ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3.6-5... 25"

Transcript

1 3 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ Γενικά Είσοδος σε σωλήνα Μήκος εισόδου- Οµοιόµορφη ροή Εξίσωση Darcy-Weisbach Απώλειες ενέργειας εξαιτίας τριβών Κατανοµή διατµητικών τάσεων Προσδιορισµός κατανοµής ταχυτήτων και συντελεστή τριβών στη στρωτή ροή Παραβολοειδής κατανοµή ταχυτήτων ροής Μέγιστη και µέση ταχύτητα ροής Συντελεστής τριβών ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Προσδιορισµός κατανοµής ταχυτήτων και συντελεστή τριβών στη τυρβώδη ροή Λογαριθµική κατανοµή ταχυτήτων ροής Μέγιστη και µέση ταχύτητα ροής Συντελεστής τριβών ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Επίδραση της τραχύτητας των τοιχωµάτων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Το διάγραµµα Moody... 3 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Εµπειρικές εξισώσεις υπολογισµού... 5 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σωλήνες εµπορίου-χαρακτηριστικά και γήρανση αυτών Τοπικές απώλειες ενέργειας Γενική εξίσωση υπολογισµού τοπικών απωλειών Τοπικές απώλειες σε απότοµες διαστολές Τοπικές απώλειες σε απότοµες συστολές Τοπικές απώλειες σε βαθµιαίες διαστολές Τοπικές απώλειες σε βαθµιαίες συστολές Τοπικές απώλειες σε αλλαγή κατεύθυνσης σωλήνα Τοπικές απώλειες σε δικλίδες Σηµασία των τοπικών απωλειών Σπηλαίωση και έλεγχος υποπίεσης

2 3 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ 3.1 Γενικά Στo παρόν κεφάλαιο πραγµατοποιούµε τη θεωρητική ανάλυση της ροής σε σωλήνες υπό πίεση. Έχοντας µελετήσει το κεφάλαιο αυτό, θα είσαστε σε θέση 1. Να εκτιµήσετε το µήκος εισόδου της ροής από µια δεξαµενή σε ένα σωλήνα, µετά τον οποίο η ροή γίνεται οµοιόµορφη.. Να υπολογίσετε (α) την κατανοµή των ταχυτήτων ροής, (β) την κατανοµή των διατµητικών τάσεων, (γ) το συντελεστή τριβών f και (δ) τις γραµµικές απώλειες σε οµοιόµορφη ροή υπό πίεση για στρωτή και τυρβώδη ροή σε λείους ή τραχείς σωλήνες. 3. Να περιγράψετε το διάγραµµα Moody και να κατανοήσετε την πρακτική χρησιµότητά του. 3. Είσοδος σε σωλήνα Μήκος εισόδου- Οµοιόµορφη ροή Θυµηθείτε το πείραµα του Reynolds (βλ. Κεφ. 1.4.) και τον ορισµό της οµοιόµορφης ροής (Κεφ ) και παρατηρείστε το Σχ. 3.-1, στο οποίο η ροή εισέρχεται σε ένα σωλήνα. Στα στερεά όρια του σωλήνα αναπτύσσεται ένα οριακό στρώµα, στο οποίο παρατηρείται µια σχετικά σηµαντική πτώση της πίεσης και κατά συνέπεια απώλεια ενέργειας. Εξαιτίας του οριακού στρώµατος η ροή δεν είναι οµοιόµορφη στην αρχή του σωλήνα και γίνεται οµοιόµορφη µετά από ένα µήκος L e, το οποίο καλείται µήκος ανάπτυξης της ροής ή µήκος εισόδου. ΣΧΗΜΑ Είσοδος σε σωλήνα και µήκος εισόδου

3 Για να υπολογίσουµε το L e εφαρµόζουµε τη µέθοδο της διαστατικής ανάλυσης. Η εξαρτηµένη µεταβλητή είναι το L e και οι ανεξάρτητες µεταβλητές που το επηρεάζουν είναι οι ρ, µ, V και D, δηλ. F(L e,ρ,µ,v,d) = 0 (3.-1) Από την εφαρµογή της µεθόδου της διαστατικής ανάλυσης προκύπτει L e F(, Re) = 0 ή D L e F(Re) D = (3.-) δηλ. το L e εξαρτάται µόνο από τον αριθµό Re, VD Re = µ / ρ Από πειραµατική διερεύνηση προέκυψαν οι ακόλουθες προσεγγιστικές εξισώσεις Για στρωτή ροή L e D = 0.06 Re Ισχύει για Re<300 (3.-3) Για τυρβώδη ροή L e 1/ Re D = (3.-4) Στο Σχ. 3.- φαίνεται η γραφική παράσταση των εξ. (3.-3) και (3.-4). 3

4 Le Re (α) Le E+00.0E E E E E+06 Re (β) ΣΧΗΜΑ 3.-. Εξάρτηση του µήκους εισόδου από τον αριθµό Reynolds ΣΧΟΛΙΑ 1. To µήκος εισόδου στην τυρβώδη ροή είναι µικρότερο από αυτό που παρατηρείται στη στρωτή ροή, εξαιτίας του µικρότερου µήκους του τυρβώδους οριακού στρώµατος.. To µήκος εισόδου στην τυρβώδη ροή είναι της τάξης των 0-40 D. Στα συνηθισµένα προβλήµατα ροής που θα αντιµετωπίσουµε τα µήκη των αγωγών είναι της τάξης των 1000 D, οπότε µπορούµε πρακτικά να αγνοήσουµε το µήκος εισόδου και να θεωρήσουµε ότι η οµοιόµορφη ροή ξεκινά από την αρχή του σωλήνα. 4

5 3.3 Εξίσωση Darcy-Weisbach Απώλειες ενέργειας εξαιτίας τριβών Θεωρείστε τη ροή που γίνεται στο όγκο αναφοράς του σωλήνα του Σχ , ο οποίος έχει µήκος x και περιορίζεται από τις διατοµές 1 και. Ο άξονας του σωλήνα λαµβάνεται κατά τη διεύθυνση της ροής x και σχηµατίζει γωνία φ µε την οριζόντια διεύθυνση. Η ροή µπορεί να γίνεται εξαιτίας της διαφοράς πίεσης p=p 1 -p ή και της διαφοράς στάθµης z=z 1 -z µεταξύ των διατοµών 1 και. ΣΧΗΜΑ Όγκος αναφοράς σε ροή σωλήνα Στόχος της παρούσας ανάλυσης της ροής είναι ο προσδιορισµός της εξίσωσης υπολογισµού των γραµµικών απωλειών h f στο µήκος x του σωλήνα, µεταξύ των διατοµών 1 και. Η ανάλυση θα γίνει σε δυο στάδια. Στο πρώτο στάδιο θα προσδιοριστεί η εξίσωση που συνδέει την h f µε τη διατµητική τάση ορίου τ w χρησιµοποιώντας τη µέθοδο του όγκου αναφοράς. Στο δεύτερο στάδιο θα συσχετίσουµε τη τ w µε τα χαρακτηριστικά του ρευστού, της ροής και του σωλήνα χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της διαστατικής ανάλυσης, ώστε τελικά η εξίσωση υπολογισµού του h f να περιέχει µόνο τα χαρακτηριστικά του ρευστού, της ροής και του σωλήνα. Στάδιο 1. Γράφουµε τις εξισώσεις συνέχειας, ενέργειας και ποσότητας κίνησης στο όγκο αναφοράς του Σχ Εξίσωση συνέχειας Q1 = Q = Q ή A1V1 = AV ή V1 = V = V (3.3-1) επειδή πd A1 = A = A = (3.3-) 4 δηλ. η ταχύτητα ροής στο σωλήνα είναι σταθερή στο χώρο και η ροή είναι οµοιόµορφη. 5

6 . Εξίσωση ενέργειας p1 V1 p V H1 = H + hf => z1 + + α1 = z + + α + hf (3.3-3) γ g γ g Επιλύοντας την εξ. (3.3-3) ως προς h f οµοιοµορφίας της ροής) προκύπτει και θεωρώντας ότι α 1 =α =α (εξαιτίας της p1 p V1 V p V p V hf = z1 z + + α α = z + + (α ) = z + + α γ γ g g γ g γ g (3.3-4) δηλ. οι γραµµικές απώλειες ενέργειας στο σωλήνα είναι ίσες µε τη µεταβολή της ενέργειας ή απλά µε την πτώση της γραµµής ενέργειας ΓΕ. Η εξ. (3.3-4) απλοποιείται ακόµα περισσότερο χρησιµοποιώντας την εξ. (3.3-1) ως εξής p p p p = + = = (3.3-5) γ γ γ γ 1 hf z1 z z+ (z+ ) δηλ. οι γραµµικές απώλειες ενέργειας στο σωλήνα είναι ίσες µε τη µεταβολή του πιεζοµετρικού ύψους ή απλά µε την πτώση της πιεζοµετρικής γραµµής ΠΓ. 3. Εξίσωση ποσότητας κίνησης Fpx + Fτ x + Fg x = ρ(v1 Q1 V Q ) = ρ(vq VQ) = 0 (3.3-6) Υπολογίζουµε τις 3 δυνάµεις που εξασκούνται στον όγκο του νερού. (i) ύναµη πίεσης Fp x πd πd πd πd πd Fpx = p1 p = p 1 (p1 p) = p (3.3-7) (ii) ύναµη διάτµησης (τριβές) Fτ x Fτ x = τ πd x (3.3-8) w (iii) ύναµη βαρύτητας Fg x πd Fgx = mgsin φ = ρvgsin φ = γ x sin φ (3.3-9) 4 Η εξ. (3.3-6) γράφεται µε βάση τις εξ. (3.3-7), (3.3-8) και (3.3-9) ως εξής πd πd p τw πd x + γ x sin φ = 0 (3.3-10) 4 4 Θεωρώντας z= x sinφ η εξ. (3.3-10) γράφεται ως εξής 6

7 4τw x γd p = (z + ) ή τw γ D (p + γz) = (3.3-11) 4 x Συνδυάζοντας τις εξ. (3.3-5) και (3.3-11) προκύπτει η εξίσωση που συνδέει τα h f και τ w p (z + ) D h D γ = = ή 4 x 4 x f τw γ γ h f 4τ x γd w = (3.3-1) Στάδιο. Στο στάδιο αυτό θα συσχετίσουµε τη τ w µε τα χαρακτηριστικά του ρευστού (ρ και ν), της ροής (V) και του σωλήνα (D και k s ) χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της διαστατικής ανάλυσης, δηλ. θα προσδιορίσουµε µια εξίσωση της µορφής τ = F(ρ, ν,v,d, k ) (3.3-13) w s Από την εφαρµογή της µεθόδου της διαστατικής ανάλυσης (η οποία περιγράφεται στο Κεφ ) προκύπτει ότι τw f VD k F = = Re =, ρv 8 ν D s ή w 8 τ 1 = fρv (3.3-14) Ο συντελεστής f καλείται συντελεστής τριβών Darcy. O Henry Darcy ( ) ήταν ένας Γάλλος µηχανικός, ο οποίος το 1857 πραγµατοποιώντας πειράµατα ροής σε σωλήνες, µελέτησε για πρώτη φορά την επίδραση της τραχύτητας των σωλήνων στη ροή. Αντικαθιστώντας την εξ. (3.3-14) της τ w στην εξ. (3.3-1), η τελευταία γράφεται ως εξής h f x V = f (3.3-15) D g Για ένα µήκος αγωγού L, η εξ. (3.3-15) γράφεται h f L V = f (3.3-16) D g Η εξ. (3.3-16) ονοµάζεται εξίσωση Darcy-Weisbach, επειδή την πρότεινε ο Γερµανός καθηγητής Julius Weisbach (1945), o οποίος δηµοσίευσε το πρώτο σύγχρονο βιβλίο υδροδυναµικής. ΣΧΟΛΙΑ 1. Σηµειώστε ότι γράψαµε την εξ. (3.3-3) (ενέργειας) στη γενική της µορφή, βλ. εξ. (1.- 10).. Για να καταλήξουµε στις εξ. (3.3-1), (3.3-14) και (3.3-16) χρησιµοποιήσαµε και τις 3 βασικές εξισώσεις ροής (συνέχειας, ενέργειας και ποσότητας κίνησης), καθώς και τη µέθοδο της διαστατικής ανάλυσης, χωρίς να διακρίνουµε αν η ροή είναι στρωτή ή τυρβώδης. Άρα, οι εξ. (3.3-1), (3.3-14) και (3.3-16) ισχύουν για στρωτή και τυρβώδη ροή υπό πίεση σε κλειστούς αγωγούς οιασδήποτε σταθερής διατοµής. 7

8 3. Σύµφωνα µε την εξ. (3.3-14), ο συντελεστής f εξαρτάται από το είδος της ροής (Re) και τη γεωµετρία του αγωγού, όπως αυτή εκφράζεται από το λόγο k s /D, ο οποίος καλείται σχετική τραχύτητα του σωλήνα. 4. Η εξ. (3.3-16) είναι πολύ σηµαντική και θα τη χρησιµοποιείτε πολύ συχνά στις ασκήσεις, αλλά και στο ελεύθερο επάγγελµα σας, εφόσον ασχοληθείτε µε προβλήµατα ροής υπό πίεση σε κλειστούς αγωγούς. Για να την εφαρµόσουµε θα πρέπει να προσδιορίσουµε το συντελεστή f. Αυτό θα το κάνουµε στο Κεφ Κατανοµή διατµητικών τάσεων Για να προσδιορίσουµε την κατανοµή ταχυτήτων ροής στο σωλήνα του Σχ , θα πρέπει να προσδιορίσουµε πρώτα την αντίστοιχη κατανοµή των διατµητικών τάσεων. Για να κάνουµε αυτή την ανάλυση της ροής, θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο της διαφορικής ανάλυσης επιλύοντας τις βασικές διαφορικές εξισώσεις ροής, τις οποίες γνωρίσαµε στο Κεφ Γράφουµε τις βασικές διαφορικές εξισώσεις ροής στη γενική τους µορφή και σε κυλινδρικό σύστηµα συντεταγµένων (βλ. Σχ ). 1. Εξίσωση συνέχειας 1 1 u (rv r ) + (v θ ) + = 0 r r r θ x (3.4-1) όπου u, v r και v θ είναι οι ταχύτητες ροής κατά µήκος της ροής (διεύθυνση x), την ακτινική διεύθυνση r και την πολική διεύθυνση θ, αντίστοιχα.. Εξίσωση ποσότητας κίνησης ΣΧΗΜΑ Σκαρίφηµα ροής σε σωλήνα µήκους x u p 1 ru = + ρg x + (rτ) x x r r (3.4-) Από την εξ. (3.4-1) προκύπτει ότι v r =0 και v θ =0, οπότε 8

9 u = 0 x (3.4-3) δηλ. η ταχύτητα ροής u εξαρτάται µόνο από την ακτινική διεύθυνση r και όχι από το x, δηλ. η ροή είναι οµοιόµορφη. 3. Θέτοντας gx γράφεται = g sin φ και εισάγοντας την εξ. (3.4-3) στην εξ. (3.4-), η τελευταία dp 1 (p ρg sin φ) = (rτ) ή 1 (rτ) = dp (p + γz) dx r r r r dx (3.4-4) Ο αριστερός όρος της εξ. (3.4-4) εξαρτάται µόνο από το r και ο δεξιός όρος µόνο από το x. Εποµένως, οι δυο όροι θα πρέπει να είναι ίσοι µε την ίδια σταθερά. 4. Ολοκληρώνουµε την εξ. (3.4-4) και θέτουµε τ=0 για r=0, οπότε προκύπτει r d r τ = (p + γz) = K (3.4-5) dx όπου Κ είναι µια σταθερά ίση µε την κλίση της πίεσης, δηλ. d K = (p + γz) (3.4-6) dx Παρατηρείστε στο Σχ ότι η διατµητική τάση µεταβάλλεται γραµµικά από τον άξονα του αγωγού µέχρι το τοίχωµα αυτού (r=r=d/), όπου λαµβάνει τη µέγιστη τιµή της που είναι ίση µε ΣΧΟΛΙΑ R d D (p + γz) τ w = (p + γz) = (3.4-7) dx 4 x d 1. Στην εξ. (3.4-5) ο όρος (p + γz) είναι αρνητικός, γιατί η πίεση και το υψόµετρο dx µειώνονται µε το x, δηλ. υπάρχει πτώση της ΠΓ.. Παρατηρείστε ότι η εξ. (3.4-7) είναι ίδια µε την εξ. (3.3-1). Επίσης, σηµειώστε ότι οι δυο εξισώσεις ισχύουν για στρωτή και τυρβώδη ροή. Η διάκριση σε στρωτή και τυρβώδη ροή γίνεται στη συνέχεια για τον προσδιορισµό της τιµής του f και της κατανοµής των ταχυτήτων ροής ανάλογα µε το είδος της ροής. 3.5 Προσδιορισµός κατανοµής ταχυτήτων και συντελεστή τριβών στη στρωτή ροή Παραβολοειδής κατανοµή ταχυτήτων ροής Για να προσδιορίσουµε την κατανοµή ταχυτήτων στη στρωτή ροή θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο της διαφορικής ανάλυσης και την εξ. (1.-14), η οποία ισχύει για στρωτή ροή (νευτώνιου ρευστού) και γράφεται ως εξής 9

10 du(r) τ = µ (3.5-1) dr Εξισώνουµε την εξ. (3.4-5) µε την εξ. (3.5-1), οπότε προκύπτει du(r) r µ = K ή dr K du(r) = rdr (3.5-) µ Ολοκληρώνουµε την εξ. (3.5-) και προκύπτει K = + (3.5-3) 4µ u(r) r C1 Εφαρµόζουµε τη φυσική οριακή συνθήκη u=0 στο τοίχωµα του σωλήνα (r=r) και προσδιορίζουµε τη σταθερά C 1 ίση µε K C - R 4µ 1 = (3.5-4) Εισάγοντας την εξ. (3.5-4) στην εξ. (3.5-3), η τελευταία γράφεται ως εξής K K K 1 d = = = + (3.5-5) 4µ 4µ 4µ 4µ dx u(r) r R (R r ) (p γz)(r r ) Η εξ. (3.5-5) δείχνει ότι η κατανοµή της ταχύτητας είναι παραβολοειδής ή ακριβέστερα είναι ένα παραβολοειδές εκ περιστροφής (βλ. Σχ ) Μέγιστη και µέση ταχύτητα ροής Η µέγιστη ταχύτητα ροής u max παρατηρείται στον άξονα του σωλήνα (r=0) και προσδιορίζεται από την εξ. (3.5-5) για r=0, δηλ. K 1 d u R (p γz)r 4µ 4µ dx max = = + (3.5-6) Συνδυάζοντας την εξ. (3.5-5) µε την εξ. (3.5-6) προκύπτει r u(r) = u max (1 ) (3.5-7) R Υπολογίζουµε τη µέση ταχύτητα ροής V από την εξ. (3.3-1). Q V = (3.3-1) A Για να υπολογίσουµε την παροχή Q πρέπει να ολοκληρώσουµε την εξ. (3.5-7), δηλ. u Q = uda = u (1 )πrdr = πr R r max max (3.5-8) R 0 10

11 οπότε προκύπτει 1 V = u max (3.5-9) δηλ. η µέση ταχύτητα της ροής είναι ίση µε το µισό της µέγιστης Συντελεστής τριβών Πρώτα υπολογίζουµε τη διατµητική τάση στο τοίχωµα. Χρησιµοποιούµε την εξ. (3.5-1), στην οποία εισάγουµε την παράγωγο της εξ. (3.5-7) και την εξ. (3.5-9) ως εξής du µu µ(v) 8µV = = = = (3.5-10) max τ w µ dr r= R R (D / ) D Αντικαθιστούµε την εξ. (3.5-10) στην εξ. (3.3-14) και υπολογίζουµε τον συντελεστή τριβών για στρωτή ροή f στ ίσο µε f 8µV 8τ 8( ) D = = = = (3.5-11) ρv ρv VD ( ) Re µ / ρ w στ Αντικαθιστώντας την εξ. (3.5-11) στην εξ. (3.3-15), η τελευταία γράφεται h 64 L V 3µ L f = = V (3.5-1) VD ( ) D g ρg D µ / ρ ΣΧΟΛΙΑ 1. Η στρωτή ροή σε σωλήνα που ακολουθεί την κατανοµή της εξ. (3.5-7) ονοµάζεται ροή Hagen-Poiseuille σε ανάµνηση της πειραµατικής έρευνας των G. Hagen (1839) και J. L. Poiseuille (1841).. Παρατηρείστε ότι η παροχή, που υπολογίζεται µε την εξ. (3.5-8), είναι ίση µε τον όγκο του παραβολοειδούς, η βάση του οποίου έχει µονάδες επιφάνειας [L ] και το ύψος του µονάδες ταχύτητας [L/T]. 3. Προσέξτε ότι σύµφωνα µε την εξ.(3.5-11), ο συντελεστής τριβών στη στρωτή ροή f στ µειώνεται µε την αύξηση του αριθµού Reynolds. Αυτό βέβαια δεν σηµαίνει ότι και η διατµητική τάση µειώνεται µε τον αριθµό Reynolds, καθόσον η εξ. (3.5-10) δείχνει σαφώς ότι η τ w είναι ανάλογη της ταχύτητας ροής. 4. Παρατηρείστε ότι σε λογαριθµικό διάγραµµα η εξ. (3.5-11) είναι ευθεία γραµµή (βλ. Κεφ.3.6.5, διάγραµµα Moody). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Στο σωλήνα του Σχ. 1 πραγµατοποιείται ροή λαδιού SAE 30. Η πίεση στις διατοµές 1 και µετρήθηκε ίση µε p 1 =55000 Pa και p =10000 Pa. 11

12 1. Υποθέτοντας ότι η ροή είναι στρωτή υπολογίστε (i) τη φορά της ροής, (ii) τις απώλειες h f µεταξύ των διατοµών 1 και, (iii) την παροχή Q, (iv) τη µέση ταχύτητα V και (4) τον αριθµό Reynolds Re.. Ισχύει η παραδοχή που κάνατε ότι η ροή είναι στρωτή; 3. Επαναλάβατε τους υπολογισµούς για υγρό µε πυκνότητα ίση µε το 1/3 της πυκνότητας του λαδιού και σχολιάστε τα αποτελέσµατα. ΣΧΗΜΑ 1. Ροή λαδιού σε σωλήνα του παραδείγµατος Λύση 1. Υπολογίζουµε τα χαρακτηριστικά του λαδιού από τον Πίν kg 0.9 µ m ν = ms ρ = kg = 891 s m 3 kg m kg γ = ρg = (891 )(9.81 ) = m s m s 3. Υπολογίζουµε τις τιµές της ΠΓ στις διατοµές 1 και και τις απώλειες h f. p ΠΓ1 = z1 + = = 7.9 m γ p o ΠΓ = z + = ( sin 30 ) + = 6.14 m γ Εφόσον ΠΓ 1 >ΠΓ, η ροή γίνεται από τη διατοµή 1 προς τη διατοµή, δηλ. προς τα πάνω. Οι απώλειες είναι ίσες µε h f = = 1.15 m και p hf = (z + ) = 1.15 m και γ 1

13 d 1.15 m s K = (p + γz) = = dx 8.0 kg 3. Υπολογίζουµε τη µέγιστη ταχύτητα ροής από την εξ. (3.5-6) και τη µέση ταχύτητα από την εξ. (3.5-9). K u max = R = 0.06 = 3.9 m / s 4µ V = u max = 3.9 = 1.95 m / s 4. Υπολογίζουµε την παροχή, τον αριθµό Reynolds και το συντελεστή f από την εξ. (3.5-11). 3 Q = VπR = 1.95π(R ) = 0.0 m / s 5. Ελέγχουµε αν η ροή είναι στρωτή. VD 1.95 ( 0.06) Re = = = 70 ν fστ = = = Re 70 Εφόσον Re=70<300, η ροή είναι όντως στρωτή, όπως υποθέσαµε. 6. Επαναλαµβάνουµε τους υπολογισµούς για µ=0.9/3=0.097 kg/ms και παραθέτουµε τα αποτελέσµατα στον Πίν.. Εύκολα διαπιστώνουµε ότι η ροή είναι τυρβώδης, καθόσον Re=6460>300, οπότε δεν ισχύουν οι εξισώσεις της στρωτής ροής του Κεφ.3.5. οκιµάστε να κάνετε µόνοι σας τους υπολογισµούς και να επιβεβαιώσετε τα νούµερα του Πίν.. Χρησιµοποιείστε φύλλο υπολογισµών EXCEL και δοκιµάστε διάφορες τιµές µ και ρ παρατηρείστε πόσο σηµαντικό ρόλο παίζουν αυτές στο είδος της ροής. Πίνακας. Υπολογιζόµενα στοιχεία του παραδείγµατος Λάδι 1 Λάδι Μονάδες µ kg/ms ρ kg/m 3 ν m /s g m/s γ kg/m s R m Dx m z m φ ο z m p Pa p Pa 13

14 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3.5- ΠΓ m ΠΓ m h f m Κλίση ΠΓ K m s /kg u max 3.89 (11.68) m/s V 1.95 (5.84) m/s Q 0.0 (0.066) m 3 /s R e f (0.010) - Σχεδιάστε τις κατανοµές των διατµητικών τάσεων και ταχυτήτων ροής στο σωλήνα του παραδείγµατος Λύση 1. Η κατανοµή των ταχυτήτων ροής υπολογίζεται από την εξ. (3.5-7) r u(r) = = r (0.06) (1). Η κατανοµή των διατµητικών τάσεων υπολογίζεται από την εξ. (3.4-5) r m s τ = K = r = 68.8 r kg () Για r=r=0.06 m υπολογίζεται τw = 68.8(0.06) = 37.7 Pa Η κατανοµή των διατµητικών τάσεων είναι γραµµική µε µηδενική τιµή στον άξονα του αγωγού (τ=0 για r=0) και τιµή τ w στο όριο. Έλεγχος. Υπολογίζουµε την τ w από την εξ. (3.5-10). 8 (0.9 kg / ms) (1.95 m / s) kg τw = = 37.7 = 37.7 Pa (0.1 m) ms Η κατανοµή των ταχυτήτων ροής και των διατµητικών τάσεων φαίνεται στο Σχ

15 u(r),τ(r) r ΣΧΗΜΑ 1. Κατανοµή ταχυτήτων ροής και διατµητικών τάσεων του παραδείγµατος Προσδιορισµός κατανοµής ταχυτήτων και συντελεστή τριβών στη τυρβώδη ροή Λογαριθµική κατανοµή ταχυτήτων ροής Στην τυρβώδη ροή θεωρούµε ότι ισχύει η λογαριθµική κατανοµή ταχυτήτων ροής, βλ. εξ. (.3-10), την οποία γράφουµε αντικαθιστώντας την απόσταση από το τοίχωµα y µε την απόσταση από το εσωτερικό τοίχωµα του σωλήνα, R-r, δηλ. u(r) (R r)u = u + ν * *.44 ln 5.0 (3.6-1) 3.6. Μέγιστη και µέση ταχύτητα ροής Η µέγιστη ταχύτητα ροής u max, η οποία παρατηρείται στον άξονα του σωλήνα, προσδιορίζεται από την εξ. (3.6-1) θέτοντας r=0, δηλ. u u max * * Ru =.44 ln ν (3.6-) Η µέση ταχύτητα ροής υπολογίζεται ακολουθώντας τη µεθοδολογία που εφαρµόσαµε στην περίπτωση της στρωτής ροής, βλ. εξ. (3.5-8), δηλ. ολοκληρώνοντας την εξ. (3.6-1) για να βρούµε την παροχή και διαιρώντας µε την επιφάνεια. R Q 1 (R r)u* u* Ru* V = = u *(.44 ln 5.0)πrdr (.44 ln ) A πr + = + ν ν 0 15

16 ή V Ru.44ln * 1.34 u * = + ν (3.6-3) Συντελεστής τριβών Πρώτα, υπολογίζουµε τη διατµητική τάση στο τοίχωµα χρησιµοποιώντας την εξ. (.3-1). τw u* = => τw = ρu* (.3-1) ρ Επίσης, ισχύει η εξ. (3.3-14) τw f = (3.3-14) ρv 8 Συνδυάζοντας την εξ. (.3-1) µε την εξ. (3.3-14) προκύπτει V 8 = (3.6-4) u f * Εκφράσουµε την ποσότητα Ru * /ν ως συνάρτηση του αριθµού Reynolds ως εξής Ru* (D / )V u* Re f = = (3.6-5) ν ν V 8 Αντικαθιστούµε την εξ. (3.6-4) και την εξ. (3.6-5) στην εξ. (3.6-3), η οποία γράφεται ως εξής 8 Re f =.44 ln 1.34 f + 8 (3.6-6) Χρησιµοποιώντας log10 (λογάριθµο µε βάση το 10), η εξ. (3.6-6) µετά από πράξεις γράφεται στην ακόλουθη µορφή ( ) log Re f 1.0 f = (3.6-7) Ο Prandtl (1935) τροποποίησε τους συντελεστές της εξ. (3.6-7) για να προσαρµόζεται καλύτερα σε πειραµατικά δεδοµένα ως εξής ( ) 1.0 log Re f 0.8 f = (3.6-8) Παρατηρείστε ότι η εξ. (3.6-8) είναι πεπλεγµένη, δηλ. δεν µπορούµε να τη λύσουµε απευθείας (ρητή επίλυσή) ως προς f, όπως κάναµε στην περίπτωση της στρωτής ροής, βλ. εξ. (3.5-11). Μια απλή µέθοδος επίλυσης της εξ. (3.6-8) είναι µε δοκιµές. ιάφοροι ερευνητές προσπάθησαν να προσεγγίσουν την πεπλεγµένη εξ. (3.6-8) από µια ρητή. Χαρακτηριστικά παραδείγµατα αποτελούν οι εξισώσεις του Blasius (1911), ο οποίος ήταν µαθητής του Prandtl, και του Colebrook. f Re 1/ 4 = Εξίσωση Blasius. Ισχύει για 4000<Re< (3.6-9) 16

17 f ( ) = 1.8log Re Εξίσωση Colebrook (3.6-10) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σε λείο σωλήνα µήκους L=1000 m και διαµέτρου D=600 mm που τοποθετείται µε κλίση ο κατά τη διεύθυνση της ροής πραγµατοποιείται ροή νερού (ρ=998 kg/m 3 και µ= kg/ms) παροχής Q=.0 m 3 /s. Υπολογίστε (i) τις γραµµικές απώλειες h f και (ii) την πτώση πίεσης. Λύση 1. Υπολογίζουµε τα ν και γ µ kg / ms ν = 3 ρ = 998 kg / m = m / s 3 γ = ρg = (998 kg / m )(9.81 m / s ) = kg / m s. Υπολογίζουµε τη µέση ταχύτητα ροής και τον αριθµό Reynolds πd A = και 4 3 4Q 4( m / s) V = = = 7.07 m / s πd π (0.6 m) VD (7.07 m / s) (0.600 m) Re = = = 4975 ν m / s 4. Από την εξ. (3.6-8) υπολογίζουµε το f εφαρµόζοντας την ακόλουθη διαδικασία δοκιµών. Υποθέτουµε f= και υπολογίζουµε από την εξ. (3.5-11) f= Υποθέτουµε f= και υπολογίζουµε από την εξ. (3.5-11) f= Υποθέτουµε f=0.009 και υπολογίζουµε από την εξ. (3.5-11) f= Χρειάστηκαν 3 δοκιµές για να υπολογίσουµε το f µε ακρίβεια 4 ου δεκαδικού. 5. Υπολογίζουµε τις γραµµικές απώλειες h f από την εξ. (3.3-16). L V (1000 m) (7.07 m / s) hf = f = = m D g (0.600 m) (9.81m / s ) 6. Υπολογίζουµε την πτώση της πίεσης από την εξ. (3.3-5). p hf = z + = m γ o z = (1000 m) sin( ) = m, οπότε p ( ) m 4.14 m γ = = και 17

18 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3.6- p = ( kg / m s )(4.14 m) = Pa Σχεδιάστε την κατανοµή ταχυτήτων ροής στο σωλήνα του παραδείγµατος Λύση 1. Υπολογίζουµε τη διατµητική τάση ορίου από την εξ. (3.3-1) D h (0.600 m) ( m) = = = 4 x 4 (1000 m) f τw γ ( kg / m s ) 5745 kg / ms. Υπολογίζουµε τη u * από την εξ. (.3-3) u = τ kg / ms 0.40 m / s ρ = 998 kg / m = w * 3 3. Η κατανοµή ταχυτήτων ροής δίνεται από την εξ. (3.6-4), η οποία γράφεται u(r) Ru* ru* =.44 ln 5.0 u + * ν (0.300 m)(0.40 m / s) r(0.40 m / s) u(r) = (0.40 m / s)(.44)ln + (5.0)(0.40 m / s) m / s u(r) = ln ( r) + 1. Σχεδιάζουµε την κατανοµή ταχυτήτων ροής, η οποία φαίνεται στο Σχ u(r) r ΣΧΗΜΑ 1. Κατανοµή ταχυτήτων ροής του παραδείγµατος

19 3.6.4 Επίδραση της τραχύτητας των τοιχωµάτων Η εξ. (3.6-8) δείχνει ότι ο συντελεστής f εξαρτάται µόνο από το είδος της ροής, δηλ. µόνο από τον αριθµό Reynolds. Όµως, σύµφωνα µε την εξ. (3.3-14), αλλά και µε βάση πειράµατα που πραγµατοποιήθηκαν από τον Coulomb (1800), διαπιστώθηκε ότι υπάρχει επίδραση της τραχύτητας του σωλήνα στην τιµή του f. Η επίδραση αυτή είναι αµελητέα στην περίπτωση της στρωτής ροής, δηλ. οι εξισώσεις του Κεφ. 3.5 ισχύουν και για τραχέα τοιχώµατα, αλλά είναι ιδιαίτερα σηµαντική στην περίπτωση της τυρβώδους ροής. O Nikuradse (1933), o οποίος ήταν µαθητής του Prandtl, διερεύνησε πειραµατικά την επίδραση της σχετικής τραχύτητας k s /D για τυρβώδη ροή σε σωλήνες µεταβάλλοντας τις τιµές του λόγου k s /D «κολλώντας» κόκκους άµµου διαφόρων µεγεθών στο εσωτερικό τοίχωµα των σωλήνων. Στη συνέχεια υπολόγιζε τη πτώση πίεσης και την παροχή και συσχέτιζε το συντελεστή f µε τον Re και το k s /D. Η συσχέτιση αυτή παρουσιάζεται στο Σχ , στο οποίο µε κουκίδες συµβολίζονται οι µετρήσεις και µε συνεχείς γραµµές οι καµπύλες f-re που ακολουθούν τις µετρήσεις. Στο Σχ φαίνονται και οι εξισώσεις της στρωτής ροής (εξ. (3.5-11), του Prandtl (εξ. (3.6-8)) και του Blasius (εξ. (3.6-9)). ΣΧΗΜΑ Επίδραση της τραχύτητας στην τιµή του συντελεστή f για τυρβώδη ροή Στο Σχ διακρίνουµε 3 περιοχές διαφορετικής συµπεριφοράς των καµπυλών f-re: 1. Περιοχή της στρωτής ροής (Re<300). Η καµπύλη f-re συµπίπτει σχεδόν µε την εξ. (3.5-11), δηλ. οι τιµές του f δεν εξαρτώνται από το k s /D. 19

20 . Περιοχή της µεταβατικής τυρβώδους ροής. Στην περιοχή αυτή παρατηρούµε ότι υπάρχει αρχικά ένα τµήµα της καµπύλης f-re που ακολουθεί την εξίσωση του Prandtl (το οποίο είναι τόσο µεγαλύτερο, όσο µικρότερος είναι ο λόγος k s /D) και στη συνέχεια ένα τµήµα µονότονης ανόδου της καµπύλης f-re, στο οποίο η τιµή του f είναι σηµαντικά µεγαλύτερη από αυτή που υπολογίζεται µε την εξίσωση του Prandtl. 3. Περιοχή πλήρως τυρβώδους ροής. Εδώ βλέπουµε ότι η καµπύλη f-re είναι παράλληλη µε τον άξονα του Re, δηλ. οι τιµές του f δεν εξαρτώνται από τον Re, αλλά µόνο από το k s /D. Οι 3 αυτές περιοχές καθορίζονται από την τιµή της παραµέτρου k + =k s u * /ν. Οι υδραυλικά λείοι σωλήνες αντιστοιχούν σε τιµές k + <5, οι υδραυλικά τραχείς σε τιµές k + >70, ενώ στις ενδιάµεσες τιµές αντιστοιχούν οι σωλήνες µεταβατικής τραχύτητας. O Nikuradse παρατήρησε ότι σε υδραυλικά τραχείς σωλήνες, η παρουσία της τραχύτητας ωθεί τη λογαριθµική κατανοµή προς τα πάνω (δηλ. ο f αυξάνεται) κατά µια ποσότητα περίπου ίση µε ln k +, όπου k + =k s u * /ν είναι µια αδιάστατη µορφή της τραχύτητας σε αντιστοιχία µε την ποσότητα y + =y u * /ν. H κλίση του νόµου της λογαριθµικής κατανοµής παραµένει η ίδια (ίση µε 1/κ=.44), ενώ η σταθερά Β=5.0 µειώνεται κατά Β=(1/κ) ln k Έτσι, η εξ. (3.6-1), η οποία ισχύει για λεία τοιχώµατα, τροποποιείται ως εξής για τραχέα τοιχώµατα u(r) (R r)u 1 k u R r = + u* ν κ = + ν ks * s *.44 ln 5.0 ( ln 3.5).44 ln 8.5 (3.6-11) Υπολογίζουµε τη µέγιστη ταχύτητα ροής από την εξ. (3.6-11) θέτοντας r=0, δηλ. u u max R =.44 ln (3.6-1) k * s Υπολογίζουµε τη µέση ταχύτητα ολοκληρώνοντας την εξ. (3.6-11), οπότε προκύπτει V.44ln s 3. Εξισώνοντας την εξ. (3.6-13) µε την εξ. (3.6-4) u * k = + (3.6-13) D προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση V 8 = (3.6-4) u f * 8 f k s =.44 ln + 3. (3.6-14) D Χρησιµοποιώντας log10, η εξ. (3.6-14) µετά από πράξεις γράφεται µε την ακόλουθη µορφή 0

21 k s 1 =.0log D f 3.7 Ισχύει για y + >70 (3.6-15) Με την εξ. (3.6-15) µπορούµε να υπολογίσουµε το f για πλήρως τραχείς σωλήνες (y + >70). Πώς µπορούµε όµως να υπολογίσουµε το f στην περιοχή της µεταβατικής τυρβώδους ροής; Την απάντηση στο ερώτηµα αυτό έδωσε ο Colebrook (1939), ο οποίος συνδύασε την εξ. (3.6-8) µε την εξ. (3.6-15) και κατέληξε στην εξ. (3.6-16). k s 1 D.51 =.0log + f 3.7 Re f (3.6-16) Η εξ. (3.6-16) του Colebrook είναι πεπλεγµένη, όπως και η εξ. (3.6-8) και επιλύεται µε ανάλογο τρόπο. Η εξ. (3.6-16) είναι γνωστή και ως εξίσωση των Colebrook and White (1937). Σηµαντικές έρευνες έχουν γίνει µε στόχο την ανάπτυξη προσεγγιστικών-ρητών εκφράσεων της εξ. (3.6-17). Χαρακτηριστικά αναφέρονται οι εξισώσεις των Swamee and Jain (1976), οι οποίες εφαρµόζονται στο Κεφ. 4.. Σηµειώνεται, πάντως, ότι οι ρητές εξισώσεις είχαν ιδιαίτερη αξία πριν από χρόνια. Σήµερα, η εξ. (3.6-16) λύνεται εύκολα σε περιβάλλον ΕXCEL, γεγονός που έχει περιορίσει την αξία των προσεγγιστικών-ρητών σχέσεων. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Επαναλάβατε τους υπολογισµούς του παραδείγµατος θεωρώντας ότι ο σωλήνας είναι από χυτοσίδηρο και σχολιάστε τα αποτελέσµατα. Λύση 1. Aπό τον Πίν βρίσκουµε την τραχύτητα ίση µε k s =0.6 mm και υπολογίζουµε τη σχετική τραχύτητα ίση µε k 0.6 mm s = = D 600 mm. Από την εξ. (3.6-13) υπολογίζουµε τη u * u * V m / s = = = 0.30 m / s ks [.44 ln( ) ln 3. ] + D 3. Υπολογίζουµε την ποσότητα k s u * /ν k u ( mm)(0.30 m / s) = = 8.8 > 70 s * ν ( m / s) 1

22 Άρα, ο σωλήνας είναι υδραυλικά τραχύς.. 4. Υπολογίζουµε το f από την εξ. (3.6-15) ή την εξ. (3.6-4) k s D f = 1/(.0 log = 1/(.0 log = m / s f = 8 = m / s Εάν χρησιµοποιήσουµε την εξ. (3.6-16) υπολογίζεται µε δοκιµές f= Υπολογίζουµε τις γραµµικές απώλειες h f από την εξ. (3.3-16). L V (1000 m) (7.074 m / s) hf = f = = m D g (0.600 m) (9.81m / s ) 6. Υπολογίζουµε την πτώση της πίεσης από την εξ. (3.3-5). p hf = z + = m γ o z (1000 m) sin( ) m = =, οπότε p ( ) m m γ = = και p = ( kg / m s )( m) = 3363 Pa 7. Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση του χυτοσιδηρού σωλήνα ο συντελεστής f και οι απώλειες αυξάνονται κατά περίπου 76% και η πτώση πίεσης επταπλασιάζεται. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σχεδιάστε την κατανοµή ταχυτήτων ροής στο σωλήνα του παραδείγµατος Λύση Η κατανοµή ταχυτήτων ροής δίνεται από την εξ. (3.6-11), η οποία γράφεται ως εξής u(r) (0.300 m r) =.44 ln m / s m ή u(r) = ln( r) +.7 Σχεδιάζουµε την κατανοµή ταχυτήτων ροής, η οποία φαίνεται στο Σχ. 1 µαζί µε την κατανοµή του λείου σωλήνα.

23 0.00 u(r) r Λείoς σωλήνας Τραχύς σωλήνας ΣΧΗΜΑ 1. Κατανοµή ταχυτήτων ροής του παραδείγµατος Το διάγραµµα Moody Το 1944 ο Lewis Moody, καθηγητής Υδραυλικής Μηχανικής στο Πανεπιστήµιο Princeton, παρουσίασε την εξ. (3.6-16), εξίσωση του Colebrook, στο διάγραµµα του Σχ Το διάγραµµα αυτό ονοµάστηκε διάγραµµα Moody. Παράλληλα, ο Moody (1944) προσδιόρισε τιµές της τραχύτητας k s για διάφορα υλικά σωλήνων του εµπορίου (βλ. κεφ. 3.8), οι οποίες φαίνονται στον Πίν Πίνακας Τιµές της τραχύτητας k s για διάφορα υλικά σωλήνων του εµπορίου Υλικό k s (mm) Σκυρόδεµα Βιοµηχανικός χάλυβας Ξύλο Χυτοσίδηρος 0.6 Γαλβανισµένος σίδηρος 0.15 Ασφαλτικός χυτοσίδηρος 0.1 Γυαλί 0 (Λείος) Σηµειώστε τα ακόλουθα για το διάγραµµα Moody : 1. Είναι πιθανώς το περισσότερο γνωστό και χρήσιµο διάγραµµα στην επιστήµη του Υδραυλικού Μηχανικού.. Έχει ακρίβεια ±15 % σε όλη την περιοχή εφαρµογής του. 3. Στην περιοχή της µεταβατικής τυρβώδους ροής (300<Re<4000) υπάρχει αδυναµία υπολογισµού του f. 4. Μπορεί να χρησιµοποιηθεί για ροή υπό πίεση σε σωλήνες και σε άλλης γεωµετρίας αγωγούς (βλ. Κεφ. 5), αλλά και σε αγωγούς ροής µε ελεύθερη επιφάνεια. 3

24 Σχετική τραχύτητα k s /D Στρωτή ροή 16 f = Re Πλήρως ανεπτυγµένη τυρβώδης ροή Τραχείς σωλήνες VD Αριθµός Reynolds Re = (λογαριθµική κλίµακα) 10 7 ν ΣΧΗΜΑ ιάγραµµα Moody κρίσιµη περιοχή Λείοι σωληνες Μεταβατική περιοχή Συντελεστής τριβών f (λογαριθµική κλίµακα)

25 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Κατασκευάστε ένα απλό «δικό σας» διάγραµµα Moody και σχολιάστε. Λύση 1. Λύνουµε την εξ. (3.6-16) και βρίσκουµε την τιµή του f για διάφορες τιµές των k s /D (έστω 0.005, και 0.030) και Re (έστω 000, 4000, 5000, 10000, 0000, 40000, 50000, 75000, , 50000, και ). Σχεδιάζουµε τις 3 καµπύλες στο Σχ. 1 που αντιστοιχούν στις τρεις τιµές του λόγου k s /D. Η επίλυση και γραφική παράσταση γίνεται πολύ εύκολα σε περιβάλλον EXCEL.. Για τις ίδιες τιµές του σχεδιάζουµε την εξ. (3.6-8) για λείο σωλήνα, την εξ. (3.6-9), προσεγγιστική Blasius για λείο σωλήνα, καθως και την εξ. (3.5-11) για τη στρωτή ροή. Παρατηρείστε τα ακόλουθα: 1. Όταν αυξήσουµε το k s /D, η καµπύλη του f µετακινείται προς τα πάνω και αυξάνεται η τιµή του f.. Όταν αυξήσουµε τον Re ο f µειώνεται µέχρι κάποια τιµή του Re και στη συνέχεια σταθεροποιείται. 3. Η προσεγγιστική εξίσωση του Blasius για λείο σωλήνα, εξ. (3.6-9), ταυτίζεται µε την ακριβή εξ. (3.6.8) για αριθµούς Re µέχρι f ks/d=0.010 ks/d=0.030 ks/d=0.005 Laminar Λείος σωλήνας Blasius Re ΣΧΗΜΑ 1. To «δικό µας» διάγραµµα Moody του παραδείγµατος Εµπειρικές εξισώσεις υπολογισµού Στους υπολογισµούς θα χρησιµοποιούµε συνήθως την εξίσωση Darcy-Weisbach L V L V h = f f f D g = 4R g (3.3-16) 5

υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση

υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση Τεράστια σημασία του ιξώδους: Ύπαρξη διατμητικών τάσεων που δημιουργούν απώλειες ενέργειας Απαραίτητες σε κάθε μελέτη Είδη ροών Τυρβώδης ροή αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4.2-3... 8. 4.2.3 Τύπος απλού προβλήµατος 2: Υπολογισµός παροχής... 5. 4.2.4 Τύπος απλού προβλήµατος 3: Υπολογισµός διαµέτρου σωλήνα...

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4.2-3... 8. 4.2.3 Τύπος απλού προβλήµατος 2: Υπολογισµός παροχής... 5. 4.2.4 Τύπος απλού προβλήµατος 3: Υπολογισµός διαµέτρου σωλήνα... 4 ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ... 4.1 Γενικά... 4. Απλά προβλήµατα ροής... 4..1 Τύποι απλών προβληµάτων ροής... 4.. Τύπος απλού προβλήµατος 1: Υπολογισµός γραµµικών απωλειών... ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4.-1...

Διαβάστε περισσότερα

υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση

υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση Τεράστια σημασία του ιξώδους: Ύπαρξη διατμητικών τάσεων που δημιουργούν απώλειες ενέργειας Απαραίτητες σε κάθε μελέτη Είδη ροών Στρωτή ή γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

2 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΡΟΗΣ ΚΟΝΤΑ ΣΕ ΣΤΕΡΕΟ ΟΡΙΟ Γενικά Εξισώσεις τυρβώδους ροής-τυρβώδεις τάσεις Κατανοµή στρωτών και τυρβωδών

2 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΡΟΗΣ ΚΟΝΤΑ ΣΕ ΣΤΕΡΕΟ ΟΡΙΟ Γενικά Εξισώσεις τυρβώδους ροής-τυρβώδεις τάσεις Κατανοµή στρωτών και τυρβωδών 2 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΡΟΗΣ ΚΟΝΤΑ ΣΕ ΣΤΕΡΕΟ ΟΡΙΟ 2 2.1 Γενικά 2 2.2 Εξισώσεις τυρβώδους ροής-τυρβώδεις τάσεις 2 2.2.1 Κατανοµή στρωτών και τυρβωδών τάσεων 2 2.2.2 Περιοχές ροής 3 2.3 Κατανοµές ταχυτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Αρχές υδραυλικής στα αστικά υδραυλικά έργα

Κεφάλαιο 5: Αρχές υδραυλικής στα αστικά υδραυλικά έργα Κεφάλαιο 5: Αρχές υδραυλικής στα αστικά υδραυλικά έργα Γραμμικές απώλειες Ύψος πίεσης Γραμμικές απώλειες Αρχές μόνιμης ομοιόμορφης ροής Ροή σε κλειστό αγωγό Αρχή διατήρησης μάζας (= εξίσωση συνέχειας)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΡΩΤΟΥ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΚΙΝΗΤΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Σκοπός της άσκησης Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση γίνεται μελέτη του Στρωτού

Διαβάστε περισσότερα

Τα τρία βασικά προβλήματα της Υδραυλικής

Τα τρία βασικά προβλήματα της Υδραυλικής Τα τρία βασικά προβλήματα της Υδραυλικής Α βασικό πρόβλημα,, παροχή γνωστή απλός υπολογισμός απωλειών όχι δοκιμές (1): L1 = 300, d1 = 0.6 m, (): L = 300, d = 0.4 m Q = 0.5m 3 /s, H=?, k=0.6 mm Διατήρηση

Διαβάστε περισσότερα

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή 5 Μετρητές παροχής 5.Εισαγωγή Τρεις βασικές συσκευές, με τις οποίες μπορεί να γίνει η μέτρηση της ογκομετρικής παροχής των ρευστών, είναι ο μετρητής Venturi (ή βεντουρίμετρο), ο μετρητής διαφράγματος (ή

Διαβάστε περισσότερα

ΥδροδυναµικέςΜηχανές

ΥδροδυναµικέςΜηχανές ΥδροδυναµικέςΜηχανές Σωληνώσεις Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Σκοπός -Αντικείµενο Συνήθως η µελέτη υδροδυναµικών µηχανών και εγκαταστάσεων συνοδεύεται και από τη

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Ονοματεπώνυμο:Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημερομηνία εκτέλεσης Πειράματος : 12/4/2000 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

4 Τριβές σε Σωλήνες και Εξαρτήματα

4 Τριβές σε Σωλήνες και Εξαρτήματα 4 Τριβές σε Σωλήνες και Εξαρτήματα 4.1 Εισαγωγή 4.1.1 ΜΟΡΙΑΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Ένα ρευστό δεν είναι παρά ένα σύνολο μορίων, τα οποία αφενός κινούνται (έχουν κινητική ενέργεια) και αφετέρου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Σημειώσεις. Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ

ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Σημειώσεις. Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σημειώσεις Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, Απρίλιος 13 1. Η Έννοια του Οριακού Στρώματος Το οριακό στρώμα επινοήθηκε για

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα ροής ρευστών (Moody κλπ.)

Παραδείγµατα ροής ρευστών (Moody κλπ.) Παραδείγµατα ροής ρευστών (Mooy κλπ.) 005-006 Παράδειγµα 1. Να υπολογισθεί η πτώση πίεσης σε ένα σωλήνα από χάλυβα του εµπορίου µήκους 30.8 m, µε εσωτερική διάµετρο 0.056 m και τραχύτητα του σωλήνα ε 0.00005

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ, E.M.Π ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΓΓΕΙΟΒΕΛΤΙΩΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΑΜΗΝΟ: 8 ο

ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ, E.M.Π ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΓΓΕΙΟΒΕΛΤΙΩΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΑΜΗΝΟ: 8 ο ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ, E.M.Π ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΓΓΕΙΟΒΕΛΤΙΩΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΑΜΗΝΟ: 8 ο Άσκηση Οικισµός ΑΒΓ Α υδροδοτείται από δεξαµενή µέσω

Διαβάστε περισσότερα

6 Εξαναγκασμένη ροή αέρα

6 Εξαναγκασμένη ροή αέρα 6 Εξαναγκασμένη ροή αέρα 6.1 Εισαγωγή Όταν θέτουμε σε κίνηση κάποια μόρια ενός ρευστού μέσω μιας αντλίας ή ενός φυσητήρα, η κίνηση μεταδίδεται και στα υπόλοιπα μόρια του ρευστού μέσω των αλληλεπιδράσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση Βλιώρα Ευαγγελία ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2014 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι ο υπολογισμός της

Διαβάστε περισσότερα

ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ

ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ / ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡ. ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Το μισό του μήκους του σωλήνα, αρκετά μεγάλη απώλεια ύψους.

Το μισό του μήκους του σωλήνα, αρκετά μεγάλη απώλεια ύψους. Πρόβλημα Λάδι πυκνότητας 900 kg / και κινηματικού ιξώδους 0.000 / s ρέει διαμέσου ενός κεκλιμένου σωλήνα στην κατεύθυνση αυξανομένου υψομέτρου, όπως φαίνεται στο παρακάτω Σχήμα. Η πίεση και το υψόμετρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Μέθοδος διαφορικής ανάλυσης 22 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ροές Couette και Poiseuille Μέθοδος διαστατικής ανάλυσης 25

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Μέθοδος διαφορικής ανάλυσης 22 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ροές Couette και Poiseuille Μέθοδος διαστατικής ανάλυσης 25 1 ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ 1.1 Γενικά 1. Χαρακτηριστικά ενός ρευστού και λοιπά στοιχεία 1..1 Πυκνότητα του ρευστού Το ρευστό ως συνεχές µέσο Ειδικό βαρος 1.. Πίεση 3 1..3 Ταχύτητα ροής Κινηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1 Εξαναγκασμένη Συναγωγή Εσωτερική Ροή Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Παραγωγής ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 1 Ροή σε Σωλήνες (ie and tube flw) Σε αυτή την διάλεξη θα ασχοληθούμε με τους συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΓΟΣ VENTURI. Σχήμα 1. Διάταξη πειραματικής συσκευής σωλήνα Venturi.

ΑΓΩΓΟΣ VENTURI. Σχήμα 1. Διάταξη πειραματικής συσκευής σωλήνα Venturi. Α.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ 7 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΓΩΓΟΣ VENTURI ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σκοπός της άσκησης είναι η κατανόηση της χρήσης της συσκευής

Διαβάστε περισσότερα

Κινηματική ρευστών. Ροή ρευστού = η κίνηση του ρευστού, μέσα στο περιβάλλον του

Κινηματική ρευστών. Ροή ρευστού = η κίνηση του ρευστού, μέσα στο περιβάλλον του 301 Κινηματική ρευστών Ροή ρευστού = η κίνηση του ρευστού, μέσα στο περιβάλλον του Είδη ροής α) Σταθερή ή μόνιμη = όταν σε κάθε σημείο του χώρου οι συνθήκες ροής, ταχύτητα, θερμοκρασία, πίεση και πυκνότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 2 η Κατανομή πίεσης σε συγκλίνοντα αποκλίνοντα αγωγό.

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 2 η Κατανομή πίεσης σε συγκλίνοντα αποκλίνοντα αγωγό. Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 2 η Κατανομή πίεσης σε συγκλίνοντα αποκλίνοντα αγωγό. Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημ/νία παράδοσης Εργασίας: Τετάρτη 24 Μαΐου 2 1 Θεωρητική Εισαγωγή:

Διαβάστε περισσότερα

Ορμή και Δυνάμεις. Θεώρημα Ώθησης Ορμής

Ορμή και Δυνάμεις. Θεώρημα Ώθησης Ορμής 501 Ορμή και Δυνάμεις Θεώρημα Ώθησης Ορμής «Η μεταβολή της ορμής ενός σώματος είναι ίση με την ώθηση της δύναμης που ασκήθηκε στο σώμα» = ή Το θεώρημα αυτό εφαρμόζεται διανυσματικά. 502 Θεώρημα Ώθησης

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές υδροενεργειακής τεχνολογίας

Αρχές υδροενεργειακής τεχνολογίας Υδροηλεκτρικά Έργα 8ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Αρχές υδροενεργειακής τεχνολογίας Ανδρέας Ευστρατιάδης, Νίκος Μαμάσης, & Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

800 m. 800 m. 800 m. Περιοχή A

800 m. 800 m. 800 m. Περιοχή A Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E5: Τροφοδοσία µονάδας επεξεργασίας αγροτικών προϊόντων (Εξέταση

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ ίκτυα διανοµής αέρα (αερισµού ή κλιµατισµού) Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Μέρηδικτύουδιανοµήςαέρα Ένα δίκτυο διανοµής αέρα εγκατάστασης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ 27 Φεβρουαρίου 2006 Διάρκεια εξέτασης : 2.5 ώρες Ονοματεπώνυμο: ΑΕΜ Εξάμηνο: (α) Επιτρέπονται: Τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 10/6/2010 1

ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 10/6/2010 1 Εργαλεία επίλυσης προβληµάτων µονοδιάστατης ασυµπίεστης ροής σε αγωγούς (ανοικτούς ή κλειστούς) Ι. Ισοζύγιο Μάζας (εξίσωση συνέχειας) ΙΙ. Ισοζύγιο Ενέργειας (εξίσωση Bernoull) ΙΙΙ. Ισοζύγιο Γραµµικής Ορµής

Διαβάστε περισσότερα

. Υπολογίστε το συντελεστή διαπερατότητας κατά Darcy, την ταχύτητα ροής και την ταχύτητα διηθήσεως.

. Υπολογίστε το συντελεστή διαπερατότητας κατά Darcy, την ταχύτητα ροής και την ταχύτητα διηθήσεως. Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 7 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος, Επιστημονικός Συνεργάτης Τμήματος Πολιτικών Έργων Υποδομής, Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. Θεματική περιοχή: Υδατική ροή

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΑΥΛΙΚΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΡΟΗ ΝΕΡΟΥ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΑΓΩΓΟ

ΥΔΡΑΥΛΙΚΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΡΟΗ ΝΕΡΟΥ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΑΓΩΓΟ Α.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ 8 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΡΟΗ ΝΕΡΟΥ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΑΓΩΓΟ Σκοπός του πειράματος είναι να μελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΕΡΕΗ ΣΦΑΙΡΑ ΓΙΑ ΜΙΚΡΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ REYNOLDS

Διαβάστε περισσότερα

6 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΣΥΝΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ Α. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

6 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΣΥΝΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ Α. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΑEI ΠΕΙΡΑΙΑ(ΤΤ) ΣΤΕΦ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ-ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΕΡΓ. ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 6 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΣΥΝΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΡΟΗ ΣΕ ΑΓΩΓΟ Σκοπός της άσκησης Σκοπός της πειραματικής

Διαβάστε περισσότερα

ηµήτρης Τσίνογλου ρ. Μηχανολόγος Μηχανικός

ηµήτρης Τσίνογλου ρ. Μηχανολόγος Μηχανικός ηµήτρης Τσίνογλου ρ. Μηχανολόγος Μηχανικός 1 Εξαναγκασµένη συναγωγή Κεφάλαιο 7 2 Ορισµός του προβλήµατος Μηχανισµός µετάδοσης θερµότητας ανάµεσα σε ένα στερεό και σε ένα ρευστό, το οποίο βρίσκεται σε κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία επίλυσης προβληµάτων καταβύθισης

Μεθοδολογία επίλυσης προβληµάτων καταβύθισης Μεθοδολογία επίλυσης προβληµάτων καταβύθισης Τα προβλήµατα που υπάρχουν πάντα στις περιπτώσεις βαρυτοµετρικών διαχωρισµών είναι η γνώση της συµπεριφοράς των στερεών, όσον αφορά στην καταβύθισή τους µέσα

Διαβάστε περισσότερα

ΥδροδυναµικέςΜηχανές

ΥδροδυναµικέςΜηχανές ΥδροδυναµικέςΜηχανές Χαρακτηριστικές καµπύλες υδροστροβίλων Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Θεωρητικήχαρακτηριστική υδροστροβίλου Θεωρητική χαρακτηριστική υδροστροβίλου

Διαβάστε περισσότερα

3. ΚΙΝΗΣΗ ΡΕΥΣΤΟΥ-ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOULLI Κίνηση σωµατιδίων ρευστού

3. ΚΙΝΗΣΗ ΡΕΥΣΤΟΥ-ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOULLI Κίνηση σωµατιδίων ρευστού . ΚΙΝΗΣΗ ΡΕΥΣΤΟΥ-ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOLLI Κίνηση σωµατιδίων ρευστού ύναµη, επιτάχυνση F mα εφαρµογή στην κίνηση σωµατιδίου εύτερος νόµος του NEWTON Επιτάχυνση F mα ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑ ΟΧΕΣ Ρευστά χωρίς ιξώδες Πίεση-Βαρύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΡΙΒΗΣ ΤΥΡΒΩΔΟΥΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΡΙΒΗΣ ΤΥΡΒΩΔΟΥΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΜΕΓΑΛΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ 1, 63 34, ΚΟΥΚΟΥΛΙ, ΠΑΤΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΡΙΒΗΣ ΤΥΡΒΩΔΟΥΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΡΙΑ: ΓΕΩΡΓΙΑ ΣΓΟΥΡΔΟΥ Α.Μ.

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

τοπικοί συντελεστές αντίστασης στο σηµείο εισόδου, στην καµπύλη και στο ακροφύσιο είναι αντίστοιχα Κ in =1,0, K c =0,7 και K j =0,5.

τοπικοί συντελεστές αντίστασης στο σηµείο εισόδου, στην καµπύλη και στο ακροφύσιο είναι αντίστοιχα Κ in =1,0, K c =0,7 και K j =0,5. Υ ΡΑΥΛΙΚΗ Ι Εφαρµοή Ισοζυίου Υδραυλικής Ενέρειας - Εξίσωση ernoulli Άσκηση. Σε ένα συντριβάνι, νερό αντλείται από τη δεξαµενή µε ρυθµό Q5,0 lt/ και εκτοξεύεται κατακόρυφα, όπως στο σκαρίφηµα. Όλα τα τµήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Αστικά Υδραυλικά Έργα Μέρος Α: Υδρευτικά έργα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Αστικά Υδραυλικά Έργα Μέρος Α: Υδρευτικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Αστικά Υδραυλικά Έργα Μέρος Α: Υδρευτικά έργα Άσκηση E9: Εκτίµηση παροχών εξόδου κόµβων, υπολογισµός ελάχιστης κατώτατης

Διαβάστε περισσότερα

ιόδευση των πληµµυρών

ιόδευση των πληµµυρών ιόδευση των πληµµυρών Με τον όρο διόδευση εννοούµε τον υπολογισµό του πληµµυρικού υδρογραφήµατος σε µια θέση Β στα κατάντη ενός υδατορρεύµατος, όταν αυτό είναι γνωστό σε µια θέση Α στα ανάντη ή αντίστοιχα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Κεφάλαιο 7 ο : Κρίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ στο µάθηµα των Υδροδυναµικών Μηχανών Ι

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ στο µάθηµα των Υδροδυναµικών Μηχανών Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ TOMEAΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Υ ΡΟ ΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ στο µάθηµα των Υδροδυναµικών Μηχανών Ι ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σκοπός της Εργαστηριακής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Ι. κ. ΣΟΦΙΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Ι. κ. ΣΟΦΙΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Ι κ. ΣΟΦΙΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Οι εφαρμογές της διαστατικής ανάλυσης είναι:

ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Οι εφαρμογές της διαστατικής ανάλυσης είναι: ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Χρήσεις της διαστατικής ανάλυσης Η διαστατική ανάλυση είναι μία τεχνική που κάνει χρήση της μελέτης των διαστάσεων για τη λύση των προβλημάτων της Ρευστομηχανικής. Οι εφαρμογές της διαστατικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ» ΜΑΘΗΜΑ: ΗΛΕΚΤΡΟΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Επικ. Καθ. Δ. ΜΑΘΙΟΥΛΑΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: 10-5-2004)

4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: 10-5-2004) Άσκηση (Μονάδες ) 4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: -5-4) Α) Αστροναύτης µάζας 6 Κg βρίσκεται µέσα σε διαστηµόπλοιο που κινείται µε σταθερή ταχύτητα προς τον Άρη. Σε κάποιο σηµείο του ταξιδιού βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Υδραυλικά Έργα Ι [ΠΟΜ 443]

Υδραυλικά Έργα Ι [ΠΟΜ 443] [ΠΟΜ 443] Δίκτυα Μεταφοράς Νερού Εξωτερικό Υδραγωγείο Ανδρέας Χριστοφή / ειδικός επιστήμονας Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Γεωπληροφορικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Email: andreas.christofe@cut.ac.cy

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές υδροενεργειακής τεχνολογίας

Αρχές υδροενεργειακής τεχνολογίας Υδροηλεκτρικά Έργα 8ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Αρχές υδροενεργειακής τεχνολογίας Ανδρέας Ευστρατιάδης, Νίκος Μαμάσης, & Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Κεφάλαιο 3 ο : Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΟΤΕΟ ΥΠΟΕΡΓΟΥ 04. " Εκπαίδευση Υποστήριξη - Πιλοτική Λειτουργία "

ΠΑΡΑ ΟΤΕΟ ΥΠΟΕΡΓΟΥ 04.  Εκπαίδευση Υποστήριξη - Πιλοτική Λειτουργία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΑΒΑΛΑΣ Επιχειρησιακό Πρόγραµµα "Ψηφιακή Σύγκλιση" Πράξη: "Εικονικά Μηχανολογικά Εργαστήρια", Κωδικός ΟΠΣ: 304282, ΣΑΕ 3458 «Η Πράξη συγχρηµατοδοτείται από το Ευρωπαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. Καθηγητής Δ. Ματαράς

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. Καθηγητής Δ. Ματαράς ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής Δ. Ματαράς image url Ludwig Prandtl (1875 1953) 3. ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Δυναμική Ροή Δυναμική Ροή (potential flow): η ροή ιδανικού ρευστού

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο : Είδη ροής

Διαβάστε περισσότερα

Απόδειξη της σχέσης 3.17 που αφορά στην ακτινωτή ροή µονοφασικού ρευστού σε οµογενές πορώδες µέσο

Απόδειξη της σχέσης 3.17 που αφορά στην ακτινωτή ροή µονοφασικού ρευστού σε οµογενές πορώδες µέσο ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΕΤΡΕΛΑΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ασκήσεις Απόδειξη της σχέσης 3.7 που αφορά στην ακτινωτή ροή µονοφασικού ρευστού σε οµογενές πορώδες µέσο Νόµος Darcy: A dp π rh dp Q Q µ dr µ dr I e Q µ dr Q µ dr dp dp

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1 ΜΜΚ 31 Μεταφορά Θερμότητας Εξαναγκασμένη Συναγωγή και Σφαίρες ΜΜΚ 31 Μεταφορά Θερμότητας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Παραγωγής ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 1 και Σφαίρες (flow across cylinders

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΥΧΟΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ

ΤΕΥΧΟΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΛΕΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΟ: ΥΠΟΕΡΓΟ: ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ: «ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗ ΑΚΑΘΑΡΤΩΝ ΠΑΡΑΛΙΑΚΟΥ ΜΕΤΩΠΟΥ ΒΟΛΟΥ» «ΔΙΚΤΥΟ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΑΚΑΘΑΡΤΩΝ ΑΓ. ΣΤΕΦΑΝΟΥ Δ. ΒΟΛΟΥ» 3.866.000,00 πλέον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΑΕΡΟΤΟΜΗ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΑΕΡΟΤΟΜΗ Α.E.I. ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Σ.Τ.Ε.Φ. ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓ. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΑΕΡΟΤΟΜΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΙΕΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗΣ ΑΕΡΟΤΟΜΗΣ &ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

ΘΕΜΑ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι 1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ TOMEAΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΘΕΜΑ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Η εκπόνηση του θέματος και η εκπόνηση της εργαστηριακής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΒΟΛΟΥ ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΕΡΓΟΥ

ΔΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΒΟΛΟΥ ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΕΡΓΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΒΟΛΟΥ ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΕΡΓΟΥ «ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΥΔΡΑΓΩΓΕΙΟΥ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΠΗΓΑΙΩΝ ΝΕΡΩΝ ΟΡΕΙΝΟΥ ΟΓΚΟΥ ΠΗΛΙΟΥ» ΤΙΤΛΟΣ ΤΕΥΧΟΥΣ 2. ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΜΕΛΕΤΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εξοπλισμός για την εκπαίδευση στην εφαρμοσμένη μηχανική Υπολογισμός της τριβής σε σωλήνα

Εξοπλισμός για την εκπαίδευση στην εφαρμοσμένη μηχανική Υπολογισμός της τριβής σε σωλήνα Εξοπλισμός για την εκπαίδευση στην εφαρμοσμένη μηχανική Υπολογισμός της τριβής σε σωλήνα Εργαστηριακή Άσκηση HM 150.01 Περιεχόμενα 1. Περιγραφή συσκευών... 1 2. Προετοιμασία για το πείραμα... 1 3. Πειράματα...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Εφαρµογές των Νόµων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάµεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 5 Εφαρµογές των Νόµων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάµεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 5 Εφαρµογές των Νόµων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάµεις Περιεχόµενα Κεφαλαίου 5 Εφαρµογές Τριβής Οµοιόµορφη Κυκλική Κίνηση Δυναµική Κυκλικής Κίνησης Οι κλήσεις στους αυτοκινητοδρόµους

Διαβάστε περισσότερα

Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες. Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών

Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες. Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Περιεχόμενα μαθήματος Βασικές έννοιες, συνεχές μέσο, είδη, μονάδες διαστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

υναµική στο επίπεδο.

υναµική στο επίπεδο. στο επίπεδο. 1.3.1. Η τάση του νήµατος, πού και γιατί; Έστω ότι σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεµούν δύο σώµατα Α και Β µε µάζες Μ=3kg και m=2kg αντίστοιχα, τα οποία συνδέονται µε ένα νήµα. Σε µια στιγµή

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ- Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 0 Μαΐου 05 Ώρα : 0:0 - :00 ΘΕΜΑ 0 (µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΟΝΙΜΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ & ΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΟΝΙΜΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ & ΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY OF ATHENS ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ FACULTY OF CIVIL ENGINEERING DEPARTMENT

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ -ΚΛΙΜΑΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ ΚΑΙ ΓΕΩΡΓΙΑ

ΦΥΣΙΚΗ -ΚΛΙΜΑΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ ΚΑΙ ΓΕΩΡΓΙΑ Γιάννης Λ. Τσιρογιάννης Γεωργικός Μηχανικός M.Sc., PhD Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Ηπείρου Τμ. Τεχνολόγων Γεωπόνων Κατ. Ανθοκομίας Αρχιτεκτονικής Τοπίου ΦΥΣΙΚΗ -ΚΛΙΜΑΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ ΚΑΙ ΓΕΩΡΓΙΑ Υδραυλική Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

2 Μετάδοση θερμότητας με εξαναγκασμένη μεταφορά

2 Μετάδοση θερμότητας με εξαναγκασμένη μεταφορά 2 Μετάδοση θερμότητας με εξαναγκασμένη μεταφορά 2.1 Εισαγωγή Η θερμοκρασιακή διαφορά μεταξύ δυο σημείων μέσα σ' ένα σύστημα προκαλεί τη ροή θερμότητας και, όταν στο σύστημα αυτό περιλαμβάνεται ένα ή περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων

Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων 2009-2015 Σελίδα 1 από 13 Μηχανική Στερεού Σώματος 1. Στο πιο κάτω σχήμα φαίνονται δύο όμοιες πλατφόρμες οι οποίες μπορούν να περιστρέφονται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 15 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Μαΐου 15 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ

ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ Environmental Fluid Mechanics Laboratory University of Cyprus Department Of Civil & Environmental Engineering ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ HM 134 ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ Εγχειρίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Αρδεύσεις (Εργαστήριο)

Αρδεύσεις (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Αρδεύσεις (Εργαστήριο) Ενότητα 7 :Κλειστοί Αγωγοί Ι Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Ροή σε κλειστούς αγωγούς υπό πίεση 5.1. Γενικά Η ροή των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΛΙΕΣ. 1.-Εισαγωγή-Γενικά. 2.-Χαρακτηριστικές καμπύλες. 3.-Επιλογή Αντλίας. 4.-Αντλίες σε σειρά και σε παράλληλη διάταξη. 5.

ΑΝΤΛΙΕΣ. 1.-Εισαγωγή-Γενικά. 2.-Χαρακτηριστικές καμπύλες. 3.-Επιλογή Αντλίας. 4.-Αντλίες σε σειρά και σε παράλληλη διάταξη. 5. ΑΝΤΛΙΕΣ 1.-Εισαγωγή-Γενικά 2.-Χαρακτηριστικές καμπύλες 3.-Επιλογή Αντλίας 4.-Αντλίες σε σειρά και σε παράλληλη διάταξη 5.-Ειδική Ταχύτητα 1.-Εισαγωγή-Γενικά - Μετατροπή μηχανικής ενέργειας σε υδραυλική

Διαβάστε περισσότερα

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών 7. Στρέψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών 2015 1 Εισαγωγή Σε προηγούμενα κεφάλαια μελετήσαμε πώς να υπολογίζουμε τις ροπές και τις τάσεις σε δομικά μέλη τα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας ΔΥΝΑΜΗ ΕΡΓΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑ µηχανική, χηµική, θερµότητα, βαρυτική, ηλεκτρική, µαγνητική, πυρηνική, ραδιοενέργεια, τριβής, κινητική, δυναµική Περιεχόµενα Κεφαλαίου 8 Συντηρητικές

Διαβάστε περισσότερα

Βαλβίδες καταστροφής ενέργειας διάτρητων πλακών

Βαλβίδες καταστροφής ενέργειας διάτρητων πλακών Βαλβίδες καταστροφής ενέργειας διάτρητων πλακών Στα περισσότερα υδραυλικά συστήματα είναι απαραίτητη η χρήση ρυθμιστικών βαλβίδων που σκοπό έχουν τον έλεγχο της παροχής ή της πίεσης υπό την επίδραση μικρών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

4.1.α. Κρούσεις. Κρούσεις. 4.1.21. Ενέργεια Ταλάντωσης και Ελαστική κρούση. 4.1.22. Κρούση και τριβές. 4.1.23. Κεντρική ανελαστική κρούση

4.1.α. Κρούσεις. Κρούσεις. 4.1.21. Ενέργεια Ταλάντωσης και Ελαστική κρούση. 4.1.22. Κρούση και τριβές. 4.1.23. Κεντρική ανελαστική κρούση 4.1.α.. 4.1.21. Ενέργεια Ταλάντωσης και Ελαστική κρούση. Μια πλάκα µάζας Μ=4kg ηρεµεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=250ν/m, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος. Εκτρέπουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Αγωγός Venturi 1η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Αγωγός Venturi 1η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Αγωγός Venturi 1η εργαστηριακή άσκηση Βλιώρα Ευαγγελία ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2014 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι ο υπολογισμός των πιέσεων (ολικών και στατικών)

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις Επαγωγής µε δικαιολόγηση

Ερωτήσεις Επαγωγής µε δικαιολόγηση Ερωτήσεις ς µε δικαιολόγηση 1) Πτώση μαγνήτη και. ύο όµοιοι µαγνήτες αφήνονται να πέσουν από το ίδιο ύψος από το έδαφος. Ο Α κατά την κίνησή του περνά µέσα από πηνίο και ο διακόπτης είναι κλειστός, ενώ

Διαβάστε περισσότερα