3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς"

Transcript

1 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις έχουν ορισμένα χαρακτηριστικά Όλες τους εμφανίζονται συχνά στη πράξη και χρειάζονται ένα μεγάλο αριθμό περιορισμών και μεταβλητών έτσι ώστε η εφαρμογή της μεθόδου Siplex με ηλεκτρονικούς υπολογιστές να γίνεται μη συμφέρουσα ή ακόμη και υπολογιστικά απαγορευμένη Ευτυχώς, ένα άλλο χαρακτηριστικό είναι ότι οι περισσότεροι συντελεστές α ij στους περιορισμούς είναι μηδέν, με αποτέλεσμα να έχουν αναπτυχθεί ειδικές παραλλαγές της μεθόδου Siplex, με τις οποίες πετυχαίνεται μεγάλη εξοικονόμηση υπολογισμών στην επίλυση των προβλημάτων αυτών Ο συντελεστής α ij είναι ο συντελεστής της j μεταβλητής στον i περιορισμό Σ αυτή την παράγραφο θα εξετάσουμε την πιο σπουδαία ειδική περίπτωση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού που είναι το πρόβλημα της μεταφοράς (trasportatio proble) Στις επόμενες παραγράφους, θα εξετάσουμε το πρόβλημα της μεταφόρτωσης (trasshipet proble) και το πρόβλημα της εκχώρησης (assiget proble) Το γενικό πρόβλημα της μεταφοράς αναφέρεται στη μεταφορά ενός οποιουδήποτε προϊόντος από μια ομάδα κέντρων παραγωγής, που ονομάζονται πηγές σε μια ομάδα κέντρων κατανάλωσης, που ονομάζονται προορισμοί με τέτοιο τρόπο ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος μεταφοράς Σ ένα πρόβλημα μεταφοράς δίνονται τα εξής στοιχεία: Ένα συγκεκριμένο προϊόν Ένα σύνολο κέντρων παραγωγής ή πηγών i = 1, 2,, και ένα σύνολο κέντρων κατανάλωσης ή προορισμών j = 1, 2,, Η διαθέσιμη ποσότητα α i του i κέντρου παραγωγής ή πηγής, i = 1, 2,, Η ζητούμενη ποσότητα b j του j κέντρου κατανάλωσης ή προορισμού, j = 1, 2,, Το κόστος μεταφοράς c ij μιας μονάδας του προϊόντος από την i πηγή στον j προορισμό Το παρακάτω σχήμα απεικονίζει το μοντέλο του προβλήματος της μεταφοράς ως ένα δίκτυο με πηγές και προορισμούς Μια πηγή ή ένας προορισμός αναπαρίστανται από ένα κόμβο του δικτύου Το τόξο που ενώνει μια πηγή με έναν προορισμό αναπαριστά τη διαδρομή μέσω της οποίας το προϊόν μεταφέρεται Πηγές Προορισμοί α 1 1 c 11 : x 11 1 b 1 Διαθέσιμες μονάδες α 2 α 2 c : x 2 b 2 b Μονάδες ζήτησης 71

2 Η μαθηματική μοντελοποίηση του προβλήματος έχει ως εξής: Έστω x ij η ποσότητα του προϊόντος που μεταφέρεται από το i κέντρο παραγωγής (πηγή) στο j κέντρο κατανάλωσης (προορισμός), πχ για i = 2 και j =4, x 24 είναι η ποσότητα του προϊόντος που μεταφέρεται από το κέντρο παραγωγής 2 στο κέντρο κατανάλωσης 4 Τότε το άθροισμα των ποσοτήτων που θα μεταφερθούν από το i κέντρο παραγωγής στα 1, 2,, κέντρα κατανάλωσης, θα πρέπει να είναι μικρότερο ή ίσο με τη διαθέσιμη ποσότητα α i του i κέντρου παραγωγής, αφού δεν είναι δυνατόν να μεταφερθεί από ένα κέντρο παραγωγής μεγαλύτερη ποσότητα από τη διαθέσιμη Έτσι για τα i = 1, 2,, κέντρα παραγωγής έχουμε το εξής σύστημα ανισοτήτων: x ij α i, i = 1, 2,, Ακόμη, το άθροισμα των ποσοτήτων που θα μεταφερθούν στο j κέντρο κατανάλωσης από τα 1, 2,, κέντρα παραγωγής θα πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με την ποσότητα b j που ζητείται από το j κέντρο κατανάλωση, αφού πρέπει η ζήτηση κάθε κέντρου κατανάλωσης να καλύπτεται Έτσι για τα j = 1, 2,, κέντρα κατανάλωσης έχουμε το εξής σύστημα ανισοτήτων: x ij b j, j = 1, 2,, Μια και η μεταφορά αρνητικών ποσοτήτων δεν έχει νόημα στους παραπάνω περιορισμούς προστίθονται και οι περιορισμοί μη αρνητικότητας των μεταβλητών x ij Έχουμε δηλαδή: x ij 0, i = 1, 2,,, j = 1, 2,, (γ) Οι περιορισμοί (α), (β) και (γ) αποτελούν τους περιορισμούς του προβλήματος μεταφοράς Για την μοντελοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης z έστω c ij το κόστος μεταφοράς μιας μονάδας προϊόντος από την πηγή i στον προορισμό j, πχ αν c 23 = 5 τότε η μεταφορά μιας μονάδας προϊόντος από την πηγή 2 στον προορισμό 3 κοστίζει 5 χρηματικές μονάδες Έστω ότι ακόμη ότι το ολικό κόστος μεταφοράς είναι ανάλογο (υπόθεση αναλογικότητας για προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού) της μεταφερόμενης ποσότητας, δηλαδή το κόστος μεταφοράς x ij μονάδων προϊόντος από την πηγή i στον προορισμό j είναι ίσο με c ij x ij Το ολικό κόστος S i μεταφοράς x ij μονάδων προϊόντος από την πηγή i στους προορισμούς j = 1, 2,, ισούται με S i = c ij x ij Έτσι η συνάρτηση ολικού κόστους μεταφοράς z από τις πηγές i = 1, 2,, στους προορισμούς j = 1, 2,, είναι: z = S i Αντικαθιστώντας την (δ) στην τελευταία σχέση έχουμε: z = c ij x ij (α) (β) (δ) 72

3 Έτσι το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος της μεταφοράς μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: x ij x ij z = c ij x ij α i, i = 1, 2,, b j, j = 1, 2,, x ij 0, i = 1, 2,,, j = 1, 2,, Το πρόβλημα της μεταφοράς λύνεται με την βοήθεια της μεθόδου Siplex Όμως λόγω της δομής του προσφέρεται για την ανάπτυξη πιο αποτελεσματικών αλγορίθμων, όπως η μέθοδος της βορειοδυτικής γωνίας, η μέθοδος ελαχίστου κόστους και η μέθοδος προσέγγισης του Vogel Μια βασική προϋπόθεση για να έχει το πρόβλημα εφικτές λύσεις είναι ότι: α i = b j δηλαδή το άθροισμα των ποσοτήτων που διαθέτουν οι πηγές είναι ίσο με το άθροισμα των ποσοτήτων που απαιτούν οι προορισμοί Σ αυτή την περίπτωση λέμε ότι το σύστημα είναι σε ισορροπία και οι περιορισμοί του προβλήματος έχουν μετατραπεί από ανισότητες σε ισότητες Δηλαδή το μοντέλο του προβλήματος όταν το σύστημά μας είναι σε ισορροπία εκφράζεται ως εξής: x ij x ij z = c ij x ij = α i, i = 1, 2,, = b j, j = 1, 2,, x ij 0, i = 1, 2,,, j = 1, 2,, Αυτή η προϋπόθεση που πρέπει να ισχύει για να έχει το πρόβλημα της μεταφοράς εφικτές λύσεις, δεν μας εμποδίζει την επεξεργασία πραγματικών προβλημάτων όπου η προσφορά των πηγών είναι διαφορετική από τη ζήτηση των προορισμών Σ αυτές τις περιπτώσεις γίνεται η χρήση μιας εικονικής πηγής με εικονική προσφορά ή ενός εικονικού προορισμού με εικονική ζήτηση ανάλογα με το αν υπάρχει μεγαλύτερη ζήτηση ή προσφορά αντίστοιχα Το κόστος της εικονικής προσφοράς και της εικονικής ζήτησης είναι μηδέν 73

4 Παράδειγμα Ένα κατασκευαστής ηλεκτρικών συσκευών έχει 3 εργοστάσια και 5 αποθήκες διανομής στις οποίες μεταφέρει τα προϊόντα για αποθήκευση και διανομή στους πελάτες Τα τρία εργοστάσια παράγουν τις ακόλουθες μονάδες κάθε εβδομάδα: Εργοστάσιο Διαθέσιμες μονάδες Οι αποθήκες έχουν τις ακόλουθες απαιτήσεις για διανομή κάθε εβδομάδα: Αποθήκη Μονάδες που απαιτούνται Το κόστος μεταφορά ανά μονάδα προϊόντος από κάθε εργοστάσιο σε κάθε αποθήκη είναι: Αποθήκη Εργοστάσιο Να διατυπωθεί το πρόβλημα σαν πρόβλημα μεταφοράς Διατύπωση: Παρατηρούμε ότι οι ποσότητες του προϊόντος που διαθέτουν τα εργοστάσια ( = 1500) είναι ίσες με τις ποσότητες που απαιτούν οι αποθήκες ( = 1500) Επομένως το σύστημά μας είναι σε ισορροπία και άρα οι περιορισμοί του μοντέλου μας θα είναι ισότητες Έστω x ij οι μονάδες που μεταφέρονται από το εργοστάσιο i=1,2,3 στην αποθήκη j=1,2,3,4,5 Τότε το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος θα διατυπώνεται ως εξής: i z = 2x 11 +x 12 +3x 13 +x 14 +2x 15 +4x 21 +2x 22 +x 23 +3x 24 +x 25 +2x 31 +x 32 +x 33 +3x 34 +4x 35 : x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 = 600 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 = 400 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 = 500 (από την διαθέσιμες ποσότητες των εργοστασίων) x 11 + x 21 + x 31 = 200 x 12 + x 22 + x 32 = 250 x 13 + x 32 + x 33 = 300 x 14 + x 24 + x 34 = 550 x 15 + x 25 + x 35 = 500 (από τις ποσότητες που απαιτούν οι αποθήκες) x ij 0, i = 1, 2, 3 και j = 1, 2, 3, 4, 5 74

5 313 Το Πρόβλημα της Μεταφόρτωσης Στο πρόβλημα μεταφοράς ο τρόπος με τον οποίο οι μονάδες μεταφέρονται από κάθε πηγή i σε κάθε προορισμό j είναι γνωστός έτσι ώστε τα αντίστοιχα στοιχεία κόστους ανά μονάδα προϊόντος (c ij ) μπορούν να προσδιοριστούν Όμως μερικές φορές δεν είναι φανερό ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος μεταφοράς λόγω μεταφορτώσεων, δηλαδή φορτώσεων μέσω ενδιάμεσων σημείων μεταφοράς, που μπορεί να είναι άλλες πηγές ή άλλοι προορισμοί Παραδείγματος χάριν, αντί να μεταφέρουμε τα εμπορεύματα με ειδικό φορτίο από το λιμάνι 1 στο λιμάνι 3, μπορεί να είναι φθηνότερο να τα στείλουμε με κανονικό φορτίο από το λιμάνι 1 στο λιμάνι 2 και μετά από το λιμάνι 2 στο λιμάνι 3 Τέτοιες δυνατότητες πρέπει να διερευνηθούν προκαταβολικά για να προσδιορισθεί η φθηνότερη διαδρομή από κάθε πηγή σε κάθε προορισμό Σε περίπτωση που υπάρχουν πολλά ενδιάμεσα σημεία μεταφοράς, αυτό μπορεί να γίνει ένα αρκετά πολύπλοκο πρόβλημα Έτσι, ίσως είναι πιο εύκολο να χρησιμοποιήσουμε έναν αλγόριθμο για να βρίσκει τη λύση για τις ποσότητες που μεταφέρονται από κάθε πηγή σε κάθε προορισμό και για τη διαδρομή που θα ακολουθήσει κάθε αποστολή με τρόπο που να ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος μεταφοράς Η επέκταση αυτή του προβλήματος μεταφοράς που συμπεριλαμβάνει και αποφάσεις διαδρομών ονομάζεται πρόβλημα μεταφόρτωσης (trasshipet proble) Το γενικό πρόβλημα της μεταφόρτωσης αναφέρεται στο προσδιορισμό της μεταφοράς ενός οποιουδήποτε προϊόντος από μια ομάδα κέντρων παραγωγής, που ονομάζονται πηγές σε μια ομάδα κέντρων κατανάλωσης, που ονομάζονται προορισμοί μέσω κάποιων ενδιάμεσων σταθμών μεταφόρτωσης με τέτοιο τρόπο ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος μεταφοράς Σ ένα πρόβλημα μεταφόρτωσης δίνονται τα εξής στοιχεία: Ένα συγκεκριμένο προϊόν Ένα σύνολο κέντρων παραγωγής ή πηγών i=1,2,,, ένα σύνολο ενδιάμεσων σταθμών μεταφόρτωσης k=1,2,,l και ένα σύνολο κέντρων κατανάλωσης ή προορισμών j=1,2,, Η διαθέσιμη ποσότητα α i του i κέντρου παραγωγής ή πηγής, i = 1, 2,, Η ζητούμενη ποσότητα b j του j κέντρου κατανάλωσης ή προορισμού, j = 1, 2,, Το κόστος μεταφοράς c ik μιας μονάδας του προϊόντος από την i πηγή στο k ενδιάμεσο στάδιο μεταφοράς Το κόστος μεταφοράς d kj μιας μονάδας του προϊόντος από το k ενδιάμεσο στάδιο μεταφοράς στον j προορισμό Το παρακάτω σχήμα απεικονίζει το μοντέλο του προβλήματος της μεταφόρτωσης ως ένα δίκτυο με πηγές, k ενδιάμεσους σταθμούς μεταφόρτωσης και προορισμούς Μια πηγή ή ένας ενδιάμεσος σταθμός ή ένας προορισμός αναπαρίστανται από ένα κόμβο του δικτύου Τα τόξα που ενώνουν μια πηγή με έναν ενδιάμεσο σταθμό μεταφόρτωσης ή έναν ενδιάμεσο σταθμό μεταφόρτωσης με έναν προορισμό αναπαριστούν τη διαδρομή μέσω της οποίας το προϊόν μεταφέρεται 75

6 α 1 Πηγές 1 c 11 : x 11 Ενδιάμεσοι σταθμοί 1 d 11 : z 11 Προορισμοί 1 b 1 Διαθέσιμες μονάδες α 2 α 2 c l : x l 2 l d l : z l 2 b 2 b Μονάδες ζήτησης Το πρόβλημα της μεταφόρτωσης μπορεί να διαμορφωθεί ως πρόβλημα μεταφοράς αν θεωρήσουμε τις μεταφορές από πηγή σε ενδιάμεσο σταθμό και από ενδιάμεσο σταθμό σε προορισμό ως μεταφορές από μια πηγή σε έναν προορισμό και να θεωρήσουμε όλες τις τοποθεσίες (πηγές, ενδιάμεσοι σταθμοί, προορισμοί) ως δυνατές πηγές ή δυνατούς προορισμούς Η μαθηματική μοντελοποίηση του προβλήματος έχει ως εξής: Έστω x ik η ποσότητα του προϊόντος που μεταφέρεται από το i κέντρο παραγωγής (πηγή) στο k ενδιάμεσο σταθμό μεταφόρτωσης, πχ για i = 2 και k =4, x 24 είναι η ποσότητα του προϊόντος που μεταφέρεται από το κέντρο παραγωγής 2 στον ενδιάμεσο σταθμό μεταφόρτωσης 4 Τότε το άθροισμα των ποσοτήτων που θα μεταφερθούν από το i κέντρο παραγωγής στους 1,2,,l ενδιάμεσους σταθμούς μεταφόρτωσης, θα πρέπει να είναι μικρότερο ή ίσο με τη διαθέσιμη ποσότητα α i του i κέντρου παραγωγής, αφού δεν είναι δυνατόν να μεταφερθεί από ένα κέντρο παραγωγής μεγαλύτερη ποσότητα από τη διαθέσιμη Η ισότητα, όπως και στο πρόβλημα της μεταφοράς, ισχύει όταν το σύστημα μας βρίσκεται σε ισορροπία Αυτό είναι φυσικό αφού όπως είπαμε το πρόβλημα της μεταφόρτωσης διαμορφώνεται τελικά σε ένα πρόβλημα μεταφοράς Έστω z kj η ποσότητα του προϊόντος που μεταφέρεται από τον k ενδιάμεσο σταθμό μεταφόρτωσης στον j προορισμό Τότε το άθροισμα των ποσοτήτων που έρχονται σε ένα ενδιάμεσο σταθμό μεταφόρτωσης k από τις i = 1, 2,, πηγές είναι ίσο με το άθροισμα των ποσοτήτων που φεύγουν από αυτόν τον ενδιάμεσο σταθμό μεταφόρτωσης προς τους j = 1, 2,, προορισμούς Ακόμη, το άθροισμα των ποσοτήτων που θα μεταφερθούν στον j προορισμό από τους k = 1, 2,, l ενδιάμεσους σταθμούς παραγωγής θα πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με την ποσότητα b j που ζητείται από τον j προορισμό, αφού πρέπει η ζήτηση κάθε προορισμού να καλύπτεται Η ισότητα, όπως και στο πρόβλημα της μεταφοράς, ισχύει όταν το σύστημα μας βρίσκεται σε ισορροπία Μια και η μεταφορά αρνητικών ποσοτήτων δεν έχει νόημα στους παραπάνω περιορισμούς προστίθονται και οι περιορισμοί μη αρνητικότητας των μεταβλητών x ik, και z kj Αφού το πρόβλημα της μεταφόρτωσης σπάει σε δύο προβλήματα μεταφοράς, το πρώτο από τις πηγές στους ενδιάμεσους σταθμούς μεταφόρτωσης και το δεύτερο από τους ενδιάμεσους 76

7 σταθμούς μεταφόρτωσης στους προορισμούς, η αντικειμενική συνάρτηση του γενικού προβλήματος μεταφόρτωσης θα είναι το άθροισμα των αντικειμενικών συναρτήσεων των δύο προβλημάτων μεταφοράς Μια βασική προϋπόθεση για να έχει το πρόβλημα της μεταφόρτωσης εφικτές λύσεις είναι ότι: α i = b j δηλαδή το άθροισμα των ποσοτήτων που διαθέτουν οι πηγές είναι ίσο με το άθροισμα των ποσοτήτων που απαιτούν οι προορισμοί Σ αυτή την περίπτωση λέμε ότι το σύστημα είναι σε ισορροπία και οι περιορισμοί του προβλήματος έχουν μετατραπεί από ανισότητες σε ισότητες Δηλαδή το μοντέλο του προβλήματος όταν το σύστημά μας είναι σε ισορροπία εκφράζεται ως εξής: z = l k 1 l x ik k 1 x ik l z kj k 1 cikxik l + d z k 1 kj = α i, i = 1, 2,, = z kj, k = 1, 2,, l = b j, j = 1, 2,, x ik, z kj 0, i = 1, 2,,, k = 1, 2,, l j = 1, 2,, kj Αυτή η προϋπόθεση που πρέπει να ισχύει για να έχει το πρόβλημα της μεταφόρτωσης εφικτές λύσεις, δεν μας εμποδίζει την επεξεργασία πραγματικών προβλημάτων όπου η προσφορά των πηγών είναι διαφορετική από τη ζήτηση των προορισμών Σ αυτές τις περιπτώσεις γίνεται η χρήση μιας εικονικής πηγής με εικονική προσφορά ή ενός εικονικού προορισμού με εικονική ζήτηση ανάλογα με το αν υπάρχει μεγαλύτερη ζήτηση ή προσφορά αντίστοιχα Το κόστος της εικονικής προσφοράς και της εικονικής ζήτησης είναι μηδέν Παράδειγμα: Ένας οργανισμός, ο οποίος χρησιμοποιεί ξυλεία για την κατασκευή χαρτιού, έχει στην ιδιοκτησία του 3 δάση τα οποία προμηθεύουν ξύλο 2 εργοστάσιά του που παράγουν χαρτί Το χαρτί μεταφέρεται σε 3 αποθήκες από όπου διατίθεται στην αγορά Το κάθε δάσος μπορεί να δώσει μέχρι μια ποσότητα ξύλου S i, i = 1, 2, 3, ενώ κάθε αποθήκη ζητάει μια ποσότητα ξύλου Δ j, j = 1, 2, 3 Το κόστος μεταφοράς του ξύλου από το δάσος i στο εργοστάσιο k = 1, 2 είναι c ik ανά μονάδα ξύλου, ενώ το κόστος μεταφοράς του χαρτιού από το εργοστάσιο k στην αποθήκη j είναι d kj ανά μονάδα χαρτιού Υποθέτουμε ότι μια μονάδα ξύλου σε κάθε δάσος αντιστοιχεί στο ισοδύναμο ποσό ξύλου που αντιστοιχεί για να κατασκευασθεί ένα ρολό χαρτιού Να διατυπωθεί το πρόβλημα ως πρόβλημα μεταφόρτωσης 77

8 Διατύπωση: Υποθέτουμε ότι το σύστημά μας είναι σε ισορροπία Αν δεν είναι τότε προσθέτουμε μια εικονική πηγή με εικονική προσφορά ή έναν εικονικό προορισμό με εικονική ζήτηση ανάλογα με το αν υπάρχει μεγαλύτερη ζήτηση ή προσφορά αντίστοιχα Έστω x ik οι μονάδες του χαρτιού που μεταφέρονται από το δάσος i = 1, 2, 3 στο εργοστάσιο k = 1, 2, και z kj οι μονάδες του χαρτιού που μεταφέρονται από το εργοστάσιο k = 1, 2 στην αποθήκη j = 1, 2, 3 Τότε το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος διαμορφώνεται ως εξής: i z = c 11 x 11 + c 12 x 12 + c 21 x 21 + c 22 x 22 + c 31 x 31 + c 32 x 32 + d 11 z 11 + d 12 z 12 + d 13 z 13 + d 21 z 21 + d 22 z 22 + d 23 z 23 x 11 + x 12 = S 1 x 21 + x 22 = S 2 x 31 + x 32 = S 3 (από τις διαθέσιμες ποσότητες ξύλου των δασών) x 11 + x 21 + x 31 = z 11 + z 12 + z 13 x 12 + x 22 + x 32 = z 21 + z 22 + z 23 (από τον περιορισμό ότι έρχεται σε ένα σταθμό μεταφόρτωσης πρέπει να φεύγει) z 11 + z 21 = Δ 1 z 12 + z 22 = Δ 2 z 13 + z 23 = Δ 3 (από τις ποσότητες χαρτιού που ζητούν οι αποθήκες) x ik, z kj 0, i = 1, 2, 3, k = 1, 2, j = 1, 2, 3 78

9 314 Το Πρόβλημα της Εκχώρηση Το πρόβλημα της εκχώρησης (assiget proble) είναι μια ειδική περίπτωση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, όπου οι πόροι κατανέμονται σε δραστηριότητες με βάση ένα προς ένα Έτσι κάθε πόρος (πχ υπάλληλος, μηχανή, κα) εκχωρείται σε μια δραστηριότητα (πχ καθήκον, θέση, κα) Υπάρχει ένα κόστος, c ij, για τον πόρο i = 1, 2,, που εκχωρείται στην δραστηριότητα j = 1, 2,,, και αντικειμενικός σκοπός είναι να προσδιοριστεί πως θα γίνουν όλες οι εκχωρήσεις με το μικρότερο δυνατό συνολικό κόστος Το πρόβλημα της εκχώρησης έχει πολλές και ενδιαφέρουσες εφαρμογές, όπως: Κατανομή εργατών σε μηχανές Κατανομή πελατών σε περιοχές Κατανομή πληρωμάτων σε δρομολόγια Κατανομή παραγγελιών σε εργοστάσια κτλ Σ ένα πρόβλημα εκχώρησης στην πιο απλή του μορφή δίνονται τα εξής: Ένα σύνολο ατόμων i = 1, 2,, που διατίθενται (εκχωρούνται) στην εκτέλεση ενός συνόλου δραστηριοτήτων j = 1, 2,, Το μέτρο c ij του αποτελέσματος που προκύπτει όταν το άτομο i εκχωρείται στην δραστηριότητα j Κάθε δραστηριότητα εκτελείται από ένα άτομο μόνο και κάθε άτομο εκχωρείται στην εκτέλεση μόνο μιας δραστηριότητας Κάθε δραστηριότητα εκτελείται ή δεν εκτελείται Δηλαδή καμιά δραστηριότητα δεν μπορεί να εκτελεστεί σε κλασματικά επίπεδα ή περισσότερες από μία φορές Ζητείται να προσδιοριστεί η αντιστοιχία μεταξύ των ατόμων και δραστηριοτήτων έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι παραπάνω περιορισμοί και να βελτιστοποιείται μια συνάρτηση ολικού αποτελέσματος Δηλαδή να ελαχιστοποιείται κάποια συνάρτηση κόστους ή να μεγιστοποιείται κάποια συνάρτηση απόδοσης Η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος της εκχώρησης έχει ως εξής: 1 εαν το ατομο i εκχωρειται στην δραστηριοτητα j Έστω ότι x ij =, τότε ο περιορισμός 0 εαν το ατομο i δεν εκχωρειται στην δραστηριοτητα j ότι το άτομο i εκχωρείται σε μια και μόνο μια από τις δραστηριότητες j = 1, 2,, εκφράζεται από την εξίσωση: x ij = x i1 + x i2 + + x i = 1 Έτσι ο περιορισμός ότι κάθε άτομο εκχωρείται σε μια και μόνο μια δραστηριότητα εκφράζεται με το παρακάτω σύστημα εξισώσεων: x1 j = x 11 + x x 1 = 1 x j = x 1 + x x = 1 79

10 Με τον ίδιο τρόπο ο περιορισμός ότι κάθε δραστηριότητα εκτελείται από ένα μόνο άτομα εκφράζεται με το παρακάτω σύστημα εξισώσεων: x i 1 = x 11 + x x 1 = 1 x i = x 1 + x x = 1 Τέλος ζητείται η βελτιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης z = c ij x ij Έτσι το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος της μεταφοράς μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: ax (ή i) z = x ij x ij c ij x ij = 1, i = 1, 2,, = 1, j = 1, 2,, x ij {0, 1} Το σημαντικό όμως είναι ότι η επίλυση του προβλήματος της εκχώρησης ως πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού δίνει πάντα βέλτιστες λύσεις οι μεταβλητές των οποίων παίρνουν τιμές 0 ή 1 Αυτή η ιδιότητα έχει αποδειχθεί από τον Birkhoff το 1946 Στον ορισμό του προβλήματος της εκχώρησης κάναμε την υπόθεση ότι ο αριθμός των ατόμων είναι ίσος με τον αριθμό των δραστηριοτήτων Προφανώς σε πραγματικές εφαρμογές του προβλήματος της εκχώρησης η συνθήκη αυτή σπάνια ικανοποιείται και ο κανόνας είναι Όπως όμως και στα προβλήματα της μεταφοράς και της μεταφόρτωσης η περίπτωση αντιμετωπίζεται με πολύ απλό τρόπο και δεν δημιουργείται κανένα ουσιαστικό πρόβλημα: Αν τότε προστίθενται οι +1, +2,, εικονικές δραστηριότητες και τίθεται c ij = 0 για i = 1, 2,,, και j = +1, +2,, Αν τότε προστίθενται οι +1, +2,, εικονικά άτομα και τίθεται c ij = 0 για i = +1, +2,,, και j = 1, 2,, 80

11 315 Ασκήσεις 1 Να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού γραφικά: ax z = 2x 1 + x 2 x x 1 + 5x 2 60 x 1 + x x 1 + x 2 44 x 1, x Δίνεται το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 10x x 2 -x 1 + 2x 2 10 x 1 + x 2 8 5x 1 + 3x 2 30 x 1, x 2 0 Να λυθεί γραφικά 3 Δίνεται το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 2x 1 + 3x 2 x 1 + 2x 2 10 (πόρος 1) 3x 1 + x 2 15 (πόρος 2) + x 2 4 (πόρος 3) x 1, x 2 0 α) Να λυθεί γραφικά β) Να λυθεί με τη μέθοδο Siplex γ) Προσδιορίστε τις τιμές των βοηθητικών μεταβλητών για τους τρεις πόρους από τον τελικό πίνακα Siplex δ) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των δεξιών μελών των περιορισμών ε) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των συντελεστών της αντικειμενικής 4 Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού γραφικά: ax z = 6x 1 + 5x 2 3x 1 + x x 1 40 x x 1 80 x 1, x

12 5 Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού γραφικά: ax z = 7x x 2 x 1 36 x 2 12 x 1 + 4x x 1 + x 2 30 x 1 - x 2 0 x 1, x Δίνεται το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 6x 1-2x 2 x 1 - x 2 1 3x 1 - x 2 6 x 1, x 2 0 α) Να γίνει η γραφική επίλυση του προβλήματος β) Να λυθεί με τη μέθοδο Siplex γ) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των δεξιών μελών των περιορισμών δ) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των συντελεστών της αντικειμενικής 7 Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού γραφικά: ax z = 5x 1 + 6x 2 x x 2 2-2x 1 + 3x 2 2 x 1, x 2 μη περιορισμένες ως προς το πρόσημο 8 Να γίνει η γραφική επίλυση του παρακάτω προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 3x 1 + 2x 2 2x 1 + x 2 2 3x 1 + 4x 2 12 x 1, x Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού γραφικά: ax z = 5x 1 + 2x 2 x 1 + x 2 10 x 1 = 5 x 1, x

13 10Μετατρέψτε το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού στην τυποποιημένη μορφή: i z = -3x 1 + 4x 2-2x 3 + 5x 4 4x 1 - x 2 + 2x 3 - x 4 = -2 x 1 + x 2 + 3x 3 - x x 1 + 3x 2 - x 3 + 2x 4 2 x 1, x 2, x 3 0 και x 4 μη περιορισμένη ως προς το πρόσημο 11Να μετατραπεί το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού σε τυποποιημένη μορφή: ax z = 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 x 1 + x 2 - x x 1 + 7x 2-9x 3 4 x 1 + x 2 + 4x 3 = 10 x 1, x 2 0, x 3 μη περιορισμένη ως προς το πρόσημο 12Να μετατραπεί το προηγούμενο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού σε τυποποιημένη μορφή σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) Ο πρώτος περιορισμός γίνεται x 1 + x 2 - x 3-5 β) Ο δεύτερος περιορισμός γίνεται -6x 1 + 7x 2-9x 3 4 γ) Ο τρίτος περιορισμός γίνεται x 1 + x 2 + 4x 3 10 δ) Η μεταβλητή x 3 περιορίζεται ως προς το πρόσημο, δηλαδή x 3 0 ε) Η μεταβλητή x 1 είναι μη περιορισμένη ως προς το πρόσημο στ) Η αντικειμενική συνάρτηση γίνεται i z =2x 1 + 3x 2 + 5x 3 13Δίνεται το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 4x 1 + 3x 2 + 6x 3 3x 1 + x 2 + 3x x 1 + 2x 2 + 3x 3 40 x 1, x 2, x 3 0 α) Να λυθεί με τη μέθοδο Siplex β) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των δεξιών μελών των περιορισμών γ) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των συντελεστών της αντικειμενικής 14Δίνεται το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 4x 1-2x 2 + 2x 3 3x 1 + x 2 + x (πόρος 1) x 1 - x 2 + 2x 3 30 (πόρος 2) x 1 + x 2 - x 3 60 (πόρος 3) x 1, x 2, x 3 0 α) Λύστε το πρόβλημα με τη μέθοδο Siplex 83

14 β) Προσδιορίστε τις τιμές των βοηθητικών μεταβλητών για τους τρεις πόρους και περιγράψτε τη σημασία τους γ) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των δεξιών μελών των περιορισμών δ) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των συντελεστών της αντικειμενικής 15Δίνεται το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 20x x 2-5x x 4 3x 1 + 3x 2 + x 3 + 3x 4 45 (πόρος 1) x 1 + 2x 2-3x 3 + 3x 4 30 (πόρος 2) x 1, x 2, x 3, x 4 0 α) Λύστε το πρόβλημα με τη μέθοδο Siplex β) Προσδιορίστε τις τιμές των βοηθητικών μεταβλητών για τους τρεις πόρους και περιγράψτε τη σημασία τους 16Δίνεται το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = x 1 + x 2 x 1 5 x 1 + 2x 2 10 x 2 4 x 1, x 2 0 α) Να λυθεί με τη μέθοδο Siplex β) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των δεξιών μελών των περιορισμών γ) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των συντελεστών της αντικειμενικής 17Έστω το σύνολο των περιορισμών ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού: x 1 + 7x 2 + 3x 3 + 7x x 1 - x 2 + x 3 + 2x 4 8 2x 1 + 3x 2 - x 3 + x 4 10 Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το πρόβλημα υποθέτοντας ότι η αντικειμενική συνάρτηση δίνεται ως ακολούθως: α) ax z = 2x 1 + x 2-3x 3 + 5x 4 β) ax z = -2x 1 + 6x 2 + 3x 3-2x 4 γ) ax z = 3x 1 - x 2 + 3x 3 +4x 4 δ) i z = 5x 1-4x 2 + 6x 3 + 8x 4 ε) i z = 3x 1 + 6x 2-2x 3 + 4x 4 84

15 18Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 16x x 2 40x x x 1 + x 2 1 x 1 3 x 1, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 3x x 1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 20 x 1, x 2, x 3, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 3x 1 + x 2 +5x 3 + 4x 4 3x 1-3x 2 + 2x 3 + 8x x 1 + 6x 2-4x 3-4x x 1-2x 2 + x 3 + 3x 4 20 x 1, x 2, x 3, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 x 1 + x 2 3 x 3 + x 4 2 x 1, x 2, x 3, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 3x 1 + 2x 2 4x 1 + 3x x 1 + x 2 8 4x 1 - x 2 8 x 1, x

16 23Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = x 1 + 2x 2 + 3x 3 x 1 + 2x 2 + 3x 3 10 x 1 + x 2 5 x 1 1 x 1, x 2, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 2x 1 - x 2 + 3x 3 x 1 - x 2 + 5x x 1 - x 2 + 3x 3 40 x 1, x 2, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 3x 1 + x 2 x 1 + 2x 2 5 x 1 + x 2 - x 3 2 7x 1 + 3x 2-5x 3 20 x 1, x 2, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 20x x 2 + x 3 3x 1-3x 2 + 5x 3 50 x 1 + x 3 10 x 1 - x 2 + 4x 3 20 x 1, x 2, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο δύο φάσεων για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 3x 1 + 2x 2 + 3x 3 2x 1 + x 2 + x 3 2 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x

17 28Έστω το σύνολο των περιορισμών: -2x 1 + 3x 2 = 3 (1) 4x 1 + 5x 2 10 (2) x 1 + 2x 2 5 (3) 6x 1 + 7x 2 3 (4) 4x 1 + 8x 2 5 (5) x 1, x 2 0 (6) Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των δύο φάσεων για να λύσετε τα παρακάτω προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού: α) ax z = 5x 1 + 6x 2 (1), (3), (4) και (6) β) ax z = 2x 1-7x 2 (1), (2), (4), (5) και (6) γ) i z = 3x 1 + 6x 2 (3), (4), (5) και (6) δ) i z = 4x 1 + 6x 2 (1), (2), (5) και (6) ε) i z = 3x 1 + 2x 2 (1), (5) και (6) 29Έστω το σύνολο των περιορισμών: x 1 + x 2 + x 3 = 7 2x 1-5x 2 + x 3 10 x 1, x 2, x 3 0 Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των δύο φάσεων για να λύσετε το πρόβλημα που ορίζει το σύνολο των περιορισμών υποθέτοντας ότι η αντικειμενική συνάρτηση είναι ως ακολούθως: α) ax z = 2x 1 + 3x 2-5x 3 β) i z = 2x 1 + 3x 2-5x 3 γ) ax z = x 1 + 2x 2 + x 3 δ) i z = 4x 1-8x 2 + 3x 3 30Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των δύο φάσεων για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = x 1 + 5x 2 + 3x 3 x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 2x 1 - x 2 = 4 x 1, x 2, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των δύο φάσεων για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 x 1 + x 2 + x 3 + x x 1 + 6x 2 + x 3-2x 4 0 x 2 4 x 1, x 2, x 3, x

18 32Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των δύο φάσεων για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 2x 1 + 3x 2 x 1 + 2x 2 4 x 1 + x 2 = 3 x 1, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των δύο φάσεων για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 20x x 2 2x 1 + x 2 5-3x 1 + 2x 2 3 x 1 + x 2 3 x 1, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των δύο φάσεων για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 45x x x x 4 5x 1 + x 2 + x 3 + 8x 4 = 30 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 30 x 1, x 2, x 3, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των δύο φάσεων για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: i z = 2x 1 + 3x 2 +x 3 x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 3x 1 + 2x 2 6 x 1, x 2, x

19 36Μια βιομηχανία αυτοκίνητων έχει τρία εργοστάσια τα οποία παράγουν 100, 80, 50 αυτοκίνητα αντίστοιχα κάθε μέρα Τα αυτοκίνητα εξάγονται σε τέσσερις χώρες που απαιτούν 40, 80, 60 και 50 αυτοκίνητα αντίστοιχα Το κόστος μεταφοράς ανά αυτοκίνητο, δίνεται από τον πίνακα: Χώρα Εργοστάσιο Διατυπώστε το πρόβλημα ως πρόβλημα μεταφοράς 37Μια χώρα καλύπτει τις ετήσιες ανάγκες της σε πετρέλαιο, από τρεις πετρελαιοπαραγωγικές χώρες Η ποσότητα που διαθέτουν οι χώρες αυτές είναι 3, 6, και 7 εκατομμύρια τόνοι αντίστοιχα το χρόνο Η παράδοση θα γίνει σε τρία διυλιστήρια σε ποσότητες 5, 5 και 6 εκατομμύρια τόνους αντίστοιχα Το κόστος μεταφοράς σε χιλιάδες δραχμές για κάθε τόνο δίνεται από τον επόμενο πίνακα: Πετρελαιοπαραγωγικές Διυλιστήρια χώρες Διατυπώστε το πρόβλημα ως πρόβλημα μεταφοράς 38Η ελληνική εταιρεία σιδηροδρόμων (ΟΣΕ) έχει στη διάθεσή της 3 ατμομηχανές στην Αθήνα, 2 στη Λάρισα και 3 στη Θεσσαλονίκη Για να καλύψει τις ανάγκες που δημιουργήθηκαν από τις εκλογές χρειάζονται 2 ατμομηχανές στην Αλεξανδρούπολη, 3 στη Καλαμάτα και 3 στη Λαμία Οι αποστάσεις σε χιλιόμετρα ανάμεσα στις διάφορες πόλεις δίνονται από τον παρακάτω πίνακα: Αθήνα Λάρισα Θεσσαλονίκη Αλεξανδρούπολη Λαμία Καλαμάτα Διατυπώστε το πρόβλημα ως πρόβλημα μεταφοράς ώστε η ολική απόσταση που θα διατρέξουν οι ατμομηχανές να είναι η ελάχιστη 89

20 39Μια επιχείρηση έχει τρία εργοστάσια, που παράγουν ένα προϊόν, που διανέμεται σε τέσσερα κέντρα κατανάλωσης Τα εργοστάσια 1, 2 και 3 παράγουν 12, 17 και 11 φορτία προϊόντος αντίστοιχα κάθε μήνα Κάθε κέντρο κατανάλωσης χρειάζεται το μήνα 10 φορτία Η απόσταση, σε χιλιόμετρα, από κάθε εργοστάσιο σε κάθε κέντρο κατανάλωσης δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: Κέντρο Κατανάλωσης Εργοστάσιο Το κόστος μεταφοράς κάθε φορτίου είναι 100 χρηματικές μονάδες συν 05 χρηματικές μονάδες ανά χιλιόμετρο Ποιες ποσότητες πρέπει να αποσταλούν από κάθε εργοστάσιο σε κάθε κέντρο κατανάλωσης για να είναι το συνολικό κόστος μεταφοράς ελάχιστο Διαμορφώστε το πρόβλημα ως πρόβλημα μεταφοράς 40Ο Κώστας θέλει 3 ακριβώς δοχεία μπύρας σήμερα και τουλάχιστον 4 δοχεία αύριο Ο Δημήτρης μπορεί να του πουλήσει το πολύ 4 δοχεία με τιμή 1,54 χρηματικές μονάδες ανά δοχείο σήμερα και 1,50 χρηματικές μονάδες αύριο, ενώ ο Γιάννης μπορεί του πουλήσει το πολύ 5 δοχεία με τιμή 1,60 χρηματικές μονάδες ανά δοχείο σήμερα και 1,44 χρηματικές μονάδες αύριο Ο Κώστας επιθυμεί να προσδιορίσει πως θα κάνει τις αγορές του, για να ικανοποιήσει τη ζήτησή του με το ελάχιστο κόστος Διατυπώστε το πρόβλημα ως πρόβλημα μεταφοράς 41Η διοίκηση μιας συνεταιριστικής εταιρείας αποφάσισε να παραχθούν τρία νέα προϊόντα από τη διαθέσιμη παραγωγική δυνατότητα των πέντε εργοστασίων της Το ανά μονάδα κόστος παραγωγής του πρώτου προϊόντος θα είναι 90, 82, 92, 84 και 86 χρηματικές μονάδες στα εργοστάσια 1, 2, 3, 4, και 5 αντίστοιχα Το ανά μονάδα κόστος παραγωγής του δευτέρου προϊόντος θα είναι62, 58, 64, 56 και 58 χρηματικές μονάδες 1, 2, 3, 4 και 5 αντίστοιχα Το ανά μονάδα κόστος παραγωγής του τρίτου προϊόντος θα είναι 76, 70 και 80 χρηματικές μονάδες στα εργοστάσια 1, 2 και 3 αντίστοιχα, ενώ τα εργοστάσια 4 και 5 δεν έχουν την δυνατότητα να παράγουν το προϊόν αυτό Οι προβλέψεις των πωλήσεων δείχνουν ότι πρέπει να παράγονται κάθε μέρα 5000, 3000 και 4000 μονάδες των προϊόντων 1, 2 και 3 αντίστοιχα Τα εργοστάσια 1, 2, 3, 4 και 5 μπορούν να παράγουν 2000, 3000, 2000, 3000 και 5000 μονάδες τη μέρα, άσχετα από το προϊόν ή το συνδυασμό προϊόντων Η διοίκηση θέλει να μάθει πως να κατανείμει τα νέα προϊόντα στα εργοστάσια για να ελαχιστοποιήσει το συνολικό κόστος παραγωγής Διατυπώστε το πρόβλημα ως πρόβλημα μεταφοράς 90

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation )

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν τη μεταφορά αγαθών από διαφορετικά σημεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #: Εφαρμογές του Γραμμικού Προγραμματισμού Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Η αρχική τους εφαρµογή, όπως δηλώνει και η ονοµασία τους, αφορούσε τον καθορισµό του βέλτιστου τρόπου µεταφοράς αγαθών από διαφορετικά σηµεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης (π.χ.,

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #1: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Η ετήσια ζήτηση ενός σημαντικού εξαρτήματος που χρησιμοποιείται στη μνήμη υπολογιστών desktops εκτιμήθηκε σε 10.000 τεμάχια. Η αξία κάθε μονάδας είναι 8, το κόστος παραγγελίας κάθε παρτίδας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ (ΜΟΝΑΔΕΣ 5) Ένας κατασκευαστής αυτοκινήτων θέλει να προγραμματίσει για μια χρονική περίοδο την παραγωγή δύο μοντέλων αυτοκινήτου: του μοντέλου Α και του μοντέλου Β. Κάθε μοντέλο αυτοκινήτου απαιτεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ Μια εταιρεία αλουμινίου έχει αποθέματα βωξίτη στην περιοχή G, στην S και στην A. Επίσης, υπάρχουν εργοστάσια μετάλλου, όπου ο βωξίτης

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου . Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου Σ αυτή την παράγραφο θα εξεταστεί μια παραλλαγή του προβλήματος της συντομότερης διαδρομής, το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου. Σ αυτό το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις στα πλαίσια του μαθήματος «Διοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας»

Λυμένες ασκήσεις στα πλαίσια του μαθήματος «Διοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας» Λυμένες ασκήσεις στα πλαίσια του μαθήματος «Διοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας» Άσκηση 1. Έστω ότι μια επιχείρηση αντιμετωπίζει ετήσια ζήτηση = 00 μονάδων για ένα συγκεκριμένο προϊόν, σταθερό κόστος παραγγελίας

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων

Διαβάστε περισσότερα

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI)

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Ηµέθοδος MODIεπιτρέπει τον υπολογισµό των οριακών µεταβολών στο συνολικό κόστος µεταφοράς για κάθε µη επιλεγείσα διαδροµή µε αλγεβρικό τρόπο, χωρίς τη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 3: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (3 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Ένα εργοστάσιο παραγωγής αλουμινίου προμηθεύεται βωξίτη από τρία ορυχεία (01, 02

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Critical Path Analysis (Μέθοδος του κρίσιμου μονοπατιού)

4.6 Critical Path Analysis (Μέθοδος του κρίσιμου μονοπατιού) . Critical Path Analysis (Μέθοδος του κρίσιμου μονοπατιού) Η πετυχημένη διοίκηση των μεγάλων έργων χρειάζεται προσεχτικό προγραμματισμό, σχεδιασμό και συντονισμό αλληλοσυνδεόμενων δραστηριοτήτων (εργσιών).

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την

Διαβάστε περισσότερα

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # : Επιχειρησιακή έρευνα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 3 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 3 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31 Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Μάρτιος 2014 Δρ. Δημήτρης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (11/05/2011, 9:00)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (11/05/2011, 9:00) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 00-0 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (/05/0, 9:00) Να απαντηθούν 4 από τα 5

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Από το βιβλίο: Κώστογλου, Β. (2015). Επιχειρησιακή Έρευνα. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Τζιόλα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Από το βιβλίο: Κώστογλου, Β. (2015). Επιχειρησιακή Έρευνα. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Τζιόλα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ 1 Εισαγωγικά Απόθεμα εννοείται κάθε είδους αγαθό, το οποίο μπορεί να αποθηκευτεί με στόχο την τρέχουσα ή μελλοντική χρησιμοποίησή του. Αποθέματα συναντώνται σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής

Διαβάστε περισσότερα

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 1 Εισαγωγή Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 3 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ Άσκηση 1. Λύση

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ Άσκηση 1. Λύση ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ Άσκηση 1 Η εταιρεία Ζ εξετάζει την πιθανότητα κατασκευής ενός νέου, πρόσθετου εργοστασίου για την παραγωγή ενός νέου προϊόντος. Έτσι έχει δυο επιλογές: Η πρώτη αφορά στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Α. Διατύπωση μοντέλου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού

Α. Διατύπωση μοντέλου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού Ασκήσεις ΠΣΔ Α. Διατύπωση μοντέλου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού Μια επιχείρηση παράγει 3 προϊόντα και έχει 4 διαθέσιμαεργοστάσια. Ο χρόνος παραγωγής (σε λεπτά) για κάθε προϊόν διαφέρει από εργοστάσιο

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex:

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex: http://usrs.uo.gr/~acg 1 UΜετάβαση από τον ΓΠ στη Θεωρία ικτύων UΤο πρόβλημα Μεταφοράς (Transportation probl) UΗ «Μακεδονική Εταιρεία Αναψυκτικών Α.Ε.» Παράγει ένα αναψυκτικό ευρείας κατανάλωσης Το προϊόν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ TΩN ΤΙΜΩΝ

Ο ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ TΩN ΤΙΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜ Ο ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ TΩN ΤΙΜΩΝ 1. Έννοια και λειτουργία της αγοράς Σε μια πρωτόγονη οικονομία, όπως του Ροβινσώνα Κρούσου, όπου δεν υπάρχει καταμερισμός της εργασίας ο άνθρωπος παράγει μόνος του

Διαβάστε περισσότερα

Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές

Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές 3. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΟΣ 3. Τι Είναι Απόθεμα Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές. Απόθεμα Α, Β υλών και υλικών συσκευασίας: Είναι το απόθεμα των υλικών που χρησιμοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων Σαχαρίδης Γιώργος Πρόβλημα 1 Μία εταιρεία έχει μία παραγγελία για την παραγωγή κάποιου προϊόντος. Με τις 2 υπάρχουσες βάρδιες (40 ώρες την εβδομάδα η καθεμία) μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ουζούνης Παναγιώτης ΜΑΡΤΙΟΣ 008 ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Γεροντίδης Ιωάννης Εκπονηθείσα πτυχιακή

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Η κ. Δημητρίου είναι γενική διευθύντρια σε μία επιχείρηση με κύρια δραστηριότητα την παραγωγή μαγνητικών μέσων και αναλώσιμων ειδών περιφερειακών συσκευών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Αποθεµάτων. Υποθέστε ότι την στιγμή αυτή υπάρχει στην αποθήκη απόθεμα για 5 μήνες.

Ασκήσεις Αποθεµάτων. Υποθέστε ότι την στιγμή αυτή υπάρχει στην αποθήκη απόθεμα για 5 μήνες. Ασκήσεις Αποθεµάτων 1. Το πρόγραμμα παραγωγής μιας βιομηχανίας προβλέπει την κατανάλωση 810.000 μονάδων πρώτης ύλης το χρόνο, με ρυθμό πρακτικά σταθερό, σε όλη τη διάρκεια του έτους. Η βιομηχανία εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ 4 η Σειρά Ασκήσεων του Μαθήματος «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ» Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ- Μ.Β.Α. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΞΑΝΘΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ- Μ.Β.Α. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΞΑΝΘΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ- Μ.Β.Α. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΞΑΝΘΟΥ «Μεταφορά ασθενών σε χώρους νοσηλείας. Θεωρητική προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περίοδος

ΘΕΜΑ : ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περίοδος ΘΕΜΑ : ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περίοδος Στο μάθημα μας θα ασχοληθούμε, με τις πιο κάτω τεχνολογικές έρευνες. Έρευνες που διερευνούν: 1. Τις στάσεις των ανθρώπων έναντι τεχνολογικών έργων, συσκευών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη.

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. 4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. Η μετατροπή μιας εντολής επανάληψης σε μία άλλη ή στις άλλες δύο εντολές επανάληψης, αποτελεί ένα θέμα που αρκετές φορές έχει εξεταστεί σε πανελλαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Νεκρού Σημείου Σημειώσεις

Ανάλυση Νεκρού Σημείου Σημειώσεις Ανάλυση Νεκρού Σημείου Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Αν. Καθ. Δημήτρης Ασκούνης Εισαγωγή Η ανάλυση του Νεκρού Σημείου είναι ένα σπουδαίο χρηματοοικονομικό μέσο και αποτελεί βασικά μια αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41

Πρόλογος Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41 Περιεχόμενα Πρόλογος...7 1 Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας...9 2 Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41 3 Πρόβλεψη της ζήτησης σε μια εφοδιαστική αλυσίδα...109 4 Συγκεντρωτικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα Μεταφοράς. Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης

Πρόβλημα Μεταφοράς. Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Πρόβλημα Μεταφοράς Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης K.5.1 Γραμμή Παραγωγής Μια γραμμή παραγωγής θεωρείται μια διάταξη με επίκεντρο το προϊόν, όπου μια σειρά από σταθμούς εργασίας μπαίνουν σε σειρά με στόχο ο κάθε ένας από αυτούς να κάνει μια ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

RIGHTHAND SIDE RANGES

RIGHTHAND SIDE RANGES Μια εταιρεία εξόρυξης μεταλλευμάτων, έλαβε μια παραγγελία για 100 τόνους σιδηρομεταλλεύματος. Η παραγγελία πρέπει να περιλαμβάνει τουλάχιστον.5 τόνους νικέλιο, το πολύ τόνους άνθρακα κι ακριβώς 4 τόνους

Διαβάστε περισσότερα