Michael Sipser. Εισαγωγή στη θεωρία υπολογισµού

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Michael Sipser. Εισαγωγή στη θεωρία υπολογισµού"

Transcript

1

2 Michael Sipser Εισαγωγή στη θεωρία υπολογισµού ÓÂappleÈÛÙËÌÈ ÎÂÛ Î ÔÛÂÈÛ ÚËÙËÛ Ιδρυτική ωρεά Παγκρητικής Ενώσεως Αµερικής Ηράκλειο 2008

3 π ªπ π ƒ Ι ΡΥΜΑΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΑΣ Ηράκλειο Κρήτης, Τ.Θ. 1527, Τηλ , , Fax: Αθήνα: Μάνης 5, Τηλ , Fax: ΣΕΙΡΑ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ È ı ÓÙÂÛ ÂÈÚ Û: ˆÚÁÈÔÛ ºÚ. ˆÚÁ ÎÔappleÔ ÏÔÛ πˆ ÓÓËÛ apple ÔÁÁÔÓ Û Τίτλος πρωτοτύπου: IntroductiontotheTheoryofComputation, 2nd edition c 2006: Thomson Course Technology c γιατην ελληνική γλώσσα: 2005, 2007 Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτ Πρώτηέκδοση: εκέµβριος 2007 Πρώτηανατύπωση: εκέµβριος 2008 Απόδοση στα ελληνικά: Χρήστος Καπούτσης Επιστηµονική επιµέλεια: Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Επιµέλεια κειµένου, σελιδοποίηση, επιµέλεια έκδοσης: Ιωάννης Παπαδόγγονας (ΠΕΚ) Ορολογική επιµέλεια: Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος, Ιωάννης Παπαδόγγονας (ΠΕΚ) Προσαρµογή L A TEX: David McClurkin ISBN

4 Στην Ina, τη Rachel, και τον Aaron.

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος του επιµελητή xiii Πρόλογος στην πρώτη έκδοση xv Προς τους ϕοιτητές xv Προς τους διδάσκοντες xvii Ηπρώτηέκδοση xviii Επικοινωνία µε τον συγγραϕέα xviii Ευχαριστίες xix Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση xxiii 0 Εισαγωγή Αυτόµατα, υπολογισιµότητα, και πολυπλοκότητα Θεωρία πολυπλοκότητας Θεωρία υπολογισιµότητας Θεωρία αυτοµάτων Μαθηµατικές έννοιες και ορολογία Σύνολα Ακολουθίες και πλειάδες Συναρτήσεις και σχέσεις Γραϕήµατα Λέξεις και γλώσσες Λογισµός Boole Ορισµοί, θεωρήµατα, και αποδείξεις Εύρεση αποδείξεων Είδη αποδείξεων Απόδειξη µε κατασκευή Απόδειξη µε απαγωγή σε άτοπο Απόδειξη µε επαγωγή Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις vii

6 viii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ I: ΑΥΤΟΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΕΣ 33 Κ 1 ανονικέςγλώσσες Πεπερασµένα αυτόµατα Τυπικός ορισµός του πεπερασµένου αυτοµάτου Παραδείγµατα πεπερασµένων αυτοµάτων Τυπικός ορισµός του υπολογισµού Σχεδίαση πεπερασµένωναυτοµάτων Οι κανονικές πράξεις Ανταιτιοκρατία Τυπικός ορισµός του ανταιτιοκρατικού πεπερασµένου αυτοµάτου Ισοδυναµία ανταιτιοκρατικών και αιτιοκρατικών αυτο- µάτων Κλειστότητα ως προς τις κανονικές πράξεις Κανονικές εκϕράσεις Τυπικός ορισµός της κανονικής έκϕρασης Ισοδυναµία µε τα πεπερασµένα αυτόµατα Μη κανονικές γλώσσες Το λήµµα της άντλησης για κανονικές γλώσσες Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις Ασυµϕραστικές γλώσσες Ασυµϕραστικές γραµµατικές Τυπικός ορισµός της ασυµϕραστικής γραµµατικής Παραδείγµατα ασυµϕραστικών γραµµατικών Σχεδίαση ασυµϕραστικών γραµµατικών Πολυτροπία Κανονική µορϕή Chomsky Αυτόµατα στοίβας Τυπικός ορισµός του αυτοµάτου στοίβας Παραδείγµατα αυτοµάτων στοίβας Ισοδυναµία µε τις ασυµϕραστικές γραµµατικές Μη ασυµϕραστικές γλώσσες Το λήµµα της άντλησης για ασυµϕραστικές γλώσσες Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις ΜΕΡΟΣ II: ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΤοδόγµαChurch-Turing Μηχανές Turing Τυπικός ορισµός της µηχανής Turing

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ix Παραδείγµατα µηχανών Turing Παραλλαγές µηχανών Turing Πολυταινιακές µηχανές Turing Ανταιτιοκρατικές µηχανές Turing Απαριθµητές Ισοδυναµία µε άλλα µοντέλα Ο ορισµός του αλγορίθµου Τα προβλήµατα του Hilbert Ορολογία για την περιγραϕή µηχανών Turing Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις ιαγνωσιµότητα ιαγνώσιµες γλώσσες Επιλύσιµα προβλήµατα σχετικά µε κανονικές γλώσσες Επιλύσιµα προβλήµατα σχετικά µε ασυµϕραστικές γλώσσες Το πρόβληµα του τερµατισµού Η µέθοδος της διαγωνιοποίησης Το πρόβληµα του τερµατισµού είναι ανεπίλυτο Μια µη αναγνωρίσιµη γλώσσα Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις Αναγωγές Ανεπίλυτα προβλήµατα από τη θεωρία γλωσσών Αναγωγή µέσω του υπολογιστικού χρονικού Ένα απλό ανεπίλυτο πρόβληµα Απεικονιστικές αναγωγές Υπολογίσιµες συναρτήσεις Τυπικός ορισµός της απεικονιστικής αναγωγιµότητας Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις Σύνθεταζητήµατα της θεωρίας υπολογισιµότητας Το θεώρηµα αναδροµής Αυτοαναϕορά Ορολογία για το θεώρηµα αναδροµής Εϕαρµογές ιαγνωσιµότητα λογικών θεωριών Μια διαγνώσιµη θεωρία Μια µη διαγνώσιµη θεωρία Αλγοριθµική αναγωγή Ένας ορισµός της πληροϕορίας Ελαχιστοµήκειςπεριγραϕές Το βέλτιστο του ορισµού

8 x ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ασυµπίεστες λέξεις καιτυχαιότητα Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις ΜΕΡΟΣ III: ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ Χρονικήπολυπλοκότητα Μέτρηση της πολυπλοκότητας Οι συµβολισµοί κεϕαλαίουκαιπεζούόµικρον Ανάλυση αλγορίθµων Σχέσεις πολυπλοκότητας µεταξύ µοντέλων Η κλάση P Πολυωνυµικός χρόνος Παραδείγµατα προβληµάτων στην κλάση P Η κλάση NP Παραδείγµατα προβληµάτων στην NP Το ερώτηµα «P έναντι NP» NP-πληρότητα Αναγωγιµότητα πολυωνυµικού χρόνου Ορισµός της NP-πληρότητας Το Θεώρηµα των Cook-Levin Άλλα NP-πλήρη προβλήµατα Το πρόβληµα του κοµβικού καλύµµατος Το πρόβληµα της χαµιλτονιανής διαδροµής Το πρόβληµα του αθροίσµατος υπακολουθίας Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις Χωρικήπολυπλοκότητα Το θεώρηµα του Savitch Η κλάση PSPACE PSPACE-πληρότητα Το πρόβληµα TQBF Νικηϕόρες στρατηγικές γιαπαίγνια Γενικευµένη γεωγραϕία Οι κλάσεις L και NL NL-πληρότητα ιερεύνηση γραϕηµάτων Οι κλάσεις NL και CONL ταυτίζονται Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις υσεπίλυταπροβλήµατα Θεωρήµατα ιεραρχίας EXPSPACE-πληρότητα

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xi 9.2 Σχετικοποίηση Τα όρια της µεθόδου της διαγωνιοποίησης Κυκλωµατική πολυπλοκότητα Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις Σύνθετα ζητήµατα της θεωρίας πολυπλοκότητας Προσεγγιστικοί αλγόριθµοι Πιθανοκρατικοίαλγόριθµοι Η κλάση BPP το πρόβληµα της «πρώτευσης» ιακλαδούµενα προγράµµατα εϕ άπαξ ανάγνωσης Εναλλαγή Εναλλασσόµενος χρόνος καιχώρος Η ιεραρχία του πολυωνυµικού χρόνου ιαλογικά αποδεικτικά συστήµατα Ανισοµορϕία γραϕηµάτων Ορισµός του µοντέλου IPP = PSPACE Παράλληλος υπολογισµός Οµοιόµορϕα λογικά κυκλώµατα Η κλάση NC P-πληρότητα Κρυπτογραϕία Κρυϕά κλειδιά Κρυπτοσυστήµατα δηµόσιου κλειδιού Μονόδροµες συναρτήσεις Παγιδευτικές συναρτήσεις Ασκήσεις, Προβλήµατα και Λύσεις Επιλεγµένη Βιβλιογραϕία 497 Ευρετήριο 503

10 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗ Οι Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης έχουν τη χαράνα παρουσιάσουν τη µετά- ϕραση του εγχειριδίου του M. Sipser µε θέµα τη θεωρία υπολογισµού και πολυπλοκότητας. Το γνωστικό αυτό αντικείµενο είναι κεϕαλαιώδους σηµασίας για τις σπουδές στον χώρο της πληροϕορικής, και το παρόν µεταϕρασµένο βιβλίο είναι από τα ελάχιστα, αν όχι το πρώτο, που καλύπτει θεµελιώδη ζητήµατα της θεωρίας πολυπλοκότητας (στην ελληνική γλώσσα). Το συγκεκριµένο έργο επιλέχθηκε λόγω της παιδαγωγικής του αµεσότητας και του διδακτικού του χαρακτήρα, που είναι αποτέλεσµα συνειδητής απόϕασης και επιδίωξης του συγγραϕέα. ώσαµε ιδιαίτερη προσοχή στην ελληνική απόδοση της ορολογίας, όπου η κατάσταση, όσον αϕορά τον τοµέα της πληροϕορικής, δεν είναι ακόµη ικανοποιητική: αϕιερώσαµε πολύ χρόνο για να καταλήξουµε σε όρους και λεκτικά σχήµατα εκϕραστικά, ευέλικτα, και ορθά από γραµµατικής και συντακτικής απόψεως, σε συνέπεια µε την ορολογία των υπόλοιπων έργων της σειράς πληροϕορικής των ΠΕΚ. Ευχαριστώ όλους τους συντελεστές του έργου για τη δηµιουργική συνεργασία που είχαµε. Ευχαριστώ ιδιαιτέρως όσους συνέβαλαν στην τελική µορϕή του κειµένου για τη θετική συνεισϕορά τους, η οποία συχνά υπερέβαινε τα τυπικά τους καθήκοντα. Η τελική ευθύνη προϕανώς βαρύνει αποκλειστικά τον επιµελητή, ενώ η τελικήκρίσηανήκειϕυσικά στο αναγνωστικό κοινό. Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος xiii

11 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΚΔΟΣΗ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΦΟΙΤΗΤΕΣ Καλώς ήλθατε! Σε λίγο θα ξεκινήσετε τη µελέτη ενός σηµαντικού και συναρπαστικού γνωστικού αντικειµένου: της θεωρίας υπολογισµού. Η θεωρία αυτή πραγµατεύεται τις θεµελιώδεις µαθηµατικές ιδιότητες του υλισµικού και του λογισµικού των υπολογιστών, καθώς και ορισµένες εϕαρµογές τους. Μελετώντας το αντικείµενο αυτό, επιδιώκουµε να προσδιορίσουµε ποια προβλήµατα µπορούν να επιλυθούν υπολογιστικά και ποια όχι, πόσο γρήγορα, µε πόση µνήµη, και σε τι είδους υπολογιστικό µοντέλο. Ο συγκεκριµένος επιστηµονικός κλάδος σχετίζεται εµϕανώς µε την εϕαρµοσµένη µηχανική υπολογιστών. Ωστόσο, όπως συµβαίνει µε όλες τις θετικές επιστήµες, έχει και τις καθαρά ϕιλοσοϕικές του πλευρές. Ξέρω ότι πολλοί από εσάς ανυποµονούν να µελετήσουν το συγκεκριµένο αντικείµενο. Για κάποιους άλλους, όµως, ενδεχοµένως να µην είναι προσωπική τους επιλογή. Πιθανόν κάποιοι να επιδιώκουν απλώς να αποκτήσουν ένα πτυχίο επιστήµης υπολογιστών ή µηχανικού, οπότε είναι υποχρεωτικό να πάρουν κάποιο θεωρητικό µάθηµα ένας Θεός ξέρει γιατί. Ηθεωρίαείναιδυσνόητη, ανιαρή, και το χειρότερο απόόλα άσχετηµεταπραγµατικάπροβλήµατα,έτσιδενείναι; Προχωρώντας στη µελέτη του βιβλίου αυτού, θα διαπιστώσετε ότι η θεωρητική επιστήµη υπολογιστών δεν είναι ούτε δυσνόητη ούτε ανιαρή, αλλά αντιθέτως εξαιρετικά κατανοητή, και µάλιστα ενδιαϕέρουσα. Βεβαίως, εκτός από τις πολλές συναρπαστικές κεντρικές της έννοιες, περιλαµβάνει και αρκετές µικρές και xv

12 xvi ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΚΔΟΣΗ ενίοτε πληκτικές λεπτοµέρειες, που µπορεί να είναι κουραστικές. Η δε εκµάθησή της απαιτεί σκληρή δουλειά, όπως συµβαίνει µε κάθε καινούργιο γνωστικό αντικείµενο. Ωστόσο, εάν το αντικείµενο παρουσιάζεται σωστά, η εκµάθησή του γίνεται ευκολότερη και πιο ευχάριστη. Το πρωταρχικό µου κίνητρο για τη συγγραϕή του βιβλίου αυτού ήταν να παρουσιάσω στον αναγνώστη τις αυθεντικά συναρπαστικές πλευρές της θεωρίας υπολογισµού, χωρίς να εµπλακώ σε βαρετές και ανούσιες λεπτοµέρειες. Φυσικά, ο µόνος τρόπος για να διαπιστώσετε εάν ηθεωρίασάςενδιαϕέρει είναι να προσπαθήσετε να τη µάθετε. Κατ αρχάς, η θεωρία σχετίζεται σαϕώς µε την πράξη, διότι παρέχει τα εννοιολογικά εργαλεία που χρησιµοποιούν οι επαγγελµατίες µηχανικοί υπολογιστών. Παραδείγµατος χάριν, εάν επιθυµείτε να σχεδιάσετε µια νέα γλώσσα προγραµ- µατισµού για κάποια εξειδικευµένη εϕαρµογή, θα σας ϕανούν χρήσιµα όσα ανα- ϕέρονται σε αυτότο βιβλίο σχετικά µε τις γραµµατικές.εάν ασχοληθείτε µε αναζήτηση συµβολοσειρών και αναγνώριση προτύπων, θα χρειαστείτε τα πεπερασµένα αυτόµατα και τις κανονικές εκϕράσεις.εάναντιµετωπίσετε κάποιο πρόβληµα που ϕαίνεται να απαιτεί περισσότερο υπολογιστικό χρόνο απ όσον διαθέτετε, µπορείτε να ανατρέξετε στα ζητήµατα που αϕορούν την NP-πληρότητα. ιάϕοροι τοµείς πρακτικών εϕαρµογών, όπως η σχεδίασησύγχρονων κρυπτογραϕικών πρωτοκόλλων, βασίζονται στις θεωρητικές αρχές που πραγµατεύεται αυτό το βιβλίο. Επιπλέον, η θεωρία σχετίζεται και µε εσάς τους ίδιους, διότι σας αποκαλύπτει µια νέα, απλούστερη, και κοµψότερη πλευρά των υπολογιστών, οι οποίοι θεωρούνται συνήθως εξαιρετικά περίπλοκες µηχανές. Στην πραγµατικότητα, οι καλύτερες σχεδιαστικές ιδέες και εϕαρµογές των υπολογιστών συλλαµβάνονται µε γνώµονα την κοµψότητα. Εµπλουτίζοντας την αισθητική σας καλλιέργεια, ένα θεωρητικό µάθηµα σας βοηθά τελικά να κατασκευάζετε οµορϕότερα συστήµατα. Τέλος, η θεωρία είναι επωϕελής γιατί διευρύνει τη σκέψη σας. Η τεχνολογία των υπολογιστών µεταβάλλεται µε ταχύ ρυθµό, και εποµένως οι εξειδικευµένες τεχνικές γνώσεις όσο χρήσιµες και αν είναι σήµερα ξεπερνιούνται µέσα σε λίγα χρόνια. Αντιθέτως, η ικανότητά σας να σκέπτεστε, να εκϕράζεστε µε σαϕήνεια και ακρίβεια, να λύνετε προβλήµατα, και να αντιλαµβάνεστε πότε ένα πρόβληµα δεν έχει λυθεί έχει διαχρονική αξία. Η µελέτη της θεωρίας καλλιεργεί όλα αυτά τα στοιχεία. Φυσικά, εκτός από τα πρακτικά ζητήµατα,σχεδόν όλοι όσοι ασχολούνται µε τους υπολογιστές διακατέχονται από έµϕυτη περιέργεια για αυτά τα αξιοθαύµασταδηµιουργήµατα, για τις δυνατότητες και τις αδυναµίες τους. Τα τελευταία 30 χρόνια, έχει αναπτυχθεί ένας ολόκληρος νέος κλάδος µαθηµατικών µε σκοπό να δώσει απαντήσεις σε ορισµένα βασικά τέτοια ερωτήµατα. Ένα από τα πλέον ση- µαντικά, που παραµένει ακόµη άλυτο, είναι το εξής: εάν µας δοθεί ένας µεγάλος αριθµός, λόγου χάριν µε 500 ψηϕία, µπορούµε να βρούµε τους παράγοντές του (δηλαδή τους αριθµούς που τον διαιρούν ακριβώς) σε εύλογο χρονικό διάστηµα; Ακόµη και µε έναν υπερυπολογιστή, κανείς σήµερα δεν γνωρίζει πώς να λύσει

13 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΚΔΟΣΗ xvii αυτό το πρόβληµα στηγενικήπερίπτωσησε χρόνο µικρότεροαπό την ηλικία του σύµπαντος! Για αυτόν ακριβώς τον λόγο,το συγκεκριµένο πρόβληµα σχετίζεται άµεσα µε κάποιους µυστικούς κώδικες στα σύγχρονα κρυπτοσυστήµατα. Βρείτε λοιπόν µια γρήγορη µέθοδο παραγοντοποίησης, και η δόξα σάς ανήκει! ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ Σκοπός του βιβλίου αυτού είναι να χρησιµοποιηθεί ως διδακτικό εγχειρίδιο της θεωρητικής επιστήµης υπολογιστών για τελειόϕοιτους ή µεταπτυχιακούς ϕοιτητές. Η προσέγγιση του αντικειµένου είναι µαθηµατικού χαρακτήρα, µε βασικό άξονα τα θεωρήµατα και τις αποδείξεις. Αν και προσπάθησα να διευκολύνω σε κάποιο βαθµό τους σπουδαστές µε µικρή εµπειρία στην απόδειξη θεωρηµάτων, οι πιο πεπειραµένοι σπουδαστές θα βρουν την ύλη σαϕώς πιο προσιτή. Οβασικόςµουστόχοςκατάτηνπαρουσίαση της ύλης ήταν να καταστήσω το αντικείµενο σαϕές και ενδιαϕέρον. Για το λόγο αυτό, προσπάθησα να δώσω έµϕαση στη διαίσθηση και στην «ευρύτερη εικόνα», και όχι στις δευτερεύουσες τεχνικές λεπτοµέρειες. Παραδείγµατος χάριν, η µέθοδος της απόδειξης µε επαγωγή, αν και παρουσιάζεται µαζί µε τις άλλες εισαγωγικές µαθηµατικές έννοιες στο Κεϕάλαιο 0, δεν παίζει σηµαντικό ρόλο στο βιβλίο. Έτσι, έχω παραλείψει τις συνήθεις επαγωγικές αποδείξεις ορθότητας στις διάϕορες κατασκευές αυτοµάτων. Πιστεύω ότι, όταν παρουσιάζονται µε σαϕήνεια, οι κατασκευές αυτές είναι πειστικές χωρίς επιπλέον επιχειρήµατα. Εξάλλου, η επαγωγή είναι µια αρκετά σύνθετη τεχνική, την οποία ορισµένοι θεωρούν µάλλον δυσνόητη. Εποµένως, µια επαγωγική απόδειξη, αντί να διαϕωτίσει, µπορεί να προκαλέσει σύγχυση. Γενικότερα, κάθε ϕορά που χρησιµοποιούµε την επαγωγή για να αναλύσουµε εξαντλητικά το προϕανές, κινδυνεύουµε να δηµιουργήσουµε στους σπουδαστές την εντύπωση ότι η µαθηµατική απόδειξη είναι ένας ϕορµαλιστικός χειρισµός, ενώ το ζητούµενο είναι απλώς να τους διδάξουµε πότε ένα επιχείρηµα είναι πραγµατικά αδιάσειστο. Ένα δεύτερο παράδειγµα τηςδιαισθητικής προσέγγισης εντοπίζεται στο εύτερο και στο Τρίτο Μέρος, όπου περιγράϕω τους αλγορίθµους σε ρέον κείµενο αντί για ψευδοκώδικα, και αϕιερώνω ελάχιστο χρόνο στον λεπτοµερή προγραµ- µατισµό µηχανών Turing ή άλλων τυπικών µοντέλων. Πιστεύω ότι οι σηµερινοί σπουδαστές έχουν ήδη αρκετή προγραµµατιστική εµπειρία ώστε να µην χρειάζονται τις επιπλέον λεπτοµέρειες. Επιπλέον, θεωρώ ότι το δόγµα Church-Turing τούς είναι πλέον αυτονόητο. Έτσι, απέϕυγα να παρουσιάσω εκτενείς προσοµοιώσεις του ενός υπολογιστικού µοντέλου από το άλλο προκειµένουνα αποδείξω την ισοδυναµία τους. Κατά τα λοιπά, ο τρόπος µε τονοποίο παρουσιάζω την ύλη θα µπορούσε να χαρακτηριστεί κλασικός. Οι περισσότεροι θεωρητικοί θα βρουν τη θεµατολογία, την ορολογία, και τη σειρά της παρουσίασης συνεπείς προς άλλα ευρέως χρησι- µοποιούµενα συγγράµµατα. εν εισήγαγα νέους όρους παρά µόνο σε ελάχιστα σηµεία, όπου θεωρώτηνκαθιερωµένη ορολογία εξαιρετικά δυσνόητη ή περίπλο-

14 xviii ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΚΔΟΣΗ κη. Παραδείγµατος χάριν, αντί του όρου αναγωγή many one εισήγαγα τον όρο απεικονιστική αναγωγή. Όπως και σε οποιοδήποτε άλλο µαθηµατικό αντικείµενο, ουσιώδες µέρος της µελέτης της θεωρίας αποτελεί η εξάσκηση µέσω της επίλυσης προβληµάτων. Σε αυτό το βιβλίο, τα προβλήµατα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: τις Ασκήσεις και τα κυρίως Προβλήµατα.Οι Ασκήσεις αποτελούν απλήανασκόπηση των ορισµών και των εννοιών. Αντιθέτως, τα Προβλήµατα απαιτούν κάποια επινοητικότητα, ενώ τα δυσκολότερα από αυτά επισηµαίνονται µε αστερίσκο. Τόσο στις Ασκήσεις όσο και στα Προβλήµατα, προσπάθησα το κάθε ερώτηµα να αποτελεί µια ενδιαϕέρουσα πρόκληση. ΗΠΡΩΤΗΕΚΔΟΣΗ Η Εισαγωγή στη θεωρία υπολογισµού εµϕανίστηκε αρχικά ως χαρτόδετη προκαταρκτική έκδοση. Η πρώτη έκδοση διαϕέρει από την προκαταρκτική σε αρκετά σηµαντικά σηµεία. Κατ αρχάς, προστέθηκαν τρία νέα κεϕάλαια: το Κεϕάλαιο 8, για τη χωρική πολυπλοκότητα, το Κεϕάλαιο 9, για τα αποδεδειγµένα δυσεπίλυτα προβλήµατα, και το Κεϕάλαιο 10, που αϕορά διάϕορα σύνθετα ζητήµατα της θεωρίας πολυπλοκότητας. Επίσης, το Κεϕάλαιο 6 επεκτάθηκε ώστε να συµπεριλάβει κάποια επιπλέον σύνθετα ζητήµατα της θεωρίας υπολογισιµότητας. Τέλος, κάποια από τα υπόλοιπα κεϕάλαια βελτιώθηκαν µε την προσθήκη επιπλέον παραδειγµάτων και ασκήσεων. Στη βελτίωση των Κεϕαλαίων 0 7 συνέβαλαν και τα σχόλια διδασκόντων και σπουδαστών που χρησιµοποίησαν την προκαταρκτική έκδοση. Φυσικά, τα λάθη που εντόπισαν έχουν πλέον διορθωθεί. Τα Κεϕάλαια 6 και 10 αποτελούν µια επισκόπηση κάποιων πιο σύνθετων ζητηµάτων της θεωρίας υπολογισιµότητας και της θεωρίας πολυπλοκότητας. εν συνιστούν µια συνεκτική ενότητα, όπως ταυπόλοιπακεϕάλαια, αλλά έχουν εισαχθείµεσκοπό να επιτρέψουν στονδιδάσκοντα να επιλέξει κάποια προαιρετικά θέµατα που ενδέχεται να ενδιαϕέρουν τον πιο ανήσυχο σπουδαστή. Τα θέµατα αυτά ποικίλουν πολύ. Κάποια,όπωςηαλγοριθµική αναγωγιµότητα και η εναλλαγή,συνιστούν άµεσες επεκτάσεις άλλων εννοιών που παρουσιάζονται στο βιβλίο. Κάποια άλλα, όπωςοιδιαγνώσιµες λογικές θεωρίες και η κρυπτογραϕία, αποτελούν συνοπτικές εισαγωγές σε ευρύτερα γνωστικά πεδία. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΜΕ ΤΟΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑ Το ιαδίκτυο παρέχει νέες ευκαιρίες για διάλογο ανάµεσα σε συγγραϕείς και αναγνώστες. Έχω λάβει πολλά ηλεκτρονικά µηνύµατα µε υποδείξεις, εγκώµια, και επικρίσεις, καθώς και µε αναϕορές για λάθη της προκαταρκτικής έκδοσης. Παρακαλώ, συνεχίστε να ανταποκρίνεστε! Όσο µου επιτρέπουν οι υποχρεώσεις µου, προσπαθώ να απαντώ σε κάθε µήνυµα προσωπικά. Η ηλεκτρονική διεύθυνση για επικοινωνία σχετικά µε το βιβλίο αυτό είναι η εξής:

15 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΚΔΟΣΗ xix ιατηρώ επίσης έναν δικτυότοπο που περιέχει τον κατάλογο παροραµάτων της κάθε έκδοσης. Πιθανόν στο µέλλον να προστεθεί εκεί επιπλέον βοηθητικό υλικό για σπουδαστές και διδάσκοντες. Περιµένω τις προτάσεις σας σχετικά µε το περιεχόµενο του δικτυοτόπου αυτού. Η διεύθυνση είναι: ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Το βιβλίο αυτό θα ήταν αδύνατο να έχει γραϕτεί χωρίς τη βοήθεια πολλών ϕίλων, συναδέλϕων, και της οικογένειάς µου. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τους δασκάλους που µε βοήθησαν να διαµορϕώσω την προσωπική µου επιστηµονική θεώρηση και το διδακτικό µου ύϕος. Πέντε από αυτούς αξίζουν ιδιαίτερης µνείας. Στον επιβλέψαντα τη διδακτορική µου διατριβή, Manuel Blum, οϕείλω µια ξεχωριστή αναϕορά για τη µοναδική του ικανότητα να εµπνέει τους ϕοιτητές του µε τη διαύγεια σκέψης, τον ενθουσιασµό, και το ενδιαϕέρον του. Αποτελεί πρότυπο δασκάλου, όχι µόνο για µένα αλλά και για πολλούς άλλους. Είµαι επίσης ευγνώµων στον Richard Karp, που µε µύησε στη θεωρία πολυπλοκότητας, στον John Addison, για τα µαθήµατα λογικής και τις υπέροχες ασκήσεις που µου ανέθετε, στον Juris Hartmanis, που µε εισήγαγε στη θεωρία υπολογισµού, και στον πατέρα µου, που µε µύησε στα µαθηµατικά, τους υπολογιστές, και την τέχνη της διδασκαλίας. Το βιβλίο αυτό αποτελεί εξέλιξη των διδακτικών σηµειώσεων για ένα µάθηµα που διδάσκω στο MIT τα τελευταία 15 χρόνια. Τις σηµειώσεις αυτές κατέγραψαν από τις διαλέξεις µου διάϕοροι σπουδαστές που παρακολούθησαν το µάθηµά µου ελπίζω να µε συγχωρήσουνπου δεν τους αναϕέρωόλους. Επίσης, οι βοηθοί καθηγητούστο µάθηµάµου κατάτηδιάρκειααυτώντωνετών, Avrim Blum, Thang Bui, Andrew Chou, Benny Chor, Σταύρος Κοσµαδάκης, Aditi Dhagat, Wayne Goddard, Parry Husbands, Dina Kravets, Jakov Kučan, Brian O Neill, Ioana Popescu, και Alex Russell, µε βοήθησαν να διορθώσω και να εµπλουτίσω τις αρχικές σηµειώσεις, και προσέϕεραν ορισµένες από τις ασκήσεις. Αν και το ενδεχόµενο να γράψω ένα διδακτικό εγχειρίδιο για τη θεωρία υπολογισµού µε απασχολούσε αρκετό καιρό, αυτός που τελικά µε έπεισε πριν από τρία περίπου χρόνια να κάνω τη θεωρία πράξη ήταν ο Tom Leighton. Θα ήθελα να τον ευχαριστήσω για τις γενναιόδωρες συµβουλές του σε συγγραϕικά ζητή- µατα, αλλά και σε πολλά άλλα θέµατα. Θέλω επίσης να ευχαριστήσω τους Eric Bach, Peter Beebee, Cris Calude, Marek Chrobak, Anna Chefter, Guang-Ien Cheng, Elias Dahlhaus, Michael Fischer, Steve Fisk, Lance Fortnow, Henry J. Friedman, Jack Fu, Seymour Ginsburg, Oded Goldreich, Brian Grossman, David Harel, Micha Hofri, Dung T. Huynh, Neil Jones, H. Chad Lane, Kevin Lin, Michael Loui, Silvio Micali, Tadao Murata, ΧρήστοΠαπαδηµητρίου, Vaughan Pratt, Daniel Rosenband, Brian Scassellati, Ashish

16 xx ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΚΔΟΣΗ Sharma, Nir Shavit, Alexander Shen, Ilya Shlyakhter, Matt Stallmann, Perry Susskind, Y. C. Tay, Joseph Traub, Osamu Watanabe, Peter Widmayer, David Williamson, Derick Wood, και Charles Yang για τα σχόλια, τις υποδείξεις, και τη βοήθειά τους κατά τη διαδικασία της συγγραϕής. Επιπλέον υποδείξεις που βελτίωσαν το τελικό αποτέλεσµα έγιναν από τους: Isam M. Abdelhameed, Eric Allender, Shay Artzi, Michelle Atherton, Rolfe Blodgett, Al Briggs, Brian E. Brooks, Jonathan Buss, Jin Yi Cai, Steve Chapel, David Chow, Michael Ehrlich, Yaakov Eisenberg, Farzan Fallah, Shaun Flisakowski, Hjalmtyr Hafsteinsson, C. R. Hale, Maurice Herlihy, Vegard Holmedahl, Sandy Irani, Kevin Jiang, Rhys Price Jones, James M. Jowdy, David M. Martin Jr., Manrique Mata-Montero, Ryota Matsuura, Thomas Minka, Farooq Mohammed, Tadao Murata, Jason Murray, Hideo Nagahashi, Kazuo Ohta, Κωνσταντίνο Παπαγεωργίου, Joseph Raj, Rick Regan, Rhonda A. Reumann, Michael Rintzler, Arnold L. Rosenberg, Larry Roske, Max Rozenoer, Walter L. Ruzzo, Sanatan Sahgal, Leonard Schulman, Steve Seiden, Joel Seiferas, Ambuj Singh, David J. Stucki, Jayram S. Thathachar, H. Venkateswaran, Tom Whaley, Christopher Van Wyk, Kyle Young, και Kyoung Hwan Yun. Ο Robert Sloan χρησιµοποίησε µια πρώιµη χειρόγραϕη εκδοχή αυτού του βιβλίου στο πλαίσιο ενός µαθήµατός του,και µου προσέϕερε ανεκτίµητες υποδείξεις και ιδέες που προέκυψαν από την εµπειρία του αυτή. Οι Mark Herschberg, Kazuo Ohta και Latanya Sweeney διάβασαν τµήµατα του χειρογράϕου και πρότειναν σηµαντικές βελτιώσεις, ενώ η Shafi Goldwasser µε βοήθησε µε την ύλη του Κεϕαλαίου 10. Από τεχνικής πλευράς, είχα την υποστήριξη του William Baxter της Superscript, που συνέταξε το πακέτο µακροεντολών του L A TEXγιατηνεσωτερική µορ- ϕοποίηση του κειµένου, και τη βοήθεια του Larry Nolan από το Τµήµα Μαθηµατικών του MIT, του ανθρώπουπουϕροντίζειναλειτουργούν τα πάντα άψογα. Η συνεργασία µου µε τα στελέχη της PWS Publishing για τη δηµιουργία του τελικού προϊόντος υπήρξε ιδιαίτερα ευχάριστη. Αναϕέρω τους Michael Sugarman, David Dietz, Elise Kaiser, Monique Calello, Susan Garland και Tanja Brull, γιατί κυρίως µε αυτούς επικοινωνούσα, αλλά γνωρίζω ότι στην όλη προσπάθεια συµµετείχαν και πολλοί άλλοι. Θέλω επίσης να ευχαριστήσω τον Jerry Moore για την τελική επιµέλεια της έκδοσης, την Diane Levy για τη σχεδίαση του εξωϕύλλου, και την Catherine Hawkes για την εσωτερική µορϕοποίηση. Είµαι επίσης ευγνώµων στο National Science Foundation για την υποστήριξη που µου παρείχε µέσω της επιχορήγησης CCR Οπατέραςµου,Kenneth Sipser, και η αδελϕή µου, LauraSipser,αναπαρήγαγαν τα διαγράµµατα του βιβλίου σε ηλεκτρονική µορϕή. Η άλλη µου αδελϕή, Karen Fisch, µας έσωσε σε διάϕορες καταστάσεις έκτακτης ανάγκης που προέκυψαν λόγω των υπολογιστών, και η µητέρα µου, Justine Sipser, µας προσέϕερε τις στοργικές της συµβουλές. Τους ευχαριστώ για τη συνεισϕορά τους κάτω από δύσκολες συνθήκες, που οϕείλονταν κυρίως στις εξωπραγµατικές προθεσµίες και στο απείθαρχο λογισµικό.

17 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΚΔΟΣΗ xxi Τέλος, στέλνω την αγάπη µου στη σύζυγό µου, Ina, και την κόρη µου, Rachel, τις οποίες και ευχαριστώ για την υποµονή τους κατά την προετοιµασία αυτού του βιβλίου. Cambridge, Massachusetts Οκτώβριος, 1996 Michael Sipser

18

19 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ Αν κρίνω από τα ηλεκτρονικά µηνύµατα που έλαβα από τόσους πολλούς αναγνώστες, η µεγαλύτερη έλλειψη της πρώτης έκδοσης ήταν ότι δεν περιείχε ενδεικτικές λύσεις για κανένα από τα προβλήµατα. Ορίστε λοιπόν. Πλέον κάθε κε- ϕάλαιο περιλαµβάνει µια καινούργια ενότητα µε τίτλο Επιλεγµένες λύσεις, όπου παρατίθενται οι λύσεις για ένα αντιπροσωπευτικό δείγµα των ασκήσεων και των προβληµάτων του κεϕαλαίου (οι ασκήσεις, τα προβλήµατα, και τα υποερωτήµατα ασκήσεων και προβληµάτων για τα οποία παρατίθενται λύσεις επισηµαίνονται µε έναν εκθέτη Λ µπροστά από την αρίθµησή τους). Προσέθεσαεπίσηςαρκετάνέα προβλήµατα, προκειµένου να αντισταθµίσω την απώλεια των λυµένων από τη λίστα όσων θα µπορούσαν να ανατεθούν στους σπουδαστές ως κατ οίκον εργασία. Για επιπλέον λύσεις προβληµάτων, οι διδάσκοντες µπορούν να επικοινωνήσουν µε τον αντιπρόσωπο πωλήσεων στην περιοχή τους, όπως υποδεικνύεται στον ικτυότοπο του διδάσκοντα. Κάποιοι από τους αναγνώστες θα προτιµούσαν εκτενέστερη κάλυψη ορισµένων «καθιερωµένων» θεµάτων, ιδιαίτερα του θεωρήµατος των Myhill-Nerode και του θεωρήµατος του Rice. Ανταποκρίθηκα εν µέρει στην επιθυµία τους, αναπτύσσοντας αυτά τα θέµατα στα λυµένα προβλήµατα. Ο λόγος που δεν συµπεριέλαβα το θεώρηµα των Myhill-Nerode στο κυρίως κείµενο είναι ότι πιστεύω πως το µάθηµα αυτό θα πρέπει να παρέχει µόνο µια εισαγωγή στα πεπερασµένα αυτόµατα, και όχι µια αναλυτική διερεύνηση. Κατά την άποψή µου, ο ρόλος των πεπερασµένων αυτοµάτωνστο συγκεκριµένο µάθηµα είναι να προσϕέρουν στους σπουδαστές τη δυνατότητα να µελετήσουν ένα απλό τυπικό µοντέλο υπολογισµού ως xxiii

20 xxiv ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ προοίµιο των ισχυρότερων µοντέλων, καινααποτελέσουν χρήσιµαπαραδείγµατα για µεταγενέστερα θέµατα. Φυσικά, κάποιοι θα προτιµούσαν µια εκτενέστερη παρουσίαση, ενώ άλλοι θεωρούν ότι θα έπρεπε να παραλείψω οποιαδήποτε αναϕορά στα πεπερασµένα αυτόµατα (ή τουλάχιστον να αποϕύγω οποιαδήποτε εξάρτησηαπό αυτά). Όσον αϕορά το θεώρηµα του Rice, αν και αποτελεί χρήσι- µο «εργαλείο» για πολλές αποδείξεις µη διαγνωσιµότητας, δεν το συµπεριέλαβα στο κυρίως κείµενο ϕοβούµενος ότι κάποιοι ϕοιτητές θα το χρησιµοποιήσουν µηχανικά, χωρίς να καταλαβαίνουν πραγµατικά τι συµβαίνει. Αντιθέτως, η σύνταξη αποδείξεων µη διαγνωσιµότητας µε απευθείας χρήση των αναγωγών τούς προετοιµάζει καλύτερα για τις αναγωγές που εµϕανίζονται αργότερα στη θεωρία πολυπλοκότητας. Είµαι ευγνώµων στους βοηθούς καθηγητού µε τους οποίους συνεργάστηκα τα τελευταία χρόνια, Ilya Baran, Sergi Elizalde, Rui Fan, Jonathan Feldman, Venkatesan Guruswami, Prahladh Harsha, Χρήστο Καπούτση, Julia Khodor, Adam Klivans, Kevin Matulef, Ioana Popescu, April Rasala, Sofya Raskhodnikova, και Iuliu Vasilescu, που µε βοήθησαν να επεξεργαστώ µέρος των νέων προβληµάτων και λύσεων. Στις λύσεις συνεισέϕεραν επίσης οι Ching Law, Edmond Kayi Lee, και Zulfikar Ramzan. Ευχαριστώ επίσης τον Victor Shoup, που πρότεινε έναν απλό τρόπο να καλύψω το κενό της πρώτης έκδοσης σχετικά µε την ανάλυση του πιθανοκρατικού αλγορίθµου για τον έλεγχο της συνθετότητας ενός ακεραίου. Θα πρέπει επίσης να αναγνωρίσω τις προσπάθειες των στελεχών της Course Technology να ενθαρρύνουν τόσο εµένα όσοκαιτουςυπόλοιπους συντελεστές αυτής της έκδοσης. ευχαριστώ ιδιαίτερα την Alyssa Pratt και την Aimee Poirier. Πολλές ευχαριστίες οϕείλω και στους Gerald Eisman, Weizhen Mao, Rupak Majumdar, Chris Umans, και Christopher Wilson για την κριτική ανάγνωση του κειµένου. Είµαι επίσης ευγνώµων στον Jerry Moore για την εξαίρετη τελική επιµέλεια τηςέκδοσης, και στην Laura Segel τηςbytegraphics απόδοση των σχηµάτων. Το πλήθος των ηλεκτρονικών µηνυµάτων που έλαβα ήταν µεγαλύτερο του αναµενοµένου. Η επικοινωνία µε τόσους πολλούς αναγνώστες από τόσα πολλά µέρη ήταν ιδιαίτερα απολαυστική, και προσπάθησα να απαντήσω τελικά σε όλους ζητώ συγγνώµη από όσους παρέλειψα. Ευχαριστώ όλους τους αναγνώστες για τα µηνύµατά τους,καιαναϕέρωεδώ όσους προέβησαν σε υποδείξεις που επηρέασαν ειδικότερα αυτή την έκδοση: Luca Aceto, Arash Afkanpour, Rostom Aghanian, Eric Allender, Karun Bakshi, Brad Ballinger, Ray Bartkus, Louis Barton, Arnold Beckmann, Mihir Bellare, Kevin Trent Bergeson, Matthew Berman, Rajesh Bhatt, Somenath Biswas, Lenore Blum, Mauro A. Bonatti, Paul Bondin, Nicholas Bone, Ian Bratt, Gene Browder, Doug Burke, Sam Buss, Vladimir Bychkovsky, Bruce Carneal, Soma Chaudhuri, Rong-Jaye Chen, Samir Chopra, Benny Chor, John Clausen, Allison Coates, Anne Condon, Jeffrey Considine,JohnJ.Crashell, Claude Crepeau, Shaun Cutts, Susheel M. Daswani, Geoff Davis, Scott Dexter, Peter Drake, Jeff Edmonds, Yaakov Eisenberg, Kurtcebe Eroglu, Georg Essl, Alexander T. Fader, Farzan Fallah, Faith Fich, Joseph E. Fitzgerald, Perry

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα ΕΙΣΑΓΩΓΉ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα ΕΙΣΑΓΩΓΉ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα ΕΙΣΑΓΩΓΉ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Άννα Φιλίππου annap@cs.ucy.ac.cy ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 0-1 Στοιχεία του μαθήματος Διδάσκουσα: Άννα Φιλίππου Γραφείο: FST-01

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ Ιστότοπος Βιβλίου http://www.iep.edu.gr/ και «Νέα Βιβλία ΙΕΠ ΓΕΛ και ΕΠΑΛ» 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 1 : Σύνολα & Σχέσεις (1/2) Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 1 : Σύνολα & Σχέσεις (1/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 1 : Σύνολα & Σχέσεις (1/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Επανάληψη Μαθήματος Το Μάθημα σε μια Διαφάνεια Υπολογιστικά μοντέλα Κανονικές Γλώσσες Ντετερμινιστικά Αυτόματα Μη Ντετερμινιστικά Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων...

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων... Περιεχόμενα Ανάλυση προβλήματος 1. Η έννοια πρόβλημα...13 2. Επίλυση προβλημάτων...17 Δομή ακολουθίας 3. Βασικές έννοιες αλγορίθμων...27 4. Εισαγωγή στην ψευδογλώσσα...31 5. Οι πρώτοι μου αλγόριθμοι...54

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Κεφάλαιο 2 Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Τα σύνολα, οι σχέσεις και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε κάθε είδους μαθηματικές αναπαραστάσεις και μοντελοποιήσεις. Στη θεωρία υπολογισμού χρησιμεύουν,

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Πέµπτη, 19/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι έχουµε δει µέχρι τώρα Κατευθυνόµενοι µη κατευθυνόµενοι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

viii 20 Δένδρα van Emde Boas 543

viii 20 Δένδρα van Emde Boas 543 Περιεχόμενα Πρόλογος xi I Θεμελιώδεις έννοιες Εισαγωγή 3 1 Ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες 5 1.1 Αλγόριθμοι 5 1.2 Οι αλγόριθμοι σαν τεχνολογία 12 2 Προκαταρκτικές έννοιες και παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1 1. Τα δεδομένα μπορούν να παρέχουν πληροφορίες όταν υποβάλλονται σε 2. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών μιας επιχείρησης είναι πρόβλημα 3. Για την επίλυση ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

CSC 314: Switching Theory

CSC 314: Switching Theory CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Εισαγωγή Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Βιβλιογραφία Jon Kleinberg και Éva Tardos, Σχεδιασμός αλγορίθμων, Εκδόσεις Κλειδάριθμος,

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης Περιεχόμενα Δομές δεδομένων 37. Δομές δεδομένων (θεωρητικά στοιχεία)...11 38. Εισαγωγή στους μονοδιάστατους πίνακες...16 39. Βασικές επεξεργασίες στους μονοδιάστατους πίνακες...25 40. Ασκήσεις στους μονοδιάστατους

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών 44 Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών Διδακτικοί στόχοι Σκοπός του κεφαλαίου είναι οι μαθητές να κατανοήσουν τα βήματα που ακολουθούνται κατά την ανάπτυξη μιας εφαρμογής.

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 17/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δρ. Κόννης Γιώργος Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής Προγραμματισμός Στόχοι 1 Να περιγράψουμε τις έννοιες του Υπολογιστικού Προβλήματος και του Προγράμματος/Αλγορίθμου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 6.1 Τι ονοµάζουµε πρόγραµµα υπολογιστή; Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G,k η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει κάποια λέξη 1 n όπου n k } (β) { Μ,k η Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ»

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» - Κρυπτογραφία είναι - Κρυπτανάλυση είναι - Με τον όρο κλειδί. - Κρυπτολογία = Κρυπτογραφία + Κρυπτανάλυση - Οι επιστήµες αυτές είχαν

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Διαγνώσιμες Γλώσσες (4.1) Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Κανονικές Γλώσσες Επιλύσιμα Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 5.1 Εισαγωγή στους αλγορίθμους 5.1.1 Εισαγωγή και ορισμοί Αλγόριθμος (algorithm) είναι ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών οι οποίες εκτελούν κάποιο ιδιαίτερο έργο. Κάθε αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΠΟΥΛΟΠΟΥΛΟΥ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ SUDOKU

ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΠΟΥΛΟΠΟΥΛΟΥ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ SUDOKU ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΠΟΥΛΟΠΟΥΛΟΥ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ SUDOKU ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ Ιστορική αναδρομή του Sudoku Μαθηματικό περιεχόμενο Συμμετρίες της λύσης Ενδιαφέροντα δεδομένα ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ Αρχικό όνομα Number Place

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΙ Η, ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΙ Η, ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΙ Η, ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 7.1. Ανάπτυξη Προγράµµατος Τι είναι το Πρόγραµµα; Το Πρόγραµµα: Είναι ένα σύνολο εντολών για την εκτέλεση ορισµένων λειτουργιών από τον υπολογιστή.

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Βασικές έννοιες προγραµµατισµού Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανές Πεπερασµένων Καταστάσεων

Μηχανές Πεπερασµένων Καταστάσεων Μηχανές Επεξεργασίας Πληροφοριών Μηχανές Πεπερασµένων Καταστάσεων Είναι µηχανές που δέχονται ένα σύνολο από σήµατα εισόδου και παράγουν ένα αντίστοιχο σύνολο σηµάτων εξόδου Σήµατα Εισόδου Μηχανή Επεξεργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Η έννοια πρόβληµα Ανάλυση προβλήµατος Με τον όρο πρόβληµα εννοούµε µια κατάσταση η οποία χρήζει αντιµετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή ούτε προφανής. Μερικά προβλήµατα είναι τα εξής:

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Υπολογισµού 1 /

Διαβάστε περισσότερα

Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοί οι εγγενείς περιορισµοί των υπολογιστών ; Τί µπορούµε και τί δε µπορούµε να υπολογίσουµε (και γιατί);

Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοί οι εγγενείς περιορισµοί των υπολογιστών ; Τί µπορούµε και τί δε µπορούµε να υπολογίσουµε (και γιατί); Μοντελοποίηση του Υπολογισµού Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Αυτόματα Στοίβας (2.2) Τυπικός Ορισμός Παραδείγματα Ισοδυναμία με Ασυμφραστικές

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτές Μέθοδοι για την Επιστήμη των Υπολογιστών

ιακριτές Μέθοδοι για την Επιστήμη των Υπολογιστών ιακριτές Μέθοδοι για την Επιστήμη των Υπολογιστών ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Εισαγωγή στον προγραµµατισµό Η έννοια του προγράµµατος Ο προγραµµατισµός ασχολείται µε τη δηµιουργία του προγράµµατος, δηλαδή του συνόλου εντολών που πρέπει να δοθούν στον υπολογιστή ώστε να υλοποιηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη εφαρµογών σε προγραµµατιστικό περιβάλλον (στοιχεία θεωρίας)

Ανάπτυξη εφαρµογών σε προγραµµατιστικό περιβάλλον (στοιχεία θεωρίας) Ανάπτυξη εφαρµογών σε προγραµµατιστικό περιβάλλον (στοιχεία θεωρίας) Εισαγωγή 1. Τι είναι αυτό που κρατάς στα χέρια σου. Αυτό το κείµενο είναι µια προσπάθεια να αποτυπωθεί όλη η θεωρία του σχολικού µε

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Συναρτησιακός προγραμματισμός Υπολογισμός με συναρτήσεις

Κεφάλαιο 9 Συναρτησιακός προγραμματισμός Υπολογισμός με συναρτήσεις Κεφάλαιο 9 Συναρτησιακός προγραμματισμός Υπολογισμός με συναρτήσεις Σύνοψη Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι η εισαγωγή του αναγνώστη στη φιλοσοφία του συναρτησιακού προγραμματισμού. Ο συναρτησιακός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα