσότητα σε δύο μέρη, ξεχωρίζοντας όσα έπρεπε να αφαιρεθούν, είτε ζωγράφιζαν την άγνωστη ποσότητα. Ποιες ήταν οι λανθασμένες λύσεις των μαθητών; Συνηθισμένα Λάθη Όπως ήταν αναμενόμενο, οι μαθητές Β τάξης έκαναν περισσότερα λάθη από τους μαθητές της Γ τάξης, σε όλα τα προβλήματα. Τα συνηθισμένα λάθη, που έκαναν σε όλα τα προβλήματα ήταν είτε να δίνουν κατευθείαν μια λανθασμένη αριθμητική απάντηση, χωρίς να φαίνεται ή να είναι κατανοητή η στρατηγική που ακολούθησαν, είτε δίνοντας ως αριθμητική απάντηση μία από τις δύο δοσμένες ποσότητες είτε την αρχική, είτε το μετασχηματισμό, είτε την τελική, ανάλογα πάντα από τη δομή του προβλήματος. Σε όλα τα προβλήματα, παρατηρήθηκε ότι μικρή μερίδα μαθητών έδωσε λανθασμένη εξίσωση, δηλαδή χρησιμοποίησε τους δοσμένους αριθμούς για να κάνει πολλαπλασιασμό ή διαίρεση ή χρησιμοποίησαν αριθμούς άσχετους με το πρόβλημα. Επιπρόσθετα, ένα μέρος των μαθητών, κυρίως Β τάξης, δεν έλυσε καθόλου τα προβλήματα. Αυτό μπορεί να οφείλεται στο ότι δεν τα κατάλαβαν και επομένως δεν ήξεραν τι να κάνουν ή πιθανό να μην πρόλαβαν. Περισσότεροι μαθητές δεν έκαναν καθόλου το λεκτικό πρόβλημα με άγνωστη την αρχική ποσότητα (19%) και το πρόβλημα με πληροφοριακή εικόνα και άγνωστο το μετασχηματισμό (15%). Τέλος, παρουσιάστηκε άλλη μία λανθασμένη στρατηγική επίλυσης, μόνο στην περίπτωση των προβλημάτων με πληροφοριακή εικόνα. Κάποιοι μαθητές, στην προσπάθειά τους να λύσουν το πρόβλημα με χειρισμό των δοσμένων εικόνων ή με χειρισμό εικόνων που ζωγράφισαν, είτε διέγραψαν διαφορετικό αριθμό, από αυτόν που έπρεπε να αφαιρεθεί, είτε ζωγράφισαν εξαρχής λανθασμένα την εικόνα τους. 38

49 Λεκτική Αναπαράσταση και Πληροφοριακή Εικόνα Λάθη που οφείλονται στη χρήση των περιττών πληροφοριών. Παίζει ρόλο η αναπαράσταση του προβλήματος; Αρκετοί μαθητές, έλυσαν λανθασμένα τα προβλήματα, χρησιμοποιώντας με ποικίλους τρόπους την περιττή πληροφορία του κάθε προβλήματος. Συνοπτικά, παρουσιάζει ο πίνακας 2, τα ποσοστά χρήσης των περιττών πληροφοριών. Παρατηρώντας τις λανθασμένες λύσεις των μαθητών, φαίνεται πως αρκετοί είναι επηρεασμένοι από το διδακτικό συμβόλαιο, αφού χρησιμοποιούν όλες τις πληροφορίες για να το λύσουν κάνοντας πράξεις με αυτές. Οι μαθητές λοιπόν, τείνουν είτε να δίνουν ως απάντηση την ίδια την περιττή πληροφορία, είτε να προσθέτουν και τους τρεις αριθμούς μαζί, είτε να προσθέτουν την περιττή πληροφορία μαζί με μία από τις δύο δοσμένες ποσότητες, είτε να κάνουν πράξεις με διάφορους συνδυασμούς πρόσθεσης ή /και αφαίρεσης μεταξύ των τριών ποσοτήτων. Στα τρία λεκτικά προβλήματα παρουσιάζονται πολλοί διαφορετικοί συνδυασμοί χρήσης των περιττών πληροφοριών. Μάλιστα, στα λεκτικά προβλήματα με άγνωστη την αρχική ποσότητα και τον μετασχηματισμό, υπάρχουν περισσότερες διαφορετικές περιπτώσεις παρά στο λεκτικό πρόβλημα με άγνωστη την τελική ποσότητα. Στα προβλήματα με πληροφοριακή εικόνα, οι διαφορετικές περιπτώσεις είναι πολύ λιγότερες από ότι στα λεκτικά. Από τα προβλήματα με εικόνα, μόνο στο πρόβλημα με άγνωστη την αρχική ποσότητα υπάρχουν περισσότερες διαφορετικές περιπτώσεις λανθασμένων λύσεων, σε σχέση με τις άλλες δύο δομές, αλλά και πάλι είναι λιγότερες από ότι στα λεκτικά προβλήματα. Όπως φαίνεται στον πίνακα 2, σε όλες τις περιπτώσεις προβλημάτων, το ποσοστό των μαθητών Γ τάξης που χρησιμοποιούν περιττές πληροφορίες είναι λίγο μεγαλύτερο από το ποσοστό των μαθητών Β τάξης, εκτός από την περίπτωση του προβλήματος με πληροφοριακή εικόνα και άγνωστη την αρχική ποσότητα, που είναι περίπου ίσα. Αυτό ισχύει παρόλο που σε όλα τα προβλήματα, το ποσοστό των μαθητών Β τάξης που έκανε λάθη ήταν μεγαλύτερο από το ποσοστό των μαθητών της Γ τάξης. Αυτό μπορεί να έχει διττή ερμηνεία. Είτε ότι τα παιδιά όσο μεγαλώνουν, ισχυροποιούνται οι αντιλήψεις του διδακτικού συμβολαίου και τους επηρεάζουν περισσότερο, είτε ότι το νέο εκπαιδευτικό υλικό (Ν.Α.Π.) με το οποίο δούλεψαν οι μαθητές της Β τάξης, τους βοήθησε ώστε να εντοπίζουν και να αγνοούν τις περιττές πληροφορίες, σε σχέση με το εκπαιδευτικό υλικό που δούλεψαν οι μαθητές της Γ τάξης. 39

50 Α. Χρυσοστόμου Πίνακας 2: Συνοπτικός πίνακας χρήσης περιττών πληροφοριών ανά πρόβλημα και ανά τάξη α/α* Αναπαράσταση / Θέση αγνώστου** Β τάξη Γ τάξη Συνολικά Ν = 105 % Ν = 86 % Ν = 191 % 7 Λεκτικό - άγνωστος α % % % 3 Λεκτικό - άγνωστος β % % % 5 Λεκτικό - άγνωστος γ % % % 1 Πληροφοριακή εικόνα - άγνωστος α 9 8.6% 7 8.1% % 8 Πληροφοριακή εικόνα - άγνωστος β 2 1.9% 4 4.7%% 6 3.1% 6 Πληροφοριακή εικόνα - άγνωστος γ 2 1.9% 8 9.3% % *α/α = αρίθμηση προβλήματος στο ερευνητικό δοκίμιο (Παράρτημα Ι) **α = άγνωστη η αρχική ποσότητα, β = άγνωστη ποσότητα ο μετασχηματισμός, γ = άγνωστη η τελική ποσότητα. Σημαντικό εύρημα, αποτελεί το γεγονός ότι οι μαθητές και των δύο τάξεων, σε όλες τις δομές προβλημάτων μείωσης (αλλαγής), χρησιμοποιούν πολύ λιγότερο τις περιττές πληροφορίες όταν το πρόβλημα αναπαρίσταται με πληροφοριακή εικόνα, παρά όταν αναπαρίσταται λεκτικά. Όπως φαίνεται, η εικονική αναπαράσταση της περιττής πληροφορίας, αλλά και των χρήσιμων πληροφοριών στα προβλήματα, βοηθούν τους μαθητές οπτικά να αγνοήσουν τις περιττές πληροφορίες και να λύσουν το πρόβλημα μόνο με τις χρήσιμες πληροφορίες. Τα λάθη που κάνουν οι μαθητές στα προβλήματα με πληροφοριακές εικόνες, οφείλονται κυρίως σε άλλους λόγους κι όχι στην παρουσία περιττών πληροφοριών. Αντίθετα, στα λεκτικά προβλήματα, το ποσοστό των λαθών που γίνονται λόγω των περιττών πληροφοριών είναι αρκετά μεγάλο, αν το συγκρίνουμε 40

51 Λεκτική Αναπαράσταση και Πληροφοριακή Εικόνα με το ποσοστό των λαθών που δεν οφείλονται στις περιττές πληροφορίες. Επομένως, η αναπαράσταση ενός προβλήματος με εικόνα, μπορεί να βοηθήσει στο σπάσιμο του διδακτικού συμβολαίου που αφορά τη χρήση των περιττών πληροφοριών στην επίλυση ενός προβλήματος. Για περεταίρω υποστήριξη της πιο πάνω άποψης, διενεργήθηκε επαγωγική στατιστική ανάλυση διαφορών για εξαρτημένα δείγματα (Paired Samples t - test) 4, με μεταβλητές τη χρήση των περιττών πληροφοριών στα λεκτικά προβλήματα και τη χρήση των περιττών πληροφοριών στα προβλήματα με πληροφοριακή εικόνα. Βρέθηκε ότι υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές σε επίπεδο α=0.001 (t=4.23, df= 190, p<0.001), αφού οι περιττές πληροφορίες χρησιμοποιούνται λιγότερο από τους μαθητές όταν το πρόβλημα αναπαρίσταται με πληροφοριακή εικόνα (Χ =0.21, SD=0.83), παρά όταν αναπαρίσταται λεκτικά (Χ =0.54, SD=0.9). ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Συνοψίζοντας τα αποτελέσματα, προέκυψαν κάποια συμπεράσματα, που απαντούν τα ερευνητικά ερωτήματα που διατυπώθηκαν στην αρχή. μαθητές είχαν περίπου την ίδια επίδοση, είτε το πρόβλημα με περιττές πληροφορίες παρουσιαζόταν με λεκτική αναπαράσταση είτε παρουσιαζόταν με πληροφοριακή εικόνα. Επίσης, είχαν περίπου την ίδια επίδοση, είτε η άγνωστη ποσότητα βρισκόταν στο μετασχηματισμό είτε βρισκόταν στην τελική ποσότητα. Αυτά τα ευρήματα διαφοροποιούνται λίγο από τα ευρήματα των Elia, Gagatsis και Demetriou (2007) για τα προβλήματα αλλαγής. Αυτό, πιθανό να οφείλεται στο γεγονός ότι τα προβλήματα ήταν μόνο μείωσης και είτε η άγνωστη ποσότητα ήταν ο μετασχηματισμός είτε ήταν η τελική ποσότητα, οι μαθητές έλυναν με αφαίρεση, στην οποία συχνά μετέθεταν τον άγνωστο μετασχηματισμό στο τέλος, όπως φάνηκε στις λύσεις τους, μετατρέποντάς τον ουσιαστικά σε τελική ποσότητα. Κάτι τέτοιο βέβαια, δεν μπορεί να συμβεί στα προβλήματα αύξησης, αφού εκεί η μία δομή λύνεται με πρόσθεση, ενώ η άλλη συνήθως με αφαίρεση. Όπως ήταν αναμενόμενο, τα χαμηλότερα ποσοστά επιτυχίας και για τις δύο τάξεις, παρουσιάστηκαν στα δύο προβλήματα όπου η άγνωστη ποσότητα ήταν η αρχική, διότι αυτά τα προβλήματα έχουν τη δυσκολότερη δομή. Οι μαθητές της Γ τάξης, είχαν χαμηλότερη επίδοση στη συγκεκριμένη δομή, όταν η αναπαράσταση του προβλήματος ήταν με πληροφοριακή εικόνα. Η διαφορά αυτή είναι στατιστικά σημαντική. Φαίνεται ότι η πολυπλοκότητα της εικόνας δυσκόλεψε περισσότερο τους μαθητές αυτούς, πιθανό 4 Για όλους τους μαθητές, Β και Γ τάξης μαζί. 41

52 Α. Χρυσοστόμου λόγω του ότι δεν ήταν εξοικειωμένοι με τέτοιου είδους αναπαραστάσεις. Στη Β τάξη δεν υπήρξε τέτοια διαφορά, όμως αξίζει να αναφερθεί ότι η Β τάξη διδάχθηκε με διαφορετικό εκπαιδευτικό υλικό (Νέα Εγχειρίδια), πράγμα που μπορεί να έπαιξε κάποιο ρόλο, ως προς την εξοικείωσή τους με διαφορετικές αναπαραστάσεις προβλημάτων. Επίσης, συγκρίνοντας την επίδοση στα προβλήματα με πληροφοριακή εικόνα, παρουσιάστηκε στατιστικά σημαντική διαφορά μόνο στη Β τάξη, αφού είχαν καλύτερη επίδοση όταν άγνωστη ήταν η τελική ποσότητα, παρά ο μετασχηματισμός. Τα προβλήματα με άγνωστη την αρχική ποσότητα, οι πιο πολλοί μαθητές τα έλυσαν με πρόσθεση, ενώ στις άλλες δύο δομές τις έλυσαν με αφαίρεση, με άγνωστη την τελική ποσότητα. Από μικρά ποσοστά μαθητών χρησιμοποιήθηκαν διάφορες σωστές παραλλαγές των συμβολικών αναπαραστάσεων που χρησιμοποίησε η πλειοψηφία. Μόνο στις περιπτώσεις των προβλημάτων με πληροφοριακές εικόνες, μικρή μερίδα μαθητών, επέλεξε να χειριστεί με κάποιο τρόπο την εικόνα: είτε διαγράφοντας στην αρχική ποσότητα αυτή που αφαιρείται, είτε απλά διαχωρίζοντας την αρχική ποσότητα σε δύο σύνολα, ξεχωρίζοντας την ποσότητα που αφαιρείται, είτε ζωγραφίζοντας την άγνωστη ποσότητα. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσίασαν οι λανθασμένες στρατηγικές των μαθητών. Τα λάθη χωρίστηκαν σε δύο κατηγορίες. Στην πρώτη κατηγορία, στα συνηθισμένα λάθη των μαθητών, παρατηρήθηκε είτε να κάνουν μια εντελώς διαφορετική πράξη που υποδείκνυε ότι δεν κατανόησαν τη δομή του προβλήματος, είτε απαντούσαν με κάποια από τις δεδομένες ποσότητες, είτε έκαναν μια λανθασμένη πράξη πρόσθεσης ή αφαίρεσης με τους δύο δεδομένους αριθμούς, είτε έδιναν κατευθείαν μια λανθασμένη απάντηση δίχως λογική, είτε με λανθασμένο χειρισμό της εικόνας (πληροφ. εικόνα). Η δεύτερη κατηγορία λαθών, είναι τα λάθη που οφείλονται στη χρήση των περιττών πληροφοριών, λόγω του διδακτικού συμβολαίου. Είτε έδιναν ως απάντηση την ίδια την περιττή πληροφορία, είτε πρόσθεταν και τους τρεις αριθμούς μαζί, είτε να πρόσθεταν την περιττή πληροφορία μαζί με μία από τις δύο δοσμένες ποσότητες, είτε έκαναν πράξεις με διάφορους συνδυασμούς πρόσθεσης ή /και αφαίρεσης μεταξύ των τριών αριθμών (περιττή ποσότητα, δύο δοσμένες ποσότητες). Το σημαντικότερο εύρημα της παρούσας έρευνας, αποτελεί το γεγονός ότι οι μαθητές και των δύο τάξεων, σε όλες τις δομές προβλημάτων μείωσης, χρησιμοποιούν πολύ λιγότερο τις περιττές πληροφορίες όταν το πρόβλημα παρουσιαζόταν με πληροφοριακή εικόνα, παρά όταν παρουσιαζόταν λεκτικά. Φαίνεται πως η εικονική αναπαράσταση της περιττής πληροφορίας, επιτρέπει στους μαθητές πολύ πιο εύκολα να τη διακρίνουν ως περιττή και να την αγνοήσουν. Η παρουσία της πληροφοριακής εικόνας, παρόλο που δυσκολεύει τα παιδιά λόγω της περιπλοκότητάς της, μπορεί να προκαλέσει τη ρήξη του διδακτικού συμβολαίου σχετικά με τις περιττές πληροφορίες. Η περιττή πληροφορία 42

53 Λεκτική Αναπαράσταση και Πληροφοριακή Εικόνα οπτικοποιείται και οι μαθητές μέσα από τις αισθήσεις τους μπορούν να τη συγκρίνουν με τις σχετικές πληροφορίες και ευκολότερα να την απορρίψουν. Στα αποτελέσματα της έρευνας των Elia, Gagatsi και Demetriou (2007), φάνηκε ότι η ομάδα των μαθητών που στο παρεμβατικό πρόγραμμα διδάχτηκε τα προβλήματα αλλαγής με έμφαση στις πληροφοριακές εικόνες, βοήθησε στη βελτίωση της ικανότητας των μαθητών στην επίλυση όλων των προβλημάτων αλλαγής. Από την παρούσα έρευνα, παρόλο που δεν είχαν καλύτερη επίδοση οι μαθητές, φάνηκε ότι μπορεί να επέλθει ρήξη του διδακτικού συμβολαίου σε σχέση με τις περιττές πληροφορίες. Επομένως, θα μπορούσε να εξαχθεί το συμπέρασμα ότι αυτό που λείπει από τα παιδιά είναι η εξοικείωση με αυτού του είδους τις εικόνες. Η διδασκαλία των προβλημάτων αλλαγής με έμφαση στις πληροφοριακές εικόνες, θα βοηθήσει τους μαθητές να ξεπεράσουν τις δυσκολίες που έχουν λόγω της πολυπλοκότητάς τους και ταυτόχρονα θα μπορούν από τη μία να οργανώσουν τη δομή του προβλήματος και από την άλλη μπορούν να συνεισφέρουν στη ρήξη του διδακτικού συμβολαίου τουλάχιστον όσον αφορά τη διάκριση των περιττών πληροφοριών στα προβλήματα. Απαιτείται περαιτέρω διερεύνηση, κατά πόσο θα μπορούσαν οι πληροφοριακές εικόνες, αλλά και γενικότερα οι εικόνες να αξιοποιηθούν και σε άλλες περιπτώσεις για τη ρήξη του διδακτικού συμβολαίου σε άλλες του πτυχές. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Γαγάτσης, Α., Γεωργίου, X., Ζαννέττου, E. (2006). Το διδακτικό συμβόλαιο σε παιδιά προσχολικής ηλικίας και Α τάξης δημοτικού. Στο βιβλίο: Σύγχρονη Έρευνα στη Μαθηματική Παιδεία. (σελ ). Λευκωσία. Γαγάτσης, A., & Μάρκου, Α. (2002). Αναπαραστάσεις και µάθηση των Μαθηµατικών: ύο όψεις του ίδιου φαινοµένου; Στο Α. Γαγάτσης, Λ. Κυριακίδης, Ν. Τσαγγαρίδου, Ε. Φτιάκα, & Μ. Κουτσούλης (Εκδ.) Πρακτικά του 7 ου Παγκύπριου Συνεδρίου Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου: Η Εκπαιδευτική Έρευνα στην Εποχή της Παγκοσµιοποίησης, Τόµος Β (σσ ). Λευκωσία: Παιδαγωγική Εταιρεία Κύπρου. Arter, J. A., & Clinton, L. (1974). Time and error consequences of irrelevant data and question placement in arithmetic word problems II: Fourth grades. Journal of Educational Research, 68, Brousseau, G Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Carney, N.R., & Levin, R.J. (2002). Pictorial illustrations still improve students learning from text, Educational Psychology Review, 14(1),

54 Α. Χρυσοστόμου Carpenter, T. P., Kepner, H. S., Corbitt, M. K., Lindquist, M. M., & Reyes, R. E. (1980). Results and implications of the second NAEP Mathematics assessments: Elementary school. Arithmetic Teacher, 27, 10-12, Carpenter, T.P., Lindquist, M. M., Brown, C. A., Kouba, V. L., Silver, E. A., & Swafford, J. O. (1988). Results of the fourth NAEP Assessments of Mathematics: Trends and conclusions.. Arithmetics Teacher, 36, Cohen, S. A., & Stover, G. (1981). Effects of teaching sixth grade students to modify format variables of math word problems. Reading Research Quarterly, 16, (2), Deliyianni, E., Monoyiou, A,. Elia, I., Georgiou, Ch., & Zannettou, E. (2009). Pupils visual representations in standard and problematic problem solving in mathematics: Their role in the breach of the didactical contract. European Early Childhood Education Research Journal, 17(1), Dufur- Janvier, B., Bednarz, N., & Belanger, M. (1987). Pedagogical Considerations Concerning the Problem of Representation. In C. Janvier (Ed.), Problem of Representation in the teaching and learning of Mathematics. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Gerofsky, S. (1996). A linguistic and narrative view of word problems in mathematics education. For the Learning of Mathematics, 16(2), Goldin, G. A. (1998). Representational systems, learning and problem solving in mathematics. Journal of Mathematical Behavior, 17 (2), Greer, B Modeling reality in mathematics classrooms: The case of word problems. Learning and Instruction 7, no. 4: Janvier, C. (1987). Translation Processes in Mathematics Education. In C. Janvier (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics (pp.27-32). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Kaput, J. J. (1987). Representation Systems and Mathematics. In C. Janvier (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics (pp ). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Kouba, V. L., Brown, C. A., Carpenter, T. P., Lindquist, M. M., Silver, E. A., & Swafford, J. O. (1988). Results of τhe 4 th NAEP Assessment of Mathematics: Number, operation, and word problems. Arithmetics Teacher, 35, Littlefield, J., Rieser, J. (1993). Semantic Features of Similarity and Children s Strategies for Identifying Relevant Information in Mathematical Story Problems. Cognition and Instruction, 11, (2), Marcou, A., and A. Gagatsis Didactical contract and word problems: Influences and breach of contract in primary school. In Proceedings of the 3 rd Mediterranean Conference 44

55 Λεκτική Αναπαράσταση και Πληροφοριακή Εικόνα on Mathematical Education, eds. A. Gagatsis and S. Papastavridis, Athens: Hellenic Mathematical Society, Cyprus Mathematical Society NCTM, (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, Va: NCTM. Silbert, J., Carnine, D., & Stein, M. (1981). Direct instruction mathematics. Columbus, OH: Charles E. Merrill. Theodoulou, R., Gagatsis, A. & Theodoulou A. (2003). Are pictures always facilitator in mathematical problem solving? In A. Gagatsis, & I. Elia, (Eds.) Representations and Geometrical Models in the Learning of Mathematics: Vol.1 (pp ). Nicosia: Intercollege Press 45

56 Α. Χρυσοστόμου 46

57 ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΣΕ ΕΠΙΔΟΣΗ ΚΑΙ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΑ ΓΝΩΣΤΙΚΑ ΣΤΥΛ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ Χαράλαμπος Ευσταθίου & Ανδρούλλα Πετρίδου Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της παρούσας έρευνας είναι να διερευνηθούν οι διαφορές σε επίδοση και δημιουργικότητα στη γεωμετρία σύμφωνα με τα γνωστικά στυλ των εκπαιδευτικών πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. Ογδόντα δύο δάσκαλοι κλήθηκαν να συμπληρώσουν ένα δοκίμιο με ασκήσεις επίδοσης και δημιουργικότητας στη γεωμετρία καθώς και ένα ερωτηματολόγιο, το οποίο προσδιορίζει το γνωστικό τους στυλ. Τα αποτελέσματα της έρευνας, έδειξαν ότι ένα σημαντικό ποσοστό των δασκάλων δεν κατέκτησε ούτε το επίπεδο 0 από τα επίπεδα Van Hiele. Ακόμη, υπάρχει θετική συσχέτιση μεταξύ του χωρικού γνωστικού στυλ με όλες τις συνιστώσες της μαθηματικής δημιουργικότητας (ευχέρεια, ευελιξία, πρωτοτυπία). Επιπρόσθετα, εντοπίστηκε αρνητική συσχέτιση μεταξύ του λεκτικού γνωστικού στυλ με την ευελιξία και την πρωτοτυπία. Επίσης, βρέθηκε ότι υπάρχει θετική συσχέτιση μεταξύ του χωρικού στυλ με τη γενική επίδοση στις ασκήσεις γεωμετρίας και ειδικότερα με τη συνολική επίδοση στα εικονικά γεωμετρικά έργα. Επιπλέον, παρουσιάστηκε θετική συσχέτιση μεταξύ της γενικής γεωμετρικής επίδοσης με την ευχέρεια, την ευελιξία και την πρωτοτυπία. Τέλος, τα υποκείμενα παρουσιάζουν διαφορετική συμπεριφορά στην ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία ανάλογα με το επίπεδο Van Hiele στο οποίο βρίσκονται. Γνωστικά Στυλ Θεωρητικό Υπόβαθρο Οι ορισμοί γύρω από τα γνωστικά στυλ ποικίλουν. Παρόλα αυτά, όλοι ακολουθούν πανομοιότυπα πρότυπα. Τα γνωστικά στυλ ορίζονται ως οι ατομικές διαφορές στο τρόπο που τα άτομα αντιλαμβάνονται κάτι, σκέφτονται, λύνουν προβλήματα, μαθαίνουν, συσχετίζουν και γενικά ο τρόπος συμπεριφοράς τους (Witkin, Moore, Goodenough & Cox, 1977).

58 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου Μέσα από μία πληθώρα ερευνητικών δεδομένων και πολύχρονων αναζητήσεων γύρω από τα γνωστικά στυλ έχουν προταθεί πάρα πολλά είδη γνωστικών στυλ. Οι Kozhevnikov, Hegarty και Mayer (2002), μέσα από την έρευνα τους καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι οι οπτικοί τύποι δεν είναι μία ομοιογενής ομάδα όσον αφορά τη χωρική τους ικανότητα, αφού τα υποκείμενα τους φαίνεται να χωρίζονται σε δυο ομάδες, στους οπτικούς τύπους με υψηλά επίπεδα χωρικής ικανότητας και στους οπτικούς τύπους με χαμηλά επίπεδα χωρικής ικανότητας. Οι ερευνητές Blazhenkova και Kozhevnikov (2009), βασισμένοι σε θεωρίες της σύγχρονης ψυχολογίας διαχωρίζουν τα γνωστικά στυλ σε τρεις κατηγορίες: στους λεκτικούς, στους εικονικούς-οπτικούς και στους χωρικούς-οπτικούς τύπους (Πίνακας 1). Οι εικονικοί-οπτικοί τύποι χρησιμοποιούν αποτελεσματικά νοερές αναπαραστάσεις για να αναδομήσουν λεπτομερείς εικόνες συγκεκριμένων αντικειμένων και σχημάτων. Οπτικοποιούν σχήματα και μοτίβα βασισμένοι στη ζωηρότητα των χρώματα, στα σχήματα και στις λεπτομέρειες τους. Οι χωρικοί-οπτικοί τύποι χειρίζονται νοερά χωρικές σχέσεις ανάμεσα σε αντικείμενα ή στοιχεία των αντικειμένων αποτελεσματικά. Είναι ικανοί να οπτικοποιήσουν σύνθετους χωρικούς μετασχηματισμούς, για παράδειγμα με τη νοερή περιστροφή τρισδιάστατων αντικειμένων στο χώρο (Kozhevnikov, Hegarty & Mayer, 2002; Kozhevnikov, Kosslyn & Shephard, 2005). Πίνακας 1. Τα βασικά χαρακτηριστικά των τριών γνωστικών στυλ. Λεκτικοί Τύποι Οπτικοί Τύποι Εικονικοί-Οπτικοί Τύποι Χωρικοί-Οπτικοί Τύποι Λειτουργίες (Farah et al., 1988; Paivio, 1991) Αναπαριστούν λεκτικές πληροφορίες, συζητήσεις και παράγουν προφορικό και γραπτό λόγο. Αναγνωρίζουν και αναπαριστούν αντικείμενα με χρώματα, λεπτομέρειες και σχήματα Αναπαριστούν τη θέση, την κίνηση, τις χωρικές σχέσεις, τους χειρισμούς και τους μετασχηματισμούς του αντικειμένου Οργάνωση και στοιχεία (Paivio, 1991; Richardson, 1977) Διάκριση γλωσσολογικών στοιχείων Η συμβολική αναπαράσταση συστηματικά οργανώνεται βάσει σημασιολογίας και γραμματικής Διάκριση αντικειμένων και οπτικοποίηση του ακέραιου αριθμού Εικονικές, αναλογικές αναπαραστάσεις αντικειμένων Σχηματικές αναπαραστάσεις αντικειμένων και μοτίβων και οι μετασχηματισμοί τους 48

59 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία Στην προσπάθεια σύγκρισης των ικανοτήτων των λεκτικών και των δύο οπτικών τύπων έγιναν αρκετές έρευνες. Σε έρευνα των Kozhevnikov et al. (2005), βρέθηκε ότι οι λεκτικοί τύποι είχαν μέτρια επίδοση σε οπτικές ασκήσεις. Ακόμη, οι εικονικοίοπτικοί τύποι βρέθηκε ότι είχαν χαμηλή επίδοση σε ασκήσεις αντίληψης του χώρο, αλλά υψηλή επίδοση σε ασκήσεις οπτικοποίησης των αντικειμένων, που αφορούσαν τη διάκριση σχημάτων που δεν γίνονταν άμεσα αντιληπτά. Ενώ, οι χωρικοί-οπτικοί τύποι βρέθηκε ότι είχαν ακριβώς τα αντίθετα χαρακτηριστικά, δηλαδή υψηλή επίδοση σε ασκήσεις αντίληψης του χώρου και χαμηλή σε ασκήσεις οπτικοποίησης των αντικειμένων. Στην έρευνα αυτή, φάνηκε ότι οι εικονικοί-οπτικοί τύποι χρησιμοποιούσαν μία διαδικασία ολικής αντιμετώπισης των αναπαραστάσεων, δηλαδή θεωρούσαν την κάθε αναπαράσταση ως μία ενιαία ολότητα. Από την άλλη, οι λεκτικοί και οι χωρικοί-οπτικοί τύποι χρησιμοποιούσαν αναλυτική διαδικασία στις αναπαραστάσεις, δηλαδή χώριζαν κάθε αναπαράσταση σε επιμέρους κομμάτια και τα επεξεργάζονταν. Στην έρευνα των Kozhevnikov, Hegarty και Mayer (2002), φαίνεται ότι οι οπτικοί τύποι με υψηλά επίπεδα χωρικής ικανότητας αντιμετωπίζουν διαφορετικά τις γραφικές παραστάσεις από αυτούς με χαμηλά επίπεδα χωρικής ικανότητας. Τα χωρικάοπτικά άτομα αντιμετωπίζουν τις γραφικές παραστάσεις ως αφηρημένες αναπαραστάσεις που σκοπό τους έχουν να παρουσιάσουν σχέσεις. Ενώ, τα εικονικάοπτικά άτομα θεωρούν ότι οι γραφικές παραστάσεις παρουσιάζουν μία κατάσταση που συμβαίνει στην καθημερινότητα και έχει σχέση με το σχήμα που παίρνει κάθε φορά. Επίσης, οι ίδιοι υποστηρίζουν ότι τα χωρικά-οπτικά άτομα προτιμούν τις σχηματικές αναπαραστάσεις, ενώ οι εικονικοί-οπτικοί τις εικονικές αναπαραστάσεις. Κατά καιρούς, έχουν προταθεί αρκετά δοκίμια γνωστικού στυλ ανάλογα με τον διαχωρισμό των γνωστικών στυλ που υποστηρίζουν οι ερευνητές. Οι τρόποι βαθμολόγησης τους ποικίλει. Κάποιοι μετράνε το χρόνο αντίδρασης των υποκειμένων στα έργα, άλλοι τη συχνότητα και την ορθότητα των απαντήσεων τους και άλλοι το συνδυασμό των προαναφερθέντων. Σύμφωνα με τις αναλύσεις της έρευνας των Blazhenkova και Kozhevnikov (2009), συμπεραίνεται ότι η τριαδική διάσταση των γνωστικών στυλ είναι πολύ καλύτερη από την παραδοσιακή διάσταση (λεκτικών και οπτικών τύπων). Επιπλέον, οι ίδιοι προτείνουν το δικό τους ερωτηματολόγιο, το οποίο μπορεί να εντοπίσει το γνωστικό στυλ του κάθε ατόμου. Το ερωτηματολόγιο αυτό ονομάζεται Object-Spatial Imagery and Verbal Questionnaire (OSIVQ) και αποτελείται από αυτοαναφερόμενες δηλώσεις. Μέσα από τις συγκεκριμένες δηλώσεις εντοπίζεται πιο αποτελεσματικά και γρήγορα το γνωστικό στυλ του ατόμου, πράγμα που παλιότερα γινόταν με τη χρήση χρονοβόρων αντικειμενικών μετρήσεων (Kozhevnikov et al., 2005). Για τη μέτρηση 49

60 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου των οπτικών τύπων (εικονικών και χωρικών) στο OSIVQ, υπάρχουν δηλώσεις που αφορούν ποιοτικά χαρακτηριστικά των εικόνων, τη διατήρηση της εικόνας και διαδικασιών μετασχηματισμού, την προτίμηση συγκεκριμένων ειδών αναπαραστάσεων και την αυτοεκτίμηση των ικανοτήτων του ατόμου. Όσο αφορά τη μέτρηση του λεκτικού τύπου, υπάρχουν δηλώσεις που σχετίζονται με τη λεκτική έκφραση και ευχέρεια, το συνηθισμένο τρόπο μάθησης, την προτίμηση επαγγέλματος και την εκτίμηση των λεκτικών ικανοτήτων. Πρέπει να αναφερθεί ότι το συγκεκριμένο ερωτηματολόγιο θα χρησιμοποιηθεί στην παρούσα έρευνα έτσι ώστε να εντοπιστούν τα γνωστικά στυλ των υποκειμένων. Δημιουργικότητα στα Μαθηματικά Σύμφωνα με το Mann (2006) δεν υπάρχει ένας μοναδικός, επίσημος και αποδεκτός ορισμός της μαθηματικής δημιουργικότητας. Οι Treffinger, Young, Selby και Shepardson (2002) αναφέρουν ότι έχουν διατυπωθεί περισσότεροι από 100 ορισμοί για τη μαθηματική δημιουργικότητα. Κάποιοι από τους ορισμούς εστιάζουν στη γνωστική διαδικασία και κάποιοι επικεντρώνονται στο προϊόν που παράγεται. Ο Romey (1970) αναφέρεται στη μαθηματική δημιουργικότητα ως το συνδυασμό μαθηματικών ιδεών, τεχνικών ή προσεγγίσεων με ένα νέο τρόπο. Ο Krutetskii (1969) αναφέρεται στην εύκολη και ελεύθερη μεταφορά από μια νοερή διαδικασία σε άλλη. Ο Spraker (1960) ορίζει τη μαθηματική δημιουργικότητα ως την ικανότητα παραγωγής πρωτότυπων ή ασυνήθιστων, κατάλληλων μεθόδων επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων. Ο Jensen (1973) αναφέρεται στη μαθηματική δημιουργικότητα ως την ικανότητα να δίνεις πολυάριθμες, διαφορετικές και κατάλληλες ερωτήσεις όταν δίνεται μια μαθηματική κατάσταση η οποία είναι είτε γραπτή είτε συνοδεύεται από γράφημα ή διάγραμμα (αναφορά στο Haylock, 1987). Σύμφωνα με τον Torrance η δημιουργικότητα αποτελείται από τέσσερις συνιστώσες: την ευχέρεια-επάρκεια (fluency), την ευελιξία-ευλυγισία (flexibility), την πρωτοτυπία (novelty) και τον εμπλουτισμό (elaboration). Η ευχέρεια αναφέρεται στον αριθμό (την ποσότητα) των ιδεών (απαντήσεων) που παράγονται ως αντίδραση σε ένα ερέθισμα από το λύτη. Η ευελιξία αναφέρεται στην αντιμετώπιση ενός προβλήματος με διαφορετικούς τρόπους, στην διαφορετικότητα των ιδεών που παράγονται, στον αριθμό των κατηγοριών στις οποίες κατατάσσονται οι ιδέες (απαντήσεις) αυτές. Η πρωτοτυπία αναφέρεται στη σπανιότητα, στη μοναδικότητα των ιδεών που παράγονται. Τέλος, ο εμπλουτισμός αναφέρεται στην ικανότητα περιγραφής, διασαφήνισης και γενίκευσης των ιδεών, δηλαδή στον αριθμό των πληροφοριών που δίνονται από το λύτη (Leikin, 2009; Silver 2007). Το Torrance Tests of Creative Thinking (TTCT), τεστ το οποίο έχει 50

61 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία χρησιμοποιηθεί ευρέως για τον καθορισμό της δημιουργικότητας μαθητών και ενηλίκων, στηρίζεται στην ανάλυση της δημιουργικότητας στις τέσσερις αυτές συνιστώσες (Silver, 1997). Η μαθηματική δημιουργικότητα στα σχολικά μαθηματικά συχνά συνδέεται με την επίλυση προβλήματος ή με τη δημιουργία προβλημάτων. Οι Liljedalh και Sriraman (2006) ορίζουν τη μαθηματική δημιουργικότητα στο επίπεδο του σχολείου ως τη διαδικασία που επιφέρει ως αποτέλεσμα αυθεντικές, μοναδικές λύσεις σε ένα νέο πρόβλημα και/ή διαφορετικές προσεγγίσεις σε ένα «παλαιότερο» (γνωστό) πρόβλημα από μια νέα προοπτική. Επίπεδα Van Hiele Οι Van Hiele βασισμένοι σε παιδαγωγικές εμπειρίες και διδακτικά πειράματα, καθόρισαν ένα μοντέλο μάθησης της γεωμετρίας, το οποίο περιλαμβάνει πέντε επίπεδα κατανόησης τα οποία αντανακλούν τα επίπεδα της γεωμετρικής σκέψης του μαθητή. Αρχικά, στο Επίπεδο 0 (Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης) οι μαθητές αναγνωρίζουν τα σχήματα από τη συνολική μορφή τους, σαν μια ολότητα. Αντιλαμβάνονται το χώρο που υπάρχει γύρω τους οπτικά. Μπορούν να διακρίνουν και να αναπαραγάγουν τα διάφορα σχήματα, αλλά δεν μπορούν να διακρίνουν τις ιδιότητες ενός γεωμετρικού σχήματος. Επίσης, μπορούν ακόμα να περιγράφουν τα σχήματα με ορθή ή άτυπη ορολογία. Ακολούθως, στο Επίπεδο 1 (Ανάλυσης) οι μαθητές μπορούν να αναγνωρίσουν και να ονομάσουν ένα σχήμα βάσει των ιδιοτήτων του. Μπορούν επίσης να συγκρίνουν και να ταξινομούν σχήματα με βάση τις ιδιότητες τους. Στο Επίπεδο 2 (Άτυπης παραγωγική σκέψης) τα άτομα είναι σε θέση να αντιληφθούν τις σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ των σχημάτων. Μπορούν να κάνουν απλούς παραγωγικούς συλλογισμούς. Στη συνέχεια, στο Επίπεδο 3 (Παραγωγικής σκέψης) οι μαθητές κατανοούν τη σημαντικότητα της απόδειξης και το ρόλο των αξιωμάτων, των θεωρημάτων και των αποδείξεων. Αναπτύσσουν συλλογισμούς για να αποδείξουν μια πρόταση χρησιμοποιώντας δεδομένα αξιώματα. Τέλος, στο Επίπεδο 4 (Αυστηρό) τα άτομα είναι σε θέση να κατανοήσουν την αναγκαιότητα της αυστηρής αιτιολόγησης και είναι ικανοί να κάνουν αφηρημένους συλλογισμούς. Στο στάδιο αυτό γνωρίζουν την ύπαρξη και κατανοούν και άλλα αξιωματικά συστήματα, όπως οι μη-ευκλείδιες γεωμετρίες. (Usiskin, 1982; Mayberry, 1983; Unal, Jakubowski, & Corey, 2009) Κάθε επίπεδο έχει τη δική του γλώσσα και συμβολισμούς καθώς και σχέσεις που συνδέουν τους συμβολισμούς αυτούς. Μια σχέση που θεωρείται «σωστή» σε ένα επίπεδο, μπορεί να θεωρηθεί λανθασμένη σε ένα επόμενο επίπεδο (Fuys, Geddes, & Tischler, 1984). Οι Van Hiele τόνισαν ότι τα επίπεδα είναι ιεραρχικά. Οι μαθητές 51

62 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου προχωράνε από το ένα επίπεδο στο άλλο μέσα από διδασκαλία και διδακτικές εμπειρίες και όχι λόγω ηλικιακής και φυσικής ανάπτυξης. Σύμφωνα με τους Jones και Swafford (1997), πολλοί μαθητές λυκείου και ενήλικες βρίσκονται στα χαμηλά επίπεδα. Σε έρευνα της, η Mayberry (1983), διαπίστωσε ότι περισσότεροι από τους μισούς υποψήφιους εκπαιδευτικούς βρίσκονταν στο επίπεδο 2 ή σε χαμηλότερο επίπεδο. Επιπρόσθετα, οι Mason και Schell (1988) διαπίστωσαν ότι το 40% των υποψήφιων δασκάλων βρισκόταν κάτω από το επίπεδο 3. Σε καμία έρευνα δεν βρέθηκαν δάσκαλοι στο επίπεδο 4 ενώ ένα σημαντικό ποσοστό αποτύγχανε ακόμα και στο επίπεδο 0. Συσχέτιση Ερευνητικών Παραγόντων Σύμφωνα με τους Pitta-Pantazi και Christou (2009a) οι διαφορετικές κατηγορίες των οπτικών τύπων, συγκεκριμένα των εικονικών (object) και των χωρικών (spatial), μπορεί να έχουν διαφορετική επίδραση στη δημιουργικότητα των ατόμων στα μαθηματικά. Συγκεκριμένα, σε έρευνα τους βρήκαν ότι τα χωρικά-οπτικά άτομα είχαν στατιστικά σημαντική και θετική συσχέτιση με τη δημιουργικότητα στα μαθηματικά και με τις τρεις διαστάσεις της δημιουργικότητας (ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία). Αντιθέτως, τα εικονικά-οπτικά άτομα είχαν αρνητική συσχέτιση με την πρωτοτυπία και οι λεκτικοί τύποι με την ευελιξία. Οι Hegarty και Kozhevnikov (1999), σε έρευνα τους ανακάλυψαν ότι οι μαθητές δημοτικού σχολείου που είχαν υψηλή χωρική ικανότητα (χωρικοί-οπτικοί τύποι) έτειναν να δημιουργούν σχηματικές αναπαραστάσεις, ενώ οι μαθητές με πιο χαμηλή χωρική ικανότητα (εικονικοί-οπτικοί τύποι) έτειναν να κατασκευάζουν εικονικές αναπαραστάσεις των πληροφοριών που παρουσιάζονταν σε ένα αριθμητικό λεκτικό πρόβλημα. Επιπλέον, ανακάλυψαν ότι η χρήση σχηματικών αναπαραστάσεων σχετίζεται αρνητικά με τη χρήση εικονικών αναπαραστάσεων, δηλαδή ένα άτομο που χρησιμοποιεί εικονικές αναπαραστάσεις δεν θα χρησιμοποιεί σχηματικές. Βρήκαν ότι η χρήση σχηματικών αναπαραστάσεων σχετίζεται θετικά με την επιτυχή λύση του μαθηματικού προβλήματος. Αντιθέτως, οι εικονικές αναπαραστάσεις βρήκαν ότι σχετίζονται αρνητικά με την σωστή επίλυση του μαθηματικού προβλήματος. Οι Anderson, Casey, Thompson, Burrage, Pezaris και Kosslyn (2008), διεξήγαγαν μία έρευνα με σκοπό να προσδιοριστεί εάν οι μαθητές μέσης εκπαίδευσης με ένα συγκεκριμένο γνωστικό στυλ, είχαν καλύτερη επίδοση από άλλους μαθητές, όταν τα γεωμετρικά προβλήματα συνοδεύονταν με νύξεις, συμβατές με το γνωστικό τους στυλ. Τα συμπεράσματα τους έδειξαν ότι παρόλο που δεν υπάρχουν στοιχεία για μία άμεση σχέση μεταξύ γνωστικού στυλ και γεωμετρικής νύξης, που δίνονταν για να λύσουν γεωμετρικά προβλήματα, τα αποτελέσματα δείχνουν τη δύναμη τόσο του 52

63 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία χωρικού-οπτικού, όσο και του λεκτικού στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων, ανεξάρτητα από το είδος των νύξεων που παρέχονται. Στην έρευνα των Pitta-Pantazi και Christou (2009b), βρέθηκε ότι τα γνωστικά στυλ των μαθητών έκτης τάξης δημοτικού σχολείου δεν αποτελούν καθοριστικό παράγοντα που ερμηνεύει τις διαφορές στην επίδοση των ατόμων στη γεωμετρία. Μελέτησαν και την επίδραση της δυναμικής γεωμετρίας σε μαθητές με διαφορετικό γνωστικό στυλ και κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι η χρήση της δυναμικής γεωμετρίας βελτιώνει κυρίως την επίδοση των λεκτικών τύπων. Μία άλλη έρευνα των ερευνητών, που αφορούσε υποψήφιους νηπιαγωγούς, καταλήγει στο συμπέρασμα ότι το γνωστικό στυλ (λεκτικό ή οπτικό/ολικό ή αναλυτικό), δεν επηρεάζει την επίδοση των ατόμων στη γεωμετρία (Pitta-Pantazi και Christou, 2009c). Μεθοδολογία Σκοπός έρευνας και Ερευνητικά ερωτήματα Σκοπός της παρούσας έρευνας είναι να διερευνηθούν οι διαφορές σε επίδοση και δημιουργικότητα στη γεωμετρία σύμφωνα με τα γνωστικά στυλ των εκπαιδευτικών πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. Οι επιμέρους στόχοι της έρευνας είναι: (α) Να διερευνηθεί κατά πόσον το γνωστικό στυλ συσχετίζεται με την επίδοση στη γεωμετρία (β) Να διερευνηθεί κατά πόσον το γνωστικό στυλ συσχετίζεται με τη δημιουργικότητα στη γεωμετρία (γ) Να διερευνηθεί η σχέση επίδοσης και δημιουργικότητας στη γεωμετρία. Η έρευνα αυτή έχει στόχο να δώσει απαντήσεις στα εξής ερωτήματα: (1) Το επίπεδο γεωμετρικής κατανόησης των δασκάλων σχετίζεται και προβλέπεται από το γνωστικό στυλ τους; (2) Ο βαθμός δημιουργικότητας των δασκάλων στη γεωμετρία σχετίζεται και προβλέπεται από το γνωστικό τους στυλ; (3) Η επίδοση των δασκάλων στη γεωμετρία σχετίζεται και προβλέπει τη δημιουργικότητα τους στη γεωμετρία και αντίστροφα; Καθορισμός Πληθυσμού Δείγμα Στην παρούσα έρευνα, που έχει διεξαχθεί τον Μάρτιο 2012, συμμετείχαν 82 πτυχιούχοι δάσκαλοι, από 22 έως 28 ετών. Μέσα Συλλογής Δεδομένων και Κριτήρια Βαθμολόγησης Για τη διεξαγωγή της έρευνας χορηγήθηκε ένα δοκίμιο και ένα ερωτηματολόγιο (παράρτημα). Το δοκίμιο περιελάμβανε γεωμετρικές ασκήσεις για μέτρηση της 53

64 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου επίδοσης (σύμφωνα με τα επίπεδα Van Hiele) και της δημιουργικότητας στη γεωμετρία. Με το ερωτηματολόγιο εντοπιζόταν το γνωστικό στυλ κάθε συμμετέχοντα. Το δοκίμιο περιελάμβανε 13 έργα. Έγινε προσπάθεια ώστε τα έργα να κατανεμηθούν εξίσου και στα τρία γνωστικά στυλ (λεκτικό, εικονικό και χωρικό). Τα 11 έργα χρησιμοποιήθηκαν για την κατάταξη των δασκάλων στα επίπεδα Van Hiele. Χρησιμοποιήθηκαν έργα για τα επίπεδα 0 έως 3, παραλείποντας το επίπεδο 4 στο οποίο ανήκουν κυρίως μαθηματικοί και όπως έχει προαναφερθεί έρευνες έδειξαν ότι δεν υπήρχαν δάσκαλοι στο επίπεδο αυτό. Στο επίπεδο 3 των Van Hiele δε δόθηκε άσκηση για τους εικονικούς τύπους καθώς όλες οι οπτικές ασκήσεις στο επίπεδο αυτό παραπέμπουν σε χωρικές σχέσεις. Στον πίνακα 2 παρουσιάζονται συνοπτικά οι ασκήσεις ανά επίπεδο και γνωστικό στυλ. Πίνακας 2. Επίπεδα Van Hiele και Γνωστικό Στυλ. Επίπεδα Van Hiele Γνωστικό στυλ Λεκτικό Χωρικό Εικονικό Επίπεδο Επίπεδο Επίπεδο Επίπεδο Τέλος, τρία έργα χρησιμοποιήθηκαν για τον καθορισμό της δημιουργικότητας. Δόθηκε μία άσκηση για κάθε ένα γνωστικό στυλ. Το ερωτηματολόγιο που χρησιμοποιήθηκε για τον εντοπισμό του γνωστικού στυλ ήταν το ερωτηματολόγιο OSIVQ των Blazhenkova και Kozhevnikov (2009), που έχει προαναφερθεί στο θεωρητικό υπόβαθρο, μεταφρασμένο στα ελληνικά. Περιελάμβανε 45 δηλώσεις στις οποίες οι ερωτηθέντες καλούνταν να δηλώσουν το κατά πόσο συμφωνούν ή διαφωνούν. Υπήρχαν 15 δηλώσεις για κάθε ένα από τα τρία γνωστικά στυλ, οι οποίες δίνονταν με τυχαία σειρά. 54

65 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία Για τη βαθμολόγηση και την κωδικοποίηση των μεταβλητών χρησιμοποιήθηκαν διαφορετικές κλίμακες για το δοκίμιο και το ερωτηματολόγιο. Στις ασκήσεις οι οποίες κατάτασσαν το δείγμα σε επίπεδα Van Hiele η βαθμολόγηση έγινε με κλίμακα από το 0 έως 1, ανάλογα με την άσκηση. Η κατάταξη στα επίπεδα Van Hiele γινόταν με βάση τη βαθμολόγηση και στις τρεις ασκήσεις που ανήκαν σε κάθε επίπεδο. Για να θεωρηθεί ότι κατακτήθηκε το επίπεδο 0, ο λύτης έπρεπε να έχει συγκεντρώσει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 2 στις ασκήσεις 1, 2 και 3. Το ίδιο ίσχυε και για τα επίπεδα 1 (ασκήσεις 4, 5 και 6) και 2 (ασκήσεις 7, 8 και 9). Για το επίπεδο 3, στο οποίο δίνονταν μόνο 2 ασκήσεις (10 και 11), ο λύτης έπρεπε να συγκεντρώσει βαθμό μεγαλύτερο του 1 για να θεωρηθεί ότι έχει κατακτήσει το επίπεδο αυτό. Επίσης, για κάθε άτομο υπολογίστηκε ένας γενικός βαθμός επίδοσης αθροίζοντας τη βαθμολογία στις 11 γεωμετρικές ασκήσεις αλλά και τρεις επιμέρους βαθμοί: λεκτική επίδοση, χωρική επίδοση και εικονική επίδοση αθροίζοντας τα αντίστοιχα έργα κάθε γνωστικού στυλ. Όπως έχει προαναφερθεί δόθηκαν τρεις ασκήσεις δημιουργικότητας, μία για κάθε γνωστικό στυλ. Οι ασκήσεις αυτές βαθμολογήθηκαν με βάση τις τρεις συνιστώσες της δημιουργικότητας: την ευχέρεια, την ευελιξία και την πρωτοτυπία των απαντήσεων. Όσο αφορά την ευχέρεια βαθμολογείτο η ποσότητα των ορθών απαντήσεων. Η ευελιξία βαθμολογείτο ανάλογα με τον αριθμό των διαφορετικών κατηγοριών στις οποίες κατατάσσονταν οι απαντήσεις κάθε ατόμου. Η πρωτοτυπία βαθμολογείτο με την σπανιότητα των απαντήσεων στο σύνολο των απαντήσεων όλου του δείγματος. Υπολογίστηκαν τρεις διαφορετικοί βαθμοί για κάθε άτομο, ένας για κάθε μία από τις τρεις συνιστώσες της δημιουργικότητας. Για παράδειγμα, η ευχέρεια υπολογίστηκε με βάση τις τρεις βαθμολογήσεις ευχέρειας του ατόμου στις τρεις ασκήσεις της δημιουργικότητας. Το ίδιο και η ευελιξία και η πρωτοτυπία. Για κάθε γνωστικό στυλ υπήρχαν 15 ερωτήσεις. Για κάθε γνωστικό στυλ εξαγόταν το άθροισμα από τις απαντήσεις κάθε ατόμου. Κατά συνέπεια κάθε άτομο είχε τρεις τελικές βαθμολογίες, μία για κάθε γνωστικό στυλ. Για τέσσερις δηλώσεις έγινε αντιστροφή βαθμολόγησης, αφού ήταν αρνητικές δηλώσεις. Ανάλογα με το εύρος των βαθμολογιών για κάθε γνωστικό στυλ, τα άτομα χωρίστηκαν σε τρεις ομάδες και κατηγοριοποιήθηκαν σε ψηλούς, μεσαίους και χαμηλούς τύπους για κάθε γνωστικό στυλ. Διαδικασία Εκτέλεσης Έρευνας Η χορήγηση των δοκιμίων και των ερωτηματολογίων διήρκησε τρεις εβδομάδες. Τα υποκείμενα ήταν ελεύθερα να απαντήσουν ανεξαρτήτως χρόνου. Κάθε εκπαιδευτικός 55

66 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου επίλυε ατομικά το δικό του δοκίμιο. Δόθηκαν σαφής οδηγίες για τον τρόπο συμπλήρωσης του δοκιμίου και επεξηγήθηκαν οποιεσδήποτε απορίες, διαδικαστικής φύσεως, που προέκυπταν από τους δασκάλους. Ανάλυση Δεδομένων Για την ανάλυση των δεδομένων της έρευνας χρησιμοποιήθηκαν τα λογιστικά φύλλα Excel και το στατιστικό πακέτο SPSS-17.0 (Statistical Package for the Social Sciences). Χρησιμοποιήθηκαν και τα τρία είδη στατιστικής ανάλυσης: η περιγραφική, η συσχετιστική και η επαγωγική. Για τη συσχετιστική στατιστική χρησιμοποιήθηκε το τεστ Pearson και Kendall s tau_b. Για την επαγωγική στατιστική χρησιμοποιήθηκαν η ανάλυση διασποράς μονής διαδρομής (ANOVA one-way) και η γραμμική παλινδρόμηση (linear regression). Επίσης, χρησιμοποιήθηκε η εντολή δημιουργίας δευτερογενών δεδομένων (compute). Το επίπεδο σημαντικότητας που χρησιμοποιήθηκε για την απόρριψη ή την αποδοχή των δεδομένων είναι p=0.05. Περιγραφική Ανάλυση Αποτελέσματα Σύμφωνα με τη γραφική παράσταση 1, το μεγαλύτερο ποσοστό επιτυχίας παρουσιάζεται στα εικονικά έργα(83,13%) ενώ το χαμηλότερο ποσοστό συγκεντρώνουν τα χωρικά έργα(56,74%). Η ψηλότερη επίδοση παρουσιάζεται στην εικονική άσκηση του επιπέδου 2(95,12%), με τις λεκτικές ασκήσεις των επιπέδων 0 και 1 να ακολουθούν(91,46% και 90,24% αντίστοιχα). Το χαμηλότερο ποσοστό παρουσιάζει η χωρική άσκηση του επιπέδου 3(7,93%), με τη λεκτική άσκηση του ίδιου επιπέδου να ακολουθεί (50%). Γραφική Παράσταση 1. Ποσοστό επιτυχίας για κάθε άσκηση γεωμετρικής επίδοσης. 56

67 Λεκτικοί Χωρικοί Εικονικοί Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία Αξίζει να σημειωθεί ότι εάν αφαιρεθούν τα έργα του επιπέδου 3 (λεκτικό και χωρικό έργο), τα χωρικά έργα εξακολουθούν να συγκεντρώνουν το χαμηλότερο ποσοστό επιτυχίας(73,01%). Στην περίπτωση αυτή όμως, το μεγαλύτερο ποσοστό επιτυχίας συγκεντρώνουν τα λεκτικά έργα(86,79%) με τα εικονικά να ακολουθούν (83,13%). Γραφική Παράσταση 2. Κατηγοριοποίηση του δείγματος στα επίπεδα Van Hiele ,537 12,195 6,098 12,195 10,976 Πριν το 0 Επίπεδο 0 Επίπεδο 1 Επίπεδο 2 Επίπεδο 3 Στη γραφική παράσταση 2 παρουσιάζεται το ποσοστό συγκέντρωση του δείγματος στα επίπεδα Van Hiele. Υπάρχουν άτομα σε όλα τα επίπεδα. Επιπρόσθετα παρουσιάζεται ένα ποσοστό 12,20% το οποίο δεν έχει κατακτήσει ούτε καν το επίπεδο 0 («πριν το 0»). Οι πλείστοι δάσκαλοι βρίσκονται στο επίπεδο 2 (58,54%). Γραφική Παράσταση 3. Κατηγοριοποίηση του δείγματος σε γνωστικά στυλ. Χαμηλοί Μεσαίοι Ψηλοί Χαμηλοί Μεσαίοι Ψηλοί Χαμηλοί Μεσαίοι Ψηλοί 13,41 18,29 20,73 24,39 36,59 35,37 46,34 50,00 54, Όσο αφορά τα γνωστικά στυλ, όπως προαναφέρθηκε, τα άτομα κατηγοριοποιήθηκαν σε τρεις κατηγορίες: ψηλοί, μεσαίοι και χαμηλοί για κάθε γνωστικό στυλ. Και στα τρία γνωστικά στυλ υπερέχει η μεσαία κατηγορία. Στο εικονικό και χωρικό στυλ, δηλαδή στις δύο οπτικές ομάδες, οι ψηλοί είναι οι λιγότεροι (13,41% και 18,29% αντίστοιχα), ενώ στους λεκτικούς τύπους οι λιγότεροι είναι οι χαμηλοί(20,73%). Το μεγαλύτερο ποσοστό της κατηγορίας των ψηλών εμφανίζεται στο λεκτικό στυλ(24,39%) ενώ στην κατηγορία των χαμηλών το μεγαλύτερο ποσοστό εμφανίζεται στο εικονικό και χωρικό στυλ(36,59% και 35,37% αντίστοιχα). 57

68 Ευχέρεια Ευελιξία Πρωτοτυπία Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου Η δημιουργικότητα στη γεωμετρία βαθμολογήθηκε με βάση την ευχέρεια, την ευελιξία και την πρωτοτυπία, όπως αυτές έχουν καθοριστεί στο θεωρητικό υπόβαθρο. Στη γραφική παράσταση 4 παρουσιάζονται τα ποσοστά κάθε συντελεστή για κάθε άσκηση από τα τρία γνωστικά στυλ και συνολικά. Τα υψηλότερα ποσοστά παρουσιάζονται στην ευχέρεια(38,71%) και τα χαμηλότερα στην πρωτοτυπία(15,48%). Στην ευχέρεια τα μεγαλύτερα ποσοστά παρουσιάζονται στην άσκηση εικονικού στυλ(44,99%). Το ίδιο ισχύει και για την πρωτοτυπία με ποσοστό 26,39%. Στην ευελιξία τα μεγαλύτερα ποσοστά εμφανίζονται στην άσκηση λεκτικού στυλ (37,80%). Γραφική Παράσταση 4. Ποσοστά των τριών συντελεστών της δημιουργικότητας στα έργα δημιουργικότητας Σύνολο Χωρικό Έργο Εικονικό Έργο Λεκτικό Έργο Σύνολο Χωρικό Έργο Εικονικό Έργο Λεκτικό Έργο Σύνολο Χωρικό Έργο Εικονικό Έργο Λεκτικό Έργο 8,96 11,09 15,48 19,69 26,39 30,63 34,39 29,79 37,80 38,71 44,99 41, Συσχετιστική Ανάλυση Ο πίνακας 4 παρουσιάζει τις συσχετίσεις (correlations) των γνωστικών στυλ των υποκειμένων και της επίδοσης τους στην ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία. Υπάρχει στατιστικά σημαντική, θετική συσχέτιση μεταξύ του χωρικού στυλ και των τριών διαστάσεων της δημιουργικότητας. Η συσχέτιση του χωρικού στυλ με την ευχέρεια είναι μέτρια, ενώ μεταξύ χωρικού στυλ με ευελιξία και πρωτοτυπία η συσχέτιση είναι χαμηλή. Επιπρόσθετα, υπάρχουν στατιστικά σημαντικές, αρνητικές συσχετίσεις του λεκτικού γνωστικού στυλ με ευελιξία και πρωτοτυπία. Η συσχέτιση με την ευελιξία είναι μέτρια, ενώ με την πρωτοτυπία χαμηλή. Δηλαδή, η ικανότητα των δασκάλων να βρίσκουν πρωτότυπες λύσεις, οι οποίες να ανήκουν και σε διάφορες κατηγορίες συσχετίζεται αρνητικά με το λεκτικό στυλ. Τα αποτελέσματα αυτά συμφωνούν με τα αποτελέσματα των Πίττα και Χρίστου (2009a). 58

69 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία Πίνακας 4. Συσχέτιση γνωστικών στυλ με συνιστώσες της δημιουργικότητα. Ευχέρεια Ευελιξία Πρωτοτυπία Λεκτικό Στυλ -0,164-0,323** -0,236* Χωρικό Στυλ 0,325** 0,228* 0,256* Εικονικό Στυλ -0,130-0,198-0,059 **Επίπεδο στατιστική σημαντικότητας μικρότερο από 0,01 * Επίπεδο στατιστική σημαντικότητας μικρότερο από 0,05 Ειδικότερα, στο δημιουργικό έργο χωρικού στυλ βρέθηκε στατιστικά σημαντική, θετική συσχέτιση της ευελιξίας και της πρωτοτυπίας με το χωρικό στυλ, όπως φαίνεται στον πίνακα 5. Η συσχέτιση της πρωτοτυπίας με το χωρικό στυλ είναι μέτρια, ενώ με την ευχέρεια χαμηλή. Ακόμη, βρέθηκε στατιστικά σημαντική, χαμηλή, αρνητική συσχέτιση της πρωτοτυπίας με το λεκτικό γνωστικό στυλ. Πίνακας 5. Συσχέτιση των διαστάσεων της δημιουργικότητας στο έργο χωρικού στυλ με το λεκτικό και το χωρικό στυλ. Λεκτικό στυλ Χωρικό στυλ Ευχέρεια -0,207 0,294* Ευελιξία -0,215 0,209 Πρωτοτυπία -0,296** 0,347** **Επίπεδο στατιστική σημαντικότητας μικρότερο από 0,01 * Επίπεδο στατιστική σημαντικότητας μικρότερο από 0,05 Επιπλέον, βρέθηκε στατιστικά σημαντική, χαμηλή, θετική συσχέτιση του χωρικού στυλ με την ευελιξία στο δημιουργικό έργο λεκτικού στυλ, σε αντίθεση με το λεκτικό στυλ όπου η συσχέτιση ήταν μέτρια και αρνητική (πίνακας 6). Πίνακας 6. Συσχέτιση των διαστάσεων της δημιουργικότητας στο έργο λεκτικού στυλ με το λεκτικό και το χωρικό στυλ. 59

70 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου Λεκτικό στυλ Χωρικό στυλ Ευχέρεια -0,214 0,169 Ευελιξία -0,316** 0,262* Πρωτοτυπία -0,031 0,184 **Επίπεδο στατιστική σημαντικότητας μικρότερο από 0,01 * Επίπεδο στατιστική σημαντικότητας μικρότερο από 0,05 Επιπρόσθετα, υπάρχει στατιστικά σημαντική, χαμηλή, θετική συσχέτιση μεταξύ χωρικού στυλ και ευχέρειας στο δημιουργικό έργο εικονικού στυλ (r=0,220, p=0,047). Όσον αφορά το γνωστικό στυλ και την επίδοση, όπως φαίνεται στον πίνακα 7, υπάρχει στατιστικά σημαντική, χαμηλή, θετική συσχέτιση μεταξύ του χωρικού στυλ με την γενική επίδοση. Επίσης, υπάρχει στατιστικά σημαντική, χαμηλή, θετική συσχέτιση μεταξύ του χωρικού στυλ και της συνολικής επίδοσης στα εικονικά γεωμετρικά έργα (πίνακας 8). Δεν υπήρχε συσχέτιση μεταξύ γνωστικού στυλ και επιπέδων Van Hiele. Πίνακας 7. Συσχέτιση του χωρικού στυλ με τη συνολική επίδοση στις γεωμετρικές ασκήσεις. p<0.05 N R p 82 0,247 0,025 Πίνακας 8. Συσχέτιση του χωρικού στυλ με τη επίδοση στις εικονικές γεωμετρικές ασκήσεις. p<0.05 N R p 82 0,254 0,021 Η γραφική παράσταση 5 παρουσιάζει τα ποσοστά επιτυχίας σε εικονικά, χωρικά και λεκτικά έργα των ατόμων που χαρακτηρίζονται «ψηλοί» μόνο σε ένα γνωστικό στυλ. Δηλαδή το δείγμα αποτελείται από άτομα με «ψηλό» λεκτικό και όχι «ψηλό» στα άλλα δύο γνωστικά στυλ, από άτομα με «ψηλό» χωρικό και όχι «ψηλό» στα άλλα δύο 60

71 Λεκτικά Έργα Χωρικά Έργα Εικονικά Έργα Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία γνωστικά στυλ και από άτομα με «ψηλό» εικονικό και όχι «ψηλό» στα άλλα δύο γνωστικά στυλ. Τα εικονικά έργα συγκεντρώνουν το υψηλότερο ποσοστό επιτυχίας (81,85%) και τα χωρικά το χαμηλότερο (56,44%). Τόσο στα λεκτικά, χωρικά και εικονικά έργα υπερέχουν οι χωρικοί τύποι, ακολουθούν οι λεκτικοί και τελευταίοι έρχονται οι εικονικοί. Αξίζει να σημειωθεί ότι το μεγαλύτερο ποσοστό παρουσιάζουν τα άτομα με ψηλό χωρικό στυλ στα εικονικά έργα (88,60%). Γραφική Παράσταση 5. Ποσοστά επιτυχίας σε εικονικά, χωρικά και λεκτικά έργα των ατόμων που χαρακτηρίζονται ψηλοί μόνο σε ένα γνωστικό στυλ. Σύνολο Εικονικοί Χωρικοί Λεκτικοί Σύνολο Εικονικοί Χωρικοί Λεκτικοί Σύνολο Εικονικοί Χωρικοί Λεκτικοί 56,444 49,792 60,789 58,750 74,635 68,229 81,847 77,778 88,596 79,167 82,237 73, Ο πίνακας 9 παρουσιάζει τις συσχετίσεις μεταξύ των επιδόσεων με τις τρεις συνιστώσες της δημιουργικότητας. Υπάρχει στατιστικά σημαντική, ισχυρή, θετική συσχέτιση μεταξύ της γενικής γεωμετρικής επίδοσης με την ευχέρεια και την ευελιξία. Όσον αφορά την πρωτοτυπία υπάρχει μέτρια, στατιστικά σημαντική, θετική συσχέτιση με τη γενική γεωμετρική επίδοση. Η εικονική γεωμετρική επίδοση συσχετίζεται με την ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία. Η συσχέτιση μεταξύ τους είναι στατιστικά σημαντική, ισχυρή και θετική. Η λεκτική και η χωρική γεωμετρική επίδοση παρουσιάζουν στατιστικά σημαντικές, θετικές συσχετίσεις με την ευχέρεια και την ευελιξία. Συγκεκριμένα στη λεκτική γεωμετρική επίδοση η συσχέτιση είναι μέτρια, ενώ στη χωρική γεωμετρική επίδοση χαμηλή. Πίνακας 9. Συσχέτιση των γεωμετρικών επιδόσεων με τις συνιστώσες της δημιουργικότητας. Ευχέρεια Ευελιξία Πρωτοτυπία Γενική Επίδοση 0,612** 0,604** 0,378** 61

72 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου Λεκτική Επίδοση 0,410** 0,436** 0,197 Χωρική Επίδοση 0,267* 0,298** 0,093 Εικονική Επίδοση 0,703** 0,600** 0,618** **Επίπεδο στατιστική σημαντικότητας μικρότερο από 0,01 * Επίπεδο στατιστική σημαντικότητας μικρότερο από 0,05 Ακόμη, εντοπίστηκε στατιστικά σημαντική, θετική συσχέτιση μεταξύ των επιπέδων Van Hiele με την ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία (πίνακας 10). Τα επίπεδα Van Hiele συσχετίζονται μέτρια με την ευελιξία. Χαμηλή συσχέτιση παρουσιάζουν τα επίπεδα Van Hiele με την ευχέρεια και την πρωτοτυπία. Πίνακας 10. Συσχέτιση των επιπέδων Van Hiele με τις συνιστώσες της δημιουργικότητας. Ευχέρεια Ευελιξία Πρωτοτυπία Επίπεδα Van Hiele 0,275** 0,371** 0,264** **Επίπεδο στατιστική σημαντικότητας μικρότερο από 0,01 Επαγωγική Ανάλυση Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι αναλύσεις διασποράς (ANOVA one-way). Στον έλεγχος σημαντικότητας των διαφορών μεταξύ των επιπέδων Van Hiele με βάση την ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία παρατηρήθηκαν στατιστικά σημαντικές διαφορές μεταξύ των επιπέδων. Επομένως, υπάρχουν τα επίπεδα Van Hiele -ως προς την ευχέρεια, την ευελιξία και την πρωτοτυπία- και έχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές με βάση τον αυστηρό έλεγχο Scheffe. Τα υποκείμενα παρουσιάζουν διαφορετική συμπεριφορά σε ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία ανάλογα με το επίπεδο Van Hiele που βρίσκονται (πίνακες 11, 12 και 13). Πίνακας 11. Έλεγχος σημαντικότητας των διαφορών μεταξύ των επιπέδων Van Hiele με βάση την ευχέρεια. 62

73 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία Πηγή διακύμανσης Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων F p Μεταξύ των ομάδων 4 123,660 6,293 0,00097 Εντός των ομάδων 77 19,651 Σύνολο 81 Πίνακας 12. Έλεγχος σημαντικότητας των διαφορών μεταξύ των επιπέδων Van Hiele με βάση την ευελιξία. Πηγή διακύμανσης Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων F p Μεταξύ των ομάδων 4 21,447 6,420 0,00097 Εντός των ομάδων 77 3,808 Σύνολο 81 Πίνακας 13. Έλεγχος σημαντικότητας των διαφορών μεταξύ των επιπέδων Van Hiele με βάση την πρωτοτυπία. Πηγή διακύμανσης Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων F p Μεταξύ των ομάδων , ,006 Εντός των ομάδων ,667 Σύνολο 81 Στη γραφική παράσταση 6 παρουσιάζονται τα ποσοστά ευχέρειας, ευελιξίας και πρωτοτυπίας σε κάθε επίπεδο Van Hiele. Όπως φαίνεται από τη γραφική παράσταση, 63

74 Ευχέρεια Ευελιξία Πρωοτυπία Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου στα επίπεδα 1 και «πριν το 0», παρουσιάζονται τα χαμηλότερα ποσοστά και στις τρεις συνιστώσες της δημιουργικότητας στη γεωμετρία. Ακόμη και στις τρεις συνιστώσες τα επίπεδα 0, 2 και 3 υπερέχουν έναντι των υπολοίπων. Αξίζει να αναφερθεί ότι τα επίπεδα Van Hiele δεν παρουσιάζουν στατιστικά σημαντικές διαφορές με βάση το γνωστικό στυλ. Γραφική Παράσταση 6. Ποσοστά ευχέρειας, ευελιξίας και πρωτοτυπίας σε κάθε επίπεδο Van Hiele. Επίπεδο 3 Επίπεδο 2 Επίπεδο 1 Επίπεδο 0 Πριν το 0 Επίπεδο 3 Επίπεδο 2 Επίπεδο 1 Επίπεδο 0 Πριν το 0 Επίπεδο 3 Επίπεδο 2 Επίπεδο 1 Επίπεδο 0 Πριν το 0 3,79 13,67 17,22 17,78 23,72 20,35 27,46 25,00 26,67 31,83 31,85 40,12 42,22 45,68 44, Σύμφωνα με την ανάλυση διασποράς υπάρχουν οι τρεις κατηγορίες του λεκτικού επιπέδου (ψηλοί, μεσαίοι, χαμηλοί) ως προς την ευελιξία και έχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές με βάση τον αυστηρό έλεγχο Scheffe. Τα υποκείμενα παρουσιάζουν διαφορετική συμπεριφορά στην ευελιξία ανάλογα με την κατηγορία του λεκτικού επιπέδου στο οποίο βρίσκονται. (πίνακας 14). Πίνακας 14. Έλεγχος σημαντικότητας των διαφορών μεταξύ των κατηγοριών του λεκτικού επιπέδου με βάση την ευελιξία. Πηγή διακύμανσης Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων F p Μεταξύ των ομάδων 2 19,121 2,282 0,017 Εντός των ομάδων 79 4,466 64

75 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία Σύνολο 81 Επιπρόσθετα, υπάρχουν οι κατηγορίες των χωρικών επιπέδων ως προς την ευχέρεια και την πρωτοτυπία και έχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές με βάση τον αυστηρό έλεγχο Scheffe. Τα υποκείμενα παρουσιάζουν διαφορετική συμπεριφορά στην ευχέρεια και την πρωτοτυπία ανάλογα με την κατηγορία του χωρικού επιπέδου στο οποίο βρίσκονται (πίνακες 15 και 16). Πίνακας 15. Έλεγχος σημαντικότητας των διαφορών μεταξύ των κατηγοριών του χωρικού επιπέδου με βάση την ευχέρεια. Πηγή διακύμανσης Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων F p Μεταξύ των ομάδων 2 139,741 6,388 0,003 Εντός των ομάδων 79 21,877 Σύνολο 81 Πίνακας 16. Έλεγχος σημαντικότητας των διαφορών μεταξύ των κατηγοριών του χωρικού επιπέδου με βάση την πρωτοτυπία.. Πηγή διακύμανσης Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων F p Μεταξύ των ομάδων ,632 3,188 0,047 Εντός των ομάδων ,851 Σύνολο 81 65

76 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου Ακόμη, σύμφωνα με τον πίνακα 17, υπάρχουν οι κατηγορίες του εικονικού επιπέδου ως προς την ευελιξία και έχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές με βάση τον αυστηρό έλεγχο Scheffe. Τα υποκείμενα παρουσιάζουν διαφορετική συμπεριφορά στην ευελιξία ανάλογα με την κατηγορία του εικονικού επιπέδου στο οποίο βρίσκονται. Πίνακας 17. Έλεγχος σημαντικότητας των διαφορών μεταξύ των κατηγοριών του εικονικού επιπέδου με βάση την ευελιξία.. Πηγή διακύμανσης Βαθμοί ελευθερίας Μέσοι τετραγώνων F p Μεταξύ των ομάδων 2 14,901 3,259 0,044 Εντός των ομάδων 79 4,572 Σύνολο 81 Μέσα από διάφορες παλινδρομικές αναλύσεις (Regression Analysis), εντοπίστηκαν εξισώσεις πρόβλεψης μεταξύ των μεταβλητών. Ακολουθεί ανάλυση των εξισώσεων αυτών. Ο πίνακας 18 δίνει την εξίσωση με την οποία μπορεί να προβλεφθεί η γενική γεωμετρική επίδοση όταν είναι γνωστή η ευχέρεια. Το πιο κάτω μοντέλο της παλινδρομικής ανάλυσης προβλέπει το 36,7% της γενικής επίδοσης των υποκειμένων συναρτήσει της ευχέρειας. Δηλαδή, η αύξηση (ή μείωση) της ευχέρειας προκαλεί αύξηση (ή μείωση) στη βαθμολογία της γενικής γεωμετρικής επίδοσης. Πίνακας 18. Παλινδρομική εξίσωση γενικής γεωμετρικής επίδοσης. Γενική γεωμετρική επίδοση = 5,997 + (0,175 Χ Ευχέρεια)+r R=0,612 R 2 =37,5% Στον πίνακα 19 δίνεται η εξίσωση με την οποία μπορεί να προβλεφθεί η εικονική γεωμετρική επίδοση όταν είναι γνωστή η ευχέρεια. Το πιο κάτω μοντέλο της 66

77 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία παλινδρομικής ανάλυσης προβλέπει το 48,7% της εικονικής επίδοσης των υποκειμένων συναρτήσει της ευχέρειας. Πίνακας 19. Παλινδρομική εξίσωση εικονικής γεωμετρικής επίδοσης. Εικονική γεωμετρική επίδοση = 0,568 + (0,025 Χ Ευχέρεια)+r R=0,703 R 2 =49,4% Ακόμη, η εικονική γεωμετρική επίδοση μπορεί να προβλεφθεί με βάση την ευχέρεια και την ευελιξία στο εικονικό, δημιουργικό έργο. Το πιο κάτω μοντέλο (πίνακας 20) της παλινδρομικής ανάλυσης προβλέπει το 68,3% της εικονικής γεωμετρικής επίδοσης των υποκειμένων συναρτήσει της ευχέρειας (b=0,637, p=0,0097) και της ευελιξίας (b=0,299, p=0,0097) σε εικονικό δημιουργικό έργο. Η ευχέρεια είναι πιο ισχυρός δείκτης πρόβλεψης της εικονικής γεωμετρικής επίδοσης από ότι είναι η ευελιξία στο εικονικό δημιουργικό έργο. Πίνακας 20. Παλινδρομική εξίσωση εικονικής γεωμετρικής επίδοσης. Εικονική γεωμετρική επίδοση = 0,621 + (0,03 Χ Ευχέρεια3)+(0,046 Χ Ευελιξία3)+r R=0,831 R 2 =69,1% Στον πίνακα 21 δίνεται η εξίσωση με την οποία μπορεί να προβλεφθεί η ευχέρεια όταν είναι γνωστή η εικονική και χωρική επίδοση στα γεωμετρικά έργα. Το πιο κάτω μοντέλο της παλινδρομικής ανάλυσης προβλέπει το 54,8% της ευχέρειας των υποκειμένων συναρτήσει της εικονικής (b=0,698, p=0,0097) και χωρικής (b=0,256, p=0,001) γεωμετρικής επίδοσης. Η εικονική γεωμετρική επίδοση προβλέπει μεγαλύτερο ποσοστό της ευχέρειας από ότι η χωρική γεωμετρική επίδοση. Πίνακας 21. Παλινδρομική εξίσωση ευχέρειας. Ευχέρεια = -9,455+(19,859 Χ Εικονική επίδοση)+(6,359 Χ Χωρική Επίδοση)+r R=0,748 67

78 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου R 2 =55,9% Στον πίνακα 22 δίνεται η εξίσωση με την οποία μπορεί να προβλεφθεί η ευχέρεια όταν είναι γνωστή η γενική γεωμετρική επίδοση. Το πιο κάτω μοντέλο της παλινδρομικής ανάλυσης προβλέπει το 36,7% της ευχέρειας των υποκειμένων συναρτήσει της γενικής γεωμετρικής επίδοσης. Πίνακας 22. Παλινδρομική εξίσωση ευχέρειας. Ευχέρεια = -6,155+(2,140 Χ Γενική γεωμετρική επίδοση)+r R=0,612 R 2 =37,5% Στον πίνακα 23 δίνεται η εξίσωση με την οποία μπορεί να προβλεφθεί η ευελιξία. Το πιο κάτω μοντέλο της παλινδρομικής ανάλυσης προβλέπει το 35,7% της ευελιξίας των υποκειμένων συναρτήσει της γενικής γεωμετρικής επίδοσης. Πίνακας 23. Παλινδρομική εξίσωση ευελιξίας. Ευελιξία = -1,967+(0,932 Χ Γενική γεωμετρική επίδοση)+r R=0,604 R 2 =36,5% Στον πίνακα 24 δίνεται η εξίσωση με την οποία μπορεί να προβλεφθεί η πρωτοτυπία όταν είναι γνωστή η εικονική γεωμετρική επίδοση. Το πιο πάνω μοντέλο της παλινδρομικής ανάλυσης προβλέπει το 37,4% της πρωτοτυπίας των υποκειμένων συναρτήσει της εικονικής γεωμετρικής επίδοσης. Πίνακας 24. Παλινδρομική εξίσωση πρωτοτυπίας. Πρωτοτυπία = -228,173+(461,965 Χ Εικονική γεωμετρική επίδοση)+r R=0,618 R 2 =38,1% 68

79 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία Συμπεράσματα Ο σκοπός της παρούσας έρευνας ήταν να διερευνήσει τις διαφορές σε επίδοση και δημιουργικότητα στη γεωμετρία σύμφωνα με τα γνωστικά στυλ των εκπαιδευτικών πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. Όπως αναφέρουν οι Pitta-Pantazi και Christou (2009a), οι διαφορετικές κατηγορίες των οπτικών τύπων, συγκεκριμένα των εικονικών και των χωρικών, μπορεί να έχουν διαφορετική επίδραση στη δημιουργικότητα των ατόμων στα μαθηματικά. Ακόμη, η κατανόηση του γνωστικού στυλ είναι σημαντική για την επίλυση μαθηματικού προβλήματος, διότι οι μαθητές με διαφορετικά γνωστικά στυλ μπορεί να προσπαθήσουν να χρησιμοποιήσουν διαφορετικές στρατηγικές για την επίλυση μαθηματικού προβλήματος (NCTM, 2000). Η παρούσα έρευνα ασχολήθηκε αποκλειστικά με την περιοχή της γεωμετρίας, όπου οι έρευνες μεταξύ γνωστικού στυλ, επίδοσης και δημιουργικότητας είναι ελάχιστες. Με βάση τα αποτελέσματα της έρευνας, διαπιστώθηκε ότι ένα σημαντικό ποσοστό των δασκάλων (12,20%) δεν κατέκτησε ούτε το επίπεδο 0 από τα επίπεδα Van Hiele. Το αποτέλεσμα αυτό συμφωνεί με τα αποτελέσματα της έρευνας των Mason και Schell (1988), όπου το 8% των δασκάλων δεν κατακτούσε ούτε το επίπεδο 0 αλλά και με τα αποτελέσματα της Mayberry (1983), όπου το ποσοστό ανεβαίνει στο 13%. Επίσης, η πλειοψηφία των δασκάλων βρισκόταν κάτω από το επίπεδο 3, γεγονός που συνάδει με τα αποτελέσματα της Mayberry (1983), όπου περισσότεροι από τους μισούς υποψηφίους εκπαιδευτικούς βρίσκονταν στο επίπεδο 2 ή σε χαμηλότερο επίπεδο. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι υπάρχει στατιστικά σημαντική και θετική συσχέτιση μεταξύ του χωρικού γνωστικού στυλ με όλες τις συνιστώσες της μαθηματικής δημιουργικότητας (ευχέρεια, ευελιξία, πρωτοτυπία). Επιπρόσθετα, εντοπίστηκε στατιστικά σημαντική και αρνητική συσχέτιση μεταξύ του λεκτικού γνωστικού στυλ με την ευελιξία και την πρωτοτυπία. Δεν υπήρξε καμία σημαντική συσχέτιση του εικονικού στυλ με οποιαδήποτε συνιστώσα. Τα αποτελέσματα αυτά συνάδουν με τα αποτελέσματα των Pitta-Pantazi και Christou (2009a), οι οποίοι σε έρευνα τους βρήκαν ότι τα χωρικά-οπτικά άτομα είχαν στατιστικά σημαντική και θετική συσχέτιση με τη δημιουργικότητα στα μαθηματικά και με τις τρεις διαστάσεις της δημιουργικότητας (ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία) και αντιθέτως οι λεκτικοί τύποι είχαν αρνητική συσχέτιση με την ευελιξία. Επιπρόσθετα, μέσα από την επεξεργασία των αποτελεσμάτων διαπιστώθηκε ότι τα υποκείμενα παρουσιάζουν διαφορετική συμπεριφορά στην ευελιξία ανάλογα με την κατηγορία του λεκτικού επιπέδου στο οποίο βρίσκονται (ψηλοί, μεσαίοι, χαμηλοί). Το ίδιο ισχύει και για τις κατηγορίες του εικονικού επιπέδου. Ακόμη, τα υποκείμενα 69

80 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου παρουσιάζουν διαφορετική συμπεριφορά στην ευχέρεια και την πρωτοτυπία ανάλογα με την κατηγορία του χωρικού επιπέδου στο οποίο βρίσκονται. Επιπλέον, δεν εμφανίστηκε στατιστικά σημαντική συσχέτιση των γνωστικών στυλ με τα επίπεδα Van Hiele. Στην έρευνα των Pitta-Pantazi και Christou (2009b), βρέθηκε ότι τα γνωστικά στυλ των μαθητών έκτης τάξης δημοτικού σχολείου δεν αποτελούν καθοριστικό παράγοντα που ερμηνεύει τις διαφορές στην επίδοση των ατόμων στη γεωμετρία. Επίσης, μία άλλη έρευνα των ερευνητών, που αφορούσε υποψήφιους νηπιαγωγούς, καταλήγει στο συμπέρασμα ότι το γνωστικό στυλ, δεν επηρεάζει την επίδοση των ατόμων στη γεωμετρία (Pitta-Pantazi και Christou, 2009c). Ακόμη, βρέθηκε ότι υπάρχει στατιστικά σημαντική, χαμηλή, θετική συσχέτιση μεταξύ του χωρικού στυλ με τη γενική επίδοση στις ασκήσεις γεωμετρίας και ειδικότερα με τη συνολική επίδοση στα εικονικά γεωμετρικά έργα. Οι Hegarty και Kozhevnikov (1999), σε έρευνα τους ανακάλυψαν ότι οι μαθητές δημοτικού σχολείου που είχαν υψηλή χωρική ικανότητα (χωρικοί-οπτικοί τύποι) έτειναν να δημιουργούν σχηματικές αναπαραστάσεις, οι οποίες σχετίζονται θετικά με την επιτυχή λύση του μαθηματικού προβλήματος. Όσον αφορά τα άτομα που χαρακτηρίζονται ψηλοί σε μόνο ένα γνωστικό στυλ, τα εικονικά έργα συγκεντρώνουν το υψηλότερο ποσοστό επιτυχίας και τα χωρικά το χαμηλότερο. Τόσο στα λεκτικά, χωρικά και εικονικά έργα υπερέχουν οι χωρικοί τύποι, ακολουθούν οι λεκτικοί και τελευταίοι έρχονται οι εικονικοί. Το μεγαλύτερο ποσοστό παρουσιάζουν τα άτομα με ψηλό χωρικό στυλ στα εικονικά έργα. Τα αποτελέσματα αυτά συμβαδίζουν με την βιβλιογραφία. Οι Anderson, Casey, Thompson, Burrage, Pezaris και Kosslyn (2008), διεξήγαγαν μία έρευνα στην οποία φαίνεται η δύναμη τόσο του χωρικού-οπτικού, όσο και του λεκτικού στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων. Μέσα από την ανάλυση των δεδομένων παρουσιάστηκε στατιστικά σημαντική, θετική συσχέτιση μεταξύ της γενικής γεωμετρικής επίδοσης με την ευχέρεια, την ευελιξία και την πρωτοτυπία. Ένα μέρος της ευελιξίας και της ευχέρειας των υποκειμένων προβλέπεται συναρτήσει της γενικής γεωμετρικής επίδοσης. Αξίζει να σημειωθεί ότι υπάρχει στατιστικά σημαντική, ισχυρή, θετική συσχέτιση μεταξύ εικονικής γεωμετρικής επίδοσης με την ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία. Η αύξηση (ή μείωση) της ευχέρειας προκαλεί αύξηση (ή μείωση) της γενικής γεωμετρικής επίδοσης και της εικονικής γεωμετρικής επίδοσης. Επίσης, τα υποκείμενα παρουσιάζουν διαφορετική συμπεριφορά στην ευχέρεια, ευελιξία και πρωτοτυπία ανάλογα με το επίπεδο Van Hiele στο οποίο βρίσκονται. Συγκεκριμένα, στα επίπεδα 1 και «πριν το 0», παρουσιάζονται τα χαμηλότερα ποσοστά και στις τρεις συνιστώσες της δημιουργικότητας στη γεωμετρία. Ακόμη και στις τρεις συνιστώσες τα επίπεδα 0, 2 και 3 υπερέχουν έναντι των υπολοίπων. Σύμφωνα με τους Sharygin και Protasov (2004) 70

81 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία μελετώντας γεωμετρία και επιλύοντας γεωμετρικά προβλήματα διατηρείται η δημιουργικότητα των μαθητών. Επιπρόσθετα, οι ίδιοι υποστηρίζουν ότι η γεωμετρία αναπτύσσει τη μαθηματική διαίσθηση και εξοικειώνει τους μαθητές στην ελεύθερη μαθηματική δημιουργικότητα. Η παρούσα έρευνα διερευνάει τις διαφορές σε επίδοση και δημιουργικότητα στη γεωμετρία σύμφωνα με τα γνωστικά στυλ των εκπαιδευτικών πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. Σε μελλοντικό ερευνητικό στάδιο θα μπορούσαν να διεξαχθούν έρευνες οι οποίες να μελετούν αν το γνωστικό στυλ του εκάστοτε εκπαιδευτικού επηρεάζει τον τρόπο διδασκαλίας του στο μάθημα της γεωμετρίας. Επιπλέον, μία άλλη έρευνα θα μπορούσε να ασχοληθεί με το βαθμό που η επίδοση και η δημιουργικότητα των εκπαιδευτικών στη γεωμετρία επηρεάζουν την επίδοση και τη δημιουργικότητα των μαθητών τους στη γεωμετρία. Επίσης, θα μπορούσε να διεξαχθεί η παρούσα έρευνα με υποκείμενα μαθητές πρωτοβάθμιας ή δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης ή με εκπαιδευτικούς δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης ή και με πιο έμπειρους εκπαιδευτικούς πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. Τέλος, το δείγμα της έρευνας θα μπορούσε να ήταν μεγαλύτερο. 71

82 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου ΑΝΑΦΟΡΕΣ Anderson, K. L., Casey, M. B., Thompson, W. L., Burrage, M. S., Pezaris, E., & Kosslyn, S. M. (2008). Performance on middle school geometry problem with geometry clues matched to three different cognitive styles. Mind, Brain and Education, 2(4), Blazhenkova, O., & Kozhevnikov, M. (2009). The new object-spatial-verbal cognitive style model: Theory and measurement. Applied Cognitive Psychology, 23(5), Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (Eds). (1984). English translation of selected writings of Dina van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele. Brooklyn: Brooklyn College. (ERIC Document Reproduction Service No. ED ). Haylock, D. W. (1987). A framework for assessing mathematical creativity in school children. Educational Studies in Mathematics, 18, Hegarty, M., & Kozhevnikov, M. (1999). Types of visual-spatial representations and mathematical problem solving. Journal of Educational Psychology, 91(4), Jones, G. A., & Swafford, J. O. (1997). Increased knowledge in geometry and instructional practice. Journal for Research in Mathematics Education, 28(4), Kozhevnikov, M., Hegarty, M., & Mayer, R. E. (2002). Revising the visualizeverbalizer dimension: Evidence for two types of visualizers. Cognition and Instruction, 20(1), Kozhevnikov, M., Kosslyn, S., & Shephard, J. (2005). Spatial versus object visualizers: A new characterization of visual cognitive style. Memory and Cognition, 33(4), Leikin, R. (2009). Exploring mathematical creativity using multiple solution tasks. In R. Leikin, A. Berman, & B. Koichu (Eds.), Creativity in mathematics and the education of gifted students (pp ). Rotterdam, The Netherlands: Sense Publishers. Liljedahl, P., & Sriraman, B. (2006). Musings on mathematical creativity. For The Learnings of Mathematics, 26(1), Mann, E. (2006). Creativity: The Essence of Mathematics. Journal of the Education of the Gifted, 30(2), Mason, M. M., & Schell, V. (1988). Geometric understanding and misconceptions among preservice and inservice mathematics teachers. In M. J. Behr, C. B. Lacampagne, & M. M. Wheeler (Eds.), Proceedings of the Tenth Annual Meeting of 72

83 Διαφορές σε Επίδοση και Δημιουργικότητα στη Γεωμετρία the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp ). DeKalb, IL: Northern Illinois University. Mayberry, J. (1983). The van Hiele level of geometric thought in undergraduate, preservice teachers. Journal for Research in Mathematics Education, 14(1), National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author. Pitta-Pantazi, D., & Christou, C. (2009a). Mathematical creativity and cognitive styles. In Tzekaki, M., Kaldrimidou, M. & Sakonidis, H. (Eds). Proceeding of the 33 rd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, pp ).Thessaloniki, Greece: PME. Pitta-Pantazi, D., & Christou, C. (2009b). Cognitive style, dynamic geometry and measurement performance. Educational Studies in Mathematics, 70(1), Pitta-Pantazi, D., & Christou, C. (2009c). Cognitive style, task presentation mode and mathematical performance. Research in Mathematics Education, 11(2), Sharygin, I. F. & Protasov, V. Yu. (2004). Does the school of the 21st century need geometry? Paper presented at the 10th International Congress on Mathematical Education, Copenhagen, Denmark. Silver, E. A. (1997). Fostering creativity through instruction rich in mathematical problem solving and problem posing. International Reviews on Mathematical Education, 29, Treffinger, D. J., Young, G. C., Selby, E.C., & Shepardson, C. (2002). Assessing creativity: A guide for educators (RM02170). Storrs: University of Connecticut, The National Research Center on the Gifted and Talented. Unal, H., Jakubowski, E., & Corey, D. (2009). Differences in learning geometry among high and low spatial ability pre-service mathematics teachers. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 40(8), doi: / Usiskin, Z. P. (1982). Van Hiele levels and achievement in secondary school geometry (Final Report of the Cognitive Development and Achievement in Secondary School Geometry Project). Chicago, IL: University of Chicago, Department of Education. (ERIC Reproduction Service No. ED ). Witkin, H. A., Moore, C. A., Goodenough, D. R., & Cox, P. W. (1977). Fielddependent and field-independent cognitive styles and their educational implications. Review of Educational Research, 47(1),

84 Χ. Ευσταθίου, Α. Πετρίδου 74

85 ΧΩΡΙΚΗ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ Αθανάσιος Γαγάτσης, Παναγιώτα Καλογήρου & Ανδρούλλα Πετρίδου Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το παρών άρθρο έχει ως σκοπό του να αναλύσει τους δύο όρους «χωρικής ικανότητα» (Spatial Ability) και «κατανόησης γεωμετρικού σχήματος» (Geometrical Figure Apprehension). Μέσα από μία πληθώρα ερευνών επιχειρείται η καλύτερη κατανόηση των εννοιών αυτών καθώς και των παραγόντων που τους αποτελούν. Συγκεκριμένα γίνεται μια προσπάθεια για διασαφήνιση της φύσης και της δομής της χωρικής ικανότητας, αλλά και της επίδρασης της χωρικής ικανότητας στη μάθηση και διδασκαλία των μαθηματικών. Χωρική Ικανότητα Θεωρητικό Υπόβαθρο Ο Freudenthal (1973) αναφέρει ότι η γεωμετρία είναι ένας χώρος στον οποίο το παιδί ζει, αναπνέει και κινείται και τον οποίο θα πρέπει να τον γνωρίσουν, να τον εξερευνήσουν και να τον κατακτήσουν προκειμένου να ζουν, να αναπνέουν και να κινούνται καλύτερα σε αυτόν (στους Ryu, Chong & Song, 2007). Η κατανόηση του χώρου, οι σχέσεις και ο οπτικός χειρισμός αντικειμένων στο χώρο αποτελούν σημαντικές συνιστώσες της γεωμετρικής και ευρείας μαθηματικής και επιστημονικής σκέψης (Michaelides, 2003). Οι Hegarty και Waller (2005), αναφέρουν ότι η χωρική ικανότητα είναι απαραίτητη ικανότητα σε ένα μεγάλο αριθμό καθημερινών δραστηριοτήτων, όπως τη μετακίνηση των επίπλων σε ένα δωμάτιο, την ετοιμασία των αποσκευών και τη μετακίνηση του ατόμου σε μια πόλη. Η χωρική ικανότητα είναι ένα θέμα το οποίο απασχόλησε τόσο ψυχολόγους όσο και ερευνητές της μαθηματικής παιδείας. Οι πρώτες μελέτες στον τομέα της χωρικής ικανότητας χρονολογούνται γύρω στη δεκαετία του '40 και τη δεκαετία του '50, στη βιβλιογραφία της μαθηματικής παιδείας. Εντούτοις, η έννοια προκαλούσε ενδιαφέρον

86 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου στους ψυχολόγους (Spearman, 1927; Thurstone, 1938; στο Unal, 2005) μία δεκαετία νωρίτερα. Από τη φύση της η χωρική ικανότητα αποτελεί ένα πολύπλοκο θέμα, με διαφορετικές ερμηνείες από κάθε ερευνητή. Οι αντιλήψεις των ερευνητών συγκρούονται όχι μόνο στην προσπάθεια αποσαφήνισης του όρου της χωρικής ικανότητας, αλλά και στον καθορισμό του αριθμού των χωρικών ικανοτήτων, στην ονομασία των παραγόντων και στα τεστ που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση του κάθε παράγοντα. Σε εκείνες τις αρχικές μελέτες, πάρα πολλοί μαθηματικοί (Murray, 1949; Wrigley, 1958; Barakat, 1951; στο Unal, 2005) διερεύνησαν τη σχέση μεταξύ των χωρικών ικανοτήτων και των μαθηματικών ικανοτήτων σε διαφορετικό πλαίσιο, όπως η άλγεβρα και η γεωμετρία. Διαπίστωσαν ότι η χωρική ικανότητα συσχετίστηκε περισσότερο με την ικανότητα στη γεωμετρία παρά στην άλγεβρα (στο Bishop, 1983, σελ.181; στο Unal, 2005). Από τότε, οι η χωρική ικανότητα θεωρείται πολύ σημαντική για την απόκτηση υψηλών μαθηματικών ικανοτήτων (Battista, 1994, 1998, 1999; Battista & Clements, 1990, 1991, 1996, 2002; Battista, Wheatley & Talsma, 1982, 1989; Bishop, 1983; Clements & Battista, 1992; Del Grande, 1987; Guay & McDaniel, 1977; Wheatley, 1990, 1992; στο Unal, 2005). Το National Council of Mathematics (2000) έχει θέσει ως κεντρικό στόχο στα μαθηματικά του σχολείου, την ανάπτυξη της χωρικής ικανότητας. Οι χωρικές ικανότητες και ο ρόλος τους στη μάθηση αναγνωρίζονται επίσης στη χημεία (Bodner & Guay, 1996; Carter, LaRussa, & Bodner, 1987; Lord, 1987), μηχανολογία (Hsi, Lyn, & Bell, 1997), γεωεπιστήμη (Kali & Orion, 1996), επιστήμη της φυσικής (Pallrand, & Seeber, 1984) (στο Unal, 2005) Οι Strong και Smith (2002), αναφέρουν ότι για τη «χωρική ικανότητα» δόθηκαν πολλοί ορισμοί, οι οποίοι δυσκολεύουν πολύ την αποσαφήνιση του ακριβούς νοήματός της. Συγκεκριμένα, οι Linn και Petersen (1985), αναφέρουν ότι είναι γενικά αποδεκτό το γεγονός ότι η χωρική ικανότητα είναι μέρος της νοητικής ικανότητας, όμως αυτό που πρέπει να γίνει είναι να αποσαφηνιστεί ο ορισμός της. Η χωρική ικανότητα αναφέρεται, γενικά, στη δεξιότητα αναπαράστασης, μετασχηματισμού, γενίκευσης και μνήμης των συμβολικών, μη γλωσσικών πληροφοριών. Επίσης, οι ίδιοι ορίζουν τη χωρική ικανότητα ως νοητική διαδικασία, η οποία αντιλαμβάνεται, αποθηκεύει, ανασύρει, δημιουργεί, επεξεργάζεται εικόνες που αναφέρονται στο χώρο - περιβάλλον. Σύμφωνα με τον Lohman (1979), η χωρική ικανότητα μπορεί να οριστεί ως η ικανότητα του ατόμου να παράγει, να διατηρεί και να χειρίζεται νοητικές χωρικές εικόνες (Clements, 1981; στους Ryu, Chong, Song, 2007). Άλλοι ερευνητές, όπως οι Lean και Clements (1981), ορίζουν την χωρική ικανότητα ως «την ικανότητα να σχηματοποιούν τις νοερές εικόνες και να χειρίζονται αυτές τις εικόνες στο μυαλό τους» 76

87 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση (σελ. 267). Η χωρική ικανότητα σχετιζόμενη με τα μαθηματικά, ορίζεται, από τον Smith (1998), ως «η ικανότητα του ατόμου να λύνει προβλήματα, που έχουν κυρίως οπτικό-χωρικό περιεχόμενο, χρησιμοποιώντας τουλάχιστον κάποιο εικονικό ή γεωμετρικό στυλ νοητικών αναπαραστάσεων και / ή δραστηριότητες που σχετίζονται λειτουργικά με το οπτικό ή γεωμετρικό περιεχόμενο των έργων» (στους Olkun & Knaupp,1999). Οι περισσότερες έρευνες για τη χωρική ικανότητα έχουν παραχθεί στηριζόμενες σε τέσσερις ερευνητικές προοπτικές: (α) η διαφορική προοπτική (differential perspective), που περιλαμβάνει τη σύγκριση της χωρικής ικανότητας διαφορετικών πληθυσμών (όπως γυναίκες και άντρες) (β) η ψυχομετρική προοπτική (psychometric perspective), που περιλαμβάνει τις σχέσεις ανάμεσα στα διαφορετικά χωρικά έργα με σκοπό να προσδιορίσει τους παράγοντες στη χωρική ικανότητα (γ) η γνωστική προοπτική που περιλαμβάνει τον προσδιορισμό των διαδικασιών που χρησιμοποιούνται παγκόσμια για την επίλυση συγκεκριμένων έργων χωρικής ικανότητας που παρόλα αυτά διαφέρουν ποσοτικά στην αποδοτικότητα (δ) τη προοπτική στρατηγικής που περιλαμβάνει τον προσδιορισμό των ποιοτικά διαφορετικών στρατηγικών που χρησιμοποιούνται για την επίλυση ενός έργου χωρικής ικανότητας με διαφορετικούς λύτες. Οι τέσσερις αυτές αντιλήψεις φανερώνουν την πολυπλοκότητα αυτής της περιοχής. Οι ερευνητές κάθε μίας αντίληψης εξετάζουν πληροφορίες λεπτομερώς σε διαφορετικά επίπεδα και χρησιμοποιούν διαφορετικές ποιοτικές προσεγγίσεις (Linn & Petersen, 1985). Δομή και Παράγοντες Χωρικής Ικανότητας Πραγματοποιήθηκαν μία πλειάδα ερευνών και έχουν καταβληθεί αρκετές προσπάθειες καθορισμού της δομής της χωρικής ικανότητας. Οι απόψεις, όμως, τον ερευνητών διίστανται και έτσι δεν υπάρχει μία ευρέως αποδεχτή δομή της χωρικής ικανότητας. Υπάρχουν ερευνητές, όπως οι Burton, Fogarty (2003) και Colom, Contreras, Botella και Santacreu (2001), που υποστηρίζουν ότι η αντίληψη των εννοιών του χώρου είναι μια μονοδιάστατη οντότητα (Burton & Fogarty, 2003) και αμφισβητούν τα αποτελέσματα των ερευνών που διακρίνουν διαφορετικές ικανότητες αντίληψης του χώρου. Από την άλλη, οι Gilmartin και Patton (1984), αναφέρουν ότι οι ψυχολόγοι αποδέχονται ότι η χωρική ικανότητα αποτελείται από διάφορους διακριτούς, αλλά αλληλένδετους παράγοντες. Οι κατηγορίες (παράγοντες) της χωρικής ικανότητας δεν είναι παγιωμένες, αφού δεν υπάρχει μία συγκεκριμένη γενικά αποδεκτή κατηγοριοποίηση. Αξίζει να σημειωθεί ότι με το πέρασμα του χρόνου έχουν δοθεί 77

88 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου πολλές κατηγοριοποιήσεις από διάφορους ερευνητές, οι οποίες στηρίζονταν κάθε φορά στον καθορισμό των ερωτηματολογίων των ερευνών τους. Επιπρόσθετα, ο McGee (1979), υποστηρίζει ότι υπάρχουν μερικές διαφωνίες όσον αφορά τον αριθμό των παραγόντων και πώς οι παράγοντες αυτοί συσχετίζονται μεταξύ τους. Παρόλα αυτά όλοι, φαίνεται, συμφωνούν στην ύπαρξη των πιο κάτω δυο παραγόντων: του παράγοντα της οπτικοποίησης του χώρου (spatial visualization) και του παράγοντα του προσανατολισμού (spatial orientation) των σχέσεων στο χώρο (στους Gilmartin & Patton, 1984). Συγκεκριμένα, η οπτικοποίηση στο χώρο, ορίζεται ως η ικανότητα νοερού χειρισμού οπτικών ερεθισμάτων. Η ικανότητα αυτή, αναφέρεται τόσο σε αντικείμενα δύο διαστάσεων, όσο και σε αντικείμενα τριών διαστάσεων (Gilmartin και Patton, 1984). Η χωρική ικανότητα οπτικοποίησης του McGee (1979) αναφέρεται στην ικανότητα του ατόμου να χειρίζεται, να περιστρέφει, να αλλάζει τη θέση στο μυαλό ενός αντικειμένου που απεικονίζεται ως εικόνα, με άλλα λόγια η ικανότητα, να χρησιμοποιεί τη νοητική εικόνα, για να περιστρέφει, να ταξινομεί ή να χειρίζεται ένα απεικονιζόμενο αντικείμενο. Ο Lohman (1988) προτείνει ένα μοντέλο τριών παραγόντων για τη χωρική ικανότητα, συμπεριλαμβανομένων της «χωρικής οπτικοποίησης», του «χωρικού προσανατολισμού», και των «χωρικών σχέσεων». Η «χωρική οπτικοποίηση» είναι η ικανότητα του ατόμου να κατανοεί νοητικές μετακινήσεις σε ένα τρισδιάστατο χώρο ή η ικανότητα να χειρίζεται τα αντικείμενα στη φαντασία. Επίσης, η χωρική ικανότητα οπτικοποίησης σημαίνει η ικανότητα ταξινόμησης κομματιών ενός αντικειμένου για να ολοκληρωθεί το δίπλωμα χαρτιού ή το γενικό σχήμα (Christou, Jones, Pitta, Pittalis, Mousoulides & Boytchev, 2008). Ο παράγοντας χωρική οπτικοποίηση μετρά την ικανότητα του ατόμου να αναδομεί νοητικά το χειρισμό των συστατικών του οπτικού ερεθίσματος και περιλαμβάνει την αναγνώριση, τη διατήρηση και την ανάκληση του σχήματος όταν αυτό ή τα μέρη του κινούνται. (Bodner & Guay, 1997; στους Ryu, Chong, Song, 2007). Ο Gutiérrez (1996) θεωρεί την «οπτικοποίηση» στα μαθηματικά ως είδος δραστηριότητας συλλογισμού βασισμένη στη χρήση οπτικών ή χωρικών στοιχείων, είτε νοητικών ή φυσικών, για να λύνει προβλήματα ή να αποδεικνύει ιδιότητες. Η οπτικοποίηση αποτελείται από τέσσερα κύρια στοιχεία: (α) νοητικές εικόνες, (β) εξωτερικές αναπαραστάσεις, (γ) διαδικασίες της οπτικοποίησης, και (δ) ικανότητες της οπτικοποίησης. Οι νοητικές εικόνες (mental images) είναι τα βασικά αντικείμενα για την οπτικοποίηση του χώρου (spatial visualization). Σύμφωνα με την Presmeg (1986), «νοητική εικόνα είναι ένα νοερό σχήμα το οποίο περιγράφει ένα οπτικό ή χωρικό 78

89 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση ερέθισμα, χωρίς να είναι απαραίτητη η ύπαρξη ενός εξωτερικού οπτικού ερεθίσματος». Οι μαθητές πρέπει να μάθουν να κατασκευάζουν, να μετασχηματίζουν και να αναλύουν τις νοητικές εικόνες με σκοπό να αποκτήσουν άριστες δυνατότητες στην οπτικοποίηση του χώρου (spatial visualization) (Gutierrez, 1996). Επιπρόσθετα, η Presmeg (1986) περιγράφει πέντε τύπους εικόνων, οι οποίες θα αναλυθούν εκτενέστερα στις επόμενες παραγράφους. Οι πραγματικές εικόνες (concrete images), αναφέρονται σε εικόνες αντικειμένων αποτυπωμένες στο μυαλό. Είναι μια ολιστική εικόνα της οποίας τα μέρη κατά ένα βαθμό είναι μέρη ενός καθημερινού αντικειμένου ή εικόνας. Οι μαθητές που χρησιμοποιούν αυτόν τον τύπο οπτικοποίησς τείνουν να αναγνωρίζουν το όλο σχήμα με ευκολία, αλλά όχι πάντα να αναγνωρίζουν τα μέρη που αποτελούν το σχήμα εκτός και εάν είναι εικονικές. Οι εικόνες μοτίβων - σχέσων (pattern imagery), σχετίζονται με τις σχέσεις που αναπαριστούνται σε ένα οπτικο χωρικό σχήμα και ασχολούνται με συμβολικά και αριθμητικά μοτίβα. Στα χωρικό-μαθηματικά χρησιμοποιείται όταν υπάρχει συνειδητή αναγνώριση κάποιων ιδιοτήτων των πραγματικών εικονογραφημένων εικόνων και των σχέσεων τους, συχνά με τη μορφή μοτίβων και αφηρημένους συλλογισμούς. Για παράδειγμα, ένα μεγάλο τρίγωνο μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύμπλεγμα από τέσσερα μικρά τρίγωνα και ένα τετράγωνο ως ένα σχήμα που έχει το ίδιο είδος γωνιά σε κάθε κορυφή. Οι μνημονικές εικόνες κάποιου τύπου (memory images of formula), υποστηρίζουν ότι μερικοί μαθητές μπορούν να «δουν» στο μυαλό τους μαθηματικούς τύπους όπως εμφανίζονται στον πίνακα της τάξης ή σε σχολικά εγχειρίδια. Οι δυναμικές εικόνες (dynamic images), δημιουργούνται στο μυαλό με κίνηση. Η Presmeg (1986), εισηγείται ότι στη δυναμική οπτικοποίηση τα σχήματα μεταβάλλονται σε νέα σχετικά αντικείμενα. Για παράδειγμα ένα σημείο ή μια πλευρά ενός τριγώνου μπορεί να μετακινηθεί κα να δημιουργήσει διάφορα είδη τριγώνων. Η χρήση κομματιών από υλικά για παραγωγή σχημάτων έχει το πλεονέκτημα ότι μπορούν να γίνουν οι πραγματικές φυσικές ρυθμίσεις. Η δυναμική οπτικοποίηση ίσως είναι ένα σημαντικό βήμα στην προέκταση πρωτότυπων εικόνων και εννοιών. Για παράδειγμα οποιοδήποτε τρίγωνο μπορεί να απεικονιστεί ως το αποτέλεσμα μετακίνησης των κορυφών από ένα ισόπλευρο τρίγωνο σε άλλες θέσεις. Η δυναμική οπτικοποίηση είναι τόσο το μέσο σύνδεσης διαφορετικών πραγματικών εικόνων με μια έννοια όσο και το μέσο σύνδεσης διαφορετικών εννοιών. Τέλος, οι κιναισθητικές εικόνες (kinesthetic images), δημιουργούνται ή μετασχηματίζονται με τη βοήθεια φυσικών κινήσεων (Hegarty & Kozhevnikov, 1999). 79

90 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου Αυτή η οπτικοποίηση ενισχύει τις διαδικασίες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν δημιουργικά για την επίλυση των προβλημάτων (Presmeg, 1986). Ο McGee (1979) ορίζει πέντε στοιχεία των χωρικών δεξιοτήτων: χωρική αντίληψη, χωρική οπτικοποίηση, νοητικές περιστροφές, νοητικές σχέσεις και χωρικός προσανατολισμός. Εντούτοις, δεν υπάρχει ακόμα καμία πραγματική συναίνεση για το τι σημαίνει ο όρος «δεξιότητες χωρικής οπτικοποίησης» ή «χωρικές ικανότητες» (Sorby, 2001). Η χωρική ικανότητα μπορεί να οριστεί ως «έμφυτη» ικανότητα του ατόμου να απεικονίζει τα χωρικά αντικείμενα και τους μετασχηματισμούς τους στη φαντασία του (στις Górska & Juščákova, 2003). Ο McGee ταξινόμησε τις χωρικές ικανότητες οπτικοποίησης σε τέσσερις υποκατηγορίες (Gutiérrez,1996): (α) Στην ικανότητα του ατόμου να απεικονίζει ένα σχήμα στο οποίο υπάρχει μετακίνηση μεταξύ των μερών του. (β) Στην ικανότητα του ατόμου να κατανοεί τις νοητικές μετακινήσεις σε τρεις διαστάσεις, και να χειρίζεται τα αντικείμενα στη φαντασία του. (γ) Στην ικανότητα του ατόμου να φαντάζεται την περιστροφή ενός απεικονιζόμενου αντικειμένου, το (ξε)δίπλωμα ενός στερεού, και οι σχετικές αλλαγές της θέσης των αντικειμένων στο χώρο. (δ) Τέλος, στην ικανότητα του ατόμου να χειρίζεται ή να μετασχηματίζει την εικόνα ενός χωρικού σχεδίου σε άλλη ταξινόμηση. Η μάθηση και η βελτίωση αυτών των ικανοτήτων είναι το κλειδί για όλη τη διαδικασία της οπτικοποίησης του χώρου (spatial visualization). Υπάρχουν διαφορετικού τύπου δεξιότητες, κάποιες από αυτές έχουν ως κύριο συστατικό την ψυχολογία και άλλες έχουν ψυχολογική φύση (Gutierrez, 1996). Πρότεινε δεξιότητες οι οποίες φαίνεται να είναι από τις καλύτερες εφαρμογές στην ακαδημαϊκή ανάπτυξη της Γεωμετρίας. Οι δεξιότητες αντίληψης του χώρου από το Del Grande (1987) είναι επτά. Τα Οπτικά κίνητρα Συντονισμού (Eye motor coordination). Η Αντίληψη του Πλαισίου του σχήματος (figure-ground perception): η δεξιότητα αναγνώρισης ενός συγκεκριμένου σχήματος με την απομόνωση του από ένα περίπλοκο σύνολο. Για παράδειγμα, χρησιμοποιείται όταν οι μαθητές πρέπει να αναγνωρίσουν την έδρα ενός οκτάεδρου, παρατηρώντας τις κορυφές. Η Αντιληπτική Σταθερότητα (perceptual constancy): η δεξιότητα αναγνώρισης αν ένα αντικείμενο έχει σταθερές ιδιότητες όπως σχήμα ή γειτνίαση δυο εδρών ανεξάρτητα από τη θέση του. Η Νοερή Περιστροφή (mental rotation): η δεξιότητα παραγωγής δυναμικών νοητικών εικόνων και οπτικοποίησης της διαμόρφωσης της εικόνας σε κίνηση. 80

91 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση Η Αντίληψη της Θέσης στο Χώρο (perception of spatial positions): η δεξιότητα συσχέτισης ενός αντικειμένου, εικόνας ή οπτικής εικόνας. Η Οπτική Διάκριση (visual discrimination): είναι η δεξιότητα σύγκρισης διαφορετικών αντικειμένων, εικόνων ή/και νοητικών εικόνων, και αναγνώρισης των ομοιοτήτων και διαφορών τους. Η Αντίληψη της Συσχέτισης στο Χώρο (perception of spatial relationship): η δεξιότητα συσχέτισης διαφορετικών αντικειμένων, εικόνων ή/και νοητικών εικόνων μεταξύ τους. Ο δεύτερος παράγοντας ο προσανατολισμός και οι σχέσεις στο χώρο αναφέρεται σε δύο επιμέρους ικανότητες, στην ικανότητα κατανόησης της διαρρύθμισης των οπτικών αντικειμένων σε ένα μοτίβο, διατηρώντας την όταν βλέπουμε τα αντικείμενα αυτά από διαφορετικούς προσανατολισμούς, και στην ικανότητα να καθορίζονται οι χωρικές σχέσεις σύμφωνα με τον προσανατολισμό προς τον εαυτό του ατόμου (Gilmartin & Patton, 1984). Ο χωρικός προσανατολισμός ορίζεται από τον McGee (1979), ως «η αντίληψη της ρύθμισης των στοιχείων μέσα σε ένα μοντέλο οπτικού ερεθίσματος και η δεξιότητα του υποκειμένου να μην μπερδευτεί από την αλλαγή του προσανατολισμού, στον οποίο η χωρική σύνθεση μπορεί να παρουσιαστεί». Παρομοίως, ο Lohman (1988) ορίζει το «χωρικό προσανατολισμό» ως το μέτρο της ικανότητας κάποιου να μη μπερδεύεται από τις αλλαγές στον προσανατολισμό των οπτικών ερεθισμάτων που απαιτεί μόνο μια νοητική περιστροφή του σχήματος (Christou, κ.ά., 2008). Επίσης, «ο παράγοντας χωρικός προσανατολισμός έχει περιγραφεί ως το μέτρο της ικανότητας του ατόμου να μην επηρεάζεται από τις αλλαγές στον προσανατολισμό των οπτικών ερεθισμάτων, και επομένως, περιλαμβάνει μόνο μία νοητική περιστροφή του σχήματος» (Bodner & Guay, 1997; στο Unal, 2005). Αξίζει να σημειωθεί, ότι οι απόψεις των πιο πάνω ερευνητών συγκλίνουν, όσον αφορά τον ορισμό του προσανατολισμού στο χώρο. Η οπτικοποίηση του χώρου, αλλά και ο προσανατολισμός στο χώρο, απαιτούν ορισμένη χρήση της βραχύχρονης οπτικής μνήμης. Τα ευρήματα διαφόρων ερευνών υποστηρίζουν ότι η οπτικοποίηση στο χώρο συσχετίζεται με την επιτυχία στα μαθηματικά, ενώ ο προσανατολισμός στο χώρο συσχετίζεται στενά με την αίσθηση της κατεύθυνσης και του ανεξάρτητου πεδίου ή εξαρτημένου πεδίου (McGee, 1979; στους Strong και Smith, 2002). Τέλος, ο Lohman το 1988, εισήγαγε ακόμη έναν παράγοντα της χωρικής ικανότητας, τη «χωρική σχέση», η οποία ορίζεται από την ταχύτητα στο χειρισμό απλών οπτικών σχεδίων, όπως νοητικές περιστροφές και περιγράφει την ικανότητα 81

92 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου νοητικής περιστροφής ενός χωρικού αντικειμένου γρήγορα και σωστά (Christou, κ.ά., 2008). Οι Linn και Petersen (1985), διαχωρίζουν ελαφρώς διαφορετικά τη χωρική ικανότητα, σε σχέση με τους προαναφερθέντες ερευνητές, αφού τη χωρίζουν σε τρεις κατηγορίες, την Αντίληψη του Χώρου (Spatial Perception), την Νοερή Περιστροφή (Mental Rotation) και την Εξεικόνιση στο Χώρο (Spatial Visualization). Η πρώτη κατηγορία, που αφορά την αντίληψη του χώρου (Spatial Perception), αναφέρεται στη χωρική σχέση με βάση τον προσανατολισμό του σώματος του ατόμου, παρ όλες τις πληροφορίες που του αποσπούν την προσοχή. Τα έργα που εξετάζουν την αντίληψη του χώρου μπορεί να είναι αποτελεσματικά εάν χρησιμοποιηθούν σε αυτά κιναισθητικές διαδικασίες. Η δεύτερη κατηγορία, που αναφέρεται στη νοερή περιστροφή (Mental Rotation), είναι η εσωτερική γνωστική διαδικασία μετακίνησης και αναδίπλωσης ενός αντικειμένου που υπάρχει στο χώρο. Οι Linn and Petersen (1985), υποστηρίζουν ότι τα αντικείμενα νοερής περιστροφής χρησιμοποιούνται για να μετρηθεί ο χρόνος επίλυσης, πάρα να μετρηθεί η ακρίβεια της λύσης τους. Οι Shepard και Cooper (1982), αναφέρουν ότι κατά τη διάρκεια της νοερής περιστροφής, η εσωτερική γνωστική διαδικασία έχει ένα προς ένα αντιστοιχία με την εξωτερική (φυσική) περιστροφή του αντικειμένου. Οι ίδιοι μέσα από την έρευνά τους ανακάλυψαν ότι όσο πιο μεγάλη είναι η γωνία στην οποία καλείται το υποκείμενο να περιστρέψει νοερά το αντικείμενο, τόσο πιο μεγάλο χρονικό διάστημα χρειάζεται. Κάποιοι ερευνητές ισχυρίζονται ότι η νοερή περιστροφή των τρισδιάστατων αντικειμένων είναι πιο δύσκολη από τη νοερή περιστροφή των δισδιάστατων (Michaelides, 2003). Παρόλα αυτά, οι Shepard και Cooper (1982), αναφέρουν ότι κάτι τέτοιο δε βρέθηκε στις δικές τους έρευνες. Μερικοί ερευνητές αναφέρουν ότι αυτό που διαδραματίζει ρόλο είναι η πολυπλοκότητα του αντικειμένου, είτε αυτό είναι τρισδιάστατο είτε είναι δισδιάστατο. Αξίζει να αναφερθεί ότι ο Michaelides (2003), ορίζει την περιστροφή ως το μετασχηματισμό που περιλαμβάνει τη λογική της «περιστροφής» ενός αντικειμένου και το οπτικοποιεί από διαφορετικές προοπτικές. Αποτελεί ένα θεμελιώδη τρόπο μετασχηματισμού και συλλογισμού για το χώρο. Τα παιδιά, πριν από την απόκτηση της συστηματικής γνώσης για την περιστροφή, έρχονται σε επαφή με την έννοια της περιστροφής μέσα από διάφορες δραστηριότητες της καθημερινότητάς τους, δηλαδή με την ανεπίσημη αντίληψη της περιστροφής. Παρόλα αυτά, άλλοι ερευνητές όπως οι French (1951), Fruchter (1954), Smith (1964) και Thurstone & Thrurstone (1941), συμφωνούν ότι οι δύο μεγάλοι παράγοντες που χαρακτηρίζουν τη χωρική ικανότητα είναι η οπτικοποίηση και η αντίληψη του 82

93 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση χώρου (Linn και Petersen, 1985). Η οπτικοποίηση του χώρου περιλαμβάνει τη νοερή περιστροφή των αντικειμένων. Τέλος, η τρίτη κατηγορία, που αφορά την οπτικοποίηση στο χώρο (Spatial Visualization), αναφέρεται σε έργα πολύπλοκου, αναλυτικού και σταδιακού χειρισμού των πληροφοριών που παρουσιάζονται στο χώρο. Τα έργα αυτά διαφέρουν από τα έργα νοερής περιστροφής και αντίληψης του χώρου, λόγω του ότι εδώ μπορεί να χρησιμοποιηθεί μία ποικιλία στρατηγικών επίλυσης (χωρικές και μη χωρικές στρατηγικές), ενώ στα προηγούμενα δύο υπήρχαν συγκεκριμένες χωρικές στρατηγικές επίλυσης. Η επιτυχία στα έργα αυτά καθορίζεται από το βαθμό ευελιξίας του ατόμου στην επιλογή της κατάλληλης κάθε φορά στρατηγικής. Τα υποκείμενα θα πρέπει να αναπαραστήσουν νοερά το αντικείμενο του χώρου και στη συνέχεια να το διπλώσουν νοερά κρατώντας όμως σταθερή την αντίληψή τους, για το πού βρίσκεται το κάθε χαρακτηριστικό του εκάστοτε αντικειμένου πριν και μετά την αναδίπλωση. Εκπαίδευση και Χωρική Ικανότητα Η μαθηματική εκπαίδευση ενδιαφέρεται για τη χωρική ικανότητα για δύο τουλάχιστον λόγους. Αρχικά, ο πρώτος λόγος είναι η δυνατή συσχέτιση της επίδοσης στα μαθηματικά και της χωρικής ικανότητας, που καθορίζεται από εγκεκριμένα τεστ ικανοτήτων. Ο άλλος λόγος, είναι η πεποίθηση ότι οι οπτικές προσεγγίσεις μπορούν να αποτελέσουν μία ισχυρή εισαγωγή για τις πολύπλοκες γενικεύσεις των μαθηματικών, παρέχοντας εμπειρικές και διαισθητικές αποδείξεις στο μαθητή (Olkun & Knaupp, 1999). Τα τελευταία χρόνια αναπτύσσεται η αντίληψη ότι τα μαθηματικά αφορούν πρώτιστα έννοιες χωρικές, γεωμετρικές ή διαμορφωτικές (Smith, 1964; στους Olkun & Knaupp, 1999). Αυτή η αντίληψη οδήγησε στην αύξηση του ενδιαφέροντος προς τα οπτικά μοντέλα, που θεωρούνται κατευθυντήρια βοηθήματα για τη διδασκαλία των μαθηματικών. Η οπτική πλευρά των μαθηματικών μπορεί να επηρεάσει τη μαθηματική διδασκαλία, αν παρατηρήσουμε και τη φύση της ανθρώπινης οπτικό-χωρικής γνώσης (στη Woolner, 2004). Άραγε, μπορούν οι δεξιότητες οπτικοποίησης του χώρου να διδαχθούν; Πολλές έρευνες ισχυρίζονται ότι η δεξιότητα οπτικοποίησης του χώρου, η οποία είναι ένα μέρος της χωρικής ικανότητας, δεν μπορεί να διδαχθεί αποτελεσματικά μέσω των τυπικών διδακτικών μεθόδων (Salkind, 1976). Ο Bertoline (1988), υποστηρίζει ότι η εξεικόνιση του χώρου αναπτύσσεται μέσα από τις εμπειρίες της ζωής του ατόμου. Ο ίδιος προτείνει οι μαθητές να εκτίθενται στα ανάλογα εκπαιδευτικά περιβάλλοντα, έτσι ώστε να έχουν αργότερα στη ζωή τους πιο δυνατή τη δεξιότητα οπτικοποίησης. Από 83

94 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου την άλλη, ένας άλλος αριθμός ερευνών ισχυρίζεται ότι οι δεξιότητες οπτικοποίησης του χώρου μπορούν να διδαχθούν (Gillespic, 1955). Οι πλείστες έρευνες αναφέρουν ότι η διδασκαλία αυτή πρέπει να είναι μακροχρόνια και όχι να διαρκεί ένα σύντομο χρονικό διάστημα (Sexton, 1992). Παρόλα αυτά, το ερώτημα αυτό δεν μπορεί να απαντηθεί με τα μέχρις στιγμής ερευνητικά δεδομένα (στους Strong & Smith, 2002). Οι Olkun και Knaupp (1999), αναφέρουν ότι τα παιδιά μέσα από τη διδασκαλία κατανοούν και αναπαριστούν σχήματα τριών διαστάσεων, που προηγουμένως τα θεωρούσαν ως δισδιάστατα. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι όταν τα παιδιά αρχικά αναφέρουν ότι ένα ορθογώνιο πρίσμα «είναι ορθογώνιο γιατί μοιάζει με μία πόρτα» και αργότερα μέσα από τη διδασκαλία το αναγνωρίζουν ως στερεό. Η εμπειρία των μαθητών με τους κύβους (οικοδόμηση μίας κατασκευής με κύβους, αναπαραστάσεις κύβων σε δισδιάστατα σχέδια και η ερμηνεία τέτοιων σχεδίων) είναι πολύ βοηθητική για τη βελτίωση της επίδοσής τους στα χωρικά έργα και ως επέκταση της χωρικής ικανότητάς τους (Ben-Chaim, Lappan & Houang, 1985; Olkun & Knaupp, 1999). Ο Battista (1990) ερεύνησε το ρόλο της χωρικής οπτικοποίησης στην επίδοση και τις διαφορές φύλου στη γεωμετρία. Οι συμμετέχοντες ήταν 145 μαθητές γυμνασίου από πέντε κατηγορίες, δύο από τις οποίες διδάχτηκαν από έναν δάσκαλο και οι άλλες τρεις με έναν άλλο δάσκαλο. Ο ερευνητής χορήγησε δοκίμια με χαρτί και μολύβι σε τέσσερις περιοχές: χωρική οπτικοποίηση (Purdue Spatial Visualization Test), λογικός συλλογισμός, γνώση της γεωμετρίας και επίλυση προβλήματος γεωμετρίας/στρατηγικές. Ο Battista (1990) διαπίστωσε ότι τα αγόρια διέφεραν από τα κορίτσια στη χωρική οπτικοποίηση και την επίδοσή τους στη γεωμετρία γυμνασίου, αλλά όχι στις στρατηγικές που χρησιμοποιούσαν για να λύσουν προβλήματα γεωμετρίας. Ενδιαφέρον παρουσίασε το γεγονός ότι η χωρική οπτικοποίηση συσχετιζόταν περισσότερο με τη μάθηση της γεωμετρίας για τους μαθητές στις τάξεις του δεύτερου δασκάλου παρά του πρώτου δασκάλου που δίδαξε σε τρεις τάξεις. Ο Battista (1990) πήρε συνέντευξη και από τους δύο δασκάλους και παρατήρησε ότι ο δεύτερος δάσκαλος ζήτησε από τους μαθητές να κάνουν διαγράμματα για τα προβλήματα γεωμετρίας,. Αν και ο ερευνητής δεν παρατήρησε τις τάξεις, βασισμένος στις συνεντεύξεις με μία προφύλαξη, συμπέρανε ότι ο εκπαιδευτικός διαδραματίζει ένα σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη των χωρικών δεξιοτήτων οπτικοποίησης των μαθητών του (στο Unal, 2005). Επίσης, ο Bishop (1980) αναφέρει ότι ένας σημαντικός καθοριστικός παράγοντας για την ανάπτυξη των χωρικών ικανοτήτων των μαθητών αποτελούν, πιθανόν, οι προσεγγίσεις διδασκαλίας. Τέλος, ο Mitchelmore (1980) υποθέτει ότι οι διαφορές στις προσεγγίσεις διδασκαλίας ευθύνονταν για τις διαφορές στην ικανότητα 84

95 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση τρισδιάστατης σχεδίασης που βρήκε μεταξύ των μαθητών από Ινδία, Αμερική και Αγγλία (στο Bishop, 1980). Γεωμετρία και Κατανόηση Γεωμετρικού Σχήματος Σύμφωνα με τον Peletier «Η γεωμετρία αναπαριστά τη φύση, καθώς είναι καθρέφτης της και δεν κάνει τίποτα άλλο παρά να ανακαλύπτει τα γεωμετρικά σχήματα που υπάρχουν μέσα στην πραγματικότητα» (Barbin, 2003). Η γεωμετρία συνέβαλε στο να βοηθήσει τον άνθρωπο να συσχετιστεί με το περιβάλλον του και να κατανοήσει το χώρο που βρίσκεται γύρω του (Τρούλης, 1992). Όπως είναι γνωστό η γεωμετρία δημιουργήθηκε λόγω της ανάγκης του ανθρώπου να μετρήσει τα κτήματά του και τα κτίσματά του. Πιο συγκεκριμένα ο Ηρόδοτος αναφέρει ότι η γεωμετρία αναπτύχθηκε ως εργαλείο για τη μέτρηση της γης και την οριοθέτηση των αγρών όταν αποσύρονταν τα νερά του Νείλου (Φιλίππου & Χρίστου, 2002). Η γεωμετρία συχνά χαρακτηρίζεται ως «τα μαθηματικά του χώρου» και θεωρείται ένας τρόπος σύνδεσης των μαθηματικών με τον πραγματικό κόσμο (Bishop, 1983; Clements, 1998). Στην πραγματικότητα, η μάθηση της γεωμετρίας βασίζεται σε μια συνεχή αλληλεπίδραση ανάμεσα στη θεωρία της γεωμετρίας (φυσικός χώρος, μαθηματικά, φυσική) και στις γραφικές χωρικές ολότητες, με άλλα λόγια, μια αλληλεπίδραση ανάμεσα στη θεωρία και στα διαγράμματα. Η θεωρία στηρίζει τη γνώση και το θεωρητικό έλεγχο, ενώ τα σχήματα ενισχύουν την οπτική αντίληψη με την πιθανή βοήθεια γεωμετρικών οργάνων ή άλλων μέσων. Περισσότερο από άλλες περιοχές των μαθηματικών, η γεωμετρία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανακάλυψη και ανάπτυξη διαφόρων τρόπων σκέψης (Duval, 1998). Για τους λόγους αυτούς, τα σύγχρονα προγράμματα των μαθηματικών τονίζουν τη σπουδαιότητα της γεωμετρίας, τόσο ως αυτόνομου θέματος όσο και ως μέσου για την ανάπτυξη άλλων μαθηματικών εννοιών (NCTM, 2000). Η γεωμετρία αποτελεί τον πιο δύσκολο κλάδο των μαθηματικών για αρκετά παιδιά. Η ικανότητα αναγνώρισης σχημάτων από τους μαθητές επηρεάζεται από μία πλειάδα παραγόντων, συμπεριλαμβανομένου της οπτικής αντίληψης. Πρέπει να αναφερθεί ότι πολλοί άνθρωποι παρουσιάζουν προβλήματα με τη συγκεκριμένη διαδικασία οπτικοποίησης. Οι English και Warren (1995) υποστηρίζουν ότι ο τρόπος οπτικοποίησης ενός αντικειμένου είναι ένας από τους πιο σημαντικούς παράγοντες που επηρεάζουν τη βελτίωση της χωρικής ικανότητας, που στη συνέχεια σε ένα άλλο υποκεφάλαιο θα αναλύσουμε εκτενέστερα. Ο Fischbein (1993) αναφέρεται στη διπλή φύση του γεωμετρικού σχήματος, επισημαίνοντας ότι κάθε γεωμετρικό σχήμα έχει ταυτόχρονα εννοιολογικές και 85

96 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου σχηματικές ιδιότητες. Η πτυχή των σχημάτων αφορά στο γεγονός πως οι γεωμετρικές έννοιες αναφέρονται στο χώρο, ενώ η εννοιολογική πτυχή αναφέρεται στη σύνοψη και στη θεωρητική φύση που οι γεωμετρικές έννοιες μοιράζονται με όλες τις άλλες έννοιες. Τη διττή λειτουργία των γεωμετρικών σχημάτων επισημαίνουν αρκετοί ερευνητές (Parzyzs, 1988; Duval, 1988; Laborde, 1994). Η Mesquita (1998) αναφέρει σχετικά ότι τα γεωμετρικά σχήματα είναι αναπαραστάσεις με διπλή υπόσταση. Από τη μια το σχήμα στην ιδανική του αντικειμενικότητα, απαλλαγμένο από υλικούς περιορισμούς που χαρακτηρίζουν μια εξωτερική αναπαράσταση, και από την άλλη η ποικιλία πεπερασμένων μορφών. Ο Lemonidis (1997) επισημαίνει ότι σχεδιάζοντας ένα γεωμετρικό σχήμα ώστε να εξεταστούν ή να εφαρμοστούν κάποιες ιδιότητες, είναι γνωστό ότι δε γίνεται αναφορά στο συγκεκριμένο σχήμα, αλλά σε μια τάξη απείρων σχημάτων που υπακούουν στον ορισμό του. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία τα χαρακτηριστικά των σχημάτων δεν εξαρτώνται από τη θέση ή τον προσανατολισμό με τον οποίο σχεδιάζονται. Επιπλέον τα σχήματα παραμένουν αναλλοίωτα με το μετασχηματισμό της ομοιότητας. Δεν ενδιαφέρει δηλαδή το συγκεκριμένο μήκος των σχημάτων, αλλά οι σχέσεις και οι αναλογίες μεταξύ των σχηματικών οντοτήτων. Η διττή λειτουργία των γεωμετρικών σχημάτων αποτελεί τη βασική πηγή δυσκολιών των μαθητών όταν επιλύουν προβλήματα γεωμετρίας (Γαγάτσης, 2007; Mesquita, 1998; Fischbein & Nachlieli, 1998). Αυτό συμβαίνει, σύμφωνα με τον Fischbein (1993), γιατί η εικόνα και η αρχή θα πρέπει να ενώνονται σε ένα μοναδικό νοερό αντικείμενο για να μπορεί να το κατανοήσει ο μαθητής. Την τελευταία δωδεκαετία, αρκετοί εκπαιδευτικοί έχουν μελετήσει τη γεωμετρική αιτιολόγηση βασισμένη σε διαφορετικά θεωρητικά πλαίσια. Οι Van Hieles ανάπτυξαν ένα μοντέλο που αναφέρεται σε ιεραρχικά επίπεδα της γεωμετρικής αντίληψης (Van Hiele, 1986). Το μοντέλο είναι αποτέλεσμα της διδακτορικής εργασίας των Dina van Hiele-Geldof and Pierre van Hiele στο Πανεπιστήμιου του Utrecht in the Netherlands (Crowley, 1987). Βασισμένοι σε παιδαγωγικές εμπειρίες και διδακτικά πειράματα, καθόρισαν ένα μοντέλο μάθησης της γεωμετρίας, το οποίο περιλαμβάνει πέντε επίπεδα κατανόησης τα οποία αντανακλούν τα επίπεδα της γεωμετρικής σκέψης του μαθητή. Σύμφωνα με τη θεωρία, τα πέντε επίπεδα κατανόησης στη γεωμετρία είναι το επίπεδο σφαιρικής αντίληψης, το επίπεδο ανάλυσης, το επίπεδο άτυπης παραγωγικής σκέψης, το επίπεδο παραγωγικής σκέψης και το αυστηρό επίπεδο. Οι Houdement και Kuzniak (2003), διακρίνουν τρία διαφορετικά είδη Γεωμετρίας: τη Γεωμετρία 1 (Εμπειρική), τη Γεωμετρία 2 (Εμπειρική Αξιωματική) και τη Γεωμετρία 3 (Τυπική Αξιωματική). Με βάση το θεωρητικό πλαίσιο που έχουν αναπτύξει, γίνονται εμφανείς οι δυσκολίες μετάβασης από τον ένα τύπο γεωμετρίας 86

97 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση στον άλλο και είναι δυνατό να ερμηνευθεί η αντιμετώπιση γεωμετρικών έργων από τους μαθητές. Ο πρώτος τύπος γεωμετρίας, η Εμπειρική γεωμετρία, σχετίζεται άμεσα με τον πραγματικό φυσικό κόσμο. Τα αντικείμενα της είναι υλικά αντικείμενα (π.χ. γραμμές σε ένα φύλλο χαρτιού ή γραμμές στην οθόνη ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή). Πηγή της εγκυρότητας στη Γεωμετρία 1 μπορεί να είναι οτιδήποτε προκύπτει από τις αισθήσεις (μετρήσεις, συγκρίσεις, «με το μάτι»). Στη Γεωμετρία 2, στην λεγόμενη Εμπειρική Αξιωματική Γεωμετρία, τα αντικείμενα είναι θεωρητικά, δηλαδή η ύπαρξη τους οφείλεται σε αξιώματα και ορισμούς. Περιέχει ορισμούς και αξιώματα που είναι κοντά στη διαίσθηση του χώρου των αισθήσεων. Παρά το γεγονός ότι το σύστημα αξιωμάτων δεν είναι ολοκληρωμένο, η πηγή εγκυρότητας βασίζεται στους υποθετικούς παραγωγικούς νόμους που διέπουν το αξιωματικό σύστημα. Τέλος, στη Τυπική Αξιωματική γεωμετρία, το σύστημα των αξιωμάτων δεν έχει καμιά σχέση με τον πραγματικό φυσικό κόσμο και δε στηρίζεται με οποιοδήποτε τρόπο στις αισθήσεις. Είναι ένα ολοκληρωμένο αξιωματικό σύστημα, ανεξάρτητο από τις ενδεχόμενες εφαρμογές του στον πραγματικό κόσμο. Εδώ, το μοναδικό κριτήριο αλήθειας είναι η συνέπεια. Όσο στη διδακτική των μαθηματικών, τόσο και στον κλάδο της Γνωστικής Ψυχολογίας οι ερευνητές προσπαθούν να βρουν απάντηση στο ερώτημα «Πώς αντιλαμβάνονται τα παιδιά ένα γεωμετρικό σχήμα;». Σύμφωνα με τον Duval (2004), υπάρχουν δύο τρόποι προσέγγισης ενός γεωμετρικού αντικειμένου, «δια του λόγου» και «δια του σχήματος». Ο πρώτος τρόπος επικεντρώνεται στη γεωμετρική έννοια με βάση ορισμούς, θεωρήματα και αξιώματα. Στο δεύτερο τρόπο η γνωστική προσέγγιση επικεντρώνεται στην οπτικοποίηση, δηλαδή πώς βλέπει κανείς τις σχέσεις ανάμεσα σε γεωμετρικά αντικείμενα, ώστε να διευκολύνεται η επεξεργασία του γεωμετρικού προβλήματος. Διακρίνονται δύο τύποι οπτικοποίησης: εικονική και μη εικονική οπτικοποίηση. Στην εικονική οπτικοποίηση γίνεται αναγνώριση του σχήματος με βάση την ομοιότητά του με το τυπικό μοντέλο. Βλέπουν το σχήμα ως μορφή, ανεξάρτητα από τις πράξεις σ αυτό. Αντίθετα, στη μη εικονική οπτικοποίηση η αναγνώριση του σχήματος στηρίζεται στις νοερές, εσωτερικές πράξεις οι οποίες θα βοηθήσουν στον εντοπισμό των ιδιοτήτων για προσδιορισμό του σχήματος. Αυτές οι πράξεις πραγματοποιούνται είτε μέσω της κατασκευής, είτε μέσω του μετασχηματισμού ενός σχήματος. O Duval (2004) υποστηρίζει πως δεν πρέπει η διδασκαλία της γεωμετρίας να ξεκινά με την αναγνώριση των σχημάτων, αφού αυτό καθηλώνει τους μαθητές στην εικονική οπτικοποίηση. Χαρακτηριστικά αναφέρει πως «όταν κάποιος βλέπει τα σχήματα εικονικά δεν μπορεί ποτέ του να μάθει γεωμετρία». Επιπλέον εκφράζει τη 87

98 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου διαφωνία του με την ύπαρξη ιεραρχικών επιπέδων, εξηγώντας πως η ανάπτυξη διαφόρων γνωστικών λειτουργιών που σχετίζονται με τη γεωμετρία γίνεται ταυτόχρονα και μπορεί να ξεκινήσει από τη νηπιακή ηλικία. Σε αντίθεση με τη θεωρία των van Hiele που αναφέρεται σε επίπεδα γεωμετρικής σκέψης μέσα από τα οποία διέρχεται ένας μαθητής, πραγματοποιείται από τον Duval μια προσέγγιση από γνωστική σκοπιά και επιχειρείται μια προσπάθεια καθορισμού των γνωστικών διαδικασιών που βρίσκονται στο υπόβαθρο των διαδικασιών γεωμετρικής σκέψης. Στην ανάλυσή του, κεντρική θέση κατέχει η περιγραφή των τεσσάρων τύπων γνωστικής σύλληψης, μέσα από τους οποίους οι μαθητές προσεγγίζουν τη γεωμετρική εικόνα (Duval, 1998; Παναούρα, 2007). Κάθε είδος κατανόησης έχει συγκεκριμένους νόμους οργάνωσης και επεξεργασίας του οπτικού ερεθίσματος. Ένα σχήμα για να λειτουργήσει ως γεωμετρικό σχήμα πρέπει να υπάρχει σίγουρα η αντιληπτική κατανόηση και τουλάχιστον ένα από τα άλλα είδη κατανόησης (Duval 1995, 1999). Η Αντιληπτική κατανόηση (perceptual apprehension) σχετίζεται με την αναγνώριση του σχήματος με την πρώτη ματιά. Συνίσταται στην κατανόηση της συνολικής μορφής του σχήματος και στη διάκριση των υποσχημάτων του, με τρόπο όμως που δεν επιτρέπει περαιτέρω επεξεργασία του. Συμπεριλαμβάνει δεξιότητες ονομασία του σχήματος και αναγνώρισης υποσχημάτων του σχήματος. Η Σειριακή κατανόηση (sequential apprehension) απαιτείται κατά την κατασκευή ή την περιγραφή της κατασκευής ενός σχήματος. Η οργάνωση των στοιχειωδών μονάδων του σχήματος δεν εμπίπτει σε νόμους της αντίληψης, αλλά καθορίζεται από κατασκευαστικούς περιορισμούς και από μαθηματικές ιδιότητες. Η Λεκτική κατανόηση (discursive apprehension) συνδέεται με την αδυναμία προσδιορισμού των μαθηματικών σχέσεων σε ένα σχήμα μόνο από την αντιληπτική κατανόηση, αφού απαιτείται και λεκτική περιγραφή του. Τέλος, η Λειτουργική κατανόηση (operative apprehension) μας εξασφαλίζει πρόσβαση στην επίλυση του προβλήματος. Αυτό το είδος κατανόησης εξαρτάται από τρείς τρόπους αναγνώρισης ενός σχήματος, τον μερολογικό, οπτικό και χωρικό τρόπο. Ο μερολογικός αναφέρεται στο διαχωρισμό του σχήματος σε επιμέρους κομμάτια και στο συνδυασμό των κομματιών αυτών για την διαμόρφωση άλλων σχημάτων (αναδιαμόρφωση). Ο οπτικό τρόπος είναι όταν μεγεθύνουμε, σμικρύνουμε ή κλίνουμε το σχήμα προς μία κατεύθυνση. Ο χωρικός αναφέρεται στη θέση ή στον προσανατολισμό του σχήματος. Οι τρείς τρόποι μπορούν να γίνουν νοερά ή πρακτικά μέσα από κάποιες διαδικασίες. Ο Duval (1999), επιχειρεί να κάνει σαφέστερη τη διαφορετικότητά της λειτουργικής από την αντιληπτική σύλληψη. Η διαφορά τους έγκειται στο ότι η 88

99 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση αντίληψη σταθεροποιεί με την πρώτη ματιά την όψη κάποιων σχημάτων, κάνοντας τα στατικά. Η λειτουργική σύλληψη εμπερικλείει νοητική αναδιοργάνωση του σχήματος, έτσι ώστε να προκύψουν σχέσεις μη προφανείς από την αντιληπτική σύλληψη. Αποτελεί, δηλαδή, μια ευρετική επεξεργασία του σχήματος, κατά την οποία οι ιδιότητες του σχήματος δεν αλλοιώνονται (von Sommers, 1984; στην Κολέζα, 2003). Στη λειτουργική σύλληψη το δοσμένο σχήμα του προβλήματος αποτελεί σημείο αναφοράς για τη διερεύνηση άλλων σχηματοποιήσεων, μέσω των τροποποιήσεων που αναφέρονται πιο κάτω. Συνεπώς, δημιουργούνται πολλαπλές αλυσίδες σχημάτων, μια εκ των οποίων ανοίγει το δρόμο προς τη λύση του προβλήματος. Η ικανότητα σκέψης ή σχεδίασης επιπλέον μονάδων σε δοσμένο σχήμα υποδηλώνει την ύπαρξη λειτουργικής σύλληψης (Duval, 1999). Ο Duval εισάγει τρία είδη τροποποιήσεων ενός γεωμετρικού σχήματος, τα οποία συνιστούν τη λειτουργική σύλληψη, η μερεολογικη τροποποίηση, η οπτική τροποποίηση και τέλος η αλλαγή θέσης του σχήματος. Οι μερεολογικές τροποποιήσεις (mereologic) αναφέρονται στη διάσπαση του ολόκληρου σχήματος σε διάφορα υποσχήματα, στο συνδυασμό των υποσχημάτων αυτών σε ένα άλλο ενιαίο σχήμα και στην εμφάνιση νέων υποσχημάτων. Συνεπώς, προκύπτει μια αλλαγή του τρόπου με τον οποίο το σχήμα παρουσιάζεται με την πρώτη ματιά. Την πιο τυπική λειτουργία σε αυτό το είδος τροποποίησης αποτελεί η αναδιαμόρφωση του σχήματος (reconfiguration). Οι οπτικές (optic) επιτρέπουν τη σμίκρυνση ή μεγέθυνση του σχήματος ή το να εμφανίζεται λοξό, σαν να γίνεται χρήση φακών. Με τον τρόπο αυτό τα σχήματα αποκτούν τη δυνατότητα να εμφανίζονται διαφορετικά, χωρίς να έχουν υποστεί οποιαδήποτε αλλαγή. Επίπεδα σχήματα δύναται να θεωρηθούν ως τοποθετημένα σε ένα τρισδιάστατο χώρο. Επιπλέον, μια τυπική λειτουργία είναι να παρουσιάσεις δύο όμοια σχήματα επικαλυμμένα, στο βάθος, ώστε το μικρότερο σχήμα να φαίνεται σαν να ήταν το μεγαλύτερο από απόσταση. 89

100 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου Τέλος, η αλλαγής θέσης (place way) τροποποιεί τον προσανατολισμός του σχήματος στο επίπεδο της εικόνας. Αποτελεί τον ασθενέστερο μετασχηματισμό. Επηρεάζει κυρίως την αναγνώριση ορθών γωνιών, οι οποίες οπτικώς σχηματίζονται από οριζόντιες και κατακόρυφες γραμμές. Οι διάφορες αυτές λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν είτε νοερά, είτε φυσικά. Συνθέτουν μια συγκεκριμένη επεξεργασία του σχήματος, η οποία του προσδίδει μια χειριστική λειτουργία. Όπως ο Polya (1945) αναφέρει, στο βιβλίο του How to solve it, οι λειτουργίες αυτές μπορούν να φανερώσουν την «ιδέα», η οποία θα μας οδηγήσει στη λύση του προβλήματος. Θα μπορούσαμε, συνεπώς, να πούμε πως η λειτουργική σύλληψη αποτελεί ένα είδος ευφυούς οργάνωσης του σχήματος, αφού κατά τον Piaget, η νοητική αντίληψη ενός αντικειμένου εμπεριέχει ευφυΐα. Με τη χρήση της ευφυΐας το άτομο καθίσταται ικανό να εντοπίζει ομοιότητες, διαφορές και χωρικές σχέσεις του αντικειμένου (Κολέζα, 2003). Πρόσφατα, οι Deliyianni, Elia, Gagatsis, Monoyiou και Panaoura (2009), έχουν ανακαλύψει ένα ιεραρχικό μοντέλο τριών επιπέδων για το ρόλο της αντιληπτικής (perceptual), λεκτικής (discursive) και λειτουργικής (operative) κατανόηση στη γεωμετρική κατανόηση των σχημάτων. Παρόλα αυτά η σχέση της χωρικής ικανότητας και των τεσσάρων ειδών κατανόησης του «γεωμετρικού σχήματος» που προτείνει ο Duval (1995, 1999) δεν έχει διερευνηθεί ακόμη. Ωστόσο, δεν υπάρχουν έρευνες, στη Μαθηματική Παιδεία, που να σχετίζουν τη γεωμετρική κατανόηση του σχήματος και τη χωρική ικανότητα. Η γεωμετρία έχει πάρει πολλές διαφορετικές μορφές στην εκπαίδευση, γεγονός που υποδηλώνει και μια διαφορετική κάθε φορά πολιτισμική θεώρηση. Έχει θεωρηθεί για τους εκπαιδευόμενους ως η επιστήμη του χώρου που μας περιβάλλει, ως παράδειγμα λογικο-παραγωγικού συστήματος (ή δομής), ως ένα πρακτικό εργαλείο ή ένα σύνολο «χρήσιμων» γνώσεων με κάποια λογική οργάνωση μεταξύ τους, ως «καθαρά» αισθητική αξία, ως αισθησιο-κινητική διαδικασία και «οπτική» κατασκευή, ως «ακόνι της σκέψης», ως εθνική πολιτισμική κληρονομιά και μέσο καλλιέργειας των νέων γενεών, αλλά και ως ένα ιδιαίτερο και ιστορικά προσδιορισμένο πεδίο επίλυσης προβλημάτων (των γεωμετρικών κατασκευών). 90

101 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση Οι Chazan και Yerushalmy (1998) για να τονίσουν το ρόλο της γεωμετρίας στη γένεση και ανάπτυξη μαθηματικών ιδεών αναφέρουν πως οι γεωμετρικές τεχνικές και οι οπτικές εικόνες αποτελούν βασικά εργαλεία και πηγή έμπνευσης για πολλούς μαθηματικούς (στον Πρωτοπαπά, 2003). Κατά συνέπεια, αν αγνοηθεί η γεωμετρία και η εξεικόνιση τότε οι μαθητές δε θα αναπτύξουν πολύ βασικές δεξιότητες όπως αυτές της οπτικής εξερεύνησης, της αιτιολόγησης και της επιχειρηματολογίας και ως εκ τούτου η μαθηματική τους σκέψη θα είναι αποδυναμωμένη. Ο Duval (1998) αναφέρει πως η γεωμετρία περιλαμβάνει τρία είδη γνωστικών διαδικασιών, τα οποία εκπληρώνουν συγκεκριμένες επιστημολογικές λειτουργίες. Τη λειτουργία της εξεικόνισης, της κατασκευής και του συλλογισμού. Η εξεικόνιση είναι μια διαδικασία σχετική με την αναπαράσταση του χώρου για επεξήγηση μιας δήλωσης, για διερεύνηση πολύπλοκων καταστάσεων, για συνοπτική αντίληψη του χώρου. Πολλοί ερευνητές τονίζουν το ρόλο της εξεικόνισης και της οπτικής αιτιολόγησης για την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών. Οι Zazkis, Dubinsky και Dautermann (1996) δίνουν ένα πολύ ενδιαφέρον ορισμό για την εξεικόνιση λέγοντας πως «Η εξεικόνιση είναι μια πράξη κατά την οποία το άτομο δημιουργεί μια ισχυρή σύνδεση μεταξύ μιας εσωτερικής δομής και κάτι στο οποίο η πρόσβαση πετυχαίνεται μέσω των αισθήσεων. Μια τέτοια σύνδεση μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Μια πράξη εξεικόνισης μπορεί να συνίσταται στην κατασκευή νοητικών αντικειμένων ή διαδικασιών τα οποία το άτομο συνδέει με αντικείμενα ή γεγονότα τα οποία λαμβάνει ως εξωτερικά. Επίσης, η πράξη της εξεικόνισης μπορεί να συνίσταται στην κατασκευή εξωτερικών αντικειμένων μέσω του χαρτιού, του πίνακα ή της οθόνης του ηλεκτρονικού υπολογιστή, τα οποία το άτομο αναγνωρίζει ως αντικείμενα ή διαδικασίες που βρίσκονται στο μυαλό του». Η γνωστική διαδικασία της κατασκευής των σχημάτων, η οποία γίνεται με το χέρι, με τη χρήση οργάνων ή στον ηλεκτρονικό υπολογιστή (Duval, 2004), μπορεί να λειτουργήσει ως μοντέλο. Οι ενέργειες για την αναπαράσταση και το παρατηρούμενο αποτέλεσμα συσχετίζονται με τα μαθηματικά αντικείμενα που αναπαριστούν. Τέλος, κάθε γνωστική διαδικασία που εμπλέκεται κατά την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων θεωρείται μια μορφή συλλογισμού. Είναι ουσιαστικά μια διαδικασία η οποία μας καθιστά ικανούς να εξάγουμε νέες πληροφορίες από δοσμένες πληροφορίες. Τα τρία αυτά είδη γνωστικών διαδικασιών δημιουργούν ένα κύκλο ενεργειών όπως φαίνεται πιο κάτω. 91

102 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου ΕΞΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ Στην πραγματικότητα, ο συγκεκριμένος κύκλος, δε λειτουργεί, αφού για πολλούς μαθητές το σχήμα δεν είναι ευρετικό (Duval, 2004). Οι μαθητές κατά τη διαδικασία της εξεικόνισης δεν ασχολούνται με δραστηριότητες που να απαιτούν την αποσύνδεση ή επανασύνδεση και μετασχηματισμό των σχημάτων, δύο δραστηριότητες που σύμφωνα με τους Brown και Wheatley (1997) είναι τα δυο κύρια συστατικά της εξεικόνισης. Αυτές οι διαδικασίες παίρνουν τη μορφή μιας πορείας όπου ο μαθητής σπάζει το σχήμα σε μικρότερα κομμάτια τα οποία μετακινεί ή/και περιστρέφει με σκοπό να καταλήξει σε μια ευρετική λύση (Duval, 2004). Η απουσία των πιο πάνω δραστηριοτήτων δε βοηθά τους μαθητές να κάνουν διάφορες οπτικές αναδιοργανώσεις των συστατικών μερών των διαφόρων σχημάτων, που θα τους βοηθήσουν να επιλύσουν ένα γεωμετρικό πρόβλημα. Οι μαθητές παραμένουν έτσι σε μια οπτική αντίληψη των σχημάτων, που ο Duval (2004) αποκαλεί εικονική εξεικόνιση. Έτσι, οι μαθητές αναγνωρίζουν ένα σχήμα διαισθητικά. Καταγράφουν τις ιδιότητες των σχημάτων, αλλά δεν μπορούν να δουν τις σχέσεις ανάμεσα στις διαφορετικές ιδιότητες. Η οπτική σύλληψη δεν μπορεί να οδηγήσει από μόνη της στη δημιουργία εννοιών (Duval, 1988, στη Laborde, 2003). Η δημιουργία των εννοιών θα επιτευχθεί μέσα από τη λειτουργική σύλληψη, κατά την οποία οι μαθητές πραγματοποιούν νοερούς ανασχηματισμούς του δοσμένου σχήματος, επιλέγουν τμήματα και τα ανάομαδοποιούν (Mesquita, 1989, στη Laborde, 2003). Για να μπορέσουν οι μαθητές να ξεπεράσουν τα προβλήματα που τους δημιουργεί η εικονική εξεικόνιση, θα πρέπει να μάθουν να βλέπουν τα γεωμετρικά σχήματα με ένα διαφορετικό τρόπο. Αυτός ο διαφορετικός τρόπος είναι η μη εικονική εξεικόνιση, όπως ορίζεται από τον Duval (2004). Οι μαθητές που εφαρμόζουν αυτό τον τρόπο διασπούν το σχήμα με τη χρήση βοηθητικών και αναδιοργανωτικών γραμμών. Απαραίτητη προϋπόθεση στη μη εικονική εξεικόνιση είναι η αποσύνθεση των σχημάτων, έτσι που να μπορεί να επιτυγχάνεται ο μετασχηματισμός τους. Για καλύτερη διάκριση της εικονικής από τη μη εικονική εξεικόνιση, ο Duval (2004) αναφέρει ένα χαρακτηριστικό 92

103 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση παράδειγμα. Ένας μαθητής που αντιμετωπίζει τα σχήματα εικονικά όταν βλέπει ένα καλά σχεδιασμένο τετράγωνο πάντα για αυτόν θα είναι τετράγωνο. Δεν μπορεί να είναι τίποτε άλλο, όπως για παράδειγμα δύο ορθογώνια τρίγωνα ενωμένα. Αντίθετα ένας μαθητής που βλέπει τα σχήματα μη εικονικά διακρίνει ένα τετράγωνο με βάση τον τρόπο που κατασκευάστηκε, και με βάση τους μετασχηματισμούς που μπορεί να κάνει σε αυτό το σχήμα. Συμπεράσματα Επίλογος Η μελέτη της βιβλιογραφίας παραπέμπει σε συμπεράσματα σχετικά με τη συσχέτιση χωρικής ικανότητας (spatial ability) και αντίληψης γεωμετρικού σχήματος (geometrical figure understanding). Η γεωμετρία ορίζεται ως «τα μαθηματικά του χώρου» και θεωρείται ένας τρόπος σύνδεσης των μαθηματικών με τον πραγματικό κόσμο (Bishop, 1983; Clements, 1998), επομένως μία πιθανή αλλαγή στην αντιληπτική ικανότητα του χώρου μπορεί να αλλάξει τη γεωμετρική κατανόηση. Πολυάριθμες μελέτες (Ben-Chaim et al., 1988; Burnett & Lane, 1980) έχουν δείξει ότι η χωρική ικανότητα μπορεί να αναπτυχθεί μέσα από εκπαίδευση αν χρησιμοποιούνται τα κατάλληλη εργαλεία.. Συνεπώς η ανάπτυξη της χωρικής ικανότητας μπορεί να αποτελέσει παράγοντα πρόβλεψης της γεωμετρικής αντίληψης του σχήματος; Οι Fischbein και Nachlieli (1998), χαρακτηριστικά αναφέρουν ότι τα γεωμετρικά σχήματα είναι ταυτόχρονα έννοιες αλλά και εικόνες (χωρικές αναπαραστάσεις). Οι χωρικές αναπαραστάσεις αυτές είναι σημειωτικές. Σε αυτές απεικονίζονται οργανωμένα οι σχέσεις μεταξύ των μονάδων αναπαράστασης. Στα γεωμετρικά σχήματα οι αναπαραστάσεις μπορεί να είναι μονοδιάστατες ή δισδιάστατες. Για να επιτευχθεί η γεωμετρική κατανόηση του σχήματος δεν είναι αρκετό να κατακτήσουμε την οπτική αντίληψη αλλά θα πρέπει να οπτικοποιήσουμε το σχήμα. Η οπτική αντίληψη επιτρέπει την απλή αναγνώριση του σχήματος, χωρίς να δίνει μία πλήρη εικόνα της σύλληψης του σχήματος. Αντιθέτως, η οπτικοποίηση του σχήματος βασίζεται στην παραγωγή σημειωτικής αναπαράστασης της έννοιας και δίνει ταυτόχρονα μία οργανωμένη σύλληψη των σχέσεων που υπάρχουν μέσα στο σχήμα (Duval, 1999). Για την πραγμάτωση της οπτικοποίησης στα μαθηματικά θα πρέπει να γίνει ειδική εκπαίδευση έτσι ώστε να κατανοηθούν οι σχέσεις που υπάρχουν στο σχήμα και να είναι εφικτός ο χειρισμός του σχήματος ως ένα γεωμετρικό αντικείμενο. Ένα μέρος της οπτικοποίησης είναι οι διαδικασίες της εξεικόνισης. Οι διαδικασίες αυτές συμπεριλαμβάνουν τις εξής λειτουργίες: (α) Αλλαγή της θέσης του αντικειμένου που αναπαριστάται π.χ. η περιστροφή του. (β) Αλλαγή της δομής του 93

104 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου αντικειμένου που αναπαριστάται. Η μετατρεπόμενη μορφή της εικόνας έχει πολύ λίγες ομοιότητες με την αρχική μορφή της. (γ) Συνδυασμός των προαναφερθέντων (Yakimaskaya, 1991). Ομοίως, η λειτουργική σύλληψη του Duval (1999), είναι μια μορφή οπτικής επεξεργασίας που αφορά γεωμετρικά σχήματα, δηλαδή, η εικονική τους τροποποίηση. Ο Duval (1995, 1999) αναλύει τη μορφή της απεικόνισης του γεωμετρικού σχήματος προτείνοντας τρία είδη τροποποιήσεων (τη μερεολογικη τροποποίηση, τη οπτική τροποποίηση και τη αλλαγή θέσης του σχήματος), που επιτρέπουν την αλλαγή της αρχικής μορφής του γεωμετρικού σχήματος σε ένα άλλο, διατηρώντας τις αρχικές του ιδιότητες. Στην λειτουργική σύλληψη, το δοσμένο σχήμα γίνεται το σημείο εκκίνησης για να διερευνηθούν άλλες μορφές που μπορούν να δημιουργηθούν από τις οπτικές τροποποιήσεις του σχήματος. Ένα γεωμετρικό σχήμα έχει πολλές πιθανές διαμορφώσεις ή υπο-διαμορφώσεις, μία από τις οποίες μπορεί να οδηγήσει στη λύση ενός προβλήματος. Για παράδειγμα, σχεδιάζοντας κάποια σχήματα μέσα σε ένα δοσμένο σχήμα είναι μια ένδειξη της λειτουργικής προσέγγισης που μπορεί να βοηθήσει στην έρευνα. Όμως, αυτό απαιτεί την ικανότητα απεικόνισης του αποτελέσματος της διαμόρφωσης. Ως εκ τούτου, η λειτουργική σύλληψη των γεωμετρικών σχημάτων μπορεί να θεωρηθεί ως μια διάσταση της χωρικής οπτικοποίησης. 94

105 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση Ξένη ΑΝΑΦΟΡΕΣ Barbin, E. (1990). Les éléments de Géométrie de Clairaut: Une Géométrie Problématisée. Colloque inter IREM de géométrie, Prt d Albret, Battista, T. M., Clements, H. D., Arnoff, J., Battista, K., & Borrow C. V. A., (1998). Students spatial structuring of 2D arrays of squares. Journal of Research in Mathematics Education, 29 (5), Ben-Chaim, D., G. Lappan, and R. T. Houang: 1988, The effect of instruction on spatial visualization skills of middle school boys and girls,american Educational Research Journal 25(1), Bishop, A. J. (1980). Spatial Abilities and Mathematics Education A Review. Educational Studies in Mathematics, (11), U.S.A.: Reidel Publishing Co.. Bishop, A. J. (1983). Space and geometry. In R. Lesh and M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes (pp ). New York: Academic Press. Brown, D., & Wheatley, G. (1997). Components of Imagery and Mathematical Understanding, Focus on Learning Problems in Mathematics, 19 (1), Burnett, S. A., & Lane, D. M. (1980). Effects of academic instruction on spatial visualization. Intelligence, 4(3), Burton, L. J., & Fogarty, G. J. (2003). The factor structure of visual imagery and spatial abilities. Intelligence, 31, Chazan, D., & Yerushalmy, M. (1998). Charting a course for secondary geometry. Designing learning environments for developing understanding of geometry and space, Christou, C., Jones, K., Pitta, D., Pittalis, M., Mousoulides, N., & Boytchev, P. (2007). Developing student spatial ability with 3-dimensional applications. Clements, D. H. (1998). Geometric and spatial thinking in young children. (ERIC Document Reproduction Service No. ED436232) Crowley, ML (1987). The van Hiele model of the development of geometric thought. In MM Lind- quist & AP Shulte (Eds.), Learning and teaching geometry, K-12, 1987 yearbook (pp. 1-16). 95

106 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου Del Grande, J. J. (1987). Spatial perception and primary geometry. In M. M. Lindquist & A. P. Shults (Eds.), Learning and teaching geometry K-12 (1987 yearbook, pp ). Reston, VA: NCTM. Deliyianni, E., Elia, I., Gagatsis, A., Monoyiou, A., & Panaoura, A. (2009). A theoretical model of students geometrical figure understanding. In The 6 th Conference of the European Society for Research in Mathematics Education: Working Group 5, Geometrical Thinking (pp ). Duval, R. (1988). Pour une approche cognitive des problemes de geometrie en termes de congruence, annals de didactique et de sciences cognitives, Universite Luis Pasteur et IREM, 11, Duval, R. (1995). Geometrical Pictures: Kinds of Representation and Specific Processings. In R. Sutherland & J. Mason (Εds.), Exploiting Mental Imagery with Computers in Mathematics Education, (p ). Germany:Springer. Duval, R. (1998). Geometry from a cognitive point of view, In C. Mammana & V. Villani (Eds.), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21 st century (pp ). Dordrecht: Kluwer Academic. Duval, R. (1999). Representation, Vision and Visualization: Cognitive Functions in Mathematical Thinking. Basic Issues for learning. Retrieved from ERIC ED Duval, R. (2004). Geometrical Pictures: kind of representation and specific processings, Σημειώσεις διαλέξεων στα πλαίσια του μαθήματος Χώρος, εξεικόνιση και συλλογισμός στη Γεωμετρία. English, L. D., & Warren, E. A. (1995). General reasoning processes and elementary algebraic understanding: implications for initial instruction. Focus on Learning Problems in Mathematics, 17(4), Fischbein, E. (1993). The theory of figural concepts. Educational Studies in Mathematics, 24(2), Fischbein, E., & Nachlieli, T. (1998). Concepts and figures in geometrical reasoning. International Journal of Science Education, 20(10), Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (Eds). (1984). English translation of selected writings of Dina van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele. Brooklyn: Brooklyn College. (ERIC Document Reproduction Service No. ED ). 96

107 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση Gilmartin, P. P., & Patton, C. J. (1984). Comparing the sexes on spatial abilities: Map- Use skills. Annuals of the Association of American Geographers, 74 (4), Górska, R. A. & Juščákova, Z. (2003). A Pilot Study of a New Testing Method for spatial Abilities Evaluation. Journal for Geometry and Graphics, 7 (2), Gutiérrez, A. (1996). Visualization in 3-Dimensional Geometry: In search of a Framework. In L. Puig and A. Gutiérrez (eds.), Proceedings of the 20 th conference of the international group for the psychology of mathematics education, (1), Valencia: Universidad de Valencia. Hegarty, M. & Waller, D. (2005). Individual differences in spatial abilities. In P. Shah & A. Miyake (Eds). The Cambridge handbook of visuospatial thinking. New York, NY: Cambdridge University Press. Houdement, C., & Kuzniak, A. (2003). Elementary geometry split into different geometrical paradigms. In M. Mariotti (Ed.), Proceedings of CERME 3. Bellaria, Italy. [On line] Jones, G. A., & Swafford, J. O. (1997). Increased knowledge in geometry and instructional practice. Journal for Research in Mathematics Education, 28(4), Laborde, C. (2003). Η μάθηση της γεωμετρίας με τη βοήθεια του υπολογιστή. Επαγωγικές και κονστρουκτιβιστικές πλευρές. Στου Α. Γαγάτση (Εκδ.), Κείμενα Διδακτικής της Γεωμετρίας (σ ). Λευκωσία : Πανεπιστήμιο Κύπρου. Lean, G., & Clements, M.A. (1981). Spatial ability, visual imagery, and mathematical performance. Educational Studies in Mathematics, 12 (3), Lemonidis, C. (1997). A few remarks regarding the teaching of geometry, through a theoretical analysis of geometrical figure, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Application, 30 (4), Linn, C. M., & Petersen, C. A. (1985). Emergence and characterization of sex difference in spatial ability: A meta-analysis. Child Development, (56), Manger, T. & Eikeland, O. (1998). The effects of spatial visualization and students sex on mathematical achievement. British Journal of Psychology, 89 (1). British Psychological Society. 97

108 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου Mason, M. M., & Schell, V. (1988). Geometric understanding and misconceptions among preservice and inservice mathematics teachers. In M. J. Behr, C. B. Lacampagne, & M. M. Wheeler (Eds.), Proceedings of the Tenth Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp ). DeKalb, IL: Northern Illinois University. Mayberry, J. (1983). The van Hiele level of geometric thought in undergraduate, preservice teachers. Journal for Research in Mathematics Education, 14(1), McGee, M. G. (1979). Human spatial abilities: Psychometric studies and environmental, genetic, hormonal, and neurological influences. Psychological Bulletin, 86 (5), Mesquita, A. L. (1998). On conceptual obstacles linked with external representation in geometry. Journal of mathematical behavior, 17(2), Michealides, M. P. (2003, April). Age and Gender differences in performance on a spatial rotation test. Poster presented at the AERA Annual Meeting of American Education Research Association, Chicago, IL. National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston: VA, NCTM. National Council of Teachers of Mathematics (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston: VA, NCTM. Newcombe, N., Bandura, M. M., & Taylor, D. G. (1983). Sex Differences in Spatial Ability and Spatial Activities. Sex Roles, 9 (3), Pennsylvania: Pennsylvania State University. Olkun, S., & Knaupp, J. E. (1999, January). Children s understanding of rectangular solids made of small cubes. Paper presented at the Annual Meeting of the Southwest Education Research Association, San Antonio, TX. Polya, G. (1945). How to solve it. Princeton, NJ: Princeton University Press. Presmeg, N. C. (1986). Visualisation in high school mathematics, For the Learning of Mathematics, 6(3), Prevost, J. H. (1985). A simple plasticity theory for frictional cohesionless soils. International Journal of Soil Dynamics and Earthquake Engineering 4.1: Ryu, H., Chong, Y. O., & Song, S. H. (2007). Mathematically gifted students spatial visualization ability of solid figures. In J. H. Woo, H. C. Lew, K. S. Park, & D. 98

109 Χωρική Ικανότητα και Κατανόηση Y. Seo (Eds.). Proceedings of the 31 st Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, (4), Seoul: PME. Shaughnessy, J. M., & William F. Br. (1985). Spadework Prior to Deduction in Geometry. Mathematics Teacher 78 (September): Silverman, I., Choi, J., & Peters, M. (2007). The Hunter-Gatherer theory of sex differences in spatial abilities: Data from 40 counties. Archives of Sexual Behavior, 36, Strong, S., & Smith, R. (2002). Spatial Visualization: Fundamental and trends in engineering Graphics. Journal of Industrial Technology, 18 (1). Syndam, M. N. (1985). The shape of instruction in geometry: Some highlights from research. Mathematics Teacher, 78, Unal, H. (2005). The influence of curiosity and spatial ability on preservice middle and secondary mathematics teachers understanding of geometry. A Dissertation submitted to the Department of Middle and Secondary Education. Florida State University. Unal, H., Jakubowski, E., & Corey, D. (2009). Differences in learning geometry among high and low spatial ability pre-service mathematics teachers. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 40(8), doi: / Usiskin, Z. P. (1982). Van Hiele levels and achievement in secondary school geometry (Final Report of the Cognitive Development and Achievement in Secondary School Geometry Project). Chicago, IL: University of Chicago, Department of Education. (ERIC Reproduction Service No. ED ). Van Hiele, P. (1986). Structure and Insight: A Theory of Mathematics Education. Orlando, FL: Academic Press. Woolner, P. (2004). A comparison of a visual-spatial approach and a verbal approach to teaching mathematics. Paper proceeding of the 28th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME), Bergen Norway, 4, Yakimanskaya, I. S. (1991). Soviet studies in mathematics education: The development of spatial thinking in schoolchildren. Reston, VA: NCTM. Zazkis, R., Dubinsky, E., & Dautermann, J. (1996). Coordinating visual and analytic strategies: A study of students' understanding of the group D4, Journal for Research in Mathematics Education, 27(4),

110 Α. Γαγάτσης, Π. Καλογήρου & Α. Πετρίδου Ελληνική Γαγάτσης, Α. (2007). Προβλήματα μάθησης των Μαθηματικών κατά τη μετάβαση από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο. Λευκωσία: Πανεπιστήμιο Κύπρου. Κολέζα, Ε. (2003). Νοητικές Διεργασίες Ανάπτυξης Γεωμετρικών Εννοιών. Πρακτικά 2 ου Συνεδρίου για τα Μαθηματικά στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση [CD-ROM]. Αθήνα: Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών & Πανεπιστήμιο Κύπρου Παναούρα, Γ. (2007). Οι γεωμετρικές γνώσεις και ικανότητες των μαθητών στο τέλος της Δημοτικής Εκπαίδευσης, Συγκρίνοντας τη γεωμετρική σκέψη μαθητών δημοτικής και μέσης εκπαίδευσης. Διδακτορική Διατριβή. Πανεπιστήμιο Κύπρου. Πατρώνης Πέσκιας,Α., & Χρυσοστόμου-Βούργια, Σ. (2003). Η ικανότητα αντιληπτικής σύλληψης γεωμετρικών σχημάτων. Στο Α. Γαγάτσης, & Ι. Ηλία (Εκδ.), Οι Αναπαραστάσεις και τα Γεωμετρικά Μοντέλα στη Μάθηση των Μαθηματικών: Τόμος 2 (σσ ). Λευκωσία: Εκδόσεις Intercollege. Πρωτοπαπάς, Π. (2003). Στρατηγικές Υπολογισμού Όγκου από Μαθητές Ε Δημοτικού. Στους Α. Γαγάτση & Ι.Ηλία (Εκδ.), Οι Αναπαραστάσεις και τα Γεωμετρικά Μοντέλα στη Μάθηση των Μαθηματικών. Τόμος 2 (σ ). Λευκωσία: Intercollege. Τρούλης, Γ. (1992). Τα Μαθηματικά στο Δημοτικό Σχολείο: Διδακτική Προσέγγιση. Αθήνα: Γρηγόρη. Φιλίππου, Γ. & Χρίστου, Κ. (2002). Ιστορία και Μάθηση των Μαθηματικών. Στο Μ. Καϊλα, Φ. Καλαβάσης, & Ν. Πολεμικός (Εκδ.), Αποσιωπημένες Σχέσεις στην Εκπαίδευση (σ ). Αθήνα: Ατραπός. 100

111 ΟΙ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΕ ΕΡΓΑ ΜΕΤΑΦΡΑΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Χριστοδούλου Θεοδώρα & Ηλία Ιλιάδα Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα εργασία επιδιώκει να εξετάσει το χειρισμό έργων μετάφρασης γραφικών παραστάσεων, από μια μορφή αναπαράστασης σε άλλη, από μαθητές Β και Γ τάξης Δημοτικού. Συγκεκριμένα, διερευνά τις δυσκολίες των μαθητών σε έργα που απαιτούν μετάφραση (1) από γραπτή γλώσσα και συμβολική αναπαράσταση σε εικονική αναπαράσταση (εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα), (2) από εικονική αναπαράσταση (εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα) σε γραπτή γλώσσα και συμβολική αναπαράσταση, (3) από γραπτή γλώσσα σε εικονική αναπαράσταση (εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα) και (4) από εικονική αναπαράσταση (εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα) σε συμβολική αναπαράσταση. Επιπλέον, επιχειρεί να εντοπίσει το είδος μετάφρασης, το οποίο οι μαθητές κάθε τάξης φαίνεται να χειρίζονται με μεγαλύτερη ευκολία ή δυσκολία, καθώς να κάνει σύγκριση της επίδοσης των μαθητών των δύο τάξεων. Για τη συλλογή των δεδομένων της έρευνας, 150 μαθητές, Β και Γ τάξης Δημοτικού, κλήθηκαν να συμπληρώσουν δοκίμιο, που περιλάμβανε έργα μετάφρασης με γραφικές παραστάσεις. Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν ότι οι μαθητές και των δύο τάξεων παρουσιάζουν τις περισσότερες δυσκολίες όταν καλούνται να κάνουν μετάφραση από το ραβδόγραμμα (εικόνα) σε λεκτική και συμβολική αναπαράσταση (συμπλήρωση προβλήματος), ενώ το πιο εύκολο είδος μετάφρασης για αυτούς φαίνεται να είναι η μετάφραση από λεκτική και συμβολική αναπαράσταση σε εικονόγραμμα. Επιπρόσθετα, η επίδοση των μαθητών σε συγκεκριμένα είδη μετάφρασης διαφοροποιείται ανάλογα με το φύλο και την ηλικία των μαθητών. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Διαχρονικά η έννοια της αναπαράστασης και ειδικότερα της ικανότητας μετάφρασης από μια μορφή αναπαράστασης σε άλλη, έχει αποσπάσει την προσοχή και το ενδιαφέρον πολλών ερευνητών στο χώρο της μαθηματικής εκπαίδευσης. Η ανάγκη μελέτης της έννοιας της αναπαράστασης προκύπτει τόσο για πρακτικούς όσο και για θεωρητικούς λόγους (Kaput, 1987). Οι πρακτικοί λόγοι αναφέρονται στις δυσκολίες που

112 Θ. Χριστοδούλου, Ι. Ηλία αντιμετωπίζουν οι μαθητές στη μετάφραση από τη μια αναπαράσταση στην άλλη σε σχέση με τις μαθηματικές έννοιες, καθώς και ανάμεσα στην καθημερινή εμπειρία και στα μαθηματικά. Οι θεωρητικοί λόγοι αναφέρονται στην ανάγκη για ύπαρξη ενός συστηματικού πλαισίου σε σχέση με τα διάφορα συστήματα αναπαράστασης, ώστε να μπορούν να αντιμετωπιστούν αποτελεσματικά οι πρακτικές δυσκολίες που προκύπτουν σε σχέση με την κατανόηση και τη χρήση αναπαραστάσεων. Η παρούσα εργασία χρησιμοποιεί οκτώ είδη μεταφράσεων: (1) από γραπτή γλώσσα και συμβολική αναπαράσταση σε εικονική αναπαράσταση (εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα), (2) από εικονική αναπαράσταση (εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα) σε γραπτή γλώσσα και συμβολική αναπαράσταση, (3) από γραπτή γλώσσα σε εικονική αναπαράσταση (εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα) και (4) από εικονική αναπαράσταση (εικονόγραμμα και ραβδόγραμμα) σε συμβολική αναπαράσταση. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Οι ιδέες γύρω από τις αναπαραστάσεις στην έρευνα, τη διδασκαλία και τη μάθηση των μαθηματικών, έχουν αναπτυχθεί πολύ τα τελευταία χρόνια και απασχολούν την κοινότητα των ερευνών της μαθηματικής παιδείας. Ο όρος «αναπαράσταση» μεταφράζεται σε διάφορα λεξικά με τον όρο «απεικόνιση» (Νεοελληνικό Λεξικό Πατάκη), «αποτύπωση έργου, πράγματος ή γεγονότος, εικαστική ή γραφική παράσταση γεγονότος ή κατασκευής που δεν υπάρχει ή που δεν έχει πλέον τη μορφή που είχε» (Λεξικό της Κοινής Ελληνικής). Οι Confrey και Smith αναφέρουν την αναπαράσταση ως μια νοητική δομή, η οποία καθορίζεται από διάφορα εργαλεία όπως πίνα&k