ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου"

Transcript

1

2

3 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ

4 Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ Γενική επιμέλει : Στράτης Αντωνές Ιστοσελίδ : Τηλέφων επικοινωνίς

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδ Πρόλογος ΜΕΡΟΣ Α Κεφάλιο Μιγδικοί ριθμοί Ενότητ Η έννοι του μιγδικού ριθμού 5 Πράξεις μετξύ μιγδικών Συζυγής μιγδικού» Μέτρο μιγδικού ριθμού 8 Γενικές σκήσεις 5 ΜΕΡΟΣ Β Κεφάλιο Συνρτήσεις Όριο Συνέχει 5 Ενότητ Συνρτήσεις 55» Μονότονες συνρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση 8» Όριο συνάρτησης στο» 4 Ιδιότητες των ορίων 6» 5 Μη πεπερσμένo όριο στο 8» 6 Όρι συνάρτησης στο άπειρο 6» 7 Συνέχει συνάρτησης 48» 8 Βσικά θεωρήμτ συνεχών συνρτήσεων 59 Γενικές σκήσεις 8 Κεφάλιο Διφορικός Λογισμός 85 Ενότητ Η έννοι της πργώγου 87» Πράγωγος συνάρτησης Κνόνες πργώγισης 6» Εφπτόμενη διγράμμτος συνάρτησης» 4 Ρυθμός μετβολής 4» 5 Θεώρημ Rolle 47» 6 Θεώρημ Μέσης Τιμής 6» 7 Συνέπειες θεωρήμτος Μέσης Τιμής 7» 8 Μονοτονί συνάρτησης 8» 9 Τοπικά κρόττ συνάρτησης 9» Κυρτότητ Σημεί κμπής 5» Ασύμπτωτες Κνόνες de L Hospital 5» Μελέτη κι χάρξη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης Γενικές σκήσεις 6 Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ενότητ Αόριστο ολοκλήρωμ» Μέθοδοι ολοκλήρωσης 44» Ορισμένο ολοκλήρωμ 57» 4 Η συνάρτηση F() f () 68» 5 Το θεμελιώδες θεώρημ του Ολοκληρωτικού Λογισμού 78» 6 Εμβδόν επίπεδου χωρίου 47 Γενικές σκήσεις 4 Θέμτ Πνελληνίων 48 Βιβλιογρφί 449

6

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ T ο βιβλίο πευθύνετι κτά βάση στο μθητή που θ διγωνιστεί στο μάθημ των Μθημτικών κτεύθυνσης της Γ Λυκείου στις Πνελλήνιες εξετάσεις γι την εισγωγή του στην τριτοβάθμι εκπίδευση Κάθε ενότητ περιέχει τη θεωρί με πρτηρήσεις κι σχόλι Στη συνέχει υπάρχουν τξινομημένες ομάδες λυμένων κι άλυτων - σκήσεων Τ λυμέν θέμτ βοηθούν στην επεξήγηση κι εμπέδωση της θεωρίς κι πολλά πό υτά δίνουν έμφση κι νδεικνύουν τ λεπτά σημεί τ οποί θέλουν ιδιίτερη προσοχή κι εμβάθυνση Ο μεγάλος ριθμός των άλυτων σκήσεων με πντήσεις βοηθάει στην πλήρη νσκόπηση της ύλης κάθε ενότητς κθώς κι κάθε κεφλίου Ακολουθούν ερωτήσεις γι τη κτνόηση των εννοιών των προτάσεων κι των πρτηρήσεων που προυσιάζοντι Το περιεχόμενο του βιβλίου είνι χωρισμένο σε δύο μέρη Το πρώτο μέρος νφέρετι στους Μιγδικούς ριθμούς Ο μθητής έρχετι σε επφή γι πρώτη φορά με την έννοι του φντστικού κι του μιγδικού ριθμού Επειδή όλη την προηγούμενη περίοδο δούλευε με τους πργμτικούς ριθμούς κι έχει εξοικειωθεί με τις ιδιότητές τους, έχει την εντύπωση ότι υτές είνι συνδεδεμένες με κάθε σύνολο ριθμών Γι υτό στην ρχή δυσπιστεί σε ριθμούς που το τετράγωνό τους είνι ρνητικό Στη συνέχει γνωρίζοντς τις πράξεις, τις ιδιότητές τους κθώς κι την νπράστσή τους στο επίπεδο, θ είνι σε θέση ν ποδεχθεί κι ν μπορεί ν κτνοήσει κλύτερ τη λειτουργί τους Άλλωστε, ότν οι μελετητές το 6 ο ιών έφθσν στην έννοι του μιγδικού ριθμού προσπθώντς ν βρουν ένν γενικό τρόπο λύσης των πολυωνυμικών εξισώσεων με βθμό νώτερο του δευτέρου, τους ντιμετώπισν σν μι προσωρινή πρέκκλιση πό τον κόσμο των Μθημτικών Πέρσε σχεδόν ένς ιώνς γι ν γίνουν ποδεκτοί πό τη μθημτική κοινότητ κι ν νγνωριστεί η σημσί κι η χρησιμότητά τους σε πλήθος γνωστικών τομέων κι κτέληξε στην νάπτυξη ενός ευρύττου πεδίου, της Μιγδικής Ανάλυσης Το δεύτερο μέρος ξεκινά με την έννοι της πργμτικής συνάρτησης, μις πργμτικής μετβλητής, με την οποί ο μθητής έχει δουλέψει σε προηγούμενες τάξεις Ορίζετι η ισότητ μετξύ δύο συνρτήσεων, ο λογισμός των πράξεων κι νφέρετι η γρφική πράστση γνωστών μέχρι τώρ συνρτήσεων Ακόμ ορίζετι μι νέ πράξη η οποί είνι χρκτηριστική μετξύ των συνρτήσεων, η σύνθεση Κτόπιν εισάγοντι τ βσικά χρκτηριστικά μις συνάρτησης, η μονοτονί, τ κρόττ, το έν προς έν, το οποίο επιτρέπει την κτσκευή της ντίστροφης συνάρτησης Έτσι μετά την άλγεβρ των συνρτήσεων φθάνουμε στην κεντρική έννοι της Μθημτικής Ανάλυσης, στην έννοι του ορίου Είνι μι ρκετά λεπτή έννοι όπου εδώ εισάγετι διισθητικά, γιτί ο ορισμός κι η χρήση του πιτεί μι μθημτική ωριμότητ, η οποί δεν είνι δεδομένη υτή τη χρονική στιγμή Πρτίθεντι οι ιδιότητες των ορίων, με τη βοήθει των οποίων νπτύσσοντι τεχνικές υπολογισμού του ορίου μις συνάρτησης, εφ όσον υτό υπάρχει Γίνετι νφορά στις προσδιόριστες μορφές, το άπειρο όριο κθώς κι το όριο συνάρτησης ότν η νεξάρτητη μετβλητή τείνει στο άπειρο Με τη βοήθει του ορίου ορίζετι η έννοι της συνέχεις, η οποί εποπτικά πρπέμπει στην ι- διότητ η γρφική πράστσή της ν είνι μι συνεχόμενη γρμμή ότν σχεδιστεί στο χρτί Η ιδιότητ της συνέχεις γι μι συνάρτηση είνι η ουσιστική προϋπόθεση πό την οποί πορρέουν βσικά θεωρήμτ που χρκτηρίζουν τη μεγάλη κλάση των συνεχών συνρτήσεων Το θεώρημ Bolzano είνι το πρώτο πό υτά Το θεώρημ ενδιμέσων τιμών, το θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής ότν η συνάρτηση είνι ορισμένη σε κλειστό διάστημ [, β] Η πρότση που νφέρετι στην εικόν ενός διστήμτος

8 μέσω μις συνεχούς μη στθερής συνάρτησης κθώς κι το θεώρημ γι την εύρεση του συνόλου τιμών μις συνεχούς κι μονότονης συνάρτησης, ποτελούν τ ισχυρά συμπεράσμτ που χρκτηρίζουν τις συνεχείς συνρτήσεις Το επόμενο κεφάλιο είνι φιερωμένο στον Διφορικό Λογισμό, το λογισμό δηλδή των συνρτήσεων στις οποίες ορίζετι ο πράγωγος ριθμός Η κλάση των πργωγίσιμων συνρτήσεων είνι μι υποκτηγορί των συνεχών, στις οποίες ισχύουν μι σειρά πό θεωρήμτ που μς επιτρέπουν ν μελετήσουμε πλήρως μι συνάρτηση, ν σχεδιάσουμε τη γρφική της πράστση κι ν εξάγουμε χρήσιμ συμπεράσμτ Το θεωρήμτ Rolle, Μέσης Τιμής, γι τη μονοτονί, τ κρόττ κθώς κι τ κοίλ μς προμηθεύουν ισχυρές μεθόδους γι τη σε βάθος μελέτη των συνρτήσεων Οι μέθοδοι είνι γενικές κι εφρμόζοντι στο σύνολο των συνρτήσεων που νκύπτουν πό όλ τ επιστημονικά πεδί Έτσι το πλήθος των εφρμογών που συνντούμε εδώ είνι τεράστιο σε ποικιλί κι άπτετι σχεδόν όλων των κλάδων Το τελευτίο κεφάλιο νφέρετι στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Εισάγετι η έννοι της πράγουσς συνάρτησης κι του όριστου ολοκληρώμτος Προυσιάζετι ο πίνκς των βσικών όριστων ολοκληρωμάτων Στη συνέχει διτυπώνοντι τ δύο βσικά θεωρήμτ γι τον υπολογισμό τους, υτό της πργοντικής ολοκλήρωσης κι της ολοκλήρωσης με λλγή μετβλητής Ακολουθεί το ορισμένο ολοκλήρωμ με τις ιδιότητές του, ώσπου φθάνουμε στο θεμελιώδες θεώρημ του Ολοκληρωτικού Λογισμού, με το οποίο γίνετι δυντός ο υπολογισμός των ορισμένων ολοκληρωμάτων Στο τέλος δίνετι ο τρόπος υπολογισμού του εμβδού επίπεδων χωρίων που σχημτίζοντι πό τις γρφικές πρστάσεις συνρτήσεων, τους άξονες των συντετγμένων κι κάθετες ευθείες Το μεγάλο πλήθος κθώς κι η ποικιλί των προβλημάτων που ντιμετωπίζοντι με την Μθημτική Ανάλυση μς κάνει ν την χρκτηρίζουμε, χωρίς υπερβολή, ως το - πόλυτο μθημτικό εργλείο Γι υτό σε όλ τ εκπιδευτικά προγράμμτ που συντάσσοντι κτά κιρούς την περιέχουν στο βσικό τους μέρος Πρδίδοντς το βιβλίο υτό στους μθητές, εκφράζω την ελπίδ ν συνεισφέρει στην σκληρή προετοιμσί τους, γι την εισγωγή τους στην τριτοβάθμι εκπίδευση Στράτης Αντωνές Σπάρτη, Ιούνιος Ότν ήμουν μικρός, κόμπζ γι το πόσο πολλές σελίδες διάβζ σε μί ώρ Στο κολέγιο έ- μθ πόσο βλκώδες ήτν υτό Το ν διβάζεις δέκ σελίδες μθημτικά την ημέρ μπορεί ν είνι ένς εξιρετικά γοργός ρυθμός Ακόμ κι μί σελίδ, όμως, μπορεί ν είνι ρκετή WILLIAM THRUSTON Μετάλλιο Φιλντς, Πνεπιστήμιο Πρίνστον

9 ΜΕΡΟΣ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοι του μιγδικού ριθμού Πράξεις μετξύ μιγδικών Συζυγής μιγδικού Μέτρο μιγδικού ριθμού Τ ο σύνολο των μιγδικών ριθμών είνι το τελευτίο σύνολο στην λυσίδ στο οποίο μι πολυωνυμική εξίσωση έχει τουλάχιστον μι ρίζ Μάλιστ έχει τόσες ρίζες όσες κι ο βθμός της (συμπεριλμβνομένων των πολλπλών ριζών) Άλλωστε η έννοι του μιγδικού ριθμού ξεπήδησε μέσ πό την προσπάθει επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων ου κι 4 ου βθμού πό τους μθημτικούς της Ανγέννησης στις πόλεις της Ιτλίς του 6 ου ιών Έτσι ορίζετι το σύνολο των μιγδικών ως μι ε- πέκτση του συνόλου των πργμτικών ριθμών με την επισύνψη του φντστικού ριθμού i Στο νέο σύνολο ορίζετι η ισότητ, οι πράξεις κι νφέροντι οι ιδιότητές τους Ακόμ επισημίνοντι έννοιες κι ιδιότητες των πργμτικών οι οποίες δεν μετφέροντι στους μιγδικούς ριθμούς, όπως η διάτξη Η γεωμετρική πράστση των μιγδικών ριθμών στο κρτεσινό επίπεδο βοηθά στην κλύτερη κτνόηση του συνόλου τους Η ντιστοιχί πράξεων στους μιγδικούς με πράξεις μετξύ δινυσμάτων φνερώνουν τη σύνδεση ενός προηγούμενου μθημτικού πεδίου με το νέο, των μιγδικών ριθμών Η γεωμετρική νπράστσή των μιγδικών, ήτν ένς βσικός λόγος που ώθησε στην εδρίωση της ποδοχής τους πό τη μθημτική κοινότητ, η οποί στην ρχή κρτούσε μι επιφυλκτική στάση, στ τέλη του 6 ου ιών Ορίζετι η έννοι του μέτρου ενός μιγδικού - ριθμού, η οποί είνι επέκτση της πόλυτης τιμής στους πργμτικούς ριθμούς Το μέτρο χρησιμοποιείτι γι ν εκφράσει την πόστση των εικόνων δύο μιγδικών στο επίπεδο κι με υτόν τον τρόπο μπορούμε ν διτυπώσουμε πολλά γεωμετρικά προβλήμτ με τη χρήση μιγδικών Ακόμ θέμτ με τυπικό λγεβρικό χρκτήρ μπορούν ν βρουν μι γεωμετρική νπράστση κι ν γίνει κλύτερ κτνοητό το συμπέρσμ Ο συνδυσμός λγεβρικής γλώσσς κι γεωμετρικής οπτικής είνι ρκετά γόνιμος στην κτνόηση προβλημάτων λλά κι στην επινόηση νέων

10

11 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 ΕΝΟΤΗΤΑ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Το Άγιο Πνεύμ βρήκε την τέλει έκφρσή του σ υτό το θύμ της Ανάλυσης, σ υτή την πεμπτουσί του κόσμου των ιδεών, σ υτό το μφίβιο πλάσμ, νάμεσ στην ύπρξη κι τη μη ύπρξη, που ποκλούμε φντστική ρίζ της ρνητικής μονάδς GOTTFRIED LEIBNIZ(646 76) Μ έχρι τον 6 ο ιών ήτν γνωστή η επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων δευτέρου βθμού Από την ρχιότητ κόμ είχν βρεθεί μέθοδοι επίλυσής τους κι ργότερ με την νάπτυξη του λγεβρικού λογισμού είχε β ± β 4γ διτυπωθεί ο τύπος Η προσπάθει εύρεσης ενός γενικού τύπου που θ δίνει τις λύσεις μις πολυωνυμικής εξίσωσης τρίτου κι ργότερ τέτρτου βθμού ήτν έν νέο επίτευγμ κι σημτοδότησε πό πλευράς των Μθημτικών την εποχή μετά το Μεσίων H μέθοδος που επινοήθηκε πιτούσε συχνά τον υπολογισμό της τετργωνικής ρίζς μις ρνητικής ποσότητς Στην ρχή υτό πορρίφθηκε, λλά ργότερ πρτήρησν ότι πρστάσεις της μορφής β όπου, β οποιοιδήποτε πργμτικοί ριθμοί, μπορούσν ν θεωρηθούν σν διώνυμ κι ν δώσουν τ ίδι ποτελέσμτ όπως τ ντίστοιχ διώνυμ με θετικές ποσότητες Με την ποδοχή υτών των πρστάσεων, η μέθοδος γι τη λύση των εξισώσεων, μπορούσε ν εφρμοστεί σε όλες τις περιπτώσεις Το ποτέλεσμ υτής της ποδοχής ήτν η εισγωγή της έννοις του μιγδικού ριθμού, η οποί στην ρχή δημιούργησε μηχνί κι σκεπτικισμό Είνι ξιοσημείωτο πως κόμ κι ο Νεύτων, είχε μφιβολίες κτά πόσον «έν εξωπργμτικό μέγεθος μπορεί ν βοηθήσει στην επίλυση πργμτικών προβλημάτων» Στους επόμενους ιώνες οι μιγδικοί ριθμοί χρησιμοποιήθηκν στη Γεωμετρί, την Ανάλυση κι νπτύχθηκν νέοι κλάδοι στ Μθημτικά, τ ποτελέσμτ των οποίων χρησιμοποιήθηκν γι την επίλυση προβλημάτων στην επιστήμη Ορισμός του συνόλου των μιγδικών ριθμών Το σύνολο των μιγδικών ριθμών είνι έν υπερσύνολο του συνόλου των πργμτικών ριθμών, στο οποίο: Επεκτείνοντι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού

12 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ έτσι, ώστε ν έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως κι στο, με το μηδέν () ν είνι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι το έν () το ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισμού Υπάρχει έν στοιχείο i τέτοιο, ώστε i Κάθε στοιχείο z του γράφετι κτά μονδικό τρόπο με τη μορφή z βi, όπου, β Κάθε μιγδικός ριθμός βi,, β είνι η σύνθεση ενός πργμτικού ριθμού κι του βi τον οποίο ονομάζουμε φντστικό ριθμό O λέγετι πργμτικό μέρος του z κι συμβολίζετι Re(z) O β λέγετι φντστικό μέρος του z κι συμβολίζετι Im(z) Στο σύνολο κάθε πργμτικός ριθμός εκφράζετι ως i, ενώ κάθε φντστικός ριθμός βi εκφράζετι ως βi Ιδιότητες των πράξεων Ιδιότητες των πράξεων στο Πρόσθεση Πολλπλσισμός Προσετιριστική (z z ) z z (z z ) (z z )z z (z z ) Αντιμετθετική z z z z z z z z Ουδέτερο στοιχείο z z z z z z Συμμετρικό στοιχείο z ( z) ( z) z z z z z, z Επιμεριστική z (z z ) z z z z Διγρφή z z z z z z zz zz z z, z z Λύση εξίσωσης z z z z z z zz z z z, z Ισότητ μιγδικών ριθμών Επειδή κάθε μιγδικός ριθμός γράφετι κτά μονδικό τρόπο στη μορφή βi τότε: βi γ δi γ κι β δ Επειδή i, τότε: βi κι β Συζυγής ενός μιγδικού Αν z βi είνι ένς μιγδικός ριθμός τότε ο z βi λέγετι συζυγής του z Στην επέκτση πό το στο οι πράξεις κι οι ιδιότητες υτών που ισχύουν στο εξκολουθούν ν ισχύουν κι στο Η διάτξη κι οι ι- διότητές της δε μετφέροντι Δηλδή το σύνολο των μιγδικών ριθμών δεν είνι διτετγμένο Μπορούμε ν γράψουμε βi < γ δi ν κι μόνο ν < γ κι β δ Γεωμετρική πράστση μιγδικού κι του συζυγή του Ένν μιγδικό ριθμό z βi μπορούμε ν τον ντιστοιχίσουμε στο σημείο Μ(, β) του κρτεσινού επιπέδου Το σημείο Μ λέγετι εικόν του μιγδικού z Έτσι το κρτεσινό επίπεδο του οποίου τ σημεί είνι εικόνες μιγδι-

13 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 κών ριθμών θ λέγετι μιγδικό επίπεδο Ο μιγδικός ριθμός z βi πριστάνετι επίσης κι με τη δινυσμτική κτίν, OM, του σημείου Μ(, β) Ο συζυγής z βi του μιγδικού z, ντιστοιχίζετι στο σημείο Μ (, β) Πριστάνετι κόμ κι με τη δινυσμτική κτίν σημείου Μ (, β) O M του Πράξεις στο σύνολο των μιγδικών Γι την πρόσθεση των μιγδικών ριθμών z βi κι z γ δi έχουμε: z z ( βi) (γ δi) ( γ) (β δ)i Γι την φίρεση του μιγδικού ριθμού z γ δi πό τον z βi έχουμε: z z ( βi) (γ δi) ( γ) (β δ)i Μπορούμε ν σχεδιάσουμε στο μιγδικό επίπεδο μί νπράστση του θροίσμτος κι της διφοράς δύο μιγδικών Σχέδιο Σχέδιο Αν Μ (, β) κι Μ (γ, δ) είνι οι εικόνες των βi κι γ δi ντίστοιχ στο μιγδικό επίπεδο, τότε το άθροισμ ( βi) (γ δi) ( γ) (β δ)i πριστάνετι με το σημείο Μ(γ, βδ) (Σχέδιο ) Επομένως, OM OM OM, δηλδή: Η δινυσμτική κτίν του θροίσμτος των μιγδικών βi κι γ δi είνι το άθροισμ των δινυσμτικών κτίνων τους Επίσης, η διφορά ( βi) (γ δi) ( γ) (β δ)i πριστάνετι με το σημείο Ν( γ, β δ) (Σχέδιο ) Επομένως, ON OM OM, δηλδή: Η δινυσμτική κτίν της διφοράς των μιγδικών βi κι γ δi είνι η διφορά των δινυσμτικών κτίνων τους Γι τον πολλπλσισμό των μιγδικών ριθμών z βi κι z γ δi έχουμε: z z ( βi)(γ δi) γ δi βγi (βi)(δi) γ δi βγi βδi γ δi βγi βδ (γ βδ) (δ βγ)i Γι το πηλίκο των μιγδικών ριθμών z βi κι z γ δi με z έχουμε:

14 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ z z βi γ δi ( βi )( γ δi ) ( γ δi)( γ δi) ( γ βδ) ( βγ δ) i γ δ γ βδ γ δ βγ δ i γ δ Δύνμη μιγδικού Τυτότητες κι τύποι στους μιγδικούς ριθμούς Γι κάθε θετικό κέριο ν με ν > ορίζουμε z z, z zz, κι γενικά z ν z ν z Αν z, ορίζουμε z, z ν γι κάθε θετικό κέριο ν ν z Αν η ευκλείδει διίρεση του ν με το 4 δίνει πηλίκο ρ κι υπόλοιπο υ τότε θ έχουμε:, ν υ i ν i 4ρυ i 4ρ i υ (i 4 ) ρ i υ ρ i υ i υ i, ν υ, ν υ i, ν υ Επειδή οι ιδιότητες των πράξεων της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού ισχύουν στο όπως κι στο τότε θ ισχύουν τυτότητες κι τύποι που γνωρίζουμε στο πχ (z ± w) z ± zw w, (z w)(z w) z w, (z ± w) z ± z w zw w, κλπ Ισχύουν οι τύποι που γνωρίζουμε που δίνουν το ν-οστό όρο κι το άθροισμ των ν πρώτων όρων μις ριθμητικής ή γεωμετρικής προόδου ν (ν )ω, S ν ν ( ν ) ν [ (ν )ω] ν λ ν, S ν ( ν λ ), λ λ Προσοχή! Προτάσεις που ισχύουν στο κι βσίζοντι στη διάτξη ΔΕΝ ισχύουν στο Γι πράδειγμ: Αν, y με y τότε y ( y y Όμως, οπότε κι y y ) Αντίθετ ν z, w με z w τότε δεν είνι πρίτητ οι z, w μηδέν Πράγμτι, ν z κι w i τότε z w i ΠΡΟΤΑΣΗ: Γι τους συζυγείς μιγδικούς ριθμούς z βi κι z βi ι- σχύουν: (i) z z a (ii) z z βi (iii) z z β Απόδειξη: (i) z z ( βi) ( βi) βi βi (ii) z z ( βi) ( βi) βi βi βi (iii) z z ( βi)( βi) (βi) β i β Από την (i) έχουμε ότι: Re(z) z z Από την (ii) έχουμε ότι: Im(z) β z z i ΠΡΟΤΑΣΗ: Γι ένν μιγδικό ριθμό z ισχύουν τ επόμεν: (i) z z z (ii) z I z z

15 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 9 Απόδειξη: Αν είνι z βi, με, β τότε έχουμε: (i) z z βi βi βi β z (ii) z z βi (βi) βi βi z I ΠΡΟΤΑΣΗ: Αν z βi κι z γ δi είνι δύο μιγδικοί ριθμοί, τότε ν ποδείξετε ότι: (i) z z z z z z z z (ii) (iii) z z z z z (iv) z z, z z Απόδειξη: (i) z z ( βi) ( γ δi) ( γ) ( β δ) i (γ) (βδ)i γ βi δi ( βi) (γ δi) z z (ii) ( ος τρόπος) z z ( βi) ( γ δi) ( γ) ( β δ) i ( γ) (β δ)i γ βi δi ( βi) (γ δi) z z ( ος τρόπος) z z z ( z) z ( z ) z z Επειδή ( z ) ( γ δi) γ δi γδi (γ δi) z (iii) z z ( βi)( γ δi) ( γ βδ) ( δ βγ) i (γ βδ) (δβγ)i γ βδ δi βγi γ( βi) δi( βi) ( βi)(γ δi) z z (iv) ( ος τρόπος) z z βi γ δi ( βi)( γ δi) ( γ δi)( γ δi) ( γ βδ) ( βγ δ) i γ βδ βγ δ γ δ γ δ γ δ z βi ( βi )( γ δi ) ( γ βδ) ( δ βγ) i γ βδ βγ δ i z γ δi ( γ δi)( γ δi) γ δ γ δ γ δ z Επομένως z z z ( ος τρόπος) z z z z z z z z z z z z ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Γενικότερ ισχύουν οι ιδιότητες: z z zν z z z ν Αν κ, κ,, κ ν τότε κ z κ z κν zν κ z κ z κ ν z z zν z z z ν ν Αν z z z ν z τότε z z z z z z z ( z )ν νπργοντες νπργοντες i z ν

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ακόμ ν z ( ν ) z ν z ( z ) ν ( z ) ν, z Λύση της εξίσωσης z βz γ με, β, γ κι z βz γ z βz a γ β z z γ z β z β β γ β z 4 β 4γ 4 β z Δ όπου Δ β 4γ η δικρίνουσ της εξίσωσης 4 Έχουμε τις εξής περιπτώσεις: β ± Δ Δ > τότε η εξίσωση έχει δύο πργμτικές λύσεις: z, β Δ τότε η εξίσωση έχει μι διπλή πργμτική λύση: z Δ < τότε επειδή Δ 4 ( )( Δ) i 4 ( Δ ) ( ) i Δ η εξί- β σωση γράφετι: z i Δ β ± i Δ Άρ οι λύσεις της είνι: z,, οι οποίες είνι συζυγείς μιγδικοί ριθμοί Τύποι Vieta Ισχύουν οι σχέσεις: z z β κι z z γ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μέθοδος Ισότητς, πράξεων στους μιγδικούς ριθμούς Γι την εξέτση ισότητς δύο μιγδικών ή της εύρεση πρμέτρων προκειμένου δύο μιγδικοί ν είνι ίσοι, εφρμόζουμε τον ορισμό της ισότητς Γι ν γράψουμε ένν μιγδικό z στη μορφή βi ή ν βρούμε το Re(z), Im(z), εκτελούμε τις πράξεις σύμφων με τους ορισμούς 4 Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς, y ώστε ν ισχύει η ισότητ: ( 5y 6) (5 6y )i (76i) ΛΥΣΗ: 5y 6 7 5y Είνι ( 5y 6) (5 6y )i 7 6i 5 6y 6 5 6y 58 D D κι D y

17 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Άρ D D κι y D y D 7 5 Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z (κλi)(κiλ) (κi)(i) i ) Ν γράψετε τον z στη μορφή βi β) Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς κ, λ γι τους οποίους z I γ) Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς κ, λ ν ισχύει: z ΛΥΣΗ: ) Είνι z (κλi)(κiλ) (κi)(i) i κ i κλ κλi λ i (κκiii ) i κ i κλ κλ λ i κ κi i i ( κ) (κ λ κ)i β) Είνι z Ι κ κ κι λ γ) Είνι z κ λ κ (κ ) λ κ κι λ κ κι λ 6 Δίνετι ο μιγδικός ριθμός w ( i)(i) i Ν βρείτε το Re(w) κι το Im(w) i ΛΥΣΗ: Είνι w ( i)(i ) i i i 6 ( i) i i i 6 i i i ( i)( i) 7 i i 7 i i 7 i i 7 i Άρ Re(w) 7 κι Im(w) Μέθοδος Υπολογισμού δυνάμεων ενός μιγδικού ριθμού Στον υπολογισμό δυνάμεων μιγδικών ριθμών συνντούμε συνήθως τις επόμενες περιπτώσεις: Ότν θέλουμε ν υπολογίσουμε το i ν τότε κάνουμε τη διίρεση ν:4 κι βρίσκουμε υπόλοιπο υ με δυντές τιμές,,, ή Τότε το i ν ισούτι με, i, ή i ντίστοιχ Ότν θέλουμε ν υπολογίσουμε το z ν με z, τότε υπολογίζουμε κάποιες πό τις δυνάμεις z, z, με σκοπό ν πάρουμε ένν πργμτικό ή φντστικό ριθμό Μετά εφρμόζουμε ιδιότητες των δυνάμεων κι υπολογίζουμε, όπου εμφνίζετι, τη δύνμη του i Πράδειγμ: ( i) 4 Είνι ( i) i i i i Άρ ( i) 4 [( i) ] ( i) i i Ότν δεν μπορούμε ν φθάσουμε σε πργμτικό ή φντστικό ριθμό, όπως προηγούμεν, τότε τ ποτελέσμτ κάποιων δυνάμεων μιγδικών έχουν κάποι σχέση ή μπορούμε ν μετσχημτίσουμε τη βάση της δύνμης γι ν συσχετιστεί με κάποι άλλη ώστε ν πλοποιηθούν 7 ) Ν βρείτε τον i 96 β) Ν υπολογίσετε το άθροισμ w i i i i 96 i 96 κι ν γράψετε το πο-

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ τέλεσμ στη μορφή βi γ) Ν ποδείξετε ότι w 4 4 ΛΥΣΗ: ) Το υπόλοιπο της διίρεσης 96:4 είνι, άρ i 96 i β) Το πλήθος των προσθετέων είνι 96 κι είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με γ) πρώτο όρο τον i κι λόγο i ( i) Άρ w i i i i i i i i i ( i i) ( i)( i) ( i i) ( i i) i( i) i i i w ( i) ( ) ( )i i i i 4 w ( ) w ( i) 4i 4 Το άθροισμ των ν πρώτων ό- ρων μις Γεωμετρικής Προόδου με πρώτο όρο κι λόγο λ δίνετι πό τον τύπο: S ν λ ν λ 8 Αν ο φυσικός ριθμός ν δεν είνι πολλπλάσιο του 4, τότε δείξτε ότι (i ν )(i ν ) ΛΥΣΗ: ος τρόπος: Το ν δεν είνι πολλπλάσιο του 4, οπότε: Αν ν 4κ, κ, τότε (i ν )(i ν ) (i 4κ )(i 8κ ) (i )(i ) (i)( ) Αν ν 4κ, κ, τότε (i ν )(i ν ) (i 4κ )(i 8κ4 ) (i )(i ) ( )() Αν ν 4κ, κ, τότε (i ν )(i ν ) (i 4κ )(i 8κ6 ) (i )(i ) ( i)( ) ος τρόπος: Είνι (i ν )(i ν ) i ν i ν i ν Οι τέσσερις όροι του θροίσμτος είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο κι λόγο λ i ν, φού ο ν δεν είνι πολλπλάσιο του 4 Επομένως, (i ν )(i ν ν 4 4ν ( i ) ) i ν ν ν i i i i ) Ν βρείτε τον z β) Ν βρείτε τους μιγδικούς z, z 9 γ) Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς, β ν ισχύει: 9 Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z ΛΥΣΗ: ) z (i)z i ( i ) z z 9 βiz i 8 ( i) 8 ( ) ( ) 8 ( 9i i) 8 8i i β) z z 667 ( z ) 667 z i 667 z i z i z i γ) z 9 z 67 ( z ) 67 i 67 i i z i i 4 i ( ) i i i i 4 i i i Εκτελούμε τη διίρεση : Το υπόλοιπο της διίρεσης 677:4 είνι Εκτελούμε τη διίρεση 9: Το υπόλοιπο της διίρεσης

19 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (i)z z z 9 βiz i (i) i i i βi i i i (ii) βi i i i (i) βi i i i i β ( β ) i β Άρ οι, β είνι δύο ντίθετοι πργμτικοί ριθμοί β β i i Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: ) Α (βi) 4ρ (β i) 4ρ β) Β (βi) 4ρ (β i) 4ρ ΛΥΣΗ: ) ( ος τρόπος) (βi) βi (βi) β βi p κι (β i) β βi (i) β βi p Επομένως, Α (βi) 4ρ (β i) 4ρ [(βi) ] ρ [(β i) ] ρ p ρ ( p) ρ p ρ p ρ ( ος τρόπος) Α (βi) 4ρ (β i) 4ρ (βi) 4ρ ( βi i) 4ρ (βi) 4ρ [ i(βi)] 4ρ (βi) 4ρ i 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ β) ( ος τρόπος) Όμοι (βi) p κι (β i) p Επομένως, Β (βi) 4ρ (β i) 4ρ (βi) (ρ) (β i) (ρ) [(βi) ] ρ [(β i) ] ρ p ρ ( p) ρ p ρ ( p ρ ) p ρ p ρ ( ος τρόπος) Β (βi) 4ρ (β i) 4ρ (βi) 4ρ ( βi i) 4ρ (βi) 4ρ [ i(βi)] 4ρ (βi) 4ρ i 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ Μέθοδος Εξέτσης ενός μιγδικού ριθμού ν υτός είνι πργμτικός ή φντστικός ριθμός Ότν θέλουμε ν ποδείξουμε ότι ένς μιγδικός ριθμός z είνι πργμτικός ή φντστικός, τότε προσπθούμε ν ποδείξουμε ότι: z z γι ν είνι ο z πργμτικός z z γι ν είνι ο z φντστικός z w w ή z w w γι ν είνι ο z πργμτικός z w w γι ν είνι ο z φντστικός Αν δεν μπορούμε ν φθάσουμε στο ζητούμενο με τις προηγούμενες μεθόδους, τό-

20 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ τε θέτουμε z βi κι χρησιμοποιώντς τ δεδομέν κτλήγουμε σε β ν ζητείτι z ή σε ν ζητείτι z Ι ) Αν z z z ΛΥΣΗ: β) Αν z z z iw iw ( w ) z z ) Είνι z z z Άρ z I β) Είνι z iw iw w i z w w Άρ z ( ) ν δείξετε ότι ο z είνι φντστικός ριθμός ν δείξετε ότι ο z είνι πργμτικός ριθμός i z z z z z iw z z z z iw w i z z z z z z i w w Μέθοδος Επίλυσης εξισώσεων κι συστημάτων στο σύνολο των μιγδικών ριθμών Στη λύση εξισώσεων ή συστημάτων στο σύνολο συνντούμε συνήθως τις επόμενες περιπτώσεις: Ότν έχουμε εξίσωση ου βθμού τότε δουλεύουμε όπως κι στους πργμτικούς ριθμούς Έν γρμμικό σύστημ μπορούμε ν το λύσουμε με ντικτάστση, ντίθετους συντελεστές ή με ορίζουσες Ότν έχουμε εξίσωση ου βθμού (z βz γ με, β, γ κι ) τότε βρίσκουμε τη δικρίνουσ Δ β 4γ κι νάλογ με το πρόσημό της η ε- ξίσωση έχει δύο άνισες πργμτικές ρίζες ή μι διπλή ρίζ ή δύο συζυγείς μιγδικές ρίζες Ότν η εξίσωση είνι πολυωνυμική, βθμού μεγλύτερου του ου, τότε κάνουμε πργοντοποίηση ή χρησιμοποιούμε το σχήμ του Horner Ότν δεν μπορούμε ν δουλέψουμε όπως προηγούμεν ονομάζουμε τον άγνωστο z yi,, y κι μετά τις πράξεις κτλήγουμε σε σύστημ με γνώστους τους, y Ν λύσετε, στο σύνολο των μιγδικών ριθμών, τις εξισώσεις: ) z z i β) z z i z i i i i ΛΥΣΗ: z ) i z i z i ( i)z i( i) z i z iz i i z z iz i i z iz i ( i)z i z i i ( i)( i) z i i 4 i ( i ) i ( i)( i) z β) i z i i z i z( i) ( z i )( i ) z i ( i)( i) ( i)( i) z iz z iz i z i 5(z iz) (z iz i ) z 5(i ) 5

21 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 5z 5iz 4z iz 4i z 5i 55 9z 7iz 57 i (9 7i)z 57 i z 57 i (57 i)(9 7 i) 5 99i 9i 7 5 9i 5 9 7i (9 7)(9 i 7) i i 4 i ) Ν λύσετε, στο σύνολο των μιγδικών ριθμών, την εξίσωση: z z 4z β) Ν βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων: z 4z z κι z z ΛΥΣΗ: ) Οι πιθνές κέριες ρίζες της εξίσωσης z z 4z είνι: ±, ± 4 Άρ z z 4z (z )(z z ) z ή z z z ή z i ή z i [ Δ ( ) κι z ± i ( ± i ) ± i ] β) Είνι: z 4z z z z 4z z ή z i ή z i Θ ελέγξουμε τώρ ν οι ρίζες της πρώτης εξίσωσης είνι ρίζες κι της δεύτερης εξίσωσης Γι την ρίζ z έχουμε: z z Γι την ρίζ z i έχουμε: z ( i) i i κι z ( z ) 5 (i) 5 i 5 i οπότε Γι την ρίζ z i έχουμε: z z Άρ οι κοινές ρίζες των δύο εξισώσεων είνι οι: i, i z z i ( i) i i z z z z 4 ) Ν βρείτε τον μιγδικό ριθμό z γι τον οποίο ισχύει: (i)z 4 z 8i z z 5z z β) Ν γράψετε τον μιγδικό ριθμό w στη μορφή βi z z 6 γ) Ν δείξετε ότι ο w 4 είνι φντστικός ριθμός ΛΥΣΗ: ) ος τρόπος: Έστω z yi με, y Τότε: ( i)z 4 z 8i ( i)( yi) 4( yi) 8 i yi i y 4 4yi 8 i (5 y) ( y)i 8 i 5 y 8 5 y 8 y ( 5) 5 5y 5 4y 4 y κι ( ) 9 Άρ z i 4 4 y

22 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ος τρόπος: Είνι ( i) z 4z 8 i ( i) z 4z 8 i ( iz ) 4z 8 i Έχουμε το σύστημ: 4 z ( i) z 8 i D i 4 ( i)( i) 6 ( ) i 8 i 4 D z (8 i)( i) 4(8 i) 8 8i i 4i 4 4i 8 i i z Dz D 4 4i i 4 β) Είνι z z, z z 6i κι z z 9, οπότε w z z 5z z ( z z) zz 5zz ( z z) z z z z 6 ( z z) z z z z 6 ( z z) z z( z z) 6 ( z z) z z 4 6 ( z z) z z( z z) 6 ( 6 i) ( 6 i) 6 6i 8i 6 6i 8i i 6( i) i i i ( i)( i) i γ) Είνι w ( i ) 4 ( i) 4 ( i i ) 4 ( i ) 4 ( i) i κι w 4 (w ) 7 ( ) 7 i 7 i7 i 7 ( i) 7 7 i Επομένως, w 4 4 w 7 8 i 8 i 8i I 7 i i i Μέθοδος Εύρεσης γεωμετρικών τόπων ή της γρμμής στην οποί βρίσκοντι οι εικόνες των μιγδικών που επληθεύουν μί σχέση Ότν ζητείτι ν βρούμε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ(,y) ενός μιγδικού ριθμού z yi στο μιγδικό επίπεδο ν γνωρίζουμε ότι ένς άλλος ριθμός w είνι πργμτικός ή είνι φντστικός ή ικνοποιεί μι ισότητ κλπ, τότε μετά πό τις πράξεις κτλήγουμε σε μι ισότητ η οποί είνι συνήθως εξίσωση ευθείς, κύκλου, πρβολής, έλλειψης ή υπερβολής Κθ όλη τη διάρκει των πράξεων πρέπει ν διτηρούντι οι ισοδυνμίες ώστε ν εξσφλίσουμε ότι κάθε σημείο των γρμμών θ είνι εικόν ενός z Αν υπάρχουν περιορισμοί γι τ, y τότε ο γεωμετρικός τόπος είνι μέρος των πρπάνω γρμμών Ότν ζητείτι ν βρούμε τις γρμμές στις οποίες κινείτι η εικόν Μ(,y) ενός μιγδικού ριθμού z yi στο μιγδικό επίπεδο, τότε δουλεύουμε όπως προηγούμεν χωρίς ν είνι πρίτητο ν διτηρείτι η ισοδυνμί κθ όλη τη διάρκει των πράξεων 5 Θεωρούμε τον μιγδικό zyi με, y κι τον w (z i)( z )

23 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 ) Ν γράψετε τον w στη μορφή βi β) Αν w, ν δείξετε ότι το σύνολο των εικόνων των μιγδικών z είνι ευθεί ε γ) Αν w I, ν δείξετε ότι το σύνολο των εικόνων των μιγδικών z είνι κύκλος C δ) Ν δείξετε ότι η ευθεί ε διέρχετι πό το κέντρο του κύκλου C κι ν βρείτε τ σημεί τομής τους Α, Β Έπειτ ν υπολογίσετε το εμβδόν του τριγώνου ΟΑΒ, όπου Ο η ρχή των ξόνων ΛΥΣΗ: ) Είνι w (z i)( z ) z z z i z i y yi i( yi) i y yi i y i ( y y) ( y )i β) w y y Άρ το σύνολο των εικόνων των z είνι η ευθεί ε: y γ) w I y y 4 y y ( ) ( y ) Άρ το σύνολο των εικόνων των z είνι ο κύκλος C: ( ) ( ) δ) Το κέντρο του κύκλου C είνι Κ(, ) y Γι είνι y Άρ το κέντρο του κύκλου C νήκει στην ευθεί ε Γι ν βρούμε τ σημεί τομής του κύκλου C κι της ευθείς ε θ λύσουμε το σύστημ των εξισώσεών τους Γι y έχουμε: y y () () () ή ή Αν τότε y κι ν τότε y Άρ τ σημεί τομής του κύκλου C κι της ευθείς ε είνι Α(,) κι Β(,) (ΟΑΒ) ( OA) ( OB) τμ z 4i 6 Δίνετι η συνάρτηση f (z) με z iz ) Ν βρείτε το σύνολο στο οποίο ορίζετι η f * { i} ισχύει: f ( ) f ( ) β) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε z z z γ) Ν περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των z στο μιγδικό επίπεδο ν f (z) ΛΥΣΗ: ( i) ) Απιτούμε iz iz z z i i Άρ το σύνολο στο οποίο ορίζετι η f είνι το {i} z i

24 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ β) Οι πρστάσεις ορίζοντι ότν z, i z z i z i i κι i i i z z i z z z i * Ότν z { i} είνι: f ( 4 i 4iz ) z z 4iz z i i z i z z z 4i z 4 i f ( ) z z 4iz 4iz z i i z i z i z ( ) z z Άρ ( 4iz 4iz 4i z f ) z i z f ( i z i z z ) γ) Έστω z yi με, y με (,y) (,) Τότε: f f (z) ( z 4i ) z i f (z) (z) z 4i z 4i z 4i iz iz iz iz ( z 4i)(iz ) ( i z )(z 4i) iz z z 4i z 8i iz z 4i z z 8i iz z 6z 6 z 6i iz z (z z ) 8i i( y ) yi 8i y 6y 8 (y ) Γι κι y έχουμε: ( ) Άρ το σύνολο των εικόνων των z στο μιγδικό επίπεδο είνι ο κύκλος C: (y ) εκτός του σημείου (,) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Ομάδ 7 Ν βρείτε τον λ ν δίνετι ότι: (λ ) (λ 9λ )i 8 Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς, y, γι τους οποίους ισχύει: y i i 9 i 5 i [Απλ-] [Απ5, y] βi 9 ) Ν δείξετε ότι: βi β με, β κι (, β) (,) βi βi β β) Αν z i i i, ν βρείτε το Re(z) i 5 i 5 i γ) Αν w, ν βρείτε το Im(w) 5 i 5 i [Απβ), γ)] Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z 5 i Ν τον γράψετε στη μορφή z ( i) y( i) [Απ-4, y9]

25 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 9 Έστω z i κι z i Ν τεθεί ο μιγδικός ριθμός w στη μορφή w κz λz με κ, λ, ότν: ) w 5i β) w 7 6 i [Απ)κ, λ4 β)κ/4, λ- ] * Αν, β, γ κι w βγ i β γ δείξτε ότι z w, όπου z ( β) (β )γi κι Αν z, z τότε Re(z z ) Re(z )Re(z ) ν κι μόνο ν z ή z 4 Ν βρείτε τον, ν ο z 4 i 9i είνι πργμτικός θετικός ριθμός [Απ6] 5 Δίνετι ο μιγδικός ριθμός w i y i με, y ) Ν βρείτε τη σχέση που συνδέει τους, y ότν w β) Δείξτε ότι ν ο w είνι πργμτικός ριθμός, ισούτι με [Απ)y] 6 Έστω z 4i * με κι y Θεωρούμε ότι ο z είνι πργμτικός ριθμός Τότε: yi ) Δείξτε ότι 8 y β) Δείξτε ότι z 4 y γ) Αν z, ν βρείτε τ, y [Απ(,y)(-8,) ή (-4,)] 7 Έστω Μ, Μ, Μ κι Μ 4 οι εικόνες των μιγδικών ριθμών z, z, z κι z 4 ντίστοιχ Ν ποδείξετε ότι το τετράπλευρο Μ Μ Μ Μ 4 είνι πρλληλόγρμμο ν κι μόνο ν z z z z 4 8 Ν βρείτε τον μιγδικό ριθμό w i i 9 99 i 659 [Απi] 9 Ν γράψετε στη μορφή βi,, β τον ριθμό: i) z ( 7i ) 7 i 96 ( i ) i 5 ii) w ( 6 5i ) 5 6i ( 9 i ) 67 9i [Απi)z-i ii)] Ν ποδείξετε ότι: ) ν βi β i μ κ λi ( λ κi ) i ν i μ β) ν βi β i μ κ λi ( λ κi ) ( i) ν ( i) μ Ν υπολογισετε τ θρίσμτ:

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ) S i i i 5 i 777 β) S ( i) ( i) ( 5i) ( 99 99i) γ) S ( i) ( 7 i) ( 4 4i) ( 7 i) δ) S 4 i ( i) (4 5i) (6 7i) [(ν ) (ν )i], ν Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z i ) Ν βρείτε τους ριθμούς z, z 4, z 8 β) Ν δείξετε ότι: z Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z i ) Ν βρείτε τους ριθμούς z, z 4, z β) Ν δείξετε ότι: z * [Απ)i β) - 4 i γ)99-878i δ)ν(ν-)ν i] 4 Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z i ) Ν υπολογίσετε τους μιγδικούς z, z 6, z 5 β) Ν γράψετε τον μιγδικό ριθμό w i z 6 z 5 i 54 z i στη μορφή βi γ) Ν δείξετε ότι w [Απβ)w i] 5 Αν γι τον μιγδικό ριθμό z ισχύει z z ) Ν ποδείξετε ότι: z β) Ν υπολογίσετε τον w z 5 5 z, τότε: [Απβ)] 6 Ν δείξετε ότι: ) ( 4i) 4 (4 i) 4 β) (5 i) ( 5i) γ) ( i) 99 ( i) 99 ( i) 8 ( i) 8 7 Γι ποιους φυσικούς ριθμούς ν ισχύει η σχέση i ν [Απν4κ] 8 Ν βρείτε τις δυντές τιμές της πράστσης Π ( i ν )( i ν ), ν 9 Αν z i, ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: i) z z iv) z ii) z z v) z 4 z iii) z z z z 4 z z vi) z z z [Απi)/5 ii)-6 iii)-6/5 iv)- v)-4 vi)48i/5] 4 Δείξτε ότι ο ριθμός z (5 9i) (5 9i) είνι πργμτικός * 4 Αν κ, λ κι ν, ν ποδείξετε ότι ο ριθμός z (κ λi) ν (κ λi) ν είνι φντστικός 4 Αν, ν ποδείξετε ότι ο ριθμός w ( i ) i ( i ) i είνι πργμτικός

27 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 Έστω z βi με, β Ν εκφράσετε ως συνάρτηση των z, z τις πρστάσεις 4β κι 4 6β 5 z 44 Αν z, z, με z ν ποδείξετε ότι Re z zz zz zz z, Im z zz zz izz 45 Αν z, z, ν ποδείξετε ότι οι επόμενοι ριθμοί είνι πργμτικοί: ) z z z z β) z z γ) z z z z 46 Αν z, z, ν δείξετε ότι ο ριθμός w z z zz είνι πργμτικός, ενώ ο ριθμός u z z zz είνι φντστικός 47 Αν z 5i z ( z 5i ) z *, z τότε δείξτε ότι z 48 Αν 49 Αν i 9z iz iz 4 5iz 9i z z, z * τότε δείξτε ότι z ( z 4i ) 5z *, z τότε δείξτε ότι z Ι z zz 5 Έστω z, z, z με z γι τις οποίους ισχύει z z z (z z ) Δείξτε ότι z 5 Αν iz w w ριθμός i w ( ) iw *, με z κι w τότε δείξτε ότι ο z είνι φντστικός - 5 Αν z z z zw z * zw, με z, z, w τότε δείξτε ότι ο w είνι πργμτικός ριθμός 5 Γι τους μιγδικούς ριθμούς z, w ισχύει w κι z w Ν ποδείξετε ότι: ) z w β) Οι ριθμοί zw, z w κι zw i είνι πργμτικοί z w z w z w 54 Ν βρείτε τον z, ώστε οι εικόνες των w iz κι u (z 6i) στο μιγδικό επίπεδο ν συμπίπτουν [Απz-5i] 55 Ν βρείτε τον μιγδικό ριθμό z, ν ισχύει z i z i i 4i 6 [Απz5-i]

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) = κι (z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = κι f(i ) = 64 8i, τότε ν ποδείξετε ότι: ) f( i )

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση µε δύο γνώστους f (, ) = 0 (1) είνι εξίσωση µις γρµµής C, τότε Α. οι συντετγµένες µόνο µερικών σηµείων της C επληθεύουν την (1) Β. οι συντετγµένες των σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2.

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2. Ευθεί Ενότητ 7. Απόστση σημείου πό ευθεί Εμβδόν τριγώνου Εφρμογές 7.1 Ν βρεθεί η πόστση: i) του σημείου Μ(1,3) πό την ευθεί (ε) με εξίσωση 3x-4y- 11=0, ii) του σημείου Ρ(,-3) πό την (η) με εξίσωση 5x+1y-=0.

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 193 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 194 Θέμ 1 ο Α. Ν δώσετε τον ορισμό της πόλυτης τιμής ενός πργμτικού ριθμού Μονάδες 5 Β. Αν 0 κι μ, ν θετικοί κέριοι ν ποδείξετε ότι: μ μν ν = Γ. Ν χρκτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0.

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0. Ερωτήσεις νάπτυξης 1. ** Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-,

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) κι στθερό άθροισµ.. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων;

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ (Α) Ν πντήσετε στις πρκάτω ερωτήσεις 1. Τι ονοµάζετι διάνυσµ κι πώς συµβολίζετι;. Ποιο διάνυσµ ονοµάζετι µηδενικό; 3. Τι ονοµάζετι µέτρο ενός δινύσµτος κι πώς συµβολίζετι; 4. Ποιο διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι.

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ (i Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι: 6 ( (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΓΔ είνι: ( (iii Ο συντεεστής διεύθυνσης κάθε ευθείς κάθετης προς την ΓΔ έχει

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

7. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Τύποι - Βσικές έννοιες Α. ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο( 0, 0 ) κι κτίν ρ : + =ρ Εξίσωση εφ

7. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Τύποι - Βσικές έννοιες Α. ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο( 0, 0 ) κι κτίν ρ : + =ρ Εξίσωση εφ Ο μθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλιο των κονικών τομών θ πρέπει ν είνι σε θέση: Ν προσδιορίζει την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την ρχή των ξόνων. Με τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετργώνου υπολογίζοντι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άλγεβρ Α Ενιίου Λυκείου Άλγεβρ Α Λυκείου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,,, Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ Ν υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ II.ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ - ΥΠΕΡΒΟΛΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1. Εύρεση Εξίσωσης Προλής

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για 3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.5. ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Έννοιες

Επαναληπτικές Έννοιες Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc ) ΣΥΝΟΛΑ 0,,,, Φυσικοί,,,0,,, Ακέριοι,, 0 Ρητοί \ Άρρητοι Πργμτικοί ) ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ορισμοί Επνληπτικές Έννοιες, ν 0. ν, ν, ν, ν πράγοντες.., 0 Ιδιότητες Κοινής Βάσης

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµτ Μθηµτικών Θετικής Κτεύθυνσης Β Λυκείου 999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. Έστω a, ) κι, ) δύο δινύσµτ του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν εκφράσετε χωρίς πόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων a κι συνρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕ ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 015 Θέμ 1 ο Α) Ν διτυπώσετε τ κριτήρι γι ν είνι δύο τρίγων όμοι Β) Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το ο θεώρημ διμέσων Γ) Ν

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε Μθημτικός Η συνάρτηση F()= //200 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είνι συνάρτηση συνεχής σε διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F()=, Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: = f() γι κάθε Δ. (H πργώγιση

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2 - 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη 255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε

Διαβάστε περισσότερα