ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τι οομάζεται συάρτηση Συάρτηση uncton είαι μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο άποιου άλλου συόλου Β Έστω η συάρτηση από το Α στο Β a Ποιο είαι το πεδίο ορισμού της b Πότε η λέγεται πραγματιή συάρτηση πραγματιής τιμής; a Το σύολο Α, που λέγεται πεδίο ορισμού της συάρτησης, b Α το Α είαι υποσύολο του συόλου R τω πραγματιώ αριθμώ, εώ το Β συμπίπτει με το R οι συαρτήσεις αυτές λέγοται πραγματιές συαρτήσεις πραγματιής μεταβλητής αι τις οποίες στο εξής θα τις λέμε απλώς συαρτήσεις 3 Τι οομάζουμε γραφιή παράσταση ή αμπύλη της Οομάζουμε γραφιή παράσταση ή αμπύλη της σε έα αρτεσιαό σύστημα συτεταγμέω Oy λέγεται το σύολο τω σημείω M, για όλα τα 4 Τι λέγεται εξίσωση της γραφιής παράστασης της Η εξίσωση y επαληθεύεται μόο από τα ζεύγη, y που είαι συτεταγμέες σημείω της γραφιής παράστασης της αι λέγεται εξίσωση της γραφιής παράστασης της Α, δυο συαρτήσεις πως ορίζοται οι πράξεις μεταξύ αυτώ του αθροίσματος της διαφοράς του γιομέου αι του πηλίου; Α δύο συαρτήσεις, ορίζοται αι οι δύο σε έα σύολο Α, τότε ορίζοται αι οι συαρτήσεις: Το άθροισμα S, με S, Η διαφορά Το γιόμεο Το πηλίο R, με D, με D, P, με P, αι R, όπου αι 6 Πότε μια συάρτηση λέγεται γησίως αύξουσα συάρτηση αι πότε γησίως φθίουσα συάρτηση Μια συάρτηση λέγεται γησίως αύξουσα σε έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, ότα για οποιαδήποτε σημεία, με ισχύει, αι γησίως φθίουσα στο Δ, ότα για οποιαδήποτε σημεία, με ισχύει 7 Πότε λέμε ότι μια συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει στο τοπιό μέγιστο αι πότε τοπιό ελάχιστο στο ; Μια συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει: Τοπιό μέγιστο στο, ότα για άθε σε μια περιοχή του, αι τοπιό ελάχιστο στο, ότα για άθε σε μια περιοχή του Οομάζουμε περιοχή του είαι έα αοιτό διάστημα το οποίο περιέχει το Σελίδα

2 Α η αισότητα ισχύει για άθε, τότε, η παρουσιάζει στο ολιό μέγιστο ή απλά μέγιστο, το Ομοίως για το ολιό ελάχιστο Τα μέγιστα αι τα ελάχιστα μιας συάρτησης, τοπιά ή ολιά, λέγοται αρότατα της συάρτησης 8 Πότε μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συεχής Μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συεχής, α για άθε lm ισχύει Χαρατηριστιό γώρισμα μιας συεχούς συάρτησης σε έα λειστό διάστημα είαι ότι η γραφιή της παράσταση είαι μια συεχής αμπύλη, δηλαδή για το σχεδιασμό της δε χρειάζεται α σηώσουμε το μολύβι από το χαρτί 9 Πότε μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της, α υπάρχει το lm αι είαι πραγματιός αριθμός Το όριο αυτό οομάζεται παράγωγος της στο αι συμβολίζεται με Δηλαδή: lm Τι εφράζει η παράγωγος της της στο Η παράγωγος της στο εφράζει το ρυθμό μεταβολής rate o cane του y ως προς το, ότα Ο συτελεστής διεύθυσης της εφαπτομέης της αμπύλης που είαι η γραφιή παράσταση μιας συάρτησης στο σημείο, θα είαι, δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της ως προς ότα Η ταχύτητα εός ιητού που ιείται ευθύγραμμα αι η θέση του στο άξοα ίησής του εφράζεται από τη συάρτηση t θα είαι τη χροιή στιγμή t υ t t δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της t ως προς t ότα t t εώ η επιτάχυση του ιητού είαι αt o = t t Τι οομάζεται πρώτη παράγωγος της Έστω μια συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, αι Β το σύολο τω στα οποία η είαι παραγωγίσιμη Τότε ορίζεται μια έα συάρτηση, με τη οποία άθε ατιστοιχίζεται στο lm Η συάρτηση αυτή λέγεται πρώτη παράγωγος dervatve της αι συμβολίζεται με ΠΡΟΣΟΧΗ: Η παράγωγος της στο είαι αριθμός το όριο εώ η παράγωγος της είαι συάρτηση που ατιστοιχεί σε άθε o αυτό το όριο Παραγώγιση Βασιώ Συαρτήσεω Η παράγωγος της σταθερής συάρτησης Έχουμε c c αι για,, οπότε lm Άρα c c Σελίδα

3 Σελίδα 3 Η παράγωγος της ταυτοτιής συάρτησης Έχουμε, αι για, Επομέως lm lm Άρα Η παράγωγος της συάρτησης ρ Έστω η συάρτηση Έχουμε, αι για, Επομέως, lm lm Άρα Αποδειύεται ότι, όπου φυσιός Καόες Παραγώγισης Η παράγωγος της συάρτησης c Έστω η συάρτηση c Έχουμε c c c, αι για c c Επομέως lm lm c c Άρα c c Η παράγωγος της συάρτησης Έστω η συάρτηση Έχουμε, αι για, Επομέως lm lm lm Άρα Να διατυπώσετε το ριτήριο της πρώτης παραγώγου για τη μοοτοία Α μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη σε έα διάστημα Δ αι ισχύει για άθε εσωτεριό σημείο του Δ, τότε η είαι γησίως αύξουσα στο Δ Α μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη σε έα διάστημα Δ αι ισχύει για άθε εσωτεριό σημείο του Δ, τότε η είαι γησίως φθίουσα στο Δ 4

4 3 Να διατυπώσετε το ριτήριο της πρώτης παραγώγου για τα αρότατα Α για μια συάρτηση ισχύου για α, β, στο α, αι στο, β, τότε η παρουσιάζει στο διάστημα α, β για μέγιστο Α για μια συάρτηση ισχύου για α, β, στο α, αι στο, β, τότε η παρουσιάζει στο διάστημα α, β για ελάχιστο η διατηρεί πρόσημο στο α,, β, τότε το δε είαι τοπιό αρότατο αι η είαι γησίως μοότοη στο α, β ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βασιές έοιες Στατιστιή είαι έα σύολο αρχώ αι μεθοδολογιώ για: το σχεδιασμό της διαδιασίας συλλογής δεδομέω τη συοπτιή αι αποτελεσματιή παρουσίασή τους τη αάλυση αι εξαγωγή ατίστοιχω συμπερασμάτω Πληθυσμός populaton είαι έα σύολο του οποίου εξετάζουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρατηριστιά τους Τα στοιχεία του πληθυσμού συχά ααφέροται αι ως μοάδες ή άτομα του πληθυσμού Μεταβλητές λέγοται τα χαρατηριστιά ως προς τα οποία εξετάζουμε έα πληθυσμό varables αι τις συμβολίζουμε συήθως με τα εφαλαία γράμματα X, Y, Z,, Τιμές της μεταβλητής λέγοται οι δυατές τιμές που μπορεί α πάρει μια μεταβλητή Από τη διαδοχιή εξέταση τω ατόμω του πληθυσμού ως προς έα χαρατηριστιό τους προύπτει μια σειρά από δεδομέα, που λέγοται στατιστιά δεδομέα ή παρατηρήσεις Τα στατιστιά δεδομέα δε είαι ατ αάγη διαφορετιά ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εξετάζουμε τη ομάδα αίματος δέα ατόμω, τα στατιστιά δεδομέα ή παρατηρήσεις που θα προύψου μπορεί α είαι: Α, Α, Β, Α, ΑΒ, Ο, ΑΒ, ΑΒ, ΑΒ, Ο, Β Οι δυατές όμως τιμές που μπορεί α πάρει η μεταβλητή ομάδα αίματος είαι οι εξής τέσσερις: Α, Β, ΑΒ αι Ο Ο πληθυσμός είαι το σύολο τω δέα ατόμω αι μεταβλητή είαι η ομάδα αίματος Τις μεταβλητές τις διαρίουμε: Σε ποιοτιές ή ατηγοριές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές τους δε είαι αριθμοί Τέτοιες είαι, για παράδειγμα, η ομάδα αίματοςμε τιμές Α, Β, ΑΒ, Ο, το φύλο με τιμές αγόρι, ορίτσι, οι συέπειες του απίσματος με τιμές αρδιαά οσήματα, αρίος τλ, όπως επίσης αι η οιοομιή ατάσταση αι η υγεία τω αθρώπω που μπορεί α χαρατηριστεί ως αή, μέτρια, αλή ή πολύ αλή, αθώς αι το εδιαφέρο τω μαθητώ για τη Στατιστιή, που μπορεί α χαρατηριστεί ως υψηλό, μέτριο, χαμηλό ή μηδαμιό Σε ποσοτιές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές είαι αριθμοί αι διαρίοται: Σε διαριτές μεταβλητές, που παίρου μόο μεμοωμέες τιμές Τέτοιες μεταβλητές είαι, για παράδειγμα, ο αριθμός τω υπαλλήλω μιας επιχείρησης με τιμές,,, το αποτέλεσμα της ρίψης εός ζαριού με τιμές,,,6 τλ Σε συεχείς μεταβλητές, που μπορού α πάρου οποιαδήποτε τιμή εός διαστήματος πραγματιώ αριθμώ α, β Τέτοιες μεταβλητές είαι το ύψος αι το βάρος τω μαθητώ της Γ Λυείου, ο χρόος που χρειάζοται οι μαθητές α απατήσου στα θέματα μιας εξέτασης, η διάρεια μιας τηλεφωιής συδιάλεξης τλ Απογραφή census Έας τρόπος για α πάρουμε τις απαραίτητες πληροφορίες που χρειαζόμαστε για άποιο πληθυσμό είαι α εξετάσουμε όλα τα άτομα στοιχεία του Σελίδα 4

5 πληθυσμού ως προς το χαρατηριστιό που μας εδιαφέρει Η μέθοδος αυτή συλλογής τω δεδομέω αλείται απογραφή Δείγμα οομάζουμε άθε υποσύολο του πληθυσμού Έα δείγμα θεωρείται ατιπροσωπευτιό εός πληθυσμού, εά έχει επιλεγεί ατά τέτοιο τρόπο, ώστε άθε μοάδα του πληθυσμού α έχει τη ίδια δυατότητα α επιλεγεί Οι αρχές αι οι μέθοδοι για τη συλλογή αι αάλυση δεδομέω από πεπερασμέους πληθυσμούς είαι το ατιείμεο της δειγματοληψίας που αποτελεί τη βάση της Στατιστιής Στατιστιοί Πίαες Οι πίαες διαρίοται στους: α γειούς πίαες, οι οποίοι περιέχου όλες τις πληροφορίες που προύπτου από μία στατιστιή έρευα συήθως με αρετά λεπτομερειαά στοιχεία αι αποτελού πηγές στατιστιώ πληροφοριώ στη διάθεση τω επιστημόω-ερευητώ για παραπέρα αάλυση αι εξαγωγή συμπερασμάτω, β ειδιούς πίαες, οι οποίοι είαι συοπτιοί αι σαφείς Τα στοιχεία τους συήθως έχου ληφθεί από τους γειούς πίαες Κάθε πίαας που έχει ατασευαστεί σωστά πρέπει α περιέχει: α το τίτλο, που γράφεται στο επάω μέρος του πίαα αι δηλώει με σαφήεια αι συοπτιά το περιεχόμεο του πίαα, β τις επιεφαλίδες τω γραμμώ αι στηλώ, που δείχου συοπτιά τη φύση αι τις μοάδες μέτρησης τω δεδομέω, γ το ύριο σώμα ορμό, που περιέχει διαχωρισμέα μέσα στις γραμμές αι στις στήλες τα στατιστιά δεδομέα, δ τη πηγή, που γράφεται στο άτω μέρος του πίαα αι δείχει τη προέλευση τω στατιστιώ στοιχείω, έτσι ώστε ο ααγώστης α αατρέχει σ αυτή, ότα επιθυμεί, για επαλήθευση στοιχείω ή για λήψη περισσότερω πληροφοριώ Ας υποθέσουμε ότι,,, είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα εός δείγματος μεγέθους v, Συχότητα : Στη τιμή ατιστοιχίζεται η απόλυτη συχότητα requency, δηλαδή ο φυσιός αριθμός που δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή της εξεταζόμεης μεταβλητής Χ στο σύολο τω παρατηρήσεω Ισχύει : v Σχετιή συχότητα : Α διαιρέσουμε τη συχότητα με το μέγεθος του δείγματος, προύπτει η σχετιή συχότητα relatve requency της τιμής, δηλαδή,,,, Για τη σχετιή συχότητα ισχύου οι ιδιότητες: για,,, αφού, αφού Συήθως, τις σχετιές συχότητες τις εφράζουμε επί τοις εατό, οπότε συμβολίζοται με %, δηλαδή % Πίαας συχοτήτω: Οι ποσότητες,, για έα δείγμα συγετρώοται σε έα συοπτιό πίαα, που οομάζεται πίαας αταομής συχοτήτω ή απλά πίαας συχοτήτω Καταομή συχοτήτω: Για μια μεταβλητή, το σύολο τω ζευγώ, λέμε ότι αποτελεί τη αταομή συχοτήτω αι το σύολο τω ζευγώ,, ή τω ζευγώ, %, τη αταομή τω σχετιώ συχοτήτω Σελίδα

6 Αθροιστιή συχότητα Ν μιας τιμής μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, λέγεται το άθροισμα τω συχοτήτω τω τιμώ που έχου τιμή μιρότερη ή ίση με τη, δηλαδή N,για,,, Ισχύει N N Αθροιστιή σχετιή συχότητα μιας τιμής μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, λέγεται το άθροισμα τω σχετιώ συχοτήτω τω τιμώ που έχου τιμή μιρότερη ή ίση με τη δηλαδή :,για,,, Ισχύει Γραφιή Παράσταση Καταομής Συχοτήτω v H/Y Διασέδαση - Ντίσο Τηλεόραση- Κιηματογρ ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ για ποιοτιές μεταβλητές Άλλο 3 αδέλφια ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ για ποσοτιές μεταβλητές α = 36 o ΚΥΚΛΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ για ποσοτιές αι ποιοτιές μεταβλητές v Υψος σε cm,9,8,7,6,,4,3,, Ύψος σε cm,37,3,,, Ύψος σε cm Ιστόγραμμα συχοτήτω Ιστόγραμμα αι πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω Καμπύλη σχετιώ συχοτήτω Το ραβδόγραμμα barcart χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τω τιμώ μιας ποιοτιής μεταβλητής Το ραβδόγραμμα αποτελείται από ορθογώιες στήλες που οι βάσεις τους βρίσοται πάω στο οριζότιο ή το αταόρυφο άξοα Σε άθε τιμή της μεταβλητής Χ ατιστοιχεί μια ορθογώια στήλη της οποίας το ύψος είαι ίσο με τη ατίστοιχη συχότητα ή σχετιή συχότητα Έτσι έχουμε ατίστοιχα το ραβδόγραμμα συχοτήτω αι το ραβδόγραμμα σχετιώ συχοτήτω Τόσο η απόσταση μεταξύ τω στηλώ όσο αι το μήος τω βάσεώ τους αθορίζοται αυθαίρετα Διάγραμμα συχοτήτω Στη περίπτωση που έχουμε μια ποσοτιή μεταβλητή ατί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχοτήτω lne daram Αυτό μοιάζει με το ραβδόγραμμα με μόη διαφορά ότι ατί α χρησιμοποιούμε συμπαγή ορθογώια υψώουμε σε άθε υποθέτοτας ότι μία άθετη γραμμή με μήος ίσο προς τη ατίστοιχη συχότητα, όπως φαίεται στο σχήμα α Μπορούμε επίσης ατί τω συχοτήτω στο άθετο άξοα α βάλουμε τις σχετιές συχότητες, οπότε έχουμε το διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω Εώοτας τα σημεία, ή, έχουμε το λεγόμεο πολύγωο συχοτήτω ή πολύγωο σχετιώ συχοτήτω, ατίστοιχα, που μας δίου μια γειή ιδέα για τη μεταβολή της συχότητας ή της σχετιής συχότητας όσο μεγαλώει η τιμή της μεταβλητής που εξετάζουμε, βλέπε σχήμα β Σελίδα 6

7 3 αδέλφια 3 αδέλφια α β Διάγραμμα συχοτήτω α αι πολύγωο συχοτήτω β για τη μεταβλητή αριθμός αδελφώ του παραπάω πίαα Το υλιό διάγραμμα pecart χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τόσο τω ποιοτιώ όσο αι τω ποσοτιώ δεδομέω, ότα οι διαφορετιές τιμές της μεταβλητής είαι σχετιά λίγες Το υλιό διάγραμμα είαι έας υλιός δίσος χωρισμέος σε υλιούς τομείς, τα εμβαδά ή,ισοδύαμα, τα τόξα τω οποίω είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες ή τις σχετιές συχότητες τω τιμώ της μεταβλητής Α συμβολίσουμε με α το ατίστοιχο τόξο εός υλιού τμήματος στο υλιό διάγραμμα συχοτήτω, τότε o 36 o α 36 για,,, Σημειόγραμμα: Ότα έχουμε λίγες παρατηρήσεις, η αταομή τους μπορεί α περιγραφεί με το σημειόγραμμα dot daram, στο οποίο οι τιμές παριστάοται γραφιά σα σημεία υπεράω εός οριζότιου άξοα Στο σχήμα έχουμε το σημειόγραμμα τω χρόω σε λεπτά 4,,3,,,6,4,,3,4,7,4,8,6,3 που χρειάστηα δεαπέτε μαθητές, για α λύσου έα πρόβλημα χρόος σε λεπτά Το χροόγραμμα ή χροολογιό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή απειόιση της διαχροιής εξέλιξης εός οιοομιού, δημογραφιού ή άλλου μεγέθους Ο οριζότιος άξοας χρησιμοποιείται συήθως ως άξοας μέτρησης του χρόου αι ο άθετος ως άξοας μέτρησης της εξεταζόμεης μεταβλητής Στο σχήμα έχουμε το χροόγραμμα του ποσοστού αεργίας στη χώρα μας από το 99 έως το 99 Πηγή ΕΣΥΕ % Θήλεις Σύολο Άρρεες Ομαδοποίηση τω Παρατηρήσεω Κλάσεις : Ότα το πλήθος τω τιμώ μιας μεταβλητής είαι αρετά μεγάλο είαι απαραίτητο α ταξιομηθού ομαδοποιηθού τα δεδομέα σε μιρό πλήθος ομάδω, που οομάζοται αι λάσεις class ntervals Οι λάσεις είαι της μορφής [ α, β, [β, γ, Όρια τω λάσεω λέγοται τα άρα τω λάσεω Κετριή τιμή μιας λάσης λέγεται το ημιάθροισμα τω άρω της λάσης Πλάτος μιας λάσης λέγεται η διαφορά του ατώτερου από το αώτερο άρο της λάσης Σελίδα 7

8 Εύρος του δείγματος rane R οομάζουμε τη διαφορά της μιρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του δείγματος Συχότητα της λάσης ή συχότητα της ετριής τιμής,,,, αλείται το πλήθος τω παρατηρήσεω που προύπτου από τη διαλογή για τη λάση ΣΧΟΛΙΑ : Οι παρατηρήσεις άθε λάσης θεωρούται όμοιες, οπότε μπορού α ατιπροσωπευθού από τις ετριές τιμές, τα έτρα δηλαδή άθε λάσης Οι παρατηρήσεις άθε λάσης θεωρούται ομοιόμορφα αταεμημέες σε άθε λάση οπότε για παράδειγμα οι μισές παρατηρήσεις άθε λάσης βρίσοται αριστερά του έτρου λάσης αι οι μισές δεξιά αυτού Ιστόγραμμα Συχοτήτω Ιστόγραμμα συχοτήτω οομάζεται η ατίστοιχη γραφιή παράσταση εός πίαα συχοτήτω με ομαδοποιημέα δεδομέα Πως ατασευάζεται: Στο οριζότιο άξοα εός συστήματος ορθογωίω αξόω σημειώουμε, με ατάλληλη λίμαα, τα όρια τω λάσεω Στη συέχεια, ατασευάζουμε διαδοχιά ορθογώια ιστούς, από αθέα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της λάσης αι ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδό του ορθογωίου α ισούται με τη συχότητα της λάσης αυτής ΕΙΔΙΚΑ : Σε Κλάσεις Ίσου Πλάτους Θεωρώτας το πλάτος c ως μοάδα μέτρησης του χαρατηριστιού στο οριζότιο άξοα, το ύψος άθε ορθογωίου είαι ίσο προς τη συχότητα της ατίστοιχης λάσης, έτσι ώστε α ισχύει πάλι ότι το εμβαδό τω ορθογωίω είαι ίσο με τις ατίστοιχες συχότητες Επομέως, στο αταόρυφο άξοα σε έα ιστόγραμμα συχοτήτω βάζουμε τις συχότητες Με αάλογο τρόπο ατασευάζεται αι το ιστόγραμμα σχετιώ συχοτήτω, οπότε στο άθετο άξοα βάζουμε τις σχετιές συχότητες Πολύγωο Συχοτήτω Α στα ιστογράμματα συχοτήτω θεωρήσουμε δύο αόμη υποθετιές λάσεις, στη αρχή αι στο τέλος, με συχότητα μηδέ αι στη συέχεια εώσουμε τα μέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω, σχηματίζεται το λεγόμεο πολύγωο συχοτήτω requency polyon Το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω αι το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το άθροισμα τω συχοτήτω, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος Όμοια ατασευάζεται από το ιστόγραμμα σχετιώ συχοτήτω αι το πολύγωο σχετιώ συχοτήτω με εμβαδό ίσο με, Με το ίδιο τρόπο ατασευάζοται αι τα ιστογράμματα αθροιστιώ συχοτήτω αι,9 αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω,8 Α εώσουμε σε έα ιστόγραμμα,7,6 αθροιστιώ συχοτήτω τα δεξιά, άρα όχι μέσα τω άω βάσεω τω,4,3 ορθογωίω με ευθύγραμμα τμήματα, βρίσουμε το πολύγωο αθροιστιώ, συχοτήτω ove της αταομής 6 Στο σχήμα παριστάεται το ιστόγραμμα αι το πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω για το ύψος τω μαθητώ του πίαα Ύψος σε cm Σελίδα 8

9 Καμπύλες Συχοτήτω,37,3,,, Ύψος σε cm Εά υποθέσουμε ότι ο αριθμός τω λάσεω για μια συεχή μεταβλητή είαι αρετά μεγάλος τείει στο άπειρο αι ότι το πλάτος τω λάσεω είαι αρετά μιρό τείει στο μηδέ, τότε η πολυγωιή γραμμή συχοτήτω τείει α πάρει τη μορφή μιας ομαλής αμπύλης, η οποία οομάζεται αμπύλη συχοτήτω Μεριές χαρατηριστιές αταομές συχοτήτω α β α ομοιόμορφη αταομή β αοιή αταομή γ ασύμμετρη αταομή θετιή ασσυμετρία δ ασύμμετρη αταομή αρητιή ασσυμετρία Καοιή αταομή Η αταομή β, με ωδωοειδή μορφή λέγεται αοιή αταομή normal dstrbuton αι παίζει σπουδαίο ρόλο στη Στατιστιή Ομοιόμορφη αταομή Ότα οι παρατηρήσεις αταέμοται ομοιόμορφα σε έα διάστημα [α, β], όπως στη αταομή α, η αταομή λέγεται ομοιόμορφη Ασύμμετρη Ότα οι παρατηρήσεις δε είαι συμμετριά αταεμημέες, η αταομή λέγεται ασύμμετρη με θετιή ασυμμετρία όπως στη αταομή γ ή αρητιή ασυμμετρία όπως στη αταομή δ Η μορφή μιας αταομής συχοτήτω εξαρτάται από το πώς είαι αταεμημέες οι παρατηρήσεις σε όλη τη έταση του εύρους τους ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Μέτρα θέσης μιας αταομής οομάζουμε τα μέτρα που μας δίου τη θέση του έτρου τω παρατηρήσεω στο οριζότιο άξοα Μέση Τιμή ορίζεται ως το άθροισμα τω παρατηρήσεω διά του πλήθους τω παρατηρήσεω Ότα σε έα δείγμα μεγέθους οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είαι t, t,, tv, τότε η μέση τιμή συμβολίζεται με αι δίεται από τη σχέση: t t t γ t,,, Σε μια αταομή συχοτήτω, α είαι οι τιμές της μεταβλητής Χ με συχότητες v, v,, v ατίστοιχα, η μέση τιμή ορίζεται ισοδύαμα από τη σχέση: Η παραπάω σχέση ισοδύαμα γράφεται: όπου οι σχετιές συχότητες t δ Σελίδα 9

10 Σταθμιός Μέσος Στις περιπτώσεις που δίεται διαφορετιή βαρύτητα έμφαση στις τιμές,,, εός συόλου δεδομέω, τότε ατί του αριθμητιού μέσου χρησιμοποιούμε το σταθμισμέο αριθμητιό μέσο ή σταθμιό μέσο weted mean Εά σε άθε τιμή,,, δώσουμε διαφορετιή βαρύτητα, που εφράζεται με τους λεγόμεους συτελεστές στάθμισης βαρύτητας w, w,, w, τότε ο σταθμιός μέσος βρίσεται από το τύπο: w w w w w w Διάμεσος δ Οι χρόοι σε λεπτά που χρειάστηα 9 μαθητές, για α λύσου έα πρόβλημα είαι: 3,,, 36, 6, 7, 4, 7, 8 με μέση τιμή 9 Παρατηρούμε όμως ότι οι οτώ από τις εέα παρατηρήσεις είαι μιρότερες του 9 αι μία αραία τιμή, η οποία επηρεάζει αι τη μέση τιμή είαι, αρετά μεγαλύτερη του 9 Αυτό σημαίει ότι η μέση τιμή δε εδείυται ως μέτρο θέσης έτρο τω παρατηρήσεω αυτώ Ατίθετα, έα άλλο μέτρο θέσης που δε επηρεάζεται από αραίες παρατηρήσεις είαι η διάμεσος medan, η οποία ορίζεται ως εξής: Διάμεσος δ εός δείγματος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος ημιάθροισμα τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθμός ΣΧΟΛΙΟ : Παρατηρούμε ότι, η διάμεσος είαι η τιμή που χωρίζει έα σύολο παρατηρήσεω σε δύο ίσα μέρη ότα οι παρατηρήσεις αυτές τοποθετηθού με σειρά τάξης μεγέθους Αριβέστερα, η διάμεσος είαι η τιμή για τη οποία το πολύ % τω παρατηρήσεω είαι μιρότερες από αυτή αι το πολύ % τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες από τη τιμή αυτή Διάμεσος σε Ομαδοποιημέα Δεδομέα : Θεωρούμε τα δεδομέα του ύψους τω μαθητώ στο παραπάω πίαα αι το ατίστοιχο ιστόγραμμα αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω με τη πολυγωιή γραμμή, σχήμα 3 Η διάμεσος, όπως ορίστηε, ατιστοιχεί στη τιμή δ της μεταβλητής Χ στο οριζότιο άξοα, έτσι ώστε το % τω παρατηρήσεω α είαι μιρότερες ή ίσες του δ Δηλαδή, η διάμεσος θα έχει αθροιστιή σχετιή συχότητα % Εφόσο στο άθετο άξοα έχουμε τις αθροιστιές σχετιές συχότητες, από το σημείο Α % τω παρατηρήσεω φέρουμε τη // αι στη συέχεια τη Γ Τότε, στο σημείο Γ ατιστοιχεί η διάμεσος δ τω παρατηρήσεω Δηλαδή, δ % w Γ μέτρα διασποράς ή μεταβλητότητας λέγοται τα μέτρα που εφράζου τις απολίσεις τω τιμώ μιας μεταβλητής γύρω από τα μέτρα ετριής τάσης Εύρος ή ύμαση R ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση, δηλαδή: Εύρος: δ R = Μεγαλύτερη παρατήρηση-μιρότερη παρατήρηση w Σελίδα

11 Έας άλλος τρόπος για α υπολογίσουμε τη διασπορά τω παρατηρήσεω t, t,, tv μιας μεταβλητής Χ θα ήτα α αφαιρέσουμε τη μέση τιμή από άθε παρατήρηση αι α βρούμε το αριθμητιό μέσο τω διαφορώ αυτώ, δηλαδή το αριθμό: t t t tv v v Ο αριθμός όμως αυτός είαι ίσος με μηδέ, αφού t t tv t t tv v v v v Γι αυτό, ως έα μέτρο διασποράς παίρουμε το μέσο όρο τω τετραγώω τω απολίσεω τω t από τη μέση τιμή τους Διαύμαση ή διασπορά s είαι το μέτρο διασποράς που ορίζεται ως μέσο όρο τω τετραγώω τω απολίσεω τω t από τη μέση τιμή τους αι ορίζεται από τη σχέση s t Ο τύπος αυτός αποδειύεται ότι μπορεί α πάρει τη ισοδύαμη μορφή: t s t t v v η οποία διευολύει σηματιά τους υπολογισμούς υρίως ότα η μέση τιμή δε είαι αέραιος αριθμός Ότα έχουμε πίαα συχοτήτω ή ομαδοποιημέα δεδομέα, η διαύμαση ορίζεται από τη σχέση: s ή τη ισοδύαμη μορφή: v s v v v v όπου,,, οι τιμές της μεταβλητής ή τα έτρα τω λάσεω με ατίστοιχες,,, συχότητες Τυπιή Απόλιση s είαι η θετιή τετραγωιή ρίζα της διαύμασης αι δίεται από τη σχέση: s s ΣΧΟΛΙΟ : Η διαύμαση δε εφράζεται με τις μοάδες με τις οποίες εφράζοται οι παρατηρήσεις εώ η τυπιή απόλιση εφράζεται με τις ίδιες μοάδες Για παράδειγμα, α οι παρατηρήσεις εφράζοται σε cm, η διαύμαση εφράζεται σε απόλιση σε cm Συτελεστής Mεταβολής CV : ορίζεται από το λόγο: τυπιή απόλιση s CV % % μέση τιμή cm εώ η τυπιή Α < τότε ατί για χρησιμοποιούμε ΣΧΟΛΙΑ: Ο συτελεστής μεταβολής εφράζεται επί τοις εατό, είαι συεπώς αεξάρτητος από τις μοάδες μέτρησης αι παριστάει έα μέτρο σχετιής διασποράς τω τιμώ αι όχι της απόλυτης διασποράς, όπως έχουμε δει έως τώρα Εφράζει, δηλαδή, τη μεταβλητότητα τω δεδομέω απαλλαγμέη από τη επίδραση της μέσης τιμής Σελίδα

12 Δεχόμαστε ότι έα δείγμα τιμώ μιας μεταβλητής θα είαι ομοιογεές, εά ο συτελεστής μεταβολής δε ξεπερά το % ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έστω,,, v παρατηρήσεις με μέση τιμή αι τυπιή απόλιση, y y α Α y,, v είαι οι παρατηρήσεις που προύπτου α προσθέσουμε σε αθεμιά από τις,,, v μια σταθερά c, τότε: y c, s y s β Α y, y,, yv είαι οι παρατηρήσεις που προύπτου α πολλαπλασιάσουμε τις,,, v επί μια σταθερά c, τότε: y c, s y c s s ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Αξίζει α σημειωθεί ότι α η αμπύλη συχοτήτω για το χαρατηριστιό που εξετάζουμε είαι αοιή ή περίπου αοιή, τότε η τυπιή απόλιση s έχει τις παραάτω ιδιότητες: το 68% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσεται στο διάστημα s, s το 9% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσεται στο διάστημα s, s s s το 99,7% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσεται στο διάστημα 3s, 3s 3s s s s s 3s v το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπιές απολίσεις, δηλαδή R 6 s ΜΕΤΡΑ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Ετός από τα μέτρα θέσης αι διασποράς μιας αταομής πολλές φορές είαι απαραίτητος αι ο προσδιορισμός άποιω άλλω μέτρω, που αθορίζου τη μορφή της αταομής Κατά πόσο δηλαδή η ατίστοιχη αμπύλη συχοτήτω είαι συμμετριή ή όχι ως προς τη ευθεία, για δεδομέο σημείο του άξοα Τα μέτρα αυτά, που συήθως εφράζοται σε συάρτηση με τα μέτρα θέσης αι διασποράς, αλούται μέτρα ασυμμετρίας measures o skewness Υπολογίζοτας από έα σύολο δεδομέω άποια από τα αωτέρω μέτρα, μπορούμε α έχουμε μια σύτομη περιγραφή της μορφής της αμπύλης συχοτήτω Στο Γ σχήμα οι αμπύλες συχοτήτω Α αι Β Δ είαι συμμετριές με το ίδιο έτρο, αλλά η Β έχει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από τη Α Οι αμπύλες Γ αι Δ είαι ασύμμετρες, με τη Γ όπως λέμε α παρουσιάζει θετιή ασυμμετρία αι τη Δ αρητιή ασυμμετρία Το έτρο της Γ είαι αριστερότερα του, εώ της Δ είαι δεξιότερα του Η Δ παρουσιάζει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από τη Γ 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τι λέγεται αιτιορατιό πείραμα 68% 9% 99,7% Κάθε πείραμα ατά το οποίο η γώση τω συθηώ άτω από τις οποίες ετελείται αθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιορατιό determnstc πείραμα Σελίδα

13 Τι οομάζεται πείραμα τύχης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έα πείραμα οομάζεται πείραμα τύχης ότα δε μπορούμε ε τω προτέρω α προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολοότι επααλαμβάοται φαιομειά τουλάχιστο άτω από τις ίδιες συθήες 3 Ποια λέγοται δυατά αποτελέσματα ή δυατές περιπτώσεις του πειράματος τύχης Όλα τα αποτελέσματα που μπορού α εμφαιστού σε έα πείραμα τύχης λέγοται δυατά αποτελέσματα ή δυατές περιπτώσεις του πειράματος 4 Τι λέγεται δειγματιός χώρος Δειγματιός χώρος του πειράματος τύχης λέγεται το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω Τι λέγεται εδεχόμεο Το σύολο που έχει ως στοιχεία έα ή περισσότερα αποτελέσματα εός πειράματος τύχης λέγεται εδεχόμεο event ή γεγοός 6 Πότε έα εδεχόμεο λέγεται απλό αι πότε σύθετο Έα εδεχόμεο λέγεται απλό ότα έχει έα μόο στοιχείο αι σύθετο α έχει περισσότερα στοιχεία 7 Πότε λέμε ότι το εδεχόμεο πραγματοποιείται ή συμβαίει Ότα το αποτέλεσμα εός πειράματος, σε μια συγεριμέη ετέλεσή του είαι στοιχείο εός εδεχομέου, τότε λέμε ότι το εδεχόμεο αυτό πραγματοποιείται ή συμβαίει Γι αυτό τα στοιχεία εός εδεχομέου λέγοται αι ευοϊές περιπτώσεις για τη πραγματοποίησή του 8 Ποιο λέγεται βέβαιο εδεχόμεο Βέβαιο εδεχόμεο είαι εδεχόμεο, το οποίο πραγματοποιείται πάτοτε Ο ίδιος ο δειγματιός χώρος Ω εός πειράματος θεωρείται ότι είαι εδεχόμεο, το οποίο μάλιστα πραγματοποιείται πάτοτε, αφού όποιο αι α είαι το αποτέλεσμα του πειράματος θα αήει στο Ω Γι αυτό το Ω λέγεται βέβαιο εδεχόμεο 9 Ποιο λέγεται αδύατο εδεχόμεο Αδύατο εδεχόμεο λέγεται το εδεχόμεο που δε πραγματοποιείται σε αμιά ετέλεση του πειράματος τύχης Δεχόμαστε ως εδεχόμεο αι το εό σύολο που δε πραγματοποιείται σε αμιά ετέλεση του πειράματος τύχης Γι αυτό λέμε ότι το είαι το αδύατο εδεχόμεο Πράξεις με Εδεχόμεα Το εδεχόμεο Α πραγματοποιείται Το εδεχόμεο Α δε πραγματοποιείται Έα τουλάχιστο από τα Α αι Β πραγματοποιείται Πραγματοποιούται αμφότερα ταυτόχροα τα Α αι Β Δε πραγματοποιείται αέα από τα Α αι Β Πραγματοποιείται μόο το Α Η πραγματοποίηση του Α συεπάγεται τη πραγματοποίηση του Β ω ω ή ω ω ω ω ω ή ω Σελίδα 3

14 Πότε δυο εδεχόμεα λέγοται ασυμβίβαστα Δύο εδεχόμεα Α αι Β λέγοται ασυμβίβαστα, ότα Δύο ασυμβίβαστα εδεχόμεα λέγοται επίσης ξέα μεταξύ τους ή αμοιβαίως απολειόμεα Τι οομάζεται σχετιή συχότητα του εδεχομέου Α Α σε ετελέσεις εός πειράματος έα εδεχόμεο Α πραγματοποιείται φορές, τότε ο λόγος v οομάζεται σχετιή συχότητα του Α αι συμβολίζεται με Ιδιαίτερα α ο δειγματιός χώρος εός πειράματος είαι το πεπερασμέο σύολο Ω ω, ω,, ω } αι σε ετελέσεις του πειράματος αυτού τα απλά εδεχόμεα { λ { ω }, { ω},,{ ωλ πραγματοποιούται,,, λ φορές ατιστοίχως, τότε για τις λ σχετιές συχότητες,,, λ τω απλώ εδεχομέω θα έχουμε: v v v,,,, λ αφού v λ v λ v v Τι οομάζεται στατιστιή ομαλότητα ή όμος τω μεγάλω αριθμώ Οι σχετιές συχότητες πραγματοποίησης τω εδεχομέω εός πειράματος σταθεροποιούται γύρω από άποιους αριθμούς όχι πάτοτε ίδιους, αθώς ο αριθμός τω δοιμώ του πειράματος επααλαμβάεται απεριόριστα Το εμπειριό αυτό εξαγόμεο, το οποίο επιβεβαιώεται αι θεωρητιά, οομάζεται στατιστιή ομαλότητα ή όμος τω μεγάλω αριθμώ 3 Ποιος είαι λασιός ορισμό της πιθαότητας Σε έα πείραμα με ισοπίθαα αποτελέσματα ορίζουμε ως πιθαότητα του εδεχομέου Α το αριθμό: Πλήθος Ευοϊώ Περιπτώσεω N P Πλήθος Δυατώ Περιπτώσεω N Ω 4 Ποιος είαι ο Αξιωματιός Ορισμός Πιθαότητας Έστω ω, ω,, ω } έας δειγματιός χώρος με πεπερασμέο πλήθος στοιχείω Σε { άθε απλό εδεχόμεο { ω } ατιστοιχίζουμε έα πραγματιό αριθμό, που το συμβολίζουμε με P ω, έτσι ώστε α ισχύου: P P P P Το αριθμό P οομάζουμε πιθαότητα του εδεχομέου { } Ως πιθαότητα P εός εδεχομέου {,,, } ορίζουμε το άθροισμα ΡΑ= P P P, εώ Ως πιθαότητα του αδύατου εδεχομέου ορίζουμε το αριθμό P Καόες Λογισμού τω Πιθαοτήτω Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους εδεχόμεα Α αι Β ισχύει: P P P Ω Σελίδα 4

15 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Α N αι N λ, τότε το έχει λ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α αι Β δε θα ήτα ασυμβίβαστα Δηλαδή, έχουμε N λ N N Επομέως: P N N Ω N N N Ω N N N Ω N Ω P P Η ιδιότητα αυτή είαι γωστή ως απλός προσθετιός όμος smply addtve law αι ισχύει αι για περισσότερα από δύο εδεχόμεα Έτσι, α τα εδεχόμεα Α, Β αι Γ είαι αά δύο ασυμβίβαστα θα έχουμε P Γ P P P Γ Για δύο συμπληρωματιά εδεχόμεα Α αι ισχύει: P P ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή, δηλαδή τα Α αι είαι ασυμβίβαστα, έχουμε διαδοχιά, σύμφωα με το απλό προσθετιό όμο: P P P P P P P P Οπότε P P Ω 3 Για δύο εδεχόμεα Α αι Β εός δειγματιού χώρου Ω ισχύει: P P P P ΑΠΟΔΕΙΞΗ Για δυο εδεχόμεα Α αι Β έχουμε N N N N, αφού στο άθροισμα N N το πλήθος τω στοιχείω του υπολογίζεται δυο φορές Α διαιρέσουμε τα μέλη της με N έχουμε: Ω N N N N N N N N αι επομέως P P P P Η ιδιότητα αυτή είαι γωστή ως προσθετιός όμος addtve law 4 Α, τότε P P ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή έχουμε διαδοχιά: N N N N N Ω N Ω P P Ω Σελίδα

16 Για δύο εδεχόμεα Α αι Β εός δειγματιού χώρου Ω ισχύει P P P ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τα εδεχόμεα αι είαι ασυμβίβαστα αι, έχουμε: P P P Άρα P P P Ω Σελίδα 6

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΤΩΝ ημιτελές(veron 6-4-206) ΠΡΟΣΟΧΗ! Επισημαίω ότι οι λύσεις ούτε πλήρεις είαι ούτε έχου διπλοελεγχθεί τουλάχιστο μέχρι τώρα.ετσι ο ααγώστης πρέπει α έχει υπόψη του ότι μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΕ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Tι ονομάζουμε συνάρτηση ; Tι ονομάζουμε πραγματιή συνάρτηση πραγματιής μεταβλητής; Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Παγόσμιο χωριό γώσης 0 ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2.3. ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Σοπός: Στη εότητα αυτή παρουσιάζοται τα μέτρα θέσης αι τα μέτρα διασποράς. Ο ορισμός τους αι διάφοροι μέθοδοι υπολογισμού. Γίεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΕΤΟΥΣ 007 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Απογευματιή εξέταση στα μαθήματα: «. Άλγεβρα» «.5

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α η συάρτηση f είαι

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi Στατιστική "Υπάρχου τα μικρά ψέματα, τα μεγάλα ψέματα και οι στατιστικές" Μαρκ Τουαί Σε κάθε πρόβλημα της Στατιστικής υπάρχει έας «πληθυσμός» Ω τα στοιχεία του οποίου (άτομα) εξετάζοται ως προς έα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι 1,,, k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά Β.1. τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους,

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Επιτρέπεται η χ ρήση του εκπαιδευτικού υλικού εντός του φροντιστηρίου

Επιτρέπεται η χ ρήση του εκπαιδευτικού υλικού εντός του φροντιστηρίου Θεωρία Θ Ε Ω Ρ Ι Α Παελλαδικώ εξετάσεω Βασίλης Γατσιάρης ωρεά υποστηρικτικό υλικό Θεωρία Στο βιβλίο αυτό, για πρακτικούς λόγους χρησιµοποιούµε τα πιο κάτω σύµβολα, για τις διάφορες κατηγορίες τω θεµάτω

Διαβάστε περισσότερα

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x)

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x) taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f() S + +, R όπου η μέση τιμή και S > η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω εός δείγματος μεγέθους Α η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 174 47 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το ζήτημα της διαιρετότητας τω αεραίω είαι υρίαρχο θέμα στη Θεωρία τω Αριθμώ Μια έοια που βοηθάει στη μελέτη αι επίλυση προβλημάτω διαιρετότητας είαι η έοια τω ισοϋπόλοιπω αριθμώ

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε .3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου

Διαβάστε περισσότερα

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο .Στη ερώτηση με ποιο μέσο πηγαίετε στη δουλειά σας 0 άτομα απάτησα: αυτοκίητο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τραμ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, τραμ, αυτοκίητο, μετρό, τρόλεϊ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 4 o Γενιό Λύειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματιά Γενιής Παιδείας γ Ασήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr 4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ 2o Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Το χρώµα κάθε αυτοκιήτου είαι ποιοτική µεταβλητή. Σ Λ 2. * Ο αριθµός τω αθρώπω που παρακολουθού µια συγκεκριµέη τηλεοπτική εκποµπή είαι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. =, όπου x A και g( x) 0.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. =, όπου x A και g( x) 0. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισµός: Συάρτηση (functon) είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β Πράξεις µε Συαρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Ο όρος Στατιστική εδεχομέως α προέρχεται από τη λατιική λέξη status (πολιτεία, κράτος) η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικώ δεδομέω που ααφέροται κυρίως στο

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος.

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύεται σε κάθε συάδελφο Μαθηματικό, αλλά κυρίως σε κάθε έο συάδελφο που πρόκειται α συμμετάσχει στο διαγωισμό του Α.Σ.Ε.Π. Επίσης, απευθύεται σε μαθητές με υψηλούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση.4 Μέτρα θέσης Στη συέχεια θα περιγράψουµε κάποια µέτρα, τα οοµαζόµεα µέτρα θέσης. Τα µέτρα θέσης µίας καταοµής, είαι κάποια αριθµητικά µεγέθη που δίου τη θέση του κέτρου

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ 1 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κλάσµα : Είαι το µαθηµατιό σύµβολο το οποίο δηλώει σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε το όλο αι πόσα µέρη πήραµε Κλάσµα : πόσα µέρη πήραµε σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε : αριθµητής

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 1 : ιαφορικός Λογισµός 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; 2. Έστω µια

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Γραπτές αακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Δρ. Πααγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Για το υπολογισμό του βαθμού της ετήσιας επίδοσης τω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Αρχικά, με τη έοια στατιστική θεωρούσαμε τη απαρίθμηση και καταγραφή τω μετρήσεω. Οι παρατηρήσεις αυτές ή οι μετρήσεις ααφέροται σε συγκεκριμέο ατικείμεο ή γεγοός.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 2 ο. Στατιστική

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 2 ο. Στατιστική Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Κεφάλαιο Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Γˊ Λυκείου Κεφάλαιο ο Στατιστική ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστική είαι έα σύολο αρχώ και μεθοδολογιώ για: το σχεδιασμό της

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΑ : Είαι γωστό ότι για µια συεχή συάρτηση σε έα διάστηµα, το ολοκλήρωµα F ορίζει έα πραγµατικό αριθµό όπου o είαι έα οποιοδήποτε σηµείο του και α έα αυθαίρετο

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι

Διαβάστε περισσότερα

s s x 3s x 2s x s x x s x 2s x 3s 68% 95% 99,7% ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ( ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: Δημήτρης Β.

s s x 3s x 2s x s x x s x 2s x 3s 68% 95% 99,7% ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ( ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: Δημήτρης Β. s s 3s s s s s 3s 68% 95% 99,7% ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ( ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: Δημήτρης Β. Μ Π Ο Υ Φ Α Σ 00-0 50% 50% 6%=50%-34% 6%=50%-34%,5%=50% - (34%+3,5%) 0,5%=(00%-99,7%):

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης,. Λεπίπας, Π. Αγγελόπουλος Άσκηση.3 σελ. 4 α) εύκολο β) Αφού C F θα είαι σ( C) σ( F) και λόφω του α) θα είαι σ( C) F. Για τη απόδειξη του ατίθετου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 1 Νοεμβρίου 016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) 3 3 3 0 15 8 3 Α= + + 3 5 3 9 Πρόβλημα Δίεται

Διαβάστε περισσότερα

Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικών ( αν) ν αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα & αντιπαραδείγµατα.

Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικών ( αν) ν αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα & αντιπαραδείγµατα. Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικώ ( α) µε ατιπροσωπευτικά παραδείγµατα & ατιπαραδείγµατα. Ιωάης Π. Πλατάρος, Μαθηµατικός, Καπετά Κρόµπα 37, Τ.Κ. 24 2 ΜΕΣΣΗΝΗ, ηλ./ταχ. Plataros@sch.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )

1.  [0,+   ,      >0,   ) 2. ,    >0,  x   ( ) Σελίδα 1 από 5 ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ α, α ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ του Ατώη Κυριακόπουλου 1 ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R = [, ) Θεώρηµα και ορισµός οθέτος, εός πραγµατικού αριθµού α και εός φυσικού αριθµού >, υπάρχει έας

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

lim lim Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x του πεδίου ορισµού της, όταν υπάρχει στο R, το

lim lim Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x του πεδίου ορισµού της, όταν υπάρχει στο R, το ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συάρτηση είαι παραγωγίσιµη σε έα σηµείο του πεδίου ορισµού της, ότα υπάρχει στο R, το lim ( ( Το όριο αυτό οοµάζεται παράγωγος της στο και

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική 9. Ποσοτικές μεταβλητές 9.. Κατασκευή πίακα καταομής συχοτήτω 9.. Γραφική παρουσίαση καταομής συχοτήτω 9..3 Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα 9..3. Μέτρα θέσης 9..3. Μέτρα διασποράς 9..3.3

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f = ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

υπολογίζεται πιο εύκολα από την πιθανότητα P(A). Συγκεκριµένα, το ενδεχόµενο A περιλαµβάνει τις διατάξεις

υπολογίζεται πιο εύκολα από την πιθανότητα P(A). Συγκεκριµένα, το ενδεχόµενο A περιλαµβάνει τις διατάξεις 9 Παράδειγµα 64 Το πρόβληµα τω γεεθλίω Ας θεωρήσουµε έα σύολο ατόµω τω οποίω αταγράφουµε τα γεέθλια Σηµειώουµε ότι έα έτος έχει 65 ηµέρες ετός αι α είαι δίσετο, οπότε έχει 66 ηµέρες Επίσης έχει παρατηρηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα