3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς"

Transcript

1 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις έχουν ορισμένα χαρακτηριστικά Όλες τους εμφανίζονται συχνά στη πράξη και χρειάζονται ένα μεγάλο αριθμό περιορισμών και μεταβλητών έτσι ώστε η εφαρμογή της μεθόδου Siplex με ηλεκτρονικούς υπολογιστές να γίνεται μη συμφέρουσα ή ακόμη και υπολογιστικά απαγορευμένη Ευτυχώς, ένα άλλο χαρακτηριστικό είναι ότι οι περισσότεροι συντελεστές α ij στους περιορισμούς είναι μηδέν, με αποτέλεσμα να έχουν αναπτυχθεί ειδικές παραλλαγές της μεθόδου Siplex, με τις οποίες πετυχαίνεται μεγάλη εξοικονόμηση υπολογισμών στην επίλυση των προβλημάτων αυτών Ο συντελεστής α ij είναι ο συντελεστής της j μεταβλητής στον i περιορισμό Σ αυτή την παράγραφο θα εξετάσουμε την πιο σπουδαία ειδική περίπτωση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού που είναι το πρόβλημα της μεταφοράς (trasportatio proble) Στις επόμενες παραγράφους, θα εξετάσουμε το πρόβλημα της μεταφόρτωσης (trasshipet proble) και το πρόβλημα της εκχώρησης (assiget proble) Το γενικό πρόβλημα της μεταφοράς αναφέρεται στη μεταφορά ενός οποιουδήποτε προϊόντος από μια ομάδα κέντρων παραγωγής, που ονομάζονται πηγές σε μια ομάδα κέντρων κατανάλωσης, που ονομάζονται προορισμοί με τέτοιο τρόπο ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος μεταφοράς Σ ένα πρόβλημα μεταφοράς δίνονται τα εξής στοιχεία: Ένα συγκεκριμένο προϊόν Ένα σύνολο κέντρων παραγωγής ή πηγών i = 1, 2,, και ένα σύνολο κέντρων κατανάλωσης ή προορισμών j = 1, 2,, Η διαθέσιμη ποσότητα α i του i κέντρου παραγωγής ή πηγής, i = 1, 2,, Η ζητούμενη ποσότητα b j του j κέντρου κατανάλωσης ή προορισμού, j = 1, 2,, Το κόστος μεταφοράς c ij μιας μονάδας του προϊόντος από την i πηγή στον j προορισμό Το παρακάτω σχήμα απεικονίζει το μοντέλο του προβλήματος της μεταφοράς ως ένα δίκτυο με πηγές και προορισμούς Μια πηγή ή ένας προορισμός αναπαρίστανται από ένα κόμβο του δικτύου Το τόξο που ενώνει μια πηγή με έναν προορισμό αναπαριστά τη διαδρομή μέσω της οποίας το προϊόν μεταφέρεται Πηγές Προορισμοί α 1 1 c 11 : x 11 1 b 1 Διαθέσιμες μονάδες α 2 α 2 c : x 2 b 2 b Μονάδες ζήτησης 71

2 Η μαθηματική μοντελοποίηση του προβλήματος έχει ως εξής: Έστω x ij η ποσότητα του προϊόντος που μεταφέρεται από το i κέντρο παραγωγής (πηγή) στο j κέντρο κατανάλωσης (προορισμός), πχ για i = 2 και j =4, x 24 είναι η ποσότητα του προϊόντος που μεταφέρεται από το κέντρο παραγωγής 2 στο κέντρο κατανάλωσης 4 Τότε το άθροισμα των ποσοτήτων που θα μεταφερθούν από το i κέντρο παραγωγής στα 1, 2,, κέντρα κατανάλωσης, θα πρέπει να είναι μικρότερο ή ίσο με τη διαθέσιμη ποσότητα α i του i κέντρου παραγωγής, αφού δεν είναι δυνατόν να μεταφερθεί από ένα κέντρο παραγωγής μεγαλύτερη ποσότητα από τη διαθέσιμη Έτσι για τα i = 1, 2,, κέντρα παραγωγής έχουμε το εξής σύστημα ανισοτήτων: x ij α i, i = 1, 2,, Ακόμη, το άθροισμα των ποσοτήτων που θα μεταφερθούν στο j κέντρο κατανάλωσης από τα 1, 2,, κέντρα παραγωγής θα πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με την ποσότητα b j που ζητείται από το j κέντρο κατανάλωση, αφού πρέπει η ζήτηση κάθε κέντρου κατανάλωσης να καλύπτεται Έτσι για τα j = 1, 2,, κέντρα κατανάλωσης έχουμε το εξής σύστημα ανισοτήτων: x ij b j, j = 1, 2,, Μια και η μεταφορά αρνητικών ποσοτήτων δεν έχει νόημα στους παραπάνω περιορισμούς προστίθονται και οι περιορισμοί μη αρνητικότητας των μεταβλητών x ij Έχουμε δηλαδή: x ij 0, i = 1, 2,,, j = 1, 2,, (γ) Οι περιορισμοί (α), (β) και (γ) αποτελούν τους περιορισμούς του προβλήματος μεταφοράς Για την μοντελοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης z έστω c ij το κόστος μεταφοράς μιας μονάδας προϊόντος από την πηγή i στον προορισμό j, πχ αν c 23 = 5 τότε η μεταφορά μιας μονάδας προϊόντος από την πηγή 2 στον προορισμό 3 κοστίζει 5 χρηματικές μονάδες Έστω ότι ακόμη ότι το ολικό κόστος μεταφοράς είναι ανάλογο (υπόθεση αναλογικότητας για προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού) της μεταφερόμενης ποσότητας, δηλαδή το κόστος μεταφοράς x ij μονάδων προϊόντος από την πηγή i στον προορισμό j είναι ίσο με c ij x ij Το ολικό κόστος S i μεταφοράς x ij μονάδων προϊόντος από την πηγή i στους προορισμούς j = 1, 2,, ισούται με S i = c ij x ij Έτσι η συνάρτηση ολικού κόστους μεταφοράς z από τις πηγές i = 1, 2,, στους προορισμούς j = 1, 2,, είναι: z = S i Αντικαθιστώντας την (δ) στην τελευταία σχέση έχουμε: z = c ij x ij (α) (β) (δ) 72

3 Έτσι το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος της μεταφοράς μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: x ij x ij z = c ij x ij α i, i = 1, 2,, b j, j = 1, 2,, x ij 0, i = 1, 2,,, j = 1, 2,, Το πρόβλημα της μεταφοράς λύνεται με την βοήθεια της μεθόδου Siplex Όμως λόγω της δομής του προσφέρεται για την ανάπτυξη πιο αποτελεσματικών αλγορίθμων, όπως η μέθοδος της βορειοδυτικής γωνίας, η μέθοδος ελαχίστου κόστους και η μέθοδος προσέγγισης του Vogel Μια βασική προϋπόθεση για να έχει το πρόβλημα εφικτές λύσεις είναι ότι: α i = b j δηλαδή το άθροισμα των ποσοτήτων που διαθέτουν οι πηγές είναι ίσο με το άθροισμα των ποσοτήτων που απαιτούν οι προορισμοί Σ αυτή την περίπτωση λέμε ότι το σύστημα είναι σε ισορροπία και οι περιορισμοί του προβλήματος έχουν μετατραπεί από ανισότητες σε ισότητες Δηλαδή το μοντέλο του προβλήματος όταν το σύστημά μας είναι σε ισορροπία εκφράζεται ως εξής: x ij x ij z = c ij x ij = α i, i = 1, 2,, = b j, j = 1, 2,, x ij 0, i = 1, 2,,, j = 1, 2,, Αυτή η προϋπόθεση που πρέπει να ισχύει για να έχει το πρόβλημα της μεταφοράς εφικτές λύσεις, δεν μας εμποδίζει την επεξεργασία πραγματικών προβλημάτων όπου η προσφορά των πηγών είναι διαφορετική από τη ζήτηση των προορισμών Σ αυτές τις περιπτώσεις γίνεται η χρήση μιας εικονικής πηγής με εικονική προσφορά ή ενός εικονικού προορισμού με εικονική ζήτηση ανάλογα με το αν υπάρχει μεγαλύτερη ζήτηση ή προσφορά αντίστοιχα Το κόστος της εικονικής προσφοράς και της εικονικής ζήτησης είναι μηδέν 73

4 Παράδειγμα Ένα κατασκευαστής ηλεκτρικών συσκευών έχει 3 εργοστάσια και 5 αποθήκες διανομής στις οποίες μεταφέρει τα προϊόντα για αποθήκευση και διανομή στους πελάτες Τα τρία εργοστάσια παράγουν τις ακόλουθες μονάδες κάθε εβδομάδα: Εργοστάσιο Διαθέσιμες μονάδες Οι αποθήκες έχουν τις ακόλουθες απαιτήσεις για διανομή κάθε εβδομάδα: Αποθήκη Μονάδες που απαιτούνται Το κόστος μεταφορά ανά μονάδα προϊόντος από κάθε εργοστάσιο σε κάθε αποθήκη είναι: Αποθήκη Εργοστάσιο Να διατυπωθεί το πρόβλημα σαν πρόβλημα μεταφοράς Διατύπωση: Παρατηρούμε ότι οι ποσότητες του προϊόντος που διαθέτουν τα εργοστάσια ( = 1500) είναι ίσες με τις ποσότητες που απαιτούν οι αποθήκες ( = 1500) Επομένως το σύστημά μας είναι σε ισορροπία και άρα οι περιορισμοί του μοντέλου μας θα είναι ισότητες Έστω x ij οι μονάδες που μεταφέρονται από το εργοστάσιο i=1,2,3 στην αποθήκη j=1,2,3,4,5 Τότε το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος θα διατυπώνεται ως εξής: i z = 2x 11 +x 12 +3x 13 +x 14 +2x 15 +4x 21 +2x 22 +x 23 +3x 24 +x 25 +2x 31 +x 32 +x 33 +3x 34 +4x 35 : x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 = 600 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 = 400 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 = 500 (από την διαθέσιμες ποσότητες των εργοστασίων) x 11 + x 21 + x 31 = 200 x 12 + x 22 + x 32 = 250 x 13 + x 32 + x 33 = 300 x 14 + x 24 + x 34 = 550 x 15 + x 25 + x 35 = 500 (από τις ποσότητες που απαιτούν οι αποθήκες) x ij 0, i = 1, 2, 3 και j = 1, 2, 3, 4, 5 74

5 313 Το Πρόβλημα της Μεταφόρτωσης Στο πρόβλημα μεταφοράς ο τρόπος με τον οποίο οι μονάδες μεταφέρονται από κάθε πηγή i σε κάθε προορισμό j είναι γνωστός έτσι ώστε τα αντίστοιχα στοιχεία κόστους ανά μονάδα προϊόντος (c ij ) μπορούν να προσδιοριστούν Όμως μερικές φορές δεν είναι φανερό ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος μεταφοράς λόγω μεταφορτώσεων, δηλαδή φορτώσεων μέσω ενδιάμεσων σημείων μεταφοράς, που μπορεί να είναι άλλες πηγές ή άλλοι προορισμοί Παραδείγματος χάριν, αντί να μεταφέρουμε τα εμπορεύματα με ειδικό φορτίο από το λιμάνι 1 στο λιμάνι 3, μπορεί να είναι φθηνότερο να τα στείλουμε με κανονικό φορτίο από το λιμάνι 1 στο λιμάνι 2 και μετά από το λιμάνι 2 στο λιμάνι 3 Τέτοιες δυνατότητες πρέπει να διερευνηθούν προκαταβολικά για να προσδιορισθεί η φθηνότερη διαδρομή από κάθε πηγή σε κάθε προορισμό Σε περίπτωση που υπάρχουν πολλά ενδιάμεσα σημεία μεταφοράς, αυτό μπορεί να γίνει ένα αρκετά πολύπλοκο πρόβλημα Έτσι, ίσως είναι πιο εύκολο να χρησιμοποιήσουμε έναν αλγόριθμο για να βρίσκει τη λύση για τις ποσότητες που μεταφέρονται από κάθε πηγή σε κάθε προορισμό και για τη διαδρομή που θα ακολουθήσει κάθε αποστολή με τρόπο που να ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος μεταφοράς Η επέκταση αυτή του προβλήματος μεταφοράς που συμπεριλαμβάνει και αποφάσεις διαδρομών ονομάζεται πρόβλημα μεταφόρτωσης (trasshipet proble) Το γενικό πρόβλημα της μεταφόρτωσης αναφέρεται στο προσδιορισμό της μεταφοράς ενός οποιουδήποτε προϊόντος από μια ομάδα κέντρων παραγωγής, που ονομάζονται πηγές σε μια ομάδα κέντρων κατανάλωσης, που ονομάζονται προορισμοί μέσω κάποιων ενδιάμεσων σταθμών μεταφόρτωσης με τέτοιο τρόπο ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος μεταφοράς Σ ένα πρόβλημα μεταφόρτωσης δίνονται τα εξής στοιχεία: Ένα συγκεκριμένο προϊόν Ένα σύνολο κέντρων παραγωγής ή πηγών i=1,2,,, ένα σύνολο ενδιάμεσων σταθμών μεταφόρτωσης k=1,2,,l και ένα σύνολο κέντρων κατανάλωσης ή προορισμών j=1,2,, Η διαθέσιμη ποσότητα α i του i κέντρου παραγωγής ή πηγής, i = 1, 2,, Η ζητούμενη ποσότητα b j του j κέντρου κατανάλωσης ή προορισμού, j = 1, 2,, Το κόστος μεταφοράς c ik μιας μονάδας του προϊόντος από την i πηγή στο k ενδιάμεσο στάδιο μεταφοράς Το κόστος μεταφοράς d kj μιας μονάδας του προϊόντος από το k ενδιάμεσο στάδιο μεταφοράς στον j προορισμό Το παρακάτω σχήμα απεικονίζει το μοντέλο του προβλήματος της μεταφόρτωσης ως ένα δίκτυο με πηγές, k ενδιάμεσους σταθμούς μεταφόρτωσης και προορισμούς Μια πηγή ή ένας ενδιάμεσος σταθμός ή ένας προορισμός αναπαρίστανται από ένα κόμβο του δικτύου Τα τόξα που ενώνουν μια πηγή με έναν ενδιάμεσο σταθμό μεταφόρτωσης ή έναν ενδιάμεσο σταθμό μεταφόρτωσης με έναν προορισμό αναπαριστούν τη διαδρομή μέσω της οποίας το προϊόν μεταφέρεται 75

6 α 1 Πηγές 1 c 11 : x 11 Ενδιάμεσοι σταθμοί 1 d 11 : z 11 Προορισμοί 1 b 1 Διαθέσιμες μονάδες α 2 α 2 c l : x l 2 l d l : z l 2 b 2 b Μονάδες ζήτησης Το πρόβλημα της μεταφόρτωσης μπορεί να διαμορφωθεί ως πρόβλημα μεταφοράς αν θεωρήσουμε τις μεταφορές από πηγή σε ενδιάμεσο σταθμό και από ενδιάμεσο σταθμό σε προορισμό ως μεταφορές από μια πηγή σε έναν προορισμό και να θεωρήσουμε όλες τις τοποθεσίες (πηγές, ενδιάμεσοι σταθμοί, προορισμοί) ως δυνατές πηγές ή δυνατούς προορισμούς Η μαθηματική μοντελοποίηση του προβλήματος έχει ως εξής: Έστω x ik η ποσότητα του προϊόντος που μεταφέρεται από το i κέντρο παραγωγής (πηγή) στο k ενδιάμεσο σταθμό μεταφόρτωσης, πχ για i = 2 και k =4, x 24 είναι η ποσότητα του προϊόντος που μεταφέρεται από το κέντρο παραγωγής 2 στον ενδιάμεσο σταθμό μεταφόρτωσης 4 Τότε το άθροισμα των ποσοτήτων που θα μεταφερθούν από το i κέντρο παραγωγής στους 1,2,,l ενδιάμεσους σταθμούς μεταφόρτωσης, θα πρέπει να είναι μικρότερο ή ίσο με τη διαθέσιμη ποσότητα α i του i κέντρου παραγωγής, αφού δεν είναι δυνατόν να μεταφερθεί από ένα κέντρο παραγωγής μεγαλύτερη ποσότητα από τη διαθέσιμη Η ισότητα, όπως και στο πρόβλημα της μεταφοράς, ισχύει όταν το σύστημα μας βρίσκεται σε ισορροπία Αυτό είναι φυσικό αφού όπως είπαμε το πρόβλημα της μεταφόρτωσης διαμορφώνεται τελικά σε ένα πρόβλημα μεταφοράς Έστω z kj η ποσότητα του προϊόντος που μεταφέρεται από τον k ενδιάμεσο σταθμό μεταφόρτωσης στον j προορισμό Τότε το άθροισμα των ποσοτήτων που έρχονται σε ένα ενδιάμεσο σταθμό μεταφόρτωσης k από τις i = 1, 2,, πηγές είναι ίσο με το άθροισμα των ποσοτήτων που φεύγουν από αυτόν τον ενδιάμεσο σταθμό μεταφόρτωσης προς τους j = 1, 2,, προορισμούς Ακόμη, το άθροισμα των ποσοτήτων που θα μεταφερθούν στον j προορισμό από τους k = 1, 2,, l ενδιάμεσους σταθμούς παραγωγής θα πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με την ποσότητα b j που ζητείται από τον j προορισμό, αφού πρέπει η ζήτηση κάθε προορισμού να καλύπτεται Η ισότητα, όπως και στο πρόβλημα της μεταφοράς, ισχύει όταν το σύστημα μας βρίσκεται σε ισορροπία Μια και η μεταφορά αρνητικών ποσοτήτων δεν έχει νόημα στους παραπάνω περιορισμούς προστίθονται και οι περιορισμοί μη αρνητικότητας των μεταβλητών x ik, και z kj Αφού το πρόβλημα της μεταφόρτωσης σπάει σε δύο προβλήματα μεταφοράς, το πρώτο από τις πηγές στους ενδιάμεσους σταθμούς μεταφόρτωσης και το δεύτερο από τους ενδιάμεσους 76

7 σταθμούς μεταφόρτωσης στους προορισμούς, η αντικειμενική συνάρτηση του γενικού προβλήματος μεταφόρτωσης θα είναι το άθροισμα των αντικειμενικών συναρτήσεων των δύο προβλημάτων μεταφοράς Μια βασική προϋπόθεση για να έχει το πρόβλημα της μεταφόρτωσης εφικτές λύσεις είναι ότι: α i = b j δηλαδή το άθροισμα των ποσοτήτων που διαθέτουν οι πηγές είναι ίσο με το άθροισμα των ποσοτήτων που απαιτούν οι προορισμοί Σ αυτή την περίπτωση λέμε ότι το σύστημα είναι σε ισορροπία και οι περιορισμοί του προβλήματος έχουν μετατραπεί από ανισότητες σε ισότητες Δηλαδή το μοντέλο του προβλήματος όταν το σύστημά μας είναι σε ισορροπία εκφράζεται ως εξής: z = l k 1 l x ik k 1 x ik l z kj k 1 cikxik l + d z k 1 kj = α i, i = 1, 2,, = z kj, k = 1, 2,, l = b j, j = 1, 2,, x ik, z kj 0, i = 1, 2,,, k = 1, 2,, l j = 1, 2,, kj Αυτή η προϋπόθεση που πρέπει να ισχύει για να έχει το πρόβλημα της μεταφόρτωσης εφικτές λύσεις, δεν μας εμποδίζει την επεξεργασία πραγματικών προβλημάτων όπου η προσφορά των πηγών είναι διαφορετική από τη ζήτηση των προορισμών Σ αυτές τις περιπτώσεις γίνεται η χρήση μιας εικονικής πηγής με εικονική προσφορά ή ενός εικονικού προορισμού με εικονική ζήτηση ανάλογα με το αν υπάρχει μεγαλύτερη ζήτηση ή προσφορά αντίστοιχα Το κόστος της εικονικής προσφοράς και της εικονικής ζήτησης είναι μηδέν Παράδειγμα: Ένας οργανισμός, ο οποίος χρησιμοποιεί ξυλεία για την κατασκευή χαρτιού, έχει στην ιδιοκτησία του 3 δάση τα οποία προμηθεύουν ξύλο 2 εργοστάσιά του που παράγουν χαρτί Το χαρτί μεταφέρεται σε 3 αποθήκες από όπου διατίθεται στην αγορά Το κάθε δάσος μπορεί να δώσει μέχρι μια ποσότητα ξύλου S i, i = 1, 2, 3, ενώ κάθε αποθήκη ζητάει μια ποσότητα ξύλου Δ j, j = 1, 2, 3 Το κόστος μεταφοράς του ξύλου από το δάσος i στο εργοστάσιο k = 1, 2 είναι c ik ανά μονάδα ξύλου, ενώ το κόστος μεταφοράς του χαρτιού από το εργοστάσιο k στην αποθήκη j είναι d kj ανά μονάδα χαρτιού Υποθέτουμε ότι μια μονάδα ξύλου σε κάθε δάσος αντιστοιχεί στο ισοδύναμο ποσό ξύλου που αντιστοιχεί για να κατασκευασθεί ένα ρολό χαρτιού Να διατυπωθεί το πρόβλημα ως πρόβλημα μεταφόρτωσης 77

8 Διατύπωση: Υποθέτουμε ότι το σύστημά μας είναι σε ισορροπία Αν δεν είναι τότε προσθέτουμε μια εικονική πηγή με εικονική προσφορά ή έναν εικονικό προορισμό με εικονική ζήτηση ανάλογα με το αν υπάρχει μεγαλύτερη ζήτηση ή προσφορά αντίστοιχα Έστω x ik οι μονάδες του χαρτιού που μεταφέρονται από το δάσος i = 1, 2, 3 στο εργοστάσιο k = 1, 2, και z kj οι μονάδες του χαρτιού που μεταφέρονται από το εργοστάσιο k = 1, 2 στην αποθήκη j = 1, 2, 3 Τότε το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος διαμορφώνεται ως εξής: i z = c 11 x 11 + c 12 x 12 + c 21 x 21 + c 22 x 22 + c 31 x 31 + c 32 x 32 + d 11 z 11 + d 12 z 12 + d 13 z 13 + d 21 z 21 + d 22 z 22 + d 23 z 23 x 11 + x 12 = S 1 x 21 + x 22 = S 2 x 31 + x 32 = S 3 (από τις διαθέσιμες ποσότητες ξύλου των δασών) x 11 + x 21 + x 31 = z 11 + z 12 + z 13 x 12 + x 22 + x 32 = z 21 + z 22 + z 23 (από τον περιορισμό ότι έρχεται σε ένα σταθμό μεταφόρτωσης πρέπει να φεύγει) z 11 + z 21 = Δ 1 z 12 + z 22 = Δ 2 z 13 + z 23 = Δ 3 (από τις ποσότητες χαρτιού που ζητούν οι αποθήκες) x ik, z kj 0, i = 1, 2, 3, k = 1, 2, j = 1, 2, 3 78

9 314 Το Πρόβλημα της Εκχώρηση Το πρόβλημα της εκχώρησης (assiget proble) είναι μια ειδική περίπτωση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, όπου οι πόροι κατανέμονται σε δραστηριότητες με βάση ένα προς ένα Έτσι κάθε πόρος (πχ υπάλληλος, μηχανή, κα) εκχωρείται σε μια δραστηριότητα (πχ καθήκον, θέση, κα) Υπάρχει ένα κόστος, c ij, για τον πόρο i = 1, 2,, που εκχωρείται στην δραστηριότητα j = 1, 2,,, και αντικειμενικός σκοπός είναι να προσδιοριστεί πως θα γίνουν όλες οι εκχωρήσεις με το μικρότερο δυνατό συνολικό κόστος Το πρόβλημα της εκχώρησης έχει πολλές και ενδιαφέρουσες εφαρμογές, όπως: Κατανομή εργατών σε μηχανές Κατανομή πελατών σε περιοχές Κατανομή πληρωμάτων σε δρομολόγια Κατανομή παραγγελιών σε εργοστάσια κτλ Σ ένα πρόβλημα εκχώρησης στην πιο απλή του μορφή δίνονται τα εξής: Ένα σύνολο ατόμων i = 1, 2,, που διατίθενται (εκχωρούνται) στην εκτέλεση ενός συνόλου δραστηριοτήτων j = 1, 2,, Το μέτρο c ij του αποτελέσματος που προκύπτει όταν το άτομο i εκχωρείται στην δραστηριότητα j Κάθε δραστηριότητα εκτελείται από ένα άτομο μόνο και κάθε άτομο εκχωρείται στην εκτέλεση μόνο μιας δραστηριότητας Κάθε δραστηριότητα εκτελείται ή δεν εκτελείται Δηλαδή καμιά δραστηριότητα δεν μπορεί να εκτελεστεί σε κλασματικά επίπεδα ή περισσότερες από μία φορές Ζητείται να προσδιοριστεί η αντιστοιχία μεταξύ των ατόμων και δραστηριοτήτων έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι παραπάνω περιορισμοί και να βελτιστοποιείται μια συνάρτηση ολικού αποτελέσματος Δηλαδή να ελαχιστοποιείται κάποια συνάρτηση κόστους ή να μεγιστοποιείται κάποια συνάρτηση απόδοσης Η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος της εκχώρησης έχει ως εξής: 1 εαν το ατομο i εκχωρειται στην δραστηριοτητα j Έστω ότι x ij =, τότε ο περιορισμός 0 εαν το ατομο i δεν εκχωρειται στην δραστηριοτητα j ότι το άτομο i εκχωρείται σε μια και μόνο μια από τις δραστηριότητες j = 1, 2,, εκφράζεται από την εξίσωση: x ij = x i1 + x i2 + + x i = 1 Έτσι ο περιορισμός ότι κάθε άτομο εκχωρείται σε μια και μόνο μια δραστηριότητα εκφράζεται με το παρακάτω σύστημα εξισώσεων: x1 j = x 11 + x x 1 = 1 x j = x 1 + x x = 1 79

10 Με τον ίδιο τρόπο ο περιορισμός ότι κάθε δραστηριότητα εκτελείται από ένα μόνο άτομα εκφράζεται με το παρακάτω σύστημα εξισώσεων: x i 1 = x 11 + x x 1 = 1 x i = x 1 + x x = 1 Τέλος ζητείται η βελτιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης z = c ij x ij Έτσι το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος της μεταφοράς μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: ax (ή i) z = x ij x ij c ij x ij = 1, i = 1, 2,, = 1, j = 1, 2,, x ij {0, 1} Το σημαντικό όμως είναι ότι η επίλυση του προβλήματος της εκχώρησης ως πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού δίνει πάντα βέλτιστες λύσεις οι μεταβλητές των οποίων παίρνουν τιμές 0 ή 1 Αυτή η ιδιότητα έχει αποδειχθεί από τον Birkhoff το 1946 Στον ορισμό του προβλήματος της εκχώρησης κάναμε την υπόθεση ότι ο αριθμός των ατόμων είναι ίσος με τον αριθμό των δραστηριοτήτων Προφανώς σε πραγματικές εφαρμογές του προβλήματος της εκχώρησης η συνθήκη αυτή σπάνια ικανοποιείται και ο κανόνας είναι Όπως όμως και στα προβλήματα της μεταφοράς και της μεταφόρτωσης η περίπτωση αντιμετωπίζεται με πολύ απλό τρόπο και δεν δημιουργείται κανένα ουσιαστικό πρόβλημα: Αν τότε προστίθενται οι +1, +2,, εικονικές δραστηριότητες και τίθεται c ij = 0 για i = 1, 2,,, και j = +1, +2,, Αν τότε προστίθενται οι +1, +2,, εικονικά άτομα και τίθεται c ij = 0 για i = +1, +2,,, και j = 1, 2,, 80

11 315 Ασκήσεις 1 Να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού γραφικά: ax z = 2x 1 + x 2 x x 1 + 5x 2 60 x 1 + x x 1 + x 2 44 x 1, x Δίνεται το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 10x x 2 -x 1 + 2x 2 10 x 1 + x 2 8 5x 1 + 3x 2 30 x 1, x 2 0 Να λυθεί γραφικά 3 Δίνεται το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 2x 1 + 3x 2 x 1 + 2x 2 10 (πόρος 1) 3x 1 + x 2 15 (πόρος 2) + x 2 4 (πόρος 3) x 1, x 2 0 α) Να λυθεί γραφικά β) Να λυθεί με τη μέθοδο Siplex γ) Προσδιορίστε τις τιμές των βοηθητικών μεταβλητών για τους τρεις πόρους από τον τελικό πίνακα Siplex δ) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των δεξιών μελών των περιορισμών ε) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των συντελεστών της αντικειμενικής 4 Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού γραφικά: ax z = 6x 1 + 5x 2 3x 1 + x x 1 40 x x 1 80 x 1, x

12 5 Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού γραφικά: ax z = 7x x 2 x 1 36 x 2 12 x 1 + 4x x 1 + x 2 30 x 1 - x 2 0 x 1, x Δίνεται το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 6x 1-2x 2 x 1 - x 2 1 3x 1 - x 2 6 x 1, x 2 0 α) Να γίνει η γραφική επίλυση του προβλήματος β) Να λυθεί με τη μέθοδο Siplex γ) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των δεξιών μελών των περιορισμών δ) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των συντελεστών της αντικειμενικής 7 Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού γραφικά: ax z = 5x 1 + 6x 2 x x 2 2-2x 1 + 3x 2 2 x 1, x 2 μη περιορισμένες ως προς το πρόσημο 8 Να γίνει η γραφική επίλυση του παρακάτω προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 3x 1 + 2x 2 2x 1 + x 2 2 3x 1 + 4x 2 12 x 1, x Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού γραφικά: ax z = 5x 1 + 2x 2 x 1 + x 2 10 x 1 = 5 x 1, x

13 10Μετατρέψτε το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού στην τυποποιημένη μορφή: i z = -3x 1 + 4x 2-2x 3 + 5x 4 4x 1 - x 2 + 2x 3 - x 4 = -2 x 1 + x 2 + 3x 3 - x x 1 + 3x 2 - x 3 + 2x 4 2 x 1, x 2, x 3 0 και x 4 μη περιορισμένη ως προς το πρόσημο 11Να μετατραπεί το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού σε τυποποιημένη μορφή: ax z = 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 x 1 + x 2 - x x 1 + 7x 2-9x 3 4 x 1 + x 2 + 4x 3 = 10 x 1, x 2 0, x 3 μη περιορισμένη ως προς το πρόσημο 12Να μετατραπεί το προηγούμενο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού σε τυποποιημένη μορφή σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) Ο πρώτος περιορισμός γίνεται x 1 + x 2 - x 3-5 β) Ο δεύτερος περιορισμός γίνεται -6x 1 + 7x 2-9x 3 4 γ) Ο τρίτος περιορισμός γίνεται x 1 + x 2 + 4x 3 10 δ) Η μεταβλητή x 3 περιορίζεται ως προς το πρόσημο, δηλαδή x 3 0 ε) Η μεταβλητή x 1 είναι μη περιορισμένη ως προς το πρόσημο στ) Η αντικειμενική συνάρτηση γίνεται i z =2x 1 + 3x 2 + 5x 3 13Δίνεται το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 4x 1 + 3x 2 + 6x 3 3x 1 + x 2 + 3x x 1 + 2x 2 + 3x 3 40 x 1, x 2, x 3 0 α) Να λυθεί με τη μέθοδο Siplex β) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των δεξιών μελών των περιορισμών γ) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των συντελεστών της αντικειμενικής 14Δίνεται το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 4x 1-2x 2 + 2x 3 3x 1 + x 2 + x (πόρος 1) x 1 - x 2 + 2x 3 30 (πόρος 2) x 1 + x 2 - x 3 60 (πόρος 3) x 1, x 2, x 3 0 α) Λύστε το πρόβλημα με τη μέθοδο Siplex 83

14 β) Προσδιορίστε τις τιμές των βοηθητικών μεταβλητών για τους τρεις πόρους και περιγράψτε τη σημασία τους γ) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των δεξιών μελών των περιορισμών δ) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των συντελεστών της αντικειμενικής 15Δίνεται το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 20x x 2-5x x 4 3x 1 + 3x 2 + x 3 + 3x 4 45 (πόρος 1) x 1 + 2x 2-3x 3 + 3x 4 30 (πόρος 2) x 1, x 2, x 3, x 4 0 α) Λύστε το πρόβλημα με τη μέθοδο Siplex β) Προσδιορίστε τις τιμές των βοηθητικών μεταβλητών για τους τρεις πόρους και περιγράψτε τη σημασία τους 16Δίνεται το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = x 1 + x 2 x 1 5 x 1 + 2x 2 10 x 2 4 x 1, x 2 0 α) Να λυθεί με τη μέθοδο Siplex β) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των δεξιών μελών των περιορισμών γ) Να γίνει ανάλυση ευαισθησίας ως προς την μεταβολή των συντελεστών της αντικειμενικής 17Έστω το σύνολο των περιορισμών ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού: x 1 + 7x 2 + 3x 3 + 7x x 1 - x 2 + x 3 + 2x 4 8 2x 1 + 3x 2 - x 3 + x 4 10 Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το πρόβλημα υποθέτοντας ότι η αντικειμενική συνάρτηση δίνεται ως ακολούθως: α) ax z = 2x 1 + x 2-3x 3 + 5x 4 β) ax z = -2x 1 + 6x 2 + 3x 3-2x 4 γ) ax z = 3x 1 - x 2 + 3x 3 +4x 4 δ) i z = 5x 1-4x 2 + 6x 3 + 8x 4 ε) i z = 3x 1 + 6x 2-2x 3 + 4x 4 84

15 18Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 16x x 2 40x x x 1 + x 2 1 x 1 3 x 1, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 3x x 1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 20 x 1, x 2, x 3, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 3x 1 + x 2 +5x 3 + 4x 4 3x 1-3x 2 + 2x 3 + 8x x 1 + 6x 2-4x 3-4x x 1-2x 2 + x 3 + 3x 4 20 x 1, x 2, x 3, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 x 1 + x 2 3 x 3 + x 4 2 x 1, x 2, x 3, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 3x 1 + 2x 2 4x 1 + 3x x 1 + x 2 8 4x 1 - x 2 8 x 1, x

16 23Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = x 1 + 2x 2 + 3x 3 x 1 + 2x 2 + 3x 3 10 x 1 + x 2 5 x 1 1 x 1, x 2, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 2x 1 - x 2 + 3x 3 x 1 - x 2 + 5x x 1 - x 2 + 3x 3 40 x 1, x 2, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 3x 1 + x 2 x 1 + 2x 2 5 x 1 + x 2 - x 3 2 7x 1 + 3x 2-5x 3 20 x 1, x 2, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Siplex για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 20x x 2 + x 3 3x 1-3x 2 + 5x 3 50 x 1 + x 3 10 x 1 - x 2 + 4x 3 20 x 1, x 2, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο δύο φάσεων για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 3x 1 + 2x 2 + 3x 3 2x 1 + x 2 + x 3 2 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x

17 28Έστω το σύνολο των περιορισμών: -2x 1 + 3x 2 = 3 (1) 4x 1 + 5x 2 10 (2) x 1 + 2x 2 5 (3) 6x 1 + 7x 2 3 (4) 4x 1 + 8x 2 5 (5) x 1, x 2 0 (6) Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των δύο φάσεων για να λύσετε τα παρακάτω προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού: α) ax z = 5x 1 + 6x 2 (1), (3), (4) και (6) β) ax z = 2x 1-7x 2 (1), (2), (4), (5) και (6) γ) i z = 3x 1 + 6x 2 (3), (4), (5) και (6) δ) i z = 4x 1 + 6x 2 (1), (2), (5) και (6) ε) i z = 3x 1 + 2x 2 (1), (5) και (6) 29Έστω το σύνολο των περιορισμών: x 1 + x 2 + x 3 = 7 2x 1-5x 2 + x 3 10 x 1, x 2, x 3 0 Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των δύο φάσεων για να λύσετε το πρόβλημα που ορίζει το σύνολο των περιορισμών υποθέτοντας ότι η αντικειμενική συνάρτηση είναι ως ακολούθως: α) ax z = 2x 1 + 3x 2-5x 3 β) i z = 2x 1 + 3x 2-5x 3 γ) ax z = x 1 + 2x 2 + x 3 δ) i z = 4x 1-8x 2 + 3x 3 30Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των δύο φάσεων για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = x 1 + 5x 2 + 3x 3 x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 2x 1 - x 2 = 4 x 1, x 2, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των δύο φάσεων για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 x 1 + x 2 + x 3 + x x 1 + 6x 2 + x 3-2x 4 0 x 2 4 x 1, x 2, x 3, x

18 32Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των δύο φάσεων για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 2x 1 + 3x 2 x 1 + 2x 2 4 x 1 + x 2 = 3 x 1, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των δύο φάσεων για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 20x x 2 2x 1 + x 2 5-3x 1 + 2x 2 3 x 1 + x 2 3 x 1, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των δύο φάσεων για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: ax z = 45x x x x 4 5x 1 + x 2 + x 3 + 8x 4 = 30 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 30 x 1, x 2, x 3, x Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των δύο φάσεων για να λύσετε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: i z = 2x 1 + 3x 2 +x 3 x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 3x 1 + 2x 2 6 x 1, x 2, x

19 36Μια βιομηχανία αυτοκίνητων έχει τρία εργοστάσια τα οποία παράγουν 100, 80, 50 αυτοκίνητα αντίστοιχα κάθε μέρα Τα αυτοκίνητα εξάγονται σε τέσσερις χώρες που απαιτούν 40, 80, 60 και 50 αυτοκίνητα αντίστοιχα Το κόστος μεταφοράς ανά αυτοκίνητο, δίνεται από τον πίνακα: Χώρα Εργοστάσιο Διατυπώστε το πρόβλημα ως πρόβλημα μεταφοράς 37Μια χώρα καλύπτει τις ετήσιες ανάγκες της σε πετρέλαιο, από τρεις πετρελαιοπαραγωγικές χώρες Η ποσότητα που διαθέτουν οι χώρες αυτές είναι 3, 6, και 7 εκατομμύρια τόνοι αντίστοιχα το χρόνο Η παράδοση θα γίνει σε τρία διυλιστήρια σε ποσότητες 5, 5 και 6 εκατομμύρια τόνους αντίστοιχα Το κόστος μεταφοράς σε χιλιάδες δραχμές για κάθε τόνο δίνεται από τον επόμενο πίνακα: Πετρελαιοπαραγωγικές Διυλιστήρια χώρες Διατυπώστε το πρόβλημα ως πρόβλημα μεταφοράς 38Η ελληνική εταιρεία σιδηροδρόμων (ΟΣΕ) έχει στη διάθεσή της 3 ατμομηχανές στην Αθήνα, 2 στη Λάρισα και 3 στη Θεσσαλονίκη Για να καλύψει τις ανάγκες που δημιουργήθηκαν από τις εκλογές χρειάζονται 2 ατμομηχανές στην Αλεξανδρούπολη, 3 στη Καλαμάτα και 3 στη Λαμία Οι αποστάσεις σε χιλιόμετρα ανάμεσα στις διάφορες πόλεις δίνονται από τον παρακάτω πίνακα: Αθήνα Λάρισα Θεσσαλονίκη Αλεξανδρούπολη Λαμία Καλαμάτα Διατυπώστε το πρόβλημα ως πρόβλημα μεταφοράς ώστε η ολική απόσταση που θα διατρέξουν οι ατμομηχανές να είναι η ελάχιστη 89

20 39Μια επιχείρηση έχει τρία εργοστάσια, που παράγουν ένα προϊόν, που διανέμεται σε τέσσερα κέντρα κατανάλωσης Τα εργοστάσια 1, 2 και 3 παράγουν 12, 17 και 11 φορτία προϊόντος αντίστοιχα κάθε μήνα Κάθε κέντρο κατανάλωσης χρειάζεται το μήνα 10 φορτία Η απόσταση, σε χιλιόμετρα, από κάθε εργοστάσιο σε κάθε κέντρο κατανάλωσης δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: Κέντρο Κατανάλωσης Εργοστάσιο Το κόστος μεταφοράς κάθε φορτίου είναι 100 χρηματικές μονάδες συν 05 χρηματικές μονάδες ανά χιλιόμετρο Ποιες ποσότητες πρέπει να αποσταλούν από κάθε εργοστάσιο σε κάθε κέντρο κατανάλωσης για να είναι το συνολικό κόστος μεταφοράς ελάχιστο Διαμορφώστε το πρόβλημα ως πρόβλημα μεταφοράς 40Ο Κώστας θέλει 3 ακριβώς δοχεία μπύρας σήμερα και τουλάχιστον 4 δοχεία αύριο Ο Δημήτρης μπορεί να του πουλήσει το πολύ 4 δοχεία με τιμή 1,54 χρηματικές μονάδες ανά δοχείο σήμερα και 1,50 χρηματικές μονάδες αύριο, ενώ ο Γιάννης μπορεί του πουλήσει το πολύ 5 δοχεία με τιμή 1,60 χρηματικές μονάδες ανά δοχείο σήμερα και 1,44 χρηματικές μονάδες αύριο Ο Κώστας επιθυμεί να προσδιορίσει πως θα κάνει τις αγορές του, για να ικανοποιήσει τη ζήτησή του με το ελάχιστο κόστος Διατυπώστε το πρόβλημα ως πρόβλημα μεταφοράς 41Η διοίκηση μιας συνεταιριστικής εταιρείας αποφάσισε να παραχθούν τρία νέα προϊόντα από τη διαθέσιμη παραγωγική δυνατότητα των πέντε εργοστασίων της Το ανά μονάδα κόστος παραγωγής του πρώτου προϊόντος θα είναι 90, 82, 92, 84 και 86 χρηματικές μονάδες στα εργοστάσια 1, 2, 3, 4, και 5 αντίστοιχα Το ανά μονάδα κόστος παραγωγής του δευτέρου προϊόντος θα είναι62, 58, 64, 56 και 58 χρηματικές μονάδες 1, 2, 3, 4 και 5 αντίστοιχα Το ανά μονάδα κόστος παραγωγής του τρίτου προϊόντος θα είναι 76, 70 και 80 χρηματικές μονάδες στα εργοστάσια 1, 2 και 3 αντίστοιχα, ενώ τα εργοστάσια 4 και 5 δεν έχουν την δυνατότητα να παράγουν το προϊόν αυτό Οι προβλέψεις των πωλήσεων δείχνουν ότι πρέπει να παράγονται κάθε μέρα 5000, 3000 και 4000 μονάδες των προϊόντων 1, 2 και 3 αντίστοιχα Τα εργοστάσια 1, 2, 3, 4 και 5 μπορούν να παράγουν 2000, 3000, 2000, 3000 και 5000 μονάδες τη μέρα, άσχετα από το προϊόν ή το συνδυασμό προϊόντων Η διοίκηση θέλει να μάθει πως να κατανείμει τα νέα προϊόντα στα εργοστάσια για να ελαχιστοποιήσει το συνολικό κόστος παραγωγής Διατυπώστε το πρόβλημα ως πρόβλημα μεταφοράς 90

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation )

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν τη μεταφορά αγαθών από διαφορετικά σημεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Η ετήσια ζήτηση ενός σημαντικού εξαρτήματος που χρησιμοποιείται στη μνήμη υπολογιστών desktops εκτιμήθηκε σε 10.000 τεμάχια. Η αξία κάθε μονάδας είναι 8, το κόστος παραγγελίας κάθε παρτίδας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ Μια εταιρεία αλουμινίου έχει αποθέματα βωξίτη στην περιοχή G, στην S και στην A. Επίσης, υπάρχουν εργοστάσια μετάλλου, όπου ο βωξίτης

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Critical Path Analysis (Μέθοδος του κρίσιμου μονοπατιού)

4.6 Critical Path Analysis (Μέθοδος του κρίσιμου μονοπατιού) . Critical Path Analysis (Μέθοδος του κρίσιμου μονοπατιού) Η πετυχημένη διοίκηση των μεγάλων έργων χρειάζεται προσεχτικό προγραμματισμό, σχεδιασμό και συντονισμό αλληλοσυνδεόμενων δραστηριοτήτων (εργσιών).

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Ένα εργοστάσιο παραγωγής αλουμινίου προμηθεύεται βωξίτη από τρία ορυχεία (01, 02

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ουζούνης Παναγιώτης ΜΑΡΤΙΟΣ 008 ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Γεροντίδης Ιωάννης Εκπονηθείσα πτυχιακή

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων Σαχαρίδης Γιώργος Πρόβλημα 1 Μία εταιρεία έχει μία παραγγελία για την παραγωγή κάποιου προϊόντος. Με τις 2 υπάρχουσες βάρδιες (40 ώρες την εβδομάδα η καθεμία) μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περίοδος

ΘΕΜΑ : ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περίοδος ΘΕΜΑ : ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περίοδος Στο μάθημα μας θα ασχοληθούμε, με τις πιο κάτω τεχνολογικές έρευνες. Έρευνες που διερευνούν: 1. Τις στάσεις των ανθρώπων έναντι τεχνολογικών έργων, συσκευών

Διαβάστε περισσότερα

Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές

Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές 3. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΟΣ 3. Τι Είναι Απόθεμα Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές. Απόθεμα Α, Β υλών και υλικών συσκευασίας: Είναι το απόθεμα των υλικών που χρησιμοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης K.5.1 Γραμμή Παραγωγής Μια γραμμή παραγωγής θεωρείται μια διάταξη με επίκεντρο το προϊόν, όπου μια σειρά από σταθμούς εργασίας μπαίνουν σε σειρά με στόχο ο κάθε ένας από αυτούς να κάνει μια ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθµική Επιχειρησιακή Ερευνα. Χειµερινό Εξάµηνο 2013-2014. Ασκήσεις. 1. Ενα διυλιστήριο µπορεί να επεξεργαστεί τρία είδη ακατέργαστου πετρελαίου :

Αλγοριθµική Επιχειρησιακή Ερευνα. Χειµερινό Εξάµηνο 2013-2014. Ασκήσεις. 1. Ενα διυλιστήριο µπορεί να επεξεργαστεί τρία είδη ακατέργαστου πετρελαίου : Αλγοριθµική Επιχειρησιακή Ερευνα Χειµερινό Εξάµηνο 2013-2014 Ασκήσεις 1. Ενα διυλιστήριο µπορεί να επεξεργαστεί τρία είδη ακατέργαστου πετρελαίου : - το πρώτο προερχόµενο από την Αφρική, το οποίο ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ 4 η Σειρά Ασκήσεων του Μαθήματος «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ» Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Α3. ΟΜΑΔΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΑ Β1 28 29 Η

Α2. Α3. ΟΜΑΔΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΑ Β1 28 29 Η ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑΔΑ

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι

Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι Η µέθοδος Vogel Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι η µέθοδος Vogel Η προσεγγιστική µέθοδος Vogelείναι µια πιο πολύπλοκη µέθοδος σε σχέση µε τις προηγούµενες, αλλά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας κτηµατίας πρέπει να καθορίσει πόσα στρέµµατα καλαµποκιού και σιταριού να φυτέψει αυτή τη χρονιά. Ένα στρέµµα σιταριού

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Πρόγραμμα Γενικό γραμμικό πρόβλημα με πολύγωνη περιοχή εφικτών λύσεων Να λυθεί το παρακάτω γραμμικό πρόγραμμα: ma z μ. π. 4

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 ο : Ο Προσδιορισμός των Τιμών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ασκήσεις 1. Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς ενός αγαθού είναι: =20-2P και S =5+3P αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Case 01: Προγραµµατισµός Αγροτικής Παραγωγής «AGRO» ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 01: Προγραµµατισµός Αγροτικής Παραγωγής «AGRO» ΣΕΝΑΡΙΟ Case 01: Προγραµµατισµός Αγροτικής Παραγωγής «AGRO» ΣΕΝΑΡΙΟ Προγραµµατισµός τεσσάρων διαφορετικών προϊόντων Σιτάρι, σόγια, βρώµη καικαλαµπόκι Μέγιστη συνολική έκταση 1.500 στρέµµατα Ακριβώς 100 στρέµµατα

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ 1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ Το διάγραμμα κυκλικής ροής της οικονομίας (κεφ. 3, σελ. 100 Mankiw) Εισόδημα Υ Ιδιωτική αποταμίευση S Αγορά συντελεστών Αγορά χρήματος Πληρωμές συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Εφαρμογές Θεωρίας 1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης για την κατανάλωση του νερού ενός φράγματος (εκφρασμένη σε ευρώ) είναι q = 12-P και το οριακό κόστος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων. Source: Corbis

Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων. Source: Corbis Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων Source: Corbis Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων Στρατηγική παραγωγής Η αγορά απαιτεί μια ποσότητα προϊόντων και υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ I ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ I ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ I ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Λέκτορας Ι. Γιαννατσής Καθηγητής Π. Φωτήλας ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ Οικονομική Επιστήμη: Η κοινωνική επιστήμη που ερευνά την οικονομική δραστηριότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας : Α. Να σχεδιάσετε την καμπύλη ζήτησης Β. Να βρεθεί η εξίσωση ζήτησης Γ.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας : Α. Να σχεδιάσετε την καμπύλη ζήτησης Β. Να βρεθεί η εξίσωση ζήτησης Γ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας : ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ P Α 24 80 Β 35 64 Γ 45 50 Δ 55 36 Ε 60 29 Ζ 70 14 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Α. Να σχεδιάσετε την καμπύλη

Διαβάστε περισσότερα

6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ

6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ 1 6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Τρόποι ελέγχου αν δύο ποσά είναι ανάλογα α) Εξετάζουµε αν µεταβάλλονται µε τον ίδιο τρόπο. ηλαδή, όταν πολλαπλασιάζεται (διαιρείται) η τιµή του ενός µε έναν αριθµό,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ III ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ι. Γιαννατσής ΒΑΣΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Φύση Προϊόντος/Υπηρεσίας και Αγορά Απαιτούμενος βαθμός διαφοροποίησης Απαιτούμενος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 4 ο : Η Προσφορά των Αγαθών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ασκήσεις 1. Δίνονται τα διπλανά δεδομένα μιας επιχείρησης στη βραχυχρόνια περίοδο. i. Να κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του A A N A B P Y T A ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΑ ΑΠΛΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 9 5 0 Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του Περιεχόμενα Εισαγωγή και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ 1. Εισαγωγή Όπως έχουμε τονίσει, η κατανόηση του τρόπου με τον οποίο προσδιορίζεται η τιμή ενός αγαθού απαιτεί κατανόηση των δύο δυνάμεων της αγοράς, δηλαδή της ζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Βασικές Υποθέσεις (i) Οι αγορές όλων των αγαθών είναι τέλεια ανταγωνιστικές. Οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ

7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ 7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ Για να αναπτυχθούν οι βασικές έννοιες της δυναμικής του εργοστασίου εισάγουμε εδώ ορισμένους όρους πέραν αυτών που έχουν ήδη αναφερθεί σε προηγούμενα Κεφάλαια π.χ. είδος,

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÓÕÍÅÉÑÌÏÓ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÓÕÍÅÉÑÌÏÓ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Ηµεροµηνία: Παρασκευή 17 Απριλίου 2015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Α.1 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ III ΤΥΠΟΙ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ III ΤΥΠΟΙ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ III ΤΥΠΟΙ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ι. Γιαννατσής ΒΑΣΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Φύση Προϊόντος/Υπηρεσίας και Αγορά Απαιτούμενος βαθμός διαφοροποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Νεκρό σημείο είναι το ποσό εκείνο των πωλήσεων με το οποίο μια επιχείρηση καλύπτει ακριβώς τόσο τα σταθερά όσο και τα μεταβλητά της έξοδα χωρίς να

Νεκρό σημείο είναι το ποσό εκείνο των πωλήσεων με το οποίο μια επιχείρηση καλύπτει ακριβώς τόσο τα σταθερά όσο και τα μεταβλητά της έξοδα χωρίς να Νεκρό σημείο είναι το ποσό εκείνο των πωλήσεων με το οποίο μια επιχείρηση καλύπτει ακριβώς τόσο τα σταθερά όσο και τα μεταβλητά της έξοδα χωρίς να πραγματοποιεί κέρδος ή ζημιά. Η βασική αρχή πάνω στην

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ

Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών ΔΠΜΣ Οικονομική & Διοίκηση Τηλεπικοινωνιακών Δικτύων Αθήνα,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-2: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις H ανάλυση ενός κυκλώματος με αντιστάσεις στη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή,

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας 1 η Διάλεξη: Βασικές Έννοιες στην Εφοδιαστική Αλυσίδα - Εξυπηρέτηση Πελατών 2015 Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Ατζέντα Εισαγωγή στη Διοίκηση

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος.

Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Τι είναι Επιχειρησιακή Έρευνα (Operations Research); Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Το σύνολο των τεχνικών (μαθηματικά μοντέλα) οι οποίες δημιουργούν μια ποσοτική

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικό Πρόβλημα &

Οικονομικό Πρόβλημα & Οικονομικό Πρόβλημα & Οικονομική Επιστήμη Ανεπάρκεια Σπανιότητα Οικονομική επιστήμη Πως κατανέμονται οι διαθέσιμοι πόροι για την ικανοποίηση των αναγκών Περιορισμένοι Εργασία Κεφάλαιο Απεριόριστες Πρώτες

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά και κόστος. Κατηγορίες κόστους. Οριακό κόστος και µεγιστοποίηση του κέρδους. Μέσο κόστος. TC MC = q TC AC ) AC

Προσφορά και κόστος. Κατηγορίες κόστους. Οριακό κόστος και µεγιστοποίηση του κέρδους. Μέσο κόστος. TC MC = q TC AC ) AC Μέσο κόστος µέσο συνολικό κόστος (AC) 3 Προσφορά και κόστος µέσο µεταβλητό κόστος (AVC) µέσο σταθερό κόστος (AFC) Το µέσο σταθερό κόστος µειώνεται, διότι το συνολικό σταθερό κόστος κατανέµεται σε περισσότερη

Διαβάστε περισσότερα

2.10. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας

2.10. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας .. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας ίδαμε ότι η βασική επιδίωξη των επιχειρήσεων είναι η επίτευξη του μέγιστου κέρδους με την πώληση όσο το δυνατόν μεγαλύτερων ποσοτήτων ενός αγαθού στη μεγαλύτερη δυνατή τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ιαµόρφωση Προβλήµατος

ιαµόρφωση Προβλήµατος Γραµµικός Προγραµµατισµός ιαµόρφωση Προβλήµατος Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Γενικά Στοιχεία Γραµµικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα Τρίτο -Ασκήσεις Μικροοικονοµικής (Ζήτηση)

Μάθηµα Τρίτο -Ασκήσεις Μικροοικονοµικής (Ζήτηση) Μάθηµα Τρίτο -Ασκήσεις Μικροοικονοµικής (Ζήτηση) Όταν σχεδιάζουµε την ατοµική καµπύλη ζήτησης ενός αγαθού, ποιο από τα παρακάτω δε διατηρείται σταθερό: Α. Το ατοµικό χρηµατικό εισόδηµα Β Οι τιµές των άλλων

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Τι ορίζεται ως απόθεμα;

Διαβάστε περισσότερα

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση ης εργασίας ΕΟ3 03-04 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Εξειδικευμένοι Συντελεστές Παραγωγής και Διανομή του Εισοδήματος. Το Υπόδειγμα των Jones και Samuelson

Εξειδικευμένοι Συντελεστές Παραγωγής και Διανομή του Εισοδήματος. Το Υπόδειγμα των Jones και Samuelson Εξειδικευμένοι Συντελεστές Παραγωγής και Διανομή του Εισοδήματος Το Υπόδειγμα των Jones και Samuelson Διεθνές Εμπόριο και Διανομή του Εισοδήματος Υπάρχουν δύο βασικοί λόγοι για τους οποίους το διεθνές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. www.arnos.gr κλικ στη γνώση info@arnos.co.gr. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 495 Fax: 210.33.06.463

Εισαγωγή. www.arnos.gr κλικ στη γνώση info@arnos.co.gr. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 495 Fax: 210.33.06.463 Εισαγωγή Η ελαχιστοποίηση του περιβαλλοντικού κόστους μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως κριτήριο για τον προσδιορισμό της βέλτιστης τιμής της συγκέντρωσης C του ρυπαντή στο περιβάλλον ή στο σημείο εκροής από

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ 1.6 Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το 100 με βάση την αξία θέσης ψηφίου, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες, και σύμβολα. Αρ

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση και Τεχνικοοικονομική Ανάλυση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Βιοκαυσίμων

Μοντελοποίηση και Τεχνικοοικονομική Ανάλυση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Βιοκαυσίμων Μοντελοποίηση και Τεχνικοοικονομική Ανάλυση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Βιοκαυσίμων Αιμ. Κονδύλη, Ι. Κ. Καλδέλλης, Χρ. Παπαποστόλου ΤΕΙ Πειραιά, Τμήμα Μηχανολογίας Απρίλιος 2007 Στόχοι της εργασίας Η τεχνική

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική και Χρηματοοικονομική (Π.Μ.Σ.)

Λογιστική και Χρηματοοικονομική (Π.Μ.Σ.) Λογιστική και Χρηματοοικονομική (Π.Μ.Σ.) Διοικητική Λογιστική Επανεπιμερισμός μ του κόστους των βοηθητικών κέντρων κόστους στα κύρια Δρ. Δημήτρης Μπάλιος Επανεπιμερισμός του κόστους των βοηθητικών τμημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα