ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ"

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς

2 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2

3 Παράδειγμα Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε να πάρουμε ρίχνοντας ένα νόμισμα τρεις φορές; Απάντηση 3 Τα αποτελέσματα είναι διατεταγμένες τριάδες της μορφής α,α,α όπου το α i,i = 1,2,3 παριστάνει το αποτέλεσμα της i ( 1 2 3) ρίψης, δηλαδή { } α K,Γ. Είναι όμως φανερό ότι στην i περίπτωση αυτή δεν ισχύει αi αj για i j αφού η εμφάνιση ενός συγκεκριμένου αποτελέσματος στην πρώτη ρίψη δεν αποκλείει την εμφάνιση του ίδιου αποτελέσματος σε κάποιες από τις επόμενες ρίψεις.

4 4

5 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με νστοιχεία και k ένας θετικός ακέραιος. Διάταξη των ν στοιχείων του Χ με επανάληψη ή επαναληπτική διάταξη των ν στοιχείων ανά k ή απλά επαναληπτική διάταξη των ν και k, λέγεται κάθε διατεταγμένη k-αδα ( ) 1 2 k από k στοιχεία του Χ, δηλαδή α,α,...,α η οποία αποτελείται α1 X, α2 X,..,αk X. Με άλλα λόγια, οι επαναληπτικές διατάξεις των ν στοιχείων ανά k είναι όλα τα στοιχεία του καρτεσιανού γινομένου A1 A 2... A k με A1 = A 2 =... = A k = X. 5

6 Πρόταση Ο αριθμός των επαναληπτικών διατάξεων των k v στοιχείων ανά k είναι ίσος με ν. Απόδειξη: Εφαρμόζοντας την πολλαπλασιαστική αρχή για καρτεσιανό γινόμενο συνόλων 6

7 Παράδειγμα Ένας καθηγητής ζητάει από τους k φοιτητές που παρακολουθούν το μάθημά του να γράψουν την ημερομηνία γεννήσεώς τους σε ένα φύλλο χαρτί με αριθμημένες γραμμές (1, 2,..., k). α. Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούν να προκύψουν; β. Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα θα προέκυπταν αν ήταν γνωστό ότι κανένας φοιτητής δεν έχει γενέθλια την ίδια ημέρα με κάποιον άλλο; Θεωρήστε ότι το έτος έχει 365 ημέρες.

8 Απάντηση Έστω X = { } 1,2,...,365 το σύνολο όλων των ημερών του έτους όταν αυτές αντιστοιχηθούν σε διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς (έτσι, ο αριθμός 15 παριστάνει την 15/1, ο αριθμός 35 την 4/2 κ.ο.κ.). α. Το σύνολο Ω των δυνατών αποτελεσμάτων είναι το {( 1 2 v) i } Ω= α,α,...,α : α X,i = 1,2,...,k = X X... X. Πιο συγκεκριμένα, το αποτέλεσμα ( α 1,α 2,...α k) αντιστοιχεί στην περίπτωση που ο πρώτος από τους k φοιτητές έχει γενέθλια την α 1 ημέρα του χρόνου, ο δεύτερος από τους k φοιτητές έχει γενέθλια την α 2 ημέρα του χρόνου κ.ο.κ. Άρα k Ω = 365. β. Στην περίπτωση αυτή, το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων είναι το: {( 1 2 k) i i j } A = α,α,...,α : α X,i = 1,2,...,k και α α για i j και αντιστοιχεί στις απλές διατάξεις των 365 στοιχείων του Χ ανά k. Άρα A = ( 365 ) k. 8

9 Επαναληπτικές διατάξεις με περιορισμούς 9

10 Παράδειγμα Ας υποθέσουμε ότι X { α,β,γ} = και ότι ενδιαφερόμαστε για διατάξεις ανά k = 3 στις οποίες το στοιχείο α μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέχρι 3 φορές, το β μέχρι 2 φορές και το γ μέχρι 2 φορές. Τυπικά παραδείγματα διατάξεων τέτοιου είδους είναι οι ( α,α,α ), ( α,α,β ), ( α,β,α ), ( α,β,γ ), ( α,β,β ) κ.ά. 10

11 11

12 Σύνθεση Διατάξεις Πλήθος β, γ, γ (β, γ, γ), (γ, β, γ), (γ, γ, β) 3 β, β, γ (β, β, γ), (β, γ, β), (γ, β, β) 3 α, γ, γ (α, γ, γ), (γ, α, γ), (γ, γ, α) 3 α, β, γ (α, β, γ), (α, γ, β), (β, α, γ), (γ, α, β), 6 (β, γ, α), (γ, β, α) α, β, β (α, β, β), (β, α, β), (β, β, α) 3 α, α, γ (α, α, γ), (α, γ, α), (γ, α, α) 3 α, α, β (α, α, β), (α, β, α), (β, α, α) 3 α, α, α (α, α, α) 1 Σύνολο 25 12

13 Μετάθεση των νειδών στοιχείων τύπου r 1, r 2,, r ν Έστω X = { x,x...,x 1 2 ν } ένα σύνολο με ν 2 διαφορετικά στοιχεία x,x,...,x 1 2 ν. Θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το στοιχείο x 1 συνολικά r 1 φορές το στοιχείο x 2 συνολικά r 2 φορές. το στοιχείο x v συνολικά r v φορές και να δημιουργήσουμε όλες τις διατεταγμένες r-άδες όπου ( ) 1 2 r α,α,...,α με α1 X,α2 X,...,αr X r = r1+ r r. v 13

14 Μετάθεση των νειδών στοιχείων τύπου r 1, r 2,, r ν Το συνολικό πλήθος των μεταθέσεων των ν ειδών r,r,...,r,τους θα συμβολίζεται στοιχείων τύπου ( ) 1 2 ν με r r,r,...,r 1 2 ν Πολλές φορές θα χρησιμοποιούμε και την έκφραση «μετάθεση των ν ειδών στοιχείων εκ των οποίων τα r 1 είναι τύπου 1, τα r 2 είναι τύπου 2,..., τα r ν είναι τύπου ν». 14

15 Παράδειγμα 15 Ας υποθέσουμε ότι Χ={α,β,γ} και ότι ενδιαφερόμαστε για τις μεταθέσεις στις οποίες το στοιχείο α μπορεί να χρησιμοποιηθεί ακριβώς 3 φορές, το β ακριβώς 2 φορές και το γ ακριβώς 2 φορές. Στην περίπτωση αυτή μια τυπική διάταξη είναι η εξής (α, β, β, γ, α, α, γ). Ας φανταστούμε προσωρινά ότι τα τρία α είναι διαφορετικά μεταξύ τους και ας τα συμβολίσουμε με α 1, α 2, α 3. Κάνοντας όλες τις δυνατές μεταθέσεις των α 1, α 2, α 3 θα προκύψουν 3! = 123 = 6 διατάξεις

16 16

17 17

18 18

19 19

20 Πρόταση Ο αριθμός των μεταθέσεων των ν ειδών στοιχείων εκ των οποίων τα r 1 είναι τύπου 1, τα r 2 είναι τύπου 2,..., τα r ν είναι τύπου ν δίνεται από την έκφραση όπου r r! r,r,...,r = r!r!...r! 1 2 ν 1 2 ν r = r 1 + r r ν. 20

21 Απόδειξη Έστω Χ = {x 1, x 2,..., x ν } τα ν διαφορετικά στοιχεία που διαθέτουμε και (α 1, α 2,..., α ν ) με α 1 Χ, α 2 Χ,... α ν Χ η γενική μορφή μιας μετάθεσης με τις προδιαγραφές που τέθηκαν. Η διαδικασία συμπλήρωσης της διατεταγμένης r-αδας μπορεί να γίνει σε ν διαδοχικές φάσεις ως εξής: Πρώτη φάση: διαλέγουμε r 1 από τις r διαθέσιμες θέσεις α 1, α 2,..., α ν και τοποθετούμε σε αυτές όλα τα r στοιχεία τύπου 1. Η επιλογή των r 1 θέσεων μπορεί προφανώς να γίνει με r διαφορετικούς τρόπους. 1 Δεύτερη φάση: διαλέγουμε r 2 από τις r - r 1 θέσεις που απέμειναν ελεύθερες και εκεί τοποθετούμε όλα τα r r1 r 2 διαθέσιμα στοιχεία τύπου 2. Η επιλογή των r 2 θέσεων μπορεί να γίνει με r διαφορετικούς τρόπους. 2 Προχωρούμε με ανάλογη διαδικασία μέχρι το τελικό βήμα (ν-οστό) όπου θα πρέπει να διαλέξουμε rν θέσεις για να τοποθετήσουμε τα r ν διαθέσιμα στοιχεία τύπου ν (δηλαδή τα x ν ). Ο αριθμός ελεύθερων θέσεων που απέμειναν μετά την ολοκλήρωση των ν - 1 προηγούμενων φάσεων είναι ίσος με r - (r 1 + r r ν-1 ) = r ν και το πλήθος των διαφορετικών επιλογών είναι r ( r1+ r rν 1) rν 1 r = = ν r ν Επομένως με βάση την αρχή του γινομένου, ο ζητούμενος αριθμός των μεταθέσεων των ν ειδών στοιχείων θα είναι ίσος με r r r1 r ( r1+ r rν 1) r!... r = 1 r 2 r ν ( ) το οποίο μετά τις απλοποιήσεις δίνει ( 1) ( ) ( ) ( ( ν 1) ) ( ) r r! r r r... r!... r!r r r! r r r! r! r r + r r r! (( ) ) ν 1 2 ν 1 ν r!. r!r!...r! 1 2 ν 21

22 Παράδειγμα Σε ένα παιχνίδι κατασκευών υπάρχουν «τουβλάκια» μήκους 2, 3, 4 και 7. Αν υπάρχουν διαθέσιμα 5, 4, 8 και 2 τουβλάκια μήκους 2, 3, 4 και 7 αντίστοιχα, με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να κτιστεί μια σειρά από τουβλάκια σε έναν τοίχο μήκους 68; 22

23 Απάντηση Αν συμβολίσουμε με x 1, x 2, x 3 και x 4 τα τουβλάκια μήκους 2, 3, 4 και 7 αντίστοιχα, τότε το πρόβλημά μας είναι ισοδύναμο με την εύρεση του πλήθους των μεταθέσεων των ν = 4 ειδών στοιχείων (Χ = {x 1, x 2, x 3, x 4 }) εκ των οποίων τα r 1 = 5 είναι του τύπου 1 (x 1 ), τα r 2 = 4 είναι τύπου 2 (x 2 ), τα r 3 = 8 είναι τύπου 3 (x 3 ) και τα r 4 = 2 είναι τύπου 4 (x 4 ). Το ζητούμενο πλήθος δίνεται από τον τύπο r r! = 5,4,8,2 5!4!8!2! όπου r = r 1 + r 2 + r 3 + r 4 = = 19 δηλαδή είναι ίσο με 19! !4!8!2! = 23

24 Παράδειγμα Έστω ν = 2 ένας ακέραιος αριθμός. α. Ποιος είναι ο αριθμός των μεταθέσεων των ν ειδών στοιχείων x 1, x 2,..., x ν κάθε ένα από τα οποία χρησιμοποιείται 3 φορές; β. Να δείξετε ότι ο αριθμός (3ν)! διαιρείται πάντοτε από το γινόμενο 2 ν 3 ν. 24

25 Απάντηση α. Έχουμε r 1 = r 2 =... = r ν και νφορές r = r + r r = = ν ν Επομένως ο ζητούμενος αριθμός είναι ίσος με ( ) ( ) ( ) ν 3ν 3ν! 3ν! s= 3,3,...,3 = = = !3!...3! 3! νφορές ( ) ( 123 ) ( ) 3ν! 3ν! = = ν ν ν. 2 3 β. Είναι άμεση συνέπεια της σχέσης ή ισοδύναμα ( ) 3ν! s= 2 ν 3 ν (3ν)! = s (2 ν 3 ν ) όπου το s είναι φυσικός αριθμός. 25

26 Αξίζει να σημειωθεί ότι ο αριθμός r r,r,...,r 1 2 ν, με r = r 1 + r r ν δίνει επίσης τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να χωρίσουμε ένα σύνολο r = r 1 + r r ν στοιχείων Α = {y 1, y 2,..., y r } σε ν ξένα ανά δύο υποσύνολα Α 1, Α 2,..., Α ν έτσι ώστε το πρώτο υποσύνολο Α 1 να περιέχει r 1 στοιχεία το δεύτερο υποσύνολο Α 2 να περιέχει r 2 στοιχεία... το ν-στο υποσύνολο Α ν να περιέχει r ν στοιχεία. 26

27 Παράδειγμα Στο τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής επιστήμης εισήχθησαν κατά το ακαδημαϊκό έτος 200 άτομα. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να χωριστούν οι 200 νέοι φοιτητές σε 5 τμήματα Α 1, Α 2, Α 3, Α 4, Α 5 τα οποία α. να έχουν 30, 40, 50, 60 και 20 φοιτητές αντίστοιχα; β. να είναι του ιδίου μεγέθους (40 φοιτητές ανά τμήμα); Αν στην περίπτωση αυτή δεν μας ενδιαφέρει η σειρά των 5 τμημάτων ποιο θα είναι το αντίστοιχο πλήθος;

28 Απάντηση α. Σύμφωνα με τη συζήτηση που προηγήθηκε, το ζητούμενο πλήθος είναι ίσο με ! =. 30,40,50,60,20 30!40!50!60!20! β. Όμοια θα έχουμε ! = 40,40,40,40,40 40! ( ) 5 διαφορετικούς τρόπους χωρισμού των φοιτητών σε 5 ισομεγέθη τμήματα. Στην περίπτωση που δεν μας ενδιαφέρει η σειρά των τμημάτων σκεφτόμαστε ως εξής: από κάθε τέτοιο χωρισμό των 200 φοιτητών σε 5 ισομεγέθη τμήματα Α 1, Α 2, Α 3, Α 4, Α 5 μπορούμε να πάρουμε 5! διαιρέσεις με εναλλαγή της σειράς καταγραφής των τμημάτων, π.χ. (Α 1, Α 2, Α 3, Α 4, Α 5 ), (Α 2, Α 1, Α 3, Α 4, Α 5 ), (Α 1, Α 3, Α 2, Α 5, Α 4 ) κλπ. Επομένως, αν x είναι το ζητούμενο πλήθος, θα έχουμε ! x5! = = 40, ! το οποίο δίνει 200! x =. 40! 5! ( ) 5 ( ) 5 28

29 Ασκήσεις(σελίδα 95-97) 1. Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούν να προκύψουν κατά τη ρίψη δύο διαφορετικών ζαριών; Αν το πείραμα αυτό επαναληφθεί ν φορές πόσα είναι τα διαφορετικά αποτελέσματα; 2. Ένα λεωφορείο ξεκινάει από την αφετηρία με k άτομα. Μέχρι να φτάσει στο τέλος της διαδρομής του κάνει ν στάσεις (συμπεριλαμβανομένου του τέρματος). Να υπολογιστεί ο αριθμός των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούν να αποβιβαστούν τα k άτομα στις ν στάσεις. Αν είναι γνωστό ότι τουλάχιστον σε μία στάση αποβιβάστηκαν περισσότερα από 1 άτομα, πόσοι είναι οι διαφορετικοί τρόποι αποβίβασης; 29

30 Ασκήσεις(σελίδα 95-97) 3. Σε ένα δοχείο υπάρχουν 9 σφαιρίδια αριθμημένα από το 1 έως το 9. Εξάγουμε 6 σφαιρίδια το ένα μετά το άλλο και καταγράφουμε τον εξαψήφιο αριθμό που προκύπτει. Πόσοι διαφορετικοί αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν αν μετά από κάθε εξαγωγή γίνεται καταγραφή του αριθμού που φέρει το σφαιρίδιο και επιστρέφεται στην κάλπη πριν προχωρήσουμε στην επόμενη εξαγωγή; 4. Πέντε άτομα γράφουν σε ένα κατάλογο το μήνα γέννησής τους. Πόσοι διαφορετικοί κατάλογοι μπορούν να προκύψουν; Αν είναι γνωστό ότι τουλάχιστον 2 άτομα έχουν γεννηθεί τον ίδιο μήνα, ποιος θα είναι ο αριθμός των διαφορετικών καταλόγων που μπορούν να προκύψουν; 5. Ρίχνουμε ένα ζάρι ν 6 φορές. Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούν να εμφανιστούν τέτοια ώστε τουλάχιστον μια από τις ενδείξεις 1, 2,..., 6 να εμφανιστεί περισσότερο από μία φορές; 30

31 Ασκήσεις(σελίδα 95-97) 6. Πόσοι αναγραμματισμοί της λέξης «ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ» υπάρχουν; 7. Σε ένα πάρτι στο οποίο συμμετέχουν ν άτομα πρόκειται να δημιουργηθεί ένας κατάλογος με τις ημερομηνίες γέννησης των ν ατόμων. Πόσοι διαφορετικοί κατάλογοι μπορούν να προκύψουν αν είναι γνωστό ότι τουλάχιστον δύο άτομα έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα του χρόνου; Θεωρήστε ότι το έτος έχει 365 ημέρες. 8. Σε k φακέλους αριθμημένους από 1 έως k πρόκειται να τοποθετηθούν ν επιστολές αριθμημένες από 1 έως ν. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν οι επιστολές στους φακέλους αν α. κάθε φάκελος μπορεί να πάρει από 0 έως ν επιστολές; β. σε κάθε φάκελο πρέπει να μπει το πολύ μια επιστολή; γ. σε έναν τουλάχιστο φάκελο τοποθετούνται δύο ή περισσότερες επιστολές; Στα ερωτήματα (β) και (γ) υποτίθεται ότι ισχύει 1 k ν. 31

32 Ασκήσεις(σελίδα 95-97) 9. α. Να βρεθεί ο αριθμός των μεταθέσεων των ν ειδών στοιχείων καθένα από τα οποία χρησιμοποιείται 4 φορές. β. Να δείξετε ότι, για κάθε θετικό ακέραιο ν 1, το γινόμενο 2 3ν 3 ν-1 διαιρεί τον αριθμό (4ν 1)! ν. 10. Εργαζόμενοι όπως στην προηγούμενη άσκηση δείξτε ότι στα επόμενα ζευγάρια αριθμών, ο πρώτος αριθμός είναι πολλαπλάσιο του δεύτερου (ν 1 είναι οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος) α. (6ν 1)! ν, 5 ν 3 2ν-1 2 4ν-1 β. (ν 2 )!, (ν!) ν γ. (ν!)!, (ν!) (ν 1)! 32

33 Επαναληπτικοί Συνδυασμοί 33

34 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Αν Χ = {x 1, x 2, x 3, x 4 } μπορούμε να σχηματίσουμε συγκεκριμένα τους 4 = 4 3 {x 1, x 2, x 3 }, {x 1, x 2, x 4 }, {x 1, x 3, x 4 }, {x 2, x 3, x 4 }. συνήθεις συνδυασμούς, πιο Επιτρέποντας τη χρήση των στοιχείων του Χ περισσότερες από μία φορές, μπορούμε να δημιουργήσουμε επιπλέον τους συνδυασμούς που φαίνονται στον επόμενο Πίνακα Στοιχείο του συνόλου Χ Συνδυασμοί που χρησιμοποιούν περισσότερες από μία φορές το στοιχείο x 1 x 1, x 1, x 2 x 1, x 1, x 3 x 1, x 1, x 4 x 1, x 1, x 1 x 2 x 2, x 2, x 1 x 2, x 2, x 3 x 2, x 2, x 4 x 2, x 2, x 2 x 3 x 3, x 3, x 1 x 3, x 3, x 2 x 3, x 3, x 4 x 3, x 3, x 3 x 4 x 4, x 4, x 1 x 4, x 4, x 2 x 4, x 4, x 3 x 4, x 4, x 4 34

35 Συμβολισμός: ν. k ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Γενικά, έστω Χ = {x 1, x 2,..., x ν } Επαναληπτικός συνδυασμός των ν στοιχείων του Χ ανά k ή συνδυασμός των ν στοιχείων του Χ ανά k με επανάληψη ή απλά επαναληπτικός συνδυασμός των ν ανά k λέγεται κάθε επιλογή k στοιχείων α 1, α 2,..., α k από τα ν στοιχεία του συνόλου Χ, όπου όμως είναι επιτρεπτό κάποιο ή κάποια στοιχεία του Χ να χρησιμοποιηθούν περισσότερες από μια φορές. Επειδή στην περίπτωση αυτή τα στοιχεία α 1, α 2,..., α k δεν είναι διαφορετικά μεταξύ τους θα αποφεύγουμε να χρησιμοποιούμε το συμβολισμό {α 1, α 2,..., α k } 35

36 Παράδειγμα Μια εταιρεία θέλει να αγοράσει πέντε αυτόκίνητα από μια αντιπροσωπία αυτοκινήτων. Αν οι διαθέσιμοι χρωματισμοί είναι λευκό (Λ), μαύρο (Μ) ή κόκκινο (Κ), με πόσους διαφορετικούς χρωματικούς συνδυασμούς αυτοκινήτων μπορεί να πραγματοποιήσει η εταιρεία την παραγγελία των πέντε αυτοκινήτων;

37 Απάντηση Στο παράδειγμα αυτό υπάρχουν ν = 3 διαφορετικά στοιχεία, δηλαδή X = {Λ, M, K} και θέλουμε να επιλέξουμε (με επανάληψη) k = 5 στοιχεία. Τυπικές αποδεκτές επιλογές είναι οι Λ, Λ, Λ, Λ, Λ Λ, Λ, Κ, Κ, Κ Μ, Λ, Λ, Μ, Κ (η σειρά αναγραφής των 5 στοιχείων δεν παίζει κανένα ρόλο, δηλαδή η επιλογή Λ, Λ, Κ, Κ, Κ είναι ακριβώς η ίδια με την Λ, Κ, Λ, Κ, Κ). Είναι φανερό ότι η κάθε συγκεκριμένη επιλογή που κάνουμε καθορίζεται πλήρως αν δώσουμε την εξής πληροφορία: πόσα λευκά 37 αυτοκίνητα (Λ), πόσα μαύρα (Μ) και πόσα κόκκινα (Κ) διαλέχτηκαν.

38 Πλήθος παραγγελιών Λευκά Μαύρα Κόκκινα Σύνολο Λ Μ Κ Αν στην κάθε συγκεκριμένη παραγγελία που εμφανίζεται στο δεύτερο Πίνακα αντικαταστήσουμε τις κάθετες γραμμές με τον αριθμό 1 τα σύμβολα με τον αριθμό 0 θα πάρουμε μια (διατεταγμένη) σειρά αποτελούμενη από πέντε 0 και δύο 1, πιο συγκεκριμένα

39 Αντίστροφα, κάθε σειρά από 7 = = ν + k -1 ψηφία 0, 1 εκ των οποίων τα k =5 ψηφία είναι 0, καθορίζει μια εφικτή παραγγελία αυτοκινήτων. Για παράδειγμα, η σειρά δηλώνει μια παραγγελία 5 αυτοκινήτων (όσα και τα ψηφία 0) εκ των οποίων το ένα είναι λευκό (όσα αυτοκίνητα είναι σημειωμένα πριν από την πρώτη εμφάνιση του ψηφίου 1) τα τρία είναι μαύρα (όσα αυτοκίνητα είναι σημειωμένα ανάμεσα στην πρώτη και δεύτερη εμφάνιση του ψηφίου 1) το ένα είναι κόκκινο (όσα αυτοκίνητα είναι σημειωμένα μετά την τρίτη εμφάνιση του ψηφίου 1). Επομένως το πλήθος των διαθέσιμων επιλογών είναι όσες και οι μεταθέσεις δύο όμοιων στοιχείων (του 0 και του 1) εκ των οποίων το πρώτο χρησιμοποιείται r 1 = k = 5 ακριβώς φορές ενώ το δεύτερο χρησιμοποιείται r 2 = ν - 1 = 3-1 = 2 ακριβώς φορές, δηλαδή ( ) ( ) 3 r1+ r 2! 5+ 2! 7! 7 76 = = = = = = r!r! 5!2! 5!2! 2 2!

40 Αξίζει να σημειωθεί ότι στο ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα θα καταλήγαμε αν παρατηρούσαμε ότι ο καθορισμός των σειρών , ,... μπορεί να γίνει εναλλακτικά αν α. θεωρήσουμε πως υπάρχουν προς συμπλήρωση 7 θέσεις β. διαλέξουμε δύο από τις επτά θέσεις για να τοποθετήσουμε τις 7 δύο μονάδες. Αυτό φυσικά μπορεί να γίνει με 2 τρόπους. γ. συμπληρώσουμε τις υπόλοιπες πέντε θέσεις με τα πέντε μηδενικά. 40

41 Έστω Γενίκευση για οποιαδήποτε ν και k Χ = {x 1, x 2,..., x ν } το σύνολο των ν διαφορετικών στοιχείων που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Ένας τυπικός επαναληπτικός συνδυασμός των ν ανά k θα έχει τη μορφή ή ισοδύναμα, αν αντικαταστήσουμε τις κάθετες γραμμές με τον αριθμό 1 και τα σύμβολα με τον αριθμό

42 Με αυτό τον τρόπο το πρόβλημά μας μεταφέρεται στον υπολογισμό του πλήθους των μεταθέσεων δύο ειδών στοιχείων (1 και 0) εκ των οποίων τα r 1 = ν - 1 στοιχεία είναι τύπου 1 (οι ν - 1 μονάδες που αντιστοιχούν στα ν - 1 χωρίσματα) και τα r 2 = k είναι τύπου 2 (τα k μηδενικά που αντιστοιχούν στα k σύμβολα ) Επομένως r = r 1 + r 2 = (ν - 1) + k = ν + k -1 και το ζητούμενο πλήθος είναι ίσο με ( + + ) ( ) r r1 ν k 1! r,r = = r!r! ν 1!k! 42

43 Πρόταση ν Ο αριθμός k των επαναληπτικών συνδυασμών των ν στοιχείων k δίνεται από τον τύπο ν ν+ k 1 ν+ k 1 ( ν+ k 1! ) = k k = ν 1 = = k! ( ν 1! ) νν ( ) ( ν + k+ 1 ), ν 1, k 1. = k! 43

44 Παρατηρήσεις Σε αντίθεση με τους συνήθεις συνδυασμούς των ν ανά k όπου για να ν έχει το σύμβολο k μη μηδενική τιμή απαιτούμε να ισχύει k ν, στην περίπτωση των επαναληπτικών συνδυασμών των ν ανά k, το πλήθος των απαριθμούμενων σχηματισμών είναι μη μηδενικό, για όλους τους θετικούς ακέραιους ν και k. Ειδικές Περιπτώσεις ν ν+ 0 1 ν 1 = 1, 0 = = 0 0 ν ν+ 1 1 ν = ν, 1 = = 1 1 για ν 1 ( ) ( ) ν ν+ ν 1 2ν 1 2ν 1! =. ν ν = = ν ν! ν 1! 1 1+ k 1 k 1. k = = = k k 44

45 Παράδειγμα Πόσα είναι τα διαφορετικά αποτελέσματα που μπορούμε να πάρουμε αν ρίξουμε ένα ζάρι 2 φορές και δεν μας ενδιαφέρει η σειρά εμφάνισης των ενδείξεων; 45

46 Απάντηση Εδώ, ένα αποτέλεσμα της μορφής θεωρείται ταυτόσημο με το Επομένως, εδώ ενδιαφερόμαστε για μη διατεταγμένα ζεύγη αποτελεσμάτων της μορφής α 1, α 2 όπου α 1, α 2 X = {1, 2,..., 6} και τα α 1, α 2 μπορούν να είναι και ίσα μεταξύ τους. 46

47 Έτσι το σύνολο που ζητάμε να απαριθμήσουμε είναι το σύνολο των επαναληπτικών συνδυασμών των στοιχείων του Χ ανά k = 2 Ο αριθμός των διαφορετικών αποτελεσμάτων θα δίνεται από τον τύπο = 2 = = = 2 2 2! 21. Τα αποτελέσματα αυτά παρουσιάζονται αναλυτικά στο επόμενο σχήμα. 47

48 48

49 Πρόταση ν Για τον αριθμό k των επαναληπτικών συνδυασμών των ν στοιχείων ανά k, όπου ν, k είναι οποιοιδήποτε θετικοί ακέραιοι, ισχύουν οι επόμενες ισότητες ν k+ 1 α. = k ν 1 β. ν ν 1 ν = +, k k k 1 ν > 1. 49

50 Απόδειξη (α) ( ) ( ) k+ 1 k+ 1 + ν 1 1 ν+ k 1 ν =. ν 1 ν 1 = = ν 1 k (β) Αρκεί να γράψουμε την αναλυτική έκφραση των προσθετέων του δεξιού μέλους με χρήση παραγοντικών, οπότε βρίσκουμε διαδοχικά (( ) ) k! ( ν 1) 1! ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k! ( ν 1! ) ( ( ) ) ( )( ) ν 1 ν ν 1 + k 1! ν+ k 1 1! + = + = k k 1 k 1! ν 1! ( ) ( )( ) ν+ k 2! ν+ k 2! = + = k! ν 2! k 1! ν 1! ( ) ( ) ν+ k 2!ν 1 ν+ k 2!k = + = k! ν 1! k! ν 1! ( )( ) ( ) ν+ k 2! ν 1 + k ν+ k 2!ν+ k 1 = = = k! ν 1! k! ν 1! ν+ k 1! ν = =. k 50

51 Ασκήσεις(σελίδα ) 1. Σε κάθε πλευρά ενός κομματιού από το παιχνίδι «ντόμινο» είναι σημειωμένος ένας από τους αριθμούς 0 (κενή πλευρά), 1 (μία τελεία), 2 (δύο τελείες),..., 6 (έξι τελείες). Τα κομμάτια δεν θεωρούνται ότι έχουν δεξιά / αριστερή πλευρά, δηλαδή δεν υπάρχει διάταξη στους αριθμούς που σημειώνονται επάνω τους. α. Πόσα διαφορετικά κομμάτια μπορούν να κατασκευαστούν; β. Αν αντί για 7 αριθμούς (0, 1, 2,..., 6) χρησιμοποιούσαμε για κάθε πλευρά ν αριθμούς (0, 1,..., ν - 1) πόσα διαφορετικά κομμάτια θα προέκυπταν; Πόσους διαφορετικούς αριθμούς θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε αν θέλουμε να μπορούμε να κατασκευάσουμε τουλάχιστον 55 διαφορετικά κομμάτια; 51

52 Ασκήσεις(σελίδα ) 2. Αν ν, k είναι θετικοί ακέραιοι, να αποδειχτούν σε επόμενες ταυτότητες α. ν ν k = ( ν + k-1) k k-1 ν ν ν 1 β. + = k k k-1 γ. δ. ε. ν k = n k + 1 ν 1 v 1 k ν k ν+ k 1 ν =,r k k r r k r (2ν )! 2 ( ν!) ν = 2 ν 52

53 Ασκήσεις(σελίδα ) 3. Έστω Χ ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία, α ένα συγκεκριμένο στοιχείο του Χ και k θετικός ακέραιος. α. Πόσοι είναι οι επαναληπτικοί συνδυασμοί των ν στοιχείων του Χ ανά k οι οποίοι περιέχουν οπωσδήποτε το στοιχείο α; β. Πόσοι είναι οι επαναληπτικοί συνδυασμοί των ν στοιχείων του Χ ανά k οι οποίοι δεν περιέχουν το στοιχείο α; γ. Συνδυάζοντας τα προηγούμενα δείξτε ότι ν ν 1 ν = + k k k 1 4. Σε μια βιβλιοθήκη με 5 ράφια πρόκειται να τοποθετηθούν 10 βιβλία. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γίνει αυτό αν το μόνο που μας ενδιαφέρει είναι πόσα βιβλία (και όχι ποια) τοποθετούνται σε κάθε ράφι; Υποτίθεται ότι σε κάθε ράφι μπορούν να τοποθετηθούν από μηδέν έως όλα (10) τα βιβλία. 53

54 ΣΥΝΟΨΗ k k k k 54

55 ΣΥΝΟΨΗ X X 55

56 ; ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν 56

57 Παράδειγμα Ένα ζάρι ρίχνεται k φορές και καταγράφονται τα αποτελέσματα των k ρίψεων. α. Πόσοι διαφορετικοί αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν αν γράψουμε στη σειρά τις k ενδείξεις; Πόσοι από αυτούς τους αριθμούς έχουν όλα τα ψηφία τους διαφορετικά; β. Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε να πάρουμεανησειράμετηνοποίαεμφανίζονται οι k ενδείξεις δεν μας ενδιαφέρει; Σε πόσα από αυτά τα αποτελέσματα δεν υπάρχουν ούτε δύο ίδιες ενδείξεις;

58 Απάντηση Αν ορίσουμε ως X= {1, 2, 3, 4, 5, 6} το σύνολο όλων των δυνατών ενδείξεων σε μία ρίψη του ζαριού, τότε οι k ρίψεις αντιστοιχούν στην επιλογή k αριθμών α 1 X, α 2 X,..., α k X α. Εδώ μας ενδιαφέρει η διάταξη των ενδείξεων δηλαδή ζητάμε το πλήθος των επαναληπτικών διατάξεων των 6 στοιχείων του X ανά k. Το πλήθος αυτό είναι 6 k. Αν οι αριθμοί που προκύπτουν δεν πρέπει να έχουν καθόλου ίδια στοιχεία, αυτό σημαίνει ότι στη διατεταγμένη k-άδα δεν επιτρέπεται επανάληψη ψηφίου. Επομένως το πλήθος που ψάχνουμε είναι ίσο με 6! ( 6) = = 65 ( 6 k+ 1, ) 1 k 6. k 6 k! ( ) Για k > 6 το πλήθος είναι μηδέν. 58

59 β. Εδώ ενδιαφερόμαστε για συνδυασμούς των 6 στοιχείων του X ανά k. Εφ όσον δεν υπάρχει κανένας περιορισμός ως προς την εμφάνιση κάποιας ένδειξης περισσότερες από μια φορές, θα έχουμε επαναληπτικούς συνδυασμούς των ν = 6 στοιχείων αν k και το συνολικό τους πλήθος θα είναι 6 6+ k-1 k+5 k+5 = = = = k k k 5 ( )( )( )( )( ) k+5 k+4 k+3 k+2 k+1 =, k 1. 5! Στην περίπτωση που δεν επιτρέπεται η εμφάνιση ίδιων ενδείξεων, οι συνδυασμοί είναι πλέον μη επαναληπτικοί, οπότε το πλήθος τους θα δίνεται από τον τύπο ν ν!, k = k! ν-k! ( ) 1 k ν. Όταν ισχύει k > ν το ζητούμενο πλήθος είναι μηδέν. 59

60 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ(σελίδες ) 1. Για να ανοίξει ένα χρηματοκιβώτιο ασφαλείας θα πρέπει να πληκτρολογηθεί σωστά ένας τετραψήφιος κωδικός αριθμός. α. Να βρεθεί το πλήθος ν των διαφορετικών αριθμών που μπορούν να πληκτρολογηθούν. β. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να δοκιμάσει ένας υποψήφιος κλέφτης κωδικούς αριθμούς έτσι ώστε να επιτύχει να ανοίξει την πόρτα i. κατά την k δοκιμή ακριβώς; (1 k ν) ii. μέχρι την r δοκιμή; (1 r ν) iii. ακριβώς κατά την τελευταία δοκιμή; 2. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν α. σε μια γραμμή β. σε ένα κυκλικό τραπέζι με 2ν θέσεις. ν διαφορετικά ανδρόγυνα έτσι ώστε κανένας άνδρας να μην κάθεται δίπλα σε άνδρα και καμία γυναίκα δίπλα σε άλλη γυναίκα; 60

61 3. Αφού πρώτα διαπιστώσετε ότι ισχύει η ταυτότητα r r! = (r + 1)! - r!, r = 1, 2,... να υπολογίσετε στη συνέχεια το άθροισμα 11! + 2 2! + 3 3! ν ν! = r r!. 4. Αφού πρώτα διαπιστώσετε ότι ισχύει η ταυτότητα ν r= 1 r = 1 1, r 1! r! r 1! ( + ) ( + ) r = 1, 2,... να υπολογίσετε στη συνέχεια το άθροισμα ν r ! 2 1! 3 1! ν 1! r 1! = ( ) ( ) ( ) ( ) r= 1 ( + ) 5. Με πόσους τρόπους μπορούν να δημιουργήσουν ένα κύκλο χορού ν αντρόγυνα έτσι ώστε κάθε γυναίκα να βρίσκεται δίπλα στον σύζυγό της; ν 61

62 6. Σε ένα κυκλικό τραπέζι πρόκειται να γευματίσουν ν αγόρια και k κορίτσια. α. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να καθίσουν στο τραπέζι τα ν + k άτομα; β. Σε πόσες από τις τοποθετήσεις αυτές i. δεν υπάρχει κορίτσι το οποίο να κάθεται δίπλα σε άλλο κορίτσι; ii. το πρώτο από τα ν αγόρια κάθεται δίπλα στο πρώτο από τα k κορίτσια; (1 k ν) iii. το αγόρι και το κορίτσι του ερωτήματος (ii) δεν κάθονται σε διαδοχικές θέσεις; 7. Ένα πολύεδρο με ν πλευρές ρίχνεται k φορές και καταγράφεται η ένδειξη του πολυέδρου που βρίσκεται στην κάτω του μεριά. Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε να πάρουμε αν α. οι ενδείξεις που καταγράφονται τοποθετούνται στη σειρά ώστε να σχηματίσουν έναν k-ψήφιο αριθμό i. χωρίς κανένα περιορισμό ως προς τα ψηφία του αριθμού (ν 9); ii. ο οποίος δεν έχει καθόλου ίδια ψηφία; ( 1 k ν 9) β. συλλέγονται οι ενδείξεις που καταγράφηκαν χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία προέκυψαν και i. δεν υπάρχει κανένας επιπλέον περιορισμός; ii. καμία ένδειξη δεν εμφανίστηκε περισσότερο από μία φορές; (1 k ν) 62

63 8. Πόσοι αναγραμματισμοί της λέξης «ΑΝΑΚΡΑΖΩ» υπάρχουν (συμπεριλαμβανομένης και της ίδιας) στους οποίους κανένα Α δεν βρίσκεται σε διαδοχική θέση με άλλο Α; 9. Έστω ν, k δύο θετικοί ακέραιοι αριθμοί με ν = 2. α. Ποιος είναι ο αριθμός των μεταθέσεων των ν ειδών στοιχείων x 1, x 2,..., x ν καθένα από τα οποία χρησιμοποιείται k φορές; β. Να δείξετε ότι ο αριθμός (k!) ν διαιρεί τον ακέραιο αριθμό (νk)!. 10. Πόσα άτομα πρέπει να βρεθούν σε μια συγκέντρωση ώστε ο συνολικός αριθμός χειραψιών που θα ανταλλάξουν να είναι 105; 11. Να βρεθεί το πλήθος των διαφορετικών απεικονίσεων f από το πεπερασμένο σύνολο στο πεπερασμένο σύνολο Α = {α 1, α 2,..., α k } Β = {β 1, β 2,..., β ν }. Πόσες από τις απεικονίσεις αυτές είναι α. αμφιμονοσήμαντες; (1 k ν) β. γνήσια αύξουσες; (1 k ν) γ. αύξουσες; 63

64 11. Να βρεθεί το πλήθος των διαφορετικών απεικονίσεων f από το πεπερασμένο σύνολο στο πεπερασμένο σύνολο Πόσες από τις απεικονίσεις αυτές είναι α. αμφιμονοσήμαντες; (1 k ν) β. γνήσια αύξουσες; (1 k ν) γ. αύξουσες; Α = {α 1, α 2,..., α k } Β = {β 1, β 2,..., β ν }. 12. Έστω Χ = {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν διαφορετικά στοιχεία και k θετικός ακέραιος με 1 k ν. Ας συμβολίσουμε με ( ν) k p ν =, k ν το λόγο του αριθμού των διατάξεων των ν στοιχείων ανά k προς τον αριθμό των επαναληπτικών διατάξεων των ν στοιχείων ανά k. Έστω ακόμη q ν ν k = ν k ο αντίστοιχος λόγος για συνδυασμούς. Ποιο είναι το όριο των ακολουθιών p ν, q ν για ν ; 64

65 13. Ένα τμήμα της αλυσίδας του DNA παριστάνεται ως μια σειρά με στοιχεία A, C, G, T που συμβολίζουν τις 4 βάσεις αδενίνη, κυτοσίνη, γουανίνη και θυμίνη αντίστοιχα. Πόσες διαφορετικές συνθέσεις μπορούν να προκύψουν για ένα τμήμα μήκους r αν σε αυτό υπάρχουν r 1 στοιχεία ίσα με Α, r 2 στοιχεία ίσα με G, r 3 ίσα με C και r 4 ίσα με Τ (r = r 1 + r 2 + r 3 + r 4 ); Σε πόσα από τα τμήματα αυτά, τα στοιχεία που αντιστοιχούν σε καθεμία από τις τέσσερις βάσεις είναι συγκεντρωμένα όλα μαζί δηλαδή έχουμε για παράδειγμα, σχηματισμούς της μορφής AA...ACC...CT...TG...G {{ r r 1 3 r r 4 2 ή CC...CAA...AG...GT...T { { κ.ό.κ. r r 3 1 r r Σε μια κλήρωση του Lotto τοποθετούνται στην κληρωτίδα 49 σφαίρες αριθμημένες από 1 έως 49. Στη συνέχεια κληρώνονται 6 από αυτούς οι οποίοι αποτελούν και την τυχερή εξάδα. α. Πόσες διαφορετικές εξάδες μπορούν να κληρωθούν; β. Αν έχουμε σημειώσει ν συγκεκριμένους αριθμούς (6 ν 49) πόσες διαφορετικές κληρώσεις μπορούν να προκύψουν έτσι ώστε να περιέχονται σε αυτές i. ακριβώς 5 από τους ν αριθμούς που σημειώσαμε στο δελτίο; ii. ακριβώς 4 από τους ν αριθμούς που σημειώσαμε στο δελτίο; 65

66 15. Ένας αριθμός με ν + k ψηφία περιέχει ν ίδια ψηφία ενώ τα υπόλοιπα k ψηφία είναι ανά δύο διαφορετικά μεταξύ τους. Πόσοι διαφορετικοί τέτοιοι αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν αν κανένα από τα ν ίδια ψηφία δεν μπορεί να τοποθετηθεί σε γειτονική θέση με άλλο ίδιο ψηφίο; Δίνεται ότι ν k Ένα βράδυ ν φίλοι συμφώνησαν να συναντηθούν στον κινηματογράφο «Άστρον». Αν υπάρχουν k διαφορετικοί κινηματογράφοι με το όνομα αυτό, πόσοι είναι οι διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους οι φίλοι μπορούν να διαλέξουν τον κινηματογράφο όπου θα πάνε; Αν 1 ν k, σε πόσες από αυτές τις επιλογές, τουλάχιστον δύο από τους φίλους θα συναντηθούν; 17. Για την πλήρωση k 1 νέων θέσεων σε μια εταιρεία, εμφανίστηκαν ν 1 ενδιαφερόμενοι υποψήφιοι από τους οποίους οι r είναι γυναίκες (1 r ν). Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γίνει η επιλογή των νέων υπαλλήλων αν α. δεν υπάρχει κανένας περιορισμός; β. πρέπει να προσληφθούν ακριβώς s 1 άνδρες (1 s ν - r); γ. είχε εκ των προτέρων αποφασιστεί ότι θα προσληφθούν οπωσδήποτε 2 συγκεκριμένες γυναίκες και 3 συγκεκριμένοι άντρες; 66

67 18. Σε ένα ορθογώνιο πλέγμα υπάρχουν ν κατακόρυφες και k οριζόντιες γραμμές όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Πόσα διαφορετικά ορθογώνια παραλληλόγραμμα υπάρχουν στο σχήμα; 19.Πόσους διαφορετικούς δυαδικούς αριθμούς μήκους ν + k μπορούμε να δημιουργήσουμε αν χρησιμοποιήσουμε ν το πλήθος σύμβολα «1» και k το πλήθος σύμβολα «0»; Αν k ν + 1, σε πόσους από τους αριθμούς αυτούς α. δεν εμφανίζονται διαδοχικά «0»; β. υπάρχουν τουλάχιστον δύο «0» τα οποία είναι σε διαδοχικές θέσεις; 67

68 20.Πόσες διαφορετικές ελληνικές λέξεις ν 1 γραμμάτων μπορούν να σχηματιστούν έτσι ώστε να περιέχουν ένα τουλάχιστον φωνήεν; Πόσες θα είναι οι λέξεις αυτές αν ν 17 και δεν επιτρέπεται η χρήση κανενός γράμματος περισσότερες από μία φορές; 21.Το επταμελές συμβούλιο της Γ Λυκείου ενός σχολείου πρόκειται να εκλεγεί από τους μαθητές των δύο τμημάτων της τάξης αυτής. Το πρώτο τμήμα έχει 10 κορίτσια και 15 αγόρια ενώ το δεύτερο έχει 16 αγόρια και 13 κορίτσια. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να σχηματιστεί το συμβούλιο έτσι ώστε να συμμετέχουν σε αυτό ακριβώς 4 μαθητές του 2 ου τμήματος και ακριβώς 5 αγόρια; 68

69 22. α. Γράφοντας το τρίγωνο του Pascal στη μορφή (ειδική περίπτωση k = 5) j j 1 j 1, 5 = 5 4 j 5 και προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις που προκύπτουν για j = 5, 6,..., 10 διαπιστώστε ότι ισχύει j = = β. Χρησιμοποιώντας παρόμοια τεχνική, δείξτε ότι, για οποιουσδήποτε θετικούς ακέραιους ν, k με 1 k ν ισχύει ν + 1 j = k+ 1 k ν j= k Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας την προηγούμενη ταυτότητα για k = 1 και k = 2 δείξτε ότι ν = j = ν j= 1 j= 1 ( + ) ν ν j= 5 ( + )( + ) ν ν ν 1 2ν ν = j =. 6 69

70 23.α. Από το τρίγωνο του Pascal (ειδική περίπτωση ν = 10) , j = + j j 1 πολλαπλασιάζοντας επί ( 1) j, παίρνουμε ( ) = ( ) ( ) j 10 j 11 j 10 j , j j j 1 j 10. Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις που προκύπτουν για j = 1, 2,..., 5 διαπιστώστε ότι ισχύει j ( 1 ). 5 = + = j β. Χρησιμοποιώντας παρόμοια τεχνική, δείξτε ότι, για οποιουσδήποτε θετικούς ακέραιους ν, k με 1 k ν ισχύει j= 0 k ν k j ν+ 1 = ( 1 ). k j j= Πόσοι διαφορετικοί 10-ψήφιοι αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν χρησιμοποιώντας τα ψηφία 2, 3, 4, 5, 6, 8 αν α. δεν υπάρχει κανένας περιορισμός; β. κάθε ένα από τα μονά ψηφία εμφανίζεται ακριβώς 3 φορές, ενώ τα ζυγά μόνο μία; γ. τα ψηφία εμφανίζονται στον αριθμό με αύξουσα σειρά; δ. κάθε ψηφίο χρησιμοποιείται τουλάχιστον μια φορά και η σειρά εμφάνισης των ψηφίων στον αριθμό είναι αύξουσα; 70

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 7 Αυγούστου 2012 Η είναι ένα κομμάτι των Μαθηματικών που επικεντρώνεται στη "μέτρηση" του πλήθους των αντικειμένων ενός συνόλου. Η ασχολείται

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

και η εκλογή του ενός αποκλείει την ταυτόχρονη εκλογή του άλλου, ΤΟΤΕ

και η εκλογή του ενός αποκλείει την ταυτόχρονη εκλογή του άλλου, ΤΟΤΕ 7/10/010 ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΝ ένα αντιείμενο A1 μπορεί να επιλεγεί με k1 αι ένα αντιείμενο A μπορεί να επιλεγεί με k αι η ελογή του ενός απολείει την ταυτόχρονη ελογή του άλλου, ΤΟΤΕ ένα οποιοδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 1.1 Απαρίθμηση και καταγραφή 1.2 Η αρχή του αθροίσματος 1.3 Η πολλαπλασιαστική αρχή 1.4 Άλλοι κανόνες απαρίθμησης 1.5 Πιθανότητες σε πεπερασμένους δειγματικούς χώρους 1.6 Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών Θέμα Α A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ).

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη 31 Οκτωβρίου 2014 Πιθανότητες και Στατιστική Διάλεξη 7 Ασκήσεις ΙΙ Δεσμευμένη πιθανότητα, Συνδυαστικά επιχειρήματα Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί Μεταθέσεις (permutations) Μετάθεση διακεκριμένων στοιχείων ενός συνόλου = Ανακάτεμα κάποιων ή όλων των στοιχείων του συνόλου S={1,2,3} Μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες ΕΝΟΤΗΤΑ. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας.

Ακολουθίες ΕΝΟΤΗΤΑ. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας. ΕΝΟΤΗΤΑ Ακολουθίες Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας. Να αναπαριστούμε τις ακολουθίες με διάφορους τρόπους. Να βρίσκουμε τον επόμενο όρο ή τον

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 1. Ο Άρης έφαγε 5 μιας σοκολάτας και ο Φίλιππος έφαγε 1 10 σοκολάτας περισσότερο από τον Άρη. Τι μέρος της σοκολάτας έμεινε;

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 015 Εισαγωγικό σημείωμα Σύμφωνα με τις οδηγίες της ΔΕΠΠΣ: Στα Μαθηματικά ελέγχονται οι ικανότητες των μαθητών/τριών στην κατανόηση και στην

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια Σημαντική μάλιστα ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Ε Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2013, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127 Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών

Διαβάστε περισσότερα