ΣΟ ΗΟΠΔΡΗΜΔΣΡΗΚΟ ΠΡΟΒΛΖΜΑ ΚΑΗ Ο ΜΤΘΟ ΣΖ ΓΗΓΟΤ. Σνπ Γεκήηξε Καιπθάθε

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΟ ΗΟΠΔΡΗΜΔΣΡΗΚΟ ΠΡΟΒΛΖΜΑ ΚΑΗ Ο ΜΤΘΟ ΣΖ ΓΗΓΟΤ. Σνπ Γεκήηξε Καιπθάθε"

Transcript

1 ΣΟ ΗΟΠΔΡΗΜΔΣΡΗΚΟ ΠΡΟΒΛΖΜΑ ΚΑΗ Ο ΜΤΘΟ ΣΖ ΓΗΓΟΤ Σνπ Γεκήηξε Καιπθάθε Σν ηζνπεξηκεηξηθφ πξφβιεκα είλαη, ζχκθσλα κε ηνπο εηδηθνχο, ην αξραηφηεξν ίζσο πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο, πνπ κε απιά ιφγηα ιέεη ην εμήο: Από όλερ ηιρ καμπύλερ ηος επιπέδος πος έσοςν ηο ίδιο μήκορ, αςηή πος πεπικλείει σωπίο με ηο μέγιζηο δςναηό εμβαδόν είναι ο κύκλορ. Ζ παξάδνζε ζπλδέεη ην πξφβιεκα απηφ κε ην κχζν ηεο Γηδνχο, ηεο βαζίιηζζαο ηεο Καξρεδφλαο, πνπ ηνπνζεηείηαη πεξίπνπ ζηνλ 9 ν π.υ. αηψλα, θαη πνπ ν Βηξγίιηνο δηαζψδεη ζην επηθφ ηνπ πνίεκα ηελ Αινειάδα. Αο δνχκε φκσο πνηνο ήηαλ ν Βηξγίιηνο θαη πνηνο ν κχζνο ηεο Γηδνχο. 1. Ζ ΑΗΝΔΗΑΓΑ ΣΟΤ ΒΗΡΓΗΛΗΟΤ ΚΑΗ Ο ΜΤΘΟ ΣΖ ΓΗΓΟΤ Ο Βηξγίιηνο Publius Vergilius Maro (70π.Υ. - 19π.Υ.) είλαη ν εζληθφο πνηεηήο ησλ Ρσκαίσλ θαη ε Αινειάδα ηνπ (Aeneis) ζεσξείηαη θιαζζηθφ έξγν φρη κφλν ηεο ξσκατθήο αιιά θαη νιφθιεξεο ηεο επξσπατθήο ινγνηερλίαο, ην νπνίν αληηηάζζεηαη ζηα πνηήκαηα ηνπ Οκήξνπ. Απνηειείηαη απφ δψδεθα βηβιία θαη είλαη γξακκέλν ζε ιαηηληθνχο εμάκεηξνπο ζηίρνπο. Θέκα ηνπ έξγνπ είλαη ε αλαρψξεζε ηνπ Αηλεία ηνπ κπζηθνχ γελάξρε ησλ Ρσκαίσλ - απφ ηελ Σξνία, νη πνιπηάξαρεο πεξηπιαλήζεηο ηνπ ζηε Μεζφγεην θαη ε πεξηπεηεηψδεο εγθαηάζηαζή ηνπ ζην Λάηην ηεο Ηηαιίαο. πσο αλαθέξεη ν Βηξγίιηνο ζην πξψην βηβιίν ηεο Αινειάδαρ, θαηά ηελ δηάξθεηα ησλ πεξηπιαλήζεσλ ηνπ Αηλαία πξηλ ηελ εγθαηάζηαζή ηνπ ζην Λάηην, θάπνηα ζηηγκή θζάλεη ζηηο αθηέο ηεο Βφξεηαο Αθξηθήο, ζηελ Καξρεδφλα ηεο νπνίαο βαζίιηζζα είλαη ε Γηδψ, κηα πξηγθίπηζζα κε θαηαγσγή απφ ηελ Σχξν ηεο Φνηλίθεο. Πψο είρε φκσο βξεζεί ε Γηδψ απφ ηε Σχξν ζηε Καξρεδφλα; χκθσλα κε ην κχζν, πξνζπαζψληαο λα μεθχγεη απφ ηελ θαηαδίσμε ηνπ αδεξθνχ ηεο θαη βαζηιηά ηεο Σχξνπ, ε πξηγθίπηζζα Γηδψ αλαρψξεζε δπηηθά παξαπιένληαο ηηο αθηέο ηεο Μεζνγείνπ, ζε αλαδήηεζε αζχινπ. Μηα ηνπνζεζία ζην θφιπν ηεο Σχληδαο ηξάβεμε ηελ πξνζνρή ηεο. Ζ Γηδψ ήξζε ζε δηαπξαγκάηεπζε κε ηνλ ηνπηθφ εγεκφλα Ηάξβα γηα λα αγνξάζεη γε, πεξηνξίδνληαο ζην ειάρηζην ηηο απαηηήζεηο ηεο. Γελ δεηνχζε παξά κφλν φζε έθηαζε κπνξνχζε λα θπθισζεί κε ην δέξκα ελφο ηαχξνπ. Ζ Γηδψ θαηάθεξε λα πείζεη ηνλ Ηάξβα θαη ε ζπκθσλία θιείζηεθε. Σφηε ε πνλεξή πξηγθίπηζζα ηεκάρηζε ηελ πξνβηά ελφο ηαχξνπ ζε ιεπηέο ισξίδεο, ηηο έδεζε ηε κία κε ηελ άιιε θηηάρλνληαο έλα πνιχ καθξχ δεξκάηηλν ζθνηλί, κε ην νπνίν θχθισζε κηα κεγάιε έθηαζε γεο φπνπ έθηηζε έλα θξνχξην, ην νπνίν νλνκάζηεθε Βχξζα (=δέξκα), θαη θνληά ηνπ ηελ πφιε ηεο Καξρεδφλαο. Απφ απηφλ ηνλ κχζν ηεο Γηδνχο, πνπ δηαζψδεη ν Βηξγίιηνο ζηελ Αινειάδα, αλαθχπηεη ην εμήο γεσκεηξηθφ πξφβιεκα, γλσζηφ έθηνηε σο Πξφβιεκα ηεο Γηδνχο ή Κιαζζηθφ Ηζνπαξακεηξηθφ Πξφβιεκα: Πωρ έππεπε να ηοποθεηήζει πάνω ζηη γη η Γιδώ ηο δεπμάηινο ζκοινί πος έθηιαξε ώζηε να πεπικλείει ζηο εζωηεπικό ηος ηη μεγαλύηεπη δςναηή έκηαζη; Καη ε απάληεζε, φπσο ήδε έρνπκε αλαθέξεη, είλαη φηη ε Γηδψ έπξεπε λα ηνπνζεηήζεη ην δεξκάηηλν ζθνηλί κε ηέηνην ηξφπν ψζηε λα έρεη ζρήκα θχθινπ. Απφ ηε δηαηχπσζε πνπ ππάξρεη ζηελ Αινειάδα θαίλεηαη πσο ε Γηδψ έιπζε ζσζηά ην πξφβιεκα, αθνχ ν Βηξγίιηνο ρξεζηκνπνηεί ηε ιέμε circumdare πνπ ζεκαίλεη θπθιψλσ θαη ε νπνία πεξηέρεη ηε ξίδα circus (=θχθινο). Δπί ιέμεη, ν Βηξγίιηνο αλαθέξεη: «mercatique solum, facti de nomine Byrsam, taurino quantum possent circumdare tergo» (Aeneis I, ) δειαδή: «θαη αγφξαζαλ έδαθνο, πνπ

2 νλνκάζηεθε Βχξζα απφ απηφ ην γεγνλφο, φζν κπνξνχζαλ λα θπθιψζνπλ κε δέξκα ηαχξνπ». 2. ΣΟ ΗΟΠΔΡΗΜΔΣΡΗΚΟ ΠΡΟΒΛΖΜΑ ΚΑΗ Ζ ΗΟΠΔΡΗΜΔΣΡΗΚΖ ΑΝΗΟΣΖΣΑ Ζ δηαηχπσζε ινηπφλ ηνπ (θιαζζηθνχ) ηζνπεξηκεηξηθνχ πξνβιήκαηνο έρεη σο εμήο: ΚΛΑΗΚΟ ΗΟΠΔΡΗΜΔΣΡΗΚΟ ΠΡΟΒΛΖΜΑ. Απφ φιεο ηηο απλέρ, κλειζηέρ καμπύλερ ηος επιπέδος με δοζμένο μήκορ, εκείνη πος πεπικλείει ηο μέγιζηο εμβαδόν είναι ο κύκλορ και μόνον αςηόρ. κσο, ην εκβαδφλ Δ ηνπ θχθινπ πεξηκέηξνπ ι είλαη ίζν κε. πλεπψο ην ηζνπεξηκεηξηθφ πξφβιεκα κπνξεί λα δηαηππσζεί ηζνδχλακα κέζσ κηαο αληζνηηθήο ζρέζεο κεηαμχ εκβαδνχ θαη κήθνπο, γλσζηήο κε ηνλ φξν: ηζνπεξηκεηξηθή αληζφηεηα. ΗΟΠΔΡΗΜΔΣΡΗΚΖ ΑΝΗΟΣΖΣΑ. Το εμβαδόν Δ ηος σωπίος πος πεπικλείει μία απλή, κλειζηή επίπεδη καμπύλη μήκοςρ λ ικανοποιεί ηην ανιζόηηηα Η ιζόηηηα ιζσύει αν και μόνο αν η καμπύλη είναι ο κύκλορ πεπιμέηπος λ. Μία επίπεδε θακπχιε ιέκε φηη είλαη απιή εάλ δελ έρεη απηνηνκέο. Γηα παξάδεηγκα, ν θχθινο είλαη κηα απιή θακπχιε, ελψ ε θακπχιε πνπ ρξεζηκνπνηνχκε γηα ην ζχκβνιν ηνπ αξηζκνχ νρηψ δελ είλαη απιή. Ζ απιέο θακπχιεο έρνπλ κηα ραξαθηεξηζηηθή ηδηφηεηα: απνζπλζέηνπλ ην επίπεδν ζε ηξία δηαθεθξηκέλα κέξε. Σν πξψην είλαη ε θακπχιε απηή θαζ απηή, ην δεχηεξν είλαη ην εζσηεξηθφ ηεο θακπχιεο πνπ είλαη έλα θξαγκέλν, ζπλεθηηθφ ππνζχλνιν ηνπ επηπέδνπ θαη είλαη απηφ πνπ ζηε δηαηχπσζε ηνπ ηζνπεξηκεηξηθνχ πξνβιήκαηνο θαιείηαη «σωπίο πος πεπικλείεηαι από ηην καμπύλη» θαη ην ηξίην είλαη ην εμσηεξηθφ ηεο θακπχιεο, πνπ είλαη κε-θξαγκέλν θαη ζπλεθηηθφ. Ζ θαηάζηαζε απηή είλαη επνπηηθά μεθάζαξε ζηε πεξίπησζε ηνπ θχθινπ. Ζ παιαηφηεξε απφδεημε γηα ην ηζνπεξηκεηξηθφ πξφβιεκα πνπ γλσξίδνπκε απνδίδεηαη ζηνλ Έιιελα καζεκαηηθφ Εελφδσξν (200 π.υ. 140 π.υ.), ν νπνίνο απέδεημε ηελ εμήο πξφηαζε: Αν ςπάπσει ένα ν-γωνο ηος επιπέδος ηο οποίο έσει ηο μέγιζηο εμβαδόν μεηαξύ όλων ηων ν-γώνων με δοθείζα πεπίμεηπο, ηόηε αςηό ππέπει να είναι κανονικό ν-γωνο. Θεψξεζε φκσο δεδνκέλε ηελ χπαξμε ελφο λ-γψλνπ κε κέγηζην εκβαδφλ, δελ ηελ απέδεημε. Μεηά ηνλ Εελφδσξν, νπζηαζηηθά, ε εμέιημε ηνπ πξνβιήκαηνο ζπλερίδεηαη κε ηνλ Διβεηφ καζεκαηηθφ Jakob Steiner ( ). Παξ φιν πνπ ν Steiner βξήθε κηα απιή απφδεημε γηα ην ηζνπεξηκεηξηθφ πξφβιεκα, άθεζε εληνχηνηο έλα θελφ: ηελ απφδεημε χπαξμεο ηεο ιχζεο. Οη πξψηεο απζηεξέο απνδείμεηο δφζεθαλ απφ ην Γεξκαλφ καζεκαηηθφ Karl Weierstrass ( ) κέζσ ηεο Θεσξίαο Λνγηζκνχ Μεηαβνιψλ θαη απφ ηνπο Γεξκαλνχο καζεκαηηθνχο Herman Amandus Schwartz ( ) θαη Wilhelm Blaschke ( ) ζηηο αξρέο ηνπ 20νπ αηψλα. Μεγάινη καζεκαηηθνί αζρνιήζεθαλ θαη έδσζαλ ηηο δηθέο ηνπο απνδείμεηο γηα ηελ ηζνπεξηκεηξηθή αληζφηεηα ρξεζηκνπνηψληαο ηερληθέο ηεο δηαθνξηθήο γεσκεηξίαο ή ηεο αξκνληθήο αλάιπζεο. Ζ απφδεημε πνπ ζα παξνπζηάζνπκε ζηελ επφκελε παξάγξαθν αθνινπζεί ηε ζθέςε ηνπ Εελφδσξνπ θαη ηνπ Steiner θαη είλαη πξνζηηή απφ έλα καζεηή ιπθείνπ εθηφο ίζσο ηελ απφδεημε ηεο χπαξμεο ηεο ιχζεο πνπ ρξεζηκνπνηεί έλα επηρείξεκα ζπκπάγεηαο, θαηαλνεηφ φκσο απφ θάζε δεπηεξνεηή θνηηεηή ελφο καζεκαηηθνχ ηκήκαηνο.

3 3. Ζ ΑΠΟΓΔΗΞΖ ΣΖ ΗΟΠΔΡΗΜΔΣΡΗΚΖ ΑΝΗΟΣΖΣΑ ΚΑΗ Ζ ΛΤΖ ΣΟΤ ΗΟΠΔΡΗΜΔΣΡΗΚΟΤ ΠΡΟΒΛΖΜΑΣΟ ηελ παξάγξαθν απηή παξνπζηάδνπκε ηελ απφδεημε ηεο ηζνπεξηκεηξηθήο αληζφηεηαο απφ ηελ νπηηθή γσλία ηνπ Εελφδσξνπ θαη ηνπ J. Steiner. Ζ απφδεημε ηεο ηζνπεξηκεηξηθήο αληζφηεηαο πεξλάεη κέζα απφ ην ηζνπεξηκεηξηθφ πξφβιεκα. Ο βεκαηηζκφο καο ζα είλαη επαγσγηθφο: απφ ηα ηξίγσλα ζηα πνιχγσλα θαη απφ εθεί ζηηο απιέο θιεηζηέο θακπχιεο. ΘΔΩΡΖΜΑ 1. (Ζ ΗΟΠΔΡΗΜΔΣΡΗΚΖ ΑΝΗΟΣΖΣΑ ΓΗΑ ΣΑ ΣΡΗΓΩΝΑ) Για κάθε ηπίγωνο με εμβαδόν Δ και πεπίμεηπο λ ιζσύει:. Η ιζόηηηα ιζσύει αν και μόνο αν ηο ηπίγωνο είναι ιζόπλεςπο. ΑΠΟΓΔΗΞΖ. Έζησ έλα ηπραίν ηξίγσλν κε κήθε πιεπξψλ ηνπ Ήξσλα έρνπκε,. Σφηε, απφ ηνλ ηχπν φπνπ είλαη,.. Δπίζεο, απφ ηελ αληζφηεηα αξηζκεηηθνχ-γεσκεηξηθνχ κέζνπ, Πνιιαπιαζηάδνληαο θαη ηα δχν κέιε ηεο παξαπάλσ αληζφηεηαο κε, παίξλνληαο ηεηξαγσληθέο ξίδεο θαη ιακβάλνληαο ππφςε ηνλ ηχπν ηνπ Ήξσλα, πξνθχπηεη ε δεηνχκελε ζρέζε. Ζ ηζφηεηα ηζρχεη φηαλ ηζρχεη ε ηζφηεηα ζηελ αληζφηεηα αξηζκεηηθνχ θαη γεσκεηξηθνχ κέζνπ παξαπάλσ, δειαδή αλ θαη κφλν αλ ή ηζνδχλακα θαη ε απφδεημε νινθιεξψζεθε. Ζ παξαπάλσ πξφηαζε είλαη εηδηθή πεξίπησζε (γηα ) ηνπ παξαθάησ γεληθφηεξνπ απνηειέζκαηνο: Αν Δ είναι ηο εμβαδόν και λ η πεπίμεηπορ ενόρ οποιοςδήποηε ν-γώνος ηόηε. Η ιζόηηηα ιζσύει αν και μόνο αν ηο ν- γωνο είναι κανονικό. (Πφξηζκα 1 παξαθάησ) Σν επφκελν απνηέιεζκα απνδίδεηαη, εθηφο απφ ην ζθέινο α), ζηνλ Εελφδσξν. ΘΔΩΡΖΜΑ 2. Αν ςπάπσει ένα ν-γωνο ηος επιπέδος ηο οποίο έσει ηο μέγιζηο εμβαδόν μεηαξύ όλων ηων ν-γώνων με δοζμένη πεπίμεηπο, ηόηε αςηό ππέπει α) να είναι κςπηό, β) να έσει ίζερ πλεςπέρ και γ) να έσει ίζερ γωνίερ, δηλαδή να είναι κανονικό. Γηα ηελ απφδεημε ηεο ζεσξήκαηνο 2 ζα ρξεηαζηνχκε ηα παξαθάησ δχν ιήκκαηα. ΛΖΜΜΑ 1. Απ όλα ηα ηπίγωνα ΑΒΓ με ζηαθεπή βάζη ΑΒ και εμβαδόν Δ, ηο ιζοζκελέρ έσει ηην ελάσιζηη πεπίμεηπο.

4 ΑΠΟΓΔΗΞΖ. ια απηά ηα ηξίγσλα, αθνχ έρνπλ ζηαζεξή βάζε θαη ην ίδην χςνο, ζπλεπψο ε θνξπθή Γ ζα θείηαη ζε κία επζεία ε παξάιιειε πξνο ηε βάζε ΑΒ ζε απφζηαζε. Αλ Α είλαη ην ζπκκεηξηθφ ηνπ Α σο πξνο ηελ επζεία ε θαη Γ, Γ ηα ζεκεία πνπ ηέκλνπλ ηα επζχγξακκα ηκήκαηα ΑΑ θαη ΒΑ αληίζηνηρα ηελ επζεία ε, ηφηε ΑΓ =Γ Α θαη ΑΓ =Γ Β αθνχ, ΒΑΓ = ΑΓ Γ= ΓΓ Α = ΒΓ Γ = Γ ΒΑ. Άξα, ΑΓ + ΓΒ = Α Γ + ΓΒ Α Β = Α Γ + Γ Β = ΑΓ +Γ Β. Δπνκέλσο ην ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ έρεη ηελ ειάρηζηε πεξίκεηξν. εκβαδφλ, ζα έρνπλ ΛΖΜΜΑ 2. Έζηω ηεηπάπλεςπο ΑΒΓΓ με ΒΓ = ΓΓ = ΓΑ =α και ΑΒ =β. Το εμβαδόν Δ ηος ηεηπαπλεύπος ΑΒΓΓ γίνεηαι μέγιζηο, όηαν ηούηο είναι εγγεγπαμμένο ζε κύκλο. ΑΠΟΓΔΗΞΖ. Έζησ ω ε γσλία ΒΑΓ θαη θ ε γσλία ΒΓΓ. Αξθεί λα δεηρζεί φηη ω+θ=π. Αθνχ Δκβ(ΑΒΓ) = θαη Δκβ(ΒΓΓ) =, έπεηαη Δπίζεο, απφ ηνλ ηχπν ηνπ ζπλεκηηφλνπ γηα ηελ πιεπξά ΒΓ έπεηαη νπφηε, Τςψλνληαο ζην ηεηξάγσλν ηηο ζρέζεηο (1) θαη (2) θαη πξνζζέηνληαο έρνπκε, ή ηζνδχλακα,. Σα κεγέζε α, β είλαη ζηαζεξά, ζπλεπψο ην εκβαδφλ Δ γίλεηαη κέγηζην αλ θαη κφλν αλ ην δεμί κέινο ηεο ηειεπηαίαο ηζφηεηαο είλαη κέγηζην, δειαδή φηαλ ή ηζνδχλακα, φηαλ. ΑΠΟΓΔΗΞΖ ΘΔΩΡΖΜΑΣΟ 2. Έζησ Α 1 Α 2 Α λ έλα λ-γσλν ηνπ επηπέδνπ ην νπνίν έρεη ην κέγηζην εκβαδφλ κεηαμχ φισλ ησλ λ-γψλσλ κε δνζκέλε πεξίκεηξν. α) Αο ππνζέζνπκε φηη δελ ήηαλ θπξηφ. Σφηε θάπνηα γσλία, έζησ ε Α 1 Α 2 Α 3, ζα ήηαλ

5 κεγαιχηεξε απφ 180 ν. Αλ Α 2 είλαη ην ζπκκεηξηθφ ζεκείν ηνπ Α 2 σο πξνο ηελ επζεία Α 1 Α 3, ηφηε ην λ-γσλν Α 1 Α 2 Ά 3 Α λ έρεη ηελ ίδηα πεξίκεηξν κε ην αξρηθφ αιιά κεγαιχηεξν εκβαδφλ, πξάγκα άηνπν σο πξνο ηελ ηδηφηεηα ηνπ κέγηζηνπ εκβαδνχ. Άξα, ην λ-γσλν είλαη θπξηφ. β) Έζησ Α 1 Α 2 θαη Α 2 Α 3 δχν δηαδνρηθέο πιεπξέο πνπ είλαη άληζεο κεηαμχ ηνπο. Θεσξνχκε ηελ επζεία ε πνπ δηέξρεηαη απφ ην Α 2 θαη είλαη παξάιιειε ζηελ πιεπξά Α 1 Α 3 (δεο ζρήκα). Αλ Β είλαη ην ζεκείν ηεο επζείαο ε κε ΒΑ 1 = ΒΑ 3, ηφηε ηα ηξίγσλα Α 1 Α 2 Α 3 θαη Α 1 ΒΑ 3 έρνπλ ην ίδην εκβαδφλ, αθνχ έρνπλ θνηλή βάζε θαη ην ίδην χςνο, αιιά Α 1 Β+ΒΑ 3 <Α 1 Α 2 +Α 2 Α 3, βάζε ηνπ ιήκκαηνο 1. πλεπψο αλ κεηαηνπίζνπκε ην ζεκείν Β θαηάιιεια πξνο ηελ θαηεχζπλζε πνπ είλαη θάζεηε πξνο ηελ επζεία ε, κπνξνχκε λα ιάβνπκε ζεκείν Α 2 ψζηε Α 1 Α 2 +Α 2 Α 3 =Α 1 Α 2 +Α 2 Α 3. Σφηε φκσο Δκβ(Α 1 Α 2 Α 3 )>Δκβ(Α 1 Α 2 Α 3 ), αθνχ έρνπλ θνηλή βάζε θαη άληζα χςε. Καηαζθεπάζακε, ζπλεπψο, λ-γσλν Α 1 Α 2 Ά 3 Α λ κε πεξίκεηξν ίζε κε ηνπ λ-γψλνπ Α 1 Α 2 Α λ αιιά κε κεγαιχηεξν εκβαδφλ, πξάγκα άηνπν σο πξνο ηελ ηδηφηεηα ηνπ κέγηζηνπ εκβαδνχ. Άξα, φιεο νη πιεπξέο είλαη ίζεο κεηαμχ ηνπο. γ) Έζησ φηη ππάξρνπλ δχν δηαδνρηθέο γσλίεο πνπ είλαη άληζεο, αο πνχκε απηέο ησλ θνξπθψλ Α 2 θαη Α 3. Απφ ην β), ήδε γλσξίδνπκε φηη Α 1 Α 2 =Α 2 Α 3 = Α 3 Α 4 = = Α 1 Α λ =α. Σν ηεηξάπιεπξν Α 1 Α 2 Α 3 Α 4 δελ είλαη εγγξάςηκν ζε θχθιν, αθνχ νη γσλίεο Α 2 θαη Α 3 δελ είλαη ίζεο. Οπφηε, απφ ην ιήκκα 2, αλ Α 1 Α 2 Ά 3 Ά 4 είλαη ην εγγξάςηκν ηεηξάπιεπξν κε Α 1 Α 2 = Α 2 Ά 3 = Α 3 Ά 4 = α ηφηε, ην λ-γσλν Α 1 Α 2 Ά 3 Ά 4 Α λ έρεη ηελ ίδηα πεξίκεηξν κε ην Α 1 Α 2 Α λ αιιά κεγαιχηεξν εκβαδφλ, πξάγκα άηνπν σο πξνο ηελ ηδηφηεηα ηνπ κέγηζηνπ εκβαδνχ. Άξα, φιεο νη γσλίεο είλαη ίζεο κεηαμχ ηνπο. ΠΡΟΣΑΖ 1: Αλ Δ είλαη ην εκβαδφλ θαη ε πεξίκεηξνο ελφο θαλνληθνχ λ-γψλνπ, ηφηε ΑΠΟΓΔΗΞΖ. πσο είλαη γλσζηφ, ε πεξίκεηξνο λ ελφο θαλνληθνχ λ-γψλνπ δίδεηαη απφ ηνλ ηχπν, φπνπ R ε αθηίλα ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θχθινπ, ελψ ην εκβαδφλ Δ απφ ηνλ ηχπν, φπνπ r ε αθηίλα ηνπ εγγεγξακκέλνπ θχθινπ. κσο,, ζπλεπψο.

6 ΘΔΩΡΖΜΑ 3. Υπάπσει ν-γωνο ηος επιπέδος ηο οποίο έσει ηο μέγιζηο εμβαδόν μεηαξύ όλων ηων ν-γώνων με δοζμένη πεπίμεηπο. ΑΠΟΓΔΗΞΖ. Δπαγσγή σο πξνο λ. Γηα λ = 3 ην δεηνχκελν έπεηαη απφ ην ζεψξεκα 1. Τπνζέηνπκε φηη ε πξφηαζε ηζρχεη γηα ηα πνιχγσλα κε πιήζνο πιεπξψλ κηθξφηεξν ή ίζν ηνπ λ-1. Θα απνδείμνπκε φηη ππάξρεη λ-γσλν κέγηζηνπ εκβαδνχ κεηαμχ ησλ λ- γψλσλ κε δνζκέλε πεξίκεηξν λ. Δπεηδή αλ ππάξρεη ηέηνην λ-γσλν πξέπεη λα είλαη θπξηφ, ζα πεξηνξηζηνχκε ζηε θιάζε ησλ θπξηψλ λ-γψλσλ. Έλα λ-γσλν Α 1 Α 2 Α λ θαζνξίδεηαη απφ ηηο λ ην πιήζνο θνξπθέο ηνπ Α 1 (x 1,y 1 ), Α 2 (x 2,y 2 ),, Α λ (x λ,y λ ), δειαδή απφ ηνπο 2λ αξηζκνχο x 1, y 1, x 2, y 2,, x λ, 2 y λ. Γηα ην ιφγν απηφ ζα δνπιέςνπκε ζην R θάζε ζεκείν ηνπ νπνίνπ ζην εμήο ζα ην αληηιακβαλφκαζηε σο κία λ-άδα ζεκείσλ ηνπ επηπέδνπ. Σν εκβαδφλ θάζε θπξηνχ λ-γψλνπ Α 1 Α 2 Α λ είλαη ίζν κε ην άζξνηζκα ησλ εκβαδψλ ησλ ηξηγψλσλ Α 1 Α 2 Α 3, Α 1 Α 3 Α 4,, Α 1 Α λ-1 Α λ. πλεπψο, ην εκβαδφλ Δ ηνπ λ-γψλνπ Α 1 Α 2 Α λ κε Α 1 (x 1,y 1 ), Α 2 (x 2,y 2 ),, Α λ (x λ,y λ ) δίδεηαη απφ ην ηχπν ν νπνίνο νξίδεη γηα ζπλερή ζπλάξηεζε ζην. 2 Δζηηάδνπκε ην ελδηαθέξνλ καο φρη ζε νιφθιεξν ην R αιιά ζε έλα ζπγθεθξηκέλν ππνζχλνιφ ηνπ Κ πνπ θαζνξίδεηαη απφ ηηο παξαθάησ ηέζζεξηο ζπλζήθεο: (α) Σα (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),, (x λ,y λ ) είλαη θνξπθέο θπξηνχ λ-γψλνπ. (β). (γ) (x 1,y 1 ) = (0,0) Ζ ζπλζήθε (γ) δελ πεξηνξίδεη ην γεσκεηξηθφ δεηνχκελν ηεο πξνο απφδεημε πξφηαζεο, δεδνκέλνπ φηη ηφζν ην κήθνο φζν θαη ην εκβαδφλ είλαη γεσκεηξηθά κεγέζε πνπ παξακέλνπλ αλαιινίσηα απφ ηηο κεηαηνπίζεηο ηνπ επηπέδνπ. πλεπψο, δελ πεξηνξίδεηαη ε γεληθφηεηα εάλ ππνζέζνπκε φηη ε θνξπθή Α 1 ηνπ λ-γψλνπ ηαπηίδεηαη κε ηελ αξρή ησλ αμφλσλ ηνπ επηπέδνπ. Ζ ηέηαξηε ζπλζήθε πνπ ζα ζέζνπκε έρεη ηερληθφ ραξαθηήξα θαη ηίζεηαη γηα ηνλ απνθιεηζκφ πεξηπηψζεσλ εθθπιηζκνχ. Γηα ηε δηαηχπσζή ηεο επηιέγνπκε απζαίξεηα έλαλ αξηζκφ κεηαμχ ηνπ εκβαδνχ ηνπ θαλνληθνχ (λ-1)-γψλνπ θαη ηνπ εκβαδνχ ηνπ θαλνληθνχ λ-γψλνπ, πεξηκέηξνπ ι. Γειαδή, Ζ ηέηαξηε ζπλζήθε πεξηνξίδεη ηα λ-γσλα ζε απηά πνπ έρνπλ εκβαδφλ ηνπιάρηζηνλ α: (δ) Σν ζχλνιν Κ είλαη πξνθαλψο κε-θελφ, αθνχ πεξηέρεη ην θαλνληθφ λ-γσλν. Σν ζχλνιν Κ είλαη επίζεο θιεηζηφ θαη θξαγκέλν. Σν φηη είλαη θξαγκέλν είλαη άκεζε ζπλέπεηα ησλ ζπλζεθψλ (β) θαη (γ). Σν λα είλαη ην ζχλνιν Κ θιεηζηφ ζεκαίλεη φηη αλ κηα αθνινπζία λ-γψλσλ Ρ 1,Ρ 2, Ρ θ, πιεξεί ηηο ζπλζήθεο (α), (β), (γ), (δ) θαη ζπγθιίλεη ζε έλα λ-γσλν Ρ, ηφηε ην Ρ πιεξεί ηηο ζπλζήθεο (α), (β), (γ), (δ). Ζ ζχγθιηζε ησλ λ-γψλσλ Ρ θ =, θ=1,2, ζην Ρ = Α 1 Α 2 Α λ λνείηαη κε ηελ έλλνηα φηη,,, θαζψο, σο ζεκεία ηνπ επηπέδνπ.

7 Γλσξίδνκε φηη ην φξην δηαηεξεί ηηο ηζφηεηεο θαη ηηο αληζν-ηζφηεηεο. Δπνκέλσο, ην νξηαθφ λ-γσλν Ρ, πιεξεί ηηο ζπλζήθεο (β), (γ), (δ) θαη ην κηζφ ηεο ζπλζήθεο (α), ηε θπξηφηεηα, αθνχ έλα πνιχγσλν είλαη θπξηφ αλ θάζε γσλία ηνπ είλαη. Απηφ πνπ κέλεη είλαη λα δεηρζεί φηη ην Ρ είλαη φλησο λ-γσλν, δειαδή φηη ηα Α 1, Α 2,,Α λ είλαη αλά δχν δηαθνξεηηθά. Μηα ηέηνηα φκσο πεξίπησζε εθθπιηζκνχ απνθιείεηαη απφ ηε ζπλζήθε (δ). Πξάγκαηη, αο ππνζέζνκε φηη Α 1 Α 2 ελψ φιεο νη άιιεο θνξπθέο είλαη αλά δχν δηαθνξεηηθέο. Σφηε, δελ έρνπκε λ-γσλν αιιά (λ-1)-γσλν, ην Α 1 Α 3 Α 4 Α λ, πνπ εμαθνινπζεί, ιφγσ ζπλζήθεο (β), λα έρεη πεξίκεηξν ι. Απφ επαγσγηθή ππφζεζε, ππάξρεη (λ-1)-γσλν κέγηζηνπ εκβαδνχ, ην νπνίν, απφ ζεψξεκα 2, είλαη αλαγθαζηηθά ην θαλνληθφ (λ-1)-γσλν. Άξα, κσο,, γηα θάζε θ=1,2,. Παίξλνληαο φξηα, θαζψο, έπεηαη, πνπ αληηθάζθεη ζηελ παξαπάλσ αληζφηεηα. Οη ππφινηπεο πεξηπηψζεηο κπνξεί λα απνθιεηζηνχλ κε παξφκνηα επηρεηξεκαηνινγία. Σελ απφδεημε νινθιεξψλεη ην ζεψξεκα ηνπ Weierstrass, ην νπνίν εγγπάηαη φηη θάζε ζπλερήο ζπλάξηεζε πνπ νξίδεηαη ζε έλα θιεηζηφ θαη θξαγκέλν ππνζχλνιν ελφο επθιείδεηνπ ρψξνπ πεπεξαζκέλεο δηάζηαζεο, ιακβάλεη κέγηζηε ηηκή. Σα ζεσξήκαηα 2 θαη 3 κπνξνχλ ζπλνπηηθά λα αλαδηαηππσζνχλ σο εμήο: ΘΔΩΡΖΜΑ 4. Απ όλα ηα ν-γωνα με ζηαθεπή πεπίμεηπο λ, ηο κανονικό ν-γωνο, και μόνο αςηό, έσει ηο μέγιζηο εμβαδόν. Άκεζε ζπλέπεηα ηεο παξαπάλσ πξφηαζεο θαη ηνπ ζεσξήκαηνο 4 είλαη ην παξαθάησ απνηέιεζκα. ΠΟΡΗΜΑ 1. (Ζ ΗΟΠΔΡΗΜΔΣΡΗΚΖ ΑΝΗΟΣΖΣΑ ΓΗΑ λ-γωνα) Αν Δ είναι ηο εμβαδόν και λ η πεπίμεηπορ ενόρ οποιοςδήποηε ν-γώνος ηόηε, Η ιζόηηηα ιζσύει αν και μόνο αν ηο ν-γωνο είναι κανονικό. ΑΠΟΓΔΗΞΖ. Άκεζε ζπλέπεηα ηνπ ζεσξήκαηνο 4 θαη ηεο πξφηαζεο 1. ΠΟΡΗΜΑ 2. Αν Δ είναι ηο εμβαδόν και λ η πεπίμεηπορ ενόρ οποιοςδήποηε ν-γώνος, ηόηε ΑΠΟΓΔΗΞΖ. Άκεζε ζπλέπεηα ηνπ πνξίζκαηνο 1 θαη ηνπ γεγνλφηνο φηη θάζε., γηα Έλα απφ ηα πιενλεθηήκαηα ηεο ηειεπηαίαο αληζφηεηαο είλαη φηη νη ζηαζεξέο πνπ πεξηέρεη είλαη αλεμάξηεηεο απφ ην πιήζνο ησλ πιεπξψλ ηνπ πνιπγψλνπ.

8 Αο ζεσξήζνπκε κηα ηπραία απιή, θιεηζηή θακπχιε κήθνπο λ πνπ πεξηθιείεη εκβαδφλ Δ. Μπνξνχκε λα θαηαζθεπάζνπκε κηα αθνινπζία εγγεγξακκέλσλ πνιπγψλσλ P ν, πεξηκέηξνπ λ ν θαη εκβαδνχ Δ ν, λ =1, 2, 3, ψζηε θαη κσο γηα ηα πνιχγσλα, απφ ην πφξηζκα 2, έρνπκε, γηα θάζε λ =1,2,3, Αθήλνληαο ην λ λα ηείλεη ζην άπεηξν, έρνπκε ηειηθά πλεπψο, ΘΔΩΡΖΜΑ 5. (ΚΛΑΗΚΟ ΗΟΠΔΡΗΜΔΣΡΗΚΟ ΠΡΟΒΛΖΜΑ) Το εμβαδόν Δ ηος σωπίος πος πεπκλείει μία απλή, κλειζηή επίπεδη καμπύλη μήκοςρ λ ικανοποιεί ηην ανιζόηηηα Ή ιζοδύναμα, ηο εμβαδόν ηος σωπίος πος πεπικλείεηαι από μια οποιαδήποηε απλή, κλειζηή καμπύλη με δοζμένο μήκορ δεν ςπεπβαίνει ηο εμβαδόν πος πεπικλείει έναρ κύκλορ με πεπιθέπεια ίδιος μήκοςρ. Απηφ πνπ κέλεη είλαη λα απνδείμνπκε φηη ε ηζφηεηα ζηελ αληζφηεηα ηνπ ζεσξήκαηνο 5 ηζρχεη αλ θαη κφλν αλ ε θακπχιε είλαη θχθινο. Θα δείμνπκε δειαδή φηη αλ κηα απιή, θιεηζηή θακπχιε κε δεδνκέλν κήθνο πεξηθιείεη ρσξίν κε κέγηζην εκβαδφλ, ηφηε απηή πξέπεη λα είλαη θχθινο. Ζ θεληξηθή ηδέα ηεο απφδεημεο πνπ αθνινπζεί νθείιεηαη ζηνλ J. Steiner. ΘΔΩΡΖΜΑ 6. Αν μία απλή, κλειζηή επίπεδη καμπύλη πεπικλείει ηο μέγιζηο εμβαδόν μεηαξύ όλων ηων απλών, κλειζηών επίπεδων καμπςλών με δοζμένο μήκορ, ηόηε: α) Αςηή ππέπει να είναι κςπηή,, δηλαδή ηο εζωηεπικό ηηρ είναι κςπηό ζύνολο. β) Αν δύο ζημεία Α, Β διαιπούν ηην καμπύλη ζε δύο μέπη ίζος μήκοςρ, ηόηε η σοπδή ΑΒ διαιπεί ηο σωπίο πος πεπικλείει η καμπύλη ζε δύο ιζεμβαδικά σωπία. γ) Έζηω Α, Β δύο ζημεία πος διαιπούν ηην καμπύλη ζε δύο μέπη ίζος μήκοςρ. Αν ηο Γ είναι οποιοδήποηε ζημείο ηηρ καμπύληρ, ηόηε η γωνία ΑΓΒ είναι οπθή. Γηλαδή η καμπύλη είναι κύκλορ. ΑΠΟΓΔΗΞΖ. α) Αλ δελ ήηαλ θπξηή ηφηε ζα πεξηείρε δχν ζεκεία Α, Β ηέηνηα ψζηε ηα ηφμα ΑΓΒ θαη ΑΓΒ πνπ ζπλδένπλ ηα Α θαη Β λα βξίζθνληαη ζηελ ίδηα πιεπξά ηεο επζείαο ΑΒ. Αληηθαζηζηψληαο ην ηφμν ΑΓΒ κε ην ζπκκεηξηθφ ηνπ σο πξνο ηελ επζεία ΑΒ ιακβάλνπκε κηα λέα θακπχιε κε ην ίδην κήθνο αιιά κε κεγαιχηεξν εκβαδφλ. Άηνπν, πξνο ηελ ηδηφηεηα ηνπ κεγίζηνπ εκβαδνχ. β) Αλ ε ρνξδή ΑΒ δηαηξνχζε ην ρσξίν ζε δχν κέξε κε άληζα εκβαδά, ηφηε ην ζρήκα

9 πνπ ζα εδεκηνπξγείην απφ ην κέξνο κε ην κεγαιχηεξν εκβαδφλ θαη ην ζπκκεηξηθφ ηνπ σο πξνο ηε ρνξδή ΑΒ ζα αληηπξνζψπεπε έλα ζρήκα κε ίζε πεξίκεηξν θαη κεγαιχηεξν εκβαδφλ. Άηνπν πξνο ηελ ηδηφηεηα ηνπ κεγίζηνπ εκβαδνχ. εκεηψλνπκε φηη ηέηνηα ζεκεία Α, Β πνπ δηρνηνκνχλ κηα απιή, θιεηζηή θακπχιε κε πεπεξαζκέλν κήθνο πάληα ππάξρνπλ θαη δελ είλαη βέβαηα κνλαδηθά. γ) Θα ρξεηαζηνχκε λα έρνπκε ππφςε καο φηη: Μεηαξύ όλων ηων ηπιγώνων ΑΒΓ πος έσοςν ηιρ πλεςπέρ ΓΑ και ΓΒ δοζμένος μήκοςρ, ηο οπθογώνιο ηπίγωνο με οπθή γωνία ηην Γ, έσει ηο μεγαλύηεπο εμβαδόν. Σνχην είλαη άκεζε ζπλέπεηα ηνπ ηχπνπ:. Έζησ φηη ππήξρε ζεκείν Γ ηεο θακπχιεο γηα ην νπνίν ε γσλία ΑΓΒ δελ είλαη νξζή. Έζησ Δ 1 ην εκβαδφλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηελ θακπχιε θαη ην επζχγξακκν ηκήκα ΓΑ, θαη Δ 2 ην εκβαδφλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηελ θακπχιε θαη ην επζχγξακκν ηκήκα ΓΒ (δεο ζρήκα). ηξέθνπκε ην ρσξίν Δ 2 γχξσ απφ ην ζεκείν Γ κέρξηο φηνπ ε γσλία ΑΓΒ λα γίλεη νξζή. Σφηε ην εκβαδφλ ηνπ ηξηγψλνπ ΑΓΒ είλαη κηθξφηεξν απφ ην εκβαδφλ ηνπ ηξηγψλνπ ΑΓΒ θαη ζπλεπψο ην λέν ρσξίν ΑΓΒΆ έρεη κεγαιχηεξν εκβαδφλ απφ ην ρσξίν ΑΓΒΑ, ελψ ην κήθνο ηεο λέαο θακπχιεο ΑΓΒ είλαη ίζν κε ην κήθνο ηεο θακπχιεο ΑΓΒ. Σν ζρήκα πνπ ζα δηακνξθσζεί απφ ην λέν ρσξίν ΑΓΒΆ θαη ην ζπκκεηξηθφ ηνπ σο πξνο ην επζχγξακκν ηκήκα ΑΒ ζα έρεη ίζε πεξίκεηξν κε ην αξρηθφ αιιά κεγαιχηεξν εκβαδφλ. Άηνπν, σο πξνο ηελ ηδηφηεηα ηνπ κέγηζηνπ εκβαδνχ. Τπάξρεη έλα ζεκείν πνπ πξέπεη λα δηαζαθεληζηεί. ια φζα αλαθέξακε ηζρχνπλ ππφ ηελ πξνυπφζεζε φηη κεηά ηε ζηξέςε ην λέν ρσξίν κε εκβαδφλ Δ 2 δελ έρεη θνηλή επηθάιπςε κε ην Δ 1. Σνχην είλαη πξάγκαηη αιεζέο δηφηη ην ρσξίν πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηελ θακπχιε, ιφγσ α), είλαη θπξηφ θαη επνκέλσο ζε θάζε ζεκείν ηεο θακπχιεο, θαη άξα θαη ζην Γ, ππάξρεη επζεία ζηήξημεο x x ε νπνία αθήλεη φιν ην θπξηφ ζχλνιν απφ ηε κηα πιεπξά ηνπ (δεο ζρήκα). πλεπψο ην αλ ηα ρσξία Δ 1, Δ 2 κεηά απφ ζηξέςε πεξί ην ζεκείν Γ απνθηήζνπλ θνηλή επηθάιπςε θαζνξίδεηαη απφ ην πφηε νη εκηεπζείεο Γx, Γx ζα ζπλαληεζνχλ κεηά ηελ ζηξέςε πεξί ην ζεκείν Γ. Αλ ινηπφλ ε εκηεπζεία Γx παξακέλεη ζηαζεξή ηφηε ε εκηεπζεία Γx έρεη έλα πεξηζψξην 180 ν, πεξηζηξεθφκελε πεξί ην Γ αληησξνινγηαθά, γηα λα ζπλαληήζεη ηελ Γx, δειαδή πνιχ πεξηζζφηεξν απφ φηη ρξεζηκνπνηήζακε ζηελ επηρεηξεκαηνινγία καο. Έηζη νινθιεξψζεθε ε απφδεημε. ΥΟΛΗΟ: Σα ζθέιε α) θαη β) απαζρφιεζαλ ηελ ειιεληθή καζεκαηηθή θνηλφηεηα ην 1983 σο ζέκαηα ζην Παλειιήλην Γηαγσληζκφ ηεο Δ.Μ.Δ. γηα ηε Β Λπθείνπ. Σν αθφινπζν ζεψξεκα είλαη άκεζε ζπλέπεηα ησλ ζεσξεκάησλ 5 θαη 6.

10 ΘΔΩΡΖΜΑ 7. (ΗΟΠΔΡΗΜΔΣΡΗΚΖ ΑΝΗΟΣΖΣΑ ΓΗΑ ΑΠΛΔ, ΚΛΔΗΣΔ ΚΑΜΠΤΛΔ) Το εμβαδόν Δ πος πεπικλείει μια απλή, κλειζηή επίπεδη καμπύλη μήκοςρ λ ικανοποιεί ηην ανιζόηηηα ΒΗΒΛΗΟΓΡΑΦΗΑ Η ιζόηηηα ιζσύει αν και μόνο αν η καμπύλη είναι ο κύκλορ πεπιμέηπος λ. 1. Π. Πάκθηινπ, Γεωμεηπία, Σξνραιία, Μ. Καηζνπξηλάθεο, Μ. Λάκπξνπ, Ο Δςκλείδηρ Γ ζαρ απανηά, Δπθιείδεο Γ, ηφκνο 2, ηεχρνο 2(4), επη. 1984, ζει Θέμαηα Πανελλήνιος Γιαγωνιζμού Δ.Μ.Δ Β Λςκείος, Δπθιείδεο Β, ηεχρνο επη.-οθη. 1983, ζει V. M. Tikhomirov, Stories about maxima and minima, American Mathematical Society, 1990 (κεηάθξαζε ζηα Διιεληθά απφ εθδφζεηο Κάηνπηξν) 5. L. A. Lyusternik, Convex figures and polyhedra, D. C. Heath and Company, Univ. of Chicago, Pierre Grimal, Λεξικό ηηρ Δλληνικήρ και Ρωμαϊκήρ Μςθολογίαρ, Universityn Studio Press, Θεζζαινλίθε, H.J. Rose, Ηζηνξία ηεο Λαηηληθήο ινγνηερλίαο, Μνξθσηηθφ Ίδξπκα Δζληθήο Σξαπέδεο, 1978 Γεκήηξεο Καιπθάθεο Αηιαληίδνο 1, Ζξάθιεην Κξήηεο, Σ.Κ

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

ζρήκα 1 β τπόπορ (από σύγκπιση τπιγώνων):

ζρήκα 1 β τπόπορ (από σύγκπιση τπιγώνων): o Λύκειο Εακύνθος Γεσκεηξία Α Λπθείνπ Κεθάιαην 3ν Άζθεζε Α Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ 90 0 θαη ΓΓ δηρνηόκνο ηεο γσλίαο. Να δείμεηε όηη:. Τν ζεκείν Γ απέρεη ηελ ίδηα απόζηαζε από ηηο πιεπξέο ΑΓ θαη ΒΓ.

Διαβάστε περισσότερα

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1. ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου. ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ ΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ Ι ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΕΩΝ ΕΜΔ Πρόηζε Ίζ πολυγωνικά χωρί έχουν ίζ εμβδά Το νηίζηροθο δεν ιζχύει ηλδή δύο ιζοεμβδικά χωρί δεν είνι κηά νάγκη ίζ Εκβδόλ ηεηργώλοσ πιεσράς Εκβδόλ

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 10 ε : ΜΗΥΑΝΙΚΗ ΜΔΡΟ Β ΠΙΔΗ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Καξέθια θαθίξε Όξγαλα Τιηθά Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ

IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ Να σαπακηηπίζεηε ηιρ πποηάζειρ, πος ακολοςθούν, υρ ππορ ηην οπθόηηηά ηοςρ, με ηην ένδειξη Σωστό ή Λάθος 1. ηελ αξραία Ρώκε νη πιεβείνη δελ είραλ αξρηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 0 ΒΑΙΚΟΙ ΟΡΙΜΟΙ ΟΜΟΙΟΘΔΣΟ ΗΜΔΙΟΤ Ολνκάδνπκε ομοιοθεζία με κένηπο ηο ζημείο και λόγο ην γεωκεηξηθό κεηαζρεκαηηζκό κε ηνλ νπνίν ζε θάζε ζεκείν ηνπ επηπέδνπ αληηζηνηρνύκε έλα θαη κόλν ζεκείν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1379/50 1. Όηαλ ινηπόλ ήξζαλ [νη πξέζβεηο ζηελ Αζήλα], αθνύ ζπλέιαβαλ νη Αζελαίνη θαη ηνπο πξέζβεηο σο ππνθηλεηέο ζηάζεο θαη όζνπο έπεηζαλ [νη πξέζβεηο], ηνπο ζπγθέληξσζαλ γηα αζθάιεηα ζηελ Αίγηλα.

Διαβάστε περισσότερα

Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π

Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π Α ο υ ι ς ε κ ς ξ μ ι κ ή ρ ύ μ θ ε ρ η 6 Τ ξ μ έ α π ΘΘΘ, X ώ ο ξ π κ α ι Δ π ι κ ξ ι μ χ μ ί α Η έ μ α : Διδάρκξμςεπ: Τξ εύοξπ ςξσ ξοίξσ Ιεοαμεικόπ

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ιήμεο 11.00 Κάπνηνο άξρηζε λα δηαβάδεη έλα βηβιίν ηελ 1 ε Δεθεκβξίνπ. Κάζε κέξα δηάβαδε ηνλ ίδην αξηζκό ζειίδσλ

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

1 Είζοδορ ζηο Σύζηημα ΣΔΕΔ ή BPMS

1 Είζοδορ ζηο Σύζηημα ΣΔΕΔ ή BPMS ΟΤΑ Επισειπηζιακή Νοημοζύνη: Οδεγίεο πξνο ηνπο εθπαηδεπόκελνπο γηα ηε ζύλδεζε κε ην ύζηεκα Γηαρείξηζεο Δπηρεηξεζηαθώλ Γηαδηθαζηώλ γηα ηελ εθηέιεζε ηωλ Πξαθηηθώλ Αζθήζεωλ ηωλ ππν(δλνηήηωλ) Bc1.1.4, Bc1.1.5,

Διαβάστε περισσότερα

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2 TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε

Διαβάστε περισσότερα

12. Ηζσύει : 0 θ,όπος θ η γυνία δςο μη μηδενικών διανςζμάηυν.

12. Ηζσύει : 0 θ,όπος θ η γυνία δςο μη μηδενικών διανςζμάηυν. Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΚΛΔΗΣΟΤ ΣΤΠΟΤ 1 Ηζσύει : 0 ι κάθε διάνςζμ Ηζσύει : ΑΒ = ΧΒ - ΧΑ 3 Ηζσύει : ΑΒ - BΑ 0,ι διθοπεηικά ζημεί Α,Β 4 Ηζσύει : ΑΒ 0, ι διθοπεηικά ζημεί Α,Β,Γ,Γ 5 Ηζσύει : 6 Ηζσύει : // 7 Ηζσύει : λ λ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα

Διαβάστε περισσότερα

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Οη Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα εθαξκόδνληαη γηα ηελ απνξξνθνύκελε ελέξγεηα από Αηνιηθά Πάξθα πνπ είλαη ζπλδεδεκέλα ζην

Διαβάστε περισσότερα

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε. ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΥΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ

ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΥΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ Οη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο είλαη κία ζεκαληηθή θιάζε ηωλ πξαγκαηηθώλ ζπλαξηήζεωλ κηάο πξαγκαηηθήο κεηαβιεηήο Τα βαζηθά ζεωξήκαηα ηωλ ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ ζε ζπλδπαζκό κε ηε κνλνηνλία, καο βνεζνύλ λα βγάινπκε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά:

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά: ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ Η Μηκή θαη ν Νηίλνο αλαξσηήζεθαλ πνην αληειηαθό πξντόλ παξέρεη ηελ θαιύηεξε πξνζηαζία ζην δέξκα ηνπο. Τα αληειηαθά πξντόληα έρνπλ έλα δείθηε αληειηαθήο πξνζηαζίαο (SPF), ν νπνίνο δείρλεη πόζν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ 1) Υξηζηνπγελληάηηθα ειαηάθηα θάξηα ή θαδξάθη θάξηα ή θαδξάθη Τιηθά πνπ ζα ρξεηαζηνύκε: Υαξηί θάλζνλ καύξν γηα ην θόλην, πξάζηλν γηα ηα ειαηάθηα, θόθθηλν γηα ηα αζηεξάθηα Απιό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 Κα ακαθένεηε 5 εονςπασθέξ πώνεξ θαη κα βνείηε ημ είδμξ ημο μνοθημύ ημοξ πιμύημο. Πμημη πανάγμκηεξ επηηνέπμοκ ηεκ θαηαζθεοή μεγάιςκ ηεπκηθώκ ένγςκ; Ε ελόνολε (ελαγςγή

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Καηαζθεπάδνπκε έλα νγθνκεηξηθό δνρείν από πιαζηηθό κπνπθάιη λεξνύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0

Διαβάστε περισσότερα

ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης

ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης Μ ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης 1. κοπός ηελ άζθεζε γίλεηαη κέηξεζε ηνπ κέηξνπ δηάηκεζεο ελόο κεηαιιηθνύ ζύξκαηνο από ηελ πεηξακαηηθά κεηξεκέλε πεξίνδν ηαιάλησζεο ελόο ζηξνθηθνύ ηαιαλησηή.

Διαβάστε περισσότερα

1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird

1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird 1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird 1.1 Εγκαηάζηαζη ηυν οδηγών ηηρ έξςπνηρ κάπηαρ ζηο λογιζμικό Mozilla Thunderbird

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα.

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα. Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα Γηαθξάγκαηα Δξγαιεία Καηαζθεπέο 2 Η θαηαζθεπή πεξηγξάθεηαη ζηελ αληίζηνηρε ελόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

ύζηεκα Ωξνκέηξεζεο Πξνζσπηθνύ (Έθδνζε 2) ΤΠΗΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΤΣΗΜΑΣΩΝ

ύζηεκα Ωξνκέηξεζεο Πξνζσπηθνύ (Έθδνζε 2) ΤΠΗΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΤΣΗΜΑΣΩΝ ύζηεκα Ωξνκέηξεζεο Πξνζσπηθνύ (Έθδνζε 2) ΤΠΗΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΤΣΗΜΑΣΩΝ Πεξηερόκελα Σερληθά Υαξαθηεξηζηηθά Καηαγξαθή Ώξαο πγρξνληζκόο πζηήκαηνο Παξνπζίαζε πζηήκαηνο Πηζαλά ελάξηα Υξήζεο 2 Σερληθά Υαξαθηεξηζηηθά

Διαβάστε περισσότερα

Eξσηεκαηνιόγην θνιίσζεο SRS-30

Eξσηεκαηνιόγην θνιίσζεο SRS-30 Eξσηεκαηνιόγην θνιίσζεο SRS-30 Ηκεξνκελία: Αξηζκόο κεηξώνπ: Όλνκα Αζζελνύο: Ηκεξνκελία Γέλλεζεο: Ηιηθία: + Έηη Μήνερ πληεξεηηθή ζεξαπεία Μεηεγρεηξνπξγηθή παξαθνινύζεζε 3 μήνερ 6 μήνερ 1 σπόνορ σπόνια 3

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάλαιο 1. Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ. Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ. Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger

Κεθάλαιο 1. Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ. Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ. Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger Κεθάλαιο 1 Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΛΑΝΟ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Κεθάιαην 1: Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ Σπγγξαθείο: Δξ. Andrea Grimm, Δξ.

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΝΚΑΓΑ Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΩΣΟΤ- ΙΑΘΟΤ 1. Γηα έλα αγαζό όηαλ ε ζηαζεξά γ είλαη ίζε κε ην κεδέλ ηόηε ε θακπύιε πξνζθνξάο δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ.

Διαβάστε περισσότερα

Τάπηα με ππάζo, bacon και θέηα by Madame Ginger

Τάπηα με ππάζo, bacon και θέηα by Madame Ginger Τάπηα με ππάζo, bacon και θέηα by Madame Ginger 1 θύιιν ζθνιηάηαο 2 πξάζα 150 γξ. bacon 150 γξ. θέηα ΓΧΓΧΝΗ 100 γξ. γξαβηέξα ΓΧΓΧΝΗ 1 θ.ζ. ειαηόιαδν Κόβνπκε ηα πξάζα ζε ιεπηέο ξνδέιεο. Κόβνπκε ην bacon

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ.

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ. ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΟΑIΤΜΘΔΘ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ 11V11 ΗΚΘΙΘΑ 6-10 ΤΠΞΜΩΜ ΛΕΘΞΜΕΙΗΛΑΑ ΞΣ ΟΑΘΤΜΘΔΘΞΣ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ ΓΘΑ ΟΑΘΙΕΡ ΗΚΘΙΘΑΡ 6-10 ΕΩΜ Η ΔΘΑΔΠΞΛΗ ΑΟΞ Η ΛΘΑ ΕΡΘΑ ΡΗΜ ΑΚΚΗ ΕΘΜΑΘ ΛΕΓΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1382/153 1. Καη όηαλ έγηλε ε ππνρώξεζε αξγά ην απόγεπκα, επεηδή θνβήζεθαλ νη νιηγαξρηθνί κήπσο νη δεκνθξαηηθνί, αθνύ θάλνπλ επίζεζε, θαηαιάβνπλ

Διαβάστε περισσότερα

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα «ην θνηλό θαη ην θύξην» (Γ.νισκόο) γηα λα ρηίδω πάληα κε ηνλ ίδηνλε ηξόπν, κε ηηο ίδηεο θαηαζθεπαζηηθέο θαη πιαζηηθέο πξννπηηθέο, κε ηελ ίδηαλε πάληνηε πίζηε θαη αγάπε.. Α.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

Δεςηέπα 18/05/2015. Απόνηερ : 1) Γεκόπνπινο Υξήζηνο 2) Καπώλεο πήιηνο 3) Κπξηαθόπνπινο Κπξηάθνο 4) Παλαγόπνπινο Βαζίιεο

Δεςηέπα 18/05/2015. Απόνηερ : 1) Γεκόπνπινο Υξήζηνο 2) Καπώλεο πήιηνο 3) Κπξηαθόπνπινο Κπξηάθνο 4) Παλαγόπνπινο Βαζίιεο 1 ΕΝΩΗ ΠΟΔΟΦΑΙΡΙΚΩΝ ΩΜΑΣΕΙΩΝ ΗΛΕΙΑ ΕΣΟ ΙΔΡΤΕΩ 1969 ΕΔΡΑ: ΠΤΡΓΟ Οδόο: Γξαγαηζαλίνπ 34 & Παπαθιέζζα Σει: 26210 33311 e-mail:epsilia@otenet.gr Φαμ: 26210 34004 Ππακηικό 35 ηρ ζςνεδπίαζηρ ηος Δ ηηρ ΕΠ Ηλείαρ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c.

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c. ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) y y z z t t Σν νπνίν νδεγεί ζην όηη = - π.(άηνπν), αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mikelson-Morley είλαη =. Δπίζεο y = y, z = z, t = t Σν νπνίν ( t

Διαβάστε περισσότερα

Σ Δ Υ Ν Ι Κ Η Δ Κ Θ Δ Η Π Ρ Ο Μ Η Θ Δ Ι Α Ο Ι Κ Ο Γ Ο Μ Ι Κ Ω Ν Τ Λ Ι Κ Ω Ν Γ Η Μ Ο Τ Β Ο Λ Β Η

Σ Δ Υ Ν Ι Κ Η Δ Κ Θ Δ Η Π Ρ Ο Μ Η Θ Δ Ι Α Ο Ι Κ Ο Γ Ο Μ Ι Κ Ω Ν Τ Λ Ι Κ Ω Ν Γ Η Μ Ο Τ Β Ο Λ Β Η Σ Δ Υ Ν Ι Κ Η Δ Κ Θ Δ Η Π Ρ Ο Μ Η Θ Δ Ι Α Ο Ι Κ Ο Γ Ο Μ Ι Κ Ω Ν Τ Λ Ι Κ Ω Ν Γ Η Μ Ο Τ Β Ο Λ Β Η ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ 1. Τερληθή Έθζεζε 2. Δλδεηθηηθφο Πξνυπνινγηζκφο 3. Έληππν νηθνλνκηθήο πξνζθνξάο ΘΔΜΑ : Πξνκήζεηα

Διαβάστε περισσότερα

Η. ΣΟΗΥΔΗΑ ΠΟΤ ΓΗΑΣΖΡΟΤΝΣΑΗ

Η. ΣΟΗΥΔΗΑ ΠΟΤ ΓΗΑΣΖΡΟΤΝΣΑΗ Αγαπεηέ αξρεγέ, Τν λέν ζύζηεκα ησλ playoff πνπ πηινηηθά ζα εθαξκνζηεί ζηε θεηηλή πεξίνδν 2013 14 απνηειεί κηα βειηίσζε ηνπ πθηζηάκελνπ ζπζηήκαηνο πνπ κε επηηπρία εθαξκόζηεθε ζηηο πξώηεο έμη δηνξγαλώζεηο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Σχολικό έτος: 2011-2012 Καθηγήτριες: Κεφαλληνού Λουκία- Καλλία Αθηνά ΙΙ. ΟΙ ΑΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ ΑΠΟ ΣΟΤ ΠΡΟΙΣΟΡΙΚΟΤ ΥΡΟΝΟΤ ΕΩ ΚΑΙ ΣΟ Μ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΟ 1. ΕΛΛΗΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ ΘΕΜ 1 ο (2.5 κνλάδεο) ΠΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΚΕΔΟΝΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜ ΕΦΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ Σελικέρ εξετάσειρ Σετάπτη 21 Ιανοςαπίος 2009 13:00-16:00 Έζησ ν θόζκνο ηεο ειεθηξηθήο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΠΔΙΡΑΙΩ ΣΜΗΜΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ & ΑΦΑΛΙΣΙΚΗ ΔΠΙΣΗΜΗ ΗΜΔΙΩΔΙ ΠΑΡΑΓΟΔΩΝ ΣΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΟ «ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κνχηξαο Μ. Μπνχηζηθαο ΙΑΝΟΤΑΡΙΟ 2011

ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΠΔΙΡΑΙΩ ΣΜΗΜΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ & ΑΦΑΛΙΣΙΚΗ ΔΠΙΣΗΜΗ ΗΜΔΙΩΔΙ ΠΑΡΑΓΟΔΩΝ ΣΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΟ «ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κνχηξαο Μ. Μπνχηζηθαο ΙΑΝΟΤΑΡΙΟ 2011 ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΠΔΙΡΑΙΩ ΣΜΗΜΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ & ΑΦΑΛΙΣΙΚΗ ΔΠΙΣΗΜΗ ΗΜΔΙΩΔΙ ΠΑΡΑΓΟΔΩΝ ΣΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΟ «ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΙΙ» Μ Κνύηξαο Μ Μπνύηηθαο ΙΑΝΟΤΑΡΙΟ Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο Σεεηψεηο παξαδφεσλ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Προγράμμαηα θωηογραθικών μηχανών Επιλογέας προγραμμάηων Μαο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα ειέγμνπκε ην άλνηγκα δηαθξάγκαηνο θαη

Διαβάστε περισσότερα

Η Ύςσζε ηνπ Τηκίνπ Σηαπξνύ. 14 Σεπηεκβξίνπ

Η Ύςσζε ηνπ Τηκίνπ Σηαπξνύ. 14 Σεπηεκβξίνπ Η Ύςσζε ηνπ Τηκίνπ Σηαπξνύ 14 Σεπηεκβξίνπ Ση γηνξηάδνπκε ηελ εκέξα ηεο ύςσζεο ηνπ Σηκίνπ ηαπξνύ (1/6) Τν έηνο 326 ε Αγία Ειέλε πήγε ζηελ Ιεξνπζαιήκ γηα λα πξνζθπλήζεη ηνπο Αγίνπο Τόπνπο θαη λα επραξηζηήζεη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ

ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ Α. Αεπόβια ικανόηηηα: ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ 1. Φόλλοος ζηα δύο καλάθια: νη αζιεηέο είλαη απέλαληη από ηα ηακπιώ ζε δπν γξακκέο. Οη πξώηνη έρνπλ από κηα κπάια. Με ην ζύλζεκα θάλνπλ θόιιννπ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ΚΟΠΖ ΠΗΣΑ ΠΑΔΠΠΔ - ΔΔΓΑ

ΘΕΜΑ: ΚΟΠΖ ΠΗΣΑ ΠΑΔΠΠΔ - ΔΔΓΑ ΘΕΜΑ: ΚΟΠΖ ΠΗΣΑ ΠΑΔΠΠΔ - ΔΔΓΑ Μεγάιε επηηπρία ζεκείωζε ε θνηλή εθδήιωζε γηα ηελ θνπή πίηαο γηα ην 2009, ηνπ Παλειιήληνπ πλδέζκνπ Δπηρεηξήζεωλ Πξνζηαζίαο Πεξηβάιινληνο (ΠΑΔΠΠΔ) θαη ηεο Διιεληθήο Δηαηξίαο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_3207/391 1. Τελ άιιε κέξα νη Τξηάθνληα, πνιύ ηαπεηλσκέλνη θαη ληώζνληαο εγθαηαιειεηκκέλνη, ζπγθεληξώζεθαλ ζην ρώξν ησλ ζπλεδξηάζεσλ παξάιιεια, νη «ηξεηο ρηιηάδεο», ζε όια ηα ζεκεία όπνπ είραλ ηνπνζεηεζεί,

Διαβάστε περισσότερα

Διιεληθά Σειρά Moov Δγτειρίδιο τρήζηη Δνημέρφζης ταρηών Web Αλαζεώξεζε: R00 (2010/05) Πώς να ενημερώζφ ηοσς τάρηες; Υπάξρνπλ ηέζζεξα βήκαηα γηα ηελ ελεκέξσζε ηνπ ράξηε. Βήκα

Διαβάστε περισσότερα

Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο

Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο Τν crossover καλώδιο ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα ζπλδεζνύλ δπν ππνινγηζηέο κεηαμύ ηνπο θαη αλ θηηάμνπλ έλα κηθξό ηνπηθό δίθηπν(lan). Έλα LAN κπνξεί λα είλαη ηόζν

Διαβάστε περισσότερα

Α Καθοπιζμόρ απμοδιοηήηυν - 1 επικεθαλήρ 1. Γ Αςηοτία ζηη ζήπαγγα Β 1 επικεθαλήρ εξ. ζηελεσορ. Ε Ποζοηική ανάλςζη Γ 3 εξ.

Α Καθοπιζμόρ απμοδιοηήηυν - 1 επικεθαλήρ 1. Γ Αςηοτία ζηη ζήπαγγα Β 1 επικεθαλήρ εξ. ζηελεσορ. Ε Ποζοηική ανάλςζη Γ 3 εξ. Άσκηση cash flow tunnel Δίζηε επικεθαλήρ ηηρ ομάδαρ διασείπιζηρ κινδύνος πος αζσολείηαι με ηη λειηοςπγική ανάλςζη κινδύνυν μεγάληρ εηαιπείαρ διασείπιζηρ αςηοκινηηοδπόμυν. Έσεηε να παπαδώζεηε μελέηη πος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΚΑΙ ΑΦΑΝΕΙ ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΕ ΧΕΕΙ

ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΚΑΙ ΑΦΑΝΕΙ ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΚΑΙ ΑΦΑΝΕΙ ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Η ιζοδςναμία ηος νόμος ημιηόνων με ηο νόμο ηων ζςνημιηόνων Μηράιεο Κνληάθεο Μηράιεο ακαηάο Δκκαλνπέια Σζαγθαξάθε Τπεύζπλνο εθπαηδεπηηθόο: Γεκήηξεο Καιπθάθεο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΔΝΑΚ θαη ιέβεηεο. Ζκεξίδα 20/11/2010. Σσηήξεο Καηζηκίραο Γξ. Μεραλνιόγνο Μεραληθόο. Γεληθόο Γξακκαηέαο β ΔΝ.Δ.ΔΠΙ.Θ.Δ. Αζήλα 20.11.

ΚΔΝΑΚ θαη ιέβεηεο. Ζκεξίδα 20/11/2010. Σσηήξεο Καηζηκίραο Γξ. Μεραλνιόγνο Μεραληθόο. Γεληθόο Γξακκαηέαο β ΔΝ.Δ.ΔΠΙ.Θ.Δ. Αζήλα 20.11. Ζκεξίδα 2/11/21 ΚΔΝΑΚ θαη ιέβεηεο Σσηήξεο Καηζηκίραο Γξ. Μεραλνιόγνο Μεραληθόο Γεληθόο Γξακκαηέαο β ΔΝ.Δ.ΔΠΙ.Θ.Δ. Αζήλα 2.11.21 Πεγέο ελέξγεηαο Σπλ. Πξσηνγελήο Δλέξγεηα = Σ Καηαλ. Δλέξγεηα θαπζίκνπ x Σπλη.

Διαβάστε περισσότερα

(άρθρο 8 Ν.1599/1986)

(άρθρο 8 Ν.1599/1986) Ν. 1599/1986, δειώλσ όηη : εθρσξώ ην δηθαίσκα πνπ απνξξέεη από ηελ απόζπξζε ηνπ απηνθηλήηνπ κνπ, κε αξηζκό θπθινθνξίαο θαη άδεηα θπθινθνξίαο αξηζκ. / ζύκθσλα κε ηελ αξηζκ Πξάμε νξηζηηθήο δηαγξαθήο ηεο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΣΤΕΦ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΑΕΡΟΣΚΑΦΩΝ Σημειώζειρ επγαζηηπίος «Αναλογικά Ηλεκηπονικά», Σςγγπαθέαρ: Χ. Λαμππόποςλορ, Έκδοζη 3η 20V 100K V OUT

ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΣΤΕΦ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΑΕΡΟΣΚΑΦΩΝ Σημειώζειρ επγαζηηπίος «Αναλογικά Ηλεκηπονικά», Σςγγπαθέαρ: Χ. Λαμππόποςλορ, Έκδοζη 3η 20V 100K V OUT ΑΣΚΗΣΗ 1 Γνωριμία με ηα όργανα και ηην διαδικαζία καηαζκεσής ηων κσκλωμάηων ηοσ εργαζηηρίοσ 1.1 Πξνθαηαξθηηθέο Αζθήζεηο: Οη αζθήζεηο απηέο πξέπεη λα παξαδνζνύλ ιπκέλεο από ηνπο ζπνπδαζηέο όηαλ πξνζέξρνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H )

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H ) Ξ G O O G L E S C H O L A R Α Ο Ξ Ε Κ Ε Θ Λ Θ Α Λ Η Τ Α Μ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η Ρ Οξαγκαηνπνηώληαο αλαδήηεζε ζην GoogleScholar (http://scholar.google.com/) ν ρξήζηεο κπνξεί λα εληνπίζεη πιηθό αθαδεκαϊθνύ θαη

Διαβάστε περισσότερα

Πξώηνη αξηζκνί: Μία ηζηνξηθή παξνπζίαζε από ηα Αξραία Διιεληθά Μαζεκαηηθά κέρξη ηηο ζύγρξνλεο εθαξκνγέο ηνπο

Πξώηνη αξηζκνί: Μία ηζηνξηθή παξνπζίαζε από ηα Αξραία Διιεληθά Μαζεκαηηθά κέρξη ηηο ζύγρξνλεο εθαξκνγέο ηνπο ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΘΗΝΨΝ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΨΝ ΣΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ, ΙΣΟΡΙΑ ΚΑΙ ΘΕΨΡΙΑ ΣΗ ΕΠΙΣΗΜΗ ΣΜΗΜΑ ΥΙΛΟΟΥΙΑ ΠΑΙΔΑΓΨΓΙΚΗ & ΧΤΦΟΛΟΓΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΤΠΡΟΤ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΨΝ ΚΑΙ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΣΜΗΜΑ ΕΠΙΣΗΜΨΝ ΑΓΨΓΗ Διαπανεπιςσημιακό

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD

Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD Γηα ηε δηεπθόιπλζή ζαο θαηά ην switch-off ηεο πεξηνρήο ηεο Πεινπνλλήζνπ έρνπκε πξνζζέζεη ζηνπο ςεθηαθνύο καο δέθηεο κία λέα,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Θεματικές Ενότητες 1. Απιέο έλλνηεο θβαληηθήο κεραληθήο θαη ην ζύζηεκα δύν θβαληηθώλ θαηαζηάζεωλ. 2. Qubit θαη θβαληηθόο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΝΕΤΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΣΤΑ. E w

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΝΕΤΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΣΤΑ. E w ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 κνλάδεο) ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΝΕΤΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΣΤΑ Σελικέρ εξετάσειρ Παπασκεςή 18 Ιοςνίος 2010 18:00-21:00 Έζησ φηη έλα απζαίξεην

Διαβάστε περισσότερα

Η Αξιολόγηζη ηηρ Πεπίλητηρ Κειμένος Παιδαγυγικό Ινζηιηούηο

Η Αξιολόγηζη ηηρ Πεπίλητηρ Κειμένος Παιδαγυγικό Ινζηιηούηο Η Αξιολόγηζη ηηρ Πεπίλητηρ Κειμένος Παιδαγυγικό Ινζηιηούηο Οδηγίες για ηη διδαζκαλία ηων θιλολογικών μαθημάηων ζηο Ενιαίο Λύκειο (απόζπαζμα) Αθήνα 2001 ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ Α. Τν πεξηερόκελν ηεο πεξίιεςεο (0-12

Διαβάστε περισσότερα

Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις

Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις Μαξία-Ησάλλα Αξγπξνπνύινπ Βαζίιεο Παπιόπνπινο Τνκέαο Ψπρνινγίαο, Παλεπηζηήκην Αζελώλ Αλαθνίλσζε ζην 5 ν Παλειιήλην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Εισαγωγή στη Φωτογραυία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Εισαγωγή στη Φωτογραυία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Εισαγωγή στη Φωτογραυία Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 3 ο ΚΛΕΙΣΡΟ ΣΑΥΤΣΗΣΑ ΚΛΕΙΣΡΟΤ-ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΣΑΛΛΗΛΗ ΣΑΥΤΣΗΣΑ Σι είναι υωτογραυική μητανή; Από πνηα κέξε απνηειείηαη: 1. Φαθό

Διαβάστε περισσότερα

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ T A E K W O N D O Δ. ΠπθαξΨο ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ ΦΠΗΘΝΘΔΟΑΞΔΗΑ Ο Ρ Ι Μ Ο Φπζη(θ)νζεξαπεΫα εϋλαη ε επηζηϊκε, ε νπνϋα κόλν κε θπζηθψ κωζα θαη κεζόδνπο πξνζπαζεϋ λα ζεξαπεύζεη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ

ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ Ο πολσμεριζμός Πολσμεριζμός είναι η τημική ανηίδραζη καηά ηην οποία πολλά μόρια ίδιων ή διαθορεηικών οργανικών ενώζεων, ποσ ονομάζονηαι μονομερή, ενώνονηαι και ζτημαηίζοσν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ Σε όια ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα αληηκεηωπίζνπκε, ην ειαηήξην ζα είλαη αβαξέο θαη ζα ηθαλνπνηεί ην λόκν ηνπ Hooke (ηδαληθό ειαηήξην), δειαδή ε δύλακε πνπ αζθεί έλα ηδαληθό ειαηήξην έρεη

Διαβάστε περισσότερα

Διάρηζηα Δπηθαιύπηνληα Γέλδξα

Διάρηζηα Δπηθαιύπηνληα Γέλδξα Διάρηζηα Δπηθαιύπηνληα Γέλδξα Οξηζκόο Δύξεζε Δπηθαιύπηνληνο Γέλδξνπ κε Διάρηζην Βάξνο, δειαδή ειάρηζην άζξνηζκα βαξώλ αθκώλ Αιγόξηζκνη Prim, Kruskal, Baruvka Βαζίδνληαη ζηελ ηερληθή ηεο Απιεζηίαο Η νξζόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ

10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ 10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ Σσποποιημένες παροτές ΥΣ Γηα ηελ ειεθηξνδόηεζε θάζε εζωηεξηθήο εγθαηάζηαζεο θαηαζθεπάδεηαη κία από ηηο «ηππνπνηεκέλεο» παξνρέο πνπ αλαθέξνληαη παξαθάηω. Γηα θάζε ηππνπνηεκέλε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΡΓΑΙΑ ΣΡΙΣΟΤ ΣΡΙΜΗΝΟΤ ΣΗΝ ΟΓΤΔΙΑ

ΔΡΓΑΙΑ ΣΡΙΣΟΤ ΣΡΙΜΗΝΟΤ ΣΗΝ ΟΓΤΔΙΑ ΔΡΓΑΙΑ ΣΡΙΣΟΤ ΣΡΙΜΗΝΟΤ ΣΗΝ ΟΓΤΔΙΑ Α.Να γξάςεηε ηα ηππηθά ζηάδηα ηεο αλαγλώξηζεο ζηελ Οδύζζεηα. Το θέμα της αναγνώρισης είναι συχνό, ιδιαίτερα στις τελευταίες ραψωδίες του έπους, δηλαδή από τότε που ο Οδυσσέας

Διαβάστε περισσότερα

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67)

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Γηα λα επαλαθέξεηε ην FritzBox Fon WLAN 7140 ζηηο πξνεπηιεγκέλεο ηνπ ξπζκίζεηο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΣΑΣΟΠΙΗ ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΗ

ΜΕΣΑΣΟΠΙΗ ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΗ ΜΕΣΑΣΟΠΙΗ ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΗ 1. 10078, 9136, 10821 Β 1. Η ζέζε ελόο ζώκαηνο, πνπ θηλείηαη επζύγξακκα θαηά κήθνο ελόο πξνζαλαηνιηζκέλνπ άμνλα x'x, δίλεηαη ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή από ηελ εμίζσζε x =

Διαβάστε περισσότερα

ACTA A.E. Αριςτο Σέλεια Πιςτοποίηςη. Ανθρώπινου Δυναμικοφ. «ΠΙΣΟΠΟΙΗΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΤ ΔΤΝΑΜΙΚΟΤ Εξελίξεισ - Προοπτικέσ»

ACTA A.E. Αριςτο Σέλεια Πιςτοποίηςη. Ανθρώπινου Δυναμικοφ. «ΠΙΣΟΠΟΙΗΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΤ ΔΤΝΑΜΙΚΟΤ Εξελίξεισ - Προοπτικέσ» ACTA A.E. Αριςτο Σέλεια Πιςτοποίηςη Ανθρώπινου Δυναμικοφ «ΠΙΣΟΠΟΙΗΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΤ ΔΤΝΑΜΙΚΟΤ Εξελίξεισ - Προοπτικέσ» Εταιρεία Ένταςησ Γνώςησ Αριςτοτελείου Πανεπιςτημίου Θεςςαλονίκησ Δια Βίου Μάθηςη Νόκνο:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΡΓΑΣΙΑ 1 Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν στον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ

ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ α. Η ΕΚΚΛΗΙΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ β. ΣΟ ΠΝΕΤΜΑΣΙΚΟ ΜΑ ΚΕΝΣΡΟ γ. Η ΠΑΝΟΡΑΜΙΚΗ ΘΕΗ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ α. Η ΕΚΚΛΗΙΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ. Η Εθθιεζία ηνπ ρσξηνύ καο, ε Αγία Άλλα, είλαη θηηζκέλε πξηλ πνιιά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ

ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Γηα λα βξνύκε ηε δύλακε i (θ αθέξαηνο) δηαηξνύκε ην θ κε ην 4 θαη ζύκθσλα κε ηελ ηαπηόηεηα ηεο δηαίξεζεο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ Κιηληθή ηαμηλόκεζε ηνπ βαζκνύ ηεξεδνληθήο βιάβεο ηωλ νπώλ θαη ζρηζκώλ καζεηηθώλ επηθαλεηώλ θαηά ICDAS 1 νο Βαζκόο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΘΕΜΑ 1 Ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της καθεµιάς από τις παρακάτω ηµιτελείς προτάσεις 1 εως 5 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη λέξη ή τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΣΙΜΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΧΑΜΗΛΗ ΣΑΗ

ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΣΙΜΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΧΑΜΗΛΗ ΣΑΗ ΗΡΩΝ ΘΕΡΜΟΗΛΕΚΣΡΙΚΗ Α.Ε. ΜΕ ΙΧΤ ΣΗΝ ΑΓΟΡΑ ΣΗ ΗΛΕΚΣΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ 2011 ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΣΙΜΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΧΑΜΗΛΗ ΣΑΗ Ρο εργοστάσιο παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας στη Θήβα ΔΙΕΤΘΤΝΗ ΠΩΛΗΕΩΝ 1/1/2011 TA ΔΚΞΝΟΗΘΑ ΡΗΚΝΙΝΓΗΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΙNCOFRUIT - (HELLAS).

ΙNCOFRUIT - (HELLAS). Πξνο ΟΛΑ ΤΑ ΜΔΛΗ Κε Σπλάδειθε Θέκα: Ιζπαλία & Γεξκαλία 5 ε ΔΒΓΟΜΑΓΑ 2011 (31 Ιαλ έσο 30 Φεβξ.2011) Παξαζέηνπκε θαησηέξσ: Αλαζθόπεζε ηεο 4 εο εβδνκάδνο 2011 κε ηηο ηηκέο ησλ εζπεξηδνεηδώλ πνπ δηακνξθώζεθαλ

Διαβάστε περισσότερα