Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους."

Transcript

1 Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή x ij που αντιστοιχεί σε εκατοµµύρια λίτρων καυσίµων θέρµανσης που διακινούνται από το δυϊλιστήριο i στην πόλη j. Η αντικειµενική συνάρτηση του προβλήµατος θα είναι: Min z=8x +6x 2 +x +9x 4 +9x 2 +2x 22 +x 2 +7x 24 +4x +9x 2 +6x +5x 4 Οι περιορισµοί του προβλήµατος αφορούν την προσφορά και τη ζήτηση καυσίµων. Η προσφορά εξαρτάται από τις δυνατότητες των δυϊλιστηρίων: x +x 2 +x +x 4 5 (δυνατότητες δυϊλιστηρίου ) x 2 +x 22 +x 2 +x 24 5 (δυνατότητες δυϊλιστηρίου 2) x +x 2 +x +x 4 45 (δυνατότητες δυϊλιστηρίου ) Η ζήτηση εξαρτάται από τις απαιτήσεις σε καύσιµα κάθε πόλης: x +x 2 +x 45 (απαιτήσεις καυσίµων πόλης ) x 2 +x 22 + x 2 2 (απαιτήσεις καυσίµων πόλης 2) x +x 2 +x (απαιτήσεις καυσίµων πόλης ) x 4 +x 24 +x 4 (απαιτήσεις καυσίµων πόλης 4) Προφανώς x ij i=,2,, j=,2,,4 Γενικά, όπως άλλωστε φαίνεται και από το παραπάνω παράδειγµα, ένα πρόβληµα µεταφορών έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Αν λοιπόν, στη γενική περίπτωση, είναι x ij η ποσότητα ή ο αριθµός µετακινούµενων ειδών (άνθρωποι, αγαθά, ενέργεια κ.λ.π.), c ij το κόστος µεταφοράς µιας µονάδας του είδους από το σηµείο προσφοράς i στο σηµείο ζήτησης j, s i η δυνατότητες προσφοράς του σηµείου προσφοράς i και d j οι ανάγκες του σηµείου ζήτησης j, η γενική µορφή του προβλήµατος µεταφορών είναι: 2

2 n min s.t. x m j= j= m n i= j= s (i c ij x ij ij i =,...,m) x ij di (i =,...,n) x ij για κάθε i=,...,m και j=, n Αν η συνολική ζήτηση ισούται µε τη συνολική προσφορά, δηλαδή m i= n s i = d j= (balanced). j, το πρόβληµα µεταφορών ονοµάζεται ισορροπηµένο Σε αυτήν την περίπτωση οι περιορισµοί προσφοράς και ζήτησης είναι δεσµευτικοί (binding). Η γενική µορφή του προβλήµατος τότε θα γίνει: n min m n i= j= c ij x ij s.t. x ij = s i (i =,...,m) m j= j= x = d (i ij i =,...,n) x ij για κάθε i=,...,m και j=, n Ένα ισορροπηµένο ΠΜ έχει τα παρακάτω πλεονεκτήµατα και για αυτό είναι επιθυµητή η χρήση τέτοιων ΠΜ: Είναι σχετικά εύκολη η εύρεση αρχικής βασικής δυνατής λύσης. Η εφαρµογή του αλγόριθµου SIMPLEX περιέχει λιγότερες αλγεβρικές πράξεις. Αν σε ένα πρόβληµα η προσφορά υπερβαίνει τη ζήτηση, µπορούµε να µετατρέψουµε ένα ΠΜ σε ισορροπηµένο προσθέτοντας ένα πλασµατικό (dummy) σηµείο προσφοράς, το οποίο θα παράγει το επιπλέον ποσό και του οποίου το κόστος µεταφοράς προς τα σηµεία ζήτησης θα είναι µηδενικό. Λόγου χάρη, στο πρόβληµα διανοµής καυσίµων, υπάρχει πλεόνασµα προσφοράς 5 εκατοµµυρίων lt. Προσθέτοντας ένα πέµπτο πλασµατικό δυϊλιστήριο µε µηδενικό κόστος µεταφοράς, το πρόβληµα µετατρέπεται σε ισορροπηµένο. Αντίθετα, αν σε ένα ΠΜ η ζήτηση υπερβαίνει την προσφορά, το ΠΜ δεν έχει δυνατή λύση. Παρόλα αυτά µπορεί σε κάποιο πρόβληµα να υπάρχει η

3 δυνατότητα µη κάλυψης της ζήτησης οπότε η περίσσεια ζήτησης µπορεί να εξαιρεθεί. ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ Ένας πίνακας προβλήµατος µεταφορών έχει την παρακάτω µορφή: ΠΡΟΣΦΟΡΑ c c 2 c n s c 2 c 22 c 2n s 2 c m c m2 c mn s m ΖΗΤΗΣΗ d d 2... d n Αποκαλούµε κελιά τα τετράγωνα του πίνακα µε το µεγαλύτερο πάχος γραµµής. Τα χωρίζουµε σε δύο τµήµατα. Στο δεξιό τµήµα τοποθετούµε το κόστος που αντιστοιχεί σε κάθε µεταβλητή. Στο αριστερό µέρος τοποθετούµε την τιµή της µεταβλητής στην οποία αντιστοιχεί το τετράγωνο, αν αυτή είναι βασική. 4

4 Λόγου χάρη, στο παράδειγµα διανοµής καυσίµων, ο πίνακας ΠΜ για τη βέλτιστη λύση (η οποία είναι z=2, x 2 =, x =25, x 2 =45, x 2 =5, x 2 =, x 4 =) είναι ο: υϊλιστήριο Πόλη Πόλη 2 Πόλη Πόλη 4 ΠΡΟΣΦΟΡΑ υϊλιστήριο υϊλιστήριο ΖΗΤΗΣΗ Εύρεση Βασικής υνατής Μεταβλητής σε ΠΜ Έστω ένα ισορροπηµένο ΠΜ µε m σηµεία προσφοράς και n σηµεία ζήτησης. Από τα προαναφερθέντα µπορούµε να συνάγουµε ότι αυτό το πρόβληµα θα έχει m+n περιορισµούς. Η εφαρµογή της µεθόδου Big-M είναι προφανώς δύσκολη, ειδικά όταν το πρόβληµα έχει µόνο ισότητες όπως το παρόν ΠΜ. Παρόλα αυτά, η εύκολη δοµή του εν λόγω προβλήµατος διευκολύνει την εύρεση βασικής δυνατής λύσης. Αρχικά, πρέπει να κάνουµε την εξής παρατήρηση: Αν σε ένα ισορροπηµένο ΠΜ όλοι οι περιορισµοί πλην ενός ικανοποιούνται, τότε και ο ένας περιορισµός ικανοποιείται. (να δειχθεί) Σύµφωνα µε την παρακάτω παρατήρηση, µπορούµε σε ένα ισορροπηµένο ΠΜ να παραλείψουµε ένα από τους περιορισµούς και να επιλύσουµε το ΠΜ για m+n- περιορισµούς. 5

5 Ας θεωρήσουµε λοιπόν ένα ισορροπηµένο ΠΜ µε τον παρακάτω πίνακα ΠΜ: ΠΡΟΣΦΟΡΑ 4 5 ΖΗΤΗΣΗ 2 4 Παραλείπουµε προς το παρόν τις τιµές κόστους αφού δεν είναι απαραίτητες για την εύρεση αρχικής βασικής δυνατής λύσης. Οι αρχικοί περιορισµοί µπορούν να γραφούν υπό µορφή πίνακα: = x x x x x x Αν αφαιρέσουµε τυχαία τον πρώτο περιορισµό, είναι: = x x x x x x Η βασική λύση για το παραπάνω σύστηµα πρέπει να έχει 4 βασικές µεταβλητές. οκιµάζουµε τις {x, x 2, x 2, x 22 }. Τότε, (κατά τα αναφερθέντα στο κεφάλαιο της Ανάλυσης Ευαισθησίας ΠΓΠ) είναι: = B 6

6 Λόγω του βαθµού του πίνακα Β (), αυτός δεν µπορεί να αντιστραφεί για να ευρεθεί αρχική βάση οπότε η αρχική επιλογή δεν είναι κατάλληλη. Για τον λόγο αυτόν, χρησιµοποιείται η µέθοδος του βρόχου (loop), για να καθοριστεί αν µια τυχαία οµάδα m+n- µεταβλητών αποτελεί αρχική βασική λύση σε ένα ισορροπηµένο ΠΜ. Ορισµός: Μια διατεταγµένη ακολουθία τουλάχιστον τεσσάρων κελιών πίνακα ΠΜ καλείται βρόχος αν: (α) Οποιαδήποτε δύο διαδοχικά κελιά βρίσκονται στην ίδια γραµµή ή στήλη του πίνακα ΠΜ. (β) Τρία διαδοχικά κελιά δεν βρίσκονται στην ίδια γραµµή ή στήλη του πίνακα ΠΜ. (γ) Το τελευταίο κελί της ακολουθίας έχει κοινή γραµµή ή στήλη µε το πρώτο κελί της ακολουθίας στον πίνακα ΠΜ. Ας εξετάσουµε τα παρακάτω παραδείγµατα βρόχων: Ο παραπάνω βρόχος είναι ο (2,)-(2,4)-(4,4)-(4,). Ο παραπάνω βρόχος είναι ο (,)-(,2)-(2,2)-(2,)-(4,)-(4,5)-(,5)-(,). Το παραπάνω (,)-(,2)-(2,)-(2,) δεν αποτελεί βρόχο αφού τα (,2) και (2,) δεν βρίσκονται στην ίδια γραµµή ή στήλη. 7

7 Το παραπάνω (,2)-(,)-(,4)-(2,4)-(2,2) δεν αποτελεί βρόχο αφού τα (,2), (,) και (,4) βρίσκονται στην ίδια γραµµή. ΘΕΩΡΗΜΑ: Σε ένα ισορροπηµένο ΠΜ µε m σηµεία προσφοράς και n σηµεία ζήτησης, τα κελιά του πίνακα ΠΜ που αντιστοιχούν σε µια οµάδα m+n- τυχαίων µεταβλητών δεν περιλαµβάνουν βρόχο όταν και µόνο όταν οι m+n- µεταβλητές αποτελούν βασική δυνατή λύση. Λόγου χάρη, στο αρχικό παράδειγµα της παραγράφου, αφού το (,)-(,2)- (2,2)-(2,) αποτελεί βρόχο, κατά το προηγούµενο θεώρηµα, η {x,x 2,x 22,x 2 } δεν αποτελεί βασική δυνατή λύση. Αντίθετα το (,)-(,2)- (,)-(2,) δεν αποτελεί βρόχο οπότε η {x,x 2,x,x 2 } αποτελεί βασική δυνατή λύση. Υπάρχουν τρεις µέθοδοι για την εύρεση αρχικής βασικής δυνατής λύσης στα ΠΜ, οι οποίες εξετάζονται παρακάτω: (Α) Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ ΒΟΡΕΙΟ ΥΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ. Η διαδικασία ξεκινά από το επάνω δεξιά (βορειοδυτικό) τετράγωνο του πίνακα ΠΜ. Θέτουµε το x ίσο µε το ελάχιστο των d, s. Aν x =s διαγράφουµε την πρώτη γραµµή του προβλήµατος ΠΜ και θέτουµε d =d - s. Αν x =d διαγράφουµε την πρώτη στήλη του πίνακα ΠΜ και θέτουµε s =s -d. Αν x =s =d διαγράφουµε είτε την πρώτη γραµµή είτε την πρώτη στήλη και θέτουµε d = ή s = αντίστοιχα. Συνεχίζουµε τη ίδια διαδικασία για τα υπόλοιπα αποµένοντα επάνω δεξιά κελιά που δεν πέφτουν σε διαγραµµένη γραµµή ή στήλη. Τελικά θα καταλήξουµε σε µόνο ένα κελί µόνο στο οποίο θα µπορεί να τεθεί µια τιµή. ίνουµε στο κελί την τιµή µιας εκ των τιµών προσφοράς και ζήτησης της γραµµής ή της στήλης στην οποία ανήκει. Έχει βρεθεί µια βασική λύση. Για να γίνει κατανοητή η µέθοδος, ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Θέτουµε x =min(5,2)=2 οπότε διαγράφεται η στήλη και s =5-2=. 8

8 2 Χ 4 2 Θέτουµε x 2 =min(,4)= οπότε διαγράφεται η γραµµή και d 2 =4-=. 2 X Χ 2 Θέτουµε x 22 =min(,)= οπότε διαγράφουµε είτε τη γραµµή 2 είτε τη στήλη 2. Επιλέγουµε διαγραφή της γραµµής 2 και d 2 =. 2 X X Χ 4 2 Θέτουµε x 2 =min(,)= οπότε διαγράφουµε τη στήλη 2. Επιλέγουµε διαγραφή της γραµµής 2 και s =-=. 2 X X Χ Χ 2 Θέτουµε x =min(,2)=2 οπότε διαγράφουµε τη στήλη. Επιλέγουµε διαγραφή της γραµµής 2 και s =-2=. 2 X X 2 Χ Χ Χ 9

9 Θέτουµε x 4 =min(,)=. Αφού είναι η τελευταία δυνατή µεταβλητή διαγράφουµε τη γραµµή και τη στήλη 4. Έχουµε λάβει τη βασική λύση x =2, x 2 =, x 22 =, x 2 =, x =2, x 4 =. Η µέθοδος εξασφαλίζει ότι καµία µεταβλητή δεν θα λάβει αρνητική τιµή και ότι κάθε περιορισµός προσφοράς ή ζήτησης ικανοποιείται. Η µέθοδος επιτυγχάνει τη διαγραφή m+n στηλών και γραµµών. Αφού η τελευταία µεταβλητή λαµβάνει τιµή µε τη διαγραφή της αντίστοιχης γραµµής και στήλης, αποδίδονται τιµές σε m+n- µεταβλητές, οι οποίες δεν µπορούν να δηµιουργήσουν βρόχο οπότε η λύση είναι βασική δυνατή. (Β) Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ Η µέθοδος του ελάχιστου κόστους χρησιµοποιεί τις τιµές κόστους κάθε µεταβλητής σε µια προσπάθεια να µειωθεί ο αριθµός των επαναλήψεων για την εύρεση βασικής λύσης. Επιλέγεται η µεταβλητή µε το µικρότερο κόστος και λαµβάνει την µεγαλύτερη δυνατή τιµή της (ελάχιστο προσφοράς-ζήτησης). Με βάση αυτήν την επιλογή ακολουθούνται όλα όσα αναφέρθηκαν στη µέθοδο του βορειοδυτικού τετραγώνου, οπότε διαγράφεται η κατάλληλη γραµµή ή στήλη, η τιµή προσφοράς ή ζήτησης µεταβάλλεται ανάλογα κ.λ.π.. Ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα:

10 Το µικρότερο κόστος έχει η x 22. Θέτουµε x 22 =min(,8)=8, οπότε διαγράφεται η στήλη 2 και s 2 = X 4 6 Το µικρότερο κόστος έχoυν η x και η x 2. Θέτουµε τυχαία x 2 =min(2,2)=2, οπότε διαγράφεται η γραµµή 2 και d =2-2= X X 4 6 Το µικρότερο κόστος έχει η x. Θέτουµε x =min(5,)=5, οπότε διαγράφεται η γραµµή και d =-5= X X 4 6 2

11 Το µικρότερο κόστος έχει η x. Θέτουµε x =min(5,5)=5, οπότε διαγράφεται η γραµµή και s =5-5= X X X X X 6 Το µικρότερο κόστος έχει η x. Θέτουµε x =min(,4)=4, οπότε διαγράφεται η στήλη και s =-4= X X X X 6 Αποµένει η x 4, της οποία διαγράφουµε τη γραµµή και τη στήλη και θέτουµε x 4 =min(6,6)=6 Τελικά έχουµε βρει µια αρχική βασική δυνατή λύση x =5, x 2 =2, x 22 =8, x =5, x =4, x 4 =6. Παρά το ότι φαίνεται ότι η µέθοδος δείχνει να βρίσκει βασικές δυνατές λύσεις µε χαµηλό κόστος, κάτι τέτοιο δεν ισχύει πάντοτε [Winston]. 22

12 (Γ) Η ΜΕΘΟ ΟΣ VOGEL Είναι η δυσκολότερη µέθοδος στην εφαρµογή [Gloer et al 977] αλλά απαιτεί λιγότερες επαναλήψεις από τις υπόλοιπες για την εύρεση βασικής δυνατής λύσης. Για τον λόγο αυτόν είναι η προτιµώµενη. Εφαρµόζεται ως εξής: Για κάθε γραµµή και στήλη υπολογίζουµε µια ποινή η οποία είναι η διαφορά ανάµεσα στις δύο µικρότερες τιµές κάθε γραµµής ή στήλης. Επιλέγουµε στη συνέχεια τη γραµµή ή τη στήλη µε τη µεγαλύτερη ποινή και ως βασική µεταβλητή, την µεταβλητή της γραµµής ή της στήλης αυτής µε το µεγαλύτερο κόστος. Με τον ίδιο τρόπο όπως και στις δύο προηγούµενες µεθόδους επανα-υπολογίζουµε τις νέες τιµές προσφοράς ή ζήτησης και διαγράφουµε την αντίστοιχη γραµµή ή στήλη. Επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία υπολογίζοντας τις νέες ποινές µέχρι να µείνει µόνο ένα κελί στο οποίο αντιστοιχίζουµε την τιµή της γραµµής και της στήλης στην οποία αντιστοιχεί. Με τον τρόπο αυτόν έχουµε βρει µια αρχική βασική δυνατή λύση. Εξετάζουµε το παρακάτω παράδειγµα: Ποινή: 7-6= Ποινή: Ποινή: 5-6=9 Ποινή: 8-7=7 Ποινή: 78-8=7 78-5=6 Την µεγαλύτερη ποινή την έχει η στήλη 2 οπότε θέτουµε x 2 =min(,5)=5. ιαγράφουµε τη στήλη 2 και s =9-5=5. Υπολογίζουµε τις νέες ποινές οπότε έχουµε τον πίνακα: Ποινή: Ποινή: 6 5 Χ 5 Ποινή: 9 Ποινή: - Ποινή:7 2

13 Την µεγαλύτερη ποινή την έχει η στήλη οπότε θέτουµε x =min(5,5)=5. ιαγράφουµε τη στήλη (θα µπορούσαµε να διαγράψουµε και τη γραµµή ) και s =5-5=. Υπολογίζουµε τις νέες ποινές οπότε έχουµε τον πίνακα: Ποινή: Ποινή: - 5 Χ Χ Ποινή: 9 Ποινή: - Ποινή: - Αφού σε κάθε γραµµή έχουν διαγραφεί 2 από τα κελιά δεν υπάρχουν πλέον ποινές στις γραµµές. Αποµένει η στήλη οπότε θέτουµε x =min(,5)=. ιαγράφουµε τη γραµµή και θέτουµε d =5-= Χ Ποινή: Ποινή: - 5 Χ Χ Ποινή: - Ποινή: - Ποινή: - Παραµένει η µεταβλητή x 2 οπότε x 2 =5 και διαγράφουµε στήλη και γραµµή 2: Η βασική δυνατή λύση είναι x =, x 2 =5, x =5 και x 2 =5. 24

14 6.. Η Μέθοδος SIMPLEX σε Προβλήµατα Μεταφορών (ΠΜ) Η εφαρµογή του αλγόριθµου SIMPLEX σε ΠΜ είναι απλούστερη ως προς την αλγεβρική της διαδικασία σε ό,τι αφορά, κυρίως, την είσοδο νέας µεταβλητής στη βάση. ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΕΙΣΟ ΟΥ ΣΤΗ ΒΑΣΗ Ακολουθούνται τα παρακάτω βήµατα: Καθορίζεται (σύµφωνα µε κριτήριο που ακολουθεί) η µεταβλητή που θα εισέλθει στη βάση. Βρίσκεται ο βρόχος (ο οποίος είναι µοναδικός) ο οποίος περιέχει την µεταβλητή που θα εισέλθει στη βάση και κάποιες βασικές µεταβλητές. Υπολογίζοντας µόνο τις µεταβλητές του βρόχου, σηµειώνουµε αυτές (εκτός αυτής που εισέρχεται) που βρίσκονται σε άρτιο αριθµό κελιών µακριά από το κελί της εισερχόµενης µεταβλητής ως άρτιες και αυτές που βρίσκονται σε περιττό αριθµό κελιών µακριά από το κελί της εισερχόµενης µεταβλητής ως περιττές (επί του βρόχου φυσικά). Βρίσκουµε το κελί της περιττής µεταβλητής που έχει την µικρότερη τιµή, την οποία ονοµάζουµε τιµή θ. Ελαττώνουµε την τιµή κάθε περιττής µεταβλητής κατά θ και αυξάνουµε την τιµή κάθε άρτιας µεταβλητής κατά θ. Οι τιµές εκτός βρόχου δεν αλλάζουν. Αν θ= η εισερχόµενη µεταβλητή θα έχει τιµή και µια περιττή µεταβλητή που θα έχει τιµή θα εγκαταλείψει τη βάση. Στην περίπτωση αυτή η λύση ήταν εκφυλισµένη πριν την διαδικασία εισαγωγής βάσης και παραµένει εκφυλισµένη. Αν πάνω από ένα κελιά έχουν τιµή ίση µε θ, η επιλογή γίνεται κατά βούληση. Και πάλι όµως η λύση είναι εκφυλισµένη. Για την επίδειξη των παραπάνω θα χρησιµοποιήσουµε το παράδειγµα διανοµής καυσίµων: Με εφαρµογή της µεθόδου βορειοδυτικού τετραγώνου, µια αρχική βασική δυνατή λύση είναι η x =5, x 2 =, x 22 =2, x 2 =2, x = και x 4 =. Έστω ότι επιθυµούµε να βρούµε τη νέα βασική λύση όταν εισέρχεται στη βάση η µεταβλητή x 4 :

15 Ο βρόχος που περιλαµβάνει τη x 4 και κάποιες από τις βασικές µεταβλητές είναι ο: (,4) [άρτιο]-(,4) [περιττό]-(,) [άρτιο]-(2,)[περιττό]-(2,) [άρτιο]-(,) [περιττό]. Τα κελιά µε άρτιες τιµές είναι τα (,4), (,), (2,) ενώ τα κελιά µε περιττές τιµές είναι τα (,), (,4), (2,). Το κελί µε την µικρότερη τιµή είναι το x 2 =2 oπότε θ=2. Η νέα βασική δυνατή µεταβλητή φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: 5-2=5 +2= 5 +2= 2 2-2= (µη βασική) +2= - 2= Η νέα λύση είναι βασική δυνατή αφού δεν περιέχει βρόχο και είναι η x =5, x 4 =2, x 2 =, x 22 =2, x = και x 4 =. Όλες οι άλλες µεταβλητές έχουν τιµή. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΝΕΑΣ ΓΡΑΜΜΗΣ Όπως αναλύθηκε σε προηγούµενο κεφάλαιο, για µια βασική λύση BV, ο νέος συντελεστής κάθε µεταβλητής x ij (c ij ) της γραµµής υπολογίζεται ως συνάρτηση του παλαιού συντελεστή c ij ως: c' ij =c BV B - a ij -c ij όπου a ij η στήλη µε τους συντελεστές για την µεταβλητή x ij (στο αρχικό ΠΜ έχουµε αφαιρέσει τον πρώτο περιορισµό προσφοράς κατά τα προαναφερθέντα). Αφού έχουµε πρόβληµα ελαχιστοποίησης, η βάση θα παραµείνει βέλτιστη αν όλες οι νέες τιµές c ij είναι µη θετικές, αλλιώς εισάγουµε στη βάση την µεταβλητή µε τον πλέον θετικό συντελεστή. Υπολογίζουµε την τιµή c BV B - η οποία έχει m+n- στοιχεία (ο πρώτος περιορισµός προσφοράς έχει απαλειφεί): BV c B = [ u... u... ] 2 όπου u 2,,u m τα στοιχεία που αντιστοιχούν στους m- περιορισµούς προσφοράς και,, n τα στοιχεία που αντιστοιχούν στους n m n 26

16 περιορισµούς ζήτησης. Για τον καθορισµό του c BV B -, σε κάθε πίνακα οι βασικές µεταβλητές έχουν c ij =. Συνεπώς για κάθε βασική µεταβλητή είναι c BV B - a ij -c ij = (*). Γενικά, σε ΠΜ, η παραπάνω εξίσωση είναι εύκολη ως προς την επίλυσή της. Λόγου χάρη, για το παράδειγµα διανοµής καυσίµων, η αρχική βασική λύση φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Η βάση είναι η {x,x 2,x 22,x 2,x,x 4 }. Από τη σχέση (*) είναι: c' = ' = u2 u = u2 + [ u u ] 8 = 8 = [ ] 9 c 2 = 27

17 [ ] 2 u 2 u u ' c = + = = [ ] u u u ' c = + = = [ ] 6 u 6 u u ' c = + = = [ ] 5 u 5 u u ' c = + = = Για κάθε βασική µεταβλητή x ij (εκτός αυτών όπου i=) παρατηρούµε ότι η (*) µειώνεται σε u i + j =c ij. Aν ορίσουµε u =, η (*) µειώνεται σε u i + j =c ij για όλες τις βασικές µεταβλητές. Συνεπώς για να επιλύσουµε ως προς c BV B -, πρέπει να επιλύσουµε το σύστηµα m+n εξισώσεων : u =, u i + j =c ij για όλες τις βασικές µεταβλητές. Για το παράδειγµα διανοµής καυσίµων: u = u =2 u + =9 u 2 + = 28

18 u 2 + =9 u + =6 u + 4 =5 Επιλύοντας προκύπτει =8, u 2 =, 2 =, =2, u =4, 4 =. Για κάθε µη βασική µεταβλητή υπολογίζουµε τα c ij : c' 2 =+-6=5 c =+2-=2 c 4 =+-9=-8 c 24 =+-7=-5 c =4+8-4=-2 c 2 =4+-9=6 Η c 2 είναι η πλέον θετική, οπότε η x 2 θα εισέλθει στη βάση. ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΗ ΒΑΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΥ ΕΙΣΕΡΧΕΤΑΙ ΣΤΗ ΒΑΣΗ Έστω u i η περιθώρια τιµή του i περιορισµού προσφοράς και j η περιθώρια τιµή του j περιορισµού ζήτησης. Αφού απαλείφεται ο ος περιορισµός προσφοράς είναι u =. Αν αυξήσουµε το δεξιό µέλος ενός περιορισµού προσφοράς i και το δεξιό µέλος ενός περιορισµού ζήτησης j κατά, η βέλτιστη τιµή θα µειωνόταν κατά u i - j. Έστω ότι η x ij είναι µη βασική. Αν αυξήσουµε την x ij κατά, το κόστος αυξάνει κατά c ij αλλά και µια µονάδα λιγότερη θα µεταφερθεί από το σηµείο προσφοράς i στο σηµείο ζήτησης j. Αυτό ισοδυναµεί µε µείωση του δεξιού µέλους τόσο του περιορισµού προσφοράς όσο και του περιορισµού ζήτησης κατά µονάδα. Το z θα αυξηθεί κατά u i - j. Άρα αύξηση του x ij κατά θα αυξήσει το z συνολικά κατά c ij -u i - j. Άρα, αν c ij -u i - j (ή u i + j -c ij ) για όλες τις µη βασικές µεταβλητές, η τρέχουσα βάση είναι βέλτιστη. Αν όµως για κάποια µη βασική µεταβλητή είναι c ij -u i - j < (ή u i + j -c ij >), το z µπορεί να µειωθεί κατά u i + j -c ij ανά µονάδα του x ij, εισάγοντας το x ij στη βάση. Γενικά λοιπόν, αν c ij -u i - j (ή u i + j -c ij ) για όλες τις µη βασικές µεταβλητές, η τρέχουσα βάση είναι βέλτιστη. Αλλιώς η µη βασική µεταβλητή µε την πλέον θετική τιµή του u i + j -c ij πρέπει να εισέλθει στη βάση. Για να βρούµε τα u i και j ενεργούµε ως εξής: ο συντελεστής της µη βασικής µεταβλητής στη γραµµή είναι η ποσότητα που θα µειωθεί το z για µοναδιαία αύξηση του x ij, δηλαδή u i + j -c ij. Οπότε µπορούµε να επιλύσουµε ως προς u i και j το σύστηµα u = και u i + j -c ij = για όλες τις βασικές µεταβλητές. Η παραπάνω διαδικασία φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγµα (τµήµα της επίλυσης του παραδείγµατος διανοµής καυσίµων): 29

19 Βρίσκουµε τα u i και j επιλύοντας το σύστηµα: u = u + =8 u 2 + =9 u =2 u 2 + = u + =6 u + 4 =5 Η λύση στο παραπάνω σύστηµα είναι =8, u 2 =, 2 =, =2, u =4, 4 =. Για κάθε µη βασική λύση υπολογίζουµε τα c ij =u i + j -c ij οπότε: c' 2 =+-6=5 c =+2-=2 c 4 =+-9=-8 c 24 =+-7=-5 c =4+8-4=-2 c 2 =4+-9=6 Ο πλέον θετικός συντελεστής είναι ο c 2 οπότε η x 2 θα εισέλθει στη βάση. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ας θεωρήσουµε το παράδειγµα διανοµής καυσίµων, στο οποίο έχουµε µια αρχική βασική δυνατή λύση. Έχουµε καθορίσει ότι η µεταβλητή x 2 θα εισέλθει στη βάση. Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται ο βρόχος ο οποίος περιλαµβάνει την x 2 και κάποιες από τις βασικές µεταβλητές και είναι ο (,2)-(,)-(2,)-(2,2). Τα περιττά κελιά του βρόχου είναι τα (,) και (2,2).

20 Αφού x = και x 22 =2, η εισαγωγή της βάσης θα µειώσει τις x και x 22 κατά και θα αυξήσει τις τιµές των x 2 και x 2 ανά. Η βάση φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: j = u i= Οι νέες τιµές u i, j είναι: u = u 2 + = u =2 u 2 + =9 u + 4 =5 u + 2 =9 u + =8 Υπολογίζοντας τα c ij για κάθε µη βασική µεταβλητή, είναι c 2 =5, c 24 = και c =2 οι µόνοι θετικοί συντελεστές. Άρα εισάγουµε στη βάση τη x 2. Ο βρόχος που αφορά τη x 2 και κάποιες από τις βασικές µεταβλητές είναι (,2)-(2,2)-(2,)-(,). Τα περιττά κελιά είναι τα (2,2) και (,). Αφού x 22 = είναι η µικρότερη τιµή περιττού κελιού, µειώνουµε τα x 22 και x

21 κατά και αυξάνουµε τα x 2 και x 2 κατά, οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας: j = u i = Οι νέες τιµές u i, j είναι: u = u + 2 =6 u 2 + =9 u + 2 =9 u + =8 u + 4 =5 u 2 + = Υπολογίζοντας τα c ij για κάθε µη βασική µεταβλητή, είναι c =2 ο µόνος θετικός συντελεστής. Άρα εισάγουµε στη βάση τη x. Ο βρόχος που αφορά τη x και κάποιες από τις βασικές µεταβλητές είναι (,)-(2,)- (2,)-(,). Τα περιττά κελιά είναι τα (2,) και (,). Αφού x =25 είναι η µικρότερη τιµή περιττού κελιού, µειώνουµε τα x 2 και x κατά 25 και αυξάνουµε τα x και x 2 κατά 25, οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας: 2

22 j = Προσφορά u i = Ζήτηση 45 2 Οι νέες τιµές u i, j είναι: u = u 2 + = u 2 + =9 u + = u + 4 =5 u + 2 =9 u + 2 =6 Όλοι οι συντελεστές c ij είναι µη θετικοί οπότε έχουµε βρει τη βέλτιστη λύση που είναι x 2 =, x =25, x 2 =45, x 2 =5, x 2 =, x 4 = και z=2 ΕΥΡΩ Ανάλυση Ευαισθησίας σε Προβλήµατα Μεταφορών Η µέθοδος SIMPLEX στα ΠΜ απλουστεύεται, συνεπώς απλουστεύεται και η διαδικασία της ανάλυσης ευασθησίας σε αυτή. Ας εξετάσουµε λοιπόν κάποιες χαρακτηριστικές περιπτώσεις ανάλυσης ευαισθησίας: Θα πραγµατοποιήσουµε ανάλυση ευαισθησίας στο πρόβληµα διανοµής καυσίµων, του οποίου ο βέλτιστος πίνακας ΠΜ είναι ο:

23 j = Προσφορά u i = Ζήτηση 45 2 (Α) ΑΛΛΑΓΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΜΗ ΒΑΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Αλλαγή του συντελεστή αντικειµενικής συνάρτησης µη βασικής µεταβλητής δεν επηρεάζει το δεξιό µέλος των περιορισµών, οπότε η βάση θα παραµένει βέλτιστη. Αφού λοιπόν δεν αλλάζει η ποσότητα c BV B -, οπότε τα u i, j δεν αλλάζουν. Στη γραµµή, µόνο ο συντελεστής του x ij θα αλλάξει. Οπότε, όσο ο συντελεστής της µεταβλητής στη γραµµή είναι µη θετικός η βάση παραµένει βέλτιστη. Στο παράδειγµά µας θα εξετάσουµε το εύρος τιµών για το οποίο το κόστος µεταφοράς εκατοµµυρίου lt καυσίµων από τ δυϊλιστήριο στην πόλη διατηρεί τη βάση ως βέλτιστη. Έστω ότι αλλάζουµε το c από 8 σε 8+. Η βάση θα παραµείνει βέλτιστη για c =u + -c =+6-(8- )=-2- ή -2 ή c 8-2=6. (Β) ΑΛΛΑΓΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΒΑΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Στην περίπτωση αυτή αλλάζει η ποσότητα c BV B - οπότε µπορεί να αλλάξουν και οι συντελεστές των µη βασικών µεταβλητών. Πρέπει να καθορίσουµε τα u i, j για να εξετάσουµε τη συµπεριφορά των µη βασικών µεταβλητών. Η τρέχουσα βάση παραµένει βέλτιστη αν όλοι οι συντελεστές των µη βασικών µεταβλητών στη γραµµή είναι µη θετικοί. Στο παράδειγµά µας θα εξεταστεί για ποιό εύρος κόστους η βάση παραµένει βέλτιστη για µεταβολή του κόστους µεταφοράς καυσίµων από το δυϊλιστήριο στην πόλη. Έστω ότι αλλάζουµε το c σε c +. Τότε είναι u + =+. Για να βρούµε τις τιµές των u i και j επιλύουµε το παρακάτω σύστηµα: 4

24 u = u + 2 =9 u 2 + =9 u + =+ u + 2 =6 u + 4 =5 u 2 + = Επιλύοντας έχουµε u =, 2 =6, =+, =6+, u 2 =-, u = και 4 =2. H βάση παραµένει βέλτιστη αν οι συντελεστές των µη βασικών µεταβλητών στη γραµµή παραµένουν µη θετικοί: c' =u + -8 = -2 c 4 =u + 4-9=-7 c 22 = u =-- c 24 = u =-2- c = u + -4 =-5+ c = u + -6 = - Λαµβάνοντας το κοινό διάστηµα όλων των εξισώσεων προκύπτει τελικά ότι η βάση παραµένει βέλτιστη για -2 2 ή 8 c 2. (Γ) ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΗ ΑΥΞΗΣΗ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ S I ΚΑΙ ΖΗΤΗΣΗΣ D J ΚΑΤΑ. Η αλλαγή αυτή διατηρεί ένα ισορροπηµένο ΠΜ. Αφού τα u i και j µπορούν να θεωρηθούν οι αρνητικές τιµές των περιθώριων τιµών κάθε περιορισµού, ισχύει ότι αν η τρέχουσα βάση παραµένει βέλτιστη, τότε: Νέα τιµή z = Παλαιά τιµή z + u i + j. ηλαδή, αν στο παράδειγµά µας αυξήσουµε την ζήτηση της πόλης 2 κατά και την προσφορά του δυϊλιστηρίου κατά, το νέο κόστος θα είναι =26 ΕΥΡΩ. Αναλυτικότερα, µπορούµε να δούµε τα εξής: Αν η µεταβλητή x ij είναι βασική στη βέλτιστη λύση, αυξήστε την κατά. Αν η µεταβλητή x ij είναι µη βασική στη βέλτιστη λύση, βρείτε τον βρόχο που περιλαµβάνει αυτή και µερικές βασικές µεταβλητές. Βρείτε ένα περιττό κελί στη γραµµή. Αυξήστε την τιµή του κελιού αυτού κατά και αυξοµειώστε τις τιµές των κελιών του βρόχου κατά. Στο παράδειγµά µας, στην πρώτη περίπτωση, έστω ότι αυξάνουµε τα s και d 2 κατά 2. Αφού η µεταβλητή x 2 είναι βασική, η νέα βέλτιστη λύση είναι: 5

25 j = Προσφορά u i = Ζήτηση 45 2 Η νέα βέλτιστη λύση είναι z=2+2u +2 2 =2 ΕΥΡΩ. Στη δεύτερη περίπτωση, έστω ότι αυξάνουµε τα s και d κατά. Αφού η x είναι µη βασική µεταβλητή στην τρέχουσα βάση, πρέπει να βρούµε τον βρόχο του x και κάποιων βασικών µεταβλητών. Ο βρόχος είναι (,)- (,)-(2,)-(2,). Το περιττό κελί στη γραµµή είναι το x. Άρα η νέα βέλτιστη λύση θα βρεθεί αυξάνοντας το x και το x 2 κατά και µειώνοντας το x 2 κατά. Αυτό φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: j = Προσφορά u i = Ζήτηση 46 2 Η νέα βέλτιστη τιµή του z είναι 2+u + =26 ΕΥΡΩ. 6

26 6.5. Προβλήµατα Ανάθεσης Τα προβλήµατα ανάθεσης αποτελούν µια κατηγορία των ΠΜ για τα οποία η επίλυση µε τον αλγόριθµο SIMPLEX είναι µη αποδοτική. Στην παράγραφο αυτή θα περιγράψουµε τα προβλήµατα αυτά όπως και αποδοτικές µεθόδους για την επίλυσή τους. Αρχικά όµως ας δώσουµε ένα παράδειγµα: Εταιρεία κατασκευής χωµατουργικών διαθέτει τέσσερα (4) µηχανήµατα χωµατουργικών εργασιών (ΜΧΕ) και τέσσερις (4) εργασίες (Ε) τις οποίες πρέπει να πραγµατοποιήσει, στα πλαίσια ενός έργου οδοποιίας. Ο χρόνος που απαιτεί κάθε µηχάνηµα για να πραγµατοποιήσει την κάθε εργασία φαίνεται στον παρακάτω πίνακα (πίνακας κόστους προβλήµατος ανάθεσης): Πίνακας 6.5. Πίνακας κόστους προβλήµατος ανάθεσης. ΜΧΕ \ Ε Ε Ε2 Ε Ε4 ΜΧΕ ΜΧΕ ΜΧΕ ΜΧΕ Επιθυµία της εταιρείας είναι να τοποθετήσει κάθε µηχάνηµα στην κατάλληλη εργασία για να ελαχιστοποιήσει το χρόνο κατασκευής. Να επιλυθεί το ΠΓΠ. Λύση: Ορίζουµε: x ij = αν στο ΜΧΕ i έχει ανατεθεί η εργασία j x ij = αν όχι. 7

27 Το πρόβληµα µπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Min z: 4x +5x 2 +8x +7x 4 +2x 2 +2x 22 +6x 2 +5x 24 +7x +8x 2 +x +9x 4 +2x 4 +4x 42 +6x 4 +x 44 x +x 2 +x +x 4 = x 2 +x 22 +x 2 +x 24 = x +x 2 +x +x 4 = x 4 +x 42 +x 4 +x 44 = x +x 2 +x +x 4 = x 2 +x 22 +x 2 +x 42 = x +x 2 +x +x 4 = x 4 +x 24 +x 4 +x 44 = Οι πρώτοι τέσσερις περιορισµοί εξασφαλίζουν ότι σε κάθε ΜΧΕ αντιστοιχεί µια εργασία και οι άλλες τέσσερις ότι η εργασία πραγµατοποιείται. Εξαιρώντας προς στιγµήn το γεγονός ότι x ij -,, το πρόβληµα είναι ισορροπηµένο ΠΜ µε προσφορά και ζήτηση παντού ίση µε. Αυτός είναι και ο ορισµός του προβλήµατος ανάθεσης. Τελικά, ένα πρόβληµα καθορισµού εξαρτάται από το κόστος ανάθεσης µέσου κ.λ.π. σε εργασία. Ο πίνακας του προβλήµατος καθορισµού που περιέχει τις τιµές κόστους ονοµάζεται πίνακας κόστους. Για να βρούµε µια αρχική βασική λύση στο πρόβληµα µας χρησιµοποιούµε τηn µέθοδο του ελάχιστου κόστους και προκύπτει ο παρακάτω πίνακας: Εργασία Εργασία Εργασία Εργασία ΜΧΕ ΜΧΕ ΜΧΕ ΜΧΕ Παρατηρούµε ότι ο µόνος θετικός συντελεστής µεταβλητής είναι ο c 4 (να υπολογιστεί για εξάσκηση), οπότε η x 4 εισέρχεται στη βάση. Ο βρόχος που περιέχει τη x 4 και κάποιες βασικές µεταβλητές είναι ο (4,) - (,) (,2) (4,2). Τα περιττά κελιά είναι τα x και x 42 και αφού είναι και τα δυο ίσα µε το, επιλέγουµε στην τύχη να εξάγουµε το x από τη βάση. 8

28 Προκύπτει ο παρακάτω πίνακας (να επαληθευτούν οι πράξεις για εξάσκηση): Εργασία Εργασία Εργασία Εργασία ΜΧΕ ΜΧΕ ΜΧΕ ΜΧΕ Στον τελευταίο πίνακα, αν υπολογίσουµε τα νέα c ij, παρατηρούµε ότι όλα είναι αρνητικά. Συνεπώς έχουµε λάβει βέλτιστη λύση: x 2 =, x 24 =, x = και x 4 =. Απαιτούνται =5 ώρες εργασίας κατ ελάχιστο, στο ΜΧΕ ανατίθεται το έργο 2, στο ΜΧΕ 2 το έργο 4, στο ΜΧΕ το έργο και στο ΜΧΕ 4 το έργο Η Ουγγρική Μέθοδος για την Επίλυση Προβληµάτων Ανάθεσης (ΠΑ) Είναι γεγονός ότι τα προβλήµατα ανάθεσης έχουν υψηλή πιθανότητα εκφυλισµού [Whinston], συνεπώς η χρήση του αλγόριθµου SIMPLEX για προβλήµατα µεταφορών µπορεί να µην παρέχει ικανοποιητική απόδοση. Για τον λόγο αυτόν εξετάζουµε την ουγγρική µέθοδο η οποία είναι η παρακάτω: Έστω ο πίνακας κόστους του προβλήµατος ανάθεσης. Βρίσκουµε το στοιχείο µε την ελάχιστη τιµή σε κάθε γραµµή του πίνακα κόστους m x m. Κατασκευάζουµε νέο πίνακα αφαιρώντας από κάθε στοιχείο της κάθε γραµµής, το µικρότερο στοιχείο αυτής. Εκτελούµε για το νέο πίνακα την ίδια εργασία ανά στήλη και προκύπτει ένας τελικός πίνακας που ονοµάζεται και πίνακας οριακού κόστους. ιαγράφουµε όλες τις γραµµές και στήλες του πίνακα οριακού κόστους που χρειάζονται ώστε να καλύψουν όλα τα µηδενικά του πίνακα, µε τον ελάχιστο αριθµό διαγραφών. Αν οι διαγεγραµµένες γραµµές και στήλες είναι m το πλήθος, υπάρχει βέλτιστη λύση. Αν όχι προχωρούµε στο επόµενο βήµα. Βρίσκουµε το µικρότερο στοιχείο κ του πίνακα οριακού κόστους (έστω λ) στον πίνακα, το οποίο δεν βρίσκεται σε γραµµή ή στήλη που έχει διαγραφεί στο προηγούµενο βήµα. Αφαιρούµε το κ από 9

29 όλα τα µη διαγεγραµµένα στοιχεία και το προσθέτουµε στα στοιχεία τα οποία διαγράφονται και σε γραµµή και σε στήλη ταυτόχρονα. Επιστρέφουµε στο προηγούµενο βήµα. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΕΠΙ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ Για να επιλυθεί πρόβληµα ανάθεσης µεγιστοποίησης πολλαπλασιάστε τον πίνακα κόστους (ή κερδους εφόσον έχουµε µεγιστοποίηση) µε - για να επιλυθεί ως πρόβληµα ελαχιστοποίησης. Αν το πρόβληµα είναι µη ισορροπηµένο, πρέπει να µετατραπεί σε ισορροπηµένο κατά τα προαναφερθέντα. Σε µεγάλα προβλήµατα είναι πιθανά δύσκολη η εύρεση ελάχιστου αριθµού διαγραφών [Gillet 976]. Θα γίνει επίδειξη του αλγορίθµου µε το παράδειγµα ανάθεσης µηχανηµάτων σε έργα: Ο αρχικός πίνακας κόστους είναι: Ελάχιστο γραµµής Αφαιρούµε από κάθε γραµµή το ελάχιστο και προκύπτει ο πίνακας: Ελάχιστο στήλης 2 Αφαιρούµε από κάθε στήλη το ελάχιστο και πραγµατοποιούµε διαγραφές των στηλών και γραµµών ώστε να καλύψουµε όλα τα µηδενικά (οι γραµµές και στήλες που διαγράφονται είναι οι γραµµοσκιασµένες): 4

30 Είναι m=4 ενώ οι διαγεγραµµένες γραµµές είναι τρεις οπότε η λύση δεν είναι βέλτιστη. Το µικρότερο στοιχείο που δεν διαγράφεται είναι το κελί (2,4) που είναι ίσο µε. Από κάθε µη διαγεγραµµένο κελί αφαιρούµε και προσθέτουµε στα διαγεγραµµένα εις διπλούν κελιά, δηλαδή τα (,) και (,), οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας στον οποίο εφαρµόζουµε το δεύτερο βήµα της µεθόδου: Για να καλυφθούν όλα τα µηδενικά του πίνακα χρειάζεται να διαγραφούν τέσσερις γραµµές και στήλες του πίνακα. Επίσης είναι m=4 οπότε η λύση είναι βέλτιστη. Για να βρούµε τις τιµές αυτής παρατηρούµε ότι στη στήλη, το µόνο διαγεγραµµένο µηδέν είναι στη θέση (,), οπότε x =. Επίσης εξαιρείται η γραµµή και η στήλη. Ανάλογα, στη στήλη 2, είναι x 2 = οπότε εξαιρούνται η γραµµή και η στήλη 2. Επίσης, στη στήλη 4 το διαγεγραµµένο µηδεν (που δεν βρίσκεται σε γραµµή που έχει εξαιρεθεί είναι στη θέση (2,4) και είναι x 24 =. Eξαιρούνται και η γραµµή 2 µε τη στήλη 4. Τέλος, x 4 = οπότε εξαιρείται και η στήλη. Τελικά η λύση είναι x =, x 2 =, x 24 =, x 4 =. Η ουγγρική µέθοδος προσφέρει µια εύκολη εναλλακτική λύση σε προβλήµατα ανάθεσης, λόγω της απλότητας εφαρµογής της. 4

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

ΕπίλυσηΠροβληµάτων Αναθέσεων: Η "Ουγγρική Μέθοδος"

ΕπίλυσηΠροβληµάτων Αναθέσεων: Η Ουγγρική Μέθοδος ΕπίλυσηΠροβληµάτων Αναθέσεων: Η "Ουγγρική Μέθοδος" Τοπλήθος των εφικτών λύσεων σε ένα πρόβληµα ανάθεσης µε m δραστηριότητες και mπόρους είναι ίσο µε m! 6 Αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµός των εφικτών λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων Μοντέλα Διανομής και Δικτύων 10-03-2017 2 Πρόβλημα μεταφοράς (1) Τα προβλήματα μεταφοράς ανακύπτουν συχνά σε περιπτώσεις σχεδιασμού διανομής αγαθών και υπηρεσιών από τα σημεία προσφοράς προς τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) Η διαµόρφωση και το µοντέλο του προβλήµατος ανάθεσης (π.χ. εργασιών σε µηχανές ή δραστηριοτήτων σε άτοµα) περιγράφεται στις

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Η αρχική τους εφαρµογή, όπως δηλώνει και η ονοµασία τους, αφορούσε τον καθορισµό του βέλτιστου τρόπου µεταφοράς αγαθών από διαφορετικά σηµεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης (π.χ.,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως

Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI)

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Ηµέθοδος MODIεπιτρέπει τον υπολογισµό των οριακών µεταβολών στο συνολικό κόστος µεταφοράς για κάθε µη επιλεγείσα διαδροµή µε αλγεβρικό τρόπο, χωρίς τη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-180: Λογική Εαρινό Εξάµηνο 2016 Κ. Βάρσος Πρώτο Φροντιστήριο 1 Συνοπτική ϑεωρία 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού 1. Νόµος ταυτότητας : 2. Νόµοι αυτοπάθειας

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευµένη Simplex Γενικευµένη Simplex

Γενικευµένη Simplex Γενικευµένη Simplex Πρόβληµα cutting stock Λογικά µεγέθη (20 περιορισµοί, 24000 µεταβλητές) Πρόβληµα cutting stock Λογικά µεγέθη (20 περιορισµοί, 24000 µεταβλητές) Μεγάλα µεγέθη (30 περιορισµοί, 190000 µεταβλητές) Πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 Ε_3.Αλ3Ε(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 2.1: Εισαγωγή array στο Front Panel.

Σχήµα 2.1: Εισαγωγή array στο Front Panel. Arrays (Πίνακες) 1. Στο LAbVIEW η εισαγωγή πινάκων γίνεται µε τα arrays. Για να εισάγουµε ένα array στο Front Panel κάνουµε δεξί κλικ σε αυτό και επιλέγουµε την εντολή «Array» από το µενού «Array, Matrix

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης

Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης - Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης http://www.seas.upenn.edu/~tcom50/lectures/lecture.pdf ροµολόγηση σε ίκτυα εδοµένων Αναπαράσταση ικτύου µε Γράφο Μη Κατευθυνόµενοι Γράφοι Εκτεταµένα έντρα Κατευθυνόµενοι

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Α1. α. Λάθος β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό Α2. δ Α3. β Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΠΑΝΤΑΙΔΑΚΗΣ ΜΙΧΑΗΛ Α.Μ 8342 ΕΞΑΜΗΝΟ :ΠΤΘ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονοµική Θεωρία. Συνάρτηση και καµπύλη κόστους. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 22 Σεπτεµβρίου 2014

Μικροοικονοµική Θεωρία. Συνάρτηση και καµπύλη κόστους. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 22 Σεπτεµβρίου 2014 Μικροοικονοµική Θεωρία Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 22 Σεπτεµβρίου 2014 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Μικροοικονοµική Θεωρία 22 Σεπτεµβρίου 2014 1 / 49 Συνάρτηση και καµπύλη κόστους Πολύ χρήσιµες

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα Μεταφοράς. Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης

Πρόβλημα Μεταφοράς. Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Πρόβλημα Μεταφοράς Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 εκαδικό και υαδικό

3.1 εκαδικό και υαδικό Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και εδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 3.1 εκαδικό και υαδικό εκαδικό σύστηµα 2 1 εκαδικό και υαδικό υαδικό Σύστηµα 3 3.2 Μετατροπή Για τη µετατροπή

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 0 Ηλεκτρικά κυκλώµατα Ηλεκτρικό κύκλωµα ονοµάζουµε ένα σύνολο στοιχείων που συνδέονται κατάλληλα έτσι ώστε να επιτελέσουν ένα συγκεκριµένο σκοπό. Για παράδειγµα το παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη 5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη Tο πρόβληµα του προσδιορισµού των συγκεντρώσεων των προτύπων, όταν δεν είναι γνωστό το πλήθος τους και η ταυτότητα των προτύπων, είναι δύσκολο και για την

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex:

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex: http://usrs.uo.gr/~acg 1 UΜετάβαση από τον ΓΠ στη Θεωρία ικτύων UΤο πρόβλημα Μεταφοράς (Transportation probl) UΗ «Μακεδονική Εταιρεία Αναψυκτικών Α.Ε.» Παράγει ένα αναψυκτικό ευρείας κατανάλωσης Το προϊόν

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí

Διαβάστε περισσότερα

Ο Αλγόριθµος της Simplex

Ο Αλγόριθµος της Simplex Βήµατα Αλγορίθµου Τα ϐήµατα του αλγορίθµου συνοψίζονται σε ϐήµατα. Βήµατα Αλγορίθµου Τα ϐήµατα του αλγορίθµου συνοψίζονται σε ϐήµατα. Αρχικοποίηση : Επέλεξε έναν αντιστρέψιµο πίνακα B (m m) έτσι ώστε x

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 21. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

Άσκηση 21. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης Εταιρία παράγει σκυρόδεμα με το οποίο προμηθεύει σε καθημερινή βάση διάφορες οικοδομικές επιχειρήσεις. Το σκυρόδεμα παράγεται σε δύο εργοτάξια της εταιρίας, το Α και το Β. Με τα σημερινά δεδομένα, υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση http://www.di.uoa.gr/ telelis/opt.html Ορέστης Τελέλης telelis@di.uoa.gr Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Η ταχύτητα συνήθως δεν παραµένει σταθερή Ας υποθέσουµε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο µε ταχύτητα k 36. Ο δρόµος είναι ανοιχτός και ο οδηγός αποφασίζει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (4 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι

Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι Η µέθοδος Vogel Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι η µέθοδος Vogel Η προσεγγιστική µέθοδος Vogelείναι µια πιο πολύπλοκη µέθοδος σε σχέση µε τις προηγούµενες, αλλά

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 (για άριστα διαβασµένους) ΟΜΑ Α Α Να απαντήσετε στις επόµενες ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής A1. Σε γραµµική ΚΠ της µορφής Y =

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ LIBATI@CEIDUPATRASGR Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών ΑΜ: Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων 8// Να βρεθούν οι OGF για καθεµία από τις

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα