Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ. . (Υποδείγματα με Διαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις 1 )

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ. . (Υποδείγματα με Διαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις 1 )"

Transcript

1 Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ.. (Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις ) Περιεχόμενα. Γενικά. Οικονομετρικά Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις. Η Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης στην Ελλάδα σε μία Μεταβολή της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend. Η Προσέγγιση των ιαχρονικών Επιδράσεων (Αντιδράσεων). Η Μαθηματική Προσέγγιση των Σχέσεων με ιαχρονικές Αλληλεξαρτήσεις. Η Άμεση (Βραχυχρόνια) Επίδραση (Impac Effec, Shor Run Effec): Οι Ενδιάμεσες Επιδράσεις (Inerim Effecs). Η Αθροιστική Επίδρασης μιας μεταβολής της μεταβλητής στην μεταβλητή Effecs, Long-run effecs) Οι Σταθμισμένοι Συντελεστές Επίδρασης (Sandardized Coefficiens). Η Μέση Χρονική Επίδραση (Mean Lag). Αλγεβρική Προσέγγιση του (Χρονο)ιάγραμματος G.3(Συνέχεια). Η ιάμεση Χρονική Επίδραση (Medean Lag). Το Υπόδειγμα της Μερικής Προσαρμογής. Παρουσίαση. Μέθοδος Εκτίμησης των παραμέτρων. Το Υπόδειγμα των Αναπροσαρμοσμένων Προβλέψεων. Παρουσίαση του Υποδείγματος. Μέθοδος Εκτίμησης των παραμέτρων. Υποδείγματα με Πολυωνυμικά Κατανεμημένες Χρονικές Επιδράσεις. Παρουσίαση του Υποδείγματος. Μέθοδος Εκτίμησης των παραμέτρων. (Cumulaive Συνήθως τα υποδείγματα αυτά ονομάζονται και Υποδείγματα με Κατανεμημένες Χρονικές Υστερήσεις (Disribued Lags Models). Σε πολλά οικονομετρικά εγχειρίδια η λέξη επίδραση αντικαθίσταται με την λέξη υστέρηση.

2 Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ. (Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις 3 ) Στο Χρονοιάγραμμα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι διαχρονικές εξελίξεις της μέσης τιμής της αμόλυβδης βενζίνης στην Ελλάδα και οι αντίστοιχες διεθνείς τιμές του πετρελαίου Brend ($/ Βαρέλι). Πρόκειται για ημερήσια στοιχεία από την αρχή του έτους 9. Χρησιμοποιώντας κάποιο από τα γνωστά σας οικονομετρικά υποδείγματα να σχολιάσετε τρόπους που θα μπορούσατε να διερευνήσετε και γενικότερα να σχηματοποιήσετε τη διαχρονική συνεξέλιξη αυτών των δύο μεγεθών. Χρονοδιάγραμμα ιαχρονική συνεξέλιξη των τιμών του πετρελαίου Brend ($/ Βαρέλι) και της μέσης τιμής της αμόλυβδης στην Ελλάδα. 3 Συνήθως τα υποδείγματα αυτά ονομάζονται και Υποδείγματα με Κατανεμημένες Χρονικές Υστερήσεις (Disribued Lags Models).

3 Ενδεικτική Απάντηση. Για την διερεύνηση της διαχρονικής συνεξέλιξης αυτών των δύο οικονομικών μεγεθών θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε μια πληθώρα από οικονομετρικά υποδείγματα, συμπεριλαμβανομένων και της απλής γραμμικής και μη γραμμικής Περιγραφικής Στατιστικής. Θα περιοριστούμε όμως στα υποδείγματα με διαχρονικά κατανεμημένες επιδράσεις. H τιμή της Αμόλυβδης Βενζίνης επηρεάζεται αλλά και επηρεάζει την ιεθνώς ιαμορφούμενη τιμή των πετρελαίων Brend ($/ Βαρέλι). Γράφημα Ροής. Πιθανές Σχέσεις ιαχρονικής Αλληλεξάρτησης μεταξύ της μέσης τιμής της Αμόλυβδης Βενζίνης και της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend. Αυτή η διαχρονική σχέση αλληλεξάρτησης φαίνεται κάπως εξωπραγματική. Μπορούμε εύκολα να δεχθούμε ότι η τιμή του πετρελαίου Brend επηρεάζει την μέση τιμή της Αμόλυβδης Βενζίνης στην Ελλάδα. ε μπορούμε όμως σε καμία περίπτωση να δεχθούμε ότι η μέση τιμή της αμόλυβδης βενζίνης στην Ελλάδα επηρεάζει έστω και σε κάποιο ποσοστό την τιμή του πετρελαίου διεθνώς. Με βάση τον παραπάνω συλλογισμό μπορούμε να απλοποιήσουμε σε μεγάλο βαθμό το Γράφημα Ροής, ως εξής: 3

4 Γράφημα Ροής. Πιθανές Σχέσεις ιαχρονικής Αλληλεξάρτησης μεταξύ της μέσης τιμής της Αμόλυβδης Βενζίνης και της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend. Από το παραπάνω Γράφημα Ροής, προκύπτει ότι η μέση τιμή της Αμόλυβδης βενζίνης στην Ελλάδα επηρεάζεται από την ιεθνώς Καθορισμένη τιμή των Τιμών του Πετρελαίου Brend τόσο στο παρόν όσο και στο παρελθόν (περίοδος -, και περίοδος -). Ένα τέτοιο χωρίς απαραίτητη στατιστική επαλήθευση συμπέρασμα μας οδηγεί στη χρησιμοποίηση υποδειγμάτων με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις για τη διερεύνηση της διαχρονικής συνεξέλιξης μεταξύ αυτών των δύο μεγεθών. 4

5 Οικονομετρικά Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις. Ένας τρόπος που θα μπορούσε να μας βοηθήσει να εντοπίσουμε πιθανές διαχρονικές σχέσεις εξάρτησης μεταξύ δύο ή περισσότερων μεγεθών, είναι να υπολογίσουμε τον τρόπο που η μια μεταβλητή αντιδρά σε μια μεταβολή μιας άλλης μεταβλητής που υποθέτουμε ότι την επηρεάζει αιτιωδώς. Η Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης στην Ελλάδα σε μία Μεταβολή της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend. Από τη μέχρι τώρα ανάλυση θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι υφίσταται μια διαχρονική επίδραση στις τιμές του πετρελαίου Brend στη μέση τιμή της αμόλυβδης στην Ελλάδα. Αυτή η διαχρονική επίδραση μπορεί να προσεγγισθεί μ ένα υπόδειγμα με διαχρονικά κατανεμημένες επιδράσεις, όπως αυτά που αναπτύξαμε στο ανάλογο μάθημα της Οικονομετρίας ΙΙ. Μας ενδιαφέρει δηλαδή να υπολογίσουμε το πώς αντιδρά η μέση τιμή της αμόλυβδης στην Ελλάδα σε μια μεταβολή (αυ ξηση ή μείωση) των τιμών του πετρελαίου Brend. Ένας τρόπος να διερευνήσουμε τα διαχρονικά χαρακτηριστικά της σχέσης που συνδέει αυτά τα δύο μεγέθη είναι να δούμε πως μια μεταβολή στην τιμή του Brend θα μπορούσε να επηρεάσει την μέση τιμή της αμόλυβδης βενζίνης στην Ελλάδα Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης στην Ελλάδα Προσωρινή Μεταβολή της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend Januar Februar March April Ma (Σχε)ιάγραμμα G.3 : Γραφική παρουσίαση μιας μη μόνιμης Αύξησης της τιμής του Πετρελαίου Brend στη μέση τιμή της Αμόλυβδης Βενζίνης στην Ελλάδα. 5

6 Μια μη μόνιμη (πρόσκερη) αύξηση στην τιμή του Brend μπορεί να αυξήσει την τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα. Το αντίστροφο θα αναμένουμε να συμβεί για μια μείωση της τιμής του Brend. Στο (Σχε)ιάγραμμα G.3 παρουσιάζουμε γραφικά την επίδραση μιας προσωρινής ς αύξησης του Brend στη μέση τιμή της Αμόλυβδης Βενζίνης. Από το παραπάνω (Σχε)ιάγραμμα προκύπτει ότι μια πρόσκαιρη αύξηση της τιμής του πετρελαίου Brend θα επιδράσει θετικά στη μέση τιμή της αμόλυβδης. Η αύξηση αυτή έχει την μορφή που δίδεται στο επιμέρους γράφημα, και θα έχει μια διάρκεια την οποία και αναλύουμε στις παραγράφους που ακολουθούν. Με βάση τα ευρήματα και την τιμή της αμόλυβδης θα μπορούσαμε να πούμε ότι η σχέση που συνδέει την τιμή του Brend και το ιαθέσιμο Ιδιωτικό Εισόδημα είναι μια σχέση με διαχρονικά χαρακτηριστικά. Στην ανάλυση των διαχρονικά κατανεμημένων επιδράσεων μεταξύ δύο ή περισσότερων οικονομικών μεγεθών, εκτος της διάστασης του χρόνου, μπορούμε να συμπεριλάβουμε και επιπλέον πληροφόρηση και για άλλα χαρακτηριστικά της ανάλυσης όπως το ρόλο που έχει το ύψος της τιμής του Brend. Είναι λογικό κάποιος να περιμένει ότι η επίδραση μιας μεταβολής (αύξησης) της τιμής του Brend, θα έχει διαφορετικές επιπτώσεις στη μέση τιμή της αμόλυβδης στην Ελλάδα και θα εξαρτάται από το ύψος που έχει τη συγκεκριμένη χρονική περίοδο η τιμή του Brend. Άλλη αντίδραση θα έχει με τιμή 5$ και άλλη με 75$. Μια τρισδιάστατη 4 πανοραμική παρουσίαση της επίδρασης μιας μη μόνιμης μεταβολής του ιαθέσιμου Ιδιωτικού Εισοδήματος στην Ιδιωτική κατανάλωση σε διαφορετικά επίπεδα ιαθέσιμου Εισοδήματος δίδεται στο (Σχε)ιάγραμμα G.4 4 Η τρισδιάστατη αυτή παρουσίαση αντιστοιχεί στην αντίδραση της Ιδιωτικής Κατανάλωσης σε μια μη μόνιμή μεταβολή του εισοδήματος σε διαφορετικά επίπεδα εισοδήματος. 6

7 Αντίδραση της της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης στην Ελλάδα Χρόνος ιαφορετικά Επίπεδα Τιμής του Πετρελαίου (Σχε)ιάγραμμα G.5 ιαχρονική παρουσίαση των επιδράσεων 5 μιας μη μόνιμης μεταβολής του ιαθεσίμου Εισοδήματος στην Ιδιωτική Κατανάλωση για διαφορετικά επίπεδα εισοδήματος. Το Σχεδιάγραμμα G.5 είναι μια επιπλέον επιβεβαίωση της χρησιμότητας διαχρονικών σχέσεων αλληλεξάρτησης μεταξύ των οικονομικών μεγεθών. Η πληροφόρηση για την εξέλιξη μιας πρόσκαιρης μεταβολής της τιμής του Brend στη μέση τιμή της αμόλυβδης σε διαφορετικά επίπεδα της τιμής του Brend είναι μια χρησιμότατη πληροφόρηση στους ασκούντες οικονομική πολιτική, και όχι μόνον. 7

8 Η Προσέγγιση των ιαχρονικών Επιδράσεων (Αντιδράσεων). Στό (Χρονο)ιάγραμμα G.4 παρουσιάζεται γραφικά η επίδραση μιας αύξησης του ιαθέσιμου Ιδιωτικού Εισοδήματος ( )στην Ιδιωτική Κατανάλωση ( C )της Ελληνικής Οικονομίας. Αντίδραση της της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης στην Ελλάδα Χρόνος ιαφορετικά Επίπεδα Τιμής του Πετρελαίου (Χρονο)ιάγραμμα G.4 ιαχρονική Αντίδραση της Η Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης στην Ελλάδα σε μία Μεταβολή της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend. ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) ( oil ) β = = = ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα την τρέχουσα περίοδο(πρώτη Ημέρα)) ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), +, + ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα τόν δεύτερη Ημέρα)) ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), +, + ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα τή Τρίτη Ημέρα) 3 ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), + 3, + 3 ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα τήν Τέταρτη Ημέρα) 7 ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), + 7, + 7 ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής του ιαθέσιμου Ιδιωτικού Εισοδήματος στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα την έβδομη Ημέρα) 8

9 7, 6, 5, 4, 3, Η Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης στην Ελλάδα σε μία Μεταβολή της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend. 6,3,,,,,3, (Χρονο)ιάγραμμα G.4 ιαχρονική Αντίδραση της Η Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης στην Ελλάδα σε μία Μεταβολή της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend. ( PAVER ) ( Poil) ( AVER ) d( Poil), +, + ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα την τρέχουσα περίοδο(πρώτη Ημέρα)) ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), +, + ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα τόν δεύτερη Ημέρα)) ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), +, + ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα τή Τρίτη Ημέρα) 4 ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), + 4, + 4 ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα τήν Τέταρτη Ημέρα) 7 ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), + 7, + 7 ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής του ιαθέσιμου Ιδιωτικού Εισοδήματος στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα την έβδομη Ημέρα) 9

10 Μαθηματική Προσέγγιση των Σχέσεων με ιαχρονικές Αλληλεξαρτήσεις. Μέχρι τώρα μελετήσαμε την στατική σχέση μεταξύ δυο μεγεθών με βάση το απλό υπόδειγμα: ( ;, ) = f β β + ε (G.) Με βάση όμως το (Χρονο)ιαγράμματα G.4 και G.6 το παραπάνω υπόδειγμα πρέπει να επεκταθεί και να συμπεριλάβει τις διαχρονικές επιδράσεις της μεταβλητής παραπάνω υπόδειγμα σε ένα υπόδειγμα της μορφής : στην μεταβλητή (, ;, ) = f β β β β + ε (G.) 3 k k. Θα πρέπει το Το υπόδειγμα G. είναι ένα υπόδειγμα με διαχρονικά κατανεμημένες επιδράσεις, δεδομένου ότι λαμβάνει υπ όψη του τις επιδράσεις της ερμηνευτικής μεταβλητής στην ερμηνευόμενη μεταβλητή χρονικές περιόδους. οι οποίες σημειώθηκαν ή έλαβαν μέρος σε διαφορετικές μελλοντικές Στο υπόδειγμα (G.) η επίδραση της μεταβλητής χρονικής περιόδου. επί της μεταβλητής εξαντλείται εντός μιας Στο υπόδειγμα (G.) η επίδραση της μεταβλητής στην μεταβλητή κατανέμεται στον χρόνο, δεδομένου ότι εκτός την άμεση επίδραση d d +, d d +3 διαφήμιση) στις πωλήσεις d διαχέεται ή καλύτερα d d, d έχουμε επιπλέον τις + κ.λ.π. που εκφράζουν τις επιδράσεις μιας μεταβολής της μεταβλητής (δαπάνες για του συγκεκριμένου προϊόντος, τις επόμενες χρονικές περιόδους. Έχοντας στην διάθεση μας τις εκτιμήσεις των παραμέτρων β, β, β,..., β κ μπορούμε να αντλήσουμε πληροφόρηση και να συστηματοποιήσουμε την μελέτη των διαχρονικών επιδράσεων της μεταβλητής (απάνες για ιαφήμιση) στην μεταβλητή (Πωλήσεις ενός Προϊόντος) χρησιμοποιώντας τα εξής: Η Άμεση (Βραχυχρόνια) Επίδραση (Impac Effec, Shor Run Effec): d = β d Εκφράζει την άμεση αντίδραση της μεταβλητής στην περίοδο. (G.3) σε μια μεταβολή της ερμηνευτικής μεταβλητής 6 6 Θά μπορούσαμε επίσης να πούμε ότι η σχέση (G.3) εκφράζει την άμεση επίδραση μιας μεταβολής της ερμηνευτικής μεταβλητής επί της ερμηνευόμενης μεταβλητής 6 στην περίοδο.

11 Οι Ενδιάμεσες Επιδράσεις (Inerim Effecs). Οι εκτιμήσεις των παραμέτρων β, β,..., β κ θα μπορούσαν να θεωρηθούν ως οι ενδιάμεσες επιδράσεις στην πρόσκαιρη μεταβολή της μεταβλητής την περίοδο, στις χρονικές περιόδους: d = = d + + β περίοδο στην μεταβλητή d = = d + + β την περίοδο στην μεταβλητή d = = d + κ + κ β κ την περίοδο στην μεταβλητή : Εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της μεταβλητής που εκδηλώνεται την την περίοδο +. : Εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της μεταβλητής που εκδηλώνεται την περίοδο +. : Εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της μεταβλητής που εκδηλώνεται την περίοδο + κ. Η Αθροιστική Επίδρασης μιας μεταβολής της μεταβλητής (Cumulaive Effecs, Long-run effecs) στην μεταβλητή Το «άθροισμα» όλων των συντελεστών β, β, β,..., β κ εκφράζει το συνολικό (τελικό) αποτέλεσμα στην επίδραση μιας μεταβολής της μεταβλητής στην μεταβλητή. Η αθροιστική επίδραση υπολογίζεται ως εξής: κ d d+ d+ d+ κ... β β... βκ β d d d d = = (G.4) = Οι Σταθμισμένοι Συντελεστές Επίδρασης (Sandardized Coefficiens). Οι συντελεστές αυτοί ορίζονται ως εξής: β = κ β = β για,,..., κ = (G.5) Οι συντελεστές αυτοί εκφράζουν το ποσοστό της επίδρασης μιας μεταβολής της μεταβλητής μεταβλητής που έχει υλοποιηθεί στην,,,..., κ = περίοδο. επι της

12 Μπορούμε επιπλέον να ορίσουμε σε σχέση με τον χρόνο τα εξής επιπλέον μεγέθη: Η Μέση Χρονική Επίδραση (Mean Lag) 7. = Μέση Χρονική Επίδραση = κ κ = β β (G.6) Η μέση επίδραση εκφράζει τον χρόνο που απαιτείται για να ολοκληρωθεί κατά % η επίδραση της μεταβολής της μεταβλητής επί της μεταβλητής. Εάν για παράδειγμα η μέση επίδραση είναι,5 και όταν οι δύο μεταβλητές και είναι διαθέσιμες σε μηνιαία βάση αυτό σημαίνει ότι για να εξαντληθεί ή να μηδενισθεί η επίδραση μιας μεταβολής στην μεταβλητή κατά μέσο χρόνο απαιτούνται.5 μήνες. Η μέση επίδραση θέλει προσοχή στην ερμηνεία της διότι εκφράζει στο μέσο χρόνο που χρειάζεται να ολοκληρωθεί στο % της επίδρασης της μεταβλητής κάνουμε συγκρίσεις. στην. Είναι χρήσιμο εργαλείο ιδίως όταν (Χρονο)ιάγραμμα G.7. ιαχρονιά κατανεμημένες επιδράσεις με την ίδια χρονική διάρκεια αλλά με διαφορετική Μέση Επίδραση. Στο (Χρονο)ιάγραμμα G.7 συγκρίνουμε δυο διαχρονικά κατανεμημένες επιδράσεις οι οποίες εξαντλούνται εντός χρονικών περιόδων. Ενώ και οι δυο επιδράσεις έχουν μια χρονική διάρκεια περιόδων η επίδραση (Α) εξαντλείται σε μεγάλο μέρος στις ή 3 χρονικές περόδους σε αντίθεση με την επίδραση (Β) που χρειάζεται περισσότερο χρόνο μέχρις ότου εξαντλειθεί. Η ιάμεση Χρονική Επίδραση (Medean Lag). Η επίδραση αυτή υπολογίζεται ως εξής: ιάμεση Επίδραση = Lag όταν Lag β = β =,5 (G.7) 7 Σε πολλά οικονομετρικά εγχειρίδια η λέξη επίδραση αντικαθίσταται με την λέξη υστέρηση.

13 Η ιάμεση Επίδραση εκφράζει τον χρόνο μέσα στον οποίο το 5% της επίδρασης έχει ολοκληρωθεί. Είναι και αυτό ένα επιπλέον εργαλείο ή μέτρο μελέτης της διαχρονικής αντίδρασης της εξαρτημένης μεταβλητής σε μια μεταβολή της ανεξάρτητης μεταβλητής. 3

14 Αλγεβρική Προσέγγιση του (Χρονο)ιάγραμματος G.3(Συνέχεια). Προσεγγίζουμε τό (Χρονο)ιάγραμμα G.3 ή την γενική σχέση (5.3) που συνδέει τις δυο μεταβλητές με το ανάπτυγμα μιας σειράς Talor, ως εξής : θ θ θ θ = ( ) ( ) ( ) ( 3 3) θ θ θ θ 3 θ θ θ θ θ θ θ = ε θ θ θ θ 3 θ θ θ θ θ θ = a ε (5.4) θ θ θ Το υπόδειγμα που προκύπτει είναι : a β β β ε (5.5) = k k + Το υπόδειγμα (5.5) είναι ένα υπόδειγμα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις 8 ( Disribued Lags Model). Αν έχουμε στην διάθεση μας στοιχεία για την μεταβλητή και την μεταβλητή, μπορούμε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους a, β, β,..., β και κατ επέκταση να συγκεκριμενοποιήσουμε αριθμητικά τις διαχρονικές εκφράσεις και της μεταβλητής (5.4). στην μεταβλητή μέσω των σχέσεων Το υπόδειγμα (5.5) μπορεί να γραφεί ως εξής : = + k β + = a ε (5.6) Το υπόδειγμα (5.6) έχει συγκεκριμένο αριθμό χρονικών υστερήσεων (s),δηλαδή η επίδραση της έχει ένα συγκεκριμένο αριθμό επιδράσεων (s).το υπόδειγμα (5.6) συνήθως ονομάζεται Υπόδειγμα ιαχρονικών Κατανεμημένων Επιδράσεων με περιορισμένο Αριθμό Χρονικών Επιδράσεων. Επιπλέον υπάρχει η δυνατότητα να γράψουμε (5.6) ως εξής : 8 4

15 (5.7) = a+ β + ε = Το (5.7) είναι το Υπόδειγμα των ιαχρονικών Κατανεμημένων Επιδράσεων με Απεριόριστο (Άπειρο) Αριθμό Χρονικών Επιδράσεων ν. 5

16 Το Υπόδειγμα της Μερικής Προσαρμογής (των Αποθεμάτων) 9. Για τη διερεύνηση της διαχρονικής συνεξέλιξης της μέσης τιμής της αμόλυβδης και της τιμής του πετρελαίου Brend, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε το Υπόδειγμα της Μερικής Προσαρμογής. Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι η επιθυμητή τιμή της αμόλυβδης στην Ελλάδα, έστω P είναι AVER, συνάρτηση της τιμής του Brend. Θα μπορούσαμε δηλαδή να εκτιμήσουμε ένα υπόδειγμα της μορφής: με P = β + β P + ε (6.) AVER, oil, ( ) AVER, P P = λ P P (6.) AVER, AVER, AVER, όπου: P P AVER, = Επιθυμητή Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα AVER, = Πραγματική Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα P oil, = Τιμή του Πετρελαίου Brend ($/ Βαρέλι) ε = ιαταρακτικός Όρος και β και β είναι παράμετροι υπό εκτίμηση. Για την απλοποίηση των υπολογισμών θα μπορούσαμε να θέσουμε ότι P AVER,, = P AVER, και = Poil, Με τον παραπάνω συμβολισμό το υπόδειγμα για την ερμηνεία των τιμών της αμόλυβδης στην Ελλάδα γράφεται ως εξής: = + β β + ε = λ ( ) (6.3) (6.4) για =,,..T Στην παραπάνω σχέση η μεταβλητή δεν είναι μετρήσιμη, δεδομένου ότι εκφράζει το επιθυμητό αλλά μη μετρήσιμο μέγεθος της μεταβλητής ένα σχήμα της μορφής: ( λ) = λ + Ή μετά από σειρά απο αλγεβρικές προσαρμογές : όπου = λ ( ) : οι πραγματικές τιμές της μεταβλητής. Μπορεί όμως η μεταβλητή (6.6) (6.5) να προσεγγισθεί με : το επιθυμητό μέγεθος της μεταβλητής (desired sock) 9 Socks Adusmen Model. 6

17 λ: είναι ο Συντελεστής Μερικής Προσαρμογής των επιθυμητών τιμών (desired) τιμές (acive). Η τιμή του Συντελεστή Μερικής Προσαρμογής βρίσκεται πάντοτε μεταξύ και, ως εξής: ( λ ) (6.7) Εάν η τιμή του λ= = = (πλήρης προσαρμογή) Εάν το λ είναι κοντά στο μηδέν τότε, έστω λ=. τότε: =.( ) =. ( ) (6.8) δηλαδή η απόκλιση της επιθυμητής τιμής από την πραγματική τιμή της (.) της απόκλισης της μεταβλητής από την προηγουμένη της τιμή. στις πραγματικές είναι πολύ μικρό μέρος Η Εκτίμηση των παραμέτρων του υποδείγματος. Για την εκτίμηση των παραμέτρων β, β και λ του υποδείγματος λύνουμε το σύστημα εξισώσεων : = + β β + ε = λ ( ) (6.9) (6.) Θέλοντας να σχηματίσουμε το δεξιό μέρος της σχέσης (6.), αφαιρούμε από την εξίσωση (6.9) την μεταβλητή : = β + β + ε Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω σχέση επι λ, και δημιουργούμε το δεξιό μέρος της σχέσης (6.) : ( ) = βλ + βλ λ ε λ + Αντικαθιστούμε την παραπάνω σχέση στην εξίσωση ( 6.) λαμβάνοντας: με ( ) = β λ + βλ λ λε = λ + ( λ + ) λε ( λ) λε λ + ( ) w = β λ + β λ + = β + + λ βλ = λ + β λ + β (6.) w = λε (6.) Οι σχέσεις (6.) και (6.) είναι οι δύο σχέσεις που θα πρέπει να αξιοποιηθούν για τον υπολογισμό των παραμέτρων β, β και λ. Ιδιαίτερα η σχέση (6.) η οποία έχει πλέον ένα νέο διαταρακτικό όρο, την w = λε. Οι στατιστικές ιδιότητες του νέου διαταρακτικού όρου: E w = E = E = λ = (Μέση Τιμή) ( ) ( λε ) λ ( ε ) 7

18 V w = V λε = λ V ε = λ σ ε (ιακύμανση) ( ) ( ) ( ) Οι υποθέσεις για τον διαταρακτικό όρο w της παραπάνω στοχαστικής εξίσωσης είναι αυτές του Κλασσικού Γραμμικού Υποδείγματος. Οι δύο παραπάνω υποθέσεις είναι χρησιμότατες για την = λ + β λ + λ + w β με την εκτίμηση των παραμέτρων του υποδείγματος ( ) εφαρμογή της μεθόδου των απλών ελάχιστων τετραγώνων. Αυτό είναι δυνατό δεδομένου ότι η αναμενόμενη τιμή του διαταρακτικού όρου w έχει μέση τιμή μηδέν και σταθερή διακύμανση. Με βάση την παραπάνω υπόθεση προκύπτει ότι μπορούμε να εφαρμόσουμε την μέθοδο των Απλών Ελάχιστων Τετραγώνων για την εκτίμηση των παραμέτρων του υποδείγματος, έστω και αν στις ερμηνευτικές μεταβλητές υπάρχει η εξαρτημένη μεταβλητή με χρονική υστέρηση. Οι εκτιμήσεις των παραμέτρων είναι συνεπείς, δεδομένου ότι εφαρμόζουμε το Μερικώς Ανεξάρτητο Στοχαστικό Γραμμικό Υπόδειγμα. Η εκτίμηση των παραμέτρων β, β, λ, ( βλ βλ + ( λ) ) min ˆ ˆ T β, β, λ =. σ θα γίνει ελαχιστοποιώντας το Άθροισμα: 8

19 Το Υπόδειγμα των Αναπροσαρμοσμένων Προβλέψεων. Σύμφωνα με το υπόδειγμα αυτό σε μια σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων μεγεθών ερμηνευμένη μεταβλητή είναι συνάρτηση των αναμενόμενων ή προβλεπόμενων (epeced forecased) τιμών των ερμηνευτικών μεταβλητών. Ένα τέτοιο σχήμα θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τη διερεύνηση της συνεξέλιξης της τιμής της αμόλυβδης στην Ελλάδα και των διεθνών τιμών του πετρελαίου Brend. Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι η μέση τιμή της αμόλυβδης P AVER, είναι συνάρτηση των αναμενόμενων τιμών του πετρελαίου Bren oil. μ ένα σχήμα της μορφής: P = β + β P + ε AVER, oil, Επιπλέον αν υποθέσουμε ότι σύνδεση της αναμενόμενης τιμής του Brend ( P oil, ) με την πραγματική τιμή, γίνεται μέσω ενός μηχανισμού Αναπροσαρμοσμένων Προβλέψεων της μορφής: ( λ )( ) P P = P P oil, oil, oil, oil, Όπου λ είναι ο συντελεστής προσαρμογής των πραγματικών τιμών P oil, και των προβλεπόμενων (αναμενόμενων) τιμών P oil,. Για την απλοποίηση των υπολογισμών μπορούμε να γράφουμε με = P, = P και AVER, oil, P = oil, οπότε: Το Υπόδειγμα των Αναπροσαρμοσμένων Προβλέψεων γράφεται ως εξής: = β ο + β + ε ή = β + ε = ( λ)( ) λ Ο συντελεστής λ ονομάζεται συντελεστής προβλέψεων (epecaions coefficien). Όπου : ερμηνευόμενη μεταβλητή : Προβλεπόμενο μέγεθος της μεταβλητής : Η ερμηνευτική μεταβλητή ( )( ) Εάν λ= = = = Εάν λ= ( )( = ) Parial Adusmen model. 9

20 = δεν έχουμε καμία προσαρμογή Ο μηχανισμός προσαρμογής των προβλέψεων σε σχέση με την μεταβλητή ( λ )( ) (, ; λ ) = + = f γράφεται ως εξής: ηλαδή οι αναπροσαρμοσμένες προβλέψεις εξαρτώνται τόσο από την τρέχουσα τιμή της μεταβλητής αλλά και από προβλέψεις της προηγούμενης περιόδου. Ο συντελεστής λ είναι αυτός που καθορίζει και την ένταση της προσαρμογής. Η σχέση (6.5) γράφεται και ως εξής: = λ + ( λ) Η εκτίμηση των παραμέτρων του υποδείγματος των δύο εξισώσεων γίνεται ως εξής : ( λ )( ) = = ( λ) ( λ) ( L) ( λ ) ( L) ( L ) ( λ) L ( λ) L L λl ( λ) L = + = + = = ( λl) ( λ) ( λ ) ( λl) = αντικαθιστούμε την παραπάνω σχέση λαμβάνοντας: ( λ) = β ( ) + ε λl ( λl) = ( λ) β + ( λl) ε = + λ β + w λ ( ) w = ε λε Η εκτίμηση της παραπάνω σχέσης δεν μπορεί να γίνει με την απλή μέθοδο των Ελάχιστων Τετραγώνων. Και αυτό διότι ο νέος διαταρακτικός όρος w = ε λε είναι ένα σχήμα κινητού μέσου, σαν αυτά που αναπτύξαμε στην περίπτωση του προβλήματος της αυτοσυσχέτισης του διαταρακτικού όρου. Ο νέος διαταρακτικός όρος μέσω αυτού του σχήματος ενσωματώνει πληροφόρηση. Με πολύ απλά λόγια αν χρησιμοποιήσουμε την απλή μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων και αγνοήσουμε αυτή την πληροφόρηση που μας παρέχει ο διαταρακτικός όρος τότε οι εκτιμήσεις μας δεν θα είναι καν Σε αυτή την ανάλυση χρησιμοποιήθηκε ο τελεστής των χρονικών επιδράσεων. Πρόκειται για ένα εργαλείο απλοποίησης των αλγεβρικών πράξεων. Ο τελεστής ή και μετασχηματιστής των επιδράσεων (Lag Operaor) καθορίζεται ως εξής: Μια μεταβλητή με κάποια χρονική υστέρηση έστω γράφεται ως εξής: = L και = L, L L ( L ) 3 = =, = 3 L

21 συνεπείς 3. Αν εκτιμήσουμε με την μέθοδο των απλών ελάχιστων τετραγώνων το υπόδειγμα ( ) = λ + λ β + w χωρίς να λάβουμε υπ όψη μας την ύπαρξη αυτοσυσχέτισης στις τιμές του διαταρακτικού όρου w = ε λε τότε μπορεί να οδηγηθούμε σε λαθεμένα συμπεράσματα4. Χρειάζεται να γίνουν οι ανάλογοι μετασχηματισμοί ούτως ώστε στο παραπάνω υπόδειγμα ο διαταρακτικός του όρος να ακολουθεί τις υποθέσεις του Κλασσικού Γραμμικού Υποδείγματος. Η εκτίμηση των παραμέτρων του υποδείγματος με διαταρακτικό όρο που ακολουθεί ένα σχήμα κινητού μέσου ΜΑ() γίνεται ως εξής: λ = [ ] + w β( λ) w = ε λε Η (3) μπορεί να απλοποιηθεί ακόμη περισσότερο εάν τη χωρίσουμε σε δύο μέρη : = β ( λ) λ + β ( λ) λ + ε = Γράφοντας -=i μπορούμε να γράψουμε την (4) ως : όπου : = β z + n z + ε = (5) (4) n E = ( ) = β( λ) λ = (6) z = λ = λ ( ) = λ (8) (7) Η εκτίμηση της (5) μπορεί να γίνει με τη μέθοδο των Γραμμικών Ελαχίστων τετραγώνων όπως αυτή παρουσιάζεται στο Παράρτημα 5. 3 Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις όπου η μέθοδος των απλών ελάχιστων τετραγώνων δεν μας δίδει καν συνεπείς εκτιμήσεις. Οι περιπτώσεις αυτές είναι οι εξείς: Υποδείγματα που στο δεξιό τους μέρος έχουν την ερμηνευμένη μεταβλητή με χρονική υστέρηση και αυτοσυσχετιζόμενο διαταρακτικό όρο, Υποδείγματα με λάθη μέτρησης στις μεταβλητές καί τα ιαρθρωτικά Συστήματα Εξισώσεων. 4 Μία παρουσίαση αυτών των λαθεμένων συμπερασμάτων απο την εφαρμογή της μεθόδου των απλών ελάχιστων τετραγώνων παρουσιάζεται στο αμέσως επόμενο μέρος με την βοήθεια μιας σειράς πειραματισμών.

22 Αυτό που χρειάζεται είναι να εφαρμόσουμε μία επαναληπτική τεχνική ελαχίστων τετραγώνων για διάφορες τιμές του λ στο διάστημα τιμών που καθορίζεται από την (8). Επιλέγουμε εκείνη την εκτίμηση του λ που μας δίνει το ελαχιστότερο(μικρότερο) άθροισμα του τετραγωνικού σφάλματος. ^ ^,, )) ( ) ( ( min ^ ^ ^ λ λ β λ β ο o o T n z n z o =

23 Υποδείγματα με Πολυωνυμικά Κατανεμημένες Χρονικές Επιδράσεις. Ένα τέτοιο σχήμα θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τη διερεύνηση της συνεξέλιξης της τιμής της αμόλυβδης στην Ελλάδα και των διεθνών τιμών του πετρελαίου Brend. Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι η μέση τιμή της αμόλυβδης P AVER, είναι συνάρτηση των αναμενόμενων τιμών του πετρελαίου Brend P oil. μ ένα σχήμα της μορφής: ιαχρονικές Επιδράσεις της μεταβλητής β = f = a + a + a + + a ( ) o... r στις τιμές της μεταβλητής r Σχεδιάγραμμα. Πολυωνυμική Μορφή των ιαχρονικών Επιδράσεων της μεταβλητής. στην μεταβλητή 3

24 (Χρονο)ιάγραμμα G.4 ιαχρονική Αντίδραση της Η Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης στην Ελλάδα σε μία Μεταβολή της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend. ( PAVER ) ( Poil) ( AVER ) d( Poil), +, + ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα την τρέχουσα περίοδο(πρώτη Ημέρα)) ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), +, + ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα τόν δεύτερη Ημέρα)) ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), +, + ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα τή Τρίτη Ημέρα) 4 ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), + 4, + 4 ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα τήν Τέταρτη Ημέρα) 7 ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), + 7, + 7 ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής του ιαθέσιμου Ιδιωτικού Εισοδήματος στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα την έβδομη Ημέρα) = a+ β + β + + β + ε... m m 4

25 ή = a+ β + β + + β + ε (4)... m m m = + β ε = ο + (5) a όπου,3,..., m a, a, a,... a,γ, o r r β = f ( ) = ao + a+ a ar (6) = (7) β, β, β,, βm είναι παράμετροι υπό εκτίμηση. Η Μέθοδος Εκτίμησης των Παραμέτρων του Υποδείγματος. Για δεδομένο αριθμό χρονικών υστερήσεων m και τον βαθμό του πολυώνυμου (r) ν το υπόδειγμα με την υπόθεση ότι : m = γ + β + ε = ο β = f = a + a + a + + a ( ) o... r r μπορεί να εκτιμηθεί με την μέθοδο των απλών ελάχιστων τετραγώνων. Έστω ότι ο βαθμός του πολυωνύμου είναι r = 3 και ο αριθμός των χρονικών επιδράσεων είναι m=(5), τότε μπορούμε να προσεγγίσουμε τους συντελεστές των χρονικών υστερήσεων ως εξής: ( ) β = f = a + a + a + a (8) 3 Έτσι για =,..., s=5 οι συντελεστές των χρονικών υστερήσεων θα μπορούσαν να προκύψουν ως εξής: = β = ƒ() = α = β = ƒ() = α + α + α + α3 (9) = β = ƒ() = α + α + α + 3 α3 =5 : : : : : : : : : : : : : : : : : : β5 = ƒ(5) = α + 5α +5 α α3 Αντικαθιστούμε τους συντελεστές β στο = = γ + s 5 β ε = ο + μπορούμε να λάβουμε: = α + β + β β5-5 + ε = γ + α + (α + α + α + α3) - +(α + α + α + 3 α3) - + : + (α + sα +s α + s 3 α3) -5 5

26 + ε () Μετά από μερική επεξεργασία μπορούμε να εκτιμήσουμε τους συντελεστές ως εξής : = γ + α( ) + α( ) () + α( ) + α3( )+ε ημιουργώντας τις μεταβλητές (,3) w i = ανάλογα με τον βαθμό του πολυωνύμου i w = ( ) w = ( ) () w = ( ) w3 = ( ) τότε το βασικό υπόδειγμα των διαχρονικά κατανεμημένων υστερήσεων γράφεται 5 ως εξής: = α + αw + αw + αw + α3w3+ε (3) Το παραπάνω υπόδειγμα μπορεί πλέον να εκτιμηθεί με την μέθοδο των απλών ελαχίστων τετραγώνων. aa ˆ, ˆ, aˆ aˆ Η μέθοδος των απλών ελάχιστων τετραγώνων μπορεί να εφαρμοσθεί ως εξής: Αν και είναι κάποιες ελάχιστων τετραγώνων εκτιμήσεις των παραμέτρων a, a, a και a3 τότε αυτές μπορούν να εκτιμηθούν ελαχιστοποιώντας το άθροισμα : ˆ, ˆ, ˆˆ T = ( ˆ ˆ ˆ ˆ ) min a a w aw a w aa aa Έχοντας εκτιμήσει τις παραμέτρους a i με i =,,..., m, έστω a i για i,,..., m =, μπορούμε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους β ως εξής: β = ƒ() = 3 ao + a + a + a3 για =,,,3,.,5 Αναλυτικότερα η παραπάνω σχέση μπορεί για =,,,3 να γράφεί ως εξής: 5 Εναλλακτικά το παραπάνω υπόδειγμα θα μπορούσε να γραφεί και ώς εξής: = a + = r i a w i i + ε όπου s= 5 i = τ τ = τ w i για ι =,,..., r και s= 5 i = τ τ = τ w i για i=,,,3 είναι η μετασχηματισμένη μεταβλητή βασισμένη στην ανεξάρτητη μεταβλητή σε σχέση πάντοτε και με την παράμετρο r. Επιπλέον αντικαθιστώντας τις σταθμίσεις s= 5 i = τ τ = τ w i τό αρχικό υπόδειγμα μπορεί να γραφεί ώς: ) m r i = ( γ τ τ i ι τ + = = ε 6

27 = ˆ β = f = aˆ + aˆ () + aˆ () + a () = aˆ Για ( ) 3 3 = ˆ β = f = aˆ + aˆ () + aˆ () + a () = aˆ + aˆ + aˆ + aˆ Για ( ) = ˆ β = f = aˆ + aˆ () + aˆ () + a () = aˆ + aˆ + 4aˆ + 8aˆ Για ( ) = 3 ˆ β = f 3 = aˆ + aˆ (3) + aˆ (3) + a (3) = aˆ + 3aˆ + 9aˆ + 7aˆ Για ( ) Αν για παράδειγμα έχουμε ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού (r=) και οι εκτιμήσεις των παραμέτρων aa a, και a είναι: aˆ 43.6 aˆ 4.38 = aˆ 6.7 aˆ 3.57 Τότε οι υπό εκτίμηση επιδράσεις μιας μεταβολής της μεταβλητής εξής: = ˆ β = f = aˆ + aˆ () + aˆ () = ˆ β = aˆ = 4.38 Για ( ) Για ( ) Για στην μεταβλητή = ˆ β = f = aˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + a() + a() = β = a + a+ a = = 7.54 = ˆ β = f ( ) = aˆ + aˆ () + aˆ () = ˆ β = aˆ + aˆ + 4aˆ = (6.7) + 4( 3.57) = 3.54 θα υπολογισθεί ως Για ( ) = 3 ˆ β = f 3 = aˆ + aˆ (3) + aˆ (3) = aˆ + 3aˆ + 9aˆ 3 = (6.7) + 9( 3.57) = 7.6 7

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή 2013 [Πρόλογος] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 2012-2013 Μ.Επ. ΟΕ0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης Μαρί-Νοέλ Ντυκέν, Επ. Καθηγητρία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ AR(p) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι.

ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι. ΙΚΑΙΟΣ ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ . ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ. Έχετε στην διάθεση σας ( Πίνακας ) στιχεία από

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012 ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Οικονομικών και Κοινωνικών Επιστημών. ΔΠΜΣ Στην Οικονομική Επιστήμη. Διπλωματική Εργασία

Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Οικονομικών και Κοινωνικών Επιστημών. ΔΠΜΣ Στην Οικονομική Επιστήμη. Διπλωματική Εργασία Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Οικονομικών και Κοινωνικών Επιστημών ΔΠΜΣ Στην Οικονομική Επιστήμη Διπλωματική Εργασία Θέμα : «Ζήτηση Προθεσμιακών Καταθέσεων» Όνομα : Ελένη Ζίττη Αριθμός Μητρώου : Μ 08/04 Επιβλέπων

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα ΜΑΘΗΜΑ ο Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα Ησχέσησ ένα στατικό υπόδειγμα συνολοκλήρωσης και σ ένα υπόδειγμα διόρθωσης λαθών μπορεί να μελετηθεί καλύτερα όταν χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αυτοπαλίνδρομων

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Γιατί οι επιχειρήσεις έχουν ανάγκη την πρόβλεψη σελ.1 1.2 Μέθοδοι πρόβλεψης....σελ.2 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ 2.1 Υπόδειγμα του Κινητού μέσου όρου.σελ.5 2.2 Υπόδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis) Δρ Ιωάννης Δημόπουλος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας Τι είναι η χρονολογική σειρά Χρονολογική σειρά ή Χρονοσειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 Μαρί-Νοέλ Ντυκέν Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΕΒΔΟΜΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΩΝ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2008-2009

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ SOS & ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ www.dap papei.gr 2 ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Τι θα γράψω: Στις εξετάσεις τα θέματα περιλαμβάνουν ερωτήσεις και ασκήσεις (κυρίως ασκήσεις) όπου

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΜΕΡΟΣ Α Θεωρία Ζήτησης Ενός Αγαθού - Ανάλυση Συμπεριφοράς Καταναλωτή

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΜΕΡΟΣ Α Θεωρία Ζήτησης Ενός Αγαθού - Ανάλυση Συμπεριφοράς Καταναλωτή ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α Θεωρία Ζήτησης Ενός Αγαθού - Ανάλυση Συμπεριφοράς Καταναλωτή ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έννοια και Στόχοι της Μικροοικονομικής Θεωρίας 1. Γενικά...27 2. Το Πρόβλημα της Επιλογής...29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι προϋποθέσεις που θέσαμε ώστε να εξασφαλίσουμε BLUE εκτιμητές με τη μέθοδο των συνήθων ελαχίστων τετραγώνων στο κλασσικό γραμμικό υπόδειγμα δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ΙΙΙ(ΣΤΑΟ 230) Χρονολογικές Σειρες-Κινητοι Μέσοι, Αφελείς Μέθοδοι και Αποσύνθεση (εκδ. 2η)

Στατιστική ΙΙΙ(ΣΤΑΟ 230) Χρονολογικές Σειρες-Κινητοι Μέσοι, Αφελείς Μέθοδοι και Αποσύνθεση (εκδ. 2η) Στατιστική ΙΙΙ-(ΣΤΑΟ 230) Χρονολογικές Σειρες-Κινητοι Μέσοι, Αφελείς Μέθοδοι και Αποσύνθεση (εκδ. 2η) Γεώργιος Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης Στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

10. Η επιδίωξη της μέγιστης χρησιμότητας αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς του καταναλωτή στη ζήτηση αγαθών.

10. Η επιδίωξη της μέγιστης χρησιμότητας αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς του καταναλωτή στη ζήτηση αγαθών. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : Η ΖΗΤΗΣΗ Να σημειώσετε το σωστό ή το λάθος στο τέλος των προτάσεων: 1. Όταν η ζήτηση ενός αγαθού είναι ελαστική, η συνολική δαπάνη των καταναλωτών για το αγαθό αυτό μειώνεται καθώς αυξάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών. Κουτσογιάννης Α. Ευστρατιάδης Φεβρουάριος 2002 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής Εισαγωγή Οι κυνικοί λένε σαρκαστικά πως μπορείς να αποδείξεις οτιδήποτε με τη Στατιστική. Άλλοι πάλι υποστηρίζουν πως δεν μπορείς να κάνεις τίποτα με τη Στατιστική. Κάποιοι θυμίζουν ότι η Στατιστική είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ πόσες μετακινήσεις δημιουργούνται σε και για κάθε κυκλοφοριακή ζώνη; ΟΡΙΣΜΟΙ μετακίνηση μετακίνηση με βάση την κατοικία μετακίνηση με βάση άλλη πέρα της κατοικίας

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Κάθε οικονομία παράγει πάντοτε τους συνδυασμούς των προϊόντων που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Κάθε οικονομία παράγει πάντοτε τους συνδυασμούς των προϊόντων που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ-ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ΙΙΙ-Εφαρμογές Χρονολογικές Σειρές(Μέθοδοι Εξομάλυνσης ΙΙΙ-Εφαρμογές)

Στατιστική ΙΙΙ-Εφαρμογές Χρονολογικές Σειρές(Μέθοδοι Εξομάλυνσης ΙΙΙ-Εφαρμογές) Στατιστική ΙΙΙ-Εφαρμογές Χρονολογικές Σειρές(Μέθοδοι Εξομάλυνσης ΙΙΙ-Εφαρμογές) Γεώργιος Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης Στατιστική ΙΙΙ(ΣΤΑΟ 230) Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα. MSc in Accounting & Finance ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Μάθημα: ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ. Μέτρηση Κινδύνου & Απόδοσης Επενδύσεων

Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα. MSc in Accounting & Finance ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Μάθημα: ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ. Μέτρηση Κινδύνου & Απόδοσης Επενδύσεων Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα MSc in Accounting & Finance ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Μάθημα: ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ Μέτρηση Κινδύνου & Απόδοσης Επενδύσεων Μέτρηση Κινδύνου & Απόδοσης Επενδύσεων Οτιδήποτε δύναται να μετρηθεί, δύναται και

Διαβάστε περισσότερα

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση ης εργασίας ΕΟ3 03-04 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ 31 Χρηματοοικονομική ιοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος: 2011-2012 Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Οικονομετρία=Προχωρημένη στατιστική+ Οικονομική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Οικονομετρία=Προχωρημένη στατιστική+ Οικονομική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Οικονομετρία=Προχωρημένη στατιστική+ Οικονομική Η οικονομετρία κάνει ποσοτική ανάλυση και προβλέψεις σε οικονομικά γεγονότα (κυρίως μακροοικονομικά) Δειγματική Μέση τιμή Δειγματική μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ, ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ (POPULATION PROJECTIONS)

ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ, ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ (POPULATION PROJECTIONS) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ, ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ (OULATION ROJECTIONS) Η κύρια πηγή στατιστικών δεδοµένων που αφορούν το µέγεθος και τη σύνθεση του πληθυσµού είναι η απογραφή. Η απογραφή πληθυσµού

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 10 ΙΟΥΛΙΟΥ 2010 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL Το πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι στα οικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

«Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano»

«Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano» «Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano» Ιορδανίδης Ι. Φώτιος Καθηγητής Μαθηματικών, 2 ο Γενικό Λύκειο Πτολεμαΐδας fjordaneap@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το θεώρημα του Bolzano

Διαβάστε περισσότερα

2.10. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας

2.10. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας .. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας ίδαμε ότι η βασική επιδίωξη των επιχειρήσεων είναι η επίτευξη του μέγιστου κέρδους με την πώληση όσο το δυνατόν μεγαλύτερων ποσοτήτων ενός αγαθού στη μεγαλύτερη δυνατή τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν τη δεύτερη εργασία της ενότητας ΔΕΟ31

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν τη δεύτερη εργασία της ενότητας ΔΕΟ31 Άσκηση η 2 η Εργασία ΔEO3 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν τη δεύτερη εργασία της ενότητας ΔΕΟ3 Η επιχείρηση Α εκδίδει σήμερα ομολογία ονομαστικής αξίας.000 με ετήσιο επιτόκιο έκδοσης 7%. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Όταν η Κ.Π.Δ. είναι γραμμική τότε το κόστος ευκαιρίας είναι πάντοτε σταθερό και ίσο με τη μονάδα.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Όταν η Κ.Π.Δ. είναι γραμμική τότε το κόστος ευκαιρίας είναι πάντοτε σταθερό και ίσο με τη μονάδα. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 31 Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος: 2009-10 Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα