Η εξίσωση Pell στα Ελληνικά και Ινδικά Μαθηµατικά

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η εξίσωση Pell στα Ελληνικά και Ινδικά Μαθηµατικά"

Transcript

1 Διπλωµατική Εργασία Η εξίσωση Pell στα Ελληνικά και Ινδικά Μαθηµατικά Συγγραφή: Μαρίνα Μπρόκου Δ Επιβλέπων: Οµότ. Καθηγητής Στ. Νεγρεπόντης Αθήνα, Ιούλιος 2014

2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή Η εξίσωση Pell Συνεχή κλάσµατα Συγκλίνουσες (convergents) (x n, y n ) Αρχαία Εποχή Ανθυφαίρεση Οι Πυθαγόρειοι και οι πλευρικοί-διαµετρικοί αριθµοί Ορισµός και βασική ιδιότητα Πυθαγόρεια προέλευση πλευρικών-διαµετρικών Πλευρικοί-διαµετρικοί ως ανθυφαιρετικές προσεγγίσεις του λόγου διαµέτρου προς πλευρά τετραγώνου Αρχιµήδης Πλάτων και παλινδροµικά περιοδική ανθυφαίρεση Πλατωνικές Ιδέες και τετραγωνικοί άρρητοι Θεόδωρος-Θεαίτητος και ανθυφαιρετική ασυµµετρία τετραγωνικών αρρήτων Η Διαίρεση και Συναγωγή της Πλατωνικής Ιδέας Ασπαλιευτής (Σοφιστής 218b-221c) Η Διαίρεση του Ασπαλιευτή Συναγωγή-Λόγος του Ασπαλιευτή Η Διαίρεση και Συναγωγή του Ασπαλιευτή Η Διαίρεση και Συναγωγή της Πλατωνικής Ιδέας Σοφιστής (Σοφιστής 234e-236d & 264b-268d) Η Διαίρεση και Συναγωγή της Πλατωνικής Ιδέας Πολιτικός στον Πολιτικό Ο ορισµός του Πολιτικού ως φιλοσοφικό ανάλογο παλινδροµικά περιοδικής ανθυφαίρεσης (Πολιτικός 258c-267c, 289e-305e) i

3 Περιεχόµενα ii Τα δέκα πρώτα βήµατα της Διαίρεσης και Συναγωγής (258b-267c) Η παλινδροµική περιοδικότητα στο µύθο των εποχών Κρόνου και Δία (268d-274e) και η συσχέτιση µε τον ορισµό του Πολιτικού Τα δέκα τελευταία βήµατα της διαίρεσης (267c-268d & 274e-277c, 289e-305e) Ανακατασκευή της απόδειξης της παλινδροµικής περιοδικότητας της ανθυφαίρεσης µε χρήση εργαλείων από το Βιβλίο Χ Μαθηµατικά εργαλεία για την ανακατασκευή της απόδειξης του Θεωρήµατος Παλινδροµικής Περιοδικότητας Η απόδειξη του Θεωρήµατος Περιοδικότητας Η απόδειξη του Θεωρήµατος Παλινδροµικής Περιοδικότητας (ΘΠΠ) Ινδοί Ku aka (pulveriser) Varga-prakrṭi Ειδική λύση του Brahmagupta Η Αρχή Σύνθεσης του Brahmagupta Παραδείγµατα Επίλυση της varga-prakrṭi όταν υπάρχει λύση για l = ±1, ±2, ή ± Cakravāla ή Κυκλική Μέθοδος Jayadeva Bhāskara II Nārāyanạ Ζήτηµα προέλευσης Ινδικών Μεθόδων Θεωρία van der Waerden περί Αρχαίας Ελληνικής προέλευσης Συγκλίνουσες και ανθυφαίρεση Cakravāla και Ανθυφαίρεση Μετάβαση στο επόµενο ζεύγος συγκλινουσών Κανόνας παράλειψης ανθυφαιρετικού βήµατος Κριτήριο ελάχιστης απόλυτης τιµής Παραδείγµατα Το ζήτηµα της αναγκαιότητας της ku aka Τετραγωνισµός

4 Περιεχόµενα iii 5.5 Χρήση τετραγωνισµών για συντοµεύσεις Επίλογος

5 Κατάλογος σχηµάτων 3.1 Η Διαίρεση του Ασπαλιευτή (Σοφιστής 218b-221c) Η Διαίρεση και Συναγωγή του Ασπαλιευτή (Σοφιστής 218b- 221c) και το Κριτήριο Λόγου iv

6 Κατάλογος πινάκων 3.1 Η παλινδροµικά περιοδική ανθυφαίρεση στον Πολιτικό D=67 - Ινδοί D=103 - Ινδοί D=97 - Ινδοί D=67 - Ανθυφαιρετικά βήµατα D=61 - Ανθυφαιρετικά βήµατα D=97 - Ανθυφαιρετικά βήµατα D=103 - Ανθυφαιρετικά βήµατα v

7 Ευχαριστίες Κύριε Νεγρεπόντη, σας ευχαριστώ για την πολύτιµη καθοδήγηση καθώς και για την υποστήριξή σας καθ όλη τη διάρκεια των περασµένων µηνών. Είµαι πραγµατικά ευγνώµων και ίσως ο χαρακηρισµός να είναι ελλιπής σε σχέση µε ό,τι αισθάνοµαι. Κυρία Φαρµάκη και Κύριε Ζαχαριάδη, θα ήθελα να σας ευχαριστήσω ιδιαίτερα, για το ενδιαφέρον και τις παρατηρήσεις σας όσον αφορά την προσπάθεια αυτή. Είναι ένα από τα κίνητρα που µε ωθούν να προχωρώ. Διονυσία, ένα ευχαριστώ θα ήταν λίγο για την άψογη συνεργασία, την προσήνεια και την προθυµία σου. Είσαι ο φάρος του Μεταπτυχιακού Προγράµµατος. Θείε Χαρίλαε και Θεία Μαρία, σας ευχαριστώ από τα βάθη της καρδιάς µου για όλα. Άγγελε και Δήµητρα η ψυχολογική υποστήριξή σας και η υποµονή σας θα έπρεπε να ανταµείβεται µε βραβείο. Ή και ρεκόρ Γκίνες... Αποστόλη σε ευχαριστώ πολύ για την όλη βοήθεια µε το L A T E X. Μαµά, ό,τι και να πω, αρκετό δεν θα είναι. Ευχαριστώ. vi

8 Περίληψη Ειδικές περιπτώσεις της εξίσωσης Pell x 2 = Dy 2 +1, όπου D µη-τετράγωνος αριθµός και x, y φυσικοί αριθµοί, ήταν γνωστές στους Πυθαγόρειους (D = 2, πλευρικοί-διαµετρικοί αριθµοί) και στον Αρχιµήδη (D = 3, Κύκλου Μέτρησις). Διάφορες µέθοδοι επίλυσης της εξίσωσης Pell, οι οποίες αναφέρονται στα Ινδικά Μαθηµατικά (6ος - 12ος αι. µ.χ. Brahmagupta, Jayadeva, Bhāskara II), µελετήθηκαν από τον C.O. Selenius (1975) και από τον B.L. van der Waerden (1976, 1983). Ο πρώτος, συσχέτισε τη µέθοδo cakravāla µε ένα τµήµα της σύγχρονης θεωρίας των συνεχών κλασµάτων (Euler) µιλώντας για αντιστοιχία µε semi-regular συνεχή κλάσµατα. Ο δεύτερος, θεώρησε τις Ινδικές µεθόδους ως συνέχεια προερχόµενη από τα Αρχαία Ελληνικά Μαθηµατικά χωρίς όµως να έχει πειστικά επιχειρή- µατα για να στηρίξει την διαίσθησή του αυτή. Στην παρούσα διπλωµατική εργασία θα επιχειρηθεί µια αναδροµή από την Αρχαιότητα µέχρι και τη Σύγχρονη Εποχή κατά την οποία θα επιδιωχθεί µια σαφέστερη και στενότερη συσχέτιση της συµβολής των Ινδικών µαθηµατικών στην εξίσωση Pell µε τα Αρχαία Ελληνικά Μαθη- µατικά. Στην πορεία της αναδροµής αυτής, παρουσιάζονται τα επιχειρήµατα που λείπουν από τον van der Waerden για να στηρίξει την αρχαιοελληνική ανθυφαιρετική προέλευση των Ινδικών µεθόδων και αυτά είναι: Η µελέτη του Πλάτωνα (Φίληβος, Θεαίτητος, Σοφιστής, Πολιτικός) από την οποία αποκαλύπτεται πως η µέθοδος της Διαίρεσης και Συναγωγής για την απόκτηση γνώσης επί των Πλατωνικών Ιδεών είναι το φιλοσοφικό ανάλογο της Παλινδροµικά Περιοδικής Ανθυφαίρεσης δυνάµει-µόνο σύµµετρων ευθειών. Αυτό υποδεικνύει πως ο Θεαίτητος και το περιβάλλον του γνώριζαν το Θεώρηµα Παλινδροµικής Περιοδικότητας για τετραγωνικούς άρρητους. Η συµβολή του Βιβλίου Χ των Στοιχείων όσον αφορά την παρουσία των απαραίτητων εργαλείων για την απόδειξη του εν λόγω Θεωρήµατος. Πράγµατι, οι έννοιες των αποτοµών και εκ δύο ονο- µάτων ευθειών καθώς σαφώς και η συζυγία αυτών είναι επαρκείς για την απόδειξη του Θεωρήµατος Παλινδροµικής Περιοδικότητας και ο Θεαίτητος αν µη τι άλλο τις είχε στα χέρια του καθώς το Βιβλίο Χ αποδίδεται σε αυτόν.

9 Η συµβολή του Βιβλίου Χ όσον αφορά την κατανόηση της προέλευσης της Ινδικής µεθόδου του τετραγωνισµού Brahmagupta που χρησιµοποιείται κατά κόρον στην επίλυση της εξίσωσης Pell. Θα δούµε πως ένα ολόκληρο µέρος του Βιβλίου Χ αφορά τον τετραγωνισµό αποτοµών και την ταξινόµησή τους µε βάση τον προστιθέµενο όρο που εµφανίζεται στις εξισώσεις x 2 = Dy 2 + l που αποτελούν για τους Ινδούς ενδιάµεσες βοηθητικές εξισώσεις για την επίλυση της Pell. Η εµπλοκή της παλινδροµικότητας στη χρήση των τετραγωνισµών ως συντοµεύσεων από τους Ινδούς. Τα κυριότερα αποτελέσµατα των παραπάνω είναι: H απόδειξη πως η Ινδική µέθοδος cakravāla στην πλήρη της µορφή (χωρίς δηλαδή την εφαρµογή τοπικών συντοµεύσεων που χρησιµοποιούν σε ορισµένα σηµεία οι Ινδοί) είναι ισοδύναµη µε την ανθυφαίρεση, δηλαδή µε την επέκταση συνεχών κλασµάτων τετραγωνικών αρρήτων χωρίς να χρειάζεται η χρήση semi-regular συενεχών κλασµάτων. Η προέλευση του τετραγωνισµού Brahmagutpa από το Βιβλίο Χ του Θεαίτητου. Οι ενδείξεις για ένα µέρος του σκοπού του µυστηριώδους Βιβλίου Χ, εάν λάβουµε υπ όψιν τα παραπάνω αποτελέσµατα. Σηµείωση: H παράθεση των Αρχαίων Κειµένων έγινε από το TLG: Θησαυρός της Ελληνικής Γλώσσας.

10 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Η εξίσωση Pell Εξίσωση Pell καλείται η Διοφαντική εξίσωση x 2 = Dy 2 + 1, (1.1) όπου D µη τετράγωνος φυσικός αριθµός. Η σύγχρονη κατηγοριοποίησή της ως Διοφαντική καταδεικνύει την αναγκαιότητα εύρεσης όχι γενικά ρητών, αλλά συγκεκριµένα ακέραιων λύσεων για αυτήν. Το αξιοσηµείωτο όσον αφορά την εξίσωση Pell, είναι το γεγονός πως ο λόγος που δηµιουργείται από κάθε ζεύγος λυσεών της είναι πολύ καλή ρητή προσέγγιση για το D. To 1768 o Lagrange ήταν ο πρώτος που δηµοσίευσε απόδειξη για το ότι η εξίσωση Pell έχει πάντα λύση και µάλιστα άπειρες. Το όνοµα της εξίσωσης Pell οφείλεται σε ένα εκ παραδροµής λάθος του Euler σε αλληλογραφία του µε τον Goldbach, όπου αποδίδει λανθασµένα τη µέθοδο επίλυσής της στον Άγγλο Pell. Στην πραγµατικότητα, όπως µας πληροφορεί ο Wallis [Weil, 1984, σελ.93], η πρώτη σύγχρονη ολοκληρωµένη µέθοδος επίλυσης της (1.1) µε ακεραίους δίδεται από τον Brouncker σαν απάντηση στο πρόβληµα - πρόκληση επίλυσής της που έθεσε ο Fermat το Αν και ιστορικά ανακριβής, η ονοµασία Εξίσωση Pell, συνεχίζει να χρησιµοποιείται, καθώς είναι σαφής και βολική για τον µαθηµατικό κόσµο. Ο Euler περί το 1730 παρατήρησε πως η µέθοδος του Brouncker, ουσιαστικά ταυτίζεται µε την επέκταση συνεχούς κλάσµατος του D. Αξιοσηµείωτο όµως είναι το γεγονός πως ισοδυναµεί στη βάση της και µε τη Ινδική µέθοδο cakravāla. 1

11 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 2 Πηγαίνοντας ακόµα πιο πίσω στο χρόνο, στην Αρχαία Ελλάδα της εποχής των Πυθαγορείων, συναντάµε λύσεις της (1.1) για συγκεκριµένες τιµές του D, µε χρήση ανθυφαίρεσης, µιας µεθόδου ισοδύναµης µε τα συνεχή κλάσµατα που βασίζεται στον Ευκλείδειο αλγόριθµο. Έλληνες, Ινδοί, σύγχρονοι µαθηµατικοί της Δύσης Ας αρχίσουµε το δικό µας ταξίδι σε µια προσπάθεια συσχέτισής τους µε πυρήνα την εξίσωση Pell! Συνεχή κλάσµατα Το µαθηµατικό υπόβαθρο για την αντιµετώπιση της εξίσωσης Pell στη σύγχρονη εποχή αποτελεί, όπως ήδη αναφέρθηκε, η Θεωρία Συνεχών Κλασµάτων. Η Θεωρία αυτή άρχισε να δηµιουργείται τον 16o αι. από ονόµατα όπως ο Bombelli και ο Cataldi, εµπλουτίστηκε τον 17o αι. µε τη συµβολή των Fermat, Brounker και Wallis και τέλος έφτασε σε επίπεδο ώστε να µπορεί να αντιµετωπίσει ολοκληρωτικά το Πρόβληµα του Pell, τον 18ο αι. µε τη συνεισφορά των Euler, Lagrange και Legendre. Σύµφωνα µε τη Θεωρία Συνεχών Κλασµάτων, κάθε πραγµατικός αριθµός x 0 µπορεί να αναπαρασταθεί ως συνεχές κλάσµα ως εξής: x 0 = µ = µ + x 1 κ = µ + = µ +, 1 1 κ 1 + x 2 κ κ κ 2 + x 3 κ 3 + (...) 1 όπου µ > 1 το ακέραιο µέρος του x και < 1 το δεκαδικό. Το x i είναι κατά συνέπεια αριθµός µεγαλύτερος της µονάδας και η διαδικασία µπορεί να συνεχιστεί µε τον ίδιο τρόπο. Για να αναπαραστήσουµε την επέκταση συνεχούς κλάσµατος ενός πραγµατικού αριθµού, χρησιµοποιούµε το ακέραιο µέρος από κάθε x i γράφοντας x i x 0 = [µ, κ 1,.., κ n, (...)]. Οι τελείες στο τέλος της παραπάνω αναπαράστασης βρίσκονται µέσα σε παρένθεση διότι οι ρητοί αριθµοί αναπαρίστανται από πεπερασµένα συνεχή κλάσµατα, εποµένως η αναπαράσταση σταµατά σε καποιο κ n ενώ οι άρρητοι από άπειρα συνεχή κλάσµατα. O Euler πρώτος παρατήρησε, αλλά ο Lagrange πρώτος απέδειξε περί το 1770 πως όλοι οι τετραγωνικοί άρρητοι¹ έχουν παλινδροµικά περιοδικά συνεχή κλάσµατα. ¹Οι άρρητοι που το τετράγωνό τους είναι ρητός.

12 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 3 Θεώρηµα 1.1 (Fermat, Brouncker, Euler, Lagrange Legendre, Galois). Έστω D µη τετράγωνος φυσικός. Το συνεχές κλάσµα της τετραγωνικής ρίζας D, είναι παλινδροµικά περιοδικό. Δηλαδή, υπάρχουν αριθµοί µ 1 και κ 1, κ 2,..., κ n 1, κ n, τ.ώ. το συνεχές κλάσµα του D έχει την εξής µορφή: [µ 1, period(κ 1, κ 2,..., κ n 1, (κ n ), κ n 1,..., κ 2, κ 1, 2µ 1 ] Συγκλίνουσες (convergents) (x n, y n ) Στο σηµείο αυτό είναι εύλογο να αναρωτηθούµε σχετικά µε το ποια είναι η ουσιαστική σχέση της Θεωρίας Συνεχών Κλασµάτων µε την εξίσωση Pell. Η απάντηση δίδεται στη συνέχεια. Υπαρχει µοναδική διπλή ακολουθία φυσικών αριθµών (x n, y n ), µε x n και y n σχετικώς πρώτους, για την οποία το συνεχές κλάσµα των λόγων x n είναι αρχικό τµήµα του συνεχούς κλάσµατος του D, ή µε άλλα λόγια οι λόγοι αυτοί είναι καλές ρητές προσεγγίσεις του D. Όταν το Συνεχές κλάσµα του x n y n αντιστοιχεί στη συµπλήρωση µιας περιόδου του D, τότε το ζεύγος (x n, y n ) αποτελεί λύση της εξίσωσης Pell, ή της εξίσωσης x 2 = Dy 2 1. Οι όροι αυτής της διπλής ακολουθίας συγκλινουσών βρίσκονται επαγωγικά µε την βοήθεια δύο επιπλέον ακολουθιών l n και m n. Οι πρώτοι όροι είναι y n l 1 = 1 m 1 = [ D] x 1 = m 1 y 1 = 1, και τα l n+1 και m n+1 ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες: 1. ±l n+1 = x 2 n Dy 2 n, l n+1 > 0 2. m 2 n+1 < D 3. D m 2 n+1: ελάχιστο. Τότε, αποδεικνύεται πως οι επαγωγικοί τύποι των συγκλινουσών είναι: y n+1 = x n + y n m n+1 l n+1 x n+1 = x nm n+1 + y n D l n+1.

13 Κεφάλαιο 2 Αρχαία Εποχή 2.1 Ανθυφαίρεση Ορισµός 2.1 (Ορισµός X.1). Δύο µεγέθη a > b ονοµάζονται σύµµετρα εάν υπάρχει ένα µέγεθος k και φυσικοί αριθµοί m, n τέτοιοι ώστε a = mk και b = nk. Δύο µεγέθη είναι ασύµµετρα εάν δεν είναι σύµµετρα. Ορισµός 2.2 (Ορισµός X.2). Δύο ευθείες a, b ονοµάζονται δυνάµει-µόνο σύµµετρες εάν a, b είναι ασύµµετρες ευθείες και a 2, b 2 σύµµετρες επιφάνειες. Η αρχαία έννοια που ισοδυναµεί µε τη σύγχρονη έννοια της επέκτασης συνεχούς κλάσµατος (θετικών) πραγµατικών αριθµών είναι η ανθυφαίρεση δύο οµογενών µεγεθών. Η έννοια αυτή ορίζεται σαφώς στα Στοιχεία µέσω των Προτάσεων Χ.2 και Χ.3 µε τρόπο ανάλογο του ορισµού της ανθυφαίρεσης φυσικών αριθµών (Ευκλείδειος αλγόριθµος), που γίνεται στο Βιβλίο VII. Με σκοπό να καθοριστεί και να γίνει κατανοητός ο συµβολισµός που θα χρησιµοποιηθεί, παρατίθεται παρακάτω η ανθυφαίρεση δύο ευθειών a > b: a = µ 1 b + γ 1, µε b > γ 1, b = I 1 γ 1 + γ 2, µε γ 1 > γ 2, γ 1 = I 2 γ 2 + γ 3, µε γ 2 > γ 3,... γ n = I n+1 γ n+1 + γ n+2, µε γ n+1 > γ n+2,... γ m = I m+1 γ m+1 + γ m+2, µε γ m+1 > γ m+2,... 4

14 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή 5 Η ανθυφαίρεση µεγεθών, σε αντίθεση µε την ανθυφαίρεση φυσικών αριθµών που είναι πάντα πεπερασµένη, µπορεί να είναι είτε πεπερασµένη είτε άπειρη. Στο γεγονός αυτό βασίζεται η επόµενη πολύ σηµαντική Πρόταση: Πρόταση 2.1 (Πρόταση Χ.2, Ανθυφαιρετικό κριτήριο ασυµµετρίας δύο ευθειών). Δύο ευθείες a, b είναι ασύµµετρες εάν και µόνο αν η ανθυφαίρεση των a, b είναι άπειρη. Η προ-ευδόξου ανθυφαιρετική Θεωρία Λόγων Μεγεθών για την ύπαρξη της οποίας πληροφορούµαστε από το χωρίο 158b24 159a2 των Τοπικών του Αριστοτέλη αποδίδεται κατά γενική οµολογία στον Θεαίτητο. Στον επόµενο ορισµό έχει τη βάση της η εν λόγω Θεωρία: Ορισµός 2.3. Εάν a, b οµογενή µεγέθη και οµοίως για τα c, d, τότε a/b = c/d εάν και µόνο αν Anth(a, b) = Anth(c, d). Παρατήρηση Ο συµβολισµός Anth(a, b) υποδεικνύει την ακολουθία διαδοχικών υπολοίπων της Ανθυφαίρεσης του a µε το b. Φυσικό επακόλουθο του παραπάνω ορισµού ισότητας λόγων µεγεθών είναι το Κριτήριο Λόγου: Πρόταση 2.2 (Κριτήριο Λόγου για την περιοδικότητα µιας ανθυφαίρεσης). Έστω a, b δύο ευθύγραµµα τµήµατα µε a > b και ανθυφαίρεση όπως ορίστηκε προηγουµένως. Εάν υπάρχουν δείκτες n < m τέτοιοι ώστε γ n /γ n+1 = γ m /γ m+1, τότε η ανθυφαίρεση του a µε το b είναι τελικά περιοδική και συγκεκρι- µένα Anth(a, b) = [µ 1, I 1,..., I n, period(i n+1, I n+2,...i m )]. Απόδειξη. Από τον Ορισµό 2.3 προκύπτει πως Anth(γ n, γ n+1 ) = Anth(γ m, γ m+1 ). Οµως Anth(a, b) = [µ 1, I 1,..., I n, Anth(γ n, γ n+1 )] = [µ 1, I 1,..., I n, I n+1, I n+2,..., I m, Anth(γ m, γ m+1 )] = [µ 1, I 1,..., I n, I n+1, I n+2,..., I m, Anth(γ n, γ n+1 )] = [µ 1, I 1,..., I n, I n+1, I n+2,..., I m, I n+1, I n+2,..., I m, Anth(γ m, γ m+1 )] =... Εποµένως Anth(a, b) = [µ 1, I 1,..., I n, period(i n+1, I n+2,...i m )].

15 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή Οι Πυθαγόρειοι και οι πλευρικοί-διαµετρικοί αριθµοί Ορισµός και βασική ιδιότητα Οι Πυθαγόρειοι, µε τη βοήθεια της Θεωρίας πλευρικών και διαµετρικών αριθµών ήταν σε θέση να λύνουν εξισώσεις της µορφής x 2 = 2y 2 ± 1. (2.1) Ορισµός 2.4. Οι πλευρικοί y n και διαµετρικοί x n αριθµοί, είναι µια διπλή ακολουθία (x n, y n ) φυσικών αριθµών, η οποία ορίζεται αναδροµικά ως εξής: Για κάθε φυσικό αριθµό n, x 1 = 1 x n+1 = x n + 2y n, y 1 = 1 y n+1 = x n + y n. Ο Πρόκλος όπως επίσης και ο Θέων ο Σµυρνεύς δίνουν τον παραπάνω ορισµό για τους πλευρικούς-διαµετρικούς αριθµούς. Χαρακτηριστικά ας παρουσιάσουµε το σχετικό απόσπασµα από τον Πρόκλο (εις Πολιτείαν,2,24,18-24): ἐπεὶ γὰρ ἡ µονὰς πάντα ἐστὶν σπερµατικῶς, δῆλον, φασίν, ὅτι καὶ πλευρά ἐστιν καὶ διάµετρος. ἔστων οὖν δύο µονάδες, ἣ µὲν ὡς πλευρὰ [ἣ δ]ὲ ὡς διάµετρος, καὶ προσκείσθω τῇ µὲν ὡς πλευρᾷ µία διάµετρος, τῇ δὲ ὡς διαµέτρῳ πλευραὶ δύο, ἐπείπερ ἡ ὡς διάµετρος µονάδι ἐλάσσων ἢ διπλασία τῆς ὡς πλευρᾶς. Στη συνέχεια θα παρουσιαστεί ως Πρόταση η βασική ιδιότητα των πλευρικών και διαµετρικών αριθµών, η απόδειξη της οποίας φαίνεται να αποτελεί µοναδική χρησιµότητα της Πρότασης ΙΙ.10 των Στοιχείων του Ευκλείδη. Η Πρόταση ΙΙ.10 αναφέρεται σε ευθύγραµµα τµήµατα, όχι αριθµούς, και είναι η εξής: Για δεδοµένα ευθύγραµµα τµήµατα α και β, ισχύει πως: (2α n + β n ) 2 + (β n ) 2 = 2(α n ) 2 + 2(α n + β n ) 2. (2.2) Ο Πρόκλος, γνωρίζει τη στενή σχέση µεταξύ της Πρότασης ΙΙ.10 και της Πυθαγόρειας θεωρίας των πλευρικών και διαµετρικών αριθµών

16 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή 7 (το ότι η θεωρία αυτή είναι γέννηµα των Πυθαγορείων θα υποστηριχθεί στη συνέχεια). Η Πρόταση ΙΙ.10 έχει εκ πρώτης όψεως µια µοναχική παρουσία και φαντάζει αποκοµµένη από τις υπόλοιπες αφού δεν χρησιµοποιείται πουθενά στα Στοιχεία. Παρ όλα αυτά ο Πρόκλος την αποκαλεί γλαφυρόν θεώρηµα (εις Πολιτείαν,2,27,32)! Τον λόγο µας τον αποκαλύπτει ο ίδιος και δεν είναι άλλος από το ότι η ΙΙ.10 αποτελεί το επαγωγικό βήµα για την -µονοσήµαντα επαγωγική- απόδειξη της θεµελιώδους ιδιότητας των πλευρικών-διαµετρικών αριθµών(εις Πολιτείαν 2,24,16-25,13 και 2,27,1-29,4). Πρόταση 2.3. Για κάθε φυσικό αριθµό n, x 2 n = 2y 2 n + ( 1) n. Απόδειξη (Βασικής Ιδιότητας σύµφωνα µε την υπόδειξη του Πρόκλου, µε χρήση δηλαδη της II.10). Έστω x n και y n ένα ζευγάρι πλευρικών και διαµετρικών αριθµών. Έστω ένα ευθύγραµµο τµήµα ω. Θέτοντας α = y n ω, β = x n ω, από τη II.10 προκύπτει η εξής σχέση µεταξύ ευθυγράµµων τµηµάτων: (2y n ω + x n ω) 2 + (x n ω) 2 = 2(y n ω) 2 + 2(y n ω + x n ω) 2. Εποµένως απαλείφοντας το ω, προκύπτει µια σχέση αριθµών πλέον: (2y n + x n ) 2 + (x n ) 2 = 2(y n ) 2 + 2(y n + x n ) 2. (2.3) Με χρήση του ορισµού των πλευρικών-διαµετρικών προκύπτει πως για κάθε n = 1, 2,... ισχύει η εξής ταυτότητα: (x n+1 ) 2 + (x n ) 2 = 2(y n ) 2 + 2(y n+1 ) 2. Μέσω της επαγωγικής µεθόδου, θα καταλήξουµε στο ότι για κάθε n=1,2, Για n = 1 ισχύει. Υποθέτω ότι ισχύει για n. x 2 n = 2y 2 n + ( 1) n, Θα δείξω ότι ισχύει για n + 1: x 2 n+1 = 2y 2 n+1 + ( 1) n+1 = (2y n + x n ) 2 + (x n ) 2 = 2(y n + x n ) 2 + ( 1) n+1 = 4(y n ) 2 + (x n ) 2 + 4y n x n = 2(y n ) 2 + 2(x n ) 2 + 4y n x n + ( 1) n+1 = 2(y n ) 2 = (x n ) 2 + ( 1) n+1 = (x n ) 2 = 2(y n ) 2 ( 1) n+1 = (x n ) 2 = 2(y n ) 2 + ( 1) n, ισχύει.

17 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή 8 Εποµένως, x 2 n = 2y 2 n + ( 1) n, για κάθε n = 1, 2,.... Παρατήρηση Ο µοναδικός τρόπος µε τον οποίο θα µπορούσε να αποδειχθεί η Θεµελιώδης Ιδιότητα των πλευρικών-διαµετρικών αριθµών µέσω της ΙΙ.10 είναι η µέθοδος της επαγωγής. Το γεγονός αυτό µας οδηγεί στο να εικάσουµε πως οι Πυθαγόρειοι γνώριζαν την επαγωγική µέθοδο Πυθαγόρεια προέλευση πλευρικών-διαµετρικών Οι πλευρικοί-διαµετρικοί αριθµοί δεν µπορεί παρά να έχουν Πυθαγόρεια προέλευση όπως καταδεικνύεται από τις αρχαίες µαρτυρίες που παρατίθενται στην συνέχεια. Συγκεκριµένα, στην Πολιτεία, στο χωρίο 546b-c, ο Πλάτων περιγράφοντας τον Γεωµετρικό αριθµό, δεν αναφέρει µεν τους πλευρικούςδιαµετρικούς αριθµούς κατ όνοµα, δίνει όµως µεγάλη έµφαση στο ζεύγος πλευρικών-διαµετρικών x 3 = 7, y 3 = 5 και τη σχέση που το διέπει: 49 = x 2 3 = 2y = O Ιάµβλιχος, κατηγορεί ευθέως τον Πλάτωνα (Πυθαγορικός Βίος, 131,3-6) πως σφετερίζεται την δόξα των Πυθαγορείων µε το να κάνει λόγο για το παραπάνω ζεύγος αριθµών: σφετερίσασθαι δὲ τὴν δόξαν Πλάτωνα, λέγοντα φανερῶς ἐν τῇ Πολιτείᾳ τὸν ἐπίτριτον ἐκεῖνον πυθµένα τὸν τῇ πεµπάδι συζευγνύµενον καὶ τὰς δύο παρεχόµενον ἁρµονίας. Επίσης, ο Πρόκλος αποδίδει τον ορισµό των πλευρικών-διαµετρικών(εις Πολιτείαν,2,24,16-18), στους Πυθαγορείους: Οτι αἱ ταῖς ἀρρήτοις διαµέτροις παρακείµεναι ῥηταὶ µονάδι µείζους εἰσὶν ἢ ἐλάττους διπλασίου, διὰ τῶν ἀριθµῶν οἱ Πυθαγόρειοι δεικνύουσιν Πλευρικοί-διαµετρικοί ως ανθυφαιρετικές προσεγγίσεις του λόγου διαµέτρου προς πλευρά τετραγώνου Ο Πρόκλος (εις Πολιτείαν,2,27) αναφέρει πως η πλευρά και η διαγώνιος ενός τετραγώνου δεν µπορεί να είναι ταυτόχρονα ρητοί αριθµοί

18 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή 9 καθώς το τετράγωνο ενός φυσικού αριθµού δεν δύναται να είναι ίσο µε το διπλάσιο του τετραγώνου ενός άλλου κάτι που φανερώνει πως τα µεγέθη διάγώνιος και πλευρά τετραγώνου είναι ασύµµετρα: Οτι ἐπειδὴ ἀδύνατον ῥητὴν εἶναι τὴν διάµετρον τῆς πλευρᾶς οὔσης ῥητῆς (οὐ γάρ ἐστιν τετράγωνος ἀριθµὸς τετραγώνου διπλάσιος.ᾧ καὶ δῆλον ὅτι ἀσύµµετρά ἐστιν µεγέθη Ορµώµενοι από την ασυµµετρία πλευράς και διαγωνίου τετραγώνου, οι Πυθαγόρειοι φαίνεται να είχαν ένα ισχυρό κίνητρο για να δη- µιουργήσουν τους πλευρικούς-διαµετρικούς αριθµούς σε µια προσπάθεια προσέγγισης του άρρητου λόγου διαγωνίου προς πλευρά. Ο λόγος x n /y n του n-οστού ζεύγους των πλευρικών διαµετρικών αριθ- µών είναι µια όλο και ακριβέστερη (όσο αυξάνεται το n) ρητή προσέγγιση, του άρρητου λόγου διαγωνίου προς πλευρά ενός τετραγώνου (δηλ. του 2). Αυτό προκύπτει από την θεµελιώδη ιδιότητα των πλευρικών διαµετρικών: x 2 n = 2y 2 n + ( 1) n. (2.4) Διαιρώντας κάθε µέλος της ισότητας µε το y 2 n παίρνουµε: (x n /y n ) 2 = 2 ± (1/y n ) 2, (2.5) µε τα + και να εναλλάσσονται σε κάθε βήµα αρχίζοντας από για n = 1. Από την (2.5) είναι φανερό πως το τετράγωνο του λόγου x n /y n είναι περίπου ίσο µε το 2. Ας υποστηρίξουµε στο σηµείο αυτό το επιχείρηµα πως οι Πυθαγόρειοι έβλεπαν τους πλευρικούς και διαµετρικούς αριθµούς ως ρητές προσεγγίσεις του λόγου της διαµέτρου προς πλευρά τετραγώνου, µε εργαλεία µας τις αρχαίες πηγές. Κατ αρχάς, ο Πλάτων (Πολιτεία 546c4-5) καλεί τον διαµετρικό αριθµό x 3 = 7 που αντιστοιχεί στον πλευρικό y 3 = 5 ρητή διάµετρο της πεµπτάδος. Μάλιστα επισηµαίνει πως υπολείπεται κατά µία µονάδα ( δεοµένων ενός ) της άρρητης διαµέτρου της πεµπτάδος. Ο Αρίσταρχος, αναφερόµενος κι αυτός στον λόγο του τρίτου ζεύγους πλευρικών-διαµετρικών αριθµών 7/5, τον θεωρούσε ως µία προσέγγιση εκ των κάτω του λόγου διαµέτρου προς πλευρά τετραγώνου, βασιζόµενος στη σχέση των τετραγώνων 2/1 > 49/25. Ο Πρόκλος τέλος, εκφράζει κι αυτός στα έργα του την προσεγγιστική ιδιότητα του ζεύγους (7, 5) µε χρήση της λέξης σύνεγγυς (Πολιτείαν 2,38, 16-22, εις Ευκλείδην 61,12-17 και 417, 18-24). Αναφέρει πως

19 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή 10 σε αντίθεση µε ό,τι συµβαίνει σε γεωµετρικά µεγέθη, δεν υπάρχει αριθ- µός που το τετράγωνό του να είναι διπλάσιο του τετραγώνου ενός άλλου. Σε περίπτωση που απαιτούµε η διάµετρος να είναι ρητός αριθµός και να ισχύει η προαναφερθείσα σχέση τετραγώνων, το καλύτερο που µπορούµε να κάνουµε είναι να αρκεστούµε στην σύνεγγυς διάµετρο που είναι το µονάδι έλασσον ή ενός δέοντος του τετραγώνου της αρρήτου διαµέτρου. Για παράδειγµα, για τετράγωνο πλευράς 5, η ρητή διάµετρος που θα λάβουµε είναι 7 καθώς είναι το µονάδι έλασσον του τετραγώνου της αρρήτου διαµέτρου 50. Δεχόµενοι πως οι πλευρικοί-διαµετρικοί αριθµοί δηµιουργήθηκαν από τους Πυθαγόρειους ώστε να αποτελέσουν ρητές προσεγγίσεις του λόγου διαµέτρου προς πλευρά τετραγώνου, ας γίνουµε περισσότερο συγκεκριµένοι: οι προσεγγίσεις αυτές µε µεγάλη πιθανότητα ήταν ανθυφαιρετικές καθώς δεν υπάρχει καµία γνώστή αρχαία ρητή προσέγγιση είτε ρητού είτε αρρήτου εκτός της ανθυφαιρετικής. Ορισµός. Αν α > β είναι ένα ζεύγος αριθµών ή µεγεθών συµµέτρων ή ασυµµέτρων και m > n είναι ένα ζεύγος φυσικών αριθµών, θα λέµε ότι ο λόγος m/n είναι ανθυφαιρετική προσέγγιση του λόγου α/β αν η ακολουθία των διαδοχικών πηλίκων της ανθυφαίρεσης των m, n αποτελεί αρχικό τµήµα της ακολουθίας των διαδοχικών πηλίκων της ανθυφαίρεσης των α > β. Αρίσταρχος, Αρχιµήδης, Ερατοσθένης, Ίππαρχος, Διόφαντος Παντού η προσέγγιση που συναντάµε είναι ανθυφαιρετική. Ενδεικτικά, ο Αρίσταρχος στο έργο του Περί µεγεθών και αποστηµάτων ηλίου και σελήνης (Πρόταση 15(60-61), προσεγγίζει εκ των κάτω τον λόγο / ο οποίος έχει ανθυφαίρεση [1,6,6, 11, 2, 4, 1, 2, 36] µε τον απλούστερο λόγο 43/37, µε ανθυφαίρεση [1,6,6]. Ένα παράδειγµα προσέγγισης αρρήτου -αυτή τη φορά- από ρητό µπορούµε να πάρουµε από τον Διόφαντο ο οποίος προσεγγίζει εκ των άνω τον λόγο της δύναµης α του 3 προς το µοναδιαίο µήκος α, ο οποίος είναι γνωστό πως έχει άπειρη ανθυφαίρεση [1,1,2,1,2,1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2,...], µε τον λόγο 26/15 µε ανθυφαίρεση [1, 1, 2, 1, 3] = [1,1,2,1,2,1]. Περισσότερα παραδείγµατα ο αναγνώστης µπορεί να βρει στα [Νεγρεπόντης] και [Fowler, 1999, Κεφ. 2]. Για την περίπτωση των πλευρικών-διαµετρικών αριθµών που µας ενδιαφέρει, όλα τα παραπάνω συνοψίζονται στην ακόλουθη Πρόταση, η απόδειξη της οποίας βασίζεται στη µαθηµατική επαγωγή (που όπως έχουµε παρατηρήσει, γνώριζαν οι Πυθαγόρειοι).

20 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή 11 Πριν προχωρήσουµε στην διατύπωση και απόδειξη της Πρότασης αυτής, ας αναφέρουµε πως το άπειρο ανθυφαιρετικό ανάπτυγµα του 2, ή αλλιώς της διαµέτρου προς πλευρά τετραγώνου, είναι το εξής: Anth(x, y) = [1, 2,..., 2,...], όπου x και y, διάµετρος και πλευρά αντιστοίχως. Πρόταση. Για (x n, y n ) διπλή ακολουθία διαµετρικών και πλευρικών αριθ- µών και x n, y n σχετικώς πρώτους: για n = 1, 2,... Anth(x n, y n ) = [1, 2,..., 2], } {{ } n-1 times Απόδειξη (µε µαθηµατική επαγωγή). Η Πρόταση είναι αληθής για n = 1, 2, 3, 4, µε απ ευθείας επαλήθευση. Έστω ότι ισχύει για n και θα αποδείξουµε ότι ισχύει για n + 1: Anth(x n, y n ) = [1, 2,..., 2], } {{ } n-1 times και x n, y n σχετικώς πρώτοι. Έπεται ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί γ 1,..., γ n 1 ώστε x n < y n < γ 1 <... < γ n 1 = 1 (καθώς x n, y n σχετικώς πρώτοι) και, x n = 1 y n + γ 1 y n = 2 γ 1 + γ 2,... x n 2 = 2 x n 1. (2.6) Τότε, Anth(y n, γ 1 ) = [2,..., 2] } {{ } n-1 times και οι y n, γ 1 είναι σχετικώς πρώτοι. Τροποποιούµε τώρα αυτή την ανθυφαίρεση κατάλληλα ως προς τα δύο πρώτα βήµατά της µε τον ακόλουθο τρόπο: α 1 = 1 α 2 + x n (2.7) α 2 = 2 x n + γ 1. (2.8)

21 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή 12 Τότε, Anth(α 1, α 2 ) = [1, 2,..., 2] } {{ } n times και οι α 1, α 2 είναι σχετικώς πρώτοι. Όµως προφανώς, γ 1 = y n x n, από την (2.6) α 2 = 2 y n + γ 1 = 2 y n + (y n x n ) = y n + x n = y n+1, από την (2.8) και α 1 = α 2 + y n = (y n + x n ) + y n = 2 y n + x n = x n+1, από την (2.7). Αποδείχθηκε δηλαδή, πως η ακολουθία των πηλίκων της ανθυφαίρεσης του n-οστού ζεύγους y n, x n, είναι αρχικό τµήµα της άπειρης ακολουθίας των πηλίκων της ανθυφαίρεσης διαµέτρου προς πλευρά τετραγώνου. 2.3 Αρχιµήδης Για τη µελέτη µας, θα εστιάσουµε σε δύο προβλήµατα από το σύνολο των γνωστών σωζόµενων έργων του Αρχιµήδη υποστηρίζοντας το επιχείρηµα πως ο Αρχιµηδης ενδιαφερόταν για την εξίσωση Pell (και γενικότερα εξισώσεις της µορφής x 2 = Dy 2 ± k, µε D, k θετικούς ακεραίους) και πως πιθανώς είχε κάποια επίγνωση της δοµής του συνόλου λύσεών τους. Το πρώτο, είναι το διάσηµο βοεικό πρόβληµα που εντοπίζεται σε ένα Ελληνικό επίγραµµα 22 διστίχων που ήρθε στο φως από τον λογοτέχνη και βιβλιοθηκάριο της βιβλιοθήκης του Wolfenbüter, Go hold Ephraim Lessing το Στο χειρόγραφο όπου το βοεικό πρόβληµα περιέχεται, δίνεται η πληροφορία πως επρόκειτο για ένα πρόβληµα που ο Αρχιµήδης απηύθηνε στους µαθηµατικούς της Αλεξάνδρειας. Το βοεικό πρόβληµα οδηγεί σε µια ειδική περίπτωση της εξίσωσης Pell και συγκεκριµένα στην: x y 2 = 1. Δεύτερον, στο έργο του Κύκλου Μέτρησις ο Αρχιµήδης αποδεικνύει πως η περιφέρεια ενός κύκλου είναι µικρότερη από 3 1 φορές τη διάµετρο αλλά µεγαλύτερη από 3 10 φορές: 7 71 Παντὸς κύκλου ἡ περίµετρος τῆς διαµέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ ἔτι ὑπερέχει ἐλάσσονι µὲν ἢ ἑβδόµῳ µέρει τῆς διαµέτρου, µείζονι δὲ ἢ δέκα ἑβδοµηκοστοµόνοις. (1,140,9-11)

22 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή 13 Προς απόδειξη αυτού, ξεκινά µε ένα ορθογώνιο τρίγωνο µε τη µία οξεία γωνία να µετρά 30 και για το οποίο ισχυρίζεται πως ο λόγος των δύο κάθετων πλευρών (έστω w : e) είναι µεταξύ των ορίων 265 : 153 και 1351 : 780. Είναι προφανές πως εάν η βρίσκεται απέναντι από τη γωνία 30, η υποτείνουσα θα είναι 2e και πως w = (2e) 2 e 2 = 3e 2. Εποµένως αυτό που ουσιαστικά ο Αρχιµήδης ήθελε να υπολογίσει βρίσκοντας τα παραπάνω όρια ήταν ρητές προσεγγίσεις του αρρήτου w e = 3. Το ερώτηµα που τίθεται είναι πώς ο Αρχιµήδης απέδειξε τα όρια αυτά; Ο Ευτόκιος, στα σχόλιά του για το Κύκλου Μέτρησις ( ), θέλοντας να επαληθεύσει την εγκυρότητα των άνωθι προσεγγίσεων του Αρχιµήδη για το 3 παραθέτει απλώς τις ταυτότητες: = = Βάσει αυτού, θα µπορούσαµε µε κάποια ασφάλεια να υποθέσουµε πως ο Αρχιµήδης γνώριζε πως τα ζευγάρια (265, 153) και (1351, 780) των λόγων του ικανοποιούν τις εξισώσεις: x 2 = 3y 2 2 (2.9) x 2 = 3y (2.10) και πως είχε στα χέρια του κάποια µέθοδο εύρεσης ζευγών λύσεων που να τις ικανοποιούν. Στο σηµείο αυτό, ας ανοίξουµε µια παρένθεση στην πορεία σκέψης µας για να κάνουµε εναν συσχετισµό που θα µας χρειαστεί µόλις παρακάτω: Η επίλυση της εξίσωσης Pell για D = 2 από τους Πυθαγορείους βασίστηκε στην ταυτότητα (2.3) η οποία προήλθε από την ΙΙ.10 όπως έχουµε αναφέρει. Με παρόµοιο σκεπτικό, µε χρήση των αναδρο- µικών τύπων x n+1 = 2x n + 3y n y n+1 = x n + 2y n, (2.11) και βασιζόµενοι αυτή τη φορά στην ταυτότητα (2y n + 3x n ) 2 + 3(x n ) 2 = (y n ) 2 + 3(x n + 2y n ) 2, (2.12) οδηγούµαστε σε επίλυση της εξίσωσης Pell για D = 3.

23 Κεφάλαιο 2. Αρχαία Εποχή 14 Οι ταυτότητες (2.3) και (2.12) είναι και οι δύο ειδικές περιπτώσεις µιας γενικότερης πολύ σηµαντικής ταυτότητας, που θα µας απασχολήσει και στα επόµενα κεφάλαια, της (x 1 x 2 ± Dy 1 y 2 ) 2 = D(x 1 y 2 ± x 2 y 1 ) 2 + (x 2 1 Dy 2 1)(x 2 2 Dy 2 2). (2.13) Γυρνώντας στον Αρχιµήδη, ιστορικοί των µαθηµατικών όπως ο Toepli, o Tannery και ο Μüller, παραθέτουν κάποιες ενδιαφέρουσες εικασίες [van der Waerden, 1983] για το πώς ο Αρχιµήδης βρήκε τις προσεγγίσεις του, οι οποίες όλες οδηγούν στην προαναφερθείσα ταυτότητα (2.13).

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εὐκλείδεια Γεωµετρία

Εὐκλείδεια Γεωµετρία Εὐκλείδεια Γεωµετρία Φθινοπωρινὸ Εξάµηνο 010 Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Μάθηµα 9 ευτέρα 18-10-010 Συνοπτικὴ περιγραφή Υπενθύµιση τοῦ Θεωρήµατος τοῦ Θαλῆ. εῖτε καὶ ἐδάφιο 7.7 τοῦ σχολικοῦ ϐιβλίου. Τονίσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Η παιδαγωγική διάσταση των πολλών τρόπων επίλυσης ενός προβλήµατος ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Μία χαρακτηριστική ιδιότητα των Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο Σηµειώσεις Προετοιµασίας για Μαθηµατικούς ιαγωνισµούς Ασκήσεις Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Νοέµβριος 2012 1 Ασκησεις στη Θεωρια Αριθµων 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία

1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία 1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Η δική µας Εικασία Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν να διχοτοµούν µια τυχαία γωνία µε χρήση κανόνα και διαβήτη, και, κατά συνέπεια, µπορούσαν να διαιρέσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Q = (2 3 5... P) + 1.

Q = (2 3 5... P) + 1. Η ΑΠΟΛΟΓΙΑ ΕΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ G.H. Hardy ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ Η Η ΦΑΝΕΡΟ ότι, αν θέλουµε να έχουµε οποιαδήποτε πιθανότητα να προχωρήσει η συζήτηση, οφείλω να δώσω παραδείγµατα «πραγµατικών» µαθηµατικών θεωρηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 14.03.12 Χ. Χαραλάμπους Πριν: Σύμφωνα με την πυθαγόρεια αντιμετώπιση η διαγώνιος και η ακμή τετραγώνου δεν είναι συγκρίσιμα. Ορισμός Ευδόξου: δύο μεγέθη σχηματίζουν λόγο όταν (ακέραιο)

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

1 Dodecaeder 3 7 5 11 9. 2 12 4 10 6. 8 Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Dodecaeder Copyright 1998-2005 Gijs Korthals

Διαβάστε περισσότερα

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της.

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να σχηµατίσετε τις γεωµετρικές προόδους µε: α) α 1 = 5 και λ = 3 2 1 β) α 1 = και λ = 3 1 γ) α 1 = - 20 και λ = 2 2. * Ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στους αριθµούς 2, 16,

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ;

Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ; 1 Ισοδύναµες εξισώσεις και η έννοια του «κοντά» ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-thedrpuls.gr Εισαγωγή Στην εργασία αυτή αναλύονται και αναπτύσσονται οι έννοιες που

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 234 Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Απαντήσεις στις ερωτήσεις «Σωστό - Λάθος» 1. Λ 17. Σ 32. Σ 47. Σ 62. Σ 2. Σ 18. Σ 33. Λ 48. Λ 63. Σ 3. Λ 19. Λ 34. Σ 49. Σ 64. Λ 4.

Διαβάστε περισσότερα

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή.

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Παρατηρούµε ότι: 1 11 ( + = 1 ) 1+ = ( + 1) 1 3 33 ( + + + = 1 ) Ποιο νοµίζετε ότι θα είναι το άθροισµα 1 + + 3 +... + ν; Αποδείξτε την ισότητα που συµπεράνατε µε επαγωγή.. * Μετράµε

Διαβάστε περισσότερα

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο 1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα