ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου"

Transcript

1

2

3 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ

4 Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ Γενική επιμέλει : Στράτης Αντωνές Ιστοσελίδ : Τηλέφων επικοινωνίς

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδ Πρόλογος ΜΕΡΟΣ Α Κεφάλιο Μιγδικοί ριθμοί Ενότητ Η έννοι του μιγδικού ριθμού 5 Πράξεις μετξύ μιγδικών Συζυγής μιγδικού» Μέτρο μιγδικού ριθμού 8 Γενικές σκήσεις 5 ΜΕΡΟΣ Β Κεφάλιο Συνρτήσεις Όριο Συνέχει 5 Ενότητ Συνρτήσεις 55» Μονότονες συνρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση 8» Όριο συνάρτησης στο» 4 Ιδιότητες των ορίων 6» 5 Μη πεπερσμένo όριο στο 8» 6 Όρι συνάρτησης στο άπειρο 6» 7 Συνέχει συνάρτησης 48» 8 Βσικά θεωρήμτ συνεχών συνρτήσεων 59 Γενικές σκήσεις 8 Κεφάλιο Διφορικός Λογισμός 85 Ενότητ Η έννοι της πργώγου 87» Πράγωγος συνάρτησης Κνόνες πργώγισης 6» Εφπτόμενη διγράμμτος συνάρτησης» 4 Ρυθμός μετβολής 4» 5 Θεώρημ Rolle 47» 6 Θεώρημ Μέσης Τιμής 6» 7 Συνέπειες θεωρήμτος Μέσης Τιμής 7» 8 Μονοτονί συνάρτησης 8» 9 Τοπικά κρόττ συνάρτησης 9» Κυρτότητ Σημεί κμπής 5» Ασύμπτωτες Κνόνες de L Hospital 5» Μελέτη κι χάρξη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης Γενικές σκήσεις 6 Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ενότητ Αόριστο ολοκλήρωμ» Μέθοδοι ολοκλήρωσης 44» Ορισμένο ολοκλήρωμ 57» 4 Η συνάρτηση F() f () 68» 5 Το θεμελιώδες θεώρημ του Ολοκληρωτικού Λογισμού 78» 6 Εμβδόν επίπεδου χωρίου 47 Γενικές σκήσεις 4 Θέμτ Πνελληνίων 48 Βιβλιογρφί 449

6

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ T ο βιβλίο πευθύνετι κτά βάση στο μθητή που θ διγωνιστεί στο μάθημ των Μθημτικών κτεύθυνσης της Γ Λυκείου στις Πνελλήνιες εξετάσεις γι την εισγωγή του στην τριτοβάθμι εκπίδευση Κάθε ενότητ περιέχει τη θεωρί με πρτηρήσεις κι σχόλι Στη συνέχει υπάρχουν τξινομημένες ομάδες λυμένων κι άλυτων - σκήσεων Τ λυμέν θέμτ βοηθούν στην επεξήγηση κι εμπέδωση της θεωρίς κι πολλά πό υτά δίνουν έμφση κι νδεικνύουν τ λεπτά σημεί τ οποί θέλουν ιδιίτερη προσοχή κι εμβάθυνση Ο μεγάλος ριθμός των άλυτων σκήσεων με πντήσεις βοηθάει στην πλήρη νσκόπηση της ύλης κάθε ενότητς κθώς κι κάθε κεφλίου Ακολουθούν ερωτήσεις γι τη κτνόηση των εννοιών των προτάσεων κι των πρτηρήσεων που προυσιάζοντι Το περιεχόμενο του βιβλίου είνι χωρισμένο σε δύο μέρη Το πρώτο μέρος νφέρετι στους Μιγδικούς ριθμούς Ο μθητής έρχετι σε επφή γι πρώτη φορά με την έννοι του φντστικού κι του μιγδικού ριθμού Επειδή όλη την προηγούμενη περίοδο δούλευε με τους πργμτικούς ριθμούς κι έχει εξοικειωθεί με τις ιδιότητές τους, έχει την εντύπωση ότι υτές είνι συνδεδεμένες με κάθε σύνολο ριθμών Γι υτό στην ρχή δυσπιστεί σε ριθμούς που το τετράγωνό τους είνι ρνητικό Στη συνέχει γνωρίζοντς τις πράξεις, τις ιδιότητές τους κθώς κι την νπράστσή τους στο επίπεδο, θ είνι σε θέση ν ποδεχθεί κι ν μπορεί ν κτνοήσει κλύτερ τη λειτουργί τους Άλλωστε, ότν οι μελετητές το 6 ο ιών έφθσν στην έννοι του μιγδικού ριθμού προσπθώντς ν βρουν ένν γενικό τρόπο λύσης των πολυωνυμικών εξισώσεων με βθμό νώτερο του δευτέρου, τους ντιμετώπισν σν μι προσωρινή πρέκκλιση πό τον κόσμο των Μθημτικών Πέρσε σχεδόν ένς ιώνς γι ν γίνουν ποδεκτοί πό τη μθημτική κοινότητ κι ν νγνωριστεί η σημσί κι η χρησιμότητά τους σε πλήθος γνωστικών τομέων κι κτέληξε στην νάπτυξη ενός ευρύττου πεδίου, της Μιγδικής Ανάλυσης Το δεύτερο μέρος ξεκινά με την έννοι της πργμτικής συνάρτησης, μις πργμτικής μετβλητής, με την οποί ο μθητής έχει δουλέψει σε προηγούμενες τάξεις Ορίζετι η ισότητ μετξύ δύο συνρτήσεων, ο λογισμός των πράξεων κι νφέρετι η γρφική πράστση γνωστών μέχρι τώρ συνρτήσεων Ακόμ ορίζετι μι νέ πράξη η οποί είνι χρκτηριστική μετξύ των συνρτήσεων, η σύνθεση Κτόπιν εισάγοντι τ βσικά χρκτηριστικά μις συνάρτησης, η μονοτονί, τ κρόττ, το έν προς έν, το οποίο επιτρέπει την κτσκευή της ντίστροφης συνάρτησης Έτσι μετά την άλγεβρ των συνρτήσεων φθάνουμε στην κεντρική έννοι της Μθημτικής Ανάλυσης, στην έννοι του ορίου Είνι μι ρκετά λεπτή έννοι όπου εδώ εισάγετι διισθητικά, γιτί ο ορισμός κι η χρήση του πιτεί μι μθημτική ωριμότητ, η οποί δεν είνι δεδομένη υτή τη χρονική στιγμή Πρτίθεντι οι ιδιότητες των ορίων, με τη βοήθει των οποίων νπτύσσοντι τεχνικές υπολογισμού του ορίου μις συνάρτησης, εφ όσον υτό υπάρχει Γίνετι νφορά στις προσδιόριστες μορφές, το άπειρο όριο κθώς κι το όριο συνάρτησης ότν η νεξάρτητη μετβλητή τείνει στο άπειρο Με τη βοήθει του ορίου ορίζετι η έννοι της συνέχεις, η οποί εποπτικά πρπέμπει στην ι- διότητ η γρφική πράστσή της ν είνι μι συνεχόμενη γρμμή ότν σχεδιστεί στο χρτί Η ιδιότητ της συνέχεις γι μι συνάρτηση είνι η ουσιστική προϋπόθεση πό την οποί πορρέουν βσικά θεωρήμτ που χρκτηρίζουν τη μεγάλη κλάση των συνεχών συνρτήσεων Το θεώρημ Bolzano είνι το πρώτο πό υτά Το θεώρημ ενδιμέσων τιμών, το θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής ότν η συνάρτηση είνι ορισμένη σε κλειστό διάστημ [, β] Η πρότση που νφέρετι στην εικόν ενός διστήμτος

8 μέσω μις συνεχούς μη στθερής συνάρτησης κθώς κι το θεώρημ γι την εύρεση του συνόλου τιμών μις συνεχούς κι μονότονης συνάρτησης, ποτελούν τ ισχυρά συμπεράσμτ που χρκτηρίζουν τις συνεχείς συνρτήσεις Το επόμενο κεφάλιο είνι φιερωμένο στον Διφορικό Λογισμό, το λογισμό δηλδή των συνρτήσεων στις οποίες ορίζετι ο πράγωγος ριθμός Η κλάση των πργωγίσιμων συνρτήσεων είνι μι υποκτηγορί των συνεχών, στις οποίες ισχύουν μι σειρά πό θεωρήμτ που μς επιτρέπουν ν μελετήσουμε πλήρως μι συνάρτηση, ν σχεδιάσουμε τη γρφική της πράστση κι ν εξάγουμε χρήσιμ συμπεράσμτ Το θεωρήμτ Rolle, Μέσης Τιμής, γι τη μονοτονί, τ κρόττ κθώς κι τ κοίλ μς προμηθεύουν ισχυρές μεθόδους γι τη σε βάθος μελέτη των συνρτήσεων Οι μέθοδοι είνι γενικές κι εφρμόζοντι στο σύνολο των συνρτήσεων που νκύπτουν πό όλ τ επιστημονικά πεδί Έτσι το πλήθος των εφρμογών που συνντούμε εδώ είνι τεράστιο σε ποικιλί κι άπτετι σχεδόν όλων των κλάδων Το τελευτίο κεφάλιο νφέρετι στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Εισάγετι η έννοι της πράγουσς συνάρτησης κι του όριστου ολοκληρώμτος Προυσιάζετι ο πίνκς των βσικών όριστων ολοκληρωμάτων Στη συνέχει διτυπώνοντι τ δύο βσικά θεωρήμτ γι τον υπολογισμό τους, υτό της πργοντικής ολοκλήρωσης κι της ολοκλήρωσης με λλγή μετβλητής Ακολουθεί το ορισμένο ολοκλήρωμ με τις ιδιότητές του, ώσπου φθάνουμε στο θεμελιώδες θεώρημ του Ολοκληρωτικού Λογισμού, με το οποίο γίνετι δυντός ο υπολογισμός των ορισμένων ολοκληρωμάτων Στο τέλος δίνετι ο τρόπος υπολογισμού του εμβδού επίπεδων χωρίων που σχημτίζοντι πό τις γρφικές πρστάσεις συνρτήσεων, τους άξονες των συντετγμένων κι κάθετες ευθείες Το μεγάλο πλήθος κθώς κι η ποικιλί των προβλημάτων που ντιμετωπίζοντι με την Μθημτική Ανάλυση μς κάνει ν την χρκτηρίζουμε, χωρίς υπερβολή, ως το - πόλυτο μθημτικό εργλείο Γι υτό σε όλ τ εκπιδευτικά προγράμμτ που συντάσσοντι κτά κιρούς την περιέχουν στο βσικό τους μέρος Πρδίδοντς το βιβλίο υτό στους μθητές, εκφράζω την ελπίδ ν συνεισφέρει στην σκληρή προετοιμσί τους, γι την εισγωγή τους στην τριτοβάθμι εκπίδευση Στράτης Αντωνές Σπάρτη, Ιούνιος Ότν ήμουν μικρός, κόμπζ γι το πόσο πολλές σελίδες διάβζ σε μί ώρ Στο κολέγιο έ- μθ πόσο βλκώδες ήτν υτό Το ν διβάζεις δέκ σελίδες μθημτικά την ημέρ μπορεί ν είνι ένς εξιρετικά γοργός ρυθμός Ακόμ κι μί σελίδ, όμως, μπορεί ν είνι ρκετή WILLIAM THRUSTON Μετάλλιο Φιλντς, Πνεπιστήμιο Πρίνστον

9 ΜΕΡΟΣ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοι του μιγδικού ριθμού Πράξεις μετξύ μιγδικών Συζυγής μιγδικού Μέτρο μιγδικού ριθμού Τ ο σύνολο των μιγδικών ριθμών είνι το τελευτίο σύνολο στην λυσίδ στο οποίο μι πολυωνυμική εξίσωση έχει τουλάχιστον μι ρίζ Μάλιστ έχει τόσες ρίζες όσες κι ο βθμός της (συμπεριλμβνομένων των πολλπλών ριζών) Άλλωστε η έννοι του μιγδικού ριθμού ξεπήδησε μέσ πό την προσπάθει επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων ου κι 4 ου βθμού πό τους μθημτικούς της Ανγέννησης στις πόλεις της Ιτλίς του 6 ου ιών Έτσι ορίζετι το σύνολο των μιγδικών ως μι ε- πέκτση του συνόλου των πργμτικών ριθμών με την επισύνψη του φντστικού ριθμού i Στο νέο σύνολο ορίζετι η ισότητ, οι πράξεις κι νφέροντι οι ιδιότητές τους Ακόμ επισημίνοντι έννοιες κι ιδιότητες των πργμτικών οι οποίες δεν μετφέροντι στους μιγδικούς ριθμούς, όπως η διάτξη Η γεωμετρική πράστση των μιγδικών ριθμών στο κρτεσινό επίπεδο βοηθά στην κλύτερη κτνόηση του συνόλου τους Η ντιστοιχί πράξεων στους μιγδικούς με πράξεις μετξύ δινυσμάτων φνερώνουν τη σύνδεση ενός προηγούμενου μθημτικού πεδίου με το νέο, των μιγδικών ριθμών Η γεωμετρική νπράστσή των μιγδικών, ήτν ένς βσικός λόγος που ώθησε στην εδρίωση της ποδοχής τους πό τη μθημτική κοινότητ, η οποί στην ρχή κρτούσε μι επιφυλκτική στάση, στ τέλη του 6 ου ιών Ορίζετι η έννοι του μέτρου ενός μιγδικού - ριθμού, η οποί είνι επέκτση της πόλυτης τιμής στους πργμτικούς ριθμούς Το μέτρο χρησιμοποιείτι γι ν εκφράσει την πόστση των εικόνων δύο μιγδικών στο επίπεδο κι με υτόν τον τρόπο μπορούμε ν διτυπώσουμε πολλά γεωμετρικά προβλήμτ με τη χρήση μιγδικών Ακόμ θέμτ με τυπικό λγεβρικό χρκτήρ μπορούν ν βρουν μι γεωμετρική νπράστση κι ν γίνει κλύτερ κτνοητό το συμπέρσμ Ο συνδυσμός λγεβρικής γλώσσς κι γεωμετρικής οπτικής είνι ρκετά γόνιμος στην κτνόηση προβλημάτων λλά κι στην επινόηση νέων

10

11 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 ΕΝΟΤΗΤΑ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Το Άγιο Πνεύμ βρήκε την τέλει έκφρσή του σ υτό το θύμ της Ανάλυσης, σ υτή την πεμπτουσί του κόσμου των ιδεών, σ υτό το μφίβιο πλάσμ, νάμεσ στην ύπρξη κι τη μη ύπρξη, που ποκλούμε φντστική ρίζ της ρνητικής μονάδς GOTTFRIED LEIBNIZ(646 76) Μ έχρι τον 6 ο ιών ήτν γνωστή η επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων δευτέρου βθμού Από την ρχιότητ κόμ είχν βρεθεί μέθοδοι επίλυσής τους κι ργότερ με την νάπτυξη του λγεβρικού λογισμού είχε β ± β 4γ διτυπωθεί ο τύπος Η προσπάθει εύρεσης ενός γενικού τύπου που θ δίνει τις λύσεις μις πολυωνυμικής εξίσωσης τρίτου κι ργότερ τέτρτου βθμού ήτν έν νέο επίτευγμ κι σημτοδότησε πό πλευράς των Μθημτικών την εποχή μετά το Μεσίων H μέθοδος που επινοήθηκε πιτούσε συχνά τον υπολογισμό της τετργωνικής ρίζς μις ρνητικής ποσότητς Στην ρχή υτό πορρίφθηκε, λλά ργότερ πρτήρησν ότι πρστάσεις της μορφής β όπου, β οποιοιδήποτε πργμτικοί ριθμοί, μπορούσν ν θεωρηθούν σν διώνυμ κι ν δώσουν τ ίδι ποτελέσμτ όπως τ ντίστοιχ διώνυμ με θετικές ποσότητες Με την ποδοχή υτών των πρστάσεων, η μέθοδος γι τη λύση των εξισώσεων, μπορούσε ν εφρμοστεί σε όλες τις περιπτώσεις Το ποτέλεσμ υτής της ποδοχής ήτν η εισγωγή της έννοις του μιγδικού ριθμού, η οποί στην ρχή δημιούργησε μηχνί κι σκεπτικισμό Είνι ξιοσημείωτο πως κόμ κι ο Νεύτων, είχε μφιβολίες κτά πόσον «έν εξωπργμτικό μέγεθος μπορεί ν βοηθήσει στην επίλυση πργμτικών προβλημάτων» Στους επόμενους ιώνες οι μιγδικοί ριθμοί χρησιμοποιήθηκν στη Γεωμετρί, την Ανάλυση κι νπτύχθηκν νέοι κλάδοι στ Μθημτικά, τ ποτελέσμτ των οποίων χρησιμοποιήθηκν γι την επίλυση προβλημάτων στην επιστήμη Ορισμός του συνόλου των μιγδικών ριθμών Το σύνολο των μιγδικών ριθμών είνι έν υπερσύνολο του συνόλου των πργμτικών ριθμών, στο οποίο: Επεκτείνοντι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού

12 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ έτσι, ώστε ν έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως κι στο, με το μηδέν () ν είνι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι το έν () το ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισμού Υπάρχει έν στοιχείο i τέτοιο, ώστε i Κάθε στοιχείο z του γράφετι κτά μονδικό τρόπο με τη μορφή z βi, όπου, β Κάθε μιγδικός ριθμός βi,, β είνι η σύνθεση ενός πργμτικού ριθμού κι του βi τον οποίο ονομάζουμε φντστικό ριθμό O λέγετι πργμτικό μέρος του z κι συμβολίζετι Re(z) O β λέγετι φντστικό μέρος του z κι συμβολίζετι Im(z) Στο σύνολο κάθε πργμτικός ριθμός εκφράζετι ως i, ενώ κάθε φντστικός ριθμός βi εκφράζετι ως βi Ιδιότητες των πράξεων Ιδιότητες των πράξεων στο Πρόσθεση Πολλπλσισμός Προσετιριστική (z z ) z z (z z ) (z z )z z (z z ) Αντιμετθετική z z z z z z z z Ουδέτερο στοιχείο z z z z z z Συμμετρικό στοιχείο z ( z) ( z) z z z z z, z Επιμεριστική z (z z ) z z z z Διγρφή z z z z z z zz zz z z, z z Λύση εξίσωσης z z z z z z zz z z z, z Ισότητ μιγδικών ριθμών Επειδή κάθε μιγδικός ριθμός γράφετι κτά μονδικό τρόπο στη μορφή βi τότε: βi γ δi γ κι β δ Επειδή i, τότε: βi κι β Συζυγής ενός μιγδικού Αν z βi είνι ένς μιγδικός ριθμός τότε ο z βi λέγετι συζυγής του z Στην επέκτση πό το στο οι πράξεις κι οι ιδιότητες υτών που ισχύουν στο εξκολουθούν ν ισχύουν κι στο Η διάτξη κι οι ι- διότητές της δε μετφέροντι Δηλδή το σύνολο των μιγδικών ριθμών δεν είνι διτετγμένο Μπορούμε ν γράψουμε βi < γ δi ν κι μόνο ν < γ κι β δ Γεωμετρική πράστση μιγδικού κι του συζυγή του Ένν μιγδικό ριθμό z βi μπορούμε ν τον ντιστοιχίσουμε στο σημείο Μ(, β) του κρτεσινού επιπέδου Το σημείο Μ λέγετι εικόν του μιγδικού z Έτσι το κρτεσινό επίπεδο του οποίου τ σημεί είνι εικόνες μιγδι-

13 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 κών ριθμών θ λέγετι μιγδικό επίπεδο Ο μιγδικός ριθμός z βi πριστάνετι επίσης κι με τη δινυσμτική κτίν, OM, του σημείου Μ(, β) Ο συζυγής z βi του μιγδικού z, ντιστοιχίζετι στο σημείο Μ (, β) Πριστάνετι κόμ κι με τη δινυσμτική κτίν σημείου Μ (, β) O M του Πράξεις στο σύνολο των μιγδικών Γι την πρόσθεση των μιγδικών ριθμών z βi κι z γ δi έχουμε: z z ( βi) (γ δi) ( γ) (β δ)i Γι την φίρεση του μιγδικού ριθμού z γ δi πό τον z βi έχουμε: z z ( βi) (γ δi) ( γ) (β δ)i Μπορούμε ν σχεδιάσουμε στο μιγδικό επίπεδο μί νπράστση του θροίσμτος κι της διφοράς δύο μιγδικών Σχέδιο Σχέδιο Αν Μ (, β) κι Μ (γ, δ) είνι οι εικόνες των βi κι γ δi ντίστοιχ στο μιγδικό επίπεδο, τότε το άθροισμ ( βi) (γ δi) ( γ) (β δ)i πριστάνετι με το σημείο Μ(γ, βδ) (Σχέδιο ) Επομένως, OM OM OM, δηλδή: Η δινυσμτική κτίν του θροίσμτος των μιγδικών βi κι γ δi είνι το άθροισμ των δινυσμτικών κτίνων τους Επίσης, η διφορά ( βi) (γ δi) ( γ) (β δ)i πριστάνετι με το σημείο Ν( γ, β δ) (Σχέδιο ) Επομένως, ON OM OM, δηλδή: Η δινυσμτική κτίν της διφοράς των μιγδικών βi κι γ δi είνι η διφορά των δινυσμτικών κτίνων τους Γι τον πολλπλσισμό των μιγδικών ριθμών z βi κι z γ δi έχουμε: z z ( βi)(γ δi) γ δi βγi (βi)(δi) γ δi βγi βδi γ δi βγi βδ (γ βδ) (δ βγ)i Γι το πηλίκο των μιγδικών ριθμών z βi κι z γ δi με z έχουμε:

14 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ z z βi γ δi ( βi )( γ δi ) ( γ δi)( γ δi) ( γ βδ) ( βγ δ) i γ δ γ βδ γ δ βγ δ i γ δ Δύνμη μιγδικού Τυτότητες κι τύποι στους μιγδικούς ριθμούς Γι κάθε θετικό κέριο ν με ν > ορίζουμε z z, z zz, κι γενικά z ν z ν z Αν z, ορίζουμε z, z ν γι κάθε θετικό κέριο ν ν z Αν η ευκλείδει διίρεση του ν με το 4 δίνει πηλίκο ρ κι υπόλοιπο υ τότε θ έχουμε:, ν υ i ν i 4ρυ i 4ρ i υ (i 4 ) ρ i υ ρ i υ i υ i, ν υ, ν υ i, ν υ Επειδή οι ιδιότητες των πράξεων της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού ισχύουν στο όπως κι στο τότε θ ισχύουν τυτότητες κι τύποι που γνωρίζουμε στο πχ (z ± w) z ± zw w, (z w)(z w) z w, (z ± w) z ± z w zw w, κλπ Ισχύουν οι τύποι που γνωρίζουμε που δίνουν το ν-οστό όρο κι το άθροισμ των ν πρώτων όρων μις ριθμητικής ή γεωμετρικής προόδου ν (ν )ω, S ν ν ( ν ) ν [ (ν )ω] ν λ ν, S ν ( ν λ ), λ λ Προσοχή! Προτάσεις που ισχύουν στο κι βσίζοντι στη διάτξη ΔΕΝ ισχύουν στο Γι πράδειγμ: Αν, y με y τότε y ( y y Όμως, οπότε κι y y ) Αντίθετ ν z, w με z w τότε δεν είνι πρίτητ οι z, w μηδέν Πράγμτι, ν z κι w i τότε z w i ΠΡΟΤΑΣΗ: Γι τους συζυγείς μιγδικούς ριθμούς z βi κι z βi ι- σχύουν: (i) z z a (ii) z z βi (iii) z z β Απόδειξη: (i) z z ( βi) ( βi) βi βi (ii) z z ( βi) ( βi) βi βi βi (iii) z z ( βi)( βi) (βi) β i β Από την (i) έχουμε ότι: Re(z) z z Από την (ii) έχουμε ότι: Im(z) β z z i ΠΡΟΤΑΣΗ: Γι ένν μιγδικό ριθμό z ισχύουν τ επόμεν: (i) z z z (ii) z I z z

15 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 9 Απόδειξη: Αν είνι z βi, με, β τότε έχουμε: (i) z z βi βi βi β z (ii) z z βi (βi) βi βi z I ΠΡΟΤΑΣΗ: Αν z βi κι z γ δi είνι δύο μιγδικοί ριθμοί, τότε ν ποδείξετε ότι: (i) z z z z z z z z (ii) (iii) z z z z z (iv) z z, z z Απόδειξη: (i) z z ( βi) ( γ δi) ( γ) ( β δ) i (γ) (βδ)i γ βi δi ( βi) (γ δi) z z (ii) ( ος τρόπος) z z ( βi) ( γ δi) ( γ) ( β δ) i ( γ) (β δ)i γ βi δi ( βi) (γ δi) z z ( ος τρόπος) z z z ( z) z ( z ) z z Επειδή ( z ) ( γ δi) γ δi γδi (γ δi) z (iii) z z ( βi)( γ δi) ( γ βδ) ( δ βγ) i (γ βδ) (δβγ)i γ βδ δi βγi γ( βi) δi( βi) ( βi)(γ δi) z z (iv) ( ος τρόπος) z z βi γ δi ( βi)( γ δi) ( γ δi)( γ δi) ( γ βδ) ( βγ δ) i γ βδ βγ δ γ δ γ δ γ δ z βi ( βi )( γ δi ) ( γ βδ) ( δ βγ) i γ βδ βγ δ i z γ δi ( γ δi)( γ δi) γ δ γ δ γ δ z Επομένως z z z ( ος τρόπος) z z z z z z z z z z z z ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Γενικότερ ισχύουν οι ιδιότητες: z z zν z z z ν Αν κ, κ,, κ ν τότε κ z κ z κν zν κ z κ z κ ν z z zν z z z ν ν Αν z z z ν z τότε z z z z z z z ( z )ν νπργοντες νπργοντες i z ν

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ακόμ ν z ( ν ) z ν z ( z ) ν ( z ) ν, z Λύση της εξίσωσης z βz γ με, β, γ κι z βz γ z βz a γ β z z γ z β z β β γ β z 4 β 4γ 4 β z Δ όπου Δ β 4γ η δικρίνουσ της εξίσωσης 4 Έχουμε τις εξής περιπτώσεις: β ± Δ Δ > τότε η εξίσωση έχει δύο πργμτικές λύσεις: z, β Δ τότε η εξίσωση έχει μι διπλή πργμτική λύση: z Δ < τότε επειδή Δ 4 ( )( Δ) i 4 ( Δ ) ( ) i Δ η εξί- β σωση γράφετι: z i Δ β ± i Δ Άρ οι λύσεις της είνι: z,, οι οποίες είνι συζυγείς μιγδικοί ριθμοί Τύποι Vieta Ισχύουν οι σχέσεις: z z β κι z z γ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μέθοδος Ισότητς, πράξεων στους μιγδικούς ριθμούς Γι την εξέτση ισότητς δύο μιγδικών ή της εύρεση πρμέτρων προκειμένου δύο μιγδικοί ν είνι ίσοι, εφρμόζουμε τον ορισμό της ισότητς Γι ν γράψουμε ένν μιγδικό z στη μορφή βi ή ν βρούμε το Re(z), Im(z), εκτελούμε τις πράξεις σύμφων με τους ορισμούς 4 Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς, y ώστε ν ισχύει η ισότητ: ( 5y 6) (5 6y )i (76i) ΛΥΣΗ: 5y 6 7 5y Είνι ( 5y 6) (5 6y )i 7 6i 5 6y 6 5 6y 58 D D κι D y

17 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Άρ D D κι y D y D 7 5 Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z (κλi)(κiλ) (κi)(i) i ) Ν γράψετε τον z στη μορφή βi β) Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς κ, λ γι τους οποίους z I γ) Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς κ, λ ν ισχύει: z ΛΥΣΗ: ) Είνι z (κλi)(κiλ) (κi)(i) i κ i κλ κλi λ i (κκiii ) i κ i κλ κλ λ i κ κi i i ( κ) (κ λ κ)i β) Είνι z Ι κ κ κι λ γ) Είνι z κ λ κ (κ ) λ κ κι λ κ κι λ 6 Δίνετι ο μιγδικός ριθμός w ( i)(i) i Ν βρείτε το Re(w) κι το Im(w) i ΛΥΣΗ: Είνι w ( i)(i ) i i i 6 ( i) i i i 6 i i i ( i)( i) 7 i i 7 i i 7 i i 7 i Άρ Re(w) 7 κι Im(w) Μέθοδος Υπολογισμού δυνάμεων ενός μιγδικού ριθμού Στον υπολογισμό δυνάμεων μιγδικών ριθμών συνντούμε συνήθως τις επόμενες περιπτώσεις: Ότν θέλουμε ν υπολογίσουμε το i ν τότε κάνουμε τη διίρεση ν:4 κι βρίσκουμε υπόλοιπο υ με δυντές τιμές,,, ή Τότε το i ν ισούτι με, i, ή i ντίστοιχ Ότν θέλουμε ν υπολογίσουμε το z ν με z, τότε υπολογίζουμε κάποιες πό τις δυνάμεις z, z, με σκοπό ν πάρουμε ένν πργμτικό ή φντστικό ριθμό Μετά εφρμόζουμε ιδιότητες των δυνάμεων κι υπολογίζουμε, όπου εμφνίζετι, τη δύνμη του i Πράδειγμ: ( i) 4 Είνι ( i) i i i i Άρ ( i) 4 [( i) ] ( i) i i Ότν δεν μπορούμε ν φθάσουμε σε πργμτικό ή φντστικό ριθμό, όπως προηγούμεν, τότε τ ποτελέσμτ κάποιων δυνάμεων μιγδικών έχουν κάποι σχέση ή μπορούμε ν μετσχημτίσουμε τη βάση της δύνμης γι ν συσχετιστεί με κάποι άλλη ώστε ν πλοποιηθούν 7 ) Ν βρείτε τον i 96 β) Ν υπολογίσετε το άθροισμ w i i i i 96 i 96 κι ν γράψετε το πο-

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ τέλεσμ στη μορφή βi γ) Ν ποδείξετε ότι w 4 4 ΛΥΣΗ: ) Το υπόλοιπο της διίρεσης 96:4 είνι, άρ i 96 i β) Το πλήθος των προσθετέων είνι 96 κι είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με γ) πρώτο όρο τον i κι λόγο i ( i) Άρ w i i i i i i i i i ( i i) ( i)( i) ( i i) ( i i) i( i) i i i w ( i) ( ) ( )i i i i 4 w ( ) w ( i) 4i 4 Το άθροισμ των ν πρώτων ό- ρων μις Γεωμετρικής Προόδου με πρώτο όρο κι λόγο λ δίνετι πό τον τύπο: S ν λ ν λ 8 Αν ο φυσικός ριθμός ν δεν είνι πολλπλάσιο του 4, τότε δείξτε ότι (i ν )(i ν ) ΛΥΣΗ: ος τρόπος: Το ν δεν είνι πολλπλάσιο του 4, οπότε: Αν ν 4κ, κ, τότε (i ν )(i ν ) (i 4κ )(i 8κ ) (i )(i ) (i)( ) Αν ν 4κ, κ, τότε (i ν )(i ν ) (i 4κ )(i 8κ4 ) (i )(i ) ( )() Αν ν 4κ, κ, τότε (i ν )(i ν ) (i 4κ )(i 8κ6 ) (i )(i ) ( i)( ) ος τρόπος: Είνι (i ν )(i ν ) i ν i ν i ν Οι τέσσερις όροι του θροίσμτος είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο κι λόγο λ i ν, φού ο ν δεν είνι πολλπλάσιο του 4 Επομένως, (i ν )(i ν ν 4 4ν ( i ) ) i ν ν ν i i i i ) Ν βρείτε τον z β) Ν βρείτε τους μιγδικούς z, z 9 γ) Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς, β ν ισχύει: 9 Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z ΛΥΣΗ: ) z (i)z i ( i ) z z 9 βiz i 8 ( i) 8 ( ) ( ) 8 ( 9i i) 8 8i i β) z z 667 ( z ) 667 z i 667 z i z i z i γ) z 9 z 67 ( z ) 67 i 67 i i z i i 4 i ( ) i i i i 4 i i i Εκτελούμε τη διίρεση : Το υπόλοιπο της διίρεσης 677:4 είνι Εκτελούμε τη διίρεση 9: Το υπόλοιπο της διίρεσης

19 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (i)z z z 9 βiz i (i) i i i βi i i i (ii) βi i i i (i) βi i i i i β ( β ) i β Άρ οι, β είνι δύο ντίθετοι πργμτικοί ριθμοί β β i i Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: ) Α (βi) 4ρ (β i) 4ρ β) Β (βi) 4ρ (β i) 4ρ ΛΥΣΗ: ) ( ος τρόπος) (βi) βi (βi) β βi p κι (β i) β βi (i) β βi p Επομένως, Α (βi) 4ρ (β i) 4ρ [(βi) ] ρ [(β i) ] ρ p ρ ( p) ρ p ρ p ρ ( ος τρόπος) Α (βi) 4ρ (β i) 4ρ (βi) 4ρ ( βi i) 4ρ (βi) 4ρ [ i(βi)] 4ρ (βi) 4ρ i 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ β) ( ος τρόπος) Όμοι (βi) p κι (β i) p Επομένως, Β (βi) 4ρ (β i) 4ρ (βi) (ρ) (β i) (ρ) [(βi) ] ρ [(β i) ] ρ p ρ ( p) ρ p ρ ( p ρ ) p ρ p ρ ( ος τρόπος) Β (βi) 4ρ (β i) 4ρ (βi) 4ρ ( βi i) 4ρ (βi) 4ρ [ i(βi)] 4ρ (βi) 4ρ i 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ Μέθοδος Εξέτσης ενός μιγδικού ριθμού ν υτός είνι πργμτικός ή φντστικός ριθμός Ότν θέλουμε ν ποδείξουμε ότι ένς μιγδικός ριθμός z είνι πργμτικός ή φντστικός, τότε προσπθούμε ν ποδείξουμε ότι: z z γι ν είνι ο z πργμτικός z z γι ν είνι ο z φντστικός z w w ή z w w γι ν είνι ο z πργμτικός z w w γι ν είνι ο z φντστικός Αν δεν μπορούμε ν φθάσουμε στο ζητούμενο με τις προηγούμενες μεθόδους, τό-

20 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ τε θέτουμε z βi κι χρησιμοποιώντς τ δεδομέν κτλήγουμε σε β ν ζητείτι z ή σε ν ζητείτι z Ι ) Αν z z z ΛΥΣΗ: β) Αν z z z iw iw ( w ) z z ) Είνι z z z Άρ z I β) Είνι z iw iw w i z w w Άρ z ( ) ν δείξετε ότι ο z είνι φντστικός ριθμός ν δείξετε ότι ο z είνι πργμτικός ριθμός i z z z z z iw z z z z iw w i z z z z z z i w w Μέθοδος Επίλυσης εξισώσεων κι συστημάτων στο σύνολο των μιγδικών ριθμών Στη λύση εξισώσεων ή συστημάτων στο σύνολο συνντούμε συνήθως τις επόμενες περιπτώσεις: Ότν έχουμε εξίσωση ου βθμού τότε δουλεύουμε όπως κι στους πργμτικούς ριθμούς Έν γρμμικό σύστημ μπορούμε ν το λύσουμε με ντικτάστση, ντίθετους συντελεστές ή με ορίζουσες Ότν έχουμε εξίσωση ου βθμού (z βz γ με, β, γ κι ) τότε βρίσκουμε τη δικρίνουσ Δ β 4γ κι νάλογ με το πρόσημό της η ε- ξίσωση έχει δύο άνισες πργμτικές ρίζες ή μι διπλή ρίζ ή δύο συζυγείς μιγδικές ρίζες Ότν η εξίσωση είνι πολυωνυμική, βθμού μεγλύτερου του ου, τότε κάνουμε πργοντοποίηση ή χρησιμοποιούμε το σχήμ του Horner Ότν δεν μπορούμε ν δουλέψουμε όπως προηγούμεν ονομάζουμε τον άγνωστο z yi,, y κι μετά τις πράξεις κτλήγουμε σε σύστημ με γνώστους τους, y Ν λύσετε, στο σύνολο των μιγδικών ριθμών, τις εξισώσεις: ) z z i β) z z i z i i i i ΛΥΣΗ: z ) i z i z i ( i)z i( i) z i z iz i i z z iz i i z iz i ( i)z i z i i ( i)( i) z i i 4 i ( i ) i ( i)( i) z β) i z i i z i z( i) ( z i )( i ) z i ( i)( i) ( i)( i) z iz z iz i z i 5(z iz) (z iz i ) z 5(i ) 5

21 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 5z 5iz 4z iz 4i z 5i 55 9z 7iz 57 i (9 7i)z 57 i z 57 i (57 i)(9 7 i) 5 99i 9i 7 5 9i 5 9 7i (9 7)(9 i 7) i i 4 i ) Ν λύσετε, στο σύνολο των μιγδικών ριθμών, την εξίσωση: z z 4z β) Ν βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων: z 4z z κι z z ΛΥΣΗ: ) Οι πιθνές κέριες ρίζες της εξίσωσης z z 4z είνι: ±, ± 4 Άρ z z 4z (z )(z z ) z ή z z z ή z i ή z i [ Δ ( ) κι z ± i ( ± i ) ± i ] β) Είνι: z 4z z z z 4z z ή z i ή z i Θ ελέγξουμε τώρ ν οι ρίζες της πρώτης εξίσωσης είνι ρίζες κι της δεύτερης εξίσωσης Γι την ρίζ z έχουμε: z z Γι την ρίζ z i έχουμε: z ( i) i i κι z ( z ) 5 (i) 5 i 5 i οπότε Γι την ρίζ z i έχουμε: z z Άρ οι κοινές ρίζες των δύο εξισώσεων είνι οι: i, i z z i ( i) i i z z z z 4 ) Ν βρείτε τον μιγδικό ριθμό z γι τον οποίο ισχύει: (i)z 4 z 8i z z 5z z β) Ν γράψετε τον μιγδικό ριθμό w στη μορφή βi z z 6 γ) Ν δείξετε ότι ο w 4 είνι φντστικός ριθμός ΛΥΣΗ: ) ος τρόπος: Έστω z yi με, y Τότε: ( i)z 4 z 8i ( i)( yi) 4( yi) 8 i yi i y 4 4yi 8 i (5 y) ( y)i 8 i 5 y 8 5 y 8 y ( 5) 5 5y 5 4y 4 y κι ( ) 9 Άρ z i 4 4 y

22 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ος τρόπος: Είνι ( i) z 4z 8 i ( i) z 4z 8 i ( iz ) 4z 8 i Έχουμε το σύστημ: 4 z ( i) z 8 i D i 4 ( i)( i) 6 ( ) i 8 i 4 D z (8 i)( i) 4(8 i) 8 8i i 4i 4 4i 8 i i z Dz D 4 4i i 4 β) Είνι z z, z z 6i κι z z 9, οπότε w z z 5z z ( z z) zz 5zz ( z z) z z z z 6 ( z z) z z z z 6 ( z z) z z( z z) 6 ( z z) z z 4 6 ( z z) z z( z z) 6 ( 6 i) ( 6 i) 6 6i 8i 6 6i 8i i 6( i) i i i ( i)( i) i γ) Είνι w ( i ) 4 ( i) 4 ( i i ) 4 ( i ) 4 ( i) i κι w 4 (w ) 7 ( ) 7 i 7 i7 i 7 ( i) 7 7 i Επομένως, w 4 4 w 7 8 i 8 i 8i I 7 i i i Μέθοδος Εύρεσης γεωμετρικών τόπων ή της γρμμής στην οποί βρίσκοντι οι εικόνες των μιγδικών που επληθεύουν μί σχέση Ότν ζητείτι ν βρούμε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ(,y) ενός μιγδικού ριθμού z yi στο μιγδικό επίπεδο ν γνωρίζουμε ότι ένς άλλος ριθμός w είνι πργμτικός ή είνι φντστικός ή ικνοποιεί μι ισότητ κλπ, τότε μετά πό τις πράξεις κτλήγουμε σε μι ισότητ η οποί είνι συνήθως εξίσωση ευθείς, κύκλου, πρβολής, έλλειψης ή υπερβολής Κθ όλη τη διάρκει των πράξεων πρέπει ν διτηρούντι οι ισοδυνμίες ώστε ν εξσφλίσουμε ότι κάθε σημείο των γρμμών θ είνι εικόν ενός z Αν υπάρχουν περιορισμοί γι τ, y τότε ο γεωμετρικός τόπος είνι μέρος των πρπάνω γρμμών Ότν ζητείτι ν βρούμε τις γρμμές στις οποίες κινείτι η εικόν Μ(,y) ενός μιγδικού ριθμού z yi στο μιγδικό επίπεδο, τότε δουλεύουμε όπως προηγούμεν χωρίς ν είνι πρίτητο ν διτηρείτι η ισοδυνμί κθ όλη τη διάρκει των πράξεων 5 Θεωρούμε τον μιγδικό zyi με, y κι τον w (z i)( z )

23 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 ) Ν γράψετε τον w στη μορφή βi β) Αν w, ν δείξετε ότι το σύνολο των εικόνων των μιγδικών z είνι ευθεί ε γ) Αν w I, ν δείξετε ότι το σύνολο των εικόνων των μιγδικών z είνι κύκλος C δ) Ν δείξετε ότι η ευθεί ε διέρχετι πό το κέντρο του κύκλου C κι ν βρείτε τ σημεί τομής τους Α, Β Έπειτ ν υπολογίσετε το εμβδόν του τριγώνου ΟΑΒ, όπου Ο η ρχή των ξόνων ΛΥΣΗ: ) Είνι w (z i)( z ) z z z i z i y yi i( yi) i y yi i y i ( y y) ( y )i β) w y y Άρ το σύνολο των εικόνων των z είνι η ευθεί ε: y γ) w I y y 4 y y ( ) ( y ) Άρ το σύνολο των εικόνων των z είνι ο κύκλος C: ( ) ( ) δ) Το κέντρο του κύκλου C είνι Κ(, ) y Γι είνι y Άρ το κέντρο του κύκλου C νήκει στην ευθεί ε Γι ν βρούμε τ σημεί τομής του κύκλου C κι της ευθείς ε θ λύσουμε το σύστημ των εξισώσεών τους Γι y έχουμε: y y () () () ή ή Αν τότε y κι ν τότε y Άρ τ σημεί τομής του κύκλου C κι της ευθείς ε είνι Α(,) κι Β(,) (ΟΑΒ) ( OA) ( OB) τμ z 4i 6 Δίνετι η συνάρτηση f (z) με z iz ) Ν βρείτε το σύνολο στο οποίο ορίζετι η f * { i} ισχύει: f ( ) f ( ) β) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε z z z γ) Ν περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των z στο μιγδικό επίπεδο ν f (z) ΛΥΣΗ: ( i) ) Απιτούμε iz iz z z i i Άρ το σύνολο στο οποίο ορίζετι η f είνι το {i} z i

24 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ β) Οι πρστάσεις ορίζοντι ότν z, i z z i z i i κι i i i z z i z z z i * Ότν z { i} είνι: f ( 4 i 4iz ) z z 4iz z i i z i z z z 4i z 4 i f ( ) z z 4iz 4iz z i i z i z i z ( ) z z Άρ ( 4iz 4iz 4i z f ) z i z f ( i z i z z ) γ) Έστω z yi με, y με (,y) (,) Τότε: f f (z) ( z 4i ) z i f (z) (z) z 4i z 4i z 4i iz iz iz iz ( z 4i)(iz ) ( i z )(z 4i) iz z z 4i z 8i iz z 4i z z 8i iz z 6z 6 z 6i iz z (z z ) 8i i( y ) yi 8i y 6y 8 (y ) Γι κι y έχουμε: ( ) Άρ το σύνολο των εικόνων των z στο μιγδικό επίπεδο είνι ο κύκλος C: (y ) εκτός του σημείου (,) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Ομάδ 7 Ν βρείτε τον λ ν δίνετι ότι: (λ ) (λ 9λ )i 8 Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς, y, γι τους οποίους ισχύει: y i i 9 i 5 i [Απλ-] [Απ5, y] βi 9 ) Ν δείξετε ότι: βi β με, β κι (, β) (,) βi βi β β) Αν z i i i, ν βρείτε το Re(z) i 5 i 5 i γ) Αν w, ν βρείτε το Im(w) 5 i 5 i [Απβ), γ)] Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z 5 i Ν τον γράψετε στη μορφή z ( i) y( i) [Απ-4, y9]

25 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 9 Έστω z i κι z i Ν τεθεί ο μιγδικός ριθμός w στη μορφή w κz λz με κ, λ, ότν: ) w 5i β) w 7 6 i [Απ)κ, λ4 β)κ/4, λ- ] * Αν, β, γ κι w βγ i β γ δείξτε ότι z w, όπου z ( β) (β )γi κι Αν z, z τότε Re(z z ) Re(z )Re(z ) ν κι μόνο ν z ή z 4 Ν βρείτε τον, ν ο z 4 i 9i είνι πργμτικός θετικός ριθμός [Απ6] 5 Δίνετι ο μιγδικός ριθμός w i y i με, y ) Ν βρείτε τη σχέση που συνδέει τους, y ότν w β) Δείξτε ότι ν ο w είνι πργμτικός ριθμός, ισούτι με [Απ)y] 6 Έστω z 4i * με κι y Θεωρούμε ότι ο z είνι πργμτικός ριθμός Τότε: yi ) Δείξτε ότι 8 y β) Δείξτε ότι z 4 y γ) Αν z, ν βρείτε τ, y [Απ(,y)(-8,) ή (-4,)] 7 Έστω Μ, Μ, Μ κι Μ 4 οι εικόνες των μιγδικών ριθμών z, z, z κι z 4 ντίστοιχ Ν ποδείξετε ότι το τετράπλευρο Μ Μ Μ Μ 4 είνι πρλληλόγρμμο ν κι μόνο ν z z z z 4 8 Ν βρείτε τον μιγδικό ριθμό w i i 9 99 i 659 [Απi] 9 Ν γράψετε στη μορφή βi,, β τον ριθμό: i) z ( 7i ) 7 i 96 ( i ) i 5 ii) w ( 6 5i ) 5 6i ( 9 i ) 67 9i [Απi)z-i ii)] Ν ποδείξετε ότι: ) ν βi β i μ κ λi ( λ κi ) i ν i μ β) ν βi β i μ κ λi ( λ κi ) ( i) ν ( i) μ Ν υπολογισετε τ θρίσμτ:

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ) S i i i 5 i 777 β) S ( i) ( i) ( 5i) ( 99 99i) γ) S ( i) ( 7 i) ( 4 4i) ( 7 i) δ) S 4 i ( i) (4 5i) (6 7i) [(ν ) (ν )i], ν Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z i ) Ν βρείτε τους ριθμούς z, z 4, z 8 β) Ν δείξετε ότι: z Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z i ) Ν βρείτε τους ριθμούς z, z 4, z β) Ν δείξετε ότι: z * [Απ)i β) - 4 i γ)99-878i δ)ν(ν-)ν i] 4 Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z i ) Ν υπολογίσετε τους μιγδικούς z, z 6, z 5 β) Ν γράψετε τον μιγδικό ριθμό w i z 6 z 5 i 54 z i στη μορφή βi γ) Ν δείξετε ότι w [Απβ)w i] 5 Αν γι τον μιγδικό ριθμό z ισχύει z z ) Ν ποδείξετε ότι: z β) Ν υπολογίσετε τον w z 5 5 z, τότε: [Απβ)] 6 Ν δείξετε ότι: ) ( 4i) 4 (4 i) 4 β) (5 i) ( 5i) γ) ( i) 99 ( i) 99 ( i) 8 ( i) 8 7 Γι ποιους φυσικούς ριθμούς ν ισχύει η σχέση i ν [Απν4κ] 8 Ν βρείτε τις δυντές τιμές της πράστσης Π ( i ν )( i ν ), ν 9 Αν z i, ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: i) z z iv) z ii) z z v) z 4 z iii) z z z z 4 z z vi) z z z [Απi)/5 ii)-6 iii)-6/5 iv)- v)-4 vi)48i/5] 4 Δείξτε ότι ο ριθμός z (5 9i) (5 9i) είνι πργμτικός * 4 Αν κ, λ κι ν, ν ποδείξετε ότι ο ριθμός z (κ λi) ν (κ λi) ν είνι φντστικός 4 Αν, ν ποδείξετε ότι ο ριθμός w ( i ) i ( i ) i είνι πργμτικός

27 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 Έστω z βi με, β Ν εκφράσετε ως συνάρτηση των z, z τις πρστάσεις 4β κι 4 6β 5 z 44 Αν z, z, με z ν ποδείξετε ότι Re z zz zz zz z, Im z zz zz izz 45 Αν z, z, ν ποδείξετε ότι οι επόμενοι ριθμοί είνι πργμτικοί: ) z z z z β) z z γ) z z z z 46 Αν z, z, ν δείξετε ότι ο ριθμός w z z zz είνι πργμτικός, ενώ ο ριθμός u z z zz είνι φντστικός 47 Αν z 5i z ( z 5i ) z *, z τότε δείξτε ότι z 48 Αν 49 Αν i 9z iz iz 4 5iz 9i z z, z * τότε δείξτε ότι z ( z 4i ) 5z *, z τότε δείξτε ότι z Ι z zz 5 Έστω z, z, z με z γι τις οποίους ισχύει z z z (z z ) Δείξτε ότι z 5 Αν iz w w ριθμός i w ( ) iw *, με z κι w τότε δείξτε ότι ο z είνι φντστικός - 5 Αν z z z zw z * zw, με z, z, w τότε δείξτε ότι ο w είνι πργμτικός ριθμός 5 Γι τους μιγδικούς ριθμούς z, w ισχύει w κι z w Ν ποδείξετε ότι: ) z w β) Οι ριθμοί zw, z w κι zw i είνι πργμτικοί z w z w z w 54 Ν βρείτε τον z, ώστε οι εικόνες των w iz κι u (z 6i) στο μιγδικό επίπεδο ν συμπίπτουν [Απz-5i] 55 Ν βρείτε τον μιγδικό ριθμό z, ν ισχύει z i z i i 4i 6 [Απz5-i]

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) κι στθερό άθροισµ.. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ

Διαβάστε περισσότερα

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για 3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Έννοιες

Επαναληπτικές Έννοιες Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc ) ΣΥΝΟΛΑ 0,,,, Φυσικοί,,,0,,, Ακέριοι,, 0 Ρητοί \ Άρρητοι Πργμτικοί ) ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ορισμοί Επνληπτικές Έννοιες, ν 0. ν, ν, ν, ν πράγοντες.., 0 Ιδιότητες Κοινής Βάσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕ ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 015 Θέμ 1 ο Α) Ν διτυπώσετε τ κριτήρι γι ν είνι δύο τρίγων όμοι Β) Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το ο θεώρημ διμέσων Γ) Ν

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµτ Μθηµτικών Θετικής Κτεύθυνσης Β Λυκείου 999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. Έστω a, ) κι, ) δύο δινύσµτ του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν εκφράσετε χωρίς πόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων a κι συνρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

= αμ ν. γ. α ν β ν = (α β) ν. στ. α ν

= αμ ν. γ. α ν β ν = (α β) ν. στ. α ν 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 οο Αλγεεριικέέςς Πρστάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό ν1; Ονομάζετι δύνμη ν με άση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη 255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2 - 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι

Διαβάστε περισσότερα

Από το σχολικό βιβλίο

Από το σχολικό βιβλίο Από το σχολικό βιβλίο. Η έννοι του μιγδικού ριθμού.. Πράξεις στο C. - Πράξεις σελ. 95, άσκηση 6 -Ισότητ μιγδικών σελ. 95, άσκηση 7 -Εξισώσεις ου βθμού στο C σελ. 96, άσκηση -Εξισώσεις που περιέχουν Z σελ.

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

x 3. Οι περιττές δυνάμεις άνισων αριθμών είναι ομοιοτρόπως άνισες: Αν α, β ε IR

x 3. Οι περιττές δυνάμεις άνισων αριθμών είναι ομοιοτρόπως άνισες: Αν α, β ε IR Σερίφης Κωννος Α. Βσικές γνώσεις Τυτότητες ± ) ± + ± ) 3 3 ± 3 +3 ± 3 + ± ) ++γ) + +γ ++γ+γ - -)+) 3-3 -) ++ ) ν - ν -) ν- + ν- + + ν- + ν- ) 3 + 3 +) -+ ) ν + ν +) ν- - ν- + - ν- + ν- ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ν ΠΕΡΙΤΤΟ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ Π /008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό ντικείμενο)

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Μθημτικά θετικής & τεχνολογικής κτεύθυνσης Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 94 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 88 Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 59 Α4. ) ΛΑΘΟΣ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άλγεβρ Β Ενιίου Λυκείου Άλγεβρ B Λυκείου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τριγωνομετρί Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πολυώνυμ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Επιμέλεια : Αθανασιάδης Χαράλαμπος Μαθηματικός

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Επιμέλεια : Αθανασιάδης Χαράλαμπος Μαθηματικός ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλει : Αθνσιάδης Χράλμπος Μθημτικός . ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.

Διαβάστε περισσότερα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα Ερωτήσεις νάπτυξης 1 * Ν κτσκευάσετε το άθροισµ των δινυσµάτων + + 3 όπου 2 * ι ποιες τιµές του πρµτικού ριθµού λ ισχύει ( λ ) < 5 0 ; 3 ** Στο επίπεδο δίνοντι τ µη µηδενικά δινύσµτ, κι, τ οποί νά δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία.

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4. Α) νι Β) όχι 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4.4 δες ντίστοιχη θεωρί 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ 4. 6 f d f ()g()d f()g() f()g ()d f()d f () f()d f () () () f(g())d f(g( ())

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο )

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) 0 05 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -0 ο _9005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) Σε τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόµος της γωνίς Αˆ τέµνει την πλευρά ΒΓ σε σηµείο, τέτοιο ώστε Β 3 =

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν 1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 191 Η έννοι της συνάρτησης ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Η έννοι της συνάρτησης, ως έκφρση μις εξάρτησης νάμεσ σε δύο συγκεκριμένες ποσότητες, εμφνίζετι μ ένν υπονοούμενο τρόπο ήδη πό την

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου ΟΕ Β (παραγ. 6.4)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου ΟΕ Β (παραγ. 6.4) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ότν σιγά σιγά άρχισ ν ενηµερώνοµι γύρω πό τις µθηµτικές γνώσεις των ρχίων Ελλήνων µθηµτικών κι µελετητών, ένοιωσ µεγάλη έκπληξη τόσο γι την ποιότητ κι ποσότητ των γνώσεών τους, όσο κι γι τη δική

Διαβάστε περισσότερα