ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3.6-5... 25"

Transcript

1 3 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ Γενικά Είσοδος σε σωλήνα Μήκος εισόδου- Οµοιόµορφη ροή Εξίσωση Darcy-Weisbach Απώλειες ενέργειας εξαιτίας τριβών Κατανοµή διατµητικών τάσεων Προσδιορισµός κατανοµής ταχυτήτων και συντελεστή τριβών στη στρωτή ροή Παραβολοειδής κατανοµή ταχυτήτων ροής Μέγιστη και µέση ταχύτητα ροής Συντελεστής τριβών ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Προσδιορισµός κατανοµής ταχυτήτων και συντελεστή τριβών στη τυρβώδη ροή Λογαριθµική κατανοµή ταχυτήτων ροής Μέγιστη και µέση ταχύτητα ροής Συντελεστής τριβών ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Επίδραση της τραχύτητας των τοιχωµάτων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Το διάγραµµα Moody... 3 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Εµπειρικές εξισώσεις υπολογισµού... 5 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σωλήνες εµπορίου-χαρακτηριστικά και γήρανση αυτών Τοπικές απώλειες ενέργειας Γενική εξίσωση υπολογισµού τοπικών απωλειών Τοπικές απώλειες σε απότοµες διαστολές Τοπικές απώλειες σε απότοµες συστολές Τοπικές απώλειες σε βαθµιαίες διαστολές Τοπικές απώλειες σε βαθµιαίες συστολές Τοπικές απώλειες σε αλλαγή κατεύθυνσης σωλήνα Τοπικές απώλειες σε δικλίδες Σηµασία των τοπικών απωλειών Σπηλαίωση και έλεγχος υποπίεσης

2 3 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ 3.1 Γενικά Στo παρόν κεφάλαιο πραγµατοποιούµε τη θεωρητική ανάλυση της ροής σε σωλήνες υπό πίεση. Έχοντας µελετήσει το κεφάλαιο αυτό, θα είσαστε σε θέση 1. Να εκτιµήσετε το µήκος εισόδου της ροής από µια δεξαµενή σε ένα σωλήνα, µετά τον οποίο η ροή γίνεται οµοιόµορφη.. Να υπολογίσετε (α) την κατανοµή των ταχυτήτων ροής, (β) την κατανοµή των διατµητικών τάσεων, (γ) το συντελεστή τριβών f και (δ) τις γραµµικές απώλειες σε οµοιόµορφη ροή υπό πίεση για στρωτή και τυρβώδη ροή σε λείους ή τραχείς σωλήνες. 3. Να περιγράψετε το διάγραµµα Moody και να κατανοήσετε την πρακτική χρησιµότητά του. 3. Είσοδος σε σωλήνα Μήκος εισόδου- Οµοιόµορφη ροή Θυµηθείτε το πείραµα του Reynolds (βλ. Κεφ. 1.4.) και τον ορισµό της οµοιόµορφης ροής (Κεφ ) και παρατηρείστε το Σχ. 3.-1, στο οποίο η ροή εισέρχεται σε ένα σωλήνα. Στα στερεά όρια του σωλήνα αναπτύσσεται ένα οριακό στρώµα, στο οποίο παρατηρείται µια σχετικά σηµαντική πτώση της πίεσης και κατά συνέπεια απώλεια ενέργειας. Εξαιτίας του οριακού στρώµατος η ροή δεν είναι οµοιόµορφη στην αρχή του σωλήνα και γίνεται οµοιόµορφη µετά από ένα µήκος L e, το οποίο καλείται µήκος ανάπτυξης της ροής ή µήκος εισόδου. ΣΧΗΜΑ Είσοδος σε σωλήνα και µήκος εισόδου

3 Για να υπολογίσουµε το L e εφαρµόζουµε τη µέθοδο της διαστατικής ανάλυσης. Η εξαρτηµένη µεταβλητή είναι το L e και οι ανεξάρτητες µεταβλητές που το επηρεάζουν είναι οι ρ, µ, V και D, δηλ. F(L e,ρ,µ,v,d) = 0 (3.-1) Από την εφαρµογή της µεθόδου της διαστατικής ανάλυσης προκύπτει L e F(, Re) = 0 ή D L e F(Re) D = (3.-) δηλ. το L e εξαρτάται µόνο από τον αριθµό Re, VD Re = µ / ρ Από πειραµατική διερεύνηση προέκυψαν οι ακόλουθες προσεγγιστικές εξισώσεις Για στρωτή ροή L e D = 0.06 Re Ισχύει για Re<300 (3.-3) Για τυρβώδη ροή L e 1/ Re D = (3.-4) Στο Σχ. 3.- φαίνεται η γραφική παράσταση των εξ. (3.-3) και (3.-4). 3

4 Le Re (α) Le E+00.0E E E E E+06 Re (β) ΣΧΗΜΑ 3.-. Εξάρτηση του µήκους εισόδου από τον αριθµό Reynolds ΣΧΟΛΙΑ 1. To µήκος εισόδου στην τυρβώδη ροή είναι µικρότερο από αυτό που παρατηρείται στη στρωτή ροή, εξαιτίας του µικρότερου µήκους του τυρβώδους οριακού στρώµατος.. To µήκος εισόδου στην τυρβώδη ροή είναι της τάξης των 0-40 D. Στα συνηθισµένα προβλήµατα ροής που θα αντιµετωπίσουµε τα µήκη των αγωγών είναι της τάξης των 1000 D, οπότε µπορούµε πρακτικά να αγνοήσουµε το µήκος εισόδου και να θεωρήσουµε ότι η οµοιόµορφη ροή ξεκινά από την αρχή του σωλήνα. 4

5 3.3 Εξίσωση Darcy-Weisbach Απώλειες ενέργειας εξαιτίας τριβών Θεωρείστε τη ροή που γίνεται στο όγκο αναφοράς του σωλήνα του Σχ , ο οποίος έχει µήκος x και περιορίζεται από τις διατοµές 1 και. Ο άξονας του σωλήνα λαµβάνεται κατά τη διεύθυνση της ροής x και σχηµατίζει γωνία φ µε την οριζόντια διεύθυνση. Η ροή µπορεί να γίνεται εξαιτίας της διαφοράς πίεσης p=p 1 -p ή και της διαφοράς στάθµης z=z 1 -z µεταξύ των διατοµών 1 και. ΣΧΗΜΑ Όγκος αναφοράς σε ροή σωλήνα Στόχος της παρούσας ανάλυσης της ροής είναι ο προσδιορισµός της εξίσωσης υπολογισµού των γραµµικών απωλειών h f στο µήκος x του σωλήνα, µεταξύ των διατοµών 1 και. Η ανάλυση θα γίνει σε δυο στάδια. Στο πρώτο στάδιο θα προσδιοριστεί η εξίσωση που συνδέει την h f µε τη διατµητική τάση ορίου τ w χρησιµοποιώντας τη µέθοδο του όγκου αναφοράς. Στο δεύτερο στάδιο θα συσχετίσουµε τη τ w µε τα χαρακτηριστικά του ρευστού, της ροής και του σωλήνα χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της διαστατικής ανάλυσης, ώστε τελικά η εξίσωση υπολογισµού του h f να περιέχει µόνο τα χαρακτηριστικά του ρευστού, της ροής και του σωλήνα. Στάδιο 1. Γράφουµε τις εξισώσεις συνέχειας, ενέργειας και ποσότητας κίνησης στο όγκο αναφοράς του Σχ Εξίσωση συνέχειας Q1 = Q = Q ή A1V1 = AV ή V1 = V = V (3.3-1) επειδή πd A1 = A = A = (3.3-) 4 δηλ. η ταχύτητα ροής στο σωλήνα είναι σταθερή στο χώρο και η ροή είναι οµοιόµορφη. 5

6 . Εξίσωση ενέργειας p1 V1 p V H1 = H + hf => z1 + + α1 = z + + α + hf (3.3-3) γ g γ g Επιλύοντας την εξ. (3.3-3) ως προς h f οµοιοµορφίας της ροής) προκύπτει και θεωρώντας ότι α 1 =α =α (εξαιτίας της p1 p V1 V p V p V hf = z1 z + + α α = z + + (α ) = z + + α γ γ g g γ g γ g (3.3-4) δηλ. οι γραµµικές απώλειες ενέργειας στο σωλήνα είναι ίσες µε τη µεταβολή της ενέργειας ή απλά µε την πτώση της γραµµής ενέργειας ΓΕ. Η εξ. (3.3-4) απλοποιείται ακόµα περισσότερο χρησιµοποιώντας την εξ. (3.3-1) ως εξής p p p p = + = = (3.3-5) γ γ γ γ 1 hf z1 z z+ (z+ ) δηλ. οι γραµµικές απώλειες ενέργειας στο σωλήνα είναι ίσες µε τη µεταβολή του πιεζοµετρικού ύψους ή απλά µε την πτώση της πιεζοµετρικής γραµµής ΠΓ. 3. Εξίσωση ποσότητας κίνησης Fpx + Fτ x + Fg x = ρ(v1 Q1 V Q ) = ρ(vq VQ) = 0 (3.3-6) Υπολογίζουµε τις 3 δυνάµεις που εξασκούνται στον όγκο του νερού. (i) ύναµη πίεσης Fp x πd πd πd πd πd Fpx = p1 p = p 1 (p1 p) = p (3.3-7) (ii) ύναµη διάτµησης (τριβές) Fτ x Fτ x = τ πd x (3.3-8) w (iii) ύναµη βαρύτητας Fg x πd Fgx = mgsin φ = ρvgsin φ = γ x sin φ (3.3-9) 4 Η εξ. (3.3-6) γράφεται µε βάση τις εξ. (3.3-7), (3.3-8) και (3.3-9) ως εξής πd πd p τw πd x + γ x sin φ = 0 (3.3-10) 4 4 Θεωρώντας z= x sinφ η εξ. (3.3-10) γράφεται ως εξής 6

7 4τw x γd p = (z + ) ή τw γ D (p + γz) = (3.3-11) 4 x Συνδυάζοντας τις εξ. (3.3-5) και (3.3-11) προκύπτει η εξίσωση που συνδέει τα h f και τ w p (z + ) D h D γ = = ή 4 x 4 x f τw γ γ h f 4τ x γd w = (3.3-1) Στάδιο. Στο στάδιο αυτό θα συσχετίσουµε τη τ w µε τα χαρακτηριστικά του ρευστού (ρ και ν), της ροής (V) και του σωλήνα (D και k s ) χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της διαστατικής ανάλυσης, δηλ. θα προσδιορίσουµε µια εξίσωση της µορφής τ = F(ρ, ν,v,d, k ) (3.3-13) w s Από την εφαρµογή της µεθόδου της διαστατικής ανάλυσης (η οποία περιγράφεται στο Κεφ ) προκύπτει ότι τw f VD k F = = Re =, ρv 8 ν D s ή w 8 τ 1 = fρv (3.3-14) Ο συντελεστής f καλείται συντελεστής τριβών Darcy. O Henry Darcy ( ) ήταν ένας Γάλλος µηχανικός, ο οποίος το 1857 πραγµατοποιώντας πειράµατα ροής σε σωλήνες, µελέτησε για πρώτη φορά την επίδραση της τραχύτητας των σωλήνων στη ροή. Αντικαθιστώντας την εξ. (3.3-14) της τ w στην εξ. (3.3-1), η τελευταία γράφεται ως εξής h f x V = f (3.3-15) D g Για ένα µήκος αγωγού L, η εξ. (3.3-15) γράφεται h f L V = f (3.3-16) D g Η εξ. (3.3-16) ονοµάζεται εξίσωση Darcy-Weisbach, επειδή την πρότεινε ο Γερµανός καθηγητής Julius Weisbach (1945), o οποίος δηµοσίευσε το πρώτο σύγχρονο βιβλίο υδροδυναµικής. ΣΧΟΛΙΑ 1. Σηµειώστε ότι γράψαµε την εξ. (3.3-3) (ενέργειας) στη γενική της µορφή, βλ. εξ. (1.- 10).. Για να καταλήξουµε στις εξ. (3.3-1), (3.3-14) και (3.3-16) χρησιµοποιήσαµε και τις 3 βασικές εξισώσεις ροής (συνέχειας, ενέργειας και ποσότητας κίνησης), καθώς και τη µέθοδο της διαστατικής ανάλυσης, χωρίς να διακρίνουµε αν η ροή είναι στρωτή ή τυρβώδης. Άρα, οι εξ. (3.3-1), (3.3-14) και (3.3-16) ισχύουν για στρωτή και τυρβώδη ροή υπό πίεση σε κλειστούς αγωγούς οιασδήποτε σταθερής διατοµής. 7

8 3. Σύµφωνα µε την εξ. (3.3-14), ο συντελεστής f εξαρτάται από το είδος της ροής (Re) και τη γεωµετρία του αγωγού, όπως αυτή εκφράζεται από το λόγο k s /D, ο οποίος καλείται σχετική τραχύτητα του σωλήνα. 4. Η εξ. (3.3-16) είναι πολύ σηµαντική και θα τη χρησιµοποιείτε πολύ συχνά στις ασκήσεις, αλλά και στο ελεύθερο επάγγελµα σας, εφόσον ασχοληθείτε µε προβλήµατα ροής υπό πίεση σε κλειστούς αγωγούς. Για να την εφαρµόσουµε θα πρέπει να προσδιορίσουµε το συντελεστή f. Αυτό θα το κάνουµε στο Κεφ Κατανοµή διατµητικών τάσεων Για να προσδιορίσουµε την κατανοµή ταχυτήτων ροής στο σωλήνα του Σχ , θα πρέπει να προσδιορίσουµε πρώτα την αντίστοιχη κατανοµή των διατµητικών τάσεων. Για να κάνουµε αυτή την ανάλυση της ροής, θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο της διαφορικής ανάλυσης επιλύοντας τις βασικές διαφορικές εξισώσεις ροής, τις οποίες γνωρίσαµε στο Κεφ Γράφουµε τις βασικές διαφορικές εξισώσεις ροής στη γενική τους µορφή και σε κυλινδρικό σύστηµα συντεταγµένων (βλ. Σχ ). 1. Εξίσωση συνέχειας 1 1 u (rv r ) + (v θ ) + = 0 r r r θ x (3.4-1) όπου u, v r και v θ είναι οι ταχύτητες ροής κατά µήκος της ροής (διεύθυνση x), την ακτινική διεύθυνση r και την πολική διεύθυνση θ, αντίστοιχα.. Εξίσωση ποσότητας κίνησης ΣΧΗΜΑ Σκαρίφηµα ροής σε σωλήνα µήκους x u p 1 ru = + ρg x + (rτ) x x r r (3.4-) Από την εξ. (3.4-1) προκύπτει ότι v r =0 και v θ =0, οπότε 8

9 u = 0 x (3.4-3) δηλ. η ταχύτητα ροής u εξαρτάται µόνο από την ακτινική διεύθυνση r και όχι από το x, δηλ. η ροή είναι οµοιόµορφη. 3. Θέτοντας gx γράφεται = g sin φ και εισάγοντας την εξ. (3.4-3) στην εξ. (3.4-), η τελευταία dp 1 (p ρg sin φ) = (rτ) ή 1 (rτ) = dp (p + γz) dx r r r r dx (3.4-4) Ο αριστερός όρος της εξ. (3.4-4) εξαρτάται µόνο από το r και ο δεξιός όρος µόνο από το x. Εποµένως, οι δυο όροι θα πρέπει να είναι ίσοι µε την ίδια σταθερά. 4. Ολοκληρώνουµε την εξ. (3.4-4) και θέτουµε τ=0 για r=0, οπότε προκύπτει r d r τ = (p + γz) = K (3.4-5) dx όπου Κ είναι µια σταθερά ίση µε την κλίση της πίεσης, δηλ. d K = (p + γz) (3.4-6) dx Παρατηρείστε στο Σχ ότι η διατµητική τάση µεταβάλλεται γραµµικά από τον άξονα του αγωγού µέχρι το τοίχωµα αυτού (r=r=d/), όπου λαµβάνει τη µέγιστη τιµή της που είναι ίση µε ΣΧΟΛΙΑ R d D (p + γz) τ w = (p + γz) = (3.4-7) dx 4 x d 1. Στην εξ. (3.4-5) ο όρος (p + γz) είναι αρνητικός, γιατί η πίεση και το υψόµετρο dx µειώνονται µε το x, δηλ. υπάρχει πτώση της ΠΓ.. Παρατηρείστε ότι η εξ. (3.4-7) είναι ίδια µε την εξ. (3.3-1). Επίσης, σηµειώστε ότι οι δυο εξισώσεις ισχύουν για στρωτή και τυρβώδη ροή. Η διάκριση σε στρωτή και τυρβώδη ροή γίνεται στη συνέχεια για τον προσδιορισµό της τιµής του f και της κατανοµής των ταχυτήτων ροής ανάλογα µε το είδος της ροής. 3.5 Προσδιορισµός κατανοµής ταχυτήτων και συντελεστή τριβών στη στρωτή ροή Παραβολοειδής κατανοµή ταχυτήτων ροής Για να προσδιορίσουµε την κατανοµή ταχυτήτων στη στρωτή ροή θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο της διαφορικής ανάλυσης και την εξ. (1.-14), η οποία ισχύει για στρωτή ροή (νευτώνιου ρευστού) και γράφεται ως εξής 9

10 du(r) τ = µ (3.5-1) dr Εξισώνουµε την εξ. (3.4-5) µε την εξ. (3.5-1), οπότε προκύπτει du(r) r µ = K ή dr K du(r) = rdr (3.5-) µ Ολοκληρώνουµε την εξ. (3.5-) και προκύπτει K = + (3.5-3) 4µ u(r) r C1 Εφαρµόζουµε τη φυσική οριακή συνθήκη u=0 στο τοίχωµα του σωλήνα (r=r) και προσδιορίζουµε τη σταθερά C 1 ίση µε K C - R 4µ 1 = (3.5-4) Εισάγοντας την εξ. (3.5-4) στην εξ. (3.5-3), η τελευταία γράφεται ως εξής K K K 1 d = = = + (3.5-5) 4µ 4µ 4µ 4µ dx u(r) r R (R r ) (p γz)(r r ) Η εξ. (3.5-5) δείχνει ότι η κατανοµή της ταχύτητας είναι παραβολοειδής ή ακριβέστερα είναι ένα παραβολοειδές εκ περιστροφής (βλ. Σχ ) Μέγιστη και µέση ταχύτητα ροής Η µέγιστη ταχύτητα ροής u max παρατηρείται στον άξονα του σωλήνα (r=0) και προσδιορίζεται από την εξ. (3.5-5) για r=0, δηλ. K 1 d u R (p γz)r 4µ 4µ dx max = = + (3.5-6) Συνδυάζοντας την εξ. (3.5-5) µε την εξ. (3.5-6) προκύπτει r u(r) = u max (1 ) (3.5-7) R Υπολογίζουµε τη µέση ταχύτητα ροής V από την εξ. (3.3-1). Q V = (3.3-1) A Για να υπολογίσουµε την παροχή Q πρέπει να ολοκληρώσουµε την εξ. (3.5-7), δηλ. u Q = uda = u (1 )πrdr = πr R r max max (3.5-8) R 0 10

11 οπότε προκύπτει 1 V = u max (3.5-9) δηλ. η µέση ταχύτητα της ροής είναι ίση µε το µισό της µέγιστης Συντελεστής τριβών Πρώτα υπολογίζουµε τη διατµητική τάση στο τοίχωµα. Χρησιµοποιούµε την εξ. (3.5-1), στην οποία εισάγουµε την παράγωγο της εξ. (3.5-7) και την εξ. (3.5-9) ως εξής du µu µ(v) 8µV = = = = (3.5-10) max τ w µ dr r= R R (D / ) D Αντικαθιστούµε την εξ. (3.5-10) στην εξ. (3.3-14) και υπολογίζουµε τον συντελεστή τριβών για στρωτή ροή f στ ίσο µε f 8µV 8τ 8( ) D = = = = (3.5-11) ρv ρv VD ( ) Re µ / ρ w στ Αντικαθιστώντας την εξ. (3.5-11) στην εξ. (3.3-15), η τελευταία γράφεται h 64 L V 3µ L f = = V (3.5-1) VD ( ) D g ρg D µ / ρ ΣΧΟΛΙΑ 1. Η στρωτή ροή σε σωλήνα που ακολουθεί την κατανοµή της εξ. (3.5-7) ονοµάζεται ροή Hagen-Poiseuille σε ανάµνηση της πειραµατικής έρευνας των G. Hagen (1839) και J. L. Poiseuille (1841).. Παρατηρείστε ότι η παροχή, που υπολογίζεται µε την εξ. (3.5-8), είναι ίση µε τον όγκο του παραβολοειδούς, η βάση του οποίου έχει µονάδες επιφάνειας [L ] και το ύψος του µονάδες ταχύτητας [L/T]. 3. Προσέξτε ότι σύµφωνα µε την εξ.(3.5-11), ο συντελεστής τριβών στη στρωτή ροή f στ µειώνεται µε την αύξηση του αριθµού Reynolds. Αυτό βέβαια δεν σηµαίνει ότι και η διατµητική τάση µειώνεται µε τον αριθµό Reynolds, καθόσον η εξ. (3.5-10) δείχνει σαφώς ότι η τ w είναι ανάλογη της ταχύτητας ροής. 4. Παρατηρείστε ότι σε λογαριθµικό διάγραµµα η εξ. (3.5-11) είναι ευθεία γραµµή (βλ. Κεφ.3.6.5, διάγραµµα Moody). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Στο σωλήνα του Σχ. 1 πραγµατοποιείται ροή λαδιού SAE 30. Η πίεση στις διατοµές 1 και µετρήθηκε ίση µε p 1 =55000 Pa και p =10000 Pa. 11

12 1. Υποθέτοντας ότι η ροή είναι στρωτή υπολογίστε (i) τη φορά της ροής, (ii) τις απώλειες h f µεταξύ των διατοµών 1 και, (iii) την παροχή Q, (iv) τη µέση ταχύτητα V και (4) τον αριθµό Reynolds Re.. Ισχύει η παραδοχή που κάνατε ότι η ροή είναι στρωτή; 3. Επαναλάβατε τους υπολογισµούς για υγρό µε πυκνότητα ίση µε το 1/3 της πυκνότητας του λαδιού και σχολιάστε τα αποτελέσµατα. ΣΧΗΜΑ 1. Ροή λαδιού σε σωλήνα του παραδείγµατος Λύση 1. Υπολογίζουµε τα χαρακτηριστικά του λαδιού από τον Πίν kg 0.9 µ m ν = ms ρ = kg = 891 s m 3 kg m kg γ = ρg = (891 )(9.81 ) = m s m s 3. Υπολογίζουµε τις τιµές της ΠΓ στις διατοµές 1 και και τις απώλειες h f. p ΠΓ1 = z1 + = = 7.9 m γ p o ΠΓ = z + = ( sin 30 ) + = 6.14 m γ Εφόσον ΠΓ 1 >ΠΓ, η ροή γίνεται από τη διατοµή 1 προς τη διατοµή, δηλ. προς τα πάνω. Οι απώλειες είναι ίσες µε h f = = 1.15 m και p hf = (z + ) = 1.15 m και γ 1

13 d 1.15 m s K = (p + γz) = = dx 8.0 kg 3. Υπολογίζουµε τη µέγιστη ταχύτητα ροής από την εξ. (3.5-6) και τη µέση ταχύτητα από την εξ. (3.5-9). K u max = R = 0.06 = 3.9 m / s 4µ V = u max = 3.9 = 1.95 m / s 4. Υπολογίζουµε την παροχή, τον αριθµό Reynolds και το συντελεστή f από την εξ. (3.5-11). 3 Q = VπR = 1.95π(R ) = 0.0 m / s 5. Ελέγχουµε αν η ροή είναι στρωτή. VD 1.95 ( 0.06) Re = = = 70 ν fστ = = = Re 70 Εφόσον Re=70<300, η ροή είναι όντως στρωτή, όπως υποθέσαµε. 6. Επαναλαµβάνουµε τους υπολογισµούς για µ=0.9/3=0.097 kg/ms και παραθέτουµε τα αποτελέσµατα στον Πίν.. Εύκολα διαπιστώνουµε ότι η ροή είναι τυρβώδης, καθόσον Re=6460>300, οπότε δεν ισχύουν οι εξισώσεις της στρωτής ροής του Κεφ.3.5. οκιµάστε να κάνετε µόνοι σας τους υπολογισµούς και να επιβεβαιώσετε τα νούµερα του Πίν.. Χρησιµοποιείστε φύλλο υπολογισµών EXCEL και δοκιµάστε διάφορες τιµές µ και ρ παρατηρείστε πόσο σηµαντικό ρόλο παίζουν αυτές στο είδος της ροής. Πίνακας. Υπολογιζόµενα στοιχεία του παραδείγµατος Λάδι 1 Λάδι Μονάδες µ kg/ms ρ kg/m 3 ν m /s g m/s γ kg/m s R m Dx m z m φ ο z m p Pa p Pa 13

14 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3.5- ΠΓ m ΠΓ m h f m Κλίση ΠΓ K m s /kg u max 3.89 (11.68) m/s V 1.95 (5.84) m/s Q 0.0 (0.066) m 3 /s R e f (0.010) - Σχεδιάστε τις κατανοµές των διατµητικών τάσεων και ταχυτήτων ροής στο σωλήνα του παραδείγµατος Λύση 1. Η κατανοµή των ταχυτήτων ροής υπολογίζεται από την εξ. (3.5-7) r u(r) = = r (0.06) (1). Η κατανοµή των διατµητικών τάσεων υπολογίζεται από την εξ. (3.4-5) r m s τ = K = r = 68.8 r kg () Για r=r=0.06 m υπολογίζεται τw = 68.8(0.06) = 37.7 Pa Η κατανοµή των διατµητικών τάσεων είναι γραµµική µε µηδενική τιµή στον άξονα του αγωγού (τ=0 για r=0) και τιµή τ w στο όριο. Έλεγχος. Υπολογίζουµε την τ w από την εξ. (3.5-10). 8 (0.9 kg / ms) (1.95 m / s) kg τw = = 37.7 = 37.7 Pa (0.1 m) ms Η κατανοµή των ταχυτήτων ροής και των διατµητικών τάσεων φαίνεται στο Σχ

15 u(r),τ(r) r ΣΧΗΜΑ 1. Κατανοµή ταχυτήτων ροής και διατµητικών τάσεων του παραδείγµατος Προσδιορισµός κατανοµής ταχυτήτων και συντελεστή τριβών στη τυρβώδη ροή Λογαριθµική κατανοµή ταχυτήτων ροής Στην τυρβώδη ροή θεωρούµε ότι ισχύει η λογαριθµική κατανοµή ταχυτήτων ροής, βλ. εξ. (.3-10), την οποία γράφουµε αντικαθιστώντας την απόσταση από το τοίχωµα y µε την απόσταση από το εσωτερικό τοίχωµα του σωλήνα, R-r, δηλ. u(r) (R r)u = u + ν * *.44 ln 5.0 (3.6-1) 3.6. Μέγιστη και µέση ταχύτητα ροής Η µέγιστη ταχύτητα ροής u max, η οποία παρατηρείται στον άξονα του σωλήνα, προσδιορίζεται από την εξ. (3.6-1) θέτοντας r=0, δηλ. u u max * * Ru =.44 ln ν (3.6-) Η µέση ταχύτητα ροής υπολογίζεται ακολουθώντας τη µεθοδολογία που εφαρµόσαµε στην περίπτωση της στρωτής ροής, βλ. εξ. (3.5-8), δηλ. ολοκληρώνοντας την εξ. (3.6-1) για να βρούµε την παροχή και διαιρώντας µε την επιφάνεια. R Q 1 (R r)u* u* Ru* V = = u *(.44 ln 5.0)πrdr (.44 ln ) A πr + = + ν ν 0 15

16 ή V Ru.44ln * 1.34 u * = + ν (3.6-3) Συντελεστής τριβών Πρώτα, υπολογίζουµε τη διατµητική τάση στο τοίχωµα χρησιµοποιώντας την εξ. (.3-1). τw u* = => τw = ρu* (.3-1) ρ Επίσης, ισχύει η εξ. (3.3-14) τw f = (3.3-14) ρv 8 Συνδυάζοντας την εξ. (.3-1) µε την εξ. (3.3-14) προκύπτει V 8 = (3.6-4) u f * Εκφράσουµε την ποσότητα Ru * /ν ως συνάρτηση του αριθµού Reynolds ως εξής Ru* (D / )V u* Re f = = (3.6-5) ν ν V 8 Αντικαθιστούµε την εξ. (3.6-4) και την εξ. (3.6-5) στην εξ. (3.6-3), η οποία γράφεται ως εξής 8 Re f =.44 ln 1.34 f + 8 (3.6-6) Χρησιµοποιώντας log10 (λογάριθµο µε βάση το 10), η εξ. (3.6-6) µετά από πράξεις γράφεται στην ακόλουθη µορφή ( ) log Re f 1.0 f = (3.6-7) Ο Prandtl (1935) τροποποίησε τους συντελεστές της εξ. (3.6-7) για να προσαρµόζεται καλύτερα σε πειραµατικά δεδοµένα ως εξής ( ) 1.0 log Re f 0.8 f = (3.6-8) Παρατηρείστε ότι η εξ. (3.6-8) είναι πεπλεγµένη, δηλ. δεν µπορούµε να τη λύσουµε απευθείας (ρητή επίλυσή) ως προς f, όπως κάναµε στην περίπτωση της στρωτής ροής, βλ. εξ. (3.5-11). Μια απλή µέθοδος επίλυσης της εξ. (3.6-8) είναι µε δοκιµές. ιάφοροι ερευνητές προσπάθησαν να προσεγγίσουν την πεπλεγµένη εξ. (3.6-8) από µια ρητή. Χαρακτηριστικά παραδείγµατα αποτελούν οι εξισώσεις του Blasius (1911), ο οποίος ήταν µαθητής του Prandtl, και του Colebrook. f Re 1/ 4 = Εξίσωση Blasius. Ισχύει για 4000<Re< (3.6-9) 16

17 f ( ) = 1.8log Re Εξίσωση Colebrook (3.6-10) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σε λείο σωλήνα µήκους L=1000 m και διαµέτρου D=600 mm που τοποθετείται µε κλίση ο κατά τη διεύθυνση της ροής πραγµατοποιείται ροή νερού (ρ=998 kg/m 3 και µ= kg/ms) παροχής Q=.0 m 3 /s. Υπολογίστε (i) τις γραµµικές απώλειες h f και (ii) την πτώση πίεσης. Λύση 1. Υπολογίζουµε τα ν και γ µ kg / ms ν = 3 ρ = 998 kg / m = m / s 3 γ = ρg = (998 kg / m )(9.81 m / s ) = kg / m s. Υπολογίζουµε τη µέση ταχύτητα ροής και τον αριθµό Reynolds πd A = και 4 3 4Q 4( m / s) V = = = 7.07 m / s πd π (0.6 m) VD (7.07 m / s) (0.600 m) Re = = = 4975 ν m / s 4. Από την εξ. (3.6-8) υπολογίζουµε το f εφαρµόζοντας την ακόλουθη διαδικασία δοκιµών. Υποθέτουµε f= και υπολογίζουµε από την εξ. (3.5-11) f= Υποθέτουµε f= και υπολογίζουµε από την εξ. (3.5-11) f= Υποθέτουµε f=0.009 και υπολογίζουµε από την εξ. (3.5-11) f= Χρειάστηκαν 3 δοκιµές για να υπολογίσουµε το f µε ακρίβεια 4 ου δεκαδικού. 5. Υπολογίζουµε τις γραµµικές απώλειες h f από την εξ. (3.3-16). L V (1000 m) (7.07 m / s) hf = f = = m D g (0.600 m) (9.81m / s ) 6. Υπολογίζουµε την πτώση της πίεσης από την εξ. (3.3-5). p hf = z + = m γ o z = (1000 m) sin( ) = m, οπότε p ( ) m 4.14 m γ = = και 17

18 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3.6- p = ( kg / m s )(4.14 m) = Pa Σχεδιάστε την κατανοµή ταχυτήτων ροής στο σωλήνα του παραδείγµατος Λύση 1. Υπολογίζουµε τη διατµητική τάση ορίου από την εξ. (3.3-1) D h (0.600 m) ( m) = = = 4 x 4 (1000 m) f τw γ ( kg / m s ) 5745 kg / ms. Υπολογίζουµε τη u * από την εξ. (.3-3) u = τ kg / ms 0.40 m / s ρ = 998 kg / m = w * 3 3. Η κατανοµή ταχυτήτων ροής δίνεται από την εξ. (3.6-4), η οποία γράφεται u(r) Ru* ru* =.44 ln 5.0 u + * ν (0.300 m)(0.40 m / s) r(0.40 m / s) u(r) = (0.40 m / s)(.44)ln + (5.0)(0.40 m / s) m / s u(r) = ln ( r) + 1. Σχεδιάζουµε την κατανοµή ταχυτήτων ροής, η οποία φαίνεται στο Σχ u(r) r ΣΧΗΜΑ 1. Κατανοµή ταχυτήτων ροής του παραδείγµατος

19 3.6.4 Επίδραση της τραχύτητας των τοιχωµάτων Η εξ. (3.6-8) δείχνει ότι ο συντελεστής f εξαρτάται µόνο από το είδος της ροής, δηλ. µόνο από τον αριθµό Reynolds. Όµως, σύµφωνα µε την εξ. (3.3-14), αλλά και µε βάση πειράµατα που πραγµατοποιήθηκαν από τον Coulomb (1800), διαπιστώθηκε ότι υπάρχει επίδραση της τραχύτητας του σωλήνα στην τιµή του f. Η επίδραση αυτή είναι αµελητέα στην περίπτωση της στρωτής ροής, δηλ. οι εξισώσεις του Κεφ. 3.5 ισχύουν και για τραχέα τοιχώµατα, αλλά είναι ιδιαίτερα σηµαντική στην περίπτωση της τυρβώδους ροής. O Nikuradse (1933), o οποίος ήταν µαθητής του Prandtl, διερεύνησε πειραµατικά την επίδραση της σχετικής τραχύτητας k s /D για τυρβώδη ροή σε σωλήνες µεταβάλλοντας τις τιµές του λόγου k s /D «κολλώντας» κόκκους άµµου διαφόρων µεγεθών στο εσωτερικό τοίχωµα των σωλήνων. Στη συνέχεια υπολόγιζε τη πτώση πίεσης και την παροχή και συσχέτιζε το συντελεστή f µε τον Re και το k s /D. Η συσχέτιση αυτή παρουσιάζεται στο Σχ , στο οποίο µε κουκίδες συµβολίζονται οι µετρήσεις και µε συνεχείς γραµµές οι καµπύλες f-re που ακολουθούν τις µετρήσεις. Στο Σχ φαίνονται και οι εξισώσεις της στρωτής ροής (εξ. (3.5-11), του Prandtl (εξ. (3.6-8)) και του Blasius (εξ. (3.6-9)). ΣΧΗΜΑ Επίδραση της τραχύτητας στην τιµή του συντελεστή f για τυρβώδη ροή Στο Σχ διακρίνουµε 3 περιοχές διαφορετικής συµπεριφοράς των καµπυλών f-re: 1. Περιοχή της στρωτής ροής (Re<300). Η καµπύλη f-re συµπίπτει σχεδόν µε την εξ. (3.5-11), δηλ. οι τιµές του f δεν εξαρτώνται από το k s /D. 19

20 . Περιοχή της µεταβατικής τυρβώδους ροής. Στην περιοχή αυτή παρατηρούµε ότι υπάρχει αρχικά ένα τµήµα της καµπύλης f-re που ακολουθεί την εξίσωση του Prandtl (το οποίο είναι τόσο µεγαλύτερο, όσο µικρότερος είναι ο λόγος k s /D) και στη συνέχεια ένα τµήµα µονότονης ανόδου της καµπύλης f-re, στο οποίο η τιµή του f είναι σηµαντικά µεγαλύτερη από αυτή που υπολογίζεται µε την εξίσωση του Prandtl. 3. Περιοχή πλήρως τυρβώδους ροής. Εδώ βλέπουµε ότι η καµπύλη f-re είναι παράλληλη µε τον άξονα του Re, δηλ. οι τιµές του f δεν εξαρτώνται από τον Re, αλλά µόνο από το k s /D. Οι 3 αυτές περιοχές καθορίζονται από την τιµή της παραµέτρου k + =k s u * /ν. Οι υδραυλικά λείοι σωλήνες αντιστοιχούν σε τιµές k + <5, οι υδραυλικά τραχείς σε τιµές k + >70, ενώ στις ενδιάµεσες τιµές αντιστοιχούν οι σωλήνες µεταβατικής τραχύτητας. O Nikuradse παρατήρησε ότι σε υδραυλικά τραχείς σωλήνες, η παρουσία της τραχύτητας ωθεί τη λογαριθµική κατανοµή προς τα πάνω (δηλ. ο f αυξάνεται) κατά µια ποσότητα περίπου ίση µε ln k +, όπου k + =k s u * /ν είναι µια αδιάστατη µορφή της τραχύτητας σε αντιστοιχία µε την ποσότητα y + =y u * /ν. H κλίση του νόµου της λογαριθµικής κατανοµής παραµένει η ίδια (ίση µε 1/κ=.44), ενώ η σταθερά Β=5.0 µειώνεται κατά Β=(1/κ) ln k Έτσι, η εξ. (3.6-1), η οποία ισχύει για λεία τοιχώµατα, τροποποιείται ως εξής για τραχέα τοιχώµατα u(r) (R r)u 1 k u R r = + u* ν κ = + ν ks * s *.44 ln 5.0 ( ln 3.5).44 ln 8.5 (3.6-11) Υπολογίζουµε τη µέγιστη ταχύτητα ροής από την εξ. (3.6-11) θέτοντας r=0, δηλ. u u max R =.44 ln (3.6-1) k * s Υπολογίζουµε τη µέση ταχύτητα ολοκληρώνοντας την εξ. (3.6-11), οπότε προκύπτει V.44ln s 3. Εξισώνοντας την εξ. (3.6-13) µε την εξ. (3.6-4) u * k = + (3.6-13) D προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση V 8 = (3.6-4) u f * 8 f k s =.44 ln + 3. (3.6-14) D Χρησιµοποιώντας log10, η εξ. (3.6-14) µετά από πράξεις γράφεται µε την ακόλουθη µορφή 0

21 k s 1 =.0log D f 3.7 Ισχύει για y + >70 (3.6-15) Με την εξ. (3.6-15) µπορούµε να υπολογίσουµε το f για πλήρως τραχείς σωλήνες (y + >70). Πώς µπορούµε όµως να υπολογίσουµε το f στην περιοχή της µεταβατικής τυρβώδους ροής; Την απάντηση στο ερώτηµα αυτό έδωσε ο Colebrook (1939), ο οποίος συνδύασε την εξ. (3.6-8) µε την εξ. (3.6-15) και κατέληξε στην εξ. (3.6-16). k s 1 D.51 =.0log + f 3.7 Re f (3.6-16) Η εξ. (3.6-16) του Colebrook είναι πεπλεγµένη, όπως και η εξ. (3.6-8) και επιλύεται µε ανάλογο τρόπο. Η εξ. (3.6-16) είναι γνωστή και ως εξίσωση των Colebrook and White (1937). Σηµαντικές έρευνες έχουν γίνει µε στόχο την ανάπτυξη προσεγγιστικών-ρητών εκφράσεων της εξ. (3.6-17). Χαρακτηριστικά αναφέρονται οι εξισώσεις των Swamee and Jain (1976), οι οποίες εφαρµόζονται στο Κεφ. 4.. Σηµειώνεται, πάντως, ότι οι ρητές εξισώσεις είχαν ιδιαίτερη αξία πριν από χρόνια. Σήµερα, η εξ. (3.6-16) λύνεται εύκολα σε περιβάλλον ΕXCEL, γεγονός που έχει περιορίσει την αξία των προσεγγιστικών-ρητών σχέσεων. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Επαναλάβατε τους υπολογισµούς του παραδείγµατος θεωρώντας ότι ο σωλήνας είναι από χυτοσίδηρο και σχολιάστε τα αποτελέσµατα. Λύση 1. Aπό τον Πίν βρίσκουµε την τραχύτητα ίση µε k s =0.6 mm και υπολογίζουµε τη σχετική τραχύτητα ίση µε k 0.6 mm s = = D 600 mm. Από την εξ. (3.6-13) υπολογίζουµε τη u * u * V m / s = = = 0.30 m / s ks [.44 ln( ) ln 3. ] + D 3. Υπολογίζουµε την ποσότητα k s u * /ν k u ( mm)(0.30 m / s) = = 8.8 > 70 s * ν ( m / s) 1

22 Άρα, ο σωλήνας είναι υδραυλικά τραχύς.. 4. Υπολογίζουµε το f από την εξ. (3.6-15) ή την εξ. (3.6-4) k s D f = 1/(.0 log = 1/(.0 log = m / s f = 8 = m / s Εάν χρησιµοποιήσουµε την εξ. (3.6-16) υπολογίζεται µε δοκιµές f= Υπολογίζουµε τις γραµµικές απώλειες h f από την εξ. (3.3-16). L V (1000 m) (7.074 m / s) hf = f = = m D g (0.600 m) (9.81m / s ) 6. Υπολογίζουµε την πτώση της πίεσης από την εξ. (3.3-5). p hf = z + = m γ o z (1000 m) sin( ) m = =, οπότε p ( ) m m γ = = και p = ( kg / m s )( m) = 3363 Pa 7. Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση του χυτοσιδηρού σωλήνα ο συντελεστής f και οι απώλειες αυξάνονται κατά περίπου 76% και η πτώση πίεσης επταπλασιάζεται. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σχεδιάστε την κατανοµή ταχυτήτων ροής στο σωλήνα του παραδείγµατος Λύση Η κατανοµή ταχυτήτων ροής δίνεται από την εξ. (3.6-11), η οποία γράφεται ως εξής u(r) (0.300 m r) =.44 ln m / s m ή u(r) = ln( r) +.7 Σχεδιάζουµε την κατανοµή ταχυτήτων ροής, η οποία φαίνεται στο Σχ. 1 µαζί µε την κατανοµή του λείου σωλήνα.

23 0.00 u(r) r Λείoς σωλήνας Τραχύς σωλήνας ΣΧΗΜΑ 1. Κατανοµή ταχυτήτων ροής του παραδείγµατος Το διάγραµµα Moody Το 1944 ο Lewis Moody, καθηγητής Υδραυλικής Μηχανικής στο Πανεπιστήµιο Princeton, παρουσίασε την εξ. (3.6-16), εξίσωση του Colebrook, στο διάγραµµα του Σχ Το διάγραµµα αυτό ονοµάστηκε διάγραµµα Moody. Παράλληλα, ο Moody (1944) προσδιόρισε τιµές της τραχύτητας k s για διάφορα υλικά σωλήνων του εµπορίου (βλ. κεφ. 3.8), οι οποίες φαίνονται στον Πίν Πίνακας Τιµές της τραχύτητας k s για διάφορα υλικά σωλήνων του εµπορίου Υλικό k s (mm) Σκυρόδεµα Βιοµηχανικός χάλυβας Ξύλο Χυτοσίδηρος 0.6 Γαλβανισµένος σίδηρος 0.15 Ασφαλτικός χυτοσίδηρος 0.1 Γυαλί 0 (Λείος) Σηµειώστε τα ακόλουθα για το διάγραµµα Moody : 1. Είναι πιθανώς το περισσότερο γνωστό και χρήσιµο διάγραµµα στην επιστήµη του Υδραυλικού Μηχανικού.. Έχει ακρίβεια ±15 % σε όλη την περιοχή εφαρµογής του. 3. Στην περιοχή της µεταβατικής τυρβώδους ροής (300<Re<4000) υπάρχει αδυναµία υπολογισµού του f. 4. Μπορεί να χρησιµοποιηθεί για ροή υπό πίεση σε σωλήνες και σε άλλης γεωµετρίας αγωγούς (βλ. Κεφ. 5), αλλά και σε αγωγούς ροής µε ελεύθερη επιφάνεια. 3

24 Σχετική τραχύτητα k s /D Στρωτή ροή 16 f = Re Πλήρως ανεπτυγµένη τυρβώδης ροή Τραχείς σωλήνες VD Αριθµός Reynolds Re = (λογαριθµική κλίµακα) 10 7 ν ΣΧΗΜΑ ιάγραµµα Moody κρίσιµη περιοχή Λείοι σωληνες Μεταβατική περιοχή Συντελεστής τριβών f (λογαριθµική κλίµακα)

25 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Κατασκευάστε ένα απλό «δικό σας» διάγραµµα Moody και σχολιάστε. Λύση 1. Λύνουµε την εξ. (3.6-16) και βρίσκουµε την τιµή του f για διάφορες τιµές των k s /D (έστω 0.005, και 0.030) και Re (έστω 000, 4000, 5000, 10000, 0000, 40000, 50000, 75000, , 50000, και ). Σχεδιάζουµε τις 3 καµπύλες στο Σχ. 1 που αντιστοιχούν στις τρεις τιµές του λόγου k s /D. Η επίλυση και γραφική παράσταση γίνεται πολύ εύκολα σε περιβάλλον EXCEL.. Για τις ίδιες τιµές του σχεδιάζουµε την εξ. (3.6-8) για λείο σωλήνα, την εξ. (3.6-9), προσεγγιστική Blasius για λείο σωλήνα, καθως και την εξ. (3.5-11) για τη στρωτή ροή. Παρατηρείστε τα ακόλουθα: 1. Όταν αυξήσουµε το k s /D, η καµπύλη του f µετακινείται προς τα πάνω και αυξάνεται η τιµή του f.. Όταν αυξήσουµε τον Re ο f µειώνεται µέχρι κάποια τιµή του Re και στη συνέχεια σταθεροποιείται. 3. Η προσεγγιστική εξίσωση του Blasius για λείο σωλήνα, εξ. (3.6-9), ταυτίζεται µε την ακριβή εξ. (3.6.8) για αριθµούς Re µέχρι f ks/d=0.010 ks/d=0.030 ks/d=0.005 Laminar Λείος σωλήνας Blasius Re ΣΧΗΜΑ 1. To «δικό µας» διάγραµµα Moody του παραδείγµατος Εµπειρικές εξισώσεις υπολογισµού Στους υπολογισµούς θα χρησιµοποιούµε συνήθως την εξίσωση Darcy-Weisbach L V L V h = f f f D g = 4R g (3.3-16) 5

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4.2-3... 8. 4.2.3 Τύπος απλού προβλήµατος 2: Υπολογισµός παροχής... 5. 4.2.4 Τύπος απλού προβλήµατος 3: Υπολογισµός διαµέτρου σωλήνα...

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4.2-3... 8. 4.2.3 Τύπος απλού προβλήµατος 2: Υπολογισµός παροχής... 5. 4.2.4 Τύπος απλού προβλήµατος 3: Υπολογισµός διαµέτρου σωλήνα... 4 ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ... 4.1 Γενικά... 4. Απλά προβλήµατα ροής... 4..1 Τύποι απλών προβληµάτων ροής... 4.. Τύπος απλού προβλήµατος 1: Υπολογισµός γραµµικών απωλειών... ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4.-1...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Αρχές υδραυλικής στα αστικά υδραυλικά έργα

Κεφάλαιο 5: Αρχές υδραυλικής στα αστικά υδραυλικά έργα Κεφάλαιο 5: Αρχές υδραυλικής στα αστικά υδραυλικά έργα Γραμμικές απώλειες Ύψος πίεσης Γραμμικές απώλειες Αρχές μόνιμης ομοιόμορφης ροής Ροή σε κλειστό αγωγό Αρχή διατήρησης μάζας (= εξίσωση συνέχειας)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΡΩΤΟΥ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΚΙΝΗΤΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Σκοπός της άσκησης Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση γίνεται μελέτη του Στρωτού

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Ονοματεπώνυμο:Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημερομηνία εκτέλεσης Πειράματος : 12/4/2000 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή 5 Μετρητές παροχής 5.Εισαγωγή Τρεις βασικές συσκευές, με τις οποίες μπορεί να γίνει η μέτρηση της ογκομετρικής παροχής των ρευστών, είναι ο μετρητής Venturi (ή βεντουρίμετρο), ο μετρητής διαφράγματος (ή

Διαβάστε περισσότερα

ΥδροδυναµικέςΜηχανές

ΥδροδυναµικέςΜηχανές ΥδροδυναµικέςΜηχανές Σωληνώσεις Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Σκοπός -Αντικείµενο Συνήθως η µελέτη υδροδυναµικών µηχανών και εγκαταστάσεων συνοδεύεται και από τη

Διαβάστε περισσότερα

4 Τριβές σε Σωλήνες και Εξαρτήματα

4 Τριβές σε Σωλήνες και Εξαρτήματα 4 Τριβές σε Σωλήνες και Εξαρτήματα 4.1 Εισαγωγή 4.1.1 ΜΟΡΙΑΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Ένα ρευστό δεν είναι παρά ένα σύνολο μορίων, τα οποία αφενός κινούνται (έχουν κινητική ενέργεια) και αφετέρου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ, E.M.Π ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΓΓΕΙΟΒΕΛΤΙΩΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΑΜΗΝΟ: 8 ο

ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ, E.M.Π ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΓΓΕΙΟΒΕΛΤΙΩΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΑΜΗΝΟ: 8 ο ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ, E.M.Π ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΓΓΕΙΟΒΕΛΤΙΩΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΑΜΗΝΟ: 8 ο Άσκηση Οικισµός ΑΒΓ Α υδροδοτείται από δεξαµενή µέσω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση Βλιώρα Ευαγγελία ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2014 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι ο υπολογισμός της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΓΟΣ VENTURI. Σχήμα 1. Διάταξη πειραματικής συσκευής σωλήνα Venturi.

ΑΓΩΓΟΣ VENTURI. Σχήμα 1. Διάταξη πειραματικής συσκευής σωλήνα Venturi. Α.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ 7 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΓΩΓΟΣ VENTURI ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σκοπός της άσκησης είναι η κατανόηση της χρήσης της συσκευής

Διαβάστε περισσότερα

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1 Εξαναγκασμένη Συναγωγή Εσωτερική Ροή Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Παραγωγής ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 1 Ροή σε Σωλήνες (ie and tube flw) Σε αυτή την διάλεξη θα ασχοληθούμε με τους συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Το μισό του μήκους του σωλήνα, αρκετά μεγάλη απώλεια ύψους.

Το μισό του μήκους του σωλήνα, αρκετά μεγάλη απώλεια ύψους. Πρόβλημα Λάδι πυκνότητας 900 kg / και κινηματικού ιξώδους 0.000 / s ρέει διαμέσου ενός κεκλιμένου σωλήνα στην κατεύθυνση αυξανομένου υψομέτρου, όπως φαίνεται στο παρακάτω Σχήμα. Η πίεση και το υψόμετρο

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ ίκτυα διανοµής αέρα (αερισµού ή κλιµατισµού) Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Μέρηδικτύουδιανοµήςαέρα Ένα δίκτυο διανοµής αέρα εγκατάστασης

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 10/6/2010 1

ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 10/6/2010 1 Εργαλεία επίλυσης προβληµάτων µονοδιάστατης ασυµπίεστης ροής σε αγωγούς (ανοικτούς ή κλειστούς) Ι. Ισοζύγιο Μάζας (εξίσωση συνέχειας) ΙΙ. Ισοζύγιο Ενέργειας (εξίσωση Bernoull) ΙΙΙ. Ισοζύγιο Γραµµικής Ορµής

Διαβάστε περισσότερα

ΥδροδυναµικέςΜηχανές

ΥδροδυναµικέςΜηχανές ΥδροδυναµικέςΜηχανές Χαρακτηριστικές καµπύλες υδροστροβίλων Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Θεωρητικήχαρακτηριστική υδροστροβίλου Θεωρητική χαρακτηριστική υδροστροβίλου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Οι εφαρμογές της διαστατικής ανάλυσης είναι:

ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Οι εφαρμογές της διαστατικής ανάλυσης είναι: ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Χρήσεις της διαστατικής ανάλυσης Η διαστατική ανάλυση είναι μία τεχνική που κάνει χρήση της μελέτης των διαστάσεων για τη λύση των προβλημάτων της Ρευστομηχανικής. Οι εφαρμογές της διαστατικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

τοπικοί συντελεστές αντίστασης στο σηµείο εισόδου, στην καµπύλη και στο ακροφύσιο είναι αντίστοιχα Κ in =1,0, K c =0,7 και K j =0,5.

τοπικοί συντελεστές αντίστασης στο σηµείο εισόδου, στην καµπύλη και στο ακροφύσιο είναι αντίστοιχα Κ in =1,0, K c =0,7 και K j =0,5. Υ ΡΑΥΛΙΚΗ Ι Εφαρµοή Ισοζυίου Υδραυλικής Ενέρειας - Εξίσωση ernoulli Άσκηση. Σε ένα συντριβάνι, νερό αντλείται από τη δεξαµενή µε ρυθµό Q5,0 lt/ και εκτοξεύεται κατακόρυφα, όπως στο σκαρίφηµα. Όλα τα τµήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ στο µάθηµα των Υδροδυναµικών Μηχανών Ι

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ στο µάθηµα των Υδροδυναµικών Μηχανών Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ TOMEAΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Υ ΡΟ ΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ στο µάθηµα των Υδροδυναµικών Μηχανών Ι ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σκοπός της Εργαστηριακής

Διαβάστε περισσότερα

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1 ΜΜΚ 31 Μεταφορά Θερμότητας Εξαναγκασμένη Συναγωγή και Σφαίρες ΜΜΚ 31 Μεταφορά Θερμότητας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Παραγωγής ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 1 και Σφαίρες (flow across cylinders

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: 10-5-2004)

4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: 10-5-2004) Άσκηση (Μονάδες ) 4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: -5-4) Α) Αστροναύτης µάζας 6 Κg βρίσκεται µέσα σε διαστηµόπλοιο που κινείται µε σταθερή ταχύτητα προς τον Άρη. Σε κάποιο σηµείο του ταξιδιού βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΒΟΛΟΥ ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΕΡΓΟΥ

ΔΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΒΟΛΟΥ ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΕΡΓΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΒΟΛΟΥ ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΕΡΓΟΥ «ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΥΔΡΑΓΩΓΕΙΟΥ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΠΗΓΑΙΩΝ ΝΕΡΩΝ ΟΡΕΙΝΟΥ ΟΓΚΟΥ ΠΗΛΙΟΥ» ΤΙΤΛΟΣ ΤΕΥΧΟΥΣ 2. ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΜΕΛΕΤΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

ΘΕΜΑ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι 1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ TOMEAΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΘΕΜΑ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Η εκπόνηση του θέματος και η εκπόνηση της εργαστηριακής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΟΤΕΟ ΥΠΟΕΡΓΟΥ 04. " Εκπαίδευση Υποστήριξη - Πιλοτική Λειτουργία "

ΠΑΡΑ ΟΤΕΟ ΥΠΟΕΡΓΟΥ 04.  Εκπαίδευση Υποστήριξη - Πιλοτική Λειτουργία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΑΒΑΛΑΣ Επιχειρησιακό Πρόγραµµα "Ψηφιακή Σύγκλιση" Πράξη: "Εικονικά Μηχανολογικά Εργαστήρια", Κωδικός ΟΠΣ: 304282, ΣΑΕ 3458 «Η Πράξη συγχρηµατοδοτείται από το Ευρωπαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Εξοπλισμός για την εκπαίδευση στην εφαρμοσμένη μηχανική Υπολογισμός της τριβής σε σωλήνα

Εξοπλισμός για την εκπαίδευση στην εφαρμοσμένη μηχανική Υπολογισμός της τριβής σε σωλήνα Εξοπλισμός για την εκπαίδευση στην εφαρμοσμένη μηχανική Υπολογισμός της τριβής σε σωλήνα Εργαστηριακή Άσκηση HM 150.01 Περιεχόμενα 1. Περιγραφή συσκευών... 1 2. Προετοιμασία για το πείραμα... 1 3. Πειράματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΟΝΙΜΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ & ΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΟΝΙΜΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ & ΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY OF ATHENS ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ FACULTY OF CIVIL ENGINEERING DEPARTMENT

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΥΧΟΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ

ΤΕΥΧΟΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΛΕΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΟ: ΥΠΟΕΡΓΟ: ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ: «ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗ ΑΚΑΘΑΡΤΩΝ ΠΑΡΑΛΙΑΚΟΥ ΜΕΤΩΠΟΥ ΒΟΛΟΥ» «ΔΙΚΤΥΟ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΑΚΑΘΑΡΤΩΝ ΑΓ. ΣΤΕΦΑΝΟΥ Δ. ΒΟΛΟΥ» 3.866.000,00 πλέον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ- Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 0 Μαΐου 05 Ώρα : 0:0 - :00 ΘΕΜΑ 0 (µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Εφαρµογές των Νόµων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάµεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 5 Εφαρµογές των Νόµων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάµεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 5 Εφαρµογές των Νόµων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάµεις Περιεχόµενα Κεφαλαίου 5 Εφαρµογές Τριβής Οµοιόµορφη Κυκλική Κίνηση Δυναµική Κυκλικής Κίνησης Οι κλήσεις στους αυτοκινητοδρόµους

Διαβάστε περισσότερα

Αρδεύσεις (Εργαστήριο)

Αρδεύσεις (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Αρδεύσεις (Εργαστήριο) Ενότητα 7 :Κλειστοί Αγωγοί Ι Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Ροή σε κλειστούς αγωγούς υπό πίεση 5.1. Γενικά Η ροή των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers)

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers) 1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exangers) Οι εναλλάκτες θερµότητας είναι συσκευές µε τις οποίες επιτυγχάνεται η µεταφορά ενέργειας από ένα ρευστό υψηλής θερµοκρασίας σε ένα άλλο ρευστό χαµηλότερης θερµοκρασίας.

Διαβάστε περισσότερα

Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες. Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών

Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες. Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Περιεχόμενα μαθήματος Βασικές έννοιες, συνεχές μέσο, είδη, μονάδες διαστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

υναµική στο επίπεδο.

υναµική στο επίπεδο. στο επίπεδο. 1.3.1. Η τάση του νήµατος, πού και γιατί; Έστω ότι σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεµούν δύο σώµατα Α και Β µε µάζες Μ=3kg και m=2kg αντίστοιχα, τα οποία συνδέονται µε ένα νήµα. Σε µια στιγµή

Διαβάστε περισσότερα

Βαλβίδες καταστροφής ενέργειας διάτρητων πλακών

Βαλβίδες καταστροφής ενέργειας διάτρητων πλακών Βαλβίδες καταστροφής ενέργειας διάτρητων πλακών Στα περισσότερα υδραυλικά συστήματα είναι απαραίτητη η χρήση ρυθμιστικών βαλβίδων που σκοπό έχουν τον έλεγχο της παροχής ή της πίεσης υπό την επίδραση μικρών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΛΙΕΣ. 1.-Εισαγωγή-Γενικά. 2.-Χαρακτηριστικές καμπύλες. 3.-Επιλογή Αντλίας. 4.-Αντλίες σε σειρά και σε παράλληλη διάταξη. 5.

ΑΝΤΛΙΕΣ. 1.-Εισαγωγή-Γενικά. 2.-Χαρακτηριστικές καμπύλες. 3.-Επιλογή Αντλίας. 4.-Αντλίες σε σειρά και σε παράλληλη διάταξη. 5. ΑΝΤΛΙΕΣ 1.-Εισαγωγή-Γενικά 2.-Χαρακτηριστικές καμπύλες 3.-Επιλογή Αντλίας 4.-Αντλίες σε σειρά και σε παράλληλη διάταξη 5.-Ειδική Ταχύτητα 1.-Εισαγωγή-Γενικά - Μετατροπή μηχανικής ενέργειας σε υδραυλική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Τοαπλόεκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

G.U.N.T. Gerätebau GmbH P.O. Box 1125 D-22881 Barsbüttel Γερμάνια Τηλ: (040) 670854-1 Fax: (040) 670854-41

G.U.N.T. Gerätebau GmbH P.O. Box 1125 D-22881 Barsbüttel Γερμάνια Τηλ: (040) 670854-1 Fax: (040) 670854-41 Εξοπλισμός για την εκπαίδευση στην εφαρμοσμένη μηχανική Εγχειρίδιο Οδηγιών HM 150.07 Επίδειξη του θεωρήματος του Μπερνούλη G.U.N.T. Gerätebau GmbH P.O. Box 1125 D-22881 Barsbüttel Γερμάνια Τηλ: (040) 670854-1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ

ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ Environmental Fluid Mechanics Laboratory University of Cyprus Department Of Civil & Environmental Engineering ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ HM 134 ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ Εγχειρίδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΩΛΗΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΣΤΟΝ ΑΕΡΑ ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 15 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Μαΐου 15 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1.

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1. ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ 1. Γενικά Με τη δοκιμή κάμψης ελέγχεται η αντοχή σε κάμψη δοκών από διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας ΔΥΝΑΜΗ ΕΡΓΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑ µηχανική, χηµική, θερµότητα, βαρυτική, ηλεκτρική, µαγνητική, πυρηνική, ραδιοενέργεια, τριβής, κινητική, δυναµική Περιεχόµενα Κεφαλαίου 8 Συντηρητικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 11 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 11 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΚΑΙ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ Υπεύθυνος: Επικ. Καθηγητής Δρ. Α. ΦΑΤΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

F r. www.ylikonet.gr 1

F r. www.ylikonet.gr 1 3.5. Έργο Ενέργεια. 3.5.1. Έργο δύναµης- ροπής και Κινητική Ενέργεια. Το οµοαξονικό σύστηµα των δύο κυλίνδρων µε ακτίνες R 1 =0,1m και R =0,5m ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο. Τυλίγουµε γύρω από τον κύλινδρο

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

4.1.α. Κρούσεις. Κρούσεις. 4.1.21. Ενέργεια Ταλάντωσης και Ελαστική κρούση. 4.1.22. Κρούση και τριβές. 4.1.23. Κεντρική ανελαστική κρούση

4.1.α. Κρούσεις. Κρούσεις. 4.1.21. Ενέργεια Ταλάντωσης και Ελαστική κρούση. 4.1.22. Κρούση και τριβές. 4.1.23. Κεντρική ανελαστική κρούση 4.1.α.. 4.1.21. Ενέργεια Ταλάντωσης και Ελαστική κρούση. Μια πλάκα µάζας Μ=4kg ηρεµεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=250ν/m, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος. Εκτρέπουµε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ ΟΜΑΔΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΑ ΜΑΘΗΤΩΝ 1)... 2)... 3)... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ Με το πείραµα αυτό θα προσδιορίσουµε: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα. 15m. ταμιευτήρας. κανάλι

Το πρόβλημα. 15m. ταμιευτήρας. κανάλι Το πρόβλημα Μετά από ατύχημα, ρύπος (τριχλωροαιθένιο διαλυμένο στο νερό) διαρρέει στον ταμιευτήρα στο πιο κάτω σχήμα. Υπάρχει ανησυχία για το πόσο γρήγορα θα επηρεαστεί κανάλι στα κατάντη αν δεν ληφθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΕ ΑΝΟΙΧΤΟΥΣ ΚΑΙ ΚΛΕΙΣΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΕ ΑΝΟΙΧΤΟΥΣ ΚΑΙ ΚΛΕΙΣΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

στρώµατα του ρευστού έχουν κοινή επιφάνεια Α και βαθµίδα ταχύτητας

στρώµατα του ρευστού έχουν κοινή επιφάνεια Α και βαθµίδα ταχύτητας Γενικά Ιξώδες Κατά τν ροή ρευστού µέσα από αγωγό απαιτείται άσκσ διαφοράς πιέσεως µεταξύ των άκρων του αγωγού για να υπερνικθούν οι δυνάµεις συνοχής µεταξύ των µορίων του ρευστού. Το ιξώδες, το οποίο είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια 8 Κρούσεις Στην µηχανική µε τον όρο κρούση εννοούµε τη σύγκρουση δύο σωµάτων που κινούνται το ένα σχετικά µε το άλλο.το ϕαινόµενο της κρούσης έχει δύο χαρακτηριστικά : ˆ Εχει πολύ µικρή χρονική διάρκεια.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κυκλική κίνηση µίας σηµειακής µάζας και ιδιαίτερα την εξάρτηση της κεντροµόλου δύναµης από τη µάζα,

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές. Εργαστηριακή Ασκηση. Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή

Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές. Εργαστηριακή Ασκηση. Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή Ε.Μ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕIΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡIΟ ΘΕΡΜIΚΩΝ ΣΤΡΟΒIΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές Εργαστηριακή Ασκηση Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή Κ. Μαθιουδάκη Καθηγητή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Μεταφορά Θερμότητας. Βρασμός και συμπύκνωση (boiling and condensation)

Μεταφορά Θερμότητας. Βρασμός και συμπύκνωση (boiling and condensation) ΜΜK 312 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Παραγωγής γής MMK 312 1 Βρασμός και συμπύκνωση (boiing and condenion Όταν η θερμοκρασία ενός υγρού (σε συγκεκριμένη πίεση αυξάνεται μέχρι τη θερμοκρασία

Διαβάστε περισσότερα

Καβάλα, Οκτώβριος 2013

Καβάλα, Οκτώβριος 2013 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΑΝ.ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ - ΘΡΑΚΗΣ Επιχειρησιακό Πρόγραµµα "Ψηφιακή Σύγκλιση" Πράξη: "Εικονικά Μηχανολογικά Εργαστήρια", Κωδικός ΟΠΣ: 304282 «Η Πράξη συγχρηµατοδοτείται από το Ευρωπαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΑΓΩΓΟΥ Απ1 περίοδος σχεδιασμού T = 40 έτη

ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΑΓΩΓΟΥ Απ1 περίοδος σχεδιασμού T = 40 έτη ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΑΓΩΓΟΥ Απ1 περίοδος σχεδιασμού T = 40 έτη πληθυσμός που εξυπηρετεί ο αγωγός Θ = 5000 κάτοικοι 0.40 0.35 μέση ημερήσια κατανάλωση νερού w 1 = 300 L/κατ/ημέρα μέση ημερ. βιομηχανική κατανάλωση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Ρευστών ΙΙ. Εισαγωγή Κανονισμός Βιβλιογραφία. Διδάσκων: Δρ. Θεόδωρος Π. Γεροστάθης, Επικ. Καθηγητής email: tgero@teiath.

Μηχανική Ρευστών ΙΙ. Εισαγωγή Κανονισμός Βιβλιογραφία. Διδάσκων: Δρ. Θεόδωρος Π. Γεροστάθης, Επικ. Καθηγητής email: tgero@teiath. Μηχανική Ρευστών ΙΙ Διδάσκων: Δρ. Θεόδωρος Π. Γεροστάθης, Επικ. Καθηγητής email: tgero@teiath.gr Σκοπός του μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η κατανόηση μεθόδων προτυποποίησης προβλημάτων της μηχανικής

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών

Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών η Μεθοδολογία: «Ανυψωτήρας» Το υγρό του δοχείου κλείνεται με δύο έμβολα που βρίσκονται στην ίδια οριζόντιο. Στο έμβολο με επιφάνεια Α ασκείται δύναμη F. ον Η F ασκεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ «ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗ ΑΚΑΘΑΡΤΩΝ ΠΑΡΑΛΙΑΚΟΥ ΜΕΤΩΠΟΥ ΜΑΛΑΚΙ - ΒΟΛΟΣ» Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΛΕΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ «ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗ ΑΚΑΘΑΡΤΩΝ ΠΑΡΑΛΙΑΚΟΥ ΜΕΤΩΠΟΥ ΜΑΛΑΚΙ - ΒΟΛΟΣ» Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΛΕΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΛΕΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΟ: ΥΠΟΕΡΓΟ: «ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗ ΑΚΑΘΑΡΤΩΝ ΠΑΡΑΛΙΑΚΟΥ ΜΕΤΩΠΟΥ ΜΑΛΑΚΙ - ΒΟΛΟΣ» «ΣΥΝΔΕΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΑΚΑΘΑΡΤΩΝ ΑΓΡΙΑΣ Δ. ΒΟΛΟΥ ΜΕ Ε.Ε.Λ. Δ.Ε.Υ.Α.Μ.Β.»

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 978-960-456-148-3

ISBN 978-960-456-148-3 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-48-3 Copyright: Πρίνος Παναγιώτης, Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 009 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Διάκριση των ρευστών

Εισαγωγή Διάκριση των ρευστών ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ Εισαγωγή στην Υδραυλική Αντικείμενο Πυκνότητα και ειδικό βάρος σωμάτων Συστήματα μονάδων Ιξώδες ρευστού, επιφανειακή τάση, τριχοειδή φαινόμενα Υδροστατική πίεση Εισαγωγή Ρευστομηχανική = Μηχανικές

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 9. Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής

Άσκηση 9. Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής 1.Σκοπός Άσκηση 9 Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής τριβής υγρών Σκοπός της άσκησης είναι ο πειραματικός προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής τριβής (ιξώδες) ενός υγρού. Βασικές θεωρητικές γνώσεις.1

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Ασκήσεις Έργου-Ενέργειας. Οµάδα Γ.

2.2. Ασκήσεις Έργου-Ενέργειας. Οµάδα Γ. 2.2. Ασκήσεις Έργου-Ενέργειας. Οµάδα Γ. 2.2.21. Έργο και µέγιστη Κινητική Ενέργεια. Ένα σώµα µάζας 2kg κινείται σε οριζόντιο επίπεδο και σε µια στιγµή περνά από την θέση x=0 έχοντας ταχύτητα υ 0 =8m/s,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ. Π. ΠΡΙΝΟΣ 2. Υ ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ 2.1 ΠΙΕΣΗ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ. F=mα P y =P s P z =P s. -Ηπίεσησ ένα σηµείο του ρευστού είναι ανεξάρτητη της διεύθυνσης

ΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ. Π. ΠΡΙΝΟΣ 2. Υ ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ 2.1 ΠΙΕΣΗ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ. F=mα P y =P s P z =P s. -Ηπίεσησ ένα σηµείο του ρευστού είναι ανεξάρτητη της διεύθυνσης . ΠΙΕΣΗ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ. Υ ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ Fmα y s z s -Ηπίεσησ ένα σηµείο του ρευστού είναι ανεξάρτητη της διεύθυνσης . ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΠΙΕΣΗΣ -Επιφανειακές δυνάµεις (λόω πίεσης) - υνάµεις σώµατος (π.χ. βάρος) Για ακίνητο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα