Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους."

Transcript

1 Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή x ij που αντιστοιχεί σε εκατοµµύρια λίτρων καυσίµων θέρµανσης που διακινούνται από το δυϊλιστήριο i στην πόλη j. Η αντικειµενική συνάρτηση του προβλήµατος θα είναι: Min z=8x +6x 2 +x +9x 4 +9x 2 +2x 22 +x 2 +7x 24 +4x +9x 2 +6x +5x 4 Οι περιορισµοί του προβλήµατος αφορούν την προσφορά και τη ζήτηση καυσίµων. Η προσφορά εξαρτάται από τις δυνατότητες των δυϊλιστηρίων: x +x 2 +x +x 4 5 (δυνατότητες δυϊλιστηρίου ) x 2 +x 22 +x 2 +x 24 5 (δυνατότητες δυϊλιστηρίου 2) x +x 2 +x +x 4 45 (δυνατότητες δυϊλιστηρίου ) Η ζήτηση εξαρτάται από τις απαιτήσεις σε καύσιµα κάθε πόλης: x +x 2 +x 45 (απαιτήσεις καυσίµων πόλης ) x 2 +x 22 + x 2 2 (απαιτήσεις καυσίµων πόλης 2) x +x 2 +x (απαιτήσεις καυσίµων πόλης ) x 4 +x 24 +x 4 (απαιτήσεις καυσίµων πόλης 4) Προφανώς x ij i=,2,, j=,2,,4 Γενικά, όπως άλλωστε φαίνεται και από το παραπάνω παράδειγµα, ένα πρόβληµα µεταφορών έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Αν λοιπόν, στη γενική περίπτωση, είναι x ij η ποσότητα ή ο αριθµός µετακινούµενων ειδών (άνθρωποι, αγαθά, ενέργεια κ.λ.π.), c ij το κόστος µεταφοράς µιας µονάδας του είδους από το σηµείο προσφοράς i στο σηµείο ζήτησης j, s i η δυνατότητες προσφοράς του σηµείου προσφοράς i και d j οι ανάγκες του σηµείου ζήτησης j, η γενική µορφή του προβλήµατος µεταφορών είναι: 2

2 n min s.t. x m j= j= m n i= j= s (i c ij x ij ij i =,...,m) x ij di (i =,...,n) x ij για κάθε i=,...,m και j=, n Αν η συνολική ζήτηση ισούται µε τη συνολική προσφορά, δηλαδή m i= n s i = d j= (balanced). j, το πρόβληµα µεταφορών ονοµάζεται ισορροπηµένο Σε αυτήν την περίπτωση οι περιορισµοί προσφοράς και ζήτησης είναι δεσµευτικοί (binding). Η γενική µορφή του προβλήµατος τότε θα γίνει: n min m n i= j= c ij x ij s.t. x ij = s i (i =,...,m) m j= j= x = d (i ij i =,...,n) x ij για κάθε i=,...,m και j=, n Ένα ισορροπηµένο ΠΜ έχει τα παρακάτω πλεονεκτήµατα και για αυτό είναι επιθυµητή η χρήση τέτοιων ΠΜ: Είναι σχετικά εύκολη η εύρεση αρχικής βασικής δυνατής λύσης. Η εφαρµογή του αλγόριθµου SIMPLEX περιέχει λιγότερες αλγεβρικές πράξεις. Αν σε ένα πρόβληµα η προσφορά υπερβαίνει τη ζήτηση, µπορούµε να µετατρέψουµε ένα ΠΜ σε ισορροπηµένο προσθέτοντας ένα πλασµατικό (dummy) σηµείο προσφοράς, το οποίο θα παράγει το επιπλέον ποσό και του οποίου το κόστος µεταφοράς προς τα σηµεία ζήτησης θα είναι µηδενικό. Λόγου χάρη, στο πρόβληµα διανοµής καυσίµων, υπάρχει πλεόνασµα προσφοράς 5 εκατοµµυρίων lt. Προσθέτοντας ένα πέµπτο πλασµατικό δυϊλιστήριο µε µηδενικό κόστος µεταφοράς, το πρόβληµα µετατρέπεται σε ισορροπηµένο. Αντίθετα, αν σε ένα ΠΜ η ζήτηση υπερβαίνει την προσφορά, το ΠΜ δεν έχει δυνατή λύση. Παρόλα αυτά µπορεί σε κάποιο πρόβληµα να υπάρχει η

3 δυνατότητα µη κάλυψης της ζήτησης οπότε η περίσσεια ζήτησης µπορεί να εξαιρεθεί. ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ Ένας πίνακας προβλήµατος µεταφορών έχει την παρακάτω µορφή: ΠΡΟΣΦΟΡΑ c c 2 c n s c 2 c 22 c 2n s 2 c m c m2 c mn s m ΖΗΤΗΣΗ d d 2... d n Αποκαλούµε κελιά τα τετράγωνα του πίνακα µε το µεγαλύτερο πάχος γραµµής. Τα χωρίζουµε σε δύο τµήµατα. Στο δεξιό τµήµα τοποθετούµε το κόστος που αντιστοιχεί σε κάθε µεταβλητή. Στο αριστερό µέρος τοποθετούµε την τιµή της µεταβλητής στην οποία αντιστοιχεί το τετράγωνο, αν αυτή είναι βασική. 4

4 Λόγου χάρη, στο παράδειγµα διανοµής καυσίµων, ο πίνακας ΠΜ για τη βέλτιστη λύση (η οποία είναι z=2, x 2 =, x =25, x 2 =45, x 2 =5, x 2 =, x 4 =) είναι ο: υϊλιστήριο Πόλη Πόλη 2 Πόλη Πόλη 4 ΠΡΟΣΦΟΡΑ υϊλιστήριο υϊλιστήριο ΖΗΤΗΣΗ Εύρεση Βασικής υνατής Μεταβλητής σε ΠΜ Έστω ένα ισορροπηµένο ΠΜ µε m σηµεία προσφοράς και n σηµεία ζήτησης. Από τα προαναφερθέντα µπορούµε να συνάγουµε ότι αυτό το πρόβληµα θα έχει m+n περιορισµούς. Η εφαρµογή της µεθόδου Big-M είναι προφανώς δύσκολη, ειδικά όταν το πρόβληµα έχει µόνο ισότητες όπως το παρόν ΠΜ. Παρόλα αυτά, η εύκολη δοµή του εν λόγω προβλήµατος διευκολύνει την εύρεση βασικής δυνατής λύσης. Αρχικά, πρέπει να κάνουµε την εξής παρατήρηση: Αν σε ένα ισορροπηµένο ΠΜ όλοι οι περιορισµοί πλην ενός ικανοποιούνται, τότε και ο ένας περιορισµός ικανοποιείται. (να δειχθεί) Σύµφωνα µε την παρακάτω παρατήρηση, µπορούµε σε ένα ισορροπηµένο ΠΜ να παραλείψουµε ένα από τους περιορισµούς και να επιλύσουµε το ΠΜ για m+n- περιορισµούς. 5

5 Ας θεωρήσουµε λοιπόν ένα ισορροπηµένο ΠΜ µε τον παρακάτω πίνακα ΠΜ: ΠΡΟΣΦΟΡΑ 4 5 ΖΗΤΗΣΗ 2 4 Παραλείπουµε προς το παρόν τις τιµές κόστους αφού δεν είναι απαραίτητες για την εύρεση αρχικής βασικής δυνατής λύσης. Οι αρχικοί περιορισµοί µπορούν να γραφούν υπό µορφή πίνακα: = x x x x x x Αν αφαιρέσουµε τυχαία τον πρώτο περιορισµό, είναι: = x x x x x x Η βασική λύση για το παραπάνω σύστηµα πρέπει να έχει 4 βασικές µεταβλητές. οκιµάζουµε τις {x, x 2, x 2, x 22 }. Τότε, (κατά τα αναφερθέντα στο κεφάλαιο της Ανάλυσης Ευαισθησίας ΠΓΠ) είναι: = B 6

6 Λόγω του βαθµού του πίνακα Β (), αυτός δεν µπορεί να αντιστραφεί για να ευρεθεί αρχική βάση οπότε η αρχική επιλογή δεν είναι κατάλληλη. Για τον λόγο αυτόν, χρησιµοποιείται η µέθοδος του βρόχου (loop), για να καθοριστεί αν µια τυχαία οµάδα m+n- µεταβλητών αποτελεί αρχική βασική λύση σε ένα ισορροπηµένο ΠΜ. Ορισµός: Μια διατεταγµένη ακολουθία τουλάχιστον τεσσάρων κελιών πίνακα ΠΜ καλείται βρόχος αν: (α) Οποιαδήποτε δύο διαδοχικά κελιά βρίσκονται στην ίδια γραµµή ή στήλη του πίνακα ΠΜ. (β) Τρία διαδοχικά κελιά δεν βρίσκονται στην ίδια γραµµή ή στήλη του πίνακα ΠΜ. (γ) Το τελευταίο κελί της ακολουθίας έχει κοινή γραµµή ή στήλη µε το πρώτο κελί της ακολουθίας στον πίνακα ΠΜ. Ας εξετάσουµε τα παρακάτω παραδείγµατα βρόχων: Ο παραπάνω βρόχος είναι ο (2,)-(2,4)-(4,4)-(4,). Ο παραπάνω βρόχος είναι ο (,)-(,2)-(2,2)-(2,)-(4,)-(4,5)-(,5)-(,). Το παραπάνω (,)-(,2)-(2,)-(2,) δεν αποτελεί βρόχο αφού τα (,2) και (2,) δεν βρίσκονται στην ίδια γραµµή ή στήλη. 7

7 Το παραπάνω (,2)-(,)-(,4)-(2,4)-(2,2) δεν αποτελεί βρόχο αφού τα (,2), (,) και (,4) βρίσκονται στην ίδια γραµµή. ΘΕΩΡΗΜΑ: Σε ένα ισορροπηµένο ΠΜ µε m σηµεία προσφοράς και n σηµεία ζήτησης, τα κελιά του πίνακα ΠΜ που αντιστοιχούν σε µια οµάδα m+n- τυχαίων µεταβλητών δεν περιλαµβάνουν βρόχο όταν και µόνο όταν οι m+n- µεταβλητές αποτελούν βασική δυνατή λύση. Λόγου χάρη, στο αρχικό παράδειγµα της παραγράφου, αφού το (,)-(,2)- (2,2)-(2,) αποτελεί βρόχο, κατά το προηγούµενο θεώρηµα, η {x,x 2,x 22,x 2 } δεν αποτελεί βασική δυνατή λύση. Αντίθετα το (,)-(,2)- (,)-(2,) δεν αποτελεί βρόχο οπότε η {x,x 2,x,x 2 } αποτελεί βασική δυνατή λύση. Υπάρχουν τρεις µέθοδοι για την εύρεση αρχικής βασικής δυνατής λύσης στα ΠΜ, οι οποίες εξετάζονται παρακάτω: (Α) Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ ΒΟΡΕΙΟ ΥΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ. Η διαδικασία ξεκινά από το επάνω δεξιά (βορειοδυτικό) τετράγωνο του πίνακα ΠΜ. Θέτουµε το x ίσο µε το ελάχιστο των d, s. Aν x =s διαγράφουµε την πρώτη γραµµή του προβλήµατος ΠΜ και θέτουµε d =d - s. Αν x =d διαγράφουµε την πρώτη στήλη του πίνακα ΠΜ και θέτουµε s =s -d. Αν x =s =d διαγράφουµε είτε την πρώτη γραµµή είτε την πρώτη στήλη και θέτουµε d = ή s = αντίστοιχα. Συνεχίζουµε τη ίδια διαδικασία για τα υπόλοιπα αποµένοντα επάνω δεξιά κελιά που δεν πέφτουν σε διαγραµµένη γραµµή ή στήλη. Τελικά θα καταλήξουµε σε µόνο ένα κελί µόνο στο οποίο θα µπορεί να τεθεί µια τιµή. ίνουµε στο κελί την τιµή µιας εκ των τιµών προσφοράς και ζήτησης της γραµµής ή της στήλης στην οποία ανήκει. Έχει βρεθεί µια βασική λύση. Για να γίνει κατανοητή η µέθοδος, ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Θέτουµε x =min(5,2)=2 οπότε διαγράφεται η στήλη και s =5-2=. 8

8 2 Χ 4 2 Θέτουµε x 2 =min(,4)= οπότε διαγράφεται η γραµµή και d 2 =4-=. 2 X Χ 2 Θέτουµε x 22 =min(,)= οπότε διαγράφουµε είτε τη γραµµή 2 είτε τη στήλη 2. Επιλέγουµε διαγραφή της γραµµής 2 και d 2 =. 2 X X Χ 4 2 Θέτουµε x 2 =min(,)= οπότε διαγράφουµε τη στήλη 2. Επιλέγουµε διαγραφή της γραµµής 2 και s =-=. 2 X X Χ Χ 2 Θέτουµε x =min(,2)=2 οπότε διαγράφουµε τη στήλη. Επιλέγουµε διαγραφή της γραµµής 2 και s =-2=. 2 X X 2 Χ Χ Χ 9

9 Θέτουµε x 4 =min(,)=. Αφού είναι η τελευταία δυνατή µεταβλητή διαγράφουµε τη γραµµή και τη στήλη 4. Έχουµε λάβει τη βασική λύση x =2, x 2 =, x 22 =, x 2 =, x =2, x 4 =. Η µέθοδος εξασφαλίζει ότι καµία µεταβλητή δεν θα λάβει αρνητική τιµή και ότι κάθε περιορισµός προσφοράς ή ζήτησης ικανοποιείται. Η µέθοδος επιτυγχάνει τη διαγραφή m+n στηλών και γραµµών. Αφού η τελευταία µεταβλητή λαµβάνει τιµή µε τη διαγραφή της αντίστοιχης γραµµής και στήλης, αποδίδονται τιµές σε m+n- µεταβλητές, οι οποίες δεν µπορούν να δηµιουργήσουν βρόχο οπότε η λύση είναι βασική δυνατή. (Β) Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ Η µέθοδος του ελάχιστου κόστους χρησιµοποιεί τις τιµές κόστους κάθε µεταβλητής σε µια προσπάθεια να µειωθεί ο αριθµός των επαναλήψεων για την εύρεση βασικής λύσης. Επιλέγεται η µεταβλητή µε το µικρότερο κόστος και λαµβάνει την µεγαλύτερη δυνατή τιµή της (ελάχιστο προσφοράς-ζήτησης). Με βάση αυτήν την επιλογή ακολουθούνται όλα όσα αναφέρθηκαν στη µέθοδο του βορειοδυτικού τετραγώνου, οπότε διαγράφεται η κατάλληλη γραµµή ή στήλη, η τιµή προσφοράς ή ζήτησης µεταβάλλεται ανάλογα κ.λ.π.. Ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα:

10 Το µικρότερο κόστος έχει η x 22. Θέτουµε x 22 =min(,8)=8, οπότε διαγράφεται η στήλη 2 και s 2 = X 4 6 Το µικρότερο κόστος έχoυν η x και η x 2. Θέτουµε τυχαία x 2 =min(2,2)=2, οπότε διαγράφεται η γραµµή 2 και d =2-2= X X 4 6 Το µικρότερο κόστος έχει η x. Θέτουµε x =min(5,)=5, οπότε διαγράφεται η γραµµή και d =-5= X X 4 6 2

11 Το µικρότερο κόστος έχει η x. Θέτουµε x =min(5,5)=5, οπότε διαγράφεται η γραµµή και s =5-5= X X X X X 6 Το µικρότερο κόστος έχει η x. Θέτουµε x =min(,4)=4, οπότε διαγράφεται η στήλη και s =-4= X X X X 6 Αποµένει η x 4, της οποία διαγράφουµε τη γραµµή και τη στήλη και θέτουµε x 4 =min(6,6)=6 Τελικά έχουµε βρει µια αρχική βασική δυνατή λύση x =5, x 2 =2, x 22 =8, x =5, x =4, x 4 =6. Παρά το ότι φαίνεται ότι η µέθοδος δείχνει να βρίσκει βασικές δυνατές λύσεις µε χαµηλό κόστος, κάτι τέτοιο δεν ισχύει πάντοτε [Winston]. 22

12 (Γ) Η ΜΕΘΟ ΟΣ VOGEL Είναι η δυσκολότερη µέθοδος στην εφαρµογή [Gloer et al 977] αλλά απαιτεί λιγότερες επαναλήψεις από τις υπόλοιπες για την εύρεση βασικής δυνατής λύσης. Για τον λόγο αυτόν είναι η προτιµώµενη. Εφαρµόζεται ως εξής: Για κάθε γραµµή και στήλη υπολογίζουµε µια ποινή η οποία είναι η διαφορά ανάµεσα στις δύο µικρότερες τιµές κάθε γραµµής ή στήλης. Επιλέγουµε στη συνέχεια τη γραµµή ή τη στήλη µε τη µεγαλύτερη ποινή και ως βασική µεταβλητή, την µεταβλητή της γραµµής ή της στήλης αυτής µε το µεγαλύτερο κόστος. Με τον ίδιο τρόπο όπως και στις δύο προηγούµενες µεθόδους επανα-υπολογίζουµε τις νέες τιµές προσφοράς ή ζήτησης και διαγράφουµε την αντίστοιχη γραµµή ή στήλη. Επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία υπολογίζοντας τις νέες ποινές µέχρι να µείνει µόνο ένα κελί στο οποίο αντιστοιχίζουµε την τιµή της γραµµής και της στήλης στην οποία αντιστοιχεί. Με τον τρόπο αυτόν έχουµε βρει µια αρχική βασική δυνατή λύση. Εξετάζουµε το παρακάτω παράδειγµα: Ποινή: 7-6= Ποινή: Ποινή: 5-6=9 Ποινή: 8-7=7 Ποινή: 78-8=7 78-5=6 Την µεγαλύτερη ποινή την έχει η στήλη 2 οπότε θέτουµε x 2 =min(,5)=5. ιαγράφουµε τη στήλη 2 και s =9-5=5. Υπολογίζουµε τις νέες ποινές οπότε έχουµε τον πίνακα: Ποινή: Ποινή: 6 5 Χ 5 Ποινή: 9 Ποινή: - Ποινή:7 2

13 Την µεγαλύτερη ποινή την έχει η στήλη οπότε θέτουµε x =min(5,5)=5. ιαγράφουµε τη στήλη (θα µπορούσαµε να διαγράψουµε και τη γραµµή ) και s =5-5=. Υπολογίζουµε τις νέες ποινές οπότε έχουµε τον πίνακα: Ποινή: Ποινή: - 5 Χ Χ Ποινή: 9 Ποινή: - Ποινή: - Αφού σε κάθε γραµµή έχουν διαγραφεί 2 από τα κελιά δεν υπάρχουν πλέον ποινές στις γραµµές. Αποµένει η στήλη οπότε θέτουµε x =min(,5)=. ιαγράφουµε τη γραµµή και θέτουµε d =5-= Χ Ποινή: Ποινή: - 5 Χ Χ Ποινή: - Ποινή: - Ποινή: - Παραµένει η µεταβλητή x 2 οπότε x 2 =5 και διαγράφουµε στήλη και γραµµή 2: Η βασική δυνατή λύση είναι x =, x 2 =5, x =5 και x 2 =5. 24

14 6.. Η Μέθοδος SIMPLEX σε Προβλήµατα Μεταφορών (ΠΜ) Η εφαρµογή του αλγόριθµου SIMPLEX σε ΠΜ είναι απλούστερη ως προς την αλγεβρική της διαδικασία σε ό,τι αφορά, κυρίως, την είσοδο νέας µεταβλητής στη βάση. ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΕΙΣΟ ΟΥ ΣΤΗ ΒΑΣΗ Ακολουθούνται τα παρακάτω βήµατα: Καθορίζεται (σύµφωνα µε κριτήριο που ακολουθεί) η µεταβλητή που θα εισέλθει στη βάση. Βρίσκεται ο βρόχος (ο οποίος είναι µοναδικός) ο οποίος περιέχει την µεταβλητή που θα εισέλθει στη βάση και κάποιες βασικές µεταβλητές. Υπολογίζοντας µόνο τις µεταβλητές του βρόχου, σηµειώνουµε αυτές (εκτός αυτής που εισέρχεται) που βρίσκονται σε άρτιο αριθµό κελιών µακριά από το κελί της εισερχόµενης µεταβλητής ως άρτιες και αυτές που βρίσκονται σε περιττό αριθµό κελιών µακριά από το κελί της εισερχόµενης µεταβλητής ως περιττές (επί του βρόχου φυσικά). Βρίσκουµε το κελί της περιττής µεταβλητής που έχει την µικρότερη τιµή, την οποία ονοµάζουµε τιµή θ. Ελαττώνουµε την τιµή κάθε περιττής µεταβλητής κατά θ και αυξάνουµε την τιµή κάθε άρτιας µεταβλητής κατά θ. Οι τιµές εκτός βρόχου δεν αλλάζουν. Αν θ= η εισερχόµενη µεταβλητή θα έχει τιµή και µια περιττή µεταβλητή που θα έχει τιµή θα εγκαταλείψει τη βάση. Στην περίπτωση αυτή η λύση ήταν εκφυλισµένη πριν την διαδικασία εισαγωγής βάσης και παραµένει εκφυλισµένη. Αν πάνω από ένα κελιά έχουν τιµή ίση µε θ, η επιλογή γίνεται κατά βούληση. Και πάλι όµως η λύση είναι εκφυλισµένη. Για την επίδειξη των παραπάνω θα χρησιµοποιήσουµε το παράδειγµα διανοµής καυσίµων: Με εφαρµογή της µεθόδου βορειοδυτικού τετραγώνου, µια αρχική βασική δυνατή λύση είναι η x =5, x 2 =, x 22 =2, x 2 =2, x = και x 4 =. Έστω ότι επιθυµούµε να βρούµε τη νέα βασική λύση όταν εισέρχεται στη βάση η µεταβλητή x 4 :

15 Ο βρόχος που περιλαµβάνει τη x 4 και κάποιες από τις βασικές µεταβλητές είναι ο: (,4) [άρτιο]-(,4) [περιττό]-(,) [άρτιο]-(2,)[περιττό]-(2,) [άρτιο]-(,) [περιττό]. Τα κελιά µε άρτιες τιµές είναι τα (,4), (,), (2,) ενώ τα κελιά µε περιττές τιµές είναι τα (,), (,4), (2,). Το κελί µε την µικρότερη τιµή είναι το x 2 =2 oπότε θ=2. Η νέα βασική δυνατή µεταβλητή φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: 5-2=5 +2= 5 +2= 2 2-2= (µη βασική) +2= - 2= Η νέα λύση είναι βασική δυνατή αφού δεν περιέχει βρόχο και είναι η x =5, x 4 =2, x 2 =, x 22 =2, x = και x 4 =. Όλες οι άλλες µεταβλητές έχουν τιµή. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΝΕΑΣ ΓΡΑΜΜΗΣ Όπως αναλύθηκε σε προηγούµενο κεφάλαιο, για µια βασική λύση BV, ο νέος συντελεστής κάθε µεταβλητής x ij (c ij ) της γραµµής υπολογίζεται ως συνάρτηση του παλαιού συντελεστή c ij ως: c' ij =c BV B - a ij -c ij όπου a ij η στήλη µε τους συντελεστές για την µεταβλητή x ij (στο αρχικό ΠΜ έχουµε αφαιρέσει τον πρώτο περιορισµό προσφοράς κατά τα προαναφερθέντα). Αφού έχουµε πρόβληµα ελαχιστοποίησης, η βάση θα παραµείνει βέλτιστη αν όλες οι νέες τιµές c ij είναι µη θετικές, αλλιώς εισάγουµε στη βάση την µεταβλητή µε τον πλέον θετικό συντελεστή. Υπολογίζουµε την τιµή c BV B - η οποία έχει m+n- στοιχεία (ο πρώτος περιορισµός προσφοράς έχει απαλειφεί): BV c B = [ u... u... ] 2 όπου u 2,,u m τα στοιχεία που αντιστοιχούν στους m- περιορισµούς προσφοράς και,, n τα στοιχεία που αντιστοιχούν στους n m n 26

16 περιορισµούς ζήτησης. Για τον καθορισµό του c BV B -, σε κάθε πίνακα οι βασικές µεταβλητές έχουν c ij =. Συνεπώς για κάθε βασική µεταβλητή είναι c BV B - a ij -c ij = (*). Γενικά, σε ΠΜ, η παραπάνω εξίσωση είναι εύκολη ως προς την επίλυσή της. Λόγου χάρη, για το παράδειγµα διανοµής καυσίµων, η αρχική βασική λύση φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Η βάση είναι η {x,x 2,x 22,x 2,x,x 4 }. Από τη σχέση (*) είναι: c' = ' = u2 u = u2 + [ u u ] 8 = 8 = [ ] 9 c 2 = 27

17 [ ] 2 u 2 u u ' c = + = = [ ] u u u ' c = + = = [ ] 6 u 6 u u ' c = + = = [ ] 5 u 5 u u ' c = + = = Για κάθε βασική µεταβλητή x ij (εκτός αυτών όπου i=) παρατηρούµε ότι η (*) µειώνεται σε u i + j =c ij. Aν ορίσουµε u =, η (*) µειώνεται σε u i + j =c ij για όλες τις βασικές µεταβλητές. Συνεπώς για να επιλύσουµε ως προς c BV B -, πρέπει να επιλύσουµε το σύστηµα m+n εξισώσεων : u =, u i + j =c ij για όλες τις βασικές µεταβλητές. Για το παράδειγµα διανοµής καυσίµων: u = u =2 u + =9 u 2 + = 28

18 u 2 + =9 u + =6 u + 4 =5 Επιλύοντας προκύπτει =8, u 2 =, 2 =, =2, u =4, 4 =. Για κάθε µη βασική µεταβλητή υπολογίζουµε τα c ij : c' 2 =+-6=5 c =+2-=2 c 4 =+-9=-8 c 24 =+-7=-5 c =4+8-4=-2 c 2 =4+-9=6 Η c 2 είναι η πλέον θετική, οπότε η x 2 θα εισέλθει στη βάση. ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΗ ΒΑΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΥ ΕΙΣΕΡΧΕΤΑΙ ΣΤΗ ΒΑΣΗ Έστω u i η περιθώρια τιµή του i περιορισµού προσφοράς και j η περιθώρια τιµή του j περιορισµού ζήτησης. Αφού απαλείφεται ο ος περιορισµός προσφοράς είναι u =. Αν αυξήσουµε το δεξιό µέλος ενός περιορισµού προσφοράς i και το δεξιό µέλος ενός περιορισµού ζήτησης j κατά, η βέλτιστη τιµή θα µειωνόταν κατά u i - j. Έστω ότι η x ij είναι µη βασική. Αν αυξήσουµε την x ij κατά, το κόστος αυξάνει κατά c ij αλλά και µια µονάδα λιγότερη θα µεταφερθεί από το σηµείο προσφοράς i στο σηµείο ζήτησης j. Αυτό ισοδυναµεί µε µείωση του δεξιού µέλους τόσο του περιορισµού προσφοράς όσο και του περιορισµού ζήτησης κατά µονάδα. Το z θα αυξηθεί κατά u i - j. Άρα αύξηση του x ij κατά θα αυξήσει το z συνολικά κατά c ij -u i - j. Άρα, αν c ij -u i - j (ή u i + j -c ij ) για όλες τις µη βασικές µεταβλητές, η τρέχουσα βάση είναι βέλτιστη. Αν όµως για κάποια µη βασική µεταβλητή είναι c ij -u i - j < (ή u i + j -c ij >), το z µπορεί να µειωθεί κατά u i + j -c ij ανά µονάδα του x ij, εισάγοντας το x ij στη βάση. Γενικά λοιπόν, αν c ij -u i - j (ή u i + j -c ij ) για όλες τις µη βασικές µεταβλητές, η τρέχουσα βάση είναι βέλτιστη. Αλλιώς η µη βασική µεταβλητή µε την πλέον θετική τιµή του u i + j -c ij πρέπει να εισέλθει στη βάση. Για να βρούµε τα u i και j ενεργούµε ως εξής: ο συντελεστής της µη βασικής µεταβλητής στη γραµµή είναι η ποσότητα που θα µειωθεί το z για µοναδιαία αύξηση του x ij, δηλαδή u i + j -c ij. Οπότε µπορούµε να επιλύσουµε ως προς u i και j το σύστηµα u = και u i + j -c ij = για όλες τις βασικές µεταβλητές. Η παραπάνω διαδικασία φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγµα (τµήµα της επίλυσης του παραδείγµατος διανοµής καυσίµων): 29

19 Βρίσκουµε τα u i και j επιλύοντας το σύστηµα: u = u + =8 u 2 + =9 u =2 u 2 + = u + =6 u + 4 =5 Η λύση στο παραπάνω σύστηµα είναι =8, u 2 =, 2 =, =2, u =4, 4 =. Για κάθε µη βασική λύση υπολογίζουµε τα c ij =u i + j -c ij οπότε: c' 2 =+-6=5 c =+2-=2 c 4 =+-9=-8 c 24 =+-7=-5 c =4+8-4=-2 c 2 =4+-9=6 Ο πλέον θετικός συντελεστής είναι ο c 2 οπότε η x 2 θα εισέλθει στη βάση. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ας θεωρήσουµε το παράδειγµα διανοµής καυσίµων, στο οποίο έχουµε µια αρχική βασική δυνατή λύση. Έχουµε καθορίσει ότι η µεταβλητή x 2 θα εισέλθει στη βάση. Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται ο βρόχος ο οποίος περιλαµβάνει την x 2 και κάποιες από τις βασικές µεταβλητές και είναι ο (,2)-(,)-(2,)-(2,2). Τα περιττά κελιά του βρόχου είναι τα (,) και (2,2).

20 Αφού x = και x 22 =2, η εισαγωγή της βάσης θα µειώσει τις x και x 22 κατά και θα αυξήσει τις τιµές των x 2 και x 2 ανά. Η βάση φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: j = u i= Οι νέες τιµές u i, j είναι: u = u 2 + = u =2 u 2 + =9 u + 4 =5 u + 2 =9 u + =8 Υπολογίζοντας τα c ij για κάθε µη βασική µεταβλητή, είναι c 2 =5, c 24 = και c =2 οι µόνοι θετικοί συντελεστές. Άρα εισάγουµε στη βάση τη x 2. Ο βρόχος που αφορά τη x 2 και κάποιες από τις βασικές µεταβλητές είναι (,2)-(2,2)-(2,)-(,). Τα περιττά κελιά είναι τα (2,2) και (,). Αφού x 22 = είναι η µικρότερη τιµή περιττού κελιού, µειώνουµε τα x 22 και x

21 κατά και αυξάνουµε τα x 2 και x 2 κατά, οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας: j = u i = Οι νέες τιµές u i, j είναι: u = u + 2 =6 u 2 + =9 u + 2 =9 u + =8 u + 4 =5 u 2 + = Υπολογίζοντας τα c ij για κάθε µη βασική µεταβλητή, είναι c =2 ο µόνος θετικός συντελεστής. Άρα εισάγουµε στη βάση τη x. Ο βρόχος που αφορά τη x και κάποιες από τις βασικές µεταβλητές είναι (,)-(2,)- (2,)-(,). Τα περιττά κελιά είναι τα (2,) και (,). Αφού x =25 είναι η µικρότερη τιµή περιττού κελιού, µειώνουµε τα x 2 και x κατά 25 και αυξάνουµε τα x και x 2 κατά 25, οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας: 2

22 j = Προσφορά u i = Ζήτηση 45 2 Οι νέες τιµές u i, j είναι: u = u 2 + = u 2 + =9 u + = u + 4 =5 u + 2 =9 u + 2 =6 Όλοι οι συντελεστές c ij είναι µη θετικοί οπότε έχουµε βρει τη βέλτιστη λύση που είναι x 2 =, x =25, x 2 =45, x 2 =5, x 2 =, x 4 = και z=2 ΕΥΡΩ Ανάλυση Ευαισθησίας σε Προβλήµατα Μεταφορών Η µέθοδος SIMPLEX στα ΠΜ απλουστεύεται, συνεπώς απλουστεύεται και η διαδικασία της ανάλυσης ευασθησίας σε αυτή. Ας εξετάσουµε λοιπόν κάποιες χαρακτηριστικές περιπτώσεις ανάλυσης ευαισθησίας: Θα πραγµατοποιήσουµε ανάλυση ευαισθησίας στο πρόβληµα διανοµής καυσίµων, του οποίου ο βέλτιστος πίνακας ΠΜ είναι ο:

23 j = Προσφορά u i = Ζήτηση 45 2 (Α) ΑΛΛΑΓΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΜΗ ΒΑΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Αλλαγή του συντελεστή αντικειµενικής συνάρτησης µη βασικής µεταβλητής δεν επηρεάζει το δεξιό µέλος των περιορισµών, οπότε η βάση θα παραµένει βέλτιστη. Αφού λοιπόν δεν αλλάζει η ποσότητα c BV B -, οπότε τα u i, j δεν αλλάζουν. Στη γραµµή, µόνο ο συντελεστής του x ij θα αλλάξει. Οπότε, όσο ο συντελεστής της µεταβλητής στη γραµµή είναι µη θετικός η βάση παραµένει βέλτιστη. Στο παράδειγµά µας θα εξετάσουµε το εύρος τιµών για το οποίο το κόστος µεταφοράς εκατοµµυρίου lt καυσίµων από τ δυϊλιστήριο στην πόλη διατηρεί τη βάση ως βέλτιστη. Έστω ότι αλλάζουµε το c από 8 σε 8+. Η βάση θα παραµείνει βέλτιστη για c =u + -c =+6-(8- )=-2- ή -2 ή c 8-2=6. (Β) ΑΛΛΑΓΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΒΑΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Στην περίπτωση αυτή αλλάζει η ποσότητα c BV B - οπότε µπορεί να αλλάξουν και οι συντελεστές των µη βασικών µεταβλητών. Πρέπει να καθορίσουµε τα u i, j για να εξετάσουµε τη συµπεριφορά των µη βασικών µεταβλητών. Η τρέχουσα βάση παραµένει βέλτιστη αν όλοι οι συντελεστές των µη βασικών µεταβλητών στη γραµµή είναι µη θετικοί. Στο παράδειγµά µας θα εξεταστεί για ποιό εύρος κόστους η βάση παραµένει βέλτιστη για µεταβολή του κόστους µεταφοράς καυσίµων από το δυϊλιστήριο στην πόλη. Έστω ότι αλλάζουµε το c σε c +. Τότε είναι u + =+. Για να βρούµε τις τιµές των u i και j επιλύουµε το παρακάτω σύστηµα: 4

24 u = u + 2 =9 u 2 + =9 u + =+ u + 2 =6 u + 4 =5 u 2 + = Επιλύοντας έχουµε u =, 2 =6, =+, =6+, u 2 =-, u = και 4 =2. H βάση παραµένει βέλτιστη αν οι συντελεστές των µη βασικών µεταβλητών στη γραµµή παραµένουν µη θετικοί: c' =u + -8 = -2 c 4 =u + 4-9=-7 c 22 = u =-- c 24 = u =-2- c = u + -4 =-5+ c = u + -6 = - Λαµβάνοντας το κοινό διάστηµα όλων των εξισώσεων προκύπτει τελικά ότι η βάση παραµένει βέλτιστη για -2 2 ή 8 c 2. (Γ) ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΗ ΑΥΞΗΣΗ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ S I ΚΑΙ ΖΗΤΗΣΗΣ D J ΚΑΤΑ. Η αλλαγή αυτή διατηρεί ένα ισορροπηµένο ΠΜ. Αφού τα u i και j µπορούν να θεωρηθούν οι αρνητικές τιµές των περιθώριων τιµών κάθε περιορισµού, ισχύει ότι αν η τρέχουσα βάση παραµένει βέλτιστη, τότε: Νέα τιµή z = Παλαιά τιµή z + u i + j. ηλαδή, αν στο παράδειγµά µας αυξήσουµε την ζήτηση της πόλης 2 κατά και την προσφορά του δυϊλιστηρίου κατά, το νέο κόστος θα είναι =26 ΕΥΡΩ. Αναλυτικότερα, µπορούµε να δούµε τα εξής: Αν η µεταβλητή x ij είναι βασική στη βέλτιστη λύση, αυξήστε την κατά. Αν η µεταβλητή x ij είναι µη βασική στη βέλτιστη λύση, βρείτε τον βρόχο που περιλαµβάνει αυτή και µερικές βασικές µεταβλητές. Βρείτε ένα περιττό κελί στη γραµµή. Αυξήστε την τιµή του κελιού αυτού κατά και αυξοµειώστε τις τιµές των κελιών του βρόχου κατά. Στο παράδειγµά µας, στην πρώτη περίπτωση, έστω ότι αυξάνουµε τα s και d 2 κατά 2. Αφού η µεταβλητή x 2 είναι βασική, η νέα βέλτιστη λύση είναι: 5

25 j = Προσφορά u i = Ζήτηση 45 2 Η νέα βέλτιστη λύση είναι z=2+2u +2 2 =2 ΕΥΡΩ. Στη δεύτερη περίπτωση, έστω ότι αυξάνουµε τα s και d κατά. Αφού η x είναι µη βασική µεταβλητή στην τρέχουσα βάση, πρέπει να βρούµε τον βρόχο του x και κάποιων βασικών µεταβλητών. Ο βρόχος είναι (,)- (,)-(2,)-(2,). Το περιττό κελί στη γραµµή είναι το x. Άρα η νέα βέλτιστη λύση θα βρεθεί αυξάνοντας το x και το x 2 κατά και µειώνοντας το x 2 κατά. Αυτό φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: j = Προσφορά u i = Ζήτηση 46 2 Η νέα βέλτιστη τιµή του z είναι 2+u + =26 ΕΥΡΩ. 6

26 6.5. Προβλήµατα Ανάθεσης Τα προβλήµατα ανάθεσης αποτελούν µια κατηγορία των ΠΜ για τα οποία η επίλυση µε τον αλγόριθµο SIMPLEX είναι µη αποδοτική. Στην παράγραφο αυτή θα περιγράψουµε τα προβλήµατα αυτά όπως και αποδοτικές µεθόδους για την επίλυσή τους. Αρχικά όµως ας δώσουµε ένα παράδειγµα: Εταιρεία κατασκευής χωµατουργικών διαθέτει τέσσερα (4) µηχανήµατα χωµατουργικών εργασιών (ΜΧΕ) και τέσσερις (4) εργασίες (Ε) τις οποίες πρέπει να πραγµατοποιήσει, στα πλαίσια ενός έργου οδοποιίας. Ο χρόνος που απαιτεί κάθε µηχάνηµα για να πραγµατοποιήσει την κάθε εργασία φαίνεται στον παρακάτω πίνακα (πίνακας κόστους προβλήµατος ανάθεσης): Πίνακας 6.5. Πίνακας κόστους προβλήµατος ανάθεσης. ΜΧΕ \ Ε Ε Ε2 Ε Ε4 ΜΧΕ ΜΧΕ ΜΧΕ ΜΧΕ Επιθυµία της εταιρείας είναι να τοποθετήσει κάθε µηχάνηµα στην κατάλληλη εργασία για να ελαχιστοποιήσει το χρόνο κατασκευής. Να επιλυθεί το ΠΓΠ. Λύση: Ορίζουµε: x ij = αν στο ΜΧΕ i έχει ανατεθεί η εργασία j x ij = αν όχι. 7

27 Το πρόβληµα µπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Min z: 4x +5x 2 +8x +7x 4 +2x 2 +2x 22 +6x 2 +5x 24 +7x +8x 2 +x +9x 4 +2x 4 +4x 42 +6x 4 +x 44 x +x 2 +x +x 4 = x 2 +x 22 +x 2 +x 24 = x +x 2 +x +x 4 = x 4 +x 42 +x 4 +x 44 = x +x 2 +x +x 4 = x 2 +x 22 +x 2 +x 42 = x +x 2 +x +x 4 = x 4 +x 24 +x 4 +x 44 = Οι πρώτοι τέσσερις περιορισµοί εξασφαλίζουν ότι σε κάθε ΜΧΕ αντιστοιχεί µια εργασία και οι άλλες τέσσερις ότι η εργασία πραγµατοποιείται. Εξαιρώντας προς στιγµήn το γεγονός ότι x ij -,, το πρόβληµα είναι ισορροπηµένο ΠΜ µε προσφορά και ζήτηση παντού ίση µε. Αυτός είναι και ο ορισµός του προβλήµατος ανάθεσης. Τελικά, ένα πρόβληµα καθορισµού εξαρτάται από το κόστος ανάθεσης µέσου κ.λ.π. σε εργασία. Ο πίνακας του προβλήµατος καθορισµού που περιέχει τις τιµές κόστους ονοµάζεται πίνακας κόστους. Για να βρούµε µια αρχική βασική λύση στο πρόβληµα µας χρησιµοποιούµε τηn µέθοδο του ελάχιστου κόστους και προκύπτει ο παρακάτω πίνακας: Εργασία Εργασία Εργασία Εργασία ΜΧΕ ΜΧΕ ΜΧΕ ΜΧΕ Παρατηρούµε ότι ο µόνος θετικός συντελεστής µεταβλητής είναι ο c 4 (να υπολογιστεί για εξάσκηση), οπότε η x 4 εισέρχεται στη βάση. Ο βρόχος που περιέχει τη x 4 και κάποιες βασικές µεταβλητές είναι ο (4,) - (,) (,2) (4,2). Τα περιττά κελιά είναι τα x και x 42 και αφού είναι και τα δυο ίσα µε το, επιλέγουµε στην τύχη να εξάγουµε το x από τη βάση. 8

28 Προκύπτει ο παρακάτω πίνακας (να επαληθευτούν οι πράξεις για εξάσκηση): Εργασία Εργασία Εργασία Εργασία ΜΧΕ ΜΧΕ ΜΧΕ ΜΧΕ Στον τελευταίο πίνακα, αν υπολογίσουµε τα νέα c ij, παρατηρούµε ότι όλα είναι αρνητικά. Συνεπώς έχουµε λάβει βέλτιστη λύση: x 2 =, x 24 =, x = και x 4 =. Απαιτούνται =5 ώρες εργασίας κατ ελάχιστο, στο ΜΧΕ ανατίθεται το έργο 2, στο ΜΧΕ 2 το έργο 4, στο ΜΧΕ το έργο και στο ΜΧΕ 4 το έργο Η Ουγγρική Μέθοδος για την Επίλυση Προβληµάτων Ανάθεσης (ΠΑ) Είναι γεγονός ότι τα προβλήµατα ανάθεσης έχουν υψηλή πιθανότητα εκφυλισµού [Whinston], συνεπώς η χρήση του αλγόριθµου SIMPLEX για προβλήµατα µεταφορών µπορεί να µην παρέχει ικανοποιητική απόδοση. Για τον λόγο αυτόν εξετάζουµε την ουγγρική µέθοδο η οποία είναι η παρακάτω: Έστω ο πίνακας κόστους του προβλήµατος ανάθεσης. Βρίσκουµε το στοιχείο µε την ελάχιστη τιµή σε κάθε γραµµή του πίνακα κόστους m x m. Κατασκευάζουµε νέο πίνακα αφαιρώντας από κάθε στοιχείο της κάθε γραµµής, το µικρότερο στοιχείο αυτής. Εκτελούµε για το νέο πίνακα την ίδια εργασία ανά στήλη και προκύπτει ένας τελικός πίνακας που ονοµάζεται και πίνακας οριακού κόστους. ιαγράφουµε όλες τις γραµµές και στήλες του πίνακα οριακού κόστους που χρειάζονται ώστε να καλύψουν όλα τα µηδενικά του πίνακα, µε τον ελάχιστο αριθµό διαγραφών. Αν οι διαγεγραµµένες γραµµές και στήλες είναι m το πλήθος, υπάρχει βέλτιστη λύση. Αν όχι προχωρούµε στο επόµενο βήµα. Βρίσκουµε το µικρότερο στοιχείο κ του πίνακα οριακού κόστους (έστω λ) στον πίνακα, το οποίο δεν βρίσκεται σε γραµµή ή στήλη που έχει διαγραφεί στο προηγούµενο βήµα. Αφαιρούµε το κ από 9

29 όλα τα µη διαγεγραµµένα στοιχεία και το προσθέτουµε στα στοιχεία τα οποία διαγράφονται και σε γραµµή και σε στήλη ταυτόχρονα. Επιστρέφουµε στο προηγούµενο βήµα. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΕΠΙ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ Για να επιλυθεί πρόβληµα ανάθεσης µεγιστοποίησης πολλαπλασιάστε τον πίνακα κόστους (ή κερδους εφόσον έχουµε µεγιστοποίηση) µε - για να επιλυθεί ως πρόβληµα ελαχιστοποίησης. Αν το πρόβληµα είναι µη ισορροπηµένο, πρέπει να µετατραπεί σε ισορροπηµένο κατά τα προαναφερθέντα. Σε µεγάλα προβλήµατα είναι πιθανά δύσκολη η εύρεση ελάχιστου αριθµού διαγραφών [Gillet 976]. Θα γίνει επίδειξη του αλγορίθµου µε το παράδειγµα ανάθεσης µηχανηµάτων σε έργα: Ο αρχικός πίνακας κόστους είναι: Ελάχιστο γραµµής Αφαιρούµε από κάθε γραµµή το ελάχιστο και προκύπτει ο πίνακας: Ελάχιστο στήλης 2 Αφαιρούµε από κάθε στήλη το ελάχιστο και πραγµατοποιούµε διαγραφές των στηλών και γραµµών ώστε να καλύψουµε όλα τα µηδενικά (οι γραµµές και στήλες που διαγράφονται είναι οι γραµµοσκιασµένες): 4

30 Είναι m=4 ενώ οι διαγεγραµµένες γραµµές είναι τρεις οπότε η λύση δεν είναι βέλτιστη. Το µικρότερο στοιχείο που δεν διαγράφεται είναι το κελί (2,4) που είναι ίσο µε. Από κάθε µη διαγεγραµµένο κελί αφαιρούµε και προσθέτουµε στα διαγεγραµµένα εις διπλούν κελιά, δηλαδή τα (,) και (,), οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας στον οποίο εφαρµόζουµε το δεύτερο βήµα της µεθόδου: Για να καλυφθούν όλα τα µηδενικά του πίνακα χρειάζεται να διαγραφούν τέσσερις γραµµές και στήλες του πίνακα. Επίσης είναι m=4 οπότε η λύση είναι βέλτιστη. Για να βρούµε τις τιµές αυτής παρατηρούµε ότι στη στήλη, το µόνο διαγεγραµµένο µηδέν είναι στη θέση (,), οπότε x =. Επίσης εξαιρείται η γραµµή και η στήλη. Ανάλογα, στη στήλη 2, είναι x 2 = οπότε εξαιρούνται η γραµµή και η στήλη 2. Επίσης, στη στήλη 4 το διαγεγραµµένο µηδεν (που δεν βρίσκεται σε γραµµή που έχει εξαιρεθεί είναι στη θέση (2,4) και είναι x 24 =. Eξαιρούνται και η γραµµή 2 µε τη στήλη 4. Τέλος, x 4 = οπότε εξαιρείται και η στήλη. Τελικά η λύση είναι x =, x 2 =, x 24 =, x 4 =. Η ουγγρική µέθοδος προσφέρει µια εύκολη εναλλακτική λύση σε προβλήµατα ανάθεσης, λόγω της απλότητας εφαρµογής της. 4

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Α1. α. Λάθος β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό Α2. δ Α3. β Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ Οι ασκήσεις διαλυµάτων που αφορούν τις περιεκτικότητες % w/w, % w/v και % v/v χωρίζονται σε 3 κατηγορίες: α) Ασκήσεις όπου πρέπει να βρούµε ή να µετατρέψουµε διάφορες περιεκτικότητες.

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη 5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη Tο πρόβληµα του προσδιορισµού των συγκεντρώσεων των προτύπων, όταν δεν είναι γνωστό το πλήθος τους και η ταυτότητα των προτύπων, είναι δύσκολο και για την

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι

Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι Η µέθοδος Vogel Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι η µέθοδος Vogel Η προσεγγιστική µέθοδος Vogelείναι µια πιο πολύπλοκη µέθοδος σε σχέση µε τις προηγούµενες, αλλά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΛΕΙΣΙΜΟ ΧΡΗΣΗΣ ΣΤΟ DYNAMICS NAV INNOVERA ERP

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΛΕΙΣΙΜΟ ΧΡΗΣΗΣ ΣΤΟ DYNAMICS NAV INNOVERA ERP Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΛΕΙΣΙΜΟ ΧΡΗΣΗΣ ΣΤΟ DYNAMICS NAV INNOVERA ERP Για να κλείσουµε µία χρήση στο InnovEra ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα: Από το κεντρικό µενού επιλέγουµε διαδοχικά «Οικονοµική ιαχείριση», «Γενική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. ίνεται το γνωστό πρόβληµα των δύο δοχείων: «Υπάρχουν δύο δοχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation )

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν τη μεταφορά αγαθών από διαφορετικά σημεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

o AND o IF o SUMPRODUCT

o AND o IF o SUMPRODUCT Πληροφοριακά Εργαστήριο Management 1 Information Συστήματα Systems Διοίκησης ΤΕΙ Τμήμα Ελεγκτικής Ηπείρου Χρηματοοικονομικής (Παράρτημα Πρέβεζας) και Αντικείµενο: Μοντελοποίηση προβλήµατος Θέµατα που καλύπτονται:

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 5 Ο ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (εργαστήριο) ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013-ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

ΜΑΘΗΜΑ 5 Ο ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (εργαστήριο) ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013-ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΑΘΗΜΑ 5 Ο ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (εργαστήριο) ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013-ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ(DEA) Η ανάλυση DEA είναι πολύ ισχυρή και ιδιαίτερα διαδεδοµένη µέθοδο,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ισοζυγισµένο έντρο (AVL Tree)

Ισοζυγισµένο έντρο (AVL Tree) Εργαστήριο 7 Ισοζυγισµένο έντρο (AVL Tree) Εισαγωγή Εκτός από τα δυαδικά δέντρα αναζήτησης (inry serh trees) που εξετάσαµε σε προηγούµενο εργαστήριο, υπάρχουν αρκετά είδη δέντρων αναζήτησης µε ξεχωριστό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Θέµα 1 ο Α. Να απαντήσετε τις παρακάτω ερωτήσεις τύπου Σωστό Λάθος (Σ Λ) 1. Σκοπός της συγχώνευσης 2 ή περισσοτέρων ταξινοµηµένων πινάκων είναι η δηµιουργία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Θεσσαλονίκη 2012 2 Περιεχόµενα 1 υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθµική Επιχειρησιακή Ερευνα. Χειµερινό Εξάµηνο 2013-2014. Ασκήσεις. 1. Ενα διυλιστήριο µπορεί να επεξεργαστεί τρία είδη ακατέργαστου πετρελαίου :

Αλγοριθµική Επιχειρησιακή Ερευνα. Χειµερινό Εξάµηνο 2013-2014. Ασκήσεις. 1. Ενα διυλιστήριο µπορεί να επεξεργαστεί τρία είδη ακατέργαστου πετρελαίου : Αλγοριθµική Επιχειρησιακή Ερευνα Χειµερινό Εξάµηνο 2013-2014 Ασκήσεις 1. Ενα διυλιστήριο µπορεί να επεξεργαστεί τρία είδη ακατέργαστου πετρελαίου : - το πρώτο προερχόµενο από την Αφρική, το οποίο ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 1η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 1η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α Ερώτηµα. Θεωρείστε τις συναρτήσεις f,g,h:z Z (Z το σύνολο των ακέραιων αριθµών που ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία.

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs. Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός hp://www.perifysikhs.com Αναζητώντας την αιτία των κινήσεων Η µελέτη των κινήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Το Ηλεκτρονικό Ταχυδροµείο (e-mail) είναι ένα σύστηµα που δίνει την δυνατότητα στον χρήστη να ανταλλάξει µηνύµατα αλλά και αρχεία µε κάποιον άλλο

Το Ηλεκτρονικό Ταχυδροµείο (e-mail) είναι ένα σύστηµα που δίνει την δυνατότητα στον χρήστη να ανταλλάξει µηνύµατα αλλά και αρχεία µε κάποιον άλλο Το Ηλεκτρονικό Ταχυδροµείο (e-mail) είναι ένα σύστηµα που δίνει την δυνατότητα στον χρήστη να ανταλλάξει µηνύµατα αλλά και αρχεία µε κάποιον άλλο χρήστη µέσω υπολογιστή άνετα γρήγορα και φτηνά. Για να

Διαβάστε περισσότερα

20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 0 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 19 Μαρτίου, 006 Ώρα: 10:30-13:30 Θέµα 1 0 (µονάδες 10) α ) Το βέλος δέχεται σταθερή επιτάχυνση για όλη τη διάρκεια της κίνησης (

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: Ο ρόλος της Επιχειρησιακής έρευνας στη Λήψη Αποφάσεων και στον Προγραµµατισµό της Επιχειρηµατικής ραστηριότητας

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: Ο ρόλος της Επιχειρησιακής έρευνας στη Λήψη Αποφάσεων και στον Προγραµµατισµό της Επιχειρηµατικής ραστηριότητας ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: Ο ρόλος της Επιχειρησιακής έρευνας στη Λήψη Αποφάσεων και στον Προγραµµατισµό της Επιχειρηµατικής ραστηριότητας ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΓΙΑΝΝΑΚΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΝΗ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΖΕΡΒΑΚΗΣ ΣΤΑΥΡΟΣ ΣΧΟΛΗ-ΤΜΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας

υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας Το δυϊκό πρόβληµα Χρησιµότητα, εφαρµογές Ανάλυση ευαισθησίας Παραδείγµατα 1 Το δυϊκό πρόβληµα Σε κάθε πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού πρωτεύον, primal - αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνές εµπόριο-1 P 1 P 2

Διεθνές εµπόριο-1 P 1 P 2 Διεθνές εµπόριο-1 Το διεθνές εµπόριο συµβάλλει στην καλύτερη αξιοποίηση των παραγωγικών πόρων της ανθρωπότητας γιατί ελαχιστοποιεί το κόστος παραγωγής της συνολικής προσφοράς αγαθών και υπηρεσιών που διακινείται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3 Ο ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (εργαστήριο) ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013-ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

ΜΑΘΗΜΑ 3 Ο ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (εργαστήριο) ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013-ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΑΘΗΜΑ 3 Ο ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (εργαστήριο) ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013-ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Προβλήµατα Ακέραιου Προγραµµατισµού Ι Τα προβλήµατα Ακέραιου Προγραµµατισµού, ανήκουν γενικά σε 3

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Η οικονοµία στην Μακροχρόνια Περίοδο Τι είναι το κλασσικό υπόδειγµα;

Η οικονοµία στην Μακροχρόνια Περίοδο Τι είναι το κλασσικό υπόδειγµα; Η οικονοµία στην Μακροχρόνια Περίοδο Τι είναι το κλασσικό υπόδειγµα; Είναι ένα αρκετά απλό αλλά συνάµα θεωρητικά ισχυρό υπόδειγµα δοµηµένο γύρω από αγοραστές και πωλητές οι οποίοι επιδιώκουν τους δικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Α Κ Α Η Μ Α Ι Κ Ο Ε Τ Ο Σ 2 0 1 1-2 0 1 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT Ο συγκεκριµένος οδηγός για το πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο 1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS

ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS Χρήστος Δ. Ταραντίλης Αν. Καθηγητής ΟΠΑ ACO ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Η ΛΟΓΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ ΛΥΣΕΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΙΑΤΑΞΗΣ (1/3) Ε..Ε. ΙΙ Oι ACO

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

/ P, παρά το γεγονός ότι στα διαγράµµατα συνεχίζουν

/ P, παρά το γεγονός ότι στα διαγράµµατα συνεχίζουν ΕΝΟΤΗΤΑ 4 4.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ατοµική καµπύλη προσφοράς Προσδιοριστικοί παράγοντες της προσφοράς Η καµπύλη προσφοράς αποτελεί το γεωµετρικό τόπο όλων των σηµείων που αντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Μετά τη λύση του παραδείγµατος 1 του σχολικού βιβλίου να διαβάσετε τα παραδείγµατα 1, 2, 3 και 4 που ακολουθούν. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2 ο

Μετά τη λύση του παραδείγµατος 1 του σχολικού βιβλίου να διαβάσετε τα παραδείγµατα 1, 2, 3 και 4 που ακολουθούν. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2 ο ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ Οι ασκήσεις που αναφέρονται στο νόµο του Τζάουλ είναι απλή εφαρµογή στον τύπο. Για τη λύση των ασκήσεων θα ακολουθούµε τα εξής βήµατα: i) ιαβάζουµε προσεκτικά την εκφώνηση της άσκησης,

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα