KOSMOLOGIAREN HISTORIA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "KOSMOLOGIAREN HISTORIA"

Transcript

1 KOSMOLOGIAREN HISTORIA Historian zehar teoria asko garatu dira unibertsoa azaltzeko. Kultura bakoitzak bere eredua garatu du, unibertsoaren hasiera eta egitura azaltzeko. Teoria hauek zientziaren aurrerapenekin aldatu egin dira, datu berriekin bat etortzeko. Baina unibertsoaren ereduak gehienetan filosofia eta erlijioarekin lotuta egon dira. Lehengo kulturetan unibertsoaren ideia Lurrarekin bat zetorren, zibilizazio horien bidaiatzeko ahalmena txikia zelako eta, horrexegatik, haien munduko mugak oso txikiak zirelako. Honela, Lurreko bizilekua gutxi gorabehera lautzat hartuta, unibertsoa laua zela uste izan zuten. Unibertso hori, batzuen ustez, infinitua zen eta beste batzuen iritziz mugatuta zegoen (itsasoarekin, mendi altuekin eta abarrekin,..). Eredu hauetan erlijioak garrantzi handia zeukan, eta erlijio bakoitzak bere unibertsoa zeukan, zegokion mitologiarekin. 1. Irudia. Mileto-ko ANAXIMANDROren unibertso zilindrikoa. Greziarren garaietan teoria batzuk sortu ziren unibertso lauaren kontra. Mileto-ko ANAXIMANDRO ( Kristoren aurretik) unibertso zilindriko baten alde azaldu zen. Gero ARISTOTELESek ( K.a.) unibertso esferiko bat defendatu zuen, fenomeno batzutan oinarrituta. Itsasontziak itsasotik urruntzean, desagertzen zen lehenengo gauza kaskoa zen. Hau norabide guztietan gertatzen zen, orduan kurbadura berbera egon behar zen norabide guztietan. Gainera ilargi-eklipseetan agertzen zen itzala azaltzeko, Lur esferikoa behar zen. Unibertsoaren mugak handituz joan ziren, eta behin Lurraren esferikotasuna onartua izan zenean, teoria batzuk garatu ziren, Lurra unibertso erdian kokaturik. Hemen ere erlijioa eta filosofia agertzen dira, homozentrismo-ideiarekin. Homozentrismoan gizakia unibertsoaren erdian dago kokatuta, eta unibertsoaren gauzarik garrantzitsuena bihurtzen da. 1

2 Teoria hauetako batek Lurra eta ilargia jartzen zituen esfera baten erdian, eta esferaren gainazalean izar finkoak zeuden. Eguzkia, ilargia bezala, biraka zebilen esferaren barruan orbita zirkularretan. Beste teoria bat PTOLOMEOrena ( K.o.) izan zen. Teoria honek garrantzi handia eduki zuen, bosgarren mendetik hamabosgarrenera iraun baitzuen. Eredu honetan ere, Lurra unibertsoaren erdian zegoen, eta ilargia eta eguzkia biraka zebiltzan orbita zirkularretan. Baina planeten aurkikuntzak, horien agerpena ereduan zehaztera behartu zuen. Horrexegatik, zeruan zeukaten ibilbidea azaltzeko, eta Lurra unibertsoaren erdian aldi berean azaltzeko, orbita epizikloidalak erabili ziren. 2. Irudia. PTOLOMEOren eredua. Planeten ibilbideak ez zeuden oso ondo azalduta PTOLOMEOren ereduan, eta horrexegatik behar izan zen beste teoria bat. COPERNICO ( ) izan zen teoria berri hori garatu zuena. Teoria horretan eguzkia unibertsoaren erdian kokatzen zen eta planetak biraka higitzen ziren orbita zirkularretan. Eredua garatzeko, printzipio batean oinarritu zen. Berarentzat Lurra ez dago unibertsoaren leku berezi batean. Honi Copernico-ren printzipioa deritzo. Ikus dezakegunez, eredu hau izugarrizko aurrerapena izan zen momentu haietan. Datu zientifikoak ondo interpretatzeko, homozentrismoa alde batean uzten zen, datu enpirikoak subjektibotasunaren gainean nagusituz. Baina COPERNICOren lanak ez ziren kontutan hartu, eta ahaztuta geratu ziren. Orduan TYCHO BRAHEk ( ) beste eredu bat plazaratu zuen. Lurra unibertsoaren erdian jarri zuen, homozentrismoaren ideia berriro erabiliz. Ilargia eta eguzkia biraka zebiltzan orbita zirkularretan Lurraren inguruan. Eredu honen aldaketa nagusia planeten orbitetan zegoen. Planetak eguzkiaren inguruan zebiltzan orbita zirkularretan, ezagunak ziren planeten orbitekin egokitzeko. 2

3 3. Irudia. PTOLOMEOren eredua. 3

4 4. Irudia. COPERNICO, TYCHO BRAHE eta PTOLOMEOren ereduak. 4

5 Geroxeago COPERNICOren lanak ahaztuta zeudenez, GALILEO GALILEI ( ) izan zen lan horiek berriro azaldu zituena. Teoria hau zabaltzeagatik arazoak eduki zituen inkisizioarekin, elizak pentsaera hori ez baitzuen onartzen. Beste aldetik, GALILEOk urtean teleskopioaren ideia garatu zuen. Gertaera hau oso inportantea izan zen, hortik aurrera teleskopioak gaueko zerua hobeto aztertzeko erabiltzen hasi zirelako. Baina aurreko eredu guztiak ez ziren guztiz onak, planeten ibilbideak aurresanekin bat ez zetozen eta. TYCHO BRAHEk planeten posizioak neurtu zituen zehaztasun handiz. Gero JOHANNES KEPLERek ( ), Tycho-ren dizipulua zenak, datu horiek eta berak lorturikoak erabili zituen Kepler-en lege famatuak ateratzeko. Lege horiek ondoko baieztapenak egiten zituzten: batetik, planetek orbita eliptikoak zeuzkatela, orbitaren foku bat eguzkian egonik, bestetik, planetaren eguzkiarekiko erradio bektoreak azalera berdinak estaltzen zituela denbora berdinetan, eta, azkenez, orbita egiteko behar zen periodoaren karratuak orbitako ardatzerdi handien hirugarren berreduraren proportzionalak zirela. Geroxeago ISAAC NEWTONek ( ) grabitazioaren teoria garatu zuen, eta bere mekanika aplikatuz, Kepler-en legeak frogatu zituen matematikoki. NEWTONen unibertsoa infinitua zen, infinitu izarrekin uniformeki banatuta. Materia, espazioa eta denbora guztiz independenteak ziren eredu horretan, eta bertan erabiltzen zen geometria euklidearra zen. Baina W. OLBERSek ( ) bere paradoxa atera zuen espazio infinituaren eta izar-kopuru infinituaren kontra. Paradoxa hau aplikatzean, unibertsoa geruza esferikoetan zatitzen da. 5. Irudia. OLBERSen paradoxa. Geruza hauetan izar-kopurua r 2 -ren proportzioan hazten da distantzia handitzean. Baina izarren argiaren intentsitatea 1/r 2 -ren proportzionala da distantzia handitzean. Orduan konturatzen gara geruza bakoitzetik hartzen dugun intentsitatea berbera dela eta, infinitu geruza daudenez, argiaren 5

6 intentsitatea infinitua izan behar dela. Hola izanik, Lurrean neurtuko genukeen intentsitatea, berbera izango litzateke egunez eta gauez, simetria esferikoa baitago. Hori ez zen gertatzen, eta horregatik eredua txarto zegoela ondorioztatu zuen. Hurrengo aurrerapena urtean izan zen JOHANN CHRISTIAN DOPPLERek ( ) bere izena duen efektua azaldu zuenean. Doppler efektua, uhinetan agertzen da uhinaren iturria eta behatzailea erlatiboki higitzen badira. Behatzailea eta iturria hurbiltzen direnean, uhinluzera txikiagoa da, eta urruntzen direnean, handiagoa. Argiaren kasuan, garrantzitsuena guretzat, hurbiltzean more kolorerantz lerratzen da espektroa eta urruntzean gorrirantz. Efektu hau oso inportantea zen espektroen lerroak kontutan hartzen baziren. Espektroen lerroak urtean WILLIAM HYDE WOLLASTONek ( ) aurkitu zituen. Baina JOSEPH FRAUNHOFER ( ) izan zen urtean aztertu zituena. 6. Irudia. Argi-izpi baten espektroa. Izar baten argia prisma batetik pasatzean, difrakzioagatik banatzen da, uhin-luzeraren arabera. Horrela, espektro jarraian lerro beltz batzuk daude. Horiek dira espektroen lerroak eta izar guztien argian daude (eguzkikoei Fraunhofer lerroak deritze). Lerro hauen zergatikoa geroxeago aurkitu zen. Izar guztien koroan (izarren geruza bat) elementu kimikoak daude. Elementu hauek uhinluzera konkretuko argia xurgatzen dute, prozesua kuantizatuta baitago. Gero norabide guztietan difunditu egiten dute xurgatutako energia, eta horrexegatik espektroa oso ahulduta agertzen da lerro hauetan. Lerro bakoitza elementu desberdin bateko absortzio-lerroa da. Dena den, Doppler efektua urtean aplikatu zen espektro-lerroen ikerkuntzan. Izar batzuen lerroak oso mugituta agertzen ziren espektroan, eta hori azaltzeko Doppler efektua erabili zen. Lerroak gorrirantz lerratuta badaude, izarra urruntzen ari delako da, eta lerrakuntzaren bidez izarrak Lurrarekiko duen abiadura erradiala kalkula dezakegu. Berriz, lerroak morerantz lerratuta badaude, orduan izarra hurbiltzen ari delako da. Guzti hau oso erabilgarria izan zen, hurbileko 6

7 izarren abiadura kalkulatzeko, baina teleskopioak oso onak ez zirenez, urrunekoak ezin ziren kalkulatu. Aurrerago, neurketa-tresnen hobekuntzak gauzak aldatu egin zituen. 7. Irudia. Fraunhofer-en lerroak. Beharbada, XX. mendean zientzien artean gehien aurreratu dena, Fisika izan da. Arlo guztietan, aurkikuntzek eta teoria berriek aldaketa ugari ekarri dute. Esate baterako, ALBERT EINSTEINen ( ) Erlatibitate Teoriek ordura arte finkatuta zegoen mekanikaren kontzepzioa hankaz gora jarri zuten, izugarrizko aldaketak ekarriz. Beste aldetik, teoria kuantikoak, ziurgabetasun-printzipioa tartean zela, mundua ulertzeko era aldatu zuen, neurketen mugak erakutsiz. Aipaturiko hauek bi adibide konkretu dira, baina aldaketa gehiago gertatu dira eta, horrexegatik, gaur ezagutzen dugun Fisika eta XIX mendean ezagutzen zena, nahiko desberdinak dira. Aldaketa hauen ondorioz, Kosmologia ere asko aldatu da XX. mendean zehar. Hori oso erraz azal dezakegu, bere teoriak eta ereduak azaltzeko, Kosmologiak Fisikaren arlo guztietako teoriak behar baititu. XIX. mendearen bukaeran zegoen unibertsoaren eredua, NEWTONen Mekanikan oinarrituta zegoen. Eredu honetan unibertsoa infinitua eta uniformea zen (distantzia handietan). Uniformetasunaz hitz egitean, Printzipio Kosmologikoa betetzen dela esan nahi dugu. Printzipio Kosmologikoak ondokoa dio: «momentu konkretu batean unibertsoa berdin ikusten da bi puntu desberdinetatik». Honek dakartzan ondorioak, isotropia eta homogenotasuna dira. Printzipio hau hipotesi bat da, baina beraren kontrako frogarik ez dagoenez, horrela onartzen da. Hipotesi hau COPERNICOren garaietatik ezaguna zen, Copernico-ren printzipioa honen baliokidea baita. Dena den, gaur eguneko izena EDWARD ARTHUR MILNEk ( ) asmatu zuen. Beste aldetik, ez zegoen batere garbi, unibertsoak hasierarik eduki behar zuen ala ez. Kosmologo batzuk unibertso eterno baten alde azaldu ziren: zergatik egon behar zen momentu berezi bat zeinean unibertsoa sortu zen? Beste batzuen ustez, hasiera beharrezkoa zen, beraien 7

8 sinesmenak edo ideologiak hori eskatzen baitzien. Baina hasieraren arazoa metafisikaren arlokoa zen, behatzen ziren fenomeno guztiak teoria biekin ados zeudelako. Eredu honen beste ezaugarria, geldikorra izatearena zen. Gauzen aldaezintasunaren pentsaera nagusi zen garai hartan. Horrexegatik beraiek pentsatzen zutena hauxe zen: unibertsoa beti izan da holakoa, edo, hasiera beharrezkoa bazen, unibertsoa ikusten den modukoa izan zen sortu zenean. Baina izatez, unibertso geldikorra oso ezegonkorra da, indar grabitatorioa soilik dagoelako eta hau erakarlea delako. Hau da, perturbaziorik txikienak higidura sortuko luke. Honetaz asko hitz egin zen. Hala eta guztiz ere, beste arazo bat zegoen, Olbers-en paradoxa. Batzuk materia-hodeiekin konpondu nahi izan zuten paradoxa. Izarren artean (garai hartan galaxiak ez ziren ezagunak) materia-hodeiak zeuden, gasez eta hautsez osotuta. Beraientzat hodei hauek erradiazioa gelditzen zuten, baina horrek ezin zuen konpondu arazoa. Materia erradiazioa hartzen egoten bada, helduko da momentu bat, zeinean tenperatura handia edukiko duen, eta orduan bera ere emititzen hasiko da. Azpimarratzekoa da, eredu honetan erabiltzen zen geometria Euklides-ena zela. Momentu horretara arte, eredu kosmologiko guztiak azaltzeko Newton-en Mekanika erabili zen. Baina urtean EINSTEINek bere Erlatibitate Bereziaren Teoria plazaratu zuenean, Mekanikaren oinarriak zeharo aldatu ziren. Dena den, abiadura txikietan gauzak berdin mantendu ziren, azken finean, abiadura txikien kasuan Newton-en Mekanika Erlatibitatearen Teoriaren hurbilketa baita. Einstein-en Erlatibitate Berezia bi postulatutan oinarritzen da. Horietariko batek, erlatibitate-printzipioak, ondokoa dio: «Sistema inertzial guztiak baliokideak dira lege fisikoak deskribatzeko» edota «lege fisiko guztiak modu berean adierazten dira sistema inertzial guztietan». Erlatibitate-printzipio honek jadanik Mekanikan erabiltzen zen Galileo-ren printzipioa orokortzen du Fisikaren arlo guztietarako, erreferentzi sistema pribilegiatuak (eterearena kasu) desagerraraziz. Bigarren postulatuak hurrengoa dio: «Argia espazio librean (hutsean) inertzi sistema batekiko duen abiadurak beti balio berbera du, c, argi-iturria eta sistema inertziala edozeintzu direlarik». Ordura arteko Mekanikan bi gertaeren arteko denbora-tarteak balio berbera zuen behatzaile guztientzat, hau da, denbora magnitude absolutua zen. Luzera eta masa ere magnitude absolutuak ziren. Erlatibitatearen teorian denborak eta espazioko hiru dimentsioek lau dimentsiotako espazioa osotzen dute. Hola denbora eta espazioko dimentsioak maila berean geratzen dira. Teoria honetan, ez denbora, ez masa, ez luzera, ez dira magnitude absolutuak. Magnitude absolututzat onartzen dena, argiaren abiadura da, eta honek muga bat ezartzen dio seinaleen eta gorputzen abiadurari. Beste aldetik, Erlatibitate Bereziaren Teoriaren ondorio garrantzitsua, masa eta energiaren arteko berdintasuna da. EINSTEINek masa eta energia lotu zituen, hain ezaguna den E = mc 2 formularen bidez. Berdintasun hau oso garrantzizkoa da unibertsoaren lehenengo garaiak 8

9 azaltzeko, geroago ikusiko dugunez. Honekin masaren eta energiaren kontserbazioaren printzipioak apurtu egiten dira gauza banatu modura, unibertsoan benetan kontserbatzen dena masa-energia baita. Modu honetan kontserbazioaren bi printzipioak, masarena eta energiarena, bateratu egin zituen. Erlatibitate Bereziaren Teorian erreferentzi sistema inertzialekin eta beraien arteko transformazioekin (Lorentz-en transformazioekin) egiten zen lan. Baina formulazio hori orokortu egin behar zen erreferentzi sistema guztietarako. Orokorpena urtean heldu zen, EINSTEINek Erlatibitate Orokorraren Teoria azaldu zuenean. Erlatibitate Orokorrean koordenatuen transformazio orokorrak kontutan hartzen ziren, sistema azeleratuen (hots, sistema ez-inertzialen) ikerketarako. Hola, eta masa inertzialaren eta masa grabitatorioaren baliokidetza-printzipioa onarturik, Newton-en grabitazioaren orokorpena lortu zen. 8. Irudia. Masaren eragina espazio-denboran. EINSTEINek bere Erlatibitate Orokorraren Teoria garatzeko, hiru axioma hartu zituen kontutan, hurrengoak alegia. Lehenengoa adierazpenen kobariantzian oinarritzen da, eta ondokoa dio: «Lege fisikoen adierazpenek ez dute espazio-denboraren koordenatuen menpekotasunik». Hau da, lege fisiko guztiak berdin adierazten dira edozein lekutan eta edozein momentutan egonik. Bigarren axioma baliokidetza-printzipioa deitzen da eta hauxe esaten du: «Inertzi indarrak grabitazioarenak bezalakoak dira». Beste hitzetan esanda, masa inertziala eta masa grabitazionala berdinak dira. Azkenez, hirugarrenak ondokoa dio: «Puntu baten inguruko espazio-denboraren propietate metrikoek alboko masa eta energiaren distribuzioaren menpekotasuna dute». Hau da, espazio-denborak kurbadura du eta kurbadura honek alboan dagoen masaren menpekotasuna du. 9

10 Grabitazioa espazio-denboraren kurbaduragatik sortzen da. Honelatan, ba, grabitazioaren teoria geometrikoa lortu zen. Eremu grabitatorioaren eraginpean argi-izpiek duten desbiderapena da, teoria honek duen ondorio ezagunenetarikoa. 9. Irudia. Argi-izpi baten desbiderapena, eremu grabitatorio batetik pasatzean. Teoria hauek oso garrantzitsuak izan dira mende honetako Kosmologiarako, eredu kosmologiko guztiak beraietan oinarritua baitaude. Beste aldetik, 1915.ean gure galaxia unibertso guztia zela onartzen zen, eta gainera, teleskopioez neurtzen ziren gorputzen abiadurak argiarena baino askoz txikiagoak eta aleatorioak ziren. Hola izanik, batezbesteko mugimendurik ez zegoenez, geldikortasunaren ideia nagusitu zen garai hartan. Izar batzuk jaiotzen ziren, beste batzuk hiltzen ziren, baina, orohar, galaxiaren itxura ez zen aldatzen. Kosmologia modernoaren lehenengo eredu garrantzitsua EINSTEINek berak garatu zuen urtean EINSTEINek, bere ekuazioak aplikatuz, unibertso osoaren geometria espaziodenborala azaldu nahi zuen. Horretarako, unibertsoan materia uniformeki banatuta zegoela suposatu zuen. Horrela, unibertsoaren dentsitatea konstantea zen. Berak aurkitu nahi zuen unibertsoa, homogeno, isotropo eta geldikorra zen. Jarrera honen zergatikoa urte horietan zegoen pentsaeratan datza. Hango ideia kosmologikoek unibertso geldikorra eskatzen zuten. Bere ekuazioen soluzioen artean ez zegoen horrelakorik eta horregatik bere ekuazioetan termino berri bat sartu zuen. Termino horri konstante kosmologikoa deritzo, eta EINSTEINen asmakizun bat bestenik ez zen. Ekuazioetan sartutako terminoak bosgarren indar baten agerpena zekarren. 10

11 Bosgarren indar honi aldaratzaile kosmikoa deitu zioten, eta soilik distantzia handietan agertzen zen, indar grabitatorioa konpentsatuz. Einstein-en unibertsoa geldikorra, itxia eta finitua zen, baina mugagabea. Finitua izanik, Olbers-en paradoxa gainditzen zuen. Beste aldetik, eternoa zen, ez hasierarik ez bukaerarik ez zeukalako. Unibertso honetan aldaketa handirik ez zegoen, dentsitatea konstante mantentzen zelako. Dentsitate honek unibertsoaren dimentsioak mugatzen zituen, kurbaduraren bitartez. Espazio-denbora azaltzeko RIEMANNen geometria erabiltzen zen. Espazio honetan FERMATen ( ) printzipioa aplikatuz, bi puntuen arteko ibilbiderik laburrena argi-izpi batek egingo zuena zen. Ibilbide hauei lerro geodesikoak deritze. Dena den, espazioaren kurbadurak ez zeukan eraginik denboran, espazioa eta denbora desberdintzen zirelako. Mendearen bigarren hamarkadaren bukaeran emisio eta absortzio-lerroen lerrakuntzaren ikerketa hobetu zen, teleskopio berriekin. Doppler efektua aplikatuz, nebulosen artean higidura zegoela ikusi zen. EINSTEINen ereduak ez zuen hori azaltzen, eta bertan behera geratu zen. WILLEM DE SITTERek ( ) EINSTEINen teoria modifikatuarekin beste soluzio bat atera zuen urtean. Bere eredua garatzeko, espazio-denbora hutsik zegoela suposatu zuen, hau da, unibertsoaren materiaren dentsitatea zero zela. Eredu hau isotropo, homogeno eta eternoa zen, gainera geldikorra zirudien, garai hartan zegoen pentsaerarekin bat etorriz. Teoria honek lerrakuntza azaltzen zuen. Baina lerrakuntzak unibertso aldakor baten beharra azaldu zuen. Hola, DE SITTERen eredua ez zen geldikorra esangura zehatzean, mugikorra baizik. Geldikorra zela ematen bazuen, koordenatuak hartutako eragatik zen. Horrexegatik hortik aurrera unibertsoaren eredu guztiak aldakorrak ziren, fenomeno hau azaltzeko. Baina teoria honek EINSTEINen ereduak bezala konstante kosmologikoa erabiltzen zuen. Konstantea EINSTEINen asmakizun bat zen, buruan zeukan eredua ekuazioetan agertzeko, eta ez emaitza zientifikoa. EINSTEINen esanetan, konstante kosmologikoaren erabilpena bere huts zientifiko handiena izan zen. Bestalde, normalean kontsideratzen da, EINSTEINen unibertsoan materia mugimendurik gabe zegoela, eta DE SITTERenean, berriz, mugimendua materiarik gabe. ALEXANDER FRIEDMANek ( ) beste teoria bat garatu zuen matematikoki urtean. Teoria horretan EINSTEINen ekuazioen benetako soluzio homogeno eta isotropoak aurkitu zituen. EINSTEINek soluzio bat bakarra baino ez zuen espero, baina bera ekuazioen soluziomultzo edo familia batekin lan egiten ibili zen. Multzo hori ateratzeko, unibertsoaren dentsitatea konstantea zela suposatu zuen. Soluzio bakoitzak unibertso desberdin bat definitzen zuen, eta horien artean EINSTEINena eta DE SITTERena zeuden. Ateratako unibertsoetatik, EINSTEINena soilik zen geldikorra, besteetan hedapena beti agertzen baitzen. Hedapena EINSTEINen ekuazioen barneko gauza bat da. Baina hedapenaz hitz 11

12 egiten ari denean, ez da esan nahi galaxiak mugitzen ari direla, espazioa zabaltzen ari dela baizik. Bestalde, FRIEDMANek EINSTEINen ekuazioetan konstante kosmologikoa mantendu zuen, baina balio guztiekin, zero balioa ere horien tartean egonik. Modu horretan, soluzio gehiago ere aurkitu ziren. FRIEDMANen ereduen artean hiru motatakoak dira garrantzitsuenak. Eredu-mota hauek espazioko kurbaduraren arabera sailkatzen dira. Kurbadura, momentu batean, unibertsoaren puntu guztietan berbera da, dentsitatea konstantea dela suposatu baita. Dena den, dentsitateak denboraren menpekotasuna eduki dezake. Ereduak ondoko multzoetan bana daitezke: kurbadura positibodunak, kurbadura negatibodunak eta zero kurbaduradunak. Eredu-mota bakoitzak bere berezitasunak ditu, jarraian azalduko denez. Unibertsoak zero kurbadura badu, orduan espazioa laua izango da. Espazio horretan EUKLIDEren ( K.a.) geometria erabiltzen da gauzak azaltzeko, eta lerro geodesikoak argi-izpien ibilbideak lerro zuzenak dira. Unibertso hau irekia da, hots, beti handitzen ari da. Baina beraren hedapen-abiadurak zerorantz jotzen du infinitura hurbiltzean. Unibertso honetan masa eta bolumena infinituak dira. Unibertsoak kurbadura negatiboa badu, orduan espazioa hiperbolikoa da. Hemen LOBATCHEWSKYren ( ) geometria erabiltzen da, eta lerro geodesikoak hiperbolak dira. Unibertso hau ere irekia da, beti handitzen ari delako, baina eredu honetan abiadura handiagoz hedatzen da. Eta, halaber, infinitua da, masa eta bolumena infinituak direlako. Kasu honetan masak kurbaduran duen eragina, txikiagoa da, eta grabitatearen eremua ahulagoa da espazioa makurtzeko. 10. Irudia. Hiru geometria unibertsoarentzat. 12

13 11. Irudia. Geometria bakoitzari dagokion unibertsoa. 12. Irudia. Hubble-ren legea beste eratan adierazita. 13

14 Unibertsoaren kurbadura positiboa bada, orduan espazioa esferikoa da. Espazio horretan RIEMANNen ( ) geometria aplikatzen da eta lerro geodesikoak zirkunferentziak dira. Unibertso hau, berriz, ez da irekia, itxia baizik. Hasieran handitu egiten da, baina momentu batean gelditu eta uzkurtzen hasten da, hasierako egoerarantz itzuliz. Kasu honetan masa eta bolumena ez dira infinituak, eta horrexegatik esaten da, unibertsoa finitua dela. Beste aldetik, eredu honetan masaren eragina nahikoa da, grabitatearen eraginez espazioa ixteko. Argi-izpia, nahiko denbora balu, bere iturrira itzuliko litzateke. Ikusi dugunez, ba, FRIEDMANen unibertsoak kurbaduraren arabera sailkatuta daude. Baina kurbadurak dentsitatearen menpekotasuna du. Hola, masaren dentsitatearekin sailkapen berbera egin dezakegu. Hedakuntza gelditzeko eta berriro uzkurtzeko behar den dentsitate txikienari, dentsitate kritikoa deritzo. Unibertso itxiaren dentsitatea dentsitate kritikoa baino handiagoa da, edo berdina. Kasu honetan masak unibertsoaren espazioa makurrarazten du. Grabitatearen eraginez, unibertsoaren hedapena gelditu egiten da une batez, eta hortik aurrera uzkurdura gertatzen da. Unibertso irekietan dentsitatea dentsitate kritikoa baino txikiagoa da, eta masak ezin du unibertsoa makurrarazi, ixteko. Modu horretan, ez dago grabitazio-indar nahikorik hedapena geldiarazteko. 13. Irudia. Birkhoff-en teorema. Gure unibertsoaren dentsitate kritikoa kalkulatzeko bide batzuk daude. Hauetariko bat urtean BIRKHOFFek garatutako teorema erabiltzean datza. Teorema honek balioa dauka bai NEWTONen eta bai EINSTEINen grabitazioan ere. BIRKHOFFen teorema aplikatzeko, simetria 14

15 esferikoa egon behar da. Teorema honek ondokoa dio: «A galaxiatik B galaxiaren higidura kalkulatzeko, bakarrik kontutan hartu behar dugu A galaxian zentratuta dagoen AB erradiodun esferaren barruan dagoen masa». Hola, Doppler efektua eta aurrerago ikusiko dugun Hubble-ren legea aplikatuz, galaxiaren abiadura kalkula daiteke. Abiadura hau eta esferaren barruko masan dagokion ihes egiteko abiadura berdinduz, dentsitate kritikoa atera daiteke. Gaur egun ezagunak diren datuen arabera, dentsitate honen balioa 5 x g/cm 3 da. Hau da, batez beste hidrogenoren hiru atomo egon behar dira mila litrotako eskualde batean, hedakuntza geldiarazteko eta unibertsoa itxia eta finitua izateko. GEORGES LEMAITREk ( ) urtean FRIEDMANen bezalako lan bat plazaratu zuen. Esan beharra dago, LEMAITREk ez zituela ezagutzen FRIEDMANen lanak. Matematikoki ere atera zituen bere emaitzak EINSTEINen ekuazioetatik. Unibertsoaren hasierako momentuetan oso egoera dentsoan egon zela proposatu zuen lehenengo aldiz, eta hasierako egoera horri arrautza kosmikoa deitu zion. Berarentzat arrautza kosmikoa nukleo erradioaktiboak bezala lehertu zen. Horrela, atomoak goitik behera sortu ziren, hau da, desintegrazioaren bitartez, elementu astunak elementu arin bihurtuz joan ziren. Baina honek ez zuen ondo azaltzen, unibertsoan dagoen hidrogenoaren proportzio handia (% 75 inguru). Geroxeago, urtean, ARTHUR STANLEY EDDINGTONek ( ) LEMAITREren lanak zabaldu zituen fisikarien artean. 14. Irudia. Hubble-k eginiko grafikoa, bere legea ateratzeko. 15

16 Teleskopioak asmatu izan zirenetik, hobetuz joan ziren, eta honekin lotuta gauza berri asko aurkitu ziren urtean EDWIN HUBBLEk ( ) Mount Wilson-eko teleskopio berri batekin izarrak ikusi zituen Andromeda nebulosan. Hola gauza bat frogatu zen, gure galaxia ez zela unibertsoko galaxia bakarra eta beste batzuk ere ba zeudela. Teleskopio berberarekin lan egiten jarraitu zuen galaxia askoren izarrak aztertuz. HUBBLEk Doppler efektua aplikatu zuen izar hauen azterketarako, momentu horretara arte, berriz, hurbileko izarren ikerketarako erabiltzen baitzen. Modu honetan, urtean HUBBLEk galaxien gorriranzko lerrakuntza eta beraien distantziaren arteko erlazioa azaldu zuen. Galaxiek zenbat eta urrunago hainbat eta lerrakuntza handiagoa zuten. Beraz, galaxia baten abiadura erlatiboa aldenduriko distantziaren proportzionala zen. 15. Irudia urtean eginiko grafikoa, datu gehiagorekin. Guzti hau ateratzeko, izar batzuk erabili zituen galaxien distantziak jakiteko, Cefeidak alegia. Cefeidak izar aldakorrak (pultsanteak) dira, beraien argitasuna periodikoki aldatzen baita. Periodo honek izarraren masaren menpekotasuna du. Behin masa jakinda, kalkulatu egin daiteke argitasun absolutua, hau da, izarrak norabide guztietara igortzen duen intentsitate guztia. Argitasun absolutuarekin eta itxurazko argitasunarekin, Lurrean neurtzen duguna, izarraren distantzia kalkula dezakegu. Era honetan ezarri zen distantzia kosmikoen eskala. 16

17 16. Irudia. Distantzia desberdinen araberako lerrakuntzak. Hubble-ren legearekin unibertsoan galaxiak mugitzen zirela ikusi zen. Beraz, unibertsoan materiaren fluxu bat zegoela frogatu zen honela, eta hasierako leherketa baten beharra, atzerantz joango bagina galaxiak gero eta hurbilago egongo bailirateke. Kontutan hartu behar zen, leherketaren zentroa galaxia guztietan zegoela, Hubble-ren legea printzipio kosmologikoarekin lotuta baitzegoen. Printzipio kosmologikoa betetzen bazen, derrigorrez bete behar zen Hubble-ren legea. Hau da, galaxia batetik besteak mugitzen ikusten baziren, beste galaxia batetik mugimendu berbera ikusi behar zen. Adibide bat jarriko dugu: lerro batean A, B, eta C galaxiak ditugu distantzia berberaz tartekaturik. A-tik B galaxia v abiaduraz urruntzen dela ikusten da. Homogenotasunagatik B-tik C galaxia ere v abiaduraz urrundu behar da. Horrela, A-tik C galaxia 2v abiaduraz urruntzen dela ikusten da. Guzti hau edozein galaxiarekin egin daiteke. Hubble-ren legeak printzipio kosmologikoa konfirmatzen du. Baina, noski, printzipio honek ez du balio distantzia txikietan, soilik 100 milioi argi-urtetik gora baino, hots, galaxia-kumuluen arteko distantzietatik gora. 17

18 Hubble-ren legeak adierazpen matematikoa du, ondokoa alegia, V = HR, non V eta R galaxien arteko abiadura erlatiboa eta distantzia diren, eta H delakoa Hubbleren konstantea. Konstante honek denboraren menpekotasuna du, baina momentu konkretu batean balio berbera du galaxia guztientzat. Leherketaren teoria onartzen bada, H gero eta txikiagoa izan behar da, indar grabitatorioak, galaxien artean dagoen indar bakarra, galaxiak geldiarazten baititu. Goiko formula ikusita, eta gorputzen dinamika kontutan hartuta, ondokoa atera dezakegu: V R = = VT. H Hubble-ren konstantearen alderantzizkoari, T delakoari, hedapenaren denbora karakteristikoa deritzo, eta unibertsoaren adina mugatzen du. Atzerantz joaten bagara, leherketaren teoriak esaten duenez, galaxien abiadura gero eta handiagoa izan behar da. Orduan, unibertsoaren adina hedapenaren denbora karakteristikoa baino txikiagoa da. Eredu kosmologikoen garapenerako H-ren balioa oso inportantea izan da historikoki. 30. eta 40. hamarkadetan H-ren balioa (170 km s -1 )/(10 6 argi-urte) ingurukoa zela uste zen. Balio honekin hedapenaren denbora karakteristikoa 2000 milioi urte ateratzen zen gutxi gorabehera. Ondorioz, unibertsoaren adina denbora hori baino txikiagoa izan behar zen. Baina arazo bat zegoen, geologoen ustez Lurrak 4600 milioi urte baitzeuzkan. Horregatik, ereduan zerbait txarto zegoela hasi ziren pentsatzen. Hubble-ren legea Einstein-en Erlatibitate Bereziarekin lotuz, beste ondorio bat atera dezakegu. Galaxia bat ezin da mugitu argiaren abiadura baino abiadura handiagoz, beraz, ikusten dugun unibertsoan muga bat dago. Muga hori oso erraz kalkula daiteke aurreko ekuazioetatik, c = HR eginik, eta horrela, mugaren balioa R = c H 18

19 izango da. Muga hau baino urrunago dauden puntuetako argia ez zaigu heltzen. Muga honekin Olbers-en paradoxa gaindituta geratzen zen. Nahiz eta unibertsoa infinitua izan, ikusten dugun unibertsoa finitua da, unibertsoaren zati bat besterik ez baitugu ikusten. Hubble-ren legeak hasierako leherketaren beharra erakusten zuen, baina unibertsoaren adinaren arazoak zalantzan jartzen zuen guztia. Hala eta guztiz ere, gauza bat argi zegoen, Hubble-ren legea onartuz gero eredu geldikorrak baztertuta geratzen zirela. HOWARD ROBERTSONek eta ARTHUR WALKERek urtean metrika berezia definitu zuten. Metrikak unibertsoaren adierazpenak azaltzeko erabiltzen dira. Metrika garatzeko kurbadura unibertso osoan uniformea zela suposatzen zen. Gainera, denbora kosmikoa berbera zen unibertsoaren hedapenarekin hedatzen ari diren behatzaileentzako. Hau da, espazioko hiru dimentsioak eta denbora independenteak dira. Hemen lerro geodesikoak argiaren ibilbideak dira. EINSTEINen ekuazioak ROBERTSON-WALKERen metrikaz askatzen badira, agertzen diren unibertsoak homogeno eta isotropoak dira urtean GEORGE GAMOWek ( ) hasierako leherketaren teoria hobetu zuen, eta ospetsua egin zuen benetan. Eredu horri Leherketa Handia deritzo, FRED HOYLEk asmatutako izena erabiliz (ingelesez, Big Bang). Eredu honetan GAMOWek elementu arinen ugaritasuna azaldu zuen, eta hondo-erradiazioaren fenomenoa aurresan zuen. Elementuen ugaritasuna azaltzeko, hasierako unibertsoa salda bezalako gauza bat zela suposatu zuen. Salda hori neutroiz eta fotoiz osotuta zegoen eta oso tenperatura eta dentsitate handiak zeuzkan. Neutroiaren desintegrazioaren bitartez (neutroiaren batezbesteko bizitza 13 minututakoa da), protoiak eta elektroiak sortzen hasi ziren, honako erreakzioaren bidez: n p + e + ν e Sortutako protoiak saldako neutroiekin lotzen ziren, elementuen nukleoak osotuz. Baina hola, hidrogeno eta helio nukleoak sortzen ziren soilik. Beste elementuak sortzeko, baldintza egokiak egon behar ziren, eta hasierako momentuan ez zeuden. Hidrogenoari eta helioari elementu arinak deitu ohi zaie; beste elementuei, aldiz, elementu astunak. Hedapenarekin tenperatura jaitsi egin zen, eta 3000 kelvin ingurukoa zenean, nukleoek elektroiak harrapatu zituzten. Horri birkonbinaketaren garaia deritzo. Teoria honekin elementu arinen sorrera nahiko ondo azaltzen zen, momentu horietan ezagutzen ziren unibertsoaren elementuen portzentajeekin nahiko ados baitzegoen. Garai hartan hidrogenoak eta helioak unibertsoaren % 99 osotzen zutela uste zen. 19

20 Arazo honen azalpena beranduago etorri zen FRED HOYLEren eskuetatik. Elementu astunak, erreakzio nuklearren bidez sortzen dira izar handien zentroetan. Leku horietan baldintza egokiak betetzen dira. Alde batetik, tenperatura eta dentsitatea handiak dira, eta, bestetik, helio-4 (bi protoi eta bi neutroi) asko dago. Esan behar da, FRED HOYLE teoria honen kontra zegoela, nahiz eta beraren aldeko froga hau azaldu. Bestalde, ikusi dugunez, teoria honetan leherketa gertatzean tenperatura altua zegoen. Gero unibertsoa hedatzean hoztu egin behar izan zen. Gaur egun bero horretatik zerbait neurtu behar dugu, eta honi mikrouhinen hondo-erradiazioa deritzo. Baina hori beranduago ikusiko dugu urte berean HERMANN BONDI, THOMAS GOLD eta FRED HOYLEk hasierako leherketarekin bat ez zetorren eredu bat gauzatu zuten. Beraientzat unibertsoaren propietateak eta berezitasunak ez dira aldatzen denborarekin, eta orduan leherketaren ideia ez da beharrezkoa. Eredu honi Eredu Geldikorra deritzo (ingelesez, Steady State). Teoria honek aurkikuntzak azaldu behar zituen, horrexegatik hedapena onartzen zen, Hubble-ren legea betetzeko eta lerrakuntza azaltzeko. Baina nahiz eta eredu honetan Hubble-ren legea bete izan, desberdintasun bat zegoen leherketaren teoriarekin, hauxe prezeski, Hubble-ren konstanteak ez baitzeukan denboraren menpekotasunik, edozein momentutan balio berbera baitzeukan. Beste aldetik, arazo bat zegoen, hedapenaren ideiak unibertsoaren dentsitatearen aldaketa zekarren. Unibertsoaren dentsitatea konstantea izan behar zen. Nola izan zitekeen hori? Arazo hau gainditzeko, hedapenean ezer ez dagoenetik materia etengabe sortzen zela proposatu zuten. Proposamen honi Etengabeko Sorreraren Teoria deritzo. Leherketaren ereduan, materia momentu batean sortu zen, hasieran; eredu geldikorrean, ostera, materia aldiune guztietan sortzen ari zen. Esan behar da, materia asko ez zela sortu behar eredua egokitzeko: hidrogeno atomo bat sortu behar zen urtero mila milioi litroko eskualde batean. 17. Irudia. Eredu aldakorra (a) eta eredu geldikorra (b). 20

21 Materiaren sorrerak energiaren kontserbazio-legea apurtzen zuen. Baina, noski, lege hau hipotesi bat da. Guk inoiz ez dugu ikusi energia ezerezetik sortzen, baina gerta daiteke. Gainera, sortu behar zen materiaren kantitatea neurtezina da guretzat gaur egunean. Eredu geldikorra printzipio kosmologiko perfektuan oinarrituta dago. Printzipio honek ondokoa dio: «unibertsoa isotropo eta homogeneoa da edozein aldiunetan». Hau da, behatzaile batek berdin ikusiko luke unibertsoa edozein momentutan eta edozein lekutan balego. Unibertsoaren ideia asko errazten da hipotesi honekin. Garai hartan leherketaren teoriak ezin zuen azaldu oso ondo unibertsoaren adina. Lehen azaldu dugunez, leherketaren teorian unibertsoaren adina oso txikia zen. Horixe zen eredu geldikorraren aldeko argudiorik garrantzitsuena. Baina urtean WALTER BAADEk ( ) distantzia kosmikoen eskala aldatu egin zuen. Eskala honen bitartez, H-ren balioa birkalkulatu zen, eta ondorioz, H-ren balioaren estimazioa aldatu egin zen, hedapenaren denbora karakteristikoa aldatuz. Modu honetan leherketaren teoriak hobeto azaldu zuen unibertsoaren adina, eredu geldikorraren argudioak ahulduz. Gaur egun egokitzat hartzen den H-ren balioa erabiliz [H = (15 km s -1 )/(10 6 argi-urte)], hedapenaren denbora karakteristikoa milioi urtekoa da. Beraz, unibertsoaren adina balio hori baino txikiagoa dela kontsideratzen da urtean ARNO ALLAN PENZIAS eta ROBERT WOODROW WILSON, Bell Telephone laborategietako antena bat frogatzen ari zirenean, erradiazio berezia aurkitu zuten. Erabili zuten antenak gure galaxiak igortzen duen erradiazioa neurtzeko balio zuen. Baina aurkitutako erradiazioa guztiz isotropoa zen, hau da, momentu eta norabide guztietan berdina zen. Hori ikusita, erradiazio hori gure galaxiakoa ezin zela izan pentsatu zuten. Geroxeago konturatu ziren, aurkitutako erradiazioa GAMOWek aurresandakoa zela. Honekin eredu geldikorra bertan behera geratu zen, aurkikuntza honen zergatikoa azaldu ezin zuelako. Mikrouhinen hondo-erradiazio kosmikoa leherketaren ereduaren aurresanen barruan zegoen, eta teoria honen froga garrantzitsuenetariko bat da. Leherketaren ereduan, hasierako momentuan unibertsoak oso tenperatura altua zeukan, hidrogeno-kantitate handia elementu astunetan ez bihurtzeko modukoa. Garai hartan, tenperatura altuetan egonik, materia eta erradiazioa oreka termikoan zeuden. Oreka termiko hau, nukleoek elektroiak harrapatu zituztenean apurtu zen, hau da, birkonbinaketaren garaian, kelvin inguruan. Elektroi askeak desagertu zirenetik, erradiazioa askeki hedatu da gaur egunera arte. Erradiazio honek tenperatura karakteristikoa du. Honelatan, ba, erradiazioa tenperatura honetan dagoen gorputz beltzak erradiaturikoa bezalakoa da. Hubble-ren legea aplikatzen badugu, erradiazioak lerrakuntza jasoko du, hau da, erradiazioa uhin-luzera txikietatik energia handietatik uhin-luzera handietara energia txikietara pasatu da. Leherketaren teoriak gaur 21

22 egungo erradiazio karakteristikoa 2,7 kelvinekoa izan behar dela aurresaten du. Emaitza hori ados dago gaur egun neurtzen denarekin. Erradiazio hau erabat isotropoa ez izatea espero zen. Eta horixe da, orain dela oso gutxi C.O.B.E. sateliteak frogatu duena. Anisotropia txiki honen zergatikoa masaren pilamenduan dago. Beste aldetik, mikrouhinen hondo-erradiazio kosmikoa da gaur egun ikusten edo neurtzen dugun gauzarik zaharrena. 18. Irudia. C.O.B.E.ren irudia. Denbora pasatzean, leherketaren teoria hobetuz joan da, teoriaren akats batzuk gaindituz. Teoria guzti honi eredu estandarra deritzo. Ikusi dugunez, eredu estandarrak hiru oinarri experimental ditu. Hauek ereduaren aurresanen barruan daude eta horren aldeko frogak dira. Frogak ondokoak dira: alde batetik, Hubble-ren legea; bestetik, mikrouhinen hondo-erradiazio kosmikoa; eta azkenez, elementu arinen ugaritasuna urtean ALAN H. GUTHek beste eredu bat garatu zuen, eredu estandarraren akats batzuk gainditzeko. Eredu honi eredu inflazionarioa deritzo eta eredu estandarrekiko diferentzi gutxi dauka, unibertsoaren lehenengo garaietan izan ezik. Argiago esateko, momentu batetik aurrera s-tik aurrera eredu biak berdinak dira. Desberdintasuna s baino lehenago gertatutako itzelezko zabalkuntzan inflazioa deritzon horretan datza. Edozertara, nahiz eta mende honetako kosmologian izugarrizko aurrerakada egon den, asko dago egiteko eta oraindik akats ugari daude ereduetan. 22

23 BIBLIOGRAFIA - UEU-KO FISIKA SAILA, Fisikaren Historia Laburra, UEU, Iruñea, J. ARREGI, Unibertsoa: Big Bang-etik gaur egunera, UEUko Fisika Saila, Bilbo, S. WEINBERG, Unibertsoaren hasierako hiru minutuak, Gaiak, Pentsamendu Garaikidea, Donostia, J. GRIBBIN, Big Bang-aren bila, Gaiak, Pentsamendu Garaikidea, Donostia, I. ASIMOV, Unibertsoa, Elhuyar. - H. BONDI, Cosmología, Ed. Labor, Barcelona, I. A. KATIME, 3. A. PEREZ, A la búsqueda del infinito, Alhambra, Madril, J. MERLEAU-PONTY, Cosmología del siglo XX, Ed. Gredos, Madril, Iruñean, 1993.eko uztailaren 29an Udako Euskal Unibertsitatea, XXI. Udako Ikastaroak 23

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna Metika espazioan ANGELUAK 1. Bi zuzenen ateko angeluak. Paalelotasuna eta pependikulatasuna eta s bi zuzenek eatzen duten angelua, beaiek mugatzen duten planoan osatzen duten angeluik txikiena da. A(x

Διαβάστε περισσότερα

1 Aljebra trukakorraren oinarriak

1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1.1. Eraztunak eta gorputzak Geometria aljebraikoa ikasten hasi aurretik, hainbat egitura aljebraiko ezagutu behar ditu irakurleak: espazio bektorialak, taldeak, gorputzak,

Διαβάστε περισσότερα

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Gaien Aurkibidea 1 Solido zurrunaren dinamikaren ekuazioak 1 1.1 Masa-zentroarekiko ekuazioak.................... 3 2 Solido zurrunaren biraketaren dinamika 4 2.1

Διαβάστε περισσότερα

Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2

Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2 Fisika BATXILEGOA Irakaslearen gidaliburua Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena,

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 1. (2015/2016) 20 cm-ko tarteak bereizten ditu bi karga puntual q 1 eta q 2. Bi kargek sortzen duten eremu elektrikoa q 1 kargatik 5 cm-ra dagoen A puntuan deuseztatu

Διαβάστε περισσότερα

Fisika BATXILERGOA 2. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula

Fisika BATXILERGOA 2. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Fisika BATXILERGOA 2 Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitako

Διαβάστε περισσότερα

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA...

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... Aurkibidea 1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... 1 1.1 Proiekzioa. Proiekzio motak... 3 1.2 Sistema diedrikoaren oinarriak... 5 1.3 Marrazketarako hitzarmenak. Notazioak... 10 1.4 Puntuaren, zuzenaren eta planoaren

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 95i 10 cm-ko aldea duen karratu baten lau erpinetako hirutan, 5 μc-eko karga bat dago. Kalkula itzazu: a) Eremuaren intentsitatea laugarren erpinean. 8,63.10

Διαβάστε περισσότερα

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa.

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa. Atomoa 1 1.1. MATERIAREN EGITURA Elektrizitatea eta elektronika ulertzeko gorputzen egitura ezagutu behar da; hau da, gorputz bakun guztiak hainbat partikula txikik osatzen dituztela kontuan hartu behar

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA TEORIA 1. (2012/2013) Argiaren errefrakzioa. Guztizko islapena. Zuntz optikoak. Azaldu errefrakzioaren fenomenoa, eta bere legeak eman. Guztizko islapen a azaldu eta definitu

Διαβάστε περισσότερα

Magnetismoa. Ferromagnetikoak... 7 Paramagnetikoak... 7 Diamagnetikoak Elektroimana... 8 Unitate magnetikoak... 9

Magnetismoa. Ferromagnetikoak... 7 Paramagnetikoak... 7 Diamagnetikoak Elektroimana... 8 Unitate magnetikoak... 9 Magnetismoa manak eta imanen teoriak... 2 manaren definizioa:... 2 manen arteko interakzioak (elkarrekintzak)... 4 manen teoria molekularra... 4 man artifizialak... 6 Material ferromagnetikoak, paramagnetikoak

Διαβάστε περισσότερα

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana 6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da: - Batezbestekoaren estimazioa biztanlerian kalkulatzeko. - Proba parametrikoak

Διαβάστε περισσότερα

I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa

I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 1. ZENBAKI ERREALAK. ZENBAKI ERREALEN ADIERAZPENA ZENBAKIZKO ARDATZEKO PUNTUEN BIDEZ Matematikaren oinarrizko kontzeptuetariko bat zenbakia da. Zenbakiaren kontzeptua

Διαβάστε περισσότερα

Elementu honek elektrizitatea sortzen du, hau da, bi punturen artean potentzial-diferentzia mantentzen du.

Elementu honek elektrizitatea sortzen du, hau da, bi punturen artean potentzial-diferentzia mantentzen du. Korronte zuzena 1 1.1. ZIRKUITU ELEKTRIKOA Instalazio elektrikoetan, elektroiak sorgailuaren borne batetik irten eta beste bornera joaten dira. Beraz, elektroiek desplazatzeko egiten duten bidea da zirkuitu

Διαβάστε περισσότερα

Jose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak

Jose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak HIDRODINAMIKA Hidrodinamikako zenbait kontzeptu garrantzitsu Fluidoen garraioa Fluxua 3 Lerroak eta hodiak Jarraitasunaren ekuazioa 3 Momentuaren ekuazioa 4 Bernouilli-ren ekuazioa 4 Dedukzioa 4 Aplikazioak

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak

1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak 1.- SARRERA 1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak Aire konprimitua pertsonak ezagutzen duen energia-era zaharrenetarikoa da. Seguru dakigunez, KTESIBIOS grekoak duela 2.000 urte edo gehiago katapulta

Διαβάστε περισσότερα

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea.

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea. Magnetismoa M1. MGNETISMO M1.1. Unitate magnetikoak Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M K I N Energia Mekanikoa Sorgailua Energia Elektrikoa Energia

Διαβάστε περισσότερα

OREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA

OREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA GAIEN ZERRENDA Nola lortzen da oreka kimikoa? Oreka konstantearen formulazioa Kc eta Kp-ren arteko erlazioa Disoziazio-gradua Frakzio molarrak eta presio partzialak Oreka kimikoaren noranzkoa Le Chatelier-en

Διαβάστε περισσότερα

UNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA

UNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA 1. JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. 1 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA Material guztiak atomo deitzen diegun partikula oso ttipiez osatzen dira. Atomoen erdigunea positiboki kargatua egon ohi da eta tinkoa

Διαβάστε περισσότερα

INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK

INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK 1.-100 m 3 aire 33 Km/ordu-ko abiaduran mugitzen ari dira. Zenbateko energia zinetikoa dute? Datua: ρ airea = 1.225 Kg/m 3 2.-Zentral hidroelektriko batean ur Hm

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori,

Διαβάστε περισσότερα

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 AURKIBIDEA Or. I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 1.1. MAGNITUDEAK... 7 1.1.1. Karga elektrikoa (Q)... 7 1.1.2. Intentsitatea (I)... 7 1.1.3. Tentsioa ()... 8 1.1.4. Erresistentzia elektrikoa

Διαβάστε περισσότερα

2. ERDIEROALEEN EZAUGARRIAK

2. ERDIEROALEEN EZAUGARRIAK 2. ERDIEROALEEN EZAUGARRIAK Gaur egun, dispositibo elektroniko gehienak erdieroale izeneko materialez fabrikatzen dira eta horien ezaugarri elektrikoak dispositiboen funtzionamenduaren oinarriak dira.

Διαβάστε περισσότερα

Uhin guztien iturburua, argiarena, soinuarena, edo dena delakoarena bibratzen duen zerbait da.

Uhin guztien iturburua, argiarena, soinuarena, edo dena delakoarena bibratzen duen zerbait da. 1. Sarrera.. Uhin elastikoak 3. Uhin-higidura 4. Uhin-higiduraren ekuazioa 5. Energia eta intentsitatea uhin-higiduran 6. Uhinen arteko interferentziak. Gainezarmen printzipioa 7. Uhin geldikorrak 8. Huyghens-Fresnelen

Διαβάστε περισσότερα

Agoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 AGOITZ. Lan Proposamena

Agoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 AGOITZ. Lan Proposamena Agoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 1. AKTIBITATEA Lan Proposamena ARAZOA Zurezko oinarri baten gainean joko elektriko bat eraiki. Modu honetan jokoan asmatzen dugunean eta ukitzen dugunean

Διαβάστε περισσότερα

0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK

0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK 1. Zein da A gorputzaren gainean egin behar dugun indarraren balioa pausagunean dagoen B-gorputza eskuinalderantz 2 m desplazatzeko 4 s-tan. Kalkula itzazu 1 eta 2 soken tentsioak. (Iturria: IES Nicolas

Διαβάστε περισσότερα

1. Oinarrizko kontzeptuak

1. Oinarrizko kontzeptuak 1. Oinarrizko kontzeptuak Sarrera Ingeniaritza Termikoa deritzen ikasketetan hasi berri den edozein ikaslerentzat, funtsezkoa suertatzen da lehenik eta behin, seguru aski sarritan entzun edota erabili

Διαβάστε περισσότερα

1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 puntu)

1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 puntu) UNIBERTSITATERA SARTZEKO HAUTAPROBAK 2004ko EKAINA ELEKTROTEKNIA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 2004 ELECTROTECNIA 1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 1-A ARIKETA Zirkuitu elektriko

Διαβάστε περισσότερα

EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA

EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA Datu orokorrak: Elektroiaren masa: 9,10 10-31 Kg, Protoiaren masa: 1,67 x 10-27 Kg Elektroiaren karga e = - 1,60 x 10-19 C µ ο = 4π 10-7 T m/ampere edo 4π

Διαβάστε περισσότερα

Ordenadore bidezko irudigintza

Ordenadore bidezko irudigintza Ordenadore bidezko irudigintza Joseba Makazaga 1 Donostiako Informatika Fakultateko irakaslea Konputazio Zientziak eta Adimen Artifiziala Saileko kidea Asier Lasa 2 Donostiako Informatika Fakultateko ikaslea

Διαβάστε περισσότερα

1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK

1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK http://thales.cica.es/rd/recursos/rd98/fisica/01/fisica-01.html 1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK 1.1. BOLUMENA Nazioarteko Sisteman bolumen unitatea metro kubikoa da (m 3 ). Hala ere, likido eta gasen

Διαβάστε περισσότερα

Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma)

Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma) Termodinamika Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma) Erreakzio kimikoetako transformazio energetikoak. Espontaneotasuna 1. Energia eta erreakzio kimikoa. Prozesu exotermikoak

Διαβάστε περισσότερα

1. INGENIARITZA INDUSTRIALA. INGENIARITZAREN OINARRI FISIKOAK 1. Partziala 2009.eko urtarrilaren 29a

1. INGENIARITZA INDUSTRIALA. INGENIARITZAREN OINARRI FISIKOAK 1. Partziala 2009.eko urtarrilaren 29a 1. Partziala 2009.eko urtarrilaren 29a ATAL TEORIKOA: Azterketaren atal honek bost puntu balio du totalean. Hiru ariketak berdin balio dute. IRAUPENA: 75 MINUTU. EZ IDATZI ARIKETA BIREN ERANTZUNAK ORRI

Διαβάστε περισσότερα

BIZIDUNEN OSAERA ETA EGITURA

BIZIDUNEN OSAERA ETA EGITURA BIZIDUNEN OSAERA ETA EGITURA 1 1.1. EREDU ATOMIKO KLASIKOAK 1.2. SISTEMA PERIODIKOA 1.3. LOTURA KIMIKOA 1.3.1. LOTURA IONIKOA 1.3.2. LOTURA KOBALENTEA 1.4. LOTUREN POLARITATEA 1.5. MOLEKULEN ARTEKO INDARRAK

Διαβάστε περισσότερα

Oxidazio-erredukzio erreakzioak

Oxidazio-erredukzio erreakzioak Oxidazio-erredukzio erreakzioak Lan hau Creative Commons-en Nazioarteko 3.0 lizentziaren mendeko Azterketa-Ez komertzial-partekatu lizentziaren mende dago. Lizentzia horren kopia ikusteko, sartu http://creativecommons.org/licenses/by-ncsa/3.0/es/

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Teoria ekonomikoa, mikroekonomia eta makroekonomia

1.2. Teoria ekonomikoa, mikroekonomia eta makroekonomia 1. MAKROEKONOMIA: KONTZEPTUAK ETA TRESNAK. 1.1. Sarrera Lehenengo atal honetan, geroago erabili behar ditugun oinarrizko kontzeptu batzuk gainbegiratuko ditugu, gauzak nola eta zergatik egiten ditugun

Διαβάστε περισσότερα

Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK

Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK ZENBAKI IRRAZIONALAK HURBILKETAK LABURTZEA BIRIBILTZEA GEHIAGOZ ERROREAK HURBILKETETAN Lagun ezezaguna Mezua premiazkoa zirudien

Διαβάστε περισσότερα

EIB sistemaren oinarriak 1

EIB sistemaren oinarriak 1 EIB sistemaren oinarriak 1 1.1. Sarrera 1.2. Ezaugarri orokorrak 1.3. Transmisio teknologia 1.4. Elikatze-sistema 1.5. Datuen eta elikatzearen arteko isolamendua 5 Instalazio automatizatuak: EIB bus-sistema

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori, datorren

Διαβάστε περισσότερα

9. GAIA: ZELULAREN KITZIKAKORTASUNA

9. GAIA: ZELULAREN KITZIKAKORTASUNA 9. GAIA: ZELULAREN KITZIKAKORTASUNA OHARRA: Zelula kitzikatzea zelula horretan, kinada egokiaren bidez, ekintza-potentziala sortaraztea da. Beraz, zelula kitzikatua egongo da ekintza-potentziala gertatzen

Διαβάστε περισσότερα

1.- Hiru puntutatik konmutaturiko lanpara: 2.- Motore baten bira noranzkoaren aldaketa konmutadore baten bitartez: 3.- Praktika diodoekin:

1.- Hiru puntutatik konmutaturiko lanpara: 2.- Motore baten bira noranzkoaren aldaketa konmutadore baten bitartez: 3.- Praktika diodoekin: 1.- Hiru puntutatik konmutaturiko lanpara: 2.- Motore baten bira noranzkoaren aldaketa konmutadore baten bitartez: 3.- Praktika diodoekin: 1 Tentsio gorakada edo pikoa errele batean: Ikertu behar dugu

Διαβάστε περισσότερα

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa Analisia eta Kontrola Materialak eta entsegu fisikoak LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA Proiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak Hizkuntz koordinazioa Egilea(k): HOSTEINS UNZUETA, Ana Zuzenketak:

Διαβάστε περισσότερα

MOTOR ASINKRONOAK TRIFASIKOAK Osaera Funtzionamendua Bornen kaxa: Konexio motak (Izar moduan edo triangelu moduan):...

MOTOR ASINKRONOAK TRIFASIKOAK Osaera Funtzionamendua Bornen kaxa: Konexio motak (Izar moduan edo triangelu moduan):... Makina Elektrikoak MAKINA ELEKTRIKOAK... 3 Motak:... 3 Henry-Faradayren legea... 3 ALTERNADOREA:... 6 DINAMOA:... 7 Ariketak generadoreak (2010eko selektibitatekoa):... 8 TRANSFORMADOREAK:... 9 Ikurrak...

Διαβάστε περισσότερα

Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK

Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK GORAKORTASUNA ETA BEHERAKORTASUNA MAIMOAK ETA MINIMOAK

Διαβάστε περισσότερα

6. Errodamenduak 1.1. DESKRIBAPENA ETA SAILKAPENAK

6. Errodamenduak 1.1. DESKRIBAPENA ETA SAILKAPENAK 2005 V. IOL 6. Errodamenduak 1.1. ESKRIPEN ET SILKPENK Errodamenduak biziki ikertu eta garatu ziren autoak, abiadura handiko motorrak eta produkzio automatikorako makineria agertu zirenean. Horren ondorioz,

Διαβάστε περισσότερα

FISIKA ETA KIMIKA 4. DBH BIRPASO TXOSTENA

FISIKA ETA KIMIKA 4. DBH BIRPASO TXOSTENA FISIKA ETA KIMIKA 4. DBH BIRPASO TXOSTENA FISIKA ZINEMATIKA KONTZEPTUAK: 1. Marraz itzazu txakurraren x/t eta v/t grafikoak, txakurrraren higidura ondoko taulan ageri diren araberako higidura zuzena dela

Διαβάστε περισσότερα

5. GAIA Mekanismoen Analisi Dinamikoa

5. GAIA Mekanismoen Analisi Dinamikoa HELBURUAK: HELBURUAK: sistema sistema mekaniko mekaniko baten baten oreka-ekuazioen oreka-ekuazioen ekuazioen planteamenduei planteamenduei buruzko buruzko ezagutzak ezagutzak errepasatu errepasatu eta

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK

4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK 4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK GAI HAU IKASTEAN GAITASUN HAUEK LORTU BEHARKO DITUZU:. Sistema ireki eta itxien artea bereiztea. 2. Masa balantze sinpleak egitea.. Taula estekiometrikoa

Διαβάστε περισσότερα

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa ELEKTROTEKNIA Makina elektriko estatikoak eta birakariak LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA Proiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak LANBIDE HEZIKETAKO ZUZENDARITZA DIRECCION DE FORMACION

Διαβάστε περισσότερα

FK1 irakaslearen gida-liburua (dok1afk1gidalehenzatia)

FK1 irakaslearen gida-liburua (dok1afk1gidalehenzatia) FK1 irakaslearen gida-liburua (dok1afk1gidalehenzatia) 1.- Proiektuaren zergatia eta ezaugarri orokorrak Indarrean dagoen curriculumean zehazturiko Batxilergoko zientzietako jakintzagaiei dagozkien lanmaterialak

Διαβάστε περισσότερα

KLASIKOAK, S.A. lukro-asmorik gabeko elkarteak argitaratu du obra hau, elkartearen sustatzaile eta partaideak honako erakunde hauek izanik:

KLASIKOAK, S.A. lukro-asmorik gabeko elkarteak argitaratu du obra hau, elkartearen sustatzaile eta partaideak honako erakunde hauek izanik: KLASIKOAK, S.A. lukro-asmorik gabeko elkarteak argitaratu du obra hau, elkartearen sustatzaile eta partaideak honako erakunde hauek izanik: BBVA Fundazioa Bilbao Bizkaia Kutxa BBK Gipuzkoa Donostia Kutxa

Διαβάστε περισσότερα

Oscar Wilde. De profundis

Oscar Wilde. De profundis Oscar Wilde De profundis Izenburua: De profundis Egilea: Oscar Wilde Itzulpena: Aitor Arana Argitaratzea: Txalaparta argitaletxea e.m. Nabaz-Bides karrika, 1-2 78. posta-kutxa 31300 Tafalla NAFARROA Tel.

Διαβάστε περισσότερα

LAN PROPOSAMENA. Alarma bat eraiki beharko duzu, trantsistorizatuta dagoen instalazio bat eginez, errele bat eta LDR bat erabiliz.

LAN PROPOSAMENA. Alarma bat eraiki beharko duzu, trantsistorizatuta dagoen instalazio bat eginez, errele bat eta LDR bat erabiliz. - 1-1. JARDUERA. LAN PROPOSAMENA. 1 LAN PROPOSAMENA Alarma bat eraiki beharko duzu, trantsistorizatuta dagoen instalazio bat eginez, errele bat eta LDR bat erabiliz. BALDINTZAK 1.- Bai memoria (txostena),

Διαβάστε περισσότερα

Polimetroa. Osziloskopioa. Elikatze-iturria. Behe-maiztasuneko sorgailua.

Polimetroa. Osziloskopioa. Elikatze-iturria. Behe-maiztasuneko sorgailua. Elektronika Analogikoa 1 ELEKTRONIKA- -LABORATEGIKO TRESNERIA SARRERA Elektronikako laborategian neurketa, baieztapen eta proba ugari eta desberdinak egin behar izaten dira, diseinatu eta muntatu diren

Διαβάστε περισσότερα

Dokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago:

Dokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: Dokumentua I Iruzkin orokorrak 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: 1. BOE. 1467/2007ko azaroaren 2ko Errege Dekretua. (Batxilergoaren

Διαβάστε περισσότερα

Oinarrizko mekanika:

Oinarrizko mekanika: OINARRIZKO MEKANIKA 5.fh11 /5/08 09:36 P gina C M Y CM MY CY CMY K 5 Lanbide Heziketarako Materialak Oinarrizko mekanika: mugimenduen transmisioa, makina arruntak eta mekanismoak Gloria Agirrebeitia Orue

Διαβάστε περισσότερα

KONPUTAGAILUEN TEKNOLOGIAKO LABORATEGIA

KONPUTAGAILUEN TEKNOLOGIAKO LABORATEGIA eman ta zabal zazu Euskal Herriko Unibertsitatea Informatika Fakultatea Konputagailuen Arkitektura eta Teknologia saila KONPUTAGAILUEN TEKNOLOGIAKO LABORATEGIA KTL'2000-2001 Oinarrizko dokumentazioa lehenengo

Διαβάστε περισσότερα

4 EURO 2014KO ABENDUA EUSKAL HEZIKETARAKO ALDIZKARIA. 20 urte euskal hezkuntza ospatuz

4 EURO 2014KO ABENDUA EUSKAL HEZIKETARAKO ALDIZKARIA. 20 urte euskal hezkuntza ospatuz 4 EURO 2014KO ABENDUA EUSKAL HEZIKETARAKO ALDIZKARIA hh hik hasi 193 20 urte euskal hezkuntza ospatuz REGGIO EMILIAKO ESPERIENTZIA JESUS MARI MUJIKA LOMCE-RI EZ ANTZERKHIZKUNTZA PROIEKTUA HIK HASI OSPAKIZUNETAN

Διαβάστε περισσότερα

ARIKETAK (1) : KONPOSATU ORGANIKOEN EGITURA KIMIKOA [1 3. IKASGAIAK]

ARIKETAK (1) : KONPOSATU ORGANIKOEN EGITURA KIMIKOA [1 3. IKASGAIAK] 1. Partzialeko ariketak 1 ARIKETAK (1) : KNPSATU RGANIKEN EGITURA KIMIKA [1 3. IKASGAIAK] 1.- ndorengo konposatuak kontutan hartuta, adierazi: Markatutako atomoen hibridazioa. Zein lotura diren kobalenteak,

Διαβάστε περισσότερα

IRAKASKUNTZA GIDA: MATEMATIKARAKO SARRERA

IRAKASKUNTZA GIDA: MATEMATIKARAKO SARRERA IRAKASKUNTZA GIDA: MATEMATIKARAKO SARRERA 1. HELBURUAK Kurtso honetarako prestatu den materialarekin, irakurlearentzat ohikoak diren matematikako sinboloak, notazioak, lengoaia matematikoa eta aritmetikako

Διαβάστε περισσότερα

ALKENOAK (I) EGITURA ETA SINTESIA

ALKENOAK (I) EGITURA ETA SINTESIA ALKENOAK (I) EGITURA ETA SINTESIA SARRERA Karbono-karbono lotura bikoitza agertzen duten konposatuak dira alkenoak. Olefina ere deitzen zaiete, izen hori olefiant-ik dator eta olioa ekoizten duen gasa

Διαβάστε περισσότερα

1. GAIA PNEUMATIKA. Aire konprimitua, pertsonak bere baliabide fisikoak indartzeko erabili duen energia erarik antzinatakoa da.

1. GAIA PNEUMATIKA. Aire konprimitua, pertsonak bere baliabide fisikoak indartzeko erabili duen energia erarik antzinatakoa da. 1. GAIA PNEUMATIKA Aire konprimitua, pertsonak bere baliabide fisikoak indartzeko erabili duen energia erarik antzinatakoa da. Pneumatika hitza grekoek arnasa eta haizea izendatzeko erabiltzen zuten. Pneumatikaz

Διαβάστε περισσότερα

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa PROGRAMAZIO-TEKNIKAK Programazio-teknikak LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA Proiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak LANBIDE HEZIKETAKO ZUZENDARITZA DIRECCION DE FORMACION PROFESIONAL Hizkuntz

Διαβάστε περισσότερα

FISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Lana eta energia

FISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Lana eta energia 5 HASTEKO ESKEMA INTERNET Edukien eskema Energia Energia motak Energiaren propietateak Energia iturriak Energia iturrien sailkapena Erregai fosilen ustiapena Energia nuklearraren ustiapena Lana Zer da

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMA PNEUMATIKOAK ETA OLIOHIDRAULIKOAK

SISTEMA PNEUMATIKOAK ETA OLIOHIDRAULIKOAK SISTEMA PNEUMATIKOAK ETA OLIOHIDRAULIKOAK SISTEMA PNEUMATIKOAK ETA OLIOHIDRAULIKOAK... Zer da sistema Pneumatikoa? Fluido mota, erabilerak, abantailak eta desabantailak... ABANTAILAK... DESABANTAILAK...3

Διαβάστε περισσότερα

6. GAIA: Txapa konformazioa

6. GAIA: Txapa konformazioa II MODULUA: METALEN KONFORMAZIO PLASTIKOA 6. GAIA: Txapa konformazioa TEKNOLOGIA MEKANIKOA INGENIARITZA MEKANIKO SAILA Universidad del País s Vasco Euskal Herriko Unibertsitatea 6. Gaia: Txapa konformazioa

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRONIKA ZER DEN ETA NOLA KOKATZEN DEN HISTORIAN

ELEKTRONIKA ZER DEN ETA NOLA KOKATZEN DEN HISTORIAN 1. DISPOSITIBOAK ELEKTRONIKA ZER DEN ETA NOLA KOKATZEN DEN HISTORIAN Gaurko hzteg entzklopedko batzuek azaltzen dutenez, elektronka elektro askeek esku hartuz jazotzen dren gertakarak aztertzen dtuen fskaren

Διαβάστε περισσότερα

Ilunpetik argitara 1. Birramona Maria. 1 XXXV. Errenteria Hiria ipuin lehiaketaren "Joxan Arbelaiz" sariaren lan irabazlea.

Ilunpetik argitara 1. Birramona Maria. 1 XXXV. Errenteria Hiria ipuin lehiaketaren Joxan Arbelaiz sariaren lan irabazlea. Ilunpetik argitara 1 M - bal oilarraren lehenengo kukurrukuak jo zuenean; goizeko seiak besterik ez ziren arren ordu bat baino gehiago zeraman sabaiari begira. Hasi berria zen eguneko lehen pentsamenduetan

Διαβάστε περισσότερα

KIMIKA UZTAILA. Ebazpena

KIMIKA UZTAILA. Ebazpena KIMIKA 009- UZTAILA A1.- Hauspeatze-ontzi batean kobre (II) sulfatoaren ur-disoluzio urdin bat dugu, eta haren barruan zink-xafla bat sartzen dugu. Kontuan hartuta 5 C-an erredukzio-- potentzialak E O

Διαβάστε περισσότερα

NEURRI-IZENAK ETA NEURRI-ESAMOLDEAK EUSKARAZ

NEURRI-IZENAK ETA NEURRI-ESAMOLDEAK EUSKARAZ NEURRI-IZENAK ETA NEURRI-ESAMOLDEAK EUSKARAZ 2006-VI-19 J.R. Etxebarria Gure inguruko hizkuntzetan, neurri-izenen eta neurri-esamoldeen normalizazioa XIX. mendearen bigarren erdialdean abiatu zela esan

Διαβάστε περισσότερα

2. GAIA: DISOLUZIOAK ETA EZAUGARRI KOLIGATIBOAK

2. GAIA: DISOLUZIOAK ETA EZAUGARRI KOLIGATIBOAK 2. GAIA: DISOLUZIOAK ETA EZAUGARRI KOLIGATIBOAK 1. DISOLUZIOAK Disoluzioa (def): Substantzia baten partikulek beste substantzia baten barnean egiten duten tartekatze mekanikoa. Disolbatzaileaz eta solutuaz

Διαβάστε περισσότερα

Laborategiko materiala

Laborategiko materiala Laborategiko materiala Zirkuitu elektronikoak muntatzeko, bikote bakoitzaren laborategiko postuan edo mahaian, besteak beste honako osagai hauek aurkituko ditugu: Mahaiak berak dituen osagaiak: - Etengailu

Διαβάστε περισσότερα

Enbriologia Orokorra eta Bereziko buruxka

Enbriologia Orokorra eta Bereziko buruxka Enbriologia Orokorra eta Bereziko buruxka Medikuntzako Ikasleen Elkartea Irakasgaieko irakaslea: Amale Caballero Lasquibar Ikasle-egilea: Adrian H. Llorente Aginagalde Oharra Apunte buruxka hau AEM/MIB

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROKARDIOGRAFO BATEN DISEINU ETA ERAIKUNTZA

ELEKTROKARDIOGRAFO BATEN DISEINU ETA ERAIKUNTZA Informatika Fakultatea / Facultad de Informática ELEKTROKARDIOGRAFO BATEN DISEINU ETA ERAIKUNTZA Ikaslea: Hurko Mendiguren Quevedo Zuzendaria: Txelo Ruiz Vázquez Karrera Amaierako Proiektua, 2013-ekaina

Διαβάστε περισσότερα

Lan honen bibliografia-erregistroa Eusko Jaurlaritzako Liburutegi Nagusiaren katalogoan aurki daiteke: http://www.euskadi.net/ejgvbiblioteka ARGITARATUTAKO IZENBURUAK 1. Prototipo elektronikoen garapena

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRIZITATEA. Elektrizitatearen atalak: 2.- Korronte elektrikoa. 1.- Karga elektrikoa Korronte elektrikoaren arriskuak

ELEKTRIZITATEA. Elektrizitatearen atalak: 2.- Korronte elektrikoa. 1.- Karga elektrikoa Korronte elektrikoaren arriskuak ELEKTRIZITATEA D.B.H. 1 Joseba Arruabarrena 2007ko Otsaila ren atalak: 1. Karga elektrikoa 2. Korronte elektrikoa 3. Zirkuitu elektrikoa 4. Magnitudeak: : Ohmen legea 5. Irudikapena eta ikurrak 6. Korronte

Διαβάστε περισσότερα

Makroekonomiarako sarrera

Makroekonomiarako sarrera Makroekonomiarako sarrera Galder Guenaga Garai Segundo Vicente Ramos EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Aurkibidea Hitzaurrea. 1. GAIA: Makroekonomiaren ikuspegi orokorra. 1.1. Makroekonomia:

Διαβάστε περισσότερα

KIMIKA 2008 Ekaina. Behar den butano masa, kj (1 mol butano / 2876,3 kj) (58 g butano/1mol butano) = 193,86 g butano

KIMIKA 2008 Ekaina. Behar den butano masa, kj (1 mol butano / 2876,3 kj) (58 g butano/1mol butano) = 193,86 g butano KIMIKA 008 Ekaina A-1.- Formazio-enta pia estandar hauek emanda (kj/mol-etan): C (g) =-393,5 ; H 0 (l) = -85,4 ; C 4 H 10 (g) = -14,7 a) Datu hauek aipatzen dituzten erreakzioak idatzi eta azaldu. b) Kalkulatu

Διαβάστε περισσότερα

XX. mendeko olerkari greziarrak

XX. mendeko olerkari greziarrak XX. mendeko olerkari greziarrak R Ko l d o Ru i z d e Az u a Matónoo aditzak odolustu esan nahi du grekoz. Odolustu egin zen Grezia ia bi mendez. Lehenik, mende bat baino gehiago iraun zuen independentzia

Διαβάστε περισσότερα

MARRAZKETA TEKNIKOA. Batxilergoa 1. Rafael Ciriza Roberto Galarraga Mª Angeles García José Antonio Oriozabala. erein

MARRAZKETA TEKNIKOA. Batxilergoa 1. Rafael Ciriza Roberto Galarraga Mª Angeles García José Antonio Oriozabala. erein MRRZKET TEKNIKO atxilegoa 1 Rafael Ciiza Robeto Galaaga Mª ngeles Gacía José ntonio Oiozabala eein Eusko Jaulaitzako Hezkuntza, Unibetsitate eta Ikeketa sailak onetsia (2003-09-25) zalaen diseinua: Itui

Διαβάστε περισσότερα

Mikroekonomia I. Gelan lantzeko ikasmaterialak.

Mikroekonomia I. Gelan lantzeko ikasmaterialak. Mikroekonomia I. Gelan lantzeko ikasmaterialak. Egilea(k) Andoni Maiza Larrarte* * Eduki gehienak Zurbanok (1989), eta Ansa, Castrillón eta Francok (2011) prestatutako ikasmaterialetatik hartu dira. Egileak

Διαβάστε περισσότερα

Teknologia Elektrikoa I Laborategiko Praktikak ISBN:

Teknologia Elektrikoa I Laborategiko Praktikak ISBN: Teknologia Elektrikoa I Laborategiko Praktikak ISBN: 978-84-9860-669-0 Agurtzane Etxegarai Madina Zigor Larrabe Uribe EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko

Διαβάστε περισσότερα

ENERGIA ARIKETAK Kg. eta 100 Km/h-tara mugitzen den kotxe baten energia zinetikoa kalkulatu. (Emaitza: E z= ,47 J.

ENERGIA ARIKETAK Kg. eta 100 Km/h-tara mugitzen den kotxe baten energia zinetikoa kalkulatu. (Emaitza: E z= ,47 J. ENERGIA ARIKETAK OINARRIZKO KONTZEPTUAK 1.- 1000 Kg. eta 100 Km/h-tara mugitzen den kotxe baten energia zinetikoa kalkulatu. (Emaitza: E z=385.802,47 J.) 2.- 500Kg.tako eta 10m-tara zintzilik dagoen masa

Διαβάστε περισσότερα

ZIENTZIA ETA TEKNIKAKO EUSKARA ARAUTZEKO GOMENDIOAK

ZIENTZIA ETA TEKNIKAKO EUSKARA ARAUTZEKO GOMENDIOAK ZIENTZIA ETA TEKNIKAKO EUSKARA ARAUTZEKO GOMENDIOAK Ikasmaterialen Aholku Batzordea Estilo-liburuaren seigarren atala 22 Euskara Zerbitzua Hizkuntza Prestakuntza ZIENTZIA ETA TEKNIKAKO EUSKARA ARAUTZEKO

Διαβάστε περισσότερα

Giza eta Gizarte Zientziak Matematika I

Giza eta Gizarte Zientziak Matematika I Gia eta Giarte Zietiak Matematika I. eta. ebaluaioak Zue erreala Segida errealak Ekuaio espoetialak Logaritmoak Ekuaio lieale sistemak ESTATISTIKA Aldagai diskretuak eta jarraiak Parametro estatistikoak

Διαβάστε περισσότερα

TAILERREKO ESKULIBURU TEKNIKOA

TAILERREKO ESKULIBURU TEKNIKOA TAILERREKO ESKULIBURU TEKNIKOA 1. edizioa 2004. Tailerreko Eskuliburu Teknikoa. Danobaten 50. urteurrena ospatzeko. 2. edizioa 2009 Egilea: Danobat Kooperatiba Elkartea Laguntzailea: Mondragon Unibertsitatea

Διαβάστε περισσότερα

BIOLOGIA ETA GEOLOGIA3DBH I. BLOKEA: GIZAKIA (1)

BIOLOGIA ETA GEOLOGIA3DBH I. BLOKEA: GIZAKIA (1) BIOLOGIA ETA GEOLOGIA3DBH I. BLOKEA: GIZAKIA (1) Altitudea 600 km 80 km 50 km 12 km -100 C -50 C 0 C 50 C 100 C NOLAKOA DA LIBURU HAU? Unitateen egitura Unitatearen hasiera 3 Elikadura Elikadura osasuntsua

Διαβάστε περισσότερα

Giza eta Gizarte Zientziak Matematika II

Giza eta Gizarte Zientziak Matematika II Giza eta Gizarte Zietziak Matematika II 3. ebaluazioa Probabilitatea Baaketa Normala eta Biomiala Lagi estatistikoak Iferetzia estatistikoa Hipotesiak Igacio Zuloaga B.H.I. (Eibar) 1 PROBABILITATEA Igazio

Διαβάστε περισσότερα

LAN PROPOSAMENA. ASKATASUNA BHI. Unitatea: MEKANISNOAK Orri zk: 1 Burlata 1. JARDUERA. IRAKASLEA: Arantza Martinez Iturri

LAN PROPOSAMENA. ASKATASUNA BHI. Unitatea: MEKANISNOAK Orri zk: 1 Burlata 1. JARDUERA. IRAKASLEA: Arantza Martinez Iturri ASKATASUNA BHI. Uitatea: MEKANISNOAK Orri zk: 1 1. JARDUERA LAN PROPOSAMENA LAN PROPOSAMENA Diseiatu eta eraiki ERAKUSLEIHO ZINETIKOA jedeare arreta erakartzeko edo produktu bat iragartzeko. Erakusleihoare

Διαβάστε περισσότερα

Ezaugarriak: Gaitasunak: Ikasgaia: KIMIKA ORGANIKOAREN OINARRIAK,

Ezaugarriak: Gaitasunak: Ikasgaia: KIMIKA ORGANIKOAREN OINARRIAK, Ikasgaia: KIMIKA GANIKAEN INAIAK, Urte Akademikoa: 2008-09 Titulazioa: Licenciatura en Química, Ingeniero Químico. Irakaslea: Jose Luis Vicario, (Kimika rganikoa II Saila) Ezaugarriak: Ikasgai honetan

Διαβάστε περισσότερα

PISA: MATEMATIKA ETA PROBLEMAK EBAZTEA. II. Itemen adibideak irakasleak erabiltzeko. 15 urteko Ikasleen Nazioarteko Ebaluaziorako Proiektua

PISA: MATEMATIKA ETA PROBLEMAK EBAZTEA. II. Itemen adibideak irakasleak erabiltzeko. 15 urteko Ikasleen Nazioarteko Ebaluaziorako Proiektua 2009 PISA: MATEMATIKA ETA PROBLEMAK EBAZTEA II. Itemen adibideak irakasleak erabiltzeko 15 urteko Ikasleen Nazioarteko Ebaluaziorako Proiektua w w www.pisa.oecd.org ISEI-IVEIk argitaratuta: Irakas-Sistema

Διαβάστε περισσότερα

INGURUGIRO TEKNOLOGIA. Luis M. Camarero Estela M. Arritokieta Ortuzar Iragorri Natalia Villota Salazar

INGURUGIRO TEKNOLOGIA. Luis M. Camarero Estela M. Arritokieta Ortuzar Iragorri Natalia Villota Salazar INGURUGIRO TEKNOLOGIA Luis M. Camarero Estela M. Arritokieta Ortuzar Iragorri Natalia Villota Salazar OCW 2013 6. ISURI GASEOSOEN TRATAMENDUA II: PARTIKULA ELIMINAZIOA GARBITZAILE ETA JAULKITZAILE ELEKTROSTATIKOEN

Διαβάστε περισσότερα

ENERGIA EOLIKOA. UEU. 2008ko Uztailak 11

ENERGIA EOLIKOA. UEU. 2008ko Uztailak 11 ENERGIA EOLIKOA UEU. 2008ko Uztailak 11 Sarrera - Definizioa - Erabilerak Teknologia - Aerosorgailuak AURKIBIDEA Abantailak eta desabantailak Energia eolikoa munduan Euskal Herria - Energetikoak - Ingurumenerako

Διαβάστε περισσότερα

b a Sare kristalografikoak Burdinaren eta beste zenbait elementuren atomoak tenperaturaren eraginez lekuz aldatzen dira.

b a Sare kristalografikoak Burdinaren eta beste zenbait elementuren atomoak tenperaturaren eraginez lekuz aldatzen dira. 1. SARRERA Mteril bten ezugrrietn ergin hndien konposizioren izten d. Den den, ksu btzuetn bdgo konposizio ldtu gbe ezugrri horiek ldtze. Hori trtmendu termikoren bidez lor diteke. Trtmendu termiko: mteril

Διαβάστε περισσότερα

KONPUTAGAILUEN PROGRAMAZIOA TURBO PASCAL BITARTEZ

KONPUTAGAILUEN PROGRAMAZIOA TURBO PASCAL BITARTEZ eman ta zabal zazu Universidad del País Vasco Euskal Herriko Unibertsitatea BILBOKO INGENIARIEN GOI ESKOLA TEKNIKOA KONPUTAGAILUEN PROGRAMAZIOA TURBO PASCAL BITARTEZ I EGILEA: Jesus-Mari Romo Uriarte (hirugarren

Διαβάστε περισσότερα

Ekonomiarako Sarrera II: Makroekonomiaren Oinarriak Ariketa ebatziak

Ekonomiarako Sarrera II: Makroekonomiaren Oinarriak Ariketa ebatziak Ekonomiarako Sarrera II: Makroekonomiaren Oinarriak Ariketa ebatziak Andoni Maiza Larrarte 1 Cip. Unibertsitateko Biblioteka Maiza Larrarte, José Antonio Ekonomiarako sarrera II [Recurso electrónico]:

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλωση κώνου παρελθοντικού φωτός λόγω βαρύτητας

Καµπύλωση κώνου παρελθοντικού φωτός λόγω βαρύτητας Μετάφραση µιας εκλαϊκευµένης διάλεξης του Στέφεν Χόκιν σχετικά µε τη φύση του χρόνου. Μπορείτε να βρείτε άλλες διαλέξεις του (στα αγγλικά) στον δικτυακό τόπο του µεγάλου επιστήµονα http://www.hawking.org.uk/lectures/lindex.html

Διαβάστε περισσότερα

2 Lanaren etekinak. Gipuzkoako Foru Aldundia

2 Lanaren etekinak. Gipuzkoako Foru Aldundia 2 Lanaren etekinak 2.1 Zer dira lanaren etekinak? 2.1.1 Zein prestazio sartzen dira lan etekinen barruan? 2.2 Joan-etorriko dietak eta bidai gastuak lan etekinak al dira? 2.2.1 Arau orokorrak 2.2.2 Arau

Διαβάστε περισσότερα

DIABETEAREN DIETOTERAPIA

DIABETEAREN DIETOTERAPIA DIABETEAREN DIETOTERAPIA DIABETEAREN DIETOTERAPIA DEFINIZIOA ETA DIAGNOSTIKOA SAILKAPENA ETA ETIOLOGIA SEINALE KLINIKOAK ETA FISIOPATOLOGIA TRATAMENDUA DEFINIZIOA ETA DIAGNOSTIKOA Diabetes mellitus izena

Διαβάστε περισσότερα

Η Ηχώ της Δημιουργίας

Η Ηχώ της Δημιουργίας Η Ηχώ της Δημιουργίας Δρ Μάνος Δανέζης Επίκουρος Καθηγητής Αστροφυσικής Ήδη από το 1946 ο George Gamow (1904-1968), βασιζόμένος στη Θεωρία της Mεγάλης Έκρηξης, διατύπωσε τις απόψεις του για τη δημιουργία

Διαβάστε περισσότερα