ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ BAYES, Η ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΟΜΩΝΥΜΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ BAYES, Η ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΟΜΩΝΥΜΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ"

Transcript

1 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ BAYES, Η ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΟΜΩΝΥΜΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αθηνών 23 Οκτωβρίου 2009

2 ΣΧΕ ΙΟ ΙΑΛΕΞΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES (Το αρχικό πρόβληµα του Bayes)

3 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική γνώση ως προς την έκβαση ενός στοχαστικού πειράµατος µειώνει την αβεβαιότητα συρρικνώνοντας το δειγµατικό χώρο. Συγκεκριµένα, ας ϑεωρήσουµε ένα στοχαστικό πείραµα µε δειγµατικό χώρο Ω και πιθανότητα P(A), για κάθε ενδεχόµενο A Ω. Ας υποθέσουµε ότι σε κάποιο στάδιο της εκτέλεσής του πραγµατοποιήθηκε ένα συγκεκριµένο ενδεχόµενο A Ω. Τότε, όσον αφορά την τελική του έκβαση, ο δειγµατικός χώρος συρρικνώνεται στο σύνολο A και ένα οποιονδήποτε ενδεχόµενο B (ως προς το δειγµατικό χώρο Ω) συρρικνώνεται στο ενδεχόµενο Γ = AB, το οποίο συµβολίζεται µε B A και διαβάζεται: το ενδεχόµενο B δεδοµένου του (ενδεχοµένου) A.

4 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η πιθανότητα του ενδεχοµένου B δεδοµένου του A, η οποία συµβολίζεται µε P(B A), B Ω, και καλείται δεσµευµένη πιθανότητα (δεδοµένου του A ) συνδέεται, όπως είναι ϕυσικό, µε τις πιθανότητες P(A) και P(AB). Ετσι, σύµφωνα µε τις διαπιστώσεις αυτές, η δεσµευµένη πιθανότητα, δεδοµένου ενός ενδεχοµένου A, µε P(A) > 0, είναι µία συνάρτηση P(B A), B Ω, η οποία ορίζεται από τη σχέση P(B A) = P(AB), B Ω. (1) P(A) Οταν P(A) = 0, η P(B A) δεν ορίζεται. Για συγκεκριµένο ενδεχόµενο B Ω, η P(B A) καλείται δεσµευµένη πιθανότητα του ενδεχοµένου B δεδοµένου του (ενδεχοµένου) A.

5 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Αµεση συνέπεια του ορισµού αυτού είναι ότι η P(B A), B Ω, για δεδοµένο A Ω, ικανοποιεί τα τρία αξιώµατα της πιθανότητας και ως γνήσια πιθανότητα ικανοποιεί και όλες τις ιδιότητες της (απόλυτης) πιθανότητας P(A), A Ω. Η δεσµευµένη πιθανότητα δύναται να χρησιµοποιηθεί για την έκφραση της πιθανότητας της τοµής πεπερασµένου αριθµού ενδεχοµένων.

6 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Πράγµατι, από τον ορισµό της δεσµευµένης πιθανότητας συνάγεται άµεσα η έκφραση P(AB) = P(A)P(B A), (2) η οποία επεκτείνεται (επαγωγικά) στο γνωστό πολλαπλασιαστικός τύπο της πιθανότητας P(A 1 A 2 A ν ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 ) P(A ν A 1 A 2 A ν 1 ). (3) Σηµειώνουµε σχετικά ότι αν (και µόνο αν ) P(AB) = P(A)P(B), (4) οπότε P(B A) = P(B) και P(A B) = P(A), τα ενδεχόµενα A και B καλούνται ανεξάρτητα.

7 Παράδειγµα ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Ας ϑεωρήσουµε µία κληρωτίδα η οποία περιέχει ν σφαιρίδια αριθµηµένα από το 1 µέχρι το ν και έστω ότι r από τα σφαιρίδια αυτά είναι άσπρα. Εξάγουµε τυχαία και χωρίς επανάθεση το ένα µετά το άλλο κ σφαιρίδια. Να υπολογισθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου και τα κ εξαγόµενα σφαιρίδια να είναι άσπρα. Εστω A j το ενδεχόµενο εξαγωγής άσπρου σφαιριδίου στην j-οστή εξαγωγή, j = 1, 2,..., κ. Τότε A 1 A 2 A κ είναι το ενδεχόµενο και τα κ εξαγόµενα σφαιϱίδια να είναι άσπρα και η Ϲητούµενη πιθανότητα, σύµφωνα µε τη (3), είναι P(A 1 A 2 A κ ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 ) P(A κ A 1 A 2 A κ 1 ) = r ν r 1 ν 1 r κ + 1 ν κ + 1 = (r) κ (ν) κ.

8 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Στην περίπτωση του Ελληνικού Lotto η κληρωτίδα περιέχει ν = 49 σφαιρίδια και κληρώνονται κ = 6 αριθµοί. Τα r άσπρα σφαιρίδια ϕέρουν τους αριθµούς στους οποίους στοιχηµατίζει κάποιος. Ετσι, αν στοιχηµατίσει σε r = 6 αριθµούς, η πιθανότητα να πετύχει και τους 6 αριθµούς που κληρώνονται είναι ίση µε p = και ϑεωρείται πρακτικά µηδενική , ,

9 ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Η πιθανότητα οποιουδήποτε ενδεχοµένου δύναται να αναλυθεί σε άθροισµα πιθανοτήτων µε τη χρησιµοποίηση δεσµευµένων πιθανοτήτων του ενδεχοµένου αυτού. Η ανάλυση αυτή απαιτεί την έννοια της διαµέρισης του δειγµατικού χώρου Ω. Σχετικά, µια ακολουθία ενδεχοµένων A κ Ω, κ = 1, 2,..., ν,..., τα οποία είναι κατά Ϲεύγη ξένα, A i A j =, i j, και η ένωσή τους είναι A 1 A 2 A ν = Ω, καλείται διαµέριση του Ω. Το σχετικό ϑεώρηµα αναφέρεται ως Θεώρηµα ή τύπος ολικής πιθανότητας.

10 ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Θεώρηµα Εστω A κ Ω, κ = 1, 2,..., µία διαµέριση του δειγµατικού χώρου Ω µε P(A κ ) > 0, κ = 1, 2,.... Τότε, για κάθε ενδεχόµενο B Ω, ισχύει P(B) = P(A κ )P(B A κ ). (5) κ=1

11 ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι, για οποιοδήποτε ενδεχόµενο B Ω, τα ενδεχόµενα A κ B A κ B, κ = 1, 2,..., είναι κατά Ϲεύγη ξένα και B = BΩ = (A 1 A 2 A ν )B = (A 1 B) (A 2 B) (A ν B). Εποµένως, σύµφωνα µε την προσθετική ιδιότητα, έχουµε P(B) = P(A 1 B) + P(A 2 B) + + P(A ν B) + και επειδή P(A κ ) > 0, κ = 1, 2,..., χρησιµοποιώντας τον πολλαπλασιαστικό τύπο, P(A κ B) = P(A κ )P(B A κ ), κ = 1, 2,..., συνάγουµε την (5).

12 ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Παράδειγµα Οι ηλεκτρικοί λαµπήρες προωθούνται στην αγορά συσκευασµένοι σε χαρτοκιβώτια των 25 λαµπήρων. Ας υποθέσουµε ότι από ένα χαρτοκιβώτιο που περιέχει τρεις ελαττωµατικούς λαµπτήρες εξάγουµε δύο λαµπτήρες. Να υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχοµένων A και B εξαγωγής ελαττωµατικού λαµπτήρα στην πρώτη και δεύτερη εξαγωγή, αντίστοιχα. (α) Αν οι εξαγωγές γίνονται µε επανάθεση, τότε P(A) = 3 25, P(B) = 3 25.

13 ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ (ϐ) Αν οι εξαγωγές γίνονται χωρίς επανάθεση, τότε P(A) = 3 25, P(A ) = και η πιθανότητα του ενδεχοµένου B υπολογίζεται µε τη χρησιµοποιήση του ϑεωρήµατος της ολικής πιθανότητας ως P(B) = P(A)P(B A) + P(A )P(B A ) = = Αξίζει ιδιαίτερης επισήµανσης το γεγονός ότι, σε αντίθεση µε τη διαίσθησή µας, η πιθανότητα εξαγωγής ελαττωµατικού λαµπτήρα είναι η ίδια είτε οι εξαγωγές γίνονται µε επανάθεση είτε χωρίς επανάθεση.

14 ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Παράδειγµα Κληρονοµικότητα χαρακτηριστικών συνδεοµένων µε το φύλο. Τα γονίδια κείνται στα χρωµατοσώµατα. Τα χρωµατοσώµατα εµφανίζονται κατά Ϲεύγη και µεταβιβάζονται ως (αδιαίρετες) µονάδες έτσι ώστε τα γονίδια ενός χρωµατοσώµατος να παραµένουν µαζί. Ο νόµος κληρονοµικότητας των γονιδίων εφαρµόζεται και στα χρωµατοσώµατα ως µονάδες. Το ϕύλο καθορίζεται από δύο χρωµατοσώµατα X και Y και κάθε άτοµο ϕέρει ένα Ϲεύγος τέτοιων χρωµατοσωµάτων.

15 ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Τα αρσενικά ϕέρουν το Ϲεύγος XY και ϑηλυκά το Ϲεύγος XX. Ετσι η µητέρα µεταβιβάζει ένα X χρωµατόσωµα και το ϕύλο ενός απογόνου καθορίζεται από το χρωµατόσωµα X ή Y που µεταβιβάζει ο πατέρας. Τα γονίδια που κείνται στο χρωµατόσωµα X δεν έχουν αντίστοιχο γονίδιο στο χρωµατόσωµα Y. Ετσι τα ϑηλυκά, τα οποία έχουν δύο χρωµατοσώµατα X, έχουν δύο τέτοια γονίδια ενώ στα αρσενικά, τα οποία έχουν ένα χρωµατόσωµα X, τέτοια γονίδια εµφανίζονται ως µονά. Τα γονίδια που προκαλούν την αχρωµατοψία, όπως και τα γονίδια που προκαλούν την αιµοφιλία, αποτελούν χαρακτηριστικά παραδείγµατα γονιδίων κειµένων στο χρωµατόσωµα X.

16 ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Εστω C ο δεσπόζων και c ο υποχωρητικός τύπος του γονιδίου της αχρωµατοψίας (ή αιµοφιλίας). Τα ϑηλυκά ανήκουν σε ένα από τους τρεις γονοτύπους CC, Cc και cc, ενώ τα αρσενικά σε ένα από τους δύο γονοτύπους C και c. Ενα ϑηλυκό του γονότυπου CC δεν παρουσιάζει αχρωµατοψία (ή αιµοφιλία), του γονοτύπου Cc είναι ϕορέας αχρωµατοψίας (ή αιµοφιλίας) και γονοτύπου cc παρουσιάζει αχρωµατοψία (ή αιµοφιλία). Επίσης, ένα αρσενικό του γονότυπου C δεν παρουσιάζει αχρωµατοψία (ή αιµοφιλία), και του γονοτύπου c παρουσιάζει αχρωµατοψία (ή αιµοφιλία). Εστω p το ποσοστό του δεσπόζοντος τύπου C και q = 1 p το ποσοστό του υποχωρητικού τύπου c του γονιδίου της αχρωµατοψίας (ή αιµοφιλίας), τόσο στα αρσενικά όσο και στα ϑηλυκά άτοµα.

17 ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Τότε η πιθανότητα ένας άνδρας να µη παρουσιάζει αχρωµατοψία (ή αιµοφιλία) είναι ίση µε p, ενώ να παρουσιάζει αχρωµατοψία (ή αιµοφιλία) είναι ίση µε q = 1 p. Οι πιθανότητες u, 2v και w των τριών γονοτύπων CC, Cc και cc του γονιδίου της αχρωµατοψίας (ή αιµοφιλίας) στο γυναικείο πληθυσµό, αντίστοιχα, δύνανται να υπολογισθούν ως εξής: Ας ϑεωρήσουµε τα ενδεχόµενα A 1 και A 2 όπως ένα άτοµο το οποίο εκλέγεται τυχαία από τον υποπληθυσµό των αρσενικών είναι του γονοτύπου C και c, αντίστοιχα, και τα ενδεχόµενα B 1, B 2 και B 3 όπως ένα άτοµο το οποίο εκλέγεται τυχαία από τον υποπληθυσµό των ϑηλυκών είναι του γονοτύπου CC, Cc και cc, αντίστοιχα.

18 ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Επίσης ας ϑεωρήσουµε τα ενδεχόµενα A και B όπως ένας ϑηλυκός απόγονος Ϲευγαρώµατος δύο ατόµων (αρσενικού και ϑηλυκού) του αρχικού πληθυσµού κληρονοµήσει το γονίδιο C από τον πατέρα και τη µητέρα, αντίστοιχα. Τότε P(A) = P(A 1 )P(A A 1 ) = p 1 = p, P(A ) = 1 P(A) = 1 p = q. Επίσης, σύµφωνα µε το ϑεώρηµα της ολικής πιθανότητας, P(B) = P(B 1 )P(B B 1 ) + P(B 2 )P(B B 2 ) = u 1 + 2v 1 2 = u + v και P(B ) = 1 P(B) = 1 (u + v) = v + w, εφ όσον u + 2v + w = 1.

19 ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Τα ενδεχόµενα A και B είναι ανεξάρτητα, οπότε τόσο τα ενδεχόµενα A και B όσο και τα ενδεχόµενα A και B και τα ενδεχόµενα A και B. Ετσι u = P(B 1 ) = P(AB) = P(A)P(B) = p(u + v), 2v = P(B 2 ) = P(AB A B) = P(AB ) + P(A B) = P(A)P(B ) + P(A )P(B) = p(v + w) + q(u + v), w = P(B 3 ) = P(A B ) = P(A )P(B ) = q(v + w). Χρησιµοποιώντας το ότι q = 1 p και v + w = 1 (u + v), συνάγουµε τις Ϲητούµενες πιθανότητες u = p 2, v = pq, w = q 2.

20 ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ας σηµειωθεί ότι η πιθανότητα w όπως µια γυναίκα παρουσιάζει αχρωµατοψία είναι ίση µε το τετράγωνο πιθανότητας q όπως ένας άνδρας παρουσιάζει αχρωµατοψία.

21 ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Στο ϑεώρηµα της ολικής πιθανότητας, τα ενδεχόµενα A κ Ω, κ = 1, 2,..., δύνανται να ϑεωρηθούν (ερµηνευθούν) ως οι αιτίες που συµβάλλουν στην πραγµατοποίηση του ενδεχοµένου B. Μέτρο της συµβολής της αιτίας A κ στην πραγµατοποίηση του ενδεχοµένου B αποτελεί η πιθανότητα P(A κ B), η οποία εκφράζεται ως γινόµενο P(A κ )P(B A κ ). Η πιθανότητα P(A κ ), κ = 1, 2,..., η οποία είναι γνωστή πριν την εκτέλεση του στοχαστικού πειράµατος µε δειγµατικό χώρο Ω, καλείται και εκ των προτέρων (a priori) πιθανότητα. Η δεσµευµένη πιθανότητα P(A r B), η οποία εκφράζει την πιθανότητα η πραγµατοποίηση του ενδεχοµένου B να οφείλεται στην αιτία A r, r = 1, 2,..., και υπολογίζεται µε δεδοµένη την πραγµατοποίηση του B και εποµένως µετά την εκτέλεση του στοχαστικού πειράµατος, καλείται και εκ των υστέρων (a posteriori) ή αντίστροφη πιθανότητα.

22 ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Το ενδιαφέρον στην εκ των υστέρων πιθανότητα και η συναγωγή του πρώτου τύπου υπολογισµού αυτής οφείλεται στον Αγγλο κληρικό, ϕιλόσοφο και µαθηµατικό Thomas Bayes ( ). Στην παρούσα µορφή του ο τύπος αυτός διαµορφώθηκε από τον µεγάλο Γάλλο µαθηµατικό Pierre-Simon de Laplace ( ) και αναφέρεται ως Θεώρηµα ή τύπος του Bayes. Το ϑεώρηµα αυτό και ιδιαίτερα οι εφαρµογές του στη Στατιστική είχε προκαλέσει Ϲωηρόν ενδιαφέρον αλλά και µεγάλη αντιδικία µε ιδιαίτερα οξείς χαρακτηρισµούς µεταξύ των στατιστικών. Σηµειώνουµε ότι το ϑεώρηµα αυτό υπήρξε η αρχή της γένεσης και ανάπτυξης ενός ιδιαίτερου κλάδου της Στατιστικής, γνωστού ως Μπεϋζιανή Στατιστική

23 ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Θεώρηµα Εστω A κ Ω, κ = 1, 2,..., µία διαµέριση του δειγµατικού χώρου Ω µε P(A κ ) > 0, κ = 1, 2,..., και B Ω ενδεχόµενο µε P(B) > 0. Τότε P(A r B) = P(A r)p(b A r ), r = 1, 2,.... (6) P(A κ )P(B A κ ) κ=1

24 ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι, σύµφωνα µε τον ορισµό της δεσµευµένης πιθανότητας, επειδή P(B) > 0, έχουµε P(A r B) = P(A rb) P(B). Χρησιµοποιώντας το πολλαπλασιαστικό ϑεώρηµα µε ν = 2, ο αριθµητής γράφεται στη µορφή P(A r B) = P(A r )P(B A r ), οπότε, αναλύοντας τον παρονοµαστή σύµφωνα µε το ϑεώρηµα της ολικής πιθανότητας, συνάγουµε την (6).

25 Παράδειγµα ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Κληρονοµικότητα χαρακτηριστικών συνδεοµένων µε το φύλο (Συνέχεια). Επανερχόµενοι στο προηγούµενο παράδειγµα, ας υποθέσουµε ότι το ποσοστό του δεσπόζοντος τύπου C και το ποσοστό του υποχωρητικού τύπου c του γονιδίου της αχρωµατοψίας είναι p = 0,9 και q = 0,1, αντίστοιχα. Αν το αγόρι που γέννησε µια συγκεκριµένη γυναίκα δεν παρουσιάζει αχρωµατοψία, να υπολογισθεί η πιθανότητα η γυναίκα αυτή να έχει το γονότυπο Cc (να είναι ϕορέας του γονιδίου της αχρωµατοψίας). Αν Γ είναι το ενδεχόµενο το αγόρι να µη παρουσιάζει αχρωµατοψία (να έχει τον γονότυπο C), τότε, σύµφωνα µε τον τύπο του Bayes, P(B 2 Γ) = P(B 2 )P(Γ B 2 ) P(B 1 )P(Γ B 1 ) + P(B 2 )P(Γ B 2 ) + P(B 3 )P(Γ B 3 ).

26 ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Εποµένως P(B 2 Γ) = 2pq (1/2) p pq (1/2) + q 2 0 = q = 0,1. Ας σηµειωθεί ότι (απόλυτη) πιθανότητα η συγκεκριµένη γυναίκα να έχει τον γονότυπο Cc, σύµφωνα µε τα εκτεθέντα στο προηγούµενο παράδειγµα, είναι P(B 2 ) = 2pq = 2 (0,9) (0,1) = 0,18. Παρατηρούµε ότι η γνώση ότι γυναίκα αυτή γέννησε υγιές αγόρι µειώνει σηµαντικά την πιθανότητα να είναι ϕορέας του γονιδίου της αχρωµατοψίας.

27 Παράδειγµα ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ιατρικές διαγνώσεις. Το Θεώρηµα του Bayes, χρησιµοποιούµενο κατάλληλα, δύναται να ϐοηθήσει σηµαντικά το γιατρό να καταλήξει σε µια ιατρική διάγνωση. Συγκεκριµένα, έστω ότι ένας ασθενής προσέρχεται στο ιατρείο και ο γιατρός αφού τον εξετάσει κλινικά δεν µπορεί να καταλήξει σε διάγνωση και τον παραπέµπει σε διάφορες εργαστηϱιακές ϐιοϊατρικές εξετάσεις. Εστω B το σύνολο των κλινικών συµπτωµάτων και των εργαστηϱιακών αποτελεσµάτων, σε κωδικοποιηµένη µορφή, το οποίο συνθέτει την ιατρική εικόνα του ασθενούς. Ακόµη, έστω A κ, κ = 1, 2,..., ν, τα αίτια-ασθένειες που είναι γνωστό ότι προκαλούν το σύνολο B των κλινικών συµπτωµάτων και των εργαστηριακών αποτελεσµάτων. Η υπόθεση αυτή εκφράζεται µαθηµατικά ως (A 1 A 2 A ν ) B.

28 ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Τότε η πιθανότητα η ιατρική εικόνα B του ασθενούς να οφείλεται στην ασθένεια A r, για r = 1, 2,..., ν, σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του Bayes, δίνεται από την P(A r B) = P(A r)p(b A r ). r = 1, 2,..., ν, ν P(A κ )P(B A κ ) κ=1 Ετσι, ο γιατρός καταλήγει στη διάγνωση ότι ο ασθενής πάσχει από την ασθένεια A m, µε P(A m B) = max{p(a 1 B), P(A 2 B),..., P(A ν B)}.

29 ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Οι απαιτούµενοι µαθηµατικοί υπολογισµοί γίνονται από ηλεκτρονικό υπολογιστή εφοδιασµένο µε ένα πρόγραµµα υλοποίησης του τύπου του Bayes και µια ϐάση των απαϱαίτητων ιατρικών δεδοµένων. Τα δεδοµένα αυτά, για κάθε ιατρική εικόνα B, είναι τα ακόλουθα: (α) η πιθανότητα (ποσοστό) P(A κ ) εµφάνισης της ασθένειας A κ στο πληθυσµό, για κ = 1, 2,..., ν, και (ϐ) η δεσµευµένη πιθανότητα (ποσοστό) P(B A κ ) εµφάνισης της ιατρικής (κλινικής και εργαστηριακής) εικόνας B σε ασθενή που πάσχει από την ασθένεια A κ, για κ = 1, 2,..., ν.

30 Παράδειγµα ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Στρατηγική αύξησης της πιθανότητας επιτυχίας. Σ ένα γνωστό τηλεοπτικό παιγνίδι, υπάρχουν τρεις κουρτίνες κ 1, κ 2 και κ 3, από τις οποίες µια κουρτίνα κρίβει πίσω της ένα µεγάλο δώρο, ενώ οι άλλες δύο δεν κρίβουν τίποτα. Ο παίκτης που µαντεύει σωστά ποια κουρτίνα κρίβει το µεγάλο δώρο το κερδίζει. Εστω ότι ένας παίκτης επιλέγει τυχαία την κουρτίνα κ 1. Ο παρουσιαστής του παιγνιδιού, πριν ανοίξει την κουρτίνα και αποκαλυφθεί τι κρίβεται πίσω απ αυτήν, ανοίγει µια από τις δύο άλλες κουρτίνες, έστω την κ 2, αποκαλύπτοντας ότι τίποτα δεν υπάρχει πίσω απ αυτήν. Μετά την αποκάλυψη αυτή, ο παρουσιαστής προσφέρει στον παίκτη τη δυνατότητα να αλλάξει την αρχική του επιλογή (επιλέγοντας αντί της κ 1 την κ 3 ).

31 ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Τί θα συµβουλεύατε τον παίκτη: να παραµείνει στη αρχική του επιλογή ή να αλλάξει την επιλογή του ;

32 ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Η κοινή πεποίθηση είναι ότι στο στάδιο αυτό του παιγνιδιού είτε ο παίκτης παραµείνει στην αρχική του επιλογή είτε την αλλάξει η πιθανότητα να κερδίσει το µεγάλο δώρο είναι η ίδια και ίση µε 1/2. Ας υπολογίσουµε πιο προσεκτικά τις πιθανότητες (α) του ενδεχοµένου να κερδίσει ο παίκτης αν παραµείνει στην αρχική του επιλογή και (ϐ) του ενδεχοµένου να κερδίσει αν αλλάξει επιλογή.

33 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES Εστω A 1, A 2 και A 3 τα ενδεχόµενα το µεγάλο δώρο να ϐρίσκεται πίσω από την κουρτίνα κ 1, κ 2 και κ 3, αντίστοιχα. Επίσης, έστω B το ενδεχόµενο ο παρουσιαστής του παιγνιδιού να ανοίξει την κουρτίνα κ 2 (αποκαλύπτοντας ότι τίποτα δεν υπάρχει πίσω απ αυτήν). Τότε P(A 1 B) και P(A 3 B) είναι οι πιθανότητες να κερδίσει ο παίκτης αν παραµείνει στην αρχική του επιλογή και αν αλλάξει επιλογή, αντίστοιχα.

34 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES Σύµφωνα µε τον τύπο του Bayes, P(A 1 B) = = P(A 1 )P(B A 1 ) P(A 1 )P(B A 1 ) + P(A 2 )P(B A 2 ) + P(A 3 )P(B A 3 ) (1/3) (1/2) (1/3) (1/2) + (1/3) 0 + (1/3) 1 = 1 3 και επειδή, προφανώς, P(A 2 B) = 0, P(A 3 B) = 1 P(A 1 B) = 2 3. Εποµένως, αν ο παίκτης ακολουθήσει τη συµβουλή ενός προσεκτικού µαθηµατικού και αλλάξει την αρχική επιλογή του αυξάνει την πιθανότητα του να κερδίσει το µεγάλο δώρο.

35 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES Ο τύπος του Bayes δύναται να επεκταθεί και στην περίπτωση µη αριθµήσιµου συνόλου ενδεχοµένων µε τη χρήση των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας και των δεσµευµένων συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας τυχαίων µεταβλητών. Συγκεκριµένα, µία πραγµατική συνάρτηση X(ω), ω Ω, µε τιµές στο R X R, καλείται τυχαία µεταβλητή αν και µόνο αν το σύνολο {ω Ω : X(ω) x}, για κάθε x R, είναι ενδεχόµενο στον Ω. Ακόµη, ένα Ϲεύγος (διάνυσµα) τυχαίων µεταβλητών (X, Y) συνιστά (είναι) µια διδιάστατη τυχαία µεταβλητή (ή ένα διδιάστατο τυχαίο διάνυσµα).

36 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES Η συνάρτηση F X (x) = P(X x) = P({ω Ω : X(ω) x}), x R, καλείται συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής X και παρουσιάζει το πολύ αριθµήσιµο πλήθος αλµάτων (ασυνεχειών).

37 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES Μια τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν και µόνο αν παίρνει µε πιθανότητα ένα αριθµήσιµο (πεπερασµένο ή άπειρο) σύνολο τιµών. Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση κατανοµής F X (x), x R, παρουσιάζει αριθµήσιµο πλήθος αλµάτων (ασυνεχειών). Η συνάρτηση f X (x κ ) = P(X = x κ ) = P({ω Ω : X(ω) = x κ }), κ = 0, 1,..., καλείται συνάρτηση (πυκνότητας) πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής X και η συνάρτηση f X,Y (x κ, y r ) = P(X = x κ, Y = y r ) = P({ω Ω : X(ω) = x κ, Y(ω) = y r }), για κ, r = 0, 1,..., καλείται συνάρτηση (πυκνότητας) πιθανότητας της διδιάστατης τυχαίας µεταβλητής (X, Y).

38 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES Επίσης, η συνάρτηση f X Y (x κ y r ) = P(X = x κ Y = y r ) = f X,Y (x κ, y r ), κ = 0, 1,..., f Y (y r ) για δεδοµένη τιµή y r, r = 0, 1,..., της τυχαίας µεταβλητής Y µε f Y (y r ) > 0, καλείται δεσµευµένη συνάρτηση (πυκνότητας) πιθανότητας της τυχαίας X δεδοµένης της Y = y r. Οµοίως, η συνάρτηση f Y X (y r x κ ) = P(Y = y r X = x κ ) = f X,Y (x κ, y r ), r = 0, 1,... f X (x κ ) για δεδοµένη τιµή x κ, κ = 0, 1,..., της τυχαίας µεταβλητής X µε f X (x κ ) > 0, καλείται δεσµευµένη συνάρτηση (πυκνότητας) πιθανότητας της τυχαίας Y δεδοµένης της X = x κ.

39 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES Αντικαθιστώντας στις (5) και (6) τις πιθανότητες των ενδεχοµένων µε τις αντίστοιχες συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας διακριτών τυχαίων µεταβλητών, συνάγουµε τις ακόλουθες εκφράσεις των τύπων της ολικής πιθανότητας και του Bayes και f X (x κ ) = f Y (y r )f X Y (x κ y r ), κ = 0, 1,... (7) r=0 f Y X (y r x κ ) = f Y (y r )f X Y (x κ y r ), r = 0, 1,..., (κ = 0, 1,...), (8) f Y (y r )f X Y (x κ y r ) αντίστοιχα. r=0

40 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES Αν η συνάρτηση κατανοµής F X (x), x R, είναι απολύτως συνεχής, η τυχαία µεταϐλητή είναι συνεχής µε συνάρτηση πυκνότητας (πιθανότητας) f X (x) = df X(x), x R. dx Στην περίπτωση αυτή οι τύποι της ολικής πιθανότητας και του Bayes παίρνουν τη µορφή και f X (x) = f Y X (y x) = f Y (y)f X Y (x y)dy, x R, (9) f Y (y)f X Y (x y) f Y (y)f X Y (x y)dy, y R, (x R), (10) αντίστοιχα.

41 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES Στο επόµενο παράδειγµα εξετάζουµε το πρόβληµα του οποίου η λύση από τον Thomas Bayes ( ) αποτελεί την αρχική διατύπωση του οµώνυµου τύπου. Thomas Bayes ( ), κληρικός, ϕιλόσοφος και µαθηµατικός, Elected member of the Royal Society (1742) An essay towards solving a problem in the doctrine of chances, The Philosophical Transactions, 53 (1763), , Reproduced in Biometrika, 45 (1958),

42 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES Η εργασία του αυτή δηµοσιεύθηκε δύο χρόνια µετά το ϑανατό του από τον ϕίλο του κληρικό, ϕιλόσοφο και αναλογιστή Richard Price µαζί µε υποσηµειώσεις και ένα παράρτηµα µε πρακτικές εφαρµογές. Στην επιστολή του στον John Canton, αρχισυντάκτη του περιοδικού, 23 εκεµβρίου 1763, σηµειώνει: He had, you know, the honour of being a member of the illustrious Society, and was much esteemed by many of it as very able mathematician... (Ακολουθεί σύντοµη περιγραφή του προβλήµατος)... Accordingly, I find among his papers a very ingenious solution of this problem in this way. But he afterwards considered, that the postulate on which he had argued might not perhaps be looked upon by all as reasonable;...

43 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES Ο Sir Ronald Fisher, ϑεωρούµενος πατέρας της σύγχρονης Στατιστικής, απέρριψε την άποψη του Bayes, γράφοντας The theory of inverse probability is founded upon an error, and must be rejected. Προς το τέλος της Ϲωής του, όµως, ο Fisher εξέφρασε µεγαλύτερη εκτίµηση στην πραγµατεία του Bayes, όµως συνέχισε να ϑεωρεί τη σχετική µε το ϑέµα άποψη του Laplace ως fallacious rubbish.

44 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES Το πρόβληµα του Bayes. Ας ϑεωρήσουµε ένα ορθογώνιο τραπέζι σφαιριστηρίου (µπιλιάρδου) ABΓ του οποίου η απόσταση των παραλλήλων πλευρών AB και Γ είναι θ και ας υποθέσουµε ότι µία σφαίρα αφήνεται τυχαία να κυλίσει σ αυτό. Από το σηµείο στο οποίο σταµατά η σφαίρα ϕέρεται ευθεία EZ παράλληλη στην AB χωρίζοντας το τραπέζι στα ορθογώνια ABZE και EZΓ. Εστω ότι µία δεύτερη σφαίρα αφήνεται τυχαία να κυλήσει στο τραπέζι αυτό ν ϕορές. Να υπολογισθούν (α) η πιθανότητα η δεύτερη σφαίρα να σταµατήσει y ϕορές µέσα στο ορθογώνιο ABZE, για y = 0, 1,..., ν, και (ϐ) η δεσµευµένη πιθανότητα η πρώτη σφαίρα να είχε σταµατήσει σε απόσταση µικρότερη του λ από την πλευρά AB, για λ θ, δεδοµένου ότι η δεύτερη σφαίρα σταµάτησε y ϕορές µέσα στο ορθογώνιο ABZE.

45 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES Το τραπέζι σφαιριστηρίου στο πρόβληµα του Bayes

46 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES (α) Η υπόθεση ότι η πρώτη σφαίρα αφήνεται να κυλίσει και σταµατίσει τυχαία σε οποιοδήποτε σηµείο του τραπεζιού συνεπάγεται ότι η απόσταση X του σηµείου αυτού από την πλευρά AB είναι µία τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0, θ] µε συνάρτηση πυκνότητας f X (x) = 1 θ, 0 x θ.

47 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES Εστω Y ο αριθµός των ϕορών που δεύτερη σφαίρα σταµατά µέσα στο ορθογώνιο ABZE. Οι ν ϕορές που η δεύτερη σφαίρα αφήνεται τυχαία να κυλίσει στο τραπέζι του σφαιριστηρίου, αποτελούν ν ανεξάρτητες δοκιµές Bernoulli. Χαρακτηρίζοντας ως επιτυχία το ενδεχόµενο να σταµατήσει µέσα στο ορθογώνιο ABZE, η δεσµευµένη πιθανότητα επιτυχίας, δεδοµενου ότι η πρώτη σφαίρα σταµάτησε σε απόσταση x από την πλευρά AB, είναι p = P(X x) = F X (x) = x θ, 0 x θ.

48 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES Εποµένως, η δεσµευµένη κατανοµή της Y δεδοµένης της X = x είναι η διωνυµική µε συνάρτηση πιθανότητας ( )( ) y ( ν x f Y X (y x) = 1 x ν y, y = 0, 1,..., ν. y θ θ) και η από κοινού κατανοµή των X και Y, σύµφωνα µε την f X,Y (x, y) = f X (x)f Y X (y x), έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( )( ) y ( ν x f X,Y (x, y) = 1 x ) ν y 1, 0 x θ, y = 0, 1,..., ν. y θ θ θ

49 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES Ολοκληρώνοντας αυτή ως προς x, συνάγουµε τη Ϲητούµενη περιθώρια συνάρτηση πιθανότητας της Y : θ ( )( ) y ( ν x f Y (y) = 1 x ) ν y dx, y = 0, 1,..., ν. y θ θ θ 0 Θέτοντας z = x/θ, οπότε x = θz, dx = θdz, και χρησιµοποιώντας το ολοκλήϱωµα της συνάρτησης ϐήτα, B(α, ϐ) = 1 0 z α 1 (1 z) ϐ 1 dz, και επειδή B(y + 1, ν y + 1) = y!(ν y)!/(ν + 1)!, συνάγουµε την f Y (y) = 1, y = 0, 1,..., ν. ν + 1

50 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES (ϐ) Η δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητας της X δεδοµένης της Y = y, σύµφωνα µε την f X Y (x y) = f X,Y (x, y) f Y (y) = f X (x)f Y X (y x), f X (x)f Y X (y x)dx δίνεται από την f X Y (x y) = (ν + 1)! y!(ν y)! ( ) ν ( x 1 x θ θ ) ν y 1 θ, 0 x θ.

51 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES Ολοκληρώνοντας αυτή στο διάστηµα [0, λ], συνάγουµε τη Ϲητούµενη δεσµευµένη πιθανότητα, P(X λ Y = κ) = (ν + 1)! κ!(ν κ)! λ 0 ( ) κ ( x 1 x ) ν κ 1 θ θ θ dx. Εναλλακτικά, η πιθανότητα αυτή δύναται να εκφρασθεί στη µορφή πεπερασµένου αθροίσµατος αν ϑέσουµε στο ολοκλήρωµα z = x/θ και ακολούθως αναπτύξουµε τον όρο (1 z) ν κ σε δυνάµεις του z. Τότε P(X λ Y = κ) = (ν + 1)! κ!(ν κ)! ν ( ) ν κ (λ/θ) ( 1) r κ r+1. r κ r + 1 Σηµειώνουµε ότι ο Bayes αντί των εκφράσεων συναρτήσει ολοκληρωµάτων, χρησιµοποίησε ισοδύναµες εκφράσεις συναρτήσει των εµβαδών των περιοχών που ορίζονται από τις αντίστοιχες καµπύλες. r=κ

52 ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Bayes, T. (1763). An essay towards solving a problem in the doctrine of chances, The Philosophical Transactions, 53, , reproduced in Biometrika, 45 (1958), Laplace, P. S. (1812). Théorie Analytique des Probabilités, Courvier, Paris. Χαραλαµπίδης, Χ. Α. (2009). Θεωρία Πιθανοτήτων και Εφαρµογές, Εκδόσεις Συµµετρία, Αθήνα.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 16 εκεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ενδιαφέρον τόσο από ϑεωρητική άποψη, όσο και από άποψη εφαρµογών, παρουσιάζει και η από κοινού µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 15 Οκτωβρίου 2009 ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ De Moivre Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας αφορά πεπερασµένους δειγµατικούς χώρους και

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 εκεµβρίου 2009 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός (α) Εστω (X, Y) διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας

Διαβάστε περισσότερα

10/10/2016. Στατιστική Ι. 2 η Διάλεξη

10/10/2016. Στατιστική Ι. 2 η Διάλεξη Στατιστική Ι 2 η Διάλεξη 1 2 Δεσμευμένη πιθανότητα του Α δοθέντος του Β (1) Αν Α και Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης και P(Β)>0, τότε η δεσμευμένη πιθανότητα του Α δοθέντος

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 25 Νοεµβρίου 2009 Ορισµός Εστω X µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας f(x) = e λ λx, x = 0, 1,..., (1) x! όπου 0 < λ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ήδειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοω ή s του δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές

Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Πιθανότητες και Στατιστική ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων εσμευμένη πιθανότητα Ολική πιθανότητα Κανόνας του Bayes Υποκειμενική πιθανότητα Πιθανότητες και βακτηριουρία

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Εστω (Ω,A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο (ή µια πιθανότητα) P

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Σημειώσεις μαθήματος Thomas Bayes (1701 1761) Στυλιανός Χατζηδάκης ECE 662 Άνοιξη 2014 1. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές βασίζονται στο μάθημα ECE662 του Πανεπιστημίου Purdue και

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναγνώριση Προτύπων Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Χριστόδουλος Χαμζάς Τα περιεχόμενο της παρουσίασης βασίζεται στο βιβλίο: Introduction to Pattern Recognition A Matlab Approach, S. Theodoridis,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognton Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesan Decson Theory Π. Τσακαλίδης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayes Decson theory Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

p(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49

p(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 206-207 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Από κοινού συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό

10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό ο Φροντιστηριο ΗΥ7 - Επαναληπτικό Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 7 Ιανουαρίου 4 Ασκηση. Το σήµα s µεταδίδεται από ένα δορυφόρο αλλά λόγω της επίδρασης του ϑορύβου το λαµβανόµενο σήµα έχει τη µορφή X s + W. Οταν

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ 3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Η «ύλη» του προπτυχιακού µαθήµατος

Η «ύλη» του προπτυχιακού µαθήµατος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Η «ύλη» του προπτυχιακού µαθήµατος Βασικές έννοιες Πείραµα τύχης ειγµατοχώρος Ενδεχόµενα Πιθανότητα εσµευµένη πιθανότητα Ανεξαρτησία Βασικά ϑεωρήµατα Θεώρηµα ολικής πιθανότητας Θεώρηµα Bayes

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 0 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Ανάγκη θεωρίας επιλογής υπό αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Έγιναν καλά εν έγιναν καλά Οµάδα Α (µε φάρµακο) Οµάδα Β (χωρίς φάρµακο) 35 15

Έγιναν καλά εν έγιναν καλά Οµάδα Α (µε φάρµακο) Οµάδα Β (χωρίς φάρµακο) 35 15 Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 009 στη Στατιστική 9/06/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1. Ο χρόνος ζωής ενός εξαρτήµατος εργαστηριακού οργάνου σε εκατοντάδες ώρες περιγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 12/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/13/2016 1 1 Θεωρία πιθανοτήτων 5/13/2016 2 2 Τι είδαµε την προηγούµενη φορά Μίατυχαία µεταβλητή Vείναι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή ανακαλύφθηκε γύρω στο 720 από τον Abraham De Moivre στην προσπάθειά του να διαμορφώσει Μαθηματικά που να εξηγούν την τυχαιότητα. Γύρω στο 870, ο Βέλγος

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια της τυχαίας ιαδικασίας

Η Έννοια της τυχαίας ιαδικασίας Η Έννοια της τυχαίας ιαδικασίας Η έννοια της τυχαίας διαδικασίας, βασίζεται στην επέκταση της έννοιας της τυχαίας µεταβλητής, ώστε να συµπεριλάβει το χρόνο. Σεκάθεαποτέλεσµα s k ενόςπειράµατοςτύχης αντιστοιχούµε,

Διαβάστε περισσότερα

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την Η ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ενδιαφερόμαστε για την απλούστερη μορφή πειραματικής διαδικασίας, όπου η έκβαση των αποτελεσμάτων χαρακτηρίζεται μόνο ως "επιτυχής" ή "ανεπιτυχής" (δοκιμές Beroulli). Ορίζουμε λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στις ενότητες που ακολουθούν εξετάζουμε συνεχείς κατανομές με ευρεία χρήση στις εφαρμογές. Σε αυτές περιλαμβάνονται η ομοιόμορφη, η εκθετική, η Γάμμα και η

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στη Θεωρία Πιθανοτήτων

Σηµειώσεις στη Θεωρία Πιθανοτήτων Σηµειώσεις στη Θεωρία Πιθανοτήτων Μέρος Α. Τι είναι οι Πιθανότητες. Είναι συνηθισµένο να ορίζουµε λοιπόν µαθηµατικές διαδικασίες, τις οποίες ονοµάζουµε µοντέλα ή πρότυπα, ώστε να περιγράψουν φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες και Στοχαστικές ιαδικασίες Θόρυβος µετρήσεων είκτης Χρηµατιστηρίου Σήµα Πληροφορίας (φωνή, data) Ατµοσφαιρικός Θόρυβος Πως δηµιουργείται

Πιθανότητες και Στοχαστικές ιαδικασίες Θόρυβος µετρήσεων είκτης Χρηµατιστηρίου Σήµα Πληροφορίας (φωνή, data) Ατµοσφαιρικός Θόρυβος Πως δηµιουργείται Πιθανότητες και Στοχαστικές ιαδικασίες Θόρυβος µετρήσεων είκτης Χρηµατιστηρίου Σήµα Πληροφορίας (φωνή, data) Ατµοσφαιρικός Θόρυβος Πως δηµιουργείται το τυχαίο I do not believe that God rolls dice Μακροσκοπική

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Θεώρηµα Cramer-Rao Θεώρηµα Cramer-Rao Εστω X = (X 1, X,...,X n ) ένα δείγµα µε από κοινού πυκνότητα πιθανότητας f X

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016 Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες

Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 26, Εαρινό εξάμηνο Περιεχόμενα I Πιθανότητες 2 2. Πείραμα τύχης.......................................... 2.. Πράξεις..........................................

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι Ροµ οτικοί Πράκτορες Αβεβαιότητα Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Πράκτορες χαρακτηριστικά στοιχεία είδη πρακτόρων αυτόνοµοι

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα

Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα Ενότητα 0 Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα Τα δεδομένα με τα οποία ασχολείται η Στατιστική προέρχονται από παρατηρήσεις και πειράματα που εμπίπτουν σε οποιονδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 12: Ασυνεχείς Κατανομές Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

F(x h) F(x) (f(x h) g(x h)) (f(x) g(x)) F(x h) F(x) f(x h) f(x) g(x h) g(x) h h h. lim lim lim f (x) g (x). h h h

F(x h) F(x) (f(x h) g(x h)) (f(x) g(x)) F(x h) F(x) f(x h) f(x) g(x h) g(x) h h h. lim lim lim f (x) g (x). h h h ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 MAΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A1. Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Στην Ξένια και στην Μαίρη

Στην Ξένια και στην Μαίρη Στην Ξένια και στην Μαίρη Περιεχόμενα 3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Πολλές φορές θέλουμε να μελετήσουμε φαινόμενα ή συστήματα τα οποία εξελλίσονται, κυρίως αναφορικά με τον χρόνο, και των οποίων η μελλοντική συμπεριφορά

Διαβάστε περισσότερα

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ).

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη 31 Οκτωβρίου 2014 Πιθανότητες και Στατιστική Διάλεξη 7 Ασκήσεις ΙΙ Δεσμευμένη πιθανότητα, Συνδυαστικά επιχειρήματα Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1 ο. Πιθανότητα-Έννοιες και Ορισµοί. Στο µάθηµα αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες και συµβολισµούς της θεωρίας πιθανοτήτων.

Μάθηµα 1 ο. Πιθανότητα-Έννοιες και Ορισµοί. Στο µάθηµα αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες και συµβολισµούς της θεωρίας πιθανοτήτων. Μάθηµα 1 ο Πιθανότητα-Έννοιες και Ορισµοί Στο µάθηµα αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες και συµβολισµούς της θεωρίας πιθανοτήτων. http://compus.uom.gr/inf267/index.php 1 Εισαγωγικά Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κατανομές. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 3 Κατανομές. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο Κατανομές Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς - - Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Έστω οι διαφορετικές διατάξεις ενός αγοριού (B) και ενός κοριτσιού (G) σε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα