Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου"

Transcript

1 Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας

2 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστιή είαι ο λάδος τω εφαρμοσμέω επιστημώ, η οποία βασίζεται σ έα σύολο αρχώ αι μεθοδολογιώ που έχου σοπό: Το σχεδιασμό της διαδιασίας συλλογής δεδομέω. Τη συοπτιή αι αποτελεσματιή παρουσίασή τους. Τη αάλυση αι τη εξαγωγή χρήσιμω συμπερασμάτω. Στατιστιός πληθυσμός ή απλά πληθυσμός οομάζεται άθε σύολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς έα ή περισσότερα χαρατηριστιά τους. Τα στοιχεία του πληθυσμού οομάζοται μοάδες ή άτομα. Μεταβλητές οομάζοται τα χαρατηριστιά εεία, ως προς τα οποία εξετάζουμε έα πληθυσμό. Οι δυατές τιμές που μπορεί α πάρει μια μεταβλητή λέγοται τιμές της μεταβλητής. Οι μεταβλητές χωρίζοται σε δύο ατηγορίες, στις ποιοτιές αι στις ποσοτιές. Ποιοτιές μεταβλητές είαι εείες που δε επιδέχοται μέτρηση αι οι τιμές τους δε είαι αριθμοί. Ποσοτιές μεταβλητές είαι εείες που επιδέχοται μέτρηση αι οι τιμές τους είαι αριθμοί. Οι ποσοτιές μεταβλητές διαρίοται σε συεχείς αι διαριτές (ασυεχείς). Συεχείς είαι οι ποσοτιές μεταβλητές που μπορού α πάρου οποιαδήποτε τιμή εός διαστήματος ( α, β). Διαριτές είαι οι ποσοτιές μεταβλητές που παίρου μόο μεμοωμέες τιμές. ΣΥΛΛΟΓΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστιά δεδομέα ή παρατηρήσεις είαι μια σειρά δεδομέω, που προύπτου από τη διαδοχιή εξέταση τω ατόμω εός πληθυσμού ως προς έα χαρατηριστιό τους. Οι υριότερες μέθοδοι συλλογής στατιστιώ δεδομέω είαι η απογραφή αι η δειγματοληψία. Απογραφή είαι μια μέθοδος συλλογής στατιστιώ δεδομέω, που αολουθούμε για α πάρουμε όλες τις απαραίτητες πληροφορίες, για έα πληθυσμό εξετάζοτας όλα τα άτομα του πληθυσμού ως προς τα χαρατηριστιά που μας εδιαφέρου. Η απογραφή όμως είαι δύσολη, οιοομιά αι χροιά ασύμφορη αι πολλές φορές αδύατη. Γι αυτό το λόγο επιλέγουμε μια μιρή ομάδα, δηλαδή έα υποσύολο του πληθυσμού το οποίο οομάζεται δείγμα. Συλλέγουμε τις παρατηρήσεις από το δείγμα αι στη συέχεια γειεύουμε τα συμπεράσματα για ολόληρο το πληθυσμό. Τα συμπεράσματα όμως, που θα προύψου από τη μελέτη του δείγματος θα είαι αξιόπιστα, δηλαδή θα ισχύου με ιαοποιητιή προσέγγιση για ολόληρο το πληθυσμό, μόο ότα η επιλογή του δείγματος έχει γίει με τέτοιο τρόπο, ώστε το δείγμα α είαι ατιπροσωπευτιό. Έα δείγμα θεωρείται ατιπροσωπευτιό, ότα άθε άτομο του πληθυσμού έχει τη ίδια δυατότητα α επιλεγεί. Δειγματοληψία είαι αυτή η μέθοδος συλλογής στατιστιώ δεδομέω, ατά τη οποία συγετρώοται πληροφορίες μόο για έα υποσύολο του πληθυσμού. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας

3 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστιοί πίαες Μετά τη συλλογή τω στατιστιώ δεδομέω είαι ααγαία η ατασευή συοπτιώ πιάω ή γραφιώ παραστάσεω, ώστε α είαι εύολη η αταόησή τους αι η εξαγωγή ορθώ συμπερασμάτω. Η παρουσίαση τω στατιστιώ δεδομέω σε πίαες γίεται με τη ατάλληλη τοποθέτηση τω πληροφοριώ σε γραμμές αι στήλες, ώστε α διευολύεται η σύγριση αι α έχουμε αλύτερη εημέρωση. Οι πίαες διαρίοται σε Γειούς πίαες, οι οποίοι περιέχου όλες τις πληροφορίες μιας στατιστιής έρευας αι αποτελού πηγές στατιστιώ πληροφοριώ για παραπέρα αάλυση αι εξαγωγή συμπερασμάτω. Ειδιούς πίαες, οι οποίοι είαι συοπτιοί αι σαφείς. Τα στοιχεία τους έχου ληφθεί από τους γειούς πίαες. Κάθε πίαας πρέπει α περιλαμβάει Το τίτλο, που γράφεται στο επάω μέρος του πίαα αι δηλώει συοπτιά αι με σαφήεια το περιεχόμεό του. Τις επιεφαλίδες τω γραμμώ αι τω στηλώ, που δείχου συοπτιά τη φύση αι τις μοάδες μέτρησης τω δεδομέω. Το ύριο σώμα, που περιέχει διαχωρισμέα σε γραμμές αι στήλες τα στατιστιά δεδομέα. Τη πηγή, που δείχει τη προέλευση τω στατιστιώ δεδομέω, ώστε ο ααγώστης α αατρέχει σ αυτή ότα το επιθυμεί, για επαλήθευση στοιχείω ή για άτληση περισσοτέρω πληροφοριώ. Συμβολισμοί : Μεταβλητή : Μέγεθος δείγματος : Χ Ν Παρατηρήσεις : t, t, t,..., t Τιμές μεταβλητής :,,,..., Συχότητες τιμώ :,,,..., ( ) Σχετιές συχότητες τιμώ : f, f, f,..., f Αθροιστιές συχότητες τιμώ : N, N, N,..., N Αθροιστιές σχετιές συχότητες τιμώ : ( Μόο για ποσοτιές μεταβλητές ) F, F, F,..., F Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας

4 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Ορισμοί : α) Συχότητα ( ) Α,,,, οι τιμές μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους, τότε συχότητα της τιμής,,,,, λέγεται ο φυσιός αριθμός που δείχει πόσες φορές η μεταβλητή Χ παίρει τη τιμή. β) Σχετιή συχότητα ( f ) Α,,,, οι τιμές μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους αι,,,, οι ατίστοιχες συχότητές τους, τότε σχετιή συχότητα της τιμής,,,,, λέγεται ο αριθμός f,,,,, γ) Αθροιστιή συχότητα ( Ν ) Α οι τιμές,,,, μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, εός δείγματος μεγέθους, είαι σε αύξουσα διάταξη αι,,,, οι ατίστοιχες συχότητές τους, τότε αθροιστιή συχότητα της τιμής,,,,, λέγεται ο φυσιός αριθμός Ν που δείχει πόσες παρατηρήσεις είαι μιρότερες ή ίσες της τιμής. δ) Αθροιστιή σχετιή συχότητα ( F ) Α οι τιμές,,,, μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, εός δείγματος μεγέθους, είαι σε αύξουσα διάταξη αι f, f, f,, f οι ατίστοιχες συχότητές τους, τότε αθροιστιή σχετιή συχότητα της τιμής,,,,, λέγεται ο αριθμός F f + f + f + + f που δείχει το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι μιρότερες ή ίσες της τιμής. ε) Καταομή συχοτήτω (, ) Α,,,, οι τιμές μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους αι,,,, οι ατίστοιχες συχότητές τους, τότε η αταομή συχοτήτω αποτελείται από το σύολο τω ζευγώ της μορφής (, ),,,,,. στ) Καταομή σχετιώ συχοτήτω (, f ) Α,,,, οι τιμές μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους αι f, f, f,, f οι ατίστοιχες σχετιές συχότητές τους, τότε η αταομή σχετιώ συχοτήτω αποτελείται από το σύολο τω ζευγώ της μορφής (, f ),,,,, Πρόταση Α,,,, είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους αι,,,, οι ατίστοιχες συχότητές τους, όπου, είαι μη μηδειοί φυσιοί αριθμοί με, τότε ισχύου : α) β) 0 f για,,,,. γ) f + f + f + + f. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 4

5 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Απόδειξη α) Είαι φαερό ότι το άθροισμα όλω τω συχοτήτω είαι ίσο με το μέγεθος του δείγματος, δηλαδή β) Είαι 0 0 f για,,,, γ) f + f + f + + f Το σύμβολο Σ Το άθροισμα συμβολίζεται. Άρα ισχύου : α) β) f, λ λ γ) Ν λ δ) f F λ όπου λ,,,,. Iδιότητες Σ α) ( α + β ) α + β β) ( ) Π.χ. λα λ γ) λ λ α + ( 5f + 4) 5f f Ομαδοποίηση παρατηρήσεω Η ομαδοποίηση τω παρατηρήσεω γίεται ότα το πλήθος τω τιμώ μιας ποσοτιής μεταβλητής είαι μεγάλο. Στη περίπτωση αυτή οι παρατηρήσεις αταέμοται σε σύολα ( ομάδες ) που λέγοται λάσεις αι οι οποίες είαι δυατό α έχου ίσο ή άισο πλάτος. Για τη ομαδοποίηση παρατηρήσεω σε λάσεις ίσου πλάτους εργαζόμαστε ως εξής : Προσδιορίζουμε το αριθμό τω λάσεω. Ο αριθμός αυτός εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος αι δίεται από το πίαα της σελίδας 7 του σχολιού βιβλίου ή ορίζεται από το ερευητή σύμφωα με τη εμπειρία του. Προσδιορίζουμε το εύρος R τω παρατηρήσεω. Είαι R t ma - t mn Προσδιορίζουμε το πλάτος c άθε λάσης. Είαι c R t t ma Καθορίζουμε τις λάσεις [ α, ), [ α, ), [ α, ),, [, α ] 0 α α α Κάουμε διαλογή τω παρατηρήσεω. Κατασευάζουμε πίαα. mn α.. Κετριή τιμή της λάσης [, α ) Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας α είαι ο αριθμός - α + α,,,,,. 5

6 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Παρατήρηση Κατά τη ομαδοποίηση τω παρατηρήσεω πρέπει : Κάθε παρατήρηση α αήει σε μια λάση. Η απόσταση δύο διαδοχιώ ετριώ τιμώ α είαι ίση με το πλάτος c άθε λάσης Γραφιές παραστάσεις Τα στατιστιά δεδομέα παρουσιάζοται αι με τη μορφή γραφιώ παραστάσεω ή διαγραμμάτω. Με τα διαγράμματα διευολύεται η σύγριση μεταξύ ομοειδώ στοιχείω για το ίδιο χαρατηριστιό ή αι για διαφορετιά χαρατηριστιά. Όπως αι οι στατιστιοί πίαες έτσι αι τα στατιστιά διαγράμματα πρέπει α συοδεύοται από το τίτλο, τη λίμαα με τις τιμές τω μεγεθώ που απειοίζοται, το υπόμημα που επεξηγεί τις τιμές της μεταβλητής αι τη πηγή τω δεδομέω. Α. Ποιοτιή μεταβλητή Ραβδόγραμμα συχοτήτω (, ) Ραβδόγραμμα σχετιώ συχοτήτω (, f ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τω τιμώ μιας ποιοτιής μεταβλητής. Αποτελείται από ορθογώιες στήλες, που οι βάσεις τους βρίσοται πάω στο οριζότιο άξοα ή αι στο αταόρυφο άξοα. Σε άθε τιμή της μεταβλητής X ατιστοιχεί μία ορθογώια στήλη της οποίας το ύψος είαι ίσο με τη ατίστοιχη συχότητα ή τη σχετιή συχότητα, έτσι έχουμε το ραβδόγραμμα συχοτήτω ή το ραβδόγραμμα σχετιώ συχοτήτω. Η απόσταση μεταξύ τω στηλώ αι το μήος τω βάσεώ τους αθορίζοται αυθαίρετα. Κυλιό διάγραμμα συχοτήτω ή σχετιώ συχοτήτω Το υλιό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τόσο τω ποιοτιώ όσο αι τω ποσοτιώ μεταβλητώ, ότα οι τιμές της μεταβλητής είαι σχετιά λίγες. Το υλιό διάγραμμα είαι έας υλιός δίσος χωρισμέος σε υλιούς τομείς τω οποίω τα τόξα ή ισοδύαμα τα εμβαδά είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες ή τις σχετιές συχότητες f ή f % τω τιμώ της μεταβλητής. Α συμβολίσουμε με α το ατίστοιχο τόξο εός υλιού τομέα στο υλιό διάγραμμα συχοτήτω ή σχετιώ συχοτήτω, τότε 0 0 α f,,,,,. Σημειόγραμμα συχοτήτω ή σχετιώ συχοτήτω Το σημειόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τόσο τω ποιοτιώ όσο αι τω ποσοτιώ μεταβλητώ, ότα τα στατιστιά δεδομέα είαι λίγα. Το σημειόγραμμα αποτελείται από έα οριζότιο άξοα πάω στο οποίο τοποθετούμε τις τιμές της μεταβλητής. Σε άθε μία τιμή σημειώουμε αταόρυφα προς τα πάω τόσα σημεία (τελείες) όσο αι η συχότητα της τιμής ή σχετιή συχότητα f ή f %. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 6

7 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Β. Ποσοτιή μεταβλητή ( Μη ομαδοποιημέες παρατηρήσεις ) Διάγραμμα συχοτήτω (, ) Διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω (, f ) Το διάγραμμα συχοτήτω χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τω τιμώ μιας ποσοτιής μεταβλητής (μη ομαδοποιημέης). Στο διάγραμμα συχοτήτω, ατί α χρησιμοποιούμε συμπαγή ορθογώια, υψώουμε σε άθε τιμή της μεταβλητής, (υποθέτουμε ότι οι τιμές είαι ταξιομημέες ατά αύξουσα σειρά), έα άθετο ευθύγραμμο τμήμα που έχει μήος ίσο προς τη ατίστοιχη συχότητα. Α ατί τω συχοτήτω χρησιμοποιήσουμε τις σχετιές συχότητες f ή f % παίρουμε το διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω. Πολύγωο συχοτήτω (, ) Α σ έα διάγραμμα συχοτήτω εώσουμε τα σημεία (, ) δημιουργείται μια τεθλασμέη γραμμή που οομάζεται πολύγωο συχοτήτω. Διάγραμμα αθροιστιώ συχοτήτω (, Ν ) Πολύγωο σχετιώ συχοτήτω (, f ) Α σ έα διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω εώσουμε τα σημεία (, f ) δημιουργείται μια τεθλασμέη γραμμή που οομάζεται πολύγωο σχετιώ συχοτήτω. Διάγραμμα αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω (, F ) Πολύγωο αθροιστιώ συχοτήτω (, Ν ) Πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω (, F ) Κυλιό διάγραμμα συχοτήτω ή σχετιώ συχοτήτω Σημειόγραμμα συχοτήτω ή σχετιώ συχοτήτω α f,,,,,. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 7

8 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Γ. Ποσοτιή μεταβλητή ( Ομαδοποιημέες παρατηρήσεις σε λάσεις ίσου πλάτους ) Ιστόγραμμα συχοτήτω (, ) Ιστόγραμμα σχετιώ συχοτήτω (, f ) Το ιστόγραμμα συχοτήτω χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση εός πίαα συχοτήτω με ομαδοποιημέα δεδομέα αι είαι έα σύστημα συτεταγμέω, όπου στο οριζότιο άξοα σημειώουμε με ατάλληλη λίμαα τα όρια τω λάσεω. Στη συέχεια ατασευάζουμε διαδοχιά ορθογώια (ιστούς), αθέα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της λάσης αι ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδό του ορθογωίου α είαι ίσο με τη συχότητα της ατίστοιχης λάσης. Α θεωρήσουμε το πλάτος c ως μοάδα μέτρησης του χαρατηριστιού στο οριζότιο άξοα, τότε το ύψος άθε ορθογωίου θα είαι ίσο με τη συχότητα της ατίστοιχης λάσης, αφού το εμβαδό άθε ορθογωίου πρέπει α είαι ίσο με τη ατίστοιχη συχότητα. Συεπώς σε άθε ιστόγραμμα συχοτήτω στο αταόρυφο άξοα σημειώουμε τις συχότητες. Α στο αταόρυφο άξοα σημειώσουμε τις σχετιές συχότητες, τότε με αάλογο τρόπο ατασευάζουμε το ιστόγραμμα σχετιώ συχοτήτω. Α συμβολίσουμε με Ε το άθροισμα τω εμβαδώ τω ορθογωίω σ έα : Ιστόγραμμα συχοτήτω, τότε Ε Ε Ιστόγραμμα σχετιώ συχοτήτω, τότε : Ε f + f + + f Ε ή Ε f % + f % + + f % Ε 00 Πολύγωο συχοτήτω (, ) Πολύγωο σχετιώ συχοτήτω (, f ) Α σ έα ιστόγραμμα συχοτήτω θεωρήσουμε δύο αόμη υποθετιές λάσεις, μία στη αρχή αι μία στο τέλος με συχότητα μηδέ αι στη συέχεια εώσουμε τα μέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω, δηλαδή τα σημεία (, ), όπου η ετριή τιμή της λάσης αι η ατίστοιχη συχότητά της, τότε σχηματίζεται το πολύγωο συχοτήτω. Το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω αι το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το άθροισμα τω εμβαδώ τω ορθογωίω, δηλαδή Ε Α σ έα ιστόγραμμα σχετιώ συχοτήτω θεωρήσουμε δύο αόμη υποθετιές λάσεις, μία στη αρχή αι μία στο τέλος με σχετιή συχότητα μηδέ αι στη συέχεια εώσουμε τα μέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω, δηλαδή τα σημεία (, f ), όπου η ετριή τιμή της λάσης αι f η ατίστοιχη σχετιή συχότητά της, τότε σχηματίζεται το πολύγωο σχετιώ συχοτήτω. Το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο σχετιώ συχοτήτω αι το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το άθροισμα τω εμβαδώ τω ορθογωίω, δηλαδή Ε ή Ε 00 Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 8

9 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Ιστόγραμμα αθροιστιώ συχοτήτω (, Ν ) Ιστόγραμμα αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω (, F ) Με όμοιο τρόπο ατασευάζοται : Το ιστόγραμμα αθροιστιώ συχοτήτω Το ιστογράμματα αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω. Το εμβαδό του τελευταίου ιστού στο Το εμβαδό του τελευταίου ιστού στο ιστόγραμμα αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω ιστόγραμμα αθροιστιώ συχοτήτω είαι Ε είαι Ε ή Ε 00 Πολύγωο αθροιστιώ συχοτήτω (, Ν ) Πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω (, F ) Α σ έα ιστόγραμμα αθροιστιώ συχοτήτω εώσουμε τα δεξιά άρα τω άω βάσεω με ευθύγραμμα τμήματα, τότε προύπτει το πολύγωο αθροιστιώ συχοτήτω. Με όμοιο τρόπο ατασευάζεται το πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω. Με το πολύγωο αθροιστιώ συχοτήτω βρίσουμε πλήθος που δε προύπτει άμεσα από πίαα. Κυλιό διάγραμμα συχοτήτω ή σχετιώ συχοτήτω α f,,,,,. Με το πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω βρίσουμε ποσοστό που δε προύπτει άμεσα από πίαα. Δ. Χροόγραμμα Το χροόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή απειόιση της διαχροιής εξέλιξης εός οιοομιού, δημογραφιού ή άλλου μεγέθους, όπως η αξία μιας μετοχής, τα ποσοστά αεργίας, το ύψος του πληθωρισμού, το πλήθος τω γεήσεω.τ.λ. Αποτελείται από έα ορθογώιο σύστημα αξόω, όπου ο οριζότιος άξοας θεωρείται ως άξοας μέτρησης του χρόου αι ο αταόρυφος άξοας θεωρείται ως άξοας μέτρησης της συχότητας ή της σχετιής συχότητας f ή f % τω τιμώ της εξεταζόμεης μεταβλητής. Ποσοστά αεργίας στη Ελλάδα ατά τα έτη Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 9

10 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Ε. Καμπύλη συχοτήτω Καμπύλη συχοτήτω είαι η ομαλή αμπύλη προς τη οποία τείει η πολυγωιή γραμμή συχοτήτω, ότα το πλήθος τω λάσεω είαι αρετά μεγάλο (τείει στο άπειρο) αι το πλάτος άθε λάσης είαι μιρό (τείει στο μηδέ). Η μορφή της αμπύλης συχοτήτω εξαρτάται από το πώς είαι αταεμημέες οι παρατηρήσεις σ όλη τη έταση του εύρους τους. ΣΤ. Μορφές αμπύλης συχοτήτω Καοιή αταομή Ομοιόμορφη αταομή Α οι παρατηρήσεις αταέμοται συμμετριά ως προς μια αταόρυφη ευθεία, τότε λέμε ότι αολουθού τη αοιή αταομή. Η αμπύλη που ατιστοιχεί στη αοιή αταομή έχει ωδωοειδή μορφή. Η συχότητα που ατιστοιχεί στο άξοα συμμετρίας της αμπύλης είαι η μεγαλύτερη από όλες τις άλλες συχότητες αι σημαίει ότι η ατίστοιχη τιμή της μεταβλητής εμφαίζεται πιο συχά από άθε άλλη τιμή. Α οι παρατηρήσεις αταέμοται ομοιόμορφα σ έα διάστημα [ α, β], τότε λέμε ότι αολουθού τη ομοιόμορφη αταομή. Στη ομοιόμορφη αταομή άθε παρατήρηση ή λάση έχει τη ίδια συχότητα Α οι παρατηρήσεις δε είαι συμμετριά αταεμημέες, τότε η αταομή λέγεται ασύμμετρη με : Θετιή ασυμμετρία Αρητιή ασυμμετρία Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 0

11 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ α) Μέση Τιμή μεταβλητής Χ ( ) Ορισμός Α t, t, t,, t είαι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους,,,,, είαι οι τιμές της μεταβλητής Χ με ατίστοιχες συχότητες,,,, αι σχετιές συχότητες f, f, f,, f, τότε μέση τιμή της μεταβλητής της Χ είαι ο αριθμός, όπου Εύρεση Μέσης Τιμής ( ) t f η Περίπτωση: Α δίοται οι παρατηρήσεις t, t, t,, t, τότε χρησιμοποιούμε το τύπο t t + t + t t η Περίπτωση: Α δίοται οι τιμές,,,, αι οι ατίστοιχες συχότητες τους,,,,, τότε : α) Κάουμε πίαα συχοτήτω ΣΥΝΟΛΟ Σ β) Χρησιμοποιούμε το τύπο η Περίπτωση: Α δίοται οι τιμές,,,, αι οι ατίστοιχες σχετιές συχότητες τους f, f, f,, f, τότε : α) Κάουμε πίαα σχετιώ συχοτήτω f f ΣΥΝΟΛΟ Σ f β) Χρησιμοποιούμε το τύπο f Σημείωση Ότα οι παρατηρήσεις είαι ομαδοποιημέες εργαζόμαστε όπως στη η ή η περίπτωση αι ως θεωρούμε τις ετριές τιμές τω λάσεω. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας

12 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου β) Σταθμιός μέσος μεταβλητής Χ ( ) Ορισμός Α,,,, είαι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους αι w, w, w,,w οι ατίστοιχοι συτελεστές στάθμισης, τότε σταθμιός μέσος της μεταβλητής Χ οομάζεται ο αριθμός, όπου w + w + w w w + w + w w w w γ) Διάμεσος παρατηρήσεω ( δ ) Ορισμός Α t, t, t,, t είαι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, οι οποίες είαι διατεταγμέες ατά αύξουσα σειρά, τότε η διάμεσος τω παρατηρήσεω είαι δ t + t t + + α α + Δηλαδή, η διάμεσος είαι ίση με το ημιάθροισμα τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω, α άρτιος. τη μεσαία παρατήρηση, α περιττός. Η διάμεσος σε ομαδοποιημέα δεδομέα Για α προσδιορίσουμε τη διάμεσο παρατηρήσεω, ότα αυτές είαι ομαδοποιημέες, εργαζόμαστε ως εξής : Κατασευάζουμε πίαα αταομής σχετιώ συχοτήτω. Σχεδιάζουμε ιστόγραμμα αι πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω ( F % ). Προσδιορίζουμε τη τιμή που ατιστοιχεί σε ποσοστό 50 %. Σημείωση Η διάμεσος είαι η τιμή που χωρίζει έα σύολο παρατηρήσεω σε δύο ίσα μέρη, ότα οι παρατηρήσεις είαι διατεταγμέες ατά αύξουσα σειρά, δηλαδή η διάμεσος είαι η τιμή για τη οποία το πολύ το 50 % τω παρατηρήσεω είαι μιρότερες από αυτή αι το πολύ το 50 % τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες από τη τιμή αυτή. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας

13 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Σύγριση μέσης τιμής αι διαμέσου Πλεοετήματα Μειοετήματα Μέση Τιμή Για το υπολογισμό της χρησιμο- Επηρεάζεται πολύ από αραίες τιμές. ποιούται όλες οι τιμές. Είαι μοαδιή για άθε σύολο Συήθως δε ατιστοιχεί σε τιμή της δεδομέω. μεταβλητής. Είαι εύολα αταοητή. Δε υπολογίζεται για ποιοτιά δεδομέα Ο υπολογισμός της είαι σχετιά εύολος. Έχει μεγάλη εφαρμογή για περαιτέρω στατιστιή αάλυση. Διάμεσος Είαι εύολα αταοητή. Δε χρησιμοποιούται όλες οι τιμές για Δε επηρεάζεται από αραίες τιμές. το υπολογισμό της. Είαι δύσολη η εφαρμογή της για περαιτέρω στατιστιή αάλυση. Ο υπολογισμός της είαι απλός. Δε υπολογίζεται για ποιοτιά δεδομέα Είαι μοαδιή για άθε σύολο δεδομέω. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας

14 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ. Λυείου Στατιστιή Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 4 ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Α) Εύρος παρατηρήσεω ( ) R Ορισμός Α t, t, t,, t είαι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, τότε εύρος τω παρατηρήσεω είαι ο αριθμός R, που είαι ίσος με τη διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση. Δηλαδή R t ma t mn Β) Διαύμαση ( ) S Ορισμός Α t, t, t,, t είαι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους,,,,, είαι οι τιμές της μεταβλητής Χ με ατίστοιχες συχότητες,,,,, τότε διαύμαση S της μεταβλητής Χ είαι ( ) ( ) t S όπου είαι η μέση τιμή της μεταβλητής Χ. Σημείωση Οι προηγούμεοι τύποι γράφοται αι ως εξής : ( ) ( ) t t t S ( ) ( ) S

15 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Εύρεση Διαύμασης ( S ) η Περίπτωση: Α δίοται οι παρατηρήσεις t, t, t,, t, τότε α) Βρίσουμε τη μέση τιμή από το τύπο β) Βρίσουμε τη διαύμαση από το τύπο S t t ( ) ( t ) + ( t ) ( t ) t ή από το τύπο + t + t t ( Συήθως α αέραιος ) S t ( ) ( ) ( Συήθως α όχι αέραιος ) η Περίπτωση: Α δίοται οι τιμές,,,, αι οι ατίστοιχες συχότητες τους,,,,, τότε : α) Κάουμε πίαα συχοτήτω ΣΥΝΟΛΟ Σ Σ β) Βρίσουμε τη μέση τιμή από το τύπο γ) Βρίσουμε τη διαύμαση από το τύπο ( ) S η Περίπτωση: Α δίοται οι τιμές,,,, f, f, f,, f, τότε : αι οι ατίστοιχες σχετιές συχότητες τους α) Κάουμε πίαα σχετιώ συχοτήτω f f f ΣΥΝΟΛΟ Σ f Σ f β) Βρίσουμε τη μέση τιμή από το τύπο f γ) Βρίσουμε τη διαύμαση από το τύπο ( ) Σημείωση Ότα οι παρατηρήσεις είαι ομαδοποιημέες εργαζόμαστε όπως στη η ή η περίπτωση αι ως θεωρούμε τις ετριές τιμές τω λάσεω. S f Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 5

16 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου γ) Τυπιή Απόλιση ( s ) Ορισμός Τυπιή απόλιση οομάζεται η θετιή τετραγωιή ρίζα της διαύμασης, δηλαδή s s Ιδιότητες Α η αμπύλη συχοτήτω για το χαρατηριστιό που εξετάζουμε είαι αοιή ή περίπου αοιή, τότε η τυπιή απόλιση s έχει τις παραάτω ιδιότητες : ) Στο διάστημα ( s, + s ) αήει το 68% περίπου τω παρατηρήσεω, οπότε σε αθέα από τα διαστήματα ( s, ) αι (, + s ) αήει τo 4 % περίπου τω παρατηρήσεω. ) Στο διάστημα ( s, + s ) αήει το 95 % περίπου τω παρατηρήσεω, οπότε σε αθέα από τα διαστήματα ( s, s ) αι ( + s, + s ) αήει τo,5 % περίπου τω παρατηρήσεω. ) Στο διάστημα ( s, + s ) αήει περίπου το 99,7 % τω παρατηρήσεω, οπότε σε αθέα από τα διαστήματα ( s, s ) αι ( + s, + s ) αήει περίπου τo 99,7 95,5 % τω παρατηρήσεω. v) Το εύρος είαι περίπου ίσο με έξι τυπιές απολίσεις, δηλαδή R 6s. δ) Συτελεστής Μεταβολής ( CV ) Oρισμός Συτελεστής μεταβολής οομάζεται ο λόγος της τυπιής απόλισης προς τη μέση τιμή, δηλαδή s CV ( 0) A < 0, τότε ατί της χρησιμοποιούμε τη. Παρατηρήσεις Ο συτελεστής μεταβολής είαι έα μέτρο ομοιογέειας, το οποίο χρησιμοποιείται για τη σύγριση ομάδω τιμώ που εφράζοται - σε διαφορετιές μοάδες μέτρησης ή - στη ίδια μοάδα μέτρησης αλλά έχου σηματιά διαφορετιές μέσες τιμές. Ο συτελεστής μεταβολής - είαι αεξάρτητος από τις μοάδες μέτρησης. - εφράζεται επί τοις εατό. - είαι έα μέτρο σχετιής διασποράς τω τιμώ αι όχι της απόλυτης διασποράς. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 6

17 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Α για δύο δείγματα τιμώ Α αι Β ισχύει CV A < CVB, τότε λέμε ότι το δείγμα Α παρουσιάζει μεγαλύτερη ομοιογέεια από το δείγμα Β. Έα δείγμα τιμώ Α θεωρείται ομοιογεές, ότα CV A 0%. Σύγριση μέτρω διασποράς Εύρος Διαύμαση Τυπιή Απόλιση Πλεοετήματα Ο υπολογισμός του είαι σχετιά εύολος. Χρησιμοποιείται συχά στο έλεγχο ποιότητας. Είαι δυατό α χρησιμοποιηθεί για τη ετίμηση της τυπιής απόλισης. Λαμβάοται υπόψη για το υπολογισμό τους όλες οι παρατηρήσεις. Έχου μεγάλη εφαρμογή στη στατιστιή συμπερασματολογία. Σε αοιούς στατιστιούς πληθυσμούς το 68 %, το 95 %, αι το 99,7 % τω παρατηρήσεω αήου στα διαστήματα ( s, + s ), ( s, + s ) αι ( s, + s ) ατιστοίχως. Μειοετήματα Δε θεωρείται αξιόπιστο μέτρο διασποράς, επειδή βασίζεται μόο στις δύο αραίες παρατηρήσεις. Δε χρησιμοποιείται για περαιτέρω στατιστιή αάλυση. Απαιτούται περισσότερες αλγεβριές πράξεις για το υπολογισμό τους παρά στα άλλα μέτρα. Το υριότερο μειοέτημα της διαύμασης είαι ότι δε εφράζεται στις ίδιες μοάδες με το χαρατηριστιό. Το μειοέτημα αυτό παύει α υπάρχει με τη χρησιμοποίηση της τυπιής απόλισης Συτελεστής Μεταβολής Είαι αθαρός αριθμός. Χρησιμοποιείται ως μέτρο σύγρισης της μεταβλητότητας, ότα έχουμε ίδιες ή αι διαφορετιές μοάδες μέτρησης. Χρησιμοποιείται ως μέτρο ομοιογέειας εός στατιστιού πληθυσμού. Δε εδείυται στη περίπτωση που η μέση τιμή είαι οτά στο μηδέ. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 7

18 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Πρόταση Έστω,,,, οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ με μέση τιμή αι τυπιή απόλιση s αι y, y, y,, y οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Ψ με μέση τιμή y αι τυπιή απόλιση s y. Α y α + β για άθε,,,, αι α, β R, τότε : ) y α + β ) s y α s Απόδειξη ) Είαι y y ) Είαι α + y + + y y ( α + β) + ( α + β) + ( α + β) ( α + β) + β α + β. s y ( y y) + ( y y) + ( y y) ( y y) ( α + β α β) + ( α + β α β) + ( α + β α β) ( α + β α β) ( α α ) + ( α α ) + ( α α ) ( α α ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) α α s. Άρα s y α s Έχουμε λοιπό το παραάτω πίαα. Α y + β y + β s y s y α,,,, y α s y α s αι α, β R τότε y α + β y α + β s y α s Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 8

19 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου Ασήσεις για λύση ) Να συμπληρώσετε το παραάτω πίαα συχοτήτω σχετιώ συχοτήτω. v N f f % F F % ,5 5 Σύολο 0 ) Να συμπληρώσετε το παραάτω πίαα συχοτήτω σχετιώ συχοτήτω. v N f f % 0, 0,5 0,8 4 0,0 5 Σύολο 00 F F % ) Να συμπληρώσετε το παραάτω πίαα συχοτήτω σχετιώ συχοτήτω. v N f f % F F % 0,5 0,75 4 0,95 5 Σύολο 0 4) Να συμπληρώσετε το παραάτω πίαα συχοτήτω σχετιώ συχοτήτω. v N f f % F F % 4 6 0,0 0, Σύολο Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 9

20 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου 5) Να συμπληρώσετε το παραάτω πίαα συχοτήτω σχετιώ συχοτήτω. v N f f % F F % 7,5 0, Σύολο 6) Μια μεταβλητή X παίρει τις τιμές,,, 4. Α η συχότητα v της είαι διπλάσια της συχότητας v της τιμής, η σχετιή συχότητα f της τιμής είαι διπλάσια της σχετιής συχότητας f της τιμής αι η γωία υλιού διαγράμματος της τιμής 4 είαι 08 ο, τότε: ) Να υπολογίσετε τις f, f, f, f 4. ) Να ατασευάσετε το υλιό διάγραμμα. Παρατήρηση : Το υλιό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη παράσταση τόσο τω ποιοτιώ όσο αι τω ποσοτιώ μεταβλητώ. 7) Το παραάτω ραβδόγραμμα δίει το ποσοστό τηλεθέασης 00 ατόμω, οι οποίοι παραολουθού τα αάλια,,, 4. ) Να βρείτε το πλήθος τω τηλεθεατώ που παραολουθεί το αάλι 4. ) Να ατασευάσετε το πίαα συχοτήτω αι σχετιώ συχοτήτω. ) Να μετατρέψετε το ραβδόγραμμα σε υλιό διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω. f % Παρατήρηση : Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη παράσταση ΜΟΝΟΝ τω ποιοτιώ μεταβλητώ. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 0

21 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου 8) Η βαθμολογία μιας ομάδας φοιτητώ σ έα διαγώισμα είαι 4, 5, 6, 7 αι 8. Το 80 % έχει βαθμό τουλάχιστο 5. Οι φοιτητές που έχου βαθμό 4 είαι διπλάσιοι αυτώ που έχου βαθμό 8. Είοσι έας φοιτητές έχου βαθμό άτω από 6. Είοσι τέσσερις φοιτητές έχου βαθμό πάω από 6 αι το 55 % έχει βαθμό 6 ή 7. Να ατασευάσετε το πίαα αταομής συχοτήτω : Ν, f %, F %., 9) Έστω,,, 4 οι τιμές μιας μεταβλητής X με ατίστοιχες σχετιές συχότητες f, f, f, f 4, οι οποίες δίοται από το τύπο f,,,, 4. ) Να αποδείξετε ότι 6. 5 ) Α η απόλυτη συχότητα 4 είαι 64, α βρείτε το πλήθος. ) Α 0 α χαράξετε το υλιό διάγραμμα της παραπάω αταομής. 0) Το παραάτω διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω δίει τα ποσοστά επιτυχίας εός αλαθοσφαιριστή στις ελεύθερες βολές (πέτυχε 4), στα δίποτα (πέτυχε 8) αι τρίποτα (πέτυχε ) ατιστοίχως σε έα αγώα. f % 5 O 4 8 ) Να βρείτε τα ποσοστά αυτά. ) Να ατασευάσετε το υλιό διάγραμμα. Παρατήρηση : Το διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη παράσταση ΜΟΝΟΝ τω διαριτώ ποσοτιώ μεταβλητώ. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας

22 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ) To διπλαό υλιό διάγραμμα ατιστοιχεί σε πλήθος 70 μαθητώ. Α είαι +y8 ) Να αποδείξετε ότι 6 0 αι y45 0. ) Να βρείτε τις συχότητες (απόλυτες) αι α ατασευάσετε το ραβδόγραμμα συχοτήτω y y-5 0 +y ) Μια μεταβλητή X παίρει τις τιμές,,, με ατίστοιχες σχετιές συχότητες f, f, f, για τις οποίες ισχύει f f, εώ η γωία α του υλιού διαγράμματος είαι Να ατασευάσετε το υλιό διάγραμμα αι α υπολογίσετε τις σχετιές συχότητες τω τιμώ. ) Μια μεταβλητή Χ παίρει μόο τις τιμές,, που σε υλιό διάγραμμα τα ατίστοιχα τόξα είαι α 7α α,, 8 8. Να βρείτε τις ατίστοιχες σχετιές συχότητες. 4) Στα σχολεία εός Δήμου υπηρετού 00 επαιδευτιοί. Ο συολιός χρόος υπηρεσίας τω επαιδευτιώ δίεται από το παραάτω πίαα: Α) Πόσοι επαιδευτιοί έχου τουλάχιστο 5 χρόια υπηρεσίας; Β) Με τη προϋπόθεση ότι άθε επαιδευτιός θα συταξιοδοτηθεί, ότα συμπληρώσει 5 χρόια: α) Πόσοι επαιδευτιοί θα συταξιοδοτηθού μέσα στα επόμεα,5 χρόια; Να διαιολογήσετε τη απάτησή σας. β) Πόσοι συολιά επαιδευτιοί πρέπει α προσληφθού μέσα στα επόμεα πέτε χρόια, ώστε ο αριθμός τω επαιδευτιώ που υπηρετού στα σχολεία του Δήμου α παραμείει ο ίδιος; Να διαιολογήσετε τη απάτησή σας. Χρόια υπηρεσίας, [ ) Σχετιή Συχότητα % f (Θέμα Παελληίω Εξετάσεω 000) 5) Μια μεταβλητή Χ παίρει τιμές α, α+, α+, 4α. Να βρείτε τη τιμή του α, α η μέση τιμή τους είαι. 6) Η μέση βαθμολογία εός αθλητή εόργαης γυμαστιής σε 6 αγωίσματα είαι 9,. Η μέση βαθμολογία τω πέτε αλυτέρω επιδόσεω είαι 9,5. Να βρείτε τη μιρότερη επίδοση του αθλητή. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας

23 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου 7) Να βρείτε τους αριθμούς +y,, +8y αι +y με, y > 0, α αυτοί έχου μέση τιμή 7 αι διάμεσο 6. 8) Ο μέσος μηιαίος μισθός υπαλλήλω μιας εταιρείας είαι 00 ευρώ. Α σε άθε υπάλληλο χορηγηθεί αύξηση 5 % αι επίδομα 50 ευρώ α βρείτε πόσος γίεται ο μέσος μηιαίος μισθός τω υπαλλήλω; 9) Η μέση τιμή τω ετήσιω αποδοχώ τω εργαζομέω σε μια επιχείρηση είαι 800. Πως θα διαμορφωθεί η μέση τιμή στις παραάτω περιπτώσεις; α) Σε όλους τους εργαζόμεους δίεται ως δώρο το ποσό τω 000. β) Σε όλους τους εργαζόμεους δίεται αύξηση 5% γ) Σε όλους τους εργαζόμεους δίεται αύξηση 5% αι το ποσό τω ) Η αταομή τω 50 μαθητώ εός Λυείου ως προς τις ώρες μελέτης τους αά εβδομάδα έχει μέση τιμή 5. Α οι 40 μαθητές της Α τάξης μελετού ατά μέσο όρο 8 ώρες τη εβδομάδα, εώ οι 50 μαθητές της Β ατά ώρες, α βρείτε το μέσο χρόο μελέτης τω μαθητώ της Γ τάξης του Λυείου. ) Ο μέσος όρος στα Μαθηματιά τω μαθητώ μιας τάξης εός Λυείου είαι 4. Στη τάξη αυτή ήρθα από άλλο σχολείο δύο μαθητές με βαθμούς, ο έας 9 αι ο άλλος. Ο έος μέσος όρος είαι ίσος με 4,. Να βρεθεί ο αρχιός αριθμός τω μαθητώ της τάξης. ) Ο παραάτω πίαας δίει τις εισπράξεις ( σε δεάδες χιλιάδες ) που έγια από τους ατιπροσώπους μιας εταιρείας ατά τη διάρεια εός έτους. Κλάσεις [, ) Αριθμός Ατιπροσώπω ) Να συμπληρώσετε το πίαα: Κλάσεις Κέτρο Κλάσης v f f % F F % v ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή αι τη διάμεσο. Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας

24 Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ) Ρωτήθηα 50 απόφοιτοι Παεπιστημίου για το βαθμό του πτυχίου τους. Οτώ από αυτούς δήλωσα βαθμό ατά μοάδες μεγαλύτερο του πραγματιού, δεατέσσερις από αυτούς δήλωσα βαθμό ατά μία μοάδα μεγαλύτερο του πραγματιού, εώ οι υπόλοιποι δήλωσα το πραγματιό βαθμό. Α με τους βαθμούς που δηλώθηα προύπτει μέση τιμή 7,6, τότε α βρείτε τη πραγματιή μέση τιμή. 4) Εργολάβος οιοδομώ απασχολεί χτίστες, 5 εργάτες για τη μεταφορά τω υλιώ αι εργάτες ως χειριστές μηχαημάτω. Πληρώει το ίδιο ημερομίσθιο για τους χτίστες αι τους χειριστές μηχαημάτω, εώ για τη μεταφορά τω υλιώ πληρώει ημερομίσθιο ατά 0 ευρώ μιρότερο τω προηγουμέω. Α το μέσο ημερομίσθιο είαι 7,5 ευρώ, τότε α βρείτε: ) Ποιο είαι το ημερομίσθιο άθε ατηγορίας εργαζομέω. ) Πόσα πληρώει συολιά ο εργολάβος άθε ημέρα. 5) Τέσσερις γυαίες έχου ηλιίες με διάμεσο αι μέση τιμή 5 έτη. Α η μεγαλύτερη απ αυτές ρύψει το της ηλιίας της, τότε η μέση τιμή τω ηλιιώ τους γίεται 0 4 έτη, εώ α επιπλέο αι η τρίτη σε ηλιία ρύψει το της ηλιίας της, η μέση 9 τιμή τω ηλιιώ τους γίεται έτη. Πόσο ετώ είαι άθε γυαία; 6) Να υπολογίσετε το εύρος, τη διαύμαση αι τη τυπιή απόλιση τω παρατηρήσεω μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ., 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8. 7) Σε έα δείγμα υποψηφίω που διαγωίστηα στο μάθημα της Έθεσης βρέθηα οι βαθμολογίες, με άριστα το 0, που δίοται στο παραάτω πίαα βαθμολογιώ αι αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω F %. Βαθμολογίες α) Να βρείτε τη μέση τιμή αι τη διαύμαση της βαθμολογίας. [, ) F % β) Να εξετάσετε α το δείγμα είαι ομοιογεές γ) Να εξετάσετε α το δείγμα αολουθεί τη αοιή αταομή δ) Να βρείτε το πλήθος του δείγματος, α γωρίζουμε ότι υποψήφιοι πήρα βαθμολογία6-0, σύμφωα με το διπλαό πίαα. (Δίεται 8, 4 4, 8 ). (Απάτηση : α) _, β) s 4,8, γ) CV, δ) 600 ) Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας 4

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΤΩΝ ημιτελές(veron 6-4-206) ΠΡΟΣΟΧΗ! Επισημαίω ότι οι λύσεις ούτε πλήρεις είαι ούτε έχου διπλοελεγχθεί τουλάχιστο μέχρι τώρα.ετσι ο ααγώστης πρέπει α έχει υπόψη του ότι μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Παγόσμιο χωριό γώσης 0 ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2.3. ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Σοπός: Στη εότητα αυτή παρουσιάζοται τα μέτρα θέσης αι τα μέτρα διασποράς. Ο ορισμός τους αι διάφοροι μέθοδοι υπολογισμού. Γίεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τι οομάζεται συάρτηση Συάρτηση uncton είαι μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο άποιου

Διαβάστε περισσότερα

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΕΤΟΥΣ 007 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Απογευματιή εξέταση στα μαθήματα: «. Άλγεβρα» «.5

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΕ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Tι ονομάζουμε συνάρτηση ; Tι ονομάζουμε πραγματιή συνάρτηση πραγματιής μεταβλητής; Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο .Στη ερώτηση με ποιο μέσο πηγαίετε στη δουλειά σας 0 άτομα απάτησα: αυτοκίητο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τραμ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, τραμ, αυτοκίητο, μετρό, τρόλεϊ,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε .3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 174 47 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το ζήτημα της διαιρετότητας τω αεραίω είαι υρίαρχο θέμα στη Θεωρία τω Αριθμώ Μια έοια που βοηθάει στη μελέτη αι επίλυση προβλημάτω διαιρετότητας είαι η έοια τω ισοϋπόλοιπω αριθμώ

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι 1,,, k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά Β.1. τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους,

Διαβάστε περισσότερα

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α η συάρτηση f είαι

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ 2o Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Το χρώµα κάθε αυτοκιήτου είαι ποιοτική µεταβλητή. Σ Λ 2. * Ο αριθµός τω αθρώπω που παρακολουθού µια συγκεκριµέη τηλεοπτική εκποµπή είαι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi Στατιστική "Υπάρχου τα μικρά ψέματα, τα μεγάλα ψέματα και οι στατιστικές" Μαρκ Τουαί Σε κάθε πρόβλημα της Στατιστικής υπάρχει έας «πληθυσμός» Ω τα στοιχεία του οποίου (άτομα) εξετάζοται ως προς έα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση.4 Μέτρα θέσης Στη συέχεια θα περιγράψουµε κάποια µέτρα, τα οοµαζόµεα µέτρα θέσης. Τα µέτρα θέσης µίας καταοµής, είαι κάποια αριθµητικά µεγέθη που δίου τη θέση του κέτρου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x)

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x) taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f() S + +, R όπου η μέση τιμή και S > η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω εός δείγματος μεγέθους Α η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη

Διαβάστε περισσότερα

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Ο όρος Στατιστική εδεχομέως α προέρχεται από τη λατιική λέξη status (πολιτεία, κράτος) η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικώ δεδομέω που ααφέροται κυρίως στο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ 1 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κλάσµα : Είαι το µαθηµατιό σύµβολο το οποίο δηλώει σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε το όλο αι πόσα µέρη πήραµε Κλάσµα : πόσα µέρη πήραµε σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε : αριθµητής

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 4 o Γενιό Λύειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματιά Γενιής Παιδείας γ Ασήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr 4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Γραπτές αακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Δρ. Πααγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Για το υπολογισμό του βαθμού της ετήσιας επίδοσης τω

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Αρχικά, με τη έοια στατιστική θεωρούσαμε τη απαρίθμηση και καταγραφή τω μετρήσεω. Οι παρατηρήσεις αυτές ή οι μετρήσεις ααφέροται σε συγκεκριμέο ατικείμεο ή γεγοός.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ 2. Ο αριθμός των ανθρώπων που παρακολουθούν μια συγκεκριμένη τηλεοπτική εκπομπή είναι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Επιτρέπεται η χ ρήση του εκπαιδευτικού υλικού εντός του φροντιστηρίου

Επιτρέπεται η χ ρήση του εκπαιδευτικού υλικού εντός του φροντιστηρίου Θεωρία Θ Ε Ω Ρ Ι Α Παελλαδικώ εξετάσεω Βασίλης Γατσιάρης ωρεά υποστηρικτικό υλικό Θεωρία Στο βιβλίο αυτό, για πρακτικούς λόγους χρησιµοποιούµε τα πιο κάτω σύµβολα, για τις διάφορες κατηγορίες τω θεµάτω

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 7 Μάθημα 8ο ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 8 Το διωυμικό θεώρημα μπορεί α αποτελέσει τη βάση για τη απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 1 Νοεμβρίου 016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) 3 3 3 0 15 8 3 Α= + + 3 5 3 9 Πρόβλημα Δίεται

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )

1.  [0,+   ,      >0,   ) 2. ,    >0,  x   ( ) Σελίδα 1 από 5 ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ α, α ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ του Ατώη Κυριακόπουλου 1 ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R = [, ) Θεώρηµα και ορισµός οθέτος, εός πραγµατικού αριθµού α και εός φυσικού αριθµού >, υπάρχει έας

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ () Χρησιµοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων που δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 0 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους, να βρεθεί ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 327 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Κατασκευή καοικώ πολυγώω Η διαδικασία κατασκευής εός καοικού πολυγώου µε πλευρές (καοικό -γωο) ακολουθεί τα εξής βήματα: 1ο Βήμα: 3 Υπολογίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 2 ο. Στατιστική

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 2 ο. Στατιστική Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Κεφάλαιο Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Γˊ Λυκείου Κεφάλαιο ο Στατιστική ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστική είαι έα σύολο αρχώ και μεθοδολογιώ για: το σχεδιασμό της

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. =, όπου x A και g( x) 0.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. =, όπου x A και g( x) 0. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισµός: Συάρτηση (functon) είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β Πράξεις µε Συαρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να παρουσιάσει σύντομα αλλά περιεκτικά τους τρόπους με τους οποίους παρουσιάζονται τα στατιστικά δεδομένα.

Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να παρουσιάσει σύντομα αλλά περιεκτικά τους τρόπους με τους οποίους παρουσιάζονται τα στατιστικά δεδομένα. 2.2. ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ 8 ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σπός Σπός της ενότητας αυτής είναι να παρυσιάσει σύντμα αλλά περιετιά τυς τρόπυς με τυς πίυς παρυσιάζνται τα στατιστιά δεδμένα. Πρσδώμενα απτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17 ΜΕΡΟΣ 1 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ 1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής στο τέλος του β τετραµήνου. Πήραµε τις ακόλουθες βαθµολογίες: 15,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΑ : Είαι γωστό ότι για µια συεχή συάρτηση σε έα διάστηµα, το ολοκλήρωµα F ορίζει έα πραγµατικό αριθµό όπου o είαι έα οποιοδήποτε σηµείο του και α έα αυθαίρετο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική 9. Ποσοτικές μεταβλητές 9.. Κατασκευή πίακα καταομής συχοτήτω 9.. Γραφική παρουσίαση καταομής συχοτήτω 9..3 Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα 9..3. Μέτρα θέσης 9..3. Μέτρα διασποράς 9..3.3

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)! ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

9. Περιγραφική Στατιστική

9. Περιγραφική Στατιστική 9. Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Οι έοιες τυχαία μεταβλητή, τυχαίο δείγμα και πληθυσμός που προσεγγίσαμε και διατυπώσαμε με όρους Πιθαοτήτω στο Α Μέρος, αποτελού βασικές έοιες και της Στατιστικής.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Στατιστική. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Στατιστική Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 1 7 / 5 / 2 0 1 6 Γενικής κεφάλαιο 2 154 ασκήσεις και τεχνικές σε 24 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική Επιμέλεια: ΑΝΔΡΕΑΣ ΓΚΟΥΡΤΖΟΥΝΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 1) Να

Διαβάστε περισσότερα