Η εξίσωση Pell στα Ελληνικά και Ινδικά Μαθηµατικά

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η εξίσωση Pell στα Ελληνικά και Ινδικά Μαθηµατικά"

Transcript

1 Διπλωµατική Εργασία Η εξίσωση Pell στα Ελληνικά και Ινδικά Μαθηµατικά Συγγραφή: Μαρίνα Μπρόκου Δ Επιβλέπων: Οµότ. Καθηγητής Στ. Νεγρεπόντης Αθήνα, Ιούλιος 2014

2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή Η εξίσωση Pell Συνεχή κλάσµατα Συγκλίνουσες (convergents) (x n, y n ) Αρχαία Εποχή Ανθυφαίρεση Οι Πυθαγόρειοι και οι πλευρικοί-διαµετρικοί αριθµοί Ορισµός και βασική ιδιότητα Πυθαγόρεια προέλευση πλευρικών-διαµετρικών Πλευρικοί-διαµετρικοί ως ανθυφαιρετικές προσεγγίσεις του λόγου διαµέτρου προς πλευρά τετραγώνου Αρχιµήδης Πλάτων και παλινδροµικά περιοδική ανθυφαίρεση Πλατωνικές Ιδέες και τετραγωνικοί άρρητοι Θεόδωρος-Θεαίτητος και ανθυφαιρετική ασυµµετρία τετραγωνικών αρρήτων Η Διαίρεση και Συναγωγή της Πλατωνικής Ιδέας Ασπαλιευτής (Σοφιστής 218b-221c) Η Διαίρεση του Ασπαλιευτή Συναγωγή-Λόγος του Ασπαλιευτή Η Διαίρεση και Συναγωγή του Ασπαλιευτή Η Διαίρεση και Συναγωγή της Πλατωνικής Ιδέας Σοφιστής (Σοφιστής 234e-236d & 264b-268d) Η Διαίρεση και Συναγωγή της Πλατωνικής Ιδέας Πολιτικός στον Πολιτικό Ο ορισµός του Πολιτικού ως φιλοσοφικό ανάλογο παλινδροµικά περιοδικής ανθυφαίρεσης (Πολιτικός 258c-267c, 289e-305e) i

3 Περιεχόµενα ii Τα δέκα πρώτα βήµατα της Διαίρεσης και Συναγωγής (258b-267c) Η παλινδροµική περιοδικότητα στο µύθο των εποχών Κρόνου και Δία (268d-274e) και η συσχέτιση µε τον ορισµό του Πολιτικού Τα δέκα τελευταία βήµατα της διαίρεσης (267c-268d & 274e-277c, 289e-305e) Ανακατασκευή της απόδειξης της παλινδροµικής περιοδικότητας της ανθυφαίρεσης µε χρήση εργαλείων από το Βιβλίο Χ Μαθηµατικά εργαλεία για την ανακατασκευή της απόδειξης του Θεωρήµατος Παλινδροµικής Περιοδικότητας Η απόδειξη του Θεωρήµατος Περιοδικότητας Η απόδειξη του Θεωρήµατος Παλινδροµικής Περιοδικότητας (ΘΠΠ) Ινδοί Ku aka (pulveriser) Varga-prakrṭi Ειδική λύση του Brahmagupta Η Αρχή Σύνθεσης του Brahmagupta Παραδείγµατα Επίλυση της varga-prakrṭi όταν υπάρχει λύση για l = ±1, ±2, ή ± Cakravāla ή Κυκλική Μέθοδος Jayadeva Bhāskara II Nārāyanạ Ζήτηµα προέλευσης Ινδικών Μεθόδων Θεωρία van der Waerden περί Αρχαίας Ελληνικής προέλευσης Συγκλίνουσες και ανθυφαίρεση Cakravāla και Ανθυφαίρεση Μετάβαση στο επόµενο ζεύγος συγκλινουσών Κανόνας παράλειψης ανθυφαιρετικού βήµατος Κριτήριο ελάχιστης απόλυτης τιµής Παραδείγµατα Το ζήτηµα της αναγκαιότητας της ku aka Τετραγωνισµός

4 Περιεχόµενα iii 5.5 Χρήση τετραγωνισµών για συντοµεύσεις Επίλογος

5 Κατάλογος σχηµάτων 3.1 Η Διαίρεση του Ασπαλιευτή (Σοφιστής 218b-221c) Η Διαίρεση και Συναγωγή του Ασπαλιευτή (Σοφιστής 218b- 221c) και το Κριτήριο Λόγου iv

6 Κατάλογος πινάκων 3.1 Η παλινδροµικά περιοδική ανθυφαίρεση στον Πολιτικό D=67 - Ινδοί D=103 - Ινδοί D=97 - Ινδοί D=67 - Ανθυφαιρετικά βήµατα D=61 - Ανθυφαιρετικά βήµατα D=97 - Ανθυφαιρετικά βήµατα D=103 - Ανθυφαιρετικά βήµατα v

7 Ευχαριστίες Κύριε Νεγρεπόντη, σας ευχαριστώ για την πολύτιµη καθοδήγηση καθώς και για την υποστήριξή σας καθ όλη τη διάρκεια των περασµένων µηνών. Είµαι πραγµατικά ευγνώµων και ίσως ο χαρακηρισµός να είναι ελλιπής σε σχέση µε ό,τι αισθάνοµαι. Κυρία Φαρµάκη και Κύριε Ζαχαριάδη, θα ήθελα να σας ευχαριστήσω ιδιαίτερα, για το ενδιαφέρον και τις παρατηρήσεις σας όσον αφορά την προσπάθεια αυτή. Είναι ένα από τα κίνητρα που µε ωθούν να προχωρώ. Διονυσία, ένα ευχαριστώ θα ήταν λίγο για την άψογη συνεργασία, την προσήνεια και την προθυµία σου. Είσαι ο φάρος του Μεταπτυχιακού Προγράµµατος. Θείε Χαρίλαε και Θεία Μαρία, σας ευχαριστώ από τα βάθη της καρδιάς µου για όλα. Άγγελε και Δήµητρα η ψυχολογική υποστήριξή σας και η υποµονή σας θα έπρεπε να ανταµείβεται µε βραβείο. Ή και ρεκόρ Γκίνες... Αποστόλη σε ευχαριστώ πολύ για την όλη βοήθεια µε το L A T E X. Μαµά, ό,τι και να πω, αρκετό δεν θα είναι. Ευχαριστώ. vi

8 Περίληψη Ειδικές περιπτώσεις της εξίσωσης Pell x 2 = Dy 2 +1, όπου D µη-τετράγωνος αριθµός και x, y φυσικοί αριθµοί, ήταν γνωστές στους Πυθαγόρειους (D = 2, πλευρικοί-διαµετρικοί αριθµοί) και στον Αρχιµήδη (D = 3, Κύκλου Μέτρησις). Διάφορες µέθοδοι επίλυσης της εξίσωσης Pell, οι οποίες αναφέρονται στα Ινδικά Μαθηµατικά (6ος - 12ος αι. µ.χ. Brahmagupta, Jayadeva, Bhāskara II), µελετήθηκαν από τον C.O. Selenius (1975) και από τον B.L. van der Waerden (1976, 1983). Ο πρώτος, συσχέτισε τη µέθοδo cakravāla µε ένα τµήµα της σύγχρονης θεωρίας των συνεχών κλασµάτων (Euler) µιλώντας για αντιστοιχία µε semi-regular συνεχή κλάσµατα. Ο δεύτερος, θεώρησε τις Ινδικές µεθόδους ως συνέχεια προερχόµενη από τα Αρχαία Ελληνικά Μαθηµατικά χωρίς όµως να έχει πειστικά επιχειρή- µατα για να στηρίξει την διαίσθησή του αυτή. Στην παρούσα διπλωµατική εργασία θα επιχειρηθεί µια αναδροµή από την Αρχαιότητα µέχρι και τη Σύγχρονη Εποχή κατά την οποία θα επιδιωχθεί µια σαφέστερη και στενότερη συσχέτιση της συµβολής των Ινδικών µαθηµατικών στην εξίσωση Pell µε τα Αρχαία Ελληνικά Μαθη- µατικά. Στην πορεία της αναδροµής αυτής, παρουσιάζονται τα επιχειρήµατα που λείπουν από τον van der Waerden για να στηρίξει την αρχαιοελληνική ανθυφαιρετική προέλευση των Ινδικών µεθόδων και αυτά είναι: Η µελέτη του Πλάτωνα (Φίληβος, Θεαίτητος, Σοφιστής, Πολιτικός) από την οποία αποκαλύπτεται πως η µέθοδος της Διαίρεσης και Συναγωγής για την απόκτηση γνώσης επί των Πλατωνικών Ιδεών είναι το φιλοσοφικό ανάλογο της Παλινδροµικά Περιοδικής Ανθυφαίρεσης δυνάµει-µόνο σύµµετρων ευθειών. Αυτό υποδεικνύει πως ο Θεαίτητος και το περιβάλλον του γνώριζαν το Θεώρηµα Παλινδροµικής Περιοδικότητας για τετραγωνικούς άρρητους. Η συµβολή του Βιβλίου Χ των Στοιχείων όσον αφορά την παρουσία των απαραίτητων εργαλείων για την απόδειξη του εν λόγω Θεωρήµατος. Πράγµατι, οι έννοιες των αποτοµών και εκ δύο ονο- µάτων ευθειών καθώς σαφώς και η συζυγία αυτών είναι επαρκείς για την απόδειξη του Θεωρήµατος Παλινδροµικής Περιοδικότητας και ο Θεαίτητος αν µη τι άλλο τις είχε στα χέρια του καθώς το Βιβλίο Χ αποδίδεται σε αυτόν.

9 Η συµβολή του Βιβλίου Χ όσον αφορά την κατανόηση της προέλευσης της Ινδικής µεθόδου του τετραγωνισµού Brahmagupta που χρησιµοποιείται κατά κόρον στην επίλυση της εξίσωσης Pell. Θα δούµε πως ένα ολόκληρο µέρος του Βιβλίου Χ αφορά τον τετραγωνισµό αποτοµών και την ταξινόµησή τους µε βάση τον προστιθέµενο όρο που εµφανίζεται στις εξισώσεις x 2 = Dy 2 + l που αποτελούν για τους Ινδούς ενδιάµεσες βοηθητικές εξισώσεις για την επίλυση της Pell. Η εµπλοκή της παλινδροµικότητας στη χρήση των τετραγωνισµών ως συντοµεύσεων από τους Ινδούς. Τα κυριότερα αποτελέσµατα των παραπάνω είναι: H απόδειξη πως η Ινδική µέθοδος cakravāla στην πλήρη της µορφή (χωρίς δηλαδή την εφαρµογή τοπικών συντοµεύσεων που χρησιµοποιούν σε ορισµένα σηµεία οι Ινδοί) είναι ισοδύναµη µε την ανθυφαίρεση, δηλαδή µε την επέκταση συνεχών κλασµάτων τετραγωνικών αρρήτων χωρίς να χρειάζεται η χρήση semi-regular συενεχών κλασµάτων. Η προέλευση του τετραγωνισµού Brahmagutpa από το Βιβλίο Χ του Θεαίτητου. Οι ενδείξεις για ένα µέρος του σκοπού του µυστηριώδους Βιβλίου Χ, εάν λάβουµε υπ όψιν τα παραπάνω αποτελέσµατα. Σηµείωση: H παράθεση των Αρχαίων Κειµένων έγινε από το TLG: Θησαυρός της Ελληνικής Γλώσσας.

10 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Η εξίσωση Pell Εξίσωση Pell καλείται η Διοφαντική εξίσωση x 2 = Dy 2 + 1, (1.1) όπου D µη τετράγωνος φυσικός αριθµός. Η σύγχρονη κατηγοριοποίησή της ως Διοφαντική καταδεικνύει την αναγκαιότητα εύρεσης όχι γενικά ρητών, αλλά συγκεκριµένα ακέραιων λύσεων για αυτήν. Το αξιοσηµείωτο όσον αφορά την εξίσωση Pell, είναι το γεγονός πως ο λόγος που δηµιουργείται από κάθε ζεύγος λυσεών της είναι πολύ καλή ρητή προσέγγιση για το D. To 1768 o Lagrange ήταν ο πρώτος που δηµοσίευσε απόδειξη για το ότι η εξίσωση Pell έχει πάντα λύση και µάλιστα άπειρες. Το όνοµα της εξίσωσης Pell οφείλεται σε ένα εκ παραδροµής λάθος του Euler σε αλληλογραφία του µε τον Goldbach, όπου αποδίδει λανθασµένα τη µέθοδο επίλυσής της στον Άγγλο Pell. Στην πραγµατικότητα, όπως µας πληροφορεί ο Wallis [Weil, 1984, σελ.93], η πρώτη σύγχρονη ολοκληρωµένη µέθοδος επίλυσης της (1.1) µε ακεραίους δίδεται από τον Brouncker σαν απάντηση στο πρόβληµα - πρόκληση επίλυσής της που έθεσε ο Fermat το Αν και ιστορικά ανακριβής, η ονοµασία Εξίσωση Pell, συνεχίζει να χρησιµοποιείται, καθώς είναι σαφής και βολική για τον µαθηµατικό κόσµο. Ο Euler περί το 1730 παρατήρησε πως η µέθοδος του Brouncker, ουσιαστικά ταυτίζεται µε την επέκταση συνεχούς κλάσµατος του D. Αξιοσηµείωτο όµως είναι το γεγονός πως ισοδυναµεί στη βάση της και µε τη Ινδική µέθοδο cakravāla. 1

11 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 2 Πηγαίνοντας ακόµα πιο πίσω στο χρόνο, στην Αρχαία Ελλάδα της εποχής των Πυθαγορείων, συναντάµε λύσεις της (1.1) για συγκεκριµένες τιµές του D, µε χρήση ανθυφαίρεσης, µιας µεθόδου ισοδύναµης µε τα συνεχή κλάσµατα που βασίζεται στον Ευκλείδειο αλγόριθµο. Έλληνες, Ινδοί, σύγχρονοι µαθηµατικοί της Δύσης Ας αρχίσουµε το δικό µας ταξίδι σε µια προσπάθεια συσχέτισής τους µε πυρήνα την εξίσωση Pell! Συνεχή κλάσµατα Το µαθηµατικό υπόβαθρο για την αντιµετώπιση της εξίσωσης Pell στη σύγχρονη εποχή αποτελεί, όπως ήδη αναφέρθηκε, η Θεωρία Συνεχών Κλασµάτων. Η Θεωρία αυτή άρχισε να δηµιουργείται τον 16o αι. από ονόµατα όπως ο Bombelli και ο Cataldi, εµπλουτίστηκε τον 17o αι. µε τη συµβολή των Fermat, Brounker και Wallis και τέλος έφτασε σε επίπεδο ώστε να µπορεί να αντιµετωπίσει ολοκληρωτικά το Πρόβληµα του Pell, τον 18ο αι. µε τη συνεισφορά των Euler, Lagrange και Legendre. Σύµφωνα µε τη Θεωρία Συνεχών Κλασµάτων, κάθε πραγµατικός αριθµός x 0 µπορεί να αναπαρασταθεί ως συνεχές κλάσµα ως εξής: x 0 = µ = µ + x 1 κ = µ + = µ +, 1 1 κ 1 + x 2 κ κ κ 2 + x 3 κ 3 + (...) 1 όπου µ > 1 το ακέραιο µέρος του x και < 1 το δεκαδικό. Το x i είναι κατά συνέπεια αριθµός µεγαλύτερος της µονάδας και η διαδικασία µπορεί να συνεχιστεί µε τον ίδιο τρόπο. Για να αναπαραστήσουµε την επέκταση συνεχούς κλάσµατος ενός πραγµατικού αριθµού, χρησιµοποιούµε το ακέραιο µέρος από κάθε x i γράφοντας x i x 0 = [µ, κ 1,.., κ n, (...)]. Οι τελείες στο τέλος της παραπάνω αναπαράστασης βρίσκονται µέσα σε παρένθεση διότι οι ρητοί αριθµοί αναπαρίστανται από πεπερασµένα συνεχή κλάσµατα, εποµένως η αναπαράσταση σταµατά σε καποιο κ n ενώ οι άρρητοι από άπειρα συνεχή κλάσµατα. O Euler πρώτος παρατήρησε, αλλά ο Lagrange πρώτος απέδειξε περί το 1770 πως όλοι οι τετραγωνικοί άρρητοι¹ έχουν παλινδροµικά περιοδικά συνεχή κλάσµατα. ¹Οι άρρητοι που το τετράγωνό τους είναι ρητός.

12 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 3 Θεώρηµα 1.1 (Fermat, Brouncker, Euler, Lagrange Legendre, Galois). Έστω D µη τετράγωνος φυσικός. Το συνεχές κλάσµα της τετραγωνικής ρίζας D, είναι παλινδροµικά περιοδικό. Δηλαδή, υπάρχουν αριθµοί µ 1 και κ 1, κ 2,..., κ n 1, κ n, τ.ώ. το συνεχές κλάσµα του D έχει την εξής µορφή: [µ 1, period(κ 1, κ 2,..., κ n 1, (κ n ), κ n 1,..., κ 2, κ 1, 2µ 1 ] Συγκλίνουσες (convergents) (x n, y n ) Στο σηµείο αυτό είναι εύλογο να αναρωτηθούµε σχετικά µε το ποια είναι η ουσιαστική σχέση της Θεωρίας Συνεχών Κλασµάτων µε την εξίσωση Pell. Η απάντηση δίδεται στη συνέχεια. Υπαρχει µοναδική διπλή ακολουθία φυσικών αριθµών (x n, y n ), µε x n και y n σχετικώς πρώτους, για την οποία το συνεχές κλάσµα των λόγων x n είναι αρχικό τµήµα του συνεχούς κλάσµατος του D, ή µε άλλα λόγια οι λόγοι αυτοί είναι καλές ρητές προσεγγίσεις του D. Όταν το Συνεχές κλάσµα του x n y n αντιστοιχεί στη συµπλήρωση µιας περιόδου του D, τότε το ζεύγος (x n, y n ) αποτελεί λύση της εξίσωσης Pell, ή της εξίσωσης x 2 = Dy 2 1. Οι όροι αυτής της διπλής ακολουθίας συγκλινουσών βρίσκονται επαγωγικά µε την βοήθεια δύο επιπλέον ακολουθιών l n και m n. Οι πρώτοι όροι είναι y n l 1 = 1 m 1 = [ D] x 1 = m 1 y 1 = 1, και τα l n+1 και m n+1 ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες: 1. ±l n+1 = x 2 n Dy 2 n, l n+1 > 0 2. m 2 n+1 < D 3. D m 2 n+1: ελάχιστο. Τότε, αποδεικνύεται πως οι επαγωγικοί τύποι των συγκλινουσών είναι: y n+1 = x n + y n m n+1 l n+1 x n+1 = x nm n+1 + y n D l n+1.

13 Κεφάλαιο 2 Αρχαία Εποχή 2.1 Ανθυφαίρεση Ορισµός 2.1 (Ορισµός X.1). Δύο µεγέθη a > b ονοµάζονται σύµµετρα εάν υπάρχει ένα µέγεθος k και φυσικοί αριθµοί m, n τέτοιοι ώστε a = mk και b = nk. Δύο µεγέθη είναι ασύµµετρα εάν δεν είναι σύµµετρα. Ορισµός 2.2 (Ορισµός X.2). Δύο ευθείες a, b ονοµάζονται δυνάµει-µόνο σύµµετρες εάν a, b είναι ασύµµετρες ευθείες και a 2, b 2 σύµµετρες επιφάνειες. Η αρχαία έννοια που ισοδυναµεί µε τη σύγχρονη έννοια της επέκτασης συνεχούς κλάσµατος (θετικών) πραγµατικών αριθµών είναι η ανθυφαίρεση δύο οµογενών µεγεθών. Η έννοια αυτή ορίζεται σαφώς στα Στοιχεία µέσω των Προτάσεων Χ.2 και Χ.3 µε τρόπο ανάλογο του ορισµού της ανθυφαίρεσης φυσικών αριθµών (Ευκλείδειος αλγόριθµος), που γίνεται στο Βιβλίο VII. Με σκοπό να καθοριστεί και να γίνει κατανοητός ο συµβολισµός που θα χρησιµοποιηθεί, παρατίθεται παρακάτω η ανθυφαίρεση δύο ευθειών a > b: a = µ 1 b + γ 1, µε b > γ 1, b = I 1 γ 1 + γ 2, µε γ 1 > γ 2, γ 1 = I 2 γ 2 + γ 3, µε γ 2 > γ 3,... γ n = I n+1 γ n+1 + γ n+2, µε γ n+1 > γ n+2,... γ m = I m+1 γ m+1 + γ m+2, µε γ m+1 > γ m+2,... 4

14 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή 5 Η ανθυφαίρεση µεγεθών, σε αντίθεση µε την ανθυφαίρεση φυσικών αριθµών που είναι πάντα πεπερασµένη, µπορεί να είναι είτε πεπερασµένη είτε άπειρη. Στο γεγονός αυτό βασίζεται η επόµενη πολύ σηµαντική Πρόταση: Πρόταση 2.1 (Πρόταση Χ.2, Ανθυφαιρετικό κριτήριο ασυµµετρίας δύο ευθειών). Δύο ευθείες a, b είναι ασύµµετρες εάν και µόνο αν η ανθυφαίρεση των a, b είναι άπειρη. Η προ-ευδόξου ανθυφαιρετική Θεωρία Λόγων Μεγεθών για την ύπαρξη της οποίας πληροφορούµαστε από το χωρίο 158b24 159a2 των Τοπικών του Αριστοτέλη αποδίδεται κατά γενική οµολογία στον Θεαίτητο. Στον επόµενο ορισµό έχει τη βάση της η εν λόγω Θεωρία: Ορισµός 2.3. Εάν a, b οµογενή µεγέθη και οµοίως για τα c, d, τότε a/b = c/d εάν και µόνο αν Anth(a, b) = Anth(c, d). Παρατήρηση Ο συµβολισµός Anth(a, b) υποδεικνύει την ακολουθία διαδοχικών υπολοίπων της Ανθυφαίρεσης του a µε το b. Φυσικό επακόλουθο του παραπάνω ορισµού ισότητας λόγων µεγεθών είναι το Κριτήριο Λόγου: Πρόταση 2.2 (Κριτήριο Λόγου για την περιοδικότητα µιας ανθυφαίρεσης). Έστω a, b δύο ευθύγραµµα τµήµατα µε a > b και ανθυφαίρεση όπως ορίστηκε προηγουµένως. Εάν υπάρχουν δείκτες n < m τέτοιοι ώστε γ n /γ n+1 = γ m /γ m+1, τότε η ανθυφαίρεση του a µε το b είναι τελικά περιοδική και συγκεκρι- µένα Anth(a, b) = [µ 1, I 1,..., I n, period(i n+1, I n+2,...i m )]. Απόδειξη. Από τον Ορισµό 2.3 προκύπτει πως Anth(γ n, γ n+1 ) = Anth(γ m, γ m+1 ). Οµως Anth(a, b) = [µ 1, I 1,..., I n, Anth(γ n, γ n+1 )] = [µ 1, I 1,..., I n, I n+1, I n+2,..., I m, Anth(γ m, γ m+1 )] = [µ 1, I 1,..., I n, I n+1, I n+2,..., I m, Anth(γ n, γ n+1 )] = [µ 1, I 1,..., I n, I n+1, I n+2,..., I m, I n+1, I n+2,..., I m, Anth(γ m, γ m+1 )] =... Εποµένως Anth(a, b) = [µ 1, I 1,..., I n, period(i n+1, I n+2,...i m )].

15 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή Οι Πυθαγόρειοι και οι πλευρικοί-διαµετρικοί αριθµοί Ορισµός και βασική ιδιότητα Οι Πυθαγόρειοι, µε τη βοήθεια της Θεωρίας πλευρικών και διαµετρικών αριθµών ήταν σε θέση να λύνουν εξισώσεις της µορφής x 2 = 2y 2 ± 1. (2.1) Ορισµός 2.4. Οι πλευρικοί y n και διαµετρικοί x n αριθµοί, είναι µια διπλή ακολουθία (x n, y n ) φυσικών αριθµών, η οποία ορίζεται αναδροµικά ως εξής: Για κάθε φυσικό αριθµό n, x 1 = 1 x n+1 = x n + 2y n, y 1 = 1 y n+1 = x n + y n. Ο Πρόκλος όπως επίσης και ο Θέων ο Σµυρνεύς δίνουν τον παραπάνω ορισµό για τους πλευρικούς-διαµετρικούς αριθµούς. Χαρακτηριστικά ας παρουσιάσουµε το σχετικό απόσπασµα από τον Πρόκλο (εις Πολιτείαν,2,24,18-24): ἐπεὶ γὰρ ἡ µονὰς πάντα ἐστὶν σπερµατικῶς, δῆλον, φασίν, ὅτι καὶ πλευρά ἐστιν καὶ διάµετρος. ἔστων οὖν δύο µονάδες, ἣ µὲν ὡς πλευρὰ [ἣ δ]ὲ ὡς διάµετρος, καὶ προσκείσθω τῇ µὲν ὡς πλευρᾷ µία διάµετρος, τῇ δὲ ὡς διαµέτρῳ πλευραὶ δύο, ἐπείπερ ἡ ὡς διάµετρος µονάδι ἐλάσσων ἢ διπλασία τῆς ὡς πλευρᾶς. Στη συνέχεια θα παρουσιαστεί ως Πρόταση η βασική ιδιότητα των πλευρικών και διαµετρικών αριθµών, η απόδειξη της οποίας φαίνεται να αποτελεί µοναδική χρησιµότητα της Πρότασης ΙΙ.10 των Στοιχείων του Ευκλείδη. Η Πρόταση ΙΙ.10 αναφέρεται σε ευθύγραµµα τµήµατα, όχι αριθµούς, και είναι η εξής: Για δεδοµένα ευθύγραµµα τµήµατα α και β, ισχύει πως: (2α n + β n ) 2 + (β n ) 2 = 2(α n ) 2 + 2(α n + β n ) 2. (2.2) Ο Πρόκλος, γνωρίζει τη στενή σχέση µεταξύ της Πρότασης ΙΙ.10 και της Πυθαγόρειας θεωρίας των πλευρικών και διαµετρικών αριθµών

16 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή 7 (το ότι η θεωρία αυτή είναι γέννηµα των Πυθαγορείων θα υποστηριχθεί στη συνέχεια). Η Πρόταση ΙΙ.10 έχει εκ πρώτης όψεως µια µοναχική παρουσία και φαντάζει αποκοµµένη από τις υπόλοιπες αφού δεν χρησιµοποιείται πουθενά στα Στοιχεία. Παρ όλα αυτά ο Πρόκλος την αποκαλεί γλαφυρόν θεώρηµα (εις Πολιτείαν,2,27,32)! Τον λόγο µας τον αποκαλύπτει ο ίδιος και δεν είναι άλλος από το ότι η ΙΙ.10 αποτελεί το επαγωγικό βήµα για την -µονοσήµαντα επαγωγική- απόδειξη της θεµελιώδους ιδιότητας των πλευρικών-διαµετρικών αριθµών(εις Πολιτείαν 2,24,16-25,13 και 2,27,1-29,4). Πρόταση 2.3. Για κάθε φυσικό αριθµό n, x 2 n = 2y 2 n + ( 1) n. Απόδειξη (Βασικής Ιδιότητας σύµφωνα µε την υπόδειξη του Πρόκλου, µε χρήση δηλαδη της II.10). Έστω x n και y n ένα ζευγάρι πλευρικών και διαµετρικών αριθµών. Έστω ένα ευθύγραµµο τµήµα ω. Θέτοντας α = y n ω, β = x n ω, από τη II.10 προκύπτει η εξής σχέση µεταξύ ευθυγράµµων τµηµάτων: (2y n ω + x n ω) 2 + (x n ω) 2 = 2(y n ω) 2 + 2(y n ω + x n ω) 2. Εποµένως απαλείφοντας το ω, προκύπτει µια σχέση αριθµών πλέον: (2y n + x n ) 2 + (x n ) 2 = 2(y n ) 2 + 2(y n + x n ) 2. (2.3) Με χρήση του ορισµού των πλευρικών-διαµετρικών προκύπτει πως για κάθε n = 1, 2,... ισχύει η εξής ταυτότητα: (x n+1 ) 2 + (x n ) 2 = 2(y n ) 2 + 2(y n+1 ) 2. Μέσω της επαγωγικής µεθόδου, θα καταλήξουµε στο ότι για κάθε n=1,2, Για n = 1 ισχύει. Υποθέτω ότι ισχύει για n. x 2 n = 2y 2 n + ( 1) n, Θα δείξω ότι ισχύει για n + 1: x 2 n+1 = 2y 2 n+1 + ( 1) n+1 = (2y n + x n ) 2 + (x n ) 2 = 2(y n + x n ) 2 + ( 1) n+1 = 4(y n ) 2 + (x n ) 2 + 4y n x n = 2(y n ) 2 + 2(x n ) 2 + 4y n x n + ( 1) n+1 = 2(y n ) 2 = (x n ) 2 + ( 1) n+1 = (x n ) 2 = 2(y n ) 2 ( 1) n+1 = (x n ) 2 = 2(y n ) 2 + ( 1) n, ισχύει.

17 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή 8 Εποµένως, x 2 n = 2y 2 n + ( 1) n, για κάθε n = 1, 2,.... Παρατήρηση Ο µοναδικός τρόπος µε τον οποίο θα µπορούσε να αποδειχθεί η Θεµελιώδης Ιδιότητα των πλευρικών-διαµετρικών αριθµών µέσω της ΙΙ.10 είναι η µέθοδος της επαγωγής. Το γεγονός αυτό µας οδηγεί στο να εικάσουµε πως οι Πυθαγόρειοι γνώριζαν την επαγωγική µέθοδο Πυθαγόρεια προέλευση πλευρικών-διαµετρικών Οι πλευρικοί-διαµετρικοί αριθµοί δεν µπορεί παρά να έχουν Πυθαγόρεια προέλευση όπως καταδεικνύεται από τις αρχαίες µαρτυρίες που παρατίθενται στην συνέχεια. Συγκεκριµένα, στην Πολιτεία, στο χωρίο 546b-c, ο Πλάτων περιγράφοντας τον Γεωµετρικό αριθµό, δεν αναφέρει µεν τους πλευρικούςδιαµετρικούς αριθµούς κατ όνοµα, δίνει όµως µεγάλη έµφαση στο ζεύγος πλευρικών-διαµετρικών x 3 = 7, y 3 = 5 και τη σχέση που το διέπει: 49 = x 2 3 = 2y = O Ιάµβλιχος, κατηγορεί ευθέως τον Πλάτωνα (Πυθαγορικός Βίος, 131,3-6) πως σφετερίζεται την δόξα των Πυθαγορείων µε το να κάνει λόγο για το παραπάνω ζεύγος αριθµών: σφετερίσασθαι δὲ τὴν δόξαν Πλάτωνα, λέγοντα φανερῶς ἐν τῇ Πολιτείᾳ τὸν ἐπίτριτον ἐκεῖνον πυθµένα τὸν τῇ πεµπάδι συζευγνύµενον καὶ τὰς δύο παρεχόµενον ἁρµονίας. Επίσης, ο Πρόκλος αποδίδει τον ορισµό των πλευρικών-διαµετρικών(εις Πολιτείαν,2,24,16-18), στους Πυθαγορείους: Οτι αἱ ταῖς ἀρρήτοις διαµέτροις παρακείµεναι ῥηταὶ µονάδι µείζους εἰσὶν ἢ ἐλάττους διπλασίου, διὰ τῶν ἀριθµῶν οἱ Πυθαγόρειοι δεικνύουσιν Πλευρικοί-διαµετρικοί ως ανθυφαιρετικές προσεγγίσεις του λόγου διαµέτρου προς πλευρά τετραγώνου Ο Πρόκλος (εις Πολιτείαν,2,27) αναφέρει πως η πλευρά και η διαγώνιος ενός τετραγώνου δεν µπορεί να είναι ταυτόχρονα ρητοί αριθµοί

18 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή 9 καθώς το τετράγωνο ενός φυσικού αριθµού δεν δύναται να είναι ίσο µε το διπλάσιο του τετραγώνου ενός άλλου κάτι που φανερώνει πως τα µεγέθη διάγώνιος και πλευρά τετραγώνου είναι ασύµµετρα: Οτι ἐπειδὴ ἀδύνατον ῥητὴν εἶναι τὴν διάµετρον τῆς πλευρᾶς οὔσης ῥητῆς (οὐ γάρ ἐστιν τετράγωνος ἀριθµὸς τετραγώνου διπλάσιος.ᾧ καὶ δῆλον ὅτι ἀσύµµετρά ἐστιν µεγέθη Ορµώµενοι από την ασυµµετρία πλευράς και διαγωνίου τετραγώνου, οι Πυθαγόρειοι φαίνεται να είχαν ένα ισχυρό κίνητρο για να δη- µιουργήσουν τους πλευρικούς-διαµετρικούς αριθµούς σε µια προσπάθεια προσέγγισης του άρρητου λόγου διαγωνίου προς πλευρά. Ο λόγος x n /y n του n-οστού ζεύγους των πλευρικών διαµετρικών αριθ- µών είναι µια όλο και ακριβέστερη (όσο αυξάνεται το n) ρητή προσέγγιση, του άρρητου λόγου διαγωνίου προς πλευρά ενός τετραγώνου (δηλ. του 2). Αυτό προκύπτει από την θεµελιώδη ιδιότητα των πλευρικών διαµετρικών: x 2 n = 2y 2 n + ( 1) n. (2.4) Διαιρώντας κάθε µέλος της ισότητας µε το y 2 n παίρνουµε: (x n /y n ) 2 = 2 ± (1/y n ) 2, (2.5) µε τα + και να εναλλάσσονται σε κάθε βήµα αρχίζοντας από για n = 1. Από την (2.5) είναι φανερό πως το τετράγωνο του λόγου x n /y n είναι περίπου ίσο µε το 2. Ας υποστηρίξουµε στο σηµείο αυτό το επιχείρηµα πως οι Πυθαγόρειοι έβλεπαν τους πλευρικούς και διαµετρικούς αριθµούς ως ρητές προσεγγίσεις του λόγου της διαµέτρου προς πλευρά τετραγώνου, µε εργαλεία µας τις αρχαίες πηγές. Κατ αρχάς, ο Πλάτων (Πολιτεία 546c4-5) καλεί τον διαµετρικό αριθµό x 3 = 7 που αντιστοιχεί στον πλευρικό y 3 = 5 ρητή διάµετρο της πεµπτάδος. Μάλιστα επισηµαίνει πως υπολείπεται κατά µία µονάδα ( δεοµένων ενός ) της άρρητης διαµέτρου της πεµπτάδος. Ο Αρίσταρχος, αναφερόµενος κι αυτός στον λόγο του τρίτου ζεύγους πλευρικών-διαµετρικών αριθµών 7/5, τον θεωρούσε ως µία προσέγγιση εκ των κάτω του λόγου διαµέτρου προς πλευρά τετραγώνου, βασιζόµενος στη σχέση των τετραγώνων 2/1 > 49/25. Ο Πρόκλος τέλος, εκφράζει κι αυτός στα έργα του την προσεγγιστική ιδιότητα του ζεύγους (7, 5) µε χρήση της λέξης σύνεγγυς (Πολιτείαν 2,38, 16-22, εις Ευκλείδην 61,12-17 και 417, 18-24). Αναφέρει πως

19 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή 10 σε αντίθεση µε ό,τι συµβαίνει σε γεωµετρικά µεγέθη, δεν υπάρχει αριθ- µός που το τετράγωνό του να είναι διπλάσιο του τετραγώνου ενός άλλου. Σε περίπτωση που απαιτούµε η διάµετρος να είναι ρητός αριθµός και να ισχύει η προαναφερθείσα σχέση τετραγώνων, το καλύτερο που µπορούµε να κάνουµε είναι να αρκεστούµε στην σύνεγγυς διάµετρο που είναι το µονάδι έλασσον ή ενός δέοντος του τετραγώνου της αρρήτου διαµέτρου. Για παράδειγµα, για τετράγωνο πλευράς 5, η ρητή διάµετρος που θα λάβουµε είναι 7 καθώς είναι το µονάδι έλασσον του τετραγώνου της αρρήτου διαµέτρου 50. Δεχόµενοι πως οι πλευρικοί-διαµετρικοί αριθµοί δηµιουργήθηκαν από τους Πυθαγόρειους ώστε να αποτελέσουν ρητές προσεγγίσεις του λόγου διαµέτρου προς πλευρά τετραγώνου, ας γίνουµε περισσότερο συγκεκριµένοι: οι προσεγγίσεις αυτές µε µεγάλη πιθανότητα ήταν ανθυφαιρετικές καθώς δεν υπάρχει καµία γνώστή αρχαία ρητή προσέγγιση είτε ρητού είτε αρρήτου εκτός της ανθυφαιρετικής. Ορισµός. Αν α > β είναι ένα ζεύγος αριθµών ή µεγεθών συµµέτρων ή ασυµµέτρων και m > n είναι ένα ζεύγος φυσικών αριθµών, θα λέµε ότι ο λόγος m/n είναι ανθυφαιρετική προσέγγιση του λόγου α/β αν η ακολουθία των διαδοχικών πηλίκων της ανθυφαίρεσης των m, n αποτελεί αρχικό τµήµα της ακολουθίας των διαδοχικών πηλίκων της ανθυφαίρεσης των α > β. Αρίσταρχος, Αρχιµήδης, Ερατοσθένης, Ίππαρχος, Διόφαντος Παντού η προσέγγιση που συναντάµε είναι ανθυφαιρετική. Ενδεικτικά, ο Αρίσταρχος στο έργο του Περί µεγεθών και αποστηµάτων ηλίου και σελήνης (Πρόταση 15(60-61), προσεγγίζει εκ των κάτω τον λόγο / ο οποίος έχει ανθυφαίρεση [1,6,6, 11, 2, 4, 1, 2, 36] µε τον απλούστερο λόγο 43/37, µε ανθυφαίρεση [1,6,6]. Ένα παράδειγµα προσέγγισης αρρήτου -αυτή τη φορά- από ρητό µπορούµε να πάρουµε από τον Διόφαντο ο οποίος προσεγγίζει εκ των άνω τον λόγο της δύναµης α του 3 προς το µοναδιαίο µήκος α, ο οποίος είναι γνωστό πως έχει άπειρη ανθυφαίρεση [1,1,2,1,2,1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2,...], µε τον λόγο 26/15 µε ανθυφαίρεση [1, 1, 2, 1, 3] = [1,1,2,1,2,1]. Περισσότερα παραδείγµατα ο αναγνώστης µπορεί να βρει στα [Νεγρεπόντης] και [Fowler, 1999, Κεφ. 2]. Για την περίπτωση των πλευρικών-διαµετρικών αριθµών που µας ενδιαφέρει, όλα τα παραπάνω συνοψίζονται στην ακόλουθη Πρόταση, η απόδειξη της οποίας βασίζεται στη µαθηµατική επαγωγή (που όπως έχουµε παρατηρήσει, γνώριζαν οι Πυθαγόρειοι).

20 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή 11 Πριν προχωρήσουµε στην διατύπωση και απόδειξη της Πρότασης αυτής, ας αναφέρουµε πως το άπειρο ανθυφαιρετικό ανάπτυγµα του 2, ή αλλιώς της διαµέτρου προς πλευρά τετραγώνου, είναι το εξής: Anth(x, y) = [1, 2,..., 2,...], όπου x και y, διάµετρος και πλευρά αντιστοίχως. Πρόταση. Για (x n, y n ) διπλή ακολουθία διαµετρικών και πλευρικών αριθ- µών και x n, y n σχετικώς πρώτους: για n = 1, 2,... Anth(x n, y n ) = [1, 2,..., 2], } {{ } n-1 times Απόδειξη (µε µαθηµατική επαγωγή). Η Πρόταση είναι αληθής για n = 1, 2, 3, 4, µε απ ευθείας επαλήθευση. Έστω ότι ισχύει για n και θα αποδείξουµε ότι ισχύει για n + 1: Anth(x n, y n ) = [1, 2,..., 2], } {{ } n-1 times και x n, y n σχετικώς πρώτοι. Έπεται ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί γ 1,..., γ n 1 ώστε x n < y n < γ 1 <... < γ n 1 = 1 (καθώς x n, y n σχετικώς πρώτοι) και, x n = 1 y n + γ 1 y n = 2 γ 1 + γ 2,... x n 2 = 2 x n 1. (2.6) Τότε, Anth(y n, γ 1 ) = [2,..., 2] } {{ } n-1 times και οι y n, γ 1 είναι σχετικώς πρώτοι. Τροποποιούµε τώρα αυτή την ανθυφαίρεση κατάλληλα ως προς τα δύο πρώτα βήµατά της µε τον ακόλουθο τρόπο: α 1 = 1 α 2 + x n (2.7) α 2 = 2 x n + γ 1. (2.8)

21 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή 12 Τότε, Anth(α 1, α 2 ) = [1, 2,..., 2] } {{ } n times και οι α 1, α 2 είναι σχετικώς πρώτοι. Όµως προφανώς, γ 1 = y n x n, από την (2.6) α 2 = 2 y n + γ 1 = 2 y n + (y n x n ) = y n + x n = y n+1, από την (2.8) και α 1 = α 2 + y n = (y n + x n ) + y n = 2 y n + x n = x n+1, από την (2.7). Αποδείχθηκε δηλαδή, πως η ακολουθία των πηλίκων της ανθυφαίρεσης του n-οστού ζεύγους y n, x n, είναι αρχικό τµήµα της άπειρης ακολουθίας των πηλίκων της ανθυφαίρεσης διαµέτρου προς πλευρά τετραγώνου. 2.3 Αρχιµήδης Για τη µελέτη µας, θα εστιάσουµε σε δύο προβλήµατα από το σύνολο των γνωστών σωζόµενων έργων του Αρχιµήδη υποστηρίζοντας το επιχείρηµα πως ο Αρχιµηδης ενδιαφερόταν για την εξίσωση Pell (και γενικότερα εξισώσεις της µορφής x 2 = Dy 2 ± k, µε D, k θετικούς ακεραίους) και πως πιθανώς είχε κάποια επίγνωση της δοµής του συνόλου λύσεών τους. Το πρώτο, είναι το διάσηµο βοεικό πρόβληµα που εντοπίζεται σε ένα Ελληνικό επίγραµµα 22 διστίχων που ήρθε στο φως από τον λογοτέχνη και βιβλιοθηκάριο της βιβλιοθήκης του Wolfenbüter, Go hold Ephraim Lessing το Στο χειρόγραφο όπου το βοεικό πρόβληµα περιέχεται, δίνεται η πληροφορία πως επρόκειτο για ένα πρόβληµα που ο Αρχιµήδης απηύθηνε στους µαθηµατικούς της Αλεξάνδρειας. Το βοεικό πρόβληµα οδηγεί σε µια ειδική περίπτωση της εξίσωσης Pell και συγκεκριµένα στην: x y 2 = 1. Δεύτερον, στο έργο του Κύκλου Μέτρησις ο Αρχιµήδης αποδεικνύει πως η περιφέρεια ενός κύκλου είναι µικρότερη από 3 1 φορές τη διάµετρο αλλά µεγαλύτερη από 3 10 φορές: 7 71 Παντὸς κύκλου ἡ περίµετρος τῆς διαµέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ ἔτι ὑπερέχει ἐλάσσονι µὲν ἢ ἑβδόµῳ µέρει τῆς διαµέτρου, µείζονι δὲ ἢ δέκα ἑβδοµηκοστοµόνοις. (1,140,9-11)

22 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή 13 Προς απόδειξη αυτού, ξεκινά µε ένα ορθογώνιο τρίγωνο µε τη µία οξεία γωνία να µετρά 30 και για το οποίο ισχυρίζεται πως ο λόγος των δύο κάθετων πλευρών (έστω w : e) είναι µεταξύ των ορίων 265 : 153 και 1351 : 780. Είναι προφανές πως εάν η βρίσκεται απέναντι από τη γωνία 30, η υποτείνουσα θα είναι 2e και πως w = (2e) 2 e 2 = 3e 2. Εποµένως αυτό που ουσιαστικά ο Αρχιµήδης ήθελε να υπολογίσει βρίσκοντας τα παραπάνω όρια ήταν ρητές προσεγγίσεις του αρρήτου w e = 3. Το ερώτηµα που τίθεται είναι πώς ο Αρχιµήδης απέδειξε τα όρια αυτά; Ο Ευτόκιος, στα σχόλιά του για το Κύκλου Μέτρησις ( ), θέλοντας να επαληθεύσει την εγκυρότητα των άνωθι προσεγγίσεων του Αρχιµήδη για το 3 παραθέτει απλώς τις ταυτότητες: = = Βάσει αυτού, θα µπορούσαµε µε κάποια ασφάλεια να υποθέσουµε πως ο Αρχιµήδης γνώριζε πως τα ζευγάρια (265, 153) και (1351, 780) των λόγων του ικανοποιούν τις εξισώσεις: x 2 = 3y 2 2 (2.9) x 2 = 3y (2.10) και πως είχε στα χέρια του κάποια µέθοδο εύρεσης ζευγών λύσεων που να τις ικανοποιούν. Στο σηµείο αυτό, ας ανοίξουµε µια παρένθεση στην πορεία σκέψης µας για να κάνουµε εναν συσχετισµό που θα µας χρειαστεί µόλις παρακάτω: Η επίλυση της εξίσωσης Pell για D = 2 από τους Πυθαγορείους βασίστηκε στην ταυτότητα (2.3) η οποία προήλθε από την ΙΙ.10 όπως έχουµε αναφέρει. Με παρόµοιο σκεπτικό, µε χρήση των αναδρο- µικών τύπων x n+1 = 2x n + 3y n y n+1 = x n + 2y n, (2.11) και βασιζόµενοι αυτή τη φορά στην ταυτότητα (2y n + 3x n ) 2 + 3(x n ) 2 = (y n ) 2 + 3(x n + 2y n ) 2, (2.12) οδηγούµαστε σε επίλυση της εξίσωσης Pell για D = 3.

23 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή 14 Οι ταυτότητες (2.3) και (2.12) είναι και οι δύο ειδικές περιπτώσεις µιας γενικότερης πολύ σηµαντικής ταυτότητας, που θα µας απασχολήσει και στα επόµενα κεφάλαια, της (x 1 x 2 ± Dy 1 y 2 ) 2 = D(x 1 y 2 ± x 2 y 1 ) 2 + (x 2 1 Dy 2 1)(x 2 2 Dy 2 2). (2.13) Γυρνώντας στον Αρχιµήδη, ιστορικοί των µαθηµατικών όπως ο Toepli, o Tannery και ο Μüller, παραθέτουν κάποιες ενδιαφέρουσες εικασίες [van der Waerden, 1983] για το πώς ο Αρχιµήδης βρήκε τις προσεγγίσεις του, οι οποίες όλες οδηγούν στην προαναφερθείσα ταυτότητα (2.13).

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Αποδείξεις της τριγωνικής ανισότητας

Θέμα: Αποδείξεις της τριγωνικής ανισότητας Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Μάθημα: Γεωμετρία Θεματική Ενότητα: Ανισοτικές Σχέσεις Θέμα: Αποδείξεις της τριγωνικής ανισότητας Ομάδα εργασίας: Γιώργος Ρούμελης Ρωμανός Τζουνάκος Διονύσης

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Εὐκλείδεια Γεωµετρία

Εὐκλείδεια Γεωµετρία Εὐκλείδεια Γεωµετρία Φθινοπωρινὸ Εξάµηνο 010 Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Μάθηµα 9 ευτέρα 18-10-010 Συνοπτικὴ περιγραφή Υπενθύµιση τοῦ Θεωρήµατος τοῦ Θαλῆ. εῖτε καὶ ἐδάφιο 7.7 τοῦ σχολικοῦ ϐιβλίου. Τονίσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο Σηµειώσεις Προετοιµασίας για Μαθηµατικούς ιαγωνισµούς Ασκήσεις Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Νοέµβριος 2012 1 Ασκησεις στη Θεωρια Αριθµων 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Την προηγούµενη φορά Τρόποι απόδειξης Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης. Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Η παιδαγωγική διάσταση των πολλών τρόπων επίλυσης ενός προβλήµατος ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Μία χαρακτηριστική ιδιότητα των Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία

1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία 1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Η δική µας Εικασία Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν να διχοτοµούν µια τυχαία γωνία µε χρήση κανόνα και διαβήτη, και, κατά συνέπεια, µπορούσαν να διαιρέσουν

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 13.03.14 Χ. Χαραλάμπους Εντονες πυθαγόρειες επιδράσεις. Η Γεωμετρία και τα Μαθηματικά έχουν μια ξεχωριστή ξχ θέση. Ουδείς αγεωμέτρητος εισί Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/7/2017

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Εκτός της Ευκλείδειας γεωµετρίας υπάρχουν και άλλες γεωµετρίες µη Ευκλείδιες.Οι γεω- µετρίες αυτές διαφοροποιούνται σε ένα ή περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων.

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων. ΜΑΘΗΜΑ 1 αόριστες έννοιες Έννοιες που είναι τόσο απλές και οικείες από την εμπειρία μας, ώστε δεν μπορούμε να βρούμε πιο απλές με τη βοήθεια των οποίων να τις περιγράψουμε Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα