ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τι οομάζεται συάρτηση Συάρτηση uncton είαι μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο άποιου άλλου συόλου Β Έστω η συάρτηση από το Α στο Β a Ποιο είαι το πεδίο ορισμού της b Πότε η λέγεται πραγματιή συάρτηση πραγματιής τιμής; a Το σύολο Α, που λέγεται πεδίο ορισμού της συάρτησης, b Α το Α είαι υποσύολο του συόλου R τω πραγματιώ αριθμώ, εώ το Β συμπίπτει με το R οι συαρτήσεις αυτές λέγοται πραγματιές συαρτήσεις πραγματιής μεταβλητής αι τις οποίες στο εξής θα τις λέμε απλώς συαρτήσεις 3 Τι οομάζουμε γραφιή παράσταση ή αμπύλη της Οομάζουμε γραφιή παράσταση ή αμπύλη της σε έα αρτεσιαό σύστημα συτεταγμέω Oy λέγεται το σύολο τω σημείω M, για όλα τα 4 Τι λέγεται εξίσωση της γραφιής παράστασης της Η εξίσωση y επαληθεύεται μόο από τα ζεύγη, y που είαι συτεταγμέες σημείω της γραφιής παράστασης της αι λέγεται εξίσωση της γραφιής παράστασης της Α, δυο συαρτήσεις πως ορίζοται οι πράξεις μεταξύ αυτώ του αθροίσματος της διαφοράς του γιομέου αι του πηλίου; Α δύο συαρτήσεις, ορίζοται αι οι δύο σε έα σύολο Α, τότε ορίζοται αι οι συαρτήσεις: Το άθροισμα S, με S, Η διαφορά Το γιόμεο Το πηλίο R, με D, με D, P, με P, αι R, όπου αι 6 Πότε μια συάρτηση λέγεται γησίως αύξουσα συάρτηση αι πότε γησίως φθίουσα συάρτηση Μια συάρτηση λέγεται γησίως αύξουσα σε έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, ότα για οποιαδήποτε σημεία, με ισχύει, αι γησίως φθίουσα στο Δ, ότα για οποιαδήποτε σημεία, με ισχύει 7 Πότε λέμε ότι μια συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει στο τοπιό μέγιστο αι πότε τοπιό ελάχιστο στο ; Μια συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει: Τοπιό μέγιστο στο, ότα για άθε σε μια περιοχή του, αι τοπιό ελάχιστο στο, ότα για άθε σε μια περιοχή του Οομάζουμε περιοχή του είαι έα αοιτό διάστημα το οποίο περιέχει το Σελίδα

2 Α η αισότητα ισχύει για άθε, τότε, η παρουσιάζει στο ολιό μέγιστο ή απλά μέγιστο, το Ομοίως για το ολιό ελάχιστο Τα μέγιστα αι τα ελάχιστα μιας συάρτησης, τοπιά ή ολιά, λέγοται αρότατα της συάρτησης 8 Πότε μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συεχής Μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συεχής, α για άθε lm ισχύει Χαρατηριστιό γώρισμα μιας συεχούς συάρτησης σε έα λειστό διάστημα είαι ότι η γραφιή της παράσταση είαι μια συεχής αμπύλη, δηλαδή για το σχεδιασμό της δε χρειάζεται α σηώσουμε το μολύβι από το χαρτί 9 Πότε μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της, α υπάρχει το lm αι είαι πραγματιός αριθμός Το όριο αυτό οομάζεται παράγωγος της στο αι συμβολίζεται με Δηλαδή: lm Τι εφράζει η παράγωγος της της στο Η παράγωγος της στο εφράζει το ρυθμό μεταβολής rate o cane του y ως προς το, ότα Ο συτελεστής διεύθυσης της εφαπτομέης της αμπύλης που είαι η γραφιή παράσταση μιας συάρτησης στο σημείο, θα είαι, δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της ως προς ότα Η ταχύτητα εός ιητού που ιείται ευθύγραμμα αι η θέση του στο άξοα ίησής του εφράζεται από τη συάρτηση t θα είαι τη χροιή στιγμή t υ t t δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της t ως προς t ότα t t εώ η επιτάχυση του ιητού είαι αt o = t t Τι οομάζεται πρώτη παράγωγος της Έστω μια συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, αι Β το σύολο τω στα οποία η είαι παραγωγίσιμη Τότε ορίζεται μια έα συάρτηση, με τη οποία άθε ατιστοιχίζεται στο lm Η συάρτηση αυτή λέγεται πρώτη παράγωγος dervatve της αι συμβολίζεται με ΠΡΟΣΟΧΗ: Η παράγωγος της στο είαι αριθμός το όριο εώ η παράγωγος της είαι συάρτηση που ατιστοιχεί σε άθε o αυτό το όριο Παραγώγιση Βασιώ Συαρτήσεω Η παράγωγος της σταθερής συάρτησης Έχουμε c c αι για,, οπότε lm Άρα c c Σελίδα

3 Σελίδα 3 Η παράγωγος της ταυτοτιής συάρτησης Έχουμε, αι για, Επομέως lm lm Άρα Η παράγωγος της συάρτησης ρ Έστω η συάρτηση Έχουμε, αι για, Επομέως, lm lm Άρα Αποδειύεται ότι, όπου φυσιός Καόες Παραγώγισης Η παράγωγος της συάρτησης c Έστω η συάρτηση c Έχουμε c c c, αι για c c Επομέως lm lm c c Άρα c c Η παράγωγος της συάρτησης Έστω η συάρτηση Έχουμε, αι για, Επομέως lm lm lm Άρα Να διατυπώσετε το ριτήριο της πρώτης παραγώγου για τη μοοτοία Α μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη σε έα διάστημα Δ αι ισχύει για άθε εσωτεριό σημείο του Δ, τότε η είαι γησίως αύξουσα στο Δ Α μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη σε έα διάστημα Δ αι ισχύει για άθε εσωτεριό σημείο του Δ, τότε η είαι γησίως φθίουσα στο Δ 4

4 3 Να διατυπώσετε το ριτήριο της πρώτης παραγώγου για τα αρότατα Α για μια συάρτηση ισχύου για α, β, στο α, αι στο, β, τότε η παρουσιάζει στο διάστημα α, β για μέγιστο Α για μια συάρτηση ισχύου για α, β, στο α, αι στο, β, τότε η παρουσιάζει στο διάστημα α, β για ελάχιστο η διατηρεί πρόσημο στο α,, β, τότε το δε είαι τοπιό αρότατο αι η είαι γησίως μοότοη στο α, β ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βασιές έοιες Στατιστιή είαι έα σύολο αρχώ αι μεθοδολογιώ για: το σχεδιασμό της διαδιασίας συλλογής δεδομέω τη συοπτιή αι αποτελεσματιή παρουσίασή τους τη αάλυση αι εξαγωγή ατίστοιχω συμπερασμάτω Πληθυσμός populaton είαι έα σύολο του οποίου εξετάζουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρατηριστιά τους Τα στοιχεία του πληθυσμού συχά ααφέροται αι ως μοάδες ή άτομα του πληθυσμού Μεταβλητές λέγοται τα χαρατηριστιά ως προς τα οποία εξετάζουμε έα πληθυσμό varables αι τις συμβολίζουμε συήθως με τα εφαλαία γράμματα X, Y, Z,, Τιμές της μεταβλητής λέγοται οι δυατές τιμές που μπορεί α πάρει μια μεταβλητή Από τη διαδοχιή εξέταση τω ατόμω του πληθυσμού ως προς έα χαρατηριστιό τους προύπτει μια σειρά από δεδομέα, που λέγοται στατιστιά δεδομέα ή παρατηρήσεις Τα στατιστιά δεδομέα δε είαι ατ αάγη διαφορετιά ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εξετάζουμε τη ομάδα αίματος δέα ατόμω, τα στατιστιά δεδομέα ή παρατηρήσεις που θα προύψου μπορεί α είαι: Α, Α, Β, Α, ΑΒ, Ο, ΑΒ, ΑΒ, ΑΒ, Ο, Β Οι δυατές όμως τιμές που μπορεί α πάρει η μεταβλητή ομάδα αίματος είαι οι εξής τέσσερις: Α, Β, ΑΒ αι Ο Ο πληθυσμός είαι το σύολο τω δέα ατόμω αι μεταβλητή είαι η ομάδα αίματος Τις μεταβλητές τις διαρίουμε: Σε ποιοτιές ή ατηγοριές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές τους δε είαι αριθμοί Τέτοιες είαι, για παράδειγμα, η ομάδα αίματοςμε τιμές Α, Β, ΑΒ, Ο, το φύλο με τιμές αγόρι, ορίτσι, οι συέπειες του απίσματος με τιμές αρδιαά οσήματα, αρίος τλ, όπως επίσης αι η οιοομιή ατάσταση αι η υγεία τω αθρώπω που μπορεί α χαρατηριστεί ως αή, μέτρια, αλή ή πολύ αλή, αθώς αι το εδιαφέρο τω μαθητώ για τη Στατιστιή, που μπορεί α χαρατηριστεί ως υψηλό, μέτριο, χαμηλό ή μηδαμιό Σε ποσοτιές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές είαι αριθμοί αι διαρίοται: Σε διαριτές μεταβλητές, που παίρου μόο μεμοωμέες τιμές Τέτοιες μεταβλητές είαι, για παράδειγμα, ο αριθμός τω υπαλλήλω μιας επιχείρησης με τιμές,,, το αποτέλεσμα της ρίψης εός ζαριού με τιμές,,,6 τλ Σε συεχείς μεταβλητές, που μπορού α πάρου οποιαδήποτε τιμή εός διαστήματος πραγματιώ αριθμώ α, β Τέτοιες μεταβλητές είαι το ύψος αι το βάρος τω μαθητώ της Γ Λυείου, ο χρόος που χρειάζοται οι μαθητές α απατήσου στα θέματα μιας εξέτασης, η διάρεια μιας τηλεφωιής συδιάλεξης τλ Απογραφή census Έας τρόπος για α πάρουμε τις απαραίτητες πληροφορίες που χρειαζόμαστε για άποιο πληθυσμό είαι α εξετάσουμε όλα τα άτομα στοιχεία του Σελίδα 4

5 πληθυσμού ως προς το χαρατηριστιό που μας εδιαφέρει Η μέθοδος αυτή συλλογής τω δεδομέω αλείται απογραφή Δείγμα οομάζουμε άθε υποσύολο του πληθυσμού Έα δείγμα θεωρείται ατιπροσωπευτιό εός πληθυσμού, εά έχει επιλεγεί ατά τέτοιο τρόπο, ώστε άθε μοάδα του πληθυσμού α έχει τη ίδια δυατότητα α επιλεγεί Οι αρχές αι οι μέθοδοι για τη συλλογή αι αάλυση δεδομέω από πεπερασμέους πληθυσμούς είαι το ατιείμεο της δειγματοληψίας που αποτελεί τη βάση της Στατιστιής Στατιστιοί Πίαες Οι πίαες διαρίοται στους: α γειούς πίαες, οι οποίοι περιέχου όλες τις πληροφορίες που προύπτου από μία στατιστιή έρευα συήθως με αρετά λεπτομερειαά στοιχεία αι αποτελού πηγές στατιστιώ πληροφοριώ στη διάθεση τω επιστημόω-ερευητώ για παραπέρα αάλυση αι εξαγωγή συμπερασμάτω, β ειδιούς πίαες, οι οποίοι είαι συοπτιοί αι σαφείς Τα στοιχεία τους συήθως έχου ληφθεί από τους γειούς πίαες Κάθε πίαας που έχει ατασευαστεί σωστά πρέπει α περιέχει: α το τίτλο, που γράφεται στο επάω μέρος του πίαα αι δηλώει με σαφήεια αι συοπτιά το περιεχόμεο του πίαα, β τις επιεφαλίδες τω γραμμώ αι στηλώ, που δείχου συοπτιά τη φύση αι τις μοάδες μέτρησης τω δεδομέω, γ το ύριο σώμα ορμό, που περιέχει διαχωρισμέα μέσα στις γραμμές αι στις στήλες τα στατιστιά δεδομέα, δ τη πηγή, που γράφεται στο άτω μέρος του πίαα αι δείχει τη προέλευση τω στατιστιώ στοιχείω, έτσι ώστε ο ααγώστης α αατρέχει σ αυτή, ότα επιθυμεί, για επαλήθευση στοιχείω ή για λήψη περισσότερω πληροφοριώ Ας υποθέσουμε ότι,,, είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα εός δείγματος μεγέθους v, Συχότητα : Στη τιμή ατιστοιχίζεται η απόλυτη συχότητα requency, δηλαδή ο φυσιός αριθμός που δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή της εξεταζόμεης μεταβλητής Χ στο σύολο τω παρατηρήσεω Ισχύει : v Σχετιή συχότητα : Α διαιρέσουμε τη συχότητα με το μέγεθος του δείγματος, προύπτει η σχετιή συχότητα relatve requency της τιμής, δηλαδή,,,, Για τη σχετιή συχότητα ισχύου οι ιδιότητες: για,,, αφού, αφού Συήθως, τις σχετιές συχότητες τις εφράζουμε επί τοις εατό, οπότε συμβολίζοται με %, δηλαδή % Πίαας συχοτήτω: Οι ποσότητες,, για έα δείγμα συγετρώοται σε έα συοπτιό πίαα, που οομάζεται πίαας αταομής συχοτήτω ή απλά πίαας συχοτήτω Καταομή συχοτήτω: Για μια μεταβλητή, το σύολο τω ζευγώ, λέμε ότι αποτελεί τη αταομή συχοτήτω αι το σύολο τω ζευγώ,, ή τω ζευγώ, %, τη αταομή τω σχετιώ συχοτήτω Σελίδα

6 Αθροιστιή συχότητα Ν μιας τιμής μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, λέγεται το άθροισμα τω συχοτήτω τω τιμώ που έχου τιμή μιρότερη ή ίση με τη, δηλαδή N,για,,, Ισχύει N N Αθροιστιή σχετιή συχότητα μιας τιμής μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, λέγεται το άθροισμα τω σχετιώ συχοτήτω τω τιμώ που έχου τιμή μιρότερη ή ίση με τη δηλαδή :,για,,, Ισχύει Γραφιή Παράσταση Καταομής Συχοτήτω v H/Y Διασέδαση - Ντίσο Τηλεόραση- Κιηματογρ ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ για ποιοτιές μεταβλητές Άλλο 3 αδέλφια ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ για ποσοτιές μεταβλητές α = 36 o ΚΥΚΛΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ για ποσοτιές αι ποιοτιές μεταβλητές v Υψος σε cm,9,8,7,6,,4,3,, Ύψος σε cm,37,3,,, Ύψος σε cm Ιστόγραμμα συχοτήτω Ιστόγραμμα αι πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω Καμπύλη σχετιώ συχοτήτω Το ραβδόγραμμα barcart χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τω τιμώ μιας ποιοτιής μεταβλητής Το ραβδόγραμμα αποτελείται από ορθογώιες στήλες που οι βάσεις τους βρίσοται πάω στο οριζότιο ή το αταόρυφο άξοα Σε άθε τιμή της μεταβλητής Χ ατιστοιχεί μια ορθογώια στήλη της οποίας το ύψος είαι ίσο με τη ατίστοιχη συχότητα ή σχετιή συχότητα Έτσι έχουμε ατίστοιχα το ραβδόγραμμα συχοτήτω αι το ραβδόγραμμα σχετιώ συχοτήτω Τόσο η απόσταση μεταξύ τω στηλώ όσο αι το μήος τω βάσεώ τους αθορίζοται αυθαίρετα Διάγραμμα συχοτήτω Στη περίπτωση που έχουμε μια ποσοτιή μεταβλητή ατί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχοτήτω lne daram Αυτό μοιάζει με το ραβδόγραμμα με μόη διαφορά ότι ατί α χρησιμοποιούμε συμπαγή ορθογώια υψώουμε σε άθε υποθέτοτας ότι μία άθετη γραμμή με μήος ίσο προς τη ατίστοιχη συχότητα, όπως φαίεται στο σχήμα α Μπορούμε επίσης ατί τω συχοτήτω στο άθετο άξοα α βάλουμε τις σχετιές συχότητες, οπότε έχουμε το διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω Εώοτας τα σημεία, ή, έχουμε το λεγόμεο πολύγωο συχοτήτω ή πολύγωο σχετιώ συχοτήτω, ατίστοιχα, που μας δίου μια γειή ιδέα για τη μεταβολή της συχότητας ή της σχετιής συχότητας όσο μεγαλώει η τιμή της μεταβλητής που εξετάζουμε, βλέπε σχήμα β Σελίδα 6

7 3 αδέλφια 3 αδέλφια α β Διάγραμμα συχοτήτω α αι πολύγωο συχοτήτω β για τη μεταβλητή αριθμός αδελφώ του παραπάω πίαα Το υλιό διάγραμμα pecart χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τόσο τω ποιοτιώ όσο αι τω ποσοτιώ δεδομέω, ότα οι διαφορετιές τιμές της μεταβλητής είαι σχετιά λίγες Το υλιό διάγραμμα είαι έας υλιός δίσος χωρισμέος σε υλιούς τομείς, τα εμβαδά ή,ισοδύαμα, τα τόξα τω οποίω είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες ή τις σχετιές συχότητες τω τιμώ της μεταβλητής Α συμβολίσουμε με α το ατίστοιχο τόξο εός υλιού τμήματος στο υλιό διάγραμμα συχοτήτω, τότε o 36 o α 36 για,,, Σημειόγραμμα: Ότα έχουμε λίγες παρατηρήσεις, η αταομή τους μπορεί α περιγραφεί με το σημειόγραμμα dot daram, στο οποίο οι τιμές παριστάοται γραφιά σα σημεία υπεράω εός οριζότιου άξοα Στο σχήμα έχουμε το σημειόγραμμα τω χρόω σε λεπτά 4,,3,,,6,4,,3,4,7,4,8,6,3 που χρειάστηα δεαπέτε μαθητές, για α λύσου έα πρόβλημα χρόος σε λεπτά Το χροόγραμμα ή χροολογιό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή απειόιση της διαχροιής εξέλιξης εός οιοομιού, δημογραφιού ή άλλου μεγέθους Ο οριζότιος άξοας χρησιμοποιείται συήθως ως άξοας μέτρησης του χρόου αι ο άθετος ως άξοας μέτρησης της εξεταζόμεης μεταβλητής Στο σχήμα έχουμε το χροόγραμμα του ποσοστού αεργίας στη χώρα μας από το 99 έως το 99 Πηγή ΕΣΥΕ % Θήλεις Σύολο Άρρεες Ομαδοποίηση τω Παρατηρήσεω Κλάσεις : Ότα το πλήθος τω τιμώ μιας μεταβλητής είαι αρετά μεγάλο είαι απαραίτητο α ταξιομηθού ομαδοποιηθού τα δεδομέα σε μιρό πλήθος ομάδω, που οομάζοται αι λάσεις class ntervals Οι λάσεις είαι της μορφής [ α, β, [β, γ, Όρια τω λάσεω λέγοται τα άρα τω λάσεω Κετριή τιμή μιας λάσης λέγεται το ημιάθροισμα τω άρω της λάσης Πλάτος μιας λάσης λέγεται η διαφορά του ατώτερου από το αώτερο άρο της λάσης Σελίδα 7

8 Εύρος του δείγματος rane R οομάζουμε τη διαφορά της μιρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του δείγματος Συχότητα της λάσης ή συχότητα της ετριής τιμής,,,, αλείται το πλήθος τω παρατηρήσεω που προύπτου από τη διαλογή για τη λάση ΣΧΟΛΙΑ : Οι παρατηρήσεις άθε λάσης θεωρούται όμοιες, οπότε μπορού α ατιπροσωπευθού από τις ετριές τιμές, τα έτρα δηλαδή άθε λάσης Οι παρατηρήσεις άθε λάσης θεωρούται ομοιόμορφα αταεμημέες σε άθε λάση οπότε για παράδειγμα οι μισές παρατηρήσεις άθε λάσης βρίσοται αριστερά του έτρου λάσης αι οι μισές δεξιά αυτού Ιστόγραμμα Συχοτήτω Ιστόγραμμα συχοτήτω οομάζεται η ατίστοιχη γραφιή παράσταση εός πίαα συχοτήτω με ομαδοποιημέα δεδομέα Πως ατασευάζεται: Στο οριζότιο άξοα εός συστήματος ορθογωίω αξόω σημειώουμε, με ατάλληλη λίμαα, τα όρια τω λάσεω Στη συέχεια, ατασευάζουμε διαδοχιά ορθογώια ιστούς, από αθέα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της λάσης αι ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδό του ορθογωίου α ισούται με τη συχότητα της λάσης αυτής ΕΙΔΙΚΑ : Σε Κλάσεις Ίσου Πλάτους Θεωρώτας το πλάτος c ως μοάδα μέτρησης του χαρατηριστιού στο οριζότιο άξοα, το ύψος άθε ορθογωίου είαι ίσο προς τη συχότητα της ατίστοιχης λάσης, έτσι ώστε α ισχύει πάλι ότι το εμβαδό τω ορθογωίω είαι ίσο με τις ατίστοιχες συχότητες Επομέως, στο αταόρυφο άξοα σε έα ιστόγραμμα συχοτήτω βάζουμε τις συχότητες Με αάλογο τρόπο ατασευάζεται αι το ιστόγραμμα σχετιώ συχοτήτω, οπότε στο άθετο άξοα βάζουμε τις σχετιές συχότητες Πολύγωο Συχοτήτω Α στα ιστογράμματα συχοτήτω θεωρήσουμε δύο αόμη υποθετιές λάσεις, στη αρχή αι στο τέλος, με συχότητα μηδέ αι στη συέχεια εώσουμε τα μέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω, σχηματίζεται το λεγόμεο πολύγωο συχοτήτω requency polyon Το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω αι το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το άθροισμα τω συχοτήτω, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος Όμοια ατασευάζεται από το ιστόγραμμα σχετιώ συχοτήτω αι το πολύγωο σχετιώ συχοτήτω με εμβαδό ίσο με, Με το ίδιο τρόπο ατασευάζοται αι τα ιστογράμματα αθροιστιώ συχοτήτω αι,9 αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω,8 Α εώσουμε σε έα ιστόγραμμα,7,6 αθροιστιώ συχοτήτω τα δεξιά, άρα όχι μέσα τω άω βάσεω τω,4,3 ορθογωίω με ευθύγραμμα τμήματα, βρίσουμε το πολύγωο αθροιστιώ, συχοτήτω ove της αταομής 6 Στο σχήμα παριστάεται το ιστόγραμμα αι το πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω για το ύψος τω μαθητώ του πίαα Ύψος σε cm Σελίδα 8

9 Καμπύλες Συχοτήτω,37,3,,, Ύψος σε cm Εά υποθέσουμε ότι ο αριθμός τω λάσεω για μια συεχή μεταβλητή είαι αρετά μεγάλος τείει στο άπειρο αι ότι το πλάτος τω λάσεω είαι αρετά μιρό τείει στο μηδέ, τότε η πολυγωιή γραμμή συχοτήτω τείει α πάρει τη μορφή μιας ομαλής αμπύλης, η οποία οομάζεται αμπύλη συχοτήτω Μεριές χαρατηριστιές αταομές συχοτήτω α β α ομοιόμορφη αταομή β αοιή αταομή γ ασύμμετρη αταομή θετιή ασσυμετρία δ ασύμμετρη αταομή αρητιή ασσυμετρία Καοιή αταομή Η αταομή β, με ωδωοειδή μορφή λέγεται αοιή αταομή normal dstrbuton αι παίζει σπουδαίο ρόλο στη Στατιστιή Ομοιόμορφη αταομή Ότα οι παρατηρήσεις αταέμοται ομοιόμορφα σε έα διάστημα [α, β], όπως στη αταομή α, η αταομή λέγεται ομοιόμορφη Ασύμμετρη Ότα οι παρατηρήσεις δε είαι συμμετριά αταεμημέες, η αταομή λέγεται ασύμμετρη με θετιή ασυμμετρία όπως στη αταομή γ ή αρητιή ασυμμετρία όπως στη αταομή δ Η μορφή μιας αταομής συχοτήτω εξαρτάται από το πώς είαι αταεμημέες οι παρατηρήσεις σε όλη τη έταση του εύρους τους ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Μέτρα θέσης μιας αταομής οομάζουμε τα μέτρα που μας δίου τη θέση του έτρου τω παρατηρήσεω στο οριζότιο άξοα Μέση Τιμή ορίζεται ως το άθροισμα τω παρατηρήσεω διά του πλήθους τω παρατηρήσεω Ότα σε έα δείγμα μεγέθους οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είαι t, t,, tv, τότε η μέση τιμή συμβολίζεται με αι δίεται από τη σχέση: t t t γ t,,, Σε μια αταομή συχοτήτω, α είαι οι τιμές της μεταβλητής Χ με συχότητες v, v,, v ατίστοιχα, η μέση τιμή ορίζεται ισοδύαμα από τη σχέση: Η παραπάω σχέση ισοδύαμα γράφεται: όπου οι σχετιές συχότητες t δ Σελίδα 9

10 Σταθμιός Μέσος Στις περιπτώσεις που δίεται διαφορετιή βαρύτητα έμφαση στις τιμές,,, εός συόλου δεδομέω, τότε ατί του αριθμητιού μέσου χρησιμοποιούμε το σταθμισμέο αριθμητιό μέσο ή σταθμιό μέσο weted mean Εά σε άθε τιμή,,, δώσουμε διαφορετιή βαρύτητα, που εφράζεται με τους λεγόμεους συτελεστές στάθμισης βαρύτητας w, w,, w, τότε ο σταθμιός μέσος βρίσεται από το τύπο: w w w w w w Διάμεσος δ Οι χρόοι σε λεπτά που χρειάστηα 9 μαθητές, για α λύσου έα πρόβλημα είαι: 3,,, 36, 6, 7, 4, 7, 8 με μέση τιμή 9 Παρατηρούμε όμως ότι οι οτώ από τις εέα παρατηρήσεις είαι μιρότερες του 9 αι μία αραία τιμή, η οποία επηρεάζει αι τη μέση τιμή είαι, αρετά μεγαλύτερη του 9 Αυτό σημαίει ότι η μέση τιμή δε εδείυται ως μέτρο θέσης έτρο τω παρατηρήσεω αυτώ Ατίθετα, έα άλλο μέτρο θέσης που δε επηρεάζεται από αραίες παρατηρήσεις είαι η διάμεσος medan, η οποία ορίζεται ως εξής: Διάμεσος δ εός δείγματος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος ημιάθροισμα τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθμός ΣΧΟΛΙΟ : Παρατηρούμε ότι, η διάμεσος είαι η τιμή που χωρίζει έα σύολο παρατηρήσεω σε δύο ίσα μέρη ότα οι παρατηρήσεις αυτές τοποθετηθού με σειρά τάξης μεγέθους Αριβέστερα, η διάμεσος είαι η τιμή για τη οποία το πολύ % τω παρατηρήσεω είαι μιρότερες από αυτή αι το πολύ % τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες από τη τιμή αυτή Διάμεσος σε Ομαδοποιημέα Δεδομέα : Θεωρούμε τα δεδομέα του ύψους τω μαθητώ στο παραπάω πίαα αι το ατίστοιχο ιστόγραμμα αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω με τη πολυγωιή γραμμή, σχήμα 3 Η διάμεσος, όπως ορίστηε, ατιστοιχεί στη τιμή δ της μεταβλητής Χ στο οριζότιο άξοα, έτσι ώστε το % τω παρατηρήσεω α είαι μιρότερες ή ίσες του δ Δηλαδή, η διάμεσος θα έχει αθροιστιή σχετιή συχότητα % Εφόσο στο άθετο άξοα έχουμε τις αθροιστιές σχετιές συχότητες, από το σημείο Α % τω παρατηρήσεω φέρουμε τη // αι στη συέχεια τη Γ Τότε, στο σημείο Γ ατιστοιχεί η διάμεσος δ τω παρατηρήσεω Δηλαδή, δ % w Γ μέτρα διασποράς ή μεταβλητότητας λέγοται τα μέτρα που εφράζου τις απολίσεις τω τιμώ μιας μεταβλητής γύρω από τα μέτρα ετριής τάσης Εύρος ή ύμαση R ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση, δηλαδή: Εύρος: δ R = Μεγαλύτερη παρατήρηση-μιρότερη παρατήρηση w Σελίδα

11 Έας άλλος τρόπος για α υπολογίσουμε τη διασπορά τω παρατηρήσεω t, t,, tv μιας μεταβλητής Χ θα ήτα α αφαιρέσουμε τη μέση τιμή από άθε παρατήρηση αι α βρούμε το αριθμητιό μέσο τω διαφορώ αυτώ, δηλαδή το αριθμό: t t t tv v v Ο αριθμός όμως αυτός είαι ίσος με μηδέ, αφού t t tv t t tv v v v v Γι αυτό, ως έα μέτρο διασποράς παίρουμε το μέσο όρο τω τετραγώω τω απολίσεω τω t από τη μέση τιμή τους Διαύμαση ή διασπορά s είαι το μέτρο διασποράς που ορίζεται ως μέσο όρο τω τετραγώω τω απολίσεω τω t από τη μέση τιμή τους αι ορίζεται από τη σχέση s t Ο τύπος αυτός αποδειύεται ότι μπορεί α πάρει τη ισοδύαμη μορφή: t s t t v v η οποία διευολύει σηματιά τους υπολογισμούς υρίως ότα η μέση τιμή δε είαι αέραιος αριθμός Ότα έχουμε πίαα συχοτήτω ή ομαδοποιημέα δεδομέα, η διαύμαση ορίζεται από τη σχέση: s ή τη ισοδύαμη μορφή: v s v v v v όπου,,, οι τιμές της μεταβλητής ή τα έτρα τω λάσεω με ατίστοιχες,,, συχότητες Τυπιή Απόλιση s είαι η θετιή τετραγωιή ρίζα της διαύμασης αι δίεται από τη σχέση: s s ΣΧΟΛΙΟ : Η διαύμαση δε εφράζεται με τις μοάδες με τις οποίες εφράζοται οι παρατηρήσεις εώ η τυπιή απόλιση εφράζεται με τις ίδιες μοάδες Για παράδειγμα, α οι παρατηρήσεις εφράζοται σε cm, η διαύμαση εφράζεται σε απόλιση σε cm Συτελεστής Mεταβολής CV : ορίζεται από το λόγο: τυπιή απόλιση s CV % % μέση τιμή cm εώ η τυπιή Α < τότε ατί για χρησιμοποιούμε ΣΧΟΛΙΑ: Ο συτελεστής μεταβολής εφράζεται επί τοις εατό, είαι συεπώς αεξάρτητος από τις μοάδες μέτρησης αι παριστάει έα μέτρο σχετιής διασποράς τω τιμώ αι όχι της απόλυτης διασποράς, όπως έχουμε δει έως τώρα Εφράζει, δηλαδή, τη μεταβλητότητα τω δεδομέω απαλλαγμέη από τη επίδραση της μέσης τιμής Σελίδα

12 Δεχόμαστε ότι έα δείγμα τιμώ μιας μεταβλητής θα είαι ομοιογεές, εά ο συτελεστής μεταβολής δε ξεπερά το % ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έστω,,, v παρατηρήσεις με μέση τιμή αι τυπιή απόλιση, y y α Α y,, v είαι οι παρατηρήσεις που προύπτου α προσθέσουμε σε αθεμιά από τις,,, v μια σταθερά c, τότε: y c, s y s β Α y, y,, yv είαι οι παρατηρήσεις που προύπτου α πολλαπλασιάσουμε τις,,, v επί μια σταθερά c, τότε: y c, s y c s s ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Αξίζει α σημειωθεί ότι α η αμπύλη συχοτήτω για το χαρατηριστιό που εξετάζουμε είαι αοιή ή περίπου αοιή, τότε η τυπιή απόλιση s έχει τις παραάτω ιδιότητες: το 68% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσεται στο διάστημα s, s το 9% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσεται στο διάστημα s, s s s το 99,7% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσεται στο διάστημα 3s, 3s 3s s s s s 3s v το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπιές απολίσεις, δηλαδή R 6 s ΜΕΤΡΑ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Ετός από τα μέτρα θέσης αι διασποράς μιας αταομής πολλές φορές είαι απαραίτητος αι ο προσδιορισμός άποιω άλλω μέτρω, που αθορίζου τη μορφή της αταομής Κατά πόσο δηλαδή η ατίστοιχη αμπύλη συχοτήτω είαι συμμετριή ή όχι ως προς τη ευθεία, για δεδομέο σημείο του άξοα Τα μέτρα αυτά, που συήθως εφράζοται σε συάρτηση με τα μέτρα θέσης αι διασποράς, αλούται μέτρα ασυμμετρίας measures o skewness Υπολογίζοτας από έα σύολο δεδομέω άποια από τα αωτέρω μέτρα, μπορούμε α έχουμε μια σύτομη περιγραφή της μορφής της αμπύλης συχοτήτω Στο Γ σχήμα οι αμπύλες συχοτήτω Α αι Β Δ είαι συμμετριές με το ίδιο έτρο, αλλά η Β έχει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από τη Α Οι αμπύλες Γ αι Δ είαι ασύμμετρες, με τη Γ όπως λέμε α παρουσιάζει θετιή ασυμμετρία αι τη Δ αρητιή ασυμμετρία Το έτρο της Γ είαι αριστερότερα του, εώ της Δ είαι δεξιότερα του Η Δ παρουσιάζει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από τη Γ 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τι λέγεται αιτιορατιό πείραμα 68% 9% 99,7% Κάθε πείραμα ατά το οποίο η γώση τω συθηώ άτω από τις οποίες ετελείται αθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιορατιό determnstc πείραμα Σελίδα

13 Τι οομάζεται πείραμα τύχης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έα πείραμα οομάζεται πείραμα τύχης ότα δε μπορούμε ε τω προτέρω α προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολοότι επααλαμβάοται φαιομειά τουλάχιστο άτω από τις ίδιες συθήες 3 Ποια λέγοται δυατά αποτελέσματα ή δυατές περιπτώσεις του πειράματος τύχης Όλα τα αποτελέσματα που μπορού α εμφαιστού σε έα πείραμα τύχης λέγοται δυατά αποτελέσματα ή δυατές περιπτώσεις του πειράματος 4 Τι λέγεται δειγματιός χώρος Δειγματιός χώρος του πειράματος τύχης λέγεται το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω Τι λέγεται εδεχόμεο Το σύολο που έχει ως στοιχεία έα ή περισσότερα αποτελέσματα εός πειράματος τύχης λέγεται εδεχόμεο event ή γεγοός 6 Πότε έα εδεχόμεο λέγεται απλό αι πότε σύθετο Έα εδεχόμεο λέγεται απλό ότα έχει έα μόο στοιχείο αι σύθετο α έχει περισσότερα στοιχεία 7 Πότε λέμε ότι το εδεχόμεο πραγματοποιείται ή συμβαίει Ότα το αποτέλεσμα εός πειράματος, σε μια συγεριμέη ετέλεσή του είαι στοιχείο εός εδεχομέου, τότε λέμε ότι το εδεχόμεο αυτό πραγματοποιείται ή συμβαίει Γι αυτό τα στοιχεία εός εδεχομέου λέγοται αι ευοϊές περιπτώσεις για τη πραγματοποίησή του 8 Ποιο λέγεται βέβαιο εδεχόμεο Βέβαιο εδεχόμεο είαι εδεχόμεο, το οποίο πραγματοποιείται πάτοτε Ο ίδιος ο δειγματιός χώρος Ω εός πειράματος θεωρείται ότι είαι εδεχόμεο, το οποίο μάλιστα πραγματοποιείται πάτοτε, αφού όποιο αι α είαι το αποτέλεσμα του πειράματος θα αήει στο Ω Γι αυτό το Ω λέγεται βέβαιο εδεχόμεο 9 Ποιο λέγεται αδύατο εδεχόμεο Αδύατο εδεχόμεο λέγεται το εδεχόμεο που δε πραγματοποιείται σε αμιά ετέλεση του πειράματος τύχης Δεχόμαστε ως εδεχόμεο αι το εό σύολο που δε πραγματοποιείται σε αμιά ετέλεση του πειράματος τύχης Γι αυτό λέμε ότι το είαι το αδύατο εδεχόμεο Πράξεις με Εδεχόμεα Το εδεχόμεο Α πραγματοποιείται Το εδεχόμεο Α δε πραγματοποιείται Έα τουλάχιστο από τα Α αι Β πραγματοποιείται Πραγματοποιούται αμφότερα ταυτόχροα τα Α αι Β Δε πραγματοποιείται αέα από τα Α αι Β Πραγματοποιείται μόο το Α Η πραγματοποίηση του Α συεπάγεται τη πραγματοποίηση του Β ω ω ή ω ω ω ω ω ή ω Σελίδα 3

14 Πότε δυο εδεχόμεα λέγοται ασυμβίβαστα Δύο εδεχόμεα Α αι Β λέγοται ασυμβίβαστα, ότα Δύο ασυμβίβαστα εδεχόμεα λέγοται επίσης ξέα μεταξύ τους ή αμοιβαίως απολειόμεα Τι οομάζεται σχετιή συχότητα του εδεχομέου Α Α σε ετελέσεις εός πειράματος έα εδεχόμεο Α πραγματοποιείται φορές, τότε ο λόγος v οομάζεται σχετιή συχότητα του Α αι συμβολίζεται με Ιδιαίτερα α ο δειγματιός χώρος εός πειράματος είαι το πεπερασμέο σύολο Ω ω, ω,, ω } αι σε ετελέσεις του πειράματος αυτού τα απλά εδεχόμεα { λ { ω }, { ω},,{ ωλ πραγματοποιούται,,, λ φορές ατιστοίχως, τότε για τις λ σχετιές συχότητες,,, λ τω απλώ εδεχομέω θα έχουμε: v v v,,,, λ αφού v λ v λ v v Τι οομάζεται στατιστιή ομαλότητα ή όμος τω μεγάλω αριθμώ Οι σχετιές συχότητες πραγματοποίησης τω εδεχομέω εός πειράματος σταθεροποιούται γύρω από άποιους αριθμούς όχι πάτοτε ίδιους, αθώς ο αριθμός τω δοιμώ του πειράματος επααλαμβάεται απεριόριστα Το εμπειριό αυτό εξαγόμεο, το οποίο επιβεβαιώεται αι θεωρητιά, οομάζεται στατιστιή ομαλότητα ή όμος τω μεγάλω αριθμώ 3 Ποιος είαι λασιός ορισμό της πιθαότητας Σε έα πείραμα με ισοπίθαα αποτελέσματα ορίζουμε ως πιθαότητα του εδεχομέου Α το αριθμό: Πλήθος Ευοϊώ Περιπτώσεω N P Πλήθος Δυατώ Περιπτώσεω N Ω 4 Ποιος είαι ο Αξιωματιός Ορισμός Πιθαότητας Έστω ω, ω,, ω } έας δειγματιός χώρος με πεπερασμέο πλήθος στοιχείω Σε { άθε απλό εδεχόμεο { ω } ατιστοιχίζουμε έα πραγματιό αριθμό, που το συμβολίζουμε με P ω, έτσι ώστε α ισχύου: P P P P Το αριθμό P οομάζουμε πιθαότητα του εδεχομέου { } Ως πιθαότητα P εός εδεχομέου {,,, } ορίζουμε το άθροισμα ΡΑ= P P P, εώ Ως πιθαότητα του αδύατου εδεχομέου ορίζουμε το αριθμό P Καόες Λογισμού τω Πιθαοτήτω Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους εδεχόμεα Α αι Β ισχύει: P P P Ω Σελίδα 4

15 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Α N αι N λ, τότε το έχει λ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α αι Β δε θα ήτα ασυμβίβαστα Δηλαδή, έχουμε N λ N N Επομέως: P N N Ω N N N Ω N N N Ω N Ω P P Η ιδιότητα αυτή είαι γωστή ως απλός προσθετιός όμος smply addtve law αι ισχύει αι για περισσότερα από δύο εδεχόμεα Έτσι, α τα εδεχόμεα Α, Β αι Γ είαι αά δύο ασυμβίβαστα θα έχουμε P Γ P P P Γ Για δύο συμπληρωματιά εδεχόμεα Α αι ισχύει: P P ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή, δηλαδή τα Α αι είαι ασυμβίβαστα, έχουμε διαδοχιά, σύμφωα με το απλό προσθετιό όμο: P P P P P P P P Οπότε P P Ω 3 Για δύο εδεχόμεα Α αι Β εός δειγματιού χώρου Ω ισχύει: P P P P ΑΠΟΔΕΙΞΗ Για δυο εδεχόμεα Α αι Β έχουμε N N N N, αφού στο άθροισμα N N το πλήθος τω στοιχείω του υπολογίζεται δυο φορές Α διαιρέσουμε τα μέλη της με N έχουμε: Ω N N N N N N N N αι επομέως P P P P Η ιδιότητα αυτή είαι γωστή ως προσθετιός όμος addtve law 4 Α, τότε P P ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή έχουμε διαδοχιά: N N N N N Ω N Ω P P Ω Σελίδα

16 Για δύο εδεχόμεα Α αι Β εός δειγματιού χώρου Ω ισχύει P P P ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τα εδεχόμεα αι είαι ασυμβίβαστα αι, έχουμε: P P P Άρα P P P Ω Σελίδα 6

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΕ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Tι ονομάζουμε συνάρτηση ; Tι ονομάζουμε πραγματιή συνάρτηση πραγματιής μεταβλητής; Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 4 o Γενιό Λύειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματιά Γενιής Παιδείας γ Ασήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr 4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Ο όρος Στατιστική εδεχομέως α προέρχεται από τη λατιική λέξη status (πολιτεία, κράτος) η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικώ δεδομέω που ααφέροται κυρίως στο

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ 1 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κλάσµα : Είαι το µαθηµατιό σύµβολο το οποίο δηλώει σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε το όλο αι πόσα µέρη πήραµε Κλάσµα : πόσα µέρη πήραµε σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε : αριθµητής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 2 ο. Στατιστική

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 2 ο. Στατιστική Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Κεφάλαιο Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Γˊ Λυκείου Κεφάλαιο ο Στατιστική ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστική είαι έα σύολο αρχώ και μεθοδολογιώ για: το σχεδιασμό της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f()) =c f (), ΙR. B.α. Πότε δύο ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α) Λάθος (βλέπε σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου, Το σωστό

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress.

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress. 3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ttp://cutemats.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

3. Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών)

3. Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών) Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών) Μια «πολύπλοη» συνάρτηση f, δυό μεταβλητών, μπορεί να προσεγγιστεί (στην γειτονιά ενός σημείου (,y)) από μια πολυωνιμιή συνάρτηση με την βοήθεια του αναπτύγματος

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1 1 1 1 1 1. Η ακολουθία,,,,,... είαι αριθμητική πρόοδος. 4 6 8 10.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ

4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αρχή της Μαθηµατιής Επαγωγής Έστω ισχυρισµός Ρ(), όπου θετιός αέραιος. Α (i) Ρ αληθής αι (ii) Ρ() Ρ( + 1) για άθε, τότε Ρ() αληθής για άθε.. Αισότητα Bernoulli (1 +α

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! taexeiola.blogspot.com 6 ο ΥΜΝΑΣΙΟ ΡΟΔΟΥ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΑΞΗ Β' ΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΡΟΔΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

xdx και κ xdx x. Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 1 9 8 3 8 9 ) 1 Να αποδειχθει οτι : α) Η συναρτηση f με f(x)= x ειναι γνησιως αυξουσα.

xdx και κ xdx x. Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 1 9 8 3 8 9 ) 1 Να αποδειχθει οτι : α) Η συναρτηση f με f(x)= x ειναι γνησιως αυξουσα. Π α ν ε λ λ α δ ι ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 9 8 3 8 9 ) Να αποδειχθει οτι : Η συναρτηση f με f() ειναι γνησιως αυξουσα. Για ισχυουν : d αι d. Η f εχει πεδιο ορισμου το Α[, ) αι ειναι συνεχης σε αυτο. Αομη

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως είαι γωσό, η Μουσική είαι Μαθημαικά και (σο βάθος) υπάρχει, μία «αδιόραη αρμοία» μεαξύ αυώ ω δύο. Έα μουσικό έργο, διέπεαι από μαθημαικούς όμους, σε ό,ι αφορά ις σχέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΦΟΥΝΤΟΥΚΙ ΗΣ Γ. ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Ρ. ΧΗΜΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α-

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α- Μαθηματικά για τη Β τάξη του Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ τω Κώστα Βακαλόπουλου Bασίλη Καρκάη Εισαγωγικό σημείωμα Παραθέτουμε στα δύο άρθρα που ακολουθού μια σειρά από λυμέες ασκήσεις στα κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x).

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x). ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 1 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΥΠΟΣ & ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Θεωρητικό - Υποχρεωτικό ΤΥΠΙΚΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 4ο (Εαριό εξάμηο 2005-2006) ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΕΣ ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΔΙΔΑΚΤ. ΜΟΝΑΔΕΣ 4 ΦΟΡΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ

Α. ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2006 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 70 ΔΑΣΚΑΛΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γωστικό ατικείμεο) Σάββατο 27-1-2007

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )=-Ρ(Α) Μονάδες 7 Α. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D

Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Βασίλης Γατσινάρης ωρεάν υποστηρικτικό υλικό 1 Περί συναρτήσεων Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D Α Να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ρ Αθ. Ρούτουλας Καθηγητής ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 η ΤΣΙΜΕΝΤΑ - ΣΚΥΡΟ ΕΜΑ ΑΣΚΗΣΗ 10

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούε ε το ορισό και τις στοιχειώδεις ιδιότητες τω πιάκω, που είαι ορθογώιες παρατάξεις αριθώ ή άλλω στοιχείω Οι πίακες εφαίζοται στη θεωρία τω γραικώ συστηάτω,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα