ISBN

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ISBN 978-960-456-278-7"

Transcript

1

2 ISBN Copyright: Δ. Iωαννίδης, Eκδόσεις Zήτη, Μάϊος 2011, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη και συγγραφέα κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 18 ο χλμ Θεσσαλονίκης - Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: Fax BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fax: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια , Aθήνα Tηλ.-Fax: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 Πρόλογος H χρησιμοποίηση των στατιστικών μεθόδων μπορεί να συμβάλλει σημαντικά σε μία αποτελεσματικότερη διοίκηση στο Δημόσιο και στον Ιδιωτικό τομέα. H σημασία της Στατιστικής είναι εμφανής, αφ ενός από το γεγονός ότι στα προγράμματα των περισσοτέρων πανεπιστημιακών τμημάτων, ιδιαίτερα της αλλοδαπής, περιλαμβάνονται ποικίλα μαθήματα Στατιστικής, και αφ ετέρου πολλοί δημόσιοι και ιδιωτικοί οργανισμοί διεθνώς διαθέτουν στατιστικά γραφεία που ασχολούνται με την καταγραφή και συλλογή δεδομένων που τους αφορούν, αλλά και συχνά με τη λήψη αποφάσεων ή προβλέψεων. Σκοπός αυτού του εγχειριδίου είναι να παρουσιασθούν οι πρώτες βασικές αρχές της Στατιστικής μ ένα μεθοδικό και επεξηγηματικό τρόπο, αποφεύγοντας τις ιδιαίτερες μαθηματικές δυσκολίες, αλλά και να δοθεί η δυνατότητα στον αναγνώστη να εξοικειωθεί με την χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών όταν τις εφαρμόζει. Τα δύο πρώτα κεφάλαια ασχολούνται με εισαγωγικές έννοιες της στατιστικής, και συγκεκριμένα της περιγραφικής. H κατανόηση αυτών είναι βοηθητική για την ευκολότερη εκμάθηση των εννοιών των επόμενων κεφαλαίων. Στα Κεφάλαια 3, 4 και 5 γίνεται μια σύντομη εισαγωγή στις πιθανότητες, και μελετώνται οι βασικές θεωρητικές κατανομές. Μία εισαγωγή στις πολυδιάστατες κατανομές δίνεται στο Κεφάλαιο 6, με έμφαση τη μελέτη των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών. Στο Κεφάλαιο 7 αναλύουμε την έννοια της κανονικής προσέγγισης καθώς και την σχέση της με τον γενικότερο όρο της στατιστικής έρευνας και δειγματοληψίας. Στα υπόλοιπα κεφάλαια διατυπώνονται και αναπτύσσονται οι βασικότερες μέθοδοι για την εξαγωγή στατιστικών συμπερασμάτων σχετικά με τις παραμέτρους που χαρακτηρίζουν έναν πληθυσμό, με βάση πάντα ένα τυχαίο δείγμα που λαμβάνεται απ αυτόν. Έτσι στο Κεφάλαιο 8 παρουσιάζονται τα απαραίτητα τεχνικά μέσα που θα μας βοηθήσουν στην εξαγωγή αυτών των συμπερασμάτων. Στο Κεφάλαιο 9 αναπτύσσονται διάφοροι Μέθοδοι Σημειοεκτίμησης των παραμέτρων ενός πληθυσμού, ενώ στο Κεφάλαιο 10 η εκτίμηση αυτών γίνεται με τη βοήθεια των Διαστημάτων Εμπιστοσύνης. Άλλες μέθοδοι εξαγωγής στατιστικών συμπερασμάτων είναι αυτές των Ελέγχων Υποθέσεων και δίνονται στο Κεφάλαιο 11. Στα Κεφάλαια 9, 10 και 11 πάντοτε δεχόμαστε ότι ο πληθυσμός που μελετάμε ακολουθεί μία Κανονική κατανομή,

4 vi Στατιστική Μεθοδολογία κάτι όμως που μπορούμε να το ελέγξουμε στατιστικά. Το τελευταίο επιτυγχάνεται στο Κεφάλαιο 12 με την βοήθεια των Ελέγχων Καλής Προσαρμογής. Επίσης, στο ίδιο κεφαλαίο αναπτύσσονται και άλλα στατιστικά προβλήματα, όπως αυτό του Ελέγχου της Ανεξαρτησίας μεταξύ δυο ποιοτικών χαρακτηριστικών. Στο Κεφάλαιο 13, με την βοήθεια της Ευθείας Παλινδρόμηση μελετάμε την από κοινού συμπεριφορά δύο μεταβλητών, εκτιμώντας την Ευθεία Παλινδρόμησης, τον βαθμό εξάρτησης των μεταβλητών και δίνοντας την στατιστική αποτελεσματικότητα των συμπερασμάτων μας που την αφορούν. Με τις βασικές αρχές της Ανάλυσης Διακύμανσης, που δίνονται στο Κεφάλαιο 14, συγκρίνουμε τους μέσους πολλών πληθυσμών. Το Κεφάλαιο 15 αποτελεί την γενίκευση του 13 και αφορά την Πολυδιάστατη Παλινδρόμηση. Στο Κεφάλαιο 16 δίνονται οι βασικές αρχές μια Χρονολογικής Σειράς και στην συνέχεια δίνουμε συνοπτικά τα μοντέλα χρονολογικών σειρών κατά Bοx και Jenkins. Οι βασικοί Μη-Παραμετρικοί έλεγχοι παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο 16. Όλα τα παραδείγματα και οι ασκήσεις αποτελούν εφαρμογές της Στατιστικής, χρήσιμες για οικονομολόγους και στελέχη επιχειρήσεων. Τέλος, όλη η Στατιστική Μεθοδολογία που αναπτύσσεται στο βιβλίο μαζί με τα παραδείγματα της γίνεται και με την χρήση του Excel και παρουσιάζεται στο τέλος του βιβλίου σαν ανεξάρτητο κεφάλαιο και με τον τίτλο Οδηγός Χρήσης του Excel. Στη συγγραφή του Excel συνέβαλε σημαντικά ο πτυχιούχος μαθηματικών κ. Πετρίδης Κώστας, τον οποίο και ευχαριστώ θερμά. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2011 Δημήτρης Ιωαννίδης

5 Περιεχόμενα σελ. 1 Γενικά περί Στατιστικής Περιγραφική Στατιστική 2.1 Μεταβλητές και Μετρήσεις Διακριτές Κατανομές Συχνοτήτων Απόλυτη και Σχετική Συχνότητα Συνεχείς Κατανομές Συχνοτήτων Ιστογράμματα Αθροιστικές Κατανομές Συχνοτήτων Μέτρα Θέσης (ή Κεντρικής Τάσης) Μέτρα Απόκλισης Άλλες Παράμετροι Κατανομών Συχνοτήτων Διδιάστατες Κατανομές Συχνοτήτων Μέτρα Συσχέτισης Σχέσεις Εξάρτησης Παλινδρόμηση Λυμένες Ασκήσεις Ερωτήσεις Βασικές Αρχές της Θεωρίας Πιθανοτήτων 3.1 Βασικές Έννοιες: Τυχαία πειράματα Δειγματοχώροι Ενδεχόμενα Ορισμός της Πιθανότητας Βασικές Αρχές Απαρίθμησης Δεσμευμένες Πιθανότητες Πολλαπλασιαστικός Κανόνας Πιθανοτήτων Ανεξάρτητα Ενδεχόμενα Νόμος του Bayes Υποκειμενικές Πιθανότητες Γενικές Ασκήσεις Λυμένες Ασκήσεις στις βασικές αρχές των πιθανοτήτων Ερωτήσεις

6 viii Στατιστική Μεθοδολογία 4 Τυχαίες Μεταβλητές και Κατανομές 4.1 Τυχαίες Μεταβλητές Διακριτές Κατανομές Συνεχείς Κατανομές Λυμένες Ασκήσεις στις κατανομές Ερωτήσεις Παράμετροι Κατανομών 5.1 Παράμετροι Θέσεων: Μέση τιμή, Διάμεσος, Επικρατούσα τιμή Παράμετροι Απόκλισης: Διακύμανση ή Διασπορά. Τυπική απόκλιση Λυμένες Ασκήσεις H Λοξότητα σαν Μέτρο Ασσυμετρίας μιας Κατανομής Kυρτότητα μιας Κατανομής Λυμένες Ασκήσεις στις κατανομές και στις παραμέτρους των Ερωτήσεις Κοινές Κατανομές και Διάφορες Προτάσεις γύρω από τη Μέση Τιμή και Διακύμανση 6.1 Από κοινού συνάρτηση κατανομής και πυκνότητα πιθανότητας. Περιθώρια συνάρτηση κατανομής και πυκνότητα πιθανότητας Μέση Τιμή και Διακύμανση μιας συνάρτησης δύο τ.μ Δεσμευμένη Πυκνότητα Πιθανότητας Δεσμευμένη Μέση Τιμή Ανεξάρτητες τ.μ Συνδιακύμανση και Συσχέτιση Διάφορες Προτάσεις Ερωτήσεις Στατιστικές Έρευνες Δειγματοληψίες Κανονική Προσέγγιση 7.1 Στατιστικές Έρευνες Δειγματοληψίες Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Κεντρικό Οριακό Θεώρημα H Poisson Κατανομή σαν Προσέγγιση της Διωνυμικής Κατανομής Ερωτήσεις

7 Περιεχόμενα ix 8 Στατιστική Συμπερασματολογία. Βασικές Έννοιες 8.1 Γενικότητες Σημαντικές Στατιστικές Συναρτήσεις Δειγματοληπτικές Κατανομές Ανακεφαλαίωση Μερικών Σπουδαίων Συμπερασμάτων Γενικές Ασκήσεις Ερωτήσεις Σημειοεκτιμητική 9.1 Γενικότητες Αμερόληπτοι Εκτιμητές Αποδοτικοί Εκτιμητές Συνεπείς Εκτιμητές Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Εκτιμητές Μέγιστης Πιθανοφάνειας Ερωτήσεις Εκτίμηση με Διαστήματα Εμπιστοσύνης 10.1 Γενικότητες Συμμετρικά Διαστήματα Εμπιστοσύνης για τη Μέση Τιμή μ Διαστήματα Πρόβλεψης Γενικές Ασκήσεις Συμμετρικό Διάστημα Εμπιστοσύνης για τη Διακύμανση σ 2 ενός Κανονικού Πληθυσμού Συμμετρικά Διαστήματα Εμπιστοσύνης για τη Διαφορά των Μέσων μ 1, μ 2 δύο Πληθυσμών Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης Ερωτήσεις Έλεγχοι Υποθέσεων 11.1 Γενικότητες Έλεγχοι για τη Μέση Τιμή μ Έλεγχοι για τη Διακύμανση σ Έλεγχοι για τη Μέση Τιμή μη Κανονικού Πληθυσμού (μεγάλο δείγμα) Έλεγχοι για τη Διαφορά των Μέσων Δύο Πληθυσμών Έλεγχοι Σύγκρισης των Διακυμάνσεων Δύο Πληθυσμών

8 x Στατιστική Μεθοδολογία 11.7 Ισοδυναμία Ελέγχων Υποθέσεων και Διαστημάτων Εμπιστοσύνης Ισχύς Στατιστικών Ελέγχων Ποιοτικός Έλεγχος Λυμένες Ασκήσεις για Ελέγχους υποθέσεων Ερωτήσεις Ανάλυση Κατηγοροποιημένων Δεδομένων 12.1 Πολυωνυμική Κατανομή X 2 Έλεγχοι Καλής Προσαρμογής Άλλοι Έλεγχοι Καλής Προσαρμογής Έλεγχοι Ανεξαρτησίας Ερωτήσεις Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 13.1 Γενικότητες Γραμμική Παλινδρόμηση (απλή) Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων Εκτίμηση Διακύμανσης της Ευθείας Παλινδρόμησης Στατιστικός Έλεγχος και Διάστημα Εμπιστοσύνης για την Κλίση της Ευθείας Παλινδρόμησης Μέση Εκτίμηση της (Εξαρτημένης Μεταβλητής) Y για Δοθέν x της Ανεξάρτητης Πρόβλεψη Τιμών της Y για Δοθέν x p Δειγματοληπτική Συσχέτιση (Pearson συντελεστής συσχέτισης) Ερωτήσεις Ανάλυση Διακύμανσης 14.1 Γενικότητες Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Διπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης με μια παρατήρηση ανά γραμμή και στήλη Διπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης με περισσότερες από μια παρατηρήσεις ανά γραμμή και στήλη Σπουδαίες Παρατηρήσεις Ερωτήσεις

9 Περιεχόμενα xi 15 Πολυδιάστατη Παλινδρόμηση 15.1 Γενικότητες Πολυδιάστατο Γραμμικό Μοντέλο Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων Εκτίμηση Διακύμανσης της Πολλαπλής Παλινδρόμησης και Πολυδιάστατος Συντελεστής Συσχέτισης Μερικά Στατιστικά Συμπεράσματα στο Πολυδιάστατο Γραμμικό Μοντέλο Πρόβλεψη στο Πολυδιάστατο Μοντέλο Παλινδρόμησης Ανάλυση της Διακύμανσης και Έλεγχοι Υποθέσεων F-έλεγχος της Υπόθεσης: Μερικές από τις β παραμέτρους είναι Γενικές Παρατηρήσεις στην Πολυδιάστατη Παλινδρόμηση Ερωτήσεις Χρονολογικές Σειρές 16.1 Γενικότητες Παραδείγματα χρονολογικών σειρών Διαμερισμός Χρονολογικών Σειρών σε Συνιστώσες (παράγοντες) Μοντέλα των Box και Jenkins Ερωτήσεις Μη Παραμετρικοί Έλεγχοι 17.1 Προσημικός Έλεγχος Προσημικός Έλεγχος Τάξης Συντελεστής Συσχέτισης Τάξης Έλεγχος Τάξης (Wilcoxon Mann-Whitney Έλεγχος) Έλεγχος Τυχαιότητας Μονοπαραμετρική Ανάλυση Διακύμανσης με Τάξεις (Kruskal-Wallis Έλεγχος) Γενικές Ασκήσεις Οδηγός χρήσης του Excel 1 Βασικές Αρχές του Excel Περιήγηση και Εισαγωγή Δεδομένων στο Excel Βασικές Πράξεις Συναρτήσεις του Excel

10 xii Στατιστική Μεθοδολογία 1.4 Συμπλήρωση Κελιών με Διαδοχικούς Αριθμούς Υπολογισμός Αθροίσματος Ονομασία Δεδομένων Άθροισμα Οδηγός Γραφημάτων με Excel Ανάλυση Δεδομένων με Excel Περιγραφική Στατιστική Ακιδωτό Διάγραμμα, Παράδειγμα Ιστόγραμμα, Παράδειγμα Αθροιστική Κατανομή Συχνοτήτων, Παράδειγμα Θηκόγραμμα (Boxplot), Παράδειγμα Πίνακας Συνάφειας Πίνακας Συσχέτισης από το Αρχείο Βάση Εργαζομένων Διάγραμμα Διασποράς (ή της Ετεροσκεδαστικότητας) Από το αρχείο Βάση Εργαζομένων Αριθμητικός Μέσος, Παράδειγμα Διάμεσος, Παράδειγμα Γεωμετρικός Μέσος, Παράδειγμα Τεταρτημόρια, Παράδειγμα Εύρος Διακύμανση, Παράδειγμα Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος, Παράδειγμα Σχετική Θέση Παρατήρησης, Παράδειγμα Συμμετρία και λοξότητα Βασικές Πιθανότητες Υπολογισμοί Συνδυασμών Τυχαίες Μεταβλητές, Κατανομές, Δειγματοληψίες, Νόμος Μεγάλων Αριθμών Διωνυμική Κατανομή Υπεργεωμετρική Κατανομή Poisson Κατανομή Κανονική Κατανομή Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Εκθετική Κατανομή Δειγματοληψίες Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Παράδειγμα Τυχαίου Δείγματος Παράδειγμα: Με την μέθοδο της προσομοίωσης (Monte Carlo Method)

11 Περιεχόμενα xiii 5 α-τιμές Τυχαίων Μεταβλητών Δειγματοληπτικές Κατανομές Κεφάλαια 5 και α-τιμή της Ζ α-τιμή της t α-τιμή της Χι-τετράγωνο α-τιμή της F Διαστήματα Εμπιστοσύνης Κεφάλαιο Διάστημα Εμπιστοσύνης για τον Μέσο μ Κανονικού πληθυσμού (Γνωστή διακύμανση) Διάστημα Εμπιστοσύνης για τον Μέσο μ Κανονικού πληθυσμού (Άγνωστη διακύμανση) Μέθοδοι Έλεγχοι Υποθέσεων Κεφάλαιο Έλεγχοι για τον πληθυσμιακό μέσο (Απλά δείγματα) Έλεγχοι για την Σύγκριση Δυο Πληθυσμών (Διπλά Ανεξάρτητα δείγματα) Χ 2 -Τετράγωνο Ανάλυση Έλεγχος Καλής Προσαρμογής Έλεγχος Ανεξαρτησίας Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Συσχέτιση Διάγραμμα Διασποράς Ανάλυση Απλής Παλινδρόμησης Ανάλυση Διακύμανσης (ANOVA) Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Διπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Πολυδιάστατη Παλινδρόμηση Ανάλυση Παλινδρόμησης Συντελεστές Συσχέτισης Χρονολογικές Σειρές Κεφάλαιο Τάση και Εποχικότητα Μη-Παραμετρικοί Έλεγχοι Συντελεστές Τάξης Στατιστική Ελέγχου Αθροίσματος Τάξης

12 xiv Στατιστική Μεθοδολογία Παράρτημα Α Πίνακες Κατανομών Β Ειδικοί Πίνακες Κατανομών Βιβλιογραφία Ευρετήριο Βασικών Όρων και Ορολογίας στην Αγγλική

13 1 ο Κεφάλαιο Γενικά περί Στατιστικής Οι περισσότεροι άνθρωποι όταν αναφέρονται στη λέξη Στατιστική συνήθως σκέπτονται πίνακες από αριθμούς (αριθμητικά δεδομένα). Ως επί το πλείστον είναι εξοικειωμένοι με αριθμητικά δεδομένα που αναφέρονται σε απογραφές πληθυσμών, σε αναλύσεις αποτελεσμάτων αθλημάτων, σε διάφορα μεγέθη της οικονομίας κ.λπ. Το περιεχόμενο της στατιστικής όμως δεν ανταποκρίνεται μόνο σε κάποιους πίνακες αριθμητικών δεδομένων. H στατιστική σήμερα αποτελεί έναν ανεξάρτητο επιστημονικό κλάδο, με δικές της μεθόδους ανάλυσης. Το αντικείμενό της είναι πολύ ευρύ, ασχολείται με σχεδιασμούς πειραμάτων, μεθόδους συλλογής δεδομένων, καθώς και με την ανάλυση, παρουσίαση, επεξήγηση των δεδομένων με απώτερο σκοπό τη λήψη αποφάσεων και τη δημιουργία προβλέψεων. Τα αριθμητικά δεδομένα αποτελούν ένα πολύ μικρό μέρος αυτής. Οι πλέον απλές στατιστικές μέθοδοι είναι αυτές που ασχολούνται με τους μέσους των δεδομένων καθώς και άλλων μέτρων που μπορούν να περιγράψουν τα δεδομένα και να μας δώσουν πληροφορίες σχετικά με τον τρόπο κατανομής των τιμών τους (Περιγραφική Στατιστική). Για παράδειγμα, έστω ότι ενδιαφερόμαστε για να αποκτήσουμε γνώση γύρω από το ετήσιο οικογενειακό εισόδημα 1000 νοικοκυριών μιας περιοχής, η επιλογή των οποίων γίνεται κατά έναν αντιπροσωπευτικό τρόπο. Μερικά χαρακτηριστικά αριθμητικά μεγέθη που μπορούν να μας δώσουν πληροφορίες γύρω απ αυτά είναι ο μέσος όρος αυτών, καθώς και ο τρόπος απόκλισης τους από το μέσο αυτών (Διακύμανση ή Διασπορά). H σύγχρονη στατιστική διαθέτει μεθόδους για εξαγωγή συμπερασμάτων και πέρα από ένα συγκεκριμένο αριθμό δεδομένων που γνωρίζουμε, καταλήγοντας σε συμπεράσματα που στηρίζονται στην ανάλυση αυτών. Έτσι στο προηγούμενο παράδειγμα ένα εύλογο ερώτημα είναι ποιο μπορεί να είναι το μέσο ετήσιο εισόδημα των νοικοκυριών ολόκληρης της περιοχής και όχι

14 2 Κεφάλαιο 1 απλά και μόνο των 1000 νοικοκυριών. Εδώ, μπορούμε να διατυπώσουμε την (στατιστική) υπόθεση ότι το μέσο εισόδημα είναι λιγότερο από , οπότε με βάση τη γνώση των 1000 εισοδημάτων να δεχθούμε ή να απορρίψουμε την υπόθεση αυτή (Έλεγχος Υποθέσεων). Επίσης μπορούμε να έχουμε μια εκτίμηση για το μέσο εισόδημα όλων των οικογενειών, υπολογίζοντας αριθμητικά τον μέσο των 1000 εισοδημάτων από τα δεδομένα μας δηλ. μια μόνο αριθμητική τιμή για το μέσο εισόδημα όλων των οικογενειών με βάση πάλι τα 1000 γνωστά εισοδήματα (Σημειοεκτίμηση). Τέλος αντί να έχουμε μια εκτίμηση του μέσου εισοδήματος, να κατασκευάσουμε ένα διάστημα που η αρχή του θα είναι η κατώτερη μέση εκτίμηση, ενώ το τέλος του θα είναι η ανώτερη μέση εκτίμηση και ανάμεσα στις δύο τιμές να εμπεριέχεται το (άγνωστο) μέσο εισόδημα μ ένα βαθμό εμπιστοσύνης (Διαστήματα Εμπιστοσύνης). Οι τρείς τελευταίες έννοιες που αναφέρθηκαν αποτελούν αντικείμενο της Στατιστικής Συμπερασματολογίας ή της Επαγωγικής Στατιστικής. Στηριζόμενοι στα παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε την περιοχή σαν υψηλών ή μεσαίων ή χαμηλών εισοδημάτων. Το βοηθητικό επιστημονικό εργαλείο που θα μας δίνει τη δυνατότητα εξαγωγής συμπερασμάτων για όλο το πλήθος των οικογενειών με βάση τα γνωστά σε μας 1000 εισοδήματα είναι η Θεωρία Πιθανοτήτων. Να συζητήσουμε μερικές ακόμη πτυχές αυτού του παραδείγματος. Κάποιος θα ρωτούσε γιατί δεν μαθαίνουμε όλα τα εισοδήματα των κατοίκων αυτής της περιοχής. Οπωσδήποτε για να γίνει αυτό απαιτεί αρκετό χρόνο και σημαντικά οικονομικά έξοδα. Επειδή όμως λογικό είναι να ελαχιστοποιήσουμε το χρόνο εργασίας μας, και το κόστος που απαιτεί αυτή, περιοριζόμαστε σ ένα μικρότερο αριθμό εισοδημάτων. Το τελευταίο πρέπει να γίνει μ ένα τρόπο μεθοδικό. Τα 1000 εισοδήματα που επιλέξαμε κατά ένα τυχαίο τρόπο πρέπει να είναι αντιπροσωπευτικά γι όλα τα υπόλοιπα εισοδήματα. Εν ολίγοις, κάθε εισόδημα πρέπει να έχει την ίδια δυνατότητα ή τον ίδιο βαθμό βεβαιότητας για να είναι ένα μεταξύ των 1000 εισοδημάτων. Υπάρχει ξεχωριστός κλάδος της στατιστικής που ασχολείται μ αυτό το πρόβλημα και καλείται Θεωρία Δειγματοληψιών. Θα ασχοληθούμε μ αυτήν εν συντομία σ ένα από τα επόμενα κεφάλαια. Το πλήθος των οικογενειών που δυνητικά αποτελούν αντικείμενα προς εξέταση στην έρευνά μας είναι ο πληθυσμός μας. Γενικά το πλήθος των αντικειμένων ή ατόμων που συνδέονται με τη (στατιστική) έρευνά μας ονομάζεται πληθυσμός. Τα 1000 νοικοκυριά που τα εισοδήματά τους παρατηρήθηκαν αποτελούν το δείγμα μας. Κάθε υποσύνολο ενός πληθυσμού ονομάζεται δείγμα. Για τη Στατιστική, σε κάθε πληθυσμό θα υπάρχουν χαρακτηριστικά γνωρίσματα, όπως το εισόδημα παρακάτω, που θα αποτελούν αντικείμενο μελέτης και

15 Γενικά περί Στατιστικής 3 πληθυσμός δείγμα έρευνας. Τα αποτελέσματα της έρευνάς μας θα είναι συμπεράσματα που θα εξάγονται σχετικά με τα χαρακτηριστικά και θα προκύπτουν μετά την ανάλυση και επεξεργασία του δείγματός μας. Ας συζητήσουμε μερικά ακόμα παραδείγματα, όπου με τη βοήθεια μεθόδων της Στατιστικής αντλούμε χρήσιμα συμπεράσματα. Δημοσκοπήσεις: Έστω ότι ενδιαφερόμαστε να γνωρίσουμε αν το κόμμα A ή το B κερδίσει μία εκλογική αναμέτρηση. Εδώ ο πληθυσμός μας είναι το σύνολο όλων των ψηφοφόρων. Οι διάφορες εταιρίες δημοσκοπήσεων προβλέπουν το ποιο κόμμα θα κερδίσει με βάση ένα πολύ μικρότερο αριθμό ερωτηθέντων ατόμων (Δείγμα). Ποιοτικός Έλεγχος: α) Σε ένα εργοστάσιο παραγωγής τσιμέντου, οι σάκοι των τσιμέντων οφείλουν να έχουν βάρος 50 kg, και η πακετοποίηση γίνεται με μια αυτόματη μηχανή. Για να ελέγξει κανείς την αξιοπιστία αυτής της μηχανής, θα έπρεπε να ζυγίζει κάθε σάκο τσιμέντου. Επειδή αυτή η διαδικασία προδικάζει πολύ χρόνο και αρκετά έξοδα, ζυγίζει κανείς κάθε 20 ο ή 50 ο σάκο και προσδιορίζει το μέσο βάρος των ζυγισθέντων σάκων. Αν το μέσο βάρος απέχει σημαντικά από τα 50 kg τότε αυτό θα σημαίνει ότι η μηχανή χρειάζεται μια επιδιόρθωση. Οι σάκοι που παρήχθηκαν κατά τη διάρκεια μιας ημέρας αποτελούν τον πληθυσμό μας, ενώ το σύνολο των ζυγισθέντων σάκων το δείγμα μας. β) Ορισμένα αντικείμενα κατασκευάζονται σύμφωνα με μια βιομηχανική μέθοδο. Θέλουμε να ελέγξομε το πλήθος των ελαττωματικών αντικειμένων που παράγονται κατά τη διάρκεια μιας χρονικής μονάδας παραγωγής. Τα αντικείμενα που παρήχθηκαν κατ αυτήν τη χρονική μονάδα αποτελούν τον πληθυσμό μας, ενώ τα αντικείμενα που εξετάσαμε το δείγμα μας. Το βιβλίο αυτό περιέχει τα εξής Κεφάλαια. Το Κεφάλαιο 2 περιέχει τις βασι-

16 4 Κεφάλαιο 1 κές γνώσεις της Περιγραφικής Στατιστικής ενώ τα Κεφάλαια 3 έως και 7 ασχολούνται με βασικές αρχές της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Τα υπόλοιπα Κεφάλαια περιέχουν τις βασικές μεθόδους της Στατιστικής Συμπερασματολογίας.

17 2 ο Κεφάλαιο Περιγραφική Στατιστική 2.1 Μεταβλητές και Μετρήσεις Τα μέλη ενός πληθυσμού θα τα καλούμε στατιστικές μονάδες, ενώ το κοινό χαρακτηριστικό γνώρισμα μεταξύ τους θα ονομάζεται στατιστικό γνώρισμα ή απλά γνώρισμα. Ένα στατιστικό γνώρισμα θα συμβολίζεται στο εξής μ ένα κεφαλαίο γράμμα X ή Y κ.λπ., που θα καλείται μεταβλητή. Έτσι στο παράδειγμα με τα οικογενειακά εισοδήματα οι στατιστικές μονάδες είναι τα νοικοκυριά και το στατιστικό γνώρισμα το εισόδημα X. Στο παράδειγμα των δημοσκοπήσεων η στατιστική μονάδα είναι ο ψηφοφόρος, ενώ το στατιστικό γνώρισμα είναι η ψήφος X για το A ή το B κόμμα. Στο πρώτο παράδειγμα ποιοτικού ελέγχου οι στατιστικές μονάδες είναι οι σάκοι των τσιμέντων που παράγονται, ενώ το στατιστικό γνώρισμα είναι το βάρος X. Σαν στατιστικό γνώρισμα μπορεί να θεωρηθεί η ηλικία, το βάρος, το φύλο, η θρησκεία κ.λπ.. Γενικά ένα στατιστικό γνώρισμα μπορεί να είναι ποσοτικό, δηλ. να επιδέχεται μετρήσεις, ή ποιοτικό, δηλ. να επιδέχεται κατηγοριοποιήσεις. Παραδείγματα ποσοτικών στατιστικών γνωρισμάτων είναι το εισόδημα, η ηλικία, το βάρος κ.λπ., ενώ ποιοτικών είναι το φύλλο, η θρησκεία κ.λπ.. Επιπλέον τα ποσοτικά γνωρίσματα διακρίνονται σε συνεχή και διακριτά. Ένα ποσοτικό γνώρισμα καλείται διακριτό, αν οι μετρήσεις του είναι διακριτοί πραγματικοί αριθμοί ή στην πλέον συνήθη περίπτωση οι θετικοί ακέραιοι, 0, 1, 2, Έτσι το πλήθος των εργαζομένων σ ένα εργοστάσιο, το πλήθος των αντικειμένων που παράγονται από μια βιομηχανική μονάδα, είναι διακριτά γνωρίσματα. Συνεχές χαρακτηριστικό είναι εκείνο που όταν το μετρούμε πάνω στις στατιστικές μας μονάδες οι αριθμοί των μετρήσεών του είναι πραγματικοί αριθμοί (το χαρακτηριστικό επιδέχεται μετρήσεις και μεταξύ ακεραίων, δηλ. «έχουμε και δεκαδικούς αριθμούς για με-

18 6 Κεφάλαιο 2 τρήσεις»). Τυπικά παραδείγματα γι αυτήν την περίπτωση είναι το εισόδημα, ο χρόνος λειτουργίας μιας μηχανής κ.λπ. Στην περίπτωση που έχουμε ποιοτικά χαρακτηριστικά, μπορούμε να έχουμε κατά συμβιβασμό ένα είδος μετρήσεων ανάλογο της διακριτής περίπτωσης. Για παράδειγμα εξετάζοντας το θρήσκευμα των κατοίκων σε μια χώρα, μπορούμε να παραστήσουμε κατά συμβιβασμό Άθεος = 0, Oρθόδοξος Xριστ. = 1, Kαθολικός Xριστ. = 2, Mουσουλμάνος = 3 ή εξετάζοντας τα αντικείμενα μιας βιομηχανικής παραγωγής έχουμε ελαττωματικό = 0, μη ελαττωματικό = 1. Βέβαια η εδώ ποσοτικοποίηση που επιτυγχάνεται είναι εντελώς εξωτερική. Μπορούμε να συμβολίσουμε τα θρησκεύματα με άλλους αριθμούς, χωρίς να έχουμε απώλεια σε πληροφορίες. Έτσι μπορούσαμε να έχουμε Άθεος = 3, Μουσουλμάνος = 2 κ.λπ. Αν όμως ρωτούσαμε μια νοικοκυρά να κατατάξει 4 απορρυπαντικά A, B, Γ και Δ σαν πρώτο καλύτερο με 1, δεύτερο καλύτερο με 2, τρίτο καλύτερο με 3, και τελευταίο με 4, τότε αυτοί οι αριθμοί που αντιστοιχούν σ αυτές τις κατατάξεις προκύπτουν μέσω από συγκρίσεις και έχουν την δική τους ιεραρχική σημασία. Στην περίπτωση με τις θρησκείες θα λέμε ότι είμαστε στην ονομαστική κλίμακα, ενώ στη δεύτερη με τις επιδόσεις, στην τακτική κλίμακα. Οι μετρήσεις λαμβάνονται με ερωτήσεις (μέσω συνεντεύξεων ή γραπτών εξετάσεων), παρατηρήσεις (παρατηρούμε το πλήθος των αυτοκινήτων που περνούν από κάποιο σημείο κατά μία χρονική περίοδο ή παρατηρούμε το χρόνο αναμονής των πελατών στη θυρίδα μιας τράπεζας), και με πειράματα (μετρούμε τη διάρκεια ζωής ορισμένων ηλεκτρικών μηχανημάτων). Όλες οι μετρήσεις γίνονται σύμφωνα με κάποια κλίμακα. Εκτός από τις δύο που αναφέραμε, έχουμε την κλίμακα διαστήματος και την κλίμακα πηλίκου. Έτσι αν ενδιαφερόμαστε για τις επιδόσεις βαθμολογιών μαθητών, και χαρακτηρίζαμε αυτές σε κακή, μέτρια, καλή, πολύ καλή, άριστη, αντιστοιχώντας σ αυτές τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, θα λέμε ότι βρισκόμαστε σε μια κλίμακα διαστήματος. Επίσης, αντί για τις επιδόσεις μαθητών μπορεί σε θέματα έρευνας αγοράς να ενδιαφερόμασταν για τον βαθμό προτίμησης ή ικανοποίησης σ ένα προϊόν. Ο παραπάνω τρόπος βαθμολόγησης στην βιβλιογραφία είναι γνωστός με το όνομα κλίμακα Lickert. Βέβαια μεταξύ της κακής επίδοσης 1 και της μέτριας 2 υπάρχει διαφορά μια μονάδα, που είναι η ίδια και μεταξύ της πολύ καλής 4 και της άριστης 5. Φυσικά δεν μπορούμε να ισχυρισθούμε ότι αυτές με την άριστη βαθμολογία 5 είναι πέντε φορές καλύτερες απ αυτές με τη βαθμολογία 1. Για παράδειγμα αν πολλαπλασιάσουμε κάθε επίδοση με 2 και κατόπιν προσθέσουμε τον αριθμό 10 τότε έχουμε την εξής αντιστοιχία

19 Περιγραφική Στατιστική 7 12 κακή 14 μέτρια 16 καλή 18 πολύ καλή 20 άριστη Οι διαφορές μεταξύ δύο διαδοχικών επιδόσεων παραμένουν ίδιες, αλλά ο λόγος μεταξύ αυτών διαφέρουν. Έτσι ο λόγος 20 προς 12 είναι διαφορετικός απ αυτόν του 5 προς 1. H κλίμακα διαστήματος δεν περιέχει κάποια φυσική αρχή και μπορούμε να δεχθούμε σαν τέτοια μια οποιαδήποτε τιμή. Ανάλογο παράδειγμα μπορούμε να δώσουμε με την μέτρηση της θερμοκρασίας. Ως γνωστόν η θερμοκρασία εκφράζεται σε βαθμούς Κελσίου (C) ή σε βαθμούς Φάρεναϊτ (F). Έτσι σε 0 C αντιστοιχούν 32 F που είναι διαφορετικό από 0 F. Σε κάθε περίπτωση όμως το 0 δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει θερμοκρασία, και λέμε ότι το 0 δεν έχει φυσική σημασία για να αποτελέσει μια μοναδική αρχή. H κλίμακα που περιέχει το φυσικό 0 ονομάζεται κλίμακα πηλίκου. Έτσι μετρώντας την ηλικία των ατόμων μπορούμε να εκφράσουμε με αριθμούς ότι το A άτομο έχει διπλάσια ηλικία από το B. H τελευταία είναι η ισχυρότερη όλων των κλιμάκων και η πλέον εύχρηστη. Κάθε μέτρηση της κλίμακας πηλίκου, μπορεί να θεωρηθεί σαν μέτρηση της κλίμακας διαστήματος, η της κλίμακας διαστήματος σαν μέτρηση της τακτικής κλίμακας, και της τελευταίας η μέτρηση σαν της ονομαστικής κλίμακας. Σύμφωνα με τα παραπάνω εφόσον με μία μεταβλητή X παριστάνουμε ένα γνώρισμα, τότε αυτή μπορεί να είναι του διακριτού ή του συνεχούς τύπου, όταν και το αντίστοιχο γνώρισμα είναι διακριτό ή συνεχές. Το πλήθος των δυνατών τιμών μιας μεταβλητής του διακριτού τύπου είναι διακριτές αριθμήσιμες τιμές, δηλ. η μεταβλητή παίρνει τιμές {0, 1,, n, } ή πραγματικές τιμές { α1, α2, α n, } με α1, α 2, κ.ο.κ. πραγματικούς αριθμούς σε σειρά διάταξης. Στην περίπτωση που η μεταβλητή μας είναι του συνεχούς τύπου το πλήθος των δυνατών τιμών της δεν μπορεί να μετρηθεί αλλά μπορούμε να ομαδοποιήσουμε τις μετρήσιμες σύμφωνα με το αριθμητικά διαστήματα που τις περικλείει. Έτσι στην περίπτωση που είχαμε τη μεταβλητή Χ του εισοδήματος, μπορούμε να διακρίνουμε εισοδήματα σύμφωνα με τα διαστήματα (ή κλάσεις) [0, 600), [6.000, ), [12.000, 20) όπου προφανώς μας ικανοποιεί η γνώση του διαστήματος όπου η μεταβλητή Χ θα παίρνει διάφορες τιμές. Πολλές φορές την ομαδοποίηση των μετρήσεών μας μέσω αριθμητικών διαστημάτων την εφαρμόζουμε και σε περιπτώσεις όπου η μεταβλητή μας είναι διακριτή και με μεγάλο πλήθος δυνατών τιμών. Για παράδειγμα αν εξετάζουμε την ηλικία

20 8 Κεφάλαιο 2 των ατόμων μιας χώρας σε έτη, πιθανόν να έχουμε ηλικίες από 1 έτους έως100 ετών. Έχουμε 100 δυνατές τιμές, και ενδιαφερόμαστε να καταγράψουμε τα άτομα του πληθυσμού μας σύμφωνα με τις 100 τιμές. (Πόσα άτομα είναι ηλικίας 1 έτους; κ.ο.κ.). Η έρευνά μας όμως μπορούσε να γίνει με πιο ουσιαστικό και σύντομο τρόπο, αν ενδιαφερόμασταν και ρωτούσαμε πόσων ατόμων οι ηλικίες είναι στο διάστημα [1, 11), [11, 21), και [91, 101). Συμπερασματικά λοιπόν αν η μεταβλητή μας είναι του διακριτού τύπου και με μεγάλο πλήθος τιμών ή του συνεχούς τύπου, τότε μας αρκεί να έχουμε την γνώση των αριθμητικών διαστημάτων εντός των οποίων θα περικλείονται οι μετρήσεις μας, και θα μιλάμε για ομαδοποιημένες μετρήσεις ή παρατηρήσεις (σε διαστήματα). Στην περίπτωση που η μεταβλητή μας είναι διακριτή αλλά με μικρό πλήθος δυνατών τιμών (στην Στατιστική θεωρείται μικρό το πλήθος αν είναι μικρότερο του 20), μπορούμε να ομαδοποιήσουμε τις μετρήσεις σύμφωνα με τις δυνατές τιμές. Στο σημείο αυτό μπορούμε να αναφέρουμε ότι όλες οι μεταβλητές του διακριτού τύπου που θα εξετάσουμε στη συνέχεια θα είναι με μικρό δυνατό πλήθος τιμών, επειδή αν ήταν με μεγάλο πλήθος τιμών θα τη μελετούσαμε με ανάλογο τρόπο όπως τη συνεχή μεταβλητή. Η συζήτηση πότε ένα μέγεθος μπορεί να θεωρηθεί συνεχής ή διακριτό μπορεί να επεκταθεί ακόμη και σε φιλοσοφικό επίπεδο. Εμείς αναφερθήκαμε στις πλέον πρακτικές πλευρές του θέματος. Είδη Δεδομένων Έστω ένα ποσοτικό ή ποιοτικό γνώρισμα X που παρατηρείται σε n στατιστικές μονάδες πληθυσμού. Οι αριθμοί x 1,, x n που προκύπτουν ονομάζονται παρατηρήσεις ή δεδομένα ή μετρήσεις. Το x i θα σημαίνει την παρατήρηση του γνωρίσματος X στην i η στατιστική μονάδα. Τα δεδομένα μας μπορεί να είναι: Διαστρωματικά, αυτά που λαμβάνονται από μία μεταβλητή την ίδια χρονική στιγμή και πάνω σε διαφορετικές μονάδες (άτομα, χώρες, εταιρίες, κ.λπ.) τα χρονολογικά, αυτά που λαμβάνονται από μία μεταβλητή σε διαδοχικούς χρόνους. Όταν παρατηρούμε τα εισοδήματα 1000 νοικοκυριών σε μια χρονική στιγμή από πέντε διαφορετικές χώρες, τότε αυτά τα δεδομένα είναι διαστρωματικά. Όταν παρατηρούμε το εισόδημα ενός νοικοκυριού σε διαδοχικούς χρόνους, τότε αυτά τα δεδομένα είναι χρονολογικά. Επίσης μπορεί να υπάρξει συνδυασμός των παραπάνω. Παρατηρούμε τα εισοδήματα των 1000 νοικοκυριών από πέντε χώρες σε διαδοχικούς χρόνους. Αν τα δεδομένα λαμβάνονται με άμεσο τρόπο από τον ερευνητή θα λέμε ότι διαθέτουμε πρωτογενή δεδομένα, ενώ αν λαμβάνονται με έμμεσο τρόπο θα

21 Περιγραφική Στατιστική 9 λέμε ότι διαθέτουμε δευτερογενή δεδομένα. Τα δευτερογενή δεδομένα παρέχονται από διάφορες βάσεις δεδομένων που διατηρούν διάφοροι δημόσιοι και ιδιωτικοί οργανισμοί. Σε εθνικό επίπεδο η Στατιστική Υπηρεσία της χώρας, η Τράπεζα της Ελλάδας, δίνουν ανά τακτά χρονικά διαστήματα στοιχεία γύρω από διάφορα κοινωνοικοοικονομικά μεγέθη, όπως η ανεργία, ο πληθωρισμός, το εισόδημα, το ύψος καταθέσεων, η εκπαίδευση, το εμπόριο κ.ο.κ. Σε διεθνές επίπεδο ο Ο.Η.Ε εκδίδει ανά έτος, ετήσιο Στατιστικό βιβλίο, που περιέχει δεδομένα, σχετικά με τον πληθυσμό της γης, τη μετανάστευση, την εκπαίδευση, τη βιομηχανική παραγωγή, το Εθνικό Ακαθάριστο Εισόδημα των χωρών κ.ο.κ. Σε κάθε ιστοσελίδα ενός πανεπιστημίου, στη θέση βιβλιοθήκη διατίθενται διάφορες ηλεκτρονικές βάσεις δεδομένων. H ιστοσελίδα για τις βάσεις δεδομένων του Πανεπιστήμιο Μακεδονίας είναι: http//www.lib.uom.gr/dbases/greek/ Άσκηση 2.1.1: Ποια από τα επόμενα στατιστικά γνωρίσματα είναι διακριτά, και ποια συνεχή; α) O αριθμός των παιδιών σ ένα νοικοκυριό. β) H μηνιαία κατανάλωση σε ηλεκτρική ενέργεια απ ένα νοικοκυριό. γ) O αριθμός των πλοίων που καταφθάνουν σ ένα λιμάνι. δ) H τιμή του χρυσού. Άσκηση 2.1.2: O επόμενος πίνακας μας δίνει πληροφορίες γύρω από πέντε άτομα. Φύλο Μισθός Εκπαίδευση Έτη προϋπηρεσίας A (άνδρας) Πανεπιστημιακή 8 Γ (γυναίκα) 900 Μέση 4 A Μέση 5 Γ Πανεπιστημιακή 10 Γ 950 Μέση 6 α) Ποια από τα παραπάνω γνωρίσματα είναι ποιοτικά, και ποια ποσοτικά. β) Σε ποια στατιστικά γνωρίσματα θα χρησιμοποιήσετε την τακτική κλίμακα και σε ποια την ονομαστική. Άσκηση 2.1.3: Ποια από τα επόμενα στατιστικά γνωρίσματα είναι διακριτά, και ποια συνεχή;

ISBN 978-960-456-191-9

ISBN 978-960-456-191-9 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-191-9 Copyright, Ιανουάριος 2010, Σέμος Αναστάσιος, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ISBN 978-96-46-28-9 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 211 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης Περιγραφική Στατιστική Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο Κ. Πολίτης 1 2 Η στατιστική ασχολείται με τη συλλογή, οργάνωση, παρουσίαση και ανάλυση πληροφοριών. Οι πληροφορίες αυτές, πολύ συχνά αριθμητικές,

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Περιγραφική και Επαγωγική Στατιστική Η περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL Το πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι στα οικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο:

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Τι είναι το GeoGebra; Γρήγορη Εκκίνηση Λογισμικό Δυναμικών Μαθηματικών σε ένα - απλό στη χρήση - πακέτο Για την εκμάθηση και τη διδασκαλία σε όλα τα επίπεδα της εκπαίδευσης Συνδυάζει διαδραστικά γεωμετρία,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική Επιμέλεια: ΑΝΔΡΕΑΣ ΓΚΟΥΡΤΖΟΥΝΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 1) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών ο οποίος ως έργο έχει την συγκέντρωση

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 7: Παρουσίαση δεδομένων-περιγραφική στατιστική Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Τα δεδομένα της στήλης Grade (Αρχείο Excel, Φύλλο Ask1) αναφέρονται στη βαθμολογία 63 φοιτητών που έλαβαν μέρος σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής Εισαγωγή Οι κυνικοί λένε σαρκαστικά πως μπορείς να αποδείξεις οτιδήποτε με τη Στατιστική. Άλλοι πάλι υποστηρίζουν πως δεν μπορείς να κάνεις τίποτα με τη Στατιστική. Κάποιοι θυμίζουν ότι η Στατιστική είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΘΗΝΑ, 2001 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ iii ix ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.Να συμπληρωθούν οι πίνακες x i v i f i f i % x 1 7 x 2 5 x 3 15 x 4 14 x 5 9 Άθροισμα 50 x i v i f i f i % 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

4 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΣΚΟΠΟΣ :

4 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΣΚΟΠΟΣ : 4 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΣΚΟΠΟΣ : Σκοπός του συγκεκριμένου φύλλου εργασίας είναι ο μαθητής να εξοικειωθεί με τις συναρτήσεις, τις αριθμητικές πράξεις καθώς και την επισήμανση κελιών υπό όρους με στόχο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Στατιστική Ι Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Παρασκευή, 30 Νοεμβρίου 2012 Στατιστική Ι Έννοιες - Κλειδιά Μεταβλητότητα Εύρος (range) Εκατοστημόρια

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα

ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα ISBN 978-960-456-205-3 Copyright, Μάρτιος 2010, Ε. Λάμπρου, Γ. Πανταζής, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός γρήγορης εκκίνησης

Οδηγός γρήγορης εκκίνησης Οδηγός γρήγορης εκκίνησης Το Microsoft Excel 2013 έχει διαφορετική εμφάνιση από προηγούμενες εκδόσεις. Γι αυτό το λόγο, δημιουργήσαμε αυτόν τον οδηγό για να ελαχιστοποιήσουμε την καμπύλη εκμάθησης. Προσθήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22559 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1561 17 Αυγούστου 2007 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 85038/Γ2 Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Τομέα Οικονομικών και Διοικητικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 8 υπολογίζονται και συγκρίνονται τα ποσοστά επιλογής του µαθήµατος στους ετήσιους πληθυσµούς, ανά φύλο και κατεύθυνση. Υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-353-1 Copyright: Π. Δ. Τσαχαγέας, Eκδόσεις ZHTH, Θεσσαλονίκη, 2012 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΙΤΛΟΣ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Μέτρα διασποράς - Συντελεστής μεταβολής ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Καραγιάννης Βασίλης ΑΜ: 201118 Οικονόμου Κυριάκος AM: 201102 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: Στατιστική Γ Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.).

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). a. Τι μπορεί να συνέβη όταν η διάμεσος αυξήθηκε; Το γεγονός ότι

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Θεματολογία. Δεδομένα και αβεβαιότητα. Αντικείμενο της Στατιστικής. Βασικές έννοιες. Δεδομένα και αβεβαιότητα. Στατιστική Ι

Θεματολογία. Δεδομένα και αβεβαιότητα. Αντικείμενο της Στατιστικής. Βασικές έννοιες. Δεδομένα και αβεβαιότητα. Στατιστική Ι Ενότητα η : Εισαγωγή στη Στατιστική Θεματολογία Στατιστική Ι Ενότητα : Εισαγωγή Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Αντικείμενο της Στατιστικής : μεταβλητές,πληθυσμός,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Ένα Τι είναι η Στατιστική;

Κεφάλαιο Ένα Τι είναι η Στατιστική; Κεφάλαιο Ένα Τι είναι η Στατιστική; Copyright 2009 Cengage Learning 1.1 Τι είναι η Στατιστική; «Στατιστική είναι ένας τρόπος για την αναζήτηση πληροφοριών μέσα σε δεδομένα» Copyright 2009 Cengage Learning

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που εμβαθύνει σε μεθόδους συλλογής δεδομένων, οργάνωσης, παρουσίασης των δεδομένων και εξαγωγής συμπερασμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα