Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους."

Transcript

1 Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή x ij που αντιστοιχεί σε εκατοµµύρια λίτρων καυσίµων θέρµανσης που διακινούνται από το δυϊλιστήριο i στην πόλη j. Η αντικειµενική συνάρτηση του προβλήµατος θα είναι: Min z=8x +6x 2 +x +9x 4 +9x 2 +2x 22 +x 2 +7x 24 +4x +9x 2 +6x +5x 4 Οι περιορισµοί του προβλήµατος αφορούν την προσφορά και τη ζήτηση καυσίµων. Η προσφορά εξαρτάται από τις δυνατότητες των δυϊλιστηρίων: x +x 2 +x +x 4 5 (δυνατότητες δυϊλιστηρίου ) x 2 +x 22 +x 2 +x 24 5 (δυνατότητες δυϊλιστηρίου 2) x +x 2 +x +x 4 45 (δυνατότητες δυϊλιστηρίου ) Η ζήτηση εξαρτάται από τις απαιτήσεις σε καύσιµα κάθε πόλης: x +x 2 +x 45 (απαιτήσεις καυσίµων πόλης ) x 2 +x 22 + x 2 2 (απαιτήσεις καυσίµων πόλης 2) x +x 2 +x (απαιτήσεις καυσίµων πόλης ) x 4 +x 24 +x 4 (απαιτήσεις καυσίµων πόλης 4) Προφανώς x ij i=,2,, j=,2,,4 Γενικά, όπως άλλωστε φαίνεται και από το παραπάνω παράδειγµα, ένα πρόβληµα µεταφορών έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Αν λοιπόν, στη γενική περίπτωση, είναι x ij η ποσότητα ή ο αριθµός µετακινούµενων ειδών (άνθρωποι, αγαθά, ενέργεια κ.λ.π.), c ij το κόστος µεταφοράς µιας µονάδας του είδους από το σηµείο προσφοράς i στο σηµείο ζήτησης j, s i η δυνατότητες προσφοράς του σηµείου προσφοράς i και d j οι ανάγκες του σηµείου ζήτησης j, η γενική µορφή του προβλήµατος µεταφορών είναι: 2

2 n min s.t. x m j= j= m n i= j= s (i c ij x ij ij i =,...,m) x ij di (i =,...,n) x ij για κάθε i=,...,m και j=, n Αν η συνολική ζήτηση ισούται µε τη συνολική προσφορά, δηλαδή m i= n s i = d j= (balanced). j, το πρόβληµα µεταφορών ονοµάζεται ισορροπηµένο Σε αυτήν την περίπτωση οι περιορισµοί προσφοράς και ζήτησης είναι δεσµευτικοί (binding). Η γενική µορφή του προβλήµατος τότε θα γίνει: n min m n i= j= c ij x ij s.t. x ij = s i (i =,...,m) m j= j= x = d (i ij i =,...,n) x ij για κάθε i=,...,m και j=, n Ένα ισορροπηµένο ΠΜ έχει τα παρακάτω πλεονεκτήµατα και για αυτό είναι επιθυµητή η χρήση τέτοιων ΠΜ: Είναι σχετικά εύκολη η εύρεση αρχικής βασικής δυνατής λύσης. Η εφαρµογή του αλγόριθµου SIMPLEX περιέχει λιγότερες αλγεβρικές πράξεις. Αν σε ένα πρόβληµα η προσφορά υπερβαίνει τη ζήτηση, µπορούµε να µετατρέψουµε ένα ΠΜ σε ισορροπηµένο προσθέτοντας ένα πλασµατικό (dummy) σηµείο προσφοράς, το οποίο θα παράγει το επιπλέον ποσό και του οποίου το κόστος µεταφοράς προς τα σηµεία ζήτησης θα είναι µηδενικό. Λόγου χάρη, στο πρόβληµα διανοµής καυσίµων, υπάρχει πλεόνασµα προσφοράς 5 εκατοµµυρίων lt. Προσθέτοντας ένα πέµπτο πλασµατικό δυϊλιστήριο µε µηδενικό κόστος µεταφοράς, το πρόβληµα µετατρέπεται σε ισορροπηµένο. Αντίθετα, αν σε ένα ΠΜ η ζήτηση υπερβαίνει την προσφορά, το ΠΜ δεν έχει δυνατή λύση. Παρόλα αυτά µπορεί σε κάποιο πρόβληµα να υπάρχει η

3 δυνατότητα µη κάλυψης της ζήτησης οπότε η περίσσεια ζήτησης µπορεί να εξαιρεθεί. ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ Ένας πίνακας προβλήµατος µεταφορών έχει την παρακάτω µορφή: ΠΡΟΣΦΟΡΑ c c 2 c n s c 2 c 22 c 2n s 2 c m c m2 c mn s m ΖΗΤΗΣΗ d d 2... d n Αποκαλούµε κελιά τα τετράγωνα του πίνακα µε το µεγαλύτερο πάχος γραµµής. Τα χωρίζουµε σε δύο τµήµατα. Στο δεξιό τµήµα τοποθετούµε το κόστος που αντιστοιχεί σε κάθε µεταβλητή. Στο αριστερό µέρος τοποθετούµε την τιµή της µεταβλητής στην οποία αντιστοιχεί το τετράγωνο, αν αυτή είναι βασική. 4

4 Λόγου χάρη, στο παράδειγµα διανοµής καυσίµων, ο πίνακας ΠΜ για τη βέλτιστη λύση (η οποία είναι z=2, x 2 =, x =25, x 2 =45, x 2 =5, x 2 =, x 4 =) είναι ο: υϊλιστήριο Πόλη Πόλη 2 Πόλη Πόλη 4 ΠΡΟΣΦΟΡΑ υϊλιστήριο υϊλιστήριο ΖΗΤΗΣΗ Εύρεση Βασικής υνατής Μεταβλητής σε ΠΜ Έστω ένα ισορροπηµένο ΠΜ µε m σηµεία προσφοράς και n σηµεία ζήτησης. Από τα προαναφερθέντα µπορούµε να συνάγουµε ότι αυτό το πρόβληµα θα έχει m+n περιορισµούς. Η εφαρµογή της µεθόδου Big-M είναι προφανώς δύσκολη, ειδικά όταν το πρόβληµα έχει µόνο ισότητες όπως το παρόν ΠΜ. Παρόλα αυτά, η εύκολη δοµή του εν λόγω προβλήµατος διευκολύνει την εύρεση βασικής δυνατής λύσης. Αρχικά, πρέπει να κάνουµε την εξής παρατήρηση: Αν σε ένα ισορροπηµένο ΠΜ όλοι οι περιορισµοί πλην ενός ικανοποιούνται, τότε και ο ένας περιορισµός ικανοποιείται. (να δειχθεί) Σύµφωνα µε την παρακάτω παρατήρηση, µπορούµε σε ένα ισορροπηµένο ΠΜ να παραλείψουµε ένα από τους περιορισµούς και να επιλύσουµε το ΠΜ για m+n- περιορισµούς. 5

5 Ας θεωρήσουµε λοιπόν ένα ισορροπηµένο ΠΜ µε τον παρακάτω πίνακα ΠΜ: ΠΡΟΣΦΟΡΑ 4 5 ΖΗΤΗΣΗ 2 4 Παραλείπουµε προς το παρόν τις τιµές κόστους αφού δεν είναι απαραίτητες για την εύρεση αρχικής βασικής δυνατής λύσης. Οι αρχικοί περιορισµοί µπορούν να γραφούν υπό µορφή πίνακα: = x x x x x x Αν αφαιρέσουµε τυχαία τον πρώτο περιορισµό, είναι: = x x x x x x Η βασική λύση για το παραπάνω σύστηµα πρέπει να έχει 4 βασικές µεταβλητές. οκιµάζουµε τις {x, x 2, x 2, x 22 }. Τότε, (κατά τα αναφερθέντα στο κεφάλαιο της Ανάλυσης Ευαισθησίας ΠΓΠ) είναι: = B 6

6 Λόγω του βαθµού του πίνακα Β (), αυτός δεν µπορεί να αντιστραφεί για να ευρεθεί αρχική βάση οπότε η αρχική επιλογή δεν είναι κατάλληλη. Για τον λόγο αυτόν, χρησιµοποιείται η µέθοδος του βρόχου (loop), για να καθοριστεί αν µια τυχαία οµάδα m+n- µεταβλητών αποτελεί αρχική βασική λύση σε ένα ισορροπηµένο ΠΜ. Ορισµός: Μια διατεταγµένη ακολουθία τουλάχιστον τεσσάρων κελιών πίνακα ΠΜ καλείται βρόχος αν: (α) Οποιαδήποτε δύο διαδοχικά κελιά βρίσκονται στην ίδια γραµµή ή στήλη του πίνακα ΠΜ. (β) Τρία διαδοχικά κελιά δεν βρίσκονται στην ίδια γραµµή ή στήλη του πίνακα ΠΜ. (γ) Το τελευταίο κελί της ακολουθίας έχει κοινή γραµµή ή στήλη µε το πρώτο κελί της ακολουθίας στον πίνακα ΠΜ. Ας εξετάσουµε τα παρακάτω παραδείγµατα βρόχων: Ο παραπάνω βρόχος είναι ο (2,)-(2,4)-(4,4)-(4,). Ο παραπάνω βρόχος είναι ο (,)-(,2)-(2,2)-(2,)-(4,)-(4,5)-(,5)-(,). Το παραπάνω (,)-(,2)-(2,)-(2,) δεν αποτελεί βρόχο αφού τα (,2) και (2,) δεν βρίσκονται στην ίδια γραµµή ή στήλη. 7

7 Το παραπάνω (,2)-(,)-(,4)-(2,4)-(2,2) δεν αποτελεί βρόχο αφού τα (,2), (,) και (,4) βρίσκονται στην ίδια γραµµή. ΘΕΩΡΗΜΑ: Σε ένα ισορροπηµένο ΠΜ µε m σηµεία προσφοράς και n σηµεία ζήτησης, τα κελιά του πίνακα ΠΜ που αντιστοιχούν σε µια οµάδα m+n- τυχαίων µεταβλητών δεν περιλαµβάνουν βρόχο όταν και µόνο όταν οι m+n- µεταβλητές αποτελούν βασική δυνατή λύση. Λόγου χάρη, στο αρχικό παράδειγµα της παραγράφου, αφού το (,)-(,2)- (2,2)-(2,) αποτελεί βρόχο, κατά το προηγούµενο θεώρηµα, η {x,x 2,x 22,x 2 } δεν αποτελεί βασική δυνατή λύση. Αντίθετα το (,)-(,2)- (,)-(2,) δεν αποτελεί βρόχο οπότε η {x,x 2,x,x 2 } αποτελεί βασική δυνατή λύση. Υπάρχουν τρεις µέθοδοι για την εύρεση αρχικής βασικής δυνατής λύσης στα ΠΜ, οι οποίες εξετάζονται παρακάτω: (Α) Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ ΒΟΡΕΙΟ ΥΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ. Η διαδικασία ξεκινά από το επάνω δεξιά (βορειοδυτικό) τετράγωνο του πίνακα ΠΜ. Θέτουµε το x ίσο µε το ελάχιστο των d, s. Aν x =s διαγράφουµε την πρώτη γραµµή του προβλήµατος ΠΜ και θέτουµε d =d - s. Αν x =d διαγράφουµε την πρώτη στήλη του πίνακα ΠΜ και θέτουµε s =s -d. Αν x =s =d διαγράφουµε είτε την πρώτη γραµµή είτε την πρώτη στήλη και θέτουµε d = ή s = αντίστοιχα. Συνεχίζουµε τη ίδια διαδικασία για τα υπόλοιπα αποµένοντα επάνω δεξιά κελιά που δεν πέφτουν σε διαγραµµένη γραµµή ή στήλη. Τελικά θα καταλήξουµε σε µόνο ένα κελί µόνο στο οποίο θα µπορεί να τεθεί µια τιµή. ίνουµε στο κελί την τιµή µιας εκ των τιµών προσφοράς και ζήτησης της γραµµής ή της στήλης στην οποία ανήκει. Έχει βρεθεί µια βασική λύση. Για να γίνει κατανοητή η µέθοδος, ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Θέτουµε x =min(5,2)=2 οπότε διαγράφεται η στήλη και s =5-2=. 8

8 2 Χ 4 2 Θέτουµε x 2 =min(,4)= οπότε διαγράφεται η γραµµή και d 2 =4-=. 2 X Χ 2 Θέτουµε x 22 =min(,)= οπότε διαγράφουµε είτε τη γραµµή 2 είτε τη στήλη 2. Επιλέγουµε διαγραφή της γραµµής 2 και d 2 =. 2 X X Χ 4 2 Θέτουµε x 2 =min(,)= οπότε διαγράφουµε τη στήλη 2. Επιλέγουµε διαγραφή της γραµµής 2 και s =-=. 2 X X Χ Χ 2 Θέτουµε x =min(,2)=2 οπότε διαγράφουµε τη στήλη. Επιλέγουµε διαγραφή της γραµµής 2 και s =-2=. 2 X X 2 Χ Χ Χ 9

9 Θέτουµε x 4 =min(,)=. Αφού είναι η τελευταία δυνατή µεταβλητή διαγράφουµε τη γραµµή και τη στήλη 4. Έχουµε λάβει τη βασική λύση x =2, x 2 =, x 22 =, x 2 =, x =2, x 4 =. Η µέθοδος εξασφαλίζει ότι καµία µεταβλητή δεν θα λάβει αρνητική τιµή και ότι κάθε περιορισµός προσφοράς ή ζήτησης ικανοποιείται. Η µέθοδος επιτυγχάνει τη διαγραφή m+n στηλών και γραµµών. Αφού η τελευταία µεταβλητή λαµβάνει τιµή µε τη διαγραφή της αντίστοιχης γραµµής και στήλης, αποδίδονται τιµές σε m+n- µεταβλητές, οι οποίες δεν µπορούν να δηµιουργήσουν βρόχο οπότε η λύση είναι βασική δυνατή. (Β) Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ Η µέθοδος του ελάχιστου κόστους χρησιµοποιεί τις τιµές κόστους κάθε µεταβλητής σε µια προσπάθεια να µειωθεί ο αριθµός των επαναλήψεων για την εύρεση βασικής λύσης. Επιλέγεται η µεταβλητή µε το µικρότερο κόστος και λαµβάνει την µεγαλύτερη δυνατή τιµή της (ελάχιστο προσφοράς-ζήτησης). Με βάση αυτήν την επιλογή ακολουθούνται όλα όσα αναφέρθηκαν στη µέθοδο του βορειοδυτικού τετραγώνου, οπότε διαγράφεται η κατάλληλη γραµµή ή στήλη, η τιµή προσφοράς ή ζήτησης µεταβάλλεται ανάλογα κ.λ.π.. Ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα:

10 Το µικρότερο κόστος έχει η x 22. Θέτουµε x 22 =min(,8)=8, οπότε διαγράφεται η στήλη 2 και s 2 = X 4 6 Το µικρότερο κόστος έχoυν η x και η x 2. Θέτουµε τυχαία x 2 =min(2,2)=2, οπότε διαγράφεται η γραµµή 2 και d =2-2= X X 4 6 Το µικρότερο κόστος έχει η x. Θέτουµε x =min(5,)=5, οπότε διαγράφεται η γραµµή και d =-5= X X 4 6 2

11 Το µικρότερο κόστος έχει η x. Θέτουµε x =min(5,5)=5, οπότε διαγράφεται η γραµµή και s =5-5= X X X X X 6 Το µικρότερο κόστος έχει η x. Θέτουµε x =min(,4)=4, οπότε διαγράφεται η στήλη και s =-4= X X X X 6 Αποµένει η x 4, της οποία διαγράφουµε τη γραµµή και τη στήλη και θέτουµε x 4 =min(6,6)=6 Τελικά έχουµε βρει µια αρχική βασική δυνατή λύση x =5, x 2 =2, x 22 =8, x =5, x =4, x 4 =6. Παρά το ότι φαίνεται ότι η µέθοδος δείχνει να βρίσκει βασικές δυνατές λύσεις µε χαµηλό κόστος, κάτι τέτοιο δεν ισχύει πάντοτε [Winston]. 22

12 (Γ) Η ΜΕΘΟ ΟΣ VOGEL Είναι η δυσκολότερη µέθοδος στην εφαρµογή [Gloer et al 977] αλλά απαιτεί λιγότερες επαναλήψεις από τις υπόλοιπες για την εύρεση βασικής δυνατής λύσης. Για τον λόγο αυτόν είναι η προτιµώµενη. Εφαρµόζεται ως εξής: Για κάθε γραµµή και στήλη υπολογίζουµε µια ποινή η οποία είναι η διαφορά ανάµεσα στις δύο µικρότερες τιµές κάθε γραµµής ή στήλης. Επιλέγουµε στη συνέχεια τη γραµµή ή τη στήλη µε τη µεγαλύτερη ποινή και ως βασική µεταβλητή, την µεταβλητή της γραµµής ή της στήλης αυτής µε το µεγαλύτερο κόστος. Με τον ίδιο τρόπο όπως και στις δύο προηγούµενες µεθόδους επανα-υπολογίζουµε τις νέες τιµές προσφοράς ή ζήτησης και διαγράφουµε την αντίστοιχη γραµµή ή στήλη. Επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία υπολογίζοντας τις νέες ποινές µέχρι να µείνει µόνο ένα κελί στο οποίο αντιστοιχίζουµε την τιµή της γραµµής και της στήλης στην οποία αντιστοιχεί. Με τον τρόπο αυτόν έχουµε βρει µια αρχική βασική δυνατή λύση. Εξετάζουµε το παρακάτω παράδειγµα: Ποινή: 7-6= Ποινή: Ποινή: 5-6=9 Ποινή: 8-7=7 Ποινή: 78-8=7 78-5=6 Την µεγαλύτερη ποινή την έχει η στήλη 2 οπότε θέτουµε x 2 =min(,5)=5. ιαγράφουµε τη στήλη 2 και s =9-5=5. Υπολογίζουµε τις νέες ποινές οπότε έχουµε τον πίνακα: Ποινή: Ποινή: 6 5 Χ 5 Ποινή: 9 Ποινή: - Ποινή:7 2

13 Την µεγαλύτερη ποινή την έχει η στήλη οπότε θέτουµε x =min(5,5)=5. ιαγράφουµε τη στήλη (θα µπορούσαµε να διαγράψουµε και τη γραµµή ) και s =5-5=. Υπολογίζουµε τις νέες ποινές οπότε έχουµε τον πίνακα: Ποινή: Ποινή: - 5 Χ Χ Ποινή: 9 Ποινή: - Ποινή: - Αφού σε κάθε γραµµή έχουν διαγραφεί 2 από τα κελιά δεν υπάρχουν πλέον ποινές στις γραµµές. Αποµένει η στήλη οπότε θέτουµε x =min(,5)=. ιαγράφουµε τη γραµµή και θέτουµε d =5-= Χ Ποινή: Ποινή: - 5 Χ Χ Ποινή: - Ποινή: - Ποινή: - Παραµένει η µεταβλητή x 2 οπότε x 2 =5 και διαγράφουµε στήλη και γραµµή 2: Η βασική δυνατή λύση είναι x =, x 2 =5, x =5 και x 2 =5. 24

14 6.. Η Μέθοδος SIMPLEX σε Προβλήµατα Μεταφορών (ΠΜ) Η εφαρµογή του αλγόριθµου SIMPLEX σε ΠΜ είναι απλούστερη ως προς την αλγεβρική της διαδικασία σε ό,τι αφορά, κυρίως, την είσοδο νέας µεταβλητής στη βάση. ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΕΙΣΟ ΟΥ ΣΤΗ ΒΑΣΗ Ακολουθούνται τα παρακάτω βήµατα: Καθορίζεται (σύµφωνα µε κριτήριο που ακολουθεί) η µεταβλητή που θα εισέλθει στη βάση. Βρίσκεται ο βρόχος (ο οποίος είναι µοναδικός) ο οποίος περιέχει την µεταβλητή που θα εισέλθει στη βάση και κάποιες βασικές µεταβλητές. Υπολογίζοντας µόνο τις µεταβλητές του βρόχου, σηµειώνουµε αυτές (εκτός αυτής που εισέρχεται) που βρίσκονται σε άρτιο αριθµό κελιών µακριά από το κελί της εισερχόµενης µεταβλητής ως άρτιες και αυτές που βρίσκονται σε περιττό αριθµό κελιών µακριά από το κελί της εισερχόµενης µεταβλητής ως περιττές (επί του βρόχου φυσικά). Βρίσκουµε το κελί της περιττής µεταβλητής που έχει την µικρότερη τιµή, την οποία ονοµάζουµε τιµή θ. Ελαττώνουµε την τιµή κάθε περιττής µεταβλητής κατά θ και αυξάνουµε την τιµή κάθε άρτιας µεταβλητής κατά θ. Οι τιµές εκτός βρόχου δεν αλλάζουν. Αν θ= η εισερχόµενη µεταβλητή θα έχει τιµή και µια περιττή µεταβλητή που θα έχει τιµή θα εγκαταλείψει τη βάση. Στην περίπτωση αυτή η λύση ήταν εκφυλισµένη πριν την διαδικασία εισαγωγής βάσης και παραµένει εκφυλισµένη. Αν πάνω από ένα κελιά έχουν τιµή ίση µε θ, η επιλογή γίνεται κατά βούληση. Και πάλι όµως η λύση είναι εκφυλισµένη. Για την επίδειξη των παραπάνω θα χρησιµοποιήσουµε το παράδειγµα διανοµής καυσίµων: Με εφαρµογή της µεθόδου βορειοδυτικού τετραγώνου, µια αρχική βασική δυνατή λύση είναι η x =5, x 2 =, x 22 =2, x 2 =2, x = και x 4 =. Έστω ότι επιθυµούµε να βρούµε τη νέα βασική λύση όταν εισέρχεται στη βάση η µεταβλητή x 4 :

15 Ο βρόχος που περιλαµβάνει τη x 4 και κάποιες από τις βασικές µεταβλητές είναι ο: (,4) [άρτιο]-(,4) [περιττό]-(,) [άρτιο]-(2,)[περιττό]-(2,) [άρτιο]-(,) [περιττό]. Τα κελιά µε άρτιες τιµές είναι τα (,4), (,), (2,) ενώ τα κελιά µε περιττές τιµές είναι τα (,), (,4), (2,). Το κελί µε την µικρότερη τιµή είναι το x 2 =2 oπότε θ=2. Η νέα βασική δυνατή µεταβλητή φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: 5-2=5 +2= 5 +2= 2 2-2= (µη βασική) +2= - 2= Η νέα λύση είναι βασική δυνατή αφού δεν περιέχει βρόχο και είναι η x =5, x 4 =2, x 2 =, x 22 =2, x = και x 4 =. Όλες οι άλλες µεταβλητές έχουν τιµή. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΝΕΑΣ ΓΡΑΜΜΗΣ Όπως αναλύθηκε σε προηγούµενο κεφάλαιο, για µια βασική λύση BV, ο νέος συντελεστής κάθε µεταβλητής x ij (c ij ) της γραµµής υπολογίζεται ως συνάρτηση του παλαιού συντελεστή c ij ως: c' ij =c BV B - a ij -c ij όπου a ij η στήλη µε τους συντελεστές για την µεταβλητή x ij (στο αρχικό ΠΜ έχουµε αφαιρέσει τον πρώτο περιορισµό προσφοράς κατά τα προαναφερθέντα). Αφού έχουµε πρόβληµα ελαχιστοποίησης, η βάση θα παραµείνει βέλτιστη αν όλες οι νέες τιµές c ij είναι µη θετικές, αλλιώς εισάγουµε στη βάση την µεταβλητή µε τον πλέον θετικό συντελεστή. Υπολογίζουµε την τιµή c BV B - η οποία έχει m+n- στοιχεία (ο πρώτος περιορισµός προσφοράς έχει απαλειφεί): BV c B = [ u... u... ] 2 όπου u 2,,u m τα στοιχεία που αντιστοιχούν στους m- περιορισµούς προσφοράς και,, n τα στοιχεία που αντιστοιχούν στους n m n 26

16 περιορισµούς ζήτησης. Για τον καθορισµό του c BV B -, σε κάθε πίνακα οι βασικές µεταβλητές έχουν c ij =. Συνεπώς για κάθε βασική µεταβλητή είναι c BV B - a ij -c ij = (*). Γενικά, σε ΠΜ, η παραπάνω εξίσωση είναι εύκολη ως προς την επίλυσή της. Λόγου χάρη, για το παράδειγµα διανοµής καυσίµων, η αρχική βασική λύση φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Η βάση είναι η {x,x 2,x 22,x 2,x,x 4 }. Από τη σχέση (*) είναι: c' = ' = u2 u = u2 + [ u u ] 8 = 8 = [ ] 9 c 2 = 27

17 [ ] 2 u 2 u u ' c = + = = [ ] u u u ' c = + = = [ ] 6 u 6 u u ' c = + = = [ ] 5 u 5 u u ' c = + = = Για κάθε βασική µεταβλητή x ij (εκτός αυτών όπου i=) παρατηρούµε ότι η (*) µειώνεται σε u i + j =c ij. Aν ορίσουµε u =, η (*) µειώνεται σε u i + j =c ij για όλες τις βασικές µεταβλητές. Συνεπώς για να επιλύσουµε ως προς c BV B -, πρέπει να επιλύσουµε το σύστηµα m+n εξισώσεων : u =, u i + j =c ij για όλες τις βασικές µεταβλητές. Για το παράδειγµα διανοµής καυσίµων: u = u =2 u + =9 u 2 + = 28

18 u 2 + =9 u + =6 u + 4 =5 Επιλύοντας προκύπτει =8, u 2 =, 2 =, =2, u =4, 4 =. Για κάθε µη βασική µεταβλητή υπολογίζουµε τα c ij : c' 2 =+-6=5 c =+2-=2 c 4 =+-9=-8 c 24 =+-7=-5 c =4+8-4=-2 c 2 =4+-9=6 Η c 2 είναι η πλέον θετική, οπότε η x 2 θα εισέλθει στη βάση. ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΗ ΒΑΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΥ ΕΙΣΕΡΧΕΤΑΙ ΣΤΗ ΒΑΣΗ Έστω u i η περιθώρια τιµή του i περιορισµού προσφοράς και j η περιθώρια τιµή του j περιορισµού ζήτησης. Αφού απαλείφεται ο ος περιορισµός προσφοράς είναι u =. Αν αυξήσουµε το δεξιό µέλος ενός περιορισµού προσφοράς i και το δεξιό µέλος ενός περιορισµού ζήτησης j κατά, η βέλτιστη τιµή θα µειωνόταν κατά u i - j. Έστω ότι η x ij είναι µη βασική. Αν αυξήσουµε την x ij κατά, το κόστος αυξάνει κατά c ij αλλά και µια µονάδα λιγότερη θα µεταφερθεί από το σηµείο προσφοράς i στο σηµείο ζήτησης j. Αυτό ισοδυναµεί µε µείωση του δεξιού µέλους τόσο του περιορισµού προσφοράς όσο και του περιορισµού ζήτησης κατά µονάδα. Το z θα αυξηθεί κατά u i - j. Άρα αύξηση του x ij κατά θα αυξήσει το z συνολικά κατά c ij -u i - j. Άρα, αν c ij -u i - j (ή u i + j -c ij ) για όλες τις µη βασικές µεταβλητές, η τρέχουσα βάση είναι βέλτιστη. Αν όµως για κάποια µη βασική µεταβλητή είναι c ij -u i - j < (ή u i + j -c ij >), το z µπορεί να µειωθεί κατά u i + j -c ij ανά µονάδα του x ij, εισάγοντας το x ij στη βάση. Γενικά λοιπόν, αν c ij -u i - j (ή u i + j -c ij ) για όλες τις µη βασικές µεταβλητές, η τρέχουσα βάση είναι βέλτιστη. Αλλιώς η µη βασική µεταβλητή µε την πλέον θετική τιµή του u i + j -c ij πρέπει να εισέλθει στη βάση. Για να βρούµε τα u i και j ενεργούµε ως εξής: ο συντελεστής της µη βασικής µεταβλητής στη γραµµή είναι η ποσότητα που θα µειωθεί το z για µοναδιαία αύξηση του x ij, δηλαδή u i + j -c ij. Οπότε µπορούµε να επιλύσουµε ως προς u i και j το σύστηµα u = και u i + j -c ij = για όλες τις βασικές µεταβλητές. Η παραπάνω διαδικασία φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγµα (τµήµα της επίλυσης του παραδείγµατος διανοµής καυσίµων): 29

19 Βρίσκουµε τα u i και j επιλύοντας το σύστηµα: u = u + =8 u 2 + =9 u =2 u 2 + = u + =6 u + 4 =5 Η λύση στο παραπάνω σύστηµα είναι =8, u 2 =, 2 =, =2, u =4, 4 =. Για κάθε µη βασική λύση υπολογίζουµε τα c ij =u i + j -c ij οπότε: c' 2 =+-6=5 c =+2-=2 c 4 =+-9=-8 c 24 =+-7=-5 c =4+8-4=-2 c 2 =4+-9=6 Ο πλέον θετικός συντελεστής είναι ο c 2 οπότε η x 2 θα εισέλθει στη βάση. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ας θεωρήσουµε το παράδειγµα διανοµής καυσίµων, στο οποίο έχουµε µια αρχική βασική δυνατή λύση. Έχουµε καθορίσει ότι η µεταβλητή x 2 θα εισέλθει στη βάση. Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται ο βρόχος ο οποίος περιλαµβάνει την x 2 και κάποιες από τις βασικές µεταβλητές και είναι ο (,2)-(,)-(2,)-(2,2). Τα περιττά κελιά του βρόχου είναι τα (,) και (2,2).

20 Αφού x = και x 22 =2, η εισαγωγή της βάσης θα µειώσει τις x και x 22 κατά και θα αυξήσει τις τιµές των x 2 και x 2 ανά. Η βάση φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: j = u i= Οι νέες τιµές u i, j είναι: u = u 2 + = u =2 u 2 + =9 u + 4 =5 u + 2 =9 u + =8 Υπολογίζοντας τα c ij για κάθε µη βασική µεταβλητή, είναι c 2 =5, c 24 = και c =2 οι µόνοι θετικοί συντελεστές. Άρα εισάγουµε στη βάση τη x 2. Ο βρόχος που αφορά τη x 2 και κάποιες από τις βασικές µεταβλητές είναι (,2)-(2,2)-(2,)-(,). Τα περιττά κελιά είναι τα (2,2) και (,). Αφού x 22 = είναι η µικρότερη τιµή περιττού κελιού, µειώνουµε τα x 22 και x

21 κατά και αυξάνουµε τα x 2 και x 2 κατά, οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας: j = u i = Οι νέες τιµές u i, j είναι: u = u + 2 =6 u 2 + =9 u + 2 =9 u + =8 u + 4 =5 u 2 + = Υπολογίζοντας τα c ij για κάθε µη βασική µεταβλητή, είναι c =2 ο µόνος θετικός συντελεστής. Άρα εισάγουµε στη βάση τη x. Ο βρόχος που αφορά τη x και κάποιες από τις βασικές µεταβλητές είναι (,)-(2,)- (2,)-(,). Τα περιττά κελιά είναι τα (2,) και (,). Αφού x =25 είναι η µικρότερη τιµή περιττού κελιού, µειώνουµε τα x 2 και x κατά 25 και αυξάνουµε τα x και x 2 κατά 25, οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας: 2

22 j = Προσφορά u i = Ζήτηση 45 2 Οι νέες τιµές u i, j είναι: u = u 2 + = u 2 + =9 u + = u + 4 =5 u + 2 =9 u + 2 =6 Όλοι οι συντελεστές c ij είναι µη θετικοί οπότε έχουµε βρει τη βέλτιστη λύση που είναι x 2 =, x =25, x 2 =45, x 2 =5, x 2 =, x 4 = και z=2 ΕΥΡΩ Ανάλυση Ευαισθησίας σε Προβλήµατα Μεταφορών Η µέθοδος SIMPLEX στα ΠΜ απλουστεύεται, συνεπώς απλουστεύεται και η διαδικασία της ανάλυσης ευασθησίας σε αυτή. Ας εξετάσουµε λοιπόν κάποιες χαρακτηριστικές περιπτώσεις ανάλυσης ευαισθησίας: Θα πραγµατοποιήσουµε ανάλυση ευαισθησίας στο πρόβληµα διανοµής καυσίµων, του οποίου ο βέλτιστος πίνακας ΠΜ είναι ο:

23 j = Προσφορά u i = Ζήτηση 45 2 (Α) ΑΛΛΑΓΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΜΗ ΒΑΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Αλλαγή του συντελεστή αντικειµενικής συνάρτησης µη βασικής µεταβλητής δεν επηρεάζει το δεξιό µέλος των περιορισµών, οπότε η βάση θα παραµένει βέλτιστη. Αφού λοιπόν δεν αλλάζει η ποσότητα c BV B -, οπότε τα u i, j δεν αλλάζουν. Στη γραµµή, µόνο ο συντελεστής του x ij θα αλλάξει. Οπότε, όσο ο συντελεστής της µεταβλητής στη γραµµή είναι µη θετικός η βάση παραµένει βέλτιστη. Στο παράδειγµά µας θα εξετάσουµε το εύρος τιµών για το οποίο το κόστος µεταφοράς εκατοµµυρίου lt καυσίµων από τ δυϊλιστήριο στην πόλη διατηρεί τη βάση ως βέλτιστη. Έστω ότι αλλάζουµε το c από 8 σε 8+. Η βάση θα παραµείνει βέλτιστη για c =u + -c =+6-(8- )=-2- ή -2 ή c 8-2=6. (Β) ΑΛΛΑΓΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΒΑΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Στην περίπτωση αυτή αλλάζει η ποσότητα c BV B - οπότε µπορεί να αλλάξουν και οι συντελεστές των µη βασικών µεταβλητών. Πρέπει να καθορίσουµε τα u i, j για να εξετάσουµε τη συµπεριφορά των µη βασικών µεταβλητών. Η τρέχουσα βάση παραµένει βέλτιστη αν όλοι οι συντελεστές των µη βασικών µεταβλητών στη γραµµή είναι µη θετικοί. Στο παράδειγµά µας θα εξεταστεί για ποιό εύρος κόστους η βάση παραµένει βέλτιστη για µεταβολή του κόστους µεταφοράς καυσίµων από το δυϊλιστήριο στην πόλη. Έστω ότι αλλάζουµε το c σε c +. Τότε είναι u + =+. Για να βρούµε τις τιµές των u i και j επιλύουµε το παρακάτω σύστηµα: 4

24 u = u + 2 =9 u 2 + =9 u + =+ u + 2 =6 u + 4 =5 u 2 + = Επιλύοντας έχουµε u =, 2 =6, =+, =6+, u 2 =-, u = και 4 =2. H βάση παραµένει βέλτιστη αν οι συντελεστές των µη βασικών µεταβλητών στη γραµµή παραµένουν µη θετικοί: c' =u + -8 = -2 c 4 =u + 4-9=-7 c 22 = u =-- c 24 = u =-2- c = u + -4 =-5+ c = u + -6 = - Λαµβάνοντας το κοινό διάστηµα όλων των εξισώσεων προκύπτει τελικά ότι η βάση παραµένει βέλτιστη για -2 2 ή 8 c 2. (Γ) ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΗ ΑΥΞΗΣΗ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ S I ΚΑΙ ΖΗΤΗΣΗΣ D J ΚΑΤΑ. Η αλλαγή αυτή διατηρεί ένα ισορροπηµένο ΠΜ. Αφού τα u i και j µπορούν να θεωρηθούν οι αρνητικές τιµές των περιθώριων τιµών κάθε περιορισµού, ισχύει ότι αν η τρέχουσα βάση παραµένει βέλτιστη, τότε: Νέα τιµή z = Παλαιά τιµή z + u i + j. ηλαδή, αν στο παράδειγµά µας αυξήσουµε την ζήτηση της πόλης 2 κατά και την προσφορά του δυϊλιστηρίου κατά, το νέο κόστος θα είναι =26 ΕΥΡΩ. Αναλυτικότερα, µπορούµε να δούµε τα εξής: Αν η µεταβλητή x ij είναι βασική στη βέλτιστη λύση, αυξήστε την κατά. Αν η µεταβλητή x ij είναι µη βασική στη βέλτιστη λύση, βρείτε τον βρόχο που περιλαµβάνει αυτή και µερικές βασικές µεταβλητές. Βρείτε ένα περιττό κελί στη γραµµή. Αυξήστε την τιµή του κελιού αυτού κατά και αυξοµειώστε τις τιµές των κελιών του βρόχου κατά. Στο παράδειγµά µας, στην πρώτη περίπτωση, έστω ότι αυξάνουµε τα s και d 2 κατά 2. Αφού η µεταβλητή x 2 είναι βασική, η νέα βέλτιστη λύση είναι: 5

25 j = Προσφορά u i = Ζήτηση 45 2 Η νέα βέλτιστη λύση είναι z=2+2u +2 2 =2 ΕΥΡΩ. Στη δεύτερη περίπτωση, έστω ότι αυξάνουµε τα s και d κατά. Αφού η x είναι µη βασική µεταβλητή στην τρέχουσα βάση, πρέπει να βρούµε τον βρόχο του x και κάποιων βασικών µεταβλητών. Ο βρόχος είναι (,)- (,)-(2,)-(2,). Το περιττό κελί στη γραµµή είναι το x. Άρα η νέα βέλτιστη λύση θα βρεθεί αυξάνοντας το x και το x 2 κατά και µειώνοντας το x 2 κατά. Αυτό φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: j = Προσφορά u i = Ζήτηση 46 2 Η νέα βέλτιστη τιµή του z είναι 2+u + =26 ΕΥΡΩ. 6

26 6.5. Προβλήµατα Ανάθεσης Τα προβλήµατα ανάθεσης αποτελούν µια κατηγορία των ΠΜ για τα οποία η επίλυση µε τον αλγόριθµο SIMPLEX είναι µη αποδοτική. Στην παράγραφο αυτή θα περιγράψουµε τα προβλήµατα αυτά όπως και αποδοτικές µεθόδους για την επίλυσή τους. Αρχικά όµως ας δώσουµε ένα παράδειγµα: Εταιρεία κατασκευής χωµατουργικών διαθέτει τέσσερα (4) µηχανήµατα χωµατουργικών εργασιών (ΜΧΕ) και τέσσερις (4) εργασίες (Ε) τις οποίες πρέπει να πραγµατοποιήσει, στα πλαίσια ενός έργου οδοποιίας. Ο χρόνος που απαιτεί κάθε µηχάνηµα για να πραγµατοποιήσει την κάθε εργασία φαίνεται στον παρακάτω πίνακα (πίνακας κόστους προβλήµατος ανάθεσης): Πίνακας 6.5. Πίνακας κόστους προβλήµατος ανάθεσης. ΜΧΕ \ Ε Ε Ε2 Ε Ε4 ΜΧΕ ΜΧΕ ΜΧΕ ΜΧΕ Επιθυµία της εταιρείας είναι να τοποθετήσει κάθε µηχάνηµα στην κατάλληλη εργασία για να ελαχιστοποιήσει το χρόνο κατασκευής. Να επιλυθεί το ΠΓΠ. Λύση: Ορίζουµε: x ij = αν στο ΜΧΕ i έχει ανατεθεί η εργασία j x ij = αν όχι. 7

27 Το πρόβληµα µπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Min z: 4x +5x 2 +8x +7x 4 +2x 2 +2x 22 +6x 2 +5x 24 +7x +8x 2 +x +9x 4 +2x 4 +4x 42 +6x 4 +x 44 x +x 2 +x +x 4 = x 2 +x 22 +x 2 +x 24 = x +x 2 +x +x 4 = x 4 +x 42 +x 4 +x 44 = x +x 2 +x +x 4 = x 2 +x 22 +x 2 +x 42 = x +x 2 +x +x 4 = x 4 +x 24 +x 4 +x 44 = Οι πρώτοι τέσσερις περιορισµοί εξασφαλίζουν ότι σε κάθε ΜΧΕ αντιστοιχεί µια εργασία και οι άλλες τέσσερις ότι η εργασία πραγµατοποιείται. Εξαιρώντας προς στιγµήn το γεγονός ότι x ij -,, το πρόβληµα είναι ισορροπηµένο ΠΜ µε προσφορά και ζήτηση παντού ίση µε. Αυτός είναι και ο ορισµός του προβλήµατος ανάθεσης. Τελικά, ένα πρόβληµα καθορισµού εξαρτάται από το κόστος ανάθεσης µέσου κ.λ.π. σε εργασία. Ο πίνακας του προβλήµατος καθορισµού που περιέχει τις τιµές κόστους ονοµάζεται πίνακας κόστους. Για να βρούµε µια αρχική βασική λύση στο πρόβληµα µας χρησιµοποιούµε τηn µέθοδο του ελάχιστου κόστους και προκύπτει ο παρακάτω πίνακας: Εργασία Εργασία Εργασία Εργασία ΜΧΕ ΜΧΕ ΜΧΕ ΜΧΕ Παρατηρούµε ότι ο µόνος θετικός συντελεστής µεταβλητής είναι ο c 4 (να υπολογιστεί για εξάσκηση), οπότε η x 4 εισέρχεται στη βάση. Ο βρόχος που περιέχει τη x 4 και κάποιες βασικές µεταβλητές είναι ο (4,) - (,) (,2) (4,2). Τα περιττά κελιά είναι τα x και x 42 και αφού είναι και τα δυο ίσα µε το, επιλέγουµε στην τύχη να εξάγουµε το x από τη βάση. 8

28 Προκύπτει ο παρακάτω πίνακας (να επαληθευτούν οι πράξεις για εξάσκηση): Εργασία Εργασία Εργασία Εργασία ΜΧΕ ΜΧΕ ΜΧΕ ΜΧΕ Στον τελευταίο πίνακα, αν υπολογίσουµε τα νέα c ij, παρατηρούµε ότι όλα είναι αρνητικά. Συνεπώς έχουµε λάβει βέλτιστη λύση: x 2 =, x 24 =, x = και x 4 =. Απαιτούνται =5 ώρες εργασίας κατ ελάχιστο, στο ΜΧΕ ανατίθεται το έργο 2, στο ΜΧΕ 2 το έργο 4, στο ΜΧΕ το έργο και στο ΜΧΕ 4 το έργο Η Ουγγρική Μέθοδος για την Επίλυση Προβληµάτων Ανάθεσης (ΠΑ) Είναι γεγονός ότι τα προβλήµατα ανάθεσης έχουν υψηλή πιθανότητα εκφυλισµού [Whinston], συνεπώς η χρήση του αλγόριθµου SIMPLEX για προβλήµατα µεταφορών µπορεί να µην παρέχει ικανοποιητική απόδοση. Για τον λόγο αυτόν εξετάζουµε την ουγγρική µέθοδο η οποία είναι η παρακάτω: Έστω ο πίνακας κόστους του προβλήµατος ανάθεσης. Βρίσκουµε το στοιχείο µε την ελάχιστη τιµή σε κάθε γραµµή του πίνακα κόστους m x m. Κατασκευάζουµε νέο πίνακα αφαιρώντας από κάθε στοιχείο της κάθε γραµµής, το µικρότερο στοιχείο αυτής. Εκτελούµε για το νέο πίνακα την ίδια εργασία ανά στήλη και προκύπτει ένας τελικός πίνακας που ονοµάζεται και πίνακας οριακού κόστους. ιαγράφουµε όλες τις γραµµές και στήλες του πίνακα οριακού κόστους που χρειάζονται ώστε να καλύψουν όλα τα µηδενικά του πίνακα, µε τον ελάχιστο αριθµό διαγραφών. Αν οι διαγεγραµµένες γραµµές και στήλες είναι m το πλήθος, υπάρχει βέλτιστη λύση. Αν όχι προχωρούµε στο επόµενο βήµα. Βρίσκουµε το µικρότερο στοιχείο κ του πίνακα οριακού κόστους (έστω λ) στον πίνακα, το οποίο δεν βρίσκεται σε γραµµή ή στήλη που έχει διαγραφεί στο προηγούµενο βήµα. Αφαιρούµε το κ από 9

29 όλα τα µη διαγεγραµµένα στοιχεία και το προσθέτουµε στα στοιχεία τα οποία διαγράφονται και σε γραµµή και σε στήλη ταυτόχρονα. Επιστρέφουµε στο προηγούµενο βήµα. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΕΠΙ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ Για να επιλυθεί πρόβληµα ανάθεσης µεγιστοποίησης πολλαπλασιάστε τον πίνακα κόστους (ή κερδους εφόσον έχουµε µεγιστοποίηση) µε - για να επιλυθεί ως πρόβληµα ελαχιστοποίησης. Αν το πρόβληµα είναι µη ισορροπηµένο, πρέπει να µετατραπεί σε ισορροπηµένο κατά τα προαναφερθέντα. Σε µεγάλα προβλήµατα είναι πιθανά δύσκολη η εύρεση ελάχιστου αριθµού διαγραφών [Gillet 976]. Θα γίνει επίδειξη του αλγορίθµου µε το παράδειγµα ανάθεσης µηχανηµάτων σε έργα: Ο αρχικός πίνακας κόστους είναι: Ελάχιστο γραµµής Αφαιρούµε από κάθε γραµµή το ελάχιστο και προκύπτει ο πίνακας: Ελάχιστο στήλης 2 Αφαιρούµε από κάθε στήλη το ελάχιστο και πραγµατοποιούµε διαγραφές των στηλών και γραµµών ώστε να καλύψουµε όλα τα µηδενικά (οι γραµµές και στήλες που διαγράφονται είναι οι γραµµοσκιασµένες): 4

30 Είναι m=4 ενώ οι διαγεγραµµένες γραµµές είναι τρεις οπότε η λύση δεν είναι βέλτιστη. Το µικρότερο στοιχείο που δεν διαγράφεται είναι το κελί (2,4) που είναι ίσο µε. Από κάθε µη διαγεγραµµένο κελί αφαιρούµε και προσθέτουµε στα διαγεγραµµένα εις διπλούν κελιά, δηλαδή τα (,) και (,), οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας στον οποίο εφαρµόζουµε το δεύτερο βήµα της µεθόδου: Για να καλυφθούν όλα τα µηδενικά του πίνακα χρειάζεται να διαγραφούν τέσσερις γραµµές και στήλες του πίνακα. Επίσης είναι m=4 οπότε η λύση είναι βέλτιστη. Για να βρούµε τις τιµές αυτής παρατηρούµε ότι στη στήλη, το µόνο διαγεγραµµένο µηδέν είναι στη θέση (,), οπότε x =. Επίσης εξαιρείται η γραµµή και η στήλη. Ανάλογα, στη στήλη 2, είναι x 2 = οπότε εξαιρούνται η γραµµή και η στήλη 2. Επίσης, στη στήλη 4 το διαγεγραµµένο µηδεν (που δεν βρίσκεται σε γραµµή που έχει εξαιρεθεί είναι στη θέση (2,4) και είναι x 24 =. Eξαιρούνται και η γραµµή 2 µε τη στήλη 4. Τέλος, x 4 = οπότε εξαιρείται και η στήλη. Τελικά η λύση είναι x =, x 2 =, x 24 =, x 4 =. Η ουγγρική µέθοδος προσφέρει µια εύκολη εναλλακτική λύση σε προβλήµατα ανάθεσης, λόγω της απλότητας εφαρµογής της. 4

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΕπίλυσηΠροβληµάτων Αναθέσεων: Η "Ουγγρική Μέθοδος"

ΕπίλυσηΠροβληµάτων Αναθέσεων: Η Ουγγρική Μέθοδος ΕπίλυσηΠροβληµάτων Αναθέσεων: Η "Ουγγρική Μέθοδος" Τοπλήθος των εφικτών λύσεων σε ένα πρόβληµα ανάθεσης µε m δραστηριότητες και mπόρους είναι ίσο µε m! 6 Αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµός των εφικτών λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) Η διαµόρφωση και το µοντέλο του προβλήµατος ανάθεσης (π.χ. εργασιών σε µηχανές ή δραστηριοτήτων σε άτοµα) περιγράφεται στις

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Η αρχική τους εφαρµογή, όπως δηλώνει και η ονοµασία τους, αφορούσε τον καθορισµό του βέλτιστου τρόπου µεταφοράς αγαθών από διαφορετικά σηµεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης (π.χ.,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI)

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Ηµέθοδος MODIεπιτρέπει τον υπολογισµό των οριακών µεταβολών στο συνολικό κόστος µεταφοράς για κάθε µη επιλεγείσα διαδροµή µε αλγεβρικό τρόπο, χωρίς τη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 Ε_3.Αλ3Ε(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Α1. α. Λάθος β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό Α2. δ Α3. β Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 2.1: Εισαγωγή array στο Front Panel.

Σχήµα 2.1: Εισαγωγή array στο Front Panel. Arrays (Πίνακες) 1. Στο LAbVIEW η εισαγωγή πινάκων γίνεται µε τα arrays. Για να εισάγουµε ένα array στο Front Panel κάνουµε δεξί κλικ σε αυτό και επιλέγουµε την εντολή «Array» από το µενού «Array, Matrix

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 0 Ηλεκτρικά κυκλώµατα Ηλεκτρικό κύκλωµα ονοµάζουµε ένα σύνολο στοιχείων που συνδέονται κατάλληλα έτσι ώστε να επιτελέσουν ένα συγκεκριµένο σκοπό. Για παράδειγµα το παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη 5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη Tο πρόβληµα του προσδιορισµού των συγκεντρώσεων των προτύπων, όταν δεν είναι γνωστό το πλήθος τους και η ταυτότητα των προτύπων, είναι δύσκολο και για την

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Η ταχύτητα συνήθως δεν παραµένει σταθερή Ας υποθέσουµε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο µε ταχύτητα k 36. Ο δρόµος είναι ανοιχτός και ο οδηγός αποφασίζει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι

Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι Η µέθοδος Vogel Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι η µέθοδος Vogel Η προσεγγιστική µέθοδος Vogelείναι µια πιο πολύπλοκη µέθοδος σε σχέση µε τις προηγούµενες, αλλά

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

2 3 4 v. Να εξεταστεί υπό ποίες προϋποθέσεις η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες και πόσες. Απάντηση :

2 3 4 v. Να εξεταστεί υπό ποίες προϋποθέσεις η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες και πόσες. Απάντηση : ίνεται η εξίσωση : ν v 1... = 0, v Να εξεταστεί υπό ποίες προϋποθέσεις η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες και πόσες. Απάντηση : Με την βοήθεια του λογισµικού mathcad, κατασκευάζω τις συναρτήσεις f ν ()=

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ Οι ασκήσεις διαλυµάτων που αφορούν τις περιεκτικότητες % w/w, % w/v και % v/v χωρίζονται σε 3 κατηγορίες: α) Ασκήσεις όπου πρέπει να βρούµε ή να µετατρέψουµε διάφορες περιεκτικότητες.

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το το σύνολο N * = {,, 3, 4.} και σύνολο αφίξεως το R Η ακολουθία συµβολίζεται (α ν ) ή (β ν ) κ.λ.π.

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΤEΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ΙΑΦΟΡΙΚΟ-ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ)

ΜΑΘΗΜΑ ΤEΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ΙΑΦΟΡΙΚΟ-ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ) ΜΑΘΗΜΑ ΤEΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ΙΑΦΟΡΙΚΟ-ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ) A. Κανόνας de L Hospital (Συνέχεια από το προηγούµενο µάθηµα) Παράδειγµα 1. Να βρεθεί το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΛΕΙΣΙΜΟ ΧΡΗΣΗΣ ΣΤΟ DYNAMICS NAV INNOVERA ERP

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΛΕΙΣΙΜΟ ΧΡΗΣΗΣ ΣΤΟ DYNAMICS NAV INNOVERA ERP Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΛΕΙΣΙΜΟ ΧΡΗΣΗΣ ΣΤΟ DYNAMICS NAV INNOVERA ERP Για να κλείσουµε µία χρήση στο InnovEra ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα: Από το κεντρικό µενού επιλέγουµε διαδοχικά «Οικονοµική ιαχείριση», «Γενική

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. ίνεται το γνωστό πρόβληµα των δύο δοχείων: «Υπάρχουν δύο δοχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Το LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) είναι ένα πολύ γνωστό λογισµικό για την επίλυση προβληµάτων γραµµικού,

Διαβάστε περισσότερα

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1 8. ίκτυα Kohonen Το µοντέλο αυτό των δικτύων προτάθηκε το 1984 από τον Kοhonen, και αφορά διαδικασία εκµάθησης χωρίς επίβλεψη, δηλαδή δεν δίδεται καµία εξωτερική επέµβαση σχετικά µε τους στόχους που πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6 ) Ευθεία Ευθεία διέρχεται από το σηµείο Α µε διάνυσµα θέσης = i j+ 4k το διάνυσµα β = 2i + 3j + k. και είναι παράλληλη προς Α = + tβ α β ιανυσµατική εξίσωση: Εισάγουµε

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex )  1 Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα