Τοπογραφικός χάρτης : Είναι η οριζόντια και υπό σµίκρυνση προβολή µιας εδαφικής επιφάνειας µε όλα τα φυσικά και τεχνικά χαρακτηριστικά της.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τοπογραφικός χάρτης : Είναι η οριζόντια και υπό σµίκρυνση προβολή µιας εδαφικής επιφάνειας µε όλα τα φυσικά και τεχνικά χαρακτηριστικά της."

Transcript

1 1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ-Ε ΑΦΟΛΟΓΙΑΣ Υπεύθυνη :Ευαγγελία Αλεξανδρή, Γεωλόγος. Σηµαντικό µέρος της Γεωλογίας και της Γεωµορφολογίας ασχολείται µε την µελέτη των γεωλογικών διεργασιών και των αποτελεσµάτων τους πάνω στην επιφάνεια της γης. Βασικά όργανα για τέτοιου είδους µελέτη είναι οι τοπογραφικοί χάρτες. Οι τοπογραφικοί χάρτες απεικονίζουν, υπό κλίµακα, ένα τµήµα της επιφάνειας της γής και δείχνουν µε λεπτοµέρεια ότι αφορά το µέγεθος,το σχήµα και την σχέση στον χώρο των µορφών του αναγλύφου. Παρακάτω θα δώσουµε µερικές βασικές έννοιες τοπογραφίας που είναι απαραίτητες για να υπεισέλθουµε στην µελέτη µερικών απλών γεωλογικών προβληµάτων. Σκοπός είναι η καθοδήγηση του σπουδαστή για το πως µπορεί να χρησιµοποιηθεί ο τοπογραφικός χάρτης γι την µελέτη και ερµηνεία γεωλογικών και γεωµορφολογικών φαινοµένων τα οποία παρατηρούνται στ η επιφάνεια της γης. Τοπογραφικός χάρτης : Είναι η οριζόντια και υπό σµίκρυνση προβολή µιας εδαφικής επιφάνειας µε όλα τα φυσικά και τεχνικά χαρακτηριστικά της. Κλίµακα ενός χάρτη καλείται η σχέση των αποστάσεων δύο σηµείων που µετρήθηκαν στον χάρτη και στο έδαφος. Ο ορισµός µπορεί να εκφραστεί µε τον λόγο : Κλίµακα= µ = µήκος µετρηθέν στον χάρτη Μ αντίστοιχο µήκος οριζόντιο στο έδαφος Η κλίµακα µπορεί να είναι αριθµητική ή γραµµική Π.χ 1: ή γραµµική

2 2 Απόλυτο υψόµετρο: Είναι το ύψος, στο οποίο βρίσκεται µία περιοχή,όταν σαν επίπεδο αναφοράς θεωρούµε την επιφάνεια της θάλασσας. Σχετικό υψόµετρο :είναι το ύψος στο οποίο βρίσκεται µια περιοχή όταν ως επίπεδο αναφοράς θεωρούµε οποιαδήποτε επιφάνεια,πλήν της επιφάνειας της θάλασσας. Ισοϋψής καµπύλη :Ονοµάζουµε ισοϋψή καµπύλη τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων του εδάφους που έχουν το ίδιο απόλυτο υψόµετρο,( η γραµµή δηλαδή που ενώνει σηµεία µε το ίδιο απόλυτο υψόµετρο).

3 3 Η ισοϋψής είναι η γραµµή διατοµής του µορφολογικού αναγλύφου µε ένα οριζόντιο επίπεδο. Η κατακόρυφη προβολή των γραµµών αυτών πάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο µας δίνει τον τοπογραφικό χάρτη µιάς περιοχής. Ισοδιάσταση :Είναι η υψοµετρική διαφορά δύο διαδοχικών ισοϋψών ή η απόσταση των οριζόντιων διατοµών. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΙΣΟΫΨΩΝ: α. Οι ισοϋψείς δεν τέµνονται. Β. Όταν οι ισοϋψείς είναι συγκεντρωµένες η µία κοντά στην άλλη αντιστοιχούν σε µεγάλες κλίσεις δηλαδή σε απότοµες πλαγιές, ενώ όταν είναι µακριά η µια από την άλλη αντιστοιχούν σε οµαλό ανάγλυφο µε µικρές κλίσεις.

4 4 Γ. Όταν οι ισοϋψείς κάµπτονται και σχηµατίζουν ένα V του οποίου η κορυφή στρέφεται : 1.Προς τα µεγαλύτερα υψόµετρα τότε το ανάγλυφο αντιστοιχεί σε µία κοιλάδα. 2.Προς τα χαµηλότερα υψόµετρα τότε το ανάγλυφο αντιστοιχεί σε πλαγιά. Η σχέση η οποία υπάρχει µεταξύ του τοπογραφικού χάρτη (µορφή ισοϋψών ) και των χαρακτηριστικών µορφών της επιφάνειας που αυτός εκφράζει µπορούν να παρατηρηθούν στο παρακάτω σχήµα.

5 5 ιάγραµµα που απεικονίζει την σχέση µεταξύ τοπογραφικών µορφών και ισοϋψών. Σχετικές µε την µορφή του εδάφους είναι οι παρακάτω συνήθεις έννοιες :. Πεδιάδα :είναι µια επίπεδη και οριζόντια εδαφική περιοχή. Λόφος: είναι ένα ύψωµα του εδάφους, µικρού ύψους (µέχρι 300 µέτρα περίπου). Όρος: είναι ένα ύψωµα του εδάφους,µεγάλου ύψους (πάνω από 300 µέτρα). Κλιτύς: είναι η πλαγιά ενός λόφου ή ενός όρους. Κορυφογραµµή ή υδροκρίτης :είναι η νοητή γραµµή που συνδέει τα ψηλότερα σηµεία των υψωµάτων της επιφάνειας του εδάφους και διαχωρίζει την ροή των οµβρίων υδάτων. Ο υδροκρίτης κατά την πορεία του για τα χαµηλότερα υψόµετρα περνάει πάντα από τα κυρτώµατα και όχι από τα κοιλώµατα,λόγω του µεγαλυτέρου υψοµέτρου των κυρτωµάτων προς τα κοιλώµατα.

6 6 Μισγάγγεια ονοµάζεται η γραµµή συναντήσεως δύο κλιτύων στα χαµηλότερα σηµεία τους. Οι µισγάγγειες συγκεντρώνουν τα όµβρια ύδατα και τα οδηγούν στις πεδιάδες. Koρυφές: είναι τα ψηλότερα σηµεία µιάς κορυφογραµµής. Αυχένες: είναι τα χαµηλότερα σηµεία µιας κορυφογραµµής. Σε ένα τοπογραφικό χάρτη οι κορυφογραµµές σηµειώνονται µε συνεχή γραµµή και οι µισγάγγειες µε διακεκοµµένη. ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΗ ΤΟΜΗ Οι τοπογραφικοί χάρτες µας δίνουν την εικόνα µιας περιοχής όπως είναι ορατή απευθείας από πάνω (όπως την βλέπουµε από αεροπλάνο). Όµως εµείς δεν είµαστε συνηθισµένοι να βλέπουµε έτσι τις διάφορες µορφές του γήινου αναγλύφου. Όταν πρέπει να µελετηθεί λεπτοµερώς η µορφή µιας περιοχής είναι απαραίτητο οι διάφοροι µορφολογικοί χαρακτήρες να αναλυθούν και αυτό επιτυγχάνεται µε µία τοµή που ονοµάζεται τοπογραφική τοµή. Τοπογραφική τοµή (PROFIL, section): Είναι η τοµή που προκύπτει από ένα επίπεδο κάθετο στην τοπογραφική επιφάνεια και σε οποιαδήποτε διεύθυνση ορίσουµε ότι την χρειαζόµαστε. Φανταζόµαστε δηλαδή ένα κατακόρυφο επίπεδο να τέµνει το ανάγλυφο,η γραµµή που προκύπτει από τα σηµεία τοµής τους είναι η τοπογραφική τοµή. Για να αποδοθεί καλύτερα το ανάγλυφο µιας περιοχής πρέπει η τοπογραφική τοµή να περάσει

7 7 κάθετα από τα επιµήκη µορφολογικά χαρακτηριστικά π.χ χαράδρες,χείµαρροι κ.λ.π. ΤΡΟΠΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΉ ΤΟΜΉΣ 1.Καθορίζουµε πάνω στον χάρτη ένα ευθύγραµµο τµήµα, π.χ ΑΒ.Βρίσκουµε την /νση του ευθυγράµµου τµήµατος. 2.Μελετούµε την κλίµακα του χάρτη, τις ισoϋψείς και την ιοδιάσταση. 3.Πάνω σε χαρτί µιλλιµετρέ σηµειώνουµε δύο ορθογώνιους άξονες,τον άξονα µήκους (τετµηµένες) και τον άξονα ύψους (τεταγµένες). Προτιµούµε οι άξονες να είναι πάνω σε έντονα σηµειωµένες γραµµές του χαρτιού. 4. ιπλώνουµε το µιλλιµετρέ κάτω από τον άξονα µήκους και κατά προτίµηση πάνω σε µία έντονη γραµµή. 5.Βάζουµε το διπλωµένο χαρτί πάνω στην στην ευθεία ΑΒ που καθορίσαµε µε το σηµείο Α να συµπίπτει µε την τοµή των αξόνων. 6.Σηµειώνουµε τα σηµεία τοµής του άξονα µήκους µε τις ισοϋψείς καµπύλες και δίπλα σε κάθε γραµµούλα σηµειώνουµε το ύψος. Παρατηρούµε και σηµειώνουµε πιο είναι το µικρότερο υψόµετρο που συναντούµε. 7. Ο άξονας των υψών πρέπει να διαιρεθεί(βαθµονοµηθεί) σύµφωνα µε την κλίµακα του χάρτη και την ισοδιάσταση για να έχουµε µία φυσική τοµή. Βρίσκουµε πόσα εκατοστά µε βάση την κλίµακα του χάρτη είναι η ισοδιάσταση. Π.Χ στον χάρτη της άσκησης έχουµε κλίµακα 1:2.000 και ισοδιάσταση 20 µέτρα(2.000 cm). Με την απλή µέθοδο των τριών υπολογίζουµε πόσα εκατοστά είναι τα 20 µέτρα της ισοδιάστασης. 1 εκ στον χάρτη εκ στο έδαφος Χ;εκ στον χάρτη τα εκ(20 µ.ισοδιάσταση) Χ= 1εκ * εκ = 1 εκ

8 εκ ηλαδή η ισοδιάσταση των 20 µέτρων θα είναι 1 εκ στην τοπογραφική µας τοµή που διατηρεί την ίδια κλίµακα µε τον χάρτη,τόσο στην κλίµακα των υψών όσο και στην κλίµακα των µηκών. 8. ιαιρούµε τον άξονα των υψών ανά 1εκ που θα συµβολίζει τα 20 µέτρα. εν θα ξεκινάµε από το µηδέν αλλά λίγο χαµηλότερα από την χαµηλότερη ισοϋψή που τέµνει τον άξονα µήκους. 9.Προβάλλουµε τις τοµές των ισοϋψών µε την γραµµή κατά µήκος της οποίας κάνουµε την τοπογραφική τοµή,στο υψόµετρο που αναγράφουν. 10.Ενώνουµε τα σηµεία που προκύπτουν.έτσι έχουµε την τοπογραφική τοµή. Προσέχουµε όταν ενώνουµε τα σηµεία και συναντήσουµε δύο µε το ίδιο ύψος. Στην περίπτωση αυτή α)εάν είµαστε σε λόφο ανεβάζουµε λίγο την γραµµή µας και την ξανακατεβάζουµε και β)εάν είµαστε σε κοίτη την κατεβάζουµε και την ξανανεβάζουµε. Η τοµή την οποία σχεδιάσαµε λέγεται φυσική τοµή διότι κρατήσαµε ίδια την κλίµακα των µηκών και την κλίµακα των υψών. Μπορεί όµως σε κάποια περίπτωση να χρειάζεται να µελετηθεί το ανάγλυφο πιο λεπτοµερώς οπότε αλλάζουµε την κλίµακα των υψών (διπλάσια, τριπλάσια κ.λ.π), γνωρίζοντας ότι η τοµή που θα προκύψει είναι παραµορφωµένη.

9 9 ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ Οι γεωλογικοί σχηµατισµοί αποτυπώνονται πάνω στον γεωλογικό χάρτη. ΓΕΩΛΟΓΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ: Είναι η καταγραφή πάνω στον τοπογραφικό χάρτη µίας περιοχής όλων των λιθολογικών, τεκτονικών, στρωµατογραφικών, υδρογεωλογικών και λοιπών στοιχείων και ιδιοτήτων που χαρακτηρίζουν τους γεωλογικούς σχηµατισµούς της περιοχής. Οι γεωλογικοί χάρτες συµπληρώνονται και από άλλα ειδικά στοιχεία για κάθε περίπτωση,οπότε έχουµε τους υδρογεωλογικούς χάρτες,τους γεωτεχνικούς χάρτες κ.λ.π. Τα διάφορα πετρώµατα σηµειώνονται πάνω στον χάρτη µε σύµβολα ή χρώµατα και δίνεται γι αυτά αφενός µεν η επιφανειακή εξάπλωσή τους, αφετέρου δε η σχετική ηλικία τους εφόσον είναι δυνατό να διαπιστωθεί. Εάν δεν είναι γνωστή η ηλικία των στρωµάτων τα διακρίνουµε από τους πετρογραφικούς τους χαρακτήρες,όπως συνήθως συµβαίνει µε τα εκρηξιγενή και µεταµορφωµένα πετρώµατα. Σε κάθε χάρτη υπάρχει υπόµνηµα µε λεπτοµερή εξήγηση των χρωµάτων και των συµβόλων που χρησιµοποιήθηκαν για τον σχεδιασµό του. Παρακάτω δίνονται δύο πίνακες µε τους συνηθέστερους συµβολισµούς των γεωλογικών σχηµατισµών. Πρέπει να δίνουµε µεγάλη σηµασία σε όλα τα σύµβολα του χάρτη που φαίνονται στο υπόµνηµα που τον συνοδεύει και αφορούν την τεκτονική της περιοχής όπως ρήγµατα,πτυχές, κλίσεις, σύγκλινα, αντίκλινα,κατολισθήσεις, λατοµεία και άλλα.

10 10 Κανένα σύµβολο του γεωλογικού χάρτη δεν είναι περιττό και δεν βρίσκεται σε τυχαία θέση. Σε οποιαδήποτε εργασία και εάν κάνουµε µε βάση τον γεωλογικό χάρτη θα προσέχουµε όλα τα σύµβολα.

11 11

12 12 ] ΣΤΡΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΠΑΦΗΣ Τα ιζηµατογενή πετρώµατα εναποτίθενται κατά στρώσεις,οι οποίες παρατηρούνται µε την µορφή των στρωµάτων. ΣΤΡΩΜΑΤΑ ονοµάζουµε στη Γεωλογία τον γεωλογικό σχηµατισµό που βρίσκεται ανάµεσα σε δύο επιφάνειες επαφής περίπου παράλληλες µεταξύ τους. Οι επιφάνειες επαφής είναι τόσο σαφέστερες όσο τα εναλλασσόµενα πετρώµατα είναι µεταξύ τους ανοµοιογενή. Οι επιφάνειες επαφής µπορεί να είναι επίπεδες ή καµπύλες. Όσον αφορά την ηλικία των στρωµάτων αρχαιότερα είναι τα κατώτερα µιας στρωµατογραφικής στήλης,νεώτερα δε τα ανώτερα, όσο δηλαδή προχωρούµε προς την κορυφή της. Γενικά από τον τρόπο γέννεσης των των ιζηµατογενών πετρωµάτων προκύπτει,ότι κάθε υποκείµενο στρώµα είναι αρχαιότερο του υπερκειµένου του,εφόσον η περιοχή στην οποία σχηµατίστηκε δεν έχει διαταραχθεί από διάφορα τεκτονικά αίτια, όπως πτυχές επωθήσεις κ.λ.π. Η κατώτερη (αρχαιότερη) διαχωριστική επιφάνεια ενός στρώµατος ονοµάζεται δάπεδο,ενώ η ανώτερη (νεώτερη) διαχωριστική επιφάνεια ενός στρώµατος ονοµάζεται οροφή. Η επιφάνεια επαφής δύο στρωµάτων απεικονίζεται πάνω στον γεωλογικό χάρτη µε µία απλή γραµµή, η οποία ονοµάζεται γραµµή επαφής.

13 13 Μία επιφάνεια επαφής δύο στρωµάτων είναι συγχρόνως οροφή του αρχαιοτέρου στρώµατος και δάπεδο του νεωτέρου στρώµατος. /ΝΣΗ,ΠΑΡΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΤΩΝ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΣΤΡΩΜΑΤΩΝ Τα στρώµατα στην φύση σπανίως εµφανίζονται οριζόντια, συνήθως εµφανίζονται κεκλιµένα, πολλές φορές δε ανεστραµµένα ή και πτυχωµένα έπειτα από την επίδραση δυνάµεων. Τις δυνάµεις αυτές εξετάζει ειδικός κλάδος της Γεωλογίας που ονοµάζεται Τεκτονική. Η θέση στον χώρο ενός επιπέδου καθορίζεται από την διεύθυνση και την κλίση του. ΙΕΥΘΥΝΣΗ: ενός κεκλιµένου στρώµατος ονοµάζεται η γωνία που σχηµατίζεται µεταξύ της γραµµής Βορράς-Νότος και της γραµµής που προκύπτει από την τοµή του στρώµατος µε ένα οριζόντιο επίπεδο. Πριν προχωρήσουµε στον ορισµό της κλίσης ενός στρώµατος θα ορίσουµε µία άλλη πολύ σηµαντική έννοια που είναι εργαλείο στα χέρια του γεωλόγου και του τοπογράφου και χρειάζεται για την λύση όλων των γεωλογικών προβληµάτων και είναι η παράταξη. ΠΑΡΑΤΑΞΗ: καλείται κάθε οριζόντια γραµµή στην οροφή ή στο δάπεδο του στρώµατος.παράταξη δηλαδή είναι η τοµή µίας επιφάνειας ενός στρώµατος µε το οριζόντιο επίπεδο.

14 14 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΑΞΕΩΝ 1. Οι παρατάξεις µπορεί να είναι ευθείες ή καµπύλες γραµµές ανάλογα µε το αν η επιφάνεια του στρώµατος είναι επίπεδη ή καµπύλη, όπως είναι το συνηθέστερο. α. Καµπύλες παρατάξεις β. Ευθείες παρατάξεις 2. Η παράταξη είναι διαφορετική από την διεύθυνση διότι η διεύθυνση είναι γωνία ενώ η παράταξη είναι ευθεία.

15 15 3. Είναι φανερό ότι όλα τα σηµεία µίας παράταξης έχουν το ίδιο απόλυτο υψόµετρο. Έτσι αν σε ένα χάρτη εµφανίζεται επιφάνεια επιπέδου στρώµατος που τέµνει σε δύο σηµεία την ισοϋψή των 100 π.χ µέτρων, η ευθεία που ενώνει τα δύο αυτά σηµεία αποτελεί την παράταξη των 100 µέτρων του στρώµατος αυτού. ισοϋψής επιφάνεια επαφής παράταξη 4. Εάν πάνω σε ένα χάρτη είναι δυνατή η χάραξη µίας παράταξης τότε µπορούµε από τα σηµεία τοµής της επιφάνειας του στρώµατος µε τις ισοϋψείς του χάρτη να φέρουµε παράλληλες προς την ήδη χαραχθείσα παράταξη.οι παράλληλες αυτές αποτελούν τις παρατάξεις του στρώµατος και είναι χρήσιµες για διάφορους υπολογισµούς. 5. Οι παρατάξεις µίας σταθερά κεκλιµένης επίπεδης επιφάνειας ισαπέχουν µεταξύ τους ενώ οι παρατάξεις µίας επιφάνειας µε µεταβαλλόµενη κλίση αλλού εµφανίζονται πυκνότερες και αλλού αραιότερες.

16 16 6. Η πυκνότητα των παρατάξεων είναι ενδεικτική της κλίσης των στρωµάτων(όπως η πυκνότητα των ισοϋψών στη µορφολογική κλίση).έτσι µεγάλη πυκνότητα δηλώνει µεγάλη κλίση. Τώρα µπορούµε να επαναπροσδιορίσουµε τον ορισµό της /νσης ενός επιπέδου,µιάς επιφάνειας σε σχέση µε την παράταξη. ΙΕΥΘΥΝΣΗ : /νση ενός στρώµατος, µίας επιφάνειας, ή ενός επιπέδου ονοµάζεται η γωνία µεταξύ της /νσης Βορράς -Νότος και µίας παρατάξεως του στρώµατος, επιφάνειας ή επιπέδου. Εάν η παράταξη είναι καµπύλη γραµµή τότε την διεύθυνση του στρώµατος την καθορίζει η γωνία που σχηµατίζεται µεταξύ της εφαπτοµένης σε κάθε σηµείο της παράταξης και της διεύθυνσης Βορράς - Νότος.

17 17 ΚΛΙΣΕΙΣ Μέγιστη ή πραγµατική κλίση µίας γεωλογικής επιφάνειας ονοµάζεται η οξεία γωνία η αντίστοιχη της δίεδρης γωνίας που σχηµατίζεται από την επιφάνεια του στρώµατος και από ένα οριζόντιο επίπεδο και µετριέται σε επίπεδο που τέµνει κάθετα την παράταξη του στρώµατος. Η µέγιστη κλίση µετριέται σε µοίρες και επί της %. Παράταξη επίπεδο κατακόρυφο κάθετο στην παράταξη επίπεδο οριζόντιο µ: οξεία γωνία µέγιστης κλίσης γεωλογική επιφάνεια Φαινόµενη κλίση µίας γεωλογικής επιφάνειας ονοµάζεται η οξεία γωνία που περιέχεται στην δίεδρη γωνία που σχηµατίζεται από την επιφάνεια του στρώµατος και από ένα οριζόντιο επίπεδο και µετριέται σε κατακόρυφο επίπεδο που δεν τέµνει την παράταξη της γεωλογικής επιφάνειας κάθετα (γωνία α διάφορος των 90 µοιρών). Η φαινόµενη όπως και η µέγιστη κλίση µετριέται σε µοίρες και επί της %.

18 18 Παράταξη επίπεδο κατακόρυφο Μη κάθετο στην παράταξη επίπεδο οριζόντιο φ: οξεία γωνία φαινόµενης κλίσης γεωλογική επιφάνεια Η φαινόµενη κλίση είναι πάντοτε µικρότερη από την πραγµατική ή µέγιστη κλίση και παίρνει τιµές από 0 έως την µέγιστη κλίση,(0-90 µοίρες). Αφού δε εξ ορισµού, τόσο η πραγµατική όσο και η φαινόµενη κλίση µίας γεωλογικής επιφάνειας, είναι οξείες γωνίες θα είναι πάντοτε µικρότερες των 90 µοιρών. ΦΟΡΑ Η ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΛΙΣΗΣ Φορά η ιεύθυνση της µέγιστης κλίσης: είναι η γωνία ή οποία σχηµατίζεται µεταξύ της διεύθυνσης Βορράς-Νότος και της καθέτου προς την παράταξη του στρώµατος προβαλλόµενης σε οριζόντιο επίπεδο. Εάν δηλαδή γνωρίζουµε την διεύθυνση της µέγιστης κλίσης ενός στρώµατος πάνω στον χάρτη τότε µε πρόσθεση ή αφαίρεση 90 µοιρών στην τιµή της, βρίσκουµε την διεύθυνση του στρώµατος, ή αντίθετα γνωρίζοντας τη διεύθυνση του στρώµατος βρίσκουµε την διεύθυνση(φορά) της µέγιστης κλίσης, µε την βοήθεια δύο παρατάξεων.

19 19 ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΛΙΣΕΩΝ ΠΑΝΩ ΣΤΟΝ ΓΕΩΛΟΓΙΚΟ ΧΑΡΤΗ Η διεύθυνση σηµειώνεται πάνω στον γεωλογικό χάρτη µε µία γραµµή και η διεύθυνση της µέγιστης κλίσης µε ένα βέλος κάθετο προς τη διεύθυνση. Προκειµένου να προσδιοριστεί ακριβέστερα η κλίση πάνω στον χάρτη χρησιµοποιούνται τα εξής σύµβολα: Στρώµα κατακόρυφο Στρώµα οριζόντιο Στρώµα ελαφρά κεκλιµένο,κλίση10-30 µοίρες Στρώµα κεκλιµένο, κλίση µοίρες Στρώµα ισχυρά κεκλιµένο,κλίση µοίρες Στους γεωλογικούς χάρτες η διεύθυνση και η κλίση των στρωµάτων, σηµειώνονται συµβατικά µε τα παραπάνω σύµβολα µε ένα Τ δηλαδή, όπου η οριζόντια γραµµή του «Τ» είναι παράλληλος προς την διεύθυνση του στρώµατος, η δε κάθετος δείχνει την διεύθυνση της κλίσης. Γενικά το µήκος της καθέτου ποικίλλει ανάλογα µε την τιµή της κλίσης,όσο η κλίση είναι µεγαλύτερη τόσο το βέλος είναι µικρότερο.

20 20 Την κλίση και την διεύθυνση των γεωλογικών στρωµάτων τις µετράµε µε την γεωλογική πυξίδα,µε την οποία θα ασχοληθούµε παρακάτω. Οι κλίσεις των στρωµάτων που σηµειώθηκαν πάνω σε ένα γεωλογικό χάρτη δεν έχουν παρά µόνο τοπική σηµασία και δεν µπορούµε να θεωρήσουµε ότι οι κλίσεις αυτές ισχύουν για µεγάλες αποστάσεις, διότι αυτές το πιθανότερο είναι να αλλάζουν,όπως συµβαίνει σε πτυχωµένες περιοχές. ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΑΙΝΟΜΕΝΗΣ ΚΛΙΣΗΣ Η σχέση που συνδέει την φαινόµενη και την µέγιστη κλίση είναι η εξής: εφφ= εφµ.ηµα όπου: φ :γωνία φαινόµενης κλίσης µ :γωνία µέγιστης κλίσης α :η γωνία που σχηµατίζεται µεταξύ της διεύθυνσης της τοµής και µίας παράταξης της επιφάνειας. ιερεύνηση του τύπου εφφ=εφµ.ηµα α)εάν τη τιµή της α είναι 0 µοίρες τότε ηµ0=0,άρα εφφ=0,εποµένως και η γωνία φ=0(φαινόµενη κλίση). Αυτό στην φύση σηµαίνει ότι τα στρώµατα φαίνονται σαν να µην έχουν κλίση,φαίνονται δηλαδή οριζόντια. β)εάν η τιµή της α είναι 90 µοίρες τότε ηµ90=1 άρα εφφ=εφµ και φ=µ. Αυτό στην φύση σηµαίνει ότι τα στρώµατα κλίνουν µε κλίση ίση µε την µέγιστη κλίση. ΑΒΕΖ Οριζόντιο Επίπεδο ΑΒΓ Κατακόρυφο Επίπεδο κάθετο στην Παράταξη ΒΓ Κατακόρυφο Επίπεδο µη κάθετο στην Παράταξη

21 21 Η ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΠΥΞΙ Α Η µέτρηση της κλίσης(γωνία), της φοράς της µέγιστης κλίσης και της διεύθυνσης µιας γεωλογικής επιφάνειας,γίνεται στην ύπαιθρο µε την βοήθεια της γεωλογικής πυξίδας. Πρόκειται για ένα όργανο το οποίο έχει µία µαγνητική βελόνα, κλισίµετρο και αεροστάθµη. Για τον προσδιορισµό της διεύθυνσης ή φοράς µέγιστης κλίσης η πυξίδα είναι βαθµονοµηµένη από µοίρες κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού, ενώ για τον προσδιορισµό της κλίσης από 0-90 µοίρες. γεωλογική επιφάνεια αεροστάθµη κλισίµετρο ( εµίρης) Με τις σύγχρονες γεωλογικές πυξίδες υπάρχει δυνατότητα σύγχρονης ανάγνωσης της κλίσης ενός επιπέδου στον χώρο και της φοράς(δ/νσης) της κλίσης του. Το επίπεδο µπορεί να είναι επιφάνεια επαφής, ρήγµα, διάκλαση κ.λ.π. Τρόπος µέτρησης

22 22 Για να γίνει η µέτρηση τοποθετείται το «καπάκι» της πυξίδας στην επιφάνεια που πρέπει να µετρηθεί και οριζοντιώνεται το επίπεδο της πυξίδας µε την βοήθεια της αεροστάθµης. Μετά την οριζοντίωση µπορεί πλέον να παρθεί η µέτρηση. Για να πραγµατοποιήσουµε δηλαδή την µέτρησή µας σύµφωνα µε τους ορισµούς καταστήσαµε το επίπεδο της πυξίδας ως το οριζόντιο επίπεδο(που είναι το επίπεδο αναφοράς) που τέµνει το µετρούµενο επίπεδο. Η µέτρηση είναι ένας διψήφιος και ένας τριψήφιος αριθµός ο διψήφιος αριθµός φανερώνει την γωνία της µέγιστης κλίσης ( 0-90 µοίρες) και ο τριψήφιος την φορά της µέγιστης κλίσης (0-360 µοίρες). Με απλά λόγια ο ένας φανερώνει πόσο κλίνει και ο άλλος προς τα που κλίνει,προς τα που βυθίζεται το επίπεδο που µετράται. Γεωλογική επιφάνεια Φορά µέγιστης κλίσης αεροστάθµη γωνία µέγιστης κλίσης Παραδείγµατα 81/188 Η κλίση είναι 81 µοίρες και κλίνει 8 µοίρες νοτιοδυτικά. 79/027 Η κλίση είναι 79 µοίρες και κλίνει 27 µοίρες βορειοανατολικά. 75/129 Η κλίση είναι 75 µοίρες και κλίνει 39 µοίρες ανατολικά προς νότο. 90/319 Η κλίση είναι 90 µοίρες και κλίνει 41 µοίρες βορειοδυτικά.

23 23 10/265 Η κλίση είναι 10 µοίρες και κλίνει 85 µοίρες νοτιοδυτικά. Είναι φανερό ότι η µέτρηση µε τον διψήφιο και τον τριψήφιο αριθµό είναι πάρα πολύ εξυπηρετική διότι αποφεύγονται οι περιγραφές και οι επεξηγήσεις για την φορά της κλίσης δηλαδή βορειοανατολικά,βορειοδυτικά, νοτιοδυτικά, νοτιοανατολικά. Το σηµαντικότερο όµως είναι ότι όταν γίνεται στατιστική επεξεργασία των µετρήσεων κερδίζουµε χρόνο και λάθη. Πρέπει λοιπόν ευθύς εξαρχής να γίνει εξοικείωση µε αυτού του είδους την µέτρηση. ΕΜΕΣΟΣ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΦΟΡΑ ΤΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΛΙΣΗΣ Όταν γνωρίζουµε την φορά της κλίσης ενός επιπέδου (που είναι γνωστό ότι µετριέται σε επίπεδο κάθετο στην παράταξη του µετρουµένου επιπέδου) προσθέτοντας ή αφαιρώντας 90 µοίρες βρίσκουµε την διεύθυνση του µετρουµένου επιπέδου. Πρέπει να δοθεί προσοχή ώστε να µην συγχέεται η διεύθυνση του επιπέδου µε την φορά ( δ/νση) της µέγιστης κλίσης του. 1 ο Παράδειγµα : Έστω επίπεδο 81/188 (Σχήµα 1) Στον τριψήφιο αριθµό που παριστά την φορά ή διεύθυνση της µέγιστης κλίσης προσθέτουµε ή αφαιρούµε 90 µοίρες: =278 ( =82) δηλαδή η διεύθυνση είναι Ν82W. Παρατηρούµε ότι 98+82=180. ή =98 δηλαδή Ν98Ε ή ``

24 24 Σχήµα 1 Σχήµα 2 2 ο Παράδειγµα: Έστω επίπεδο 79/027 (σχήµα 2) Η διεύθυνση του επιπέδου είναι 27+90=117 δηλαδή από τον βορρά πάντα δεξιόστροφα 117 µοίρες ή Ε27S δηλαδή 27 µοίρες από την ανατολή προς τον νότο. ΤΡΟΠΟΣ ΧΑΡΑΞΗΣ ΠΑΡΑΤΑΞΕΩΝ Στην επόµενη σελίδα δίνεται γεωλογικός χάρτης στον οποίο απεικονίζεται µία περιοχή,µε κλίµακα 1/12.500,στην οποία εµφανίζονται άργιλος, ασβεστόλιθος και ψαµµίτης. Παρατηρούµε ότι τα στρώµατα που εµφανίζονται είναι κεκλιµένα,διότι οι επαφές των στρωµάτων τέµνουν τις ισοϋψείς καµπύλες. Εάν προσπαθήσουµε να κάνουµε µία γεωλογική τοµή κατά µήκος της γραµµής ΑΒ θα αντιµετωπίσουµε το πρόβληµα της τοποθέτησης των γραµµών επαφής των στρωµάτων ή αλλιώς τα δάπεδα και τις οροφές των στρωµάτων πάνω στην γεωλογική τοµή. Με την βοήθεια των παρατάξεων θα επιλύσουµε και αυτό το πρόβληµα. Ξαναθυµόµαστε ότι παράταξη είναι κάθε οριζόντια γραµµή στην οροφή ή το δάπεδο ενός στρώµατος και ότι τα σηµεία µίας παράταξης έχουν όλα το ίδιο υψόµετρο. Για την χάραξη των παρατάξεων ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα : 1.Προσδιορίζουµε σε πια γραµµή επαφής θα εργασθούµε.

25 25 2.Προσπαθούµε να εντοπίσουµε πιες ισοϋψείς γραµµές τέµνουν την επαφή µας.εάν βρούµε δύο σηµεία πάνω στην επαφή µας που τέµνονται από την ίδια ισοϋψή τότε µπορούµε να χαράξουµε µία ευθεία που είναι η γραµµή παράταξης της επαφής µας, µε υψόµετρο αυτό της ισοϋψούς. Όπως και προγενέστερα αναφέραµε εάν χαράξουµε µία παράταξη για µία επαφή από εκεί και πέρα µας αρκεί µόνο ένα σηµείο τοµής της επαφής στρώµατος µε ισοϋψή για να χαράξουµε και άλλες παρατάξεις. Ξαναθυµόµαστε επίσης ότι η οροφή ενός στρώµατος είναι το δάπεδο του ανωτέρω ή νεωτέρου στρώµατος.

26 26 ΠΑΡΑΤΗΡΉΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΜΜΕΣ ΠΑΡΑΤΑΞΗΣ ΣΤΟΝ ΓΕΩΛΟΓΙΚΟ ΧΑΡΤΗ ΤΗΣ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ : Η γραµµή Π1 είναι η παράταξη των 400 µέτρων της οροφής του ασβεστόλιθου ή η παράταξη των 400 µέτρων του δαπέδου του ψαµµίτη. Η γραµµή Π2 είναι η παράταξη των 300 µέτρων της οροφής του ασβεστόλίθου ή η παράταξη των 300 µέτρων του δαπέδου του ψαµµίτη. Η γραµµή Π3 είναι η παράταξη των 500 µέτρων της οροφής του ψαµµίτη ή η παράταξη των 500 µέτρων του δαπέδου του ασβεστόλιθου. Η γραµµή Π4 είναι η παράταξη των 600 µέτρων της οροφής του ασβεστόλιθου ή η παράταξη των 600 µέτρων του δαπέδου της αργίλου. Η γραµµή Π5 είναι η παράταξη των 500 µέτρων του δαπέδου της αργίλου ή η παράταξη των 500 µέτρων της οροφής του ασβεστόλιθου. Η γραµµή Π6 είναι η παράταξη των 600 µέτρων της οροφής της αργίλου ή του δαπέδου του ασβεστόλιθου. Παρατηρήσεις :

27 27 1. Η γραµµή Π2 είναι συγχρόνως η παράταξη των 300 µέτρων του δαπέδου του ψαµµίτη και των 600 µέτρων της οροφής του ψαµµίτη. 2. Η γραµµή Π5 είναι συγχρόνως η παράταξη των 500 µέτρων του δαπέδου της αργίλου και των 700 µέτρων της οροφής της αργίλου. Αυτό είναι δυνατό όταν οι παρατάξεις οροφής και δαπέδου ανήκουν στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο και εποµένως η προβολή τους πάνω στον χάρτη είναι η ίδια ευθεία. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΕΩΛΟΓΙΚΗΣ ΤΟΜΗΣ Τα γεωλογικά στρώµατα βρίσκονται στην φύση είτε οριζόντια είτε κεκλιµένα, που είναι και το συνηθέστερο. α. Οριζόντια στρώµατα Αναγνωρίζουµε τα οριζόντια στρώµατα από το γεγονός ότι οι επαφές είναι παράλληλες µε τις ισοϋψείς καµπύλες, όπως στον χάρτη της επόµενης σελίδας. Για την κατασκευή της γεωλογικής τοµής των οριζοντίων στρωµάτων ακολουθούµε την εξής διαδικασία. 1.Κατασκευάζουµε την τοπογραφική τοµή. 2.βρίσκουµε τα σηµεία τοµής των επαφών των στρωµάτων πάνω στον άξονα που εργαζόµαστε. 3.Φέρουµε µε την βοήθεια του µιλλιµετρέ καθέτους στον άξονα και σηµειώνουµε τα σηµεία τοµής τους µε την τοπογραφική τοµή. 4.Με την βοήθεια των σηµείων αυτών χαράσσουµε τα δάπεδα και τις οροφές των στρωµάτων πάνω στην τοπογραφική τοµή.

28 28 5.Παρατηρούµε την στρωµατογραφική µας στήλη και εντοπίζουµε το αρχαιότερο στρώµα, γνωρίζοντας ότι είναι αυτό το οποίο αποτέθηκε πρώτο και άρα βρίσκεται στα χαµηλότερα υψόµετρα(στην φάση αυτή δεν µπαίνουµε στην περίπτωση των ανεστραµµένων στρωµάτων 6.Συµβολίζουµε τα στρώµατα σύµφωνα µε τους συµβολισµούς που δίνονται στο υπόµνηµα του χάρτη. Στην επόµενη σελίδα δίνεται ο γεωλογικός χάρτης µίας περιοχής µε οριζόντια στρώµατα. Το χαρακτηριστικό που δεν πρέπει να µας διαφεύγει είναι ότι οι γραµµές επαφής και οι ισοϋψείς καµπύλες είναι παράλληλες µεταξύ τους.

29 29 Β. Κεκλιµένα στρώµατα Αναγνωρίζουµε πάνω στον χάρτη µας τα κεκλιµένα στρώµατα, από το ότι οι επαφές τους τέµνουν τις ισοϋψείς καµπύλες. Για την κατασκευή της γεωλογικής τοµής των κεκλιµένων στρωµάτων ακολουθούµε την παρακάτω διαδικασία. 1.Κατασκευάζουµε την τοπογραφική τοµή κατά µήκος του άξονα που µας ζητείται. 2.Εντοπίζουµε τις επαφές των στρωµάτων και ψάχνουµε να βρούµε κάποια επαφή πάνω στην οποία να µπορούµε να χαράξουµε δύο παρατάξεις. 3.Βρίσκουµε τα σηµεία τοµής των παρατάξεων µε τον άξονα πάνω στον οποίο εργαζόµαστε. Μεταφέρουµε τα σηµεία τοµής στα αντίστοιχα υψόµετρα πάνω στην τοπογραφική µας τοµή. Ενώνουµε µε µία ευθεία τα δύο σηµεία. Η ευθεία αυτή είναι η τοµή της επιφάνειας µας µε την τοπογραφική τοµή. 4.Από την στιγµή που έχουµε ορίσει µία παράταξη είναι αρκετό να έχουµε ένα σηµείο τοµής ισοϋψούς µε την οροφή ή το δάπεδο ενός στρώµατος και να

30 30 φέρουµε την παράλληλη προς την παράταξη που έχουµε ήδη. 5.Χαράσσουµε τις παρατάξεις για όλες τις επαφές που τέµνουν την τοµή µας και ακολουθούµε την διαδικασία που περιγράφεται στην παρ Παρατηρούµε την στρωµατογραφική µας στήλη και εντοπίζουµε το αρχαιότερο στρώµα, γνωρίζοντας ότι είναι αυτό το οποίο αποτέθηκε πρώτο και άρα βρίσκεται στα χαµηλότερα υψόµετρα(στην φάση αυτή δεν µπαίνουµε στην περίπτωση των ανεστραµµένων στρωµάτων). 7. Η φορά της µέγιστης κλίσης είναι ένα βέλος κάθετο προς µία παράταξη ενός στρώµατος µε φορά προς την παράταξη µικροτέρου υψοµέτρου. 8. Το βέλος δείχνει πάντα τα νεώτερα στρώµατα (υπό την προϋπόθεση ότι δεν έχουν αναστραφεί. 9. Συµβολίζουµε τα στρώµατα σύµφωνα µε το υπόµνηµα του χάρτη. Για να είναι η παρουσίαση της γεωλογικής τοµής πλήρης θα πρέπει να αναγράφονται: 1.Η κλίµακα είτε αριθµητικά είτε γραµµικά. 2.Η δ/νση του Βορρά 3.Η δ/νση της τοµής 4.Οι συµβολισµοί των στρωµάτων 5.Οι συµβολισµοί άλλων τεκτονικών στοιχείωνπου πιθανόν υπάρχουν. Σκοπός µας είναι να δώσουµε κάθε διευκρινιστικό στοιχείο γι αυτόν που θα µελετήσει την γεωλογική τοµή.

31 31 Κατασκευή γεωλογικής τοµής κεκλιµµένων στρωµάτων µε την βοήθεια Παρατάξεων.

32 32 ΤΡΟΠΟΙ ΕΚΦΡΑΣΗΣ ΚΛΙΣΗΣ Η κλίση εν γένει, µπορεί να εκφραστεί είτε µε γωνία είτε µε επί τοις εκατό έκφραση της εφαπτοµένης της γωνίας. Π.χ µία κλίση 45 µοιρών αντιστοιχεί σε κλίση 100%, αφού εφ45 =1. α. Υπολογισµός µορφολογικής κλίσης Έχουµε ένα λόφο και δύο σηµεία πάνω σ αυτόν τα Α και Γ. Θέλουµε να βρούµε την κλίση της ευθείας ΑΓ. Τα σηµεία Α και Γ έχουν µία υψοµετρική διαφορά h. Στο τρίγωνο του σχήµατος έχουµε : h=γβ,η

33 33 απόσταση των σηµείων Α και Γ προβαλλόµενη σε οριζόντιο επίπεδο = ΑΒ και η κλίση της ευθείας ΑΓ ή γωνία φ. Κλίση : εφφ=γβ/αβ=h/αβ επί 100. Β.Υπολογισµός της µορφολογικής κλίσης από τον τοπογραφικό χάρτη Παράδειγµα : Έχουµε το παρακάτω απόσπασµα τοπογραφικού χάρτη περιοχής και ζητούµε την µορφολογική κλίση µεταξύ των σηµείων ΑΒ. Σκεφτόµαστε: 1. Ο τοπογραφικός χάρτης είναι η προβολή σε οριζόντιο επίπεδο της µορφολογικής επιφάνειας, επιπλέον δε γνωρίζουµε την κλίµακα του χάρτη. 2. α)υπολογισµός οριζόντιας απόστασης των Α και Β Με τον χάρακα µετρούµε την απόσταση µεταξύ των σηµείων Α και Β που είναι πάνω στον χάρτη 17 χιλιοστά ή 1,7 εκατοστά. Βάσει της κλίµακας (1/20.000) η οριζόντια απόστασή τους στο έδαφος είναι 340 µέτρα. β)υπολογισµός υψοµετρικής διαφοράς των Α και Β Η υψοµετρική διαφορά των Α και Β βρίσκεται από τις ισοϋψείς καµπύλες στις οποίες ανήκουν. Στην περίπτωσή µας, το µεν Α ανήκει στην ισοϋψή των 400µ το δε Β στην ισοϋψή των 200 µέτρων. Εποµένως η υψοµετρική τους διαφορά είναι 200 µέτρα.

34 34 3. Για να υπολογίσω την κλίση σχηµατίζω ορθογώνιο τρίγωνο µε µία κάθετο πλευρά την απόσταση ΑΒ και την άλλη κάθετο πλευρά την υψοµετρική διαφορά h. ΑΒ=340 µέτρα (1,7 εκ.) ΒΓ=h=200 µέτρα(1 εκ.) ΚΛΙΣΗ = εφφ = h/αβ=200µ/ 340µ = 0,59 ΚΛΙΣΗ= 59% Εάν θέλουµε την κλίση της ευθείας εκφρασµένη σε γωνία βρίσκουµε από τους τριγωνοµετρικούς πίνακες την γωνία που αντιστοιχεί στην τιµή της εφαπτοµένης π.χ εφφ= 0,59,η γωνία είναι 31 µοίρες και 30. ΚΛΙΣΗ=31 ο και 30 Άλλος τρόπος είναι να κατασκευάσουµε το τρίγωνό µας µε την κλίµακα του χάρτη, όπως κάναµε παραπάνω, οπότε απλά µετρούµε µε το µοιρογνωµόνιο την γωνία φ. Στην περίπτωσή µας την βρίσκουµε και πάλι 31 µοίρες και 30 λεπτά. Υπολογισµός µέγιστης κλίσης µίας γεωλογικής επιφάνειας από τις παρατάξεις Οι παρατάξεις είναι για µία γεωλογική επιφάνεια (ρήγµα,επιφάνεια επαφής στρωµάτων κλπ) ότι οι ισοϋψείς για την µορφολογική επιφάνεια. Εποµένως µε τον ίδιο τρόπο που εργαστήκαµε για τον υπολογισµό της µορφολογικής κλίσης θα εργαστούµε και για τον υπολογισµό της µέγιστης κλίσης γεωλογικών επιφανειών από τις παρατάξεις. Έστω δύο γραµµές παράταξης του δαπέδου ενός στρώµατος, η παράταξη των 500 µέτρων και η παράταξη των 600 µέτρων, πάνω σε ένα χάρτη µε κλίµακα 1: Ν Παράταξη 600 µ. Παράταξη 500 µ.

35 35 άπεδο Οροφή Κλίµακα: 1: ος Τρόπος: Επί της εκατό έκφραση της µέγιστης κλίσης Μετρούµε την κάθετη απόσταση µεταξύ των δύο διαδοχικών παρατάξεων µε το υποδεκάµετρο και αυτή είναι 1.1 εκ. Με βάση την κλίµακα του χάρτη κάνουµε την µετατροπή και η οριζόντια απόσταση στο έδαφος των δύο παρατάξεων είναι 220 µέτρα. Σκεπτόµαστε: Προχωρώντας οριζοντίως 220µ κατεβαίνουµε 100 µ. << << 100µ << Χ; Χ = 100µ * 100µ/220µ = 45,45 µ Εποµένως : Η κλίση του δαπέδου του στρώµατος είναι 45,45% 2 ος Τρόπος Η τιµή της µέγιστης κλίσης εκφρασµένη σε γωνία Κατασκευάζουµε ένα ορθογώνιο τρίγωνο,µε βάση την κλίµακα του χάρτη. Η µία κάθετη πλευρά είναι η απόσταση των παρατάξεων προβαλλόµενη σε οριζόντιο επίπεδο δηλαδή 1,1 εκ.(220µ) και η άλλη κάθετη πλευρά είναι η υψοµετρική τους διαφορά,

36 36 που είναι 100 µέτρα δηλαδή 0,5 εκ. µε βάση την κλίµακα ΑΒ= 1.1 εκ. = 220µέτρα ΒΓ= h =0.5 εκ.= 100 µέτρα Αφού κατασκευάσαµε το τρίγωνο : α. Μετρούµε την γωνία φ µε το µοιρογνωµόνιο.το µέτρο της γωνίας είναι µέγιστη κλίση της γεωλογικής επιφάνειας πάνω στην οποία εργαζόµαστε, εκφρασµένη σε γωνία. Στην περίπτωσή µας : Γωνία µέγιστης κλίσης= 24 ο και 30. Β. Μπορούµε όµως και αλλιώς να βρούµε το µέτρο της γωνίας: εφφ = ΒΓ/ΑΒ=100µ/220µ = Από την τιµή της εφφ και από τους τριγωνοµετρικούς πίνακες ή από τους µίνι υπολογιστές βρίσκουµε το µέτρο της γωνίας σε µοίρες. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ Πολύ συχνά σε µελέτες ή σε κατασκευαστικές εργασίες πρέπει να προσδιοριστεί η θέση ενός επιπέδου στον χώρο. Για τον προσδιορισµό ενός επιπέδου στον χώρο (διεύθυνση,κλίση,φορά µέγιστης κλίσης) απαιτείται να γνωρίζουµε τα εξής στοιχεία : 1.Τρία σηµεία 2.Μία ευθεία και ένα σηµείο 3. ύο παράλληλες ευθείες 4. ύο τεµνόµενες ευθείες Το συνηθέστερο και το ευκολότερο είναι να γνωρίζουµε την θέση τριών σηµείων ενός επιπέδου στον χώρο και γι αυτό τον λόγο επικράτησε το πρόβληµα του προσδιορισµού επιπέδου στον χώρο να ονοµάζεται το πρόβληµα των τριών σηµείων.

8. Υπολογισµός Α.Υ. επαφής σε τυχαία θέση: Το «πρόβληµα» της γεώτρησης

8. Υπολογισµός Α.Υ. επαφής σε τυχαία θέση: Το «πρόβληµα» της γεώτρησης 8. Υπολογισµός Α.Υ. επαφής σε τυχαία θέση: Το «πρόβληµα» της γεώτρησης 1. Γενικά... 78 2. Γεώτρηση σε απλά κεκλιµένα στρώµατα... 78 3. Γεώτρηση σε διερρηγµένα στρώµατα... 81 4. Γεώτρηση σε ασύµφωνα στρώµατα...

Διαβάστε περισσότερα

4. Απλά κεκλιµένα στρώµατα

4. Απλά κεκλιµένα στρώµατα 4. Απλά κεκλιµένα στρώµατα 1. Γενικά... 34 2. Μορφές εµφανίσεων γεωλογικών σχηµατισµών - Ο κανόνας του «V»... 37 3. Χάρτης απλών κεκλιµένων στρωµάτων... 40 4. Γεωλογική τοµή... 41 5. Γεωλογική εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο Εργασίας. Θέμα : Περπατώντας στο Πήλιο Θέλετε να οργανώσετε έναν ορειβατικό περίπατο από την Αγριά στην Δράκεια Πηλίου.

Φύλλο Εργασίας. Θέμα : Περπατώντας στο Πήλιο Θέλετε να οργανώσετε έναν ορειβατικό περίπατο από την Αγριά στην Δράκεια Πηλίου. Ενότητα Χάρτες Φύλλο Εργασίας Μελέτη χαρτών Τάξη Α Γυμνασίου Ονοματεπώνυμο.Τμήμα..Ημερομηνία. Σκοποί του φύλλου εργασίας Η εξοικείωση 1. Με την χρήση των χαρτών 2. Με την χρήση της πυξίδας 3. Με την εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

Κατεύθυνση:«Τεχνικής Γεωλογία και Περιβαλλοντική Υδρογεωλογία»

Κατεύθυνση:«Τεχνικής Γεωλογία και Περιβαλλοντική Υδρογεωλογία» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ» Κατεύθυνση:«Τεχνικής Γεωλογία και Περιβαλλοντική Υδρογεωλογία» Βασικά εργαλεία Τεχνικής Γεωλογίας και Υδρογεωλογίας Επικ. Καθηγ. Μαρίνος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ. Άσκηση 2: Βυθοµετρικός χάρτης Βυθοµετρική τοµή

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ. Άσκηση 2: Βυθοµετρικός χάρτης Βυθοµετρική τοµή ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΩΚΕΑΝΩΝ Άσκηση 2: Βυθοµετρικός χάρτης Βυθοµετρική τοµή ιδάσκοντες Καθ. Γ. Φερεντίνος Λέκτορας Μ. Γεραγά Μεταπτυχιακοί φοιτητές: Μαργαρίτα Ιατρού ηµήτρης Χριστοδούλου Βυθοµέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ

2.1 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 1 2.1 ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ ΘΕΩΡΙ Εφαπτοµένη οξείας γνίας : Έστ ένα ορθογώνιο τρίγνο και µία από τις οξείες γνίες του. Ονοµάζουµε εφαπτοµένη της γνίας και συµβολίζουµε µε εφ το λόγο της απέναντι κάθετης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ. Στοιχεία τοπογραφικών χαρτών

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ. Στοιχεία τοπογραφικών χαρτών ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ Στοιχεία τοπογραφικών χαρτών ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Τοπογραφικοί χάρτες Βασικό στοιχείο του χάρτη αποτελεί : το τοπογραφικό υπόβαθρο, που αναπαριστά µε τη βοήθεια γραµµών (ισοϋψών)

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριζόντια στρώµατα

3. Οριζόντια στρώµατα 3. Οριζόντια στρώµατα 1. Γενικά... 26 2. Στρωµατογραφική διάρθρωση Στρωµατογραφική στήλη... 27 3. Γεωλογική τοµή... 27 4. Γεωλογική εξέλιξη της περιοχής του χάρτη... 31 26 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 1. Γενικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 Τοπογραφικοί Χάρτες Περίγραμμα - Ορισμοί - Χαρακτηριστικά Στοιχεία - Ισοϋψείς Καμπύλες - Κατασκευή τοπογραφικής τομής

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Σχήµα 1 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Η κυλινδρική επιφάνεια ή κύλινδρος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας α, (γενέτειρα) η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο)

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Άσκηση Η15 Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Το γήινο μαγνητικό πεδίο αποτελείται, ως προς την προέλευσή του, από δύο συνιστώσες, το μόνιμο μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

της ΓΕΩΛΟΓΙΚΗΣ ΠΥΞΙΔΑΣ

της ΓΕΩΛΟΓΙΚΗΣ ΠΥΞΙΔΑΣ Οδηγίες Χρήσης της ΓΕΩΛΟΓΙΚΗΣ ΠΥΞΙΔΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ και ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΕΩΝ Αθήνα 2010-1- Με τη γεωλογική πυξίδα μπορούμε να μετρήσουμε τα στοιχεία των επιπέδων των γεωλογικών επιφανειών

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. Περιεχόµενα... 7. Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11. Ευρετήριο Εικόνων... 18. Κεφάλαιο 1

Περιεχόµενα. Περιεχόµενα... 7. Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11. Ευρετήριο Εικόνων... 18. Κεφάλαιο 1 Περιεχόµενα Περιεχόµενα... 7 Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11 Ευρετήριο Εικόνων... 18 Κεφάλαιο 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ... 19 Θεωρία... 19 1.1 Έννοιες και ορισµοί... 20 1.2 Μονάδες µέτρησης γωνιών και µηκών...

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η στερεογραφική απεικόνιση του επιπέδου του ρήγματος, καθώς και του βοηθητικού επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs. Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός hp://www.perifysikhs.com Αναζητώντας την αιτία των κινήσεων Η µελέτη των κινήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο.

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο. ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Η ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης δεν διαφέρει στα βασικά από την ιστιοπλοΐα τριγώνου η οποία γίνεται με μικρά σκάφη καi σε προκαθορισμένο στίβο. Όταν όμως αφήνουμε την ακτή και ανοιγόμαστε στο

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής Δρ. Απόστολος Ντάνης Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής *Βασικές μορφές προσανατολισμού *Προσανατολισμός με τα ορατά σημεία προορισμού στη φύση *Προσανατολισμός με τον ήλιο *Προσανατολισμός από τη σελήνη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Ταξινόμηση εδαφών Εδαφομηχανική - Μαραγκός Ν. (2009). Προσθήκες Κίρτας Ε. (2010) σελ. 1.1 ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Η Εδαφομηχανική ασχολείται με τη μελέτη της συμπεριφοράς του εδάφους

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Σε πολλές από τις εργαστηριακές ασκήσεις θα ζητηθεί στην έκθεσή σας να περιλάβετε µια ή περισσότερες γραφικές παραστάσεις. Αυτές οι γραφικές παραστάσεις µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κυκλική κίνηση µίας σηµειακής µάζας και ιδιαίτερα την εξάρτηση της κεντροµόλου δύναµης από τη µάζα,

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3 Προβλήµατα 1. Να κατασκευάσετε µια γωνία xαy, γνωρίζοντας ότι: 3 α) εφ xay = 5 β) συν xay = 0,8 γ) ηµ xay = 0,4 2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7 4. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

1) κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία x = x0 =± ( ηλαδή η ευθεία x = x0. είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη όταν ένα τουλάχιστον από τα δύο πλευρικά όρια

1) κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία x = x0 =± ( ηλαδή η ευθεία x = x0. είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη όταν ένα τουλάχιστον από τα δύο πλευρικά όρια ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΩΝ Η : A έχει: ) κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία 0 τ.µ.τ. όταν lim ± ή lim ± ή lim ± ( ηλαδή η ευθεία 0 0 + 0 0 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη όταν ένα τουλάχιστον από τα δύο πλευρικά όρια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΞΑΜΗΝΟ: 7 ο Β. ΜΑΡΙΝΟΣ, Επ. ΚΑΘ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Β. ΧΡΗΣΤΑΡΑΣ, ΚΑΘ. Φεβρουάριος 2015 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ύο λόγια από τους συγγραφείς.

ύο λόγια από τους συγγραφείς. ύο λόγια από τους συγγραφείς. Το βιβλίο αυτό γράφτηκε από τους συγγραφείς με σκοπό να συμβάλουν στην εκπαιδευτική διαδικασία του μαθήματος της Τοπογραφίας Ι. Το βιβλίο είναι γραμμένο με τον απλούστερο

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα