ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ

Transcript

1 3 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ Γενικά Είσοδος σε σωλήνα Μήκος εισόδου- Οµοιόµορφη ροή Εξίσωση Darcy-Weisbach Απώλειες ενέργειας εξαιτίας τριβών Κατανοµή διατµητικών τάσεων Προσδιορισµός κατανοµής ταχυτήτων και συντελεστή τριβών στη στρωτή ροή Παραβολοειδής κατανοµή ταχυτήτων ροής Μέγιστη και µέση ταχύτητα ροής Συντελεστής τριβών ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Προσδιορισµός κατανοµής ταχυτήτων και συντελεστή τριβών στη τυρβώδη ροή Λογαριθµική κατανοµή ταχυτήτων ροής Μέγιστη και µέση ταχύτητα ροής Συντελεστής τριβών ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Επίδραση της τραχύτητας των τοιχωµάτων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Το διάγραµµα Moody... 3 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Εµπειρικές εξισώσεις υπολογισµού... 5 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σωλήνες εµπορίου-χαρακτηριστικά και γήρανση αυτών Τοπικές απώλειες ενέργειας Γενική εξίσωση υπολογισµού τοπικών απωλειών Τοπικές απώλειες σε απότοµες διαστολές Τοπικές απώλειες σε απότοµες συστολές Τοπικές απώλειες σε βαθµιαίες διαστολές Τοπικές απώλειες σε βαθµιαίες συστολές Τοπικές απώλειες σε αλλαγή κατεύθυνσης σωλήνα Τοπικές απώλειες σε δικλίδες Σηµασία των τοπικών απωλειών Σπηλαίωση και έλεγχος υποπίεσης

2 3 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ 3.1 Γενικά Στo παρόν κεφάλαιο πραγµατοποιούµε τη θεωρητική ανάλυση της ροής σε σωλήνες υπό πίεση. Έχοντας µελετήσει το κεφάλαιο αυτό, θα είσαστε σε θέση 1. Να εκτιµήσετε το µήκος εισόδου της ροής από µια δεξαµενή σε ένα σωλήνα, µετά τον οποίο η ροή γίνεται οµοιόµορφη.. Να υπολογίσετε (α) την κατανοµή των ταχυτήτων ροής, (β) την κατανοµή των διατµητικών τάσεων, (γ) το συντελεστή τριβών f και (δ) τις γραµµικές απώλειες σε οµοιόµορφη ροή υπό πίεση για στρωτή και τυρβώδη ροή σε λείους ή τραχείς σωλήνες. 3. Να περιγράψετε το διάγραµµα Moody και να κατανοήσετε την πρακτική χρησιµότητά του. 3. Είσοδος σε σωλήνα Μήκος εισόδου- Οµοιόµορφη ροή Θυµηθείτε το πείραµα του Reynolds (βλ. Κεφ. 1.4.) και τον ορισµό της οµοιόµορφης ροής (Κεφ ) και παρατηρείστε το Σχ. 3.-1, στο οποίο η ροή εισέρχεται σε ένα σωλήνα. Στα στερεά όρια του σωλήνα αναπτύσσεται ένα οριακό στρώµα, στο οποίο παρατηρείται µια σχετικά σηµαντική πτώση της πίεσης και κατά συνέπεια απώλεια ενέργειας. Εξαιτίας του οριακού στρώµατος η ροή δεν είναι οµοιόµορφη στην αρχή του σωλήνα και γίνεται οµοιόµορφη µετά από ένα µήκος L e, το οποίο καλείται µήκος ανάπτυξης της ροής ή µήκος εισόδου. ΣΧΗΜΑ Είσοδος σε σωλήνα και µήκος εισόδου

3 Για να υπολογίσουµε το L e εφαρµόζουµε τη µέθοδο της διαστατικής ανάλυσης. Η εξαρτηµένη µεταβλητή είναι το L e και οι ανεξάρτητες µεταβλητές που το επηρεάζουν είναι οι ρ, µ, V και D, δηλ. F(L e,ρ,µ,v,d) = 0 (3.-1) Από την εφαρµογή της µεθόδου της διαστατικής ανάλυσης προκύπτει L e F(, Re) = 0 ή D L e F(Re) D = (3.-) δηλ. το L e εξαρτάται µόνο από τον αριθµό Re, VD Re = µ / ρ Από πειραµατική διερεύνηση προέκυψαν οι ακόλουθες προσεγγιστικές εξισώσεις Για στρωτή ροή L e D = 0.06 Re Ισχύει για Re<300 (3.-3) Για τυρβώδη ροή L e 1/ Re D = (3.-4) Στο Σχ. 3.- φαίνεται η γραφική παράσταση των εξ. (3.-3) και (3.-4). 3

4 Le Re (α) Le E+00.0E E E E E+06 Re (β) ΣΧΗΜΑ 3.-. Εξάρτηση του µήκους εισόδου από τον αριθµό Reynolds ΣΧΟΛΙΑ 1. To µήκος εισόδου στην τυρβώδη ροή είναι µικρότερο από αυτό που παρατηρείται στη στρωτή ροή, εξαιτίας του µικρότερου µήκους του τυρβώδους οριακού στρώµατος.. To µήκος εισόδου στην τυρβώδη ροή είναι της τάξης των 0-40 D. Στα συνηθισµένα προβλήµατα ροής που θα αντιµετωπίσουµε τα µήκη των αγωγών είναι της τάξης των 1000 D, οπότε µπορούµε πρακτικά να αγνοήσουµε το µήκος εισόδου και να θεωρήσουµε ότι η οµοιόµορφη ροή ξεκινά από την αρχή του σωλήνα. 4

5 3.3 Εξίσωση Darcy-Weisbach Απώλειες ενέργειας εξαιτίας τριβών Θεωρείστε τη ροή που γίνεται στο όγκο αναφοράς του σωλήνα του Σχ , ο οποίος έχει µήκος x και περιορίζεται από τις διατοµές 1 και. Ο άξονας του σωλήνα λαµβάνεται κατά τη διεύθυνση της ροής x και σχηµατίζει γωνία φ µε την οριζόντια διεύθυνση. Η ροή µπορεί να γίνεται εξαιτίας της διαφοράς πίεσης p=p 1 -p ή και της διαφοράς στάθµης z=z 1 -z µεταξύ των διατοµών 1 και. ΣΧΗΜΑ Όγκος αναφοράς σε ροή σωλήνα Στόχος της παρούσας ανάλυσης της ροής είναι ο προσδιορισµός της εξίσωσης υπολογισµού των γραµµικών απωλειών h f στο µήκος x του σωλήνα, µεταξύ των διατοµών 1 και. Η ανάλυση θα γίνει σε δυο στάδια. Στο πρώτο στάδιο θα προσδιοριστεί η εξίσωση που συνδέει την h f µε τη διατµητική τάση ορίου τ w χρησιµοποιώντας τη µέθοδο του όγκου αναφοράς. Στο δεύτερο στάδιο θα συσχετίσουµε τη τ w µε τα χαρακτηριστικά του ρευστού, της ροής και του σωλήνα χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της διαστατικής ανάλυσης, ώστε τελικά η εξίσωση υπολογισµού του h f να περιέχει µόνο τα χαρακτηριστικά του ρευστού, της ροής και του σωλήνα. Στάδιο 1. Γράφουµε τις εξισώσεις συνέχειας, ενέργειας και ποσότητας κίνησης στο όγκο αναφοράς του Σχ Εξίσωση συνέχειας Q1 = Q = Q ή A1V1 = AV ή V1 = V = V (3.3-1) επειδή πd A1 = A = A = (3.3-) 4 δηλ. η ταχύτητα ροής στο σωλήνα είναι σταθερή στο χώρο και η ροή είναι οµοιόµορφη. 5

6 . Εξίσωση ενέργειας p1 V1 p V H1 = H + hf => z1 + + α1 = z + + α + hf (3.3-3) γ g γ g Επιλύοντας την εξ. (3.3-3) ως προς h f οµοιοµορφίας της ροής) προκύπτει και θεωρώντας ότι α 1 =α =α (εξαιτίας της p1 p V1 V p V p V hf = z1 z + + α α = z + + (α ) = z + + α γ γ g g γ g γ g (3.3-4) δηλ. οι γραµµικές απώλειες ενέργειας στο σωλήνα είναι ίσες µε τη µεταβολή της ενέργειας ή απλά µε την πτώση της γραµµής ενέργειας ΓΕ. Η εξ. (3.3-4) απλοποιείται ακόµα περισσότερο χρησιµοποιώντας την εξ. (3.3-1) ως εξής p p p p = + = = (3.3-5) γ γ γ γ 1 hf z1 z z+ (z+ ) δηλ. οι γραµµικές απώλειες ενέργειας στο σωλήνα είναι ίσες µε τη µεταβολή του πιεζοµετρικού ύψους ή απλά µε την πτώση της πιεζοµετρικής γραµµής ΠΓ. 3. Εξίσωση ποσότητας κίνησης Fpx + Fτ x + Fg x = ρ(v1 Q1 V Q ) = ρ(vq VQ) = 0 (3.3-6) Υπολογίζουµε τις 3 δυνάµεις που εξασκούνται στον όγκο του νερού. (i) ύναµη πίεσης Fp x πd πd πd πd πd Fpx = p1 p = p 1 (p1 p) = p (3.3-7) (ii) ύναµη διάτµησης (τριβές) Fτ x Fτ x = τ πd x (3.3-8) w (iii) ύναµη βαρύτητας Fg x πd Fgx = mgsin φ = ρvgsin φ = γ x sin φ (3.3-9) 4 Η εξ. (3.3-6) γράφεται µε βάση τις εξ. (3.3-7), (3.3-8) και (3.3-9) ως εξής πd πd p τw πd x + γ x sin φ = 0 (3.3-10) 4 4 Θεωρώντας z= x sinφ η εξ. (3.3-10) γράφεται ως εξής 6

7 4τw x γd p = (z + ) ή τw γ D (p + γz) = (3.3-11) 4 x Συνδυάζοντας τις εξ. (3.3-5) και (3.3-11) προκύπτει η εξίσωση που συνδέει τα h f και τ w p (z + ) D h D γ = = ή 4 x 4 x f τw γ γ h f 4τ x γd w = (3.3-1) Στάδιο. Στο στάδιο αυτό θα συσχετίσουµε τη τ w µε τα χαρακτηριστικά του ρευστού (ρ και ν), της ροής (V) και του σωλήνα (D και k s ) χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της διαστατικής ανάλυσης, δηλ. θα προσδιορίσουµε µια εξίσωση της µορφής τ = F(ρ, ν,v,d, k ) (3.3-13) w s Από την εφαρµογή της µεθόδου της διαστατικής ανάλυσης (η οποία περιγράφεται στο Κεφ ) προκύπτει ότι τw f VD k F = = Re =, ρv 8 ν D s ή w 8 τ 1 = fρv (3.3-14) Ο συντελεστής f καλείται συντελεστής τριβών Darcy. O Henry Darcy ( ) ήταν ένας Γάλλος µηχανικός, ο οποίος το 1857 πραγµατοποιώντας πειράµατα ροής σε σωλήνες, µελέτησε για πρώτη φορά την επίδραση της τραχύτητας των σωλήνων στη ροή. Αντικαθιστώντας την εξ. (3.3-14) της τ w στην εξ. (3.3-1), η τελευταία γράφεται ως εξής h f x V = f (3.3-15) D g Για ένα µήκος αγωγού L, η εξ. (3.3-15) γράφεται h f L V = f (3.3-16) D g Η εξ. (3.3-16) ονοµάζεται εξίσωση Darcy-Weisbach, επειδή την πρότεινε ο Γερµανός καθηγητής Julius Weisbach (1945), o οποίος δηµοσίευσε το πρώτο σύγχρονο βιβλίο υδροδυναµικής. ΣΧΟΛΙΑ 1. Σηµειώστε ότι γράψαµε την εξ. (3.3-3) (ενέργειας) στη γενική της µορφή, βλ. εξ. (1.- 10).. Για να καταλήξουµε στις εξ. (3.3-1), (3.3-14) και (3.3-16) χρησιµοποιήσαµε και τις 3 βασικές εξισώσεις ροής (συνέχειας, ενέργειας και ποσότητας κίνησης), καθώς και τη µέθοδο της διαστατικής ανάλυσης, χωρίς να διακρίνουµε αν η ροή είναι στρωτή ή τυρβώδης. Άρα, οι εξ. (3.3-1), (3.3-14) και (3.3-16) ισχύουν για στρωτή και τυρβώδη ροή υπό πίεση σε κλειστούς αγωγούς οιασδήποτε σταθερής διατοµής. 7

8 3. Σύµφωνα µε την εξ. (3.3-14), ο συντελεστής f εξαρτάται από το είδος της ροής (Re) και τη γεωµετρία του αγωγού, όπως αυτή εκφράζεται από το λόγο k s /D, ο οποίος καλείται σχετική τραχύτητα του σωλήνα. 4. Η εξ. (3.3-16) είναι πολύ σηµαντική και θα τη χρησιµοποιείτε πολύ συχνά στις ασκήσεις, αλλά και στο ελεύθερο επάγγελµα σας, εφόσον ασχοληθείτε µε προβλήµατα ροής υπό πίεση σε κλειστούς αγωγούς. Για να την εφαρµόσουµε θα πρέπει να προσδιορίσουµε το συντελεστή f. Αυτό θα το κάνουµε στο Κεφ Κατανοµή διατµητικών τάσεων Για να προσδιορίσουµε την κατανοµή ταχυτήτων ροής στο σωλήνα του Σχ , θα πρέπει να προσδιορίσουµε πρώτα την αντίστοιχη κατανοµή των διατµητικών τάσεων. Για να κάνουµε αυτή την ανάλυση της ροής, θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο της διαφορικής ανάλυσης επιλύοντας τις βασικές διαφορικές εξισώσεις ροής, τις οποίες γνωρίσαµε στο Κεφ Γράφουµε τις βασικές διαφορικές εξισώσεις ροής στη γενική τους µορφή και σε κυλινδρικό σύστηµα συντεταγµένων (βλ. Σχ ). 1. Εξίσωση συνέχειας 1 1 u (rv r ) + (v θ ) + = 0 r r r θ x (3.4-1) όπου u, v r και v θ είναι οι ταχύτητες ροής κατά µήκος της ροής (διεύθυνση x), την ακτινική διεύθυνση r και την πολική διεύθυνση θ, αντίστοιχα.. Εξίσωση ποσότητας κίνησης ΣΧΗΜΑ Σκαρίφηµα ροής σε σωλήνα µήκους x u p 1 ru = + ρg x + (rτ) x x r r (3.4-) Από την εξ. (3.4-1) προκύπτει ότι v r =0 και v θ =0, οπότε 8

9 u = 0 x (3.4-3) δηλ. η ταχύτητα ροής u εξαρτάται µόνο από την ακτινική διεύθυνση r και όχι από το x, δηλ. η ροή είναι οµοιόµορφη. 3. Θέτοντας gx γράφεται = g sin φ και εισάγοντας την εξ. (3.4-3) στην εξ. (3.4-), η τελευταία dp 1 (p ρg sin φ) = (rτ) ή 1 (rτ) = dp (p + γz) dx r r r r dx (3.4-4) Ο αριστερός όρος της εξ. (3.4-4) εξαρτάται µόνο από το r και ο δεξιός όρος µόνο από το x. Εποµένως, οι δυο όροι θα πρέπει να είναι ίσοι µε την ίδια σταθερά. 4. Ολοκληρώνουµε την εξ. (3.4-4) και θέτουµε τ=0 για r=0, οπότε προκύπτει r d r τ = (p + γz) = K (3.4-5) dx όπου Κ είναι µια σταθερά ίση µε την κλίση της πίεσης, δηλ. d K = (p + γz) (3.4-6) dx Παρατηρείστε στο Σχ ότι η διατµητική τάση µεταβάλλεται γραµµικά από τον άξονα του αγωγού µέχρι το τοίχωµα αυτού (r=r=d/), όπου λαµβάνει τη µέγιστη τιµή της που είναι ίση µε ΣΧΟΛΙΑ R d D (p + γz) τ w = (p + γz) = (3.4-7) dx 4 x d 1. Στην εξ. (3.4-5) ο όρος (p + γz) είναι αρνητικός, γιατί η πίεση και το υψόµετρο dx µειώνονται µε το x, δηλ. υπάρχει πτώση της ΠΓ.. Παρατηρείστε ότι η εξ. (3.4-7) είναι ίδια µε την εξ. (3.3-1). Επίσης, σηµειώστε ότι οι δυο εξισώσεις ισχύουν για στρωτή και τυρβώδη ροή. Η διάκριση σε στρωτή και τυρβώδη ροή γίνεται στη συνέχεια για τον προσδιορισµό της τιµής του f και της κατανοµής των ταχυτήτων ροής ανάλογα µε το είδος της ροής. 3.5 Προσδιορισµός κατανοµής ταχυτήτων και συντελεστή τριβών στη στρωτή ροή Παραβολοειδής κατανοµή ταχυτήτων ροής Για να προσδιορίσουµε την κατανοµή ταχυτήτων στη στρωτή ροή θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο της διαφορικής ανάλυσης και την εξ. (1.-14), η οποία ισχύει για στρωτή ροή (νευτώνιου ρευστού) και γράφεται ως εξής 9

10 du(r) τ = µ (3.5-1) dr Εξισώνουµε την εξ. (3.4-5) µε την εξ. (3.5-1), οπότε προκύπτει du(r) r µ = K ή dr K du(r) = rdr (3.5-) µ Ολοκληρώνουµε την εξ. (3.5-) και προκύπτει K = + (3.5-3) 4µ u(r) r C1 Εφαρµόζουµε τη φυσική οριακή συνθήκη u=0 στο τοίχωµα του σωλήνα (r=r) και προσδιορίζουµε τη σταθερά C 1 ίση µε K C - R 4µ 1 = (3.5-4) Εισάγοντας την εξ. (3.5-4) στην εξ. (3.5-3), η τελευταία γράφεται ως εξής K K K 1 d = = = + (3.5-5) 4µ 4µ 4µ 4µ dx u(r) r R (R r ) (p γz)(r r ) Η εξ. (3.5-5) δείχνει ότι η κατανοµή της ταχύτητας είναι παραβολοειδής ή ακριβέστερα είναι ένα παραβολοειδές εκ περιστροφής (βλ. Σχ ) Μέγιστη και µέση ταχύτητα ροής Η µέγιστη ταχύτητα ροής u max παρατηρείται στον άξονα του σωλήνα (r=0) και προσδιορίζεται από την εξ. (3.5-5) για r=0, δηλ. K 1 d u R (p γz)r 4µ 4µ dx max = = + (3.5-6) Συνδυάζοντας την εξ. (3.5-5) µε την εξ. (3.5-6) προκύπτει r u(r) = u max (1 ) (3.5-7) R Υπολογίζουµε τη µέση ταχύτητα ροής V από την εξ. (3.3-1). Q V = (3.3-1) A Για να υπολογίσουµε την παροχή Q πρέπει να ολοκληρώσουµε την εξ. (3.5-7), δηλ. u Q = uda = u (1 )πrdr = πr R r max max (3.5-8) R 0 10

11 οπότε προκύπτει 1 V = u max (3.5-9) δηλ. η µέση ταχύτητα της ροής είναι ίση µε το µισό της µέγιστης Συντελεστής τριβών Πρώτα υπολογίζουµε τη διατµητική τάση στο τοίχωµα. Χρησιµοποιούµε την εξ. (3.5-1), στην οποία εισάγουµε την παράγωγο της εξ. (3.5-7) και την εξ. (3.5-9) ως εξής du µu µ(v) 8µV = = = = (3.5-10) max τ w µ dr r= R R (D / ) D Αντικαθιστούµε την εξ. (3.5-10) στην εξ. (3.3-14) και υπολογίζουµε τον συντελεστή τριβών για στρωτή ροή f στ ίσο µε f 8µV 8τ 8( ) D = = = = (3.5-11) ρv ρv VD ( ) Re µ / ρ w στ Αντικαθιστώντας την εξ. (3.5-11) στην εξ. (3.3-15), η τελευταία γράφεται h 64 L V 3µ L f = = V (3.5-1) VD ( ) D g ρg D µ / ρ ΣΧΟΛΙΑ 1. Η στρωτή ροή σε σωλήνα που ακολουθεί την κατανοµή της εξ. (3.5-7) ονοµάζεται ροή Hagen-Poiseuille σε ανάµνηση της πειραµατικής έρευνας των G. Hagen (1839) και J. L. Poiseuille (1841).. Παρατηρείστε ότι η παροχή, που υπολογίζεται µε την εξ. (3.5-8), είναι ίση µε τον όγκο του παραβολοειδούς, η βάση του οποίου έχει µονάδες επιφάνειας [L ] και το ύψος του µονάδες ταχύτητας [L/T]. 3. Προσέξτε ότι σύµφωνα µε την εξ.(3.5-11), ο συντελεστής τριβών στη στρωτή ροή f στ µειώνεται µε την αύξηση του αριθµού Reynolds. Αυτό βέβαια δεν σηµαίνει ότι και η διατµητική τάση µειώνεται µε τον αριθµό Reynolds, καθόσον η εξ. (3.5-10) δείχνει σαφώς ότι η τ w είναι ανάλογη της ταχύτητας ροής. 4. Παρατηρείστε ότι σε λογαριθµικό διάγραµµα η εξ. (3.5-11) είναι ευθεία γραµµή (βλ. Κεφ.3.6.5, διάγραµµα Moody). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Στο σωλήνα του Σχ. 1 πραγµατοποιείται ροή λαδιού SAE 30. Η πίεση στις διατοµές 1 και µετρήθηκε ίση µε p 1 =55000 Pa και p =10000 Pa. 11

12 1. Υποθέτοντας ότι η ροή είναι στρωτή υπολογίστε (i) τη φορά της ροής, (ii) τις απώλειες h f µεταξύ των διατοµών 1 και, (iii) την παροχή Q, (iv) τη µέση ταχύτητα V και (4) τον αριθµό Reynolds Re.. Ισχύει η παραδοχή που κάνατε ότι η ροή είναι στρωτή; 3. Επαναλάβατε τους υπολογισµούς για υγρό µε πυκνότητα ίση µε το 1/3 της πυκνότητας του λαδιού και σχολιάστε τα αποτελέσµατα. ΣΧΗΜΑ 1. Ροή λαδιού σε σωλήνα του παραδείγµατος Λύση 1. Υπολογίζουµε τα χαρακτηριστικά του λαδιού από τον Πίν kg 0.9 µ m ν = ms ρ = kg = 891 s m 3 kg m kg γ = ρg = (891 )(9.81 ) = m s m s 3. Υπολογίζουµε τις τιµές της ΠΓ στις διατοµές 1 και και τις απώλειες h f. p ΠΓ1 = z1 + = = 7.9 m γ p o ΠΓ = z + = ( sin 30 ) + = 6.14 m γ Εφόσον ΠΓ 1 >ΠΓ, η ροή γίνεται από τη διατοµή 1 προς τη διατοµή, δηλ. προς τα πάνω. Οι απώλειες είναι ίσες µε h f = = 1.15 m και p hf = (z + ) = 1.15 m και γ 1

13 d 1.15 m s K = (p + γz) = = dx 8.0 kg 3. Υπολογίζουµε τη µέγιστη ταχύτητα ροής από την εξ. (3.5-6) και τη µέση ταχύτητα από την εξ. (3.5-9). K u max = R = 0.06 = 3.9 m / s 4µ V = u max = 3.9 = 1.95 m / s 4. Υπολογίζουµε την παροχή, τον αριθµό Reynolds και το συντελεστή f από την εξ. (3.5-11). 3 Q = VπR = 1.95π(R ) = 0.0 m / s 5. Ελέγχουµε αν η ροή είναι στρωτή. VD 1.95 ( 0.06) Re = = = 70 ν fστ = = = Re 70 Εφόσον Re=70<300, η ροή είναι όντως στρωτή, όπως υποθέσαµε. 6. Επαναλαµβάνουµε τους υπολογισµούς για µ=0.9/3=0.097 kg/ms και παραθέτουµε τα αποτελέσµατα στον Πίν.. Εύκολα διαπιστώνουµε ότι η ροή είναι τυρβώδης, καθόσον Re=6460>300, οπότε δεν ισχύουν οι εξισώσεις της στρωτής ροής του Κεφ.3.5. οκιµάστε να κάνετε µόνοι σας τους υπολογισµούς και να επιβεβαιώσετε τα νούµερα του Πίν.. Χρησιµοποιείστε φύλλο υπολογισµών EXCEL και δοκιµάστε διάφορες τιµές µ και ρ παρατηρείστε πόσο σηµαντικό ρόλο παίζουν αυτές στο είδος της ροής. Πίνακας. Υπολογιζόµενα στοιχεία του παραδείγµατος Λάδι 1 Λάδι Μονάδες µ kg/ms ρ kg/m 3 ν m /s g m/s γ kg/m s R m Dx m z m φ ο z m p Pa p Pa 13

14 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3.5- ΠΓ m ΠΓ m h f m Κλίση ΠΓ K m s /kg u max 3.89 (11.68) m/s V 1.95 (5.84) m/s Q 0.0 (0.066) m 3 /s R e f (0.010) - Σχεδιάστε τις κατανοµές των διατµητικών τάσεων και ταχυτήτων ροής στο σωλήνα του παραδείγµατος Λύση 1. Η κατανοµή των ταχυτήτων ροής υπολογίζεται από την εξ. (3.5-7) r u(r) = = r (0.06) (1). Η κατανοµή των διατµητικών τάσεων υπολογίζεται από την εξ. (3.4-5) r m s τ = K = r = 68.8 r kg () Για r=r=0.06 m υπολογίζεται τw = 68.8(0.06) = 37.7 Pa Η κατανοµή των διατµητικών τάσεων είναι γραµµική µε µηδενική τιµή στον άξονα του αγωγού (τ=0 για r=0) και τιµή τ w στο όριο. Έλεγχος. Υπολογίζουµε την τ w από την εξ. (3.5-10). 8 (0.9 kg / ms) (1.95 m / s) kg τw = = 37.7 = 37.7 Pa (0.1 m) ms Η κατανοµή των ταχυτήτων ροής και των διατµητικών τάσεων φαίνεται στο Σχ

15 u(r),τ(r) r ΣΧΗΜΑ 1. Κατανοµή ταχυτήτων ροής και διατµητικών τάσεων του παραδείγµατος Προσδιορισµός κατανοµής ταχυτήτων και συντελεστή τριβών στη τυρβώδη ροή Λογαριθµική κατανοµή ταχυτήτων ροής Στην τυρβώδη ροή θεωρούµε ότι ισχύει η λογαριθµική κατανοµή ταχυτήτων ροής, βλ. εξ. (.3-10), την οποία γράφουµε αντικαθιστώντας την απόσταση από το τοίχωµα y µε την απόσταση από το εσωτερικό τοίχωµα του σωλήνα, R-r, δηλ. u(r) (R r)u = u + ν * *.44 ln 5.0 (3.6-1) 3.6. Μέγιστη και µέση ταχύτητα ροής Η µέγιστη ταχύτητα ροής u max, η οποία παρατηρείται στον άξονα του σωλήνα, προσδιορίζεται από την εξ. (3.6-1) θέτοντας r=0, δηλ. u u max * * Ru =.44 ln ν (3.6-) Η µέση ταχύτητα ροής υπολογίζεται ακολουθώντας τη µεθοδολογία που εφαρµόσαµε στην περίπτωση της στρωτής ροής, βλ. εξ. (3.5-8), δηλ. ολοκληρώνοντας την εξ. (3.6-1) για να βρούµε την παροχή και διαιρώντας µε την επιφάνεια. R Q 1 (R r)u* u* Ru* V = = u *(.44 ln 5.0)πrdr (.44 ln ) A πr + = + ν ν 0 15

16 ή V Ru.44ln * 1.34 u * = + ν (3.6-3) Συντελεστής τριβών Πρώτα, υπολογίζουµε τη διατµητική τάση στο τοίχωµα χρησιµοποιώντας την εξ. (.3-1). τw u* = => τw = ρu* (.3-1) ρ Επίσης, ισχύει η εξ. (3.3-14) τw f = (3.3-14) ρv 8 Συνδυάζοντας την εξ. (.3-1) µε την εξ. (3.3-14) προκύπτει V 8 = (3.6-4) u f * Εκφράσουµε την ποσότητα Ru * /ν ως συνάρτηση του αριθµού Reynolds ως εξής Ru* (D / )V u* Re f = = (3.6-5) ν ν V 8 Αντικαθιστούµε την εξ. (3.6-4) και την εξ. (3.6-5) στην εξ. (3.6-3), η οποία γράφεται ως εξής 8 Re f =.44 ln 1.34 f + 8 (3.6-6) Χρησιµοποιώντας log10 (λογάριθµο µε βάση το 10), η εξ. (3.6-6) µετά από πράξεις γράφεται στην ακόλουθη µορφή ( ) log Re f 1.0 f = (3.6-7) Ο Prandtl (1935) τροποποίησε τους συντελεστές της εξ. (3.6-7) για να προσαρµόζεται καλύτερα σε πειραµατικά δεδοµένα ως εξής ( ) 1.0 log Re f 0.8 f = (3.6-8) Παρατηρείστε ότι η εξ. (3.6-8) είναι πεπλεγµένη, δηλ. δεν µπορούµε να τη λύσουµε απευθείας (ρητή επίλυσή) ως προς f, όπως κάναµε στην περίπτωση της στρωτής ροής, βλ. εξ. (3.5-11). Μια απλή µέθοδος επίλυσης της εξ. (3.6-8) είναι µε δοκιµές. ιάφοροι ερευνητές προσπάθησαν να προσεγγίσουν την πεπλεγµένη εξ. (3.6-8) από µια ρητή. Χαρακτηριστικά παραδείγµατα αποτελούν οι εξισώσεις του Blasius (1911), ο οποίος ήταν µαθητής του Prandtl, και του Colebrook. f Re 1/ 4 = Εξίσωση Blasius. Ισχύει για 4000<Re< (3.6-9) 16

17 f ( ) = 1.8log Re Εξίσωση Colebrook (3.6-10) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σε λείο σωλήνα µήκους L=1000 m και διαµέτρου D=600 mm που τοποθετείται µε κλίση ο κατά τη διεύθυνση της ροής πραγµατοποιείται ροή νερού (ρ=998 kg/m 3 και µ= kg/ms) παροχής Q=.0 m 3 /s. Υπολογίστε (i) τις γραµµικές απώλειες h f και (ii) την πτώση πίεσης. Λύση 1. Υπολογίζουµε τα ν και γ µ kg / ms ν = 3 ρ = 998 kg / m = m / s 3 γ = ρg = (998 kg / m )(9.81 m / s ) = kg / m s. Υπολογίζουµε τη µέση ταχύτητα ροής και τον αριθµό Reynolds πd A = και 4 3 4Q 4( m / s) V = = = 7.07 m / s πd π (0.6 m) VD (7.07 m / s) (0.600 m) Re = = = 4975 ν m / s 4. Από την εξ. (3.6-8) υπολογίζουµε το f εφαρµόζοντας την ακόλουθη διαδικασία δοκιµών. Υποθέτουµε f= και υπολογίζουµε από την εξ. (3.5-11) f= Υποθέτουµε f= και υπολογίζουµε από την εξ. (3.5-11) f= Υποθέτουµε f=0.009 και υπολογίζουµε από την εξ. (3.5-11) f= Χρειάστηκαν 3 δοκιµές για να υπολογίσουµε το f µε ακρίβεια 4 ου δεκαδικού. 5. Υπολογίζουµε τις γραµµικές απώλειες h f από την εξ. (3.3-16). L V (1000 m) (7.07 m / s) hf = f = = m D g (0.600 m) (9.81m / s ) 6. Υπολογίζουµε την πτώση της πίεσης από την εξ. (3.3-5). p hf = z + = m γ o z = (1000 m) sin( ) = m, οπότε p ( ) m 4.14 m γ = = και 17

18 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3.6- p = ( kg / m s )(4.14 m) = Pa Σχεδιάστε την κατανοµή ταχυτήτων ροής στο σωλήνα του παραδείγµατος Λύση 1. Υπολογίζουµε τη διατµητική τάση ορίου από την εξ. (3.3-1) D h (0.600 m) ( m) = = = 4 x 4 (1000 m) f τw γ ( kg / m s ) 5745 kg / ms. Υπολογίζουµε τη u * από την εξ. (.3-3) u = τ kg / ms 0.40 m / s ρ = 998 kg / m = w * 3 3. Η κατανοµή ταχυτήτων ροής δίνεται από την εξ. (3.6-4), η οποία γράφεται u(r) Ru* ru* =.44 ln 5.0 u + * ν (0.300 m)(0.40 m / s) r(0.40 m / s) u(r) = (0.40 m / s)(.44)ln + (5.0)(0.40 m / s) m / s u(r) = ln ( r) + 1. Σχεδιάζουµε την κατανοµή ταχυτήτων ροής, η οποία φαίνεται στο Σχ u(r) r ΣΧΗΜΑ 1. Κατανοµή ταχυτήτων ροής του παραδείγµατος

19 3.6.4 Επίδραση της τραχύτητας των τοιχωµάτων Η εξ. (3.6-8) δείχνει ότι ο συντελεστής f εξαρτάται µόνο από το είδος της ροής, δηλ. µόνο από τον αριθµό Reynolds. Όµως, σύµφωνα µε την εξ. (3.3-14), αλλά και µε βάση πειράµατα που πραγµατοποιήθηκαν από τον Coulomb (1800), διαπιστώθηκε ότι υπάρχει επίδραση της τραχύτητας του σωλήνα στην τιµή του f. Η επίδραση αυτή είναι αµελητέα στην περίπτωση της στρωτής ροής, δηλ. οι εξισώσεις του Κεφ. 3.5 ισχύουν και για τραχέα τοιχώµατα, αλλά είναι ιδιαίτερα σηµαντική στην περίπτωση της τυρβώδους ροής. O Nikuradse (1933), o οποίος ήταν µαθητής του Prandtl, διερεύνησε πειραµατικά την επίδραση της σχετικής τραχύτητας k s /D για τυρβώδη ροή σε σωλήνες µεταβάλλοντας τις τιµές του λόγου k s /D «κολλώντας» κόκκους άµµου διαφόρων µεγεθών στο εσωτερικό τοίχωµα των σωλήνων. Στη συνέχεια υπολόγιζε τη πτώση πίεσης και την παροχή και συσχέτιζε το συντελεστή f µε τον Re και το k s /D. Η συσχέτιση αυτή παρουσιάζεται στο Σχ , στο οποίο µε κουκίδες συµβολίζονται οι µετρήσεις και µε συνεχείς γραµµές οι καµπύλες f-re που ακολουθούν τις µετρήσεις. Στο Σχ φαίνονται και οι εξισώσεις της στρωτής ροής (εξ. (3.5-11), του Prandtl (εξ. (3.6-8)) και του Blasius (εξ. (3.6-9)). ΣΧΗΜΑ Επίδραση της τραχύτητας στην τιµή του συντελεστή f για τυρβώδη ροή Στο Σχ διακρίνουµε 3 περιοχές διαφορετικής συµπεριφοράς των καµπυλών f-re: 1. Περιοχή της στρωτής ροής (Re<300). Η καµπύλη f-re συµπίπτει σχεδόν µε την εξ. (3.5-11), δηλ. οι τιµές του f δεν εξαρτώνται από το k s /D. 19

20 . Περιοχή της µεταβατικής τυρβώδους ροής. Στην περιοχή αυτή παρατηρούµε ότι υπάρχει αρχικά ένα τµήµα της καµπύλης f-re που ακολουθεί την εξίσωση του Prandtl (το οποίο είναι τόσο µεγαλύτερο, όσο µικρότερος είναι ο λόγος k s /D) και στη συνέχεια ένα τµήµα µονότονης ανόδου της καµπύλης f-re, στο οποίο η τιµή του f είναι σηµαντικά µεγαλύτερη από αυτή που υπολογίζεται µε την εξίσωση του Prandtl. 3. Περιοχή πλήρως τυρβώδους ροής. Εδώ βλέπουµε ότι η καµπύλη f-re είναι παράλληλη µε τον άξονα του Re, δηλ. οι τιµές του f δεν εξαρτώνται από τον Re, αλλά µόνο από το k s /D. Οι 3 αυτές περιοχές καθορίζονται από την τιµή της παραµέτρου k + =k s u * /ν. Οι υδραυλικά λείοι σωλήνες αντιστοιχούν σε τιµές k + <5, οι υδραυλικά τραχείς σε τιµές k + >70, ενώ στις ενδιάµεσες τιµές αντιστοιχούν οι σωλήνες µεταβατικής τραχύτητας. O Nikuradse παρατήρησε ότι σε υδραυλικά τραχείς σωλήνες, η παρουσία της τραχύτητας ωθεί τη λογαριθµική κατανοµή προς τα πάνω (δηλ. ο f αυξάνεται) κατά µια ποσότητα περίπου ίση µε ln k +, όπου k + =k s u * /ν είναι µια αδιάστατη µορφή της τραχύτητας σε αντιστοιχία µε την ποσότητα y + =y u * /ν. H κλίση του νόµου της λογαριθµικής κατανοµής παραµένει η ίδια (ίση µε 1/κ=.44), ενώ η σταθερά Β=5.0 µειώνεται κατά Β=(1/κ) ln k Έτσι, η εξ. (3.6-1), η οποία ισχύει για λεία τοιχώµατα, τροποποιείται ως εξής για τραχέα τοιχώµατα u(r) (R r)u 1 k u R r = + u* ν κ = + ν ks * s *.44 ln 5.0 ( ln 3.5).44 ln 8.5 (3.6-11) Υπολογίζουµε τη µέγιστη ταχύτητα ροής από την εξ. (3.6-11) θέτοντας r=0, δηλ. u u max R =.44 ln (3.6-1) k * s Υπολογίζουµε τη µέση ταχύτητα ολοκληρώνοντας την εξ. (3.6-11), οπότε προκύπτει V.44ln s 3. Εξισώνοντας την εξ. (3.6-13) µε την εξ. (3.6-4) u * k = + (3.6-13) D προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση V 8 = (3.6-4) u f * 8 f k s =.44 ln + 3. (3.6-14) D Χρησιµοποιώντας log10, η εξ. (3.6-14) µετά από πράξεις γράφεται µε την ακόλουθη µορφή 0

21 k s 1 =.0log D f 3.7 Ισχύει για y + >70 (3.6-15) Με την εξ. (3.6-15) µπορούµε να υπολογίσουµε το f για πλήρως τραχείς σωλήνες (y + >70). Πώς µπορούµε όµως να υπολογίσουµε το f στην περιοχή της µεταβατικής τυρβώδους ροής; Την απάντηση στο ερώτηµα αυτό έδωσε ο Colebrook (1939), ο οποίος συνδύασε την εξ. (3.6-8) µε την εξ. (3.6-15) και κατέληξε στην εξ. (3.6-16). k s 1 D.51 =.0log + f 3.7 Re f (3.6-16) Η εξ. (3.6-16) του Colebrook είναι πεπλεγµένη, όπως και η εξ. (3.6-8) και επιλύεται µε ανάλογο τρόπο. Η εξ. (3.6-16) είναι γνωστή και ως εξίσωση των Colebrook and White (1937). Σηµαντικές έρευνες έχουν γίνει µε στόχο την ανάπτυξη προσεγγιστικών-ρητών εκφράσεων της εξ. (3.6-17). Χαρακτηριστικά αναφέρονται οι εξισώσεις των Swamee and Jain (1976), οι οποίες εφαρµόζονται στο Κεφ. 4.. Σηµειώνεται, πάντως, ότι οι ρητές εξισώσεις είχαν ιδιαίτερη αξία πριν από χρόνια. Σήµερα, η εξ. (3.6-16) λύνεται εύκολα σε περιβάλλον ΕXCEL, γεγονός που έχει περιορίσει την αξία των προσεγγιστικών-ρητών σχέσεων. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Επαναλάβατε τους υπολογισµούς του παραδείγµατος θεωρώντας ότι ο σωλήνας είναι από χυτοσίδηρο και σχολιάστε τα αποτελέσµατα. Λύση 1. Aπό τον Πίν βρίσκουµε την τραχύτητα ίση µε k s =0.6 mm και υπολογίζουµε τη σχετική τραχύτητα ίση µε k 0.6 mm s = = D 600 mm. Από την εξ. (3.6-13) υπολογίζουµε τη u * u * V m / s = = = 0.30 m / s ks [.44 ln( ) ln 3. ] + D 3. Υπολογίζουµε την ποσότητα k s u * /ν k u ( mm)(0.30 m / s) = = 8.8 > 70 s * ν ( m / s) 1

22 Άρα, ο σωλήνας είναι υδραυλικά τραχύς.. 4. Υπολογίζουµε το f από την εξ. (3.6-15) ή την εξ. (3.6-4) k s D f = 1/(.0 log = 1/(.0 log = m / s f = 8 = m / s Εάν χρησιµοποιήσουµε την εξ. (3.6-16) υπολογίζεται µε δοκιµές f= Υπολογίζουµε τις γραµµικές απώλειες h f από την εξ. (3.3-16). L V (1000 m) (7.074 m / s) hf = f = = m D g (0.600 m) (9.81m / s ) 6. Υπολογίζουµε την πτώση της πίεσης από την εξ. (3.3-5). p hf = z + = m γ o z (1000 m) sin( ) m = =, οπότε p ( ) m m γ = = και p = ( kg / m s )( m) = 3363 Pa 7. Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση του χυτοσιδηρού σωλήνα ο συντελεστής f και οι απώλειες αυξάνονται κατά περίπου 76% και η πτώση πίεσης επταπλασιάζεται. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σχεδιάστε την κατανοµή ταχυτήτων ροής στο σωλήνα του παραδείγµατος Λύση Η κατανοµή ταχυτήτων ροής δίνεται από την εξ. (3.6-11), η οποία γράφεται ως εξής u(r) (0.300 m r) =.44 ln m / s m ή u(r) = ln( r) +.7 Σχεδιάζουµε την κατανοµή ταχυτήτων ροής, η οποία φαίνεται στο Σχ. 1 µαζί µε την κατανοµή του λείου σωλήνα.

23 0.00 u(r) r Λείoς σωλήνας Τραχύς σωλήνας ΣΧΗΜΑ 1. Κατανοµή ταχυτήτων ροής του παραδείγµατος Το διάγραµµα Moody Το 1944 ο Lewis Moody, καθηγητής Υδραυλικής Μηχανικής στο Πανεπιστήµιο Princeton, παρουσίασε την εξ. (3.6-16), εξίσωση του Colebrook, στο διάγραµµα του Σχ Το διάγραµµα αυτό ονοµάστηκε διάγραµµα Moody. Παράλληλα, ο Moody (1944) προσδιόρισε τιµές της τραχύτητας k s για διάφορα υλικά σωλήνων του εµπορίου (βλ. κεφ. 3.8), οι οποίες φαίνονται στον Πίν Πίνακας Τιµές της τραχύτητας k s για διάφορα υλικά σωλήνων του εµπορίου Υλικό k s (mm) Σκυρόδεµα Βιοµηχανικός χάλυβας Ξύλο Χυτοσίδηρος 0.6 Γαλβανισµένος σίδηρος 0.15 Ασφαλτικός χυτοσίδηρος 0.1 Γυαλί 0 (Λείος) Σηµειώστε τα ακόλουθα για το διάγραµµα Moody : 1. Είναι πιθανώς το περισσότερο γνωστό και χρήσιµο διάγραµµα στην επιστήµη του Υδραυλικού Μηχανικού.. Έχει ακρίβεια ±15 % σε όλη την περιοχή εφαρµογής του. 3. Στην περιοχή της µεταβατικής τυρβώδους ροής (300<Re<4000) υπάρχει αδυναµία υπολογισµού του f. 4. Μπορεί να χρησιµοποιηθεί για ροή υπό πίεση σε σωλήνες και σε άλλης γεωµετρίας αγωγούς (βλ. Κεφ. 5), αλλά και σε αγωγούς ροής µε ελεύθερη επιφάνεια. 3

24 Σχετική τραχύτητα k s /D Στρωτή ροή 16 f = Re Πλήρως ανεπτυγµένη τυρβώδης ροή Τραχείς σωλήνες VD Αριθµός Reynolds Re = (λογαριθµική κλίµακα) 10 7 ν ΣΧΗΜΑ ιάγραµµα Moody κρίσιµη περιοχή Λείοι σωληνες Μεταβατική περιοχή Συντελεστής τριβών f (λογαριθµική κλίµακα)

25 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Κατασκευάστε ένα απλό «δικό σας» διάγραµµα Moody και σχολιάστε. Λύση 1. Λύνουµε την εξ. (3.6-16) και βρίσκουµε την τιµή του f για διάφορες τιµές των k s /D (έστω 0.005, και 0.030) και Re (έστω 000, 4000, 5000, 10000, 0000, 40000, 50000, 75000, , 50000, και ). Σχεδιάζουµε τις 3 καµπύλες στο Σχ. 1 που αντιστοιχούν στις τρεις τιµές του λόγου k s /D. Η επίλυση και γραφική παράσταση γίνεται πολύ εύκολα σε περιβάλλον EXCEL.. Για τις ίδιες τιµές του σχεδιάζουµε την εξ. (3.6-8) για λείο σωλήνα, την εξ. (3.6-9), προσεγγιστική Blasius για λείο σωλήνα, καθως και την εξ. (3.5-11) για τη στρωτή ροή. Παρατηρείστε τα ακόλουθα: 1. Όταν αυξήσουµε το k s /D, η καµπύλη του f µετακινείται προς τα πάνω και αυξάνεται η τιµή του f.. Όταν αυξήσουµε τον Re ο f µειώνεται µέχρι κάποια τιµή του Re και στη συνέχεια σταθεροποιείται. 3. Η προσεγγιστική εξίσωση του Blasius για λείο σωλήνα, εξ. (3.6-9), ταυτίζεται µε την ακριβή εξ. (3.6.8) για αριθµούς Re µέχρι f ks/d=0.010 ks/d=0.030 ks/d=0.005 Laminar Λείος σωλήνας Blasius Re ΣΧΗΜΑ 1. To «δικό µας» διάγραµµα Moody του παραδείγµατος Εµπειρικές εξισώσεις υπολογισµού Στους υπολογισµούς θα χρησιµοποιούµε συνήθως την εξίσωση Darcy-Weisbach L V L V h = f f f D g = 4R g (3.3-16) 5