Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου"

Transcript

1 Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας

2 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστιή είαι ο λάδος τω εφαρμοσμέω επιστημώ, η οποία βασίζεται σ έα σύολο αρχώ αι μεθοδολογιώ που έχου σοπό: Το σχεδιασμό της διαδιασίας συλλογής δεδομέω. Τη συοπτιή αι αποτελεσματιή παρουσίασή τους. Τη αάλυση αι τη εξαγωγή χρήσιμω συμπερασμάτω. Στατιστιός πληθυσμός ή απλά πληθυσμός οομάζεται άθε σύολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς έα ή περισσότερα χαρατηριστιά τους. Τα στοιχεία του πληθυσμού οομάζοται μοάδες ή άτομα. Μεταβλητές οομάζοται τα χαρατηριστιά εεία, ως προς τα οποία εξετάζουμε έα πληθυσμό. Οι δυατές τιμές που μπορεί α πάρει μια μεταβλητή λέγοται τιμές της μεταβλητής. Οι μεταβλητές χωρίζοται σε δύο ατηγορίες, στις ποιοτιές αι στις ποσοτιές. Ποιοτιές μεταβλητές είαι εείες που δε επιδέχοται μέτρηση αι οι τιμές τους δε είαι αριθμοί. Ποσοτιές μεταβλητές είαι εείες που επιδέχοται μέτρηση αι οι τιμές τους είαι αριθμοί. Οι ποσοτιές μεταβλητές διαρίοται σε συεχείς αι διαριτές (ασυεχείς). Συεχείς είαι οι ποσοτιές μεταβλητές που μπορού α πάρου οποιαδήποτε τιμή εός διαστήματος ( α, β). Διαριτές είαι οι ποσοτιές μεταβλητές που παίρου μόο μεμοωμέες τιμές. ΣΥΛΛΟΓΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστιά δεδομέα ή παρατηρήσεις είαι μια σειρά δεδομέω, που προύπτου από τη διαδοχιή εξέταση τω ατόμω εός πληθυσμού ως προς έα χαρατηριστιό τους. Οι υριότερες μέθοδοι συλλογής στατιστιώ δεδομέω είαι η απογραφή αι η δειγματοληψία. Απογραφή είαι μια μέθοδος συλλογής στατιστιώ δεδομέω, που αολουθούμε για α πάρουμε όλες τις απαραίτητες πληροφορίες, για έα πληθυσμό εξετάζοτας όλα τα άτομα του πληθυσμού ως προς τα χαρατηριστιά που μας εδιαφέρου. Η απογραφή όμως είαι δύσολη, οιοομιά αι χροιά ασύμφορη αι πολλές φορές αδύατη. Γι αυτό το λόγο επιλέγουμε μια μιρή ομάδα, δηλαδή έα υποσύολο του πληθυσμού το οποίο οομάζεται δείγμα. Συλλέγουμε τις παρατηρήσεις από το δείγμα αι στη συέχεια γειεύουμε τα συμπεράσματα για ολόληρο το πληθυσμό. Τα συμπεράσματα όμως, που θα προύψου από τη μελέτη του δείγματος θα είαι αξιόπιστα, δηλαδή θα ισχύου με ιαοποιητιή προσέγγιση για ολόληρο το πληθυσμό, μόο ότα η επιλογή του δείγματος έχει γίει με τέτοιο τρόπο, ώστε το δείγμα α είαι ατιπροσωπευτιό. Έα δείγμα θεωρείται ατιπροσωπευτιό, ότα άθε άτομο του πληθυσμού έχει τη ίδια δυατότητα α επιλεγεί. Δειγματοληψία είαι αυτή η μέθοδος συλλογής στατιστιώ δεδομέω, ατά τη οποία συγετρώοται πληροφορίες μόο για έα υποσύολο του πληθυσμού. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας

3 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστιοί πίαες Μετά τη συλλογή τω στατιστιώ δεδομέω είαι ααγαία η ατασευή συοπτιώ πιάω ή γραφιώ παραστάσεω, ώστε α είαι εύολη η αταόησή τους αι η εξαγωγή ορθώ συμπερασμάτω. Η παρουσίαση τω στατιστιώ δεδομέω σε πίαες γίεται με τη ατάλληλη τοποθέτηση τω πληροφοριώ σε γραμμές αι στήλες, ώστε α διευολύεται η σύγριση αι α έχουμε αλύτερη εημέρωση. Οι πίαες διαρίοται σε Γειούς πίαες, οι οποίοι περιέχου όλες τις πληροφορίες μιας στατιστιής έρευας αι αποτελού πηγές στατιστιώ πληροφοριώ για παραπέρα αάλυση αι εξαγωγή συμπερασμάτω. Ειδιούς πίαες, οι οποίοι είαι συοπτιοί αι σαφείς. Τα στοιχεία τους έχου ληφθεί από τους γειούς πίαες. Κάθε πίαας πρέπει α περιλαμβάει Το τίτλο, που γράφεται στο επάω μέρος του πίαα αι δηλώει συοπτιά αι με σαφήεια το περιεχόμεό του. Τις επιεφαλίδες τω γραμμώ αι τω στηλώ, που δείχου συοπτιά τη φύση αι τις μοάδες μέτρησης τω δεδομέω. Το ύριο σώμα, που περιέχει διαχωρισμέα σε γραμμές αι στήλες τα στατιστιά δεδομέα. Τη πηγή, που δείχει τη προέλευση τω στατιστιώ δεδομέω, ώστε ο ααγώστης α αατρέχει σ αυτή ότα το επιθυμεί, για επαλήθευση στοιχείω ή για άτληση περισσοτέρω πληροφοριώ. Συμβολισμοί : Μεταβλητή : Μέγεθος δείγματος : Χ Ν Παρατηρήσεις : t, t, t,..., t Τιμές μεταβλητής :,,,..., Συχότητες τιμώ :,,,..., ( ) Σχετιές συχότητες τιμώ : f, f, f,..., f Αθροιστιές συχότητες τιμώ : N, N, N,..., N Αθροιστιές σχετιές συχότητες τιμώ : ( Μόο για ποσοτιές μεταβλητές ) F, F, F,..., F Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας

4 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Ορισμοί : α) Συχότητα ( ) Α,,,, οι τιμές μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους, τότε συχότητα της τιμής,,,,, λέγεται ο φυσιός αριθμός που δείχει πόσες φορές η μεταβλητή Χ παίρει τη τιμή. β) Σχετιή συχότητα ( f ) Α,,,, οι τιμές μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους αι,,,, οι ατίστοιχες συχότητές τους, τότε σχετιή συχότητα της τιμής,,,,, λέγεται ο αριθμός f,,,,, γ) Αθροιστιή συχότητα ( Ν ) Α οι τιμές,,,, μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, εός δείγματος μεγέθους, είαι σε αύξουσα διάταξη αι,,,, οι ατίστοιχες συχότητές τους, τότε αθροιστιή συχότητα της τιμής,,,,, λέγεται ο φυσιός αριθμός Ν που δείχει πόσες παρατηρήσεις είαι μιρότερες ή ίσες της τιμής. δ) Αθροιστιή σχετιή συχότητα ( F ) Α οι τιμές,,,, μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, εός δείγματος μεγέθους, είαι σε αύξουσα διάταξη αι f, f, f,, f οι ατίστοιχες συχότητές τους, τότε αθροιστιή σχετιή συχότητα της τιμής,,,,, λέγεται ο αριθμός F f + f + f + + f που δείχει το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι μιρότερες ή ίσες της τιμής. ε) Καταομή συχοτήτω (, ) Α,,,, οι τιμές μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους αι,,,, οι ατίστοιχες συχότητές τους, τότε η αταομή συχοτήτω αποτελείται από το σύολο τω ζευγώ της μορφής (, ),,,,,. στ) Καταομή σχετιώ συχοτήτω (, f ) Α,,,, οι τιμές μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους αι f, f, f,, f οι ατίστοιχες σχετιές συχότητές τους, τότε η αταομή σχετιώ συχοτήτω αποτελείται από το σύολο τω ζευγώ της μορφής (, f ),,,,, Πρόταση Α,,,, είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους αι,,,, οι ατίστοιχες συχότητές τους, όπου, είαι μη μηδειοί φυσιοί αριθμοί με, τότε ισχύου : α) β) 0 f για,,,,. γ) f + f + f + + f. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 4

5 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Απόδειξη α) Είαι φαερό ότι το άθροισμα όλω τω συχοτήτω είαι ίσο με το μέγεθος του δείγματος, δηλαδή β) Είαι 0 0 f για,,,, γ) f + f + f + + f Το σύμβολο Σ Το άθροισμα συμβολίζεται. Άρα ισχύου : α) β) f, λ λ γ) Ν λ δ) f F λ όπου λ,,,,. Iδιότητες Σ α) ( α + β ) α + β β) ( ) Π.χ. λα λ γ) λ λ α + ( 5f + 4) 5f f Ομαδοποίηση παρατηρήσεω Η ομαδοποίηση τω παρατηρήσεω γίεται ότα το πλήθος τω τιμώ μιας ποσοτιής μεταβλητής είαι μεγάλο. Στη περίπτωση αυτή οι παρατηρήσεις αταέμοται σε σύολα ( ομάδες ) που λέγοται λάσεις αι οι οποίες είαι δυατό α έχου ίσο ή άισο πλάτος. Για τη ομαδοποίηση παρατηρήσεω σε λάσεις ίσου πλάτους εργαζόμαστε ως εξής : Προσδιορίζουμε το αριθμό τω λάσεω. Ο αριθμός αυτός εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος αι δίεται από το πίαα της σελίδας 7 του σχολιού βιβλίου ή ορίζεται από το ερευητή σύμφωα με τη εμπειρία του. Προσδιορίζουμε το εύρος R τω παρατηρήσεω. Είαι R t ma - t mn Προσδιορίζουμε το πλάτος c άθε λάσης. Είαι c R t t ma Καθορίζουμε τις λάσεις [ α, ), [ α, ), [ α, ),, [, α ] 0 α α α Κάουμε διαλογή τω παρατηρήσεω. Κατασευάζουμε πίαα. mn α.. Κετριή τιμή της λάσης [, α ) Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας α είαι ο αριθμός - α + α,,,,,. 5

6 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Παρατήρηση Κατά τη ομαδοποίηση τω παρατηρήσεω πρέπει : Κάθε παρατήρηση α αήει σε μια λάση. Η απόσταση δύο διαδοχιώ ετριώ τιμώ α είαι ίση με το πλάτος c άθε λάσης Γραφιές παραστάσεις Τα στατιστιά δεδομέα παρουσιάζοται αι με τη μορφή γραφιώ παραστάσεω ή διαγραμμάτω. Με τα διαγράμματα διευολύεται η σύγριση μεταξύ ομοειδώ στοιχείω για το ίδιο χαρατηριστιό ή αι για διαφορετιά χαρατηριστιά. Όπως αι οι στατιστιοί πίαες έτσι αι τα στατιστιά διαγράμματα πρέπει α συοδεύοται από το τίτλο, τη λίμαα με τις τιμές τω μεγεθώ που απειοίζοται, το υπόμημα που επεξηγεί τις τιμές της μεταβλητής αι τη πηγή τω δεδομέω. Α. Ποιοτιή μεταβλητή Ραβδόγραμμα συχοτήτω (, ) Ραβδόγραμμα σχετιώ συχοτήτω (, f ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τω τιμώ μιας ποιοτιής μεταβλητής. Αποτελείται από ορθογώιες στήλες, που οι βάσεις τους βρίσοται πάω στο οριζότιο άξοα ή αι στο αταόρυφο άξοα. Σε άθε τιμή της μεταβλητής X ατιστοιχεί μία ορθογώια στήλη της οποίας το ύψος είαι ίσο με τη ατίστοιχη συχότητα ή τη σχετιή συχότητα, έτσι έχουμε το ραβδόγραμμα συχοτήτω ή το ραβδόγραμμα σχετιώ συχοτήτω. Η απόσταση μεταξύ τω στηλώ αι το μήος τω βάσεώ τους αθορίζοται αυθαίρετα. Κυλιό διάγραμμα συχοτήτω ή σχετιώ συχοτήτω Το υλιό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τόσο τω ποιοτιώ όσο αι τω ποσοτιώ μεταβλητώ, ότα οι τιμές της μεταβλητής είαι σχετιά λίγες. Το υλιό διάγραμμα είαι έας υλιός δίσος χωρισμέος σε υλιούς τομείς τω οποίω τα τόξα ή ισοδύαμα τα εμβαδά είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες ή τις σχετιές συχότητες f ή f % τω τιμώ της μεταβλητής. Α συμβολίσουμε με α το ατίστοιχο τόξο εός υλιού τομέα στο υλιό διάγραμμα συχοτήτω ή σχετιώ συχοτήτω, τότε 0 0 α f,,,,,. Σημειόγραμμα συχοτήτω ή σχετιώ συχοτήτω Το σημειόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τόσο τω ποιοτιώ όσο αι τω ποσοτιώ μεταβλητώ, ότα τα στατιστιά δεδομέα είαι λίγα. Το σημειόγραμμα αποτελείται από έα οριζότιο άξοα πάω στο οποίο τοποθετούμε τις τιμές της μεταβλητής. Σε άθε μία τιμή σημειώουμε αταόρυφα προς τα πάω τόσα σημεία (τελείες) όσο αι η συχότητα της τιμής ή σχετιή συχότητα f ή f %. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 6

7 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Β. Ποσοτιή μεταβλητή ( Μη ομαδοποιημέες παρατηρήσεις ) Διάγραμμα συχοτήτω (, ) Διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω (, f ) Το διάγραμμα συχοτήτω χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τω τιμώ μιας ποσοτιής μεταβλητής (μη ομαδοποιημέης). Στο διάγραμμα συχοτήτω, ατί α χρησιμοποιούμε συμπαγή ορθογώια, υψώουμε σε άθε τιμή της μεταβλητής, (υποθέτουμε ότι οι τιμές είαι ταξιομημέες ατά αύξουσα σειρά), έα άθετο ευθύγραμμο τμήμα που έχει μήος ίσο προς τη ατίστοιχη συχότητα. Α ατί τω συχοτήτω χρησιμοποιήσουμε τις σχετιές συχότητες f ή f % παίρουμε το διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω. Πολύγωο συχοτήτω (, ) Α σ έα διάγραμμα συχοτήτω εώσουμε τα σημεία (, ) δημιουργείται μια τεθλασμέη γραμμή που οομάζεται πολύγωο συχοτήτω. Διάγραμμα αθροιστιώ συχοτήτω (, Ν ) Πολύγωο σχετιώ συχοτήτω (, f ) Α σ έα διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω εώσουμε τα σημεία (, f ) δημιουργείται μια τεθλασμέη γραμμή που οομάζεται πολύγωο σχετιώ συχοτήτω. Διάγραμμα αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω (, F ) Πολύγωο αθροιστιώ συχοτήτω (, Ν ) Πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω (, F ) Κυλιό διάγραμμα συχοτήτω ή σχετιώ συχοτήτω Σημειόγραμμα συχοτήτω ή σχετιώ συχοτήτω α f,,,,,. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 7

8 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Γ. Ποσοτιή μεταβλητή ( Ομαδοποιημέες παρατηρήσεις σε λάσεις ίσου πλάτους ) Ιστόγραμμα συχοτήτω (, ) Ιστόγραμμα σχετιώ συχοτήτω (, f ) Το ιστόγραμμα συχοτήτω χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση εός πίαα συχοτήτω με ομαδοποιημέα δεδομέα αι είαι έα σύστημα συτεταγμέω, όπου στο οριζότιο άξοα σημειώουμε με ατάλληλη λίμαα τα όρια τω λάσεω. Στη συέχεια ατασευάζουμε διαδοχιά ορθογώια (ιστούς), αθέα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της λάσης αι ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδό του ορθογωίου α είαι ίσο με τη συχότητα της ατίστοιχης λάσης. Α θεωρήσουμε το πλάτος c ως μοάδα μέτρησης του χαρατηριστιού στο οριζότιο άξοα, τότε το ύψος άθε ορθογωίου θα είαι ίσο με τη συχότητα της ατίστοιχης λάσης, αφού το εμβαδό άθε ορθογωίου πρέπει α είαι ίσο με τη ατίστοιχη συχότητα. Συεπώς σε άθε ιστόγραμμα συχοτήτω στο αταόρυφο άξοα σημειώουμε τις συχότητες. Α στο αταόρυφο άξοα σημειώσουμε τις σχετιές συχότητες, τότε με αάλογο τρόπο ατασευάζουμε το ιστόγραμμα σχετιώ συχοτήτω. Α συμβολίσουμε με Ε το άθροισμα τω εμβαδώ τω ορθογωίω σ έα : Ιστόγραμμα συχοτήτω, τότε Ε Ε Ιστόγραμμα σχετιώ συχοτήτω, τότε : Ε f + f + + f Ε ή Ε f % + f % + + f % Ε 00 Πολύγωο συχοτήτω (, ) Πολύγωο σχετιώ συχοτήτω (, f ) Α σ έα ιστόγραμμα συχοτήτω θεωρήσουμε δύο αόμη υποθετιές λάσεις, μία στη αρχή αι μία στο τέλος με συχότητα μηδέ αι στη συέχεια εώσουμε τα μέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω, δηλαδή τα σημεία (, ), όπου η ετριή τιμή της λάσης αι η ατίστοιχη συχότητά της, τότε σχηματίζεται το πολύγωο συχοτήτω. Το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω αι το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το άθροισμα τω εμβαδώ τω ορθογωίω, δηλαδή Ε Α σ έα ιστόγραμμα σχετιώ συχοτήτω θεωρήσουμε δύο αόμη υποθετιές λάσεις, μία στη αρχή αι μία στο τέλος με σχετιή συχότητα μηδέ αι στη συέχεια εώσουμε τα μέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω, δηλαδή τα σημεία (, f ), όπου η ετριή τιμή της λάσης αι f η ατίστοιχη σχετιή συχότητά της, τότε σχηματίζεται το πολύγωο σχετιώ συχοτήτω. Το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο σχετιώ συχοτήτω αι το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το άθροισμα τω εμβαδώ τω ορθογωίω, δηλαδή Ε ή Ε 00 Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 8

9 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Ιστόγραμμα αθροιστιώ συχοτήτω (, Ν ) Ιστόγραμμα αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω (, F ) Με όμοιο τρόπο ατασευάζοται : Το ιστόγραμμα αθροιστιώ συχοτήτω Το ιστογράμματα αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω. Το εμβαδό του τελευταίου ιστού στο Το εμβαδό του τελευταίου ιστού στο ιστόγραμμα αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω ιστόγραμμα αθροιστιώ συχοτήτω είαι Ε είαι Ε ή Ε 00 Πολύγωο αθροιστιώ συχοτήτω (, Ν ) Πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω (, F ) Α σ έα ιστόγραμμα αθροιστιώ συχοτήτω εώσουμε τα δεξιά άρα τω άω βάσεω με ευθύγραμμα τμήματα, τότε προύπτει το πολύγωο αθροιστιώ συχοτήτω. Με όμοιο τρόπο ατασευάζεται το πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω. Με το πολύγωο αθροιστιώ συχοτήτω βρίσουμε πλήθος που δε προύπτει άμεσα από πίαα. Κυλιό διάγραμμα συχοτήτω ή σχετιώ συχοτήτω α f,,,,,. Με το πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω βρίσουμε ποσοστό που δε προύπτει άμεσα από πίαα. Δ. Χροόγραμμα Το χροόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή απειόιση της διαχροιής εξέλιξης εός οιοομιού, δημογραφιού ή άλλου μεγέθους, όπως η αξία μιας μετοχής, τα ποσοστά αεργίας, το ύψος του πληθωρισμού, το πλήθος τω γεήσεω.τ.λ. Αποτελείται από έα ορθογώιο σύστημα αξόω, όπου ο οριζότιος άξοας θεωρείται ως άξοας μέτρησης του χρόου αι ο αταόρυφος άξοας θεωρείται ως άξοας μέτρησης της συχότητας ή της σχετιής συχότητας f ή f % τω τιμώ της εξεταζόμεης μεταβλητής. Ποσοστά αεργίας στη Ελλάδα ατά τα έτη Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 9

10 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Ε. Καμπύλη συχοτήτω Καμπύλη συχοτήτω είαι η ομαλή αμπύλη προς τη οποία τείει η πολυγωιή γραμμή συχοτήτω, ότα το πλήθος τω λάσεω είαι αρετά μεγάλο (τείει στο άπειρο) αι το πλάτος άθε λάσης είαι μιρό (τείει στο μηδέ). Η μορφή της αμπύλης συχοτήτω εξαρτάται από το πώς είαι αταεμημέες οι παρατηρήσεις σ όλη τη έταση του εύρους τους. ΣΤ. Μορφές αμπύλης συχοτήτω Καοιή αταομή Ομοιόμορφη αταομή Α οι παρατηρήσεις αταέμοται συμμετριά ως προς μια αταόρυφη ευθεία, τότε λέμε ότι αολουθού τη αοιή αταομή. Η αμπύλη που ατιστοιχεί στη αοιή αταομή έχει ωδωοειδή μορφή. Η συχότητα που ατιστοιχεί στο άξοα συμμετρίας της αμπύλης είαι η μεγαλύτερη από όλες τις άλλες συχότητες αι σημαίει ότι η ατίστοιχη τιμή της μεταβλητής εμφαίζεται πιο συχά από άθε άλλη τιμή. Α οι παρατηρήσεις αταέμοται ομοιόμορφα σ έα διάστημα [ α, β], τότε λέμε ότι αολουθού τη ομοιόμορφη αταομή. Στη ομοιόμορφη αταομή άθε παρατήρηση ή λάση έχει τη ίδια συχότητα Α οι παρατηρήσεις δε είαι συμμετριά αταεμημέες, τότε η αταομή λέγεται ασύμμετρη με : Θετιή ασυμμετρία Αρητιή ασυμμετρία Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 0

11 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ α) Μέση Τιμή μεταβλητής Χ ( ) Ορισμός Α t, t, t,, t είαι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους,,,,, είαι οι τιμές της μεταβλητής Χ με ατίστοιχες συχότητες,,,, αι σχετιές συχότητες f, f, f,, f, τότε μέση τιμή της μεταβλητής της Χ είαι ο αριθμός, όπου Εύρεση Μέσης Τιμής ( ) t f η Περίπτωση: Α δίοται οι παρατηρήσεις t, t, t,, t, τότε χρησιμοποιούμε το τύπο t t + t + t t η Περίπτωση: Α δίοται οι τιμές,,,, αι οι ατίστοιχες συχότητες τους,,,,, τότε : α) Κάουμε πίαα συχοτήτω ΣΥΝΟΛΟ Σ β) Χρησιμοποιούμε το τύπο η Περίπτωση: Α δίοται οι τιμές,,,, αι οι ατίστοιχες σχετιές συχότητες τους f, f, f,, f, τότε : α) Κάουμε πίαα σχετιώ συχοτήτω f f ΣΥΝΟΛΟ Σ f β) Χρησιμοποιούμε το τύπο f Σημείωση Ότα οι παρατηρήσεις είαι ομαδοποιημέες εργαζόμαστε όπως στη η ή η περίπτωση αι ως θεωρούμε τις ετριές τιμές τω λάσεω. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας

12 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου β) Σταθμιός μέσος μεταβλητής Χ ( ) Ορισμός Α,,,, είαι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους αι w, w, w,,w οι ατίστοιχοι συτελεστές στάθμισης, τότε σταθμιός μέσος της μεταβλητής Χ οομάζεται ο αριθμός, όπου w + w + w w w + w + w w w w γ) Διάμεσος παρατηρήσεω ( δ ) Ορισμός Α t, t, t,, t είαι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, οι οποίες είαι διατεταγμέες ατά αύξουσα σειρά, τότε η διάμεσος τω παρατηρήσεω είαι δ t + t t + + α α + Δηλαδή, η διάμεσος είαι ίση με το ημιάθροισμα τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω, α άρτιος. τη μεσαία παρατήρηση, α περιττός. Η διάμεσος σε ομαδοποιημέα δεδομέα Για α προσδιορίσουμε τη διάμεσο παρατηρήσεω, ότα αυτές είαι ομαδοποιημέες, εργαζόμαστε ως εξής : Κατασευάζουμε πίαα αταομής σχετιώ συχοτήτω. Σχεδιάζουμε ιστόγραμμα αι πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω ( F % ). Προσδιορίζουμε τη τιμή που ατιστοιχεί σε ποσοστό 50 %. Σημείωση Η διάμεσος είαι η τιμή που χωρίζει έα σύολο παρατηρήσεω σε δύο ίσα μέρη, ότα οι παρατηρήσεις είαι διατεταγμέες ατά αύξουσα σειρά, δηλαδή η διάμεσος είαι η τιμή για τη οποία το πολύ το 50 % τω παρατηρήσεω είαι μιρότερες από αυτή αι το πολύ το 50 % τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες από τη τιμή αυτή. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας

13 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Σύγριση μέσης τιμής αι διαμέσου Πλεοετήματα Μειοετήματα Μέση Τιμή Για το υπολογισμό της χρησιμο- Επηρεάζεται πολύ από αραίες τιμές. ποιούται όλες οι τιμές. Είαι μοαδιή για άθε σύολο Συήθως δε ατιστοιχεί σε τιμή της δεδομέω. μεταβλητής. Είαι εύολα αταοητή. Δε υπολογίζεται για ποιοτιά δεδομέα Ο υπολογισμός της είαι σχετιά εύολος. Έχει μεγάλη εφαρμογή για περαιτέρω στατιστιή αάλυση. Διάμεσος Είαι εύολα αταοητή. Δε χρησιμοποιούται όλες οι τιμές για Δε επηρεάζεται από αραίες τιμές. το υπολογισμό της. Είαι δύσολη η εφαρμογή της για περαιτέρω στατιστιή αάλυση. Ο υπολογισμός της είαι απλός. Δε υπολογίζεται για ποιοτιά δεδομέα Είαι μοαδιή για άθε σύολο δεδομέω. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας

14 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ. Λυείου Στατιστιή Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 4 ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Α) Εύρος παρατηρήσεω ( ) R Ορισμός Α t, t, t,, t είαι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, τότε εύρος τω παρατηρήσεω είαι ο αριθμός R, που είαι ίσος με τη διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση. Δηλαδή R t ma t mn Β) Διαύμαση ( ) S Ορισμός Α t, t, t,, t είαι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους,,,,, είαι οι τιμές της μεταβλητής Χ με ατίστοιχες συχότητες,,,,, τότε διαύμαση S της μεταβλητής Χ είαι ( ) ( ) t S όπου είαι η μέση τιμή της μεταβλητής Χ. Σημείωση Οι προηγούμεοι τύποι γράφοται αι ως εξής : ( ) ( ) t t t S ( ) ( ) S

15 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Εύρεση Διαύμασης ( S ) η Περίπτωση: Α δίοται οι παρατηρήσεις t, t, t,, t, τότε α) Βρίσουμε τη μέση τιμή από το τύπο β) Βρίσουμε τη διαύμαση από το τύπο S t t ( ) ( t ) + ( t ) ( t ) t ή από το τύπο + t + t t ( Συήθως α αέραιος ) S t ( ) ( ) ( Συήθως α όχι αέραιος ) η Περίπτωση: Α δίοται οι τιμές,,,, αι οι ατίστοιχες συχότητες τους,,,,, τότε : α) Κάουμε πίαα συχοτήτω ΣΥΝΟΛΟ Σ Σ β) Βρίσουμε τη μέση τιμή από το τύπο γ) Βρίσουμε τη διαύμαση από το τύπο ( ) S η Περίπτωση: Α δίοται οι τιμές,,,, f, f, f,, f, τότε : αι οι ατίστοιχες σχετιές συχότητες τους α) Κάουμε πίαα σχετιώ συχοτήτω f f f ΣΥΝΟΛΟ Σ f Σ f β) Βρίσουμε τη μέση τιμή από το τύπο f γ) Βρίσουμε τη διαύμαση από το τύπο ( ) Σημείωση Ότα οι παρατηρήσεις είαι ομαδοποιημέες εργαζόμαστε όπως στη η ή η περίπτωση αι ως θεωρούμε τις ετριές τιμές τω λάσεω. S f Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 5

16 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου γ) Τυπιή Απόλιση ( s ) Ορισμός Τυπιή απόλιση οομάζεται η θετιή τετραγωιή ρίζα της διαύμασης, δηλαδή s s Ιδιότητες Α η αμπύλη συχοτήτω για το χαρατηριστιό που εξετάζουμε είαι αοιή ή περίπου αοιή, τότε η τυπιή απόλιση s έχει τις παραάτω ιδιότητες : ) Στο διάστημα ( s, + s ) αήει το 68% περίπου τω παρατηρήσεω, οπότε σε αθέα από τα διαστήματα ( s, ) αι (, + s ) αήει τo 4 % περίπου τω παρατηρήσεω. ) Στο διάστημα ( s, + s ) αήει το 95 % περίπου τω παρατηρήσεω, οπότε σε αθέα από τα διαστήματα ( s, s ) αι ( + s, + s ) αήει τo,5 % περίπου τω παρατηρήσεω. ) Στο διάστημα ( s, + s ) αήει περίπου το 99,7 % τω παρατηρήσεω, οπότε σε αθέα από τα διαστήματα ( s, s ) αι ( + s, + s ) αήει περίπου τo 99,7 95,5 % τω παρατηρήσεω. v) Το εύρος είαι περίπου ίσο με έξι τυπιές απολίσεις, δηλαδή R 6s. δ) Συτελεστής Μεταβολής ( CV ) Oρισμός Συτελεστής μεταβολής οομάζεται ο λόγος της τυπιής απόλισης προς τη μέση τιμή, δηλαδή s CV ( 0) A < 0, τότε ατί της χρησιμοποιούμε τη. Παρατηρήσεις Ο συτελεστής μεταβολής είαι έα μέτρο ομοιογέειας, το οποίο χρησιμοποιείται για τη σύγριση ομάδω τιμώ που εφράζοται - σε διαφορετιές μοάδες μέτρησης ή - στη ίδια μοάδα μέτρησης αλλά έχου σηματιά διαφορετιές μέσες τιμές. Ο συτελεστής μεταβολής - είαι αεξάρτητος από τις μοάδες μέτρησης. - εφράζεται επί τοις εατό. - είαι έα μέτρο σχετιής διασποράς τω τιμώ αι όχι της απόλυτης διασποράς. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 6

17 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Α για δύο δείγματα τιμώ Α αι Β ισχύει CV A < CVB, τότε λέμε ότι το δείγμα Α παρουσιάζει μεγαλύτερη ομοιογέεια από το δείγμα Β. Έα δείγμα τιμώ Α θεωρείται ομοιογεές, ότα CV A 0%. Σύγριση μέτρω διασποράς Εύρος Διαύμαση Τυπιή Απόλιση Πλεοετήματα Ο υπολογισμός του είαι σχετιά εύολος. Χρησιμοποιείται συχά στο έλεγχο ποιότητας. Είαι δυατό α χρησιμοποιηθεί για τη ετίμηση της τυπιής απόλισης. Λαμβάοται υπόψη για το υπολογισμό τους όλες οι παρατηρήσεις. Έχου μεγάλη εφαρμογή στη στατιστιή συμπερασματολογία. Σε αοιούς στατιστιούς πληθυσμούς το 68 %, το 95 %, αι το 99,7 % τω παρατηρήσεω αήου στα διαστήματα ( s, + s ), ( s, + s ) αι ( s, + s ) ατιστοίχως. Μειοετήματα Δε θεωρείται αξιόπιστο μέτρο διασποράς, επειδή βασίζεται μόο στις δύο αραίες παρατηρήσεις. Δε χρησιμοποιείται για περαιτέρω στατιστιή αάλυση. Απαιτούται περισσότερες αλγεβριές πράξεις για το υπολογισμό τους παρά στα άλλα μέτρα. Το υριότερο μειοέτημα της διαύμασης είαι ότι δε εφράζεται στις ίδιες μοάδες με το χαρατηριστιό. Το μειοέτημα αυτό παύει α υπάρχει με τη χρησιμοποίηση της τυπιής απόλισης Συτελεστής Μεταβολής Είαι αθαρός αριθμός. Χρησιμοποιείται ως μέτρο σύγρισης της μεταβλητότητας, ότα έχουμε ίδιες ή αι διαφορετιές μοάδες μέτρησης. Χρησιμοποιείται ως μέτρο ομοιογέειας εός στατιστιού πληθυσμού. Δε εδείυται στη περίπτωση που η μέση τιμή είαι οτά στο μηδέ. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 7

18 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Πρόταση Έστω,,,, οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ με μέση τιμή αι τυπιή απόλιση s αι y, y, y,, y οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Ψ με μέση τιμή y αι τυπιή απόλιση s y. Α y α + β για άθε,,,, αι α, β R, τότε : ) y α + β ) s y α s Απόδειξη ) Είαι y y ) Είαι α + y + + y y ( α + β) + ( α + β) + ( α + β) ( α + β) + β α + β. s y ( y y) + ( y y) + ( y y) ( y y) ( α + β α β) + ( α + β α β) + ( α + β α β) ( α + β α β) ( α α ) + ( α α ) + ( α α ) ( α α ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) α α s. Άρα s y α s Έχουμε λοιπό το παραάτω πίαα. Α y + β y + β s y s y α,,,, y α s y α s αι α, β R τότε y α + β y α + β s y α s Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 8

19 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Ασήσεις για λύση ) Να συμπληρώσετε το παραάτω πίαα συχοτήτω σχετιώ συχοτήτω. v N f f % F F % ,5 5 Σύολο 0 ) Να συμπληρώσετε το παραάτω πίαα συχοτήτω σχετιώ συχοτήτω. v N f f % 0, 0,5 0,8 4 0,0 5 Σύολο 00 F F % ) Να συμπληρώσετε το παραάτω πίαα συχοτήτω σχετιώ συχοτήτω. v N f f % F F % 0,5 0,75 4 0,95 5 Σύολο 0 4) Να συμπληρώσετε το παραάτω πίαα συχοτήτω σχετιώ συχοτήτω. v N f f % F F % 4 6 0,0 0, Σύολο Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 9

20 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου 5) Να συμπληρώσετε το παραάτω πίαα συχοτήτω σχετιώ συχοτήτω. v N f f % F F % 7,5 0, Σύολο 6) Μια μεταβλητή X παίρει τις τιμές,,, 4. Α η συχότητα v της είαι διπλάσια της συχότητας v της τιμής, η σχετιή συχότητα f της τιμής είαι διπλάσια της σχετιής συχότητας f της τιμής αι η γωία υλιού διαγράμματος της τιμής 4 είαι 08 ο, τότε: ) Να υπολογίσετε τις f, f, f, f 4. ) Να ατασευάσετε το υλιό διάγραμμα. Παρατήρηση : Το υλιό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη παράσταση τόσο τω ποιοτιώ όσο αι τω ποσοτιώ μεταβλητώ. 7) Το παραάτω ραβδόγραμμα δίει το ποσοστό τηλεθέασης 00 ατόμω, οι οποίοι παραολουθού τα αάλια,,, 4. ) Να βρείτε το πλήθος τω τηλεθεατώ που παραολουθεί το αάλι 4. ) Να ατασευάσετε το πίαα συχοτήτω αι σχετιώ συχοτήτω. ) Να μετατρέψετε το ραβδόγραμμα σε υλιό διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω. f % Παρατήρηση : Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη παράσταση ΜΟΝΟΝ τω ποιοτιώ μεταβλητώ. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 0

21 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου 8) Η βαθμολογία μιας ομάδας φοιτητώ σ έα διαγώισμα είαι 4, 5, 6, 7 αι 8. Το 80 % έχει βαθμό τουλάχιστο 5. Οι φοιτητές που έχου βαθμό 4 είαι διπλάσιοι αυτώ που έχου βαθμό 8. Είοσι έας φοιτητές έχου βαθμό άτω από 6. Είοσι τέσσερις φοιτητές έχου βαθμό πάω από 6 αι το 55 % έχει βαθμό 6 ή 7. Να ατασευάσετε το πίαα αταομής συχοτήτω : Ν, f %, F %., 9) Έστω,,, 4 οι τιμές μιας μεταβλητής X με ατίστοιχες σχετιές συχότητες f, f, f, f 4, οι οποίες δίοται από το τύπο f,,,, 4. ) Να αποδείξετε ότι 6. 5 ) Α η απόλυτη συχότητα 4 είαι 64, α βρείτε το πλήθος. ) Α 0 α χαράξετε το υλιό διάγραμμα της παραπάω αταομής. 0) Το παραάτω διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω δίει τα ποσοστά επιτυχίας εός αλαθοσφαιριστή στις ελεύθερες βολές (πέτυχε 4), στα δίποτα (πέτυχε 8) αι τρίποτα (πέτυχε ) ατιστοίχως σε έα αγώα. f % 5 O 4 8 ) Να βρείτε τα ποσοστά αυτά. ) Να ατασευάσετε το υλιό διάγραμμα. Παρατήρηση : Το διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη παράσταση ΜΟΝΟΝ τω διαριτώ ποσοτιώ μεταβλητώ. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας

22 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ) To διπλαό υλιό διάγραμμα ατιστοιχεί σε πλήθος 70 μαθητώ. Α είαι +y8 ) Να αποδείξετε ότι 6 0 αι y45 0. ) Να βρείτε τις συχότητες (απόλυτες) αι α ατασευάσετε το ραβδόγραμμα συχοτήτω y y-5 0 +y ) Μια μεταβλητή X παίρει τις τιμές,,, με ατίστοιχες σχετιές συχότητες f, f, f, για τις οποίες ισχύει f f, εώ η γωία α του υλιού διαγράμματος είαι Να ατασευάσετε το υλιό διάγραμμα αι α υπολογίσετε τις σχετιές συχότητες τω τιμώ. ) Μια μεταβλητή Χ παίρει μόο τις τιμές,, που σε υλιό διάγραμμα τα ατίστοιχα τόξα είαι α 7α α,, 8 8. Να βρείτε τις ατίστοιχες σχετιές συχότητες. 4) Στα σχολεία εός Δήμου υπηρετού 00 επαιδευτιοί. Ο συολιός χρόος υπηρεσίας τω επαιδευτιώ δίεται από το παραάτω πίαα: Α) Πόσοι επαιδευτιοί έχου τουλάχιστο 5 χρόια υπηρεσίας; Β) Με τη προϋπόθεση ότι άθε επαιδευτιός θα συταξιοδοτηθεί, ότα συμπληρώσει 5 χρόια: α) Πόσοι επαιδευτιοί θα συταξιοδοτηθού μέσα στα επόμεα,5 χρόια; Να διαιολογήσετε τη απάτησή σας. β) Πόσοι συολιά επαιδευτιοί πρέπει α προσληφθού μέσα στα επόμεα πέτε χρόια, ώστε ο αριθμός τω επαιδευτιώ που υπηρετού στα σχολεία του Δήμου α παραμείει ο ίδιος; Να διαιολογήσετε τη απάτησή σας. Χρόια υπηρεσίας, [ ) Σχετιή Συχότητα % f (Θέμα Παελληίω Εξετάσεω 000) 5) Μια μεταβλητή Χ παίρει τιμές α, α+, α+, 4α. Να βρείτε τη τιμή του α, α η μέση τιμή τους είαι. 6) Η μέση βαθμολογία εός αθλητή εόργαης γυμαστιής σε 6 αγωίσματα είαι 9,. Η μέση βαθμολογία τω πέτε αλυτέρω επιδόσεω είαι 9,5. Να βρείτε τη μιρότερη επίδοση του αθλητή. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας

23 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου 7) Να βρείτε τους αριθμούς +y,, +8y αι +y με, y > 0, α αυτοί έχου μέση τιμή 7 αι διάμεσο 6. 8) Ο μέσος μηιαίος μισθός υπαλλήλω μιας εταιρείας είαι 00 ευρώ. Α σε άθε υπάλληλο χορηγηθεί αύξηση 5 % αι επίδομα 50 ευρώ α βρείτε πόσος γίεται ο μέσος μηιαίος μισθός τω υπαλλήλω; 9) Η μέση τιμή τω ετήσιω αποδοχώ τω εργαζομέω σε μια επιχείρηση είαι 800. Πως θα διαμορφωθεί η μέση τιμή στις παραάτω περιπτώσεις; α) Σε όλους τους εργαζόμεους δίεται ως δώρο το ποσό τω 000. β) Σε όλους τους εργαζόμεους δίεται αύξηση 5% γ) Σε όλους τους εργαζόμεους δίεται αύξηση 5% αι το ποσό τω ) Η αταομή τω 50 μαθητώ εός Λυείου ως προς τις ώρες μελέτης τους αά εβδομάδα έχει μέση τιμή 5. Α οι 40 μαθητές της Α τάξης μελετού ατά μέσο όρο 8 ώρες τη εβδομάδα, εώ οι 50 μαθητές της Β ατά ώρες, α βρείτε το μέσο χρόο μελέτης τω μαθητώ της Γ τάξης του Λυείου. ) Ο μέσος όρος στα Μαθηματιά τω μαθητώ μιας τάξης εός Λυείου είαι 4. Στη τάξη αυτή ήρθα από άλλο σχολείο δύο μαθητές με βαθμούς, ο έας 9 αι ο άλλος. Ο έος μέσος όρος είαι ίσος με 4,. Να βρεθεί ο αρχιός αριθμός τω μαθητώ της τάξης. ) Ο παραάτω πίαας δίει τις εισπράξεις ( σε δεάδες χιλιάδες ) που έγια από τους ατιπροσώπους μιας εταιρείας ατά τη διάρεια εός έτους. Κλάσεις [, ) Αριθμός Ατιπροσώπω ) Να συμπληρώσετε το πίαα: Κλάσεις Κέτρο Κλάσης v f f % F F % v ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή αι τη διάμεσο. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας

24 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ) Ρωτήθηα 50 απόφοιτοι Παεπιστημίου για το βαθμό του πτυχίου τους. Οτώ από αυτούς δήλωσα βαθμό ατά μοάδες μεγαλύτερο του πραγματιού, δεατέσσερις από αυτούς δήλωσα βαθμό ατά μία μοάδα μεγαλύτερο του πραγματιού, εώ οι υπόλοιποι δήλωσα το πραγματιό βαθμό. Α με τους βαθμούς που δηλώθηα προύπτει μέση τιμή 7,6, τότε α βρείτε τη πραγματιή μέση τιμή. 4) Εργολάβος οιοδομώ απασχολεί χτίστες, 5 εργάτες για τη μεταφορά τω υλιώ αι εργάτες ως χειριστές μηχαημάτω. Πληρώει το ίδιο ημερομίσθιο για τους χτίστες αι τους χειριστές μηχαημάτω, εώ για τη μεταφορά τω υλιώ πληρώει ημερομίσθιο ατά 0 ευρώ μιρότερο τω προηγουμέω. Α το μέσο ημερομίσθιο είαι 7,5 ευρώ, τότε α βρείτε: ) Ποιο είαι το ημερομίσθιο άθε ατηγορίας εργαζομέω. ) Πόσα πληρώει συολιά ο εργολάβος άθε ημέρα. 5) Τέσσερις γυαίες έχου ηλιίες με διάμεσο αι μέση τιμή 5 έτη. Α η μεγαλύτερη απ αυτές ρύψει το της ηλιίας της, τότε η μέση τιμή τω ηλιιώ τους γίεται 0 4 έτη, εώ α επιπλέο αι η τρίτη σε ηλιία ρύψει το της ηλιίας της, η μέση 9 τιμή τω ηλιιώ τους γίεται έτη. Πόσο ετώ είαι άθε γυαία; 6) Να υπολογίσετε το εύρος, τη διαύμαση αι τη τυπιή απόλιση τω παρατηρήσεω μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ., 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8. 7) Σε έα δείγμα υποψηφίω που διαγωίστηα στο μάθημα της Έθεσης βρέθηα οι βαθμολογίες, με άριστα το 0, που δίοται στο παραάτω πίαα βαθμολογιώ αι αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω F %. Βαθμολογίες α) Να βρείτε τη μέση τιμή αι τη διαύμαση της βαθμολογίας. [, ) F % β) Να εξετάσετε α το δείγμα είαι ομοιογεές γ) Να εξετάσετε α το δείγμα αολουθεί τη αοιή αταομή δ) Να βρείτε το πλήθος του δείγματος, α γωρίζουμε ότι υποψήφιοι πήρα βαθμολογία6-0, σύμφωα με το διπλαό πίαα. (Δίεται 8, 4 4, 8 ). (Απάτηση : α) _, β) s 4,8, γ) CV, δ) 600 ) Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 4

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τι οομάζεται συάρτηση Συάρτηση uncton είαι μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο άποιου

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΕ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Tι ονομάζουμε συνάρτηση ; Tι ονομάζουμε πραγματιή συνάρτηση πραγματιής μεταβλητής; Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Ο όρος Στατιστική εδεχομέως α προέρχεται από τη λατιική λέξη status (πολιτεία, κράτος) η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικώ δεδομέω που ααφέροται κυρίως στο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ 1 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κλάσµα : Είαι το µαθηµατιό σύµβολο το οποίο δηλώει σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε το όλο αι πόσα µέρη πήραµε Κλάσµα : πόσα µέρη πήραµε σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε : αριθµητής

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 4 o Γενιό Λύειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματιά Γενιής Παιδείας γ Ασήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr 4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 2 ο. Στατιστική

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 2 ο. Στατιστική Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Κεφάλαιο Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Γˊ Λυκείου Κεφάλαιο ο Στατιστική ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστική είαι έα σύολο αρχώ και μεθοδολογιώ για: το σχεδιασμό της

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική Επιμέλεια: ΑΝΔΡΕΑΣ ΓΚΟΥΡΤΖΟΥΝΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 1) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α-

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α- Μαθηματικά για τη Β τάξη του Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ τω Κώστα Βακαλόπουλου Bασίλη Καρκάη Εισαγωγικό σημείωμα Παραθέτουμε στα δύο άρθρα που ακολουθού μια σειρά από λυμέες ασκήσεις στα κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών ο οποίος ως έργο έχει την συγκέντρωση

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ

4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αρχή της Μαθηµατιής Επαγωγής Έστω ισχυρισµός Ρ(), όπου θετιός αέραιος. Α (i) Ρ αληθής αι (ii) Ρ() Ρ( + 1) για άθε, τότε Ρ() αληθής για άθε.. Αισότητα Bernoulli (1 +α

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΠΡΟΛΗΨΗΣ ΝΟΣΗΜΑΤΩΝ (ΚΕ.ΕΛ.Π.ΝΟ.) ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ. (Τμήμα Επιδημιολογικής Επιτήρησης και Παρέμβασης)

ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΠΡΟΛΗΨΗΣ ΝΟΣΗΜΑΤΩΝ (ΚΕ.ΕΛ.Π.ΝΟ.) ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ. (Τμήμα Επιδημιολογικής Επιτήρησης και Παρέμβασης) ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΠΡΟΛΗΨΗΣ ΝΟΣΗΜΑΤΩΝ (ΚΕ.ΕΛ.Π.ΝΟ.) ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ (Τμήμα Επιδημιολογικής Επιτήρησης και Παρέμβασης) ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΦΥΜΑΤΙΩΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ, 2004-2010 Η

Διαβάστε περισσότερα

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x).

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x). ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 1 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! taexeiola.blogspot.com 6 ο ΥΜΝΑΣΙΟ ΡΟΔΟΥ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΑΞΗ Β' ΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΡΟΔΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 8 υπολογίζονται και συγκρίνονται τα ποσοστά επιλογής του µαθήµατος στους ετήσιους πληθυσµούς, ανά φύλο και κατεύθυνση. Υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε μεταβλητή της αριστερής στήλης του παρακάτω πίνακα με την κατηγορία που βρίσκεται στη δεξιά στήλη: ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1. ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 2. ΜΙΣΘΟΣ 3.ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΗΛΕΦΩΝΟΥ Α. ΠΟΙΟΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο

Διαβάστε περισσότερα

3. Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών)

3. Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών) Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών) Μια «πολύπλοη» συνάρτηση f, δυό μεταβλητών, μπορεί να προσεγγιστεί (στην γειτονιά ενός σημείου (,y)) από μια πολυωνιμιή συνάρτηση με την βοήθεια του αναπτύγματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f()) =c f (), ΙR. B.α. Πότε δύο ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.Να συμπληρωθούν οι πίνακες x i v i f i f i % x 1 7 x 2 5 x 3 15 x 4 14 x 5 9 Άθροισμα 50 x i v i f i f i % 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι. της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. κανάλι α i. συχνότητα ν i.

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι. της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. κανάλι α i. συχνότητα ν i. Γ. ΛΥΚ. ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ (2014-15) Λ. Γρίλλιας Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι 1) Σε ένα σχολείο ρωτήθηκαν 70 μαθητές για την προτίμησή τους σε ποδοσφαιρικές ομάδες. Από της απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως είαι γωσό, η Μουσική είαι Μαθημαικά και (σο βάθος) υπάρχει, μία «αδιόραη αρμοία» μεαξύ αυώ ω δύο. Έα μουσικό έργο, διέπεαι από μαθημαικούς όμους, σε ό,ι αφορά ις σχέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ/ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 30/09/12 ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ/ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 30/09/12 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 0-03 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ/ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 30/09/ ΘΕΜΑ ο ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας το αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 ΘΕΜΑ o ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού 4. Ατιδράσεις πολυμερισμού Ποια μόρια οομάζοται μακρομόρια Τα μακρομόρια είαι μόρια μεγάλου μοριακού βάρους που σχηματίζοται από τη συέωση (= πολυμερισμό) απλούστερω δομικά μορίω (= μοομερή) σύμφωα με

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ

Α. ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2006 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 70 ΔΑΣΚΑΛΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γωστικό ατικείμεο) Σάββατο 27-1-2007

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΦΟΥΝΤΟΥΚΙ ΗΣ Γ. ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Ρ. ΧΗΜΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ρ Αθ. Ρούτουλας Καθηγητής ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 η ΤΣΙΜΕΝΤΑ - ΣΚΥΡΟ ΕΜΑ ΑΣΚΗΣΗ 10

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς

Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β06 03. Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν 1 2.2 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 78 83 Α ΟΜΑ ΑΣ 1. Η βαθµολογία 5 φοιτητών στις εξετάσεις ενός µαθήµατος είναι: 3 4 5 8 9 7 6 8 7 1 8 7 6 5 9 3 8 5 6 6 6 3 5 6 4 2 9 8 7 7 1 6 3 1 5 8 1 2 3 4 5 6 7 9

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α) Λάθος (βλέπε σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου, Το σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1. ο παρακάτω διάγραµµα παρουσιάζει την κατανοµή των οικογενειών ενός χωριού σε σχέση µε τον αριθµό των παιδιών τους. 40 35 Αριθµός οικογενειών 30 25 20 15 10 5 0 0 1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β06 03. Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου ΑΣΚΗΣΗ 1 Κεφάλαιο 4

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.).

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). a. Τι μπορεί να συνέβη όταν η διάμεσος αυξήθηκε; Το γεγονός ότι

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = = Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο 65-69 67,5 9,5 70-7 6 7,5,5 75-79

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γράφων - Εισαγωγή

Θεωρία Γράφων - Εισαγωγή Θεωρία Γράφων - Εισαγωγή Τοπολογιές απειονίσεις Τοπολογία Κλάδος των μαθηματιών που μελετά ανάμεσα σε άλλα τις ιδιότητες εείνες των γεωμετριών σχημάτων οι οποίες παραμένουν αναλλοίωτες ατά τις τοπολογιές

Διαβάστε περισσότερα