ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ ΕΞΕΛΙΞΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ ΕΞΕΛΙΞΗΣ"

Transcript

1 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµοστατικής Εργαστήριο Στατικής και Αντισεισµικών Ερευνών ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ οµοστατικός Σχεδιασµός και Ανάλυση Κατασκευών ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ευάγγελου E. Πλεύρη u g Επιβλέπων: Μανόλης Παπαδρακάκης, Καθηγητής Αθήνα, Φεβρουάριος 00

2

3 Η παρούσα εργασία η οποία εκπονήθηκε στα πλαίσια του µεταπτυχιακού προγράµµατος ειδίκευσης του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου οµοστατικός Σχεδιασµός και Ανάλυση των Κατασκευών αποτελεί µία προσπάθεια εµβάθυνσης στον βέλτιστο σχεδιασµό των κατασκευών µε πολλές αντικειµενικές συναρτήσεις (Multcrtero Structural Optmzato ή Pareto Optmal Desg). Η έρευνα πάνω στο αντικείµενο άρχισε ουσιαστικά τον Φεβρουάριο του 999, οπότε στα πλαίσια της προπτυχιακής διπλωµατικής εργασίας του υποφαινοµένου διερευνήθηκε αναλυτικά το πρόβληµα της βελτιστοποίησης των κατασκευών παρουσία µίας µοναδικής αντικειµενικής συνάρτησης. Η παρούσα εργασία αποτελεί εποµένως τη φυσική συνέχεια της προσπάθειας εκείνης. Θα ήθελα να εκφράσω τις θερµές µου ευχαριστίες στον καθηγητή κ. Μανόλη Παπαδρακάκη, επιβλέποντα της µεταπτυχιακής αυτής εργασίας, για την εµπιστοσύνη που έδειξε στο πρόσωπό µου, την πολύτιµη καθοδήγησή του, καθώς και για τις σπουδαίες γνώσεις και εµπειρίες που αποκόµισα κατά τη διάρκεια της συνεργασίας µαζί του τα τελευταία χρόνια, τόσο σε προπτυχιακό επίπεδο, όσο και κατά τη διάρκεια των µεταπτυχιακών σπουδών µου στο τµήµα Πολιτικών Μηχανικών του ΕΜΠ. Οφείλω επίσης ένα πολύ µεγάλο ευχαριστώ στον διδάκτορα Πολιτικό Μηχανικό και φίλο Νίκο Λαγαρό για την άψογη συνεργασία του, το αµείωτο ενδιαφέρον του και τις καθοριστικές του υποδείξεις σε ό,τι αφορούσε τη µεταπτυχιακή αυτή εργασία. Η συµβολή του υπήρξε πραγµατικά καθοριστική. Αθήνα, Φεβρουάριος 00 Βαγγέλης Πλεύρης

4 Περιεχόµενα Περιεχόµενα Περιεχόµενα v ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ. Εισαγωγή. Ιστορική αναδροµή 3.3 Μαθηµατικό µοντέλο βελτιστοποίησης 3.3. Μεταβλητές σχεδιασµού 4.3. Συναρτήσεις περιορισµών Αντικειµενική συνάρτηση 9.4 Κατηγορίες βελτιστοποίησης κατασκευών.4. Βελτιστοποίηση τοπολογίας κατασκευών.4. Βελτιστοποίηση σχήµατος κατασκευών Βελτιστοποίηση των µεγεθών των διατοµών 5.5 Μέθοδοι βέλτιστου σχεδιασµού 5.5. Μαθηµατικές µέθοδοι βελτιστοποίησης 6.5. Εξελικτικές µέθοδοι βελτιστοποίησης 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ. Εισαγωγή 0. Βέλτιστος σχεδιασµός Pareto.. Κριτήρια και διαµάχη κριτηρίων.. Το πρόβληµα βελτιστοποίησης πολλαπλών κριτηρίων 3.3 Μέθοδοι αντιµετώπισης προβληµάτων πολλαπλών κριτηρίων 7.3. Γραµµική µέθοδος των βαρών (Lear weghtg method) 7.3. Μέθοδος ελαχιστοποίησης της απόστασης από σηµείο (Dstace method) Μέθοδος των περιορισµών (Costrat method) Μέθοδος προγραµµατισµού στόχων (Goal programmg) 3.4 Προβλήµατα δοµοστατικής µηχανικής πολλαπλών κριτηρίων 3 v

5 Περιεχόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ 3. αρβίνεια θεωρία για την εξέλιξη των ειδών Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση µε Στρατηγικές Εξέλιξης Γεννήτριες τυχαίων αριθµών Στρατηγικές Εξέλιξης δύο µελών (-ES) Προσαρµογή του µήκους βήµατος Κριτήρια τερµατισµού Στρατηγικές Εξέλιξης πολλών µελών (Μ-ES) Τελεστής ανασυνδυασµού Αυτοπροσαρµογή των παραµέτρων Κριτήρια τερµατισµού Στρατηγικές Εξέλιξης και διακριτός βέλτιστος σχεδιασµός Τελεστής µετάλλαξης Τελεστής ανασυνδυασµού Κριτήρια τερµατισµού ιαχείριση των περιορισµών Εφαρµογή των ES στη βελτιστοποίηση κατασκευών 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 4. υναµικά φορτία Μονοβάθµιο σύστηµα Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση Εξαναγκασµένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση Ελεύθερη ταλάντωση µε απόσβεση Κίνηση του εδάφους Πολυβάθµιο σύστηµα Ελαστικές δυνάµεις Μητρώο δυσκαµψίας Αδρανειακές δυνάµεις Μητρώο µάζας υνάµεις απόσβεσης Μητρώο απόσβεσης Μητρωική διαφορική εξίσωση κίνησης Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση - Ιδιοµορφές Ορθογωνικότητα των ιδιοµορφών Κανονικοποίηση των ιδιοµορφών 74 v

6 Περιεχόµενα Ελεύθερη ταλάντωση µε απόσβεση Εξαναγκασµένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση Εξαναγκασµένη ταλάντωση µε απόσβεση Απόσβεση Τυπική απόσβεση (Classcal dampg) Μη τυπική απόσβεση (Noclasscal dampg) 85 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΜΕΣΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 5. Εισαγωγή Βασικές αρχές των µεθόδων άµεσης ολοκλήρωσης Μέθοδος των κεντρικών διαφορών Μέθοδος Newmark Άλλες µέθοδοι Η µέθοδος Houbolt Η Wlso θ µέθοδος Ευστάθεια των µεθόδων Ακρίβεια των µεθόδων 85 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6. Γενικά στοιχεία Φορέας Στοιχεία που αφορούν τη βελτιστοποίηση Μεταβλητές σχεδιασµού Αντικειµενικές συναρτήσεις Περιορισµοί Στρατηγικές Εξέλιξης (ES) υναµική φόρτιση - Φάσµα σχεδιασµού Μέθοδος της άµεσης ολοκλήρωσης Παραγωγή τεχνητών επιταχυνσιογραφηµάτων Αποτελέσµατα των αναλύσεων Αναλύσεις υπό στατικά φορτία 4 v

7 Περιεχόµενα 6.6..α Γραµµική µέθοδος των βαρών (Lear weghtg method) β Μέθοδος των περιορισµών (Costrat method) γ Μέθοδος της ελαχιστοποίησης της απόστασης από σηµείο δ Σύγκριση των µεθόδων µεταξύ τους 6.6. Αναλύσεις υπό στατικά και δυναµικά φορτία α Γραµµική µέθοδος των βαρών (Lear weghtg method) β Μέθοδος των περιορισµών (Costrat method) γ Μέθοδος της ελαχιστοποίησης της απόστασης από σηµείο δ Σύγκριση των µεθόδων µεταξύ τους Σύγκριση Στατικής ανάλυσης και Στατικής + δυναµικής ανάλυσης Γενικά συµπεράσµατα της έρευνας Σχολιασµός των µεθόδων 9 Βιβλιογραφία Βιβλιογραφικές παραποµπές 3 v

8 Πρώτο Κεφάλαιο Βέλτιστος σχεδιασµός των κατασκευών Βέλτιστος σχεδιασµός των κατασκευών. Εισαγωγή Καθ όλη τη διάρκεια της παρουσίας του στη γη, ο άνθρωπος χρειάστηκε να δηµιουργήσει διάφορες κατασκευές, προκειµένου να καλύψει τις συνεχώς αυξανόµενες ανάγκες του. Ως κατασκευή, βλέποντάς την από τη σκοπιά της µηχανικής των κατασκευών, ορίζεται εκείνη η διευθέτηση των υλικών που εξυπηρετεί στην ανάληψη µηχανικών φορτίων. Η λέξη εξυπηρετεί στον παραπάνω ορισµό, έχει την έννοια της αντοχής και της λειτουργικότητας. Ο ορισµός αυτός είναι ιδιαίτερα γενικός, συµπεριλαµβάνει δε όλα τα γνωστά µας ήδη κατασκευών, όπως κτίρια, γέφυρες, αεροσκάφη, σκελετούς ζώντων οργανισµών και φυτών κ.α. Ο όρος διευθέτηση των υλικών, υπονοεί ότι στο εξής δεν υφίσταται διαχωρισµός των υλικών από τη µία και των κατασκευών από την άλλη, καθώς τα ίδια τα υλικά, διευθετηµένα κατά τον κατάλληλο τρόπο (σχεδιασµός), αποτελούν την κατασκευή στο σύνολό της. Οι βασικές απαιτήσεις που τίθενται γενικά για µία κατασκευή, είναι αυτές της αντοχής και της λειτουργικότητας. Σκοπός του µηχανικού ήταν ανέκαθεν η αυστηρή τήρηση των παραπάνω περιορισµών, σε συνδυασµό όµως µε την ικανοποίηση κατά το δυνατό και άλλων, κυρίως οικονοµικής φύσεως απαιτήσεων µε τελικό στόχο τη µέγιστη δυνατή απόδοση του έργου. Έτσι, ο βέλτιστος σχεδιασµός, είναι το αντικείµενο έρευνας κάθε µηχανικού ο οποίος στοχεύει στη σχεδίαση ενός µηχανήµατος, ενός εξαρτήµατος ή ενός κτιρίου το οποίο καλείται να εξυπηρετήσει κάποιες λειτουργικές ανάγκες. Βέλτιστος ονοµάζεται ένας σχεδιασµός ο οποίος ικανοποιεί τις κατασκευαστικές προδιαγραφές και τις λειτουργικές απαιτήσεις, ενώ ταυτόχρονα ελαχιστοποιεί συγκεκριµένα κριτήρια, όπως είναι

9 Πρώτο Κεφάλαιο Βέλτιστος σχεδιασµός των κατασκευών το κόστος και το βάρος της κατασκευής. Ως βελτιστοποίηση κατασκευών, µπορεί να οριστεί η λογική διαδικασία διερεύνησης κάποιου σχεδιασµού ο οποίος να υπερτερεί από κάθε άλλη λύση µέσα σε ένα πλαίσιο αντικειµενικών, γεωµετρικών και χαρακτηριστικών περιορισµών. Η εφαρµογή της βελτιστοποίησης, αν και πάντα φάνταζε ως η ιδανική λύση στο µυαλό του µηχανικού, ήταν µέχρι πριν από λίγα χρόνια δύσκολη έως αδύνατη, λόγω της ανυπαρξίας µεθόδων και κατάλληλων υπολογιστικών µέσων που θα βοηθούσαν στην υλοποίηση του δύσκολου αυτού στόχου. Έτσι, παραδοσιακά ο σχεδιασµός µιας κατασκευής βασιζόταν στην εµπειρία του µηχανικού σχεδιαστή και σε παραµετρικές διερευνήσεις τύπου δοκιµής και διόρθωσης (tral ad error). Η ανάγκη επίτευξης όλο και οικονοµικότερων σχεδιασµών σε συνδυασµό µε την αύξηση της πολυπλοκότητας αλλά και του µεγέθους των προβληµάτων οδήγησε στην αναζήτηση αυτοµατοποιηµένων µεθόδων σχεδιασµού µε την υιοθέτηση και εφαρµογή γενικών αλγορίθµων βελτιστοποίησης και την αξιοποίηση των εξελίξεων στην ακµάζουσα τα τελευταία χρόνια τεχνολογία των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Έτσι, σήµερα πλέον, ο µηχανικός έχει στη διάθεσή του µία πληθώρα µεθόδων και εργαλείων για την επίλυση προβληµάτων βελτιστοποίησης, ενώ παράλληλα η έρευνα πάνω στο αντικείµενο συνεχίζει να ευδοκιµεί. Με τον τρέχοντα ρυθµό δε της εξέλιξης στις επιδόσεις των ηλεκτρονικών υπολογιστών, διαφαίνεται ξεκάθαρα ότι στο άµεσο µέλλον η αντιµετώπιση και η επίλυση των δύσκολων υπολογιστικά προβληµάτων βελτιστοποίησης θα είναι υπόθεση ρουτίνας για τον µηχανικό. Η βελτιστοποίηση διαφέρει σηµαντικά από την ανάλυση. Η ανάλυση αποσκοπεί στην εύρεση της απόκρισης της κατασκευής για µία και µόνο επιλογή των χαρακτηριστικών της µεγεθών και υπό το καθεστώς των φορτίων που την καταπονούν, ενώ αντιθέτως κατά τη βελτιστοποίηση δοκιµάζονται πολλές χαρακτηριστικές προσοµοιώσεις της κατασκευής έτσι ώστε να προκύψει η γεωµετρία εκείνη για την οποία τηρούνται µεν οι κατασκευαστικές απαιτήσεις, ελαχιστοποιείται δε η τιµή κάποιου χαρακτηριστικού και κρίσιµου µεγέθους συνηθέστερα του βάρους της κατασκευής. Στόχος του σχεδιαστή µηχανικού κατά τη διαδικασία της βελτιστοποίησης, είναι η εξεύρεση ενός συνδυασµού ανεξάρτητων µεταβλητών που λαµβάνουν πραγµατικές ή ακέραιες τιµές και ονοµάζονται παράµετροι ή µεταβλητές σχεδιασµού (desg varables), έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί (ή να µεγιστοποιηθεί) η αντικειµενική συνάρτηση του προβλήµατος (objectve fucto). Τα προβλήµατα βελτιστοποίησης στην επιστηµονική περιοχή της υπολογιστικής µηχανικής, συνήθως υπόκεινται σε περιορισµούς, όπως είναι το εύρος µέσα

10 Πρώτο Κεφάλαιο Βέλτιστος σχεδιασµός των κατασκευών στο οποίο κινούνται οι παράµετροι σχεδιασµού (move lmts) το οποίο καθορίζει το χώρο αναζήτησης, αλλά και άλλες συναρτήσεις περιορισµών (costrat fuctos), όπως λόγου χάρη τάσεων και παραµορφώσεων, οι οποίες καθορίζουν τον χώρο των αποδεκτών λύσεων του προβλήµατος.. Ιστορική αναδροµή Πολλοί ερευνητές, έχουν καταπιαστεί κατά καιρούς µε το πρόβληµα του βέλτιστου σχεδιασµού των κατασκευών. Κατά τον 6ο αιώνα, ο Leoardo da Vc και ο Γαλιλαίος ερεύνησαν το πρόβληµα της βελτιστοποίησης κατασκευών χρησιµοποιώντας µοντέλα αλλά και πραγµατικές κατασκευές σε κλίµακα :. Κατά τον 7ο και 8ο αιώνα, ερευνητές όπως ο Νεύτωνας (Newto), ο Lagrage και ο Euler παρήγαγαν βέλτιστους σχεδιασµούς κατασκευών χρησιµοποιώντας αριθµητικές µεθόδους βασισµένες σε ένα κριτήριο βελτιστοποίησης το οποίο απαιτούσε η αντοχή να είναι κατά το δυνατόν οµοιόµορφα κατανεµηµένη σε όλα τα µέρη της κατασκευής. Ο Maxwell στα τέλη του 9ου και ο Mchell στις αρχές του 0ου αιώνα πραγµατοποίησαν τις πρώτες αναλυτικές διαδικασίες στη βελτιστοποίηση κατασκευών, µε στόχο την ελαχιστοποίηση του βάρους. Για πρώτη φορά ο Schmdt (960) έκανε µία περιεκτική παρουσίαση της χρήσης µαθηµατικά προγραµµατιζόµενων τεχνικών για την επίλυση µη γραµµικών ανισοτικών προβληµάτων µε περιορισµούς, για τον σχεδιασµό ελαστικών κατασκευών υπό την επίδραση πολλαπλών φορτίσεων. Από τότε πολλές µέθοδοι και τεχνικές έχουν αναπτυχθεί από διάφορους ερευνητές για την επίλυση προβληµάτων βελτιστοποίησης..3 Μαθηµατικό µοντέλο βελτιστοποίησης Τα προβλήµατα βέλτιστου σχεδιασµού κατασκευών χαρακτηρίζονται από µία ευρεία γκάµα τύπων αντικειµενικής συνάρτησης και συναρτήσεων περιορισµών, οι οποίες συνήθως είναι έµµεσες ή πεπλεγµένες µη γραµµικές συναρτήσεις, µεγάλου βαθµού µη γραµµικότητας ως προς τις µεταβλητές σχεδιασµού. Αυτές οι συναρτήσεις είναι συνήθως ασυνεχείς και µη κυρτές (o-covex) µε αποτέλεσµα τα προβλήµατα αυτά να εµφανίζουν συχνότατα πολλά τοπικά ελάχιστα. Λόγω των εγγενών δυσχερειών των προβληµάτων αυτών, ακόµα και η εύρεση ενός τοπικού ελαχίστου δεν αποτελεί εύκολη υπόθεση για τους αλγόριθµους 3

11 Πρώτο Κεφάλαιο Βέλτιστος σχεδιασµός των κατασκευών βελτιστοποίησης. Η σωστή µαθηµατική διατύπωση ενός προβλήµατος βελτιστοποίησης αποτελεί ίσως το πιο σηµαντικό και κρίσιµο βήµα για την εύρεση του βέλτιστου σχεδιασµού. Γενικά, παρόλο που το είδος των παραµέτρων σχεδιασµού, της αντικειµενικής συνάρτησης και των συναρτήσεων περιορισµού µπορεί να διαφέρει σηµαντικά, η µαθηµατική διατύπωση των προβληµάτων αυτής της κατηγορίας µπορεί να γίνει µε έναν ενιαίο και κοµψό τρόπο. Η γενική µαθηµατική διατύπωση ενός προβλήµατος βελτιστοποίησης µε τη µορφή ενός προβλήµατος µη γραµµικού προγραµµατισµού (No Lear Programmg NLP) είναι η ακόλουθη: r F(s) m, r s = {s,s, K,s } T l s u, r g (s) 0, h j k r (s) = 0, =,, K, j =,, K, m k =,, K, t όπου s r είναι το διάνυσµα των µεταβλητών (παραµέτρων) σχεδιασµού, F(s r ) (.) είναι η αντικειµενική συνάρτηση της οποίας αναζητούµε την ελάχιστη (ή τη µέγιστη) τιµή, l και u είναι αντίστοιχα το κάτω (lower) και το άνω (upper) όριο της µεταβλητής σχεδιασµού και r r g (s), (s) είναι οι συναρτήσεις περιορισµών ανισοτήτων (m το πλήθος) και ισοτήτων (t h k το πλήθος), αντίστοιχα..3. Μεταβλητές σχεδιασµού Οι παράµετροι εκείνες οι οποίες όταν λάβουν συγκεκριµένη τιµή καθορίζουν πλήρως έναν σχεδιασµό, ονοµάζονται µεταβλητές σχεδιασµού. Οι µεταβλητές σχεδιασµού ενδέχεται να είναι είτε συνεχείς, είτε διακριτές οπότε επιτρέπεται να λάβουν συγκεκριµένες και µόνον τιµές. Στη δεύτερη περίπτωση, η µαθηµατική διατύπωση του προβλήµατος της βελτιστοποίησης διαφοροποιείται, καθώς απαιτείται να συµπεριληφθεί ο επιπλέον περιορισµός: d s R, =,, K, (.) 4

12 Πρώτο Κεφάλαιο Βέλτιστος σχεδιασµός των κατασκευών d όπου R είναι το διακριτό πεδίο τιµών της µεταβλητής σχεδιασµού s. Η χρησιµοποίηση διακριτών τιµών είναι πολύ συχνή στον βέλτιστο σχεδιασµό κατασκευών κυρίως ραβδωτών φορέων όπου οι διατοµές που διατίθενται στο εµπόριο είναι τυποποιηµένες και έχουν συγκεκριµένες προδιαγραφές. Η επιλογή των παραµέτρων σχεδιασµού µε τις οποίες περιγράφονται διαστάσεις διατοµών, σταθερές υλικών, παράµετροι σχήµατος και τοπολογίας, είναι πολύ σηµαντική για την αποτελεσµατικότητα των µεθόδων βελτιστοποίησης. Ο µηχανικός µε την επιλογή των παραµέτρων σχεδιασµού καθορίζει εκ των προτέρων σε ποια τµήµατα της κατασκευής θα γίνουν βελτιωτικές παρεµβάσεις και µε ποιόν τρόπο θα πραγµατοποιηθούν οι µετατροπές στα τµήµατα αυτά κατά τη διάρκεια της διαδικασίας βελτιστοποίησης. Μία συνηθισµένη τεχνική που χρησιµοποιείται για προβλήµατα µε µεγάλο πλήθος παραµέτρων σχεδιασµού είναι η οµαδοποίησή τους. Με αυτόν τον τρόπο αντιµετωπίζονται αφενός κατασκευαστικές απαιτήσεις (συµµετρία, ταχύτητα και ευκολία κατασκευής), µειώνονται δε αφετέρου οι διαστάσεις του προβλήµατος άρα και το υπολογιστικό κόστος και ο χρόνος που απαιτείται για την επίλυσή του, χωρίς την απώλεια σηµαντικών πληροφοριών. Οι µεταβλητές σχεδιασµού πολλές φορές διακρίνονται σε κύριες (prmary) και δευτερεύουσες (secodary), ανάλογα µε τη σπουδαιότητά τους. Συνήθως οι δευτερεύουσες παράµετροι σχεδιασµού συνδέονται µε τις κύριες µέσω γραµµικών σχέσεων (desg varable lkg). Σε κάποιες περιπτώσεις, είναι επιθυµητό να επιλέγεται µεγαλύτερο πλήθος µεταβλητών σχεδιασµού από ότι είναι απαραίτητο για τη σωστή µοντελοποίηση της κατασκευής. Με αυτόν τον τρόπο, προστίθενται επιπλέον βαθµοί ελευθερίας στο µοντέλο και προσδίδεται µεγαλύτερη ευελιξία στη διαδικασία εξεύρεσης της βέλτιστης λύσης. Σε επόµενα βήµατα είναι δυνατό να εξαλειφθούν οι επιπλέον µεταβλητές σχεδιασµού αναθέτοντας σε αυτές συγκεκριµένες τιµές για τη συνέχεια της διαδικασίας βελτιστοποίησης. Η ανεξαρτησία µεταξύ των µεταβλητών σχεδιασµού είναι ένα επίσης σηµαντικό θέµα που πρέπει να προσεχθεί ιδιαίτερα κατά την επιλογή τους. Είναι πιθανό αν δεν ληφθεί η απαραίτητη µέριµνα, να επιλεγούν µεταβλητές σχεδιασµού εξαρτηµένες η µία από την άλλη, µε αποτέλεσµα το µαθηµατικό µοντέλο του προβλήµατος να γίνει ιδιαίτερα πολύπλοκο. 5

13 Πρώτο Κεφάλαιο Βέλτιστος σχεδιασµός των κατασκευών.3. Συναρτήσεις περιορισµών Σχεδιασµός µιας κατασκευής ονοµάζεται ένα πλήρως ορισµένο σύστηµα, δηλαδή ένα σύστηµα του οποίου οι µεταβλητές σχεδιασµού έχουν λάβει συγκεκριµένες τιµές. Σύµφωνα µε τον παραπάνω ορισµό, ως σχεδιασµός µπορεί να θεωρηθεί και ένα αυθαίρετα ορισµένο ή ακόµη και ένα φανταστικό σύστηµα, όπως λόγου χάρη µια κατασκευή της οποίας κάποια µέλη έχουν αρνητικό εµβαδόν ή κάποιες κυκλικές διατοµές έχουν αρνητική ακτίνα. Κάθε απαίτηση του σχεδιαστή µηχανικού εισάγεται στο µαθηµατικό µοντέλο βελτιστοποίησης µε τη µορφή ανισοτήτων και ισοτήτων οι οποίες ονοµάζονται περιορισµοί. Κάθε τέτοια παράσταση πρέπει να είναι εξαρτώµενη τουλάχιστον από µία µεταβλητή σχεδιασµού του προβλήµατος, καθώς µόνον τότε έχει νόηµα η ύπαρξή της στο µαθηµατικό µοντέλο. Στην περίπτωση που ένας σχεδιασµός, δηλαδή µια συγκεκριµένη τιµή των µεταβλητών σχεδιασµού δεν πληρεί κάποιον ή κάποιους από τους περιορισµούς του προβλήµατος τότε ονοµάζεται ανέφικτος (feasble), ενώ σε αντίθετη περίπτωση - όταν δηλαδή πληρούνται όλοι ανεξαιρέτως οι περιορισµοί - ονοµάζεται εφικτός (feasble). Ένας εφικτός σχεδιασµός δεν είναι φυσικά πάντοτε βέλτιστος, είναι όµως σίγουρα υλοποιήσιµος. Οι περιορισµοί που επιβάλλονται σε προβλήµατα κατασκευών χρησιµεύουν γενικά για την επιβολή των απαιτήσεων ασφαλείας, λειτουργικότητας αλλά και κατασκευαστικών πολλές φορές απαιτήσεων και περιορίζουν τελικά σηµαντικά τον χώρο των αποδεκτών λύσεων. Οι συναρτήσεις περιορισµών αφορούν δε συνήθως τάσεις και µετατοπίσεις, οι οποίες τις περισσότερες φορές δεν πρέπει να υπερβαίνουν κάποια άνω όρια. Οι περιορισµοί αυτοί δεν µπορούν γενικά να εκφραστούν αναλυτικά ως συναρτήσεις των µεταβλητών σχεδιασµού του προβλήµατος όπως στο µαθηµατικό µοντέλο που περιγράφηκε παραπάνω, παρά µόνο σε πολύ απλές εφαρµογές. Συνηθέστερα, πραγµατοποιείται για κάθε συγκεκριµένο σχεδιασµό και υπό τα φορτία σχεδιασµού επίλυση µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων, από τα αποτελέσµατα της οποίας ελέγχονται οι περιορισµοί του προβλήµατος. Λόγω της οµαδοποίησης κάποιων παραµέτρων σχεδιασµού, µπορούν να οµαδοποιηθούν αντίστοιχα και κάποιες από τις συναρτήσεις περιορισµών. Για παράδειγµα αν έχει γίνει οµαδοποίηση µελών της κατασκευής, τότε οι περιορισµοί που αφορούν λόγου χάρη την τάση κάθε µέλους της οµάδας αυτής, ανάγονται τελικά σε έναν και µόνο περιορισµό που αφορά όλα τα µέλη της οµάδας. 6

14 Πρώτο Κεφάλαιο Βέλτιστος σχεδιασµός των κατασκευών Συχνά γίνεται αναφορά σε ενεργές και ανενεργές συναρτήσεις περιορισµών. Μία r * ανισοτική συνάρτηση περιορισµού g j (s) 0 καλείται ενεργή (actve) σε ένα σηµείο s στην r * περίπτωση που ικανοποιείται ως ισότητα, δηλαδή g j (s ) = 0 και ανενεργή (actve) στην r* περίπτωση που ικανοποιείται αυστηρώς ως ανισότητα, δηλαδή g j (s ) < 0. Η ανωτέρω r* ανισοτική συνάρτηση περιορισµού θεωρείται ότι παραβιάζεται για τον σχεδιασµό s στην r* περίπτωση που λαµβάνει θετική τιµή, δηλαδή g j (s ) > 0. Αντίστοιχα µία ισοτική r* r* συνάρτηση περιορισµών h k (s ) = 0 θεωρείται ότι παραβιάζεται στο σηµείο s αν δεν r * ισχύει η ισότητα, δηλαδή h (s ) 0. Συνεπώς µία ανισοτική συνάρτηση περιορισµού k µπορεί να είναι ενεργή, ανενεργή ή να παραβιάζεται, ενώ µία ισοτική συνάρτηση περιορισµού ενδέχεται να είναι είτε ενεργή, είτε να παραβιάζεται. Εποµένως, καθίσταται σαφές ότι κάθε εφικτός σχεδιασµός ορίζεται από ενεργές ή ανενεργές ανισοτικές συναρτήσεις περιορισµών καθώς και από ενεργές ισοτικές συναρτήσεις περιορισµών. Συµβαίνει καµιά φορά ο σχεδιαστής, είτε για λόγους αβεβαιότητας είτε λόγω απειρίας να επιβάλλει επιπλέον συναρτήσεις περιορισµών οι οποίες ενδέχεται να είναι άχρηστες, αφού είτε είναι εξαρτηµένες από άλλες, είτε εµφανίζονται πάντα στην ασφαλή περιοχή (µονίµως ανενεργές). Αυτό έχει ως αποτέλεσµα τη χωρίς κανένα όφελος διόγκωση των υπολογισµών ιδίως για την περίπτωση των µεθόδων µαθηµατικού προγραµµατισµού στις οποίες απαιτείται η χρονοβόρα διαδικασία της ανάλυσης ευαισθησίας. Γενικά σε κάθε βήµα της διαδικασίας βελτιστοποίησης είναι απίθανο να επηρεάζουν την εύρεση ενός καλύτερου σχεδιασµού όλες οι συναρτήσεις περιορισµών, δηλαδή να είναι όλες οι συναρτήσεις περιορισµών ενεργές. Βέβαια ο σχεδιαστής δεν έχει τη δυνατότητα να γνωρίζει εκ των προτέρων ποιες από τις συναρτήσεις περιορισµών είναι απαραίτητες σε κάθε βήµα του βέλτιστου σχεδιασµού (ενεργές) και ποιες όχι (ανενεργές) για την εύρεση της βέλτιστης λύσης. Γι αυτόν τον λόγο, κατά την επίλυση προβληµάτων βελτιστοποίησης είναι απαραίτητη η χρησιµοποίηση διαφόρων τεχνικών αποτελεσµατικότερης αντιµετώπισης των περιορισµών, οι οποίες βελτιώνουν κατά πολύ την απόδοση των µεθόδων βελτιστοποίησης και µειώνουν σηµαντικά τον χρόνο των υπολογισµών, ειδικά όταν το πρόβληµα είναι σχετικά µεγάλο δηλαδή µε πολλές µεταβλητές σχεδιασµού και συναρτήσεις περιορισµών. Σε αυτήν την περίπτωση προκειµένου να µειωθούν οι υπολογισµοί των τιµών των συναρτήσεων περιορισµών και των παραγώγων τους, σε κάθε βήµα εντοπίζονται οι συναρτήσεις περιορισµών που είναι εντός της ασφαλούς περιοχής, είναι δηλαδή ανενεργές, οπότε δεν 7

15 Πρώτο Κεφάλαιο Βέλτιστος σχεδιασµός των κατασκευών επηρεάζουν στην τρέχουσα φάση τη διαδικασία εύρεσης ενός βελτιωµένου σχεδιασµού και εποµένως µπορούν προς στιγµήν να παραλειφθούν. Μία ενεργή συνάρτηση περιορισµών υποδηλώνει ότι η παρουσία της επηρεάζει σηµαντικά τη βελτίωση του τρέχοντος σχεδιασµού. Εξ ορισµού οι ισοτικές συναρτήσεις περιορισµών πρέπει να πληρούνται σε κάθε βήµα κι έτσι περιλαµβάνονται πάντα στο σύνολο των ενεργών συναρτήσεων περιορισµών. Για να συµπεριληφθεί µία ανισοτική συνάρτηση στο σύνολο των ενεργών συναρτήσεων περιορισµών θα πρέπει στην τρέχουσα φάση να πληρείται ως ισότητα, έστω και κατά προσέγγιση. Όταν µία συνάρτηση περιορισµού είναι ανενεργή, τότε η παρουσία της δεν επηρεάζει τη διαδικασία βελτιστοποίησης τη δεδοµένη στιγµή αφού υπερκαλύπτεται από τις ενεργές συναρτήσεις περιορισµών. Αυτό δεν σηµαίνει βέβαια ότι η συνάρτηση αυτή είναι περιττή, αφού µπορεί σε κάποιο επόµενο βήµα να ενεργοποιηθεί. Συνήθως οι µαθηµατικοί αλγόριθµοι βελτιστοποίησης για αύξηση της αποτελεσµατικότητάς τους χρησιµοποιούν µόνο τις ενεργές συναρτήσεις περιορισµών. Υπάρχουν όµως και άλλες µέθοδοι βέλτιστου σχεδιασµού, όπως η εµπειρική µέθοδος της πλήρους εντατικής κατάστασης, οι οποίες βασίζονται στην εκµετάλλευση της ύπαρξης των ανενεργών συναρτήσεων περιορισµών. Όπως προειπώθηκε, µέσα στο σύνολο των ενεργών συναρτήσεων περιορισµών συµπεριλαµβάνονται συνήθως και ανισοτικοί περιορισµοί οι οποίοι ικανοποιούνται προσεγγιστικά ως ισότητες. Όµως η εκάστοτε τιµή ενός ανισοτικού περιορισµού αυτή καθ αυτή δεν µπορεί να µας δώσει κάποια χρήσιµη πληροφορία σχετικά µε το αν ο υπό εξέταση περιορισµός είναι κοντά στο όριο, δηλαδή αν είναι ενεργός έστω και κατά προσέγγιση ή ανενεργός. Για παράδειγµα, ενδέχεται η τιµή µίας συνάρτησης περιορισµού µετατοπίσεων να είναι της τάξης των 0..0 cm, ενώ η τιµή µίας συνάρτησης περιορισµού τάσεων να είναι της τάξης των 5000 kpa. Είναι έτσι φανερό ότι προκειµένου να εντοπιστούν οι ενεργές συναρτήσεων περιορισµών πρέπει να γίνει µία κανονικοποίηση στις τιµές τους, ώστε να υπάρχει ένα ενιαίο σύστηµα αναφοράς. Μέσω της κανονικοποίησης των τιµών αλλά και των παραγώγων των συναρτήσεων περιορισµών επιτυγχάνεται επίσης και βελτίωση της απόδοσης των αλγορίθµων βελτιστοποίησης, αλλά και µείωση των υπολογισµών καθώς απαιτείται πλέον η εύρεση των παραγώγων µόνο των ενεργών συναρτήσεων περιορισµών. Η κανονικοποίηση των τιµών των συναρτήσεων περιορισµών γίνεται σύµφωνα µε τις σχέσεις: 8

16 Πρώτο Κεφάλαιο Βέλτιστος σχεδιασµός των κατασκευών g N j l r g j g j (s) = l g j 0 για l g j g j (.3) και g N j u r g j g j (s) = u g j 0 για u g j g j (.4) Από τις παραπάνω σχέσεις, η πρώτη αναφέρεται σε µία συνάρτηση περιορισµών µορφής κάτω ορίου, ενώ η δεύτερη σε µία συνάρτηση περιορισµών µορφής άνω ορίου. Σε περίπτωση που µία συνάρτηση περιορισµών έχει κανονικοποιηµένη τιµή λόγου χάρη +0.0, τότε παραβιάζει την επιτρεπόµενη τιµή κατά 0%, ενώ εάν έχει κανονικοποιηµένη τιµή -0.0, τότε βρίσκεται κατά 0% εντός της επιτρεπόµενης περιοχής. Συνήθως µέσα στο σύνολο των ενεργών συναρτήσεων περιορισµών συµπεριλαµβάνονται όσες από αυτές έχουν κανονικοποιηµένη τιµή από 0. έως 0.0. Επίσης, συνήθως επιτρέπεται µία µικρή ανοχή όταν οι συναρτήσεις περιορισµών παραβιάζουν ελάχιστα την επιτρεπόµενη τιµή (0.00 έως 0.005) αφού έτσι κι αλλιώς η όλη διαδικασία προσοµοίωσης, ανάλυσης, σχεδιασµού και εφαρµογής εµπεριέχει πολλές προσεγγιστικές θεωρήσεις και αβεβαιότητες οπότε δεν έχει πρακτικό νόηµα η εξεζητηµένη αυστηρότητα στις υπερβάσεις των περιορισµών..3.3 Αντικειµενική συνάρτηση Όπως προειπώθηκε, ένας σχεδιασµός µπορεί να είναι εφικτός ή µη εφικτός. Σε κάθε πρόβληµα βελτιστοποίησης υπάρχουν πολλοί το πλήθος εφικτοί σχεδιασµοί, εκ των οποίων όµως κάποιοι υπερτερούν έναντι άλλων και ένας από αυτούς αποτελεί τη βέλτιστη λύση του προβλήµατος. Για να γίνει αυτού του είδους η διάκριση µεταξύ καλού και ακόµη καλύτερου σχεδιασµού, είναι αναγκαία η ύπαρξη ενός κριτηρίου για τη σύγκριση και την αξιολόγηση των σχεδιασµών. Το κριτήριο αυτό είναι µια συνάρτηση η οποία λαµβάνει µια συγκεκριµένη τιµή για κάθε σχεδιασµό. Η συνάρτηση αυτή ονοµάζεται αντικειµενική συνάρτηση και είναι εξαρτηµένη από τις µεταβλητές σχεδιασµού (σχέσεις.). Χωρίς βλάβη της γενικότητας οι εξισώσεις (.) αναφέρονται σε ένα πρόβληµα ελαχιστοποίησης. Ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης της συνάρτησης F(s r ) µπορεί να µετατραπεί εύκολα σε πρόβληµα 9

17 Πρώτο Κεφάλαιο Βέλτιστος σχεδιασµός των κατασκευών ελαχιστοποίησης της συνάρτησης F(s r ). Μία συνάρτηση της οποίας η τιµή ζητείται να ελαχιστοποιηθεί, συχνά αποκαλείται συνάρτηση κόστους. Η επιλογή της κατάλληλης αντικειµενικής συνάρτησης είναι ένα σηµαντικότατο θέµα για τη διαδικασία της βελτιστοποίησης. Στα προβλήµατα βελτιστοποίησης κατασκευών, χαρακτηριστικά παραδείγµατα αντικειµενικών συναρτήσεων είναι η ελαχιστοποίηση του βάρους, η ελαχιστοποίηση των τάσεων ή των µετατοπίσεων, η µεγιστοποίηση της ακαµψίας κ.α. Σε πολλά προβλήµατα βέλτιστου σχεδιασµού κατασκευών ζητούµενο είναι η ταυτόχρονη βελτιστοποίηση δύο ή και περισσότερων αντικειµενικών συναρτήσεων. Για παράδειγµα, µπορεί το ζητούµενο να είναι η ελαχιστοποίηση του βάρους της κατασκευής και η ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση των µετατοπίσεων ή των τάσεων σε κάποια συγκεκριµένα σηµεία του φορέα. Προβλήµατα αυτού του τύπου ονοµάζονται προβλήµατα βελτιστοποίησης µε πολλές αντικειµενικές συναρτήσεις (Multcrtera desg optmzato ή Pareto optmal desg). Στα προβλήµατα αυτά καθώς και στις µεθόδους αντιµετώπισής τους θα αναφερθούµε διεξοδικά στο δεύτερο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας. Κατά τη διάρκεια της αναζήτησης του βέλτιστου σχεδιασµού, απώτερος σκοπός ενός βελτιστοποιητή είναι η εύρεση του καθολικού βέλτιστου (το οποίο συνηθέστερα στη βελτιστοποίηση κατασκευών, είναι το καθολικό ελάχιστο). Ο χώρος αναζήτησης όµως στη συνήθη περίπτωση των µη κυρτών προβληµάτων περιέχει και πολλά τοπικά ελάχιστα, στα οποία ενδέχεται να παγιδευτεί ο βελτιστοποιητής. Αυτό είναι ένα από τα κυριότερα προβλήµατα των µαθηµατικών µεθόδων βελτιστοποίησης και οφείλεται στον ντετερµινιστικό τρόπο λειτουργίας τους. Αντίθετα, οι µέθοδοι βελτιστοποίησης που βασίζονται σε πιθανοτικές θεωρήσεις, έχουν περισσότερες πιθανότητες να εντοπίσουν το καθολικό ελάχιστο, καθώς λόγω της τυχηµατικότητας που τις διέπει µπορούν να ξεφύγουν µε µεγαλύτερη ευκολία από πιθανά τοπικά ελάχιστα. Ο ορισµός του τοπικού και του καθολικού ελάχιστου από µαθηµατική σκοπιά, δίνεται ως εξής: Τοπικό ελάχιστο (Local mmum). Ένα σηµείο r* s στον χώρο σχεδιασµού θεωρείται τοπικό ή σχετικό ελάχιστο όταν πληρεί τις συναρτήσεις περιορισµών και ισχύει η σχέση F (s r r * ) F(s) για κάθε σηµείο εφικτού σχεδιασµού σε οσοδήποτε µικρή ακτίνα γύρω * από το σηµείο s r r. Εάν ισχύει µόνο η ανισότητα, δηλαδή F (s * r r ) < F(s ) *, τότε το σηµείο s καλείται αυστηρό (strct) ή µοναδικό (uque) ή δυνατό (strog) τοπικό ελάχιστο. 0

18 Πρώτο Κεφάλαιο Βέλτιστος σχεδιασµός των κατασκευών Καθολικό ελάχιστο (Global mmum). Ένα σηµείο r* s στον χώρο σχεδιασµού θεωρείται καθολικό ή απόλυτο ελάχιστο όταν πληρεί τις συναρτήσεις περιορισµών και ισχύει η σχέση F (s r r * ) F(s) για κάθε σηµείο εφικτού σχεδιασµού. Εάν ισχύει µόνο η ανισότητα, δηλαδή F (s r r r * * ) < F(s), τότε το σηµείο s καλείται αυστηρό (strct) ή µοναδικό (uque) ή δυνατό (strog) καθολικό ελάχιστο. Στην περίπτωση που δεν υπάρχουν συναρτήσεις περιορισµών τότε ισχύουν οι ίδιοι ορισµοί, αλλά σε ολόκληρο τον χώρο σχεδιασµού και όχι µόνο στην περιοχή εφικτών σχεδιασµών. Γενικά είναι δύσκολο να προσδιοριστεί εκ των προτέρων ότι όντως υπάρχει τοπικό ή καθολικό ελάχιστο σε ένα πρόβληµα βέλτιστου σχεδιασµού. Πάντως εάν η αντικειµενική συνάρτηση F(s r ) είναι συνεχής και η περιοχή εφικτών σχεδιασµών είναι µη κενή (o empty), κλειστή (closed) και καθορισµένη (bouded), τότε αποδεικνύεται µαθηµατικά ότι υπάρχει πάντοτε καθολικό ελάχιστο για την F(s r ). Η περιοχή εφικτών σχεδιασµών είναι µη κενή όταν δεν υπάρχουν αλληλοσυγκρουόµενες ή υπεράριθµες συναρτήσεις περιορισµών, ενώ θεωρείται κλειστή και καθορισµένη όταν οι συναρτήσεις περιορισµών είναι συνεχείς και δεν υπάρχουν αυστηρές ανισότητες (g < 0). Οι παραπάνω συνθήκες είναι ικανές για την εξασφάλιση του καθολικού ελαχίστου, όχι όµως και αναγκαίες. Αυτό σηµαίνει ότι ακόµη κι αν δεν ικανοποιούνται οι συνθήκες αυτές, ενδέχεται να υπάρχει καθολικό ελάχιστο, το οποίο πιθανά θα προκύψει κατά τη διάρκεια της διαδικασίας βελτιστοποίησης. Εάν ο αλγόριθµος βελτιστοποίησης δεν µπορεί να εντοπίσει κανένα εφικτό σηµείο τότε η περιοχή εφικτών σχεδιασµών είναι κενή και εποµένως πρέπει να επαναδιατυπωθεί το πρόβληµα αφαιρώντας κάποιες συναρτήσεις περιορισµών ή κάνοντάς τις ελαστικότερες..4 Κατηγορίες βελτιστοποίησης κατασκευών Η βελτιστοποίηση κατασκευών χωρίζεται γενικά σε τρεις µεγάλες κατηγορίες: () Τη βελτιστοποίηση της τοπολογίας (Topology optmzato) () Τη βελτιστοποίηση του σχήµατος (Shape optmzato) () Τη βελτιστοποίηση των µεγεθών των διατοµών (Szg optmzato)

19 Πρώτο Κεφάλαιο Βέλτιστος σχεδιασµός των κατασκευών Σήµερα υπάρχει η τάση ένα γενικό πρόβληµα βελτιστοποίησης να εντοπίζεται αρχικά ως πρόβληµα εύρεσης της βέλτιστης τοπολογίας και στη συνέχεια ως πρόβληµα εύρεσης του βέλτιστου σχήµατος ή εύρεσης των βέλτιστων διατοµών. Στο σχήµα. που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις διαφορετικοί τύποι βελτιστοποίησης. Για την κάθε περίπτωση, παρουσιάζεται ο αρχικός φορέας και ο φορέας µετά το πέρας της διαδικασίας βελτιστοποίησης. (α) (β) (γ) Σχήµα.. Είδη βελτιστοποίησης κατασκευών: (α) βαθµωτών µεγεθών (διατοµών), (β) σχήµατος, (γ) τοπολογίας Στις επόµενες παραγράφους, θα γίνει µια σύντοµη αναφορά στις τρεις κατηγορίες βελτιστοποίησης. Με την τρίτη κατηγορία (βελτιστοποίηση βαθµωτών µεγεθών), η οποία αποτελεί και το κατεξοχήν αντικείµενο της παρούσας διπλωµατικής εργασίας, θα ασχοληθούµε και στο κεφάλαιο των εφαρµογών..4. Βελτιστοποίηση τοπολογίας κατασκευών (Topology optmzato) Στον σχεδιασµό των κατασκευών είναι απαραίτητο να καθορισθεί µία όσο το δυνατόν καλύτερη τοπολογία (topology) ή δοµή (layout) της κατασκευής, έτσι ώστε να γίνει

20 Πρώτο Κεφάλαιο Βέλτιστος σχεδιασµός των κατασκευών αποτελεσµατικότερη στην ανάληψη φορτίων και οικονοµικότερη. Στον όρο δοµή της κατασκευής συµπεριλαµβάνεται κάθε είδους πληροφορία που αφορά την τοπολογία, το σχήµα και το µέγεθός της. Η τοπολογία µίας κατασκευής συνήθως είναι προκαθορισµένη από τις απαιτήσεις του προβλήµατος και τους κατασκευαστικούς περιορισµούς, ή προέρχεται από κάποιο αρχικό σχεδιασµό του µηχανικού. Οι αλγόριθµοι βελτιστοποίησης της τοπολογίας, οι οποίοι άρχισαν να αναπτύσσονται µόλις τα τελευταία δεκαπέντε χρόνια, είναι εργαλεία που βοηθάνε τον σχεδιαστή µηχανικό να επιτύχει την αποτελεσµατική χρήση των υλικών για να καλύψει τις ανάγκες του προβλήµατος. Αρχικά ορίζεται ο χώρος σχεδιασµού ή αναφοράς (referece doma), ο τύπος υλικού, οι συνθήκες στήριξης και οι φορτίσεις και έπειτα γίνεται η ανάλυση του φορέα και η επαναληπτική διαδικασία που θα οδηγήσει στη βέλτιστη τοπολογία, δηλαδή στην καλύτερη δυνατή κατανοµή υλικού στην κατασκευή. Έχοντας επιτύχει τη βέλτιστη τοπολογία το επόµενο βήµα προς τον βέλτιστο σχεδιασµό είναι να καθαριστεί το σχήµα και το µέγεθος του φορέα µε κατάλληλους αλγόριθµους βελτιστοποίησης. Οι αλγόριθµοι αυτοί, που έχουν να κάνουν µε τη βελτιστοποίηση του σχήµατος πλέον της κατασκευής, έρχονται να δράσουν συµπληρωµατικά µε τη βελτιστοποίηση της τοπολογίας, ώστε να επιτευχθεί τελικά η βέλτιστη δοµή της κατασκευής..4. Βελτιστοποίηση σχήµατος κατασκευών (Shape optmzato) Η βελτιστοποίηση σχήµατος (Shape optmzato) είναι ένα σχετικά καινούργιο πεδίο έρευνας στον χώρο του βέλτιστου σχεδιασµού κατασκευών. Με τη βελτιστοποίηση σχήµατος, µεταβάλλονται το εσωτερικό και το εξωτερικό περίγραµµα της κατασκευής ώστε να επιτευχθεί η καλύτερη δυνατή κατανοµή των τάσεων στο εσωτερικό της. Οι πρώτες µεθοδολογίες καταγράφονται σποραδικά στη δεκαετία του 970 παίρνοντας στοιχεία από τη βελτιστοποίηση βαθµωτών µεγεθών κατασκευών. Οι πρώτες δοµηµένες τεχνικές πάνω στο αντικείµενο άρχισαν να υλοποιούνται στη δεκαετία του 980, οπότε έγιναν και οι πρώτες απόπειρες καταγραφής της υπάρχουσας βιβλιογραφίας στον τοµέα αυτόν. Τα τελευταία χρόνια και µε τη βοήθεια που παρέχουν τα εξελιγµένα πακέτα λογισµικού γεωµετρικής µοντελοποίησης και γραφικής αναπαράστασης έχουν αναπτυχθεί αρκετά προχωρηµένα 3

ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµοστατικής Εργαστήριο Στατικής και Αντισεισµικών Ερευνών ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΥΠΟ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΦΟΡΤΙΣΕΙΣ ΜΕ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές Γενικά Για Τη Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση µπορεί να χωριστεί σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) την Βελτιστοποίηση Τοπολογίας (Topological Optimization) και β) την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης (Design Optimization).

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑΣ Π. ΛΟΥΚΟΓΕΩΡΓΑΚΗ Διπλωματούχου Πολιτικού Μηχανικού ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων 1 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων xu

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1 1. Τα δεδομένα μπορούν να παρέχουν πληροφορίες όταν υποβάλλονται σε 2. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών μιας επιχείρησης είναι πρόβλημα 3. Για την επίλυση ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH

ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (ΕΑ) είναι καθολικοί στοχαστικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης, εμπνευσμένοι από τις βασικές αρχές της φυσικής εξέλιξης.

Οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (ΕΑ) είναι καθολικοί στοχαστικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης, εμπνευσμένοι από τις βασικές αρχές της φυσικής εξέλιξης. Οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (ΕΑ) είναι καθολικοί στοχαστικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης, εμπνευσμένοι από τις βασικές αρχές της φυσικής εξέλιξης. Ένα από τα γνωστότερα παραδείγματα των ΕΑ είναι ο Γενετικός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

«Αριθμητική και πειραματική μελέτη της διεπιφάνειας χάλυβασκυροδέματος στις σύμμικτες πλάκες με χαλυβδόφυλλο μορφής»

«Αριθμητική και πειραματική μελέτη της διεπιφάνειας χάλυβασκυροδέματος στις σύμμικτες πλάκες με χαλυβδόφυλλο μορφής» ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ «Αριθμητική και πειραματική μελέτη της διεπιφάνειας χάλυβασκυροδέματος στις σύμμικτες πλάκες με χαλυβδόφυλλο μορφής» του Θεμιστοκλή Τσαλκατίδη, Δρ. Πολιτικού Μηχανικού

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη.

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. 4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. Η μετατροπή μιας εντολής επανάληψης σε μία άλλη ή στις άλλες δύο εντολές επανάληψης, αποτελεί ένα θέμα που αρκετές φορές έχει εξεταστεί σε πανελλαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Τα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον.

Τα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Τα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον. Μέθοδοι που απαιτούν

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

215 Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πάτρας

215 Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πάτρας 215 Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πάτρας Το Τμήμα ασχολείται με τη διδασκαλία και την έρευνα στην επιστήμη και τεχνολογία των υπολογιστών και τη μελέτη των εφαρμογών τους. Το Τμήμα ιδρύθηκε το 1980 (ως

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 1.1 Κατασκευές και δομοστατική 3 1.2 Διαδικασία σχεδίασης κατασκευών 4 1.3 Βασικά δομικά στοιχεία 6 1.4 Είδη κατασκευών 8 1.4.1 Δικτυώματα 8

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14: Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 14: Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής Κεφάλαιο 14: Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής Έλεγχος λειτουργίας δικτύων διανομής με χρήση μοντέλων υδραυλικής ανάλυσης Βασικό ζητούμενο της υδραυλικής ανάλυσης είναι ο έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αντισεισμικοί κανονισμοί Κεφ.23. Ε.Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Παν.Πατρών

Αντισεισμικοί κανονισμοί Κεφ.23. Ε.Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Παν.Πατρών Κεφ.23 Ε.Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Παν.Πατρών Ο αντισεισμικός σχεδιασμός απαιτεί την εκ των προτέρων εκτίμηση των δυνάμεων που αναμένεται να δράσουν επάνω στην κατασκευή κατά τη διάρκεια της ζωής της

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 1: Το πρόβλημα της βελτιστοποίησης Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH

ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ σχολικού συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας drizosdim@yahoo.gr Εισαγωγή Σύντομη ιστορική αναδρομή Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

«Τεχνολογία και Προοπτικές εξέλιξης μικρών υδροστροβίλων» Δημήτριος Παπαντώνης και Ιωάννης Αναγνωστόπουλος

«Τεχνολογία και Προοπτικές εξέλιξης μικρών υδροστροβίλων» Δημήτριος Παπαντώνης και Ιωάννης Αναγνωστόπουλος Τα μικρά Υδροηλεκτρικά Εργα γνωρίζουν τα τελευταία χρόνια σημαντική ανάπτυξη, τόσο στην Ευρώπη όσο και στον κόσμο ολόκληρο, είτε με την κατασκευή νέων ή με την ανανέωση του εξοπλισμού των υπαρχόντων σταθμών

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 1 Εισαγωγή Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 3 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

H Λήψη των Αποφάσεων. Αθανασία Καρακίτσιου, PhD

H Λήψη των Αποφάσεων. Αθανασία Καρακίτσιου, PhD H Λήψη των Αποφάσεων Αθανασία Καρακίτσιου, PhD 1 Πως λαμβάνονται οι αποφάσεις Η λήψη αποφάσεων είναι η επιλογή μίας λύσης μεταξύ εναλλακτικών προτάσεων που έχουμε στην διάθεση μας. Η άποψη αυτή παρουσιάζει

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί

Διαβάστε περισσότερα

7.9 ροµολόγηση. Ερωτήσεις

7.9 ροµολόγηση. Ερωτήσεις 7.9 ροµολόγηση Ερωτήσεις 1. Να δώσετε τον ορισµό της δροµολόγησης; 2. Από τι εξαρτάται η χρονική στιγµή στην οποία λαµβάνονται οι αποφάσεις δροµολόγησης; Να αναφέρετε ποια είναι αυτή στην περίπτωση των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικά θέματα εξετάσεων. ΠΡΟΣΟΧΗ: Οι ερωτήσεις που παρατίθενται ΔΕΝ καλύπτουν την πλήρη ύλη του μαθήματος και παρέχονται απλά ενδεικτικά

Τυπικά θέματα εξετάσεων. ΠΡΟΣΟΧΗ: Οι ερωτήσεις που παρατίθενται ΔΕΝ καλύπτουν την πλήρη ύλη του μαθήματος και παρέχονται απλά ενδεικτικά ΤΕΙ Κεντρικής Μακεδονίας Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Τηλεπικοινωνιών & Πληροφορικής Μάθημα : 204a Υπολογιστική Ευφυία Μηχανική Μάθηση Καθηγητής : Σπύρος Καζαρλής Ενότηα : Εξελικτική

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Η έννοια πρόβληµα Ανάλυση προβλήµατος Με τον όρο πρόβληµα εννοούµε µια κατάσταση η οποία χρήζει αντιµετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή ούτε προφανής. Μερικά προβλήµατα είναι τα εξής:

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους

Επίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους Επίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους Επαµεινώνδας. Φριτζίλας Μ Ε Βιοπληροφορικής Τµήµα Βιολογίας ΕΚΠΑ 17 Φεβρουαρίου 2005 Τί σηµαίνει ο τίτλος ; γεωµετρικός περιορισµός:

Διαβάστε περισσότερα

J-GANNO. Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β, Φεβ.1998) Χάρης Γεωργίου

J-GANNO. Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β, Φεβ.1998) Χάρης Γεωργίου J-GANNO ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΑΚΕΤΟ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΕΧΝΗΤΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΙΚΤΥΩΝ ΣΤΗ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ JAVA Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Εισαγωγή Ηεµφάνιση ηλεκτρονικών υπολογιστών και λογισµικού σε εφαρµογές µε υψηλές απαιτήσεις αξιοπιστίας, όπως είναι διαστηµικά προγράµµατα, στρατιωτικές τηλεπικοινωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel)

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Απόκριση σε Τυχαία Φόρτιση: Βασική Ιδέα Δ10-2 Το πρόβλημα της κίνησης μονοβάθμιου συστήματος σε τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΚΤΕΣ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΠΕΛΑΤΩΝ

ΕΙΚΤΕΣ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΠΕΛΑΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (ΣΗΕ) ΕΙΚΤΕΣ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης 6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση προβληµάτων

Μοντελοποίηση προβληµάτων Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 24-27 Αρχή υνατών Έργων (Α Ε) Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 και Τρίτη, 9 Νοεµβρίου, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

Διερεύνηση μεθόδων αναζήτησης ολικού βελτίστου σε προβλήματα υδατικών πόρων

Διερεύνηση μεθόδων αναζήτησης ολικού βελτίστου σε προβλήματα υδατικών πόρων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ» Διερεύνηση μεθόδων αναζήτησης ολικού βελτίστου σε προβλήματα υδατικών πόρων

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan)

Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan) On-the-fly feedback, Upper Secondary Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan) Τάξη: Β Λυκείου Διάρκεια ενότητας Μάθημα: Φυσική Θέμα: Ταλαντώσεις (αριθμός Χ διάρκεια μαθήματος): 6X90

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Θεµελίωση Γενετικών Αλγορίθµων

Θεµελίωση Γενετικών Αλγορίθµων Θεµελίωση Γενετικών Αλγορίθµων Σηµερινό Μάθηµα Προβληµατισµοί Σχήµατα Τάξη Οριστικό Μήκος ΘεώρηµατωνΣχηµάτων Υπόθεση δοµικών Στοιχείων Πλάνη 1 Προβληµατισµοί Τι προβλέψεις µπορούν να γίνουν για τη χρονική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

«Διαδικασία Συµµετοχής Η σωστή επιλογή προγράµµατος, εταιρικού σχήµατος και στρατηγικής. Η υποβολή της πρότασης»

«Διαδικασία Συµµετοχής Η σωστή επιλογή προγράµµατος, εταιρικού σχήµατος και στρατηγικής. Η υποβολή της πρότασης» Training Session Ευκαιρίες χρηµατοδότησης για έργα σχετικά µε την προστασία του περιβάλλοντος στην Περιφερειακή Ενότητα Πρέβεζας και στην Περιφέρεια Ηπείρου γενικότερα Πρέβεζα, 8 9 Οκτωβρίου 2012 «Διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Υπολογιστικής Νοημοσύνης στις Ασύρματες Επικοινωνίες

Εφαρμογές Υπολογιστικής Νοημοσύνης στις Ασύρματες Επικοινωνίες ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ Τ.Ε.Ι. ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε. Εφαρμογές Υπολογιστικής Νοημοσύνης στις Ασύρματες Επικοινωνίες Πτυχιακή εργασία Φοιτήτρια: Ριζούλη Βικτώρια

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού

4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού 4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού χωρίς την απόδειξή του. Στόχοι της δραστηριότητας

Διαβάστε περισσότερα

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

Στην προσπάθεια της η επιστήμη να περιγράψει την φύση, χρησιμοποιεί μαθηματικά

Στην προσπάθεια της η επιστήμη να περιγράψει την φύση, χρησιμοποιεί μαθηματικά Στην προσπάθεια της η επιστήμη να περιγράψει την φύση, χρησιμοποιεί μαθηματικά προσομοιώματα, τα οποία μέσω συγκεκριμένων παραδοχών πλησιάζουν την πραγματικότητα. Έτσι και στην επιστήμη του πολιτικού μηχανικού,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΩΤΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΤΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΠΟΩΤΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΤΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ ΡΙΣΤΟΤΕΩΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΟΕΣΣΑΩΟΝΙΚΗΣ ΠΟΩΤΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΤΑΣΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΤΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ Γεωργία N. Γεωργίου Διπλ. Μηχανολόγος Μηχανικός A.Π.O. ΙΖΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Υφαλμύρινση Παράκτιων Υδροφορέων - προσδιορισμός και αντιμετώπιση του φαινομένου με συνδυασμό μοντέλων προσομοίωσης και μεθόδων βελτιστοποίησης

Υφαλμύρινση Παράκτιων Υδροφορέων - προσδιορισμός και αντιμετώπιση του φαινομένου με συνδυασμό μοντέλων προσομοίωσης και μεθόδων βελτιστοποίησης Υφαλμύρινση Παράκτιων Υδροφορέων - προσδιορισμός και αντιμετώπιση του φαινομένου με συνδυασμό μοντέλων προσομοίωσης και μεθόδων βελτιστοποίησης Καθ. Καρατζάς Γεώργιος Υπ. Διδ. Δόκου Ζωή Σχολή Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΜΑΘΗΜΑ 2 ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΝ (1)

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΜΑΘΗΜΑ 2 ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΝ (1) ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΜΑΘΗΜΑ 2 ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΝ (1) 2. ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ H υλοποίηση ενός προβλήµατος σε σύστηµα Η/Υ που επιδεικνύει ΤΝ 1 απαιτεί: Την κατάλληλη περιγραφή του προβλήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 3-4 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 ΗΜ/ΝΙΑ 1ο-2ο Φυσική Φυσικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 10 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΥΠΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ 1. Πως ορίζεται ο τμηματικός προγραμματισμός; Τμηματικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Πολυβάθμια Συστήματα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης. Καθηγητής ΕΜΠ. Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Πολυβάθμια Συστήματα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης. Καθηγητής ΕΜΠ. Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Πολυβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Δυσκαμψία 1. Εξίσωση Κίνησης χωρίς Απόσβεση: Επιβαλλόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2. Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2. Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2 Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής Α2. Ο αλγόριθμος αποτελείται από ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών Α3. Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Αναγνώριση Προτύπων Ι Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 3: Στοχαστικά Συστήματα Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

Balanced Scorecard ως σύστημα μέτρησης απόδοσης

Balanced Scorecard ως σύστημα μέτρησης απόδοσης Balanced Scorecard Η ΜΕΘΟΔΟΣ BALANCED SCORECARD Όπως είναι γνωστό οι εταιρείες αντιµετωπίζουν πολλά εµπόδια στην ανάπτυξη συστηµάτων µέτρησης επίδοσης τα οποία πραγµατικά µετρούν τα κατάλληλα µεγέθη. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση για Ανασχηματισμό του Προγράμματος Προπτυχιακών Σπουδών της ΣΗΜΜΥ

Πρόταση για Ανασχηματισμό του Προγράμματος Προπτυχιακών Σπουδών της ΣΗΜΜΥ Πρόταση για Ανασχηματισμό του Προγράμματος Προπτυχιακών Σπουδών της ΣΗΜΜΥ Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής και Υπολογιστών Περίληψη Τί προτείνουμε, πώς και γιατί με λίγα λόγια: 55 μαθήματα = 30 για ενιαίο

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη προβλημάτων ΠΗΙ λόγω λειτουργίας βοηθητικών προωστήριων μηχανισμών

Μελέτη προβλημάτων ΠΗΙ λόγω λειτουργίας βοηθητικών προωστήριων μηχανισμών «ΔιερΕΥνηση Και Aντιμετώπιση προβλημάτων ποιότητας ηλεκτρικής Ισχύος σε Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας (ΣΗΕ) πλοίων» (ΔΕΥ.Κ.Α.Λ.Ι.ΩΝ) πράξη ΘΑΛΗΣ-ΕΜΠ, πράξη ένταξης 11012/9.7.2012, MIS: 380164, Κωδ.ΕΔΕΙΛ/ΕΜΠ:

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Εισαγωγή Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Δ03-2 Οι ενεργειακές μέθοδοι αποτελούν τη βάση για υπολογισμό των μετακινήσεων, καθώς η μετακίνηση εισέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα