Michael Sipser. Εισαγωγή στη θεωρία υπολογισµού

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Michael Sipser. Εισαγωγή στη θεωρία υπολογισµού"

Transcript

1

2 Michael Sipser Εισαγωγή στη θεωρία υπολογισµού ÓÂappleÈÛÙËÌÈ ÎÂÛ Î ÔÛÂÈÛ ÚËÙËÛ Ιδρυτική ωρεά Παγκρητικής Ενώσεως Αµερικής Ηράκλειο 2008

3 π ªπ π ƒ Ι ΡΥΜΑΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΑΣ Ηράκλειο Κρήτης, Τ.Θ. 1527, Τηλ , , Fax: Αθήνα: Μάνης 5, Τηλ , Fax: ΣΕΙΡΑ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ È ı ÓÙÂÛ ÂÈÚ Û: ˆÚÁÈÔÛ ºÚ. ˆÚÁ ÎÔappleÔ ÏÔÛ πˆ ÓÓËÛ apple ÔÁÁÔÓ Û Τίτλος πρωτοτύπου: IntroductiontotheTheoryofComputation, 2nd edition c 2006: Thomson Course Technology c γιατην ελληνική γλώσσα: 2005, 2007 Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτ Πρώτηέκδοση: εκέµβριος 2007 Πρώτηανατύπωση: εκέµβριος 2008 Απόδοση στα ελληνικά: Χρήστος Καπούτσης Επιστηµονική επιµέλεια: Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Επιµέλεια κειµένου, σελιδοποίηση, επιµέλεια έκδοσης: Ιωάννης Παπαδόγγονας (ΠΕΚ) Ορολογική επιµέλεια: Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος, Ιωάννης Παπαδόγγονας (ΠΕΚ) Προσαρµογή L A TEX: David McClurkin ISBN

4 Στην Ina, τη Rachel, και τον Aaron.

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος του επιµελητή xiii Πρόλογος στην πρώτη έκδοση xv Προς τους ϕοιτητές xv Προς τους διδάσκοντες xvii Ηπρώτηέκδοση xviii Επικοινωνία µε τον συγγραϕέα xviii Ευχαριστίες xix Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση xxiii 0 Εισαγωγή Αυτόµατα, υπολογισιµότητα, και πολυπλοκότητα Θεωρία πολυπλοκότητας Θεωρία υπολογισιµότητας Θεωρία αυτοµάτων Μαθηµατικές έννοιες και ορολογία Σύνολα Ακολουθίες και πλειάδες Συναρτήσεις και σχέσεις Γραϕήµατα Λέξεις και γλώσσες Λογισµός Boole Ορισµοί, θεωρήµατα, και αποδείξεις Εύρεση αποδείξεων Είδη αποδείξεων Απόδειξη µε κατασκευή Απόδειξη µε απαγωγή σε άτοπο Απόδειξη µε επαγωγή Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις vii

6 viii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ I: ΑΥΤΟΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΕΣ 33 Κ 1 ανονικέςγλώσσες Πεπερασµένα αυτόµατα Τυπικός ορισµός του πεπερασµένου αυτοµάτου Παραδείγµατα πεπερασµένων αυτοµάτων Τυπικός ορισµός του υπολογισµού Σχεδίαση πεπερασµένωναυτοµάτων Οι κανονικές πράξεις Ανταιτιοκρατία Τυπικός ορισµός του ανταιτιοκρατικού πεπερασµένου αυτοµάτου Ισοδυναµία ανταιτιοκρατικών και αιτιοκρατικών αυτο- µάτων Κλειστότητα ως προς τις κανονικές πράξεις Κανονικές εκϕράσεις Τυπικός ορισµός της κανονικής έκϕρασης Ισοδυναµία µε τα πεπερασµένα αυτόµατα Μη κανονικές γλώσσες Το λήµµα της άντλησης για κανονικές γλώσσες Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις Ασυµϕραστικές γλώσσες Ασυµϕραστικές γραµµατικές Τυπικός ορισµός της ασυµϕραστικής γραµµατικής Παραδείγµατα ασυµϕραστικών γραµµατικών Σχεδίαση ασυµϕραστικών γραµµατικών Πολυτροπία Κανονική µορϕή Chomsky Αυτόµατα στοίβας Τυπικός ορισµός του αυτοµάτου στοίβας Παραδείγµατα αυτοµάτων στοίβας Ισοδυναµία µε τις ασυµϕραστικές γραµµατικές Μη ασυµϕραστικές γλώσσες Το λήµµα της άντλησης για ασυµϕραστικές γλώσσες Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις ΜΕΡΟΣ II: ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΤοδόγµαChurch-Turing Μηχανές Turing Τυπικός ορισµός της µηχανής Turing

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ix Παραδείγµατα µηχανών Turing Παραλλαγές µηχανών Turing Πολυταινιακές µηχανές Turing Ανταιτιοκρατικές µηχανές Turing Απαριθµητές Ισοδυναµία µε άλλα µοντέλα Ο ορισµός του αλγορίθµου Τα προβλήµατα του Hilbert Ορολογία για την περιγραϕή µηχανών Turing Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις ιαγνωσιµότητα ιαγνώσιµες γλώσσες Επιλύσιµα προβλήµατα σχετικά µε κανονικές γλώσσες Επιλύσιµα προβλήµατα σχετικά µε ασυµϕραστικές γλώσσες Το πρόβληµα του τερµατισµού Η µέθοδος της διαγωνιοποίησης Το πρόβληµα του τερµατισµού είναι ανεπίλυτο Μια µη αναγνωρίσιµη γλώσσα Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις Αναγωγές Ανεπίλυτα προβλήµατα από τη θεωρία γλωσσών Αναγωγή µέσω του υπολογιστικού χρονικού Ένα απλό ανεπίλυτο πρόβληµα Απεικονιστικές αναγωγές Υπολογίσιµες συναρτήσεις Τυπικός ορισµός της απεικονιστικής αναγωγιµότητας Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις Σύνθεταζητήµατα της θεωρίας υπολογισιµότητας Το θεώρηµα αναδροµής Αυτοαναϕορά Ορολογία για το θεώρηµα αναδροµής Εϕαρµογές ιαγνωσιµότητα λογικών θεωριών Μια διαγνώσιµη θεωρία Μια µη διαγνώσιµη θεωρία Αλγοριθµική αναγωγή Ένας ορισµός της πληροϕορίας Ελαχιστοµήκειςπεριγραϕές Το βέλτιστο του ορισµού

8 x ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ασυµπίεστες λέξεις καιτυχαιότητα Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις ΜΕΡΟΣ III: ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ Χρονικήπολυπλοκότητα Μέτρηση της πολυπλοκότητας Οι συµβολισµοί κεϕαλαίουκαιπεζούόµικρον Ανάλυση αλγορίθµων Σχέσεις πολυπλοκότητας µεταξύ µοντέλων Η κλάση P Πολυωνυµικός χρόνος Παραδείγµατα προβληµάτων στην κλάση P Η κλάση NP Παραδείγµατα προβληµάτων στην NP Το ερώτηµα «P έναντι NP» NP-πληρότητα Αναγωγιµότητα πολυωνυµικού χρόνου Ορισµός της NP-πληρότητας Το Θεώρηµα των Cook-Levin Άλλα NP-πλήρη προβλήµατα Το πρόβληµα του κοµβικού καλύµµατος Το πρόβληµα της χαµιλτονιανής διαδροµής Το πρόβληµα του αθροίσµατος υπακολουθίας Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις Χωρικήπολυπλοκότητα Το θεώρηµα του Savitch Η κλάση PSPACE PSPACE-πληρότητα Το πρόβληµα TQBF Νικηϕόρες στρατηγικές γιαπαίγνια Γενικευµένη γεωγραϕία Οι κλάσεις L και NL NL-πληρότητα ιερεύνηση γραϕηµάτων Οι κλάσεις NL και CONL ταυτίζονται Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις υσεπίλυταπροβλήµατα Θεωρήµατα ιεραρχίας EXPSPACE-πληρότητα

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xi 9.2 Σχετικοποίηση Τα όρια της µεθόδου της διαγωνιοποίησης Κυκλωµατική πολυπλοκότητα Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις Σύνθετα ζητήµατα της θεωρίας πολυπλοκότητας Προσεγγιστικοί αλγόριθµοι Πιθανοκρατικοίαλγόριθµοι Η κλάση BPP το πρόβληµα της «πρώτευσης» ιακλαδούµενα προγράµµατα εϕ άπαξ ανάγνωσης Εναλλαγή Εναλλασσόµενος χρόνος καιχώρος Η ιεραρχία του πολυωνυµικού χρόνου ιαλογικά αποδεικτικά συστήµατα Ανισοµορϕία γραϕηµάτων Ορισµός του µοντέλου IPP = PSPACE Παράλληλος υπολογισµός Οµοιόµορϕα λογικά κυκλώµατα Η κλάση NC P-πληρότητα Κρυπτογραϕία Κρυϕά κλειδιά Κρυπτοσυστήµατα δηµόσιου κλειδιού Μονόδροµες συναρτήσεις Παγιδευτικές συναρτήσεις Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις Επιλεγµένη Βιβλιογραϕία 497 Ευρετήριο 503

10 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗ Οι Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης έχουν τη χαράνα παρουσιάσουν τη µετά- ϕραση του εγχειριδίου του M. Sipser µε θέµα τη θεωρία υπολογισµού και πολυπλοκότητας. Το γνωστικό αυτό αντικείµενο είναι κεϕαλαιώδους σηµασίας για τις σπουδές στον χώρο της πληροϕορικής, και το παρόν µεταϕρασµένο βιβλίο είναι από τα ελάχιστα, αν όχι το πρώτο, που καλύπτει θεµελιώδη ζητήµατα της θεωρίας πολυπλοκότητας (στην ελληνική γλώσσα). Το συγκεκριµένο έργο επιλέχθηκε λόγω της παιδαγωγικής του αµεσότητας και του διδακτικού του χαρακτήρα, που είναι αποτέλεσµα συνειδητής απόϕασης και επιδίωξης του συγγραϕέα. ώσαµε ιδιαίτερη προσοχή στην ελληνική απόδοση της ορολογίας, όπου η κατάσταση, όσον αϕορά τον τοµέα της πληροϕορικής, δεν είναι ακόµη ικανοποιητική: αϕιερώσαµε πολύ χρόνο για να καταλήξουµε σε όρους και λεκτικά σχήµατα εκϕραστικά, ευέλικτα, και ορθά από γραµµατικής και συντακτικής απόψεως, σε συνέπεια µε την ορολογία των υπόλοιπων έργων της σειράς πληροϕορικής των ΠΕΚ. Ευχαριστώ όλους τους συντελεστές του έργου για τη δηµιουργική συνεργασία που είχαµε. Ευχαριστώ ιδιαιτέρως όσους συνέβαλαν στην τελική µορϕή του κειµένου για τη θετική συνεισϕορά τους, η οποία συχνά υπερέβαινε τα τυπικά τους καθήκοντα. Η τελική ευθύνη προϕανώς βαρύνει αποκλειστικά τον επιµελητή, ενώ η τελικήκρίσηανήκειϕυσικά στο αναγνωστικό κοινό. Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος xiii

11 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΚΔΟΣΗ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΦΟΙΤΗΤΕΣ Καλώς ήλθατε! Σε λίγο θα ξεκινήσετε τη µελέτη ενός σηµαντικού και συναρπαστικού γνωστικού αντικειµένου: της θεωρίας υπολογισµού. Η θεωρία αυτή πραγµατεύεται τις θεµελιώδεις µαθηµατικές ιδιότητες του υλισµικού και του λογισµικού των υπολογιστών, καθώς και ορισµένες εϕαρµογές τους. Μελετώντας το αντικείµενο αυτό, επιδιώκουµε να προσδιορίσουµε ποια προβλήµατα µπορούν να επιλυθούν υπολογιστικά και ποια όχι, πόσο γρήγορα, µε πόση µνήµη, και σε τι είδους υπολογιστικό µοντέλο. Ο συγκεκριµένος επιστηµονικός κλάδος σχετίζεται εµϕανώς µε την εϕαρµοσµένη µηχανική υπολογιστών. Ωστόσο, όπως συµβαίνει µε όλες τις θετικές επιστήµες, έχει και τις καθαρά ϕιλοσοϕικές του πλευρές. Ξέρω ότι πολλοί από εσάς ανυποµονούν να µελετήσουν το συγκεκριµένο αντικείµενο. Για κάποιους άλλους, όµως, ενδεχοµένως να µην είναι προσωπική τους επιλογή. Πιθανόν κάποιοι να επιδιώκουν απλώς να αποκτήσουν ένα πτυχίο επιστήµης υπολογιστών ή µηχανικού, οπότε είναι υποχρεωτικό να πάρουν κάποιο θεωρητικό µάθηµα ένας Θεός ξέρει γιατί. Ηθεωρίαείναιδυσνόητη, ανιαρή, και το χειρότερο απόόλα άσχετηµεταπραγµατικάπροβλήµατα,έτσιδενείναι; Προχωρώντας στη µελέτη του βιβλίου αυτού, θα διαπιστώσετε ότι η θεωρητική επιστήµη υπολογιστών δεν είναι ούτε δυσνόητη ούτε ανιαρή, αλλά αντιθέτως εξαιρετικά κατανοητή, και µάλιστα ενδιαϕέρουσα. Βεβαίως, εκτός από τις πολλές συναρπαστικές κεντρικές της έννοιες, περιλαµβάνει και αρκετές µικρές και xv

12 xvi ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΚΔΟΣΗ ενίοτε πληκτικές λεπτοµέρειες, που µπορεί να είναι κουραστικές. Η δε εκµάθησή της απαιτεί σκληρή δουλειά, όπως συµβαίνει µε κάθε καινούργιο γνωστικό αντικείµενο. Ωστόσο, εάν το αντικείµενο παρουσιάζεται σωστά, η εκµάθησή του γίνεται ευκολότερη και πιο ευχάριστη. Το πρωταρχικό µου κίνητρο για τη συγγραϕή του βιβλίου αυτού ήταν να παρουσιάσω στον αναγνώστη τις αυθεντικά συναρπαστικές πλευρές της θεωρίας υπολογισµού, χωρίς να εµπλακώ σε βαρετές και ανούσιες λεπτοµέρειες. Φυσικά, ο µόνος τρόπος για να διαπιστώσετε εάν ηθεωρίασάςενδιαϕέρει είναι να προσπαθήσετε να τη µάθετε. Κατ αρχάς, η θεωρία σχετίζεται σαϕώς µε την πράξη, διότι παρέχει τα εννοιολογικά εργαλεία που χρησιµοποιούν οι επαγγελµατίες µηχανικοί υπολογιστών. Παραδείγµατος χάριν, εάν επιθυµείτε να σχεδιάσετε µια νέα γλώσσα προγραµ- µατισµού για κάποια εξειδικευµένη εϕαρµογή, θα σας ϕανούν χρήσιµα όσα ανα- ϕέρονται σε αυτότο βιβλίο σχετικά µε τις γραµµατικές.εάν ασχοληθείτε µε αναζήτηση συµβολοσειρών και αναγνώριση προτύπων, θα χρειαστείτε τα πεπερασµένα αυτόµατα και τις κανονικές εκϕράσεις.εάναντιµετωπίσετε κάποιο πρόβληµα που ϕαίνεται να απαιτεί περισσότερο υπολογιστικό χρόνο απ όσον διαθέτετε, µπορείτε να ανατρέξετε στα ζητήµατα που αϕορούν την NP-πληρότητα. ιάϕοροι τοµείς πρακτικών εϕαρµογών, όπως η σχεδίασησύγχρονων κρυπτογραϕικών πρωτοκόλλων, βασίζονται στις θεωρητικές αρχές που πραγµατεύεται αυτό το βιβλίο. Επιπλέον, η θεωρία σχετίζεται και µε εσάς τους ίδιους, διότι σας αποκαλύπτει µια νέα, απλούστερη, και κοµψότερη πλευρά των υπολογιστών, οι οποίοι θεωρούνται συνήθως εξαιρετικά περίπλοκες µηχανές. Στην πραγµατικότητα, οι καλύτερες σχεδιαστικές ιδέες και εϕαρµογές των υπολογιστών συλλαµβάνονται µε γνώµονα την κοµψότητα. Εµπλουτίζοντας την αισθητική σας καλλιέργεια, ένα θεωρητικό µάθηµα σας βοηθά τελικά να κατασκευάζετε οµορϕότερα συστήµατα. Τέλος, η θεωρία είναι επωϕελής γιατί διευρύνει τη σκέψη σας. Η τεχνολογία των υπολογιστών µεταβάλλεται µε ταχύ ρυθµό, και εποµένως οι εξειδικευµένες τεχνικές γνώσεις όσο χρήσιµες και αν είναι σήµερα ξεπερνιούνται µέσα σε λίγα χρόνια. Αντιθέτως, η ικανότητά σας να σκέπτεστε, να εκϕράζεστε µε σαϕήνεια και ακρίβεια, να λύνετε προβλήµατα, και να αντιλαµβάνεστε πότε ένα πρόβληµα δεν έχει λυθεί έχει διαχρονική αξία. Η µελέτη της θεωρίας καλλιεργεί όλα αυτά τα στοιχεία. Φυσικά, εκτός από τα πρακτικά ζητήµατα,σχεδόν όλοι όσοι ασχολούνται µε τους υπολογιστές διακατέχονται από έµϕυτη περιέργεια για αυτά τα αξιοθαύµασταδηµιουργήµατα, για τις δυνατότητες και τις αδυναµίες τους. Τα τελευταία 30 χρόνια, έχει αναπτυχθεί ένας ολόκληρος νέος κλάδος µαθηµατικών µε σκοπό να δώσει απαντήσεις σε ορισµένα βασικά τέτοια ερωτήµατα. Ένα από τα πλέον ση- µαντικά, που παραµένει ακόµη άλυτο, είναι το εξής: εάν µας δοθεί ένας µεγάλος αριθµός, λόγου χάριν µε 500 ψηϕία, µπορούµε να βρούµε τους παράγοντές του (δηλαδή τους αριθµούς που τον διαιρούν ακριβώς) σε εύλογο χρονικό διάστηµα; Ακόµη και µε έναν υπερυπολογιστή, κανείς σήµερα δεν γνωρίζει πώς να λύσει

13 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΚΔΟΣΗ xvii αυτό το πρόβληµα στηγενικήπερίπτωσησε χρόνο µικρότεροαπό την ηλικία του σύµπαντος! Για αυτόν ακριβώς τον λόγο,το συγκεκριµένο πρόβληµα σχετίζεται άµεσα µε κάποιους µυστικούς κώδικες στα σύγχρονα κρυπτοσυστήµατα. Βρείτε λοιπόν µια γρήγορη µέθοδο παραγοντοποίησης, και η δόξα σάς ανήκει! ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ Σκοπός του βιβλίου αυτού είναι να χρησιµοποιηθεί ως διδακτικό εγχειρίδιο της θεωρητικής επιστήµης υπολογιστών για τελειόϕοιτους ή µεταπτυχιακούς ϕοιτητές. Η προσέγγιση του αντικειµένου είναι µαθηµατικού χαρακτήρα, µε βασικό άξονα τα θεωρήµατα και τις αποδείξεις. Αν και προσπάθησα να διευκολύνω σε κάποιο βαθµό τους σπουδαστές µε µικρή εµπειρία στην απόδειξη θεωρηµάτων, οι πιο πεπειραµένοι σπουδαστές θα βρουν την ύλη σαϕώς πιο προσιτή. Οβασικόςµουστόχοςκατάτηνπαρουσίαση της ύλης ήταν να καταστήσω το αντικείµενο σαϕές και ενδιαϕέρον. Για το λόγο αυτό, προσπάθησα να δώσω έµϕαση στη διαίσθηση και στην «ευρύτερη εικόνα», και όχι στις δευτερεύουσες τεχνικές λεπτοµέρειες. Παραδείγµατος χάριν, η µέθοδος της απόδειξης µε επαγωγή, αν και παρουσιάζεται µαζί µε τις άλλες εισαγωγικές µαθηµατικές έννοιες στο Κεϕάλαιο 0, δεν παίζει σηµαντικό ρόλο στο βιβλίο. Έτσι, έχω παραλείψει τις συνήθεις επαγωγικές αποδείξεις ορθότητας στις διάϕορες κατασκευές αυτοµάτων. Πιστεύω ότι, όταν παρουσιάζονται µε σαϕήνεια, οι κατασκευές αυτές είναι πειστικές χωρίς επιπλέον επιχειρήµατα. Εξάλλου, η επαγωγή είναι µια αρκετά σύνθετη τεχνική, την οποία ορισµένοι θεωρούν µάλλον δυσνόητη. Εποµένως, µια επαγωγική απόδειξη, αντί να διαϕωτίσει, µπορεί να προκαλέσει σύγχυση. Γενικότερα, κάθε ϕορά που χρησιµοποιούµε την επαγωγή για να αναλύσουµε εξαντλητικά το προϕανές, κινδυνεύουµε να δηµιουργήσουµε στους σπουδαστές την εντύπωση ότι η µαθηµατική απόδειξη είναι ένας ϕορµαλιστικός χειρισµός, ενώ το ζητούµενο είναι απλώς να τους διδάξουµε πότε ένα επιχείρηµα είναι πραγµατικά αδιάσειστο. Ένα δεύτερο παράδειγµα τηςδιαισθητικής προσέγγισης εντοπίζεται στο εύτερο και στο Τρίτο Μέρος, όπου περιγράϕω τους αλγορίθµους σε ρέον κείµενο αντί για ψευδοκώδικα, και αϕιερώνω ελάχιστο χρόνο στον λεπτοµερή προγραµ- µατισµό µηχανών Turing ή άλλων τυπικών µοντέλων. Πιστεύω ότι οι σηµερινοί σπουδαστές έχουν ήδη αρκετή προγραµµατιστική εµπειρία ώστε να µην χρειάζονται τις επιπλέον λεπτοµέρειες. Επιπλέον, θεωρώ ότι το δόγµα Church-Turing τούς είναι πλέον αυτονόητο. Έτσι, απέϕυγα να παρουσιάσω εκτενείς προσοµοιώσεις του ενός υπολογιστικού µοντέλου από το άλλο προκειµένουνα αποδείξω την ισοδυναµία τους. Κατά τα λοιπά, ο τρόπος µε τονοποίο παρουσιάζω την ύλη θα µπορούσε να χαρακτηριστεί κλασικός. Οι περισσότεροι θεωρητικοί θα βρουν τη θεµατολογία, την ορολογία, και τη σειρά της παρουσίασης συνεπείς προς άλλα ευρέως χρησι- µοποιούµενα συγγράµµατα. εν εισήγαγα νέους όρους παρά µόνο σε ελάχιστα σηµεία, όπου θεωρώτηνκαθιερωµένη ορολογία εξαιρετικά δυσνόητη ή περίπλο-

14 xviii ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΚΔΟΣΗ κη. Παραδείγµατος χάριν, αντί του όρου αναγωγή many one εισήγαγα τον όρο απεικονιστική αναγωγή. Όπως και σε οποιοδήποτε άλλο µαθηµατικό αντικείµενο, ουσιώδες µέρος της µελέτης της θεωρίας αποτελεί η εξάσκηση µέσω της επίλυσης προβληµάτων. Σε αυτό το βιβλίο, τα προβλήµατα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: τις Ασκήσεις και τα κυρίως Προβλήµατα.Οι Ασκήσεις αποτελούν απλήανασκόπηση των ορισµών και των εννοιών. Αντιθέτως, τα Προβλήµατα απαιτούν κάποια επινοητικότητα, ενώ τα δυσκολότερα από αυτά επισηµαίνονται µε αστερίσκο. Τόσο στις Ασκήσεις όσο και στα Προβλήµατα, προσπάθησα το κάθε ερώτηµα να αποτελεί µια ενδιαϕέρουσα πρόκληση. ΗΠΡΩΤΗΕΚΔΟΣΗ Η Εισαγωγή στη θεωρία υπολογισµού εµϕανίστηκε αρχικά ως χαρτόδετη προκαταρκτική έκδοση. Η πρώτη έκδοση διαϕέρει από την προκαταρκτική σε αρκετά σηµαντικά σηµεία. Κατ αρχάς, προστέθηκαν τρία νέα κεϕάλαια: το Κεϕάλαιο 8, για τη χωρική πολυπλοκότητα, το Κεϕάλαιο 9, για τα αποδεδειγµένα δυσεπίλυτα προβλήµατα, και το Κεϕάλαιο 10, που αϕορά διάϕορα σύνθετα ζητήµατα της θεωρίας πολυπλοκότητας. Επίσης, το Κεϕάλαιο 6 επεκτάθηκε ώστε να συµπεριλάβει κάποια επιπλέον σύνθετα ζητήµατα της θεωρίας υπολογισιµότητας. Τέλος, κάποια από τα υπόλοιπα κεϕάλαια βελτιώθηκαν µε την προσθήκη επιπλέον παραδειγµάτων και ασκήσεων. Στη βελτίωση των Κεϕαλαίων 0 7 συνέβαλαν και τα σχόλια διδασκόντων και σπουδαστών που χρησιµοποίησαν την προκαταρκτική έκδοση. Φυσικά, τα λάθη που εντόπισαν έχουν πλέον διορθωθεί. Τα Κεϕάλαια 6 και 10 αποτελούν µια επισκόπηση κάποιων πιο σύνθετων ζητηµάτων της θεωρίας υπολογισιµότητας και της θεωρίας πολυπλοκότητας. εν συνιστούν µια συνεκτική ενότητα, όπως ταυπόλοιπακεϕάλαια, αλλά έχουν εισαχθείµεσκοπό να επιτρέψουν στονδιδάσκοντα να επιλέξει κάποια προαιρετικά θέµατα που ενδέχεται να ενδιαϕέρουν τον πιο ανήσυχο σπουδαστή. Τα θέµατα αυτά ποικίλουν πολύ. Κάποια,όπωςηαλγοριθµική αναγωγιµότητα και η εναλλαγή,συνιστούν άµεσες επεκτάσεις άλλων εννοιών που παρουσιάζονται στο βιβλίο. Κάποια άλλα, όπωςοιδιαγνώσιµες λογικές θεωρίες και η κρυπτογραϕία, αποτελούν συνοπτικές εισαγωγές σε ευρύτερα γνωστικά πεδία. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΜΕ ΤΟΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑ Το ιαδίκτυο παρέχει νέες ευκαιρίες για διάλογο ανάµεσα σε συγγραϕείς και αναγνώστες. Έχω λάβει πολλά ηλεκτρονικά µηνύµατα µε υποδείξεις, εγκώµια, και επικρίσεις, καθώς και µε αναϕορές για λάθη της προκαταρκτικής έκδοσης. Παρακαλώ, συνεχίστε να ανταποκρίνεστε! Όσο µου επιτρέπουν οι υποχρεώσεις µου, προσπαθώ να απαντώ σε κάθε µήνυµα προσωπικά. Η ηλεκτρονική διεύθυνση για επικοινωνία σχετικά µε το βιβλίο αυτό είναι η εξής:

15 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΚΔΟΣΗ xix ιατηρώ επίσης έναν δικτυότοπο που περιέχει τον κατάλογο παροραµάτων της κάθε έκδοσης. Πιθανόν στο µέλλον να προστεθεί εκεί επιπλέον βοηθητικό υλικό για σπουδαστές και διδάσκοντες. Περιµένω τις προτάσεις σας σχετικά µε το περιεχόµενο του δικτυοτόπου αυτού. Η διεύθυνση είναι: ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Το βιβλίο αυτό θα ήταν αδύνατο να έχει γραϕτεί χωρίς τη βοήθεια πολλών ϕίλων, συναδέλϕων, και της οικογένειάς µου. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τους δασκάλους που µε βοήθησαν να διαµορϕώσω την προσωπική µου επιστηµονική θεώρηση και το διδακτικό µου ύϕος. Πέντε από αυτούς αξίζουν ιδιαίτερης µνείας. Στον επιβλέψαντα τη διδακτορική µου διατριβή, Manuel Blum, οϕείλω µια ξεχωριστή αναϕορά για τη µοναδική του ικανότητα να εµπνέει τους ϕοιτητές του µε τη διαύγεια σκέψης, τον ενθουσιασµό, και το ενδιαϕέρον του. Αποτελεί πρότυπο δασκάλου, όχι µόνο για µένα αλλά και για πολλούς άλλους. Είµαι επίσης ευγνώµων στον Richard Karp, που µε µύησε στη θεωρία πολυπλοκότητας, στον John Addison, για τα µαθήµατα λογικής και τις υπέροχες ασκήσεις που µου ανέθετε, στον Juris Hartmanis, που µε εισήγαγε στη θεωρία υπολογισµού, και στον πατέρα µου, που µε µύησε στα µαθηµατικά, τους υπολογιστές, και την τέχνη της διδασκαλίας. Το βιβλίο αυτό αποτελεί εξέλιξη των διδακτικών σηµειώσεων για ένα µάθηµα που διδάσκω στο MIT τα τελευταία 15 χρόνια. Τις σηµειώσεις αυτές κατέγραψαν από τις διαλέξεις µου διάϕοροι σπουδαστές που παρακολούθησαν το µάθηµά µου ελπίζω να µε συγχωρήσουνπου δεν τους αναϕέρωόλους. Επίσης, οι βοηθοί καθηγητούστο µάθηµάµου κατάτηδιάρκειααυτώντωνετών, Avrim Blum, Thang Bui, Andrew Chou, Benny Chor, Σταύρος Κοσµαδάκης, Aditi Dhagat, Wayne Goddard, Parry Husbands, Dina Kravets, Jakov Kučan, Brian O Neill, Ioana Popescu, και Alex Russell, µε βοήθησαν να διορθώσω και να εµπλουτίσω τις αρχικές σηµειώσεις, και προσέϕεραν ορισµένες από τις ασκήσεις. Αν και το ενδεχόµενο να γράψω ένα διδακτικό εγχειρίδιο για τη θεωρία υπολογισµού µε απασχολούσε αρκετό καιρό, αυτός που τελικά µε έπεισε πριν από τρία περίπου χρόνια να κάνω τη θεωρία πράξη ήταν ο Tom Leighton. Θα ήθελα να τον ευχαριστήσω για τις γενναιόδωρες συµβουλές του σε συγγραϕικά ζητή- µατα, αλλά και σε πολλά άλλα θέµατα. Θέλω επίσης να ευχαριστήσω τους Eric Bach, Peter Beebee, Cris Calude, Marek Chrobak, Anna Chefter, Guang-Ien Cheng, Elias Dahlhaus, Michael Fischer, Steve Fisk, Lance Fortnow, Henry J. Friedman, Jack Fu, Seymour Ginsburg, Oded Goldreich, Brian Grossman, David Harel, Micha Hofri, Dung T. Huynh, Neil Jones, H. Chad Lane, Kevin Lin, Michael Loui, Silvio Micali, Tadao Murata, ΧρήστοΠαπαδηµητρίου, Vaughan Pratt, Daniel Rosenband, Brian Scassellati, Ashish

16 xx ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΚΔΟΣΗ Sharma, Nir Shavit, Alexander Shen, Ilya Shlyakhter, Matt Stallmann, Perry Susskind, Y. C. Tay, Joseph Traub, Osamu Watanabe, Peter Widmayer, David Williamson, Derick Wood, και Charles Yang για τα σχόλια, τις υποδείξεις, και τη βοήθειά τους κατά τη διαδικασία της συγγραϕής. Επιπλέον υποδείξεις που βελτίωσαν το τελικό αποτέλεσµα έγιναν από τους: Isam M. Abdelhameed, Eric Allender, Shay Artzi, Michelle Atherton, Rolfe Blodgett, Al Briggs, Brian E. Brooks, Jonathan Buss, Jin Yi Cai, Steve Chapel, David Chow, Michael Ehrlich, Yaakov Eisenberg, Farzan Fallah, Shaun Flisakowski, Hjalmtyr Hafsteinsson, C. R. Hale, Maurice Herlihy, Vegard Holmedahl, Sandy Irani, Kevin Jiang, Rhys Price Jones, James M. Jowdy, David M. Martin Jr., Manrique Mata-Montero, Ryota Matsuura, Thomas Minka, Farooq Mohammed, Tadao Murata, Jason Murray, Hideo Nagahashi, Kazuo Ohta, Κωνσταντίνο Παπαγεωργίου, Joseph Raj, Rick Regan, Rhonda A. Reumann, Michael Rintzler, Arnold L. Rosenberg, Larry Roske, Max Rozenoer, Walter L. Ruzzo, Sanatan Sahgal, Leonard Schulman, Steve Seiden, Joel Seiferas, Ambuj Singh, David J. Stucki, Jayram S. Thathachar, H. Venkateswaran, Tom Whaley, Christopher Van Wyk, Kyle Young, και Kyoung Hwan Yun. Ο Robert Sloan χρησιµοποίησε µια πρώιµη χειρόγραϕη εκδοχή αυτού του βιβλίου στο πλαίσιο ενός µαθήµατός του,και µου προσέϕερε ανεκτίµητες υποδείξεις και ιδέες που προέκυψαν από την εµπειρία του αυτή. Οι Mark Herschberg, Kazuo Ohta και Latanya Sweeney διάβασαν τµήµατα του χειρογράϕου και πρότειναν σηµαντικές βελτιώσεις, ενώ η Shafi Goldwasser µε βοήθησε µε την ύλη του Κεϕαλαίου 10. Από τεχνικής πλευράς, είχα την υποστήριξη του William Baxter της Superscript, που συνέταξε το πακέτο µακροεντολών του L A TEXγιατηνεσωτερική µορ- ϕοποίηση του κειµένου, και τη βοήθεια του Larry Nolan από το Τµήµα Μαθηµατικών του MIT, του ανθρώπουπουϕροντίζειναλειτουργούν τα πάντα άψογα. Η συνεργασία µου µε τα στελέχη της PWS Publishing για τη δηµιουργία του τελικού προϊόντος υπήρξε ιδιαίτερα ευχάριστη. Αναϕέρω τους Michael Sugarman, David Dietz, Elise Kaiser, Monique Calello, Susan Garland και Tanja Brull, γιατί κυρίως µε αυτούς επικοινωνούσα, αλλά γνωρίζω ότι στην όλη προσπάθεια συµµετείχαν και πολλοί άλλοι. Θέλω επίσης να ευχαριστήσω τον Jerry Moore για την τελική επιµέλεια της έκδοσης, την Diane Levy για τη σχεδίαση του εξωϕύλλου, και την Catherine Hawkes για την εσωτερική µορϕοποίηση. Είµαι επίσης ευγνώµων στο National Science Foundation για την υποστήριξη που µου παρείχε µέσω της επιχορήγησης CCR Οπατέραςµου,Kenneth Sipser, και η αδελϕή µου, LauraSipser,αναπαρήγαγαν τα διαγράµµατα του βιβλίου σε ηλεκτρονική µορϕή. Η άλλη µου αδελϕή, Karen Fisch, µας έσωσε σε διάϕορες καταστάσεις έκτακτης ανάγκης που προέκυψαν λόγω των υπολογιστών, και η µητέρα µου, Justine Sipser, µας προσέϕερε τις στοργικές της συµβουλές. Τους ευχαριστώ για τη συνεισϕορά τους κάτω από δύσκολες συνθήκες, που οϕείλονταν κυρίως στις εξωπραγµατικές προθεσµίες και στο απείθαρχο λογισµικό.

17 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΚΔΟΣΗ xxi Τέλος, στέλνω την αγάπη µου στη σύζυγό µου, Ina, και την κόρη µου, Rachel, τις οποίες και ευχαριστώ για την υποµονή τους κατά την προετοιµασία αυτού του βιβλίου. Cambridge, Massachusetts Οκτώβριος, 1996 Michael Sipser

18

19 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ Αν κρίνω από τα ηλεκτρονικά µηνύµατα που έλαβα από τόσους πολλούς αναγνώστες, η µεγαλύτερη έλλειψη της πρώτης έκδοσης ήταν ότι δεν περιείχε ενδεικτικές λύσεις για κανένα από τα προβλήµατα. Ορίστε λοιπόν. Πλέον κάθε κε- ϕάλαιο περιλαµβάνει µια καινούργια ενότητα µε τίτλο Επιλεγµένες λύσεις, όπου παρατίθενται οι λύσεις για ένα αντιπροσωπευτικό δείγµα των ασκήσεων και των προβληµάτων του κεϕαλαίου (οι ασκήσεις, τα προβλήµατα, και τα υποερωτήµατα ασκήσεων και προβληµάτων για τα οποία παρατίθενται λύσεις επισηµαίνονται µε έναν εκθέτη Λ µπροστά από την αρίθµησή τους). Προσέθεσαεπίσηςαρκετάνέα προβλήµατα, προκειµένου να αντισταθµίσω την απώλεια των λυµένων από τη λίστα όσων θα µπορούσαν να ανατεθούν στους σπουδαστές ως κατ οίκον εργασία. Για επιπλέον λύσεις προβληµάτων, οι διδάσκοντες µπορούν να επικοινωνήσουν µε τον αντιπρόσωπο πωλήσεων στην περιοχή τους, όπως υποδεικνύεται στον ικτυότοπο του διδάσκοντα. Κάποιοι από τους αναγνώστες θα προτιµούσαν εκτενέστερη κάλυψη ορισµένων «καθιερωµένων» θεµάτων, ιδιαίτερα του θεωρήµατος των Myhill-Nerode και του θεωρήµατος του Rice. Ανταποκρίθηκα εν µέρει στην επιθυµία τους, αναπτύσσοντας αυτά τα θέµατα στα λυµένα προβλήµατα. Ο λόγος που δεν συµπεριέλαβα το θεώρηµα των Myhill-Nerode στο κυρίως κείµενο είναι ότι πιστεύω πως το µάθηµα αυτό θα πρέπει να παρέχει µόνο µια εισαγωγή στα πεπερασµένα αυτόµατα, και όχι µια αναλυτική διερεύνηση. Κατά την άποψή µου, ο ρόλος των πεπερασµένων αυτοµάτωνστο συγκεκριµένο µάθηµα είναι να προσϕέρουν στους σπουδαστές τη δυνατότητα να µελετήσουν ένα απλό τυπικό µοντέλο υπολογισµού ως xxiii

20 xxiv ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ προοίµιο των ισχυρότερων µοντέλων, καινααποτελέσουν χρήσιµαπαραδείγµατα για µεταγενέστερα θέµατα. Φυσικά, κάποιοι θα προτιµούσαν µια εκτενέστερη παρουσίαση, ενώ άλλοι θεωρούν ότι θα έπρεπε να παραλείψω οποιαδήποτε αναϕορά στα πεπερασµένα αυτόµατα (ή τουλάχιστον να αποϕύγω οποιαδήποτε εξάρτησηαπό αυτά). Όσον αϕορά το θεώρηµα του Rice, αν και αποτελεί χρήσι- µο «εργαλείο» για πολλές αποδείξεις µη διαγνωσιµότητας, δεν το συµπεριέλαβα στο κυρίως κείµενο ϕοβούµενος ότι κάποιοι ϕοιτητές θα το χρησιµοποιήσουν µηχανικά, χωρίς να καταλαβαίνουν πραγµατικά τι συµβαίνει. Αντιθέτως, η σύνταξη αποδείξεων µη διαγνωσιµότητας µε απευθείας χρήση των αναγωγών τούς προετοιµάζει καλύτερα για τις αναγωγές που εµϕανίζονται αργότερα στη θεωρία πολυπλοκότητας. Είµαι ευγνώµων στους βοηθούς καθηγητού µε τους οποίους συνεργάστηκα τα τελευταία χρόνια, Ilya Baran, Sergi Elizalde, Rui Fan, Jonathan Feldman, Venkatesan Guruswami, Prahladh Harsha, Χρήστο Καπούτση, Julia Khodor, Adam Klivans, Kevin Matulef, Ioana Popescu, April Rasala, Sofya Raskhodnikova, και Iuliu Vasilescu, που µε βοήθησαν να επεξεργαστώ µέρος των νέων προβληµάτων και λύσεων. Στις λύσεις συνεισέϕεραν επίσης οι Ching Law, Edmond Kayi Lee, και Zulfikar Ramzan. Ευχαριστώ επίσης τον Victor Shoup, που πρότεινε έναν απλό τρόπο να καλύψω το κενό της πρώτης έκδοσης σχετικά µε την ανάλυση του πιθανοκρατικού αλγορίθµου για τον έλεγχο της συνθετότητας ενός ακεραίου. Θα πρέπει επίσης να αναγνωρίσω τις προσπάθειες των στελεχών της Course Technology να ενθαρρύνουν τόσο εµένα όσοκαιτουςυπόλοιπους συντελεστές αυτής της έκδοσης. ευχαριστώ ιδιαίτερα την Alyssa Pratt και την Aimee Poirier. Πολλές ευχαριστίες οϕείλω και στους Gerald Eisman, Weizhen Mao, Rupak Majumdar, Chris Umans, και Christopher Wilson για την κριτική ανάγνωση του κειµένου. Είµαι επίσης ευγνώµων στον Jerry Moore για την εξαίρετη τελική επιµέλεια τηςέκδοσης, και στην Laura Segel τηςbytegraphics απόδοση των σχηµάτων. Το πλήθος των ηλεκτρονικών µηνυµάτων που έλαβα ήταν µεγαλύτερο του αναµενοµένου. Η επικοινωνία µε τόσους πολλούς αναγνώστες από τόσα πολλά µέρη ήταν ιδιαίτερα απολαυστική, και προσπάθησα να απαντήσω τελικά σε όλους ζητώ συγγνώµη από όσους παρέλειψα. Ευχαριστώ όλους τους αναγνώστες για τα µηνύµατά τους,καιαναϕέρωεδώ όσους προέβησαν σε υποδείξεις που επηρέασαν ειδικότερα αυτή την έκδοση: Luca Aceto, Arash Afkanpour, Rostom Aghanian, Eric Allender, Karun Bakshi, Brad Ballinger, Ray Bartkus, Louis Barton, Arnold Beckmann, Mihir Bellare, Kevin Trent Bergeson, Matthew Berman, Rajesh Bhatt, Somenath Biswas, Lenore Blum, Mauro A. Bonatti, Paul Bondin, Nicholas Bone, Ian Bratt, Gene Browder, Doug Burke, Sam Buss, Vladimir Bychkovsky, Bruce Carneal, Soma Chaudhuri, Rong-Jaye Chen, Samir Chopra, Benny Chor, John Clausen, Allison Coates, Anne Condon, Jeffrey Considine,JohnJ.Crashell, Claude Crepeau, Shaun Cutts, Susheel M. Daswani, Geoff Davis, Scott Dexter, Peter Drake, Jeff Edmonds, Yaakov Eisenberg, Kurtcebe Eroglu, Georg Essl, Alexander T. Fader, Farzan Fallah, Faith Fich, Joseph E. Fitzgerald, Perry

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

CSC 314: Switching Theory

CSC 314: Switching Theory CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης Περιεχόμενα Δομές δεδομένων 37. Δομές δεδομένων (θεωρητικά στοιχεία)...11 38. Εισαγωγή στους μονοδιάστατους πίνακες...16 39. Βασικές επεξεργασίες στους μονοδιάστατους πίνακες...25 40. Ασκήσεις στους μονοδιάστατους

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Εισαγωγή Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Βιβλιογραφία Jon Kleinberg και Éva Tardos, Σχεδιασμός αλγορίθμων, Εκδόσεις Κλειδάριθμος,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δρ. Κόννης Γιώργος Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής Προγραμματισμός Στόχοι 1 Να περιγράψουμε τις έννοιες του Υπολογιστικού Προβλήματος και του Προγράμματος/Αλγορίθμου

Διαβάστε περισσότερα

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 5.1 Εισαγωγή στους αλγορίθμους 5.1.1 Εισαγωγή και ορισμοί Αλγόριθμος (algorithm) είναι ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών οι οποίες εκτελούν κάποιο ιδιαίτερο έργο. Κάθε αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ»

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» - Κρυπτογραφία είναι - Κρυπτανάλυση είναι - Με τον όρο κλειδί. - Κρυπτολογία = Κρυπτογραφία + Κρυπτανάλυση - Οι επιστήµες αυτές είχαν

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 6.1 Τι ονοµάζουµε πρόγραµµα υπολογιστή; Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανές Πεπερασµένων Καταστάσεων

Μηχανές Πεπερασµένων Καταστάσεων Μηχανές Επεξεργασίας Πληροφοριών Μηχανές Πεπερασµένων Καταστάσεων Είναι µηχανές που δέχονται ένα σύνολο από σήµατα εισόδου και παράγουν ένα αντίστοιχο σύνολο σηµάτων εξόδου Σήµατα Εισόδου Μηχανή Επεξεργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΙ Η, ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΙ Η, ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΙ Η, ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 7.1. Ανάπτυξη Προγράµµατος Τι είναι το Πρόγραµµα; Το Πρόγραµµα: Είναι ένα σύνολο εντολών για την εκτέλεση ορισµένων λειτουργιών από τον υπολογιστή.

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Εισαγωγή στον προγραµµατισµό Η έννοια του προγράµµατος Ο προγραµµατισµός ασχολείται µε τη δηµιουργία του προγράµµατος, δηλαδή του συνόλου εντολών που πρέπει να δοθούν στον υπολογιστή ώστε να υλοποιηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματιζόμενοι με αριθμούς στο περιβάλλον του Microworlds Pro: διαθεματική προσέγγιση περί «πολλαπλασίων και διαιρετών»

Πειραματιζόμενοι με αριθμούς στο περιβάλλον του Microworlds Pro: διαθεματική προσέγγιση περί «πολλαπλασίων και διαιρετών» Πειραματιζόμενοι με αριθμούς στο περιβάλλον του Microworlds Pro: διαθεματική προσέγγιση περί «πολλαπλασίων και διαιρετών» μια Νίκος Δαπόντες Φυσικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Το περιβάλλον Microworlds

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 1η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η περαιτέρω εξοικείωση µε τις σηµαντικότερες µεθόδους και ιδέες της Συνδυαστικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα

Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης είναι ήδη κάπως εξοικειωµένος µε τον συνηθισµένο καθηµερινό συνολοθεωρητικό εξοπλισµό. Παρ όλα αυτά, θα παρουσιάσουµε συνοπτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ Εισαγωγή Καθ. Κ. Κουρκουµπέτης Σηµείωση: Οι διαφάνειες βασίζονται σε µεγάλο βαθµό σε αυτές που συνοδεύονται µε το προτεινόµενο σύγγραµµα. 1

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ Α... Β

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ Α... Β ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Γ ΕΚ ΟΣΗΣ Μετά την τρίτη έκδοση του βιβλίου µου µε τα προβλήµατα Μηχανικής για το µάθηµα Γενική Φυσική Ι, ήταν επόµενο να ακολουθήσει η τρίτη έκδοση και του παρόντος βιβλίου µε προβλήµατα Θερµότητας

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σην παρουσίαση των διδασκαλιών ή των project μπορούμε να ακολουθήσουμε την φόρμα που παρουσιάζεται παρακάτω. Μια παρουσίαση σύντομη και μια λεπτομερής.

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι)

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτοσυστήματα Δημοσίου κλειδιού Αποστολέας P Encryption C Decryption P Παραλήπτης Προτάθηκαν το 1976 Κάθε συμμετέχων στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Ένταξη των Τ.Π.Ε. στην διδασκαλία και τη µάθηση I) ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Παύλος Γ. Σπυράκης (google: Paul Spirakis) Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ Καθ. Κ. Κουρκουµπέτης Οι διαφάνειες βασίζονται σε µεγάλο βαθµό σε αυτές που συνοδεύονται µε το προτεινόµενο σύγγραµµα. 1 Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ Εισαγωγή 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007 1 / 15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έρευνα υποστηριζόµενη από τη Γενική ιεύθυνση Εκπαίδευσης και Πολιτισµού της Ε.Ε., στο πλαίσιο του προγράµµατος Σωκράτης «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Περιεχόμενα

Περιεχόμενα. Περιεχόμενα Περιεχόμενα xv Περιεχόμενα 1 Αρχές της Java... 1 1.1 Προκαταρκτικά: Κλάσεις, Τύποι και Αντικείμενα... 2 1.1.1 Βασικοί Τύποι... 5 1.1.2 Αντικείμενα... 7 1.1.3 Τύποι Enum... 14 1.2 Μέθοδοι... 15 1.3 Εκφράσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα To Δόγμα Church-Turing

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα To Δόγμα Church-Turing Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα To Δόγμα Church-Turing Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μηχανές Turing (3.1) Τυπικό Ορισμός Παραδείγματα Παραλλαγές Μηχανών Turing (3.2) Πολυταινιακές

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών κεφάλαιο 1 Βασικές Έννοιες Επιστήμη 9 1Εισαγωγή στις Αρχές της Επιστήμης των Η/Υ Στόχοι Στόχος του κεφαλαίου είναι οι μαθητές: να γνωρίσουν βασικές έννοιες και τομείς της Επιστήμης. Λέξεις κλειδιά Επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

ΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ: Εφαρµογές στη Σύγχρονη επιχείρηση. Γρηγόρη Πραστάκου

ΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ: Εφαρµογές στη Σύγχρονη επιχείρηση. Γρηγόρη Πραστάκου ΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ: Εφαρµογές στη Σύγχρονη επιχείρηση Γρηγόρη Πραστάκου Εκδόσεις Σταµούλη, 2002 www.stamoulis.gr Πρόλογος Είναι ευρέως αποδεκτό ότι η ιοικητική Επιστήµη αποτελεί ένα βασικό συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΑ Λ. Αναστασίου Κωνσταντίνος Δεληγιάννη Ισαβέλλα Ζωγοπούλου Άννα Κουκάκης Γιώργος Σταθάκη Αρετιάννα

ΟΜΑΔΑ Λ. Αναστασίου Κωνσταντίνος Δεληγιάννη Ισαβέλλα Ζωγοπούλου Άννα Κουκάκης Γιώργος Σταθάκη Αρετιάννα ΟΜΑΔΑ Λ Αναστασίου Κωνσταντίνος Δεληγιάννη Ισαβέλλα Ζωγοπούλου Άννα Κουκάκης Γιώργος Σταθάκη Αρετιάννα ΒΙΟΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Τι είναι η βιοπληροφορική; Αποκαλείται ο επιστημονικός κλάδος ο οποίος προέκυψε από

Διαβάστε περισσότερα

Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΘΗΝΑ, 2001 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ iii ix ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1.1

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΑΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΩΤΟΥ ΑΘΟΥ 1. ηµειώστε το γράµµα αν η πρόταση είναι σωστή και το γράµµα αν είναι λάθος. 1. Ο αλγόριθµος πρέπει να τερµατίζεται µετά από εκτέλεση πεπερασµένου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ. Θεωρία και Πολιτική

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ. Θεωρία και Πολιτική ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ Θεωρία και Πολιτική Παντελής Καλαϊτζιδάκης Σαράντης Καλυβίτης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή στην οικονομική μεγέθυνση Ορισμός της οικονομικής μεγέθυνσης 15 Μια σύντομη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

Α/Α Τύπος Εκφώνηση Απαντήσεις Το λογισµικό Άτλαντας CENTENNIA µπορεί να χρησιµοποιηθεί 1. Α) Στην ιστορία. Σωστό το ) Σωστό το Γ)

Α/Α Τύπος Εκφώνηση Απαντήσεις Το λογισµικό Άτλαντας CENTENNIA µπορεί να χρησιµοποιηθεί 1. Α) Στην ιστορία. Σωστό το ) Σωστό το Γ) Α/Α Τύπος Εκφώνηση Απαντήσεις Το λογισµικό Άτλαντας CENTENNIA µπορεί να χρησιµοποιηθεί Α) Στην ιστορία. Α) Β) Γ) ) Απλή Β) Στη µελέτη περιβάλλοντος. Γ) Στις φυσικές επιστήµες. ) Σε όλα τα παραπάνω. Είστε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Γώγουλος Γ., Κοτσιφάκης Γ., Κυριακάκη Γ., Παπαγιάννης Α., Φραγκονικολάκης Μ., Χίνου Π. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: 7 Α1. Κάθε σωστή απάντηση

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητές/οί συνάδελφοι, σε αυτό το τεύχος σας προτείνουµε µερικά ενδιαφέροντα βιβλία που αφορούν βασικές αρχές της Συµβουλευτικής.

Αγαπητές/οί συνάδελφοι, σε αυτό το τεύχος σας προτείνουµε µερικά ενδιαφέροντα βιβλία που αφορούν βασικές αρχές της Συµβουλευτικής. Αγαπητές/οί συνάδελφοι, σε αυτό το τεύχος σας προτείνουµε µερικά ενδιαφέροντα βιβλία που αφορούν βασικές αρχές της Συµβουλευτικής. Arist Von Schlippe, Jochen Schweitzer επιµέλεια: Βιργινία Ιωαννίδου µετάφραση:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 2 ο Τύποι Δεδοµένων Δήλωση Μεταβλητών Έξοδος Δεδοµένων Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Μνήµη και Μεταβλητές Σχέση Μνήµης Υπολογιστή και Μεταβλητών Η µνήµη (RAM) ενός

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 11 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση Στα µαθητικά και φοιτητικά µας χρόνια, έχουµε γνωριστεί µε µία ποικιλία από µαθηµατικά προβλήµατα των οποίων µαθαίνουµε σταδιακά τις λύσεις Παραδείγµατος χάριν,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα 14-Sep-11 Τυπικός Ορισμός Ντετερμινιστικών

Διαβάστε περισσότερα